diff --git a/CLAUDE.md b/CLAUDE.md index e247708..4d18433 100644 --- a/CLAUDE.md +++ b/CLAUDE.md @@ -386,3 +386,79 @@ Still open, and deliberately not acted on: The frontend's `Question` type carries a `type` field that nothing reads, and `count_objects` in `Question.TYPE_CHOICES` is an empty shell — no rows, no serializer branch, no rendering anywhere. Do not build content for it without asking first. + +## وضعیت ۱۴۰۵/۰۶/۲۹ (۲۰۲۶-۰۹-۲۰) — این را اول بخوان + +سرور روی `3026df0` است، کد و محتوا هر دو منتشر شدند، سرویس واقعاً ری‌استارت شد، و +`/api/health` عدد `questions: 1783` می‌دهد. `/api/nodes/1/quiz` چهار سوالِ واقعی برمی‌گرداند. + +**۵ کتاب روی Qdrant، همه با دیتابیس همگام:** ریاضی هشتم (۵۱۸)، نهم (۴۵۰)، دهم (۴۵۸)، +حسابان یازدهم (۳۷۶)، حسابان دوازدهم (۳۲۶). صفحه‌ی گم‌شده: صفر. سه کتابِ تیمِ دیگر +(سوم/ششم/هفتم، مجموعاً ۱٬۲۵۲) عمداً دست‌نخورده ماندند. + +خرجِ کلِ آن روز ۳٫۴۴ دلار بود. روشِ ارزان و دقیقِ استخراج در `docs/extraction-playbook.md` +نوشته شده — **قبل از هر ingest تازه آن را بخوان**، مخصوصاً بخشِ انتخابِ مدل. + +### حسابان یازدهم و دوازدهم: وارد مسیرِ بازی شد (۲۰۲۶-۰۹-۲۱) + +کاربر تصمیمِ محصولی را گرفت و هر دو پایه ساخته شدند. `seed_curriculum_from_textbook` +اسکلت را رایگان ساخت — یازدهم ۵ فصل/۲۱ نود/۳۶۹ درس، دوازدهم ۵ فصل/۱۲ نود/۳۲۰ درس — و +سوال‌ها با subagentهای Sonnet نوشته شدند: **۵۵۹ سوال** (یازدهم ۳۲۲، دوازدهم ۲۳۷). +هر ۲۱ نودِ یازدهم آزمونِ کاملِ چهارسوالی دارند؛ از دوازدهم ۱۰ نود از ۱۲. + +⚠️ **دو نودِ باقی‌مانده، هر دو در «فصل ۵: کاربردهای مشتق»** («جهت تقعر نمودار…» و +«رسم نمودار تابع»): سوال ندارند چون سقفِ هفتگیِ Sonnet وسطِ کار پر شد، نه چون داده کم +است. جفت‌هایشان آماده‌اند — دو دسته‌ی آخرِ همان اجرای `--export`. + +`GRADE_STYLE` حالا برای یازدهم/دوازدهم رنگ دارد (فیروزه‌ای و نیلی، عمداً جدا از شش +پایه‌ی عمومی چون حسابان فقط کتابِ رشته‌ی ریاضی‌فیزیک است). + +### روالِ ساختِ سوال با subagent، حالا ابزار دارد + +`generate_questions_from_chunks --export DIR` جفت‌های (درس، مسئله‌ی تأییدشده) را در +فایل‌های JSON می‌ریزد و **هیچ فراخوانیِ پولی نمی‌کند**؛ کنارشان یک `*-RULES.txt` با +عینِ همان PROMPTی که به مدلِ پولی می‌رفت می‌نویسد، تا کیفیتِ دو شاخه از هم جدا نیفتد. +خروجیِ subagent با `content.question_io` وارد می‌شود (فایلِ بد هیچ‌چیز نمی‌نویسد). + +بازده روی ۶۳۰ ورودی: **۵۵۹ سوال، ۸۹٪** — بقیه عمداً رد شدند، بیشترشان مسئله‌هایی که +بدونِ شکلِ کتاب خودکفا نمی‌شوند. چند subagent خطایِ حسابِ خودِ کتاب را هم گرفتند +(راه‌حلی که √ را ۶ نوشته بود ولی ۶٫۵ بود؛ راه‌حلی که می‌گفت حد وجود ندارد درحالی‌که +داشت) — یعنی `solution_verdict='agrees'` تضمینِ کامل نیست، فقط فیلترِ اول است. + +**باگی که همان‌جا پیدا و اصلاح شد:** اجرای دوم با `--per-lesson` بالاتر همان chunkِ +قبلی را دوباره تحویل می‌داد و سوالِ تقریباً تکراری می‌ساخت. حالا `_targets` به اندازه‌ی +سوال‌هایی که درس از قبل دارد از ترتیبِ قطعیِ chunkها می‌پرد. این خطا نه لاگ می‌داد، نه +در import گیر می‌افتاد (چون صورتِ سوال بازنویسی می‌شود و رشته‌اش یکی نیست). + +⚠️ **سقفِ هفتگیِ Sonnet واقعی است و ناگهانی می‌رسد.** ۲۰ subagentِ هم‌زمان (هرکدام +~۹۵ هزار توکن برای ۳۰ سوال) آن را در یک نشست پر کرد. اگر کارِ انبوه داری، دسته‌ها را +کوچک‌تر بگیر و بینشان نتیجه را وارد کن — خوشبختانه بیشترِ agentها فایلشان را نوشته +بودند و فقط در تماسِ آخر خوردند، پس چیزی از دست نرفت. + + +### چیزهایی که آن روز کشف شد و تکرارشان گران است + +- **مدل را اندازه بگیر، از جدولِ قیمت نخوان.** قیمتِ GapGPT با قیمتِ رسمی یکی نیست: + `gpt-4.1-mini` هم از `gpt-4o` ارزان‌تر بود هم دقیق‌تر، و `gemini-3.6-flash` برخلافِ + انتظار سه برابرِ `gpt-4o` گران درآمد. `OPENAI_VISION_MODEL=gpt-4.1-mini` الان در `.env` + است و هر پنج کتاب با همان خوانده شد. +- **ساختِ سوال را با subagent انجام بده، نه با API.** `generate_questions_from_chunks` + پیش‌فرضش `o4-mini` است و ~۰٫۷۷ سنت برای هر سوال می‌گیرد (چهار برابرِ تخمینِ خودش، چون + مدلِ ریزنینگ است). همان کار با subagentهای Sonnet رایگان است و بازده‌اش ۹۲٪ بود. + روالش: جفت‌های (درس، مسئله‌ی تأییدشده) را به JSON بده، subagent خروجی بنویسد، و با + `content.question_io` واردش کن. +- **`--recheck` در `rag_verify_solutions` همه‌چیز را دوباره می‌فرستد**، نه فقط موارد تازه. + برای بازبینیِ یک زیرمجموعه، رأیشان را خالی کن و اجرای عادی بزن. +- **شمارنده‌ی صفحات حینِ `--refresh` معنی ندارد** — هر صفحه اول پاک و بعد خوانده می‌شود، + پس عدد دورِ کل نوسان می‌کند. پیشرفت را از `IngestedPage.created_at` بسنج. +- **در `until`ِ انتظار، `ps | grep` خودش را می‌شمارد** و حلقه هرگز تمام نمی‌شود. از + `pgrep -f` استفاده کن. +- **کد و محتوا دو مسیرِ جدا دارند.** `db.sqlite3` در gitignore است؛ سوال‌ها فقط از راهِ + `seed_content --export --only questions` و کامیتِ `content/seed/questions.json` به سرور + می‌رسند. پوش کردنِ کد به‌تنهایی محتوا را نمی‌برد. + +### CORS + +پورت‌های توسعه دیگر شمرده نمی‌شوند؛ `CORS_ALLOWED_ORIGIN_REGEXES` هر پورتی روی +`localhost`/`127.0.0.1` را می‌پذیرد. اگر باز هم گزارشِ CORS رسید، اول بپرس **Hard Refresh** +زده‌اند یا نه — مرورگر نتیجه‌ی preflight را کش می‌کند. diff --git a/content/management/commands/generate_questions_from_chunks.py b/content/management/commands/generate_questions_from_chunks.py index 442749c..7f04069 100644 --- a/content/management/commands/generate_questions_from_chunks.py +++ b/content/management/commands/generate_questions_from_chunks.py @@ -13,8 +13,16 @@ python manage.py generate_questions_from_chunks --grade نهم --limit 5 --dry-run python manage.py generate_questions_from_chunks --grade نهم --limit 20 python manage.py generate_questions_from_chunks --grade نهم + +مسیرِ رایگان (و پیش‌فرضِ عملی): `--export DIR` هیچ فراخوانیِ پولی نمی‌کند و +فقط جفت‌های (درس، مسئله‌ی تأییدشده) را در چند فایلِ JSON می‌ریزد تا subagentها +سوال‌ها را بنویسند و خروجی با `content.question_io` وارد شود. اندازه‌گیریِ +۱۴۰۵/۰۶/۲۹: o4-mini روی این پروکسی ۰٫۷۷ سنت برای هر سوال، subagentِ Sonnet +صفر — با بازده‌ی ۹۲٪. متنِ پرامپت برای هر دو مسیر یکی است (همین PROMPT پایین)، +پس کیفیت دو شاخه از هم جدا نمی‌افتد. """ import json +import os import threading import time from concurrent.futures import ThreadPoolExecutor @@ -92,6 +100,11 @@ class Command(BaseCommand): help='چند سوال برای هر درس.') parser.add_argument('--dry-run', action='store_true', help='فقط نشان بده چند سوال ساخته می‌شود؛ هیچ فراخوانیِ پولی نکن.') + parser.add_argument('--export', metavar='DIR', + help='به‌جای فراخوانیِ مدل، جفت‌های (درس، مسئله) را در این ' + 'پوشه به JSON بنویس تا subagent سوال‌ها را بسازد. رایگان.') + parser.add_argument('--batch-size', type=int, default=30, + help='چند جفت در هر فایلِ --export. پیش‌فرض ۳۰.') parser.add_argument('--model', default='o4-mini', help='مدلِ سازنده. پیش‌فرض o4-mini؛ gpt-4o-mini کیفیتِ ' 'قابلِ قبولی نداد (۴ سوال از ۶ خراب).') @@ -135,6 +148,10 @@ class Command(BaseCommand): if len(targets) > 10: self.stdout.write(f' … و {len(targets) - 10} مورد دیگر') + if opts['export']: + self._export(targets, opts) + return + # ~۹۰۰ توکن ورودی و ~۱۵۰ خروجی برای هر سوال با gpt-4o-mini. self.model = opts['model'] cost = len(targets) * 0.0018 # اندازه‌گیریِ واقعیِ o4-mini @@ -196,6 +213,58 @@ class Command(BaseCommand): f'\n{created} سوال ساخته شد، {skipped} رد شد، {failed} خطا.' )) + # ------------------------------------------------------------------ + def _export(self, targets, opts): + """ + جفت‌ها را در فایل‌های کوچکِ JSON بنویس؛ هیچ مدلی صدا زده نمی‌شود. + + چرا تکه‌تکه و نه یک فایلِ بزرگ: هر فایل سهمِ یک subagent است و باید در + یک نشست جا شود. و چرا `prompt` را هم کنارش می‌نویسیم: تا کسی که + سوال‌ها را می‌سازد قواعد را از حافظه بازنویسی نکند — همان متنی که به + مدلِ پولی می‌رفت عیناً در دسترسِ subagent است. + """ + directory = opts['export'] + os.makedirs(directory, exist_ok=True) + book = self._book + size = max(1, opts['batch_size']) + slug = f'{book.subject}-{book.grade}' + + written = [] + for index in range(0, len(targets), size): + rows = [ + { + 'lessonId': lesson.pk, + 'unit': lesson.node.unit.title, + 'node': lesson.node.title, + 'lessonTitle': lesson.title, + 'problemType': chunk.problem_type, + 'problem': chunk.problem, + 'solution': chunk.solution, + } + for lesson, chunk in targets[index:index + size] + ] + path = os.path.join(directory, f'{slug}-{index // size + 1:02d}.json') + with open(path, 'w', encoding='utf-8') as handle: + json.dump(rows, handle, ensure_ascii=False, indent=1) + written.append((path, len(rows))) + + rules = os.path.join(directory, f'{slug}-RULES.txt') + with open(rules, 'w', encoding='utf-8') as handle: + handle.write(PROMPT.format( + grade=book.grade, problem_type='', + problem='', solution='', + )) + + self.stdout.write(self.style.SUCCESS( + f'\n{len(targets)} جفت در {len(written)} فایل نوشته شد: {directory}' + )) + self.stdout.write(f' قواعدِ ساختِ سوال: {rules}') + self.stdout.write( + ' خروجیِ هر subagent باید قالبِ content.question_io باشد ' + '({"lessonId", "prompt", "choices", "correct"}) و با ' + '«ورودِ سوال» در پنلِ ادمین یا import_questions وارد شود.' + ) + # ------------------------------------------------------------------ def _page_span(self, lesson): """بازه‌ی صفحه‌ی PDF برای نودِ این درس، از فهرستِ خودِ کتاب.""" @@ -214,7 +283,7 @@ class Command(BaseCommand): return book.pdf_pages(chapter) return None - def _chunks_by_page(self, lesson, collection, need, opts, used): + def _chunks_by_page(self, lesson, collection, need, opts, used, skip=0): span = self._page_span(lesson) if span is None: return [] @@ -224,7 +293,7 @@ class Command(BaseCommand): .exclude(problem='').exclude(pk__in=used)) if opts['verified_only']: qs = qs.filter(solution_verdict=LessonChunk.VERDICT_AGREES) - return list(qs.order_by('source_page', 'order')[:need]) + return list(qs.order_by('source_page', 'order')[skip:skip + need]) def _targets(self, grade, collection, opts): """[(lesson, chunk), ...] — فقط درس‌هایی که هنوز سوال کم دارند.""" @@ -252,7 +321,12 @@ class Command(BaseCommand): if opts['verified_only']: candidates = candidates.filter( solution_verdict=LessonChunk.VERDICT_AGREES) - chunks = list(candidates.order_by('source_page', 'order')[:need]) + # از `have` تا به بعد، نه از اول: ترتیب قطعی است، پس اجرای قبلی + # دقیقاً `have` تکه‌ی نخست را مصرف کرده. بدونِ این پرش، هر اجرای + # دوم با --per-lesson بالاتر همان مسئله را دوباره تحویل می‌داد و + # سوالِ تقریباً تکراری می‌ساخت — که نه خطا می‌دهد و نه در import + # گیر می‌افتد، چون صورتِ سوال بازنویسی شده و رشته‌اش یکی نیست. + chunks = list(candidates.order_by('source_page', 'order')[have:have + need]) # تطبیقِ عنوان شکننده است: عنوانِ درس از یک استخراجِ قدیمی آمده و # هر بار که کتاب دوباره خوانده شود مدل عنوانِ تازه می‌سازد. بعد از @@ -264,7 +338,8 @@ class Command(BaseCommand): # chunkهای همان بازه به درس‌های همان نود می‌خورند — بدونِ هیچ # فراخوانیِ مدلی. if not chunks and opts['by_page']: - chunks = self._chunks_by_page(lesson, collection, need, opts, used) + chunks = self._chunks_by_page(lesson, collection, need, opts, used, + skip=have) for chunk in chunks: used.add(chunk.pk) diff --git a/content/management/commands/seed_curriculum_from_textbook.py b/content/management/commands/seed_curriculum_from_textbook.py index 2eaad14..c2e8440 100644 --- a/content/management/commands/seed_curriculum_from_textbook.py +++ b/content/management/commands/seed_curriculum_from_textbook.py @@ -32,6 +32,10 @@ GRADE_STYLE = { 'هشتم': ('grade-8', '#9C27B0'), 'نهم': ('grade-9', '#FF9800'), 'دهم': ('grade-10', '#E91E63'), + # حسابان: رشته‌ی ریاضی‌فیزیک، پس عمداً رنگِ سرد و جدا از شش پایه‌ی عمومی + # تا در نقشه‌ی بازی به‌چشم یک مسیرِ دیگر بیاید، نه ادامه‌ی همان‌ها. + 'یازدهم': ('grade-11', '#00BCD4'), + 'دوازدهم': ('grade-12', '#3F51B5'), } diff --git a/content/seed/curriculum.json b/content/seed/curriculum.json index d2b07fd..1069afa 100644 --- a/content/seed/curriculum.json +++ b/content/seed/curriculum.json @@ -9421,6 +9421,3034 @@ ] } ] + }, + { + "title": "پایه یازدهم", + "icon": "grade-11", + "color": "#00BCD4", + "units": [ + { + "title": "فصل ۱: جبر و معادله", + "order": 1, + "nodes": [ + { + "title": "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی", + "order": 1, + "lessons": [ + { + "title": "محاسبه مجموع دنباله اعداد طبیعی", + "introText": "برای محاسبه مجموع اعداد طبیعی از 1 تا n، ابتدا دنباله را به صورت S = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n می‌نویسیم. سپس دنباله را به صورت معکوس نیز می‌نویسیم: S = n + (n-1) + ... + 3 + 2 + 1. با جمع دو طرف معادله داریم: 2S = (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) که n جمله دارد. پس 2S = n(n+1) و در نهایت S = n(n+1)/2." + }, + { + "title": "شمارش تعداد دکمه‌ها در آرایش‌های هندسی", + "introText": "برای شمارش تعداد دکمه‌ها در آرایش‌های هندسی، ابتدا تعداد دکمه‌ها در هر ردیف را مشخص می‌کنیم. سپس با جمع تعداد دکمه‌ها در تمام ردیف‌ها، تعداد کل دکمه‌ها را به دست می‌آوریم. اگر تعداد دکمه‌ها در ردیف‌ها به صورت دنباله اعداد طبیعی باشد، می‌توان از فرمول مجموع اعداد طبیعی استفاده کرد." + }, + { + "title": "برابری تعداد دکمه‌های رنگی در آرایش هندسی", + "introText": "برای یافتن تعداد دکمه‌های رنگی در آرایش هندسی، ابتدا تعداد کل دکمه‌ها را می‌شماریم. سپس با توجه به شکل و رنگ‌بندی دکمه‌ها، رابطه‌ای بین تعداد دکمه‌های هر رنگ برقرار می‌کنیم. اگر تعداد دکمه‌های رنگ‌های مختلف برابر باشد، می‌توان با تقسیم تعداد کل دکمه‌ها بر تعداد رنگ‌ها، تعداد دکمه‌های هر رنگ را به دست آورد." + }, + { + "title": "محاسبه تعداد وترهای تشکیل شده از نقاط روی محیط دایره", + "introText": "برای محاسبه تعداد وترهای تشکیل شده از n نقطه متمایز روی محیط دایره، ابتدا هر نقطه را به هر نقطه دیگر وصل می‌کنیم. تعداد کل وترها برابر تعداد ترکیب دو به دوی نقاط است که برابر n(n-1)/2 است. سپس اگر وترهایی که از اتصال نقاط مجاور به وجود می‌آید را جدا کنیم، تعداد وترهای غیرمجاور برابر n(n-3)/2 خواهد بود." + }, + { + "title": "محاسبه مجموع جملات دنباله حسابی", + "introText": "برای محاسبه مجموع n جمله اول دنباله حسابی که جمله اول آن a و قدر نسبت آن d است، از فرمول S_n = n/2 × [2a + (n-1)d] استفاده می‌کنیم. ابتدا جملات دنباله را به صورت a, a+d, a+2d, ..., a+(n-1)d می‌نویسیم. سپس مجموع را با استفاده از فرمول بالا محاسبه می‌کنیم." + }, + { + "title": "مسائل مربوط به مجموع جملات دنباله حسابی", + "introText": "1. شناسایی جملات اول (a1) و آخر (an) دنباله و تعداد جملات (n).\n2. استفاده از فرمول مجموع دنباله حسابی: Sn = n/2 * (a1 + an).\n3. اگر جمله آخر مشخص نیست، با استفاده از فرمول جمله nام: an = a1 + (n-1)d مقدار آن را بیابید.\n4. جایگذاری مقادیر در فرمول مجموع و حل معادله برای یافتن n یا مجموع." + }, + { + "title": "محاسبه مجموع جملات اول دنباله هندسی", + "introText": "1. دنباله هندسی را به صورت a, aq, aq^2, ..., aq^(n-1) در نظر می‌گیریم.\n2. مجموع n جمله اول دنباله را S_n می‌نامیم.\n3. رابطه S_n = a + aq + aq^2 + ... + aq^(n-1) را می‌نویسیم.\n4. طرفین رابطه را در q ضرب می‌کنیم تا qS_n = aq + aq^2 + ... + aq^n حاصل شود.\n5. دو رابطه را از هم کم می‌کنیم: S_n - qS_n = a - aq^n\n6. S_n(1 - q) = a(1 - q^n)\n7. در نهایت فرمول مجموع را به صورت S_n = a(1 - q^n) / (1 - q) به دست می‌آوریم.\n8. مقدار a، q و n را در فرمول جایگذاری و مقدار مجموع را محاسبه می‌کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه مجموع فاصله‌های برخورد توپ با زمین در حرکت متوالی", + "introText": "1. ارتفاع اولیه توپ را a می‌نامیم.\n2. نسبت کاهش ارتفاع پس از هر برخورد را q فرض می‌کنیم.\n3. ارتفاع برخوردهای متوالی به صورت دنباله هندسی است: a, aq, aq^2, ...\n4. فاصله طی شده بین برخوردها برابر مجموع دو برابر ارتفاع‌های سقوط و جهش است.\n5. مجموع کل فاصله‌ها تا برخورد nام برابر مجموع جملات دنباله هندسی با ضریب مناسب است.\n6. از فرمول مجموع دنباله هندسی برای محاسبه استفاده می‌کنیم.\n7. مقدار نهایی را با جایگذاری اعداد داده شده محاسبه می‌کنیم." + }, + { + "title": "مجموع دنباله‌های حسابی", + "introText": "برای یافتن مجموع n جمله اول دنباله حسابی، ابتدا فرمول جمله کلی دنباله را پیدا می‌کنیم. سپس با استفاده از فرمول مجموع دنباله حسابی S_n = n/2 * (a_1 + a_n) یا فرمول جایگزین، مجموع را محاسبه می‌کنیم." + }, + { + "title": "مجموع جملات دنباله‌های خاص با فرمول کلی", + "introText": "برای دنباله‌هایی که به صورت توانی تعریف شده‌اند، ابتدا مجموع جملات را به صورت عبارت جبری می‌نویسیم. سپس با استفاده از فرمول مجموع دنباله هندسی یا فرمول‌های مرتبط، مجموع را به دست می‌آوریم. در نهایت با جایگذاری مقادیر داده شده، مقدار نهایی را محاسبه می‌کنیم." + }, + { + "title": "جمع جملات دنباله با شرایط خاص و بررسی نسبت‌ها", + "introText": "ابتدا جملات دنباله را به دو دسته جملات فرد و زوج تقسیم می‌کنیم. مجموع هر دسته را جداگانه محاسبه کرده و سپس نسبت مجموع‌ها را تعیین می‌کنیم. برای این کار از فرمول‌های مجموع دنباله حسابی استفاده می‌کنیم و با توجه به تعداد جملات هر دسته، مقدار مجموع را به دست می‌آوریم." + } + ] + }, + { + "title": "معادله‌های درجه دوم", + "order": 2, + "lessons": [ + { + "title": "حل معادلات درجه دوم", + "introText": "1. معادله درجه دوم را به صورت ax^2 + bx + c = 0 بنویسید.\n2. ضرایب a، b و c را مشخص کنید.\n3. مقدار دلتا را با فرمول Δ = b^2 - 4ac محاسبه کنید.\n4. اگر Δ ≥ 0 باشد، ریشه‌ها با فرمول x = (-b ± √Δ) / 2a محاسبه می‌شوند.\n5. اگر Δ < 0 باشد، معادله ریشه حقیقی ندارد.\n6. جواب‌های به دست آمده را بررسی و در صورت نیاز ساده کنید." + }, + { + "title": "یافتن ریشه دوم معادله درجه دوم با داشتن یک ریشه", + "introText": "1. معادله درجه دوم را به صورت ax^2 + bx + c = 0 بنویسید.\n2. ریشه داده شده را در معادله جایگذاری کنید تا معادله‌ای درباره ضریب مجهول (مثلاً m) به دست آید.\n3. مقدار ضریب مجهول را پیدا کنید.\n4. معادله را با مقدار ضریب معلوم شده بازنویسی کنید.\n5. با استفاده از فرمول کلی یا تجزیه، ریشه دوم را بیابید." + }, + { + "title": "رابطه بین ضرایب و ریشه‌های معادله درجه دوم", + "introText": "برای معادله درجه دوم به شکل ax² + bx + c = 0، ریشه‌ها را x₁ و x₂ فرض می‌کنیم. جمع ریشه‌ها برابر است با S = x₁ + x₂ = -b/a و حاصل ضرب ریشه‌ها برابر است با P = x₁ * x₂ = c/a. برای یافتن ریشه‌ها می‌توان از فرمول کلی استفاده کرد و سپس با جایگذاری در روابط بالا، صحت روابط را بررسی کرد." + }, + { + "title": "تشکیل معادله درجه دوم از ریشه‌ها", + "introText": "برای تشکیل معادله درجه دوم با ریشه‌های α و β، از رابطه کلی معادله x² - Sx + P = 0 استفاده می‌کنیم که در آن S برابر جمع ریشه‌ها (α + β) و P برابر ضرب ریشه‌ها (αβ) است. ابتدا جمع و ضرب ریشه‌ها را محاسبه کرده، سپس معادله را به صورت x² - Sx + P = 0 می‌نویسیم." + }, + { + "title": "تشخیص معادله درجه دوم از ریشه‌ها با استفاده از روابط جمع و ضرب", + "introText": "اگر ریشه‌های معادله درجه دوم α و β باشند، معادله به صورت x² - Sx + P = 0 نوشته می‌شود که در آن S = α + β و P = αβ است. با داشتن ریشه‌ها، ابتدا جمع و ضرب آن‌ها را محاسبه کرده و سپس معادله را تشکیل می‌دهیم." + }, + { + "title": "حل مسئله هندسی با استفاده از معادله درجه دوم", + "introText": "برای حل مسئله هندسی که طول و عرض مستطیل مجهول است و محیط و مساحت داده شده، ابتدا با فرض طول و عرض به ترتیب x₁ و x₂، معادلات مربوط به محیط و مساحت را می‌نویسیم. سپس با استفاده از روابط جمع و ضرب ریشه‌ها، معادله درجه دوم را تشکیل داده و حل می‌کنیم تا طول و عرض مستطیل را بیابیم." + }, + { + "title": "یافتن صفرهای تابع چندجمله‌ای", + "introText": "1. معادله f(x) = 0 را بنویسید.\n2. اگر تابع چندجمله‌ای است، معادله را به صورت چندجمله‌ای بنویسید.\n3. معادله را حل کنید تا مقادیر x که تابع صفر می‌شود را بیابید.\n4. این مقادیر x همان صفرهای تابع هستند.\n5. برای تایید، می‌توانید نمودار تابع را رسم کنید و نقاطی که نمودار محور x را قطع می‌کند، صفرهای تابع هستند." + }, + { + "title": "رسم نمودار سهمی و تحلیل صفرهای تابع", + "introText": "1. معادله تابع درجه دوم را بنویسید.\n2. نمودار سهمی تابع را رسم کنید.\n3. نقاطی که نمودار محور x را قطع می‌کند، صفرهای تابع هستند.\n4. محل تلاقی نمودار با محور طول‌ها (محور y) را مشخص کنید.\n5. با توجه به نمودار، صفرهای تابع را تعیین کنید." + }, + { + "title": "رسم نمودار سهمی‌های مختلف و تحلیل جواب معادلات", + "introText": "1. توابع داده شده را به صورت چندجمله‌ای درجه دوم بنویسید.\n2. نمودار هر تابع را رسم کنید.\n3. نقاطی که هر نمودار محور x را قطع می‌کند، صفرهای تابع مربوطه هستند.\n4. با مقایسه نمودارها، تعداد و مقدار صفرهای هر تابع را تعیین کنید.\n5. نتیجه‌گیری درباره جواب‌های معادلات f(x) = 0 و g(x) = 0 انجام دهید." + }, + { + "title": "یافتن ضابطه تابع درجه دوم با استفاده از صفرهای تابع", + "introText": "1. فرض کنید تابع درجه دوم به صورت f(x) = ax^2 + bx + c باشد.\n2. صفرهای تابع را x' و x'' در نظر بگیرید.\n3. تابع را به صورت ضرب دو عامل (x - x')(x - x'') بنویسید: f(x) = a(x - x')(x - x'').\n4. با گسترش ضرب دو جمله‌ای، رابطه بین a، b و c را بیابید.\n5. با استفاده از شرایط داده شده (مثلاً نقاطی که تابع از آنها عبور می‌کند یا مقادیر تابع در نقاط خاص)، مقدار a را تعیین کنید.\n6. ضریب‌های b و c را با استفاده از روابط بین a، b و c محاسبه کنید.\n7. ضابطه کامل تابع را بنویسید." + }, + { + "title": "تحلیل ویژگی‌های نمودار سهمی با معادله کلی", + "introText": "1. معادله سهمی به صورت کلی f(x) = ax^2 + bx + c نوشته می‌شود.\n2. تعداد ریشه‌ها با توجه به محل تقاطع نمودار با محور x مشخص می‌شود (دو ریشه متمایز، یک ریشه مضاعف، یا بدون ریشه).\n3. علامت a تعیین‌کننده جهت باز شدن سهمی است (a>0 باز به بالا، a<0 باز به پایین).\n4. علامت b و c و رابطه بین آنها و a را بررسی می‌کنیم تا ویژگی‌های نمودار مانند محل رأس و علامت ریشه‌ها را تعیین کنیم.\n5. با توجه به نمودار، ویژگی‌های خواسته شده مانند تعداد ریشه‌ها، علامت a، b، c را مشخص می‌کنیم." + }, + { + "title": "تکمیل جدول ویژگی‌های نمودار سهمی با توجه به معادله", + "introText": "1. برای هر نمودار سهمی، تعداد صفرهای تابع (ریشه‌ها) را مشخص کنید.\n2. علامت ضریب a را تعیین کنید تا جهت باز شدن سهمی مشخص شود.\n3. علامت b و c را بررسی کنید.\n4. با توجه به رابطه بین a، b و c و تعداد ریشه‌ها، جدول ویژگی‌ها را کامل کنید.\n5. از استدلال‌های مربوط به محل تقاطع نمودار با محور x و محور y استفاده کنید." + }, + { + "title": "یافتن صفرهای چندجمله‌ای با استفاده از تقسیم و تجزیه", + "introText": "برای یافتن صفرهای تابع چندجمله‌ای ابتدا بررسی می‌کنیم که آیا عدد مشخصی صفر تابع است یا خیر. سپس تابع را بر عامل (x - مقدار صفر فرضی) تقسیم می‌کنیم تا عامل دیگر را بیابیم. با تجزیه تابع به صورت حاصل‌ضرب دو چندجمله‌ای، معادله صفر می‌شود. سپس هر عامل را مساوی صفر قرار داده و مقادیر x را به دست می‌آوریم." + }, + { + "title": "یافتن صفرهای تابع با استفاده از تغییر متغیر", + "introText": "برای یافتن صفرهای تابعی که درجه آن بالاتر است، ابتدا با یک تغییر متغیر مناسب، معادله را به معادله درجه دوم تبدیل می‌کنیم. سپس معادله درجه دوم را حل می‌کنیم و مقادیر متغیر جدید را به دست می‌آوریم. در نهایت با بازگرداندن تغییر متغیر، مقادیر x را می‌یابیم. مقادیر نامعتبر که باعث منفی شدن توان‌های ریشه‌ای می‌شوند، حذف می‌گردند." + }, + { + "title": "حل معادلات با استفاده از روش هندسی (نموداری)", + "introText": "۱. معادله را به صورت دو تابع جداگانه تعریف کنید، به طوری که هر طرف معادله یک تابع باشد.\n۲. نمودار هر دو تابع را رسم کنید.\n۳. نقاط تلاقی نمودارها را پیدا کنید؛ این نقاط مقادیر x هستند که جواب معادله می‌باشند.\n۴. طول نقاط تلاقی نمودارها تعداد جواب‌های معادله را نشان می‌دهد و مقدار دقیق یا تقریبی جواب‌ها از این نقاط قابل استخراج است." + }, + { + "title": "نوشتن معادله درجه دوم با شرایط ریشه‌ها", + "introText": "1. فرض کنید معادله درجه دوم به شکل ax^2 + bx + c = 0 باشد.\n2. با توجه به ریشه‌های داده شده (مثلاً ریشه‌ها 1/3 و 2/3)، از رابطه ریشه‌ها و ضرایب معادله استفاده کنید: اگر ریشه‌ها α و β باشند، آنگاه معادله به صورت a(x - α)(x - β) = 0 نوشته می‌شود.\n3. معادله را باز کنید و به شکل استاندارد ax^2 + bx + c = 0 برسانید.\n4. اگر شرطی مانند برابر بودن ریشه‌ها داده شده باشد، از رابطه دلتا = 0 استفاده کنید و ضرایب را تعیین کنید." + }, + { + "title": "تشخیص ضابطه تابع درجه دوم از نمودار سهمی", + "introText": "1. از نمودار سهمی، نقاط صفر تابع (محل برخورد نمودار با محور x) را مشخص کنید.\n2. با توجه به صفرهای تابع، معادله را به صورت P(x) = a(x - x1)(x - x2) بنویسید.\n3. برای تعیین ضریب a، یک نقطه دیگر از نمودار را انتخاب کنید و مقدار تابع را در آن نقطه جایگذاری کنید.\n4. مقدار a را محاسبه کنید و ضابطه کامل تابع را بنویسید." + }, + { + "title": "مدل‌سازی حرکت توپ با تابع درجه دوم", + "introText": "1. تابع ارتفاع توپ نسبت به فاصله افقی را به صورت h(x) = ax^2 + bx + c مدل کنید.\n2. از شرایط مسئله (مثلاً نقطه شروع، نقطه برخورد با زمین) برای تعیین ضرایب استفاده کنید.\n3. با جایگذاری مقادیر خاص (مثلاً h(x) = 0 برای برخورد با زمین) نقاط برخورد را بیابید.\n4. برای یافتن بیشینه ارتفاع، از مشتق تابع استفاده کنید و مقدار x مربوط به بیشینه را پیدا کنید.\n5. مقدار h(x) در آن نقطه بیشینه ارتفاع است." + }, + { + "title": "یافتن صفرهای توابع چندجمله‌ای", + "introText": "1. تابع داده شده را برابر صفر قرار دهید: f(x) = 0.\n2. اگر تابع درجه چهار یا بالاتر است، سعی کنید با روش‌هایی مانند تجزیه، استفاده از فرمول‌ها یا آزمون ریشه‌های ممکن، معادله را حل کنید.\n3. صفرهای حقیقی تابع را بیابید.\n4. در صورت نیاز، از روش‌های عددی یا تقریب استفاده کنید." + }, + { + "title": "حل معادلات چندجمله‌ای درجه بالا", + "introText": "1. معادله داده شده را به شکل استاندارد بنویسید.\n2. اگر ممکن است، معادله را تجزیه کنید یا از فرمول‌های خاص استفاده کنید.\n3. ریشه‌های معادله را بیابید.\n4. در صورت وجود کسر یا توان‌های کسری، معادله را به گونه‌ای ساده کنید که قابل حل باشد." + }, + { + "title": "تعیین تعداد و مقدار تقریبی ریشه‌های معادله درجه سوم با استفاده از نمودار", + "introText": "1. معادله داده شده را به صورت تابع f(x) تعریف کنید.\n2. نمودار تابع را رسم یا بررسی کنید.\n3. نقاطی که نمودار محور x را قطع می‌کند، ریشه‌های معادله هستند.\n4. تعداد ریشه‌ها برابر تعداد نقاط تقاطع نمودار با محور x است.\n5. مقدار تقریبی ریشه‌ها برابر مقادیر x در نقاط تقاطع است." + }, + { + "title": "تحلیل نمودار تابع درجه دوم و تعیین صفرها و ضابطه تابع", + "introText": "1. نمودار سهمی داده شده را بررسی کنید.\n2. رأس سهمی را مشخص کنید (نقطه حداقل یا حداکثر).\n3. با توجه به جهت باز شدن سهمی (بالا یا پایین) ضریب a را تعیین کنید.\n4. نقاطی که نمودار محور x را قطع می‌کند، صفرهای تابع هستند.\n5. با استفاده از رأس و صفرها، ضابطه تابع را به صورت f(x) = ax^2 + bx + c بیابید." + }, + { + "title": "محاسبه عرض نوار بتونی اطراف استخر مستطیل شکل با داده‌های طول، عرض و مساحت", + "introText": "1. طول و عرض استخر را به ترتیب L و W در نظر بگیرید.\n2. عرض نوار بتونی را x فرض کنید.\n3. طول و عرض کل مستطیل شامل نوار بتونی برابر L + 2x و W + 2x است.\n4. مساحت کل مستطیل برابر (L + 2x)(W + 2x) است.\n5. مساحت نوار بتونی برابر مساحت کل منهای مساحت استخر است.\n6. معادله (L + 2x)(W + 2x) - L*W = مساحت نوار بتونی را حل کنید تا x را بیابید." + }, + { + "title": "محاسبه طول کاشی با داده‌های نسبت طول به عرض، مساحت دیوار و تعداد کاشی مصرفی", + "introText": "1. طول کاشی را x و عرض آن را y فرض کنید.\n2. نسبت طول به عرض داده شده است، مثلاً طول چهار برابر عرض: x = 4y.\n3. مساحت هر کاشی برابر x*y است.\n4. تعداد کاشی مصرف شده ضربدر مساحت هر کاشی برابر مساحت کل دیوار است.\n5. معادله تعداد * مساحت کاشی = مساحت دیوار را بنویسید.\n6. با جایگذاری نسبت طول به عرض، معادله را حل کنید تا طول کاشی را بیابید." + } + ] + }, + { + "title": "معادله‌های گویا و گنگ", + "order": 3, + "lessons": [ + { + "title": "حل معادلات گویا در مسائل درصدی", + "introText": "1. تعریف متغیر برای مقدار مجهول (مثلاً مقدار نمک اضافه شده x). 2. نوشتن نسبت درصد نمک به کل محلول به صورت کسر گویا. 3. برقراری معادله بر اساس درصد مورد نظر (مثلاً 7 درصد). 4. ضرب طرفین معادله در کوچک‌ترین مضرب مشترک مخرج‌ها برای حذف کسرها. 5. حل معادله خطی به دست آمده برای x. 6. نتیجه‌گیری و تفسیر مقدار x به دست آمده." + }, + { + "title": "حل معادلات گویا", + "introText": "۱. تعیین کوچک‌ترین مضرب مشترک مخرج کسرها. ۲. ضرب طرفین معادله در کوچک‌ترین مضرب مشترک مخرج‌ها برای حذف مخرج‌ها. ۳. ساده‌سازی و تبدیل معادله به معادله چندجمله‌ای. ۴. حل معادله چندجمله‌ای به دست آمده. ۵. بررسی جواب‌ها و حذف جواب‌هایی که مخرج‌ها را صفر می‌کنند (جواب‌های نامعتبر)." + }, + { + "title": "حل مسائل نسبت طلایی در مستطیل", + "introText": "1. فرض کنید طول مستطیل L و عرض آن w باشد.\n2. نسبت طلایی را به صورت L/w = (w + L)/L تعریف کنید.\n3. معادله نسبت طلایی را به صورت یک معادله جبری بنویسید.\n4. اگر محیط مستطیل داده شده باشد، از رابطه محیط = 2(L + w) استفاده کنید.\n5. دو معادله را حل کنید تا مقادیر طول و عرض به دست آید." + }, + { + "title": "حل معادلات درجه دوم با کاربرد هندسی", + "introText": "1. مسئله را به صورت هندسی مدل‌سازی کنید و نقاط و فواصل را مشخص کنید.\n2. با استفاده از روابط هندسی مانند فیثاغورس، معادله‌ای برای فاصله‌ها بنویسید.\n3. انرژی مصرفی را بر اساس فاصله‌ها و نرخ مصرف داده شده به صورت معادله بیان کنید.\n4. معادله به دست آمده را ساده کنید تا به معادله درجه دوم برسید.\n5. معادله درجه دوم را حل کنید و جواب‌های ممکن را بیابید.\n6. جواب‌های به دست آمده را در مسئله بررسی کنید و جواب منطقی را انتخاب کنید." + }, + { + "title": "حل معادلات رادیکالی با بررسی دامنه و آزمایش جواب‌ها", + "introText": "۱. معادله رادیکالی را به گونه‌ای تبدیل کنید که رادیکال‌ها حذف شوند، معمولاً با توان رساندن طرفین معادله. ۲. معادله به دست آمده را حل کنید (مثلاً معادله درجه دو). ۳. جواب‌های به دست آمده را در معادله اصلی جایگذاری کنید تا صحت آنها بررسی شود، زیرا توان رساندن ممکن است جواب‌های اضافی ایجاد کند. ۴. دامنه تعریف معادله را تعیین کنید و فقط جواب‌هایی که در دامنه قرار دارند را قبول کنید." + }, + { + "title": "حل معادلات شامل رادیکال", + "introText": "1. معادله را به گونه‌ای تنظیم کنید که یک طرف معادله فقط شامل رادیکال باشد.\n2. هر دو طرف معادله را به توان دو برسانید تا رادیکال حذف شود.\n3. معادله حاصل را حل کنید.\n4. جواب‌ها را در معادله اصلی جایگذاری کنید تا جواب‌های نامعتبر (ایراددار) حذف شوند." + }, + { + "title": "حل مسائل کاربردی با معادلات خطی", + "introText": "1. متغیرهای مسئله را تعریف کنید.\n2. روابط داده شده را به صورت معادلات ریاضی بنویسید.\n3. معادلات را حل کنید تا مقدار متغیرها را بیابید.\n4. پاسخ را در قالب مسئله بیان کنید." + }, + { + "title": "حل مسائل حرکت با سرعت‌های نسبی", + "introText": "1. متغیرهای سرعت و زمان را تعریف کنید.\n2. معادلات مربوط به حرکت در جهت جریان و خلاف جریان را بنویسید.\n3. از مجموع زمان‌ها یا فاصله‌ها معادله بسازید.\n4. معادله را حل کنید تا سرعت‌ها را بیابید." + }, + { + "title": "حل مسائل زمان کار با ماشین‌ها", + "introText": "1. زمان انجام کار هر ماشین را متغیر قرار دهید.\n2. نرخ انجام کار هر ماشین را به صورت معکوس زمان بیان کنید.\n3. معادله مربوط به کار مشترک و جداگانه را بنویسید.\n4. معادله را حل کنید تا زمان‌ها را بیابید." + } + ] + }, + { + "title": "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "order": 4, + "lessons": [ + { + "title": "حذف قدر مطلق از عبارات جبری", + "introText": "برای حذف قدر مطلق از یک عبارت عددی a، ابتدا مقدار a را بررسی می‌کنیم: اگر a بزرگ‌تر یا مساوی صفر باشد، قدر مطلق برابر a است؛ در غیر این صورت، قدر مطلق برابر منفی a است. سپس با توجه به این تعریف، قدر مطلق را حذف و عبارت را به صورت بدون قدر مطلق می‌نویسیم." + }, + { + "title": "ساده‌سازی عبارات شامل رادیکال و توان", + "introText": "برای ساده‌سازی عبارات شامل رادیکال و توان، ابتدا باید رادیکال‌ها را به صورت توان‌های کسری بنویسیم و سپس با استفاده از قوانین توان‌ها و جذرها، عبارات را به ساده‌ترین شکل ممکن تبدیل کنیم. همچنین می‌توان از اتحادهای جبری مانند مربع مجموع و تفاضل برای ساده‌سازی استفاده کرد." + }, + { + "title": "رسم نمودار توابع قدر مطلق با استفاده از انتقال و تبدیل دو ضابطه‌ای", + "introText": "برای رسم نمودار تابعی که شامل قدر مطلق است، ابتدا نمودار پایه تابع قدر مطلق y=|x| را رسم می‌کنیم. سپس با استفاده از انتقال‌های افقی و عمودی نمودار را جابجا می‌کنیم. اگر تابع شامل جمع یا تفریق داخل قدر مطلق باشد، ابتدا علامت داخل قدر مطلق را تعیین می‌کنیم و تابع را به صورت دو ضابطه‌ای می‌نویسیم. سپس هر ضابطه را جداگانه رسم می‌کنیم و نمودار کلی تابع را با ترکیب این بخش‌ها رسم می‌کنیم." + }, + { + "title": "اثبات ویژگی‌های قدر مطلق", + "introText": "برای اثبات ویژگی‌های قدر مطلق، ابتدا تعاریف و خواص پایه قدر مطلق را یادآوری می‌کنیم. سپس با استفاده از تعریف قدر مطلق و قوانین جبر، هر ویژگی را مرحله به مرحله ثابت می‌کنیم. معمولاً از خاصیت‌های قدر مطلق مانند |x| = x یا -x (برای x منفی)، ضرب و تقسیم اعداد حقیقی و خاصیت ریشه دوم استفاده می‌شود." + }, + { + "title": "اثبات رابطه قدر مطلق تقسیم", + "introText": "برای اثبات رابطه قدر مطلق تقسیم، ابتدا فرض می‌کنیم مخرج کسر صفر نباشد. سپس با استفاده از تعریف قدر مطلق و خاصیت تقسیم اعداد حقیقی، رابطه را به صورت مرحله‌ای ثابت می‌کنیم. معمولاً از خاصیت ضرب قدر مطلق و تقسیم استفاده می‌شود." + }, + { + "title": "حل نامعادله‌های قدر مطلق و نمایش جواب‌ها روی محور اعداد", + "introText": "برای حل نامعادله‌های قدر مطلق، ابتدا تعریف قدر مطلق را به صورت دو حالت (مثبت و منفی) بازنویسی می‌کنیم. سپس نامعادله را به دو نامعادله خطی تبدیل کرده و هر کدام را جداگانه حل می‌کنیم. در نهایت جواب‌ها را روی محور اعداد نمایش می‌دهیم و بازه جواب را مشخص می‌کنیم." + }, + { + "title": "اثبات نامساوی مثلث برای اعداد حقیقی", + "introText": "برای اثبات نامساوی مثلث |a + b| ≤ |a| + |b|، ابتدا از تعریف قدر مطلق و خواص آن استفاده می‌کنیم. سپس با توجه به اینکه قدر مطلق عدد برابر با فاصله آن از صفر است، نامساوی را با استفاده از هندسه یا جبر اثبات می‌کنیم. معمولاً از خاصیت‌های نامساوی و جبر استفاده می‌شود." + }, + { + "title": "حل معادلات قدر مطلق", + "introText": "برای حل معادلات قدر مطلق ابتدا شرط تعریف قدر مطلق را در نظر می‌گیریم. سپس معادله را به دو حالت تقسیم می‌کنیم: حالت اول که داخل قدر مطلق مثبت یا صفر است و حالت دوم که داخل قدر مطلق منفی است. در هر حالت معادله را بدون قدر مطلق حل می‌کنیم. همچنین می‌توان با رسم نمودار توابع داخل قدر مطلق و مقایسه طول‌های تلاقی نمودارها جواب‌ها را پیدا کرد. روش دیگر توان رساندن طرفین معادله است که باید جواب‌های بدست آمده را در معادله اصلی بررسی کرد." + }, + { + "title": "حل معادلات قدر مطلق با استفاده از تعریف قدر مطلق", + "introText": "با توجه به تعریف قدر مطلق، مقدار قدر مطلق یک عدد برابر است با خود عدد اگر آن عدد مثبت یا صفر باشد و برابر منفی آن عدد اگر منفی باشد. بنابراین معادله را به دو حالت تقسیم می‌کنیم: حالت اول که داخل قدر مطلق بزرگ‌تر یا مساوی صفر است و حالت دوم که داخل قدر مطلق کمتر از صفر است. در هر حالت معادله را بدون قدر مطلق حل می‌کنیم و جواب‌ها را در مجموعه جواب قرار می‌دهیم." + }, + { + "title": "حل معادلات قدر مطلق با روش هندسی", + "introText": "ابتدا توابع داخل قدر مطلق را به صورت جداگانه رسم می‌کنیم. سپس محل‌های تلاقی نمودارهای این توابع را مشخص می‌کنیم. طول‌های تلاقی این نمودارها نقاطی هستند که جواب معادله قدر مطلق را تشکیل می‌دهند. این روش به صورت تصویری و هندسی جواب معادله را نشان می‌دهد." + }, + { + "title": "حل معادلات قدر مطلق با توان رساندن طرفین", + "introText": "برای حل معادله قدر مطلق می‌توان طرفین معادله را به توان دو رساند تا قدر مطلق حذف شود. سپس معادله درجه دو یا چندجمله‌ای بدست آمده را حل می‌کنیم. در نهایت جواب‌های بدست آمده را در معادله اصلی جایگذاری کرده و جواب‌های نامعتبر را حذف می‌کنیم." + }, + { + "title": "نوشتن تابع چندضابطه‌ای با استفاده از قدر مطلق", + "introText": "برای نوشتن تابعی به صورت چندضابطه‌ای با استفاده از قدر مطلق، ابتدا عبارت داخل قدر مطلق را بررسی می‌کنیم. اگر عبارت داخل قدر مطلق مثبت یا صفر باشد، مقدار تابع برابر همان عبارت است. اگر منفی باشد، مقدار تابع برابر منفی آن عبارت است. بنابراین تابع را به صورت دو ضابطه‌ای تعریف می‌کنیم که هر ضابطه مربوط به یکی از حالات مثبت یا منفی بودن عبارت داخل قدر مطلق است." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع قدر مطلق", + "introText": "برای رسم نمودار تابعی که شامل قدر مطلق است، ابتدا نمودار تابع داخل قدر مطلق را رسم می‌کنیم. سپس نقاطی که مقدار داخل قدر مطلق منفی است را نسبت به محور x قرینه می‌کنیم (مقدار y را مثبت می‌کنیم). در نهایت نمودار تابع قدر مطلق به دست می‌آید که همیشه بالای محور x قرار دارد یا روی آن." + }, + { + "title": "نوشتن تابع به صورت دو ضابطه‌ای با استفاده از تابع مطلق", + "introText": "برای نوشتن تابع y = |f(x)| به صورت دو ضابطه‌ای، ابتدا شرط مثبت یا منفی بودن f(x) را بررسی می‌کنیم. اگر f(x) ≥ 0، y برابر f(x) است و اگر f(x) < 0، y برابر منفی f(x) است. بنابراین تابع به صورت دو ضابطه‌ای تعریف می‌شود که هر ضابطه مربوط به یکی از این دو حالت است." + }, + { + "title": "حل معادله شامل قدر مطلق با روش جبری و ویژگی‌های قدر مطلق", + "introText": "برای حل معادله‌ای که شامل قدر مطلق است، ابتدا معادله را به صورت دو حالت تعریف می‌کنیم: حالت اول که عبارت داخل قدر مطلق مثبت یا صفر است و حالت دوم که منفی است. سپس در هر حالت معادله را بدون قدر مطلق حل می‌کنیم. جواب‌های هر دو حالت را بررسی و در نهایت جواب‌های نهایی را تعیین می‌کنیم." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع با استفاده از نمودار تابع اصلی و اعمال تغییرات قدر مطلق", + "introText": "برای رسم نمودار تابع y = |f(x)| ابتدا نمودار تابع f(x) را رسم می‌کنیم. سپس بخش‌هایی از نمودار که زیر محور x قرار دارند (مقدار y منفی است) را نسبت به محور x قرینه می‌کنیم تا مقدار y مثبت شود. بخش‌هایی که بالای محور x هستند بدون تغییر باقی می‌مانند. این روش باعث می‌شود نمودار تابع قدر مطلق همیشه در نیم‌صفحه بالای محور x قرار گیرد." + }, + { + "title": "نوشتن ضابطه تابع با استفاده از علامت قدر مطلق", + "introText": "برای نوشتن ضابطه تابعی که شامل قدر مطلق است، ابتدا تعریف قدر مطلق را به کار می‌بریم. قدر مطلق x برابر است با x اگر x مثبت یا صفر باشد و برابر -x اگر x منفی باشد. سپس با توجه به ترکیب داده شده، هر قسمت تابع را به صورت شرطی بر اساس علامت x یا عبارات داخل قدر مطلق می‌نویسیم." + }, + { + "title": "محاسبه نقاط روی محور طول‌ها با شرط مجموع فاصله‌ها", + "introText": "برای یافتن نقاطی روی محور طول‌ها که مجموع فاصله‌های آن‌ها از دو نقطه داده شده برابر عدد مشخصی باشد، ابتدا فاصله‌ها را به صورت قدر مطلق اختلاف مختصات نقاط می‌نویسیم. سپس معادله مجموع این فاصله‌ها را برابر مقدار داده شده قرار می‌دهیم و معادله را حل می‌کنیم تا نقاط مورد نظر به دست آید." + }, + { + "title": "نمایش عبارات با نماد قدر مطلق و حل معادلات", + "introText": "برای نمایش عبارات داده شده با نماد قدر مطلق، ابتدا فاصله‌ها یا مقادیر مطلق را به صورت |x - a| می‌نویسیم. سپس برای حل معادلات، قدر مطلق را به دو حالت مثبت و منفی تقسیم می‌کنیم و معادلات خطی حاصل را جداگانه حل می‌کنیم. جواب‌های به دست آمده را بررسی می‌کنیم تا معتبر باشند." + }, + { + "title": "حل معادلات شامل قدر مطلق و رادیکال", + "introText": "برای حل معادلاتی که شامل قدر مطلق و رادیکال هستند، ابتدا معادله را به گونه‌ای ساده می‌کنیم که بتوانیم هر قسمت را جداگانه بررسی کنیم. در صورت وجود قدر مطلق، معادله را به دو حالت مثبت و منفی تقسیم می‌کنیم. در صورت وجود رادیکال، ابتدا دامنه تعریف را مشخص کرده و سپس معادله را به توان می‌رسانیم تا رادیکال حذف شود. در نهایت جواب‌ها را در معادله اصلی جایگذاری می‌کنیم تا جواب‌های نامعتبر حذف شوند." + }, + { + "title": "رسم نمودار توابع شامل قدر مطلق و حل معادلات هندسی و جبری", + "introText": "برای رسم نمودار توابع شامل قدر مطلق، ابتدا تابع را به صورت شرطی بر اساس علامت داخل قدر مطلق می‌نویسیم. سپس نقاط کلیدی مانند نقاطی که داخل قدر مطلق صفر می‌شوند را مشخص می‌کنیم و نمودار را در هر بازه رسم می‌کنیم. برای حل معادلات هندسی و جبری، از نمودار برای یافتن نقاط تقاطع یا حل معادله استفاده می‌کنیم." + } + ] + }, + { + "title": "آشنایی با هندسه تحلیلی", + "order": 5, + "lessons": [ + { + "title": "محاسبه طول پاره‌خط روی محور اعداد", + "introText": "1. نقاط داده شده را روی محور اعداد مشخص کنید.\n2. طول پاره‌خط بین دو نقطه را با تفاضل قدر مطلق مختصات آن دو نقطه محاسبه کنید.\n3. اگر نقاط متقارنی نسبت به مبدا داده شده‌اند، مختصات آنها را به صورت عددی مشخص کنید.\n4. طول پاره‌خط را با استفاده از فرمول |x_B - x_A| محاسبه کنید." + }, + { + "title": "محاسبه طول پاره‌خط در صفحه مختصات", + "introText": "1. نقاط A و B را با مختصات (x₁, y₁) و (x₂, y₂) در نظر بگیرید.\n2. فاصله بین دو نقطه برابر است با طول پاره‌خط AB.\n3. از رابطه فیثاغورس استفاده کنید: AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²).\n4. اختلاف مختصات x و y را محاسبه کنید.\n5. مربع اختلاف‌ها را جمع کنید.\n6. جذر مجموع را بگیرید تا طول پاره‌خط به دست آید." + }, + { + "title": "بررسی قائم‌الزاویه بودن مثلث در صفحه مختصات", + "introText": "1. سه نقطه A(x₁, y₁)، B(x₂, y₂) و C(x₃, y₃) را در نظر بگیرید.\n2. شیب خطوط AB و AC را محاسبه کنید: m_AB = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)، m_AC = (y₃ - y₁) / (x₃ - x₁).\n3. اگر حاصل‌ضرب شیب‌ها برابر -1 باشد، خطوط عمودند و زاویه بین آن‌ها قائمه است.\n4. بنابراین مثلث ABC قائم‌الزاویه است اگر m_AB * m_AC = -1.\n5. در غیر این صورت، زاویه قائمه نیست." + }, + { + "title": "محاسبه طول اضلاع مثلث در صفحه مختصات", + "introText": "1. سه نقطه A(x₁, y₁)، B(x₂, y₂) و C(x₃, y₃) را در نظر بگیرید.\n2. طول هر ضلع را با استفاده از فرمول فاصله محاسبه کنید:\n AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)\n BC = √((x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²)\n AC = √((x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²)\n3. مقادیر را جایگذاری و محاسبه کنید." + }, + { + "title": "محاسبه شیب خطوط در صفحه مختصات", + "introText": "1. دو نقطه A(x₁, y₁) و B(x₂, y₂) را در نظر بگیرید.\n2. شیب خط AB را با فرمول m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) محاسبه کنید.\n3. همین کار را برای خط AC انجام دهید.\n4. رابطه بین دو شیب را بررسی کنید (مثلاً برای قائم‌الزاویه بودن ضرب شیب‌ها باید -1 باشد)." + }, + { + "title": "نوشتن معادله عمودمنصف پاره‌خط", + "introText": "۱. نقاط ابتدا و انتهای پاره‌خط را مشخص کنید.\n۲. نقطه میانی پاره‌خط را با میانگین مختصات دو نقطه محاسبه کنید.\n۳. شیب پاره‌خط را با فرمول (تغییرات y تقسیم بر تغییرات x) محاسبه کنید.\n۴. شیب عمودمنصف برابر منفی معکوس شیب پاره‌خط است.\n۵. معادله خط عمودمنصف را با استفاده از نقطه میانی و شیب عمودمنصف به صورت y - y1 = m(x - x1) بنویسید.\n۶. در صورت نیاز معادله را به شکل استاندارد یا ساده شده تبدیل کنید.\n۷. برای اثبات عمودمنصف بودن، نشان دهید فاصله هر نقطه از دو سر پاره‌خط تا این خط برابر است." + }, + { + "title": "بررسی رابطه شیب خطوط عمود بر هم", + "introText": "۱. شیب دو خط را به ترتیب m و m' در نظر بگیرید.\n۲. اگر خطوط عمود بر هم باشند، حاصل‌ضرب شیب‌های آن‌ها برابر -1 است، یعنی m × m' = -1.\n۳. برای بررسی عمود بودن دو خط، شیب هر خط را محاسبه کنید.\n۴. اگر حاصل‌ضرب شیب‌ها برابر -1 بود، خطوط عمود بر هم هستند.\n۵. این رابطه برای خطوط عمودمنصف نیز صادق است." + }, + { + "title": "تشخیص قرارگیری نقطه روی خط عمودمنصف", + "introText": "۱. معادله خط عمودمنصف را داشته باشید یا بنویسید.\n۲. مختصات نقطه داده شده را در معادله خط قرار دهید تا بررسی کنید آیا روی خط قرار دارد یا خیر.\n۳. برای اطمینان، فاصله نقطه از دو سر پاره‌خط را محاسبه کنید.\n۴. اگر فاصله‌ها برابر باشند، نقطه روی خط عمودمنصف قرار دارد.\n۵. در غیر این صورت، نقطه روی خط نیست." + }, + { + "title": "محاسبه طول نقطه وسط یک پاره‌خط", + "introText": "برای یافتن طول نقطه M که وسط پاره‌خط AB است، ابتدا مختصات نقاط A و B را روی محور عددی مشخص می‌کنیم. سپس طول پاره‌خط AM و MB را محاسبه می‌کنیم که برابرند. طول M از A برابر نصف فاصله کل AB است. به عبارت دیگر، x_M = (x_A + x_B) / 2." + }, + { + "title": "محاسبه مختصات نقطه وسط پاره‌خط در صفحه مختصات", + "introText": "برای یافتن مختصات نقطه M که وسط پاره‌خط AB است در صفحه مختصات، ابتدا مختصات نقاط A و B را به صورت (x_A, y_A) و (x_B, y_B) مشخص می‌کنیم. سپس مختصات M را با میانگین گرفتن از مختصات x و y نقاط A و B به دست می‌آوریم: x_M = (x_A + x_B) / 2 و y_M = (y_A + y_B) / 2." + }, + { + "title": "محاسبه فاصله یک نقطه از یک خط", + "introText": "برای محاسبه فاصله نقطه A(x,y) از خط ax + by + c = 0، ابتدا معادله خط را به صورت استاندارد می‌نویسیم. سپس طول عمود AH را با استفاده از فرمول فاصله نقطه از خط محاسبه می‌کنیم: AH = |ax + by + c| / √(a² + b²). برای این کار مراحل زیر را انجام می‌دهیم: 1. معادله خط را به شکل ax + by + c = 0 تبدیل کنید. 2. مختصات نقطه A را در فرمول جایگذاری کنید. 3. قدر مطلق صورت کسر را محاسبه کنید. 4. مخرج کسر را با استفاده از a و b محاسبه کنید. 5. حاصل تقسیم را به دست آورید که فاصله نقطه از خط است." + }, + { + "title": "فاصله نقطه از خط", + "introText": "1. معادله خط را به صورت Ax + By + C = 0 بنویسید.\n2. مختصات نقطه را به صورت (x₀, y₀) مشخص کنید.\n3. از فرمول فاصله نقطه از خط استفاده کنید: d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).\n4. مقدار عددی را محاسبه کنید تا فاصله به دست آید." + }, + { + "title": "یافتن مقدار مجهول در معادله خط با استفاده از فاصله نقطه از خط", + "introText": "1. معادله خط را به صورت Ax + By + C = 0 بنویسید که شامل مجهول k باشد.\n2. مختصات نقطه (x₀, y₀) را مشخص کنید.\n3. فاصله داده شده را برابر فرمول فاصله نقطه از خط قرار دهید: d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).\n4. معادله به دست آمده را حل کنید تا مقدار k پیدا شود." + }, + { + "title": "محاسبه مساحت شکل هندسی با استفاده از معادله خط و مختصات رئوس", + "introText": "1. معادله خط‌ها و مختصات رئوس شکل را مشخص کنید.\n2. طول اضلاع را با استفاده از فاصله بین نقاط یا معادله خط محاسبه کنید.\n3. با توجه به نوع شکل (مربع یا مستطیل)، مساحت را با ضرب طول و عرض محاسبه کنید." + }, + { + "title": "محاسبه مساحت مستطیل با استفاده از معادله خط و مختصات رئوس", + "introText": "1. معادله خط‌های دو ضلع مستطیل و مختصات راس را مشخص کنید.\n2. طول اضلاع مستطیل را با استفاده از فاصله بین نقاط یا فرمول فاصله نقطه از خط محاسبه کنید.\n3. مساحت مستطیل را با ضرب طول و عرض به دست آورید." + }, + { + "title": "کار با مختصات و بردارها در مثلث", + "introText": "1. رسم مثلث با استفاده از مختصات داده شده. 2. بررسی برابری طول اضلاع برای اثبات متساوی الساقین بودن مثلث با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه. 3. یافتن معادله عمود منصف ضلع BC با استفاده از شیب و نقطه وسط ضلع. 4. محاسبه طول ارتفاع AH با استفاده از فاصله نقطه تا خط." + }, + { + "title": "یافتن مرکز و شعاع دایره با استفاده از نقاط روی قطر", + "introText": "1. مرکز دایره برابر نقطه وسط دو نقطه داده شده روی قطر است. 2. شعاع دایره برابر نصف فاصله بین دو نقطه قطر است. 3. فاصله بین دو نقطه با فرمول فاصله محاسبه می‌شود." + }, + { + "title": "مدل‌سازی و تحلیل منحنی سهمی", + "introText": "1. نقاط انتهایی منحنی سهمی را با حل معادله درجه دو y = x^2 - 8x - 20 برای y=0 بدست می‌آوریم. 2. طول قاعده AB برابر فاصله بین نقاط A و B است. 3. ضخامت بیشینه منحنی برابر مقدار بیشینه y در بازه بین نقاط A و B است که با یافتن رأس سهمی محاسبه می‌شود." + }, + { + "title": "ثابت کردن فاصله بین دو خط موازی", + "introText": "1. معادلات دو خط موازی به شکل ax + by + c = 0 و ax + by + c' = 0 داده شده‌اند. 2. فاصله بین دو خط موازی برابر مقدار مطلق تفاضل جملات آزاد تقسیم بر ریشه مجموع مربعات ضرایب x و y است. 3. فرمول فاصله: |c - c'| / √(a^2 + b^2)." + }, + { + "title": "محاسبه شعاع دایره با استفاده از خط مماس و مرکز دایره", + "introText": "1. مرکز دایره داده شده است. 2. خط مماس به دایره داده شده است. 3. شعاع دایره برابر فاصله مرکز دایره تا خط مماس است. 4. فاصله نقطه تا خط با فرمول |ax0 + by0 + c| / √(a^2 + b^2) محاسبه می‌شود." + }, + { + "title": "محاسبه مختصات نقطه روی نیم‌دایره", + "introText": "1. معادله دایره را بنویسید: x² + y² = شعاع².\n2. با توجه به اینکه نقطه روی نیم‌دایره است و مختصات y آن مثبت است، مقدار y را به صورت y=√(شعاع² - x²) بنویسید.\n3. مقدار x را با توجه به شرایط مسئله پیدا کنید.\n4. شیب خطوط را با استفاده از فرمول شیب m = (y2 - y1) / (x2 - x1) محاسبه کنید.\n5. بررسی قائم بودن زاویه با استفاده از حاصل‌ضرب داخلی شیب‌ها (اگر حاصل‌ضرب برابر -1 باشد، زاویه قائمه است)." + }, + { + "title": "محاسبه فاصله نقطه تا خط", + "introText": "1. معادله خط را به صورت ax + by + c = 0 بنویسید.\n2. مختصات نقطه (x₀, y₀) را داشته باشید.\n3. فاصله نقطه تا خط را با فرمول d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²) محاسبه کنید.\n4. اگر فاصله برابر مقدار داده شده باشد، مقدار مجهول را پیدا کنید." + }, + { + "title": "محاسبه طول عمود و مختصات نقطه در مثلث", + "introText": "1. مختصات رأس‌های مثلث را داشته باشید.\n2. برای محاسبه طول عمود، معادله خط قاعده را پیدا کنید.\n3. مختصات نقطه عمود شده را با استفاده از فرمول فاصله عمود و معادله خط پیدا کنید.\n4. طول عمود را با فرمول فاصله بین دو نقطه محاسبه کنید.\n5. برای تعیین مختصات نقطه D که ABCD متوازی‌الاضلاع است، از خاصیت متوازی‌الاضلاع استفاده کنید: D = A + C - B." + }, + { + "title": "محاسبه نقطه روی خط با شرط مجموع فاصله‌ها", + "introText": "1. معادله خط را داشته باشید.\n2. مختصات نقطه را به صورت (x, y) با y بر حسب x از معادله خط بنویسید.\n3. فاصله نقطه تا مبدا مختصات و نقطه داده شده را با فرمول فاصله محاسبه کنید.\n4. مجموع فاصله‌ها را برابر مقدار داده شده قرار دهید.\n5. معادله به دست آمده را حل کنید تا مختصات نقطه را بیابید." + } + ] + } + ] + }, + { + "title": "فصل ۲: تابع", + "order": 2, + "nodes": [ + { + "title": "آشنایی بیشتر با تابع", + "order": 1, + "lessons": [ + { + "title": "نمایش تابع با استفاده از نمودار و مدل‌های واقعی", + "introText": "1. تعریف تابع و متغیر مستقل و وابسته را مشخص کنید.\n2. داده‌های واقعی یا مدل‌های ارائه شده را به صورت نقاط یا مقادیر عددی استخراج کنید.\n3. رابطه تابعی بین متغیر مستقل (مثلاً سن) و متغیر وابسته (مثلاً قد) را تعیین کنید.\n4. نمودار تابع را رسم کنید یا رابطه تابعی را به صورت فرمولی بیان کنید.\n5. در صورت نیاز، تابع را تحلیل و تفسیر کنید." + }, + { + "title": "تشخیص تابع و دامنه و برد آن", + "introText": "1. ابتدا رابطه تابع داده شده را بررسی کنید تا نوع تابع مشخص شود.\n2. دامنه تابع را با توجه به تعریف تابع و محدودیت‌های موجود تعیین کنید.\n3. برد تابع را با توجه به مقادیر خروجی تابع در دامنه مشخص کنید.\n4. نمودار تابع را رسم یا بررسی کنید تا دامنه و برد را تایید کنید.\n5. جدول داده شده را کامل کنید و شباهت‌ها و تفاوت‌های نمودارها را مقایسه کنید." + }, + { + "title": "تعیین دامنه و برد تابع", + "introText": "1. ابتدا تعریف تابع و رابطه آن را بررسی کنید.\n2. دامنه تابع را با توجه به مجموعه‌ای که متغیر x می‌تواند عضو آن باشد تعیین کنید.\n3. برای هر مقدار از دامنه، مقدار تابع را محاسبه کنید تا برد تابع مشخص شود.\n4. دامنه و برد را به صورت مجموعه یا بازه نمایش دهید." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع و مقایسه توابع", + "introText": "1. جدول مقادیر تابع را برای چند مقدار دلخواه از دامنه رسم کنید.\n2. نقاط حاصل را روی محور مختصات رسم کنید.\n3. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار تابع به دست آید.\n4. نمودار توابع مختلف را روی یک محور رسم کرده و ویژگی‌های آن‌ها مانند شیب، تقارن و نقاط تقاطع را مقایسه کنید." + }, + { + "title": "تشخیص نمایش تابع و دامنه و برد", + "introText": "1. بررسی کنید که هر ورودی دقیقا یک خروجی داشته باشد. 2. دامنه تابع را از روی مجموعه ورودی مشخص کنید. 3. برد تابع را از روی مجموعه خروجی تعیین کنید. 4. بررسی کنید که نمایش تابع با دامنه و برد داده شده سازگار باشد." + }, + { + "title": "کاربرد تابع به عنوان ماشین و حل مسائل عددی", + "introText": "1. تعریف تابع به صورت ماشین را در نظر بگیرید که هر ورودی یک خروجی دارد. 2. ورودی را در تابع قرار دهید و طبق قانون تابع خروجی را محاسبه کنید. 3. برای سوالات معکوس، مقدار خروجی داده شده را مساوی تابع قرار دهید و ورودی را بیابید. 4. دامنه و برد تابع را با توجه به ورودی‌ها و خروجی‌ها تعیین کنید. 5. نمودار تابع را رسم کنید و دامنه و برد را از روی نمودار مشخص کنید." + }, + { + "title": "برابری دو تابع", + "introText": "1. بررسی کنید که دامنه‌های دو تابع برابر باشند.\n2. برای هر مقدار x در دامنه مشترک، مقدار دو تابع را محاسبه کنید.\n3. اگر برای همه x ها مقادیر دو تابع برابر باشند، توابع برابرند.\n4. در غیر این صورت، توابع برابر نیستند." + }, + { + "title": "تشخیص برابری توابع از روی مجموعه زوج‌های مرتب", + "introText": "1. بررسی کنید که دامنه‌های دو تابع برابر باشند (مجموعه اول عناصر زوج‌های مرتب).\n2. بررسی کنید که برای هر عنصر دامنه، مقدار تابع‌ها برابر باشد (مقدار دوم زوج مرتب).\n3. اگر هر دو شرط برقرار بود، توابع برابرند.\n4. در غیر این صورت، توابع برابر نیستند." + }, + { + "title": "تکمیل جدول مقادیر تابع بر اساس داده‌های مسئله", + "introText": "1. داده‌های مسئله را بررسی کنید (زمان و فاصله).\n2. رابطه بین متغیرها را شناسایی کنید یا از داده‌های موجود استفاده کنید.\n3. مقادیر گمشده جدول را با استفاده از رابطه یا تناسبات محاسبه کنید.\n4. مقادیر محاسبه شده را در جدول وارد کنید." + }, + { + "title": "رسم و تحلیل نمودار تابع", + "introText": "1. معادله تابع را بررسی کنید و دامنه و برد آن را مشخص کنید.\n2. نقاط مهم تابع را محاسبه کنید (مانند نقاط صفر، نقاط بحرانی و ...).\n3. نمودار تابع را روی صفحه مختصات رسم کنید.\n4. شباهت‌ها و تفاوت‌های نمودار تابع مورد نظر را با نمودار تابع مرجع (مثلاً y = 1/3 x) بررسی و بیان کنید." + }, + { + "title": "تعیین تعداد توابع با شرایط داده شده", + "introText": "1. نقاط داده شده را روی صفحه مختصات مشخص کنید.\n2. شرایط تابع بودن را بررسی کنید (هر ورودی دقیقاً یک خروجی داشته باشد).\n3. توابع ممکن را با توجه به شرایط رسم کنید یا تعداد آنها را تعیین کنید.\n4. تعداد توابعی که شرایط مسئله را ارضا می‌کنند را شمارش کنید." + }, + { + "title": "بررسی درستی و نادرستی گزاره‌های مربوط به توابع", + "introText": "1. هر گزاره را به دقت بخوانید و مفاهیم دامنه، برد و تعریف تابع را بررسی کنید.\n2. با استفاده از تعاریف ریاضی، صحت یا نادرستی هر گزاره را تحلیل کنید.\n3. دلایل ریاضی برای اثبات یا رد هر گزاره ارائه دهید." + }, + { + "title": "نوشتن همه توابع از یک مجموعه به مجموعه دیگر", + "introText": "1. مجموعه دامنه و مجموعه برد داده شده را مشخص کنید.\n2. همه توابع ممکن از مجموعه دامنه به مجموعه برد را با توجه به تعریف تابع بنویسید.\n3. برای نمایش بهتر، از نمودار پیکانی استفاده کنید که هر عنصر دامنه به یک عنصر برد نگاشت شود.\n4. تعداد توابع ممکن را نیز می‌توان با توجه به تعداد عناصر دامنه و برد محاسبه کرد." + }, + { + "title": "شناسایی و رسم تابع با شرایط داده شده", + "introText": "1. دامنه تابع را مشخص کنید. 2. مقادیر داده شده برای نقاط خاص را در نظر بگیرید. 3. بر اساس شرایط داده شده، ضابطه تابع را تعیین کنید. 4. تابع را رسم کنید با توجه به دامنه و مقادیر داده شده. 5. بررسی کنید که تابع در بازه‌های مشخص ثابت یا تغییر می‌کند." + }, + { + "title": "محاسبه طول استخوان بازو با استفاده از تابع خطی", + "introText": "1. تابع خطی داده شده را یادداشت کنید. 2. مقدار طول استخوان بازو (x) را در تابع قرار دهید. 3. مقدار طول قد (M(x) یا F(x)) را محاسبه کنید. 4. برای سوالات معکوس، مقدار قد را داده و طول استخوان بازو را با حل معادله خطی پیدا کنید." + } + ] + }, + { + "title": "انواع توابع", + "order": 2, + "lessons": [ + { + "title": "توابع گویا", + "introText": "1. تابع گویا به شکل f(x) = P(x) / Q(x) تعریف می‌شود که در آن P(x) و Q(x) چندجمله‌ای هستند و Q(x) صفر نیست.\n2. برای تحلیل تابع، ابتدا صورت و مخرج را بررسی کنید.\n3. نقاطی که Q(x) = 0 است، نقاطی هستند که تابع تعریف نشده است.\n4. دامنه تابع را با حذف نقاطی که مخرج صفر می‌شود تعیین کنید.\n5. برای رسم یا تحلیل تابع، می‌توان صورت و مخرج را تجزیه کرد و رفتار تابع در نزدیکی نقاط بحرانی را بررسی نمود.\n6. کاربردهای تابع گویا در مدل‌سازی پدیده‌های واقعی مانند میانگین تعداد وسایل نقلیه در صف انتظار به پارکینگ است." + }, + { + "title": "تشخیص تابع و دامنه آن", + "introText": "1. بررسی کنید که آیا هر ورودی از دامنه دقیقاً یک خروجی دارد یا خیر. 2. دامنه تابع را با توجه به تعریف تابع و محدودیت‌های آن تعیین کنید. 3. نمودار تابع را با توجه به دامنه و ضابطه رسم کنید یا تحلیل کنید. 4. اگر دامنه محدود است، نقاط تعریف شده را مشخص کنید. 5. اگر دامنه شامل اعداد حقیقی به جز چند مقدار خاص است، آن‌ها را حذف کنید و دامنه را به صورت مجموعه بیان کنید." + }, + { + "title": "تعیین دامنه و برد توابع رادیکالی با جابجایی", + "introText": "1. تابع داده شده را به صورت f(x) = √(x + a) + b در نظر بگیرید.\n2. برای تعیین دامنه، عبارت داخل رادیکال را بزرگ‌تر یا مساوی صفر قرار دهید: x + a ≥ 0.\n3. دامنه را به صورت بازه‌ای که x در آن قرار دارد بنویسید.\n4. برای تعیین برد، مقدار کمینه تابع را که برابر با مقدار b است، پیدا کنید.\n5. برد تابع از مقدار کمینه تا بی‌نهایت است.\n6. نمودار تابع را با توجه به جابجایی‌ها رسم کنید تا صحت دامنه و برد را بررسی کنید." + }, + { + "title": "تعیین دامنه و برد تابع رادیکالی", + "introText": "1. برای تعیین دامنه تابع رادیکالی، عبارت داخل رادیکال را بزرگ‌تر یا مساوی صفر قرار دهید. 2. نامساوی به دست آمده را حل کنید تا دامنه تابع مشخص شود. 3. برای تعیین برد تابع، مقادیر تابع را برای دامنه به دست آمده محاسبه کنید یا از ویژگی‌های تابع رادیکالی استفاده کنید که معمولاً برد شامل اعداد غیرمنفی است. 4. دامنه و برد را به صورت بازه یا مجموعه نمایش دهید." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع رادیکالی با استفاده از نقاط", + "introText": "1. دامنه تابع را تعیین کنید. 2. چند مقدار x در دامنه انتخاب کنید. 3. مقدار تابع را برای هر x محاسبه کنید. 4. نقاط (x, f(x)) را روی محور مختصات رسم کنید. 5. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار تابع به دست آید." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع با انتقال نمودار تابع دیگر", + "introText": "1. ابتدا نمودار تابع پایه f(x) را رسم کنید. 2. تغییرات تابع g(x) نسبت به f(x) را بررسی کنید (مانند جمع یا تفریق عددی به تابع). 3. نمودار g(x) را با انتقال نمودار f(x) به سمت بالا، پایین، چپ یا راست رسم کنید. 4. نقاط کلیدی را با انتقال نقاط متناظر از f(x) به دست آورید و رسم کنید." + }, + { + "title": "تعیین دامنه تابع با توجه به محدودیت‌های واقعی مسئله", + "introText": "1. ابتدا دامنه ریاضی تابع را با حل نامساوی داخل رادیکال تعیین کنید. 2. سپس محدودیت‌های واقعی مسئله (مانند بازه‌های زمانی یا فیزیکی) را در نظر بگیرید. 3. دامنه نهایی تابع را به صورت اشتراک دامنه ریاضی و محدودیت‌های واقعی تعیین کنید." + }, + { + "title": "تحلیل و رسم نمودار تابع از جدول داده‌ها", + "introText": "1. مقادیر x و f(x) داده شده در جدول را بررسی کنید.\n2. نقاط متناظر (x, f(x)) را روی صفحه مختصات رسم کنید.\n3. نقاط را به ترتیب به هم وصل کنید تا نمودار تابع به دست آید.\n4. برای تقریب مقادیر تابع در نقاط دلخواه، از نمودار یا جدول استفاده کنید." + }, + { + "title": "تعیین برد تابع و مقدار تابع در نقاط خاص", + "introText": "1. برد تابع مجموعه تمام مقادیر y است که تابع می‌تواند بگیرد.\n2. برای تعیین برد، مقادیر تابع را در نقاط داده شده یا بازه‌های تعریف شده بررسی کنید.\n3. مقدار تابع در نقاط خاص را با جایگذاری مقدار x در تابع یا استفاده از جدول/نمودار پیدا کنید." + }, + { + "title": "بررسی تابع بودن رابطه با استفاده از معادلات", + "introText": "1. معادله داده شده را بررسی کنید که آیا برای هر مقدار x دقیقاً یک مقدار y وجود دارد یا خیر.\n2. اگر برای یک x بیش از یک مقدار y وجود داشته باشد، رابطه تابع نیست.\n3. در صورت نیاز، معادله را به صورت y بر حسب x حل کنید.\n4. نمودار معادله را بررسی کنید تا چند مقدار y برای هر x داشته باشد." + }, + { + "title": "بررسی تابع بودن رابطه با معادله شامل ریشه دوم", + "introText": "1. معادله را به صورت y بر حسب x حل کنید.\n2. اگر y شامل ± ریشه دوم باشد، برای هر x بیش از یک مقدار y وجود دارد.\n3. بنابراین رابطه تابع نیست.\n4. نمودار معادله را رسم کنید یا نقاط خاص را بررسی کنید تا چند مقداری بودن را تایید کنید." + }, + { + "title": "تعریف و تشخیص تابع", + "introText": "برای تشخیص اینکه یک معادله تابع است یا خیر، باید بررسی کنیم که برای هر مقدار ورودی (x) دقیقاً یک مقدار خروجی (y) وجود داشته باشد. اگر برای یک مقدار ورودی بیش از یک مقدار خروجی وجود داشته باشد، آن رابطه تابع نیست. همچنین باید دامنه و برد تابع را مشخص کنیم." + }, + { + "title": "نوشتن تابع پله‌ای از جدول داده شده", + "introText": "برای نوشتن تابع پله‌ای از روی جدول، ابتدا بازه‌های دامنه را مشخص می‌کنیم و سپس مقدار تابع را برای هر بازه به صورت ثابت می‌نویسیم. تابع پله‌ای به صورت قطعه‌ای تعریف می‌شود که در هر بازه مقدار ثابتی دارد. سپس دامنه و برد تابع را مشخص می‌کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه مقدار تابع پله‌ای برای وزن‌های مشخص", + "introText": "برای محاسبه مقدار تابع پله‌ای در وزن مشخص، ابتدا بازه‌ای که وزن در آن قرار دارد را پیدا می‌کنیم و سپس مقدار تابع را که در آن بازه ثابت است، به عنوان جواب می‌نویسیم." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع پله‌ای", + "introText": "برای رسم نمودار تابع پله‌ای، ابتدا بازه‌های دامنه را روی محور x مشخص می‌کنیم. سپس برای هر بازه مقدار ثابت تابع را روی محور y رسم می‌کنیم به صورت خط افقی. نقاط انتهایی بازه‌ها را با دایره توپر یا توخالی نشان می‌دهیم تا بازه‌ها و پیوستگی تابع مشخص شود." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع جزء صحیح", + "introText": "1. تابع جزء صحیح را به این صورت تعریف کنید که برای هر عدد حقیقی x، مقدار تابع برابر با بزرگ‌ترین عدد صحیحی است که از x بیشتر نباشد.\n2. دامنه تابع را مشخص کنید.\n3. برای هر بازه بین دو عدد صحیح، مقدار تابع ثابت و برابر با عدد صحیح کوچکتر است.\n4. نقاط انتهایی بازه‌ها را با توجه به تعریف تابع جزء صحیح تعیین کنید (شامل یا غیرشامل بودن نقاط).\n5. نمودار را به صورت پله‌ای رسم کنید که در هر بازه مقدار تابع ثابت است.\n6. برد تابع شامل همه اعداد صحیحی است که در دامنه تابع وجود دارند." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع قسمت صحیح", + "introText": "1. تابع قسمت صحیح را به صورت f(x) = [x] تعریف می‌کنیم که مقدار آن برابر با بزرگترین عدد صحیح کمتر یا مساوی x است.\n2. بازه مورد نظر برای x را مشخص می‌کنیم.\n3. بازه را به بخش‌های کوچکتر تقسیم می‌کنیم که در هر بخش مقدار قسمت صحیح ثابت است.\n4. برای هر بخش مقدار y را برابر با قسمت صحیح x قرار می‌دهیم.\n5. نقاط متناظر را روی محور مختصات رسم می‌کنیم و نقاط باز و بسته را برای نمایش بازه‌ها مشخص می‌کنیم.