From d32d98d3f6b4f9b179a24944cfb72afe4095ee39 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Zareian Date: Sun, 11 Oct 2026 15:11:11 +0330 Subject: [PATCH] Full lesson audit (grades 3-12): 167 lessons rewritten for wrong or missing facts (terminology, wrong answers, incomplete/ambiguous prompts), 115 final answers added, 11 figures rebuilt and 6 removed to match the new text Co-Authored-By: Claude Sonnet 5.5 --- content/seed/curriculum.json | 3136 +++++++++++++--------------------- 1 file changed, 1179 insertions(+), 1957 deletions(-) diff --git a/content/seed/curriculum.json b/content/seed/curriculum.json index 57e943a..511c905 100644 --- a/content/seed/curriculum.json +++ b/content/seed/curriculum.json @@ -1195,7 +1195,8 @@ "introText": "برای جمع اعداد چند رقمی، ابتدا از سمت راست شروع کنید و ارقام هر ستون را جمع کنید. اگر جمع هر ستون بیشتر از ۹ شد، رقم دهگان را به ستون بعدی منتقل کنید. این کار را تا انتهای ارقام ادامه دهید.", "example": "۷۰۲۵ + ۱۸۰۱", "steps": [ - "۷۰۲۵ + ۱۸۰۱ = ۸۸۲۶" + "۷۰۲۵ + ۱۸۰۱ = ۸۸۲۶", + "✅ جواب: ۸۸۲۶" ] }, { @@ -2778,7 +2779,8 @@ "steps": [ "مقدار کل پول مورد نیاز: ۱۰۰۰ ریال.", "مقدار پولی که علی داده: ۹ × ۱۰ = ۹۰ ریال.", - "مقدار پول باقی‌مانده: ۱۰۰۰ - ۹۰ = ۹۱۰ ریال. تعداد سکه‌های ۱۰ ریالی مورد نیاز: ۹۱۰ ÷ ۱۰ = ۹۱ سکه." + "مقدار پول باقی‌مانده: ۱۰۰۰ - ۹۰ = ۹۱۰ ریال. تعداد سکه‌های ۱۰ ریالی مورد نیاز: ۹۱۰ ÷ ۱۰ = ۹۱ سکه.", + "✅ جواب: ۹۱ سکهٔ ۱۰ ریالی" ] }, { @@ -3144,7 +3146,8 @@ "introText": "برای جمع عددهای چهار رقمی، اعداد را به صورت ستونی زیر هم قرار دهید و از سمت راست به چپ جمع کنید. اگر جمع هر ستون بیشتر از ۹ شد، یک واحد به ستون بعدی اضافه کنید.", "example": "۲۰۰۰ + ۲۰۰ + ۳۰ + ۲ را جمع کنید.", "steps": [ - "۲۰۰۰ + ۲۰۰ + ۳۰ + ۲ = ۲۲۳۲" + "۲۰۰۰ + ۲۰۰ + ۳۰ + ۲ = ۲۲۳۲", + "✅ جواب: ۲۲۳۲" ] }, { @@ -3337,10 +3340,11 @@ { "title": "محاسبه ارزش پول", "introText": "برای محاسبه ارزش پول، ابتدا مقدار پول داده شده را بررسی کنید. سپس با توجه به واحد پول (ریال یا تومان)، مقدار مورد نظر را با استفاده از ضرب یا تقسیم به واحد مورد نظر تبدیل کنید.", - "example": "۱۰۰۰ ریال چه چیزی می‌توان خرید؟", + "example": "با ۱۰۰۰ ریال چند سکهٔ ۱۰۰ ریالی می‌توان گرفت؟", "steps": [ - "با توجه به ارزش ۱۰۰۰ ریال، می‌توان اقلامی با قیمت کمتر یا مساوی ۱۰۰۰ ریال خریداری کرد.", - "✅ جواب: هر کالایی با قیمت کمتر یا مساوی ۱۰۰۰ ریال." + "هر سکه ۱۰۰ ریال است.", + "۱۰۰۰ ÷ ۱۰۰ = ۱۰.", + "✅ جواب: ۱۰ سکه" ] }, { @@ -3359,7 +3363,8 @@ "introText": "برای محاسبه تعداد کل دانش‌آموزان، تعداد دانش‌آموزان پایه‌های مختلف را با هم جمع کنید. اگر نیاز به تفریق باشد، تعداد مشخصی را کم کنید.", "example": "در دبستان اندیشه تعداد دانش‌آموزان کلاس ششم ۲۷ نفر است. تعداد دانش‌آموزان کلاس اول ۲ برابر آن است. چند دانش‌آموز در کلاس اول این دبستان درسی می‌خوانند؟", "steps": [ - "تعداد دانش‌آموزان کلاس اول = تعداد دانش‌آموزان کلاس ششم × ۲ = ۲۷ × ۲ = ۵۴ نفر" + "تعداد دانش‌آموزان کلاس اول = تعداد دانش‌آموزان کلاس ششم × ۲ = ۲۷ × ۲ = ۵۴ نفر", + "✅ جواب: ۵۴ نفر" ] }, { @@ -3638,54 +3643,35 @@ { "title": "نمایش عددهای تقریبی روی محور", "introText": "برای نمایش عددهای تقریبی روی محور، ابتدا محور را بر اساس بازه‌های مشخص تقسیم‌بندی کنید. سپس عدد مورد نظر را با توجه به موقعیت آن در بازه مناسب روی محور مشخص کنید.", - "example": "عدد ۳۵,۶ را روی محور نشان دهید.", + "example": "عدد ۳۵۶ را روی محوری که از ۳۰۰ تا ۴۰۰ است تقریباً نشان دهید.", "steps": [ - "محور را از ۳۰ تا ۴۰ تقسیم‌بندی می‌کنیم.", - "عدد ۳۵,۶ در بین ۳۵ و ۳۶ قرار دارد.", - "مقدار ۳۵,۶ به ۳۵ نزدیک‌تر است، بنابراین آن را کمی بعد از ۳۵ روی محور نشان می‌دهیم.", - "✅ جواب: مقدار ۳۵,۶ بعد از ۳۵ روی محور" + "وسط محور ۳۵۰ است.", + "۳۵۶ کمی از ۳۵۰ بیشتر است.", + "پس نقطه کمی بعد از وسط محور قرار می‌گیرد.", + "✅ جواب: کمی بعد از وسط محور (بین ۳۵۰ و ۴۰۰)" ], "figures": [ { "where": "example", "diagram": { "kind": "numberline", - "title": "محور عددها", - "min": 30.0, - "max": 40.0, + "title": "محور از ۳۰۰ تا ۴۰۰", + "min": 300.0, + "max": 400.0, "points": [ { - "at": 35.0, - "label": "۳۵", + "at": 350.0, + "label": "۳۵۰", "open": false }, { - "at": 36.0, - "label": "۳۶", + "at": 356.0, + "label": "۳۵۶", "open": false } ], - "jumps": [ - { - "from": 35.0, - "to": 35.6, - "label": "۳۵.۶" - } - ], - "step": 1.0, - "intervals": [ - { - "from": 30.0, - "to": 40.0, - "closedFrom": true, - "closedTo": false, - "label": "[۳۰, ۴۰)" - }, - { - "from": 35.0, - "to": null - } - ] + "jumps": [], + "step": 10.0 } } ] @@ -3978,12 +3964,11 @@ { "title": "اندازه‌گیری طول با پرگار", "introText": "برای اندازه‌گیری طول با پرگار، ابتدا پرگار را باز کنید و دو نقطه مورد نظر را با نوک پرگار مشخص کنید. سپس فاصله بین دو نقطه را با خط‌کش اندازه‌گیری کنید.", - "example": "یک پرگار را باز کنید و فاصله بین دو نوک آن را اندازه بگیرید. اگر فاصله بین دو نوک پرگار ۷ سانتی‌متر باشد، طول این پرگار چقدر است؟", + "example": "پرگاری را ۷ سانتی‌متر باز کرده‌ایم و با آن دایره می‌کشیم. شعاع دایره و قطر آن چند سانتی‌متر است؟", "steps": [ - "پرگار را باز کنید و فاصله بین دو نوک آن را اندازه بگیرید.", - "فاصله اندازه‌گیری شده ۷ سانتی‌متر است.", - "طول پرگار برابر با فاصله بین دو نوک آن است.", - "✅ جواب: 7" + "بازشدگی پرگار برابر شعاع دایره است: ۷ سانتی‌متر.", + "قطر دو برابر شعاع است: ۲ × ۷ = ۱۴.", + "✅ جواب: شعاع ۷ و قطر ۱۴ سانتی‌متر" ] }, { @@ -4439,76 +4424,11 @@ { "title": "تقسیم دایره به بخش‌های مساوی", "introText": "برای تقسیم دایره به بخش‌های مساوی، ابتدا شعاع دایره را اندازه‌گیری کنید. سپس دایره را به تعداد بخش‌های مورد نظر تقسیم کنید و خطوط تقسیم را رسم کنید.", - "example": "یک دایره با شعاع ۶ سانتی‌متر داریم. اگر این دایره را به ۳ قسمت مساوی تقسیم کنیم، طول هر بخش از دایره چقدر خواهد بود؟", + "example": "دایره‌ای را به ۳ قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم. هر قسمت چه کسری از دایره است؟", "steps": [ - "شعاع دایره ۶ سانتی‌متر است.", - "محیط دایره را با فرمول ۲ × π × شعاع محاسبه می‌کنیم: ۲ × ۳.۱۴ × ۶ = ۳۷.۶۸ سانتی‌متر.", - "برای تقسیم دایره به ۳ قسمت مساوی، محیط را بر ۳ تقسیم می‌کنیم: ۳۷.۶۸ ÷ ۳ = ۱۲.۵۶ سانتی‌متر.", - "طول هر بخش از دایره برابر با ۱۲.۵۶ سانتی‌متر است.", - "✅ جواب: 12.56" - ], - "figures": [ - { - "where": "example", - "diagram": { - "kind": "plane", - "title": "دایره با شعاع ۶ سانتی‌متر", - "axes": false, - "points": { - "O": [ - 0.0, - 0.0 - ] - }, - "items": [ - { - "type": "circle", - "center": "O", - "r": 6.0 - }, - { - "type": "text", - "at": [ - 0.0, - 6.5 - ], - "text": "شعاع = ۶ سانتی‌متر" - } - ], - "grid": false - } - }, - { - "where": "step", - "index": 0, - "diagram": { - "kind": "plane", - "title": "شعاع دایره", - "axes": false, - "points": { - "O": [ - 0.0, - 0.0 - ] - }, - "items": [ - { - "type": "circle", - "center": "O", - "r": 6.0 - }, - { - "type": "text", - "at": [ - 0.0, - 6.5 - ], - "text": "شعاع = ۶ سانتی‌متر" - } - ], - "grid": false - } - } + "دایره به ۳ قسمت مساوی تقسیم شده است.", + "هر قسمت یکی از ۳ قسمت است: ۱/۳.", + "✅ جواب: ۱/۳ دایره" ] }, { @@ -4831,13 +4751,11 @@ { "title": "رسم دایره با ابزار", "introText": "۱. پرگار را آماده کنید و شعاع مورد نظر را تنظیم کنید. \n۲. نوک پرگار را در مرکز دایره قرار دهید. \n۳. پرگار را به آرامی بچرخانید تا دایره کامل رسم شود.", - "example": "یک دانش‌آموز می‌خواهد دایره‌ای با شعاع ۴ سانتی‌متر رسم کند. او پرگار را آماده می‌کند و شعاع را تنظیم می‌کند. سپس نوک پرگار را در نقطه‌ای روی کاغذ قرار می‌دهد و پرگار را به آرامی می‌چرخاند. دایره‌ای که رسم می‌شود، چه طولی دارد؟", + "example": "شعاع یک دایره ۴ سانتی‌متر است. قطر این دایره چند سانتی‌متر است؟", "steps": [ - "شعاع دایره ۴ سانتی‌متر است.", - "طول دایره را با فرمول ۲ × π × r محاسبه می‌کنیم.", - "با توجه به اینکه π تقریباً برابر ۳.۱۴ است، محاسبه می‌کنیم: ۲ × ۳.۱۴ × ۴ = ۲۵.۱۲ سانتی‌متر.", - "بنابراین، طول دایره برابر با ۲۵.۱۲ سانتی‌متر است.", - "✅ جواب: 25.12" + "قطر دو برابر شعاع است.", + "۲ × ۴ = ۸.", + "✅ جواب: ۸ سانتی‌متر" ], "figures": [ { @@ -4949,12 +4867,11 @@ { "title": "زاویه‌ها و بخش‌های شکل", "introText": "برای پیدا کردن تعداد زاویه‌های یک شکل، تعداد گوشه‌های آن را بشمارید. برای مثلث، همیشه ۳ زاویه وجود دارد.", - "example": "یک چهارضلعی داریم که دو گوشه‌ی آن ۹۰ درجه و دو گوشه‌ی دیگر ۴۵ درجه هستند. تعداد زاویه‌های این چهارضلعی را پیدا کنید.", + "example": "یک چهارضلعی چند گوشه (زاویه) دارد؟ اگر دو تا از گوشه‌هایش قائمه باشند، چند گوشه قائمه نیست؟", "steps": [ - "یک چهارضلعی دارای ۴ گوشه است.", - "هر چهارضلعی دارای ۴ زاویه است.", - "بنابراین تعداد زاویه‌های این چهارضلعی ۴ است.", - "✅ جواب: 4" + "چهارضلعی ۴ ضلع و ۴ گوشه دارد.", + "دو گوشه قائمه‌اند، پس ۴ − ۲ = ۲ گوشه قائمه نیست.", + "✅ جواب: ۴ گوشه؛ ۲ گوشه قائمه نیست." ] }, { @@ -5108,7 +5025,8 @@ "ابتدا کسرها را به مخرج مشترک تبدیل می‌کنیم.", "مخرج مشترک ۴ است: ۱/۲ = ۲/۴ و ۱/۴ همان ۱/۴ باقی می‌ماند.", "حالا صورت‌ها را مقایسه می‌کنیم: ۲/۴ > ۱/۴.", - "بنابراین کسر ۱/۲ بزرگتر است." + "بنابراین کسر ۱/۲ بزرگتر است.", + "✅ جواب: ۱/۲ بزرگ‌تر است" ] }, { @@ -5962,7 +5880,8 @@ "steps": [ "در جدول ضرب، عدد ۲ در سطر و عدد ۸ در ستون مشخص می‌شود.", "محل تقاطع این دو عدد برابر با ۱۶ است.", - "بنابراین، در جدول ضرب، ۲ × ۸ = ۱۶ نوشته می‌شود." + "بنابراین، در جدول ضرب، ۲ × ۸ = ۱۶ نوشته می‌شود.", + "✅ جواب: ۲ × ۸ = ۱۶" ] }, { @@ -6575,7 +6494,8 @@ "introText": "برای حل ضرب ساده، عدد اول را در عدد دوم ضرب کنید. حاصل ضرب را به عنوان جواب بنویسید.", "example": "۲ × ۴ = ؟", "steps": [ - "۲ × ۴ = ۸" + "۲ × ۴ = ۸", + "✅ جواب: ۸" ], "figures": [ { @@ -6771,7 +6691,8 @@ "introText": "برای حل این نوع مسئله، اعداد ضرب را در ماشین حساب وارد کنید و حاصل ضرب را مشاهده کنید.", "example": "۴ × ۳ را با ماشین حساب محاسبه کنید.", "steps": [ - "۴ × ۳ = ۱۲" + "۴ × ۳ = ۱۲", + "✅ جواب: ۱۲" ], "figures": [ { @@ -6990,14 +6911,14 @@ { "title": "محاسبه ضرب با محور عددی", "introText": "برای محاسبه ضرب با محور عددی، ابتدا عدد اول را به عنوان تعداد پرش‌ها و عدد دوم را به عنوان اندازه هر پرش در نظر بگیرید. سپس روی محور عددی از صفر شروع کرده و به اندازه عدد دوم پرش کنید تا تعداد پرش‌ها کامل شود. عددی که در انتها به آن می‌رسید، حاصل ضرب است.", - "example": "محسن می‌خواهد ۳ بار به اندازه ۵ پرش کند. حاصل ضرب ۳ و ۵ را با استفاده از محور عددی محاسبه کنید.", + "example": "محسن می‌خواهد ۳ بار به اندازهٔ ۵ پرش کند. حاصل ضرب ۳ و ۵ را با محور عددی محاسبه کنید.", "steps": [ - "عدد اول ۳ را به عنوان تعداد پرش‌ها در نظر می‌گیریم.", - "عدد دوم ۵ را به عنوان اندازه هر پرش در نظر می‌گیریم.", - "از صفر شروع می‌کنیم و ۵ را ۳ بار به محور عددی اضافه می‌کنیم.", - "اولین پرش: ۰ + ۵ = ۵", - "دومین پرش: ۵ + ۵ = ۱۰", - "✅ جواب: ۱۵" + "۳ تعداد پرش‌ها و ۵ اندازهٔ هر پرش است.", + "از صفر شروع می‌کنیم.", + "پرش اول: ۰ + ۵ = ۵.", + "پرش دوم: ۵ + ۵ = ۱۰.", + "پرش سوم: ۱۰ + ۵ = ۱۵.", + "✅ جواب: ۳ × ۵ = ۱۵" ], "figures": [ { @@ -7912,65 +7833,11 @@ { "title": "اندازه‌گیری محیط اشیاء واقعی", "introText": "برای اندازه‌گیری محیط یک شیء واقعی، ابتدا نخ را دور دهانه یا محیط شیء قرار دهید. سپس نخ را صاف کنید و طول آن را با خط‌کش اندازه‌گیری کنید تا محیط شیء به دست آید.", - "example": "محیط یک دایره را با استفاده از نخ اندازه بگیرید. اگر نخ را دور یک سکه به قطر ۵ سانتی‌متر بپیچید، محیط سکه چقدر خواهد بود؟", + "example": "نخی را دور یک سکه پیچیده‌ایم و بعد آن را روی خط‌کش باز کرده‌ایم؛ طول نخ ۱۶ سانتی‌متر شده است. محیط سکه چند سانتی‌متر است؟", "steps": [ - "قطر سکه ۵ سانتی‌متر است.", - "محیط دایره با فرمول محیط = π × قطر محاسبه می‌شود.", - "با استفاده از π تقریبی برابر با ۳.۱۴، محاسبه می‌کنیم: ۳.۱۴ × ۵ = ۱۵.۷ سانتی‌متر.", - "بنابراین، محیط سکه برابر با ۱۵.۷ سانتی‌متر است.", - "✅ جواب: 15.7" - ], - "figures": [ - { - "where": "example", - "diagram": { - "kind": "plane", - "title": "دایره با قطر ۵", - "axes": false, - "points": { - "O": [ - 0.0, - 0.0 - ], - "A": [ - -2.5, - 0.0 - ], - "B": [ - 2.5, - 0.0 - ] - }, - "items": [ - { - "type": "circle", - "center": "O", - "r": 2.5, - "color": "blue" - }, - { - "type": "segment", - "from": "A", - "to": "B", - "color": "red", - "label": "۵" - }, - { - "type": "point", - "point": "O" - }, - { - "type": "point", - "point": "A" - }, - { - "type": "point", - "point": "B" - } - ], - "grid": false - } - } + "محیط یعنی طول خطی که دور شکل می‌گردد.", + "طول نخ همان طول دور سکه است.", + "✅ جواب: ۱۶ سانتی‌متر" ] }, { @@ -9591,9 +9458,11 @@ { "title": "محاسبه مساحت مربع", "introText": "برای محاسبه مساحت مربع، طول یک ضلع را در خودش ضرب کنید. فرمول: مساحت = ضلع × ضلع.", - "example": "پدر علی یک فرش ۶۴ متر خریده است. مساحت این فرش چند متر مربع است؟", + "example": "فرشی مربع‌شکل است و طول هر ضلعش ۸ متر است. مساحت این فرش چند متر مربع است؟", "steps": [ - "مساحت فرش: ۸ × ۸ = ۶۴ متر مربع." + "مساحت مربع = ضلع × ضلع.", + "۸ × ۸ = ۶۴.", + "✅ جواب: ۶۴ متر مربع" ], "figures": [ { @@ -9643,7 +9512,8 @@ "introText": "برای محاسبه مساحت مستطیل، طول و عرض آن را در یکدیگر ضرب کنید. فرمول: مساحت = طول × عرض.", "example": "مساحت مستطیل با طول ۶ سانتی‌متر و عرض ۴ سانتی‌متر را پیدا کنید.", "steps": [ - "مساحت = ۶ × ۴ = ۲۴ سانتی‌متر مربع." + "مساحت = ۶ × ۴ = ۲۴ سانتی‌متر مربع.", + "✅ جواب: ۲۴ سانتی‌متر مربع" ], "figures": [ { @@ -10306,7 +10176,8 @@ "introText": "برای تفریق اعداد، ابتدا ارقام هر عدد را از سمت راست به چپ از هم کم کنید. اگر رقم بالایی کمتر از رقم پایینی بود، یک واحد از رقم بعدی قرض بگیرید. در نهایت، اختلاف را بنویسید.", "example": "یک خانم ۵۰۰۰ تومان به فروشنده داده است. اگر هزینه خرید او ۳۸۷۰ تومان باشد، چقدر باقی‌مانده دریافت خواهد کرد؟", "steps": [ - "۵۰۰۰ - ۳۸۷۰ = ۱۱۳۰ تومان" + "۵۰۰۰ - ۳۸۷۰ = ۱۱۳۰ تومان", + "✅ جواب: ۱۱۳۰ تومان" ] }, { @@ -10314,7 +10185,8 @@ "introText": "برای تفریق اعداد چند رقمی، ابتدا ارقام هر ستون را از سمت راست به چپ کم کنید. اگر عدد بالایی از عدد پایینی کوچکتر بود، از ستون بعدی قرض بگیرید.", "example": "۳۲۸ - ۱۲۵", "steps": [ - "۳۲۸ - ۱۲۵ = ۲۰۳" + "۳۲۸ - ۱۲۵ = ۲۰۳", + "✅ جواب: ۲۰۳" ], "figures": [ { @@ -10482,7 +10354,8 @@ "example": "تعداد مسافران در ایستگاه‌های تهران-مشهد: ۲۴۱ نفر در ایستگاه تهران، ۷۱ نفر در ایستگاه گلسار، و ۷۸ نفر در ایستگاه سبزوار. مجموع مسافران چقدر است؟", "steps": [ "۲۴۱ + ۷۱ + ۷۸ = ۳۹۰.", - "مجموع مسافران ۳۹۰ نفر است." + "مجموع مسافران ۳۹۰ نفر است.", + "✅ جواب: ۳۹۰ نفر" ] }, { @@ -10490,7 +10363,8 @@ "introText": "برای جمع اعداد چند رقمی، ابتدا ارقام هر ستون را از سمت راست به چپ جمع کنید. اگر جمع هر ستون بیشتر از ۹ شد، رقم دهگان را به ستون بعدی منتقل کنید.", "example": "۲۳۳۳ + ۲۴۲۴", "steps": [ - "۲۳۳۳ + ۲۴۲۴ = ۴۷۵۷" + "۲۳۳۳ + ۲۴۲۴ = ۴۷۵۷", + "✅ جواب: ۴۷۵۷" ] }, { @@ -11165,7 +11039,8 @@ "introText": "برای مقایسه دو عدد، ابتدا تعداد ارقام آن‌ها را مقایسه کنید. عددی که تعداد ارقام بیشتری دارد، بزرگتر است. اگر تعداد ارقام برابر بود، از سمت چپ به راست ارقام را مقایسه کنید تا عدد بزرگتر مشخص شود.", "example": "اعداد ۴۰۰۸، ۴۰۰۰، ۴۰۱۰، ۴۰۱۲، ۴۰۱۹ را به ترتیب از کوچک به بزرگ بنویسید.", "steps": [ - "ترتیب صحیح: ۴۰۰۰، ۴۰۰۸، ۴۰۱۰، ۴۰۱۲، ۴۰۱۹" + "ترتیب صحیح: ۴۰۰۰، ۴۰۰۸، ۴۰۱۰، ۴۰۱۲، ۴۰۱۹", + "✅ جواب: ۴۰۰۰ ، ۴۰۰۸ ، ۴۰۱۰ ، ۴۰۱۲ ، ۴۰۱۹" ] }, { @@ -12883,7 +12758,8 @@ "introText": "برای حل مسائل تقسیم با باقی‌مانده، ابتدا عدد اصلی را بر عدد تقسیم‌کننده تقسیم کنید. خارج قسمت را به عنوان تعداد کامل دسته‌ها در نظر بگیرید و باقی‌مانده را به عنوان تعداد اضافی یا باقی‌مانده مشخص کنید.", "example": "۲۷ ÷ ۵ = ؟", "steps": [ - "ابتدا ۲۷ را بر ۵ تقسیم می‌کنیم که خارج قسمت ۵ و باقی‌مانده ۲ به دست می‌آید." + "ابتدا ۲۷ را بر ۵ تقسیم می‌کنیم که خارج قسمت ۵ و باقی‌مانده ۲ به دست می‌آید.", + "✅ جواب: خارج‌قسمت ۵ و باقی‌مانده ۲" ] }, { @@ -13188,7 +13064,8 @@ "introText": "برای محاسبه با ماشین حساب، عدد تقسیم‌کننده را وارد کنید و سپس عدد تقسیم‌شونده را وارد کنید. ماشین حساب نتیجه تقسیم و باقی‌مانده را نمایش می‌دهد.", "example": "۳۵ + ۲ × ۵ − ۱۴ =", "steps": [ - "۲ × ۵ = ۱۰، سپس ۳۵ + ۱۰ = ۴۵، و ۴۵ − ۱۴ = ۳۱" + "۲ × ۵ = ۱۰، سپس ۳۵ + ۱۰ = ۴۵، و ۴۵ − ۱۴ = ۳۱", + "✅ جواب: ۳۱" ] } ] @@ -13211,12 +13088,11 @@ { "title": "محاسبه بزرگ‌ترین حاصل ضرب", "introText": "برای یافتن بزرگ‌ترین حاصل ضرب، ابتدا اعداد داده شده را بررسی کنید و ترکیب‌هایی که حاصل ضرب بیشتری دارند را پیدا کنید. سپس این ترکیب‌ها را ضرب کنید و بزرگ‌ترین مقدار را به عنوان پاسخ انتخاب کنید.", - "example": "در یک باغ، ۴ درخت سیب و ۳ درخت گلابی وجود دارد. بزرگ‌ترین حاصل ضرب تعداد درختان سیب و گلابی را محاسبه کنید.", + "example": "در یک باغ ۴ درخت سیب و ۳ درخت گلابی وجود دارد. حاصل ضرب تعداد درخت‌های سیب در تعداد درخت‌های گلابی چقدر است؟", "steps": [ - "حاصل ضرب تعداد درختان سیب و گلابی را محاسبه می‌کنیم: ۴ × ۳ = ۱۲.", - "تنها ترکیب ممکن برای این مسئله، ۴ و ۳ است.", - "بنابراین، بزرگ‌ترین حاصل ضرب همان ۱۲ است.", - "✅ جواب: 12" + "تعداد سیب ۴ و گلابی ۳ است.", + "۴ × ۳ = ۱۲.", + "✅ جواب: ۱۲" ] }, { @@ -13563,7 +13439,8 @@ "introText": "برای محاسبه محیط مربع، طول یک ضلع را در ۴ ضرب کنید.", "example": "محیط مربعی را که هر ضلع آن ۱۰ سانتی‌متر است حساب کنید.", "steps": [ - "۱۰ × ۴ = ۴۰ سانتی‌متر" + "۱۰ × ۴ = ۴۰ سانتی‌متر", + "✅ جواب: ۴۰ سانتی‌متر" ], "figures": [ { @@ -13677,7 +13554,8 @@ "steps": [ "ابتدا ۱۲ را به ۱۰ و ۲۳ را به ۲۰ گرد می‌کنیم.", "سپس ۱۰ × ۲۰ = ۲۰۰.", - "بنابراین این دبستان به طور تقریبی ۲۰۰ دانش‌آموز دارد." + "بنابراین این دبستان به طور تقریبی ۲۰۰ دانش‌آموز دارد.", + "✅ جواب: حدود ۲۰۰ دانش‌آموز" ] } ] @@ -13981,7 +13859,8 @@ "عدد بعدی: ۱۵ + ۵ = ۲۰", "عدد بعدی: ۲۰ + ۵ = ۲۵", "عدد بعدی: ۲۵ + ۵ = ۳۰", - "پس الگو ادامه دارد با اعداد ۲۰، ۲۵، ۳۰." + "پس الگو ادامه دارد با اعداد ۲۰، ۲۵، ۳۰.", + "✅ جواب: ۲۰ ، ۲۵ ، ۳۰" ], "figures": [ { @@ -14909,7 +14788,8 @@ "steps": [ "نسبت بین اعداد متوالی را پیدا می‌کنیم: 2 ÷ 1 = 2، 4 ÷ 2 = 2، 8 ÷ 4 = 2، 16 ÷ 8 = 2.", "چون نسبت ثابت 2 است، عدد بعدی را با ضرب عدد 16 در 2 به دست می‌آوریم: 16 × 2 = 32.", - "بنابراین، ادامه الگو به صورت 32، 64، 128، ... خواهد بود." + "بنابراین، ادامه الگو به صورت 32، 64، 128، ... خواهد بود.", + "✅ جواب: ۳۲ ، ۶۴ ، ۱۲۸" ], "figures": [ { @@ -15782,7 +15662,8 @@ "introText": "برای رسم شکل بعدی، قانون ماشین را که معمولاً ضرب یا تقسیم تعداد اشکال است، شناسایی کنید. سپس تعداد اشکال را با توجه به قانون داده شده محاسبه و شکل را رسم کنید.", "example": "عدد ورودی ۵ است و ماشین ضرب در ۲ انجام می‌دهد. عدد خروجی را پیدا کنید.", "steps": [ - "عدد خروجی = ۵ × ۲ = ۱۰" + "عدد خروجی = ۵ × ۲ = ۱۰", + "✅ جواب: ۱۰" ] }, { @@ -16373,12 +16254,10 @@ { "title": "تخمین قیمت و مقایسه اعداد", "introText": "1. قیمت هر وسیله را به صورت تقریبی در نظر بگیرید.\n2. قیمت‌ها را با هم مقایسه کنید.\n3. نتیجه را به صورت عددی یا بازه تقریبی بیان کنید.", - "example": "یک کتاب ۲۵۰۰۰ تومان و یک دفتر ۱۲۰۰۰ تومان قیمت دارند. اگر بخواهیم قیمت تقریبی این دو وسیله را با هم مقایسه کنیم، قیمت کتاب را ۲۵۰۰۰ و قیمت دفتر را ۱۲۰۰۰ در نظر می‌گیریم. حالا می‌خواهیم ببینیم مجموع این دو قیمت چقدر می‌شود. برای این کار، ۲۵۰۰۰ را به ۱۲۰۰۰ اضافه می‌کنیم. پس ۲۵۰۰۰ + ۱۲۰۰۰ = ۳۷۰۰۰ تومان. حالا می‌توانیم بگوییم که مجموع قیمت تقریبی این دو وسیله ۳۷۰۰۰ تومان است.", + "example": "قیمت یک کتاب ۲۵۰۰۰ تومان و قیمت یک دفتر ۱۲۰۰۰ تومان است. مجموع قیمت این دو چقدر است؟", "steps": [ - "قیمت کتاب: 25000 تومان", - "قیمت دفتر: 12000 تومان", - "جمع قیمت‌ها: 25000 + 12000 = 37000 تومان", - "✅ جواب: 37000" + "۲۵۰۰۰ + ۱۲۰۰۰ = ۳۷۰۰۰.", + "✅ جواب: ۳۷٬۰۰۰ تومان" ] }, { @@ -18657,9 +18536,9 @@ { "title": "مسئله کاربردی با کسرها و مقایسه تعداد", "introText": "برای حل مسئله کاربردی با کسرها، ابتدا تعداد کل افراد یا اشیاء را در نظر می‌گیریم. سپس با ضرب تعداد کل در کسر داده شده، تعداد مورد نظر را به دست می‌آوریم. در نهایت تعدادها را با هم مقایسه می‌کنیم و نتیجه را بیان می‌کنیم.", - "example": "۳/۴ از ۲۰ دانش‌آموز را نیم کلاس شنا می‌کنند. چند نفرند؟", + "example": "۳/۴ از ۲۰ دانش‌آموز شنا می‌کنند. چند نفرند؟", "steps": [ - "۲۰ ÷ ۴ = ۵.", + "۲۰ ÷ ۴ = ۵ (یک‌چهارم).", "۳ × ۵ = ۱۵.", "✅ جواب: ۱۵ نفر" ], @@ -19587,12 +19466,12 @@ { "title": "کامل کردن جدول ضرب با استفاده از الگو", "introText": "1. جدول ضرب را بررسی کنید و اعداد داده شده را یادداشت کنید. 2. با استفاده از الگوی ضرب و اعداد موجود، خانه‌های خالی جدول را پر کنید. 3. از خاصیت جابجایی ضرب برای پر کردن خانه‌های باقی‌مانده استفاده کنید.", - "example": "حاصل ضرب 457 × 2 را با استفاده از جدول ارزش مکانی به دست آورید.", + "example": "حاصل ۴۵۷ × ۲ را با تجزیه (جدول ارزش مکانی) به دست آورید.", "steps": [ - "عدد 457 را به صورت 400 + 50 + 7 در نظر می‌گیریم.", - "2 × 400 = 800 3.", - "2 × 50 = 100 4.", - "2 × 7 = 14 5. حال 800 + 100 + 14 = 914 پس حاصل ضرب 457 × 2 برابر 914 است." + "۴۵۷ = ۴۰۰ + ۵۰ + ۷.", + "۲ × ۴۰۰ = ۸۰۰ ، ۲ × ۵۰ = ۱۰۰ ، ۲ × ۷ = ۱۴.", + "۸۰۰ + ۱۰۰ + ۱۴ = ۹۱۴.", + "✅ جواب: ۹۱۴" ] }, { @@ -20701,7 +20580,8 @@ "تعداد کل گلدان‌ها ۳۲ و زمان کار ۸ ساعت است.", "برای یافتن تعداد گلدان ساخته شده در هر ساعت، ۳۲ را بر ۸ تقسیم می‌کنیم.", "۳۲ ÷ ۸ = ۴", - "حسن در هر ساعت ۴ گلدان ساخته است." + "حسن در هر ساعت ۴ گلدان ساخته است.", + "✅ جواب: ۴ گلدان" ], "figures": [ { @@ -21052,7 +20932,8 @@ "ابتدا پول فروش ۷۰۰ کیلوگرم انگور اول را محاسبه می‌کنیم: ۷۰۰ × ۲۳۰۰ = ۱,۶۱۰,۰۰۰ تومان.", "سپس پول فروش ۴۰۰ کیلوگرم انگور دوم را محاسبه می‌کنیم: ۴۰۰ × ۲۷۰۰ = ۱,۰۸۰,۰۰۰ تومان.", "در نهایت این دو مبلغ را جمع می‌کنیم: ۱,۶۱۰,۰۰۰ + ۱,۰۸۰,۰۰۰ = ۲,۶۹۰,۰۰۰ تومان.", - "بنابراین باغدار در مجموع ۲,۶۹۰,۰۰۰ تومان پول می‌گیرد." + "بنابراین باغدار در مجموع ۲,۶۹۰,۰۰۰ تومان پول می‌گیرد.", + "✅ جواب: ۲٬۶۹۰٬۰۰۰ تومان" ] }, { @@ -21468,12 +21349,12 @@ { "title": "تقسیم با باقی‌مانده", "introText": "۱. عدد کل را به دسته‌های مساوی تقسیم می‌کنیم. ۲. تعداد دسته‌های کامل را می‌شماریم. ۳. اگر عدد کل بر عدد دسته‌بندی بخش‌پذیر نباشد، باقی‌مانده‌ای خواهیم داشت که کمتر از عدد دسته است. ۴. باقی‌مانده را به عنوان مقداری که نمی‌توان دسته‌بندی کرد، ثبت می‌کنیم. ۵. رابطه تقسیم را به صورت: مقسوم = (مقسوم علیه × خارج قسمت) + باقی‌مانده می‌نویسیم.", - "example": "می‌خواهیم ۷۲ برگ کاغذ را بین ۳ نفر به طور مساوی تقسیم کنیم. مراحل تقسیم را کامل کنید.", + "example": "می‌خواهیم ۷۲ برگ کاغذ را بین ۳ نفر مساوی تقسیم کنیم. به هر نفر چند برگ می‌رسد؟", "steps": [ - "مرحله اول: ۷۲ برگ را به دو دسته ۲۰ تایی و یک دسته ۱۰ تایی تقسیم می‌کنیم.", - "دو دسته ۲۰ تایی به هر دو نفر می‌رسد و ۱۲ برگ باقی می‌ماند.", - "مرحله دوم: ۱۲ برگ باقی‌مانده را بین ۳ نفر تقسیم می‌کنیم: ۱۲ ÷ ۳ = ۴ برگ برای هر نفر.", - "پس در مجموع به هر نفر ۲۰ + ۴ = ۲۴ برگ می‌رسد." + "۷۲ را به ۶۰ + ۱۲ می‌شکنیم.", + "۶۰ ÷ ۳ = ۲۰ و ۱۲ ÷ ۳ = ۴.", + "۲۰ + ۴ = ۲۴.", + "✅ جواب: ۲۴ برگ" ] }, { @@ -21485,7 +21366,7 @@ "به اندازه ۵ به جلو حرکت می‌کنیم: ۵، ۱۰، ۱۵، ۲۰، ۲۵، ۳۰، ۳۵.", "تعداد گام‌های کامل که برداشتیم ۷ است.", "از ۳۵، ۷ × ۵ = ۳۵ را کم می‌کنیم که باقی‌مانده ۰ می‌شود.", - "✅ جواب: ۷" + "✅ جواب: ۷ دسته و باقی‌مانده ۰" ], "figures": [ { @@ -21546,14 +21427,13 @@ { "title": "تقسیم با مقایسه ضرب‌ها", "introText": "۱. عدد مقسوم علیه را در اعداد مختلف ضرب می‌کنیم تا نزدیک‌ترین ضرب کمتر یا مساوی به عدد مقسوم را پیدا کنیم. ۲. خارج قسمت برابر با عدد ضرب شده است. ۳. باقی‌مانده برابر است با تفاوت عدد مقسوم و حاصل ضرب. ۴. رابطه تقسیم را به صورت: مقسوم = (مقسوم علیه × خارج قسمت) + باقی‌مانده می‌نویسیم.", - "example": "علی ۳۶ را بر ۶ تقسیم می‌کند. او ضرب‌های مختلف ۶ را محاسبه می‌کند و با ۳۶ مقایسه می‌کند. ضرب‌های ۶ عبارتند از: ۶×1=6، ۶×2=12، ۶×3=18، ۶×4=24، ۶×5=30 و ۶×6=36. نزدیک‌ترین ضرب که کمتر یا مساوی ۳۶ است، ۶×6=36 می‌باشد. بنابراین، خارج قسمت برابر با ۶ و باقی‌مانده برابر با ۳۶ - ۳۶ = ۰ است.", + "example": "علی ۳۶ را بر ۶ تقسیم می‌کند. با مقایسهٔ ضرب‌های ۶ با ۳۶ خارج‌قسمت و باقی‌مانده را پیدا کنید.", "steps": [ - "ضرب‌های مختلف ۶ را محاسبه می‌کنیم: ۶×1=6، ۶×2=12، ۶×3=18، ۶×4=24، ۶×5=30 و ۶×6=36.", - "نزدیک‌ترین ضرب که کمتر یا مساوی ۳۶ است، ۶×6=36 می‌باشد.", - "خارج قسمت برابر با ۶ است.", - "باقی‌مانده برابر است با ۳۶ - ۳۶ = ۰.", - "رابطه تقسیم را می‌نویسیم: ۳۶ = (۶ × ۶) + ۰.", - "✅ جواب: 6" + "ضرب‌های ۶: ۶، ۱۲، ۱۸، ۲۴، ۳۰، ۳۶.", + "۶ × ۶ = ۳۶ برابر ۳۶ است.", + "خارج‌قسمت ۶ و باقی‌مانده ۳۶ − ۳۶ = ۰.", + "رابطه: ۳۶ = ۶ × ۶ + ۰.", + "✅ جواب: خارج‌قسمت ۶ و باقی‌مانده ۰" ], "figures": [ { @@ -21837,7 +21717,7 @@ "۵ × ۶ = ۳۰، بنابراین ۳۰ سیب بین ۶ نفر تقسیم می‌شود.", "باقی‌مانده را محاسبه می‌کنیم: ۳۵ - ۳۰ = ۵.", "باقی‌مانده ۵ سیب است که نمی‌توان آن را به طور مساوی بین ۶ نفر تقسیم کرد.", - "✅ جواب: ۵" + "✅ جواب: هر نفر ۵ سیب و ۵ سیب باقی می‌ماند (قابل تقسیم مساوی نیست)" ], "figures": [ { @@ -22688,12 +22568,13 @@ { "title": "تقسیم اعداد بزرگ", "introText": "برای تقسیم اعداد بزرگ، تقسیم را مرحله به مرحله انجام می‌دهیم و باقی‌مانده‌ها را به سمت پایین می‌آوریم تا تقسیم کامل شود.", - "example": "می‌خواهیم ۶۷۵ صندلی را در ردیف‌های ۲۱ تایی بچینیم. چند ردیف صندلی می‌توان چید؟", + "example": "می‌خواهیم ۶۷۵ صندلی را در ردیف‌های ۲۱ تایی بچینیم. چند ردیف کامل می‌شود و چند صندلی می‌ماند؟", "steps": [ - "ابتدا عدد ۶۷۵ را بر ۲۱ تقسیم می‌کنیم.", - "برای حدس خارج قسمت، ۲۱ را تقریباً ۲۰ در نظر می‌گیریم و ۶۷۵ را تقریباً ۶۰۰.", - "۶۰۰ تقسیم بر ۲۰ می‌شود ۳۰، پس حدس می‌زنیم خارج قسمت حدود ۳۰ باشد. تقسیم مرحله‌ای: ۶۷۵ تقسیم بر ۲۱ را شروع می‌کنیم. ۶۰ تا ۲۱ نمی‌توان بدون باز کردن تقسیم کرد، پس ۶۷ دتایی را تقسیم می‌کنیم: ۶۷ تقسیم بر ۲۱ تقریباً ۳ می‌شود (۳×۲۱=۶۳). باقی‌مانده ۴ است. باقی‌مانده ۴۵ را تقسیم بر ۲۱ می‌کنیم: ۴۵ تقسیم بر ۲۱ تقریباً ۲ می‌شو", - "✅ جواب: 32 ردیف و 3 صندلی باقی می‌ماند" + "حدس: ۲۱ ≈ ۲۰ و ۶۷۵ ≈ ۶۰۰ ، پس حدود ۳۰ ردیف.", + "۲۱ × ۳۰ = ۶۳۰ و ۶۷۵ − ۶۳۰ = ۴۵.", + "۴۵ را هم می‌توان ۲ ردیف دیگر کرد: ۲۱ × ۲ = ۴۲ و ۴۵ − ۴۲ = ۳.", + "ردیف‌ها: ۳۰ + ۲ = ۳۲.", + "✅ جواب: ۳۲ ردیف کامل و ۳ صندلی باقی می‌ماند" ] }, { @@ -24592,7 +24473,8 @@ "steps": [ "مرکز نقاله را روی راس زاویه قرار دهید.", "ضلع اول زاویه را روی صفر نقاله تنظیم کنید.", - "عددی که ضلع دوم روی نقاله نشان می‌دهد 60 درجه است. پس اندازه زاویه 60 درجه است." + "عددی که ضلع دوم روی نقاله نشان می‌دهد 60 درجه است. پس اندازه زاویه 60 درجه است.", + "✅ جواب: ۶۰ درجه" ], "figures": [ { @@ -25500,10 +25382,11 @@ { "title": "تبدیل واحدهای زمان", "introText": "برای تبدیل ثانیه به دقیقه، عدد ثانیه را بر ۶۰ تقسیم می‌کنیم. برای تبدیل دقیقه به ثانیه، عدد دقیقه را در ۶۰ ضرب می‌کنیم.", - "example": "مدت زمان زنگ درس ریاضی ۴۵ ثانیه است. آن را به دقیقه و ثانیه بنویسید.", + "example": "مدت یک آهنگ ۴۵ ثانیه است. آن را به دقیقه و ثانیه بنویسید.", "steps": [ - "برای تبدیل ۴۵ ثانیه به دقیقه و ثانیه: ۴۵ ثانیه کمتر از ۶۰ ثانیه است، پس ۰ دقیقه و ۴۵ ثانیه می‌شود.", - "بنابراین مدت زمان زنگ درس ریاضی برابر است با ۰ دقیقه و ۴۵ ثانیه." + "۴۵ ثانیه کمتر از ۶۰ ثانیه است.", + "پس ۰ دقیقه و ۴۵ ثانیه می‌شود.", + "✅ جواب: ۰ دقیقه و ۴۵ ثانیه" ] }, { @@ -25514,7 +25397,8 @@ "زمان شروع: ۷:۵۰", "مدت زمان اضافه شده: ۵۰ دقیقه", "۷:۵۰ + ۵۰ دقیقه = ۸:۴۰", - "پس زمان ۵۰ دقیقه بعد از ۷:۵۰، ساعت ۸:۴۰ است." + "پس زمان ۵۰ دقیقه بعد از ۷:۵۰، ساعت ۸:۴۰ است.", + "✅ جواب: ۸:۴۰" ], "figures": [ { @@ -25804,7 +25688,8 @@ "طول کل نوار کاغذی ۱ متر است و آن را به ۳ قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم.", "طول هر قسمت برابر است با ۱/۳ متر.", "بنابراین طول یک قسمت کوچک ۱/۳ متر است.", - "طول یک متر برابر است با ۳ برابر طول یک قسمت کوچک." + "طول یک متر برابر است با ۳ برابر طول یک قسمت کوچک.", + "✅ جواب: ۱/۳ متر؛ یک متر ۳ برابر آن است" ], "figures": [ { @@ -25847,13 +25732,11 @@ { "title": "محاسبه طول پاره‌خط‌ها با استفاده از جمع و تفریق", "introText": "برای به‌دست آوردن طول پاره‌خط مورد نظر، ابتدا طول بخش‌های تشکیل‌دهنده آن را با هم جمع یا تفریق می‌کنیم. اگر طول کل پاره‌خط داده شده باشد، می‌توان با جمع طول بخش‌های کوچکتر به طول کل رسید یا با تفریق طول بخش‌های معلوم، طول بخش مجهول را پیدا کرد.", - "example": "طول پاره‌خط ب ج برابر است با طول ۷ سانتی‌متر و طول ۲ سانتی‌متر. اگر طول پاره‌خط ب ج را از طول کل ۱۵ سانتی‌متر کم کنیم، طول بخش مجهول را به دست می‌آوریم. طول بخش مجهول را حساب کنید.", + "example": "پاره‌خط BC ۱۵ سانتی‌متر است و از سه بخش ساخته شده: دو بخش ۷ و ۲ سانتی‌متری و یک بخش مجهول. طول بخش مجهول را حساب کنید.", "steps": [ - "طول کل پاره‌خط ب ج برابر است با ۱۵ سانتی‌متر.", - "طول بخش‌های معلوم برابر است با ۷ سانتی‌متر و ۲ سانتی‌متر.", - "جمع طول بخش‌های معلوم: ۷ + ۲ = ۹ سانتی‌متر.", - "طول بخش مجهول را با تفریق محاسبه می‌کنیم: ۱۵ - ۹ = ۶ سانتی‌متر.", - "✅ جواب: 6" + "بخش‌های معلوم: ۷ + ۲ = ۹.", + "بخش مجهول: ۱۵ − ۹ = ۶.", + "✅ جواب: ۶ سانتی‌متر" ] }, { @@ -26435,13 +26318,11 @@ { "title": "محاسبه تعداد طناب‌های درست شده در گره‌ها", "introText": "1. نقطه شروع گره را مشخص کنید.\n2. مسیر طناب را از نقطه شروع دنبال کنید.\n3. هر بار که طناب از روی خودش عبور می‌کند، یک طناب درست شده محسوب می‌شود.\n4. تعداد کل طناب‌ها را با دقت بشمارید.\n5. نتیجه را یادداشت کنید.", - "example": "در یک گره، طناب از نقطه شروع عبور کرده و به سمت راست می‌رود. سپس طناب دوباره از روی خودش عبور کرده و به سمت چپ می‌رود. بعد از آن، طناب دوباره از روی خودش عبور کرده و به سمت راست می‌رود. در نهایت، طناب به سمت پایین می‌رود. چند طناب در این گره درست شده است؟", + "example": "طنابی ۷۵ سانتی‌متری را به ۳ قطعهٔ مساوی می‌بریم. طول هر قطعه چند سانتی‌متر است؟", "steps": [ - "طناب از نقطه شروع به سمت راست می‌رود و یک طناب درست می‌شود.", - "طناب دوباره از روی خودش عبور کرده و به سمت چپ می‌رود و یک طناب دیگر درست می‌شود.", - "طناب دوباره از روی خودش عبور کرده و به سمت راست می‌رود و یک طناب دیگر درست می‌شود.", - "طناب به سمت پایین می‌رود و هیچ طناب جدیدی درست نمی‌شود.", - "✅ جواب: 3" + "۷۵ ÷ ۳.", + "۳ × ۲۵ = ۷۵.", + "✅ جواب: ۲۵ سانتی‌متر" ] }, { @@ -26932,13 +26813,12 @@ { "title": "محاسبه طول کل با استفاده از عدد مخلوط", "introText": "1. عدد مخلوط را به صورت جمع عدد صحیح و کسر بنویسید. 2. عدد صحیح را در نظر بگیرید. 3. کسر را به صورت کسری از واحد طول بنویسید. 4. طول کل را با جمع عدد صحیح و کسر به دست آورید.", - "example": "یک نوار کاغذی به طول ۲ متر را به قسمت‌های مساوی تقسیم کردیم. نمونه طول هر تکه را با یک کسر یا عدد مخلوط نشان دهید. نوار اول به ۴ قسمت تقسیم شده و نوار دوم به ۳ قسمت تقسیم شده است. طول نوار اول کامل و ۲ قسمت از نوار دوم رنگ شده است.", + "example": "دو نوار یک‌متری داریم؛ نوار اول به ۴ قسمت مساوی و نوار دوم به ۳ قسمت مساوی تقسیم شده است. نوار اول کامل و ۲ قسمت از نوار دوم رنگ شده است. طول بخش رنگی را به صورت عدد مخلوط بنویسید.", "steps": [ - "نوار اول ۴ قسمت دارد که هر قسمت 1/4 متر است.", - "نوار دوم ۳ قسمت دارد که هر قسمت 1/3 متر است.", - "طول کل نوار اول برابر 1 متر است (4/4 = 1).", - "طول رنگ شده در نوار دوم 2 قسمت است که برابر 2/3 متر است.", - "بنابراین عدد مخلوط برابر است با 1 و 2/3 متر." + "نوار اول کامل: ۱ متر.", + "نوار دوم: هر قسمت ۱/۳ متر است، پس ۲ قسمت ۲/۳ متر.", + "جمع: ۱ + ۲/۳ = ۱ و ۲/۳.", + "✅ جواب: ۱ و ۲/۳ متر" ], "figures": [ { @@ -26949,7 +26829,7 @@ "title": "نوار اول", "shape": "rect", "parts": 4, - "shaded": 1 + "shaded": 4 } }, { @@ -29206,11 +29086,11 @@ { "title": "تشخیص عدد اعشاری از روی شکل‌های شبکه‌ای", "introText": "برای تشخیص عدد اعشاری از روی شکل شبکه‌ای، تعداد خانه‌های رنگ شده را بر کل خانه‌ها تقسیم می‌کنیم. عدد حاصل به صورت کسر یا عدد اعشاری نشان‌دهنده مقدار رنگ شده است.", - "example": "عدد 3/1 و 2/7 را روی محور عددی مقایسه کنید و مشخص کنید کدام بزرگ‌تر است.", + "example": "اعداد ۳٫۱ و ۲٫۷ را روی محور عددی مقایسه کنید و مشخص کنید کدام بزرگ‌تر است.", "steps": [ - "عدد 3/1 روی محور عددی سمت راست عدد 2/7 قرار دارد.", - "بنابراین 3/1 > 2/7 است.", - "✅ جواب: 3/1 > 2/7 (یعنی 3.1 بزرگ‌تر از 2.7 است)" + "۳٫۱ روی محور سمت راست ۲٫۷ قرار دارد.", + "پس ۳٫۱ > ۲٫۷.", + "✅ جواب: ۳٫۱ > ۲٫۷" ] }, { @@ -30720,11 +30600,10 @@ { "title": "بررسی موازی بودن خطوط", "introText": "برای بررسی موازی بودن دو خط، ابتدا زاویه‌های تشکیل شده توسط خطوط و یک خط سوم (مانند خط عمود یا خط موازی دیگر) را بررسی می‌کنیم. اگر زاویه‌ها با هم برابر باشند یا زاویه قائمه باشند و خطوط در یک صفحه باشند، خطوط موازی هستند.", - "example": "دو خط A و B در یک صفحه قرار دارند. خط A با خط افقی زاویه ۴۵ درجه می‌سازد و خط B نیز با همان خط افقی زاویه ۴۵ درجه می‌سازد. آیا خطوط A و B با هم موازی‌اند؟", + "example": "دو خط A و B را یک خط افقی قطع کرده است و زاویه‌های متناظر هر دو ۴۵ درجه‌اند. آیا A و B موازی‌اند؟", "steps": [ - "زاویه خط A با خط افقی ۴۵ درجه است.", - "زاویه خط B با خط افقی نیز ۴۵ درجه است.", - "چون زاویه‌های دو خط با خط افقی برابرند، بنابراین خطوط A و B موازی هستند.", + "زاویه‌های متناظر برابرند: ۴۵ = ۴۵.", + "وقتی زاویه‌های متناظر برابر باشند، دو خط موازی‌اند.", "✅ جواب: بله" ], "figures": [ @@ -30732,53 +30611,73 @@ "where": "example", "diagram": { "kind": "plane", - "title": "موازی بودن خطوط", + "title": "دو خط و یک مورب افقی", "axes": false, "points": { - "A": [ + "P": [ 0.0, 0.0 ], - "B": [ - 4.0, + "Q": [ + 9.0, 0.0 ], - "C": [ - 2.0, - 2.0 + "a1": [ + 1.0, + 0.0 ], - "D": [ - 2.0, - -2.0 + "a2": [ + 4.0, + 3.0 + ], + "b1": [ + 5.0, + 0.0 + ], + "b2": [ + 8.0, + 3.0 ] }, "items": [ { "type": "line", "through": [ - "A", - "B" - ] + "P", + "Q" + ], + "color": "gray" }, { "type": "line", "through": [ - "C", - "D" - ] + "a1", + "a2" + ], + "color": "blue" + }, + { + "type": "line", + "through": [ + "b1", + "b2" + ], + "color": "red" }, { "type": "angle", - "vertex": "A", - "from": "B", - "to": "C", + "vertex": "a1", + "from": "Q", + "to": "a2", + "arcs": 1, "label": "۴۵°" }, { "type": "angle", - "vertex": "B", - "from": "A", - "to": "D", + "vertex": "b1", + "from": "Q", + "to": "b2", + "arcs": 1, "label": "۴۵°" } ], @@ -32230,14 +32129,12 @@ { "title": "تعیین تعداد ارتفاع‌های متوازی‌الاضلاع", "introText": "در متوازی‌الاضلاع، از هر رأس می‌توان خط عمود بر ضلع مقابل رسم کرد که ارتفاع نام دارد. تعداد ارتفاع‌ها برابر تعداد رأس‌ها است. برای رسم ارتفاع‌ها، از رأس‌ها خط عمود بر ضلع مقابل رسم می‌کنیم و در صورت نیاز ضلع‌ها را ادامه می‌دهیم.", - "example": "در یک متوازی‌الاضلاع ABCD، از رأس A خط عمود بر ضلع BC رسم می‌کنیم. سپس از رأس B خط عمود بر ضلع AD رسم می‌کنیم. همچنین از رأس C خط عمود بر ضلع DA رسم می‌کنیم و در نهایت از رأس D خط عمود بر ضلع AB رسم می‌کنیم. حالا تعداد ارتفاع‌های رسم شده را تعیین کنید.", + "example": "یک متوازی‌الاضلاع چند ارتفاع متفاوت (از نظر طول) دارد؟", "steps": [ - "از رأس A ارتفاعی به ضلع BC رسم می‌کنیم.", - "از رأس B ارتفاعی به ضلع AD رسم می‌کنیم.", - "از رأس C ارتفاعی به ضلع DA رسم می‌کنیم.", - "از رأس D ارتفاعی به ضلع AB رسم می‌کنیم.", - "تعداد ارتفاع‌ها برابر با تعداد رأس‌ها است. در اینجا ۴ رأس داریم.", - "✅ جواب: 4" + "متوازی‌الاضلاع دو جفت ضلع موازی دارد.", + "برای هر جفت ضلع موازی یک ارتفاع داریم (فاصلهٔ دو ضلع موازی).", + "ارتفاع‌های هر جفت با هم برابرند.", + "✅ جواب: ۲ ارتفاع متفاوت" ], "figures": [ { @@ -32308,12 +32205,11 @@ { "title": "رسم ارتفاع‌های متوازی‌الاضلاع از رأس‌های مختلف", "introText": "برای رسم ارتفاع‌های متوازی‌الاضلاع از رأس‌های مختلف، از هر رأس خط عمود بر ضلع مقابل رسم می‌کنیم. اگر ضلع مقابل کوتاه باشد، آن را ادامه می‌دهیم تا خط عمود رسم شود. ارتفاع‌ها خطوط عمودی از رأس‌ها به ضلع مقابل هستند.", - "example": "در یک متوازی‌الاضلاع ABCD، طول ضلع AB برابر ۸ سانتی‌متر و طول ضلع CD برابر ۶ سانتی‌متر است. از رأس A یک خط عمود به ضلع CD رسم کنید. اگر فاصله رأس A تا ضلع CD برابر ۵ سانتی‌متر باشد، ارتفاع متوازی‌الاضلاع از رأس A چقدر است؟", + "example": "در متوازی‌الاضلاع ABCD ضلع AB برابر ۸ سانتی‌متر است. فاصلهٔ AB از ضلع مقابلش CD برابر ۵ سانتی‌متر است. ارتفاع نظیر ضلع AB و مساحت متوازی‌الاضلاع را بنویسید.", "steps": [ - "ارتفاع از رأس A به ضلع CD برابر با فاصله رأس A تا ضلع CD است.", - "فاصله رأس A تا ضلع CD برابر ۵ سانتی‌متر است.", - "بنابراین، ارتفاع متوازی‌الاضلاع از رأس A برابر ۵ سانتی‌متر است.", - "✅ جواب: 5" + "ارتفاع فاصلهٔ دو ضلع موازی است: ۵ سانتی‌متر.", + "مساحت = قاعده × ارتفاع = ۸ × ۵ = ۴۰.", + "✅ جواب: ارتفاع ۵ سانتی‌متر و مساحت ۴۰ سانتی‌متر مربع" ], "figures": [ { @@ -33406,13 +33302,11 @@ { "title": "رسم و تحلیل مثلث‌های مساوی و چند حالت چهارضلعی", "introText": "دو مثلث مساوی را با اندازه‌های داده شده رسم کنید. سپس با اتصال ضلع‌ها و بررسی زوایا، چند حالت مختلف چهارضلعی را رسم و نام‌گذاری کنید.", - "example": "دو مثلث مساوی با اضلاع ۵ سانتی‌متر، ۵ سانتی‌متر و ۶ سانتی‌متر رسم کنید. سپس این دو مثلث را به گونه‌ای بچسبانید که یک ضلع مشترک داشته باشند و چهارضلعی جدیدی به وجود آید.", + "example": "دو مثلث مساوی با ضلع‌های ۵ و ۵ و ۶ سانتی‌متر را طوری کنار هم می‌گذاریم که ضلع ۶ سانتی‌متری مشترک باشد و مثلث‌ها قرینه‌ی هم باشند. چهارضلعی حاصل چه نام دارد؟", "steps": [ - "مثلث اول را با اضلاع ۵، ۵ و ۶ سانتی‌متر رسم می‌کنیم.", - "مثلث دوم را با همان اندازه‌ها و در کنار مثلث اول رسم می‌کنیم.", - "یک ضلع از مثلث اول و مثلث دوم را به هم وصل می‌کنیم تا چهارضلعی جدیدی به وجود آید.", - "زاویه‌های چهارضلعی را بررسی می‌کنیم و نام‌گذاری می‌کنیم.", - "✅ جواب: چهارضلعی" + "اضلاع بیرونی چهارضلعی همه ۵ سانتی‌متر می‌شوند.", + "چهارضلعی با ۴ ضلع برابر لوزی است.", + "✅ جواب: لوزی" ], "figures": [ { @@ -34307,75 +34201,11 @@ { "title": "اندازه‌گیری زاویه‌ها", "introText": "برای اندازه‌گیری زاویه، ابتدا نوع زاویه را مشخص کنید (تند، باز، یا راست). سپس با استفاده از زاویه‌های مکمل یا زاویه‌های متقابل، مقدار زاویه مجهول را محاسبه کنید. اگر زاویه‌های مکمل یا متقابل داده شده باشند، از رابطه‌های زاویه‌ها استفاده کنید تا مقدار زاویه مجهول را بیابید.", - "example": "زاویه A و زاویه B مکمل یکدیگر هستند و مقدار زاویه A برابر با 35 درجه است. مقدار زاویه B را پیدا کنید.", + "example": "زاویه‌های A و B متمم یکدیگرند (مجموعشان ۹۰ درجه) و زاویه‌ی A برابر ۳۵ درجه است. زاویه‌ی B چقدر است؟", "steps": [ - "زاویه‌های مکمل مجموعشان برابر با 90 درجه است.", - "بنابراین، زاویه A + زاویه B = 90 درجه.", - "35 + زاویه B = 90 درجه.", - "زاویه B = 90 درجه - 35 درجه.", - "زاویه B = 55 درجه.", - "✅ جواب: 55" - ], - "figures": [ - { - "where": "example", - "diagram": { - "kind": "plane", - "title": "مکمل خطی", - "axes": false, - "points": { - "A": [ - -3.0, - 0.0 - ], - "O": [ - 0.0, - 0.0 - ], - "B": [ - 3.0, - 0.0 - ], - "C": [ - 2.048, - 1.434 - ] - }, - "items": [ - { - "type": "segment", - "from": "A", - "to": "B", - "color": "blue" - }, - { - "type": "segment", - "from": "O", - "to": "C", - "color": "red" - }, - { - "type": "angle", - "vertex": "O", - "from": "B", - "to": "C", - "label": "۳۵°" - }, - { - "type": "angle", - "vertex": "O", - "from": "C", - "to": "A", - "label": "؟" - }, - { - "type": "point", - "point": "O" - } - ], - "grid": false - } - } + "A + B = ۹۰.", + "۳۵ + B = ۹۰ پس B = ۹۰ − ۳۵ = ۵۵.", + "✅ جواب: ۵۵ درجه" ] }, { @@ -35532,13 +35362,12 @@ { "title": "احتمال آمدن رو یا پشت سکه", "introText": "1. تعداد کل حالت‌های ممکن را مشخص کنید (مثلاً دو حالت: رو یا پشت). 2. تعداد حالت مطلوب را تعیین کنید (مثلاً آمدن رو یا پشت). 3. احتمال را به صورت نسبت تعداد حالت مطلوب به تعداد کل حالت‌ها بیان کنید. 4. اگر چند بار آزمایش انجام می‌شود، تعداد دفعات آمدن رو یا پشت را ثبت کنید و با احتمال نظری مقایسه کنید.", - "example": "اگر یک سکه را بیندازیم، احتمال آمدن رو یا پشت را محاسبه کنید. تعداد کل حالت‌های ممکن ۲ است: رو و پشت. اگر بخواهیم احتمال آمدن رو را محاسبه کنیم، تعداد حالت مطلوب ۱ است (رو). بنابراین، احتمال آمدن رو برابر است با نسبت تعداد حالت مطلوب به تعداد کل حالت‌ها.", + "example": "یک سکه را می‌اندازیم. احتمال آمدن «رو» چقدر است؟", "steps": [ - "تعداد کل حالت‌های ممکن: ۲ (رو و پشت)", - "تعداد حالت مطلوب برای آمدن رو: ۱", - "احتمال آمدن رو = تعداد حالت مطلوب / تعداد کل حالت‌ها = ۱ / ۲", - "احتمال آمدن رو برابر است با ۰.۵ یا ۵۰ درصد.", - "✅ جواب: 0.5" + "حالت‌های ممکن: رو و پشت (۲ حالت).", + "حالت مطلوب: رو (۱ حالت).", + "احتمال = ۱/۲ = ۰٫۵.", + "✅ جواب: ۱/۲" ], "figures": [ { @@ -36304,10 +36133,11 @@ { "title": "ادامه دادن الگوهای عددی", "introText": "1. الگوی داده شده را بررسی کنید و تفاوت بین اعداد را پیدا کنید. 2. با توجه به تفاوت، اعداد بعدی را بنویسید. 3. الگو را تا تعداد خواسته شده ادامه دهید.", - "example": "الگوی ۲ ، ۴ ، ۶: رابطه؟", + "example": "الگوی ۲ ، ۴ ، ۶ را ادامه دهید و رابطهٔ آن را بگویید.", "steps": [ - "۲ تا ۲ تا.", - "✅ جواب: ۸ ، ۱۰" + "هر عدد ۲ تا از عدد قبلی بیشتر است.", + "۶ + ۲ = ۸ و ۸ + ۲ = ۱۰.", + "✅ جواب: ۸ ، ۱۰ (هر بار ۲ تا اضافه می‌شود)" ], "figures": [ { @@ -36786,7 +36616,8 @@ "جمع ثانیه‌ها: ۲۸ + ۴۳ = ۷۱ ثانیه. چون ۷۱ ثانیه بیشتر از ۶۰ است، ۶۰ ثانیه را به ۱ دقیقه تبدیل می‌کنیم و ۱۱ ثانیه باقی می‌ماند.", "جمع دقیقه‌ها: ۱۲ + ۴۰ + ۱ (دقیقه اضافی از ثانیه‌ها) = ۵۳ دقیقه.", "جمع ساعت‌ها: ۳ + ۸ = ۱۱ ساعت.", - "نتیجه نهایی: ۱۱ ساعت ۵۳ دقیقه ۱۱ ثانیه." + "نتیجه نهایی: ۱۱ ساعت ۵۳ دقیقه ۱۱ ثانیه.", + "✅ جواب: ۱۱ ساعت ۵۳ دقیقه ۱۱ ثانیه" ] }, { @@ -37045,7 +36876,8 @@ "بعد از 30 دقیقه: 2:00 (30 + 30 = 60 دقیقه، ساعت افزایش می‌یابد)", "بعد از 60 دقیقه: 2:30", "بعد از 90 دقیقه: 3:00", - "الگو: هر بار 30 دقیقه به زمان اضافه می‌شود و زمان‌ها به صورت 1:30، 2:00، 2:30، 3:00 ادامه می‌یابند." + "الگو: هر بار 30 دقیقه به زمان اضافه می‌شود و زمان‌ها به صورت 1:30، 2:00، 2:30، 3:00 ادامه می‌یابند.", + "✅ جواب: ۲:۰۰ ، ۲:۳۰ ، ۳:۰۰ ، ..." ] }, { @@ -37161,13 +36993,11 @@ { "title": "مقایسه سن دو نفر با سال تولد متفاوت", "introText": "1. سال تولد هر فرد را یادداشت می‌کنیم.\n2. سال جاری را مشخص می‌کنیم.\n3. سن هر فرد را با کم کردن سال تولد از سال جاری محاسبه می‌کنیم.\n4. سن‌ها را مقایسه می‌کنیم تا فرد بزرگ‌تر مشخص شود.", - "example": "علی در سال 1380 و سارا در سال 1385 به دنیا آمده‌اند. کدام یک بزرگ‌تر است؟ سن هرکدام را پیدا کنید.", + "example": "علی در سال ۱۳۸۰ و سارا در سال ۱۳۸۵ به دنیا آمده‌اند. کدام‌یک بزرگ‌تر است و اختلاف سن آن‌ها چند سال است؟", "steps": [ - "سال جاری را 1403 در نظر می‌گیریم.", - "سن علی را با کم کردن سال تولدش از سال جاری محاسبه می‌کنیم: 1403 - 1380 = 23 سال.", - "سن سارا را با کم کردن سال تولدش از سال جاری محاسبه می‌کنیم: 1403 - 1385 = 18 سال.", - "سن علی (23 سال) بیشتر از سن سارا (18 سال) است. بنابراین علی بزرگ‌تر است.", - "✅ جواب: علی" + "هرکس زودتر به دنیا آمده باشد بزرگ‌تر است؛ ۱۳۸۰ زودتر از ۱۳۸۵ است.", + "اختلاف سن: ۱۳۸۵ − ۱۳۸۰ = ۵.", + "✅ جواب: علی بزرگ‌تر است؛ ۵ سال اختلاف سن دارند" ] } ] @@ -38555,7 +38385,8 @@ "steps": [ "عدد صحیح 2 را در مخرج 2 ضرب می‌کنیم: 2 × 2 = 4", "سپس صورت کسر 1 را به آن اضافه می‌کنیم: 4 + 1 = 5", - "کسر معادل عدد مخلوط برابر است با 5/2." + "کسر معادل عدد مخلوط برابر است با 5/2.", + "✅ جواب: ۵/۲" ], "figures": [ { @@ -38918,14 +38749,12 @@ { "title": "مقایسه کسرها", "introText": "برای مقایسه دو کسر، ابتدا مخرج مشترک پیدا کنید یا کسرها را به صورت اعشاری تبدیل کنید. سپس صورت‌ها را با هم مقایسه کنید. اگر صورت کسر اول بزرگ‌تر بود، آن کسر بزرگ‌تر است و بالعکس. اگر صورت‌ها برابر بودند، کسرها برابرند.", - "example": "کسر 1/2 به کدام یک از کسرهای زیر نزدیک‌تر است؟ کسرهای داده شده عبارتند از: 20/25، 12/16، 5/8، 2/1، 7/8.", + "example": "کسر ۱/۲ به کدام‌یک از کسرهای ۲۰/۲۵ ، ۱۲/۱۶ ، ۵/۸ ، ۲/۱ و ۷/۸ نزدیک‌تر است؟", "steps": [ - "ابتدا کسر 1/2 را به صورت اعشاری تبدیل می‌کنیم: 0.5", - "کسرهای داده شده را به صورت اعشاری تبدیل می‌کنیم:", - "20/25 = 0.8", - "12/16 = 0.75", - "5/8 = 0.625", - "2/1 = 2 7/8 = 0.875 کسر 5/8 که برابر 0.625 است به 0.5 نزدیک‌تر از بقیه است. بنابراین کسر 5/8 به کسر 1/2 نزدیک‌تر است." + "۱/۲ = ۰٫۵.", + "۲۰/۲۵ = ۰٫۸ ، ۱۲/۱۶ = ۰٫۷۵ ، ۵/۸ = ۰٫۶۲۵ ، ۲/۱ = ۲ ، ۷/۸ = ۰٫۸۷۵.", + "فاصله از ۰٫۵: ۰٫۳ ، ۰٫۲۵ ، ۰٫۱۲۵ ، ۱٫۵ ، ۰٫۳۷۵؛ کم‌ترین فاصله ۰٫۱۲۵ است.", + "✅ جواب: ۵/۸" ], "figures": [ { @@ -38938,17 +38767,6 @@ "parts": 2, "shaded": 1 } - }, - { - "where": "step", - "index": 3, - "diagram": { - "kind": "fraction", - "title": "کسر 12/16", - "shape": "circle", - "parts": 16, - "shaded": 12 - } } ] }, @@ -39115,7 +38933,8 @@ "کسر نامتعارف 17/12 را به عدد مخلوط تبدیل می‌کنیم:", "17 ÷ 12 = 1 باقی‌مانده 5", "پس عدد مخلوط برابر است با 1 و 5/12", - "بنابراین مقدار پیاده روی سعید 1 و 5/12 کیلومتر است." + "بنابراین مقدار پیاده روی سعید 1 و 5/12 کیلومتر است.", + "✅ جواب: ۱ و ۵/۱۲ کیلومتر" ], "figures": [ { @@ -39581,13 +39400,12 @@ { "title": "ضرب عدد صحیح در کسر", "introText": "برای ضرب یک عدد صحیح در یک کسر، ابتدا عدد صحیح را در صورت کسر ضرب می‌کنیم و سپس حاصل را بر مخرج کسر تقسیم می‌کنیم. همچنین می‌توانیم با استفاده از محور اعداد، تعداد گام‌های کسر را به تعداد عدد صحیح برداریم و جمع‌های متوالی کسر را انجام دهیم.", - "example": "حاصل 8 × 2/5 را به هر روشی که می‌دانید، به‌دست آورید.", + "example": "حاصل ۸ × ۲/۵ را به‌دست آورید.", "steps": [ - "عدد صحیح = 8", - "کسر = 2/5", - "ابتدا 8 را در صورت کسر ضرب می‌کنیم: 8 × 2 = 16", - "سپس حاصل را بر مخرج کسر تقسیم می‌کنیم: 16 ÷ 5 = 3.2", - "پس حاصل 8 × 2/5 برابر 3.2 است." + "۸ را در صورت کسر ضرب می‌کنیم: ۸ × ۲ = ۱۶.", + "مخرج ۵ می‌ماند: ۱۶/۵.", + "۱۶ ÷ ۵ = ۳ با باقی‌مانده ۱، پس ۱۶/۵ = ۳ و ۱/۵ (برابر ۳٫۲).", + "✅ جواب: ۳ و ۱/۵" ], "figures": [ { @@ -40000,7 +39818,8 @@ "example": "اگر ۳/۴ یک زمین متعلق به محسن باشد و او بخواهد نصف زمین خود را گندم بکارد، چه کسری از کل زمین گندم کاشته می‌شود؟", "steps": [ "نصف زمین محسن را محاسبه می‌کنیم: 1/2 × 3/4 = (1×3)/(2×4) = 3/8", - "بنابراین، 3/8 از کل زمین گندم کاشته می‌شود." + "بنابراین، 3/8 از کل زمین گندم کاشته می‌شود.", + "✅ جواب: ۳/۸" ], "figures": [ { @@ -40168,7 +39987,8 @@ "steps": [ "برای محاسبه مقدار نان مصرف شده، کسر ۲/۳ را در عدد ۴ ضرب می‌کنیم:", "۲/۳ × ۴ = (2 × 4) ÷ 3 = 8 ÷ 3 = 2 و ۲/۳", - "پس مقدار نان مصرف شده برابر ۲ و ۲/۳ عدد نان است." + "پس مقدار نان مصرف شده برابر ۲ و ۲/۳ عدد نان است.", + "✅ جواب: ۲ و ۲/۳ نان" ], "figures": [ { @@ -40441,7 +40261,8 @@ "introText": "برای تقسیم یک کسر بر عدد صحیح، کسر را در معکوس عدد صحیح ضرب می‌کنیم. به عنوان مثال، برای تقسیم کسر 1/4 بر 3، معکوس 3 برابر 1/3 است و بنابراین 1/4 ÷ 3 = 1/4 × 1/3 = 1/12.", "example": "یک کسر ۲/۵ را به ۴ قسمت مساوی تقسیم کرده‌ایم. هر یک از این قسمت‌ها چه کسری از کسر ۲/۵ است؟", "steps": [ - "۲/۵ ÷ ۴ = ۲/۵ × ۱/۴ = (۲ × ۱) / (۵ × ۴) = ۲/۲۰ = ۱/۱۰" + "۲/۵ ÷ ۴ = ۲/۵ × ۱/۴ = (۲ × ۱) / (۵ × ۴) = ۲/۲۰ = ۱/۱۰", + "✅ جواب: ۱/۱۰" ], "figures": [ { @@ -40542,7 +40363,8 @@ "introText": "هر تقسیم کسر بر عدد صحیح را به ضرب کسر در معکوس عدد صحیح تبدیل کنید. سپس صورت‌ها را در هم ضرب کنید و مخرج‌ها را در هم ضرب کنید. در نهایت کسر حاصل را ساده کنید.", "example": "محاسبه کنید: ۲/۳ ÷ ۶", "steps": [ - "۲/۳ ÷ ۶ = ۲/۳ × ۱/۶ = (۲ × ۱) / (۳ × ۶) = ۲/۱۸ = ۱/۹" + "۲/۳ ÷ ۶ = ۲/۳ × ۱/۶ = (۲ × ۱) / (۳ × ۶) = ۲/۱۸ = ۱/۹", + "✅ جواب: ۱/۹" ], "figures": [ { @@ -40992,7 +40814,8 @@ "steps": [ "ابتدا اعداد مخلوط را به کسر نامتعارف تبدیل می‌کنیم: ۲ ۲/۳ = ۸/۳ و ۵ ۱/۳ = ۱۶/۳.", "سپس ضرب می‌کنیم: ۸/۳ × ۱۶/۳ = ۱۲۸/۹.", - "این کسر را می‌توان به عدد مخلوط تبدیل کرد: ۱۲۸/۹ = ۱۴ ۲/۹." + "این کسر را می‌توان به عدد مخلوط تبدیل کرد: ۱۲۸/۹ = ۱۴ ۲/۹.", + "✅ جواب: ۱۴ و ۲/۹" ], "figures": [ { @@ -41979,9 +41802,9 @@ { "title": "محاسبه نسبت مساحت قسمت‌های رنگ شده و نشده در مستطیل تقسیم شده", "introText": "1. تعداد کل قسمت‌های مستطیل را بشمارید.\n2. تعداد قسمت‌های رنگ شده و رنگ نشده را مشخص کنید.\n3. نسبت مساحت قسمت‌های رنگ شده به کل مساحت مستطیل را به صورت کسر بنویسید.\n4. نسبت مساحت قسمت‌های رنگ شده به قسمت‌های رنگ نشده را به صورت کسر بنویسید.\n5. نسبت مساحت قسمت‌های رنگ نشده به کل مساحت مستطیل را به صورت کسر بنویسید.\n6. نسبت مساحت قسمت‌های رنگ نشده به قسمت‌های رنگ شده را به صورت کسر بنویسید.", - "example": "مستطیلی ۱۲ قسمت دارد و ۴ رنگی است. نسبت رنگی به نارنگی؟", + "example": "مستطیلی ۱۲ قسمت مساوی دارد و ۴ قسمت آن رنگی است. نسبت قسمت‌های رنگی به قسمت‌های بی‌رنگ چیست؟", "steps": [ - "نارنگی: ۱۲ − ۴ = ۸.", + "بی‌رنگ: ۱۲ − ۴ = ۸.", "۴ به ۸ = ۱ به ۲.", "✅ جواب: ۱ به ۲" ], @@ -41991,7 +41814,7 @@ "index": 1, "diagram": { "kind": "fraction", - "title": "نسبت رنگی به نارنگی", + "title": "نسبت رنگی به بی‌رنگ", "shape": "rect", "parts": 3, "shaded": 1 @@ -42002,14 +41825,14 @@ { "title": "محاسبه نسبت فضای رنگ شده به کل مساحت مستطیل", "introText": "1. تعداد کل قسمت‌های مستطیل را بشمارید.\n2. تعداد قسمت‌های رنگ شده را بشمارید.\n3. نسبت فضای رنگ شده به کل مساحت را به صورت کسر تعداد قسمت‌های رنگ شده بر تعداد کل قسمت‌ها بنویسید.", - "example": "مستطیل رو به رو به ۸ قسمت مساوی تقسیم شده و ۳ قسمت از آن رنگ شده است. نسبت مساحت قسمت‌های رنگ شده به مساحت مستطیل، نسبت مساحت قسمت‌های رنگ شده به قسمت‌های رنگ نشده، نسبت مساحت قسمت‌های رنگ نشده به مساحت مستطیل و نسبت مساحت قسمت‌های رنگ نشده به قسمت‌های رنگ شده را بنویسید.", + "example": "مستطیلی به ۸ قسمت مساوی تقسیم شده و ۳ قسمت آن رنگ شده است. نسبت رنگ‌شده به کل، رنگ‌شده به رنگ‌نشده، رنگ‌نشده به کل و رنگ‌نشده به رنگ‌شده را بنویسید.", "steps": [ - "تعداد کل قسمت‌ها = ۸", - "تعداد قسمت‌های رنگ شده = ۳", - "تعداد قسمت‌های رنگ نشده = ۸ - ۳ = ۵", - "الف) نسبت مساحت قسمت‌های رنگ شده به مساحت مستطیل = ۳/۸", - "ب) نسبت مساحت قسمت‌های رنگ شده به مساحت قسمت‌های رنگ نشده = ۳/۵", - "✅ جواب: ۳/۸, ۳/۵, ۵/۸, ۵/۳" + "کل قسمت‌ها ۸ ، رنگ‌شده ۳ و رنگ‌نشده ۸ − ۳ = ۵ است.", + "رنگ‌شده به کل: ۳/۸.", + "رنگ‌شده به رنگ‌نشده: ۳/۵.", + "رنگ‌نشده به کل: ۵/۸.", + "رنگ‌نشده به رنگ‌شده: ۵/۳.", + "✅ جواب: ۳/۸ ، ۳/۵ ، ۵/۸ ، ۵/۳" ], "figures": [ { @@ -43566,14 +43389,11 @@ { "title": "محاسبه نسبت و درصد مساحت رنگ‌شده در شکل", "introText": "1. تعداد کل قسمت‌های مساوی مستطیل را بشمارید.