diff --git a/CLAUDE.md b/CLAUDE.md index 54104ce..8393b86 100644 --- a/CLAUDE.md +++ b/CLAUDE.md @@ -388,19 +388,29 @@ preferred setup, because there is then no key to leak. **Never let the server ru `django-insecure-…` fallback from `config/settings.py`: that string is committed here, so anyone who can read this repo can forge a token for any user.** -## وضعیت ۲۰۲۶-۰۹-۲۸ — شکل در دستیار، آزمونِ جزیره، همراهِ چهارم (هنوز دیپلوی نشده) +## وضعیت ۲۰۲۶-۰۹-۲۸ — شکل در دستیار، آزمونِ جزیره، همراهِ چهارم، محتوای کامل (هنوز دیپلوی نشده) -- **شکل در جوابِ دستیار:** مدل در انتهای جواب یک بلوکِ `{JSON}` می‌نویسد؛ - `rag/services/diagram.py` آن را پیش از `mathtext` جدا و سخت‌گیرانه اعتبارسنجی می‌کند، روی +- ⛔ **اعتبارِ GapGPT تمام شد (همان روز، ~۱۷:۲۰) و دستیارِ سایتِ زنده ۵۰۳ می‌دهد.** کلیدِ + `.env`ِ لپ‌تاپ همان حسابِ سرور است؛ سنجش‌های شکل (~۲۵۰ فراخوانی، ≈۰٫۳ دلار) باقی‌مانده را + خورد. **هر سنجشِ انبوهِ محلی از اعتبارِ پروداکشن خرج می‌کند؛ پیش از آن موجودی را بسنجید.** +- **شکل در جوابِ دستیار:** مدل در انتهای جواب `{JSON}` می‌نویسد؛ + `rag/services/diagram.py` آن را پیش از `mathtext` جدا، خطاهای قالبیِ شناخته‌شده را تعمیر + (رقمِ فارسی، `2*pi`، کامنت، ونِ با اسمِ فارسی) و سخت‌گیرانه اعتبارسنجی می‌کند؛ روی `Message.diagram` (migration `ai_tutor.0006`) می‌نشیند و در `done`ِ SSE و تاریخچه می‌آید. - فرانت (`components/Diagram.tsx`) خودش SVG می‌کشد؛ HTML/SVGِ مدل هرگز وارد صفحه نمی‌شود. - پرامپت `tutor-v6-diagrams`. سنجش با gpt-4.1-mini: قاعده فقط در پرامپتِ سیستم ۳ از ۱۲ - شکل می‌داد؛ با یادآوریِ کنارِ سوال (`hint_for`، بر اساسِ کلمه‌های شکل‌دار) ۱۲ از ۱۲، و ۰ از ۸ - برای سوالِ بی‌شکل. فقط ~۶۰ فراخوانی روی ۸ سوال سنجیده شده. -- **فرانت آزمونِ جزیره را بازی می‌کند** (`/nodes/{id}/quiz`): هر درس فقط یک سوال دارد و - درس‌به‌درس یعنی ~۱۱ دور برای هر جزیره. خانه حالا خودِ مسیر است با دکمه‌ی «شروع». -- **همراهِ چهارم «تدی»** (شکلکِ `mobile-preview/mascot-pack`، شش حالت) با migration - `progress.0005` (slugِ `tedi`، ۶۰۰ امتیاز؛ اسم و امتیاز تصمیمِ محصولی). + فرانت (`src/diagram/`) خودش SVG می‌کشد و ریشه، رأس، مماس، پای عمود و تبدیل‌ها را حساب + می‌کند؛ HTML/SVGِ مدل هرگز وارد صفحه نمی‌شود. ۱۴ نوع (plane، numberline، fraction، grid، + groups، clock، bar/linechart/pie، table، venn، mapping، tree، solid)؛ گالریِ آزمایشی در + `?gallery` فقط در حالتِ توسعه. کاتالوگ بخش‌بخش است و کنارِ هر سوال فقط بخشِ مربوط می‌رود + (`hint_for`). پرامپت `tutor-v6-diagrams`. سنجش روی ۹۶ مسئله‌ی واقعیِ کتاب: ۴۵ از ۴۸ شکلِ + معتبر (دورِ ۲)، ۰ از ۸ برای سوالِ بی‌شکل؛ وارسیِ چشمیِ ۸۳ شکل: ۶۴ درست، ۳ ضعیف، ۱۶ غلط. + اصلاح‌های بعد از آن (خط از معادله، کسرِ مقایسه‌ای، محرکِ ساعت، …) روی مدل سنجیده نشده‌اند. +- **فرانت آزمونِ جزیره را بازی می‌کند** (`/nodes/{id}/quiz`); خانه خودِ مسیر است با «شروع». +- **تدی** (شکلکِ `mobile-preview/mascot-pack`، شش حالت) با `progress.0005`، **۵۰۰ امتیاز** + (همان فاصله‌ی ۲۰۰تاییِ دلتا تا پی؛ خواستِ صاحبِ پروژه). +- **محتوا:** ۸۲ سوالِ تازه، پس هیچ جزیره‌ای زیرِ ۴ سوال نیست (۲٬۵۴۵ سوال). `fill_lesson_texts` + (بی‌هزینه) `Unit.blurb` را برای ۵۸ فصل و مثال/قدم‌ها را برای ۵۹۰ درس از مسئله‌های تأییدشده‌ی + کتاب پر کرد، هرگز همان مسئله‌ی آزمونِ درس؛ `seed_content` این‌ها را فقط در خانه‌ی خالی + می‌نشاند، پس متنِ ادمین با دیپلوی بازنویسی نمی‌شود. - محلی: `PUBLIC_BASE_URL` پیش‌فرضش دامنه‌ی اصلی است، پس «پرداخت» روی لپ‌تاپ به سرورِ واقعی می‌رود و ۴۰۴ می‌گیرد؛ باگِ سرور نیست. گزارش: `~/Desktop/گزارشات Tadrisino/گزارش-۲۵/`. diff --git a/content/curriculum_io.py b/content/curriculum_io.py index bb216f6..5bbbfa2 100644 --- a/content/curriculum_io.py +++ b/content/curriculum_io.py @@ -93,6 +93,8 @@ def parse(raw: bytes) -> list[dict]: { 'title': _text(lesson.get('title'), 'title', f'{nwhere} › نوع {li + 1}'), 'intro_text': (lesson.get('introText') or lesson.get('intro_text') or ''), + 'example': str(lesson.get('example') or ''), + 'steps': [str(x) for x in (lesson.get('steps') or []) if str(x).strip()][:12], } for li, lesson in enumerate(lessons) ], @@ -100,6 +102,7 @@ def parse(raw: bytes) -> list[dict]: clean_units.append({ 'title': _text(unit.get('title'), 'title', uwhere), + 'blurb': str(unit.get('blurb') or '')[:120], 'order': int(unit.get('order') or ui + 1), 'nodes': clean_nodes, }) @@ -136,6 +139,10 @@ def import_curriculum(grades: list[dict]) -> dict: defaults={'order': unit_row['order']}, ) counts['units'] += 1 if created else 0 + # متنِ ادمین برنده است: فقط خانه‌ی خالی از فایل پر می‌شود + if unit_row.get('blurb') and not unit.blurb: + unit.blurb = unit_row['blurb'] + unit.save(update_fields=['blurb']) for node_row in unit_row['nodes']: node, created = Node.objects.get_or_create( @@ -149,12 +156,24 @@ def import_curriculum(grades: list[dict]) -> dict: node=node, title=lesson_row['title'], defaults={'intro_text': lesson_row['intro_text']}, ) + changed = [] if created: counts['lessons'] += 1 elif lesson_row['intro_text'] and lesson.intro_text != lesson_row['intro_text']: lesson.intro_text = lesson_row['intro_text'] - lesson.save(update_fields=['intro_text']) - counts['updated'] += 1 + changed.append('intro_text') + # مثال و قدم‌ها فقط وقتی از فایل می‌آیند که در دیتابیس خالی‌اند؛ آنچه + # کسی از پنلِ ادمین نوشته با دیپلوی بازنویسی نمی‌شود. + if lesson_row.get('example') and not lesson.example: + lesson.example = lesson_row['example'] + changed.append('example') + if lesson_row.get('steps') and not lesson.steps: + lesson.steps = lesson_row['steps'] + changed.append('steps') + if changed: + lesson.save(update_fields=changed) + if not created: + counts['updated'] += 1 return counts @@ -171,12 +190,17 @@ def export_curriculum(grades_queryset) -> dict: { 'title': unit.title, 'order': unit.order, + **({'blurb': unit.blurb} if unit.blurb else {}), 'nodes': [ { 'title': node.title, 'order': node.order, 'lessons': [ - {'title': lesson.title, 'introText': lesson.intro_text} + { + 'title': lesson.title, 'introText': lesson.intro_text, + **({'example': lesson.example} if lesson.example else {}), + **({'steps': lesson.steps} if lesson.steps else {}), + } for lesson in node.lessons.all() ], } diff --git a/content/management/commands/fill_lesson_texts.py b/content/management/commands/fill_lesson_texts.py new file mode 100644 index 0000000..65fd26c --- /dev/null +++ b/content/management/commands/fill_lesson_texts.py @@ -0,0 +1,175 @@ +""" +پر کردنِ متن‌های خالیِ درس و فصل از خودِ کتاب — بدونِ هیچ فراخوانیِ پولی. + + python manage.py fill_lesson_texts # همه‌ی پایه‌ها + python manage.py fill_lesson_texts --dry-run # فقط گزارش + +- `Unit.blurb`: یک جمله از عنوانِ جزیره‌های همان فصل («در این فصل: …»). +- `Lesson.example` و `Lesson.steps`: یک مسئله‌ی حل‌شده‌ی خودِ کتاب برای همان درس، + فقط از تکه‌هایی که راه‌حلشان بازبینی و تأیید شده (`solution_verdict='agrees'`)، + با جوابِ بازسنجی‌شده (`checked_answer`) در قدمِ آخر. + +دو قاعده که عمداً اینجاست: +1. **فقط خانه‌ی خالی پر می‌شود.** متنی که کسی از پنلِ ادمین نوشته دست نمی‌خورد، و + اجرای دوباره چیزی را عوض نمی‌کند. +2. **مثال همان مسئله‌ی آزمونِ درس نیست.** سوالِ آزمون از اولین تکه‌ی تأییدشده‌ی درس + ساخته شده (generate_questions_from_chunks)؛ اینجا از دومی به بعد برداشته می‌شود و + تکه‌ای که جوابش با جوابِ درستِ سوالِ همان درس یکی است کنار می‌رود. بدونِ این، + صفحه‌ی درس جوابِ آزمون را پیشاپیش لو می‌داد. آزموده نشده: اینکه بازنویسیِ مدل در + ساختِ سوال جواب را عوض کرده باشد و این مقایسه آن را نبیند. +""" +import re + +from django.core.management.base import BaseCommand +from django.db import transaction + +from content.management.commands.generate_questions_from_chunks import Command as QuestionCommand +from content.models import Choice, Grade, Lesson, Unit +from rag.models import LessonChunk +from rag.services.config import build_collection_name +from rag.services.mathtext import to_plain +from rag.services.textbooks import TEXTBOOKS + +BLURB_MAX = 120 +STEP_MAX = 6 +STEP_CHARS = 320 +EXAMPLE_CHARS = 700 +_DIGITS = str.maketrans('۰۱۲۳۴۵۶۷۸۹٠١٢٣٤٥٦٧٨٩', '01234567890123456789') + + +def _norm(text: str) -> str: + """برای مقایسه‌ی جواب‌ها: رقمِ لاتین، بی‌فاصله، بی‌علامتِ اضافه.""" + return re.sub(r'[\s٫.,،:]+', '', (text or '').translate(_DIGITS)).lower() + + +# کلمه‌های عنوانِ درس که چیزی درباره‌ی موضوع نمی‌گویند +_STOP = {'و', 'از', 'با', 'در', 'به', 'برای', 'یک', 'دو', 'های', 'ها', 'آن', 'این', 'حل', 'محاسبه', 'تعیین', + 'پیدا', 'کردن', 'نوشتن', 'رسم', 'مسئله', 'مسائل', 'تمرین', 'مقدار', 'عدد', 'اعداد', 'شکل', 'کمک', + 'داده', 'شده', 'تعداد', 'ممکن', 'شرایط', 'درست', 'نادرست', 'عبارت', 'عبارت‌های', 'استفاده', 'رابطه', + 'بررسی', 'تشخیص', 'یافتن', 'نمایش', 'مقایسه', 'کاربرد', 'مفهوم', 'روش', 'انواع', 'ساده', 'طول'} +# مسئله‌ای که به شکل یا جدولی اشاره می‌کند که در متن نیست، به‌عنوانِ مثال به کار نمی‌آید +_FIGURE_REF = re.compile(r'شکل|روبه‌رو|روبرو|مقابل|صفحه(?:ٔ|ی)?\s*قبل|فعالیت|داده شده را|جدول زیر|نمودار(?: زیر|\s*ون|\s*توابع)|زیر را|توابع f و g|با توجه به نمودار') + + +def related(lesson_title: str, chunk) -> bool: + """ + آیا مسئله به همین درس مربوط است؟ جفت‌شدن از روی بازه‌ی صفحه گاهی مسئله‌ی نامربوطِ همان + صفحه‌ها را می‌داد (برای «نمودارِ قدرمطلق» مسئله‌ای درباره‌ی نمایشِ چندجمله‌ای). دستِ‌کم + یک کلمه‌ی معنادارِ عنوان باید در نوع یا متنِ مسئله باشد. + """ + words = [w for w in re.split(r'[\s،,()«»\-/]+', lesson_title) if len(w) >= 3 and w not in _STOP] + if not words: + return False + haystack = f'{chunk.problem_type} {chunk.problem}' + return sum(w in haystack for w in words) >= min(2, len(words)) + + +def unit_blurb(unit: Unit) -> str: + titles = [n.title.strip() for n in unit.nodes.order_by('order') if n.title.strip()] + if not titles: + return '' + head = 'در این فصل: ' + parts: list[str] = [] + for t in titles: + candidate = '، '.join(parts + [t]) + if len(head) + len(candidate) + 1 > BLURB_MAX: + break + parts.append(t) + if not parts: + return (head + titles[0])[:BLURB_MAX - 1] + '…' + text = '، '.join(parts[:-1]) + (f' و {parts[-1]}' if len(parts) > 1 else parts[0]) + if len(parts) < len(titles): + text += ' و …' + return f'{head}{text}.'[:BLURB_MAX] + + +def split_steps(solution: str) -> list[str]: + """راه‌حلِ کتاب → چند قدمِ کوتاه. اول با خط‌های جدا، بعد با جمله‌ها.""" + plain = to_plain(solution or '').strip() + lines = [ln.strip(' -•\t') for ln in plain.splitlines() if ln.strip(' -•\t')] + if len(lines) <= 1: + lines = [s.strip() for s in re.split(r'(?<=[.؛!؟])\s+', plain) if s.strip()] + # شماره‌ی قدم را فرانت خودش می‌گذارد + lines = [re.sub(r'^(?:(?:گام|مرحله|قدم)\s*[0-9۰-۹]{1,2}\s*[:：.\-)]?|[0-9۰-۹]{1,2}[).\-])\s*', '', ln) for ln in lines] + if len(lines) > STEP_MAX: + # قدم‌های اضافه در قدمِ آخر ادغام می‌شوند تا چیزی گم نشود + lines = lines[:STEP_MAX - 1] + [' '.join(lines[STEP_MAX - 1:])] + return [ln[:STEP_CHARS] for ln in lines if ln] + + +class Command(BaseCommand): + help = 'پر کردنِ Unit.blurb و Lesson.example/steps از کتاب (فقط خانه‌های خالی؛ بدونِ هزینه).' + + def add_arguments(self, parser): + parser.add_argument('--dry-run', action='store_true', help='فقط گزارش بده؛ چیزی ننویس.') + + def handle(self, *args, **opts): + dry = opts['dry_run'] + counts = {'blurbs': 0, 'examples': 0, 'no_chunk': 0, 'kept': 0} + with transaction.atomic(): + for unit in Unit.objects.prefetch_related('nodes'): + if unit.blurb.strip(): + counts['kept'] += 1 + continue + blurb = unit_blurb(unit) + if blurb: + unit.blurb = blurb + unit.save(update_fields=['blurb']) + counts['blurbs'] += 1 + + finder = QuestionCommand() + for book in TEXTBOOKS.values(): + grade = Grade.objects.filter(title=f'پایه {book.grade}').first() + if grade is None: + continue + finder._book = book + collection = build_collection_name(book.subject, book.grade) + lessons = (Lesson.objects.filter(node__unit__grade=grade) + .select_related('node__unit').order_by('node__unit__order', 'node__order', 'id')) + for lesson in lessons: + if lesson.example.strip() or lesson.steps: + continue + chunk = self._example_chunk(finder, lesson, collection) + if chunk is None: + counts['no_chunk'] += 1 + continue + steps = split_steps(chunk.solution) + answer = (chunk.checked_answer or '').strip() + if answer and not any(_norm(answer) in _norm(s) for s in steps[-2:]): + steps = (steps[:STEP_MAX - 1] if len(steps) >= STEP_MAX else steps) + [f'✅ جواب: {to_plain(answer)}'] + lesson.example = to_plain(chunk.problem)[:EXAMPLE_CHARS] + lesson.steps = steps + lesson.save(update_fields=['example', 'steps']) + counts['examples'] += 1 + if dry: + transaction.set_rollback(True) + + prefix = 'اگر اجرا شود: ' if dry else '' + self.stdout.write(self.style.SUCCESS( + f'{prefix}{counts["blurbs"]} توضیحِ فصل و {counts["examples"]} مثالِ درس پر شد؛ ' + f'{counts["no_chunk"]} درس مسئله‌ی تأییدشده‌ی دوم نداشت؛ ' + f'{counts["kept"]} فصل از قبل متن داشت و دست نخورد.' + )) + + def _example_chunk(self, finder, lesson, collection): + """دومین مسئله‌ی تأییدشده‌ی درس، که جوابش جوابِ سوالِ آزمونِ همین درس نباشد.""" + by_title = list( + LessonChunk.objects.filter(collection=collection, problem_type=lesson.title, + solution_verdict=LessonChunk.VERDICT_AGREES) + .exclude(problem='').exclude(solution='').order_by('source_page', 'order')[:6] + ) + candidates = by_title or finder._chunks_by_page( + lesson, collection, need=6, opts={'verified_only': True}, used=set(), skip=0) + quiz_answers = { + _norm(v) for v in Choice.objects.filter(question__lesson=lesson, is_correct=True).values_list('value', flat=True) + } + # اولی مالِ سوالِ آزمون است (همان ترتیبِ قطعیِ ساختِ سوال) + for chunk in candidates[1:]: + if not (chunk.solution or '').strip() or _FIGURE_REF.search(chunk.problem): + continue + if not by_title and not related(lesson.title, chunk): + continue + if _norm(chunk.checked_answer) and _norm(chunk.checked_answer) in quiz_answers: + continue + return chunk + return None diff --git a/content/seed/curriculum.json b/content/seed/curriculum.json index 1069afa..c937381 100644 --- a/content/seed/curriculum.json +++ b/content/seed/curriculum.json @@ -7,6 +7,7 @@ "units": [ { "title": "فصل ۱: مجموعه‌ها", + "blurb": "در این فصل: معرفی مجموعه، مجموعه‌های برابر و نمایش مجموعه‌ها، اجتماع، اشتراک و تفاضلِ مجموعه‌ها و مجموعه‌ها و احتمال.", "order": 1, "nodes": [ { @@ -15,7 +16,13 @@ "lessons": [ { "title": "تشکیل مجموعه", - "introText": "برای تشکیل یک مجموعه، ابتدا اعضای مورد نظر را مشخص کنید. سپس آنها را درون آکولاد قرار دهید و بین آنها ویرگول بگذارید. در نهایت مجموعه را با یک حرف بزرگ نام‌گذاری کنید." + "introText": "برای تشکیل یک مجموعه، ابتدا اعضای مورد نظر را مشخص کنید. سپس آنها را درون آکولاد قرار دهید و بین آنها ویرگول بگذارید. در نهایت مجموعه را با یک حرف بزرگ نام‌گذاری کنید.", + "example": "مجموعه شامل شماره‌های عدد ۶۰ که نه اول باشند و نه مرکب، چند عضو دارد؟ این مجموعه را نیز بنویسید و نمایش دهید.", + "steps": [ + "اعداد طبیعی ۶۰ که نه اول و نه مرکب هستند، شامل عدد ۱ می‌شود.", + "بنابراین این مجموعه شامل یک عضو است و به صورت {1} نوشته می‌شود.", + "✅ جواب: مجموعه {1} شامل یک عضو است." + ] }, { "title": "نمایش مجموعه‌ها", @@ -35,7 +42,13 @@ }, { "title": "تشخیص مجموعه", - "introText": "برای تشخیص اینکه یک عبارت مجموعه است یا خیر، بررسی کنید که آیا اعضای آن به وضوح تعریف شده‌اند و می‌توانند به صورت یک مجموعه نوشته شوند." + "introText": "برای تشخیص اینکه یک عبارت مجموعه است یا خیر، بررسی کنید که آیا اعضای آن به وضوح تعریف شده‌اند و می‌توانند به صورت یک مجموعه نوشته شوند.", + "example": "مجموعه شامل شماره‌های عدد ۶۰ که نه اول باشند و نه مرکب، چند عضو دارد؟ این مجموعه را نیز بنویسید و نمایش دهید.", + "steps": [ + "اعداد طبیعی ۶۰ که نه اول و نه مرکب هستند، شامل عدد ۱ می‌شود.", + "بنابراین این مجموعه شامل یک عضو است و به صورت {1} نوشته می‌شود.", + "✅ جواب: مجموعه {1} شامل یک عضو است." + ] }, { "title": "تعیین اعضای مجموعه", @@ -53,23 +66,55 @@ }, { "title": "برابری مجموعه‌ها", - "introText": "برای بررسی برابری دو مجموعه، بررسی کنید که هر عضو از مجموعه اول در مجموعه دوم نیز وجود داشته باشد و بالعکس." + "introText": "برای بررسی برابری دو مجموعه، بررسی کنید که هر عضو از مجموعه اول در مجموعه دوم نیز وجود داشته باشد و بالعکس.", + "example": "مجموعه A = {2, 1, 0, -1, -2} را در نظر بگیرید. کدام‌یک از مجموعه‌های زیر با هم برابر است؟\nB = x | x ∈ A, x² ≤ 2\nC = {x | x ∈ A, -1 ≤ x ≤ 1}\nD = x | x ∈ A, x⁴ = 1", + "steps": [ + "ابتدا اعضای مجموعه A را داریم: {2, 1, 0, -1, -2}.", + "مجموعه B شامل اعضای A است که مربع آنها کمتر یا مساوی 2 باشد: اعضای B = 1, 0, -1 چون 1²=1 ≤ 2، 0²=0 ≤ 2، (-1)²=1 ≤ 2.", + "مجموعه C شامل اعضای A است که بین -1 و 1 باشند: اعضای C = {1, 0, -1}.", + "مجموعه D شامل اعضای A است که توان چهارم آنها برابر 1 باشد: اعضای D = 1, -1 چون 1⁴=1 و (-1)⁴=1.", + "بنابراین B و C برابرند چون اعضای یکسان دارند." + ] }, { "title": "زیرمجموعه", - "introText": "۱. مجموعه‌های داده شده را مشخص کنید.\n۲. بررسی کنید که آیا هر عضو مجموعه اول در مجموعه دوم وجود دارد.\n۳. اگر همه اعضا وجود داشتند، مجموعه اول زیرمجموعه مجموعه دوم است.\n۴. اگر هیچ عضو مشترکی وجود نداشت، مجموعه تهی زیرمجموعه هر مجموعه‌ای است." + "introText": "۱. مجموعه‌های داده شده را مشخص کنید.\n۲. بررسی کنید که آیا هر عضو مجموعه اول در مجموعه دوم وجود دارد.\n۳. اگر همه اعضا وجود داشتند، مجموعه اول زیرمجموعه مجموعه دوم است.\n۴. اگر هیچ عضو مشترکی وجود نداشت، مجموعه تهی زیرمجموعه هر مجموعه‌ای است.", + "example": "تمام زیرمجموعه‌های مجموعه A = {a,b,c} را بنویسید.", + "steps": [ + "زیرمجموعه‌های A عبارتند از:", + "∅ (مجموعه تهی)، {a}، {b}، {c}، {a,b}، {a,c}، {b,c}، {a,b,c}.", + "✅ جواب: ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}" + ] }, { "title": "بررسی روابط بین مجموعه‌ها", - "introText": "۱. مجموعه‌ها را مشخص کنید. ۲. بررسی کنید که آیا همه اعضای مجموعه اول در مجموعه دوم وجود دارند یا خیر. ۳. درستی یا نادرستی رابطه را تعیین کنید." + "introText": "۱. مجموعه‌ها را مشخص کنید. ۲. بررسی کنید که آیا همه اعضای مجموعه اول در مجموعه دوم وجود دارند یا خیر. ۳. درستی یا نادرستی رابطه را تعیین کنید.", + "example": "سه مجموعه مانند A، B و C به‌طوری که A ⊆ B و B ⊆ C نوشته شده‌اند. آیا می‌توان نتیجه گرفت A ⊆ C؟", + "steps": [ + "اگر A زیرمجموعه B باشد و B زیرمجموعه C باشد، طبق خاصیت انتقالی زیرمجموعه‌ها، همه اعضای A در B و همه اعضای B در C هستند، پس همه اعضای A در C نیز هستند.", + "بنابراین A ⊆ C.", + "✅ جواب: بله، چون زیرمجموعه‌ای بودن خاصیت انتقالی دارد." + ] }, { "title": "تعیین زیرمجموعه‌ها", - "introText": "۱. مجموعه اصلی را مشخص کنید. ۲. تمام ترکیبات ممکن از اعضای مجموعه را بنویسید. ۳. زیرمجموعه‌ها را تعیین کنید." + "introText": "۱. مجموعه اصلی را مشخص کنید. ۲. تمام ترکیبات ممکن از اعضای مجموعه را بنویسید. ۳. زیرمجموعه‌ها را تعیین کنید.", + "example": "سه مجموعه مانند A، B و C به‌طوری که A ⊆ B و B ⊆ C نوشته شده‌اند. آیا می‌توان نتیجه گرفت A ⊆ C؟", + "steps": [ + "اگر A زیرمجموعه B باشد و B زیرمجموعه C باشد، طبق خاصیت انتقالی زیرمجموعه‌ها، همه اعضای A در B و همه اعضای B در C هستند، پس همه اعضای A در C نیز هستند.", + "بنابراین A ⊆ C.", + "✅ جواب: بله، چون زیرمجموعه‌ای بودن خاصیت انتقالی دارد." + ] }, { "title": "نمایش مجموعه‌ها", - "introText": "برای نمایش مجموعه‌ها از نمادهای ریاضی استفاده می‌کنیم. اعضای مجموعه را درون آکولاد قرار می‌دهیم و با استفاده از نمادهای خاص، ویژگی‌های اعضا را مشخص می‌کنیم." + "introText": "برای نمایش مجموعه‌ها از نمادهای ریاضی استفاده می‌کنیم. اعضای مجموعه را درون آکولاد قرار می‌دهیم و با استفاده از نمادهای خاص، ویژگی‌های اعضا را مشخص می‌کنیم.", + "example": "تمام زیرمجموعه‌های مجموعه A = {a,b,c} را بنویسید.", + "steps": [ + "زیرمجموعه‌های A عبارتند از:", + "∅ (مجموعه تهی)، {a}، {b}، {c}، {a,b}، {a,c}، {b,c}، {a,b,c}.", + "✅ جواب: ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}" + ] }, { "title": "مجموعه اعداد حسابی", @@ -81,11 +126,25 @@ }, { "title": "بررسی برابری مجموعه‌ها", - "introText": "۱. مجموعه‌های داده شده را بنویسید. ۲. بررسی کنید که آیا هر عضو یک مجموعه در مجموعه دیگر نیز وجود دارد. ۳. نتیجه‌گیری کنید که آیا مجموعه‌ها برابرند یا خیر." + "introText": "۱. مجموعه‌های داده شده را بنویسید. ۲. بررسی کنید که آیا هر عضو یک مجموعه در مجموعه دیگر نیز وجود دارد. ۳. نتیجه‌گیری کنید که آیا مجموعه‌ها برابرند یا خیر.", + "example": "مجموعه A = {2, 1, 0, -1, -2} را در نظر بگیرید. کدام‌یک از مجموعه‌های زیر با هم برابر است؟\nB = x | x ∈ A, x² ≤ 2\nC = {x | x ∈ A, -1 ≤ x ≤ 1}\nD = x | x ∈ A, x⁴ = 1", + "steps": [ + "ابتدا اعضای مجموعه A را داریم: {2, 1, 0, -1, -2}.", + "مجموعه B شامل اعضای A است که مربع آنها کمتر یا مساوی 2 باشد: اعضای B = 1, 0, -1 چون 1²=1 ≤ 2، 0²=0 ≤ 2، (-1)²=1 ≤ 2.", + "مجموعه C شامل اعضای A است که بین -1 و 1 باشند: اعضای C = {1, 0, -1}.", + "مجموعه D شامل اعضای A است که توان چهارم آنها برابر 1 باشد: اعضای D = 1, -1 چون 1⁴=1 و (-1)⁴=1.", + "بنابراین B و C برابرند چون اعضای یکسان دارند." + ] }, { "title": "نوشتن زیرمجموعه‌ها", - "introText": "۱. مجموعه اصلی را بنویسید. ۲. تمامی زیرمجموعه‌های ممکن را با انتخاب هر ترکیب از اعضا بنویسید." + "introText": "۱. مجموعه اصلی را بنویسید. ۲. تمامی زیرمجموعه‌های ممکن را با انتخاب هر ترکیب از اعضا بنویسید.", + "example": "تمام زیرمجموعه‌های مجموعه A = {a,b,c} را بنویسید.", + "steps": [ + "زیرمجموعه‌های A عبارتند از:", + "∅ (مجموعه تهی)، {a}، {b}، {c}، {a,b}، {a,c}، {b,c}، {a,b,c}.", + "✅ جواب: ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}" + ] } ] }, @@ -95,19 +154,51 @@ "lessons": [ { "title": "تشکیل مجموعه", - "introText": "۱. عناصر مورد نظر را مشخص کنید.\n۲. مجموعه را با استفاده از نمادهای ریاضی تشکیل دهید.\n۳. اعضای مجموعه را بنویسید." + "introText": "۱. عناصر مورد نظر را مشخص کنید.\n۲. مجموعه را با استفاده از نمادهای ریاضی تشکیل دهید.\n۳. اعضای مجموعه را بنویسید.", + "example": "دو مجموعه A = {x ∈ N | x ≤ 6} و B = {x ∈ Z | -2 ≤ x ≤ 3} را در نظر بگیرید. اعضای این دو مجموعه را بنویسید و اشتراک و اجتماع آن‌ها را تشکیل دهید.", + "steps": [ + "مجموعه A شامل اعداد طبیعی کمتر یا مساوی ۶ است: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.", + "مجموعه B شامل اعداد صحیح بین -۲ تا ۳ است: B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.", + "اشتراک A و B شامل اعدادی است که در هر دو مجموعه هستند: A ∩ B = {1, 2, 3}.", + "اجتماع A و B شامل همه اعداد موجود در A یا B است: A ∪ B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.", + "✅ جواب: A={1,2,3,4,5,6}, B={-2,-1,0,1,2,3}, اشتراک={1,2,3}, اجتماع={-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}" + ] }, { "title": "اشتراک مجموعه‌ها", - "introText": "۱. عناصر مشترک بین دو مجموعه را پیدا کنید.\n۲. مجموعه اشتراک را با استفاده از نماد ∩ تشکیل دهید." + "introText": "۱. عناصر مشترک بین دو مجموعه را پیدا کنید.\n۲. مجموعه اشتراک را با استفاده از نماد ∩ تشکیل دهید.", + "example": "دو مجموعه A = {x ∈ N | x ≤ 6} و B = {x ∈ Z | -2 ≤ x ≤ 3} را در نظر بگیرید. اعضای این دو مجموعه را بنویسید و اشتراک و اجتماع آن‌ها را تشکیل دهید.", + "steps": [ + "مجموعه A شامل اعداد طبیعی کمتر یا مساوی ۶ است: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.", + "مجموعه B شامل اعداد صحیح بین -۲ تا ۳ است: B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.", + "اشتراک A و B شامل اعدادی است که در هر دو مجموعه هستند: A ∩ B = {1, 2, 3}.", + "اجتماع A و B شامل همه اعداد موجود در A یا B است: A ∪ B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.", + "✅ جواب: A={1,2,3,4,5,6}, B={-2,-1,0,1,2,3}, اشتراک={1,2,3}, اجتماع={-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}" + ] }, { "title": "اجتماع مجموعه‌ها", - "introText": "۱. همه عناصر دو مجموعه را در نظر بگیرید.\n۲. مجموعه اجتماع را با استفاده از نماد ∪ تشکیل دهید." + "introText": "۱. همه عناصر دو مجموعه را در نظر بگیرید.\n۲. مجموعه اجتماع را با استفاده از نماد ∪ تشکیل دهید.", + "example": "دو مجموعه A = {x ∈ N | x ≤ 6} و B = {x ∈ Z | -2 ≤ x ≤ 3} را در نظر بگیرید. اعضای این دو مجموعه را بنویسید و اشتراک و اجتماع آن‌ها را تشکیل دهید.", + "steps": [ + "مجموعه A شامل اعداد طبیعی کمتر یا مساوی ۶ است: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.", + "مجموعه B شامل اعداد صحیح بین -۲ تا ۳ است: B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.", + "اشتراک A و B شامل اعدادی است که در هر دو مجموعه هستند: A ∩ B = {1, 2, 3}.", + "اجتماع A و B شامل همه اعداد موجود در A یا B است: A ∪ B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.", + "✅ جواب: A={1,2,3,4,5,6}, B={-2,-1,0,1,2,3}, اشتراک={1,2,3}, اجتماع={-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}" + ] }, { "title": "اجتماع و اشتراک مجموعه‌ها", - "introText": "۱. عناصر هر مجموعه را مشخص کنید.\n۲. اجتماع مجموعه‌ها را با ترکیب تمام عناصر بدون تکرار بیابید.\n۳. اشتراک مجموعه‌ها را با یافتن عناصر مشترک بیابید.\n۴. نمودار وِن را برای نمایش مجموعه‌ها رسم کنید." + "introText": "۱. عناصر هر مجموعه را مشخص کنید.\n۲. اجتماع مجموعه‌ها را با ترکیب تمام عناصر بدون تکرار بیابید.\n۳. اشتراک مجموعه‌ها را با یافتن عناصر مشترک بیابید.\n۴. نمودار وِن را برای نمایش مجموعه‌ها رسم کنید.", + "example": "دو مجموعه A = {x ∈ N | x ≤ 6} و B = {x ∈ Z | -2 ≤ x ≤ 3} را در نظر بگیرید. اعضای این دو مجموعه را بنویسید و اشتراک و اجتماع آن‌ها را تشکیل دهید.", + "steps": [ + "مجموعه A شامل اعداد طبیعی کمتر یا مساوی ۶ است: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.", + "مجموعه B شامل اعداد صحیح بین -۲ تا ۳ است: B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.", + "اشتراک A و B شامل اعدادی است که در هر دو مجموعه هستند: A ∩ B = {1, 2, 3}.", + "اجتماع A و B شامل همه اعداد موجود در A یا B است: A ∪ B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.", + "✅ جواب: A={1,2,3,4,5,6}, B={-2,-1,0,1,2,3}, اشتراک={1,2,3}, اجتماع={-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}" + ] }, { "title": "تشخیص درستی یا نادرستی پاسخ‌ها", @@ -115,15 +206,35 @@ }, { "title": "تفاضل دو مجموعه", - "introText": "برای یافتن تفاضل دو مجموعه A و B، اعضایی که در A هستند ولی در B نیستند را پیدا کنید. به صورت نمادین: A-B = {x | x ∈ A, x ∉ B}." + "introText": "برای یافتن تفاضل دو مجموعه A و B، اعضایی که در A هستند ولی در B نیستند را پیدا کنید. به صورت نمادین: A-B = {x | x ∈ A, x ∉ B}.", + "example": "اگر A = {a, b, c, d, e, k} و B = {c, d, k, f, s, t} باشد، تفاضل‌های A-B و B-A را بیابید.", + "steps": [ + "برای A-B، اعضایی که در A هستند ولی در B نیستند: {a, b, e}.", + "برای B-A، اعضایی که در B هستند ولی در A نیستند: {f, s, t}.", + "✅ جواب: A-B={a,b,e}, B-A={f,s,t}" + ] }, { "title": "زیرمجموعه و اجتماع مجموعه‌ها", - "introText": "برای بررسی زیرمجموعه بودن، بررسی کنید که آیا همه اعضای مجموعه اول در مجموعه دوم وجود دارند یا خیر. برای اجتماع دو مجموعه، همه اعضای هر دو مجموعه را در نظر بگیرید." + "introText": "برای بررسی زیرمجموعه بودن، بررسی کنید که آیا همه اعضای مجموعه اول در مجموعه دوم وجود دارند یا خیر. برای اجتماع دو مجموعه، همه اعضای هر دو مجموعه را در نظر بگیرید.", + "example": "دو مجموعه A = {x ∈ N | x ≤ 6} و B = {x ∈ Z | -2 ≤ x ≤ 3} را در نظر بگیرید. اعضای این دو مجموعه را بنویسید و اشتراک و اجتماع آن‌ها را تشکیل دهید.", + "steps": [ + "مجموعه A شامل اعداد طبیعی کمتر یا مساوی ۶ است: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.", + "مجموعه B شامل اعداد صحیح بین -۲ تا ۳ است: B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.", + "اشتراک A و B شامل اعدادی است که در هر دو مجموعه هستند: A ∩ B = {1, 2, 3}.", + "اجتماع A و B شامل همه اعداد موجود در A یا B است: A ∪ B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.", + "✅ جواب: A={1,2,3,4,5,6}, B={-2,-1,0,1,2,3}, اشتراک={1,2,3}, اجتماع={-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}" + ] }, { "title": "تشکیل مجموعه‌های اعداد طبیعی", - "introText": "برای تشکیل مجموعه اعداد طبیعی، اعضای مورد نظر را انتخاب کرده و در مجموعه قرار دهید. تعداد اعضای مجموعه را با n(A) نشان دهید." + "introText": "برای تشکیل مجموعه اعداد طبیعی، اعضای مورد نظر را انتخاب کرده و در مجموعه قرار دهید. تعداد اعضای مجموعه را با n(A) نشان دهید.", + "example": "مجموعه اعداد طبیعی 12 را مجموعه A و مجموعه اعداد طبیعی 18 را مجموعه B بنامید. الف) مجموعه‌ای تشکیل دهید که هر عضو آن عدد 18 باشد ولی عدد 12 نباشد. ب) مجموعه‌ای تشکیل دهید که اعضای آن هم عدد 12 و هم عدد 18 باشند.", + "steps": [ + "الف) مجموعه‌ای که شامل عدد 18 باشد ولی عدد 12 نباشد، می‌تواند مجموعه {18} باشد.", + "ب) مجموعه‌ای که شامل هر دو عدد 12 و 18 باشد، می‌تواند مجموعه {12, 18} باشد.", + "✅ جواب: الف) {18} ب) {12, 18}" + ] }, { "title": "عملیات مجموعه‌ها", @@ -135,7 +246,15 @@ }, { "title": "محاسبه تعداد اعضای مجموعه", - "introText": "۱. مجموعه‌های داده شده را مشخص کنید.\n۲. تعداد اعضای هر مجموعه را بشمارید.\n۳. عملیات مورد نظر (مثل تفاضل) را اعمال کنید و تعداد اعضای نتیجه را تعیین کنید." + "introText": "۱. مجموعه‌های داده شده را مشخص کنید.\n۲. تعداد اعضای هر مجموعه را بشمارید.\n۳. عملیات مورد نظر (مثل تفاضل) را اعمال کنید و تعداد اعضای نتیجه را تعیین کنید.", + "example": "دو مجموعه A = {x ∈ N | x ≤ 6} و B = {x ∈ Z | -2 ≤ x ≤ 3} را در نظر بگیرید. اعضای این دو مجموعه را بنویسید و اشتراک و اجتماع آن‌ها را تشکیل دهید.", + "steps": [ + "مجموعه A شامل اعداد طبیعی کمتر یا مساوی ۶ است: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.", + "مجموعه B شامل اعداد صحیح بین -۲ تا ۳ است: B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.", + "اشتراک A و B شامل اعدادی است که در هر دو مجموعه هستند: A ∩ B = {1, 2, 3}.", + "اجتماع A و B شامل همه اعداد موجود در A یا B است: A ∪ B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.", + "✅ جواب: A={1,2,3,4,5,6}, B={-2,-1,0,1,2,3}, اشتراک={1,2,3}, اجتماع={-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}" + ] } ] }, @@ -145,19 +264,48 @@ "lessons": [ { "title": "محاسبه احتمال", - "introText": "۱. تعیین مجموعه حالت‌های ممکن (S).\n۲. تعیین مجموعه حالت‌های مطلوب (A).\n۳. محاسبه تعداد عناصر مجموعه A و S.\n۴. استفاده از فرمول P(A) = n(A) / n(S) برای محاسبه احتمال." + "introText": "۱. تعیین مجموعه حالت‌های ممکن (S).\n۲. تعیین مجموعه حالت‌های مطلوب (A).\n۳. محاسبه تعداد عناصر مجموعه A و S.\n۴. استفاده از فرمول P(A) = n(A) / n(S) برای محاسبه احتمال.", + "example": "اگر تاسی را بیندازیم، احتمال رخ دادن پیشامد عدد بزرگ‌تر از ۶ باشد را بدست آورید.", + "steps": [ + "مجموعه حالات ممکن تاس S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} است که n(S) = 6.", + "مجموعه حالات مطلوب C که عدد بزرگ‌تر از ۶ باشد، C = ∅ (مجموعه تهی) است که n(C) = 0.", + "احتمال رخ دادن پیشامد C برابر است با:", + "P(C) = n(C) / n(S) = 0 / 6 = 0." + ] }, { "title": "تعریف مجموعه و زیرمجموعه", - "introText": "۱. مجموعه اصلی را مشخص کنید. ۲. تمامی زیرمجموعه‌های ممکن را بنویسید. ۳. احتمال رخداد هر زیرمجموعه را محاسبه کنید." + "introText": "۱. مجموعه اصلی را مشخص کنید. ۲. تمامی زیرمجموعه‌های ممکن را بنویسید. ۳. احتمال رخداد هر زیرمجموعه را محاسبه کنید.", + "example": "مجموعه A = {1, 3} (عقربه روی عدد 1 یا 3 بایستد) داده شده است. مجموعه‌های B = {1, 2}، C = {2, 3} و D = {2} را به همین صورت تعریف کنید و پاسخ خود را با پاسخ همکلاسی‌هایتان مقایسه کنید.", + "steps": [ + "برای B: عقربه روی عدد 1 یا 2 بایستد.", + "برای C: عقربه روی عدد 2 یا 3 بایستد.", + "برای D: عقربه روی عدد 2 بایستد.", + "سپس این مجموعه‌ها را با هم مقایسه می‌کنیم تا تشابه و تفاوت آنها مشخص شود.", + "✅ جواب: تعریف مجموعه‌های B، C و D بر اساس اعداد ۱، ۲ و ۳ درست است و مقایسهٔ آن‌ها با A منطقی به نظر می‌رسد." + ] }, { "title": "احتمال و پیشامد", - "introText": "۱. تعداد کل حالات ممکن را مشخص کنید. ۲. تعداد حالات مطلوب را مشخص کنید. ۳. احتمال را با تقسیم تعداد حالات مطلوب بر تعداد کل حالات ممکن محاسبه کنید." + "introText": "۱. تعداد کل حالات ممکن را مشخص کنید. ۲. تعداد حالات مطلوب را مشخص کنید. ۳. احتمال را با تقسیم تعداد حالات مطلوب بر تعداد کل حالات ممکن محاسبه کنید.", + "example": "اگر تاسی را بیندازیم، احتمال رخ دادن پیشامد عدد بزرگ‌تر از ۶ باشد را بدست آورید.", + "steps": [ + "مجموعه حالات ممکن تاس S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} است که n(S) = 6.", + "مجموعه حالات مطلوب C که عدد بزرگ‌تر از ۶ باشد، C = ∅ (مجموعه تهی) است که n(C) = 0.", + "احتمال رخ دادن پیشامد C برابر است با:", + "P(C) = n(C) / n(S) = 0 / 6 = 0." + ] }, { "title": "احتمال", - "introText": "۱. تعیین فضای نمونه. ۲. تعیین تعداد حالات مطلوب. ۳. محاسبه احتمال با تقسیم تعداد حالات مطلوب بر تعداد کل حالات." + "introText": "۱. تعیین فضای نمونه. ۲. تعیین تعداد حالات مطلوب. ۳. محاسبه احتمال با تقسیم تعداد حالات مطلوب بر تعداد کل حالات.", + "example": "اگر تاسی را بیندازیم، احتمال رخ دادن پیشامد عدد بزرگ‌تر از ۶ باشد را بدست آورید.", + "steps": [ + "مجموعه حالات ممکن تاس S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} است که n(S) = 6.", + "مجموعه حالات مطلوب C که عدد بزرگ‌تر از ۶ باشد، C = ∅ (مجموعه تهی) است که n(C) = 0.", + "احتمال رخ دادن پیشامد C برابر است با:", + "P(C) = n(C) / n(S) = 0 / 6 = 0." + ] }, { "title": "ترکیب و جایگشت", @@ -169,6 +317,7 @@ }, { "title": "فصل ۲: عددهای حقیقی", + "blurb": "در این فصل: عددهای گویا، عددهای حقیقی و قدر مطلق و محاسبهٔ تقریبی.", "order": 2, "nodes": [ { @@ -181,11 +330,29 @@ }, { "title": "مقایسه کسرها", - "introText": "۱. کسرها را به صورت عددی بنویسید.\n۲. کسرها را با استفاده از روش‌های مختلف مانند روش بهار یا روش مریم مقایسه کنید.\n۳. نتیجه مقایسه را با استفاده از نمادهای <، > یا = نشان دهید." + "introText": "۱. کسرها را به صورت عددی بنویسید.\n۲. کسرها را با استفاده از روش‌های مختلف مانند روش بهار یا روش مریم مقایسه کنید.\n۳. نتیجه مقایسه را با استفاده از نمادهای <، > یا = نشان دهید.", + "example": "می‌خواهیم کسرهای 1/3 و 2/6 را با دو روش مختلف مقایسه کنیم. روش مریم: نمایش کسرها روی محور عددی و روش بهار: تبدیل کسرها به مخرج مشترک و مقایسه.", + "steps": [ + "روش مریم:", + "کسر 1/3 را روی محور عددی مشخص می‌کنیم.", + "کسر 2/6 را روی محور عددی مشخص می‌کنیم.", + "مشاهده می‌کنیم که 1/3 برابر 2/6 است چون هر دو نقطه در یک موقعیت قرار دارند.", + "روش بهار:", + "مخرج مشترک کسرها 6 است. 1/3 را به صورت 2/6 تبدیل می‌کنیم (1×2)/(3×2)=2/6. حالا 2/6 و 2/6 را مقایسه می‌کنیم که برابرند. نتیجه: 1/3 = 2/6." + ] }, { "title": "نمایش اعشاری کسرها", - "introText": "۱. صورت کسر را بر مخرج تقسیم کنید.\n۲. نتیجه را به صورت عدد اعشاری بنویسید.\n۳. اگر عدد اعشاری تکراری است، آن را با علامت تکرار نشان دهید." + "introText": "۱. صورت کسر را بر مخرج تقسیم کنید.\n۲. نتیجه را به صورت عدد اعشاری بنویسید.\n۳. اگر عدد اعشاری تکراری است، آن را با علامت تکرار نشان دهید.", + "example": "کسرهای 5/9، 7/8، 5/6 و 3/5 را به صورت اعشاری نمایش دهید و مقایسه کنید.", + "steps": [ + "تقسیم صورت بر مخرج هر کسر با ماشین حساب:", + "5/9 = 0.55", + "7/8 = 0.875", + "5/6 = 0.83", + "3/5 = 0.6", + "مقایسه اعداد اعشاری: 55 < 0.6 < 0.83 < 0.875 پس ترتیب کسرها از کوچک به بزرگ به صورت اعشاری برابر است با 5/9 < 3/5 < 5/6 < 7/8" + ] }, { "title": "محاسبه و ساده‌سازی کسرها", @@ -203,19 +370,45 @@ "lessons": [ { "title": "نمایش عددهای گنگ روی محور", - "introText": "۱. عدد گنگ مورد نظر را به صورت تقریبی محاسبه کنید. ۲. مقدار تقریبی را روی محور عددی مشخص کنید. ۳. عدد را با توجه به مقدار تقریبی روی محور نمایش دهید." + "introText": "۱. عدد گنگ مورد نظر را به صورت تقریبی محاسبه کنید. ۲. مقدار تقریبی را روی محور عددی مشخص کنید. ۳. عدد را با توجه به مقدار تقریبی روی محور نمایش دهید.", + "example": "با توجه به اینکه مقدار تقریبی √2 مساوی 1.4 است، آن را روی محور نشان دهید.", + "steps": [ + "مقدار تقریبی √2 برابر 1.4 است.", + "روی محور اعداد، نقطه‌ای بین 1 و 2 که نزدیک به 1.4 است را مشخص می‌کنیم و آن را به عنوان مقدار تقریبی √2 نمایش می‌دهیم.", + "✅ جواب: روی محور اعداد، نقطه‌ای بین 1 و 2 نزدیک به 1.4 رسم می‌شود." + ] }, { "title": "مقایسه نمایش عددی ماشین حساب", - "introText": "۱. عدد را در ماشین حساب وارد کنید. ۲. نمایش عددی ماشین حساب را بررسی کنید. ۳. تفاوت‌های موجود در نمایش ارقام را تحلیل کنید." + "introText": "۱. عدد را در ماشین حساب وارد کنید. ۲. نمایش عددی ماشین حساب را بررسی کنید. ۳. تفاوت‌های موجود در نمایش ارقام را تحلیل کنید.", + "example": "مقدار تقریبی √2 تا 15 رقم اعشار محاسبه شده و به صورت 1.414213562373095 نوشته شده است. آیا در این 15 رقم تکرار یا تناوبی دیده می‌شود؟", + "steps": [ + "اعداد نوشته شده 1.414213562373095 هیچ تکرار یا تناوب منظمی در ارقام اعشاری ندارند.", + "این نشان می‌دهد که √2 عددی گنگ است و ارقام اعشاری آن به صورت نامتناهی و بدون الگوی تکراری ادامه دارند.", + "✅ جواب: در 15 رقم اعشاری √2 هیچ تکرار یا تناوبی مشاهده نمی‌شود." + ] }, { "title": "تشخیص مجموعه‌ها", - "introText": "برای تشخیص زیرمجموعه‌ها، باید بررسی کنیم که آیا همه اعضای مجموعه اول در مجموعه دوم وجود دارند یا خیر." + "introText": "برای تشخیص زیرمجموعه‌ها، باید بررسی کنیم که آیا همه اعضای مجموعه اول در مجموعه دوم وجود دارند یا خیر.", + "example": "کدام عبارت درست و کدام عبارت نادرست است؟\n1) Q ∩ Q' = ∅\n2) N ⊆ Q'\n3) Z ⊆ Q\n4) Z ⊆ Q'", + "steps": [ + "درست است زیرا مجموعه اعداد گویا و مجموعه اعداد گنگ اشتراکی ندارند.", + "نادرست است چون اعداد طبیعی زیرمجموعه اعداد گویا هستند نه اعداد گنگ.", + "درست است زیرا اعداد صحیح زیرمجموعه اعداد گویا هستند.", + "نادرست است چون اعداد صحیح زیرمجموعه اعداد گنگ نیستند.", + "✅ جواب: 1 و 3 درست، 2 و 4 نادرست" + ] }, { "title": "نمایش اعداد گنگ روی محور", - "introText": "برای نمایش اعداد گنگ روی محور، ابتدا باید عدد گنگ را به صورت تقریبی محاسبه کرده و سپس مکان تقریبی آن را روی محور مشخص کنیم." + "introText": "برای نمایش اعداد گنگ روی محور، ابتدا باید عدد گنگ را به صورت تقریبی محاسبه کرده و سپس مکان تقریبی آن را روی محور مشخص کنیم.", + "example": "با توجه به اینکه مقدار تقریبی √2 مساوی 1.4 است، آن را روی محور نشان دهید.", + "steps": [ + "مقدار تقریبی √2 برابر 1.4 است.", + "روی محور اعداد، نقطه‌ای بین 1 و 2 که نزدیک به 1.4 است را مشخص می‌کنیم و آن را به عنوان مقدار تقریبی √2 نمایش می‌دهیم.", + "✅ جواب: روی محور اعداد، نقطه‌ای بین 1 و 2 نزدیک به 1.4 رسم می‌شود." + ] }, { "title": "مقایسه اعداد گنگ و گویا", @@ -227,7 +420,13 @@ }, { "title": "نمایش مجموعه‌ها روی محور", - "introText": "۱. مجموعه‌های داده شده را بررسی کنید.\n۲. نقاط مشخص شده روی محور را با توجه به شرایط مجموعه‌ها تعیین کنید.\n۳. مجموعه‌ها را روی محور نشان دهید." + "introText": "۱. مجموعه‌های داده شده را بررسی کنید.\n۲. نقاط مشخص شده روی محور را با توجه به شرایط مجموعه‌ها تعیین کنید.\n۳. مجموعه‌ها را روی محور نشان دهید.", + "example": "با توجه به اینکه مقدار تقریبی √2 مساوی 1.4 است، آن را روی محور نشان دهید.", + "steps": [ + "مقدار تقریبی √2 برابر 1.4 است.", + "روی محور اعداد، نقطه‌ای بین 1 و 2 که نزدیک به 1.4 است را مشخص می‌کنیم و آن را به عنوان مقدار تقریبی √2 نمایش می‌دهیم.", + "✅ جواب: روی محور اعداد، نقطه‌ای بین 1 و 2 نزدیک به 1.4 رسم می‌شود." + ] }, { "title": "تفاوت مجموعه‌ها", @@ -243,7 +442,13 @@ }, { "title": "تشخیص اعداد گنگ", - "introText": "اعداد داده شده را بررسی کرده و یک عدد گنگ بین آن‌ها بنویسید." + "introText": "اعداد داده شده را بررسی کرده و یک عدد گنگ بین آن‌ها بنویسید.", + "example": "مقدار تقریبی √2 تا 15 رقم اعشار محاسبه شده و به صورت 1.414213562373095 نوشته شده است. آیا در این 15 رقم تکرار یا تناوبی دیده می‌شود؟", + "steps": [ + "اعداد نوشته شده 1.414213562373095 هیچ تکرار یا تناوب منظمی در ارقام اعشاری ندارند.", + "این نشان می‌دهد که √2 عددی گنگ است و ارقام اعشاری آن به صورت نامتناهی و بدون الگوی تکراری ادامه دارند.", + "✅ جواب: در 15 رقم اعشاری √2 هیچ تکرار یا تناوبی مشاهده نمی‌شود." + ] } ] }, @@ -253,7 +458,13 @@ "lessons": [ { "title": "محاسبه قدر مطلق", - "introText": "۱. عدد را بررسی کنید. ۲. اگر عدد مثبت یا صفر است، قدر مطلق همان عدد است. ۳. اگر عدد منفی است، قدر مطلق برابر با منفی آن عدد است." + "introText": "۱. عدد را بررسی کنید. ۲. اگر عدد مثبت یا صفر است، قدر مطلق همان عدد است. ۳. اگر عدد منفی است، قدر مطلق برابر با منفی آن عدد است.", + "example": "قدر مطلق عدد -√5 را به صورت عددی نشان دهید. همچنین قدر مطلق عدد 0.04 را به صورت عددی نشان دهید.", + "steps": [ + "قدر مطلق -√5 برابر است با √5 زیرا قدر مطلق عدد منفی برابر است با منفی آن عدد: |-√5| = √5.", + "قدر مطلق 0.04 برابر است با 0.04 چون عدد مثبت است: |0.04| = 0.04.", + "✅ جواب: |-√5| = √5 و |0.04| = 0.04" + ] }, { "title": "فاصله نقاط روی محور", @@ -269,15 +480,33 @@ }, { "title": "قدر مطلق", - "introText": "برای حل مسائل قدر مطلق، ابتدا قدر مطلق هر عدد را محاسبه کنید و سپس عملیات جمع یا ضرب را انجام دهید. در نهایت، نتیجه را با مقدار داده شده مقایسه کنید." + "introText": "برای حل مسائل قدر مطلق، ابتدا قدر مطلق هر عدد را محاسبه کنید و سپس عملیات جمع یا ضرب را انجام دهید. در نهایت، نتیجه را با مقدار داده شده مقایسه کنید.", + "example": "قدر مطلق عدد -√5 را به صورت عددی نشان دهید. همچنین قدر مطلق عدد 0.04 را به صورت عددی نشان دهید.", + "steps": [ + "قدر مطلق -√5 برابر است با √5 زیرا قدر مطلق عدد منفی برابر است با منفی آن عدد: |-√5| = √5.", + "قدر مطلق 0.04 برابر است با 0.04 چون عدد مثبت است: |0.04| = 0.04.", + "✅ جواب: |-√5| = √5 و |0.04| = 0.04" + ] }, { "title": "مقایسه عبارات", - "introText": "۱. عبارات را به شکل ساده‌تری بنویسید. ۲. مقادیر عددی را محاسبه کنید. ۳. مقایسه کنید و علامت مناسب را قرار دهید." + "introText": "۱. عبارات را به شکل ساده‌تری بنویسید. ۲. مقادیر عددی را محاسبه کنید. ۳. مقایسه کنید و علامت مناسب را قرار دهید.", + "example": "محاسبه کنید: |10 - 20 + 5| و |(-6) × (+10)|", + "steps": [ + "ابتدا داخل قدر مطلق‌ها را محاسبه می‌کنیم: 10 - 20 + 5 = -5 و (-6) × (+10) = -60.", + "سپس قدر مطلق آن‌ها را می‌گیریم: |-5| = 5 و |-60| = 60.", + "✅ جواب: 5 و 60" + ] }, { "title": "نوشتن عبارات بدون استفاده از قدر مطلق", - "introText": "۱. مقدار داخل قدر مطلق را بررسی کنید. ۲. اگر مثبت است، قدر مطلق را حذف کنید. ۳. اگر منفی است، علامت منفی را به خارج از قدر مطلق منتقل کنید." + "introText": "۱. مقدار داخل قدر مطلق را بررسی کنید. ۲. اگر مثبت است، قدر مطلق را حذف کنید. ۳. اگر منفی است، علامت منفی را به خارج از قدر مطلق منتقل کنید.", + "example": "قدر مطلق عدد -√5 را به صورت عددی نشان دهید. همچنین قدر مطلق عدد 0.04 را به صورت عددی نشان دهید.", + "steps": [ + "قدر مطلق -√5 برابر است با √5 زیرا قدر مطلق عدد منفی برابر است با منفی آن عدد: |-√5| = √5.", + "قدر مطلق 0.04 برابر است با 0.04 چون عدد مثبت است: |0.04| = 0.04.", + "✅ جواب: |-√5| = √5 و |0.04| = 0.04" + ] }, { "title": "محاسبه حاصل عبارات", @@ -285,7 +514,13 @@ }, { "title": "محاسبه قدر مطلق و ریشه دوم", - "introText": "برای محاسبه قدر مطلق یک عدد، اگر عدد مثبت یا صفر باشد، خود عدد و اگر منفی باشد، معکوس آن را در نظر می‌گیریم. برای محاسبه ریشه دوم، اگر عدد زیر ریشه منفی باشد، ریشه دوم تعریف نمی‌شود." + "introText": "برای محاسبه قدر مطلق یک عدد، اگر عدد مثبت یا صفر باشد، خود عدد و اگر منفی باشد، معکوس آن را در نظر می‌گیریم. برای محاسبه ریشه دوم، اگر عدد زیر ریشه منفی باشد، ریشه دوم تعریف نمی‌شود.", + "example": "قدر مطلق عدد -√5 را به صورت عددی نشان دهید. همچنین قدر مطلق عدد 0.04 را به صورت عددی نشان دهید.", + "steps": [ + "قدر مطلق -√5 برابر است با √5 زیرا قدر مطلق عدد منفی برابر است با منفی آن عدد: |-√5| = √5.", + "قدر مطلق 0.04 برابر است با 0.04 چون عدد مثبت است: |0.04| = 0.04.", + "✅ جواب: |-√5| = √5 و |0.04| = 0.04" + ] }, { "title": "تکمیل جدول با محاسبه ریشه دوم", @@ -297,6 +532,7 @@ }, { "title": "فصل ۳: استدلال و اثبات در هندسه", + "blurb": "در این فصل: استدلال، آشنایی با اثبات در هندسه، هم‌نهشتی مثلث‌ها، حل مسئله در هندسه و شکل‌های متشابه.", "order": 3, "nodes": [ { @@ -327,39 +563,101 @@ "lessons": [ { "title": "اثبات هم‌ارزی زوایای روبه‌رو در لوزی", - "introText": "۱. شکل لوزی را رسم کنید.\n۲. فرض کنید که شکل لوزی است.\n۳. حکم کنید که زاویه‌های روبه‌رو برابر هستند.\n۴. با استفاده از خواص لوزی، اثبات کنید که زاویه‌های روبه‌رو برابرند." + "introText": "۱. شکل لوزی را رسم کنید.\n۲. فرض کنید که شکل لوزی است.\n۳. حکم کنید که زاویه‌های روبه‌رو برابر هستند.\n۴. با استفاده از خواص لوزی، اثبات کنید که زاویه‌های روبه‌رو برابرند.", + "example": "در هر مثلث، نشان دهید اندازه هر زاویه خارجی برابر با مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور آن است.", + "steps": [ + "مجموع زوایای داخلی مثلث برابر 180 درجه است.", + "زاویه خارجی برابر است با 180 درجه منهای زاویه داخلی مجاورش.", + "بنابراین زاویه خارجی = زاویه داخلی غیر مجاور اول + زاویه داخلی غیر مجاور دوم. این رابطه از مجموع زوایای مثلث و تعریف زاویه خارجی نتیجه می‌شود.", + "✅ جواب: در مثلث ABC، زاویه خارجی در رأس A برابر 180°−A است و چون A+B+C=180°، پس 180°−A = B+C." + ] }, { "title": "اثبات خواص مستطیل", - "introText": "۱. فرض کنید شکل مستطیل است.\n۲. خواص مستطیل را بررسی کنید: زوایای داخلی ۹۰ درجه، اضلاع مقابل برابر و موازی.\n۳. اثبات کنید که قطرها برابر هستند.\n۴. از خواص موازی بودن و برابر بودن اضلاع استفاده کنید." + "introText": "۱. فرض کنید شکل مستطیل است.\n۲. خواص مستطیل را بررسی کنید: زوایای داخلی ۹۰ درجه، اضلاع مقابل برابر و موازی.\n۳. اثبات کنید که قطرها برابر هستند.\n۴. از خواص موازی بودن و برابر بودن اضلاع استفاده کنید.", + "example": "فرض: ABCD مستطیل است. اثبات کنید که قطرهای مستطیل برابر هستند. همچنین نشان دهید که زاویه A برابر 90 درجه است، و AB برابر CD، AD برابر BC، و AB موازی CD، AD موازی BC.", + "steps": [ + "از تعریف مستطیل داریم که همه زوایا قائمه هستند، پس زاویه A = 90 درجه.", + "اضلاع مقابل برابرند: AB = CD و AD = BC.", + "اضلاع مقابل موازی هستند: AB || CD و AD || BC. قطرها AC و BD مثلث‌های قائم‌الزاویه را تشکیل می‌دهند. با استفاده از قضیه فیثاغورس: AC = √(AB² + BC²) و BD = √(AD² + DC²). چون AB = DC و AD = BC، پس AC = BD. بنابراین قطرهای مستطیل برابرند." + ] }, { "title": "اثبات تساوی مثلث‌ها", - "introText": "۱. فرض کنید دو مثلث داده شده‌اند.\n۲. زوایای برابر را مشخص کنید.\n۳. از قضیه تساوی مثلث‌ها استفاده کنید.\n۴. اثبات کنید که دو مثلث برابر هستند." + "introText": "۱. فرض کنید دو مثلث داده شده‌اند.\n۲. زوایای برابر را مشخص کنید.\n۳. از قضیه تساوی مثلث‌ها استفاده کنید.\n۴. اثبات کنید که دو مثلث برابر هستند.", + "example": "در دو مثلث ABC و DEF، زاویه‌های B و E برابر هستند و زاویه‌های A و D نیز برابرند. ثابت کنید زاویه‌های سوم یعنی زاویه C و F نیز برابرند.", + "steps": [ + "مجموع زوایای هر مثلث برابر 180 درجه است.", + "در مثلث ABC: زاویه A + زاویه B + زاویه C = 180 درجه.", + "در مثلث DEF: زاویه D + زاویه E + زاویه F = 180 درجه. با توجه به برابری زاویه‌های A و D و همچنین B و E، داریم: زاویه A + زاویه B = زاویه D + زاویه E. بنابراین زاویه C = 180 - (زاویه A + زاویه B) و زاویه F = 180 - (زاویه D + زاویه E). چون زاویه A + زاویه B = زاویه D + زاویه E، پس زاویه C = زاویه F.", + "✅ جواب: بله، زاویه‌های C و F برابرند." + ] }, { "title": "اثبات هم‌نهشتی مثلث‌ها", - "introText": "۱. فرضیات مسئله را بنویسید. ۲. از قضایای هم‌نهشتی مثلث‌ها استفاده کنید. ۳. با استفاده از هم‌نهشتی، نتیجه‌گیری کنید." + "introText": "۱. فرضیات مسئله را بنویسید. ۲. از قضایای هم‌نهشتی مثلث‌ها استفاده کنید. ۳. با استفاده از هم‌نهشتی، نتیجه‌گیری کنید.", + "example": "در دو مثلث ABC و DEF، زاویه‌های B و E برابر هستند و زاویه‌های A و D نیز برابرند. ثابت کنید زاویه‌های سوم یعنی زاویه C و F نیز برابرند.", + "steps": [ + "مجموع زوایای هر مثلث برابر 180 درجه است.", + "در مثلث ABC: زاویه A + زاویه B + زاویه C = 180 درجه.", + "در مثلث DEF: زاویه D + زاویه E + زاویه F = 180 درجه. با توجه به برابری زاویه‌های A و D و همچنین B و E، داریم: زاویه A + زاویه B = زاویه D + زاویه E. بنابراین زاویه C = 180 - (زاویه A + زاویه B) و زاویه F = 180 - (زاویه D + زاویه E). چون زاویه A + زاویه B = زاویه D + زاویه E، پس زاویه C = زاویه F.", + "✅ جواب: بله، زاویه‌های C و F برابرند." + ] }, { "title": "اثبات میانه بودن خط", - "introText": "۱. فرضیات مسئله را بنویسید. ۲. نشان دهید که نقطه مورد نظر وسط ضلع است. ۳. با استفاده از خواص میانه، نتیجه‌گیری کنید." + "introText": "۱. فرضیات مسئله را بنویسید. ۲. نشان دهید که نقطه مورد نظر وسط ضلع است. ۳. با استفاده از خواص میانه، نتیجه‌گیری کنید.", + "example": "در مثلث متساوی‌الساقین ABC با ساق‌های برابر AB و AC، خط AD نیمساز زاویه A است. ثابت کنید نقطه D وسط ضلع BC است.", + "steps": [ + "فرض: AB = AC و AD نیمساز زاویه A است.", + "استدلال: در مثلث ABD و ACD، AB = AC (ساق‌های برابر)، زاویه‌های Â1 = Â2 (نیمساز) و AD مشترک است.", + "نتیجه: مثلث ABD هم‌نهشت مثلث ACD است، پس BD = DC و نقطه D وسط BC است.", + "✅ جواب: مثلث‌های ABD و ACD با SAS (AB=AC، زاویه A1=A2، AD مشترک) هم‌نهشت‌اند، پس BD=DC." + ] }, { "title": "اثبات ویژگی‌های مثلث", - "introText": "۱. شناسایی مثلث و زوایای داخلی آن.\n۲. استفاده از قضیه مجموع زوایای داخلی مثلث که برابر ۱۸۰ درجه است.\n۳. بررسی و اثبات با استفاده از زوایای داده شده یا محاسبه شده." + "introText": "۱. شناسایی مثلث و زوایای داخلی آن.\n۲. استفاده از قضیه مجموع زوایای داخلی مثلث که برابر ۱۸۰ درجه است.\n۳. بررسی و اثبات با استفاده از زوایای داده شده یا محاسبه شده.", + "example": "در دو مثلث ABC و DEF، زاویه‌های B و E برابر هستند و زاویه‌های A و D نیز برابرند. ثابت کنید زاویه‌های سوم یعنی زاویه C و F نیز برابرند.", + "steps": [ + "مجموع زوایای هر مثلث برابر 180 درجه است.", + "در مثلث ABC: زاویه A + زاویه B + زاویه C = 180 درجه.", + "در مثلث DEF: زاویه D + زاویه E + زاویه F = 180 درجه. با توجه به برابری زاویه‌های A و D و همچنین B و E، داریم: زاویه A + زاویه B = زاویه D + زاویه E. بنابراین زاویه C = 180 - (زاویه A + زاویه B) و زاویه F = 180 - (زاویه D + زاویه E). چون زاویه A + زاویه B = زاویه D + زاویه E، پس زاویه C = زاویه F.", + "✅ جواب: بله، زاویه‌های C و F برابرند." + ] }, { "title": "اثبات نقطه روی عمودمنصف", - "introText": "۱. شناسایی نقطه و خط عمودمنصف.\n۲. بررسی فاصله نقطه از دو سر خط.\n۳. اثبات برابری فاصله‌ها برای قرارگیری نقطه روی عمودمنصف." + "introText": "۱. شناسایی نقطه و خط عمودمنصف.\n۲. بررسی فاصله نقطه از دو سر خط.\n۳. اثبات برابری فاصله‌ها برای قرارگیری نقطه روی عمودمنصف.", + "example": "در مثلث متساوی‌الساقین ABC با ساق‌های برابر AB و AC، خط AD نیمساز زاویه A است. ثابت کنید نقطه D وسط ضلع BC است.", + "steps": [ + "فرض: AB = AC و AD نیمساز زاویه A است.", + "استدلال: در مثلث ABD و ACD، AB = AC (ساق‌های برابر)، زاویه‌های Â1 = Â2 (نیمساز) و AD مشترک است.", + "نتیجه: مثلث ABD هم‌نهشت مثلث ACD است، پس BD = DC و نقطه D وسط BC است.", + "✅ جواب: مثلث‌های ABD و ACD با SAS (AB=AC، زاویه A1=A2، AD مشترک) هم‌نهشت‌اند، پس BD=DC." + ] }, { "title": "اثبات زوایای مساوی", - "introText": "۱. شناسایی خطوط موازی و خط قطع‌کننده.\n۲. تعیین زوایای متناظر و متقابل.\n۳. استفاده از خواص زوایای متناظر و متقابل برای اثبات تساوی زوایا.\n۴. نوشتن معادله زوایا و حل آن." + "introText": "۱. شناسایی خطوط موازی و خط قطع‌کننده.\n۲. تعیین زوایای متناظر و متقابل.\n۳. استفاده از خواص زوایای متناظر و متقابل برای اثبات تساوی زوایا.\n۴. نوشتن معادله زوایا و حل آن.", + "example": "در هر مثلث، نشان دهید اندازه هر زاویه خارجی برابر با مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور آن است.", + "steps": [ + "مجموع زوایای داخلی مثلث برابر 180 درجه است.", + "زاویه خارجی برابر است با 180 درجه منهای زاویه داخلی مجاورش.", + "بنابراین زاویه خارجی = زاویه داخلی غیر مجاور اول + زاویه داخلی غیر مجاور دوم. این رابطه از مجموع زوایای مثلث و تعریف زاویه خارجی نتیجه می‌شود.", + "✅ جواب: در مثلث ABC، زاویه خارجی در رأس A برابر 180°−A است و چون A+B+C=180°، پس 180°−A = B+C." + ] }, { "title": "اثبات زوایای متقابل به رأس", - "introText": "فرض کنید دو زاویه متقابل به رأس داریم. مجموع زوایای متقابل به رأس برابر ۱۸۰ درجه است. با استفاده از این خاصیت، می‌توانیم اثبات کنیم که زوایای متقابل به رأس برابرند." + "introText": "فرض کنید دو زاویه متقابل به رأس داریم. مجموع زوایای متقابل به رأس برابر ۱۸۰ درجه است. با استفاده از این خاصیت، می‌توانیم اثبات کنیم که زوایای متقابل به رأس برابرند.", + "example": "در هر مثلث، نشان دهید اندازه هر زاویه خارجی برابر با مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور آن است.", + "steps": [ + "مجموع زوایای داخلی مثلث برابر 180 درجه است.", + "زاویه خارجی برابر است با 180 درجه منهای زاویه داخلی مجاورش.", + "بنابراین زاویه خارجی = زاویه داخلی غیر مجاور اول + زاویه داخلی غیر مجاور دوم. این رابطه از مجموع زوایای مثلث و تعریف زاویه خارجی نتیجه می‌شود.", + "✅ جواب: در مثلث ABC، زاویه خارجی در رأس A برابر 180°−A است و چون A+B+C=180°، پس 180°−A = B+C." + ] }, { "title": "تشخیص چندضلعی‌های محدب و مقعر", @@ -371,7 +669,14 @@ }, { "title": "اثبات فاصله نقطه از یک خط", - "introText": "برای اثبات فاصله نقطه از یک خط، باید نشان دهید که فاصله نقطه از خط برابر است با طول پاره‌خطی که از آن نقطه به خط عمود می‌شود." + "introText": "برای اثبات فاصله نقطه از یک خط، باید نشان دهید که فاصله نقطه از خط برابر است با طول پاره‌خطی که از آن نقطه به خط عمود می‌شود.", + "example": "در مثلث متساوی‌الساقین ABC با ساق‌های برابر AB و AC، خط AD نیمساز زاویه A است. ثابت کنید نقطه D وسط ضلع BC است.", + "steps": [ + "فرض: AB = AC و AD نیمساز زاویه A است.", + "استدلال: در مثلث ABD و ACD، AB = AC (ساق‌های برابر)، زاویه‌های Â1 = Â2 (نیمساز) و AD مشترک است.", + "نتیجه: مثلث ABD هم‌نهشت مثلث ACD است، پس BD = DC و نقطه D وسط BC است.", + "✅ جواب: مثلث‌های ABD و ACD با SAS (AB=AC، زاویه A1=A2، AD مشترک) هم‌نهشت‌اند، پس BD=DC." + ] } ] }, @@ -381,31 +686,94 @@ "lessons": [ { "title": "تشخیص مثلث‌های هم‌نهشت", - "introText": "۱. بررسی کنید که آیا دو مثلث دارای سه ضلع مساوی هستند یا خیر.\n۲. بررسی کنید که آیا دو مثلث دارای دو ضلع و زاویه بین آنها مساوی هستند یا خیر.\n۳. بررسی کنید که آیا دو مثلث دارای دو زاویه و ضلع بین آنها مساوی هستند یا خیر.\n۴. اگر هر یک از شرایط بالا برقرار بود، مثلث‌ها هم‌نهشت هستند." + "introText": "۱. بررسی کنید که آیا دو مثلث دارای سه ضلع مساوی هستند یا خیر.\n۲. بررسی کنید که آیا دو مثلث دارای دو ضلع و زاویه بین آنها مساوی هستند یا خیر.\n۳. بررسی کنید که آیا دو مثلث دارای دو زاویه و ضلع بین آنها مساوی هستند یا خیر.\n۴. اگر هر یک از شرایط بالا برقرار بود، مثلث‌ها هم‌نهشت هستند.", + "example": "در مثلث متساوی الساقین ABC، میانه AM را رسم کرده‌ایم. مثلث‌های AMB و AMC به چه حالتی هم‌نهشت‌اند؟ چرا AM نیمساز زاویه A است؟ چرا AM بر BC عمود است؟", + "steps": [ + "در مثلث متساوی الساقین ABC، دو ضلع AB و AC برابرند.", + "AM میانه است، پس M نقطه وسط BC است.", + "مثلث‌های AMB و AMC را بررسی می‌کنیم.", + "AB = AC (متساوی الساقین)، BM = MC (چون M وسط BC است) و AM ضلع مشترک است.", + "بنابراین مثلث‌های AMB و AMC بر اساس معیار ضلع-ضلع-ضلع هم‌نهشت‌اند.", + "✅ جواب: مثلث‌های AMB و AMC با سه ضلع برابر هم‌نهشت‌اند. از آن نتیجه می‌شود که زوایای BAM و CAM برابر (نیمساز) و زوایای AMB و AMC برابر و مجموعاً ۱۸۰° (عمود) هستند." + ] }, { "title": "تعیین اندازه‌های مجهول در مثلث‌های هم‌نهشت", - "introText": "۱. مثلث‌های هم‌نهشت را شناسایی کنید.\n۲. اندازه‌های مشخص شده را با استفاده از هم‌نهشتی مثلث‌ها برابر قرار دهید.\n۳. از روابط هندسی و هم‌نهشتی برای تعیین اندازه‌های مجهول استفاده کنید." + "introText": "۱. مثلث‌های هم‌نهشت را شناسایی کنید.\n۲. اندازه‌های مشخص شده را با استفاده از هم‌نهشتی مثلث‌ها برابر قرار دهید.\n۳. از روابط هندسی و هم‌نهشتی برای تعیین اندازه‌های مجهول استفاده کنید.", + "example": "در مثلث متساوی الساقین ABC، میانه AM را رسم کرده‌ایم. مثلث‌های AMB و AMC به چه حالتی هم‌نهشت‌اند؟ چرا AM نیمساز زاویه A است؟ چرا AM بر BC عمود است؟", + "steps": [ + "در مثلث متساوی الساقین ABC، دو ضلع AB و AC برابرند.", + "AM میانه است، پس M نقطه وسط BC است.", + "مثلث‌های AMB و AMC را بررسی می‌کنیم.", + "AB = AC (متساوی الساقین)، BM = MC (چون M وسط BC است) و AM ضلع مشترک است.", + "بنابراین مثلث‌های AMB و AMC بر اساس معیار ضلع-ضلع-ضلع هم‌نهشت‌اند.", + "✅ جواب: مثلث‌های AMB و AMC با سه ضلع برابر هم‌نهشت‌اند. از آن نتیجه می‌شود که زوایای BAM و CAM برابر (نیمساز) و زوایای AMB و AMC برابر و مجموعاً ۱۸۰° (عمود) هستند." + ] }, { "title": "اثبات تساوی قطعات", - "introText": "۱. فرضیات مسئله را بنویسید.\n۲. از قضیه‌های هندسی مانند تساوی زاویه‌ها یا تساوی قطعات استفاده کنید.\n۳. با استفاده از هم‌نهشتی مثلث‌ها، تساوی قطعات را اثبات کنید." + "introText": "۱. فرضیات مسئله را بنویسید.\n۲. از قضیه‌های هندسی مانند تساوی زاویه‌ها یا تساوی قطعات استفاده کنید.\n۳. با استفاده از هم‌نهشتی مثلث‌ها، تساوی قطعات را اثبات کنید.", + "example": "در مثلث متساوی الساقین ABC، میانه AM را رسم کرده‌ایم. مثلث‌های AMB و AMC به چه حالتی هم‌نهشت‌اند؟ چرا AM نیمساز زاویه A است؟ چرا AM بر BC عمود است؟", + "steps": [ + "در مثلث متساوی الساقین ABC، دو ضلع AB و AC برابرند.", + "AM میانه است، پس M نقطه وسط BC است.", + "مثلث‌های AMB و AMC را بررسی می‌کنیم.", + "AB = AC (متساوی الساقین)، BM = MC (چون M وسط BC است) و AM ضلع مشترک است.", + "بنابراین مثلث‌های AMB و AMC بر اساس معیار ضلع-ضلع-ضلع هم‌نهشت‌اند.", + "✅ جواب: مثلث‌های AMB و AMC با سه ضلع برابر هم‌نهشت‌اند. از آن نتیجه می‌شود که زوایای BAM و CAM برابر (نیمساز) و زوایای AMB و AMC برابر و مجموعاً ۱۸۰° (عمود) هستند." + ] }, { "title": "اثبات هم‌نهشتی مثلث‌ها", - "introText": "۱. شناسایی مثلث‌های مورد نظر. ۲. بررسی شرایط هم‌نهشتی (SSS، SAS، ASA، AAS). ۳. استفاده از قضایای هندسی برای اثبات هم‌نهشتی. ۴. نوشتن نتیجه‌گیری." + "introText": "۱. شناسایی مثلث‌های مورد نظر. ۲. بررسی شرایط هم‌نهشتی (SSS، SAS، ASA، AAS). ۳. استفاده از قضایای هندسی برای اثبات هم‌نهشتی. ۴. نوشتن نتیجه‌گیری.", + "example": "در مثلث متساوی الساقین ABC، میانه AM را رسم کرده‌ایم. مثلث‌های AMB و AMC به چه حالتی هم‌نهشت‌اند؟ چرا AM نیمساز زاویه A است؟ چرا AM بر BC عمود است؟", + "steps": [ + "در مثلث متساوی الساقین ABC، دو ضلع AB و AC برابرند.", + "AM میانه است، پس M نقطه وسط BC است.", + "مثلث‌های AMB و AMC را بررسی می‌کنیم.", + "AB = AC (متساوی الساقین)، BM = MC (چون M وسط BC است) و AM ضلع مشترک است.", + "بنابراین مثلث‌های AMB و AMC بر اساس معیار ضلع-ضلع-ضلع هم‌نهشت‌اند.", + "✅ جواب: مثلث‌های AMB و AMC با سه ضلع برابر هم‌نهشت‌اند. از آن نتیجه می‌شود که زوایای BAM و CAM برابر (نیمساز) و زوایای AMB و AMC برابر و مجموعاً ۱۸۰° (عمود) هستند." + ] }, { "title": "اثبات توازی و نیمساز", - "introText": "۱. فرض کنید دو قطر در یک چهارضلعی همدیگر را نصف می‌کنند. ۲. نشان دهید که هر دو قطر با هم برابرند. ۳. نتیجه بگیرید که چهارضلعی مستطیل است." + "introText": "۱. فرض کنید دو قطر در یک چهارضلعی همدیگر را نصف می‌کنند. ۲. نشان دهید که هر دو قطر با هم برابرند. ۳. نتیجه بگیرید که چهارضلعی مستطیل است.", + "example": "در مثلث متساوی الساقین ABC، میانه AM را رسم کرده‌ایم. مثلث‌های AMB و AMC به چه حالتی هم‌نهشت‌اند؟ چرا AM نیمساز زاویه A است؟ چرا AM بر BC عمود است؟", + "steps": [ + "در مثلث متساوی الساقین ABC، دو ضلع AB و AC برابرند.", + "AM میانه است، پس M نقطه وسط BC است.", + "مثلث‌های AMB و AMC را بررسی می‌کنیم.", + "AB = AC (متساوی الساقین)، BM = MC (چون M وسط BC است) و AM ضلع مشترک است.", + "بنابراین مثلث‌های AMB و AMC بر اساس معیار ضلع-ضلع-ضلع هم‌نهشت‌اند.", + "✅ جواب: مثلث‌های AMB و AMC با سه ضلع برابر هم‌نهشت‌اند. از آن نتیجه می‌شود که زوایای BAM و CAM برابر (نیمساز) و زوایای AMB و AMC برابر و مجموعاً ۱۸۰° (عمود) هستند." + ] }, { "title": "اثبات عمود بودن", - "introText": "۱. میانه مثلث را رسم کنید. ۲. نشان دهید که زاویه بین میانه و ضلع مقابل ۹۰ درجه است." + "introText": "۱. میانه مثلث را رسم کنید. ۲. نشان دهید که زاویه بین میانه و ضلع مقابل ۹۰ درجه است.", + "example": "در مثلث متساوی الساقین ABC، میانه AM را رسم کرده‌ایم. مثلث‌های AMB و AMC به چه حالتی هم‌نهشت‌اند؟ چرا AM نیمساز زاویه A است؟ چرا AM بر BC عمود است؟", + "steps": [ + "در مثلث متساوی الساقین ABC، دو ضلع AB و AC برابرند.", + "AM میانه است، پس M نقطه وسط BC است.", + "مثلث‌های AMB و AMC را بررسی می‌کنیم.", + "AB = AC (متساوی الساقین)، BM = MC (چون M وسط BC است) و AM ضلع مشترک است.", + "بنابراین مثلث‌های AMB و AMC بر اساس معیار ضلع-ضلع-ضلع هم‌نهشت‌اند.", + "✅ جواب: مثلث‌های AMB و AMC با سه ضلع برابر هم‌نهشت‌اند. از آن نتیجه می‌شود که زوایای BAM و CAM برابر (نیمساز) و زوایای AMB و AMC برابر و مجموعاً ۱۸۰° (عمود) هستند." + ] }, { "title": "اثبات تساوی مماس‌ها", - "introText": "۱. از نقطه‌ای خارج از دایره، دو مماس به دایره رسم کنید. ۲. نشان دهید که طول این دو مماس برابر است." + "introText": "۱. از نقطه‌ای خارج از دایره، دو مماس به دایره رسم کنید. ۲. نشان دهید که طول این دو مماس برابر است.", + "example": "در مثلث متساوی الساقین ABC، میانه AM را رسم کرده‌ایم. مثلث‌های AMB و AMC به چه حالتی هم‌نهشت‌اند؟ چرا AM نیمساز زاویه A است؟ چرا AM بر BC عمود است؟", + "steps": [ + "در مثلث متساوی الساقین ABC، دو ضلع AB و AC برابرند.", + "AM میانه است، پس M نقطه وسط BC است.", + "مثلث‌های AMB و AMC را بررسی می‌کنیم.", + "AB = AC (متساوی الساقین)، BM = MC (چون M وسط BC است) و AM ضلع مشترک است.", + "بنابراین مثلث‌های AMB و AMC بر اساس معیار ضلع-ضلع-ضلع هم‌نهشت‌اند.", + "✅ جواب: مثلث‌های AMB و AMC با سه ضلع برابر هم‌نهشت‌اند. از آن نتیجه می‌شود که زوایای BAM و CAM برابر (نیمساز) و زوایای AMB و AMC برابر و مجموعاً ۱۸۰° (عمود) هستند." + ] } ] }, @@ -419,11 +787,29 @@ }, { "title": "اثبات تساوی وترها و کمان‌ها", - "introText": "۱. فرض مسئله را مشخص کنید.\n۲. از قضیه‌های هندسی و ویژگی‌های مثلث‌ها استفاده کنید.\n۳. با استفاده از هم‌نهشتی مثلث‌ها، تساوی وترها و کمان‌ها را اثبات کنید." + "introText": "۱. فرض مسئله را مشخص کنید.\n۲. از قضیه‌های هندسی و ویژگی‌های مثلث‌ها استفاده کنید.\n۳. با استفاده از هم‌نهشتی مثلث‌ها، تساوی وترها و کمان‌ها را اثبات کنید.", + "example": "در مثلث متساوی‌الساقین ABC که AB = AC است، نقطه M روی نیمساز زاویه رأس A قرار دارد. نشان دهید فاصله‌های MB و MC برابرند.", + "steps": [ + "مثلث ABC را در نظر بگیرید که AB = AC است.", + "نیمساز زاویه رأس A را رسم کنید و نقطه M روی آن قرار دارد.", + "مثلث‌های AMB و AMC را بررسی کنید.", + "زاویه‌های BAM و CAM برابرند زیرا M روی نیمساز زاویه A است.", + "AB = AC داده شده است.", + "ضلع AM در هر دو مثلث مشترک است. بنابراین مثلث‌های AMB و AMC از نظر دو ضلع و زاویه بین آن‌ها برابرند. نتیجه می‌گیریم که MB = MC." + ] }, { "title": "اثبات تساوی قطعات خطی", - "introText": "۱. شناسایی قطعات خطی موازی یا متساوی. ۲. استفاده از خواص مثلث‌ها یا چهارضلعی‌ها. ۳. استفاده از تساوی قطعات خطی برای اثبات." + "introText": "۱. شناسایی قطعات خطی موازی یا متساوی. ۲. استفاده از خواص مثلث‌ها یا چهارضلعی‌ها. ۳. استفاده از تساوی قطعات خطی برای اثبات.", + "example": "در مثلث متساوی‌الساقین ABC که AB = AC است، نقطه M روی نیمساز زاویه رأس A قرار دارد. نشان دهید فاصله‌های MB و MC برابرند.", + "steps": [ + "مثلث ABC را در نظر بگیرید که AB = AC است.", + "نیمساز زاویه رأس A را رسم کنید و نقطه M روی آن قرار دارد.", + "مثلث‌های AMB و AMC را بررسی کنید.", + "زاویه‌های BAM و CAM برابرند زیرا M روی نیمساز زاویه A است.", + "AB = AC داده شده است.", + "ضلع AM در هر دو مثلث مشترک است. بنابراین مثلث‌های AMB و AMC از نظر دو ضلع و زاویه بین آن‌ها برابرند. نتیجه می‌گیریم که MB = MC." + ] }, { "title": "اثبات موازی بودن قطعات خطی", @@ -435,7 +821,16 @@ }, { "title": "اثبات تساوی پاره‌خط‌ها در مستطیل", - "introText": "۱. مستطیل ABCD را در نظر بگیرید.\n۲. پاره‌خط‌های AF و BE را رسم کنید.\n۳. نشان دهید که زاویه‌های A و B برابرند.\n۴. با استفاده از خواص مستطیل و زاویه‌های مساوی، اثبات کنید که AF = BE." + "introText": "۱. مستطیل ABCD را در نظر بگیرید.\n۲. پاره‌خط‌های AF و BE را رسم کنید.\n۳. نشان دهید که زاویه‌های A و B برابرند.\n۴. با استفاده از خواص مستطیل و زاویه‌های مساوی، اثبات کنید که AF = BE.", + "example": "در مثلث متساوی‌الساقین ABC که AB = AC است، نقطه M روی نیمساز زاویه رأس A قرار دارد. نشان دهید فاصله‌های MB و MC برابرند.", + "steps": [ + "مثلث ABC را در نظر بگیرید که AB = AC است.", + "نیمساز زاویه رأس A را رسم کنید و نقطه M روی آن قرار دارد.", + "مثلث‌های AMB و AMC را بررسی کنید.", + "زاویه‌های BAM و CAM برابرند زیرا M روی نیمساز زاویه A است.", + "AB = AC داده شده است.", + "ضلع AM در هر دو مثلث مشترک است. بنابراین مثلث‌های AMB و AMC از نظر دو ضلع و زاویه بین آن‌ها برابرند. نتیجه می‌گیریم که MB = MC." + ] }, { "title": "اثبات تساوی فاصله‌ها در مثلث متساوی‌الساقین", @@ -465,11 +860,29 @@ }, { "title": "تشابه مستطیل‌ها", - "introText": "برای بررسی تشابه دو مستطیل، نسبت طول به عرض هر مستطیل را محاسبه کنید. اگر این نسبت‌ها برابر باشند، مستطیل‌ها مشابه‌اند." + "introText": "برای بررسی تشابه دو مستطیل، نسبت طول به عرض هر مستطیل را محاسبه کنید. اگر این نسبت‌ها برابر باشند، مستطیل‌ها مشابه‌اند.", + "example": "از مستطیل‌های زیر کدام با هم مشابه‌اند؟ چرا؟ آیا دو مستطیل دلخواه با هم مشابه‌اند؟ مستطیل شماره ۱ با طول ۷ واحد و عرض ۲ واحد، مستطیل شماره ۲ با طول ۴ واحد و عرض ۲ واحد، و مستطیل شماره ۳ با طول ۳ واحد و عرض ۱ واحد.", + "steps": [ + "نسبت طول به عرض مستطیل ۱ برابر 7/2 = 3.5 است.", + "نسبت طول به عرض مستطیل ۲ برابر 4/2 = 2 است.", + "نسبت طول به عرض مستطیل ۳ برابر 3/1 = 3 است.", + "چون هیچ‌کدام از این نسبت‌ها برابر نیستند، هیچ‌کدام از این مستطیل‌ها با هم مشابه نیستند.", + "بنابراین، دو مستطیل دلخواه زمانی مشابه‌اند که نسبت طول به عرض آن‌ها برابر باشد.", + "✅ جواب: هیچ‌کدام مشابه نیستند چون نسبت طول به عرض متفاوت است." + ] }, { "title": "تشابه مثلث‌ها", - "introText": "برای بررسی تشابه دو مثلث، نسبت اضلاع متناظر را محاسبه کنید و بررسی کنید که آیا این نسبت‌ها برابرند. همچنین، زوایای متناظر باید برابر باشند." + "introText": "برای بررسی تشابه دو مثلث، نسبت اضلاع متناظر را محاسبه کنید و بررسی کنید که آیا این نسبت‌ها برابرند. همچنین، زوایای متناظر باید برابر باشند.", + "example": "در صفحه مختصات، نقاط مثلث ABC به ترتیب A(2,1)، B(0,0)، C(3,0) و مثلث A'B'C' به ترتیب A'(3,2)، B'(3,6)، C'(7,2) داده شده‌اند. طول ضلع‌های دو مثلث را بنویسید و تشابه آنها را بررسی کنید. در صورت متشابه بودن، نسبت تشابه را پیدا کنید.", + "steps": [ + "طول اضلاع مثلث ABC را محاسبه می‌کنیم:", + "AB = √((0-2)² + (0-1)²) = √(4 + 1) = √5", + "BC = √((3-0)² + (0-0)²) = √9 = 3", + "AC = √((3-2)² + (0-1)²) = √(1 + 1) = √2", + "طول اضلاع مثلث A'B'C' را محاسبه می‌کنیم:", + "✅ جواب: Not similar" + ] }, { "title": "محاسبه فاصله در مختصات", @@ -481,7 +894,16 @@ }, { "title": "اثبات تشابه مثلث‌ها", - "introText": "۱. بررسی زوایای متناظر و اطمینان از برابری آن‌ها.\n۲. بررسی نسبت اضلاع متناظر و اطمینان از برابری نسبت‌ها.\n۳. استفاده از قضیه تشابه مثلث‌ها برای اثبات تشابه." + "introText": "۱. بررسی زوایای متناظر و اطمینان از برابری آن‌ها.\n۲. بررسی نسبت اضلاع متناظر و اطمینان از برابری نسبت‌ها.\n۳. استفاده از قضیه تشابه مثلث‌ها برای اثبات تشابه.", + "example": "در صفحه مختصات، نقاط مثلث ABC به ترتیب A(2,1)، B(0,0)، C(3,0) و مثلث A'B'C' به ترتیب A'(3,2)، B'(3,6)، C'(7,2) داده شده‌اند. طول ضلع‌های دو مثلث را بنویسید و تشابه آنها را بررسی کنید. در صورت متشابه بودن، نسبت تشابه را پیدا کنید.", + "steps": [ + "طول اضلاع مثلث ABC را محاسبه می‌کنیم:", + "AB = √((0-2)² + (0-1)²) = √(4 + 1) = √5", + "BC = √((3-0)² + (0-0)²) = √9 = 3", + "AC = √((3-2)² + (0-1)²) = √(1 + 1) = √2", + "طول اضلاع مثلث A'B'C' را محاسبه می‌کنیم:", + "✅ جواب: Not similar" + ] } ] } @@ -489,6 +911,7 @@ }, { "title": "فصل ۴: توان و ریشه", + "blurb": "در این فصل: توان صحیح، نماد علمی، ریشه‌گیری و جمع و تفریق رادیکال‌ها.", "order": 4, "nodes": [ { @@ -497,7 +920,11 @@ "lessons": [ { "title": "محاسبه توان منفی", - "introText": "۱. پایه را به توان منفی داده شده ببرید.\n۲. معکوس پایه را محاسبه کنید.\n۳. توان مثبت معکوس را محاسبه کنید." + "introText": "۱. پایه را به توان منفی داده شده ببرید.\n۲. معکوس پایه را محاسبه کنید.\n۳. توان مثبت معکوس را محاسبه کنید.", + "example": "عدد 5 به توان منفی 2 را به صورت عددی با توان مثبت بنویسید.", + "steps": [ + "5⁻2 = 1 / 5² = 1 / 25" + ] }, { "title": "محاسبه توان صفر", @@ -513,15 +940,27 @@ }, { "title": "توان منفی", - "introText": "برای هر عدد a و توان منفی n، داریم: a^(-n) = 1/a^n" + "introText": "برای هر عدد a و توان منفی n، داریم: a^(-n) = 1/a^n", + "example": "عدد 5 به توان منفی 2 را به صورت عددی با توان مثبت بنویسید.", + "steps": [ + "5⁻2 = 1 / 5² = 1 / 25" + ] }, { "title": "نوشتن به صورت توان", - "introText": "عبارت‌های داده شده را به صورت توان‌های پایه‌های مشترک بنویسید." + "introText": "عبارت‌های داده شده را به صورت توان‌های پایه‌های مشترک بنویسید.", + "example": "عدد 5 به توان منفی 2 را به صورت عددی با توان مثبت بنویسید.", + "steps": [ + "5⁻2 = 1 / 5² = 1 / 25" + ] }, { "title": "محاسبه توان", - "introText": "۱. پایه و توان را شناسایی کنید.\n۲. قوانین توان را اعمال کنید (مانند a^m * a^n = a^(m+n)).\n۳. محاسبات را انجام دهید تا به جواب نهایی برسید." + "introText": "۱. پایه و توان را شناسایی کنید.\n۲. قوانین توان را اعمال کنید (مانند a^m * a^n = a^(m+n)).\n۳. محاسبات را انجام دهید تا به جواب نهایی برسید.", + "example": "عدد 5 به توان منفی 2 را به صورت عددی با توان مثبت بنویسید.", + "steps": [ + "5⁻2 = 1 / 5² = 1 / 25" + ] }, { "title": "تشخیص پاسخ صحیح", @@ -529,15 +968,27 @@ }, { "title": "مقایسه اعداد با توان", - "introText": "۱. اعداد را به صورت توان دار بنویسید.\n۲. اگر پایه‌ها برابر باشند، توان‌ها را مقایسه کنید.\n۳. اگر توان‌ها برابر باشند، پایه‌ها را مقایسه کنید.\n۴. علامت مناسب را قرار دهید." + "introText": "۱. اعداد را به صورت توان دار بنویسید.\n۲. اگر پایه‌ها برابر باشند، توان‌ها را مقایسه کنید.\n۳. اگر توان‌ها برابر باشند، پایه‌ها را مقایسه کنید.\n۴. علامت مناسب را قرار دهید.", + "example": "عدد 5 به توان منفی 2 را به صورت عددی با توان مثبت بنویسید.", + "steps": [ + "5⁻2 = 1 / 5² = 1 / 25" + ] }, { "title": "محاسبه حاصل عبارات توان دار", - "introText": "۱. عبارات را به صورت توان دار بنویسید.\n۲. قوانین توان‌ها را اعمال کنید (مانند a^m × a^n = a^(m+n)).\n۳. حاصل را محاسبه کنید." + "introText": "۱. عبارات را به صورت توان دار بنویسید.\n۲. قوانین توان‌ها را اعمال کنید (مانند a^m × a^n = a^(m+n)).\n۳. حاصل را محاسبه کنید.", + "example": "عدد 5 به توان منفی 2 را به صورت عددی با توان مثبت بنویسید.", + "steps": [ + "5⁻2 = 1 / 5² = 1 / 25" + ] }, { "title": "ترتیب اعداد توان دار", - "introText": "۱. اعداد را به صورت توان دار بنویسید.\n۲. مقایسه اعداد را با توجه به توان‌ها و پایه‌ها انجام دهید.\n۳. اعداد را از کوچک به بزرگ مرتب کنید." + "introText": "۱. اعداد را به صورت توان دار بنویسید.\n۲. مقایسه اعداد را با توجه به توان‌ها و پایه‌ها انجام دهید.\n۳. اعداد را از کوچک به بزرگ مرتب کنید.", + "example": "عدد 5 به توان منفی 2 را به صورت عددی با توان مثبت بنویسید.", + "steps": [ + "5⁻2 = 1 / 5² = 1 / 25" + ] } ] }, @@ -547,27 +998,74 @@ "lessons": [ { "title": "محاسبه با نماد علمی", - "introText": "۱. عدد را به صورت نماد علمی بنویسید. ۲. اعداد را ضرب یا تقسیم کنید. ۳. توان‌ها را جمع یا تفریق کنید. ۴. نتیجه را به صورت نماد علمی بنویسید." + "introText": "۱. عدد را به صورت نماد علمی بنویسید. ۲. اعداد را ضرب یا تقسیم کنید. ۳. توان‌ها را جمع یا تفریق کنید. ۴. نتیجه را به صورت نماد علمی بنویسید.", + "example": "سرعت نور ۳۰۰۰۰۰۰۰۰ متر بر ثانیه است. فاصله‌ای که نور در ۱۰۰ ساعت می‌پیماید، چند متر است؟ راه حل این مسئله در تصویر داده شده است. آن را کامل کنید و توضیح دهید که پاسخ چگونه به دست آمده است.", + "steps": [ + "سرعت نور = ۳ × ۱۰⁸ متر بر ثانیه", + "زمان = ۱۰۰ ساعت = ۳۶۰۰۰۰ ثانیه", + "فاصله = سرعت × زمان = ۳ × ۱۰⁸ × ۳۶۰۰۰۰", + "= ۳ × ۱۰⁸ × ۳/۶ × ۱۰⁵ (نوشتن ۳۶۰۰۰۰ به صورت ۳/۶ × ۱۰⁵)", + "= ۱۰/۸ × ۱۰¹³ (ضرب اعداد و جمع توان‌ها)", + "= ۱/۰۸ × ۱۰¹⁴ (مرتب کردن به صورت نماد علمی) بنابراین فاصله‌ای که نور در ۱۰۰ ساعت می‌پیماید برابر است با ۱/۰۸ × ۱۰¹⁴ متر." + ] }, { "title": "نمایش اعداد به صورت نماد علمی", - "introText": "۱. عدد را به صورت a × ۱۰^n بنویسید، به طوری که ۱ ≤ a < ۱۰ باشد.\n۲. تعداد ارقام بعد از اولین رقم غیر صفر را به عنوان n در نظر بگیرید.\n۳. اگر عدد اصلی بزرگتر از ۱ باشد، n مثبت است و اگر کوچکتر از ۱ باشد، n منفی است." + "introText": "۱. عدد را به صورت a × ۱۰^n بنویسید، به طوری که ۱ ≤ a < ۱۰ باشد.\n۲. تعداد ارقام بعد از اولین رقم غیر صفر را به عنوان n در نظر بگیرید.\n۳. اگر عدد اصلی بزرگتر از ۱ باشد، n مثبت است و اگر کوچکتر از ۱ باشد، n منفی است.", + "example": "سرعت نور ۳۰۰۰۰۰۰۰۰ متر بر ثانیه است. فاصله‌ای که نور در ۱۰۰ ساعت می‌پیماید، چند متر است؟ راه حل این مسئله در تصویر داده شده است. آن را کامل کنید و توضیح دهید که پاسخ چگونه به دست آمده است.", + "steps": [ + "سرعت نور = ۳ × ۱۰⁸ متر بر ثانیه", + "زمان = ۱۰۰ ساعت = ۳۶۰۰۰۰ ثانیه", + "فاصله = سرعت × زمان = ۳ × ۱۰⁸ × ۳۶۰۰۰۰", + "= ۳ × ۱۰⁸ × ۳/۶ × ۱۰⁵ (نوشتن ۳۶۰۰۰۰ به صورت ۳/۶ × ۱۰⁵)", + "= ۱۰/۸ × ۱۰¹³ (ضرب اعداد و جمع توان‌ها)", + "= ۱/۰۸ × ۱۰¹⁴ (مرتب کردن به صورت نماد علمی) بنابراین فاصله‌ای که نور در ۱۰۰ ساعت می‌پیماید برابر است با ۱/۰۸ × ۱۰¹⁴ متر." + ] }, { "title": "تبدیل نماد علمی به عدد معمولی", - "introText": "۱. عدد a را در ۱۰ به توان n ضرب کنید.\n۲. اگر n مثبت است، نقطه اعشار را به سمت راست حرکت دهید.\n۳. اگر n منفی است، نقطه اعشار را به سمت چپ حرکت دهید." + "introText": "۱. عدد a را در ۱۰ به توان n ضرب کنید.\n۲. اگر n مثبت است، نقطه اعشار را به سمت راست حرکت دهید.\n۳. اگر n منفی است، نقطه اعشار را به سمت چپ حرکت دهید.", + "example": "سرعت نور ۳۰۰۰۰۰۰۰۰ متر بر ثانیه است. فاصله‌ای که نور در ۱۰۰ ساعت می‌پیماید، چند متر است؟ راه حل این مسئله در تصویر داده شده است. آن را کامل کنید و توضیح دهید که پاسخ چگونه به دست آمده است.", + "steps": [ + "سرعت نور = ۳ × ۱۰⁸ متر بر ثانیه", + "زمان = ۱۰۰ ساعت = ۳۶۰۰۰۰ ثانیه", + "فاصله = سرعت × زمان = ۳ × ۱۰⁸ × ۳۶۰۰۰۰", + "= ۳ × ۱۰⁸ × ۳/۶ × ۱۰⁵ (نوشتن ۳۶۰۰۰۰ به صورت ۳/۶ × ۱۰⁵)", + "= ۱۰/۸ × ۱۰¹³ (ضرب اعداد و جمع توان‌ها)", + "= ۱/۰۸ × ۱۰¹⁴ (مرتب کردن به صورت نماد علمی) بنابراین فاصله‌ای که نور در ۱۰۰ ساعت می‌پیماید برابر است با ۱/۰۸ × ۱۰¹⁴ متر." + ] }, { "title": "محاسبه توان", - "introText": "۱. توان‌ها را به صورت جداگانه محاسبه کنید. ۲. نتایج را با هم ترکیب کنید." + "introText": "۱. توان‌ها را به صورت جداگانه محاسبه کنید. ۲. نتایج را با هم ترکیب کنید.", + "example": "عدد 0.000061 را به صورت عدد اعشاری با توان منفی بنویسید.", + "steps": [ + "عدد 0.000061 را به صورت 6.1 × 10^-5 می‌نویسیم، زیرا با جابه‌جایی اعشار 5 رقم به سمت راست، عدد به 6.1 تبدیل می‌شود.", + "بنابراین، نمایش عدد 0.000061 به صورت عدد اعشاری با توان منفی برابر است با 6.1 × 10^-5." + ] }, { "title": "نمایش عدد به صورت نماد علمی", - "introText": "۱. عدد را به صورت عددی بین ۱ و ۱۰ ضرب در توان ۱۰ بنویسید. ۲. توان ۱۰ را بر اساس تعداد جا به جایی اعشار تعیین کنید." + "introText": "۱. عدد را به صورت عددی بین ۱ و ۱۰ ضرب در توان ۱۰ بنویسید. ۲. توان ۱۰ را بر اساس تعداد جا به جایی اعشار تعیین کنید.", + "example": "عدد 2450000 را به صورت نماد علمی نمایش دهید.", + "steps": [ + "ابتدا عدد 2450000 را به صورت 2.45 × 10⁶ می‌نویسیم، زیرا با جابه‌جایی اعشار 6 رقم به سمت چپ، عدد به 2.45 تبدیل می‌شود.", + "بنابراین، نماد علمی عدد 2450000 برابر است با 2.45 × 10⁶.", + "✅ جواب: 2.45 × 10⁶" + ] }, { "title": "مقایسه اعداد در نماد علمی", - "introText": "۱. اعداد را به صورت نماد علمی بنویسید. ۲. ابتدا توان‌های ۱۰ را مقایسه کنید. ۳. در صورت برابر بودن توان‌ها، ضرایب را مقایسه کنید." + "introText": "۱. اعداد را به صورت نماد علمی بنویسید. ۲. ابتدا توان‌های ۱۰ را مقایسه کنید. ۳. در صورت برابر بودن توان‌ها، ضرایب را مقایسه کنید.", + "example": "سرعت نور ۳۰۰۰۰۰۰۰۰ متر بر ثانیه است. فاصله‌ای که نور در ۱۰۰ ساعت می‌پیماید، چند متر است؟ راه حل این مسئله در تصویر داده شده است. آن را کامل کنید و توضیح دهید که پاسخ چگونه به دست آمده است.", + "steps": [ + "سرعت نور = ۳ × ۱۰⁸ متر بر ثانیه", + "زمان = ۱۰۰ ساعت = ۳۶۰۰۰۰ ثانیه", + "فاصله = سرعت × زمان = ۳ × ۱۰⁸ × ۳۶۰۰۰۰", + "= ۳ × ۱۰⁸ × ۳/۶ × ۱۰⁵ (نوشتن ۳۶۰۰۰۰ به صورت ۳/۶ × ۱۰⁵)", + "= ۱۰/۸ × ۱۰¹³ (ضرب اعداد و جمع توان‌ها)", + "= ۱/۰۸ × ۱۰¹⁴ (مرتب کردن به صورت نماد علمی) بنابراین فاصله‌ای که نور در ۱۰۰ ساعت می‌پیماید برابر است با ۱/۰۸ × ۱۰¹⁴ متر." + ] } ] }, @@ -635,7 +1133,11 @@ }, { "title": "جمع و تفریق رادیکال‌ها", - "introText": "۱. بررسی کنید که آیا قسمت‌های رادیکالی یکسان هستند.\n۲. اگر یکسان هستند، ضرایب را جمع یا تفریق کنید.\n۳. اگر یکسان نیستند، نمی‌توان جمع یا تفریق کرد." + "introText": "۱. بررسی کنید که آیا قسمت‌های رادیکالی یکسان هستند.\n۲. اگر یکسان هستند، ضرایب را جمع یا تفریق کنید.\n۳. اگر یکسان نیستند، نمی‌توان جمع یا تفریق کرد.", + "example": "اگر قسمت رادیکالی دو عبارت پس از ساده کردن کاملاً یکسان باشد، می‌توان آنها را با هم جمع یا تفریق کرد؛ مثلاً دو عبارت 3√7 و 7√7 دارای قسمت‌های رادیکالی یکسان هستند. جمع آنها را بیابید.", + "steps": [ + "جمع: 3√7 + 7√7 = (3 + 7)√7 = 10√7" + ] }, { "title": "ساده کردن عبارات رادیکالی", @@ -643,7 +1145,12 @@ }, { "title": "ساده‌سازی عبارات رادیکالی", - "introText": "۱. عبارات رادیکالی مشابه را شناسایی کنید.\n۲. عبارات مشابه را با هم جمع یا تفریق کنید.\n۳. در صورت امکان، ریشه‌ها را ساده کنید." + "introText": "۱. عبارات رادیکالی مشابه را شناسایی کنید.\n۲. عبارات مشابه را با هم جمع یا تفریق کنید.\n۳. در صورت امکان، ریشه‌ها را ساده کنید.", + "example": "قسمت‌های رادیکالی عبارات 7√5 و 3√7 یا عبارات 7√2 و 3√6 یکسان نیستند. آیا می‌توان آنها را جمع یا تفریق کرد؟", + "steps": [ + "خیر، چون قسمت‌های رادیکالی متفاوت هستند، نمی‌توان آنها را جمع یا تفریق کرد.", + "✅ جواب: خیر، چون قسمت‌های رادیکالی متفاوتند، نمی‌توان آنها را به صورت یک جمله جمع یا تفریق کرد." + ] }, { "title": "گویا کردن مخرج کسرها", @@ -655,7 +1162,11 @@ }, { "title": "ساده کردن عبارت‌های رادیکالی", - "introText": "۱. عبارات زیر رادیکال را ساده کنید.\n۲. عبارات مشابه را با هم جمع یا تفریق کنید.\n۳. اگر ممکن است، ریشه‌ها را محاسبه کنید." + "introText": "۱. عبارات زیر رادیکال را ساده کنید.\n۲. عبارات مشابه را با هم جمع یا تفریق کنید.\n۳. اگر ممکن است، ریشه‌ها را محاسبه کنید.", + "example": "اگر قسمت رادیکالی دو عبارت پس از ساده کردن کاملاً یکسان باشد، می‌توان آنها را با هم جمع یا تفریق کرد؛ مثلاً دو عبارت 3√7 و 7√7 دارای قسمت‌های رادیکالی یکسان هستند. جمع آنها را بیابید.", + "steps": [ + "جمع: 3√7 + 7√7 = (3 + 7)√7 = 10√7" + ] }, { "title": "محاسبه محیط و مساحت مربع", @@ -683,6 +1194,7 @@ }, { "title": "فصل ۵: عبارت‌های جبری", + "blurb": "در این فصل: عبارت‌های جبری و مفهوم اتحاد، چند اتحاد دیگر، تجزیه و کاربردها و نابرابری‌ها و نامعادله‌ها.", "order": 5, "nodes": [ { @@ -691,19 +1203,53 @@ "lessons": [ { "title": "تشخیص تک جمله‌ای", - "introText": "برای تشخیص تک جمله‌ای، بررسی کنید که آیا عبارت به صورت حاصل‌ضرب یک عدد حقیقی در توان‌های صحیح و نامنفی چند متغیر نوشته شده است یا خیر." + "introText": "برای تشخیص تک جمله‌ای، بررسی کنید که آیا عبارت به صورت حاصل‌ضرب یک عدد حقیقی در توان‌های صحیح و نامنفی چند متغیر نوشته شده است یا خیر.", + "example": "حاصل عبارت (2/3 x⁷ y)³ × (2/3)³ (x³)³ y³ را بیابید.", + "steps": [ + "ضرب ضرایب عددی: (2/3)³ × (2/3)³ = (2/3)⁶", + "ضرب توان‌های x: (x⁷)³ × (x³)³ = x²¹ × x⁹ = x³⁰", + "ضرب توان‌های y: y³ × y³ = y⁶", + "نتیجه: (2/3)⁶ x³⁰ y⁶", + "✅ جواب: (2/3)⁶ x³⁰ y⁶" + ] }, { "title": "محاسبه حاصل ضرب تک جمله‌ای‌ها", - "introText": "برای محاسبه حاصل ضرب تک جمله‌ای‌ها، ضرایب عددی را در هم ضرب کنید و متغیرهای مشابه را با جمع توان‌ها ترکیب کنید." + "introText": "برای محاسبه حاصل ضرب تک جمله‌ای‌ها، ضرایب عددی را در هم ضرب کنید و متغیرهای مشابه را با جمع توان‌ها ترکیب کنید.", + "example": "حاصل عبارت (2/3 x⁷ y)³ × (2/3)³ (x³)³ y³ را بیابید.", + "steps": [ + "ضرب ضرایب عددی: (2/3)³ × (2/3)³ = (2/3)⁶", + "ضرب توان‌های x: (x⁷)³ × (x³)³ = x²¹ × x⁹ = x³⁰", + "ضرب توان‌های y: y³ × y³ = y⁶", + "نتیجه: (2/3)⁶ x³⁰ y⁶", + "✅ جواب: (2/3)⁶ x³⁰ y⁶" + ] }, { "title": "مرتب‌سازی چند جمله‌ای‌ها", - "introText": "۱. درجه هر جمله را نسبت به متغیر مشخص تعیین کنید. ۲. جملات را بر اساس درجه از بزرگ به کوچک مرتب کنید." + "introText": "۱. درجه هر جمله را نسبت به متغیر مشخص تعیین کنید. ۲. جملات را بر اساس درجه از بزرگ به کوچک مرتب کنید.", + "example": "حاصل عبارت (1/2 a⁽-2) b) (ab) (-2/7 a² c⁰.5) را بیابید.", + "steps": [ + "ضرب ضرایب عددی: (1/2) × 1 × (-2/7) = (-2/14) = -1/7", + "ضرب توان‌های a: a⁻² × a¹ × a² = a^(-2 + 1 + 2) = a¹ = a", + "ضرب توان‌های b: b¹ × b¹ = b²", + "ضرب توان‌های c: c⁰.5", + "نتیجه: (-1/7) a b² c^(0.5)", + "✅ جواب: -1/7 a b² c^(0.5)" + ] }, { "title": "ساده‌سازی و مرتب‌سازی چند جمله‌ای‌ها", - "introText": "۱. جملات مشابه را با هم جمع یا تفریق کنید. ۲. جملات را بر اساس درجه از بزرگ به کوچک مرتب کنید." + "introText": "۱. جملات مشابه را با هم جمع یا تفریق کنید. ۲. جملات را بر اساس درجه از بزرگ به کوچک مرتب کنید.", + "example": "حاصل عبارت (1/2 a⁽-2) b) (ab) (-2/7 a² c⁰.5) را بیابید.", + "steps": [ + "ضرب ضرایب عددی: (1/2) × 1 × (-2/7) = (-2/14) = -1/7", + "ضرب توان‌های a: a⁻² × a¹ × a² = a^(-2 + 1 + 2) = a¹ = a", + "ضرب توان‌های b: b¹ × b¹ = b²", + "ضرب توان‌های c: c⁰.5", + "نتیجه: (-1/7) a b² c^(0.5)", + "✅ جواب: -1/7 a b² c^(0.5)" + ] }, { "title": "محاسبه و تکمیل جدول", @@ -761,7 +1307,15 @@ "lessons": [ { "title": "محاسبه حاصل ضرب عبارت‌های جبری", - "introText": "۱. عبارت‌های داخل پرانتز را به صورت جداگانه بنویسید.\n۲. هر عبارت را در عبارت دیگر ضرب کنید.\n۳. حاصل‌ضرب‌ها را با هم جمع کنید.\n۴. در صورت امکان، عبارت نهایی را ساده کنید." + "introText": "۱. عبارت‌های داخل پرانتز را به صورت جداگانه بنویسید.\n۲. هر عبارت را در عبارت دیگر ضرب کنید.\n۳. حاصل‌ضرب‌ها را با هم جمع کنید.\n۴. در صورت امکان، عبارت نهایی را ساده کنید.", + "example": "حاصل عبارت (x - 2y + 5)(x + 2y - 5) را به دست آورید.", + "steps": [ + "عبارت به شکل (x - (2y - 5))(x + (2y - 5)) است که به صورت (a - b)(a + b) می‌باشد.", + "با استفاده از اتحاد مزدوج داریم:", + "(x - 2y + 5)(x + 2y - 5) = x² - (2y - 5)²", + "= x² - (4y² - 20y + 25)", + "= x² - 4y² + 20y - 25" + ] }, { "title": "استفاده از اتحاد مزدوج", @@ -769,15 +1323,36 @@ }, { "title": "اتحاد مزدوج", - "introText": "برای تجزیه یک عبارت به کمک اتحاد مزدوج، از فرمول (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 استفاده می‌کنیم. ابتدا عبارات A و B را شناسایی کرده و سپس در فرمول جایگذاری می‌کنیم." + "introText": "برای تجزیه یک عبارت به کمک اتحاد مزدوج، از فرمول (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 استفاده می‌کنیم. ابتدا عبارات A و B را شناسایی کرده و سپس در فرمول جایگذاری می‌کنیم.", + "example": "محسن قصد دارد عبارت جبری ۴x² - (7 - 3y)² را تجزیه کند.", + "steps": [ + "عبارت داده شده به شکل a² - b² است که a = 2x و b = (7 - 3y) می‌باشد.", + "با استفاده از اتحاد مزدوج داریم:", + "4x² - (7 - 3y)² = (2x)² - (7 - 3y)² = (2x - (7 - 3y))(2x + (7 - 3y))", + "= (2x - 7 + 3y)(2x + 7 - 3y)" + ] }, { "title": "تجزیه به کمک اتحاد مزدوج", - "introText": "برای تجزیه یک عبارت به کمک اتحاد مزدوج، ابتدا عبارات A و B را شناسایی کرده و سپس از فرمول (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 استفاده می‌کنیم." + "introText": "برای تجزیه یک عبارت به کمک اتحاد مزدوج، ابتدا عبارات A و B را شناسایی کرده و سپس از فرمول (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 استفاده می‌کنیم.", + "example": "محسن قصد دارد عبارت جبری ۴x² - (7 - 3y)² را تجزیه کند.", + "steps": [ + "عبارت داده شده به شکل a² - b² است که a = 2x و b = (7 - 3y) می‌باشد.", + "با استفاده از اتحاد مزدوج داریم:", + "4x² - (7 - 3y)² = (2x)² - (7 - 3y)² = (2x - (7 - 3y))(2x + (7 - 3y))", + "= (2x - 7 + 3y)(2x + 7 - 3y)" + ] }, { "title": "تجزیه عبارت‌های جبری", - "introText": "برای تجزیه عبارت‌های جبری، ابتدا باید به دنبال جملات مشترک بگردیم و سپس از اتحادها برای ساده‌سازی استفاده کنیم." + "introText": "برای تجزیه عبارت‌های جبری، ابتدا باید به دنبال جملات مشترک بگردیم و سپس از اتحادها برای ساده‌سازی استفاده کنیم.", + "example": "محسن قصد دارد عبارت جبری ۴x² - (7 - 3y)² را تجزیه کند.", + "steps": [ + "عبارت داده شده به شکل a² - b² است که a = 2x و b = (7 - 3y) می‌باشد.", + "با استفاده از اتحاد مزدوج داریم:", + "4x² - (7 - 3y)² = (2x)² - (7 - 3y)² = (2x - (7 - 3y))(2x + (7 - 3y))", + "= (2x - 7 + 3y)(2x + 7 - 3y)" + ] }, { "title": "محاسبه حاصل عبارت‌ها با استفاده از اتحادها", @@ -785,7 +1360,14 @@ }, { "title": "تجزیه عبارت‌ها به کمک اتحادها", - "introText": "۱. شناسایی اتحاد مناسب برای تجزیه.\n۲. نوشتن عبارت به صورت اتحاد.\n۳. تجزیه عبارت به عوامل." + "introText": "۱. شناسایی اتحاد مناسب برای تجزیه.\n۲. نوشتن عبارت به صورت اتحاد.\n۳. تجزیه عبارت به عوامل.", + "example": "محسن قصد دارد عبارت جبری ۴x² - (7 - 3y)² را تجزیه کند.", + "steps": [ + "عبارت داده شده به شکل a² - b² است که a = 2x و b = (7 - 3y) می‌باشد.", + "با استفاده از اتحاد مزدوج داریم:", + "4x² - (7 - 3y)² = (2x)² - (7 - 3y)² = (2x - (7 - 3y))(2x + (7 - 3y))", + "= (2x - 7 + 3y)(2x + 7 - 3y)" + ] }, { "title": "یافتن جمله مشترک با استفاده از اتحادها", @@ -807,11 +1389,25 @@ }, { "title": "نوشتن نابرابری", - "introText": "۱. نقاط مشخص شده روی محور را شناسایی کنید. ۲. نابرابری مناسب را با توجه به موقعیت نقاط بنویسید. ۳. در صورت نیاز، نابرابری‌ها را با جمع یا ضرب اعداد بررسی کنید." + "introText": "۱. نقاط مشخص شده روی محور را شناسایی کنید. ۲. نابرابری مناسب را با توجه به موقعیت نقاط بنویسید. ۳. در صورت نیاز، نابرابری‌ها را با جمع یا ضرب اعداد بررسی کنید.", + "example": "اگر a + b > 0 آنگاه a و b هر دو مثبت‌اند. آیا این عبارت درست است؟", + "steps": [ + "اگر a + b > 0 باشد، این به معنی آن است که مجموع دو عدد a و b مثبت است.", + "اما این لزوماً به معنای مثبت بودن هر دو عدد نیست؛", + "زیرا ممکن است یکی از اعداد منفی و دیگری مثبت باشد به گونه‌ای که مجموع آنها مثبت شود.", + "بنابراین این عبارت نادرست است." + ] }, { "title": "بررسی درستی نابرابری", - "introText": "۱. علامت‌های اعداد را بررسی کنید. ۲. نابرابری داده شده را با توجه به علامت‌ها و مقادیر اعداد بررسی کنید." + "introText": "۱. علامت‌های اعداد را بررسی کنید. ۲. نابرابری داده شده را با توجه به علامت‌ها و مقادیر اعداد بررسی کنید.", + "example": "اگر a + b > 0 آنگاه a و b هر دو مثبت‌اند. آیا این عبارت درست است؟", + "steps": [ + "اگر a + b > 0 باشد، این به معنی آن است که مجموع دو عدد a و b مثبت است.", + "اما این لزوماً به معنای مثبت بودن هر دو عدد نیست؛", + "زیرا ممکن است یکی از اعداد منفی و دیگری مثبت باشد به گونه‌ای که مجموع آنها مثبت شود.", + "بنابراین این عبارت نادرست است." + ] }, { "title": "اضافه کردن اعداد به نابرابری", @@ -819,7 +1415,16 @@ }, { "title": "حل نامعادله", - "introText": "۱. دو طرف نامعادله را به عددی جمع کنید.