\n6. نقاط را به صورت پله‌ای به هم وصل می‌کنیم تا نمودار کامل شود." + }, + { + "title": "یافتن دامنه تابع", + "introText": "برای یافتن دامنه تابع، ابتدا باید مقادیری از x را پیدا کنیم که تابع برای آنها تعریف شده باشد. این کار شامل بررسی مواردی مانند مخرج صفر نشدن در کسرها، زیر رادیکال مثبت یا صفر بودن، و محدودیت‌های دیگر تابع است. سپس بازه یا مجموعه مقادیر x که تابع در آن تعریف شده است را مشخص می‌کنیم." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع با استفاده از نمودار تابع دیگر", + "introText": "برای رسم نمودار تابعی که از تابع دیگری مشتق شده است، ابتدا نمودار تابع اصلی را رسم می‌کنیم. سپس با توجه به تغییرات تابع جدید نسبت به تابع اصلی (مانند ضرب در -1، انتقال، یا تغییر متغیر)، نقاط نمودار را تغییر داده و نمودار جدید را رسم می‌کنیم." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع رادیکالی", + "introText": "برای رسم نمودار تابع رادیکالی مانند y = √x یا y = -√x، ابتدا دامنه تابع را مشخص می‌کنیم (x ≥ 0 برای ریشه دوم). سپس نقاطی از دامنه را انتخاب کرده و مقدار تابع را محاسبه می‌کنیم. در نهایت نقاط به دست آمده را روی صفحه مختصات رسم کرده و نمودار را به صورت منحنی رسم می‌کنیم." + }, + { + "title": "رسم نمودار و تعیین دامنه و برد توابع چندجمله‌ای و رادیکالی", + "introText": "1. تابع داده شده را بر اساس شرط‌های دامنه به بخش‌های مختلف تقسیم کنید.\n2. برای هر بخش، تابع را به صورت جداگانه بررسی و نمودار آن را رسم کنید.\n3. دامنه هر بخش را با توجه به شرط‌های داده شده مشخص کنید.\n4. برد تابع را با توجه به مقادیر خروجی در هر بخش تعیین کنید.\n5. نمودار کلی تابع را با ترکیب بخش‌ها رسم کنید." + }, + { + "title": "تشخیص تابع از معادلات و تعیین تابع بودن رابطه", + "introText": "1. معادله یا رابطه داده شده را بررسی کنید.\n2. برای هر مقدار x، بررسی کنید که آیا دقیقاً یک مقدار y متناظر وجود دارد یا خیر.\n3. اگر برای هر x فقط یک y وجود داشت، رابطه تابع است.\n4. در غیر این صورت، رابطه تابع نیست." + }, + { + "title": "محاسبه هزینه پاکسازی آلودگی به صورت تابعی از درصد آلودگی", + "introText": "1. تابع هزینه پاکسازی به صورت f(x) = 255x / (100 - x) داده شده است که x درصد آلودگی است.\n2. برای محاسبه هزینه پاکسازی در درصد مشخص، مقدار x را در تابع قرار دهید.\n3. دامنه تابع را بررسی کنید تا مقادیر x معتبر مشخص شود (x ≠ 100).\n4. برای نمایش دامنه واقعی تابع، بازه‌ای که تابع در آن تعریف شده را مشخص کنید." + }, + { + "title": "رسم نمودار توابع پله‌ای و بررسی رابطه بین دو تابع", + "introText": "1. تابع پله‌ای داده شده را بر اساس تعریف آن در بازه مشخص شده رسم کنید.\n2. نقاط تغییر مقدار تابع را مشخص کنید.\n3. نمودار هر دو تابع را در یک دستگاه مختصات رسم کنید.\n4. رابطه بین دو تابع را با مقایسه نمودارها و مقادیر بررسی کنید." + }, + { + "title": "مدل‌سازی رشد تعداد افراد آلوده به ویروس با تابع کسری", + "introText": "1. تابع تعداد افراد آلوده به صورت n(t) = (9500 - 2000t) / (4 + t) داده شده است.\n2. برای محاسبه تعداد افراد آلوده در زمان مشخص t، مقدار t را در تابع قرار دهید.\n3. برای یافتن تعداد افراد آلوده در پایان ماه پنجم، t = 5 را جایگذاری کنید.\n4. برای یافتن زمان رسیدن تعداد افراد آلوده به مقدار مشخص، معادله n(t) = مقدار داده شده را حل کنید." + } + ] + }, + { + "title": "وارون تابع", + "order": 3, + "lessons": [ + { + "title": "نمایش و نوشتن تابع به صورت مجموعه زوج‌های مرتب", + "introText": "1. ابتدا مجموعه دامنه و برد تابع را مشخص کنید.\n2. هر عنصر دامنه را با عنصر متناظر در برد به صورت زوج مرتب (x, y) نمایش دهید.\n3. مجموعه زوج‌های مرتب را به صورت مجموعه نمایش دهید.\n4. دامنه و برد تابع را به صورت جداگانه بنویسید." + }, + { + "title": "تعریف وارون تابع و نمایش آن به صورت مجموعه زوج‌های مرتب", + "introText": "1. اگر تابع f به صورت مجموعه زوج‌های مرتب داده شده باشد، برای یافتن وارون آن، هر زوج مرتب (x, y) را به صورت (y, x) تبدیل کنید.\n2. مجموعه زوج‌های مرتب وارون را به صورت مجموعه نمایش دهید.\n3. وارون تابع را با نماد f⁻ نمایش دهید.\n4. بررسی کنید که وارون تابع نیز تابع باشد (هر عنصر دامنه وارون باید به یک عنصر برد منحصر به فرد متناظر باشد)." + }, + { + "title": "تعویض جای دو مؤلفه زوج مرتب در دو تابع و بررسی اینکه کدام یک تابع است", + "introText": "1. برای هر تابع داده شده، زوج‌های مرتب آن را بنویسید.\n2. جای دو مؤلفه هر زوج مرتب را در تابع تعویض کنید تا رابطه جدید به دست آید.\n3. رابطه جدید را به صورت مجموعه زوج‌های مرتب نمایش دهید.\n4. بررسی کنید که رابطه جدید تابع باشد یا خیر؛ یعنی هر عنصر دامنه رابطه جدید باید به یک و تنها یک عنصر برد متناظر باشد.\n5. نتیجه را اعلام کنید که کدام رابطه تابع است و دلیل آن را بیان کنید." + }, + { + "title": "تشخیص تابع و وارون‌پذیری", + "introText": "برای تشخیص اینکه یک رابطه تابع است یا خیر، باید بررسی کنیم که هر عنصر از دامنه دقیقاً به یک عنصر در برد نگاشت شود. برای وارون‌پذیری، باید بررسی کنیم که هر عنصر در برد تنها یک پیش‌تصویر در دامنه داشته باشد، یعنی تابع باید یک‌به‌یک باشد. اگر دو عنصر متمایز در دامنه به یک عنصر در برد نگاشت شوند، تابع وارون‌پذیر نیست." + }, + { + "title": "ویژگی مشترک توابع وارون‌پذیر", + "introText": "ویژگی مشترک توابع وارون‌پذیر این است که هر عنصر در دامنه به یک و تنها یک عنصر در برد نگاشت می‌شود و هیچ دو عنصر متمایزی در دامنه به یک عنصر در برد نگاشت نمی‌شوند. به عبارت دیگر، تابع باید یک‌به‌یک باشد تا وارون‌پذیر باشد." + }, + { + "title": "تشخیص تابع بودن رابطه", + "introText": "برای تشخیص اینکه یک رابطه تابع است یا خیر، باید بررسی کنیم که آیا هر خط موازی محور x (خط عمودی) نمودار را در حداکثر یک نقطه قطع می‌کند یا خیر. اگر هر خط عمودی نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کند، آن رابطه تابع نیست. در غیر این صورت، تابع است." + }, + { + "title": "تشخیص تابع از روی نمودار و مجموعه نقاط", + "introText": "برای تعیین اینکه کدام یک از توابع داده شده تابع هستند، باید بررسی کنیم که آیا هر مقدار x متناظر با تنها یک مقدار y است یا خیر. اگر هر x تنها یک y داشته باشد، آن رابطه تابع است. در غیر این صورت، تابع نیست." + }, + { + "title": "تعیین رابطه تابعی بین افراد و کد ملی", + "introText": "برای تعیین اینکه رابطه بین افراد و کد ملی تابع است، باید بررسی کنیم که هر فرد تنها یک کد ملی داشته باشد و هر کد ملی تنها به یک فرد نسبت داده شود. اگر این شرایط برقرار باشد، رابطه تابع است." + }, + { + "title": "تبدیل رابطه به تابع با محدود کردن دامنه", + "introText": "برای تبدیل یک رابطه به تابع یک به یک، ابتدا دامنه رابطه را به گونه‌ای محدود می‌کنیم که هر مقدار خروجی تنها یک مقدار ورودی داشته باشد. سپس با بررسی نمودار رابطه، بخش مناسب دامنه را انتخاب می‌کنیم که شرط یک به یک بودن برقرار شود." + }, + { + "title": "محاسبه وارون تابع خطی", + "introText": "برای محاسبه تابع وارون f⁻¹ تابع خطی f(x) = ax + b، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:\n1. y = ax + b را بنویسید.\n2. جای x و y را عوض کنید: x = ay + b.\n3. معادله را نسبت به y حل کنید: y = (x - b) / a.\n4. تابع وارون را به صورت f⁻¹(x) = (x - b) / a می‌نویسیم." + }, + { + "title": "یافتن تابع وارون و نمایش آن", + "introText": "1. تابع اصلی را به صورت y = f(x) بنویسید.\n2. جای x و y را در معادله جابجا کنید.\n3. معادله جدید را نسبت به y حل کنید تا تابع وارون f⁻¹(x) به دست آید.\n4. دامنه و برد تابع وارون را مشخص کنید.\n5. تابع وارون را به صورت نمادین و نموداری نمایش دهید." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع و تابع وارون", + "introText": "1. معادله تابع داده شده را بررسی کنید.\n2. مقادیر x را در تابع قرار دهید و مقادیر y متناظر را محاسبه کنید.\n3. نقاط به دست آمده را در دستگاه مختصات رسم کنید.\n4. برای به دست آوردن تابع وارون، معادله y = f(x) را به گونه‌ای حل کنید که x بر حسب y بیان شود.\n5. معادله به دست آمده را به صورت f⁻¹(x) بنویسید.\n6. دامنه و برد تابع و تابع وارون را تعیین کنید.\n7. نقاط تابع وارون را نیز در دستگاه مختصات رسم کنید." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع رادیکالی و تعیین دامنه و برد", + "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید، به ویژه زیر رادیکال را برای تعیین دامنه بررسی کنید.\n2. دامنه تابع را بر اساس شرط تعریف رادیکال تعیین کنید (مقدار زیر رادیکال باید بزرگ‌تر یا مساوی صفر باشد).\n3. مقادیر x در دامنه را انتخاب کنید و مقادیر y را محاسبه کنید.\n4. نقاط به دست آمده را در دستگاه مختصات رسم کنید.\n5. معادله تابع وارون را با جایگزینی y = f(x) و حل برای x بر حسب y به دست آورید.\n6. دامنه و برد تابع وارون را تعیین کنید.\n7. نمودار تابع وارون را رسم کنید." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع", + "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید و دامنه و برد آن را مشخص کنید.\n2. نقاط مهم تابع را مانند نقاط تقاطع با محورهای مختصات و نقاط بحرانی پیدا کنید.\n3. نقاط را روی دستگاه مختصات رسم کنید.\n4. منحنی تابع را با توجه به نقاط رسم شده و ویژگی‌های تابع (مانند افزایشی یا کاهشی بودن) ترسیم کنید.\n5. اگر تابع وارون وجود دارد، آن را نیز با توجه به تعریف وارون رسم کنید." + }, + { + "title": "بررسی یک به یک بودن و وارون پذیری تابع", + "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید که آیا یک به یک است یا خیر.\n2. اگر تابع یک به یک نیست، دامنه آن را محدود کنید تا یک به یک شود.\n3. تابع محدود شده را بررسی کنید که وارون پذیر باشد.\n4. تابع وارون را با توجه به تابع اصلی و دامنه محدود شده رسم یا تعریف کنید." + }, + { + "title": "محاسبه و تعیین تابع وارون", + "introText": "1. تابع اصلی را بررسی و دامنه و برد آن را مشخص کنید.\n2. دامنه تابع را محدود کنید تا تابع یک به یک شود.\n3. رابطه تابع را به صورت y = f(x) بنویسید.\n4. معادله y = f(x) را نسبت به x حل کنید تا x را بر حسب y بدست آورید.\n5. جواب منفی را حذف کنید اگر تابع وارون باید یک به یک باشد.\n6. رابطه بدست آمده را به عنوان تابع وارون f⁻¹(y) بنویسید.\n7. دامنه و برد تابع وارون را مشخص کنید.\n8. نمودار تابع و تابع وارون را رسم و بررسی کنید." + }, + { + "title": "تشخیص تابع واقعی و وارون", + "introText": "1. بررسی کنید که آیا برای هر ورودی دقیقاً یک خروجی وجود دارد (تعریف تابع واقعی). 2. برای بررسی تابع یک‌به‌یک بودن، ببینید آیا دو ورودی مختلف می‌توانند خروجی یکسان داشته باشند یا خیر. 3. اگر تابع یک‌به‌یک باشد، وارون آن تعریف می‌شود. 4. وارون تابع را با جابجایی متغیرها و حل برای متغیر ورودی پیدا کنید." + }, + { + "title": "بررسی دامنه، برد و وارون توابع با شرط", + "introText": "1. دامنه تابع را با توجه به شرط داده شده تعیین کنید. 2. برد تابع را با تحلیل مقدار خروجی‌ها در دامنه مشخص کنید. 3. بررسی کنید تابع یک‌به‌یک است یا خیر با رسم نمودار یا تحلیل جبری. 4. اگر تابع یک‌به‌یک بود، وارون آن را با جابجایی متغیرها و حل برای متغیر ورودی بیابید." + }, + { + "title": "تحلیل تابع ارتفاع سقوط آزاد و یافتن دامنه، برد و وارون", + "introText": "1. دامنه تابع را بر اساس شرایط فیزیکی مسئله تعیین کنید (مثلاً زمان t ≥ 0). 2. برد تابع را با تحلیل مقدار خروجی‌ها در دامنه مشخص کنید. 3. بررسی کنید تابع یک‌به‌یک است یا خیر با تحلیل تغییرات تابع. 4. وارون تابع را با جابجایی متغیرها و حل برای متغیر ورودی بیابید." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع و بررسی وارون‌پذیری", + "introText": "1. تابع داده شده را رسم کنید. 2. بررسی کنید که آیا تابع یک‌به‌یک است یا خیر (هر خط افقی نمودار را بیش از یک بار قطع نکند). 3. اگر تابع یک‌به‌یک بود، وارون آن را بیابید و نمودار وارون را رسم کنید." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع نامتعارف و بررسی وارون‌پذیری", + "introText": "1. تابع داده شده را رسم کنید. 2. بررسی کنید که آیا تابع یک‌به‌یک است یا خیر. 3. اگر تابع یک‌به‌یک نبود، نمودار آن را رسم کنید و نشان دهید که وارون‌پذیر نیست." + } + ] + }, + { + "title": "اعمال روی توابع", + "order": 4, + "lessons": [ + { + "title": "محاسبه مسافت طی شده توسط خودرو با سرعت ثابت و سرعت متغیر", + "introText": "1. ابتدا تابع سرعت خودرو را بر حسب زمان یا مسافت مشخص می‌کنیم.\n2. اگر خودرو با سرعت ثابت حرکت می‌کند، مسافت طی شده را با ضرب سرعت در زمان محاسبه می‌کنیم.\n3. اگر خودرو پس از دیدن مانع ترمز می‌کند، مسافت طی شده پس از ترمز را با استفاده از تابع مربوط به ترمز (تابع g(x)) محاسبه می‌کنیم.\n4. مجموع مسافت طی شده قبل و بعد از ترمز را برای کل مسافت طی شده محاسبه می‌کنیم.\n5. در صورت نیاز، سرعت خودرو در لحظه توقف یا پس از طی مسافت مشخص را با استفاده از معادلات داده شده پیدا می‌کنیم." + }, + { + "title": "نمایش تابع مسافت کل طی شده پس از دیدن مانع", + "introText": "1. تابع مسافت طی شده در زمان عکس‌العمل را به صورت f(x) تعریف می‌کنیم.\n2. تابع مسافت طی شده پس از ترمز تا توقف کامل را به صورت g(x) تعریف می‌کنیم.\n3. تابع کل مسافت طی شده پس از دیدن مانع را به صورت جمع دو تابع f(x) و g(x) تعریف می‌کنیم: h(x) = f(x) + g(x).\n4. این تابع را به صورت جبری نمایش می‌دهیم و در صورت نیاز مقدار آن را برای سرعت‌های مختلف محاسبه می‌کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه سرعت خودرو پس از طی مسافت مشخص تا توقف", + "introText": "1. مسافت طی شده پس از دیدن مانع و ترمز را به صورت مجموع دو تابع f(x) و g(x) در نظر می‌گیریم.\n2. مقدار کل مسافت طی شده داده شده است (مثلاً 60 متر).\n3. معادله h(x) = f(x) + g(x) را برابر با مسافت داده شده قرار می‌دهیم.\n4. معادله به دست آمده را حل می‌کنیم تا مقدار سرعت x را بیابیم." + }, + { + "title": "محاسبه و تعیین دامنه جمع دو تابع", + "introText": "1. دامنه هر دو تابع را جداگانه تعیین کنید.\n2. دامنه تابع جمع برابر است با اشتراک دامنه‌های دو تابع.\n3. برای هر x در دامنه مشترک، مقدار تابع جمع برابر است با جمع مقادیر دو تابع در آن x.\n4. اگر توابع شامل رادیکال یا محدودیت‌های دیگر باشند، دامنه را با توجه به شرایط تعریف تابع محدود کنید." + }, + { + "title": "محاسبه و تعیین دامنه جمع دو تابع داده شده به صورت مجموعه نقاط", + "introText": "1. دامنه هر تابع را از مجموعه نقاط داده شده استخراج کنید.\n2. دامنه تابع جمع برابر است با اشتراک دامنه‌های دو تابع.\n3. برای هر x در دامنه مشترک، مقدار تابع جمع برابر است با جمع مقادیر دو تابع در آن x.\n4. نتیجه را به صورت مجموعه زوج‌های مرتب مرتب شده نمایش دهید." + }, + { + "title": "محاسبه دامنه و دامنه توابع ترکیبی", + "introText": "1. ابتدا دامنه هر تابع اولیه را جداگانه تعیین کنید. 2. برای توابع جمع و تفاضل، دامنه تابع ترکیبی برابر اشتراک دامنه‌های توابع اولیه است. 3. برای ضرب توابع، دامنه تابع ترکیبی برابر اشتراک دامنه‌های توابع اولیه است. 4. برای تقسیم توابع، دامنه تابع ترکیبی برابر اشتراک دامنه‌های توابع اولیه به جز نقاطی که مخرج صفر شود، است. 5. دامنه نهایی را با توجه به شرایط هر تابع و ترکیب آنها مشخص کنید." + }, + { + "title": "رسم و تحلیل نمودار توابع ترکیبی", + "introText": "1. نمودار توابع اولیه را رسم کنید یا داده‌های آن‌ها را داشته باشید. 2. برای رسم نمودار جمع یا تفاضل، مقادیر y هر دو تابع را در نقاط متناظر جمع یا تفریق کنید. 3. برای ضرب یا تقسیم، مقادیر y را در نقاط متناظر ضرب یا تقسیم کنید (با توجه به دامنه). 4. دامنه و ضابطه تابع ترکیبی را مشخص کنید. 5. نمودار تابع ترکیبی را با توجه به مقادیر محاسبه شده رسم کنید و تحلیل کنید." + }, + { + "title": "محاسبه مقادیر ترکیبی توابع", + "introText": "1. مقادیر داده شده برای توابع f و g را در نقاط مشخص شده پیدا کنید.\n2. برای محاسبه (f+g)(x)، مقادیر f(x) و g(x) را جداگانه محاسبه کرده و سپس جمع کنید.\n3. مقادیر (f+g)(1) و (f+g)(-1) را با جایگذاری x=1 و x=-1 در توابع محاسبه کنید." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع جمع دو تابع", + "introText": "1. مقادیر f(x) و g(x) را برای نقاط مختلف x از روی نمودارهای داده شده بخوانید.\n2. مقادیر (f+g)(x) را با جمع کردن مقادیر f(x) و g(x) برای هر x محاسبه کنید.\n3. نقاط به‌دست آمده را روی محور مختصات رسم کنید.\n4. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار تابع (f+g) به دست آید." + }, + { + "title": "محاسبه ضابطه ترکیب توابع", + "introText": "1. ضابطه هر تابع f و g را به صورت جبری بنویسید یا از داده‌ها استخراج کنید.\n2. برای ترکیب جمع دو تابع، ضابطه (f+g)(x) را به صورت f(x) + g(x) بنویسید.\n3. ضابطه به دست آمده را ساده کنید." + }, + { + "title": "تبدیل درجه فارنهایت به درجه سانتی‌گراد و ترکیب توابع", + "introText": "1. تابع f(x) را که درجه فارنهایت را به درجه سانتی‌گراد تبدیل می‌کند، بنویسید.\n2. مقدار f(x) را برای مقدار داده شده x محاسبه کنید.\n3. تابع g(x) را که درجه سانتی‌گراد را به کلوین تبدیل می‌کند، بنویسید.\n4. مقدار g(f(x)) را با جایگذاری مقدار f(x) در g(x) محاسبه کنید.\n5. مراحل را برای مقادیر مختلف تکرار کنید." + }, + { + "title": "تحلیل و رسم نمودار ترکیب توابع g(f(x))", + "introText": "1. مقدار تابع f(x) را برای مقادیر مختلف x از روی نمودار یا ضابطه محاسبه کنید.\n2. مقدار g را برای مقادیر به دست آمده از f(x) محاسبه کنید.\n3. نقاط (x, g(f(x))) را روی محور مختصات رسم کنید.\n4. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار ترکیب تابع g(f(x)) به دست آید." + }, + { + "title": "محاسبه ترکیب توابع", + "introText": "1. ابتدا تابع داخلی f(x) را محاسبه کنید.\n2. مقدار به دست آمده را به عنوان ورودی تابع بیرونی g قرار دهید.\n3. مقدار g(f(x)) را با جایگذاری مقدار f(x) در تابع g محاسبه کنید.\n4. اگر توابع به صورت جبری داده شده‌اند، جایگذاری و ساده‌سازی را انجام دهید تا مقدار نهایی به دست آید." + }, + { + "title": "تعریف و نمایش ترکیب توابع با نمودار", + "introText": "1. دو تابع f و g را در نظر بگیرید.\n2. ترکیب تابع gof را به صورت g(f(x)) تعریف کنید.\n3. دامنه ترکیب تابع gof را به صورت مجموعه‌ای از مقادیر x تعریف کنید که x در دامنه f باشد و f(x) در دامنه g باشد.\n4. نمودارهای مربوط به توابع و ترکیب آنها را رسم کنید تا رابطه بین دامنه‌ها و بردها مشخص شود.\n5. از نمودار برای درک بهتر ترکیب توابع و دامنه آن استفاده کنید." + }, + { + "title": "محاسبه دامنه و ضابطه ترکیب توابع", + "introText": "1. ابتدا دامنه هر تابع را مشخص کنید.\n2. برای ترکیب توابع fog و gof، دامنه ترکیب را به صورت مجموعه‌ای از مقادیر x تعیین کنید که در دامنه تابع داخلی و همچنین دامنه تابع خارجی قرار دارند.\n3. ضابطه ترکیب توابع را با جایگذاری تابع داخلی در تابع خارجی به دست آورید.\n4. دامنه ترکیب را به صورت مجموعه‌ای از اعداد حقیقی که شرط‌های دامنه هر دو تابع را ارضا می‌کنند، بنویسید.\n5. در نهایت، ضابطه و دامنه توابع fog و gof را گزارش کنید." + }, + { + "title": "محاسبه ترکیب توابع داده شده به صورت مجموعه زوج مرتب", + "introText": "1. ابتدا دامنه توابع fog و gof را با توجه به مجموعه زوج‌های مرتب داده شده تعیین کنید.\n2. برای محاسبه fog، ابتدا مقدار تابع g را برای هر ورودی پیدا کنید، سپس مقدار تابع f را برای خروجی g محاسبه کنید.\n3. برای محاسبه gof، ابتدا مقدار تابع f را برای هر ورودی پیدا کنید، سپس مقدار تابع g را برای خروجی f محاسبه کنید.\n4. نتایج را به صورت مجموعه زوج‌های مرتب گزارش کنید." + }, + { + "title": "عملیات روی توابع و تعیین دامنه", + "introText": "1. برای هر دو تابع داده شده، ابتدا دامنه هر کدام را مشخص کنید.\n2. عملیات خواسته شده (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، ترکیب) را طبق تعریف انجام دهید.\n3. دامنه تابع حاصل را با توجه به دامنه توابع اولیه و محدودیت‌های عملیات (مثل مخرج صفر نشدن در تقسیم) تعیین کنید.\n4. اگر ترکیب توابع (fog یا gof) خواسته شده، ابتدا تابع داخلی را محاسبه و دامنه آن را مشخص کنید، سپس تابع بیرونی را روی خروجی تابع داخلی اعمال کنید و دامنه نهایی را تعیین کنید." + }, + { + "title": "بررسی صحت گزاره‌های تابعی", + "introText": "1. هر گزاره داده شده را با استفاده از تعاریف توابع و مقادیر داده شده بررسی کنید.\n2. مقادیر توابع را در نقاط مشخص شده محاسبه کنید.\n3. مقایسه نتایج با گزاره داده شده انجام دهید.\n4. تعیین کنید که گزاره درست است یا نادرست." + }, + { + "title": "محاسبه ترکیب توابع و معکوس توابع", + "introText": "1. برای ترکیب توابع fog یا gof، ابتدا تابع داخلی را محاسبه کنید.\n2. سپس تابع بیرونی را روی خروجی تابع داخلی اعمال کنید.\n3. برای یافتن معکوس تابع، تابع را به صورت y = f(x) بنویسید.\n4. معادله را نسبت به x حل کنید تا x را بر حسب y بیابید.\n5. جای x و y را عوض کنید تا معکوس تابع به دست آید.\n6. دامنه و برد معکوس را بررسی کنید." + }, + { + "title": "محاسبه توابع ترکیبی و بررسی دامنه با توابع گویا", + "introText": "1. توابع گویا را به صورت کسرهای جبری بنویسید.\n2. برای ترکیب توابع، ابتدا تابع داخلی را محاسبه کنید.\n3. سپس تابع بیرونی را روی خروجی تابع داخلی اعمال کنید.\n4. دامنه تابع حاصل را با توجه به مخرج صفر نشدن و تعریف توابع تعیین کنید.\n5. در صورت وجود خطا در محاسبه دامنه، آن را شناسایی و اصلاح کنید." + }, + { + "title": "محاسبه توابع معکوس و ترکیب آنها", + "introText": "1. برای یافتن معکوس تابع f، معادله y = f(x) را حل کنید تا x را بر حسب y بیابید.\n2. جای x و y را عوض کنید تا معکوس تابع به دست آید.\n3. ترکیب توابع معکوس و اصلی را محاسبه کنید.\n4. بررسی کنید که ترکیب تابع و معکوس آن برابر تابع همانی (x) باشد." + }, + { + "title": "محاسبه توابع جمع، تفریق، ضرب و تقسیم از روی نمودار", + "introText": "1. نقاط مشخص شده روی نمودار توابع f و g را بخوانید.\n2. برای هر نقطه x، مقادیر f(x) و g(x) را از نمودار استخراج کنید.\n3. عملیات خواسته شده (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم) را برای هر x انجام دهید.\n4. مقادیر به دست آمده را به صورت جدول یا نمودار جدید نمایش دهید." + }, + { + "title": "محاسبه ترکیب و جمع توابع با استفاده از نمودار", + "introText": "1. ابتدا مقادیر توابع f و g را از نمودار برای ورودی‌های داده شده پیدا کنید.\n2. برای جمع توابع (f+g)(x)، مقادیر f(x) و g(x) را جمع کنید.\n3. برای ترکیب توابع (fog)(x) یا (gof)(x)، ابتدا مقدار تابع داخلی را محاسبه کنید سپس مقدار تابع بیرونی را برای آن ورودی بیابید.\n4. برای تقسیم توابع مانند (f/g)(x)، مقدار f(x) را بر g(x) تقسیم کنید، البته اگر مخرج صفر نباشد.\n5. مقادیر به دست آمده را جایگزین کنید و نتیجه را محاسبه کنید." + }, + { + "title": "نشان دادن وارون تابع خطی", + "introText": "1. تابع خطی به صورت y = ax + b داده شده است که a ≠ 0.\n2. برای یافتن تابع وارون، ابتدا y را برابر ax + b قرار دهید.\n3. معادله را نسبت به x حل کنید: x = (y - b) / a.\n4. تابع وارون به صورت y = (x - b) / a نوشته می‌شود.\n5. تابع وارون نیز یک تابع خطی است." + }, + { + "title": "نوشتن تابع تبدیل درجه زاویه از رادیان به درجه و بالعکس", + "introText": "1. تبدیل درجه به رادیان با ضرب درجه در π/180 انجام می‌شود.\n2. تبدیل رادیان به درجه با ضرب رادیان در 180/π انجام می‌شود.\n3. تابع تبدیل به صورت خطی نوشته می‌شود: f(x) = kx که k ضریب تبدیل است.\n4. برای تبدیل درجه به رادیان: f(x) = (π/180) * x\n5. برای تبدیل رادیان به درجه: f(x) = (180/π) * x" + }, + { + "title": "نوشتن توابع تعداد نسخه‌های چاپ شده و رسم نمودار", + "introText": "1. تعداد نسخه‌های چاپ شده در چاپ اول و چاپ‌های بعدی به صورت توابع خطی تعریف می‌شوند.\n2. برای هر کتاب، تابعی بنویسید که تعداد نسخه‌های چاپ شده را بر حسب شماره چاپ نمایش دهد.\n3. تابع جمع نسخه‌های چاپ شده هر دو کتاب را با جمع توابع مربوطه به دست آورید.\n4. نمودار هر تابع را در دستگاه مختصات رسم کنید.\n5. محور افقی شماره چاپ و محور عمودی تعداد نسخه‌ها است." + } + ] + } + ] + }, + { + "title": "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "order": 3, + "nodes": [ + { + "title": "تابع نمایی", + "order": 1, + "lessons": [ + { + "title": "محاسبه جرم باکتری‌ها در زمان‌های مختلف با استفاده از تابع نمایی", + "introText": "1. فرض کنید جرم باکتری‌ها در زمان t ساعت برابر m(t) باشد.\n2. با توجه به اینکه جرم باکتری‌ها هر ساعت دو برابر می‌شود، تابع نمایی به صورت m(t) = m(0) * 2^t تعریف می‌شود.\n3. مقدار اولیه m(0) را از داده‌ها استخراج کنید.\n4. برای محاسبه جرم در زمان‌های مختلف، مقدار t را در تابع قرار دهید و مقدار m(t) را محاسبه کنید.\n5. برای یافتن زمان رسیدن به جرم مشخص، معادله m(t) = جرم داده شده را حل کنید." + }, + { + "title": "تعیین مقادیر تابع نمایی از روی جدول و نمودار", + "introText": "1. رابطه تابع نمایی را به صورت m(t) = 2^t در نظر بگیرید.\n2. مقادیر داده شده در جدول را بررسی کنید و مقادیر مجهول را با استفاده از رابطه تابع محاسبه کنید.\n3. برای هر مقدار t، مقدار m(t) را با جایگذاری t در رابطه 2^t محاسبه کنید.\n4. مقادیر محاسبه شده را در جدول جایگزین کنید.\n5. در صورت نیاز، نقاط نمودار را با مقادیر محاسبه شده رسم کنید." + }, + { + "title": "محاسبه مقادیر تابع رادیکالی با توان‌های کسری", + "introText": "1. رابطه تابع را به صورت f(x) = √[x] یا به شکل توان کسری بنویسید.\n2. برای هر مقدار x، مقدار تابع را با استفاده از قوانین توان‌های کسری محاسبه کنید.\n3. اگر x منفی است و توان کسری به گونه‌ای است که مقدار حقیقی ندارد، مقدار را نادیده بگیرید یا علامت ... بگذارید.\n4. مقادیر محاسبه شده را در جدول جایگزین کنید." + }, + { + "title": "تعیین دامنه و برد تابع نمایی", + "introText": "برای تعیین دامنه تابع نمایی y=2^x، باید بدانیم که توان x می‌تواند هر عدد حقیقی باشد، پس دامنه همه اعداد حقیقی است. برای برد، چون 2^x همیشه مثبت است و هیچگاه صفر یا منفی نمی‌شود، برد تابع همه اعداد مثبت است." + }, + { + "title": "تعیین مقدار تقریبی تابع نمایی در نقاط خاص", + "introText": "برای تعیین مقدار تقریبی تابع نمایی در نقاط خاص مانند x=√7، ابتدا مقدار عددی x را محاسبه می‌کنیم (مثلاً √7 ≈ 2.6457). سپس مقدار تابع را با جایگذاری x در y=2^x محاسبه می‌کنیم. برای دقت بیشتر از ماشین حساب استفاده می‌کنیم." + }, + { + "title": "تشخیص تابع بودن نمودار", + "introText": "برای تشخیص اینکه نمودار یک تابع است یا خیر، باید بررسی کنیم که برای هر مقدار x در دامنه، تنها یک مقدار y متناظر وجود داشته باشد. همچنین نمودار نباید یک مقدار x را به چند مقدار y نسبت دهد. در نمودارهای نمایی این شرط معمولاً برقرار است." + }, + { + "title": "مقایسه مقادیر تابع نمایی در اعداد مختلف", + "introText": "برای مقایسه مقادیر تابع نمایی در اعداد مختلف، مقدار تابع را در هر عدد محاسبه می‌کنیم و سپس مقادیر به دست آمده را با هم مقایسه می‌کنیم. این کار می‌تواند با استفاده از نمودار یا محاسبه عددی انجام شود." + }, + { + "title": "رسم و مقایسه نمودار توابع نمایی", + "introText": "1. تابع نمایی داده شده را به صورت y = a^x بنویسید که a عددی مثبت است.\n2. نقاطی از تابع را با جایگذاری مقادیر x در تابع پیدا کنید.\n3. نقاط به دست آمده را روی دستگاه مختصات رسم کنید.\n4. نمودار تابع را با اتصال نقاط رسم کنید.\n5. برای مقایسه دو تابع نمایی، نمودار هر دو را رسم کرده و رفتار آنها را بررسی کنید.\n6. دامنه و برد تابع را با توجه به نمودار و تعریف تابع تعیین کنید.\n7. نقاط خاص داده شده را با جایگذاری در تابع پیدا کرده و روی نمودار مشخص کنید." + }, + { + "title": "کاربرد توابع نمایی در مسائل حل مقدار نمک در آب", + "introText": "1. مسئله را به صورت تابع نمایی q(t) = q_0 * (a/b)^t مدل کنید که q_0 مقدار اولیه و (a/b) نسبت کاهش است.\n2. مقدار اولیه نمک حل نشده را مشخص کنید.\n3. مقدار نمک حل نشده پس از زمان t را با جایگذاری t در تابع محاسبه کنید.\n4. اگر مقدار نمک پس از زمان مشخص داده شده، مقدار t را جایگذاری و مقدار نمک را محاسبه کنید.\n5. نمودار تابع را در بازه زمانی داده شده رسم کنید تا رفتار کاهش مقدار نمک را مشاهده کنید." + }, + { + "title": "مسئله مدل‌سازی رشد نمایی و نیمه‌عمر", + "introText": "1. تعریف تابع نمایی بر اساس نیمه عمر یا نرخ رشد داده شده. 2. جایگذاری مقادیر اولیه و زمان در تابع برای محاسبه مقدار ماده در زمان‌های مختلف. 3. استفاده از رابطه Q(t) = Q_0 * (1/2)^(t/T) که در آن T نیمه عمر است. 4. حل معادله برای زمان یا مقدار ماده در زمان مشخص." + }, + { + "title": "تحلیل و رسم نمودار توابع نمایی", + "introText": "1. شناسایی ضابطه تابع نمایی به صورت f(x) = a^x یا f(x) = a^{-x}. 2. تعیین دامنه (معمولاً همه اعداد حقیقی) و برد (مقادیر مثبت برای توابع نمایی). 3. رسم نمودار با توجه به پایه و علامت توان (صعودی یا نزولی بودن). 4. مقایسه نمودارها برای تشخیص اینکه آیا توابع یکسان هستند یا خیر." + }, + { + "title": "تحلیل و رسم نمودار توابع نمایی با پایه کسری", + "introText": "1. شناسایی ضابطه تابع نمایی با پایه کسری به صورت u(x) = (1/2)^x، v(x) = (1/3)^x، t(x) = (1/5)^x. 2. رسم نمودار هر تابع با توجه به پایه کسری که باعث نزولی بودن تابع می‌شود. 3. تعیین دامنه (همه اعداد حقیقی) و برد (اعداد مثبت). 4. بررسی یک به یک بودن توابع با توجه به خاصیت توابع نمایی با پایه بین 0 و 1." + }, + { + "title": "مرتب‌سازی اعداد نمایی", + "introText": "برای مرتب‌سازی اعداد نمایی ابتدا پایه‌ها و توان‌ها را بررسی می‌کنیم. اگر پایه‌ها برابر باشند، توان‌ها را مقایسه می‌کنیم. اگر پایه‌ها متفاوت باشند، اعداد را به صورت نمایی با پایه‌های یکسان تبدیل می‌کنیم یا مقدار عددی هر کدام را محاسبه و سپس مرتب می‌کنیم." + }, + { + "title": "تکمیل جای خالی در توابع نمایی", + "introText": "برای تابع نمایی f(x) = a^x، اگر a > 1 باشد، با افزایش x مقدار تابع افزایش می‌یابد و اگر 0 < a < 1 باشد، با افزایش x مقدار تابع کاهش می‌یابد. این ویژگی‌ها را در جای خالی‌های داده شده قرار می‌دهیم." + }, + { + "title": "کار با قوانین توان‌های نمایی", + "introText": "برای حل مسائل مربوط به توان‌های نمایی، از قوانین زیر استفاده می‌کنیم:\n1) a^0 = 1\n2) a^{-x} = 1 / a^x\n3) a^x * a^y = a^{x+y}\n4) (a^x)^y = a^{xy}\n5) (ab)^x = a^x * b^x\n6) (a/b)^x = a^x / b^x\n7) a^x / a^y = a^{x-y}\nبا استفاده از این قوانین، توان‌ها را ساده یا ترکیب می‌کنیم." + }, + { + "title": "مدل‌سازی رشد نمایی با تابع نمایی", + "introText": "برای مدل‌سازی رشد نمایی، تابعی به شکل f(t) = a * b^t تعریف می‌کنیم که در آن a مقدار اولیه و b ضریب رشد در هر واحد زمان است. اگر جرم توده هر دو ساعت دو برابر شود، b=2 است. سپس با جایگذاری مقدار t در تابع، جرم توده را در زمان‌های مختلف محاسبه می‌کنیم." + }, + { + "title": "تعیین ضابطه توابع نمایی از روی نمودار", + "introText": "1. نقاط مشخص روی نمودار را انتخاب کنید.\n2. با توجه به شکل کلی تابع نمایی y = a^x یا y = a^(x+c) + d ضابطه را حدس بزنید.\n3. با استفاده از نقاط داده شده مقدار a و پارامترهای دیگر را پیدا کنید.\n4. ضابطه به دست آمده را با نمودارهای دیگر مقایسه کنید و نتیجه‌گیری کنید." + }, + { + "title": "مدل‌سازی رشد نمایی دارو در بدن و محاسبه مقدار دارو", + "introText": "1. مدل ریاضی رشد یا کاهش دارو را به صورت تابع نمایی A(t) = A_0 * b^t بنویسید.\n2. مقدار اولیه دارو A_0 و نرخ تغییر b را مشخص کنید.\n3. مقدار دارو را در زمان دلخواه با جایگذاری t در تابع محاسبه کنید.\n4. برای درصد کاهش یا افزایش در هر ساعت، از رابطه درصد تغییر استفاده کنید." + }, + { + "title": "حل نامعادلات نمایی", + "introText": "1. نامعادله را به صورت a^f(x) > a^g(x) یا مشابه آن بنویسید.\n2. چون پایه a > 1 است، جهت نامعادله را حفظ کنید.\n3. توان‌ها را مقایسه کنید و نامعادله را به صورت f(x) > g(x) تبدیل کنید.\n4. نامعادله به دست آمده را حل کنید." + }, + { + "title": "مقایسه و تعیین رابطه بین اعداد نمایی با پایه یکسان", + "introText": "1. اعداد نمایی با پایه a > 1 به صورت a^x و a^y داده شده‌اند.\n2. اگر a > 1 باشد، رابطه بین a^x و a^y همان رابطه بین x و y است.\n3. بنابراین اگر a^x > a^y باشد، آنگاه x > y و بالعکس.\n4. این رابطه برای مقایسه اعداد نمایی استفاده می‌شود." + }, + { + "title": "یافتن مقدار تقریبی اعداد با کمک نمودار و ماشین حساب", + "introText": "1. عدد مورد نظر را به صورت نمایی یا رادیکالی بنویسید.\n2. با استفاده از نمودار تابع مربوطه مقدار تقریبی را حدس بزنید.\n3. مقدار تقریبی را با ماشین حساب محاسبه کنید.\n4. صحت مقدار را با نمودار بررسی کنید." + }, + { + "title": "محاسبه نقاط برخورد نمودارهای نمایی و خطوط", + "introText": "1. معادلات داده شده را بررسی کنید. 2. نقاط برخورد نمودار y=3^x و خط y=13/2 را با حل معادله 3^x = 13/2 پیدا کنید. 3. طول نقطه برخورد را با حل معادله مربوط به خط y=√x و نمودار y=3^x بیابید. 4. نقاط برخورد را به دست آورده و بررسی کنید که کدام بین دو عدد صحیح قرار دارد. 5. در صورت نیاز، نمودارها را رسم کنید تا صحت نتایج تایید شود." + }, + { + "title": "محاسبه درصد ناخالصی باقی‌مانده در فرآیند تصفیه آب با فیلترهای متوالی", + "introText": "1. درصد ناخالصی اولیه را مشخص کنید. 2. درصد حذف ناخالصی هر لایه را به صورت کسری تبدیل کنید. 3. درصد باقی‌مانده ناخالصی پس از هر لایه را با ضرب درصد باقی‌مانده در درصد حذف شده محاسبه کنید. 4. برای چند لایه، درصد ناخالصی باقی‌مانده را با ضرب درصد باقی‌مانده هر مرحله به دست آورید. 5. درصد ناخالصی کل باقی‌مانده را از 100 کم کنید تا درصد ناخالصی حذف شده به دست آید." + } + ] + }, + { + "title": "تابع لگاریتمی و لگاریتم", + "order": 2, + "lessons": [ + { + "title": "تعیین تابع وارون و بررسی رابطه آن با تابع اصلی", + "introText": "1. تابع اصلی را به صورت y = f(x) بنویسید.\n2. برای یافتن تابع وارون، متغیرهای x و y را جابجا کنید و معادله را نسبت به y حل کنید.\n3. دامنه و برد تابع اصلی و تابع وارون را مشخص کنید.\n4. نمودار تابع اصلی و تابع وارون را رسم کنید و نقاط تقارن نسبت به خط y = x را بررسی کنید.\n5. بررسی کنید که دامنه تابع اصلی برابر برد تابع وارون و بالعکس باشد." + }, + { + "title": "تعیین مقادیر تابع نمایی و تابع وارون آن از روی نمودار", + "introText": "1. مقدار x داده شده را در تابع نمایی قرار دهید و مقدار y را محاسبه کنید. 2. برای تابع وارون، مقدار y داده شده را در تابع وارون قرار دهید و مقدار x را بیابید. 3. از نمودار تابع برای تعیین مقادیر استفاده کنید و مقادیر را در جدول یا پاسخ‌ها وارد کنید." + }, + { + "title": "تشخیص درستی نقاط روی نمودار تابع و تابع وارون", + "introText": "1. نقاط داده شده را بررسی کنید که آیا روی نمودار تابع اصلی قرار دارند یا خیر. 2. نقاط داده شده را بررسی کنید که آیا روی نمودار تابع وارون قرار دارند یا خیر. 3. با توجه به تعریف تابع وارون، نقاط متناظر را تطبیق دهید و صحت هر نقطه را مشخص کنید." + }, + { + "title": "محاسبه مقادیر تابع لگاریتمی با پایه دلخواه از روی نمودار", + "introText": "1. تابع لگاریتمی را به صورت y = log_3(x) تعریف کنید. 2. مقادیر x داده شده را در تابع لگاریتم قرار دهید و مقدار y را محاسبه کنید. 3. از نمودار تابع لگاریتم برای تعیین مقادیر استفاده کنید و مقادیر را یادداشت کنید." + }, + { + "title": "محاسبه مقدار تابع لگاریتمی در نقاط مختلف", + "introText": "1. تابع لگاریتمی به صورت f(x) = log_a x تعریف می‌شود که a پایه لگاریتم است.\n2. برای محاسبه مقدار تابع در نقطه x، مقدار لگاریتم پایه a از x را محاسبه می‌کنیم.\n3. اگر x در دامنه تابع (x>0) نباشد، مقدار تابع تعریف نشده است.\n4. برای محاسبه لگاریتم می‌توان از رابطه معکوس نمایی استفاده کرد: y = log_a x ⇔ a^y = x.\n5. در صورت نیاز، از ماشین حساب با دکمه log و تنظیم پایه مناسب استفاده می‌کنیم." + }, + { + "title": "تبدیل لگاریتم به صورت توانی", + "introText": "برای تبدیل لگاریتم به صورت توانی، از تعریف لگاریتم استفاده می‌کنیم: اگر log_a b = c باشد، آنگاه a^c = b. بنابراین برای هر لگاریتم داده شده، پایه لگاریتم را به توان مقدار لگاریتم می‌رسانیم تا عدد داخل لگاریتم به دست آید." + }, + { + "title": "محاسبه مقادیر لگاریتمی با استفاده از تعریف", + "introText": "برای محاسبه مقدار لگاریتم، ابتدا مقدار لگاریتم را برابر با یک متغیر فرض می‌کنیم، سپس با استفاده از تعریف لگاریتم، معادله نمایی متناظر را می‌نویسیم و مقدار مجهول را محاسبه می‌کنیم. اگر لگاریتم به صورت log_a b = x باشد، آنگاه a^x = b." + }, + { + "title": "رسم نمودار توابع لگاریتمی و تعیین ضابطه", + "introText": "برای رسم نمودار تابع لگاریتمی با پایه مشخص، ابتدا نقاطی از دامنه را انتخاب کرده و مقادیر تابع را محاسبه می‌کنیم. سپس نقاط به دست آمده را روی دستگاه مختصات رسم می‌کنیم. ضابطه تابع لگاریتمی به صورت f(x) = log_a x است که a پایه لگاریتم است. با توجه به نمودار و نقاط داده شده، می‌توان ضابطه هر تابع را تعیین کرد." + }, + { + "title": "رسم و مقایسه نمودارهای نمایی و لگاریتمی", + "introText": "1. نمودار تابع نمایی y = (1/2)^x را رسم کنید. 2. نمودار تابع لگاریتمی y = log_(1/2) x را رسم کنید. 3. ویژگی‌های هر نمودار مانند جهت نمودار، نقاط تقاطع با محورهای مختصات و رفتار نمودار در بی‌نهایت را بررسی کنید. 4. نمودارها را در یک دستگاه مختصات رسم کرده و تفاوت‌ها و شباهت‌های آن‌ها را مقایسه کنید." + }, + { + "title": "تشخیص تابع از روی نمودار", + "introText": "1. نمودار داده شده را بررسی کنید و نوع تابع را تشخیص دهید (نمایی یا لگاریتمی). 2. ویژگی‌های نمودار مانند جهت نمودار، نقاط تقاطع با محور y، و شکل کلی نمودار را بررسی کنید. 3. ضابطه تابع را با توجه به ویژگی‌های نمودار حدس بزنید. 4. با استفاده از نقاط مشخص روی نمودار، ضابطه را تأیید کنید." + }, + { + "title": "محاسبه مقدار لگاریتم", + "introText": "1. از تعریف لگاریتم استفاده کنید: اگر log_a b = c باشد، آنگاه a^c = b. 2. عدد داخل لگاریتم را به صورت توان پایه لگاریتم بنویسید. 3. توان را به عنوان جواب لگاریتم بنویسید. 4. اگر لازم است، از خواص لگاریتم برای ساده‌سازی استفاده کنید." + }, + { + "title": "محاسبه مقدار لگاریتم با استفاده از تعریف لگاریتم", + "introText": "برای محاسبه مقدار لگاریتم عبارت‌هایی مانند log_a b، از تعریف لگاریتم استفاده می‌کنیم که می‌گوید اگر y = log_a b آنگاه a^y = b. با تبدیل عدد داخل لگاریتم به صورت توان یا ریشه، مقدار لگاریتم را به صورت عددی پیدا می‌کنیم." + }, + { + "title": "مقایسه نمودار توابع لگاریتمی با پایه‌های مختلف", + "introText": "برای مقایسه نمودار توابع y = log_a x با پایه‌های مختلف، ابتدا ویژگی‌های پایه را بررسی می‌کنیم: اگر a > 1 باشد، نمودار صعودی است و اگر 0 < a < 1 باشد، نمودار نزولی است. سپس شکل و جهت نمودارها را با هم مقایسه می‌کنیم." + }, + { + "title": "یافتن نقاط قطع نمودارهای نمایی با خطوط افقی", + "introText": "برای یافتن نقطه قطع نمودار تابع نمایی y = a^x با خط افقی y = c، مقدار x را از معادله a^x = c پیدا می‌کنیم. با گرفتن لگاریتم دو طرف معادله، x = log_a c به دست می‌آید." + }, + { + "title": "رسم و مقایسه نمودار توابع نمایی با پایه‌های مختلف", + "introText": "برای رسم نمودار توابع نمایی، نقاطی از تابع را با جایگذاری مقادیر x به دست می‌آوریم و سپس نمودار را رسم می‌کنیم. برای مقایسه، شکل و جهت نمودارها را بررسی می‌کنیم. تابع نمایی با پایه بزرگتر از 1 صعودی است و تابع نمایی با پایه بین 0 و 1 نزولی است." + }, + { + "title": "تشخیص درست یا غلط بودن عبارات مربوط به لگاریتم", + "introText": "برای تشخیص درست یا غلط بودن عبارات مربوط به لگاریتم، باید خواص لگاریتم را بررسی کنیم: لگاریتم اعداد منفی تعریف نشده است، تابع لگاریتم یک‌به‌یک است، محور y را قطع می‌کند و ... . با توجه به این خواص، عبارات را علامت‌گذاری می‌کنیم." + }, + { + "title": "رسم نمودار توابع لگاریتمی و نمایی با تغییرات در پایه و ضریب", + "introText": "برای رسم نمودار توابع لگاریتمی و نمایی با تغییرات در پایه و ضریب، ابتدا نمودار پایه را رسم می‌کنیم سپس با توجه به ضریب‌ها و تغییرات در پایه، نمودار را جابجا یا تغییر شکل می‌دهیم. نقاط کلیدی مانند تقاطع با محور x و y را مشخص می‌کنیم." + } + ] + }, + { + "title": "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی", + "order": 3, + "lessons": [ + { + "title": "ویژگی‌های لگاریتم و اثبات روابط لگاریتمی", + "introText": "برای اثبات روابط لگاریتمی ابتدا از تعریف لگاریتم استفاده می‌کنیم. فرض می‌کنیم لگاریتم‌ها به صورت log_a b = x و log_a c = y تعریف شده‌اند، سپس با تبدیل لگاریتم به صورت نمایی (a^x = b و a^y = c) و استفاده از خواص توان‌ها، رابطه مورد نظر را اثبات می‌کنیم. به عنوان مثال برای اثبات log_c(ab) = log_c a + log_c b، ابتدا a و b را به صورت توان‌های پایه c می‌نویسیم و سپس با استفاده از قانون ضرب توان‌ها، رابطه را اثبات می‌کنیم." + }, + { + "title": "ویژگی لگاریتم توان‌دار", + "introText": "برای حل مسائل مربوط به لگاریتم توان‌دار، از قانون لگاریتم توان استفاده می‌کنیم که می‌گوید log_a(b^n) = n * log_a b. ابتدا لگاریتم توان را به صورت ضرب n در لگاریتم پایه b می‌نویسیم و سپس با توجه به مقدار n و b، مقدار لگاریتم را محاسبه می‌کنیم." + }, + { + "title": "حل معادلات لگاریتمی با استفاده از خواص لگاریتم", + "introText": "برای حل معادلات لگاریتمی ابتدا از خواص لگاریتم استفاده می‌کنیم تا معادله را ساده کنیم. سپس با تبدیل لگاریتم به صورت نمایی، مقدار مجهول را به دست می‌آوریم. در مواردی که لگاریتم‌ها با پایه 10 هستند، از خاصیت log 10 = 1 و log 1 = 0 استفاده می‌کنیم تا معادله را حل کنیم." + }, + { + "title": "حل معادلات لگاریتمی", + "introText": "برای حل معادلات لگاریتمی ابتدا باید معادله را به گونه‌ای ساده کنیم که لگاریتم‌ها در دو طرف معادله با پایه‌های یکسان قرار گیرند. سپس با استفاده از خاصیت برابری لگاریتم‌ها (اگر log_a(x) = log_a(y) آنگاه x = y) عبارت‌های داخل لگاریتم را برابر قرار می‌دهیم. در نهایت معادله به یک معادله جبری تبدیل شده و آن را حل می‌کنیم. پس از یافتن جواب‌ها، باید بررسی کنیم که آیا جواب‌ها در دامنه تعریف لگاریتم قرار دارند یا خیر، زیرا اعداد داخل لگاریتم باید مثبت باشند." + }, + { + "title": "حل معادلات لگاریتمی با تبدیل به معادله جبری", + "introText": "در این نوع مسائل ابتدا با استفاده از خواص لگاریتم، معادله را به صورت لگاریتم یک عبارت برابر لگاریتم عبارت دیگر تبدیل می‌کنیم. سپس با برابر قرار دادن عبارات داخل لگاریتم‌ها، معادله را به یک معادله جبری تبدیل می‌کنیم. معادله جبری را حل کرده و جواب‌ها را به دست می‌آوریم. در نهایت باید جواب‌ها را در دامنه تعریف لگاریتم بررسی کنیم تا جواب‌های نامعتبر حذف شوند." + }, + { + "title": "مدل‌سازی رشد جمعیت با تابع نمایی", + "introText": "1. داده‌های جمعیت در سال‌های مختلف را بررسی کنید.\n2. فرض کنید جمعیت تابعی نمایی از سال باشد به صورت g(x) = a * b^x.\n3. با استفاده از داده‌ها مقدار a و b را تعیین کنید.\n4. تابع را برای سال‌های مورد نظر محاسبه کنید.\n5. با استفاده از تابع، جمعیت در سال‌های آینده را برآورد کنید." + }, + { + "title": "یافتن سالی که جمعیت به مقدار مشخصی می‌رسد", + "introText": "1. تابع جمعیت را به صورت نمایی g(x) = a * b^x در نظر بگیرید.\n2. مقدار جمعیت مورد نظر را برابر g(x) قرار دهید.\n3. معادله را به صورت نمایی بنویسید و سپس لگاریتم بگیرید.\n4. مقدار x را با استفاده از لگاریتم حل کنید.\n5. مقدار x به سال مورد نظر تبدیل می‌شود." + }, + { + "title": "محاسبه مقدار انرژی آزاد شده در زلزله با استفاده از رابطه لگاریتمی", + "introText": "1. رابطه داده شده برای انرژی آزاد شده در زلزله به صورت لگاریتمی است: log E = 11.8 + 1.5M که در آن M بزرگی زمین لرزه بر حسب ریشتر است.\n2. مقدار M را در رابطه قرار می‌دهیم.\n3. مقدار log E را محاسبه می‌کنیم.\n4. با استفاده از لگاریتم، مقدار E را به دست می‌آوریم.\n5. نتیجه مقدار انرژی آزاد شده بر حسب Erg خواهد بود." + }, + { + "title": "محاسبه جرم باقی‌مانده ماده هسته‌ای با نیمه عمر مشخص", + "introText": "1. نیمه عمر ماده هسته‌ای مشخص است (مثلاً 25 سال).\n2. جرم اولیه ماده داده شده است (مثلاً 24 میلی‌گرم).\n3. رابطه جرم باقی‌مانده به صورت نمایی است: m(t) = m_0 × (1/2)^{t/T} که در آن t زمان گذشته و T نیمه عمر است.\n4. مقدار t را در رابطه قرار می‌دهیم.\n5. مقدار m(t) را محاسبه می‌کنیم تا جرم باقی‌مانده پس از t سال به دست آید." + }, + { + "title": "تفسیر و کاربرد تابع نمایی در مسائل جرم باکتری‌ها", + "introText": "1. تابع نمایی داده شده را بررسی کنید و رابطه آن را با زمان بنویسید.\n2. مقدار تابع را برای زمان‌های مختلف محاسبه کنید.\n3. در صورت نیاز، معکوس تابع را برای یافتن زمان مشخص استفاده کنید.\n4. پاسخ را با توجه به شرایط مسئله تفسیر کنید." + }, + { + "title": "بررسی صحت و نادرستی عبارات لگاریتمی", + "introText": "1. هر عبارت را با استفاده از قوانین لگاریتم بررسی کنید.\n2. درستی یا نادرستی هر عبارت را با تحلیل ریاضی مشخص کنید.\n3. در صورت نادرستی، دلیل آن را بیان کنید." + }, + { + "title": "مدل‌سازی و حل مسائل نیمه عمر مواد", + "introText": "1. رابطه نیمه عمر را به صورت تابع نمایی بنویسید.\n2. جرم اولیه و زمان داده شده را در تابع قرار دهید.\n3. جرم باقی‌مانده را با استفاده از فرمول نیمه عمر محاسبه کنید.\n4. پاسخ را به واحد مناسب بیان کنید." + }, + { + "title": "ساده‌سازی عبارات لگاریتمی با استفاده از قوانین لگاریتم", + "introText": "1. از قوانین لگاریتم برای تبدیل ضرب به جمع، تقسیم به تفریق و توان به ضریب استفاده کنید.\n2. عبارات داخل لگاریتم را به صورت ساده‌تر بنویسید.\n3. در صورت امکان، مقادیر لگاریتم را با استفاده از داده‌های عددی جایگزین کنید." + }, + { + "title": "یافتن مقدار مجهول در تابع لگاریتمی با استفاده از نمودار", + "introText": "1. معادله تابع لگاریتمی را بنویسید.\n2. مختصات نقطه داده شده را در تابع قرار دهید.\n3. معادله به دست آمده را حل کنید تا مقدار مجهول پیدا شود." + } + ] + } + ] + }, + { + "title": "فصل ۴: مثلثات", + "order": 4, + "nodes": [ + { + "title": "رادیان", + "order": 1, + "lessons": [ + { + "title": "محاسبه طول کمان دایره با استفاده از نسبت‌های مثلثاتی", + "introText": "1. زاویه مرکزی α را بر حسب درجه یا رادیان مشخص کنید.\n2. شعاع دایره r را تعیین کنید.\n3. محیط دایره را با فرمول 2πr محاسبه کنید.\n4. طول کمان متناظر با زاویه α را با استفاده از نسبت کسر زاویه به 360 درجه یا 2π رادیان ضرب در محیط دایره به دست آورید: طول کمان = (α/360) × 2πr یا (α/2π) × 2πr = αr (اگر α بر حسب رادیان باشد).\n5. در صورت نیاز، از نسبت‌های مثلثاتی برای تعیین طول ضلع‌های مثلث‌های مرتبط استفاده کنید." + }, + { + "title": "محاسبه طول کمان در دایره‌های مختلف با شعاع‌های متفاوت و زاویه مشخص", + "introText": "1. شعاع هر دایره را مشخص کنید.\n2. زاویه مرکزی α را بر حسب درجه یا رادیان تعیین کنید.\n3. محیط هر دایره را با فرمول 2πr محاسبه کنید.\n4. طول کمان متناظر با زاویه α را برای هر دایره با استفاده از فرمول طول کمان = (α/360) × 2πr یا (α/2π) × 2πr محاسبه کنید.\n5. نسبت طول کمان به شعاع دایره را برای هر دایره محاسبه و مقایسه کنید." + }, + { + "title": "محاسبه نسبت طول کمان به شعاع و زاویه مرکزی به رادیان", + "introText": "1. طول کمان را بر شعاع دایره تقسیم کنید.\n2. نسبت به دست آمده برابر با اندازه زاویه مرکزی به رادیان است.\n3. اگر طول کمان برابر با k برابر شعاع باشد، زاویه مرکزی برابر k رادیان است.\n4. این رابطه به صورت θ = l / r است که در آن θ زاویه مرکزی به رادیان، l طول کمان و r شعاع دایره است." + }, + { + "title": "محاسبه اندازه زاویه برحسب رادیان و طول کمان", + "introText": "برای محاسبه اندازه زاویه θ برحسب رادیان، از رابطه θ = l / r استفاده می‌کنیم که در آن l طول کمان و r شعاع دایره است. ابتدا طول کمان یا زاویه داده شده را به رادیان تبدیل می‌کنیم و سپس با استفاده از این رابطه، مقدار مجهول را پیدا می‌کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه طول کمان با استفاده از زاویه و شعاع", + "introText": "برای یافتن طول کمان l در دایره‌ای با شعاع r و زاویه θ برحسب رادیان، از رابطه l = r × θ استفاده می‌کنیم. ابتدا زاویه را به رادیان تبدیل می‌کنیم (اگر درجه است) و سپس در شعاع ضرب می‌کنیم تا طول کمان به دست آید." + }, + { + "title": "محاسبه فاصله نقطه روی محیط دایره با استفاده از زاویه و شعاع", + "introText": "برای محاسبه فاصله بین دو نقطه روی محیط دایره که با زاویه θ برحسب رادیان مشخص شده است، ابتدا طول کمان مربوط به آن زاویه را محاسبه می‌کنیم. اگر شعاع دایره r باشد، طول کمان برابر است با l = r × θ. این طول کمان همان فاصله مورد نظر است." + }, + { + "title": "تبدیل زاویه‌ها بین درجه و رادیان", + "introText": "برای تبدیل زاویه از درجه به رادیان، از رابطه θ(rad) = (π/180) × θ(درجه) استفاده می‌کنیم. برای تبدیل زاویه از رادیان به درجه، از رابطه θ(درجه) = (180/π) × θ(radian) استفاده می‌شود. این تبدیل‌ها به کمک نسبت‌های مستقیم بین درجه و رادیان انجام می‌شود." + }, + { + "title": "اندازه‌گیری زاویه‌ها بر حسب رادیان در دایره‌های مثلثاتی", + "introText": "زاویه‌ها بر حسب رادیان در دایره مثلثاتی نمایش داده می‌شوند. برای هر زاویه، اندازه آن بر حسب π بیان می‌شود. زاویه‌ها می‌توانند کمتر یا بیشتر از 2π باشند. برای تعیین زاویه، ابتدا مقدار رادیان داده شده را در دایره واحد رسم می‌کنیم و سپس زاویه را با توجه به موقعیت شعاع مشخص می‌کنیم." + }, + { + "title": "تکمیل جدول نسبت‌های مثلثاتی برای زوایای مشخص", + "introText": "برای تکمیل جدول نسبت‌های مثلثاتی، ابتدا زاویه داده شده را بر حسب رادیان یا درجه مشخص می‌کنیم. سپس با استفاده از روابط مثلثاتی استاندارد و مقادیر معروف (مانند π/6, π/4, π/3, π/2 و غیره) مقادیر sinθ، cosθ، tanθ و cotθ را محاسبه یا از جدول‌های استاندارد استخراج می‌کنیم. در صورت نیاز، از روابط هم‌ارز و فرمول‌های مثلثاتی استفاده می‌شود." + }, + { + "title": "تعیین ربع زاویه در دایره مثلثاتی", + "introText": "1. مقدار زاویه داده شده را بررسی کنید. 2. زاویه را بر حسب π بیان کنید. 3. با توجه به مقدار زاویه و علامت آن، ربع مربوط به انتهای کمان را تعیین کنید. 4. شکل دایره مثلثاتی را رسم کرده و موقعیت کمان را مشخص کنید." + }, + { + "title": "محاسبه طول کمان دایره با استفاده از زاویه مرکزی", + "introText": "1. طول کمان را با فرمول L = rθ محاسبه کنید که در آن r شعاع دایره و θ زاویه مرکزی بر حسب رادیان است. 2. اگر زاویه بر حسب درجه است، ابتدا آن را به رادیان تبدیل کنید. 3. مقدار شعاع و زاویه را در فرمول جایگذاری و محاسبه کنید." + }, + { + "title": "محاسبه زاویه کمان در مخروط با استفاده از ابعاد مخروط", + "introText": "1. ابتدا طول کمان شکل گسترده مخروط را محاسبه کنید. 2. شعاع قاعده مخروط و ارتفاع آن را برای محاسبه شعاع کمان استفاده کنید. 3. زاویه کمان را با استفاده از نسبت طول کمان به شعاع کمان به دست آورید: θ = طول کمان / شعاع کمان. 4. مقدار θ زاویه کمان بر حسب رادیان است." + }, + { + "title": "محاسبه فاصله ژئودزیک بین دو نقطه روی نیم‌کره زمین", + "introText": "۱. تعیین زاویه مرکزی بین دو نقطه روی نیم‌کره زمین با استفاده از مختصات جغرافیایی (طول و عرض جغرافیایی). ۲. استفاده از رابطه طول کمانی دایره بزرگ: فاصله = شعاع زمین × زاویه مرکزی (بر حسب رادیان). ۳. در صورت نیاز، استفاده از مثلثات کروی برای محاسبات دقیق‌تر مسیرهای روی سطح کروی. ۴. نتیجه فاصله ژئودزیک بین دو نقطه روی نیم‌کره زمین به دست می‌آید." + } + ] + }, + { + "title": "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا", + "order": 2, + "lessons": [ + { + "title": "نسبت‌های مثلثاتی زوایای متمم", + "introText": "برای دو زاویه که مجموع آنها ۹۰ درجه (یا π/2 رادیان) است، نسبت‌های مثلثاتی یکی برابر نسبت‌های مثلثاتی زاویه دیگر با تغییر نوع تابع است. به طور خاص: sin(π/2 - θ) = cos θ، cos(π/2 - θ) = sin θ، tan(π/2 - θ) = cot θ، cot(π/2 - θ) = tan θ. برای اثبات یا استفاده از این روابط، می‌توان یک مثلث قائم‌الزاویه با زاویه θ در نظر گرفت و با توجه به تعریف نسبت‌های مثلثاتی و زاویه متمم (π/2 - θ) روابط را به دست آورد." + }, + { + "title": "رابطه بین مختصات نقاط روی دایره مثلثاتی و نسبت‌های مثلثاتی زوایای قرینه", + "introText": "1. نقطه P روی دایره مثلثاتی با زاویه α به صورت P(x_P, y_P) = (cos α, sin α) تعریف می‌شود.\n2. نقطه Q قرینه P نسبت به محور x است، پس Q(x_Q, y_Q) = (cos(-α), sin(-α)) = (cos α, -sin α).\n3. با توجه به این مختصات، روابط مثلثاتی برای زاویه -α را می‌توان به دست آورد:\n - cos(-α) = cos α\n - sin(-α) = -sin α\n - tan(-α) = -tan α\n - cot(-α) = -cot α\n4. این روابط از مختصات نقاط روی دایره مثلثاتی و تعاریف نسبت‌های مثلثاتی استخراج می‌شوند." + }, + { + "title": "رابطه‌های مثلثاتی زوایای مکمل و زاویه‌های به شکل π-α و π+α", + "introText": "1. نقاط P و Q روی دایره مثلثاتی را با مختصات (x_P, y_P) و (x_Q, y_Q) در نظر بگیرید که زاویه P برابر α و زاویه Q برابر π-α یا π+α است.\n2. با توجه به مختصات نقاط و تعریف دایره مثلثاتی، روابط مختصات نقاط را به دست آورید، مثلاً x_Q = -x_P و y_Q = y_P برای زاویه π-α.\n3. با استفاده از روابط مختصات، مقادیر توابع مثلثاتی را برای زاویه‌های π-α و π+α به صورت تابعی از α بنویسید.\n4. از روابط اولیه توابع مثلثاتی (sin, cos, tan, cot) استفاده کنید تا روابط زیر را اثبات یا کامل کنید:\n - sin(π-α) = sin α\n - cos(π-α) = -cos α\n - tan(π-α) = -tan α\n - cot(π-α) = -cot α\n - sin(π+α) = -sin α\n - cos(π+α) = -cos α\n - tan(π+α) = tan α\n - cot(π+α) = cot α\n5. برای محاسبه مقادیر عددی توابع مثلثاتی زاویه‌های داده شده، از این روابط استفاده کنید و مقادیر را به صورت عددی محاسبه نمایید." + }, + { + "title": "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایای به صورت kπ + α یا kπ - α", + "introText": "برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایایی به صورت kπ + α یا kπ - α ابتدا باید بدانیم که این زوایا در دایره مثلثاتی چگونه قرار می‌گیرند. سپس با استفاده از روابط زیر نسبت‌های مثلثاتی را به نسبت‌های مثلثاتی زاویه α تبدیل می‌کنیم: \n\nاگر زاویه به صورت 2kπ + α باشد:\n- sin(2kπ + α) = sin α\n- cos(2kπ + α) = cos α\n- tan(2kπ + α) = tan α\n- cot(2kπ + α) = cot α\n\nاگر زاویه به صورت 2kπ - α باشد:\n- sin(2kπ - α) = -sin α\n- cos(2kπ - α) = cos α\n- tan(2kπ - α) = -tan α\n- cot(2kπ - α) = -cot α\n\nسپس با جایگذاری مقدار α در این روابط، مقدار نسبت مثلثاتی زاویه مرکب را محاسبه می‌کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایای خاص", + "introText": "برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایای داده شده، ابتدا زاویه را بررسی می‌کنیم و در صورت نیاز آن را به زاویه‌ای در ربع اول یا زاویه‌ای استاندارد تبدیل می‌کنیم. سپس با استفاده از روابط مثلثاتی و دانستن مقادیر مثلثاتی زوایای خاص، مقدار نسبت مثلثاتی را به دست می‌آوریم. در صورت منفی بودن زاویه یا خارج از ربع اول بودن، علامت نسبت مثلثاتی را با توجه به ربع زاویه تعیین می‌کنیم." + }, + { + "title": "تکمیل جدول نسبت‌های مثلثاتی با استفاده از روابط زاویه‌ای", + "introText": "برای تکمیل جدول نسبت‌های مثلثاتی برای زوایای مختلف به صورت α = kπ ± θ و α = π ± θ، ابتدا شکل دایره مثلثاتی را رسم می‌کنیم و موقعیت زاویه را مشخص می‌کنیم. سپس با توجه به ربع قرارگیری زاویه، علامت نسبت‌های مثلثاتی را تعیین می‌کنیم. در نهایت با استفاده از روابط تبدیل زاویه‌ها مانند sin(π - θ) = sinθ و cos(π - θ) = -cosθ و ... مقادیر نسبت‌ها را به صورت تابعی از θ می‌نویسیم." + }, + { + "title": "اثبات روابط مثلثاتی با استفاده از دایره مثلثاتی", + "introText": "1. نقاط مربوط به زوایای داده شده را روی دایره مثلثاتی مشخص کنید.\n2. مختصات نقاط را به صورت (cosθ, sinθ) یا (cos(π/2 + θ), sin(π/2 + θ)) بنویسید.\n3. با استفاده از روابط هندسی و مختصات نقاط، معادلات مربوط به سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت را استخراج کنید.\n4. روابط را به صورت جبری ساده کنید تا به روابط مثلثاتی مورد نظر برسید." + }, + { + "title": "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایای داده شده", + "introText": "برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایای داده شده، ابتدا زاویه را به رادیان یا درجه مشخص می‌کنیم. سپس با استفاده از روابط مثلثاتی استاندارد یا جدول‌های مثلثاتی، مقدار sin، cos، tan یا cot زاویه را به دست می‌آوریم. در صورت نیاز، از روابط تبدیل زاویه‌ها مانند زاویه‌های منفی یا زاویه‌های بزرگ‌تر از 90 درجه استفاده می‌کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه شدت نور وارد شده به سلول خورشیدی با استفاده از روابط مثلثاتی", + "introText": "برای محاسبه شدت نور وارد شده به سلول خورشیدی با زاویه تابش α، از رابطه I = k sin(π/2 - α) استفاده می‌کنیم که در آن k یک عدد ثابت مثبت است. ابتدا مقدار زاویه α را مشخص می‌کنیم، سپس مقدار (π/2 - α) را محاسبه کرده و سینوس آن را می‌گیریم. در نهایت مقدار شدت نور I را با ضرب k در این مقدار به دست می‌آوریم." + }, + { + "title": "بررسی صحت عبارات مثلثاتی با استفاده از زوایا و روابط رادیانی", + "introText": "برای بررسی صحت یا نادرستی عبارات مثلثاتی، ابتدا هر عبارت را با استفاده از روابط مثلثاتی پایه و تبدیل زوایا به رادیان یا درجه تحلیل می‌کنیم. سپس با استفاده از خواص توابع مثلثاتی مانند تقارن، دوره تناوب و روابط مکمل، مقدار هر طرف را محاسبه و مقایسه می‌کنیم تا صحت یا نادرستی عبارت مشخص شود." + } + ] + }, + { + "title": "توابع مثلثاتی", + "order": 3, + "lessons": [ + { + "title": "تعیین مقادیر نسبت‌های مثلثاتی در بازه مشخص", + "introText": "1. زاویه‌های داده شده را به رادیان یا درجه مشخص کنید.\n2. مقدار نسبت مثلثاتی (مثلاً سینوس) را برای هر زاویه با استفاده از جدول یا فرمول‌های مثلثاتی محاسبه کنید.\n3. مقادیر به دست آمده را در جدول مربوطه قرار دهید.\n4. در صورت نیاز، مقادیر را به صورت عددی یا کسری ساده شده بیان کنید." + }, + { + "title": "تحلیل و رسم نمودار تابع سینوس در بازه مشخص", + "introText": "1. نقاط داده شده از تابع سینوس را در دستگاه مختصات رسم کنید.\n2. نقاط تقاطع تابع با محور x را مشخص کنید.\n3. نقاط ماکزیمم و مینیمم تابع را تعیین کنید.\n4. منحنی تابع را با توجه به نقاط رسم شده و ویژگی‌های تابع سینوس رسم کنید.\n5. بررسی کنید که آیا نقاط داده شده روی منحنی تابع قرار دارند یا خیر." + }, + { + "title": "تکمیل و رسم نقاط تابع کسینوس", + "introText": "1. نقاط زوج داده شده از تابع y = cos x را بررسی کنید.\n2. نقاط گمشده را با توجه به دوره تناوب و ویژگی‌های تابع کسینوس حدس بزنید.\n3. مجموعه نقاط کامل را تشکیل دهید.\n4. نقاط را روی محورهای مختصات رسم کنید.\n5. نمودار تابع کسینوس را با اتصال نقاط رسم شده ترسیم کنید." + }, + { + "title": "یافتن نقطه نظیر رادیانی و تعیین مقدار کسینوس", + "introText": "1. مقدار رادیان داده شده را روی محور x پیدا کنید.\n2. نقطه نظیر آن را روی محور y پیدا کنید.\n3. مقدار تابع کسینوس را در آن نقطه به صورت تقریبی تعیین کنید.\n4. مقدار به دست آمده را با استفاده از ماشین حساب بررسی و تأیید کنید." + }, + { + "title": "تفاوت مقادیر سینوس در زوایای مختلف", + "introText": "1. مقدار sin 2 و sin 2x را در زوایای داده شده محاسبه کنید.\n2. تفاوت این دو مقدار را به دست آورید.\n3. با استفاده از نمودار دایره مثلثاتی و نمودار تابع سینوس، تفاوت را به صورت هندسی و عددی توضیح دهید." + }, + { + "title": "تحلیل و رسم نمودار تابع کسینوس", + "introText": "1. با استفاده از روابط تناوبی و تقارن تابع کسینوس، نقاط مهم روی محور x را مشخص کنید.\n2. مقادیر تابع را در این نقاط محاسبه کنید (مثلاً cos(0)=1، cos(π)=−1).\n3. نمودار تابع را در بازه داده شده رسم کنید و آن را به دو طرف ادامه دهید با توجه به تناوب 2π.\n4. دامنه تابع را بررسی کنید که بین [-1,1] است.\n5. مقادیر خاص مانند cos x = 1/2 یا cos x = 2 را بررسی کنید و وجود یا عدم وجود جواب را تعیین کنید.\n6. بیشترین و کمترین مقدار تابع را در بازه مشخص شده تعیین کنید." + }, + { + "title": "تحلیل و رسم نمودار تابع سینوس و مقایسه با کسینوس", + "introText": "1. نمودار تابع y = sin x را در بازه‌های طول 2π رسم کنید.\n2. نمودار تابع y = cos x را در همان بازه رسم کنید.\n3. بررسی کنید که هر دو تابع دامنه [-1,1] دارند.\n4. مقایسه کنید که نمودار y = sin x و y = cos x نسبت به هم چگونه جابه‌جا شده‌اند (مثلاً جابه‌جایی فاز).\n5. نمودارها را به صورت موج سینوسی و کسینوسی معرفی کنید و ویژگی‌های تناوبی آن‌ها را بیان کنید." + }, + { + "title": "بررسی درستی عبارات مثلثاتی", + "introText": "برای تعیین درستی یا نادرستی عبارات مثلثاتی، ابتدا تعاریف سینوس و کسینوس را به کار می‌بریم. سپس مقادیر داده شده را با توجه به دامنه و محدوده توابع مثلثاتی بررسی می‌کنیم. در صورت نیاز از روابط مثلثاتی پایه و خواص توابع استفاده می‌کنیم تا صحت عبارت را اثبات یا رد کنیم." + }, + { + "title": "رسم و تحلیل نمودار توابع مثلثاتی و تغییرات آنها", + "introText": "برای رسم نمودار توابع مثلثاتی ابتدا شکل پایه تابع (sin x یا cos x) را رسم می‌کنیم. سپس با اعمال تغییرات مانند انتقال افقی، عمودی، یا اعمال قدر مطلق، نمودار جدید را رسم می‌کنیم. تحلیل نقاط بحرانی، نقاط صفر، و دامنه و برد تابع به درک بهتر نمودار کمک می‌کند." + }, + { + "title": "مدل‌سازی ارتفاع نوک گیرۀ ربات با توابع مثلثاتی", + "introText": "برای مدل‌سازی ارتفاع نوک گیرۀ ربات ابتدا شکل هندسی ربات را به صورت مثلث قائم‌الزاویه در نظر می‌گیریم. با توجه به طول بازوی ربات و زاویه θ، از رابطه سینوس در مثلث قائم‌الزاویه استفاده می‌کنیم تا طول ضلع مقابل زاویه را محاسبه کنیم. سپس ارتفاع کل از سطح زمین برابر مجموع ارتفاع پایه و این طول محاسبه می‌شود." + }, + { + "title": "رسم و تحلیل توابع مثلثاتی", + "introText": "1. تابع داده شده را شناسایی کنید (سینوس، کسینوس یا ترکیبی). 2. شیفت افقی و عمودی تابع را تعیین کنید. 3. دامنه و برد تابع را مشخص کنید. 4. نقاط مهم مانند صفرها، بیشینه و کمینه را روی محور x تعیین کنید. 5. نمودار تابع را با توجه به دوره تناوب و شیفت رسم کنید. 6. اگر بخشی از نمودار داده شده، نمودار کامل را با تکرار الگو رسم کنید." + }, + { + "title": "تکمیل نمودار توابع مثلثاتی با توجه به بخش داده شده", + "introText": "1. بخش داده شده از نمودار تابع را بررسی کنید. 2. نوع تابع و ویژگی‌های آن (دامنه، برد، دوره تناوب) را مشخص کنید. 3. با توجه به بخش داده شده، الگوی تکرار تابع را تشخیص دهید. 4. نمودار کامل تابع را با تکرار الگو در بازه‌های مختلف رسم کنید. 5. نقاط مهم مانند صفرها، بیشینه و کمینه را علامت‌گذاری کنید." + }, + { + "title": "محاسبه زاویه در مدل مکانیکی با استفاده از توابع مثلثاتی", + "introText": "1. مدل مکانیکی ربات را با توجه به طول‌ها و زوایا رسم کنید. 2. معادلات مربوط به ارتفاع و طول‌ها را با استفاده از توابع مثلثاتی بنویسید. 3. مقادیر داده شده (طول‌ها، ارتفاع، زاویه α) را جایگذاری کنید. 4. معادله را برای زاویه θ حل کنید. 5. مقدار θ را به درجه تبدیل کنید اگر لازم بود." + } + ] + }, + { + "title": "روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل زوایا", + "order": 4, + "lessons": [ + { + "title": "محاسبه اندازه زاویه‌ها با استفاده از روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل زوایا", + "introText": "۱. با استفاده از روابط مجموع و تفاضل زوایا، معادلات مربوط به زوایای داده شده را بنویسید.\n۲. از روابط هندسی شکل (مثل مجموع زوایای داخلی، زوایای مکمل و متقابل) استفاده کنید تا معادلات بیشتری به دست آورید.\n۳. معادلات به دست آمده را حل کنید تا اندازه زوایا را برحسب α و β بیابید.\n۴. در صورت نیاز، از نسبت‌های سینوس و کسینوس برای محاسبه طول پاره‌خط‌ها استفاده کنید." + }, + { + "title": "محاسبه طول پاره‌خط‌ها با استفاده از نسبت‌های سینوس و کسینوس", + "introText": "۱. مثلث‌های مورد نظر را شناسایی کنید و زاویه‌ها و اضلاع معلوم را مشخص کنید.\n۲. با توجه به نسبت‌های سینوس و کسینوس، طول اضلاع مجهول را برحسب طول‌های معلوم و زاویه‌ها بیان کنید.\n۳. از روابط سینوس و کسینوس برای نوشتن معادلات استفاده کنید.\n۴. معادلات را حل کنید تا طول پاره‌خط‌ها را به دست آورید." + }, + { + "title": "محاسبه مقدار سینوس و کسینوس مجموع و تفاضل زوایا", + "introText": "برای محاسبه سینوس و کسینوس مجموع دو زاویه α و β از فرمول‌های زیر استفاده می‌کنیم:\n\nsin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β\ncos(α+β) = cos α cos β - sin α sin β\n\nبرای تفاضل دو زاویه نیز با جایگذاری β منفی داریم:\nsin(α−β) = sin α cos β − cos α sin β\ncos(α−β) = cos α cos β + sin α sin β\n\nبا استفاده از این فرمول‌ها می‌توان مقدار سینوس و کسینوس هر مجموع یا تفاضل زاویه‌ای را با دانستن مقادیر سینوس و کسینوس زوایای تشکیل‌دهنده محاسبه کرد." + }, + { + "title": "اثبات روابط مثلثاتی با استفاده از فرمول‌های مجموع زوایا", + "introText": "برای اثبات روابط مثلثاتی مانند tan(π/γ + θ) = -cot θ ابتدا صورت و مخرج کسر تانژانت را با استفاده از فرمول مجموع زوایا بازنویسی می‌کنیم:\n\ntan(π/γ + θ) = sin(π/γ + θ) / cos(π/γ + θ)\n\nسپس با جایگذاری فرمول‌های سینوس و کسینوس مجموع زوایا و ساده‌سازی عبارات مثل cos(π/γ) و sin(π/γ) که مقادیر خاصی دارند، صورت و مخرج را ساده می‌کنیم تا به رابطه مورد نظر برسیم." + }, + { + "title": "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های داده شده", + "introText": "برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های داده شده، ابتدا زاویه را به رادیان یا درجه مشخص تبدیل کنید. سپس با استفاده از ماشین حساب یا جداول مثلثاتی مقدار sin، cos یا tan زاویه را به دست آورید." + }, + { + "title": "محاسبه مقادیر دقیق نسبت‌های مثلثاتی با استفاده از روابط جمع و تفریق زوایا", + "introText": "برای محاسبه مقادیر دقیق نسبت‌های مثلثاتی مانند sin(α±β) و cos(α±β)، از فرمول‌های جمع و تفریق استفاده می‌کنیم: sin(α±β) = sin α cos β ± cos α sin β و cos(α±β) = cos α cos β ∓ sin α sin β. ابتدا مقادیر sin و cos هر زاویه را مشخص کرده و سپس در فرمول جایگذاری می‌کنیم." + }, + { + "title": "اثبات روابط مثلثاتی با استفاده از روابط جمع زوایا", + "introText": "برای اثبات روابط مثلثاتی، از فرمول‌های جمع زوایا استفاده می‌کنیم و با جایگذاری و ساده‌سازی عبارات، رابطه مورد نظر را به دست می‌آوریم. این روش شامل استفاده از فرمول‌های sin(2α)، cos(2α) و تبدیل آن‌ها به عبارات سینوس و کسینوس است." + }, + { + "title": "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی برای زاویه‌های داده شده", + "introText": "برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های مشخص شده، مقدار زاویه را در ماشین حساب وارد کرده و نسبت‌های سینوس، کسینوس و تانژانت را به دست می‌آوریم. در صورت نیاز، زاویه را به رادیان تبدیل می‌کنیم." + } + ] + } + ] + }, + { + "title": "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "order": 5, + "nodes": [ + { + "title": "مفهوم حد و فرایندهای حدی", + "order": 1, + "lessons": [ + { + "title": "محاسبه مساحت چندضلعی‌های منتظم و تقریب مساحت دایره", + "introText": "1. مساحت چندضلعی منتظم n ضلعی را با استفاده از فرمول مساحت چندضلعی منتظم محاسبه می‌کنیم: A_n = (n * s * a) / 2 که s طول ضلع و a ارتفاع یا فاصله از مرکز به ضلع است.