\n2. تعداد قسمت‌های رنگ‌شده را بشمارید.\n3. نسبت قسمت‌های رنگ‌شده به کل قسمت‌ها را به صورت کسر بنویسید.\n4. این نسبت را به درصد تبدیل کنید (ضربدر 100).\n5. درصد قسمت‌های رنگ‌نشده را با کم کردن درصد رنگ‌شده از 100 به دست آورید.", - "example": "مستطیل زیر به 40 قسمت مساوی تقسیم شده است. 10 قسمت از این مستطیل رنگ‌شده است. نسبت مساحت قسمت رنگ‌شده به مساحت کل مستطیل را تعیین کنید و درصد آن را محاسبه کنید.", + "example": "مستطیلی به ۴۰ قسمت مساوی تقسیم شده و ۱۰ قسمت آن رنگ شده است. نسبت قسمت رنگ‌شده به کل و درصد آن را بنویسید.", "steps": [ - "تعداد کل قسمت‌های مستطیل 40 است.", - "تعداد قسمت‌های رنگ‌شده 10 است.", - "نسبت قسمت‌های رنگ‌شده به کل قسمت‌ها برابر است با 10/40.", - "برای تبدیل به درصد، نسبت را در 100 ضرب می‌کنیم: (10/40) × 100 = 25.", - "درصد قسمت‌های رنگ‌نشده برابر است با 100 - 25 = 75.", - "✅ جواب: 25" + "نسبت قسمت‌های رنگ‌شده به کل: ۱۰/۴۰ = ۱/۴.", + "درصد: ۱۰/۴۰ × ۱۰۰ = ۲۵.", + "✅ جواب: نسبت ۱/۴ و ۲۵٪" ], "figures": [ { @@ -43897,13 +43717,11 @@ { "title": "محاسبه مقدار بر اساس درصد داده شده", "introText": "1. مقدار کل را در درصد داده شده به صورت کسر ضرب کنید.\n2. حاصل ضرب مقدار مورد نظر را نشان می‌دهد.", - "example": "در یک فروشگاه، 25% از تخفیف یک لباس 80 هزار تومانی به مشتری داده می‌شود. تخفیف این لباس چقدر است؟", + "example": "لباسی ۸۰ هزار تومان است و ۲۵٪ تخفیف دارد. مبلغ تخفیف چقدر است؟", "steps": [ - "مقدار کل لباس 80 هزار تومان است.", - "درصد تخفیف 25% را به صورت کسر می‌نویسیم: 25/100.", - "حالا مقدار تخفیف را محاسبه می‌کنیم: 80 × (25/100) = 20.", - "پس تخفیف لباس 20 هزار تومان است.", - "✅ جواب: 20000" + "۲۵٪ = ۲۵/۱۰۰ = ۱/۴.", + "۸۰ × ۱/۴ = ۲۰ هزار تومان.", + "✅ جواب: ۲۰٬۰۰۰ تومان" ] }, { @@ -44504,13 +44322,10 @@ { "title": "محاسبه درصد محصول کشاورزی دیم از کل محصولات کشاورزی", "introText": "1. درصد محصول کشاورزی دیم را مشخص کنید.\n2. درصدی از این مقدار که محصول گندم است را مشخص کنید.\n3. درصد گندم از کل محصولات کشاورزی را با ضرب درصدها محاسبه کنید.", - "example": "در یک منطقه، ۴۰ درصد از محصولات کشاورزی دیم هستند. اگر ۲۵ درصد از این محصولات دیم، گندم باشد، چه درصدی از کل محصولات کشاورزی این منطقه گندم دیم است؟", + "example": "۴۰٪ محصولات یک منطقه دیم است و ۲۵٪ محصولات دیم گندم است. گندم دیم چند درصد کل محصولات است؟", "steps": [ - "محصولات دیم = 40 درصد", - "محصول گندم = 25 درصد از محصولات دیم", - "محصول گندم دیم = 25 درصد × 40 درصد = 10 درصد", - "پس درصد گندم دیم از کل محصولات کشاورزی = 10 درصد.", - "✅ جواب: 10" + "۲۵٪ از ۴۰٪ را می‌خواهیم: ۰٫۲۵ × ۴۰ = ۱۰.", + "✅ جواب: ۱۰٪" ] }, { @@ -46876,20 +46691,18 @@ { "title": "محاسبه زاویه با استفاده از خطوط عمود و زاویه‌های داده شده", "introText": "1. زاویه قائم را شناسایی کنید (۹۰ درجه). 2. زاویه داده شده با سطح زمین را یادداشت کنید. 3. از رابطه زاویه‌ها در مثلث یا خط عمود استفاده کنید تا زاویه مجهول را بیابید. 4. زاویه مجهول برابر است با ۹۰ درجه منهای زاویه داده شده.", - "example": "زاویه A یک زاویه ۴۵ درجه است و خطی عمود بر سطح زمین در نقطه B قرار دارد. زاویه BCA را محاسبه کنید.", + "example": "در مثلث ABC زاویهٔ B قائمه (۹۰ درجه) و زاویهٔ A برابر ۴۵ درجه است. زاویهٔ C چند درجه است؟", "steps": [ - "زاویه A برابر با ۴۵ درجه است.", - "زاویه قائم برابر با ۹۰ درجه است.", - "برای پیدا کردن زاویه BCA، از رابطه زاویه‌ها استفاده می‌کنیم: زاویه BCA = ۹۰ درجه - زاویه A.", - "زاویه BCA = ۹۰ درجه - ۴۵ درجه = ۴۵ درجه.", - "✅ جواب: 45 درجه" + "مجموع زاویه‌های مثلث ۱۸۰ درجه است.", + "۹۰ + ۴۵ = ۱۳۵ و ۱۸۰ − ۱۳۵ = ۴۵.", + "✅ جواب: ۴۵ درجه" ], "figures": [ { "where": "example", "diagram": { "kind": "plane", - "title": "زاویه‌ها و خط عمود", + "title": "مثلث قائم‌الزاویه", "axes": false, "points": { "A": [ @@ -46897,32 +46710,23 @@ 0.0 ], "B": [ - 2.0, + 3.0, 0.0 ], "C": [ - 2.0, - 2.0 - ], - "D": [ - 0.0, - 2.0 + 3.0, + 3.0 ] }, "items": [ { - "type": "line", - "through": [ + "type": "polygon", + "points": [ "A", - "B" - ] - }, - { - "type": "line", - "through": [ "B", "C" - ] + ], + "color": "blue" }, { "type": "rightAngle", @@ -46932,67 +46736,31 @@ }, { "type": "angle", - "vertex": "B", - "from": "A", + "vertex": "A", + "from": "B", "to": "C", + "arcs": 1, "label": "۴۵°" - } - ], - "grid": false - } - }, - { - "where": "step", - "index": 0, - "diagram": { - "kind": "plane", - "title": "زاویه A", - "axes": false, - "points": { - "A": [ - 0.0, - 0.0 - ], - "B": [ - 2.0, - 0.0 - ], - "C": [ - 2.0, - 2.0 - ], - "D": [ - 0.0, - 2.0 - ] - }, - "items": [ - { - "type": "line", - "through": [ - "A", - "B" - ] - }, - { - "type": "line", - "through": [ - "B", - "C" - ] - }, - { - "type": "rightAngle", - "vertex": "B", - "from": "A", - "to": "C" }, { "type": "angle", - "vertex": "B", + "vertex": "C", "from": "A", - "to": "C", - "label": "۴۵°" + "to": "B", + "arcs": 1, + "label": "؟" + }, + { + "type": "point", + "point": "A" + }, + { + "type": "point", + "point": "B" + }, + { + "type": "point", + "point": "C" } ], "grid": false @@ -47449,7 +47217,8 @@ "steps": [ "مجموع زاویه‌های مثلث ۱۸۰ درجه است.", "دو زاویه داده شده ۶۰ + ۶۰ = ۱۲۰ درجه است.", - "زاویه سوم برابر است با ۱۸۰ - ۱۲۰ = ۶۰ درجه." + "زاویه سوم برابر است با ۱۸۰ - ۱۲۰ = ۶۰ درجه.", + "✅ جواب: ۶۰ درجه" ], "figures": [ { @@ -49065,7 +48834,8 @@ "steps": [ "مجموع زاویه‌های مثلث برابر ۱۸۰ درجه است.", "زاویه‌های داده شده: ۳۰ درجه و ۹۰ درجه.", - "مجموع این دو زاویه: ۳۰ + ۹۰ = ۱۲۰ درجه. زاویه مجهول = ۱۸۰ - ۱۲۰ = ۶۰ درجه." + "مجموع این دو زاویه: ۳۰ + ۹۰ = ۱۲۰ درجه. زاویه مجهول = ۱۸۰ - ۱۲۰ = ۶۰ درجه.", + "✅ جواب: ۶۰ درجه" ], "figures": [ { @@ -49449,10 +49219,10 @@ { "title": "تشخیص و رسم خطوط تقارن", "introText": "1. شکل مورد نظر را بررسی کنید و خطوطی که شکل را به دو قسمت مساوی و قرینه تقسیم می‌کنند، پیدا کنید. 2. این خطوط را به عنوان خطوط تقارن رسم کنید. 3. بررسی کنید که آیا شکل به وسیله این خطوط به دو نیمه مساوی و قرینه تقسیم می‌شود یا خیر.", - "example": "خطوط تقارن مستطیل ۳ × ۵ را رسم کنید.", + "example": "خط‌های تقارن مستطیل ۳ × ۵ کدام‌اند؟", "steps": [ - "خط افقی از وسط اضلاع کوتاه‌تر.", - "خط عمودی از وسط اضلاع بلندتر.", + "یک خط از وسط دو ضلع بلندتر می‌گذرد.", + "یک خط از وسط دو ضلع کوتاه‌تر می‌گذرد.", "✅ جواب: ۲ خط" ], "figures": [ @@ -49694,13 +49464,12 @@ { "title": "تشخیص شکل با یک خط تقارن", "introText": "1. شکل را بررسی کنید و خطوطی که ممکن است تقارن ایجاد کنند را در نظر بگیرید. 2. چوب‌ها را طوری بردارید که فقط یک خط تقارن باقی بماند. 3. این خط تقارن را شناسایی و رسم کنید.", - "example": "یک مستطیل داریم که طول آن ۸ سانتی‌متر و عرض آن ۴ سانتی‌متر است. آیا این مستطیل یک خط تقارن دارد؟", + "example": "مستطیلی ۸ سانتی‌متر طول و ۴ سانتی‌متر عرض دارد. چند خط تقارن دارد؟", "steps": [ - "مستطیل را به دو نیمه تقسیم می‌کنیم. یک خط عمودی از وسط مستطیل می‌کشیم.", - "طول مستطیل ۸ سانتی‌متر است، بنابراین هر نیمه ۴ سانتی‌متر خواهد بود.", - "عرض مستطیل ۴ سانتی‌متر است و هر دو نیمه از نظر عرض برابر هستند.", - "بنابراین، مستطیل دارای یک خط تقارن عمودی است.", - "✅ جواب: بله" + "خط عمودی از وسط طول، دو نیمهٔ ۴ در ۴ می‌سازد که روی هم می‌افتند.", + "خط افقی از وسط عرض نیز دو نیمهٔ برابر می‌سازد.", + "قطرها خط تقارن نیستند، چون طول و عرض برابر نیست.", + "✅ جواب: ۲ خط تقارن" ], "figures": [ { @@ -49792,10 +49561,10 @@ { "title": "محاسبه تعداد چوب‌های لازم برای داشتن خطوط تقارن مشخص", "introText": "1. تعداد خطوط تقارن مورد نظر را مشخص کنید. 2. با توجه به شکل و تعداد چوب‌های موجود، تعداد چوب‌هایی که باید برداشته یا اضافه شود را محاسبه کنید تا شکل دارای تعداد خطوط تقارن خواسته شده باشد.", - "example": "با چوب‌ها شکل مثبت (+) می‌سازیم. چند خط تقارن دارد؟", + "example": "با چوب‌هایی با طول برابر شکل مثبت (+) می‌سازیم. چند خط تقارن دارد؟", "steps": [ - "چوب افقی و عمودی.", - "خط افقی ، عمودی و دو قطر.", + "خط افقی و خط عمودی از مرکز.", + "دو قطر (بازوها برابرند).", "✅ جواب: ۴ خط" ], "figures": [ @@ -51017,14 +50786,13 @@ { "title": "جمع عددهای اعشاری با استفاده از جدول ارزش مکانی", "introText": "1. اعداد را بر اساس ارزش مکانی (یکان، دهم، صددم) در جدول قرار دهید. 2. از سمت راست (صددم) جمع را شروع کنید و اگر جمع بیش از ۹ شد، رقم اضافی را به ستون بعدی منتقل کنید. 3. جمع هر ستون را به ترتیب انجام دهید تا حاصل نهایی به دست آید.", - "example": "آقای حسینی در ماه قبل 1/474 کیلوگرم و در این ماه 3/325 کیلوگرم زعفران فروخت. او در این مدت چند کیلوگرم زعفران فروخته است؟", + "example": "آقای حسینی ماه قبل ۱٫۴۷۴ کیلوگرم و این ماه ۳٫۳۲۵ کیلوگرم زعفران فروخت. در مجموع چند کیلوگرم فروخته است؟", "steps": [ - "جمع یکان", - "3 + 1 = 4", - "جمع دهم", - "4 + 7 = 11، 1 را در ستون دهم می‌نویسیم و 1 را به ستون صدوم منتقل می‌کنیم.", - "جمع صدوم", - "2 + 2 + 1 (حامل) = 5 جمع هزارم 5 + 3 = 8 نتیجه نهایی: 4/799 کیلوگرم" + "هزارم: ۴ + ۵ = ۹.", + "صدم: ۷ + ۲ = ۹.", + "دهم: ۴ + ۳ = ۷.", + "یکان: ۱ + ۳ = ۴.", + "✅ جواب: ۴٫۷۹۹ کیلوگرم" ] }, { @@ -51033,7 +50801,8 @@ "example": "آقای تهرانی هر روز صبح با خودروی شخصی‌اش به محل کار خود می‌رود و بعدازظهر به خانه برمی‌گردد. خودروی او هنگام رفتن ۱/۴۷ لیتر بنزین و هنگام برگشتن، به دلیل شلوغی خیابان‌ها، ۲/۲۸ لیتر بنزین مصرف می‌کند. آقای تهرانی برای رفت‌وآمد به محل کار خود، هر روز چند لیتر بنزین مصرف می‌کند؟", "steps": [ "اعداد ۱/۴۷ و ۲/۲۸ را در جدول ارزش مکانی قرار می‌دهیم: صددم: ۷ + ۸ = ۱۵ (۵ می‌نویسیم و ۱ ده‌تایی به ستون دهم اضافه می‌کنیم)، دهم: ۴ + ۲ + ۱ (حاصل انتقال) = ۷، یکان: ۱ + ۲ = ۳.", - "بنابراین حاصل جمع ۱/۴۷ + ۲/۲۸ برابر ۳/۷۵ لیتر است." + "بنابراین حاصل جمع ۱/۴۷ + ۲/۲۸ برابر ۳/۷۵ لیتر است.", + "✅ جواب: ۳٫۷۵ لیتر" ], "figures": [ { @@ -51163,10 +50932,10 @@ { "title": "تخمین و محاسبه دقیق حاصل جمع اعداد اعشاری نزدیک به عدد مشخص", "introText": "1. اعداد داده شده را بررسی کنید. 2. حاصل جمع تقریبی را با حذف رقم‌های اعشاری یا گرد کردن به نزدیک‌ترین عدد صحیح یا عدد ساده‌تر به دست آورید. 3. حدس بزنید حاصل جمع نهایی به کدام عدد نزدیک‌تر است. 4. حاصل جمع دقیق را محاسبه کنید و حدس را بررسی کنید.", - "example": "حاصل ۹٫۸ + ۱۰٫۳ نزدیک چه عددی است و دقیق؟", + "example": "حاصل ۹٫۸ + ۱۰٫۳ را تقریب بزنید و دقیق حساب کنید.", "steps": [ - "۹٫۸ ≈ ۱۰ و ۱۰٫۳ ≈ ۱۰ → ۲۰.", - "دقیق: ۱۰٫۱۰ + ... ۹٫۸ + ۱۰٫۳ = ۲۰٫۱.", + "۹٫۸ ≈ ۱۰ و ۱۰٫۳ ≈ ۱۰ ، پس تقریباً ۲۰.", + "دقیق: ۹٫۸ + ۱۰٫۳ = ۲۰٫۱.", "✅ جواب: نزدیک ۲۰ ؛ دقیق ۲۰٫۱" ] }, @@ -51182,9 +50951,9 @@ { "title": "جمع اعداد اعشاری با استفاده از کارت‌های رنگی و تقریب", "introText": "1. از هر کارت دو عدد انتخاب کنید. 2. این دو عدد را با هم جمع کنید. 3. حاصل جمع را به طور تقریبی گرد کنید. 4. بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین عدد را با کارت‌ها بسازید و مجموع آن‌ها را به دست آورید.", - "example": "۰٫۳ + ۰٫۴ را با کارت حساب کنید.", + "example": "۰٫۳ + ۰٫۴ را حساب کنید.", "steps": [ - "۳+۴ دهم.", + "۳ دهم + ۴ دهم = ۷ دهم.", "✅ جواب: ۰٫۷" ] }, @@ -51269,14 +51038,14 @@ { "title": "تفریق عددهای اعشاری", "introText": "1. اعداد اعشاری را به صورت ستون‌های جداگانه برای یکان، دهم، صدم و ... بنویسید.\n2. اگر لازم است، اعداد را به گونه‌ای تنظیم کنید که تعداد ارقام اعشاری برابر باشد.\n3. از سمت راست به چپ تفریق را انجام دهید، در صورت نیاز قرض بگیرید.\n4. نتیجه را به صورت عدد اعشاری بنویسید.\n5. در صورت استفاده از محور عددی، ابتدا عدد بزرگ‌تر را مشخص کنید و سپس عدد کوچکتر را از آن کم کنید و فاصله را روی محور نشان دهید.", - "example": "می‌خواهیم اختلاف دو عدد 0.847 و 0.382 را به دست آوریم.", + "example": "اختلاف ۰٫۸۴۷ و ۰٫۳۸۲ را حساب کنید.", "steps": [ - "اعداد را به صورت ستونی زیر هم می‌نویسیم:", - "847", - "382", - "از سمت راست شروع به تفریق می‌کنیم:", - "7 - 2 = 5", - "4 - 8 نمی‌شود، پس از 8 در رقم بعدی قرض می‌گیریم: 14 - 8 = 6 7 (بعد از قرض دادن) - 3 = 4 ممیز را در جواب در همان ستون قرار می‌دهیم. جواب نهایی: 0.465" + "عددها را زیر هم می‌نویسیم، ممیزها زیر هم.", + "هزارم: ۷ − ۲ = ۵.", + "صدم: ۴ − ۸ نمی‌شود؛ ۱ دهم قرض می‌گیریم: ۱۴ − ۸ = ۶.", + "دهم: ۷ − ۳ = ۴ (یکی قرض داده شد).", + "یکان: ۰ − ۰ = ۰.", + "✅ جواب: ۰٫۴۶۵" ], "figures": [ { @@ -51460,13 +51229,11 @@ { "title": "تفریق عددهای اعشاری با مراحل تفصیلی", "introText": "1. اعداد را به صورت ستونی زیر هم می‌نویسیم و ممیزها را زیر هم قرار می‌دهیم.\n2. از سمت راست شروع به تفریق می‌کنیم.\n3. اگر رقم بالا کوچکتر از رقم پایین بود، از ستون سمت چپ قرض می‌گیریم.\n4. تفریق هر ستون را انجام می‌دهیم و جواب هر مرحله را یادداشت می‌کنیم.\n5. ممیز را در جواب در همان ستون قرار می‌دهیم.\n6. جواب نهایی تفریق عددهای اعشاری را به دست می‌آوریم.", - "example": "آقای احمدی اگر با خودروی شخصی‌اش به محل کار خود رفت و آمد کند، روزی ۳/۶۵ لیتر بنزین مصرف می‌کند ولی اگر این مسیر را با تاکسی برود، مقدار مصرف او ۱/۷۴ لیتر می‌شود. اگر آقای احمدی هر روز با تاکسی به محل کارش رفت و آمد کند، روزی چند لیتر بنزین صرفه‌جویی می‌شود؟", + "example": "آقای احمدی با خودروی شخصی روزی ۳٫۶۵ لیتر بنزین مصرف می‌کند و با تاکسی ۱٫۷۴ لیتر. اگر با تاکسی برود روزی چند لیتر صرفه‌جویی می‌شود؟", "steps": [ - "مقدار مصرف بنزین با خودرو شخصی: ۳/۶۵ لیتر", - "مقدار مصرف بنزین با تاکسی: ۱/۷۴ لیتر", - "تفریق مصرف‌ها:", - "3/65 - 1/74 = 1/91", - "نتیجه: آقای احمدی روزانه ۱/۹۱ لیتر بنزین صرفه‌جویی می‌کند." + "مصرف با خودرو: ۳٫۶۵ لیتر؛ مصرف با تاکسی: ۱٫۷۴ لیتر.", + "تفریق: ۳٫۶۵ − ۱٫۷۴ = ۱٫۹۱.", + "✅ جواب: ۱٫۹۱ لیتر" ] }, { @@ -51688,12 +51455,11 @@ { "title": "ضرب عددهای اعشاری در اعداد ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰ و ۱۰۰۰۰", "introText": "برای ضرب عدد اعشاری در ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰ یا ۱۰۰۰۰ کافی است که ممیز را به اندازه تعداد صفرهای عدد ضرب‌کننده به سمت راست منتقل کنیم. به عنوان مثال، برای ضرب در ۱۰ یک خانه، برای ضرب در ۱۰۰ دو خانه و به همین ترتیب ادامه می‌دهیم.", - "example": "آقای ناصری روزانه 0.25 لیتر بنزین مصرف می‌کند و در پنج روز کاری هفته به محل کار می‌رود (روزهای پنج‌شنبه و جمعه کار نمی‌کند). چند لیتر بنزین مصرف می‌کند؟", + "example": "آقای ناصری روزانه ۰٫۲۵ لیتر بنزین مصرف می‌کند و ۵ روز در هفته به محل کار می‌رود. در یک هفته چند لیتر مصرف می‌کند؟", "steps": [ - "تعداد روزهای کاری = 5", - "مصرف روزانه = 0.25 لیتر", - "مقدار کل مصرف = 5 × 0.25 = 1.25 لیتر", - "پس آقای ناصری در پنج روز کاری 1.25 لیتر بنزین مصرف می‌کند." + "مصرف روزانه ۰٫۲۵ لیتر و تعداد روزها ۵ است.", + "۵ × ۰٫۲۵ = ۱٫۲۵.", + "✅ جواب: ۱٫۲۵ لیتر" ] }, { @@ -51781,14 +51547,15 @@ { "title": "پر کردن جای خالی در دنباله ضرب اعداد اعشاری بزرگ‌تر از 1", "introText": "برای پر کردن جای خالی در دنباله ضرب، عدد اولیه را در عدد اعشاری داده شده ضرب می‌کنیم تا عدد بعدی به دست آید. این کار را برای هر جای خالی تکرار می‌کنیم. سپس مقایسه می‌کنیم که حاصل ضرب‌ها نسبت به عدد 1 کمتر یا بیشتر هستند.", - "example": "عدد اولیه 20 است و هر عدد در دنباله با ضرب در 1.5 به دست می‌آید. جای خالی‌ها را پر کنید: 20، _، _، _، _، ___ و مشخص کنید که حاصل ضرب‌ها از 1 کمتر است یا بیشتر؟", + "example": "عدد اول ۲۰ است و هر عدد از ضرب عدد قبلی در ۱٫۵ به دست می‌آید. پنج عدد بعدی را بنویسید. ضرب در ۱٫۵ عدد را بزرگ‌تر می‌کند یا کوچک‌تر؟", "steps": [ - "عدد اول 20 است.", - "عدد دوم = 20 × 1.5 = 30.", - "عدد سوم = 30 × 1.5 = 45.", - "عدد چهارم = 45 × 1.5 = 67.5.", - "عدد پنجم = 67.5 × 1.5 = 101.25.", - "✅ جواب: 20، 30، 45، 67.5، 101.25، 151.875" + "۲۰ × ۱٫۵ = ۳۰.", + "۳۰ × ۱٫۵ = ۴۵.", + "۴۵ × ۱٫۵ = ۶۷٫۵.", + "۶۷٫۵ × ۱٫۵ = ۱۰۱٫۲۵.", + "۱۰۱٫۲۵ × ۱٫۵ = ۱۵۱٫۸۷۵.", + "ضرب در عددی بزرگ‌تر از ۱ عدد را بزرگ‌تر می‌کند.", + "✅ جواب: ۳۰ ، ۴۵ ، ۶۷٫۵ ، ۱۰۱٫۲۵ ، ۱۵۱٫۸۷۵؛ اعداد بزرگ‌تر می‌شوند" ] }, { @@ -51896,14 +51663,12 @@ { "title": "تبدیل انواع نوشتن اعداد اعشاری", "introText": "برای تبدیل انواع نوشتن اعداد اعشاری، ابتدا عدد را به صورت کسر یا عدد مخلوط می‌نویسیم یا بالعکس. سپس با توجه به مخرج کسر یا جایگاه ممیز، مقدار عدد را به شکل دیگر تبدیل می‌کنیم.", - "example": "ضرب 0.2 × 0.4 را به صورت کسر تبدیل کنید و حاصل ضرب را به دست آورید. سپس تعداد ارقام اعشاری عامل اول، عامل دوم و حاصل ضرب را مشخص کنید.", + "example": "۰٫۲ × ۰٫۴ را با تبدیل به کسر حساب کنید و تعداد رقم‌های اعشاری دو عامل و حاصل را بنویسید.", "steps": [ - "ابتدا عددهای اعشاری را به کسر تبدیل می‌کنیم:", - "2 = 2/10", - "4 = 4/10", - "حاصل ضرب کسرها:", - "(2/10) × (4/10) = 8/100", - "✅ جواب: 0.08، عامل اول: 1 رقم، عامل دوم: 1 رقم، حاصل ضرب: 2 رقم" + "۰٫۲ = ۲/۱۰ و ۰٫۴ = ۴/۱۰.", + "(۲/۱۰) × (۴/۱۰) = ۸/۱۰۰ = ۰٫۰۸.", + "عامل اول ۱ رقم اعشار ، عامل دوم ۱ رقم اعشار ، حاصل ۲ رقم اعشار.", + "✅ جواب: ۰٫۰۸ ؛ ۱ و ۱ و ۲ رقم اعشار" ], "figures": [ { @@ -52044,13 +51809,11 @@ { "title": "جایگذاری عدد مناسب روی محور عددی", "introText": "برای جایگذاری عدد مناسب روی محور عددی، ابتدا بازه محور و تقسیم‌بندی‌های آن را بررسی کنید. سپس با توجه به موقعیت عدد روی محور، عدد مناسب را در جای خالی قرار دهید.", - "example": "در جای خالی عدد مناسب بگذارید: روی محور عددی از 1 تا 5 با تقسیم‌بندی‌های کوچک، سه جای خالی برای اعداد بین 1 و 5 وجود دارد.", + "example": "روی محوری از ۱ تا ۵ که به ۴ قسمت مساوی تقسیم شده، سه نقطهٔ بین ۱ و ۵ علامت خورده‌اند. اعداد این نقطه‌ها چیست؟", "steps": [ - "محور عددی از 1 تا 5 را بررسی می‌کنیم و می‌بینیم که فاصله بین اعداد 1 و 5 برابر با 4 است.", - "این فاصله را به 4 قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم که هر قسمت برابر با 1 می‌شود.", - "از عدد 1 شروع می‌کنیم و با اضافه کردن 1 به آن، اعداد 2، 3 و 4 را به دست می‌آوریم.", - "بنابراین، اعداد مناسب برای جایگذاری در جای خالی‌ها، 2، 3 و 4 هستند.", - "✅ جواب: 2، 3، 4" + "فاصلهٔ ۱ تا ۵ برابر ۴ است و به ۴ قسمت مساوی تقسیم شده، پس هر قسمت ۱ واحد است.", + "از ۱ شروع می‌کنیم و هر بار ۱ تا جلو می‌رویم: ۲ ، ۳ ، ۴.", + "✅ جواب: ۲ ، ۳ ، ۴" ], "figures": [ { @@ -52539,7 +52302,8 @@ "steps": [ "طول قطر اول = ۶", "طول قطر دوم = ۳", - "مساحت = (۶ × ۳) ÷ ۲ = ۱۸ ÷ ۲ = ۹ واحد مربع" + "مساحت = (۶ × ۳) ÷ ۲ = ۱۸ ÷ ۲ = ۹ واحد مربع", + "✅ جواب: ۹ واحد مربع" ], "figures": [ { @@ -52785,36 +52549,36 @@ { "title": "محاسبه مساحت ذوزنقه با استفاده از مساحت متوازی‌الاضلاع", "introText": "۱. ذوزنقه را به دو شکل تقسیم می‌کنیم: یک متوازی‌الاضلاع و یک مثلث. ۲. ارتفاع ذوزنقه برابر ارتفاع متوازی‌الاضلاع است. ۳. مجموع قاعده‌های ذوزنقه برابر جمع قاعده بزرگ و قاعده کوچک است. ۴. مساحت متوازی‌الاضلاع را با ضرب ارتفاع در قاعده بزرگ محاسبه می‌کنیم. ۵. مساحت ذوزنقه برابر نصف حاصل‌ضرب ارتفاع در مجموع قاعده بزرگ و قاعده کوچک است. ۶. فرمول نهایی: مساحت ذوزنقه = (ارتفاع × (قاعده بزرگ + قاعده کوچک)) ÷ ۲", - "example": "هر قطر لوزی را به دو مثلث مساوی تقسیم می‌کند. مساحت مثلث بالایی را محاسبه کنید و سپس مساحت لوزی را بیابید.", + "example": "لوزی‌ای قطرهای ۸ و ۶ دارد. قطر ۸ آن را به دو مثلث مساوی تقسیم می‌کند. مساحت یک مثلث و مساحت لوزی را بیابید.", "steps": [ - "لوزی را رسم می‌کنیم و قطرها را رسم می‌کنیم.", - "هر قطر لوزی را به دو مثلث مساوی تقسیم می‌کنیم.", - "مساحت مثلث بالایی را با فرمول نیم ضرب قاعده در ارتفاع محاسبه می‌کنیم. مساحت لوزی برابر است با ۲ برابر مساحت مثلث بالایی.", - "✅ جواب: مساحت مثلث بالایی = ½ × قاعده × ارتفاع؛ مساحت لوزی = ۲ × مساحت مثلث بالایی." + "قاعدهٔ هر مثلث ۸ و ارتفاعش نصف قطر دیگر یعنی ۳ است.", + "مساحت یک مثلث: (۸ × ۳) ÷ ۲ = ۱۲.", + "مساحت لوزی: ۲ × ۱۲ = ۲۴.", + "✅ جواب: مثلث ۱۲ و لوزی ۲۴" ], "figures": [ { "where": "example", "diagram": { "kind": "plane", - "title": "لوزی و یک قطر", + "title": "لوزی با قطرهای ۸ و ۶", "axes": false, "points": { "A": [ - -3.0, + -4.0, 0.0 ], "B": [ 0.0, - -2.0 + -3.0 ], "C": [ - 3.0, + 4.0, 0.0 ], "D": [ 0.0, - 2.0 + 3.0 ] }, "items": [ @@ -52833,7 +52597,16 @@ "from": "A", "to": "C", "color": "red", - "dashed": true + "dashed": true, + "label": "۸" + }, + { + "type": "segment", + "from": "B", + "to": "D", + "color": "green", + "dashed": true, + "label": "۶" }, { "type": "point", @@ -53544,7 +53317,8 @@ "steps": [ "محیط دایره = عدد پی × قطر", "محیط دایره = 3.14 × 6 = 18.8 سانتی‌متر", - "بنابراین، محیط دایره تقریباً 18.8 سانتی‌متر است." + "بنابراین، محیط دایره تقریباً 18.8 سانتی‌متر است.", + "✅ جواب: ۱۸٫۸ سانتی‌متر" ], "figures": [ { @@ -53751,104 +53525,54 @@ { "title": "تقسیم محیط دایره بر قطر و بررسی عدد پی", "introText": "۱. محیط دایره را مشخص کنید.\n۲. قطر دایره را مشخص کنید.\n۳. محیط دایره را بر قطر تقسیم کنید.\n۴. عدد به دست آمده را با عدد پی (3.14) مقایسه کنید.\n۵. نتیجه را به یک رقم اعشار گرد کنید.", - "example": "آیدا و آلاله می‌خواهند محیط دایره‌ای را اندازه بگیرند. آنها چند نقطه را روی دایره به هم وصل کردند و سعی کردند به کمک محیط چندضلعی، محیط دایره را حساب کنند. کدام چندضلعی به محیط دایره نزدیک‌تر است؟", + "example": "آیدا و آلاله محیط دایره را با محیط چندضلعی‌هایی که رأس‌هایشان روی دایره است تخمین می‌زنند. شش‌ضلعی منتظم یا دوازده‌ضلعی منتظم به محیط دایره نزدیک‌تر است؟", "steps": [ - "چندضلعی اول با تعداد اضلاع کمتر محیط کمتری دارد و چندضلعی دوم با تعداد اضلاع بیشتر محیط بزرگتری دارد.", - "هرچه تعداد اضلاع چندضلعی بیشتر باشد، محیط آن به محیط دایره نزدیک‌تر می‌شود.", - "بنابراین، چندضلعی دوم که تعداد اضلاع بیشتری دارد، محیط آن به محیط دایره نزدیک‌تر است.", - "✅ جواب: چندضلعی با تعداد اضلاع بیشتر به محیط دایره نزدیک‌تر است." + "چندضلعی با تعداد ضلع‌های بیشتر به دایره بیشتر می‌چسبد.", + "پس محیط دوازده‌ضلعی به محیط دایره نزدیک‌تر است.", + "✅ جواب: دوازده‌ضلعی منتظم" ], "figures": [ { "where": "example", "diagram": { "kind": "plane", - "title": "محیط دایره و چندضلعی", + "title": "دایره و دوازده‌ضلعی منتظم", "axes": false, "points": { "O": [ 0.0, 0.0 - ], - "A": { - "polar": [ - 3.0, - 0.0 - ] - }, - "B": { - "polar": [ - 3.0, - 90.0 - ] - }, - "C": { - "polar": [ - 3.0, - 180.0 - ] - }, - "D": { - "polar": [ - 3.0, - 270.0 - ] - }, - "P": { - "polar": [ - 2.5, - 45.0 - ] - }, - "Q": { - "polar": [ - 2.5, - 135.0 - ] - }, - "R": { - "polar": [ - 2.5, - 225.0 - ] - }, - "S": { - "polar": [ - 2.5, - 315.0 - ] - }, - "T": { - "mid": [ - "A", - "B" - ] - }, - "U": { - "mid": [ - "C", - "D" - ] - } + ] }, "items": [ { "type": "circle", "center": "O", - "r": 3.0 + "r": 3.0, + "color": "blue" }, { - "type": "polygon", - "points": [ + "type": "regularPolygon", + "n": 12, + "r": 3.0, + "names": [ "A", "B", "C", "D", - "P", - "Q", - "R", - "S" + "E", + "F", + "G", + "H", + "I", + "J", + "K", + "L" ] + }, + { + "type": "point", + "point": "O" } ], "grid": false @@ -53914,13 +53638,11 @@ { "title": "محاسبه محیط دایره با استفاده از قطر داده شده", "introText": "۱. قطر دایره را مشخص کنید.\n۲. از فرمول محیط دایره استفاده کنید: محیط = π × قطر.\n۳. مقدار π را برابر ۳.۱۴ در نظر بگیرید.\n۴. قطر را در ۳.۱۴ ضرب کنید تا محیط دایره به دست آید.", - "example": "محیط دایره‌ای که قطر آن ۴ سانتی‌متر است را محاسبه کنید.", + "example": "محیط دایره‌ای را که قطر آن ۴ سانتی‌متر است حساب کنید (π = ۳٫۱۴).", "steps": [ - "قطر دایره برابر ۴ سانتی‌متر است.", - "برای محاسبه محیط، از فرمول محیط = π × قطر استفاده می‌کنیم.", - "مقدار π را برابر ۳.۱۴ در نظر می‌گیریم.", - "محیط = ۳.۱۴ × ۴ = ۱۲.56 سانتی‌متر.", - "✅ جواب: 12.56" + "محیط = π × قطر.", + "۳٫۱۴ × ۴ = ۱۲٫۵۶.", + "✅ جواب: ۱۲٫۵۶ سانتی‌متر" ], "figures": [ { @@ -54019,12 +53741,11 @@ { "title": "محاسبه طول مسیر حرکت عقربه دقیقه‌شمار ساعت", "introText": "1. ابتدا طول مسیر حرکت عقربه دقیقه‌شمار در یک دور کامل ساعت را مشخص کنید.\n2. برای نیم ساعت، طول مسیر را نصف کنید.\n3. برای ربع ساعت، طول مسیر را تقسیم بر چهار کنید.