\n۲. دو طرف نامعادله را در عددی ضرب کنید یا تقسیم کنید.\n۳. اگر در عدد منفی ضرب یا تقسیم کردید، جهت نامعادله را تغییر دهید.\n۴. مجموعه جواب را تعیین کنید." + "introText": "۱. دو طرف نامعادله را به عددی جمع کنید.\n۲. دو طرف نامعادله را در عددی ضرب کنید یا تقسیم کنید.\n۳. اگر در عدد منفی ضرب یا تقسیم کردید، جهت نامعادله را تغییر دهید.\n۴. مجموعه جواب را تعیین کنید.", + "example": "نامعادله 7 > 2x + 1 را در نظر بگیرید. این نامعادله شامل متغیر x است و درجه نسبت به x برابر 1 است. آیا در هر حالت نامعادله برقرار است؟", + "steps": [ + "نامعادله را بنویسیم: 7 > 2x + 1", + "دو طرف نامعادله را ابتدا 1 کم می‌کنیم: 7 - 1 > 2x → 6 > 2x", + "دو طرف را بر 2 تقسیم می‌کنیم (عدد مثبت است، علامت نامعادله تغییر نمی‌کند): 6/2 > x → 3 > x", + "نتیجه می‌شود x < 3", + "مجموعه جواب نامعادله همه اعداد حقیقی کمتر از 3 است، یعنی D = {x ∈ ℝ | x < 3}.", + "✅ جواب: نه، فقط برای x<3 برقرار است." + ] }, { "title": "نامعادله‌های خطی", @@ -827,11 +1432,25 @@ }, { "title": "جایگزینی در عبارات جبری", - "introText": "۱. نمادهای داده شده را با مقادیر مشخص جایگزین کنید. ۲. عبارت را ساده کنید." + "introText": "۱. نمادهای داده شده را با مقادیر مشخص جایگزین کنید. ۲. عبارت را ساده کنید.", + "example": "اگر a + b > 0 آنگاه a و b هر دو مثبت‌اند. آیا این عبارت درست است؟", + "steps": [ + "اگر a + b > 0 باشد، این به معنی آن است که مجموع دو عدد a و b مثبت است.", + "اما این لزوماً به معنای مثبت بودن هر دو عدد نیست؛", + "زیرا ممکن است یکی از اعداد منفی و دیگری مثبت باشد به گونه‌ای که مجموع آنها مثبت شود.", + "بنابراین این عبارت نادرست است." + ] }, { "title": "تعیین علامت عبارات جبری", - "introText": "۱. عبارات را با توجه به علامت‌های داده شده مقایسه کنید. ۲. نامساوی‌ها را بررسی کنید." + "introText": "۱. عبارات را با توجه به علامت‌های داده شده مقایسه کنید. ۲. نامساوی‌ها را بررسی کنید.", + "example": "اگر a + b > 0 آنگاه a و b هر دو مثبت‌اند. آیا این عبارت درست است؟", + "steps": [ + "اگر a + b > 0 باشد، این به معنی آن است که مجموع دو عدد a و b مثبت است.", + "اما این لزوماً به معنای مثبت بودن هر دو عدد نیست؛", + "زیرا ممکن است یکی از اعداد منفی و دیگری مثبت باشد به گونه‌ای که مجموع آنها مثبت شود.", + "بنابراین این عبارت نادرست است." + ] } ] } @@ -839,6 +1458,7 @@ }, { "title": "فصل ۶: خط و معادله‌های خطی", + "blurb": "در این فصل: معادلهٔ خط، شیب خط و عرض از مبدأ و دستگاه معادله‌های خطی.", "order": 6, "nodes": [ { @@ -855,11 +1475,26 @@ }, { "title": "رابطه بین طول ضلع و مساحت مربع", - "introText": "۱. طول ضلع مربع را با x نشان دهید.\n۲. مساحت مربع برابر است با مربع طول ضلع.\n۳. معادله مساحت را به صورت y = x^2 بنویسید.\n۴. جدول مقادیر را کامل کنید و نقاط را روی نمودار رسم کنید." + "introText": "۱. طول ضلع مربع را با x نشان دهید.\n۲. مساحت مربع برابر است با مربع طول ضلع.\n۳. معادله مساحت را به صورت y = x^2 بنویسید.\n۴. جدول مقادیر را کامل کنید و نقاط را روی نمودار رسم کنید.", + "example": "اگر طول ضلع یک مربع را با x و محیط آن را با y نشان دهیم، چه رابطه‌ای بین x و y هست؟", + "steps": [ + "طول ضلع مربع را x می‌گیریم.", + "محیط مربع برابر است با 4 برابر طول ضلع، یعنی y = 4x.", + "پس رابطه بین x و y به صورت y = 4x است." + ] }, { "title": "تعداد پاسخ‌های معادله خطی", - "introText": "۱. معادله را به صورت x + y = 1 بنویسید.\n۲. مقادیر مختلف برای x و y پیدا کنید که معادله را ارضا کنند.\n۳. بررسی کنید که آیا معادله تساوی است یا اتحاد." + "introText": "۱. معادله را به صورت x + y = 1 بنویسید.\n۲. مقادیر مختلف برای x و y پیدا کنید که معادله را ارضا کنند.\n۳. بررسی کنید که آیا معادله تساوی است یا اتحاد.", + "example": "معادله 0 = x + y چند پاسخ دارد؟ پنج پاسخ آن را به صورت زیر بنویسید:\n{x=1, y=}\n{x=2, y=}\n{x=, y=3}\n{x=, y=4}\n{x=, y=0}\nتوضیح دهید چگونه پاسخ‌های مختلف این معادله را می‌توان پیدا کرد؟ آیا تساوی برای x=2 و y=5 برقرار است؟ توضیح دهید چرا این تساوی معادله است و اتحاد نیست؟", + "steps": [ + "معادله داده شده: x + y = 0", + "برای یافتن پاسخ‌ها:", + "وقتی x=1، y باید برابر -1 باشد تا معادله برقرار شود.", + "وقتی x=2، y باید برابر -2 باشد.", + "وقتی y=3، x باید برابر -3 باشد.", + "✅ جواب: معادله x+y=0 بی‌نهایت جواب دارد. پنج نمونه: (1,-1), (2,-2), (-3,3), (-4,4), (0,0). برای (2,5): 7≠0، جواب نیست. این معادله است نه اتحاد." + ] }, { "title": "تکمیل جدول و رسم خط", @@ -867,11 +1502,29 @@ }, { "title": "نوشتن معادله خط", - "introText": "۱. طول و عرض نقاط داده شده را بررسی کنید.\n۲. رابطه بین طول و عرض را پیدا کنید.\n۳. معادله خط را به صورت y = ax + b بنویسید." + "introText": "۱. طول و عرض نقاط داده شده را بررسی کنید.\n۲. رابطه بین طول و عرض را پیدا کنید.\n۳. معادله خط را به صورت y = ax + b بنویسید.", + "example": "معادله 0 = x + y چند پاسخ دارد؟ پنج پاسخ آن را به صورت زیر بنویسید:\n{x=1, y=}\n{x=2, y=}\n{x=, y=3}\n{x=, y=4}\n{x=, y=0}\nتوضیح دهید چگونه پاسخ‌های مختلف این معادله را می‌توان پیدا کرد؟ آیا تساوی برای x=2 و y=5 برقرار است؟ توضیح دهید چرا این تساوی معادله است و اتحاد نیست؟", + "steps": [ + "معادله داده شده: x + y = 0", + "برای یافتن پاسخ‌ها:", + "وقتی x=1، y باید برابر -1 باشد تا معادله برقرار شود.", + "وقتی x=2، y باید برابر -2 باشد.", + "وقتی y=3، x باید برابر -3 باشد.", + "✅ جواب: معادله x+y=0 بی‌نهایت جواب دارد. پنج نمونه: (1,-1), (2,-2), (-3,3), (-4,4), (0,0). برای (2,5): 7≠0، جواب نیست. این معادله است نه اتحاد." + ] }, { "title": "حل معادله خط", - "introText": "۱. معادله داده شده را بررسی کنید.\n۲. مقدار x را در معادله جای‌گذاری کنید.\n۳. مقدار y را محاسبه کنید.\n۴. مختصات نقطه را به‌دست آورید." + "introText": "۱. معادله داده شده را بررسی کنید.\n۲. مقدار x را در معادله جای‌گذاری کنید.\n۳. مقدار y را محاسبه کنید.\n۴. مختصات نقطه را به‌دست آورید.", + "example": "معادله 0 = x + y چند پاسخ دارد؟ پنج پاسخ آن را به صورت زیر بنویسید:\n{x=1, y=}\n{x=2, y=}\n{x=, y=3}\n{x=, y=4}\n{x=, y=0}\nتوضیح دهید چگونه پاسخ‌های مختلف این معادله را می‌توان پیدا کرد؟ آیا تساوی برای x=2 و y=5 برقرار است؟ توضیح دهید چرا این تساوی معادله است و اتحاد نیست؟", + "steps": [ + "معادله داده شده: x + y = 0", + "برای یافتن پاسخ‌ها:", + "وقتی x=1، y باید برابر -1 باشد تا معادله برقرار شود.", + "وقتی x=2، y باید برابر -2 باشد.", + "وقتی y=3، x باید برابر -3 باشد.", + "✅ جواب: معادله x+y=0 بی‌نهایت جواب دارد. پنج نمونه: (1,-1), (2,-2), (-3,3), (-4,4), (0,0). برای (2,5): 7≠0، جواب نیست. این معادله است نه اتحاد." + ] }, { "title": "رسم نمودار خطی", @@ -917,23 +1570,58 @@ "lessons": [ { "title": "رسم معادله خط", - "introText": "۱. معادله خط را به فرم y=ax+b بنویسید.\n۲. شیب خط (a) و عرض از مبدا (b) را مشخص کنید.\n۳. نقطه‌ای با عرض از مبدا (b) روی محور y مشخص کنید.\n۴. با استفاده از شیب (a)، نقطه دیگری روی خط پیدا کنید.\n۵. دو نقطه را به هم وصل کنید تا خط رسم شود." + "introText": "۱. معادله خط را به فرم y=ax+b بنویسید.\n۲. شیب خط (a) و عرض از مبدا (b) را مشخص کنید.\n۳. نقطه‌ای با عرض از مبدا (b) روی محور y مشخص کنید.\n۴. با استفاده از شیب (a)، نقطه دیگری روی خط پیدا کنید.\n۵. دو نقطه را به هم وصل کنید تا خط رسم شود.", + "example": "در هر یک از معادله‌های زیر، شیب و عرض از مبدأ خط را مشخص کنید:\ny = -3x + 1\ny = -2/3 x\ny = 2x - 4", + "steps": [ + "برای y = -3x + 1، شیب = -3 و عرض از مبدأ = 1", + "برای y = -2/3 x، شیب = -2/3 و عرض از مبدأ = 0 (چون b ذکر نشده)", + "برای y = 2x - 4، شیب = 2 و عرض از مبدأ = -4", + "✅ جواب: هر سه معادله به صورت y=mx+b هستند و مقادیر استخراج شده درست است." + ] }, { "title": "تعیین شیب و عرض از مبدا", - "introText": "۱. معادله خط را به صورت y=mx+c بنویسید.\n۲. شیب خط برابر m است.\n۳. عرض از مبدا برابر c است." + "introText": "۱. معادله خط را به صورت y=mx+c بنویسید.\n۲. شیب خط برابر m است.\n۳. عرض از مبدا برابر c است.", + "example": "در هر یک از معادله‌های زیر، شیب و عرض از مبدأ خط را مشخص کنید:\ny = -3x + 1\ny = -2/3 x\ny = 2x - 4", + "steps": [ + "برای y = -3x + 1، شیب = -3 و عرض از مبدأ = 1", + "برای y = -2/3 x، شیب = -2/3 و عرض از مبدأ = 0 (چون b ذکر نشده)", + "برای y = 2x - 4، شیب = 2 و عرض از مبدأ = -4", + "✅ جواب: هر سه معادله به صورت y=mx+b هستند و مقادیر استخراج شده درست است." + ] }, { "title": "نوشتن معادله خط", - "introText": "۱. شیب خط را تعیین کنید.\n۲. از نقطه داده شده استفاده کنید و در معادله y=mx+c جایگذاری کنید.\n۳. مقدار c را بیابید و معادله کامل را بنویسید." + "introText": "۱. شیب خط را تعیین کنید.\n۲. از نقطه داده شده استفاده کنید و در معادله y=mx+c جایگذاری کنید.\n۳. مقدار c را بیابید و معادله کامل را بنویسید.", + "example": "در هر یک از معادله‌های زیر، شیب و عرض از مبدأ خط را مشخص کنید:\ny = -3x + 1\ny = -2/3 x\ny = 2x - 4", + "steps": [ + "برای y = -3x + 1، شیب = -3 و عرض از مبدأ = 1", + "برای y = -2/3 x، شیب = -2/3 و عرض از مبدأ = 0 (چون b ذکر نشده)", + "برای y = 2x - 4، شیب = 2 و عرض از مبدأ = -4", + "✅ جواب: هر سه معادله به صورت y=mx+b هستند و مقادیر استخراج شده درست است." + ] }, { "title": "محاسبه شیب خط", - "introText": "برای محاسبه شیب خط، از نسبت تغییرات در محور y به تغییرات در محور x استفاده کنید. اگر دو نقطه A(x1, y1) و B(x2, y2) روی خط باشند، شیب خط برابر است با (y2 - y1) / (x2 - x1)." + "introText": "برای محاسبه شیب خط، از نسبت تغییرات در محور y به تغییرات در محور x استفاده کنید. اگر دو نقطه A(x1, y1) و B(x2, y2) روی خط باشند، شیب خط برابر است با (y2 - y1) / (x2 - x1).", + "example": "در هر یک از معادله‌های زیر، شیب و عرض از مبدأ خط را مشخص کنید:\ny = -3x + 1\ny = -2/3 x\ny = 2x - 4", + "steps": [ + "برای y = -3x + 1، شیب = -3 و عرض از مبدأ = 1", + "برای y = -2/3 x، شیب = -2/3 و عرض از مبدأ = 0 (چون b ذکر نشده)", + "برای y = 2x - 4، شیب = 2 و عرض از مبدأ = -4", + "✅ جواب: هر سه معادله به صورت y=mx+b هستند و مقادیر استخراج شده درست است." + ] }, { "title": "یافتن معادله خط", - "introText": "برای یافتن معادله خط، از فرم y = mx + b استفاده کنید که m شیب خط و b عرض از مبدأ است. با داشتن شیب و یک نقطه روی خط، می‌توانید b را پیدا کنید." + "introText": "برای یافتن معادله خط، از فرم y = mx + b استفاده کنید که m شیب خط و b عرض از مبدأ است. با داشتن شیب و یک نقطه روی خط، می‌توانید b را پیدا کنید.", + "example": "در هر یک از معادله‌های زیر، شیب و عرض از مبدأ خط را مشخص کنید:\ny = -3x + 1\ny = -2/3 x\ny = 2x - 4", + "steps": [ + "برای y = -3x + 1، شیب = -3 و عرض از مبدأ = 1", + "برای y = -2/3 x، شیب = -2/3 و عرض از مبدأ = 0 (چون b ذکر نشده)", + "برای y = 2x - 4، شیب = 2 و عرض از مبدأ = -4", + "✅ جواب: هر سه معادله به صورت y=mx+b هستند و مقادیر استخراج شده درست است." + ] }, { "title": "رسم خط و تعیین مختصات", @@ -945,7 +1633,14 @@ }, { "title": "یافتن شیب و عرض از مبدا", - "introText": "۱. معادله خط را به صورت y = mx + b بنویسید.\n۲. مقدار m شیب خط است.\n۳. مقدار b عرض از مبدا است." + "introText": "۱. معادله خط را به صورت y = mx + b بنویسید.\n۲. مقدار m شیب خط است.\n۳. مقدار b عرض از مبدا است.", + "example": "در هر یک از معادله‌های زیر، شیب و عرض از مبدأ خط را مشخص کنید:\ny = -3x + 1\ny = -2/3 x\ny = 2x - 4", + "steps": [ + "برای y = -3x + 1، شیب = -3 و عرض از مبدأ = 1", + "برای y = -2/3 x، شیب = -2/3 و عرض از مبدأ = 0 (چون b ذکر نشده)", + "برای y = 2x - 4، شیب = 2 و عرض از مبدأ = -4", + "✅ جواب: هر سه معادله به صورت y=mx+b هستند و مقادیر استخراج شده درست است." + ] }, { "title": "یافتن نقطه برخورد دو خط", @@ -953,7 +1648,15 @@ }, { "title": "نوشتن معادله خط موازی با محور", - "introText": "۱. اگر خط موازی محور x باشد، معادله به صورت y = c است.\n۲. اگر خط موازی محور y باشد، معادله به صورت x = c است." + "introText": "۱. اگر خط موازی محور x باشد، معادله به صورت y = c است.\n۲. اگر خط موازی محور y باشد، معادله به صورت x = c است.", + "example": "معادله خطی را بنویسید که:\nالف) شیب آن ۲ و عرض از مبدأ آن ۱- باشد.\nب) شیب آن 1/2 باشد و محور عرض‌ها را در نقطه‌ای به عرض ۳ قطع کند.", + "steps": [ + "الف) معادله خط: y = 2x - 1", + "ب) معادله خط: y = (1/2)x + b", + "برای پیدا کردن b چون خط محور عرض‌ها را در عرض 3 قطع می‌کند، یعنی وقتی x=0، y=3 پس b=3", + "معادله خط: y = (1/2)x + 3", + "✅ جواب: الف) y=2x-1 ب) y=0.5x+3" + ] }, { "title": "رسم خط با معادله y=ax+b", @@ -967,27 +1670,81 @@ "lessons": [ { "title": "نوشتن معادله خط", - "introText": "۱. تعیین متغیرها (مثلاً x برای ساعت و y برای هزینه). ۲. نوشتن رابطه بین متغیرها به صورت y = mx + b. ۳. جایگذاری مقادیر ثابت و متغیر برای یافتن معادله." + "introText": "۱. تعیین متغیرها (مثلاً x برای ساعت و y برای هزینه). ۲. نوشتن رابطه بین متغیرها به صورت y = mx + b. ۳. جایگذاری مقادیر ثابت و متغیر برای یافتن معادله.", + "example": "دو نوع اشتراک اینترنت بدون مبلغ ثابت است؛ ولی برای هر ساعت استفاده، ۳۰۰۰ تومان هزینه دارد. رابطه‌ای بین هزینه اشتراک (y) و x ساعت استفاده از اینترنت بنویسید. دو خط به معادله‌های y = ۲۰۰۰x + ۳۰۰۰ و y = ۳۰۰۰x را در دستگاه مختصات رسم کنید. محل برخورد این دو خط چه ویژگی‌ای دارد؟ برای ۱.۵ ساعت استفاده، کدام نوع اشتراک بهتر است؟ بعد از چند ساعت استفاده از اینترنت، اشتراک نوع اول به صرفه خواهد بود؟", + "steps": [ + "معادله اول: y = ۲۰۰۰x + ۳۰۰۰", + "معادله دوم: y = ۳۰۰۰x", + "برای رسم نمودار، چند مقدار x را انتخاب و y را محاسبه می‌کنیم.", + "محل برخورد دو خط را با مساوی قرار دادن معادلات پیدا می‌کنیم:", + "۲۰۰۰x + ۳۰۰۰ = ۳۰۰۰x", + "✅ جواب: جواب کتاب درست است: محل برخورد در x=3، برای ۱.۵ ساعت نوع دوم بهتر است، و بعد از ۳ ساعت نوع اول به صرفه می‌شود." + ] }, { "title": "رسم نمودار معادله خطی", - "introText": "۱. معادله خط را به صورت y = mx + b بنویسید. ۲. نقاطی را برای x انتخاب کنید و مقادیر y را محاسبه کنید. ۳. نقاط را روی نمودار رسم کنید و خط را بکشید." + "introText": "۱. معادله خط را به صورت y = mx + b بنویسید. ۲. نقاطی را برای x انتخاب کنید و مقادیر y را محاسبه کنید. ۳. نقاط را روی نمودار رسم کنید و خط را بکشید.", + "example": "دو نوع اشتراک اینترنت بدون مبلغ ثابت است؛ ولی برای هر ساعت استفاده، ۳۰۰۰ تومان هزینه دارد. رابطه‌ای بین هزینه اشتراک (y) و x ساعت استفاده از اینترنت بنویسید. دو خط به معادله‌های y = ۲۰۰۰x + ۳۰۰۰ و y = ۳۰۰۰x را در دستگاه مختصات رسم کنید. محل برخورد این دو خط چه ویژگی‌ای دارد؟ برای ۱.۵ ساعت استفاده، کدام نوع اشتراک بهتر است؟ بعد از چند ساعت استفاده از اینترنت، اشتراک نوع اول به صرفه خواهد بود؟", + "steps": [ + "معادله اول: y = ۲۰۰۰x + ۳۰۰۰", + "معادله دوم: y = ۳۰۰۰x", + "برای رسم نمودار، چند مقدار x را انتخاب و y را محاسبه می‌کنیم.", + "محل برخورد دو خط را با مساوی قرار دادن معادلات پیدا می‌کنیم:", + "۲۰۰۰x + ۳۰۰۰ = ۳۰۰۰x", + "✅ جواب: جواب کتاب درست است: محل برخورد در x=3، برای ۱.۵ ساعت نوع دوم بهتر است، و بعد از ۳ ساعت نوع اول به صرفه می‌شود." + ] }, { "title": "حل دستگاه معادله‌های خطی با رسم خط", - "introText": "۱. معادله‌های خطی را به صورت y=mx+b بنویسید.\n۲. هر معادله را روی محور مختصات رسم کنید.\n۳. نقطه تقاطع خطوط را پیدا کنید که جواب مشترک دستگاه است." + "introText": "۱. معادله‌های خطی را به صورت y=mx+b بنویسید.\n۲. هر معادله را روی محور مختصات رسم کنید.\n۳. نقطه تقاطع خطوط را پیدا کنید که جواب مشترک دستگاه است.", + "example": "دو نوع اشتراک اینترنت بدون مبلغ ثابت است؛ ولی برای هر ساعت استفاده، ۳۰۰۰ تومان هزینه دارد. رابطه‌ای بین هزینه اشتراک (y) و x ساعت استفاده از اینترنت بنویسید. دو خط به معادله‌های y = ۲۰۰۰x + ۳۰۰۰ و y = ۳۰۰۰x را در دستگاه مختصات رسم کنید. محل برخورد این دو خط چه ویژگی‌ای دارد؟ برای ۱.۵ ساعت استفاده، کدام نوع اشتراک بهتر است؟ بعد از چند ساعت استفاده از اینترنت، اشتراک نوع اول به صرفه خواهد بود؟", + "steps": [ + "معادله اول: y = ۲۰۰۰x + ۳۰۰۰", + "معادله دوم: y = ۳۰۰۰x", + "برای رسم نمودار، چند مقدار x را انتخاب و y را محاسبه می‌کنیم.", + "محل برخورد دو خط را با مساوی قرار دادن معادلات پیدا می‌کنیم:", + "۲۰۰۰x + ۳۰۰۰ = ۳۰۰۰x", + "✅ جواب: جواب کتاب درست است: محل برخورد در x=3، برای ۱.۵ ساعت نوع دوم بهتر است، و بعد از ۳ ساعت نوع اول به صرفه می‌شود." + ] }, { "title": "رسم خط از معادله خطی", - "introText": "۱. معادله خطی را به صورت y=mx+b بنویسید.\n۲. نقطه‌ای را که خط از آن می‌گذرد پیدا کنید.\n۳. شیب خط را با استفاده از ضریب m پیدا کنید.\n۴. خط را روی محور مختصات رسم کنید." + "introText": "۱. معادله خطی را به صورت y=mx+b بنویسید.\n۲. نقطه‌ای را که خط از آن می‌گذرد پیدا کنید.\n۳. شیب خط را با استفاده از ضریب m پیدا کنید.\n۴. خط را روی محور مختصات رسم کنید.", + "example": "دو نوع اشتراک اینترنت بدون مبلغ ثابت است؛ ولی برای هر ساعت استفاده، ۳۰۰۰ تومان هزینه دارد. رابطه‌ای بین هزینه اشتراک (y) و x ساعت استفاده از اینترنت بنویسید. دو خط به معادله‌های y = ۲۰۰۰x + ۳۰۰۰ و y = ۳۰۰۰x را در دستگاه مختصات رسم کنید. محل برخورد این دو خط چه ویژگی‌ای دارد؟ برای ۱.۵ ساعت استفاده، کدام نوع اشتراک بهتر است؟ بعد از چند ساعت استفاده از اینترنت، اشتراک نوع اول به صرفه خواهد بود؟", + "steps": [ + "معادله اول: y = ۲۰۰۰x + ۳۰۰۰", + "معادله دوم: y = ۳۰۰۰x", + "برای رسم نمودار، چند مقدار x را انتخاب و y را محاسبه می‌کنیم.", + "محل برخورد دو خط را با مساوی قرار دادن معادلات پیدا می‌کنیم:", + "۲۰۰۰x + ۳۰۰۰ = ۳۰۰۰x", + "✅ جواب: جواب کتاب درست است: محل برخورد در x=3، برای ۱.۵ ساعت نوع دوم بهتر است، و بعد از ۳ ساعت نوع اول به صرفه می‌شود." + ] }, { "title": "حل دستگاه معادلات خطی با روش حذفی", - "introText": "۱. یکی از معادلات را برای یکی از متغیرها حل کنید.\n۲. مقدار به دست آمده را در معادله دیگر جایگزین کنید.\n۳. معادله جدید را حل کنید تا مقدار متغیر دوم به دست آید.\n۴. مقدار متغیر دوم را در یکی از معادلات اصلی جایگزین کنید تا مقدار متغیر اول به دست آید." + "introText": "۱. یکی از معادلات را برای یکی از متغیرها حل کنید.\n۲. مقدار به دست آمده را در معادله دیگر جایگزین کنید.\n۳. معادله جدید را حل کنید تا مقدار متغیر دوم به دست آید.\n۴. مقدار متغیر دوم را در یکی از معادلات اصلی جایگزین کنید تا مقدار متغیر اول به دست آید.", + "example": "دو نوع اشتراک اینترنت بدون مبلغ ثابت است؛ ولی برای هر ساعت استفاده، ۳۰۰۰ تومان هزینه دارد. رابطه‌ای بین هزینه اشتراک (y) و x ساعت استفاده از اینترنت بنویسید. دو خط به معادله‌های y = ۲۰۰۰x + ۳۰۰۰ و y = ۳۰۰۰x را در دستگاه مختصات رسم کنید. محل برخورد این دو خط چه ویژگی‌ای دارد؟ برای ۱.۵ ساعت استفاده، کدام نوع اشتراک بهتر است؟ بعد از چند ساعت استفاده از اینترنت، اشتراک نوع اول به صرفه خواهد بود؟", + "steps": [ + "معادله اول: y = ۲۰۰۰x + ۳۰۰۰", + "معادله دوم: y = ۳۰۰۰x", + "برای رسم نمودار، چند مقدار x را انتخاب و y را محاسبه می‌کنیم.", + "محل برخورد دو خط را با مساوی قرار دادن معادلات پیدا می‌کنیم:", + "۲۰۰۰x + ۳۰۰۰ = ۳۰۰۰x", + "✅ جواب: جواب کتاب درست است: محل برخورد در x=3، برای ۱.۵ ساعت نوع دوم بهتر است، و بعد از ۳ ساعت نوع اول به صرفه می‌شود." + ] }, { "title": "حل دستگاه معادلات خطی", - "introText": "۱. یکی از معادلات را برای یکی از متغیرها حل کنید.\n۲. مقدار به‌دست‌آمده را در معادله دیگر جایگزین کنید.\n۳. معادله جدید را حل کنید تا مقدار متغیر دوم به‌دست آید.\n۴. مقدار متغیر دوم را در یکی از معادلات اصلی جایگزین کنید تا مقدار متغیر اول به‌دست آید." + "introText": "۱. یکی از معادلات را برای یکی از متغیرها حل کنید.\n۲. مقدار به‌دست‌آمده را در معادله دیگر جایگزین کنید.\n۳. معادله جدید را حل کنید تا مقدار متغیر دوم به‌دست آید.\n۴. مقدار متغیر دوم را در یکی از معادلات اصلی جایگزین کنید تا مقدار متغیر اول به‌دست آید.", + "example": "دو نوع اشتراک اینترنت بدون مبلغ ثابت است؛ ولی برای هر ساعت استفاده، ۳۰۰۰ تومان هزینه دارد. رابطه‌ای بین هزینه اشتراک (y) و x ساعت استفاده از اینترنت بنویسید. دو خط به معادله‌های y = ۲۰۰۰x + ۳۰۰۰ و y = ۳۰۰۰x را در دستگاه مختصات رسم کنید. محل برخورد این دو خط چه ویژگی‌ای دارد؟ برای ۱.۵ ساعت استفاده، کدام نوع اشتراک بهتر است؟ بعد از چند ساعت استفاده از اینترنت، اشتراک نوع اول به صرفه خواهد بود؟", + "steps": [ + "معادله اول: y = ۲۰۰۰x + ۳۰۰۰", + "معادله دوم: y = ۳۰۰۰x", + "برای رسم نمودار، چند مقدار x را انتخاب و y را محاسبه می‌کنیم.", + "محل برخورد دو خط را با مساوی قرار دادن معادلات پیدا می‌کنیم:", + "۲۰۰۰x + ۳۰۰۰ = ۳۰۰۰x", + "✅ جواب: جواب کتاب درست است: محل برخورد در x=3، برای ۱.۵ ساعت نوع دوم بهتر است، و بعد از ۳ ساعت نوع اول به صرفه می‌شود." + ] }, { "title": "محیط و ابعاد مستطیل", @@ -995,7 +1752,16 @@ }, { "title": "حل دستگاه معادلات خطی با روش جایگزینی", - "introText": "۱. یکی از معادلات را به صورت y یا x بر حسب متغیر دیگر بنویسید.\n۲. مقدار به دست آمده را در معادله دیگر جایگزین کنید.\n۳. معادله جدید را حل کنید تا مقدار یکی از متغیرها به دست آید.\n۴. مقدار به دست آمده را در یکی از معادلات اولیه جایگزین کنید تا مقدار متغیر دیگر به دست آید." + "introText": "۱. یکی از معادلات را به صورت y یا x بر حسب متغیر دیگر بنویسید.\n۲. مقدار به دست آمده را در معادله دیگر جایگزین کنید.\n۳. معادله جدید را حل کنید تا مقدار یکی از متغیرها به دست آید.\n۴. مقدار به دست آمده را در یکی از معادلات اولیه جایگزین کنید تا مقدار متغیر دیگر به دست آید.", + "example": "دو نوع اشتراک اینترنت بدون مبلغ ثابت است؛ ولی برای هر ساعت استفاده، ۳۰۰۰ تومان هزینه دارد. رابطه‌ای بین هزینه اشتراک (y) و x ساعت استفاده از اینترنت بنویسید. دو خط به معادله‌های y = ۲۰۰۰x + ۳۰۰۰ و y = ۳۰۰۰x را در دستگاه مختصات رسم کنید. محل برخورد این دو خط چه ویژگی‌ای دارد؟ برای ۱.۵ ساعت استفاده، کدام نوع اشتراک بهتر است؟ بعد از چند ساعت استفاده از اینترنت، اشتراک نوع اول به صرفه خواهد بود؟", + "steps": [ + "معادله اول: y = ۲۰۰۰x + ۳۰۰۰", + "معادله دوم: y = ۳۰۰۰x", + "برای رسم نمودار، چند مقدار x را انتخاب و y را محاسبه می‌کنیم.", + "محل برخورد دو خط را با مساوی قرار دادن معادلات پیدا می‌کنیم:", + "۲۰۰۰x + ۳۰۰۰ = ۳۰۰۰x", + "✅ جواب: جواب کتاب درست است: محل برخورد در x=3، برای ۱.۵ ساعت نوع دوم بهتر است، و بعد از ۳ ساعت نوع اول به صرفه می‌شود." + ] } ] } @@ -1003,6 +1769,7 @@ }, { "title": "فصل ۷: عبارت‌های گویا", + "blurb": "در این فصل: معرفی و ساده کردن عبارت‌های گویا، محاسبات عبارت‌های گویا و تقسیم چندجمله‌ای‌ها.", "order": 7, "nodes": [ { @@ -1015,23 +1782,64 @@ }, { "title": "تشخیص عبارت‌های گویا", - "introText": "برای تشخیص عبارت‌های گویا، باید بررسی کنیم که آیا مخرج کسر برابر صفر می‌شود یا خیر. اگر مخرج کسر برای مقداری از متغیر صفر شود، عبارت گویا تعریف نشده است." + "introText": "برای تشخیص عبارت‌های گویا، باید بررسی کنیم که آیا مخرج کسر برابر صفر می‌شود یا خیر. اگر مخرج کسر برای مقداری از متغیر صفر شود، عبارت گویا تعریف نشده است.", + "example": "کدام یک از عبارت‌های زیر گویا است؟\n\n|x| + |y| / x، √x / 25، √(3 + x) / 5، ah / 2، (x + 6) / 3، 7 / (x - 1)، (3 - a) / (2 + x)، 14 / (5 - n)، (mn + n²) / (5 - n)، 1 / √x، (x - 5) / √(3 + 1)، (x₁ √y + 1) / x²", + "steps": [ + "عبارت‌های گویا عبارت‌هایی هستند که به صورت کسر جبری نوشته شده‌اند و مخرج آن‌ها صفر نشود.", + "بنابراین عبارت‌هایی مانند 7 / (x - 1)، (x + 6) / 3، ah / 2، √(3 + x) / 5، √x / 25، |x| + |y| / x، (3 - a) / (2 + x)، 14 / (5 - n)، (mn + n²) / (5 - n)، 1 / √x، (x - 5) / √(3 + 1) و (x₁ √y + 1) / x² گویا هستند.", + "اما اگر مخرج صفر شود، عبارت تعریف نشده است و گویا نیست.", + "✅ جواب: همه‌ی عبارت‌ها گویا هستند (بر اساس تعریف کتاب)" + ] }, { "title": "محاسبه مقدار عددی عبارت گویا", - "introText": "برای محاسبه مقدار عددی یک عبارت گویا، مقدار عددی متغیر را در عبارت جایگذاری کرده و محاسبه را انجام می‌دهیم. باید توجه داشت که مخرج کسر نباید صفر شود." + "introText": "برای محاسبه مقدار عددی یک عبارت گویا، مقدار عددی متغیر را در عبارت جایگذاری کرده و محاسبه را انجام می‌دهیم. باید توجه داشت که مخرج کسر نباید صفر شود.", + "example": "مقدار عددی عبارت (x + 5) / (x - 3) را به ازای اعداد x = -5، -1، 0، 1/2، 7، -2 به دست آورید.", + "steps": [ + "برای هر مقدار x عبارت را محاسبه می‌کنیم:", + "x = -5: (-5 + 5) / (-5 - 3) = 0 / (-8) = 0", + "x = -1: (-1 + 5) / (-1 - 3) = 4 / (-4) = -1", + "x = 0: (0 + 5) / (0 - 3) = 5 / (-3) = -5/3", + "x = 1/2: (1/2 + 5) / (1/2 - 3) = (5.5) / (-2.5) = -11/5", + "✅ جواب: 0, -1, -5/3, -11/5, 3, -3/5" + ] }, { "title": "تعیین مقادیر تعریف نشده", - "introText": "برای تعیین مقادیر تعریف نشده یک عبارت گویا، مخرج را برابر صفر قرار داده و معادله را حل کنید." + "introText": "برای تعیین مقادیر تعریف نشده یک عبارت گویا، مخرج را برابر صفر قرار داده و معادله را حل کنید.", + "example": "برای عبارت‌های گویا زیر، مقادیری از متغیر که تعریف نشده‌اند را بیابید:\nالف) (8x + 5) / 2\nب) (7 + x) / x\nج) (1 + 2b) / (2b - 1)\nد) (3x) / (x² + 4)\nه) x / (x² - 1)\nو) (a + 5) / (a² - 5a + 6)", + "steps": [ + "الف) مخرج 2 است که هیچگاه صفر نمی‌شود، پس تعریف نشده ندارد.", + "ب) مخرج x است، پس x ≠ 0.", + "ج) مخرج 2b - 1 است، پس 2b - 1 = 0 ⇒ b = 1/2.", + "د) مخرج x² + 4 است که هیچگاه صفر نمی‌شود (چون x² + 4 > 0 برای هر x)، پس تعریف نشده ندارد.", + "ه) مخرج x² - 1 = (x - 1)(x + 1) است، پس x ≠ 1 و x ≠ -1.", + "✅ جواب: همه موارد درست است: الف) تعریف‌نشده ندارد، ب) x≠0، ج) b≠1/2، د) ندارد، ه) x≠1,-1، و) a≠2,3" + ] }, { "title": "ساده کردن عبارت گویا", - "introText": "برای ساده کردن یک عبارت گویا، صورت و مخرج را به عوامل اول تجزیه کرده و عوامل مشترک را حذف کنید." + "introText": "برای ساده کردن یک عبارت گویا، صورت و مخرج را به عوامل اول تجزیه کرده و عوامل مشترک را حذف کنید.", + "example": "کدام یک از عبارت‌های زیر گویا است؟\n\n|x| + |y| / x، √x / 25، √(3 + x) / 5، ah / 2، (x + 6) / 3، 7 / (x - 1)، (3 - a) / (2 + x)، 14 / (5 - n)، (mn + n²) / (5 - n)، 1 / √x، (x - 5) / √(3 + 1)، (x₁ √y + 1) / x²", + "steps": [ + "عبارت‌های گویا عبارت‌هایی هستند که به صورت کسر جبری نوشته شده‌اند و مخرج آن‌ها صفر نشود.", + "بنابراین عبارت‌هایی مانند 7 / (x - 1)، (x + 6) / 3، ah / 2، √(3 + x) / 5، √x / 25، |x| + |y| / x، (3 - a) / (2 + x)، 14 / (5 - n)، (mn + n²) / (5 - n)، 1 / √x، (x - 5) / √(3 + 1) و (x₁ √y + 1) / x² گویا هستند.", + "اما اگر مخرج صفر شود، عبارت تعریف نشده است و گویا نیست.", + "✅ جواب: همه‌ی عبارت‌ها گویا هستند (بر اساس تعریف کتاب)" + ] }, { "title": "ساده‌سازی عبارت‌های گویا", - "introText": "۱. صورت و مخرج کسر را تجزیه کنید.\n۲. عوامل مشترک صورت و مخرج را حذف کنید.\n۳. عبارت ساده شده را بنویسید." + "introText": "۱. صورت و مخرج کسر را تجزیه کنید.\n۲. عوامل مشترک صورت و مخرج را حذف کنید.\n۳. عبارت ساده شده را بنویسید.", + "example": "حاصل عبارت ((2/a - 3/(a+1))/(2/(a+1) - 3/a)) را به ساده‌ترین صورت بنویسید، با فرض اینکه a ≠ 0 و a ≠ -1.", + "steps": [ + "صورت و مخرج را جداگانه بررسی می‌کنیم:", + "صورت: 2/a - 3/(a+1)", + "مخرج: 2/(a+1) - 3/a", + "مخرج مشترک صورت:", + "a(a+1)", + "✅ جواب: a-2 / a+3" + ] }, { "title": "تشخیص عبارت‌های ساده شده", @@ -1039,7 +1847,16 @@ }, { "title": "یافتن مقادیر تعریف نشده", - "introText": "۱. مخرج کسر را برابر صفر قرار دهید.\n۲. معادله را حل کنید تا مقادیر تعریف نشده را بیابید." + "introText": "۱. مخرج کسر را برابر صفر قرار دهید.\n۲. معادله را حل کنید تا مقادیر تعریف نشده را بیابید.", + "example": "برای عبارت‌های گویا زیر، مقادیری از متغیر که تعریف نشده‌اند را بیابید:\nالف) (8x + 5) / 2\nب) (7 + x) / x\nج) (1 + 2b) / (2b - 1)\nد) (3x) / (x² + 4)\nه) x / (x² - 1)\nو) (a + 5) / (a² - 5a + 6)", + "steps": [ + "الف) مخرج 2 است که هیچگاه صفر نمی‌شود، پس تعریف نشده ندارد.", + "ب) مخرج x است، پس x ≠ 0.", + "ج) مخرج 2b - 1 است، پس 2b - 1 = 0 ⇒ b = 1/2.", + "د) مخرج x² + 4 است که هیچگاه صفر نمی‌شود (چون x² + 4 > 0 برای هر x)، پس تعریف نشده ندارد.", + "ه) مخرج x² - 1 = (x - 1)(x + 1) است، پس x ≠ 1 و x ≠ -1.", + "✅ جواب: همه موارد درست است: الف) تعریف‌نشده ندارد، ب) x≠0، ج) b≠1/2، د) ندارد، ه) x≠1,-1، و) a≠2,3" + ] }, { "title": "ساده‌سازی حاصل عبارت", @@ -1047,7 +1864,14 @@ }, { "title": "محاسبه مقدار عبارت‌های گویا", - "introText": "۱. صورت و مخرج کسر را ساده کنید.\n۲. مقدار عددی را جایگذاری کنید.\n۳. عملیات ریاضی را انجام دهید تا مقدار نهایی به دست آید." + "introText": "۱. صورت و مخرج کسر را ساده کنید.\n۲. مقدار عددی را جایگذاری کنید.\n۳. عملیات ریاضی را انجام دهید تا مقدار نهایی به دست آید.", + "example": "کدام یک از عبارت‌های زیر گویا است؟\n\n|x| + |y| / x، √x / 25، √(3 + x) / 5، ah / 2، (x + 6) / 3، 7 / (x - 1)، (3 - a) / (2 + x)، 14 / (5 - n)، (mn + n²) / (5 - n)، 1 / √x، (x - 5) / √(3 + 1)، (x₁ √y + 1) / x²", + "steps": [ + "عبارت‌های گویا عبارت‌هایی هستند که به صورت کسر جبری نوشته شده‌اند و مخرج آن‌ها صفر نشود.", + "بنابراین عبارت‌هایی مانند 7 / (x - 1)، (x + 6) / 3، ah / 2، √(3 + x) / 5، √x / 25، |x| + |y| / x، (3 - a) / (2 + x)، 14 / (5 - n)، (mn + n²) / (5 - n)، 1 / √x، (x - 5) / √(3 + 1) و (x₁ √y + 1) / x² گویا هستند.", + "اما اگر مخرج صفر شود، عبارت تعریف نشده است و گویا نیست.", + "✅ جواب: همه‌ی عبارت‌ها گویا هستند (بر اساس تعریف کتاب)" + ] }, { "title": "تشخیص عبارت‌های معادل", @@ -1069,7 +1893,15 @@ }, { "title": "جمع و تفریق عبارت‌های گویا", - "introText": "۱. مخرج مشترک برای همه کسرها پیدا کنید.\n۲. صورت‌ها را با توجه به مخرج مشترک جدید جمع یا تفریق کنید.\n۳. عبارت به دست آمده را ساده کنید." + "introText": "۱. مخرج مشترک برای همه کسرها پیدا کنید.\n۲. صورت‌ها را با توجه به مخرج مشترک جدید جمع یا تفریق کنید.\n۳. عبارت به دست آمده را ساده کنید.", + "example": "جمع دو عبارت گویا را محاسبه کنید:\nالف) (3x + 7) / (x + 2) + (2x - 3) / (x + 2)", + "steps": [ + "مخرج‌ها مشابه هستند (x + 2).", + "صورت‌ها را جمع می‌کنیم: (3x + 7) + (2x - 3) = 3x + 7 + 2x - 3 = 5x + 4", + "مخرج را ثابت نگه می‌داریم: (x + 2)", + "نتیجه نهایی: (5x + 4) / (x + 2)", + "✅ جواب: 5x + 4 / (x + 2)" + ] }, { "title": "ساده کردن عبارت‌های گویا", @@ -1081,7 +1913,16 @@ }, { "title": "ساده‌سازی عبارت‌های گویا", - "introText": "۱. مخرج‌ها را یکسان کنید.\n۲. صورت‌ها را با هم جمع یا تفریق کنید.\n۳. عبارت را تا حد ممکن ساده کنید." + "introText": "۱. مخرج‌ها را یکسان کنید.\n۲. صورت‌ها را با هم جمع یا تفریق کنید.\n۳. عبارت را تا حد ممکن ساده کنید.", + "example": "حاصل عبارت ((2/a - 3/(a+1))/(2/(a+1) - 3/a)) را به ساده‌ترین صورت بنویسید، با فرض اینکه a ≠ 0 و a ≠ -1.", + "steps": [ + "صورت و مخرج را جداگانه بررسی می‌کنیم:", + "صورت: 2/a - 3/(a+1)", + "مخرج: 2/(a+1) - 3/a", + "مخرج مشترک صورت:", + "a(a+1)", + "✅ جواب: a-2 / a+3" + ] }, { "title": "محاسبه مساحت با استفاده از عبارت‌های گویا", @@ -1135,7 +1976,16 @@ }, { "title": "تقسیم چندجمله‌ای‌ها", - "introText": "۱. چندجمله‌ای مقسوم را بر چندجمله‌ای مقسوم‌علیه تقسیم کنید. ۲. اولین جمله مقسوم را بر اولین جمله مقسوم‌علیه تقسیم کنید. ۳. حاصل را در مقسوم‌علیه ضرب کرده و از مقسوم کم کنید. ۴. مراحل را تا زمانی که درجه باقیمانده کمتر از درجه مقسوم‌علیه شود، تکرار کنید." + "introText": "۱. چندجمله‌ای مقسوم را بر چندجمله‌ای مقسوم‌علیه تقسیم کنید. ۲. اولین جمله مقسوم را بر اولین جمله مقسوم‌علیه تقسیم کنید. ۳. حاصل را در مقسوم‌علیه ضرب کرده و از مقسوم کم کنید. ۴. مراحل را تا زمانی که درجه باقیمانده کمتر از درجه مقسوم‌علیه شود، تکرار کنید.", + "example": "تقسیم چندجمله‌ای 10x⁴ - 3x² + 2x - 19 بر 2x² - 3 را انجام دهید و رابطه تقسیم را بنویسید.", + "steps": [ + "تقسیم جمله اول: 10x⁴ ÷ 2x² = 5x²", + "ضرب 5x² در تقسیم‌کننده: 5x² × (2x² - 3) = 10x⁴ - 15x²", + "تفریق: (10x⁴ - 3x² + 2x - 19) - (10x⁴ - 15x²) = 12x² + 2x - 19", + "تقسیم جمله اول باقی‌مانده: 12x² ÷ 2x² = 6", + "ضرب 6 در تقسیم‌کننده: 6 × (2x² - 3) = 12x² - 18", + "✅ جواب: خارج‌قسمت 5x²+6 و باقی‌مانده 2x-1" + ] } ] } @@ -1143,6 +1993,7 @@ }, { "title": "فصل ۸: حجم و مساحت", + "blurb": "در این فصل: حجم و مساحت کره، حجم هرم و مخروط و سطح و حجم.", "order": 8, "nodes": [ { @@ -1151,19 +2002,55 @@ "lessons": [ { "title": "محاسبه حجم کره و استوانه", - "introText": "۱. فرمول حجم کره: V = \\frac{4}{3} \\pi R^3\n۲. فرمول حجم استوانه: V = \\pi R^2 h\n۳. جایگذاری مقادیر داده شده در فرمول مناسب.\n۴. محاسبه و ساده‌سازی نتیجه." + "introText": "۱. فرمول حجم کره: V = \\frac{4}{3} \\pi R^3\n۲. فرمول حجم استوانه: V = \\pi R^2 h\n۳. جایگذاری مقادیر داده شده در فرمول مناسب.\n۴. محاسبه و ساده‌سازی نتیجه.", + "example": "کره‌ای در استوانه‌ای به قطر قاعده و ارتفاع ۱۰ سانتی‌متر محاط شده است. الف) حجم کره را به دست آورید. ب) حجم استوانه را به دست آورید. ج) حجم فضای بین کره و استوانه را به دست آورید. ۲- حجم نیم کره‌ای به شعاع ۱۰ سانتی‌متر را به دست آورید.", + "steps": [ + "الف) شعاع کره برابر نصف قطر قاعده است، یعنی r = 5 سانتی‌متر.", + "حجم کره: V_کره = (4/3)πr³ = (4/3)π(5)³ = (4/3)π125 = (500/3)π سانتی‌متر مکعب.", + "ب) شعاع قاعده استوانه r = 5 سانتی‌متر و ارتفاع h = 10 سانتی‌متر.", + "حجم استوانه: V_استوانه = πr²h = π(5)²(10) = π(25)(10) = 250π سانتی‌متر مکعب.", + "ج) حجم فضای بین کره و استوانه برابر است با حجم استوانه منهای حجم کره:", + "✅ جواب: V_کره=۵۰۰π/۳، V_استوانه=۲۵۰π، V_فضا=۲۵۰π/۳، V_نیم‌کره=۲۰۰۰π/۳" + ] }, { "title": "محاسبه مساحت سطح کره", - "introText": "۱. شعاع کره را مشخص کنید.\n۲. از فرمول مساحت سطح کره کامل استفاده کنید: S = ۴πR².\n۳. اگر نیم‌کره باشد، مساحت را نصف کنید و سطح قاعده را اضافه کنید." + "introText": "۱. شعاع کره را مشخص کنید.\n۲. از فرمول مساحت سطح کره کامل استفاده کنید: S = ۴πR².\n۳. اگر نیم‌کره باشد، مساحت را نصف کنید و سطح قاعده را اضافه کنید.", + "example": "می‌خواهیم یک نیم‌کره چوبی توپر به شعاع ۱۰ سانتی‌متر را رنگ کنیم. مساحت کل قسمت رنگ شده را پیدا کنید. سپس بین محاسبه مساحت کل نیم‌کره چوبی توپر و مساحت رویه یک عرق‌چین چه تفاوتی هست؟", + "steps": [ + "شعاع نیم‌کره R = 10 سانتی‌متر است.", + "مساحت سطح کروی نیم‌کره چوبی توپر 2πR² = 2 × π × 10² = 200π سانتی‌متر مربع است.", + "مساحت کل سطح نیم‌کره چوبی توپر (شامل قاعده) 3πR² = 3 × π × 100 = 300π سانتی‌متر مربع است.", + "مساحت رویه عرق‌چین نیز 200π سانتی‌متر مربع است.", + "تفاوت در این است که مساحت کل نیم‌کره چوبی شامل قاعده دایره‌ای نیز می‌شود، ولی مساحت رویه عرق‌چین فقط سطح کروی نیم‌کره است.", + "✅ جواب: مساحت کل نیم‌کره توپر ۳۰۰π=۹۴۲.۵ سانتی‌متر مربع است؛ رویه عرق‌چین فقط ۲۰۰π است." + ] }, { "title": "محاسبه حجم استوانه", - "introText": "۱. شعاع قاعده استوانه را با تقسیم قطر بر ۲ محاسبه کنید.\n۲. مساحت قاعده را با استفاده از فرمول πr^2 محاسبه کنید.\n۳. حجم استوانه را با ضرب مساحت قاعده در ارتفاع محاسبه کنید." + "introText": "۱. شعاع قاعده استوانه را با تقسیم قطر بر ۲ محاسبه کنید.\n۲. مساحت قاعده را با استفاده از فرمول πr^2 محاسبه کنید.\n۳. حجم استوانه را با ضرب مساحت قاعده در ارتفاع محاسبه کنید.", + "example": "کره‌ای در استوانه‌ای به قطر قاعده و ارتفاع ۱۰ سانتی‌متر محاط شده است. الف) حجم کره را به دست آورید. ب) حجم استوانه را به دست آورید. ج) حجم فضای بین کره و استوانه را به دست آورید. ۲- حجم نیم کره‌ای به شعاع ۱۰ سانتی‌متر را به دست آورید.", + "steps": [ + "الف) شعاع کره برابر نصف قطر قاعده است، یعنی r = 5 سانتی‌متر.", + "حجم کره: V_کره = (4/3)πr³ = (4/3)π(5)³ = (4/3)π125 = (500/3)π سانتی‌متر مکعب.", + "ب) شعاع قاعده استوانه r = 5 سانتی‌متر و ارتفاع h = 10 سانتی‌متر.", + "حجم استوانه: V_استوانه = πr²h = π(5)²(10) = π(25)(10) = 250π سانتی‌متر مکعب.", + "ج) حجم فضای بین کره و استوانه برابر است با حجم استوانه منهای حجم کره:", + "✅ جواب: V_کره=۵۰۰π/۳، V_استوانه=۲۵۰π، V_فضا=۲۵۰π/۳، V_نیم‌کره=۲۰۰۰π/۳" + ] }, { "title": "محاسبه ارتفاع مایع در استوانه", - "introText": "۱. حجم مایع را محاسبه کنید.\n۲. شعاع قاعده استوانه را با تقسیم قطر بر ۲ محاسبه کنید.\n۳. مساحت قاعده را با استفاده از فرمول πr^2 محاسبه کنید.\n۴. ارتفاع مایع را با تقسیم حجم مایع بر مساحت قاعده محاسبه کنید." + "introText": "۱. حجم مایع را محاسبه کنید.\n۲. شعاع قاعده استوانه را با تقسیم قطر بر ۲ محاسبه کنید.\n۳. مساحت قاعده را با استفاده از فرمول πr^2 محاسبه کنید.\n۴. ارتفاع مایع را با تقسیم حجم مایع بر مساحت قاعده محاسبه کنید.", + "example": "کره‌ای در استوانه‌ای به قطر قاعده و ارتفاع ۱۰ سانتی‌متر محاط شده است. الف) حجم کره را به دست آورید. ب) حجم استوانه را به دست آورید. ج) حجم فضای بین کره و استوانه را به دست آورید. ۲- حجم نیم کره‌ای به شعاع ۱۰ سانتی‌متر را به دست آورید.", + "steps": [ + "الف) شعاع کره برابر نصف قطر قاعده است، یعنی r = 5 سانتی‌متر.", + "حجم کره: V_کره = (4/3)πr³ = (4/3)π(5)³ = (4/3)π125 = (500/3)π سانتی‌متر مکعب.", + "ب) شعاع قاعده استوانه r = 5 سانتی‌متر و ارتفاع h = 10 سانتی‌متر.", + "حجم استوانه: V_استوانه = πr²h = π(5)²(10) = π(25)(10) = 250π سانتی‌متر مکعب.", + "ج) حجم فضای بین کره و استوانه برابر است با حجم استوانه منهای حجم کره:", + "✅ جواب: V_کره=۵۰۰π/۳، V_استوانه=۲۵۰π، V_فضا=۲۵۰π/۳، V_نیم‌کره=۲۰۰۰π/۳" + ] } ] }, @@ -1173,23 +2060,53 @@ "lessons": [ { "title": "حجم هرم", - "introText": "برای محاسبه حجم هرم، مساحت قاعده را در ارتفاع هرم ضرب کرده و سپس بر ۳ تقسیم می‌کنیم." + "introText": "برای محاسبه حجم هرم، مساحت قاعده را در ارتفاع هرم ضرب کرده و سپس بر ۳ تقسیم می‌کنیم.", + "example": "اگر دو هرم دارای قاعده‌های هم مساحت و ارتفاع‌های مساوی باشند، حجم‌های آن‌ها چگونه است؟", + "steps": [ + "حجم هر هرم برابر است با یک سوم حاصل‌ضرب مساحت قاعده در ارتفاع.", + "چون مساحت قاعده‌ها و ارتفاع‌ها برابر است، حجم‌های دو هرم نیز برابر است.", + "✅ جواب: حجم‌های دو هرم برابر است." + ] }, { "title": "مقایسه حجم هرم‌ها", - "introText": "۱. مساحت قاعده هر هرم را محاسبه کنید.\n۲. ارتفاع هر هرم را بیابید.\n۳. حجم هر هرم را با استفاده از فرمول حجم هرم (۱/۳ × مساحت قاعده × ارتفاع) محاسبه کنید.\n۴. حجم‌ها را با یکدیگر مقایسه کنید." + "introText": "۱. مساحت قاعده هر هرم را محاسبه کنید.\n۲. ارتفاع هر هرم را بیابید.\n۳. حجم هر هرم را با استفاده از فرمول حجم هرم (۱/۳ × مساحت قاعده × ارتفاع) محاسبه کنید.\n۴. حجم‌ها را با یکدیگر مقایسه کنید.", + "example": "اگر دو هرم دارای قاعده‌های هم مساحت و ارتفاع‌های مساوی باشند، حجم‌های آن‌ها چگونه است؟", + "steps": [ + "حجم هر هرم برابر است با یک سوم حاصل‌ضرب مساحت قاعده در ارتفاع.", + "چون مساحت قاعده‌ها و ارتفاع‌ها برابر است، حجم‌های دو هرم نیز برابر است.", + "✅ جواب: حجم‌های دو هرم برابر است." + ] }, { "title": "مقایسه مساحت و ارتفاع هرم‌ها", - "introText": "۱. مساحت قاعده هر هرم را محاسبه کنید.\n۲. ارتفاع هر هرم را بیابید.\n۳. مقایسه کنید که آیا مساحت و ارتفاع‌ها برابر هستند یا خیر." + "introText": "۱. مساحت قاعده هر هرم را محاسبه کنید.\n۲. ارتفاع هر هرم را بیابید.\n۳. مقایسه کنید که آیا مساحت و ارتفاع‌ها برابر هستند یا خیر.", + "example": "اگر دو هرم دارای قاعده‌های هم مساحت و ارتفاع‌های مساوی باشند، حجم‌های آن‌ها چگونه است؟", + "steps": [ + "حجم هر هرم برابر است با یک سوم حاصل‌ضرب مساحت قاعده در ارتفاع.", + "چون مساحت قاعده‌ها و ارتفاع‌ها برابر است، حجم‌های دو هرم نیز برابر است.", + "✅ جواب: حجم‌های دو هرم برابر است." + ] }, { "title": "محاسبه حجم هرم", - "introText": "برای محاسبه حجم هرم، ابتدا مساحت قاعده را محاسبه کنید. سپس ارتفاع هرم را پیدا کنید. حجم هرم برابر است با یک سوم مساحت قاعده ضربدر ارتفاع." + "introText": "برای محاسبه حجم هرم، ابتدا مساحت قاعده را محاسبه کنید. سپس ارتفاع هرم را پیدا کنید. حجم هرم برابر است با یک سوم مساحت قاعده ضربدر ارتفاع.", + "example": "اگر دو هرم دارای قاعده‌های هم مساحت و ارتفاع‌های مساوی باشند، حجم‌های آن‌ها چگونه است؟", + "steps": [ + "حجم هر هرم برابر است با یک سوم حاصل‌ضرب مساحت قاعده در ارتفاع.", + "چون مساحت قاعده‌ها و ارتفاع‌ها برابر است، حجم‌های دو هرم نیز برابر است.", + "✅ جواب: حجم‌های دو هرم برابر است." + ] }, { "title": "محاسبه حجم و مساحت هرم", - "introText": "۱. محاسبه مساحت قاعده هرم.\n۲. محاسبه مساحت جانبی با استفاده از مساحت مثلث‌های جانبی.\n۳. استفاده از فرمول حجم هرم: V = (1/3) × مساحت قاعده × ارتفاع." + "introText": "۱. محاسبه مساحت قاعده هرم.\n۲. محاسبه مساحت جانبی با استفاده از مساحت مثلث‌های جانبی.\n۳. استفاده از فرمول حجم هرم: V = (1/3) × مساحت قاعده × ارتفاع.", + "example": "اگر دو هرم دارای قاعده‌های هم مساحت و ارتفاع‌های مساوی باشند، حجم‌های آن‌ها چگونه است؟", + "steps": [ + "حجم هر هرم برابر است با یک سوم حاصل‌ضرب مساحت قاعده در ارتفاع.", + "چون مساحت قاعده‌ها و ارتفاع‌ها برابر است، حجم‌های دو هرم نیز برابر است.", + "✅ جواب: حجم‌های دو هرم برابر است." + ] }, { "title": "حجم مخروط", @@ -1197,7 +2114,13 @@ }, { "title": "مقایسه حجم‌ها", - "introText": "برای مقایسه حجم‌ها، ابتدا حجم هر شکل را جداگانه محاسبه کرده و سپس مقایسه می‌کنیم." + "introText": "برای مقایسه حجم‌ها، ابتدا حجم هر شکل را جداگانه محاسبه کرده و سپس مقایسه می‌کنیم.", + "example": "اگر دو هرم دارای قاعده‌های هم مساحت و ارتفاع‌های مساوی باشند، حجم‌های آن‌ها چگونه است؟", + "steps": [ + "حجم هر هرم برابر است با یک سوم حاصل‌ضرب مساحت قاعده در ارتفاع.", + "چون مساحت قاعده‌ها و ارتفاع‌ها برابر است، حجم‌های دو هرم نیز برابر است.", + "✅ جواب: حجم‌های دو هرم برابر است." + ] } ] }, @@ -1262,6 +2185,7 @@ "units": [ { "title": "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", + "blurb": "در این فصل: عدد و الگوهای عددی — گروه 1، عدد و الگوهای عددی — گروه 2 و عدد و الگوهای عددی — گروه 3 و ….", "order": 1, "nodes": [ { @@ -1396,7 +2320,13 @@ }, { "title": "تقریب اعداد", - "introText": "برای تقریب اعداد، ابتدا رقم‌های بعد از محل تقریب را بررسی کنید. اگر رقم بعدی ۵ یا بیشتر باشد، رقم محل تقریب را یک واحد افزایش دهید و بقیه رقم‌ها را صفر کنید. اگر کمتر از ۵ باشد، رقم محل تقریب را ثابت نگه دارید و بقیه رقم‌ها را صفر کنید." + "introText": "برای تقریب اعداد، ابتدا رقم‌های بعد از محل تقریب را بررسی کنید. اگر رقم بعدی ۵ یا بیشتر باشد، رقم محل تقریب را یک واحد افزایش دهید و بقیه رقم‌ها را صفر کنید. اگر کمتر از ۵ باشد، رقم محل تقریب را ثابت نگه دارید و بقیه رقم‌ها را صفر کنید.", + "example": "سن دانش‌آموزان را به سال بیان کنید. آن را با چه روشی تقریب زده‌ایم؟", + "steps": [ + "برای تبدیل سن به سال، ماه‌ها را در نظر نمی‌گیریم و فقط سال کامل را در نظر می‌گیریم.", + "به این روش، سن دانش‌آموزان به سال تقریب زده شده است.", + "✅ جواب: قطع کردن و نادیده گرفتن ماه‌ها" + ] }, { "title": "تقسیم باقیمانده", @@ -1468,7 +2398,14 @@ }, { "title": "جمع کسرها", - "introText": "برای جمع کسرها، ابتدا مخرج‌های کسرها را بررسی کنید. اگر مخرج‌ها متفاوت باشند، مخرج مشترک پیدا کنید و کسرها را به مخرج مشترک تبدیل کنید. سپس صورت‌ها را جمع کنید و مخرج را ثابت نگه دارید." + "introText": "برای جمع کسرها، ابتدا مخرج‌های کسرها را بررسی کنید. اگر مخرج‌ها متفاوت باشند، مخرج مشترک پیدا کنید و کسرها را به مخرج مشترک تبدیل کنید. سپس صورت‌ها را جمع کنید و مخرج را ثابت نگه دارید.", + "example": "۱/۷ + ۱/۸ را محاسبه کنید.", + "steps": [ + "مخرج مشترک ۵۶ است.", + "کسرها به ۸/۵۶ و ۷/۵۶ تبدیل می‌شوند.", + "سپس صورت‌ها جمع می‌شوند: ۸ + ۷ = ۱۵.", + "بنابراین جواب برابر است با ۱۵/۵۶." + ] }, { "title": "رابطه بین تعداد مربع‌ها و شماره شکل‌ها", @@ -1510,7 +2447,13 @@ }, { "title": "محاسبه درصد", - "introText": "برای محاسبه درصد، ابتدا مقدار مورد نظر را بر کل مقدار تقسیم کنید و سپس حاصل را در ۱۰۰ ضرب کنید." + "introText": "برای محاسبه درصد، ابتدا مقدار مورد نظر را بر کل مقدار تقسیم کنید و سپس حاصل را در ۱۰۰ ضرب کنید.", + "example": "عدد ۲ را ۲ برابر کنید. چند درصد به آن اضافه کرده‌ایم؟", + "steps": [ + "۲ برابر عدد ۲: ۲ × ۲ = ۴.", + "مقدار افزایش: ۴ - ۲ = ۲.", + "درصد افزایش: (۲ ÷ ۲) × ۱۰۰ = ۱۰۰٪." + ] }, { "title": "محاسبه مصرف آب مجازی", @@ -1522,11 +2465,22 @@ }, { "title": "مقایسه اعداد", - "introText": "برای مقایسه اعداد، ابتدا تعداد ارقام هر عدد را بررسی کنید. اگر تعداد ارقام برابر بود، از سمت چپ به راست هر رقم را با رقم متناظر مقایسه کنید تا عدد بزرگتر یا کوچکتر مشخص شود." + "introText": "برای مقایسه اعداد، ابتدا تعداد ارقام هر عدد را بررسی کنید. اگر تعداد ارقام برابر بود، از سمت چپ به راست هر رقم را با رقم متناظر مقایسه کنید تا عدد بزرگتر یا کوچکتر مشخص شود.", + "example": "اعداد ۳۰۷۲۳۰۱ و ۳۰۷۲۰۳۰۱ را مقایسه کنید و علامت مناسب قرار دهید.", + "steps": [ + "عدد ۳۰۷۲۳۰۱ کوچکتر از عدد ۳۰۷۲۰۳۰۱ است.", + "بنابراین علامت مناسب < است.", + "✅ جواب: 3072301 < 30720301" + ] }, { "title": "مقایسه اعداد صحیح", - "introText": "برای مقایسه اعداد صحیح، ابتدا به علامت آن‌ها توجه کنید. اعداد مثبت همیشه بزرگتر از اعداد منفی هستند. سپس اگر هر دو عدد مثبت یا هر دو عدد منفی باشند، عددی که مقدار مطلق بزرگتری دارد، بزرگتر است." + "introText": "برای مقایسه اعداد صحیح، ابتدا به علامت آن‌ها توجه کنید. اعداد مثبت همیشه بزرگتر از اعداد منفی هستند. سپس اگر هر دو عدد مثبت یا هر دو عدد منفی باشند، عددی که مقدار مطلق بزرگتری دارد، بزرگتر است.", + "example": "مقایسه کنید: -۵ و +۴", + "steps": [ + "-۵ کوچکتر از +۴ است، زیرا عدد منفی کوچکتر از عدد مثبت است.", + "✅ جواب: -۵ کوچکتر از +۴ است، زیرا عدد منفی همواره از عدد مثبت کوچکتر است." + ] } ] }, @@ -1544,7 +2498,12 @@ }, { "title": "نمایش اعداد روی محور", - "introText": "برای نمایش اعداد روی محور، ابتدا محور را رسم کنید و نقاط مشخص شده را با توجه به مقدار عدد و جهت مثبت یا منفی روی محور علامت‌گذاری کنید." + "introText": "برای نمایش اعداد روی محور، ابتدا محور را رسم کنید و نقاط مشخص شده را با توجه به مقدار عدد و جهت مثبت یا منفی روی محور علامت‌گذاری کنید.", + "example": "محل عدد ۱۴۹۰۰۰۰۶۸ را روی محور نشان دهید.", + "steps": [ + "عدد ۱۴۹۰۰۰۰۶۸ بین ۱۰۰ میلیون و ۲۰۰ میلیون قرار دارد و نزدیک‌تر به ۱۵۰ میلیون است.", + "✅ جواب: ۱۵۰,۰۰۰,۰۰۰ (۱۵۰ میلیون)" + ] }, { "title": "نمایش اعداد صحیح روی محور", @@ -1572,6 +2531,7 @@ }, { "title": "فصل ۲: کسر", + "blurb": "در این فصل: کسر — گروه 1، کسر — گروه 2، کسر — گروه 3، کسر — گروه 4، کسر — گروه 5 و کسر — گروه 6.", "order": 2, "nodes": [ { @@ -1596,7 +2556,14 @@ }, { "title": "ترتیب کسرها", - "introText": "برای مرتب کردن کسرها از کوچک به بزرگ یا برعکس، ابتدا کسرها را به صورت اعشاری تبدیل کنید یا مخرج مشترک بگیرید. سپس مقدار عددی هر کسر را مقایسه کنید و ترتیب مناسب را مشخص کنید." + "introText": "برای مرتب کردن کسرها از کوچک به بزرگ یا برعکس، ابتدا کسرها را به صورت اعشاری تبدیل کنید یا مخرج مشترک بگیرید. سپس مقدار عددی هر کسر را مقایسه کنید و ترتیب مناسب را مشخص کنید.", + "example": "۱/۳، ۱/۶، ۵/۱۸، ۱/۵ را از بزرگ به کوچک مرتب کنید.", + "steps": [ + "مخرج مشترک برابر با ۱۸ است.", + "کسرها به ترتیب تبدیل می‌شوند به: ۶/۱۸، ۳/۱۸، ۵/۱۸، 4/18.", + "ترتیب از بزرگ به کوچک: ۶/۱۸، ۵/۱۸، ۴/۱۸، ۳/۱۸.", + "✅ جواب: مرتب‌شده: ۱/۳، ۵/۱۸، ۱/۵، ۱/۶" + ] }, { "title": "تشخیص محاسبه درست ضرب کسرها", @@ -1622,7 +2589,13 @@ }, { "title": "تقسیم کسرها", - "introText": "۱. کسر دوم را معکوس کنید (صورت و مخرج را جابجا کنید). ۲. کسر اول را در کسر معکوس شده ضرب کنید. ۳. حاصل را ساده کنید (در صورت امکان)." + "introText": "۱. کسر دوم را معکوس کنید (صورت و مخرج را جابجا کنید). ۲. کسر اول را در کسر معکوس شده ضرب کنید. ۳. حاصل را ساده کنید (در صورت امکان).", + "example": "۳/۴ ÷ ۲/۵", + "steps": [ + "ابتدا کسر دوم را معکوس می‌کنیم: ۵/۲.", + "سپس دو کسر را ضرب می‌کنیم: (۳×۵)/(۴×۲) = ۱۵/۸.", + "پاسخ نهایی: ۱۵/۸." + ] }, { "title": "تقسیم کسرها با استفاده از شکل", @@ -1664,7 +2637,12 @@ }, { "title": "جمع و تفریق کسرها", - "introText": "۱. مخرج مشترک کسرها را پیدا کنید.\n۲. صورت کسرها را با توجه به مخرج مشترک جدید تغییر دهید.\n۳. صورت‌ها را جمع یا تفریق کنید.\n۴. اگر ممکن بود، کسر حاصل را ساده کنید." + "introText": "۱. مخرج مشترک کسرها را پیدا کنید.\n۲. صورت کسرها را با توجه به مخرج مشترک جدید تغییر دهید.\n۳. صورت‌ها را جمع یا تفریق کنید.\n۴. اگر ممکن بود، کسر حاصل را ساده کنید.", + "example": "کدام محاسبه درست انجام شده است؟ ۲/۵ + ۱/۵ = ۳/۵ یا ۲/۵ + ۱/۵ = ۴/۵", + "steps": [ + "ابتدا مخرج مشترک داریم: ۲/۵ + ۱/۵ = (۲+۱)/۵ = ۳/۵.", + "بنابراین محاسبه درست: ۲/۵ + ۱/۵ = ۳/۵." + ] }, { "title": "جمع و تفریق کسرها با مخرج‌های مختلف", @@ -1672,7 +2650,14 @@ }, { "title": "جمع کسرها", - "introText": "برای جمع کسرها ابتدا باید مخرج مشترک پیدا کنید. سپس صورت هر کسر را متناسب با مخرج مشترک جدید تغییر دهید. در نهایت صورت‌ها را جمع کرده و کسر حاصل را ساده کنید." + "introText": "برای جمع کسرها ابتدا باید مخرج مشترک پیدا کنید. سپس صورت هر کسر را متناسب با مخرج مشترک جدید تغییر دهید. در نهایت صورت‌ها را جمع کرده و کسر حاصل را ساده کنید.", + "example": "۱/۷ + ۱/۸ را محاسبه کنید.", + "steps": [ + "مخرج مشترک ۵۶ است.", + "کسرها به ۸/۵۶ و ۷/۵۶ تبدیل می‌شوند.", + "سپس صورت‌ها جمع می‌شوند: ۸ + ۷ = ۱۵.", + "بنابراین جواب برابر است با ۱۵/۵۶." + ] }, { "title": "جمع کسرها با مخرج‌های متفاوت", @@ -1698,7 +2683,12 @@ }, { "title": "ساده‌سازی کسرها", - "introText": "برای ساده‌سازی کسرها، صورت و مخرج را بر بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م.م) تقسیم کنید تا کسر به ساده‌ترین شکل ممکن تبدیل شود." + "introText": "برای ساده‌سازی کسرها، صورت و مخرج را بر بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م.م) تقسیم کنید تا کسر به ساده‌ترین شکل ممکن تبدیل شود.", + "example": "۸/۱۲ را ساده کنید.", + "steps": [ + "صورت و مخرج کسر را بر ۴ تقسیم می‌کنیم: ۸ ÷ ۴ = ۲ و ۱۲ ÷ ۴ = ۳.", + "بنابراین کسر ساده‌شده برابر است با ۲/۳." + ] }, { "title": "ضرب کسر در عدد صحیح", @@ -1706,7 +2696,14 @@ }, { "title": "ضرب کسرها", - "introText": "برای ضرب کسرها، صورت‌ها را در یکدیگر ضرب کنید و مخرج‌ها را نیز در یکدیگر ضرب کنید. سپس کسر حاصل را ساده کنید." + "introText": "برای ضرب کسرها، صورت‌ها را در یکدیگر ضرب کنید و مخرج‌ها را نیز در یکدیگر ضرب کنید. سپس کسر حاصل را ساده کنید.", + "example": "۳/۵ × ۲/۷", + "steps": [ + "صورت‌ها را ضرب می‌کنیم: ۳ × ۲ = ۶.", + "مخرج‌ها را ضرب می‌کنیم: ۵ × ۷ = ۳۵.", + "کسر حاصل: ۶/۳۵.", + "این کسر قابل ساده کردن نیست." + ] }, { "title": "محاسبه تعداد دانش‌آموزان با استفاده از کسر", @@ -1756,7 +2753,14 @@ }, { "title": "مقایسه کسرها", - "introText": "برای مقایسه کسرها، ابتدا مخرج مشترک پیدا کنید و کسرها را به مخرج مشترک تبدیل کنید. سپس صورت‌ها را مقایسه کنید تا مشخص شود کدام کسر بزرگتر یا کوچکتر است." + "introText": "برای مقایسه کسرها، ابتدا مخرج مشترک پیدا کنید و کسرها را به مخرج مشترک تبدیل کنید. سپس صورت‌ها را مقایسه کنید تا مشخص شود کدام کسر بزرگتر یا کوچکتر است.", + "example": "۵/۸ و ۳/۴ را مقایسه کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مخرج مشترک پیدا می‌کنیم: مخرج مشترک ۸ است.", + "کسر دوم را به مخرج مشترک تبدیل می‌کنیم: ۳/۴ = ۶/۸.", + "حالا صورت‌ها را مقایسه می‌کنیم: ۵/۸ < ۶/۸.", + "بنابراین، ۳/۴ بزرگ‌تر است." + ] }, { "title": "مقایسه کسرها با عدد صحیح", @@ -1806,6 +2810,7 @@ }, { "title": "فصل ۳: اعداد اعشاری", + "blurb": "در این فصل: اعداد اعشاری — گروه 1، اعداد اعشاری — گروه 2، اعداد اعشاری — گروه 3 و اعداد اعشاری — گروه 4 و ….", "order": 3, "nodes": [ { @@ -1842,7 +2847,11 @@ }, { "title": "تبدیل کسر به عدد اعشاری", - "introText": "برای تبدیل کسر به عدد اعشاری، صورت کسر را بر مخرج تقسیم کنید و نتیجه را به صورت اعشاری بنویسید." + "introText": "برای تبدیل کسر به عدد اعشاری، صورت کسر را بر مخرج تقسیم کنید و نتیجه را به صورت اعشاری بنویسید.", + "example": "۷ ÷ ۳", + "steps": [ + "۷ را بر ۳ تقسیم می‌کنیم که حاصل ۲.۳۳ است." + ] } ] }, @@ -1864,7 +2873,11 @@ }, { "title": "تقسیم اعداد اعشاری", - "introText": "برای تقسیم اعداد اعشاری، ابتدا اگر عدد مقسوم علیه اعشاری است، آن را به عدد صحیح تبدیل کنید (با ضرب در ۱۰، ۱۰۰ و غیره). سپس عملیات تقسیم را انجام دهید. در نهایت، ممیز را در جای مناسب قرار دهید." + "introText": "برای تقسیم اعداد اعشاری، ابتدا اگر عدد مقسوم علیه اعشاری است، آن را به عدد صحیح تبدیل کنید (با ضرب در ۱۰، ۱۰۰ و غیره). سپس عملیات تقسیم را انجام دهید. در نهایت، ممیز را در جای مناسب قرار دهید.", + "example": "۷/۵ لیتر آب‌میوه داریم. آب‌میوه را در ۶ لیوان به طور مساوی تقسیم کردیم. در هر لیوان چقدر آب‌میوه ریخته شده است؟", + "steps": [ + "۷/۵ ÷ ۶ = ۱/۲۵ لیتر در هر لیوان" + ] }, { "title": "تقسیم اعداد اعشاری به روش ذهنی", @@ -1902,7 +2915,13 @@ }, { "title": "تقسیم کسرها", - "introText": "برای تقسیم کسرها، کسر دوم را معکوس کنید (صورت و مخرج آن را جابه‌جا کنید) و سپس کسر اول را در کسر معکوس ضرب کنید." + "introText": "برای تقسیم کسرها، کسر دوم را معکوس کنید (صورت و مخرج آن را جابه‌جا کنید) و سپس کسر اول را در کسر معکوس ضرب کنید.", + "example": "۳/۴ ÷ ۲/۵", + "steps": [ + "ابتدا کسر دوم را معکوس می‌کنیم: ۵/۲.", + "سپس دو کسر را ضرب می‌کنیم: (۳×۵)/(۴×۲) = ۱۵/۸.", + "پاسخ نهایی: ۱۵/۸." + ] }, { "title": "جدول ارزش مکانی", @@ -1914,7 +2933,12 @@ }, { "title": "جمع و تفریق اعداد اعشاری", - "introText": "برای جمع و تفریق اعداد اعشاری، ابتدا اعداد را به صورت عمودی زیر هم قرار دهید و سپس عملیات جمع یا تفریق را از سمت راست به چپ انجام دهید. دقت کنید که نقاط اعشار در یک ستون قرار گیرند." + "introText": "برای جمع و تفریق اعداد اعشاری، ابتدا اعداد را به صورت عمودی زیر هم قرار دهید و سپس عملیات جمع یا تفریق را از سمت راست به چپ انجام دهید. دقت کنید که نقاط اعشار در یک ستون قرار گیرند.", + "example": "۴/۲۷۹ - ۲/۳۵۸ را محاسبه کنید.", + "steps": [ + "۴/۲۷۹ - ۲/۳۵۸ = ۱/۹۲۱", + "✅ جواب: 1.921" + ] }, { "title": "جمع و تفریق ذهنی اعداد اعشاری", @@ -1940,11 +2964,21 @@ }, { "title": "ساده‌سازی کسرها", - "introText": "برای ساده‌سازی کسرها، صورت و مخرج را بر بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک تقسیم کنید." + "introText": "برای ساده‌سازی کسرها، صورت و مخرج را بر بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک تقسیم کنید.", + "example": "۸/۱۲ را ساده کنید.", + "steps": [ + "صورت و مخرج کسر را بر ۴ تقسیم می‌کنیم: ۸ ÷ ۴ = ۲ و ۱۲ ÷ ۴ = ۳.", + "بنابراین کسر ساده‌شده برابر است با ۲/۳." + ] }, { "title": "ضرب اعداد اعشاری", - "introText": "برای ضرب اعداد اعشاری، ابتدا اعداد را بدون در نظر گرفتن ممیز ضرب کنید. سپس تعداد ارقام بعد از ممیز در هر دو عدد را بشمارید و ممیز را در پاسخ به همان تعداد ارقام به سمت چپ منتقل کنید." + "introText": "برای ضرب اعداد اعشاری، ابتدا اعداد را بدون در نظر گرفتن ممیز ضرب کنید. سپس تعداد ارقام بعد از ممیز در هر دو عدد را بشمارید و ممیز را در پاسخ به همان تعداد ارقام به سمت چپ منتقل کنید.", + "example": "۲ × ۰/۳ =", + "steps": [ + "۲ × ۰/۳ = ۰/۶", + "✅ جواب: 0.6" + ] }, { "title": "ضرب اعداد اعشاری در ۱۰، ۱۰۰ و ۱۰۰۰", @@ -1990,7 +3024,11 @@ }, { "title": "محیط دایره", - "introText": "برای محاسبه محیط دایره، قطر دایره را در عدد پی (۳.۱۴) ضرب کنید." + "introText": "برای محاسبه محیط دایره، قطر دایره را در عدد پی (۳.۱۴) ضرب کنید.", + "example": "محیط دایره = __ × __ = __", + "steps": [ + "محیط دایره = ۲ × شعاع × π" + ] }, { "title": "مسائل کاربردی با اعداد اعشاری", @@ -2040,6 +3078,7 @@ }, { "title": "فصل ۴: تقارن و مختصات", + "blurb": "در این فصل: تقارن و مختصات — گروه 1، تقارن و مختصات — گروه 2، تقارن و مختصات — گروه 3 و تقارن و مختصات — گروه 4 و ….", "order": 4, "nodes": [ { @@ -2270,6 +3309,7 @@ }, { "title": "فصل ۵: اندازه گیری", + "blurb": "در این فصل: اندازه گیری — گروه 1، اندازه گیری — گروه 2، اندازه گیری — گروه 3 و اندازه گیری — گروه 4 و ….", "order": 5, "nodes": [ { @@ -2290,7 +3330,11 @@ }, { "title": "تبدیل واحدها", - "introText": "برای تبدیل واحدها، ابتدا باید بدانیم که هر واحد چند برابر یا کسری از واحد دیگر است. سپس با استفاده از ضرب یا تقسیم، مقدار مورد نظر را به واحد جدید تبدیل می‌کنیم." + "introText": "برای تبدیل واحدها، ابتدا باید بدانیم که هر واحد چند برابر یا کسری از واحد دیگر است. سپس با استفاده از ضرب یا تقسیم، مقدار مورد نظر را به واحد جدید تبدیل می‌کنیم.", + "example": "۱ متر = چند سانتی‌متر؟", + "steps": [ + "۱ متر = ۱۰۰ سانتی‌متر" + ] }, { "title": "تبدیل واحدهای اندازه‌گیری", @@ -2302,7 +3346,13 @@ }, { "title": "تبدیل واحدهای طول", - "introText": "برای تبدیل واحدهای طول، باید از جدول تبدیل واحدها استفاده کنید. هر واحد را به واحد کوچکتر یا بزرگتر تبدیل کنید. برای تبدیل به واحد کوچکتر، عدد را در ۱۰ یا ۱۰۰ ضرب کنید و برای تبدیل به واحد بزرگتر، عدد را بر ۱۰ یا ۱۰۰ تقسیم کنید." + "introText": "برای تبدیل واحدهای طول، باید از جدول تبدیل واحدها استفاده کنید. هر واحد را به واحد کوچکتر یا بزرگتر تبدیل کنید. برای تبدیل به واحد کوچکتر، عدد را در ۱۰ یا ۱۰۰ ضرب کنید و برای تبدیل به واحد بزرگتر، عدد را بر ۱۰ یا ۱۰۰ تقسیم کنید.", + "example": "۱ متر = ۱۰۰ × ۱ = ۱۰۰ سانتی‌متر", + "steps": [ + "برای تبدیل ۱ متر به سانتی‌متر، مقدار متر را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم، زیرا هر متر برابر با ۱۰۰ سانتی‌متر است.", + "بنابراین، ۱ متر برابر با ۱۰۰ سانتی‌متر است.", + "✅ جواب: ۱ متر = ۱۰۰ سانتی‌متر" + ] }, { "title": "تبدیل واحدهای مساحت", @@ -2416,7 +3466,12 @@ }, { "title": "محاسبه حجم مکعب", - "introText": "برای محاسبه حجم مکعب، طول، عرض و ارتفاع آن را در یکدیگر ضرب کنید. فرمول حجم مکعب برابر است با: حجم = طول × عرض × ارتفاع." + "introText": "برای محاسبه حجم مکعب، طول، عرض و ارتفاع آن را در یکدیگر ضرب کنید. فرمول حجم مکعب برابر است با: حجم = طول × عرض × ارتفاع.", + "example": "حجم مکعبی به ضلع ۱/۲ دسی‌متر چند دسی‌متر مکعب است؟", + "steps": [ + "حجم = طول ضلع × طول ضلع × طول ضلع.", + "حجم = ۱/۲ × ۱/۲ × ۱/۲ = ۱/۸ دسی‌متر مکعب." + ] }, { "title": "محاسبه حجم مکعب مستطیل", @@ -2446,7 +3501,13 @@ }, { "title": "محاسبه درصد", - "introText": "برای محاسبه درصد یک مقدار نسبت به کل، مقدار مورد نظر را بر کل تقسیم کرده و حاصل را در ۱۰۰ ضرب کنید." + "introText": "برای محاسبه درصد یک مقدار نسبت به کل، مقدار مورد نظر را بر کل تقسیم کرده و حاصل را در ۱۰۰ ضرب کنید.", + "example": "عدد ۲ را ۲ برابر کنید. چند درصد به آن اضافه کرده‌ایم؟", + "steps": [ + "۲ برابر عدد ۲: ۲ × ۲ = ۴.", + "مقدار افزایش: ۴ - ۲ = ۲.", + "درصد افزایش: (۲ ÷ ۲) × ۱۰۰ = ۱۰۰٪." + ] }, { "title": "محاسبه درصد زاویه در دایره", @@ -2534,7 +3595,11 @@ }, { "title": "محیط دایره", - "introText": "برای محاسبه محیط دایره، از فرمول محیط = قطر × π یا محیط = ۲ × شعاع × π استفاده کنید. مقدار π معمولاً ۳.۱۴ در نظر گرفته می‌شود." + "introText": "برای محاسبه محیط دایره، از فرمول محیط = قطر × π یا محیط = ۲ × شعاع × π استفاده کنید. مقدار π معمولاً ۳.۱۴ در نظر گرفته می‌شود.", + "example": "محیط دایره = __ × __ = __", + "steps": [ + "محیط دایره = ۲ × شعاع × π" + ] } ] }, @@ -2572,6 +3637,7 @@ }, { "title": "فصل ۶: تناسب و درصد", + "blurb": "در این فصل: تناسب و درصد — گروه 1، تناسب و درصد — گروه 2، تناسب و درصد — گروه 3 و تناسب و درصد — گروه 4 و ….", "order": 6, "nodes": [ { @@ -2588,7 +3654,11 @@ }, { "title": "تبدیل کسر به عدد اعشاری", - "introText": "برای تبدیل یک کسر به عدد اعشاری، صورت کسر را بر مخرج آن تقسیم کنید. اگر لازم باشد، می‌توانید از ماشین حساب استفاده کنید." + "introText": "برای تبدیل یک کسر به عدد اعشاری، صورت کسر را بر مخرج آن تقسیم کنید. اگر لازم باشد، می‌توانید از ماشین حساب استفاده کنید.", + "example": "۷ ÷ ۳", + "steps": [ + "۷ را بر ۳ تقسیم می‌کنیم که حاصل ۲.۳۳ است." + ] }, { "title": "تحلیل احتمال با چرخنده", @@ -2600,7 +3670,13 @@ }, { "title": "تقریب اعداد", - "introText": "۱. عدد مورد نظر را مشخص کنید. \n۲. رقم مورد نظر برای تقریب را تعیین کنید (مثلاً دهگان، صدگان، هزارگان). \n۳. به رقم بعد از رقم مورد نظر نگاه کنید: \n - اگر این رقم کمتر از ۵ باشد، رقم مورد نظر ثابت می‌ماند و ارقام بعدی صفر می‌شوند. \n - اگر این رقم ۵ یا بیشتر باشد، یک واحد به رقم مورد نظر اضافه کنید و ارقام بعدی را صفر کنید." + "introText": "۱. عدد مورد نظر را مشخص کنید. \n۲. رقم مورد نظر برای تقریب را تعیین کنید (مثلاً دهگان، صدگان، هزارگان). \n۳. به رقم بعد از رقم مورد نظر نگاه کنید: \n - اگر این رقم کمتر از ۵ باشد، رقم مورد نظر ثابت می‌ماند و ارقام بعدی صفر می‌شوند. \n - اگر این رقم ۵ یا بیشتر باشد، یک واحد به رقم مورد نظر اضافه کنید و ارقام بعدی را صفر کنید.", + "example": "سن دانش‌آموزان را به سال بیان کنید. آن را با چه روشی تقریب زده‌ایم؟", + "steps": [ + "برای تبدیل سن به سال، ماه‌ها را در نظر نمی‌گیریم و فقط سال کامل را در نظر می‌گیریم.", + "به این روش، سن دانش‌آموزان به سال تقریب زده شده است.", + "✅ جواب: قطع کردن و نادیده گرفتن ماه‌ها" + ] }, { "title": "تناسب در جدول", @@ -2608,7 +3684,11 @@ }, { "title": "تکمیل جدول تناسب", - "introText": "۱. ابتدا نسبت‌های داده‌شده را بررسی کنید. ۲. مقدار مجهول را با استفاده از ضرب و تقسیم تناسبی محاسبه کنید. ۳. مقدار به‌دست‌آمده را در جدول قرار دهید." + "introText": "۱. ابتدا نسبت‌های داده‌شده را بررسی کنید. ۲. مقدار مجهول را با استفاده از ضرب و تقسیم تناسبی محاسبه کنید. ۳. مقدار به‌دست‌آمده را در جدول قرار دهید.", + "example": "جای‌های خالی را با عدد مناسب پر کنید: ۲۰/۱۰۰ = ۰/۲ = ...٪.", + "steps": [ + "۲۰/۱۰۰ = ۰/۲ = ۲۰٪." + ] } ] }, @@ -2668,7 +3748,13 @@ }, { "title": "محاسبه درصد", - "introText": "برای محاسبه درصد یک مقدار، عدد مورد نظر را در درصد داده شده ضرب کرده و بر ۱۰۰ تقسیم کنید." + "introText": "برای محاسبه درصد یک مقدار، عدد مورد نظر را در درصد داده شده ضرب کرده و بر ۱۰۰ تقسیم کنید.", + "example": "عدد ۲ را ۲ برابر کنید. چند درصد به آن اضافه کرده‌ایم؟", + "steps": [ + "۲ برابر عدد ۲: ۲ × ۲ = ۴.", + "مقدار افزایش: ۴ - ۲ = ۲.", + "درصد افزایش: (۲ ÷ ۲) × ۱۰۰ = ۱۰۰٪." + ] }, { "title": "محاسبه درصد از روی کسر", @@ -2722,7 +3808,12 @@ }, { "title": "محاسبه درصد سود", - "introText": "۱. درصد سود را به عدد اعشاری تبدیل کنید (مثلاً ۱۸٪ = ۰.۱۸). ۲. عدد اعشاری را در مقدار اصلی پول ضرب کنید تا مقدار سود به دست آید. ۳. مقدار سود را به مقدار اصلی اضافه کنید تا کل مبلغ نهایی محاسبه شود." + "introText": "۱. درصد سود را به عدد اعشاری تبدیل کنید (مثلاً ۱۸٪ = ۰.۱۸). ۲. عدد اعشاری را در مقدار اصلی پول ضرب کنید تا مقدار سود به دست آید. ۳. مقدار سود را به مقدار اصلی اضافه کنید تا کل مبلغ نهایی محاسبه شود.", + "example": "کتابی را با ۲۰ درصد سود نسبت به قیمت خرید فروخته‌ام. قیمت فروش ۲۴۰۰۰ تومان بوده است. مقدار سود چند تومان است؟", + "steps": [ + "قیمت خرید = ۲۴۰۰۰ ÷ ۱.۲ = ۲۰۰۰۰ تومان.", + "مقدار سود = ۲۴۰۰۰ - ۲۰۰۰۰ = ۴۰۰۰ تومان." + ] } ] }, @@ -2816,7 +3907,14 @@ }, { "title": "محاسبه نسبت", - "introText": "برای محاسبه نسبت بین دو مقدار، ابتدا مقدار اول را بر مقدار دوم تقسیم کنید. سپس نتیجه را به صورت کسری یا عددی بیان کنید." + "introText": "برای محاسبه نسبت بین دو مقدار، ابتدا مقدار اول را بر مقدار دوم تقسیم کنید. سپس نتیجه را به صورت کسری یا عددی بیان کنید.", + "example": "با استفاده از تقویم امسال، نسبت تعداد روزهای تعطیل در هر ماه را به کل روزهای آن ماه پیدا کنید.", + "steps": [ + "ابتدا تعداد روزهای تعطیل هر ماه را بشمارید.", + "سپس این تعداد را بر کل روزهای ماه تقسیم کنید.", + "اگر ماه ۳۰ روزه باشد و ۶ روز تعطیل داشته باشد، نسبت برابر است با ۶/۳۰ یا ۱/۵.", + "✅ جواب: نسبت ۶ به ۳۰ یا ۱ به ۵ است." + ] }, { "title": "محاسبه نسبت رنگ‌ها", @@ -2828,7 +3926,14 @@ }, { "title": "مقایسه کسرها", - "introText": "برای مقایسه کسرها، می‌توانید آن‌ها را به مخرج مشترک تبدیل کنید یا به صورت عدد اعشاری بنویسید و سپس مقایسه کنید." + "introText": "برای مقایسه کسرها، می‌توانید آن‌ها را به مخرج مشترک تبدیل کنید یا به صورت عدد اعشاری بنویسید و سپس مقایسه کنید.", + "example": "۵/۸ و ۳/۴ را مقایسه کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مخرج مشترک پیدا می‌کنیم: مخرج مشترک ۸ است.", + "کسر دوم را به مخرج مشترک تبدیل می‌کنیم: ۳/۴ = ۶/۸.", + "حالا صورت‌ها را مقایسه می‌کنیم: ۵/۸ < ۶/۸.", + "بنابراین، ۳/۴ بزرگ‌تر است." + ] }, { "title": "نسبت و درصد", @@ -2840,6 +3945,7 @@ }, { "title": "فصل ۷: تقریب", + "blurb": "در این فصل: تقریب — گروه 1، تقریب — گروه 2، تقریب — گروه 3، تقریب — گروه 4 و تقریب — گروه 5.", "order": 7, "nodes": [ { @@ -2860,7 +3966,13 @@ }, { "title": "تقریب اعداد", - "introText": "برای تقریب یک عدد: ۱. رقم مورد نظر را مشخص کنید. ۲. به رقم بعد از آن نگاه کنید. اگر رقم بعدی ۵ یا بیشتر بود، رقم مورد نظر را یک واحد افزایش دهید و بقیه ارقام را صفر کنید. اگر کمتر از ۵ بود، رقم مورد نظر را تغییر ندهید و بقیه ارقام را صفر کنید." + "introText": "برای تقریب یک عدد: ۱. رقم مورد نظر را مشخص کنید. ۲. به رقم بعد از آن نگاه کنید. اگر رقم بعدی ۵ یا بیشتر بود، رقم مورد نظر را یک واحد افزایش دهید و بقیه ارقام را صفر کنید. اگر کمتر از ۵ بود، رقم مورد نظر را تغییر ندهید و بقیه ارقام را صفر کنید.", + "example": "سن دانش‌آموزان را به سال بیان کنید. آن را با چه روشی تقریب زده‌ایم؟", + "steps": [ + "برای تبدیل سن به سال، ماه‌ها را در نظر نمی‌گیریم و فقط سال کامل را در نظر می‌گیریم.", + "به این روش، سن دانش‌آموزان به سال تقریب زده شده است.", + "✅ جواب: قطع کردن و نادیده گرفتن ماه‌ها" + ] }, { "title": "تقریب به دهگان", @@ -2974,7 +4086,13 @@ }, { "title": "محاسبه مساحت با تقریب", - "introText": "۱. طول و عرض مستطیل را مشخص کنید. \n۲. طول و عرض را در هم ضرب کنید تا مساحت دقیق به دست آید. \n۳. عدد به دست آمده را با توجه به شرایط مسئله به نزدیک‌ترین عدد گرد کنید." + "introText": "۱. طول و عرض مستطیل را مشخص کنید. \n۲. طول و عرض را در هم ضرب کنید تا مساحت دقیق به دست آید. \n۳. عدد به دست آمده را با توجه به شرایط مسئله به نزدیک‌ترین عدد گرد کنید.", + "example": "فرش‌فروشی برای محاسبه قیمت یک فرش دستباف ابتدا مساحت فرش را با اندازه‌گیری طول و عرض آن حساب کرده و محاسبات را کامل کنید. طول = ۴/۸ متر، عرض = ۳/۲ متر.", + "steps": [ + "مساحت فرش = ۴/۸ × ۳/۲ = ۱۵/۳۶ متر مربع.", + "با تقریب کمتر از ۰/۱، مساحت فرش برابر با ۱۵/۴ متر مربع است.", + "✅ جواب: مساحت = ۴/۸ × ۳/۲ = ۱۵/۳۶ متر مربع، تقریب تا ۰/۱ = ۱۵/۴" + ] }, { "title": "محاسبه و تقریب به روش ترکیبی", @@ -3019,6 +4137,7 @@ "units": [ { "title": "فصل ۱: راهبردهای حل مسئله", + "blurb": "در این فصل: راهبردهای حل مسئله — گروه 1، راهبردهای حل مسئله — گروه 2 و راهبردهای حل مسئله — گروه 3 و ….", "order": 1, "nodes": [ { @@ -3089,7 +4208,13 @@ }, { "title": "محاسبه درصد", - "introText": "۱. درصد داده شده را به عدد اعشاری تبدیل کنید (با تقسیم بر ۱۰۰). ۲. عدد اعشاری را در مقدار کل ضرب کنید. ۳. حاصل ضرب را به عنوان مقدار مورد نظر یادداشت کنید." + "introText": "۱. درصد داده شده را به عدد اعشاری تبدیل کنید (با تقسیم بر ۱۰۰). ۲. عدد اعشاری را در مقدار کل ضرب کنید. ۳. حاصل ضرب را به عنوان مقدار مورد نظر یادداشت کنید.", + "example": "چگونه درصد مربوط به نوع کتاب داستانی را به دست می‌آورید؟", + "steps": [ + "مقدار کتاب داستانی: ۸۱۰", + "مقدار کل: ۱۶۹۰", + "درصد کتاب داستانی: (۸۱۰ ÷ ۱۶۹۰) × ۱۰۰ ≈ ۴۸٪" + ] }, { "title": "محاسبه ساده‌تر مسئله", @@ -3187,6 +4312,7 @@ }, { "title": "فصل ۲: عددهای صحیح", + "blurb": "در این فصل: عددهای صحیح — گروه 1، عددهای صحیح — گروه 2، عددهای صحیح — گروه 3 و عددهای صحیح — گروه 4.", "order": 2, "nodes": [ { @@ -3199,11 +4325,20 @@ }, { "title": "الگوهای عددی", - "introText": "برای تکمیل الگوهای عددی، ابتدا تفاوت یا نسبت بین اعداد متوالی را پیدا کنید. سپس این الگو را ادامه دهید تا اعداد بعدی را پیدا کنید." + "introText": "برای تکمیل الگوهای عددی، ابتدا تفاوت یا نسبت بین اعداد متوالی را پیدا کنید. سپس این الگو را ادامه دهید تا اعداد بعدی را پیدا کنید.", + "example": "الگوی عددی ۹، ۶، ۳، ۰، ... را کامل کنید.", + "steps": [ + "تفاوت بین اعداد متوالی برابر با -۳ است.", + "بنابراین اعداد بعدی به ترتیب عبارتند از: -۳، -۶، -۹." + ] }, { "title": "تبدیل تفریق به جمع", - "introText": "برای تبدیل تفریق به جمع: \n1. علامت عدد دوم را تغییر دهید (مثبت به منفی یا منفی به مثبت).\n2. سپس عمل جمع را انجام دهید.\n3. از قوانین جمع عددهای صحیح استفاده کنید." + "introText": "برای تبدیل تفریق به جمع: \n1. علامت عدد دوم را تغییر دهید (مثبت به منفی یا منفی به مثبت).\n2. سپس عمل جمع را انجام دهید.\n3. از قوانین جمع عددهای صحیح استفاده کنید.", + "example": "۵ - (-۲)", + "steps": [ + "۵ - (-۲) = ۵ + ۲ = ۷" + ] }, { "title": "ترکیب عملیات جمع و تفریق", @@ -3253,7 +4388,12 @@ }, { "title": "جمع و تفریق اعداد صحیح", - "introText": "برای جمع و تفریق اعداد صحیح، ابتدا علامت اعداد را بررسی کنید. اگر هر دو عدد علامت یکسان دارند، مقادیر مطلق را جمع کرده و علامت مشترک را به نتیجه بدهید. اگر علامت‌ها متفاوت هستند، مقدار مطلق عدد کوچک‌تر را از مقدار مطلق عدد بزرگ‌تر کم کرده و علامت عدد بزرگ‌تر را به نتیجه بدهید." + "introText": "برای جمع و تفریق اعداد صحیح، ابتدا علامت اعداد را بررسی کنید. اگر هر دو عدد علامت یکسان دارند، مقادیر مطلق را جمع کرده و علامت مشترک را به نتیجه بدهید. اگر علامت‌ها متفاوت هستند، مقدار مطلق عدد کوچک‌تر را از مقدار مطلق عدد بزرگ‌تر کم کرده و علامت عدد بزرگ‌تر را به نتیجه بدهید.", + "example": "(+۷) + (-۲) = ؟", + "steps": [ + "علامت‌ها متفاوت هستند، بنابراین ۲ را از ۷ کم می‌کنیم: ۵.", + "چون عدد بزرگتر مثبت است، جواب برابر است با +۵." + ] }, { "title": "جمع و تفریق روی محور", @@ -3261,7 +4401,13 @@ }, { "title": "جمع و تفریق عددهای صحیح", - "introText": "۱. علامت اعداد را مشخص کنید. ۲. اگر اعداد هم‌علامت هستند، مقادیر مطلق آن‌ها را جمع کنید و علامت مشترک را به جواب بدهید. ۳. اگر اعداد مختلف‌علامت هستند، مقادیر مطلق آن‌ها را از هم کم کنید و علامت عدد بزرگ‌تر را به جواب بدهید." + "introText": "۱. علامت اعداد را مشخص کنید. ۲. اگر اعداد هم‌علامت هستند، مقادیر مطلق آن‌ها را جمع کنید و علامت مشترک را به جواب بدهید. ۳. اگر اعداد مختلف‌علامت هستند، مقادیر مطلق آن‌ها را از هم کم کنید و علامت عدد بزرگ‌تر را به جواب بدهید.", + "example": "(-۴) + (+۲) =", + "steps": [ + "ابتدا عدد ۴ و ۲ را از هم کم می‌کنیم: ۴ - ۲ = ۲.", + "چون عدد بزرگ‌تر منفی است، جواب نهایی برابر است با: -۲.", + "✅ جواب: (-4) + (+2) = -2" + ] } ] }, @@ -3313,7 +4459,13 @@ }, { "title": "مقایسه عددهای صحیح", - "introText": "۱. عددها را روی محور اعداد تصور کنید. ۲. عددی که در سمت راست محور قرار دارد، بزرگ‌تر است. ۳. عددی که در سمت چپ محور قرار دارد، کوچک‌تر است." + "introText": "۱. عددها را روی محور اعداد تصور کنید. ۲. عددی که در سمت راست محور قرار دارد، بزرگ‌تر است. ۳. عددی که در سمت چپ محور قرار دارد، کوچک‌تر است.", + "example": "عدد مناسب برای جای خالی: -۴۰۰ ___ -۸۰", + "steps": [ + "هر دو عدد منفی هستند.", + "مقدار مطلق -۴۰۰ بیشتر از -۸۰ است، پس -۸۰ بزرگتر است.", + "پاسخ: -۴۰۰ < -۸۰." + ] }, { "title": "میانگین عددهای صحیح", @@ -3337,6 +4489,7 @@ }, { "title": "فصل ۳: جبر و معادله", + "blurb": "در این فصل: جبر و معادله — گروه 1، جبر و معادله — گروه 2، جبر و معادله — گروه 3 و جبر و معادله — گروه 4 و ….", "order": 3, "nodes": [ { @@ -3345,7 +4498,12 @@ "lessons": [ { "title": "الگوهای عددی", - "introText": "برای یافتن الگوی عددی، ابتدا تفاوت یا نسبت بین اعداد متوالی را بررسی کنید. سپس قانون کلی الگو را پیدا کنید و از آن برای نوشتن اعداد بعدی استفاده کنید." + "introText": "برای یافتن الگوی عددی، ابتدا تفاوت یا نسبت بین اعداد متوالی را بررسی کنید. سپس قانون کلی الگو را پیدا کنید و از آن برای نوشتن اعداد بعدی استفاده کنید.", + "example": "الگوی عددی ۹، ۶، ۳، ۰، ... را کامل کنید.", + "steps": [ + "تفاوت بین اعداد متوالی برابر با -۳ است.", + "بنابراین اعداد بعدی به ترتیب عبارتند از: -۳، -۶، -۹." + ] }, { "title": "الگوی عددی با اشکال", @@ -3555,6 +4713,7 @@ }, { "title": "فصل ۴: هندسه و استدلال", + "blurb": "در این فصل: هندسه و استدلال — گروه 1، هندسه و استدلال — گروه 2، هندسه و استدلال — گروه 3 و هندسه و استدلال — گروه 4 و ….", "order": 4, "nodes": [ { @@ -3761,6 +4920,7 @@ }, { "title": "فصل ۵: شمارنده‌ها و اعداد اول", + "blurb": "در این فصل: شمارنده‌ها و اعداد اول — گروه 1، شمارنده‌ها و اعداد اول — گروه 2 و شمارنده‌ها و اعداد اول — گروه 3 و ….", "order": 5, "nodes": [ { @@ -3797,7 +4957,13 @@ }, { "title": "تجزیه عدد به عوامل اول", - "introText": "۱. عدد مورد نظر را به کوچک‌ترین عدد اول تقسیم کنید. \n۲. خارج‌قسمت را دوباره به کوچک‌ترین عدد اول تقسیم کنید. \n۳. این روند را ادامه دهید تا به عدد ۱ برسید. \n۴. عوامل اول را به صورت ضرب بنویسید." + "introText": "۱. عدد مورد نظر را به کوچک‌ترین عدد اول تقسیم کنید. \n۲. خارج‌قسمت را دوباره به کوچک‌ترین عدد اول تقسیم کنید. \n۳. این روند را ادامه دهید تا به عدد ۱ برسید. \n۴. عوامل اول را به صورت ضرب بنویسید.", + "example": "عدد ۷۲ را به عوامل اول تجزیه کنید.", + "steps": [ + "۷۲ ÷ ۲ = ۳۶، ۳۶ ÷ ۲ = ۱۸، ۱۸ ÷ ۲ = ۹، ۹ ÷ ۳ = ۳، ۳ ÷ ۳ = ۱.", + "بنابراین عوامل اول عدد ۷۲ عبارتند از: ۲، ۲، ۲، ۳ و ۳.", + "✅ جواب: ۲، ۲، ۲، ۳، ۳" + ] } ] }, @@ -3823,7 +4989,13 @@ }, { "title": "تشخیص عدد اول", - "introText": "برای تشخیص اینکه یک عدد اول است یا نه، بررسی کنید که آیا فقط دو شمارنده دارد (۱ و خودش). اگر این شرط برقرار باشد، عدد اول است." + "introText": "برای تشخیص اینکه یک عدد اول است یا نه، بررسی کنید که آیا فقط دو شمارنده دارد (۱ و خودش). اگر این شرط برقرار باشد، عدد اول است.", + "example": "آیا عدد ۸ عدد اول است؟ چرا؟", + "steps": [ + "عدد ۸ شمارنده‌های ۱، ۲، ۴ و ۸ را دارد.", + "چون بیش از دو شمارنده دارد، عدد اول نیست.", + "✅ جواب: ۸ عدد اول نیست." + ] }, { "title": "تشخیص عدد زوج و فرد", @@ -3865,7 +5037,11 @@ }, { "title": "ساده کردن کسرها", - "introText": "برای ساده کردن کسر: ۱. صورت و مخرج کسر را به عوامل اول تجزیه کنید. ۲. ب.م.م صورت و مخرج را پیدا کنید. ۳. صورت و مخرج را بر ب.م.م تقسیم کنید." + "introText": "برای ساده کردن کسر: ۱. صورت و مخرج کسر را به عوامل اول تجزیه کنید. ۲. ب.م.م صورت و مخرج را پیدا کنید. ۳. صورت و مخرج را بر ب.م.م تقسیم کنید.", + "example": "کسر ۱۸/۲۷ را ساده کنید.", + "steps": [ + "۱۸/۲۷ = ۲/۳" + ] }, { "title": "شمارنده‌های اول", @@ -3895,7 +5071,11 @@ }, { "title": "محاسبه حجم مکعب مستطیل", - "introText": "برای محاسبه حجم مکعب مستطیل: ۱. طول، عرض و ارتفاع مکعب مستطیل را مشخص کنید. ۲. این سه مقدار را در هم ضرب کنید. ۳. حاصل ضرب برابر با حجم مکعب مستطیل است." + "introText": "برای محاسبه حجم مکعب مستطیل: ۱. طول، عرض و ارتفاع مکعب مستطیل را مشخص کنید. ۲. این سه مقدار را در هم ضرب کنید. ۳. حاصل ضرب برابر با حجم مکعب مستطیل است.", + "example": "حجم یک مکعب مستطیل با طول ۴، عرض ۲ و ارتفاع ۳ چقدر است؟", + "steps": [ + "حجم = ۴ × ۲ × ۳ = ۲۴ سانتی‌متر مکعب." + ] }, { "title": "محاسبه زمان حرکت", @@ -3933,7 +5113,15 @@ }, { "title": "یافتن شمارنده‌های یک عدد", - "introText": "برای یافتن شمارنده‌های یک عدد، عدد مورد نظر را بر تمام اعداد صحیح مثبت کوچکتر یا مساوی خودش تقسیم کنید. هر عددی که باقی‌مانده تقسیم آن صفر باشد، یک شمارنده است." + "introText": "برای یافتن شمارنده‌های یک عدد، عدد مورد نظر را بر تمام اعداد صحیح مثبت کوچکتر یا مساوی خودش تقسیم کنید. هر عددی که باقی‌مانده تقسیم آن صفر باشد، یک شمارنده است.", + "example": "شمارنده‌های اول عدد ۶۰ را پیدا کنید.", + "steps": [ + "۶۰ را به کوچک‌ترین عدد اول (۲) تقسیم می‌کنیم: ۶۰ ÷ ۲ = ۳۰.", + "سپس ۳۰ را به ۲ تقسیم می‌کنیم: ۳۰ ÷ ۲ = ۱۵.", + "عدد ۱۵ را به کوچک‌ترین عدد اول بعدی (۳) تقسیم می‌کنیم: ۱۵ ÷ ۳ = ۵.", + "در نهایت، ۵ را به ۵ تقسیم می‌کنیم: ۵ ÷ ۵ = ۱.", + "بنابراین شمارنده‌های اول عدد ۶۰ عبارتند از: ۲، ۳ و ۵." + ] }, { "title": "یافتن مضرب‌های مشترک دو عدد", @@ -3949,7 +5137,13 @@ }, { "title": "یافتن کوچک‌ترین مضرب مشترک", - "introText": "برای یافتن کوچک‌ترین مضرب مشترک دو عدد، مضرب‌های هر دو عدد را بنویسید و کوچک‌ترین عدد مشترک بین آن‌ها را پیدا کنید." + "introText": "برای یافتن کوچک‌ترین مضرب مشترک دو عدد، مضرب‌های هر دو عدد را بنویسید و کوچک‌ترین عدد مشترک بین آن‌ها را پیدا کنید.", + "example": "با تجزیه عددها به شمارنده‌های اول، ک.م.م دو عدد ۳۰ و ۴۲ را پیدا کنید.", + "steps": [ + "تجزیه ۳۰: ۲ × ۳ × ۵", + "تجزیه ۴۲: ۲ × ۳ × ۷", + "ک.م.م = ۲ × ۳ × ۵ × ۷ = ۲۱۰" + ] } ] } @@ -3957,6 +5151,7 @@ }, { "title": "فصل ۶: سطح و حجم", + "blurb": "در این فصل: سطح و حجم — گروه 1، سطح و حجم — گروه 2، سطح و حجم — گروه 3 و سطح و حجم — گروه 4.", "order": 6, "nodes": [ { @@ -4011,7 +5206,12 @@ }, { "title": "محاسبه حجم استوانه", - "introText": "برای محاسبه حجم استوانه، ابتدا مساحت قاعده (π × شعاع²) را محاسبه کنید و سپس آن را در ارتفاع ضرب کنید. فرمول: حجم = π × شعاع² × ارتفاع." + "introText": "برای محاسبه حجم استوانه، ابتدا مساحت قاعده (π × شعاع²) را محاسبه کنید و سپس آن را در ارتفاع ضرب کنید. فرمول: حجم = π × شعاع² × ارتفاع.", + "example": "حجم استوانه‌ای با قاعده دایره‌ای به شعاع ۲ سانتی‌متر و ارتفاع ۴ سانتی‌متر چقدر است؟", + "steps": [ + "مساحت قاعده = π × ۲ × ۲ = ۴π سانتی‌متر مربع.", + "حجم = مساحت قاعده × ارتفاع = ۴π × ۴ = ۱۶π سانتی‌متر مکعب." + ] }, { "title": "محاسبه حجم اشکال ترکیبی", @@ -4045,7 +5245,11 @@ }, { "title": "محاسبه حجم مکعب مستطیل", - "introText": "برای محاسبه حجم مکعب مستطیل، طول، عرض و ارتفاع آن را در یکدیگر ضرب کنید. فرمول: حجم = طول × عرض × ارتفاع." + "introText": "برای محاسبه حجم مکعب مستطیل، طول، عرض و ارتفاع آن را در یکدیگر ضرب کنید. فرمول: حجم = طول × عرض × ارتفاع.", + "example": "حجم یک مکعب مستطیل با طول ۴، عرض ۲ و ارتفاع ۳ چقدر است؟", + "steps": [ + "حجم = ۴ × ۲ × ۳ = ۲۴ سانتی‌متر مکعب." + ] }, { "title": "محاسبه مساحت جانبی استوانه", @@ -4115,6 +5319,7 @@ }, { "title": "فصل ۷: توان و جذر", + "blurb": "در این فصل: توان و جذر — گروه 1، توان و جذر — گروه 2، توان و جذر — گروه 3، توان و جذر — گروه 4 و توان و جذر — گروه 5 و …", "order": 7, "nodes": [ { @@ -4257,7 +5462,11 @@ }, { "title": "محاسبه توان‌های عددی", - "introText": "۱. عدد پایه را مشخص کنید. \n۲. توان را بررسی کنید (مثبت یا منفی بودن). \n۳. اگر توان مثبت است، عدد پایه را به تعداد توان در خودش ضرب کنید. \n۴. اگر توان منفی است، ابتدا معکوس عدد پایه را بگیرید و سپس آن را به تعداد توان مثبت در خودش ضرب کنید." + "introText": "۱. عدد پایه را مشخص کنید. \n۲. توان را بررسی کنید (مثبت یا منفی بودن). \n۳. اگر توان مثبت است، عدد پایه را به تعداد توان در خودش ضرب کنید. \n۴. اگر توان منفی است، ابتدا معکوس عدد پایه را بگیرید و سپس آن را به تعداد توان مثبت در خودش ضرب کنید.", + "example": "۳^۳", + "steps": [ + "۳^۳ = ۳ × ۳ × ۳ = ۲۷" + ] }, { "title": "محاسبه توان‌های عددی داده شده", @@ -4291,7 +5500,11 @@ }, { "title": "محاسبه حاصل عبارات توان‌دار", - "introText": "ابتدا توان‌ها را محاسبه کنید. سپس عملیات جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم را انجام دهید." + "introText": "ابتدا توان‌ها را محاسبه کنید. سپس عملیات جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم را انجام دهید.", + "example": "حاصل عبارت (۲^۳ + ۳^۲) را به‌دست آورید.", + "steps": [ + "۲^۳ = ۸ و ۳^۲ = ۹، بنابراین حاصل برابر است با ۸ + ۹ = ۱۷." + ] }, { "title": "محاسبه ریشه‌های ترکیبی", @@ -4325,7 +5538,12 @@ }, { "title": "مقایسه جذر اعداد", - "introText": "برای مقایسه جذر دو عدد، ابتدا مقدار جذر هر عدد را محاسبه کنید و سپس مقایسه کنید که کدام بزرگتر یا کوچکتر است." + "introText": "برای مقایسه جذر دو عدد، ابتدا مقدار جذر هر عدد را محاسبه کنید و سپس مقایسه کنید که کدام بزرگتر یا کوچکتر است.", + "example": "√۵ > √۴ است یا √۵ < √۴؟", + "steps": [ + "مقدار تقریبی √۵ برابر با ۲.۲۳۶ و مقدار تقریبی √۴ برابر با ۲ است.", + "چون ۲.۲۳۶ > ۲، بنابراین √۵ > √۴ است." + ] }, { "title": "مقایسه عبارات توان‌دار", @@ -4363,6 +5581,7 @@ }, { "title": "فصل ۸: بردار و مختصات", + "blurb": "در این فصل: بردار و مختصات — گروه 1، بردار و مختصات — گروه 2، بردار و مختصات — گروه 3 و بردار و مختصات — گروه 4 و ….", "order": 8, "nodes": [ { @@ -4509,7 +5728,15 @@ }, { "title": "نمایش بردار", - "introText": "برای نمایش یک بردار، ابتدا نقطه شروع و نقطه پایان را مشخص کنید. سپس بردار را با یک پیکان که از نقطه شروع به نقطه پایان کشیده شده است، رسم کنید. جهت و طول بردار را به درستی نشان دهید." + "introText": "برای نمایش یک بردار، ابتدا نقطه شروع و نقطه پایان را مشخص کنید. سپس بردار را با یک پیکان که از نقطه شروع به نقطه پایان کشیده شده است، رسم کنید. جهت و طول بردار را به درستی نشان دهید.", + "example": "بردار OA را به صورت یک پاره‌خط جهت‌دار نشان دهید.", + "steps": [ + "برای رسم بردار OA: ۱.", + "نقطه O را به عنوان نقطه شروع مشخص می‌کنیم.", + "نقطه A را به عنوان نقطه انتها مشخص می‌کنیم.", + "یک پاره‌خط جهت‌دار از O به A رسم می‌کنیم. جهت بردار از O به A و اندازه آن با طول پاره‌خط مشخص می‌شود.", + "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است." + ] }, { "title": "نمایش نیرو و جهت", @@ -4555,6 +5782,7 @@ }, { "title": "فصل ۹: آمار و احتمال", + "blurb": "در این فصل: آمار و احتمال — گروه 1، آمار و احتمال — گروه 2، آمار و احتمال — گروه 3 و آمار و احتمال — گروه 4.", "order": 9, "nodes": [ { @@ -4567,7 +5795,14 @@ }, { "title": "احتمال ساده", - "introText": "برای محاسبه احتمال یک پیشامد، تعداد حالت‌های مطلوب را بر تعداد کل حالت‌های ممکن تقسیم می‌کنیم." + "introText": "برای محاسبه احتمال یک پیشامد، تعداد حالت‌های مطلوب را بر تعداد کل حالت‌های ممکن تقسیم می‌کنیم.", + "example": "محسن می‌خواهد یک سکه بیندازد. سکه رو می‌آید یا پشت؟", + "steps": [ + "تعداد کل حالت‌ها: ۲ (رو یا پشت).", + "تعداد حالت‌های مطلوب: ۱ (رو یا پشت).", + "احتمال هر حالت: ۱/۲ یا ۰.۵.", + "✅ جواب: احتمال رو یا پشت برابر ۱/۲ یا ۰/۵ است." + ] }, { "title": "احتمال پرتاب سکه یا تاس", @@ -4583,7 +5818,12 @@ }, { "title": "انتظار در احتمال", - "introText": "۱. احتمال وقوع پیشامد را محاسبه کنید. \n۲. تعداد کل آزمایش‌ها را مشخص کنید. \n۳. انتظار وقوع پیشامد را با ضرب احتمال در تعداد کل آزمایش‌ها محاسبه کنید." + "introText": "۱. احتمال وقوع پیشامد را محاسبه کنید. \n۲. تعداد کل آزمایش‌ها را مشخص کنید. \n۳. انتظار وقوع پیشامد را با ضرب احتمال در تعداد کل آزمایش‌ها محاسبه کنید.", + "example": "اگر ۱۰۰۰ بار عقربه را بچرخانیم، انتظار داریم تقریباً چند بار روی عدد ۳ قرار بگیرد؟", + "steps": [ + "احتمال ایستادن عقربه روی عدد ۳ برابر ۱/۸ است.", + "بنابراین انتظار داریم ۱۰۰۰ × ۱/۸ = ۱۲۵ بار عقربه روی عدد ۳ قرار بگیرد." + ] }, { "title": "تحلیل جدول داده‌ها", @@ -4667,7 +5907,13 @@ }, { "title": "محاسبه درصد", - "introText": "۱. مقدار مورد نظر را بر مقدار کل تقسیم کنید.\n۲. حاصل تقسیم را در ۱۰۰ ضرب کنید تا درصد به دست آید.\n۳. در صورت نیاز، درصد را گرد کنید." + "introText": "۱. مقدار مورد نظر را بر مقدار کل تقسیم کنید.\n۲. حاصل تقسیم را در ۱۰۰ ضرب کنید تا درصد به دست آید.\n۳. در صورت نیاز، درصد را گرد کنید.", + "example": "چگونه درصد مربوط به نوع کتاب داستانی را به دست می‌آورید؟", + "steps": [ + "مقدار کتاب داستانی: ۸۱۰", + "مقدار کل: ۱۶۹۰", + "درصد کتاب داستانی: (۸۱۰ ÷ ۱۶۹۰) × ۱۰۰ ≈ ۴۸٪" + ] } ] }, @@ -4681,7 +5927,14 @@ }, { "title": "مقایسه احتمال‌ها", - "introText": "برای مقایسه احتمال‌ها، ابتدا مقدار هر احتمال را به صورت عددی بین صفر و یک مشخص کنید. سپس مقادیر را با هم مقایسه کنید. احتمال صفر به معنای غیرممکن بودن و احتمال یک به معنای قطعی بودن است." + "introText": "برای مقایسه احتمال‌ها، ابتدا مقدار هر احتمال را به صورت عددی بین صفر و یک مشخص کنید. سپس مقادیر را با هم مقایسه کنید. احتمال صفر به معنای غیرممکن بودن و احتمال یک به معنای قطعی بودن است.", + "example": "احتمال وقوع رخدادهای تاس ۲ یا ۳ و تاس ۴ یا ۵ را مقایسه کنید.", + "steps": [ + "احتمال تاس ۲ یا ۳ برابر است با ۲/۶ (چون دو حالت مطلوب از شش حالت ممکن وجود دارد).", + "احتمال تاس ۴ یا ۵ نیز برابر است با ۲/۶.", + "بنابراین احتمال‌ها برابر هستند.", + "✅ جواب: هر دو احتمال ۲/۶ یا ۱/۳ هستند و برابرند" + ] }, { "title": "مقایسه داده‌ها", @@ -4708,6 +5961,7 @@ "units": [ { "title": "فصل ۱: الگوها", + "blurb": "در این فصل: الگوها — گروه 1، الگوها — گروه 2، الگوها — گروه 3، الگوها — گروه 4، الگوها — گروه 5 و الگوها — گروه 6.", "order": 1, "nodes": [ { @@ -4804,7 +6058,11 @@ }, { "title": "جمع اعداد چند رقمی", - "introText": "برای جمع اعداد چند رقمی، ابتدا از سمت راست شروع کنید و ارقام هر ستون را جمع کنید. اگر جمع هر ستون بیشتر از ۹ شد، رقم دهگان را به ستون بعدی منتقل کنید. این کار را تا انتهای ارقام ادامه دهید." + "introText": "برای جمع اعداد چند رقمی، ابتدا از سمت راست شروع کنید و ارقام هر ستون را جمع کنید. اگر جمع هر ستون بیشتر از ۹ شد، رقم دهگان را به ستون بعدی منتقل کنید. این کار را تا انتهای ارقام ادامه دهید.", + "example": "۷۰۲۵ + ۱۸۰۱", + "steps": [ + "۷۰۲۵ + ۱۸۰۱ = ۸۸۲۶" + ] }, { "title": "جمع ذهنی دسته‌ها", @@ -4930,6 +6188,7 @@ }, { "title": "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", + "blurb": "در این فصل: عددهای چهار رقمی — گروه 1، عددهای چهار رقمی — گروه 2، عددهای چهار رقمی — گروه 3 و عددهای چهار رقمی — گروه 4 ", "order": 2, "nodes": [ { @@ -4992,7 +6251,13 @@ }, { "title": "تبدیل واحد پول", - "introText": "برای تبدیل واحد پول، ابتدا مقدار واحد اصلی را در ارزش آن واحد ضرب کنید تا مقدار نهایی به دست آید." + "introText": "برای تبدیل واحد پول، ابتدا مقدار واحد اصلی را در ارزش آن واحد ضرب کنید تا مقدار نهایی به دست آید.", + "example": "در کلاس دوم دبستان یاد گرفتید که می‌توانید ۱۰ تا ۱۰ ریالی را با یک ۱۰۰ ریالی عوض کنید. علی پول‌های قلک خود را بصورت ۱۰ سکه ۱۰ ریالی بسته‌بندی کرده است تا به بانک بدهد. او ۱۰ بسته را به بانک برده و بانک به او ۱۰۰۰ ریال داده است. اگر علی ۹ سکه ۱۰ ریالی به بانک بدهد، چند سکه ۱۰ ریالی دیگر باید بدهد تا یک اسکناس ۱۰۰۰ ریالی بگیرد؟", + "steps": [ + "مقدار کل پول مورد نیاز: ۱۰۰۰ ریال.", + "مقدار پولی که علی داده: ۹ × ۱۰ = ۹۰ ریال.", + "مقدار پول باقی‌مانده: ۱۰۰۰ - ۹۰ = ۹۱۰ ریال. تعداد سکه‌های ۱۰ ریالی مورد نیاز: ۹۱۰ ÷ ۱۰ = ۹۱ سکه." + ] }, { "title": "تبدیل واحد پولی", @@ -5034,7 +6299,11 @@ }, { "title": "جمع عددهای چهار رقمی", - "introText": "برای جمع عددهای چهار رقمی، اعداد را به صورت ستونی زیر هم قرار دهید و از سمت راست به چپ جمع کنید. اگر جمع هر ستون بیشتر از ۹ شد، یک واحد به ستون بعدی اضافه کنید." + "introText": "برای جمع عددهای چهار رقمی، اعداد را به صورت ستونی زیر هم قرار دهید و از سمت راست به چپ جمع کنید. اگر جمع هر ستون بیشتر از ۹ شد، یک واحد به ستون بعدی اضافه کنید.", + "example": "۲۰۰۰ + ۲۰۰ + ۳۰ + ۲ را جمع کنید.", + "steps": [ + "۲۰۰۰ + ۲۰۰ + ۳۰ + ۲ = ۲۲۳۲" + ] }, { "title": "جمع و تبدیل واحد پولی", @@ -5068,7 +6337,12 @@ }, { "title": "محاسبه ارزش پول", - "introText": "برای محاسبه ارزش پول، ابتدا مقدار پول داده شده را بررسی کنید. سپس با توجه به واحد پول (ریال یا تومان)، مقدار مورد نظر را با استفاده از ضرب یا تقسیم به واحد مورد نظر تبدیل کنید." + "introText": "برای محاسبه ارزش پول، ابتدا مقدار پول داده شده را بررسی کنید. سپس با توجه به واحد پول (ریال یا تومان)، مقدار مورد نظر را با استفاده از ضرب یا تقسیم به واحد مورد نظر تبدیل کنید.", + "example": "۱۰۰۰ ریال چه چیزی می‌توان خرید؟", + "steps": [ + "با توجه به ارزش ۱۰۰۰ ریال، می‌توان اقلامی با قیمت کمتر یا مساوی ۱۰۰۰ ریال خریداری کرد.", + "✅ جواب: هر کالایی با قیمت کمتر یا مساوی ۱۰۰۰ ریال." + ] }, { "title": "محاسبه تعداد بسته‌ها و محتویات", @@ -5076,7 +6350,11 @@ }, { "title": "محاسبه تعداد دانش‌آموزان", - "introText": "برای محاسبه تعداد کل دانش‌آموزان، تعداد دانش‌آموزان پایه‌های مختلف را با هم جمع کنید. اگر نیاز به تفریق باشد، تعداد مشخصی را کم کنید." + "introText": "برای محاسبه تعداد کل دانش‌آموزان، تعداد دانش‌آموزان پایه‌های مختلف را با هم جمع کنید. اگر نیاز به تفریق باشد، تعداد مشخصی را کم کنید.", + "example": "در دبستان اندیشه تعداد دانش‌آموزان کلاس ششم ۲۷ نفر است. تعداد دانش‌آموزان کلاس اول ۲ برابر آن است. چند دانش‌آموز در کلاس اول این دبستان درسی می‌خوانند؟", + "steps": [ + "تعداد دانش‌آموزان کلاس اول = تعداد دانش‌آموزان کلاس ششم × ۲ = ۲۷ × ۲ = ۵۴ نفر" + ] }, { "title": "محاسبه جرم اشیاء", @@ -5106,7 +6384,14 @@ }, { "title": "مقایسه عددهای چهار رقمی", - "introText": "برای مقایسه عددهای چهار رقمی، ابتدا رقم‌های هزارگان را بررسی کنید. اگر برابر بودند، به رقم‌های صدگان، سپس دهگان و در نهایت یکان نگاه کنید. عددی که رقم بزرگتری در اولین جایگاه متفاوت دارد، بزرگتر است." + "introText": "برای مقایسه عددهای چهار رقمی، ابتدا رقم‌های هزارگان را بررسی کنید. اگر برابر بودند، به رقم‌های صدگان، سپس دهگان و در نهایت یکان نگاه کنید. عددی که رقم بزرگتری در اولین جایگاه متفاوت دارد، بزرگتر است.", + "example": "عدد داخل دایره کدام عدد در مربع‌ها نزدیک‌تر است؟ آن مربع را رنگ کنید.", + "steps": [ + "عدد داخل دایره ۷۸۱ است.", + "نزدیک‌ترین عدد در مربع‌ها ۸۰۰ است.", + "مربع مربوط به ۸۰۰ رنگ می‌شود.", + "✅ جواب: ۷۸۱ به ۸۰۰ نزدیک‌تر است." + ] }, { "title": "مقایسه چند عدد چهار رقمی", @@ -5174,6 +6459,7 @@ }, { "title": "فصل ۳: عددهای کسری", + "blurb": "در این فصل: عددهای کسری — گروه 1، عددهای کسری — گروه 2، عددهای کسری — گروه 3 و عددهای کسری — گروه 4 و ….", "order": 3, "nodes": [ { @@ -5350,7 +6636,14 @@ }, { "title": "مقایسه کسرها", - "introText": "برای مقایسه کسرها، ابتدا صورت و مخرج کسرها را بررسی کنید. اگر مخرج‌ها برابر باشند، صورت‌ها را مقایسه کنید. اگر مخرج‌ها برابر نباشند، کسرها را به مخرج مشترک تبدیل کرده و سپس صورت‌ها را مقایسه کنید." + "introText": "برای مقایسه کسرها، ابتدا صورت و مخرج کسرها را بررسی کنید. اگر مخرج‌ها برابر باشند، صورت‌ها را مقایسه کنید. اگر مخرج‌ها برابر نباشند، کسرها را به مخرج مشترک تبدیل کرده و سپس صورت‌ها را مقایسه کنید.", + "example": "پدر حسین و مهدی به هر کدام از آن‌ها یک مقدار مساوی پول داد. مهدی ۱/۲ پول خود و حسین ۱/۴ پولش را صدقه داد. حالا بین دو کسر علامت بگذارید. کدام کسر بزرگتر می‌شود؟ توضیح دهید.", + "steps": [ + "ابتدا کسرها را به مخرج مشترک تبدیل می‌کنیم.", + "مخرج مشترک ۴ است: ۱/۲ = ۲/۴ و ۱/۴ همان ۱/۴ باقی می‌ماند.", + "حالا صورت‌ها را مقایسه می‌کنیم: ۲/۴ > ۱/۴.", + "بنابراین کسر ۱/۲ بزرگتر است." + ] }, { "title": "نقاط مشخص شده روی محور", @@ -5426,6 +6719,7 @@ }, { "title": "فصل ۴: ضرب و تقسیم", + "blurb": "در این فصل: ضرب و تقسیم — گروه 1، ضرب و تقسیم — گروه 2، ضرب و تقسیم — گروه 3 و ضرب و تقسیم — گروه 4 و ….", "order": 4, "nodes": [ { @@ -5510,7 +6804,13 @@ "lessons": [ { "title": "تکمیل جدول ضرب", - "introText": "برای تکمیل جدول ضرب، هر خانه را با حاصل ضرب عدد سطر و ستون مربوطه پر کنید." + "introText": "برای تکمیل جدول ضرب، هر خانه را با حاصل ضرب عدد سطر و ستون مربوطه پر کنید.", + "example": "تکمیل جدول ضرب برای عددهای ۲ و ۸.", + "steps": [ + "در جدول ضرب، عدد ۲ در سطر و عدد ۸ در ستون مشخص می‌شود.", + "محل تقاطع این دو عدد برابر با ۱۶ است.", + "بنابراین، در جدول ضرب، ۲ × ۸ = ۱۶ نوشته می‌شود." + ] }, { "title": "جدول ضرب", @@ -5586,7 +6886,11 @@ "lessons": [ { "title": "ضرب ساده", - "introText": "برای حل ضرب ساده، عدد اول را در عدد دوم ضرب کنید. حاصل ضرب را به عنوان جواب بنویسید." + "introText": "برای حل ضرب ساده، عدد اول را در عدد دوم ضرب کنید. حاصل ضرب را به عنوان جواب بنویسید.", + "example": "۲ × ۴ = ؟", + "steps": [ + "۲ × ۴ = ۸" + ] }, { "title": "ضرب و تقسیم با دسته‌بندی", @@ -5598,7 +6902,12 @@ }, { "title": "محاسبه ارزش پول", - "introText": "برای حل این نوع مسئله، تعداد سکه‌ها را در ارزش هر سکه ضرب کنید تا ارزش کل مشخص شود." + "introText": "برای حل این نوع مسئله، تعداد سکه‌ها را در ارزش هر سکه ضرب کنید تا ارزش کل مشخص شود.", + "example": "۱۰۰۰ ریال چه چیزی می‌توان خرید؟", + "steps": [ + "با توجه به ارزش ۱۰۰۰ ریال، می‌توان اقلامی با قیمت کمتر یا مساوی ۱۰۰۰ ریال خریداری کرد.", + "✅ جواب: هر کالایی با قیمت کمتر یا مساوی ۱۰۰۰ ریال." + ] }, { "title": "محاسبه حاصل ضرب", @@ -5636,7 +6945,11 @@ }, { "title": "محاسبه ضرب با ماشین حساب", - "introText": "برای حل این نوع مسئله، اعداد ضرب را در ماشین حساب وارد کنید و حاصل ضرب را مشاهده کنید." + "introText": "برای حل این نوع مسئله، اعداد ضرب را در ماشین حساب وارد کنید و حاصل ضرب را مشاهده کنید.", + "example": "۴ × ۳ را با ماشین حساب محاسبه کنید.", + "steps": [ + "۴ × ۳ = ۱۲" + ] }, { "title": "محاسبه ضرب با محور", @@ -5720,6 +7033,7 @@ }, { "title": "فصل ۵: محیط و مساحت", + "blurb": "در این فصل: محیط و مساحت — گروه 1، محیط و مساحت — گروه 2، محیط و مساحت — گروه 3 و محیط و مساحت — گروه 4 و ….", "order": 5, "nodes": [ { @@ -5892,11 +7206,19 @@ }, { "title": "محاسبه مساحت مربع", - "introText": "برای محاسبه مساحت مربع، طول یک ضلع را در خودش ضرب کنید. فرمول: مساحت = ضلع × ضلع." + "introText": "برای محاسبه مساحت مربع، طول یک ضلع را در خودش ضرب کنید. فرمول: مساحت = ضلع × ضلع.", + "example": "پدر علی یک فرش ۶۴ متر خریده است. مساحت این فرش چند متر مربع است؟", + "steps": [ + "مساحت فرش: ۸ × ۸ = ۶۴ متر مربع." + ] }, { "title": "محاسبه مساحت مستطیل", - "introText": "برای محاسبه مساحت مستطیل، طول و عرض آن را در یکدیگر ضرب کنید. فرمول: مساحت = طول × عرض." + "introText": "برای محاسبه مساحت مستطیل، طول و عرض آن را در یکدیگر ضرب کنید. فرمول: مساحت = طول × عرض.", + "example": "مساحت مستطیل با طول ۶ سانتی‌متر و عرض ۴ سانتی‌متر را پیدا کنید.", + "steps": [ + "مساحت = ۶ × ۴ = ۲۴ سانتی‌متر مربع." + ] }, { "title": "مقایسه تعداد دسته‌ها", @@ -5946,6 +7268,7 @@ }, { "title": "فصل ۶: جمع و تفریق", + "blurb": "در این فصل: جمع و تفریق — گروه 1، جمع و تفریق — گروه 2، جمع و تفریق — گروه 3 و جمع و تفریق — گروه 4 و ….", "order": 6, "nodes": [ { @@ -5970,11 +7293,19 @@ }, { "title": "تفریق اعداد", - "introText": "برای تفریق اعداد، ابتدا ارقام هر عدد را از سمت راست به چپ از هم کم کنید. اگر رقم بالایی کمتر از رقم پایینی بود، یک واحد از رقم بعدی قرض بگیرید. در نهایت، اختلاف را بنویسید." + "introText": "برای تفریق اعداد، ابتدا ارقام هر عدد را از سمت راست به چپ از هم کم کنید. اگر رقم بالایی کمتر از رقم پایینی بود، یک واحد از رقم بعدی قرض بگیرید. در نهایت، اختلاف را بنویسید.", + "example": "یک خانم ۵۰۰۰ تومان به فروشنده داده است. اگر هزینه خرید او ۳۸۷۰ تومان باشد، چقدر باقی‌مانده دریافت خواهد کرد؟", + "steps": [ + "۵۰۰۰ - ۳۸۷۰ = ۱۱۳۰ تومان" + ] }, { "title": "تفریق اعداد چند رقمی", - "introText": "برای تفریق اعداد چند رقمی، ابتدا ارقام هر ستون را از سمت راست به چپ کم کنید. اگر عدد بالایی از عدد پایینی کوچکتر بود، از ستون بعدی قرض بگیرید." + "introText": "برای تفریق اعداد چند رقمی، ابتدا ارقام هر ستون را از سمت راست به چپ کم کنید. اگر عدد بالایی از عدد پایینی کوچکتر بود، از ستون بعدی قرض بگیرید.", + "example": "۳۲۸ - ۱۲۵", + "steps": [ + "۳۲۸ - ۱۲۵ = ۲۰۳" + ] }, { "title": "تفریق با استفاده از شکل", @@ -6008,11 +7339,20 @@ }, { "title": "جمع اعداد", - "introText": "برای جمع اعداد، ابتدا ارقام را از سمت راست به چپ جمع کنید. اگر جمع ارقام یکان بیشتر از ۹ شد، یک واحد به دهگان اضافه کنید. این روند را برای دهگان، صدگان و ... ادامه دهید." + "introText": "برای جمع اعداد، ابتدا ارقام را از سمت راست به چپ جمع کنید. اگر جمع ارقام یکان بیشتر از ۹ شد، یک واحد به دهگان اضافه کنید. این روند را برای دهگان، صدگان و ... ادامه دهید.", + "example": "تعداد مسافران در ایستگاه‌های تهران-مشهد: ۲۴۱ نفر در ایستگاه تهران، ۷۱ نفر در ایستگاه گلسار، و ۷۸ نفر در ایستگاه سبزوار. مجموع مسافران چقدر است؟", + "steps": [ + "۲۴۱ + ۷۱ + ۷۸ = ۳۹۰.", + "مجموع مسافران ۳۹۰ نفر است." + ] }, { "title": "جمع اعداد چند رقمی", - "introText": "برای جمع اعداد چند رقمی، ابتدا ارقام هر ستون را از سمت راست به چپ جمع کنید. اگر جمع هر ستون بیشتر از ۹ شد، رقم دهگان را به ستون بعدی منتقل کنید." + "introText": "برای جمع اعداد چند رقمی، ابتدا ارقام هر ستون را از سمت راست به چپ جمع کنید. اگر جمع هر ستون بیشتر از ۹ شد، رقم دهگان را به ستون بعدی منتقل کنید.", + "example": "۲۳۳۳ + ۲۴۲۴", + "steps": [ + "۲۳۳۳ + ۲۴۲۴ = ۴۷۵۷" + ] }, { "title": "جمع در جدول ارزش مکانی", @@ -6144,7 +7484,11 @@ "lessons": [ { "title": "مقایسه اعداد", - "introText": "برای مقایسه دو عدد، ابتدا تعداد ارقام آن‌ها را مقایسه کنید. عددی که تعداد ارقام بیشتری دارد، بزرگتر است. اگر تعداد ارقام برابر بود، از سمت چپ به راست ارقام را مقایسه کنید تا عدد بزرگتر مشخص شود." + "introText": "برای مقایسه دو عدد، ابتدا تعداد ارقام آن‌ها را مقایسه کنید. عددی که تعداد ارقام بیشتری دارد، بزرگتر است. اگر تعداد ارقام برابر بود، از سمت چپ به راست ارقام را مقایسه کنید تا عدد بزرگتر مشخص شود.", + "example": "اعداد ۴۰۰۸، ۴۰۰۰، ۴۰۱۰، ۴۰۱۲، ۴۰۱۹ را به ترتیب از کوچک به بزرگ بنویسید.", + "steps": [ + "ترتیب صحیح: ۴۰۰۰، ۴۰۰۸، ۴۰۱۰، ۴۰۱۲، ۴۰۱۹" + ] }, { "title": "مقایسه اعداد با استفاده از ارزش مکانی", @@ -6168,6 +7512,7 @@ }, { "title": "فصل ۷: آمار و احتمال", + "blurb": "در این فصل: آمار و احتمال — گروه 1، آمار و احتمال — گروه 2، آمار و احتمال — گروه 3 و آمار و احتمال — گروه 4 و ….", "order": 7, "nodes": [ { @@ -6402,6 +7747,7 @@ }, { "title": "فصل ۸: ضرب عددها", + "blurb": "در این فصل: ضرب عددها — گروه 1، ضرب عددها — گروه 2، ضرب عددها — گروه 3، ضرب عددها — گروه 4 و ضرب عددها — گروه 5 و ….", "order": 8, "nodes": [ { @@ -6430,7 +7776,11 @@ }, { "title": "تقسیم با باقی‌مانده", - "introText": "برای حل مسائل تقسیم با باقی‌مانده، ابتدا عدد اصلی را بر عدد تقسیم‌کننده تقسیم کنید. خارج قسمت را به عنوان تعداد کامل دسته‌ها در نظر بگیرید و باقی‌مانده را به عنوان تعداد اضافی یا باقی‌مانده مشخص کنید." + "introText": "برای حل مسائل تقسیم با باقی‌مانده، ابتدا عدد اصلی را بر عدد تقسیم‌کننده تقسیم کنید. خارج قسمت را به عنوان تعداد کامل دسته‌ها در نظر بگیرید و باقی‌مانده را به عنوان تعداد اضافی یا باقی‌مانده مشخص کنید.", + "example": "۲۷ ÷ ۵ = ؟", + "steps": [ + "ابتدا ۲۷ را بر ۵ تقسیم می‌کنیم که خارج قسمت ۵ و باقی‌مانده ۲ به دست می‌آید." + ] }, { "title": "تقسیم مساوی اشیا", @@ -6514,7 +7864,11 @@ }, { "title": "محاسبه با ماشین حساب", - "introText": "برای محاسبه با ماشین حساب، عدد تقسیم‌کننده را وارد کنید و سپس عدد تقسیم‌شونده را وارد کنید. ماشین حساب نتیجه تقسیم و باقی‌مانده را نمایش می‌دهد." + "introText": "برای محاسبه با ماشین حساب، عدد تقسیم‌کننده را وارد کنید و سپس عدد تقسیم‌شونده را وارد کنید. ماشین حساب نتیجه تقسیم و باقی‌مانده را نمایش می‌دهد.", + "example": "۳۵ + ۲ × ۵ − ۱۴ =", + "steps": [ + "۲ × ۵ = ۱۰، سپس ۳۵ + ۱۰ = ۴۵، و ۴۵ − ۱۴ = ۳۱" + ] } ] }, @@ -6544,7 +7898,11 @@ }, { "title": "محاسبه تعداد دانش‌آموزان", - "introText": "برای محاسبه تعداد کل دانش‌آموزان، تعداد دانش‌آموزان در هر کلاس را در تعداد کلاس‌ها ضرب کنید." + "introText": "برای محاسبه تعداد کل دانش‌آموزان، تعداد دانش‌آموزان در هر کلاس را در تعداد کلاس‌ها ضرب کنید.", + "example": "در دبستان اندیشه تعداد دانش‌آموزان کلاس ششم ۲۷ نفر است. تعداد دانش‌آموزان کلاس اول ۲ برابر آن است. چند دانش‌آموز در کلاس اول این دبستان درسی می‌خوانند؟", + "steps": [ + "تعداد دانش‌آموزان کلاس اول = تعداد دانش‌آموزان کلاس ششم × ۲ = ۲۷ × ۲ = ۵۴ نفر" + ] }, { "title": "محاسبه تعداد صفرها در حاصل ضرب", @@ -6612,11 +7970,19 @@ }, { "title": "محاسبه محیط مربع", - "introText": "برای محاسبه محیط مربع، طول یک ضلع را در ۴ ضرب کنید." + "introText": "برای محاسبه محیط مربع، طول یک ضلع را در ۴ ضرب کنید.", + "example": "محیط مربعی را که هر ضلع آن ۱۰ سانتی‌متر است حساب کنید.", + "steps": [ + "۱۰ × ۴ = ۴۰ سانتی‌متر" + ] }, { "title": "محاسبه مساحت مستطیل", - "introText": "برای محاسبه مساحت مستطیل، طول را در عرض ضرب کنید." + "introText": "برای محاسبه مساحت مستطیل، طول را در عرض ضرب کنید.", + "example": "مساحت مستطیل با طول ۶ سانتی‌متر و عرض ۴ سانتی‌متر را پیدا کنید.", + "steps": [ + "مساحت = ۶ × ۴ = ۲۴ سانتی‌متر مربع." + ] }, { "title": "محاسبه مسافت با سرعت ثابت", @@ -6628,7 +7994,13 @@ }, { "title": "مسائل کاربردی ضرب", - "introText": "برای حل مسائل کاربردی ضرب، ابتدا مسئله را بخوانید و اطلاعات داده شده را استخراج کنید. سپس ضرب را انجام دهید تا جواب مسئله را پیدا کنید." + "introText": "برای حل مسائل کاربردی ضرب، ابتدا مسئله را بخوانید و اطلاعات داده شده را استخراج کنید. سپس ضرب را انجام دهید تا جواب مسئله را پیدا کنید.", + "example": "دبستان کوشش ۱۲ کلاس دارد. هر کلاس ۲۳ دانش‌آموز دارد. این دبستان به طور تقریبی چند دانش‌آموز دارد؟", + "steps": [ + "ابتدا ۱۲ را به ۱۰ و ۲۳ را به ۲۰ گرد می‌کنیم.", + "سپس ۱۰ × ۲۰ = ۲۰۰.", + "بنابراین این دبستان به طور تقریبی ۲۰۰ دانش‌آموز دارد." + ] } ] }, @@ -6657,6 +8029,7 @@ "units": [ { "title": "فصل ۱: عددهای صحیح و گویا", + "blurb": "در این فصل: یادآوری عددهای صحیح، معرفی عددهای گویا، جمع و تفریق عددهای گویا و ضرب و تقسیم عددهای گویا.", "order": 1, "nodes": [ { @@ -6693,7 +8066,16 @@ }, { "title": "نوشتن اعداد صحیح", - "introText": "برای نوشتن اعداد صحیح خواسته شده، ابتدا اعداد صحیح مورد نظر را شناسایی کرده و سپس آن‌ها را به ترتیب خواسته شده بنویسید." + "introText": "برای نوشتن اعداد صحیح خواسته شده، ابتدا اعداد صحیح مورد نظر را شناسایی کرده و سپس آن‌ها را به ترتیب خواسته شده بنویسید.", + "example": "عبارت 29 - 37 + 43 - 43 را چهار دانش‌آموز به روش‌های مختلف محاسبه کرده‌اند. راه حل علی، مجتبی، مرتضی و مصطفی را توضیح دهید و نتیجه را بیابید.", + "steps": [ + "راه حل علی:", + "29 - 37 + 43 - 43 = 29 - 37 + (43 - 43) = 29 - 37 + 0 = 29 - 37 = -8", + "راه حل مجتبی:", + "29 - 37 + 43 - 43 = (29 - 37) + (43 - 43) = -8 + 0 = -8", + "راه حل مرتضی:", + "29 - 37 + 43 - 43 = (29 + 43) - (37 + 43) = 72 - 80 = -8 راه حل مصطفی (با جدول ارزش مکانی): دهگان: 4 3 2 یکان: 3 7 9 محاسبه ستون به ستون و جمع و تفریق: نتیجه نهایی -8 است." + ] }, { "title": "تکمیل جدول اعداد", @@ -6715,15 +8097,33 @@ "lessons": [ { "title": "شناسایی اعداد روی محور", - "introText": "برای شناسایی اعداد روی محور، ابتدا نقطه مورد نظر را پیدا کرده و سپس عدد متناظر با آن نقطه را مشخص کنید." + "introText": "برای شناسایی اعداد روی محور، ابتدا نقطه مورد نظر را پیدا کرده و سپس عدد متناظر با آن نقطه را مشخص کنید.", + "example": "قرینه عدد 1/2 و -1/2 را روی محور عددی پیدا کنید.", + "steps": [ + "قرینه 1/2 برابر است با -1/2 و قرینه -1/2 برابر است با 1/2.", + "زیرا قرینه عدد مثبت، منفی همان عدد و قرینه عدد منفی، مثبت همان عدد است.", + "✅ جواب: قرینه 1/2 برابر -1/2 و قرینه -1/2 برابر 1/2 است." + ] }, { "title": "تبدیل کسرها و اعداد مخلوط", - "introText": "برای تبدیل کسر به عدد مخلوط، صورت کسر را بر مخرج تقسیم کرده و خارج قسمت را به عنوان عدد صحیح و باقی‌مانده را به عنوان صورت کسر جدید در نظر بگیرید." + "introText": "برای تبدیل کسر به عدد مخلوط، صورت کسر را بر مخرج تقسیم کرده و خارج قسمت را به عنوان عدد صحیح و باقی‌مانده را به عنوان صورت کسر جدید در نظر بگیرید.", + "example": "کسر 7/5 را به عدد مخلوط تبدیل کنید و عدد مخلوط 3 و 1/4 را به کسر تبدیل کنید.", + "steps": [ + "برای تبدیل 7/5 به عدد مخلوط: 7 تقسیم بر 5 می‌شود 1 با باقی‌مانده 2، پس عدد مخلوط 1 و 2/5 است.", + "برای تبدیل 3 و 1/4 به کسر: 3 ضربدر 4 می‌شود 12، به علاوه 1 می‌شود 13، پس کسر 13/4 است.", + "✅ جواب: ۷/۵ = ۱ و ۲/۵؛ ۳ و ۱/۴ = ۱۳/۴" + ] }, { "title": "نمایش کسرها روی محور", - "introText": "۱. کسر را به صورت عددی روی محور مشخص کنید. ۲. نقطه متناظر با کسر را روی محور علامت بزنید." + "introText": "۱. کسر را به صورت عددی روی محور مشخص کنید. ۲. نقطه متناظر با کسر را روی محور علامت بزنید.", + "example": "قرینه عدد 1/2 و -1/2 را روی محور عددی پیدا کنید.", + "steps": [ + "قرینه 1/2 برابر است با -1/2 و قرینه -1/2 برابر است با 1/2.", + "زیرا قرینه عدد مثبت، منفی همان عدد و قرینه عدد منفی، مثبت همان عدد است.", + "✅ جواب: قرینه 1/2 برابر -1/2 و قرینه -1/2 برابر 1/2 است." + ] }, { "title": "ساده‌سازی کسرها", @@ -6731,7 +8131,13 @@ }, { "title": "ترتیب اعداد روی محور", - "introText": "۱. اعداد را به صورت کسری یا اعشاری بنویسید. ۲. اعداد را از کوچک به بزرگ مرتب کنید." + "introText": "۱. اعداد را به صورت کسری یا اعشاری بنویسید. ۲. اعداد را از کوچک به بزرگ مرتب کنید.", + "example": "قرینه عدد 1/2 و -1/2 را روی محور عددی پیدا کنید.", + "steps": [ + "قرینه 1/2 برابر است با -1/2 و قرینه -1/2 برابر است با 1/2.", + "زیرا قرینه عدد مثبت، منفی همان عدد و قرینه عدد منفی، مثبت همان عدد است.", + "✅ جواب: قرینه 1/2 برابر -1/2 و قرینه -1/2 برابر 1/2 است." + ] }, { "title": "مقایسه اعداد", @@ -6759,7 +8165,16 @@ }, { "title": "تعیین علامت و ساده کردن عبارت", - "introText": "برای تعیین علامت عبارت، ابتدا علامت هر عدد را مشخص کنید و سپس با توجه به قوانین ضرب و تقسیم علامت‌ها، علامت نهایی را تعیین کنید. برای ساده کردن، صورت و مخرج را بر بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک تقسیم کنید." + "introText": "برای تعیین علامت عبارت، ابتدا علامت هر عدد را مشخص کنید و سپس با توجه به قوانین ضرب و تقسیم علامت‌ها، علامت نهایی را تعیین کنید. برای ساده کردن، صورت و مخرج را بر بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک تقسیم کنید.", + "example": "نقطه‌هایی روی محور عددی از -2 تا 2 با فواصل یک‌دهم مشخص شده‌اند. نقاط روی اعداد -1.1، -0.9، 0.3، 0.7، 1.2 و 1.8 علامت زده شده‌اند. کدام نقاط نمایش درست و کدام نادرست هستند؟", + "steps": [ + "عدد -1.1 باید کمی کمتر از -1 باشد که درست است.", + "عدد -0.9 باید کمی بیشتر از -1 باشد که درست است.", + "عدد 0.3 باید کمی کمتر از 0.5 باشد که درست است.", + "عدد 0.7 باید کمی کمتر از 1 باشد که درست است.", + "عدد 1.2 باید کمی بیشتر از 1 باشد که درست است.", + "✅ جواب: همه نقاط درست هستند" + ] } ] }, @@ -6769,15 +8184,34 @@ "lessons": [ { "title": "جمع عددهای صحیح روی محور", - "introText": "۱. عدد اول را روی محور پیدا کنید. ۲. به اندازه عدد دوم به سمت راست حرکت کنید. ۳. عدد نهایی را بخوانید." + "introText": "۱. عدد اول را روی محور پیدا کنید. ۲. به اندازه عدد دوم به سمت راست حرکت کنید. ۳. عدد نهایی را بخوانید.", + "example": "عدد متقارن عدد ۴/۳ را روی محور عددی بنویسید.", + "steps": [ + "عدد ۴/۳ مثبت است.", + "عدد متقارن آن نسبت به صفر، منفی ۴/۳ است.", + "بنابراین عدد متقارن ۴/۳ برابر است با -۴/۳." + ] }, { "title": "یافتن عدد متناظر روی محور", - "introText": "۱. عدد داده شده را روی محور پیدا کنید. ۲. به همان اندازه به سمت چپ حرکت کنید. ۳. عدد متناظر را بخوانید." + "introText": "۱. عدد داده شده را روی محور پیدا کنید. ۲. به همان اندازه به سمت چپ حرکت کنید. ۳. عدد متناظر را بخوانید.", + "example": "عدد متقارن عدد ۴/۳ را روی محور عددی بنویسید.", + "steps": [ + "عدد ۴/۳ مثبت است.", + "عدد متقارن آن نسبت به صفر، منفی ۴/۳ است.", + "بنابراین عدد متقارن ۴/۳ برابر است با -۴/۳." + ] }, { "title": "جمع عددهای گویا", - "introText": "۱. عدد اول را روی محور پیدا کنید. ۲. به اندازه عدد دوم به سمت راست حرکت کنید. ۳. عدد نهایی را بخوانید." + "introText": "۱. عدد اول را روی محور پیدا کنید. ۲. به اندازه عدد دوم به سمت راست حرکت کنید. ۳. عدد نهایی را بخوانید.", + "example": "جمع عددهای گویا (۳/۲) و (-۶/۲) را روی محور عددی بنویسید.", + "steps": [ + "ابتدا عدد ۳/۲ را روی محور عددی مشخص می‌کنیم.", + "سپس به اندازه -۶/۲ (یعنی ۳ واحد به سمت چپ) حرکت می‌کنیم.", + "برای جمع جبری: (۳/۲) + (-۶/۲) = (۳ - ۶)/۲ = -۳/۲.", + "بنابراین حاصل جمع برابر است با -۳/۲." + ] }, { "title": "جمع و تفریق اعداد گویا", @@ -6789,15 +8223,39 @@ }, { "title": "جمع و تفریق کسرها", - "introText": "۱. مخرج مشترک کسرها را پیدا کنید.\n۲. صورت‌ها را با توجه به مخرج مشترک جدید تنظیم کنید.\n۳. صورت‌ها را جمع یا تفریق کنید.\n۴. اگر ممکن است، کسر را ساده کنید." + "introText": "۱. مخرج مشترک کسرها را پیدا کنید.\n۲. صورت‌ها را با توجه به مخرج مشترک جدید تنظیم کنید.\n۳. صورت‌ها را جمع یا تفریق کنید.\n۴. اگر ممکن است، کسر را ساده کنید.", + "example": "عبارت ۵/۸ - ۷/۸ را به صورت جمع دو عدد گویا بنویسید و حاصل را بدست آورید.", + "steps": [ + "ابتدا تفریق را به صورت جمع تبدیل می‌کنیم: ۵/۸ - ۷/۸ = ۵/۸ + (-۷/۸).", + "سپس صورت‌ها را جمع می‌کنیم: ۵ - ۷ = -۲.", + "مخرج مشترک ۸ است.", + "پس حاصل برابر است با -۲/۸.", + "✅ جواب: -2/8 یا 5/8 + (-7/8)" + ] }, { "title": "جمع و تفریق اعداد مخلوط", - "introText": "۱. اعداد مخلوط را به صورت کسر تبدیل کنید.\n۲. مخرج مشترک کسرها را پیدا کنید.\n۳. صورت‌ها را با توجه به مخرج مشترک جدید تنظیم کنید.\n۴. صورت‌ها را جمع یا تفریق کنید.\n۵. اگر ممکن است، کسر را ساده کنید و به عدد مخلوط تبدیل کنید." + "introText": "۱. اعداد مخلوط را به صورت کسر تبدیل کنید.\n۲. مخرج مشترک کسرها را پیدا کنید.\n۳. صورت‌ها را با توجه به مخرج مشترک جدید تنظیم کنید.\n۴. صورت‌ها را جمع یا تفریق کنید.\n۵. اگر ممکن است، کسر را ساده کنید و به عدد مخلوط تبدیل کنید.", + "example": "عبارت ۵/۸ - ۷/۸ را به صورت جمع دو عدد گویا بنویسید و حاصل را بدست آورید.", + "steps": [ + "ابتدا تفریق را به صورت جمع تبدیل می‌کنیم: ۵/۸ - ۷/۸ = ۵/۸ + (-۷/۸).", + "سپس صورت‌ها را جمع می‌کنیم: ۵ - ۷ = -۲.", + "مخرج مشترک ۸ است.", + "پس حاصل برابر است با -۲/۸.", + "✅ جواب: -2/8 یا 5/8 + (-7/8)" + ] }, { "title": "جمع و تفریق اعداد اعشاری", - "introText": "۱. اعداد اعشاری را زیر هم بنویسید و مکان اعشار را تنظیم کنید.\n۲. اعداد را جمع یا تفریق کنید.\n۳. مکان اعشار را در جواب نهایی حفظ کنید." + "introText": "۱. اعداد اعشاری را زیر هم بنویسید و مکان اعشار را تنظیم کنید.\n۲. اعداد را جمع یا تفریق کنید.\n۳. مکان اعشار را در جواب نهایی حفظ کنید.", + "example": "عبارت ۵/۸ - ۷/۸ را به صورت جمع دو عدد گویا بنویسید و حاصل را بدست آورید.", + "steps": [ + "ابتدا تفریق را به صورت جمع تبدیل می‌کنیم: ۵/۸ - ۷/۸ = ۵/۸ + (-۷/۸).", + "سپس صورت‌ها را جمع می‌کنیم: ۵ - ۷ = -۲.", + "مخرج مشترک ۸ است.", + "پس حاصل برابر است با -۲/۸.", + "✅ جواب: -2/8 یا 5/8 + (-7/8)" + ] } ] }, @@ -6815,11 +8273,28 @@ }, { "title": "تبدیل تقسیم به ضرب", - "introText": "برای تبدیل تقسیم به ضرب، ابتدا علامت تقسیم را به ضرب تبدیل کنید و سپس کسر دوم را معکوس کنید. سپس دو کسر را در هم ضرب کنید." + "introText": "برای تبدیل تقسیم به ضرب، ابتدا علامت تقسیم را به ضرب تبدیل کنید و سپس کسر دوم را معکوس کنید. سپس دو کسر را در هم ضرب کنید.", + "example": "همان طور که می‌دانید، تقسیم را می‌توان به ضرب تبدیل کنیم؛ پس مانند نمونه ابتدا علامت حاصل تقسیم را بگذارید و سپس آن را به ضرب دو عدد تبدیل کنید:\n(۲/۳) ÷ (-۵/۷) = ؟\n-۶/۳۵ ÷ (-۸/۲۱) = ؟\n-۱۵/۱۲ ÷ (+۱۰/۱۸) = ؟", + "steps": [ + "ابتدا تقسیم را به ضرب تبدیل می‌کنیم و عدد دوم را معکوس می‌کنیم:", + "(۲/۳) ÷ (-۵/۷) = (۲/۳) × (-۷/۵)", + "علامت حاصل: مثبت × منفی = منفی", + "پس:", + "(۲/۳) × (-۷/۵) = -(۲ × ۷) / (۳ × ۵) = -۱۴/۱۵", + "✅ جواب: -14/15, 9/20, -9/4" + ] }, { "title": "پر کردن جای خالی با کسر مناسب", - "introText": "برای پر کردن جای خالی، کسر مناسب را پیدا کنید که با ضرب در کسر داده شده حاصل برابر با یک شود." + "introText": "برای پر کردن جای خالی، کسر مناسب را پیدا کنید که با ضرب در کسر داده شده حاصل برابر با یک شود.", + "example": "جاهای خالی را با کسر مناسب پر کنید:\n-۱/۲ × ____ = ۱\n۳/۵ × ____ = ۱\n+۱/۴ × ____ = ۱", + "steps": [ + "برای هر معادله، کسر مجهول معکوس عدد داده شده است:", + "۱/۲ × (-۲/۱) = ۱", + "۳/۵ × (۵/۳) = ۱", + "+۱/۴ × (۴/۱) = ۱", + "✅ جواب: معکوس هر عدد: ۱-، ۲/، و ۳/۵ ۵/۳ و ۴/۱" + ] }, { "title": "تقسیم کسرها", @@ -6839,7 +8314,16 @@ }, { "title": "ضرب و تقسیم اعداد گویا", - "introText": "۱. برای ضرب، صورت‌ها و مخرج‌ها را جداگانه ضرب کنید. ۲. برای تقسیم، کسر دوم را معکوس کرده و سپس ضرب کنید. ۳. کسر حاصل را ساده کنید." + "introText": "۱. برای ضرب، صورت‌ها و مخرج‌ها را جداگانه ضرب کنید. ۲. برای تقسیم، کسر دوم را معکوس کرده و سپس ضرب کنید. ۳. کسر حاصل را ساده کنید.", + "example": "همان طور که می‌دانید، تقسیم را می‌توان به ضرب تبدیل کنیم؛ پس مانند نمونه ابتدا علامت حاصل تقسیم را بگذارید و سپس آن را به ضرب دو عدد تبدیل کنید:\n(۲/۳) ÷ (-۵/۷) = ؟\n-۶/۳۵ ÷ (-۸/۲۱) = ؟\n-۱۵/۱۲ ÷ (+۱۰/۱۸) = ؟", + "steps": [ + "ابتدا تقسیم را به ضرب تبدیل می‌کنیم و عدد دوم را معکوس می‌کنیم:", + "(۲/۳) ÷ (-۵/۷) = (۲/۳) × (-۷/۵)", + "علامت حاصل: مثبت × منفی = منفی", + "پس:", + "(۲/۳) × (-۷/۵) = -(۲ × ۷) / (۳ × ۵) = -۱۴/۱۵", + "✅ جواب: -14/15, 9/20, -9/4" + ] }, { "title": "ساده‌سازی کسرها", @@ -6851,7 +8335,16 @@ }, { "title": "محاسبه حاصل عبارات گویا", - "introText": "۱. ترتیب عملیات را رعایت کنید. ۲. ابتدا پرانتزها را محاسبه کنید. ۳. سپس ضرب و تقسیم را انجام دهید. ۴. در نهایت جمع و تفریق را محاسبه کنید." + "introText": "۱. ترتیب عملیات را رعایت کنید. ۲. ابتدا پرانتزها را محاسبه کنید. ۳. سپس ضرب و تقسیم را انجام دهید. ۴. در نهایت جمع و تفریق را محاسبه کنید.", + "example": "همان طور که می‌دانید، تقسیم را می‌توان به ضرب تبدیل کنیم؛ پس مانند نمونه ابتدا علامت حاصل تقسیم را بگذارید و سپس آن را به ضرب دو عدد تبدیل کنید:\n(۲/۳) ÷ (-۵/۷) = ؟\n-۶/۳۵ ÷ (-۸/۲۱) = ؟\n-۱۵/۱۲ ÷ (+۱۰/۱۸) = ؟", + "steps": [ + "ابتدا تقسیم را به ضرب تبدیل می‌کنیم و عدد دوم را معکوس می‌کنیم:", + "(۲/۳) ÷ (-۵/۷) = (۲/۳) × (-۷/۵)", + "علامت حاصل: مثبت × منفی = منفی", + "پس:", + "(۲/۳) × (-۷/۵) = -(۲ × ۷) / (۳ × ۵) = -۱۴/۱۵", + "✅ جواب: -14/15, 9/20, -9/4" + ] } ] } @@ -6859,6 +8352,7 @@ }, { "title": "فصل ۲: عددهای اول", + "blurb": "در این فصل: یادآوری عددهای اول و تعیین عددهای اول.", "order": 2, "nodes": [ { @@ -6871,7 +8365,14 @@ }, { "title": "آرایش مستطیلی", - "introText": "برای رسم آرایش مستطیلی، تعداد کل را به صورت ضرب دو عدد طبیعی نمایش دهید. این دو عدد طول و عرض مستطیل را نشان می‌دهند." + "introText": "برای رسم آرایش مستطیلی، تعداد کل را به صورت ضرب دو عدد طبیعی نمایش دهید. این دو عدد طول و عرض مستطیل را نشان می‌دهند.", + "example": "تعدادی از سربازان می‌خواهند رژه بروند. فرمانده آنها آرایش‌های مستطیلی مختلف برای گروه‌های ۶ نفره را روی کاغذ کشیده است: ۱×۶، ۲×۳، ۳×۲، ۶×۱. شما هم برای ۸ نفر، آرایش‌های مستطیلی مختلف رسم کنید. برای ۵ نفر هم آرایش‌های ممکن را رسم کنید. کدام عددها فقط ۲ آرایش مستطیلی دارند؟", + "steps": [ + "برای ۸ نفر: آرایش‌های مستطیلی ممکن عبارتند از ۱×۸، ۲×۴، ۴×۲، ۸×۱.", + "برای ۵ نفر: چون ۵ عدد اول است، فقط آرایش‌های ۱×۵ و ۵×۱ ممکن است.", + "اعدادی که فقط ۲ آرایش مستطیلی دارند، اعداد اول هستند مانند ۵ و ۷.", + "✅ جواب: اعداد اول مانند ۵ و ۷ فقط دو آرایش ۱×n و n×۱ دارند." + ] }, { "title": "تجزیه عدد به عوامل اول", @@ -6879,11 +8380,25 @@ }, { "title": "تشخیص عدد مرکب", - "introText": "برای تشخیص عدد مرکب، عدد را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک بنویسید." + "introText": "برای تشخیص عدد مرکب، عدد را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک بنویسید.", + "example": "عددهای طبیعی از 1 تا 20 را بنویسید و دور عددهای اول خط بکشید. آیا عدد 1 اول است؟ چرا؟ آیا عدد 1 مرکب است؟ چرا؟", + "steps": [ + "اعداد طبیعی از 1 تا 20 عبارتند از: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 18، 19، 20.", + "عدد 1 اول نیست زیرا فقط یک مقسوم‌علیه دارد و باید دو مقسوم‌علیه متفاوت داشته باشد (1 و خودش).", + "عدد 1 مرکب هم نیست زیرا نمی‌توان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از 1 نوشت.", + "✅ جواب: 1 نه اول است و نه مرکب" + ] }, { "title": "تشخیص عدد اول", - "introText": "برای تشخیص عدد اول، بررسی کنید که عدد تنها بر خودش و یک بخش‌پذیر باشد." + "introText": "برای تشخیص عدد اول، بررسی کنید که عدد تنها بر خودش و یک بخش‌پذیر باشد.", + "example": "عددهای طبیعی از 1 تا 20 را بنویسید و دور عددهای اول خط بکشید. آیا عدد 1 اول است؟ چرا؟ آیا عدد 1 مرکب است؟ چرا؟", + "steps": [ + "اعداد طبیعی از 1 تا 20 عبارتند از: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 18، 19، 20.", + "عدد 1 اول نیست زیرا فقط یک مقسوم‌علیه دارد و باید دو مقسوم‌علیه متفاوت داشته باشد (1 و خودش).", + "عدد 1 مرکب هم نیست زیرا نمی‌توان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از 1 نوشت.", + "✅ جواب: 1 نه اول است و نه مرکب" + ] }, { "title": "تقسیم‌بندی اعداد طبیعی", @@ -6891,11 +8406,25 @@ }, { "title": "تشخیص اعداد مرکب", - "introText": "برای تشخیص اعداد مرکب، باید بررسی کنیم که آیا عدد مورد نظر به جز ۱ و خودش، مقسوم‌علیه دیگری دارد یا خیر. اگر عددی مقسوم‌علیه دیگری داشته باشد، آن عدد مرکب است." + "introText": "برای تشخیص اعداد مرکب، باید بررسی کنیم که آیا عدد مورد نظر به جز ۱ و خودش، مقسوم‌علیه دیگری دارد یا خیر. اگر عددی مقسوم‌علیه دیگری داشته باشد، آن عدد مرکب است.", + "example": "عددهای طبیعی از 1 تا 20 را بنویسید و دور عددهای اول خط بکشید. آیا عدد 1 اول است؟ چرا؟ آیا عدد 1 مرکب است؟ چرا؟", + "steps": [ + "اعداد طبیعی از 1 تا 20 عبارتند از: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 18، 19، 20.", + "عدد 1 اول نیست زیرا فقط یک مقسوم‌علیه دارد و باید دو مقسوم‌علیه متفاوت داشته باشد (1 و خودش).", + "عدد 1 مرکب هم نیست زیرا نمی‌توان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از 1 نوشت.", + "✅ جواب: 1 نه اول است و نه مرکب" + ] }, { "title": "مضرب‌های عدد اول", - "introText": "برای یافتن مضرب‌های یک عدد اول، باید عدد مورد نظر را در اعداد طبیعی ضرب کنیم. مضرب‌های یک عدد اول به جز خودش و ۱، عدد اول نیستند." + "introText": "برای یافتن مضرب‌های یک عدد اول، باید عدد مورد نظر را در اعداد طبیعی ضرب کنیم. مضرب‌های یک عدد اول به جز خودش و ۱، عدد اول نیستند.", + "example": "عدد ۱۷ چند مضرب دارد؟", + "steps": [ + "عدد ۱۷ یک عدد اول است.", + "مضرب‌های ۱۷ اعدادی هستند که بر ۱۷ بخش‌پذیرند مانند ۱۷، ۳۴، ۵۱ و ...", + "تعداد مضرب‌ها در بازه مشخص نشده است، بنابراین تعداد مضرب‌ها نامحدود است.", + "اگر بازه مشخص بود، باید تعداد اعدادی که بر ۱۷ بخش‌پذیرند را بشماریم." + ] }, { "title": "ب.م.م و نسبت به هم اول بودن", @@ -6903,11 +8432,25 @@ }, { "title": "یافتن عددهای اول بین دو عدد", - "introText": "برای یافتن عددهای اول بین دو عدد، ابتدا لیستی از اعداد بین آن دو عدد تهیه کنید. سپس برای هر عدد در لیست، بررسی کنید که آیا عدد اول است یا خیر. اگر عددی فقط بر ۱ و خودش بخش‌پذیر باشد، عدد اول است." + "introText": "برای یافتن عددهای اول بین دو عدد، ابتدا لیستی از اعداد بین آن دو عدد تهیه کنید. سپس برای هر عدد در لیست، بررسی کنید که آیا عدد اول است یا خیر. اگر عددی فقط بر ۱ و خودش بخش‌پذیر باشد، عدد اول است.", + "example": "عددهای طبیعی از 1 تا 20 را بنویسید و دور عددهای اول خط بکشید. آیا عدد 1 اول است؟ چرا؟ آیا عدد 1 مرکب است؟ چرا؟", + "steps": [ + "اعداد طبیعی از 1 تا 20 عبارتند از: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 18، 19، 20.", + "عدد 1 اول نیست زیرا فقط یک مقسوم‌علیه دارد و باید دو مقسوم‌علیه متفاوت داشته باشد (1 و خودش).", + "عدد 1 مرکب هم نیست زیرا نمی‌توان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از 1 نوشت.", + "✅ جواب: 1 نه اول است و نه مرکب" + ] }, { "title": "تعداد عددهای اول کمتر از یک عدد", - "introText": "برای یافتن تعداد عددهای اول کمتر از یک عدد مشخص، لیستی از اعداد اول تا آن عدد تهیه کنید و تعداد آنها را بشمارید." + "introText": "برای یافتن تعداد عددهای اول کمتر از یک عدد مشخص، لیستی از اعداد اول تا آن عدد تهیه کنید و تعداد آنها را بشمارید.", + "example": "عددهای طبیعی از 1 تا 20 را بنویسید و دور عددهای اول خط بکشید. آیا عدد 1 اول است؟ چرا؟ آیا عدد 1 مرکب است؟ چرا؟", + "steps": [ + "اعداد طبیعی از 1 تا 20 عبارتند از: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 18، 19، 20.", + "عدد 1 اول نیست زیرا فقط یک مقسوم‌علیه دارد و باید دو مقسوم‌علیه متفاوت داشته باشد (1 و خودش).", + "عدد 1 مرکب هم نیست زیرا نمی‌توان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از 1 نوشت.", + "✅ جواب: 1 نه اول است و نه مرکب" + ] }, { "title": "جمع دو عدد اول", @@ -6921,35 +8464,92 @@ "lessons": [ { "title": "تشخیص اعداد اول", - "introText": "برای تشخیص اعداد اول از ۱ تا ۵۰، ابتدا عدد ۱ را خط می‌زنیم زیرا عدد اول نیست. سپس مضرب‌های هر عدد اول را خط می‌زنیم تا فقط اعداد اول باقی بمانند." + "introText": "برای تشخیص اعداد اول از ۱ تا ۵۰، ابتدا عدد ۱ را خط می‌زنیم زیرا عدد اول نیست. سپس مضرب‌های هر عدد اول را خط می‌زنیم تا فقط اعداد اول باقی بمانند.", + "example": "برای تعیین اعداد اول، عدد یک و مضرب‌های مرکب اعداد اول را خط می‌زنیم و خط زدن را تا عدد اولی ادامه می‌دهیم که مربع آن، بین عددهای نوشته شده نباشد. برای n=40 این روش را انجام دهید و اعداد اول تا 40 را مشخص کنید.", + "steps": [ + "اعداد 1 تا 40 را می‌نویسیم: 1, 2, 3, ..., 40.", + "عدد 1 را خط می‌زنیم.", + "عدد بعدی که خط نخورده است 2 است. مربع 2 برابر 4 است که در بین اعداد است. پس مضرب‌های بزرگ‌تر از 2 را خط می‌زنیم: 4, 6, 8, ..., 40. عدد بعدی که خط نخورده است 3 است. مربع 3 برابر 9 است که در بین اعداد است. پس مضرب‌های بزرگ‌تر از 3 را خط می‌زنیم: 9, 12, 15, ..., 39. عدد بعدی که خط نخورده است 5 است. مربع 5 برابر 25 است ک", + "✅ جواب: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37" + ] }, { "title": "تشخیص مضرب‌های عدد", - "introText": "برای تعیین مضرب‌های یک عدد، عدد مورد نظر را در اعداد طبیعی ضرب کنید و مضرب‌ها را مشخص کنید." + "introText": "برای تعیین مضرب‌های یک عدد، عدد مورد نظر را در اعداد طبیعی ضرب کنید و مضرب‌ها را مشخص کنید.", + "example": "آیا لازم است مضرب‌های عدد 4 را خط بزنیم؟ چرا؟", + "steps": [ + "خیر، لازم نیست مضرب‌های عدد 4 را خط بزنیم زیرا اگر عددی مضرب 4 باشد، بیش از آن به عنوان مضرب 2 خط خورده است.", + "بنابراین خط زدن مضرب‌های 4 تکراری است.", + "✅ جواب: درست است؛ هر مضرب ۴ خود مضرب ۲ است، پس قبلاً خط خورده و نیازی به خط زدن دوباره نیست." + ] }, { "title": "تشخیص عددهای اول", - "introText": "برای تشخیص عددهای اول، مضرب‌های هر عدد را خط بزنید و عددهایی که باقی می‌مانند، عدد اول هستند." + "introText": "برای تشخیص عددهای اول، مضرب‌های هر عدد را خط بزنید و عددهایی که باقی می‌مانند، عدد اول هستند.", + "example": "برای تعیین اعداد اول، عدد یک و مضرب‌های مرکب اعداد اول را خط می‌زنیم و خط زدن را تا عدد اولی ادامه می‌دهیم که مربع آن، بین عددهای نوشته شده نباشد. برای n=40 این روش را انجام دهید و اعداد اول تا 40 را مشخص کنید.", + "steps": [ + "اعداد 1 تا 40 را می‌نویسیم: 1, 2, 3, ..., 40.", + "عدد 1 را خط می‌زنیم.", + "عدد بعدی که خط نخورده است 2 است. مربع 2 برابر 4 است که در بین اعداد است. پس مضرب‌های بزرگ‌تر از 2 را خط می‌زنیم: 4, 6, 8, ..., 40. عدد بعدی که خط نخورده است 3 است. مربع 3 برابر 9 است که در بین اعداد است. پس مضرب‌های بزرگ‌تر از 3 را خط می‌زنیم: 9, 12, 15, ..., 39. عدد بعدی که خط نخورده است 5 است. مربع 5 برابر 25 است ک", + "✅ جواب: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37" + ] }, { "title": "تشخیص عدد اول", - "introText": "برای تشخیص عدد اول، عدد مورد نظر را بر اعداد اول کوچکتر از ریشه دوم آن تقسیم می‌کنیم. اگر هیچ‌کدام از تقسیم‌ها باقی‌مانده نداشت، عدد اول است." + "introText": "برای تشخیص عدد اول، عدد مورد نظر را بر اعداد اول کوچکتر از ریشه دوم آن تقسیم می‌کنیم. اگر هیچ‌کدام از تقسیم‌ها باقی‌مانده نداشت، عدد اول است.", + "example": "برای تعیین اعداد اول، عدد یک و مضرب‌های مرکب اعداد اول را خط می‌زنیم و خط زدن را تا عدد اولی ادامه می‌دهیم که مربع آن، بین عددهای نوشته شده نباشد. برای n=40 این روش را انجام دهید و اعداد اول تا 40 را مشخص کنید.", + "steps": [ + "اعداد 1 تا 40 را می‌نویسیم: 1, 2, 3, ..., 40.", + "عدد 1 را خط می‌زنیم.", + "عدد بعدی که خط نخورده است 2 است. مربع 2 برابر 4 است که در بین اعداد است. پس مضرب‌های بزرگ‌تر از 2 را خط می‌زنیم: 4, 6, 8, ..., 40. عدد بعدی که خط نخورده است 3 است. مربع 3 برابر 9 است که در بین اعداد است. پس مضرب‌های بزرگ‌تر از 3 را خط می‌زنیم: 9, 12, 15, ..., 39. عدد بعدی که خط نخورده است 5 است. مربع 5 برابر 25 است ک", + "✅ جواب: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37" + ] }, { "title": "غربال اعداد", - "introText": "۱. لیستی از اعداد مورد نظر تهیه کنید. ۲. از کوچک‌ترین عدد اول شروع کرده و مضرب‌های آن را حذف کنید. ۳. این کار را برای اعداد اول بعدی تکرار کنید تا تنها اعداد اول باقی بمانند." + "introText": "۱. لیستی از اعداد مورد نظر تهیه کنید. ۲. از کوچک‌ترین عدد اول شروع کرده و مضرب‌های آن را حذف کنید. ۳. این کار را برای اعداد اول بعدی تکرار کنید تا تنها اعداد اول باقی بمانند.", + "example": "برای تعیین اعداد اول، عدد یک و مضرب‌های مرکب اعداد اول را خط می‌زنیم و خط زدن را تا عدد اولی ادامه می‌دهیم که مربع آن، بین عددهای نوشته شده نباشد. برای n=40 این روش را انجام دهید و اعداد اول تا 40 را مشخص کنید.", + "steps": [ + "اعداد 1 تا 40 را می‌نویسیم: 1, 2, 3, ..., 40.", + "عدد 1 را خط می‌زنیم.", + "عدد بعدی که خط نخورده است 2 است. مربع 2 برابر 4 است که در بین اعداد است. پس مضرب‌های بزرگ‌تر از 2 را خط می‌زنیم: 4, 6, 8, ..., 40. عدد بعدی که خط نخورده است 3 است. مربع 3 برابر 9 است که در بین اعداد است. پس مضرب‌های بزرگ‌تر از 3 را خط می‌زنیم: 9, 12, 15, ..., 39. عدد بعدی که خط نخورده است 5 است. مربع 5 برابر 25 است ک", + "✅ جواب: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37" + ] }, { "title": "تشخیص عددهای اول و مرکب", - "introText": "برای تشخیص عدد اول، ابتدا عدد را بر اعداد اول کوچکتر از ریشه دوم آن تقسیم می‌کنیم. اگر هیچ‌کدام از این تقسیم‌ها باقی‌مانده صفر نداشت، عدد اول است. در غیر این صورت، عدد مرکب است." + "introText": "برای تشخیص عدد اول، ابتدا عدد را بر اعداد اول کوچکتر از ریشه دوم آن تقسیم می‌کنیم. اگر هیچ‌کدام از این تقسیم‌ها باقی‌مانده صفر نداشت، عدد اول است. در غیر این صورت، عدد مرکب است.", + "example": "برای تعیین اعداد اول، عدد یک و مضرب‌های مرکب اعداد اول را خط می‌زنیم و خط زدن را تا عدد اولی ادامه می‌دهیم که مربع آن، بین عددهای نوشته شده نباشد. برای n=40 این روش را انجام دهید و اعداد اول تا 40 را مشخص کنید.", + "steps": [ + "اعداد 1 تا 40 را می‌نویسیم: 1, 2, 3, ..., 40.", + "عدد 1 را خط می‌زنیم.", + "عدد بعدی که خط نخورده است 2 است. مربع 2 برابر 4 است که در بین اعداد است. پس مضرب‌های بزرگ‌تر از 2 را خط می‌زنیم: 4, 6, 8, ..., 40. عدد بعدی که خط نخورده است 3 است. مربع 3 برابر 9 است که در بین اعداد است. پس مضرب‌های بزرگ‌تر از 3 را خط می‌زنیم: 9, 12, 15, ..., 39. عدد بعدی که خط نخورده است 5 است. مربع 5 برابر 25 است ک", + "✅ جواب: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37" + ] }, { "title": "یافتن عددهای اول بین دو عدد", - "introText": "برای یافتن عددهای اول بین دو عدد، از روش غربال استفاده می‌کنیم. ابتدا لیستی از اعداد بین دو عدد مورد نظر تهیه کرده و سپس اعداد مرکب را با استفاده از مضرب‌های اعداد اول حذف می‌کنیم." + "introText": "برای یافتن عددهای اول بین دو عدد، از روش غربال استفاده می‌کنیم. ابتدا لیستی از اعداد بین دو عدد مورد نظر تهیه کرده و سپس اعداد مرکب را با استفاده از مضرب‌های اعداد اول حذف می‌کنیم.", + "example": "برای تعیین اعداد اول، عدد یک و مضرب‌های مرکب اعداد اول را خط می‌زنیم و خط زدن را تا عدد اولی ادامه می‌دهیم که مربع آن، بین عددهای نوشته شده نباشد. برای n=40 این روش را انجام دهید و اعداد اول تا 40 را مشخص کنید.", + "steps": [ + "اعداد 1 تا 40 را می‌نویسیم: 1, 2, 3, ..., 40.", + "عدد 1 را خط می‌زنیم.", + "عدد بعدی که خط نخورده است 2 است. مربع 2 برابر 4 است که در بین اعداد است. پس مضرب‌های بزرگ‌تر از 2 را خط می‌زنیم: 4, 6, 8, ..., 40. عدد بعدی که خط نخورده است 3 است. مربع 3 برابر 9 است که در بین اعداد است. پس مضرب‌های بزرگ‌تر از 3 را خط می‌زنیم: 9, 12, 15, ..., 39. عدد بعدی که خط نخورده است 5 است. مربع 5 برابر 25 است ک", + "✅ جواب: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37" + ] }, { "title": "نسبت به هم اول بودن", - "introText": "دو عدد نسبت به هم اول هستند اگر بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک آن‌ها ۱ باشد. برای تعیین این موضوع، از الگوریتم اقلیدس استفاده می‌کنیم." + "introText": "دو عدد نسبت به هم اول هستند اگر بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک آن‌ها ۱ باشد. برای تعیین این موضوع، از الگوریتم اقلیدس استفاده می‌کنیم.", + "example": "آیا عدد ۴۷ با مضرب‌های ۲ خط می‌خورد؟ آیا عدد ۴۷ با مضرب‌های ۳ خط می‌خورد؟ آیا عدد ۴۷ با مضرب‌های ۵ خط می‌خورد؟ آیا لازم است بررسی کنیم که عدد ۴۷ با مضرب‌های ۷ خط می‌خورد یا نه؟ چرا؟", + "steps": [ + "برای بررسی اول بودن ۴۷، آن را بر اعداد اول کوچکتر از جذر ۴۷ (که تقریباً ۶.۸۵ است) تقسیم می‌کنیم. این اعداد اول ۲، ۳ و ۵ هستند.", + "تقسیم ۴۷ بر ۲: باقی‌مانده دارد، پس ۴۷ بر ۲ بخش‌پذیر نیست.", + "تقسیم ۴۷ بر ۳: باقی‌مانده دارد، پس ۴۷ بر ۳ بخش‌پذیر نیست.", + "تقسیم ۴۷ بر ۵: باقی‌مانده دارد، پس ۴۷ بر ۵ بخش‌پذیر نیست.", + "از آنجا که جذر ۴۷ کمتر از ۷ است، نیازی به بررسی مضرب‌های ۷ نیست. بنابراین ۴۷ عدد اول است.", + "✅ جواب: ۴۷ عدد اول است و با مضرب‌های ۲، ۳ و ۵ بخش‌پذیر نیست. بررسی مضرب‌های ۷ لازم نیست." + ] } ] } @@ -6957,6 +8557,7 @@ }, { "title": "فصل ۳: چندضلعی‌ها", + "blurb": "در این فصل: چندضلعی‌ها و تقارن، توازی و تعامد، چهارضلعی‌ها، زاویه‌های داخلی و زاویه‌های خارجی.", "order": 3, "nodes": [ { @@ -6965,7 +8566,14 @@ "lessons": [ { "title": "تشخیص چندضلعی منتظم", - "introText": "۱. شکل مورد نظر را انتخاب کنید. ۲. تعداد اضلاع را بشمارید. ۳. بررسی کنید که آیا همه اضلاع و زوایا برابر هستند یا خیر. ۴. اگر همه اضلاع و زوایا برابر باشند، شکل منتظم است." + "introText": "۱. شکل مورد نظر را انتخاب کنید. ۲. تعداد اضلاع را بشمارید. ۳. بررسی کنید که آیا همه اضلاع و زوایا برابر هستند یا خیر. ۴. اگر همه اضلاع و زوایا برابر باشند، شکل منتظم است.", + "example": "به نظر شما یک چندضلعی منتظم چند محور تقارن دارد؟ ده‌ضلعی منتظم چطور؟", + "steps": [ + "چندضلعی منتظم n ضلعی دارای n محور تقارن است.", + "بنابراین ده‌ضلعی منتظم ۱۰ محور تقارن دارد.", + "هر محور تقارن شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند و شکل را به صورت قرینه نگه می‌دارد.", + "✅ جواب: چندضلعی منتظم n ضلعی دارای n محور تقارن است. ده‌ضلعی منتظم ۱۰ محور تقارن دارد." + ] }, { "title": "تشخیص چندضلعی غیرمنتظم", @@ -6977,7 +8585,14 @@ }, { "title": "محور تقارن در چندضلعی‌ها", - "introText": "۱. شکل چندضلعی را بررسی کنید. ۲. تعداد خطوط تقارن را با توجه به تقارن‌های موجود در شکل مشخص کنید." + "introText": "۱. شکل چندضلعی را بررسی کنید. ۲. تعداد خطوط تقارن را با توجه به تقارن‌های موجود در شکل مشخص کنید.", + "example": "به نظر شما یک چندضلعی منتظم چند محور تقارن دارد؟ ده‌ضلعی منتظم چطور؟", + "steps": [ + "چندضلعی منتظم n ضلعی دارای n محور تقارن است.", + "بنابراین ده‌ضلعی منتظم ۱۰ محور تقارن دارد.", + "هر محور تقارن شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند و شکل را به صورت قرینه نگه می‌دارد.", + "✅ جواب: چندضلعی منتظم n ضلعی دارای n محور تقارن است. ده‌ضلعی منتظم ۱۰ محور تقارن دارد." + ] }, { "title": "چرخش و تقارن", @@ -7015,15 +8630,33 @@ }, { "title": "رسم خطوط موازی", - "introText": "۱. خط اصلی را مشخص کنید. ۲. از ابزار مناسب مانند خط‌کش برای رسم خط موازی استفاده کنید. ۳. شیب خط را حفظ کنید تا موازی بودن حفظ شود." + "introText": "۱. خط اصلی را مشخص کنید. ۲. از ابزار مناسب مانند خط‌کش برای رسم خط موازی استفاده کنید. ۳. شیب خط را حفظ کنید تا موازی بودن حفظ شود.", + "example": "اگر g || h و k ⟂ h باشد، رابطه بین k و g را مشخص کنید.", + "steps": [ + "داده شده است g || h و k ⟂ h.", + "چون k عمود بر h است و h موازی g است، بنابراین k نیز عمود بر g است.", + "نتیجه: k ⟂ g." + ] }, { "title": "تشخیص خطوط موازی و عمود", - "introText": "۱. خطوط را با علامت‌گذاری مشخص کنید. ۲. بررسی کنید که آیا خطوط موازی یا عمود هستند. ۳. از نمادهای ⊥ و ∥ برای نشان دادن روابط استفاده کنید." + "introText": "۱. خطوط را با علامت‌گذاری مشخص کنید. ۲. بررسی کنید که آیا خطوط موازی یا عمود هستند. ۳. از نمادهای ⊥ و ∥ برای نشان دادن روابط استفاده کنید.", + "example": "اگر g || h و k ⟂ h باشد، رابطه بین k و g را مشخص کنید.", + "steps": [ + "داده شده است g || h و k ⟂ h.", + "چون k عمود بر h است و h موازی g است، بنابراین k نیز عمود بر g است.", + "نتیجه: k ⟂ g." + ] }, { "title": "تکمیل روابط زاویه‌ای", - "introText": "۱. روابط زاویه‌ای را با توجه به موازی یا عمود بودن خطوط تکمیل کنید. ۲. از نمادهای ∠ برای نشان دادن زوایا استفاده کنید." + "introText": "۱. روابط زاویه‌ای را با توجه به موازی یا عمود بودن خطوط تکمیل کنید. ۲. از نمادهای ∠ برای نشان دادن زوایا استفاده کنید.", + "example": "اگر g || h و k ⟂ h باشد، رابطه بین k و g را مشخص کنید.", + "steps": [ + "داده شده است g || h و k ⟂ h.", + "چون k عمود بر h است و h موازی g است، بنابراین k نیز عمود بر g است.", + "نتیجه: k ⟂ g." + ] }, { "title": "محاسبه زاویه‌های مجهول", @@ -7069,7 +8702,14 @@ }, { "title": "محاسبه زاویه", - "introText": "۱. استفاده از خواص چهارضلعی برای محاسبه زوایا.\n۲. استفاده از مجموع زوایای داخلی چهارضلعی." + "introText": "۱. استفاده از خواص چهارضلعی برای محاسبه زوایا.\n۲. استفاده از مجموع زوایای داخلی چهارضلعی.", + "example": "در صفحه شطرنجی، متوازی‌الاضلاعی رسم کنید که یکی از زاویه‌های آن قائمه (90 درجه) باشد. سپس توضیح دهید چرا زاویه‌های دیگر آن نیز قائمه هستند.", + "steps": [ + "رسم متوازی‌الاضلاع با یک زاویه 90 درجه روی صفحه شطرنجی.", + "در متوازی‌الاضلاع، زاویه‌های مقابل برابرند، پس زاویه مقابل نیز 90 درجه است.", + "مجموع زاویه‌های داخلی متوازی‌الاضلاع 360 درجه است. دو زاویه قائمه مجموعا 180 درجه دارند، پس دو زاویه دیگر نیز باید مجموعا 180 درجه داشته باشند. زاویه‌های مجاور زاویه قائمه نیز باید 90 درجه باشند تا مجموع هر دو زاویه مجاور 180 درجه شود. بنابراین، هر چهار زاویه متوازی‌الاضلاع قائمه هستند.", + "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست و دقیق است. با داشتن یک زاویه قائمه، زاویه مقابل نیز قائمه است و مجموع زاویه‌های مجاور ۱۸۰ درجه، باقی‌مانده را قائمه می‌کند." + ] } ] }, @@ -7083,27 +8723,62 @@ }, { "title": "محاسبه مجموع زوایای داخلی چندضلعی", - "introText": "برای محاسبه مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی با n ضلع، از فرمول (n-2)×۱۸۰ استفاده کنید." + "introText": "برای محاسبه مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی با n ضلع، از فرمول (n-2)×۱۸۰ استفاده کنید.", + "example": "مجموع زاویه‌های داخلی یک چندضلعی ۵ ضلعی را با استفاده از فرمول محاسبه کنید.", + "steps": [ + "تعداد ضلع‌ها n = 5 است.", + "فرمول مجموع زاویه‌های داخلی: (n - 2) × 180° = (5 - 2) × 180° = 3 × 180° = 540°.", + "پس مجموع زاویه‌های داخلی چندضلعی ۵ ضلعی برابر 540 درجه است." + ] }, { "title": "محاسبه اندازه هر زاویه در چندضلعی منتظم", - "introText": "برای محاسبه اندازه هر زاویه در یک چندضلعی منتظم با n ضلع، از فرمول (n-2)×۱۸۰/n استفاده کنید." + "introText": "برای محاسبه اندازه هر زاویه در یک چندضلعی منتظم با n ضلع، از فرمول (n-2)×۱۸۰/n استفاده کنید.", + "example": "مجموع زاویه‌های داخلی یک چندضلعی ۵ ضلعی را با استفاده از فرمول محاسبه کنید.", + "steps": [ + "تعداد ضلع‌ها n = 5 است.", + "فرمول مجموع زاویه‌های داخلی: (n - 2) × 180° = (5 - 2) × 180° = 3 × 180° = 540°.", + "پس مجموع زاویه‌های داخلی چندضلعی ۵ ضلعی برابر 540 درجه است." + ] }, { "title": "محاسبه مجموع زوایای داخلی چندضلعی منتظم", - "introText": "برای محاسبه مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی منتظم با n ضلع، از فرمول (n-2)×180 استفاده کنید." + "introText": "برای محاسبه مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی منتظم با n ضلع، از فرمول (n-2)×180 استفاده کنید.", + "example": "مجموع زاویه‌های داخلی یک چندضلعی ۵ ضلعی را با استفاده از فرمول محاسبه کنید.", + "steps": [ + "تعداد ضلع‌ها n = 5 است.", + "فرمول مجموع زاویه‌های داخلی: (n - 2) × 180° = (5 - 2) × 180° = 3 × 180° = 540°.", + "پس مجموع زاویه‌های داخلی چندضلعی ۵ ضلعی برابر 540 درجه است." + ] }, { "title": "محاسبه اندازه زاویه‌های داخلی چندضلعی منتظم", - "introText": "برای محاسبه اندازه هر زاویه داخلی یک چندضلعی منتظم با n ضلع، از فرمول [(n-2)×180]/n استفاده کنید." + "introText": "برای محاسبه اندازه هر زاویه داخلی یک چندضلعی منتظم با n ضلع، از فرمول [(n-2)×180]/n استفاده کنید.", + "example": "مجموع زاویه‌های داخلی یک چندضلعی ۵ ضلعی را با استفاده از فرمول محاسبه کنید.", + "steps": [ + "تعداد ضلع‌ها n = 5 است.", + "فرمول مجموع زاویه‌های داخلی: (n - 2) × 180° = (5 - 2) × 180° = 3 × 180° = 540°.", + "پس مجموع زاویه‌های داخلی چندضلعی ۵ ضلعی برابر 540 درجه است." + ] }, { "title": "تشخیص کاشی‌کاری با چندضلعی‌های منتظم", - "introText": "برای تشخیص کاشی‌کاری با چندضلعی‌های منتظم، بررسی کنید که مجموع زوایای چندضلعی‌ها در هر نقطه برابر 360 درجه باشد." + "introText": "برای تشخیص کاشی‌کاری با چندضلعی‌های منتظم، بررسی کنید که مجموع زوایای چندضلعی‌ها در هر نقطه برابر 360 درجه باشد.", + "example": "مجموع زاویه‌های داخلی یک هفت ضلعی منتظم را محاسبه کنید.", + "steps": [ + "تعداد اضلاع n=7 است.", + "مجموع زاویه‌های داخلی = (7-2)×180 = 5×180 = 900 درجه." + ] }, { "title": "محاسبه زاویه‌های چندضلعی", - "introText": "برای محاسبه اندازه هر یک از زاویه‌های یک چندضلعی منتظم با n ضلع، از فرمول (n-2)×180/n استفاده کنید." + "introText": "برای محاسبه اندازه هر یک از زاویه‌های یک چندضلعی منتظم با n ضلع، از فرمول (n-2)×180/n استفاده کنید.", + "example": "مجموع زاویه‌های داخلی یک چندضلعی ۵ ضلعی را با استفاده از فرمول محاسبه کنید.", + "steps": [ + "تعداد ضلع‌ها n = 5 است.", + "فرمول مجموع زاویه‌های داخلی: (n - 2) × 180° = (5 - 2) × 180° = 3 × 180° = 540°.", + "پس مجموع زاویه‌های داخلی چندضلعی ۵ ضلعی برابر 540 درجه است." + ] }, { "title": "تشخیص نوع چندضلعی", @@ -7111,7 +8786,13 @@ }, { "title": "محاسبه مجموع زاویه‌های داخلی", - "introText": "برای محاسبه مجموع زاویه‌های داخلی یک چندضلعی با n ضلع، از فرمول (n-2)×180 استفاده کنید." + "introText": "برای محاسبه مجموع زاویه‌های داخلی یک چندضلعی با n ضلع، از فرمول (n-2)×180 استفاده کنید.", + "example": "مجموع زاویه‌های داخلی یک چندضلعی ۵ ضلعی را با استفاده از فرمول محاسبه کنید.", + "steps": [ + "تعداد ضلع‌ها n = 5 است.", + "فرمول مجموع زاویه‌های داخلی: (n - 2) × 180° = (5 - 2) × 180° = 3 × 180° = 540°.", + "پس مجموع زاویه‌های داخلی چندضلعی ۵ ضلعی برابر 540 درجه است." + ] } ] }, @@ -7121,23 +8802,53 @@ "lessons": [ { "title": "زاویه‌های خارجی مثلث", - "introText": "۱. امتداد یکی از اضلاع مثلث را رسم کنید.\n۲. زاویه خارجی را در رأس مورد نظر پیدا کنید.\n۳. از رابطه زاویه خارجی و زاویه‌های داخلی استفاده کنید: زاویه خارجی برابر است با مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور." + "introText": "۱. امتداد یکی از اضلاع مثلث را رسم کنید.\n۲. زاویه خارجی را در رأس مورد نظر پیدا کنید.\n۳. از رابطه زاویه خارجی و زاویه‌های داخلی استفاده کنید: زاویه خارجی برابر است با مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور.", + "example": "در یک پنج‌ضلعی منتظم، اندازه یکی از زاویه‌های خارجی را بیابید.", + "steps": [ + "مجموع زاویه‌های خارجی هر چندضلعی منتظم برابر 360 درجه است.", + "تعداد اضلاع پنج است.", + "بنابراین، اندازه هر زاویه خارجی برابر است با 360 ÷ 5 = 72 درجه." + ] }, { "title": "مجموع زاویه‌های خارجی چندضلعی", - "introText": "۱. زاویه خارجی هر رأس چندضلعی را پیدا کنید.\n۲. مجموع زاویه‌های خارجی را محاسبه کنید.\n۳. برای هر چندضلعی محدب، مجموع زاویه‌های خارجی برابر ۳۶۰ درجه است." + "introText": "۱. زاویه خارجی هر رأس چندضلعی را پیدا کنید.\n۲. مجموع زاویه‌های خارجی را محاسبه کنید.\n۳. برای هر چندضلعی محدب، مجموع زاویه‌های خارجی برابر ۳۶۰ درجه است.", + "example": "در یک پنج‌ضلعی منتظم، اندازه یکی از زاویه‌های خارجی را بیابید.", + "steps": [ + "مجموع زاویه‌های خارجی هر چندضلعی منتظم برابر 360 درجه است.", + "تعداد اضلاع پنج است.", + "بنابراین، اندازه هر زاویه خارجی برابر است با 360 ÷ 5 = 72 درجه." + ] }, { "title": "یافتن زاویه خارجی مثلث", - "introText": "برای یافتن زاویه خارجی یک مثلث، مجموع دو زاویه داخلی دیگر را از ۱۸۰ درجه کم کنید." + "introText": "برای یافتن زاویه خارجی یک مثلث، مجموع دو زاویه داخلی دیگر را از ۱۸۰ درجه کم کنید.", + "example": "در یک پنج‌ضلعی منتظم، اندازه یکی از زاویه‌های خارجی را بیابید.", + "steps": [ + "مجموع زاویه‌های خارجی هر چندضلعی منتظم برابر 360 درجه است.", + "تعداد اضلاع پنج است.", + "بنابراین، اندازه هر زاویه خارجی برابر است با 360 ÷ 5 = 72 درجه." + ] }, { "title": "محاسبه مجموع زوایای داخلی و خارجی چندضلعی‌ها", - "introText": "برای محاسبه مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی با n ضلع، از فرمول (n-2)×180 استفاده می‌کنیم. برای محاسبه مجموع زوایای خارجی، همیشه برابر 360 درجه است." + "introText": "برای محاسبه مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی با n ضلع، از فرمول (n-2)×180 استفاده می‌کنیم. برای محاسبه مجموع زوایای خارجی، همیشه برابر 360 درجه است.", + "example": "در یک پنج‌ضلعی منتظم، اندازه یکی از زاویه‌های خارجی را بیابید.", + "steps": [ + "مجموع زاویه‌های خارجی هر چندضلعی منتظم برابر 360 درجه است.", + "تعداد اضلاع پنج است.", + "بنابراین، اندازه هر زاویه خارجی برابر است با 360 ÷ 5 = 72 درجه." + ] }, { "title": "محاسبه زوایای خارجی چندضلعی", - "introText": "۱. تعداد اضلاع چندضلعی را مشخص کنید. ۲. از فرمول (n-2)×180 برای محاسبه مجموع زوایای داخلی استفاده کنید. ۳. مجموع زوایای خارجی برابر ۳۶۰ درجه است. ۴. برای چندضلعی منتظم، هر زاویه خارجی برابر ۳۶۰ تقسیم بر تعداد اضلاع است." + "introText": "۱. تعداد اضلاع چندضلعی را مشخص کنید. ۲. از فرمول (n-2)×180 برای محاسبه مجموع زوایای داخلی استفاده کنید. ۳. مجموع زوایای خارجی برابر ۳۶۰ درجه است. ۴. برای چندضلعی منتظم، هر زاویه خارجی برابر ۳۶۰ تقسیم بر تعداد اضلاع است.", + "example": "در یک پنج‌ضلعی منتظم، اندازه یکی از زاویه‌های خارجی را بیابید.", + "steps": [ + "مجموع زاویه‌های خارجی هر چندضلعی منتظم برابر 360 درجه است.", + "تعداد اضلاع پنج است.", + "بنابراین، اندازه هر زاویه خارجی برابر است با 360 ÷ 5 = 72 درجه." + ] }, { "title": "تشخیص زوایای مساوی", @@ -7145,7 +8856,11 @@ }, { "title": "محاسبه زوایای داخلی و خارجی در الگوهای کاشی‌کاری", - "introText": "۱. نوع چندضلعی‌های استفاده شده در کاشی‌کاری را مشخص کنید. ۲. از فرمول (n-2)×180 برای محاسبه مجموع زوایای داخلی استفاده کنید. ۳. زاویه داخلی هر چندضلعی منتظم برابر مجموع زوایای داخلی تقسیم بر تعداد اضلاع است. ۴. زاویه خارجی برابر ۱۸۰ منهای زاویه داخلی است." + "introText": "۱. نوع چندضلعی‌های استفاده شده در کاشی‌کاری را مشخص کنید. ۲. از فرمول (n-2)×180 برای محاسبه مجموع زوایای داخلی استفاده کنید. ۳. زاویه داخلی هر چندضلعی منتظم برابر مجموع زوایای داخلی تقسیم بر تعداد اضلاع است. ۴. زاویه خارجی برابر ۱۸۰ منهای زاویه داخلی است.", + "example": "در متوازی‌الأضلاعی، یکی از زاویه‌های داخلی 60 درجه است. زاویه خارجی مجاور آن را بیابید.", + "steps": [ + "زاویه خارجی = 180 - زاویه داخلی = 180 - 60 = 120 درجه." + ] } ] } @@ -7153,6 +8868,7 @@ }, { "title": "فصل ۴: جبر و معادله", + "blurb": "در این فصل: ساده کردن عبارت‌های جبری، پیدا کردن مقدار یک عبارت جبری، تجزیه عبارت‌های جبری و معادله.", "order": 4, "nodes": [ { @@ -7169,15 +8885,36 @@ }, { "title": "توزیع ضرب در پرانتز", - "introText": "۱. عدد یا عبارت خارج پرانتز را در هر یک از عبارات داخل پرانتز ضرب کنید.\n۲. حاصل‌ضرب‌ها را با هم جمع کنید.\n۳. عبارات مشابه را ساده کنید." + "introText": "۱. عدد یا عبارت خارج پرانتز را در هر یک از عبارات داخل پرانتز ضرب کنید.\n۲. حاصل‌ضرب‌ها را با هم جمع کنید.\n۳. عبارات مشابه را ساده کنید.", + "example": "۵(a + b) = ؟", + "steps": [ + "با استفاده از قانون توزیع ضرب بر جمع داریم:", + "۵(a + b) = ۵ × a + ۵ × b = ۵a + ۵b" + ] }, { "title": "تشخیص جملات مشابه", - "introText": "۱. جملات مشابه را شناسایی کنید.\n۲. ضرایب جملات مشابه را با هم جمع یا تفریق کنید.\n۳. عبارت جدید را بنویسید." + "introText": "۱. جملات مشابه را شناسایی کنید.\n۲. ضرایب جملات مشابه را با هم جمع یا تفریق کنید.\n۳. عبارت جدید را بنویسید.", + "example": "۳(۲x - ۱) + ۲(x + ۳) = ؟", + "steps": [ + "ابتدا پرانتزها را باز می‌کنیم:", + "۳(۲x - ۱) = ۳ × ۲x - ۳ × ۱ = ۶x - ۳", + "۲(x + ۳) = ۲ × x + ۲ × ۳ = ۲x + ۶", + "حالا عبارات را جمع می‌کنیم:", + "۶x - ۳ + ۲x + ۶ = (۶x + ۲x) + (-۳ + ۶) = ۸x + ۳" + ] }, { "title": "تجزیه و ترکیب عبارات جبری", - "introText": "۱. عبارات جبری را به صورت حاصل‌ضرب دو جمله‌ای‌ها بنویسید.\n۲. عبارات را در هم ضرب کنید.\n۳. حاصل‌ضرب را ساده کنید." + "introText": "۱. عبارات جبری را به صورت حاصل‌ضرب دو جمله‌ای‌ها بنویسید.\n۲. عبارات را در هم ضرب کنید.\n۳. حاصل‌ضرب را ساده کنید.", + "example": "۳(۲x - ۱) + ۲(x + ۳) = ؟", + "steps": [ + "ابتدا پرانتزها را باز می‌کنیم:", + "۳(۲x - ۱) = ۳ × ۲x - ۳ × ۱ = ۶x - ۳", + "۲(x + ۳) = ۲ × x + ۲ × ۳ = ۲x + ۶", + "حالا عبارات را جمع می‌کنیم:", + "۶x - ۳ + ۲x + ۶ = (۶x + ۲x) + (-۳ + ۶) = ۸x + ۳" + ] }, { "title": "ساده‌سازی عبارات جبری", @@ -7189,7 +8926,15 @@ }, { "title": "محاسبه مساحت با عبارات جبری", - "introText": "برای محاسبه مساحت شکل‌ها با استفاده از عبارات جبری، ابتدا فرمول مساحت شکل را بنویسید و سپس مقادیر داده شده را جایگزین کنید." + "introText": "برای محاسبه مساحت شکل‌ها با استفاده از عبارات جبری، ابتدا فرمول مساحت شکل را بنویسید و سپس مقادیر داده شده را جایگزین کنید.", + "example": "۳(۲x - ۱) + ۲(x + ۳) = ؟", + "steps": [ + "ابتدا پرانتزها را باز می‌کنیم:", + "۳(۲x - ۱) = ۳ × ۲x - ۳ × ۱ = ۶x - ۳", + "۲(x + ۳) = ۲ × x + ۲ × ۳ = ۲x + ۶", + "حالا عبارات را جمع می‌کنیم:", + "۶x - ۳ + ۲x + ۶ = (۶x + ۲x) + (-۳ + ۶) = ۸x + ۳" + ] }, { "title": "تشخیص خطا در ساده‌سازی عبارات جبری", @@ -7207,15 +8952,33 @@ "lessons": [ { "title": "ماشین عددساز", - "introText": "عدد ورودی را در عدد داخل ماشین ضرب کنید و خروجی را بنویسید." + "introText": "عدد ورودی را در عدد داخل ماشین ضرب کنید و خروجی را بنویسید.", + "example": "محاسبه خروجی ماشین جمع‌کننده که عدد ورودی a است و عملیات داخل ماشین جمع عدد ورودی با ۴ می‌باشد.", + "steps": [ + "عدد ورودی a است.", + "طبق ماشین جمع‌کننده، خروجی برابر است با a + ۴.", + "پس خروجی ماشین جمع‌کننده برابر است با a + ۴." + ] }, { "title": "ماشین ترکیبی", - "introText": "عدد ورودی را به ترتیب از ماشین‌ها عبور دهید و خروجی نهایی را بنویسید." + "introText": "عدد ورودی را به ترتیب از ماشین‌ها عبور دهید و خروجی نهایی را بنویسید.", + "example": "محاسبه خروجی ماشین ترکیبی که ابتدا عدد ورودی x در ماشین عددساز ضرب در ۳ می‌شود و سپس خروجی آن در ماشین جمع‌کننده با عدد ۵ جمع می‌شود.", + "steps": [ + "عدد ورودی x است.", + "ابتدا در ماشین عددساز ضرب در ۳ می‌شود: خروجی ماشین اول 3x است.", + "سپس این خروجی به ماشین جمع‌کننده داده می‌شود که ۵ به آن اضافه می‌کند: خروجی نهایی برابر است با 3x + 5." + ] }, { "title": "ماشین های ورودی و خروجی", - "introText": "۱. عدد ورودی را در رابطه داده شده جایگذاری کنید. ۲. عملیات ریاضی را انجام دهید. ۳. عدد خروجی را بنویسید." + "introText": "۱. عدد ورودی را در رابطه داده شده جایگذاری کنید. ۲. عملیات ریاضی را انجام دهید. ۳. عدد خروجی را بنویسید.", + "example": "محاسبه خروجی ماشین جمع‌کننده که عدد ورودی a است و عملیات داخل ماشین جمع عدد ورودی با ۴ می‌باشد.", + "steps": [ + "عدد ورودی a است.", + "طبق ماشین جمع‌کننده، خروجی برابر است با a + ۴.", + "پس خروجی ماشین جمع‌کننده برابر است با a + ۴." + ] }, { "title": "تکمیل جدول با استفاده از رابطه", @@ -7303,7 +9066,12 @@ }, { "title": "حل معادله با استفاده از رسم شکل", - "introText": "۱. اعداد را به صورت شکل رسم کنید. ۲. شکل‌ها را به گونه‌ای مرتب کنید که جمع آن‌ها برابر مقدار داده شده شود. ۳. عدد وسط را مشخص کنید." + "introText": "۱. اعداد را به صورت شکل رسم کنید. ۲. شکل‌ها را به گونه‌ای مرتب کنید که جمع آن‌ها برابر مقدار داده شده شود. ۳. عدد وسط را مشخص کنید.", + "example": "حل معادله 5x + 10 = 65", + "steps": [ + "از دو طرف معادله 10 را کم می‌کنیم: 5x + 10 - 10 = 65 - 10 که می‌شود 5x = 55", + "هر دو طرف معادله را بر 5 تقسیم می‌کنیم: (1/5) × 5x = (1/5) × 55 که می‌شود x = 11" + ] }, { "title": "حل معادله با استفاده از روش‌های نمادین", @@ -7311,7 +9079,12 @@ }, { "title": "حل معادله خطی", - "introText": "۱. معادله را به صورت ax + b = c بنویسید.\n۲. عدد ثابت b را از هر دو طرف معادله کم کنید.\n۳. ضریب x را به طرف دیگر معادله منتقل کنید.\n۴. طرفین معادله را بر ضریب x تقسیم کنید تا مقدار x به دست آید." + "introText": "۱. معادله را به صورت ax + b = c بنویسید.\n۲. عدد ثابت b را از هر دو طرف معادله کم کنید.\n۳. ضریب x را به طرف دیگر معادله منتقل کنید.\n۴. طرفین معادله را بر ضریب x تقسیم کنید تا مقدار x به دست آید.", + "example": "حل معادله 5x + 10 = 65", + "steps": [ + "از دو طرف معادله 10 را کم می‌کنیم: 5x + 10 - 10 = 65 - 10 که می‌شود 5x = 55", + "هر دو طرف معادله را بر 5 تقسیم می‌کنیم: (1/5) × 5x = (1/5) × 55 که می‌شود x = 11" + ] }, { "title": "حل معادله با کسرها", @@ -7323,7 +9096,12 @@ }, { "title": "حل معادله", - "introText": "۱. معادله را به صورت ساده‌تر بنویسید. ۲. طرفین معادله را در عدد مشترک ضرب کنید تا کسرها حذف شوند. ۳. مجهول را در یک طرف معادله قرار دهید. ۴. معادله را حل کنید تا مقدار مجهول به دست آید." + "introText": "۱. معادله را به صورت ساده‌تر بنویسید. ۲. طرفین معادله را در عدد مشترک ضرب کنید تا کسرها حذف شوند. ۳. مجهول را در یک طرف معادله قرار دهید. ۴. معادله را حل کنید تا مقدار مجهول به دست آید.", + "example": "حل معادله 5x + 10 = 65", + "steps": [ + "از دو طرف معادله 10 را کم می‌کنیم: 5x + 10 - 10 = 65 - 10 که می‌شود 5x = 55", + "هر دو طرف معادله را بر 5 تقسیم می‌کنیم: (1/5) × 5x = (1/5) × 55 که می‌شود x = 11" + ] }, { "title": "محاسبه محیط و طول مستطیل", @@ -7343,6 +9121,7 @@ }, { "title": "فصل ۵: بردار و مختصات", + "blurb": "در این فصل: جمع بردارها، ضرب عدد در بردار و بردارهای واحد مختصات.", "order": 5, "nodes": [ { @@ -7355,7 +9134,13 @@ }, { "title": "بردار صفر", - "introText": "۱. بردارها را به صورت پیکان رسم کنید. ۲. بردار قرینه را رسم کنید. ۳. بررسی کنید که جمع بردار و قرینه‌اش برابر با بردار صفر است." + "introText": "۱. بردارها را به صورت پیکان رسم کنید. ۲. بردار قرینه را رسم کنید. ۳. بررسی کنید که جمع بردار و قرینه‌اش برابر با بردار صفر است.", + "example": "جمع دو بردار قرینه برابر بردار صفر است. بردار صفر را به صورت بردار 0 نشان می‌دهیم و مختصات آن [0 0] است. حاصل جمع بردارهای a، b و c چیست؟ چرا؟\nبردار a و بردار b قرینه یکدیگرند و بردار c برداری دیگر است.", + "steps": [ + "از آنجا که بردار a و بردار b قرینه یکدیگرند، جمع آن‌ها برابر بردار صفر است: a + b = 0.", + "بنابراین حاصل جمع بردارهای a، b و c برابر است با: a + b + c = 0 + c = c.", + "پس حاصل جمع برابر بردار c است زیرا بردار a و b همدیگر را خنثی کرده‌اند." + ] }, { "title": "تعیین جهت حرکت", @@ -7373,7 +9158,14 @@ "lessons": [ { "title": "ضرب عدد در بردار", - "introText": "۱. بردار اولیه را رسم کنید. ۲. عدد مورد نظر را در بردار ضرب کنید. ۳. بردار جدید را با توجه به جهت و اندازه رسم کنید." + "introText": "۱. بردار اولیه را رسم کنید. ۲. عدد مورد نظر را در بردار ضرب کنید. ۳. بردار جدید را با توجه به جهت و اندازه رسم کنید.", + "example": "بردارهای a و b مفروض هستند. بردار c را به صورت c = 2a + 3b تعریف کرده‌اند. از نقطه O بردارهای 2a و 3b را رسم کنید، سپس بردار حاصل جمع c را پیدا کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مولفه‌های بردار a و b را در ضرایب 2 و 3 ضرب می‌کنیم تا بردارهای 2a و 3b به دست آید.", + "سپس مولفه‌های این دو بردار را با هم جمع می‌کنیم تا مولفه‌های بردار c به دست آید: c = 2a + 3b.", + "بردار c را از نقطه O رسم می‌کنیم که برداری است از نقطه O به انتهای بردار حاصل جمع 2a و 3b.", + "✅ جواب: روش کتاب درست است: 2a و 3b را از O رسم کرده، سپس با قاعده متوازی‌الاضلاع یا مثلث، c=2a+3b را از O به انتهای بردار حاصل جمع می‌کشد." + ] }, { "title": "جمع بردارها", @@ -7381,15 +9173,36 @@ }, { "title": "ترکیب بردارها", - "introText": "۱. بردارها را به صورت مختصاتی بنویسید. ۲. عملیات جمع یا تفریق را بر روی مولفه‌های متناظر انجام دهید. ۳. نتیجه را به صورت بردار جدید بنویسید." + "introText": "۱. بردارها را به صورت مختصاتی بنویسید. ۲. عملیات جمع یا تفریق را بر روی مولفه‌های متناظر انجام دهید. ۳. نتیجه را به صورت بردار جدید بنویسید.", + "example": "بردارهای a و b مفروض هستند. بردار c را به صورت c = 2a - 3b تعریف کرده‌اند. بردار c را رسم کنید.", + "steps": [ + "ابتدا بردار b را در عدد -3 ضرب می‌کنیم تا بردار -3b به دست آید که جهت آن مخالف b است.", + "سپس مولفه‌های بردار 2a و -3b را با هم جمع می‌کنیم: c = 2a + (-3b).", + "بردار c را با مولفه‌های حاصل رسم می‌کنیم.", + "✅ جواب: روش کتاب درست است." + ] }, { "title": "رسم بردارها", - "introText": "۱. بردارهای داده شده را به صورت مختصاتی بنویسید. ۲. بردارهای جدید را با استفاده از ترکیب بردارهای داده شده محاسبه کنید. ۳. بردارهای جدید را بر روی محور مختصات رسم کنید." + "introText": "۱. بردارهای داده شده را به صورت مختصاتی بنویسید. ۲. بردارهای جدید را با استفاده از ترکیب بردارهای داده شده محاسبه کنید. ۳. بردارهای جدید را بر روی محور مختصات رسم کنید.", + "example": "بردارهای a و b مفروض هستند. بردار c را به صورت c = 2a + 3b تعریف کرده‌اند. از نقطه O بردارهای 2a و 3b را رسم کنید، سپس بردار حاصل جمع c را پیدا کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مولفه‌های بردار a و b را در ضرایب 2 و 3 ضرب می‌کنیم تا بردارهای 2a و 3b به دست آید.", + "سپس مولفه‌های این دو بردار را با هم جمع می‌کنیم تا مولفه‌های بردار c به دست آید: c = 2a + 3b.", + "بردار c را از نقطه O رسم می‌کنیم که برداری است از نقطه O به انتهای بردار حاصل جمع 2a و 3b.", + "✅ جواب: روش کتاب درست است: 2a و 3b را از O رسم کرده، سپس با قاعده متوازی‌الاضلاع یا مثلث، c=2a+3b را از O به انتهای بردار حاصل جمع می‌کشد." + ] }, { "title": "محاسبه حاصل ضرب بردارها", - "introText": "۱. بردارها را به صورت ماتریس بنویسید. ۲. عدد داده شده را در هر مولفه بردار ضرب کنید. ۳. نتیجه را به صورت بردار جدید بنویسید." + "introText": "۱. بردارها را به صورت ماتریس بنویسید. ۲. عدد داده شده را در هر مولفه بردار ضرب کنید. ۳. نتیجه را به صورت بردار جدید بنویسید.", + "example": "بردارهای a و b مفروض هستند. بردار c را به صورت c = 2a + 3b تعریف کرده‌اند. از نقطه O بردارهای 2a و 3b را رسم کنید، سپس بردار حاصل جمع c را پیدا کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مولفه‌های بردار a و b را در ضرایب 2 و 3 ضرب می‌کنیم تا بردارهای 2a و 3b به دست آید.", + "سپس مولفه‌های این دو بردار را با هم جمع می‌کنیم تا مولفه‌های بردار c به دست آید: c = 2a + 3b.", + "بردار c را از نقطه O رسم می‌کنیم که برداری است از نقطه O به انتهای بردار حاصل جمع 2a و 3b.", + "✅ جواب: روش کتاب درست است: 2a و 3b را از O رسم کرده، سپس با قاعده متوازی‌الاضلاع یا مثلث، c=2a+3b را از O به انتهای بردار حاصل جمع می‌کشد." + ] }, { "title": "حل معادلات مختصات", @@ -7401,11 +9214,25 @@ }, { "title": "محاسبه مختصات بردار", - "introText": "۱. مختصات بردارهای داده شده را بنویسید.\n۲. عملیات جمع یا تفریق را بر روی مختصات انجام دهید.\n۳. مختصات بردار جدید را بدست آورید." + "introText": "۱. مختصات بردارهای داده شده را بنویسید.\n۲. عملیات جمع یا تفریق را بر روی مختصات انجام دهید.\n۳. مختصات بردار جدید را بدست آورید.", + "example": "بردار z را به صورت z = 3x + 2y تعریف کرده‌اند. بردارهای x و y به صورت بردارهای واحد در جهت محورهای مختصات هستند. بردار z را رسم کنید.", + "steps": [ + "بردار x را به صورت [1,0] و بردار y را به صورت [0,1] فرض می‌کنیم.", + "بردار z برابر است با z = 3x + 2y = [3*1 + 2*0, 3*0 + 2*1] = [3, 2].", + "بردار z را از مبدا مختصات به نقطه (3,2) رسم می‌کنیم.", + "✅ جواب: z = [3,2] از مبدأ به (3,2) رسم می‌شود." + ] }, { "title": "رسم بردار", - "introText": "۱. بردارهای داده شده را شناسایی کنید.\n۲. عملیات جمع یا تفریق را بر روی بردارها انجام دهید.\n۳. بردار جدید را رسم کنید." + "introText": "۱. بردارهای داده شده را شناسایی کنید.\n۲. عملیات جمع یا تفریق را بر روی بردارها انجام دهید.\n۳. بردار جدید را رسم کنید.", + "example": "بردارهای a و b مفروض هستند. بردار c را به صورت c = 2a + 3b تعریف کرده‌اند. از نقطه O بردارهای 2a و 3b را رسم کنید، سپس بردار حاصل جمع c را پیدا کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مولفه‌های بردار a و b را در ضرایب 2 و 3 ضرب می‌کنیم تا بردارهای 2a و 3b به دست آید.", + "سپس مولفه‌های این دو بردار را با هم جمع می‌کنیم تا مولفه‌های بردار c به دست آید: c = 2a + 3b.", + "بردار c را از نقطه O رسم می‌کنیم که برداری است از نقطه O به انتهای بردار حاصل جمع 2a و 3b.", + "✅ جواب: روش کتاب درست است: 2a و 3b را از O رسم کرده، سپس با قاعده متوازی‌الاضلاع یا مثلث، c=2a+3b را از O به انتهای بردار حاصل جمع می‌کشد." + ] } ] }, @@ -7415,27 +9242,68 @@ "lessons": [ { "title": "تعیین مختصات بردار", - "introText": "۱. بردارهای واحد را مشخص کنید. ۲. بردار مورد نظر را بر اساس بردارهای واحد بنویسید. ۳. مختصات بردار را استخراج کنید." + "introText": "۱. بردارهای واحد را مشخص کنید. ۲. بردار مورد نظر را بر اساس بردارهای واحد بنویسید. ۳. مختصات بردار را استخراج کنید.", + "example": "بردار داده شده ۲i + ۳j است. بردار را به صورت مختصاتی بنویسید و همچنین بردار i + j را به صورت مختصاتی بنویسید.", + "steps": [ + "بردار ۲i + ۳j به صورت مختصاتی برابر است با [2, 3].", + "بردار i + j به صورت مختصاتی برابر است با [1, 1].", + "✅ جواب: بردار ۲i+۳j به صورت مختصاتی [2,3] و بردار i+j به صورت [1,1] است." + ] }, { "title": "نوشتن بردار به صورت مختصاتی", - "introText": "۱. بردار را روی محور مختصات رسم کنید.\n۲. مولفه‌های افقی و عمودی بردار را مشخص کنید.\n۳. بردار را به صورت ترکیب خطی از i و j بنویسید." + "introText": "۱. بردار را روی محور مختصات رسم کنید.\n۲. مولفه‌های افقی و عمودی بردار را مشخص کنید.\n۳. بردار را به صورت ترکیب خطی از i و j بنویسید.", + "example": "بردار داده شده ۲i + ۳j است. بردار را به صورت مختصاتی بنویسید و همچنین بردار i + j را به صورت مختصاتی بنویسید.", + "steps": [ + "بردار ۲i + ۳j به صورت مختصاتی برابر است با [2, 3].", + "بردار i + j به صورت مختصاتی برابر است با [1, 1].", + "✅ جواب: بردار ۲i+۳j به صورت مختصاتی [2,3] و بردار i+j به صورت [1,1] است." + ] }, { "title": "حل معادلات برداری", - "introText": "۱. معادله برداری را بنویسید.\n۲. مولفه‌های i و j را جدا کنید.\n۳. معادله‌های حاصل را حل کنید تا مقادیر مجهول را بیابید." + "introText": "۱. معادله برداری را بنویسید.\n۲. مولفه‌های i و j را جدا کنید.\n۳. معادله‌های حاصل را حل کنید تا مقادیر مجهول را بیابید.", + "example": "دو دانش‌آموز معادله برداری ۳i + j + ۲x = [-5, 1] را حل کرده‌اند. مقدار بردار x را بیابید.", + "steps": [ + "معادله برداری: 3i + j + 2x = [-5, 1]", + "ابتدا مؤلفه‌های i و j را جدا می‌کنیم:", + "3i + j = [3, 1]", + "پس داریم:", + "[3, 1] + 2x = [-5, 1]", + "✅ جواب: x = [-4, 0] یا -4i" + ] }, { "title": "نوشتن مختصات بردار", - "introText": "۱. بردارها را به صورت ماتریسی بنویسید. ۲. مختصات هر بردار را مشخص کنید. ۳. تساوی بردارها را بررسی کنید." + "introText": "۱. بردارها را به صورت ماتریسی بنویسید. ۲. مختصات هر بردار را مشخص کنید. ۳. تساوی بردارها را بررسی کنید.", + "example": "بردار a را که برابر است با a = ۴i + ۲j نمایش دهید و مختصات بردار a را بنویسید. همچنین مختصات بردار a را از رابطه a = ۴[i] + ۲[j] به دست آورید.", + "steps": [ + "بردارهای واحد را به صورت i = [1, 0] و j = [0, 1] تعریف می‌کنیم.", + "بردار a = ۴i + ۲j = ۴[1, 0] + ۲[0, 1] = [4, 0] + [0, 2] = [4, 2]", + "بنابراین مختصات بردار a برابر است با [4, 2].", + "برای نمایش بردار a در صفحه مختصات، از نقطه مبدأ (0,0) به سمت راست ۴ واحد و به سمت بالا ۲ واحد حرکت می‌کنیم و نقطه انتهایی بردار را مشخص می‌کنیم." + ] }, { "title": "رسم بردار و تعیین مختصات", - "introText": "۱. بردارها را روی محور رسم کنید. ۲. مختصات هر بردار را مشخص کنید. ۳. مختصات را در دستگاه مختصات بنویسید." + "introText": "۱. بردارها را روی محور رسم کنید. ۲. مختصات هر بردار را مشخص کنید. ۳. مختصات را در دستگاه مختصات بنویسید.", + "example": "بردار داده شده ۲i + ۳j است. بردار را به صورت مختصاتی بنویسید و همچنین بردار i + j را به صورت مختصاتی بنویسید.", + "steps": [ + "بردار ۲i + ۳j به صورت مختصاتی برابر است با [2, 3].", + "بردار i + j به صورت مختصاتی برابر است با [1, 1].", + "✅ جواب: بردار ۲i+۳j به صورت مختصاتی [2,3] و بردار i+j به صورت [1,1] است." + ] }, { "title": "جمع بردارها و تعیین مختصات", - "introText": "۱. بردارها را به صورت ماتریسی بنویسید. ۲. بردارها را جمع کنید. ۳. مختصات بردار حاصل را مشخص کنید." + "introText": "۱. بردارها را به صورت ماتریسی بنویسید. ۲. بردارها را جمع کنید. ۳. مختصات بردار حاصل را مشخص کنید.", + "example": "بردار a را که برابر است با a = ۴i + ۲j نمایش دهید و مختصات بردار a را بنویسید. همچنین مختصات بردار a را از رابطه a = ۴[i] + ۲[j] به دست آورید.", + "steps": [ + "بردارهای واحد را به صورت i = [1, 0] و j = [0, 1] تعریف می‌کنیم.", + "بردار a = ۴i + ۲j = ۴[1, 0] + ۲[0, 1] = [4, 0] + [0, 2] = [4, 2]", + "بنابراین مختصات بردار a برابر است با [4, 2].", + "برای نمایش بردار a در صفحه مختصات، از نقطه مبدأ (0,0) به سمت راست ۴ واحد و به سمت بالا ۲ واحد حرکت می‌کنیم و نقطه انتهایی بردار را مشخص می‌کنیم." + ] }, { "title": "رسم شکل تقریبی بردار", @@ -7443,7 +9311,16 @@ }, { "title": "یافتن معادله بردار", - "introText": "۱. بردارهای داده شده را شناسایی کنید. ۲. از فرمول‌های جمع و تفریق بردارها استفاده کنید تا معادله مورد نظر را بیابید." + "introText": "۱. بردارهای داده شده را شناسایی کنید. ۲. از فرمول‌های جمع و تفریق بردارها استفاده کنید تا معادله مورد نظر را بیابید.", + "example": "دو دانش‌آموز معادله برداری ۳i + j + ۲x = [-5, 1] را حل کرده‌اند. مقدار بردار x را بیابید.", + "steps": [ + "معادله برداری: 3i + j + 2x = [-5, 1]", + "ابتدا مؤلفه‌های i و j را جدا می‌کنیم:", + "3i + j = [3, 1]", + "پس داریم:", + "[3, 1] + 2x = [-5, 1]", + "✅ جواب: x = [-4, 0] یا -4i" + ] }, { "title": "تحلیل حرکت ربات", @@ -7455,7 +9332,14 @@ }, { "title": "حرکت خودرو در صفحه مختصات", - "introText": "۱. مسیر حرکت خودرو را در صفحه مختصات بررسی کنید. ۲. تعداد واحدهای حرکت در راستای افقی و عمودی را تعیین کنید." + "introText": "۱. مسیر حرکت خودرو را در صفحه مختصات بررسی کنید. ۲. تعداد واحدهای حرکت در راستای افقی و عمودی را تعیین کنید.", + "example": "بردار a را که برابر است با a = ۴i + ۲j نمایش دهید و مختصات بردار a را بنویسید. همچنین مختصات بردار a را از رابطه a = ۴[i] + ۲[j] به دست آورید.", + "steps": [ + "بردارهای واحد را به صورت i = [1, 0] و j = [0, 1] تعریف می‌کنیم.", + "بردار a = ۴i + ۲j = ۴[1, 0] + ۲[0, 1] = [4, 0] + [0, 2] = [4, 2]", + "بنابراین مختصات بردار a برابر است با [4, 2].", + "برای نمایش بردار a در صفحه مختصات، از نقطه مبدأ (0,0) به سمت راست ۴ واحد و به سمت بالا ۲ واحد حرکت می‌کنیم و نقطه انتهایی بردار را مشخص می‌کنیم." + ] }, { "title": "جمع و تفریق بردارها", @@ -7463,7 +9347,14 @@ }, { "title": "یافتن مختصات بردار", - "introText": "۱. بردار را در صفحه مختصات رسم کنید. ۲. نقطه شروع و پایان بردار را مشخص کنید. ۳. اختلاف مختصات نقاط شروع و پایان را محاسبه کنید تا مختصات بردار به دست آید." + "introText": "۱. بردار را در صفحه مختصات رسم کنید. ۲. نقطه شروع و پایان بردار را مشخص کنید. ۳. اختلاف مختصات نقاط شروع و پایان را محاسبه کنید تا مختصات بردار به دست آید.", + "example": "بردار a را که برابر است با a = ۴i + ۲j نمایش دهید و مختصات بردار a را بنویسید. همچنین مختصات بردار a را از رابطه a = ۴[i] + ۲[j] به دست آورید.", + "steps": [ + "بردارهای واحد را به صورت i = [1, 0] و j = [0, 1] تعریف می‌کنیم.", + "بردار a = ۴i + ۲j = ۴[1, 0] + ۲[0, 1] = [4, 0] + [0, 2] = [4, 2]", + "بنابراین مختصات بردار a برابر است با [4, 2].", + "برای نمایش بردار a در صفحه مختصات، از نقطه مبدأ (0,0) به سمت راست ۴ واحد و به سمت بالا ۲ واحد حرکت می‌کنیم و نقطه انتهایی بردار را مشخص می‌کنیم." + ] } ] } @@ -7471,6 +9362,7 @@ }, { "title": "فصل ۶: مثلث", + "blurb": "در این فصل: رابطهٔ فیثاغورس، شکل‌های هم‌نهشت، مثلث‌های هم‌نهشت و هم‌نهشتی مثلث‌های قائم‌الزاویه.", "order": 6, "nodes": [ { @@ -7479,7 +9371,15 @@ "lessons": [ { "title": "رابطه فیثاغورس", - "introText": "۱. طول اضلاع مثلث قائم‌الزاویه را مشخص کنید. ۲. مساحت مربع ساخته شده روی هر ضلع را محاسبه کنید. ۳. بررسی کنید که آیا مجموع مساحت دو مربع کوچکتر برابر با مساحت مربع بزرگتر است یا خیر." + "introText": "۱. طول اضلاع مثلث قائم‌الزاویه را مشخص کنید. ۲. مساحت مربع ساخته شده روی هر ضلع را محاسبه کنید. ۳. بررسی کنید که آیا مجموع مساحت دو مربع کوچکتر برابر با مساحت مربع بزرگتر است یا خیر.", + "example": "در مثلث قائم‌الزاویه‌ای که دو ضلع آن به اندازه‌های ۵ متر و ۱۲ متر داده شده‌اند، اندازه ضلع مجهول x را پیدا کنید.", + "steps": [ + "طبق قضیه فیثاغورس: x² = ۱۲² + ۵²", + "x² = ۱۴۴ + ۲۵", + "x² = ۱۶۹", + "x = √۱۶۹", + "x = ۱۳ متر" + ] }, { "title": "ترتیب طول‌ها", @@ -7491,11 +9391,26 @@ }, { "title": "محاسبه طول پاره‌خط", - "introText": "۱. طول پاره‌خط را با استفاده از فرمول‌های هندسی یا محاسباتی محاسبه کنید. ۲. اگر نیاز به محاسبه ریشه دوم است، از ماشین حساب استفاده کنید." + "introText": "۱. طول پاره‌خط را با استفاده از فرمول‌های هندسی یا محاسباتی محاسبه کنید. ۲. اگر نیاز به محاسبه ریشه دوم است، از ماشین حساب استفاده کنید.", + "example": "معلم ریاضی از دانش‌آموزان خواست پاره‌خطی به طول √۱۰ سانتی‌متر رسم کنند. سه دانش‌آموز به نام‌های مهسا، سیما و زهرا هر کدام راه‌حلی ارائه دادند:\n• مهسا با کمک ماشین حساب √۱۰ را حساب کرد و سپس با خط‌کش پاره‌خطی به طول تقریبا ۳/۱ سانتی‌متر رسم کرد.\n• سیما مثلث قائم‌الزاویه‌ای با اضلاع ۱ و ۳ سانتی‌متر رسم کرد و گفت چون ۱^۲ + ۳^۲ = ۱۰ است، وتر آن √۱۰ سانتی‌متر خواهد بود.\n• زهرا با رسم مثلث‌های قائم‌الزاویه متوالی تا رسیدن به √۱۰ ادامه داد.\nکدام روش هندسی و کدام روش حسابی است؟", + "steps": [ + "روش مهسا روش حسابی است زیرا از ماشین حساب برای محاسبه مقدار √۱۰ استفاده کرده و سپس طول را رسم کرده است.", + "روش سیما روش هندسی است زیرا مثلث قائم‌الزاویه‌ای با اضلاع ۱ و ۳ رسم کرده که وتر آن √۱۰ است.", + "روش زهرا نیز روش هندسی است که با ساخت مثلث‌های قائم‌الزاویه متوالی به طول √۱۰ رسیده است.", + "✅ جواب: روش مهسا حسابی، روش‌های سیما و زهرا هندسی هستند." + ] }, { "title": "تشخیص مثلث قائم‌الزاویه", - "introText": "۱. طول اضلاع مثلث را بررسی کنید. ۲. از قضیه فیثاغورس استفاده کنید: اگر a² + b² = c² باشد، مثلث قائم‌الزاویه است." + "introText": "۱. طول اضلاع مثلث را بررسی کنید. ۲. از قضیه فیثاغورس استفاده کنید: اگر a² + b² = c² باشد، مثلث قائم‌الزاویه است.", + "example": "در مثلث قائم‌الزاویه‌ای که دو ضلع آن به اندازه‌های ۵ متر و ۱۲ متر داده شده‌اند، اندازه ضلع مجهول x را پیدا کنید.", + "steps": [ + "طبق قضیه فیثاغورس: x² = ۱۲² + ۵²", + "x² = ۱۴۴ + ۲۵", + "x² = ۱۶۹", + "x = √۱۶۹", + "x = ۱۳ متر" + ] }, { "title": "محاسبه محیط مثلث", @@ -7509,7 +9424,14 @@ "lessons": [ { "title": "تشخیص هم‌نهشتی مثلث‌ها", - "introText": "برای تشخیص هم‌نهشتی دو مثلث، باید بررسی کنیم که آیا با استفاده از تبدیل‌های هندسی مانند تقارن، دوران و انتقال می‌توان یکی از مثلث‌ها را بر دیگری منطبق کرد یا خیر. اگر بتوانیم، مثلث‌ها هم‌نهشت هستند." + "introText": "برای تشخیص هم‌نهشتی دو مثلث، باید بررسی کنیم که آیا با استفاده از تبدیل‌های هندسی مانند تقارن، دوران و انتقال می‌توان یکی از مثلث‌ها را بر دیگری منطبق کرد یا خیر. اگر بتوانیم، مثلث‌ها هم‌نهشت هستند.", + "example": "با یک دوران 180 درجه حول نقطه O می‌توان مثلث XYZ را بر مثلث LMN منطبق کرد. اثبات کنید که مثلث XYZ و LMN هم‌نهشت هستند.", + "steps": [ + "مثلث XYZ را حول نقطه O به اندازه 180 درجه دوران دهید.", + "پس از دوران، مثلث XYZ به شکلی می‌رسد که زاویه‌ها و اضلاع آن با مثلث LMN متناظر هستند.", + "بنابراین، با دوران 180 درجه حول O، مثلث XYZ بر مثلث LMN منطبق می‌شود و این دو مثلث هم‌نهشت هستند.", + "✅ جواب: دوران 180 درجه یک هم‌نهشتی است، بنابراین مثلث‌ها هم‌نهشتند." + ] }, { "title": "تطابق مثلث‌ها", @@ -7517,7 +9439,14 @@ }, { "title": "تشخیص مثلث‌های هم‌نهشت", - "introText": "برای تشخیص مثلث‌های هم‌نهشت، اندازه‌های اضلاع و زوایای متناظر را مقایسه کنید. اگر همه اندازه‌ها برابر باشند، مثلث‌ها هم‌نهشت هستند." + "introText": "برای تشخیص مثلث‌های هم‌نهشت، اندازه‌های اضلاع و زوایای متناظر را مقایسه کنید. اگر همه اندازه‌ها برابر باشند، مثلث‌ها هم‌نهشت هستند.", + "example": "در سازه پل، مثلث‌های ABC و BCD هم‌نهشت هستند. الف) کدام زاویه مثلث ABC روبه روی ضلع BC است؟ ب) کدام زاویه مثلث BCD روبه روی ضلع BC است؟ ج) مثلث ABC را بر مثلث BCD منطبق می‌کنیم. کدام زاویه این مثلث با زاویه A متناظر است؟", + "steps": [ + "الف) زاویه روبه روی ضلع BC در مثلث ABC، زاویه A است.", + "ب) زاویه روبه روی ضلع BC در مثلث BCD، زاویه D است.", + "ج) با توجه به هم‌نهشتی مثلث‌ها، زاویه A در مثلث ABC با زاویه D در مثلث BCD متناظر است.", + "✅ جواب: الف) زاویه A ب) زاویه D ج) زاویه D" + ] }, { "title": "محاسبه اندازه ضلع‌ها و زاویه‌ها در مثلث‌های متشابه", @@ -7539,7 +9468,14 @@ "lessons": [ { "title": "ساخت مثلث هم‌نهشت", - "introText": "۱. یک مثلث با زوایای مشخص رسم کنید. ۲. زوایای مثلث را روی کاغذ جداگانه رسم کنید. ۳. زوایا را به ترتیب به هم متصل کنید تا مثلث هم‌نهشت ساخته شود." + "introText": "۱. یک مثلث با زوایای مشخص رسم کنید. ۲. زوایای مثلث را روی کاغذ جداگانه رسم کنید. ۳. زوایا را به ترتیب به هم متصل کنید تا مثلث هم‌نهشت ساخته شود.", + "example": "مثلثی رسم کنید. سپس دو ضلع آن و زاویه بین آن دو ضلع را روی سه برگ کاغذ پوستی بکشید. اکنون سعی کنید مثلثی بسازید که دو ضلع آن با این دو ضلع برابر باشد و زاویه بین این دو ضلع هم برابر زاویه رسم شده باشد. آیا این مثلث با مثلث اولیه هم‌نهشت است؟ آیا با این شرایط می‌توانید مثلثی بسازید که با مثلث اولیه هم‌نهشت نباشد؟", + "steps": [ + "مثلث اولیه را رسم کنید.", + "دو ضلع و زاویه بین آن‌ها را روی سه برگ کاغذ پوستی جداگانه بکشید.", + "با استفاده از این سه برگ، مثلثی بسازید که دو ضلع آن برابر با دو ضلع رسم شده و زاویه بین آن‌ها برابر زاویه رسم شده باشد. این مثلث با مثلث اولیه هم‌نهشت است زیرا دو ضلع و زاویه بین آن‌ها در هر دو مثلث برابر است. با این شرایط نمی‌توان مثلثی ساخت که با مثلث اولیه هم‌نهشت نباشد، زیرا دو ضلع و زاویه بین آن‌ها مثلث را به طو", + "✅ جواب: بله، مثلث‌ها هم‌نهشت‌اند و نمی‌توان مثلث غیرهم‌نهشت ساخت." + ] }, { "title": "نام‌گذاری و تساوی زوایا", @@ -7565,7 +9501,16 @@ "lessons": [ { "title": "تشخیص مثلث‌های هم‌نهشت", - "introText": "۱. بررسی کنید که آیا دو مثلث دارای دو ضلع و زاویه بین آن‌ها برابر هستند.\n۲. بررسی کنید که آیا دو مثلث دارای سه ضلع برابر هستند.\n۳. بررسی کنید که آیا دو مثلث دارای دو زاویه و ضلع بین آن‌ها برابر هستند." + "introText": "۱. بررسی کنید که آیا دو مثلث دارای دو ضلع و زاویه بین آن‌ها برابر هستند.\n۲. بررسی کنید که آیا دو مثلث دارای سه ضلع برابر هستند.\n۳. بررسی کنید که آیا دو مثلث دارای دو زاویه و ضلع بین آن‌ها برابر هستند.", + "example": "در مثلث ABC قائم‌الزاویه در A، وتر AC برابر 7 سانتی‌متر و زاویه B برابر 60 درجه است. در مثلث DEF قائم‌الزاویه در F، وتر EF برابر 7 سانتی‌متر و زاویه D برابر 60 درجه است. آیا این دو مثلث هم‌نهشت هستند؟ زاویه دیگر هر مثلث را پیدا کنید.", + "steps": [ + "وتر مثلث ABC برابر 7 سانتی‌متر است و وتر مثلث DEF نیز برابر 7 سانتی‌متر است.", + "زاویه B در مثلث ABC برابر 60 درجه و زاویه D در مثلث DEF نیز برابر 60 درجه است.", + "چون وترها و یک زاویه تند برابرند، دو مثلث هم‌نهشت هستند.", + "زاویه دیگر مثلث ABC برابر 90 - 60 = 30 درجه است.", + "زاویه دیگر مثلث DEF نیز برابر 30 درجه است.", + "✅ جواب: بله، هم‌نهشت‌اند؛ زاویه دیگر هر دو ۳۰ درجه است." + ] }, { "title": "محاسبه ارتفاع وارد بر قاعده مثلث", @@ -7573,7 +9518,16 @@ }, { "title": "هم‌نهشتی مثلث‌ها", - "introText": "برای بررسی هم‌نهشتی دو مثلث قائم‌الزاویه، می‌توان از حالت‌های هم‌نهشتی استفاده کرد. در اینجا، حالت وتر و یک زاویه تند یا وتر و یک ضلع دیگر بررسی می‌شود. اگر دو مثلث دارای این شرایط باشند، هم‌نهشت هستند." + "introText": "برای بررسی هم‌نهشتی دو مثلث قائم‌الزاویه، می‌توان از حالت‌های هم‌نهشتی استفاده کرد. در اینجا، حالت وتر و یک زاویه تند یا وتر و یک ضلع دیگر بررسی می‌شود. اگر دو مثلث دارای این شرایط باشند، هم‌نهشت هستند.", + "example": "در مثلث ABC قائم‌الزاویه در A، وتر AC برابر 7 سانتی‌متر و زاویه B برابر 60 درجه است. در مثلث DEF قائم‌الزاویه در F، وتر EF برابر 7 سانتی‌متر و زاویه D برابر 60 درجه است. آیا این دو مثلث هم‌نهشت هستند؟ زاویه دیگر هر مثلث را پیدا کنید.", + "steps": [ + "وتر مثلث ABC برابر 7 سانتی‌متر است و وتر مثلث DEF نیز برابر 7 سانتی‌متر است.", + "زاویه B در مثلث ABC برابر 60 درجه و زاویه D در مثلث DEF نیز برابر 60 درجه است.", + "چون وترها و یک زاویه تند برابرند، دو مثلث هم‌نهشت هستند.", + "زاویه دیگر مثلث ABC برابر 90 - 60 = 30 درجه است.", + "زاویه دیگر مثلث DEF نیز برابر 30 درجه است.", + "✅ جواب: بله، هم‌نهشت‌اند؛ زاویه دیگر هر دو ۳۰ درجه است." + ] }, { "title": "رسم خطوط موازی و عمود", @@ -7585,7 +9539,16 @@ }, { "title": "تشخیص هم‌نهشتی مثلث‌ها", - "introText": "۱. بررسی کنید که آیا ضلع‌ها و زاویه‌های مشخص شده در مثلث‌ها با هم برابر هستند. ۲. اگر ضلع‌ها و زاویه‌های مشخص شده برابر باشند، مثلث‌ها هم‌نهشت هستند." + "introText": "۱. بررسی کنید که آیا ضلع‌ها و زاویه‌های مشخص شده در مثلث‌ها با هم برابر هستند. ۲. اگر ضلع‌ها و زاویه‌های مشخص شده برابر باشند، مثلث‌ها هم‌نهشت هستند.", + "example": "در مثلث ABC قائم‌الزاویه در A، وتر AC برابر 7 سانتی‌متر و زاویه B برابر 60 درجه است. در مثلث DEF قائم‌الزاویه در F، وتر EF برابر 7 سانتی‌متر و زاویه D برابر 60 درجه است. آیا این دو مثلث هم‌نهشت هستند؟ زاویه دیگر هر مثلث را پیدا کنید.", + "steps": [ + "وتر مثلث ABC برابر 7 سانتی‌متر است و وتر مثلث DEF نیز برابر 7 سانتی‌متر است.", + "زاویه B در مثلث ABC برابر 60 درجه و زاویه D در مثلث DEF نیز برابر 60 درجه است.", + "چون وترها و یک زاویه تند برابرند، دو مثلث هم‌نهشت هستند.", + "زاویه دیگر مثلث ABC برابر 90 - 60 = 30 درجه است.", + "زاویه دیگر مثلث DEF نیز برابر 30 درجه است.", + "✅ جواب: بله، هم‌نهشت‌اند؛ زاویه دیگر هر دو ۳۰ درجه است." + ] }, { "title": "روابط میان پاره‌خط‌ها و دایره", @@ -7601,6 +9564,7 @@ }, { "title": "فصل ۷: توان و جذر", + "blurb": "در این فصل: توان، تقسیم اعداد توان‌دار، جذر تقریبی، نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد و خواص ضرب و تقسیم رادیکال‌ها.", "order": 7, "nodes": [ { @@ -7617,7 +9581,16 @@ }, { "title": "محاسبه توان", - "introText": "۱. پایه و توان را شناسایی کنید.\n۲. پایه را به تعداد توان ضرب کنید.\n۳. نتیجه را به عنوان جواب نهایی بنویسید." + "introText": "۱. پایه و توان را شناسایی کنید.\n۲. پایه را به تعداد توان ضرب کنید.