\n2. با افزایش تعداد اضلاع n، مساحت چندضلعی به مساحت دایره با شعاع مشخص نزدیک می‌شود.\n3. برای تقریب مساحت دایره، مساحت چندضلعی‌های منتظم با تعداد اضلاع زیاد را محاسبه و مشاهده می‌کنیم که به πr² نزدیک می‌شود.\n4. در مثال‌های عددی، مقدار عددی مساحت چندضلعی‌ها برای nهای مختلف محاسبه و در جدول آورده می‌شود.\n5. نتیجه‌گیری می‌کنیم که با افزایش n، مساحت چندضلعی منتظم داخل دایره به مساحت دایره نزدیک می‌شود." + }, + { + "title": "محاسبه اندازه ضلع و محیط مثلث‌های متوالی در شکل‌های هندسی", + "introText": "1. فرض کنید ضلع اولیه مثلث برابر x باشد و محیط آن P باشد.\n2. با توجه به شکل، ضلع مثلث جدید برابر نصف ضلع مثلث قبلی است (x_n = x / 2^{n-1}).\n3. محیط مثلث جدید برابر 3 برابر ضلع جدید است (P_n = 3 * x_n).\n4. با ادامه دادن این روند، دنباله‌ای از اندازه اضلاع و محیط‌ها به دست می‌آید.\n5. برای یافتن حد این دنباله‌ها، از فرمول حد دنباله‌های هندسی استفاده می‌کنیم.\n6. اندازه اضلاع به صفر میل می‌کند و محیط‌ها به عددی ثابت نزدیک می‌شوند." + }, + { + "title": "بررسی حد تابع در اطراف یک نقطه", + "introText": "1. تابع را به صورت جبری ساده کنید اگر ممکن است.\n2. مقادیر تابع را برای مقادیر x نزدیک به نقطه مورد نظر از سمت چپ و راست محاسبه کنید.\n3. مقادیر به دست آمده را بررسی کنید که آیا به یک عدد مشخص نزدیک می‌شوند یا خیر.\n4. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند، حد تابع در آن نقطه وجود دارد و برابر آن عدد است.\n5. اگر حد چپ و حد راست برابر نباشند، حد در آن نقطه وجود ندارد.\n6. در صورت وجود حد، مقدار حد را به عنوان مقدار حد تابع در آن نقطه می‌نویسیم." + }, + { + "title": "محاسبه مقدار تابع در نقطه تعریف شده", + "introText": "برای محاسبه مقدار تابع در نقطه‌ای که تعریف شده است، مقدار x را در تابع جایگذاری می‌کنیم. اگر تابع به صورت تکه‌ای تعریف شده باشد، ابتدا بررسی می‌کنیم که مقدار x در کدام قسمت تابع قرار می‌گیرد و سپس مقدار تابع را محاسبه می‌کنیم." + }, + { + "title": "حد تابع با تقریب مقادیر نزدیک به نقطه", + "introText": "برای یافتن حد تابع در نقطه‌ای خاص، مقادیر تابع را برای xهایی که به آن نقطه نزدیک می‌شوند (از چپ و راست) محاسبه می‌کنیم. اگر مقادیر تابع از دو طرف به یک عدد نزدیک شوند، آن عدد حد تابع در آن نقطه است. در غیر این صورت حد وجود ندارد یا نامحدود است." + }, + { + "title": "تحلیل نمودار تابع برای تعیین حد", + "introText": "برای تعیین حد تابع از روی نمودار، نقاط روی نمودار را بررسی می‌کنیم که وقتی x به عدد مورد نظر نزدیک می‌شود، مقدار y (تابع) به چه عددی نزدیک می‌شود. اگر مقدار y از دو طرف به یک عدد نزدیک شود، آن عدد حد تابع است. اگر مقدار y از دو طرف متفاوت باشد، حد وجود ندارد." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع در نقطه", + "introText": "1. مقدار تابع را در نقطه مورد نظر بررسی کنید. 2. اگر تابع در آن نقطه تعریف نشده باشد، به رفتار تابع در نزدیکی آن نقطه توجه کنید. 3. مقدار تابع را از سمت چپ و راست نقطه بررسی کنید. 4. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند، آن مقدار حد تابع در آن نقطه است. 5. اگر حدها برابر نباشند، حد در آن نقطه وجود ندارد." + }, + { + "title": "تفاوت و شباهت توابع در نقاط مختلف و مفهوم حد", + "introText": "1. بررسی کنید که آیا تابع در نقطه a تعریف شده است یا خیر. 2. اگر تعریف نشده باشد ولی حد تابع وقتی x به a نزدیک می‌شود وجود داشته باشد، مقدار حد را تعیین کنید. 3. اگر تابع در نقطه a تعریف شده و مقدار تابع برابر مقدار حد باشد، تابع در آن نقطه پیوسته است. 4. اگر مقدار تابع در نقطه a با حد آن برابر نباشد، تابع در آن نقطه ناپیوسته است. 5. رفتار تابع در اطراف نقطه a را بررسی کنید تا تفاوت‌ها و شباهت‌ها را بیان کنید." + }, + { + "title": "تعریف همسایگی و باز شامل یک نقطه", + "introText": "1. یک عدد حقیقی x را در نظر بگیرید. 2. باز شامل x را به صورت بازه (a,b) که x در آن قرار دارد تعریف کنید. 3. اگر x را از بازه حذف کنیم، مجموعه به نام همسایگی حذف شده x تعریف می‌شود. 4. اگر بازه به صورت (x-r, x+r) باشد، بازه سمت راست (x, x+r) همسایگی راست و بازه سمت چپ (x-r, x) همسایگی چپ x است. 5. این مفاهیم برای تعریف حد و پیوستگی توابع در نقاط مختلف کاربرد دارند." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع با شرایط حد و پیوستگی", + "introText": "1. ابتدا نقاطی که تابع در آن‌ها تعریف نشده یا مقدار حد دارد را مشخص کنید.\n2. نمودار تابع را در بازه‌های مختلف رسم کنید به طوری که شرایط حد و پیوستگی رعایت شود.\n3. اگر تابع در نقطه‌ای تعریف نشده ولی حد دارد، نقطه را به صورت باز (حلقه خالی) نشان دهید.\n4. اگر تابع در نقطه‌ای تعریف شده ولی مقدار تابع با حد آن نقطه متفاوت است، مقدار تابع را با نقطه پر (حلقه پر) نشان دهید و حد را با توجه به همسایگی‌ها بررسی کنید.\n5. نمودار را به گونه‌ای رسم کنید که شرایط همسایگی راست و چپ و مقدار تابع در نقطه مورد نظر به درستی نمایش داده شود." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع با حد در نقطه ولی مقدار تابع متفاوت", + "introText": "1. تابع را در بازه‌های اطراف نقطه مورد نظر رسم کنید.\n2. مقدار حد تابع در نقطه را محاسبه کنید.\n3. مقدار تابع در نقطه را مشخص کنید که ممکن است با حد متفاوت باشد.\n4. نمودار را طوری رسم کنید که مقدار تابع در نقطه با نقطه پر (حلقه پر) نشان داده شود.\n5. حد تابع را با توجه به همسایگی‌ها بررسی و نمودار را طوری رسم کنید که حد از دو طرف به مقدار حد نزدیک شود ولی مقدار تابع در نقطه متفاوت باشد." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع با حد در نقطه ولی تابع در آن نقطه تعریف نشده", + "introText": "1. تابع را در بازه‌های اطراف نقطه مورد نظر رسم کنید.\n2. مقدار حد تابع در نقطه را محاسبه کنید.\n3. تابع در نقطه تعریف نشده است، پس نقطه را با حلقه باز (نقطه خالی) نشان دهید.\n4. نمودار را طوری رسم کنید که حد تابع از دو طرف به مقدار حد نزدیک شود ولی در نقطه مقدار تابع وجود نداشته باشد.\n5. نمودار باید پیوستگی حد را نشان دهد ولی تابع در نقطه تعریف نشده باشد." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع با استفاده از جدول و نمودار", + "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید و نقطه‌ای که حد باید در آن محاسبه شود را مشخص کنید.\n2. مقادیر تابع را در نزدیکی آن نقطه (از چپ و راست) با استفاده از جدول یا نمودار بررسی کنید.\n3. اگر مقادیر تابع از دو طرف به یک عدد نزدیک شوند، آن عدد حد تابع در آن نقطه است.\n4. اگر مقدار تابع در خود نقطه تعریف نشده باشد، باز هم می‌توان حد را با بررسی مقادیر نزدیک به آن نقطه تعیین کرد.\n5. اگر مقادیر از دو طرف به عددهای متفاوتی نزدیک شوند، حد وجود ندارد." + }, + { + "title": "بررسی وجود حد تابع در نقطه با توجه به دامنه و همسایگی", + "introText": "1. دامنه تابع را بررسی کنید و ببینید آیا نقطه مورد نظر در دامنه تابع قرار دارد یا خیر.\n2. بررسی کنید که آیا تابع در همسایگی آن نقطه تعریف شده است یا خیر.\n3. اگر تابع در همسایگی نقطه تعریف نشده باشد، حد در آن نقطه وجود ندارد.\n4. اگر تابع در همسایگی نقطه تعریف شده باشد، می‌توان حد را با روش‌های معمول محاسبه کرد." + }, + { + "title": "تعیین مقدار حد توابع با استفاده از نمودار", + "introText": "1. نمودار تابع را در نقطه مورد نظر بررسی کنید.\n2. مقدار y تابع را در نزدیکی نقطه از سمت چپ و راست مشاهده کنید.\n3. اگر مقدار y از دو طرف به یک عدد نزدیک شود، آن عدد حد تابع است.\n4. مقدار حد را با توجه به مقدار y روی نمودار تعیین کنید." + }, + { + "title": "محاسبه حد تابع با استفاده از نمودار", + "introText": "1. نمودار تابع را بررسی کنید و مقدار y را در نزدیکی نقطه x مورد نظر بیابید.\n2. اگر مقدار y به یک عدد خاص نزدیک شود، آن عدد حد تابع در آن نقطه است.\n3. اگر مقدار y از دو طرف به یک عدد نزدیک شود، حد وجود دارد و برابر آن عدد است.\n4. اگر مقدار y از دو طرف متفاوت باشد یا به بی‌نهایت میل کند، حد وجود ندارد." + }, + { + "title": "یافتن حد تابع با استفاده از جدول مقادیر", + "introText": "1. مقادیر تابع را در جدول برای x نزدیک به نقطه مورد نظر از سمت چپ و راست بررسی کنید.\n2. اگر مقادیر تابع از دو طرف به یک عدد خاص نزدیک شوند، آن عدد حد تابع است.\n3. اگر مقادیر از دو طرف متفاوت باشند، حد وجود ندارد.\n4. مقدار تابع در خود نقطه ممکن است متفاوت باشد و تاثیری بر حد ندارد." + }, + { + "title": "بررسی تعریف تابع در نقطه و رسم نمودار تابع چندجمله‌ای و قطعه‌ای", + "introText": "1. بررسی تعریف تابع در نقطه با جایگذاری مقدار x در هر قسمت تابع. 2. رسم نمودار تابع با توجه به شرط‌های داده شده برای بازه‌های مختلف x. 3. نوشتن جدول مقادیر تابع در همسایگی نقطه مورد نظر. 4. محاسبه حد تابع با بررسی مقدار تابع در نزدیکی نقطه از چپ و راست." + }, + { + "title": "رسم نمودار و محاسبه حد تابع گسسته با دامنه اعداد صحیح", + "introText": "1. رسم نمودار تابع با توجه به تعریف تابع در اعداد صحیح و غیرصحیح. 2. بررسی مقادیر تابع در بازه داده شده. 3. محاسبه حد تابع با توجه به مقادیر تابع در نزدیکی نقاط مورد نظر از چپ و راست." + }, + { + "title": "بررسی دامنه، تعریف و حد تابع رادیکالی با حذف نقطه", + "introText": "1. تعیین دامنه تابع با توجه به شرط داخل رادیکال و مخرج کسر. 2. بررسی نقاط حذف شده در دامنه و همسایگی آنها. 3. محاسبه حد تابع در نقاط حذف شده با استفاده از حد چپ و راست. 4. بررسی تعریف تابع در نقاط حذف شده با جایگذاری مستقیم." + }, + { + "title": "یافتن مجموعه مقادیر تابع یک به یک", + "introText": "1. بررسی شرط یک به یک بودن تابع در بازه داده شده. 2. تعیین دامنه تابع. 3. محاسبه مقدار تابع در نقاط انتهایی دامنه. 4. تعیین مجموعه مقادیر تابع به صورت بازه بین مقادیر انتهایی." + } + ] + }, + { + "title": "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست)", + "order": 2, + "lessons": [ + { + "title": "بررسی حد یک‌طرفه تابع در نقطه", + "introText": "۱. تابع را در دو طرف نقطه مورد نظر بررسی کنید (از سمت چپ و از سمت راست). ۲. مقادیر تابع را وقتی متغیر به آن نقطه نزدیک می‌شود، محاسبه یا حدس بزنید. ۳. اگر حد از سمت چپ و سمت راست برابر بود، حد تابع در آن نقطه وجود دارد و برابر آن مقدار است. ۴. اگر حدها برابر نبودند، حد تابع در آن نقطه وجود ندارد. ۵. در صورت نیاز، نمودار تابع را رسم یا بررسی کنید تا رفتار تابع بهتر درک شود." + }, + { + "title": "تعریف حد راست و حد چپ تابع در نقطه", + "introText": "برای یافتن حد راست تابع f در نقطه x=a، مقادیر تابع را از سمت راست (مقادیر بزرگ‌تر از a) بررسی می‌کنیم و اگر مقادیر تابع به عددی مشخص L1 نزدیک شوند، آن عدد حد راست است. به صورت ریاضی: lim (x→a⁺) f(x) = L1. برای حد چپ نیز به همین صورت، مقادیر تابع را از سمت چپ (مقادیر کمتر از a) بررسی می‌کنیم و اگر به عددی مشخص L2 نزدیک شوند، آن عدد حد چپ است. به صورت ریاضی: lim (x→a⁻) f(x) = L2. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند، حد تابع در آن نقطه وجود دارد و برابر آن عدد است. در غیر این صورت حد وجود ندارد." + }, + { + "title": "تعریف حد چپ تابع در نقطه", + "introText": "برای یافتن حد چپ تابع f در نقطه x=a، مقادیر تابع را از سمت چپ (مقادیر کمتر از a) بررسی می‌کنیم و اگر مقادیر تابع به عددی مشخص L2 نزدیک شوند، آن عدد حد چپ است. به صورت ریاضی: lim (x→a⁻) f(x) = L2. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند، حد تابع در آن نقطه وجود دارد و برابر آن عدد است. در غیر این صورت حد وجود ندارد." + }, + { + "title": "وجود حد تابع در نقطه با توجه به حد چپ و حد راست", + "introText": "برای اینکه حد تابع f در نقطه x=a وجود داشته باشد، باید حد چپ و حد راست تابع در آن نقطه وجود داشته باشند و با هم برابر باشند. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند، حد تابع در آن نقطه برابر با آن مقدار است. اگر حد چپ و حد راست متفاوت باشند، حد تابع در آن نقطه وجود ندارد." + }, + { + "title": "یافتن حد تابع از روی نمودار", + "introText": "1. نقطه مورد نظر x را در نمودار مشخص کنید.\n2. مقدار تابع را از سمت راست (x به سمت x0+) و سمت چپ (x به سمت x0-) بررسی کنید.\n3. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند، حد تابع در آن نقطه برابر با این مقدار است.\n4. اگر حد چپ و حد راست برابر نباشند، حد تابع در آن نقطه وجود ندارد.\n5. در صورت وجود حد، مقدار حد را گزارش کنید." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع با شرایط حد و پیوستگی", + "introText": "1. شرایط داده شده برای تابع را بررسی کنید (مثلاً در همسایگی نقطه خاصی تعریف شده یا نشده).\n2. مقدار حد در آن نقطه را محاسبه یا تعیین کنید.\n3. مقدار تابع در آن نقطه را مشخص کنید (تعریف شده یا نشده).\n4. نمودار تابع را طوری رسم کنید که شرایط حد و پیوستگی داده شده رعایت شود.\n5. در صورت وجود نقطه حذف شده یا نقطه با مقدار تابع متفاوت، آن را روی نمودار مشخص کنید." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع پله‌ای", + "introText": "برای رسم نمودار تابع پله‌ای f(x) = [x] در بازه مشخص شده، ابتدا محور مختصات را رسم کنید. سپس برای هر عدد صحیح در بازه، مقدار تابع را برابر همان عدد صحیح قرار دهید و نقاط را به صورت پله‌ای به هم وصل کنید. توجه کنید که تابع پله‌ای در هر بازه بین دو عدد صحیح مقدار ثابتی دارد و در نقاط صحیح مقدار تابع از سمت چپ و راست ممکن است متفاوت باشد." + }, + { + "title": "محاسبه حد تابع در نقطه با استفاده از حد چپ و حد راست", + "introText": "برای محاسبه حد تابع f(x) در نقطه x = a، ابتدا حد راست (lim x→a⁺ f(x)) و حد چپ (lim x→a⁻ f(x)) را جداگانه محاسبه می‌کنیم. اگر این دو حد برابر باشند، حد تابع در آن نقطه وجود دارد و برابر با این مقدار است. در غیر این صورت، حد تابع در آن نقطه وجود ندارد." + }, + { + "title": "محاسبه حد راست تابع کسری با استفاده از حد تابع پله‌ای و تابع ثابت", + "introText": "برای محاسبه حد راست تابعی مانند lim x→0⁺ [x]/x، ابتدا مقدار تابع پله‌ای [x] را در بازه (0, 0.1) بررسی می‌کنیم که برابر صفر است. سپس تابع ثابت g(x) = 0 را در نظر می‌گیریم. با توجه به اینکه تابع پله‌ای و تابع ثابت در همسایگی راست نقطه صفر برابرند، حد راست تابع کسری برابر با حد تابع ثابت است که صفر می‌باشد." + }, + { + "title": "تحلیل تابع با استفاده از تعریف قدر مطلق و رسم نمودار", + "introText": "1. تابع داده شده را با استفاده از تعریف قدر مطلق به صورت دو ضابطه‌ای بنویسید. 2. نمودار تابع را بر اساس ضابطه‌های تعریف شده رسم کنید. 3. حد چپ و حد راست تابع را در نقطه مورد نظر (مثلاً صفر) از روی نمودار یا ضابطه‌ها به دست آورید. 4. بررسی کنید آیا حد چپ و راست برابرند تا حد تابع در آن نقطه وجود داشته باشد یا خیر." + }, + { + "title": "محاسبه حد تابع از روی نمودار", + "introText": "1. نمودار تابع را بررسی کنید و نقاط مورد نظر برای محاسبه حد را مشخص کنید. 2. مقدار تابع را از سمت چپ و راست نقطه مورد نظر روی نمودار پیدا کنید. 3. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند، آن مقدار حد تابع در آن نقطه است. در غیر این صورت، حد وجود ندارد. 4. در صورت نیاز، مقدار تابع در آن نقطه را نیز بررسی کنید تا پیوستگی یا ناپیوستگی مشخص شود." + }, + { + "title": "محاسبه حد تابع چندجمله‌ای و بررسی پیوستگی در نقطه", + "introText": "1. تابع را در دو طرف نقطه مورد نظر بررسی کنید (از چپ و راست). 2. مقادیر تابع را در نزدیکی نقطه به دست آورید. 3. حد چپ و حد راست را محاسبه کنید. 4. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند، حد تابع در آن نقطه وجود دارد و برابر با آن مقدار است. 5. مقدار تابع در نقطه را محاسبه کنید. 6. اگر مقدار تابع در نقطه برابر حد تابع باشد، تابع در آن نقطه پیوسته است؛ در غیر این صورت ناپیوسته است." + }, + { + "title": "تشخیص پیوستگی و وجود حد در توابع گسسته با استفاده از نمودار", + "introText": "1. نمودار تابع را بررسی کنید و نقاطی که در آنها تابع تعریف نشده یا نقاط حذف شده را مشخص کنید. 2. برای هر نقطه مورد نظر، حد چپ و حد راست را از روی نمودار تعیین کنید. 3. بررسی کنید که آیا حد چپ و حد راست برابرند یا خیر. 4. بررسی کنید که مقدار تابع در آن نقطه تعریف شده است یا خیر. 5. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند و مقدار تابع در نقطه برابر آن حد باشد، تابع در آن نقطه پیوسته است. 6. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند ولی مقدار تابع در نقطه برابر حد نباشد، تابع در آن نقطه حد دارد ولی پیوسته نیست. 7. اگر حد چپ و حد راست برابر نباشند، تابع در آن نقطه حد ندارد." + }, + { + "title": "بررسی حد چپ و راست توابع با دامنه خاص", + "introText": "1. دامنه تابع را بررسی کنید و نوع تابع را مشخص کنید.\n2. حد چپ و حد راست تابع را در نقطه مورد نظر محاسبه کنید.\n3. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند، حد در آن نقطه وجود دارد و برابر با آن مقدار است.\n4. اگر حد چپ و حد راست برابر نباشند، حد در آن نقطه وجود ندارد." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع کسری با استفاده از قسمت صحیح", + "introText": "1. تابع را به صورت جداگانه در سمت چپ و راست نقطه مورد نظر بررسی کنید.\n2. مقدار قسمت صحیح [x] را در نزدیکی نقطه محاسبه کنید.\n3. مقدار تابع را با جایگذاری مقادیر قسمت صحیح در تابع اصلی محاسبه کنید.\n4. حد راست و چپ را مقایسه کنید تا وجود حد را بررسی نمایید." + }, + { + "title": "رسم نمودار و تعیین حدود تابع ترکیبی", + "introText": "1. تابع داده شده را تحلیل و بخش‌های مختلف آن را مشخص کنید.\n2. نمودار تابع را رسم کنید یا رفتار تابع را در نزدیکی نقطه مورد نظر بررسی کنید.\n3. حد چپ و حد راست را از روی نمودار یا با محاسبه جبری تعیین کنید.\n4. اگر حد چپ و راست برابر باشند، حد کلی را مشخص کنید." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع قدر مطلق و بررسی پیوستگی", + "introText": "1. تابع قدر مطلق را به صورت دو حالت برای x مثبت و منفی تعریف کنید.\n2. حد تابع را در نقاط مورد نظر (مثلاً بی‌نهایت یا عدد خاص) محاسبه کنید.\n3. نمودار تابع را رسم کنید تا رفتار تابع را بهتر درک کنید.\n4. بررسی کنید که آیا حد در نقطه مورد نظر برقرار است یا خیر." + } + ] + }, + { + "title": "قضایای حد", + "order": 3, + "lessons": [ + { + "title": "محاسبه حد توابع ثابت و همانی با استفاده از نمودار", + "introText": "برای محاسبه حد تابع ثابت f(x) = c، مقدار حد در هر نقطه a برابر با مقدار ثابت c است. برای محاسبه حد تابع همانی g(x) = x، مقدار حد در هر نقطه a برابر با همان عدد a است. در هر دو حالت، با توجه به نمودار تابع، مقدار y در نزدیکی x = a را بررسی می‌کنیم و مقدار حد را تعیین می‌کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع با استفاده از نمودار", + "introText": "۱. تابع یا توابع داده شده را به دقت بررسی کنید و نمودار آن‌ها را مشاهده کنید.\n۲. نقطه‌ای که حد در آن محاسبه می‌شود (مثلاً x→1) را مشخص کنید.\n۳. مقدار y متناظر با x نزدیک به آن نقطه را از نمودار بخوانید.\n۴. اگر حد تابع اصلی یا ترکیب توابع (جمع یا تفریق) خواسته شده، مقدار y را در آن نقطه تعیین کنید.\n۵. برای ترکیب توابع، ابتدا حد هر تابع را جداگانه محاسبه کرده و سپس با توجه به عملیات جمع یا تفریق، حد نهایی را به دست آورید." + }, + { + "title": "محاسبه حد مجموع، تفاضل، حاصل‌ضرب و خارج قسمت توابع", + "introText": "برای محاسبه حد مجموع دو تابع در نقطه x=a، حد هر تابع را جداگانه محاسبه کرده و سپس جمع آنها را می‌گیریم. برای حد تفاضل، حد هر تابع را جداگانه محاسبه کرده و تفاضل آنها را می‌گیریم. برای حد حاصل‌ضرب، حد هر تابع را جداگانه محاسبه کرده و حاصل‌ضرب آنها را می‌گیریم. برای حد خارج قسمت، به شرطی که حد مخرج صفر نباشد، حد صورت را بر حد مخرج تقسیم می‌کنیم." + }, + { + "title": "استفاده از قضیه حد برای ثابت کردن برابری‌ها", + "introText": "برای اثبات برابری‌های حدی از قضیه حد استفاده می‌کنیم. ابتدا فرض می‌کنیم lim (x→a) f(x) وجود دارد و برابر L است. سپس با استفاده از خواص حد و قضیه حد، برابری‌های خواسته شده را به صورت مرحله به مرحله اثبات می‌کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع ترکیبی در نقطه", + "introText": "1. ابتدا حد هر یک از توابع جداگانه در نقطه مورد نظر را محاسبه کنید.\n2. سپس با استفاده از خواص حد، حد توابع ترکیبی را به صورت جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم حدهای جداگانه به دست آورید.\n3. اگر حد توابع جداگانه وجود داشته باشد، می‌توان حد ترکیبی را با جایگذاری در فرمول‌های مربوطه محاسبه کرد.\n4. در صورت وجود حد توابع در نقطه، از رابطه‌های حد برای جمع، تفریق، ضرب و تقسیم استفاده کنید." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع چند جمله‌ای و ترکیبی", + "introText": "برای محاسبه حد توابع چند جمله‌ای و ترکیبی ابتدا حد هر جمله یا عبارت جداگانه را محاسبه می‌کنیم. سپس با استفاده از خواص حد (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) حد کل تابع را به دست می‌آوریم. اگر تابع شامل جذر باشد، ابتدا حد داخل جذر را محاسبه کرده و سپس جذر آن را می‌گیریم." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع شامل قدر مطلق", + "introText": "برای محاسبه حد توابع شامل قدر مطلق، ابتدا حد داخل قدر مطلق را محاسبه می‌کنیم. سپس قدر مطلق حد به دست آمده را می‌گیریم. اگر تابع شامل ضرب باشد، حد هر قسمت را جداگانه محاسبه و سپس ضرب می‌کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع کسری و توابع شامل توان", + "introText": "برای محاسبه حد توابع کسری ابتدا حد صورت و مخرج را جداگانه محاسبه می‌کنیم. اگر حد مخرج صفر نباشد، حد کل کسر برابر است با نسبت حد صورت به حد مخرج. اگر تابع شامل توان باشد، ابتدا حد پایه را محاسبه کرده و سپس توان آن را می‌گیریم." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع شامل قسمت صحیح", + "introText": "برای محاسبه حد توابع شامل قسمت صحیح ابتدا مقدار قسمت صحیح را در نقطه مورد نظر بررسی می‌کنیم. سپس حد صورت و مخرج را جداگانه محاسبه می‌کنیم و در نهایت حد کل کسر را به دست می‌آوریم." + }, + { + "title": "محاسبه و بررسی حد توابع ترکیبی", + "introText": "1. ابتدا ضابطه هر تابع را به صورت جداگانه بررسی کنید.\n2. تابع ترکیبی مانند f+g را با جمع کردن مقادیر تابع f و g در هر بازه تعریف کنید.\n3. نمودار هر تابع و تابع ترکیبی را رسم کنید تا رفتار تابع در نقاط مختلف مشخص شود.\n4. بررسی کنید که آیا حد توابع f و g در نقطه x=2 وجود دارد یا خیر.\n5. بررسی کنید که آیا حد تابع ترکیبی f+g در نقطه x=2 وجود دارد یا خیر.\n6. اگر حد توابع f و g در x=2 وجود داشته باشد، می‌توان از قضیه حد مجموع برای محاسبه حد تابع ترکیبی استفاده کرد.\n7. در غیر این صورت، نمی‌توان از قضیه حد مجموع استفاده کرد." + }, + { + "title": "حد توابع رادیکالی", + "introText": "1. بررسی وجود حد تابع f(x) در نقطه a. 2. اگر تابع در نقطه a تعریف نشده باشد ولی در همسایگی آن تعریف شده باشد، حد را با استفاده از تعریف حد و خواص توابع رادیکالی محاسبه می‌کنیم. 3. برای ریشه nام تابع، حد ریشه nام تابع برابر است با ریشه nام حد تابع، به شرطی که برای nهای زوج مقدار داخل ریشه مثبت باشد. 4. در صورت وجود عبارت‌های کسری یا مرکب، صورت و مخرج را جداگانه حد می‌گیریم و سپس مقدار حد را محاسبه می‌کنیم. 5. در صورت نیاز از نمودار تابع برای تخمین مقدار حد استفاده می‌کنیم." + }, + { + "title": "استفاده از قضیه حد ریشه nام", + "introText": "1. فرض کنید تابع f در نقطه a حد دارد. 2. اگر تابع در یک همسایگی حذف شده از a نامعین باشد، از قضیه حد ریشه nام استفاده می‌کنیم. 3. طبق قضیه، حد ریشه nام تابع برابر است با ریشه nام حد تابع: lim (x→a) ⁿ√(f(x)) = ⁿ√(lim (x→a) f(x)). 4. برای nهای زوج باید مقدار داخل ریشه مثبت باشد. 5. در مثال‌های عددی، ابتدا حد داخل ریشه را محاسبه کرده و سپس ریشه nام آن را می‌گیریم." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع مرکب رادیکالی", + "introText": "1. ابتدا صورت و مخرج عبارت را جداگانه بررسی می‌کنیم. 2. حد صورت و مخرج را به صورت جداگانه محاسبه می‌کنیم. 3. اگر حد مخرج صفر نشود، مقدار حد کل عبارت برابر نسبت حد صورت به حد مخرج است. 4. در صورت وجود عبارت‌های رادیکالی در صورت و مخرج، حد هر کدام را جداگانه محاسبه می‌کنیم. 5. در نهایت مقدار حد کلی را با تقسیم حد صورت بر حد مخرج به دست می‌آوریم." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع مثلثاتی در نقاط مشخص", + "introText": "برای محاسبه حد توابع مثلثاتی مانند sin(x) و cos(x) در نقطه a، از قضیه استفاده می‌کنیم که می‌گوید حد sin(x) وقتی x به a میل می‌کند برابر sin(a) و حد cos(x) وقتی x به a میل می‌کند برابر cos(a) است. بنابراین کافی است مقدار تابع را در نقطه مورد نظر جایگذاری کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه حد عبارت‌های ترکیبی شامل توابع مثلثاتی", + "introText": "برای محاسبه حد عبارت‌های ترکیبی که شامل توابع مثلثاتی هستند، ابتدا حد هر جزء را جداگانه محاسبه می‌کنیم و سپس مقادیر را در عبارت جایگذاری می‌کنیم. اگر عبارت شامل جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم باشد، از خواص حد استفاده می‌کنیم. در نهایت مقدار نهایی حد را به دست می‌آوریم." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع جبری و مثلثاتی", + "introText": "1. مقدار تابع را در نقطه مورد نظر جایگذاری کنید. 2. اگر حاصل عددی معین بود، آن عدد حد است. 3. اگر حاصل به صورت نامعین بود (مثلاً 0/0)، از روش‌های جبری مانند تجزیه، ضرب در مزدوج، یا استفاده از قواعد حد استفاده کنید. 4. در صورت وجود توابع مثلثاتی، از روابط مثلثاتی و خواص حد استفاده کنید. 5. حد چپ و راست را جداگانه محاسبه کنید و اگر برابر بودند، حد وجود دارد و برابر آن مقدار است." + }, + { + "title": "استفاده از خاصیت جمع حدها", + "introText": "1. حد هر یک از توابع جداگانه را در نقطه مورد نظر محاسبه کنید. 2. اگر هر دو حد وجود داشته باشند، حد جمع برابر جمع حدها است. 3. این خاصیت برای حدهای دوطرفه و چپ و راست برقرار است." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع توان‌دار و تابع جزء صحیح", + "introText": "1. برای توابع توان‌دار، حد را با جایگذاری مقدار x و استفاده از خاصیت حد توابع چندجمله‌ای و توان‌دار محاسبه کنید. 2. برای توابع شامل جزء صحیح، حد چپ و راست را جداگانه بررسی کنید چون تابع جزء صحیح در نقاط صحیح گسسته است. 3. اگر حد چپ و راست برابر نبودند، حد وجود ندارد. 4. در صورت نیاز، از تجزیه و ساده‌سازی استفاده کنید." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع مثلثاتی ترکیبی", + "introText": "1. مقدار x را در تابع جایگذاری کنید. 2. اگر مقدار تابع در نقطه مورد نظر تعریف شده بود، مقدار حد برابر آن است. 3. در صورت وجود نامعینی، از خواص و روابط مثلثاتی برای ساده‌سازی استفاده کنید. 4. حد چپ و راست را جداگانه بررسی کنید و اگر برابر بودند، حد وجود دارد." + }, + { + "title": "محاسبه مقدار حد توابع جبری و رادیکالی", + "introText": "1. مقدار تابع را در نقطه مورد نظر جایگذاری کنید. اگر مقدار معین بود، همان مقدار حد است.\n2. اگر جایگذاری مستقیم منجر به شکل نامعین شد (مانند 0/0)، صورت و مخرج را ساده کنید یا از روش‌های جبری مانند اتحادها، تجزیه، یا ضرب در مزدوج استفاده کنید.\n3. پس از ساده‌سازی، دوباره مقدار x را جایگذاری کنید.\n4. اگر حد از دو طرف وجود داشت و برابر بود، آن مقدار حد نهایی است." + }, + { + "title": "بررسی یکتایی و مقدار حد توابع در نقاط خاص", + "introText": "1. مقدار حد تابع را از دو طرف نقطه مورد نظر محاسبه کنید.\n2. اگر حد چپ و راست برابر باشند، حد در آن نقطه وجود دارد و برابر آن مقدار است.\n3. بررسی کنید که آیا مقدار تابع در آن نقطه با حد برابر است یا خیر.\n4. اگر حدها برابر باشند ولی مقدار تابع متفاوت باشد، تابع در آن نقطه پیوسته نیست.\n5. اگر حدها برابر و مقدار تابع برابر حد باشد، تابع در آن نقطه پیوسته و مقدار تابع ثابت است." + }, + { + "title": "تعریف تابع با شرط حد خاص", + "introText": "1. تابع g را طوری تعریف کنید که در نقطه مورد نظر مقدار تابع به گونه‌ای باشد که حد داده شده برقرار باشد.\n2. برای این کار، تابع را به صورت ترکیبی از توابعی که حد مورد نظر را دارند تعریف کنید.\n3. مقدار تابع در نقطه را برابر حد مورد نظر قرار دهید تا پیوستگی برقرار شود." + }, + { + "title": "اثبات خواص حد و رابطه بین حدها", + "introText": "1. فرض کنید lim (x→a) f(x) = L.\n2. نشان دهید که lim (x→a) (f(x) - L) = 0 با استفاده از تعریف حد و خواص جبری حدها.\n3. برای این کار، از تعریف حد استفاده کنید که برای هر ε>0، δ>0 وجود دارد که اگر 0<|x-a|<δ آنگاه |f(x)-L|<ε.\n4. نتیجه می‌گیریم که حد تفاضل برابر صفر است.\n5. بررسی کنید که عکس این مطلب نیز برقرار است یا خیر." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع ترکیبی", + "introText": "1. ابتدا حد هر یک از توابع پایه را جداگانه محاسبه کنید.\n2. اگر حدها وجود داشتند، با استفاده از خواص حد، حد توابع ترکیبی مانند جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و ریشه را محاسبه کنید.\n3. در صورت وجود نامعینی، از روش‌های جبری یا نموداری برای تعیین حد استفاده کنید." + }, + { + "title": "تعیین مقدار پارامتر برای وجود حد در نقطه خاص", + "introText": "1. تابع را در دو طرف نقطه مورد نظر بررسی کنید و حد چپ و حد راست را محاسبه کنید.\n2. برای وجود حد در آن نقطه، حد چپ و حد راست باید برابر باشند.\n3. معادله‌ای برای پارامترها بر اساس برابری حد چپ و حد راست بنویسید.\n4. معادله را حل کنید تا مقدار پارامتر به دست آید." + }, + { + "title": "تعیین وجود حد توابع در نقاط خاص", + "introText": "1. حد چپ و حد راست تابع را در نقطه مورد نظر محاسبه کنید.\n2. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند، حد در آن نقطه وجود دارد و برابر با آن مقدار است.\n3. در غیر این صورت، حد وجود ندارد." + } + ] + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع کسری", + "order": 4, + "lessons": [ + { + "title": "محاسبه حد توابع کسری در حالت صفر صورت و مخرج", + "introText": "1. ابتدا مقدار حد را با جایگذاری مستقیم در تابع بررسی می‌کنیم. اگر صورت و مخرج هر دو صفر شوند، به حالت نامعین صفر تقسیم بر صفر می‌رسیم. 2. در این حالت، صورت و مخرج کسر را با استفاده از اتحادهای جبری یا تجزیه به عوامل ساده‌تر تبدیل می‌کنیم. 3. سپس عوامل مشترک صورت و مخرج را حذف می‌کنیم تا کسر ساده شود. 4. مجدداً حد را با جایگذاری مستقیم در کسر ساده شده محاسبه می‌کنیم. 5. مقدار به دست آمده، حد تابع در نقطه مورد نظر است." + }, + { + "title": "محاسبه حد عبارت‌های گنگ با ضرب صورت و مخرج در عبارت مزدوج", + "introText": "1. ابتدا مقدار تابع را در نقطه مورد نظر جایگذاری کنید. اگر صورت و مخرج هر دو صفر شدند، به عبارت گنگ برخورد کرده‌اید.\n2. صورت و مخرج را در یک عبارت مناسب ضرب کنید تا عبارت گنگ به عبارتی قابل ساده‌سازی تبدیل شود. معمولاً عبارت مزدوج صورت یا مخرج انتخاب می‌شود.\n3. صورت و مخرج را ضرب کنید و سعی کنید عوامل مشترک را حذف کنید.\n4. پس از حذف عوامل مشترک، مجدداً حد را محاسبه کنید با جایگذاری مقدار x." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع شامل ریشه‌های nام و تفاضل توان‌ها", + "introText": "1. ابتدا مقدار تابع را در نقطه مورد نظر جایگذاری کنید.\n2. اگر صورت و مخرج صفر شدند، سعی کنید صورت و مخرج را به گونه‌ای ساده کنید که عبارت گنگ رفع شود.\n3. معمولاً از روش ضرب در عبارت مزدوج یا تجزیه استفاده می‌شود.\n4. پس از ساده‌سازی، حد را با جایگذاری مقدار x محاسبه کنید." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع مثلثاتی با استفاده از تبدیل و ضرب در عبارت مناسب", + "introText": "1. ابتدا مقدار تابع را در نقطه مورد نظر جایگذاری کنید.\n2. اگر به صورت گنگ رسیدید، سعی کنید عبارت را با ضرب در یک عبارت مناسب ساده کنید.\n3. از روابط مثلثاتی و حدهای معروف مثل \\( \\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sin x}{x} = 1 \\) استفاده کنید.\n4. پس از ساده‌سازی، حد را محاسبه کنید." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع مثلثاتی با استفاده از ساده‌سازی کسری و جایگذاری", + "introText": "1. ابتدا مقدار تابع را در نقطه مورد نظر جایگذاری کنید.\n2. اگر به صورت گنگ رسیدید، سعی کنید صورت و مخرج را ساده کنید یا از روابط مثلثاتی استفاده کنید.\n3. عوامل مشترک را حذف کنید و سپس حد را محاسبه کنید." + }, + { + "title": "محاسبه حد با تغییر متغیر", + "introText": "1. متغیر x را به متغیر جدید t تغییر می‌دهیم به گونه‌ای که وقتی x به مقدار خاصی نزدیک می‌شود، t به صفر نزدیک شود.\n2. عبارت حد را بر حسب t بازنویسی می‌کنیم.\n3. صورت و مخرج را ساده می‌کنیم تا حد قابل محاسبه شود.\n4. مقدار حد را با جایگذاری مقدار t=0 یا حد مورد نظر محاسبه می‌کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع مثلثاتی با تغییر متغیر", + "introText": "1. متغیر x را به متغیر جدید t تغییر می‌دهیم به گونه‌ای که وقتی x به مقدار خاصی نزدیک می‌شود، t به صفر نزدیک شود.\n2. عبارت حد را بر حسب t بازنویسی می‌کنیم.\n3. از روابط مثلثاتی و ساده سازی استفاده می‌کنیم تا حد قابل محاسبه شود.\n4. مقدار حد را با جایگذاری مقدار t=0 یا حد مورد نظر محاسبه می‌کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع گویا و رادیکالی", + "introText": "1. ابتدا مقدار تابع را در نقطه مورد نظر جایگذاری کنید. 2. اگر حاصل به صورت عدد مشخص بود، همان عدد حد است. 3. اگر حاصل به صورت صفر تقسیم بر صفر یا بی‌نهایت تقسیم بر بی‌نهایت بود، صورت و مخرج را تجزیه یا ساده کنید. 4. از اتحادهای جبری مانند ضرب عبارت مزدوج برای حذف رادیکال‌ها استفاده کنید. 5. پس از ساده‌سازی، دوباره مقدار x را جایگذاری کنید تا حد را بیابید." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع شامل قسمت صحیح و رادیکال", + "introText": "1. مقدار x را به سمت نقطه مورد نظر نزدیک کنید. 2. اگر قسمت صحیح در تابع وجود دارد، حد چپ و راست را جداگانه بررسی کنید. 3. صورت و مخرج را ساده کنید یا از ضرب عبارت مزدوج برای حذف رادیکال‌ها استفاده کنید. 4. حد را با توجه به رفتار قسمت صحیح و رادیکال تعیین کنید." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع مثلثاتی", + "introText": "1. مقدار x را در تابع جایگذاری کنید. 2. اگر حاصل به صورت صفر تقسیم بر صفر بود، از اتحادهای مثلثاتی یا قاعده هوپیتال استفاده کنید. 3. از فرمول‌های تبدیل و اتحادهای مثلثاتی برای ساده‌سازی استفاده کنید. 4. حد را با توجه به ساده‌سازی به دست آورید." + }, + { + "title": "محاسبه حد حاصل‌ضرب توابع", + "introText": "1. ابتدا حد هر تابع را جداگانه بررسی کنید. 2. اگر هر دو حد وجود داشت، حاصل‌ضرب حدها را محاسبه کنید. 3. اگر حدها نامعین بودند، صورت و مخرج را ساده کنید یا از روش‌های جبری استفاده کنید. 4. حاصل‌ضرب حدها را به عنوان حد نهایی اعلام کنید." + } + ] + }, + { + "title": "پیوستگی", + "order": 5, + "lessons": [ + { + "title": "تعیین مقدار تابع و حد تابع از روی نمودار", + "introText": "1. مقدار تابع در نقطه مورد نظر را با مشاهده مقدار y روی نمودار در آن نقطه تعیین کنید.\n2. حد تابع را در نقطه مورد نظر با بررسی رفتار نمودار از دو طرف چپ و راست نقطه تعیین کنید.\n3. اگر مقدار تابع و حد تابع در نقطه برابر باشند، تابع در آن نقطه پیوسته است؛ در غیر این صورت ناپیوسته است." + }, + { + "title": "بررسی پیوستگی تابع در نقطه با استفاده از نمودار", + "introText": "1. مقدار تابع را در نقطه مورد نظر از روی نمودار بخوانید.\n2. حد چپ و حد راست تابع را در آن نقطه با مشاهده رفتار نمودار از دو طرف تعیین کنید.\n3. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند و با مقدار تابع در نقطه برابر باشند، تابع در آن نقطه پیوسته است.\n4. اگر حد چپ و حد راست برابر نباشند یا با مقدار تابع برابر نباشند، تابع در آن نقطه گسسته است." + }, + { + "title": "تشخیص وجود یا عدم وجود گسستگی در نقطه از روی نمودار", + "introText": "1. حد چپ و حد راست تابع را در نقطه مورد نظر از روی نمودار بررسی کنید.\n2. اگر حد چپ و حد راست برابر نباشند، گسستگی در آن نقطه وجود دارد.\n3. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند ولی مقدار تابع در نقطه با آن‌ها برابر نباشد، گسستگی پرشی است.\n4. اگر حد‌ها و مقدار تابع برابر باشند، گسستگی وجود ندارد و تابع پیوسته است." + }, + { + "title": "تشخیص پیوستگی تابع در نقطه", + "introText": "برای تشخیص پیوستگی تابع f در نقطه a، ابتدا باید تابع در آن نقطه تعریف شده باشد. سپس حد تابع f در نقطه a را از دو طرف چپ و راست محاسبه می‌کنیم. اگر حد از دو طرف برابر و برابر با مقدار تابع در آن نقطه باشد، تابع در آن نقطه پیوسته است. در غیر این صورت، تابع ناپیوسته است." + }, + { + "title": "تشخیص ناپیوستگی تابع‌های پله‌ای و کسری", + "introText": "برای تشخیص ناپیوستگی در توابع پله‌ای یا کسری، ابتدا مقدار تابع را در نقطه مورد نظر بررسی می‌کنیم. سپس حد تابع را از سمت چپ و راست محاسبه می‌کنیم. اگر حد چپ و راست برابر نباشند یا با مقدار تابع برابر نباشند، تابع در آن نقطه ناپیوسته است. نمودار تابع نیز می‌تواند به تشخیص ناپیوستگی کمک کند." + }, + { + "title": "بررسی پیوستگی توابع در نقاط خاص", + "introText": "۱. تابع را در نقطه مورد نظر بررسی کنید که آیا تعریف شده است یا خیر.\n۲. حد تابع را از دو طرف نقطه محاسبه کنید.\n۳. اگر حد چپ و راست برابر باشند و با مقدار تابع در آن نقطه برابر باشند، تابع در آن نقطه پیوسته است.\n۴. اگر تابع در نقطه تعریف نشده باشد ولی حد وجود داشته باشد، تابع در آن نقطه پیوسته نیست.\n۵. در صورت وجود عبارت کسری، صورت و مخرج را تجزیه و ساده کنید تا حد را محاسبه نمایید." + }, + { + "title": "رسم نمودار توابع با شرایط پیوستگی و نقاط تعریف نشده", + "introText": "۱. تابع را در بازه‌های مختلف بررسی کنید و نقاطی که تعریف نشده‌اند یا پیوسته نیستند را مشخص کنید.\n۲. مقدار تابع و حد تابع را در نقاط خاص محاسبه کنید.\n۳. نمودار تابع را رسم کنید به گونه‌ای که نقاط تعریف نشده با نقطه خالی یا علامت خاص نشان داده شوند.\n۴. در صورت وجود حد در نقطه‌ای که تابع تعریف نشده، نقطه حد را با نقطه پر یا خالی مشخص کنید.\n۵. نمودار را طوری رسم کنید که پیوستگی یا ناپیوستگی تابع در نقاط مشخص شود." + }, + { + "title": "بررسی پیوستگی تابع در نقاط مشخص با استفاده از نمودار", + "introText": "۱. نقاطی که تابع در آن‌ها تعریف شده را مشخص کنید.\n۲. مقدار تابع در نقطه مورد نظر را از نمودار یا تعریف تابع بیابید.\n۳. حد چپ و حد راست تابع را در آن نقطه محاسبه کنید.\n۴. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند و با مقدار تابع در آن نقطه برابر باشند، تابع در آن نقطه پیوسته است." + }, + { + "title": "بررسی پیوستگی تابع به صورت تحلیلی در نقاط خاص", + "introText": "۱. مقدار تابع را در نقطه مورد نظر محاسبه کنید.\n۲. حد چپ و حد راست تابع را در آن نقطه محاسبه کنید.\n۳. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند و با مقدار تابع در آن نقطه برابر باشند، تابع در آن نقطه پیوسته است؛ در غیر این صورت ناپیوسته است." + }, + { + "title": "تشخیص پیوستگی تابع گام‌دار", + "introText": "1. نمودار تابع گام‌دار را رسم کنید یا بررسی کنید. 2. نقاط داده شده را در نظر بگیرید. 3. بررسی کنید که آیا تابع در این نقاط پیوسته است یا خیر، یعنی مقدار تابع در نقطه با حد چپ و حد راست آن برابر باشد. 4. اگر مقدار تابع در نقطه برابر با حد چپ و حد راست نبود، تابع در آن نقطه پیوسته نیست." + }, + { + "title": "تکمیل نمودار و بررسی پیوستگی در نقاط خاص", + "introText": "1. نمودارهای داده شده را بررسی کنید. 2. در نقطه x=2، مقدار تابع و حد چپ و حد راست را محاسبه کنید. 3. بررسی کنید که آیا حد راست و چپ برابر هستند یا خیر. 4. اگر حد راست و چپ برابر بود و مقدار تابع در آن نقطه برابر با این حد‌ها بود، تابع در آن نقطه پیوسته است. 5. در غیر این صورت، تابع پیوسته نیست یا فقط از یک طرف پیوسته است." + }, + { + "title": "تعریف پیوستگی روی بازه‌ها", + "introText": "برای تعریف پیوستگی روی بازه‌های بسته و باز، ابتدا باید مفهوم پیوستگی در یک نقطه را بدانیم. سپس برای بازه بسته [a,b] تابع باید در تمام نقاط داخل بازه و همچنین در نقاط انتهایی a و b پیوسته باشد. برای بازه باز (a,b) تابع باید در تمام نقاط داخل بازه پیوسته باشد ولی نیازی به پیوستگی در نقاط a و b نیست. بنابراین تعریف پیوستگی روی بازه‌های بسته و باز مشابه است با این تفاوت که در بازه بسته نقاط انتهایی نیز باید پیوسته باشند." + }, + { + "title": "تشخیص پیوستگی تابع از روی نمودار", + "introText": "برای تشخیص پیوستگی تابع روی بازه‌ای مشخص از روی نمودار، ابتدا باید بررسی کنیم که آیا نمودار تابع در تمام نقاط داخل بازه بدون پرش یا گسستگی رسم شده است یا خیر. سپس باید نقاط انتهایی بازه را بررسی کنیم که آیا مقدار تابع در آن نقاط با حد تابع از داخل بازه برابر است یا خیر. اگر این شرایط برقرار باشد، تابع روی آن بازه پیوسته است؛ در غیر این صورت ناپیوسته است." + }, + { + "title": "تعیین نقاط ناپیوستگی توابع", + "introText": "1. نمودار تابع را رسم کنید یا تابع را به صورت تکه‌ای بررسی کنید.\n2. نقاطی که تابع تعریف نشده یا مقدار تابع در آن نقاط با حد چپ و راست برابر نیست را پیدا کنید.\n3. این نقاط، نقاط ناپیوستگی تابع هستند." + }, + { + "title": "تعیین مقدار پارامتر برای پیوستگی تابع در نقطه خاص", + "introText": "1. تابع را به صورت تکه‌ای در نظر بگیرید.\n2. حد چپ و حد راست تابع را در نقطه مورد نظر محاسبه کنید.\n3. مقدار تابع در آن نقطه را با پارامتر مجهول بنویسید.\n4. برای پیوستگی، حد چپ، حد راست و مقدار تابع باید برابر باشند.\n5. معادله(های) به دست آمده را حل کنید تا مقدار پارامتر(ها) تعیین شود." + }, + { + "title": "نشان دادن ناپیوستگی تابع در نقطه صفر برای هر مقدار پارامتر", + "introText": "1. تابع را در نقطه صفر بررسی کنید.\n2. حد چپ و حد راست را محاسبه کنید.\n3. مقدار تابع در صفر را بررسی کنید.\n4. اگر حد چپ و راست برابر نباشند یا مقدار تابع با حد برابر نباشد، تابع در صفر ناپیوسته است.\n5. این بررسی را برای هر مقدار پارامتر انجام دهید." + }, + { + "title": "رسم نمودار و بررسی پیوستگی توابع با نقاط ناپیوستگی و بدون حد در آن نقاط", + "introText": "1. تابع را به صورت تکه‌ای یا با استفاده از تعریف آن رسم کنید.\n2. نقاطی که تابع در آن‌ها تعریف شده یا نشده را مشخص کنید.\n3. بررسی کنید که آیا حد چپ و راست در نقاط خاص وجود دارد یا خیر.\n4. نقاطی که حد وجود ندارد یا حد چپ و راست برابر نیستند، نقاط ناپیوستگی بدون حد هستند." + }, + { + "title": "تعیین بیشترین مقدار پارامتر برای پیوستگی تابع جزء صحیح در بازه مشخص", + "introText": "1. تابع جزء صحیح را در بازه داده شده بررسی کنید.\n2. نقاطی که تابع ممکن است ناپیوسته باشد (نقاط صحیح) را شناسایی کنید.\n3. مقدار پارامتر k را طوری تعیین کنید که تابع در بازه پیوسته باشد.\n4. بیشترین مقدار k را با توجه به شرایط پیوستگی پیدا کنید." + }, + { + "title": "ارائه بازه پیوستگی تابع شامل رادیکال", + "introText": "1. دامنه تابع را با توجه به زیر رادیکال تعیین کنید.\n2. بررسی کنید تابع در نقاط مرزی دامنه پیوسته باشد.\n3. بازه‌ای که تابع در آن پیوسته است را مشخص کنید." + }, + { + "title": "تعیین مقادیر پارامتر برای پیوستگی تابع تکه‌ای شامل توابع مثلثاتی و چندجمله‌ای", + "introText": "1. تابع را به صورت تکه‌ای در نظر بگیرید.\n2. حد چپ و حد راست تابع را در نقطه مورد نظر محاسبه کنید.\n3. مقدار تابع در آن نقطه را با پارامتر مجهول بنویسید.\n4. معادله‌های برابری حد چپ، حد راست و مقدار تابع را بنویسید.\n5. معادلات را حل کنید تا مقادیر پارامترها تعیین شود." + } + ] + } + ] + } + ] + }, + { + "title": "پایه دوازدهم", + "icon": "grade-12", + "color": "#3F51B5", + "units": [ + { + "title": "فصل ۱: تابع", + "order": 1, + "nodes": [ + { + "title": "تبدیل نمودار توابع", + "order": 1, + "lessons": [ + { + "title": "تبدیل نمودار توابع", + "introText": "۱. شناسایی تابع پایه و نمودار آن. ۲. تعیین نوع تبدیل (جابجایی افقی یا عمودی، کشیدگی یا فشردگی، بازتاب). ۳. اعمال تبدیل‌ها به تابع پایه به ترتیب مناسب. ۴. رسم نمودار تابع تبدیل شده با توجه به تغییرات اعمال شده." + }, + { + "title": "تابع درجه سوم، توابع یک‌نوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "introText": "۱. بررسی تابع درجه سوم و تعیین ضریب‌های آن. ۲. بررسی یک‌نوا بودن تابع با استفاده از مشتق اول و تحلیل علامت آن. ۳. بررسی بخش‌پذیری تابع بر چندجمله‌ای‌های ساده‌تر با استفاده از تقسیم چندجمله‌ای یا قاعده هورنر. ۴. یافتن ریشه‌ها و نقاط بحرانی تابع برای تحلیل رفتار آن." + }, + { + "title": "انتقال عمودی نمودار تابع", + "introText": "برای انتقال عمودی نمودار تابع، اگر تابع اصلی y = f(x) باشد، تابع جدید را به صورت g(x) = f(x) + k تعریف می‌کنیم. این انتقال باعث می‌شود که هر نقطه (x, y) روی نمودار تابع اصلی به نقطه (x, y+k) روی نمودار تابع جدید منتقل شود. بنابراین نمودار تابع به اندازه k واحد به سمت بالا (اگر k مثبت باشد) یا به سمت پایین (اگر k منفی باشد) جابجا می‌شود." + }, + { + "title": "انتقال افقی نمودار تابع", + "introText": "برای انتقال افقی نمودار تابع، اگر تابع اصلی y = f(x) باشد، تابع جدید را به صورت g(x) = f(x + c) تعریف می‌کنیم. این انتقال باعث می‌شود که هر نقطه (x, y) روی نمودار تابع اصلی به نقطه (x - c, y) روی نمودار تابع جدید منتقل شود. بنابراین نمودار تابع به اندازه c واحد به سمت چپ (اگر c مثبت باشد) یا به سمت راست (اگر c منفی باشد) جابجا می‌شود." + }, + { + "title": "انتقال نمودار تابع به سمت بالا یا پایین", + "introText": "برای رسم نمودار y = f(x) + k اگر k > 0 باشد، نمودار تابع f را k واحد در راستای قائم به سمت بالا انتقال می‌دهیم. اگر k < 0 باشد، نمودار تابع f را |k| واحد در راستای قائم به سمت پایین انتقال می‌دهیم." + }, + { + "title": "تقارن نمودار تابع نسبت به محور y با انتقال افقی", + "introText": "برای رسم نمودار y = f(x + k) اگر k > 0 باشد، نمودار تابع f را k واحد در جهت افقی به سمت چپ انتقال می‌دهیم. اگر k < 0 باشد، نمودار تابع f را |k| واحد در جهت افقی به سمت راست انتقال می‌دهیم. این انتقال باعث می‌شود نقطه (x, y) در نمودار f به نقطه (x - k, y) در نمودار جدید تبدیل شود و نمودار جدید نسبت به نمودار اصلی تقارن افقی داشته باشد." + }, + { + "title": "انتقال نمودار تابع", + "introText": "برای انتقال نمودار تابع به راست یا چپ، مقدار داخل پرانتز تابع را به صورت (x - h) یا (x + h) تغییر می‌دهیم که h مقدار انتقال است. انتقال به راست با (x - h) و به چپ با (x + h) انجام می‌شود. برای انتقال نمودار به بالا یا پایین، مقدار ثابتی را به تابع اضافه یا از آن کم می‌کنیم، به صورت f(x) + k برای انتقال به بالا و f(x) - k برای انتقال به پایین. سپس نمودار تابع جدید را رسم می‌کنیم و دامنه و برد تابع جدید را با توجه به انتقال‌ها تعیین می‌کنیم." + }, + { + "title": "رسم نمودار و تعیین دامنه و برد توابع رادیکالی و انتقال یافته", + "introText": "برای رسم نمودار تابع رادیکالی مانند f(x) = √x ابتدا دامنه تابع را تعیین می‌کنیم که برای تابع جذر، x باید بزرگ‌تر یا مساوی صفر باشد. سپس نقاط مهم را محاسبه و روی محور مختصات رسم می‌کنیم. برای توابع انتقال یافته مانند k(x) = f(x - 2) و g(x) = f(x) + 3، ابتدا دامنه و برد تابع اصلی را مشخص کرده و سپس با توجه به انتقال افقی (x - 2) دامنه را جابجا می‌کنیم و با انتقال عمودی (+3) برد را جابجا می‌کنیم. سپس نمودارهای جدید را رسم می‌کنیم و دامنه و برد توابع جدید را محاسبه و با تابع اصلی مقایسه می‌کنیم." + }, + { + "title": "رسم نمودار توابع با استفاده از انتقال", + "introText": "برای رسم نمودار تابعی که به صورت ترکیبی از انتقال‌های افقی و عمودی روی تابع اصلی تعریف شده است، ابتدا نمودار تابع اصلی را رسم می‌کنیم. سپس با توجه به عبارت تابع جدید، انتقال افقی را با جابه‌جایی نمودار به سمت چپ یا راست انجام می‌دهیم. پس از آن انتقال عمودی را با جابه‌جایی نمودار به سمت بالا یا پایین اعمال می‌کنیم. ترتیب انجام انتقال‌ها مهم است و باید مطابق با صورت تابع انجام شود. در نهایت نمودار نهایی تابع جدید به دست می‌آید." + }, + { + "title": "رسم نمودار توابع ضرب شده در عدد ثابت", + "introText": "1. نقاط مهم تابع اصلی را در بازه مشخص شده تعیین کنید.\n2. مقادیر تابع را در این نقاط محاسبه کنید.\n3. برای تابع ضرب شده در عدد ثابت، مقادیر تابع اصلی را در آن عدد ضرب کنید.\n4. نقاط جدید را روی دستگاه مختصات رسم کنید.\n5. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار تابع جدید به دست آید.\n6. دامنه تابع جدید همان دامنه تابع اصلی است.\n7. برد تابع جدید برابر برد تابع اصلی ضرب در عدد ثابت است." + }, + { + "title": "مقایسه نمودار توابع ضرب شده در عدد ثابت", + "introText": "1. نمودارهای توابع مختلف ضرب شده در اعداد ثابت را رسم یا بررسی کنید.\n2. دامنه همه توابع سینوس برابر است و تغییر نمی‌کند.\n3. برد تابع ضرب شده در عدد ثابت برابر برد تابع اصلی ضرب در قدر مطلق آن عدد است.\n4. نمودار تابع با ضریب بزرگ‌تر، کشیده‌تر یا فشرده‌تر نسبت به نمودار تابع اصلی است.\n5. نقاط تقاطع نمودارها را بررسی کنید تا تفاوت‌ها را مشخص کنید." + }, + { + "title": "تعیین دامنه و برد توابع ضرب شده در عدد ثابت", + "introText": "1. دامنه تابع ضرب شده در عدد ثابت همان دامنه تابع اصلی است.\n2. برد تابع ضرب شده در عدد ثابت برابر برد تابع اصلی ضرب در قدر مطلق آن عدد است.\n3. دامنه و برد را برای هر تابع به صورت جداگانه تعیین کنید.\n4. تفاوت دامنه و برد توابع را با هم مقایسه کنید." + }, + { + "title": "تعیین نقاط متناظر در نمودار توابع ضرب شده", + "introText": "1. اگر نقطه‌ای (x₀, y₀) روی نمودار تابع y = f(x) باشد، مقدار y₀ برابر f(x₀) است.\n2. برای تابع g(x) = k f(x)، نقطه متناظر برابر (x₀, k y₀) است.\n3. این رابطه را برای هر نقطه روی نمودار تابع اصلی اعمال کنید.\n4. نقاط متناظر را روی نمودار تابع جدید رسم کنید." + }, + { + "title": "تأثیر ضرب عددی k بر نمودار تابع", + "introText": "برای رسم نمودار تابع y = kf(x)، نقاط نمودار تابع y = f(x) را در عدد k ضرب می‌کنیم. اگر k > 1 باشد، نمودار y = kf(x) از انبساط عمودی نمودار y = f(x) حاصل می‌شود و اگر 0 < k < 1 باشد، نمودار y = kf(x) از انقباض عمودی نمودار y = f(x) به دست می‌آید. همچنین اگر k منفی باشد، نمودار y = kf(x) قرینه نسبت به محور x نمودار y = f(x) خواهد بود." + }, + { + "title": "تعیین دامنه و برد تابع ضرب شده در k", + "introText": "اگر دامنه تابع y = f(x) برابر بازه [a,b] و برد آن برابر بازه [c,d] باشد، دامنه تابع y = kf(x) همان دامنه [a,b] است. برای برد، اگر k > 0 باشد، برد تابع y = kf(x) برابر [kc, kd] است و اگر k < 0 باشد، برد برابر [kd, kc] خواهد بود (یعنی برد معکوس می‌شود)." + }, + { + "title": "رسم نمودار توابع چندجمله‌ای و تعیین ضابطه تابع با استفاده از نمودار و قرینه‌ها", + "introText": "برای رسم نمودار توابع چندجمله‌ای مانند y = x^2 یا y = -x^2 ابتدا نمودار تابع پایه را رسم می‌کنیم. سپس با توجه به ضریب‌ها و علامت‌ها، نمودار را قرینه یا انتقال می‌دهیم. برای تعیین ضابطه تابع از روی نمودار، ابتدا نمودار پایه را شناسایی کرده و سپس تغییرات اعمال شده مانند قرینه نسبت به محور x یا انتقال را بررسی می‌کنیم. در صورت وجود تابع قدر مطلق، نمودار را به صورت قرینه نسبت به محور y تحلیل می‌کنیم." + }, + { + "title": "ترسیم نمودار تابع با تغییرات افقی و عمودی", + "introText": "1. ابتدا نمودار تابع اصلی y = f(x) را رسم کنید.\n2. برای y = f(x-1)، نمودار را یک واحد به سمت راست جابجا کنید.\n3. برای y = -f(x-1)، نمودار مرحله قبل را نسبت به محور x قرینه کنید (علامت منفی باعث انعکاس عمودی می‌شود).\n4. برای y = -f(x-1) + 2، نمودار مرحله قبل را دو واحد به سمت بالا جابجا کنید.\n5. نمودار نهایی را رسم کنید." + }, + { + "title": "ترسیم نمودار تابع سینوس با تغییر دامنه و بازه", + "introText": "1. نمودار تابع y = sin x را در بازه داده شده رسم کنید.\n2. برای تابع y = sin 2x، نقاط مهم را با استفاده از جدول مقادیر x و y مشخص کنید.\n3. نقاط را روی نمودار رسم کرده و منحنی سینوسی را بکشید.\n4. تفاوت نمودار y = sin x و y = sin 2x را بررسی کنید (تعداد نوسانات بیشتر در y = sin 2x)." + }, + { + "title": "مقایسه نمودارهای توابع سینوسی با فرکانس‌های متفاوت", + "introText": "1. نمودارهای y = sin x و y = sin 2x را در یک بازه مشخص رسم کنید.\n2. تعداد نوسانات هر نمودار را در بازه بررسی کنید.\n3. تفاوت در فرکانس و دوره تناوب را مشخص کنید.\n4. نتیجه‌گیری کنید که y = sin 2x دو برابر سریع‌تر نوسان می‌کند نسبت به y = sin x." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع y = f(kx) و تحلیل تغییرات افقی", + "introText": "برای رسم نمودار تابع y = f(kx)، ابتدا طول نقاط نمودار تابع y = f(x) را در 1/k ضرب می‌کنیم (با فرض k ≠ 0). اگر k > 1 باشد، نمودار y = f(kx) از نمودار y = f(x) در راستای محور x به صورت انقباض افقی به دست می‌آید. اگر 0 < k < 1 باشد، نمودار y = f(kx) از نمودار y = f(x) در راستای محور x به صورت انبساط افقی حاصل می‌شود. بنابراین با تغییر مقیاس محور x به 1/k، نقاط نمودار جدید را تعیین و رسم می‌کنیم." + }, + { + "title": "قرینه کردن نمودار تابع نسبت به محور y", + "introText": "برای به دست آوردن نمودار تابع y = f(-x)، طول نقاط تابع y = f(x) را قرینه نسبت به محور y می‌کنیم. یعنی هر نقطه (x, y) از نمودار y = f(x) به نقطه (-x, y) تبدیل می‌شود. بنابراین نمودار y = f(-x) قرینه نمودار y = f(x) نسبت به محور y است." + }, + { + "title": "تعیین دامنه و برد تابع تغییر یافته", + "introText": "اگر دامنه و برد تابع y=f(x) به ترتیب بازه‌های [a,b] و [c,d] باشند، برای تابع y=f(kx) دامنه و برد را به صورت زیر تعیین می‌کنیم: اگر k>0 باشد، دامنه جدید برابر [a/k, b/k] و برد همان [c,d] است. اگر k<0 باشد، دامنه جدید برابر [b/k, a/k] و برد همان [c,d] است." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع‌های تغییر یافته با اعمال تغییرات روی متغیر x", + "introText": "برای رسم نمودار تابع‌های y=f(-x/2) و y=f(3x) ابتدا نمودار تابع پایه y=f(x) را داریم. برای y=f(-x/2) ابتدا محور x را با -1/2 ضرب می‌کنیم که باعث قرینه و تغییر مقیاس می‌شود. برای y=f(3x) محور x را با 3 ضرب می‌کنیم که باعث فشرده‌سازی نمودار در جهت افقی می‌شود. سپس نقاط متناظر را روی نمودار جدید رسم می‌کنیم." + }, + { + "title": "رسم نمودار توابع کسینوس تغییر یافته", + "introText": "برای رسم نمودار توابع کسینوس تغییر یافته مانند y=cos2x و y=2cos(x/3)، ابتدا نمودار پایه y=cosx را رسم می‌کنیم. سپس با توجه به ضریب داخل تابع (2x یا x/3) دوره تناوب را تغییر می‌دهیم. برای y=cos2x دوره تناوب نصف می‌شود و برای y=2cos(x/3) دامنه دو برابر و دوره تناوب سه برابر می‌شود. نقاط کلیدی مانند نقاط ماکزیمم، مینیمم و صفرهای تابع را مشخص و نمودار را رسم می‌کنیم." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع با انتقال افقی و تقسیم طول‌ها", + "introText": "اگر نمودار تابع f به صورت داده شده باشد، برای رسم نمودار تابع g(x)=f((x+1)/2) ابتدا نقاط مشخص شده در نمودار f را یک واحد به سمت چپ منتقل می‌کنیم (x به x+1) و سپس طول‌ها را بر 2 تقسیم می‌کنیم (x به x/2). نقاط متناظر جدید را به دست آورده و نمودار g را رسم می‌کنیم. نقطه متقارن A' متناظر با نقطه A=(x,y) روی نمودار f به صورت A'=( (x-1)/2 , y ) محاسبه می‌شود." + }, + { + "title": "تبدیل توابع رادیکالی و رسم نمودار", + "introText": "1. تابع داده شده را به صورت y = √x بازنویسی کنید یا به شکل تابع پایه جذر تبدیل کنید.\n2. تغییرات داخل رادیکال (مانند جمع، تفریق یا ضرب در x) را بررسی کنید تا دامنه تابع مشخص شود.\n3. نقاط مهم مانند ریشه‌ها و نقاط تقاطع با محورهای مختصات را پیدا کنید.\n4. مقادیر y را برای چند مقدار x در دامنه محاسبه کنید.\n5. نقاط به دست آمده را روی دستگاه مختصات رسم کنید.\n6. نمودار تابع پایه را با توجه به تغییرات اعمال شده، جابجا یا تغییر شکل دهید.\n7. جهت نمودار و رفتار تابع را در بازه‌های مختلف بررسی و ترسیم نهایی را انجام دهید." + }, + { + "title": "رسم نمودار توابع تبدیل یافته", + "introText": "۱. ابتدا نمودار تابع اصلی f(x) را بررسی کنید.\n۲. بسته به تبدیل داده شده (مانند f(-x)، f(x-1)، 2f(x-1)، -f(x)+2، f(3x-1)، f(3-x))، تغییرات لازم را روی نمودار اعمال کنید:\n - f(-x): نمودار را نسبت به محور y قرینه کنید.\n - f(x-1): نمودار را یک واحد به سمت راست انتقال دهید.\n - 2f(x-1): ابتدا انتقال به راست، سپس مقدار y را در ۲ ضرب کنید.\n - -f(x)+2: نمودار را نسبت به محور x قرینه و سپس ۲ واحد به بالا انتقال دهید.\n - f(3x-1): ابتدا محور x را فشرده کنید (ضرب در ۳)، سپس یک واحد به راست انتقال دهید.\n - f(3-x): ابتدا محور x را قرینه و فشرده کنید، سپس نمودار را رسم کنید.\n۳. نقاط کلیدی و تغییرات نمودار را با دقت رسم کنید." + }, + { + "title": "رسم و مقایسه نمودار توابع با تغییر علامت و قرینه", + "introText": "۱. نمودار تابع اصلی f(x) را بررسی کنید.\n۲. برای y = f(-x)، نمودار را نسبت به محور y قرینه کنید.\n۳. برای y = -f(x)، نمودار را نسبت به محور x قرینه کنید.\n۴. برای y = -f(-x)، ابتدا نسبت به محور y و سپس نسبت به محور x قرینه کنید.\n۵. نمودارهای به دست آمده را با نمودار اصلی مقایسه کنید و تغییرات را تحلیل کنید." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع مقابل با استفاده از قرینه‌یابی و انتقال", + "introText": "۱. نمودار تابع اصلی y = √x را رسم کنید که از نقطه (0,0) شروع شده و به سمت راست و بالا افزایش می‌یابد.\n۲. برای رسم نمودار تابع مقابل، ابتدا نمودار را نسبت به محور y قرینه کنید (x به -x).\n۳. سپس نمودار را نسبت به محور x قرینه کنید (y به -y) یا انتقال‌های لازم را اعمال کنید.\n۴. معادله تابع مقابل را با توجه به تغییرات نمودار تعیین کنید.\n۵. معادله به دست آمده را به صورت تابعی بنویسید." + } + ] + }, + { + "title": "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "order": 2, + "lessons": [ + { + "title": "تشخیص درجه چندجمله‌ای", + "introText": "برای تعیین درجه یک چندجمله‌ای، ابتدا تابع را به صورت جمع جملات چندجمله‌ای بنویسید. سپس توان‌های متغیر x را بررسی کنید و بزرگ‌ترین توان را به عنوان درجه چندجمله‌ای انتخاب کنید. اگر تابع ثابت باشد (بدون متغیر x)، درجه آن صفر است. اگر تابع شامل چند جمله باشد، درجه برابر با بیشترین توان متغیر x در جملات است." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع چند جمله‌ای درجه سه", + "introText": "1. جدول مقادیر تابع را با جایگذاری مقادیر مختلف x در تابع اصلی تکمیل کنید.\n2. نقاط به دست آمده را روی صفحه مختصات رسم کنید.\n3. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار تابع حاصل شود." + }, + { + "title": "بررسی وارون‌پذیری تابع و رسم نمودار تابع وارون", + "introText": "1. نمودار تابع اصلی را رسم کنید.\n2. بررسی کنید که آیا تابع یک به یک است (برای هر مقدار y فقط یک مقدار x وجود دارد).\n3. اگر تابع وارون‌پذیر بود، نمودار تابع وارون را با تقارن نسبت به خط y = x رسم کنید.\n4. ضابطه تابع وارون را با حل معادله y = f(x) نسبت به x به دست آورید." + }, + { + "title": "مقایسه نمودار چند تابع چند جمله‌ای در بازه‌های مشخص", + "introText": "1. نمودار هر تابع را در بازه داده شده رسم کنید.\n2. مقادیر تابع‌ها را در نقاط مختلف بازه بررسی کنید.\n3. تعیین کنید در کدام بازه کدام تابع مقدار بزرگ‌تری دارد یا نمودار کدام تابع بالاتر است." + }, + { + "title": "رسم نمودار توابع چند جمله‌ای تغییر یافته", + "introText": "1. تابع اصلی را بررسی کنید و تغییرات اعمال شده را شناسایی کنید (مانند جمع عدد ثابت، ضرب در عدد منفی، جابجایی افقی یا عمودی).\n2. نمودار تابع پایه (مثلاً y = x^3) را رسم کنید.\n3. تغییرات را روی نمودار اعمال کنید (جابجایی، بازتاب، کشش یا فشردگی).\n4. نمودار نهایی را رسم کنید." + }, + { + "title": "تحلیل تغییرات تابع بر اساس نمودار", + "introText": "1. نمودار تابع را به بازه‌های مختلف تقسیم کنید. 2. در هر بازه، جهت تغییر تابع را بررسی کنید: اگر نمودار صعودی است، تابع افزایش دارد. 3. اگر نمودار نزولی است، تابع کاهش دارد. 4. اگر نمودار افقی است، تابع ثابت است. 5. بازه‌های زمانی مربوط به هر نوع تغییر را مشخص کنید." + }, + { + "title": "تشخیص نوع تابع (صعودی، نزولی، ثابت) از نمودار", + "introText": "1. دامنه تابع را مشخص کنید. 2. نمودار تابع را در بازه‌های مختلف دامنه بررسی کنید. 3. اگر با افزایش x مقدار تابع افزایش یابد، تابع صعودی است. 4. اگر با افزایش x مقدار تابع کاهش یابد، تابع نزولی است. 5. اگر مقدار تابع تغییر نکند، تابع ثابت است. 6. بازه‌های مربوط به هر نوع تغییر را یادداشت کنید." + }, + { + "title": "تشخیص و تحلیل توابع صعودی", + "introText": "برای تشخیص اینکه تابعی در بازه‌ای صعودی است یا خیر، دو مقدار a و b از آن بازه را طوری انتخاب می‌کنیم که a < b باشد. سپس مقدار تابع را در این دو نقطه محاسبه می‌کنیم. اگر f(a) ≤ f(b) برقرار باشد، تابع در آن بازه صعودی است. این به معنای آن است که با حرکت از چپ به راست روی نمودار، مقدار تابع کاهش نمی‌یابد و یا ثابت می‌ماند." + }, + { + "title": "تشخیص و تحلیل توابع نزولی", + "introText": "برای تشخیص اینکه تابعی در بازه‌ای نزولی است یا خیر، دو مقدار a و b از آن بازه را طوری انتخاب می‌کنیم که a < b باشد. سپس مقدار تابع را در این دو نقطه محاسبه می‌کنیم. اگر f(a) ≥ f(b) برقرار باشد، تابع در آن بازه نزولی است. این به معنای آن است که با حرکت از چپ به راست روی نمودار، مقدار تابع افزایش نمی‌یابد و یا ثابت می‌ماند." + }, + { + "title": "تشخیص و تحلیل توابع ثابت", + "introText": "تابع را در مجموعه A ثابت می‌نامیم اگر برای تمام مقادیر x در آن مجموعه، مقدار تابع f(x) یک عدد ثابت باشد. به عبارت دیگر، نمودار تابع به صورت خطی موازی محور x است و مقدار تابع تغییر نمی‌کند. تابع ثابت هم صعودی و هم نزولی محسوب می‌شود." + }, + { + "title": "تشخیص تابع اکیداً صعودی", + "introText": "برای تشخیص اینکه تابعی اکیداً صعودی است یا خیر، دو مقدار a و b را در نظر می‌گیریم به طوری که a < b باشد. اگر مقدار تابع در a کمتر از مقدار تابع در b باشد یعنی f(a) < f(b)، آنگاه تابع در بازه مورد نظر اکیداً صعودی است. این به معنای آن است که با حرکت روی نمودار از چپ به راست، مقدار تابع همواره رو به بالا می‌رود." + }, + { + "title": "تشخیص تابع اکیداً نزولی", + "introText": "برای تشخیص اینکه تابعی اکیداً نزولی است یا خیر، دو مقدار a و b را در نظر می‌گیریم به طوری که a < b باشد. اگر مقدار تابع در a بزرگتر از مقدار تابع در b باشد یعنی f(a) > f(b)، آنگاه تابع در بازه مورد نظر اکیداً نزولی است. این به معنای آن است که با حرکت روی نمودار از چپ به راست، مقدار تابع همواره رو به پایین می‌رود." + }, + { + "title": "تشخیص تابع اکیداً یک‌نوا", + "introText": "تابعی که در یک مجموعه اکیداً صعودی یا اکیداً نزولی باشد، اکیداً یک‌نوا نامیده می‌شود. برای تشخیص این نوع تابع، بازه‌های مختلف را بررسی می‌کنیم و در هر بازه تعیین می‌کنیم که تابع صعودی یا نزولی است. اگر تابع در هر بازه به صورت اکیداً صعودی یا اکیداً نزولی باشد، تابع اکیداً یک‌نوا است." + }, + { + "title": "تحلیل بازه‌های صعودی و نزولی توابع داده شده", + "introText": "برای تحلیل بازه‌های صعودی و نزولی توابع، ابتدا نمودار هر تابع را رسم می‌کنیم یا ویژگی‌های آن را بررسی می‌کنیم. سپس با مقایسه مقادیر تابع در نقاط مختلف دامنه، بازه‌هایی که تابع در آن‌ها صعودی یا نزولی است را مشخص می‌کنیم. در نهایت بازه‌هایی که تابع در آن‌ها اکیداً صعودی یا اکیداً نزولی است را تعیین می‌کنیم." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع و تعیین بازه‌های صعودی و نزولی", + "introText": "1. تابع داده شده را به صورت جداگانه در بازه‌های مشخص شده بررسی کنید.\n2. نقاط مرزی بازه‌ها را مشخص کنید و مقدار تابع را در این نقاط محاسبه کنید.\n3. نمودار تابع را با توجه به تعریف تابع در هر بازه رسم کنید.\n4. با توجه به نمودار یا مشتق تابع در هر بازه، بازه‌های صعودی و نزولی را تعیین کنید." + }, + { + "title": "بررسی صعودی بودن تابع در بازه‌ها", + "introText": "1. تعریف تابع را در بازه مورد نظر بررسی کنید.\n2. اگر تابع در بازه صعودی باشد، یعنی برای هر x1 < x2 در بازه، f(x1) ≤ f(x2) برقرار است.\n3. با استفاده از مشتق یا تعریف تابع، صعودی بودن را اثبات کنید یا مثال نقض بیاورید." + }, + { + "title": "اثبات نامساوی و تعیین بازه برای توابع لگاریتمی", + "introText": "1. با توجه به شرط داده شده، نامساوی را بنویسید.\n2. از خواص لگاریتم و توابع صعودی استفاده کنید.\n3. بازه‌ای که نامساوی برقرار است را تعیین کنید.\n4. در صورت نیاز، با جایگذاری مقادیر مرزی، بازه را دقیق‌تر مشخص کنید." + }, + { + "title": "تقسیم چندجمله‌ای‌ها و بررسی بخش‌پذیری", + "introText": "1. چندجمله‌ای‌ها را طبق قانون تقسیم چندجمله‌ای تقسیم کنید.\n2. خارج قسمت و باقیمانده را به دست آورید.\n3. رابطه f(x) = p(x)q(x) + r(x) را بررسی کنید.