\n4. نتایج را به سانتی‌متر بیان کنید.", - "example": "طول مسیر حرکت عقربه دقیقه‌شمار یک ساعت 60 سانتی‌متر است. برای محاسبه طول مسیر حرکت عقربه در نیم ساعت، این مقدار را نصف می‌کنیم. بنابراین، طول مسیر در نیم ساعت برابر با 60 ÷ 2 = 30 سانتی‌متر خواهد بود. برای محاسبه طول مسیر در ربع ساعت، این مقدار را تقسیم بر چهار می‌کنیم. بنابراین، طول مسیر در ربع ساعت برابر با 60 ÷ 4 = 15 سانتی‌متر خواهد بود.", + "example": "عقربهٔ دقیقه‌شمار در یک ساعت مسیری به طول ۶۰ سانتی‌متر می‌پیماید. در نیم ساعت و در ربع ساعت چند سانتی‌متر می‌پیماید؟", "steps": [ - "طول مسیر حرکت عقربه دقیقه‌شمار در یک دور کامل 60 سانتی‌متر است.", - "برای نیم ساعت، طول مسیر را نصف می‌کنیم: 60 ÷ 2 = 30 سانتی‌متر.", - "برای ربع ساعت، طول مسیر را تقسیم بر چهار می‌کنیم: 60 ÷ 4 = 15 سانتی‌متر.", - "✅ جواب: 15 سانتی‌متر" + "نیم ساعت نصف ساعت است: ۶۰ ÷ ۲ = ۳۰.", + "ربع ساعت یک‌چهارم ساعت است: ۶۰ ÷ ۴ = ۱۵.", + "✅ جواب: ۳۰ سانتی‌متر و ۱۵ سانتی‌متر" ], "figures": [ { @@ -54574,7 +54295,8 @@ "steps": [ "تعداد واحدهای مکعبی در یک طبقه برابر ۱۵ است.", "تعداد طبقات برابر ۴ است.", - "حجم کل برابر است با ۱۵ × ۴ = ۶۰ سانتی‌متر مکعب." + "حجم کل برابر است با ۱۵ × ۴ = ۶۰ سانتی‌متر مکعب.", + "✅ جواب: ۶۰ سانتی‌متر مکعب" ] }, { @@ -54732,7 +54454,8 @@ "introText": "برای یافتن حجم مکعب مستطیل، طول، عرض و ارتفاع آن را در هم ضرب می‌کنیم. فرمول حجم = طول × عرض × ارتفاع است.", "example": "طول، عرض و ارتفاع کتابی ۲۵ و ۲۰ و ۱ سانتی‌متر است. حجم این کتاب چقدر است؟", "steps": [ - "حجم کتاب = طول × عرض × ارتفاع = 25 × 20 × 1 = 500 سانتی‌متر مکعب." + "حجم کتاب = طول × عرض × ارتفاع = 25 × 20 × 1 = 500 سانتی‌متر مکعب.", + "✅ جواب: ۵۰۰ سانتی‌متر مکعب" ], "figures": [ { @@ -55261,13 +54984,12 @@ { "title": "محاسبه تعداد بسته‌های شیر بر اساس حجم و قیمت", "introText": "برای محاسبه تعداد بسته‌های شیر، ابتدا حجم کل مورد نیاز را بر حجم هر بسته تقسیم می‌کنیم تا تعداد بسته‌ها به دست آید. سپس با ضرب تعداد بسته‌ها در قیمت هر بسته، هزینه کل محاسبه می‌شود. برای مقایسه صرفه اقتصادی، هزینه کل هر گزینه را محاسبه و مقایسه می‌کنیم تا گزینه کم‌هزینه‌تر انتخاب شود.", - "example": "نیما برای تهیه یک دسر به 3 لیتر شیر نیاز دارد. قیمت پاکت‌های شیر یک لیتری 4000 تومان و قیمت پاکت‌های 500 میلی‌لیتری 2000 تومان است. نیما می‌تواند 3 پاکت شیر یک لیتری بخرد یا 1 پاکت شیر یک لیتری و 1 پاکت شیر 500 میلی‌لیتری بخرد. کدام گزینه برای او به صرفه‌تر است؟", + "example": "نیما برای دسر به ۳ لیتر شیر نیاز دارد. پاکت یک‌لیتری ۴۰۰۰ تومان و پاکت ۵۰۰ میلی‌لیتری ۲۲۰۰ تومان است. خرید ۳ پاکت یک‌لیتری ارزان‌تر است یا ۶ پاکت ۵۰۰ میلی‌لیتری؟", "steps": [ - "برای خرید 3 لیتر شیر، نیما می‌تواند 3 پاکت شیر یک لیتری بخرد که هزینه آن 3 × 4000 = 12000 تومان است.", - "یا نیما می‌تواند 1 پاکت شیر یک لیتری و 1 پاکت شیر 500 میلی‌لیتری بخرد. هزینه این گزینه 4000 + 2000 = 6000 تومان است.", - "نیما باید هزینه‌ها را مقایسه کند: 12000 تومان برای 3 پاکت یک لیتری و 6000 تومان برای 1 پاکت یک لیتری و 1 پاکت 500 میلی‌لیتری.", - "گزینه دوم (1 پاکت یک لیتری و 1 پاکت 500 میلی‌لیتری) هزینه کمتری دارد. بنابراین این گزینه مناسب‌تر است.", - "✅ جواب: 6000 تومان" + "۳ پاکت یک‌لیتری: ۳ × ۴۰۰۰ = ۱۲٬۰۰۰ تومان (۳ لیتر).", + "۶ پاکت ۵۰۰ میلی‌لیتری: ۶ × ۲۲۰۰ = ۱۳٬۲۰۰ تومان (۶ × ۵۰۰ = ۳۰۰۰ میلی‌لیتر = ۳ لیتر).", + "۱۲٬۰۰۰ < ۱۳٬۲۰۰.", + "✅ جواب: ۳ پاکت یک‌لیتری به‌صرفه‌تر است (۱۲٬۰۰۰ تومان)" ] }, { @@ -55294,25 +55016,22 @@ { "title": "نوشتن حجم به صورت عدد مخلوط و عدد اعشاری", "introText": "برای نوشتن حجم به صورت عدد مخلوط و عدد اعشاری، ابتدا حجم کل را به واحد لیتر یا سانتی‌متر مکعب می‌سنجیم. سپس حجم کامل و حجم جزئی را جدا کرده و به صورت عدد مخلوط (عدد صحیح و کسر) و عدد اعشاری تبدیل می‌کنیم.", - "example": "در ظرف اندازه‌گیری، حجم مایعات به صورت زیر نوشته شده است: 0.5 لیتر، 1/2 لیتر، 3/4 لیتر، 500 سانتی‌متر مکعب، 2500 سانتی‌متر مکعب. عبارت مناسب برای جای خالی‌ها را بنویسید.", + "example": "۱/۲ لیتر و ۳/۴ لیتر شیر چند سانتی‌متر مکعب است؟", "steps": [ - "0.5 لیتر برابر با 500 سانتی‌متر مکعب است چون 0.5 × 1000 = 500.", - "1/2 لیتر برابر با 500 سانتی‌متر مکعب است چون 1/2 = 0.5 و 0.5 × 1000 = 500.", - "3/4 لیتر برابر با 750 سانتی‌متر مکعب است چون 3/4 = 0.75 و 0.75 × 1000 = 750.", - "500 سانتی‌متر مکعب برابر با 0.5 لیتر است چون 500 ÷ 1000 = 0.5.", - "2500 سانتی‌متر مکعب برابر با 2.5 لیتر است چون 2500 ÷ 1000 = 2.5.", - "✅ جواب: تبدیل‌ها درست هستند." + "۱ لیتر = ۱۰۰۰ سانتی‌متر مکعب.", + "۱/۲ = ۰٫۵ و ۰٫۵ × ۱۰۰۰ = ۵۰۰.", + "۳/۴ = ۰٫۷۵ و ۰٫۷۵ × ۱۰۰۰ = ۷۵۰.", + "✅ جواب: ۵۰۰ و ۷۵۰ سانتی‌متر مکعب" ] }, { "title": "محاسبه حجم کل با استفاده از حجم ظرف و تعداد افراد", "introText": "برای محاسبه حجم کل مورد نیاز، حجم هر ظرف را در تعداد افراد ضرب می‌کنیم. اگر حجم ظرف بر حسب سی‌سی باشد، می‌توان آن را به لیتر تبدیل کرد یا مستقیماً محاسبه را انجام داد.", - "example": "در یک جشن، هر نفر 250 سی‌سی شربت نیاز دارد و تعداد مهمانان 30 نفر است. برای محاسبه حجم کل شربت مورد نیاز، ابتدا حجم شربت برای یک نفر را در تعداد نفرات ضرب می‌کنیم.", + "example": "در یک جشن هر نفر ۲۵۰ سی‌سی شربت لازم دارد و ۳۰ مهمان داریم. چند لیتر شربت لازم است؟", "steps": [ - "حجم شربت برای یک نفر 250 سی‌سی است.", - "حجم کل شربت مورد نیاز را محاسبه می‌کنیم: 250 × 30 = 7500 سی‌سی.", - "برای تبدیل سی‌سی به لیتر، 7500 سی‌سی را بر 1000 تقسیم می‌کنیم: 7500 ÷ 1000 = 7.5 لیتر.", - "✅ جواب: 7.5" + "۲۵۰ × ۳۰ = ۷۵۰۰ سی‌سی.", + "۱۰۰۰ سی‌سی = ۱ لیتر، پس ۷۵۰۰ ÷ ۱۰۰۰ = ۷٫۵.", + "✅ جواب: ۷٫۵ لیتر" ] }, { @@ -55660,7 +55379,7 @@ "introText": "1. شکل‌های هندسی مختلف مانند مثلث، مستطیل، ذوزنقه، استوانه، مکعب و دایره را در یک جعبه قرار دهید. 2. بدون دیدن، با دست شکل‌ها را لمس کنید و ویژگی‌های آن‌ها را بررسی کنید (مثلاً تعداد وجه‌ها، انحنای سطح، زاویه‌ها). 3. حدس بزنید هر شکل چیست و ویژگی‌های آن را بنویسید. 4. نام شکل را مشخص کنید.", "example": "کره را با لمس چگونه توصیف می‌کنید؟", "steps": [ - "سطح خمیده و صاف دارد.", + "سطحی یکپارچه و خمیده دارد.", "لبه و رأس ندارد.", "✅ جواب: کره ، بدون لبه و رأس" ], @@ -55765,11 +55484,11 @@ { "title": "مقایسه نمودارهای ستونی و بیان تفاوت‌ها و شباهت‌ها", "introText": "1. هر دو نمودار را به دقت بررسی کنید.\n2. محور افقی و عمودی هر نمودار را بخوانید و موضوع آن‌ها را مشخص کنید.\n3. تفاوت‌ها را در محور عمودی یا مقادیر داده‌ها پیدا کنید.\n4. شباهت‌ها را در ساختار نمودار یا مقادیر مشابه بیابید.\n5. تفاوت‌ها و شباهت‌ها را به صورت جمله بیان کنید.", - "example": "نمودار مبین (ستونی) مدت بازی (ساعت) را برای پنج نفر نشان می‌دهد: پویا 6، مبین 4.5، مانی 5، آرمان 5، امیر 5.5. عنوان محور افقی نام بچه‌ها و محور عمودی مدت بازی (ساعت) است. مانی و مبین را با هم مقایسه کنید.", + "example": "نمودار ستونی مدت بازی (ساعت) پنج نفر را نشان می‌دهد: پویا ۶ ، مبین ۴٫۵ ، مانی ۵ ، آرمان ۵ ، امیر ۵٫۵. مانی و مبین را مقایسه کنید.", "steps": [ - "مدت بازی مانی 5 ساعت و مدت بازی مبین 4.5 ساعت است.", - "بنابراین مانی 0.5 ساعت بیشتر از مبین بازی کرده است.", - "✅ جواب: مانی ۵ ساعت، مبین ۴/۵ ساعت، بنابراین مانی ۰/۵ ساعت بیشتر بازی کرده است." + "مانی ۵ ساعت و مبین ۴٫۵ ساعت بازی کرده است.", + "۵ − ۴٫۵ = ۰٫۵.", + "✅ جواب: مانی ۰٫۵ ساعت بیشتر بازی کرده است" ] }, { @@ -56326,12 +56045,12 @@ { "title": "تشخیص و بیان احتمال وقوع یک رویداد با استفاده از عبارات خاص", "introText": "1. رویداد مورد نظر را به دقت بررسی کنید.\n2. با توجه به شرایط و اطلاعات داده شده، احتمال وقوع آن را تخمین بزنید.\n3. از عبارات خاص مانند «احتمال دارد»، «احتمالش کم است»، «به طور حتم اتفاق نمی‌افتد»، «شاید»، «به احتمال برابر» و «به طور حتم» برای بیان احتمال استفاده کنید.\n4. جمله‌ای بسازید که احتمال وقوع رویداد را به درستی بیان کند.", - "example": "«حتماً» ، «ممکن است» و «غیرممکن» را برای سکه توضیح دهید.", + "example": "برای پرتاب یک سکه، یک رویداد «حتماً» ، یک رویداد «ممکن است» و یک رویداد «غیرممکن» بنویسید.", "steps": [ - "رو آمدن: ممکن است.", "رو یا پشت آمدن: حتماً.", - "سه‌گوش آمدن: غیرممکن.", - "✅ جواب: ممکن ، حتماً ، غیرممکن" + "رو آمدن: ممکن است.", + "هم‌زمان رو و پشت آمدن: غیرممکن.", + "✅ جواب: حتماً ، ممکن است ، غیرممکن" ] }, { @@ -56467,25 +56186,21 @@ { "title": "تشخیص برنده در بازی چرخنده", "introText": "1. موقعیت عقربه چرخنده را بررسی کنید. 2. اگر عقربه روی رنگ مشخصی ایستاد، بازیکن مربوط به آن رنگ برنده است. 3. اگر عقربه روی رنگ دیگری ایستاد، بازیکن دوم برنده است. 4. نتیجه را بر اساس رنگ ایستادن عقربه اعلام کنید.", - "example": "در یک بازی چرخنده، عقربه روی رنگ سبز ایستاده است. بازیکن اول برنده است.", + "example": "در بازی چرخنده اگر عقربه روی سبز بایستد بازیکن اول و اگر روی قرمز بایستد بازیکن دوم برنده است. عقربه روی سبز ایستاد. چه کسی برنده است؟", "steps": [ - "عقربه چرخنده را بررسی می‌کنیم.", - "عقربه روی رنگ سبز ایستاده است.", - "طبق قوانین، اگر عقربه روی رنگ سبز باشد، بازیکن اول برنده است.", - "✅ جواب: بازیکن اول برنده است." + "عقربه روی سبز ایستاده است.", + "سبز یعنی بازیکن اول برنده است.", + "✅ جواب: بازیکن اول" ] }, { "title": "تقسیم تیله‌ها برای بازی عادلانه", "introText": "1. تعداد کل تیله‌ها را مشخص کنید. 2. تعداد تیله‌های هر رنگ را تعیین کنید. 3. برای بازی عادلانه، تعداد تیله‌های هر رنگ را به گونه‌ای تقسیم کنید که احتمال برد هر بازیکن برابر باشد. 4. تعداد تیله‌های هر رنگ را به طور مساوی یا متناسب بین بازیکنان تقسیم کنید.", - "example": "ما ۳۰ تیله داریم که شامل تیله‌های آبی و سبز است. برای اینکه بازی عادلانه باشد، باید تعداد تیله‌های آبی و سبز برابر باشد. بنابراین، تعداد تیله‌های آبی را x و تعداد تیله‌های سبز را y در نظر می‌گیریم. از آنجا که مجموع تیله‌ها ۳۰ است، داریم: x + y = 30. همچنین برای عادلانه بودن بازی، باید x = y باشد. با حل این دو معادله، می‌توانیم تعداد تیله‌های هر رنگ را پیدا کنیم.", + "example": "۳۰ تیلهٔ آبی و سبز داریم. برای اینکه بازی عادلانه باشد تعداد تیله‌های دو رنگ باید برابر باشد. هر رنگ چند تیله دارد؟", "steps": [ - "فرض می‌کنیم تعداد تیله‌های آبی x و تعداد تیله‌های سبز y باشد.", - "از آنجا که مجموع تیله‌ها ۳۰ است، داریم: x + y = 30.", - "برای عادلانه بودن بازی، باید x = y باشد.", - "با جایگزینی y با x در معادله اول، داریم: x + x = 30.", - "این معادله را حل می‌کنیم: 2x = 30، پس x = 15.", - "✅ جواب: 15" + "مجموع ۳۰ است و دو رنگ برابرند.", + "۳۰ ÷ ۲ = ۱۵.", + "✅ جواب: ۱۵ تیلهٔ آبی و ۱۵ تیلهٔ سبز" ] }, { @@ -56570,12 +56285,11 @@ { "title": "رنگ‌آمیزی چرخنده برای برابری یا برتری احتمال ایستادن عقربه روی رنگ‌ها", "introText": "برای رنگ‌آمیزی چرخنده به گونه‌ای که احتمال ایستادن عقربه روی یک رنگ با رنگ دیگر برابر یا بیشتر باشد، باید تعداد قسمت‌های مربوط به هر رنگ را به گونه‌ای تنظیم کنیم که کسر مربوط به آن رنگ‌ها برابر یا یکی بیشتر از دیگری باشد. تعداد کل قسمت‌ها و تعداد قسمت‌های هر رنگ را طوری انتخاب می‌کنیم که شرایط مسئله برقرار شود.", - "example": "احتمال اینکه عقربه در هر یک از چرخنده‌های زیر روی رنگ سبز بایستد، با کدام عبارت مشخص می‌شود؟ چرخنده اول 3 بخش سبز و 5 بخش صورتی دارد.", + "example": "چرخنده‌ای ۸ بخش مساوی دارد: ۳ بخش سبز و ۵ بخش صورتی. احتمال اینکه عقربه روی سبز بایستد چقدر است؟", "steps": [ - "تعداد بخش‌های سبز = 3", - "تعداد کل بخش‌ها = 8", - "احتمال = 3/8", - "بنابراین احتمال اینکه عقربه روی رنگ سبز بایستد برابر 3 هشتم است." + "تعداد بخش‌های سبز ۳ و کل بخش‌ها ۸ است.", + "احتمال = ۳/۸.", + "✅ جواب: ۳/۸" ] }, { @@ -57483,13 +57197,11 @@ { "title": "تعیین محل عدد روی محور", "introText": "برای تعیین محل عدد روی محور، ابتدا محور را با توجه به بازه مشخص شده تقسیم‌بندی کنید. سپس عدد مورد نظر را با توجه به موقعیت آن در بازه مشخص کنید و محل آن را روی محور علامت‌گذاری کنید.", - "example": "محل عدد ۴۵ را روی محور عددی مشخص کنید.", + "example": "محل عدد ۴۵ را روی محوری که از ۰ تا ۱۰۰ است مشخص کنید.", "steps": [ - "محور عددی را از ۰ تا ۱۰۰ تقسیم‌بندی می‌کنیم.", - "عدد ۴۵ در بازه ۰ تا ۱۰۰ قرار دارد.", - "عدد ۴۵ را روی محور عددی در نقطه‌ای که بین ۴۰ و ۵۰ است علامت‌گذاری می‌کنیم.", - "محل عدد ۴۵ در محور عددی مشخص شد.", - "✅ جواب: ۴۵" + "محور از ۰ تا ۱۰۰ است و ۵۰ وسط آن است.", + "۴۵ کمی کمتر از ۵۰ است، پس بین ۴۰ و ۵۰ و نزدیک وسط محور قرار می‌گیرد.", + "✅ جواب: بین ۴۰ و ۵۰ ، کمی قبل از وسط محور" ], "figures": [ { @@ -57762,12 +57474,11 @@ { "title": "جمع اعداد فرد و زوج", "introText": "برای حل این نوع مسئله، ابتدا مسیر مشخص شده را دنبال کنید و تعداد توپ‌های فرد و زوج را جداگانه شمارش کنید. سپس مجموع توپ‌های فرد و مجموع توپ‌های زوج را محاسبه کنید.", - "example": "در یک جعبه ۱۲ توپ وجود دارد که ۷ توپ آن فرد و ۵ توپ آن زوج هستند. تعداد کل توپ‌های فرد و زوج را محاسبه کنید.", + "example": "مجموع دو عدد فرد ۷ و ۵ را حساب کنید. حاصل زوج است یا فرد؟", "steps": [ - "تعداد توپ‌های فرد ۷ است.", - "تعداد توپ‌های زوج ۵ است.", - "مجموع توپ‌های فرد و زوج را محاسبه می‌کنیم: ۷ + ۵ = ۱۲.", - "✅ جواب: 12" + "۷ + ۵ = ۱۲.", + "۱۲ بر ۲ بخش‌پذیر است، پس زوج است.", + "✅ جواب: ۱۲ ؛ زوج" ] }, { @@ -57787,7 +57498,8 @@ "مخرج مشترک ۵۶ است.", "کسرها به ۸/۵۶ و ۷/۵۶ تبدیل می‌شوند.", "سپس صورت‌ها جمع می‌شوند: ۸ + ۷ = ۱۵.", - "بنابراین جواب برابر است با ۱۵/۵۶." + "بنابراین جواب برابر است با ۱۵/۵۶.", + "✅ جواب: ۱۵/۵۶" ], "figures": [ { @@ -58084,7 +57796,8 @@ "steps": [ "۲ برابر عدد ۲: ۲ × ۲ = ۴.", "مقدار افزایش: ۴ - ۲ = ۲.", - "درصد افزایش: (۲ ÷ ۲) × ۱۰۰ = ۱۰۰٪." + "درصد افزایش: (۲ ÷ ۲) × ۱۰۰ = ۱۰۰٪.", + "✅ جواب: ۱۰۰٪" ] }, { @@ -58165,13 +57878,12 @@ { "title": "مقایسه الگوها", "introText": "برای مقایسه الگوها، ابتدا هر الگو را به دقت بررسی کنید و رابطه بین اجزای آن را مشخص کنید. سپس شباهت‌ها و تفاوت‌های بین الگوها را پیدا کنید و آن‌ها را توضیح دهید.", - "example": "در یک باغ، ۳ درخت سیب و ۵ درخت گلابی کاشته شده است. اگر هر درخت سیب ۴ میوه و هر درخت گلابی ۳ میوه داشته باشد، مجموع میوه‌های درختان را حساب کنید و با هم مقایسه کنید.", + "example": "در باغی ۳ درخت سیب و ۵ درخت گلابی هست. هر درخت سیب ۴ میوه و هر درخت گلابی ۳ میوه دارد. میوهٔ کدام درختان بیشتر است و مجموع میوه‌ها چقدر است؟", "steps": [ - "محاسبه میوه‌های درختان سیب: ۳ × ۴ = ۱۲ میوه", - "محاسبه میوه‌های درختان گلابی: ۵ × ۳ = ۱۵ میوه", - "جمع میوه‌های درختان: ۱۲ + ۱۵ = ۲۷ میوه", - "مقایسه میوه‌ها: درختان گلابی میوه‌های بیشتری دارند.", - "✅ جواب: ۲۷" + "سیب: ۳ × ۴ = ۱۲ میوه.", + "گلابی: ۵ × ۳ = ۱۵ میوه.", + "مجموع: ۱۲ + ۱۵ = ۲۷ میوه.", + "✅ جواب: گلابی بیشتر است (۱۵ در برابر ۱۲)؛ مجموع ۲۷ میوه" ] }, { @@ -58188,10 +57900,11 @@ { "title": "نمایش اعداد روی محور", "introText": "برای نمایش اعداد روی محور، ابتدا محور را رسم کنید و نقاط مشخص شده را با توجه به مقدار عدد و جهت مثبت یا منفی روی محور علامت‌گذاری کنید.", - "example": "محل عدد ۱۴۹۰۰۰۰۶۸ را روی محور نشان دهید.", + "example": "محل عدد ۱۴۹٬۰۰۰٬۰۶۸ را روی محوری از ۱۰۰ میلیون تا ۲۰۰ میلیون مشخص کنید.", "steps": [ - "عدد ۱۴۹۰۰۰۰۶۸ بین ۱۰۰ میلیون و ۲۰۰ میلیون قرار دارد و نزدیک‌تر به ۱۵۰ میلیون است.", - "✅ جواب: ۱۵۰,۰۰۰,۰۰۰ (۱۵۰ میلیون)" + "وسط محور ۱۵۰ میلیون است.", + "۱۴۹٬۰۰۰٬۰۶۸ کمی کمتر از ۱۵۰ میلیون است.", + "✅ جواب: بین ۱۰۰ و ۲۰۰ میلیون ، درست کمی قبل از وسط محور (۱۵۰ میلیون)" ] }, { @@ -58352,24 +58065,21 @@ { "title": "بسته‌بندی و تقسیم", "introText": "۱. مقدار کل را به صورت کسر بنویسید. ۲. مقدار هر بسته را به صورت کسر بنویسید. ۳. مقدار کل را بر مقدار هر بسته تقسیم کنید. ۴. حاصل را ساده کنید (در صورت امکان).", - "example": "ما ۶ کیلو برنج داریم و می‌خواهیم آن را در بسته‌های ۱/۵ کیلوگرمی بسته‌بندی کنیم. تعداد بسته‌ها چند تا است؟", + "example": "۶ کیلوگرم برنج را در بسته‌های ۱٫۵ کیلوگرمی بسته‌بندی می‌کنیم. چند بسته می‌شود؟", "steps": [ - "مقدار کل برنج را به صورت کسر می‌نویسیم: ۶ = ۶/۱.", - "مقدار هر بسته را به صورت کسر می‌نویسیم: ۱/۵ = 3/2.", - "حال مقدار کل را بر مقدار هر بسته تقسیم می‌کنیم: ۶/۱ ÷ 3/2 = ۶/۱ × ۲/۳ = ۱۲/۳ = ۴.", - "حاصل را ساده می‌کنیم: ۴ عدد است و ساده‌سازی نمی‌خواهد.", - "✅ جواب: 4" + "۱٫۵ = ۳/۲ و ۶ = ۶/۱.", + "۶ ÷ ۳/۲ = ۶ × ۲/۳ = ۱۲/۳ = ۴.", + "✅ جواب: ۴ بسته" ] }, { "title": "ترتیب کسرها", "introText": "برای مرتب کردن کسرها از کوچک به بزرگ یا برعکس، ابتدا کسرها را به صورت اعشاری تبدیل کنید یا مخرج مشترک بگیرید. سپس مقدار عددی هر کسر را مقایسه کنید و ترتیب مناسب را مشخص کنید.", - "example": "۱/۳، ۱/۶، ۵/۱۸، ۱/۵ را از بزرگ به کوچک مرتب کنید.", + "example": "کسرهای ۱/۳ ، ۱/۶ ، ۵/۱۸ و ۱/۵ را از بزرگ به کوچک مرتب کنید.", "steps": [ - "مخرج مشترک برابر با ۱۸ است.", - "کسرها به ترتیب تبدیل می‌شوند به: ۶/۱۸، ۳/۱۸، ۵/۱۸، 4/18.", - "ترتیب از بزرگ به کوچک: ۶/۱۸، ۵/۱۸، ۴/۱۸، ۳/۱۸.", - "✅ جواب: مرتب‌شده: ۱/۳، ۵/۱۸، ۱/۵، ۱/۶" + "مخرج مشترک ۹۰: ۱/۳ = ۳۰/۹۰ ، ۱/۶ = ۱۵/۹۰ ، ۵/۱۸ = ۲۵/۹۰ ، ۱/۵ = ۱۸/۹۰.", + "از بزرگ به کوچک: ۳۰ ، ۲۵ ، ۱۸ ، ۱۵.", + "✅ جواب: ۱/۳ ، ۵/۱۸ ، ۱/۵ ، ۱/۶" ] }, { @@ -58497,7 +58207,8 @@ "steps": [ "ابتدا کسر دوم را معکوس می‌کنیم: ۵/۲.", "سپس دو کسر را ضرب می‌کنیم: (۳×۵)/(۴×۲) = ۱۵/۸.", - "پاسخ نهایی: ۱۵/۸." + "پاسخ نهایی: ۱۵/۸.", + "✅ جواب: ۱۵/۸" ], "figures": [ { @@ -58801,7 +58512,8 @@ "example": "کدام محاسبه درست انجام شده است؟ ۲/۵ + ۱/۵ = ۳/۵ یا ۲/۵ + ۱/۵ = ۴/۵", "steps": [ "ابتدا مخرج مشترک داریم: ۲/۵ + ۱/۵ = (۲+۱)/۵ = ۳/۵.", - "بنابراین محاسبه درست: ۲/۵ + ۱/۵ = ۳/۵." + "بنابراین محاسبه درست: ۲/۵ + ۱/۵ = ۳/۵.", + "✅ جواب: ۲/۵ + ۱/۵ = ۳/۵" ], "figures": [ { @@ -59019,7 +58731,8 @@ "example": "۸/۱۲ را ساده کنید.", "steps": [ "صورت و مخرج کسر را بر ۴ تقسیم می‌کنیم: ۸ ÷ ۴ = ۲ و ۱۲ ÷ ۴ = ۳.", - "بنابراین کسر ساده‌شده برابر است با ۲/۳." + "بنابراین کسر ساده‌شده برابر است با ۲/۳.", + "✅ جواب: ۲/۳" ], "figures": [ { @@ -59064,7 +58777,8 @@ "صورت‌ها را ضرب می‌کنیم: ۳ × ۲ = ۶.", "مخرج‌ها را ضرب می‌کنیم: ۵ × ۷ = ۳۵.", "کسر حاصل: ۶/۳۵.", - "این کسر قابل ساده کردن نیست." + "این کسر قابل ساده کردن نیست.", + "✅ جواب: ۶/۳۵" ], "figures": [ { @@ -59326,9 +59040,10 @@ { "title": "مرتب‌سازی کسرها", "introText": "برای مرتب‌سازی کسرها، ابتدا کسرها را به صورت هم‌مخرج تبدیل کنید. سپس صورت کسرها را با یکدیگر مقایسه کنید و آن‌ها را به ترتیب صعودی یا نزولی مرتب کنید.", - "example": "کسرهای ۳/۴ ، ۲/۳ ، ۵/۶ را مرتب کنید.", + "example": "کسرهای ۳/۴ ، ۲/۳ و ۵/۶ را از کوچک به بزرگ مرتب کنید.", "steps": [ - "مخرج ۱۲: ۹/۱۲ ، ۸/۱۲ ، ۱۰/۱۲.", + "مخرج مشترک ۱۲: ۳/۴ = ۹/۱۲ ، ۲/۳ = ۸/۱۲ ، ۵/۶ = ۱۰/۱۲.", + "از کوچک به بزرگ: ۸ ، ۹ ، ۱۰.", "✅ جواب: ۲/۳ ، ۳/۴ ، ۵/۶" ] }, @@ -59374,7 +59089,8 @@ "ابتدا مخرج مشترک پیدا می‌کنیم: مخرج مشترک ۸ است.", "کسر دوم را به مخرج مشترک تبدیل می‌کنیم: ۳/۴ = ۶/۸.", "حالا صورت‌ها را مقایسه می‌کنیم: ۵/۸ < ۶/۸.", - "بنابراین، ۳/۴ بزرگ‌تر است." + "بنابراین، ۳/۴ بزرگ‌تر است.", + "✅ جواب: ۳/۴ بزرگ‌تر است" ], "figures": [ { @@ -59817,9 +59533,11 @@ { "title": "تبدیل کسر به عدد اعشاری", "introText": "برای تبدیل کسر به عدد اعشاری، صورت کسر را بر مخرج تقسیم کنید و نتیجه را به صورت اعشاری بنویسید.", - "example": "۷ ÷ ۳", + "example": "۷ ÷ ۳ را تا دو رقم اعشار حساب کنید.", "steps": [ - "۷ را بر ۳ تقسیم می‌کنیم که حاصل ۲.۳۳ است." + "۷ ÷ ۳ = ۲ با باقی‌مانده ۱.", + "ادامهٔ تقسیم: ۱۰ ÷ ۳ = ۳ ، باز هم باقی‌مانده ۱ ، پس رقم‌های ۳ تکرار می‌شوند: ۲٫۳۳۳…", + "✅ جواب: ۲٫۳۳ (تقریباً)" ] } ] @@ -59902,9 +59620,11 @@ { "title": "تقسیم اعداد اعشاری", "introText": "برای تقسیم اعداد اعشاری، ابتدا اگر عدد مقسوم علیه اعشاری است، آن را به عدد صحیح تبدیل کنید (با ضرب در ۱۰، ۱۰۰ و غیره). سپس عملیات تقسیم را انجام دهید. در نهایت، ممیز را در جای مناسب قرار دهید.", - "example": "۷/۵ لیتر آب‌میوه داریم. آب‌میوه را در ۶ لیوان به طور مساوی تقسیم کردیم. در هر لیوان چقدر آب‌میوه ریخته شده است؟", + "example": "۷٫۵ لیتر آب‌میوه را بین ۶ لیوان به‌طور مساوی تقسیم می‌کنیم. در هر لیوان چند لیتر ریخته می‌شود؟", "steps": [ - "۷/۵ ÷ ۶ = ۱/۲۵ لیتر در هر لیوان" + "۷٫۵ ÷ ۶ = ۷۵۰ ÷ ۶۰۰ = ۱٫۲۵.", + "وارسی: ۶ × ۱٫۲۵ = ۷٫۵.", + "✅ جواب: ۱٫۲۵ لیتر" ] }, { @@ -60089,10 +59809,13 @@ { "title": "جمع و تفریق اعداد اعشاری", "introText": "برای جمع و تفریق اعداد اعشاری، ابتدا اعداد را به صورت عمودی زیر هم قرار دهید و سپس عملیات جمع یا تفریق را از سمت راست به چپ انجام دهید. دقت کنید که نقاط اعشار در یک ستون قرار گیرند.", - "example": "۴/۲۷۹ - ۲/۳۵۸ را محاسبه کنید.", + "example": "۴٫۲۷۹ − ۲٫۳۵۸ را حساب کنید.", "steps": [ - "۴/۲۷۹ - ۲/۳۵۸ = ۱/۹۲۱", - "✅ جواب: 1.921" + "هزارم: ۹ − ۸ = ۱.", + "صدم: ۷ − ۵ = ۲.", + "دهم: ۲ − ۳ نمی‌شود؛ قرض: ۱۲ − ۳ = ۹.", + "یکان: ۳ − ۲ = ۱ (یکی قرض داده شد).", + "✅ جواب: ۱٫۹۲۱" ] }, { @@ -60200,10 +59923,10 @@ { "title": "ضرب اعداد اعشاری", "introText": "برای ضرب اعداد اعشاری، ابتدا اعداد را بدون در نظر گرفتن ممیز ضرب کنید. سپس تعداد ارقام بعد از ممیز در هر دو عدد را بشمارید و ممیز را در پاسخ به همان تعداد ارقام به سمت چپ منتقل کنید.", - "example": "۲ × ۰/۳ =", + "example": "۲ × ۰٫۳ را حساب کنید.", "steps": [ - "۲ × ۰/۳ = ۰/۶", - "✅ جواب: 0.6" + "۲ × ۳ دهم = ۶ دهم.", + "✅ جواب: ۰٫۶" ] }, { @@ -63523,10 +63246,10 @@ { "title": "اندازه‌گیری با واحدهای غیر استاندارد", "introText": "برای اندازه‌گیری با واحدهای غیر استاندارد، از یک واحد مشخص مانند طول دست یا قدم استفاده کنید. تعداد واحدهای مورد نیاز برای پوشش طول جسم را بشمارید و در جدول ثبت کنید.", - "example": "طول میزی ۵ وجب است. اگر وجب شما ۱۸ سانتی‌متر باشد؟", + "example": "طول میزی ۵ وجب است و وجب شما ۱۸ سانتی‌متر است. طول میز چند سانتی‌متر است؟", "steps": [ "۵ × ۱۸ = ۹۰.", - "✅ جواب: ۹۰ سانتی‌متر ؛ واحدهای غیراستاندارد از فردی به فرد دیگر فرق دارند" + "✅ جواب: ۹۰ سانتی‌متر (واحدهای غیراستاندارد از فردی به فرد دیگر فرق دارند)" ] }, { @@ -63574,7 +63297,8 @@ "introText": "برای تبدیل واحدها، ابتدا باید بدانیم که هر واحد چند برابر یا کسری از واحد دیگر است. سپس با استفاده از ضرب یا تقسیم، مقدار مورد نظر را به واحد جدید تبدیل می‌کنیم.", "example": "۱ متر = چند سانتی‌متر؟", "steps": [ - "۱ متر = ۱۰۰ سانتی‌متر" + "۱ متر = ۱۰۰ سانتی‌متر", + "✅ جواب: ۱۰۰ سانتی‌متر" ] }, { @@ -63865,73 +63589,11 @@ { "title": "تکمیل جدول زوایا", "introText": "۱. زاویه‌های داده‌شده را بررسی کنید. ۲. برای هر زاویه، نوع آن (تند، قائم، باز، یا نیم‌صفحه) را مشخص کنید. ۳. اگر زاویه مکمل یا متقابل خواسته شده است، از روابط ۹۰ درجه یا ۱۸۰ درجه استفاده کنید.", - "example": "زاویه ۵۵ درجه را بررسی کنید. نوع این زاویه را مشخص کنید و زاویه مکمل آن را پیدا کنید.", + "example": "زاویه‌ای ۵۵ درجه است. نوع آن را بگویید و زاویهٔ متمم آن (تا ۹۰ درجه) را پیدا کنید.", "steps": [ - "زاویه ۵۵ درجه کمتر از ۹۰ درجه است، پس این زاویه تند است.", - "برای پیدا کردن زاویه مکمل، از ۹۰ درجه کم می‌کنیم: ۹۰ - ۵۵ = ۳۵ درجه.", - "زاویه مکمل ۵۵ درجه، ۳۵ درجه است.", - "✅ جواب: ۳۵ درجه" - ], - "figures": [ - { - "where": "example", - "diagram": { - "kind": "plane", - "title": "زاویهٔ ۵۵° و مکمل", - "axes": false, - "points": { - "A": [ - -3.0, - 0.0 - ], - "O": [ - 0.0, - 0.0 - ], - "B": [ - 3.0, - 0.0 - ], - "C": [ - 1.434, - 2.048 - ] - }, - "items": [ - { - "type": "segment", - "from": "A", - "to": "B", - "color": "blue" - }, - { - "type": "segment", - "from": "O", - "to": "C", - "color": "red" - }, - { - "type": "angle", - "vertex": "O", - "from": "B", - "to": "C", - "label": "۵۵°" - }, - { - "type": "angle", - "vertex": "O", - "from": "C", - "to": "A", - "label": "؟" - }, - { - "type": "point", - "point": "O" - } - ], - "grid": false - } - } + "۵۵ از ۹۰ کمتر است، پس زاویه تند است.", + "متمم: ۹۰ − ۵۵ = ۳۵ درجه.", + "✅ جواب: تند ؛ متمم ۳۵ درجه" ] } ] @@ -64575,7 +64237,8 @@ "example": "حجم مکعبی به ضلع ۱/۲ دسی‌متر چند دسی‌متر مکعب است؟", "steps": [ "حجم = طول ضلع × طول ضلع × طول ضلع.", - "حجم = ۱/۲ × ۱/۲ × ۱/۲ = ۱/۸ دسی‌متر مکعب." + "حجم = ۱/۲ × ۱/۲ × ۱/۲ = ۱/۸ دسی‌متر مکعب.", + "✅ جواب: ۱/۸ دسی‌متر مکعب" ], "figures": [ { @@ -66058,9 +65721,11 @@ { "title": "تکمیل جدول تناسب", "introText": "۱. ابتدا نسبت‌های داده‌شده را بررسی کنید. ۲. مقدار مجهول را با استفاده از ضرب و تقسیم تناسبی محاسبه کنید. ۳. مقدار به‌دست‌آمده را در جدول قرار دهید.", - "example": "جای‌های خالی را با عدد مناسب پر کنید: ۲۰/۱۰۰ = ۰/۲ = ...٪.", + "example": "جای خالی را پر کنید: ۲۰/۱۰۰ = ۰٫۲ = □٪.", "steps": [ - "۲۰/۱۰۰ = ۰/۲ = ۲۰٪." + "۲۰/۱۰۰ یعنی ۲۰ در هر ۱۰۰.", + "۲۰/۱۰۰ = ۰٫۲۰ = ۰٫۲.", + "✅ جواب: ۲۰٪" ], "figures": [ { @@ -66571,7 +66236,8 @@ "example": "کتابی را با ۲۰ درصد سود نسبت به قیمت خرید فروخته‌ام. قیمت فروش ۲۴۰۰۰ تومان بوده است. مقدار سود چند تومان است؟", "steps": [ "قیمت خرید = ۲۴۰۰۰ ÷ ۱.۲ = ۲۰۰۰۰ تومان.", - "مقدار سود = ۲۴۰۰۰ - ۲۰۰۰۰ = ۴۰۰۰ تومان." + "مقدار سود = ۲۴۰۰۰ - ۲۰۰۰۰ = ۴۰۰۰ تومان.", + "✅ جواب: ۴۰۰۰ تومان" ] } ] @@ -66672,13 +66338,12 @@ { "title": "محاسبه قیمت فروش با درصد سود", "introText": "۱. درصد سود را به عدد اعشاری تبدیل کنید (تقسیم بر ۱۰۰). ۲. عدد اعشاری را به ۱ اضافه کنید. ۳. عدد به‌دست‌آمده را در قیمت خرید ضرب کنید تا قیمت فروش به‌دست آید. ۴. برای محاسبه مقدار سود، قیمت خرید را از قیمت فروش کم کنید.", - "example": "کتابی را به قیمت ۲۵۰۰۰ تومان خریده‌ایم. قرار است آن را با ۱۵ درصد سود بفروشیم. قیمت فروش چقدر می‌شود؟ مقدار سود چند تومان است؟", + "example": "کتابی را ۲۵۰۰۰ تومان خریده‌ایم و با ۱۵٪ سود می‌فروشیم. قیمت فروش و مقدار سود چقدر است؟", "steps": [ - "درصد سود ۱۵ را به عدد اعشاری تبدیل می‌کنیم: ۱۵ ÷ ۱۰۰ = ۰.۱۵.", - "عدد اعشاری ۰.۱۵ را به ۱ اضافه می‌کنیم: ۱ + ۰.۱۵ = ۱.۱۵.", - "عدد ۱.۱۵ را در قیمت خرید ۲۵۰۰۰ تومان ضرب می‌کنیم: ۲۵۰۰۰ × ۱.