\n۳. نتیجه را به عنوان جواب نهایی بنویسید.", + "example": "نوشتن حاصل عبارت‌ها به صورت توان‌دار:\n(125 × 18³ × (−1/9)³) = ؟", + "steps": [ + "ابتدا عبارت را به صورت ضرب توان‌ها می‌نویسیم.", + "125 را به صورت توان می‌نویسیم: 125 = 5³", + "عبارت می‌شود: 5³ × 18³ × (−1/9)³", + "از قانون ضرب توان‌ها با توان مشترک استفاده می‌کنیم:", + "(5 × 18 × (−1/9))³", + "✅ جواب: (-10)³" + ] }, { "title": "قوانین توان‌ها", @@ -7637,7 +9610,13 @@ }, { "title": "نوشتن عدد به صورت توان‌دار", - "introText": "برای نوشتن عدد به صورت توان‌دار، ابتدا عدد را به عوامل اول تجزیه کرده و سپس به صورت توان‌دار بنویسید." + "introText": "برای نوشتن عدد به صورت توان‌دار، ابتدا عدد را به عوامل اول تجزیه کرده و سپس به صورت توان‌دار بنویسید.", + "example": "عبارت [(1/2)³]⁴ را به صورت توان ساده بنویسید.", + "steps": [ + "طبق قانون (a^m)^n = a^(m×n)، داریم:", + "[(1/2)³]⁴ = (1/2)⁽3×4) = (1/2)¹²", + "✅ جواب: (1/2)¹²" + ] }, { "title": "نامساوی با توان", @@ -7645,7 +9624,16 @@ }, { "title": "نوشتن به صورت توان", - "introText": "۱. عدد را به عوامل اول تجزیه کنید. ۲. به صورت توان بنویسید." + "introText": "۱. عدد را به عوامل اول تجزیه کنید. ۲. به صورت توان بنویسید.", + "example": "نوشتن حاصل عبارت‌ها به صورت توان‌دار:\n(125 × 18³ × (−1/9)³) = ؟", + "steps": [ + "ابتدا عبارت را به صورت ضرب توان‌ها می‌نویسیم.", + "125 را به صورت توان می‌نویسیم: 125 = 5³", + "عبارت می‌شود: 5³ × 18³ × (−1/9)³", + "از قانون ضرب توان‌ها با توان مشترک استفاده می‌کنیم:", + "(5 × 18 × (−1/9))³", + "✅ جواب: (-10)³" + ] }, { "title": "جایگذاری اعداد", @@ -7663,11 +9651,26 @@ "lessons": [ { "title": "تقسیم اعداد توان‌دار با پایه‌های مساوی", - "introText": "برای تقسیم دو عدد توان‌دار با پایه‌های مساوی، توان‌ها را از هم کم می‌کنیم: اگر a عددی دلخواه و مخالف صفر و n و m اعدادی طبیعی باشند: a^m ÷ a^n = a^(m-n)" + "introText": "برای تقسیم دو عدد توان‌دار با پایه‌های مساوی، توان‌ها را از هم کم می‌کنیم: اگر a عددی دلخواه و مخالف صفر و n و m اعدادی طبیعی باشند: a^m ÷ a^n = a^(m-n)", + "example": "تقسیم عبارت (12⁴)/(6⁴) را به صورت توان‌دار بنویسید", + "steps": [ + "ابتدا تقسیم پایه‌ها را انجام می‌دهیم:", + "(12⁴)/(6⁴) = (12/6)⁴", + "12/6 = 2", + "پس:", + "(12/6)⁴ = 2⁴", + "✅ جواب: 2⁴" + ] }, { "title": "نوشتن به صورت توان", - "introText": "برای نوشتن یک عدد به صورت توان، عدد را به صورت پایه و توان بنویسید. به عنوان مثال، ۸ را می‌توان به صورت ۲^۳ نوشت." + "introText": "برای نوشتن یک عدد به صورت توان، عدد را به صورت پایه و توان بنویسید. به عنوان مثال، ۸ را می‌توان به صورت ۲^۳ نوشت.", + "example": "نوشتن حاصل عبارت (xy)⁷ ÷ (xy)² به صورت یک عبارت توان‌دار", + "steps": [ + "طبق قانون تقسیم توان‌ها با پایه یکسان:", + "(xy)⁷ ÷ (xy)² = (xy)⁷⁻² = (xy)⁵", + "✅ جواب: (xy)⁵" + ] }, { "title": "جایگذاری عدد مناسب", @@ -7675,11 +9678,29 @@ }, { "title": "تقسیم دو عدد توان‌دار", - "introText": "برای تقسیم دو عدد توان‌دار با پایه‌های مساوی، توان‌ها را از هم کم کنید." + "introText": "برای تقسیم دو عدد توان‌دار با پایه‌های مساوی، توان‌ها را از هم کم کنید.", + "example": "تقسیم عبارت (12⁴)/(6⁴) را به صورت توان‌دار بنویسید", + "steps": [ + "ابتدا تقسیم پایه‌ها را انجام می‌دهیم:", + "(12⁴)/(6⁴) = (12/6)⁴", + "12/6 = 2", + "پس:", + "(12/6)⁴ = 2⁴", + "✅ جواب: 2⁴" + ] }, { "title": "تقسیم اعداد توان‌دار", - "introText": "برای تقسیم اعداد توان‌دار با پایه‌های یکسان، توان‌ها را از هم کم کنید." + "introText": "برای تقسیم اعداد توان‌دار با پایه‌های یکسان، توان‌ها را از هم کم کنید.", + "example": "تقسیم عبارت (12⁴)/(6⁴) را به صورت توان‌دار بنویسید", + "steps": [ + "ابتدا تقسیم پایه‌ها را انجام می‌دهیم:", + "(12⁴)/(6⁴) = (12/6)⁴", + "12/6 = 2", + "پس:", + "(12/6)⁴ = 2⁴", + "✅ جواب: 2⁴" + ] }, { "title": "ساده‌سازی عبارات توان‌دار", @@ -7687,11 +9708,23 @@ }, { "title": "نوشتن اعداد به صورت یک عدد توان‌دار", - "introText": "اعداد را به صورت پایه و توان بنویسید." + "introText": "اعداد را به صورت پایه و توان بنویسید.", + "example": "نوشتن حاصل عبارت (xy)⁷ ÷ (xy)² به صورت یک عبارت توان‌دار", + "steps": [ + "طبق قانون تقسیم توان‌ها با پایه یکسان:", + "(xy)⁷ ÷ (xy)² = (xy)⁷⁻² = (xy)⁵", + "✅ جواب: (xy)⁵" + ] }, { "title": "نوشتن به صورت عددی توان‌دار", - "introText": "برای نوشتن یک عبارت به صورت عددی توان‌دار، ابتدا پایه و توان را مشخص کرده و سپس به صورت a^b نوشته می‌شود." + "introText": "برای نوشتن یک عبارت به صورت عددی توان‌دار، ابتدا پایه و توان را مشخص کرده و سپس به صورت a^b نوشته می‌شود.", + "example": "نوشتن حاصل عبارت (xy)⁷ ÷ (xy)² به صورت یک عبارت توان‌دار", + "steps": [ + "طبق قانون تقسیم توان‌ها با پایه یکسان:", + "(xy)⁷ ÷ (xy)² = (xy)⁷⁻² = (xy)⁵", + "✅ جواب: (xy)⁵" + ] }, { "title": "مقایسه و ترتیب اعداد توان‌دار", @@ -7703,7 +9736,16 @@ }, { "title": "محاسبه عبارات توان‌دار", - "introText": "برای محاسبه عبارات توان‌دار، ابتدا پایه و توان را مشخص کرده و سپس محاسبه می‌کنیم." + "introText": "برای محاسبه عبارات توان‌دار، ابتدا پایه و توان را مشخص کرده و سپس محاسبه می‌کنیم.", + "example": "پر کردن جای خالی در عبارت (2¹⁵)/(2³)^(square) = 1", + "steps": [ + "ابتدا توان مخرج را بازنویسی می‌کنیم:", + "(2³)^(square) = 2^(3× square)", + "عبارت به صورت (2¹⁵)/(2^(3× square)) = 1 است.", + "طبق قانون تقسیم توان‌ها:", + "2^(15 - 3× square) = 1", + "چون 1 = 2⁰ است، پس: 15 - 3× square = 0 3× square = 15 square = 5" + ] } ] }, @@ -7717,11 +9759,26 @@ }, { "title": "مقایسه جذر اعداد", - "introText": "۱. محاسبه جذر هر عدد.\n۲. مقایسه مقادیر جذرها.\n۳. تعیین عدد بزرگتر یا کوچکتر." + "introText": "۱. محاسبه جذر هر عدد.\n۲. مقایسه مقادیر جذرها.\n۳. تعیین عدد بزرگتر یا کوچکتر.", + "example": "عدد جذر ۳۴ را با استفاده از مقایسه با اعداد ۵ و ۶ بررسی کنید و نشان دهید که این عدد بین کدام دو عدد قرار دارد.", + "steps": [ + "محاسبه مربع اعداد ۵ و ۶: ۵² = ۲۵ و ۶² = ۳۶ ۲.", + "چون ۲۵ < ۳۴ < ۳۶، پس √۳۴ بین ۵ و ۶ قرار دارد.", + "برای تخمین دقیق‌تر، فاصله ۵ تا ۶ را به نیم تقسیم می‌کنیم و عدد ۵.۵ را بررسی می‌کنیم: ۵.۵² = ۳۰.۲۵ که کمتر از ۳۴ است.", + " بنابراین √۳۴ بزرگ‌تر از ۵.۵ است. می‌توان چند عدد بزرگ‌تر از ۵.۵ مانند ۵.۷، ۵.۸ و ۵.۹ را بررسی کرد تا حدود دقیق‌تر تعیین شود.", + "✅ جواب: √34 بین ۵ و ۶ است و بزرگ‌تر از ۵.۵" + ] }, { "title": "محاسبه جذر تقریبی", - "introText": "۱. عدد مورد نظر را در جدول جذر پیدا کنید.\n۲. مقدار جذر تقریبی را از جدول بخوانید.\n۳. اگر عدد در جدول نیست، از اعداد نزدیک استفاده کنید و میانگین بگیرید." + "introText": "۱. عدد مورد نظر را در جدول جذر پیدا کنید.\n۲. مقدار جذر تقریبی را از جدول بخوانید.\n۳. اگر عدد در جدول نیست، از اعداد نزدیک استفاده کنید و میانگین بگیرید.", + "example": "اگر مقدار جذر ۳۴ را با ماشین حساب تا پنج رقم اعشار حساب کنیم، مقدار تقریبی آن برابر ۵/۸۳۰۹۵ است. مقدار ۵/۸ را با مقدار جذر ۳۴ مقایسه کنید.", + "steps": [ + "مقدار جذر ۳۴ را با ماشین حساب تا پنج رقم اعشار محاسبه می‌کنیم: ۵/۸۳۰۹۵.", + "مقدار ۵/۸ را با مقدار ۵/۸۳۰۹۵ مقایسه می‌کنیم.", + "چون ۵/۸ کمتر از ۵/۸۳۰۹۵ است، بنابراین مقدار ۵/۸ کمتر از مقدار جذر ۳۴ است.", + "✅ جواب: کمتر است." + ] }, { "title": "مقایسه جذرها", @@ -7729,7 +9786,14 @@ }, { "title": "محاسبه مقدار تقریبی جذر", - "introText": "۱. عدد مورد نظر را انتخاب کنید. ۲. مقدار تقریبی جذر را با استفاده از ماشین حساب پیدا کنید. ۳. مقدار به دست آمده را تا دو رقم اعشار گرد کنید." + "introText": "۱. عدد مورد نظر را انتخاب کنید. ۲. مقدار تقریبی جذر را با استفاده از ماشین حساب پیدا کنید. ۳. مقدار به دست آمده را تا دو رقم اعشار گرد کنید.", + "example": "اگر مقدار جذر ۳۴ را با ماشین حساب تا پنج رقم اعشار حساب کنیم، مقدار تقریبی آن برابر ۵/۸۳۰۹۵ است. مقدار ۵/۸ را با مقدار جذر ۳۴ مقایسه کنید.", + "steps": [ + "مقدار جذر ۳۴ را با ماشین حساب تا پنج رقم اعشار محاسبه می‌کنیم: ۵/۸۳۰۹۵.", + "مقدار ۵/۸ را با مقدار ۵/۸۳۰۹۵ مقایسه می‌کنیم.", + "چون ۵/۸ کمتر از ۵/۸۳۰۹۵ است، بنابراین مقدار ۵/۸ کمتر از مقدار جذر ۳۴ است.", + "✅ جواب: کمتر است." + ] }, { "title": "مقایسه مقادیر جذر", @@ -7765,15 +9829,42 @@ "lessons": [ { "title": "خواص ضرب و تقسیم رادیکال‌ها", - "introText": "۱. بررسی کنید که اعداد زیر رادیکال مثبت باشند.\n۲. از خواص ضرب و تقسیم رادیکال‌ها استفاده کنید:\n - √a × √b = √(a × b)\n - √a ÷ √b = √(a ÷ b)\n۳. محاسبات را انجام دهید و نتیجه را ساده کنید." + "introText": "۱. بررسی کنید که اعداد زیر رادیکال مثبت باشند.\n۲. از خواص ضرب و تقسیم رادیکال‌ها استفاده کنید:\n - √a × √b = √(a × b)\n - √a ÷ √b = √(a ÷ b)\n۳. محاسبات را انجام دهید و نتیجه را ساده کنید.", + "example": "در تساوی‌های زیر، جاهای خالی را پر کنید:\n\n√7 × √8 = □\n√14 = √7 × □\n√16 × 25 = √16 × √25 = □ × □", + "steps": [ + "√7 × √8 = √(7×8) = √56.", + "√14 = √7 × √2 پس جای خالی دوم برابر است با √2.", + "√16 × 25 = √16 × √25 = 4 × 5 = 20.", + "بنابراین:", + "√7 × √8 = √56", + "✅ جواب: √56, √2, 4×5" + ] }, { "title": "بررسی درستی روابط رادیکالی", - "introText": "۱. رابطه داده شده را بررسی کنید.\n۲. از خواص رادیکال‌ها استفاده کنید تا صحت رابطه مشخص شود.\n۳. اگر رابطه درست باشد، آن را تأیید کنید؛ در غیر این صورت، نادرستی آن را توضیح دهید." + "introText": "۱. رابطه داده شده را بررسی کنید.\n۲. از خواص رادیکال‌ها استفاده کنید تا صحت رابطه مشخص شود.\n۳. اگر رابطه درست باشد، آن را تأیید کنید؛ در غیر این صورت، نادرستی آن را توضیح دهید.", + "example": "کدام یک از عبارات زیر درست و کدام نادرست است؟\n\n√50 = 25\n√50 = 5 × √2", + "steps": [ + "√50 را به صورت √(25×2) تجزیه می‌کنیم.", + "√50 = √25 × √2 = 5 × √2.", + "عبارت اول: √50 = 25 نادرست است چون 25 مربع کامل نیست برابر با √50.", + "عبارت دوم: √50 = 5 × √2 درست است.", + "نتیجه: عبارت اول نادرست و عبارت دوم درست است.", + "✅ جواب: عبارت اول نادرست، عبارت دوم درست است." + ] }, { "title": "تساوی‌های رادیکالی", - "introText": "۱. مقدار هر رادیکال را محاسبه کنید.\n۲. تساوی‌ها را بررسی کنید و جاهای خالی را پر کنید.\n۳. از خواص رادیکال‌ها برای ساده‌سازی استفاده کنید." + "introText": "۱. مقدار هر رادیکال را محاسبه کنید.\n۲. تساوی‌ها را بررسی کنید و جاهای خالی را پر کنید.\n۳. از خواص رادیکال‌ها برای ساده‌سازی استفاده کنید.", + "example": "در تساوی‌های زیر، جاهای خالی را پر کنید:\n\n√7 × √8 = □\n√14 = √7 × □\n√16 × 25 = √16 × √25 = □ × □", + "steps": [ + "√7 × √8 = √(7×8) = √56.", + "√14 = √7 × √2 پس جای خالی دوم برابر است با √2.", + "√16 × 25 = √16 × √25 = 4 × 5 = 20.", + "بنابراین:", + "√7 × √8 = √56", + "✅ جواب: √56, √2, 4×5" + ] }, { "title": "مقایسه ریشه‌های دوم اعداد", @@ -7817,7 +9908,16 @@ }, { "title": "نوشتن اعداد رادیکالی به‌صورت ضرب در عدد طبیعی", - "introText": "۱. عدد زیر رادیکال را تجزیه کنید.\n۲. آن را به‌صورت ضرب در عدد طبیعی بنویسید." + "introText": "۱. عدد زیر رادیکال را تجزیه کنید.\n۲. آن را به‌صورت ضرب در عدد طبیعی بنویسید.", + "example": "در تساوی‌های زیر، جاهای خالی را پر کنید:\n\n√7 × √8 = □\n√14 = √7 × □\n√16 × 25 = √16 × √25 = □ × □", + "steps": [ + "√7 × √8 = √(7×8) = √56.", + "√14 = √7 × √2 پس جای خالی دوم برابر است با √2.", + "√16 × 25 = √16 × √25 = 4 × 5 = 20.", + "بنابراین:", + "√7 × √8 = √56", + "✅ جواب: √56, √2, 4×5" + ] }, { "title": "محاسبه حاصل ضرب و تقسیم توان‌ها", @@ -7825,7 +9925,16 @@ }, { "title": "محاسبه جذر عدد", - "introText": "۱. عدد را به صورت توان ۲ بنویسید.\n۲. جذر عدد را محاسبه کنید.\n۳. در صورت وجود عدد اعشاری، جذر را به صورت تقریبی محاسبه کنید." + "introText": "۱. عدد را به صورت توان ۲ بنویسید.\n۲. جذر عدد را محاسبه کنید.\n۳. در صورت وجود عدد اعشاری، جذر را به صورت تقریبی محاسبه کنید.", + "example": "در تساوی‌های زیر، جاهای خالی را پر کنید:\n\n√7 × √8 = □\n√14 = √7 × □\n√16 × 25 = √16 × √25 = □ × □", + "steps": [ + "√7 × √8 = √(7×8) = √56.", + "√14 = √7 × √2 پس جای خالی دوم برابر است با √2.", + "√16 × 25 = √16 × √25 = 4 × 5 = 20.", + "بنابراین:", + "√7 × √8 = √56", + "✅ جواب: √56, √2, 4×5" + ] }, { "title": "ساده کردن عبارت توان‌دار", @@ -7845,6 +9954,7 @@ }, { "title": "فصل ۸: آمار و احتمال", + "blurb": "در این فصل: دسته‌بندی داده‌ها، میانگین داده‌ها، احتمال یا اندازه‌گیری شانس و بررسی حالت‌های ممکن.", "order": 8, "nodes": [ { @@ -7857,7 +9967,14 @@ }, { "title": "رسم نمودار میله‌ای", - "introText": "۱. داده‌ها را در یک جدول دسته‌بندی کنید.\n۲. محور افقی را برای دسته‌ها (مانند نوع کتاب) و محور عمودی را برای تعداد مشخص کنید.\n۳. برای هر دسته، یک میله با ارتفاع متناسب با مقدار داده رسم کنید." + "introText": "۱. داده‌ها را در یک جدول دسته‌بندی کنید.\n۲. محور افقی را برای دسته‌ها (مانند نوع کتاب) و محور عمودی را برای تعداد مشخص کنید.\n۳. برای هر دسته، یک میله با ارتفاع متناسب با مقدار داده رسم کنید.", + "example": "نمودار میله‌ای برای مقایسه داده‌های تقریبی تعداد کتاب‌های کتابخانه یک مسجد به شرح زیر است: داستان ۴۰ کتاب، مذهبی ۶۰ کتاب، علمی ۳۰ کتاب، تاریخی ۱۰ کتاب و هنری ۵ کتاب. نمودار میله‌ای را رسم کنید و بیشترین و کمترین تعداد کتاب را مشخص کنید.", + "steps": [ + "محور افقی را با دسته‌های کتاب (داستان، مذهبی، علمی، تاریخی، هنری) و محور عمودی را با تعداد کتاب‌ها از ۰ تا ۹۰ مشخص می‌کنیم.", + "میله‌هایی به ارتفاع ۴۰، ۶۰، ۳۰، ۱۰ و ۵ برای هر دسته رسم می‌کنیم.", + "مشاهده می‌کنیم بیشترین تعداد کتاب مربوط به کتاب‌های مذهبی (۶۰ کتاب) و کمترین تعداد مربوط به کتاب‌های هنری (۵ کتاب) است.", + "✅ جواب: بیشترین: مذهبی ۶۰، کمترین: هنری ۵" + ] }, { "title": "رسم نمودار دایره‌ای", @@ -7865,35 +9982,97 @@ }, { "title": "رسم نمودار تصویری", - "introText": "۱. داده‌ها را در یک جدول دسته‌بندی کنید.\n۲. برای هر دسته، یک نماد تصویری انتخاب کنید.\n۳. تعداد نمادها را متناسب با مقدار داده در هر دسته مشخص کنید.\n۴. نمادها را در کنار دسته‌ها قرار دهید." + "introText": "۱. داده‌ها را در یک جدول دسته‌بندی کنید.\n۲. برای هر دسته، یک نماد تصویری انتخاب کنید.\n۳. تعداد نمادها را متناسب با مقدار داده در هر دسته مشخص کنید.\n۴. نمادها را در کنار دسته‌ها قرار دهید.", + "example": "نمودار تصویری تعداد حیوانات یک روستا به شرح زیر است: گوسفند ۵ نماد، گاو ۱ نماد، بز ۴ نماد و اسب ۳ نماد. هر نماد نشان‌دهنده ۵۰۰ رأس است. تعداد کل هر نوع حیوان را محاسبه کنید.", + "steps": [ + "تعداد گوسفندها: ۵ نماد × ۵۰۰ = ۲۵۰۰ رأس.", + "تعداد گاوها: ۱ نماد × ۵۰۰ = ۵۰۰ رأس.", + "تعداد بزها: ۴ نماد × ۵۰۰ = ۲۰۰۰ رأس. تعداد اسب‌ها: ۳ نماد × ۵۰۰ = ۱۵۰۰ رأس. بنابراین، تعداد حیوانات به ترتیب گوسفند ۲۵۰۰، گاو ۵۰۰، بز ۲۰۰۰ و اسب ۱۵۰۰ رأس است.", + "✅ جواب: گوسفند ۲۵۰۰، گاو ۵۰۰، بز ۲۰۰۰، اسب ۱۵۰۰ رأس" + ] }, { "title": "محاسبه دامنه تغییرات", - "introText": "۱. کمترین مقدار داده‌ها را پیدا کنید.\n۲. بیشترین مقدار داده‌ها را پیدا کنید.\n۳. دامنه تغییرات را با تفریق کمترین مقدار از بیشترین مقدار محاسبه کنید." + "introText": "۱. کمترین مقدار داده‌ها را پیدا کنید.\n۲. بیشترین مقدار داده‌ها را پیدا کنید.\n۳. دامنه تغییرات را با تفریق کمترین مقدار از بیشترین مقدار محاسبه کنید.", + "example": "داده‌های قد ۴۰ نفر از مردان ساکن یک شهر کوچک بر حسب سانتی‌متر به صورت زیر است: 181، 147، 184، 167، 175، 150، 192، 178، 174، 153، 185، 173، 168، 164، 151، 130، 170، 168، 193، 171، 137، 165، 138، 163، 142، 173، 167، 162، 151، 143، 190، 173، 158، 205، 170، 159، 176، 179، 157، 183، 165. کمترین و بیشترین داده را مشخص کنید و دامنه تغییرات داده‌ها را بیابید.", + "steps": [ + "کمترین داده: 130 سانتی‌متر", + "بیشترین داده: 205 سانتی‌متر", + "دامنه تغییرات = بیشترین داده - کمترین داده = 205 - 130 = 75 سانتی‌متر", + "✅ جواب: کمترین: 130، بیشترین: 205، دامنه: 75" + ] }, { "title": "تقسیم داده‌ها به دسته‌ها", - "introText": "۱. داده‌ها را به دسته‌های مساوی تقسیم کنید.\n۲. حدود دسته‌ها را مشخص کنید.\n۳. تعداد داده‌های هر دسته را بشمارید و فراوانی هر دسته را تعیین کنید.\n۴. جدول فراوانی را تکمیل کنید." + "introText": "۱. داده‌ها را به دسته‌های مساوی تقسیم کنید.\n۲. حدود دسته‌ها را مشخص کنید.\n۳. تعداد داده‌های هر دسته را بشمارید و فراوانی هر دسته را تعیین کنید.\n۴. جدول فراوانی را تکمیل کنید.", + "example": "میانگین دمای هوا در روزهای مختلف یک منطقه به صورت زیر گزارش شده است:\n+2، +2، +4، +5، +6، 0، -1، -2، 0، -3، -7، -2، -1، 0، +3، +4\n-1، -3، -6، -7، -8، +8، +7، +8، +7، +6، +3، +1، +2، +3، +4، +7\n+2، +2، -4، -2، -1، 0، -5، -3، 0، 0، +1، +1، +4، +6، +7\nجدول فراوانی داده‌ها را بر اساس دامنه تغییرات مشخص بسازید و نمودار میله‌ای رسم کنید.\nدامنه تغییرات چقدر است؟ داده‌ها را به چهار دسته تقسیم کنید و طول هر دسته را مشخص کنید.", + "steps": [ + "بیشترین دما: +8 و کمترین دما: -8", + "دامنه تغییرات = 8 - (-8) = 16", + "طول هر دسته = دامنه تغییرات / 4 = 16 / 4 = 4", + "دسته‌ها:", + "دسته 1: از -8 تا -5", + "✅ جواب: دامنه 16، دسته‌ها [-8,-5]،[-4,-1]،[0,3]،[4,7] با فراوانی 5،7،11،9" + ] }, { "title": "رسم نمودار فراوانی", - "introText": "۱. جدول فراوانی داده‌ها را تهیه کنید.\n۲. محور افقی را برای حدود دسته‌ها و محور عمودی را برای فراوانی تنظیم کنید.\n۳. برای هر دسته، مقدار فراوانی را به صورت میله‌ای رسم کنید." + "introText": "۱. جدول فراوانی داده‌ها را تهیه کنید.\n۲. محور افقی را برای حدود دسته‌ها و محور عمودی را برای فراوانی تنظیم کنید.\n۳. برای هر دسته، مقدار فراوانی را به صورت میله‌ای رسم کنید.", + "example": "میانگین دمای هوا در روزهای مختلف یک منطقه به صورت زیر گزارش شده است:\n+2، +2، +4، +5، +6، 0، -1، -2، 0، -3، -7، -2، -1، 0، +3، +4\n-1، -3، -6، -7، -8، +8، +7، +8، +7، +6، +3، +1، +2، +3، +4، +7\n+2، +2، -4، -2، -1، 0، -5، -3، 0، 0، +1، +1، +4، +6، +7\nجدول فراوانی داده‌ها را بر اساس دامنه تغییرات مشخص بسازید و نمودار میله‌ای رسم کنید.\nدامنه تغییرات چقدر است؟ داده‌ها را به چهار دسته تقسیم کنید و طول هر دسته را مشخص کنید.", + "steps": [ + "بیشترین دما: +8 و کمترین دما: -8", + "دامنه تغییرات = 8 - (-8) = 16", + "طول هر دسته = دامنه تغییرات / 4 = 16 / 4 = 4", + "دسته‌ها:", + "دسته 1: از -8 تا -5", + "✅ جواب: دامنه 16، دسته‌ها [-8,-5]،[-4,-1]،[0,3]،[4,7] با فراوانی 5،7،11،9" + ] }, { "title": "رسم جدول فراوانی و نمودار میله‌ای", - "introText": "۱. داده‌ها را بررسی کنید و دامنه تغییرات را مشخص کنید.\n۲. داده‌ها را به دسته‌های مساوی تقسیم کنید و طول هر دسته را تعیین کنید.\n۳. جدول فراوانی را بر اساس دسته‌ها تکمیل کنید.\n۴. نمودار میله‌ای را با استفاده از جدول فراوانی رسم کنید." + "introText": "۱. داده‌ها را بررسی کنید و دامنه تغییرات را مشخص کنید.\n۲. داده‌ها را به دسته‌های مساوی تقسیم کنید و طول هر دسته را تعیین کنید.\n۳. جدول فراوانی را بر اساس دسته‌ها تکمیل کنید.\n۴. نمودار میله‌ای را با استفاده از جدول فراوانی رسم کنید.", + "example": "نمودار میله‌ای برای مقایسه داده‌های تقریبی تعداد کتاب‌های کتابخانه یک مسجد به شرح زیر است: داستان ۴۰ کتاب، مذهبی ۶۰ کتاب، علمی ۳۰ کتاب، تاریخی ۱۰ کتاب و هنری ۵ کتاب. نمودار میله‌ای را رسم کنید و بیشترین و کمترین تعداد کتاب را مشخص کنید.", + "steps": [ + "محور افقی را با دسته‌های کتاب (داستان، مذهبی، علمی، تاریخی، هنری) و محور عمودی را با تعداد کتاب‌ها از ۰ تا ۹۰ مشخص می‌کنیم.", + "میله‌هایی به ارتفاع ۴۰، ۶۰، ۳۰، ۱۰ و ۵ برای هر دسته رسم می‌کنیم.", + "مشاهده می‌کنیم بیشترین تعداد کتاب مربوط به کتاب‌های مذهبی (۶۰ کتاب) و کمترین تعداد مربوط به کتاب‌های هنری (۵ کتاب) است.", + "✅ جواب: بیشترین: مذهبی ۶۰، کمترین: هنری ۵" + ] }, { "title": "دسته‌بندی داده‌ها و رسم نمودار میله‌ای", - "introText": "۱. داده‌ها را به دسته‌های مساوی تقسیم کنید.\n۲. جدول فراوانی را بر اساس دسته‌ها تکمیل کنید.\n۳. نمودار میله‌ای را با استفاده از جدول فراوانی رسم کنید.\n۴. وضعیت داده‌ها را بر اساس نمودار توصیف کنید." + "introText": "۱. داده‌ها را به دسته‌های مساوی تقسیم کنید.\n۲. جدول فراوانی را بر اساس دسته‌ها تکمیل کنید.\n۳. نمودار میله‌ای را با استفاده از جدول فراوانی رسم کنید.\n۴. وضعیت داده‌ها را بر اساس نمودار توصیف کنید.", + "example": "نمودار میله‌ای برای مقایسه داده‌های تقریبی تعداد کتاب‌های کتابخانه یک مسجد به شرح زیر است: داستان ۴۰ کتاب، مذهبی ۶۰ کتاب، علمی ۳۰ کتاب، تاریخی ۱۰ کتاب و هنری ۵ کتاب. نمودار میله‌ای را رسم کنید و بیشترین و کمترین تعداد کتاب را مشخص کنید.", + "steps": [ + "محور افقی را با دسته‌های کتاب (داستان، مذهبی، علمی، تاریخی، هنری) و محور عمودی را با تعداد کتاب‌ها از ۰ تا ۹۰ مشخص می‌کنیم.", + "میله‌هایی به ارتفاع ۴۰، ۶۰، ۳۰، ۱۰ و ۵ برای هر دسته رسم می‌کنیم.", + "مشاهده می‌کنیم بیشترین تعداد کتاب مربوط به کتاب‌های مذهبی (۶۰ کتاب) و کمترین تعداد مربوط به کتاب‌های هنری (۵ کتاب) است.", + "✅ جواب: بیشترین: مذهبی ۶۰، کمترین: هنری ۵" + ] }, { "title": "تحلیل نمودار میله‌ای", - "introText": "۱. نمودار میله‌ای داده‌ها را بررسی کنید.\n۲. تعداد داده‌ها در هر دسته را مشخص کنید.\n۳. سوالات مرتبط با نمودار را پاسخ دهید." + "introText": "۱. نمودار میله‌ای داده‌ها را بررسی کنید.\n۲. تعداد داده‌ها در هر دسته را مشخص کنید.\n۳. سوالات مرتبط با نمودار را پاسخ دهید.", + "example": "نمودار میله‌ای برای مقایسه داده‌های تقریبی تعداد کتاب‌های کتابخانه یک مسجد به شرح زیر است: داستان ۴۰ کتاب، مذهبی ۶۰ کتاب، علمی ۳۰ کتاب، تاریخی ۱۰ کتاب و هنری ۵ کتاب. نمودار میله‌ای را رسم کنید و بیشترین و کمترین تعداد کتاب را مشخص کنید.", + "steps": [ + "محور افقی را با دسته‌های کتاب (داستان، مذهبی، علمی، تاریخی، هنری) و محور عمودی را با تعداد کتاب‌ها از ۰ تا ۹۰ مشخص می‌کنیم.", + "میله‌هایی به ارتفاع ۴۰، ۶۰، ۳۰، ۱۰ و ۵ برای هر دسته رسم می‌کنیم.", + "مشاهده می‌کنیم بیشترین تعداد کتاب مربوط به کتاب‌های مذهبی (۶۰ کتاب) و کمترین تعداد مربوط به کتاب‌های هنری (۵ کتاب) است.", + "✅ جواب: بیشترین: مذهبی ۶۰، کمترین: هنری ۵" + ] }, { "title": "تحلیل نمودار نمرات", - "introText": "۱. نمودار نمرات دانش‌آموزان را بررسی کنید.\n۲. تعداد دانش‌آموزان در هر دسته را مشخص کنید.\n۳. سوالات مرتبط با وضعیت کلاس را پاسخ دهید." + "introText": "۱. نمودار نمرات دانش‌آموزان را بررسی کنید.\n۲. تعداد دانش‌آموزان در هر دسته را مشخص کنید.\n۳. سوالات مرتبط با وضعیت کلاس را پاسخ دهید.", + "example": "میانگین دمای هوا در روزهای مختلف یک منطقه به صورت زیر گزارش شده است:\n+2، +2، +4، +5، +6، 0، -1، -2، 0، -3، -7، -2، -1، 0، +3، +4\n-1، -3، -6، -7، -8، +8، +7، +8، +7، +6، +3، +1، +2، +3، +4، +7\n+2، +2، -4، -2، -1، 0، -5، -3، 0، 0، +1، +1، +4، +6، +7\nجدول فراوانی داده‌ها را بر اساس دامنه تغییرات مشخص بسازید و نمودار میله‌ای رسم کنید.\nدامنه تغییرات چقدر است؟ داده‌ها را به چهار دسته تقسیم کنید و طول هر دسته را مشخص کنید.", + "steps": [ + "بیشترین دما: +8 و کمترین دما: -8", + "دامنه تغییرات = 8 - (-8) = 16", + "طول هر دسته = دامنه تغییرات / 4 = 16 / 4 = 4", + "دسته‌ها:", + "دسته 1: از -8 تا -5", + "✅ جواب: دامنه 16، دسته‌ها [-8,-5]،[-4,-1]،[0,3]،[4,7] با فراوانی 5،7،11،9" + ] } ] }, @@ -7907,7 +10086,16 @@ }, { "title": "محاسبه اختلاف نمره‌ها با میانگین", - "introText": "۱. میانگین داده‌ها را محاسبه کنید.\n۲. اختلاف هر داده با میانگین را محاسبه کنید.\n۳. داده‌های بالاتر و پایین‌تر از میانگین را جداگانه بررسی کنید." + "introText": "۱. میانگین داده‌ها را محاسبه کنید.\n۲. اختلاف هر داده با میانگین را محاسبه کنید.\n۳. داده‌های بالاتر و پایین‌تر از میانگین را جداگانه بررسی کنید.", + "example": "میانگین نمره‌های 7 درس یک دانش‌آموز 16.5 است. اگر نمره‌های دو درس دیگر او 17 و 15 به این داده‌ها اضافه شود، میانگین جدید را پیدا کنید.", + "steps": [ + "مجموع نمره‌های اولیه = 16.5 × 7 = 115.5", + "مجموع نمره‌های جدید = 115.5 + 17 + 15 = 147.5", + "تعداد نمره‌ها = 7 + 2 = 9", + "میانگین جدید = 147.5 ÷ 9 ≈ 16.39", + "میانگین جدید حدود 16.39 است.", + "✅ جواب: 16.39 (تقریبی)" + ] }, { "title": "محاسبه فاصله میانگین دو مجموعه داده", @@ -7915,23 +10103,63 @@ }, { "title": "محاسبه مرکز دسته", - "introText": "۱. بازه دسته را مشخص کنید (حد پایین و حد بالا).\n۲. حد پایین و حد بالا را جمع کنید.\n۳. حاصل جمع را بر ۲ تقسیم کنید تا مرکز دسته به دست آید." + "introText": "۱. بازه دسته را مشخص کنید (حد پایین و حد بالا).\n۲. حد پایین و حد بالا را جمع کنید.\n۳. حاصل جمع را بر ۲ تقسیم کنید تا مرکز دسته به دست آید.", + "example": "برای به دست آوردن مرکز دسته‌ای مانند دسته ۱۴۵ ≤ x < ۱۳۰، ابتدا مجموع عددهای ۱۳۰ و ۱۴۵ را به دست آورید و سپس حاصل را بر ۲ تقسیم کنید.", + "steps": [ + "۱۳۰ + ۱۴۵ = ۲۷۵", + "۲۷۵ ÷ ۲ = ۱۳۷.۵", + "مرکز دسته برابر است با ۱۳۷.۵" + ] }, { "title": "تغییر داده‌ها و تأثیر آن بر میانگین", - "introText": "۱. داده‌های تغییر یافته را مشخص کنید.\n۲. میانگین جدید را با استفاده از داده‌های تغییر یافته محاسبه کنید.\n۳. میانگین جدید را با میانگین قبلی مقایسه کنید." + "introText": "۱. داده‌های تغییر یافته را مشخص کنید.\n۲. میانگین جدید را با استفاده از داده‌های تغییر یافته محاسبه کنید.\n۳. میانگین جدید را با میانگین قبلی مقایسه کنید.", + "example": "میانگین نمره‌های 7 درس یک دانش‌آموز 16.5 است. اگر نمره‌های دو درس دیگر او 17 و 15 به این داده‌ها اضافه شود، میانگین جدید را پیدا کنید.", + "steps": [ + "مجموع نمره‌های اولیه = 16.5 × 7 = 115.5", + "مجموع نمره‌های جدید = 115.5 + 17 + 15 = 147.5", + "تعداد نمره‌ها = 7 + 2 = 9", + "میانگین جدید = 147.5 ÷ 9 ≈ 16.39", + "میانگین جدید حدود 16.39 است.", + "✅ جواب: 16.39 (تقریبی)" + ] }, { "title": "محاسبه میانگین داده‌ها با استفاده از جدول فراوانی", - "introText": "۱. جدول فراوانی را کامل کنید.\n۲. ستون 'مرکز دسته × فراوانی' را محاسبه کنید.\n۳. مجموع مقادیر ستون 'مرکز دسته × فراوانی' را به دست آورید.\n۴. مجموع فراوانی‌ها را محاسبه کنید.\n۵. میانگین را با فرمول میانگین = مجموع 'مرکز دسته × فراوانی' ÷ مجموع فراوانی‌ها محاسبه کنید." + "introText": "۱. جدول فراوانی را کامل کنید.\n۲. ستون 'مرکز دسته × فراوانی' را محاسبه کنید.\n۳. مجموع مقادیر ستون 'مرکز دسته × فراوانی' را به دست آورید.\n۴. مجموع فراوانی‌ها را محاسبه کنید.\n۵. میانگین را با فرمول میانگین = مجموع 'مرکز دسته × فراوانی' ÷ مجموع فراوانی‌ها محاسبه کنید.", + "example": "میانگین نمره‌های 7 درس یک دانش‌آموز 16.5 است. اگر نمره‌های دو درس دیگر او 17 و 15 به این داده‌ها اضافه شود، میانگین جدید را پیدا کنید.", + "steps": [ + "مجموع نمره‌های اولیه = 16.5 × 7 = 115.5", + "مجموع نمره‌های جدید = 115.5 + 17 + 15 = 147.5", + "تعداد نمره‌ها = 7 + 2 = 9", + "میانگین جدید = 147.5 ÷ 9 ≈ 16.39", + "میانگین جدید حدود 16.39 است.", + "✅ جواب: 16.39 (تقریبی)" + ] }, { "title": "تکمیل جدول فراوانی و خط نشان", - "introText": "۱. دسته‌ها را مشخص کنید.\n۲. تعداد داده‌های موجود در هر دسته را شمارش کنید و در ستون فراوانی وارد کنید.\n۳. خط نشان‌ها را برای هر دسته رسم کنید.\n۴. مجموع فراوانی‌ها را محاسبه کنید." + "introText": "۱. دسته‌ها را مشخص کنید.\n۲. تعداد داده‌های موجود در هر دسته را شمارش کنید و در ستون فراوانی وارد کنید.\n۳. خط نشان‌ها را برای هر دسته رسم کنید.\n۴. مجموع فراوانی‌ها را محاسبه کنید.", + "example": "با توجه به داده‌های دسته‌بندی شده، چگونه برای پیدا کردن مجموع داده‌ها از ضرب استفاده می‌کنید؟ این ضرب‌ها چه رابطه‌ای با فراوانی‌های جدول دارند؟", + "steps": [ + "مرکز هر دسته را در تعداد داده‌های آن دسته (فراوانی) ضرب می‌کنیم.", + "سپس حاصل ضرب‌ها را جمع می‌کنیم تا مجموع داده‌ها به دست آید.", + "این روش به دلیل داشتن داده‌های زیاد و دسته‌بندی شده، سریع‌تر و دقیق‌تر است.", + "✅ جواب: مرکز هر دسته را در فراوانی ضرب کرده و حاصل‌ضرب‌ها را جمع می‌کنیم تا مجموع تقریبی داده‌ها به دست آید." + ] }, { "title": "محاسبه میانگین با حذف داده‌ها", - "introText": "۱. مجموع نمرات داده شده را محاسبه کنید.\n۲. تعداد داده‌ها را مشخص کنید.\n۳. داده مورد نظر را حذف کرده و مجموع جدید را محاسبه کنید.\n۴. تعداد داده‌های باقی‌مانده را مشخص کنید.\n۵. میانگین جدید را با تقسیم مجموع جدید بر تعداد داده‌های باقی‌مانده محاسبه کنید." + "introText": "۱. مجموع نمرات داده شده را محاسبه کنید.\n۲. تعداد داده‌ها را مشخص کنید.\n۳. داده مورد نظر را حذف کرده و مجموع جدید را محاسبه کنید.\n۴. تعداد داده‌های باقی‌مانده را مشخص کنید.\n۵. میانگین جدید را با تقسیم مجموع جدید بر تعداد داده‌های باقی‌مانده محاسبه کنید.", + "example": "میانگین نمره‌های 7 درس یک دانش‌آموز 16.5 است. اگر نمره‌های دو درس دیگر او 17 و 15 به این داده‌ها اضافه شود، میانگین جدید را پیدا کنید.", + "steps": [ + "مجموع نمره‌های اولیه = 16.5 × 7 = 115.5", + "مجموع نمره‌های جدید = 115.5 + 17 + 15 = 147.5", + "تعداد نمره‌ها = 7 + 2 = 9", + "میانگین جدید = 147.5 ÷ 9 ≈ 16.39", + "میانگین جدید حدود 16.39 است.", + "✅ جواب: 16.39 (تقریبی)" + ] }, { "title": "فرضیات در محاسبه میانگین", @@ -7945,11 +10173,26 @@ "lessons": [ { "title": "محاسبه احتمال با شمارش حالات", - "introText": "۱. تعداد کل حالات ممکن را مشخص کنید.\n۲. تعداد حالات مطلوب را مشخص کنید.\n۳. احتمال را با تقسیم تعداد حالات مطلوب بر تعداد کل حالات ممکن محاسبه کنید." + "introText": "۱. تعداد کل حالات ممکن را مشخص کنید.\n۲. تعداد حالات مطلوب را مشخص کنید.\n۳. احتمال را با تقسیم تعداد حالات مطلوب بر تعداد کل حالات ممکن محاسبه کنید.", + "example": "فرض کنید 10 کارت داریم که روی آنها اعداد 1 تا 10 نوشته شده است. (الف) در چند تا از آنها عدد روی کارت، اول است؟ (ب) در چند تا از آنها عدد روی کارت، مرکب است؟ (ج) احتمال اینکه عدد روی کارت اول باشد چقدر است؟ احتمال اینکه عدد روی کارت مرکب باشد چقدر است؟", + "steps": [ + "فضای نمونه = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} که اندازه آن 10 است.", + "اعداد اول در این مجموعه: 2، 3، 5، 7 → تعداد = 4.", + "اعداد مرکب: 4، 6، 8، 9، 10 → تعداد = 5.", + "بنابراین: احتمال اینکه عدد روی کارت اول باشد = تعداد اعداد اول ÷ کل کارت‌ها = 4 ÷ 10 = 2/5.", + "احتمال اینکه عدد روی کارت مرکب باشد = 5 ÷ 10 = 1/2.", + "✅ جواب: ۴، ۵، ۰/۴ و ۰/۵" + ] }, { "title": "شناسایی حالت‌های هم‌شانس", - "introText": "۱. تمامی حالت‌های ممکن را مشخص کنید.\n۲. بررسی کنید که آیا احتمال وقوع هر حالت برابر است یا خیر.\n۳. حالت‌های هم‌شانس را یادداشت کنید." + "introText": "۱. تمامی حالت‌های ممکن را مشخص کنید.\n۲. بررسی کنید که آیا احتمال وقوع هر حالت برابر است یا خیر.\n۳. حالت‌های هم‌شانس را یادداشت کنید.", + "example": "در هر یک از موارد زیر، حالت‌های هم‌شانس را بنویسید:\nالف) عقربه چرخنده را می‌چرخانیم.\nب) تاسی را می‌اندازیم.", + "steps": [ + "الف) چرخ دارای 4 بخش رنگی مساوی است (قرمز، آبی، زرد، سبز). احتمال آمدن هر رنگ برابر است، پس حالت‌های هم‌شانس: قرمز، آبی، زرد، سبز.", + "ب) تاس دارای 6 وجه است که هر وجه عددی از 1 تا 6 دارد. احتمال آمدن هر عدد برابر است، پس حالت‌های هم‌شانس: 1، 2، 3، 4، 5، 6.", + "✅ جواب: الف) قرمز، آبی، زرد، سبز. ب) ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶." + ] }, { "title": "محاسبه احتمال با استفاده از مهره‌ها", @@ -7957,7 +10200,15 @@ }, { "title": "محاسبه احتمال", - "introText": "۱. تعداد حالت‌های مطلوب را مشخص کنید.\n۲. تعداد کل حالت‌های ممکن را مشخص کنید.\n۳. احتمال رخ دادن پیشامد را با تقسیم تعداد حالت‌های مطلوب بر تعداد کل حالت‌های ممکن محاسبه کنید." + "introText": "۱. تعداد حالت‌های مطلوب را مشخص کنید.\n۲. تعداد کل حالت‌های ممکن را مشخص کنید.\n۳. احتمال رخ دادن پیشامد را با تقسیم تعداد حالت‌های مطلوب بر تعداد کل حالت‌های ممکن محاسبه کنید.", + "example": "وقتی یک سکه را می‌اندازیم، قبل از اینکه به زمین برسد نمی‌دانیم چه پیش می‌آید؛ یعنی روی سکه می‌آید یا پشت آن! اما می‌دانیم که دو حالت ممکن است پیش آید: روی سکه یا پشت سکه! از آنجا که این دو حالت مشابه‌اند، امکان اینکه روی سکه یا پشت آن بیاید، برابر است و چون در یک حالت از این دو حالت ممکن، روی سکه می‌آید، پس احتمال اینکه روی آن بیاید 1/2 است؛ به همین ترتیب، احتمال اینکه پشت سکه هم بیاید، 1/2 است.", + "steps": [ + "تعداد کل حالت‌ها: 2 (رو و پشت)", + "احتمال آمدن رو = 1/2", + "احتمال آمدن پشت = 1/2", + "چون دو حالت مشابه‌اند، احتمال هر کدام برابر است.", + "✅ جواب: احتمال رو و پشت هر کدام 1/2 است." + ] }, { "title": "احتمال شرطی", @@ -7973,7 +10224,15 @@ }, { "title": "محاسبه احتمال در کیسه مهره‌ها", - "introText": "۱. تعداد کل مهره‌ها را مشخص کنید.\n۲. تعداد مهره‌های مطلوب (مثلاً سبز) را تعیین کنید.\n۳. احتمال را به صورت نسبت تعداد مهره‌های مطلوب به کل مهره‌ها محاسبه کنید.\n۴. در صورت نیاز، احتمال را ساده کنید یا به درصد تبدیل کنید." + "introText": "۱. تعداد کل مهره‌ها را مشخص کنید.\n۲. تعداد مهره‌های مطلوب (مثلاً سبز) را تعیین کنید.\n۳. احتمال را به صورت نسبت تعداد مهره‌های مطلوب به کل مهره‌ها محاسبه کنید.\n۴. در صورت نیاز، احتمال را ساده کنید یا به درصد تبدیل کنید.", + "example": "معلم از دانش‌آموزان پرسید: «یک مهره را به طور تصادفی از کیسه‌ای که در آن سه مهره سبز و یک مهره سفید است، بیرون می‌آوریم. چند حالت هم‌شانس می‌تواند رخ دهد؟»\nبلافاصله شایان پاسخ داد: «(دو حالت: سبز، سفید)» سپس علی برای اینکه بتواند پاسخ سؤال را بدهد، مهره‌های سبز را شماره‌گذاری کرد و پاسخ داد: «چهار حالت: سبز ۱، سبز ۲، سبز ۳، سفید»\nبه نظر شما چرا پاسخ علی درست است؟", + "steps": [ + "تعداد کل مهره‌ها: 4 (سه مهره سبز و یک مهره سفید)", + "شایان فقط رنگ‌ها را در نظر گرفته و دو حالت سبز و سفید را گفته است.", + "علی هر مهره سبز را جداگانه شماره‌گذاری کرده و چهار حالت مجزا را در نظر گرفته است.", + "پاسخ علی درست است چون هر مهره سبز به عنوان یک حالت مجزا در نظر گرفته شده و احتمال انتخاب هر مهره برابر است.", + "✅ جواب: چهار حالت (سه مهره سبز مجزا و یک مهره سفید)" + ] }, { "title": "محاسبه احتمال با استفاده از نمودار دایره‌ای", @@ -7981,7 +10240,15 @@ }, { "title": "محاسبه احتمال با استفاده از کیسه مهره‌ها", - "introText": "۱. تعداد کل مهره‌ها در کیسه را مشخص کنید.\n۲. تعداد مهره‌های مطلوب را مشخص کنید.\n۳. احتمال را با تقسیم تعداد مهره‌های مطلوب بر تعداد کل مهره‌ها محاسبه کنید." + "introText": "۱. تعداد کل مهره‌ها در کیسه را مشخص کنید.\n۲. تعداد مهره‌های مطلوب را مشخص کنید.\n۳. احتمال را با تقسیم تعداد مهره‌های مطلوب بر تعداد کل مهره‌ها محاسبه کنید.", + "example": "معلم از دانش‌آموزان پرسید: «یک مهره را به طور تصادفی از کیسه‌ای که در آن سه مهره سبز و یک مهره سفید است، بیرون می‌آوریم. چند حالت هم‌شانس می‌تواند رخ دهد؟»\nبلافاصله شایان پاسخ داد: «(دو حالت: سبز، سفید)» سپس علی برای اینکه بتواند پاسخ سؤال را بدهد، مهره‌های سبز را شماره‌گذاری کرد و پاسخ داد: «چهار حالت: سبز ۱، سبز ۲، سبز ۳، سفید»\nبه نظر شما چرا پاسخ علی درست است؟", + "steps": [ + "تعداد کل مهره‌ها: 4 (سه مهره سبز و یک مهره سفید)", + "شایان فقط رنگ‌ها را در نظر گرفته و دو حالت سبز و سفید را گفته است.", + "علی هر مهره سبز را جداگانه شماره‌گذاری کرده و چهار حالت مجزا را در نظر گرفته است.", + "پاسخ علی درست است چون هر مهره سبز به عنوان یک حالت مجزا در نظر گرفته شده و احتمال انتخاب هر مهره برابر است.", + "✅ جواب: چهار حالت (سه مهره سبز مجزا و یک مهره سفید)" + ] } ] }, @@ -7991,11 +10258,29 @@ "lessons": [ { "title": "بررسی حالات ممکن", - "introText": "۱. تعداد کل حالات ممکن را مشخص کنید.\n۲. جدول حالات ممکن را رسم کنید.\n۳. احتمال هر حالت را با توجه به تعداد حالات ممکن محاسبه کنید.\n۴. نتایج را تحلیل کنید و پاسخ سوالات را ارائه دهید." + "introText": "۱. تعداد کل حالات ممکن را مشخص کنید.\n۲. جدول حالات ممکن را رسم کنید.\n۳. احتمال هر حالت را با توجه به تعداد حالات ممکن محاسبه کنید.\n۴. نتایج را تحلیل کنید و پاسخ سوالات را ارائه دهید.", + "example": "سه سکه را همزمان پرتاب می‌کنیم. پارسا و عرفان هر کدام با یک روش، همه حالات ممکن را نوشته‌اند و تعداد حالات را یافته‌اند. راه حل عرفان را کامل کنید: جدول دو بعدی‌ای که حالت‌های رو و پشت سکه اول و دوم را نشان می‌دهد و باید حالت‌های سکه سوم را نیز اضافه کنیم.", + "steps": [ + "هر سکه دو حالت دارد: رو یا پشت.", + "برای دو سکه اول، چهار حالت داریم: رو-رو، رو-پشت، پشت-رو، پشت-پشت.", + "سکه سوم نیز دو حالت دارد: رو یا پشت.", + "بنابراین، تعداد کل حالات ممکن برای سه سکه برابر 2 × 2 × 2 = 8 حالت است.", + "جدول عرفان را کامل می‌کنیم:", + "برای هر حالت دو سکه اول، دو حالت برای سکه سوم داریم. به عنوان مثال، برای حالت رو-رو دو حالت داریم: رو-رو-رو و رو-رو-پشت. به همین ترتیب برای بقیه حالات جدول را کامل می‌کنیم. نتیجه: تعداد کل حالات ممکن 8 است." + ] }, { "title": "ترکیب حالات ممکن", - "introText": "۱. تمام حالات ممکن را با توجه به ترکیب‌های داده شده مشخص کنید.\n۲. جدول ترکیب حالات ممکن را رسم کنید.\n۳. تعداد حالات مطلوب را مشخص کنید.\n۴. پاسخ سوالات را با توجه به جدول ارائه دهید." + "introText": "۱. تمام حالات ممکن را با توجه به ترکیب‌های داده شده مشخص کنید.\n۲. جدول ترکیب حالات ممکن را رسم کنید.\n۳. تعداد حالات مطلوب را مشخص کنید.\n۴. پاسخ سوالات را با توجه به جدول ارائه دهید.", + "example": "سه سکه را همزمان پرتاب می‌کنیم. پارسا و عرفان هر کدام با یک روش، همه حالات ممکن را نوشته‌اند و تعداد حالات را یافته‌اند. راه حل عرفان را کامل کنید: جدول دو بعدی‌ای که حالت‌های رو و پشت سکه اول و دوم را نشان می‌دهد و باید حالت‌های سکه سوم را نیز اضافه کنیم.", + "steps": [ + "هر سکه دو حالت دارد: رو یا پشت.", + "برای دو سکه اول، چهار حالت داریم: رو-رو، رو-پشت، پشت-رو، پشت-پشت.", + "سکه سوم نیز دو حالت دارد: رو یا پشت.", + "بنابراین، تعداد کل حالات ممکن برای سه سکه برابر 2 × 2 × 2 = 8 حالت است.", + "جدول عرفان را کامل می‌کنیم:", + "برای هر حالت دو سکه اول، دو حالت برای سکه سوم داریم. به عنوان مثال، برای حالت رو-رو دو حالت داریم: رو-رو-رو و رو-رو-پشت. به همین ترتیب برای بقیه حالات جدول را کامل می‌کنیم. نتیجه: تعداد کل حالات ممکن 8 است." + ] }, { "title": "تعیین حالت‌های ممکن با نمودار درختی", @@ -8015,7 +10300,16 @@ }, { "title": "محاسبه احتمال وقوع چند حالت خاص", - "introText": "۱. تعداد کل حالات ممکن را محاسبه کنید.\n۲. تمام حالات مطلوب را لیست کنید.\n۳. تعداد حالات مطلوب را بشمارید.\n۴. احتمال را با تقسیم تعداد حالات مطلوب بر تعداد کل حالات ممکن محاسبه کنید." + "introText": "۱. تعداد کل حالات ممکن را محاسبه کنید.\n۲. تمام حالات مطلوب را لیست کنید.\n۳. تعداد حالات مطلوب را بشمارید.\n۴. احتمال را با تقسیم تعداد حالات مطلوب بر تعداد کل حالات ممکن محاسبه کنید.", + "example": "سه سکه را همزمان پرتاب می‌کنیم. پارسا و عرفان هر کدام با یک روش، همه حالات ممکن را نوشته‌اند و تعداد حالات را یافته‌اند. راه حل عرفان را کامل کنید: جدول دو بعدی‌ای که حالت‌های رو و پشت سکه اول و دوم را نشان می‌دهد و باید حالت‌های سکه سوم را نیز اضافه کنیم.", + "steps": [ + "هر سکه دو حالت دارد: رو یا پشت.", + "برای دو سکه اول، چهار حالت داریم: رو-رو، رو-پشت، پشت-رو، پشت-پشت.", + "سکه سوم نیز دو حالت دارد: رو یا پشت.", + "بنابراین، تعداد کل حالات ممکن برای سه سکه برابر 2 × 2 × 2 = 8 حالت است.", + "جدول عرفان را کامل می‌کنیم:", + "برای هر حالت دو سکه اول، دو حالت برای سکه سوم داریم. به عنوان مثال، برای حالت رو-رو دو حالت داریم: رو-رو-رو و رو-رو-پشت. به همین ترتیب برای بقیه حالات جدول را کامل می‌کنیم. نتیجه: تعداد کل حالات ممکن 8 است." + ] }, { "title": "محاسبه تعداد ترکیب‌های ممکن", @@ -8023,7 +10317,16 @@ }, { "title": "محاسبه احتمال با استفاده از جدول", - "introText": "۱. جدول حالت‌های ممکن را رسم کنید.\n۲. تعداد کل حالت‌های ممکن را مشخص کنید.\n۳. تعداد حالت‌های مطلوب را مشخص کنید.\n۴. احتمال را با تقسیم تعداد حالت‌های مطلوب بر تعداد کل حالت‌های ممکن محاسبه کنید." + "introText": "۱. جدول حالت‌های ممکن را رسم کنید.\n۲. تعداد کل حالت‌های ممکن را مشخص کنید.\n۳. تعداد حالت‌های مطلوب را مشخص کنید.\n۴. احتمال را با تقسیم تعداد حالت‌های مطلوب بر تعداد کل حالت‌های ممکن محاسبه کنید.", + "example": "دو سکه بردارید و ۲۰ بار آزمایش پرتاب انجام دهید. نتایج ۲۰ آزمایش را با رسم چوب خط در جدول ثبت کنید. سپس نتایج آزمایش خودتان را با نتایج سه گروه دیگر جمع کنید و با استفاده از نتایج مربوط به ۸۰ آزمایش، درستی فکرتان را بررسی کنید.", + "steps": [ + "در هر آزمایش، حالت پرتاب دو سکه را ثبت کنید (رو-رو، رو-پشت، پشت-رو، پشت-پشت).", + "برای هر حالت، تعداد وقوع آن را با رسم چوب خط در جدول ثبت کنید.", + "نتایج ۲۰ آزمایش خود را با نتایج سه گروه دیگر جمع کنید تا مجموع ۸۰ آزمایش به دست آید.", + "احتمال تجربی هر حالت را با تقسیم تعداد وقوع آن حالت بر ۸۰ محاسبه کنید.", + "با مقایسه این احتمال‌ها با احتمال نظری (که هر حالت ۱/۴ است) درستی فرضیات خود را بررسی کنید.", + "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است." + ] }, { "title": "محاسبه احتمال وقوع یک عدد خاص", @@ -8039,7 +10342,16 @@ }, { "title": "حالت‌های ممکن در پرتاب تاس", - "introText": "۱. تعداد کل حالت‌های ممکن را مشخص کنید.\n۲. حالت‌های مورد نظر را تعیین کنید.\n۳. احتمال را با تقسیم تعداد حالت‌های مورد نظر بر تعداد کل حالت‌ها محاسبه کنید." + "introText": "۱. تعداد کل حالت‌های ممکن را مشخص کنید.\n۲. حالت‌های مورد نظر را تعیین کنید.\n۳. احتمال را با تقسیم تعداد حالت‌های مورد نظر بر تعداد کل حالت‌ها محاسبه کنید.", + "example": "سه سکه را همزمان پرتاب می‌کنیم. پارسا و عرفان هر کدام با یک روش، همه حالات ممکن را نوشته‌اند و تعداد حالات را یافته‌اند. راه حل عرفان را کامل کنید: جدول دو بعدی‌ای که حالت‌های رو و پشت سکه اول و دوم را نشان می‌دهد و باید حالت‌های سکه سوم را نیز اضافه کنیم.", + "steps": [ + "هر سکه دو حالت دارد: رو یا پشت.", + "برای دو سکه اول، چهار حالت داریم: رو-رو، رو-پشت، پشت-رو، پشت-پشت.", + "سکه سوم نیز دو حالت دارد: رو یا پشت.", + "بنابراین، تعداد کل حالات ممکن برای سه سکه برابر 2 × 2 × 2 = 8 حالت است.", + "جدول عرفان را کامل می‌کنیم:", + "برای هر حالت دو سکه اول، دو حالت برای سکه سوم داریم. به عنوان مثال، برای حالت رو-رو دو حالت داریم: رو-رو-رو و رو-رو-پشت. به همین ترتیب برای بقیه حالات جدول را کامل می‌کنیم. نتیجه: تعداد کل حالات ممکن 8 است." + ] } ] } @@ -8047,6 +10359,7 @@ }, { "title": "فصل ۹: دایره", + "blurb": "در این فصل: خط و دایره، زاویه‌های مرکزی و زاویه‌های محاطی.", "order": 9, "nodes": [ { @@ -8059,15 +10372,33 @@ }, { "title": "رسم خط مماس بر دایره", - "introText": "۱. دایره‌ای با مرکز O و شعاع مشخص رسم کنید.\n۲. نقطه‌ای روی محیط دایره انتخاب کنید.\n۳. خطی از نقطه انتخاب‌شده رسم کنید که فقط یک نقطه مشترک با دایره داشته باشد.\n۴. بررسی کنید که خط رسم‌شده بر شعاع دایره عمود باشد." + "introText": "۱. دایره‌ای با مرکز O و شعاع مشخص رسم کنید.\n۲. نقطه‌ای روی محیط دایره انتخاب کنید.\n۳. خطی از نقطه انتخاب‌شده رسم کنید که فقط یک نقطه مشترک با دایره داشته باشد.\n۴. بررسی کنید که خط رسم‌شده بر شعاع دایره عمود باشد.", + "example": "خط d بر دایره c به مرکز O و شعاع 2 مماس است. کدام پاره‌خط فاصله مرکز دایره از خط d را نشان می‌دهد؟ اندازه این پاره‌خط را با 3 مقایسه کنید.", + "steps": [ + "پاره‌خط OH که از مرکز O به خط d رسم شده و بر آن عمود است، کوتاه‌ترین فاصله مرکز دایره تا خط d است.", + "چون خط d مماس بر دایره است، فاصله مرکز تا خط برابر شعاع دایره است که 2 است.", + "بنابراین، طول OH برابر 2 است و چون 2 < 3، نتیجه می‌گیریم که فاصله مرکز دایره از خط d کمتر از 3 است." + ] }, { "title": "مقایسه فاصله مرکز دایره از خط", - "introText": "۱. دایره‌ای با مرکز O و شعاع مشخص رسم کنید.\n۲. خطی در خارج از دایره رسم کنید.\n۳. فاصله مرکز دایره از خط را اندازه‌گیری کنید.\n۴. فاصله اندازه‌گیری‌شده را با شعاع دایره مقایسه کنید و علامت‌گذاری کنید (<، > یا =)." + "introText": "۱. دایره‌ای با مرکز O و شعاع مشخص رسم کنید.\n۲. خطی در خارج از دایره رسم کنید.\n۳. فاصله مرکز دایره از خط را اندازه‌گیری کنید.\n۴. فاصله اندازه‌گیری‌شده را با شعاع دایره مقایسه کنید و علامت‌گذاری کنید (<، > یا =).", + "example": "خط d بر دایره c به مرکز O و شعاع 2 مماس است. کدام پاره‌خط فاصله مرکز دایره از خط d را نشان می‌دهد؟ اندازه این پاره‌خط را با 3 مقایسه کنید.", + "steps": [ + "پاره‌خط OH که از مرکز O به خط d رسم شده و بر آن عمود است، کوتاه‌ترین فاصله مرکز دایره تا خط d است.", + "چون خط d مماس بر دایره است، فاصله مرکز تا خط برابر شعاع دایره است که 2 است.", + "بنابراین، طول OH برابر 2 است و چون 2 < 3، نتیجه می‌گیریم که فاصله مرکز دایره از خط d کمتر از 3 است." + ] }, { "title": "تشخیص خط مماس بر دایره", - "introText": "۱. مرکز دایره و نقطه تماس را مشخص کنید.\n۲. خطی که از نقطه تماس عبور می‌کند و بر شعاع دایره عمود است، خط مماس است.\n۳. بررسی کنید که آیا زاویه بین شعاع و خط مورد نظر ۹۰ درجه است یا خیر." + "introText": "۱. مرکز دایره و نقطه تماس را مشخص کنید.\n۲. خطی که از نقطه تماس عبور می‌کند و بر شعاع دایره عمود است، خط مماس است.\n۳. بررسی کنید که آیا زاویه بین شعاع و خط مورد نظر ۹۰ درجه است یا خیر.", + "example": "خط d بر دایره c به مرکز O و شعاع 2 مماس است. کدام پاره‌خط فاصله مرکز دایره از خط d را نشان می‌دهد؟ اندازه این پاره‌خط را با 3 مقایسه کنید.", + "steps": [ + "پاره‌خط OH که از مرکز O به خط d رسم شده و بر آن عمود است، کوتاه‌ترین فاصله مرکز دایره تا خط d است.", + "چون خط d مماس بر دایره است، فاصله مرکز تا خط برابر شعاع دایره است که 2 است.", + "بنابراین، طول OH برابر 2 است و چون 2 < 3، نتیجه می‌گیریم که فاصله مرکز دایره از خط d کمتر از 3 است." + ] }, { "title": "تشخیص نوع زاویه در نقطه تماس", @@ -8079,7 +10410,14 @@ }, { "title": "رسم وتر دایره و بررسی نقاط تقاطع", - "introText": "۱. دو نقطه روی محیط دایره انتخاب کنید.\n۲. پاره‌خطی که این دو نقطه را به هم وصل می‌کند، وتر دایره است.\n۳. بررسی کنید که این وتر در چه نقاطی با دایره تقاطع دارد." + "introText": "۱. دو نقطه روی محیط دایره انتخاب کنید.\n۲. پاره‌خطی که این دو نقطه را به هم وصل می‌کند، وتر دایره است.\n۳. بررسی کنید که این وتر در چه نقاطی با دایره تقاطع دارد.", + "example": "در سه حالت مختلف، یک خط و یک دایره رسم کنید و مشخص کنید که خط و دایره چند نقطه مشترک دارند.", + "steps": [ + "حالت اول: خط و دایره یک نقطه مشترک دارند که در این حالت خط را مماس بر دایره می‌نامیم.", + "حالت دوم: خط و دایره دو نقطه مشترک دارند که خط دایره را قطع می‌کند.", + "حالت سوم: خط و دایره هیچ نقطه مشترکی ندارند که خط خارج از دایره است.", + "✅ جواب: سه حالت: مماس (یک نقطه)، قطع (دو نقطه)، خارج (هیچ نقطه)." + ] }, { "title": "محاسبه قطر دایره با استفاده از شکل و توضیحات", @@ -8113,47 +10451,140 @@ "lessons": [ { "title": "زاویه مرکزی و کمان دایره", - "introText": "۱. زاویه مرکزی را مشخص کنید.\n۲. طول کمان را با استفاده از فرمول طول کمان = (زاویه مرکزی / ۳۶۰) × محیط دایره محاسبه کنید.\n۳. اگر کمان به چند قسمت تقسیم شده باشد، طول هر قسمت را جداگانه محاسبه کنید.\n۴. بررسی کنید که آیا کمان‌ها مساوی هستند یا خیر." + "introText": "۱. زاویه مرکزی را مشخص کنید.\n۲. طول کمان را با استفاده از فرمول طول کمان = (زاویه مرکزی / ۳۶۰) × محیط دایره محاسبه کنید.\n۳. اگر کمان به چند قسمت تقسیم شده باشد، طول هر قسمت را جداگانه محاسبه کنید.\n۴. بررسی کنید که آیا کمان‌ها مساوی هستند یا خیر.", + "example": "محیط دایره را به هشت کمان مساوی تقسیم کرده‌ایم و هشت‌ضلعی ABCDEFGH را رسم کرده‌ایم. چرا این هشت‌ضلعی منتظم است؟ اثبات کنید که مثلث‌های AOB، BOC، COD و ... متساوی‌الساقین هستند و همه زاویه‌های سبز رنگ برابرند.", + "steps": [ + "دایره به 8 کمان مساوی تقسیم شده است، پس اندازه هر کمان برابر است.", + "مثلث‌های AOB، BOC، COD و ... هر کدام دو ضلع برابر دارند (شعاع‌های دایره).", + "بنابراین این مثلث‌ها متساوی‌الساقین هستند و زاویه‌های قاعده برابرند.", + "زاویه‌های مرکزی برابرند و زاویه‌های سبز رنگ که زاویه‌های قاعده مثلث‌ها هستند نیز برابرند.", + "بنابراین همه اضلاع هشت‌ضلعی برابر و همه زاویه‌های داخلی برابرند، پس هشت‌ضلعی منتظم است.", + "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است؛ با تقسیم دایره به ۸ کمان مساوی، اضلاع و زوایای داخلی هشت‌ضلعی برابر می‌شوند." + ] }, { "title": "تقسیم دایره به کمان‌های مساوی", - "introText": "۱. نقاط تقسیم‌کننده روی دایره را مشخص کنید.\n۲. زاویه مرکزی مربوط به هر کمان را محاسبه کنید.\n۳. بررسی کنید که آیا زاویه‌های مرکزی برابر هستند.\n۴. اگر زاویه‌های مرکزی برابر باشند، کمان‌ها نیز مساوی خواهند بود." + "introText": "۱. نقاط تقسیم‌کننده روی دایره را مشخص کنید.\n۲. زاویه مرکزی مربوط به هر کمان را محاسبه کنید.\n۳. بررسی کنید که آیا زاویه‌های مرکزی برابر هستند.\n۴. اگر زاویه‌های مرکزی برابر باشند، کمان‌ها نیز مساوی خواهند بود.", + "example": "محیط دایره را به هشت کمان مساوی تقسیم کرده‌ایم و هشت‌ضلعی ABCDEFGH را رسم کرده‌ایم. چرا این هشت‌ضلعی منتظم است؟ اثبات کنید که مثلث‌های AOB، BOC، COD و ... متساوی‌الساقین هستند و همه زاویه‌های سبز رنگ برابرند.", + "steps": [ + "دایره به 8 کمان مساوی تقسیم شده است، پس اندازه هر کمان برابر است.", + "مثلث‌های AOB، BOC، COD و ... هر کدام دو ضلع برابر دارند (شعاع‌های دایره).", + "بنابراین این مثلث‌ها متساوی‌الساقین هستند و زاویه‌های قاعده برابرند.", + "زاویه‌های مرکزی برابرند و زاویه‌های سبز رنگ که زاویه‌های قاعده مثلث‌ها هستند نیز برابرند.", + "بنابراین همه اضلاع هشت‌ضلعی برابر و همه زاویه‌های داخلی برابرند، پس هشت‌ضلعی منتظم است.", + "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است؛ با تقسیم دایره به ۸ کمان مساوی، اضلاع و زوایای داخلی هشت‌ضلعی برابر می‌شوند." + ] }, { "title": "اندازه‌گیری زاویه مرکزی", - "introText": "۱. کمان روبروی زاویه مرکزی را مشخص کنید.\n۲. اندازه زاویه مرکزی را با استفاده از اطلاعات داده‌شده (مانند طول کمان یا محیط دایره) محاسبه کنید.\n۳. بررسی کنید که آیا زاویه مرکزی با کمان روبرو متناسب است." + "introText": "۱. کمان روبروی زاویه مرکزی را مشخص کنید.\n۲. اندازه زاویه مرکزی را با استفاده از اطلاعات داده‌شده (مانند طول کمان یا محیط دایره) محاسبه کنید.\n۳. بررسی کنید که آیا زاویه مرکزی با کمان روبرو متناسب است.", + "example": "نیمساز زاویه مرکزی AOB است و زاویه AOB برابر 36 درجه است. اندازه هر یک از کمان‌های AD و BD چند درجه است؟", + "steps": [ + "از آنجا که OD نیمساز زاویه مرکزی AOB است، زاویه AOD و BOD هر کدام نصف زاویه AOB هستند.", + "زاویه AOB = 36 درجه", + "پس زاویه AOD = زاویه BOD = 36 ÷ 2 = 18 درجه", + "کمان AD متناظر با زاویه AOD است و کمان BD متناظر با زاویه BOD است.", + "بنابراین اندازه هر کمان AD و BD برابر 18 درجه است." + ] }, { "title": "اندازه‌گیری کمان و زاویه‌های محاطی", - "introText": "۱. کمان مورد نظر را شناسایی کنید.\n۲. زاویه مرکزی متناظر با کمان را پیدا کنید.\n۳. از رابطه زاویه محاطی و زاویه مرکزی (زاویه محاطی نصف زاویه مرکزی است) استفاده کنید.\n۴. اندازه کمان یا زاویه محاطی را محاسبه کنید." + "introText": "۱. کمان مورد نظر را شناسایی کنید.\n۲. زاویه مرکزی متناظر با کمان را پیدا کنید.\n۳. از رابطه زاویه محاطی و زاویه مرکزی (زاویه محاطی نصف زاویه مرکزی است) استفاده کنید.\n۴. اندازه کمان یا زاویه محاطی را محاسبه کنید.", + "example": "محیط دایره را به هشت کمان مساوی تقسیم کرده‌ایم و هشت‌ضلعی ABCDEFGH را رسم کرده‌ایم. چرا این هشت‌ضلعی منتظم است؟ اثبات کنید که مثلث‌های AOB، BOC، COD و ... متساوی‌الساقین هستند و همه زاویه‌های سبز رنگ برابرند.", + "steps": [ + "دایره به 8 کمان مساوی تقسیم شده است، پس اندازه هر کمان برابر است.", + "مثلث‌های AOB، BOC، COD و ... هر کدام دو ضلع برابر دارند (شعاع‌های دایره).", + "بنابراین این مثلث‌ها متساوی‌الساقین هستند و زاویه‌های قاعده برابرند.", + "زاویه‌های مرکزی برابرند و زاویه‌های سبز رنگ که زاویه‌های قاعده مثلث‌ها هستند نیز برابرند.", + "بنابراین همه اضلاع هشت‌ضلعی برابر و همه زاویه‌های داخلی برابرند، پس هشت‌ضلعی منتظم است.", + "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است؛ با تقسیم دایره به ۸ کمان مساوی، اضلاع و زوایای داخلی هشت‌ضلعی برابر می‌شوند." + ] }, { "title": "اثبات تقارن در چندضلعی‌های منتظم", - "introText": "۱. محیط دایره را به تعداد مساوی تقسیم کنید.\n۲. نقاط تقسیم را به مرکز دایره وصل کنید.\n۳. زاویه‌های مرکزی و کمان‌های متناظر را بررسی کنید.\n۴. با استفاده از تقارن دایره، برابری زاویه‌ها و کمان‌ها را اثبات کنید." + "introText": "۱. محیط دایره را به تعداد مساوی تقسیم کنید.\n۲. نقاط تقسیم را به مرکز دایره وصل کنید.\n۳. زاویه‌های مرکزی و کمان‌های متناظر را بررسی کنید.\n۴. با استفاده از تقارن دایره، برابری زاویه‌ها و کمان‌ها را اثبات کنید.", + "example": "محیط دایره را به هشت کمان مساوی تقسیم کرده‌ایم و هشت‌ضلعی ABCDEFGH را رسم کرده‌ایم. چرا این هشت‌ضلعی منتظم است؟ اثبات کنید که مثلث‌های AOB، BOC، COD و ... متساوی‌الساقین هستند و همه زاویه‌های سبز رنگ برابرند.", + "steps": [ + "دایره به 8 کمان مساوی تقسیم شده است، پس اندازه هر کمان برابر است.", + "مثلث‌های AOB، BOC، COD و ... هر کدام دو ضلع برابر دارند (شعاع‌های دایره).", + "بنابراین این مثلث‌ها متساوی‌الساقین هستند و زاویه‌های قاعده برابرند.", + "زاویه‌های مرکزی برابرند و زاویه‌های سبز رنگ که زاویه‌های قاعده مثلث‌ها هستند نیز برابرند.", + "بنابراین همه اضلاع هشت‌ضلعی برابر و همه زاویه‌های داخلی برابرند، پس هشت‌ضلعی منتظم است.", + "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است؛ با تقسیم دایره به ۸ کمان مساوی، اضلاع و زوایای داخلی هشت‌ضلعی برابر می‌شوند." + ] }, { "title": "بررسی برابری وترها و کمان‌ها در دایره", - "introText": "۱. بررسی کنید که آیا وترها برابر هستند.\n۲. بررسی کنید که آیا کمان‌های متناظر با وترها برابر هستند.\n۳. اگر وترها برابر باشند، کمان‌های متناظر نیز برابر خواهند بود.\n۴. اگر کمان‌ها برابر باشند، وترهای متناظر نیز برابر خواهند بود." + "introText": "۱. بررسی کنید که آیا وترها برابر هستند.\n۲. بررسی کنید که آیا کمان‌های متناظر با وترها برابر هستند.\n۳. اگر وترها برابر باشند، کمان‌های متناظر نیز برابر خواهند بود.\n۴. اگر کمان‌ها برابر باشند، وترهای متناظر نیز برابر خواهند بود.", + "example": "الف) فرض کنید AB = CD. چرا AB = CD؟ در دایره‌ای با مرکز O، کمان AB و کمان CD برابرند. مثلث‌های AOB و COD را در نظر بگیرید.", + "steps": [ + "اگر AB = CD، یعنی کمان‌های متناظر برابرند.", + "در مثلث‌های AOB و COD، زاویه‌های مرکزی برابرند و شعاع‌های دایره برابرند.", + "بنابراین اضلاع متناظر مثلث‌ها برابرند و نتیجه می‌گیریم AB = CD.", + "✅ جواب: از برابری کمان‌ها، زوایای مرکزی برابر و مثلث‌ها هم‌نهشتند، پس وترها برابرند." + ] }, { "title": "رسم چندضلعی منتظم در دایره", - "introText": "۱. یک دایره رسم کنید.\n۲. نقطه‌ای روی محیط دایره انتخاب کنید.\n۳. با استفاده از خط‌کش و نقطه روی دایره، چندضلعی منتظم مورد نظر را رسم کنید." + "introText": "۱. یک دایره رسم کنید.\n۲. نقطه‌ای روی محیط دایره انتخاب کنید.\n۳. با استفاده از خط‌کش و نقطه روی دایره، چندضلعی منتظم مورد نظر را رسم کنید.", + "example": "محیط دایره را به هشت کمان مساوی تقسیم کرده‌ایم و هشت‌ضلعی ABCDEFGH را رسم کرده‌ایم. چرا این هشت‌ضلعی منتظم است؟ اثبات کنید که مثلث‌های AOB، BOC، COD و ... متساوی‌الساقین هستند و همه زاویه‌های سبز رنگ برابرند.", + "steps": [ + "دایره به 8 کمان مساوی تقسیم شده است، پس اندازه هر کمان برابر است.", + "مثلث‌های AOB، BOC، COD و ... هر کدام دو ضلع برابر دارند (شعاع‌های دایره).", + "بنابراین این مثلث‌ها متساوی‌الساقین هستند و زاویه‌های قاعده برابرند.", + "زاویه‌های مرکزی برابرند و زاویه‌های سبز رنگ که زاویه‌های قاعده مثلث‌ها هستند نیز برابرند.", + "بنابراین همه اضلاع هشت‌ضلعی برابر و همه زاویه‌های داخلی برابرند، پس هشت‌ضلعی منتظم است.", + "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است؛ با تقسیم دایره به ۸ کمان مساوی، اضلاع و زوایای داخلی هشت‌ضلعی برابر می‌شوند." + ] }, { "title": "تقسیم کمان دایره به چند قسمت مساوی", - "introText": "۱. دایره را رسم کنید.\n۲. نقطه‌ای روی محیط دایره انتخاب کنید.\n۳. کمان دایره را به تعداد قسمت‌های مورد نظر تقسیم کنید.\n۴. زاویه هر قسمت را محاسبه کنید." + "introText": "۱. دایره را رسم کنید.\n۲. نقطه‌ای روی محیط دایره انتخاب کنید.\n۳. کمان دایره را به تعداد قسمت‌های مورد نظر تقسیم کنید.\n۴. زاویه هر قسمت را محاسبه کنید.", + "example": "محیط دایره را به هشت کمان مساوی تقسیم کرده‌ایم و هشت‌ضلعی ABCDEFGH را رسم کرده‌ایم. چرا این هشت‌ضلعی منتظم است؟ اثبات کنید که مثلث‌های AOB، BOC، COD و ... متساوی‌الساقین هستند و همه زاویه‌های سبز رنگ برابرند.", + "steps": [ + "دایره به 8 کمان مساوی تقسیم شده است، پس اندازه هر کمان برابر است.", + "مثلث‌های AOB، BOC، COD و ... هر کدام دو ضلع برابر دارند (شعاع‌های دایره).", + "بنابراین این مثلث‌ها متساوی‌الساقین هستند و زاویه‌های قاعده برابرند.", + "زاویه‌های مرکزی برابرند و زاویه‌های سبز رنگ که زاویه‌های قاعده مثلث‌ها هستند نیز برابرند.", + "بنابراین همه اضلاع هشت‌ضلعی برابر و همه زاویه‌های داخلی برابرند، پس هشت‌ضلعی منتظم است.", + "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است؛ با تقسیم دایره به ۸ کمان مساوی، اضلاع و زوایای داخلی هشت‌ضلعی برابر می‌شوند." + ] }, { "title": "محاسبه درجه کمان دایره", - "introText": "۱. دایره را رسم کنید.\n۲. زاویه مرکزی متناظر با کمان را مشخص کنید.\n۳. درجه کمان را با توجه به زاویه مرکزی محاسبه کنید." + "introText": "۱. دایره را رسم کنید.\n۲. زاویه مرکزی متناظر با کمان را مشخص کنید.\n۳. درجه کمان را با توجه به زاویه مرکزی محاسبه کنید.", + "example": "محیط دایره را به هشت کمان مساوی تقسیم کرده‌ایم و هشت‌ضلعی ABCDEFGH را رسم کرده‌ایم. چرا این هشت‌ضلعی منتظم است؟ اثبات کنید که مثلث‌های AOB، BOC، COD و ... متساوی‌الساقین هستند و همه زاویه‌های سبز رنگ برابرند.", + "steps": [ + "دایره به 8 کمان مساوی تقسیم شده است، پس اندازه هر کمان برابر است.", + "مثلث‌های AOB، BOC، COD و ... هر کدام دو ضلع برابر دارند (شعاع‌های دایره).", + "بنابراین این مثلث‌ها متساوی‌الساقین هستند و زاویه‌های قاعده برابرند.", + "زاویه‌های مرکزی برابرند و زاویه‌های سبز رنگ که زاویه‌های قاعده مثلث‌ها هستند نیز برابرند.", + "بنابراین همه اضلاع هشت‌ضلعی برابر و همه زاویه‌های داخلی برابرند، پس هشت‌ضلعی منتظم است.", + "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است؛ با تقسیم دایره به ۸ کمان مساوی، اضلاع و زوایای داخلی هشت‌ضلعی برابر می‌شوند." + ] }, { "title": "محاسبه اندازه کمان‌ها", - "introText": "۱. زاویه مرکزی داده شده را بررسی کنید.\n۲. از رابطه زاویه مرکزی و کمان استفاده کنید: اندازه کمان برابر با زاویه مرکزی است.\n۳. اگر کمان‌های دیگر نیز داده شده‌اند، از روابط بین کمان‌ها استفاده کنید." + "introText": "۱. زاویه مرکزی داده شده را بررسی کنید.\n۲. از رابطه زاویه مرکزی و کمان استفاده کنید: اندازه کمان برابر با زاویه مرکزی است.\n۳. اگر کمان‌های دیگر نیز داده شده‌اند، از روابط بین کمان‌ها استفاده کنید.", + "example": "دهانه پرگار را به اندازه شعاع دایره زیر باز کنید. از یک نقطه دایره شروع کنید و پی‌درپی کمان بزنید. به این ترتیب، دایره به چند کمان تقسیم می‌شود؟ هر کمان چند درجه است؟", + "steps": [ + "با باز کردن دهانه پرگار به اندازه شعاع دایره و پی‌درپی کمان زدن از یک نقطه، دایره به ۶ کمان مساوی تقسیم می‌شود.", + "چون مجموع زوایای دایره ۳۶۰ درجه است، هر کمان برابر است با 360 ÷ 6 = 60 درجه.", + "✅ جواب: ۶ کمان ۶۰ درجه‌ای" + ] }, { "title": "محاسبه طول کمان", - "introText": "۱. محیط دایره را با استفاده از فرمول ۲πr محاسبه کنید.\n۲. نسبت زاویه مرکزی به ۳۶۰° را پیدا کنید.\n۳. طول کمان را با ضرب این نسبت در محیط دایره محاسبه کنید." + "introText": "۱. محیط دایره را با استفاده از فرمول ۲πr محاسبه کنید.\n۲. نسبت زاویه مرکزی به ۳۶۰° را پیدا کنید.\n۳. طول کمان را با ضرب این نسبت در محیط دایره محاسبه کنید.", + "example": "محیط دایره را به هشت کمان مساوی تقسیم کرده‌ایم و هشت‌ضلعی ABCDEFGH را رسم کرده‌ایم. چرا این هشت‌ضلعی منتظم است؟ اثبات کنید که مثلث‌های AOB، BOC، COD و ... متساوی‌الساقین هستند و همه زاویه‌های سبز رنگ برابرند.", + "steps": [ + "دایره به 8 کمان مساوی تقسیم شده است، پس اندازه هر کمان برابر است.", + "مثلث‌های AOB، BOC، COD و ... هر کدام دو ضلع برابر دارند (شعاع‌های دایره).", + "بنابراین این مثلث‌ها متساوی‌الساقین هستند و زاویه‌های قاعده برابرند.", + "زاویه‌های مرکزی برابرند و زاویه‌های سبز رنگ که زاویه‌های قاعده مثلث‌ها هستند نیز برابرند.", + "بنابراین همه اضلاع هشت‌ضلعی برابر و همه زاویه‌های داخلی برابرند، پس هشت‌ضلعی منتظم است.", + "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است؛ با تقسیم دایره به ۸ کمان مساوی، اضلاع و زوایای داخلی هشت‌ضلعی برابر می‌شوند." + ] }, { "title": "بررسی تساوی کمان‌ها و قطرها", @@ -8175,15 +10606,33 @@ }, { "title": "اندازه‌گیری زاویه محاطی با پر کردن جاهای خالی", - "introText": "۱. روابط بین زاویه‌ها و کمان‌ها را بررسی کنید.\n۲. جاهای خالی را با استفاده از اطلاعات داده‌شده پر کنید.\n۳. اندازه زاویه محاطی را محاسبه کنید." + "introText": "۱. روابط بین زاویه‌ها و کمان‌ها را بررسی کنید.\n۲. جاهای خالی را با استفاده از اطلاعات داده‌شده پر کنید.\n۳. اندازه زاویه محاطی را محاسبه کنید.", + "example": "در دایره‌ای با مرکز O، کمانی به نام AD داریم که اندازه آن 80 درجه است. اندازه زاویه محاطی C را تعیین کنید.", + "steps": [ + "اندازه کمان AD برابر 80 درجه است.", + "زاویه محاطی C که مقابل کمان AD قرار دارد، برابر نصف اندازه کمان است.", + "بنابراین: زاویه C = 80 ÷ 2 = 40 درجه." + ] }, { "title": "محاسبه اندازه زاویه محاطی", - "introText": "۱. ابتدا کمان مورد نظر را مشخص کنید.\n۲. اندازه کمان را تعیین کنید.\n۳. از رابطه زاویه محاطی برابر نصف اندازه کمان استفاده کنید.\n۴. اندازه زاویه محاطی را محاسبه کنید." + "introText": "۱. ابتدا کمان مورد نظر را مشخص کنید.\n۲. اندازه کمان را تعیین کنید.\n۳. از رابطه زاویه محاطی برابر نصف اندازه کمان استفاده کنید.\n۴. اندازه زاویه محاطی را محاسبه کنید.", + "example": "در دایره‌ای با مرکز O، کمانی به نام AD داریم که اندازه آن 80 درجه است. اندازه زاویه محاطی C را تعیین کنید.", + "steps": [ + "اندازه کمان AD برابر 80 درجه است.", + "زاویه محاطی C که مقابل کمان AD قرار دارد، برابر نصف اندازه کمان است.", + "بنابراین: زاویه C = 80 ÷ 2 = 40 درجه." + ] }, { "title": "محاسبه زاویه‌ها و کمان‌ها در دایره", - "introText": "۱. زاویه مرکزی داده شده را بررسی کنید.\n۲. از رابطه زاویه مرکزی و کمان متناظر استفاده کنید: اندازه کمان برابر با زاویه مرکزی است.\n۳. اگر زاویه یا کمان مجهول باشد، از روابط هندسی و داده‌های دیگر استفاده کنید." + "introText": "۱. زاویه مرکزی داده شده را بررسی کنید.\n۲. از رابطه زاویه مرکزی و کمان متناظر استفاده کنید: اندازه کمان برابر با زاویه مرکزی است.\n۳. اگر زاویه یا کمان مجهول باشد، از روابط هندسی و داده‌های دیگر استفاده کنید.", + "example": "در دایره‌ای با مرکز O، زاویه مرکزی AOB برابر با 72 درجه است. اندازه کمان AB چند درجه است؟", + "steps": [ + "زاویه مرکزی AOB برابر 72 درجه است.", + "اندازه کمان متناظر با این زاویه مرکزی برابر با اندازه زاویه مرکزی است.", + "بنابراین، کمان AB برابر 72 درجه است." + ] }, { "title": "محاسبه قطر دایره با استفاده از اشکال هندسی", @@ -8203,7 +10652,13 @@ }, { "title": "اندازه‌گیری زاویه‌ها و کمان‌ها در دایره", - "introText": "۱. زاویه مرکزی را مشخص کنید.\n۲. اندازه کمان متناظر با زاویه مرکزی را پیدا کنید.\n۳. اندازه زاویه‌های دیگر را بر اساس زاویه مرکزی محاسبه کنید." + "introText": "۱. زاویه مرکزی را مشخص کنید.\n۲. اندازه کمان متناظر با زاویه مرکزی را پیدا کنید.\n۳. اندازه زاویه‌های دیگر را بر اساس زاویه مرکزی محاسبه کنید.", + "example": "در دایره‌ای با مرکز O، زاویه مرکزی AOB برابر با 72 درجه است. اندازه کمان AB چند درجه است؟", + "steps": [ + "زاویه مرکزی AOB برابر 72 درجه است.", + "اندازه کمان متناظر با این زاویه مرکزی برابر با اندازه زاویه مرکزی است.", + "بنابراین، کمان AB برابر 72 درجه است." + ] }, { "title": "محاسبه طول و نوع مثلث‌ها در دایره", @@ -8215,7 +10670,13 @@ }, { "title": "اندازه‌گیری زاویه‌ها و کمان‌ها", - "introText": "۱. شکل داده شده را بررسی کنید.\n۲. زاویه‌ها و کمان‌های مشخص شده را شناسایی کنید.\n۳. اندازه هر زاویه و کمان را با توجه به اطلاعات داده شده محاسبه کنید." + "introText": "۱. شکل داده شده را بررسی کنید.\n۲. زاویه‌ها و کمان‌های مشخص شده را شناسایی کنید.\n۳. اندازه هر زاویه و کمان را با توجه به اطلاعات داده شده محاسبه کنید.", + "example": "در دایره‌ای با مرکز O، زاویه مرکزی AOB برابر با 72 درجه است. اندازه کمان AB چند درجه است؟", + "steps": [ + "زاویه مرکزی AOB برابر 72 درجه است.", + "اندازه کمان متناظر با این زاویه مرکزی برابر با اندازه زاویه مرکزی است.", + "بنابراین، کمان AB برابر 72 درجه است." + ] }, { "title": "محاسبه طول مستطیل در دایره", @@ -8234,6 +10695,7 @@ "units": [ { "title": "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", + "blurb": "در این فصل: مجموعه‌های متناهی و نامتناهی، متمم یک مجموعه، الگو و دنباله و دنباله‌های حسابی و هندسی.", "order": 1, "nodes": [ { @@ -8258,7 +10720,15 @@ }, { "title": "تشخیص اعضای مجموعه", - "introText": "۱. مجموعه داده شده را بررسی کنید. \n۲. شرط عضویت در مجموعه را مشخص کنید. \n۳. اعداد داده شده را با شرط عضویت مقایسه کنید. \n۴. اعضای مجموعه را تعیین کنید." + "introText": "۱. مجموعه داده شده را بررسی کنید. \n۲. شرط عضویت در مجموعه را مشخص کنید. \n۳. اعداد داده شده را با شرط عضویت مقایسه کنید. \n۴. اعضای مجموعه را تعیین کنید.", + "example": "فرض کنید A مجموعه اعداد طبیعی کمتر از 4 و B مجموعه اعداد صحیح کمتر از 4 باشد.\nالف) این دو مجموعه را با نمایش اعضای آنها مشخص کنید.\nب) چند عضو دارد A؟\nپ) درباره تعداد اعضای B چه می‌توان گفت؟", + "steps": [ + "الف) A = {1, 2, 3} (اعداد طبیعی کمتر از 4)", + "B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} (اعداد صحیح کمتر از 4)", + "ب) مجموعه A دارای 3 عضو است.", + "پ) مجموعه B نامتناهی است زیرا شامل همه اعداد صحیح کمتر از 4 است و تعداد اعضای آن نامحدود است.", + "✅ جواب: A = {1,2,3}, B = {..., -3,-2,-1,0,1,2,3} نامتناهی" + ] }, { "title": "نمایش هندسی بازه‌ها", @@ -8278,11 +10748,27 @@ }, { "title": "تشخیص مجموعه‌های متناهی و نامتناهی", - "introText": "۱. بررسی کنید که آیا تعداد اعضای مجموعه قابل شمارش است.\n۲. اگر تعداد اعضا محدود باشد، مجموعه متناهی است.\n۳. اگر تعداد اعضا نامحدود باشد، مجموعه نامتناهی است." + "introText": "۱. بررسی کنید که آیا تعداد اعضای مجموعه قابل شمارش است.\n۲. اگر تعداد اعضا محدود باشد، مجموعه متناهی است.\n۳. اگر تعداد اعضا نامحدود باشد، مجموعه نامتناهی است.", + "example": "فرض کنید A مجموعه اعداد طبیعی کمتر از 4 و B مجموعه اعداد صحیح کمتر از 4 باشد.\nالف) این دو مجموعه را با نمایش اعضای آنها مشخص کنید.\nب) چند عضو دارد A؟\nپ) درباره تعداد اعضای B چه می‌توان گفت؟", + "steps": [ + "الف) A = {1, 2, 3} (اعداد طبیعی کمتر از 4)", + "B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} (اعداد صحیح کمتر از 4)", + "ب) مجموعه A دارای 3 عضو است.", + "پ) مجموعه B نامتناهی است زیرا شامل همه اعداد صحیح کمتر از 4 است و تعداد اعضای آن نامحدود است.", + "✅ جواب: A = {1,2,3}, B = {..., -3,-2,-1,0,1,2,3} نامتناهی" + ] }, { "title": "شناسایی مجموعه‌ها و اعضای آن‌ها", - "introText": "۱. مجموعه داده شده را بررسی کنید.\n۲. اعضای مجموعه را مشخص کنید.\n۳. تعداد اعضای مجموعه را بشمارید.\n۴. ناشناسی مجموعه را تعیین کنید (معلوم یا نامعلوم بودن اعضا).\n۵. زیرمجموعه‌ها را در صورت نیاز مشخص کنید." + "introText": "۱. مجموعه داده شده را بررسی کنید.\n۲. اعضای مجموعه را مشخص کنید.\n۳. تعداد اعضای مجموعه را بشمارید.\n۴. ناشناسی مجموعه را تعیین کنید (معلوم یا نامعلوم بودن اعضا).\n۵. زیرمجموعه‌ها را در صورت نیاز مشخص کنید.", + "example": "فرض کنید A مجموعه اعداد طبیعی کمتر از 4 و B مجموعه اعداد صحیح کمتر از 4 باشد.\nالف) این دو مجموعه را با نمایش اعضای آنها مشخص کنید.\nب) چند عضو دارد A؟\nپ) درباره تعداد اعضای B چه می‌توان گفت؟", + "steps": [ + "الف) A = {1, 2, 3} (اعداد طبیعی کمتر از 4)", + "B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} (اعداد صحیح کمتر از 4)", + "ب) مجموعه A دارای 3 عضو است.", + "پ) مجموعه B نامتناهی است زیرا شامل همه اعداد صحیح کمتر از 4 است و تعداد اعضای آن نامحدود است.", + "✅ جواب: A = {1,2,3}, B = {..., -3,-2,-1,0,1,2,3} نامتناهی" + ] }, { "title": "تشخیص مجموعه‌های مشابه و نامشابه", @@ -8300,11 +10786,25 @@ "lessons": [ { "title": "نمایش مجموعه‌ها روی محور", - "introText": "۱. مجموعه داده شده را بررسی کنید و اعضای آن را مشخص کنید.\n۲. محور اعداد را رسم کنید.\n۳. اعضای مجموعه را روی محور مشخص کنید.\n۴. بازه‌ها یا نقاط مربوط به مجموعه را نمایش دهید." + "introText": "۱. مجموعه داده شده را بررسی کنید و اعضای آن را مشخص کنید.\n۲. محور اعداد را رسم کنید.\n۳. اعضای مجموعه را روی محور مشخص کنید.\n۴. بازه‌ها یا نقاط مربوط به مجموعه را نمایش دهید.", + "example": "در مورد مجموعه B = {x ∈ R | -3 < x ≤ 2} با فرض اینکه مجموعه مرجع R (اعداد حقیقی) باشد، مکمل B را مشخص کنید و آن را روی محور نمایش دهید.", + "steps": [ + "مجموعه مرجع R شامل همه اعداد حقیقی است. مجموعه B شامل اعداد حقیقی بزرگ‌تر از -3 و کوچکتر یا مساوی 2 است.", + "مکمل B شامل اعداد حقیقی است که در بازه (-3, 2] نیستند، یعنی اعداد حقیقی کمتر یا مساوی -3 و بزرگ‌تر از 2.", + "روی محور عددی، بازه (-∞, -3] و (2, +∞) را به عنوان مکمل B نمایش می‌دهیم.", + "✅ جواب: مکمل B = (-∞, -3] ∪ (2, ∞)" + ] }, { "title": "تشخیص مجموعه مرجع", - "introText": "۱. مجموعه مرجع را مشخص کنید.\n۲. بررسی کنید که آیا مجموعه داده شده زیرمجموعه‌ای از مجموعه مرجع است.\n۳. در صورت نیاز، اعضای مجموعه مرجع را روی محور نمایش دهید." + "introText": "۱. مجموعه مرجع را مشخص کنید.\n۲. بررسی کنید که آیا مجموعه داده شده زیرمجموعه‌ای از مجموعه مرجع است.\n۳. در صورت نیاز، اعضای مجموعه مرجع را روی محور نمایش دهید.", + "example": "اگر مجموعه مرجع Z (اعداد صحیح) باشد، مکمل مجموعه A = {x ∈ Z | -3 < x ≤ 2} را مشخص کنید.", + "steps": [ + "مجموعه مرجع Z شامل همه اعداد صحیح است. مجموعه A شامل اعداد صحیح -2, -1, 0, 1, 2 است.", + "مکمل A نسبت به Z شامل همه اعداد صحیحی است که در A نیستند، یعنی همه اعداد صحیح به جز -2, -1, 0, 1, 2.", + "بنابراین A' = Z \\ A = {..., -5, -4, -3, 3, 4, 5, ...}.", + "✅ جواب: A' = {x ∈ Z | x ≤ -3 یا x ≥ 3}" + ] }, { "title": "عملیات روی مجموعه‌ها", @@ -8312,7 +10812,13 @@ }, { "title": "نمایش مجموعه‌ها و اعضای آن", - "introText": "۱. تعیین مجموعه مرجع.\n۲. مشخص کردن اعضای مجموعه‌ها.\n۳. نوشتن مجموعه‌ها به صورت لیست اعضا یا با استفاده از نمادگذاری ریاضی." + "introText": "۱. تعیین مجموعه مرجع.\n۲. مشخص کردن اعضای مجموعه‌ها.\n۳. نوشتن مجموعه‌ها به صورت لیست اعضا یا با استفاده از نمادگذاری ریاضی.", + "example": "مجموعه‌های A و B را به صورت بازه یا مجموعه اعضا بنویسید:nA = x ∈ Z | -3 < x ≤ 2nB = x ∈ R | -3 < x ≤ 2", + "steps": [ + "مجموعه A شامل اعداد صحیحی است که بزرگ‌تر از -3 و کوچکتر یا مساوی 2 باشند. اعضای آن عبارتند از: {-2, -1, 0, 1, 2}.", + "مجموعه B شامل اعداد حقیقی است که بزرگ‌تر از -3 و کوچکتر یا مساوی 2 باشند. به صورت بازه نوشته می‌شود: B = (-3, 2].", + "✅ جواب: A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = (-3, 2]" + ] }, { "title": "اجتماع مجموعه‌ها", @@ -8320,19 +10826,43 @@ }, { "title": "محاسبه تعداد اعضای اجتماع و اشتراک مجموعه‌ها", - "introText": "۱. تعداد اعضای هر مجموعه را مشخص کنید.\n۲. تعداد اعضای اشتراک مجموعه‌ها را تعیین کنید.\n۳. از رابطه n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) برای محاسبه تعداد اعضای اجتماع استفاده کنید.\n۴. در صورت نیاز، نمودار ون رسم کنید تا روابط بین مجموعه‌ها را بهتر درک کنید." + "introText": "۱. تعداد اعضای هر مجموعه را مشخص کنید.\n۲. تعداد اعضای اشتراک مجموعه‌ها را تعیین کنید.\n۳. از رابطه n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) برای محاسبه تعداد اعضای اجتماع استفاده کنید.\n۴. در صورت نیاز، نمودار ون رسم کنید تا روابط بین مجموعه‌ها را بهتر درک کنید.", + "example": "مجموعه‌های A و B را به صورت بازه یا مجموعه اعضا بنویسید:nA = x ∈ Z | -3 < x ≤ 2nB = x ∈ R | -3 < x ≤ 2", + "steps": [ + "مجموعه A شامل اعداد صحیحی است که بزرگ‌تر از -3 و کوچکتر یا مساوی 2 باشند. اعضای آن عبارتند از: {-2, -1, 0, 1, 2}.", + "مجموعه B شامل اعداد حقیقی است که بزرگ‌تر از -3 و کوچکتر یا مساوی 2 باشند. به صورت بازه نوشته می‌شود: B = (-3, 2].", + "✅ جواب: A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = (-3, 2]" + ] }, { "title": "محاسبه تعداد اعضای اجتماع مجموعه‌های بیشتر از دو مجموعه", - "introText": "۱. تعداد اعضای هر مجموعه را مشخص کنید.\n۲. تعداد اعضای اشتراک‌های دو به دو، سه به سه و بیشتر مجموعه‌ها را تعیین کنید.\n۳. از رابطه‌های مربوط به اجتماع مجموعه‌ها استفاده کنید:\n n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C)\n۴. در صورت نیاز، نمودار ون رسم کنید تا روابط بین مجموعه‌ها را بهتر درک کنید." + "introText": "۱. تعداد اعضای هر مجموعه را مشخص کنید.\n۲. تعداد اعضای اشتراک‌های دو به دو، سه به سه و بیشتر مجموعه‌ها را تعیین کنید.\n۳. از رابطه‌های مربوط به اجتماع مجموعه‌ها استفاده کنید:\n n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C)\n۴. در صورت نیاز، نمودار ون رسم کنید تا روابط بین مجموعه‌ها را بهتر درک کنید.", + "example": "مجموعه‌های A و B را به صورت بازه یا مجموعه اعضا بنویسید:nA = x ∈ Z | -3 < x ≤ 2nB = x ∈ R | -3 < x ≤ 2", + "steps": [ + "مجموعه A شامل اعداد صحیحی است که بزرگ‌تر از -3 و کوچکتر یا مساوی 2 باشند. اعضای آن عبارتند از: {-2, -1, 0, 1, 2}.", + "مجموعه B شامل اعداد حقیقی است که بزرگ‌تر از -3 و کوچکتر یا مساوی 2 باشند. به صورت بازه نوشته می‌شود: B = (-3, 2].", + "✅ جواب: A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = (-3, 2]" + ] }, { "title": "محاسبه تعداد اعضای مجموعه‌ها و اشتراک آنها", - "introText": "۱. نمودار ون را رسم کنید یا از نمودار داده‌شده استفاده کنید.\n۲. تعداد اعضای هر بخش را مشخص کنید.\n۳. از فرمول‌های مربوط به اشتراک و اجتماع مجموعه‌ها استفاده کنید:\n n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)\n۴. مقادیر را جایگذاری کرده و محاسبه کنید." + "introText": "۱. نمودار ون را رسم کنید یا از نمودار داده‌شده استفاده کنید.\n۲. تعداد اعضای هر بخش را مشخص کنید.\n۳. از فرمول‌های مربوط به اشتراک و اجتماع مجموعه‌ها استفاده کنید:\n n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)\n۴. مقادیر را جایگذاری کرده و محاسبه کنید.", + "example": "مجموعه‌های A و B را به صورت بازه یا مجموعه اعضا بنویسید:nA = x ∈ Z | -3 < x ≤ 2nB = x ∈ R | -3 < x ≤ 2", + "steps": [ + "مجموعه A شامل اعداد صحیحی است که بزرگ‌تر از -3 و کوچکتر یا مساوی 2 باشند. اعضای آن عبارتند از: {-2, -1, 0, 1, 2}.", + "مجموعه B شامل اعداد حقیقی است که بزرگ‌تر از -3 و کوچکتر یا مساوی 2 باشند. به صورت بازه نوشته می‌شود: B = (-3, 2].", + "✅ جواب: A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = (-3, 2]" + ] }, { "title": "محاسبه تعداد اعضای مجموعه‌ها و اشتراک آن‌ها", - "introText": "۱. اطلاعات داده‌شده را شناسایی کنید (n(A)، n(B)، n(A∩B)، n(A∪B)).\n۲. از فرمول n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) استفاده کنید.\n۳. مقادیر مجهول را با جایگذاری در فرمول محاسبه کنید." + "introText": "۱. اطلاعات داده‌شده را شناسایی کنید (n(A)، n(B)، n(A∩B)، n(A∪B)).\n۲. از فرمول n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) استفاده کنید.\n۳. مقادیر مجهول را با جایگذاری در فرمول محاسبه کنید.", + "example": "مجموعه‌های A و B را به صورت بازه یا مجموعه اعضا بنویسید:nA = x ∈ Z | -3 < x ≤ 2nB = x ∈ R | -3 < x ≤ 2", + "steps": [ + "مجموعه A شامل اعداد صحیحی است که بزرگ‌تر از -3 و کوچکتر یا مساوی 2 باشند. اعضای آن عبارتند از: {-2, -1, 0, 1, 2}.", + "مجموعه B شامل اعداد حقیقی است که بزرگ‌تر از -3 و کوچکتر یا مساوی 2 باشند. به صورت بازه نوشته می‌شود: B = (-3, 2].", + "✅ جواب: A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = (-3, 2]" + ] }, { "title": "محاسبه اعضای مشترک و غیرمشترک در گروه‌ها", @@ -8358,7 +10888,16 @@ }, { "title": "الگوی خطی", - "introText": "۱. بررسی کنید که اختلاف بین جملات متوالی ثابت است.\n۲. جمله عمومی را به صورت tₙ = an + b فرض کنید.\n۳. با استفاده از جملات مشخص، مقادیر a و b را بیابید.\n۴. رابطه عمومی را بنویسید و برای جملات دیگر استفاده کنید." + "introText": "۱. بررسی کنید که اختلاف بین جملات متوالی ثابت است.\n۲. جمله عمومی را به صورت tₙ = an + b فرض کنید.\n۳. با استفاده از جملات مشخص، مقادیر a و b را بیابید.\n۴. رابطه عمومی را بنویسید و برای جملات دیگر استفاده کنید.", + "example": "در یک الگوی خطی، جملات چهارم و دهم به ترتیب ۱۷ و ۴۱ می‌باشند. جمله عمومی الگو را بیابید.", + "steps": [ + "فرض کنیم جمله عمومی به صورت C_n = an + b باشد.", + "از داده‌ها داریم:", + "C_4 = 4a + b = 17", + "C₁₀ = 10a + b = 41", + "معادلات را از هم کم می‌کنیم:", + "(10a + b) - (4a + b) = 41 - 17 6a = 24 a = 4 جایگذاری a=4 در یکی از معادلات: 4*4 + b = 17 16 + b = 17 b = 1 بنابراین جمله عمومی الگو: C_n = 4n + 1 جملات الگو به صورت زیر خواهند بود: 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, ..." + ] }, { "title": "رسم و تکمیل جدول الگوهای خطی", @@ -8370,7 +10909,16 @@ }, { "title": "یافتن جمله عمومی دنباله", - "introText": "۱. الگوی داده شده را بررسی کنید.\n۲. رابطه بین شماره جمله و مقدار آن را پیدا کنید.\n۳. رابطه را به صورت یک فرمول ریاضی بنویسید.\n۴. مقدار n را در فرمول جایگذاری کنید تا مقدار جمله مورد نظر پیدا شود." + "introText": "۱. الگوی داده شده را بررسی کنید.\n۲. رابطه بین شماره جمله و مقدار آن را پیدا کنید.\n۳. رابطه را به صورت یک فرمول ریاضی بنویسید.\n۴. مقدار n را در فرمول جایگذاری کنید تا مقدار جمله مورد نظر پیدا شود.", + "example": "در یک الگوی خطی، جملات چهارم و دهم به ترتیب ۱۷ و ۴۱ می‌باشند. جمله عمومی الگو را بیابید.", + "steps": [ + "فرض کنیم جمله عمومی به صورت C_n = an + b باشد.", + "از داده‌ها داریم:", + "C_4 = 4a + b = 17", + "C₁₀ = 10a + b = 41", + "معادلات را از هم کم می‌کنیم:", + "(10a + b) - (4a + b) = 41 - 17 6a = 24 a = 4 جایگذاری a=4 در یکی از معادلات: 4*4 + b = 17 16 + b = 17 b = 1 بنابراین جمله عمومی الگو: C_n = 4n + 1 جملات الگو به صورت زیر خواهند بود: 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, ..." + ] }, { "title": "محاسبه مقدار جمله خاص در دنباله", @@ -8386,7 +10934,16 @@ }, { "title": "تشخیص الگو و نوشتن جمله عمومی", - "introText": "۱. الگو را با دقت مشاهده کنید و رابطه بین اعضای آن را پیدا کنید.\n۲. رابطه‌ای که بین اعضای الگو وجود دارد را به صورت یک فرمول ریاضی بنویسید.\n۳. فرمول را برای هر جمله از دنباله بررسی کنید تا صحت آن تأیید شود.\n۴. جمله عمومی دنباله را به صورت aₙ = f(n) بنویسید." + "introText": "۱. الگو را با دقت مشاهده کنید و رابطه بین اعضای آن را پیدا کنید.\n۲. رابطه‌ای که بین اعضای الگو وجود دارد را به صورت یک فرمول ریاضی بنویسید.\n۳. فرمول را برای هر جمله از دنباله بررسی کنید تا صحت آن تأیید شود.\n۴. جمله عمومی دنباله را به صورت aₙ = f(n) بنویسید.", + "example": "در یک الگوی خطی، جملات چهارم و دهم به ترتیب ۱۷ و ۴۱ می‌باشند. جمله عمومی الگو را بیابید.", + "steps": [ + "فرض کنیم جمله عمومی به صورت C_n = an + b باشد.", + "از داده‌ها داریم:", + "C_4 = 4a + b = 17", + "C₁₀ = 10a + b = 41", + "معادلات را از هم کم می‌کنیم:", + "(10a + b) - (4a + b) = 41 - 17 6a = 24 a = 4 جایگذاری a=4 در یکی از معادلات: 4*4 + b = 17 16 + b = 17 b = 1 بنابراین جمله عمومی الگو: C_n = 4n + 1 جملات الگو به صورت زیر خواهند بود: 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, ..." + ] }, { "title": "محاسبه تعداد اجزای الگو", @@ -8408,31 +10965,94 @@ }, { "title": "پیش‌بینی دنباله حسابی", - "introText": "۱. فرمول جمله عمومی دنباله حسابی را بنویسید: tₙ = t₁ + (n-1)d.\n۲. مقدار t₁ و d را از دنباله داده‌شده پیدا کنید.\n۳. مقدار n موردنظر را جایگذاری کنید و tₙ را محاسبه کنید.\n۴. نتیجه را به‌عنوان پیش‌بینی ارائه دهید." + "introText": "۱. فرمول جمله عمومی دنباله حسابی را بنویسید: tₙ = t₁ + (n-1)d.\n۲. مقدار t₁ و d را از دنباله داده‌شده پیدا کنید.\n۳. مقدار n موردنظر را جایگذاری کنید و tₙ را محاسبه کنید.\n۴. نتیجه را به‌عنوان پیش‌بینی ارائه دهید.", + "example": "در دنباله‌های زیر با مشخص کردن قدر نسبت، سه جمله بعدی را بنویسید و سپس جمله عمومی هر کدام را بدست آورید:\nالف) 5، 10، 15، 20، ...\nب) 1، 3، 5، 7، ...\nپ) 5، 9، 13، 17، ...\nت) 13، 7، 1، -5، ...", + "steps": [ + "الف) قدر نسبت d = 10 - 5 = 5", + "سه جمله بعدی: 25، 30، 35", + "جمله عمومی: t_n = 5 + (n-1)5 = 5n", + "ب) قدر نسبت d = 3 - 1 = 2", + "سه جمله بعدی: 9، 11، 13", + "✅ جواب: تمام بخش‌های راه‌حل کتاب درست است." + ] }, { "title": "هزینه تماس بر اساس دنباله حسابی", - "introText": "۱. مقدار جمله اول (a) و قدر نسبت (d) را مشخص کنید.\n۲. از فرمول جمله عمومی دنباله حسابی استفاده کنید: aₙ = a + (n-1)d.\n۳. مقدار n را جایگذاری کرده و هزینه تماس را محاسبه کنید.\n۴. جدول را با مقادیر محاسبه شده کامل کنید." + "introText": "۱. مقدار جمله اول (a) و قدر نسبت (d) را مشخص کنید.\n۲. از فرمول جمله عمومی دنباله حسابی استفاده کنید: aₙ = a + (n-1)d.\n۳. مقدار n را جایگذاری کرده و هزینه تماس را محاسبه کنید.\n۴. جدول را با مقادیر محاسبه شده کامل کنید.", + "example": "در دنباله‌های زیر با مشخص کردن قدر نسبت، سه جمله بعدی را بنویسید و سپس جمله عمومی هر کدام را بدست آورید:\nالف) 5، 10، 15، 20، ...\nب) 1، 3، 5، 7، ...\nپ) 5، 9، 13، 17، ...\nت) 13، 7، 1، -5، ...", + "steps": [ + "الف) قدر نسبت d = 10 - 5 = 5", + "سه جمله بعدی: 25، 30، 35", + "جمله عمومی: t_n = 5 + (n-1)5 = 5n", + "ب) قدر نسبت d = 3 - 1 = 2", + "سه جمله بعدی: 9، 11، 13", + "✅ جواب: تمام بخش‌های راه‌حل کتاب درست است." + ] }, { "title": "یافتن جمله عمومی دنباله حسابی", - "introText": "۱. مقدار جمله اول (t₁) و قدر نسبت (d) را مشخص کنید.\n۲. از فرمول tₙ = t₁ + (n-1)d استفاده کنید.\n۳. مقادیر داده‌شده را در فرمول جایگذاری کنید و tₙ را بیابید." + "introText": "۱. مقدار جمله اول (t₁) و قدر نسبت (d) را مشخص کنید.\n۲. از فرمول tₙ = t₁ + (n-1)d استفاده کنید.\n۳. مقادیر داده‌شده را در فرمول جایگذاری کنید و tₙ را بیابید.", + "example": "در دنباله‌های زیر با مشخص کردن قدر نسبت، سه جمله بعدی را بنویسید و سپس جمله عمومی هر کدام را بدست آورید:\nالف) 5، 10، 15، 20، ...\nب) 1، 3، 5، 7، ...\nپ) 5، 9، 13، 17، ...\nت) 13، 7، 1، -5، ...", + "steps": [ + "الف) قدر نسبت d = 10 - 5 = 5", + "سه جمله بعدی: 25، 30، 35", + "جمله عمومی: t_n = 5 + (n-1)5 = 5n", + "ب) قدر نسبت d = 3 - 1 = 2", + "سه جمله بعدی: 9، 11، 13", + "✅ جواب: تمام بخش‌های راه‌حل کتاب درست است." + ] }, { "title": "تشکیل دنباله حسابی با شرایط داده‌شده", - "introText": "۱. شرایط مسئله را بررسی کنید و جمله اول (t₁) و قدر نسبت (d) را تعیین کنید.\n۲. از فرمول tₙ = t₁ + (n-1)d استفاده کنید تا جملات دنباله را بیابید.\n۳. جملات دنباله را در جدول یا به‌صورت لیست بنویسید." + "introText": "۱. شرایط مسئله را بررسی کنید و جمله اول (t₁) و قدر نسبت (d) را تعیین کنید.\n۲. از فرمول tₙ = t₁ + (n-1)d استفاده کنید تا جملات دنباله را بیابید.\n۳. جملات دنباله را در جدول یا به‌صورت لیست بنویسید.", + "example": "در دنباله‌های زیر با مشخص کردن قدر نسبت، سه جمله بعدی را بنویسید و سپس جمله عمومی هر کدام را بدست آورید:\nالف) 5، 10، 15، 20، ...\nب) 1، 3، 5، 7، ...\nپ) 5، 9، 13، 17، ...\nت) 13، 7، 1، -5، ...", + "steps": [ + "الف) قدر نسبت d = 10 - 5 = 5", + "سه جمله بعدی: 25، 30، 35", + "جمله عمومی: t_n = 5 + (n-1)5 = 5n", + "ب) قدر نسبت d = 3 - 1 = 2", + "سه جمله بعدی: 9، 11، 13", + "✅ جواب: تمام بخش‌های راه‌حل کتاب درست است." + ] }, { "title": "تشخیص دنباله حسابی و تعیین قدر نسبت", - "introText": "۱. بررسی کنید که اختلاف بین جملات متوالی ثابت است یا خیر.\n۲. اگر اختلاف ثابت باشد، دنباله حسابی است و مقدار اختلاف همان قدر نسبت است.\n۳. برای یافتن جمله عمومی، از فرمول a_n = a_1 + (n-1)d استفاده کنید که در آن a_1 جمله اول و d قدر نسبت است.\n۴. برای یافتن جمله بعدی، مقدار قدر نسبت را به جمله قبلی اضافه کنید." + "introText": "۱. بررسی کنید که اختلاف بین جملات متوالی ثابت است یا خیر.\n۲. اگر اختلاف ثابت باشد، دنباله حسابی است و مقدار اختلاف همان قدر نسبت است.\n۳. برای یافتن جمله عمومی، از فرمول a_n = a_1 + (n-1)d استفاده کنید که در آن a_1 جمله اول و d قدر نسبت است.\n۴. برای یافتن جمله بعدی، مقدار قدر نسبت را به جمله قبلی اضافه کنید.", + "example": "در دنباله‌های زیر با مشخص کردن قدر نسبت، سه جمله بعدی را بنویسید و سپس جمله عمومی هر کدام را بدست آورید:\nالف) 5، 10، 15، 20، ...\nب) 1، 3، 5، 7، ...\nپ) 5، 9، 13، 17، ...\nت) 13، 7، 1، -5، ...", + "steps": [ + "الف) قدر نسبت d = 10 - 5 = 5", + "سه جمله بعدی: 25، 30، 35", + "جمله عمومی: t_n = 5 + (n-1)5 = 5n", + "ب) قدر نسبت d = 3 - 1 = 2", + "سه جمله بعدی: 9، 11، 13", + "✅ جواب: تمام بخش‌های راه‌حل کتاب درست است." + ] }, { "title": "یافتن واسطه حسابی", - "introText": "۱. برای یافتن واسطه حسابی بین دو عدد، میانگین آنها را محاسبه کنید.\n۲. فرمول میانگین: (a + b) / 2 که در آن a و b دو عدد داده شده هستند." + "introText": "۱. برای یافتن واسطه حسابی بین دو عدد، میانگین آنها را محاسبه کنید.\n۲. فرمول میانگین: (a + b) / 2 که در آن a و b دو عدد داده شده هستند.", + "example": "بین 18 و 62 سه عدد قرار دهید که پنج عدد حاصل تشکیل دنباله حسابی بدهند. با فرض اینکه 18 جمله اول باشد، قدر نسبت d را بیابید و جدول جملات را کامل کنید.", + "steps": [ + "فرمول جمله پنجم: t_5 = t_1 + 4d", + "62 = 18 + 4d", + "4d = 62 - 18 = 44", + "بنابراین d = 11", + "جملات دنباله:", + "✅ جواب: d=11, terms: 18,29,40,51,62" + ] }, { "title": "تشکیل دنباله حسابی از تقسیم یک مقدار", - "introText": "۱. مقدار کل را به تعداد مشخصی قسمت مساوی تقسیم کنید.\n۲. هر قسمت را به عنوان یک جمله از دنباله در نظر بگیرید.\n۳. جمله عمومی را با استفاده از فرمول دنباله حسابی تعیین کنید.\n۴. مجموع جملات را با استفاده از فرمول S_n = n/2 × (a_1 + a_n) محاسبه کنید." + "introText": "۱. مقدار کل را به تعداد مشخصی قسمت مساوی تقسیم کنید.\n۲. هر قسمت را به عنوان یک جمله از دنباله در نظر بگیرید.\n۳. جمله عمومی را با استفاده از فرمول دنباله حسابی تعیین کنید.\n۴. مجموع جملات را با استفاده از فرمول S_n = n/2 × (a_1 + a_n) محاسبه کنید.", + "example": "در دنباله‌های زیر با مشخص کردن قدر نسبت، سه جمله بعدی را بنویسید و سپس جمله عمومی هر کدام را بدست آورید:\nالف) 5، 10، 15، 20، ...\nب) 1، 3، 5، 7، ...\nپ) 5، 9، 13، 17، ...\nت) 13، 7، 1، -5، ...", + "steps": [ + "الف) قدر نسبت d = 10 - 5 = 5", + "سه جمله بعدی: 25، 30، 35", + "جمله عمومی: t_n = 5 + (n-1)5 = 5n", + "ب) قدر نسبت d = 3 - 1 = 2", + "سه جمله بعدی: 9، 11، 13", + "✅ جواب: تمام بخش‌های راه‌حل کتاب درست است." + ] }, { "title": "دنباله هندسی", @@ -8448,11 +11068,29 @@ }, { "title": "تشخیص نسبت دنباله‌های هندسی", - "introText": "۱. دنباله را بررسی کنید و نسبت بین هر دو جمله متوالی را محاسبه کنید.\n۲. اگر نسبت بین همه جملات یکسان باشد، دنباله هندسی است.\n۳. نسبت را مشخص کنید." + "introText": "۱. دنباله را بررسی کنید و نسبت بین هر دو جمله متوالی را محاسبه کنید.\n۲. اگر نسبت بین همه جملات یکسان باشد، دنباله هندسی است.\n۳. نسبت را مشخص کنید.", + "example": "در دنباله‌های زیر با مشخص کردن قدر نسبت، سه جمله بعدی را بنویسید و سپس جمله عمومی هر کدام را بدست آورید:\nالف) 5، 10، 15، 20، ...\nب) 1، 3، 5، 7، ...\nپ) 5، 9، 13، 17، ...\nت) 13، 7، 1، -5، ...", + "steps": [ + "الف) قدر نسبت d = 10 - 5 = 5", + "سه جمله بعدی: 25، 30، 35", + "جمله عمومی: t_n = 5 + (n-1)5 = 5n", + "ب) قدر نسبت d = 3 - 1 = 2", + "سه جمله بعدی: 9، 11، 13", + "✅ جواب: تمام بخش‌های راه‌حل کتاب درست است." + ] }, { "title": "محاسبه تعداد جملات دنباله هندسی", - "introText": "۱. فرمول دنباله هندسی را بنویسید: a_n = a_1 * r^(n-1).\n۲. مقدار a_1 و r را مشخص کنید.\n۳. مقدار n را با توجه به شرایط مسئله محاسبه کنید." + "introText": "۱. فرمول دنباله هندسی را بنویسید: a_n = a_1 * r^(n-1).\n۲. مقدار a_1 و r را مشخص کنید.\n۳. مقدار n را با توجه به شرایط مسئله محاسبه کنید.", + "example": "در دنباله‌های زیر با مشخص کردن قدر نسبت، سه جمله بعدی را بنویسید و سپس جمله عمومی هر کدام را بدست آورید:\nالف) 5، 10، 15، 20، ...\nب) 1، 3، 5، 7، ...\nپ) 5، 9، 13، 17، ...\nت) 13، 7، 1، -5، ...", + "steps": [ + "الف) قدر نسبت d = 10 - 5 = 5", + "سه جمله بعدی: 25، 30، 35", + "جمله عمومی: t_n = 5 + (n-1)5 = 5n", + "ب) قدر نسبت d = 3 - 1 = 2", + "سه جمله بعدی: 9، 11، 13", + "✅ جواب: تمام بخش‌های راه‌حل کتاب درست است." + ] }, { "title": "محاسبه تغییرات دنباله‌ها در مسائل کاربردی", @@ -8464,6 +11102,7 @@ }, { "title": "فصل ۲: مثلثات", + "blurb": "در این فصل: نسبت‌های مثلثاتی، دایرهٔ مثلثاتی و روابط بین نسبت‌های مثلثاتی.", "order": 2, "nodes": [ { @@ -8476,11 +11115,23 @@ }, { "title": "تناسب در مثلث‌های قائم‌الزاویه", - "introText": "۱. بررسی کنید که مثلث‌ها قائم‌الزاویه هستند.\n۲. روابط تناسب بین اضلاع مثلث‌های مشابه را بنویسید.\n۳. از روابط تناسب برای محاسبه طول ضلع یا نسبت مورد نظر استفاده کنید." + "introText": "۱. بررسی کنید که مثلث‌ها قائم‌الزاویه هستند.\n۲. روابط تناسب بین اضلاع مثلث‌های مشابه را بنویسید.