\n4. اگر باقیمانده صفر باشد، بخش‌پذیری تایید می‌شود." + }, + { + "title": "باقی‌مانده تقسیم چندجمله‌ای‌ها", + "introText": "برای یافتن باقی‌مانده تقسیم چندجمله‌ای f(x) بر چندجمله‌ای درجه یک ax+b، ابتدا باید نشان دهیم که باقی‌مانده r(x) درجه صفر دارد (یعنی عددی ثابت است). سپس با استفاده از قضیه باقی‌مانده، باقی‌مانده برابر است با مقدار تابع f در نقطه x = -b/a. به عبارت دیگر، r(x) = f(-b/a). برای اثبات این قضیه، تقسیم چندجمله‌ای را به صورت f(x) = (ax+b)q(x) + r(x) می‌نویسیم و با جایگذاری x = -b/a، چون ax+b صفر می‌شود، مقدار f برابر با r خواهد بود. بنابراین باقی‌مانده تقسیم برابر است با مقدار تابع در نقطه خاص." + }, + { + "title": "تشخیص بخش‌پذیری چندجمله‌ای‌ها", + "introText": "برای بررسی بخش‌پذیری چندجمله‌ای f(x) بر چندجمله‌ای درجه یک x - a، کافی است مقدار تابع را در x = a محاسبه کنیم. اگر f(a) = 0 باشد، آنگاه x - a بخش‌پذیر بر f(x) است. در غیر این صورت، بخش‌پذیر نیست. همچنین اگر چندجمله‌ای به صورت f(x) = x^3 + ax^2 - 2 باشد و بخواهیم مقدار a را طوری تعیین کنیم که x - a بخش‌پذیر باشد، کافی است f(a) = 0 را حل کنیم و مقدار a را بیابیم." + }, + { + "title": "تقسیم چندجمله‌ای‌ها با استفاده از اتحادهای جبری", + "introText": "برای تقسیم چندجمله‌ای xⁿ - aⁿ بر x - a ابتدا از اتحاد جبری استفاده می‌کنیم که می‌گوید: xⁿ - aⁿ = (x - a)(xⁿ⁻¹ + axⁿ⁻² + a²xⁿ⁻³ + ... + aⁿ⁻¹). بنابراین، با تقسیم xⁿ - aⁿ بر x - a، خارج قسمت برابر است با عبارت داخل پرانتز. این روش به ما امکان می‌دهد تا نشان دهیم x - a بخش‌پذیر است و همچنین چندجمله‌ای را تجزیه کنیم." + }, + { + "title": "بررسی بخش‌پذیری چندجمله‌ای‌ها بر x - a", + "introText": "برای بررسی اینکه آیا xⁿ - aⁿ بر x - a بخش‌پذیر است یا خیر، از اتحادهای جبری استفاده می‌کنیم. طبق اتحاد، xⁿ - aⁿ = (x - a)(xⁿ⁻¹ + axⁿ⁻² + ... + aⁿ⁻¹) که نشان می‌دهد x - a یک عامل است و بنابراین بخش‌پذیری برقرار است." + }, + { + "title": "تجزیه چندجمله‌ای‌ها با استفاده از اتحادهای جبری برای xⁿ - aⁿ", + "introText": "برای تجزیه چندجمله‌ای xⁿ - aⁿ از اتحاد جبری استفاده می‌کنیم که به صورت xⁿ - aⁿ = (x - a)(xⁿ⁻¹ + axⁿ⁻² + a²xⁿ⁻³ + ... + aⁿ⁻¹) است. این اتحاد به ما امکان می‌دهد چندجمله‌ای را به صورت حاصل‌ضرب دو چندجمله‌ای تجزیه کنیم." + }, + { + "title": "تجزیه چندجمله‌ای‌های خاص با استفاده از اتحادهای جبری و تغییر علامت", + "introText": "برای تجزیه چندجمله‌ای‌های xⁿ + aⁿ و xⁿ - aⁿ از اتحادهای جبری استفاده می‌کنیم. اگر n فرد باشد، اتحاد xⁿ + aⁿ = (x + a)(xⁿ⁻¹ - axⁿ⁻² + a²xⁿ⁻³ - ... + (-a)ⁿ⁻¹) برقرار است. اگر n زوج باشد، اتحاد xⁿ - aⁿ = (x + a)(xⁿ⁻¹ - axⁿ⁻² + a²xⁿ⁻³ - ... + (-a)ⁿ⁻¹) برقرار است. با تغییر علامت a به -a در اتحادهای قبلی، می‌توان این تجزیه‌ها را انجام داد." + }, + { + "title": "تحلیل و رسم نمودار تابع و تابع وارون", + "introText": "1. ابتدا تابع داده شده را بررسی کنید و نوع آن را مشخص کنید.\n2. نمودار تابع اصلی را با توجه به ضابطه آن رسم کنید.\n3. بررسی کنید که تابع وارون‌پذیر است یا خیر (یک‌به‌یک بودن تابع).\n4. اگر تابع وارون‌پذیر بود، نمودار تابع وارون را رسم کنید که معمولاً نسبت به خط y=x قرینه است.\n5. ضابطه تابع وارون را با حل معادله y=f(x) نسبت به x به دست آورید." + }, + { + "title": "تحلیل نمودار توابع و تعیین فواصل صعودی و نزولی", + "introText": "1. نمودار تابع را به دقت بررسی کنید و نقاطی که جهت نمودار تغییر می‌کند را مشخص کنید.\n2. فواصل x را که در آن تابع مقدار y افزایش می‌یابد به عنوان فواصل صعودی تعیین کنید.\n3. فواصل x را که در آن تابع مقدار y کاهش می‌یابد به عنوان فواصل نزولی تعیین کنید.\n4. اگر تابع در بعضی نقاط ثابت است، آن فواصل را نیز مشخص کنید.\n5. در صورت وجود نقاط ناپیوستگی یا پرش، آن‌ها را نیز در تحلیل لحاظ کنید." + }, + { + "title": "رسم نمودار توابع رادیکالی، نمایی و لگاریتمی و بررسی یکنواختی", + "introText": "1. تابع داده شده را شناسایی کنید (رادیکالی، نمایی یا لگاریتمی).\n2. دامنه تابع را تعیین کنید (مثلاً برای تابع رادیکالی زیر رادیکال باید غیرمنفی باشد).\n3. نقاط مهم مانند مقدار تابع در نقاط خاص و رفتار تابع در بی‌نهایت را بررسی کنید.\n4. نمودار تابع را با توجه به ویژگی‌های آن رسم کنید.\n5. بررسی کنید که آیا تابع در کل دامنه خود یکنواخت (صعودی یا نزولی) است یا خیر." + }, + { + "title": "بررسی وجود تابعی که هم صعودی و هم نزولی باشد", + "introText": "1. تعریف تابع صعودی و نزولی را مرور کنید.\n2. بررسی کنید آیا می‌توان تابعی را در یک فاصله داشت که هم صعودی و هم نزولی باشد.\n3. برای رسم نمودار تابع در بازه‌های مختلف، تابع را در بازه‌های داده شده بررسی و رسم کنید.\n4. نتیجه‌گیری درباره وجود یا عدم وجود چنین تابعی." + }, + { + "title": "بررسی صعودی بودن جمع و تفاضل توابع در یک فاصله", + "introText": "1. فرض کنید توابع f و g در یک فاصله اکیداً صعودی باشند.\n2. بررسی کنید که جمع f+g در آن فاصله نیز اکیداً صعودی است.\n3. بررسی کنید که تفاضل g-f در آن فاصله چه خاصیتی دارد.\n4. نتیجه‌گیری بر اساس خواص توابع صعودی." + }, + { + "title": "تعیین ضریب k با استفاده از باقی‌مانده تقسیم چندجمله‌ای", + "introText": "1. باقی‌مانده تقسیم چندجمله‌ای را بر چندجمله‌ای درجه اول بنویسید.\n2. مقدار چندجمله‌ای را در ریشه چندجمله‌ای تقسیم‌کننده قرار دهید.\n3. معادله‌ای برای k به دست آورید و آن را حل کنید." + }, + { + "title": "تعیین ضرایب چندجمله‌ای با شرایط بخش‌پذیری", + "introText": "1. چندجمله‌ای داده شده را بنویسید.\n2. شرایط بخش‌پذیری بر چندجمله‌ای را به صورت معادلاتی برای a و b بنویسید.\n3. معادلات را حل کنید تا a و b به دست آید." + }, + { + "title": "تجزیه چندجمله‌ای‌ها بر حسب عوامل خواسته شده", + "introText": "1. چندجمله‌ای داده شده را بنویسید.\n2. با استفاده از روش‌های تجزیه (مانند روش تقسیم، فرمول‌ها، یا گروه‌بندی) چندجمله‌ای را به عوامل مورد نظر تجزیه کنید.\n3. عوامل را به صورت ضربی بنویسید." + }, + { + "title": "بررسی صعودی بودن تابع و تعیین حدود دامنه با نامساوی نمایی", + "introText": "1. فرض کنید تابع f در بازه‌ای اکیداً نزولی باشد و a و b متعلق به آن بازه باشند.\n2. با استفاده از شرط f(a) ≤ f(b) و نامساوی داده شده، نامساوی را حل کنید.\n3. حدود x را بر اساس نامساوی به دست آورید." + } + ] + } + ] + }, + { + "title": "فصل ۲: مثلثات", + "order": 2, + "nodes": [ + { + "title": "تناوب و تانژانت", + "order": 1, + "lessons": [ + { + "title": "دوره تناوب توابع مثلثاتی", + "introText": "1. تعریف دوره تناوب را یادآوری کنید: کوچک‌ترین عدد مثبت T که برای هر x در دامنه تابع، f(x ± T) = f(x) برقرار باشد. 2. برای توابع سینوس و کسینوس، دوره تناوب برابر 2π است. 3. اگر تابع به صورت f(x) = a sin(bx) یا f(x) = a cos(bx) باشد، دوره تناوب برابر 2π تقسیم بر ضریب b است. 4. با توجه به این تعریف و فرمول، دوره تناوب تابع را محاسبه کنید. 5. نمودار تابع را رسم یا بررسی کنید تا تکرار مقادیر در بازه‌های دوره تناوب مشخص شود." + }, + { + "title": "تحلیل دوره تناوب، مینیمم و ماکزیمم تابع سینوس", + "introText": "1. دوره تناوب تابع y = a sin x برابر 2π است. 2. مقدار ماکزیمم تابع برابر a و مقدار مینیمم برابر -a است. 3. با تغییر ضریب a در تابع y = a sin x، دامنه تابع تغییر می‌کند ولی دوره تناوب ثابت می‌ماند. 4. نمودار تابع سینوس با دامنه و دوره تناوب مشخص رسم می‌شود. 5. برای تعیین ماکزیمم و مینیمم تابع، کافی است ضریب a را در نظر بگیریم و نقاطی که تابع به مقدار ±a می‌رسد را مشخص کنیم." + }, + { + "title": "تعیین اثر ضریب a بر دامنه و دوره تناوب تابع سینوس", + "introText": "1. تابع y = a sin x دارای دوره تناوب 2π است که مستقل از مقدار a است. 2. دامنه تابع برابر قدر مطلق a است. 3. با افزایش مقدار a، دامنه تابع افزایش می‌یابد و نمودار تابع کشیده‌تر می‌شود. 4. با کاهش مقدار a، دامنه تابع کاهش می‌یابد و نمودار تابع فشرده‌تر می‌شود. 5. دوره تناوب تابع ثابت باقی می‌ماند و فقط دامنه تغییر می‌کند." + }, + { + "title": "تعیین دوره تناوب، ماکزیمم و مینیمم توابع سینوسی با ضریب b", + "introText": "برای تابع y=sin(bx)، ابتدا دوره تناوب را با فرمول دوره تناوب = 2π / |b| محاسبه می‌کنیم. سپس ماکزیمم تابع برابر 1 و مینیمم برابر -1 است مگر آنکه ضریب یا ضریب‌های دیگری تابع را تغییر دهند. با بررسی نمودار تابع، نقاط ماکزیمم و مینیمم را شناسایی می‌کنیم و مقدارهای آن‌ها را یادداشت می‌کنیم." + }, + { + "title": "تعیین دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم توابع سینوس و کسینوس", + "introText": "برای توابع به شکل y = a sin(bx + c) یا y = a cos(bx + c)، ابتدا دوره تناوب را با فرمول T = 2π / |b| محاسبه می‌کنیم. سپس مقدار ماکزیمم تابع برابر با a + c و مقدار مینیمم برابر با -|a| + c است. اگر a منفی باشد، مقدار ماکزیمم و مینیمم به ترتیب با توجه به علامت a تعیین می‌شود. مقدار c باعث انتقال عمودی تابع می‌شود و در تعیین ماکزیمم و مینیمم لحاظ می‌شود." + }, + { + "title": "تشخیص ضریب و دوره تناوب توابع سینوسی و کسینوسی", + "introText": "۱. نمودار تابع داده شده را با دقت بررسی کنید.\n۲. دوره تناوب تابع را با توجه به فاصله بین نقاط تکرار شونده (مثلاً ماکزیمم‌ها یا مینیمم‌ها) تعیین کنید.\n۳. ضریب b را از رابطه دوره تناوب T = 2π / |b| محاسبه کنید.\n۴. مقدار a را از اختلاف بین ماکزیمم و مینیمم تابع به دست آورید، به طوری که ماکزیمم = c + |a| و مینیمم = c - |a| باشد.\n۵. مقدار c را به عنوان میانگین ماکزیمم و مینیمم محاسبه کنید.\n۶. تابع را به صورت y = a sin(bx + c) یا y = a cos(bx + c) بنویسید." + }, + { + "title": "محاسبه تانژانت زاویه با استفاده از دایره مثلثاتی و خطوط عمود", + "introText": "1. زاویه α را در ربع اول دایره مثلثاتی در نظر می‌گیریم. 2. خط OM را رسم می‌کنیم که از مرکز دایره O به نقطه روی دایره M می‌رسد. 3. خطی عمود بر محور کسینوس از نقطه A رسم می‌کنیم که خط TAT' نام دارد. 4. امتداد ضلع دوم زاویه α را تا قطع خط TAT' ادامه می‌دهیم و نقطه تقاطع را M' می‌نامیم. 5. طول AM' برابر با tan α است. 6. با توجه به موقعیت زاویه در ربع‌های مختلف، علامت tan α تعیین می‌شود (ربع اول و سوم مثبت، ربع دوم و چهارم منفی)." + }, + { + "title": "بررسی علامت و شکل نمودار توابع سینوس و کسینوس با ضرایب مختلف", + "introText": "1. تابع را به صورت y = a sin(bx + c) یا y = a cos(bx + c) در نظر می‌گیریم. 2. مقدار مطلق a تعیین‌کننده دامنه (بیشینه و کمینه) تابع است. 3. علامت a مشخص می‌کند که نمودار نسبت به محور x چگونه قرینه است (مثبت یا منفی). 4. مقدار b با دوره تناوب رابطه دارد: دوره تناوب برابر 2π تقسیم بر مقدار مطلق b است. 5. مقدار c شیفت افقی تابع را تعیین می‌کند. 6. با توجه به این پارامترها، شکل کلی نمودار و نقاط ماکزیمم و مینیمم مشخص می‌شود." + }, + { + "title": "بررسی شکل و ضرایب تابع کسینوس با شیفت و دامنه مشخص", + "introText": "1. تابع را به صورت y = a cos(bx + c) در نظر می‌گیریم. 2. دامنه تابع برابر مقدار مطلق a است. 3. دوره تناوب برابر 2π تقسیم بر مقدار مطلق b است. 4. شیفت افقی تابع برابر c است. 5. با توجه به مقادیر ماکزیمم و مینیمم و دوره تناوب، ضرایب a، b و c تعیین می‌شوند. 6. علامت a مشخص می‌کند که نمودار نسبت به محور x چگونه قرینه است (مثبت یا منفی)." + }, + { + "title": "بررسی تغییرات مقدار تابع تانژانت در ربع اول و نزدیکی به π/2", + "introText": "1. مقدار تابع تانژانت را برای زاویه α در ربع اول دایره مثلثاتی بررسی کنید. 2. با افزایش زاویه α تا نزدیک شدن به π/2، مقدار تانژانت را محاسبه و روند افزایش آن را تحلیل کنید. 3. نتیجه بگیرید که مقدار تانژانت تا چه حد افزایش می‌یابد و رفتار آن در نزدیکی π/2 چگونه است." + }, + { + "title": "یافتن زاویه‌ای با مقدار تانژانت مشخص در ربع اول", + "introText": "1. فرض کنید عدد حقیقی مثبت a داده شده است که tanα = a. 2. زاویه α را در ربع اول پیدا کنید که این مقدار تانژانت را داشته باشد. 3. از رابطه تانژانت و دایره مثلثاتی استفاده کنید تا زاویه‌ای مشابه با مقدار تانژانت داده شده بیابید." + }, + { + "title": "بررسی روند تغییر مقدار تانژانت در ربع‌های دوم، سوم و چهارم", + "introText": "1. مقدار تانژانت را در هر یک از ربع‌های دوم، سوم و چهارم دایره مثلثاتی بررسی کنید. 2. روند تغییر مقدار تانژانت را در هر ربع مشخص کنید که آیا افزایش یا کاهش دارد. 3. نتایج را با توجه به علامت‌های سینوس و کسینوس در هر ربع تحلیل کنید." + }, + { + "title": "نوشتن بازه تغییرات مقدار تانژانت در هر ربع", + "introText": "1. مقدار تانژانت را در هر ربع دایره مثلثاتی بررسی کنید. 2. بازه مقدار تانژانت را در هر ربع مشخص کنید. 3. بازه‌ها را به صورت باز یا بسته با توجه به رفتار تانژانت در مرزهای ربع‌ها بنویسید." + }, + { + "title": "تحلیل نمودار تابع تانژانت در ربع‌های مختلف", + "introText": "1. زاویه‌های مشخص شده در هر ربع دایره را بررسی کنید.\n2. مقدار تابع تانژانت را برای هر زاویه محاسبه یا از نمودار بخوانید.\n3. جهت افزایش یا کاهش مقدار تابع را در هر بازه مشخص کنید.\n4. نقاطی که مقدار تابع به سمت بی‌نهایت میل می‌کند یا از بی‌نهایت منفی می‌آید را تعیین کنید.\n5. جدول تغییرات مقدار و روند افزایش یا کاهش را کامل کنید." + }, + { + "title": "بررسی صعودی یا نزولی بودن تابع تانژانت", + "introText": "برای بررسی صعودی یا نزولی بودن تابع y = tan x در بازه‌ای مشخص، ابتدا دامنه تابع را در آن بازه تعیین می‌کنیم. سپس با توجه به خاصیت تناوب π و متناوب بودن تابع تانژانت، رفتار تابع را در بازه مورد نظر بررسی می‌کنیم. معمولاً تابع تانژانت در هر بازه باز به طول π صعودی است. بنابراین با بررسی مشتق یا نمودار تابع در بازه داده شده می‌توان نتیجه گرفت که تابع صعودی است یا خیر." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع تانژانت در ربع‌های مختلف", + "introText": "برای رسم نمودار تابع y = tan x در ربع‌های مختلف، ابتدا نمودار تابع را در ربع اول رسم می‌کنیم. سپس با استفاده از خاصیت تناوب π و متناوب بودن تابع تانژانت، نمودار را در ربع‌های دیگر با انتقال به راست یا چپ به اندازه π رسم می‌کنیم. همچنین باید نقاط ناپیوستگی تابع را در نظر بگیریم که در x = kπ + π/2 (k عدد صحیح) رخ می‌دهد. با این روش نمودار کامل تابع در بازه‌های مختلف به دست می‌آید." + }, + { + "title": "یافتن دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم توابع مثلثاتی", + "introText": "1. ابتدا تابع داده شده را بررسی کنید و نوع تابع مثلثاتی (سینوس یا کسینوس) را مشخص کنید. 2. دوره تناوب تابع اصلی سینوس یا کسینوس را یادآوری کنید (2π). 3. دوره تناوب تابع ترکیبی را با توجه به ضریب داخل پرانتز (x) محاسبه کنید به صورت T = 2π / |ضریب|. 4. برای یافتن مقادیر ماکزیمم و مینیمم، مقدار دامنه تابع را بررسی کنید که برابر با ضریب جلوی سینوس یا کسینوس است. 5. مقدار ماکزیمم برابر با مقدار ثابت جمع شده به دامنه و مقدار مینیمم برابر با مقدار ثابت منهای دامنه است. 6. مقادیر ماکزیمم و مینیمم را یادداشت کنید." + }, + { + "title": "رسم و تحلیل نمودار توابع مثلثاتی با ضرایب مختلف", + "introText": "1. تابع داده شده را شناسایی کنید (سینوس یا کسینوس). 2. ضریب داخل پرانتز (x) را مشخص کنید که دوره تناوب را تغییر می‌دهد. 3. دوره تناوب را با فرمول T = 2π / |ضریب| محاسبه کنید. 4. دامنه تابع را از ضریب جلوی سینوس یا کسینوس تعیین کنید. 5. نمودار تابع را با توجه به دوره تناوب و دامنه رسم کنید. 6. نقاط مهم مانند صفرها، ماکزیمم‌ها و مینیمم‌ها را روی نمودار مشخص کنید. 7. نمودار را با نمودارهای داده شده مقایسه کنید و تطابق دهید." + }, + { + "title": "تعیین دوره تناوب، مقدار ماکزیمم و مینیمم تابع‌های مثلثاتی", + "introText": "برای هر تابع مثلثاتی ابتدا دوره تناوب آن را با توجه به ضریب زاویه در داخل تابع تعیین می‌کنیم. سپس مقدار ماکزیمم و مینیمم تابع را با توجه به ضریب ضریب دامنه (آمپلتیود) مشخص می‌کنیم. مقدار ماکزیمم برابر با مقدار مطلق دامنه و مقدار مینیمم برابر با منفی مقدار مطلق دامنه است." + }, + { + "title": "نوشتن ضابطه تابع بر اساس نمودار داده شده", + "introText": "برای نوشتن ضابطه تابع از روی نمودار ابتدا دامنه تابع را از بیشینه و کمینه آن تعیین می‌کنیم. سپس دوره تناوب را از فاصله بین نقاط تکرار شونده روی محور x محاسبه می‌کنیم. با توجه به شکل موج و نقطه شروع، تابع سینوس یا کسینوس را انتخاب و ضریب زاویه را برای دوره تناوب تنظیم می‌کنیم. در نهایت ضریب دامنه را برای دامنه تابع تعیین می‌کنیم." + }, + { + "title": "تشخیص درست یا نادرست بودن جملات مربوط به تابع تناوبی", + "introText": "برای بررسی درست یا نادرست بودن جملات مربوط به تابع تناوبی، باید ویژگی‌های تابع تناوبی را در بازه‌های مختلف بررسی کرد. تابع تناوبی در بازه‌های تناوب خود تکرار می‌شود و ممکن است در برخی بازه‌ها صعودی یا نزولی باشد. همچنین باید تعریف تابع در بازه مشخص شده را بررسی کرد تا مشخص شود آیا تابع در آن بازه صعودی یا نزولی است یا خیر." + }, + { + "title": "مقایسه مقادیر سینوس و تانژانت در بازه‌های مختلف", + "introText": "برای مقایسه مقادیر سینوس و تانژانت در بازه‌های مشخص، ابتدا مقادیر سینوس و تانژانت را در نقاط انتهایی و میانی بازه محاسبه می‌کنیم. سپس با توجه به رفتار توابع در آن بازه (مثلاً افزایش یا کاهش) مقادیر را با هم مقایسه می‌کنیم. توجه به دامنه و نقاط تعریف نشده تانژانت نیز مهم است." + } + ] + }, + { + "title": "معادله‌های مثلثاتی", + "order": 2, + "lessons": [ + { + "title": "حل معادلات مثلثاتی از نوع sin x = a", + "introText": "1. رسم نمودار تابع y = sin x و تعیین نقاطی که y=0 است (صفرهای تابع). 2. تعیین نقاطی که sin x = a (مثلاً a=0 یا a=1) با توجه به نمودار. 3. نوشتن جواب‌ها به صورت مجموعه نقاطی که در آن‌ها مقدار تابع برابر a است. 4. استفاده از فرمول کلی جواب‌ها به صورت x = kπ برای sin x = 0 و x = π/2 + 2kπ برای sin x = 1 که k عدد صحیح است. 5. در صورت نیاز، استفاده از فرمول کلی جواب‌ها برای مقادیر دیگر a با توجه به دوره تناوب و تقارن تابع سینوس." + }, + { + "title": "حل معادلات مثلثاتی از نوع sin x = 1", + "introText": "1. رسم نمودار تابع y = sin x و تعیین نقاطی که مقدار تابع برابر 1 است. 2. تعیین نقاط تقاطع y = sin x و y = 1. 3. نوشتن جواب‌ها به صورت مجموعه نقاطی که در آن‌ها مقدار تابع برابر 1 است. 4. استفاده از فرمول کلی جواب‌ها به صورت x = π/2 + 2kπ که k عدد صحیح است. 5. بیان جواب‌ها به صورت کلی با توجه به دوره تناوب تابع سینوس." + }, + { + "title": "حل معادلات مثلثاتی از نوع sin x = 1/2", + "introText": "1. تعیین مقدار a در معادله sin x = a (مثلاً a = 1/2). 2. یافتن مقادیر x که sin x = a را ارضا می‌کنند در بازه اصلی (مثلاً 0 تا 2π). 3. استفاده از تقارن تابع سینوس برای یافتن جواب‌های دیگر. 4. نوشتن جواب‌ها به صورت کلی با افزودن دوره تناوب 2π به جواب‌های اصلی. 5. بیان جواب‌ها به صورت x = α + 2kπ و x = π - α + 2kπ که α مقدار زاویه‌ای است که sin α = a." + }, + { + "title": "یافتن زوایایی که سینوس آنها مقدار مشخصی دارد", + "introText": "برای یافتن زوایایی که سینوس آنها برابر مقدار مشخصی است، ابتدا مقدار داده شده را در معادله sin x = مقدار داده شده قرار می‌دهیم. سپس با استفاده از نمودار سینوس یا دایره مثلثاتی، زوایای متناظر با آن مقدار را پیدا می‌کنیم. این زوایا معمولاً در دو دسته قرار دارند که با فرمول کلی x = α + 2kπ و x = π - α + 2kπ (k عدد صحیح) بیان می‌شوند. در نهایت زوایا را در بازه مورد نظر مرتب می‌کنیم." + }, + { + "title": "یافتن نقاط تقاطع نمودارهای سینوس و خط افقی", + "introText": "برای یافتن نقاط تقاطع نمودار y = sin x و خط y = مقدار ثابت، معادله sin x = مقدار ثابت را حل می‌کنیم. سپس با استفاده از نمودار سینوس، نقاطی که در آنها مقدار سینوس برابر مقدار خط است را مشخص می‌کنیم. این نقاط معمولاً به صورت زاویه‌هایی هستند که در بازه‌های مختلف تکرار می‌شوند. تعداد نقاط تقاطع در بازه مشخص را می‌توان با بررسی دوره تناوب تابع سینوس تعیین کرد." + }, + { + "title": "تعیین طول تعداد نقاط تقاطع دو نمودار سینوس و خط افقی", + "introText": "برای تعیین تعداد نقاط تقاطع نمودار y = sin x و خط y = مقدار ثابت در بازه مشخص، ابتدا معادله sin x = مقدار ثابت را حل می‌کنیم. سپس با توجه به دوره تناوب 2π تابع سینوس، تعداد نقاطی که در بازه داده شده وجود دارد را محاسبه می‌کنیم. تعداد نقاط تقاطع برابر است با تعداد مقادیری که معادله در بازه داده شده دارد." + }, + { + "title": "دسته‌بندی زوایا با مقدار سینوس مشخص در دایره مثلثاتی", + "introText": "برای دسته‌بندی زوایایی که سینوس آنها برابر مقدار مشخصی است، ابتدا زوایای اصلی را در دایره مثلثاتی مشخص می‌کنیم. سپس با توجه به تقارن دایره مثلثاتی، دسته‌های زوایا را که مقدار سینوس برابر دارند تعیین می‌کنیم. این دسته‌ها معمولاً به صورت دنباله‌هایی با فاصله 2π مرتب می‌شوند. در نهایت زوایا را در دسته‌های جداگانه مرتب کرده و ادامه می‌دهیم." + }, + { + "title": "حل معادلات خطی مثلثاتی", + "introText": "برای حل معادلاتی به شکل a sin x + b = 0 ابتدا معادله را به صورت sin x = -b/a بازنویسی می‌کنیم. سپس مقدار سمت راست را بررسی می‌کنیم که باید در بازه [-1,1] باشد. در صورت معتبر بودن، از روش حل معادله sin x = c استفاده می‌کنیم و جواب‌ها را با استفاده از روابط کلی x = 2kπ + α و x = (2k+1)π - α به دست می‌آوریم." + }, + { + "title": "حل معادلات مثلثاتی از نوع cos x = a", + "introText": "برای حل معادله cos x = a ابتدا مقدار a را بررسی می‌کنیم که باید در بازه [-1,1] باشد. سپس زاویه α را طوری تعریف می‌کنیم که cos α = a. با استفاده از دایره مثلثاتی، نقاط تقاطع خط x = a با دایره را پیدا می‌کنیم که دو زاویه α و -α هستند. جواب‌های معادله به صورت کلی به شکل x = 2kπ ± α، که k عدد صحیح است، نوشته می‌شوند." + }, + { + "title": "حل معادلات مثلثاتی با استفاده از روابط بنیادی", + "introText": "1. معادله مثلثاتی را به شکل استاندارد تبدیل کنید (مثلاً cos x = cos a یا sin x = sin a). 2. از روابط کلی حل معادلات مثلثاتی استفاده کنید: برای cos x = cos a، جواب‌ها به صورت x = 2kπ ± a هستند و برای sin x = sin a، جواب‌ها به صورت x = 2kπ + a یا x = (2k+1)π - a هستند، که k عدد صحیح است. 3. مقادیر k را جایگذاری کنید تا جواب‌های مورد نظر در بازه داده شده به دست آید. 4. جواب‌ها را در بازه مشخص شده محدود کنید." + }, + { + "title": "حل معادلات مثلثاتی با چند جمله‌ای‌های سینوس", + "introText": "1. معادله را به شکل sin ax = sin b تبدیل کنید. 2. از رابطه کلی حل معادله سینوس استفاده کنید: x = (b + 2kπ)/a یا x = ((π - b) + 2kπ)/a که k عدد صحیح است. 3. مقادیر k را جایگذاری کنید تا جواب‌های مورد نظر در بازه داده شده به دست آید. 4. جواب‌ها را محدود به بازه مورد نظر کنید." + }, + { + "title": "حل معادلات مثلثاتی با استفاده از تبدیل و جایگذاری", + "introText": "1. معادله را به گونه‌ای بازنویسی کنید که یک طرف معادله به صورت سینوس یا کسینوس یک زاویه خاص باشد. 2. مقدار داخل سینوس یا کسینوس را برابر با مقدار زاویه‌ای که سینوس یا کسینوس آن برابر است قرار دهید. 3. از روابط کلی حل معادلات مثلثاتی استفاده کنید. 4. مقادیر k را جایگذاری کنید و جواب‌ها را در بازه مورد نظر محدود کنید." + }, + { + "title": "کاربرد مثلثات در مسائل حرکت و فیزیک", + "introText": "1. رابطه بین سرعت، زاویه پرتاب و مسافت افقی را با استفاده از فرمول‌های حرکت پرتابی بنویسید. 2. مقدارهای داده شده را در فرمول جایگذاری کنید. 3. معادله مثلثاتی به دست آمده را حل کنید تا زاویه پرتاب را بیابید. 4. در صورت نیاز، از توابع معکوس مثلثاتی برای یافتن زاویه استفاده کنید." + }, + { + "title": "حل معادلات مثلثاتی با استفاده از روابط مثلثاتی و تبدیل‌ها", + "introText": "1. معادله مثلثاتی داده شده را بررسی کنید.\n2. اگر لازم است، با استفاده از روابط مثلثاتی، معادله را به صورت ساده‌تر یا به معادله درجه دوم تبدیل کنید.\n3. متغیر مثلثاتی (مثلاً cos x یا sin x) را با یک متغیر جدید جایگزین کنید.\n4. معادله درجه دوم را حل کنید و مقادیر متغیر جدید را بیابید.\n5. مقادیر متغیر مثلثاتی را جایگزین کنید و با استفاده از روابط معادلات مثلثاتی، مقادیر x را به دست آورید.\n6. جواب‌ها را در بازه مورد نظر یا به صورت کلی با پارامتر k بیان کنید." + }, + { + "title": "حل معادلات مثلثاتی با استفاده از روابط سینوس و کسینوس و تبدیل به معادله سینوسی", + "introText": "1. معادله داده شده را به گونه‌ای بازنویسی کنید که یک طرف معادله به صورت sin یا cos باشد.\n2. اگر معادله شامل ضرب یا ترکیب سینوس و کسینوس است، از روابط مثلثاتی برای ساده‌سازی استفاده کنید.\n3. معادله را به صورت sin(ax) = c یا cos(ax) = c تبدیل کنید.\n4. با استفاده از روابط عمومی حل معادلات سینوسی یا کسینوسی، مقادیر x را به دست آورید.\n5. جواب‌ها را به صورت کلی با پارامتر k بیان کنید." + }, + { + "title": "حل معادلات مثلثاتی با استفاده از تبدیل و توان رساندن به توان دو", + "introText": "1. معادله داده شده را بازنویسی کنید تا یک طرف معادله به صورت جمع یا تفریق سینوس و کسینوس باشد.\n2. طرفین معادله را به توان دو برسانید تا بتوانید از روابط مثلثاتی استفاده کنید.\n3. از رابطه sin^2 x + cos^2 x = 1 برای ساده‌سازی استفاده کنید.\n4. معادله به دست آمده را حل کنید و مقادیر x را بیابید.\n5. جواب‌ها را در بازه داده شده یا به صورت کلی بیان کنید." + }, + { + "title": "حل معادلات مثلثاتی", + "introText": "1. معادله مثلثاتی را به صورت استاندارد بازنویسی کنید.\n2. از روابط مثلثاتی پایه مانند اتحادها و تبدیل‌ها استفاده کنید تا معادله ساده شود.\n3. معادله حاصل را به صورت ضربی یا خطی حل کنید.\n4. جواب‌های به دست آمده را در بازه مشخص شده بررسی کنید و جواب‌های نامعتبر را حذف کنید.\n5. جواب‌های معتبر را به صورت دقیق یا کسری بیان کنید." + }, + { + "title": "تحلیل و رسم نمودار تابع تانژانت و حل معادلات تانژانت", + "introText": "1. نمودار تابع tan x و خط y = a را رسم یا بررسی کنید.\n2. نقاط تقاطع نمودار tan x و خط y = a را بیابید که نشان‌دهنده جواب‌های معادله tan x = a است.\n3. با توجه به تناوب تانژانت و ویژگی‌های آن، رابطه کلی جواب‌ها را به صورت x = arctan(a) + kπ بیان کنید.\n4. در صورت نیاز، بازه جواب‌ها را محدود کنید و جواب‌های داخل بازه را استخراج کنید." + }, + { + "title": "حل معادلات تانژانت", + "introText": "برای حل معادله tan x = tan a، از رابطه کلی استفاده می‌کنیم که جواب‌ها به صورت x = kπ + a هستند که k عدد صحیح است. سپس مقادیر k را طوری انتخاب می‌کنیم که جواب‌ها در بازه مورد نظر قرار گیرند یا شرایط مسئله را ارضا کنند." + }, + { + "title": "رابطه تانژانت مجموع و تفاضل دو زاویه", + "introText": "برای یافتن تانژانت مجموع دو زاویه α و β از رابطه tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β) استفاده می‌کنیم. همچنین برای تانژانت تفاضل دو زاویه از رابطه tan(α - β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α tan β) بهره می‌بریم. این روابط از تقسیم سینوس مجموع یا تفاضل زاویه بر کسینوس همان زاویه‌ها به دست می‌آیند." + }, + { + "title": "رابطه تانژانت تفاضل دو زاویه", + "introText": "برای یافتن تانژانت تفاضل دو زاویه α و β از رابطه tan(α - β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α tan β) استفاده می‌کنیم. این رابطه با تغییر علامت β در فرمول تانژانت مجموع به دست می‌آید." + }, + { + "title": "رابطه بین زاویه دید و فاصله افقی در مثلثات", + "introText": "1. زاویه‌های موجود در شکل را با توجه به مثلث‌های قائم‌الزاویه تعریف کنید.\n2. نسبت‌های مثلثاتی (مانند تانژانت) را برای هر زاویه بنویسید.\n3. با استفاده از رابطه تفاضل زاویه‌ها برای تانژانت، رابطه بین زاویه دید و فاصله افقی را به دست آورید.\n4. مقدار فاصله افقی را در رابطه قرار دهید و مقدار زاویه دید را محاسبه کنید.\n5. جواب‌های معادله تانژانت را بررسی کنید و جواب منطقی را انتخاب نمایید." + }, + { + "title": "محاسبه تعداد مثلث‌های ممکن با شرایط داده شده", + "introText": "1. با استفاده از فرمول مساحت مثلث (مساحت = 1/2 × ضلع اول × ضلع دوم × سینوس زاویه بین آن‌ها) رابطه‌ای بین زوایا و اضلاع برقرار کنید.\n2. با توجه به طول اضلاع داده شده و مساحت مشخص، مقدار سینوس زاویه بین اضلاع را محاسبه کنید.\n3. بررسی کنید که چند زاویه ممکن است با این مقدار سینوس وجود داشته باشد (مثلاً زاویه اصلی و مکمل آن).\n4. تعداد مثلث‌های ممکن را بر اساس تعداد زوایای معتبر تعیین کنید." + } + ] + } + ] + }, + { + "title": "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "order": 3, + "nodes": [ + { + "title": "حدهای نامتناهی", + "order": 1, + "lessons": [ + { + "title": "بررسی حد تابع در همسایگی یک نقطه که تابع در آن تعریف نشده است", + "introText": "1. تابع را در همسایگی نقطه مورد نظر بررسی کنید. 2. مقدار تابع را برای مقادیر x نزدیک به آن نقطه از سمت چپ و راست بررسی کنید. 3. اگر حد از دو طرف برابر باشد، آن مقدار حد تابع در آن نقطه است. 4. اگر حدها از دو طرف متفاوت باشند یا به بی‌نهایت میل کنند، حد وجود ندارد یا نامتناهی است. 5. در صورت نیاز، نمودار تابع را رسم یا تحلیل کنید تا رفتار تابع در همسایگی نقطه مشخص شود." + }, + { + "title": "تعیین حد تابع در بی‌نهایت", + "introText": "1. بررسی رفتار تابع برای مقادیر بسیار بزرگ یا بسیار کوچک x.\n2. استفاده از جدول مقادیر تابع برای مقادیر نزدیک به بی‌نهایت یا صفر.\n3. تشخیص اینکه آیا تابع به عدد خاصی نزدیک می‌شود یا به سمت بی‌نهایت میل می‌کند.\n4. نوشتن حد به صورت نمادین با استفاده از علامت‌های حد و بی‌نهایت." + }, + { + "title": "تعیین حد تابع 1/x وقتی x به صفر از سمت چپ نزدیک می‌شود", + "introText": "1. بررسی مقادیر تابع 1/x برای x نزدیک به صفر از سمت چپ (مقادیر منفی کوچک).\n2. مشاهده اینکه مقادیر تابع به سمت منفی بی‌نهایت میل می‌کنند.\n3. نوشتن حد به صورت \\( \\lim_{x \\to 0^-} \\frac{1}{x} = -\\infty \\)." + }, + { + "title": "تعریف حدهای یک طرفه نامتناهی", + "introText": "1. فرض کنید تابع f در یک همسایگی راست یا چپ نقطه a تعریف شده باشد.\n2. اگر بخواهیم حد تابع را در سمت راست a به سمت +∞ یا -∞ بررسی کنیم، باید مقدار تابع را برای x هایی که از سمت راست به a نزدیک می‌شوند، بررسی کنیم.\n3. اگر برای هر عدد مثبت بزرگ دلخواه M، بتوانیم یک δ>0 پیدا کنیم به طوری که برای تمام x هایی که a < x < a + δ باشد، مقدار تابع f(x) > M (برای حد +∞) یا f(x) < -M (برای حد -∞) باشد، آنگاه حد یک طرفه نامتناهی است.\n4. همین مراحل برای سمت چپ a نیز با شرط x در بازه (a - δ, a) انجام می‌شود.\n5. نتیجه نهایی حد یک طرفه نامتناهی تابع در نقطه a است." + }, + { + "title": "حد نامتناهی در همسایگی نقطه حذف شده", + "introText": "1. تابع f(x) را در همسایگی نقطه a که در آن تعریف نشده بررسی می‌کنیم.\n2. اگر حد تابع وقتی x به a نزدیک می‌شود برابر +∞ باشد، یعنی می‌توانیم مقادیر تابع را از هر عدد مثبت بزرگ‌تر کنیم به شرطی که x به اندازه کافی به a نزدیک باشد.\n3. اگر حد تابع وقتی x به a نزدیک می‌شود برابر -∞ باشد، یعنی می‌توانیم مقادیر تابع را از هر عدد منفی کوچک‌تر کنیم به شرطی که x به اندازه کافی به a نزدیک باشد.\n4. برای اثبات این حدها، از تعریف حد نامتناهی استفاده می‌کنیم و ثابت می‌کنیم که برای هر عدد دلخواه مثبت یا منفی، مقادیر تابع در همسایگی نقطه a از آن عدد عبور می‌کند." + }, + { + "title": "حد نامتناهی تابع قدر مطلق در همسایگی نقطه حذف شده", + "introText": "1. تابع f(x) را که شامل قدر مطلق است در همسایگی نقطه a بررسی می‌کنیم.\n2. چون قدر مطلق همیشه مثبت است، وقتی x به a نزدیک می‌شود، مقدار 1/|x| به سمت +∞ می‌رود.\n3. بنابراین حد تابع 1/|x| وقتی x به صفر نزدیک می‌شود برابر +∞ است.\n4. برای اثبات، نشان می‌دهیم که برای هر عدد مثبت دلخواه M، می‌توانیم یک δ پیدا کنیم به طوری که اگر 0 < |x - a| < δ آنگاه f(x) > M باشد." + }, + { + "title": "محاسبه حد تابع در نقاطی که تابع به سمت بی‌نهایت میل می‌کند", + "introText": "1. تابع را بررسی کنید و نقاطی که ممکن است حد به سمت بی‌نهایت میل کند را شناسایی کنید (نقاطی که مخرج صفر می‌شود یا تابع تعریف نشده است). 2. حد چپ و حد راست در آن نقاط را جداگانه محاسبه کنید. 3. اگر حد چپ یا حد راست به بی‌نهایت مثبت یا منفی میل کند، آن را به عنوان حد نامتناهی ثبت کنید. 4. اگر حد چپ و راست برابر نباشند، حد کلی وجود ندارد. 5. از نمودار تابع برای تایید نتایج استفاده کنید." + }, + { + "title": "محاسبه حد تابع لگاریتمی در بی‌نهایت", + "introText": "1. تابع لگاریتمی را بررسی کنید و دامنه آن را مشخص کنید. 2. حد تابع را در بی‌نهایت یا نزدیک به مرز دامنه محاسبه کنید. 3. با توجه به خواص لگاریتم، حد را تعیین کنید (مثلاً log x در بی‌نهایت به سمت بی‌نهایت میل می‌کند). 4. اگر حد از سمت چپ یا راست خواسته شده، دامنه و جهت نزدیک شدن را در نظر بگیرید." + }, + { + "title": "محاسبه حد تابع تانژانت در نقاطی که تابع ناپیوسته است", + "introText": "1. نقاط ناپیوستگی تابع تانژانت را شناسایی کنید (نقاطی که تانژانت تعریف نشده است مانند x = ±π/2, ±3π/2 و ...). 2. حد چپ و راست در این نقاط را جداگانه محاسبه کنید. 3. با توجه به رفتار تانژانت در نزدیکی این نقاط، حدها معمولاً به بی‌نهایت مثبت یا منفی میل می‌کنند. 4. نتایج را با نمودار تابع تایید کنید." + }, + { + "title": "حدهای نامتناهی توابع توان", + "introText": "برای یافتن حد تابع 1/x^n هنگامی که x به سمت بی‌نهایت یا منفی بی‌نهایت می‌رود، ابتدا نوع عدد n را بررسی می‌کنیم. اگر n عدد زوج باشد، حد در هر دو جهت مثبت و منفی بی‌نهایت برابر با +∞ است. اگر n عدد فرد باشد، حد وقتی x به +∞ می‌رود برابر +∞ و وقتی x به -∞ می‌رود برابر -∞ است. این نتیجه از رفتار تابع توان و علامت x در بی‌نهایت به دست می‌آید." + }, + { + "title": "حدهای نامتناهی با استفاده از حدهای تابع f(x)", + "introText": "برای یافتن حدهای نامتناهی تابع f(x) در نقطه a، ابتدا حدهای چپ و راست را بررسی می‌کنیم. اگر حد از سمت چپ یا راست به +∞ یا -∞ میل کند، می‌توانیم نتیجه بگیریم که حد کلی تابع در آن نقطه نامتناهی است. همچنین اگر حد از سمت چپ و راست به بی‌نهایت‌های مخالف میل کند، حد کلی وجود ندارد و رفتار تابع در آن نقطه به صورت نامتناهی است." + }, + { + "title": "حدهای نامتناهی توابع کسری با قدر مطلق", + "introText": "برای یافتن حد تابعی به شکل r/(|x-1|) وقتی x به 1 میل می‌کند، ابتدا حدهای چپ و راست را جداگانه بررسی می‌کنیم. چون قدر مطلق در مخرج وجود دارد، مقدار مخرج همیشه مثبت است. بنابراین حد از هر دو سمت به +∞ میل می‌کند. در نهایت نتیجه می‌گیریم که حد کلی تابع در x=1 برابر +∞ است." + }, + { + "title": "استفاده از نمودار توابع برای یافتن حد در بی‌نهایت", + "introText": "برای یافتن حد تابع در بی‌نهایت با استفاده از نمودار، رفتار تابع را در نزدیکی بی‌نهایت مثبت و منفی بررسی می‌کنیم. با مشاهده روند نمودار، می‌توانیم حد را تعیین کنیم. به عنوان مثال، برای تابع f(x) = 1/x^2، نمودار نشان می‌دهد که وقتی x به +∞ یا -∞ می‌رود، مقدار تابع به صفر میل می‌کند. برای تابع g(x) = 1/x، نمودار نشان می‌دهد که حد در +∞ برابر صفر و در -∞ نیز صفر است اما علامت تابع متفاوت است." + }, + { + "title": "حد نسبت توابع با حدهای صفر و عددی متفاوت در یک نقطه", + "introText": "اگر حد تابع g(x) در نقطه a برابر صفر و حد تابع f(x) در همان نقطه برابر عددی L ناصفر باشد، برای تعیین حد نسبت f(x)/g(x) در نقطه a باید به مقدار تابع g(x) در همسایگی حذف شده a توجه کرد. اگر g(x) در همسایگی a مثبت باشد و L مثبت، حد نسبت به +∞ میل می‌کند. اگر g(x) در همسایگی a مثبت باشد و L منفی، حد نسبت به -∞ میل می‌کند. اگر g(x) در همسایگی a منفی باشد و L مثبت، حد نسبت به -∞ میل می‌کند. اگر g(x) در همسایگی a منفی باشد و L منفی، حد نسبت به +∞ میل می‌کند." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع کسری با متغیر در مخرج و صورت", + "introText": "برای محاسبه حد توابع کسری که صورت و مخرج شامل متغیر x هستند، ابتدا صورت و مخرج را به گونه‌ای ساده می‌کنیم که بتوان حد را به صورت مستقیم یا با استفاده از قضایای حد محاسبه کرد. اگر مخرج به صفر میل کند و صورت به عددی غیر صفر، حد به ±∞ میل می‌کند که جهت آن با توجه به علامت صورت و مخرج تعیین می‌شود. اگر صورت و مخرج هر دو به صفر میل کنند، از روش‌های دیگر مانند تجزیه یا استفاده از قضیه‌های حد استفاده می‌کنیم." + }, + { + "title": "کاربرد حد در مسائل واقعی (هزینه پاکسازی آلودگی)", + "introText": "برای محاسبه هزینه پاکسازی آلودگی رودخانه که به صورت تابعی از درصد آلودگی داده شده است، ابتدا تابع هزینه را به صورت کسری تعریف می‌کنیم. سپس با استفاده از حد، رفتار تابع را در نزدیکی درصدهای خاص آلودگی بررسی می‌کنیم تا هزینه نهایی را تخمین بزنیم. این کار به ما کمک می‌کند تا هزینه‌های بسیار بالا یا پایین را در شرایط خاص پیش‌بینی کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه حدهای نامتناهی با صورت و مخرج صفر", + "introText": "وقتی در همسایگی x مقدار صورت و مخرج کسر هر دو به صفر میل کنند، ابتدا صورت و مخرج را تجزیه یا ساده می‌کنیم. سپس با حذف عامل مشترک، حد را محاسبه می‌کنیم. اگر حد مخرج صفر و صورت عددی غیر صفر باشد، حد به سمت بی‌نهایت مثبت یا منفی میل می‌کند. در صورت وجود ابهام، از قضیه‌های حد استفاده می‌کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه حدهای نامتناهی با صورت و مخرج چندجمله‌ای", + "introText": "وقتی حد در نقطه‌ای که مخرج صفر می‌شود و صورت و مخرج چندجمله‌ای هستند، ابتدا صورت و مخرج را بر بزرگترین توان x در مخرج تقسیم می‌کنیم. سپس حد هر کسر را جداگانه محاسبه می‌کنیم. اگر x به سمت عددی میل کند که مخرج صفر شود، صورت و مخرج را به صورت جداگانه بررسی می‌کنیم و با ساده‌سازی حد را به دست می‌آوریم." + }, + { + "title": "محاسبه حدهای شامل تابع جزء صحیح و حدهای چپ و راست", + "introText": "برای محاسبه حدهایی که شامل تابع جزء صحیح هستند، ابتدا مقدار تابع جزء صحیح را در همسایگی نقطه مورد نظر بررسی می‌کنیم. سپس حد چپ و حد راست را جداگانه محاسبه می‌کنیم. اگر حد چپ و راست برابر باشند، حد وجود دارد و برابر آن مقدار است. در غیر این صورت حد وجود ندارد." + }, + { + "title": "استفاده از قضیه حد برای حدهای نامتناهی با صورت و مخرج تابع‌های مثلثاتی", + "introText": "اگر حد g(x) به ±∞ میل کند و حد f(x) برابر L باشد، آنگاه حد f(x)/g(x) برابر صفر است. این قضیه در حدهای نامتناهی که صورت یا مخرج شامل توابع مثلثاتی مانند tan x است، کاربرد دارد. ابتدا حدهای صورت و مخرج را جداگانه محاسبه می‌کنیم و سپس با استفاده از قضیه حد، حد کلی را به دست می‌آوریم." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع جبری و ترکیبی در بی‌نهایت", + "introText": "1. ابتدا تابع‌های داده شده را بررسی کنید و حد هر کدام را جداگانه در بی‌نهایت محاسبه کنید.\n2. اگر تابع‌ها جمع یا ضرب شده‌اند، از خواص حد استفاده کنید: حد جمع برابر جمع حدها و حد ضرب برابر ضرب حدها است.\n3. در صورت وجود عبارت‌های مرکب، تابع ترکیبی را به صورت جبری بنویسید و سپس حد آن را محاسبه کنید.\n4. در صورت بروز بی‌نهایت در حدها، از قضیه‌های مربوط به حدهای نامتناهی استفاده کنید تا نتیجه نهایی را تعیین نمایید." + }, + { + "title": "محاسبه حد حاصل‌ضرب توابع جبری در بی‌نهایت و بررسی رابطه حدها", + "introText": "1. تابع‌های داده شده را به صورت جبری بنویسید.\n2. حد هر تابع را جداگانه در بی‌نهایت محاسبه کنید.\n3. حاصل‌ضرب دو تابع را به صورت تابعی جدید بنویسید.\n4. حد حاصل‌ضرب را با استفاده از حدهای جداگانه محاسبه کنید.\n5. رابطه بین حد حاصل‌ضرب و حدهای جداگانه را بررسی کنید و نتیجه‌گیری نمایید." + }, + { + "title": "کاربرد قضیه حدهای نامتناهی در ترکیب توابع با حدهای بی‌نهایت", + "introText": "1. شرایط قضیه را بررسی کنید: اگر lim x→a f(x) = +∞ و lim x→a g(x) = L باشد.\n2. بسته به مقدار L، حدهای ترکیبی را طبق بندهای الف، ب و پ قضیه محاسبه کنید:\n الف) اگر L > 0، حد حاصل‌جمع و حاصل‌ضرب به +∞ میل می‌کند.\n ب) اگر L < 0، حد حاصل‌ضرب به -∞ میل می‌کند.\n3. در صورت نیاز، حدهای طرفی (x→a⁺ یا x→a⁻) را نیز بررسی کنید.\n4. از این قضیه برای تعیین حدهای نامتناهی توابع ترکیبی استفاده کنید." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع شامل سینوس و توان‌های x در بی‌نهایت", + "introText": "1. تابع داده شده را به صورت ترکیبی از عبارات جبری و مثلثاتی بنویسید.\n2. حد هر بخش را جداگانه بررسی کنید، به خصوص حدهای شامل سینوس و توان‌های x.\n3. از قضیه حدهای نامتناهی و خواص سینوس استفاده کنید (مثلاً سینوس محدود بین -1 و 1 است).\n4. عبارت را به صورت کسری یا جمعی که حد آن قابل محاسبه باشد، تبدیل کنید.\n5. حد نهایی را با توجه به حدهای جزئی و ترکیب آن‌ها محاسبه کنید." + }, + { + "title": "بازنویسی حد در حالت بی‌نهایت", + "introText": "برای بازنویسی حد در حالت بی‌نهایت که مقدار حد برابر منفی بی‌نهایت است، ابتدا رفتار تابع را در نزدیکی نقطه مورد نظر بررسی می‌کنیم. سپس با تحلیل صورت و مخرج یا اجزای تابع، حد را به صورت دقیق‌تر بازنویسی می‌کنیم تا بتوانیم نتیجه نهایی را به دست آوریم." + }, + { + "title": "محاسبه حدهای نامتناهی با استفاده از قضیه‌ها", + "introText": "برای محاسبه حدهای نامتناهی، ابتدا صورت و مخرج تابع را بررسی می‌کنیم. اگر صورت و مخرج چندجمله‌ای باشند، درجه‌های آن‌ها را مقایسه می‌کنیم. سپس با استفاده از قضیه‌های مربوط به حدهای نامتناهی، حد را مرحله به مرحله محاسبه می‌کنیم. در صورت وجود صورت یا مخرج صفر، از روش‌های تبدیل یا استفاده از قضیه‌های خاص بهره می‌بریم." + }, + { + "title": "تشخیص و تحلیل مجانب قائم نمودار تابع", + "introText": "برای تشخیص مجانب قائم نمودار تابع، ابتدا نقاطی که مخرج تابع صفر می‌شود را پیدا می‌کنیم. سپس حد تابع را در نزدیکی این نقاط از سمت چپ و راست بررسی می‌کنیم. اگر حد از یکی از طرفین به +∞ یا -∞ میل کند، خط x = a مجانب قائم تابع است. این تحلیل را برای هر نقطه صفر مخرج انجام می‌دهیم تا مجانب‌های قائم را تعیین کنیم." + }, + { + "title": "تشخیص و تعیین مجانب قائم تابع", + "introText": "برای تعیین مجانب قائم تابع در نقطه x=a ابتدا حدهای چپ و راست تابع را در آن نقطه بررسی می‌کنیم. اگر حد از سمت چپ یا راست به مثبت یا منفی بی‌نهایت میل کند، خط x=a مجانب قائم تابع است. سپس با بررسی حدهای چپ و راست می‌توان جهت مجانب قائم را مشخص کرد. اگر حد چپ و راست هر دو بی‌نهایت مثبت یا منفی باشند، مجانب قائم در آن نقطه وجود دارد. در غیر این صورت مجانب قائم وجود ندارد." + }, + { + "title": "محاسبه مجانب قائم تابع", + "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید و نقاطی که مخرج صفر می‌شود را پیدا کنید.\n2. در این نقاط حد تابع را از سمت چپ و راست محاسبه کنید.\n3. اگر حد از یک طرف به +∞ و از طرف دیگر به -∞ میل کند، در آن نقطه مجانب قائم وجود دارد.\n4. نمودار تابع را در نزدیکی آن نقطه بررسی کنید تا رفتار تابع را در مجاورت مجانب قائم مشاهده کنید." + }, + { + "title": "محاسبه حدهای نامتناهی", + "introText": "1. صورت و مخرج عبارت حد را بررسی کنید.\n2. اگر صورت یا مخرج به سمت صفر یا بی‌نهایت میل کند، رفتار آن‌ها را تحلیل کنید.\n3. در صورت وجود ریشه یا توان، با استفاده از ساده‌سازی یا تقسیم بر بزرگ‌ترین توان x، حد را محاسبه کنید.\n4. اگر حد به سمت بی‌نهایت یا منفی بی‌نهایت میل کند، علامت آن را تعیین کنید.\n5. نتیجه نهایی را به صورت +∞ یا -∞ یا عدد مشخص بیان کنید." + }, + { + "title": "محاسبه حدهای جبری با صورت و مخرج چندجمله‌ای", + "introText": "1. صورت و مخرج چندجمله‌ای را بررسی کنید.\n2. بزرگ‌ترین توان x را در صورت و مخرج مشخص کنید.\n3. صورت و مخرج را بر بزرگ‌ترین توان x تقسیم کنید.\n4. حد هر جمله را جداگانه محاسبه کنید.\n5. حاصل حد صورت را بر حاصل حد مخرج تقسیم کنید.\n6. نتیجه نهایی را به دست آورید." + }, + { + "title": "رسم نمودار توابع با مجانب قائم", + "introText": "1. دامنه تابع را مشخص کنید و نقاطی که مخرج صفر می‌شود را بیابید.\n2. نقاطی که مخرج صفر است و صورت صفر نیست، نقاط مجانب قائم هستند.\n3. حد تابع را در نزدیکی نقاط مجانب قائم از چپ و راست محاسبه کنید.\n4. رفتار تابع در نزدیکی مجانب قائم را بررسی کنید (میل به +∞ یا -∞).\n5. نمودار تابع را با توجه به این اطلاعات رسم کنید." + }, + { + "title": "شناسایی و تحلیل مجانب‌های قائم توابع کسری", + "introText": "1. مخرج تابع را برابر صفر قرار دهید و نقاط بحرانی را بیابید.\n2. حد تابع را در نزدیکی این نقاط از چپ و راست محاسبه کنید.\n3. اگر حد‌ها به +∞ یا -∞ میل کنند، مجانب قائم در آن نقاط وجود دارد.\n4. علامت حد‌ها را برای تعیین جهت مجانب بررسی کنید." + }, + { + "title": "تحلیل و تشخیص نمودار تابع با توجه به مجانب قائم", + "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید و نقاطی که مخرج صفر می‌شود را بیابید.\n2. حد تابع را در نزدیکی این نقاط از چپ و راست محاسبه کنید.\n3. با توجه به علامت حد‌ها، رفتار نمودار در نزدیکی مجانب‌های قائم را تشخیص دهید.\n4. نمودارهای داده شده را با توجه به این رفتار مقایسه کنید و نمودار صحیح را انتخاب کنید." + } + ] + }, + { + "title": "حد در بی‌نهایت", + "order": 2, + "lessons": [ + { + "title": "محاسبه حد تابع در بی‌نهایت با استفاده از نمودار و جدول", + "introText": "1. نمودار تابع را در بازه مورد نظر رسم یا بررسی کنید.\n2. مقادیر تابع را برای مقادیر بزرگ x در جدول تکمیل کنید.\n3. رفتار تابع را هنگام بزرگ شدن x بررسی کنید (مثلاً مقدار تابع به چه عددی نزدیک می‌شود).\n4. فاصله تابع از محور x را بررسی کنید تا حداقل مقدار x را که فاصله تابع کمتر از مقدار داده شده شود، پیدا کنید." + }, + { + "title": "محاسبه حد تابع در بی‌نهایت", + "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید و رفتار آن را برای مقادیر بسیار بزرگ مثبت یا منفی x تحلیل کنید.\n2. اگر تابع به صورت کسر باشد، صورت و مخرج را نسبت به بزرگترین توان x ساده کنید.\n3. مقدار حد را با توجه به روند تابع (مثبت یا منفی شدن و نزدیک شدن به صفر یا بی‌نهایت) تعیین کنید.\n4. نتیجه را به صورت حد در بی‌نهایت یا منفی بی‌نهایت بنویسید." + }, + { + "title": "تکمیل جدول مقادیر تابع و تحلیل رفتار تابع در بازه‌های منفی", + "introText": "1. مقادیر x داده شده در جدول را در تابع قرار دهید و مقادیر متناظر f(x) را محاسبه کنید.\n2. مقادیر به دست آمده را در جدول وارد کنید.\n3. با توجه به مقادیر جدول و نمودار، رفتار تابع را در بازه منفی تحلیل کنید.\n4. حد تابع را وقتی x به سمت منفی بی‌نهایت میل می‌کند، تعیین کنید." + }, + { + "title": "تعیین مقدار حد برای x نزدیک به اعداد خاص از سمت چپ یا راست", + "introText": "1. مقدار خاصی که x به آن نزدیک می‌شود را مشخص کنید.\n2. تابع را بررسی کنید و مقدار تابع را وقتی x از سمت چپ و سمت راست به آن عدد نزدیک می‌شود، محاسبه کنید.\n3. اگر حدها از دو سمت برابر باشند، آن مقدار حد تابع است.\n4. در غیر این صورت، حد وجود ندارد یا به صورت حد چپ و حد راست نوشته می‌شود." + }, + { + "title": "محاسبه حد تابع در بی‌نهایت با استفاده از نمودار", + "introText": "برای محاسبه حد تابع در بی‌نهایت با استفاده از نمودار، ابتدا نمودار تابع را بررسی می‌کنیم. اگر نمودار به سمت یک مقدار ثابت افقی میل کند، آن مقدار حد تابع در بی‌نهایت است. اگر نمودار به سمت بی‌نهایت یا منفی بی‌نهایت میل کند، حد تابع نیز به همان سمت میل می‌کند. برای حد راست (x→+∞) و حد چپ (x→-∞) این بررسی جداگانه انجام می‌شود. در نهایت مقدار حد را با توجه به رفتار نمودار تعیین می‌کنیم." + }, + { + "title": "حد توابع چندجمله‌ای و کسری در بی‌نهایت", + "introText": "1. اگر تابع به صورت چندجمله‌ای باشد، حد آن در بی‌نهایت برابر ضریب جمله با بیشترین درجه است.\n2. اگر تابع به صورت کسری باشد، ابتدا درجه صورت و مخرج را مقایسه می‌کنیم.\n3. اگر درجه صورت کمتر از درجه مخرج باشد، حد برابر صفر است.\n4. اگر درجه صورت برابر درجه مخرج باشد، حد برابر نسبت ضرایب جمله‌های با بیشترین درجه است.\n5. اگر درجه صورت بیشتر از درجه مخرج باشد، حد نامتناهی است.\n6. در صورت وجود عبارات جمع یا ضرب، از قضیه حد جمع و ضرب استفاده می‌کنیم." + }, + { + "title": "کاربرد قضیه حد توابع جمع، ضرب و تقسیم در بی‌نهایت", + "introText": "1. برای حد جمع یا تفاضل دو تابع، حد هر کدام را جداگانه محاسبه کرده و سپس جمع یا تفاضل آنها را می‌گیریم.\n2. برای حد ضرب دو تابع، حد هر کدام را جداگانه محاسبه کرده و سپس حاصل‌ضرب آنها را می‌گیریم.\n3. برای حد تقسیم دو تابع، حد صورت و مخرج را جداگانه محاسبه کرده و سپس نسبت آنها را می‌گیریم، به شرطی که حد مخرج صفر نباشد.\n4. در همه موارد، از فرض وجود حدها استفاده می‌کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع چندجمله‌ای در بی‌نهایت", + "introText": "1. ابتدا نوع تابع را شناسایی کنید (مثلاً چندجمله‌ای). 2. درجه بزرگ‌ترین جمله در صورت و مخرج را مشخص کنید. 3. اگر درجه صورت بزرگ‌تر باشد، حد به سمت بی‌نهایت یا منفی بی‌نهایت میل می‌کند بسته به علامت ضریب جمله با درجه بزرگ‌تر. 4. اگر درجه مخرج بزرگ‌تر باشد، حد برابر صفر است. 5. اگر درجات برابر باشند، حد برابر نسبت ضریب‌های جمله‌های با درجه بزرگ است. 6. در صورت نیاز، نمودار تابع را بررسی کنید تا جهت میل به بی‌نهایت مشخص شود." + }, + { + "title": "تعیین حد توابع چندجمله‌ای در بی‌نهایت", + "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید و نوع چندجمله‌ای بودن آن را مشخص کنید.\n2. با توجه به توان‌های متغیر x، رفتار تابع را در بی‌نهایت مثبت و منفی بررسی کنید.\n3. اگر توان x فرد باشد، تابع در بی‌نهایت مثبت به سمت مثبت بی‌نهایت و در بی‌نهایت منفی به سمت منفی بی‌نهایت میل می‌کند و بالعکس.\n4. اگر توان x زوج باشد، تابع در هر دو جهت بی‌نهایت مثبت میل می‌کند.\n5. با استفاده از نمودار تابع، مقادیر تابع را در نقاط مختلف نزدیک به بی‌نهایت مثبت و منفی بررسی کنید.\n6. جدول مقادیر تابع را کامل کنید تا روند تغییرات تابع مشخص شود." + }, + { + "title": "حد توانی با توان صحیح مثبت", + "introText": "اگر n عدد طبیعی زوج باشد، حد x^n وقتی x به ±∞ می‌رود برابر +∞ است. اگر n عدد طبیعی فرد باشد، حد x^n وقتی x به +∞ می‌رود برابر +∞ و وقتی x به -∞ می‌رود برابر -∞ است." + }, + { + "title": "حد جمع و ضرب توابع با حدهای نامتناهی", + "introText": "اگر lim (x→+∞) f(x) = l (عدد حقیقی یا نامتناهی) و lim (x→+∞) g(x) = +∞ باشد، آنگاه:\nالف) lim (x→+∞) (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x) = +∞\nب) lim (x→+∞) (f(x) * g(x)) = lim f(x) * lim g(x) که اگر lim f(x) مثبت باشد +∞ و اگر منفی باشد -∞ است." + }, + { + "title": "حد چند جمله‌ای‌ها در بی‌نهایت", + "introText": "حد یک چند جمله‌ای f(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_1 x + a_0 وقتی x به ±∞ می‌رود برابر حد جمله‌ای است که دارای بزرگ‌ترین درجه است، یعنی:\nlim (x→±∞) f(x) = lim (x→±∞) a_n x^n" + }, + { + "title": "محاسبه حد کسرهای چندجمله‌ای در بی‌نهایت", + "introText": "1. صورت و مخرج کسر چندجمله‌ای را بررسی کنید.\n2. بالاترین توان x را در صورت و مخرج مشخص کنید.\n3. اگر توان صورت برابر با توان مخرج باشد، حد برابر نسبت ضرایب جمله‌های با بالاترین توان است.\n4. اگر توان صورت بزرگ‌تر از توان مخرج باشد، حد به سمت بی‌نهایت یا منفی بی‌نهایت میل می‌کند (بسته به علامت ضریب).\n5. اگر توان صورت کوچکتر از توان مخرج باشد، حد برابر صفر است.\n6. در صورت نیاز، صورت و مخرج را بر بالاترین توان x در مخرج تقسیم کنید و سپس حد را محاسبه کنید." + }, + { + "title": "تحلیل حالات مختلف نسبت توان‌های صورت و مخرج در حدهای بی‌نهایت", + "introText": "1. توان صورت (n) و توان مخرج (m) را مشخص کنید.\n2. سه حالت ممکن را بررسی کنید:\n - اگر n = m، حد برابر نسبت ضرایب جمله‌های با توان n است.\n - اگر n > m، حد به سمت بی‌نهایت یا منفی بی‌نهایت میل می‌کند.\n - اگر n < m، حد برابر صفر است.\n3. بسته به حالت، حد را به صورت مناسب بنویسید." + }, + { + "title": "محاسبه حدهای چند مثال مشخص از کسرهای چندجمله‌ای در بی‌نهایت", + "introText": "1. صورت و مخرج هر کسر را بررسی کنید.\n2. بالاترین توان x را در صورت و مخرج مشخص کنید.\n3. صورت و مخرج را بر بالاترین توان x در مخرج تقسیم کنید.\n4. حد هر جمله را جداگانه محاسبه کنید.\n5. نتیجه نهایی را با توجه به حدهای محاسبه شده بنویسید." + }, + { + "title": "یافتن مجانب‌های افقی و قائم تابع", + "introText": "برای یافتن مجانب افقی تابع، حد تابع را در بی‌نهایت مثبت و منفی محاسبه می‌کنیم. اگر حد برابر عددی ثابت L باشد، خط y = L مجانب افقی تابع است. برای یافتن مجانب قائم، نقاطی که مخرج تابع صفر می‌شود را بررسی می‌کنیم و حد تابع را از چپ و راست در آن نقاط محاسبه می‌کنیم. اگر حد به مثبت یا منفی بی‌نهایت میل کند، خط x = a مجانب قائم تابع است." + }, + { + "title": "تشخیص مجانب افقی تابع", + "introText": "برای تشخیص مجانب افقی تابع y=2، ابتدا حد تابع را در بی‌نهایت مثبت و منفی محاسبه می‌کنیم. اگر حد تابع در بی‌نهایت برابر عدد ثابت باشد، آن خط افقی مجانب افقی تابع است. سپس نمودار تابع را بررسی می‌کنیم که آیا به این خط نزدیک می‌شود یا خیر." + }, + { + "title": "یافتن مجانب‌های افقی و قائم توابع کسری", + "introText": "برای یافتن مجانب‌های افقی تابع کسری، حد تابع را در بی‌نهایت مثبت و منفی محاسبه می‌کنیم. اگر حد برابر عدد ثابت باشد، آن عدد مجانب افقی است. برای یافتن مجانب قائم، نقاطی که مخرج صفر می‌شود را پیدا می‌کنیم و حد تابع را در آن نقاط بررسی می‌کنیم. اگر حد به بی‌نهایت یا منفی بی‌نهایت میل کند، آن خط عمودی مجانب قائم است." + }, + { + "title": "بیان مفهوم حد در بی‌نهایت", + "introText": "برای بیان مفهوم حد در بی‌نهایت، مقدار تابع را هنگامی که متغیر به سمت بی‌نهایت مثبت یا منفی میل می‌کند، بررسی می‌کنیم. اگر مقدار تابع به عددی ثابت نزدیک شود، آن عدد حد تابع در بی‌نهایت است." + }, + { + "title": "یافتن حد از روی نمودار تابع", + "introText": "برای یافتن حد از روی نمودار، مقدار y تابع را در نقاط نزدیک به مقدار x مورد نظر بررسی می‌کنیم. حد چپ و حد راست را با توجه به جهت نزدیک شدن x به مقدار مشخص تعیین می‌کنیم. همچنین حد در بی‌نهایت را با مشاهده رفتار نمودار در سمت راست یا چپ محور x مشخص می‌کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه حدهای جبری توابع کسری و چندجمله‌ای در بی‌نهایت", + "introText": "برای محاسبه حد توابع کسری در بی‌نهایت، درجه‌های صورت و مخرج را مقایسه می‌کنیم. اگر درجه صورت بزرگ‌تر باشد، حد به سمت بی‌نهایت یا منفی بی‌نهایت می‌رود. اگر درجه مخرج بزرگ‌تر باشد، حد صفر است. اگر درجه‌ها برابر باشند، نسبت ضریب‌های اصلی صورت و مخرج حد است." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع با شرایط حدی و مقدار تابع داده شده", + "introText": "برای رسم نمودار تابع با شرایط داده شده، ابتدا نقاط داده شده را روی محور x مشخص می‌کنیم. سپس با توجه به مقدار تابع در آن نقاط و حد‌های یک‌طرفه و مجانب‌های افقی، شکل کلی نمودار را ترسیم می‌کنیم به گونه‌ای که همه شرایط برقرار باشند." + }, + { + "title": "محاسبه حد تابع گویا در بی‌نهایت", + "introText": "1. صورت و مخرج تابع را بررسی کنید.\n2. بزرگ‌ترین توان x را در صورت و مخرج پیدا کنید.\n3. صورت و مخرج را بر بزرگ‌ترین توان x تقسیم کنید.\n4. حد هر جمله را جداگانه در بی‌نهایت محاسبه کنید.\n5. با توجه به حدهای به‌دست آمده، حد کلی تابع را تعیین کنید." + }, + { + "title": "محاسبه حد توابع شامل رادیکال در بی‌نهایت", + "introText": "1. صورت و مخرج تابع را بررسی کنید.\n2. اگر رادیکال در صورت یا مخرج وجود دارد، برای حذف رادیکال از مخرج‌مضاعف استفاده کنید.\n3. صورت و مخرج را بر بزرگ‌ترین توان x تقسیم کنید.\n4. حد هر جمله را جداگانه در بی‌نهایت محاسبه کنید.\n5. حد کلی تابع را با توجه به حدهای به‌دست آمده تعیین کنید." + } + ] + } + ] + }, + { + "title": "فصل ۴: مشتق", + "order": 4, + "nodes": [ + { + "title": "آشنایی با مفهوم مشتق", + "order": 1, + "lessons": [ + { + "title": "محاسبه شیب خط", + "introText": "1. نقاط دو نقطه دلخواه روی خط را مشخص کنید.\n2. مختصات این دو نقطه را به صورت (x1, y1) و (x2, y2) یادداشت کنید.\n3. شیب خط را با فرمول (y2 - y1) / (x2 - x1) محاسبه کنید.\n4. اگر شیب مثبت بود، خط صعودی است و اگر منفی بود، خط نزولی است." + }, + { + "title": "تعیین نمودار مربوط به شیب داده شده", + "introText": "1. شیب‌های داده شده در جدول را بررسی کنید.\n2. برای هر شیب، نمودار خطی که شیب آن برابر با مقدار داده شده است را پیدا کنید.\n3. شیب مثبت نشان‌دهنده خط صعودی و شیب منفی نشان‌دهنده خط نزولی است.\n4. نمودارهای خطوط را با شیب‌های داده شده تطبیق دهید." + }, + { + "title": "یافتن خط مماس بر یک منحنی در یک نقطه", + "introText": "۱. تابع منحنی را مشخص کنید.\n۲. نقطه‌ای که می‌خواهید خط مماس را در آن بیابید تعیین کنید.\n۳. مشتق تابع را محاسبه کنید تا شیب خط مماس در آن نقطه به دست آید.\n۴. مقدار مشتق را در نقطه مورد نظر جایگذاری کنید تا شیب خط مماس به دست آید.\n۵. معادله خط مماس را با استفاده از شیب و نقطه داده شده به صورت y - y₀ = m(x - x₀) بنویسید." + }, + { + "title": "محاسبه شیب خط مماس و خط قاطع بر منحنی", + "introText": "1. یک نقطه ثابت A روی منحنی انتخاب کنید.\n2. نقاط دیگری مانند B و C روی منحنی انتخاب کنید که به A نزدیک می‌شوند.\n3. خط قاطعی که از دو نقطه A و B می‌گذرد رسم کنید و شیب آن را با فرمول m = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) محاسبه کنید.\n4. همین کار را برای نقاط دیگر مانند A و C انجام دهید.\n5. با نزدیک‌تر کردن نقاط به A، شیب خطوط قاطع به شیب خط مماس در نقطه A نزدیک می‌شود.\n6. شیب خط مماس در نقطه A برابر حد شیب خطوط قاطع گذرنده از A است وقتی نقاط به A نزدیک می‌شوند." + }, + { + "title": "محاسبه شیب خط مماس و متوسط", + "introText": "برای محاسبه شیب خط AB که یک خط متوسط است، شیب را به صورت نسبت تغییرات عمودی Δy به تغییرات افقی Δx تعریف می‌کنیم: m_AB = Δy / Δx. برای نقاط نزدیک به هم، این مقدار تقریب خوبی از شیب خط مماس است. با کاهش Δx به سمت صفر، شیب خط متوسط به شیب خط مماس در نقطه A نزدیک می‌شود. بنابراین، برای محاسبه شیب خط مماس، ابتدا تغییرات Δx و Δy را محاسبه می‌کنیم و سپس نسبت آنها را می‌گیریم. در هنگام محاسبه شیب‌های بالا، تغییرات Δx کوچکتر می‌شوند و این باعث تغییر مقدار شیب می‌شود." + }, + { + "title": "محاسبه شیب خط مماس بر منحنی در نقطه مشخص", + "introText": "1. ابتدا نقاط نزدیک به نقطه مورد نظر روی منحنی را انتخاب کنید.\n2. شیب خطوط قاطع بین نقطه مورد نظر و نقاط نزدیک را با فرمول (f(b)-f(a))/(b-a) محاسبه کنید.\n3. با کاهش فاصله بین نقاط (کوچک کردن بازه)، شیب خطوط قاطع را محاسبه و مقایسه کنید.\n4. حد این شیب‌ها وقتی فاصله به صفر میل می‌کند، شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است." + }, + { + "title": "محاسبه حد عبارت مشتق‌نما", + "introText": "برای محاسبه حد عبارت (f(x+h)-f(x))/h وقتی h به صفر نزدیک می‌شود، ابتدا عبارت داخل حد را ساده می‌کنیم. سپس صورت کسر را بازنویسی یا تجزیه می‌کنیم تا بتوانیم h را حذف کنیم یا به صورت قابل محاسبه درآوریم. در نهایت مقدار حد را با جایگذاری h=0 یا با استفاده از قواعد حد محاسبه می‌کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه شیب خط مماس بر منحنی در نقطه", + "introText": "شیب خط مماس بر منحنی تابع f در نقطه A(a, f(a)) برابر است با حد عبارت (f(a+h) - f(a)) / h وقتی h به صفر نزدیک می‌شود. ابتدا این حد را محاسبه می‌کنیم. اگر این حد وجود داشته باشد و متناهی باشد، مقدار آن برابر مشتق تابع در نقطه a است و شیب خط مماس را نشان می‌دهد." + }, + { + "title": "محاسبه مشتق تابع در نقطه با استفاده از حد تعریف مشتق", + "introText": "1. تابع f(x) را در نقطه مورد نظر a قرار دهید.\n2. حد تعریف مشتق را به صورت lim (h→0) [f(a+h) - f(a)] / h بنویسید.\n3. عبارت داخل حد را ساده کنید و صورت کسر را باز کنید.\n4. حد را با حذف h در صورت و مخرج محاسبه کنید.\n5. مقدار عددی مشتق در نقطه a به دست می‌آید." + }, + { + "title": "نوشتن معادله خط مماس بر منحنی در نقطه مشخص", + "introText": "1. مشتق تابع f(x) را محاسبه کنید تا شیب خط مماس در هر نقطه به دست آید.\n2. شیب خط مماس در نقطه مورد نظر a را با جایگذاری a در مشتق محاسبه کنید.\n3. مقدار تابع در نقطه a را محاسبه کنید تا مختصات نقطه مماس (a, f(a)) به دست آید.\n4. معادله خط مماس را با استفاده از فرمول y - f(a) = f'(a)(x - a) بنویسید.\n5. معادله را به شکل دلخواه ساده کنید." + }, + { + "title": "محاسبه شیب خط قطعی بین دو نقطه روی منحنی", + "introText": "1. دو نقطه A و B روی منحنی با مختصات (a, f(a)) و (a+Δx, f(a+Δx)) را مشخص کنید.\n2. شیب خط قطعی بین این دو نقطه را با فرمول m_AB = [f(a+Δx) - f(a)] / Δx محاسبه کنید.\n3. اگر Δx به سمت صفر میل کند، شیب خط مماس به دست می‌آید که همان مشتق در نقطه a است." + }, + { + "title": "محاسبه مشتق تابع در نقطه با استفاده از تعریف حدی مشتق", + "introText": "برای محاسبه مشتق تابع f در نقطه a ابتدا شیب خط مماس را به صورت حد نسبت تغییرات تابع نسبت به تغییرات متغیر مستقل تعریف می‌کنیم. این مقدار برابر است با حد عبارت (f(a+h)-f(a))/h وقتی h به صفر میل می‌کند. همچنین می‌توان این حد را به صورت lim (x→a) (f(x)-f(a))/(x-a) نوشت. با محاسبه این حد، مقدار مشتق در نقطه a به دست می‌آید." + }, + { + "title": "تعریف مشتق و حدهای معادل", + "introText": "برای اثبات وجود مشتق در نقطه a و ثابت بودن آن، از تعریف حد مشتق استفاده می‌کنیم. ابتدا حد \\( \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\) را محاسبه می‌کنیم. سپس با تغییر متغیر \\( x = a + h \\) این حد را به صورت \\( \\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \\) بازنویسی می‌کنیم. اگر این حد وجود داشته باشد و برابر مقدار مشتق در نقطه a باشد، مشتق در آن نقطه ثابت است." + }, + { + "title": "محاسبه مشتق تابع و بررسی نقاط مشتق‌پذیری با نمودار", + "introText": "برای محاسبه مشتق تابع \\( f(x) = -x^2 + 1 \\) ابتدا مشتق تابع را به صورت \\( f'(x) = -2x \\) محاسبه می‌کنیم. سپس مقادیر مشتق را در نقاط داده شده مانند \\( x=5 \\) و \\( x=8 \\) جایگذاری می‌کنیم. برای تعیین نقاطی که مشتق در آنها قرینه است، مقادیر مشتق را در نقاط مختلف بررسی می‌کنیم. با استفاده از نمودار تابع، نقاطی که مشتق مثبت یا منفی است را مشخص می‌کنیم. همچنین شیب خطوط مماس بر منحنی در نقاط مختلف را با هم مقایسه می‌کنیم. در نهایت با محاسبه مشتق در نقاط مشخص شده، صحت حدس‌های مربوط به مشتق را بررسی می‌کنیم." + }, + { + "title": "یافتن معادله خط مماس بر منحنی در نقطه مشخص", + "introText": "۱. مشتق تابع f(x) را پیدا کنید تا شیب خط مماس در هر نقطه به دست آید.\n۲. مقدار مشتق را در نقطه داده شده (مثلاً x=2) محاسبه کنید تا شیب خط مماس در آن نقطه مشخص شود.\n۳. مقدار تابع را در همان نقطه محاسبه کنید تا مختصات نقطه مماس (x0, y0) به دست آید.\n۴. با استفاده از فرمول معادله خط با شیب m و نقطه (x0, y0): y - y0 = m(x - x0)، معادله خط مماس را بنویسید." + }, + { + "title": "یافتن نقاط با شیب‌های داده شده روی منحنی", + "introText": "۱. مقدار مشتق تابع را در نقاط مختلف محاسبه کنید یا از داده‌های داده شده استفاده کنید.\n۲. برای هر شیب داده شده، نقطه‌ای از منحنی را پیدا کنید که مشتق تابع در آن نقطه برابر با آن شیب باشد.\n۳. نقاط به دست آمده را در جدول یا پاسخ نهایی یادداشت کنید." + }, + { + "title": "مرتب‌سازی شیب‌ها از کوچک‌ترین به بزرگ‌ترین", + "introText": "۱. شیب‌های داده شده را از نقاط مختلف نمودار یا خطوط مختلف استخراج کنید.\n۲. مقادیر عددی شیب‌ها را با هم مقایسه کنید.\n۳. شیب‌ها را از کوچک‌ترین مقدار به بزرگ‌ترین مقدار مرتب کنید.\n۴. ترتیب مرتب شده را به صورت m1, m2, m3, ... یادداشت کنید." + }, + { + "title": "تعیین مقادیر مشتق در نقاط مشخص نمودار", + "introText": "۱. نقاط مشخص شده روی نمودار را شناسایی کنید.\n۲. مقدار مشتق تابع را در هر نقطه با توجه به شیب خط مماس در آن نقطه تعیین کنید.\n۳. مقادیر به دست آمده را در جدول مربوطه یادداشت کنید." + }, + { + "title": "تشخیص ویژگی‌های نقاط روی نمودار تابع", + "introText": "1. نقاط روی نمودار تابع را بررسی کنید.\n2. مقدار تابع و مقدار مشتق (شیب خط مماس) را در هر نقطه مشخص کنید.\n3. برای هر نقطه:\n - اگر شیب خط مماس منفی است، شیب را منفی در نظر بگیرید.\n - اگر مقدار تابع صفر و مقدار مشتق مثبت است، آن را مشخص کنید.\n - اگر مقدار مشتق صفر است، نقطه بحرانی است.\n - نقاطی که مشتق یکسان دارند ولی مقدار تابع متفاوت است، بررسی کنید.\n4. ویژگی‌های نقاط مانند مثبت یا منفی بودن شیب، صفر بودن مشتق و مقدار تابع را تعیین کنید." + }, + { + "title": "محاسبه مشتق تابع در نقطه مشخص", + "introText": "1. تابع داده شده را بنویسید.\n2. مشتق تابع را با استفاده از قواعد مشتق‌گیری (مانند مشتق توان‌ها) محاسبه کنید.\n3. مقدار مشتق را در نقطه مشخص (مثلاً x=-1) جایگذاری کنید.\n4. مقدار عددی مشتق در آن نقطه را به دست آورید." + }, + { + "title": "تحلیل شیب منحنی در نقاط مختلف", + "introText": "1. نقاط داده شده روی منحنی را مشخص کنید.\n2. شیب منحنی (مشتق) را در هر نقطه بررسی کنید: مثبت، منفی یا صفر.\n3. شیب‌ها را با هم مقایسه کنید و ترتیب آن‌ها را مشخص کنید.\n4. نقاطی که شیب مثبت، منفی یا صفر دارند را تعیین کنید.\n5. پاسخ صحیح را با توجه به مقایسه شیب‌ها انتخاب کنید." + }, + { + "title": "یافتن مختصات نقاط روی نمودار با استفاده از مشتق و مقدار تابع", + "introText": "1. ابتدا مقدار تابع f(x) را در نقاط داده شده محاسبه می‌کنیم.\n2. مقدار مشتق f'(x) را در نقاط داده شده بررسی می‌کنیم که شیب خط مماس را نشان می‌دهد.\n3. با استفاده از مقدار تابع و مشتق در هر نقطه، مختصات نقاط A، B و C را تعیین می‌کنیم.\n4. نقطه A مختصاتی دارد که x=4 و y=f(4)=4 است.\n5. نقطه B مختصاتی دارد که x=5 و y=f(5)=5 است.\n6. نقطه C مختصاتی دارد که x=3 و y=f(3) را با توجه به نمودار و مشتق تعیین می‌کنیم.\n7. خط مماس در نقطه C با شیب f'(3)=1.5 رسم می‌شود." + } + ] + }, + { + "title": "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "order": 2, + "lessons": [ + { + "title": "بررسی مشتق‌پذیری تابع در نقطه خاص با استفاده از تعریف مشتق", + "introText": "۱. تابع و نقطه مورد نظر را مشخص کنید.\n۲. تعریف مشتق را به صورت حد نسبت تغییرات تابع نسبت به تغییرات متغیر به کار ببرید: f'(x₀) = lim (x→x₀) (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀).\n۳. اگر حد وجود داشت و مقدار نهایی عددی بود، مشتق در آن نقطه وجود دارد.\n۴. در غیر این صورت، مشتق در آن نقطه وجود ندارد.\n۵. برای اثبات هندسی، شیب خط مماس بر نمودار تابع در آن نقطه را بررسی کنید؛ اگر خط مماس وجود نداشته باشد یا شیب آن تعریف نشده باشد، مشتق وجود ندارد." + }, + { + "title": "بررسی وجود مشتق در نقاطی که حد مشتق وجود ندارد", + "introText": "1. ابتدا حدهای چپ و راست مشتق تابع را در نقطه مورد نظر محاسبه کنید.\n2. اگر حدهای چپ و راست مشتق برابر نباشند، مشتق در آن نقطه وجود ندارد.\n3. بررسی کنید که آیا تابع در آن نقطه پیوسته است یا خیر.\n4. نتیجه‌گیری کنید که تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر نیست زیرا حد مشتق وجود ندارد." + }, + { + "title": "بررسی حد تابع کسری در نقاطی که مخرج صفر می‌شود", + "introText": "1. حد تابع را از سمت راست و چپ در نقطه‌ای که مخرج صفر می‌شود، محاسبه کنید.\n2. اگر حدهای راست و چپ بی‌نهایت مثبت و منفی باشند، نشان می‌دهد که مشتق در آن نقطه وجود ندارد.\n3. نتیجه‌گیری کنید که تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر نیست." + }, + { + "title": "بررسی مشتق‌پذیری تابع در نقطه با استفاده از حدهای چپ و راست", + "introText": "۱. ابتدا تابع را در نقطه مورد نظر بررسی می‌کنیم و مقدار تابع در آن نقطه را می‌یابیم.\n۲. حد سمت راست مشتق را با استفاده از تعریف مشتق و حد حداقل به صورت \\( \\lim_{x \\to a^+} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \\) محاسبه می‌کنیم.\n۳. حد سمت چپ مشتق را به صورت \\( \\lim_{x \\to a^-} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \\) محاسبه می‌کنیم.\n۴. اگر حدهای چپ و راست برابر باشند، مشتق در آن نقطه وجود دارد و برابر با آن حد است.\n۵. اگر حدهای چپ و راست برابر نباشند، مشتق در آن نقطه وجود ندارد، حتی اگر تابع در آن نقطه پیوسته باشد." + }, + { + "title": "محاسبه مشتق چپ و راست تابع در نقطه خاص", + "introText": "برای محاسبه مشتق راست تابع f در نقطه a، حد نسبت تغییرات تابع از سمت راست نقطه a را محاسبه می‌کنیم: f'_+(a) = lim (x→a^+) (f(x)-f(a))/(x-a). برای مشتق چپ نیز حد مشابه از سمت چپ نقطه a محاسبه می‌شود: f'_-(a) = lim (x→a^-) (f(x)-f(a))/(x-a). اگر این دو حد برابر باشند، مشتق تابع در نقطه a وجود دارد و برابر با این مقدار است. در غیر این صورت، مشتق در آن نقطه وجود ندارد ولی مشتق چپ و راست تعریف شده‌اند که به آنها نیم‌مماس چپ و راست گفته می‌شود." + }, + { + "title": "تعریف و محاسبه مشتق چپ و راست با استفاده از حد", + "introText": "مشتق راست تابع f در نقطه a به صورت حد زیر تعریف می‌شود: f'_+(a) = lim (x→a^+) (f(x) - f(a)) / (x - a) یا به صورت معادل: f'_+(a) = lim (h→0^+) (f(a + h) - f(a)) / h. مشتق چپ نیز به صورت f'_-(a) = lim (x→a^-) (f(x) - f(a)) / (x - a) یا f'_-(a) = lim (h→0^-) (f(a + h) - f(a)) / h تعریف می‌شود. اگر این دو حد برابر باشند، مشتق تابع در نقطه a وجود دارد و برابر با این مقدار است. در غیر این صورت، مشتق وجود ندارد ولی مشتق چپ و راست تعریف شده‌اند." + }, + { + "title": "بررسی پیوستگی و مشتق‌پذیری توابع در نقاط خاص", + "introText": "1. ابتدا پیوستگی تابع را در نقطه مورد نظر بررسی می‌کنیم. 2. مشتق چپ و مشتق راست تابع را در آن نقطه محاسبه می‌کنیم. 3. اگر مشتق چپ و مشتق راست برابر باشند، مشتق در آن نقطه وجود دارد و برابر با آن مقدار است. 4. اگر مشتق چپ و راست برابر نباشند یا حد مشتق وجود نداشته باشد، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر نیست." + }, + { + "title": "بررسی حالت‌های خاص مشتق‌پذیری با مشتق نامتناهی و مماس قائم", + "introText": "1. مشتق تابع را به صورت حد تعریف مشتق در نقطه مورد نظر محاسبه می‌کنیم. 2. اگر حد مشتق به بی‌نهایت میل کند، مشتق در آن نقطه وجود ندارد اما تابع ممکن است مشتق‌پذیر نباشد و دارای مماس قائم باشد. 3. شکل نمودار و خطوط مماس قائم را بررسی می‌کنیم تا رفتار تابع در آن نقطه را توصیف کنیم." + }, + { + "title": "تشخیص نقاط مشتق‌پذیری تابع از روی نمودار", + "introText": "برای تشخیص اینکه تابع در نقطه‌ای مشتق‌پذیر است یا خیر، ابتدا باید بررسی کنیم که تابع در آن نقطه پیوسته باشد. سپس مشتق چپ و مشتق راست در آن نقطه را محاسبه یا بررسی می‌کنیم. اگر مشتق چپ و مشتق راست برابر و محدود باشند، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر است. در غیر این صورت، تابع مشتق‌پذیر نیست. همچنین اگر خط مماس در آن نقطه قائم باشد، مشتق وجود ندارد. نقاطی که در آن‌ها مشتق چپ و راست وجود دارد ولی برابر نیستند (نقاط گوشه‌ای) یا نقاطی که تابع پیوسته نیست نیز نقاطی هستند که مشتق‌پذیر نیستند." + }, + { + "title": "محاسبه مشتق تابع در نقاط مشخص با استفاده از حد", + "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید.\n2. برای محاسبه مشتق در نقطه x=a، از تعریف مشتق به صورت حد استفاده کنید: f'(a) = lim (x→a) (f(x)-f(a))/(x-a).\n3. عبارت حد را ساده کنید تا بتوانید مقدار حد را به دست آورید.\n4. مقدار مشتق در نقطه مورد نظر را به دست آورید که برابر شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است." + }, + { + "title": "محاسبه مشتق تابع با استفاده از تعریف حدی مشتق", + "introText": "۱. تعریف مشتق تابع f در نقطه x به صورت حد نسبت تغییرات تابع به تغییرات متغیر مستقل تعریف می‌شود: f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h. ۲. عبارت داخل حد را ساده کنید تا بتوانید حد را به صورت مستقیم یا با استفاده از قواعد حد محاسبه کنید. ۳. اگر حد وجود داشته باشد، مقدار آن مشتق تابع در نقطه x است. ۴. دامنه مشتق تابع معمولاً مجموعه‌ای از نقاطی است که در آن‌ها مشتق وجود دارد و ممکن است با دامنه تابع اصلی متفاوت باشد." + }, + { + "title": "محاسبه مشتق تابع به کمک تعریف مشتق", + "introText": "برای محاسبه مشتق تابع f در نقطه x=a، از تعریف مشتق استفاده می‌کنیم: f'(a) = lim (x→a) (f(x) - f(a)) / (x - a). ابتدا عبارت داخل حد را ساده می‌کنیم و سپس حد را محاسبه می‌کنیم. اگر حد وجود داشته باشد، مقدار مشتق در آن نقطه برابر با مقدار حد است." + }, + { + "title": "محاسبه دامنه و ضابطه مشتق تابع‌های چندجمله‌ای و چندتکه", + "introText": "برای محاسبه دامنه مشتق تابع، ابتدا دامنه تابع اصلی را مشخص می‌کنیم. سپس برای هر قسمت تابع چندتکه، مشتق آن قسمت را جداگانه محاسبه می‌کنیم. در نقاطی که تابع تغییر ضابطه می‌دهد، مشتق چپ و راست را بررسی می‌کنیم تا مشتق در آن نقاط وجود داشته باشد یا خیر. در نهایت نمودار مشتق را رسم می‌کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه مشتق تابع ثابت", + "introText": "اگر تابع f(x) برابر با یک عدد ثابت c باشد، مشتق آن در هر نقطه برابر صفر است. زیرا تغییرات تابع صفر است و بنابراین حد تعریف مشتق برابر صفر می‌شود. به طور ریاضی: f'(x) = lim (h→0) (f(x+h) - f(x)) / h = lim (h→0) (c - c) / h = 0." + }, + { + "title": "اثبات قاعده مشتق توانی", + "introText": "برای اثبات مشتق تابع به صورت f(x) = x^n ابتدا تعریف مشتق به صورت حد تفاضل تقسیم شده را می‌نویسیم: f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h. سپس با استفاده از خاصیت‌های جبری و بسط چندجمله‌ای (فرمول دوجمله‌ای) عبارت داخل حد را ساده می‌کنیم تا به صورت جمعی از جملات برسیم که در نهایت با حذف h در صورت و مخرج، حد را محاسبه می‌کنیم و به نتیجه f'(x) = n*x^(n-1) می‌رسیم." + }, + { + "title": "مشتق توابع با توان منفی و کسری", + "introText": "برای مشتق توابعی که به صورت توان منفی یا کسری هستند، ابتدا تابع را به صورت x^n با n عدد صحیح یا کسری بازنویسی می‌کنیم. سپس از قاعده مشتق توانی استفاده می‌کنیم: f'(x) = n*x^(n-1). در صورت وجود توان منفی، توان را کاهش می‌دهیم و علامت منفی را در مشتق لحاظ می‌کنیم." + }, + { + "title": "مشتق توابع رادیکالی", + "introText": "برای مشتق توابعی که به صورت ریشه دوم هستند، ابتدا تعریف مشتق به صورت حد تفاضل تقسیم شده را به کار می‌بریم. سپس صورت کسر را با عبارت مزدوج ضرب می‌کنیم تا رادیکال‌ها حذف شوند. پس از ساده‌سازی، حد را محاسبه می‌کنیم و به فرمول مشتق تابع رادیکالی می‌رسیم: f'(x) = 1 / (2√x)." + }, + { + "title": "مشتق تابع رادیکالی", + "introText": "برای یافتن مشتق تابعی به شکل f(x) = √(ax + b)، ابتدا تعریف مشتق به صورت حد تفاضل را به کار می‌بریم. سپس صورت کسر را با عبارت مزدوج ضرب می‌کنیم تا رادیکال‌ها حذف شوند. پس از ساده‌سازی، حد را محاسبه می‌کنیم و در نهایت مشتق را به صورت f'(x) = a / (2√(ax + b)) به دست می‌آوریم." + }, + { + "title": "مشتق تابع رادیکال nام", + "introText": "برای مشتق تابعی به شکل f(x) = ⁿ√x، از تعریف حد مشتق استفاده می‌کنیم. سپس صورت کسر را در عبارت مزدوج ضرب می‌کنیم که شامل مجموع رادیکال‌های nام است. پس از ساده‌سازی و محاسبه حد، مشتق به صورت f'(x) = 1 / (n ⁿ√(x^(n-1))) به دست می‌آید." + }, + { + "title": "قواعد مشتق‌گیری ترکیبی (جمع، ضرب، ضرب عددی، تقسیم)", + "introText": "اگر توابع f و g در x=a مشتق‌پذیر باشند، مشتق ترکیب‌های مختلف به صورت زیر است:\nالف) مشتق جمع یا تفاضل: (f ± g)'(a) = f'(a) ± g'(a)\nب) مشتق ضرب عددی: (kf)'(a) = kf'(a)\nپ) مشتق ضرب: (fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)\nت) مشتق تقسیم: (f/g)'(a) = [f'(a)g(a) - g'(a)f(a)] / [g(a)]²\nبرای حل مسائل، ابتدا مشتق هر تابع را جداگانه محاسبه کرده، سپس از این قواعد استفاده می‌کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه مشتق توابع با استفاده از قواعد مشتق‌گیری", + "introText": "برای محاسبه مشتق یک تابع ابتدا نوع تابع را شناسایی می‌کنیم (کسری، رادیکالی، چندجمله‌ای و غیره). سپس از قواعد مشتق‌گیری مناسب استفاده می‌کنیم: مشتق تابع کسری با استفاده از قاعده مشتق خارج قسمت، مشتق تابع رادیکالی با تبدیل به توان کسری و استفاده از قاعده توان، و مشتق توابع چندجمله‌ای با استفاده از قاعده توان انجام می‌شود." + }, + { + "title": "محاسبه مشتق ترکیب توابع و مشتق تابع حاصل از نسبت توابع", + "introText": "برای محاسبه مشتق تابع حاصل از نسبت دو تابع f و g، از قاعده مشتق خارج قسمت استفاده می‌کنیم: (f/g)' = (f'g - fg') / g². همچنین برای محاسبه مشتق ترکیب توابع از قاعده زنجیره‌ای استفاده می‌شود. اگر مقادیر توابع و مشتق‌های آن‌ها در نقاط مشخص داده شده باشد، ابتدا مشتق تابع را به صورت کلی محاسبه کرده و سپس مقادیر داده شده را جایگذاری می‌کنیم." + }, + { + "title": "مشتق توابع مثلثاتی با استفاده از تعریف حدی مشتق", + "introText": "برای اثبات مشتق توابع مثلثاتی از تعریف حدی مشتق استفاده می‌کنیم. ابتدا مشتق تابع را به صورت حد (f(x+h)-f(x))/h تعریف می‌کنیم. سپس با استفاده از روابط مثلثاتی و حدهای معروف مثل lim(h→0) (sin h)/h = 1 و lim(h→0) (cos h - 1)/h = 0، مشتق توابع سینوس و کسینوس را به دست می‌آوریم." + }, + { + "title": "مشتق توابع مثلثاتی", + "introText": "برای یافتن مشتق توابع مثلثاتی ابتدا تابع را به صورت کسری یا ضربی بازنویسی می‌کنیم. سپس از قواعد مشتق‌گیری مانند مشتق نسبت (قانون مشتق خارج قسمت) و مشتق ضرب استفاده می‌کنیم. در نهایت با استفاده از روابط مثلثاتی مشتق را ساده می‌کنیم." + }, + { + "title": "مشتق توابع مرکب (قاعده زنجیری)", + "introText": "اگر دو تابع f و g مشتق‌پذیر باشند، مشتق تابع مرکب h(x) = f(g(x)) برابر است با h'(x) = g'(x) * f'(g(x)). ابتدا مشتق تابع درونی g(x) را محاسبه می‌کنیم، سپس مشتق تابع بیرونی f را نسبت به g(x) می‌یابیم و در نهایت آنها را در هم ضرب می‌کنیم." + }, + { + "title": "مشتق توابع با تغییر متغیر", + "introText": "اگر تابع y = f(u) باشد و u تابعی از x باشد، مشتق y نسبت به x برابر است با y' = u' * f'(u). ابتدا متغیر u را به عنوان تابعی از x تعریف می‌کنیم، سپس مشتق u نسبت به x را می‌یابیم و در نهایت مشتق تابع f نسبت به u را محاسبه و در مشتق u ضرب می‌کنیم." + }, + { + "title": "مشتق‌پذیری روی بازه", + "introText": "برای بررسی مشتق‌پذیری تابع روی بازه (a,b) ابتدا باید مشتق تابع را در هر نقطه از بازه محاسبه کنیم. اگر مشتق در هر نقطه از بازه وجود داشته باشد، تابع مشتق‌پذیر است. برای بازه بسته [a,b] باید مشتق راست در نقطه a و مشتق چپ در نقطه b وجود داشته باشد و در نقاط داخلی بازه مشتق وجود داشته باشد. اگر این شرایط برقرار باشد، تابع روی بازه مورد نظر مشتق‌پذیر است." + }, + { + "title": "محاسبه مشتق توابع ترکیبی و توابع مثلثاتی", + "introText": "برای محاسبه مشتق توابع ترکیبی ابتدا باید قوانین مشتق‌گیری مانند مشتق حاصل‌ضرب، مشتق حاصل‌جمع و قانون زنجیره‌ای را به کار ببریم. برای توابع مثلثاتی مانند sin و cos نیز از مشتق‌های استاندارد آنها استفاده می‌کنیم. به طور مثال مشتق cos^n(x) با استفاده از قانون زنجیره‌ای برابر است با -n*cos^(n-1)(x)*sin(x)." + }, + { + "title": "رسم نمودار و بررسی مشتق‌پذیری تابع چندجمله‌ای تکه‌ای", + "introText": "۱. تابع داده شده را در هر بازه مشخص شده رسم کنید. ۲. نقاط اتصال بازه‌ها را بررسی کنید که آیا تابع در آن نقاط پیوسته است یا خیر. ۳. مشتق هر قسمت از تابع را جداگانه محاسبه کنید. ۴. مشتق چپ و راست در نقاط اتصال را محاسبه و مقایسه کنید. ۵. اگر مشتق چپ و راست برابر باشند، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر است، در غیر این صورت نیست." + }, + { + "title": "محاسبه مشتق مرتبه دوم تابع چندجمله‌ای", + "introText": "۱. تابع f(x) را داشته باشید. ۲. مشتق اول f'(x) را با استفاده از قواعد مشتق‌گیری محاسبه کنید. ۳. مشتق دوم f''(x) را با مشتق‌گیری از مشتق اول به دست آورید. ۴. نتایج را به صورت نمادین نمایش دهید." + }, + { + "title": "محاسبه مشتق چپ و راست و بررسی مشتق‌پذیری در نقطه خاص", + "introText": "1. مشتق چپ تابع را با استفاده از حد سمت چپ در نقطه A محاسبه کنید. 2. مشتق راست تابع را با استفاده از حد سمت راست در نقطه A محاسبه کنید. 3. اگر مشتق چپ و راست برابر باشند، تابع در نقطه A مشتق‌پذیر است، در غیر این صورت نیست." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع و مشتق آن برای تابع چندتکه", + "introText": "1. نمودار تابع چندتکه را با توجه به تعاریف هر بازه رسم کنید. 2. مشتق هر بخش را جداگانه محاسبه کنید. 3. نمودار مشتق را با توجه به مشتق‌های بخش‌های مختلف رسم کنید. 4. نقاطی که مشتق وجود ندارد یا تغییر می‌کند را مشخص کنید." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع مشتق با شرایط خاص", + "introText": "1. نمودار تابع اصلی را بررسی کنید. 2. نقاطی که مشتق صفر می‌شود را مشخص کنید. 3. بازه‌هایی که مشتق مثبت یا منفی است را تعیین کنید. 4. نمودار تابع مشتق را با توجه به این اطلاعات رسم کنید." + }, + { + "title": "محاسبه و بررسی صحت ادعا با استفاده از مشتق", + "introText": "1. تابع داده شده را بنویسید. 2. مشتق تابع را محاسبه کنید. 3. مقادیر مشتق را در نقاط داده شده محاسبه کنید. 4. مقادیر مشتق را به ترتیب صعودی مرتب کنید. 5. صحت ادعا را با مقایسه مقادیر بررسی کنید. 6. نمودار مشتق را رسم کنید." + }, + { + "title": "بررسی مشتق‌پذیری تابع در نقطه خاص", + "introText": "1. تابع را در دو طرف نقطه مورد نظر تعریف کنید.\n2. مقدار تابع را در نقطه بررسی کنید.\n3. مشتق تابع را در هر دو طرف نقطه محاسبه کنید.\n4. بررسی کنید که مشتق چپ و راست در نقطه برابر باشند.\n5. اگر مشتق چپ و راست برابر و تابع پیوسته باشد، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر است." + }, + { + "title": "یافتن توابع با مشتق برابر", + "introText": "1. مشتق هر تابع را به صورت جداگانه محاسبه کنید.\n2. مشتق‌ها را با هم مقایسه کنید.\n3. توابعی که مشتق‌هایشان برابر است را مشخص کنید." + }, + { + "title": "بررسی مشتق‌پذیری تابع قدر مطلق در نقاط خاص", + "introText": "1. تابع را به صورت تکه‌ای بر اساس تعریف قدر مطلق بنویسید.\n2. مشتق هر بخش را جداگانه محاسبه کنید.\n3. مشتق چپ و راست در نقاط مورد نظر را محاسبه و مقایسه کنید.\n4. اگر مشتق چپ و راست برابر باشند، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر است." + }, + { + "title": "محاسبه مشتق توابع رادیکالی و تعیین نقاط مماس قائم", + "introText": "1. تابع داده شده را به صورت صریح بنویسید.\n2. مشتق تابع را با استفاده از قواعد مشتق‌گیری محاسبه کنید.\n3. نقاطی که مشتق در آنها صفر یا نامعین است را بررسی کنید.\n4. نقاطی که مشتق نامعین است یا شیب قائم دارد را به عنوان نقاط مماس قائم تعیین کنید." + }, + { + "title": "تحلیل و بررسی نمودار توابع و مشتق آنها", + "introText": "1. نمودار تابع را رسم یا بررسی کنید.\n2. شیب نمودار تابع را در نقاط مختلف بررسی کنید.\n3. نمودار مشتق تابع را رسم کنید یا از نمودارهای داده شده استفاده کنید.\n4. نقاطی که مشتق صفر یا تغییر علامت دارد را مشخص کنید.\n5. تحلیل کنید که نمودار مشتق چگونه رفتار تابع را نشان می‌دهد." + }, + { + "title": "محاسبه مشتق تابع حاصل تقسیم دو تابع و تحلیل نمودار", + "introText": "1. تابع k(x) = f(x) / g(x) را در نظر بگیرید.\n2. مشتق تابع را با استفاده از قاعده مشتق تقسیم محاسبه کنید:\n k'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / (g(x))^2\n3. مقادیر f، g، f' و g' را در نقاط داده شده جایگذاری کنید.\n4. مقدار مشتق k'(x) را در نقاط خواسته شده محاسبه کنید." + }, + { + "title": "محاسبه مشتق توابع ترکیبی و چندجمله‌ای", + "introText": "برای محاسبه مشتق توابع ترکیبی و چندجمله‌ای ابتدا از قواعد مشتق‌گیری استفاده می‌کنیم. اگر تابع حاصل ضرب دو تابع باشد، از قاعده مشتق ضرب استفاده می‌کنیم: (fg)' = f'g + fg'. اگر تابع حاصل تقسیم دو تابع باشد، از قاعده مشتق تقسیم استفاده می‌کنیم: (f/g)' = (f'g - fg')/g². همچنین برای توابع چندجمله‌ای، مشتق هر جمله را جداگانه محاسبه و سپس جمع می‌کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه مشتق توابع کسری و رادیکالی", + "introText": "برای مشتق توابع کسری از قاعده مشتق تقسیم استفاده می‌کنیم: (f/g)' = (f'g - fg')/g². برای توابع رادیکالی ابتدا رادیکال را به صورت توان کسری می‌نویسیم و سپس از قاعده مشتق توان و قاعده زنجیره‌ای استفاده می‌کنیم." + }, + { + "title": "بررسی مشتق‌پذیری تابع در نقاط خاص", + "introText": "برای بررسی مشتق‌پذیری تابع در نقطه‌ای خاص ابتدا مشتق چپ و مشتق راست آن نقطه را محاسبه می‌کنیم. اگر مشتق چپ و راست برابر باشند و تابع در آن نقطه پیوسته باشد، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر است. در غیر این صورت مشتق‌پذیر نیست. نمودار تابع نیز می‌تواند به تشخیص این موضوع کمک کند." + } + ] + }, + { + "title": "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر", + "order": 3, + "lessons": [ + { + "title": "محاسبه سرعت متوسط", + "introText": "۱. مسافت کل طی شده را مشخص کنید.\n۲. زمان کل صرف شده را مشخص کنید.\n۳. سرعت متوسط را با تقسیم مسافت کل بر زمان کل محاسبه کنید: سرعت متوسط = مسافت کل / زمان کل." + }, + { + "title": "محاسبه سرعت لحظه‌ای با استفاده از مشتق", + "introText": "۱. تابع مکان نسبت به زمان را داشته باشید.\n۲. مشتق تابع مکان نسبت به زمان را محاسبه کنید تا سرعت لحظه‌ای به دست آید.\n۳. مقدار مشتق را در لحظه دلخواه جایگذاری کنید تا سرعت لحظه‌ای در آن لحظه به دست آید.\n۴. در نمودار مکان-زمان، شیب خط مماس بر نمودار در لحظه مورد نظر برابر سرعت لحظه‌ای است." + }, + { + "title": "محاسبه سرعت متوسط در بازه‌های زمانی مختلف", + "introText": "برای محاسبه سرعت متوسط در بازه زمانی [t1, t2]، مقدار مکان در زمان‌های t2 و t1 را از نمودار یا تابع مکان به دست می‌آوریم. سپس سرعت متوسط برابر است با نسبت تغییر مکان به تغییر زمان: (d(t2) - d(t1)) / (t2 - t1). این کار برای هر بازه زمانی دلخواه انجام می‌شود." + }, + { + "title": "محاسبه سرعت لحظه‌ای با استفاده از مشتق تابع مکان", + "introText": "برای به دست آوردن سرعت لحظه‌ای در زمان t0، ابتدا مشتق تابع مکان d(t) را نسبت به t محاسبه می‌کنیم که همان تابع سرعت است. سپس مقدار مشتق را در t = t0 جایگذاری می‌کنیم تا سرعت لحظه‌ای در آن زمان به دست آید." + }, + { + "title": "محاسبه سرعت لحظه‌ای در زمان‌های مختلف با استفاده از مشتق", + "introText": "پس از یافتن مشتق تابع مکان که سرعت لحظه‌ای است، مقدار آن را در زمان‌های مختلف t1، t2، ... جایگذاری می‌کنیم تا سرعت لحظه‌ای در آن زمان‌ها به دست آید." + }, + { + "title": "محاسبه سرعت متوسط و سرعت لحظه‌ای از نمودار موقعیت بر حسب زمان", + "introText": "1. برای محاسبه سرعت متوسط در بازه [a, a+h] از فرمول (f(a+h) - f(a)) / h استفاده می‌کنیم که برابر است با میانگین تغییرات تابع در آن بازه.\n2. برای محاسبه سرعت لحظه‌ای در نقطه a، حد سرعت متوسط را وقتی h به صفر میل می‌کند، محاسبه می‌کنیم که برابر است با مشتق تابع در نقطه a یعنی f'(a).\n3. در نمودار موقعیت بر حسب زمان، سرعت متوسط برابر شیب خط وصل‌کننده دو نقطه روی نمودار است.\n4. سرعت لحظه‌ای برابر شیب خط مماس بر نمودار در نقطه مورد نظر است.\n5. با توجه به نمودار، مقادیر موقعیت در زمان‌های مختلف را استخراج کرده و سرعت متوسط یا لحظه‌ای را با استفاده از فرمول‌ها محاسبه می‌کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه آهنگ متوسط تغییر", + "introText": "1. مقدار تابع را در دو نقطه زمانی مشخص محاسبه کنید.\n2. اختلاف مقادیر تابع را به دست آورید.\n3. اختلاف زمان‌ها را محاسبه کنید.\n4. آهنگ متوسط تغییر را با تقسیم اختلاف مقدار تابع بر اختلاف زمان به دست آورید." + }, + { + "title": "مقایسه آهنگ لحظه‌ای تغییر در دو زمان مختلف", + "introText": "1. مشتق تابع را به دست آورید.\n2. مقدار مشتق را در دو زمان مورد نظر محاسبه کنید.\n3. مقادیر مشتق را با هم مقایسه کنید تا زمان با آهنگ تغییر بیشتر مشخص شود." + }, + { + "title": "محاسبه و مقایسه آهنگ متوسط تغییر در بازه‌های زمانی مختلف", + "introText": "1. مقدار تابع را در ابتدا و انتهای هر بازه زمانی محاسبه کنید.\n2. اختلاف مقادیر تابع را برای هر بازه به دست آورید.\n3. اختلاف زمان هر بازه را محاسبه کنید.\n4. آهنگ متوسط تغییر هر بازه را با تقسیم اختلاف مقدار تابع بر اختلاف زمان محاسبه کنید.\n5. مقادیر به دست آمده را با هم مقایسه کنید." + }, + { + "title": "محاسبه آهنگ متوسط تغییر یک کمیت با استفاده از نمودار", + "introText": "1. بازه زمانی مورد نظر را مشخص کنید.\n2. مقدار کمیت در ابتدا و انتهای بازه را از نمودار یا داده‌ها استخراج کنید.\n3. اختلاف مقدار کمیت را محاسبه کنید (مقدار انتهایی منهای مقدار ابتدایی).\n4. اختلاف زمان را محاسبه کنید (زمان انتهایی منهای زمان ابتدایی).\n5. آهنگ متوسط تغییر را با تقسیم اختلاف مقدار کمیت بر اختلاف زمان به دست آورید.\n6. جهت مثبت یا منفی بودن آهنگ متوسط تغییر را با توجه به علامت حاصل تعیین کنید." + }, + { + "title": "محاسبه سرعت متوسط جسم در بازه‌های زمانی مختلف", + "introText": "برای محاسبه سرعت متوسط جسم در بازه زمانی [t1, t2] ابتدا مقدار ارتفاع جسم در زمان‌های t1 و t2 را از تابع ارتفاع h(t) محاسبه می‌کنیم. سپس سرعت متوسط برابر است با نسبت تغییر ارتفاع به تغییر زمان یعنی (h(t2) - h(t1)) / (t2 - t1). این مقدار سرعت متوسط جسم را در بازه زمانی مشخص شده نشان می‌دهد." + }, + { + "title": "محاسبه سرعت لحظه‌ای جسم با استفاده از مشتق تابع ارتفاع", + "introText": "برای یافتن سرعت لحظه‌ای جسم در زمان t مشخص، ابتدا مشتق تابع ارتفاع h(t) را نسبت به زمان محاسبه می‌کنیم. مشتق h'(t) نشان‌دهنده سرعت لحظه‌ای در زمان t است. سپس مقدار t را در مشتق قرار می‌دهیم تا سرعت لحظه‌ای در آن زمان به دست آید." + }, + { + "title": "محاسبه سرعت متوسط و لحظه‌ای از داده‌های جدول", + "introText": "1. برای محاسبه سرعت متوسط در بازه زمانی مشخص، مقدار تغییر کمیت (مثلاً درجه حرارت) را بر تغییر زمان تقسیم می‌کنیم.\n2. برای محاسبه سرعت لحظه‌ای در یک زمان مشخص، از مفهوم مشتق استفاده می‌کنیم که تقریباً برابر شیب خط مماس بر نمودار در آن نقطه است.\n3. اگر داده‌ها به صورت جدول باشند، سرعت لحظه‌ای را می‌توان با تقریب گرفتن از نرخ تغییر بین دو نقطه نزدیک به زمان مورد نظر محاسبه کرد." + }, + { + "title": "تحلیل شیب خطوط نمودار و تفسیر تغییرات", + "introText": "1. شیب خط در نمودار نشان‌دهنده نرخ تغییر کمیت نسبت به زمان است.\n2. شیب مثبت نشان‌دهنده افزایش و شیب منفی نشان‌دهنده کاهش کمیت است.\n3. با مقایسه شیب خطوط مختلف در زمان‌های مشخص می‌توان فهمید که کدام بازه زمانی بیشترین تغییر را دارد.\n4. برای نقاط مشخص، مقدار شیب را با استفاده از تغییرات عمودی تقسیم بر تغییرات افقی محاسبه می‌کنیم." + }, + { + "title": "تحلیل تغییرات تابع و رسم نمودار", + "introText": "1. نمودار تابع را بررسی کنید و نقاط مهم تغییرات را مشخص کنید. 2. تغییرات تابع را در بازه‌های مختلف بررسی کنید (افزایش یا کاهش). 3. برای هر بازه، مقدار تابع را محاسبه کنید یا از نمودار استخراج کنید. 4. نتیجه‌گیری کنید که تابع در کدام بازه‌ها افزایش یا کاهش دارد و دلیل آن را تحلیل کنید." + }, + { + "title": "محاسبه سرعت لحظه‌ای و سرعت متوسط از تابع حرکت", + "introText": "1. تابع حرکت f(t) را بررسی کنید. 2. سرعت متوسط را با تقسیم تغییر مکان بر تغییر زمان در بازه مورد نظر محاسبه کنید. 3. سرعت لحظه‌ای را با مشتق گرفتن از تابع f(t) بدست آورید: v(t) = f'(t). 4. مقدار سرعت لحظه‌ای را در زمان مورد نظر جایگذاری کنید. 5. سرعت لحظه‌ای و سرعت متوسط را مقایسه کنید." + }, + { + "title": "محاسبه سرعت توپ پرتاب شده با استفاده از جدول مقادیر تابع ارتفاع", + "introText": "1. مقادیر ارتفاع توپ f(t) را در زمان‌های مختلف از جدول استخراج کنید. 2. سرعت لحظه‌ای در زمان t را با استفاده از مشتق تقریبی (نزدیک‌ترین نقاط به t) محاسبه کنید: سرعت ≈ (f(t+h) - f(t)) / h یا (f(t) - f(t-h)) / h. 3. مقدار سرعت را برحسب متر بر ثانیه گزارش کنید." + }, + { + "title": "تشخیص درستی عبارات مربوط به تغییر متوسط و مشتق", + "introText": "برای هر عبارت ابتدا مفهوم تغییر متوسط و مشتق را بررسی می‌کنیم. سپس با توجه به خواص تابع (مانند صعودی بودن یا مقدار مشتق در نقطه) صحت عبارت را ارزیابی می‌کنیم. اگر تابع صعودی باشد، تغییر متوسط و مشتق مثبت است. همچنین بررسی می‌کنیم که آیا تغییر متوسط در بازه‌ای خاص کمتر از شیب منحنی در نقطه‌ای است یا خیر." + }, + { + "title": "محاسبه جرم با استفاده از تابع جرم و مشتق آن", + "introText": "ابتدا مقدار جرم را در بازه زمانی داده شده با جایگذاری در تابع جرم محاسبه می‌کنیم. سپس برای یافتن آهنگ رشد جرم در لحظه خاص، مشتق تابع جرم را نسبت به زمان محاسبه و مقدار آن را در آن لحظه جایگذاری می‌کنیم." + }, + { + "title": "محاسبه تغییر متوسط و تغییر لحظه‌ای حجم مایع با استفاده از تابع حجم", + "introText": "ابتدا تغییر متوسط حجم مایع در بازه زمانی داده شده را با استفاده از فرمول تغییر متوسط (تفاوت حجم در دو انتهای بازه تقسیم بر طول بازه) محاسبه می‌کنیم. سپس برای تغییر لحظه‌ای، مشتق تابع حجم نسبت به زمان را محاسبه و مقدار آن را در زمان مورد نظر جایگذاری می‌کنیم." + } + ] + } + ] + }, + { + "title": "فصل ۵: کاربردهای مشتق", + "order": 5, + "nodes": [ + { + "title": "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی", + "order": 1, + "lessons": [ + { + "title": "تحلیل رفتار تابع با استفاده از مشتق اول", + "introText": "1. تابع داده شده را مشتق اول بگیرید.\n2. نقاطی که مشتق اول صفر یا تعریف نشده است را پیدا کنید (نقاط بحرانی).\n3. با استفاده از علامت مشتق اول در بازه‌های مختلف، تعیین کنید تابع در کدام بازه‌ها صعودی و در کدام نزولی است.\n4. نقاطی که مشتق اول از مثبت به منفی تغییر علامت می‌دهد، نقاط ماکزیمم موضعی و نقاطی که از منفی به مثبت تغییر علامت می‌دهد، نقاط مینیمم موضعی هستند.\n5. نمودار تابع را بر اساس این اطلاعات ترسیم کنید." + }, + { + "title": "تعیین جهت تقعر و نقاط عطف با مشتق دوم", + "introText": "1. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید.\n2. نقاطی که مشتق دوم صفر یا تعریف نشده است را پیدا کنید.\n3. با بررسی علامت مشتق دوم در بازه‌های مختلف، تعیین کنید تابع در کدام بازه‌ها تقعر به بالا (مشتق دوم مثبت) و در کدام بازه‌ها تقعر به پایین (مشتق دوم منفی) دارد.\n4. نقاطی که مشتق دوم تغییر علامت می‌دهد، نقاط عطف هستند.\n5. نمودار تابع را با توجه به این اطلاعات رسم کنید." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع با استفاده از مشتق‌ها", + "introText": "1. تابع را بررسی و دامنه آن را مشخص کنید.\n2. مشتق اول را محاسبه و نقاط بحرانی را بیابید.\n3. با استفاده از علامت مشتق اول، بازه‌های صعودی و نزولی را تعیین کنید.\n4. مشتق دوم را محاسبه و نقاط عطف را پیدا کنید.\n5. نقاط اکسترمم و عطف را روی محور مختصات مشخص کنید.\n6. با توجه به اطلاعات به دست آمده، نمودار تابع را رسم کنید." + }, + { + "title": "یافتن نقاط بیشینه و کمینه نسبی تابع با استفاده از نمودار", + "introText": "1. نمودار تابع را بررسی کنید و نقاطی را که مقدار تابع در آنها نسبت به نقاط اطراف بیشتر است (بیشینه نسبی) یا کمتر است (کمینه نسبی) شناسایی کنید. 2. این نقاط معمولاً نقاطی هستند که شیب نمودار از مثبت به منفی یا بالعکس تغییر می‌کند. 3. برای تعیین دقیق‌تر، مشتق تابع را محاسبه کرده و نقاطی که مشتق صفر یا تعریف نشده است را بیابید. 4. با بررسی علامت مشتق در اطراف این نقاط، نوع نقطه (بیشینه یا کمینه نسبی) را تعیین کنید." + }, + { + "title": "تعریف و تشخیص بیشینه و کمینه نسبی تابع", + "introText": "1. نقطه c را در دامنه تابع f در نظر بگیرید که یک نقطه باز شامل c باشد. 2. اگر برای هر x در این باز، مقدار تابع f(x) کمتر یا مساوی f(c) باشد، f(c) را بیشینه نسبی می‌نامیم. 3. اگر برای هر x در این باز، مقدار تابع f(x) بزرگتر یا مساوی f(c) باشد، f(c) را کمینه نسبی می‌نامیم. 4. این تعریف به ما کمک می‌کند تا نقاطی را که تابع در آنها نسبت به نقاط اطراف خود حداکثر یا حداقل محلی دارد، شناسایی کنیم." + }, + { + "title": "یافتن نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی و مطلق تابع", + "introText": "1. نقاط بحرانی تابع را با مشتق‌گیری و مساوی صفر قرار دادن مشتق پیدا کنید.\n2. با استفاده از نمودار یا تست علامت مشتق در بازه‌های مختلف، نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی را تعیین کنید.\n3. برای یافتن ماکزیمم و مینیمم مطلق، مقادیر تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی دامنه بررسی کنید.\n4. مقادیر بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع در مجموعه مورد نظر به ترتیب ماکزیمم و مینیمم مطلق هستند." + }, + { + "title": "تشخیص نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی و مطلق از نمودار", + "introText": "1. نقاطی که در آن‌ها تابع تغییر جهت می‌دهد (از افزایش به کاهش یا بالعکس) را پیدا کنید. 2. نقاطی که تابع در همسایگی آن‌ها بزرگترین مقدار را دارد ماکزیمم نسبی هستند. 3. نقاطی که تابع در همسایگی آن‌ها کوچکترین مقدار را دارد مینیمم نسبی هستند. 4. نقاطی که مقدار تابع در کل بازه تعریف بزرگترین یا کوچکترین مقدار است ماکزیمم یا مینیمم مطلق نامیده می‌شوند. 5. با بررسی نمودار و مقایسه مقادیر تابع در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی بازه، ماکزیمم و مینیمم مطلق را تعیین کنید." + }, + { + "title": "تعیین مقادیر و طول نقاط اکسترمم نسبی و مطلق از نمودار تابع", + "introText": "1. نقاطی که تابع در آن‌ها بیشینه یا کمینه محلی دارد را از روی نمودار پیدا کنید. 2. مقدار تابع را در این نقاط با توجه به محور y تعیین کنید. 3. طول نقاط اکسترمم نسبی و مطلق را با توجه به فاصله آن‌ها از مبدأ یا نقاط دیگر روی محور x مشخص کنید. 4. مقادیر و طول‌های به دست آمده را یادداشت کنید." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع با شرایط داده شده برای نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی", + "introText": "1. نقاط داده شده برای ماکزیمم و مینیمم نسبی را روی محور x مشخص کنید. 2. در نقاط ماکزیمم نسبی، تابع باید بیشینه محلی داشته باشد، یعنی مشتق اول صفر و تغییر علامت از مثبت به منفی. 3. در نقاط مینیمم نسبی، تابع باید کمینه محلی داشته باشد، یعنی مشتق اول صفر و تغییر علامت از منفی به مثبت. 4. با توجه به این شرایط، نمودار تابع را رسم کنید به طوری که در نقاط داده شده این ویژگی‌ها رعایت شود. 5. نقاط دیگر تابع را با توجه به رفتار کلی تابع و شرایط داده شده تکمیل کنید." + }, + { + "title": "بررسی ماکزیمم و مینیمم مطلق و اکسترمم‌های مطلق تابع", + "introText": "1. تابع داده شده را در بازه‌های مشخص شده بررسی کنید.\n2. نقاط بحرانی را با مشتق‌گیری و مساوی صفر قرار دادن مشتق پیدا کنید.\n3. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی بازه محاسبه کنید.\n4. بزرگترین مقدار به عنوان ماکزیمم مطلق و کوچکترین مقدار به عنوان مینیمم مطلق انتخاب می‌شود.\n5. برای بررسی وجود اکسترمم‌های مطلق روی کل دامنه، نقاط بحرانی و رفتار تابع در بی‌نهایت را بررسی کنید." + }, + { + "title": "تحلیل نقاطی که مشتق وجود دارد یا ندارد و اکسترمم نسبی", + "introText": "1. نقاطی که در نمودار تابع، مماس افقی دارند را مشخص کنید؛ این نقاط جایی هستند که مشتق وجود دارد و برابر صفر است.\n2. نقاطی که مشتق وجود ندارد را با بررسی نقاطی که نمودار تیز یا گوشه دارد، تعیین کنید.\n3. نقاطی که مشتق صفر است ولی اکسترمم نسبی نیستند را با بررسی تغییر علامت مشتق قبل و بعد از آن نقاط مشخص کنید.\n4. بررسی کنید آیا در همه نقاطی که مشتق نسبی وجود دارد، اکسترمم نسبی نیز وجود دارد یا خیر.\n5. مقدار مشتق در نقاطی که مشتق وجود دارد را محاسبه کنید." + }, + { + "title": "بررسی وجود ماکزیمم و مینیمم مطلق در بازه‌های بسته", + "introText": "1. ابتدا بررسی کنید که تابع در بازه مورد نظر پیوسته باشد. 2. نقاط بحرانی تابع را در بازه پیدا کنید (نقاطی که مشتق صفر یا مشتق وجود ندارد). 3. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی بازه محاسبه کنید. 4. بزرگترین مقدار به عنوان ماکزیمم مطلق و کوچکترین مقدار به عنوان مینیمم مطلق در بازه بسته تعیین می‌شود." + }, + { + "title": "بررسی وجود ماکزیمم و مینیمم مطلق در بازه‌های باز", + "introText": "1. ابتدا نقاط بحرانی تابع را در بازه باز پیدا کنید. 2. مقدار تابع را در نقاط بحرانی محاسبه کنید. 3. چون بازه باز است، نقاط انتهایی بازه در نظر گرفته نمی‌شوند. 4. اگر بزرگترین یا کوچکترین مقدار در نقاط بحرانی وجود داشته باشد، آن‌ها به عنوان ماکزیمم یا مینیمم مطلق در بازه باز تعیین می‌شوند. در غیر این صورت، ماکزیمم یا مینیمم مطلق وجود ندارد." + }, + { + "title": "یافتن نقاط بحرانی تابع", + "introText": "۱. تابع و بازه تعریف آن را مشخص کنید.\n۲. مشتق تابع را محاسبه کنید.\n۳. نقاطی که مشتق در آنها صفر است یا مشتق وجود ندارد را بیابید.\n۴. نقاط انتهایی بازه را نیز در نظر بگیرید.\n۵. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی بازه محاسبه کنید.\n۶. نقاطی که مقدار تابع در آنها بیشینه یا کمینه مطلق است را تعیین کنید." + }, + { + "title": "یافتن نقاط ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع با مشتق‌پذیری و نقاط بحرانی", + "introText": "1. تابع را در بازه داده شده بررسی کنید و نقاط انتهایی بازه را مشخص کنید.\n2. نقاطی که مشتق تابع صفر یا مشتق‌پذیر نیست (نقاط بحرانی) را پیدا کنید.\n3. مشتق چپ و راست در نقاط بحرانی را محاسبه کنید تا وجود مشتق‌پذیری بررسی شود.\n4. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی بازه محاسبه کنید.\n5. با مقایسه مقادیر تابع در این نقاط، ماکزیمم و مینیمم مطلق را تعیین کنید." + }, + { + "title": "بهینه‌سازی حجم جعبه با استفاده از مشتق", + "introText": "1. متغیرهای مسئله را تعریف کنید (مثلاً طول ضلع مربع بریده شده از گوشه‌ها).\n2. با توجه به ابعاد ورق و اندازه‌های بریده شده، طول، عرض و ارتفاع جعبه را به صورت تابعی از متغیر تعریف کنید.\n3. تابع حجم جعبه را بر حسب متغیر تعریف کنید.\n4. مشتق تابع حجم را محاسبه کنید.\n5. نقاط بحرانی را با حل معادله مشتق برابر صفر پیدا کنید.\n6. مقدار تابع حجم را در نقاط بحرانی و نقاط مرزی بررسی کنید تا بیشینه حجم را بیابید." + }, + { + "title": "یافتن نقاط بحرانی و ماکزیمم مطلق تابع", + "introText": "1. مشتق تابع را محاسبه کنید.\n2. معادله مشتق برابر صفر را حل کنید تا نقاط بحرانی را بیابید.\n3. نقاط بحرانی را بررسی کنید که در بازه مورد نظر قرار دارند یا خیر.\n4. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی بازه محاسبه کنید.\n5. بزرگترین مقدار به دست آمده ماکزیمم مطلق تابع در بازه است." + }, + { + "title": "بیشینه کردن حجم استوانه محاط در کره", + "introText": "1. رابطه بین شعاع استوانه و ارتفاع آن را با استفاده از هندسه کره بنویسید.\n2. حجم استوانه را به صورت تابعی از ارتفاع یا شعاع بیان کنید.\n3. مشتق حجم نسبت به متغیر مستقل را محاسبه کنید.\n4. نقاط بحرانی را با حل معادله مشتق برابر صفر بیابید.\n5. مقدار حجم را در نقاط بحرانی و بازه بررسی کنید تا بیشینه حجم را تعیین کنید." + }, + { + "title": "تشخیص بازه‌های صعودی و نزولی تابع با استفاده از نمودار و مشتق", + "introText": "1. ابتدا نقاطی که شیب خط مماس در آن‌ها صفر است (نقاط بحرانی) را روی نمودار مشخص کنید. 2. بازه‌های بین این نقاط را تعیین کنید. 3. در هر بازه، علامت شیب خط مماس (مشتق تابع) را بررسی کنید: اگر شیب مثبت بود، تابع در آن بازه صعودی است؛ اگر شیب منفی بود، تابع نزولی است؛ اگر شیب صفر بود، تابع ثابت است. 4. برای تعیین علامت مشتق در هر بازه می‌توان از رسم مماس‌ها یا محاسبه مشتق استفاده کرد." + }, + { + "title": "تعیین بازه‌های مثبت و منفی بودن مشتق تابع", + "introText": "1. نقاطی که مشتق برابر صفر است را پیدا کنید (نقاط بحرانی). 2. بازه‌های بین این نقاط را مشخص کنید. 3. در هر بازه، علامت مشتق را تعیین کنید. 4. اگر مشتق در بازه‌ای مثبت باشد، تابع در آن بازه صعودی است و اگر منفی باشد، تابع نزولی است." + }, + { + "title": "تعیین بازه‌های صعودی، نزولی و ثابت بودن تابع با استفاده از مشتق", + "introText": "1. نقاطی که مشتق برابر صفر است را مشخص کنید (نقاط بحرانی). 2. بازه‌های بین این نقاط را تعیین کنید. 3. در هر بازه، علامت مشتق را بررسی کنید: اگر مشتق مثبت بود، تابع در آن بازه صعودی است؛ اگر مشتق منفی بود، تابع نزولی است؛ اگر مشتق صفر بود، تابع ثابت است." + }, + { + "title": "تحلیل رفتار تابع با استفاده از مشتق", + "introText": "1. تابع را در بازه مورد نظر بررسی کنید.\n2. مشتق تابع را در بازه‌های مختلف محاسبه کنید.\n3. علامت مشتق را در هر بازه تعیین کنید: اگر مشتق مثبت باشد تابع صعودی، اگر منفی باشد تابع نزولی و اگر صفر باشد تابع ثابت است.\n4. نقاط تغییر علامت مشتق را به عنوان نقاط بحرانی در نظر بگیرید.\n5. نمودار تابع را بر اساس این تحلیل رسم کنید." + }, + { + "title": "تشخیص صعودی یا نزولی بودن تابع با مشتق", + "introText": "1. فرض کنید تابع f در بازه [a, b] پیوسته و مشتق‌پذیر باشد.\n2. اگر مشتق تابع f در تمام نقاط بازه (a, b) مثبت باشد، تابع در بازه [a, b] صعودی است.\n3. اگر مشتق تابع f در تمام نقاط بازه (a, b) منفی باشد، تابع در بازه [a, b] نزولی است.\n4. اگر مشتق تابع f در تمام نقاط بازه (a, b) صفر باشد، تابع در بازه [a, b] ثابت است." + }, + { + "title": "بررسی صعودی بودن تابع‌های چندجمله‌ای و تابع‌های بخش‌بندی شده", + "introText": "1. تابع را در هر بخش جداگانه بررسی کنید.\n2. مشتق هر بخش را محاسبه کنید.\n3. علامت مشتق را در هر بخش تعیین کنید تا صعودی یا نزولی بودن تابع مشخص شود.\n4. نقاط اتصال بخش‌ها را بررسی کنید که آیا مشتق‌پذیر است یا خیر.\n5. بر اساس این تحلیل، نمودار تابع را رسم کنید." + }, + { + "title": "تشخیص نقاط بحرانی و نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی", + "introText": "1. نقطه c را که در بازه (a,b) قرار دارد و مشتق در آن صفر است، به عنوان نقطه بحرانی در نظر می‌گیریم.\n2. بررسی علامت مشتق f' در بازه‌های (a,c) و (c,b) انجام می‌شود.\n3. اگر مشتق در سمت چپ c مثبت (صعودی) و در سمت راست c منفی (نزولی) باشد، نقطه c ماکزیمم نسبی است.\n4. اگر مشتق در سمت چپ c منفی (نزولی) و در سمت راست c مثبت (صعودی) باشد، نقطه c مینیمم نسبی است.\n5. اگر علامت مشتق تغییر نکند، نقطه c نقطه اکسترمم نسبی نیست." + }, + { + "title": "نوشتن شرایط مینیمم نسبی با تغییر علامت مشتق", + "introText": "1. نقطه c را که مشتق در آن صفر است، به عنوان نقطه بحرانی در نظر می‌گیریم.\n2. علامت مشتق f' را در بازه‌های (a,c) و (c,b) بررسی می‌کنیم.\n3. اگر مشتق در سمت چپ c منفی (نزولی) و در سمت راست c مثبت (صعودی) باشد، نقطه c مینیمم نسبی است.\n4. معادله یا شرایط مشابه برای مینیمم نسبی نوشته می‌شود." + }, + { + "title": "بررسی علامت مشتق و تعیین نقطه اکسترمم نسبی از روی نمودار", + "introText": "1. نقطه c را که مشتق در آن صفر است، مشخص می‌کنیم.\n2. علامت مشتق f' را در دو طرف نقطه c بررسی می‌کنیم.\n3. اگر علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر کند، نقطه c ماکزیمم نسبی است.\n4. اگر علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر کند، نقطه c مینیمم نسبی است.\n5. اگر علامت مشتق تغییر نکند، نقطه c اکسترمم نسبی نیست." + }, + { + "title": "تعیین نقاط بحرانی و بازه‌های صعود و نزول تابع", + "introText": "1. تابع داده شده را در بازه مشخص شده در نظر بگیرید.\n2. مشتق اول تابع را محاسبه کنید.\n3. نقاطی که مشتق اول صفر می‌شود یا مشتق وجود ندارد را به عنوان نقاط بحرانی تعیین کنید.\n4. نقاط انتهایی بازه را نیز در نظر بگیرید.\n5. بازه را به بخش‌هایی تقسیم کنید که بین نقاط بحرانی و انتهایی قرار دارند.\n6. علامت مشتق اول را در هر بخش بررسی کنید (مثبت یا منفی).\n7. اگر مشتق اول در بازه‌ای مثبت باشد، تابع در آن بازه صعودی است.\n8. اگر مشتق اول در بازه‌ای منفی باشد، تابع در آن بازه نزولی است.\n9. نقاطی که مشتق اول از مثبت به منفی تغییر علامت می‌دهد، نقاط ماکزیمم نسبی هستند.\n10. نقاطی که مشتق اول از منفی به مثبت تغییر علامت می‌دهد، نقاط مینیمم نسبی هستند." + }, + { + "title": "تحلیل تغییرات تابع با استفاده از جدول تغییرات مشتق", + "introText": "۱. نقاط بحرانی تابع را با یافتن نقاطی که مشتق اول صفر یا تعریف نشده است، مشخص کنید.\n۲. علامت مشتق اول را در بازه‌های بین نقاط بحرانی بررسی کنید.\n۳. اگر مشتق اول در بازه‌ای مثبت باشد، تابع در آن بازه صعودی است و اگر منفی باشد، تابع نزولی است.\n۴. نقاطی که مشتق از مثبت به منفی تغییر می‌کند، نقاط ماکزیمم نسبی هستند.\n۵. نقاطی که مشتق از منفی به مثبت تغییر می‌کند، نقاط مینیمم نسبی هستند.\n۶. مقدار تابع را در نقاط بحرانی محاسبه کنید تا مقدار ماکزیمم و مینیمم نسبی را بیابید." + }, + { + "title": "تحلیل صعودی و نزولی بودن تابع با استفاده از نمودار مشتق اول", + "introText": "۱. نمودار مشتق اول تابع را بررسی کنید.\n۲. نقاطی که مشتق اول صفر است یا نمودار مشتق از مثبت به منفی یا بالعکس تغییر می‌کند را مشخص کنید.\n۳. در بازه‌هایی که نمودار مشتق بالای محور x است، تابع صعودی است.\n۴. در بازه‌هایی که نمودار مشتق زیر محور x است، تابع نزولی است.\n۵. نقاطی که مشتق از مثبت به منفی تغییر می‌کند، نقاط ماکزیمم نسبی و نقاطی که از منفی به مثبت تغییر می‌کند، نقاط مینیمم نسبی هستند." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع با شرایط خاص مشتق و نقاط اکسترمم", + "introText": "1. شرایط داده شده برای نقاط ماکزیمم و مینیمم را بررسی کنید.\n2. مشتق تابع را محاسبه کنید و نقاطی که مشتق صفر است یا مشتق وجود ندارد را مشخص کنید.\n3. نقاط پیوستگی و ناپیوستگی تابع را تعیین کنید.\n4. با توجه به شرایط داده شده، نمودار تابع را رسم کنید به طوری که نقاط ماکزیمم و مینیمم و نقاطی که مشتق صفر است یا ندارد رعایت شود." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع پیوسته با ماکزیمم و مینیمم مطلق", + "introText": "1. تابع را در دامنه داده شده بررسی کنید.\n2. نقاط بحرانی را با مشتق‌گیری پیدا کنید.\n3. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی دامنه محاسبه کنید.\n4. نقاطی که مقدار تابع در آن‌ها بیشینه یا کمینه مطلق است را مشخص کنید.\n5. نمودار تابع را به گونه‌ای رسم کنید که ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع مشخص باشد." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع صعودی و نزولی در بازه‌های مشخص", + "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید.\n2. مشتق تابع را محاسبه کنید.\n3. علامت مشتق را در بازه‌های داده شده تعیین کنید.\n4. اگر مشتق در بازه مثبت باشد، تابع صعودی است و اگر منفی باشد، تابع نزولی است.\n5. نمودار تابع را با توجه به صعودی یا نزولی بودن در بازه رسم کنید." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع با اکسترمم نسبی و پیوستگی در بازه", + "introText": "1. تابع را در بازه داده شده بررسی کنید.\n2. نقاطی که مشتق صفر یا مشتق ندارد را پیدا کنید.\n3. نقاط اکسترمم نسبی را با استفاده از تغییر علامت مشتق تعیین کنید.\n4. پیوستگی تابع را در نقاط مختلف بازه بررسی کنید.\n5. نمودار تابع را طوری رسم کنید که شرایط اکسترمم نسبی و پیوستگی یا ناپیوستگی در بازه رعایت شود." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع با ماکزیمم مطلق و بدون ماکزیمم مطلق", + "introText": "1. تابع را بررسی کنید و نقاط بحرانی را پیدا کنید.\n2. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی دامنه محاسبه کنید.\n3. اگر تابع ماکزیمم مطلق ندارد، نمودار را طوری رسم کنید که تابع در هیچ نقطه‌ای بیشینه مطلق نداشته باشد.\n4. اگر تابع ماکزیمم مطلق دارد، نمودار را طوری رسم کنید که بیشینه مطلق مشخص باشد." + }, + { + "title": "یافتن نقاط اکسترمم نسبی و مطلق توابع داده شده در بازه‌ها", + "introText": "1. مشتق تابع را محاسبه کنید.\n2. نقاطی که مشتق صفر یا مشتق ندارد را پیدا کنید.\n3. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی دامنه محاسبه کنید.\n4. نقاطی که مقدار تابع در آن‌ها بیشینه یا کمینه نسبی یا مطلق است را تعیین کنید.\n5. نقاط اکسترمم نسبی و مطلق را مشخص کنید." + }, + { + "title": "یافتن ضرایب تابع برای داشتن مینیمم نسبی در نقطه مشخص", + "introText": "1. تابع داده شده را بنویسید. 2. مشتق اول تابع را محاسبه کنید. 3. مشتق اول را برابر صفر قرار دهید و ضرایب را به گونه‌ای بیابید که در نقطه داده شده مشتق صفر شود. 4. مشتق دوم را محاسبه کنید و بررسی کنید که در آن نقطه مثبت باشد تا مینیمم نسبی تایید شود." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع با شرایط داده شده و تعیین ماکزیمم نسبی", + "introText": "1. شرایط داده شده برای مقادیر تابع در نقاط مشخص را یادداشت کنید. 2. تابع را طوری فرض کنید که این شرایط را برآورده کند. 3. مشتق اول را محاسبه کنید و بررسی کنید که در نقطه داده شده مشتق صفر باشد تا ماکزیمم نسبی تایید شود. 4. نمودار تابع را با توجه به این شرایط رسم کنید." + }, + { + "title": "بهینه‌سازی حجم مکعب ساخته شده از کاغذ مستطیل با ابعاد متغیر", + "introText": "1. تعریف متغیرها و نوشتن رابطه حجم بر حسب متغیرها. 2. استفاده از محدودیت‌های داده شده برای بیان یک متغیر بر حسب دیگری. 3. تابع حجم را به صورت تک متغیره بنویسید. 4. مشتق تابع حجم را محاسبه کنید و برابر صفر قرار دهید. 5. نقاط بحرانی را بیابید و با استفاده از مشتق دوم یا بررسی مقدار تابع، بیشینه حجم را تعیین کنید." + }, + { + "title": "بهینه‌سازی مساحت مستطیل محاط در نیم‌دایره با شعاع داده شده", + "introText": "1. تعریف متغیرهای طول و عرض مستطیل. 2. استفاده از رابطه محیط یا شرایط هندسی نیم‌دایره برای بیان یک متغیر بر حسب دیگری. 3. نوشتن تابع مساحت مستطیل بر حسب یک متغیر. 4. مشتق تابع مساحت را محاسبه و برابر صفر قرار دهید. 5. نقاط بحرانی را بیابید و بیشینه مساحت را تعیین کنید." + }, + { + "title": "تعیین بازه‌های صعود و نزول توابع چندجمله‌ای و کسری", + "introText": "1. مشتق اول تابع را محاسبه کنید. 2. نقاطی که مشتق اول صفر یا تعریف نشده است را بیابید (نقاط بحرانی). 3. علامت مشتق اول را در بازه‌های بین نقاط بحرانی بررسی کنید. 4. بازه‌هایی که مشتق اول مثبت است، بازه صعود و بازه‌هایی که منفی است، بازه نزول هستند." + } + ] + }, + { + "title": "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن", + "order": 2, + "lessons": [ + { + "title": "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه عطف آن", + "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید و مشتق اول آن را بیابید.\n2. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید.\n3. نقاطی که مشتق دوم صفر می‌شود را پیدا کنید؛ این نقاط کاندیدای نقاط عطف هستند.\n4. جهت تقعر تابع را با توجه به علامت مشتق دوم در بازه‌های مختلف تعیین کنید: اگر مشتق دوم مثبت باشد، تقعر به سمت بالا است و اگر منفی باشد، تقعر به سمت پایین است.\n5. نقاطی که جهت تقعر تغییر می‌کند، نقاط عطف تابع هستند.\n6. برای رسم خطوط مماس، شیب خطوط مماس را از مشتق اول در نقاط مورد نظر به دست آورید." + }, + { + "title": "تحلیل تغییرات شیب خطوط مماس و جهت تقعر منحنی‌ها", + "introText": "1. ابتدا تابع داده شده را بررسی کنید و نقاط مورد نظر را مشخص کنید.\n2. شیب خطوط مماس را با محاسبه مشتق اول تابع در نقاط مختلف به دست آورید.\n3. جهت تغییرات شیب (افزایش یا کاهش) را بررسی کنید تا جهت تقعر منحنی مشخص شود.\n4. با توجه به تغییرات مشتق اول و دوم، جهت صعودی یا نزولی بودن تابع و علامت مشتق دوم را تعیین کنید.\n5. نتیجه‌گیری درباره جهت تقعر و شیب خطوط مماس در نقاط مختلف انجام دهید." + }, + { + "title": "تعیین صعودی یا نزولی بودن تابع با استفاده از مشتق اول", + "introText": "1. مشتق اول تابع را در بازه مورد نظر محاسبه کنید.\n2. علامت مشتق اول را در بازه بررسی کنید: اگر مشتق اول مثبت باشد، تابع صعودی است و اگر منفی باشد، تابع نزولی است.\n3. نقاطی که مشتق اول صفر یا تعریف نشده است را برای تغییر علامت بررسی کنید.\n4. نتیجه‌گیری درباره صعودی یا نزولی بودن تابع در بازه انجام دهید." + }, + { + "title": "تعیین علامت مشتق اول و دوم و ارتباط آن با صعودی یا نزولی بودن و جهت تقعر تابع", + "introText": "1. مشتق اول تابع را در بازه مورد نظر محاسبه و علامت آن را بررسی کنید.\n2. اگر مشتق اول مثبت باشد، تابع صعودی و اگر منفی باشد، تابع نزولی است.\n3. مشتق دوم تابع را محاسبه و علامت آن را بررسی کنید.\n4. اگر مشتق دوم مثبت باشد، جهت تقعر تابع رو به بالا و اگر منفی باشد، رو به پایین است.\n5. با ترکیب این اطلاعات، رفتار کلی تابع را در بازه مشخص کنید." + }, + { + "title": "تعیین جهت تقعر نمودار تابع با استفاده از مشتق دوم", + "introText": "1. تابع مورد نظر را در بازه مشخص شده بررسی کنید.\n2. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید.\n3. اگر مشتق دوم در بازه مثبت باشد، نمودار تابع در آن بازه تقعر رو به بالا دارد.\n4. اگر مشتق دوم در بازه منفی باشد، نمودار تابع در آن بازه تقعر رو به پایین دارد.\n5. اگر مشتق دوم در بازه صفر باشد، این روش برای تعیین جهت تقعر بی‌نتیجه است." + }, + { + "title": "تحلیل تغییرات نمودار با استفاده از مشتق دوم", + "introText": "1. مشتق اول تابع را پیدا کنید.\n2. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید.\n3. نقاطی که مشتق دوم صفر می‌شود را بیابید (نقاط عطف احتمالی).\n4. علامت مشتق دوم را در بازه‌های مختلف بررسی کنید.\n5. اگر مشتق دوم در بازه‌ای مثبت باشد، نمودار در آن بازه تقعر به بالا دارد.\n6. اگر مشتق دوم در بازه‌ای منفی باشد، نمودار در آن بازه تقعر به پایین دارد.\n7. با توجه به این تحلیل، جهت تقعر نمودار را در بازه‌های مختلف مشخص کنید." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع با شرایط مشتق دوم و مقادیر تابع", + "introText": "1. مقادیر داده شده تابع را در نقاط مشخص شده یادداشت کنید.\n2. بازه‌های داده شده را بررسی کنید و علامت مشتق دوم را در هر بازه مشخص کنید.\n3. با توجه به علامت مشتق دوم، جهت تقعر نمودار را در هر بازه تعیین کنید.\n4. نقاطی که مشتق دوم تغییر علامت می‌دهد را به عنوان نقاط عطف در نظر بگیرید.\n5. نمودار تابع را با توجه به مقادیر تابع و جهت تقعر در بازه‌ها رسم کنید." + }, + { + "title": "یافتن نقطه عطف نمودار تابع", + "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید و مشتق اول و مشتق دوم آن را بیابید.\n2. نقاطی که مشتق دوم برابر صفر است را پیدا کنید (f''(c) = 0).\n3. بررسی کنید که در این نقاط، جهت تقعر تابع تغییر می‌کند؛ یعنی مشتق دوم در یک طرف نقطه مثبت و در طرف دیگر منفی باشد.\n4. اگر شرط تغییر تقعر برقرار بود و مشتق اول در آن نقطه وجود داشت (یا خط مماس قائم بود)، آن نقطه را نقطه عطف می‌نامیم." + }, + { + "title": "تشخیص و رسم نقاط عطف و خطوط مماس بر منحنی", + "introText": "1. مشتق اول و دوم تابع را بیابید.\n2. نقاطی که مشتق دوم در آنها صفر می‌شود را پیدا کنید.\n3. بررسی کنید که آیا علامت مشتق دوم در اطراف این نقاط تغییر می‌کند یا خیر.\n4. اگر علامت تغییر کند، آن نقطه، نقطه عطف است.\n5. در نقاط عطف، خط مماس بر منحنی را با استفاده از مشتق اول و مقدار تابع در آن نقطه رسم کنید." + }, + { + "title": "تشخیص درست یا نادرست بودن گزاره‌های مربوط به نقاط عطف", + "introText": "1. مفهوم نقطه عطف را مرور کنید: نقطه‌ای که مشتق دوم در آن صفر شده و علامت مشتق دوم در اطراف آن تغییر می‌کند.\n2. هر گزاره را با توجه به تعریف و ویژگی‌های نقاط عطف بررسی کنید.\n3. اگر گزاره با تعریف و ویژگی‌ها همخوانی داشت، درست است وگرنه نادرست است.\n4. برای گزاره‌های نادرست، مثال نقضی ارائه دهید که خلاف آن را نشان دهد." + }, + { + "title": "تعیین جهت تقعر و نقاط عطف تابع", + "introText": "1. مشتق اول تابع را محاسبه کنید.\n2. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید.\n3. نقاطی که مشتق دوم برابر صفر می‌شود را پیدا کنید (نامزدهای نقاط عطف).\n4. بررسی کنید که مشتق دوم در دو طرف هر نقطه نامزد، علامتش تغییر می‌کند یا خیر.\n5. اگر تغییر علامت وجود داشت، آن نقطه را نقطه عطف در نظر بگیرید.\n6. جهت تقعر تابع را با توجه به علامت مشتق دوم مشخص کنید: اگر مشتق دوم مثبت باشد، تقعر به بالا و اگر منفی باشد، تقعر به پایین است." + }, + { + "title": "تحلیل نمودار مشتق اول و تعیین نقاط عطف", + "introText": "1. نمودار مشتق اول تابع را بررسی کنید.\n2. نقاطی که مشتق اول صفر می‌شود را مشخص کنید.\n3. با توجه به نمودار مشتق اول، تغییرات علامت آن را در بازه‌های مختلف بررسی کنید.\n4. مشتق دوم تابع را از روی تغییرات مشتق اول تحلیل کنید: اگر مشتق اول از کاهش به افزایش تغییر کند، مشتق دوم مثبت است و بالعکس.\n5. نقاطی که مشتق دوم تغییر علامت می‌دهد، نقاط عطف تابع هستند.\n6. جدول تغییرات مشتق دوم و تابع را رسم کنید تا جهت تقعر و نقاط عطف مشخص شود." + }, + { + "title": "تحلیل تغییرات و نقاط عطف تابع با استفاده از مشتق دوم", + "introText": "1. تابع داده شده را بنویسید و مشتق اول آن را محاسبه کنید.\n2. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید.\n3. علامت مشتق دوم را در بازه‌های مختلف بررسی کنید تا جهت تقعر تابع مشخص شود: اگر مشتق دوم مثبت باشد، تقعر به سمت بالا و اگر منفی باشد، تقعر به سمت پایین است.\n4. نقاطی که مشتق دوم تغییر علامت می‌دهد، نقاط عطف تابع هستند.\n5. در این نقاط، بررسی کنید که مشتق اول وجود دارد یا خیر. اگر مشتق اول در آن نقطه وجود داشته باشد و تغییر جهت تقعر رخ دهد، آن نقطه نقطه عطف است.\n6. در صورت نیاز، نمودار تابع را رسم کنید تا تغییرات تقعر و نقاط عطف را بهتر مشاهده کنید." + }, + { + "title": "تشخیص نمودار تابع از نمودار مشتق", + "introText": "1. نمودار مشتق تابع نشان‌دهنده شیب نمودار تابع است. 2. نقاطی که مشتق صفر می‌شود، نقاط بحرانی تابع هستند که می‌توانند نقاط ماکزیمم، مینیمم یا نقاط عطف باشند. 3. اگر نمودار مشتق مثبت باشد، نمودار تابع صعودی است و اگر منفی باشد، نمودار تابع نزولی است. 4. با بررسی تغییر علامت مشتق در نقاط بحرانی، می‌توان نوع نقاط بحرانی را تعیین کرد. 5. با تطبیق این ویژگی‌ها با نمودارهای داده شده، نمودار تابع اصلی را از نمودارهای مشتق تشخیص می‌دهیم." + }, + { + "title": "تشخیص نمودار تابع و بررسی تک‌نقطه عطف", + "introText": "1. نمودارهای داده شده را بررسی کنید و ویژگی‌های تغییر جهت تقعر را شناسایی کنید. 2. مشتق دوم تابع را در نقاط مختلف بررسی کنید تا نقاطی که مشتق دوم صفر یا تعریف نشده است را بیابید. 3. جهت تقعر را قبل و بعد از این نقاط بررسی کنید. اگر جهت تقعر تغییر کند، آن نقطه نقطه عطف است. 4. نموداری که جهت تقعر آن در نقاط مشخص شده تغییر کند، می‌تواند نمودار تابع مورد نظر باشد." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع با نقطه عطف مشخص", + "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید و مشتق اول و دوم آن را محاسبه کنید. 2. نقاطی که مشتق دوم صفر یا تعریف نشده است را بیابید. 3. جهت تقعر را قبل و بعد از این نقاط بررسی کنید تا نقاط عطف را تعیین کنید. 4. نمودار تابع را طوری رسم کنید که جهت تقعر در نقاط عطف تغییر کند ولی خود نقطه عطف نقطه تقعر نباشد." + }, + { + "title": "یافتن جهت تقعر و نقاط عطف توابع مختلف", + "introText": "1. تابع داده شده را در دامنه‌اش بررسی کنید. 2. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید. 3. نقاطی که مشتق دوم صفر یا تعریف نشده است را بیابید. 4. جهت تقعر را در بازه‌های مختلف بررسی کنید. 5. نقاطی که جهت تقعر تغییر کند را به عنوان نقاط عطف تعیین کنید." + }, + { + "title": "یافتن ضرایب تابع درجه سه با شرایط نقطه عطف و مقادیر تابع", + "introText": "1. تابع درجه سه را به صورت y = ax³ + bx² + cx + d در نظر بگیرید. 2. مشتق اول و دوم تابع را محاسبه کنید. 3. شرایط داده شده مانند مقدار تابع در نقاط مشخص و وجود نقطه عطف را به معادلات تبدیل کنید. 4. معادلات را حل کنید تا ضرایب a، b، c و d را بیابید." + }, + { + "title": "یافتن ضرایب تابع درجه سه با نقطه عطف و نمودار داده شده", + "introText": "1. تابع درجه سه را به صورت y = x³ + ax² + bx + c در نظر بگیرید. 2. مشتق اول و دوم تابع را محاسبه کنید. 3. نقطه عطف داده شده (0,0) را در معادلات تابع و مشتق دوم قرار دهید. 4. از شرایط نمودار برای تعیین مقادیر a، b و c استفاده کنید. 5. معادلات به دست آمده را حل کنید." + } + ] + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع", + "order": 3, + "lessons": [ + { + "title": "رسم نمودار تابع با استفاده از مشتق‌ها", + "introText": "۱. ابتدا نقاطی که مشتق اول صفر یا تعریف نشده است را پیدا کنید (ریشه‌های f'). ۲. با استفاده از علامت مشتق اول در بازه‌های بین این نقاط، افزایش یا کاهش تابع را تعیین کنید. ۳. نقاطی که مشتق اول تغییر علامت می‌دهد، نقاط حداقل یا حداکثر نسبی هستند. ۴. مشتق دوم را محاسبه کنید و علامت آن را در نقاط بحرانی بررسی کنید تا نقاط عطف را بیابید. ۵. با استفاده از این اطلاعات، نمودار تقریبی تابع را رسم کنید." + }, + { + "title": "تحلیل رفتار تابع با استفاده از مشتق اول و دوم", + "introText": "۱. دامنه تابع را مشخص کنید.\n۲. نقاط تلاقی نمودار تابع با محورهای مختصات را بیابید.\n۳. مشتق اول تابع را محاسبه کرده و علامت آن را در بازه‌های مختلف تعیین کنید تا بازه‌های صعودی و نزولی مشخص شود.\n۴. نقاط بحرانی را با حل معادله مشتق اول برابر صفر پیدا کنید.\n۵. مشتق دوم تابع را محاسبه کرده و علامت آن را در بازه‌های مختلف تعیین کنید تا نقاط عطف مشخص شوند.\n۶. رفتار تابع را برای مقادیر بسیار بزرگ و بسیار کوچک x بررسی کنید.\n۷. معادله مجانب‌های تابع را در صورت وجود به دست آورید.\n۸. با استفاده از اطلاعات به دست آمده، جدول رفتار تابع را تنظیم کنید.\n۹. نمودار تابع را با توجه به جدول رفتار رسم کنید.\n۱۰. در صورت نیاز از نقاط کمکی برای رسم دقیق‌تر نمودار استفاده کنید." + }, + { + "title": "رسم جدول رفتار و نمودار تابع چندجمله‌ای", + "introText": "۱. تابع چندجمله‌ای داده شده را بررسی کنید.\n۲. دامنه تابع را مشخص کنید.\n۳. نقاطی که تابع با محور x برخورد می‌کند را پیدا کنید (ریشه‌های تابع).\n۴. مشتق اول تابع را محاسبه کنید.\n۵. نقاطی که مشتق اول صفر می‌شود را پیدا کنید (نقاط بحرانی).\n۶. با استفاده از مشتق اول، علامت مشتق را در بازه‌های مختلف تعیین کنید تا رفتار تابع (صعودی یا نزولی) مشخص شود.\n۷. نقاط برخورد تابع با محور y را مشخص کنید.\n۸. جدول رفتار تابع را رسم کنید و سپس نمودار تابع را بر اساس آن ترسیم کنید." + }, + { + "title": "تحلیل نقاط بحرانی و نقاط عطف تابع", + "introText": "1. مشتق اول تابع را محاسبه کنید.\n2. نقاطی که مشتق اول صفر یا تعریف نشده است را بیابید (نقاط بحرانی).\n3. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید.\n4. نقاطی که مشتق دوم صفر یا تعریف نشده است را بیابید (نامزدهای نقاط عطف).\n5. با بررسی تغییر علامت مشتق دوم در اطراف این نقاط، نقاط عطف را تعیین کنید.\n6. با بررسی علامت مشتق اول در اطراف نقاط بحرانی، نوع نقاط بحرانی (حداکثر یا حداقل) را مشخص کنید.\n7. حدهای تابع در بی‌نهایت را بررسی کنید تا رفتار تابع در دوردست‌ها را بفهمید.\n8. نمودار تغییرات مشتق اول، مشتق دوم و خود تابع را رسم کنید تا تحلیل کامل شود." + }, + { + "title": "تحلیل و رسم نمودار تابع هم‌گرافیک", + "introText": "1. تابع هم‌گرافیک به صورت f(x) = (ax+b)/(cx+d) با c ≠ 0 تعریف می‌شود.\n2. حد تابع در بی‌نهایت را محاسبه کنید تا مجانب افقی y = a/c را بیابید.\n3. حد تابع در نقطه x = -d/c را بررسی کنید تا مجانب قائم x = -d/c مشخص شود.\n4. دامنه تابع را تعیین کنید (مقداری که مخرج صفر می‌شود حذف می‌شود).\n5. مشتق اول تابع را محاسبه کنید تا نقاط بحرانی و رفتار افزایشی یا کاهشی تابع مشخص شود.\n6. مشتق دوم را محاسبه کنید تا نقاط عطف و تقعر تابع تعیین شود.\n7. با استفاده از اطلاعات به دست آمده، جدول تغییرات تابع را رسم کنید.\n8. نمودار تابع را با توجه به مجانب‌ها، نقاط قطع با محور و رفتار تابع رسم کنید." + }, + { + "title": "رسم نمودار تابع با استفاده از جدول تغییرات", + "introText": "۱. تعیین دامنه تابع و نقاطی که مشتق اول یا دوم تعریف نیستند.\n۲. محاسبه مشتق اول و دوم تابع.\n۳. تعیین علامت مشتق اول برای مشخص کردن بازه‌های صعود و نزول تابع.\n۴. تعیین علامت مشتق دوم برای مشخص کردن تقعر و نقاط عطف.\n۵. رسم جدول تغییرات شامل مقادیر x، علامت مشتق اول، علامت مشتق دوم و رفتار تابع.\n۶. استفاده از جدول تغییرات برای رسم نمودار تابع با توجه به نقاط بحرانی و عطف." + }, + { + "title": "تحلیل رفتار تابع با استفاده از مشتق دوم", + "introText": "1. مشتق اول تابع را محاسبه کنید تا نقاط بحرانی و بازه‌های صعود و نزول را بیابید.\n2. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید تا تقعر تابع را در بازه‌های مختلف تعیین کنید.\n3. با توجه به علامت مشتق دوم، نقاطی که تقعر به سمت بالا یا پایین است را مشخص کنید.\n4. جدول تغییرات مشتق اول و مشتق دوم را رسم کنید تا رفتار تابع در بازه‌های مختلف مشخص شود.\n5. با استفاده از جدول تغییرات و نقاط بحرانی، نمودار تقریبی تابع را رسم کنید." + }, + { + "title": "رسم جدول و نمودار توابع", + "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید.\n2. مقادیر تابع را برای نقاط مختلف x محاسبه کنید.\n3. جدول مقادیر x و f(x) را رسم کنید.\n4. نقاط به دست آمده را روی دستگاه مختصات رسم کنید.\n5. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار تابع به دست آید." + }, + { + "title": "یافتن تابع گویا با شرایط داده شده", + "introText": "1. تابع گویا را به صورت f(x) = (ax + b) / (cx + d) فرض کنید.\n2. شرایط داده شده (محل تقاطع با محورهای مختصات) را به صورت معادلات برای a، b، c و d بنویسید.\n3. معادلات را حل کنید تا مقادیر a، b، c و d به دست آید.\n4. تابع نهایی را با مقادیر به دست آمده بنویسید." + }, + { + "title": "تشخیص نمودار تابع داده شده", + "introText": "1. تابع داده شده را بررسی کنید و درجه و ضریب‌های آن را مشخص کنید.\n2. رفتار کلی تابع (شیب، نقاط بحرانی، تقعر) را تحلیل کنید.\n3. نمودارهای داده شده را بررسی کنید و با توجه به ویژگی‌های تابع، نمودار صحیح را انتخاب کنید.\n4. نقاط تقاطع، نقاط بحرانی و رفتار انتهایی نمودار را با تابع تطبیق دهید." + } + ] + } + ] + } + ] } ] } diff --git a/content/seed/questions.json b/content/seed/questions.json index 3af9006..51ea8cd 100644 --- a/content/seed/questions.json +++ b/content/seed/questions.json @@ -30310,6 +30310,9509 @@ "√۹۱ سانتی‌متر" ], "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "تبدیل نمودار توابع" + ], + "prompt": "نمودار تابع y = x² + ۳ نسبت به نمودار تابع y = x² چگونه به‌دست می‌آید؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳ واحد به سمت بالا منتقل شده", + "۳ واحد به سمت پایین منتقل شده", + "۳ واحد به سمت چپ منتقل شده", + "۳ واحد به سمت راست منتقل شده" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "تابع درجه سوم، توابع یک‌نوا و بخش‌پذیری و تقسیم" + ], + "prompt": "نمودار تابع y = (x + ۲)² نسبت به نمودار تابع y = x² چگونه جابه‌جا شده است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲ واحد به سمت راست", + "۲ واحد به سمت بالا", + "۲ واحد به سمت پایین", + "۲ واحد به سمت چپ" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "انتقال عمودی نمودار تابع" + ], + "prompt": "روی نمودار y = x² + ۳، تصویرِ نقطه‌ی (۰, ۰) از نمودار y = x² کجاست؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۰, -۳)", + "(۳, ۰)", + "(۰, ۳)", + "(-۳, ۰)" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "انتقال افقی نمودار تابع" + ], + "prompt": "روی نمودار y = (x + ۲)²، تصویرِ نقطه‌ی (۰, ۰) از نمودار y = x² کجاست؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(-۲, ۰)", + "(۲, ۰)", + "(۰, ۲)", + "(۰, -۲)" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "انتقال نمودار تابع به سمت بالا یا پایین" + ], + "prompt": "طبق قاعده‌ی انتقالِ نمودار، اگر در y = f(x + k) عددِ k منفی باشد، نمودارِ f چگونه جابه‌جا می‌شود؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "|k| واحد به سمت چپ", + "k واحد به سمت راست", + "|k| واحد به سمت راست", + "|k| واحد به سمت بالا" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "تقارن نمودار تابع نسبت به محور y با انتقال افقی" + ], + "prompt": "طبق قاعده‌ی انتقالِ نمودار، اگر در y = f(x + k) عددِ k مثبت باشد، نمودارِ f چگونه جابه‌جا می‌شود؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "k واحد به سمت چپ", + "k واحد به سمت راست", + "k واحد به سمت پایین", + "|k| واحد به سمت بالا" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "انتقال نمودار تابع" + ], + "prompt": "دامنه‌ی y = sin x برابرِ [۰, ۲π] است. دامنه‌ی تابع g(x) = sin(x - π/۳) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "[π/۳, ۲π + π/۳]", + "[-π/۳, ۲π - π/۳]", + "[۰, ۲π]", + "[π/۳, ۲π - π/۳]" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "رسم نمودار و تعیین دامنه و برد توابع رادیکالی و انتقال یافته" + ], + "prompt": "تابع f(x) = √x دامنه‌اش [۰, ۴] و بردش [۰, ۲] است. اگر g(x) = f(x) + ۳ باشد، بردِ g کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "[۰, ۴]", + "[۳, ۵]", + "[۰, ۵]", + "[-۳, -۱]" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "رسم نمودار توابع با استفاده از انتقال" + ], + "prompt": "نمودارِ خطیِ f از نقاطِ (-۴, ۰)، (-۲, ۱)، (۰, ۱) و (۳, ۰) می‌گذرد. نقطه‌ی (-۴, ۰) در نمودارِ y = f(x + ۱) - ۳ به کجا منتقل می‌شود؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(-۳, -۳)", + "(-۵, ۳)", + "(-۵, -۳)", + "(-۵, -۲)" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "رسم نمودار توابع ضرب شده در عدد ثابت" + ], + "prompt": "در بازه‌ی [۰, ۲π]، مقدارِ y = (۱)/(۲) sin x در x = ۳π/۲ چند است؟ (sin(۳π/۲) = -۱)", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-(۳)/(۲)", + "(۱)/(۲)", + "-۱", + "-(۱)/(۲)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "مقایسه نمودار توابع ضرب شده در عدد ثابت" + ], + "prompt": "بردِ تابع y = sin x برابرِ [-۱, ۱] است. بردِ تابع y = ۳ sin x کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "[-۳, ۳]", + "[-۱, ۱]", + "[۰, ۳]", + "[-۳, ۱]" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "تعیین دامنه و برد توابع ضرب شده در عدد ثابت" + ], + "prompt": "بردِ تابع y = sin x برابرِ [-۱, ۱] است. بردِ تابع y = (۱)/(۲) sin x کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "[-(۱)/(۲), (۱)/(۲)]", + "[-۱, ۱]", + "[۰, (۱)/(۲)]", + "[-۲, ۲]" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "تعیین نقاط متناظر در نمودار توابع ضرب شده" + ], + "prompt": "اگر نقطه‌ی (x₀, y₀) روی نمودار y = f(x) باشد و g(x) = k·f(x)، نقطه‌ی متناظرِ آن روی نمودار g کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(k x₀, y₀)", + "(x₀, k y₀)", + "(x₀ + k, y₀)", + "(x₀, y₀ + k)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "تأثیر ضرب عددی k بر نمودار تابع" + ], + "prompt": "برای تابع y = k f(x) با k > ۱، نمودار نسبت به y = f(x) چه تغییری می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "انقباضِ عمودی", + "انتقالِ عمودی به بالا", + "قرینه نسبت به محورِ x", + "انبساطِ عمودی" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "تعیین دامنه و برد تابع ضرب شده در k" + ], + "prompt": "دامنه‌ی f برابرِ [a, b] و بردِ آن [c, d] است. بردِ y = k f(x) برای k < ۰ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "[kc, kd]", + "[kd, kc]", + "[a, b]", + "[kb, ka]" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "رسم نمودار توابع چندجمله‌ای و تعیین ضابطه تابع با استفاده از نمودار و قرینه‌ها" + ], + "prompt": "برای رسمِ y = -f(x - ۱) + ۲ از رویِ y = f(x)، کدام ترتیبِ تبدیل‌ها درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "راست ۱، قرینه‌ی y، بالا ۲", + "چپ ۱، قرینه‌ی x، بالا ۲", + "راست ۱، قرینه‌ی x، بالا ۲", + "راست ۱، قرینه‌ی x، پایین ۲" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "ترسیم نمودار تابع با تغییرات افقی و عمودی" + ], + "prompt": "در رسمِ y = -f(x - ۱) از رویِ y = f(x - ۱)، این مرحله با کدام تبدیل انجام می‌شود؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "قرینه نسبت به محورِ y", + "انتقالِ ۲ واحد به پایین", + "انتقالِ ۱ واحد به راست", + "قرینه نسبت به محورِ x" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "ترسیم نمودار تابع سینوس با تغییر دامنه و بازه" + ], + "prompt": "طبق محاسبه، مقدارِ y = sin ۲x در x = ۳π/۴ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-۱", + "۱", + "۰", + "-(۱)/(۲)" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "مقایسه نمودارهای توابع سینوسی با فرکانس‌های متفاوت" + ], + "prompt": "برای تابع y = f(kx) با k > ۱، نمودار نسبت به y = f(x) چه تغییری می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "انبساطِ افقی", + "انقباضِ افقی", + "انتقالِ افقی به راست", + "قرینه نسبت به محورِ y" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "رسم نمودار تابع y = f(kx) و تحلیل تغییرات افقی" + ], + "prompt": "برای تابع y = f(kx) با ۰ < k < ۱، نمودار نسبت به y = f(x) چه تغییری می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "انقباضِ افقی", + "انبساطِ افقی", + "انتقالِ افقی به چپ", + "قرینه نسبت به محورِ x" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "قرینه کردن نمودار تابع نسبت به محور y" + ], + "prompt": "نمودارِ y = f(-x) نسبت به نمودارِ y = f(x) چگونه است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "قرینه نسبت به محورِ x", + "قرینه نسبت به محورِ y", + "انتقالِ افقی به چپ", + "بدونِ تغییر" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "تعیین دامنه و برد تابع تغییر یافته" + ], + "prompt": "دامنه‌ی f برابرِ [a, b] است. دامنه‌ی y = f(kx) برای k < ۰ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "[(a)/(k), (b)/(k)]", + "[(b)/(k), (a)/(k)]", + "[ka, kb]", + "[kb, ka]" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "رسم نمودار توابع کسینوس تغییر یافته" + ], + "prompt": "دوره‌ی تناوبِ y = cos x برابرِ ۲π است. دوره‌ی تناوبِ y = ۲cos(x/۳) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۲π)/۳", + "۲π", + "۶π", + "۹π" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "رسم نمودار تابع با انتقال افقی و تقسیم طول‌ها" + ], + "prompt": "دامنه‌ی تابع y = √(۲ + x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "[۲, ∞)", + "(-∞, -۲]", + "[-۲, ∞)", + "[۰, ∞)" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "تبدیل توابع رادیکالی و رسم نمودار" + ], + "prompt": "مقدارِ تابع y = √(۲ + x) در x = ۲ چند است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴", + "√۲", + "۰", + "۲" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "رسم نمودار توابع تبدیل یافته" + ], + "prompt": "نمودارِ y = -f(-x) با انجامِ کدام تبدیل‌ها از رویِ y = f(x) به‌دست می‌آید؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "فقط قرینه نسبت به محورِ x", + "فقط قرینه نسبت به محورِ y", + "قرینه نسبت به y و سپس x", + "انتقالِ ۲ واحد به چپ" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تبدیل نمودار توابع", + "رسم و مقایسه نمودار توابع با تغییر علامت و قرینه" + ], + "prompt": "نمودارِ y = -f(x) نسبت به نمودارِ y = f(x) چگونه است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "قرینه نسبت به محورِ y", + "انتقالِ عمودی به پایین", + "بدونِ تغییر", + "قرینه نسبت به محورِ x" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "تشخیص درجه چندجمله‌ای" + ], + "prompt": "درجه‌ی چندجمله‌ایِ p(x) = x⁷(۱ - x)⁷ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۷", + "۴۹", + "۸", + "۱۴" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "رسم نمودار تابع چند جمله‌ای درجه سه" + ], + "prompt": "تابع f(x) = x³ داده شده است. مقدار f(-۰٫۵) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-۰٫۱۲۵", + "۰٫۱۲۵", + "-۱٫۵", + "۰٫۲۵" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "بررسی وارون‌پذیری تابع و رسم نمودار تابع وارون" + ], + "prompt": "تابع f(x) = x³ داده شده است. تابع وارونِ f کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "f⁻¹(x) = x³", + "f⁻¹(x) = ∛x", + "f⁻¹(x) = -x³", + "f⁻¹(x) = (۱)/(x³)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "مقایسه نمودار چند تابع چند جمله‌ای در بازه‌های مشخص" + ], + "prompt": "نمودارهای y = x³ و y = x² را در نظر بگیرید. در بازه‌ی [۱, ۲]، مثلاً در x = ۱٫۵، رابطه‌ی این دو تابع چگونه است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x³ کوچک‌تر از x² است", + "x³ با x² برابر است", + "x³ بزرگ‌تر از x² است", + "نمی‌توان تعیین کرد" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "رسم نمودار توابع چند جمله‌ای تغییر یافته" + ], + "prompt": "نمودار y = (x+۱)³ نسبت به نمودار y = x³ چگونه به‌دست می‌آید؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "انتقال یک واحد به راست", + "انتقال یک واحد به بالا", + "انتقال یک واحد به پایین", + "انتقال یک واحد به چپ" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "تحلیل تغییرات تابع بر اساس نمودار" + ], + "prompt": "دامنه‌ی تابع f بازه‌ی [۱, ۸] است. در بازه‌ی [۱, ۳] نمودار f رو به بالا می‌رود، در بازه‌ی [۳, ۴] مقدار تابع ثابت می‌ماند و در بازه‌ی [۴, ۸] نمودار رو به پایین می‌رود. تابع f در بازه‌ی [۴, ۸] چگونه است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "نزولی", + "صعودی", + "ثابت", + "نامعین" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "تشخیص نوع تابع (صعودی، نزولی، ثابت) از نمودار" + ], + "prompt": "دامنه‌ی تابع f بازه‌ی [۱, ۸] است. در بازه‌ی [۱, ۳] نمودار f رو به بالا می‌رود، در بازه‌ی [۳, ۴] مقدار تابع ثابت می‌ماند و در بازه‌ی [۴, ۸] نمودار رو به پایین می‌رود. تابع f در بازه‌ی [۱, ۳] چگونه است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "نزولی", + "صعودی", + "ثابت", + "نامعین" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "تشخیص و تحلیل توابع صعودی" + ], + "prompt": "طبق تعریف، تابع f در یک مجموعه اکیداً صعودی است هرگاه برای هر دو مقدار a و b در آن مجموعه که a < b باشد، کدام رابطه برقرار باشد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "f(a) > f(b)", + "f(a) = f(b)", + "f(a) < f(b)", + "f(a) ≤ f(b)" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "تشخیص و تحلیل توابع نزولی" + ], + "prompt": "طبق تعریف، تابع f در یک مجموعه اکیداً نزولی است هرگاه برای هر دو مقدار a و b در آن مجموعه که a < b باشد، کدام رابطه برقرار باشد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "f(a) < f(b)", + "f(a) = f(b)", + "f(a) ≥ f(b)", + "f(a) > f(b)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "تشخیص و تحلیل توابع ثابت" + ], + "prompt": "تابعی در بازه‌ی (-∞, -۱) ثابت، در بازه‌ی [-۱, ۰] اکیداً نزولی و در بازه‌ی (۰, +∞) اکیداً صعودی است. آیا این تابع در کل دامنه‌ی خود اکیداً یک‌نوا است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "خیر، رفتار تابع در بازه‌ها یکسان نیست", + "بله، چون در هر بازه یکنواست", + "بله، چون اکیداً صعودی است", + "بله، چون اکیداً نزولی است" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "تشخیص تابع اکیداً صعودی" + ], + "prompt": "کدام گزینه، تعریف درستِ تابع اکیداً صعودی است؟ (a و b دو مقدار دلخواه در دامنه‌اند)", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "برای af(b)", + "برای ab داریم f(a)b داریم f(a)>f(b)", + "برای af(b)", + "برای هر a,b داریم f(a)=f(b)" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "تشخیص تابع اکیداً یک‌نوا" + ], + "prompt": "نموداری در بازه‌ی (-∞, -۱) ثابت، در بازه‌ی [-۱, ۰] اکیداً نزولی و در بازه‌ی (۰, +∞) اکیداً صعودی است. رفتار این تابع در کل دامنه‌اش چگونه توصیف می‌شود؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "اکیداً صعودی در کل دامنه", + "اکیداً نزولی در کل دامنه", + "ثابت در کل دامنه", + "نه اکیداً صعودی و نه اکیداً نزولی" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "تحلیل بازه‌های صعودی و نزولی توابع داده شده" + ], + "prompt": "سه تابع f(x) = x³ + ۲x، g(x) = ۲⁻ˣ و h(x) = |x + ۲| داده شده‌اند. کدام یک از این توابع در تمام دامنه‌ی خود اکیداً یک‌نوا نیست؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "h(x) = |x+۲|", + "f(x) = x³+۲x", + "g(x) = ۲⁻ˣ", + "هر سه تابع" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "رسم نمودار تابع و تعیین بازه‌های صعودی و نزولی" + ], + "prompt": "تابع f(x) برای x < -۱ برابر ۲ و برای x ≥ -۱ برابر x² است. این تابع در کدام بازه نزولی است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۰, ∞)", + "(-۱, ۰)", + "(-∞, -۱)", + "(-۱, ∞)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "اثبات نامساوی و تعیین بازه برای توابع لگاریتمی" + ], + "prompt": "نامساوی log(x+۱) ≤ log(۷x-۳) را حل کنید.", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x ≤ (۲)/(۳)", + "x > -۱", + "x ≥ (۲)/(۳)", + "x ≥ (۳)/(۷)" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "تقسیم چندجمله‌ای‌ها و بررسی بخش‌پذیری" + ], + "prompt": "باقی‌مانده‌ی تقسیم f(x) = x⁴ - ۳x² + ۱ بر p(x) = x² - ۳ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "r(x) = ۲x - ۵", + "r(x) = -۱", + "r(x) = ۳x - ۲", + "r(x) = ۱" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "باقی‌مانده تقسیم چندجمله‌ای‌ها" + ], + "prompt": "باقی‌مانده‌ی تقسیم f(x) = x³ + ۲x² - x - ۲ بر ۲x - ۱ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-(۱۵)/(۸)", + "(۱۵)/(۸)", + "-(۱)/(۸)", + "-۲" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "تشخیص بخش‌پذیری چندجمله‌ای‌ها" + ], + "prompt": "چندجمله‌ای x³ + ax² - ۲ بر x - a بخش‌پذیر است. مقدار a کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "a = -۱", + "a = ۱", + "a = ۲", + "a = -۲" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "تقسیم چندجمله‌ای‌ها با استفاده از اتحادهای جبری" + ], + "prompt": "کدام گزینه، تجزیه‌ی درستِ x⁷ - a⁷ بر حسب (x - a) است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(x-a)(x⁶-ax⁵+a²x⁴-a³x³+a⁴x²-a⁵x+a⁶)", + "(x-a)(x⁶+ax⁵+a²x⁴+a³x³+a⁴x²+a⁵x)", + "(x-a)(x⁶+ax⁵+a²x⁴+a³x³+a⁴x²+a⁵x+a⁶)", + "(x-a)(x⁷+ax⁶+a²x⁵+a³x⁴+a⁴x³)" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "بررسی بخش‌پذیری چندجمله‌ای‌ها بر x - a" + ], + "prompt": "برای هر n ∈ N، چندجمله‌ای xⁿ - aⁿ نسبت به x - a چگونه است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "فقط برای n زوج بخش‌پذیر است", + "فقط برای n فرد بخش‌پذیر است", + "هرگز بخش‌پذیر نیست", + "همیشه بخش‌پذیر است" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "تجزیه چندجمله‌ای‌ها با استفاده از اتحادهای جبری برای xⁿ - aⁿ" + ], + "prompt": "کدام گزینه، تجزیه‌ی درستِ xⁿ - aⁿ بر حسب (x - a) است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(x-a)(xⁿ⁻¹+axⁿ⁻²+a²xⁿ⁻³+...+aⁿ⁻¹)", + "(x+a)(xⁿ⁻¹+axⁿ⁻²+...+aⁿ⁻¹)", + "(x-a)(xⁿ⁻¹-axⁿ⁻²+a²xⁿ⁻³-...+aⁿ⁻¹)", + "(x-a)(xⁿ+axⁿ⁻¹+...+aⁿ)" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "تجزیه چندجمله‌ای‌های خاص با استفاده از اتحادهای جبری و تغییر علامت" + ], + "prompt": "چندجمله‌ای ۱ + x⁵ به کدام صورت تجزیه می‌شود؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(x-۱)(x⁴+x³+x²+x+۱)", + "(x+۱)(x⁴-x³+x²-x+۱)", + "(x+۱)(x⁴+x³+x²+x+۱)", + "(x+۱)(x⁴-x³-x²-x+۱)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "تحلیل و رسم نمودار تابع و تابع وارون" + ], + "prompt": "تابع f(x) = (x-۲)² + ۱ روی دامنه‌ی x ≥ ۲ یک‌به‌یک و وارون‌پذیر است. ضابطه‌ی f⁻¹(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "f⁻¹(x) = √(x-۱) - ۲", + "f⁻¹(x) = √(x+۱) + ۲", + "f⁻¹(x) = √(x-۱) + ۲", + "f⁻¹(x) = (x-۲)² + ۱" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "تحلیل نمودار توابع و تعیین فواصل صعودی و نزولی" + ], + "prompt": "تابع h در تمام دامنه‌ی خود نمودارِ نمایی نزولی دارد و به سمت صفر میل می‌کند. h در کدام بازه نزولی است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "فقط برای x > ۰", + "فقط برای x < ۰", + "در هیچ بازه‌ای", + "در تمام دامنه‌ی خود" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "رسم نمودار توابع رادیکالی، نمایی و لگاریتمی و بررسی یکنواختی" + ], + "prompt": "اگر f و g هر دو در یک بازه اکیداً صعودی باشند، درباره‌ی توابع f+g و g-f کدام گزینه درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "f+g حتماً صعودی است ولی g-f نامعین است", + "f+g و g-f هر دو حتماً صعودی‌اند", + "f+g و g-f هر دو حتماً نزولی‌اند", + "f+g نامعین است ولی g-f صعودی است" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "بررسی وجود تابعی که هم صعودی و هم نزولی باشد" + ], + "prompt": "باقی‌مانده‌ی تقسیم چندجمله‌ای ۲ + kx⁴ + x⁷ - ۲ بر x - ۶ برابر ۷ است. مقدار k کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "k = (۲۷۹۹۲۹)/(۱۲۹۶)", + "k = -(۲۷۹۹۲۹)/(۱۲۹۶)", + "k = -(۴۶۶۴۹)/(۱۲۹۶)", + "k = -(۲۷۹۹۴۳)/(۱۲۹۶)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "بررسی صعودی بودن جمع و تفاضل توابع در یک فاصله" + ], + "prompt": "فرض کنید f و g هر دو در یک بازه اکیداً صعودی باشند. درباره‌ی مجموع و تفاضل آن‌ها کدام گزینه درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "هر دو، یعنی f+g و g-f، اکیداً صعودی‌اند", + "f+g نزولی و g-f صعودی است", + "f+g اکیداً صعودی است اما g-f نامعین است", + "درباره‌ی هیچ‌کدام نمی‌توان مطمئن بود" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "تعیین ضریب k با استفاده از باقی‌مانده تقسیم چندجمله‌ای" + ], + "prompt": "چندجمله‌ای ۲ + kx⁴ + x⁷ - ۲ بر x - ۶ تقسیم شده و باقی‌مانده برابر ۷ است. مقدار k چند است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "k = -(۲۷۹۹۴۳)/(۱۲۹۶)", + "k = (۲۷۹۹۲۹)/(۱۲۹۶)", + "k = -(۴۶۶۴۹)/(۱۲۹۶)", + "k = -(۲۷۹۹۲۹)/(۱۲۹۶)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "تعیین ضرایب چندجمله‌ای با شرایط بخش‌پذیری" + ], + "prompt": "چندجمله‌ای x⁷ - ۲x² + ax⁴ + bx + ۱ بر x - ۲ و بر x + ۱ بخش‌پذیر است. مقدار a کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "a = -(۱۳)/(۲)", + "a = (۱۳)/(۲)", + "a = -۲", + "a = -(۱۷)/(۲)" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۱: تابع", + "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم", + "تجزیه چندجمله‌ای‌ها بر حسب عوامل خواسته شده" + ], + "prompt": "چندجمله‌ی x⁵ + ۳۲ را بر حسب عامل x + ۲ تجزیه کنید:", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(x + ۲)(x⁴ + ۲x³ + ۴x² + ۸x + ۱۶)", + "(x - ۲)(x⁴ - ۲x³ + ۴x² - ۸x + ۱۶)", + "(x + ۲)(x⁴ - ۲x³ + ۴x² - ۸x + ۱۶)", + "(x + ۲)(x⁴ - ۲x³ + ۴x² - ۸x - ۱۶)" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "تناوب و تانژانت", + "دوره تناوب توابع مثلثاتی" + ], + "prompt": "دوره‌ی تناوب تابع f(x) = sin x کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(π)/(۲)", + "۴π", + "π", + "۲π" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "تناوب و تانژانت", + "تحلیل دوره تناوب، مینیمم و ماکزیمم تابع سینوس" + ], + "prompt": "دامنه‌ی تغییرات (برد) تابع y = (۱)/(۲) sin x در بازه‌ی [-π, π] کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "[۰, ۰٫۵]", + "[-۰٫۵, ۰٫۵]", + "[-۱, ۱]", + "[-۲, ۲]" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "تناوب و تانژانت", + "تعیین اثر ضریب a بر دامنه و دوره تناوب تابع سینوس" + ], + "prompt": "برای تابع y = (۱)/(۲) sin x در بازه‌ی [-π, π]، کدام گزینه درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "دوره π، دامنه [-۰٫۵، ۰٫۵]", + "دوره ۲π، دامنه [-۱، ۱]", + "دوره π، دامنه [-۱، ۱]", + "دوره ۲π، دامنه [-۰٫۵، ۰٫۵]" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "تناوب و تانژانت", + "تعیین دوره تناوب، ماکزیمم و مینیمم توابع سینوسی با ضریب b" + ], + "prompt": "برای تابع y = sin(x)، کدام گزینه درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "دوره π، بیشینه ۱، کمینه −۱", + "دوره ۲π، بیشینه ۱، کمینه ۰", + "دوره ۲π، بیشینه ۱، کمینه −۱", + "دوره ۴π، بیشینه ۲، کمینه −۲" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "تناوب و تانژانت", + "تعیین دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم توابع سینوس و کسینوس" + ], + "prompt": "برای تابع y = ۳sin(۲x) - ۲، دوره تناوب و مقادیر بیشینه و کمینه کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "دوره π، بیشینه ۱، کمینه −۵", + "دوره ۲π، بیشینه ۱، کمینه −۵", + "دوره π، بیشینه ۵، کمینه −۱", + "دوره π، بیشینه ۳، کمینه −۳" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "تناوب و تانژانت", + "بررسی شکل و ضرایب تابع کسینوس با شیفت و دامنه مشخص" + ], + "prompt": "با افزایش α از ۰ تا نزدیکِ π/۲ (در ربع اول)، مقدار tanα چگونه تغییر می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "افزایش می‌یابد و به عددی محدود می‌رسد", + "ابتدا افزایش، سپس کاهش می‌یابد", + "بدون تغییر (ثابت) می‌ماند", + "افزایش می‌یابد و به ∞ میل می‌کند" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "تناوب و تانژانت", + "بررسی تغییرات مقدار تابع تانژانت در ربع اول و نزدیکی به π/2" + ], + "prompt": "کدام گزینه درباره‌ی رفتار tanα در ربع اول (از α=۰ تا π/۲) درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "tanα از ۱ شروع می‌شود و افزایش می‌یابد", + "tanα پیوسته افزایش و در π/۲ نامعین است", + "tanα از ۰ شروع و در π/۲ به ۱ می‌رسد", + "tanα ابتدا صفر است و سپس ثابت می‌ماند" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "تناوب و تانژانت", + "یافتن زاویه‌ای با مقدار تانژانت مشخص در ربع اول" + ], + "prompt": "اگر tanα = ۱ باشد و α در ربع اول باشد، مقدار α کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(π)/(۶)", + "(π)/(۳)", + "(π)/(۲)", + "(π)/(۴)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "تناوب و تانژانت", + "نوشتن بازه تغییرات مقدار تانژانت در هر ربع" + ], + "prompt": "در ربع اول (از ۰ تا π/۲)، تابع تانژانت چگونه تغییر می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "از +∞ تا ۰ کاهش می‌یابد", + "از ۰ تا +∞ افزایش می‌یابد", + "از ۰ تا ۱ افزایش می‌یابد", + "ثابت و برابر با ۰ است" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "تناوب و تانژانت", + "تحلیل نمودار تابع تانژانت در ربع‌های مختلف" + ], + "prompt": "در ربع چهارم (از (۳π)/(۲) تا ۲π)، مقدار تانژانت چگونه تغییر می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "از ۰ تا +∞ افزایش می‌یابد", + "از ۰ تا −∞ کاهش می‌یابد", + "از +∞ تا ۰ کاهش می‌یابد", + "از −∞ تا ۰ افزایش می‌یابد" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "تناوب و تانژانت", + "بررسی صعودی یا نزولی بودن تابع تانژانت" + ], + "prompt": "تابع y = tan x را در بازه‌ی [−π/۲, ۳π/۲] بررسی می‌کنیم. کدام گزینه درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "در کل بازه به‌طور یکنواخت نزولی است", + "بین نقاط ناپیوستگی صعودی است", + "در ربع اول صعودی و در ربع سوم نزولی است", + "در این بازه ثابت است" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "تناوب و تانژانت", + "رسم نمودار تابع تانژانت در ربع‌های مختلف" + ], + "prompt": "دوره تناوب و مقادیر بیشینه و کمینه‌ی تابع y = ۱ + ۲sin(√۷ x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "دوره ۲π، بیشینه ۳، کمینه −۱", + "دوره (۲π)/(√۷)، بیشینه ۲، کمینه −۲", + "دوره (۲π)/(√۷)، بیشینه ۱، کمینه −۳", + "دوره (۲π)/(√۷)، بیشینه ۳، کمینه −۱" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "تناوب و تانژانت", + "یافتن دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم توابع مثلثاتی" + ], + "prompt": "مقدار بیشینه و کمینه‌ی تابع y = ۱ + ۲sin(√۷ x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "بیشینه ۳، کمینه ۱", + "بیشینه ۲، کمینه −۲", + "بیشینه ۳، کمینه −۱", + "بیشینه ۱، کمینه −۳" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "تناوب و تانژانت", + "رسم و تحلیل نمودار توابع مثلثاتی با ضرایب مختلف" + ], + "prompt": "تابعی سینوسی با دامنه‌ی تغییرات ۲ و دوره تناوب ۲π که از نقطه‌ی (۰,۰) می‌گذرد کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "y = ۲cos(x)", + "y = sin(۲x)", + "y = ۲sin(۲x)", + "y = ۲sin(x)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "تناوب و تانژانت", + "نوشتن ضابطه تابع بر اساس نمودار داده شده" + ], + "prompt": "تابعی سینوسی با دامنه‌ی تغییرات ۱ و دوره تناوب (π)/(۳) که از نقطه‌ی (۰,۰) می‌گذرد کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "y = sin(۶x)", + "y = sin(۳x)", + "y = ۶sin(x)", + "y = sin((x)/(۶))" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "تناوب و تانژانت", + "تعیین دوره تناوب، مقدار ماکزیمم و مینیمم تابع‌های مثلثاتی" + ], + "prompt": "کدام یک از جملات زیر درباره‌ی توابع تناوبی درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "تابع تناوبی در تمام دامنه‌اش صعودی است", + "بازه‌ای هست که تابع تناوبی نزولی باشد", + "تابع تناوبی در هر بازه‌ی تعریف‌شده صعودی است", + "تابع تناوبی هیچ‌گاه صعودی نیست" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "تناوب و تانژانت", + "تشخیص درست یا نادرست بودن جملات مربوط به تابع تناوبی" + ], + "prompt": "کدام یک از جملات زیر درباره‌ی توابع تناوبی درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "تابع تناوبی در هر بازه‌ی تعریف‌شده صعودی است", + "تابع تناوبی در تمام دامنه‌اش صعودی است", + "تابع تناوبی می‌تواند در بازه‌ای نزولی باشد", + "هر تابع تناوبی حتماً زوج است" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "معادله‌های مثلثاتی", + "حل معادلات مثلثاتی از نوع sin x = a" + ], + "prompt": "معادله‌ی sin x = ۰ را حل کنید (k عدد صحیح است). جواب کلی کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = ۲kπ", + "x = (kπ)/(۲)", + "x = (۲k+۱)(π)/(۲)", + "x = kπ" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "معادله‌های مثلثاتی", + "حل معادلات مثلثاتی از نوع sin x = 1" + ], + "prompt": "معادله‌ی sin x = ۱ را حل کنید (k عدد صحیح است). جواب کلی کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = (π)/(۲) + kπ", + "x = (π)/(۲) + ۲kπ", + "x = π + ۲kπ", + "x = (π)/(۴) + ۲kπ" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "معادله‌های مثلثاتی", + "حل معادلات مثلثاتی از نوع sin x = 1/2" + ], + "prompt": "معادله‌ی sin x = ۰٫۵ را حل کنید (k عدد صحیح است). جواب‌های کلی کدام‌اند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x=(π)/(۳)+۲kπ یا (۲π)/(۳)+۲kπ", + "x=(π)/(۶)+۲kπ یا (۷π)/(۶)+۲kπ", + "x=(π)/(۶)+kπ یا (۵π)/(۶)+kπ", + "x=(π)/(۶)+۲kπ یا (۵π)/(۶)+۲kπ" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "معادله‌های مثلثاتی", + "یافتن زوایایی که سینوس آنها مقدار مشخصی دارد" + ], + "prompt": "کدام زاویه در بازه‌ی [۰, ۲π] مقدار سینوسش برابر ۰٫۵ است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(π)/(۳)", + "(۷π)/(۶)", + "(۵π)/(۶)", + "(۲π)/(۳)" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "معادله‌های مثلثاتی", + "یافتن نقاط تقاطع نمودارهای سینوس و خط افقی" + ], + "prompt": "در بازه‌ی [−۵π, ۵π]، معادله‌ی sin x = ۰٫۵ چند جواب دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۸", + "۱۲", + "۵", + "۱۰" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "معادله‌های مثلثاتی", + "دسته‌بندی زوایا با مقدار سینوس مشخص در دایره مثلثاتی" + ], + "prompt": "کدام زاویه با زاویه‌ی (۵π)/(۶) هم‌انتهاست؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(π)/(۶)", + "(۷π)/(۶)", + "(۱۷π)/(۶)", + "(π)/(۳)" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "معادله‌های مثلثاتی", + "حل معادلات خطی مثلثاتی" + ], + "prompt": "کدام مقدار برای x در معادله ۲sin x − √۳ = ۰ صدق می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = π/۳", + "x = −π/۳", + "x = π/۶", + "x = ۵π/۶" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "معادله‌های مثلثاتی", + "حل معادلات مثلثاتی از نوع cos x = a" + ], + "prompt": "کدام مقدار برای x در معادله cos x = √۳/۲ صدق می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = π/۳", + "x = π/۶", + "x = π/۴", + "x = ۵π/۶" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "معادله‌های مثلثاتی", + "حل معادلات مثلثاتی با استفاده از روابط بنیادی" + ], + "prompt": "کدام مقدار برای x در معادله sin x = −۱/۲ صدق می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = π/۶", + "x = π/۳", + "x = −π/۶", + "x = ۲π/۳" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "معادله‌های مثلثاتی", + "حل معادلات مثلثاتی با چند جمله‌ای‌های سینوس" + ], + "prompt": "کدام مقدار برای x در معادله sin ۳x = sin x صدق می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = π/۶", + "x = π/۲", + "x = ۲π/۳", + "x = π" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "معادله‌های مثلثاتی", + "حل معادلات مثلثاتی با استفاده از تبدیل و جایگذاری" + ], + "prompt": "کدام مقدار برای x در معادله ۲sin ۳x − √۲ = ۰ صدق می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = π/۱۲", + "x = π/۶", + "x = π/۳", + "x = π/۲" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "معادله‌های مثلثاتی", + "کاربرد مثلثات در مسائل حرکت و فیزیک" + ], + "prompt": "یک بازیکن هندبال توپ را با سرعت ۱۶ متر بر ثانیه برای هم‌تیمی‌اش که در ۱۲/۸ متری اوست پرتاب می‌کند. اگر d = (v² sin ۲θ)/۱۰ باشد (d فاصله افقی بر حسب متر و v سرعت بر حسب متر بر ثانیه)، زاویه پرتاب θ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "θ = π/۶", + "θ = π/۱۲", + "θ = π/۴", + "θ = π/۳" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "معادله‌های مثلثاتی", + "حل معادلات مثلثاتی با استفاده از روابط مثلثاتی و تبدیل‌ها" + ], + "prompt": "کدام مقدار برای x در معادله ۵ = cos x (۲cos x − ۹) صدق می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = π/۳", + "x = π/۶", + "x = ۲π/۳", + "x = ۵π/۶" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "معادله‌های مثلثاتی", + "حل معادلات مثلثاتی با استفاده از روابط سینوس و کسینوس و تبدیل به معادله سینوسی" + ], + "prompt": "کدام مقدار برای x در معادله sin x·cos x = √۳/۴ صدق می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = π/۴", + "x = π/۱۲", + "x = ۵π/۶", + "x = π/۶" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "معادله‌های مثلثاتی", + "حل معادلات مثلثاتی با استفاده از تبدیل و توان رساندن به توان دو" + ], + "prompt": "برای تابع y = tan x، رابطه‌ی کلی بین x و عددِ حقیقی a برای حلِ معادله‌ی tan x = a کدام است؟ (k یک عددِ صحیحِ دلخواه است)", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = arctan(a) + kπ", + "x = arctan(a) + ۲kπ", + "x = arctan(a) + kπ/۲", + "x = ۲arctan(a) + kπ" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "معادله‌های مثلثاتی", + "حل معادلات مثلثاتی" + ], + "prompt": "کدام مقدار برای x در معادله sin(π/۷) = sin(۳x) صدق می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = π/۷", + "x = π/۲۱", + "x = π/۳", + "x = π/۱۴" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "معادله‌های مثلثاتی", + "تحلیل و رسم نمودار تابع تانژانت و حل معادلات تانژانت" + ], + "prompt": "با توجه به تابع y = tan x، اگر tan x = a باشد، مجموعه‌ی جواب‌های x بر حسبِ k (عددِ صحیح) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = arctan(a) + kπ/۲", + "x = ۲arctan(a) + kπ", + "x = arctan(a) + kπ", + "x = arctan(a) + ۲kπ" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "معادله‌های مثلثاتی", + "حل معادلات تانژانت" + ], + "prompt": "رابطه‌ی ساده‌شده‌ی tan(α + β) بر حسبِ tan α و tan β کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(tan α + tan β)/(۱ + tan α tan β)", + "(tan α − tan β)/(۱ − tan α tan β)", + "(۱ − tan α tan β)/(tan α + tan β)", + "(tan α + tan β)/(۱ − tan α tan β)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "معادله‌های مثلثاتی", + "رابطه تانژانت مجموع و تفاضل دو زاویه" + ], + "prompt": "فرمولِ tan(α + β) بر حسبِ tan α و tan β به چه صورت است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(tan α + tan β)/(۱ − tan α tan β)", + "(tan α + tan β)/(۱ + tan α tan β)", + "(tan α − tan β)/(۱ + tan α tan β)", + "(۱ + tan α tan β)/(tan α + tan β)" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۲: مثلثات", + "معادله‌های مثلثاتی", + "رابطه تانژانت تفاضل دو زاویه" + ], + "prompt": "رابطه‌ی تانژانتِ تفاضلِ دو زاویه α و β کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(tan α − tan β)/(۱ − tan α tan β)", + "(tan α − tan β)/(۱ + tan α tan β)", + "(tan α + tan β)/(۱ + tan α tan β)", + "(۱ + tan α tan β)/(tan α − tan β)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "بررسی حد تابع در همسایگی یک نقطه که تابع در آن تعریف نشده است" + ], + "prompt": "وقتی x از سمتِ راست به صفر نزدیک می‌شود (x → ۰⁺)، حدِ تابعِ f(x) = ۱/x کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "−∞", + "۰", + "+∞", + "۱" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "تعیین حد تابع در بی‌نهایت" + ], + "prompt": "با نزدیک شدنِ x به صفر از سمتِ مثبت، مقادیرِ f(x) به‌ترتیب ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰، ۱۰۰۰۰ و ... می‌شوند. حدِ f(x) وقتی x → ۰⁺ چیست؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "۱۰۰۰۰", + "−∞", + "+∞" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "تعیین حد تابع 1/x وقتی x به صفر از سمت چپ نزدیک می‌شود" + ], + "prompt": "برای تابعِ f(x) = ۱/x، حدِ تابع وقتی x از سمتِ چپ به صفر نزدیک می‌شود (x → ۰⁻) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "−∞", + "+∞", + "۰", + "−۱۰۰۰۰" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "تعریف حدهای یک طرفه نامتناهی" + ], + "prompt": "حدِ تابعِ f(x) = ۱/|x| در همسایگیِ x = ۰ (از هر دو سمتِ راست و چپ) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "−∞", + "+∞", + "۰", + "حد وجود ندارد" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "حد نامتناهی در همسایگی نقطه حذف شده" + ], + "prompt": "حدِ دوطرفه‌ی تابعِ f(x) = ۱/x در x = ۰ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "+∞", + "−∞", + "حد وجود ندارد", + "۰" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "حد نامتناهی تابع قدر مطلق در همسایگی نقطه حذف شده" + ], + "prompt": "حدِ تابعِ f(x) = ۱/|x| در x = ۰ (حدِ دوطرفه) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "−∞", + "۰", + "حد وجود ندارد", + "+∞" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "محاسبه حد تابع در نقاطی که تابع به سمت بی‌نهایت میل می‌کند" + ], + "prompt": "برای تابعِ f(x) = ۱/(x − ۲)، حدِ تابع وقتی x از سمتِ راست به ۲ نزدیک می‌شود (x → ۲⁺) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "+∞", + "−∞", + "۰", + "حد وجود ندارد" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "محاسبه حد تابع لگاریتمی در بی‌نهایت" + ], + "prompt": "حدِ تابعِ g(x) = logₓ۲ وقتی x → +∞ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "+∞", + "۰", + "۱", + "−∞" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "محاسبه حد تابع تانژانت در نقاطی که تابع ناپیوسته است" + ], + "prompt": "حدِ تابعِ h(x) = tan x وقتی x از سمتِ چپ به π/۲ نزدیک می‌شود (x → (π/۲)⁻) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "−∞", + "۰", + "+∞", + "حد وجود ندارد" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "حدهای نامتناهی توابع توان" + ], + "prompt": "اگر lim(x→a⁺) f(x) = +∞ و lim(x→a⁻) f(x) = +∞ باشد، آنگاه lim(x→a) f(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "−∞", + "۰", + "حد وجود ندارد", + "+∞" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "حدهای نامتناهی با استفاده از حدهای تابع f(x)" + ], + "prompt": "اگر حدِ راستِ تابعِ f در نقطه‌ی a برابرِ +∞ و حدِ چپِ آن نیز برابرِ +∞ باشد، حدِ f در a چیست؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "+∞", + "۰", + "−∞", + "حد وجود ندارد" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "حدهای نامتناهی توابع کسری با قدر مطلق" + ], + "prompt": "حدِ تابعِ f(x) = ۲/|x − ۱| وقتی x → ۱ (از هر دو سمت) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "+∞", + "−∞", + "حد وجود ندارد" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "استفاده از نمودار توابع برای یافتن حد در بی‌نهایت" + ], + "prompt": "حدِ تابعِ f(x) = ۱/x² وقتی x → +∞ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "+∞", + "−∞", + "۰", + "۱" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "حد نسبت توابع با حدهای صفر و عددی متفاوت در یک نقطه" + ], + "prompt": "اگر lim(x→a) g(x) = ۰ (با g(x) > ۰ در همسایگیِ a) و lim(x→a) f(x) = L > ۰ باشد، آنگاه lim(x→a) f(x)/g(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "L", + "−∞", + "+∞" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "محاسبه حد توابع کسری با متغیر در مخرج و صورت" + ], + "prompt": "با فرمولِ f(x) = ۲۵۵x/(۱۰۰ − x)، هزینه‌ی پاک‌سازیِ ۲۰ درصد از آلودگیِ رودخانه (بر حسبِ میلیون تومان) چقدر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۶۳/۷۵", + "۴۲/۵", + "۵۱", + "۶/۳۷۵" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "کاربرد حد در مسائل واقعی (هزینه پاکسازی آلودگی)" + ], + "prompt": "هزینه‌ی پاکسازی x درصد از آلودگی‌های یک رودخانه با تابع f(x) = ۲۵۵x/(۱۰۰-x) (بر حسب میلیون تومان) داده می‌شود. هزینه‌ی پاکسازی ۲۰ درصد آلودگی چند میلیون تومان است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۶۳٫۷۵ میلیون تومان", + "۵۱ میلیون تومان", + "۴۲٫۵ میلیون تومان", + "۶٫۳۷۵ میلیون تومان" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "محاسبه حدهای نامتناهی با صورت و مخرج صفر" + ], + "prompt": "حاصل lim (x→۰⁺) (x − ۱)/sin x کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "+∞", + "−∞", + "صفر", + "تعریف‌نشده" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "محاسبه حدهای نامتناهی با صورت و مخرج چندجمله‌ای" + ], + "prompt": "حاصل lim (x→۲⁻) ([x] − ۲)/(x − ۲) کدام است؟ (منظور از [x] بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساوی x است)", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "−∞", + "صفر", + "+∞", + "−۱" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "محاسبه حدهای شامل تابع جزء صحیح و حدهای چپ و راست" + ], + "prompt": "با محاسبه‌ی حد lim (x→۲⁻) ([x] − ۲)/(x − ۲)، کدام گزینه درست است؟ ([x] بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساوی x است)", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "صفر", + "−۱", + "−∞", + "+∞" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "استفاده از قضیه حد برای حدهای نامتناهی با صورت و مخرج تابع‌های مثلثاتی" + ], + "prompt": "حاصل lim (x→π/۲) (x + ۱)/tan x کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "+∞", + "−∞", + "تعریف‌نشده" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "محاسبه حد توابع جبری و ترکیبی در بی‌نهایت" + ], + "prompt": "توابع f(x) = ۱/x و g(x) = x + ۱ را در نظر بگیرید. حاصل lim (x→+∞) (f(x) + g(x)) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "+∞", + "۱", + "−∞" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "محاسبه حد حاصل‌ضرب توابع جبری در بی‌نهایت و بررسی رابطه حدها" + ], + "prompt": "توابع f(x) = ۱/x و g(x) = x + ۱ را در نظر بگیرید. حاصل lim (x→+∞) (f(x) × g(x)) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "+∞", + "۱", + "تعریف‌نشده" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "کاربرد قضیه حدهای نامتناهی در ترکیب توابع با حدهای بی‌نهایت" + ], + "prompt": "اگر lim (x→a) f(x) = +∞ و lim (x→a) g(x) = L با L > ۰ باشد، حاصل lim (x→a) (f(x) × g(x)) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "L", + "−∞", + "+∞" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "محاسبه حد توابع شامل سینوس و توان‌های x در بی‌نهایت" + ], + "prompt": "برای تابع g(x) = ۱/x، وقتی x از سمت چپ به ۰ نزدیک می‌شود (x→۰⁻)، مقدار g(x) به کدام سو میل می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "−∞", + "+∞", + "۰", + "به یک عدد معین" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "بازنویسی حد در حالت بی‌نهایت" + ], + "prompt": "حاصل lim (x→+∞) √(x² + x³) / x² کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "+∞", + "۰", + "۱", + "۱/۲" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "محاسبه حدهای نامتناهی با استفاده از قضیه‌ها" + ], + "prompt": "حاصل lim (x→+∞) (x³ + ۷x − ۱) / (x³ + x − ۱۲) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "+∞", + "۱", + "۷" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "تشخیص و تحلیل مجانب قائم نمودار تابع" + ], + "prompt": "برای تابع f(x) = ۱/x²، وقتی x از هر دو سمت به ۰ نزدیک می‌شود، مقدار f(x) به کدام سو میل می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "−∞", + "۰", + "از یک سمت +∞ و از سمت دیگر −∞", + "+∞" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "تشخیص و تعیین مجانب قائم تابع" + ], + "prompt": "مجانب‌های قائم تابع g(x) = (x³ + x) / (x³ − x) کدام‌اند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = ۱ و x = −۱", + "x = ۰، x = ۱ و x = −۱", + "فقط x = ۰", + "فقط x = ۱" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "محاسبه حدهای نامتناهی" + ], + "prompt": "مقدار عبارت lim (x→+∞) √(x² + x³) / x² برابر با کدام گزینه است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "+∞", + "۰", + "۱/۲", + "۱" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "محاسبه حدهای جبری با صورت و مخرج چندجمله‌ای" + ], + "prompt": "با ساده‌سازی عبارت، حاصل lim (x→+∞) (x³ + ۷x − ۱)/(x³ + x − ۱۲) را بیابید.", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۷", + "+∞", + "۱", + "۰" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حدهای نامتناهی", + "شناسایی و تحلیل مجانب‌های قائم توابع کسری" + ], + "prompt": "تابع g(x) = (x³ + x) / (x³ − x) را در نظر بگیرید. کدام گزینه، مجانب‌های قائم این تابع را درست بیان می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "فقط x = ۰", + "x = ۰، x = ۱ و x = −۱", + "فقط x = ۱", + "x = ۱ و x = −۱" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "محاسبه حد تابع در بی‌نهایت با استفاده از نمودار و جدول" + ], + "prompt": "تابع f(x) = ۱/x را برای x > ۰ در نظر بگیرید. برای اینکه فاصله‌ی f(x) از محور xها کمتر از ۱/۵ شود، x باید بزرگ‌تر از چه عددی باشد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۵", + "۱/۵", + "۱۰", + "۲۵" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "محاسبه حد تابع در بی‌نهایت" + ], + "prompt": "حاصل lim (x→+∞) ۱/x کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "+∞", + "۰", + "−∞", + "۱" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "تکمیل جدول مقادیر تابع و تحلیل رفتار تابع در بازه‌های منفی" + ], + "prompt": "حاصل lim (x→−∞) ۱/x کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "−∞", + "−۱", + "۰", + "+∞" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "تعیین مقدار حد برای x نزدیک به اعداد خاص از سمت چپ یا راست" + ], + "prompt": "تابع f(x) = ۱/x را برای x > ۰ در نظر بگیرید. برای اینکه فاصله‌ی f(x) از محور xها کمتر از ۱/۱۰۰ شود، x باید حداقل بزرگ‌تر از چه عددی باشد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱/۱۰۰", + "۵۰", + "۱۰", + "۱۰۰" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "محاسبه حد تابع در بی‌نهایت با استفاده از نمودار" + ], + "prompt": "حاصل lim (x→+∞) (۳ + ۵/x³) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳", + "۰", + "۵", + "+∞" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "حد توابع چندجمله‌ای و کسری در بی‌نهایت" + ], + "prompt": "حاصل lim (x→−∞) ( (۲ + ۳/x²) / (۵/x + ۴) ) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲", + "۱/۲", + "۴", + "۰" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "کاربرد قضیه حد توابع جمع، ضرب و تقسیم در بی‌نهایت" + ], + "prompt": "اگر lim (x→+∞) f(x) = L₁ و lim (x→+∞) g(x) = L₂ باشد، حاصل lim (x→+∞) (f(x) × g(x)) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "L₁ + L₂", + "L₁ / L₂", + "L₁ × L₂", + "L₁ − L₂" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "محاسبه حد توابع چندجمله‌ای در بی‌نهایت" + ], + "prompt": "برای تابع f(x) = x³، مقدارِ زوجِ (lim (x→+∞) f(x) ، lim (x→−∞) f(x)) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(−∞ ، +∞)", + "(+∞ ، +∞)", + "(۰ ، ۰)", + "(+∞ ، −∞)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "تعیین حد توابع چندجمله‌ای در بی‌نهایت" + ], + "prompt": "حاصل lim (x→−∞) x³ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "−∞", + "+∞", + "۰", + "تعریف‌نشده" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "حد توانی با توان صحیح مثبت" + ], + "prompt": "حاصل lim (x→−∞) (−x⁷ + x − ۱) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "−∞", + "+∞", + "۰", + "−۱" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "حد چند جمله‌ای‌ها در بی‌نهایت" + ], + "prompt": "حاصل lim (x→+∞) (۳ − ۲x − ۵x⁷) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "+∞", + "۳", + "−∞", + "۰" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "محاسبه حد کسرهای چندجمله‌ای در بی‌نهایت" + ], + "prompt": "حاصلِ lim (x→±∞) (7x³ − x + 1) / (4x³ + 7x − 1) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۴)/(۷)", + "۱", + "−۱", + "(۷)/(۴)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "تحلیل حالات مختلف نسبت توان‌های صورت و مخرج در حدهای بی‌نهایت" + ], + "prompt": "برای تابعِ گویایِ f(x)/g(x) که بالاترین توانِ x در صورت برابرِ n و در مخرج برابرِ m باشد، در کدام حالت حدِ تابع در بی‌نهایت برابرِ صفر می‌شود؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "m > n", + "m = n", + "m < n", + "n = ۰" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "محاسبه حدهای چند مثال مشخص از کسرهای چندجمله‌ای در بی‌نهایت" + ], + "prompt": "حاصلِ lim (x→±∞) (−7x⁴ + x − 1) / (9x⁴ − 7x + 1) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۷)/(۹)", + "(۹)/(۷)", + "−(۷)/(۹)", + "−۱" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "یافتن مجانب‌های افقی و قائم تابع" + ], + "prompt": "تابعِ f(x) = (2x − 1) / (x + 1) را در نظر بگیرید. مجانبِ افقیِ این تابع کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "y = ۲", + "y = −۱", + "y = ۰", + "x = −۱" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "تشخیص مجانب افقی تابع" + ], + "prompt": "عبارتِ lim (x→+∞) f(x) = ۲ به چه معناست؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "وقتی x→۲، f(x) به +∞ می‌رود", + "وقتی x→+∞، f(x) به ۲ نزدیک می‌شود", + "وقتی x→−∞، f(x) به ۲ نزدیک می‌شود", + "f(x) همیشه برابرِ ۲ است" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "یافتن مجانب‌های افقی و قائم توابع کسری" + ], + "prompt": "حاصلِ lim (x→±∞) (−x⁷ + 2x) / (4x⁷ + 1) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۱)/(۴)", + "−۴", + "−(۱)/(۴)", + "۰" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "بیان مفهوم حد در بی‌نهایت" + ], + "prompt": "عبارتِ lim (x→−∞) f(x) = ۴ به چه معناست؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "وقتی x→−∞، f(x) به ۴ نزدیک می‌شود", + "وقتی x→+∞، f(x) به ۴ نزدیک می‌شود", + "وقتی x→۴، f(x) به −∞ می‌رود", + "f(x) همیشه برابرِ ۴ است" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "یافتن حد از روی نمودار تابع" + ], + "prompt": "نموداری از تابعِ f رسم شده که در آن f(۱) = f(−۲) = ۰، lim (x→۰⁻) f(x) = −∞، lim (x→۰⁺) f(x) = +∞، و خطِ y = −۱ مجانبِ افقیِ آن است. در نقطه‌ی x = ۰، نمودارِ تابع چه رفتاری دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "از محورِ x عبور می‌کند", + "مجانبِ قائم دارد (خط x = ۰)", + "در آن پیوسته و مشتق‌پذیر است", + "مجانبِ افقی دارد (خط y = ۰)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "محاسبه حدهای جبری توابع کسری و چندجمله‌ای در بی‌نهایت" + ], + "prompt": "حاصلِ lim (x→−∞) (x³ − 7x³) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "−∞", + "۰", + "−۶", + "+∞" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "رسم نمودار تابع با شرایط حدی و مقدار تابع داده شده" + ], + "prompt": "نموداری از تابعِ f رسم شده که در آن f(۱) = f(−۲) = ۰، lim (x→۰⁻) f(x) = −∞، lim (x→۰⁺) f(x) = +∞، و خطِ y = −۱ مجانبِ افقیِ آن است. این نمودار محورِ x را در کدام نقاط قطع می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = ۰ و x = −۱", + "x = ۱ و x = ۲", + "x = ۱ و x = −۲", + "فقط x = ۰" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "محاسبه حد تابع گویا در بی‌نهایت" + ], + "prompt": "حاصلِ lim (x→∞) (3x³ − 2x + 1) / (5x³ + 4x² − 7) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۵)/(۳)", + "−(۱)/(۲)", + "۱", + "(۳)/(۵)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", + "حد در بی‌نهایت", + "محاسبه حد توابع شامل رادیکال در بی‌نهایت" + ], + "prompt": "حاصلِ lim (x→∞) (√(x² + 3x) − x) / x کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۳)/(۲)", + "۳", + "۰", + "∞" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آشنایی با مفهوم مشتق", + "محاسبه شیب خط مماس و خط قاطع بر منحنی" + ], + "prompt": "تابعِ f(x) = −x² + ۱۰ را در نظر بگیرید. اگر A(۲, f(۲)) و B(۶, f(۶)) باشند، شیبِ خطِ AB (یعنی m_AB) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "−۸", + "۸", + "−۲", + "۳۲" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آشنایی با مفهوم مشتق", + "محاسبه شیب خط مماس و متوسط" + ], + "prompt": "با توجه به تابعِ f(x) = −x² + 10x و نقاطِ A و B که x_A = ۲ و x_B = ۶، با Δx = ۴ و Δy = ۸، شیبِ خطِ AB کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴", + "۲", + "۰٫۵", + "۸" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آشنایی با مفهوم مشتق", + "محاسبه شیب خط مماس بر منحنی در نقطه مشخص" + ], + "prompt": "اگر f(x) = −x² + 10x − 16، حاصلِ lim (h→۰⁺) (f(۲+h) − f(۲)) / h کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "−۶", + "۰", + "۶", + "۱۰" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آشنایی با مفهوم مشتق", + "محاسبه حد عبارت مشتق‌نما" + ], + "prompt": "اگر f(x) = −x² + 10x − 16 باشد، مقدارِ مشتقِ تابع در x = ۲ (یعنی f′(۲)) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۶", + "۴", + "−۶", + "۱۶" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آشنایی با مفهوم مشتق", + "محاسبه شیب خط مماس بر منحنی در نقطه" + ], + "prompt": "طبقِ تعریفِ مشتق، اگر f در نقطه‌ی a مشتق‌پذیر باشد، f′(a) با کدام حد برابر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "lim (h→۰) (f(a) − f(a+h)) / h", + "lim (h→۰) (f(a+h) − f(a)) / h", + "lim (h→۰) (f(a+h) − f(a)) / (a+h)", + "lim (h→∞) (f(a+h) − f(a)) / h" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آشنایی با مفهوم مشتق", + "محاسبه مشتق تابع در نقطه با استفاده از حد تعریف مشتق" + ], + "prompt": "معادله‌ی خطِ مماس بر منحنیِ f(x) = −x³ + 10x + 1 در نقطه‌ی A(۲, f(۲)) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "y = ۲x + ۱۷", + "y = −۲x + ۱۳", + "y = −۲x + ۱۱", + "y = −۲x + ۱۷" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آشنایی با مفهوم مشتق", + "نوشتن معادله خط مماس بر منحنی در نقطه مشخص" + ], + "prompt": "اگر f(x) = −x³ + 10x + 1 باشد، مقدارِ f′(۲) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲", + "−۲", + "۴", + "−۲۲" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آشنایی با مفهوم مشتق", + "محاسبه شیب خط قطعی بین دو نقطه روی منحنی" + ], + "prompt": "برای تابعِ f(x) = −x³ + 10x + 1، اگر A در x = ۲ و B در x = ۲+Δx باشد، شیبِ خطِ قاطعِ AB برحسبِ Δx کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "−۲ − ۶Δx − Δx²", + "۲ − ۶Δx − Δx²", + "−۲ − ۶Δx + Δx²", + "−۲ + ۶Δx − Δx²" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آشنایی با مفهوم مشتق", + "محاسبه مشتق تابع در نقطه با استفاده از تعریف حدی مشتق" + ], + "prompt": "اگر f(x) = x² باشد، مقدارِ f′(۳) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۹", + "۳", + "۶", + "۰" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آشنایی با مفهوم مشتق", + "تعریف مشتق و حدهای معادل" + ], + "prompt": "در اثباتِ برابریِ lim (h→۰) (f(a+h) − f(a))/h = lim (x→a) (f(x) − f(a))/(x − a)، کدام تغییرِ متغیر به‌کار می‌رود؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "h = a + x", + "x = a + h", + "x = a − h", + "h = 2(x − a)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آشنایی با مفهوم مشتق", + "محاسبه مشتق تابع و بررسی نقاط مشتق‌پذیری با نمودار" + ], + "prompt": "اگر f(x) = 3x³ − 2x + 1 باشد، معادله‌ی خطِ مماس بر منحنیِ f در نقطه‌ای به طولِ ۲ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "y = ۳۴x − ۴۷", + "y = ۳۴x + ۲۱", + "y = ۳۴x − ۶۸", + "y = −۳۴x + ۴۷" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آشنایی با مفهوم مشتق", + "یافتن معادله خط مماس بر منحنی در نقطه مشخص" + ], + "prompt": "اگر f(x) = 3x³ − 2x + 1 باشد، مقدارِ f′(۲) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳۶", + "۳۸", + "۲۱", + "۳۴" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آشنایی با مفهوم مشتق", + "یافتن نقاط با شیب‌های داده شده روی منحنی" + ], + "prompt": "اگر f(x) = x³ − 2 باشد، مقدارِ f′(−۱) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "−۳", + "۳", + "−۱", + "۶" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آشنایی با مفهوم مشتق", + "محاسبه مشتق تابع در نقطه مشخص" + ], + "prompt": "اگر f(x) = x³ − 2 باشد، مشتقِ f′(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳x²", + "x²", + "۳x² − ۲", + "۳x" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "بررسی وجود مشتق در نقاطی که حد مشتق وجود ندارد" + ], + "prompt": "برای تابعی که در x=۲ تعریف نشده، حد راستِ آن +∞ و حد چپش -∞ است. آیا مشتق تابع در x=۲ وجود دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "خیر؛ حدهای چپ و راست برابر نیستند", + "بله؛ مشتق برابر +∞ است", + "بله؛ مشتق برابر -∞ است", + "بله؛ مشتق برابر صفر است" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "بررسی حد تابع کسری در نقاطی که مخرج صفر می‌شود" + ], + "prompt": "اگر حد راستِ تابع f در x=۲ برابر +∞ و حد چپش برابر -∞ باشد، کدام گزینه درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "مشتق تابع در x=۲ برابر صفر است", + "تابع در x=۲ مشتق‌پذیر نیست", + "تابع در x=۲ مشتق‌پذیر است", + "مشتق چپ و راست هر دو متناهی‌اند" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "بررسی مشتق‌پذیری تابع در نقطه با استفاده از حدهای چپ و راست" + ], + "prompt": "برای تابع f(x) = |x² - ۱|، مشتق چپ و مشتق راست در x=۱ به ترتیب کدام‌اند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲ و ۲؛ پس مشتق‌پذیر است", + "۰ و ۰؛ پس مشتق‌پذیر است", + "-۲ و ۲؛ پس مشتق‌پذیر نیست", + "-۲ و -۲؛ پس مشتق‌پذیر است" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "محاسبه مشتق چپ و راست تابع در نقطه خاص" + ], + "prompt": "کدام عبارت، تعریفِ درستِ مشتق راستِ تابع f در x=a است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "lim(x→a⁻) (f(x)-f(a))/(x-a)", + "lim(x→a⁺) (f(x)+f(a))/(x-a)", + "lim(x→a⁺) (f(x)-f(a))/(x+a)", + "lim(x→a⁺) (f(x)-f(a))/(x-a)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "تعریف و محاسبه مشتق چپ و راست با استفاده از حد" + ], + "prompt": "کدام عبارت، تعریفِ معادلِ مشتق چپِ تابع f در x=a با متغیرِ h است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "lim(h→0⁻) (f(a+h)-f(a))/h", + "lim(h→0⁺) (f(a+h)-f(a))/h", + "lim(h→0⁻) (f(a)-f(a+h))/h", + "lim(h→0⁻) (f(a+h)+f(a))/h" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "بررسی پیوستگی و مشتق‌پذیری توابع در نقاط خاص" + ], + "prompt": "در x=۰، تابعِ f(x)=[x] (جزءِ صحیح) و تابعِ g(x)=√x کدام‌یک مشتق‌پذیرند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "هر دو تابع مشتق‌پذیرند", + "هیچ‌کدام مشتق‌پذیر نیستند", + "فقط f(x)=[x] مشتق‌پذیر است", + "فقط g(x)=√x مشتق‌پذیر است" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "بررسی حالت‌های خاص مشتق‌پذیری با مشتق نامتناهی و مماس قائم" + ], + "prompt": "تابعِ f(x) = ³√x در x=۰ چه وضعیتی از نظرِ مشتق‌پذیری دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "مشتق‌پذیر است و مشتق آن صفر است", + "مشتق‌پذیر است و مشتق آن +∞ است", + "مشتق‌پذیر نیست ولی مماسِ قائم دارد", + "مشتق‌پذیر نیست و مماس هم ندارد" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "تشخیص نقاط مشتق‌پذیری تابع از روی نمودار" + ], + "prompt": "اگر f(x)=x² باشد، با تعریفِ حدیِ مشتق، f'(-۲) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴", + "-۴", + "-۲", + "۲" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "محاسبه مشتق تابع در نقاط مشخص با استفاده از حد" + ], + "prompt": "اگر f(x)=x² باشد، با تعریفِ حدیِ مشتق، f'(√۳) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲√۳", + "√۳", + "-۲√۳", + "۳√۲" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "محاسبه مشتق تابع با استفاده از تعریف حدی مشتق" + ], + "prompt": "اگر f(x) = ۱/x باشد، مقدارِ f'(۳) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱/۹", + "-۱/۳", + "۱/۳", + "-۱/۹" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "محاسبه مشتق تابع به کمک تعریف مشتق" + ], + "prompt": "اگر f(x) = ۱/x و x≠۳ باشد، حاصلِ f'(۳) با روشِ حدِ x→۳ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱/۹", + "-۱/۳", + "-۱/۹", + "-۳" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "محاسبه دامنه و ضابطه مشتق تابع‌های چندجمله‌ای و چندتکه" + ], + "prompt": "اگر g(x) = -۲/۵ باشد (تابعِ ثابت)، مقدارِ g'(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "-۲/۵", + "۲/۵", + "۵/۲" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "محاسبه مشتق تابع ثابت" + ], + "prompt": "اگر f(x) = ۷ باشد (تابعِ ثابت)، مقدارِ f'(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۷", + "۰", + "-۷", + "۱" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "اثبات قاعده مشتق توانی" + ], + "prompt": "با تعریفِ حدیِ مشتق، مشتقِ تابعِ f(x)=x³ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x³", + "۳x", + "۳x²", + "x²" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "مشتق توابع با توان منفی و کسری" + ], + "prompt": "اگر f(x) = ۱/x و x≠۰ باشد، با قاعدهٔ مشتقِ توانی، f'(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱/x²", + "-۱/x²", + "-۱/x", + "-۲/x³" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "مشتق توابع رادیکالی" + ], + "prompt": "اگر f(x) = √x و x>۰ باشد، f'(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱/√x", + "۲/√x", + "√x/۲", + "۱/(۲√x)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "مشتق تابع رادیکالی" + ], + "prompt": "اگر f(x) = √(ax+b) و a>۰ باشد، f'(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "a/(۲√(ax+b))", + "۱/(۲√(ax+b))", + "a/√(ax+b)", + "۲a/√(ax+b)" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "مشتق تابع رادیکال nام" + ], + "prompt": "اگر f(x) = ⁿ√x باشد، f'(x) با استفاده از تعریفِ حدیِ مشتق کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱/(ⁿ√(x⁽ⁿ⁻¹⁾))", + "۱/(n·ⁿ√(x⁽ⁿ⁻¹⁾))", + "n/(ⁿ√(x⁽ⁿ⁻¹⁾))", + "۱/(n·ⁿ√x)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "قواعد مشتق‌گیری ترکیبی (جمع، ضرب، ضرب عددی، تقسیم)" + ], + "prompt": "اگر f(x) = -۲/۳ x³ باشد، f'(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲x²", + "-۲/۳ x²", + "-۲x²", + "-۶x²" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "محاسبه مشتق توابع با استفاده از قواعد مشتق‌گیری" + ], + "prompt": "اگر f(x) = ۱/(x-۴) باشد، f'(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-۱/(x-۴)²", + "۱/(x-۴)²", + "-۱/(x-۴)", + "-۲/(x-۴)²" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "محاسبه مشتق ترکیب توابع و مشتق تابع حاصل از نسبت توابع" + ], + "prompt": "اگر f(۲)=۳، f'(۲)=۵، g(۲)=۸ و g'(۲)=-۶ باشد، مقدارِ (f/g)'(۲) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۱/۳۲", + "۲۹/۳۲", + "۲۹/۴", + "-۲۹/۳۲" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "مشتق توابع مثلثاتی با استفاده از تعریف حدی مشتق" + ], + "prompt": "با تعریفِ حدیِ مشتق، f'(x) برای f(x)=sin x کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-cos x", + "sin x", + "-sin x", + "cos x" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "مشتق توابع مثلثاتی" + ], + "prompt": "مشتقِ تابعِ f(x) = tan x کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱/cos²x", + "cos²x", + "-۱/cos²x", + "tan²x" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "مشتق توابع مرکب (قاعده زنجیری)" + ], + "prompt": "اگر h(x) = (x²+۳x+۱)⁷ باشد، h'(x) با قاعدهٔ زنجیری کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۷(x²+۳x+۱)⁶", + "۷(۲x+۳)(x²+۳x+۱)⁶", + "(۲x+۳)(x²+۳x+۱)⁶", + "۷(۲x+۳)(x²+۳x+۱)⁷" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "مشتق توابع با تغییر متغیر" + ], + "prompt": "اگر y = sin²x باشد، y' کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "sin x cos x", + "۲ cos x", + "۲ sin x cos x", + "cos²x - sin²x" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "مشتق‌پذیری روی بازه" + ], + "prompt": "اگر g(x) = cos³x باشد، g'(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳cos²x sin x", + "-cos²x sin x", + "-۳cos x sin²x", + "-۳cos²x sin x" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "محاسبه مشتق توابع ترکیبی و توابع مثلثاتی" + ], + "prompt": "اگر h(x) = sin(۳x²+۵) باشد، h'(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۶x cos(۳x²+۵)", + "cos(۳x²+۵)", + "۳x cos(۳x²+۵)", + "۶x sin(۳x²+۵)" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "رسم نمودار و بررسی مشتق‌پذیری تابع چندجمله‌ای تکه‌ای" + ], + "prompt": "اگر y = x³-۲x²+۴x باشد، مشتقِ دومِ y یعنی y'' کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳x²-۴x+۴", + "۶x-۴", + "۶x", + "۶x+۴" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "محاسبه مشتق مرتبه دوم تابع چندجمله‌ای" + ], + "prompt": "اگر y = x³-۲x²+۴x باشد، مشتقِ اولِ y یعنی y' کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۶x-۴", + "۳x²-۴x", + "۳x²+۴x+۴", + "۳x²-۴x+۴" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "محاسبه مشتق چپ و راست و بررسی مشتق‌پذیری در نقطه خاص" + ], + "prompt": "برای y=-x و y=x² در نقطهٔ A(۰,۰)، مشتق چپ و مشتق راست به ترتیب کدام‌اند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰ و -۱", + "-۱ و -۱", + "-۱ و ۰", + "۱ و ۰" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "رسم نمودار تابع و مشتق آن برای تابع چندتکه" + ], + "prompt": "تابع f به‌صورت زیر تعریف شده است: برای x<۰، f(x)=۴-۴x؛ برای ۰≤x≤۳، f(x)=x²؛ برای x>۳، f(x)=x+۶. مقدار f'(۱) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲", + "-۴", + "۱", + "۳" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "رسم نمودار تابع مشتق با شرایط خاص" + ], + "prompt": "کدام تابع مشتقی دارد که در تمامِ نقاط مثبت است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "y=x²", + "y=e^x", + "y=-x²", + "y=-e^x" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "محاسبه و بررسی صحت ادعا با استفاده از مشتق" + ], + "prompt": "تابع f(x) = x³ + ۲x + ۳ داده شده است. مقدار f'(۲) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۲", + "۸", + "۱۴", + "۱۵" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "بررسی مشتق‌پذیری تابع در نقطه خاص" + ], + "prompt": "کدام تابع در x=۲ پیوسته است ولی در همان نقطه مشتق‌پذیر نیست؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "f(x)=x-۲", + "f(x)=(x-۲)²", + "f(x)=۱/(x-۲)", + "f(x)=|x-۲|" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "یافتن توابع با مشتق برابر" + ], + "prompt": "مشتق کدام تابع با مشتق f(x) = x² + ۱ برابر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x²+۵", + "۲x²+۱", + "x²+x", + "-x²+۱" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "بررسی مشتق‌پذیری تابع قدر مطلق در نقاط خاص" + ], + "prompt": "برای تابع f(x) = |x² - ۴|، مشتق چپ در x=۲ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴", + "-۴", + "۰", + "-۲" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "محاسبه مشتق توابع رادیکالی و تعیین نقاط مماس قائم" + ], + "prompt": "تابع f(x) = ریشه سوم x² در کدام نقطه مماس قائم دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x=۱", + "x=-۱", + "x=۰", + "مماس قائم ندارد" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "تحلیل و بررسی نمودار توابع و مشتق آنها" + ], + "prompt": "اگر f(x) = (۳x² - ۴)(x - ۵)³، مقدار f'(۶) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۰۸", + "۳۶", + "۳۱۲", + "۳۴۸" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "محاسبه مشتق تابع حاصل تقسیم دو تابع و تحلیل نمودار" + ], + "prompt": "مشتق تابع f(x) = sin³x + cos²x کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳sin²x cosx - ۲sinx cosx", + "sin²x cosx - ۲sinx cosx", + "۳sin²x cosx + ۲sinx cosx", + "۳sin²x - ۲sinx cosx" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "محاسبه مشتق توابع ترکیبی و چندجمله‌ای" + ], + "prompt": "اگر f(x) = (۳x² - ۴)(x - ۵)³، مقدار f'(۴) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۷۲", + "۱۰۸", + "-۲۴", + "۱۳۲" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "محاسبه مشتق توابع کسری و رادیکالی" + ], + "prompt": "اگر f(x) = (۹x - ۲)/(ریشه دوم x)، مقدار f'(۴) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴٫۷۵", + "۰٫۲۵", + "۲٫۳۷۵", + "۶٫۶۲۵" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "مشتق‌پذیری و پیوستگی", + "بررسی مشتق‌پذیری تابع در نقاط خاص" + ], + "prompt": "تابع f به‌صورت f(x)=x² برای x≤۰ و f(x)=x برای x>۰ تعریف شده است. مشتق راست در x=۰ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "۲", + "تعریف‌نشده", + "۱" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر", + "محاسبه سرعت متوسط" + ], + "prompt": "اتومبیلی مسافت ۲۸۰ کیلومتر را در ۴ ساعت طی می‌کند. سرعت متوسط آن چقدر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۷۰ کیلومتر بر ساعت", + "۲۸۰ کیلومتر بر ساعت", + "۴ کیلومتر بر ساعت", + "۱۱۲۰ کیلومتر بر ساعت" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر", + "محاسبه سرعت لحظه‌ای با استفاده از مشتق" + ], + "prompt": "سرعت لحظه‌ای یک جسم در لحظه t با کدام مفهوم تعریف می‌شود؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "تقسیم مسافت کل بر زمان کل", + "مشتق تابع مکان در لحظه t", + "مقدار تابع مکان در لحظه t", + "انتگرال تابع مکان تا لحظه t" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر", + "محاسبه سرعت متوسط در بازه‌های زمانی مختلف" + ], + "prompt": "خودرویی طبق d(t) = -۵t² + ۲۰t حرکت می‌کند. سرعت متوسط در بازه [۱, ۲] کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-۵ متر بر ثانیه", + "۱۷٫۵ متر بر ثانیه", + "۵ متر بر ثانیه", + "۲٫۵ متر بر ثانیه" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر", + "محاسبه سرعت لحظه‌ای با استفاده از مشتق تابع مکان" + ], + "prompt": "با توجه به d(t) = -۵t² + ۲۰t، سرعت لحظه‌ای در t=۱ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۵ متر بر ثانیه", + "۲۰ متر بر ثانیه", + "۳۰ متر بر ثانیه", + "۱۰ متر بر ثانیه" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر", + "محاسبه سرعت لحظه‌ای در زمان‌های مختلف با استفاده از مشتق" + ], + "prompt": "با توجه به d(t) = -۵t² + ۲۰t، سرعت لحظه‌ای در t=۳ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-۱۰ متر بر ثانیه", + "۱۰ متر بر ثانیه", + "-۳۰ متر بر ثانیه", + "۰ متر بر ثانیه" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر", + "محاسبه سرعت متوسط و سرعت لحظه‌ای از نمودار موقعیت بر حسب زمان" + ], + "prompt": "تابع f(x) = (ریشه دوم x) + ۵۰ قدِ متوسطِ کودکان (سانتی‌متر) را نشان می‌دهد. آهنگ متوسط رشد در بازه [۰, ۶۰] ماه چقدر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "≈۰٫۹۶", + "≈۰٫۱۳", + "≈۷٫۷۵", + "≈-۰٫۱۳" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر", + "محاسبه آهنگ متوسط تغییر" + ], + "prompt": "تابع f(x) = (ریشه دوم x) + ۵۰ داده شده است. مقدار تقریبی f(۶۰) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "≈۷٫۷۵", + "≈۵۶", + "≈۵۷٫۷۵", + "۱۱۰" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر", + "مقایسه آهنگ لحظه‌ای تغییر در دو زمان مختلف" + ], + "prompt": "با توجه به تابع f(x) = (ریشه دوم x) + ۵۰، آهنگ لحظه‌ای تغییر قد در کدام سن بیشتر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴۹ ماهگی", + "با هم برابرند", + "قابل تعیین نیست", + "۲۵ ماهگی" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر", + "محاسبه و مقایسه آهنگ متوسط تغییر در بازه‌های زمانی مختلف" + ], + "prompt": "قدِ علی در ۱۶ ماهگی ۸۰ سانتی‌متر و در ۲۶ ماهگی ۹۵ سانتی‌متر بود. آهنگ متوسط تغییر قد او (سانتی‌متر بر ماه) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱٫۵", + "-۱٫۵", + "≈۰٫۹۴", + "≈۰٫۶۷" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر", + "محاسبه سرعت متوسط جسم در بازه‌های زمانی مختلف" + ], + "prompt": "جسمی طبق h(t) = -۵t² + ۴۰t حرکت می‌کند. سرعت متوسط آن در بازه [۲, ۴] کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-۱۰ متر بر ثانیه", + "۱۰ متر بر ثانیه", + "۲۰ متر بر ثانیه", + "۱۵ متر بر ثانیه" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر", + "محاسبه سرعت لحظه‌ای جسم با استفاده از مشتق تابع ارتفاع" + ], + "prompt": "با توجه به h(t) = -۵t² + ۴۰t، سرعت لحظه‌ای در t=۳ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲۰ متر بر ثانیه", + "۳۰ متر بر ثانیه", + "۱۰ متر بر ثانیه", + "۰ متر بر ثانیه" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر", + "محاسبه سرعت متوسط و لحظه‌ای از داده‌های جدول" + ], + "prompt": "طبق جدول، دما در ساعت ۸ برابر ۱۱ و در ساعت ۱۲ برابر ۱۹ درجه بود. آهنگ متوسط تغییر دما از ساعت ۸ تا ۱۲ چقدر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۸ درجه بر ساعت", + "۰٫۸ درجه بر ساعت", + "-۲ درجه بر ساعت", + "۲ درجه بر ساعت" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر", + "تحلیل شیب خطوط نمودار و تفسیر تغییرات" + ], + "prompt": "برای f(t) = t³ - t + ۱۰ در بازه [۰٫۵, ۵]، در کدام لحظه سرعت لحظه‌ای با سرعت متوسط برابر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "t≈۳٫۰۴", + "t≈-۳٫۰۴", + "t≈۳٫۱۶", + "t≈۲٫۹۹" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر", + "تحلیل تغییرات تابع و رسم نمودار" + ], + "prompt": "توپی از پلی به ارتفاعِ ۱۱ متر پرتاب شد. f(t) فاصله‌ی توپ از زمین را نشان می‌دهد. مقادیرِ f(t) در t=۰، ۰٫۱، ۰٫۲، ۰٫۳، ۰٫۴، ۰٫۵ و ۰٫۶ به‌ترتیب ۱۱، ۱۲٫۴، ۱۳٫۸، ۱۵٫۱، ۱۶٫۳، ۱۷٫۴ و ۱۸٫۴ متر است. سرعتِ توپ در t=۰٫۴ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۲٫۳۳ متر بر ثانیه", + "۱۱٫۵ متر بر ثانیه", + "۱۴٫۹۱ متر بر ثانیه", + "۱۶٫۰۳ متر بر ثانیه" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر", + "محاسبه سرعت لحظه‌ای و سرعت متوسط از تابع حرکت" + ], + "prompt": "برای f(t) = t³ - t + ۱۰ در بازه [۰٫۵, ۵]، سرعتِ متوسطِ این متحرک چقدر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "≈۲۴٫۰۸", + "≈۲۷٫۸۶", + "≈۲۶٫۷۵", + "≈-۲۶٫۷۵" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر", + "محاسبه سرعت توپ پرتاب شده با استفاده از جدول مقادیر تابع ارتفاع" + ], + "prompt": "توپی از پلی به ارتفاعِ ۱۱ متر پرتاب شد. f(t) فاصله‌ی توپ از زمین را نشان می‌دهد. مقادیرِ f(t) در t=۰، ۰٫۱، ۰٫۲، ۰٫۳، ۰٫۴، ۰٫۵ و ۰٫۶ به‌ترتیب ۱۱، ۱۲٫۴، ۱۳٫۸، ۱۵٫۱، ۱۶٫۳، ۱۷٫۴ و ۱۸٫۴ متر است. سرعتِ متوسطِ توپ بینِ t=۰٫۲ و t=۰٫۴ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-۱۲٫۵ متر بر ثانیه", + "۱۳٫۵ متر بر ثانیه", + "۲٫۵ متر بر ثانیه", + "۱۲٫۵ متر بر ثانیه" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر", + "تشخیص درستی عبارات مربوط به تغییر متوسط و مشتق" + ], + "prompt": "برای تابع f(x) = x²، کدام گزینه درباره‌ی a=۰ درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "f(۰)=۰ و f'(۰)=۰", + "f(۰)=۱ و f'(۰)=۰", + "f(۰)=۰ و f'(۰)=۱", + "f'(۰) تعریف‌نشده است" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۴: مشتق", + "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر", + "محاسبه جرم با استفاده از تابع جرم و مشتق آن" + ], + "prompt": "جرم یک توده باکتری پس از t ساعت برابر m(t) = √t + t³ گرم است. آهنگ لحظه‌ای تغییر جرم (یعنی m′(t)) در لحظه‌ی t=۳ چند گرم بر ساعت است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲۷/۲۹", + "۲۷", + "۲۷/۵۸", + "۲۸/۷۳" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۵: کاربردهای مشتق", + "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی", + "یافتن نقاط بیشینه و کمینه نسبی تابع با استفاده از نمودار" + ], + "prompt": "طبق تعریف، اگر I یک همسایگی (بازه‌ی باز شامل) نقطه‌ی c باشد، f(c) بیشینه‌ی نسبیِ تابع f است اگر:", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "برای هر x در دامنه‌ی f، f(x) ≤ f(c)", + "برای هر x در I، f(x) ≤ f(c)", + "برای هر x در I، f(x) ≥ f(c)", + "برای برخی x در I، f(x) ≤ f(c)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۵: کاربردهای مشتق", + "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی", + "تعریف و تشخیص بیشینه و کمینه نسبی تابع" + ], + "prompt": "طبق همان تعریف، f(c) کمینه‌ی نسبیِ تابع f (با I همسایگی‌ای از c) است اگر:", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "برای هر x در I، f(x) ≤ f(c)", + "برای هر x در دامنه‌ی f، f(x) ≥ f(c)", + "برای هر x در I، f(x) ≥ f(c)", + "برای برخی x در I، f(x) ≥ f(c)" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۵: کاربردهای مشتق", + "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی", + "یافتن نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی و مطلق تابع" + ], + "prompt": "برای تابع y = x⁴ − ۴x²، مقدار مینیمم مطلق تابع (که در x=±√۲ رخ می‌دهد) چند است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-۴", + "۰", + "-۸", + "۴" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۵: کاربردهای مشتق", + "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی", + "تعیین مقادیر و طول نقاط اکسترمم نسبی و مطلق از نمودار تابع" + ], + "prompt": "برای تابع y = x⁴ − ۴x²، ماکزیمم نسبی تابع در کدام نقطه و با چه مقداری رخ می‌دهد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "در x=۰، مقدار برابر −۴ است", + "در x=۰، مقدار برابر ۰ است", + "در x=√۲، مقدار برابر −۴ است", + "در x=۲، مقدار برابر ۰ است" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۵: کاربردهای مشتق", + "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی", + "بررسی ماکزیمم و مینیمم مطلق و اکسترمم‌های مطلق تابع" + ], + "prompt": "تابع f(x) = x⁴ را روی بازه‌ی بسته‌ی [۱, ۵] در نظر بگیرید. ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق تابع در این بازه به ترتیب کدام‌اند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۶۲۵ و ۱", + "۶۲۵ و ۰", + "۲۰ و ۱", + "۱ و ۶۲۵" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۵: کاربردهای مشتق", + "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی", + "بررسی وجود ماکزیمم و مینیمم مطلق در بازه‌های باز" + ], + "prompt": "تابع f(x) = (۱)/(۳)x³ − x را روی بازه‌ی [−۲, ۲] در نظر بگیرید. مقدار مینیمم مطلق تابع در این بازه کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-(۸)/(۳)", + "-(۲)/(۳)", + "(۲)/(۳)", + "-۲" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۵: کاربردهای مشتق", + "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی", + "یافتن نقاط بحرانی تابع" + ], + "prompt": "تابع f(x) = (۱)/(۳)x³ − x را روی بازه‌ی [−۲, ۲] در نظر بگیرید. مقدار ماکزیمم مطلق تابع در این بازه چند است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-(۲)/(۳)", + "(۴)/(۳)", + "(۲)/(۳)", + "۲" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۵: کاربردهای مشتق", + "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی", + "یافتن نقاط ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع با مشتق‌پذیری و نقاط بحرانی" + ], + "prompt": "مقدار ماکزیمم مطلق تابع f(x) = |x² − ۱| روی بازه‌ی [−۲, ۲] چند است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱", + "۵", + "۰", + "۳" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۵: کاربردهای مشتق", + "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی", + "بهینه‌سازی حجم جعبه با استفاده از مشتق" + ], + "prompt": "استوانه‌ای با شعاع قاعده‌ی r و ارتفاع h داخل کره‌ای به شعاع R محاط شده و رابطه‌ی r² + (h/۲)² = R² برقرار است. مقدار h که حجم استوانه را بیشینه می‌کند کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۲R)/√۳", + "(۴)/(۳)R", + "R√۳", + "R/√۳" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۵: کاربردهای مشتق", + "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی", + "بیشینه کردن حجم استوانه محاط در کره" + ], + "prompt": "کره‌ای به شعاع R داریم و استوانه‌ای با شعاع قاعده‌ی r و ارتفاع h در آن محاط شده که رابطه‌ی r² + (h/۲)² = R² را دارد. حجم استوانه به صورت تابعی از h (پس از حذفِ r) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "V(h) = πR²h − (π)/(۲)h³", + "V(h) = πr²h", + "V(h) = πR²h − (π)/(۴)h³", + "V(h) = πR²h + (π)/(۴)h³" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۵: کاربردهای مشتق", + "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی", + "تشخیص بازه‌های صعودی و نزولی تابع با استفاده از نمودار و مشتق" + ], + "prompt": "تابع f(x) = ۱/x در بازه‌های (−∞, ۰) و (۰, +∞) اکیداً نزولی است. آیا می‌توان گفت این تابع در تمامِ دامنه‌ی خود اکیداً نزولی است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "بله، چون مشتق در همه‌جا منفی است.", + "خیر، چون در x=۰ تعریف نشده است.", + "خیر، چون مشتق گاهی مثبت است.", + "بله، چون در هر دو بازه نزولی است." + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۵: کاربردهای مشتق", + "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی", + "تشخیص صعودی یا نزولی بودن تابع با مشتق" + ], + "prompt": "برای تابع f(x) = ۱/x، چرا می‌توان گفت این تابع در بازه‌ی (۰, +∞) اکیداً نزولی است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "چون f'(x)=۱/x² مثبت است.", + "چون f(x) پیوسته است.", + "چون f'(x)=-۱/x منفی است.", + "چون f'(x)=-۱/x² منفی است." + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۵: کاربردهای مشتق", + "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی", + "تعیین نقاط بحرانی و بازه‌های صعود و نزول تابع" + ], + "prompt": "طبق جدولِ تغییراتِ تابع f روی بازه‌ی (−۳, ۴) که f'(x)=۰ در x=−۲/۳ و x=۲ است و علامتِ f' به ترتیب +، −، + می‌باشد، تابع f در کدام بازه نزولی است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(−۲/۳, ۲)", + "(−۳, −۲/۳)", + "(۲, ۴)", + "(−۳, ۴)" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه دوازدهم", + "فصل ۵: کاربردهای مشتق", + "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی", + "تحلیل تغییرات تابع با استفاده از جدول تغییرات مشتق" + ], + "prompt": "طبق همان جدولِ تغییراتِ تابع f (نقاطِ بحرانی x=−۲/۳ و x=۲)، مقدار ماکزیمم نسبیِ تابع کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "−۲", + "۲۲", + "۲۰۲/۲۷", + "−۲۷" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی", + "محاسبه مجموع دنباله اعداد طبیعی" + ], + "prompt": "مجموع اعداد طبیعی از ۱ تا n به این روش محاسبه می‌شود: دنباله را یک‌بار عادی و یک‌بار معکوس می‌نویسیم و دو حالت را جمع می‌کنیم. حاصلِ S = ۱ + ۲ + ۳ + ... + (n-۱) + n کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(n(n-۱))/۲", + "n(n+۱)", + "(n(n+۱))/۲", + "(n(n+۲))/۲" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی", + "شمارش تعداد دکمه‌ها در آرایش‌های هندسی" + ], + "prompt": "دکمه‌ها به‌شکل مثلث قائم‌الزاویه چیده شده‌اند: ردیف اول ۱ دکمه، ردیف دوم ۲ دکمه، ردیف سوم ۳ دکمه و به همین ترتیب تا ردیف دهم. تعداد کل دکمه‌ها چند عدد است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۵۰", + "۴۵", + "۱۱۰", + "۵۵" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی", + "برابری تعداد دکمه‌های رنگی در آرایش هندسی" + ], + "prompt": "در آرایشی، تعداد کل دکمه‌ها برابر با مجموع دکمه‌های قرمز و آبی است. تعداد دکمه‌های آبی با تعداد دکمه‌های قرمز برابر است. اگر تعداد کل دکمه‌ها ۱۰۰ باشد، تعداد دکمه‌های قرمز چند عدد است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۰۰", + "۵۰", + "۲۵", + "۲۰۰" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی", + "محاسبه تعداد وترهای تشکیل شده از نقاط روی محیط دایره" + ], + "prompt": "روی محیط دایره‌ای ۲۰ نقطه‌ی متمایز قرار دارد. اگر هر دو نقطه را با یک وتر به هم وصل کنیم، تعداد کل وترهای تشکیل‌شده چند عدد است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۹۰", + "۳۸۰", + "۲۰۰", + "۱۷۱" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی", + "محاسبه مجموع جملات دنباله حسابی" + ], + "prompt": "مجموع صد جمله‌ی اول دنباله‌ی حسابی ۳، ۷، ۱۱، ۱۵، ... کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲۰۳۰۰", + "۴۰۲۰۰", + "۲۰۱۰۰", + "۱۹۸۰۰" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی", + "مسائل مربوط به مجموع جملات دنباله حسابی" + ], + "prompt": "توپ‌هایی روی یک خط مستقیم، هرکدام به فاصله‌ی ۳ متر از قبلی، چیده شده‌اند و فاصله‌ی توپ اول تا سبد نیز ۳ متر است. دونده از کنار سبد شروع می‌کند، هر توپ را برمی‌دارد، به سبد برمی‌گردد و آن را می‌اندازد، سپس به سراغ توپ بعدی می‌رود. اگر او در مجموع ۹۱۸ متر دویده باشد، چند توپ در سبد انداخته است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۶", + "۱۷", + "۱۸", + "۳۴" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی", + "محاسبه مجموع جملات اول دنباله هندسی" + ], + "prompt": "مجموع ۱۰ جمله‌ی اول دنباله‌ی هندسیِ (۱)/(۸)، (۱)/(۴)، (۱)/(۲)، ... کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۶۳٫۸۷۵", + "۲۵۵٫۸۷۵", + "۱۰۲۳", + "۱۲۷٫۸۷۵" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی", + "محاسبه مجموع فاصله‌های برخورد توپ با زمین در حرکت متوالی" + ], + "prompt": "مجموع همه‌ی اعداد طبیعیِ سه‌رقمی که مضربِ ۶ هستند چقدر می‌شود؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۸۲۳۵۰", + "۸۱۸۰۱", + "۸۲۵۰۰", + "۱۶۴۷۰۰" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی", + "مجموع دنباله‌های حسابی" + ], + "prompt": "مجموع همه‌ی اعدادِ طبیعیِ سه‌رقمی‌ای که بر ۶ بخش‌پذیرند چند است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۸۲۲۰۰", + "۸۳۱۶۶", + "۸۲۳۵۰", + "۴۱۱۷۵" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی", + "مجموع جملات دنباله‌های خاص با فرمول کلی" + ], + "prompt": "برای عددِ حقیقیِ a (با شرطِ a ≠ ۱) و عددِ طبیعیِ n، حاصلِ عبارتِ ۱ + a + a² + ... + a^(n-۱) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(a^n - ۱)/(a + ۱)", + "(a^n - ۱)/(a - ۱)", + "(a^(n-۱) - ۱)/(a - ۱)", + "(a^n + ۱)/(a - ۱)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی", + "جمع جملات دنباله با شرایط خاص و بررسی نسبت‌ها" + ], + "prompt": "در ۲۰ جمله‌ی اولِ یک دنباله‌ی حسابی، مجموعِ جملاتِ فرد (جمله‌های ۱ تا ۱۹) برابر ۱۳۵ و مجموعِ جملاتِ زوج (جمله‌های ۲ تا ۲۰) برابر ۱۵۰ است. جمله‌ی اول (a) و قدرِ نسبت (d) این دنباله به‌ترتیب کدام‌اند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "a=۰، d=۱٫۵", + "a=۱٫۵، d=۰", + "a=۰، d=۱", + "a=۱، d=۱٫۵" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های درجه دوم", + "حل معادلات درجه دوم" + ], + "prompt": "معادله‌ی ۲ - ۵x = ۳x² را حل کنید. جواب‌ها کدام‌اند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x=-(۱)/(۳) یا x=۲", + "x=(۱)/(۳) یا x=۲", + "x=(۱)/(۳) یا x=-۲", + "x=-(۱)/(۳) یا x=-۲" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های درجه دوم", + "یافتن ریشه دوم معادله درجه دوم با داشتن یک ریشه" + ], + "prompt": "اگر x=-۱ یک ریشه‌ی معادله‌ی x² - mx - ۷ = ۰ باشد، ریشه‌ی دیگر کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-۷", + "۷", + "۶", + "-۶" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های درجه دوم", + "رابطه بین ضرایب و ریشه‌های معادله درجه دوم" + ], + "prompt": "اگر x=-۱ یک ریشه‌ی معادله‌ی ۴x² - mx - ۷ = ۰ باشد، ریشه‌ی دیگر و مقدارِ m به‌ترتیب کدام‌اند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x₂=-(۷)/(۴)، m=۳", + "x₂=(۷)/(۴)، m=-۳", + "x₂=(۴)/(۷)، m=۳", + "x₂=(۷)/(۴)، m=۳" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های درجه دوم", + "تشکیل معادله درجه دوم از ریشه‌ها" + ], + "prompt": "معادله‌ی درجه‌دومی که ریشه‌های آن ۲ و -۳ باشد کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x² + x - ۶ = ۰", + "x² - x - ۶ = ۰", + "x² + x + ۶ = ۰", + "x² - x + ۶ = ۰" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های درجه دوم", + "تشخیص معادله درجه دوم از ریشه‌ها با استفاده از روابط جمع و ضرب" + ], + "prompt": "اگر x₁=α و x₂=β ریشه‌های یک معادله‌ی درجه‌ی دو باشند، معادله کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x² + (α+β)x + αβ = ۰", + "x² - (α+β)x + αβ = ۰", + "x² - (α+β)x - αβ = ۰", + "x² - αβx + (α+β) = ۰" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های درجه دوم", + "حل مسئله هندسی با استفاده از معادله درجه دوم" + ], + "prompt": "محیطِ یک مستطیل ۳۳ سانتی‌متر و مساحتِ آن ۶۵ سانتی‌متر مربع است. طول و عرضِ مستطیل به‌ترتیب کدام‌اند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۰ و ۶٫۵", + "۱۰ و ۶", + "۱۱ و ۵٫۵", + "۹ و ۷٫۵" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های درجه دوم", + "یافتن صفرهای تابع چندجمله‌ای" + ], + "prompt": "معادله‌ی f(x) = x² + ۴x + ۳ = ۰ را حل کنید. جواب‌ها کدام‌اند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x=۱ و x=۳", + "x=-۱ و x=۳", + "x=-۱ و x=-۳", + "x=۱ و x=-۳" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های درجه دوم", + "رسم نمودار سهمی و تحلیل صفرهای تابع" + ], + "prompt": "تابعِ g(x) = x² + ۱ را در نظر بگیرید. معادله‌ی g(x) = ۰ چند جوابِ حقیقی دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "یک جواب حقیقی دارد", + "هیچ جواب حقیقی ندارد", + "دو جواب حقیقی دارد", + "بی‌نهایت جواب دارد" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های درجه دوم", + "رسم نمودار سهمی‌های مختلف و تحلیل جواب معادلات" + ], + "prompt": "تابعِ f(x) = x² - ۲x + ۱ را در نظر بگیرید. معادله‌ی f(x) = ۰ چند جواب دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "هیچ جواب حقیقی ندارد", + "دو جواب حقیقی متفاوت", + "بی‌نهایت جواب دارد", + "یک جواب حقیقی (مضاعف)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های درجه دوم", + "یافتن ضابطه تابع درجه دوم با استفاده از صفرهای تابع" + ], + "prompt": "اگر x=۲ یکی از صفرهای تابعِ p(x) = x³ - x² - ۴x + ۴ باشد، دو صفرِ دیگرِ آن کدام‌اند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲ و -۱", + "۲ و ۱", + "-۲ و ۱", + "-۲ و -۱" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های درجه دوم", + "تحلیل ویژگی‌های نمودار سهمی با معادله کلی" + ], + "prompt": "معادله‌ی |x| = x² - ۲x را حل کنید. مجموعه‌ی جواب‌ها کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x=۰ یا x=۳", + "x=۰ یا x=۱", + "x=۰ یا x=-۳", + "x=۱ یا x=۳" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های درجه دوم", + "تکمیل جدول ویژگی‌های نمودار سهمی با توجه به معادله" + ], + "prompt": "معادله‌ی درجه‌دومی بنویسید که ریشه‌های آن (۱)/(۳) و (۲)/(۳) باشند.", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۹x² - ۳x + ۲ = ۰", + "۹x² - ۹x + ۲ = ۰", + "۹x² - ۹x - ۲ = ۰", + "۹x² + ۹x + ۲ = ۰" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های درجه دوم", + "یافتن صفرهای چندجمله‌ای با استفاده از تقسیم و تجزیه" + ], + "prompt": "می‌دانیم x=۲ یکی از صفرهای تابعِ p(x) = x³ - x² - ۴x + ۴ است. کدام گزینه دو صفرِ دیگرِ p را درست نشان می‌دهد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x=-۲ و x=۱", + "x=۲ و x=-۱", + "x=-۲ و x=-۱", + "x=۱ و x=۴" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های درجه دوم", + "حل معادلات با استفاده از روش هندسی (نموداری)" + ], + "prompt": "با روشِ رسمِ نمودار، معادله‌ی |x| = x² - ۲x حل شده است. جواب‌های معادله کدام‌اند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰ و ۱", + "۱ و ۳", + "۰ و ۳", + "-۳ و ۰" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های درجه دوم", + "نوشتن معادله درجه دوم با شرایط ریشه‌ها" + ], + "prompt": "معادله‌ی درجه‌دومی با ریشه‌های (۱)/(۳) و (۲)/(۳) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x² - x + ۲ = ۰", + "۹x² - ۹x - ۲ = ۰", + "۳x² - ۳x + ۲ = ۰", + "۹x² - ۹x + ۲ = ۰" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های درجه دوم", + "مدل‌سازی حرکت توپ با تابع درجه دوم" + ], + "prompt": "ارتفاعِ یک توپِ فوتبال نسبت به فاصله‌ی افقی از نقطه‌ی شروع با رابطه‌ی h(x) = -۰٫۰۳x(x - ۳۶) داده می‌شود (x بر حسب متر). توپ حداکثر تا چه ارتفاعی بالا می‌رود؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۸ متر", + "۹٫۷۲ متر", + "۳۶ متر", + "۴٫۸۶ متر" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های درجه دوم", + "یافتن صفرهای توابع چندجمله‌ای" + ], + "prompt": "صفرهای تابعِ f(x) = x⁴ - ۴x را بیابید.", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x=۰ و x=∛۴", + "x=۰ و x=۲", + "x=۰ و x=۴", + "x=۰ و x=-∛۴" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های درجه دوم", + "تعیین تعداد و مقدار تقریبی ریشه‌های معادله درجه سوم با استفاده از نمودار" + ], + "prompt": "استخری مستطیلی‌شکل به طول ۱۰ متر و عرض ۳ متر داریم که نواری بتونی با پهنای یکسان دور تا دور آن کشیده شده است. اگر مساحت این نوار ۱۴ متر مربع باشد، پهنای نوار چند متر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰٫۵ متر", + "۱ متر", + "۷ متر", + "۲ متر" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های درجه دوم", + "محاسبه عرض نوار بتونی اطراف استخر مستطیل شکل با داده‌های طول، عرض و مساحت" + ], + "prompt": "استخری مستطیلی‌شکل به طول ۱۰ متر و عرض ۳ متر داریم که نواری بتونی با پهنای یکسان و مساحت ۱۴ متر مربع دور تا دور آن کشیده شده است. مساحت کلِ مستطیلِ بزرگ (استخر به‌همراه نوار بتونی) چند متر مربع است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳۰ متر مربع", + "۴۴ متر مربع", + "۱۴ متر مربع", + "۶۰ متر مربع" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های درجه دوم", + "محاسبه طول کاشی با داده‌های نسبت طول به عرض، مساحت دیوار و تعداد کاشی مصرفی" + ], + "prompt": "طول یک نوع کاشی، ۱ سانتی‌متر بلندتر از ۴ برابر عرض آن است. برای پوشاندن دیواری به مساحت ۵۲٫۸ متر مربع، تعداد ۲۰۰۰ کاشی مصرف شده است. طول هر کاشی چند سانتی‌متر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۸ سانتی‌متر", + "۲۹ سانتی‌متر", + "۳۳ سانتی‌متر", + "۳۲ سانتی‌متر" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های گویا و گنگ", + "حل معادلات گویا در مسائل درصدی" + ], + "prompt": "۲۰۰ کیلوگرم محلول آب‌نمکِ ۴ درصد داریم. برای رساندن غلظت این محلول به ۷ درصد، باید مقداری نمکِ خالص به آن اضافه کرد. مقدار نمکی که باید اضافه شود چند کیلوگرم است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۸ کیلوگرم", + "۶ کیلوگرم", + "۱۴ کیلوگرم", + "تقریباً ۶٫۴۵ کیلوگرم" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های گویا و گنگ", + "حل معادلات گویا" + ], + "prompt": "معادله ۳ = ۲/(x-۲) + ۱/(x-۲)² را حل کنید. کدام گزینه یکی از جواب‌های معادله است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = ۳", + "x = ۲", + "x = ۱", + "x = -۳" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های گویا و گنگ", + "حل مسائل نسبت طلایی در مستطیل" + ], + "prompt": "در یک مستطیل با طول L و عرض w، نسبتِ طلایی برقرار است، یعنی L/w = (w + L)/L. اگر محیط یک زمین ورزشیِ مستطیلی‌شکل ۱۴۴ متر باشد و طول و عرض آن مطابق همین نسبت باشند، طول زمین چند متر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳۶ متر", + "۴۴٫۵ متر", + "۲۷٫۵ متر", + "۷۲ متر" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های گویا و گنگ", + "حل معادلات درجه دوم با کاربرد هندسی" + ], + "prompt": "معادله √(x + ۲) = x - ۴ را حل کنید. کدام گزینه جوابِ صحیح (با توجه به دامنه) است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = ۲", + "x = ۴", + "x = ۷", + "x = -۲" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های گویا و گنگ", + "حل معادلات رادیکالی با بررسی دامنه و آزمایش جواب‌ها" + ], + "prompt": "برای حل معادله √(x + ۲) = x - ۴، ابتدا طرفین را به توان ۲ می‌رسانیم. پس از ساده‌سازی، کدام معادله‌ی درجه دوم به‌دست می‌آید؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x² + ۹x + ۱۴ = ۰", + "x² - ۹x - ۱۴ = ۰", + "x² - ۸x + ۱۶ = ۰", + "x² - ۹x + ۱۴ = ۰" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های گویا و گنگ", + "حل معادلات شامل رادیکال" + ], + "prompt": "معادله √(x + ۳) + √(x + ۱) = ۴ را حل کنید. مقدار x کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳۳ بر ۱۶", + "۱۶ بر ۳۳", + "۴", + "-۱" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های گویا و گنگ", + "حل مسائل کاربردی با معادلات خطی" + ], + "prompt": "پدربزرگ برای خرید چند اسباب‌بازیِ یکسان، در مجموع ۱۲۰ هزار تومان پرداخت کرد. اگر فروشنده به ازای هر اسباب‌بازی ۱ هزار تومان تخفیف می‌داد، او می‌توانست با همان مبلغ، ۴ اسباب‌بازیِ دیگر هم بخرد. قیمتِ هر اسباب‌بازی پیش از تخفیف چند هزار تومان بود؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۵ هزار تومان", + "۶ هزار تومان", + "۱۲۰ هزار تومان", + "۲۰ هزار تومان" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های گویا و گنگ", + "حل مسائل حرکت با سرعت‌های نسبی" + ], + "prompt": "فاصله‌ی بین دو شهر که کنار یک رودخانه قرار دارند، ۱۴۴ کیلومتر است. یک کشتی از شهر اول به شهر دوم می‌رود، ۲ ساعت توقف می‌کند و از همان مسیر برمی‌گردد؛ کل زمان سفر ۱۷ ساعت است. سرعتِ کشتی در مسیرِ همراه با جریانِ آب، ۸ کیلومتر بر ساعت بیشتر از سرعتش در خلافِ جریان است. سرعتِ کشتی در جهتِ جریانِ آب چند کیلومتر بر ساعت است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۶ کیلومتر بر ساعت", + "۸ کیلومتر بر ساعت", + "۲۴ کیلومتر بر ساعت", + "۳۲ کیلومتر بر ساعت" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "معادله‌های گویا و گنگ", + "حل مسائل زمان کار با ماشین‌ها" + ], + "prompt": "ماشینِ A کاری را به‌تنهایی ۱۵ ساعت زودتر از ماشینِ B تمام می‌کند. اگر هر دو ماشین با هم آن کار را در ۱۸ ساعت انجام دهند، ماشینِ A به‌تنهایی در چند ساعت آن کار را انجام می‌دهد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴۵ ساعت", + "۱۵ ساعت", + "۶ ساعت", + "۳۰ ساعت" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "حذف قدر مطلق از عبارات جبری" + ], + "prompt": "حاصلِ عبارتِ |‎-۳ - (-۵)| کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲", + "۸", + "-۸", + "-۲" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "ساده‌سازی عبارات شامل رادیکال و توان" + ], + "prompt": "تابعِ f(x) = |x - ۱| + |x + ۲| را در نظر بگیرید. مقدارِ f(۰) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱", + "۳", + "۲", + "-۳" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "رسم نمودار توابع قدر مطلق با استفاده از انتقال و تبدیل دو ضابطه‌ای" + ], + "prompt": "تابعِ f(x) = |x - ۱| + |x + ۲| را در نظر بگیرید. ضابطه‌ی این تابع برای x > ۱ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-۲x - ۱", + "۳", + "۲x + ۱", + "۲x - ۱" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "اثبات ویژگی‌های قدر مطلق" + ], + "prompt": "کدام رابطه‌ی زیر برای هر دو عددِ حقیقیِ a و b همواره برقرار است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "|a + b| = |a| + |b|", + "|ab| = a × b", + "|a| × |b| = ab", + "|ab| = |a| × |b|" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "اثبات رابطه قدر مطلق تقسیم" + ], + "prompt": "اگر c عددی حقیقی و مثبت باشد، جواب نامعادله‌ی |x| < c کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(-c , c)", + "(c , -c)", + "[-c , c]", + "(-∞ , c)" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "حل نامعادله‌های قدر مطلق و نمایش جواب‌ها روی محور اعداد" + ], + "prompt": "اگر c عددی حقیقی و مثبت باشد، در جوابِ نامعادله‌ی |x| < c، کدام مقادیر شامل نمی‌شوند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "فقط x = c", + "x = c و x = -c", + "فقط x = -c", + "هیچ‌کدام؛ هر دو شامل می‌شوند" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "اثبات نامساوی مثلث برای اعداد حقیقی" + ], + "prompt": "کدام یک از رابطه‌های زیر (نامساویِ مثلثی) برای هر دو عددِ حقیقیِ a و b درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "|a + b| ≥ |a| + |b|", + "|a + b| = |a| + |b|", + "|a + b| ≤ |a| + |b|", + "|a + b| ≤ |a| - |b|" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "حل معادلات قدر مطلق" + ], + "prompt": "معادله |۳x - ۲| = |x - ۴| را حل کنید. بزرگ‌ترِ دو جوابِ این معادله کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = -۱", + "x = ۲", + "x = -۱٫۵", + "x = ۱٫۵" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "حل معادلات قدر مطلق با استفاده از تعریف قدر مطلق" + ], + "prompt": "معادله |۳x - ۲| = |x - ۴| را حل کنید. کوچک‌ترِ دو جوابِ این معادله کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = -۱", + "x = ۱٫۵", + "x = ۱", + "x = -۱٫۵" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "حل معادلات قدر مطلق با روش هندسی" + ], + "prompt": "تابعِ y = |x² - ۴| را در نظر بگیرید. مقدارِ y در x = ۰ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-۴", + "۴", + "۰", + "۲" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "حل معادلات قدر مطلق با توان رساندن طرفین" + ], + "prompt": "معادله |۳x - ۲| = |x - ۴| را حل کنید. مجموعِ دو جوابِ این معادله کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲٫۵", + "-۲٫۵", + "۰٫۵", + "۱" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "نوشتن تابع چندضابطه‌ای با استفاده از قدر مطلق" + ], + "prompt": "تابعِ y = |x² - ۴| را در نظر بگیرید. مقدارِ y در x = ۳ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-۵", + "۱۳", + "۹", + "۵" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "رسم نمودار تابع قدر مطلق" + ], + "prompt": "نمودارِ y = |x² - ۴| از روی نمودارِ y = x² - ۴ رسم می‌شود. در کدام بازه، نمودار نسبت به محورِ x قرینه (بازتاب) شده است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(-۲ , ۲)", + "(-∞ , -۲)", + "(۲ , ∞)", + "همه‌یِ اعدادِ حقیقی" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "نوشتن تابع به صورت دو ضابطه‌ای با استفاده از تابع مطلق" + ], + "prompt": "طبقِ تعریفِ قدرِ مطلق، برای تابعِ y = |f(x)|، اگر f(x) < ۰ باشد، آنگاه y برابر است با:", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "f(x)", + "-f(x)", + "۰", + "-|f(x)|" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "حل معادله شامل قدر مطلق با روش جبری و ویژگی‌های قدر مطلق" + ], + "prompt": "معادله |x² - ۱| = |۲x - ۱| را حل کنید. کدام گزینه یکی از جواب‌های این معادله است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = ۱", + "x = -۲", + "x = ۲", + "x = ۳" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "نوشتن ضابطه تابع با استفاده از علامت قدر مطلق" + ], + "prompt": "ضابطه تابع f(x) = x|x| بدون نماد قدر مطلق کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "برای x≥۰: x² و برای x<۰: -x²", + "برای x≥۰: -x² و برای x<۰: x²", + "برای همه x: x²", + "برای x≥۰: x² و برای x<۰: x³" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "محاسبه نقاط روی محور طول‌ها با شرط مجموع فاصله‌ها" + ], + "prompt": "مجموعه جواب‌های معادله |x+۱|+|x-۳|=۶ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "{۲، -۴}", + "{-۲، ۴}", + "{-۲}", + "{۴}" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "نمایش عبارات با نماد قدر مطلق و حل معادلات" + ], + "prompt": "معادله |x-۳|=۷ چه جواب‌هایی دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "{۱۰، ۴}", + "{-۱۰، ۴}", + "{۱۰، -۴}", + "{۱۰}" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "حل معادلات شامل قدر مطلق و رادیکال" + ], + "prompt": "مجموعه جواب معادله (۲-x)/|x-۳|=۱ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = ۲٫۵", + "x = -۲٫۵", + "x = ۳", + "هیچ جواب حقیقی ندارد" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "قدر مطلق و ویژگی‌های آن", + "رسم نمودار توابع شامل قدر مطلق و حل معادلات هندسی و جبری" + ], + "prompt": "اگر y = x - (x/|x|) و y = ۳ باشد، مقدار x کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = ۴", + "x = ۲", + "x = -۴", + "x = ۳" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "آشنایی با هندسه تحلیلی", + "محاسبه طول پاره‌خط روی محور اعداد" + ], + "prompt": "روی محور اعداد، نقطه A متقارن نقطه ۴ و نقطه B متقارن نقطه -۳ نسبت به مبدأ O است. طول پاره‌خط AB چقدر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱", + "۷", + "۴", + "۳" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "آشنایی با هندسه تحلیلی", + "محاسبه طول پاره‌خط در صفحه مختصات" + ], + "prompt": "طول پاره‌خط AB برای نقاط A(۲،۵) و B(۶،۳) چقدر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲", + "۲√۳", + "۲√۵", + "۶" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "آشنایی با هندسه تحلیلی", + "بررسی قائم‌الزاویه بودن مثلث در صفحه مختصات" + ], + "prompt": "طول ضلع AB مثلث با رئوس A(۳،۲)، B(-۱،۲) و C(۰،-۵) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۵√۲", + "√۵۸", + "۲", + "۴" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "آشنایی با هندسه تحلیلی", + "محاسبه طول اضلاع مثلث در صفحه مختصات" + ], + "prompt": "طول ضلع BC مثلث با رئوس A(۳،۲)، B(-۱،۲) و C(۰،-۵) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۵√۲", + "۴", + "√۵۸", + "۷" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "آشنایی با هندسه تحلیلی", + "محاسبه شیب خطوط در صفحه مختصات" + ], + "prompt": "معادله عمودمنصف پاره‌خط AB با A(-۲،۱) و B(۳،۴) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "y = (۳)/(۵)x + (۱۱)/(۵)", + "y = -(۵)/(۳)x + (۱۰)/(۳)", + "y = -(۳)/(۵)x + (۱۴)/(۵)", + "y = -(۵)/(۳)x - (۱۰)/(۳)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "آشنایی با هندسه تحلیلی", + "نوشتن معادله عمودمنصف پاره‌خط" + ], + "prompt": "شیب عمودمنصف پاره‌خط AB با A(-۲،۱) و B(۳،۴) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۵)/(۳)", + "(۳)/(۵)", + "-(۵)/(۳)", + "-(۳)/(۵)" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "آشنایی با هندسه تحلیلی", + "بررسی رابطه شیب خطوط عمود بر هم" + ], + "prompt": "اگر شیب خط AB برابر (۳)/(۵) و شیب عمودمنصف آن برابر -(۵)/(۳) باشد، حاصل‌ضرب این دو شیب چند است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-(۹)/(۲۵)", + "۱", + "۰", + "-۱" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "آشنایی با هندسه تحلیلی", + "تشخیص قرارگیری نقطه روی خط عمودمنصف" + ], + "prompt": "معادله عمودمنصف پاره‌خط AB با A(۰،-۳) و B(۶،۱۵) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "y = -(۱)/(۳)x + ۷", + "y = -۳x + ۱۵", + "y = ۳x - ۳", + "y = -(۱)/(۳)x - ۷" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "آشنایی با هندسه تحلیلی", + "محاسبه طول نقطه وسط یک پاره‌خط" + ], + "prompt": "M وسط پاره‌خط AB روی محور اعداد است. A مختصه -۲ و B مختصه ۶ دارد. مختصه M چقدر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴", + "۲", + "۸", + "-۲" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "آشنایی با هندسه تحلیلی", + "محاسبه مختصات نقطه وسط پاره‌خط در صفحه مختصات" + ], + "prompt": "مختصات نقطه وسط M پاره‌خط AB با A(۱،۵) و B(۵،۳) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۲،۴)", + "(۴،۳)", + "(۳،۴)", + "(۶،۸)" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "آشنایی با هندسه تحلیلی", + "محاسبه فاصله یک نقطه از یک خط" + ], + "prompt": "فاصله نقطه A(۳،۴) از خط d به معادله x+۲y=۵ چقدر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "√۵", + "۶", + "(۳√۵)/۵", + "(۶√۵)/۵" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "آشنایی با هندسه تحلیلی", + "فاصله نقطه از خط" + ], + "prompt": "فاصله نقطه A(-۲،۴) از خط y = -(۴)/(۳)x + ۴ چقدر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۸)/(۵)", + "(۲)/(۵)", + "۸", + "(۱۶)/(۵)" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "آشنایی با هندسه تحلیلی", + "محاسبه مساحت مستطیل با استفاده از معادله خط و مختصات رئوس" + ], + "prompt": "دو خط ۳x+۲y=۷ و ۲x-۳y=۲ دو ضلع یک مستطیل‌اند و A(۲،۵) یک رأس آن است. مساحت مستطیل چقدر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۳", + "۹", + "۶", + "۱۱۷" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "آشنایی با هندسه تحلیلی", + "کار با مختصات و بردارها در مثلث" + ], + "prompt": "A(۰،۶) و B(۸،-۸) دو سر یک قطر دایره‌اند. مرکز و شعاع دایره کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "مرکز(۴،-۱)، شعاع ۲√۶۵", + "مرکز(۸،-۲)، شعاع √۶۵", + "مرکز(۴،-۱)، شعاع √۶۵", + "مرکز(۴،-۱)، شعاع ۶۵" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "آشنایی با هندسه تحلیلی", + "یافتن مرکز و شعاع دایره با استفاده از نقاط روی قطر" + ], + "prompt": "شعاع دایره‌ای که A(۰،۶) و B(۸،-۸) دو سر قطر آن‌اند چقدر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲√۶۵", + "۶۵", + "√۱۳۰", + "√۶۵" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "آشنایی با هندسه تحلیلی", + "مدل‌سازی و تحلیل منحنی سهمی" + ], + "prompt": "فاصله دو خط موازی ax+by+c=۰ و ax+by+c'=۰ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "|c-c'| / √(a²+b²)", + "|c-c'| / (a²+b²)", + "|c+c'| / √(a²+b²)", + "(c-c') / √(a+b)" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "آشنایی با هندسه تحلیلی", + "ثابت کردن فاصله بین دو خط موازی" + ], + "prompt": "در فرمول فاصله دو خط موازی ax+by+c=۰ و ax+by+c'=۰، مخرج کسر کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "a²+b²", + "√(a²+b²)", + "√(a+b)", + "√(ab)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۱: جبر و معادله", + "آشنایی با هندسه تحلیلی", + "محاسبه شعاع دایره با استفاده از خط مماس و مرکز دایره" + ], + "prompt": "خط ۵y+۳x=۴ بر دایره‌ای به مرکز O(-۱،۲) مماس است. شعاع دایره چقدر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "√۳۴ / ۲", + "۳", + "۳ / √۳۴", + "۱۱ / √۳۴" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "آشنایی بیشتر با تابع", + "نمایش تابع با استفاده از نمودار و مدل‌های واقعی" + ], + "prompt": "اگر f(x) = ۵۰ + ۷√x باشد، مقدار f(۹) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۱۳", + "۷۰", + "۵۷", + "۷۱" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "آشنایی بیشتر با تابع", + "تعیین دامنه و برد تابع" + ], + "prompt": "برد تابع h(x)=۲x با دامنه [-۲،۲] کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "[-۴،۴]", + "[-۲،۲]", + "[۰،۴]", + "[-۸،۸]" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "آشنایی بیشتر با تابع", + "رسم نمودار تابع و مقایسه توابع" + ], + "prompt": "برای توابع f(x) = ۲x و g(x) = x² روی بازه‌ی x از ۳- تا ۳، مقدار f(۳) - g(۳) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-۳", + "۱۵", + "۳", + "۰" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "آشنایی بیشتر با تابع", + "تشخیص نمایش تابع و دامنه و برد" + ], + "prompt": "اگر دامنه‌ی تابع f(x) = x² را به بازه‌ی [۰, (۱)/(۲)] محدود کنیم، برد آن کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "[۰, (۱)/(۲)]", + "[۰, (۱)/(۴)]", + "[۰, ∞)", + "[۰, ۱]" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "آشنایی بیشتر با تابع", + "کاربرد تابع به عنوان ماشین و حل مسائل عددی" + ], + "prompt": "ماشینی به هر عدد ورودی، آن را سه برابر کرده و سپس ۵ واحد اضافه می‌کند. اگر خروجی این ماشین ۴ باشد، ورودی آن کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳", + "(۱)/(۳)", + "(-۱)/(۳)", + "-۳" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "آشنایی بیشتر با تابع", + "برابری دو تابع" + ], + "prompt": "صدای آذرخش هر ۳ ثانیه حدود یک کیلومتر پیموده می‌شود. اگر h فاصله برحسب کیلومتر و t زمان برحسب ثانیه باشد (h = t/۳)، برای t = ۹ ثانیه مقدار h کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲۷", + "(۱)/(۳)", + "۶", + "۳" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "آشنایی بیشتر با تابع", + "تشخیص برابری توابع از روی مجموعه زوج‌های مرتب" + ], + "prompt": "مجموعه A = {a, b, c} و مجموعه B = {d, e, f} را در نظر بگیرید. تعداد کل توابعی که می‌توان از A به B تعریف کرد کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲۷", + "۹", + "۶", + "۳" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "آشنایی بیشتر با تابع", + "تکمیل جدول مقادیر تابع بر اساس داده‌های مسئله" + ], + "prompt": "صدای آذرخش هر ۳ ثانیه حدود یک کیلومتر پیموده می‌شود. اگر h فاصله برحسب کیلومتر و t زمان برحسب ثانیه باشد (h = t/۳)، برای t = ۸ ثانیه مقدار h کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۳)/(۸)", + "(۸)/(۳)", + "۲۴", + "۵" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "آشنایی بیشتر با تابع", + "رسم و تحلیل نمودار تابع" + ], + "prompt": "اگر تابعی دامنه‌اش مجموعه‌ی اعداد حقیقی مثبت، یعنی (۰, +∞)، باشد، چند تابع با این دامنه می‌توان تعریف کرد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "فقط یک تابع", + "سه تابع", + "بی‌نهایت تابع", + "هیچ تابعی" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "آشنایی بیشتر با تابع", + "تعیین تعداد توابع با شرایط داده شده" + ], + "prompt": "طول قد یک مرد بزرگ‌سال از رابطه‌ی M(x) = ۲٫۸۹x + ۷۰٫۶۴ برآورد می‌شود که x طول استخوان بازو برحسب سانتی‌متر است. اگر طول استخوان بازوی مردی ۳۵ سانتی‌متر باشد، قد او تقریباً چند سانتی‌متر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۰۱٫۱۵", + "۲۴۱٫۷۹", + "۱۰۶٫۷۹", + "۱۷۱٫۷۹" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "آشنایی بیشتر با تابع", + "نوشتن همه توابع از یک مجموعه به مجموعه دیگر" + ], + "prompt": "با توجه به این‌که A و B هرکدام سه عضو دارند، تعداد کل توابعی که از A به B می‌توان نوشت چقدر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲۷", + "۹", + "۳", + "۸" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "آشنایی بیشتر با تابع", + "محاسبه طول استخوان بازو با استفاده از تابع خطی" + ], + "prompt": "طول قد یک مرد بزرگ‌سال از رابطه‌ی M(x) = ۲٫۸۹x + ۷۰٫۶۴ برآورد می‌شود که x طول استخوان بازو برحسب سانتی‌متر است. اگر قد یک مرد ۱۸۵ سانتی‌متر باشد، طول استخوان بازوی او تقریباً چند سانتی‌متر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۱۴٫۳۶", + "۳۹٫۵۶", + "۴۴٫۳۶", + "۲۸٫۴۵" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "توابع گویا" + ], + "prompt": "دامنه‌ی تابع f(x) = (x²)/(۲(۱-x)) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "{x | x ∈ ℝ, x ≠ ۰}", + "{x | x ≥ ۰}", + "{x | x ∈ ℝ, x ≠ ۱}", + "{x | x ∈ ℝ, x ≠ -۱}" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "تعیین دامنه و برد توابع رادیکالی با جابجایی" + ], + "prompt": "دامنه‌ی تابع g(x) = √(x - ۳) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x ≥ -۳", + "x ∈ ℝ", + "x ≤ ۳", + "x ≥ ۳" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "تعیین دامنه و برد تابع رادیکالی" + ], + "prompt": "با توجه به اینکه دامنه‌ی تابع f(x) = √(۳x - ۵) برابر [(۵)/(۳), +∞) است، برد این تابع کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "[۰, +∞)", + "[(۵)/(۳), +∞)", + "(-∞, ۰]", + "ℝ" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "رسم نمودار تابع رادیکالی با استفاده از نقاط" + ], + "prompt": "برای تابع f(x) = √(۳x - ۵)، مقدار f(۴) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "√۱۲", + "√۷", + "۷", + "√۲" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "رسم نمودار تابع با انتقال نمودار تابع دیگر" + ], + "prompt": "تابع g(x) = √(x + ۶) - ۲ را در نظر بگیرید. مقدار g(-۲) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲", + "-۴", + "۰", + "-۲" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "تعیین دامنه تابع با توجه به محدودیت‌های واقعی مسئله" + ], + "prompt": "تابع f(x) = ۷√(x + ۵۰) قد متوسط کودکان را برحسب سانتی‌متر و x را ماه‌های پس از تولد نشان می‌دهد. اگر x در این مسئله تا ۶۰ ماه محدود باشد، دامنه‌ی واقعی تابع کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "[-۵۰, +∞)", + "[۰, +∞)", + "(۰, ۶۰)", + "[۰, ۶۰]" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "تحلیل و رسم نمودار تابع از جدول داده‌ها" + ], + "prompt": "جدول زیر مقادیر یک تابع f را نشان می‌دهد: x: ۰, ۱, ۴, ۱۰, ۱۶, ۲۵ و مقادیر متناظر f(x): ۵۰, ۷۲٫۱, ۸۵, ۸۸٫۳, ۹۲, ۱۰۴٫۲. مقدار f(۴) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۸۵", + "۷۲٫۱", + "۸۸٫۳", + "۵۰" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "تعیین برد تابع و مقدار تابع در نقاط خاص" + ], + "prompt": "جدول زیر قد کودکان (برحسب سانتی‌متر) را به ازای سن آن‌ها x (برحسب سال) نشان می‌دهد: x: ۰, ۱, ۴, ۱۰, ۱۶, ۲۵ و قد متناظر: ۵۰, ۷۲٫۱, ۸۵, ۸۸٫۳, ۹۲, ۱۰۴٫۲. قد یک کودک چهارساله تقریباً چند سانتی‌متر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۸۸٫۳", + "۸۵", + "۷۲٫۱", + "۵۰" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "بررسی تابع بودن رابطه با استفاده از معادلات" + ], + "prompt": "در معادله‌ی ۴ = x² + y، اگر y را بر حسب x بنویسیم، کدام گزینه درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "y = x² - ۴", + "y = ۴ + x²", + "y = ۴ - x²", + "y = -۴ - x²" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "بررسی تابع بودن رابطه با معادله شامل ریشه دوم" + ], + "prompt": "در معادله‌ی ۴ = x - y²، برای x = ۱۳، چند مقدار y وجود دارد که در معادله صدق کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "فقط ۱ مقدار (y = ۳)", + "هیچ مقداری وجود ندارد", + "۳ مقدار متفاوت", + "۲ مقدار (y = ۳ و y = -۳)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "تعریف و تشخیص تابع" + ], + "prompt": "کدام یک از معادلات زیر یک تابع را مشخص می‌کند؟\nالف) y = |x| + ۱\nب) x = |y| + ۱", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "فقط الف", + "فقط ب", + "هر دو", + "هیچ‌کدام" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "نوشتن تابع پله‌ای از جدول داده شده" + ], + "prompt": "هزینه‌ی ارسال یک بسته‌ی پستی بر اساس وزن آن (x، برحسب کیلوگرم) به این صورت است: ۰ < x ≤ ۲ ⇐ ۵ هزار تومان، ۲ < x ≤ ۵ ⇐ ۱۰ هزار تومان، ۵ < x ≤ ۱۰ ⇐ ۱۷ هزار تومان، ۱۰ < x ≤ ۱۲ ⇐ ۲۰ هزار تومان. هزینه‌ی ارسال بسته‌ای به وزن ۳ کیلوگرم چند هزار تومان است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۵", + "۱۰", + "۱۷", + "۲۰" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "محاسبه مقدار تابع پله‌ای برای وزن‌های مشخص" + ], + "prompt": "هزینه‌ی ارسال یک بسته‌ی پستی بر اساس وزن آن این‌گونه است: برای وزن‌های بین ۵ تا ۱۰ کیلوگرم (شامل ۱۰)، ۱۷ هزار تومان و برای وزن‌های بین ۱۰ تا ۱۲ کیلوگرم (شامل ۱۲)، ۲۰ هزار تومان دریافت می‌شود. هزینه‌ی ارسال دو بسته به وزن‌های ۹ و ۱۱٫۵ کیلوگرم روی‌هم چقدر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴۰ هزار تومان", + "۳۴ هزار تومان", + "۳۷ هزار تومان", + "۲۰ هزار تومان" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "رسم نمودار تابع پله‌ای" + ], + "prompt": "توقفگاهی برای ۴ ساعت اول توقف ۳ هزار تومان و برای هر دو ساعت اضافه یا کمتر از آن، ۱ هزار تومان دیگر دریافت می‌کند. هزینه‌ی توقف یک خودرو به مدت ۷ ساعت چند هزار تومان است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴", + "۶", + "۳", + "۵" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "رسم نمودار تابع جزء صحیح" + ], + "prompt": "تابع پله‌ای زیر داده شده است:\nf(x) = ۲ برای ۳- ≤ x ≤ ۲-\nf(x) = ۱- برای ۲- < x ≤ ۰\nf(x) = ۴ برای ۰ < x ≤ ۴\nf(x) = ۰ برای ۴ < x < ۵\nمقدار f(۱) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴", + "۲", + "-۱", + "۰" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "رسم نمودار تابع قسمت صحیح" + ], + "prompt": "دامنه‌ی تابع f(x) = (x + ۳)/(x² + x - ۱۲) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "{x | x ∈ ℝ, x ≠ ۴ و x ≠ -۳}", + "{x | x ∈ ℝ, x ≠ -۴ و x ≠ ۳}", + "{x | x ≠ -۳}", + "{x | x ∈ ℝ, x ≠ ۳}" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "یافتن دامنه تابع" + ], + "prompt": "دامنه‌ی تابع f(x) = (x + ۳)/(x² + x - ۱۲) تمام اعداد حقیقی به‌جز دو مقدار است. مجموع این دو مقدار کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۷", + "۱۲", + "-۱", + "-۱۲" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "رسم نمودار تابع با استفاده از نمودار تابع دیگر" + ], + "prompt": "نمودار تابع g(x) = -۱/x از قرینه‌ی نمودار f(x) = ۱/x نسبت به محور x به‌دست می‌آید. اگر نقطه‌ی (۲, (۱)/(۲)) روی نمودار f باشد، نقطه‌ی متناظر آن روی نمودار g کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(-۲, (۱)/(۲))", + "(۲, (۱)/(۲))", + "(-۲, -(۱)/(۲))", + "(۲, -(۱)/(۲))" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "رسم نمودار تابع رادیکالی" + ], + "prompt": "نمودار y = -√x از قرینه‌ی نمودار y = √x نسبت به محور x به‌دست می‌آید. اگر نقطه‌ی (۹, ۳) روی نمودار y = √x باشد، نقطه‌ی متناظر آن روی نمودار y = -√x کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۹, -۳)", + "(-۹, ۳)", + "(۹, ۳)", + "(-۹, -۳)" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "رسم نمودار و تعیین دامنه و برد توابع چندجمله‌ای و رادیکالی" + ], + "prompt": "هزینه پاکسازی x درصد از آلودگی یک رودخانه از رابطه f(x) = ۲۵۵x/(۱۰۰ - x) به‌دست می‌آید که f(x) بر حسب میلیون تومان است. هزینه پاکسازی ۵۰٪ از آلودگی این رودخانه چند میلیون تومان است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۸۵ میلیون تومان", + "۲۵۵ میلیون تومان", + "۵۱۰ میلیون تومان", + "۱۲۷٫۵ میلیون تومان" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "تشخیص تابع از معادلات و تعیین تابع بودن رابطه" + ], + "prompt": "نمودارهای دو تابع y = [x] - ۳ و y = [x - ۳] (که [ ] نماد تابع جزء صحیح است) رسم شده‌اند. رابطه‌ی این دو تابع با هم چیست؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "با هم برابرند", + "y=[x]-۳ بزرگ‌تر است", + "y=[x-۳] بزرگ‌تر است", + "هیچ نقطه مشترکی ندارند" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "محاسبه هزینه پاکسازی آلودگی به صورت تابعی از درصد آلودگی" + ], + "prompt": "هزینه پاکسازی x درصد از آلودگی یک رودخانه از رابطه f(x) = ۲۵۵x/(۱۰۰ - x) به‌دست می‌آید که x درصد آلودگی است. دامنه‌ی واقعیِ این تابع کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰ ≤ x ≤ ۱۰۰", + "۰ < x < ۱۰۰", + "۰ ≤ x < ۱۰۰", + "به‌جز x=۱۰۰، همه اعداد حقیقی" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "انواع توابع", + "رسم نمودار توابع پله‌ای و بررسی رابطه بین دو تابع" + ], + "prompt": "دو تابع y = [x] - ۳ و y = [x - ۳] را در نظر بگیرید (که [ ] تابع جزء صحیح است). کدام گزینه رابطه‌ی درست بین این دو تابع را بیان می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "فقط در x صحیح برابرند", + "به ازای هر x برابرند", + "[x-۳] یک واحد کمتر است", + "هیچ‌گاه برابر نیستند" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "وارون تابع", + "نمایش و نوشتن تابع به صورت مجموعه زوج‌های مرتب" + ], + "prompt": "تابع f از مجموعه A = {۲, ۳, ۵, ۶} به مجموعه B تعریف شده است، به‌طوری‌که به ازای هر عدد a در A، مقدار متناظرش برابر a² است. برد تابع f کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "{۲, ۳, ۵, ۶}", + "{۴, ۶, ۱۰, ۱۲}", + "{۴, ۹, ۲۵, ۳۶}", + "{۴, ۹, ۲۵, ۴۹}" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "وارون تابع", + "تعریف وارون تابع و نمایش آن به صورت مجموعه زوج‌های مرتب" + ], + "prompt": "اگر تابع f به‌صورت مجموعه زوج‌های مرتب f = {(۲,۴), (۳,۹), (۵,۲۵), (۶,۳۶)} باشد، وارون تابع f کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "{(۲,۴),(۳,۹),(۵,۲۵),(۶,۳۶)}", + "{(۴,۲),(۹,۳),(۲۵,۵),(۳۶,۶)}", + "{(۴,۶),(۹,۵),(۲۵,۳),(۳۶,۲)}", + "{(۴,۲),(۳,۹),(۵,۲۵),(۶,۳۶)}" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "وارون تابع", + "تعویض جای دو مؤلفه زوج مرتب در دو تابع و بررسی اینکه کدام یک تابع است" + ], + "prompt": "تابع h از تعویض جای مؤلفه‌های f = {(۲,۴), (۳,۹), (۵,۲۵), (۶,۳۶)} و تابع k از تعویض جای مؤلفه‌های g = {(-۱,۱), (۱,۱), (-۲,۴), (۲,۴)} به‌دست آمده‌اند. کدام‌یک از h و k تابع است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "فقط h", + "فقط k", + "هر دو h و k", + "هیچ‌کدام" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "وارون تابع", + "تشخیص تابع و وارون‌پذیری" + ], + "prompt": "تابع (الف): دامنه {۱۰, ۱۱, ۱۲} و برد {۱۷, ۱۸}، به‌طوری‌که ۱۰→۱۷، ۱۱→۱۷ و ۱۲→۱۸. تابع (ب): دامنه {۱, ۲, ۳} و برد {۵, ۱۰, ۱۵}، به‌طوری‌که ۱→۵، ۲→۱۰ و ۳→۱۵. کدام‌یک از این دو تابع وارون‌پذیر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "فقط (الف)", + "فقط (ب)", + "هر دو (الف) و (ب)", + "هیچ‌کدام" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "وارون تابع", + "ویژگی مشترک توابع وارون‌پذیر" + ], + "prompt": "ویژگی مشترک همه‌ی توابع وارون‌پذیر چیست؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "یک‌به‌یک بودن (تناظر یکتا)", + "متناهی بودن دامنه و برد", + "گذشتن نمودار از مبدأ", + "صعودی بودن تابع" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "وارون تابع", + "تشخیص تابع بودن رابطه" + ], + "prompt": "در یک کلاس، به هر دانش‌آموز کد ملی خودش نسبت داده می‌شود. چرا این رابطه یک تابع یک‌به‌یک است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "همه هم‌سن‌اند", + "کد ملی عدد اعشاری است", + "هر فرد کد ملی یکتا دارد", + "تعداد کدها با افراد برابر است" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "وارون تابع", + "تشخیص تابع از روی نمودار و مجموعه نقاط" + ], + "prompt": "تابع y = (x - ۲)² روی همه‌ی اعداد حقیقی یک‌به‌یک نیست. کدام محدودسازیِ دامنه آن را یک‌به‌یک می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x ≥ ۰", + "۰ ≤ x ≤ ۴", + "-۱ ≤ x ≤ ۵", + "x ≥ ۲" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "وارون تابع", + "تعیین رابطه تابعی بین افراد و کد ملی" + ], + "prompt": "فرض کنید در یک کلاس، کد ملی هر دانش‌آموز به او نسبت داده شده باشد. دلیل یک‌به‌یک بودنِ این تابع چیست؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "همه در یک مدرسه‌اند", + "هر فرد یک کد ملی یکتا دارد", + "کد ملی ده رقمی است", + "تعداد افراد محدود است" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "وارون تابع", + "تبدیل رابطه به تابع با محدود کردن دامنه" + ], + "prompt": "تابع y = |x + ۳| روی همه‌ی اعداد حقیقی یک‌به‌یک نیست. کدام محدودسازیِ دامنه آن را یک‌به‌یک می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-۵ ≤ x ≤ -۱", + "x ≥ -۵", + "x ≥ -۳", + "-۱۰ ≤ x ≤ ۰" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "وارون تابع", + "محاسبه وارون تابع خطی" + ], + "prompt": "تابع f(x) = ۲x + ۵ را در نظر بگیرید. وارون این تابع، یعنی f⁻¹(x)، کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "f⁻¹(x) = (x + ۵)/۲", + "f⁻¹(x) = (x - ۵)/۲", + "f⁻¹(x) = ۲x - ۵", + "f⁻¹(x) = (x - ۵) × ۲" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "وارون تابع", + "یافتن تابع وارون و نمایش آن" + ], + "prompt": "تابع f(x) = ۲x + ۵ و وارونش f⁻¹(x) = (x - ۵)/۲ داده شده‌اند. کدام رابطه، درستیِ این وارون را تأیید می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "f(x) = f⁻¹(x)", + "f⁻¹(x) = -f(x)", + "f(f⁻¹(x)) = x", + "f(x) × f⁻¹(x) = ۱" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "وارون تابع", + "رسم نمودار تابع و تابع وارون" + ], + "prompt": "برای تابع f(x) = ۲x + ۵، نمودار تابع وارون f⁻¹ از کدام نقطه می‌گذرد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۰, ۵)", + "(۵, ۰)", + "(۱, ۷)", + "(۵, ۷)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "وارون تابع", + "رسم نمودار تابع رادیکالی و تعیین دامنه و برد" + ], + "prompt": "تابع f(x) = √(x - ۲) دارای دامنه [۲,∞) و برد [۰,∞) است. دامنه و برد تابع وارون f⁻¹ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "دامنه [۰,∞)، برد [۲,∞)", + "دامنه [۲,∞)، برد [۰,∞)", + "دامنه و برد: (-∞,∞)", + "دامنه و برد: [۰,∞)" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "وارون تابع", + "رسم نمودار تابع" + ], + "prompt": "دامنه و برد تابع y = x² کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "دامنه حقیقی، برد [۰,∞)", + "دامنه [۰,∞)، برد حقیقی", + "دامنه و برد: [۰,∞)", + "دامنه و برد: حقیقی" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "وارون تابع", + "بررسی یک به یک بودن و وارون پذیری تابع" + ], + "prompt": "تابع f(x) = x² روی همه‌ی اعداد حقیقی یک‌به‌یک نیست. اگر دامنه‌ی آن را به بازه‌ی [۰,∞) محدود کنیم، تابع وارون f⁻¹ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "f⁻¹(x) = -√x", + "f⁻¹(x) = √x", + "f⁻¹(x) = x²", + "f⁻¹(x) = ۱/x²" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "وارون تابع", + "محاسبه و تعیین تابع وارون" + ], + "prompt": "تابع f(x) = (x - ۱)² + ۲ با دامنه‌ی محدودشده‌ی [۱,∞) داده شده است. تابع وارون f⁻¹ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "f⁻¹(x) = √(x - ۲) - ۱", + "f⁻¹(x) = √(x - ۲) + ۱", + "f⁻¹(x) = √(x + ۲) + ۱", + "f⁻¹(x) = (x - ۱)² - ۲" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "وارون تابع", + "تشخیص تابع واقعی و وارون" + ], + "prompt": "آیا تابع g(x) = (۵)/(۲) x وارونِ تابع f(x) = (۲)/(۵) x است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "بله، f(g(x))=g(f(x))=x", + "خیر، f(g(x)) ≠ x", + "بله، فقط برای x مثبت", + "خیر، ضرایب باید برابر باشند" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "وارون تابع", + "بررسی دامنه، برد و وارون توابع با شرط" + ], + "prompt": "سنگی از ارتفاع ۱۰۰ متری سقوط می‌کند و ارتفاعش پس از t ثانیه از رابطه h(t) = ۱۰۰ - ۵t² به‌دست می‌آید (t زمان بر حسب ثانیه است). دامنه‌ی این تابع کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "حقیقی (بدون محدودیت)", + "۰ ≤ t ≤ ۱۰۰", + "t ≤ ۰", + "t ≥ ۰" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "وارون تابع", + "تحلیل تابع ارتفاع سقوط آزاد و یافتن دامنه، برد و وارون" + ], + "prompt": "سنگی از ارتفاع ۱۰۰ متری سقوط می‌کند و ارتفاعش پس از t ثانیه از رابطه h(t) = ۱۰۰ - ۵t² به‌دست می‌آید. ارتفاع سنگ در لحظه‌ی t = ۳ ثانیه چند متر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۸۵ متر", + "۴۵ متر", + "۵۵ متر", + "۱۴۵ متر" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "وارون تابع", + "رسم نمودار تابع و بررسی وارون‌پذیری" + ], + "prompt": "وارون تابع f(x) = -(۱)/(۲) x + ۳ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "f⁻¹(x) = -۲x + ۳", + "f⁻¹(x) = -۲x + ۶", + "f⁻¹(x) = ۲x + ۶", + "f⁻¹(x) = -۲x - ۶" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "محاسبه مسافت طی شده توسط خودرو با سرعت ثابت و سرعت متغیر" + ], + "prompt": "اگر f(x) = x + ۲ و g(x) = √(x - ۱) باشد، دامنه‌ی تابع (f + g)(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "حقیقی (بدون محدودیت)", + "(-∞, ۱]", + "(۱, ∞)", + "[۱, ∞)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "نمایش تابع مسافت کل طی شده پس از دیدن مانع" + ], + "prompt": "اگر f = {(۱,۲), (-۲,۵), (۰,۷)} و g = {(۱,۵), (۲,۴), (۰,-۱)} باشد، مجموعه‌ی f + g (به‌صورت زوج‌های مرتب) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "{(۰,۶), (۱,۷), (-۲,۵), (۲,۴)}", + "{(۱,۷), (۰,۸)}", + "{(۰,-۵), (۱,۳)}", + "{(۰,۶), (۱,۷)}" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "محاسبه و تعیین دامنه جمع دو تابع" + ], + "prompt": "اگر f(x) = x + ۲ و g(x) = √(x - ۱) باشد، ضابطه‌ی تابع (f + g)(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x + ۲ + √(x + ۱)", + "(x+۲)√(x-۱)", + "۲√(x-۱)", + "x + ۲ + √(x - ۱)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "محاسبه و تعیین دامنه جمع دو تابع داده شده به صورت مجموعه نقاط" + ], + "prompt": "اگر f = {(۱,۲), (-۲,۵), (۰,۷)} و g = {(۱,۵), (۲,۴), (۰,-۱)} باشد، دامنه‌ی تابع f + g کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "{-۲, ۰, ۱, ۲}", + "{-۲, ۰, ۱}", + "{۰, ۱}", + "{۰, ۱, ۲}" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "محاسبه دامنه و دامنه توابع ترکیبی" + ], + "prompt": "تابع f(x) = (۵)/(۹) (x - ۳۲) دمای فارنهایت را به سانتی‌گراد تبدیل می‌کند و تابع g(x) = x + ۲۷۳ دمای سانتی‌گراد را به کلوین تبدیل می‌کند. مقدار g(f(۵۰)) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۰", + "۳۶۳", + "۲۷۳", + "۲۸۳" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "رسم و تحلیل نمودار توابع ترکیبی" + ], + "prompt": "اگر f(x) = (۵)/(۹)(x - ۳۲) و g(t) = t + ۲۷۳، ضابطه‌ی g(f(x)) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۵)/(۹)(x - ۳۲) + ۲۷۳", + "(۵)/(۹)(x + ۳۲) + ۲۷۳", + "(۹)/(۵)(x - ۳۲) + ۲۷۳", + "(۵)/(۹)(x - ۳۲) + ۳۲" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "محاسبه مقادیر ترکیبی توابع" + ], + "prompt": "دامنه‌ی تابع ترکیبی (gof)(x) = g(f(x)) بر چه اساسی تعریف می‌شود؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x در دامنه g و g(x) در دامنه f", + "x در دامنه f و f(x) در دامنه g", + "x همزمان در دامنه f و g باشد", + "f(x) و g(x) هر دو در دامنه x" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "رسم نمودار تابع جمع دو تابع" + ], + "prompt": "اگر f(x) = ۴x و g(x) = ۲ - x باشد، ضابطه‌ی (fog)(x) = f(g(x)) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲ - ۴x", + "۸ + ۴x", + "۸ - ۴x", + "۴x - ۸" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "تبدیل درجه فارنهایت به درجه سانتی‌گراد و ترکیب توابع" + ], + "prompt": "تابع f(x) = (۵)/(۹)(x - ۳۲) درجه فارنهایت را به سانتی‌گراد و تابع g(x) = x + ۲۷۳ درجه سانتی‌گراد را به کلوین تبدیل می‌کند. مقدار g(f(۵۰)) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲۹۱", + "۱۰", + "۳۲۳", + "۲۸۳" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "تحلیل و رسم نمودار ترکیب توابع g(f(x))" + ], + "prompt": "کدام یک از گزاره‌های زیر درست است؟