۱۵ = ۲۸۷۵۰ تومان.", - "برای محاسبه مقدار سود، قیمت خرید را از قیمت فروش کم می‌کنیم: ۲۸۷۵۰ - ۲۵۰۰۰ = ۳۷۵۰ تومان.", - "✅ جواب: ۲۸۷۵۰ تومان" + "۱۵٪ = ۰٫۱۵ و ۱ + ۰٫۱۵ = ۱٫۱۵.", + "قیمت فروش: ۲۵۰۰۰ × ۱٫۱۵ = ۲۸٬۷۵۰ تومان.", + "سود: ۲۸۷۵۰ − ۲۵۰۰۰ = ۳۷۵۰ تومان.", + "✅ جواب: قیمت فروش ۲۸٬۷۵۰ تومان ؛ سود ۳٬۷۵۰ تومان" ] }, { @@ -66952,12 +66617,11 @@ { "title": "محاسبه نسبت", "introText": "برای محاسبه نسبت بین دو مقدار، ابتدا مقدار اول را بر مقدار دوم تقسیم کنید. سپس نتیجه را به صورت کسری یا عددی بیان کنید.", - "example": "با استفاده از تقویم امسال، نسبت تعداد روزهای تعطیل در هر ماه را به کل روزهای آن ماه پیدا کنید.", + "example": "ماهی ۳۰ روز دارد و ۶ روز آن تعطیل است. نسبت روزهای تعطیل به کل روزهای ماه را بنویسید و ساده کنید.", "steps": [ - "ابتدا تعداد روزهای تعطیل هر ماه را بشمارید.", - "سپس این تعداد را بر کل روزهای ماه تقسیم کنید.", - "اگر ماه ۳۰ روزه باشد و ۶ روز تعطیل داشته باشد، نسبت برابر است با ۶/۳۰ یا ۱/۵.", - "✅ جواب: نسبت ۶ به ۳۰ یا ۱ به ۵ است." + "نسبت: ۶ به ۳۰ ، یعنی ۶/۳۰.", + "بر ۶ ساده می‌کنیم: ۱/۵.", + "✅ جواب: ۶ به ۳۰ ، ساده‌شده ۱ به ۵" ] }, { @@ -67601,11 +67265,11 @@ { "title": "محاسبه مساحت با تقریب", "introText": "۱. طول و عرض مستطیل را مشخص کنید. \n۲. طول و عرض را در هم ضرب کنید تا مساحت دقیق به دست آید. \n۳. عدد به دست آمده را با توجه به شرایط مسئله به نزدیک‌ترین عدد گرد کنید.", - "example": "فرش‌فروشی برای محاسبه قیمت یک فرش دستباف ابتدا مساحت فرش را با اندازه‌گیری طول و عرض آن حساب کرده و محاسبات را کامل کنید. طول = ۴/۸ متر، عرض = ۳/۲ متر.", + "example": "فرشی به طول ۴٫۸ متر و عرض ۳٫۲ متر است. مساحت آن را حساب کنید و تا یک رقم اعشار گرد کنید.", "steps": [ - "مساحت فرش = ۴/۸ × ۳/۲ = ۱۵/۳۶ متر مربع.", - "با تقریب کمتر از ۰/۱، مساحت فرش برابر با ۱۵/۴ متر مربع است.", - "✅ جواب: مساحت = ۴/۸ × ۳/۲ = ۱۵/۳۶ متر مربع، تقریب تا ۰/۱ = ۱۵/۴" + "مساحت = طول × عرض = ۴٫۸ × ۳٫۲ = ۱۵٫۳۶ متر مربع.", + "رقم صدم ۶ است (≥ ۵)، پس رقم دهم یکی زیاد می‌شود: ۱۵٫۴.", + "✅ جواب: ۱۵٫۳۶ متر مربع ؛ با گرد کردن ۱۵٫۴" ] }, { @@ -67710,10 +67374,10 @@ { "title": "گرد کردن کسرها", "introText": "۱. کسر را به عدد اعشاری تبدیل کنید. \n۲. عدد اعشاری را به تعداد ارقام مورد نظر گرد کنید. \n۳. اگر رقم بعد از رقم گرد کردن کمتر از ۵ بود، عدد ثابت می‌ماند. \n۴. اگر رقم بعد از رقم گرد کردن ۵ یا بیشتر بود، یک واحد به رقم گرد کردن اضافه کنید.", - "example": "کسر ۲/۳ را گرد کنید.", + "example": "کسر ۲/۳ را به نزدیک‌ترین عدد صحیح گرد کنید.", "steps": [ "۲/۳ ≈ ۰٫۶۷.", - "نزدیک ۱.", + "۰٫۶۷ از ۱ نزدیک‌تر است تا از ۰.", "✅ جواب: ۱" ] } @@ -68171,11 +67835,11 @@ { "title": "محاسبه درصد", "introText": "۱. درصد داده شده را به عدد اعشاری تبدیل کنید (با تقسیم بر ۱۰۰). ۲. عدد اعشاری را در مقدار کل ضرب کنید. ۳. حاصل ضرب را به عنوان مقدار مورد نظر یادداشت کنید.", - "example": "چگونه درصد مربوط به نوع کتاب داستانی را به دست می‌آورید؟", + "example": "در کتابخانه‌ای از ۱۶۹۰ کتاب، ۸۱۰ کتاب داستانی است. درصد کتاب‌های داستانی را حساب کنید.", "steps": [ - "مقدار کتاب داستانی: ۸۱۰", - "مقدار کل: ۱۶۹۰", - "درصد کتاب داستانی: (۸۱۰ ÷ ۱۶۹۰) × ۱۰۰ ≈ ۴۸٪" + "۸۱۰ ÷ ۱۶۹۰ ≈ ۰٫۴۸.", + "۰٫۴۸ × ۱۰۰ = ۴۸.", + "✅ جواب: حدود ۴۸٪" ] }, { @@ -68573,8 +68237,10 @@ { "title": "محاسبه کسر از شکل", "introText": "۱. تعداد کل قسمت‌های شکل را بشمارید. \n۲. تعداد قسمت‌های رنگ‌شده را مشخص کنید. \n۳. کسر را به صورت تعداد قسمت‌های رنگ‌شده بر تعداد کل قسمت‌ها بنویسید. \n۴. در صورت امکان، کسر را ساده کنید.", - "example": "از ۸ قسمت ، ۳ تا رنگی است. کسر؟", + "example": "از ۸ قسمت مساوی یک شکل، ۳ قسمت رنگی است. چه کسری از شکل رنگی است؟", "steps": [ + "تعداد کل قسمت‌ها ۸ و قسمت‌های رنگی ۳ است.", + "کسر = رنگی ÷ کل = ۳/۸.", "✅ جواب: ۳/۸" ], "figures": [ @@ -68856,7 +68522,8 @@ "example": "الگوی عددی ۹، ۶، ۳، ۰، ... را کامل کنید.", "steps": [ "تفاوت بین اعداد متوالی برابر با -۳ است.", - "بنابراین اعداد بعدی به ترتیب عبارتند از: -۳، -۶، -۹." + "بنابراین اعداد بعدی به ترتیب عبارتند از: -۳، -۶، -۹.", + "✅ جواب: −۳ ، −۶ ، −۹" ], "figures": [ { @@ -68922,7 +68589,8 @@ "introText": "برای تبدیل تفریق به جمع: \n1. علامت عدد دوم را تغییر دهید (مثبت به منفی یا منفی به مثبت).\n2. سپس عمل جمع را انجام دهید.\n3. از قوانین جمع عددهای صحیح استفاده کنید.", "example": "۵ - (-۲)", "steps": [ - "۵ - (-۲) = ۵ + ۲ = ۷" + "۵ - (-۲) = ۵ + ۲ = ۷", + "✅ جواب: ۷" ], "figures": [ { @@ -69214,7 +68882,8 @@ "example": "(+۷) + (-۲) = ؟", "steps": [ "علامت‌ها متفاوت هستند، بنابراین ۲ را از ۷ کم می‌کنیم: ۵.", - "چون عدد بزرگتر مثبت است، جواب برابر است با +۵." + "چون عدد بزرگتر مثبت است، جواب برابر است با +۵.", + "✅ جواب: +۵" ], "figures": [ { @@ -69485,13 +69154,11 @@ { "title": "مسائل حرکتی با عددهای صحیح", "introText": "۱. فرمول حرکت را به کار ببرید: مسافت = سرعت × زمان. ۲. جهت حرکت را با علامت مثبت یا منفی مشخص کنید. ۳. مقادیر را در فرمول جایگذاری کنید و محاسبات را انجام دهید.", - "example": "یک اتوبوس از شهر الف به سمت شهر ب حرکت می‌کند. سرعت اتوبوس ۵۰ کیلومتر در ساعت است و می‌خواهد مسافتی معادل ۲۴۰ کیلومتر را طی کند. اگر اتوبوس بعد از ۲ ساعت حرکت کند، چه مسافتی را طی کرده است؟", + "example": "اتوبوسی با سرعت ۵۰ کیلومتر بر ساعت از شهر الف به شهر ب (فاصلهٔ ۲۴۰ کیلومتر) حرکت می‌کند. پس از ۲ ساعت چند کیلومتر طی کرده است؟", "steps": [ - "سرعت اتوبوس ۵۰ کیلومتر در ساعت است.", - "زمان حرکت ۲ ساعت است.", - "مسافت طی شده = سرعت × زمان = ۵۰ × ۲ = ۱۰۰ کیلومتر.", - "اتوبوس ۱۰۰ کیلومتر را طی کرده است.", - "✅ جواب: ۱۰۰" + "مسافت = سرعت × زمان.", + "۵۰ × ۲ = ۱۰۰.", + "✅ جواب: ۱۰۰ کیلومتر" ] } ] @@ -69625,7 +69292,8 @@ "steps": [ "هر دو عدد منفی هستند.", "مقدار مطلق -۴۰۰ بیشتر از -۸۰ است، پس -۸۰ بزرگتر است.", - "پاسخ: -۴۰۰ < -۸۰." + "پاسخ: -۴۰۰ < -۸۰.", + "✅ جواب: −۴۰۰ < −۸۰" ], "figures": [ { @@ -70572,14 +70240,13 @@ { "title": "ضرب و تقسیم در معادلات", "introText": "۱. دو طرف معادله را بررسی کنید تا مطمئن شوید که متغیرها و اعداد به درستی نوشته شده‌اند.\n۲. اگر ضرب یا تقسیم وجود دارد، عملیات معکوس آن را انجام دهید تا متغیر تنها بماند.\n۳. مقدار متغیر را پیدا کنید.\n۴. جواب را در معادله اصلی جایگذاری کنید تا صحت آن را بررسی کنید.", - "example": "اگر 3 برابر یک عدد را از 5 کم کنیم، نتیجه 10 می‌شود. عدد را پیدا کنید.", + "example": "اگر ۵ واحد از ۳ برابر یک عدد کم کنیم، حاصل ۱۰ می‌شود. عدد را پیدا کنید.", "steps": [ - "عدد را با x نمایش می‌دهیم. پس معادله ما به صورت 3x - 5 = 10 است.", - "برای حل معادله، ابتدا 5 را به دو طرف معادله اضافه می‌کنیم: 3x - 5 + 5 = 10 + 5.", - "این معادله به شکل 3x = 15 تبدیل می‌شود.", - "حالا هر دو طرف معادله را بر 3 تقسیم می‌کنیم: 3x ÷ 3 = 15 ÷ 3.", - "این معادله به شکل x = 5 تبدیل می‌شود.", - "✅ جواب: 5" + "عدد را x می‌گیریم: ۳x − ۵ = ۱۰.", + "۵ را به دو طرف اضافه می‌کنیم: ۳x = ۱۵.", + "دو طرف را بر ۳ تقسیم می‌کنیم: x = ۵.", + "وارسی: ۳ × ۵ − ۵ = ۱۰.", + "✅ جواب: ۵" ] }, { @@ -71521,20 +71188,18 @@ { "title": "تساوی زاویه‌ها", "introText": "۱. به شکل داده شده نگاه کنید و زاویه‌های متقابل به رأس یا مکمل را شناسایی کنید. \n۲. تساوی زاویه‌ها را با توجه به روابط هندسی مشخص کنید. \n۳. اگر زاویه‌ها مکمل هستند، مجموع آن‌ها باید ۹۰ درجه باشد.", - "example": "زاویه‌های A و B مکمل هستند و مجموع آن‌ها 90 درجه است. اگر زاویه A برابر 30 درجه باشد، زاویه B را پیدا کنید.", + "example": "زاویه‌های A و B متمم‌اند (مجموعشان ۹۰ درجه) و زاویهٔ A برابر ۳۰ درجه است. زاویهٔ B را پیدا کنید.", "steps": [ - "مجموع زاویه‌های مکمل برابر 90 درجه است.", - "زاویه A را داریم که برابر 30 درجه است.", - "برای پیدا کردن زاویه B، از رابطه 90 - 30 استفاده می‌کنیم.", - "زاویه B = 90 - 30 = 60 درجه.", - "✅ جواب: 60" + "مجموع دو زاویهٔ متمم ۹۰ درجه است.", + "B = ۹۰ − ۳۰ = ۶۰.", + "✅ جواب: ۶۰ درجه" ], "figures": [ { "where": "example", "diagram": { "kind": "plane", - "title": "زاویه‌های مکمل", + "title": "زاویه‌های متمم", "axes": false, "points": { "O": [ @@ -71771,11 +71436,10 @@ { "title": "تطبیق اجزای متناظر در اشکال هم‌نهشت", "introText": "برای تطبیق اجزای متناظر در اشکال هم‌نهشت، ابتدا شکل‌ها را با دقت بررسی کنید. سپس اضلاع و زوایای متناظر را شناسایی کرده و آن‌ها را با یکدیگر تطبیق دهید.", - "example": "در مثلث ABC و مثلث DEF، اگر زاویه A برابر با 50 درجه و زاویه D برابر با 50 درجه باشد و ضلع AB برابر با 6 سانتی‌متر و ضلع DE برابر با 6 سانتی‌متر باشد، آیا مثلث ABC هم‌نهشت با مثلث DEF است؟", + "example": "در مثلث‌های ABC و DEF داریم: زاویه A = زاویه D = ۵۰ درجه ، AB = DE = ۶ سانتی‌متر و زاویه B = زاویه E = ۶۰ درجه. آیا مثلث‌ها هم‌نهشت‌اند؟", "steps": [ - "زاویه A برابر با زاویه D است، پس یکی از زوایای متناظر تطبیق دارد.", - "ضلع AB برابر با ضلع DE است، پس یکی از اضلاع متناظر تطبیق دارد.", - "با توجه به دو زاویه و یک ضلع متناظر، می‌توان نتیجه گرفت که مثلث ABC هم‌نهشت با مثلث DEF است.", + "دو زاویه و ضلع بین آن‌ها (AB و DE) متناظراً برابرند.", + "طبق حالت «زاویه ـ ضلع ـ زاویه» مثلث‌ها هم‌نهشت‌اند.", "✅ جواب: بله" ], "figures": [ @@ -73242,13 +72906,11 @@ { "title": "مقایسه چهارضلعی‌ها", "introText": "۱. دو چهارضلعی داده‌شده را بررسی کنید. ۲. طول اضلاع و اندازه زاویه‌های متناظر را مقایسه کنید. ۳. اگر تمام اضلاع و زاویه‌های متناظر برابر باشند، چهارضلعی‌ها هم‌نهشت هستند.", - "example": "دو چهارضلعی ABCD و EFGH داریم. طول ضلع AB برابر با 5 سانتی‌متر، BC برابر با 7 سانتی‌متر، CD برابر با 5 سانتی‌متر و DA برابر با 7 سانتی‌متر است. همچنین، طول ضلع EF برابر با 5 سانتی‌متر، FG برابر با 7 سانتی‌متر، GH برابر با 5 سانتی‌متر و HE برابر با 7 سانتی‌متر است. آیا چهارضلعی‌های ABCD و EFGH هم‌نهشت هستند؟", + "example": "دو چهارضلعی ABCD و EFGH هر کدام اضلاعی به طول ۵ ، ۷ ، ۵ و ۷ سانتی‌متر (به‌ترتیب) دارند. آیا حتماً هم‌نهشت‌اند؟", "steps": [ - "طول اضلاع ABCD را بررسی می‌کنیم: AB = 5، BC = 7، CD = 5، DA = 7.", - "طول اضلاع EFGH را بررسی می‌کنیم: EF = 5، FG = 7، GH = 5، HE = 7.", - "مقایسه می‌کنیم: AB = EF، BC = FG، CD = GH، DA = HE.", - "تمام اضلاع متناظر برابر هستند، بنابراین چهارضلعی‌ها هم‌نهشت هستند.", - "✅ جواب: بله" + "اضلاع متناظر برابرند، ولی در چهارضلعی برابری ضلع‌ها شکل را ثابت نمی‌کند.", + "مثلاً یک مستطیل ۵ × ۷ و یک متوازی‌الاضلاع با همین ضلع‌ها هم‌نهشت نیستند، چون زاویه‌هایشان فرق دارد.", + "✅ جواب: نه ، حتماً نه (باید زاویه‌ها یا قطرها هم برابر باشند)" ] }, { @@ -74123,7 +73785,8 @@ "introText": "برای ساده کردن کسر: ۱. صورت و مخرج کسر را به عوامل اول تجزیه کنید. ۲. ب.م.م صورت و مخرج را پیدا کنید. ۳. صورت و مخرج را بر ب.م.م تقسیم کنید.", "example": "کسر ۱۸/۲۷ را ساده کنید.", "steps": [ - "۱۸/۲۷ = ۲/۳" + "۱۸/۲۷ = ۲/۳", + "✅ جواب: ۲/۳" ] }, { @@ -74253,7 +73916,8 @@ "introText": "برای محاسبه حجم مکعب مستطیل: ۱. طول، عرض و ارتفاع مکعب مستطیل را مشخص کنید. ۲. این سه مقدار را در هم ضرب کنید. ۳. حاصل ضرب برابر با حجم مکعب مستطیل است.", "example": "حجم یک مکعب مستطیل با طول ۴، عرض ۲ و ارتفاع ۳ چقدر است؟", "steps": [ - "حجم = ۴ × ۲ × ۳ = ۲۴ سانتی‌متر مکعب." + "حجم = ۴ × ۲ × ۳ = ۲۴ سانتی‌متر مکعب.", + "✅ جواب: ۲۴ سانتی‌متر مکعب" ], "figures": [ { @@ -74298,56 +73962,11 @@ { "title": "محاسبه زمان حرکت", "introText": "۱. زمان حرکت هر وسیله را مشخص کنید. \n۲. سرعت هر وسیله را تعیین کنید. \n۳. مسافت طی شده را با استفاده از فرمول مسافت = سرعت × زمان محاسبه کنید. \n۴. مقایسه کنید که آیا وسایل همزمان به مقصد می‌رسند یا خیر.", - "example": "دو دوچرخه‌سوار از نقطه‌ی A و B به سمت یکدیگر حرکت می‌کنند. دوچرخه‌سوار A با سرعت ۱۰ کیلومتر در ساعت و دوچرخه‌سوار B با سرعت ۱۵ کیلومتر در ساعت حرکت می‌کنند. اگر فاصله بین A و B برابر با ۱۲۰ کیلومتر باشد، زمان لازم برای رسیدن به یکدیگر را محاسبه کنید.", + "example": "دو دوچرخه‌سوار از نقطه‌های A و B به‌سمت هم حرکت می‌کنند. سرعت دوچرخه‌سوار A برابر ۱۰ و سرعت دوچرخه‌سوار B برابر ۱۵ کیلومتر بر ساعت است و فاصلهٔ A و B برابر ۱۰۰ کیلومتر است. پس از چند ساعت به هم می‌رسند؟", "steps": [ - "سرعت دوچرخه‌سوار A برابر با ۱۰ کیلومتر در ساعت است.", - "سرعت دوچرخه‌سوار B برابر با ۱۵ کیلومتر در ساعت است.", - "سرعت کل دوچرخه‌سوارها برابر با ۱۰ + ۱۵ = ۲۵ کیلومتر در ساعت است.", - "فاصله بین A و B برابر با ۱۲۰ کیلومتر است.", - "زمان لازم برای رسیدن به یکدیگر برابر با ۱۲۰ ÷ ۲۵ = ۴ ساعت است.", - "✅ جواب: 4" - ], - "figures": [ - { - "where": "example", - "diagram": { - "kind": "plane", - "title": "حرکت دوچرخه‌سواران", - "axes": false, - "points": { - "A": [ - 0.0, - 0.0 - ], - "B": [ - 120.0, - 0.0 - ] - }, - "items": [ - { - "type": "point", - "point": "A" - }, - { - "type": "point", - "point": "B" - }, - { - "type": "segment", - "from": "A", - "to": "B", - "label": "۱۲۰ کیلومتر" - }, - { - "type": "vector", - "from": "A", - "to": "B" - } - ], - "grid": false - } - } + "هر ساعت فاصلهٔ آن‌ها ۱۰ + ۱۵ = ۲۵ کیلومتر کم می‌شود.", + "زمان = ۱۰۰ ÷ ۲۵ = ۴.", + "✅ جواب: ۴ ساعت" ] }, { @@ -74638,7 +74257,8 @@ "سپس ۳۰ را به ۲ تقسیم می‌کنیم: ۳۰ ÷ ۲ = ۱۵.", "عدد ۱۵ را به کوچک‌ترین عدد اول بعدی (۳) تقسیم می‌کنیم: ۱۵ ÷ ۳ = ۵.", "در نهایت، ۵ را به ۵ تقسیم می‌کنیم: ۵ ÷ ۵ = ۱.", - "بنابراین شمارنده‌های اول عدد ۶۰ عبارتند از: ۲، ۳ و ۵." + "بنابراین شمارنده‌های اول عدد ۶۰ عبارتند از: ۲، ۳ و ۵.", + "✅ جواب: ۲ ، ۳ ، ۵" ], "figures": [ { @@ -74785,7 +74405,8 @@ "steps": [ "تجزیه ۳۰: ۲ × ۳ × ۵", "تجزیه ۴۲: ۲ × ۳ × ۷", - "ک.م.م = ۲ × ۳ × ۵ × ۷ = ۲۱۰" + "ک.م.م = ۲ × ۳ × ۵ × ۷ = ۲۱۰", + "✅ جواب: ۲۱۰" ] } ] @@ -75203,13 +74824,11 @@ { "title": "شمارش وجوه، رأس‌ها و یال‌ها", "introText": "۱. شکل منشور را به دقت مشاهده کنید. ۲. تعداد وجوه جانبی را بشمارید. ۳. تعداد رأس‌ها را با شمارش نقاط تقاطع یال‌ها مشخص کنید. ۴. تعداد یال‌ها را با شمارش خطوط بین رأس‌ها تعیین کنید.", - "example": "یک منشور مستطیلی داریم که دارای ۲ وجه قاعده و ۴ وجه جانبی است. تعداد رأس‌های این منشور را محاسبه کنید و سپس تعداد یال‌های آن را مشخص کنید.", + "example": "منشور مستطیلی ۲ قاعده و ۴ وجه جانبی دارد. تعداد رأس‌ها و یال‌های آن چند است؟", "steps": [ - "منشور مستطیلی دارای ۲ وجه قاعده است.", - "تعداد وجه‌های جانبی برابر با ۴ است.", - "تعداد رأس‌ها برابر با ۸ است زیرا هر قاعده ۴ رأس دارد و ۲ قاعده داریم.", - "تعداد یال‌ها برابر با ۱۲ است زیرا ۴ یال جانبی و ۸ یال قاعده داریم.", - "✅ جواب: 12" + "هر قاعده ۴ رأس دارد و دو قاعده داریم: ۴ × ۲ = ۸ رأس.", + "یال‌ها: ۴ یال هر قاعده (۸ یال) و ۴ یال جانبی، جمعاً ۱۲.", + "✅ جواب: ۸ رأس و ۱۲ یال" ], "figures": [ { @@ -75234,7 +74853,8 @@ "example": "حجم استوانه‌ای با قاعده دایره‌ای به شعاع ۲ سانتی‌متر و ارتفاع ۴ سانتی‌متر چقدر است؟", "steps": [ "مساحت قاعده = π × ۲ × ۲ = ۴π سانتی‌متر مربع.", - "حجم = مساحت قاعده × ارتفاع = ۴π × ۴ = ۱۶π سانتی‌متر مکعب." + "حجم = مساحت قاعده × ارتفاع = ۴π × ۴ = ۱۶π سانتی‌متر مکعب.", + "✅ جواب: ۱۶π سانتی‌متر مکعب" ], "figures": [ { @@ -76611,7 +76231,8 @@ "introText": "۱. عدد پایه را مشخص کنید. \n۲. توان را بررسی کنید (مثبت یا منفی بودن). \n۳. اگر توان مثبت است، عدد پایه را به تعداد توان در خودش ضرب کنید. \n۴. اگر توان منفی است، ابتدا معکوس عدد پایه را بگیرید و سپس آن را به تعداد توان مثبت در خودش ضرب کنید.", "example": "۳^۳", "steps": [ - "۳^۳ = ۳ × ۳ × ۳ = ۲۷" + "۳^۳ = ۳ × ۳ × ۳ = ۲۷", + "✅ جواب: ۲۷" ] }, { @@ -76706,7 +76327,8 @@ "introText": "ابتدا توان‌ها را محاسبه کنید. سپس عملیات جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم را انجام دهید.", "example": "حاصل عبارت (۲^۳ + ۳^۲) را به‌دست آورید.", "steps": [ - "۲^۳ = ۸ و ۳^۲ = ۹، بنابراین حاصل برابر است با ۸ + ۹ = ۱۷." + "۲^۳ = ۸ و ۳^۲ = ۹، بنابراین حاصل برابر است با ۸ + ۹ = ۱۷.", + "✅ جواب: ۱۷" ] }, { @@ -76897,7 +76519,8 @@ "example": "√۵ > √۴ است یا √۵ < √۴؟", "steps": [ "مقدار تقریبی √۵ برابر با ۲.۲۳۶ و مقدار تقریبی √۴ برابر با ۲ است.", - "چون ۲.۲۳۶ > ۲، بنابراین √۵ > √۴ است." + "چون ۲.۲۳۶ > ۲، بنابراین √۵ > √۴ است.", + "✅ جواب: √۵ > √۴" ], "figures": [ { @@ -78610,13 +78233,12 @@ { "title": "نمایش بردار", "introText": "برای نمایش یک بردار، ابتدا نقطه شروع و نقطه پایان را مشخص کنید. سپس بردار را با یک پیکان که از نقطه شروع به نقطه پایان کشیده شده است، رسم کنید. جهت و طول بردار را به درستی نشان دهید.", - "example": "بردار OA را به صورت یک پاره‌خط جهت‌دار نشان دهید.", + "example": "بردار OA را به صورت پاره‌خط جهت‌دار نشان دهید.", "steps": [ - "برای رسم بردار OA: ۱.", - "نقطه O را به عنوان نقطه شروع مشخص می‌کنیم.", - "نقطه A را به عنوان نقطه انتها مشخص می‌کنیم.", - "یک پاره‌خط جهت‌دار از O به A رسم می‌کنیم. جهت بردار از O به A و اندازه آن با طول پاره‌خط مشخص می‌شود.", - "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است." + "نقطهٔ O (ابتدای بردار) و نقطهٔ A (انتهای بردار) را مشخص می‌کنیم.", + "از O به A پاره‌خطی می‌کشیم و سر پیکان را در A می‌گذاریم.", + "طول پاره‌خط اندازهٔ بردار و جهت پیکان جهت آن را نشان می‌دهد.", + "✅ جواب: پاره‌خط جهت‌دار از O به A با پیکان در A" ], "figures": [ { @@ -79146,10 +78768,11 @@ { "title": "انتظار در احتمال", "introText": "۱. احتمال وقوع پیشامد را محاسبه کنید. \n۲. تعداد کل آزمایش‌ها را مشخص کنید. \n۳. انتظار وقوع پیشامد را با ضرب احتمال در تعداد کل آزمایش‌ها محاسبه کنید.", - "example": "اگر ۱۰۰۰ بار عقربه را بچرخانیم، انتظار داریم تقریباً چند بار روی عدد ۳ قرار بگیرد؟", + "example": "چرخنده‌ای ۸ بخش مساوی دارد و یکی از بخش‌ها عدد ۳ است. چرخنده را ۱۰۰۰ بار می‌چرخانیم. انتظار داریم تقریباً چند بار روی ۳ بایستد؟", "steps": [ - "احتمال ایستادن عقربه روی عدد ۳ برابر ۱/۸ است.", - "بنابراین انتظار داریم ۱۰۰۰ × ۱/۸ = ۱۲۵ بار عقربه روی عدد ۳ قرار بگیرد." + "احتمال ایستادن روی ۳ برابر ۱/۸ است.", + "۱۰۰۰ × ۱/۸ = ۱۲۵.", + "✅ جواب: تقریباً ۱۲۵ بار" ] }, { @@ -79906,14 +79529,11 @@ { "title": "نوشتن اعداد صحیح", "introText": "برای نوشتن اعداد صحیح خواسته شده، ابتدا اعداد صحیح مورد نظر را شناسایی کرده و سپس آن‌ها را به ترتیب خواسته شده بنویسید.", - "example": "عبارت 29 - 37 + 43 - 43 را چهار دانش‌آموز به روش‌های مختلف محاسبه کرده‌اند. راه حل علی، مجتبی، مرتضی و مصطفی را توضیح دهید و نتیجه را بیابید.", + "example": "عبارت ۲۹ − ۳۷ + ۴۳ − ۴۳ را به دو روش حساب کنید.", "steps": [ - "راه حل علی:", - "29 - 37 + 43 - 43 = 29 - 37 + (43 - 43) = 29 - 37 + 0 = 29 - 37 = -8", - "راه حل مجتبی:", - "29 - 37 + 43 - 43 = (29 - 37) + (43 - 43) = -8 + 0 = -8", - "راه حل مرتضی:", - "29 - 37 + 43 - 43 = (29 + 43) - (37 + 43) = 72 - 80 = -8 راه حل مصطفی (با جدول ارزش مکانی): دهگان: 4 3 2 یکان: 3 7 9 محاسبه ستون به ستون و جمع و تفریق: نتیجه نهایی -8 است." + "روش اول: از چپ به راست: ۲۹ − ۳۷ = −۸ ، سپس −۸ + ۴۳ = ۳۵ و ۳۵ − ۴۳ = −۸.", + "روش دوم: ۴۳ − ۴۳ = ۰ ، پس ۲۹ − ۳۷ + ۰ = −۸.", + "✅ جواب: −۸" ] }, { @@ -80435,14 +80055,12 @@ { "title": "تعیین علامت و ساده کردن عبارت", "introText": "برای تعیین علامت عبارت، ابتدا علامت هر عدد را مشخص کنید و سپس با توجه به قوانین ضرب و تقسیم علامت‌ها، علامت نهایی را تعیین کنید. برای ساده کردن، صورت و مخرج را بر بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک تقسیم کنید.", - "example": "نقطه‌هایی روی محور عددی از -2 تا 2 با فواصل یک‌دهم مشخص شده‌اند. نقاط روی اعداد -1.1، -0.9، 0.3، 0.7، 1.2 و 1.8 علامت زده شده‌اند. کدام نقاط نمایش درست و کدام نادرست هستند؟", + "example": "عددهای −۱٫۱ ، −۰٫۹ ، ۰٫۳ ، ۰٫۷ ، ۱٫۲ و ۱٫۸ را روی محوری از −۲ تا ۲ با فاصله‌های یک‌دهم مشخص می‌کنیم. هر عدد در کنار کدام عدد صحیح و در کدام سمت آن قرار می‌گیرد؟", "steps": [ - "عدد -1.1 باید کمی کمتر از -1 باشد که درست است.", - "عدد -0.9 باید کمی بیشتر از -1 باشد که درست است.", - "عدد 0.3 باید کمی کمتر از 0.5 باشد که درست است.", - "عدد 0.7 باید کمی کمتر از 1 باشد که درست است.", - "عدد 1.2 باید کمی بیشتر از 1 باشد که درست است.", - "✅ جواب: همه نقاط درست هستند" + "−۱٫۱ از −۱ کوچک‌تر است: کمی چپ −۱. −۰٫۹ از −۱ بزرگ‌تر است: کمی راست −۱.", + "۰٫۳ کمی راست ۰ و ۰٫۷ کمی چپ ۱.", + "۱٫۲ کمی راست ۱ و ۱٫۸ کمی چپ ۲.", + "✅ جواب: −۱٫۱ چپ −۱ ؛ −۰٫۹ راست −۱ ؛ ۰٫۳ راست ۰ ؛ ۰٫۷ چپ ۱ ؛ ۱٫۲ راست ۱ ؛ ۱٫۸ چپ ۲" ], "figures": [ { @@ -80497,7 +80115,8 @@ "steps": [ "عدد ۴/۳ مثبت است.", "عدد متقارن آن نسبت به صفر، منفی ۴/۳ است.", - "بنابراین عدد متقارن ۴/۳ برابر است با -۴/۳." + "بنابراین عدد متقارن ۴/۳ برابر است با -۴/۳.", + "✅ جواب: −۴/۳" ], "figures": [ { @@ -80574,7 +80193,8 @@ "ابتدا عدد ۳/۲ را روی محور عددی مشخص می‌کنیم.", "سپس به اندازه -۶/۲ (یعنی ۳ واحد به سمت چپ) حرکت می‌کنیم.", "برای جمع جبری: (۳/۲) + (-۶/۲) = (۳ - ۶)/۲ = -۳/۲.", - "بنابراین حاصل جمع برابر است با -۳/۲." + "بنابراین حاصل جمع برابر است با -۳/۲.", + "✅ جواب: −۳/۲" ], "figures": [ { @@ -80654,13 +80274,12 @@ { "title": "جمع و تفریق کسرها", "introText": "۱. مخرج مشترک کسرها را پیدا کنید.\n۲. صورت‌ها را با توجه به مخرج مشترک جدید تنظیم کنید.\n۳. صورت‌ها را جمع یا تفریق کنید.\n۴. اگر ممکن است، کسر را ساده کنید.", - "example": "عبارت ۵/۸ - ۷/۸ را به صورت جمع دو عدد گویا بنویسید و حاصل را بدست آورید.", + "example": "عبارت ۵/۸ − ۷/۸ را به‌صورت جمع دو عدد گویا بنویسید و حاصل را بیابید.", "steps": [ - "ابتدا تفریق را به صورت جمع تبدیل می‌کنیم: ۵/۸ - ۷/۸ = ۵/۸ + (-۷/۸).", - "سپس صورت‌ها را جمع می‌کنیم: ۵ - ۷ = -۲.", - "مخرج مشترک ۸ است.", - "پس حاصل برابر است با -۲/۸.", - "✅ جواب: -2/8 یا 5/8 + (-7/8)" + "۵/۸ − ۷/۸ = ۵/۸ + (−۷/۸).", + "صورت‌ها: ۵ − ۷ = −۲، مخرج ۸ می‌ماند: −۲/۸.", + "ساده می‌کنیم: −۲/۸ = −۱/۴.", + "✅ جواب: −۱/۴" ] }, { @@ -80715,26 +80334,22 @@ { "title": "تبدیل تقسیم به ضرب", "introText": "برای تبدیل تقسیم به ضرب، ابتدا علامت تقسیم را به ضرب تبدیل کنید و سپس کسر دوم را معکوس کنید. سپس دو کسر را در هم ضرب کنید.", - "example": "همان طور که می‌دانید، تقسیم را می‌توان به ضرب تبدیل کنیم؛ پس مانند نمونه ابتدا علامت حاصل تقسیم را بگذارید و سپس آن را به ضرب دو عدد تبدیل کنید:\n(۲/۳) ÷ (-۵/۷) = ؟\n-۶/۳۵ ÷ (-۸/۲۱) = ؟