\n۳. از روابط تناسب برای محاسبه طول ضلع یا نسبت مورد نظر استفاده کنید.", + "example": "در مثلث قائم‌الزاویه ABC که زاویه B قائمه است، اضلاع AB=3 و BC=5 داده شده است. مقدار tan A و cot A را بیابید.", + "steps": [ + "tan A = BC / AB = 5 / 3", + "cot A = AB / BC = 3 / 5", + "✅ جواب: tan A = 5/3, cot A = 3/5" + ] }, { "title": "محاسبه تانژانت و کتانژانت زاویه در مثلث قائم‌الزاویه", - "introText": "۱. زاویه مورد نظر را در مثلث قائم‌الزاویه مشخص کنید.\n۲. تانژانت زاویه را به صورت نسبت طول ضلع مقابل به ضلع مجاور بنویسید.\n۳. کتانژانت زاویه را به صورت نسبت طول ضلع مجاور به ضلع مقابل بنویسید.\n۴. مقادیر را جایگذاری کرده و محاسبه کنید." + "introText": "۱. زاویه مورد نظر را در مثلث قائم‌الزاویه مشخص کنید.\n۲. تانژانت زاویه را به صورت نسبت طول ضلع مقابل به ضلع مجاور بنویسید.\n۳. کتانژانت زاویه را به صورت نسبت طول ضلع مجاور به ضلع مقابل بنویسید.\n۴. مقادیر را جایگذاری کرده و محاسبه کنید.", + "example": "در مثلث قائم‌الزاویه ABC که زاویه B قائمه است، اضلاع AB=3 و BC=5 داده شده است. مقدار tan A و cot A را بیابید.", + "steps": [ + "tan A = BC / AB = 5 / 3", + "cot A = AB / BC = 3 / 5", + "✅ جواب: tan A = 5/3, cot A = 3/5" + ] }, { "title": "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی در مثلث قائم‌الزاویه", @@ -8488,19 +11139,43 @@ }, { "title": "محاسبه طول اضلاع مثلث با استفاده از نسبت‌های مثلثاتی", - "introText": "۱. شناسایی زاویه و اضلاع معلوم در مثلث. \n۲. انتخاب نسبت مثلثاتی مناسب (تانژانت، کوتانژانت، سینوس یا کسینوس) بر اساس داده‌ها. \n۳. جایگذاری مقادیر معلوم در رابطه و حل معادله برای یافتن طول ضلع مجهول." + "introText": "۱. شناسایی زاویه و اضلاع معلوم در مثلث. \n۲. انتخاب نسبت مثلثاتی مناسب (تانژانت، کوتانژانت، سینوس یا کسینوس) بر اساس داده‌ها. \n۳. جایگذاری مقادیر معلوم در رابطه و حل معادله برای یافتن طول ضلع مجهول.", + "example": "در مثلث قائم‌الزاویه ABC که زاویه B قائمه است، اضلاع AB=3 و BC=5 داده شده است. مقدار tan A و cot A را بیابید.", + "steps": [ + "tan A = BC / AB = 5 / 3", + "cot A = AB / BC = 3 / 5", + "✅ جواب: tan A = 5/3, cot A = 3/5" + ] }, { "title": "محاسبه زاویه با استفاده از نسبت‌های مثلثاتی", - "introText": "۱. شناسایی اضلاع معلوم در مثلث. \n۲. انتخاب نسبت مثلثاتی مناسب بر اساس داده‌ها. \n۳. استفاده از معکوس نسبت‌های مثلثاتی (مانند arcsin، arccos، arctan) برای محاسبه زاویه. \n۴. محاسبه زاویه با جایگذاری مقادیر معلوم." + "introText": "۱. شناسایی اضلاع معلوم در مثلث. \n۲. انتخاب نسبت مثلثاتی مناسب بر اساس داده‌ها. \n۳. استفاده از معکوس نسبت‌های مثلثاتی (مانند arcsin، arccos، arctan) برای محاسبه زاویه. \n۴. محاسبه زاویه با جایگذاری مقادیر معلوم.", + "example": "در مثلث قائم‌الزاویه ABC که زاویه B قائمه است، اضلاع AB=3 و BC=5 داده شده است. مقدار tan A و cot A را بیابید.", + "steps": [ + "tan A = BC / AB = 5 / 3", + "cot A = AB / BC = 3 / 5", + "✅ جواب: tan A = 5/3, cot A = 3/5" + ] }, { "title": "تکمیل جدول نسبت‌های مثلثاتی زوایای خاص", - "introText": "۱. شناسایی زوایای خاص (۳۰°، ۴۵°، ۶۰°).\n۲. استفاده از مقادیر استاندارد نسبت‌های مثلثاتی برای این زوایا:\n - sin ۳۰° = ۱/۲، cos ۳۰° = √۳/۲، tan ۳۰° = ۱/√۳، cot ۳۰° = √۳\n - sin ۴۵° = ۱/√۲، cos ۴۵° = ۱/√۲، tan ۴۵° = ۱، cot ۴۵° = ۱\n - sin ۶۰° = √۳/۲، cos ۶۰° = ۱/۲، tan ۶۰° = √۳، cot ۶۰° = ۱/√۳\n۳. جایگذاری مقادیر در جدول و تکمیل آن." + "introText": "۱. شناسایی زوایای خاص (۳۰°، ۴۵°، ۶۰°).\n۲. استفاده از مقادیر استاندارد نسبت‌های مثلثاتی برای این زوایا:\n - sin ۳۰° = ۱/۲، cos ۳۰° = √۳/۲، tan ۳۰° = ۱/√۳، cot ۳۰° = √۳\n - sin ۴۵° = ۱/√۲، cos ۴۵° = ۱/√۲، tan ۴۵° = ۱، cot ۴۵° = ۱\n - sin ۶۰° = √۳/۲، cos ۶۰° = ۱/۲، tan ۶۰° = √۳، cot ۶۰° = ۱/√۳\n۳. جایگذاری مقادیر در جدول و تکمیل آن.", + "example": "در مثلث قائم‌الزاویه ABC که زاویه B قائمه است، اضلاع AB=3 و BC=5 داده شده است. مقدار tan A و cot A را بیابید.", + "steps": [ + "tan A = BC / AB = 5 / 3", + "cot A = AB / BC = 3 / 5", + "✅ جواب: tan A = 5/3, cot A = 3/5" + ] }, { "title": "محاسبه طول ضلع در مثلث قائم‌الزاویه با استفاده از نسبت‌های مثلثاتی", - "introText": "۱. یک مدل ریاضی برای مسئله رسم کنید.\n۲. از نسبت‌های مثلثاتی (سینوس، کسینوس، تانژانت) استفاده کنید.\n۳. مقدار مجهول را با توجه به داده‌های مسئله محاسبه کنید." + "introText": "۱. یک مدل ریاضی برای مسئله رسم کنید.\n۲. از نسبت‌های مثلثاتی (سینوس، کسینوس، تانژانت) استفاده کنید.\n۳. مقدار مجهول را با توجه به داده‌های مسئله محاسبه کنید.", + "example": "در مثلث قائم‌الزاویه ABC که زاویه B قائمه است، اضلاع AB=3 و BC=5 داده شده است. مقدار tan A و cot A را بیابید.", + "steps": [ + "tan A = BC / AB = 5 / 3", + "cot A = AB / BC = 3 / 5", + "✅ جواب: tan A = 5/3, cot A = 3/5" + ] }, { "title": "محاسبه مساحت مثلث با استفاده از ارتفاع و قاعده", @@ -8508,11 +11183,25 @@ }, { "title": "محاسبه مساحت مثلث با استفاده از دو ضلع و زاویه بین آن‌ها", - "introText": "۱. از فرمول مساحت مثلث استفاده کنید: ۱/۲ × AB × BC × sin زاویه.\n۲. مقادیر داده‌شده را جایگذاری کنید و مساحت را محاسبه کنید." + "introText": "۱. از فرمول مساحت مثلث استفاده کنید: ۱/۲ × AB × BC × sin زاویه.\n۲. مقادیر داده‌شده را جایگذاری کنید و مساحت را محاسبه کنید.", + "example": "در مثلث قائم‌الزاویه ABC که زاویه B قائمه است، اضلاع AB=3 و BC=5 داده شده است. مقدار tan A و cot A را بیابید.", + "steps": [ + "tan A = BC / AB = 5 / 3", + "cot A = AB / BC = 3 / 5", + "✅ جواب: tan A = 5/3, cot A = 3/5" + ] }, { "title": "محاسبه طول ضلع با استفاده از سینوس زاویه", - "introText": "۱. زاویه داده شده را مشخص کنید.\n۲. نسبت سینوس زاویه را بنویسید: sin(زاویه) = مقابل / وتر.\n۳. مقدار سینوس زاویه را از جدول یا ماشین حساب پیدا کنید.\n۴. معادله را برای یافتن طول ضلع مجهول حل کنید." + "introText": "۱. زاویه داده شده را مشخص کنید.\n۲. نسبت سینوس زاویه را بنویسید: sin(زاویه) = مقابل / وتر.\n۳. مقدار سینوس زاویه را از جدول یا ماشین حساب پیدا کنید.\n۴. معادله را برای یافتن طول ضلع مجهول حل کنید.", + "example": "مثلث متساوی‌الاضلاع ABC با طول هر ضلع 2 واحد است. نقطه M روی ضلع BC طوری است که AM نیمساز زاویه A است. با توجه به خواص مثلث متساوی‌الساقین، BM و MC را بیابید. سپس با استفاده از رابطه فیثاغورس طول AM را محاسبه کنید و نسبت‌های tan 30° = BM / AM و tan 60° = AM / BM را بدست آورید.", + "steps": [ + "چون مثلث متساوی‌الاضلاع است، BM = MC = 1", + "در مثلث قائم‌الزاویه AMB، با استفاده از فیثاغورس: AM = √(AB² - BM²) = √(2² - 1²) = √3", + "tan 30° = BM / AM = 1 / √3", + "tan 60° = AM / BM = √3 / 1", + "✅ جواب: BM=1، MC=1، AM=√3، tan30°=1/√3، tan60°=√3" + ] }, { "title": "محاسبه ارتفاع با استفاده از تانژانت زاویه", @@ -8520,7 +11209,15 @@ }, { "title": "محاسبه طول ضلع با استفاده از رابطه فیثاغورس", - "introText": "۱. مشخص کنید که کدام دو ضلع داده شده‌اند.\n۲. رابطه فیثاغورس را بنویسید: وتر² = ضلع۱² + ضلع۲².\n۳. مقدار ضلع مجهول را با جایگذاری مقادیر داده شده پیدا کنید." + "introText": "۱. مشخص کنید که کدام دو ضلع داده شده‌اند.\n۲. رابطه فیثاغورس را بنویسید: وتر² = ضلع۱² + ضلع۲².\n۳. مقدار ضلع مجهول را با جایگذاری مقادیر داده شده پیدا کنید.", + "example": "مثلث متساوی‌الاضلاع ABC با طول هر ضلع 2 واحد است. نقطه M روی ضلع BC طوری است که AM نیمساز زاویه A است. با توجه به خواص مثلث متساوی‌الساقین، BM و MC را بیابید. سپس با استفاده از رابطه فیثاغورس طول AM را محاسبه کنید و نسبت‌های tan 30° = BM / AM و tan 60° = AM / BM را بدست آورید.", + "steps": [ + "چون مثلث متساوی‌الاضلاع است، BM = MC = 1", + "در مثلث قائم‌الزاویه AMB، با استفاده از فیثاغورس: AM = √(AB² - BM²) = √(2² - 1²) = √3", + "tan 30° = BM / AM = 1 / √3", + "tan 60° = AM / BM = √3 / 1", + "✅ جواب: BM=1، MC=1، AM=√3، tan30°=1/√3، tan60°=√3" + ] }, { "title": "محاسبه مساحت چندضلعی منتظم", @@ -8532,11 +11229,23 @@ }, { "title": "محاسبه مساحت مثلث با استفاده از سینوس زاویه", - "introText": "۱. طول دو ضلع و زاویه بین آن‌ها را مشخص کنید.\n۲. از فرمول مساحت مثلث استفاده کنید: مساحت = (۱/۲) × ضلع اول × ضلع دوم × sin(زاویه)." + "introText": "۱. طول دو ضلع و زاویه بین آن‌ها را مشخص کنید.\n۲. از فرمول مساحت مثلث استفاده کنید: مساحت = (۱/۲) × ضلع اول × ضلع دوم × sin(زاویه).", + "example": "در مثلث قائم‌الزاویه ABC که زاویه B قائمه است، اضلاع AB=3 و BC=5 داده شده است. مقدار tan A و cot A را بیابید.", + "steps": [ + "tan A = BC / AB = 5 / 3", + "cot A = AB / BC = 3 / 5", + "✅ جواب: tan A = 5/3, cot A = 3/5" + ] }, { "title": "محاسبه مساحت مثلث با استفاده از طول اضلاع و زاویه", - "introText": "۱. طول سه ضلع و زاویه بین دو ضلع را مشخص کنید.\n۲. از فرمول مساحت مثلث استفاده کنید: مساحت = (۱/۲) × ضلع اول × ضلع دوم × sin(زاویه)." + "introText": "۱. طول سه ضلع و زاویه بین دو ضلع را مشخص کنید.\n۲. از فرمول مساحت مثلث استفاده کنید: مساحت = (۱/۲) × ضلع اول × ضلع دوم × sin(زاویه).", + "example": "در مثلث قائم‌الزاویه ABC که زاویه B قائمه است، اضلاع AB=3 و BC=5 داده شده است. مقدار tan A و cot A را بیابید.", + "steps": [ + "tan A = BC / AB = 5 / 3", + "cot A = AB / BC = 3 / 5", + "✅ جواب: tan A = 5/3, cot A = 3/5" + ] } ] }, @@ -8546,23 +11255,68 @@ "lessons": [ { "title": "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زاویه", - "introText": "۱. نقطه P(x, y) را روی دایره مثلثاتی مشخص کنید.\n۲. زاویه θ را با توجه به موقعیت نقطه P و محور x تعیین کنید.\n۳. نسبت‌های مثلثاتی را با استفاده از فرمول‌های زیر محاسبه کنید:\n - cosθ = x/r\n - sinθ = y/r\n - tanθ = y/x" + "introText": "۱. نقطه P(x, y) را روی دایره مثلثاتی مشخص کنید.\n۲. زاویه θ را با توجه به موقعیت نقطه P و محور x تعیین کنید.\n۳. نسبت‌های مثلثاتی را با استفاده از فرمول‌های زیر محاسبه کنید:\n - cosθ = x/r\n - sinθ = y/r\n - tanθ = y/x", + "example": "فرض کنید نقطه P(x,y) دلخواهی روی دایره مثلثاتی واحد باشد و θ زاویه‌ای است که نیم‌خط OP با محور Ox می‌سازد. نسبت‌های مثلثاتی زاویه θ را در مثلث OPQ به دست آورید.", + "steps": [ + "در مثلث قائم‌الزاویه OPQ:", + "ضلع OQ روی محور x است و طول آن برابر x است.", + "ضلع PQ عمود بر محور x است و طول آن برابر y است.", + "وتر OP برابر شعاع دایره است که 1 می‌باشد.", + "بنابراین:", + "✅ جواب: cosθ=x، sinθ=y و tanθ=y/x درست است. تعریف نسبت‌های مثلثاتی در دایره واحد همین را می‌دهد." + ] }, { "title": "محاسبه مختصات نقطه روی دایره مثلثاتی", - "introText": "۱. زاویه داده شده را مشخص کنید.\n۲. با توجه به دایره مثلثاتی، مختصات نقطه متناظر با زاویه را پیدا کنید.\n۳. از روابط سینوس و کسینوس برای تعیین مختصات استفاده کنید." + "introText": "۱. زاویه داده شده را مشخص کنید.\n۲. با توجه به دایره مثلثاتی، مختصات نقطه متناظر با زاویه را پیدا کنید.\n۳. از روابط سینوس و کسینوس برای تعیین مختصات استفاده کنید.", + "example": "فرض کنید نقطه P(x,y) دلخواهی روی دایره مثلثاتی واحد باشد و θ زاویه‌ای است که نیم‌خط OP با محور Ox می‌سازد. نسبت‌های مثلثاتی زاویه θ را در مثلث OPQ به دست آورید.", + "steps": [ + "در مثلث قائم‌الزاویه OPQ:", + "ضلع OQ روی محور x است و طول آن برابر x است.", + "ضلع PQ عمود بر محور x است و طول آن برابر y است.", + "وتر OP برابر شعاع دایره است که 1 می‌باشد.", + "بنابراین:", + "✅ جواب: cosθ=x، sinθ=y و tanθ=y/x درست است. تعریف نسبت‌های مثلثاتی در دایره واحد همین را می‌دهد." + ] }, { "title": "تعیین ربع زاویه روی دایره مثلثاتی", - "introText": "۱. زاویه داده شده را بررسی کنید.\n۲. مقدار زاویه را با توجه به دایره مثلثاتی در یکی از چهار ربع مشخص کنید.\n۳. تعیین کنید که زاویه در کدام ربع قرار دارد." + "introText": "۱. زاویه داده شده را بررسی کنید.\n۲. مقدار زاویه را با توجه به دایره مثلثاتی در یکی از چهار ربع مشخص کنید.\n۳. تعیین کنید که زاویه در کدام ربع قرار دارد.", + "example": "فرض کنید نقطه P(x,y) دلخواهی روی دایره مثلثاتی واحد باشد و θ زاویه‌ای است که نیم‌خط OP با محور Ox می‌سازد. نسبت‌های مثلثاتی زاویه θ را در مثلث OPQ به دست آورید.", + "steps": [ + "در مثلث قائم‌الزاویه OPQ:", + "ضلع OQ روی محور x است و طول آن برابر x است.", + "ضلع PQ عمود بر محور x است و طول آن برابر y است.", + "وتر OP برابر شعاع دایره است که 1 می‌باشد.", + "بنابراین:", + "✅ جواب: cosθ=x، sinθ=y و tanθ=y/x درست است. تعریف نسبت‌های مثلثاتی در دایره واحد همین را می‌دهد." + ] }, { "title": "تعیین نسبت‌های مثلثاتی زاویه", - "introText": "۱. زاویه داده شده را مشخص کنید.\n۲. با توجه به دایره مثلثاتی، مختصات نقطه متناظر با زاویه را پیدا کنید.\n۳. از روابط نسبت‌های مثلثاتی برای محاسبه سینوس، کسینوس، تانژانت و کوتانژانت استفاده کنید." + "introText": "۱. زاویه داده شده را مشخص کنید.\n۲. با توجه به دایره مثلثاتی، مختصات نقطه متناظر با زاویه را پیدا کنید.\n۳. از روابط نسبت‌های مثلثاتی برای محاسبه سینوس، کسینوس، تانژانت و کوتانژانت استفاده کنید.", + "example": "فرض کنید نقطه P(x,y) دلخواهی روی دایره مثلثاتی واحد باشد و θ زاویه‌ای است که نیم‌خط OP با محور Ox می‌سازد. نسبت‌های مثلثاتی زاویه θ را در مثلث OPQ به دست آورید.", + "steps": [ + "در مثلث قائم‌الزاویه OPQ:", + "ضلع OQ روی محور x است و طول آن برابر x است.", + "ضلع PQ عمود بر محور x است و طول آن برابر y است.", + "وتر OP برابر شعاع دایره است که 1 می‌باشد.", + "بنابراین:", + "✅ جواب: cosθ=x، sinθ=y و tanθ=y/x درست است. تعریف نسبت‌های مثلثاتی در دایره واحد همین را می‌دهد." + ] }, { "title": "یافتن نسبت‌های مثلثاتی زاویه در دایره مثلثاتی", - "introText": "۱. زاویه داده‌شده را در دایره مثلثاتی مشخص کنید.\n۲. مختصات نقطه متناظر با زاویه را پیدا کنید.\n۳. نسبت‌های مثلثاتی (sin، cos، tan، cot) را با استفاده از مختصات نقطه محاسبه کنید." + "introText": "۱. زاویه داده‌شده را در دایره مثلثاتی مشخص کنید.\n۲. مختصات نقطه متناظر با زاویه را پیدا کنید.\n۳. نسبت‌های مثلثاتی (sin، cos، tan، cot) را با استفاده از مختصات نقطه محاسبه کنید.", + "example": "فرض کنید نقطه P(x,y) دلخواهی روی دایره مثلثاتی واحد باشد و θ زاویه‌ای است که نیم‌خط OP با محور Ox می‌سازد. نسبت‌های مثلثاتی زاویه θ را در مثلث OPQ به دست آورید.", + "steps": [ + "در مثلث قائم‌الزاویه OPQ:", + "ضلع OQ روی محور x است و طول آن برابر x است.", + "ضلع PQ عمود بر محور x است و طول آن برابر y است.", + "وتر OP برابر شعاع دایره است که 1 می‌باشد.", + "بنابراین:", + "✅ جواب: cosθ=x، sinθ=y و tanθ=y/x درست است. تعریف نسبت‌های مثلثاتی در دایره واحد همین را می‌دهد." + ] }, { "title": "تعیین علامت نسبت‌های مثلثاتی در ربع‌های مختلف دایره مثلثاتی", @@ -8570,11 +11324,29 @@ }, { "title": "تعیین نسبت‌های مثلثاتی از مختصات نقطه", - "introText": "۱. مختصات نقطه P را به صورت (x, y) مشخص کنید.\n۲. از روابط مثلثاتی استفاده کنید:\n - sinθ = y\n - cosθ = x\n - tanθ = y/x\n - cotθ = x/y." + "introText": "۱. مختصات نقطه P را به صورت (x, y) مشخص کنید.\n۲. از روابط مثلثاتی استفاده کنید:\n - sinθ = y\n - cosθ = x\n - tanθ = y/x\n - cotθ = x/y.", + "example": "فرض کنید نقطه P(x,y) دلخواهی روی دایره مثلثاتی واحد باشد و θ زاویه‌ای است که نیم‌خط OP با محور Ox می‌سازد. نسبت‌های مثلثاتی زاویه θ را در مثلث OPQ به دست آورید.", + "steps": [ + "در مثلث قائم‌الزاویه OPQ:", + "ضلع OQ روی محور x است و طول آن برابر x است.", + "ضلع PQ عمود بر محور x است و طول آن برابر y است.", + "وتر OP برابر شعاع دایره است که 1 می‌باشد.", + "بنابراین:", + "✅ جواب: cosθ=x، sinθ=y و tanθ=y/x درست است. تعریف نسبت‌های مثلثاتی در دایره واحد همین را می‌دهد." + ] }, { "title": "بررسی علامت نسبت‌های مثلثاتی در نواحی مختلف", - "introText": "۱. زاویه θ را مشخص کنید.\n۲. ناحیه‌ای که زاویه در آن قرار دارد را تعیین کنید.\n۳. علامت نسبت‌های مثلثاتی را بر اساس ناحیه مشخص کنید:\n - ناحیه اول: همه مثبت.\n - ناحیه دوم: سینوس مثبت.\n - ناحیه سوم: تانژانت مثبت.\n - ناحیه چهارم: کسینوس مثبت." + "introText": "۱. زاویه θ را مشخص کنید.\n۲. ناحیه‌ای که زاویه در آن قرار دارد را تعیین کنید.\n۳. علامت نسبت‌های مثلثاتی را بر اساس ناحیه مشخص کنید:\n - ناحیه اول: همه مثبت.\n - ناحیه دوم: سینوس مثبت.\n - ناحیه سوم: تانژانت مثبت.\n - ناحیه چهارم: کسینوس مثبت.", + "example": "فرض کنید نقطه P(x,y) دلخواهی روی دایره مثلثاتی واحد باشد و θ زاویه‌ای است که نیم‌خط OP با محور Ox می‌سازد. نسبت‌های مثلثاتی زاویه θ را در مثلث OPQ به دست آورید.", + "steps": [ + "در مثلث قائم‌الزاویه OPQ:", + "ضلع OQ روی محور x است و طول آن برابر x است.", + "ضلع PQ عمود بر محور x است و طول آن برابر y است.", + "وتر OP برابر شعاع دایره است که 1 می‌باشد.", + "بنابراین:", + "✅ جواب: cosθ=x، sinθ=y و tanθ=y/x درست است. تعریف نسبت‌های مثلثاتی در دایره واحد همین را می‌دهد." + ] }, { "title": "محاسبه شیب خط و ارتباط آن با تانژانت زاویه", @@ -8586,19 +11358,55 @@ }, { "title": "تعیین ربع زاویه در دایره مثلثاتی", - "introText": "۱. زاویه داده شده را به بازه [۰، ۳۶۰] درجه تبدیل کنید (در صورت منفی بودن، ۳۶۰ را اضافه کنید).\n۲. بررسی کنید که زاویه در کدام ربع دایره مثلثاتی قرار می‌گیرد:\n - ۰° ≤ زاویه < ۹۰°: ربع اول\n - ۹۰° ≤ زاویه < ۱۸۰°: ربع دوم\n - ۱۸۰° ≤ زاویه < ۲۷۰°: ربع سوم\n - ۲۷۰° ≤ زاویه < ۳۶۰°: ربع چهارم" + "introText": "۱. زاویه داده شده را به بازه [۰، ۳۶۰] درجه تبدیل کنید (در صورت منفی بودن، ۳۶۰ را اضافه کنید).\n۲. بررسی کنید که زاویه در کدام ربع دایره مثلثاتی قرار می‌گیرد:\n - ۰° ≤ زاویه < ۹۰°: ربع اول\n - ۹۰° ≤ زاویه < ۱۸۰°: ربع دوم\n - ۱۸۰° ≤ زاویه < ۲۷۰°: ربع سوم\n - ۲۷۰° ≤ زاویه < ۳۶۰°: ربع چهارم", + "example": "فرض کنید نقطه P(x,y) دلخواهی روی دایره مثلثاتی واحد باشد و θ زاویه‌ای است که نیم‌خط OP با محور Ox می‌سازد. نسبت‌های مثلثاتی زاویه θ را در مثلث OPQ به دست آورید.", + "steps": [ + "در مثلث قائم‌الزاویه OPQ:", + "ضلع OQ روی محور x است و طول آن برابر x است.", + "ضلع PQ عمود بر محور x است و طول آن برابر y است.", + "وتر OP برابر شعاع دایره است که 1 می‌باشد.", + "بنابراین:", + "✅ جواب: cosθ=x، sinθ=y و tanθ=y/x درست است. تعریف نسبت‌های مثلثاتی در دایره واحد همین را می‌دهد." + ] }, { "title": "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی", - "introText": "۱. زاویه مورد نظر را مشخص کنید.\n۲. نسبت مثلثاتی خواسته‌شده (سینوس، کسینوس، تانژانت، یا کتانژانت) را تعیین کنید.\n۳. از تعریف نسبت‌های مثلثاتی استفاده کنید: \n - سینوس: نسبت ضلع مقابل به وتر\n - کسینوس: نسبت ضلع مجاور به وتر\n - تانژانت: نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور\n - کتانژانت: نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل\n۴. مقادیر را جایگذاری کرده و محاسبه کنید." + "introText": "۱. زاویه مورد نظر را مشخص کنید.\n۲. نسبت مثلثاتی خواسته‌شده (سینوس، کسینوس، تانژانت، یا کتانژانت) را تعیین کنید.\n۳. از تعریف نسبت‌های مثلثاتی استفاده کنید: \n - سینوس: نسبت ضلع مقابل به وتر\n - کسینوس: نسبت ضلع مجاور به وتر\n - تانژانت: نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور\n - کتانژانت: نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل\n۴. مقادیر را جایگذاری کرده و محاسبه کنید.", + "example": "فرض کنید نقطه P(x,y) دلخواهی روی دایره مثلثاتی واحد باشد و θ زاویه‌ای است که نیم‌خط OP با محور Ox می‌سازد. نسبت‌های مثلثاتی زاویه θ را در مثلث OPQ به دست آورید.", + "steps": [ + "در مثلث قائم‌الزاویه OPQ:", + "ضلع OQ روی محور x است و طول آن برابر x است.", + "ضلع PQ عمود بر محور x است و طول آن برابر y است.", + "وتر OP برابر شعاع دایره است که 1 می‌باشد.", + "بنابراین:", + "✅ جواب: cosθ=x، sinθ=y و tanθ=y/x درست است. تعریف نسبت‌های مثلثاتی در دایره واحد همین را می‌دهد." + ] }, { "title": "تعیین علامت نسبت‌های مثلثاتی", - "introText": "۱. ربع زاویه را مشخص کنید.\n۲. علامت نسبت‌های مثلثاتی در هر ربع را به یاد آورید:\n - ربع اول: همه مثبت\n - ربع دوم: سینوس مثبت\n - ربع سوم: تانژانت مثبت\n - ربع چهارم: کسینوس مثبت\n۳. علامت نسبت مثلثاتی خواسته‌شده را تعیین کنید." + "introText": "۱. ربع زاویه را مشخص کنید.\n۲. علامت نسبت‌های مثلثاتی در هر ربع را به یاد آورید:\n - ربع اول: همه مثبت\n - ربع دوم: سینوس مثبت\n - ربع سوم: تانژانت مثبت\n - ربع چهارم: کسینوس مثبت\n۳. علامت نسبت مثلثاتی خواسته‌شده را تعیین کنید.", + "example": "فرض کنید نقطه P(x,y) دلخواهی روی دایره مثلثاتی واحد باشد و θ زاویه‌ای است که نیم‌خط OP با محور Ox می‌سازد. نسبت‌های مثلثاتی زاویه θ را در مثلث OPQ به دست آورید.", + "steps": [ + "در مثلث قائم‌الزاویه OPQ:", + "ضلع OQ روی محور x است و طول آن برابر x است.", + "ضلع PQ عمود بر محور x است و طول آن برابر y است.", + "وتر OP برابر شعاع دایره است که 1 می‌باشد.", + "بنابراین:", + "✅ جواب: cosθ=x، sinθ=y و tanθ=y/x درست است. تعریف نسبت‌های مثلثاتی در دایره واحد همین را می‌دهد." + ] }, { "title": "تعیین حالات نسبت‌های مثلثاتی", - "introText": "۱. زاویه مورد نظر را مشخص کنید.\n۲. از تعریف نسبت‌های مثلثاتی استفاده کنید.\n۳. حالات مختلف (مثبت یا منفی بودن) نسبت‌ها را بر اساس ربع زاویه تعیین کنید." + "introText": "۱. زاویه مورد نظر را مشخص کنید.\n۲. از تعریف نسبت‌های مثلثاتی استفاده کنید.\n۳. حالات مختلف (مثبت یا منفی بودن) نسبت‌ها را بر اساس ربع زاویه تعیین کنید.", + "example": "فرض کنید نقطه P(x,y) دلخواهی روی دایره مثلثاتی واحد باشد و θ زاویه‌ای است که نیم‌خط OP با محور Ox می‌سازد. نسبت‌های مثلثاتی زاویه θ را در مثلث OPQ به دست آورید.", + "steps": [ + "در مثلث قائم‌الزاویه OPQ:", + "ضلع OQ روی محور x است و طول آن برابر x است.", + "ضلع PQ عمود بر محور x است و طول آن برابر y است.", + "وتر OP برابر شعاع دایره است که 1 می‌باشد.", + "بنابراین:", + "✅ جواب: cosθ=x، sinθ=y و tanθ=y/x درست است. تعریف نسبت‌های مثلثاتی در دایره واحد همین را می‌دهد." + ] } ] }, @@ -8608,11 +11416,29 @@ "lessons": [ { "title": "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی", - "introText": "۱. مثلث مورد نظر را مشخص کنید.\n۲. زوایا و اضلاع مثلث را شناسایی کنید.\n۳. از تعاریف نسبت‌های مثلثاتی (سینوس، کسینوس، تانژانت، کوتانژانت) استفاده کنید:\n - sinα = مقابل/وتر\n - cosα = مجاور/وتر\n - tanα = مقابل/مجاور\n - cotα = مجاور/مقابل\n۴. مقادیر را جایگذاری کرده و نسبت‌ها را محاسبه کنید." + "introText": "۱. مثلث مورد نظر را مشخص کنید.\n۲. زوایا و اضلاع مثلث را شناسایی کنید.\n۳. از تعاریف نسبت‌های مثلثاتی (سینوس، کسینوس، تانژانت، کوتانژانت) استفاده کنید:\n - sinα = مقابل/وتر\n - cosα = مجاور/وتر\n - tanα = مقابل/مجاور\n - cotα = مجاور/مقابل\n۴. مقادیر را جایگذاری کرده و نسبت‌ها را محاسبه کنید.", + "example": "اگر α زاویه‌ای در ناحیه سوم مثلثاتی باشد و sinα = -4/5، مقدار tanα، cosα و cotα را به دست آورید.", + "steps": [ + "با توجه به اینکه α در ناحیه سوم است، cosα منفی است.", + "از رابطه sin²α + cos²α = 1 داریم:", + "cosα = -√(1 - sin²α) = -√(1 - (-4/5)²) = -√(1 - 16/25) = -√(9/25) = -3/5", + "حال tanα = sinα / cosα = (-4/5) / (-3/5) = 4/3", + "و cotα = 1 / tanα = 3/4", + "✅ جواب: cosα = -3/5, tanα = 4/3, cotα = 3/4" + ] }, { "title": "بررسی رابطه بین سینوس و کسینوس", - "introText": "۱. از هویت مثلثاتی sin²θ + cos²θ = ۱ استفاده کنید.\n۲. مقادیر داده‌شده برای سینوس یا کسینوس را جایگذاری کنید.\n۳. مقدار مجهول را با استفاده از جبر محاسبه کنید." + "introText": "۱. از هویت مثلثاتی sin²θ + cos²θ = ۱ استفاده کنید.\n۲. مقادیر داده‌شده برای سینوس یا کسینوس را جایگذاری کنید.\n۳. مقدار مجهول را با استفاده از جبر محاسبه کنید.", + "example": "با استفاده از رابطه sin²α + cos²α = 1، نشان دهید که tan²α + 1 = 1 / cos²α و 1 + cot²α = 1 / sin²α.", + "steps": [ + "از رابطه sin²α + cos²α = 1 شروع می‌کنیم.", + "طرفین را بر cos²α تقسیم می‌کنیم:", + "(sin²α / cos²α) + (cos²α / cos²α) = 1 / cos²α", + "که می‌شود:", + "tan²α + 1 = 1 / cos²α", + "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است." + ] }, { "title": "حل معادلات مثلثاتی", @@ -8620,7 +11446,16 @@ }, { "title": "تعیین علامت نسبت‌های مثلثاتی", - "introText": "۱. تعیین ربع زاویه.\n۲. استفاده از علامت‌های استاندارد نسبت‌های مثلثاتی در هر ربع." + "introText": "۱. تعیین ربع زاویه.\n۲. استفاده از علامت‌های استاندارد نسبت‌های مثلثاتی در هر ربع.", + "example": "اگر α زاویه‌ای در ناحیه سوم مثلثاتی باشد و sinα = -4/5، مقدار tanα، cosα و cotα را به دست آورید.", + "steps": [ + "با توجه به اینکه α در ناحیه سوم است، cosα منفی است.", + "از رابطه sin²α + cos²α = 1 داریم:", + "cosα = -√(1 - sin²α) = -√(1 - (-4/5)²) = -√(1 - 16/25) = -√(9/25) = -3/5", + "حال tanα = sinα / cosα = (-4/5) / (-3/5) = 4/3", + "و cotα = 1 / tanα = 3/4", + "✅ جواب: cosα = -3/5, tanα = 4/3, cotα = 3/4" + ] }, { "title": "اتحاد مثلثاتی", @@ -8640,6 +11475,7 @@ }, { "title": "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", + "blurb": "در این فصل: ریشه و توان، ریشهٔ nام، توان‌های گویا و عبارت‌های جبری.", "order": 3, "nodes": [ { @@ -8648,7 +11484,14 @@ "lessons": [ { "title": "محاسبه ریشه و توان", - "introText": "برای محاسبه ریشه و توان، ابتدا عدد را به صورت رادیکال یا توان نمایش دهید. سپس با استفاده از قوانین ریشه و توان، محاسبات را انجام دهید." + "introText": "برای محاسبه ریشه و توان، ابتدا عدد را به صورت رادیکال یا توان نمایش دهید. سپس با استفاده از قوانین ریشه و توان، محاسبات را انجام دهید.", + "example": "با هر تساوی توانی یک تساوی رادیکالی یکسان تعریف کردیم: 2⁴ = 16 و (-2)⁴ = 16. آیا 16 ریشه چهارم دارد؟ آیا عددی منفی یا مثبت وجود دارد که وقتی به توان 4 برسد، برابر 16 شود؟ اکنون عبارت را کامل کنید.", + "steps": [ + "هر عدد مثبت دارای دو ریشه چهارم است که یکی مثبت و دیگری منفی است.", + "عدد 16 ریشه چهارم مثبت 2 و ریشه چهارم منفی -2 دارد.", + "عددهای منفی ریشه چهارم ندارند چون توان چهارم عدد منفی نمی‌تواند مثبت شود.", + "✅ جواب: 16 دو ریشه چهارم دارد: 2 و -2." + ] }, { "title": "محاسبه حجم مکعب", @@ -8656,11 +11499,27 @@ }, { "title": "مقایسه ریشه‌ها", - "introText": "برای مقایسه ریشه‌ها، ابتدا مقدار تقریبی هر ریشه را محاسبه کرده و سپس آن‌ها را روی محور اعداد نمایش می‌دهیم. با استفاده از مقدار تقریبی، می‌توانیم ریشه‌ها را با یکدیگر مقایسه کنیم." + "introText": "برای مقایسه ریشه‌ها، ابتدا مقدار تقریبی هر ریشه را محاسبه کرده و سپس آن‌ها را روی محور اعداد نمایش می‌دهیم. با استفاده از مقدار تقریبی، می‌توانیم ریشه‌ها را با یکدیگر مقایسه کنیم.", + "example": "مانند نمونه با استدلال مشخص کنید که هر ریشه بین کدام دو عدد صحیح متوالی است:\nالف) چون ۳۶ < ۳۰³ پس ۲۵ < ۳۰³\nب) همچنین چون ۸ < ۵³ پس ۱ < ۲³\nج) پس ۱ < ریشه سوم ۲۵ < ۲\nد) ۰ < ریشه سوم ۷ < ۱\nه) ۲ < ریشه سوم ۲۷ < ۳\nو) ۹ < ریشه سوم ۱۰۰۰ < ۱۰", + "steps": [ + "ابتدا ریشه‌های داده شده را به صورت تقریبی محاسبه می‌کنیم:", + "ریشه سوم ۲۵ بین ۲ و ۳ است چون ۲³=8 و ۳³=۲۷ و ۲۵ بین این دو است.", + "ریشه سوم ۷ بین ۱ و ۲ است چون ۱³=1 و ۲³=8 و ۷ بین این دو است.", + "ریشه سوم ۲۷ برابر ۳ است.", + "ریشه سوم ۱۰۰۰ برابر ۱۰ است.", + "✅ جواب: ریشه سوم ۲۵ بین ۲ و ۳، ریشه سوم ۷ بین ۱ و ۲، ریشه سوم ۲۷=۳، ریشه سوم ۱۰۰۰=۱۰" + ] }, { "title": "محاسبه ریشه‌های گویا", - "introText": "۱. عدد مورد نظر را به صورت توان گویا بنویسید.\n۲. محاسبه کنید که عدد به چه صورت روی محور اعداد قرار می‌گیرد.\n۳. مقدار دقیق یا تقریبی ریشه را محاسبه کنید." + "introText": "۱. عدد مورد نظر را به صورت توان گویا بنویسید.\n۲. محاسبه کنید که عدد به چه صورت روی محور اعداد قرار می‌گیرد.\n۳. مقدار دقیق یا تقریبی ریشه را محاسبه کنید.", + "example": "با هر تساوی توانی یک تساوی رادیکالی یکسان تعریف کردیم: 2⁴ = 16 و (-2)⁴ = 16. آیا 16 ریشه چهارم دارد؟ آیا عددی منفی یا مثبت وجود دارد که وقتی به توان 4 برسد، برابر 16 شود؟ اکنون عبارت را کامل کنید.", + "steps": [ + "هر عدد مثبت دارای دو ریشه چهارم است که یکی مثبت و دیگری منفی است.", + "عدد 16 ریشه چهارم مثبت 2 و ریشه چهارم منفی -2 دارد.", + "عددهای منفی ریشه چهارم ندارند چون توان چهارم عدد منفی نمی‌تواند مثبت شود.", + "✅ جواب: 16 دو ریشه چهارم دارد: 2 و -2." + ] }, { "title": "مقایسه حجم مکعب‌ها", @@ -8668,15 +11527,38 @@ }, { "title": "تکمیل جدول ریشه‌های عددی", - "introText": "برای تکمیل جدول ریشه‌های عددی، ابتدا عدد داده شده را بررسی کنید و سپس ریشه مورد نظر را محاسبه کنید. اگر عدد مثبت باشد، ریشه پنجم آن مثبت خواهد بود و اگر عدد منفی باشد، ریشه پنجم آن منفی خواهد بود." + "introText": "برای تکمیل جدول ریشه‌های عددی، ابتدا عدد داده شده را بررسی کنید و سپس ریشه مورد نظر را محاسبه کنید. اگر عدد مثبت باشد، ریشه پنجم آن مثبت خواهد بود و اگر عدد منفی باشد، ریشه پنجم آن منفی خواهد بود.", + "example": "با هر تساوی توانی یک تساوی رادیکالی یکسان تعریف کردیم: 2⁴ = 16 و (-2)⁴ = 16. آیا 16 ریشه چهارم دارد؟ آیا عددی منفی یا مثبت وجود دارد که وقتی به توان 4 برسد، برابر 16 شود؟ اکنون عبارت را کامل کنید.", + "steps": [ + "هر عدد مثبت دارای دو ریشه چهارم است که یکی مثبت و دیگری منفی است.", + "عدد 16 ریشه چهارم مثبت 2 و ریشه چهارم منفی -2 دارد.", + "عددهای منفی ریشه چهارم ندارند چون توان چهارم عدد منفی نمی‌تواند مثبت شود.", + "✅ جواب: 16 دو ریشه چهارم دارد: 2 و -2." + ] }, { "title": "محاسبه ریشه‌های عددی", - "introText": "برای محاسبه ریشه پنجم عددی، ابتدا عدد را به صورت توان پنجم بنویسید و سپس ریشه پنجم آن را محاسبه کنید. اگر عدد مثبت باشد، ریشه پنجم آن مثبت خواهد بود و اگر عدد منفی باشد، ریشه پنجم آن منفی خواهد بود." + "introText": "برای محاسبه ریشه پنجم عددی، ابتدا عدد را به صورت توان پنجم بنویسید و سپس ریشه پنجم آن را محاسبه کنید. اگر عدد مثبت باشد، ریشه پنجم آن مثبت خواهد بود و اگر عدد منفی باشد، ریشه پنجم آن منفی خواهد بود.", + "example": "با هر تساوی توانی یک تساوی رادیکالی یکسان تعریف کردیم: 2⁴ = 16 و (-2)⁴ = 16. آیا 16 ریشه چهارم دارد؟ آیا عددی منفی یا مثبت وجود دارد که وقتی به توان 4 برسد، برابر 16 شود؟ اکنون عبارت را کامل کنید.", + "steps": [ + "هر عدد مثبت دارای دو ریشه چهارم است که یکی مثبت و دیگری منفی است.", + "عدد 16 ریشه چهارم مثبت 2 و ریشه چهارم منفی -2 دارد.", + "عددهای منفی ریشه چهارم ندارند چون توان چهارم عدد منفی نمی‌تواند مثبت شود.", + "✅ جواب: 16 دو ریشه چهارم دارد: 2 و -2." + ] }, { "title": "تعیین عدد صحیح از رادیکال", - "introText": "برای تعیین اینکه آیا عدد حاصل از رادیکال یک عدد صحیح است، ابتدا عدد زیر رادیکال را بررسی کنید. اگر عدد زیر رادیکال یک مربع کامل باشد، جواب یک عدد صحیح خواهد بود." + "introText": "برای تعیین اینکه آیا عدد حاصل از رادیکال یک عدد صحیح است، ابتدا عدد زیر رادیکال را بررسی کنید. اگر عدد زیر رادیکال یک مربع کامل باشد، جواب یک عدد صحیح خواهد بود.", + "example": "مانند نمونه با استدلال مشخص کنید که هر ریشه بین کدام دو عدد صحیح متوالی است:\nالف) چون ۳۶ < ۳۰³ پس ۲۵ < ۳۰³\nب) همچنین چون ۸ < ۵³ پس ۱ < ۲³\nج) پس ۱ < ریشه سوم ۲۵ < ۲\nد) ۰ < ریشه سوم ۷ < ۱\nه) ۲ < ریشه سوم ۲۷ < ۳\nو) ۹ < ریشه سوم ۱۰۰۰ < ۱۰", + "steps": [ + "ابتدا ریشه‌های داده شده را به صورت تقریبی محاسبه می‌کنیم:", + "ریشه سوم ۲۵ بین ۲ و ۳ است چون ۲³=8 و ۳³=۲۷ و ۲۵ بین این دو است.", + "ریشه سوم ۷ بین ۱ و ۲ است چون ۱³=1 و ۲³=8 و ۷ بین این دو است.", + "ریشه سوم ۲۷ برابر ۳ است.", + "ریشه سوم ۱۰۰۰ برابر ۱۰ است.", + "✅ جواب: ریشه سوم ۲۵ بین ۲ و ۳، ریشه سوم ۷ بین ۱ و ۲، ریشه سوم ۲۷=۳، ریشه سوم ۱۰۰۰=۱۰" + ] }, { "title": "تعیین مقدار تقریبی اعداد", @@ -8684,11 +11566,29 @@ }, { "title": "رسم نقاط متناظر روی محور", - "introText": "نقاط مشخص شده روی محور بالا را به نقاط مشخص شده روی محور پایین که متناظر با ریشه سوم آن است وصل کنید." + "introText": "نقاط مشخص شده روی محور بالا را به نقاط مشخص شده روی محور پایین که متناظر با ریشه سوم آن است وصل کنید.", + "example": "مانند نمونه با استدلال مشخص کنید که هر ریشه بین کدام دو عدد صحیح متوالی است:\nالف) چون ۳۶ < ۳۰³ پس ۲۵ < ۳۰³\nب) همچنین چون ۸ < ۵³ پس ۱ < ۲³\nج) پس ۱ < ریشه سوم ۲۵ < ۲\nد) ۰ < ریشه سوم ۷ < ۱\nه) ۲ < ریشه سوم ۲۷ < ۳\nو) ۹ < ریشه سوم ۱۰۰۰ < ۱۰", + "steps": [ + "ابتدا ریشه‌های داده شده را به صورت تقریبی محاسبه می‌کنیم:", + "ریشه سوم ۲۵ بین ۲ و ۳ است چون ۲³=8 و ۳³=۲۷ و ۲۵ بین این دو است.", + "ریشه سوم ۷ بین ۱ و ۲ است چون ۱³=1 و ۲³=8 و ۷ بین این دو است.", + "ریشه سوم ۲۷ برابر ۳ است.", + "ریشه سوم ۱۰۰۰ برابر ۱۰ است.", + "✅ جواب: ریشه سوم ۲۵ بین ۲ و ۳، ریشه سوم ۷ بین ۱ و ۲، ریشه سوم ۲۷=۳، ریشه سوم ۱۰۰۰=۱۰" + ] }, { "title": "درک ریشه سوم اعداد", - "introText": "برای درک ریشه سوم اعداد، نقاط روی محور بالا را به ریشه‌های سوم، چهارم و پنجم خود وصل کنید و مشخص کنید هر رنگ مربوط به کدام ریشه است." + "introText": "برای درک ریشه سوم اعداد، نقاط روی محور بالا را به ریشه‌های سوم، چهارم و پنجم خود وصل کنید و مشخص کنید هر رنگ مربوط به کدام ریشه است.", + "example": "مانند نمونه با استدلال مشخص کنید که هر ریشه بین کدام دو عدد صحیح متوالی است:\nالف) چون ۳۶ < ۳۰³ پس ۲۵ < ۳۰³\nب) همچنین چون ۸ < ۵³ پس ۱ < ۲³\nج) پس ۱ < ریشه سوم ۲۵ < ۲\nد) ۰ < ریشه سوم ۷ < ۱\nه) ۲ < ریشه سوم ۲۷ < ۳\nو) ۹ < ریشه سوم ۱۰۰۰ < ۱۰", + "steps": [ + "ابتدا ریشه‌های داده شده را به صورت تقریبی محاسبه می‌کنیم:", + "ریشه سوم ۲۵ بین ۲ و ۳ است چون ۲³=8 و ۳³=۲۷ و ۲۵ بین این دو است.", + "ریشه سوم ۷ بین ۱ و ۲ است چون ۱³=1 و ۲³=8 و ۷ بین این دو است.", + "ریشه سوم ۲۷ برابر ۳ است.", + "ریشه سوم ۱۰۰۰ برابر ۱۰ است.", + "✅ جواب: ریشه سوم ۲۵ بین ۲ و ۳، ریشه سوم ۷ بین ۱ و ۲، ریشه سوم ۲۷=۳، ریشه سوم ۱۰۰۰=۱۰" + ] }, { "title": "جای‌گذاری اعداد در عبارات", @@ -8696,7 +11596,14 @@ }, { "title": "مقایسه اعداد با توان", - "introText": "۱. اعداد را به صورت توان‌های مشابه بنویسید. ۲. مقایسه کنید و علامت مناسب را قرار دهید." + "introText": "۱. اعداد را به صورت توان‌های مشابه بنویسید. ۲. مقایسه کنید و علامت مناسب را قرار دهید.", + "example": "با هر تساوی توانی یک تساوی رادیکالی یکسان تعریف کردیم: 2⁴ = 16 و (-2)⁴ = 16. آیا 16 ریشه چهارم دارد؟ آیا عددی منفی یا مثبت وجود دارد که وقتی به توان 4 برسد، برابر 16 شود؟ اکنون عبارت را کامل کنید.", + "steps": [ + "هر عدد مثبت دارای دو ریشه چهارم است که یکی مثبت و دیگری منفی است.", + "عدد 16 ریشه چهارم مثبت 2 و ریشه چهارم منفی -2 دارد.", + "عددهای منفی ریشه چهارم ندارند چون توان چهارم عدد منفی نمی‌تواند مثبت شود.", + "✅ جواب: 16 دو ریشه چهارم دارد: 2 و -2." + ] } ] }, @@ -8706,7 +11613,16 @@ "lessons": [ { "title": "ریشه‌های عدد", - "introText": "برای یافتن ریشه‌های عدد، ابتدا عدد را به صورت توان‌های مختلف بررسی کنید. سپس ریشه‌های مثبت و منفی را مشخص کنید و جدول مربوطه را تکمیل نمایید." + "introText": "برای یافتن ریشه‌های عدد، ابتدا عدد را به صورت توان‌های مختلف بررسی کنید. سپس ریشه‌های مثبت و منفی را مشخص کنید و جدول مربوطه را تکمیل نمایید.", + "example": "آیا برابری ⁿ√a + ⁿ√b = ⁿ√(a + b) برقرار است؟ n را برابر 3 و a و b را مقادیر عددی جایگزین کنید.", + "steps": [ + "فرض کنیم n=3، a=4 و b=3.", + "ابتدا ⁿ√a = ³√4 و ⁿ√b = ³√3 را محاسبه می‌کنیم.", + "سپس جمع آنها را حساب می‌کنیم: ³√4 + ³√3.", + "همچنین ³√(4+3) = ³√7 را محاسبه می‌کنیم.", + "چون ³√4 + ³√3 ≠ ³√7، پس برابری برقرار نیست.", + "✅ جواب: برابری برقرار نیست؛ ³√4 + ³√3 ≠ ³√7" + ] }, { "title": "محاسبه ریشه‌های گویا", @@ -8722,11 +11638,26 @@ }, { "title": "مقایسه توان‌های گویا", - "introText": "۱. توان‌های اعداد را محاسبه کنید. ۲. نتایج را با هم مقایسه کنید. ۳. علامت مناسب را انتخاب کنید." + "introText": "۱. توان‌های اعداد را محاسبه کنید. ۲. نتایج را با هم مقایسه کنید. ۳. علامت مناسب را انتخاب کنید.", + "example": "الف) یکی از علامت‌های > یا < یا = را در جای □ قرار دهید: 4³ □ 4⁴", + "steps": [ + "برای مقایسه 4³ و 4⁴ چون پایه‌ها برابر است، توان‌ها را مقایسه می‌کنیم: 3 < 4 پس 4³ < 4⁴.", + "بنابراین علامت مناسب < است.", + "✅ جواب: 4³ < 4⁴" + ] }, { "title": "تعیین تساوی توان‌های گویا", - "introText": "۱. مقدار a و n را تعیین کنید. ۲. بررسی کنید که آیا a^n و (a^n)^(1/n) برابر هستند." + "introText": "۱. مقدار a و n را تعیین کنید. ۲. بررسی کنید که آیا a^n و (a^n)^(1/n) برابر هستند.", + "example": "تساوی زیر به ازای چه مقادیری از a و n برقرار نیست؟ n√(a^n) = (n√a)^n", + "steps": [ + "اگر a ≥ 0 باشد، طبق جدول n√(a^n) = a.", + "همچنین (n√a)^n = a.", + "پس تساوی برقرار است.", + "اگر a < 0 و n زوج باشد، n√(a^n) تعریف نشده است ولی (n√a)^n ممکن است تعریف شده باشد.", + "بنابراین تساوی برقرار نیست.", + "✅ جواب: برای a<0 و n زوج، تساوی برقرار نیست." + ] }, { "title": "ساده‌سازی عبارت‌های رادیکالی", @@ -8770,7 +11701,16 @@ "lessons": [ { "title": "اتحادهای جبری", - "introText": "برای حل اتحادهای جبری، ابتدا باید اتحاد مورد نظر را شناسایی کنید. سپس با استفاده از قوانین جبری، عبارت را ساده‌سازی کنید. در نهایت، با جایگذاری مقادیر عددی، مقدار نهایی را محاسبه کنید." + "introText": "برای حل اتحادهای جبری، ابتدا باید اتحاد مورد نظر را شناسایی کنید. سپس با استفاده از قوانین جبری، عبارت را ساده‌سازی کنید. در نهایت، با جایگذاری مقادیر عددی، مقدار نهایی را محاسبه کنید.", + "example": "در اتحاد a³ + 1 = (a+1)(a² - a + 1) قرار دهید a = (∛(x³))⁽1/3) و حاصل را بازنویسی کنید.", + "steps": [ + "جایگذاری a = (∛(x³))⁽1/3)", + "طبق اتحاد داریم:", + "a³ + 1 = (a + 1)(a² - a + 1)", + "با جایگذاری مقدار a در هر جمله، عبارت را بازنویسی می‌کنیم.", + "نتیجه نهایی عبارت بازنویسی شده و تجزیه شده است.", + "✅ جواب: x+1 = (∛x+1)(∛(x²)-∛x+1)" + ] }, { "title": "اتحاد مربع تفاضل", @@ -8782,7 +11722,16 @@ }, { "title": "تجزیه عبارت‌های جبری", - "introText": "۱. شناسایی فاکتور مشترک. ۲. استفاده از فرمول‌های تجزیه. ۳. نوشتن عبارت به صورت ضرب عوامل." + "introText": "۱. شناسایی فاکتور مشترک. ۲. استفاده از فرمول‌های تجزیه. ۳. نوشتن عبارت به صورت ضرب عوامل.", + "example": "عبارت 8x³ - 27 را به صورت ضرب دو عبارت تجزیه کنید.", + "steps": [ + "توجه کنید که 8x³ = (2x)³ و 27 = 3³ است.", + "از فرمول اتحاد مکعب تفاضل استفاده می‌کنیم: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)", + "a = 2x و b = 3 را جایگذاری می‌کنیم:", + "8x³ - 27 = (2x)³ - 3³ = (2x - 3)((2x)² + 2x*3 + 3²)", + "توان‌ها و ضرب‌ها را محاسبه می‌کنیم:", + "= (2x - 3)(4x² + 6x + 9) بنابراین تجزیه عبارت 8x³ - 27 برابر است با (2x - 3)(4x² + 6x + 9)." + ] }, { "title": "شناسایی مضرب‌های مشترک", @@ -8794,7 +11743,16 @@ }, { "title": "اتحادها", - "introText": "۱. شناسایی نوع اتحاد.\n۲. استفاده از فرمول اتحاد برای تجزیه عبارت.\n۳. نوشتن عبارت ساده شده." + "introText": "۱. شناسایی نوع اتحاد.\n۲. استفاده از فرمول اتحاد برای تجزیه عبارت.\n۳. نوشتن عبارت ساده شده.", + "example": "عبارت ۲x² + ۳x + ۱ را تجزیه کنید.", + "steps": [ + "گام اول: عبارت را به صورت جمع چند جمله‌ای بنویسیم:", + "۲x² + ۳x + ۱ = x² + ۲x + ۱ + x² + x", + "گام دوم: گروه‌بندی کنیم:", + "= (x + 1)² + x(x + 1)", + "گام سوم: عامل مشترک (x + 1) را بگیریم:", + "= (x + 1)(x + 1 + x) = (x + 1)(2x + 1)" + ] }, { "title": "گویا کردن مخرج کسرها", @@ -8822,11 +11780,29 @@ }, { "title": "محاسبه حاصل عبارت", - "introText": "برای محاسبه حاصل عبارت، ابتدا عبارت را ساده کنید و سپس مقدار آن را به‌دست آورید." + "introText": "برای محاسبه حاصل عبارت، ابتدا عبارت را ساده کنید و سپس مقدار آن را به‌دست آورید.", + "example": "در اتحاد a³ + 1 = (a+1)(a² - a + 1) قرار دهید a = (∛(x³))⁽1/3) و حاصل را بازنویسی کنید.", + "steps": [ + "جایگذاری a = (∛(x³))⁽1/3)", + "طبق اتحاد داریم:", + "a³ + 1 = (a + 1)(a² - a + 1)", + "با جایگذاری مقدار a در هر جمله، عبارت را بازنویسی می‌کنیم.", + "نتیجه نهایی عبارت بازنویسی شده و تجزیه شده است.", + "✅ جواب: x+1 = (∛x+1)(∛(x²)-∛x+1)" + ] }, { "title": "محاسبه توان‌های گویا", - "introText": "برای محاسبه توان‌های گویا، ابتدا پایه را به توان صورت کسر رسانده و سپس ریشه مخرج کسر را محاسبه کنید." + "introText": "برای محاسبه توان‌های گویا، ابتدا پایه را به توان صورت کسر رسانده و سپس ریشه مخرج کسر را محاسبه کنید.", + "example": "در اتحاد a³ + 1 = (a+1)(a² - a + 1) قرار دهید a = (∛(x³))⁽1/3) و حاصل را بازنویسی کنید.", + "steps": [ + "جایگذاری a = (∛(x³))⁽1/3)", + "طبق اتحاد داریم:", + "a³ + 1 = (a + 1)(a² - a + 1)", + "با جایگذاری مقدار a در هر جمله، عبارت را بازنویسی می‌کنیم.", + "نتیجه نهایی عبارت بازنویسی شده و تجزیه شده است.", + "✅ جواب: x+1 = (∛x+1)(∛(x²)-∛x+1)" + ] }, { "title": "مثلث خیام و بسط دو جمله‌ای", @@ -8838,6 +11814,7 @@ }, { "title": "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", + "blurb": "در این فصل: معادلهٔ درجه دوم و روش‌های مختلف حل آن، سهمی و تعیین علامت.", "order": 4, "nodes": [ { @@ -8846,7 +11823,16 @@ "lessons": [ { "title": "معادله درجه دوم", - "introText": "۱. معادله را به صورت ax^2 + bx + c = 0 بنویسید.\n۲. از روش‌های مختلف مانند تجزیه، مربع کامل یا فرمول کلی برای حل استفاده کنید.\n۳. ریشه‌های معادله را پیدا کنید." + "introText": "۱. معادله را به صورت ax^2 + bx + c = 0 بنویسید.\n۲. از روش‌های مختلف مانند تجزیه، مربع کامل یا فرمول کلی برای حل استفاده کنید.\n۳. ریشه‌های معادله را پیدا کنید.", + "example": "معادله درجه دوم x² - 2x - 3 = 0 را به روش تجزیه حل کنید.", + "steps": [ + "معادله را به صورت حاصل‌ضرب دو عبارت بنویسید: (x + 1)(x - 3) = 0", + "طبق ویژگی حاصل ضرب صفر، داریم:", + "x + 1 = 0 یا x - 3 = 0", + "حل معادلات درجه اول:", + "x = -1 یا x = 3", + "صحت جواب‌ها را بررسی می‌کنیم: برای x = -1: (-1)² - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 (صحیح) برای x = 3: 3² - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0 (صحیح) بنابراین جواب‌های معادله x = -1 و x = 3 هستند." + ] }, { "title": "حل معادله درجه دوم به روش تجزیه", @@ -8866,11 +11852,29 @@ }, { "title": "حل معادله درجه دوم", - "introText": "۱. معادله را به صورت ax^2 + bx + c = 0 بنویسید.\n۲. دو طرف معادله را بر a تقسیم کنید.\n۳. به دو طرف معادله (b/2a)^2 را اضافه کنید.\n۴. دو طرف معادله را به صورت مربع کامل بنویسید.\n۵. دو طرف معادله را ساده کنید و به صورت (x + b/2a)^2 = Δ/4a^2 بنویسید.\n۶. با استفاده از فرمول x = -b ± √Δ / 2a ریشه‌ها را پیدا کنید." + "introText": "۱. معادله را به صورت ax^2 + bx + c = 0 بنویسید.\n۲. دو طرف معادله را بر a تقسیم کنید.\n۳. به دو طرف معادله (b/2a)^2 را اضافه کنید.\n۴. دو طرف معادله را به صورت مربع کامل بنویسید.\n۵. دو طرف معادله را ساده کنید و به صورت (x + b/2a)^2 = Δ/4a^2 بنویسید.\n۶. با استفاده از فرمول x = -b ± √Δ / 2a ریشه‌ها را پیدا کنید.", + "example": "معادله درجه دوم x² - 2x - 3 = 0 را به روش تجزیه حل کنید.", + "steps": [ + "معادله را به صورت حاصل‌ضرب دو عبارت بنویسید: (x + 1)(x - 3) = 0", + "طبق ویژگی حاصل ضرب صفر، داریم:", + "x + 1 = 0 یا x - 3 = 0", + "حل معادلات درجه اول:", + "x = -1 یا x = 3", + "صحت جواب‌ها را بررسی می‌کنیم: برای x = -1: (-1)² - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 (صحیح) برای x = 3: 3² - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0 (صحیح) بنابراین جواب‌های معادله x = -1 و x = 3 هستند." + ] }, { "title": "تجزیه معادله درجه دوم", - "introText": "۱. معادله را به صورت ax^2 + bx + c = 0 بنویسید.\n۲. به دنبال دو عدد باشید که حاصل‌ضربشان برابر ac و مجموعشان برابر b باشد.\n۳. معادله را به صورت دو عبارت خطی تجزیه کنید.\n۴. ریشه‌ها را پیدا کنید." + "introText": "۱. معادله را به صورت ax^2 + bx + c = 0 بنویسید.\n۲. به دنبال دو عدد باشید که حاصل‌ضربشان برابر ac و مجموعشان برابر b باشد.\n۳. معادله را به صورت دو عبارت خطی تجزیه کنید.\n۴. ریشه‌ها را پیدا کنید.", + "example": "معادله درجه دوم x² - 2x - 3 = 0 را به روش تجزیه حل کنید.", + "steps": [ + "معادله را به صورت حاصل‌ضرب دو عبارت بنویسید: (x + 1)(x - 3) = 0", + "طبق ویژگی حاصل ضرب صفر، داریم:", + "x + 1 = 0 یا x - 3 = 0", + "حل معادلات درجه اول:", + "x = -1 یا x = 3", + "صحت جواب‌ها را بررسی می‌کنیم: برای x = -1: (-1)² - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 (صحیح) برای x = 3: 3² - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0 (صحیح) بنابراین جواب‌های معادله x = -1 و x = 3 هستند." + ] }, { "title": "حل معادله رادیکالی", @@ -8896,15 +11900,42 @@ }, { "title": "محاسبه رأس سهمی", - "introText": "۱. معادله سهمی را به صورت y = ax^2 + bx + c بنویسید.\n۲. مختصات رأس را با استفاده از فرمول x = -b/(2a) پیدا کنید.\n۳. مقدار y را با جایگذاری x در معادله اصلی پیدا کنید." + "introText": "۱. معادله سهمی را به صورت y = ax^2 + bx + c بنویسید.\n۲. مختصات رأس را با استفاده از فرمول x = -b/(2a) پیدا کنید.\n۳. مقدار y را با جایگذاری x در معادله اصلی پیدا کنید.", + "example": "سهمی y = -2x² + 4x - 3 را رسم کنید. در این سهمی a = -2، b = 4 و c = -3 است. مختصات رأس سهمی را به دست آورید و خط تقارن آن را مشخص کنید.", + "steps": [ + "مختصات رأس سهمی را با فرمول x = -b/(2a) محاسبه می‌کنیم:", + "x = -4 / (2 * -2) = -4 / -4 = 1", + "مقدار y رأس را با جایگذاری x=1 در معادله سهمی محاسبه می‌کنیم:", + "y = -2(1)² + 4(1) - 3 = -2 + 4 - 3 = -1", + "بنابراین رأس سهمی در نقطه (1, -1) است.", + "✅ جواب: مختصات رأس (1, -1) و خط تقارن x=1" + ] }, { "title": "رسم نمودار معادله سهمی", - "introText": "۱. معادله سهمی را به صورت y=ax^2+bx+c بنویسید.\n۲. نقاط تقاطع با محورهای x و y را پیدا کنید.\n۳. نقاط مهم دیگر مانند رأس سهمی را محاسبه کنید.\n۴. نقاط را روی دستگاه مختصات رسم کنید و سهمی را بکشید." + "introText": "۱. معادله سهمی را به صورت y=ax^2+bx+c بنویسید.\n۲. نقاط تقاطع با محورهای x و y را پیدا کنید.\n۳. نقاط مهم دیگر مانند رأس سهمی را محاسبه کنید.\n۴. نقاط را روی دستگاه مختصات رسم کنید و سهمی را بکشید.", + "example": "معادله سهمی دیگری را که راس آن نقطه A(0,1) است، بنویسید و آن را در دستگاه بالا رسم کنید.", + "steps": [ + "راس سهمی A(0,1) است، پس معادله به صورت y = a(x - 0)² + 1 یا y = ax² + 1 است.", + "برای تعیین a، یک نقطه دیگر از سهمی را نیاز داریم. فرض کنیم نقطه (1,2) روی سهمی است.", + "جایگذاری در معادله: 2 = a*(1)² + 1 => 2 = a + 1 => a = 1", + "معادله سهمی: y = x² + 1", + "نمودار را با استفاده از نقاط (0,1), (1,2), (-1,2) رسم می‌کنیم.", + "✅ جواب: y = x² + 1" + ] }, { "title": "نوشتن معادله سهمی از نقاط داده شده", - "introText": "۱. نقاط داده شده را مشخص کنید.\n۲. معادله سهمی را به صورت y=ax^2+bx+c بنویسید.\n۳. ضرایب a، b و c را با استفاده از نقاط داده شده محاسبه کنید.\n۴. معادله نهایی را بنویسید." + "introText": "۱. نقاط داده شده را مشخص کنید.\n۲. معادله سهمی را به صورت y=ax^2+bx+c بنویسید.\n۳. ضرایب a، b و c را با استفاده از نقاط داده شده محاسبه کنید.\n۴. معادله نهایی را بنویسید.", + "example": "معادله سهمی دیگری را که راس آن نقطه A(0,1) است، بنویسید و آن را در دستگاه بالا رسم کنید.", + "steps": [ + "راس سهمی A(0,1) است، پس معادله به صورت y = a(x - 0)² + 1 یا y = ax² + 1 است.", + "برای تعیین a، یک نقطه دیگر از سهمی را نیاز داریم. فرض کنیم نقطه (1,2) روی سهمی است.", + "جایگذاری در معادله: 2 = a*(1)² + 1 => 2 = a + 1 => a = 1", + "معادله سهمی: y = x² + 1", + "نمودار را با استفاده از نقاط (0,1), (1,2), (-1,2) رسم می‌کنیم.", + "✅ جواب: y = x² + 1" + ] }, { "title": "تحلیل حرکت روی منحنی", @@ -8918,27 +11949,81 @@ "lessons": [ { "title": "تعیین علامت چندجمله‌ای درجه اول", - "introText": "۱. تابع درجه اول را به صورت y = ax + b بنویسید.\n۲. نقاط بحرانی را پیدا کنید (جایی که y = 0).\n۳. نمودار تابع را رسم کنید.\n۴. علامت تابع را در بازه‌های مختلف تعیین کنید." + "introText": "۱. تابع درجه اول را به صورت y = ax + b بنویسید.\n۲. نقاط بحرانی را پیدا کنید (جایی که y = 0).\n۳. نمودار تابع را رسم کنید.\n۴. علامت تابع را در بازه‌های مختلف تعیین کنید.", + "example": "عبارت A = (2x - 1)(3 - x) را برای مقادیر مختلف x تعیین علامت کنید.", + "steps": [ + "نقاط صفر عبارت‌ها: 2x - 1 = 0 ⇒ x = 1/2 و 3 - x = 0 ⇒ x = 3.", + "محور x را به سه بازه تقسیم می‌کنیم: x < 1/2، 1/2 < x < 3، x > 3.", + "علامت هر عبارت در هر بازه:", + "برای 2x - 1: وقتی x < 1/2 منفی (-)، وقتی x = 1/2 صفر (0)، وقتی x > 1/2 مثبت (+).", + "برای 3 - x: وقتی x < 3 مثبت (+)، وقتی x = 3 صفر (0)، وقتی x > 3 منفی (-).", + "✅ جواب: نقاط صفر x=0.5 و x=3. علامت A: برای x<0.5 منفی، بین 0.5 و 3 مثبت، برای x>3 منفی. کتاب درست است." + ] }, { "title": "تعیین علامت معادله خطی", - "introText": "۱. معادله خطی را به صورت y = ax + b بنویسید. ۲. ریشه معادله را پیدا کنید. ۳. جدول تعیین علامت را با توجه به ریشه و ضریب x تکمیل کنید. ۴. علامت هر بازه را مشخص کنید." + "introText": "۱. معادله خطی را به صورت y = ax + b بنویسید. ۲. ریشه معادله را پیدا کنید. ۳. جدول تعیین علامت را با توجه به ریشه و ضریب x تکمیل کنید. ۴. علامت هر بازه را مشخص کنید.", + "example": "عبارت y = 5x - 2 را در نظر بگیرید. ریشه این عبارت از معادله 5x - 2 = 0 به دست می‌آید که برابر x = 2/5 است. با توجه به اینکه علامت ضریب x یعنی 5، مثبت است، جدول تعیین علامت به صورت زیر است:\n\nx < 2/5 | x = 2/5 | x > 2/5\ny = 5x - 2 | - | 0 | +", + "steps": [ + "معادله y = 5x - 2 را در نظر می‌گیریم.", + "ریشه معادله 5x - 2 = 0 را حل می‌کنیم: 5x = 2 ⇒ x = 2/5.", + "ضریب x برابر 5 است که مثبت است.", + "محور x را به سه بازه تقسیم می‌کنیم: x < 2/5، x = 2/5، و x > 2/5.", + "برای x < 2/5، مقدار y منفی است چون 5x - 2 < 0.", + "✅ جواب: x=2/5 ریشه، y برای x<2/5 منفی، برای x>2/5 مثبت." + ] }, { "title": "تعیین علامت عبارت خطی", - "introText": "۱. عبارت خطی را به صورت y = ax + b بنویسید. ۲. ریشه معادله را پیدا کنید. ۳. جدول تعیین علامت را با توجه به ریشه و ضریب x تکمیل کنید. ۴. علامت هر بازه را مشخص کنید." + "introText": "۱. عبارت خطی را به صورت y = ax + b بنویسید. ۲. ریشه معادله را پیدا کنید. ۳. جدول تعیین علامت را با توجه به ریشه و ضریب x تکمیل کنید. ۴. علامت هر بازه را مشخص کنید.", + "example": "عبارت y = 5x - 2 را در نظر بگیرید. ریشه این عبارت از معادله 5x - 2 = 0 به دست می‌آید که برابر x = 2/5 است. با توجه به اینکه علامت ضریب x یعنی 5، مثبت است، جدول تعیین علامت به صورت زیر است:\n\nx < 2/5 | x = 2/5 | x > 2/5\ny = 5x - 2 | - | 0 | +", + "steps": [ + "معادله y = 5x - 2 را در نظر می‌گیریم.", + "ریشه معادله 5x - 2 = 0 را حل می‌کنیم: 5x = 2 ⇒ x = 2/5.", + "ضریب x برابر 5 است که مثبت است.", + "محور x را به سه بازه تقسیم می‌کنیم: x < 2/5، x = 2/5، و x > 2/5.", + "برای x < 2/5، مقدار y منفی است چون 5x - 2 < 0.", + "✅ جواب: x=2/5 ریشه، y برای x<2/5 منفی، برای x>2/5 مثبت." + ] }, { "title": "تعیین علامت عبارت", - "introText": "۱. عبارت را به صورت حاصل‌ضرب چند جمله‌ای بنویسید.\n۲. نقاط بحرانی را پیدا کنید (جایی که هر جمله صفر می‌شود).\n۳. جدول علامت را برای هر جمله تشکیل دهید.\n۴. علامت کلی عبارت را با توجه به جدول علامت تعیین کنید." + "introText": "۱. عبارت را به صورت حاصل‌ضرب چند جمله‌ای بنویسید.\n۲. نقاط بحرانی را پیدا کنید (جایی که هر جمله صفر می‌شود).\n۳. جدول علامت را برای هر جمله تشکیل دهید.\n۴. علامت کلی عبارت را با توجه به جدول علامت تعیین کنید.", + "example": "عبارت y = 5x - 2 را در نظر بگیرید. ریشه این عبارت از معادله 5x - 2 = 0 به دست می‌آید که برابر x = 2/5 است. با توجه به اینکه علامت ضریب x یعنی 5، مثبت است، جدول تعیین علامت به صورت زیر است:\n\nx < 2/5 | x = 2/5 | x > 2/5\ny = 5x - 2 | - | 0 | +", + "steps": [ + "معادله y = 5x - 2 را در نظر می‌گیریم.", + "ریشه معادله 5x - 2 = 0 را حل می‌کنیم: 5x = 2 ⇒ x = 2/5.", + "ضریب x برابر 5 است که مثبت است.", + "محور x را به سه بازه تقسیم می‌کنیم: x < 2/5، x = 2/5، و x > 2/5.", + "برای x < 2/5، مقدار y منفی است چون 5x - 2 < 0.", + "✅ جواب: x=2/5 ریشه، y برای x<2/5 منفی، برای x>2/5 مثبت." + ] }, { "title": "تعیین علامت چندجمله‌ای درجه دوم", - "introText": "برای تعیین علامت چندجمله‌ای درجه دوم P(x)=ax^2+bx+c، ابتدا ریشه‌های معادله را پیدا کنید. سپس با توجه به علامت a و موقعیت ریشه‌ها، علامت P(x) را در بازه‌های مختلف تعیین کنید." + "introText": "برای تعیین علامت چندجمله‌ای درجه دوم P(x)=ax^2+bx+c، ابتدا ریشه‌های معادله را پیدا کنید. سپس با توجه به علامت a و موقعیت ریشه‌ها، علامت P(x) را در بازه‌های مختلف تعیین کنید.", + "example": "عبارت A = (2x - 1)(3 - x) را برای مقادیر مختلف x تعیین علامت کنید.", + "steps": [ + "نقاط صفر عبارت‌ها: 2x - 1 = 0 ⇒ x = 1/2 و 3 - x = 0 ⇒ x = 3.", + "محور x را به سه بازه تقسیم می‌کنیم: x < 1/2، 1/2 < x < 3، x > 3.", + "علامت هر عبارت در هر بازه:", + "برای 2x - 1: وقتی x < 1/2 منفی (-)، وقتی x = 1/2 صفر (0)، وقتی x > 1/2 مثبت (+).", + "برای 3 - x: وقتی x < 3 مثبت (+)، وقتی x = 3 صفر (0)، وقتی x > 3 منفی (-).", + "✅ جواب: نقاط صفر x=0.5 و x=3. علامت A: برای x<0.5 منفی، بین 0.5 و 3 مثبت، برای x>3 منفی. کتاب درست است." + ] }, { "title": "تعیین علامت چندجمله‌ای", - "introText": "۱. ریشه‌های معادله را پیدا کنید. ۲. نمودار تابع را رسم کنید. ۳. با توجه به نمودار، علامت تابع را در بازه‌های مختلف تعیین کنید." + "introText": "۱. ریشه‌های معادله را پیدا کنید. ۲. نمودار تابع را رسم کنید. ۳. با توجه به نمودار، علامت تابع را در بازه‌های مختلف تعیین کنید.", + "example": "عبارت A = (2x - 1)(3 - x) را برای مقادیر مختلف x تعیین علامت کنید.", + "steps": [ + "نقاط صفر عبارت‌ها: 2x - 1 = 0 ⇒ x = 1/2 و 3 - x = 0 ⇒ x = 3.", + "محور x را به سه بازه تقسیم می‌کنیم: x < 1/2، 1/2 < x < 3، x > 3.", + "علامت هر عبارت در هر بازه:", + "برای 2x - 1: وقتی x < 1/2 منفی (-)، وقتی x = 1/2 صفر (0)، وقتی x > 1/2 مثبت (+).", + "برای 3 - x: وقتی x < 3 مثبت (+)، وقتی x = 3 صفر (0)، وقتی x > 3 منفی (-).", + "✅ جواب: نقاط صفر x=0.5 و x=3. علامت A: برای x<0.5 منفی، بین 0.5 و 3 مثبت، برای x>3 منفی. کتاب درست است." + ] }, { "title": "نامعادله‌ها", @@ -8978,6 +12063,7 @@ }, { "title": "فصل ۵: تابع", + "blurb": "در این فصل: مفهوم تابع و بازنمایی‌های آن، دامنه و برد توابع و انواع تابع.", "order": 5, "nodes": [ { @@ -8986,27 +12072,67 @@ "lessons": [ { "title": "تشخیص تابع", - "introText": "برای تشخیص تابع، بررسی کنید که هر عضو از مجموعه اول (دامنه) دقیقاً به یک عضو از مجموعه دوم (برد) مرتبط باشد. اگر هر عضو دامنه به بیش از یک عضو برد مرتبط باشد، رابطه تابع نیست." + "introText": "برای تشخیص تابع، بررسی کنید که هر عضو از مجموعه اول (دامنه) دقیقاً به یک عضو از مجموعه دوم (برد) مرتبط باشد. اگر هر عضو دامنه به بیش از یک عضو برد مرتبط باشد، رابطه تابع نیست.", + "example": "یک شخص معین دو روز تولد متفاوت ندارد. با توجه به جدول روز تولد افراد رستگار، کشاورز، احسانی و امیدی که به ترتیب پنجشنبه، شنبه، دوشنبه و شنبه هستند، بررسی کنید آیا روز تولد به فرد تابع است یا خیر.", + "steps": [ + "هر فرد یک روز تولد مشخص دارد: رستگار پنجشنبه، کشاورز شنبه، احسانی دوشنبه، امیدی شنبه.", + "هر فرد فقط یک روز تولد دارد و هیچ فردی دو روز تولد متفاوت ندارد.", + "بنابراین، روز تولد به فرد تابع است.", + "✅ جواب: تابع است زیرا هر فرد یک روز دارد." + ] }, { "title": "رسم نمودار تابع", - "introText": "۱. مجموعه‌های داده شده را مشخص کنید.\n۲. عناصر هر مجموعه را به صورت نقاط در نمودار رسم کنید.\n۳. پیکان‌ها را برای نمایش رابطه بین عناصر دو مجموعه رسم کنید." + "introText": "۱. مجموعه‌های داده شده را مشخص کنید.\n۲. عناصر هر مجموعه را به صورت نقاط در نمودار رسم کنید.\n۳. پیکان‌ها را برای نمایش رابطه بین عناصر دو مجموعه رسم کنید.", + "example": "از مجموعه X = {5, 7} به مجموعه Y = {2, 1} رابطه‌ای تعریف شده است. آیا این رابطه یک تابع است؟ چرا؟", + "steps": [ + "در این رابطه، عنصر 5 از مجموعه X به 2 از مجموعه Y و عنصر 7 از مجموعه X به 1 از مجموعه Y مرتبط شده است.", + "هر عضو از مجموعه X دقیقاً به یک عضو از مجموعه Y مرتبط شده است، بنابراین این رابطه یک تابع است.", + "✅ جواب: بله، تابع است چون هر عضو X دقیقاً یک تصویر در Y دارد." + ] }, { "title": "تشخیص تابع از نمودار", - "introText": "۱. نمودار داده شده را بررسی کنید.\n۲. بررسی کنید که هر عنصر از مجموعه اول به یک عنصر از مجموعه دوم مرتبط است.\n۳. اگر هر عنصر از مجموعه اول تنها به یک عنصر از مجموعه دوم مرتبط باشد، نمودار یک تابع است." + "introText": "۱. نمودار داده شده را بررسی کنید.\n۲. بررسی کنید که هر عنصر از مجموعه اول به یک عنصر از مجموعه دوم مرتبط است.\n۳. اگر هر عنصر از مجموعه اول تنها به یک عنصر از مجموعه دوم مرتبط باشد، نمودار یک تابع است.", + "example": "از مجموعه X = {5, 7} به مجموعه Y = {2, 1} رابطه‌ای تعریف شده است. آیا این رابطه یک تابع است؟ چرا؟", + "steps": [ + "در این رابطه، عنصر 5 از مجموعه X به 2 از مجموعه Y و عنصر 7 از مجموعه X به 1 از مجموعه Y مرتبط شده است.", + "هر عضو از مجموعه X دقیقاً به یک عضو از مجموعه Y مرتبط شده است، بنابراین این رابطه یک تابع است.", + "✅ جواب: بله، تابع است چون هر عضو X دقیقاً یک تصویر در Y دارد." + ] }, { "title": "نمایش تابع به صورت زوج‌های مرتب و نمودار مختصاتی", - "introText": "۱. زوج‌های مرتب داده شده را مشخص کنید.\n۲. نقاط مربوط به هر زوج را در نمودار مختصاتی رسم کنید.\n۳. محورهای افقی و عمودی را برای نمایش رابطه بین زوج‌ها استفاده کنید." + "introText": "۱. زوج‌های مرتب داده شده را مشخص کنید.\n۲. نقاط مربوط به هر زوج را در نمودار مختصاتی رسم کنید.\n۳. محورهای افقی و عمودی را برای نمایش رابطه بین زوج‌ها استفاده کنید.", + "example": "از مجموعه X = {5, 7} به مجموعه Y = {2, 1} رابطه‌ای تعریف شده است. آیا این رابطه یک تابع است؟ چرا؟", + "steps": [ + "در این رابطه، عنصر 5 از مجموعه X به 2 از مجموعه Y و عنصر 7 از مجموعه X به 1 از مجموعه Y مرتبط شده است.", + "هر عضو از مجموعه X دقیقاً به یک عضو از مجموعه Y مرتبط شده است، بنابراین این رابطه یک تابع است.", + "✅ جواب: بله، تابع است چون هر عضو X دقیقاً یک تصویر در Y دارد." + ] }, { "title": "ترتیب زوج مرتب", - "introText": "برای نمایش ترتیب زوج مرتب، ابتدا عضو اول و سپس عضو دوم را مشخص کنید. سپس نمودار مربوطه را رسم کنید و بررسی کنید که آیا رابطه یک تابع است یا خیر." + "introText": "برای نمایش ترتیب زوج مرتب، ابتدا عضو اول و سپس عضو دوم را مشخص کنید. سپس نمودار مربوطه را رسم کنید و بررسی کنید که آیا رابطه یک تابع است یا خیر.", + "example": "رابطه f = {(2,5), (5,4), (6,3), (7,3)} را به صورت زوج مرتب نمایش دهید و بررسی کنید آیا این رابطه یک تابع است یا خیر.", + "steps": [ + "زوج‌های مرتب داده شده به صورت f = {(2,5), (5,4), (6,3), (7,3)} هستند.", + "مؤلفه اول‌ها: 2، 5، 6، 7 و مؤلفه دوم‌ها: 5، 4، 3، 3.", + "هر مؤلفه اول فقط به یک مؤلفه دوم متناظر است (مثلاً 2 به 5، 5 به 4، 6 به 3، 7 به 3).", + "بنابراین، این رابطه یک تابع است.", + "نمودار این تابع شامل نقاط (2,5)، (5,4)، (6,3) و (7,3) روی صفحه مختصات است." + ] }, { "title": "تشخیص تابع از رابطه", - "introText": "برای تشخیص تابع از رابطه، بررسی کنید که هر عضو از دامنه تنها به یک عضو از برد نسبت داده شده باشد. در نمودار پیکانی، هر عنصر از دامنه باید تنها یک پیکان به سمت برد داشته باشد. در مجموعه زوج‌های مرتب، هیچ دو زوج نباید دارای اولین عضو یکسان باشند." + "introText": "برای تشخیص تابع از رابطه، بررسی کنید که هر عضو از دامنه تنها به یک عضو از برد نسبت داده شده باشد. در نمودار پیکانی، هر عنصر از دامنه باید تنها یک پیکان به سمت برد داشته باشد. در مجموعه زوج‌های مرتب، هیچ دو زوج نباید دارای اولین عضو یکسان باشند.", + "example": "یک شخص معین دو روز تولد متفاوت ندارد. با توجه به جدول روز تولد افراد رستگار، کشاورز، احسانی و امیدی که به ترتیب پنجشنبه، شنبه، دوشنبه و شنبه هستند، بررسی کنید آیا روز تولد به فرد تابع است یا خیر.", + "steps": [ + "هر فرد یک روز تولد مشخص دارد: رستگار پنجشنبه، کشاورز شنبه، احسانی دوشنبه، امیدی شنبه.", + "هر فرد فقط یک روز تولد دارد و هیچ فردی دو روز تولد متفاوت ندارد.", + "بنابراین، روز تولد به فرد تابع است.", + "✅ جواب: تابع است زیرا هر فرد یک روز دارد." + ] } ] }, @@ -9016,19 +12142,55 @@ "lessons": [ { "title": "تعیین دامنه و برد تابع", - "introText": "۱. جدول داده شده را بررسی کنید.\n۲. زوج‌های مرتب را از جدول استخراج کنید.\n۳. دامنه تابع را به صورت مجموعه‌ای از مقادیر ورودی بنویسید.\n۴. برد تابع را به صورت مجموعه‌ای از مقادیر خروجی بنویسید." + "introText": "۱. جدول داده شده را بررسی کنید.\n۲. زوج‌های مرتب را از جدول استخراج کنید.\n۳. دامنه تابع را به صورت مجموعه‌ای از مقادیر ورودی بنویسید.\n۴. برد تابع را به صورت مجموعه‌ای از مقادیر خروجی بنویسید.", + "example": "اگر تابع f به صورت جبری f(n) = n² + 1 داده شده باشد و دامنه آن A = 1, 2, 3, 4 باشد، برد تابع f را به دست آورید.", + "steps": [ + "دامنه تابع A = {1, 2, 3, 4} است.", + "مقادیر تابع را برای هر n محاسبه می‌کنیم:", + "f(1) = 1² + 1 = 2", + "f(2) = 2² + 1 = 5", + "f(3) = 3² + 1 = 10", + "f(4) = 4² + 1 = 17 برد تابع مجموعه {2, 5, 10, 17} است." + ] }, { "title": "تشخیص تابع", - "introText": "۱. بررسی کنید که هر عنصر از دامنه به یک عنصر از برد نگاشت شده باشد. ۲. نمودار تابع را رسم کنید و بررسی کنید که آیا هر خط عمودی نمودار را در بیش از یک نقطه قطع می‌کند یا خیر. ۳. دامنه و برد را مشخص کنید." + "introText": "۱. بررسی کنید که هر عنصر از دامنه به یک عنصر از برد نگاشت شده باشد. ۲. نمودار تابع را رسم کنید و بررسی کنید که آیا هر خط عمودی نمودار را در بیش از یک نقطه قطع می‌کند یا خیر. ۳. دامنه و برد را مشخص کنید.", + "example": "اگر تابع f به صورت جبری f(n) = n² + 1 داده شده باشد و دامنه آن A = 1, 2, 3, 4 باشد، برد تابع f را به دست آورید.", + "steps": [ + "دامنه تابع A = {1, 2, 3, 4} است.", + "مقادیر تابع را برای هر n محاسبه می‌کنیم:", + "f(1) = 1² + 1 = 2", + "f(2) = 2² + 1 = 5", + "f(3) = 3² + 1 = 10", + "f(4) = 4² + 1 = 17 برد تابع مجموعه {2, 5, 10, 17} است." + ] }, { "title": "رسم نمودار تابع", - "introText": "۱. نقاط داده شده را به صورت جفت‌های مرتب (x, y) در نظر بگیرید. ۲. هر جفت را روی محور مختصات رسم کنید. ۳. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار تابع به دست آید." + "introText": "۱. نقاط داده شده را به صورت جفت‌های مرتب (x, y) در نظر بگیرید. ۲. هر جفت را روی محور مختصات رسم کنید. ۳. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار تابع به دست آید.", + "example": "جدول را کامل کنید و از آن برای رسم نمودار خط y = 2x - 1 استفاده کنید. جدول داده شده: x = {1, 2, 3, -1, 0} و y = {1, 3, 5, -3, ?}.", + "steps": [ + "برای هر مقدار x مقدار y را با استفاده از y = 2x - 1 محاسبه می‌کنیم:", + "x=1: y=2(1)-1=2-1=1", + "x=2: y=2(2)-1=4-1=3", + "x=3: y=2(3)-1=6-1=5", + "x=-1: y=2(-1)-1=-2-1=-3", + "✅ جواب: مقدار y برای x=0 برابر -1 است." + ] }, { "title": "یافتن برد تابع", - "introText": "۱. تابع داده شده را بررسی کنید. ۲. برای هر عنصر از دامنه، مقدار متناظر در برد را محاسبه کنید. ۳. مجموعه مقادیر به دست آمده برد تابع است." + "introText": "۱. تابع داده شده را بررسی کنید. ۲. برای هر عنصر از دامنه، مقدار متناظر در برد را محاسبه کنید. ۳. مجموعه مقادیر به دست آمده برد تابع است.", + "example": "اگر تابع f به صورت جبری f(n) = n² + 1 داده شده باشد و دامنه آن A = 1, 2, 3, 4 باشد، برد تابع f را به دست آورید.", + "steps": [ + "دامنه تابع A = {1, 2, 3, 4} است.", + "مقادیر تابع را برای هر n محاسبه می‌کنیم:", + "f(1) = 1² + 1 = 2", + "f(2) = 2² + 1 = 5", + "f(3) = 3² + 1 = 10", + "f(4) = 4² + 1 = 17 برد تابع مجموعه {2, 5, 10, 17} است." + ] }, { "title": "رسم نمودار تابع خطی", @@ -9040,11 +12202,29 @@ }, { "title": "تشخیص تابع از نمودار", - "introText": "برای تشخیص تابع بودن یک نمودار، باید بررسی کنید که هر خط موازی محور عرض‌ها نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند. اگر این شرط برقرار باشد، نمودار نشان‌دهنده یک تابع است." + "introText": "برای تشخیص تابع بودن یک نمودار، باید بررسی کنید که هر خط موازی محور عرض‌ها نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند. اگر این شرط برقرار باشد، نمودار نشان‌دهنده یک تابع است.", + "example": "جدول را کامل کنید و از آن برای رسم نمودار خط y = 2x - 1 استفاده کنید. جدول داده شده: x = {1, 2, 3, -1, 0} و y = {1, 3, 5, -3, ?}.", + "steps": [ + "برای هر مقدار x مقدار y را با استفاده از y = 2x - 1 محاسبه می‌کنیم:", + "x=1: y=2(1)-1=2-1=1", + "x=2: y=2(2)-1=4-1=3", + "x=3: y=2(3)-1=6-1=5", + "x=-1: y=2(-1)-1=-2-1=-3", + "✅ جواب: مقدار y برای x=0 برابر -1 است." + ] }, { "title": "تشخیص تابع خطی", - "introText": "۱. بررسی کنید که آیا نقاط داده به صورت خطی مرتب شده‌اند. ۲. اگر نقاط به صورت خطی باشند، تابع خطی است." + "introText": "۱. بررسی کنید که آیا نقاط داده به صورت خطی مرتب شده‌اند. ۲. اگر نقاط به صورت خطی باشند، تابع خطی است.", + "example": "جدول را کامل کنید و از آن برای رسم نمودار خط y = 2x - 1 استفاده کنید. جدول داده شده: x = {1, 2, 3, -1, 0} و y = {1, 3, 5, -3, ?}.", + "steps": [ + "برای هر مقدار x مقدار y را با استفاده از y = 2x - 1 محاسبه می‌کنیم:", + "x=1: y=2(1)-1=2-1=1", + "x=2: y=2(2)-1=4-1=3", + "x=3: y=2(3)-1=6-1=5", + "x=-1: y=2(-1)-1=-2-1=-3", + "✅ جواب: مقدار y برای x=0 برابر -1 است." + ] }, { "title": "محاسبه دما و عمق", @@ -9052,11 +12232,29 @@ }, { "title": "تشخیص تابع از جدول", - "introText": "۱. بررسی کنید که آیا هر مقدار ورودی یک مقدار خروجی منحصر به فرد دارد.\n۲. اگر هر مقدار ورودی یک مقدار خروجی منحصر به فرد داشته باشد، جدول نشان‌دهنده یک تابع است." + "introText": "۱. بررسی کنید که آیا هر مقدار ورودی یک مقدار خروجی منحصر به فرد دارد.\n۲. اگر هر مقدار ورودی یک مقدار خروجی منحصر به فرد داشته باشد، جدول نشان‌دهنده یک تابع است.", + "example": "جدول را کامل کنید و از آن برای رسم نمودار خط y = 2x - 1 استفاده کنید. جدول داده شده: x = {1, 2, 3, -1, 0} و y = {1, 3, 5, -3, ?}.", + "steps": [ + "برای هر مقدار x مقدار y را با استفاده از y = 2x - 1 محاسبه می‌کنیم:", + "x=1: y=2(1)-1=2-1=1", + "x=2: y=2(2)-1=4-1=3", + "x=3: y=2(3)-1=6-1=5", + "x=-1: y=2(-1)-1=-2-1=-3", + "✅ جواب: مقدار y برای x=0 برابر -1 است." + ] }, { "title": "تشخیص رابطه خطی", - "introText": "۱. بررسی کنید که آیا رابطه به صورت y = mx + b است.\n۲. شیب (m) و عرض از مبدا (b) را مشخص کنید.\n۳. بررسی کنید که آیا رابطه خطی است." + "introText": "۱. بررسی کنید که آیا رابطه به صورت y = mx + b است.\n۲. شیب (m) و عرض از مبدا (b) را مشخص کنید.\n۳. بررسی کنید که آیا رابطه خطی است.", + "example": "جدول را کامل کنید و از آن برای رسم نمودار خط y = 2x - 1 استفاده کنید. جدول داده شده: x = {1, 2, 3, -1, 0} و y = {1, 3, 5, -3, ?}.", + "steps": [ + "برای هر مقدار x مقدار y را با استفاده از y = 2x - 1 محاسبه می‌کنیم:", + "x=1: y=2(1)-1=2-1=1", + "x=2: y=2(2)-1=4-1=3", + "x=3: y=2(3)-1=6-1=5", + "x=-1: y=2(-1)-1=-2-1=-3", + "✅ جواب: مقدار y برای x=0 برابر -1 است." + ] } ] }, @@ -9066,7 +12264,14 @@ "lessons": [ { "title": "تابع چند جمله‌ای", - "introText": "برای نمایش تابع چند جمله‌ای، ابتدا باید ضرایب و توان‌های هر جمله را مشخص کرده و سپس آن‌ها را به صورت یک عبارت جبری بنویسید." + "introText": "برای نمایش تابع چند جمله‌ای، ابتدا باید ضرایب و توان‌های هر جمله را مشخص کرده و سپس آن‌ها را به صورت یک عبارت جبری بنویسید.", + "example": "توابع زیر همگی توابع چند جمله‌ای‌اند:\nf(x) = 2x² + 0x + 1\ng(x) = 4x² - 3\nh(a) = a² + 2a - 9\nr(t) = - (3/5)t² + t + √7\nتابع f را به صورت y = 2x² + 0x + 1 نیز نمایش می‌دهند. بقیه توابع را نیز به این صورت نمایش دهید.", + "steps": [ + "تابع g(x) به صورت y = 4x² - 3", + "تابع h(a) به صورت y = a² + 2a - 9", + "تابع r(t) به صورت y = - (3/5)t² + t + √7", + "✅ جواب: همه توابع به‌درستی با y نمایش داده شده‌اند" + ] }, { "title": "تابع نمایی", @@ -9098,7 +12303,14 @@ }, { "title": "محاسبه مقدار تابع", - "introText": "۱. مقدار x داده شده را در تابع جایگذاری کنید. ۲. عملیات ریاضی لازم را انجام دهید تا مقدار تابع به دست آید." + "introText": "۱. مقدار x داده شده را در تابع جایگذاری کنید. ۲. عملیات ریاضی لازم را انجام دهید تا مقدار تابع به دست آید.", + "example": "توابع زیر همگی توابع چند جمله‌ای‌اند:\nf(x) = 2x² + 0x + 1\ng(x) = 4x² - 3\nh(a) = a² + 2a - 9\nr(t) = - (3/5)t² + t + √7\nتابع f را به صورت y = 2x² + 0x + 1 نیز نمایش می‌دهند. بقیه توابع را نیز به این صورت نمایش دهید.", + "steps": [ + "تابع g(x) به صورت y = 4x² - 3", + "تابع h(a) به صورت y = a² + 2a - 9", + "تابع r(t) به صورت y = - (3/5)t² + t + √7", + "✅ جواب: همه توابع به‌درستی با y نمایش داده شده‌اند" + ] }, { "title": "انتقال نمودار تابع", @@ -9126,6 +12338,7 @@ }, { "title": "فصل ۶: شمارش، بدون شمردن", + "blurb": "در این فصل: شمارش، جایگشت و ترکیب.", "order": 6, "nodes": [ { @@ -9134,7 +12347,14 @@ "lessons": [ { "title": "محاسبه تعداد حالات ممکن", - "introText": "۱. تعداد گزینه‌های ممکن برای هر مرحله را مشخص کنید.\n۲. اگر مراحل مستقل باشند، تعداد حالات ممکن را با استفاده از اصل ضرب محاسبه کنید.\n۳. اگر مراحل وابسته باشند، تعداد حالات ممکن را با استفاده از اصل جمع محاسبه کنید.\n۴. در صورت وجود محدودیت‌ها، آن‌ها را در محاسبات لحاظ کنید." + "introText": "۱. تعداد گزینه‌های ممکن برای هر مرحله را مشخص کنید.\n۲. اگر مراحل مستقل باشند، تعداد حالات ممکن را با استفاده از اصل ضرب محاسبه کنید.\n۳. اگر مراحل وابسته باشند، تعداد حالات ممکن را با استفاده از اصل جمع محاسبه کنید.\n۴. در صورت وجود محدودیت‌ها، آن‌ها را در محاسبات لحاظ کنید.", + "example": "با سه رقم 5، 3 و 2 چند عدد سه رقمی می‌توان نوشت؟ به طور مثال 335 و 352 سه نمونه از این اعداد هستند. برای نوشتن عدد سه رقمی به صورت پر کردن سه جایگاه صدگان، دهگان و یکان با ارقام مذکور، تعداد حالات ممکن را بیابید.", + "steps": [ + "برای جایگاه صدگان 3 حالت (5، 3، 2) وجود دارد.", + "برای جایگاه دهگان نیز 3 حالت وجود دارد (چون تکرار مجاز است).", + "برای جایگاه یکان نیز 3 حالت وجود دارد.", + "پس تعداد کل حالات برابر است با 3 × 3 × 3 = 27 عدد." + ] }, { "title": "اصل جمع", @@ -9146,7 +12366,14 @@ }, { "title": "تعداد حالات ممکن", - "introText": "برای محاسبه تعداد حالات ممکن، ابتدا باید تعداد گزینه‌های موجود برای هر موقعیت را مشخص کنیم. سپس تعداد گزینه‌ها را در هم ضرب می‌کنیم تا تعداد کل حالات ممکن به دست آید." + "introText": "برای محاسبه تعداد حالات ممکن، ابتدا باید تعداد گزینه‌های موجود برای هر موقعیت را مشخص کنیم. سپس تعداد گزینه‌ها را در هم ضرب می‌کنیم تا تعداد کل حالات ممکن به دست آید.", + "example": "با سه رقم 5، 3 و 2 چند عدد سه رقمی می‌توان نوشت؟ به طور مثال 335 و 352 سه نمونه از این اعداد هستند. برای نوشتن عدد سه رقمی به صورت پر کردن سه جایگاه صدگان، دهگان و یکان با ارقام مذکور، تعداد حالات ممکن را بیابید.", + "steps": [ + "برای جایگاه صدگان 3 حالت (5، 3، 2) وجود دارد.", + "برای جایگاه دهگان نیز 3 حالت وجود دارد (چون تکرار مجاز است).", + "برای جایگاه یکان نیز 3 حالت وجود دارد.", + "پس تعداد کل حالات برابر است با 3 × 3 × 3 = 27 عدد." + ] }, { "title": "تعداد اعداد ممکن", @@ -9170,11 +12397,21 @@ }, { "title": "مسائل مسیرها", - "introText": "برای حل مسائل مسیرها، ابتدا نمودار یا گراف مربوطه را تحلیل کنید و تعداد مسیرهای ممکن بین نقاط مشخص شده را محاسبه کنید." + "introText": "برای حل مسائل مسیرها، ابتدا نمودار یا گراف مربوطه را تحلیل کنید و تعداد مسیرهای ممکن بین نقاط مشخص شده را محاسبه کنید.", + "example": "فردی می‌خواهد از تهران به اصفهان برود. او قصد دارد با اتومبیل خود یا با قطار این سفر را انجام دهد. اگر با اتومبیل خود به این سفر برود، مسیرها و انتخاب‌های او مانند مثال قبل است و اگر تصمیم بگیرد با قطار برود، سه نوع قطار می‌تواند انتخاب کند. او در کل چند انتخاب دارد؟", + "steps": [ + "حل: اگر با اتومبیل برود، طبق اصل ضرب به 6 طریق ممکن است و اگر قطار را انتخاب کند سه طریق.", + "بنابراین طبق اصل جمع در کل 9 انتخاب دارد." + ] }, { "title": "مسائل اصل جمع و ضرب", - "introText": "برای حل مسائل اصل جمع و ضرب، ابتدا تعداد راه‌های ممکن برای هر بخش از مسئله را مشخص کنید و سپس با استفاده از اصل جمع یا ضرب، تعداد کل راه‌های ممکن را محاسبه کنید." + "introText": "برای حل مسائل اصل جمع و ضرب، ابتدا تعداد راه‌های ممکن برای هر بخش از مسئله را مشخص کنید و سپس با استفاده از اصل جمع یا ضرب، تعداد کل راه‌های ممکن را محاسبه کنید.", + "example": "فردی می‌خواهد از تهران به اصفهان برود. او قصد دارد با اتومبیل خود یا با قطار این سفر را انجام دهد. اگر با اتومبیل خود به این سفر برود، مسیرها و انتخاب‌های او مانند مثال قبل است و اگر تصمیم بگیرد با قطار برود، سه نوع قطار می‌تواند انتخاب کند. او در کل چند انتخاب دارد؟", + "steps": [ + "حل: اگر با اتومبیل برود، طبق اصل ضرب به 6 طریق ممکن است و اگر قطار را انتخاب کند سه طریق.", + "بنابراین طبق اصل جمع در کل 9 انتخاب دارد." + ] } ] }, @@ -9184,11 +12421,21 @@ "lessons": [ { "title": "جایگشت", - "introText": "برای محاسبه تعداد جایگشت‌های n شیء، از فرمول n! استفاده می‌کنیم." + "introText": "برای محاسبه تعداد جایگشت‌های n شیء، از فرمول n! استفاده می‌کنیم.", + "example": "تعداد جایگشت‌های 5 شیء متمایز را با استفاده از فرمول فاکتوریل محاسبه کنید.", + "steps": [ + "تعداد جایگشت‌های 5 شیء متمایز برابر است با 5!", + "که برابر است با 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120." + ] }, { "title": "محاسبه جایگشت‌ها", - "introText": "برای محاسبه تعداد جایگشت‌های n شیء، از فرمول n! استفاده می‌کنیم." + "introText": "برای محاسبه تعداد جایگشت‌های n شیء، از فرمول n! استفاده می‌کنیم.", + "example": "تعداد جایگشت‌های 5 شیء متمایز را با استفاده از فرمول فاکتوریل محاسبه کنید.", + "steps": [ + "تعداد جایگشت‌های 5 شیء متمایز برابر است با 5!", + "که برابر است با 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120." + ] }, { "title": "محاسبه ترکیب‌ها", @@ -9196,15 +12443,34 @@ }, { "title": "محاسبه فاکتوریل", - "introText": "برای محاسبه فاکتوریل عدد n، اعداد صحیح مثبت از ۱ تا n را در هم ضرب می‌کنیم." + "introText": "برای محاسبه فاکتوریل عدد n، اعداد صحیح مثبت از ۱ تا n را در هم ضرب می‌کنیم.", + "example": "تعداد جایگشت‌های 5 شیء متمایز را با استفاده از فرمول فاکتوریل محاسبه کنید.", + "steps": [ + "تعداد جایگشت‌های 5 شیء متمایز برابر است با 5!", + "که برابر است با 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120." + ] }, { "title": "تعداد جایگشت‌ها", - "introText": "برای محاسبه تعداد جایگشت‌های n شیء، فاکتوریل n را محاسبه می‌کنیم." + "introText": "برای محاسبه تعداد جایگشت‌های n شیء، فاکتوریل n را محاسبه می‌کنیم.", + "example": "تعداد جایگشت‌های 5 شیء متمایز را با استفاده از فرمول فاکتوریل محاسبه کنید.", + "steps": [ + "تعداد جایگشت‌های 5 شیء متمایز برابر است با 5!", + "که برابر است با 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120." + ] }, { "title": "ترکیب", - "introText": "برای محاسبه تعداد ترکیب‌های r شیء از n شیء، از فرمول C(n, r) = n! / (r!(n-r)!) استفاده می‌کنیم." + "introText": "برای محاسبه تعداد ترکیب‌های r شیء از n شیء، از فرمول C(n, r) = n! / (r!(n-r)!) استفاده می‌کنیم.", + "example": "حاصل عبارت 5! / 4! را به دست آورید.", + "steps": [ + "5!", + "= 5 × 4 × 3 × 2 × 1 و 4!", + "= 4 × 3 × 2 × 1.", + "بنابراین 5!", + "/ 4!", + "= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1) = 5." + ] }, { "title": "تعداد کلمات بدون تکرار حروف", @@ -9234,11 +12500,19 @@ "lessons": [ { "title": "ترکیب", - "introText": "۱. تعداد کل عناصر را مشخص کنید. ۲. تعداد عناصری که می‌خواهید انتخاب کنید را تعیین کنید. ۳. از فرمول ترکیب استفاده کنید: C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)" + "introText": "۱. تعداد کل عناصر را مشخص کنید. ۲. تعداد عناصری که می‌خواهید انتخاب کنید را تعیین کنید. ۳. از فرمول ترکیب استفاده کنید: C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)", + "example": "ساختن کلمه‌ای سه حرفی بدون حرف تکراری با ۵ حرف متمایز (با معنی و بی معنی).", + "steps": [ + "تعداد جایگشت‌های سه حرفی بدون تکرار از ۵ حرف متمایز برابر است با تعداد جایگشت‌های ۳ حرف از ۵ حرف که به صورت P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60 است." + ] }, { "title": "جایگشت", - "introText": "برای محاسبه تعداد جایگشت‌های n عضو از یک مجموعه n عضوی، از فرمول P(n, r) = n! / (n-r)! استفاده می‌کنیم." + "introText": "برای محاسبه تعداد جایگشت‌های n عضو از یک مجموعه n عضوی، از فرمول P(n, r) = n! / (n-r)! استفاده می‌کنیم.", + "example": "ساختن کلمه‌ای سه حرفی بدون حرف تکراری با ۵ حرف متمایز (با معنی و بی معنی).", + "steps": [ + "تعداد جایگشت‌های سه حرفی بدون تکرار از ۵ حرف متمایز برابر است با تعداد جایگشت‌های ۳ حرف از ۵ حرف که به صورت P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60 است." + ] }, { "title": "محاسبه تعداد حالات انتخاب", @@ -9254,7 +12528,11 @@ }, { "title": "محاسبه تعداد ترکیب‌ها", - "introText": "۱. تعداد کل اعضا (n) و تعداد اعضای انتخابی (r) را مشخص کنید.\n۲. از فرمول ترکیب استفاده کنید: C(n,r) = n! / [r!(n-r)!]\n۳. مقادیر را در فرمول جایگذاری کرده و محاسبه کنید." + "introText": "۱. تعداد کل اعضا (n) و تعداد اعضای انتخابی (r) را مشخص کنید.\n۲. از فرمول ترکیب استفاده کنید: C(n,r) = n! / [r!(n-r)!]\n۳. مقادیر را در فرمول جایگذاری کرده و محاسبه کنید.", + "example": "ساختن کلمه‌ای سه حرفی بدون حرف تکراری با ۵ حرف متمایز (با معنی و بی معنی).", + "steps": [ + "تعداد جایگشت‌های سه حرفی بدون تکرار از ۵ حرف متمایز برابر است با تعداد جایگشت‌های ۳ حرف از ۵ حرف که به صورت P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60 است." + ] }, { "title": "محاسبه تعداد زیرمجموعه‌ها", @@ -9262,11 +12540,19 @@ }, { "title": "مسئله ترکیب", - "introText": "برای حل مسائل ترکیب، تعداد کل عناصر را در نظر گرفته و تعداد انتخاب‌ها را مشخص کنید. سپس از فرمول ترکیب استفاده کنید: C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)" + "introText": "برای حل مسائل ترکیب، تعداد کل عناصر را در نظر گرفته و تعداد انتخاب‌ها را مشخص کنید. سپس از فرمول ترکیب استفاده کنید: C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)", + "example": "ساختن کلمه‌ای سه حرفی بدون حرف تکراری با ۵ حرف متمایز (با معنی و بی معنی).", + "steps": [ + "تعداد جایگشت‌های سه حرفی بدون تکرار از ۵ حرف متمایز برابر است با تعداد جایگشت‌های ۳ حرف از ۵ حرف که به صورت P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60 است." + ] }, { "title": "مسئله جایگشت", - "introText": "برای حل مسائل جایگشت، تعداد کل عناصر را در نظر گرفته و از فرمول جایگشت استفاده کنید: P(n) = n!" + "introText": "برای حل مسائل جایگشت، تعداد کل عناصر را در نظر گرفته و از فرمول جایگشت استفاده کنید: P(n) = n!", + "example": "ساختن کلمه‌ای سه حرفی بدون حرف تکراری با ۵ حرف متمایز (با معنی و بی معنی).", + "steps": [ + "تعداد جایگشت‌های سه حرفی بدون تکرار از ۵ حرف متمایز برابر است با تعداد جایگشت‌های ۳ حرف از ۵ حرف که به صورت P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60 است." + ] }, { "title": "ترکیب و جایگشت", @@ -9278,6 +12564,7 @@ }, { "title": "فصل ۷: آمار و احتمال", + "blurb": "در این فصل: احتمال یا اندازه‌گیری شانس، مقدمه‌ای بر علم آمار، جامعه و نمونه و متغیر و انواع آن.", "order": 7, "nodes": [ { @@ -9286,7 +12573,16 @@ "lessons": [ { "title": "احتمال با استفاده از فضای نمونه", - "introText": "۱. فضای نمونه را مشخص کنید. ۲. تعداد کل حالت‌های ممکن را بشمارید. ۳. تعداد حالت‌های مطلوب را بشمارید. ۴. احتمال را با تقسیم تعداد حالت‌های مطلوب بر تعداد کل حالت‌ها محاسبه کنید." + "introText": "۱. فضای نمونه را مشخص کنید. ۲. تعداد کل حالت‌های ممکن را بشمارید. ۳. تعداد حالت‌های مطلوب را بشمارید. ۴. احتمال را با تقسیم تعداد حالت‌های مطلوب بر تعداد کل حالت‌ها محاسبه کنید.", + "example": "فرض کنید می‌خواهیم یک تاس و یک سکه را با هم بیندازیم: 1) آیا می‌توانید نتیجه حاصل را به‌صورت قطعی بیان کنید؟ 2) آیا این پدیده آزمایش تصادفی است؟ چرا؟ 3) همه حالات ممکن را بنویسید (فضای نمونه‌ای را تشکیل دهید). 4) تعداد این حالات را با استفاده از اصل ضرب به‌دست آورید.", + "steps": [ + "نتیجه حاصل را نمی‌توان به‌صورت قطعی بیان کرد زیرا هر بار ممکن است نتیجه متفاوت باشد.", + "بله، این یک آزمایش تصادفی است زیرا نتیجه آن قابل پیش‌بینی دقیق نیست.", + "فضای نمونه شامل حالات زیر است: (سکه شیر، تاس 1)، (سکه شیر، تاس 2)، ...", + "(سکه شیر، تاس 6)، (سکه خط، تاس 1)، ...", + "(سکه خط، تاس 6).", + "✅ جواب: پاسخ کتاب درست است: فضای نمونه ۱۲ حالت دارد." + ] }, { "title": "احتمال شرطی", @@ -9298,7 +12594,15 @@ }, { "title": "احتمال انتخاب مهره", - "introText": "۱. فضای نمونه را تعیین کنید.\n۲. تعداد حالات مطلوب را مشخص کنید.\n۳. احتمال را با تقسیم تعداد حالات مطلوب بر تعداد کل حالات محاسبه کنید." + "introText": "۱. فضای نمونه را تعیین کنید.\n۲. تعداد حالات مطلوب را مشخص کنید.\n۳. احتمال را با تقسیم تعداد حالات مطلوب بر تعداد کل حالات محاسبه کنید.", + "example": "در جعبه‌ای ۳ مهره قرمز متفاوت (با شماره‌های ۱ تا ۳) و ۲ مهره آبی متفاوت (با شماره‌های ۱ و ۲) وجود دارد. اگر ۳ مهره به تصادف از این جعبه خارج شود، تعداد حالت‌های ممکن در انتخاب ۳ مهره از بین ۵ مهره، چقدر است؟", + "steps": [ + "تعداد کل مهره‌ها ۵ است (۳ مهره قرمز و ۲ مهره آبی).", + "تعداد مهره‌های انتخابی ۳ است.", + "از آنجا که ترتیب انتخاب مهم نیست، از فرمول ترکیب استفاده می‌کنیم:", + "تعداد حالات = C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = (5*4*3!) / (3!*2!) = 10", + "پس تعداد حالت‌های ممکن انتخاب ۳ مهره از ۵ مهره برابر ۱۰ است." + ] }, { "title": "اعمال روی پیشامدها", @@ -9318,7 +12622,16 @@ }, { "title": "تشکیل فضای نمونه", - "introText": "برای تشکیل فضای نمونه، تمامی حالت‌های ممکن برای هر آزمایش را مشخص کرده و آن‌ها را به صورت مجموعه‌ای از زوج مرتب‌ها یا دیگر ساختارهای مناسب نمایش می‌دهیم." + "introText": "برای تشکیل فضای نمونه، تمامی حالت‌های ممکن برای هر آزمایش را مشخص کرده و آن‌ها را به صورت مجموعه‌ای از زوج مرتب‌ها یا دیگر ساختارهای مناسب نمایش می‌دهیم.", + "example": "فرض کنید می‌خواهیم یک تاس و یک سکه را با هم بیندازیم: 1) آیا می‌توانید نتیجه حاصل را به‌صورت قطعی بیان کنید؟ 2) آیا این پدیده آزمایش تصادفی است؟ چرا؟ 3) همه حالات ممکن را بنویسید (فضای نمونه‌ای را تشکیل دهید). 4) تعداد این حالات را با استفاده از اصل ضرب به‌دست آورید.", + "steps": [ + "نتیجه حاصل را نمی‌توان به‌صورت قطعی بیان کرد زیرا هر بار ممکن است نتیجه متفاوت باشد.", + "بله، این یک آزمایش تصادفی است زیرا نتیجه آن قابل پیش‌بینی دقیق نیست.", + "فضای نمونه شامل حالات زیر است: (سکه شیر، تاس 1)، (سکه شیر، تاس 2)، ...", + "(سکه شیر، تاس 6)، (سکه خط، تاس 1)، ...", + "(سکه خط، تاس 6).", + "✅ جواب: پاسخ کتاب درست است: فضای نمونه ۱۲ حالت دارد." + ] }, { "title": "احتمال", @@ -9338,7 +12651,16 @@ }, { "title": "فضای نمونه", - "introText": "برای تعیین فضای نمونه، تمامی حالت‌های ممکن را که می‌توانند در نتیجه آزمایش تصادفی رخ دهند، شناسایی کنید." + "introText": "برای تعیین فضای نمونه، تمامی حالت‌های ممکن را که می‌توانند در نتیجه آزمایش تصادفی رخ دهند، شناسایی کنید.", + "example": "فرض کنید می‌خواهیم یک تاس و یک سکه را با هم بیندازیم: 1) آیا می‌توانید نتیجه حاصل را به‌صورت قطعی بیان کنید؟ 2) آیا این پدیده آزمایش تصادفی است؟ چرا؟ 3) همه حالات ممکن را بنویسید (فضای نمونه‌ای را تشکیل دهید). 4) تعداد این حالات را با استفاده از اصل ضرب به‌دست آورید.", + "steps": [ + "نتیجه حاصل را نمی‌توان به‌صورت قطعی بیان کرد زیرا هر بار ممکن است نتیجه متفاوت باشد.", + "بله، این یک آزمایش تصادفی است زیرا نتیجه آن قابل پیش‌بینی دقیق نیست.", + "فضای نمونه شامل حالات زیر است: (سکه شیر، تاس 1)، (سکه شیر، تاس 2)، ...", + "(سکه شیر، تاس 6)، (سکه خط، تاس 1)، ...", + "(سکه خط، تاس 6).", + "✅ جواب: پاسخ کتاب درست است: فضای نمونه ۱۲ حالت دارد." + ] }, { "title": "احتمال مرتب‌سازی تصادفی", @@ -9352,7 +12674,14 @@ "lessons": [ { "title": "تحلیل داده‌های آماری", - "introText": "۱. جمع‌آوری داده‌ها\n۲. تحلیل داده‌ها\n۳. تفسیر نتایج\n۴. تصمیم‌گیری بر اساس نتایج" + "introText": "۱. جمع‌آوری داده‌ها\n۲. تحلیل داده‌ها\n۳. تفسیر نتایج\n۴. تصمیم‌گیری بر اساس نتایج", + "example": "مدیر کارخانه‌ای برای پیدا کردن تعداد کل لامپ‌های معیوب در یک ماه آینده، تعداد لامپ‌های معیوب را در پنج روز کاری به صورت زیر جمع‌آوری کرده است:\nروز اول: 50\nروز دوم: 70\nروز سوم: 90\nروز چهارم: 120\nروز پنجم: 180\nالف) روند تغییر اعداد و ارقام در این تمرین نشان‌دهنده چه چیزی است؟\nب) در این تمرین چه چیزی به عنوان آمار محسوب می‌شود؟\nپ) بهترین تصمیمی که مدیر کارخانه بر اساس علم آمار می‌تواند بگیرد، چیست؟\n(توقف یا اصلاح خط تولید لامپ‌ها / ادامه خط تولید لامپ‌ها)", + "steps": [ + "الف) روند تغییر اعداد نشان‌دهنده افزایش تعداد لامپ‌های معیوب در روزهای کاری است.", + "ب) تعداد لامپ‌های معیوب در هر روز به عنوان داده‌های آماری محسوب می‌شود.", + "پ) با توجه به افزایش تعداد لامپ‌های معیوب، بهترین تصمیم توقف یا اصلاح خط تولید لامپ‌ها است تا مشکل برطرف شود.", + "✅ جواب: الف) افزایش تعداد لامپ‌های معیوب. ب) تعداد لامپ‌های معیوب هر روز. پ) توقف یا اصلاح خط تولید." + ] }, { "title": "تبدیل شکل به جدول عددی", @@ -9360,11 +12689,26 @@ }, { "title": "محاسبه شاخص توده بدنی", - "introText": "۱. وزن فرد را بر حسب کیلوگرم مشخص کنید.\n۲. قد فرد را بر حسب متر مشخص کنید.\n۳. شاخص توده بدنی را با فرمول وزن تقسیم بر مربع قد محاسبه کنید." + "introText": "۱. وزن فرد را بر حسب کیلوگرم مشخص کنید.\n۲. قد فرد را بر حسب متر مشخص کنید.\n۳. شاخص توده بدنی را با فرمول وزن تقسیم بر مربع قد محاسبه کنید.", + "example": "فرض کنید وزن شخصی 100 کیلوگرم و قدش 1.74 متر باشد. شاخص توده بدن شخص به صورت زیر است:\nشاخص توده بدن = 100 / (1.74)² = 33.02\n1) با مراجعه به جدول موجود در کاربرد علم آمار و احتمال در پزشکی، درباره چاق بودن این شخص به چه نتیجه‌ای می‌رسید؟\n2) درباره چاق بودن خودتان و اعضای خانواده خود اظهار نظر کنید.", + "steps": [ + "شاخص توده بدنی محاسبه شده 33.02 است.", + "با مراجعه به جدول شاخص توده بدنی، مقدار بالای 30 نشان‌دهنده چاقی است.", + "بنابراین، این شخص در دسته افراد چاق قرار می‌گیرد.", + "برای سوال دوم، باید شاخص توده بدنی خود و اعضای خانواده را محاسبه و با جدول مقایسه کنید تا وضعیت چاقی یا نرمال بودن مشخص شود.", + "✅ جواب: شاخص توده بدنی 33.02 بزرگ‌تر از 30 است، بنابراین شخص چاق محسوب می‌شود." + ] }, { "title": "تحلیل آماری و احتمال", - "introText": "۱. به جدول داده‌های آماری مراجعه کنید.\n۲. داده‌های مورد نظر را استخراج کنید.\n۳. احتمال وقوع رویداد مورد نظر را با استفاده از داده‌ها محاسبه کنید." + "introText": "۱. به جدول داده‌های آماری مراجعه کنید.\n۲. داده‌های مورد نظر را استخراج کنید.\n۳. احتمال وقوع رویداد مورد نظر را با استفاده از داده‌ها محاسبه کنید.", + "example": "مدیر کارخانه‌ای برای پیدا کردن تعداد کل لامپ‌های معیوب در یک ماه آینده، تعداد لامپ‌های معیوب را در پنج روز کاری به صورت زیر جمع‌آوری کرده است:\nروز اول: 50\nروز دوم: 70\nروز سوم: 90\nروز چهارم: 120\nروز پنجم: 180\nالف) روند تغییر اعداد و ارقام در این تمرین نشان‌دهنده چه چیزی است؟\nب) در این تمرین چه چیزی به عنوان آمار محسوب می‌شود؟\nپ) بهترین تصمیمی که مدیر کارخانه بر اساس علم آمار می‌تواند بگیرد، چیست؟\n(توقف یا اصلاح خط تولید لامپ‌ها / ادامه خط تولید لامپ‌ها)", + "steps": [ + "الف) روند تغییر اعداد نشان‌دهنده افزایش تعداد لامپ‌های معیوب در روزهای کاری است.", + "ب) تعداد لامپ‌های معیوب در هر روز به عنوان داده‌های آماری محسوب می‌شود.", + "پ) با توجه به افزایش تعداد لامپ‌های معیوب، بهترین تصمیم توقف یا اصلاح خط تولید لامپ‌ها است تا مشکل برطرف شود.", + "✅ جواب: الف) افزایش تعداد لامپ‌های معیوب. ب) تعداد لامپ‌های معیوب هر روز. پ) توقف یا اصلاح خط تولید." + ] }, { "title": "نمونه‌گیری و جامعه آماری", @@ -9382,19 +12726,50 @@ "lessons": [ { "title": "تشخیص متغیرهای کمی و کیفی", - "introText": "۱. متغیرهای موجود را شناسایی کنید.\n۲. بررسی کنید که آیا متغیرها قابل اندازه‌گیری هستند یا خیر.\n۳. متغیرهای قابل اندازه‌گیری را به عنوان متغیرهای کمی و سایر متغیرها را به عنوان متغیرهای کیفی دسته‌بندی کنید." + "introText": "۱. متغیرهای موجود را شناسایی کنید.\n۲. بررسی کنید که آیا متغیرها قابل اندازه‌گیری هستند یا خیر.