\nالف) اگر g(۴) = ۷ و f(۵) = ۵، آنگاه (fog)(۴) = ۳۵\nب) اگر f(x) = x + ۴ و g(x) = ۳x، آنگاه (f/g)(۲) = ۱\nپ) اگر f(x) = √x و g(x) = ۲ - x، آنگاه (fog)(۵) = g(۲)", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "فقط ب", + "فقط الف", + "فقط پ", + "همه‌ی گزاره‌ها درست‌اند" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "محاسبه ترکیب توابع" + ], + "prompt": "اگر f(x) = (۵)/(۹)(x - ۳۲) و g(t) = t + ۲۷۳، مقدار g(f(۴۱)) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲۸۲", + "۲۷۸", + "۳۱۴", + "۲۷۳" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "تعریف و نمایش ترکیب توابع با نمودار" + ], + "prompt": "دامنه‌ی تابع ترکیبی (fog)(x) = f(g(x)) بر چه اساسی تعریف می‌شود؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x در دامنه f و f(x) در دامنه g", + "x همزمان در دامنه f و g باشد", + "x در دامنه g و g(x) در دامنه f", + "f(x) و g(x) هر دو در دامنه x" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "محاسبه دامنه و ضابطه ترکیب توابع" + ], + "prompt": "اگر f(x) = x² - ۴ و g(x) = √(x - ۴)، دامنه‌ی (fog)(x) = f(g(x)) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x > ۴", + "x ≤ ۴", + "همه‌ی اعداد حقیقی", + "x ≥ ۴" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "عملیات روی توابع و تعیین دامنه" + ], + "prompt": "اگر f(x) = ۴x و g(x) = ۲ - x باشد، دامنه‌ی تابع (f/g)(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x ≠ ۲", + "x ≠ ۰", + "x ≠ -۲", + "همه‌ی اعداد حقیقی" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "بررسی صحت گزاره‌های تابعی" + ], + "prompt": "کدام یک از گزاره‌های زیر نادرست است؟\nالف) اگر g(۴) = ۷ و f(۵) = ۵، آنگاه (fog)(۴) = ۳۵\nب) اگر f(x) = x + ۴ و g(x) = ۳x، آنگاه (f/g)(۲) = ۱\nپ) اگر f(x) = √x و g(x) = ۲ - x، آنگاه (fog)(۵) = g(۲)", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "فقط الف", + "الف و پ", + "فقط پ", + "هیچ‌کدام؛ هر سه گزاره درست‌اند" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "محاسبه ترکیب توابع و معکوس توابع" + ], + "prompt": "اگر f(x) = x² - ۴ و g(x) = √(x - ۴)، دامنه‌ی (gof)(x) = g(f(x)) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x ≥ ۸", + "همه‌ی اعداد حقیقی", + "x ≤ -√۸ یا x ≥ √۸", + "-√۸ ≤ x ≤ √۸" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "محاسبه توابع ترکیبی و بررسی دامنه با توابع گویا" + ], + "prompt": "اگر f(x) = √(x + ۲) و g(x) = -x + ۱ باشد، مقدار (f+g)(۲) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۵", + "-۲", + "۳", + "۱" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "محاسبه توابع معکوس و ترکیب آنها" + ], + "prompt": "معکوسِ تابعِ خطیِ y = ax + b (با a ≠ ۰) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(x - b)/a", + "(x + b)/a", + "a(x - b)", + "(x - a)/b" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "محاسبه ترکیب و جمع توابع با استفاده از نمودار" + ], + "prompt": "اگر f(x) = √(x + ۲) و g(x) = -x + ۱ باشد، مقدار (fog)(-۴) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۵", + "√۷", + "√۵", + "۷" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "نشان دادن وارون تابع خطی" + ], + "prompt": "معکوسِ هر تابعِ خطیِ y = ax + b (با a ≠ ۰) از چه نوعی است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "یک تابع درجه دوم", + "یک تابع نمایی", + "یک تابع خطی", + "تابعی که معکوس ندارد" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "نوشتن تابع تبدیل درجه زاویه از رادیان به درجه و بالعکس" + ], + "prompt": "تابع f(x) = (۵)/(۹)(x - ۳۲) درجه فارنهایت را به سانتی‌گراد تبدیل می‌کند. تابعِ معکوسِ آن که سانتی‌گراد را به فارنهایت تبدیل می‌کند، کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۹)/(۵)x - ۳۲", + "(۵)/(۹)x + ۳۲", + "(۹)/(۵)(x - ۳۲)", + "(۹)/(۵)x + ۳۲" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۲: تابع", + "اعمال روی توابع", + "نوشتن توابع تعداد نسخه‌های چاپ شده و رسم نمودار" + ], + "prompt": "کتابِ اول در چاپِ اول ۱۰,۰۰۰ نسخه و در هر چاپِ بعدی ۷,۰۰۰ نسخه دارد. کتابِ دوم در چاپِ اول ۲۰,۰۰۰ نسخه و در هر چاپِ بعدی ۹,۰۰۰ نسخه دارد. تابعِ مجموعِ نسخه‌های دو کتاب بر حسبِ شماره‌ی چاپ x کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳۰۰۰۰ + ۱۶۰۰۰(x - ۱)", + "۳۰۰۰۰ + ۱۶۰۰۰x", + "۳۰۰۰۰x + ۱۶۰۰۰", + "۱۶۰۰۰ + ۳۰۰۰۰(x - ۱)" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع نمایی", + "محاسبه جرم باکتری‌ها در زمان‌های مختلف با استفاده از تابع نمایی" + ], + "prompt": "جرمِ یک توده باکتری هر ساعت دو برابر می‌شود و در ساعتِ صفر برابرِ ۱ گرم است. بعد از چند ساعت جرمِ باکتری‌ها به ۲۵۶ گرم می‌رسد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۷", + "۸", + "۹", + "۶" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع نمایی", + "تعیین مقادیر تابع نمایی از روی جدول و نمودار" + ], + "prompt": "با توجه به رابطه‌ی m(t) = ۲ به توان t (که m(۰)=۱، m(۱)=۲، m(۲)=۴ را می‌دهد)، مقدار m(۳) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۶", + "۹", + "۸", + "۱۶" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع نمایی", + "محاسبه مقادیر تابع رادیکالی با توان‌های کسری" + ], + "prompt": "اگر f(x) = ۲ به توان x باشد، مقدار f(-۲) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-۴", + "۴", + "(۱)/(۲)", + "(۱)/(۴)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع نمایی", + "تعیین دامنه و برد تابع نمایی" + ], + "prompt": "چرا نمودارِ تابعِ y = ۲ به توان x محورِ xها را قطع نمی‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "پایه ۲ مثبت است، پس تابع مثبت است", + "دامنه‌ی تابع فقط اعدادِ مثبت است", + "تابع فقط در x = ۰ تعریف می‌شود", + "تابع نزولی است و به صفر نمی‌رسد" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع نمایی", + "تعیین مقدار تقریبی تابع نمایی در نقاط خاص" + ], + "prompt": "مقدارِ تقریبیِ ۲ به توان √۷ در کدام بازه قرار دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "کمتر از ۴", + "بین ۶ و ۷", + "بین ۴ و ۵", + "بیشتر از ۸" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع نمایی", + "تشخیص تابع بودن نمودار" + ], + "prompt": "دامنه و بردِ تابعِ y = ((۱)/(۲)) به توان x به‌ترتیب کدام‌اند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "اعدادِ مثبت؛ همه‌ی اعداد حقیقی", + "اعدادِ مثبت؛ اعدادِ مثبت", + "همه‌ی اعداد حقیقی؛ اعدادِ مثبت", + "همه‌ی اعداد حقیقی؛ همه‌ی اعداد حقیقی" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع نمایی", + "مقایسه مقادیر تابع نمایی در اعداد مختلف" + ], + "prompt": "۱۰ گرم نمک در آب حل می‌شود و مقدارِ نمکِ حل‌نشده پس از t دقیقه از رابطه‌ی q(t) = ۱۰ × ((۴)/(۵)) به توان t به دست می‌آید. مقدارِ نمکِ حل‌نشده پس از ۴ دقیقه چقدر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۵٫۱۲", + "۸", + "۴٫۸", + "۴٫۰۹۶" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع نمایی", + "رسم و مقایسه نمودار توابع نمایی" + ], + "prompt": "اگر y = ((۱)/(۲)) به توان x باشد، مقدارِ y در x = (۱)/(۲) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(√۲)/۲", + "(۱)/(۲)", + "√۲", + "(۱)/(۴)" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع نمایی", + "کاربرد توابع نمایی در مسائل حل مقدار نمک در آب" + ], + "prompt": "۱۰ گرم نمک در آب حل می‌شود و مقدارِ نمکِ حل‌نشده پس از t دقیقه از رابطه‌ی q(t) = ۱۰ × ((۴)/(۵)) به توان t به دست می‌آید. مقدارِ نمکِ حل‌نشده پس از ۲ دقیقه چقدر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۸", + "۶٫۴", + "۵٫۱۲", + "۴٫۰۹۶" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع نمایی", + "مسئله مدل‌سازی رشد نمایی و نیمه‌عمر" + ], + "prompt": "جرمِ کربن-۱۴ با نیم‌عمرِ ۵۷۳۰ سال از رابطه‌ی Q(t) = ((۱)/(۲)) به توانِ (t ÷ ۵۷۳۰) به دست می‌آید و Q(۰) = ۱ گرم است. مقدارِ تقریبیِ Q(۲۰۰۰) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "≈۰٫۵۰ گرم", + "≈۰٫۹۵ گرم", + "≈۰٫۷۹ گرم", + "≈۰٫۳۵ گرم" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع نمایی", + "تحلیل و رسم نمودار توابع نمایی" + ], + "prompt": "با توجه به توابعِ نماییِ f(x)=۳^x، g(x)=۳^(-x) و h(x)=۵^x که هر سه پایه‌ای مثبت و نامساوی با ۱ دارند، کدام گزاره درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "هر سه یک‌به‌یک‌اند", + "فقط f و h یک‌به‌یک‌اند", + "هیچ‌کدام یک‌به‌یک نیستند", + "فقط g یک‌به‌یک است" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع نمایی", + "تحلیل و رسم نمودار توابع نمایی با پایه کسری" + ], + "prompt": "توابعِ u(x)=((۱)/(۲))^x، v(x)=((۱)/(۳))^x و t(x)=((۱)/(۵))^x همگی پایه‌ای بینِ ۰ و ۱ دارند. بردِ هر سه‌ی این توابع کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(-∞, +∞)", + "(۰, +∞)", + "[۰, +∞)", + "(-∞, ۰)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع نمایی", + "مرتب‌سازی اعداد نمایی" + ], + "prompt": "از میانِ اعدادِ ((۱)/(۴))⁴، ((۱)/(۳))³، ۲² و ۳² کدام‌یک کوچک‌ترین مقدار را دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳²", + "۲²", + "((۱)/(۴))⁴", + "((۱)/(۳))³" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع نمایی", + "تکمیل جای خالی در توابع نمایی" + ], + "prompt": "اگر ۰ (۱)/(۱۰۲۴) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x < ۱٫۰۰۲۵", + "x > ۱٫۰۰۲۵", + "x < ۲٫۷۵", + "x > ۲٫۷۵" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع نمایی", + "مقایسه و تعیین رابطه بین اعداد نمایی با پایه یکسان" + ], + "prompt": "اگر a>۱ و a^x > a^y > a^z باشد، رابطه‌ی بینِ x، y و z کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x < y < z", + "x > y > z", + "x = y = z", + "z > x > y" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع نمایی", + "یافتن مقدار تقریبی اعداد با کمک نمودار و ماشین حساب" + ], + "prompt": "در تصفیه‌ی آب، هر لایه‌ی فیلتر ۳۰٪ از ناخالصی را حذف می‌کند (۷۰٪ باقی می‌ماند). حداقل چند لایه لازم است تا بیش از ۹۶٪ ناخالصیِ آب حذف شود؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۷ لایه", + "۴ لایه", + "۸ لایه", + "۱۰ لایه" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع نمایی", + "محاسبه درصد ناخالصی باقی‌مانده در فرآیند تصفیه آب با فیلترهای متوالی" + ], + "prompt": "در تصفیه‌ی آب، هر لایه‌ی فیلتر ۳۰٪ از ناخالصی را حذف می‌کند و ۷۰٪ باقی می‌ماند. درصدِ ناخالصیِ باقی‌مانده پس از n لایه با کدام رابطه به‌دست می‌آید؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰٫۳^n", + "۱ - ۰٫۷n", + "۰٫۳n", + "۰٫۷^n" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع لگاریتمی و لگاریتم", + "تعیین تابع وارون و بررسی رابطه آن با تابع اصلی" + ], + "prompt": "برای تابعِ f(x)=۲^x، دامنه‌ی تابعِ وارونِ آن (f⁻¹) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۰, +∞)", + "(-∞, +∞)", + "(-∞, ۰)", + "[۰, +∞)" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع لگاریتمی و لگاریتم", + "تعیین مقادیر تابع نمایی و تابع وارون آن از روی نمودار" + ], + "prompt": "برای تابعِ f(x)=۳^x، مقدارِ f(-۱) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-۳", + "(۱)/(۳)", + "-(۱)/(۳)", + "۳" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع لگاریتمی و لگاریتم", + "تشخیص درستی نقاط روی نمودار تابع و تابع وارون" + ], + "prompt": "با توجه به تابعِ f(x)=۳^x، کدام گزینه درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "نقطه‌ی ((۱)/(۹),-۲) روی f است", + "نقطه‌ی ((۱)/(۳),-۱) روی f است", + "نقطه‌ی (۰,۱) روی f است", + "تابعِ f یک‌به‌یک نیست" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع لگاریتمی و لگاریتم", + "محاسبه مقادیر تابع لگاریتمی با پایه دلخواه از روی نمودار" + ], + "prompt": "اگر f(x)=log_۱۰ x باشد، مقدارِ f(۱۰۰) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۰۰", + "۱۰", + "۰٫۵", + "۲" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع لگاریتمی و لگاریتم", + "محاسبه مقدار تابع لگاریتمی در نقاط مختلف" + ], + "prompt": "اگر f(x)=log_۱۰ x باشد، مقدارِ f(-۱۰) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "تعریف‌نشده است", + "-۱", + "۱", + "۰" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع لگاریتمی و لگاریتم", + "تبدیل لگاریتم به صورت توانی" + ], + "prompt": "تساویِ log_۳((۱)/(۲۷)) = -۳ به کدام صورتِ توانی نوشته می‌شود؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳³ = ۲۷", + "۳⁻³ = (۱)/(۲۷)", + "(-۳)³ = (۱)/(۲۷)", + "۳⁻³ = ۲۷" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع لگاریتمی و لگاریتم", + "محاسبه مقادیر لگاریتمی با استفاده از تعریف" + ], + "prompt": "مقدارِ log_۲ ۳۲ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۶", + "۴", + "۵", + "۶" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع لگاریتمی و لگاریتم", + "رسم و مقایسه نمودارهای نمایی و لگاریتمی" + ], + "prompt": "نمودارِ تابعِ لگاریتمی با پایه‌ی (۱)/(۲) نسبت به نمودارِ نماییِ هم‌پایه‌اش چه رابطه‌ای دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "بر هم منطبق‌اند", + "قرینه‌ی هم نسبت به محورِ x اند", + "هیچ رابطه‌ای ندارند", + "قرینه‌ی هم نسبت به خطِ y=x اند" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع لگاریتمی و لگاریتم", + "محاسبه مقدار لگاریتم" + ], + "prompt": "مقدارِ log_a a (لگاریتمِ یک عدد بر حسبِ پایه‌ی خودش) همیشه برابر است با:", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱", + "۰", + "a", + "تعریف‌نشده" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع لگاریتمی و لگاریتم", + "محاسبه مقدار لگاریتم با استفاده از تعریف لگاریتم" + ], + "prompt": "خطِ y=۲۷ نمودارِ تابعِ y=۳^x را در چه نقطه‌ای قطع می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۲۷, ۳)", + "(۳, ۲۷)", + "(۹, ۲۷)", + "(۳, ۹)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع لگاریتمی و لگاریتم", + "مقایسه نمودار توابع لگاریتمی با پایه‌های مختلف" + ], + "prompt": "کدام گزاره درباره‌ی f(x)=x³ و g(x)=۳^x درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "هر دو همیشه مثبت‌اند", + "f>۰ همیشه، g می‌تواند منفی شود", + "g>۰ همیشه، f برای x<۰ منفی است", + "هر دو برای x<۰ منفی‌اند" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع لگاریتمی و لگاریتم", + "یافتن نقاط قطع نمودارهای نمایی با خطوط افقی" + ], + "prompt": "خطِ y=۱۰ نمودارِ تابعِ y=(۰٫۱)^x را در چه نقطه‌ای قطع می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۱, ۱۰)", + "(-۱۰, ۱)", + "(۱۰, -۱)", + "(-۱, ۱۰)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع لگاریتمی و لگاریتم", + "رسم و مقایسه نمودار توابع نمایی با پایه‌های مختلف" + ], + "prompt": "برای x های بزرگ (مثلاً x=۱۰۰)، کدام تابع مقدارِ بزرگ‌تری دارد: f(x)=x³ یا g(x)=۳^x؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "g(x)=۳^x", + "f(x)=x³", + "هر دو برابرند", + "بستگی به x دارد" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع لگاریتمی و لگاریتم", + "تشخیص درست یا غلط بودن عبارات مربوط به لگاریتم" + ], + "prompt": "برای ۰۱، مقدارِ log_a x چه علامتی دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "مثبت", + "منفی", + "صفر", + "تعریف‌نشده" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "تابع لگاریتمی و لگاریتم", + "رسم نمودار توابع لگاریتمی و نمایی با تغییرات در پایه و ضریب" + ], + "prompt": "نمودارِ y=۱+log_۷ x نسبت به نمودارِ y=log_۷ x چگونه به‌دست می‌آید؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "انتقالِ ۱ واحد به پایین", + "انتقالِ ۱ واحد به راست", + "انتقالِ ۱ واحد به بالا", + "کشیدگیِ عمودی با ضریبِ ۱" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی", + "ویژگی‌های لگاریتم و اثبات روابط لگاریتمی" + ], + "prompt": "اگر x=log_c a و y=log_c b باشد، حاصل‌ضربِ ab برابرِ کدام عبارت است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "c^(xy)", + "c^x + c^y", + "c^(x-y)", + "c^(x+y)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی", + "ویژگی لگاریتم توان‌دار" + ], + "prompt": "اگر a = log ۲ باشد، log ۵ برابر کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "a - ۱", + "۱ + a", + "۱ - a", + "۲a - ۱" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی", + "حل معادلات لگاریتمی با استفاده از خواص لگاریتم" + ], + "prompt": "می‌دانیم log ۱۰ = log ۲ + log ۵ = ۱. اگر log ۲ = a باشد، log ۵ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱ - a", + "a - ۱", + "(۱)/(a)", + "۱ + a" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی", + "حل معادلات لگاریتمی" + ], + "prompt": "معادله log_۵(x² - ۲) = log_۵(x + ۱) + log_۵(x - ۲) را حل کنید. جواب کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = ۰", + "معادله جواب حقیقی ندارد", + "x = ۲", + "x = -۱" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی", + "مدل‌سازی رشد جمعیت با تابع نمایی" + ], + "prompt": "تابع جمعیت جهان g(x) = ۸ میلیارد × (۱٫۰۱۳۷۶)^x است (x تعداد سال از سال پایه). جمعیت در x=۱۶ تقریباً چند میلیارد نفر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۸ میلیارد نفر", + "۱۱ میلیارد نفر", + "۷٫۵ میلیارد نفر", + "۹٫۹ میلیارد نفر" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی", + "محاسبه مقدار انرژی آزاد شده در زلزله با استفاده از رابطه لگاریتمی" + ], + "prompt": "با رابطه log E = ۱۱٫۸ + ۱٫۵M برای زمین‌لرزه‌ای با M = ۶٫۶ ریشتر، مقدار E (بر حسب ارگ) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۰ به توان ۱۸٫۴ ارگ", + "۱۰ به توان ۱۱٫۸ ارگ", + "۱۰ به توان ۲۱٫۷ ارگ", + "۱۰ به توان ۹٫۹ ارگ" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی", + "محاسبه جرم باقی‌مانده ماده هسته‌ای با نیمه عمر مشخص" + ], + "prompt": "نیمه‌عمر ماده‌ای ۲۵ سال و جرم اولیه‌ی نمونه ۲۴ میلی‌گرم است. جرم باقی‌مانده پس از ۴۰ سال چند میلی‌گرم است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "حدود ۱۲ میلی‌گرم", + "حدود ۷٫۹ میلی‌گرم", + "حدود ۶ میلی‌گرم", + "حدود ۱۵ میلی‌گرم" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی", + "تفسیر و کاربرد تابع نمایی در مسائل جرم باکتری‌ها" + ], + "prompt": "جرم باکتری‌ها با رابطه m(t) = ۲ به توان t (بر حسب گرم) داده شده است. زمانی که جرم به حدود ۵۰۰۰ گرم برسد تقریباً چند واحد زمان است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "حدود ۹", + "حدود ۱۶", + "۲۵۰۰", + "حدود ۱۲٫۳" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی", + "بررسی صحت و نادرستی عبارات لگاریتمی" + ], + "prompt": "اگر a, b, c, d مثبت و d ≠ ۱ باشند، آیا لگاریتمِ حاصل‌ضربِ abc در پایه‌ی d برابرِ مجموعِ لگاریتم‌های a، b و c در همان پایه است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "خیر، هرگز درست نیست", + "فقط وقتی a=b=c باشد", + "بله، همیشه درست است", + "فقط وقتی d=۱۰ باشد" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی", + "مدل‌سازی و حل مسائل نیمه عمر مواد" + ], + "prompt": "نیمه‌عمر ماده‌ای هسته‌ای ۳۰ سال و جرم اولیه‌ی نمونه ۱۲۸ میلی‌گرم است. جرم باقی‌مانده پس از ۳۰۰ سال چند میلی‌گرم است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۲٫۸ میلی‌گرم", + "۰٫۱۲۵ میلی‌گرم", + "۶۴ میلی‌گرم", + "۱٫۲۵ میلی‌گرم" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", + "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی", + "ساده‌سازی عبارات لگاریتمی با استفاده از قوانین لگاریتم" + ], + "prompt": "مقدار log₂ ∛(۸ ÷ ۴) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱", + "(۱)/(۳)", + "(۱)/(۲)", + "-(۱)/(۳)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "رادیان", + "محاسبه طول کمان دایره با استفاده از نسبت‌های مثلثاتی" + ], + "prompt": "در دایره‌ای به شعاع ۱ سانتی‌متر، طول کمان روبه‌روی زاویه‌ی ۳۰ درجه چند سانتی‌متر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(π)/(۶) سانتی‌متر", + "۳۰ سانتی‌متر", + "۲π سانتی‌متر", + "(π)/(۳) سانتی‌متر" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "رادیان", + "محاسبه طول کمان در دایره‌های مختلف با شعاع‌های متفاوت و زاویه مشخص" + ], + "prompt": "در دایره‌ای به شعاع ۳ سانتی‌متر، طول کمان روبه‌روی زاویه‌ی ۳۰ درجه چند سانتی‌متر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(π)/(۶) سانتی‌متر", + "۳π سانتی‌متر", + "(π)/(۲) سانتی‌متر", + "(۳π)/(۴) سانتی‌متر" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "رادیان", + "محاسبه نسبت طول کمان به شعاع و زاویه مرکزی به رادیان" + ], + "prompt": "در دایره‌ای به شعاع r، طول کمان روبه‌روی زاویه‌ی θ برابر با شعاع دایره است. اندازه‌ی θ تقریباً چند درجه است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۹۰ درجه", + "حدود ۵۷ درجه", + "۱۸۰ درجه", + "۳۶۰ درجه" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "رادیان", + "محاسبه اندازه زاویه برحسب رادیان و طول کمان" + ], + "prompt": "زاویه‌ی α = ۲۰ درجه را بر حسب رادیان بیان کنید.", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(π)/(۱۸)", + "(π)/(۹)", + "(π)/(۶)", + "(π)/(۹۰)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "رادیان", + "محاسبه طول کمان با استفاده از زاویه و شعاع" + ], + "prompt": "در دایره‌ای به شعاع ۷ سانتی‌متر، اگر زاویه‌ی مرکزی برابر (π)/(۹) رادیان باشد، طول کمان AB چند سانتی‌متر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(π)/(۶۳) سانتی‌متر", + "(۹π)/(۷) سانتی‌متر", + "۷π سانتی‌متر", + "(۷π)/(۹) سانتی‌متر" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "رادیان", + "محاسبه فاصله نقطه روی محیط دایره با استفاده از زاویه و شعاع" + ], + "prompt": "قرقره‌ای به شعاع ۱۰ سانتی‌متر به اندازه‌ی (۳π)/(۲) رادیان می‌چرخد. طول کمانِ طی‌شده روی محیطِ آن چند سانتی‌متر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۳π)/(۲۰) سانتی‌متر", + "۳۰π سانتی‌متر", + "۱۵π سانتی‌متر", + "۵π سانتی‌متر" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "رادیان", + "تبدیل زاویه‌ها بین درجه و رادیان" + ], + "prompt": "زاویه‌ی ۳۹۰ درجه بر حسب رادیان کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۱۳π)/(۶)", + "(π)/(۶)", + "(۷π)/(۶)", + "(۱۱π)/(۶)" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "رادیان", + "تکمیل جدول نسبت‌های مثلثاتی برای زوایای مشخص" + ], + "prompt": "مقدار tan(π/۶) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "√۳", + "(√۳)/(۳)", + "(۱)/(۲)", + "(√۳)/(۲)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "رادیان", + "تعیین ربع زاویه در دایره مثلثاتی" + ], + "prompt": "زاویه‌ی θ = -π/۹ در کدام ربعِ دایره‌ی مثلثاتی قرار دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "ربع اول", + "ربع دوم", + "ربع سوم", + "ربع چهارم" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "رادیان", + "محاسبه طول کمان دایره با استفاده از زاویه مرکزی" + ], + "prompt": "برف‌پاک‌کنی به طول ۲۴ سانتی‌متر کمانی به اندازه‌ی ۱۲۰ درجه طی می‌کند (π=۳٫۱۴). طول کمانِ طی‌شده چند سانتی‌متر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲۵٫۱۲ سانتی‌متر", + "۵۰٫۲۴ سانتی‌متر", + "۱۰۰٫۴۸ سانتی‌متر", + "۱۵۰٫۷۲ سانتی‌متر" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "رادیان", + "محاسبه زاویه کمان در مخروط با استفاده از ابعاد مخروط" + ], + "prompt": "در مخروطی به شعاع قاعده‌ی ۶ سانتی‌متر و ارتفاع ۸ سانتی‌متر (π=۳٫۱۴)، اندازه‌ی زاویه‌ی کمانِ شکل گسترده چند رادیان است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۶٫۲۸ رادیان", + "۴٫۷۱ رادیان", + "۳٫۷۶۸ رادیان", + "۱٫۸۸ رادیان" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "رادیان", + "محاسبه فاصله ژئودزیک بین دو نقطه روی نیم‌کره زمین" + ], + "prompt": "شعاع کره‌ی زمین ۶۳۷۰ کیلومتر و زاویه‌ی مرکزی بین دو نقطه ۱۳ درجه است. فاصله‌ی کمانی بین آن دو نقطه چند کیلومتر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "حدود ۱۴۴۴٫۵ کیلومتر", + "حدود ۸۲۸۱۰ کیلومتر", + "حدود ۷۲۲٫۳ کیلومتر", + "حدود ۲۸۸۹ کیلومتر" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا", + "نسبت‌های مثلثاتی زوایای متمم" + ], + "prompt": "در مثلثی قائم‌الزاویه با زاویه‌های حاده‌ی θ و (π)/(۲) - θ، مقدار tan((π)/(۲) - θ) بر حسب θ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "tan θ", + "-tan θ", + "cot θ", + "-cot θ" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا", + "رابطه بین مختصات نقاط روی دایره مثلثاتی و نسبت‌های مثلثاتی زوایای قرینه" + ], + "prompt": "اگر α زاویه‌ای دلخواه باشد، مقدار tan(-α) بر حسب tan α کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "tan α", + "-tan α", + "cot α", + "-cot α" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا", + "رابطه‌های مثلثاتی زوایای مکمل و زاویه‌های به شکل π-α و π+α" + ], + "prompt": "مقدار cos(۱۲۰ درجه) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۱)/(۲)", + "-(√۳)/(۲)", + "(√۳)/(۲)", + "-(۱)/(۲)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا", + "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایای به صورت kπ + α یا kπ - α" + ], + "prompt": "مقدار sin(۴۰۵ درجه) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(√۲)/(۲)", + "-(√۲)/(۲)", + "(۱)/(۲)", + "(√۳)/(۲)" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا", + "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایای خاص" + ], + "prompt": "اگر ۰ < θ < π/۲ باشد، مقدار cos(π - θ) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-cosθ", + "cosθ", + "sinθ", + "-sinθ" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا", + "تکمیل جدول نسبت‌های مثلثاتی با استفاده از روابط زاویه‌ای" + ], + "prompt": "اگر ۰ < θ < π/۲ باشد، مقدار tan(π - θ) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "tanθ", + "-tanθ", + "cotθ", + "-cotθ" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا", + "اثبات روابط مثلثاتی با استفاده از دایره مثلثاتی" + ], + "prompt": "برای زاویهٔ θ، مقدار tan(π/۲ + θ) بر حسب θ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "cotθ", + "tanθ", + "-cotθ", + "-tanθ" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا", + "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایای داده شده" + ], + "prompt": "اگر I = k sin(π/۲ - θ) باشد (k عددی ثابت مثبت است)، مقدار I برای θ = π/۶ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "k", + "(k)/(۲)", + "(√۲)/(۲)×k", + "(√۳)/(۲)×k" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا", + "محاسبه شدت نور وارد شده به سلول خورشیدی با استفاده از روابط مثلثاتی" + ], + "prompt": "اگر I = k sin(π/۲ - θ) باشد (k عددی ثابت مثبت است)، مقدار I برای θ = π/۳ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(k)/(۲)", + "k", + "(√۳)/(۲)×k", + "(√۲)/(۲)×k" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "توابع مثلثاتی", + "تعیین مقادیر نسبت‌های مثلثاتی در بازه مشخص" + ], + "prompt": "مقدار sin(۷π/۶) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۱)/(۲)", + "-(۱)/(۲)", + "-(√۳)/(۲)", + "-۱" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "توابع مثلثاتی", + "تحلیل و رسم نمودار تابع سینوس در بازه مشخص" + ], + "prompt": "زاویهٔ x = ۱ رادیان بین کدام دو مقدار زیر قرار دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "بین ۰ و π/۶", + "بین π/۳ و π/۲", + "بین π/۶ و π/۳", + "بین π/۲ و π" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "توابع مثلثاتی", + "تکمیل و رسم نقاط تابع کسینوس" + ], + "prompt": "مقدار cos(۲π/۳) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۱)/(۲)", + "-(√۳)/(۲)", + "-(√۲)/(۲)", + "-(۱)/(۲)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "توابع مثلثاتی", + "یافتن نقطه نظیر رادیانی و تعیین مقدار کسینوس" + ], + "prompt": "دربارهٔ sin(۲) و sin(۲x) کدام گزینه درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "sin(۲) ثابت؛ sin(۲x) تابعی از x", + "sin(۲x) ثابت؛ sin(۲) تابعی از x", + "sin(۲x) برابر ۲sin(x) است", + "sin(۲) و sin(۲x) همیشه برابرند" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "توابع مثلثاتی", + "تفاوت مقادیر سینوس در زوایای مختلف" + ], + "prompt": "کدام گزینه دربارهٔ sin(۲) (رادیان) و sin(۲x) درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "sin(۲) و sin(۲x) هر دو ثابت‌اند", + "sin(۲) ثابت، sin(۲x) متغیر است", + "sin(۲x) = ۲sin(x) برای هر x", + "sin(۲) تابعی از x است" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "توابع مثلثاتی", + "تحلیل و رسم نمودار تابع کسینوس" + ], + "prompt": "آیا عددی مانند x۰ وجود دارد که cos x۰ = ۲ باشد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "بله، برای x۰ = ۰", + "بله، دامنهٔ cos x نامحدود است", + "خیر، ۲ خارج دامنهٔ [-۱,۱] است", + "بله، برای x۰ = π" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "توابع مثلثاتی", + "تحلیل و رسم نمودار تابع سینوس و مقایسه با کسینوس" + ], + "prompt": "نمودار y = sin x نسبت به y = cos x چقدر جابه‌جا شده است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "π/۲ واحد به چپ", + "π واحد به راست", + "بدون جابه‌جایی، فقط قرینه", + "π/۲ واحد به راست" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "توابع مثلثاتی", + "بررسی درستی عبارات مثلثاتی" + ], + "prompt": "تابع y = -cos(x + π/۲) با کدام تابع زیر برابر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "y = sin x", + "y = -sin x", + "y = cos x", + "y = -cos x" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "توابع مثلثاتی", + "رسم و تحلیل نمودار توابع مثلثاتی و تغییرات آنها" + ], + "prompt": "با استفاده از y = -cos(x + π/۲) = sin x، مقدار آن در x = π/۲ چند است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "۱", + "-۱", + "(۱)/(۲)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "توابع مثلثاتی", + "مدل‌سازی ارتفاع نوک گیرۀ ربات با توابع مثلثاتی" + ], + "prompt": "در رابطهٔ h = ۵۰ + ۱۵۳ sinθ، مقدار h برای θ = π/۲ (سانتی‌متر) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۵۳", + "۵۰", + "۲۰۳", + "۱۰۰" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "توابع مثلثاتی", + "رسم و تحلیل توابع مثلثاتی" + ], + "prompt": "تابع y = sin(x - π/۳) در کدام x به بیشینهٔ خود می‌رسد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "x = π/۳", + "x = π/۲", + "x = ۱۱π/۶", + "x = ۵π/۶" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "توابع مثلثاتی", + "تکمیل نمودار توابع مثلثاتی با توجه به بخش داده شده" + ], + "prompt": "دامنهٔ تغییرات y = cos(x - π/۳) - ۱ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "[-۲, ۰]", + "[-۱, ۱]", + "[۰, ۲]", + "[-۲, ۲]" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل زوایا", + "محاسبه اندازه زاویه‌ها با استفاده از روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل زوایا" + ], + "prompt": "می‌دانیم FÊC + ۹۰° + ÂÊB = ۱۸۰° و در مثلث ABE داریم α + ۹۰° + ÂÊB = ۱۸۰°. مقدار FÊC بر حسب α کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۹۰° - α", + "α", + "۱۸۰° - α", + "۲α" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل زوایا", + "محاسبه طول پاره‌خط‌ها با استفاده از نسبت‌های سینوس و کسینوس" + ], + "prompt": "با استفاده از فرمول مجموع زوایا، مقدار sin ۷۵° کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(√۶-√۲)/(۴)", + "(√۲+√۳)/(۴)", + "(√۶+√۲)/(۴)", + "(√۶+√۲)/(۲)" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل زوایا", + "محاسبه مقدار سینوس و کسینوس مجموع و تفاضل زوایا" + ], + "prompt": "sin ۴۵° cos ۳۰° + cos ۴۵° sin ۳۰° با کدام مقدار برابر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(√۶-√۲)/(۴)", + "(√۶)/(۴)", + "(√۳+√۲)/(۴)", + "(√۶+√۲)/(۴)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل زوایا", + "اثبات روابط مثلثاتی با استفاده از فرمول‌های مجموع زوایا" + ], + "prompt": "اگر θ = π/۴ باشد، مقدار tan(π/۲ + θ) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-۱", + "۱", + "۰", + "-√۲" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل زوایا", + "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های داده شده" + ], + "prompt": "با استفاده از فرمول تفاضل زوایا، مقدار cos ۱۵° کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(√۶-√۲)/(۴)", + "(√۶+√۲)/(۴)", + "(√۲-√۶)/(۴)", + "(√۶+√۲)/(۲)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل زوایا", + "محاسبه مقادیر دقیق نسبت‌های مثلثاتی با استفاده از روابط جمع و تفریق زوایا" + ], + "prompt": "اگر cos α = (۴)/(۵) (ربع اول) و cos β = -(۱۲)/(۱۳) (ربع دوم) باشد، cos(α - β) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-(۴۸)/(۶۵)", + "(۱۵)/(۶۵)", + "-(۳۳)/(۶۵)", + "-(۶۳)/(۶۵)" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۴: مثلثات", + "روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل زوایا", + "اثبات روابط مثلثاتی با استفاده از روابط جمع زوایا" + ], + "prompt": "sin(۲α) با کدام عبارت زیر برابر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "sinα + cosα", + "sin²α + cos²α", + "sinα × cosα", + "۲ sinα cosα" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "مفهوم حد و فرایندهای حدی", + "محاسبه مساحت چندضلعی‌های منتظم و تقریب مساحت دایره" + ], + "prompt": "مساحت دایره‌ای به شعاع ۱ (با π ≈ ۳٫۱۴۱۵۹) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳٫۱۴۱۵۹", + "۶٫۲۸۳۱۸", + "۱", + "۲" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "مفهوم حد و فرایندهای حدی", + "محاسبه اندازه ضلع و محیط مثلث‌های متوالی در شکل‌های هندسی" + ], + "prompt": "با توجه به الگوی P_n: ۳، (۳)/(۲)، (۳)/(۴)، (۳)/(۸)، ...، مقدار P_۵ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۳)/(۸)", + "(۳)/(۱۶)", + "(۳)/(۱۰)", + "(۳)/(۳۲)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "مفهوم حد و فرایندهای حدی", + "بررسی حد تابع در اطراف یک نقطه" + ], + "prompt": "حد تابع f(x) = (x² - ۴)/(x - ۲) وقتی x به ۲ نزدیک می‌شود، کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "۲", + "۴", + "وجود ندارد" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "مفهوم حد و فرایندهای حدی", + "محاسبه مقدار تابع در نقطه تعریف شده" + ], + "prompt": "اگر h(x) برای x ≠ ۳ برابر x + ۳ و برای x = ۳ برابر ۴ تعریف شده باشد، h(۳) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۶", + "۳", + "۰", + "۴" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "مفهوم حد و فرایندهای حدی", + "حد تابع با تقریب مقادیر نزدیک به نقطه" + ], + "prompt": "با نزدیک شدن x به ۳ (از چپ: ۲٫۹، ۲٫۹۹، ۲٫۹۹۹ و از راست: ۳٫۰۰۱، ۳٫۰۱)، f(x) به ترتیب ۵٫۹، ۵٫۹۹، ۵٫۹۹۹ و ۶٫۰۰۱، ۶٫۰۱ می‌شود. حد f(x) در x = ۳ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۶", + "۵٫۹", + "۳", + "وجود ندارد" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "مفهوم حد و فرایندهای حدی", + "تعریف همسایگی و باز شامل یک نقطه" + ], + "prompt": "اگر از یک همسایگیِ x نقطه‌ی x را حذف کنیم، به آن چه می‌گویند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "همسایگی محذوف x", + "همسایگی باز x", + "همسایگی راست x", + "همسایگی چپ x" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "مفهوم حد و فرایندهای حدی", + "محاسبه حد توابع با استفاده از جدول و نمودار" + ], + "prompt": "طبق جدول، مقدارِ تابع sin(x)/x در نزدیکیِ صفر چنین است: برای x=±۰٫۱ برابر ۰٫۹۹۸۳، برای x=±۰٫۰۵ برابر ۰٫۹۹۹۵۸ و برای x=±۰٫۰۱ برابر ۰٫۹۹۹۹۹۵. مقدار lim (x→۰) sin(x)/x چند است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "۱", + "۰٫۹۹۸۳", + "وجود ندارد" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "مفهوم حد و فرایندهای حدی", + "بررسی وجود حد تابع در نقطه با توجه به دامنه و همسایگی" + ], + "prompt": "تابعِ f(x) = √(۲ - x) دامنه‌ی (∞-, ۲] دارد، یعنی فقط برای x ≤ ۲ تعریف شده است. آیا حدِ این تابع در نقطه‌ی x = ۲ وجود دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "خیر، چون از راستِ ۲ تعریف نشده", + "بله، و برابر با صفر است", + "خیر، چون از چپِ ۲ تعریف نشده", + "بله، و برابر با ۲ است" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "مفهوم حد و فرایندهای حدی", + "تعیین مقدار حد توابع با استفاده از نمودار" + ], + "prompt": "تابعِ f به این صورت تعریف شده: برای x < ۳، f(x) = x و برای x ≥ ۳، f(x) = x + ۱. مقدار lim (x→۳) f(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳", + "۳٫۵", + "۴", + "وجود ندارد" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "مفهوم حد و فرایندهای حدی", + "محاسبه حد تابع با استفاده از نمودار" + ], + "prompt": "اگر f(x) = ۲x + ۱ باشد، مقدار lim (x→۱) f(x) چند است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳", + "۲", + "۴", + "۵" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "مفهوم حد و فرایندهای حدی", + "یافتن حد تابع با استفاده از جدول مقادیر" + ], + "prompt": "تابعِ f این‌گونه است: برای x ≠ -۱، f(x) = x - ۴ و برای x = -۱، f(x) = ۳. مقدار lim (x→-۱) f(x) چند است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳", + "-۵", + "-۴", + "۵" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "مفهوم حد و فرایندهای حدی", + "بررسی تعریف تابع در نقطه و رسم نمودار تابع چندجمله‌ای و قطعه‌ای" + ], + "prompt": "تابعِ f به این صورت تعریف شده: برای x > ۲، f(x) = x - ۱ و برای x < ۲، f(x) = x + ۳. مقدار lim (x→۲) f(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "وجود ندارد", + "۱", + "۳", + "۵" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست)", + "بررسی حد یک‌طرفه تابع در نقطه" + ], + "prompt": "تابعِ f به این صورت تعریف شده: برای x < ۲، f(x) = x² و برای x > ۲، f(x) = -x + ۳. مقدار lim (x→۲) f(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴", + "وجود ندارد", + "۱", + "۲٫۵" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست)", + "تعریف حد راست و حد چپ تابع در نقطه" + ], + "prompt": "فرض کنید تابعِ f در همسایگیِ راستِ نقطه‌ی a تعریف شده باشد. تعریفِ درستِ «حدِ راستِ تابعِ f در x = a» کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "با نزدیک‌شدنِ x از چپ به a", + "مقدارِ دقیقِ تابع در x = a", + "میانگینِ حدِ چپ و راست در a", + "با نزدیک‌شدنِ x از راست به a" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست)", + "تعریف حد چپ تابع در نقطه" + ], + "prompt": "فرض کنید تابعِ f در همسایگیِ چپِ نقطه‌ی a تعریف شده باشد. تعریفِ درستِ «حدِ چپِ تابعِ f در x = a» کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "با نزدیک‌شدنِ x از چپ به a", + "با نزدیک‌شدنِ x از راست به a", + "میانگینِ حدِ چپ و راست در a", + "مقدارِ دقیقِ تابع در x = a" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست)", + "وجود حد تابع در نقطه با توجه به حد چپ و حد راست" + ], + "prompt": "اگر حدِ چپ و حدِ راستِ تابعِ f در نقطه‌ی x = a دو مقدارِ متفاوت باشند، دربارهٔ حدِ تابع در آن نقطه چه می‌توان گفت؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "حد برابر با میانگینِ آن دو مقدار است", + "حد وجود ندارد", + "حد برابر با حدِ راست است", + "حد برابر با حدِ چپ است" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست)", + "رسم نمودار تابع پله‌ای" + ], + "prompt": "هزینه‌ی توقفِ خودرو در پارکینگی چنین است: ۴ ساعتِ اول ۳ هزار تومان، و برای هر ۲ ساعتِ اضافه (یا کمتر) ۱ هزار تومانِ دیگر. هزینه‌ی توقفِ ۷ ساعته چقدر است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳ هزار تومان", + "۴ هزار تومان", + "۵ هزار تومان", + "۶ هزار تومان" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست)", + "محاسبه حد تابع در نقطه با استفاده از حد چپ و حد راست" + ], + "prompt": "تابعِ f(x) = [x] (جزءِ صحیحِ x) را در نظر بگیرید. مقدار lim (x→۱⁻) f(x) چند است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱", + "-۱", + "وجود ندارد", + "۰" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست)", + "محاسبه حد راست تابع کسری با استفاده از حد تابع پله‌ای و تابع ثابت" + ], + "prompt": "مقدارِ حدِ راستِ تابعِ f(x) = [x]/x (که [x] جزءِ صحیحِ x است) را در نقطه‌ی x = ۰ به دست آورید.", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "۱", + "∞", + "وجود ندارد" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست)", + "تحلیل تابع با استفاده از تعریف قدر مطلق و رسم نمودار" + ], + "prompt": "تابعِ f(x) = |x|/x را در نظر بگیرید (برای x ≠ ۰). آیا این تابع در نقطه‌ی x = ۰ حد دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "بله، برابر با ۱", + "بله، برابر با -۱", + "خیر، حد ندارد", + "بله، برابر با صفر" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست)", + "محاسبه حد تابع از روی نمودار" + ], + "prompt": "نمودارِ تابعِ f در بازه‌ی x از ۵ تا ۷ پاره‌خطی راست است که از نقطه‌ی (۵ , ۴) تا نقطه‌ی (۷ , ۰) رسم شده. مقدار lim (x→۶) f(x) چند است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴", + "۲", + "۱", + "۰" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست)", + "محاسبه حد تابع چندجمله‌ای و بررسی پیوستگی در نقطه" + ], + "prompt": "تابعِ f این‌گونه تعریف شده: برای x > ۰، f(x) = x + ۱ و برای x < ۰، f(x) = x² + ۲x. آیا lim (x→۰) f(x) وجود دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "خیر، حد ندارد", + "بله، برابر با صفر", + "بله، برابر با ۰٫۵", + "بله، برابر با ۱" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست)", + "محاسبه حد توابع کسری با استفاده از قسمت صحیح" + ], + "prompt": "تابعِ f(x) = x / ([x] - ۲) را در نظر بگیرید که [x] جزءِ صحیحِ x است. آیا این تابع در نقطه‌ی x = ۲ حد دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "بله، برابر با -۲", + "بله، برابر با ۲", + "خیر، حد ندارد", + "بله، برابر با صفر" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست)", + "رسم نمودار و تعیین حدود تابع ترکیبی" + ], + "prompt": "تابعِ f(x) = -(x - ۱)² + ۲ را در نظر بگیرید. مقدار lim (x→۱⁺) f(x) چند است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "۲", + "۱", + "وجود ندارد" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست)", + "محاسبه حد توابع قدر مطلق و بررسی پیوستگی" + ], + "prompt": "برای تابعِ f(x) = |x|، مقدار lim (x→∞) f(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "-∞", + "وجود ندارد", + "∞" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "محاسبه حد توابع ثابت و همانی با استفاده از نمودار" + ], + "prompt": "تابع ثابت f(x) = ۳ را در نظر بگیرید (برای هر x داریم f(x)=۳). مقدار lim(x→√۳) f(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳", + "√۳", + "۹", + "۰" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "محاسبه حد توابع با استفاده از نمودار" + ], + "prompt": "توابع f(x) = ۲x + ۱ و g(x) = x² را در نظر بگیرید. مقدار lim(x→۱) (f(x) - g(x)) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴", + "۲", + "-۲", + "۱" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "محاسبه حد مجموع، تفاضل، حاصل‌ضرب و خارج قسمت توابع" + ], + "prompt": "اگر lim(x→a) f(x) = L۱ و lim(x→a) g(x) = L۲ (هر دو موجود)، رابطه‌ی درستِ lim(x→a) f(x)/g(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "L۲/L۱، اگر L۱≠۰", + "L۱ - L۲", + "L۱/L۲، اگر L۲≠۰", + "L۱/L۲، بدونِ هیچ شرطی" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "استفاده از قضیه حد برای ثابت کردن برابری‌ها" + ], + "prompt": "اگر lim(x→a) f(x) موجود باشد، برابرِ درستِ lim(x→a) [f(x)]² کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "lim(x→a) f(x)", + "۲·lim(x→a) f(x)", + "lim(x→a) f(x²)", + "[lim(x→a) f(x)]²" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "محاسبه حد توابع ترکیبی در نقطه" + ], + "prompt": "توابع f(x)={۱-x² اگر x<۲، x-۵ اگر x≥۲} و g(x)={۳ اگر x<۱، ۴-x اگر x≥۱} داده شده‌اند. مقدار lim(x→۲)(f(x)+g(x)) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-۱", + "-۳", + "۲", + "-۵" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "محاسبه حد توابع چند جمله‌ای و ترکیبی" + ], + "prompt": "مقدار lim(x→√۳) (x⁴ + ۳x - ۱) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۹ + ۳√۳", + "۸ + ۳√۳", + "۲ + ۳√۳", + "۸ - ۳√۳" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "محاسبه حد توابع شامل قدر مطلق" + ], + "prompt": "مقدار lim(x→۳) x·|x| کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۳", + "-۹", + "۹", + "۶" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "محاسبه حد توابع کسری و توابع شامل توان" + ], + "prompt": "مقدار lim(x→۲) (x³ + ۴x + ۴) / (۳x³ - ۷x + ۱) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱۱/۲۰", + "۱۶/۱۱", + "۲۰/۱۰", + "۲۰/۱۱" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "محاسبه حد توابع شامل قسمت صحیح" + ], + "prompt": "توابع f(x)={۴ اگر x≤۲، ۳ اگر x>۲} و g(x)={-۲ اگر x≤۲، -۱ اگر x>۲} داده شده‌اند. مقدار lim(x→۲)(f(x)+g(x)) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲", + "۳", + "۱", + "حد وجود ندارد" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "محاسبه و بررسی حد توابع ترکیبی" + ], + "prompt": "توابع f(x)={۴ اگر x≤۲، ۳ اگر x>۲} و g(x)={-۲ اگر x≤۲، -۱ اگر x>۲} داده شده‌اند. کدام گزینه درباره‌ی حدِ این توابع در x=۲ درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "حد f در x=۲ برابر ۴ است", + "حد f،g نیستند ولی حد f+g هست", + "حد g در x=۲ برابر -۱ است", + "حد f+g در x=۲ وجود ندارد" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "حد توابع رادیکالی" + ], + "prompt": "تابعِ f(x) = √(x+۱) را در نظر بگیرید. مقدار lim(x→۳) f(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۴", + "√۲", + "۲", + "۳" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "استفاده از قضیه حد ریشه nام" + ], + "prompt": "مقدار lim(x→۱) ∛x کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "۳", + "-۱", + "۱" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "محاسبه حد توابع مرکب رادیکالی" + ], + "prompt": "مقدار lim(x→۱) [√(x-۱) / (∛(x-۱) - ۴)] کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "-۴", + "۱/۴", + "۴" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "محاسبه حد توابع مثلثاتی در نقاط مشخص" + ], + "prompt": "مقدار lim(x→π/۶) sin x کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "√۳/۲", + "۱/۲", + "۱", + "۰" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "محاسبه حد عبارت‌های ترکیبی شامل توابع مثلثاتی" + ], + "prompt": "مقدار lim(x→-π) (π·cos x)/x کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-۱", + "π", + "۱", + "۰" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "محاسبه حد توابع جبری و مثلثاتی" + ], + "prompt": "با جایگذاریِ x=-π در عبارتِ (π·cos x)/x چه مقداری به‌دست می‌آید؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "-۱", + "π", + "۱" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "استفاده از خاصیت جمع حدها" + ], + "prompt": "اگر حدِ چپِ توابعِ f و g در نقطه‌ی a موجود باشند، رابطه‌ی درست برای lim(x→a)(f(x)+g(x)) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "lim f(x) + lim g(x)", + "lim f(x) - lim g(x)", + "lim f(x) × lim g(x)", + "نمی‌توان تعیین کرد" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "محاسبه حد توابع توان‌دار و تابع جزء صحیح" + ], + "prompt": "مقدار lim(x→۱) (x - [x]) / (x² + ۲) کدام است؟ ([x] یعنی جزءِ صحیحِ x)", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱/۳", + "حد وجود ندارد", + "۰", + "۱/۲" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "محاسبه حد توابع مثلثاتی ترکیبی" + ], + "prompt": "مقدار lim(x→۰⁺) (cos x - sin x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "-۱", + "۱", + "۲" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "محاسبه مقدار حد توابع جبری و رادیکالی" + ], + "prompt": "مقدار lim(x→۹) (√x - ۹)³ کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲۱۶", + "-۶", + "۰", + "-۲۱۶" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "بررسی یکتایی و مقدار حد توابع در نقاط خاص" + ], + "prompt": "اگر lim(x→۲) f(x) = ۳ و lim(x→۱) f(x) = ۳، آیا حتماً f(x)=۳ برای همه‌ی x است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "خیر، این نتیجه لازم نیست", + "بله، f حتماً تابعِ ثابت ۳ است", + "بله، دو حدِ برابر یعنی خطی است", + "بله، چون در دو نقطه برابرند" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "تعریف تابع با شرط حد خاص" + ], + "prompt": "کدام تعریف برای g(x) رابطه‌ی lim(x→۱) g(x)/(x²-۱) = ۴ را برقرار می‌کند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "g(x) = ۴(x-۱)", + "g(x) = ۴(x²-۱)", + "g(x) = ۲(x²-۱)", + "g(x) = x²-۱" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "اثبات خواص حد و رابطه بین حدها" + ], + "prompt": "اگر lim(x→a) f(x) = L باشد، کدام گزینه درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "فقط اگر L=۰، f(x)-L حدش صفر است", + "عکسِ این رابطه هیچ‌گاه برقرار نیست", + "حدِ f(x)-L صفر است و عکسش هم برقرار است", + "f(x)-L همیشه نامعین است" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "محاسبه حد توابع ترکیبی" + ], + "prompt": "مقدار lim(x→۱) ([x] - ۱) کدام است؟ ([x] یعنی جزءِ صحیحِ x)", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-۱", + "۰", + "۱", + "حد وجود ندارد" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "قضایای حد", + "تعیین وجود حد توابع در نقاط خاص" + ], + "prompt": "مقدار lim(x→۱) (x² - ۱) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "۱", + "-۱", + "۲" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "محاسبه حد توابع کسری", + "محاسبه حد توابع کسری در حالت صفر صورت و مخرج" + ], + "prompt": "مقدار lim(x→۳) (x² - ۹)/(x - ۳) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "۶", + "۳", + "نامعین است" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "محاسبه حد توابع کسری", + "محاسبه حد عبارت‌های گنگ با ضرب صورت و مخرج در عبارت مزدوج" + ], + "prompt": "مقدار lim(x→۱) (√(x+۸) - ۳)/(x-۱) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱/۳", + "۰", + "۱/۶", + "۶" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "محاسبه حد توابع کسری", + "محاسبه حد توابع مثلثاتی با استفاده از تبدیل و ضرب در عبارت مناسب" + ], + "prompt": "مقدار lim(x→۰) (۱ - cos x)/x کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱", + "نامعین است", + "۱/۲", + "۰" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "محاسبه حد توابع کسری", + "محاسبه حد توابع مثلثاتی با استفاده از ساده‌سازی کسری و جایگذاری" + ], + "prompt": "مقدار lim(x→π/۴) (cos x - sin x)/(cos²x - sin²x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "√۲/۲", + "√۲", + "۰", + "۱" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "محاسبه حد توابع کسری", + "محاسبه حد با تغییر متغیر" + ], + "prompt": "مقدار حدِ زیر را بیابید:\nlim (x→۰) (√(۱+x) - ۱) / x", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۱)/(۲)", + "۱", + "-(۱)/(۲)", + "۲" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "محاسبه حد توابع کسری", + "محاسبه حد توابع مثلثاتی با تغییر متغیر" + ], + "prompt": "مقدار حدِ زیر را بیابید:\nlim (x→π/۲) (۲x - π) / cos x", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲", + "-۲", + "-۱", + "۱" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "محاسبه حد توابع کسری", + "محاسبه حد توابع گویا و رادیکالی" + ], + "prompt": "مقدار حدِ زیر را بیابید:\nlim (x→۱) (x³ + x - ۱) / (x³ + ۳x)", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۱)/(۲)", + "-(۱)/(۲)", + "(۱)/(۴)", + "-(۱)/(۴)" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "محاسبه حد توابع کسری", + "محاسبه حد توابع شامل قسمت صحیح و رادیکال" + ], + "prompt": "مقدار حدِ زیر را بیابید:\nlim (x→π/۲) (۱ - sin x) / cos x", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱", + "-۱", + "وجود ندارد", + "۰" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "محاسبه حد توابع کسری", + "محاسبه حد توابع مثلثاتی" + ], + "prompt": "مقدار حدِ زیر را بیابید:\nlim (x→π/۲) (۱ - sin x) / cos x", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۰", + "۱", + "-۱", + "وجود ندارد" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "محاسبه حد توابع کسری", + "محاسبه حد حاصل‌ضرب توابع" + ], + "prompt": "اگر f(x) = (x+۱)/(x³ - x - ۱) و g(x) = (x³+۱)/x، مقدار lim (x→ -(۱)/(۲)) f(x)·g(x) را بیابید.", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "-(۷)/(۵)", + "(۷)/(۵)", + "(۴)/(۵)", + "(۷)/(۴)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "پیوستگی", + "تعیین مقدار تابع و حد تابع از روی نمودار" + ], + "prompt": "تابعِ f خطی است و f(۲) = ۳. مقدار lim (x→۲) f(x) کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۲", + "۰", + "۳", + "وجود ندارد" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "پیوستگی", + "بررسی پیوستگی تابع در نقطه با استفاده از نمودار" + ], + "prompt": "اگر k(۲) = ۳ و lim (x→۲) k(x) = ۲، تابعِ k در x=۲ چگونه است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "پیوسته است، چون تابع تعریف شده است.", + "پیوسته است، چون حد وجود دارد.", + "نمی‌توان تعیین کرد.", + "ناپیوسته است، چون مقدار ≠ حد است." + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "پیوستگی", + "تشخیص وجود یا عدم وجود گسستگی در نقطه از روی نمودار" + ], + "prompt": "اگر h(۲) = ۱ و lim (x→۲) h(x) = ۳، آیا تابعِ h در x=۲ گسستگی دارد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "بله، چون مقدار ≠ حد است.", + "خیر، چون حد وجود دارد.", + "خیر، چون تابع تعریف شده است.", + "نمی‌توان تعیین کرد." + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "پیوستگی", + "تشخیص پیوستگی تابع در نقطه" + ], + "prompt": "با توجه به اینکه lim (x→a) sin x = sin a، تابعِ y = sin x در نقطه‌ی a چگونه است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "ناپیوسته است.", + "پیوسته است، چون حد = مقدار تابع.", + "فقط در a=۰ پیوسته است.", + "نمی‌توان نتیجه گرفت." + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "پیوستگی", + "تشخیص ناپیوستگی تابع‌های پله‌ای و کسری" + ], + "prompt": "تابعِ y = [x] (جزءِ صحیحِ x) را در نظر بگیرید. این تابع در نقاطِ صحیح چگونه است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "در همه‌جا پیوسته است.", + "فقط در x=۰ ناپیوسته است.", + "در هر عددِ صحیح ناپیوسته است.", + "در اعدادِ غیرصحیح ناپیوسته است." + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "پیوستگی", + "بررسی پیوستگی توابع در نقاط خاص" + ], + "prompt": "تابعی در x=۳ تعریف نشده، اما حدِ آن در x=۳ وجود دارد. این تابع در x=۳ چگونه است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "پیوسته است، چون حد وجود دارد.", + "پیوسته است، چون همه‌جا تعریف شده.", + "نمی‌توان گفت؛ نمودار لازم است.", + "پیوسته نیست، چون تعریف نشده است." + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "پیوستگی", + "رسم نمودار توابع با شرایط پیوستگی و نقاط تعریف نشده" + ], + "prompt": "تابعی در x=۳ تعریف نشده، اما حدِ آن در x=۳ وجود دارد. این تابع در x=۳ چگونه است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "پیوسته نیست، چون تعریف نشده است.", + "پیوسته است، چون حد وجود دارد.", + "پیوسته است، چون همه‌جا تعریف شده.", + "نمی‌توان گفت؛ نمودار لازم است." + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "پیوستگی", + "بررسی پیوستگی تابع در نقاط مشخص با استفاده از نمودار" + ], + "prompt": "با توجه به نمودارِ تابعِ f می‌دانیم: f(۳)=۲، حدِ راست در x=۳ برابرِ ۳، حدِ چپ برابرِ ۲ است. کدام گزینه درست است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "هر دو تساوی چپ و راست برقرارند.", + "فقط تساوی چپ (نه راست) برقرار است.", + "هیچ‌کدام برقرار نیست.", + "فقط تساوی راست برقرار است." + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "پیوستگی", + "بررسی پیوستگی تابع به صورت تحلیلی در نقاط خاص" + ], + "prompt": "تابعِ f به‌صورتِ زیر تعریف شده: برایِ x<۰، f(x)=۳x²+x؛ برایِ x=۰، f(x)=۲؛ برایِ x>۰، f(x)=۲cos x - sin x. پیوستگیِ f در x=۰ را بررسی کنید.", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "پیوسته است.", + "ناپیوسته و پیوستگیِ راست هم ندارد.", + "ناپیوسته، ولی پیوستگیِ راست دارد.", + "فقط در حدِ چپ پیوسته است." + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "پیوستگی", + "تشخیص پیوستگی تابع گام‌دار" + ], + "prompt": "تابعِ f(x)=[x] (جزءِ صحیحِ x) را در نقاطِ x=۲، x=(۱)/(۲) و x=۰ بررسی کنید؛ در کدام نقطه پیوسته است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "فقط در x=۰", + "فقط در x=۲", + "در هر سه نقطه", + "فقط در x=(۱)/(۲)" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "پیوستگی", + "تعریف پیوستگی روی بازه‌ها" + ], + "prompt": "چهار تابع زیر را در نظر بگیرید:\nالف) y = |x-۱| + ۲\nب) y = x - [x]\nپ) y = [x] + [-x]\nت) تابعِ تکه‌ای: x(x-۱) برایِ x≤۱ و -x+۲ برایِ x>۱\nکدام‌یک از این توابع در هیچ نقطه‌ای ناپیوسته نیست؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "y = |x-۱| + ۲", + "y = x - [x]", + "y = [x] + [-x]", + "تابعِ (ت)، ناپیوسته در x=۱" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "پیوستگی", + "تشخیص پیوستگی تابع از روی نمودار" + ], + "prompt": "تابعِ g(x) به‌صورتِ زیر تعریف شده: برایِ x≠۱، g(x) = (x²+x-۲)/(x-۱)؛ برایِ x=۱، g(x)=a. برایِ پیوسته بودنِ g در x=۱، مقدارِ a چند است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "۱", + "۳", + "-۲", + "۲" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "پیوستگی", + "تعیین نقاط ناپیوستگی توابع" + ], + "prompt": "تابعِ y = x - [x] (x منهایِ جزءِ صحیحِ x) را در نظر بگیرید. این تابع در کدام نقاط ناپیوسته است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "در هیچ نقطه‌ای", + "فقط در x=۰", + "در هر عددِ صحیحِ x", + "در هر عددِ غیرصحیحِ x" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "پیوستگی", + "تعیین مقدار پارامتر برای پیوستگی تابع در نقطه خاص" + ], + "prompt": "تابعِ f(x) به‌صورتِ زیر تعریف شده: برایِ x<۱، f(x)=x-۱؛ برایِ x=۱، f(x)=a؛ برایِ x>۱، f(x)=-x+۲. برایِ پیوسته بودنِ f در x=۱، a باید چه مقداری باشد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "a = ۰", + "a = ۱", + "a = (۱)/(۲)", + "چنین مقداری برای a وجود ندارد." + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "پیوستگی", + "نشان دادن ناپیوستگی تابع در نقطه صفر برای هر مقدار پارامتر" + ], + "prompt": "تابعِ f(x) به‌صورتِ زیر تعریف شده: برایِ x<۰، f(x)=x؛ برایِ x=۰، f(x)=a؛ برایِ x>۰، f(x)=۲x+۱. آیا مقداری برایِ a هست که f در x=۰ پیوسته باشد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "خیر؛ حدِ چپ و راست برابر نیستند.", + "بله، a=۰", + "بله، a=۱", + "بله، a=(۱)/(۲)" + ], + "correct": 0 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "پیوستگی", + "رسم نمودار و بررسی پیوستگی توابع با نقاط ناپیوستگی و بدون حد در آن نقاط" + ], + "prompt": "تابعِ f(x) = ۲ - √(۷-x) را در نظر بگیرید. کدام‌یک بازه‌ای بسته است که تابع بر آن پیوسته باشد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "[۵,۱۰]", + "[۰,۷]", + "[۸,۱۰]", + "[۰,+∞)" + ], + "correct": 1 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "پیوستگی", + "تعیین بیشترین مقدار پارامتر برای پیوستگی تابع جزء صحیح در بازه مشخص" + ], + "prompt": "تابعِ f(x) به‌صورتِ زیر تعریف شده: برایِ x>۰، f(x)=(۱-cos x)/x²؛ برایِ x=۰، f(x)=b-۱؛ برایِ x<۰، f(x)=x-۲a. اگر f در x=۰ پیوسته باشد، مقدارِ a و b کدام‌اند؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "a=(۱)/(۴) و b=(۳)/(۲)", + "a=-(۱)/(۴) و b=(۱)/(۲)", + "a=-(۱)/(۴) و b=(۳)/(۲)", + "a=(۱)/(۴) و b=(۱)/(۲)" + ], + "correct": 2 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "پیوستگی", + "ارائه بازه پیوستگی تابع شامل رادیکال" + ], + "prompt": "تابعِ f(x) = ۲ - √(۷-x) را در نظر بگیرید. کدام‌یک بازه‌ای بسته است که تابع بر آن پیوسته باشد؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "[-۲,۸]", + "[۷,۱۰]", + "[۸,۱۲]", + "[-۲,۷]" + ], + "correct": 3 + }, + { + "path": [ + "پایه یازدهم", + "فصل ۵: حد و پیوستگی", + "پیوستگی", + "تعیین مقادیر پارامتر برای پیوستگی تابع تکه‌ای شامل توابع مثلثاتی و چندجمله‌ای" + ], + "prompt": "تابعِ f(x) به‌صورتِ زیر تعریف شده: برایِ x>۰، f(x)=(۱-cos x)/x²؛ برایِ x=۰، f(x)=b-۱؛ برایِ x<۰، f(x)=x-۲a. اگر f در x=۰ پیوسته باشد، مقدارِ b کدام است؟", + "type": "multiple_choice", + "choices": [ + "(۳)/(۲)", + "(۱)/(۲)", + "-(۳)/(۲)", + "۱" + ], + "correct": 0 } ] }