\n-۱۵/۱۲ ÷ (+۱۰/۱۸) = ؟", + "example": "تقسیم را به ضرب تبدیل کنید و حاصل را بیابید: (۲/۳) ÷ (−۵/۷) ، (−۶/۳۵) ÷ (−۸/۲۱) ، (−۱۵/۱۲) ÷ (+۱۰/۱۸).", "steps": [ - "ابتدا تقسیم را به ضرب تبدیل می‌کنیم و عدد دوم را معکوس می‌کنیم:", - "(۲/۳) ÷ (-۵/۷) = (۲/۳) × (-۷/۵)", - "علامت حاصل: مثبت × منفی = منفی", - "پس:", - "(۲/۳) × (-۷/۵) = -(۲ × ۷) / (۳ × ۵) = -۱۴/۱۵", - "✅ جواب: -14/15, 9/20, -9/4" + "اول: (۲/۳) × (−۷/۵) = −۱۴/۱۵ (علامت منفی).", + "دوم: (−۶/۳۵) × (−۲۱/۸) = +۱۲۶/۲۸۰ = ۹/۲۰ (علامت مثبت).", + "سوم: (−۱۵/۱۲) × (۱۸/۱۰) = −۲۷۰/۱۲۰ = −۹/۴ (علامت منفی).", + "✅ جواب: −۱۴/۱۵ ، ۹/۲۰ ، −۹/۴" ] }, { "title": "پر کردن جای خالی با کسر مناسب", "introText": "برای پر کردن جای خالی، کسر مناسب را پیدا کنید که با ضرب در کسر داده شده حاصل برابر با یک شود.", - "example": "جاهای خالی را با کسر مناسب پر کنید:\n-۱/۲ × ____ = ۱\n۳/۵ × ____ = ۱\n+۱/۴ × ____ = ۱", + "example": "جاهای خالی را با کسر مناسب پر کنید: (−۱/۲) × □ = ۱ ، (۳/۵) × □ = ۱ ، (+۱/۴) × □ = ۱.", "steps": [ - "برای هر معادله، کسر مجهول معکوس عدد داده شده است:", - "۱/۲ × (-۲/۱) = ۱", - "۳/۵ × (۵/۳) = ۱", - "+۱/۴ × (۴/۱) = ۱", - "✅ جواب: معکوس هر عدد: ۱-، ۲/، و ۳/۵ ۵/۳ و ۴/۱" + "عددی که در یک عدد ضرب شود و ۱ بدهد، معکوس آن است (با همان علامت).", + "معکوس −۱/۲ برابر −۲ است؛ معکوس ۳/۵ برابر ۵/۳ ؛ معکوس ۱/۴ برابر ۴ است.", + "✅ جواب: −۲ ، ۵/۳ ، ۴" ] }, { @@ -81091,7 +80706,8 @@ "عدد ۱۷ یک عدد اول است.", "مضرب‌های ۱۷ اعدادی هستند که بر ۱۷ بخش‌پذیرند مانند ۱۷، ۳۴، ۵۱ و ...", "تعداد مضرب‌ها در بازه مشخص نشده است، بنابراین تعداد مضرب‌ها نامحدود است.", - "اگر بازه مشخص بود، باید تعداد اعدادی که بر ۱۷ بخش‌پذیرند را بشماریم." + "اگر بازه مشخص بود، باید تعداد اعدادی که بر ۱۷ بخش‌پذیرند را بشماریم.", + "✅ جواب: بی‌شمار مضرب دارد (۱۷ ، ۳۴ ، ۵۱ ، ...)" ] }, { @@ -81178,75 +80794,85 @@ { "title": "تشخیص اعداد اول", "introText": "برای تشخیص اعداد اول از ۱ تا ۵۰، ابتدا عدد ۱ را خط می‌زنیم زیرا عدد اول نیست. سپس مضرب‌های هر عدد اول را خط می‌زنیم تا فقط اعداد اول باقی بمانند.", - "example": "برای تعیین اعداد اول، عدد یک و مضرب‌های مرکب اعداد اول را خط می‌زنیم و خط زدن را تا عدد اولی ادامه می‌دهیم که مربع آن، بین عددهای نوشته شده نباشد. برای n=40 این روش را انجام دهید و اعداد اول تا 40 را مشخص کنید.", + "example": "با روش غربال، اعداد اول تا ۴۰ را مشخص کنید.", "steps": [ - "اعداد 1 تا 40 را می‌نویسیم: 1, 2, 3, ..., 40.", - "عدد 1 را خط می‌زنیم.", - "عدد بعدی که خط نخورده است 2 است. مربع 2 برابر 4 است که در بین اعداد است. پس مضرب‌های بزرگ‌تر از 2 را خط می‌زنیم: 4, 6, 8, ..., 40. عدد بعدی که خط نخورده است 3 است. مربع 3 برابر 9 است که در بین اعداد است. پس مضرب‌های بزرگ‌تر از 3 را خط می‌زنیم: 9, 12, 15, ..., 39. عدد بعدی که خط نخورده است 5 است. مربع 5 برابر 25 است ک", - "✅ جواب: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37" + "۱ را خط می‌زنیم.", + "مضرب‌های ۲ (به‌جز خود ۲) را خط می‌زنیم؛ سپس مضرب‌های ۳ و بعد مضرب‌های ۵.", + "۷² = ۴۹ از ۴۰ بیشتر است، پس همین‌جا بس است.", + "✅ جواب: ۲ ، ۳ ، ۵ ، ۷ ، ۱۱ ، ۱۳ ، ۱۷ ، ۱۹ ، ۲۳ ، ۲۹ ، ۳۱ ، ۳۷" ], "figures": [ { "where": "example", "diagram": { "kind": "numberline", - "title": "اعداد اول از ۱ تا ۳۰", + "title": "اعداد اول تا ۴۰", "min": 0.0, - "max": 30.0, + "max": 40.0, "points": [ { "at": 2.0, - "label": "۲", + "label": "2", "open": false }, { "at": 3.0, - "label": "۳", + "label": "3", "open": false }, { "at": 5.0, - "label": "۵", + "label": "5", "open": false }, { "at": 7.0, - "label": "۷", + "label": "7", "open": false }, { "at": 11.0, - "label": "۱۱", + "label": "11", "open": false }, { "at": 13.0, - "label": "۱۳", + "label": "13", "open": false }, { "at": 17.0, - "label": "۱۷", + "label": "17", "open": false }, { "at": 19.0, - "label": "۱۹", + "label": "19", "open": false }, { "at": 23.0, - "label": "۲۳", + "label": "23", "open": false }, { "at": 29.0, - "label": "۲۹", + "label": "29", + "open": false + }, + { + "at": 31.0, + "label": "31", + "open": false + }, + { + "at": 37.0, + "label": "37", "open": false } ], "jumps": [], - "step": 1.0 + "step": 5.0 } } ] @@ -82168,13 +81794,11 @@ { "title": "زاویه‌های مساوی و موازی", "introText": "۱. خطوط موازی را شناسایی کنید. ۲. زاویه‌های مساوی را مشخص کنید. ۳. از روابط زاویه‌ای برای پیدا کردن اندازه‌های مجهول استفاده کنید.", - "example": "دو خط موازی l و m را در نظر بگیرید که با یک خط عمود n قطع شده‌اند. اگر زاویه ۱ برابر ۵۰ درجه باشد، اندازه زاویه ۲ را پیدا کنید.", + "example": "دو خط موازی l و m را خط مورب n قطع کرده است. اگر زاویهٔ ۱ (روی l) برابر ۵۰ درجه باشد، زاویهٔ متناظر آن روی m (زاویهٔ ۲) چند درجه است؟", "steps": [ - "زاویه ۱ و زاویه ۲ زاویه‌های متناظر هستند زیرا خطوط l و m موازی و خط n آنها را قطع کرده است.", - "از خاصیت زاویه‌های متناظر استفاده می‌کنیم که می‌گوید این دو زاویه برابرند.", - "پس اندازه زاویه ۲ نیز برابر با اندازه زاویه ۱ است.", - "بنابراین، اندازه زاویه ۲ برابر ۵۰ درجه است.", - "✅ جواب: 50" + "خط‌های l و m موازی‌اند و n آن‌ها را قطع کرده است.", + "زاویه‌های متناظر با هم برابرند.", + "✅ جواب: ۵۰ درجه" ], "figures": [ { @@ -82186,89 +81810,31 @@ "points": { "A": [ 0.0, - 0.0 + 2.4 ], "B": [ - 4.0, - 0.0 + 6.0, + 2.4 ], "C": [ - 2.0, - 2.0 - ], - "D": [ - 2.0, - -2.0 - ] - }, - "items": [ - { - "type": "line", - "through": [ - "A", - "B" - ], - "color": "blue" - }, - { - "type": "line", - "through": [ - "C", - "D" - ], - "color": "blue" - }, - { - "type": "line", - "through": [ - "B", - "C" - ], - "color": "red" - }, - { - "type": "angle", - "vertex": "B", - "from": "A", - "to": "C", - "arcs": 1, - "label": "۱=۵۰°" - }, - { - "type": "angle", - "vertex": "C", - "from": "B", - "to": "D", - "arcs": 1, - "label": "۲" - } - ], - "grid": false - } - }, - { - "where": "step", - "index": 0, - "diagram": { - "kind": "plane", - "title": "زاویه‌های متناظر", - "axes": false, - "points": { - "A": [ 0.0, 0.0 ], - "B": [ - 4.0, + "D": [ + 6.0, 0.0 ], - "C": [ - 2.0, - 2.0 + "Y": [ + 1.0, + 0.0 ], - "D": [ - 2.0, - -2.0 + "X": [ + 3.0, + 2.4 + ], + "U": [ + 5.0, + 4.8 ] }, "items": [ @@ -82291,24 +81857,24 @@ { "type": "line", "through": [ - "B", - "C" + "Y", + "U" ], "color": "red" }, { "type": "angle", - "vertex": "B", - "from": "A", - "to": "C", + "vertex": "X", + "from": "B", + "to": "U", "arcs": 1, - "label": "۱=۵۰°" + "label": "۱ = ۵۰°" }, { "type": "angle", - "vertex": "C", - "from": "B", - "to": "D", + "vertex": "Y", + "from": "D", + "to": "X", "arcs": 1, "label": "۲" } @@ -82325,7 +81891,8 @@ "steps": [ "داده شده است g || h و k ⟂ h.", "چون k عمود بر h است و h موازی g است، بنابراین k نیز عمود بر g است.", - "نتیجه: k ⟂ g." + "نتیجه: k ⟂ g.", + "✅ جواب: k ⟂ g" ], "figures": [ { @@ -82972,13 +82539,11 @@ { "title": "تشخیص خطوط منطبق", "introText": "۱. خطوط داده شده را بررسی کنید. ۲. با استفاده از خواص متوازی‌الأضلاع، خطوط منطبق را مشخص کنید.", - "example": "در یک متوازی‌الأضلاع ABCD، اگر AB = 8 cm و CD = 8 cm باشد و همچنین AD = 5 cm و BC = 5 cm باشد، آیا خطوط AB و CD منطبق هستند؟", + "example": "در متوازی‌الاضلاع ABCD داریم AB = CD = ۸ و AD = BC = ۵ سانتی‌متر. ضلع‌های AB و CD چه رابطه‌ای دارند؟ آیا منطبق‌اند؟", "steps": [ - "چون AB و CD هر دو برابر با 8 cm هستند، پس طول آنها یکسان است.", - "همچنین AD و BC نیز برابر با 5 cm هستند، پس این دو خط نیز یکسان هستند.", - "طبق خواص متوازی‌الأضلاع، اگر دو جفت از اضلاع متوازی‌الأضلاع برابر باشند، خطوط مقابل منطبق هستند.", - "بنابراین، AB و CD منطبق هستند.", - "✅ جواب: بله" + "ضلع‌های روبه‌رو در متوازی‌الاضلاع موازی و برابرند.", + "AB و CD دو پاره‌خط جدا از هم‌اند و روی هم نمی‌افتند، پس منطبق نیستند.", + "✅ جواب: موازی و هم‌اندازه‌اند ، ولی منطبق نیستند" ], "figures": [ { @@ -83194,12 +82759,11 @@ { "title": "محاسبه زاویه", "introText": "۱. استفاده از خواص چهارضلعی برای محاسبه زوایا.\n۲. استفاده از مجموع زوایای داخلی چهارضلعی.", - "example": "در صفحه شطرنجی، متوازی‌الاضلاعی رسم کنید که یکی از زاویه‌های آن قائمه (90 درجه) باشد. سپس توضیح دهید چرا زاویه‌های دیگر آن نیز قائمه هستند.", + "example": "چرا در متوازی‌الاضلاعی که یک زاویهٔ قائمه دارد، هر چهار زاویه قائمه است؟", "steps": [ - "رسم متوازی‌الاضلاع با یک زاویه 90 درجه روی صفحه شطرنجی.", - "در متوازی‌الاضلاع، زاویه‌های مقابل برابرند، پس زاویه مقابل نیز 90 درجه است.", - "مجموع زاویه‌های داخلی متوازی‌الاضلاع 360 درجه است. دو زاویه قائمه مجموعا 180 درجه دارند، پس دو زاویه دیگر نیز باید مجموعا 180 درجه داشته باشند. زاویه‌های مجاور زاویه قائمه نیز باید 90 درجه باشند تا مجموع هر دو زاویه مجاور 180 درجه شود. بنابراین، هر چهار زاویه متوازی‌الاضلاع قائمه هستند.", - "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست و دقیق است. با داشتن یک زاویه قائمه، زاویه مقابل نیز قائمه است و مجموع زاویه‌های مجاور ۱۸۰ درجه، باقی‌مانده را قائمه می‌کند." + "زاویه‌های روبه‌رو برابرند، پس زاویهٔ مقابل هم ۹۰ درجه است.", + "زاویه‌های مجاور مکمل‌اند (جمعشان ۱۸۰)، پس هر زاویهٔ مجاور ۱۸۰ − ۹۰ = ۹۰ درجه است.", + "✅ جواب: هر چهار زاویه ۹۰ درجه است (مستطیل)" ], "figures": [ { @@ -83333,7 +82897,8 @@ "steps": [ "تعداد ضلع‌ها n = 5 است.", "فرمول مجموع زاویه‌های داخلی: (n - 2) × 180° = (5 - 2) × 180° = 3 × 180° = 540°.", - "پس مجموع زاویه‌های داخلی چندضلعی ۵ ضلعی برابر 540 درجه است." + "پس مجموع زاویه‌های داخلی چندضلعی ۵ ضلعی برابر 540 درجه است.", + "✅ جواب: ۵۴۰ درجه" ], "figures": [ { @@ -83517,7 +83082,8 @@ "example": "مجموع زاویه‌های داخلی یک هفت ضلعی منتظم را محاسبه کنید.", "steps": [ "تعداد اضلاع n=7 است.", - "مجموع زاویه‌های داخلی = (7-2)×180 = 5×180 = 900 درجه." + "مجموع زاویه‌های داخلی = (7-2)×180 = 5×180 = 900 درجه.", + "✅ جواب: ۹۰۰ درجه" ], "figures": [ { @@ -83667,7 +83233,8 @@ "steps": [ "مجموع زاویه‌های خارجی هر چندضلعی منتظم برابر 360 درجه است.", "تعداد اضلاع پنج است.", - "بنابراین، اندازه هر زاویه خارجی برابر است با 360 ÷ 5 = 72 درجه." + "بنابراین، اندازه هر زاویه خارجی برابر است با 360 ÷ 5 = 72 درجه.", + "✅ جواب: ۷۲ درجه" ], "figures": [ { @@ -83971,7 +83538,8 @@ "introText": "۱. نوع چندضلعی‌های استفاده شده در کاشی‌کاری را مشخص کنید. ۲. از فرمول (n-2)×180 برای محاسبه مجموع زوایای داخلی استفاده کنید. ۳. زاویه داخلی هر چندضلعی منتظم برابر مجموع زوایای داخلی تقسیم بر تعداد اضلاع است. ۴. زاویه خارجی برابر ۱۸۰ منهای زاویه داخلی است.", "example": "در متوازی‌الأضلاعی، یکی از زاویه‌های داخلی 60 درجه است. زاویه خارجی مجاور آن را بیابید.", "steps": [ - "زاویه خارجی = 180 - زاویه داخلی = 180 - 60 = 120 درجه." + "زاویه خارجی = 180 - زاویه داخلی = 180 - 60 = 120 درجه.", + "✅ جواب: ۱۲۰ درجه" ], "figures": [ { @@ -84134,7 +83702,8 @@ "example": "۵(a + b) = ؟", "steps": [ "با استفاده از قانون توزیع ضرب بر جمع داریم:", - "۵(a + b) = ۵ × a + ۵ × b = ۵a + ۵b" + "۵(a + b) = ۵ × a + ۵ × b = ۵a + ۵b", + "✅ جواب: ۵a + ۵b" ], "figures": [ { @@ -84232,7 +83801,8 @@ "۳(۲x - ۱) = ۳ × ۲x - ۳ × ۱ = ۶x - ۳", "۲(x + ۳) = ۲ × x + ۲ × ۳ = ۲x + ۶", "حالا عبارات را جمع می‌کنیم:", - "۶x - ۳ + ۲x + ۶ = (۶x + ۲x) + (-۳ + ۶) = ۸x + ۳" + "۶x - ۳ + ۲x + ۶ = (۶x + ۲x) + (-۳ + ۶) = ۸x + ۳", + "✅ جواب: ۸x + ۳" ] }, { @@ -84420,7 +83990,8 @@ "steps": [ "عدد ورودی a است.", "طبق ماشین جمع‌کننده، خروجی برابر است با a + ۴.", - "پس خروجی ماشین جمع‌کننده برابر است با a + ۴." + "پس خروجی ماشین جمع‌کننده برابر است با a + ۴.", + "✅ جواب: a + ۴" ] }, { @@ -84430,7 +84001,8 @@ "steps": [ "عدد ورودی x است.", "ابتدا در ماشین عددساز ضرب در ۳ می‌شود: خروجی ماشین اول 3x است.", - "سپس این خروجی به ماشین جمع‌کننده داده می‌شود که ۵ به آن اضافه می‌کند: خروجی نهایی برابر است با 3x + 5." + "سپس این خروجی به ماشین جمع‌کننده داده می‌شود که ۵ به آن اضافه می‌کند: خروجی نهایی برابر است با 3x + 5.", + "✅ جواب: ۳x + ۵" ] }, { @@ -85131,7 +84703,8 @@ "example": "حل معادله 5x + 10 = 65", "steps": [ "از دو طرف معادله 10 را کم می‌کنیم: 5x + 10 - 10 = 65 - 10 که می‌شود 5x = 55", - "هر دو طرف معادله را بر 5 تقسیم می‌کنیم: (1/5) × 5x = (1/5) × 55 که می‌شود x = 11" + "هر دو طرف معادله را بر 5 تقسیم می‌کنیم: (1/5) × 5x = (1/5) × 55 که می‌شود x = 11", + "✅ جواب: ۱۱" ], "figures": [ { @@ -85543,7 +85116,8 @@ "steps": [ "از آنجا که بردار a و بردار b قرینه یکدیگرند، جمع آن‌ها برابر بردار صفر است: a + b = 0.", "بنابراین حاصل جمع بردارهای a، b و c برابر است با: a + b + c = 0 + c = c.", - "پس حاصل جمع برابر بردار c است زیرا بردار a و b همدیگر را خنثی کرده‌اند." + "پس حاصل جمع برابر بردار c است زیرا بردار a و b همدیگر را خنثی کرده‌اند.", + "✅ جواب: c" ] }, { @@ -86540,14 +86114,12 @@ { "title": "حل معادلات برداری", "introText": "۱. معادله برداری را بنویسید.\n۲. مولفه‌های i و j را جدا کنید.\n۳. معادله‌های حاصل را حل کنید تا مقادیر مجهول را بیابید.", - "example": "دو دانش‌آموز معادله برداری ۳i + j + ۲x = [-5, 1] را حل کرده‌اند. مقدار بردار x را بیابید.", + "example": "معادلهٔ برداری ۳i + j + ۲x = [−۵ ، ۱] را حل کنید و بردار x را بیابید.", "steps": [ - "معادله برداری: 3i + j + 2x = [-5, 1]", - "ابتدا مؤلفه‌های i و j را جدا می‌کنیم:", - "3i + j = [3, 1]", - "پس داریم:", - "[3, 1] + 2x = [-5, 1]", - "✅ جواب: x = [-4, 0] یا -4i" + "۳i + j = [۳ ، ۱].", + "[۳ ، ۱] + ۲x = [−۵ ، ۱] ، پس ۲x = [−۸ ، ۰].", + "x = [−۴ ، ۰].", + "✅ جواب: x = [−۴ ، ۰] (یعنی −۴i)" ] }, { @@ -86558,7 +86130,8 @@ "بردارهای واحد را به صورت i = [1, 0] و j = [0, 1] تعریف می‌کنیم.", "بردار a = ۴i + ۲j = ۴[1, 0] + ۲[0, 1] = [4, 0] + [0, 2] = [4, 2]", "بنابراین مختصات بردار a برابر است با [4, 2].", - "برای نمایش بردار a در صفحه مختصات، از نقطه مبدأ (0,0) به سمت راست ۴ واحد و به سمت بالا ۲ واحد حرکت می‌کنیم و نقطه انتهایی بردار را مشخص می‌کنیم." + "برای نمایش بردار a در صفحه مختصات، از نقطه مبدأ (0,0) به سمت راست ۴ واحد و به سمت بالا ۲ واحد حرکت می‌کنیم و نقطه انتهایی بردار را مشخص می‌کنیم.", + "✅ جواب: (۴ ، ۲)" ], "figures": [ { @@ -87409,7 +86982,8 @@ "x² = ۱۴۴ + ۲۵", "x² = ۱۶۹", "x = √۱۶۹", - "x = ۱۳ متر" + "x = ۱۳ متر", + "✅ جواب: ۱۳ متر" ], "figures": [ { @@ -88043,12 +87617,11 @@ { "title": "ساخت مثلث هم‌نهشت", "introText": "۱. یک مثلث با زوایای مشخص رسم کنید. ۲. زوایای مثلث را روی کاغذ جداگانه رسم کنید. ۳. زوایا را به ترتیب به هم متصل کنید تا مثلث هم‌نهشت ساخته شود.", - "example": "مثلثی رسم کنید. سپس دو ضلع آن و زاویه بین آن دو ضلع را روی سه برگ کاغذ پوستی بکشید. اکنون سعی کنید مثلثی بسازید که دو ضلع آن با این دو ضلع برابر باشد و زاویه بین این دو ضلع هم برابر زاویه رسم شده باشد. آیا این مثلث با مثلث اولیه هم‌نهشت است؟ آیا با این شرایط می‌توانید مثلثی بسازید که با مثلث اولیه هم‌نهشت نباشد؟", + "example": "مثلثی رسم کنید و دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها را جدا بکشید. اگر با همین دو ضلع و زاویهٔ بین‌شان مثلث دیگری بسازیم، آیا با مثلث اولیه هم‌نهشت است؟ آیا می‌توان مثلثی غیرهم‌نهشت ساخت؟", "steps": [ - "مثلث اولیه را رسم کنید.", - "دو ضلع و زاویه بین آن‌ها را روی سه برگ کاغذ پوستی جداگانه بکشید.", - "با استفاده از این سه برگ، مثلثی بسازید که دو ضلع آن برابر با دو ضلع رسم شده و زاویه بین آن‌ها برابر زاویه رسم شده باشد. این مثلث با مثلث اولیه هم‌نهشت است زیرا دو ضلع و زاویه بین آن‌ها در هر دو مثلث برابر است. با این شرایط نمی‌توان مثلثی ساخت که با مثلث اولیه هم‌نهشت نباشد، زیرا دو ضلع و زاویه بین آن‌ها مثلث را به طو", - "✅ جواب: بله، مثلث‌ها هم‌نهشت‌اند و نمی‌توان مثلث غیرهم‌نهشت ساخت." + "مثلث ساخته‌شده دو ضلع و زاویهٔ بین‌شان را با مثلث اولیه برابر دارد.", + "با دانستن دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها، ضلع سوم و زاویه‌های دیگر هم یکتا می‌شوند (حالت ض‌ز‌ض).", + "✅ جواب: بله، هم‌نهشت‌اند و مثلث غیرهم‌نهشت ساخته نمی‌شود" ] }, { @@ -88223,14 +87796,12 @@ { "title": "نیم‌ساز زاویه", "introText": "۱. نیم‌ساز زاویه را رسم کنید.\n۲. بررسی کنید که آیا نیم‌ساز زاویه دو ضلع را به دو مثلث هم‌نهشت تقسیم می‌کند.\n۳. اگر بله، دو مثلث هم‌نهشت هستند.", - "example": "زاویه AOB را در نظر بگیرید که اندازه آن 80 درجه است. نیم‌ساز این زاویه را رسم کنید و بررسی کنید که آیا دو مثلث AOC و BOC هم‌نهشت هستند یا خیر.", + "example": "زاویهٔ AOB برابر ۸۰ درجه و OA = OB است. نیم‌ساز OC را رسم می‌کنیم. آیا دو مثلث AOC و BOC هم‌نهشت‌اند؟", "steps": [ - "نیم‌ساز زاویه AOB را رسم می‌کنیم که زاویه AOC و زاویه BOC هر کدام 40 درجه خواهند بود.", - "با توجه به اینکه زاویه AOC برابر با زاویه BOC است، دو زاویه برابر داریم.", - "ضلع AO برابر با ضلع BO است زیرا هر دو از نقطه O به سمت A و B رفته‌اند.", - "در نتیجه، مثلث AOC و مثلث BOC دارای دو زاویه برابر و یک ضلع مشترک هستند.", - "بنابراین، طبق قاعده مثلث‌های هم‌نهشت، مثلث AOC و مثلث BOC هم‌نهشت هستند.", - "✅ جواب: بله" + "نیم‌ساز زاویه را به دو زاویهٔ ۴۰ درجه تقسیم می‌کند: ∠AOC = ∠BOC.", + "OA = OB (داده) و OC ضلع مشترک است.", + "دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها برابرند (ض‌ز‌ض).", + "✅ جواب: بله، هم‌نهشت‌اند" ], "figures": [ { @@ -88256,7 +87827,7 @@ 80.0 ] }, - "D": { + "C": { "polar": [ 4.0, 40.0 @@ -88277,7 +87848,7 @@ { "type": "segment", "from": "O", - "to": "D", + "to": "C", "color": "red", "dashed": true }, @@ -88285,13 +87856,13 @@ "type": "angle", "vertex": "O", "from": "A", - "to": "D", + "to": "C", "label": "۴۰°" }, { "type": "angle", "vertex": "O", - "from": "D", + "from": "C", "to": "B", "label": "۴۰°" }, @@ -88314,14 +87885,12 @@ { "title": "تشخیص مثلث‌های هم‌نهشت", "introText": "۱. بررسی کنید که آیا دو مثلث دارای دو ضلع و زاویه بین آن‌ها برابر هستند.\n۲. بررسی کنید که آیا دو مثلث دارای سه ضلع برابر هستند.\n۳. بررسی کنید که آیا دو مثلث دارای دو زاویه و ضلع بین آن‌ها برابر هستند.", - "example": "در مثلث ABC قائم‌الزاویه در A، وتر AC برابر 7 سانتی‌متر و زاویه B برابر 60 درجه است. در مثلث DEF قائم‌الزاویه در F، وتر EF برابر 7 سانتی‌متر و زاویه D برابر 60 درجه است. آیا این دو مثلث هم‌نهشت هستند؟ زاویه دیگر هر مثلث را پیدا کنید.", + "example": "مثلث ABC در رأس A قائمه است، وتر BC برابر ۷ سانتی‌متر و ∠B = ۶۰ درجه. مثلث DEF در رأس F قائمه است، وتر DE برابر ۷ سانتی‌متر و ∠D = ۶۰ درجه. آیا هم‌نهشت‌اند؟ زاویهٔ سوم هر مثلث چقدر است؟", "steps": [ - "وتر مثلث ABC برابر 7 سانتی‌متر است و وتر مثلث DEF نیز برابر 7 سانتی‌متر است.", - "زاویه B در مثلث ABC برابر 60 درجه و زاویه D در مثلث DEF نیز برابر 60 درجه است.", - "چون وترها و یک زاویه تند برابرند، دو مثلث هم‌نهشت هستند.", - "زاویه دیگر مثلث ABC برابر 90 - 60 = 30 درجه است.", - "زاویه دیگر مثلث DEF نیز برابر 30 درجه است.", - "✅ جواب: بله، هم‌نهشت‌اند؛ زاویه دیگر هر دو ۳۰ درجه است." + "وترها برابرند (۷) و یک زاویهٔ تند برابر است (۶۰ درجه).", + "دو مثلث قائم‌الزاویه با وتر و یک زاویهٔ تند برابر هم‌نهشت‌اند.", + "زاویهٔ سوم: ۹۰ − ۶۰ = ۳۰ درجه.", + "✅ جواب: بله، هم‌نهشت‌اند؛ زاویهٔ سوم هر دو ۳۰ درجه است" ] }, { @@ -89135,7 +88704,8 @@ "عبارت به صورت (2¹⁵)/(2^(3× square)) = 1 است.", "طبق قانون تقسیم توان‌ها:", "2^(15 - 3× square) = 1", - "چون 1 = 2⁰ است، پس: 15 - 3× square = 0 3× square = 15 square = 5" + "چون 1 = 2⁰ است، پس: 15 - 3× square = 0 3× square = 15 square = 5", + "✅ جواب: ۵" ] } ] @@ -89226,12 +88796,11 @@ { "title": "محاسبه جذر تقریبی", "introText": "۱. عدد مورد نظر را در جدول جذر پیدا کنید.\n۲. مقدار جذر تقریبی را از جدول بخوانید.\n۳. اگر عدد در جدول نیست، از اعداد نزدیک استفاده کنید و میانگین بگیرید.", - "example": "اگر مقدار جذر ۳۴ را با ماشین حساب تا پنج رقم اعشار حساب کنیم، مقدار تقریبی آن برابر ۵/۸۳۰۹۵ است. مقدار ۵/۸ را با مقدار جذر ۳۴ مقایسه کنید.", + "example": "با ماشین حساب √۳۴ ≈ ۵٫۸۳۰۹۵ است. عدد ۵٫۸ را با √۳۴ مقایسه کنید.", "steps": [ - "مقدار جذر ۳۴ را با ماشین حساب تا پنج رقم اعشار محاسبه می‌کنیم: ۵/۸۳۰۹۵.", - "مقدار ۵/۸ را با مقدار ۵/۸۳۰۹۵ مقایسه می‌کنیم.", - "چون ۵/۸ کمتر از ۵/۸۳۰۹۵ است، بنابراین مقدار ۵/۸ کمتر از مقدار جذر ۳۴ است.", - "✅ جواب: کمتر است." + "۵٫۸ = ۵٫۸۰۰۰۰.", + "۵٫۸۰۰۰۰ < ۵٫۸۳۰۹۵.", + "✅ جواب: ۵٫۸ کوچک‌تر از √۳۴ است" ], "figures": [ { @@ -89626,27 +89195,24 @@ { "title": "رسم محور اعداد و مشخص کردن جذر تقریبی", "introText": "۱. محور اعداد رسم کنید.\n۲. جذر تقریبی هر عدد را محاسبه کنید.\n۳. موقعیت تقریبی هر عدد را روی محور مشخص کنید.", - "example": "جذر تقریبی عدد ۲۰ را روی محور اعداد مشخص کنید.", + "example": "جذر تقریبی عدد ۲۰ را روی محور مشخص کنید.", "steps": [ - "عدد ۲۰ را بین جذر ۱۶ و جذر ۲۵ قرار می‌دهیم چون ۱۶ < ۲۰ < ۲۵.", - "جذر ۱۶ برابر ۴ و جذر ۲۵ برابر ۵ است.", - "بنابراین، جذر ۲۰ بین ۴ و ۵ قرار دارد.", - "با استفاده از تخمین، می‌دانیم که جذر ۲۰ حدود ۴.۴ است.", - "محور اعداد را رسم کرده و عدد ۴.۴ را روی آن مشخص می‌کنیم.", - "✅ جواب: 4.4" + "۱۶ < ۲۰ < ۲۵ ، پس √۲۰ بین ۴ و ۵ است.", + "۴٫۵² = ۲۰٫۲۵ کمی بیشتر از ۲۰ است، پس √۲۰ کمی کمتر از ۴٫۵ است.", + "✅ جواب: حدود ۴٫۵ (دقیق‌تر ۴٫۴۷)" ], "figures": [ { "where": "example", "diagram": { "kind": "numberline", - "title": "√۲۰ ≈ ۴٫۴", + "title": "√۲۰ ≈ ۴٫۵", "min": 3.0, "max": 6.0, "points": [ { "at": 4.472, - "label": "√۲۰ ≈ ۴٫۴", + "label": "√۲۰ ≈ ۴٫۵", "open": false } ], @@ -89984,14 +89550,13 @@ { "title": "تقسیم داده‌ها به دسته‌ها", "introText": "۱. داده‌ها را به دسته‌های مساوی تقسیم کنید.\n۲. حدود دسته‌ها را مشخص کنید.\n۳. تعداد داده‌های هر دسته را بشمارید و فراوانی هر دسته را تعیین کنید.\n۴. جدول فراوانی را تکمیل کنید.", - "example": "میانگین دمای هوا در روزهای مختلف یک منطقه به صورت زیر گزارش شده است:\n+2، +2، +4، +5، +6، 0، -1، -2، 0، -3، -7، -2، -1، 0، +3، +4\n-1، -3، -6، -7، -8، +8، +7، +8، +7، +6، +3، +1، +2، +3، +4، +7\n+2، +2، -4، -2، -1، 0، -5، -3، 0، 0، +1، +1، +4، +6، +7\nجدول فراوانی داده‌ها را بر اساس دامنه تغییرات مشخص بسازید و نمودار میله‌ای رسم کنید.\nدامنه تغییرات چقدر است؟ داده‌ها را به چهار دسته تقسیم کنید و طول هر دسته را مشخص کنید.", + "example": "میانگین دمای ۴۷ روز یک منطقه چنین گزارش شده است: ۲ ، ۲ ، ۴ ، ۵ ، ۶ ، ۰ ، −۱ ، −۲ ، ۰ ، −۳ ، −۷ ، −۲ ، −۱ ، ۰ ، ۳ ، ۴ ، −۱ ، −۳ ، −۶ ، −۷ ، −۸ ، ۸ ، ۷ ، ۸ ، ۷ ، ۶ ، ۳ ، ۱ ، ۲ ، ۳ ، ۴ ، ۷ ، ۲ ، ۲ ، −۴ ، −۲ ، −۱ ، ۰ ، −۵ ، −۳ ، ۰ ، ۰ ، ۱ ، ۱ ، ۴ ، ۶ ، ۷. دامنهٔ تغییرات را بیابید، داده‌ها را در ۴ دستهٔ هم‌طول بنویسید و فراوانی هر دسته را به‌دست آورید.", "steps": [ - "بیشترین دما: +8 و کمترین دما: -8", - "دامنه تغییرات = 8 - (-8) = 16", - "طول هر دسته = دامنه تغییرات / 4 = 16 / 4 = 4", - "دسته‌ها:", - "دسته 1: از -8 تا -5", - "✅ جواب: دامنه 16، دسته‌ها [-8,-5]،[-4,-1]،[0,3]،[4,7] با فراوانی 5،7،11،9" + "بیشترین ۸ و کمترین −۸ است.", + "دامنه = ۸ − (−۸) = ۱۶.", + "طول هر دسته = ۱۶ ÷ ۴ = ۴. دسته‌ها: از −۸ تا کمتر از −۴ ، از −۴ تا کمتر از ۰ ، از ۰ تا کمتر از ۴ ، از ۴ تا ۸.", + "شمارش: ۵ ، ۱۱ ، ۱۷ و ۱۴ داده (مجموع ۴۷).", + "✅ جواب: دامنه ۱۶ ؛ طول دسته ۴ ؛ فراوانی‌ها ۵ ، ۱۱ ، ۱۷ ، ۱۴" ] }, { @@ -90206,11 +89771,11 @@ { "title": "محاسبه مرکز دسته", "introText": "۱. بازه دسته را مشخص کنید (حد پایین و حد بالا).\n۲. حد پایین و حد بالا را جمع کنید.\n۳. حاصل جمع را بر ۲ تقسیم کنید تا مرکز دسته به دست آید.", - "example": "برای به دست آوردن مرکز دسته‌ای مانند دسته ۱۴۵ ≤ x < ۱۳۰، ابتدا مجموع عددهای ۱۳۰ و ۱۴۵ را به دست آورید و سپس حاصل را بر ۲ تقسیم کنید.", + "example": "برای دستهٔ ۱۳۰ ≤ x < ۱۴۵ مرکز دسته را حساب کنید (مجموع دو سر دسته تقسیم بر ۲).", "steps": [ - "۱۳۰ + ۱۴۵ = ۲۷۵", - "۲۷۵ ÷ ۲ = ۱۳۷.۵", - "مرکز دسته برابر است با ۱۳۷.۵" + "۱۳۰ + ۱۴۵ = ۲۷۵.", + "۲۷۵ ÷ ۲ = ۱۳۷٫۵.", + "✅ جواب: ۱۳۷٫۵" ] }, { @@ -90548,7 +90113,8 @@ "سکه سوم نیز دو حالت دارد: رو یا پشت.", "بنابراین، تعداد کل حالات ممکن برای سه سکه برابر 2 × 2 × 2 = 8 حالت است.", "جدول عرفان را کامل می‌کنیم:", - "برای هر حالت دو سکه اول، دو حالت برای سکه سوم داریم. به عنوان مثال، برای حالت رو-رو دو حالت داریم: رو-رو-رو و رو-رو-پشت. به همین ترتیب برای بقیه حالات جدول را کامل می‌کنیم. نتیجه: تعداد کل حالات ممکن 8 است." + "برای هر حالت دو سکه اول، دو حالت برای سکه سوم داریم. به عنوان مثال، برای حالت رو-رو دو حالت داریم: رو-رو-رو و رو-رو-پشت. به همین ترتیب برای بقیه حالات جدول را کامل می‌کنیم. نتیجه: تعداد کل حالات ممکن 8 است.", + "✅ جواب: ۸ حالت" ], "figures": [ { @@ -90837,14 +90403,12 @@ { "title": "محاسبه احتمال با استفاده از جدول", "introText": "۱. جدول حالت‌های ممکن را رسم کنید.\n۲. تعداد کل حالت‌های ممکن را مشخص کنید.\n۳. تعداد حالت‌های مطلوب را مشخص کنید.\n۴. احتمال را با تقسیم تعداد حالت‌های مطلوب بر تعداد کل حالت‌های ممکن محاسبه کنید.", - "example": "دو سکه بردارید و ۲۰ بار آزمایش پرتاب انجام دهید. نتایج ۲۰ آزمایش را با رسم چوب خط در جدول ثبت کنید. سپس نتایج آزمایش خودتان را با نتایج سه گروه دیگر جمع کنید و با استفاده از نتایج مربوط به ۸۰ آزمایش، درستی فکرتان را بررسی کنید.", + "example": "دو سکه را ۲۰ بار می‌اندازیم و نتیجه‌ها را با چوب‌خط ثبت می‌کنیم؛ سپس با نتایج سه گروه دیگر (جمعاً ۸۰ آزمایش) احتمال تجربی هر حالت را با احتمال نظری مقایسه کنید.", "steps": [ - "در هر آزمایش، حالت پرتاب دو سکه را ثبت کنید (رو-رو، رو-پشت، پشت-رو، پشت-پشت).", - "برای هر حالت، تعداد وقوع آن را با رسم چوب خط در جدول ثبت کنید.", - "نتایج ۲۰ آزمایش خود را با نتایج سه گروه دیگر جمع کنید تا مجموع ۸۰ آزمایش به دست آید.", - "احتمال تجربی هر حالت را با تقسیم تعداد وقوع آن حالت بر ۸۰ محاسبه کنید.", - "با مقایسه این احتمال‌ها با احتمال نظری (که هر حالت ۱/۴ است) درستی فرضیات خود را بررسی کنید.", - "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است." + "حالت‌های ممکن: رو-رو ، رو-پشت ، پشت-رو ، پشت-پشت.", + "احتمال تجربی هر حالت = تعداد وقوع ÷ ۸۰.", + "احتمال نظری هر حالت ۱/۴ = ۰٫۲۵ است.", + "✅ جواب: با زیاد شدن تعداد آزمایش‌ها احتمال تجربی هر حالت به ۱/۴ نزدیک می‌شود" ] }, { @@ -91089,7 +90653,8 @@ "steps": [ "پاره‌خط OH که از مرکز O به خط d رسم شده و بر آن عمود است، کوتاه‌ترین فاصله مرکز دایره تا خط d است.", "چون خط d مماس بر دایره است، فاصله مرکز تا خط برابر شعاع دایره است که 2 است.", - "بنابراین، طول OH برابر 2 است و چون 2 < 3، نتیجه می‌گیریم که فاصله مرکز دایره از خط d کمتر از 3 است." + "بنابراین، طول OH برابر 2 است و چون 2 < 3، نتیجه می‌گیریم که فاصله مرکز دایره از خط d کمتر از 3 است.", + "✅ جواب: OH = ۲ و ۲ < ۳" ], "figures": [ { @@ -91370,10 +90935,10 @@ { "title": "محاسبه زاویه خواسته‌شده در دایره", "introText": "۱. نقطه تماس و شعاع دایره را مشخص کنید.\n۲. زاویه بین خط مماس و شعاع را به عنوان زاویه قائمه در نظر بگیرید.\n۳. از روابط هندسی برای محاسبه زاویه خواسته‌شده استفاده کنید.", - "example": "از نقطه‌ای بیرون دایره مماس رسم شده. زاویه در مرکز ۵۰ و نقطه تماس. زاویه سوم؟", + "example": "از نقطهٔ P بیرون دایره‌ای به مرکز O مماسی رسم شده که دایره را در T لمس می‌کند. اگر زاویهٔ POT برابر ۵۰ درجه باشد، زاویهٔ OPT چند درجه است؟", "steps": [ - "مثلث قائم‌الزاویه.", - "۱۸۰ − ۹۰ − ۵۰.", + "شعاع OT بر مماس PT عمود است: زاویهٔ OTP = ۹۰ درجه.", + "مجموع زاویه‌های مثلث OTP برابر ۱۸۰ است: ۱۸۰ − ۹۰ − ۵۰ = ۴۰.", "✅ جواب: ۴۰ درجه" ], "figures": [ @@ -91645,14 +91210,12 @@ { "title": "اثبات برابری وترها در دایره", "introText": "۱. مرکز دایره را مشخص کنید.\n۲. خطی عمود از مرکز دایره به وتر رسم کنید.\n۳. نشان دهید که این خط وتر را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند.\n۴. از خواص مثلث‌های قائم‌الزاویه برای اثبات برابری وترها استفاده کنید.", - "example": "در دایره‌ای با مرکز O و وتر AB، خط OC را به عنوان عمود از مرکز O به وتر AB رسم کنید. نشان دهید که AC = CB.", + "example": "در دایره‌ای به مرکز O و وتر AB، خط OC را عمود از مرکز بر وتر AB رسم می‌کنیم (C روی AB). نشان دهید AC = CB.", "steps": [ - "OC عمود بر AB است و نقطه C نقطه تقاطع OC با AB است.", - "مثلث‌های OAC و OBC را در نظر می‌گیریم.", - "زاویه‌های OAC و OBC هر دو قائم هستند و OA = OB (چرا که شعاع‌های دایره‌اند).", - "بنابراین، طبق قاعده مثلث‌های قائم‌الزاویه، AC = CB.", - "پس نشان دادیم که وتر AB به دو قسمت مساوی تقسیم می‌شود.", - "✅ جواب: AC = CB" + "مثلث‌های OAC و OBC قائم‌الزاویه‌اند (زاویهٔ C قائمه).", + "OA = OB (شعاع) و OC مشترک است؛ طبق حالت وتر و یک ضلع دو مثلث هم‌نهشت‌اند.", + "پس ضلع‌های متناظر برابرند: AC = CB.", + "✅ جواب: AC = CB ؛ عمودی که از مرکز بر وتر رسم شود آن را نصف می‌کند" ], "figures": [ { @@ -92023,14 +91586,12 @@ { "title": "زاویه مرکزی و کمان دایره", "introText": "۱. زاویه مرکزی را مشخص کنید.