\n۳. متغیرهای قابل اندازه‌گیری را به عنوان متغیرهای کمی و سایر متغیرها را به عنوان متغیرهای کیفی دسته‌بندی کنید.", + "example": "وزن و کیفیت میوه هلو به عنوان دو متغیر مربوط به میوه هلو در نظر گرفته شده است. وزن هلو ۲۰۰ گرم و کیفیت هلو دارای سه درجه: درجه یک (۱)، درجه دو (۲) و درجه سه (۳) است. همچنین در یک خودرو، متغیرهای سرعت خودرو (حداکثر سرعت مجاز ۱۲۰ کیلومتر بر ساعت)، میزان بنزین مصرفی برای هر ۱۰۰ کیلومتر (۸ لیتر) و رنگ خودرو (سفید) معرفی شده‌اند. متغیرها و مقادیر آن‌ها را مشخص کنید.", + "steps": [ + "در مثال میوه هلو:", + "متغیر اول: وزن هلو که مقدار آن ۲۰۰ گرم است (متغیر کمی).", + "متغیر دوم: کیفیت هلو که دارای سه درجه ۱، ۲ و ۳ است (متغیر کیفی).", + "در مثال خودرو:", + "متغیر اول: حداکثر سرعت مجاز خودرو در جاده که مقدار آن ۱۲۰ کیلومتر بر ساعت است (متغیر کمی).", + "✅ جواب: متغیرها و مقادیرشان در هر دو مثال به درستی شناسایی شده‌اند." + ] }, { "title": "تشخیص نوع متغیر", - "introText": "برای تشخیص نوع متغیر، ابتدا بررسی کنید که آیا متغیر قابل اندازه‌گیری است یا خیر. اگر قابل اندازه‌گیری باشد، متغیر کمی است و اگر نباشد، متغیر کیفی است." + "introText": "برای تشخیص نوع متغیر، ابتدا بررسی کنید که آیا متغیر قابل اندازه‌گیری است یا خیر. اگر قابل اندازه‌گیری باشد، متغیر کمی است و اگر نباشد، متغیر کیفی است.", + "example": "مراحل رشد یک انسان (نوزاد، کودک، نوجوان، جوان، میان سال، کهن‌سال) را تعیین کنید که نوع متغیر اسمی است یا ترتیبی.", + "steps": [ + "مراحل رشد انسان دارای ترتیب زمانی مشخص هستند، بنابراین این متغیر از نوع ترتیبی است." + ] }, { "title": "متغیرهای کمی و کیفی", - "introText": "۱. تعیین نوع متغیر (کمی یا کیفی). ۲. بررسی ویژگی‌های متغیر. ۳. تحلیل داده‌ها بر اساس نوع متغیر." + "introText": "۱. تعیین نوع متغیر (کمی یا کیفی). ۲. بررسی ویژگی‌های متغیر. ۳. تحلیل داده‌ها بر اساس نوع متغیر.", + "example": "وزن و کیفیت میوه هلو به عنوان دو متغیر مربوط به میوه هلو در نظر گرفته شده است. وزن هلو ۲۰۰ گرم و کیفیت هلو دارای سه درجه: درجه یک (۱)، درجه دو (۲) و درجه سه (۳) است. همچنین در یک خودرو، متغیرهای سرعت خودرو (حداکثر سرعت مجاز ۱۲۰ کیلومتر بر ساعت)، میزان بنزین مصرفی برای هر ۱۰۰ کیلومتر (۸ لیتر) و رنگ خودرو (سفید) معرفی شده‌اند. متغیرها و مقادیر آن‌ها را مشخص کنید.", + "steps": [ + "در مثال میوه هلو:", + "متغیر اول: وزن هلو که مقدار آن ۲۰۰ گرم است (متغیر کمی).", + "متغیر دوم: کیفیت هلو که دارای سه درجه ۱، ۲ و ۳ است (متغیر کیفی).", + "در مثال خودرو:", + "متغیر اول: حداکثر سرعت مجاز خودرو در جاده که مقدار آن ۱۲۰ کیلومتر بر ساعت است (متغیر کمی).", + "✅ جواب: متغیرها و مقادیرشان در هر دو مثال به درستی شناسایی شده‌اند." + ] }, { "title": "تفاوت متغیرهای کمی و کیفی", - "introText": "۱. شناسایی متغیرهای موجود. ۲. تعیین نوع هر متغیر. ۳. مقایسه ویژگی‌های متغیرهای کمی و کیفی." + "introText": "۱. شناسایی متغیرهای موجود. ۲. تعیین نوع هر متغیر. ۳. مقایسه ویژگی‌های متغیرهای کمی و کیفی.", + "example": "وزن و کیفیت میوه هلو به عنوان دو متغیر مربوط به میوه هلو در نظر گرفته شده است. وزن هلو ۲۰۰ گرم و کیفیت هلو دارای سه درجه: درجه یک (۱)، درجه دو (۲) و درجه سه (۳) است. همچنین در یک خودرو، متغیرهای سرعت خودرو (حداکثر سرعت مجاز ۱۲۰ کیلومتر بر ساعت)، میزان بنزین مصرفی برای هر ۱۰۰ کیلومتر (۸ لیتر) و رنگ خودرو (سفید) معرفی شده‌اند. متغیرها و مقادیر آن‌ها را مشخص کنید.", + "steps": [ + "در مثال میوه هلو:", + "متغیر اول: وزن هلو که مقدار آن ۲۰۰ گرم است (متغیر کمی).", + "متغیر دوم: کیفیت هلو که دارای سه درجه ۱، ۲ و ۳ است (متغیر کیفی).", + "در مثال خودرو:", + "متغیر اول: حداکثر سرعت مجاز خودرو در جاده که مقدار آن ۱۲۰ کیلومتر بر ساعت است (متغیر کمی).", + "✅ جواب: متغیرها و مقادیرشان در هر دو مثال به درستی شناسایی شده‌اند." + ] }, { "title": "تشخیص متغیرهای پیوسته و گسسته", @@ -9402,11 +12777,29 @@ }, { "title": "متغیرهای کیفی", - "introText": "برای تشخیص نوع متغیر کیفی، ابتدا بررسی کنید که آیا ترتیب طبیعی وجود دارد یا خیر. اگر ترتیب وجود دارد، متغیر ترتیبی است. در غیر این صورت، متغیر اسمی است." + "introText": "برای تشخیص نوع متغیر کیفی، ابتدا بررسی کنید که آیا ترتیب طبیعی وجود دارد یا خیر. اگر ترتیب وجود دارد، متغیر ترتیبی است. در غیر این صورت، متغیر اسمی است.", + "example": "وزن و کیفیت میوه هلو به عنوان دو متغیر مربوط به میوه هلو در نظر گرفته شده است. وزن هلو ۲۰۰ گرم و کیفیت هلو دارای سه درجه: درجه یک (۱)، درجه دو (۲) و درجه سه (۳) است. همچنین در یک خودرو، متغیرهای سرعت خودرو (حداکثر سرعت مجاز ۱۲۰ کیلومتر بر ساعت)، میزان بنزین مصرفی برای هر ۱۰۰ کیلومتر (۸ لیتر) و رنگ خودرو (سفید) معرفی شده‌اند. متغیرها و مقادیر آن‌ها را مشخص کنید.", + "steps": [ + "در مثال میوه هلو:", + "متغیر اول: وزن هلو که مقدار آن ۲۰۰ گرم است (متغیر کمی).", + "متغیر دوم: کیفیت هلو که دارای سه درجه ۱، ۲ و ۳ است (متغیر کیفی).", + "در مثال خودرو:", + "متغیر اول: حداکثر سرعت مجاز خودرو در جاده که مقدار آن ۱۲۰ کیلومتر بر ساعت است (متغیر کمی).", + "✅ جواب: متغیرها و مقادیرشان در هر دو مثال به درستی شناسایی شده‌اند." + ] }, { "title": "انواع متغیرها", - "introText": "برای تعیین نوع متغیرها، ابتدا باید مشخص کنیم که متغیر کیفی است یا کمی. سپس اگر کیفی باشد، بررسی می‌کنیم که آیا ترتیبی است یا اسمی. اگر کمی باشد، بررسی می‌کنیم که پیوسته است یا گسسته." + "introText": "برای تعیین نوع متغیرها، ابتدا باید مشخص کنیم که متغیر کیفی است یا کمی. سپس اگر کیفی باشد، بررسی می‌کنیم که آیا ترتیبی است یا اسمی. اگر کمی باشد، بررسی می‌کنیم که پیوسته است یا گسسته.", + "example": "وزن و کیفیت میوه هلو به عنوان دو متغیر مربوط به میوه هلو در نظر گرفته شده است. وزن هلو ۲۰۰ گرم و کیفیت هلو دارای سه درجه: درجه یک (۱)، درجه دو (۲) و درجه سه (۳) است. همچنین در یک خودرو، متغیرهای سرعت خودرو (حداکثر سرعت مجاز ۱۲۰ کیلومتر بر ساعت)، میزان بنزین مصرفی برای هر ۱۰۰ کیلومتر (۸ لیتر) و رنگ خودرو (سفید) معرفی شده‌اند. متغیرها و مقادیر آن‌ها را مشخص کنید.", + "steps": [ + "در مثال میوه هلو:", + "متغیر اول: وزن هلو که مقدار آن ۲۰۰ گرم است (متغیر کمی).", + "متغیر دوم: کیفیت هلو که دارای سه درجه ۱، ۲ و ۳ است (متغیر کیفی).", + "در مثال خودرو:", + "متغیر اول: حداکثر سرعت مجاز خودرو در جاده که مقدار آن ۱۲۰ کیلومتر بر ساعت است (متغیر کمی).", + "✅ جواب: متغیرها و مقادیرشان در هر دو مثال به درستی شناسایی شده‌اند." + ] }, { "title": "محاسبه شاخص توده بدن", @@ -9429,6 +12822,7 @@ "units": [ { "title": "فصل ۱: جبر و معادله", + "blurb": "در این فصل: مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی، معادله‌های درجه دوم و معادله‌های گویا و گنگ و ….", "order": 1, "nodes": [ { @@ -9465,7 +12859,16 @@ }, { "title": "محاسبه مجموع فاصله‌های برخورد توپ با زمین در حرکت متوالی", - "introText": "1. ارتفاع اولیه توپ را a می‌نامیم.\n2. نسبت کاهش ارتفاع پس از هر برخورد را q فرض می‌کنیم.\n3. ارتفاع برخوردهای متوالی به صورت دنباله هندسی است: a, aq, aq^2, ...\n4. فاصله طی شده بین برخوردها برابر مجموع دو برابر ارتفاع‌های سقوط و جهش است.\n5. مجموع کل فاصله‌ها تا برخورد nام برابر مجموع جملات دنباله هندسی با ضریب مناسب است.\n6. از فرمول مجموع دنباله هندسی برای محاسبه استفاده می‌کنیم.\n7. مقدار نهایی را با جایگذاری اعداد داده شده محاسبه می‌کنیم." + "introText": "1. ارتفاع اولیه توپ را a می‌نامیم.\n2. نسبت کاهش ارتفاع پس از هر برخورد را q فرض می‌کنیم.\n3. ارتفاع برخوردهای متوالی به صورت دنباله هندسی است: a, aq, aq^2, ...\n4. فاصله طی شده بین برخوردها برابر مجموع دو برابر ارتفاع‌های سقوط و جهش است.\n5. مجموع کل فاصله‌ها تا برخورد nام برابر مجموع جملات دنباله هندسی با ضریب مناسب است.\n6. از فرمول مجموع دنباله هندسی برای محاسبه استفاده می‌کنیم.\n7. مقدار نهایی را با جایگذاری اعداد داده شده محاسبه می‌کنیم.", + "example": "در یک مسابقه تعداد زیادی توپ روی یک خط مستقیم و هر یک به فاصله 3 متر از هم قرار دارند. فاصله توپ اول تا سبد نیز 3 متر است. دونده‌ای باید از کنار سبد شروع کرده توپ اول را بردارد و آن را تا سبد حمل کند و به سبد بیندازد، سپس به طرف توپ بعدی بدود و آن را بردارد و به داخل سبد بیندازد و این کار را ادامه دهد. اگر این دونده در پایان 918 متر دویده باشد، حساب کنید او جمعاً چند توپ در سبد انداخته است؟", + "steps": [ + "فاصله طی شده برای برداشتن توپ اول و قرار دادن آن در سبد برابر 3 + 3 = 6 متر است.", + "برای توپ دوم باید 12 متر و برای توپ سوم 18 متر طی شود و به همین ترتیب فاصله‌ها به صورت 6, 12, 18, ... است.", + "این فاصله‌ها یک دنباله حسابی با جمله اول a = 6 و قدر نسبت d = 6 است.", + "مجموع کل مسافت طی شده برابر 918 متر است.", + "فرمول مجموع دنباله حسابی: S = n/2 * (2a + (n-1)d) را داریم.", + "جایگذاری مقادیر: 918 = n/2 * (2*6 + (n-1)*6) = n/2 * (12 + 6n - 6) = n/2 * (6 + 6n) = 3n(n+1). معادله: 3n(n+1) = 918 => n(n+1) = 306. حل معادله درجه دو: n² + n - 306 = 0. با حل معادله، n = 17 (مقدار مثبت). بنابراین تعداد توپ‌های انداخته شده 17 عدد است." + ] }, { "title": "مجموع دنباله‌های حسابی", @@ -9523,7 +12926,16 @@ }, { "title": "یافتن ضابطه تابع درجه دوم با استفاده از صفرهای تابع", - "introText": "1. فرض کنید تابع درجه دوم به صورت f(x) = ax^2 + bx + c باشد.\n2. صفرهای تابع را x' و x'' در نظر بگیرید.\n3. تابع را به صورت ضرب دو عامل (x - x')(x - x'') بنویسید: f(x) = a(x - x')(x - x'').\n4. با گسترش ضرب دو جمله‌ای، رابطه بین a، b و c را بیابید.\n5. با استفاده از شرایط داده شده (مثلاً نقاطی که تابع از آنها عبور می‌کند یا مقادیر تابع در نقاط خاص)، مقدار a را تعیین کنید.\n6. ضریب‌های b و c را با استفاده از روابط بین a، b و c محاسبه کنید.\n7. ضابطه کامل تابع را بنویسید." + "introText": "1. فرض کنید تابع درجه دوم به صورت f(x) = ax^2 + bx + c باشد.\n2. صفرهای تابع را x' و x'' در نظر بگیرید.\n3. تابع را به صورت ضرب دو عامل (x - x')(x - x'') بنویسید: f(x) = a(x - x')(x - x'').\n4. با گسترش ضرب دو جمله‌ای، رابطه بین a، b و c را بیابید.\n5. با استفاده از شرایط داده شده (مثلاً نقاطی که تابع از آنها عبور می‌کند یا مقادیر تابع در نقاط خاص)، مقدار a را تعیین کنید.\n6. ضریب‌های b و c را با استفاده از روابط بین a، b و c محاسبه کنید.\n7. ضابطه کامل تابع را بنویسید.", + "example": "اگر x = -1 یک ریشه معادله x² - mx - 7 = 0 باشد، ریشه دیگر کدام است؟", + "steps": [ + "جایگذاری x = -1 در معادله: (-1)² - m(-1) - 7 = 0", + "محاسبه: 1 + m - 7 = 0", + "حل برای m: m - 6 = 0 ⇒ m = 6", + "معادله کامل: x² - 6x - 7 = 0", + "دلتا: Δ = (-6)² - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64", + "ریشه‌ها: x = (6 ± √64) / 2 = (6 ± 8) / 2 ریشه اول: x = (6 + 8) / 2 = 14 / 2 = 7 ریشه دوم: x = (6 - 8) / 2 = -2 / 2 = -1 (که داده شده است) بنابراین ریشه دیگر 7 است." + ] }, { "title": "تحلیل ویژگی‌های نمودار سهمی با معادله کلی", @@ -9567,7 +12979,16 @@ }, { "title": "تعیین تعداد و مقدار تقریبی ریشه‌های معادله درجه سوم با استفاده از نمودار", - "introText": "1. معادله داده شده را به صورت تابع f(x) تعریف کنید.\n2. نمودار تابع را رسم یا بررسی کنید.\n3. نقاطی که نمودار محور x را قطع می‌کند، ریشه‌های معادله هستند.\n4. تعداد ریشه‌ها برابر تعداد نقاط تقاطع نمودار با محور x است.\n5. مقدار تقریبی ریشه‌ها برابر مقادیر x در نقاط تقاطع است." + "introText": "1. معادله داده شده را به صورت تابع f(x) تعریف کنید.\n2. نمودار تابع را رسم یا بررسی کنید.\n3. نقاطی که نمودار محور x را قطع می‌کند، ریشه‌های معادله هستند.\n4. تعداد ریشه‌ها برابر تعداد نقاط تقاطع نمودار با محور x است.\n5. مقدار تقریبی ریشه‌ها برابر مقادیر x در نقاط تقاطع است.", + "example": "اگر x = -1 یک ریشه معادله x² - mx - 7 = 0 باشد، ریشه دیگر کدام است؟", + "steps": [ + "جایگذاری x = -1 در معادله: (-1)² - m(-1) - 7 = 0", + "محاسبه: 1 + m - 7 = 0", + "حل برای m: m - 6 = 0 ⇒ m = 6", + "معادله کامل: x² - 6x - 7 = 0", + "دلتا: Δ = (-6)² - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64", + "ریشه‌ها: x = (6 ± √64) / 2 = (6 ± 8) / 2 ریشه اول: x = (6 + 8) / 2 = 14 / 2 = 7 ریشه دوم: x = (6 - 8) / 2 = -2 / 2 = -1 (که داده شده است) بنابراین ریشه دیگر 7 است." + ] }, { "title": "تحلیل نمودار تابع درجه دوم و تعیین صفرها و ضابطه تابع", @@ -9593,7 +13014,16 @@ }, { "title": "حل معادلات گویا", - "introText": "۱. تعیین کوچک‌ترین مضرب مشترک مخرج کسرها. ۲. ضرب طرفین معادله در کوچک‌ترین مضرب مشترک مخرج‌ها برای حذف مخرج‌ها. ۳. ساده‌سازی و تبدیل معادله به معادله چندجمله‌ای. ۴. حل معادله چندجمله‌ای به دست آمده. ۵. بررسی جواب‌ها و حذف جواب‌هایی که مخرج‌ها را صفر می‌کنند (جواب‌های نامعتبر)." + "introText": "۱. تعیین کوچک‌ترین مضرب مشترک مخرج کسرها. ۲. ضرب طرفین معادله در کوچک‌ترین مضرب مشترک مخرج‌ها برای حذف مخرج‌ها. ۳. ساده‌سازی و تبدیل معادله به معادله چندجمله‌ای. ۴. حل معادله چندجمله‌ای به دست آمده. ۵. بررسی جواب‌ها و حذف جواب‌هایی که مخرج‌ها را صفر می‌کنند (جواب‌های نامعتبر).", + "example": "معادله 6/x = 7 + (x-3)/(x+1) را حل کنید.", + "steps": [ + "مخرج‌ها x و x+1 هستند.", + "معادله را در x(x+1) ضرب می‌کنیم:", + "6(x+1) = 7x(x+1) + (x-3)x", + "عبارت‌ها را باز می‌کنیم:", + "6x + 6 = 7x² + 7x + x² - 3x", + "✅ جواب: x=1 یا x=-3/4" + ] }, { "title": "حل مسائل نسبت طلایی در مستطیل", @@ -9647,7 +13077,16 @@ }, { "title": "اثبات رابطه قدر مطلق تقسیم", - "introText": "برای اثبات رابطه قدر مطلق تقسیم، ابتدا فرض می‌کنیم مخرج کسر صفر نباشد. سپس با استفاده از تعریف قدر مطلق و خاصیت تقسیم اعداد حقیقی، رابطه را به صورت مرحله‌ای ثابت می‌کنیم. معمولاً از خاصیت ضرب قدر مطلق و تقسیم استفاده می‌شود." + "introText": "برای اثبات رابطه قدر مطلق تقسیم، ابتدا فرض می‌کنیم مخرج کسر صفر نباشد. سپس با استفاده از تعریف قدر مطلق و خاصیت تقسیم اعداد حقیقی، رابطه را به صورت مرحله‌ای ثابت می‌کنیم. معمولاً از خاصیت ضرب قدر مطلق و تقسیم استفاده می‌شود.", + "example": "نمودار تابع f(x) = |x-1| + |x+2| را رسم کنید.", + "steps": [ + "گام اول: تعیین علامت عبارات داخل قدر مطلق‌ها:", + "عبارت x-1 صفر می‌شود وقتی x=1 و عبارت x+2 صفر می‌شود وقتی x=-2.", + "گام دوم: نوشتن تابع به صورت دو ضابطه‌ای در بازه‌های مختلف:", + "برای x < -2:", + "f(x) = -(x-1) - (x+2) = -x + 1 - x - 2 = -2x - 1", + "✅ جواب: f(x) = -2x-1 (x<-2), 3 (-2≤x≤1), 2x+1 (x>1)" + ] }, { "title": "حل نامعادله‌های قدر مطلق و نمایش جواب‌ها روی محور اعداد", @@ -9663,11 +13102,29 @@ }, { "title": "حل معادلات قدر مطلق با استفاده از تعریف قدر مطلق", - "introText": "با توجه به تعریف قدر مطلق، مقدار قدر مطلق یک عدد برابر است با خود عدد اگر آن عدد مثبت یا صفر باشد و برابر منفی آن عدد اگر منفی باشد. بنابراین معادله را به دو حالت تقسیم می‌کنیم: حالت اول که داخل قدر مطلق بزرگ‌تر یا مساوی صفر است و حالت دوم که داخل قدر مطلق کمتر از صفر است. در هر حالت معادله را بدون قدر مطلق حل می‌کنیم و جواب‌ها را در مجموعه جواب قرار می‌دهیم." + "introText": "با توجه به تعریف قدر مطلق، مقدار قدر مطلق یک عدد برابر است با خود عدد اگر آن عدد مثبت یا صفر باشد و برابر منفی آن عدد اگر منفی باشد. بنابراین معادله را به دو حالت تقسیم می‌کنیم: حالت اول که داخل قدر مطلق بزرگ‌تر یا مساوی صفر است و حالت دوم که داخل قدر مطلق کمتر از صفر است. در هر حالت معادله را بدون قدر مطلق حل می‌کنیم و جواب‌ها را در مجموعه جواب قرار می‌دهیم.", + "example": "نمودار تابع f(x) = |x-1| + |x+2| را رسم کنید.", + "steps": [ + "گام اول: تعیین علامت عبارات داخل قدر مطلق‌ها:", + "عبارت x-1 صفر می‌شود وقتی x=1 و عبارت x+2 صفر می‌شود وقتی x=-2.", + "گام دوم: نوشتن تابع به صورت دو ضابطه‌ای در بازه‌های مختلف:", + "برای x < -2:", + "f(x) = -(x-1) - (x+2) = -x + 1 - x - 2 = -2x - 1", + "✅ جواب: f(x) = -2x-1 (x<-2), 3 (-2≤x≤1), 2x+1 (x>1)" + ] }, { "title": "حل معادلات قدر مطلق با روش هندسی", - "introText": "ابتدا توابع داخل قدر مطلق را به صورت جداگانه رسم می‌کنیم. سپس محل‌های تلاقی نمودارهای این توابع را مشخص می‌کنیم. طول‌های تلاقی این نمودارها نقاطی هستند که جواب معادله قدر مطلق را تشکیل می‌دهند. این روش به صورت تصویری و هندسی جواب معادله را نشان می‌دهد." + "introText": "ابتدا توابع داخل قدر مطلق را به صورت جداگانه رسم می‌کنیم. سپس محل‌های تلاقی نمودارهای این توابع را مشخص می‌کنیم. طول‌های تلاقی این نمودارها نقاطی هستند که جواب معادله قدر مطلق را تشکیل می‌دهند. این روش به صورت تصویری و هندسی جواب معادله را نشان می‌دهد.", + "example": "نمودار تابع f(x) = |x-1| + |x+2| را رسم کنید.", + "steps": [ + "گام اول: تعیین علامت عبارات داخل قدر مطلق‌ها:", + "عبارت x-1 صفر می‌شود وقتی x=1 و عبارت x+2 صفر می‌شود وقتی x=-2.", + "گام دوم: نوشتن تابع به صورت دو ضابطه‌ای در بازه‌های مختلف:", + "برای x < -2:", + "f(x) = -(x-1) - (x+2) = -x + 1 - x - 2 = -2x - 1", + "✅ جواب: f(x) = -2x-1 (x<-2), 3 (-2≤x≤1), 2x+1 (x>1)" + ] }, { "title": "حل معادلات قدر مطلق با توان رساندن طرفین", @@ -9729,7 +13186,16 @@ }, { "title": "بررسی قائم‌الزاویه بودن مثلث در صفحه مختصات", - "introText": "1. سه نقطه A(x₁, y₁)، B(x₂, y₂) و C(x₃, y₃) را در نظر بگیرید.\n2. شیب خطوط AB و AC را محاسبه کنید: m_AB = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)، m_AC = (y₃ - y₁) / (x₃ - x₁).\n3. اگر حاصل‌ضرب شیب‌ها برابر -1 باشد، خطوط عمودند و زاویه بین آن‌ها قائمه است.\n4. بنابراین مثلث ABC قائم‌الزاویه است اگر m_AB * m_AC = -1.\n5. در غیر این صورت، زاویه قائمه نیست." + "introText": "1. سه نقطه A(x₁, y₁)، B(x₂, y₂) و C(x₃, y₃) را در نظر بگیرید.\n2. شیب خطوط AB و AC را محاسبه کنید: m_AB = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)، m_AC = (y₃ - y₁) / (x₃ - x₁).\n3. اگر حاصل‌ضرب شیب‌ها برابر -1 باشد، خطوط عمودند و زاویه بین آن‌ها قائمه است.\n4. بنابراین مثلث ABC قائم‌الزاویه است اگر m_AB * m_AC = -1.\n5. در غیر این صورت، زاویه قائمه نیست.", + "example": "دو نقطه A(2, 5) و B(6, 3) را در صفحه‌ مختصات در نظر بگیرید. طول پاره‌خط AB را محاسبه کنید.", + "steps": [ + "مختصات نقاط: A(2, 5) و B(6, 3).", + "اختلاف مختصات x: 6 - 2 = 4.", + "اختلاف مختصات y: 3 - 5 = -2.", + "مربع اختلاف‌ها: 4² = 16 و (-2)² = 4.", + "جمع مربع‌ها: 16 + 4 = 20.", + "جذر مجموع: √20 = 2√5. بنابراین طول پاره‌خط AB برابر است با 2√5." + ] }, { "title": "محاسبه طول اضلاع مثلث در صفحه مختصات", @@ -9737,7 +13203,16 @@ }, { "title": "محاسبه شیب خطوط در صفحه مختصات", - "introText": "1. دو نقطه A(x₁, y₁) و B(x₂, y₂) را در نظر بگیرید.\n2. شیب خط AB را با فرمول m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) محاسبه کنید.\n3. همین کار را برای خط AC انجام دهید.\n4. رابطه بین دو شیب را بررسی کنید (مثلاً برای قائم‌الزاویه بودن ضرب شیب‌ها باید -1 باشد)." + "introText": "1. دو نقطه A(x₁, y₁) و B(x₂, y₂) را در نظر بگیرید.\n2. شیب خط AB را با فرمول m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) محاسبه کنید.\n3. همین کار را برای خط AC انجام دهید.\n4. رابطه بین دو شیب را بررسی کنید (مثلاً برای قائم‌الزاویه بودن ضرب شیب‌ها باید -1 باشد).", + "example": "دو نقطه A(2, 5) و B(6, 3) را در صفحه‌ مختصات در نظر بگیرید. طول پاره‌خط AB را محاسبه کنید.", + "steps": [ + "مختصات نقاط: A(2, 5) و B(6, 3).", + "اختلاف مختصات x: 6 - 2 = 4.", + "اختلاف مختصات y: 3 - 5 = -2.", + "مربع اختلاف‌ها: 4² = 16 و (-2)² = 4.", + "جمع مربع‌ها: 16 + 4 = 20.", + "جذر مجموع: √20 = 2√5. بنابراین طول پاره‌خط AB برابر است با 2√5." + ] }, { "title": "نوشتن معادله عمودمنصف پاره‌خط", @@ -9781,7 +13256,16 @@ }, { "title": "کار با مختصات و بردارها در مثلث", - "introText": "1. رسم مثلث با استفاده از مختصات داده شده. 2. بررسی برابری طول اضلاع برای اثبات متساوی الساقین بودن مثلث با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه. 3. یافتن معادله عمود منصف ضلع BC با استفاده از شیب و نقطه وسط ضلع. 4. محاسبه طول ارتفاع AH با استفاده از فاصله نقطه تا خط." + "introText": "1. رسم مثلث با استفاده از مختصات داده شده. 2. بررسی برابری طول اضلاع برای اثبات متساوی الساقین بودن مثلث با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه. 3. یافتن معادله عمود منصف ضلع BC با استفاده از شیب و نقطه وسط ضلع. 4. محاسبه طول ارتفاع AH با استفاده از فاصله نقطه تا خط.", + "example": "سه نقطه A(3, 2)، B(-1, 2) و C(0, -5) سه رأس مثلث ABC در صفحه مختصات هستند. طول اضلاع مثلث را به دست آورید.", + "steps": [ + "طول AB:", + "AB = √((-1 - 3)² + (2 - 2)²) = √((-4)² + 0²) = √16 = 4.", + "طول BC:", + "BC = √((0 - (-1))² + (-5 - 2)²) = √(1² + (-7)²) = √(1 + 49) = √50 = 5√2.", + "طول AC:", + "✅ جواب: AB=4، BC=5√2، AC=√58" + ] }, { "title": "یافتن مرکز و شعاع دایره با استفاده از نقاط روی قطر", @@ -9801,7 +13285,16 @@ }, { "title": "محاسبه مختصات نقطه روی نیم‌دایره", - "introText": "1. معادله دایره را بنویسید: x² + y² = شعاع².\n2. با توجه به اینکه نقطه روی نیم‌دایره است و مختصات y آن مثبت است، مقدار y را به صورت y=√(شعاع² - x²) بنویسید.\n3. مقدار x را با توجه به شرایط مسئله پیدا کنید.\n4. شیب خطوط را با استفاده از فرمول شیب m = (y2 - y1) / (x2 - x1) محاسبه کنید.\n5. بررسی قائم بودن زاویه با استفاده از حاصل‌ضرب داخلی شیب‌ها (اگر حاصل‌ضرب برابر -1 باشد، زاویه قائمه است)." + "introText": "1. معادله دایره را بنویسید: x² + y² = شعاع².\n2. با توجه به اینکه نقطه روی نیم‌دایره است و مختصات y آن مثبت است، مقدار y را به صورت y=√(شعاع² - x²) بنویسید.\n3. مقدار x را با توجه به شرایط مسئله پیدا کنید.\n4. شیب خطوط را با استفاده از فرمول شیب m = (y2 - y1) / (x2 - x1) محاسبه کنید.\n5. بررسی قائم بودن زاویه با استفاده از حاصل‌ضرب داخلی شیب‌ها (اگر حاصل‌ضرب برابر -1 باشد، زاویه قائمه است).", + "example": "دو نقطه A(2, 5) و B(6, 3) را در صفحه‌ مختصات در نظر بگیرید. طول پاره‌خط AB را محاسبه کنید.", + "steps": [ + "مختصات نقاط: A(2, 5) و B(6, 3).", + "اختلاف مختصات x: 6 - 2 = 4.", + "اختلاف مختصات y: 3 - 5 = -2.", + "مربع اختلاف‌ها: 4² = 16 و (-2)² = 4.", + "جمع مربع‌ها: 16 + 4 = 20.", + "جذر مجموع: √20 = 2√5. بنابراین طول پاره‌خط AB برابر است با 2√5." + ] }, { "title": "محاسبه فاصله نقطه تا خط", @@ -9809,7 +13302,16 @@ }, { "title": "محاسبه طول عمود و مختصات نقطه در مثلث", - "introText": "1. مختصات رأس‌های مثلث را داشته باشید.\n2. برای محاسبه طول عمود، معادله خط قاعده را پیدا کنید.\n3. مختصات نقطه عمود شده را با استفاده از فرمول فاصله عمود و معادله خط پیدا کنید.\n4. طول عمود را با فرمول فاصله بین دو نقطه محاسبه کنید.\n5. برای تعیین مختصات نقطه D که ABCD متوازی‌الاضلاع است، از خاصیت متوازی‌الاضلاع استفاده کنید: D = A + C - B." + "introText": "1. مختصات رأس‌های مثلث را داشته باشید.\n2. برای محاسبه طول عمود، معادله خط قاعده را پیدا کنید.\n3. مختصات نقطه عمود شده را با استفاده از فرمول فاصله عمود و معادله خط پیدا کنید.\n4. طول عمود را با فرمول فاصله بین دو نقطه محاسبه کنید.\n5. برای تعیین مختصات نقطه D که ABCD متوازی‌الاضلاع است، از خاصیت متوازی‌الاضلاع استفاده کنید: D = A + C - B.", + "example": "دو نقطه A(2, 5) و B(6, 3) را در صفحه‌ مختصات در نظر بگیرید. طول پاره‌خط AB را محاسبه کنید.", + "steps": [ + "مختصات نقاط: A(2, 5) و B(6, 3).", + "اختلاف مختصات x: 6 - 2 = 4.", + "اختلاف مختصات y: 3 - 5 = -2.", + "مربع اختلاف‌ها: 4² = 16 و (-2)² = 4.", + "جمع مربع‌ها: 16 + 4 = 20.", + "جذر مجموع: √20 = 2√5. بنابراین طول پاره‌خط AB برابر است با 2√5." + ] }, { "title": "محاسبه نقطه روی خط با شرط مجموع فاصله‌ها", @@ -9821,6 +13323,7 @@ }, { "title": "فصل ۲: تابع", + "blurb": "در این فصل: آشنایی بیشتر با تابع، انواع توابع، وارون تابع و اعمال روی توابع.", "order": 2, "nodes": [ { @@ -9837,7 +13340,14 @@ }, { "title": "تعیین دامنه و برد تابع", - "introText": "1. ابتدا تعریف تابع و رابطه آن را بررسی کنید.\n2. دامنه تابع را با توجه به مجموعه‌ای که متغیر x می‌تواند عضو آن باشد تعیین کنید.\n3. برای هر مقدار از دامنه، مقدار تابع را محاسبه کنید تا برد تابع مشخص شود.\n4. دامنه و برد را به صورت مجموعه یا بازه نمایش دهید." + "introText": "1. ابتدا تعریف تابع و رابطه آن را بررسی کنید.\n2. دامنه تابع را با توجه به مجموعه‌ای که متغیر x می‌تواند عضو آن باشد تعیین کنید.\n3. برای هر مقدار از دامنه، مقدار تابع را محاسبه کنید تا برد تابع مشخص شود.\n4. دامنه و برد را به صورت مجموعه یا بازه نمایش دهید.", + "example": "تابعی مثال بزنید که دامنه آن مجموعه اعداد حقیقی مثبت باشد. چه تعداد از این توابع وجود دارند؟", + "steps": [ + "دامنه تابع مجموعه اعداد حقیقی مثبت است یعنی (0, +∞).", + "توابع زیادی می‌توانند با این دامنه تعریف شوند، مانند f(x) = x, f(x) = x², f(x) = 1/x و ...", + "تعداد این توابع بی‌نهایت است زیرا می‌توان توابع متعددی با دامنه اعداد حقیقی مثبت تعریف کرد.", + "✅ جواب: بی‌نهایت (نامتناهی غیرقابل شمارش)" + ] }, { "title": "رسم نمودار تابع و مقایسه توابع", @@ -9865,7 +13375,15 @@ }, { "title": "رسم و تحلیل نمودار تابع", - "introText": "1. معادله تابع را بررسی کنید و دامنه و برد آن را مشخص کنید.\n2. نقاط مهم تابع را محاسبه کنید (مانند نقاط صفر، نقاط بحرانی و ...).\n3. نمودار تابع را روی صفحه مختصات رسم کنید.\n4. شباهت‌ها و تفاوت‌های نمودار تابع مورد نظر را با نمودار تابع مرجع (مثلاً y = 1/3 x) بررسی و بیان کنید." + "introText": "1. معادله تابع را بررسی کنید و دامنه و برد آن را مشخص کنید.\n2. نقاط مهم تابع را محاسبه کنید (مانند نقاط صفر، نقاط بحرانی و ...).\n3. نمودار تابع را روی صفحه مختصات رسم کنید.\n4. شباهت‌ها و تفاوت‌های نمودار تابع مورد نظر را با نمودار تابع مرجع (مثلاً y = 1/3 x) بررسی و بیان کنید.", + "example": "فرض کنید ماشین f به عنوان ورودی اعداد حقیقی را قبول می‌کند و پس از دریافت هر عدد، آن را سه برابر کرده و سپس 5 واحد به آن اضافه می‌کند. در این صورت برای ورودی 10 خروجی 35 را می‌دهد. به سوالات زیر پاسخ دهید:\nالف) ماشین به ازای ورودی -2 چه خروجی خواهد داشت؟\nب) اگر خروجی ماشین 4 باشد ورودی آن چقدر بوده است؟\nپ) نمایش تابع به صورت f: R → R و f(x) = ... است.\nت) نمودار تابع را رسم و دامنه و برد آن را معلوم کنید.", + "steps": [ + "الف) برای ورودی x = -2 خروجی برابر است با 3*(-2) + 5 = -6 + 5 = -1.", + "ب) اگر خروجی 4 باشد، معادله را حل می‌کنیم: 3x + 5 = 4 → 3x = -1 → x = -1/3.", + "پ) نمایش تابع به صورت f: R → R و f(x) = 3x + 5 است.", + "ت) نمودار تابع خطی است با شیب 3 و عرض از مبدأ 5. دامنه تابع تمام اعداد حقیقی است (R) و برد نیز تمام اعداد حقیقی است (R) زیرا تابع خطی با شیب غیر صفر است و مقادیر خروجی می‌تواند هر عدد حقیقی باشد.", + "✅ جواب: الف) -1 ب) -1/3 پ) f(x)=3x+5 ت) دامنه و برد R" + ] }, { "title": "تعیین تعداد توابع با شرایط داده شده", @@ -9959,7 +13477,16 @@ }, { "title": "رسم نمودار تابع قسمت صحیح", - "introText": "1. تابع قسمت صحیح را به صورت f(x) = [x] تعریف می‌کنیم که مقدار آن برابر با بزرگترین عدد صحیح کمتر یا مساوی x است.\n2. بازه مورد نظر برای x را مشخص می‌کنیم.\n3. بازه را به بخش‌های کوچکتر تقسیم می‌کنیم که در هر بخش مقدار قسمت صحیح ثابت است.\n4. برای هر بخش مقدار y را برابر با قسمت صحیح x قرار می‌دهیم.\n5. نقاط متناظر را روی محور مختصات رسم می‌کنیم و نقاط باز و بسته را برای نمایش بازه‌ها مشخص می‌کنیم.\n6. نقاط را به صورت پله‌ای به هم وصل می‌کنیم تا نمودار کامل شود." + "introText": "1. تابع قسمت صحیح را به صورت f(x) = [x] تعریف می‌کنیم که مقدار آن برابر با بزرگترین عدد صحیح کمتر یا مساوی x است.\n2. بازه مورد نظر برای x را مشخص می‌کنیم.\n3. بازه را به بخش‌های کوچکتر تقسیم می‌کنیم که در هر بخش مقدار قسمت صحیح ثابت است.\n4. برای هر بخش مقدار y را برابر با قسمت صحیح x قرار می‌دهیم.\n5. نقاط متناظر را روی محور مختصات رسم می‌کنیم و نقاط باز و بسته را برای نمایش بازه‌ها مشخص می‌کنیم.\n6. نقاط را به صورت پله‌ای به هم وصل می‌کنیم تا نمودار کامل شود.", + "example": "با کمک نمودار تابع y = √x، نمودار چهار تابع زیر رسم شده‌اند:\n(الف) f(x) = √x + 3\n(ب) h(x) = √x - 3\n(پ) g(x) = √(x - 3)\n(ت) r(x) = √(x + 3)\nتابع مربوط به هر نمودار را مشخص و دامنه و برد آن را معلوم کنید.", + "steps": [ + "الف) f(x) = √x + 3", + "دامنه: x ≥ 0", + "برد: y ≥ 3", + "ب) h(x) = √x - 3", + "دامنه: x ≥ 0", + "✅ جواب: دامنه و بردهای ارائه‌شده برای هر چهار تابع صحیح است." + ] }, { "title": "یافتن دامنه تابع", @@ -9975,11 +13502,29 @@ }, { "title": "رسم نمودار و تعیین دامنه و برد توابع چندجمله‌ای و رادیکالی", - "introText": "1. تابع داده شده را بر اساس شرط‌های دامنه به بخش‌های مختلف تقسیم کنید.\n2. برای هر بخش، تابع را به صورت جداگانه بررسی و نمودار آن را رسم کنید.\n3. دامنه هر بخش را با توجه به شرط‌های داده شده مشخص کنید.\n4. برد تابع را با توجه به مقادیر خروجی در هر بخش تعیین کنید.\n5. نمودار کلی تابع را با ترکیب بخش‌ها رسم کنید." + "introText": "1. تابع داده شده را بر اساس شرط‌های دامنه به بخش‌های مختلف تقسیم کنید.\n2. برای هر بخش، تابع را به صورت جداگانه بررسی و نمودار آن را رسم کنید.\n3. دامنه هر بخش را با توجه به شرط‌های داده شده مشخص کنید.\n4. برد تابع را با توجه به مقادیر خروجی در هر بخش تعیین کنید.\n5. نمودار کلی تابع را با ترکیب بخش‌ها رسم کنید.", + "example": "با کمک نمودار تابع y = √x، نمودار چهار تابع زیر رسم شده‌اند:\n(الف) f(x) = √x + 3\n(ب) h(x) = √x - 3\n(پ) g(x) = √(x - 3)\n(ت) r(x) = √(x + 3)\nتابع مربوط به هر نمودار را مشخص و دامنه و برد آن را معلوم کنید.", + "steps": [ + "الف) f(x) = √x + 3", + "دامنه: x ≥ 0", + "برد: y ≥ 3", + "ب) h(x) = √x - 3", + "دامنه: x ≥ 0", + "✅ جواب: دامنه و بردهای ارائه‌شده برای هر چهار تابع صحیح است." + ] }, { "title": "تشخیص تابع از معادلات و تعیین تابع بودن رابطه", - "introText": "1. معادله یا رابطه داده شده را بررسی کنید.\n2. برای هر مقدار x، بررسی کنید که آیا دقیقاً یک مقدار y متناظر وجود دارد یا خیر.\n3. اگر برای هر x فقط یک y وجود داشت، رابطه تابع است.\n4. در غیر این صورت، رابطه تابع نیست." + "introText": "1. معادله یا رابطه داده شده را بررسی کنید.\n2. برای هر مقدار x، بررسی کنید که آیا دقیقاً یک مقدار y متناظر وجود دارد یا خیر.\n3. اگر برای هر x فقط یک y وجود داشت، رابطه تابع است.\n4. در غیر این صورت، رابطه تابع نیست.", + "example": "با کمک نمودار تابع y = √x، نمودار چهار تابع زیر رسم شده‌اند:\n(الف) f(x) = √x + 3\n(ب) h(x) = √x - 3\n(پ) g(x) = √(x - 3)\n(ت) r(x) = √(x + 3)\nتابع مربوط به هر نمودار را مشخص و دامنه و برد آن را معلوم کنید.", + "steps": [ + "الف) f(x) = √x + 3", + "دامنه: x ≥ 0", + "برد: y ≥ 3", + "ب) h(x) = √x - 3", + "دامنه: x ≥ 0", + "✅ جواب: دامنه و بردهای ارائه‌شده برای هر چهار تابع صحیح است." + ] }, { "title": "محاسبه هزینه پاکسازی آلودگی به صورت تابعی از درصد آلودگی", @@ -10025,7 +13570,13 @@ }, { "title": "تشخیص تابع از روی نمودار و مجموعه نقاط", - "introText": "برای تعیین اینکه کدام یک از توابع داده شده تابع هستند، باید بررسی کنیم که آیا هر مقدار x متناظر با تنها یک مقدار y است یا خیر. اگر هر x تنها یک y داشته باشد، آن رابطه تابع است. در غیر این صورت، تابع نیست." + "introText": "برای تعیین اینکه کدام یک از توابع داده شده تابع هستند، باید بررسی کنیم که آیا هر مقدار x متناظر با تنها یک مقدار y است یا خیر. اگر هر x تنها یک y داشته باشد، آن رابطه تابع است. در غیر این صورت، تابع نیست.", + "example": "اگر زوج‌های مرتب تابع f به صورت {(2, 4), (3, 9), (5, 25), (6, 36)} باشد، وارون تابع f را به صورت مجموعه زوج‌های مرتب بنویسید.", + "steps": [ + "زوج‌های مرتب وارون تابع f به صورت زیر است:", + "f⁻ = {(4, 2), (9, 3), (25, 5), (36, 6)}", + "این مجموعه زوج‌های مرتب وارون تابع f را نشان می‌دهد که در آن دامنه و برد تابع f جابه‌جا شده‌اند." + ] }, { "title": "تعیین رابطه تابعی بین افراد و کد ملی", @@ -10069,7 +13620,13 @@ }, { "title": "بررسی دامنه، برد و وارون توابع با شرط", - "introText": "1. دامنه تابع را با توجه به شرط داده شده تعیین کنید. 2. برد تابع را با تحلیل مقدار خروجی‌ها در دامنه مشخص کنید. 3. بررسی کنید تابع یک‌به‌یک است یا خیر با رسم نمودار یا تحلیل جبری. 4. اگر تابع یک‌به‌یک بود، وارون آن را با جابجایی متغیرها و حل برای متغیر ورودی بیابید." + "introText": "1. دامنه تابع را با توجه به شرط داده شده تعیین کنید. 2. برد تابع را با تحلیل مقدار خروجی‌ها در دامنه مشخص کنید. 3. بررسی کنید تابع یک‌به‌یک است یا خیر با رسم نمودار یا تحلیل جبری. 4. اگر تابع یک‌به‌یک بود، وارون آن را با جابجایی متغیرها و حل برای متغیر ورودی بیابید.", + "example": "ویژگی مشترک توابع وارون‌پذیر چیست؟", + "steps": [ + "ویژگی مشترک توابع وارون‌پذیر این است که هر عنصر در دامنه دقیقاً به یک عنصر در برد نگاشت می‌شود و هیچ دو عنصر متمایزی در دامنه به یک عنصر در برد نگاشت نمی‌شوند.", + "به عبارت دیگر، تابع باید یک‌به‌یک باشد تا وارون‌پذیر باشد.", + "✅ جواب: یک‌به‌یک بودن تابع" + ] }, { "title": "تحلیل تابع ارتفاع سقوط آزاد و یافتن دامنه، برد و وارون", @@ -10111,19 +13668,55 @@ }, { "title": "محاسبه دامنه و دامنه توابع ترکیبی", - "introText": "1. ابتدا دامنه هر تابع اولیه را جداگانه تعیین کنید. 2. برای توابع جمع و تفاضل، دامنه تابع ترکیبی برابر اشتراک دامنه‌های توابع اولیه است. 3. برای ضرب توابع، دامنه تابع ترکیبی برابر اشتراک دامنه‌های توابع اولیه است. 4. برای تقسیم توابع، دامنه تابع ترکیبی برابر اشتراک دامنه‌های توابع اولیه به جز نقاطی که مخرج صفر شود، است. 5. دامنه نهایی را با توجه به شرایط هر تابع و ترکیب آنها مشخص کنید." + "introText": "1. ابتدا دامنه هر تابع اولیه را جداگانه تعیین کنید. 2. برای توابع جمع و تفاضل، دامنه تابع ترکیبی برابر اشتراک دامنه‌های توابع اولیه است. 3. برای ضرب توابع، دامنه تابع ترکیبی برابر اشتراک دامنه‌های توابع اولیه است. 4. برای تقسیم توابع، دامنه تابع ترکیبی برابر اشتراک دامنه‌های توابع اولیه به جز نقاطی که مخرج صفر شود، است. 5. دامنه نهایی را با توجه به شرایط هر تابع و ترکیب آنها مشخص کنید.", + "example": "اگر f = {(1,2), (-2,5), (0,7)} و g = {(1,5), (2,4), (0,-1)} باشد، ابتدا دامنه f + g را به دست آورید و سپس f + g را به صورت مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب نمایش دهید.", + "steps": [ + "دامنه f: {1, -2, 0}", + "دامنه g: {1, 2, 0}", + "دامنه مشترک f + g: {1, 0}", + "مقادیر تابع جمع:", + "(f + g)(1) = f(1) + g(1) = 2 + 5 = 7", + "(f + g)(0) = f(0) + g(0) = 7 + (-1) = 6 نمایش مجموعه زوج‌های مرتب: f + g = {(0, 6), (1, 7)}" + ] }, { "title": "رسم و تحلیل نمودار توابع ترکیبی", - "introText": "1. نمودار توابع اولیه را رسم کنید یا داده‌های آن‌ها را داشته باشید. 2. برای رسم نمودار جمع یا تفاضل، مقادیر y هر دو تابع را در نقاط متناظر جمع یا تفریق کنید. 3. برای ضرب یا تقسیم، مقادیر y را در نقاط متناظر ضرب یا تقسیم کنید (با توجه به دامنه). 4. دامنه و ضابطه تابع ترکیبی را مشخص کنید. 5. نمودار تابع ترکیبی را با توجه به مقادیر محاسبه شده رسم کنید و تحلیل کنید." + "introText": "1. نمودار توابع اولیه را رسم کنید یا داده‌های آن‌ها را داشته باشید. 2. برای رسم نمودار جمع یا تفاضل، مقادیر y هر دو تابع را در نقاط متناظر جمع یا تفریق کنید. 3. برای ضرب یا تقسیم، مقادیر y را در نقاط متناظر ضرب یا تقسیم کنید (با توجه به دامنه). 4. دامنه و ضابطه تابع ترکیبی را مشخص کنید. 5. نمودار تابع ترکیبی را با توجه به مقادیر محاسبه شده رسم کنید و تحلیل کنید.", + "example": "اگر دو تابع f و g داده شده باشند، ترکیب تابع gof را تعریف کنید و دامنه آن را به صورت مجموعه‌ای از مقادیر x که در دامنه f هستند و f(x) در دامنه g است، بنویسید.", + "steps": [ + "تعریف ترکیب تابع:", + "(gof)(x) = g(f(x))", + "دامنه ترکیب تابع gof به صورت زیر است:", + "D_gof = {x ∈ D_f | f(x) ∈ D_g}", + "یعنی مجموعه مقادیری از x که در دامنه تابع f هستند و مقدار f(x) در دامنه تابع g قرار دارد.", + "✅ جواب: تعریف و دامنه‌ی ترکیب توابع به درستی بیان شده است." + ] }, { "title": "محاسبه مقادیر ترکیبی توابع", - "introText": "1. مقادیر داده شده برای توابع f و g را در نقاط مشخص شده پیدا کنید.\n2. برای محاسبه (f+g)(x)، مقادیر f(x) و g(x) را جداگانه محاسبه کرده و سپس جمع کنید.\n3. مقادیر (f+g)(1) و (f+g)(-1) را با جایگذاری x=1 و x=-1 در توابع محاسبه کنید." + "introText": "1. مقادیر داده شده برای توابع f و g را در نقاط مشخص شده پیدا کنید.\n2. برای محاسبه (f+g)(x)، مقادیر f(x) و g(x) را جداگانه محاسبه کرده و سپس جمع کنید.\n3. مقادیر (f+g)(1) و (f+g)(-1) را با جایگذاری x=1 و x=-1 در توابع محاسبه کنید.", + "example": "اگر دو تابع f و g داده شده باشند، ترکیب تابع gof را تعریف کنید و دامنه آن را به صورت مجموعه‌ای از مقادیر x که در دامنه f هستند و f(x) در دامنه g است، بنویسید.", + "steps": [ + "تعریف ترکیب تابع:", + "(gof)(x) = g(f(x))", + "دامنه ترکیب تابع gof به صورت زیر است:", + "D_gof = {x ∈ D_f | f(x) ∈ D_g}", + "یعنی مجموعه مقادیری از x که در دامنه تابع f هستند و مقدار f(x) در دامنه تابع g قرار دارد.", + "✅ جواب: تعریف و دامنه‌ی ترکیب توابع به درستی بیان شده است." + ] }, { "title": "رسم نمودار تابع جمع دو تابع", - "introText": "1. مقادیر f(x) و g(x) را برای نقاط مختلف x از روی نمودارهای داده شده بخوانید.\n2. مقادیر (f+g)(x) را با جمع کردن مقادیر f(x) و g(x) برای هر x محاسبه کنید.\n3. نقاط به‌دست آمده را روی محور مختصات رسم کنید.\n4. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار تابع (f+g) به دست آید." + "introText": "1. مقادیر f(x) و g(x) را برای نقاط مختلف x از روی نمودارهای داده شده بخوانید.\n2. مقادیر (f+g)(x) را با جمع کردن مقادیر f(x) و g(x) برای هر x محاسبه کنید.\n3. نقاط به‌دست آمده را روی محور مختصات رسم کنید.\n4. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار تابع (f+g) به دست آید.", + "example": "اگر f = {(1,2), (-2,5), (0,7)} و g = {(1,5), (2,4), (0,-1)} باشد، ابتدا دامنه f + g را به دست آورید و سپس f + g را به صورت مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب نمایش دهید.", + "steps": [ + "دامنه f: {1, -2, 0}", + "دامنه g: {1, 2, 0}", + "دامنه مشترک f + g: {1, 0}", + "مقادیر تابع جمع:", + "(f + g)(1) = f(1) + g(1) = 2 + 5 = 7", + "(f + g)(0) = f(0) + g(0) = 7 + (-1) = 6 نمایش مجموعه زوج‌های مرتب: f + g = {(0, 6), (1, 7)}" + ] }, { "title": "محاسبه ضابطه ترکیب توابع", @@ -10135,7 +13728,15 @@ }, { "title": "تحلیل و رسم نمودار ترکیب توابع g(f(x))", - "introText": "1. مقدار تابع f(x) را برای مقادیر مختلف x از روی نمودار یا ضابطه محاسبه کنید.\n2. مقدار g را برای مقادیر به دست آمده از f(x) محاسبه کنید.\n3. نقاط (x, g(f(x))) را روی محور مختصات رسم کنید.\n4. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار ترکیب تابع g(f(x)) به دست آید." + "introText": "1. مقدار تابع f(x) را برای مقادیر مختلف x از روی نمودار یا ضابطه محاسبه کنید.\n2. مقدار g را برای مقادیر به دست آمده از f(x) محاسبه کنید.\n3. نقاط (x, g(f(x))) را روی محور مختصات رسم کنید.\n4. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار ترکیب تابع g(f(x)) به دست آید.", + "example": "تابع f(x) = (5/9)(x-32) درجه فارنهایت را به درجه سانتی‌گراد تبدیل می‌کند. تابع g(x) = x + 273 درجه سانتی‌گراد را به درجه کلوین تبدیل می‌کند. مقدار g(f(50)) را به دست آورید.", + "steps": [ + "ابتدا مقدار f(50) را محاسبه می‌کنیم:", + "f(50) = (5/9)(50 - 32) = (5/9)(18) = 10 درجه سانتی‌گراد.", + "سپس مقدار g(f(50)) را محاسبه می‌کنیم:", + "g(10) = 10 + 273 = 283 درجه کلوین.", + "بنابراین g(f(50)) = 283." + ] }, { "title": "محاسبه ترکیب توابع", @@ -10147,11 +13748,28 @@ }, { "title": "محاسبه دامنه و ضابطه ترکیب توابع", - "introText": "1. ابتدا دامنه هر تابع را مشخص کنید.\n2. برای ترکیب توابع fog و gof، دامنه ترکیب را به صورت مجموعه‌ای از مقادیر x تعیین کنید که در دامنه تابع داخلی و همچنین دامنه تابع خارجی قرار دارند.\n3. ضابطه ترکیب توابع را با جایگذاری تابع داخلی در تابع خارجی به دست آورید.\n4. دامنه ترکیب را به صورت مجموعه‌ای از اعداد حقیقی که شرط‌های دامنه هر دو تابع را ارضا می‌کنند، بنویسید.\n5. در نهایت، ضابطه و دامنه توابع fog و gof را گزارش کنید." + "introText": "1. ابتدا دامنه هر تابع را مشخص کنید.\n2. برای ترکیب توابع fog و gof، دامنه ترکیب را به صورت مجموعه‌ای از مقادیر x تعیین کنید که در دامنه تابع داخلی و همچنین دامنه تابع خارجی قرار دارند.\n3. ضابطه ترکیب توابع را با جایگذاری تابع داخلی در تابع خارجی به دست آورید.\n4. دامنه ترکیب را به صورت مجموعه‌ای از اعداد حقیقی که شرط‌های دامنه هر دو تابع را ارضا می‌کنند، بنویسید.\n5. در نهایت، ضابطه و دامنه توابع fog و gof را گزارش کنید.", + "example": "تابع f(x) = (5/9)(x-32) درجه فارنهایت را به درجه سانتی‌گراد تبدیل می‌کند. تابع g(x) = x + 273 درجه سانتی‌گراد را به درجه کلوین تبدیل می‌کند. مقدار g(f(50)) را به دست آورید.", + "steps": [ + "ابتدا مقدار f(50) را محاسبه می‌کنیم:", + "f(50) = (5/9)(50 - 32) = (5/9)(18) = 10 درجه سانتی‌گراد.", + "سپس مقدار g(f(50)) را محاسبه می‌کنیم:", + "g(10) = 10 + 273 = 283 درجه کلوین.", + "بنابراین g(f(50)) = 283." + ] }, { "title": "محاسبه ترکیب توابع داده شده به صورت مجموعه زوج مرتب", - "introText": "1. ابتدا دامنه توابع fog و gof را با توجه به مجموعه زوج‌های مرتب داده شده تعیین کنید.\n2. برای محاسبه fog، ابتدا مقدار تابع g را برای هر ورودی پیدا کنید، سپس مقدار تابع f را برای خروجی g محاسبه کنید.\n3. برای محاسبه gof، ابتدا مقدار تابع f را برای هر ورودی پیدا کنید، سپس مقدار تابع g را برای خروجی f محاسبه کنید.\n4. نتایج را به صورت مجموعه زوج‌های مرتب گزارش کنید." + "introText": "1. ابتدا دامنه توابع fog و gof را با توجه به مجموعه زوج‌های مرتب داده شده تعیین کنید.\n2. برای محاسبه fog، ابتدا مقدار تابع g را برای هر ورودی پیدا کنید، سپس مقدار تابع f را برای خروجی g محاسبه کنید.\n3. برای محاسبه gof، ابتدا مقدار تابع f را برای هر ورودی پیدا کنید، سپس مقدار تابع g را برای خروجی f محاسبه کنید.\n4. نتایج را به صورت مجموعه زوج‌های مرتب گزارش کنید.", + "example": "اگر f = {(1,2), (-2,5), (0,7)} و g = {(1,5), (2,4), (0,-1)} باشد، ابتدا دامنه f + g را به دست آورید و سپس f + g را به صورت مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب نمایش دهید.", + "steps": [ + "دامنه f: {1, -2, 0}", + "دامنه g: {1, 2, 0}", + "دامنه مشترک f + g: {1, 0}", + "مقادیر تابع جمع:", + "(f + g)(1) = f(1) + g(1) = 2 + 5 = 7", + "(f + g)(0) = f(0) + g(0) = 7 + (-1) = 6 نمایش مجموعه زوج‌های مرتب: f + g = {(0, 6), (1, 7)}" + ] }, { "title": "عملیات روی توابع و تعیین دامنه", @@ -10167,11 +13785,27 @@ }, { "title": "محاسبه توابع ترکیبی و بررسی دامنه با توابع گویا", - "introText": "1. توابع گویا را به صورت کسرهای جبری بنویسید.\n2. برای ترکیب توابع، ابتدا تابع داخلی را محاسبه کنید.\n3. سپس تابع بیرونی را روی خروجی تابع داخلی اعمال کنید.\n4. دامنه تابع حاصل را با توجه به مخرج صفر نشدن و تعریف توابع تعیین کنید.\n5. در صورت وجود خطا در محاسبه دامنه، آن را شناسایی و اصلاح کنید." + "introText": "1. توابع گویا را به صورت کسرهای جبری بنویسید.\n2. برای ترکیب توابع، ابتدا تابع داخلی را محاسبه کنید.\n3. سپس تابع بیرونی را روی خروجی تابع داخلی اعمال کنید.\n4. دامنه تابع حاصل را با توجه به مخرج صفر نشدن و تعریف توابع تعیین کنید.\n5. در صورت وجود خطا در محاسبه دامنه، آن را شناسایی و اصلاح کنید.", + "example": "تابع f(x) = (5/9)(x-32) درجه فارنهایت را به درجه سانتی‌گراد تبدیل می‌کند. تابع g(x) = x + 273 درجه سانتی‌گراد را به درجه کلوین تبدیل می‌کند. مقدار g(f(50)) را به دست آورید.", + "steps": [ + "ابتدا مقدار f(50) را محاسبه می‌کنیم:", + "f(50) = (5/9)(50 - 32) = (5/9)(18) = 10 درجه سانتی‌گراد.", + "سپس مقدار g(f(50)) را محاسبه می‌کنیم:", + "g(10) = 10 + 273 = 283 درجه کلوین.", + "بنابراین g(f(50)) = 283." + ] }, { "title": "محاسبه توابع معکوس و ترکیب آنها", - "introText": "1. برای یافتن معکوس تابع f، معادله y = f(x) را حل کنید تا x را بر حسب y بیابید.\n2. جای x و y را عوض کنید تا معکوس تابع به دست آید.\n3. ترکیب توابع معکوس و اصلی را محاسبه کنید.\n4. بررسی کنید که ترکیب تابع و معکوس آن برابر تابع همانی (x) باشد." + "introText": "1. برای یافتن معکوس تابع f، معادله y = f(x) را حل کنید تا x را بر حسب y بیابید.\n2. جای x و y را عوض کنید تا معکوس تابع به دست آید.\n3. ترکیب توابع معکوس و اصلی را محاسبه کنید.\n4. بررسی کنید که ترکیب تابع و معکوس آن برابر تابع همانی (x) باشد.", + "example": "تابع f(x) = (5/9)(x-32) درجه فارنهایت را به درجه سانتی‌گراد تبدیل می‌کند. تابع g(x) = x + 273 درجه سانتی‌گراد را به درجه کلوین تبدیل می‌کند. مقدار g(f(50)) را به دست آورید.", + "steps": [ + "ابتدا مقدار f(50) را محاسبه می‌کنیم:", + "f(50) = (5/9)(50 - 32) = (5/9)(18) = 10 درجه سانتی‌گراد.", + "سپس مقدار g(f(50)) را محاسبه می‌کنیم:", + "g(10) = 10 + 273 = 283 درجه کلوین.", + "بنابراین g(f(50)) = 283." + ] }, { "title": "محاسبه توابع جمع، تفریق، ضرب و تقسیم از روی نمودار", @@ -10199,6 +13833,7 @@ }, { "title": "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "blurb": "در این فصل: تابع نمایی، تابع لگاریتمی و لگاریتم و ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی.", "order": 3, "nodes": [ { @@ -10227,11 +13862,25 @@ }, { "title": "تشخیص تابع بودن نمودار", - "introText": "برای تشخیص اینکه نمودار یک تابع است یا خیر، باید بررسی کنیم که برای هر مقدار x در دامنه، تنها یک مقدار y متناظر وجود داشته باشد. همچنین نمودار نباید یک مقدار x را به چند مقدار y نسبت دهد. در نمودارهای نمایی این شرط معمولاً برقرار است." + "introText": "برای تشخیص اینکه نمودار یک تابع است یا خیر، باید بررسی کنیم که برای هر مقدار x در دامنه، تنها یک مقدار y متناظر وجود داشته باشد. همچنین نمودار نباید یک مقدار x را به چند مقدار y نسبت دهد. در نمودارهای نمایی این شرط معمولاً برقرار است.", + "example": "همان طور که ملاحظه می‌شود دامنه تابع y=2^x همه اعداد حقیقی و برد آن همواره اعداد مثبت است. چرا نمودار y=2^x محور xها را قطع نمی‌کند؟", + "steps": [ + "تابع y=2^x برای هر مقدار x تعریف شده است، بنابراین دامنه همه اعداد حقیقی است.", + "اما چون پایه 2 مثبت و بزرگ‌تر از 1 است، مقدار تابع همیشه مثبت است و هیچگاه به صفر یا منفی نمی‌رسد.", + "بنابراین نمودار تابع هرگز محور xها (محور افقی که y=0 است) را قطع نمی‌کند.", + "✅ جواب: نمودار تابع y=2^x محور xها را قطع نمی‌کند چون y همواره مثبت است و هرگز صفر نمی‌شود." + ] }, { "title": "مقایسه مقادیر تابع نمایی در اعداد مختلف", - "introText": "برای مقایسه مقادیر تابع نمایی در اعداد مختلف، مقدار تابع را در هر عدد محاسبه می‌کنیم و سپس مقادیر به دست آمده را با هم مقایسه می‌کنیم. این کار می‌تواند با استفاده از نمودار یا محاسبه عددی انجام شود." + "introText": "برای مقایسه مقادیر تابع نمایی در اعداد مختلف، مقدار تابع را در هر عدد محاسبه می‌کنیم و سپس مقادیر به دست آمده را با هم مقایسه می‌کنیم. این کار می‌تواند با استفاده از نمودار یا محاسبه عددی انجام شود.", + "example": "همان طور که ملاحظه می‌شود دامنه تابع y=2^x همه اعداد حقیقی و برد آن همواره اعداد مثبت است. چرا نمودار y=2^x محور xها را قطع نمی‌کند؟", + "steps": [ + "تابع y=2^x برای هر مقدار x تعریف شده است، بنابراین دامنه همه اعداد حقیقی است.", + "اما چون پایه 2 مثبت و بزرگ‌تر از 1 است، مقدار تابع همیشه مثبت است و هیچگاه به صفر یا منفی نمی‌رسد.", + "بنابراین نمودار تابع هرگز محور xها (محور افقی که y=0 است) را قطع نمی‌کند.", + "✅ جواب: نمودار تابع y=2^x محور xها را قطع نمی‌کند چون y همواره مثبت است و هرگز صفر نمی‌شود." + ] }, { "title": "رسم و مقایسه نمودار توابع نمایی", @@ -10287,11 +13936,23 @@ }, { "title": "یافتن مقدار تقریبی اعداد با کمک نمودار و ماشین حساب", - "introText": "1. عدد مورد نظر را به صورت نمایی یا رادیکالی بنویسید.\n2. با استفاده از نمودار تابع مربوطه مقدار تقریبی را حدس بزنید.\n3. مقدار تقریبی را با ماشین حساب محاسبه کنید.\n4. صحت مقدار را با نمودار بررسی کنید." + "introText": "1. عدد مورد نظر را به صورت نمایی یا رادیکالی بنویسید.\n2. با استفاده از نمودار تابع مربوطه مقدار تقریبی را حدس بزنید.\n3. مقدار تقریبی را با ماشین حساب محاسبه کنید.\n4. صحت مقدار را با نمودار بررسی کنید.", + "example": "نقطه x=√7 را روی محور xها مشخص کنید، سپس مقدار تقریبی y=2^√7 را با استفاده از نمودار پیدا کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مقدار √7 را محاسبه می‌کنیم که تقریباً برابر 2.6457 است.", + "سپس در نمودار تابع y=2^x مقدار y را برای x=2.6457 پیدا می‌کنیم که تقریباً برابر 6.3 است.", + "بنابراین y=2^√7 ≈ 6.3." + ] }, { "title": "محاسبه نقاط برخورد نمودارهای نمایی و خطوط", - "introText": "1. معادلات داده شده را بررسی کنید. 2. نقاط برخورد نمودار y=3^x و خط y=13/2 را با حل معادله 3^x = 13/2 پیدا کنید. 3. طول نقطه برخورد را با حل معادله مربوط به خط y=√x و نمودار y=3^x بیابید. 4. نقاط برخورد را به دست آورده و بررسی کنید که کدام بین دو عدد صحیح قرار دارد. 5. در صورت نیاز، نمودارها را رسم کنید تا صحت نتایج تایید شود." + "introText": "1. معادلات داده شده را بررسی کنید. 2. نقاط برخورد نمودار y=3^x و خط y=13/2 را با حل معادله 3^x = 13/2 پیدا کنید. 3. طول نقطه برخورد را با حل معادله مربوط به خط y=√x و نمودار y=3^x بیابید. 4. نقاط برخورد را به دست آورده و بررسی کنید که کدام بین دو عدد صحیح قرار دارد. 5. در صورت نیاز، نمودارها را رسم کنید تا صحت نتایج تایید شود.", + "example": "نقطه x=√7 را روی محور xها مشخص کنید، سپس مقدار تقریبی y=2^√7 را با استفاده از نمودار پیدا کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مقدار √7 را محاسبه می‌کنیم که تقریباً برابر 2.6457 است.", + "سپس در نمودار تابع y=2^x مقدار y را برای x=2.6457 پیدا می‌کنیم که تقریباً برابر 6.3 است.", + "بنابراین y=2^√7 ≈ 6.3." + ] }, { "title": "محاسبه درصد ناخالصی باقی‌مانده در فرآیند تصفیه آب با فیلترهای متوالی", @@ -10317,7 +13978,16 @@ }, { "title": "محاسبه مقادیر تابع لگاریتمی با پایه دلخواه از روی نمودار", - "introText": "1. تابع لگاریتمی را به صورت y = log_3(x) تعریف کنید. 2. مقادیر x داده شده را در تابع لگاریتم قرار دهید و مقدار y را محاسبه کنید. 3. از نمودار تابع لگاریتم برای تعیین مقادیر استفاده کنید و مقادیر را یادداشت کنید." + "introText": "1. تابع لگاریتمی را به صورت y = log_3(x) تعریف کنید. 2. مقادیر x داده شده را در تابع لگاریتم قرار دهید و مقدار y را محاسبه کنید. 3. از نمودار تابع لگاریتم برای تعیین مقادیر استفاده کنید و مقادیر را یادداشت کنید.", + "example": "فرض کنید f(x) = log₁₀ x. مقدار تابع f را در نقاط زیر در صورت وجود حساب کنید:\nالف) x = 10\nب) x = 100\nپ) x = -10\nت) x = 1000", + "steps": [ + "حل:", + "الف) f(10) = log₁₀ 10 = 1 زیرا 10¹ = 10", + "ب) f(100) = log₁₀ 100 = 2 زیرا 10² = 100", + "پ) f(-10) وجود ندارد زیرا اعداد منفی در دامنه لگاریتم تعریف نمی‌شوند.", + "ت) f(1000) = log₁₀ 1000 = 3 زیرا 10³ = 1000", + "✅ جواب: مقادیر تابع لگاریتمی در نقاط خواسته‌شده صحیح است و در x=-10 تعریف‌نشده است." + ] }, { "title": "محاسبه مقدار تابع لگاریتمی در نقاط مختلف", @@ -10349,11 +14019,29 @@ }, { "title": "محاسبه مقدار لگاریتم با استفاده از تعریف لگاریتم", - "introText": "برای محاسبه مقدار لگاریتم عبارت‌هایی مانند log_a b، از تعریف لگاریتم استفاده می‌کنیم که می‌گوید اگر y = log_a b آنگاه a^y = b. با تبدیل عدد داخل لگاریتم به صورت توان یا ریشه، مقدار لگاریتم را به صورت عددی پیدا می‌کنیم." + "introText": "برای محاسبه مقدار لگاریتم عبارت‌هایی مانند log_a b، از تعریف لگاریتم استفاده می‌کنیم که می‌گوید اگر y = log_a b آنگاه a^y = b. با تبدیل عدد داخل لگاریتم به صورت توان یا ریشه، مقدار لگاریتم را به صورت عددی پیدا می‌کنیم.", + "example": "فرض کنید f(x) = log₁₀ x. مقدار تابع f را در نقاط زیر در صورت وجود حساب کنید:\nالف) x = 10\nب) x = 100\nپ) x = -10\nت) x = 1000", + "steps": [ + "حل:", + "الف) f(10) = log₁₀ 10 = 1 زیرا 10¹ = 10", + "ب) f(100) = log₁₀ 100 = 2 زیرا 10² = 100", + "پ) f(-10) وجود ندارد زیرا اعداد منفی در دامنه لگاریتم تعریف نمی‌شوند.", + "ت) f(1000) = log₁₀ 1000 = 3 زیرا 10³ = 1000", + "✅ جواب: مقادیر تابع لگاریتمی در نقاط خواسته‌شده صحیح است و در x=-10 تعریف‌نشده است." + ] }, { "title": "مقایسه نمودار توابع لگاریتمی با پایه‌های مختلف", - "introText": "برای مقایسه نمودار توابع y = log_a x با پایه‌های مختلف، ابتدا ویژگی‌های پایه را بررسی می‌کنیم: اگر a > 1 باشد، نمودار صعودی است و اگر 0 < a < 1 باشد، نمودار نزولی است. سپس شکل و جهت نمودارها را با هم مقایسه می‌کنیم." + "introText": "برای مقایسه نمودار توابع y = log_a x با پایه‌های مختلف، ابتدا ویژگی‌های پایه را بررسی می‌کنیم: اگر a > 1 باشد، نمودار صعودی است و اگر 0 < a < 1 باشد، نمودار نزولی است. سپس شکل و جهت نمودارها را با هم مقایسه می‌کنیم.", + "example": "فرض کنید f(x) = log₁₀ x. مقدار تابع f را در نقاط زیر در صورت وجود حساب کنید:\nالف) x = 10\nب) x = 100\nپ) x = -10\nت) x = 1000", + "steps": [ + "حل:", + "الف) f(10) = log₁₀ 10 = 1 زیرا 10¹ = 10", + "ب) f(100) = log₁₀ 100 = 2 زیرا 10² = 100", + "پ) f(-10) وجود ندارد زیرا اعداد منفی در دامنه لگاریتم تعریف نمی‌شوند.", + "ت) f(1000) = log₁₀ 1000 = 3 زیرا 10³ = 1000", + "✅ جواب: مقادیر تابع لگاریتمی در نقاط خواسته‌شده صحیح است و در x=-10 تعریف‌نشده است." + ] }, { "title": "یافتن نقاط قطع نمودارهای نمایی با خطوط افقی", @@ -10439,6 +14127,7 @@ }, { "title": "فصل ۴: مثلثات", + "blurb": "در این فصل: رادیان، نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا، توابع مثلثاتی و روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل زوایا.", "order": 4, "nodes": [ { @@ -10447,7 +14136,15 @@ "lessons": [ { "title": "محاسبه طول کمان دایره با استفاده از نسبت‌های مثلثاتی", - "introText": "1. زاویه مرکزی α را بر حسب درجه یا رادیان مشخص کنید.\n2. شعاع دایره r را تعیین کنید.\n3. محیط دایره را با فرمول 2πr محاسبه کنید.\n4. طول کمان متناظر با زاویه α را با استفاده از نسبت کسر زاویه به 360 درجه یا 2π رادیان ضرب در محیط دایره به دست آورید: طول کمان = (α/360) × 2πr یا (α/2π) × 2πr = αr (اگر α بر حسب رادیان باشد).\n5. در صورت نیاز، از نسبت‌های مثلثاتی برای تعیین طول ضلع‌های مثلث‌های مرتبط استفاده کنید." + "introText": "1. زاویه مرکزی α را بر حسب درجه یا رادیان مشخص کنید.\n2. شعاع دایره r را تعیین کنید.\n3. محیط دایره را با فرمول 2πr محاسبه کنید.\n4. طول کمان متناظر با زاویه α را با استفاده از نسبت کسر زاویه به 360 درجه یا 2π رادیان ضرب در محیط دایره به دست آورید: طول کمان = (α/360) × 2πr یا (α/2π) × 2πr = αr (اگر α بر حسب رادیان باشد).\n5. در صورت نیاز، از نسبت‌های مثلثاتی برای تعیین طول ضلع‌های مثلث‌های مرتبط استفاده کنید.", + "example": "اندازه زاویه α را برحسب رادیان در دایره‌ای با شعاع r = 7 cm پیدا کنید، اگر α = 20° باشد.", + "steps": [ + "از آنجا که می‌دانیم هر زاویه 180° برابر π رادیان است، ابتدا زاویه α را به رادیان تبدیل می‌کنیم:", + "α = (20 × π) / 180 = π / 9 rad", + "سپس برای پیدا کردن طول کمان AB داریم:", + "α = AB / r ⇒ AB = α × r = (π / 9) × 7 = 7π / 9 cm", + "✅ جواب: α = π/9 rad, AB = 7π/9 cm" + ] }, { "title": "محاسبه طول کمان در دایره‌های مختلف با شعاع‌های متفاوت و زاویه مشخص", @@ -10521,7 +14218,13 @@ }, { "title": "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایای خاص", - "introText": "برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایای داده شده، ابتدا زاویه را بررسی می‌کنیم و در صورت نیاز آن را به زاویه‌ای در ربع اول یا زاویه‌ای استاندارد تبدیل می‌کنیم. سپس با استفاده از روابط مثلثاتی و دانستن مقادیر مثلثاتی زوایای خاص، مقدار نسبت مثلثاتی را به دست می‌آوریم. در صورت منفی بودن زاویه یا خارج از ربع اول بودن، علامت نسبت مثلثاتی را با توجه به ربع زاویه تعیین می‌کنیم." + "introText": "برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایای داده شده، ابتدا زاویه را بررسی می‌کنیم و در صورت نیاز آن را به زاویه‌ای در ربع اول یا زاویه‌ای استاندارد تبدیل می‌کنیم. سپس با استفاده از روابط مثلثاتی و دانستن مقادیر مثلثاتی زوایای خاص، مقدار نسبت مثلثاتی را به دست می‌آوریم. در صورت منفی بودن زاویه یا خارج از ربع اول بودن، علامت نسبت مثلثاتی را با توجه به ربع زاویه تعیین می‌کنیم.", + "example": "مقدار نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا را محاسبه کنید:\nالف) tan(2π - π/3)\nب) sin(405°)", + "steps": [ + "الف) tan(2π - π/3) = -tan(π/3) = -√3", + "ب) sin(405°) = sin(360° + 45°) = sin(45°) = √2/2", + "✅ جواب: (a) -√3, (b) √2/2" + ] }, { "title": "تکمیل جدول نسبت‌های مثلثاتی با استفاده از روابط زاویه‌ای", @@ -10533,7 +14236,13 @@ }, { "title": "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایای داده شده", - "introText": "برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایای داده شده، ابتدا زاویه را به رادیان یا درجه مشخص می‌کنیم. سپس با استفاده از روابط مثلثاتی استاندارد یا جدول‌های مثلثاتی، مقدار sin، cos، tan یا cot زاویه را به دست می‌آوریم. در صورت نیاز، از روابط تبدیل زاویه‌ها مانند زاویه‌های منفی یا زاویه‌های بزرگ‌تر از 90 درجه استفاده می‌کنیم." + "introText": "برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایای داده شده، ابتدا زاویه را به رادیان یا درجه مشخص می‌کنیم. سپس با استفاده از روابط مثلثاتی استاندارد یا جدول‌های مثلثاتی، مقدار sin، cos، tan یا cot زاویه را به دست می‌آوریم. در صورت نیاز، از روابط تبدیل زاویه‌ها مانند زاویه‌های منفی یا زاویه‌های بزرگ‌تر از 90 درجه استفاده می‌کنیم.", + "example": "مقدار نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا را محاسبه کنید:\nالف) tan(2π - π/3)\nب) sin(405°)", + "steps": [ + "الف) tan(2π - π/3) = -tan(π/3) = -√3", + "ب) sin(405°) = sin(360° + 45°) = sin(45°) = √2/2", + "✅ جواب: (a) -√3, (b) √2/2" + ] }, { "title": "محاسبه شدت نور وارد شده به سلول خورشیدی با استفاده از روابط مثلثاتی", @@ -10541,7 +14250,13 @@ }, { "title": "بررسی صحت عبارات مثلثاتی با استفاده از زوایا و روابط رادیانی", - "introText": "برای بررسی صحت یا نادرستی عبارات مثلثاتی، ابتدا هر عبارت را با استفاده از روابط مثلثاتی پایه و تبدیل زوایا به رادیان یا درجه تحلیل می‌کنیم. سپس با استفاده از خواص توابع مثلثاتی مانند تقارن، دوره تناوب و روابط مکمل، مقدار هر طرف را محاسبه و مقایسه می‌کنیم تا صحت یا نادرستی عبارت مشخص شود." + "introText": "برای بررسی صحت یا نادرستی عبارات مثلثاتی، ابتدا هر عبارت را با استفاده از روابط مثلثاتی پایه و تبدیل زوایا به رادیان یا درجه تحلیل می‌کنیم. سپس با استفاده از خواص توابع مثلثاتی مانند تقارن، دوره تناوب و روابط مکمل، مقدار هر طرف را محاسبه و مقایسه می‌کنیم تا صحت یا نادرستی عبارت مشخص شود.", + "example": "مقدار نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا را محاسبه کنید:\nالف) tan(2π - π/3)\nب) sin(405°)", + "steps": [ + "الف) tan(2π - π/3) = -tan(π/3) = -√3", + "ب) sin(405°) = sin(360° + 45°) = sin(45°) = √2/2", + "✅ جواب: (a) -√3, (b) √2/2" + ] } ] }, @@ -10613,7 +14328,13 @@ }, { "title": "محاسبه طول پاره‌خط‌ها با استفاده از نسبت‌های سینوس و کسینوس", - "introText": "۱. مثلث‌های مورد نظر را شناسایی کنید و زاویه‌ها و اضلاع معلوم را مشخص کنید.\n۲. با توجه به نسبت‌های سینوس و کسینوس، طول اضلاع مجهول را برحسب طول‌های معلوم و زاویه‌ها بیان کنید.\n۳. از روابط سینوس و کسینوس برای نوشتن معادلات استفاده کنید.\n۴. معادلات را حل کنید تا طول پاره‌خط‌ها را به دست آورید." + "introText": "۱. مثلث‌های مورد نظر را شناسایی کنید و زاویه‌ها و اضلاع معلوم را مشخص کنید.\n۲. با توجه به نسبت‌های سینوس و کسینوس، طول اضلاع مجهول را برحسب طول‌های معلوم و زاویه‌ها بیان کنید.\n۳. از روابط سینوس و کسینوس برای نوشتن معادلات استفاده کنید.\n۴. معادلات را حل کنید تا طول پاره‌خط‌ها را به دست آورید.", + "example": "مقدار sin 75° را با استفاده از فرمول مجموع زوایا محاسبه کنید.", + "steps": [ + "sin 75° = sin (45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°", + "= (√2/2) × (√3/2) + (√2/2) × (1/2)", + "= (√6/4) + (√2/4) = (√6 + √2)/4" + ] }, { "title": "محاسبه مقدار سینوس و کسینوس مجموع و تفاضل زوایا", @@ -10637,7 +14358,11 @@ }, { "title": "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی برای زاویه‌های داده شده", - "introText": "برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های مشخص شده، مقدار زاویه را در ماشین حساب وارد کرده و نسبت‌های سینوس، کسینوس و تانژانت را به دست می‌آوریم. در صورت نیاز، زاویه را به رادیان تبدیل می‌کنیم." + "introText": "برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های مشخص شده، مقدار زاویه را در ماشین حساب وارد کرده و نسبت‌های سینوس، کسینوس و تانژانت را به دست می‌آوریم. در صورت نیاز، زاویه را به رادیان تبدیل می‌کنیم.", + "example": "مقدار cos 15° را محاسبه کنید.", + "steps": [ + "برای محاسبه cos 15° می‌توان از فرمول کسینوس زاویه‌های مرکب استفاده کرد: cos 15° = cos(45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6/4) + (√2/4) = (√6 + √2)/4." + ] } ] } @@ -10645,6 +14370,7 @@ }, { "title": "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "blurb": "در این فصل: مفهوم حد و فرایندهای حدی، حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست)، قضایای حد، محاسبه حد توابع کسری و پیوستگی.", "order": 5, "nodes": [ { @@ -10689,7 +14415,16 @@ }, { "title": "رسم نمودار تابع با شرایط حد و پیوستگی", - "introText": "1. ابتدا نقاطی که تابع در آن‌ها تعریف نشده یا مقدار حد دارد را مشخص کنید.\n2. نمودار تابع را در بازه‌های مختلف رسم کنید به طوری که شرایط حد و پیوستگی رعایت شود.\n3. اگر تابع در نقطه‌ای تعریف نشده ولی حد دارد، نقطه را به صورت باز (حلقه خالی) نشان دهید.\n4. اگر تابع در نقطه‌ای تعریف شده ولی مقدار تابع با حد آن نقطه متفاوت است، مقدار تابع را با نقطه پر (حلقه پر) نشان دهید و حد را با توجه به همسایگی‌ها بررسی کنید.\n5. نمودار را به گونه‌ای رسم کنید که شرایط همسایگی راست و چپ و مقدار تابع در نقطه مورد نظر به درستی نمایش داده شود." + "introText": "1. ابتدا نقاطی که تابع در آن‌ها تعریف نشده یا مقدار حد دارد را مشخص کنید.\n2. نمودار تابع را در بازه‌های مختلف رسم کنید به طوری که شرایط حد و پیوستگی رعایت شود.\n3. اگر تابع در نقطه‌ای تعریف نشده ولی حد دارد، نقطه را به صورت باز (حلقه خالی) نشان دهید.\n4. اگر تابع در نقطه‌ای تعریف شده ولی مقدار تابع با حد آن نقطه متفاوت است، مقدار تابع را با نقطه پر (حلقه پر) نشان دهید و حد را با توجه به همسایگی‌ها بررسی کنید.\n5. نمودار را به گونه‌ای رسم کنید که شرایط همسایگی راست و چپ و مقدار تابع در نقطه مورد نظر به درستی نمایش داده شود.", + "example": "نموداری از یک تابع رسم کنید که:\nالف) در یک همسایگی حذف شده ۲ تعریف شده باشد و در این نقطه حد داشته باشد.\nب) در یک همسایگی حذف شده ۲ تعریف شده باشد ولی در این نقطه حد نداشته باشد.\nپ) در یک همسایگی ۲ تعریف شده باشد و در این نقطه حد نداشته باشد.\nت) در یک همسایگی ۲ تعریف شده باشد و در این نقطه حد داشته باشد ولی حد آن با مقدار تابع در نقطه ۲ یکسان نباشد.", + "steps": [ + "الف) تابعی رسم کنید که در نقطه ۲ مقدار تابع تعریف شده باشد و حد چپ و راست برابر و مساوی مقدار تابع در ۲ باشد.", + "ب) تابعی رسم کنید که در نقطه ۲ مقدار تابع تعریف شده باشد ولی حد چپ و راست برابر نباشند، پس حد وجود ندارد.", + "پ) تابعی رسم کنید که در نقطه ۲ مقدار تابع تعریف شده باشد ولی حد چپ و راست برابر نباشند و حد وجود نداشته باشد.", + "ت) تابعی رسم کنید که در نقطه ۲ مقدار تابع تعریف شده باشد و حد چپ و راست برابر باشند ولی مقدار حد با مقدار تابع در ۲ متفاوت باشد.", + "در هر حالت نمودار باید شرایط گفته شده را به وضوح نشان دهد.", + "✅ جواب: مثال‌های کتاب هر چهار شرط را برآورده می‌کنند، هرچند در (الف) و (ب) تعریف در نقطه ۲ را نیز در نظر گرفته‌اند." + ] }, { "title": "رسم نمودار تابع با حد در نقطه ولی مقدار تابع متفاوت", @@ -10729,7 +14464,12 @@ }, { "title": "بررسی دامنه، تعریف و حد تابع رادیکالی با حذف نقطه", - "introText": "1. تعیین دامنه تابع با توجه به شرط داخل رادیکال و مخرج کسر. 2. بررسی نقاط حذف شده در دامنه و همسایگی آنها. 3. محاسبه حد تابع در نقاط حذف شده با استفاده از حد چپ و راست. 4. بررسی تعریف تابع در نقاط حذف شده با جایگذاری مستقیم." + "introText": "1. تعیین دامنه تابع با توجه به شرط داخل رادیکال و مخرج کسر. 2. بررسی نقاط حذف شده در دامنه و همسایگی آنها. 3. محاسبه حد تابع در نقاط حذف شده با استفاده از حد چپ و راست. 4. بررسی تعریف تابع در نقاط حذف شده با جایگذاری مستقیم.", + "example": "نمودار تابع h(x) به صورت خطی رسم شده است که در نقطه x=3 مقدار تابع برابر 4 است ولی خط نمودار در این نقطه شکسته است. وقتی x به 3 نزدیک می‌شود، مقدار تابع h(x) به چه عددی نزدیک می‌شود؟", + "steps": [ + "با توجه به نمودار، وقتی x به 3 نزدیک می‌شود، مقدار تابع h(x) به عدد 6 نزدیک می‌شود، اگرچه مقدار تابع در خود نقطه 3 برابر 4 است.", + "بنابراین حد h(x) وقتی x به 3 نزدیک می‌شود برابر 6 است." + ] }, { "title": "یافتن مجموعه مقادیر تابع یک به یک", @@ -10759,11 +14499,29 @@ }, { "title": "یافتن حد تابع از روی نمودار", - "introText": "1. نقطه مورد نظر x را در نمودار مشخص کنید.\n2. مقدار تابع را از سمت راست (x به سمت x0+) و سمت چپ (x به سمت x0-) بررسی کنید.\n3. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند، حد تابع در آن نقطه برابر با این مقدار است.\n4. اگر حد چپ و حد راست برابر نباشند، حد تابع در آن نقطه وجود ندارد.\n5. در صورت وجود حد، مقدار حد را گزارش کنید." + "introText": "1. نقطه مورد نظر x را در نمودار مشخص کنید.\n2. مقدار تابع را از سمت راست (x به سمت x0+) و سمت چپ (x به سمت x0-) بررسی کنید.\n3. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند، حد تابع در آن نقطه برابر با این مقدار است.\n4. اگر حد چپ و حد راست برابر نباشند، حد تابع در آن نقطه وجود ندارد.\n5. در صورت وجود حد، مقدار حد را گزارش کنید.", + "example": "نموداری از یک تابع رسم کنید که:\nالف) در یک همسایگی حذف شده ۲ تعریف شده باشد و در این نقطه حد داشته باشد.\nب) در یک همسایگی حذف شده ۲ تعریف شده باشد ولی در این نقطه حد نداشته باشد.\nپ) در یک همسایگی ۲ تعریف شده باشد و در این نقطه حد نداشته باشد.\nت) در یک همسایگی ۲ تعریف شده باشد و در این نقطه حد داشته باشد ولی حد آن با مقدار تابع در نقطه ۲ یکسان نباشد.", + "steps": [ + "الف) تابعی رسم کنید که در نقطه ۲ مقدار تابع تعریف شده باشد و حد چپ و راست برابر و مساوی مقدار تابع در ۲ باشد.", + "ب) تابعی رسم کنید که در نقطه ۲ مقدار تابع تعریف شده باشد ولی حد چپ و راست برابر نباشند، پس حد وجود ندارد.", + "پ) تابعی رسم کنید که در نقطه ۲ مقدار تابع تعریف شده باشد ولی حد چپ و راست برابر نباشند و حد وجود نداشته باشد.", + "ت) تابعی رسم کنید که در نقطه ۲ مقدار تابع تعریف شده باشد و حد چپ و راست برابر باشند ولی مقدار حد با مقدار تابع در ۲ متفاوت باشد.", + "در هر حالت نمودار باید شرایط گفته شده را به وضوح نشان دهد.", + "✅ جواب: مثال‌های کتاب هر چهار شرط را برآورده می‌کنند، هرچند در (الف) و (ب) تعریف در نقطه ۲ را نیز در نظر گرفته‌اند." + ] }, { "title": "رسم نمودار تابع با شرایط حد و پیوستگی", - "introText": "1. شرایط داده شده برای تابع را بررسی کنید (مثلاً در همسایگی نقطه خاصی تعریف شده یا نشده).\n2. مقدار حد در آن نقطه را محاسبه یا تعیین کنید.\n3. مقدار تابع در آن نقطه را مشخص کنید (تعریف شده یا نشده).\n4. نمودار تابع را طوری رسم کنید که شرایط حد و پیوستگی داده شده رعایت شود.\n5. در صورت وجود نقطه حذف شده یا نقطه با مقدار تابع متفاوت، آن را روی نمودار مشخص کنید." + "introText": "1. شرایط داده شده برای تابع را بررسی کنید (مثلاً در همسایگی نقطه خاصی تعریف شده یا نشده).\n2. مقدار حد در آن نقطه را محاسبه یا تعیین کنید.\n3. مقدار تابع در آن نقطه را مشخص کنید (تعریف شده یا نشده).\n4. نمودار تابع را طوری رسم کنید که شرایط حد و پیوستگی داده شده رعایت شود.\n5. در صورت وجود نقطه حذف شده یا نقطه با مقدار تابع متفاوت، آن را روی نمودار مشخص کنید.", + "example": "نموداری از یک تابع رسم کنید که:\nالف) در یک همسایگی حذف شده ۲ تعریف شده باشد و در این نقطه حد داشته باشد.\nب) در یک همسایگی حذف شده ۲ تعریف شده باشد ولی در این نقطه حد نداشته باشد.\nپ) در یک همسایگی ۲ تعریف شده باشد و در این نقطه حد نداشته باشد.\nت) در یک همسایگی ۲ تعریف شده باشد و در این نقطه حد داشته باشد ولی حد آن با مقدار تابع در نقطه ۲ یکسان نباشد.", + "steps": [ + "الف) تابعی رسم کنید که در نقطه ۲ مقدار تابع تعریف شده باشد و حد چپ و راست برابر و مساوی مقدار تابع در ۲ باشد.", + "ب) تابعی رسم کنید که در نقطه ۲ مقدار تابع تعریف شده باشد ولی حد چپ و راست برابر نباشند، پس حد وجود ندارد.", + "پ) تابعی رسم کنید که در نقطه ۲ مقدار تابع تعریف شده باشد ولی حد چپ و راست برابر نباشند و حد وجود نداشته باشد.", + "ت) تابعی رسم کنید که در نقطه ۲ مقدار تابع تعریف شده باشد و حد چپ و راست برابر باشند ولی مقدار حد با مقدار تابع در ۲ متفاوت باشد.", + "در هر حالت نمودار باید شرایط گفته شده را به وضوح نشان دهد.", + "✅ جواب: مثال‌های کتاب هر چهار شرط را برآورده می‌کنند، هرچند در (الف) و (ب) تعریف در نقطه ۲ را نیز در نظر گرفته‌اند." + ] }, { "title": "رسم نمودار تابع پله‌ای", @@ -10849,7 +14607,15 @@ }, { "title": "محاسبه حد توابع شامل قسمت صحیح", - "introText": "برای محاسبه حد توابع شامل قسمت صحیح ابتدا مقدار قسمت صحیح را در نقطه مورد نظر بررسی می‌کنیم. سپس حد صورت و مخرج را جداگانه محاسبه می‌کنیم و در نهایت حد کل کسر را به دست می‌آوریم." + "introText": "برای محاسبه حد توابع شامل قسمت صحیح ابتدا مقدار قسمت صحیح را در نقطه مورد نظر بررسی می‌کنیم. سپس حد صورت و مخرج را جداگانه محاسبه می‌کنیم و در نهایت حد کل کسر را به دست می‌آوریم.", + "example": "اگر دو تابع f و g در نقطه x=a حد داشته باشند و lim (x→a) g(x) = Lγ و lim (x→a) f(x) = L1، حد مجموع، تفاضل، حاصل‌ضرب و خارج قسمت این دو تابع در x=a را بیابید.", + "steps": [ + "الف) حد مجموع: lim (x→a) (f(x) + g(x)) = lim (x→a) f(x) + lim (x→a) g(x) = L1 + Lγ", + "ب) حد تفاضل: lim (x→a) (f(x) - g(x)) = lim (x→a) f(x) - lim (x→a) g(x) = L1 - Lγ", + "پ) حد حاصل‌ضرب: lim (x→a) (f(x)g(x)) = (lim (x→a) f(x)) * (lim (x→a) g(x)) = L1 * Lγ", + "ت) حد خارج قسمت (به شرط آنکه Lγ ≠ 0): lim (x→a) (f(x)/g(x)) = (lim (x→a) f(x)) / (lim (x→a) g(x)) = L1 / Lγ", + "✅ جواب: قوانین حد مجموع، تفاضل، حاصلضرب و خارج قسمت به درستی بیان شده است." + ] }, { "title": "محاسبه و بررسی حد توابع ترکیبی", @@ -10873,7 +14639,16 @@ }, { "title": "محاسبه حد عبارت‌های ترکیبی شامل توابع مثلثاتی", - "introText": "برای محاسبه حد عبارت‌های ترکیبی که شامل توابع مثلثاتی هستند، ابتدا حد هر جزء را جداگانه محاسبه می‌کنیم و سپس مقادیر را در عبارت جایگذاری می‌کنیم. اگر عبارت شامل جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم باشد، از خواص حد استفاده می‌کنیم. در نهایت مقدار نهایی حد را به دست می‌آوریم." + "introText": "برای محاسبه حد عبارت‌های ترکیبی که شامل توابع مثلثاتی هستند، ابتدا حد هر جزء را جداگانه محاسبه می‌کنیم و سپس مقادیر را در عبارت جایگذاری می‌کنیم. اگر عبارت شامل جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم باشد، از خواص حد استفاده می‌کنیم. در نهایت مقدار نهایی حد را به دست می‌آوریم.", + "example": "دو تابع f(x) = 1-x² x<2\nx-5 x ≥ 2 و g(x) = 3 x<1\n4-x x ≥ 1 داده شده‌اند. حد توابع f+g، f-g، f· g و f/g را در نقطه x=2 بیابید.", + "steps": [ + "ابتدا حد توابع f و g را در نقطه x=2 محاسبه می‌کنیم:", + "lim(x → 2) f(x) = مقدار تابع f در x=2 از سمت راست: 2-5= -3", + "lim(x → 2) g(x) = مقدار تابع g در x=2 از سمت راست: 4-2=2", + "با استفاده از خواص حد:", + "lim(x → 2) (f(x)+g(x)) = lim(x → 2) f(x) + lim(x → 2) g(x) = -3 + 2 = -1", + "✅ جواب: حد f+g=-1، f-g=-5، fg=-6، f/g=-3/2" + ] }, { "title": "محاسبه حد توابع جبری و مثلثاتی", @@ -10909,7 +14684,16 @@ }, { "title": "محاسبه حد توابع ترکیبی", - "introText": "1. ابتدا حد هر یک از توابع پایه را جداگانه محاسبه کنید.\n2. اگر حدها وجود داشتند، با استفاده از خواص حد، حد توابع ترکیبی مانند جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و ریشه را محاسبه کنید.\n3. در صورت وجود نامعینی، از روش‌های جبری یا نموداری برای تعیین حد استفاده کنید." + "introText": "1. ابتدا حد هر یک از توابع پایه را جداگانه محاسبه کنید.\n2. اگر حدها وجود داشتند، با استفاده از خواص حد، حد توابع ترکیبی مانند جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و ریشه را محاسبه کنید.\n3. در صورت وجود نامعینی، از روش‌های جبری یا نموداری برای تعیین حد استفاده کنید.", + "example": "دو تابع f(x) = 1-x² x<2\nx-5 x ≥ 2 و g(x) = 3 x<1\n4-x x ≥ 1 داده شده‌اند. حد توابع f+g، f-g، f· g و f/g را در نقطه x=2 بیابید.", + "steps": [ + "ابتدا حد توابع f و g را در نقطه x=2 محاسبه می‌کنیم:", + "lim(x → 2) f(x) = مقدار تابع f در x=2 از سمت راست: 2-5= -3", + "lim(x → 2) g(x) = مقدار تابع g در x=2 از سمت راست: 4-2=2", + "با استفاده از خواص حد:", + "lim(x → 2) (f(x)+g(x)) = lim(x → 2) f(x) + lim(x → 2) g(x) = -3 + 2 = -1", + "✅ جواب: حد f+g=-1، f-g=-5، fg=-6، f/g=-3/2" + ] }, { "title": "تعیین مقدار پارامتر برای وجود حد در نقطه خاص", @@ -10959,7 +14743,15 @@ }, { "title": "محاسبه حد توابع شامل قسمت صحیح و رادیکال", - "introText": "1. مقدار x را به سمت نقطه مورد نظر نزدیک کنید. 2. اگر قسمت صحیح در تابع وجود دارد، حد چپ و راست را جداگانه بررسی کنید. 3. صورت و مخرج را ساده کنید یا از ضرب عبارت مزدوج برای حذف رادیکال‌ها استفاده کنید. 4. حد را با توجه به رفتار قسمت صحیح و رادیکال تعیین کنید." + "introText": "1. مقدار x را به سمت نقطه مورد نظر نزدیک کنید. 2. اگر قسمت صحیح در تابع وجود دارد، حد چپ و راست را جداگانه بررسی کنید. 3. صورت و مخرج را ساده کنید یا از ضرب عبارت مزدوج برای حذف رادیکال‌ها استفاده کنید. 4. حد را با توجه به رفتار قسمت صحیح و رادیکال تعیین کنید.", + "example": "مقدار حد lim(x → 3) (x⁷ - 9)/(⁷√x - 5 - 2) را بیابید.", + "steps": [ + "ابتدا مقدار تابع را در x=3 جایگذاری می‌کنیم: صورت 3⁷ - 9 = 2187 - 9 = 2178 و مخرج ⁷√3 - 5 - 2 که عددی مشخص است.", + "چون مخرج صفر نیست و صورت صفر نیست، حد برابر با مقدار تابع است.", + "بنابراین مقدار حد برابر 2178/(⁷√3 - 7) است.", + "(توجه: در تصویر راه حل کامل این مثال ارائه نشده است، فقط مسئله داده شده است.)", + "✅ جواب: 2178/(⁷√3 - 7)" + ] }, { "title": "محاسبه حد توابع مثلثاتی", @@ -10997,7 +14789,16 @@ }, { "title": "بررسی پیوستگی توابع در نقاط خاص", - "introText": "۱. تابع را در نقطه مورد نظر بررسی کنید که آیا تعریف شده است یا خیر.\n۲. حد تابع را از دو طرف نقطه محاسبه کنید.\n۳. اگر حد چپ و راست برابر باشند و با مقدار تابع در آن نقطه برابر باشند، تابع در آن نقطه پیوسته است.\n۴. اگر تابع در نقطه تعریف نشده باشد ولی حد وجود داشته باشد، تابع در آن نقطه پیوسته نیست.\n۵. در صورت وجود عبارت کسری، صورت و مخرج را تجزیه و ساده کنید تا حد را محاسبه نمایید." + "introText": "۱. تابع را در نقطه مورد نظر بررسی کنید که آیا تعریف شده است یا خیر.\n۲. حد تابع را از دو طرف نقطه محاسبه کنید.\n۳. اگر حد چپ و راست برابر باشند و با مقدار تابع در آن نقطه برابر باشند، تابع در آن نقطه پیوسته است.\n۴. اگر تابع در نقطه تعریف نشده باشد ولی حد وجود داشته باشد، تابع در آن نقطه پیوسته نیست.\n۵. در صورت وجود عبارت کسری، صورت و مخرج را تجزیه و ساده کنید تا حد را محاسبه نمایید.", + "example": "نمودار تابعی را رسم کنید که در نقطه ۳ تعریف نشده باشد اما حد تابع در x=3 وجود داشته باشد (توجه کنید که این تابع در ۳ پیوسته نیست).", + "steps": [ + "تابع را در بازه‌های x<3 و x>3 رسم کنید.", + "در نقطه ۳، تابع تعریف نشده است، پس نقطه ۳ را با دایره خالی نشان دهید.", + "حد تابع در x=3 را محاسبه کنید و مقدار حد را روی محور y مشخص کنید.", + "نمودار را طوری رسم کنید که به مقدار حد در نقطه ۳ نزدیک شود ولی در خود نقطه ۳ مقدار تابع وجود نداشته باشد.", + "این نمودار نشان می‌دهد که تابع در ۳ پیوسته نیست ولی حد دارد.", + "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است." + ] }, { "title": "رسم نمودار توابع با شرایط پیوستگی و نقاط تعریف نشده", @@ -11021,11 +14822,27 @@ }, { "title": "تعریف پیوستگی روی بازه‌ها", - "introText": "برای تعریف پیوستگی روی بازه‌های بسته و باز، ابتدا باید مفهوم پیوستگی در یک نقطه را بدانیم. سپس برای بازه بسته [a,b] تابع باید در تمام نقاط داخل بازه و همچنین در نقاط انتهایی a و b پیوسته باشد. برای بازه باز (a,b) تابع باید در تمام نقاط داخل بازه پیوسته باشد ولی نیازی به پیوستگی در نقاط a و b نیست. بنابراین تعریف پیوستگی روی بازه‌های بسته و باز مشابه است با این تفاوت که در بازه بسته نقاط انتهایی نیز باید پیوسته باشند." + "introText": "برای تعریف پیوستگی روی بازه‌های بسته و باز، ابتدا باید مفهوم پیوستگی در یک نقطه را بدانیم. سپس برای بازه بسته [a,b] تابع باید در تمام نقاط داخل بازه و همچنین در نقاط انتهایی a و b پیوسته باشد. برای بازه باز (a,b) تابع باید در تمام نقاط داخل بازه پیوسته باشد ولی نیازی به پیوستگی در نقاط a و b نیست. بنابراین تعریف پیوستگی روی بازه‌های بسته و باز مشابه است با این تفاوت که در بازه بسته نقاط انتهایی نیز باید پیوسته باشند.", + "example": "نمودار تابعی را رسم کنید که در نقطه ۳ تعریف نشده باشد اما حد تابع در x=3 وجود داشته باشد (توجه کنید که این تابع در ۳ پیوسته نیست).", + "steps": [ + "تابع را در بازه‌های x<3 و x>3 رسم کنید.", + "در نقطه ۳، تابع تعریف نشده است، پس نقطه ۳ را با دایره خالی نشان دهید.", + "حد تابع در x=3 را محاسبه کنید و مقدار حد را روی محور y مشخص کنید.", + "نمودار را طوری رسم کنید که به مقدار حد در نقطه ۳ نزدیک شود ولی در خود نقطه ۳ مقدار تابع وجود نداشته باشد.", + "این نمودار نشان می‌دهد که تابع در ۳ پیوسته نیست ولی حد دارد.", + "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است." + ] }, { "title": "تشخیص پیوستگی تابع از روی نمودار", - "introText": "برای تشخیص پیوستگی تابع روی بازه‌ای مشخص از روی نمودار، ابتدا باید بررسی کنیم که آیا نمودار تابع در تمام نقاط داخل بازه بدون پرش یا گسستگی رسم شده است یا خیر. سپس باید نقاط انتهایی بازه را بررسی کنیم که آیا مقدار تابع در آن نقاط با حد تابع از داخل بازه برابر است یا خیر. اگر این شرایط برقرار باشد، تابع روی آن بازه پیوسته است؛ در غیر این صورت ناپیوسته است." + "introText": "برای تشخیص پیوستگی تابع روی بازه‌ای مشخص از روی نمودار، ابتدا باید بررسی کنیم که آیا نمودار تابع در تمام نقاط داخل بازه بدون پرش یا گسستگی رسم شده است یا خیر. سپس باید نقاط انتهایی بازه را بررسی کنیم که آیا مقدار تابع در آن نقاط با حد تابع از داخل بازه برابر است یا خیر. اگر این شرایط برقرار باشد، تابع روی آن بازه پیوسته است؛ در غیر این صورت ناپیوسته است.", + "example": "در نمودار تابع k(x) که در نقطه x=2 مقدار تابع برابر 3 است ولی حد lim(x→2) k(x) برابر 2 است، آیا تابع در x=2 پیوسته است؟", + "steps": [ + "مقدار تابع k(2) برابر 3 است.", + "حد lim(x→2) k(x) برابر 2 است.", + "چون مقدار تابع و حد برابر نیستند، تابع k در نقطه x=2 پیوسته نیست و گسستگی دارد.", + "✅ جواب: تابع در x=2 پیوسته نیست زیرا k(2)=3 و حد=2 نابرابرند." + ] }, { "title": "تعیین نقاط ناپیوستگی توابع", @@ -11041,11 +14858,25 @@ }, { "title": "رسم نمودار و بررسی پیوستگی توابع با نقاط ناپیوستگی و بدون حد در آن نقاط", - "introText": "1. تابع را به صورت تکه‌ای یا با استفاده از تعریف آن رسم کنید.\n2. نقاطی که تابع در آن‌ها تعریف شده یا نشده را مشخص کنید.\n3. بررسی کنید که آیا حد چپ و راست در نقاط خاص وجود دارد یا خیر.\n4. نقاطی که حد وجود ندارد یا حد چپ و راست برابر نیستند، نقاط ناپیوستگی بدون حد هستند." + "introText": "1. تابع را به صورت تکه‌ای یا با استفاده از تعریف آن رسم کنید.\n2. نقاطی که تابع در آن‌ها تعریف شده یا نشده را مشخص کنید.\n3. بررسی کنید که آیا حد چپ و راست در نقاط خاص وجود دارد یا خیر.\n4. نقاطی که حد وجود ندارد یا حد چپ و راست برابر نیستند، نقاط ناپیوستگی بدون حد هستند.", + "example": "در نمودار تابع k(x) که در نقطه x=2 مقدار تابع برابر 3 است ولی حد lim(x→2) k(x) برابر 2 است، آیا تابع در x=2 پیوسته است؟", + "steps": [ + "مقدار تابع k(2) برابر 3 است.", + "حد lim(x→2) k(x) برابر 2 است.", + "چون مقدار تابع و حد برابر نیستند، تابع k در نقطه x=2 پیوسته نیست و گسستگی دارد.", + "✅ جواب: تابع در x=2 پیوسته نیست زیرا k(2)=3 و حد=2 نابرابرند." + ] }, { "title": "تعیین بیشترین مقدار پارامتر برای پیوستگی تابع جزء صحیح در بازه مشخص", - "introText": "1. تابع جزء صحیح را در بازه داده شده بررسی کنید.\n2. نقاطی که تابع ممکن است ناپیوسته باشد (نقاط صحیح) را شناسایی کنید.\n3. مقدار پارامتر k را طوری تعیین کنید که تابع در بازه پیوسته باشد.\n4. بیشترین مقدار k را با توجه به شرایط پیوستگی پیدا کنید." + "introText": "1. تابع جزء صحیح را در بازه داده شده بررسی کنید.\n2. نقاطی که تابع ممکن است ناپیوسته باشد (نقاط صحیح) را شناسایی کنید.\n3. مقدار پارامتر k را طوری تعیین کنید که تابع در بازه پیوسته باشد.\n4. بیشترین مقدار k را با توجه به شرایط پیوستگی پیدا کنید.", + "example": "در نمودار تابع k(x) که در نقطه x=2 مقدار تابع برابر 3 است ولی حد lim(x→2) k(x) برابر 2 است، آیا تابع در x=2 پیوسته است؟", + "steps": [ + "مقدار تابع k(2) برابر 3 است.", + "حد lim(x→2) k(x) برابر 2 است.", + "چون مقدار تابع و حد برابر نیستند، تابع k در نقطه x=2 پیوسته نیست و گسستگی دارد.", + "✅ جواب: تابع در x=2 پیوسته نیست زیرا k(2)=3 و حد=2 نابرابرند." + ] }, { "title": "ارائه بازه پیوستگی تابع شامل رادیکال", @@ -11068,6 +14899,7 @@ "units": [ { "title": "فصل ۱: تابع", + "blurb": "در این فصل: تبدیل نمودار توابع و تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم.", "order": 1, "nodes": [ { @@ -11076,11 +14908,29 @@ "lessons": [ { "title": "تبدیل نمودار توابع", - "introText": "۱. شناسایی تابع پایه و نمودار آن. ۲. تعیین نوع تبدیل (جابجایی افقی یا عمودی، کشیدگی یا فشردگی، بازتاب). ۳. اعمال تبدیل‌ها به تابع پایه به ترتیب مناسب. ۴. رسم نمودار تابع تبدیل شده با توجه به تغییرات اعمال شده." + "introText": "۱. شناسایی تابع پایه و نمودار آن. ۲. تعیین نوع تبدیل (جابجایی افقی یا عمودی، کشیدگی یا فشردگی، بازتاب). ۳. اعمال تبدیل‌ها به تابع پایه به ترتیب مناسب. ۴. رسم نمودار تابع تبدیل شده با توجه به تغییرات اعمال شده.", + "example": "نمودار تابع f به صورت زیر داده شده است. با انتقال‌های افقی و عمودی، نمودار تابع y = f(x + 1) - 3 را رسم کنید. نمودار تابع f به صورت خطی است که نقاط آن به ترتیب در مختصات (-4,0)، (-2,1)، (0,1)، (3,0) قرار دارند.", + "steps": [ + "برای رسم نمودار y = f(x + 1) - 3 ابتدا نمودار تابع f را یک واحد به سمت چپ انتقال می‌دهیم تا نمودار y = f(x + 1) به دست آید.", + "این یعنی هر نقطه از نمودار اصلی به اندازه یک واحد به سمت چپ جابه‌جا می‌شود.", + "سپس نمودار حاصل را سه واحد به سمت پایین انتقال می‌دهیم تا نمودار نهایی y = f(x + 1) - 3 رسم شود.", + "به طور مثال، نقطه (-4,0) ابتدا به (-5,0) منتقل می‌شود و سپس به (-5,-3) می‌رسد.", + "همین کار برای سایر نقاط انجام می‌شود و نمودار نهایی به دست می‌آید.", + "✅ جواب: نقاط جدید: (-5,-3), (-3,-2), (-1,-2), (2,-3)" + ] }, { "title": "تابع درجه سوم، توابع یک‌نوا و بخش‌پذیری و تقسیم", - "introText": "۱. بررسی تابع درجه سوم و تعیین ضریب‌های آن. ۲. بررسی یک‌نوا بودن تابع با استفاده از مشتق اول و تحلیل علامت آن. ۳. بررسی بخش‌پذیری تابع بر چندجمله‌ای‌های ساده‌تر با استفاده از تقسیم چندجمله‌ای یا قاعده هورنر. ۴. یافتن ریشه‌ها و نقاط بحرانی تابع برای تحلیل رفتار آن." + "introText": "۱. بررسی تابع درجه سوم و تعیین ضریب‌های آن. ۲. بررسی یک‌نوا بودن تابع با استفاده از مشتق اول و تحلیل علامت آن. ۳. بررسی بخش‌پذیری تابع بر چندجمله‌ای‌های ساده‌تر با استفاده از تقسیم چندجمله‌ای یا قاعده هورنر. ۴. یافتن ریشه‌ها و نقاط بحرانی تابع برای تحلیل رفتار آن.", + "example": "نمودار تابع f به صورت زیر داده شده است. با انتقال‌های افقی و عمودی، نمودار تابع y = f(x + 1) - 3 را رسم کنید. نمودار تابع f به صورت خطی است که نقاط آن به ترتیب در مختصات (-4,0)، (-2,1)، (0,1)، (3,0) قرار دارند.", + "steps": [ + "برای رسم نمودار y = f(x + 1) - 3 ابتدا نمودار تابع f را یک واحد به سمت چپ انتقال می‌دهیم تا نمودار y = f(x + 1) به دست آید.", + "این یعنی هر نقطه از نمودار اصلی به اندازه یک واحد به سمت چپ جابه‌جا می‌شود.", + "سپس نمودار حاصل را سه واحد به سمت پایین انتقال می‌دهیم تا نمودار نهایی y = f(x + 1) - 3 رسم شود.", + "به طور مثال، نقطه (-4,0) ابتدا به (-5,0) منتقل می‌شود و سپس به (-5,-3) می‌رسد.", + "همین کار برای سایر نقاط انجام می‌شود و نمودار نهایی به دست می‌آید.", + "✅ جواب: نقاط جدید: (-5,-3), (-3,-2), (-1,-2), (2,-3)" + ] }, { "title": "انتقال عمودی نمودار تابع", @@ -11092,7 +14942,15 @@ }, { "title": "انتقال نمودار تابع به سمت بالا یا پایین", - "introText": "برای رسم نمودار y = f(x) + k اگر k > 0 باشد، نمودار تابع f را k واحد در راستای قائم به سمت بالا انتقال می‌دهیم. اگر k < 0 باشد، نمودار تابع f را |k| واحد در راستای قائم به سمت پایین انتقال می‌دهیم." + "introText": "برای رسم نمودار y = f(x) + k اگر k > 0 باشد، نمودار تابع f را k واحد در راستای قائم به سمت بالا انتقال می‌دهیم. اگر k < 0 باشد، نمودار تابع f را |k| واحد در راستای قائم به سمت پایین انتقال می‌دهیم.", + "example": "نمودار تابع y = x² را رسم کنید و سپس نمودار تابع y = (x + 2)² را رسم کنید. توضیح دهید چگونه نمودار دوم نسبت به نمودار اول تغییر می‌کند.", + "steps": [ + "ابتدا نمودار تابع y = x² را رسم می‌کنیم که یک سهمی با رأس در نقطه (0,0) است.", + "تابع جدید y = (x + 2)² را در نظر می‌گیریم که برابر است با f(x + 2).", + "این یعنی هر نقطه روی نمودار y = x² به اندازه 2 واحد به سمت چپ منتقل شده است.", + "بنابراین نمودار y = (x + 2)² همان نمودار y = x² است که به اندازه 2 واحد به سمت چپ جابجا شده است.", + "✅ جواب: نمودار y=(x+2)² با انتقال 2 واحد به چپ y=x² به‌دست می‌آید." + ] }, { "title": "تقارن نمودار تابع نسبت به محور y با انتقال افقی", @@ -11136,7 +14994,15 @@ }, { "title": "رسم نمودار توابع چندجمله‌ای و تعیین ضابطه تابع با استفاده از نمودار و قرینه‌ها", - "introText": "برای رسم نمودار توابع چندجمله‌ای مانند y = x^2 یا y = -x^2 ابتدا نمودار تابع پایه را رسم می‌کنیم. سپس با توجه به ضریب‌ها و علامت‌ها، نمودار را قرینه یا انتقال می‌دهیم. برای تعیین ضابطه تابع از روی نمودار، ابتدا نمودار پایه را شناسایی کرده و سپس تغییرات اعمال شده مانند قرینه نسبت به محور x یا انتقال را بررسی می‌کنیم. در صورت وجود تابع قدر مطلق، نمودار را به صورت قرینه نسبت به محور y تحلیل می‌کنیم." + "introText": "برای رسم نمودار توابع چندجمله‌ای مانند y = x^2 یا y = -x^2 ابتدا نمودار تابع پایه را رسم می‌کنیم. سپس با توجه به ضریب‌ها و علامت‌ها، نمودار را قرینه یا انتقال می‌دهیم. برای تعیین ضابطه تابع از روی نمودار، ابتدا نمودار پایه را شناسایی کرده و سپس تغییرات اعمال شده مانند قرینه نسبت به محور x یا انتقال را بررسی می‌کنیم. در صورت وجود تابع قدر مطلق، نمودار را به صورت قرینه نسبت به محور y تحلیل می‌کنیم.", + "example": "نمودار تابع y = x² را رسم کنید و سپس نمودار تابع y = (x + 2)² را رسم کنید. توضیح دهید چگونه نمودار دوم نسبت به نمودار اول تغییر می‌کند.", + "steps": [ + "ابتدا نمودار تابع y = x² را رسم می‌کنیم که یک سهمی با رأس در نقطه (0,0) است.", + "تابع جدید y = (x + 2)² را در نظر می‌گیریم که برابر است با f(x + 2).", + "این یعنی هر نقطه روی نمودار y = x² به اندازه 2 واحد به سمت چپ منتقل شده است.", + "بنابراین نمودار y = (x + 2)² همان نمودار y = x² است که به اندازه 2 واحد به سمت چپ جابجا شده است.", + "✅ جواب: نمودار y=(x+2)² با انتقال 2 واحد به چپ y=x² به‌دست می‌آید." + ] }, { "title": "ترسیم نمودار تابع با تغییرات افقی و عمودی", @@ -11172,7 +15038,15 @@ }, { "title": "رسم نمودار تابع با انتقال افقی و تقسیم طول‌ها", - "introText": "اگر نمودار تابع f به صورت داده شده باشد، برای رسم نمودار تابع g(x)=f((x+1)/2) ابتدا نقاط مشخص شده در نمودار f را یک واحد به سمت چپ منتقل می‌کنیم (x به x+1) و سپس طول‌ها را بر 2 تقسیم می‌کنیم (x به x/2). نقاط متناظر جدید را به دست آورده و نمودار g را رسم می‌کنیم. نقطه متقارن A' متناظر با نقطه A=(x,y) روی نمودار f به صورت A'=( (x-1)/2 , y ) محاسبه می‌شود." + "introText": "اگر نمودار تابع f به صورت داده شده باشد، برای رسم نمودار تابع g(x)=f((x+1)/2) ابتدا نقاط مشخص شده در نمودار f را یک واحد به سمت چپ منتقل می‌کنیم (x به x+1) و سپس طول‌ها را بر 2 تقسیم می‌کنیم (x به x/2). نقاط متناظر جدید را به دست آورده و نمودار g را رسم می‌کنیم. نقطه متقارن A' متناظر با نقطه A=(x,y) روی نمودار f به صورت A'=( (x-1)/2 , y ) محاسبه می‌شود.", + "example": "نمودار تابع y = x² را رسم کنید و سپس نمودار تابع y = (x + 2)² را رسم کنید. توضیح دهید چگونه نمودار دوم نسبت به نمودار اول تغییر می‌کند.", + "steps": [ + "ابتدا نمودار تابع y = x² را رسم می‌کنیم که یک سهمی با رأس در نقطه (0,0) است.", + "تابع جدید y = (x + 2)² را در نظر می‌گیریم که برابر است با f(x + 2).", + "این یعنی هر نقطه روی نمودار y = x² به اندازه 2 واحد به سمت چپ منتقل شده است.", + "بنابراین نمودار y = (x + 2)² همان نمودار y = x² است که به اندازه 2 واحد به سمت چپ جابجا شده است.", + "✅ جواب: نمودار y=(x+2)² با انتقال 2 واحد به چپ y=x² به‌دست می‌آید." + ] }, { "title": "تبدیل توابع رادیکالی و رسم نمودار", @@ -11180,7 +15054,16 @@ }, { "title": "رسم نمودار توابع تبدیل یافته", - "introText": "۱. ابتدا نمودار تابع اصلی f(x) را بررسی کنید.\n۲. بسته به تبدیل داده شده (مانند f(-x)، f(x-1)، 2f(x-1)، -f(x)+2، f(3x-1)، f(3-x))، تغییرات لازم را روی نمودار اعمال کنید:\n - f(-x): نمودار را نسبت به محور y قرینه کنید.