\n۲. طول کمان را با استفاده از فرمول طول کمان = (زاویه مرکزی / ۳۶۰) × محیط دایره محاسبه کنید.\n۳. اگر کمان به چند قسمت تقسیم شده باشد، طول هر قسمت را جداگانه محاسبه کنید.\n۴. بررسی کنید که آیا کمان‌ها مساوی هستند یا خیر.", - "example": "محیط دایره را به هشت کمان مساوی تقسیم کرده‌ایم و هشت‌ضلعی ABCDEFGH را رسم کرده‌ایم. چرا این هشت‌ضلعی منتظم است؟ اثبات کنید که مثلث‌های AOB، BOC، COD و ... متساوی‌الساقین هستند و همه زاویه‌های سبز رنگ برابرند.", + "example": "محیط دایره را به ۸ کمان مساوی تقسیم کرده و هشت‌ضلعی ABCDEFGH را رسم کرده‌ایم. چرا این هشت‌ضلعی منتظم است؟", "steps": [ - "دایره به 8 کمان مساوی تقسیم شده است، پس اندازه هر کمان برابر است.", - "مثلث‌های AOB، BOC، COD و ... هر کدام دو ضلع برابر دارند (شعاع‌های دایره).", - "بنابراین این مثلث‌ها متساوی‌الساقین هستند و زاویه‌های قاعده برابرند.", - "زاویه‌های مرکزی برابرند و زاویه‌های سبز رنگ که زاویه‌های قاعده مثلث‌ها هستند نیز برابرند.", - "بنابراین همه اضلاع هشت‌ضلعی برابر و همه زاویه‌های داخلی برابرند، پس هشت‌ضلعی منتظم است.", - "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است؛ با تقسیم دایره به ۸ کمان مساوی، اضلاع و زوایای داخلی هشت‌ضلعی برابر می‌شوند." + "کمان‌ها مساوی‌اند، پس زاویه‌های مرکزی برابرند و وترها (ضلع‌های هشت‌ضلعی) برابرند.", + "مثلث‌های AOB ، BOC ، … متساوی‌الساقین‌اند (دو ضلع شعاع) و همگی هم‌نهشت‌اند، پس زاویه‌های قاعده‌شان برابر است.", + "هر زاویهٔ هشت‌ضلعی از دو زاویهٔ قاعدهٔ برابر ساخته می‌شود، پس زاویه‌ها هم برابرند.", + "✅ جواب: ضلع‌ها و زاویه‌ها برابرند، پس هشت‌ضلعی منتظم است" ], "figures": [ { @@ -92227,7 +91788,8 @@ "زاویه AOB = 36 درجه", "پس زاویه AOD = زاویه BOD = 36 ÷ 2 = 18 درجه", "کمان AD متناظر با زاویه AOD است و کمان BD متناظر با زاویه BOD است.", - "بنابراین اندازه هر کمان AD و BD برابر 18 درجه است." + "بنابراین اندازه هر کمان AD و BD برابر 18 درجه است.", + "✅ جواب: ۱۸ درجه" ], "figures": [ { @@ -92534,12 +92096,12 @@ { "title": "بررسی برابری وترها و کمان‌ها در دایره", "introText": "۱. بررسی کنید که آیا وترها برابر هستند.\n۲. بررسی کنید که آیا کمان‌های متناظر با وترها برابر هستند.\n۳. اگر وترها برابر باشند، کمان‌های متناظر نیز برابر خواهند بود.\n۴. اگر کمان‌ها برابر باشند، وترهای متناظر نیز برابر خواهند بود.", - "example": "الف) فرض کنید AB = CD. چرا AB = CD؟ در دایره‌ای با مرکز O، کمان AB و کمان CD برابرند. مثلث‌های AOB و COD را در نظر بگیرید.", + "example": "در دایره‌ای به مرکز O کمان‌های AB و CD برابرند. چرا وترهای AB و CD هم برابرند؟", "steps": [ - "اگر AB = CD، یعنی کمان‌های متناظر برابرند.", - "در مثلث‌های AOB و COD، زاویه‌های مرکزی برابرند و شعاع‌های دایره برابرند.", - "بنابراین اضلاع متناظر مثلث‌ها برابرند و نتیجه می‌گیریم AB = CD.", - "✅ جواب: از برابری کمان‌ها، زوایای مرکزی برابر و مثلث‌ها هم‌نهشتند، پس وترها برابرند." + "کمان‌های برابر زاویه‌های مرکزی برابر دارند: ∠AOB = ∠COD.", + "در مثلث‌های AOB و COD داریم OA = OC و OB = OD (شعاع‌ها).", + "طبق ض‌ز‌ض مثلث‌ها هم‌نهشت‌اند، پس AB = CD.", + "✅ جواب: کمان‌های برابر ⟹ زاویه‌های مرکزی برابر ⟹ وترهای برابر" ], "figures": [ { @@ -93129,12 +92691,11 @@ { "title": "جمع زاویه‌های محاطی", "introText": "۱. زاویه‌های محاطی را که به یک کمان مشترک اشاره دارند، شناسایی کنید.\n۲. اندازه هر زاویه محاطی را محاسبه کنید.\n۳. زاویه‌های محاطی را با هم جمع کنید.", - "example": "در یک دایره، دو زاویه محاطی AOB و COD وجود دارند که هر دو به کمان AB اشاره دارند. اندازه زاویه AOB برابر با ۴۰ درجه و اندازه زاویه COD برابر با ۶۰ درجه است. جمع زاویه‌های محاطی AOB و COD را حساب کنید.", + "example": "در یک دایره دو زاویهٔ محاطی روبه‌رو به یک کمان‌اند. یکی از آن‌ها ۴۰ درجه است. زاویهٔ محاطی دیگر و کمان چند درجه است؟", "steps": [ - "اندازه زاویه AOB برابر با ۴۰ درجه است.", - "اندازه زاویه COD برابر با ۶۰ درجه است.", - "جمع زاویه‌های محاطی را محاسبه می‌کنیم: ۴۰ + ۶۰ = ۱۰۰ درجه.", - "✅ جواب: ۱۰۰ درجه" + "زاویه‌های محاطی روبه‌رو به یک کمان برابرند: ۴۰ درجه.", + "کمان دو برابر زاویهٔ محاطی است: ۲ × ۴۰ = ۸۰.", + "✅ جواب: ۴۰ درجه ؛ کمان ۸۰ درجه" ] }, { @@ -93144,7 +92705,8 @@ "steps": [ "اندازه کمان AD برابر 80 درجه است.", "زاویه محاطی C که مقابل کمان AD قرار دارد، برابر نصف اندازه کمان است.", - "بنابراین: زاویه C = 80 ÷ 2 = 40 درجه." + "بنابراین: زاویه C = 80 ÷ 2 = 40 درجه.", + "✅ جواب: ۴۰ درجه" ], "figures": [ { @@ -93338,7 +92900,8 @@ "steps": [ "زاویه مرکزی AOB برابر 72 درجه است.", "اندازه کمان متناظر با این زاویه مرکزی برابر با اندازه زاویه مرکزی است.", - "بنابراین، کمان AB برابر 72 درجه است." + "بنابراین، کمان AB برابر 72 درجه است.", + "✅ جواب: ۷۲ درجه" ], "figures": [ { @@ -94201,11 +93764,11 @@ { "title": "تشکیل مجموعه", "introText": "برای تشکیل یک مجموعه، ابتدا اعضای مورد نظر را مشخص کنید. سپس آنها را درون آکولاد قرار دهید و بین آنها ویرگول بگذارید. در نهایت مجموعه را با یک حرف بزرگ نام‌گذاری کنید.", - "example": "مجموعه شامل شماره‌های عدد ۶۰ که نه اول باشند و نه مرکب، چند عضو دارد؟ این مجموعه را نیز بنویسید و نمایش دهید.", + "example": "مجموعهٔ اعداد طبیعی کوچک‌تر از ۶۰ که نه اول‌اند و نه مرکب چند عضو دارد؟ آن را بنویسید.", "steps": [ - "اعداد طبیعی ۶۰ که نه اول و نه مرکب هستند، شامل عدد ۱ می‌شود.", - "بنابراین این مجموعه شامل یک عضو است و به صورت {1} نوشته می‌شود.", - "✅ جواب: مجموعه {1} شامل یک عضو است." + "عدد اول دقیقاً دو شمارنده دارد و عدد مرکب بیش از دو شمارنده.", + "تنها عدد طبیعی که نه اول است و نه مرکب ۱ است (فقط یک شمارنده دارد).", + "✅ جواب: {۱} ؛ یک عضو" ] }, { @@ -94315,13 +93878,12 @@ { "title": "برابری مجموعه‌ها", "introText": "برای بررسی برابری دو مجموعه، بررسی کنید که هر عضو از مجموعه اول در مجموعه دوم نیز وجود داشته باشد و بالعکس.", - "example": "مجموعه A = {2, 1, 0, -1, -2} را در نظر بگیرید. کدام‌یک از مجموعه‌های زیر با هم برابر است؟\nB = x | x ∈ A, x² ≤ 2\nC = {x | x ∈ A, -1 ≤ x ≤ 1}\nD = x | x ∈ A, x⁴ = 1", + "example": "مجموعهٔ A = {۲ ، ۱ ، ۰ ، −۱ ، −۲} داده شده است. B = {x ∈ A | x² ≤ ۲} ، C = {x ∈ A | −۱ ≤ x ≤ ۱} و D = {x ∈ A | x⁴ = ۱}. کدام‌یک برابرند؟", "steps": [ - "ابتدا اعضای مجموعه A را داریم: {2, 1, 0, -1, -2}.", - "مجموعه B شامل اعضای A است که مربع آنها کمتر یا مساوی 2 باشد: اعضای B = 1, 0, -1 چون 1²=1 ≤ 2، 0²=0 ≤ 2، (-1)²=1 ≤ 2.", - "مجموعه C شامل اعضای A است که بین -1 و 1 باشند: اعضای C = {1, 0, -1}.", - "مجموعه D شامل اعضای A است که توان چهارم آنها برابر 1 باشد: اعضای D = 1, -1 چون 1⁴=1 و (-1)⁴=1.", - "بنابراین B و C برابرند چون اعضای یکسان دارند." + "B: مربع ۱ ، ۰ و −۱ برابر ۱ ، ۰ و ۱ است (≤ ۲)؛ مربع ۲ و −۲ برابر ۴ است. پس B = {−۱ ، ۰ ، ۱}.", + "C: اعضای A بین −۱ و ۱: C = {−۱ ، ۰ ، ۱}.", + "D: توان چهارم ۱ و −۱ برابر ۱ است: D = {−۱ ، ۱}.", + "✅ جواب: B = C = {−۱ ، ۰ ، ۱} ؛ D با آن‌ها برابر نیست" ] }, { @@ -94761,11 +94323,12 @@ { "title": "تشکیل مجموعه‌های اعداد طبیعی", "introText": "برای تشکیل مجموعه اعداد طبیعی، اعضای مورد نظر را انتخاب کرده و در مجموعه قرار دهید. تعداد اعضای مجموعه را با n(A) نشان دهید.", - "example": "مجموعه اعداد طبیعی 12 را مجموعه A و مجموعه اعداد طبیعی 18 را مجموعه B بنامید. الف) مجموعه‌ای تشکیل دهید که هر عضو آن عدد 18 باشد ولی عدد 12 نباشد. ب) مجموعه‌ای تشکیل دهید که اعضای آن هم عدد 12 و هم عدد 18 باشند.", + "example": "A مجموعهٔ شمارنده‌های طبیعی ۱۲ و B مجموعهٔ شمارنده‌های طبیعی ۱۸ است. الف) مجموعه‌ای از شمارنده‌های ۱۸ که شمارندهٔ ۱۲ نیستند. ب) مجموعهٔ شمارنده‌های مشترک ۱۲ و ۱۸.", "steps": [ - "الف) مجموعه‌ای که شامل عدد 18 باشد ولی عدد 12 نباشد، می‌تواند مجموعه {18} باشد.", - "ب) مجموعه‌ای که شامل هر دو عدد 12 و 18 باشد، می‌تواند مجموعه {12, 18} باشد.", - "✅ جواب: الف) {18} ب) {12, 18}" + "A = {۱ ، ۲ ، ۳ ، ۴ ، ۶ ، ۱۲} و B = {۱ ، ۲ ، ۳ ، ۶ ، ۹ ، ۱۸}.", + "الف) B − A = {۹ ، ۱۸}.", + "ب) A ∩ B = {۱ ، ۲ ، ۳ ، ۶}.", + "✅ جواب: الف) {۹ ، ۱۸} ب) {۱ ، ۲ ، ۳ ، ۶}" ] }, { @@ -94891,19 +94454,19 @@ "مجموعه حالات ممکن تاس S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} است که n(S) = 6.", "مجموعه حالات مطلوب C که عدد بزرگ‌تر از ۶ باشد، C = ∅ (مجموعه تهی) است که n(C) = 0.", "احتمال رخ دادن پیشامد C برابر است با:", - "P(C) = n(C) / n(S) = 0 / 6 = 0." + "P(C) = n(C) / n(S) = 0 / 6 = 0.", + "✅ جواب: ۰" ] }, { "title": "تعریف مجموعه و زیرمجموعه", "introText": "۱. مجموعه اصلی را مشخص کنید. ۲. تمامی زیرمجموعه‌های ممکن را بنویسید. ۳. احتمال رخداد هر زیرمجموعه را محاسبه کنید.", - "example": "مجموعه A = {1, 3} (عقربه روی عدد 1 یا 3 بایستد) داده شده است. مجموعه‌های B = {1, 2}، C = {2, 3} و D = {2} را به همین صورت تعریف کنید و پاسخ خود را با پاسخ همکلاسی‌هایتان مقایسه کنید.", + "example": "عقربهٔ چرخنده روی یکی از اعداد ۱ ، ۲ یا ۳ می‌ایستد. مجموعهٔ A = {۱ ، ۳} یعنی «عقربه روی ۱ یا ۳ بایستد». مجموعه‌های B = {۱ ، ۲} ، C = {۲ ، ۳} و D = {۲} را به همین صورت بیان کنید.", "steps": [ - "برای B: عقربه روی عدد 1 یا 2 بایستد.", - "برای C: عقربه روی عدد 2 یا 3 بایستد.", - "برای D: عقربه روی عدد 2 بایستد.", - "سپس این مجموعه‌ها را با هم مقایسه می‌کنیم تا تشابه و تفاوت آنها مشخص شود.", - "✅ جواب: تعریف مجموعه‌های B، C و D بر اساس اعداد ۱، ۲ و ۳ درست است و مقایسهٔ آن‌ها با A منطقی به نظر می‌رسد." + "B: عقربه روی ۱ یا ۲ بایستد.", + "C: عقربه روی ۲ یا ۳ بایستد.", + "D: عقربه روی ۲ بایستد.", + "✅ جواب: B: روی ۱ یا ۲ ؛ C: روی ۲ یا ۳ ؛ D: فقط روی ۲" ] }, { @@ -95009,7 +94572,8 @@ "کسر 2/6 را روی محور عددی مشخص می‌کنیم.", "مشاهده می‌کنیم که 1/3 برابر 2/6 است چون هر دو نقطه در یک موقعیت قرار دارند.", "روش بهار:", - "مخرج مشترک کسرها 6 است. 1/3 را به صورت 2/6 تبدیل می‌کنیم (1×2)/(3×2)=2/6. حالا 2/6 و 2/6 را مقایسه می‌کنیم که برابرند. نتیجه: 1/3 = 2/6." + "مخرج مشترک کسرها 6 است. 1/3 را به صورت 2/6 تبدیل می‌کنیم (1×2)/(3×2)=2/6. حالا 2/6 و 2/6 را مقایسه می‌کنیم که برابرند. نتیجه: 1/3 = 2/6.", + "✅ جواب: ۱/۳ = ۲/۶" ], "figures": [ { @@ -95131,11 +94695,11 @@ { "title": "مقایسه نمایش عددی ماشین حساب", "introText": "۱. عدد را در ماشین حساب وارد کنید. ۲. نمایش عددی ماشین حساب را بررسی کنید. ۳. تفاوت‌های موجود در نمایش ارقام را تحلیل کنید.", - "example": "مقدار تقریبی √2 تا 15 رقم اعشار محاسبه شده و به صورت 1.414213562373095 نوشته شده است. آیا در این 15 رقم تکرار یا تناوبی دیده می‌شود؟", + "example": "مقدار √۲ تا ۱۵ رقم اعشار برابر ۱٫۴۱۴۲۱۳۵۶۲۳۷۳۰۹۵ است. آیا در این ۱۵ رقم تکرار یا تناوبی دیده می‌شود؟ آیا از آن می‌توان گنگ بودن √۲ را نتیجه گرفت؟", "steps": [ - "اعداد نوشته شده 1.414213562373095 هیچ تکرار یا تناوب منظمی در ارقام اعشاری ندارند.", - "این نشان می‌دهد که √2 عددی گنگ است و ارقام اعشاری آن به صورت نامتناهی و بدون الگوی تکراری ادامه دارند.", - "✅ جواب: در 15 رقم اعشاری √2 هیچ تکرار یا تناوبی مشاهده نمی‌شود." + "در این ۱۵ رقم الگوی تکراری دیده نمی‌شود.", + "ولی دیدن چند رقم اثبات نمی‌کند که تناوبی هرگز پیدا نمی‌شود؛ گنگ بودن √۲ را با استدلال (برهان خلف) ثابت می‌کنند.", + "✅ جواب: تکراری دیده نمی‌شود ؛ ولی این ۱۵ رقم به‌تنهایی گنگ بودن را ثابت نمی‌کند" ] }, { @@ -95941,7 +95505,8 @@ "steps": [ "از تعریف مستطیل داریم که همه زوایا قائمه هستند، پس زاویه A = 90 درجه.", "اضلاع مقابل برابرند: AB = CD و AD = BC.", - "اضلاع مقابل موازی هستند: AB || CD و AD || BC. قطرها AC و BD مثلث‌های قائم‌الزاویه را تشکیل می‌دهند. با استفاده از قضیه فیثاغورس: AC = √(AB² + BC²) و BD = √(AD² + DC²). چون AB = DC و AD = BC، پس AC = BD. بنابراین قطرهای مستطیل برابرند." + "اضلاع مقابل موازی هستند: AB || CD و AD || BC. قطرها AC و BD مثلث‌های قائم‌الزاویه را تشکیل می‌دهند. با استفاده از قضیه فیثاغورس: AC = √(AB² + BC²) و BD = √(AD² + DC²). چون AB = DC و AD = BC، پس AC = BD. بنابراین قطرهای مستطیل برابرند.", + "✅ جواب: AC = BD" ], "figures": [ { @@ -97246,7 +96811,8 @@ "مثلث‌های AMB و AMC را بررسی کنید.", "زاویه‌های BAM و CAM برابرند زیرا M روی نیمساز زاویه A است.", "AB = AC داده شده است.", - "ضلع AM در هر دو مثلث مشترک است. بنابراین مثلث‌های AMB و AMC از نظر دو ضلع و زاویه بین آن‌ها برابرند. نتیجه می‌گیریم که MB = MC." + "ضلع AM در هر دو مثلث مشترک است. بنابراین مثلث‌های AMB و AMC از نظر دو ضلع و زاویه بین آن‌ها برابرند. نتیجه می‌گیریم که MB = MC.", + "✅ جواب: MB = MC" ], "figures": [ { @@ -98099,7 +97665,8 @@ "introText": "۱. پایه را به توان منفی داده شده ببرید.\n۲. معکوس پایه را محاسبه کنید.\n۳. توان مثبت معکوس را محاسبه کنید.", "example": "عدد 5 به توان منفی 2 را به صورت عددی با توان مثبت بنویسید.", "steps": [ - "5⁻2 = 1 / 5² = 1 / 25" + "5⁻2 = 1 / 5² = 1 / 25", + "✅ جواب: ۱/۲۵" ] }, { @@ -98287,7 +97854,8 @@ "example": "عدد 0.000061 را به صورت عدد اعشاری با توان منفی بنویسید.", "steps": [ "عدد 0.000061 را به صورت 6.1 × 10^-5 می‌نویسیم، زیرا با جابه‌جایی اعشار 5 رقم به سمت راست، عدد به 6.1 تبدیل می‌شود.", - "بنابراین، نمایش عدد 0.000061 به صورت عدد اعشاری با توان منفی برابر است با 6.1 × 10^-5." + "بنابراین، نمایش عدد 0.000061 به صورت عدد اعشاری با توان منفی برابر است با 6.1 × 10^-5.", + "✅ جواب: ۶٫۱ × ۱۰⁻⁵" ] }, { @@ -98533,7 +98101,8 @@ "introText": "۱. بررسی کنید که آیا قسمت‌های رادیکالی یکسان هستند.\n۲. اگر یکسان هستند، ضرایب را جمع یا تفریق کنید.\n۳. اگر یکسان نیستند، نمی‌توان جمع یا تفریق کرد.", "example": "اگر قسمت رادیکالی دو عبارت پس از ساده کردن کاملاً یکسان باشد، می‌توان آنها را با هم جمع یا تفریق کرد؛ مثلاً دو عبارت 3√7 و 7√7 دارای قسمت‌های رادیکالی یکسان هستند. جمع آنها را بیابید.", "steps": [ - "جمع: 3√7 + 7√7 = (3 + 7)√7 = 10√7" + "جمع: 3√7 + 7√7 = (3 + 7)√7 = 10√7", + "✅ جواب: ۱۰√۷" ] }, { @@ -98900,14 +98469,13 @@ { "title": "مرتب‌سازی چند جمله‌ای‌ها", "introText": "۱. درجه هر جمله را نسبت به متغیر مشخص تعیین کنید. ۲. جملات را بر اساس درجه از بزرگ به کوچک مرتب کنید.", - "example": "حاصل عبارت (1/2 a⁽-2) b) (ab) (-2/7 a² c⁰.5) را بیابید.", + "example": "حاصل (۱/۲ a⁻² b)(ab)(−۲/۷ a² c) را بیابید.", "steps": [ - "ضرب ضرایب عددی: (1/2) × 1 × (-2/7) = (-2/14) = -1/7", - "ضرب توان‌های a: a⁻² × a¹ × a² = a^(-2 + 1 + 2) = a¹ = a", - "ضرب توان‌های b: b¹ × b¹ = b²", - "ضرب توان‌های c: c⁰.5", - "نتیجه: (-1/7) a b² c^(0.5)", - "✅ جواب: -1/7 a b² c^(0.5)" + "ضرایب: (۱/۲) × ۱ × (−۲/۷) = −۱/۷.", + "توان a: −۲ + ۱ + ۲ = ۱.", + "توان b: ۱ + ۱ = ۲.", + "توان c: ۱.", + "✅ جواب: −۱/۷ a b² c" ] }, { @@ -99682,7 +99250,8 @@ "با استفاده از اتحاد مزدوج داریم:", "(x - 2y + 5)(x + 2y - 5) = x² - (2y - 5)²", "= x² - (4y² - 20y + 25)", - "= x² - 4y² + 20y - 25" + "= x² - 4y² + 20y - 25", + "✅ جواب: x² − ۴y² + ۲۰y − ۲۵" ] }, { @@ -99769,7 +99338,8 @@ "عبارت داده شده به شکل a² - b² است که a = 2x و b = (7 - 3y) می‌باشد.", "با استفاده از اتحاد مزدوج داریم:", "4x² - (7 - 3y)² = (2x)² - (7 - 3y)² = (2x - (7 - 3y))(2x + (7 - 3y))", - "= (2x - 7 + 3y)(2x + 7 - 3y)" + "= (2x - 7 + 3y)(2x + 7 - 3y)", + "✅ جواب: (۲x − ۷ + ۳y)(۲x + ۷ − ۳y)" ] }, { @@ -100051,7 +99621,8 @@ "اگر a + b > 0 باشد، این به معنی آن است که مجموع دو عدد a و b مثبت است.", "اما این لزوماً به معنای مثبت بودن هر دو عدد نیست؛", "زیرا ممکن است یکی از اعداد منفی و دیگری مثبت باشد به گونه‌ای که مجموع آنها مثبت شود.", - "بنابراین این عبارت نادرست است." + "بنابراین این عبارت نادرست است.", + "✅ جواب: نادرست" ] }, { @@ -100453,7 +100024,8 @@ "steps": [ "طول ضلع مربع را x می‌گیریم.", "محیط مربع برابر است با 4 برابر طول ضلع، یعنی y = 4x.", - "پس رابطه بین x و y به صورت y = 4x است." + "پس رابطه بین x و y به صورت y = 4x است.", + "✅ جواب: y = ۴x" ], "figures": [ { @@ -101131,12 +100703,13 @@ { "title": "رسم معادله خط", "introText": "۱. معادله خط را به فرم y=ax+b بنویسید.\n۲. شیب خط (a) و عرض از مبدا (b) را مشخص کنید.\n۳. نقطه‌ای با عرض از مبدا (b) روی محور y مشخص کنید.\n۴. با استفاده از شیب (a)، نقطه دیگری روی خط پیدا کنید.\n۵. دو نقطه را به هم وصل کنید تا خط رسم شود.", - "example": "در هر یک از معادله‌های زیر، شیب و عرض از مبدأ خط را مشخص کنید:\ny = -3x + 1\ny = -2/3 x\ny = 2x - 4", + "example": "شیب و عرض از مبدأ هر خط را بنویسید: y = −۳x + ۱ ، y = −۲/۳ x ، y = ۲x − ۴.", "steps": [ - "برای y = -3x + 1، شیب = -3 و عرض از مبدأ = 1", - "برای y = -2/3 x، شیب = -2/3 و عرض از مبدأ = 0 (چون b ذکر نشده)", - "برای y = 2x - 4، شیب = 2 و عرض از مبدأ = -4", - "✅ جواب: هر سه معادله به صورت y=mx+b هستند و مقادیر استخراج شده درست است." + "شکل کلی y = ax + b: a شیب و b عرض از مبدأ است.", + "y = −۳x + ۱: شیب −۳ و عرض از مبدأ ۱.", + "y = −۲/۳ x: جملهٔ ثابت ندارد، پس شیب −۲/۳ و عرض از مبدأ ۰.", + "y = ۲x − ۴: شیب ۲ و عرض از مبدأ −۴.", + "✅ جواب: (−۳ ، ۱) ، (−۲/۳ ، ۰) ، (۲ ، −۴)" ], "figures": [ { @@ -101635,14 +101208,12 @@ { "title": "نوشتن معادله خط", "introText": "۱. تعیین متغیرها (مثلاً x برای ساعت و y برای هزینه). ۲. نوشتن رابطه بین متغیرها به صورت y = mx + b. ۳. جایگذاری مقادیر ثابت و متغیر برای یافتن معادله.", - "example": "دو نوع اشتراک اینترنت بدون مبلغ ثابت است؛ ولی برای هر ساعت استفاده، ۳۰۰۰ تومان هزینه دارد. رابطه‌ای بین هزینه اشتراک (y) و x ساعت استفاده از اینترنت بنویسید. دو خط به معادله‌های y = ۲۰۰۰x + ۳۰۰۰ و y = ۳۰۰۰x را در دستگاه مختصات رسم کنید. محل برخورد این دو خط چه ویژگی‌ای دارد؟ برای ۱.۵ ساعت استفاده، کدام نوع اشتراک بهتر است؟ بعد از چند ساعت استفاده از اینترنت، اشتراک نوع اول به صرفه خواهد بود؟", + "example": "دو نوع اشتراک اینترنت: نوع اول ۳۰۰۰ تومان ثابت و ساعتی ۲۰۰۰ تومان (y = ۲۰۰۰x + ۳۰۰۰) و نوع دوم بدون مبلغ ثابت و ساعتی ۳۰۰۰ تومان (y = ۳۰۰۰x). محل برخورد دو خط چه معنایی دارد؟ برای ۱٫۵ ساعت کدام بهتر است؟ بعد از چند ساعت نوع اول به‌صرفه می‌شود؟", "steps": [ - "معادله اول: y = ۲۰۰۰x + ۳۰۰۰", - "معادله دوم: y = ۳۰۰۰x", - "برای رسم نمودار، چند مقدار x را انتخاب و y را محاسبه می‌کنیم.", - "محل برخورد دو خط را با مساوی قرار دادن معادلات پیدا می‌کنیم:", - "۲۰۰۰x + ۳۰۰۰ = ۳۰۰۰x", - "✅ جواب: جواب کتاب درست است: محل برخورد در x=3، برای ۱.۵ ساعت نوع دوم بهتر است، و بعد از ۳ ساعت نوع اول به صرفه می‌شود." + "برخورد: ۲۰۰۰x + ۳۰۰۰ = ۳۰۰۰x ، پس x = ۳ و y = ۹۰۰۰: در ۳ ساعت هزینهٔ دو نوع برابر است.", + "برای ۱٫۵ ساعت: نوع اول ۲۰۰۰ × ۱٫۵ + ۳۰۰۰ = ۶۰۰۰ و نوع دوم ۳۰۰۰ × ۱٫۵ = ۴۵۰۰؛ نوع دوم ارزان‌تر است.", + "برای x > ۳ نوع اول ارزان‌تر می‌شود.", + "✅ جواب: برخورد در ۳ ساعت (هزینهٔ برابر ۹۰۰۰ تومان) ؛ برای ۱٫۵ ساعت نوع دوم بهتر است ؛ بیش از ۳ ساعت نوع اول به‌صرفه است" ], "figures": [ { @@ -101655,17 +101226,25 @@ "items": [ { "type": "function", - "expr": "3*x", + "expr": "2*x+3", "from": 0.0, "to": 6.0, "color": "blue", - "label": "y = ۳x" + "label": "نوع اول: y = ۲x + ۳" + }, + { + "type": "function", + "expr": "3*x", + "from": 0.0, + "to": 6.0, + "color": "red", + "label": "نوع دوم: y = ۳x" } ], "grid": true, "xRange": [ - -1.0, - 7.0 + -0.5, + 6.5 ], "yRange": [ -1.0, @@ -102052,38 +101631,40 @@ { "title": "تشخیص عبارت‌های گویا", "introText": "برای تشخیص عبارت‌های گویا، باید بررسی کنیم که آیا مخرج کسر برابر صفر می‌شود یا خیر. اگر مخرج کسر برای مقداری از متغیر صفر شود، عبارت گویا تعریف نشده است.", - "example": "کدام یک از عبارت‌های زیر گویا است؟\n\n|x| + |y| / x، √x / 25، √(3 + x) / 5، ah / 2، (x + 6) / 3، 7 / (x - 1)، (3 - a) / (2 + x)، 14 / (5 - n)، (mn + n²) / (5 - n)، 1 / √x، (x - 5) / √(3 + 1)، (x₁ √y + 1) / x²", + "example": "کدام‌یک از عبارت‌های زیر گویا (نسبت دو چندجمله‌ای) است؟ (x + ۶)/۳ ، ۷/(x − ۱) ، ah/۲ ، (۳ − a)/(۲ + x) ، ۱۴/(۵ − n) ، (mn + n²)/(۵ − n) ، (x − ۵)/√(۳ + ۱) ، √x/۲۵ ، √(۳ + x)/۵ ، ۱/√x ، (x₁√y + ۱)/x².", "steps": [ - "عبارت‌های گویا عبارت‌هایی هستند که به صورت کسر جبری نوشته شده‌اند و مخرج آن‌ها صفر نشود.", - "بنابراین عبارت‌هایی مانند 7 / (x - 1)، (x + 6) / 3، ah / 2، √(3 + x) / 5، √x / 25، |x| + |y| / x، (3 - a) / (2 + x)، 14 / (5 - n)، (mn + n²) / (5 - n)، 1 / √x، (x - 5) / √(3 + 1) و (x₁ √y + 1) / x² گویا هستند.", - "اما اگر مخرج صفر شود، عبارت تعریف نشده است و گویا نیست.", - "✅ جواب: همه‌ی عبارت‌ها گویا هستند (بر اساس تعریف کتاب)" + "عبارت گویا نسبت دو چندجمله‌ای است؛ زیر رادیکال یا قدر مطلق رفتن متغیر آن را غیرگویا می‌کند.", + "(x−۵)/√(۳+۱) = (x−۵)/۲ است چون √۴ = ۲ عددی ثابت است، پس گویاست.", + "√x/۲۵ ، √(۳+x)/۵ ، ۱/√x و (x₁√y+۱)/x² متغیر زیر رادیکال دارند.", + "✅ جواب: گویا: (x+۶)/۳ ، ۷/(x−۱) ، ah/۲ ، (۳−a)/(۲+x) ، ۱۴/(۵−n) ، (mn+n²)/(۵−n) ، (x−۵)/√۴ ؛ غیرگویا: √x/۲۵ ، √(۳+x)/۵ ، ۱/√x ، (x₁√y+۱)/x²" ] }, { "title": "محاسبه مقدار عددی عبارت گویا", "introText": "برای محاسبه مقدار عددی یک عبارت گویا، مقدار عددی متغیر را در عبارت جایگذاری کرده و محاسبه را انجام می‌دهیم. باید توجه داشت که مخرج کسر نباید صفر شود.", - "example": "مقدار عددی عبارت (x + 5) / (x - 3) را به ازای اعداد x = -5، -1، 0، 1/2، 7، -2 به دست آورید.", + "example": "مقدار عبارت (x + ۵)/(x − ۳) را برای x = −۵ ، −۱ ، ۰ ، ۱/۲ ، ۷ و −۲ به‌دست آورید.", "steps": [ - "برای هر مقدار x عبارت را محاسبه می‌کنیم:", - "x = -5: (-5 + 5) / (-5 - 3) = 0 / (-8) = 0", - "x = -1: (-1 + 5) / (-1 - 3) = 4 / (-4) = -1", - "x = 0: (0 + 5) / (0 - 3) = 5 / (-3) = -5/3", - "x = 1/2: (1/2 + 5) / (1/2 - 3) = (5.5) / (-2.5) = -11/5", - "✅ جواب: 0, -1, -5/3, -11/5, 3, -3/5" + "x = −۵: ۰/(−۸) = ۰.", + "x = −۱: ۴/(−۴) = −۱.", + "x = ۰: ۵/(−۳) = −۵/۳.", + "x = ۱/۲: (۱/۲ + ۵)/(۱/۲ − ۳) = (۱۱/۲)/(−۵/۲) = −۱۱/۵.", + "x = ۷: ۱۲/۴ = ۳.", + "x = −۲: ۳/(−۵) = −۳/۵.", + "✅ جواب: ۰ ، −۱ ، −۵/۳ ، −۱۱/۵ ، ۳ ، −۳/۵" ] }, { "title": "تعیین مقادیر تعریف نشده", "introText": "برای تعیین مقادیر تعریف نشده یک عبارت گویا، مخرج را برابر صفر قرار داده و معادله را حل کنید.", - "example": "برای عبارت‌های گویا زیر، مقادیری از متغیر که تعریف نشده‌اند را بیابید:\nالف) (8x + 5) / 2\nب) (7 + x) / x\nج) (1 + 2b) / (2b - 1)\nد) (3x) / (x² + 4)\nه) x / (x² - 1)\nو) (a + 5) / (a² - 5a + 6)", + "example": "برای هر عبارت گویا مقادیری از متغیر را که عبارت را تعریف‌نشده می‌کند بیابید: الف) (۸x + ۵)/۲ ب) (۷ + x)/x ج) (۱ + ۲b)/(۲b − ۱) د) ۳x/(x² + ۴) ه) x/(x² − ۱) و) (a + ۵)/(a² − ۵a + ۶).", "steps": [ - "الف) مخرج 2 است که هیچگاه صفر نمی‌شود، پس تعریف نشده ندارد.", - "ب) مخرج x است، پس x ≠ 0.", - "ج) مخرج 2b - 1 است، پس 2b - 1 = 0 ⇒ b = 1/2.", - "د) مخرج x² + 4 است که هیچگاه صفر نمی‌شود (چون x² + 4 > 0 برای هر x)، پس تعریف نشده ندارد.", - "ه) مخرج x² - 1 = (x - 1)(x + 1) است، پس x ≠ 1 و x ≠ -1.", - "✅ جواب: همه موارد درست است: الف) تعریف‌نشده ندارد، ب) x≠0، ج) b≠1/2، د) ندارد، ه) x≠1,-1، و) a≠2,3" + "الف) مخرج ۲ ثابت است: همیشه تعریف شده.", + "ب) x = ۰ مخرج را صفر می‌کند.", + "ج) ۲b − ۱ = ۰ ⟹ b = ۱/۲.", + "د) x² + ۴ > ۰ برای هر x: همیشه تعریف شده.", + "ه) x² − ۱ = (x−۱)(x+۱) ⟹ x = ۱ و x = −۱.", + "و) a² − ۵a + ۶ = (a−۲)(a−۳) ⟹ a = ۲ و a = ۳.", + "✅ جواب: الف) ندارد ب) x = ۰ ج) b = ۱/۲ د) ندارد ه) x = ±۱ و) a = ۲ و ۳" ] }, { @@ -102134,14 +101715,12 @@ { "title": "ساده‌سازی عبارت‌های گویا", "introText": "۱. صورت و مخرج کسر را تجزیه کنید.\n۲. عوامل مشترک صورت و مخرج را حذف کنید.\n۳. عبارت ساده شده را بنویسید.", - "example": "حاصل عبارت ((2/a - 3/(a+1))/(2/(a+1) - 3/a)) را به ساده‌ترین صورت بنویسید، با فرض اینکه a ≠ 0 و a ≠ -1.", + "example": "عبارت ((۲/a − ۳/(a+۱)) ÷ (۲/(a+۱) − ۳/a)) را با فرض a ≠ ۰ و a ≠ −۱ ساده کنید.", "steps": [ - "صورت و مخرج را جداگانه بررسی می‌کنیم:", - "صورت: 2/a - 3/(a+1)", - "مخرج: 2/(a+1) - 3/a", - "مخرج مشترک صورت:", - "a(a+1)", - "✅ جواب: a-2 / a+3" + "صورت: (۲(a+۱) − ۳a)/(a(a+۱)) = (۲ − a)/(a(a+۱)).", + "مخرج: (۲a − ۳(a+۱))/(a(a+۱)) = (−a − ۳)/(a(a+۱)).", + "نسبت: (۲ − a)/(−a − ۳) = (a − ۲)/(a + ۳).", + "✅ جواب: (a − ۲)/(a + ۳)" ] }, { @@ -102368,14 +101947,12 @@ { "title": "ساده‌سازی عبارت‌های گویا", "introText": "۱. مخرج‌ها را یکسان کنید.\n۲. صورت‌ها را با هم جمع یا تفریق کنید.