\n - f(x-1): نمودار را یک واحد به سمت راست انتقال دهید.\n - 2f(x-1): ابتدا انتقال به راست، سپس مقدار y را در ۲ ضرب کنید.\n - -f(x)+2: نمودار را نسبت به محور x قرینه و سپس ۲ واحد به بالا انتقال دهید.\n - f(3x-1): ابتدا محور x را فشرده کنید (ضرب در ۳)، سپس یک واحد به راست انتقال دهید.\n - f(3-x): ابتدا محور x را قرینه و فشرده کنید، سپس نمودار را رسم کنید.\n۳. نقاط کلیدی و تغییرات نمودار را با دقت رسم کنید." + "introText": "۱. ابتدا نمودار تابع اصلی f(x) را بررسی کنید.\n۲. بسته به تبدیل داده شده (مانند f(-x)، f(x-1)، 2f(x-1)، -f(x)+2، f(3x-1)، f(3-x))، تغییرات لازم را روی نمودار اعمال کنید:\n - f(-x): نمودار را نسبت به محور y قرینه کنید.\n - f(x-1): نمودار را یک واحد به سمت راست انتقال دهید.\n - 2f(x-1): ابتدا انتقال به راست، سپس مقدار y را در ۲ ضرب کنید.\n - -f(x)+2: نمودار را نسبت به محور x قرینه و سپس ۲ واحد به بالا انتقال دهید.\n - f(3x-1): ابتدا محور x را فشرده کنید (ضرب در ۳)، سپس یک واحد به راست انتقال دهید.\n - f(3-x): ابتدا محور x را قرینه و فشرده کنید، سپس نمودار را رسم کنید.\n۳. نقاط کلیدی و تغییرات نمودار را با دقت رسم کنید.", + "example": "نمودار تابع f به صورت زیر داده شده است. با انتقال‌های افقی و عمودی، نمودار تابع y = f(x + 1) - 3 را رسم کنید. نمودار تابع f به صورت خطی است که نقاط آن به ترتیب در مختصات (-4,0)، (-2,1)، (0,1)، (3,0) قرار دارند.", + "steps": [ + "برای رسم نمودار y = f(x + 1) - 3 ابتدا نمودار تابع f را یک واحد به سمت چپ انتقال می‌دهیم تا نمودار y = f(x + 1) به دست آید.", + "این یعنی هر نقطه از نمودار اصلی به اندازه یک واحد به سمت چپ جابه‌جا می‌شود.", + "سپس نمودار حاصل را سه واحد به سمت پایین انتقال می‌دهیم تا نمودار نهایی y = f(x + 1) - 3 رسم شود.", + "به طور مثال، نقطه (-4,0) ابتدا به (-5,0) منتقل می‌شود و سپس به (-5,-3) می‌رسد.", + "همین کار برای سایر نقاط انجام می‌شود و نمودار نهایی به دست می‌آید.", + "✅ جواب: نقاط جدید: (-5,-3), (-3,-2), (-1,-2), (2,-3)" + ] }, { "title": "رسم و مقایسه نمودار توابع با تغییر علامت و قرینه", @@ -11218,7 +15101,16 @@ }, { "title": "تحلیل تغییرات تابع بر اساس نمودار", - "introText": "1. نمودار تابع را به بازه‌های مختلف تقسیم کنید. 2. در هر بازه، جهت تغییر تابع را بررسی کنید: اگر نمودار صعودی است، تابع افزایش دارد. 3. اگر نمودار نزولی است، تابع کاهش دارد. 4. اگر نمودار افقی است، تابع ثابت است. 5. بازه‌های زمانی مربوط به هر نوع تغییر را مشخص کنید." + "introText": "1. نمودار تابع را به بازه‌های مختلف تقسیم کنید. 2. در هر بازه، جهت تغییر تابع را بررسی کنید: اگر نمودار صعودی است، تابع افزایش دارد. 3. اگر نمودار نزولی است، تابع کاهش دارد. 4. اگر نمودار افقی است، تابع ثابت است. 5. بازه‌های زمانی مربوط به هر نوع تغییر را مشخص کنید.", + "example": "تابع f(x) = x³ داده شده است. نمودار تابع وارون f⁻1 را رسم کنید و ضابطه آن را تعیین کنید.", + "steps": [ + "نمودار تابع f(x) = x³ را رسم می‌کنیم که یک منحنی یکنواخت است.", + "تابع f یک به یک است و بنابراین وارون‌پذیر است.", + "نمودار تابع وارون f^-1 با تقارن نسبت به خط y = x رسم می‌شود.", + "برای یافتن ضابطه تابع وارون، معادله y = x³ را نسبت به x حل می‌کنیم:", + "x = y^(1/3)", + "✅ جواب: f⁻¹(x) = ³√x" + ] }, { "title": "تشخیص نوع تابع (صعودی، نزولی، ثابت) از نمودار", @@ -11334,6 +15226,7 @@ }, { "title": "فصل ۲: مثلثات", + "blurb": "در این فصل: تناوب و تانژانت و معادله‌های مثلثاتی.", "order": 2, "nodes": [ { @@ -11346,7 +15239,14 @@ }, { "title": "تحلیل دوره تناوب، مینیمم و ماکزیمم تابع سینوس", - "introText": "1. دوره تناوب تابع y = a sin x برابر 2π است. 2. مقدار ماکزیمم تابع برابر a و مقدار مینیمم برابر -a است. 3. با تغییر ضریب a در تابع y = a sin x، دامنه تابع تغییر می‌کند ولی دوره تناوب ثابت می‌ماند. 4. نمودار تابع سینوس با دامنه و دوره تناوب مشخص رسم می‌شود. 5. برای تعیین ماکزیمم و مینیمم تابع، کافی است ضریب a را در نظر بگیریم و نقاطی که تابع به مقدار ±a می‌رسد را مشخص کنیم." + "introText": "1. دوره تناوب تابع y = a sin x برابر 2π است. 2. مقدار ماکزیمم تابع برابر a و مقدار مینیمم برابر -a است. 3. با تغییر ضریب a در تابع y = a sin x، دامنه تابع تغییر می‌کند ولی دوره تناوب ثابت می‌ماند. 4. نمودار تابع سینوس با دامنه و دوره تناوب مشخص رسم می‌شود. 5. برای تعیین ماکزیمم و مینیمم تابع، کافی است ضریب a را در نظر بگیریم و نقاطی که تابع به مقدار ±a می‌رسد را مشخص کنیم.", + "example": "با دقت در نمودار تابع y=sin(x) که دوره تناوب آن 2π است، ماکزیمم برابر 1 و مینیمم برابر -1 است. دوره تناوب، ماکزیمم و مینیمم این تابع را تعیین کنید.", + "steps": [ + "تابع داده شده y=sin(x) است که در آن b=1.", + "دوره تناوب تابع برابر است با 2π / |1| = 2π.", + "ماکزیمم تابع سینوس برابر 1 است. مینیمم تابع سینوس برابر -1 است. بنابراین دوره تناوب 2π، ماکزیمم 1 و مینیمم -1 است.", + "✅ جواب: دوره تناوب 2π، ماکزیمم 1، مینیمم -1" + ] }, { "title": "تعیین اثر ضریب a بر دامنه و دوره تناوب تابع سینوس", @@ -11362,7 +15262,14 @@ }, { "title": "تشخیص ضریب و دوره تناوب توابع سینوسی و کسینوسی", - "introText": "۱. نمودار تابع داده شده را با دقت بررسی کنید.\n۲. دوره تناوب تابع را با توجه به فاصله بین نقاط تکرار شونده (مثلاً ماکزیمم‌ها یا مینیمم‌ها) تعیین کنید.\n۳. ضریب b را از رابطه دوره تناوب T = 2π / |b| محاسبه کنید.\n۴. مقدار a را از اختلاف بین ماکزیمم و مینیمم تابع به دست آورید، به طوری که ماکزیمم = c + |a| و مینیمم = c - |a| باشد.\n۵. مقدار c را به عنوان میانگین ماکزیمم و مینیمم محاسبه کنید.\n۶. تابع را به صورت y = a sin(bx + c) یا y = a cos(bx + c) بنویسید." + "introText": "۱. نمودار تابع داده شده را با دقت بررسی کنید.\n۲. دوره تناوب تابع را با توجه به فاصله بین نقاط تکرار شونده (مثلاً ماکزیمم‌ها یا مینیمم‌ها) تعیین کنید.\n۳. ضریب b را از رابطه دوره تناوب T = 2π / |b| محاسبه کنید.\n۴. مقدار a را از اختلاف بین ماکزیمم و مینیمم تابع به دست آورید، به طوری که ماکزیمم = c + |a| و مینیمم = c - |a| باشد.\n۵. مقدار c را به عنوان میانگین ماکزیمم و مینیمم محاسبه کنید.\n۶. تابع را به صورت y = a sin(bx + c) یا y = a cos(bx + c) بنویسید.", + "example": "با دقت در نمودار تابع y=sin(x) که دوره تناوب آن 2π است، ماکزیمم برابر 1 و مینیمم برابر -1 است. دوره تناوب، ماکزیمم و مینیمم این تابع را تعیین کنید.", + "steps": [ + "تابع داده شده y=sin(x) است که در آن b=1.", + "دوره تناوب تابع برابر است با 2π / |1| = 2π.", + "ماکزیمم تابع سینوس برابر 1 است. مینیمم تابع سینوس برابر -1 است. بنابراین دوره تناوب 2π، ماکزیمم 1 و مینیمم -1 است.", + "✅ جواب: دوره تناوب 2π، ماکزیمم 1، مینیمم -1" + ] }, { "title": "محاسبه تانژانت زاویه با استفاده از دایره مثلثاتی و خطوط عمود", @@ -11402,7 +15309,14 @@ }, { "title": "رسم نمودار تابع تانژانت در ربع‌های مختلف", - "introText": "برای رسم نمودار تابع y = tan x در ربع‌های مختلف، ابتدا نمودار تابع را در ربع اول رسم می‌کنیم. سپس با استفاده از خاصیت تناوب π و متناوب بودن تابع تانژانت، نمودار را در ربع‌های دیگر با انتقال به راست یا چپ به اندازه π رسم می‌کنیم. همچنین باید نقاط ناپیوستگی تابع را در نظر بگیریم که در x = kπ + π/2 (k عدد صحیح) رخ می‌دهد. با این روش نمودار کامل تابع در بازه‌های مختلف به دست می‌آید." + "introText": "برای رسم نمودار تابع y = tan x در ربع‌های مختلف، ابتدا نمودار تابع را در ربع اول رسم می‌کنیم. سپس با استفاده از خاصیت تناوب π و متناوب بودن تابع تانژانت، نمودار را در ربع‌های دیگر با انتقال به راست یا چپ به اندازه π رسم می‌کنیم. همچنین باید نقاط ناپیوستگی تابع را در نظر بگیریم که در x = kπ + π/2 (k عدد صحیح) رخ می‌دهد. با این روش نمودار کامل تابع در بازه‌های مختلف به دست می‌آید.", + "example": "با دقت در نمودار تابع y=sin(x) که دوره تناوب آن 2π است، ماکزیمم برابر 1 و مینیمم برابر -1 است. دوره تناوب، ماکزیمم و مینیمم این تابع را تعیین کنید.", + "steps": [ + "تابع داده شده y=sin(x) است که در آن b=1.", + "دوره تناوب تابع برابر است با 2π / |1| = 2π.", + "ماکزیمم تابع سینوس برابر 1 است. مینیمم تابع سینوس برابر -1 است. بنابراین دوره تناوب 2π، ماکزیمم 1 و مینیمم -1 است.", + "✅ جواب: دوره تناوب 2π، ماکزیمم 1، مینیمم -1" + ] }, { "title": "یافتن دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم توابع مثلثاتی", @@ -11410,11 +15324,25 @@ }, { "title": "رسم و تحلیل نمودار توابع مثلثاتی با ضرایب مختلف", - "introText": "1. تابع داده شده را شناسایی کنید (سینوس یا کسینوس). 2. ضریب داخل پرانتز (x) را مشخص کنید که دوره تناوب را تغییر می‌دهد. 3. دوره تناوب را با فرمول T = 2π / |ضریب| محاسبه کنید. 4. دامنه تابع را از ضریب جلوی سینوس یا کسینوس تعیین کنید. 5. نمودار تابع را با توجه به دوره تناوب و دامنه رسم کنید. 6. نقاط مهم مانند صفرها، ماکزیمم‌ها و مینیمم‌ها را روی نمودار مشخص کنید. 7. نمودار را با نمودارهای داده شده مقایسه کنید و تطابق دهید." + "introText": "1. تابع داده شده را شناسایی کنید (سینوس یا کسینوس). 2. ضریب داخل پرانتز (x) را مشخص کنید که دوره تناوب را تغییر می‌دهد. 3. دوره تناوب را با فرمول T = 2π / |ضریب| محاسبه کنید. 4. دامنه تابع را از ضریب جلوی سینوس یا کسینوس تعیین کنید. 5. نمودار تابع را با توجه به دوره تناوب و دامنه رسم کنید. 6. نقاط مهم مانند صفرها، ماکزیمم‌ها و مینیمم‌ها را روی نمودار مشخص کنید. 7. نمودار را با نمودارهای داده شده مقایسه کنید و تطابق دهید.", + "example": "با دقت در نمودار تابع y=sin(x) که دوره تناوب آن 2π است، ماکزیمم برابر 1 و مینیمم برابر -1 است. دوره تناوب، ماکزیمم و مینیمم این تابع را تعیین کنید.", + "steps": [ + "تابع داده شده y=sin(x) است که در آن b=1.", + "دوره تناوب تابع برابر است با 2π / |1| = 2π.", + "ماکزیمم تابع سینوس برابر 1 است. مینیمم تابع سینوس برابر -1 است. بنابراین دوره تناوب 2π، ماکزیمم 1 و مینیمم -1 است.", + "✅ جواب: دوره تناوب 2π، ماکزیمم 1، مینیمم -1" + ] }, { "title": "تعیین دوره تناوب، مقدار ماکزیمم و مینیمم تابع‌های مثلثاتی", - "introText": "برای هر تابع مثلثاتی ابتدا دوره تناوب آن را با توجه به ضریب زاویه در داخل تابع تعیین می‌کنیم. سپس مقدار ماکزیمم و مینیمم تابع را با توجه به ضریب ضریب دامنه (آمپلتیود) مشخص می‌کنیم. مقدار ماکزیمم برابر با مقدار مطلق دامنه و مقدار مینیمم برابر با منفی مقدار مطلق دامنه است." + "introText": "برای هر تابع مثلثاتی ابتدا دوره تناوب آن را با توجه به ضریب زاویه در داخل تابع تعیین می‌کنیم. سپس مقدار ماکزیمم و مینیمم تابع را با توجه به ضریب ضریب دامنه (آمپلتیود) مشخص می‌کنیم. مقدار ماکزیمم برابر با مقدار مطلق دامنه و مقدار مینیمم برابر با منفی مقدار مطلق دامنه است.", + "example": "با دقت در نمودار تابع y=sin(x) که دوره تناوب آن 2π است، ماکزیمم برابر 1 و مینیمم برابر -1 است. دوره تناوب، ماکزیمم و مینیمم این تابع را تعیین کنید.", + "steps": [ + "تابع داده شده y=sin(x) است که در آن b=1.", + "دوره تناوب تابع برابر است با 2π / |1| = 2π.", + "ماکزیمم تابع سینوس برابر 1 است. مینیمم تابع سینوس برابر -1 است. بنابراین دوره تناوب 2π، ماکزیمم 1 و مینیمم -1 است.", + "✅ جواب: دوره تناوب 2π، ماکزیمم 1، مینیمم -1" + ] }, { "title": "نوشتن ضابطه تابع بر اساس نمودار داده شده", @@ -11436,7 +15364,15 @@ "lessons": [ { "title": "حل معادلات مثلثاتی از نوع sin x = a", - "introText": "1. رسم نمودار تابع y = sin x و تعیین نقاطی که y=0 است (صفرهای تابع). 2. تعیین نقاطی که sin x = a (مثلاً a=0 یا a=1) با توجه به نمودار. 3. نوشتن جواب‌ها به صورت مجموعه نقاطی که در آن‌ها مقدار تابع برابر a است. 4. استفاده از فرمول کلی جواب‌ها به صورت x = kπ برای sin x = 0 و x = π/2 + 2kπ برای sin x = 1 که k عدد صحیح است. 5. در صورت نیاز، استفاده از فرمول کلی جواب‌ها برای مقادیر دیگر a با توجه به دوره تناوب و تقارن تابع سینوس." + "introText": "1. رسم نمودار تابع y = sin x و تعیین نقاطی که y=0 است (صفرهای تابع). 2. تعیین نقاطی که sin x = a (مثلاً a=0 یا a=1) با توجه به نمودار. 3. نوشتن جواب‌ها به صورت مجموعه نقاطی که در آن‌ها مقدار تابع برابر a است. 4. استفاده از فرمول کلی جواب‌ها به صورت x = kπ برای sin x = 0 و x = π/2 + 2kπ برای sin x = 1 که k عدد صحیح است. 5. در صورت نیاز، استفاده از فرمول کلی جواب‌ها برای مقادیر دیگر a با توجه به دوره تناوب و تقارن تابع سینوس.", + "example": "معادله sin x = -1/2 را حل کنید.", + "steps": [ + "ابتدا معادله را به صورت sin x = sin(-π/6) بازنویسی می‌کنیم. سپس جواب‌های کلی معادله به صورت زیر است:", + "x = 2kπ - π/6 , k ∈ Z", + "x = 2kπ + π - (-π/6) = 2kπ + 7π/6 , k ∈ Z", + "بنابراین جواب‌های معادله sin x = -1/2 به صورت x = 2kπ - π/6 و x = 2kπ + 7π/6 هستند که k هر عدد صحیحی است.", + "✅ جواب: x = 2kπ - π/6 یا x = 2kπ + 7π/6 که k∈Z" + ] }, { "title": "حل معادلات مثلثاتی از نوع sin x = 1", @@ -11472,7 +15408,14 @@ }, { "title": "حل معادلات مثلثاتی با استفاده از روابط بنیادی", - "introText": "1. معادله مثلثاتی را به شکل استاندارد تبدیل کنید (مثلاً cos x = cos a یا sin x = sin a). 2. از روابط کلی حل معادلات مثلثاتی استفاده کنید: برای cos x = cos a، جواب‌ها به صورت x = 2kπ ± a هستند و برای sin x = sin a، جواب‌ها به صورت x = 2kπ + a یا x = (2k+1)π - a هستند، که k عدد صحیح است. 3. مقادیر k را جایگذاری کنید تا جواب‌های مورد نظر در بازه داده شده به دست آید. 4. جواب‌ها را در بازه مشخص شده محدود کنید." + "introText": "1. معادله مثلثاتی را به شکل استاندارد تبدیل کنید (مثلاً cos x = cos a یا sin x = sin a). 2. از روابط کلی حل معادلات مثلثاتی استفاده کنید: برای cos x = cos a، جواب‌ها به صورت x = 2kπ ± a هستند و برای sin x = sin a، جواب‌ها به صورت x = 2kπ + a یا x = (2k+1)π - a هستند، که k عدد صحیح است. 3. مقادیر k را جایگذاری کنید تا جواب‌های مورد نظر در بازه داده شده به دست آید. 4. جواب‌ها را در بازه مشخص شده محدود کنید.", + "example": "معادله sin x = 1 را حل کنید و جواب‌های آن را به صورت کلی بیان کنید.", + "steps": [ + "از نمودار تابع y = sin x مشاهده می‌کنیم که مقدار 1 در نقاط x = π/2 + 2kπ رخ می‌دهد که k عدد صحیح است.", + "بنابراین جواب‌های معادله sin x = 1 به صورت x = π/2 + 2kπ هستند که k عدد صحیح است.", + "این جواب‌ها شامل تمام نقاطی است که تابع سینوس مقدار 1 دارد.", + "✅ جواب: x = π/2 + 2kπ, k∈ℤ" + ] }, { "title": "حل معادلات مثلثاتی با چند جمله‌ای‌های سینوس", @@ -11496,7 +15439,14 @@ }, { "title": "حل معادلات مثلثاتی با استفاده از تبدیل و توان رساندن به توان دو", - "introText": "1. معادله داده شده را بازنویسی کنید تا یک طرف معادله به صورت جمع یا تفریق سینوس و کسینوس باشد.\n2. طرفین معادله را به توان دو برسانید تا بتوانید از روابط مثلثاتی استفاده کنید.\n3. از رابطه sin^2 x + cos^2 x = 1 برای ساده‌سازی استفاده کنید.\n4. معادله به دست آمده را حل کنید و مقادیر x را بیابید.\n5. جواب‌ها را در بازه داده شده یا به صورت کلی بیان کنید." + "introText": "1. معادله داده شده را بازنویسی کنید تا یک طرف معادله به صورت جمع یا تفریق سینوس و کسینوس باشد.\n2. طرفین معادله را به توان دو برسانید تا بتوانید از روابط مثلثاتی استفاده کنید.\n3. از رابطه sin^2 x + cos^2 x = 1 برای ساده‌سازی استفاده کنید.\n4. معادله به دست آمده را حل کنید و مقادیر x را بیابید.\n5. جواب‌ها را در بازه داده شده یا به صورت کلی بیان کنید.", + "example": "معادله sin x = 1 را حل کنید و جواب‌های آن را به صورت کلی بیان کنید.", + "steps": [ + "از نمودار تابع y = sin x مشاهده می‌کنیم که مقدار 1 در نقاط x = π/2 + 2kπ رخ می‌دهد که k عدد صحیح است.", + "بنابراین جواب‌های معادله sin x = 1 به صورت x = π/2 + 2kπ هستند که k عدد صحیح است.", + "این جواب‌ها شامل تمام نقاطی است که تابع سینوس مقدار 1 دارد.", + "✅ جواب: x = π/2 + 2kπ, k∈ℤ" + ] }, { "title": "حل معادلات مثلثاتی", @@ -11532,6 +15482,7 @@ }, { "title": "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "blurb": "در این فصل: حدهای نامتناهی و حد در بی‌نهایت.", "order": 3, "nodes": [ { @@ -11782,6 +15733,7 @@ }, { "title": "فصل ۴: مشتق", + "blurb": "در این فصل: آشنایی با مفهوم مشتق، مشتق‌پذیری و پیوستگی و آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر.", "order": 4, "nodes": [ { @@ -11810,7 +15762,16 @@ }, { "title": "محاسبه شیب خط مماس بر منحنی در نقطه مشخص", - "introText": "1. ابتدا نقاط نزدیک به نقطه مورد نظر روی منحنی را انتخاب کنید.\n2. شیب خطوط قاطع بین نقطه مورد نظر و نقاط نزدیک را با فرمول (f(b)-f(a))/(b-a) محاسبه کنید.\n3. با کاهش فاصله بین نقاط (کوچک کردن بازه)، شیب خطوط قاطع را محاسبه و مقایسه کنید.\n4. حد این شیب‌ها وقتی فاصله به صفر میل می‌کند، شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است." + "introText": "1. ابتدا نقاط نزدیک به نقطه مورد نظر روی منحنی را انتخاب کنید.\n2. شیب خطوط قاطع بین نقطه مورد نظر و نقاط نزدیک را با فرمول (f(b)-f(a))/(b-a) محاسبه کنید.\n3. با کاهش فاصله بین نقاط (کوچک کردن بازه)، شیب خطوط قاطع را محاسبه و مقایسه کنید.\n4. حد این شیب‌ها وقتی فاصله به صفر میل می‌کند، شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است.", + "example": "خطوط d₁ تا d₄ را در نظر بگیرید. خط d₁ در نقطه A، خط d₂ در نقطه B، و خط d₃ در نقاط A و B بر منحنی مماس هستند. خط d₄ در نقطه A بر منحنی مماس نیست. همچنین خطوط d₁ و d₄ در نقطه C بر منحنی مماس نیستند. با توجه به این اطلاعات، تعیین کنید چرا خط d₁ در نقطه A مماس است ولی خط d₄ در نقطه A مماس نیست.", + "steps": [ + "برای تعیین اینکه خطی بر منحنی در نقطه‌ای مماس است یا خیر، باید شیب خط و شیب منحنی در آن نقطه برابر باشند.", + "شیب منحنی در نقطه A را با محاسبه مشتق تابع در آن نقطه به دست می‌آوریم.", + "شیب خط d₁ در نقطه A برابر با شیب منحنی است، بنابراین خط d₁ مماس بر منحنی در نقطه A است.", + "شیب خط d₄ در نقطه A با شیب منحنی برابر نیست، بنابراین خط d₄ مماس بر منحنی در نقطه A نیست.", + "نتیجه: خط مماس بر منحنی در نقطه‌ای است که شیب خط برابر با مشتق تابع در آن نقطه باشد.", + "✅ جواب: راه‌حل درست است: شرط مماس بودن، برابری شیب خط و مشتق در نقطه است." + ] }, { "title": "محاسبه حد عبارت مشتق‌نما", @@ -11822,7 +15783,16 @@ }, { "title": "محاسبه مشتق تابع در نقطه با استفاده از حد تعریف مشتق", - "introText": "1. تابع f(x) را در نقطه مورد نظر a قرار دهید.\n2. حد تعریف مشتق را به صورت lim (h→0) [f(a+h) - f(a)] / h بنویسید.\n3. عبارت داخل حد را ساده کنید و صورت کسر را باز کنید.\n4. حد را با حذف h در صورت و مخرج محاسبه کنید.\n5. مقدار عددی مشتق در نقطه a به دست می‌آید." + "introText": "1. تابع f(x) را در نقطه مورد نظر a قرار دهید.\n2. حد تعریف مشتق را به صورت lim (h→0) [f(a+h) - f(a)] / h بنویسید.\n3. عبارت داخل حد را ساده کنید و صورت کسر را باز کنید.\n4. حد را با حذف h در صورت و مخرج محاسبه کنید.\n5. مقدار عددی مشتق در نقطه a به دست می‌آید.", + "example": "محاسبه حد عبارت lim(h→0⁺) (f(2+h)-f(2))/h که در آن f(x) = -x² + 10x - 16 است.", + "steps": [ + "جایگذاری عبارت f در حد: lim(h→0⁺) [(- (2+h)² + 10(2+h) - 16) - (- 2² + 10*2 - 16)] / h", + "= lim(h→0⁺) [(- (4 + 4h + h²) + 20 + 10h - 16) - (-4 + 20 - 16)] / h", + "= lim(h→0⁺) [(-4 - 4h - h² + 20 + 10h - 16) - 0] / h", + "= lim(h→0⁺) (-h² + 6h) / h", + "ساده‌سازی کسر: lim(h→0⁺) (-h²/h + 6h/h) = lim(h→0⁺) (-h + 6)", + "جایگذاری h=0: -0 + 6 = 6 بنابراین مقدار حد برابر 6 است." + ] }, { "title": "نوشتن معادله خط مماس بر منحنی در نقطه مشخص", @@ -11842,7 +15812,16 @@ }, { "title": "محاسبه مشتق تابع و بررسی نقاط مشتق‌پذیری با نمودار", - "introText": "برای محاسبه مشتق تابع \\( f(x) = -x^2 + 1 \\) ابتدا مشتق تابع را به صورت \\( f'(x) = -2x \\) محاسبه می‌کنیم. سپس مقادیر مشتق را در نقاط داده شده مانند \\( x=5 \\) و \\( x=8 \\) جایگذاری می‌کنیم. برای تعیین نقاطی که مشتق در آنها قرینه است، مقادیر مشتق را در نقاط مختلف بررسی می‌کنیم. با استفاده از نمودار تابع، نقاطی که مشتق مثبت یا منفی است را مشخص می‌کنیم. همچنین شیب خطوط مماس بر منحنی در نقاط مختلف را با هم مقایسه می‌کنیم. در نهایت با محاسبه مشتق در نقاط مشخص شده، صحت حدس‌های مربوط به مشتق را بررسی می‌کنیم." + "introText": "برای محاسبه مشتق تابع \\( f(x) = -x^2 + 1 \\) ابتدا مشتق تابع را به صورت \\( f'(x) = -2x \\) محاسبه می‌کنیم. سپس مقادیر مشتق را در نقاط داده شده مانند \\( x=5 \\) و \\( x=8 \\) جایگذاری می‌کنیم. برای تعیین نقاطی که مشتق در آنها قرینه است، مقادیر مشتق را در نقاط مختلف بررسی می‌کنیم. با استفاده از نمودار تابع، نقاطی که مشتق مثبت یا منفی است را مشخص می‌کنیم. همچنین شیب خطوط مماس بر منحنی در نقاط مختلف را با هم مقایسه می‌کنیم. در نهایت با محاسبه مشتق در نقاط مشخص شده، صحت حدس‌های مربوط به مشتق را بررسی می‌کنیم.", + "example": "تابع f(x) = -x² + 10 داده شده است. نقاط A(2, f(2)) و B(6, f(6)) روی منحنی در بازه 0 ≤ x ≤ 10 در نظر گرفته شده‌اند. شیب خطی که از نقاط A و B می‌گذرد یعنی m_AB را به دست آورید.", + "steps": [ + "مقادیر تابع را در نقاط A و B محاسبه می‌کنیم:", + "f(2) = -(2)² + 10 = -4 + 10 = 6", + "f(6) = -(6)² + 10 = -36 + 10 = -26", + "شیب خط قاطع m_AB را با فرمول شیب محاسبه می‌کنیم:", + "m_AB = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (f(6) - f(2)) / (6 - 2) = (-26 - 6) / (4) = (-32) / 4 = -8", + "بنابراین شیب خط قاطع بین نقاط A و B برابر -8 است." + ] }, { "title": "یافتن معادله خط مماس بر منحنی در نقطه مشخص", @@ -11850,7 +15829,16 @@ }, { "title": "یافتن نقاط با شیب‌های داده شده روی منحنی", - "introText": "۱. مقدار مشتق تابع را در نقاط مختلف محاسبه کنید یا از داده‌های داده شده استفاده کنید.\n۲. برای هر شیب داده شده، نقطه‌ای از منحنی را پیدا کنید که مشتق تابع در آن نقطه برابر با آن شیب باشد.\n۳. نقاط به دست آمده را در جدول یا پاسخ نهایی یادداشت کنید." + "introText": "۱. مقدار مشتق تابع را در نقاط مختلف محاسبه کنید یا از داده‌های داده شده استفاده کنید.\n۲. برای هر شیب داده شده، نقطه‌ای از منحنی را پیدا کنید که مشتق تابع در آن نقطه برابر با آن شیب باشد.\n۳. نقاط به دست آمده را در جدول یا پاسخ نهایی یادداشت کنید.", + "example": "خطوط d₁ تا d₄ را در نظر بگیرید. خط d₁ در نقطه A، خط d₂ در نقطه B، و خط d₃ در نقاط A و B بر منحنی مماس هستند. خط d₄ در نقطه A بر منحنی مماس نیست. همچنین خطوط d₁ و d₄ در نقطه C بر منحنی مماس نیستند. با توجه به این اطلاعات، تعیین کنید چرا خط d₁ در نقطه A مماس است ولی خط d₄ در نقطه A مماس نیست.", + "steps": [ + "برای تعیین اینکه خطی بر منحنی در نقطه‌ای مماس است یا خیر، باید شیب خط و شیب منحنی در آن نقطه برابر باشند.", + "شیب منحنی در نقطه A را با محاسبه مشتق تابع در آن نقطه به دست می‌آوریم.", + "شیب خط d₁ در نقطه A برابر با شیب منحنی است، بنابراین خط d₁ مماس بر منحنی در نقطه A است.", + "شیب خط d₄ در نقطه A با شیب منحنی برابر نیست، بنابراین خط d₄ مماس بر منحنی در نقطه A نیست.", + "نتیجه: خط مماس بر منحنی در نقطه‌ای است که شیب خط برابر با مشتق تابع در آن نقطه باشد.", + "✅ جواب: راه‌حل درست است: شرط مماس بودن، برابری شیب خط و مشتق در نقطه است." + ] }, { "title": "مرتب‌سازی شیب‌ها از کوچک‌ترین به بزرگ‌ترین", @@ -11862,7 +15850,16 @@ }, { "title": "تشخیص ویژگی‌های نقاط روی نمودار تابع", - "introText": "1. نقاط روی نمودار تابع را بررسی کنید.\n2. مقدار تابع و مقدار مشتق (شیب خط مماس) را در هر نقطه مشخص کنید.\n3. برای هر نقطه:\n - اگر شیب خط مماس منفی است، شیب را منفی در نظر بگیرید.\n - اگر مقدار تابع صفر و مقدار مشتق مثبت است، آن را مشخص کنید.\n - اگر مقدار مشتق صفر است، نقطه بحرانی است.\n - نقاطی که مشتق یکسان دارند ولی مقدار تابع متفاوت است، بررسی کنید.\n4. ویژگی‌های نقاط مانند مثبت یا منفی بودن شیب، صفر بودن مشتق و مقدار تابع را تعیین کنید." + "introText": "1. نقاط روی نمودار تابع را بررسی کنید.\n2. مقدار تابع و مقدار مشتق (شیب خط مماس) را در هر نقطه مشخص کنید.\n3. برای هر نقطه:\n - اگر شیب خط مماس منفی است، شیب را منفی در نظر بگیرید.\n - اگر مقدار تابع صفر و مقدار مشتق مثبت است، آن را مشخص کنید.\n - اگر مقدار مشتق صفر است، نقطه بحرانی است.\n - نقاطی که مشتق یکسان دارند ولی مقدار تابع متفاوت است، بررسی کنید.\n4. ویژگی‌های نقاط مانند مثبت یا منفی بودن شیب، صفر بودن مشتق و مقدار تابع را تعیین کنید.", + "example": "تابع f(x) = -x² + 10 داده شده است. نقاط A(2, f(2)) و B(6, f(6)) روی منحنی در بازه 0 ≤ x ≤ 10 در نظر گرفته شده‌اند. شیب خطی که از نقاط A و B می‌گذرد یعنی m_AB را به دست آورید.", + "steps": [ + "مقادیر تابع را در نقاط A و B محاسبه می‌کنیم:", + "f(2) = -(2)² + 10 = -4 + 10 = 6", + "f(6) = -(6)² + 10 = -36 + 10 = -26", + "شیب خط قاطع m_AB را با فرمول شیب محاسبه می‌کنیم:", + "m_AB = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (f(6) - f(2)) / (6 - 2) = (-26 - 6) / (4) = (-32) / 4 = -8", + "بنابراین شیب خط قاطع بین نقاط A و B برابر -8 است." + ] }, { "title": "محاسبه مشتق تابع در نقطه مشخص", @@ -11870,11 +15867,29 @@ }, { "title": "تحلیل شیب منحنی در نقاط مختلف", - "introText": "1. نقاط داده شده روی منحنی را مشخص کنید.\n2. شیب منحنی (مشتق) را در هر نقطه بررسی کنید: مثبت، منفی یا صفر.\n3. شیب‌ها را با هم مقایسه کنید و ترتیب آن‌ها را مشخص کنید.\n4. نقاطی که شیب مثبت، منفی یا صفر دارند را تعیین کنید.\n5. پاسخ صحیح را با توجه به مقایسه شیب‌ها انتخاب کنید." + "introText": "1. نقاط داده شده روی منحنی را مشخص کنید.\n2. شیب منحنی (مشتق) را در هر نقطه بررسی کنید: مثبت، منفی یا صفر.\n3. شیب‌ها را با هم مقایسه کنید و ترتیب آن‌ها را مشخص کنید.\n4. نقاطی که شیب مثبت، منفی یا صفر دارند را تعیین کنید.\n5. پاسخ صحیح را با توجه به مقایسه شیب‌ها انتخاب کنید.", + "example": "خطوط d₁ تا d₄ را در نظر بگیرید. خط d₁ در نقطه A، خط d₂ در نقطه B، و خط d₃ در نقاط A و B بر منحنی مماس هستند. خط d₄ در نقطه A بر منحنی مماس نیست. همچنین خطوط d₁ و d₄ در نقطه C بر منحنی مماس نیستند. با توجه به این اطلاعات، تعیین کنید چرا خط d₁ در نقطه A مماس است ولی خط d₄ در نقطه A مماس نیست.", + "steps": [ + "برای تعیین اینکه خطی بر منحنی در نقطه‌ای مماس است یا خیر، باید شیب خط و شیب منحنی در آن نقطه برابر باشند.", + "شیب منحنی در نقطه A را با محاسبه مشتق تابع در آن نقطه به دست می‌آوریم.", + "شیب خط d₁ در نقطه A برابر با شیب منحنی است، بنابراین خط d₁ مماس بر منحنی در نقطه A است.", + "شیب خط d₄ در نقطه A با شیب منحنی برابر نیست، بنابراین خط d₄ مماس بر منحنی در نقطه A نیست.", + "نتیجه: خط مماس بر منحنی در نقطه‌ای است که شیب خط برابر با مشتق تابع در آن نقطه باشد.", + "✅ جواب: راه‌حل درست است: شرط مماس بودن، برابری شیب خط و مشتق در نقطه است." + ] }, { "title": "یافتن مختصات نقاط روی نمودار با استفاده از مشتق و مقدار تابع", - "introText": "1. ابتدا مقدار تابع f(x) را در نقاط داده شده محاسبه می‌کنیم.\n2. مقدار مشتق f'(x) را در نقاط داده شده بررسی می‌کنیم که شیب خط مماس را نشان می‌دهد.\n3. با استفاده از مقدار تابع و مشتق در هر نقطه، مختصات نقاط A، B و C را تعیین می‌کنیم.\n4. نقطه A مختصاتی دارد که x=4 و y=f(4)=4 است.\n5. نقطه B مختصاتی دارد که x=5 و y=f(5)=5 است.\n6. نقطه C مختصاتی دارد که x=3 و y=f(3) را با توجه به نمودار و مشتق تعیین می‌کنیم.\n7. خط مماس در نقطه C با شیب f'(3)=1.5 رسم می‌شود." + "introText": "1. ابتدا مقدار تابع f(x) را در نقاط داده شده محاسبه می‌کنیم.\n2. مقدار مشتق f'(x) را در نقاط داده شده بررسی می‌کنیم که شیب خط مماس را نشان می‌دهد.\n3. با استفاده از مقدار تابع و مشتق در هر نقطه، مختصات نقاط A، B و C را تعیین می‌کنیم.\n4. نقطه A مختصاتی دارد که x=4 و y=f(4)=4 است.\n5. نقطه B مختصاتی دارد که x=5 و y=f(5)=5 است.\n6. نقطه C مختصاتی دارد که x=3 و y=f(3) را با توجه به نمودار و مشتق تعیین می‌کنیم.\n7. خط مماس در نقطه C با شیب f'(3)=1.5 رسم می‌شود.", + "example": "تابع f(x) = -x² + 10 داده شده است. نقاط A(2, f(2)) و B(6, f(6)) روی منحنی در بازه 0 ≤ x ≤ 10 در نظر گرفته شده‌اند. شیب خطی که از نقاط A و B می‌گذرد یعنی m_AB را به دست آورید.", + "steps": [ + "مقادیر تابع را در نقاط A و B محاسبه می‌کنیم:", + "f(2) = -(2)² + 10 = -4 + 10 = 6", + "f(6) = -(6)² + 10 = -36 + 10 = -26", + "شیب خط قاطع m_AB را با فرمول شیب محاسبه می‌کنیم:", + "m_AB = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (f(6) - f(2)) / (6 - 2) = (-26 - 6) / (4) = (-32) / 4 = -8", + "بنابراین شیب خط قاطع بین نقاط A و B برابر -8 است." + ] } ] }, @@ -11888,7 +15903,14 @@ }, { "title": "بررسی وجود مشتق در نقاطی که حد مشتق وجود ندارد", - "introText": "1. ابتدا حدهای چپ و راست مشتق تابع را در نقطه مورد نظر محاسبه کنید.\n2. اگر حدهای چپ و راست مشتق برابر نباشند، مشتق در آن نقطه وجود ندارد.\n3. بررسی کنید که آیا تابع در آن نقطه پیوسته است یا خیر.\n4. نتیجه‌گیری کنید که تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر نیست زیرا حد مشتق وجود ندارد." + "introText": "1. ابتدا حدهای چپ و راست مشتق تابع را در نقطه مورد نظر محاسبه کنید.\n2. اگر حدهای چپ و راست مشتق برابر نباشند، مشتق در آن نقطه وجود ندارد.\n3. بررسی کنید که آیا تابع در آن نقطه پیوسته است یا خیر.\n4. نتیجه‌گیری کنید که تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر نیست زیرا حد مشتق وجود ندارد.", + "example": "حد صورت کسر برابر 3 و حد مخرج کسر برابر صفر است. وقتی x به 2 میل می‌کند، حد راست تابع (x² - 1)/(x - 2) برابر +∞ و حد چپ برابر -∞ است. آیا مشتق تابع در x = 2 وجود دارد؟", + "steps": [ + "حد راست تابع lim(x→2⁺) (x² - 1)/(x - 2) = +∞ است.", + "حد چپ تابع lim(x→2⁻) (x² - 1)/(x - 2) = -∞ است.", + "چون حدهای راست و چپ برابر نیستند و به بی‌نهایت مثبت و منفی میل می‌کنند، مشتق در x = 2 وجود ندارد.", + "✅ جواب: تابع در x=2 تعریف نشده است، پس مشتق وجود ندارد." + ] }, { "title": "بررسی حد تابع کسری در نقاطی که مخرج صفر می‌شود", @@ -11900,7 +15922,14 @@ }, { "title": "محاسبه مشتق چپ و راست تابع در نقطه خاص", - "introText": "برای محاسبه مشتق راست تابع f در نقطه a، حد نسبت تغییرات تابع از سمت راست نقطه a را محاسبه می‌کنیم: f'_+(a) = lim (x→a^+) (f(x)-f(a))/(x-a). برای مشتق چپ نیز حد مشابه از سمت چپ نقطه a محاسبه می‌شود: f'_-(a) = lim (x→a^-) (f(x)-f(a))/(x-a). اگر این دو حد برابر باشند، مشتق تابع در نقطه a وجود دارد و برابر با این مقدار است. در غیر این صورت، مشتق در آن نقطه وجود ندارد ولی مشتق چپ و راست تعریف شده‌اند که به آنها نیم‌مماس چپ و راست گفته می‌شود." + "introText": "برای محاسبه مشتق راست تابع f در نقطه a، حد نسبت تغییرات تابع از سمت راست نقطه a را محاسبه می‌کنیم: f'_+(a) = lim (x→a^+) (f(x)-f(a))/(x-a). برای مشتق چپ نیز حد مشابه از سمت چپ نقطه a محاسبه می‌شود: f'_-(a) = lim (x→a^-) (f(x)-f(a))/(x-a). اگر این دو حد برابر باشند، مشتق تابع در نقطه a وجود دارد و برابر با این مقدار است. در غیر این صورت، مشتق در آن نقطه وجود ندارد ولی مشتق چپ و راست تعریف شده‌اند که به آنها نیم‌مماس چپ و راست گفته می‌شود.", + "example": "حد صورت کسر برابر 3 و حد مخرج کسر برابر صفر است. وقتی x به 2 میل می‌کند، حد راست تابع (x² - 1)/(x - 2) برابر +∞ و حد چپ برابر -∞ است. آیا مشتق تابع در x = 2 وجود دارد؟", + "steps": [ + "حد راست تابع lim(x→2⁺) (x² - 1)/(x - 2) = +∞ است.", + "حد چپ تابع lim(x→2⁻) (x² - 1)/(x - 2) = -∞ است.", + "چون حدهای راست و چپ برابر نیستند و به بی‌نهایت مثبت و منفی میل می‌کنند، مشتق در x = 2 وجود ندارد.", + "✅ جواب: تابع در x=2 تعریف نشده است، پس مشتق وجود ندارد." + ] }, { "title": "تعریف و محاسبه مشتق چپ و راست با استفاده از حد", @@ -11908,7 +15937,14 @@ }, { "title": "بررسی پیوستگی و مشتق‌پذیری توابع در نقاط خاص", - "introText": "1. ابتدا پیوستگی تابع را در نقطه مورد نظر بررسی می‌کنیم. 2. مشتق چپ و مشتق راست تابع را در آن نقطه محاسبه می‌کنیم. 3. اگر مشتق چپ و مشتق راست برابر باشند، مشتق در آن نقطه وجود دارد و برابر با آن مقدار است. 4. اگر مشتق چپ و راست برابر نباشند یا حد مشتق وجود نداشته باشد، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر نیست." + "introText": "1. ابتدا پیوستگی تابع را در نقطه مورد نظر بررسی می‌کنیم. 2. مشتق چپ و مشتق راست تابع را در آن نقطه محاسبه می‌کنیم. 3. اگر مشتق چپ و مشتق راست برابر باشند، مشتق در آن نقطه وجود دارد و برابر با آن مقدار است. 4. اگر مشتق چپ و راست برابر نباشند یا حد مشتق وجود نداشته باشد، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر نیست.", + "example": "دو تابع مختلف f و g مثال بزنید که هر دو در x=2 پیوسته باشند ولی در این نقطه مشتق‌پذیر نباشند.", + "steps": [ + "برای مثال تابع f(x) = |x-2| و تابع g(x) = (x-2)^(2/3) را در نظر بگیرید.", + "هر دو در x=2 پیوسته هستند زیرا مقدار تابع و حد چپ و راست برابر است.", + "اما مشتق چپ و راست در x=2 برابر نیستند، پس مشتق‌پذیر نیستند.", + "✅ جواب: f(x)=|x-2|, g(x)=(x-2)^(2/3)" + ] }, { "title": "بررسی حالت‌های خاص مشتق‌پذیری با مشتق نامتناهی و مماس قائم", @@ -11916,7 +15952,14 @@ }, { "title": "تشخیص نقاط مشتق‌پذیری تابع از روی نمودار", - "introText": "برای تشخیص اینکه تابع در نقطه‌ای مشتق‌پذیر است یا خیر، ابتدا باید بررسی کنیم که تابع در آن نقطه پیوسته باشد. سپس مشتق چپ و مشتق راست در آن نقطه را محاسبه یا بررسی می‌کنیم. اگر مشتق چپ و مشتق راست برابر و محدود باشند، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر است. در غیر این صورت، تابع مشتق‌پذیر نیست. همچنین اگر خط مماس در آن نقطه قائم باشد، مشتق وجود ندارد. نقاطی که در آن‌ها مشتق چپ و راست وجود دارد ولی برابر نیستند (نقاط گوشه‌ای) یا نقاطی که تابع پیوسته نیست نیز نقاطی هستند که مشتق‌پذیر نیستند." + "introText": "برای تشخیص اینکه تابع در نقطه‌ای مشتق‌پذیر است یا خیر، ابتدا باید بررسی کنیم که تابع در آن نقطه پیوسته باشد. سپس مشتق چپ و مشتق راست در آن نقطه را محاسبه یا بررسی می‌کنیم. اگر مشتق چپ و مشتق راست برابر و محدود باشند، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر است. در غیر این صورت، تابع مشتق‌پذیر نیست. همچنین اگر خط مماس در آن نقطه قائم باشد، مشتق وجود ندارد. نقاطی که در آن‌ها مشتق چپ و راست وجود دارد ولی برابر نیستند (نقاط گوشه‌ای) یا نقاطی که تابع پیوسته نیست نیز نقاطی هستند که مشتق‌پذیر نیستند.", + "example": "حد صورت کسر برابر 3 و حد مخرج کسر برابر صفر است. وقتی x به 2 میل می‌کند، حد راست تابع (x² - 1)/(x - 2) برابر +∞ و حد چپ برابر -∞ است. آیا مشتق تابع در x = 2 وجود دارد؟", + "steps": [ + "حد راست تابع lim(x→2⁺) (x² - 1)/(x - 2) = +∞ است.", + "حد چپ تابع lim(x→2⁻) (x² - 1)/(x - 2) = -∞ است.", + "چون حدهای راست و چپ برابر نیستند و به بی‌نهایت مثبت و منفی میل می‌کنند، مشتق در x = 2 وجود ندارد.", + "✅ جواب: تابع در x=2 تعریف نشده است، پس مشتق وجود ندارد." + ] }, { "title": "محاسبه مشتق تابع در نقاط مشخص با استفاده از حد", @@ -11976,7 +16019,12 @@ }, { "title": "مشتق توابع مثلثاتی", - "introText": "برای یافتن مشتق توابع مثلثاتی ابتدا تابع را به صورت کسری یا ضربی بازنویسی می‌کنیم. سپس از قواعد مشتق‌گیری مانند مشتق نسبت (قانون مشتق خارج قسمت) و مشتق ضرب استفاده می‌کنیم. در نهایت با استفاده از روابط مثلثاتی مشتق را ساده می‌کنیم." + "introText": "برای یافتن مشتق توابع مثلثاتی ابتدا تابع را به صورت کسری یا ضربی بازنویسی می‌کنیم. سپس از قواعد مشتق‌گیری مانند مشتق نسبت (قانون مشتق خارج قسمت) و مشتق ضرب استفاده می‌کنیم. در نهایت با استفاده از روابط مثلثاتی مشتق را ساده می‌کنیم.", + "example": "مشتق تابع f(x) = sin³ x + cos² x را به دست آورید.", + "steps": [ + "تابع را به صورت جمع دو جمله در نظر می‌گیریم: f(x) = (sin x)³ + (cos x)².nگام 2: مشتق هر جمله را جداگانه محاسبه می‌کنیم با استفاده از قاعده زنجیره‌ای:nمشتق (sin x)³ = 3(sin x)² * cos xnمشتق (cos x)² = 2(cos x)(-sin x) = -2 cos x sin x.nگام 3: مشتق کل تابع برابر است با جمع مشتق‌ها: f'(x) = 3 sin² x cos x - 2 cos x sin x.", + "✅ جواب: 3 sin² x cos x - 2 sin x cos x" + ] }, { "title": "مشتق توابع مرکب (قاعده زنجیری)", @@ -11996,7 +16044,16 @@ }, { "title": "رسم نمودار و بررسی مشتق‌پذیری تابع چندجمله‌ای تکه‌ای", - "introText": "۱. تابع داده شده را در هر بازه مشخص شده رسم کنید. ۲. نقاط اتصال بازه‌ها را بررسی کنید که آیا تابع در آن نقاط پیوسته است یا خیر. ۳. مشتق هر قسمت از تابع را جداگانه محاسبه کنید. ۴. مشتق چپ و راست در نقاط اتصال را محاسبه و مقایسه کنید. ۵. اگر مشتق چپ و راست برابر باشند، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر است، در غیر این صورت نیست." + "introText": "۱. تابع داده شده را در هر بازه مشخص شده رسم کنید. ۲. نقاط اتصال بازه‌ها را بررسی کنید که آیا تابع در آن نقاط پیوسته است یا خیر. ۳. مشتق هر قسمت از تابع را جداگانه محاسبه کنید. ۴. مشتق چپ و راست در نقاط اتصال را محاسبه و مقایسه کنید. ۵. اگر مشتق چپ و راست برابر باشند، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر است، در غیر این صورت نیست.", + "example": "مشتق‌پذیری تابع f(x) = |x² - 1| را در x = 1 بررسی کنید.", + "steps": [ + "برای بررسی مشتق‌پذیری در x=1، حدهای چپ و راست مشتق را محاسبه می‌کنیم:", + "حد سمت راست:", + "lim(x → 1⁺) (f(x) - f(1))/(x - 1) = lim(x → 1⁺) (|x² - 1| - 0)/(x - 1) = lim(x → 1⁺) (x² - 1)/(x - 1) = lim(x → 1⁺) (x + 1) = 2", + "حد سمت چپ:", + "lim(x → 1⁻) (f(x) - f(1))/(x - 1) = lim(x → 1⁻) (|x² - 1| - 0)/(x - 1) = lim(x → 1⁻) (-(x² - 1))/(x - 1) = lim(x → 1⁻) -(x + 1) = -2", + "از آنجا که حدهای چپ و راست برابر نیستند (2 و -2)، مشتق f'(1) وجود ندارد. بنابراین تابع در x=1 مشتق‌پذیر نیست." + ] }, { "title": "محاسبه مشتق مرتبه دوم تابع چندجمله‌ای", @@ -12020,7 +16077,16 @@ }, { "title": "بررسی مشتق‌پذیری تابع در نقطه خاص", - "introText": "1. تابع را در دو طرف نقطه مورد نظر تعریف کنید.\n2. مقدار تابع را در نقطه بررسی کنید.\n3. مشتق تابع را در هر دو طرف نقطه محاسبه کنید.\n4. بررسی کنید که مشتق چپ و راست در نقطه برابر باشند.\n5. اگر مشتق چپ و راست برابر و تابع پیوسته باشد، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر است." + "introText": "1. تابع را در دو طرف نقطه مورد نظر تعریف کنید.\n2. مقدار تابع را در نقطه بررسی کنید.\n3. مشتق تابع را در هر دو طرف نقطه محاسبه کنید.\n4. بررسی کنید که مشتق چپ و راست در نقطه برابر باشند.\n5. اگر مشتق چپ و راست برابر و تابع پیوسته باشد، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر است.", + "example": "مشتق‌پذیری تابع f(x) = |x² - 1| را در x = 1 بررسی کنید.", + "steps": [ + "برای بررسی مشتق‌پذیری در x=1، حدهای چپ و راست مشتق را محاسبه می‌کنیم:", + "حد سمت راست:", + "lim(x → 1⁺) (f(x) - f(1))/(x - 1) = lim(x → 1⁺) (|x² - 1| - 0)/(x - 1) = lim(x → 1⁺) (x² - 1)/(x - 1) = lim(x → 1⁺) (x + 1) = 2", + "حد سمت چپ:", + "lim(x → 1⁻) (f(x) - f(1))/(x - 1) = lim(x → 1⁻) (|x² - 1| - 0)/(x - 1) = lim(x → 1⁻) (-(x² - 1))/(x - 1) = lim(x → 1⁻) -(x + 1) = -2", + "از آنجا که حدهای چپ و راست برابر نیستند (2 و -2)، مشتق f'(1) وجود ندارد. بنابراین تابع در x=1 مشتق‌پذیر نیست." + ] }, { "title": "یافتن توابع با مشتق برابر", @@ -12036,11 +16102,26 @@ }, { "title": "تحلیل و بررسی نمودار توابع و مشتق آنها", - "introText": "1. نمودار تابع را رسم یا بررسی کنید.\n2. شیب نمودار تابع را در نقاط مختلف بررسی کنید.\n3. نمودار مشتق تابع را رسم کنید یا از نمودارهای داده شده استفاده کنید.\n4. نقاطی که مشتق صفر یا تغییر علامت دارد را مشخص کنید.\n5. تحلیل کنید که نمودار مشتق چگونه رفتار تابع را نشان می‌دهد." + "introText": "1. نمودار تابع را رسم یا بررسی کنید.\n2. شیب نمودار تابع را در نقاط مختلف بررسی کنید.\n3. نمودار مشتق تابع را رسم کنید یا از نمودارهای داده شده استفاده کنید.\n4. نقاطی که مشتق صفر یا تغییر علامت دارد را مشخص کنید.\n5. تحلیل کنید که نمودار مشتق چگونه رفتار تابع را نشان می‌دهد.", + "example": "تابع f(x) = [x] (قسمت صحیح x) و تابع g(x) = √x در نقطه x=0 بررسی کنید که آیا مشتق‌پذیر هستند یا خیر.", + "steps": [ + "برای تابع f(x) = [x]: تابع پله‌ای است و در x=0 پیوسته نیست، بنابراین مشتق‌پذیر نیست.", + "برای تابع g(x) = √x: مشتق چپ در x=0 وجود ندارد چون تابع برای x<0 تعریف نشده است.", + "مشتق راست در x=0 به صورت حد (√x - 0)/x وقتی x به 0 از سمت راست می‌رود برابر است با حد 1/√x که به +∞ میل می‌کند.", + "بنابراین مشتق در x=0 وجود ندارد و تابع مشتق‌پذیر نیست.", + "✅ جواب: f در 0 پیوسته نیست؛ g مشتق چپ ندارد و مشتق راست بینهایت است." + ] }, { "title": "محاسبه مشتق تابع حاصل تقسیم دو تابع و تحلیل نمودار", - "introText": "1. تابع k(x) = f(x) / g(x) را در نظر بگیرید.\n2. مشتق تابع را با استفاده از قاعده مشتق تقسیم محاسبه کنید:\n k'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / (g(x))^2\n3. مقادیر f، g، f' و g' را در نقاط داده شده جایگذاری کنید.\n4. مقدار مشتق k'(x) را در نقاط خواسته شده محاسبه کنید." + "introText": "1. تابع k(x) = f(x) / g(x) را در نظر بگیرید.\n2. مشتق تابع را با استفاده از قاعده مشتق تقسیم محاسبه کنید:\n k'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / (g(x))^2\n3. مقادیر f، g، f' و g' را در نقاط داده شده جایگذاری کنید.\n4. مقدار مشتق k'(x) را در نقاط خواسته شده محاسبه کنید.", + "example": "حد صورت کسر برابر 3 و حد مخرج کسر برابر صفر است. وقتی x به 2 میل می‌کند، حد راست تابع (x² - 1)/(x - 2) برابر +∞ و حد چپ برابر -∞ است. آیا مشتق تابع در x = 2 وجود دارد؟", + "steps": [ + "حد راست تابع lim(x→2⁺) (x² - 1)/(x - 2) = +∞ است.", + "حد چپ تابع lim(x→2⁻) (x² - 1)/(x - 2) = -∞ است.", + "چون حدهای راست و چپ برابر نیستند و به بی‌نهایت مثبت و منفی میل می‌کنند، مشتق در x = 2 وجود ندارد.", + "✅ جواب: تابع در x=2 تعریف نشده است، پس مشتق وجود ندارد." + ] }, { "title": "محاسبه مشتق توابع ترکیبی و چندجمله‌ای", @@ -12082,7 +16163,14 @@ }, { "title": "محاسبه سرعت متوسط و سرعت لحظه‌ای از نمودار موقعیت بر حسب زمان", - "introText": "1. برای محاسبه سرعت متوسط در بازه [a, a+h] از فرمول (f(a+h) - f(a)) / h استفاده می‌کنیم که برابر است با میانگین تغییرات تابع در آن بازه.\n2. برای محاسبه سرعت لحظه‌ای در نقطه a، حد سرعت متوسط را وقتی h به صفر میل می‌کند، محاسبه می‌کنیم که برابر است با مشتق تابع در نقطه a یعنی f'(a).\n3. در نمودار موقعیت بر حسب زمان، سرعت متوسط برابر شیب خط وصل‌کننده دو نقطه روی نمودار است.\n4. سرعت لحظه‌ای برابر شیب خط مماس بر نمودار در نقطه مورد نظر است.\n5. با توجه به نمودار، مقادیر موقعیت در زمان‌های مختلف را استخراج کرده و سرعت متوسط یا لحظه‌ای را با استفاده از فرمول‌ها محاسبه می‌کنیم." + "introText": "1. برای محاسبه سرعت متوسط در بازه [a, a+h] از فرمول (f(a+h) - f(a)) / h استفاده می‌کنیم که برابر است با میانگین تغییرات تابع در آن بازه.\n2. برای محاسبه سرعت لحظه‌ای در نقطه a، حد سرعت متوسط را وقتی h به صفر میل می‌کند، محاسبه می‌کنیم که برابر است با مشتق تابع در نقطه a یعنی f'(a).\n3. در نمودار موقعیت بر حسب زمان، سرعت متوسط برابر شیب خط وصل‌کننده دو نقطه روی نمودار است.\n4. سرعت لحظه‌ای برابر شیب خط مماس بر نمودار در نقطه مورد نظر است.\n5. با توجه به نمودار، مقادیر موقعیت در زمان‌های مختلف را استخراج کرده و سرعت متوسط یا لحظه‌ای را با استفاده از فرمول‌ها محاسبه می‌کنیم.", + "example": "اگر نمودار مکان-زمان حرکت اتومبیل به گونه‌ای باشد که شیب خط مماس بر نمودار در لحظه t برابر مشتق تابع مکان نسبت به زمان در همان لحظه باشد، سرعت لحظه‌ای اتومبیل در لحظه t چگونه تعریف می‌شود؟", + "steps": [ + "سرعت لحظه‌ای در لحظه t برابر است با مقدار مشتق تابع مکان نسبت به زمان در لحظه t، یعنی:", + "v(t) = d(مکان)/dt در لحظه t.", + "این مقدار برابر شیب خط مماس بر نمودار مکان-زمان در لحظه t است.", + "✅ جواب: سرعت لحظه‌ای برابر مشتق مکان نسبت به زمان یا شیب خط مماس بر نمودار مکان-زمان در آن لحظه است." + ] }, { "title": "محاسبه آهنگ متوسط تغییر", @@ -12114,11 +16202,25 @@ }, { "title": "تحلیل شیب خطوط نمودار و تفسیر تغییرات", - "introText": "1. شیب خط در نمودار نشان‌دهنده نرخ تغییر کمیت نسبت به زمان است.\n2. شیب مثبت نشان‌دهنده افزایش و شیب منفی نشان‌دهنده کاهش کمیت است.\n3. با مقایسه شیب خطوط مختلف در زمان‌های مشخص می‌توان فهمید که کدام بازه زمانی بیشترین تغییر را دارد.\n4. برای نقاط مشخص، مقدار شیب را با استفاده از تغییرات عمودی تقسیم بر تغییرات افقی محاسبه می‌کنیم." + "introText": "1. شیب خط در نمودار نشان‌دهنده نرخ تغییر کمیت نسبت به زمان است.\n2. شیب مثبت نشان‌دهنده افزایش و شیب منفی نشان‌دهنده کاهش کمیت است.\n3. با مقایسه شیب خطوط مختلف در زمان‌های مشخص می‌توان فهمید که کدام بازه زمانی بیشترین تغییر را دارد.\n4. برای نقاط مشخص، مقدار شیب را با استفاده از تغییرات عمودی تقسیم بر تغییرات افقی محاسبه می‌کنیم.", + "example": "اگر نمودار مکان-زمان حرکت اتومبیل به گونه‌ای باشد که شیب خط مماس بر نمودار در لحظه t برابر مشتق تابع مکان نسبت به زمان در همان لحظه باشد، سرعت لحظه‌ای اتومبیل در لحظه t چگونه تعریف می‌شود؟", + "steps": [ + "سرعت لحظه‌ای در لحظه t برابر است با مقدار مشتق تابع مکان نسبت به زمان در لحظه t، یعنی:", + "v(t) = d(مکان)/dt در لحظه t.", + "این مقدار برابر شیب خط مماس بر نمودار مکان-زمان در لحظه t است.", + "✅ جواب: سرعت لحظه‌ای برابر مشتق مکان نسبت به زمان یا شیب خط مماس بر نمودار مکان-زمان در آن لحظه است." + ] }, { "title": "تحلیل تغییرات تابع و رسم نمودار", - "introText": "1. نمودار تابع را بررسی کنید و نقاط مهم تغییرات را مشخص کنید. 2. تغییرات تابع را در بازه‌های مختلف بررسی کنید (افزایش یا کاهش). 3. برای هر بازه، مقدار تابع را محاسبه کنید یا از نمودار استخراج کنید. 4. نتیجه‌گیری کنید که تابع در کدام بازه‌ها افزایش یا کاهش دارد و دلیل آن را تحلیل کنید." + "introText": "1. نمودار تابع را بررسی کنید و نقاط مهم تغییرات را مشخص کنید. 2. تغییرات تابع را در بازه‌های مختلف بررسی کنید (افزایش یا کاهش). 3. برای هر بازه، مقدار تابع را محاسبه کنید یا از نمودار استخراج کنید. 4. نتیجه‌گیری کنید که تابع در کدام بازه‌ها افزایش یا کاهش دارد و دلیل آن را تحلیل کنید.", + "example": "اگر نمودار مکان-زمان حرکت اتومبیل به گونه‌ای باشد که شیب خط مماس بر نمودار در لحظه t برابر مشتق تابع مکان نسبت به زمان در همان لحظه باشد، سرعت لحظه‌ای اتومبیل در لحظه t چگونه تعریف می‌شود؟", + "steps": [ + "سرعت لحظه‌ای در لحظه t برابر است با مقدار مشتق تابع مکان نسبت به زمان در لحظه t، یعنی:", + "v(t) = d(مکان)/dt در لحظه t.", + "این مقدار برابر شیب خط مماس بر نمودار مکان-زمان در لحظه t است.", + "✅ جواب: سرعت لحظه‌ای برابر مشتق مکان نسبت به زمان یا شیب خط مماس بر نمودار مکان-زمان در آن لحظه است." + ] }, { "title": "محاسبه سرعت لحظه‌ای و سرعت متوسط از تابع حرکت", @@ -12138,7 +16240,14 @@ }, { "title": "محاسبه تغییر متوسط و تغییر لحظه‌ای حجم مایع با استفاده از تابع حجم", - "introText": "ابتدا تغییر متوسط حجم مایع در بازه زمانی داده شده را با استفاده از فرمول تغییر متوسط (تفاوت حجم در دو انتهای بازه تقسیم بر طول بازه) محاسبه می‌کنیم. سپس برای تغییر لحظه‌ای، مشتق تابع حجم نسبت به زمان را محاسبه و مقدار آن را در زمان مورد نظر جایگذاری می‌کنیم." + "introText": "ابتدا تغییر متوسط حجم مایع در بازه زمانی داده شده را با استفاده از فرمول تغییر متوسط (تفاوت حجم در دو انتهای بازه تقسیم بر طول بازه) محاسبه می‌کنیم. سپس برای تغییر لحظه‌ای، مشتق تابع حجم نسبت به زمان را محاسبه و مقدار آن را در زمان مورد نظر جایگذاری می‌کنیم.", + "example": "اگر نمودار مکان-زمان حرکت اتومبیل به گونه‌ای باشد که شیب خط مماس بر نمودار در لحظه t برابر مشتق تابع مکان نسبت به زمان در همان لحظه باشد، سرعت لحظه‌ای اتومبیل در لحظه t چگونه تعریف می‌شود؟", + "steps": [ + "سرعت لحظه‌ای در لحظه t برابر است با مقدار مشتق تابع مکان نسبت به زمان در لحظه t، یعنی:", + "v(t) = d(مکان)/dt در لحظه t.", + "این مقدار برابر شیب خط مماس بر نمودار مکان-زمان در لحظه t است.", + "✅ جواب: سرعت لحظه‌ای برابر مشتق مکان نسبت به زمان یا شیب خط مماس بر نمودار مکان-زمان در آن لحظه است." + ] } ] } @@ -12146,6 +16255,7 @@ }, { "title": "فصل ۵: کاربردهای مشتق", + "blurb": "در این فصل: اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی، جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن و رسم نمودار تابع.", "order": 5, "nodes": [ { @@ -12162,11 +16272,27 @@ }, { "title": "رسم نمودار تابع با استفاده از مشتق‌ها", - "introText": "1. تابع را بررسی و دامنه آن را مشخص کنید.\n2. مشتق اول را محاسبه و نقاط بحرانی را بیابید.\n3. با استفاده از علامت مشتق اول، بازه‌های صعودی و نزولی را تعیین کنید.\n4. مشتق دوم را محاسبه و نقاط عطف را پیدا کنید.\n5. نقاط اکسترمم و عطف را روی محور مختصات مشخص کنید.\n6. با توجه به اطلاعات به دست آمده، نمودار تابع را رسم کنید." + "introText": "1. تابع را بررسی و دامنه آن را مشخص کنید.\n2. مشتق اول را محاسبه و نقاط بحرانی را بیابید.\n3. با استفاده از علامت مشتق اول، بازه‌های صعودی و نزولی را تعیین کنید.\n4. مشتق دوم را محاسبه و نقاط عطف را پیدا کنید.\n5. نقاط اکسترمم و عطف را روی محور مختصات مشخص کنید.\n6. با توجه به اطلاعات به دست آمده، نمودار تابع را رسم کنید.", + "example": "اگر تابع y = f(x) به گونه‌ای باشد که ریشه‌های تابع f به صورت x=1 و x=0 و x=-2 است و در همه نقاط مشتق‌پذیر باشد. ریشه‌های تابع f' به صورت x=1/2 و x=-6/5 است و علامت f' بین دو ریشه منفی و سایر جاها مثبت است. تابع f'' تنها یک ریشه در x=-1/3 دارد و علامت f'' در سمت چپ -1/3 منفی و در سمت راست آن مثبت است و f(-1/3)=0.7 است. نمودار تابع را رسم کنید.", + "steps": [ + "نقاط بحرانی تابع f عبارتند از x=1/2 و x=-6/5 که ریشه‌های مشتق اول هستند.", + "علامت مشتق اول بین این نقاط منفی و در سایر نقاط مثبت است، بنابراین تابع در بازه بین -6/5 و 1/2 نزولی و در سایر بازه‌ها صعودی است.", + "نقطه x=-1/3 ریشه مشتق دوم است که علامت مشتق دوم در سمت چپ آن منفی و در سمت راست مثبت است، پس این نقطه نقطه عطف تابع است. مقدار تابع در نقطه عطف برابر 0.7 است. با توجه به این اطلاعات، تابع ابتدا صعودی است، سپس بین -6/5 و 1/2 نزولی می‌شود و دوباره صعودی می‌شود. همچنین در x=-1/3 نقطه عطف وجود دارد که تغییر انحنای نمودار", + "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است و تحلیل نقاط بحرانی، نزولی/صعودی بودن و نقطه عطف با داده‌ها مطابقت دارد." + ] }, { "title": "یافتن نقاط بیشینه و کمینه نسبی تابع با استفاده از نمودار", - "introText": "1. نمودار تابع را بررسی کنید و نقاطی را که مقدار تابع در آنها نسبت به نقاط اطراف بیشتر است (بیشینه نسبی) یا کمتر است (کمینه نسبی) شناسایی کنید. 2. این نقاط معمولاً نقاطی هستند که شیب نمودار از مثبت به منفی یا بالعکس تغییر می‌کند. 3. برای تعیین دقیق‌تر، مشتق تابع را محاسبه کرده و نقاطی که مشتق صفر یا تعریف نشده است را بیابید. 4. با بررسی علامت مشتق در اطراف این نقاط، نوع نقطه (بیشینه یا کمینه نسبی) را تعیین کنید." + "introText": "1. نمودار تابع را بررسی کنید و نقاطی را که مقدار تابع در آنها نسبت به نقاط اطراف بیشتر است (بیشینه نسبی) یا کمتر است (کمینه نسبی) شناسایی کنید. 2. این نقاط معمولاً نقاطی هستند که شیب نمودار از مثبت به منفی یا بالعکس تغییر می‌کند. 3. برای تعیین دقیق‌تر، مشتق تابع را محاسبه کرده و نقاطی که مشتق صفر یا تعریف نشده است را بیابید. 4. با بررسی علامت مشتق در اطراف این نقاط، نوع نقطه (بیشینه یا کمینه نسبی) را تعیین کنید.", + "example": "در نمودار تابع y = x⁴ - 4x²، مقادیر و طول نقاط اکسترمم نسبی و اکسترمم مطلق را مشخص کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: y' = 4x³ - 8x = 4x(x² - 2).", + "نقاط بحرانی را با حل y' = 0 پیدا می‌کنیم: x = 0, x = ±√2.", + "با بررسی تغییر علامت مشتق در این نقاط:", + "در x = -√2، تابع از کاهش به افزایش تغییر می‌کند، پس مینیمم نسبی است.", + "در x = 0، تابع از افزایش به کاهش تغییر می‌کند، پس ماکزیمم نسبی است.", + "✅ جواب: نقاط بحرانی: x=-√2، x=0، x=√2. مینیمم نسبی/مطلق در x=±√2 با مقدار 4-، ماکزیمم نسبی/مطلق در x=0 با مقدار 0." + ] }, { "title": "تعریف و تشخیص بیشینه و کمینه نسبی تابع", @@ -12174,11 +16300,29 @@ }, { "title": "یافتن نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی و مطلق تابع", - "introText": "1. نقاط بحرانی تابع را با مشتق‌گیری و مساوی صفر قرار دادن مشتق پیدا کنید.\n2. با استفاده از نمودار یا تست علامت مشتق در بازه‌های مختلف، نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی را تعیین کنید.\n3. برای یافتن ماکزیمم و مینیمم مطلق، مقادیر تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی دامنه بررسی کنید.\n4. مقادیر بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع در مجموعه مورد نظر به ترتیب ماکزیمم و مینیمم مطلق هستند." + "introText": "1. نقاط بحرانی تابع را با مشتق‌گیری و مساوی صفر قرار دادن مشتق پیدا کنید.\n2. با استفاده از نمودار یا تست علامت مشتق در بازه‌های مختلف، نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی را تعیین کنید.\n3. برای یافتن ماکزیمم و مینیمم مطلق، مقادیر تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی دامنه بررسی کنید.\n4. مقادیر بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع در مجموعه مورد نظر به ترتیب ماکزیمم و مینیمم مطلق هستند.", + "example": "در نمودار تابع y = x⁴ - 4x²، مقادیر و طول نقاط اکسترمم نسبی و اکسترمم مطلق را مشخص کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: y' = 4x³ - 8x = 4x(x² - 2).", + "نقاط بحرانی را با حل y' = 0 پیدا می‌کنیم: x = 0, x = ±√2.", + "با بررسی تغییر علامت مشتق در این نقاط:", + "در x = -√2، تابع از کاهش به افزایش تغییر می‌کند، پس مینیمم نسبی است.", + "در x = 0، تابع از افزایش به کاهش تغییر می‌کند، پس ماکزیمم نسبی است.", + "✅ جواب: نقاط بحرانی: x=-√2، x=0، x=√2. مینیمم نسبی/مطلق در x=±√2 با مقدار 4-، ماکزیمم نسبی/مطلق در x=0 با مقدار 0." + ] }, { "title": "تشخیص نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی و مطلق از نمودار", - "introText": "1. نقاطی که در آن‌ها تابع تغییر جهت می‌دهد (از افزایش به کاهش یا بالعکس) را پیدا کنید. 2. نقاطی که تابع در همسایگی آن‌ها بزرگترین مقدار را دارد ماکزیمم نسبی هستند. 3. نقاطی که تابع در همسایگی آن‌ها کوچکترین مقدار را دارد مینیمم نسبی هستند. 4. نقاطی که مقدار تابع در کل بازه تعریف بزرگترین یا کوچکترین مقدار است ماکزیمم یا مینیمم مطلق نامیده می‌شوند. 5. با بررسی نمودار و مقایسه مقادیر تابع در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی بازه، ماکزیمم و مینیمم مطلق را تعیین کنید." + "introText": "1. نقاطی که در آن‌ها تابع تغییر جهت می‌دهد (از افزایش به کاهش یا بالعکس) را پیدا کنید. 2. نقاطی که تابع در همسایگی آن‌ها بزرگترین مقدار را دارد ماکزیمم نسبی هستند. 3. نقاطی که تابع در همسایگی آن‌ها کوچکترین مقدار را دارد مینیمم نسبی هستند. 4. نقاطی که مقدار تابع در کل بازه تعریف بزرگترین یا کوچکترین مقدار است ماکزیمم یا مینیمم مطلق نامیده می‌شوند. 5. با بررسی نمودار و مقایسه مقادیر تابع در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی بازه، ماکزیمم و مینیمم مطلق را تعیین کنید.", + "example": "در نمودار تابع y = x⁴ - 4x²، مقادیر و طول نقاط اکسترمم نسبی و اکسترمم مطلق را مشخص کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: y' = 4x³ - 8x = 4x(x² - 2).", + "نقاط بحرانی را با حل y' = 0 پیدا می‌کنیم: x = 0, x = ±√2.", + "با بررسی تغییر علامت مشتق در این نقاط:", + "در x = -√2، تابع از کاهش به افزایش تغییر می‌کند، پس مینیمم نسبی است.", + "در x = 0، تابع از افزایش به کاهش تغییر می‌کند، پس ماکزیمم نسبی است.", + "✅ جواب: نقاط بحرانی: x=-√2، x=0، x=√2. مینیمم نسبی/مطلق در x=±√2 با مقدار 4-، ماکزیمم نسبی/مطلق در x=0 با مقدار 0." + ] }, { "title": "تعیین مقادیر و طول نقاط اکسترمم نسبی و مطلق از نمودار تابع", @@ -12194,7 +16338,16 @@ }, { "title": "تحلیل نقاطی که مشتق وجود دارد یا ندارد و اکسترمم نسبی", - "introText": "1. نقاطی که در نمودار تابع، مماس افقی دارند را مشخص کنید؛ این نقاط جایی هستند که مشتق وجود دارد و برابر صفر است.\n2. نقاطی که مشتق وجود ندارد را با بررسی نقاطی که نمودار تیز یا گوشه دارد، تعیین کنید.\n3. نقاطی که مشتق صفر است ولی اکسترمم نسبی نیستند را با بررسی تغییر علامت مشتق قبل و بعد از آن نقاط مشخص کنید.\n4. بررسی کنید آیا در همه نقاطی که مشتق نسبی وجود دارد، اکسترمم نسبی نیز وجود دارد یا خیر.\n5. مقدار مشتق در نقاطی که مشتق وجود دارد را محاسبه کنید." + "introText": "1. نقاطی که در نمودار تابع، مماس افقی دارند را مشخص کنید؛ این نقاط جایی هستند که مشتق وجود دارد و برابر صفر است.\n2. نقاطی که مشتق وجود ندارد را با بررسی نقاطی که نمودار تیز یا گوشه دارد، تعیین کنید.\n3. نقاطی که مشتق صفر است ولی اکسترمم نسبی نیستند را با بررسی تغییر علامت مشتق قبل و بعد از آن نقاط مشخص کنید.\n4. بررسی کنید آیا در همه نقاطی که مشتق نسبی وجود دارد، اکسترمم نسبی نیز وجود دارد یا خیر.\n5. مقدار مشتق در نقاطی که مشتق وجود دارد را محاسبه کنید.", + "example": "در نمودار تابع y = x⁴ - 4x²، مقادیر و طول نقاط اکسترمم نسبی و اکسترمم مطلق را مشخص کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: y' = 4x³ - 8x = 4x(x² - 2).", + "نقاط بحرانی را با حل y' = 0 پیدا می‌کنیم: x = 0, x = ±√2.", + "با بررسی تغییر علامت مشتق در این نقاط:", + "در x = -√2، تابع از کاهش به افزایش تغییر می‌کند، پس مینیمم نسبی است.", + "در x = 0، تابع از افزایش به کاهش تغییر می‌کند، پس ماکزیمم نسبی است.", + "✅ جواب: نقاط بحرانی: x=-√2، x=0، x=√2. مینیمم نسبی/مطلق در x=±√2 با مقدار 4-، ماکزیمم نسبی/مطلق در x=0 با مقدار 0." + ] }, { "title": "بررسی وجود ماکزیمم و مینیمم مطلق در بازه‌های بسته", @@ -12202,7 +16355,16 @@ }, { "title": "بررسی وجود ماکزیمم و مینیمم مطلق در بازه‌های باز", - "introText": "1. ابتدا نقاط بحرانی تابع را در بازه باز پیدا کنید. 2. مقدار تابع را در نقاط بحرانی محاسبه کنید. 3. چون بازه باز است، نقاط انتهایی بازه در نظر گرفته نمی‌شوند. 4. اگر بزرگترین یا کوچکترین مقدار در نقاط بحرانی وجود داشته باشد، آن‌ها به عنوان ماکزیمم یا مینیمم مطلق در بازه باز تعیین می‌شوند. در غیر این صورت، ماکزیمم یا مینیمم مطلق وجود ندارد." + "introText": "1. ابتدا نقاط بحرانی تابع را در بازه باز پیدا کنید. 2. مقدار تابع را در نقاط بحرانی محاسبه کنید. 3. چون بازه باز است، نقاط انتهایی بازه در نظر گرفته نمی‌شوند. 4. اگر بزرگترین یا کوچکترین مقدار در نقاط بحرانی وجود داشته باشد، آن‌ها به عنوان ماکزیمم یا مینیمم مطلق در بازه باز تعیین می‌شوند. در غیر این صورت، ماکزیمم یا مینیمم مطلق وجود ندارد.", + "example": "نمودار تابعی را رسم کنید که در نقاط x=2 و x=4 ماکزیمم نسبی و در نقاط x=1 و x=5 مینیمم نسبی دارد.", + "steps": [ + "نقاط بحرانی را روی محور x مشخص کنید: 1، 2، 4، 5.", + "در نقاط 2 و 4 تابع باید بیشینه محلی داشته باشد، یعنی مشتق اول در این نقاط صفر و تابع از افزایش به کاهش تغییر کند.", + "در نقاط 1 و 5 تابع باید کمینه محلی داشته باشد، یعنی مشتق اول در این نقاط صفر و تابع از کاهش به افزایش تغییر کند.", + "نمودار را به گونه‌ای رسم کنید که این شرایط برقرار باشد، مثلاً تابعی شبیه چندجمله‌ای درجه چهار که در نقاط 1 و 5 در پایین‌ترین حالت و در نقاط 2 و 4 در بالاترین حالت قرار دارد.", + "نمودار باید پیوسته و مشتق‌پذیر باشد و تغییرات شیب در نقاط داده شده رعایت شود.", + "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است و شرایط را به‌درستی توضیح داده است." + ] }, { "title": "یافتن نقاط بحرانی تابع", @@ -12218,7 +16380,16 @@ }, { "title": "یافتن نقاط بحرانی و ماکزیمم مطلق تابع", - "introText": "1. مشتق تابع را محاسبه کنید.\n2. معادله مشتق برابر صفر را حل کنید تا نقاط بحرانی را بیابید.\n3. نقاط بحرانی را بررسی کنید که در بازه مورد نظر قرار دارند یا خیر.\n4. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی بازه محاسبه کنید.\n5. بزرگترین مقدار به دست آمده ماکزیمم مطلق تابع در بازه است." + "introText": "1. مشتق تابع را محاسبه کنید.\n2. معادله مشتق برابر صفر را حل کنید تا نقاط بحرانی را بیابید.\n3. نقاط بحرانی را بررسی کنید که در بازه مورد نظر قرار دارند یا خیر.\n4. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی بازه محاسبه کنید.\n5. بزرگترین مقدار به دست آمده ماکزیمم مطلق تابع در بازه است.", + "example": "در نمودار تابع y = x⁴ - 4x²، مقادیر و طول نقاط اکسترمم نسبی و اکسترمم مطلق را مشخص کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: y' = 4x³ - 8x = 4x(x² - 2).", + "نقاط بحرانی را با حل y' = 0 پیدا می‌کنیم: x = 0, x = ±√2.", + "با بررسی تغییر علامت مشتق در این نقاط:", + "در x = -√2، تابع از کاهش به افزایش تغییر می‌کند، پس مینیمم نسبی است.", + "در x = 0، تابع از افزایش به کاهش تغییر می‌کند، پس ماکزیمم نسبی است.", + "✅ جواب: نقاط بحرانی: x=-√2، x=0، x=√2. مینیمم نسبی/مطلق در x=±√2 با مقدار 4-، ماکزیمم نسبی/مطلق در x=0 با مقدار 0." + ] }, { "title": "بیشینه کردن حجم استوانه محاط در کره", @@ -12226,15 +16397,42 @@ }, { "title": "تشخیص بازه‌های صعودی و نزولی تابع با استفاده از نمودار و مشتق", - "introText": "1. ابتدا نقاطی که شیب خط مماس در آن‌ها صفر است (نقاط بحرانی) را روی نمودار مشخص کنید. 2. بازه‌های بین این نقاط را تعیین کنید. 3. در هر بازه، علامت شیب خط مماس (مشتق تابع) را بررسی کنید: اگر شیب مثبت بود، تابع در آن بازه صعودی است؛ اگر شیب منفی بود، تابع نزولی است؛ اگر شیب صفر بود، تابع ثابت است. 4. برای تعیین علامت مشتق در هر بازه می‌توان از رسم مماس‌ها یا محاسبه مشتق استفاده کرد." + "introText": "1. ابتدا نقاطی که شیب خط مماس در آن‌ها صفر است (نقاط بحرانی) را روی نمودار مشخص کنید. 2. بازه‌های بین این نقاط را تعیین کنید. 3. در هر بازه، علامت شیب خط مماس (مشتق تابع) را بررسی کنید: اگر شیب مثبت بود، تابع در آن بازه صعودی است؛ اگر شیب منفی بود، تابع نزولی است؛ اگر شیب صفر بود، تابع ثابت است. 4. برای تعیین علامت مشتق در هر بازه می‌توان از رسم مماس‌ها یا محاسبه مشتق استفاده کرد.", + "example": "در نمودار تابع y = x⁴ - 4x²، مقادیر و طول نقاط اکسترمم نسبی و اکسترمم مطلق را مشخص کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: y' = 4x³ - 8x = 4x(x² - 2).", + "نقاط بحرانی را با حل y' = 0 پیدا می‌کنیم: x = 0, x = ±√2.", + "با بررسی تغییر علامت مشتق در این نقاط:", + "در x = -√2، تابع از کاهش به افزایش تغییر می‌کند، پس مینیمم نسبی است.", + "در x = 0، تابع از افزایش به کاهش تغییر می‌کند، پس ماکزیمم نسبی است.", + "✅ جواب: نقاط بحرانی: x=-√2، x=0، x=√2. مینیمم نسبی/مطلق در x=±√2 با مقدار 4-، ماکزیمم نسبی/مطلق در x=0 با مقدار 0." + ] }, { "title": "تعیین بازه‌های مثبت و منفی بودن مشتق تابع", - "introText": "1. نقاطی که مشتق برابر صفر است را پیدا کنید (نقاط بحرانی). 2. بازه‌های بین این نقاط را مشخص کنید. 3. در هر بازه، علامت مشتق را تعیین کنید. 4. اگر مشتق در بازه‌ای مثبت باشد، تابع در آن بازه صعودی است و اگر منفی باشد، تابع نزولی است." + "introText": "1. نقاطی که مشتق برابر صفر است را پیدا کنید (نقاط بحرانی). 2. بازه‌های بین این نقاط را مشخص کنید. 3. در هر بازه، علامت مشتق را تعیین کنید. 4. اگر مشتق در بازه‌ای مثبت باشد، تابع در آن بازه صعودی است و اگر منفی باشد، تابع نزولی است.", + "example": "تابع f(x) = x⁴ را در نظر بگیرید.\nالف) وجود مقادیر ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق تابع f را در بازه‌های [0,1]، [0,5] و [1,5] بررسی کنید.\nب) وجود اکسترمم‌های مطلق تابع f را بر R بررسی نمایید.", + "steps": [ + "الف) تابع f(x) = x⁴ مشتق می‌گیرد: f'(x) = 4x³.", + "نقاط بحرانی: f'(x) = 0 ⇒ x = 0.", + "در بازه [0,1]:", + "مقدار تابع در نقاط انتهایی: f(0) = 0، f(1) = 1.", + "مقدار در نقطه بحرانی: f(0) = 0.", + "✅ جواب: min=0 at x=0, max=1 at x=1 in [0,1]; min=0, max=625 in [0,5]; min=1, max=625 in [1,5]; on R: min=0 at x=0, no max." + ] }, { "title": "تعیین بازه‌های صعودی، نزولی و ثابت بودن تابع با استفاده از مشتق", - "introText": "1. نقاطی که مشتق برابر صفر است را مشخص کنید (نقاط بحرانی). 2. بازه‌های بین این نقاط را تعیین کنید. 3. در هر بازه، علامت مشتق را بررسی کنید: اگر مشتق مثبت بود، تابع در آن بازه صعودی است؛ اگر مشتق منفی بود، تابع نزولی است؛ اگر مشتق صفر بود، تابع ثابت است." + "introText": "1. نقاطی که مشتق برابر صفر است را مشخص کنید (نقاط بحرانی). 2. بازه‌های بین این نقاط را تعیین کنید. 3. در هر بازه، علامت مشتق را بررسی کنید: اگر مشتق مثبت بود، تابع در آن بازه صعودی است؛ اگر مشتق منفی بود، تابع نزولی است؛ اگر مشتق صفر بود، تابع ثابت است.", + "example": "تابع f(x) = x⁴ را در نظر بگیرید.\nالف) وجود مقادیر ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق تابع f را در بازه‌های [0,1]، [0,5] و [1,5] بررسی کنید.\nب) وجود اکسترمم‌های مطلق تابع f را بر R بررسی نمایید.", + "steps": [ + "الف) تابع f(x) = x⁴ مشتق می‌گیرد: f'(x) = 4x³.", + "نقاط بحرانی: f'(x) = 0 ⇒ x = 0.", + "در بازه [0,1]:", + "مقدار تابع در نقاط انتهایی: f(0) = 0، f(1) = 1.", + "مقدار در نقطه بحرانی: f(0) = 0.", + "✅ جواب: min=0 at x=0, max=1 at x=1 in [0,1]; min=0, max=625 in [0,5]; min=1, max=625 in [1,5]; on R: min=0 at x=0, no max." + ] }, { "title": "تحلیل رفتار تابع با استفاده از مشتق", @@ -12250,7 +16448,16 @@ }, { "title": "تشخیص نقاط بحرانی و نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی", - "introText": "1. نقطه c را که در بازه (a,b) قرار دارد و مشتق در آن صفر است، به عنوان نقطه بحرانی در نظر می‌گیریم.\n2. بررسی علامت مشتق f' در بازه‌های (a,c) و (c,b) انجام می‌شود.\n3. اگر مشتق در سمت چپ c مثبت (صعودی) و در سمت راست c منفی (نزولی) باشد، نقطه c ماکزیمم نسبی است.\n4. اگر مشتق در سمت چپ c منفی (نزولی) و در سمت راست c مثبت (صعودی) باشد، نقطه c مینیمم نسبی است.\n5. اگر علامت مشتق تغییر نکند، نقطه c نقطه اکسترمم نسبی نیست." + "introText": "1. نقطه c را که در بازه (a,b) قرار دارد و مشتق در آن صفر است، به عنوان نقطه بحرانی در نظر می‌گیریم.\n2. بررسی علامت مشتق f' در بازه‌های (a,c) و (c,b) انجام می‌شود.\n3. اگر مشتق در سمت چپ c مثبت (صعودی) و در سمت راست c منفی (نزولی) باشد، نقطه c ماکزیمم نسبی است.\n4. اگر مشتق در سمت چپ c منفی (نزولی) و در سمت راست c مثبت (صعودی) باشد، نقطه c مینیمم نسبی است.\n5. اگر علامت مشتق تغییر نکند، نقطه c نقطه اکسترمم نسبی نیست.", + "example": "در نمودار تابع y = x⁴ - 4x²، مقادیر و طول نقاط اکسترمم نسبی و اکسترمم مطلق را مشخص کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: y' = 4x³ - 8x = 4x(x² - 2).", + "نقاط بحرانی را با حل y' = 0 پیدا می‌کنیم: x = 0, x = ±√2.", + "با بررسی تغییر علامت مشتق در این نقاط:", + "در x = -√2، تابع از کاهش به افزایش تغییر می‌کند، پس مینیمم نسبی است.", + "در x = 0، تابع از افزایش به کاهش تغییر می‌کند، پس ماکزیمم نسبی است.", + "✅ جواب: نقاط بحرانی: x=-√2، x=0، x=√2. مینیمم نسبی/مطلق در x=±√2 با مقدار 4-، ماکزیمم نسبی/مطلق در x=0 با مقدار 0." + ] }, { "title": "نوشتن شرایط مینیمم نسبی با تغییر علامت مشتق", @@ -12262,7 +16469,16 @@ }, { "title": "تعیین نقاط بحرانی و بازه‌های صعود و نزول تابع", - "introText": "1. تابع داده شده را در بازه مشخص شده در نظر بگیرید.\n2. مشتق اول تابع را محاسبه کنید.\n3. نقاطی که مشتق اول صفر می‌شود یا مشتق وجود ندارد را به عنوان نقاط بحرانی تعیین کنید.\n4. نقاط انتهایی بازه را نیز در نظر بگیرید.\n5. بازه را به بخش‌هایی تقسیم کنید که بین نقاط بحرانی و انتهایی قرار دارند.\n6. علامت مشتق اول را در هر بخش بررسی کنید (مثبت یا منفی).\n7. اگر مشتق اول در بازه‌ای مثبت باشد، تابع در آن بازه صعودی است.\n8. اگر مشتق اول در بازه‌ای منفی باشد، تابع در آن بازه نزولی است.\n9. نقاطی که مشتق اول از مثبت به منفی تغییر علامت می‌دهد، نقاط ماکزیمم نسبی هستند.\n10. نقاطی که مشتق اول از منفی به مثبت تغییر علامت می‌دهد، نقاط مینیمم نسبی هستند." + "introText": "1. تابع داده شده را در بازه مشخص شده در نظر بگیرید.\n2. مشتق اول تابع را محاسبه کنید.\n3. نقاطی که مشتق اول صفر می‌شود یا مشتق وجود ندارد را به عنوان نقاط بحرانی تعیین کنید.\n4. نقاط انتهایی بازه را نیز در نظر بگیرید.\n5. بازه را به بخش‌هایی تقسیم کنید که بین نقاط بحرانی و انتهایی قرار دارند.\n6. علامت مشتق اول را در هر بخش بررسی کنید (مثبت یا منفی).\n7. اگر مشتق اول در بازه‌ای مثبت باشد، تابع در آن بازه صعودی است.\n8. اگر مشتق اول در بازه‌ای منفی باشد، تابع در آن بازه نزولی است.\n9. نقاطی که مشتق اول از مثبت به منفی تغییر علامت می‌دهد، نقاط ماکزیمم نسبی هستند.\n10. نقاطی که مشتق اول از منفی به مثبت تغییر علامت می‌دهد، نقاط مینیمم نسبی هستند.", + "example": "در نمودار تابع y = x⁴ - 4x²، مقادیر و طول نقاط اکسترمم نسبی و اکسترمم مطلق را مشخص کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: y' = 4x³ - 8x = 4x(x² - 2).", + "نقاط بحرانی را با حل y' = 0 پیدا می‌کنیم: x = 0, x = ±√2.", + "با بررسی تغییر علامت مشتق در این نقاط:", + "در x = -√2، تابع از کاهش به افزایش تغییر می‌کند، پس مینیمم نسبی است.", + "در x = 0، تابع از افزایش به کاهش تغییر می‌کند، پس ماکزیمم نسبی است.", + "✅ جواب: نقاط بحرانی: x=-√2، x=0، x=√2. مینیمم نسبی/مطلق در x=±√2 با مقدار 4-، ماکزیمم نسبی/مطلق در x=0 با مقدار 0." + ] }, { "title": "تحلیل تغییرات تابع با استفاده از جدول تغییرات مشتق", @@ -12278,23 +16494,68 @@ }, { "title": "رسم نمودار تابع پیوسته با ماکزیمم و مینیمم مطلق", - "introText": "1. تابع را در دامنه داده شده بررسی کنید.\n2. نقاط بحرانی را با مشتق‌گیری پیدا کنید.\n3. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی دامنه محاسبه کنید.\n4. نقاطی که مقدار تابع در آن‌ها بیشینه یا کمینه مطلق است را مشخص کنید.\n5. نمودار تابع را به گونه‌ای رسم کنید که ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع مشخص باشد." + "introText": "1. تابع را در دامنه داده شده بررسی کنید.\n2. نقاط بحرانی را با مشتق‌گیری پیدا کنید.\n3. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی دامنه محاسبه کنید.\n4. نقاطی که مقدار تابع در آن‌ها بیشینه یا کمینه مطلق است را مشخص کنید.\n5. نمودار تابع را به گونه‌ای رسم کنید که ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع مشخص باشد.", + "example": "در نمودار تابع y = x⁴ - 4x²، مقادیر و طول نقاط اکسترمم نسبی و اکسترمم مطلق را مشخص کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: y' = 4x³ - 8x = 4x(x² - 2).", + "نقاط بحرانی را با حل y' = 0 پیدا می‌کنیم: x = 0, x = ±√2.", + "با بررسی تغییر علامت مشتق در این نقاط:", + "در x = -√2، تابع از کاهش به افزایش تغییر می‌کند، پس مینیمم نسبی است.", + "در x = 0، تابع از افزایش به کاهش تغییر می‌کند، پس ماکزیمم نسبی است.", + "✅ جواب: نقاط بحرانی: x=-√2، x=0، x=√2. مینیمم نسبی/مطلق در x=±√2 با مقدار 4-، ماکزیمم نسبی/مطلق در x=0 با مقدار 0." + ] }, { "title": "رسم نمودار تابع صعودی و نزولی در بازه‌های مشخص", - "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید.\n2. مشتق تابع را محاسبه کنید.\n3. علامت مشتق را در بازه‌های داده شده تعیین کنید.\n4. اگر مشتق در بازه مثبت باشد، تابع صعودی است و اگر منفی باشد، تابع نزولی است.\n5. نمودار تابع را با توجه به صعودی یا نزولی بودن در بازه رسم کنید." + "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید.\n2. مشتق تابع را محاسبه کنید.\n3. علامت مشتق را در بازه‌های داده شده تعیین کنید.\n4. اگر مشتق در بازه مثبت باشد، تابع صعودی است و اگر منفی باشد، تابع نزولی است.\n5. نمودار تابع را با توجه به صعودی یا نزولی بودن در بازه رسم کنید.", + "example": "در نمودار تابع y = x⁴ - 4x²، مقادیر و طول نقاط اکسترمم نسبی و اکسترمم مطلق را مشخص کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: y' = 4x³ - 8x = 4x(x² - 2).", + "نقاط بحرانی را با حل y' = 0 پیدا می‌کنیم: x = 0, x = ±√2.", + "با بررسی تغییر علامت مشتق در این نقاط:", + "در x = -√2، تابع از کاهش به افزایش تغییر می‌کند، پس مینیمم نسبی است.", + "در x = 0، تابع از افزایش به کاهش تغییر می‌کند، پس ماکزیمم نسبی است.", + "✅ جواب: نقاط بحرانی: x=-√2، x=0، x=√2. مینیمم نسبی/مطلق در x=±√2 با مقدار 4-، ماکزیمم نسبی/مطلق در x=0 با مقدار 0." + ] }, { "title": "رسم نمودار تابع با اکسترمم نسبی و پیوستگی در بازه", - "introText": "1. تابع را در بازه داده شده بررسی کنید.\n2. نقاطی که مشتق صفر یا مشتق ندارد را پیدا کنید.\n3. نقاط اکسترمم نسبی را با استفاده از تغییر علامت مشتق تعیین کنید.\n4. پیوستگی تابع را در نقاط مختلف بازه بررسی کنید.\n5. نمودار تابع را طوری رسم کنید که شرایط اکسترمم نسبی و پیوستگی یا ناپیوستگی در بازه رعایت شود." + "introText": "1. تابع را در بازه داده شده بررسی کنید.\n2. نقاطی که مشتق صفر یا مشتق ندارد را پیدا کنید.\n3. نقاط اکسترمم نسبی را با استفاده از تغییر علامت مشتق تعیین کنید.\n4. پیوستگی تابع را در نقاط مختلف بازه بررسی کنید.\n5. نمودار تابع را طوری رسم کنید که شرایط اکسترمم نسبی و پیوستگی یا ناپیوستگی در بازه رعایت شود.", + "example": "در نمودار تابع y = x⁴ - 4x²، مقادیر و طول نقاط اکسترمم نسبی و اکسترمم مطلق را مشخص کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: y' = 4x³ - 8x = 4x(x² - 2).", + "نقاط بحرانی را با حل y' = 0 پیدا می‌کنیم: x = 0, x = ±√2.", + "با بررسی تغییر علامت مشتق در این نقاط:", + "در x = -√2، تابع از کاهش به افزایش تغییر می‌کند، پس مینیمم نسبی است.", + "در x = 0، تابع از افزایش به کاهش تغییر می‌کند، پس ماکزیمم نسبی است.", + "✅ جواب: نقاط بحرانی: x=-√2، x=0، x=√2. مینیمم نسبی/مطلق در x=±√2 با مقدار 4-، ماکزیمم نسبی/مطلق در x=0 با مقدار 0." + ] }, { "title": "رسم نمودار تابع با ماکزیمم مطلق و بدون ماکزیمم مطلق", - "introText": "1. تابع را بررسی کنید و نقاط بحرانی را پیدا کنید.\n2. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی دامنه محاسبه کنید.\n3. اگر تابع ماکزیمم مطلق ندارد، نمودار را طوری رسم کنید که تابع در هیچ نقطه‌ای بیشینه مطلق نداشته باشد.\n4. اگر تابع ماکزیمم مطلق دارد، نمودار را طوری رسم کنید که بیشینه مطلق مشخص باشد." + "introText": "1. تابع را بررسی کنید و نقاط بحرانی را پیدا کنید.\n2. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی دامنه محاسبه کنید.\n3. اگر تابع ماکزیمم مطلق ندارد، نمودار را طوری رسم کنید که تابع در هیچ نقطه‌ای بیشینه مطلق نداشته باشد.\n4. اگر تابع ماکزیمم مطلق دارد، نمودار را طوری رسم کنید که بیشینه مطلق مشخص باشد.", + "example": "در نمودار تابع y = x⁴ - 4x²، مقادیر و طول نقاط اکسترمم نسبی و اکسترمم مطلق را مشخص کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: y' = 4x³ - 8x = 4x(x² - 2).", + "نقاط بحرانی را با حل y' = 0 پیدا می‌کنیم: x = 0, x = ±√2.", + "با بررسی تغییر علامت مشتق در این نقاط:", + "در x = -√2، تابع از کاهش به افزایش تغییر می‌کند، پس مینیمم نسبی است.", + "در x = 0، تابع از افزایش به کاهش تغییر می‌کند، پس ماکزیمم نسبی است.", + "✅ جواب: نقاط بحرانی: x=-√2، x=0، x=√2. مینیمم نسبی/مطلق در x=±√2 با مقدار 4-، ماکزیمم نسبی/مطلق در x=0 با مقدار 0." + ] }, { "title": "یافتن نقاط اکسترمم نسبی و مطلق توابع داده شده در بازه‌ها", - "introText": "1. مشتق تابع را محاسبه کنید.\n2. نقاطی که مشتق صفر یا مشتق ندارد را پیدا کنید.\n3. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی دامنه محاسبه کنید.\n4. نقاطی که مقدار تابع در آن‌ها بیشینه یا کمینه نسبی یا مطلق است را تعیین کنید.\n5. نقاط اکسترمم نسبی و مطلق را مشخص کنید." + "introText": "1. مشتق تابع را محاسبه کنید.\n2. نقاطی که مشتق صفر یا مشتق ندارد را پیدا کنید.\n3. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی دامنه محاسبه کنید.\n4. نقاطی که مقدار تابع در آن‌ها بیشینه یا کمینه نسبی یا مطلق است را تعیین کنید.\n5. نقاط اکسترمم نسبی و مطلق را مشخص کنید.", + "example": "در نمودار تابع y = x⁴ - 4x²، مقادیر و طول نقاط اکسترمم نسبی و اکسترمم مطلق را مشخص کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: y' = 4x³ - 8x = 4x(x² - 2).", + "نقاط بحرانی را با حل y' = 0 پیدا می‌کنیم: x = 0, x = ±√2.", + "با بررسی تغییر علامت مشتق در این نقاط:", + "در x = -√2، تابع از کاهش به افزایش تغییر می‌کند، پس مینیمم نسبی است.", + "در x = 0، تابع از افزایش به کاهش تغییر می‌کند، پس ماکزیمم نسبی است.", + "✅ جواب: نقاط بحرانی: x=-√2، x=0، x=√2. مینیمم نسبی/مطلق در x=±√2 با مقدار 4-، ماکزیمم نسبی/مطلق در x=0 با مقدار 0." + ] }, { "title": "یافتن ضرایب تابع برای داشتن مینیمم نسبی در نقطه مشخص", @@ -12302,7 +16563,16 @@ }, { "title": "رسم نمودار تابع با شرایط داده شده و تعیین ماکزیمم نسبی", - "introText": "1. شرایط داده شده برای مقادیر تابع در نقاط مشخص را یادداشت کنید. 2. تابع را طوری فرض کنید که این شرایط را برآورده کند. 3. مشتق اول را محاسبه کنید و بررسی کنید که در نقطه داده شده مشتق صفر باشد تا ماکزیمم نسبی تایید شود. 4. نمودار تابع را با توجه به این شرایط رسم کنید." + "introText": "1. شرایط داده شده برای مقادیر تابع در نقاط مشخص را یادداشت کنید. 2. تابع را طوری فرض کنید که این شرایط را برآورده کند. 3. مشتق اول را محاسبه کنید و بررسی کنید که در نقطه داده شده مشتق صفر باشد تا ماکزیمم نسبی تایید شود. 4. نمودار تابع را با توجه به این شرایط رسم کنید.", + "example": "در نمودار تابع y = x⁴ - 4x²، مقادیر و طول نقاط اکسترمم نسبی و اکسترمم مطلق را مشخص کنید.", + "steps": [ + "ابتدا مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: y' = 4x³ - 8x = 4x(x² - 2).", + "نقاط بحرانی را با حل y' = 0 پیدا می‌کنیم: x = 0, x = ±√2.", + "با بررسی تغییر علامت مشتق در این نقاط:", + "در x = -√2، تابع از کاهش به افزایش تغییر می‌کند، پس مینیمم نسبی است.", + "در x = 0، تابع از افزایش به کاهش تغییر می‌کند، پس ماکزیمم نسبی است.", + "✅ جواب: نقاط بحرانی: x=-√2، x=0، x=√2. مینیمم نسبی/مطلق در x=±√2 با مقدار 4-، ماکزیمم نسبی/مطلق در x=0 با مقدار 0." + ] }, { "title": "بهینه‌سازی حجم مکعب ساخته شده از کاغذ مستطیل با ابعاد متغیر", @@ -12356,7 +16626,15 @@ }, { "title": "تشخیص و رسم نقاط عطف و خطوط مماس بر منحنی", - "introText": "1. مشتق اول و دوم تابع را بیابید.\n2. نقاطی که مشتق دوم در آنها صفر می‌شود را پیدا کنید.\n3. بررسی کنید که آیا علامت مشتق دوم در اطراف این نقاط تغییر می‌کند یا خیر.\n4. اگر علامت تغییر کند، آن نقطه، نقطه عطف است.\n5. در نقاط عطف، خط مماس بر منحنی را با استفاده از مشتق اول و مقدار تابع در آن نقطه رسم کنید." + "introText": "1. مشتق اول و دوم تابع را بیابید.\n2. نقاطی که مشتق دوم در آنها صفر می‌شود را پیدا کنید.\n3. بررسی کنید که آیا علامت مشتق دوم در اطراف این نقاط تغییر می‌کند یا خیر.\n4. اگر علامت تغییر کند، آن نقطه، نقطه عطف است.\n5. در نقاط عطف، خط مماس بر منحنی را با استفاده از مشتق اول و مقدار تابع در آن نقطه رسم کنید.", + "example": "با حرکت از نقطه x=0 به سمت راست، شیب خطوط مماس در هر کدام از منحنی‌های g(x)=√x در بازه (0,+∞) و h(x)=x² در بازه [0,+∞) چگونه تغییر می‌کند؟ (کم می‌شود یا زیاد) جهت تقعر منحنی در هر کدام از نمودارها چگونه است؟", + "steps": [ + "تابع g(x)=√x را در نظر می‌گیریم. مشتق اول آن g'(x) = 1/(2√x) است که با افزایش x کاهش می‌یابد، بنابراین شیب خطوط مماس در منحنی g(x) کم می‌شود.", + "تابع h(x)=x² را در نظر می‌گیریم. مشتق اول آن h'(x) = 2x است که با افزایش x افزایش می‌یابد، بنابراین شیب خطوط مماس در منحنی h(x) زیاد می‌شود.", + "جهت تقعر منحنی g(x) با توجه به مشتق دوم g''(x) = -1/(4x^(3/2)) که منفی است، رو به پایین است.", + "جهت تقعر منحنی h(x) با توجه به مشتق دوم h''(x) = 2 که مثبت است، رو به بالا است.", + "✅ جواب: مشتق‌ها و علامت آن‌ها درست است؛ g'' منفی (تقعر رو به پایین) و h'' مثبت (تقعر رو به بالا) است." + ] }, { "title": "تشخیص درست یا نادرست بودن گزاره‌های مربوط به نقاط عطف", @@ -12368,7 +16646,15 @@ }, { "title": "تحلیل نمودار مشتق اول و تعیین نقاط عطف", - "introText": "1. نمودار مشتق اول تابع را بررسی کنید.\n2. نقاطی که مشتق اول صفر می‌شود را مشخص کنید.\n3. با توجه به نمودار مشتق اول، تغییرات علامت آن را در بازه‌های مختلف بررسی کنید.\n4. مشتق دوم تابع را از روی تغییرات مشتق اول تحلیل کنید: اگر مشتق اول از کاهش به افزایش تغییر کند، مشتق دوم مثبت است و بالعکس.\n5. نقاطی که مشتق دوم تغییر علامت می‌دهد، نقاط عطف تابع هستند.\n6. جدول تغییرات مشتق دوم و تابع را رسم کنید تا جهت تقعر و نقاط عطف مشخص شود." + "introText": "1. نمودار مشتق اول تابع را بررسی کنید.\n2. نقاطی که مشتق اول صفر می‌شود را مشخص کنید.\n3. با توجه به نمودار مشتق اول، تغییرات علامت آن را در بازه‌های مختلف بررسی کنید.\n4. مشتق دوم تابع را از روی تغییرات مشتق اول تحلیل کنید: اگر مشتق اول از کاهش به افزایش تغییر کند، مشتق دوم مثبت است و بالعکس.\n5. نقاطی که مشتق دوم تغییر علامت می‌دهد، نقاط عطف تابع هستند.\n6. جدول تغییرات مشتق دوم و تابع را رسم کنید تا جهت تقعر و نقاط عطف مشخص شود.", + "example": "با حرکت از نقطه x=0 به سمت راست، شیب خطوط مماس در هر کدام از منحنی‌های g(x)=√x در بازه (0,+∞) و h(x)=x² در بازه [0,+∞) چگونه تغییر می‌کند؟ (کم می‌شود یا زیاد) جهت تقعر منحنی در هر کدام از نمودارها چگونه است؟", + "steps": [ + "تابع g(x)=√x را در نظر می‌گیریم. مشتق اول آن g'(x) = 1/(2√x) است که با افزایش x کاهش می‌یابد، بنابراین شیب خطوط مماس در منحنی g(x) کم می‌شود.", + "تابع h(x)=x² را در نظر می‌گیریم. مشتق اول آن h'(x) = 2x است که با افزایش x افزایش می‌یابد، بنابراین شیب خطوط مماس در منحنی h(x) زیاد می‌شود.", + "جهت تقعر منحنی g(x) با توجه به مشتق دوم g''(x) = -1/(4x^(3/2)) که منفی است، رو به پایین است.", + "جهت تقعر منحنی h(x) با توجه به مشتق دوم h''(x) = 2 که مثبت است، رو به بالا است.", + "✅ جواب: مشتق‌ها و علامت آن‌ها درست است؛ g'' منفی (تقعر رو به پایین) و h'' مثبت (تقعر رو به بالا) است." + ] }, { "title": "تحلیل تغییرات و نقاط عطف تابع با استفاده از مشتق دوم", @@ -12380,15 +16666,40 @@ }, { "title": "تشخیص نمودار تابع و بررسی تک‌نقطه عطف", - "introText": "1. نمودارهای داده شده را بررسی کنید و ویژگی‌های تغییر جهت تقعر را شناسایی کنید. 2. مشتق دوم تابع را در نقاط مختلف بررسی کنید تا نقاطی که مشتق دوم صفر یا تعریف نشده است را بیابید. 3. جهت تقعر را قبل و بعد از این نقاط بررسی کنید. اگر جهت تقعر تغییر کند، آن نقطه نقطه عطف است. 4. نموداری که جهت تقعر آن در نقاط مشخص شده تغییر کند، می‌تواند نمودار تابع مورد نظر باشد." + "introText": "1. نمودارهای داده شده را بررسی کنید و ویژگی‌های تغییر جهت تقعر را شناسایی کنید. 2. مشتق دوم تابع را در نقاط مختلف بررسی کنید تا نقاطی که مشتق دوم صفر یا تعریف نشده است را بیابید. 3. جهت تقعر را قبل و بعد از این نقاط بررسی کنید. اگر جهت تقعر تغییر کند، آن نقطه نقطه عطف است. 4. نموداری که جهت تقعر آن در نقاط مشخص شده تغییر کند، می‌تواند نمودار تابع مورد نظر باشد.", + "example": "تابع g(x) = x³ + 3x² + 1 داده شده است. مشتق اول و دوم این تابع را بیابید و جهت تقعر نمودار تابع را در بازه‌های (-∞, -1) و (-1, +∞) مشخص کنید.", + "steps": [ + "مشتق اول تابع g(x) را محاسبه می‌کنیم:", + "g'(x) = 3x² + 6x", + "مشتق دوم تابع g(x) را محاسبه می‌کنیم:", + "g''(x) = 6x + 6", + "نقطه‌ای که مشتق دوم صفر می‌شود را پیدا می‌کنیم:", + "✅ جواب: g'(x)=3x²+6x, g''(x)=6x+6; concave up on (-1,∞), concave down on (-∞,-1)" + ] }, { "title": "رسم نمودار تابع با نقطه عطف مشخص", - "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید و مشتق اول و دوم آن را محاسبه کنید. 2. نقاطی که مشتق دوم صفر یا تعریف نشده است را بیابید. 3. جهت تقعر را قبل و بعد از این نقاط بررسی کنید تا نقاط عطف را تعیین کنید. 4. نمودار تابع را طوری رسم کنید که جهت تقعر در نقاط عطف تغییر کند ولی خود نقطه عطف نقطه تقعر نباشد." + "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید و مشتق اول و دوم آن را محاسبه کنید. 2. نقاطی که مشتق دوم صفر یا تعریف نشده است را بیابید. 3. جهت تقعر را قبل و بعد از این نقاط بررسی کنید تا نقاط عطف را تعیین کنید. 4. نمودار تابع را طوری رسم کنید که جهت تقعر در نقاط عطف تغییر کند ولی خود نقطه عطف نقطه تقعر نباشد.", + "example": "با حرکت از نقطه x=0 به سمت راست، شیب خطوط مماس در هر کدام از منحنی‌های g(x)=√x در بازه (0,+∞) و h(x)=x² در بازه [0,+∞) چگونه تغییر می‌کند؟ (کم می‌شود یا زیاد) جهت تقعر منحنی در هر کدام از نمودارها چگونه است؟", + "steps": [ + "تابع g(x)=√x را در نظر می‌گیریم. مشتق اول آن g'(x) = 1/(2√x) است که با افزایش x کاهش می‌یابد، بنابراین شیب خطوط مماس در منحنی g(x) کم می‌شود.", + "تابع h(x)=x² را در نظر می‌گیریم. مشتق اول آن h'(x) = 2x است که با افزایش x افزایش می‌یابد، بنابراین شیب خطوط مماس در منحنی h(x) زیاد می‌شود.", + "جهت تقعر منحنی g(x) با توجه به مشتق دوم g''(x) = -1/(4x^(3/2)) که منفی است، رو به پایین است.", + "جهت تقعر منحنی h(x) با توجه به مشتق دوم h''(x) = 2 که مثبت است، رو به بالا است.", + "✅ جواب: مشتق‌ها و علامت آن‌ها درست است؛ g'' منفی (تقعر رو به پایین) و h'' مثبت (تقعر رو به بالا) است." + ] }, { "title": "یافتن جهت تقعر و نقاط عطف توابع مختلف", - "introText": "1. تابع داده شده را در دامنه‌اش بررسی کنید. 2. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید. 3. نقاطی که مشتق دوم صفر یا تعریف نشده است را بیابید. 4. جهت تقعر را در بازه‌های مختلف بررسی کنید. 5. نقاطی که جهت تقعر تغییر کند را به عنوان نقاط عطف تعیین کنید." + "introText": "1. تابع داده شده را در دامنه‌اش بررسی کنید. 2. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید. 3. نقاطی که مشتق دوم صفر یا تعریف نشده است را بیابید. 4. جهت تقعر را در بازه‌های مختلف بررسی کنید. 5. نقاطی که جهت تقعر تغییر کند را به عنوان نقاط عطف تعیین کنید.", + "example": "با حرکت از نقطه x=0 به سمت راست، شیب خطوط مماس در هر کدام از منحنی‌های g(x)=√x در بازه (0,+∞) و h(x)=x² در بازه [0,+∞) چگونه تغییر می‌کند؟ (کم می‌شود یا زیاد) جهت تقعر منحنی در هر کدام از نمودارها چگونه است؟", + "steps": [ + "تابع g(x)=√x را در نظر می‌گیریم. مشتق اول آن g'(x) = 1/(2√x) است که با افزایش x کاهش می‌یابد، بنابراین شیب خطوط مماس در منحنی g(x) کم می‌شود.", + "تابع h(x)=x² را در نظر می‌گیریم. مشتق اول آن h'(x) = 2x است که با افزایش x افزایش می‌یابد، بنابراین شیب خطوط مماس در منحنی h(x) زیاد می‌شود.", + "جهت تقعر منحنی g(x) با توجه به مشتق دوم g''(x) = -1/(4x^(3/2)) که منفی است، رو به پایین است.", + "جهت تقعر منحنی h(x) با توجه به مشتق دوم h''(x) = 2 که مثبت است، رو به بالا است.", + "✅ جواب: مشتق‌ها و علامت آن‌ها درست است؛ g'' منفی (تقعر رو به پایین) و h'' مثبت (تقعر رو به بالا) است." + ] }, { "title": "یافتن ضرایب تابع درجه سه با شرایط نقطه عطف و مقادیر تابع", @@ -12396,7 +16707,15 @@ }, { "title": "یافتن ضرایب تابع درجه سه با نقطه عطف و نمودار داده شده", - "introText": "1. تابع درجه سه را به صورت y = x³ + ax² + bx + c در نظر بگیرید. 2. مشتق اول و دوم تابع را محاسبه کنید. 3. نقطه عطف داده شده (0,0) را در معادلات تابع و مشتق دوم قرار دهید. 4. از شرایط نمودار برای تعیین مقادیر a، b و c استفاده کنید. 5. معادلات به دست آمده را حل کنید." + "introText": "1. تابع درجه سه را به صورت y = x³ + ax² + bx + c در نظر بگیرید. 2. مشتق اول و دوم تابع را محاسبه کنید. 3. نقطه عطف داده شده (0,0) را در معادلات تابع و مشتق دوم قرار دهید. 4. از شرایط نمودار برای تعیین مقادیر a، b و c استفاده کنید. 5. معادلات به دست آمده را حل کنید.", + "example": "با حرکت از نقطه x=0 به سمت راست، شیب خطوط مماس در هر کدام از منحنی‌های g(x)=√x در بازه (0,+∞) و h(x)=x² در بازه [0,+∞) چگونه تغییر می‌کند؟ (کم می‌شود یا زیاد) جهت تقعر منحنی در هر کدام از نمودارها چگونه است؟", + "steps": [ + "تابع g(x)=√x را در نظر می‌گیریم. مشتق اول آن g'(x) = 1/(2√x) است که با افزایش x کاهش می‌یابد، بنابراین شیب خطوط مماس در منحنی g(x) کم می‌شود.", + "تابع h(x)=x² را در نظر می‌گیریم. مشتق اول آن h'(x) = 2x است که با افزایش x افزایش می‌یابد، بنابراین شیب خطوط مماس در منحنی h(x) زیاد می‌شود.", + "جهت تقعر منحنی g(x) با توجه به مشتق دوم g''(x) = -1/(4x^(3/2)) که منفی است، رو به پایین است.", + "جهت تقعر منحنی h(x) با توجه به مشتق دوم h''(x) = 2 که مثبت است، رو به بالا است.", + "✅ جواب: مشتق‌ها و علامت آن‌ها درست است؛ g'' منفی (تقعر رو به پایین) و h'' مثبت (تقعر رو به بالا) است." + ] } ] }, @@ -12406,7 +16725,14 @@ "lessons": [ { "title": "رسم نمودار تابع با استفاده از مشتق‌ها", - "introText": "۱. ابتدا نقاطی که مشتق اول صفر یا تعریف نشده است را پیدا کنید (ریشه‌های f'). ۲. با استفاده از علامت مشتق اول در بازه‌های بین این نقاط، افزایش یا کاهش تابع را تعیین کنید. ۳. نقاطی که مشتق اول تغییر علامت می‌دهد، نقاط حداقل یا حداکثر نسبی هستند. ۴. مشتق دوم را محاسبه کنید و علامت آن را در نقاط بحرانی بررسی کنید تا نقاط عطف را بیابید. ۵. با استفاده از این اطلاعات، نمودار تقریبی تابع را رسم کنید." + "introText": "۱. ابتدا نقاطی که مشتق اول صفر یا تعریف نشده است را پیدا کنید (ریشه‌های f'). ۲. با استفاده از علامت مشتق اول در بازه‌های بین این نقاط، افزایش یا کاهش تابع را تعیین کنید. ۳. نقاطی که مشتق اول تغییر علامت می‌دهد، نقاط حداقل یا حداکثر نسبی هستند. ۴. مشتق دوم را محاسبه کنید و علامت آن را در نقاط بحرانی بررسی کنید تا نقاط عطف را بیابید. ۵. با استفاده از این اطلاعات، نمودار تقریبی تابع را رسم کنید.", + "example": "اگر تابع y = f(x) به گونه‌ای باشد که ریشه‌های تابع f به صورت x=1 و x=0 و x=-2 است و در همه نقاط مشتق‌پذیر باشد. ریشه‌های تابع f' به صورت x=1/2 و x=-6/5 است و علامت f' بین دو ریشه منفی و سایر جاها مثبت است. تابع f'' تنها یک ریشه در x=-1/3 دارد و علامت f'' در سمت چپ -1/3 منفی و در سمت راست آن مثبت است و f(-1/3)=0.7 است. نمودار تابع را رسم کنید.", + "steps": [ + "نقاط بحرانی تابع f عبارتند از x=1/2 و x=-6/5 که ریشه‌های مشتق اول هستند.", + "علامت مشتق اول بین این نقاط منفی و در سایر نقاط مثبت است، بنابراین تابع در بازه بین -6/5 و 1/2 نزولی و در سایر بازه‌ها صعودی است.", + "نقطه x=-1/3 ریشه مشتق دوم است که علامت مشتق دوم در سمت چپ آن منفی و در سمت راست مثبت است، پس این نقطه نقطه عطف تابع است. مقدار تابع در نقطه عطف برابر 0.7 است. با توجه به این اطلاعات، تابع ابتدا صعودی است، سپس بین -6/5 و 1/2 نزولی می‌شود و دوباره صعودی می‌شود. همچنین در x=-1/3 نقطه عطف وجود دارد که تغییر انحنای نمودار", + "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است و تحلیل نقاط بحرانی، نزولی/صعودی بودن و نقطه عطف با داده‌ها مطابقت دارد." + ] }, { "title": "تحلیل رفتار تابع با استفاده از مشتق اول و دوم", @@ -12430,11 +16756,29 @@ }, { "title": "تحلیل رفتار تابع با استفاده از مشتق دوم", - "introText": "1. مشتق اول تابع را محاسبه کنید تا نقاط بحرانی و بازه‌های صعود و نزول را بیابید.\n2. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید تا تقعر تابع را در بازه‌های مختلف تعیین کنید.\n3. با توجه به علامت مشتق دوم، نقاطی که تقعر به سمت بالا یا پایین است را مشخص کنید.\n4. جدول تغییرات مشتق اول و مشتق دوم را رسم کنید تا رفتار تابع در بازه‌های مختلف مشخص شود.\n5. با استفاده از جدول تغییرات و نقاط بحرانی، نمودار تقریبی تابع را رسم کنید." + "introText": "1. مشتق اول تابع را محاسبه کنید تا نقاط بحرانی و بازه‌های صعود و نزول را بیابید.\n2. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید تا تقعر تابع را در بازه‌های مختلف تعیین کنید.\n3. با توجه به علامت مشتق دوم، نقاطی که تقعر به سمت بالا یا پایین است را مشخص کنید.\n4. جدول تغییرات مشتق اول و مشتق دوم را رسم کنید تا رفتار تابع در بازه‌های مختلف مشخص شود.\n5. با استفاده از جدول تغییرات و نقاط بحرانی، نمودار تقریبی تابع را رسم کنید.", + "example": "نمودار تابع f(x) = x³ را رسم کنید.", + "steps": [ + "دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی است و تابع در تمام دامنه‌اش پیوسته و مشتق‌پذیر است. مشتق اول و دوم را محاسبه می‌کنیم:", + "f(x) = x³", + "f'(x) = 3x²", + "f''(x) = 6x", + "نقاطی که مشتق اول و دوم صفر می‌شوند:", + "✅ جواب: نمودار تابع x³ یک منحنی صعودی با نقطه عطف در مبدأ است." + ] }, { "title": "رسم جدول و نمودار توابع", - "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید.\n2. مقادیر تابع را برای نقاط مختلف x محاسبه کنید.\n3. جدول مقادیر x و f(x) را رسم کنید.\n4. نقاط به دست آمده را روی دستگاه مختصات رسم کنید.\n5. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار تابع به دست آید." + "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید.\n2. مقادیر تابع را برای نقاط مختلف x محاسبه کنید.\n3. جدول مقادیر x و f(x) را رسم کنید.\n4. نقاط به دست آمده را روی دستگاه مختصات رسم کنید.\n5. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار تابع به دست آید.", + "example": "جدول رفتار و نمودار تابع f(x) = (x - 1)² (x + 3) را رسم کنید.", + "steps": [ + "دامنه تابع تمام اعداد حقیقی است و تابع پیوسته و مشتق‌پذیر است.", + "نقاط برخورد تابع با محور x:", + "f(x) = 0 → (x - 1)² (x + 3) = 0 → x = 1 یا x = -3", + "نقطه برخورد تابع با محور y:", + "برای x = 0، f(0) = (0 - 1)² (0 + 3) = 1 * 3 = 3", + "✅ جواب: دامنه R، ریشه‌ها -3 و 1 (دوگانه)، y=3، مشتق (x-1)(3x+5)، نقاط بحرانی 1 و -5/3." + ] }, { "title": "یافتن تابع گویا با شرایط داده شده", @@ -12442,7 +16786,16 @@ }, { "title": "تشخیص نمودار تابع داده شده", - "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید و درجه و ضریب‌های آن را مشخص کنید.\n2. رفتار کلی تابع (شیب، نقاط بحرانی، تقعر) را تحلیل کنید.\n3. نمودارهای داده شده را بررسی کنید و با توجه به ویژگی‌های تابع، نمودار صحیح را انتخاب کنید.\n4. نقاط تقاطع، نقاط بحرانی و رفتار انتهایی نمودار را با تابع تطبیق دهید." + "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید و درجه و ضریب‌های آن را مشخص کنید.\n2. رفتار کلی تابع (شیب، نقاط بحرانی، تقعر) را تحلیل کنید.\n3. نمودارهای داده شده را بررسی کنید و با توجه به ویژگی‌های تابع، نمودار صحیح را انتخاب کنید.\n4. نقاط تقاطع، نقاط بحرانی و رفتار انتهایی نمودار را با تابع تطبیق دهید.", + "example": "نمودار تابع f(x) = x³ را رسم کنید.", + "steps": [ + "دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی است و تابع در تمام دامنه‌اش پیوسته و مشتق‌پذیر است. مشتق اول و دوم را محاسبه می‌کنیم:", + "f(x) = x³", + "f'(x) = 3x²", + "f''(x) = 6x", + "نقاطی که مشتق اول و دوم صفر می‌شوند:", + "✅ جواب: نمودار تابع x³ یک منحنی صعودی با نقطه عطف در مبدأ است." + ] } ] } diff --git a/content/seed/questions.json b/content/seed/questions.json index 3301411..07f1075 100644 --- a/content/seed/questions.json +++ b/content/seed/questions.json @@ -41870,6 +41870,1400 @@ "-۰٫۵۳۴" ], "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۱: الگوها", + "الگوها — گروه 1", + "الگوهای عددی و جمع" + ], + "prompt": "الگو را ادامه بده: ۵، ۱۰، ۱۵، ۲۰، … عددِ بعدی کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲۱", + "۲۵", + "۳۰", + "۲۴" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۱: الگوها", + "الگوها — گروه 1", + "الگوی تعداد اتاق‌ها در طبقات ساختمان" + ], + "prompt": "هر طبقه‌ی یک ساختمان ۴ اتاق دارد. ساختمانِ ۶ طبقه روی هم چند اتاق دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲۴", + "۱۰", + "۲۰", + "۲۸" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۱: الگوها", + "الگوها — گروه 2", + "تشخیص زمان روی ساعت" + ], + "prompt": "عقربه‌ی کوچکِ ساعت روی ۴ و عقربه‌ی بزرگ روی ۱۲ است. ساعت چند است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "ساعت ۱۲", + "ساعت ۴ و نیم", + "ساعت ۱۲ و ۲۰ دقیقه", + "ساعت ۴" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۱: الگوها", + "الگوها — گروه 2", + "تقسیم‌بندی زمان در یک روز" + ], + "prompt": "یک شبانه‌روز چند ساعت است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۲", + "۲۴", + "۲۰", + "۶۰" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۱: الگوها", + "الگوها — گروه 2", + "تقارن اشکال هندسی" + ], + "prompt": "مربع چند محورِ تقارن دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱", + "۲", + "۸", + "۴" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۱: الگوها", + "الگوها — گروه 4", + "دسته‌بندی و شمارش" + ], + "prompt": "در یک سبد ۳ سیبِ قرمز، ۵ سیبِ زرد و ۴ سیبِ سبز هست. سبد روی هم چند سیب دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۹", + "۱۲", + "۱۱", + "۱۳" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۱: الگوها", + "الگوها — گروه 4", + "ساخت اشکال با مکعب‌ها" + ], + "prompt": "با ۲ ردیفِ مکعب که هر ردیف ۳ مکعب دارد یک دیوار ساختیم. چند مکعب به کار رفته است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۵", + "۸", + "۶", + "۹" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۱: الگوها", + "الگوها — گروه 4", + "ساخت اشکال سه‌بعدی از الگوهای دوبعدی" + ], + "prompt": "مکعب چند وجه (رو) دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴", + "۶", + "۸", + "۱۲" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۱: الگوها", + "الگوها — گروه 6", + "محاسبه زمان فعالیت‌ها" + ], + "prompt": "علی ساعتِ ۸ صبح درس خواندن را شروع کرد و ساعتِ ۱۰ صبح تمام کرد. چند ساعت درس خواند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲ ساعت", + "۱ ساعت", + "۳ ساعت", + "۱۸ ساعت" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۱: الگوها", + "الگوها — گروه 6", + "محاسبه سود بر اساس تعداد بسته‌ها" + ], + "prompt": "مریم از فروشِ هر بسته شکلات ۲ هزار تومان سود می‌برد. از فروشِ ۵ بسته چقدر سود می‌برد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۷ هزار تومان", + "۱۲ هزار تومان", + "۲۵ هزار تومان", + "۱۰ هزار تومان" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۱: الگوها", + "الگوها — گروه 6", + "محاسبه مجموع زمان‌ها" + ], + "prompt": "سارا ۲۰ دقیقه نقاشی کشید و ۳۵ دقیقه کتاب خواند. روی هم چند دقیقه شد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴۵ دقیقه", + "۵۰ دقیقه", + "۶۵ دقیقه", + "۵۵ دقیقه" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", + "عددهای چهار رقمی — گروه 7", + "یافتن کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین عدد چهار رقمی" + ], + "prompt": "بزرگ‌ترین عددِ چهاررقمی کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۹۹۹۹", + "۱۰۰۰", + "۹۰۰۰", + "۹۹۹" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", + "عددهای چهار رقمی — گروه 7", + "یافتن کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین عدد چهار رقمی" + ], + "prompt": "با رقم‌های ۳، ۷، ۱ و ۵ (هر رقم فقط یک بار) بزرگ‌ترین عددِ چهاررقمی کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۷۵۳۱", + "۱۳۵۷", + "۷۵۱۳", + "۵۷۳۱" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۳: عددهای کسری", + "عددهای کسری — گروه 2", + "تشخیص کسر از تقسیم‌بندی" + ], + "prompt": "یک نان را به ۴ تکه‌ی مساوی تقسیم کردیم و ۱ تکه را خوردیم. چه کسری از نان را خوردیم؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "یک‌دوم", + "یک‌چهارم", + "یک‌سوم", + "سه‌چهارم" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۳: عددهای کسری", + "عددهای کسری — گروه 3", + "تقسیم نوار کاغذی به بخش‌های کسری" + ], + "prompt": "یک نوارِ کاغذی را به ۳ قسمتِ مساوی تقسیم کردیم و ۲ قسمت را رنگ زدیم. چه کسری از نوار رنگی است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "یک‌سوم", + "یک‌دوم", + "سه‌دوم", + "دوسوم" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۳: عددهای کسری", + "عددهای کسری — گروه 6", + "نمایش کسری روی ساعت" + ], + "prompt": "نیم ساعت چند دقیقه است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۵ دقیقه", + "۲۰ دقیقه", + "۵۰ دقیقه", + "۳۰ دقیقه" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۳: عددهای کسری", + "عددهای کسری — گروه 6", + "نوشتن کسر از روی مکعب‌ها" + ], + "prompt": "از ۸ مکعب، ۵ مکعب سبز است. چه کسری از مکعب‌ها سبز است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "سه‌هشتم", + "پنج‌هشتم", + "هشت‌پنجم", + "پنج‌سوم" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۳: عددهای کسری", + "عددهای کسری — گروه 7", + "کار با پرگار و دایره" + ], + "prompt": "وقتی با پرگار دایره می‌کشیم، جای سوزنِ پرگار کجای دایره است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "روی خودِ دایره", + "بیرونِ دایره", + "هر جایی که بخواهیم", + "مرکزِ دایره" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۳: عددهای کسری", + "عددهای کسری — گروه 7", + "کامل کردن کسرها" + ], + "prompt": "یک پیتزا ۸ تکه‌ی مساوی دارد و ۳ تکه‌اش خورده شد. چند تکه از ۸ تکه مانده است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳ تکه", + "۵ تکه", + "۴ تکه", + "۱۱ تکه" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۳: عددهای کسری", + "عددهای کسری — گروه 7", + "کامل کردن کسرها" + ], + "prompt": "دو نصفِ سیب را کنارِ هم بگذاریم، روی هم چند سیبِ کامل می‌شود؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "دو سیبِ کامل", + "یک سیبِ کامل", + "نصفِ سیب", + "چهار سیبِ کامل" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۵: محیط و مساحت", + "محیط و مساحت — گروه 1", + "اندازه‌گیری طول خط راست" + ], + "prompt": "برای اندازه‌گیریِ طولِ یک پاره‌خط از کدام وسیله استفاده می‌کنیم؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "پرگار", + "ساعت", + "ترازو", + "خط‌کش" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۵: محیط و مساحت", + "محیط و مساحت — گروه 1", + "اندازه‌گیری مساحت با واحدهای مشخص" + ], + "prompt": "شکلی از ۶ مربعِ یک‌سانتی‌متری ساخته شده است. مساحتِ آن چند سانتی‌مترِ مربع است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴", + "۶", + "۱۲", + "۲۴" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۵: محیط و مساحت", + "محیط و مساحت — گروه 1", + "اندازه‌گیری محیط اشیاء واقعی" + ], + "prompt": "هر ضلعِ یک مربع ۵ سانتی‌متر است. محیطِ آن چند سانتی‌متر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۰", + "۱۵", + "۲۵", + "۲۰" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۵: محیط و مساحت", + "محیط و مساحت — گروه 2", + "تعداد واحدهای سطح" + ], + "prompt": "مستطیلی ۳ ردیف دارد و در هر ردیف ۴ مربعِ واحد است. این مستطیل چند مربعِ واحد دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۲", + "۷", + "۱۰", + "۱۴" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۵: محیط و مساحت", + "محیط و مساحت — گروه 3", + "محاسبه محیط اشکال هندسی" + ], + "prompt": "ضلع‌های یک مثلث ۳، ۴ و ۵ سانتی‌متر است. محیطِ آن چند سانتی‌متر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۷", + "۹", + "۱۲", + "۶۰" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۵: محیط و مساحت", + "محیط و مساحت — گروه 3", + "محاسبه محیط با ضرب" + ], + "prompt": "محیطِ مربعی با ضلعِ ۷ سانتی‌متر چند سانتی‌متر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۴", + "۲۸", + "۲۱", + "۴۹" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۵: محیط و مساحت", + "محیط و مساحت — گروه 3", + "محاسبه طول خطوط شکسته" + ], + "prompt": "یک خطِ شکسته از سه پاره‌خطِ ۲، ۳ و ۴ سانتی‌متری درست شده است. طولِ کلِ آن چند سانتی‌متر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۵", + "۷", + "۲۴", + "۹" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۵: محیط و مساحت", + "محیط و مساحت — گروه 6", + "مقایسه واحدهای سطح" + ], + "prompt": "کدام یکا برای اندازه‌گیریِ مساحت مناسب است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "سانتی‌مترِ مربع", + "سانتی‌متر", + "کیلوگرم", + "لیتر" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۵: محیط و مساحت", + "محیط و مساحت — گروه 6", + "نام‌گذاری اشکال هندسی" + ], + "prompt": "شکلی با ۴ ضلعِ مساوی و ۴ زاویه‌ی راست چه نام دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "مثلث", + "دایره", + "پنج‌ضلعی", + "مربع" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۵: محیط و مساحت", + "محیط و مساحت — گروه 6", + "یافتن بیشترین و کمترین مساحت" + ], + "prompt": "کدام مستطیل مساحتِ بیشتری دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳ در ۵", + "۴ در ۴", + "۲ در ۶", + "۱ در ۱۰" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۷: آمار و احتمال", + "آمار و احتمال — گروه 2", + "تحلیل جدول داده‌ها" + ], + "prompt": "علی ۱۲ کتاب، رضا ۹ کتاب و سارا ۱۵ کتاب دارد. چه کسی بیشترین کتاب را دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "علی", + "رضا", + "هر سه برابرند", + "سارا" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۷: آمار و احتمال", + "آمار و احتمال — گروه 2", + "تحلیل جدول دما" + ], + "prompt": "دمای صبح ۸ درجه و دمای ظهر ۱۵ درجه بود. دما چند درجه بالا رفت؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۵", + "۸", + "۲۳", + "۷" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۷: آمار و احتمال", + "آمار و احتمال — گروه 2", + "انتخاب نمودار مناسب" + ], + "prompt": "برای مقایسه‌ی تعدادِ دانش‌آموزانِ چند کلاس، کدام نمودار مناسب‌تر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "نمودارِ ستونی", + "جدولِ ضرب", + "محورِ اعداد", + "نمودارِ درختی" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۷: آمار و احتمال", + "آمار و احتمال — گروه 3", + "تفسیر نمودار ستونی" + ], + "prompt": "در یک نمودارِ ستونی، ستونِ سیب تا ۶ و ستونِ پرتقال تا ۹ بالا رفته است. پرتقال چند تا بیشتر از سیب است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲", + "۶", + "۳", + "۱۵" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۷: آمار و احتمال", + "آمار و احتمال — گروه 4", + "رسم جدول فراوانی" + ], + "prompt": "چرخه‌ای را ۱۲ بار چرخاندیم: ۵ بار زرد، ۳ بار سبز و ۴ بار قرمز آمد. کدام رنگ بیشتر از همه آمد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "سبز", + "قرمز", + "همه برابر آمدند", + "زرد" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۷: آمار و احتمال", + "آمار و احتمال — گروه 5", + "شناسایی اشکال استوانه‌ای" + ], + "prompt": "کدام یک شکلِ استوانه دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "توپ", + "کتاب", + "قیفِ بستنی", + "قوطیِ کنسرو" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۷: آمار و احتمال", + "آمار و احتمال — گروه 5", + "ساخت اشکال مخروطی" + ], + "prompt": "کدام یک شکلِ مخروط دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "قوطیِ کنسرو", + "قیفِ بستنی", + "تاس", + "توپ" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۷: آمار و احتمال", + "آمار و احتمال — گروه 6", + "پیدا کردن حالت‌های ممکن" + ], + "prompt": "با ۲ بلوز (قرمز و آبی) و ۳ شلوار، چند جور لباسِ متفاوت می‌شود پوشید؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۶", + "۲", + "۳", + "۵" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۸: ضرب عددها", + "ضرب عددها — گروه 7", + "نوشتن ضرب از روی شکل" + ], + "prompt": "۴ ردیف گل داریم و در هر ردیف ۵ گل است. کدام ضرب تعدادِ گل‌ها را نشان می‌دهد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴ + ۵", + "۵ − ۴", + "۵ ÷ ۴", + "۴ × ۵" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه سوم", + "فصل ۸: ضرب عددها", + "ضرب عددها — گروه 7", + "مسائل کلمه‌ای ضرب" + ], + "prompt": "یک گروه کارگر هر ماه ۱۰ کیلومتر جاده می‌سازد. در یک سال (۱۲ ماه) چند کیلومتر جاده می‌سازند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲۲", + "۱۲۰", + "۱۰۰", + "۱۲۰۰" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه ششم", + "فصل ۴: تقارن و مختصات", + "تقارن و مختصات — گروه 1", + "تشخیص تقارن مرکزی" + ], + "prompt": "کدام شکل مرکزِ تقارن دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "مثلثِ متساوی‌الساقین", + "مستطیل", + "ذوزنقه‌ی متساوی‌الساقین", + "پنج‌ضلعیِ منتظم" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه ششم", + "فصل ۴: تقارن و مختصات", + "تقارن و مختصات — گروه 1", + "ترسیم نقطه با استفاده از مختصات" + ], + "prompt": "نقطه‌ی (۴، ۲) چند واحد از محورِ عمودی فاصله دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲", + "۶", + "۴", + "۸" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه ششم", + "فصل ۴: تقارن و مختصات", + "تقارن و مختصات — گروه 3", + "حرکت در صفحه مختصات" + ], + "prompt": "از نقطه‌ی (۱، ۲) دو واحد به بالا می‌رویم. به کدام نقطه می‌رسیم؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۳، ۲)", + "(۱، ۴)", + "(۱، ۰)", + "(۳، ۴)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه ششم", + "فصل ۴: تقارن و مختصات", + "تقارن و مختصات — گروه 4", + "محاسبه تعداد دست دادن‌ها" + ], + "prompt": "۴ نفر با هم دست می‌دهند و هر دو نفر فقط یک بار دست می‌دهند. روی هم چند دست دادن انجام می‌شود؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۶", + "۴", + "۸", + "۱۲" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه ششم", + "فصل ۴: تقارن و مختصات", + "تقارن و مختصات — گروه 5", + "مختصات و مساحت شکل" + ], + "prompt": "رأس‌های یک چهارضلعی (۳، ۲)، (۷، ۲)، (۷، ۶) و (۳، ۶) است. مساحتِ آن چند واحدِ مربع است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۶", + "۸", + "۱۲", + "۲۰" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه ششم", + "فصل ۴: تقارن و مختصات", + "تقارن و مختصات — گروه 5", + "چرخش شکل حول نقطه" + ], + "prompt": "دورانِ ۱۸۰ درجه‌ی یک شکل حولِ یک نقطه برابر با چند دورانِ ۹۰ درجه‌ای پشتِ سرِ هم است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲", + "۱", + "۳", + "۴" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه ششم", + "فصل ۴: تقارن و مختصات", + "تقارن و مختصات — گروه 5", + "یافتن تقارن نقطه‌ای" + ], + "prompt": "قرینه‌ی نقطه‌ی (۵، ۲) نسبت به نقطه‌ی (۳، ۲) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۱، ۲)", + "(۸، ۲)", + "(۳، ۰)", + "(۲، ۲)" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه ششم", + "فصل ۴: تقارن و مختصات", + "تقارن و مختصات — گروه 6", + "یافتن مختصات نقاط متقارن" + ], + "prompt": "قرینه‌ی نقطه‌ی (۳، ۴) نسبت به خطِ عمودی‌ای که از x = ۵ می‌گذرد کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۵، ۴)", + "(۳، ۶)", + "(۷، ۴)", + "(۸، ۴)" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه ششم", + "فصل ۵: اندازه گیری", + "اندازه گیری — گروه 8", + "مساحت متوازی الاضلاع" + ], + "prompt": "متوازی‌الاضلاعی قاعده‌ی ۸ و ارتفاعِ ۵ سانتی‌متر دارد. مساحتِ آن چند سانتی‌مترِ مربع است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۳", + "۲۰", + "۲۶", + "۴۰" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه ششم", + "فصل ۵: اندازه گیری", + "اندازه گیری — گروه 8", + "مساحت دایره" + ], + "prompt": "مساحتِ دایره‌ای به شعاعِ ۲ سانتی‌متر تقریباً چند سانتی‌مترِ مربع است؟ (π ≈ ۳٫۱۴)", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۶٫۲۸", + "۱۲٫۵۶", + "۲۵٫۱۲", + "۴" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه ششم", + "فصل ۶: تناسب و درصد", + "تناسب و درصد — گروه 7", + "مقایسه کسرها" + ], + "prompt": "کدام کسر بزرگ‌تر است: سه‌چهارم یا پنج‌ششم؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "سه‌چهارم", + "هر دو برابرند", + "نمی‌شود مقایسه کرد", + "پنج‌ششم" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه ششم", + "فصل ۷: تقریب", + "تقریب — گروه 5", + "گرد کردن کسرها" + ], + "prompt": "کسرِ هفت‌هشتم به نزدیک‌ترین عددِ صحیح کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "۱", + "۷", + "۸" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه ششم", + "فصل ۷: تقریب", + "تقریب — گروه 5", + "گرد کردن کسرها" + ], + "prompt": "دو و یک‌پنجم به نزدیک‌ترین عددِ صحیح کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳", + "۲", + "۱", + "۵" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه ششم", + "فصل ۷: تقریب", + "تقریب — گروه 5", + "گرد کردن اعداد به نزدیک‌ترین واحد" + ], + "prompt": "عددِ ۲۳۴۸ را به نزدیک‌ترین صدگان گرد کن.", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲۴۰۰", + "۲۳۵۰", + "۲۰۰۰", + "۲۳۰۰" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۱: راهبردهای حل مسئله", + "راهبردهای حل مسئله — گروه 5", + "یافتن زاویه‌های مجهول" + ], + "prompt": "دو زاویه مکمل‌اند (جمعشان ۱۸۰ درجه است) و یکی ۳ برابرِ دیگری است. زاویه‌ی کوچک‌تر چند درجه است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳۰", + "۴۵", + "۶۰", + "۱۳۵" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۱: راهبردهای حل مسئله", + "راهبردهای حل مسئله — گروه 5", + "یافتن زاویه‌های مجهول" + ], + "prompt": "دو زاویه متمم‌اند (جمعشان ۹۰ درجه است) و یکی ۲۰ درجه است. دیگری چند درجه است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۸۰", + "۱۱۰", + "۷۰", + "۱۶۰" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۳: جبر و معادله", + "جبر و معادله — گروه 6", + "یافتن مقدار یک عبارت جبری" + ], + "prompt": "مقدارِ عبارتِ ۳x + ۵ به ازای x = ۴ چند است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۲", + "۲۰", + "۱۷", + "۳۵" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۴: هندسه و استدلال", + "هندسه و استدلال — گروه 1", + "بررسی نابرابری در مثلث" + ], + "prompt": "با کدام سه پاره‌خط می‌شود مثلث ساخت؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱، ۲ و ۵", + "۲، ۲ و ۵", + "۳، ۴ و ۵", + "۱، ۱ و ۳" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۴: هندسه و استدلال", + "هندسه و استدلال — گروه 1", + "اندازه‌گیری زاویه‌ها" + ], + "prompt": "زاویه‌ی ۱۲۰ درجه چه نوع زاویه‌ای است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "تند (حاده)", + "راست (قائمه)", + "نیم‌صفحه", + "باز (منفرجه)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۴: هندسه و استدلال", + "هندسه و استدلال — گروه 1", + "انتقال شکل" + ], + "prompt": "وقتی مثلثی را انتقال می‌دهیم، کدام یک تغییر می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "اندازه‌ی ضلع‌ها", + "اندازه‌ی زاویه‌ها", + "جای شکل", + "مساحتِ شکل" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۴: هندسه و استدلال", + "هندسه و استدلال — گروه 2", + "تساوی زاویه‌ها" + ], + "prompt": "نیم‌خطِ Oy بینِ دو نیم‌خطِ Ox و Oz است. حاصلِ xÔy + yÔz با کدام زاویه برابر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "xÔz", + "xÔy", + "yÔz", + "همیشه ۱۸۰ درجه" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۴: هندسه و استدلال", + "هندسه و استدلال — گروه 2", + "تساوی پاره‌خط‌ها" + ], + "prompt": "نقطه‌ی M وسطِ پاره‌خطِ AB به طولِ ۱۰ سانتی‌متر است. طولِ AM چند سانتی‌متر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲", + "۵", + "۱۰", + "۲۰" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۴: هندسه و استدلال", + "هندسه و استدلال — گروه 5", + "نام‌گذاری و تعیین نوع زاویه‌ها" + ], + "prompt": "زاویه‌ی ۱۸۰ درجه چه نوع زاویه‌ای است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "راست (قائمه)", + "تند (حاده)", + "نیم‌صفحه (مستقیم)", + "باز (منفرجه)" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۴: هندسه و استدلال", + "هندسه و استدلال — گروه 5", + "مقایسه چهارضلعی‌ها" + ], + "prompt": "در کدام چهارضلعی قطرها همیشه مساوی‌اند، ولی ضلع‌ها لزوماً مساوی نیستند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "مستطیل", + "لوزی", + "متوازی‌الاضلاع", + "ذوزنقه" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۴: هندسه و استدلال", + "هندسه و استدلال — گروه 5", + "مقایسه اشکال پس از دوران" + ], + "prompt": "بعد از دورانِ یک شکل، کدام ویژگی ثابت می‌ماند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "جهتِ قرار گرفتنِ شکل", + "جای شکل در صفحه", + "اندازه‌ی ضلع‌ها و زاویه‌ها", + "هیچ ویژگی‌ای" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۴: هندسه و استدلال", + "هندسه و استدلال — گروه 6", + "چندضلعی‌های منتظم و نامنتظم" + ], + "prompt": "هر زاویه‌ی داخلیِ یک شش‌ضلعیِ منتظم چند درجه است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۰۸", + "۱۲۰", + "۱۳۵", + "۷۲۰" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۴: هندسه و استدلال", + "هندسه و استدلال — گروه 6", + "چندضلعی‌های منتظم و نامنتظم" + ], + "prompt": "مجموعِ زاویه‌های داخلیِ یک هشت‌ضلعی چند درجه است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۹۰۰", + "۱۲۶۰", + "۱۴۴۰", + "۱۰۸۰" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۴: هندسه و استدلال", + "هندسه و استدلال — گروه 6", + "چندضلعی‌های منتظم و نامنتظم" + ], + "prompt": "کدام یک چندضلعیِ منتظم است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "مستطیلِ ۲ در ۳", + "لوزیِ بدونِ زاویه‌ی راست", + "مربع", + "مثلثِ قائم‌الزاویه" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۶: سطح و حجم", + "سطح و حجم — گروه 1", + "حجم اشکال هندسی" + ], + "prompt": "حجمِ مکعب‌مستطیلی با ابعادِ ۲، ۳ و ۴ سانتی‌متر چند سانتی‌مترِ مکعب است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۹", + "۱۲", + "۲۴", + "۵۲" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۶: سطح و حجم", + "سطح و حجم — گروه 1", + "دسته‌بندی حجم‌های هندسی" + ], + "prompt": "کدام حجم هیچ یالِ صافی ندارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "مکعب", + "منشورِ سه‌پهلو", + "کره", + "هرم" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۶: سطح و حجم", + "سطح و حجم — گروه 4", + "محاسبه مساحت کل منشور" + ], + "prompt": "مساحتِ کلِ مکعب‌مستطیلی با طولِ ۳، عرضِ ۲ و ارتفاعِ ۵ چند است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۶۲", + "۳۰", + "۵۰", + "۷۲" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۶: سطح و حجم", + "سطح و حجم — گروه 4", + "گسترده‌سازی مکعب" + ], + "prompt": "گسترده‌ی یک مکعب از چند مربع ساخته شده است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴", + "۸", + "۱۲", + "۶" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۷: توان و جذر", + "توان و جذر — گروه 7", + "یافتن عدد در الگوی عددی" + ], + "prompt": "در الگوی ۳، ۷، ۱۱، ۱۵، … عددِ بعدی کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۷", + "۱۸", + "۱۹", + "۲۰" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۷: توان و جذر", + "توان و جذر — گروه 7", + "گسترش و نمایش توان به صورت جمع" + ], + "prompt": "حاصلِ ۲⁴ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۶", + "۱۶", + "۸", + "۲۴" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۷: توان و جذر", + "توان و جذر — گروه 7", + "گسترش و نمایش توان به صورت جمع" + ], + "prompt": "ضربِ ۳ × ۳ × ۳ × ۳ را به صورتِ توان چطور می‌نویسیم؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴³", + "۳⁴", + "۳ × ۴", + "۱۲" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۸: بردار و مختصات", + "بردار و مختصات — گروه 1", + "انتقال نقاط با بردار" + ], + "prompt": "نقطه‌ی (۴، ۱) را با بردارِ [۲، ۳] انتقال می‌دهیم. به کدام نقطه می‌رسیم؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۲، −۲)", + "(۶، ۴)", + "(۸، ۳)", + "(۶، ۱)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۸: بردار و مختصات", + "بردار و مختصات — گروه 1", + "بردارهای هم‌مسیر" + ], + "prompt": "کدام بردار با بردارِ [۱، ۲] هم‌جهت است و طولش دو برابرِ آن است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "[۲، ۱]", + "[−۱، −۲]", + "[۱، ۴]", + "[۲، ۴]" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۸: بردار و مختصات", + "بردار و مختصات — گروه 4", + "محاسبه مختصات بردار" + ], + "prompt": "مختصاتِ بردارِ AB با A(۱، ۲) و B(۴، ۶) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "[۵، ۸]", + "[۴، ۶]", + "[۳، ۴]", + "[−۳، −۴]" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۸: بردار و مختصات", + "بردار و مختصات — گروه 4", + "رسم بردار با مختصات مشخص" + ], + "prompt": "بردارِ [−۲، ۰] چه حرکتی را نشان می‌دهد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲ واحد به چپ", + "۲ واحد به راست", + "۲ واحد به بالا", + "۲ واحد به پایین" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۹: آمار و احتمال", + "آمار و احتمال — گروه 2", + "تشخیص حالت‌های ممکن" + ], + "prompt": "با یک بار پرتابِ تاس چند حالتِ ممکن داریم؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۶", + "۲", + "۴", + "۱۲" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۹: آمار و احتمال", + "آمار و احتمال — گروه 2", + "تفسیر داده‌های جدول" + ], + "prompt": "دمای سه روز ۱۰، ۱۴ و ۱۸ درجه بوده است. میانگینِ دما چند درجه است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۴", + "۱۲", + "۱۶", + "۴۲" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه هفتم", + "فصل ۹: آمار و احتمال", + "آمار و احتمال — گروه 2", + "تحلیل و انتخاب نمودار مناسب" + ], + "prompt": "برای نشان دادنِ تغییرِ دمای یک شهر در روزهای هفته، کدام نمودار مناسب‌تر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "نمودارِ دایره‌ای", + "نمودارِ ون", + "نمودارِ درختی", + "نمودارِ خط‌شکسته" + ], + "correct": 3 } ] } diff --git a/content/tests_lesson_texts.py b/content/tests_lesson_texts.py new file mode 100644 index 0000000..2330acb --- /dev/null +++ b/content/tests_lesson_texts.py @@ -0,0 +1,93 @@ +"""متن‌های درس و فصل: پر شدن از کتاب، و اینکه دیپلوی ویرایشِ ادمین را بازنویسی نکند.""" +import json + +from django.core.management import call_command +from django.test import TestCase + +from content.curriculum_io import export_curriculum, import_curriculum, parse +from content.management.commands.fill_lesson_texts import related, split_steps, unit_blurb +from content.models import Choice, Grade, Lesson, Node, Question, Unit +from rag.models import LessonChunk + + +def _curriculum(blurb='', example='', steps=None): + return json.dumps({'grades': [{'title': 'پایه آزمون', 'units': [{ + 'title': 'فصل ۱', 'blurb': blurb, 'nodes': [{'title': 'جزیره', 'lessons': [ + {'title': 'درس', 'introText': 'توضیح', 'example': example, 'steps': steps or []}, + ]}], + }]}]}).encode() + + +class SeedKeepsAdminEditsTests(TestCase): + def test_empty_fields_are_filled_from_the_file(self): + import_curriculum(parse(_curriculum())) + import_curriculum(parse(_curriculum('در این فصل: جزیره.', 'مثال', ['قدم ۱']))) + lesson = Lesson.objects.get(title='درس') + self.assertEqual((lesson.example, lesson.steps), ('مثال', ['قدم ۱'])) + self.assertEqual(Unit.objects.get(title='فصل ۱').blurb, 'در این فصل: جزیره.') + + def test_text_written_in_admin_survives_the_next_deploy(self): + import_curriculum(parse(_curriculum())) + Lesson.objects.filter(title='درس').update(example='نوشته‌ی ادمین', steps=['قدمِ ادمین']) + Unit.objects.filter(title='فصل ۱').update(blurb='توضیحِ ادمین') + import_curriculum(parse(_curriculum('از فایل', 'از فایل', ['از فایل']))) + lesson = Lesson.objects.get(title='درس') + self.assertEqual((lesson.example, lesson.steps), ('نوشته‌ی ادمین', ['قدمِ ادمین'])) + self.assertEqual(Unit.objects.get(title='فصل ۱').blurb, 'توضیحِ ادمین') + + def test_export_round_trips(self): + import_curriculum(parse(_curriculum('توضیح', 'مثال', ['الف', 'ب']))) + out = export_curriculum(Grade.objects.filter(title='پایه آزمون')) + unit = out['grades'][0]['units'][0] + self.assertEqual(unit['blurb'], 'توضیح') + self.assertEqual(unit['nodes'][0]['lessons'][0]['steps'], ['الف', 'ب']) + + +class HelpersTests(TestCase): + def test_blurb_lists_islands_and_stays_short(self): + grade = Grade.objects.create(title='پایه تست') + unit = Unit.objects.create(grade=grade, title='فصل', order=1) + for i, t in enumerate(['عددهای صحیح', 'عددهای گویا', 'جمع و تفریق']): + Node.objects.create(unit=unit, title=t, order=i) + self.assertEqual(unit_blurb(unit), 'در این فصل: عددهای صحیح، عددهای گویا و جمع و تفریق.') + for i in range(20): + Node.objects.create(unit=unit, title=f'جزیره‌ی بسیار طولانیِ شماره‌ی {i}', order=10 + i) + self.assertLessEqual(len(unit_blurb(unit)), 120) + + def test_steps_drop_their_own_numbering(self): + self.assertEqual(split_steps('گام 1: ضرایب\nگام 2: توان‌ها\n3) نتیجه'), ['ضرایب', 'توان‌ها', 'نتیجه']) + + def test_relevance_needs_two_real_words(self): + chunk = LessonChunk(problem_type='معادله‌ی خط', problem='خط y=2x+3 را رسم کن و شیب خط را بگو') + self.assertTrue(related('رسم خط با معادله و شیب', chunk)) + self.assertFalse(related('محاسبه تعداد مثلث‌های ممکن با شرایط داده شده', chunk)) + + +class FillCommandTests(TestCase): + """مثالِ درس از دومین مسئله‌ی تأییدشده، هرگز همان مسئله‌ی آزمون.""" + + def setUp(self): + grade = Grade.objects.create(title='پایه هشتم', number=8) + unit = Unit.objects.create(grade=grade, title='فصل ۱', order=1) + node = Node.objects.create(unit=unit, title='جزیره', order=1) + self.lesson = Lesson.objects.create(node=node, title='جمع کسرها', intro_text='x') + q = Question.objects.create(lesson=self.lesson, type='multiple_choice', prompt='۱/۲ + ۱/۴ = ?') + Choice.objects.create(question=q, value='3/4', is_correct=True) + common = {'collection': 'ریاضی هشتم', 'problem_type': 'جمع کسرها', 'solution_verdict': 'agrees', + 'grade_title': 'هشتم', 'lesson_number': 1, 'chapter': 1, 'subject': 'ریاضی'} + LessonChunk.objects.create(order=1, problem='اولی: ۱/۲ + ۱/۴', solution='مخرج مشترک ۴\nجواب ۳/۴', checked_answer='3/4', **common) + LessonChunk.objects.create(order=2, problem='دومی با همان جواب', solution='...\n۳/۴', checked_answer='3 / 4', **common) + LessonChunk.objects.create(order=3, problem='سومی: ۱/۳ + ۱/۶', solution='مخرج مشترک ۶\n۲/۶ + ۱/۶ = ۳/۶', checked_answer='1/2', **common) + + def test_example_skips_the_quiz_problem_and_its_answer(self): + call_command('fill_lesson_texts', verbosity=0) + self.lesson.refresh_from_db() + self.assertTrue(self.lesson.example.startswith('سومی')) + self.assertEqual(self.lesson.steps[-1], '✅ جواب: 1/2') + + def test_second_run_changes_nothing(self): + call_command('fill_lesson_texts', verbosity=0) + Lesson.objects.filter(pk=self.lesson.pk).update(example='ادمین') + call_command('fill_lesson_texts', verbosity=0) + self.lesson.refresh_from_db() + self.assertEqual(self.lesson.example, 'ادمین') diff --git a/progress/migrations/0005_tedi_character.py b/progress/migrations/0005_tedi_character.py index 4b52f61..d70ecaa 100644 --- a/progress/migrations/0005_tedi_character.py +++ b/progress/migrations/0005_tedi_character.py @@ -2,9 +2,9 @@ همراهِ چهارم: «تدی»، شکلکِ زردِ پیش‌نمایشِ موبایل (mobile-preview/mascot-pack) که حالا در فرانت کنارِ سه‌یار است و همان شش حالتِ چهره را دارد. -نام و امتیازِ باز شدن تصمیمِ محصولی‌اند و از ادمین قابلِ تغییرند؛ ۶۰۰ یعنی بعد از -پی (۳۰۰)، حدودِ ۶۰ جوابِ درست. get_or_create است، پس ویرایشِ بعدیِ ادمین را -برنمی‌گرداند. فرانت فقط slugِ tedi را به این شکلک نگاشت می‌کند. +امتیازِ باز شدن ۵۰۰ است: همان فاصله‌ی ۲۰۰تاییِ دلتا (۱۰۰) تا پی (۳۰۰)، به خواستِ صاحبِ +پروژه (۲۰۲۶-۰۹-۲۸). نام و امتیاز از ادمین قابلِ تغییرند؛ get_or_create است، پس ویرایشِ +بعدیِ ادمین را برنمی‌گرداند. فرانت فقط slugِ tedi را به این شکلک نگاشت می‌کند. """ from django.db import migrations @@ -12,7 +12,7 @@ from django.db import migrations def create(apps, schema_editor): apps.get_model('progress', 'Character').objects.get_or_create( slug='tedi', - defaults={'name': 'تدی', 'icon': 'tedi', 'unlock_xp': 600, 'order': 4}, + defaults={'name': 'تدی', 'icon': 'tedi', 'unlock_xp': 500, 'order': 4}, ) diff --git a/progress/tests.py b/progress/tests.py index 2a47000..56b6bec 100644 --- a/progress/tests.py +++ b/progress/tests.py @@ -265,4 +265,4 @@ class FourCompanionsCatalogTests(TestCase): Character.objects.filter(slug__in=['sigma', 'delta', 'pi', 'tedi']) .order_by('order').values_list('slug', 'unlock_xp') ) - self.assertEqual(rows, [('sigma', 0), ('delta', 100), ('pi', 300), ('tedi', 600)]) + self.assertEqual(rows, [('sigma', 0), ('delta', 100), ('pi', 300), ('tedi', 500)]) diff --git a/rag/services/diagram.py b/rag/services/diagram.py index c1a1a42..445ec07 100644 --- a/rag/services/diagram.py +++ b/rag/services/diagram.py @@ -1,20 +1,25 @@ """ شکلِ پاسخِ دستیار: مدل یک توصیفِ JSONِ کوتاه در … می‌نویسد و -اپ خودش آن را به SVG تبدیل می‌کند. +اپ خودش آن را به SVG تبدیل می‌کند (MathApp_frontend، src/diagram). چرا مدل خودش SVG/HTML نمی‌نویسد (سنجیده ۲۰۲۶-۰۹-۲۸ روی gpt-4.1-mini): - **امنیت:** HTMLِ مدل (که متنِ کتاب و سوالِ کاربر را هم خوانده) اگر مستقیم در صفحه بنشیند، راهِ تزریقِ اسکریپت است. JSONِ اعتبارسنجی‌شده فقط داده است. - **درستیِ هندسه:** مدل در حسابِ مختصات (cos 30° و …) خطا می‌کند؛ اینجا فقط - می‌گوید «نقطه روی دایره با زاویه‌ی ۳۰°» و فرانت مختصات را حساب می‌کند. -- **هزینه و سرعت:** یک JSONِ ۱۰۰–۲۰۰ توکنی به‌جای SVGِ چندصدتوکنی. + می‌گوید «نقطه روی دایره با زاویه‌ی ۳۰°»، «وسطِ AB»، «ریشه‌های تابع» و فرانت + همه را دقیق حساب می‌کند. +- **هزینه و سرعت:** یک JSONِ ۱۰۰–۳۰۰ توکنی به‌جای SVGِ چندصدتوکنی. - Structured Outputs (json_schema) را این مدل دارد ولی کلِ پاسخ را JSON می‌کند و استریمِ متن را خراب می‌کند؛ برای همین فقط بلوکِ آخر JSON است. -این ماژول سه کار می‌کند: قاعده‌ی پرامپت (`DIAGRAM_RULE`)، جدا کردنِ بلوک از متن -(قبل از `mathtext`، که JSON را خراب می‌کرد)، و اعتبارسنجیِ سخت‌گیر. شکلِ -نامعتبر بی‌صدا دور ریخته می‌شود؛ متنِ پاسخ هیچ‌وقت به‌خاطرِ شکل از دست نمی‌رود. -آزموده نشده: رفتارِ مدل‌های دیگر (فقط gpt-4.1-mini سنجیده شد، ۱۸ سوال). +دو تکه‌ی پرامپت: `DIAGRAM_RULE` کوتاه است و همیشه در پرامپتِ سیستم می‌آید؛ +`DIAGRAM_SPEC` (کاتالوگِ کاملِ نوع‌ها) فقط کنارِ سوالی می‌آید که کلمه‌ی شکل‌دار دارد +(`hint_for`)، تا سوالِ حسابیِ ساده هزینه‌ی توکنِ اضافه نداشته باشد. + +این ماژول قاعده‌ها را می‌دهد، بلوک را از متن جدا می‌کند (قبل از `mathtext`، که JSON را +خراب می‌کرد) و سخت‌گیرانه اعتبارسنجی می‌کند: فقط کلید و نوع و رنگِ شناخته‌شده، عددِ +متناهی و محدود، متنِ کوتاه. تکه‌ی نامعتبر بی‌صدا حذف می‌شود؛ متنِ پاسخ هیچ‌وقت +به‌خاطرِ شکل از دست نمی‌رود. آزموده نشده: رفتارِ مدل‌های دیگر جز gpt-4.1-mini. """ import json import logging @@ -28,65 +33,142 @@ _BLOCK = re.compile(r'(.*?)(?:|$)', re.S) DIAGRAM_RULE = ( 'شکل (اپ این را به تصویر تبدیل می‌کند):\n' - '- وقتی سوال درباره‌ی یکی از این‌هاست، در پایانِ پاسخ دقیقاً یک بلوکِ ' - '… بگذار: شکلِ هندسی (مثلث، چندضلعی، دایره، زاویه، خطِ موازی)، ' - 'دایره‌ی مثلثاتی، حرکت یا مقایسه روی محورِ اعداد، نقطه یا نمودار در صفحه‌ی مختصات، ' - 'کسر یا درصد به‌صورتِ تکه‌های یک شکل. هر سوالی که کلمه‌ی مثلث، دایره، زاویه، محور، ' - 'نمودار، کسر یا تکه دارد، شکل می‌خواهد. فقط برای حسابِ عددی یا ساده‌کردنِ عبارتِ ' - 'جبری که شکلی ندارد، شکل نگذار.\n' - '- داخلِ بلوک فقط یک JSON است، نه متنِ دیگر، نه SVG، نه HTML. مختصات را خودت حساب ' - 'نکن؛ نقطه‌ی روی دایره را با polar بده ([شعاع، زاویه به درجه]) تا اپ دقیق رسمش کند.\n' - '- در متنِ پاسخ به شکل اشاره کن («در شکلِ پایین…») و برچسب‌های شکل همان نام‌های متن باشند.\n' - '- سه نوع شکل:\n' - ' ۱) صفحه‌ی مختصات یا هندسه:\n' - ' {"kind":"plane","title":"…","axes":true,"points":{"O":[0,0],"A":[1,0],"P":{"polar":[1,30]}},' - '"items":[{"type":"circle","center":"O","r":1},{"type":"segment","from":"O","to":"P"},' - '{"type":"angle","vertex":"O","from":"A","to":"P","label":"30°"},' - '{"type":"rightAngle","vertex":"H","from":"A","to":"B"},{"type":"polygon","points":["A","B","C"]},' - '{"type":"line","through":["A","B"]},{"type":"arrow","from":"A","to":"B"},' - '{"type":"point","point":"V","label":"رأس (1, −1)"},' - '{"type":"function","expr":"x^2-2*x","from":-1,"to":3,"label":"y = x² − 2x"},' - '{"type":"text","at":[0.5,1.2],"text":"…"}]}\n' - ' نقطه‌ها با نامشان برچسب می‌خورند (برچسبِ دیگر با item نوعِ point)؛ نقطه‌ی کمکی که ' - 'برچسب نمی‌خواهد با نامِ شروع‌شده با «_» بیاید. ضلع یا اندازه را با label روی segment ' - 'بنویس: {"type":"segment","from":"A","to":"B","label":"۳"}. در function فقط x، عدد، ' - '+ − * / ^ ، پرانتز و sin cos tan sqrt abs log بنویس. "axes": false برای شکلِ هندسیِ بی‌محور ' - '(مثلث، چندضلعی)؛ true فقط برای صفحه‌ی مختصات و نمودار. line خطِ بی‌پایان است؛ ضلع، قطر و شعاع ' - 'همیشه segment‌اند.\n' - ' ۲) محورِ اعداد: {"kind":"numberline","title":"…","min":-5,"max":5,' - '"points":[{"at":2,"label":"شروع"},{"at":-1,"label":"پایان"}],' - '"jumps":[{"from":2,"to":-1,"label":"۳ واحد به چپ"}]}\n' - ' ۳) کسر: {"kind":"fraction","title":"…","shape":"circle","parts":4,"shaded":3}\n' - '- مثال: «وترِ مثلثِ قائم‌الزاویه با ضلع‌های ۳ و ۴» → polygon با سه رأس، rightAngle روی رأسِ قائمه ' - 'و label روی هر ضلع (وتر با «?» یا جوابش).\n' - '- title کوتاه و فارسی. حداکثر ۱۲ نقطه و ۱۲ item.' + '- اگر سوال شکل دارد (هندسه، حجم، محورِ اعداد، نمودارِ تابع، نمودارِ آماری، کسر، ' + 'مجموعه، احتمال، ساعت)، در پایانِ پاسخ دقیقاً یک بلوکِ … بگذار که ' + 'داخلش فقط یک JSON است، نه SVG و نه HTML. قالبِ دقیقش کنارِ همان سوال می‌آید.\n' + '- برای حسابِ عددی یا ساده‌کردنِ عبارتِ جبری که شکلی ندارد، شکل نگذار.' ) -# کلمه‌هایی که یعنی «این سوال شکل دارد». سنجشِ ۲۰۲۶-۰۹-۲۸: قاعده‌ی تهِ پرامپتِ -# سیستم به‌تنهایی برای مثلث ۱ از ۴ و پنج‌ضلعی ۰ از ۴ شکل می‌گذاشت؛ همان درسِ -# «/» — قاعده کنارِ خودِ سوال اثر دارد، نه تهِ پرامپت. -_SHAPE_WORDS = re.compile( - r'مثلث|دایره|زاویه|ضلع|چندضلعی|مربع|مستطیل|لوزی|ذوزنقه|متوازی|شعاع|قطر|وتر|محیط|مساحت|' - r'محور|نمودار|مختصات|سهمی|خط\s*راست|شیب|نقطه|کسر|تکه|پیتزا|کیک|درصد|سینوس|کسینوس|تانژانت|' - r'sin|cos|tan|°|درجه' +# کاتالوگِ نوع‌ها، بخش‌بخش. کنارِ هر سوال فقط بخش‌هایی می‌رود که کلمه‌هایش در سوال +# هست: کاتالوگِ کامل ۱٬۸۵۴ توکن بود (سنجیده با خودِ API، ۲۰۲۶-۰۹-۲۸) و هزینه‌ی هر +# سوالِ شکل‌دار را تقریباً دو برابر می‌کرد. +_HEAD = ( + 'قالبِ بلوکِ : فقط یک JSON، کلیدها انگلیسی، برچسب‌ها فارسی یا ریاضی. هر شکل "kind" و ' + '"title"ِ کوتاهِ فارسی دارد. مختصاتی را که قابلِ حساب است خودت حساب نکن؛ بگو «چه»، اپ «کجا» را ' + 'دقیق حساب می‌کند. رنگ فقط: blue red green orange purple teal pink gray black yellow. ' + 'در متنِ پاسخ به شکل اشاره کن («در شکلِ پایین…») با همان نام‌ها. یک شکلِ روشن بهتر از شکلِ شلوغ.' ) +_PLANE = ( + 'plane (هندسه و مختصات): {"kind":"plane","title":"…","axes":false,"grid":false,' + '"points":{"A":[0,0],"B":[4,0],"P":{"polar":[1,30]},"Q":{"polar":[2,60],"from":"A"},"M":{"mid":["A","B"]},' + '"H":{"foot":["C","A","B"]},"I":{"intersect":[["A","B"],["C","D"]]},"T":{"along":["A","B",0.25]}},"items":[…]}\n' + 'نقطه: polar=[شعاع، درجه]؛ mid وسط؛ foot پای عمود از اولی بر خطِ دوتای بعد؛ intersect برخوردِ دو خط؛ along ' + 'نقطه‌ی روی AB به نسبتِ t. نامِ شروع‌شده با «_» برچسب نمی‌گیرد. axes=false برای مثلث و چندضلعی؛ grid=true برای ' + 'کاغذِ شطرنجی (دوران، بردار).\n' + 'items (همه color، dashed و label اختیاری دارند): {"type":"point","point":"A"} · ' + '{"type":"segment","from":"A","to":"B","label":"۵","ticks":1} (ticks علامتِ ضلعِ مساوی ۱ تا ۳) · ' + '{"type":"vector","from":"A","to":"B"} · {"type":"line","through":["A","B"]} (خطِ بی‌پایان؛ ضلع و قطر segment‌اند) · ' + '{"type":"line","eq":[3,5,4]} یعنی خطِ 3x + 5y = 4 (ضریب‌ها را عیناً از صورتِ مسئله بردار؛ خودت شیب حساب نکن) · ' + '{"type":"ray","from":"A","through":"B"} · {"type":"circle","center":"O","r":2} یا "through":"A" · ' + '{"type":"arc","center":"O","r":2,"start":0,"end":60} · {"type":"sector",…} · ' + '{"type":"angle","vertex":"B","from":"A","to":"C","label":"۴۰°","arcs":1} (arcs ۱ تا ۳ برای زاویه‌های مساوی؛ ' + 'زاویه‌ی خارجیِ رأسِ B: نقطه‌ی "E":{"along":["A","B",1.5]} روی امتدادِ AB، بعد angle از E تا C) · ' + '{"type":"rightAngle","vertex":"H","from":"A","to":"B"} · {"type":"polygon","points":["A","B","C"]} · ' + '{"type":"image","of":["A","B","C"],"transform":{"rotate":{"center":"C","deg":-90}}} (نامِ تصویرها A′؛ ' + 'rotate مثبت=پادساعتگرد و «در جهتِ عقربه‌ها» منفی؛ یا {"reflect":"x"|"y"|"y=x"|["A","B"]}، {"translate":[2,1]}، ' + '{"scale":{"center":"O","k":2}}) · {"type":"text","at":[1,2],"text":"…"}' +) +_GRAPH = ( + 'نمودارِ تابع (در plane با "axes":true؛ "trig":true یعنی محورِ x با مضربِ π؛ "xRange"/"yRange" اختیاری): ' + '{"type":"function","expr":"x^2-2*x-3","from":-2,"to":4,"label":"y = x² − 2x − 3",' + '"marks":["roots","vertex","axis","yIntercept"]} (marks: roots ریشه، vertex رأس، extrema ماکزیمم/مینیمم، axis ' + 'محورِ تقارن؛ اپ دقیق حساب می‌کند) · {"type":"piecewise","pieces":[{"expr":"x+1","from":-2,"to":1,' + '"closedFrom":true,"closedTo":false},…]} (closed یعنی نقطه‌ی توپُر؛ برای حد) · ' + '{"type":"tangent","expr":"x^2","at":1} · {"type":"area","expr":"sqrt(x)","from":0,"to":4} (سایه‌ی زیرِ نمودار؛ ' + 'expr2 برای بینِ دو نمودار) · {"type":"region","expr":"2*x-1","side":"above","strict":true} (نامعادله) · ' + '{"type":"vline","x":2} و {"type":"hline","y":1} (مجانب) · {"type":"point","point":[1,2],"open":true} · ' + 'نقطه‌ی روی نمودار: {"fx":["x^2",3]}. در expr فقط x، عدد، + - * / ^، پرانتز و sin cos tan sqrt abs log ln pi e؛ ' + 'log₂x را log(x)/log(2) بنویس.' +) +_NUMBERLINE = ( + 'numberline: {"kind":"numberline","title":"…","min":-5,"max":5,"step":1,' + '"points":[{"at":2,"label":"شروع","open":false}],"jumps":[{"from":2,"to":-1,"label":"۳ واحد به چپ"}],' + '"intervals":[{"from":-2,"to":3,"closedFrom":true,"closedTo":false,"label":"[-2, 3)"},{"from":1,"to":null}]} ' + '(null یعنی بی‌نهایت؛ برای کسر روی محور "step":0.25 و "fractions":true؛ فاصله روی یک مسیر هم با همین)' +) +_PARTS = ( + 'fraction: {"kind":"fraction","title":"…","shape":"circle"|"rect","parts":4,"shaded":3,"wholes":0} ' + '(wholes تعدادِ واحدِ کامل برای عددِ مخلوط: دو و سه‌چهارم = wholes 2، parts 4، shaded 3؛ مقایسه‌ی چند کسر: ' + '"compare":[{"parts":5,"shaded":1,"label":"یک‌پنجم"},{"parts":10,"shaded":9}] که نوارهای هم‌اندازه می‌کشد) · ' + 'grid (درصد، شمردنِ خانه): {"kind":"grid","title":"…","rows":5,"cols":5,"shaded":5} · ' + 'groups (مدلِ ضرب و تقسیم): {"kind":"groups","title":"…","groups":3,"each":4,"item":"circle"|"square"|"star"}. ' + 'کسرِ جبری (با x یا a) و ساده کردنِ عبارت شکل ندارد.' +) +_CLOCK = 'clock: {"kind":"clock","title":"…","hour":3,"minute":25}' +_CHARTS = ( + 'bar | linechart | pie: {"kind":"bar","title":"…","labels":["سیب","پرتقال"],"values":[5,8],"unit":"نفر"} ' + '(درصدِ دایره‌ای را اپ حساب می‌کند)' +) +_TABLE = ( + 'table (جدولِ مقدار یا تعیینِ علامت، چپ به راست): {"kind":"table","title":"…",' + '"headers":["x","−∞","−1","","2","+∞"],"rows":[["y","+","0","−","0","+"]]}' +) +_SETS = ( + 'venn: {"kind":"venn","title":"…","sets":["A","B"],"regions":{"A":["1","2"],"AB":["3"],"B":["5"],"out":["6"]},' + '"shade":["AB"]} (ناحیه با نامِ مجموعه‌هایی که در آن‌اند؛ «A» یعنی فقط A؛ تا سه مجموعه) · ' + 'mapping (نمودارِ پیکانی): {"kind":"mapping","title":"…","left":["1","2"],"right":["3","5"],"arrows":[[0,0],[1,1]],' + '"leftLabel":"دامنه","rightLabel":"برد"}' +) +_TREE = ( + 'tree (احتمال، شمارش): {"kind":"tree","title":"…","root":{"label":"شروع","children":[{"label":"رو","p":"1/2",' + '"children":[…]},…]}} (حداکثر سه سطح)' +) +_SOLID = ( + 'solid: {"kind":"solid","title":"…","shape":"cube"|"cuboid"|"prism"|"pyramid"|"cylinder"|"cone"|"sphere"|"hemisphere",' + '"dims":{"a":5,"b":3,"c":4,"n":6,"r":2,"h":5},"labels":{"a":"5 cm","h":"h","r":"r"}} (a پهنا، b عمق، c ارتفاعِ ' + 'مکعب‌مستطیل؛ n ضلع‌های قاعده‌ی منشور/هرم؛ dims نسبتِ واقعی. منشورِ مستطیلی و جعبه = cuboid؛ prism فقط برای قاعده‌ی ' + 'مثلث، پنج‌ضلعی و شش‌ضلعی)' +) + +_W = lambda words: re.compile('|'.join(words)) # noqa: E731 +_GEOMETRY_WORDS = (r'مثلث', r'دایره(?!‌ای)', r'زاویه', r'ضلع', r'چندضلعی', r'مربع', r'مستطیل', r'لوزی', r'ذوزنقه', + r'متوازی', r'شعاع', r'قطر', r'وتر', r'محیط', r'مساحت', r'کمان', r'محاطی', r'مماس', r'موازی', + r'عمود', r'نیمساز', r'بردار', r'دوران', r'انتقال', r'تقارن', r'قرینه', r'بازتاب', r'مختصات', + r'نقطه', r'سینوس', r'کسینوس', r'تانژانت', r'مثلثاتی', r'sin', r'cos', r'tan', r'°', r'درجه') +_GRAPH_WORDS = (r'نمودار(?![\u0650\u200c]?\s*(?:ستونی|دایره‌ای|میله‌ای|درختی|پیکانی|ون|خط\s*شکسته))', r'تابع', r'سهمی', r'خط\s*راست', + r'شیب', r'مجانب', r'مشتق', r'اکسترمم', r'ماکزیمم', r'مینیمم', r'صعودی', r'نزولی', r'پیوسته', + r'حد\b', r'\blim', r'نامعادله', r'مماس', r'log', r'f\(x\)', r'y\s*=') +SECTIONS = [ + (_W(_GEOMETRY_WORDS + _GRAPH_WORDS), _PLANE), + (_W(_GRAPH_WORDS), _GRAPH), + (_W((r'محور', r'بازه', r'نامعادله', r'واحد به')), _NUMBERLINE), + (_W((r'کسر', r'تکه', r'پیتزا', r'کیک', r'درصد', r'خانه', r'گروه', r'نصف', r'چهارم')), _PARTS), + # «۶ ساعت مطالعه» مدت است، نه ساعتِ دیواری؛ فقط عقربه یا «ساعت … و … دقیقه» + (_W((r'عقربه', r'ساعت\s*[0-9۰-۹]+\s*(?::|و)\s*[0-9۰-۹]+', r'ساعت\s*چند')), _CLOCK), + (_W((r'ستونی', r'میله‌ای', r'دایره‌ای', r'خط\s*شکسته', r'میانگین', r'آمار', r'فراوانی')), _CHARTS), + (_W((r'جدول', r'تعیین\s*علامت')), _TABLE), + (_W((r'مجموعه', r'\bون\b', r'اشتراک', r'اجتماع', r'پیکانی', r'دامنه', r'برد\b', r'زوج\s*مرتب')), _SETS), + (_W((r'احتمال', r'سکه', r'تاس', r'درختی')), _TREE), + (_W((r'مکعب', r'منشور', r'هرم', r'استوانه', r'مخروط', r'کره', r'حجم', r'نیم‌کره')), _SOLID), +] +DIAGRAM_SPEC = '\n'.join([_HEAD] + [text for _, text in SECTIONS]) DIAGRAM_HINT = ( - 'این سوال شکل دارد: در پایانِ پاسخ بلوکِ … را طبقِ قاعده‌ی «شکل» بگذار.' + 'این سوال شکل دارد: در پایانِ پاسخ بلوکِ … را طبقِ این قالب بگذار.' ) def hint_for(question: str) -> str: - """یادآوریِ کنارِ سوال، فقط برای سوال‌هایی که کلمه‌ی شکل‌دار دارند.""" - return DIAGRAM_HINT if _SHAPE_WORDS.search(question or '') else '' + """یادآوری و فقط آن بخش‌هایی از کاتالوگ که به همین سوال می‌خورند؛ سوالِ بی‌شکل → ''.""" + text = question or '' + parts = [section for pattern, section in SECTIONS if pattern.search(text)] + if not parts: + return '' + return '\n'.join([DIAGRAM_HINT, _HEAD, *parts]) MAX_POINTS = 16 MAX_ITEMS = 16 MAX_LABEL = 40 MAX_COORD = 1000 -_EXPR_OK = re.compile(r'^[0-9x+\-*/^().,\s]*(?:(?:sin|cos|tan|sqrt|abs|log|ln|pi)[0-9x+\-*/^().,\s]*)*$') -_NAME_OK = re.compile(r'^[\w′\']{1,6}$') +COLORS = {'blue', 'red', 'green', 'orange', 'purple', 'teal', 'pink', 'gray', 'black', 'yellow'} +_FUNCS = r'(?:sin|cos|tan|sqrt|abs|log|ln|pi|e)' +_EXPR_OK = re.compile(rf'^(?:[0-9x+\-*/^().,\s]|{_FUNCS})*$') +_NAME_OK = re.compile(r"^[\w′']{1,6}$") +_MARKS = {'roots', 'vertex', 'extrema', 'yIntercept', 'axis'} +_SOLIDS = {'cube', 'cuboid', 'prism', 'pyramid', 'cylinder', 'cone', 'sphere', 'hemisphere'} + +Invalid = (ValueError, KeyError, TypeError, IndexError) def _num(value, lo=-MAX_COORD, hi=MAX_COORD): @@ -94,17 +176,26 @@ def _num(value, lo=-MAX_COORD, hi=MAX_COORD): raise ValueError('not a number') if not math.isfinite(value) or not lo <= value <= hi: raise ValueError('out of range') - return round(float(value), 4) + return round(float(value), 6) -def _label(value) -> str: +def _int(value, lo, hi): + return int(round(_num(value, lo, hi))) + + +def _clamp(value, lo, hi): + """شمارِ علامت‌ها و خانه‌ها: بیش از حد محدود می‌شود، نه اینکه کلِ تکه حذف شود.""" + return int(min(hi, max(lo, round(_num(value))))) + + +def _label(value, limit=MAX_LABEL) -> str: if value is None: return '' if isinstance(value, (int, float)) and not isinstance(value, bool): value = str(value) if not isinstance(value, str): raise ValueError('label') - return value.strip()[:MAX_LABEL] + return value.strip()[:limit] def _xy(value): @@ -113,18 +204,6 @@ def _xy(value): return [_num(value[0]), _num(value[1])] -def _point_def(value): - if isinstance(value, dict) and 'polar' in value: - polar = value['polar'] - if not (isinstance(polar, (list, tuple)) and len(polar) == 2): - raise ValueError('polar') - out = {'polar': [_num(polar[0], 0, MAX_COORD), _num(polar[1], -3600, 3600)]} - if 'from' in value: - out['from'] = _ref(value['from']) - return out - return _xy(value) - - def _ref(value): """نامِ نقطه یا مختصاتِ مستقیم.""" if isinstance(value, str): @@ -134,40 +213,312 @@ def _ref(value): return _xy(value) +def _expr(value) -> str: + if not isinstance(value, str) or not value.strip() or len(value) > 80: + raise ValueError('expr') + compact = value.replace(' ', '') + if not _EXPR_OK.match(compact): + raise ValueError('expr chars') + return value.strip() + + +def _pair(value, conv): + if not (isinstance(value, (list, tuple)) and len(value) == 2): + raise ValueError('pair') + return [conv(value[0]), conv(value[1])] + + +def _point_def(value): + if isinstance(value, dict): + if 'polar' in value: + polar = value['polar'] + out = {'polar': [_num(polar[0], 0, MAX_COORD), _num(polar[1], -3600, 3600)]} + if value.get('from') is not None: + out['from'] = _ref(value['from']) + return out + if 'mid' in value: + return {'mid': _pair(value['mid'], _ref)} + if 'foot' in value: + f = value['foot'] + if not (isinstance(f, (list, tuple)) and len(f) == 3): + raise ValueError('foot') + return {'foot': [_ref(f[0]), _ref(f[1]), _ref(f[2])]} + if 'intersect' in value: + return {'intersect': _pair(value['intersect'], lambda line: _pair(line, _ref))} + if 'along' in value: + a = value['along'] + if not (isinstance(a, (list, tuple)) and len(a) == 3): + raise ValueError('along') + return {'along': [_ref(a[0]), _ref(a[1]), _num(a[2], -10, 10)]} + if 'fx' in value: + e, x = value['fx'] + return {'fx': [_expr(e), _num(x)]} + raise ValueError('point def') + return _xy(value) + + +def _style(item: dict, out: dict) -> dict: + color = item.get('color') + if color in COLORS: + out['color'] = color + if isinstance(item.get('dashed'), bool): + out['dashed'] = item['dashed'] + if item.get('label') is not None: + label = _label(item['label']) + if label: + out['label'] = label + return out + + +def _transform(value) -> dict: + if not isinstance(value, dict): + raise ValueError('transform') + if 'rotate' in value: + r = value['rotate'] + return {'rotate': {'center': _ref(r['center']), 'deg': _num(r['deg'], -3600, 3600)}} + if 'reflect' in value: + r = value['reflect'] + return {'reflect': r if r in ('x', 'y', 'y=x') else _pair(r, _ref)} + if 'translate' in value: + return {'translate': _xy(value['translate'])} + if 'scale' in value: + sc = value['scale'] + return {'scale': {'center': _ref(sc['center']), 'k': _num(sc['k'], -20, 20)}} + raise ValueError('transform kind') + + +def _range(item, lo_key='from', hi_key='to', lo=-5.0, hi=5.0): + a, b = _num(item.get(lo_key, lo)), _num(item.get(hi_key, hi)) + if a >= b: + raise ValueError('range') + return a, b + + def _plane_item(item: dict) -> dict: kind = item.get('type') - out = {'type': kind} - if kind == 'circle': - out.update(center=_ref(item['center']), r=_num(item['r'], 0, MAX_COORD)) - elif kind in ('segment', 'arrow'): - out.update(**{'from': _ref(item['from'])}, to=_ref(item['to'])) + out: dict = {'type': kind} + if kind == 'point': + out['point'] = _ref(item['point']) + if isinstance(item.get('open'), bool): + out['open'] = item['open'] + elif kind in ('segment', 'arrow', 'vector'): + out.update({'from': _ref(item['from']), 'to': _ref(item['to'])}) + if kind == 'segment' and item.get('ticks') is not None: + out['ticks'] = _clamp(item['ticks'], 1, 3) elif kind == 'line': - a, b = item['through'] - out['through'] = [_ref(a), _ref(b)] + if item.get('eq') is not None: + eq = item['eq'] + if not (isinstance(eq, (list, tuple)) and len(eq) == 3): + raise ValueError('eq') + a, b, c = (_num(v) for v in eq) + if a == 0 and b == 0: + raise ValueError('degenerate line') + out['eq'] = [a, b, c] + else: + out['through'] = _pair(item['through'], _ref) + elif kind == 'ray': + out.update({'from': _ref(item['from']), 'through': _ref(item['through'])}) + elif kind == 'vline': + out['x'] = _num(item['x']) + elif kind == 'hline': + out['y'] = _num(item['y']) + elif kind == 'circle': + out['center'] = _ref(item['center']) + if item.get('through') is not None: + out['through'] = _ref(item['through']) + else: + out['r'] = _num(item['r'], 0, MAX_COORD) + if out['r'] <= 0: + raise ValueError('radius') + if isinstance(item.get('fill'), bool): + out['fill'] = item['fill'] + elif kind in ('arc', 'sector'): + out.update(center=_ref(item['center']), r=_num(item['r'], 0, MAX_COORD), + start=_num(item.get('start', 0), -3600, 3600), end=_num(item.get('end', 90), -3600, 3600)) elif kind in ('angle', 'rightAngle'): - out.update(vertex=_ref(item['vertex']), **{'from': _ref(item['from'])}, to=_ref(item['to'])) + out.update({'vertex': _ref(item['vertex']), 'from': _ref(item['from']), 'to': _ref(item['to'])}) + if kind == 'angle' and item.get('arcs') is not None: + out['arcs'] = _clamp(item['arcs'], 1, 3) elif kind == 'polygon': points = item['points'] if not isinstance(points, list) or not 3 <= len(points) <= 12: raise ValueError('polygon') out['points'] = [_ref(p) for p in points] - elif kind == 'point': - out['point'] = _ref(item['point']) + if isinstance(item.get('fill'), bool): + out['fill'] = item['fill'] elif kind == 'function': - expr = item['expr'] - if not isinstance(expr, str) or len(expr) > 80 or not _EXPR_OK.match(expr.replace(' ', '')): - raise ValueError('expr') - out.update(expr=expr, **{'from': _num(item.get('from', -5))}, to=_num(item.get('to', 5))) - if out['from'] >= out['to']: - raise ValueError('function range') + out['expr'] = _expr(item['expr']) + out['from'], out['to'] = _range(item) + marks = [m for m in (item.get('marks') or []) if m in _MARKS] + if marks: + out['marks'] = list(dict.fromkeys(marks)) + elif kind == 'piecewise': + pieces = [] + for piece in (item.get('pieces') or [])[:6]: + try: + a, b = _range(piece) + clean = {'expr': _expr(piece['expr']), 'from': a, 'to': b} + for key in ('closedFrom', 'closedTo'): + if isinstance(piece.get(key), bool): + clean[key] = piece[key] + pieces.append(clean) + except Invalid: + continue + if not pieces: + raise ValueError('pieces') + out['pieces'] = pieces + elif kind == 'tangent': + out.update(expr=_expr(item['expr']), at=_num(item['at'])) + elif kind == 'area': + out['expr'] = _expr(item['expr']) + out['from'], out['to'] = _range(item) + if item.get('expr2') is not None: + out['expr2'] = _expr(item['expr2']) + elif kind == 'region': + out['expr'] = _expr(item['expr']) + out['side'] = item['side'] if item.get('side') in ('above', 'below') else 'above' + if item.get('from') is not None and item.get('to') is not None: + out['from'], out['to'] = _range(item) + if isinstance(item.get('strict'), bool): + out['strict'] = item['strict'] + elif kind == 'image': + of = item['of'] + if not isinstance(of, list) or not 1 <= len(of) <= 12: + raise ValueError('image of') + out['of'] = [_ref(p) for p in of] + out['transform'] = _transform(item['transform']) + names = item.get('names') + if isinstance(names, list): + out['names'] = [_label(n, 6) for n in names[:12]] elif kind == 'text': out.update(at=_xy(item['at']), text=_label(item.get('text'))) if not out['text']: raise ValueError('empty text') + if item.get('color') in COLORS: + out['color'] = item['color'] + return out else: raise ValueError(f'unknown item {kind!r}') - if kind != 'text' and item.get('label') is not None: - out['label'] = _label(item['label']) + return _style(item, out) + + +def _plane(spec: dict, title: str) -> dict | None: + raw_points = spec.get('points') or {} + if not isinstance(raw_points, dict): + return None + points = {} + for name, value in list(raw_points.items())[:MAX_POINTS]: + if isinstance(name, str) and _NAME_OK.match(name): + try: + points[name] = _point_def(value) + except Invalid: + continue + items = [] + raw_items = spec.get('items') or [] + if not isinstance(raw_items, list): + return None + for item in raw_items[:MAX_ITEMS]: + if isinstance(item, dict): + try: + items.append(_plane_item(item)) + except Invalid: + continue + if not items and not points: + return None + # بی‌محور مگر مدل صریحاً بخواهد یا نمودارِ تابع باشد: مثلثی که محور + # گرفته بود عددهای محور را روی برچسبِ ضلع‌ها می‌انداخت (۲۰۲۶-۰۹-۲۸). + graphs = {'function', 'piecewise', 'tangent', 'area', 'region', 'vline', 'hline'} + axes = spec.get('axes') + if not isinstance(axes, bool): + axes = any(i['type'] in graphs for i in items) + out = {'kind': 'plane', 'title': title, 'axes': axes, 'points': points, 'items': items} + for key in ('grid', 'trig'): + if isinstance(spec.get(key), bool): + out[key] = spec[key] + for key in ('xRange', 'yRange'): + try: + a, b = _pair(spec[key], _num) + if a < b: + out[key] = [a, b] + except Invalid: + pass + return out + + +def _numberline(spec: dict, title: str) -> dict | None: + lo, hi = _num(spec.get('min', -5)), _num(spec.get('max', 5)) + if not lo < hi or hi - lo > 10000: + return None + out = {'kind': 'numberline', 'title': title, 'min': lo, 'max': hi, 'points': [], 'jumps': []} + if spec.get('step') is not None: + try: + step = _num(spec['step'], 0.001, 100) + if (hi - lo) / step <= 40: + out['step'] = step + except Invalid: + pass + if isinstance(spec.get('fractions'), bool): + out['fractions'] = spec['fractions'] + for p in (spec.get('points') or [])[:MAX_POINTS]: + try: + clean = {'at': _num(p['at']), 'label': _label(p.get('label'))} + if isinstance(p.get('open'), bool): + clean['open'] = p['open'] + if p.get('color') in COLORS: + clean['color'] = p['color'] + out['points'].append(clean) + except Invalid: + continue + for j in (spec.get('jumps') or [])[:MAX_ITEMS]: + try: + out['jumps'].append({'from': _num(j['from']), 'to': _num(j['to']), 'label': _label(j.get('label'))}) + except Invalid: + continue + intervals = [] + for iv in (spec.get('intervals') or [])[:4]: + try: + a = None if iv.get('from') is None else _num(iv['from']) + b = None if iv.get('to') is None else _num(iv['to']) + if a is not None and b is not None and a >= b: + continue + clean = {'from': a, 'to': b} + for key in ('closedFrom', 'closedTo'): + if isinstance(iv.get(key), bool): + clean[key] = iv[key] + if iv.get('color') in COLORS: + clean['color'] = iv['color'] + if iv.get('label'): + clean['label'] = _label(iv['label']) + intervals.append(clean) + except Invalid: + continue + if intervals: + out['intervals'] = intervals + return out + + +def _strings(values, limit, size=MAX_LABEL) -> list[str]: + if not isinstance(values, list): + raise ValueError('list') + return [_label(v, size) for v in values[:limit]] + + +def _tree(node, depth=0) -> dict: + if not isinstance(node, dict): + raise ValueError('tree node') + out = {'label': _label(node.get('label'), 12)} + if node.get('p') is not None: + out['p'] = _label(node['p'], 10) + children = node.get('children') or [] + if depth < 3 and isinstance(children, list) and children: + kids = [] + for child in children[:6]: + try: + kids.append(_tree(child, depth + 1)) + except Invalid: + continue + if kids: + out['children'] = kids return out @@ -185,57 +536,128 @@ def validate(spec) -> dict | None: title = '' try: if kind == 'plane': - points = {} - raw_points = spec.get('points') or {} - if not isinstance(raw_points, dict): - return None - for name, value in list(raw_points.items())[:MAX_POINTS]: - if isinstance(name, str) and _NAME_OK.match(name): - try: - points[name] = _point_def(value) - except (ValueError, KeyError, TypeError): - continue - items = [] - for item in (spec.get('items') or [])[:MAX_ITEMS]: - if isinstance(item, dict): - try: - clean = _plane_item(item) - except (ValueError, KeyError, TypeError): - continue - items.append(clean) - if not items and not points: - return None - # بی‌محور مگر مدل صریحاً بخواهد یا نمودارِ تابع باشد: مثلثی که محور - # گرفته بود عددهای محور را روی برچسبِ ضلع‌ها می‌انداخت (۲۰۲۶-۰۹-۲۸). - axes = spec.get('axes') - if not isinstance(axes, bool): - axes = any(i['type'] == 'function' for i in items) - return {'kind': 'plane', 'title': title, 'axes': axes, - 'points': points, 'items': items} + return _plane(spec, title) if kind == 'numberline': - lo, hi = _num(spec.get('min', -5)), _num(spec.get('max', 5)) - if not lo < hi or hi - lo > 200: - return None - marks = [] - for p in (spec.get('points') or [])[:MAX_POINTS]: - try: - marks.append({'at': _num(p['at']), 'label': _label(p.get('label'))}) - except (ValueError, KeyError, TypeError): - continue - jumps = [] - for j in (spec.get('jumps') or [])[:MAX_ITEMS]: - try: - jumps.append({'from': _num(j['from']), 'to': _num(j['to']), 'label': _label(j.get('label'))}) - except (ValueError, KeyError, TypeError): - continue - return {'kind': 'numberline', 'title': title, 'min': lo, 'max': hi, - 'points': marks, 'jumps': jumps} + return _numberline(spec, title) if kind == 'fraction': - parts = int(_num(spec.get('parts'), 1, 24)) - shaded = int(_num(spec.get('shaded', 0), 0, parts)) shape = spec.get('shape') if spec.get('shape') in ('circle', 'rect') else 'circle' - return {'kind': 'fraction', 'title': title, 'shape': shape, 'parts': parts, 'shaded': shaded} - except (ValueError, KeyError, TypeError): + compare = [] + for f in (spec.get('compare') or [])[:4]: + try: + p = _int(f['parts'], 1, 24) + clean = {'parts': p, 'shaded': _clamp(f.get('shaded', 0), 0, p)} + if f.get('label'): + clean['label'] = _label(f['label'], 16) + compare.append(clean) + except Invalid: + continue + if compare: + return {'kind': 'fraction', 'title': title, 'shape': 'rect', 'parts': compare[0]['parts'], + 'shaded': compare[0]['shaded'], 'compare': compare} + parts = _int(spec.get('parts'), 1, 24) + shaded = _clamp(spec.get('shaded', 0), 0, parts) + out = {'kind': 'fraction', 'title': title, 'shape': shape, 'parts': parts, 'shaded': shaded} + if spec.get('wholes'): + out['wholes'] = _clamp(spec['wholes'], 0, 5) + return out + if kind == 'grid': + rows, cols = _int(spec.get('rows'), 1, 20), _int(spec.get('cols'), 1, 20) + shaded = spec.get('shaded', 0) + if isinstance(shaded, list): + cells = [] + for cell in shaded[:400]: + try: + r, c = _pair(cell, lambda v: _int(v, 0, 19)) + if r < rows and c < cols: + cells.append([r, c]) + except Invalid: + continue + shaded = cells + else: + shaded = _clamp(shaded, 0, rows * cols) + out = {'kind': 'grid', 'title': title, 'rows': rows, 'cols': cols, 'shaded': shaded} + if spec.get('color') in COLORS: + out['color'] = spec['color'] + return out + if kind == 'groups': + out = {'kind': 'groups', 'title': title, 'groups': _int(spec.get('groups'), 1, 10), 'each': _int(spec.get('each'), 1, 12)} + if spec.get('item') in ('circle', 'square', 'star'): + out['item'] = spec['item'] + if spec.get('label'): + out['label'] = _label(spec['label']) + return out + if kind == 'clock': + return {'kind': 'clock', 'title': title, 'hour': _int(spec.get('hour'), 0, 24), 'minute': _int(spec.get('minute', 0), 0, 59)} + if kind in ('bar', 'linechart', 'pie'): + labels = _strings(spec.get('labels'), 12, 16) + values = [_num(v, -1e6, 1e6) for v in (spec.get('values') or [])[:12]] + n = min(len(labels), len(values)) + if not n or (kind == 'pie' and sum(v for v in values[:n] if v > 0) <= 0): + return None + out = {'kind': kind, 'title': title, 'labels': labels[:n], 'values': values[:n]} + if spec.get('unit'): + out['unit'] = _label(spec['unit'], 12) + return out + if kind == 'table': + headers = _strings(spec.get('headers') or [], 10, 16) + rows = [_strings(r, 10, 24) for r in (spec.get('rows') or [])[:12] if isinstance(r, list)] + if not rows and not headers: + return None + return {'kind': 'table', 'title': title, 'headers': headers, 'rows': rows} + if kind == 'venn': + sets = [s for s in _strings(spec.get('sets'), 3, 1) if re.fullmatch(r'[A-Z]', s)] + if not sets or len(set(sets)) != len(sets): + return None + regions = {} + raw = spec.get('regions') or {} + if isinstance(raw, dict): + for code, members in list(raw.items())[:8]: + if isinstance(code, str) and (code == 'out' or (code and set(code) <= set(sets))) and isinstance(members, list): + regions[code] = _strings(members, 12, 8) + shade = [c for c in (spec.get('shade') or []) if isinstance(c, str) and (c == 'out' or (c and set(c) <= set(sets)))][:8] + out = {'kind': 'venn', 'title': title, 'sets': sets, 'regions': regions, 'shade': shade} + names = spec.get('names') + if isinstance(names, list) and len(names) == len(sets): + out['names'] = [_label(n, 12) for n in names] + return out + if kind == 'mapping': + left, right = _strings(spec.get('left'), 10, 10), _strings(spec.get('right'), 10, 10) + arrows = [] + for a in (spec.get('arrows') or [])[:20]: + try: + i, j = _pair(a, lambda v: _int(v, 0, 9)) + if i < len(left) and j < len(right): + arrows.append([i, j]) + except Invalid: + continue + if not left or not right: + return None + out = {'kind': 'mapping', 'title': title, 'left': left, 'right': right, 'arrows': arrows} + for key in ('leftLabel', 'rightLabel'): + if spec.get(key): + out[key] = _label(spec[key], 16) + return out + if kind == 'tree': + return {'kind': 'tree', 'title': title, 'root': _tree(spec.get('root'))} + if kind == 'solid': + shape = spec.get('shape') + if shape not in _SOLIDS: + return None + dims = {} + for key, (lo, hi) in {'a': (0.01, 1e4), 'b': (0.01, 1e4), 'c': (0.01, 1e4), 'r': (0.01, 1e4), 'h': (0.01, 1e4), 'n': (3, 8)}.items(): + try: + if (spec.get('dims') or {}).get(key) is not None: + dims[key] = _num(spec['dims'][key], lo, hi) + except Invalid: + continue + labels = {} + raw_labels = spec.get('labels') or {} + if isinstance(raw_labels, dict): + for key in ('a', 'b', 'c', 'r', 'h'): + if raw_labels.get(key): + labels[key] = _label(raw_labels[key], 12) + return {'kind': 'solid', 'title': title, 'shape': shape, 'dims': dims, 'labels': labels} + except Invalid: return None return None @@ -249,13 +671,80 @@ def extract(text: str) -> tuple[str, dict | None]: return _BLOCK.sub('', text).rstrip(), spec +_DIGITS = str.maketrans('۰۱۲۳۴۵۶۷۸۹٠١٢٣٤٥٦٧٨٩', '01234567890123456789') +# مقدارِ عددیِ نوشته‌شده به‌شکلِ عبارت، که JSON نیست: -2*pi، pi/2، 3pi/4 +_PI_VALUE = re.compile(r'(?<=[:\[,])(\s*)(-?)\s*(\d*\.?\d*)\s*\*?\s*pi(?:\s*/\s*(\d+(?:\.\d+)?))?(?=\s*[,\]}])') + + +def _repair(body: str) -> str: + """ + خطاهای قالبیِ واقعیِ gpt-4.1-mini (سنجشِ ۲۰۲۶-۰۹-۲۸، ۴۸ مسئله‌ی کتاب) که معنا را + عوض نمی‌کنند: رقمِ فارسی در عدد («"rows":۱۰») و π به‌صورتِ عبارت («"from":-2*pi»). + رقم‌های داخلِ برچسب هم لاتین می‌شوند؛ فرانت دوباره فارسی‌شان می‌کند. + """ + body = body.translate(_DIGITS) + # توضیحِ «// …» بعد از یک مقدار (مدل برای خودش یادداشت گذاشته بود) + body = re.sub(r'(?<=[,\[{\]}"\d])[ \t]*//[^\n]*', '', body) + + def pi(m): + sign, coef, den = m.group(2), m.group(3), m.group(4) + value = (float(coef) if coef else 1.0) * math.pi / (float(den) if den else 1.0) + return f'{m.group(1)}{"-" if sign else ""}{round(value, 6)}' + + return _PI_VALUE.sub(pi, body) + + +def _normalize(obj): + """ + شکل‌هایی که مدل با کمی فاصله از قالب نوشت ولی منظورش روشن است: + - یک item تنها (با "type") بدونِ plane دورش؛ + - "kind":"function" با فیلدهای همان item؛ + - نمودارِ ون با نامِ فارسیِ مجموعه‌ها («والیبال») به‌جای A و B. + """ + if not isinstance(obj, dict): + return obj + kind = obj.get('kind') + if kind is None and 'type' in obj: + return {'kind': 'plane', 'title': obj.get('title', ''), 'points': {}, 'items': [obj]} + if kind in ('function', 'piecewise') and 'expr' in obj or kind == 'function' and 'pieces' in obj: + item = {k: v for k, v in obj.items() if k not in ('kind', 'title', 'axes', 'grid', 'trig', 'xRange', 'yRange', 'points')} + item['type'] = 'piecewise' if 'pieces' in obj else 'function' + plane = {'kind': 'plane', 'title': obj.get('title', ''), 'axes': True, 'points': obj.get('points') or {}, 'items': [item]} + for key in ('grid', 'trig', 'xRange', 'yRange'): + if key in obj: + plane[key] = obj[key] + return plane + if kind == 'venn' and isinstance(obj.get('sets'), list): + names = [str(n) for n in obj['sets'][:3]] + if names and not all(re.fullmatch(r'[A-Z]', n) for n in names): + letters = 'ABC'[:len(names)] + index = {n: letters[i] for i, n in enumerate(names)} + + def code(key: str) -> str | None: + if key == 'out': + return 'out' + parts = [p for p in re.split(r'\s*[_∩&,،+]\s*|\s+و\s+', key) if p] + if all(p in index for p in parts): + return ''.join(sorted(index[p] for p in parts)) + return key if set(key) <= set(letters) else None + + regions = {} + for key, members in (obj.get('regions') or {}).items(): + c = code(str(key)) + if c: + regions[c] = members + obj = {**obj, 'sets': list(letters), 'names': names, 'regions': regions, + 'shade': [c for c in (code(str(k)) for k in obj.get('shade') or []) if c]} + return obj + + def parse(body: str) -> dict | None: body = (body or '').strip() if body.startswith('```'): body = body.strip('`').removeprefix('json').strip() try: - return validate(json.loads(body)) - except (json.JSONDecodeError, TypeError): + return validate(_normalize(json.loads(_repair(body)))) + except (json.JSONDecodeError, TypeError, ValueError): logger.info('diagram: JSONِ نامعتبر از مدل، دور ریخته شد') return None diff --git a/rag/tests_diagram.py b/rag/tests_diagram.py index 5616d4d..5365896 100644 --- a/rag/tests_diagram.py +++ b/rag/tests_diagram.py @@ -48,8 +48,9 @@ class ValidateTests(SimpleTestCase): self.assertEqual(list(spec['points']), ['B']) def test_labels_are_truncated_and_fraction_shaded_is_capped(self): + # بیش از تعدادِ تکه‌ها محدود می‌شود، نه اینکه کلِ شکل حذف شود spec = validate({'kind': 'fraction', 'parts': 4, 'shaded': 9, 'title': 'x' * 500}) - self.assertIsNone(spec) + self.assertEqual(spec['shaded'], 4) spec = validate({'kind': 'fraction', 'parts': 4, 'shaded': 3, 'title': 'x' * 500}) self.assertEqual((spec['parts'], spec['shaded'], len(spec['title'])), (4, 3, 40)) @@ -148,7 +149,7 @@ class ShapeHintTests(SimpleTestCase): from .services.generation import _user_prompt for q in ('وترِ مثلث با ضلع‌های ۳ و ۴؟', 'سه‌چهارم پیتزا', 'نمودار y=x²', 'sin 30°'): - self.assertEqual(hint_for(q), DIAGRAM_HINT, q) + self.assertTrue(hint_for(q).startswith(DIAGRAM_HINT), q) self.assertIn(DIAGRAM_HINT, _user_prompt(q, [])) for q in ('۲۳ × ۴۵ چند می‌شود؟', 'عبارت (x+2)(x-3) را ساده کن.'): self.assertEqual(hint_for(q), '', q) @@ -169,3 +170,153 @@ class AxesDefaultTests(SimpleTestCase): graph = validate({'kind': 'plane', 'items': [{'type': 'function', 'expr': 'x^2', 'from': -2, 'to': 2}]}) self.assertTrue(graph['axes']) self.assertTrue(validate({**CIRCLE})['axes']) # صریحاً true خواسته شده + + +class SectionedSpecTests(SimpleTestCase): + """کنارِ هر سوال فقط بخشِ مربوط به همان سوال از کاتالوگ می‌رود (هزینه‌ی توکن).""" + + def test_only_matching_sections_are_sent(self): + from .services.diagram import _GRAPH, _PLANE, _SOLID, _TREE, hint_for + + solid = hint_for('حجمِ استوانه‌ای با شعاعِ ۳ و ارتفاعِ ۵ چقدر است؟') + self.assertIn(_SOLID, solid) + self.assertNotIn(_GRAPH, solid) + self.assertNotIn(_TREE, solid) + graph = hint_for('نمودارِ تابعِ y = x² − 4 را رسم کن') + self.assertIn(_GRAPH, graph) + self.assertIn(_PLANE, graph) # نمودار داخلِ plane است + self.assertNotIn(_SOLID, graph) + self.assertLess(len(solid), len(graph)) + + def test_bar_chart_does_not_pull_function_graphs(self): + from .services.diagram import _CHARTS, _GRAPH, hint_for + + text = hint_for('نمودارِ ستونیِ آب‌میوه‌ها را رسم کن') + self.assertIn(_CHARTS, text) + self.assertNotIn(_GRAPH.split(':')[0], text.replace('رسم', '')) + + +class ExpandedKindsTests(SimpleTestCase): + """نوع‌های تازه: هر کدام با یک نمونه‌ی واقعی و یک نمونه‌ی خراب.""" + + def test_constructed_points_and_new_items(self): + spec = validate({ + 'kind': 'plane', 'points': { + 'A': [0, 0], 'B': [4, 0], 'C': [1, 3], 'M': {'mid': ['A', 'B']}, 'H': {'foot': ['C', 'A', 'B']}, + 'I': {'intersect': [['A', 'C'], ['B', [0, 3]]]}, 'T': {'along': ['A', 'B', 0.25]}, 'F': {'fx': ['x^2', 3]}, + 'X': {'mid': ['A']}, 'Y': {'fx': ['alert(1)', 2]}, + }, + 'items': [ + {'type': 'segment', 'from': 'A', 'to': 'M', 'ticks': 2, 'color': 'green'}, + {'type': 'angle', 'vertex': 'A', 'from': 'B', 'to': 'C', 'arcs': 9}, + {'type': 'image', 'of': ['A', 'B', 'C'], 'transform': {'rotate': {'center': 'C', 'deg': -90}}}, + {'type': 'piecewise', 'pieces': [{'expr': 'x+1', 'from': -2, 'to': 1, 'closedTo': False}, {'expr': 'bad;', 'from': 1, 'to': 2}]}, + {'type': 'segment', 'from': 'A', 'to': 'B', 'color': '#ff0000'}, + ], + }) + self.assertEqual(set(spec['points']), {'A', 'B', 'C', 'M', 'H', 'I', 'T', 'F'}) + self.assertEqual(spec['items'][1]['arcs'], 3) + self.assertEqual(spec['items'][2]['transform'], {'rotate': {'center': 'C', 'deg': -90.0}}) + self.assertEqual(len(spec['items'][3]['pieces']), 1) + self.assertNotIn('color', spec['items'][4]) # فقط نامِ رنگِ شناخته‌شده + + def test_solid_chart_venn_tree_mapping_grid_clock_table(self): + self.assertEqual(validate({'kind': 'solid', 'shape': 'cone', 'dims': {'r': 4, 'h': 12}, 'labels': {'r': '4 cm'}})['dims'], {'r': 4.0, 'h': 12.0}) + self.assertIsNone(validate({'kind': 'solid', 'shape': 'teapot'})) + pie = validate({'kind': 'pie', 'labels': ['a', 'b', 'c'], 'values': [1, 2]}) + self.assertEqual(pie['labels'], ['a', 'b']) + self.assertIsNone(validate({'kind': 'pie', 'labels': ['a'], 'values': [0]})) + venn = validate({'kind': 'venn', 'sets': ['A', 'B'], 'regions': {'AB': ['3'], 'AC': ['x'], 'out': ['6']}, 'shade': ['AB', 'Z']}) + self.assertEqual(set(venn['regions']), {'AB', 'out'}) + self.assertEqual(venn['shade'], ['AB']) + tree = validate({'kind': 'tree', 'root': {'label': 'شروع', 'children': [{'label': 'رو', 'p': '1/2', 'children': [{'label': 'a', 'children': [{'label': 'b', 'children': [{'label': 'too deep'}]}]}]}]}}) + leaf = tree['root']['children'][0]['children'][0]['children'][0] + self.assertNotIn('children', leaf) # حداکثر سه سطح زیرِ ریشه + m = validate({'kind': 'mapping', 'left': ['1', '2'], 'right': ['3'], 'arrows': [[0, 0], [1, 5]]}) + self.assertEqual(m['arrows'], [[0, 0]]) + self.assertEqual(validate({'kind': 'grid', 'rows': 5, 'cols': 5, 'shaded': 99})['shaded'], 25) + self.assertEqual(validate({'kind': 'clock', 'hour': 3, 'minute': 25})['minute'], 25) + self.assertEqual(validate({'kind': 'table', 'headers': ['x', '1'], 'rows': [['y', '+'], 'bad']})['rows'], [['y', '+']]) + + def test_numberline_intervals_and_fraction_step(self): + nl = validate({'kind': 'numberline', 'min': 0, 'max': 2, 'step': 0.25, 'fractions': True, + 'intervals': [{'from': -2, 'to': 3, 'closedFrom': True}, {'from': 1, 'to': None}, {'from': 3, 'to': 1}]}) + self.assertEqual(nl['step'], 0.25) + self.assertEqual(nl['intervals'], [{'from': -2.0, 'to': 3.0, 'closedFrom': True}, {'from': 1.0, 'to': None}]) + self.assertNotIn('step', validate({'kind': 'numberline', 'min': 0, 'max': 100, 'step': 0.01})) + + +class ModelSlipRepairTests(SimpleTestCase): + """خطاهای قالبیِ واقعیِ gpt-4.1-mini در سنجشِ ۲۰۲۶-۰۹-۲۸؛ عیناً همان خروجی‌ها.""" + + def test_persian_digits_in_json_numbers(self): + from .services.diagram import parse + + spec = parse('{"kind":"grid","title":"نمایش ۱۸ درصد","rows":۱۰,"cols":۱۰,"shaded":۱۸}') + self.assertEqual((spec['rows'], spec['cols'], spec['shaded']), (10, 10, 18)) + + def test_pi_expressions_as_numbers(self): + from .services.diagram import parse + + spec = parse('{"kind":"plane","title":"t","axes":true,"items":[{"type":"function","expr":"sin(x)^2","from":-2*pi,"to":2*pi},' + '{"type":"vline","x":pi/2},{"type":"vline","x":3pi/4}]}') + self.assertAlmostEqual(spec['items'][0]['from'], -6.283185, places=5) + self.assertAlmostEqual(spec['items'][1]['x'], 1.570796, places=5) + self.assertAlmostEqual(spec['items'][2]['x'], 2.356194, places=5) + + def test_bare_item_and_function_kind_become_a_plane(self): + from .services.diagram import parse + + bare = parse('{"type":"function","expr":"sqrt(3*x - 5)","from":1.6,"to":5,"label":"f(x) = √(3x - 5)","marks":["yIntercept"]}') + self.assertEqual(bare['kind'], 'plane') + self.assertTrue(bare['axes']) + self.assertEqual(bare['items'][0]['expr'], 'sqrt(3*x - 5)') + kinded = parse('{"kind":"function","title":"نمودار تابع p(x)","axes":true,"xRange":[-3,3],"yRange":[-10,10],' + '"type":"function","expr":"x^3 - x^2 - 4*x + 4","from":-3,"to":3,"marks":["roots"]}') + self.assertEqual(kinded['kind'], 'plane') + self.assertEqual(kinded['xRange'], [-3.0, 3.0]) + self.assertEqual(kinded['items'][0]['marks'], ['roots']) + + def test_venn_with_persian_set_names(self): + from .services.diagram import parse + + spec = parse('{"kind":"venn","title":"ون","sets":["والیبال","فوتبال"],"regions":{"والیبال":["7-x"],' + '"والیبال_فوتبال":["x"],"فوتبال":["4-x"],"out":[]},"shade":["والیبال_فوتبال"]}') + self.assertEqual(spec['sets'], ['A', 'B']) + self.assertEqual(spec['names'], ['والیبال', 'فوتبال']) + self.assertEqual(spec['regions'], {'A': ['7-x'], 'AB': ['x'], 'B': ['4-x'], 'out': []}) + self.assertEqual(spec['shade'], ['AB']) + + def test_unknown_kind_is_still_dropped(self): + from .services.diagram import parse + + self.assertIsNone(parse('{"kind":"line_segment","points":[{"label":"مشهد","position":0}]}')) + + def test_comments_after_values_and_wide_numberline(self): + from .services.diagram import parse + + spec = parse('{"kind":"venn","sets":["A","B","C"],"regions":{"AC":["5"]},"shade":[\n "AC", // الف\n "B" // ب\n]}') + self.assertEqual(spec['shade'], ['AC', 'B']) + wide = parse('{"kind":"numberline","min":-۱۴۰,"max":۸۷,"step":۱۰,"points":[{"at":-۵۵,"label":"-۵۵"}]}') + self.assertEqual((wide['min'], wide['max'], wide['step']), (-140.0, 87.0, 10.0)) + + +class SecondRoundKindsTests(SimpleTestCase): + """افزوده‌های دورِ دومِ سنجش: خط از معادله، مقایسه‌ی کسرها، عددِ مخلوط، محرکِ ساعت.""" + + def test_line_from_equation(self): + spec = validate({'kind': 'plane', 'items': [{'type': 'line', 'eq': [3, 5, 4]}, {'type': 'line', 'eq': [0, 0, 1]}]}) + self.assertEqual(spec['items'], [{'type': 'line', 'eq': [3.0, 5.0, 4.0]}]) + + def test_fraction_compare_and_wholes(self): + cmp = validate({'kind': 'fraction', 'compare': [{'parts': 5, 'shaded': 1, 'label': 'یک‌پنجم'}, {'parts': 10, 'shaded': 12}]}) + self.assertEqual(cmp['compare'][1], {'parts': 10, 'shaded': 10}) + mixed = validate({'kind': 'fraction', 'parts': 10, 'shaded': 7, 'wholes': 2}) + self.assertEqual((mixed['wholes'], mixed['shaded']), (2, 7)) + + def test_clock_only_for_telling_time(self): + from .services.diagram import _CLOCK, hint_for + + self.assertNotIn(_CLOCK, hint_for('فاطمه ۶ ساعت کتاب خواند. چند صفحه ماند؟')) + self.assertIn(_CLOCK, hint_for('عقربه‌ی ساعت‌شمار روی ۳ است. ساعت چند است؟')) + self.assertIn(_CLOCK, hint_for('ساعت ۳ و ۲۵ دقیقه را روی ساعت نشان بده'))