\n۳. عبارت را تا حد ممکن ساده کنید.", - "example": "حاصل عبارت ((2/a - 3/(a+1))/(2/(a+1) - 3/a)) را به ساده‌ترین صورت بنویسید، با فرض اینکه a ≠ 0 و a ≠ -1.", + "example": "عبارت ((۲/a − ۳/(a+۱)) ÷ (۲/(a+۱) − ۳/a)) را با فرض a ≠ ۰ و a ≠ −۱ ساده کنید.", "steps": [ - "صورت و مخرج را جداگانه بررسی می‌کنیم:", - "صورت: 2/a - 3/(a+1)", - "مخرج: 2/(a+1) - 3/a", - "مخرج مشترک صورت:", - "a(a+1)", - "✅ جواب: a-2 / a+3" + "صورت: (۲(a+۱) − ۳a)/(a(a+۱)) = (۲ − a)/(a(a+۱)).", + "مخرج: (۲a − ۳(a+۱))/(a(a+۱)) = (−a − ۳)/(a(a+۱)).", + "نسبت: (۲ − a)/(−a − ۳) = (a − ۲)/(a + ۳).", + "✅ جواب: (a − ۲)/(a + ۳)" ] }, { @@ -102569,14 +102146,10 @@ { "title": "تشخیص عبارت‌های درست و نادرست", "introText": "برای تشخیص درستی یا نادرستی عبارت‌های جبری، باید هر عبارت را با استفاده از قوانین جبری بررسی کرده و درستی یا نادرستی آن را تعیین کنید.", - "example": "عبارت 3x + 5 = 20 را بررسی کنید و بگویید آیا این عبارت درست است یا نادرست.", + "example": "آیا x = ۵ در معادلهٔ ۳x + ۵ = ۲۰ صدق می‌کند؟", "steps": [ - "ابتدا 5 را از دو طرف معادله کم می‌کنیم: 3x + 5 - 5 = 20 - 5.", - "این معادله به شکل 3x = 15 تبدیل می‌شود.", - "حالا هر دو طرف را بر 3 تقسیم می‌کنیم: 3x ÷ 3 = 15 ÷ 3.", - "این معادله به شکل x = 5 تبدیل می‌شود.", - "حال مقدار x را در عبارت اصلی جایگزین می‌کنیم: 3(5) + 5 = 15 + 5 = 20.", - "✅ جواب: درست" + "جایگذاری: ۳ × ۵ + ۵ = ۱۵ + ۵ = ۲۰.", + "✅ جواب: بله ، x = ۵ جواب معادله است" ] }, { @@ -102693,14 +102266,12 @@ { "title": "تقسیم چندجمله‌ای‌ها", "introText": "۱. چندجمله‌ای مقسوم را بر چندجمله‌ای مقسوم‌علیه تقسیم کنید. ۲. اولین جمله مقسوم را بر اولین جمله مقسوم‌علیه تقسیم کنید. ۳. حاصل را در مقسوم‌علیه ضرب کرده و از مقسوم کم کنید. ۴. مراحل را تا زمانی که درجه باقیمانده کمتر از درجه مقسوم‌علیه شود، تکرار کنید.", - "example": "تقسیم چندجمله‌ای 10x⁴ - 3x² + 2x - 19 بر 2x² - 3 را انجام دهید و رابطه تقسیم را بنویسید.", + "example": "(۱۰x⁴ − ۳x² + ۲x − ۱۹) را بر (۲x² − ۳) تقسیم کنید و رابطهٔ تقسیم را بنویسید.", "steps": [ - "تقسیم جمله اول: 10x⁴ ÷ 2x² = 5x²", - "ضرب 5x² در تقسیم‌کننده: 5x² × (2x² - 3) = 10x⁴ - 15x²", - "تفریق: (10x⁴ - 3x² + 2x - 19) - (10x⁴ - 15x²) = 12x² + 2x - 19", - "تقسیم جمله اول باقی‌مانده: 12x² ÷ 2x² = 6", - "ضرب 6 در تقسیم‌کننده: 6 × (2x² - 3) = 12x² - 18", - "✅ جواب: خارج‌قسمت 5x²+6 و باقی‌مانده 2x-1" + "۱۰x⁴ ÷ ۲x² = ۵x²؛ ۵x²(۲x² − ۳) = ۱۰x⁴ − ۱۵x²؛ باقی‌مانده: ۱۲x² + ۲x − ۱۹.", + "۱۲x² ÷ ۲x² = ۶؛ ۶(۲x² − ۳) = ۱۲x² − ۱۸؛ باقی‌مانده: ۲x − ۱.", + "درجهٔ ۲x − ۱ از درجهٔ مقسوم‌علیه کمتر است، پس تقسیم تمام است.", + "✅ جواب: خارج‌قسمت ۵x² + ۶ و باقی‌مانده ۲x − ۱ ؛ ۱۰x⁴ − ۳x² + ۲x − ۱۹ = (۲x² − ۳)(۵x² + ۶) + (۲x − ۱)" ] } ] @@ -103413,14 +102984,11 @@ { "title": "تفاوت مجموعه‌ها", "introText": "۱. مجموعه‌های داده‌شده را مشخص کنید. \n۲. اعضای هر مجموعه را بنویسید. \n۳. تفاضل مجموعه‌ها را با حذف اعضای مشترک از مجموعه اول پیدا کنید. \n۴. تعداد اعضای مجموعه تفاضل را مشخص کنید.", - "example": "مجموعه A = {1, 2, 3, 4, 5} و مجموعه B = {3, 4, 5, 6, 7} را در نظر بگیرید. تفاضل مجموعه A و B را پیدا کنید.", + "example": "A = {۱ ، ۲ ، ۳ ، ۴ ، ۵} و B = {۳ ، ۴ ، ۵ ، ۶ ، ۷}. تفاضل A − B را بیابید.", "steps": [ - "اعضای مجموعه A عبارتند از: 1، 2، 3، 4، 5 و اعضای مجموعه B عبارتند از: 3، 4، 5، 6، 7.", - "اعضای مشترک بین دو مجموعه A و B عبارتند از: 3، 4، 5.", - "برای پیدا کردن تفاضل A و B، اعضای مشترک را از مجموعه A حذف می‌کنیم: {1، 2}.", - "مجموعه تفاضل A و B برابر است با {1، 2}.", - "تعداد اعضای مجموعه تفاضل برابر است با 2.", - "✅ جواب: 2" + "اعضای مشترک: ۳ ، ۴ ، ۵.", + "A − B یعنی اعضای A که در B نیستند: ۱ و ۲.", + "✅ جواب: A − B = {۱ ، ۲}" ], "figures": [ { @@ -103799,14 +103367,11 @@ { "title": "رسم بازه‌ها روی محور", "introText": "۱. بازه‌های داده‌شده را مشخص کنید.\n۲. بازه‌ها را روی محور اعداد حقیقی رسم کنید.\n۳. اشتراک یا اجتماع بازه‌ها را تعیین کنید.", - "example": "بازه‌های [2, 5) و (3, 7] را روی محور اعداد حقیقی رسم کنید و اشتراک آن‌ها را پیدا کنید.", + "example": "بازه‌های [۲ ، ۵) و (۳ ، ۷] را روی محور رسم کنید و اشتراک آن‌ها را بیابید.", "steps": [ - "بازه اول شامل اعداد 2 تا 5 است، که 2 شامل و 5 شامل نیست.", - "بازه دوم شامل اعداد 3 تا 7 است، که 3 شامل نیست و 7 شامل است.", - "برای پیدا کردن اشتراک، اعداد مشترک بین دو بازه را بررسی می‌کنیم.", - "بازه اول از 2 تا 5 و بازه دوم از 3 تا 7 است، بنابراین اشتراک از 3 تا 5 خواهد بود.", - "پس اشتراک بازه‌ها برابر با [3, 5) است.", - "✅ جواب: [3, 5)" + "بازهٔ اول: ۲ شامل است و ۵ شامل نیست. بازهٔ دوم: ۳ شامل نیست و ۷ شامل است.", + "اعداد مشترک: بزرگ‌تر از ۳ (چون ۳ در بازهٔ دوم نیست) و کوچک‌تر از ۵ (چون ۵ در بازهٔ اول نیست).", + "✅ جواب: (۳ ، ۵)" ], "figures": [ { @@ -104452,7 +104017,8 @@ "C_4 = 4a + b = 17", "C₁₀ = 10a + b = 41", "معادلات را از هم کم می‌کنیم:", - "(10a + b) - (4a + b) = 41 - 17 6a = 24 a = 4 جایگذاری a=4 در یکی از معادلات: 4*4 + b = 17 16 + b = 17 b = 1 بنابراین جمله عمومی الگو: C_n = 4n + 1 جملات الگو به صورت زیر خواهند بود: 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, ..." + "(10a + b) - (4a + b) = 41 - 17 6a = 24 a = 4 جایگذاری a=4 در یکی از معادلات: 4*4 + b = 17 16 + b = 17 b = 1 بنابراین جمله عمومی الگو: C_n = 4n + 1 جملات الگو به صورت زیر خواهند بود: 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, ...", + "✅ جواب: C_n = ۴n + ۱" ], "figures": [ { @@ -105076,14 +104642,13 @@ { "title": "پیش‌بینی دنباله حسابی", "introText": "۱. فرمول جمله عمومی دنباله حسابی را بنویسید: tₙ = t₁ + (n-1)d.\n۲. مقدار t₁ و d را از دنباله داده‌شده پیدا کنید.\n۳. مقدار n موردنظر را جایگذاری کنید و tₙ را محاسبه کنید.\n۴. نتیجه را به‌عنوان پیش‌بینی ارائه دهید.", - "example": "در دنباله‌های زیر با مشخص کردن قدر نسبت، سه جمله بعدی را بنویسید و سپس جمله عمومی هر کدام را بدست آورید:\nالف) 5، 10، 15، 20، ...\nب) 1، 3، 5، 7، ...\nپ) 5، 9، 13، 17، ...\nت) 13، 7، 1، -5، ...", + "example": "در هر دنبالهٔ زیر قدرنسبت را بنویسید، سه جملهٔ بعدی و جملهٔ عمومی را بیابید: الف) ۵ ، ۱۰ ، ۱۵ ، ۲۰ ب) ۱ ، ۳ ، ۵ ، ۷ پ) ۵ ، ۹ ، ۱۳ ، ۱۷ ت) ۱۳ ، ۷ ، ۱ ، −۵", "steps": [ - "الف) قدر نسبت d = 10 - 5 = 5", - "سه جمله بعدی: 25، 30، 35", - "جمله عمومی: t_n = 5 + (n-1)5 = 5n", - "ب) قدر نسبت d = 3 - 1 = 2", - "سه جمله بعدی: 9، 11، 13", - "✅ جواب: تمام بخش‌های راه‌حل کتاب درست است." + "الف) d = ۵ ؛ ۲۵ ، ۳۰ ، ۳۵ ؛ t_n = ۵n.", + "ب) d = ۲ ؛ ۹ ، ۱۱ ، ۱۳ ؛ t_n = ۲n − ۱.", + "پ) d = ۴ ؛ ۲۱ ، ۲۵ ، ۲۹ ؛ t_n = ۵ + (n−۱)×۴ = ۴n + ۱.", + "ت) d = −۶ ؛ −۱۱ ، −۱۷ ، −۲۳ ؛ t_n = ۱۳ + (n−۱)(−۶) = ۱۹ − ۶n.", + "✅ جواب: t_n = ۵n ؛ ۲n − ۱ ؛ ۴n + ۱ ؛ ۱۹ − ۶n" ] }, { @@ -106406,14 +105971,13 @@ { "title": "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زاویه", "introText": "۱. نقطه P(x, y) را روی دایره مثلثاتی مشخص کنید.\n۲. زاویه θ را با توجه به موقعیت نقطه P و محور x تعیین کنید.\n۳. نسبت‌های مثلثاتی را با استفاده از فرمول‌های زیر محاسبه کنید:\n - cosθ = x/r\n - sinθ = y/r\n - tanθ = y/x", - "example": "فرض کنید نقطه P(x,y) دلخواهی روی دایره مثلثاتی واحد باشد و θ زاویه‌ای است که نیم‌خط OP با محور Ox می‌سازد. نسبت‌های مثلثاتی زاویه θ را در مثلث OPQ به دست آورید.", + "example": "نقطهٔ P(x ، y) روی دایرهٔ مثلثاتی (شعاع ۱) است و θ زاویهٔ نیم‌خط OP با محور x است. نسبت‌های مثلثاتی θ را در مثلث قائم‌الزاویهٔ OPQ (Q پای عمود P بر محور x) بنویسید.", "steps": [ - "در مثلث قائم‌الزاویه OPQ:", - "ضلع OQ روی محور x است و طول آن برابر x است.", - "ضلع PQ عمود بر محور x است و طول آن برابر y است.", - "وتر OP برابر شعاع دایره است که 1 می‌باشد.", - "بنابراین:", - "✅ جواب: cosθ=x، sinθ=y و tanθ=y/x درست است. تعریف نسبت‌های مثلثاتی در دایره واحد همین را می‌دهد." + "OQ = x (ضلع مجاور) ، PQ = y (ضلع مقابل) و وتر OP = ۱.", + "sin θ = مقابل/وتر = y/۱ = y.", + "cos θ = مجاور/وتر = x/۱ = x.", + "tan θ = مقابل/مجاور = y/x.", + "✅ جواب: cos θ = x ، sin θ = y ، tan θ = y/x" ], "figures": [ { @@ -107382,14 +106946,11 @@ { "title": "بررسی رابطه بین سینوس و کسینوس", "introText": "۱. از هویت مثلثاتی sin²θ + cos²θ = ۱ استفاده کنید.\n۲. مقادیر داده‌شده برای سینوس یا کسینوس را جایگذاری کنید.\n۳. مقدار مجهول را با استفاده از جبر محاسبه کنید.", - "example": "با استفاده از رابطه sin²α + cos²α = 1، نشان دهید که tan²α + 1 = 1 / cos²α و 1 + cot²α = 1 / sin²α.", + "example": "با استفاده از sin²α + cos²α = ۱ نشان دهید tan²α + ۱ = ۱/cos²α و ۱ + cot²α = ۱/sin²α.", "steps": [ - "از رابطه sin²α + cos²α = 1 شروع می‌کنیم.", - "طرفین را بر cos²α تقسیم می‌کنیم:", - "(sin²α / cos²α) + (cos²α / cos²α) = 1 / cos²α", - "که می‌شود:", - "tan²α + 1 = 1 / cos²α", - "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است." + "دو طرف sin²α + cos²α = ۱ را بر cos²α تقسیم می‌کنیم: tan²α + ۱ = ۱/cos²α.", + "دو طرف را بر sin²α تقسیم می‌کنیم: ۱ + cos²α/sin²α = ۱/sin²α ، یعنی ۱ + cot²α = ۱/sin²α.", + "✅ جواب: هر دو اتحاد برقرارند" ], "figures": [ { @@ -107716,14 +107277,13 @@ { "title": "مقایسه ریشه‌ها", "introText": "برای مقایسه ریشه‌ها، ابتدا مقدار تقریبی هر ریشه را محاسبه کرده و سپس آن‌ها را روی محور اعداد نمایش می‌دهیم. با استفاده از مقدار تقریبی، می‌توانیم ریشه‌ها را با یکدیگر مقایسه کنیم.", - "example": "مانند نمونه با استدلال مشخص کنید که هر ریشه بین کدام دو عدد صحیح متوالی است:\nالف) چون ۳۶ < ۳۰³ پس ۲۵ < ۳۰³\nب) همچنین چون ۸ < ۵³ پس ۱ < ۲³\nج) پس ۱ < ریشه سوم ۲۵ < ۲\nد) ۰ < ریشه سوم ۷ < ۱\nه) ۲ < ریشه سوم ۲۷ < ۳\nو) ۹ < ریشه سوم ۱۰۰۰ < ۱۰", + "example": "هر ریشه را با استدلال بین دو عدد صحیح متوالی قرار دهید: الف) ∛۲۵ ب) ∛۷ پ) ∛۱۰۰ ت) ∛۵۰۰.", "steps": [ - "ابتدا ریشه‌های داده شده را به صورت تقریبی محاسبه می‌کنیم:", - "ریشه سوم ۲۵ بین ۲ و ۳ است چون ۲³=8 و ۳³=۲۷ و ۲۵ بین این دو است.", - "ریشه سوم ۷ بین ۱ و ۲ است چون ۱³=1 و ۲³=8 و ۷ بین این دو است.", - "ریشه سوم ۲۷ برابر ۳ است.", - "ریشه سوم ۱۰۰۰ برابر ۱۰ است.", - "✅ جواب: ریشه سوم ۲۵ بین ۲ و ۳، ریشه سوم ۷ بین ۱ و ۲، ریشه سوم ۲۷=۳، ریشه سوم ۱۰۰۰=۱۰" + "الف) ۲³ = ۸ < ۲۵ < ۲۷ = ۳³ ، پس ۲ < ∛۲۵ < ۳.", + "ب) ۱³ = ۱ < ۷ < ۸ = ۲³ ، پس ۱ < ∛۷ < ۲.", + "پ) ۴³ = ۶۴ < ۱۰۰ < ۱۲۵ = ۵³ ، پس ۴ < ∛۱۰۰ < ۵.", + "ت) ۷³ = ۳۴۳ < ۵۰۰ < ۵۱۲ = ۸³ ، پس ۷ < ∛۵۰۰ < ۸.", + "✅ جواب: بین ۲ و ۳ ؛ بین ۱ و ۲ ؛ بین ۴ و ۵ ؛ بین ۷ و ۸" ] }, { @@ -108133,14 +107693,11 @@ { "title": "اتحادهای جبری", "introText": "برای حل اتحادهای جبری، ابتدا باید اتحاد مورد نظر را شناسایی کنید. سپس با استفاده از قوانین جبری، عبارت را ساده‌سازی کنید. در نهایت، با جایگذاری مقادیر عددی، مقدار نهایی را محاسبه کنید.", - "example": "در اتحاد a³ + 1 = (a+1)(a² - a + 1) قرار دهید a = (∛(x³))⁽1/3) و حاصل را بازنویسی کنید.", + "example": "در اتحاد a³ + ۱ = (a + ۱)(a² − a + ۱) قرار دهید a = ∛x و حاصل را بازنویسی کنید.", "steps": [ - "جایگذاری a = (∛(x³))⁽1/3)", - "طبق اتحاد داریم:", - "a³ + 1 = (a + 1)(a² - a + 1)", - "با جایگذاری مقدار a در هر جمله، عبارت را بازنویسی می‌کنیم.", - "نتیجه نهایی عبارت بازنویسی شده و تجزیه شده است.", - "✅ جواب: x+1 = (∛x+1)(∛(x²)-∛x+1)" + "a³ = (∛x)³ = x و a² = ∛(x²).", + "x + ۱ = (∛x + ۱)(∛(x²) − ∛x + ۱).", + "✅ جواب: x + ۱ = (∛x + ۱)(∛(x²) − ∛x + ۱)" ] }, { @@ -108204,7 +107761,8 @@ "a = 2x و b = 3 را جایگذاری می‌کنیم:", "8x³ - 27 = (2x)³ - 3³ = (2x - 3)((2x)² + 2x*3 + 3²)", "توان‌ها و ضرب‌ها را محاسبه می‌کنیم:", - "= (2x - 3)(4x² + 6x + 9) بنابراین تجزیه عبارت 8x³ - 27 برابر است با (2x - 3)(4x² + 6x + 9)." + "= (2x - 3)(4x² + 6x + 9) بنابراین تجزیه عبارت 8x³ - 27 برابر است با (2x - 3)(4x² + 6x + 9).", + "✅ جواب: (2x − 3)(4x² + 6x + 9)" ], "figures": [ { @@ -108288,7 +107846,8 @@ "گام دوم: گروه‌بندی کنیم:", "= (x + 1)² + x(x + 1)", "گام سوم: عامل مشترک (x + 1) را بگیریم:", - "= (x + 1)(x + 1 + x) = (x + 1)(2x + 1)" + "= (x + 1)(x + 1 + x) = (x + 1)(2x + 1)", + "✅ جواب: (x + ۱)(۲x + ۱)" ], "figures": [ { @@ -108483,7 +108042,8 @@ "x + 1 = 0 یا x - 3 = 0", "حل معادلات درجه اول:", "x = -1 یا x = 3", - "صحت جواب‌ها را بررسی می‌کنیم: برای x = -1: (-1)² - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 (صحیح) برای x = 3: 3² - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0 (صحیح) بنابراین جواب‌های معادله x = -1 و x = 3 هستند." + "صحت جواب‌ها را بررسی می‌کنیم: برای x = -1: (-1)² - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 (صحیح) برای x = 3: 3² - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0 (صحیح) بنابراین جواب‌های معادله x = -1 و x = 3 هستند.", + "✅ جواب: x = −۱ یا x = ۳" ], "figures": [ { @@ -109139,14 +108699,13 @@ { "title": "تعیین علامت چندجمله‌ای درجه اول", "introText": "۱. تابع درجه اول را به صورت y = ax + b بنویسید.\n۲. نقاط بحرانی را پیدا کنید (جایی که y = 0).\n۳. نمودار تابع را رسم کنید.\n۴. علامت تابع را در بازه‌های مختلف تعیین کنید.", - "example": "عبارت A = (2x - 1)(3 - x) را برای مقادیر مختلف x تعیین علامت کنید.", + "example": "عبارت A = (۲x − ۱)(۳ − x) را تعیین علامت کنید.", "steps": [ - "نقاط صفر عبارت‌ها: 2x - 1 = 0 ⇒ x = 1/2 و 3 - x = 0 ⇒ x = 3.", - "محور x را به سه بازه تقسیم می‌کنیم: x < 1/2، 1/2 < x < 3، x > 3.", - "علامت هر عبارت در هر بازه:", - "برای 2x - 1: وقتی x < 1/2 منفی (-)، وقتی x = 1/2 صفر (0)، وقتی x > 1/2 مثبت (+).", - "برای 3 - x: وقتی x < 3 مثبت (+)، وقتی x = 3 صفر (0)، وقتی x > 3 منفی (-).", - "✅ جواب: نقاط صفر x=0.5 و x=3. علامت A: برای x<0.5 منفی، بین 0.5 و 3 مثبت، برای x>3 منفی. کتاب درست است." + "۲x − ۱ = ۰ ⟹ x = ۱/۲ ؛ ۳ − x = ۰ ⟹ x = ۳.", + "x < ۱/۲: (۲x−۱) منفی و (۳−x) مثبت ⟹ A منفی.", + "۱/۲ < x < ۳: هر دو مثبت ⟹ A مثبت.", + "x > ۳: (۲x−۱) مثبت و (۳−x) منفی ⟹ A منفی.", + "✅ جواب: A منفی برای x < ۰٫۵ و x > ۳ ؛ مثبت برای ۰٫۵ < x < ۳ ؛ صفر در x = ۰٫۵ و x = ۳" ], "figures": [ { @@ -110056,7 +109615,8 @@ "مؤلفه اول‌ها: 2، 5، 6، 7 و مؤلفه دوم‌ها: 5، 4، 3، 3.", "هر مؤلفه اول فقط به یک مؤلفه دوم متناظر است (مثلاً 2 به 5، 5 به 4، 6 به 3، 7 به 3).", "بنابراین، این رابطه یک تابع است.", - "نمودار این تابع شامل نقاط (2,5)، (5,4)، (6,3) و (7,3) روی صفحه مختصات است." + "نمودار این تابع شامل نقاط (2,5)، (5,4)، (6,3) و (7,3) روی صفحه مختصات است.", + "✅ جواب: تابع است" ], "figures": [ { @@ -110158,7 +109718,8 @@ "f(1) = 1² + 1 = 2", "f(2) = 2² + 1 = 5", "f(3) = 3² + 1 = 10", - "f(4) = 4² + 1 = 17 برد تابع مجموعه {2, 5, 10, 17} است." + "f(4) = 4² + 1 = 17 برد تابع مجموعه {2, 5, 10, 17} است.", + "✅ جواب: {۲ ، ۵ ، ۱۰ ، ۱۷}" ], "figures": [ { @@ -110411,334 +109972,11 @@ { "title": "مقایسه نمودارها", "introText": "۱. نمودارهای داده شده را بررسی کنید. ۲. ویژگی‌های هر نمودار را مشخص کنید. ۳. نمودارها را بر اساس ویژگی‌هایشان مقایسه کنید.", - "example": "دو نمودار نشان‌دهنده‌ی تغییرات دما در دو شهر مختلف در طول یک هفته هستند. در شهر الف، دما در روز اول ۲۰ درجه، در روز دوم ۲۲ درجه، در روز سوم ۲۵ درجه، در روز چهارم ۲۳ درجه، در روز پنجم ۲۱ درجه، در روز ششم ۲۴ درجه و در روز هفتم ۲۶ درجه است. در شهر ب، دما در روز اول ۱۸ درجه، در روز دوم ۲۰ درجه، در روز سوم ۲۱ درجه، در روز چهارم ۱۹ درجه، در روز پنجم ۲۲ درجه، در روز ششم ۲۳ درجه و در روز هفتم ۲۵ درجه است. کدام شهر در طول هفته دمای بالاتری داشته است؟", + "example": "دمای هفت روز دو شهر چنین است. شهر الف: ۲۰ ، ۲۲ ، ۲۵ ، ۲۳ ، ۲۱ ، ۲۴ ، ۲۶. شهر ب: ۱۸ ، ۲۰ ، ۲۱ ، ۱۹ ، ۲۲ ، ۲۳ ، ۲۵. میانگین دمای کدام شهر بالاتر است؟", "steps": [ - "دمای شهر الف در روز اول ۲۰ درجه است و در روز هفتم به ۲۶ درجه می‌رسد.", - "دمای شهر ب در روز اول ۱۸ درجه است و در روز هفتم به ۲۵ درجه می‌رسد.", - "دمای شهر الف در روز هفتم ۲۶ درجه و دمای شهر ب در روز هفتم ۲۵ درجه است.", - "بنابراین، در روز هفتم، شهر الف دمای بالاتری دارد.", - "✅ جواب: شهر الف" - ], - "figures": [ - { - "where": "example", - "diagram": { - "kind": "plane", - "title": "نمودار دما در شهر الف", - "axes": true, - "points": {}, - "items": [ - { - "type": "point", - "point": [ - 1.0, - 20.0 - ] - }, - { - "type": "point", - "point": [ - 2.0, - 22.0 - ] - }, - { - "type": "point", - "point": [ - 3.0, - 25.0 - ] - }, - { - "type": "point", - "point": [ - 4.0, - 23.0 - ] - }, - { - "type": "point", - "point": [ - 5.0, - 21.0 - ] - }, - { - "type": "point", - "point": [ - 6.0, - 24.0 - ] - }, - { - "type": "point", - "point": [ - 7.0, - 26.0 - ] - }, - { - "type": "segment", - "from": [ - 1.0, - 20.0 - ], - "to": [ - 2.0, - 22.0 - ], - "color": "blue", - "label": "دما در روز اول و دوم" - }, - { - "type": "segment", - "from": [ - 2.0, - 22.0 - ], - "to": [ - 3.0, - 25.0 - ], - "color": "blue", - "label": "دما در روز دوم و سوم" - }, - { - "type": "segment", - "from": [ - 3.0, - 25.0 - ], - "to": [ - 4.0, - 23.0 - ], - "color": "blue", - "label": "دما در روز سوم و چهارم" - }, - { - "type": "segment", - "from": [ - 4.0, - 23.0 - ], - "to": [ - 5.0, - 21.0 - ], - "color": "blue", - "label": "دما در روز چهارم و پنجم" - }, - { - "type": "segment", - "from": [ - 5.0, - 21.0 - ], - "to": [ - 6.0, - 24.0 - ], - "color": "blue", - "label": "دما در روز پنجم و ششم" - }, - { - "type": "segment", - "from": [ - 6.0, - 24.0 - ], - "to": [ - 7.0, - 26.0 - ], - "color": "blue", - "label": "دما در روز ششم و هفتم" - } - ], - "grid": true - } - }, - { - "where": "step", - "index": 0, - "diagram": { - "kind": "plane", - "title": "نمودار دما در شهر ب", - "axes": true, - "points": {}, - "items": [ - { - "type": "point", - "point": [ - 1.0, - 18.0 - ] - }, - { - "type": "point", - "point": [ - 2.0, - 20.0 - ] - }, - { - "type": "point", - "point": [ - 3.0, - 21.0 - ] - }, - { - "type": "point", - "point": [ - 4.0, - 19.0 - ] - }, - { - "type": "point", - "point": [ - 5.0, - 22.0 - ] - }, - { - "type": "point", - "point": [ - 6.0, - 23.0 - ] - }, - { - "type": "point", - "point": [ - 7.0, - 25.0 - ] - }, - { - "type": "segment", - "from": [ - 1.0, - 18.0 - ], - "to": [ - 2.0, - 20.0 - ], - "color": "red", - "label": "دما در روز اول و دوم" - }, - { - "type": "segment", - "from": [ - 2.0, - 20.0 - ], - "to": [ - 3.0, - 21.0 - ], - "color": "red", - "label": "دما در روز دوم و سوم" - }, - { - "type": "segment", - "from": [ - 3.0, - 21.0 - ], - "to": [ - 4.0, - 19.0 - ], - "color": "red", - "label": "دما در روز سوم و چهارم" - }, - { - "type": "segment", - "from": [ - 4.0, - 19.0 - ], - "to": [ - 5.0, - 22.0 - ], - "color": "red", - "label": "دما در روز چهارم و پنجم" - }, - { - "type": "segment", - "from": [ - 5.0, - 22.0 - ], - "to": [ - 6.0, - 23.0 - ], - "color": "red", - "label": "دما در روز پنجم و ششم" - }, - { - "type": "segment", - "from": [ - 6.0, - 23.0 - ], - "to": [ - 7.0, - 25.0 - ], - "color": "red", - "label": "دما در روز ششم و هفتم" - } - ], - "grid": true - } - }, - { - "where": "step", - "index": 2, - "diagram": { - "kind": "plane", - "title": "مقایسه دما در روز هفتم", - "axes": true, - "points": {}, - "items": [ - { - "type": "point", - "point": [ - 1.0, - 26.0 - ] - }, - { - "type": "point", - "point": [ - 2.0, - 25.0 - ] - }, - { - "type": "segment", - "from": [ - 1.0, - 26.0 - ], - "to": [ - 2.0, - 25.0 - ], - "color": "green", - "label": "مقایسه دما در روز هفتم" - } - ], - "grid": true - } - } + "شهر الف: مجموع = ۲۰+۲۲+۲۵+۲۳+۲۱+۲۴+۲۶ = ۱۶۱ ؛ میانگین = ۱۶۱ ÷ ۷ = ۲۳.", + "شهر ب: مجموع = ۱۸+۲۰+۲۱+۱۹+۲۲+۲۳+۲۵ = ۱۴۸ ؛ میانگین ≈ ۲۱٫۱.", + "✅ جواب: شهر الف (میانگین ۲۳ در برابر حدود ۲۱٫۱)" ] }, { @@ -111487,7 +110725,8 @@ "برای جایگاه صدگان 3 حالت (5، 3، 2) وجود دارد.", "برای جایگاه دهگان نیز 3 حالت وجود دارد (چون تکرار مجاز است).", "برای جایگاه یکان نیز 3 حالت وجود دارد.", - "پس تعداد کل حالات برابر است با 3 × 3 × 3 = 27 عدد." + "پس تعداد کل حالات برابر است با 3 × 3 × 3 = 27 عدد.", + "✅ جواب: ۲۷ عدد" ] }, { @@ -111799,10 +111038,11 @@ { "title": "مسائل مسیرها", "introText": "برای حل مسائل مسیرها، ابتدا نمودار یا گراف مربوطه را تحلیل کنید و تعداد مسیرهای ممکن بین نقاط مشخص شده را محاسبه کنید.", - "example": "فردی می‌خواهد از تهران به اصفهان برود. او قصد دارد با اتومبیل خود یا با قطار این سفر را انجام دهد. اگر با اتومبیل خود به این سفر برود، مسیرها و انتخاب‌های او مانند مثال قبل است و اگر تصمیم بگیرد با قطار برود، سه نوع قطار می‌تواند انتخاب کند. او در کل چند انتخاب دارد؟", + "example": "فردی می‌خواهد از تهران به اصفهان برود. اگر با اتومبیل برود ۶ مسیر مختلف دارد و اگر با قطار برود ۳ نوع قطار می‌تواند انتخاب کند. او در کل چند انتخاب دارد؟", "steps": [ - "حل: اگر با اتومبیل برود، طبق اصل ضرب به 6 طریق ممکن است و اگر قطار را انتخاب کند سه طریق.", - "بنابراین طبق اصل جمع در کل 9 انتخاب دارد." + "اتومبیل یا قطار را انتخاب می‌کند (دو کار که هم‌زمان انجام نمی‌شوند): اصل جمع.", + "۶ + ۳ = ۹.", + "✅ جواب: ۹ انتخاب" ] }, { @@ -111873,7 +111113,8 @@ "example": "تعداد جایگشت‌های 5 شیء متمایز را با استفاده از فرمول فاکتوریل محاسبه کنید.", "steps": [ "تعداد جایگشت‌های 5 شیء متمایز برابر است با 5!", - "که برابر است با 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120." + "که برابر است با 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.", + "✅ جواب: ۱۲۰" ] }, { @@ -111926,7 +111167,8 @@ "= 4 × 3 × 2 × 1.", "بنابراین 5!", "/ 4!", - "= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1) = 5." + "= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1) = 5.", + "✅ جواب: ۵" ] }, { @@ -112074,7 +111316,8 @@ "introText": "۱. تعداد کل عناصر را مشخص کنید. ۲. تعداد عناصری که می‌خواهید انتخاب کنید را تعیین کنید. ۳. از فرمول ترکیب استفاده کنید: C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)", "example": "ساختن کلمه‌ای سه حرفی بدون حرف تکراری با ۵ حرف متمایز (با معنی و بی معنی).", "steps": [ - "تعداد جایگشت‌های سه حرفی بدون تکرار از ۵ حرف متمایز برابر است با تعداد جایگشت‌های ۳ حرف از ۵ حرف که به صورت P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60 است." + "تعداد جایگشت‌های سه حرفی بدون تکرار از ۵ حرف متمایز برابر است با تعداد جایگشت‌های ۳ حرف از ۵ حرف که به صورت P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60 است.", + "✅ جواب: ۶۰" ] }, { @@ -112230,14 +111473,12 @@ { "title": "احتمال با استفاده از فضای نمونه", "introText": "۱. فضای نمونه را مشخص کنید. ۲. تعداد کل حالت‌های ممکن را بشمارید. ۳. تعداد حالت‌های مطلوب را بشمارید. ۴. احتمال را با تقسیم تعداد حالت‌های مطلوب بر تعداد کل حالت‌ها محاسبه کنید.", - "example": "فرض کنید می‌خواهیم یک تاس و یک سکه را با هم بیندازیم: 1) آیا می‌توانید نتیجه حاصل را به‌صورت قطعی بیان کنید؟ 2) آیا این پدیده آزمایش تصادفی است؟ چرا؟ 3) همه حالات ممکن را بنویسید (فضای نمونه‌ای را تشکیل دهید). 4) تعداد این حالات را با استفاده از اصل ضرب به‌دست آورید.", + "example": "یک تاس و یک سکه را با هم می‌اندازیم. آیا نتیجه را می‌توان قطعی گفت؟ آیا آزمایش تصادفی است؟ فضای نمونه و تعداد حالت‌ها را بنویسید.", "steps": [ - "نتیجه حاصل را نمی‌توان به‌صورت قطعی بیان کرد زیرا هر بار ممکن است نتیجه متفاوت باشد.", - "بله، این یک آزمایش تصادفی است زیرا نتیجه آن قابل پیش‌بینی دقیق نیست.", - "فضای نمونه شامل حالات زیر است: (سکه شیر، تاس 1)، (سکه شیر، تاس 2)، ...", - "(سکه شیر، تاس 6)، (سکه خط، تاس 1)، ...", - "(سکه خط، تاس 6).", - "✅ جواب: پاسخ کتاب درست است: فضای نمونه ۱۲ حالت دارد." + "نتیجه از پیش قطعی نیست و هر بار می‌تواند فرق کند؛ پس آزمایش تصادفی است.", + "فضای نمونه: (رو ، ۱) ... (رو ، ۶) و (پشت ، ۱) ... (پشت ، ۶).", + "اصل ضرب: ۶ × ۲ = ۱۲ حالت.", + "✅ جواب: تصادفی است ؛ ۱۲ حالت" ], "figures": [ { @@ -112336,7 +111577,8 @@ "تعداد مهره‌های انتخابی ۳ است.", "از آنجا که ترتیب انتخاب مهم نیست، از فرمول ترکیب استفاده می‌کنیم:", "تعداد حالات = C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = (5*4*3!) / (3!*2!) = 10", - "پس تعداد حالت‌های ممکن انتخاب ۳ مهره از ۵ مهره برابر ۱۰ است." + "پس تعداد حالت‌های ممکن انتخاب ۳ مهره از ۵ مهره برابر ۱۰ است.", + "✅ جواب: ۱۰" ] }, { @@ -112792,14 +112034,11 @@ { "title": "تشخیص متغیرهای کمی و کیفی", "introText": "۱. متغیرهای موجود را شناسایی کنید.\n۲. بررسی کنید که آیا متغیرها قابل اندازه‌گیری هستند یا خیر.\n۳. متغیرهای قابل اندازه‌گیری را به عنوان متغیرهای کمی و سایر متغیرها را به عنوان متغیرهای کیفی دسته‌بندی کنید.", - "example": "وزن و کیفیت میوه هلو به عنوان دو متغیر مربوط به میوه هلو در نظر گرفته شده است. وزن هلو ۲۰۰ گرم و کیفیت هلو دارای سه درجه: درجه یک (۱)، درجه دو (۲) و درجه سه (۳) است. همچنین در یک خودرو، متغیرهای سرعت خودرو (حداکثر سرعت مجاز ۱۲۰ کیلومتر بر ساعت)، میزان بنزین مصرفی برای هر ۱۰۰ کیلومتر (۸ لیتر) و رنگ خودرو (سفید) معرفی شده‌اند. متغیرها و مقادیر آن‌ها را مشخص کنید.", + "example": "وزن هلو (۲۰۰ گرم) و کیفیت آن (درجهٔ ۱ ، ۲ یا ۳) را از نظر نوع متغیر بررسی کنید.", "steps": [ - "در مثال میوه هلو:", - "متغیر اول: وزن هلو که مقدار آن ۲۰۰ گرم است (متغیر کمی).", - "متغیر دوم: کیفیت هلو که دارای سه درجه ۱، ۲ و ۳ است (متغیر کیفی).", - "در مثال خودرو:", - "متغیر اول: حداکثر سرعت مجاز خودرو در جاده که مقدار آن ۱۲۰ کیلومتر بر ساعت است (متغیر کمی).", - "✅ جواب: متغیرها و مقادیرشان در هر دو مثال به درستی شناسایی شده‌اند." + "وزن عددی است و اندازه‌گیری می‌شود: متغیر کمی (پیوسته).", + "درجهٔ کیفیت دسته‌بندی است و ترتیب دارد: متغیر کیفی ترتیبی.", + "✅ جواب: وزن کمی پیوسته ؛ کیفیت کیفی ترتیبی" ] }, { @@ -112807,7 +112046,8 @@ "introText": "برای تشخیص نوع متغیر، ابتدا بررسی کنید که آیا متغیر قابل اندازه‌گیری است یا خیر. اگر قابل اندازه‌گیری باشد، متغیر کمی است و اگر نباشد، متغیر کیفی است.", "example": "مراحل رشد یک انسان (نوزاد، کودک، نوجوان، جوان، میان سال، کهن‌سال) را تعیین کنید که نوع متغیر اسمی است یا ترتیبی.", "steps": [ - "مراحل رشد انسان دارای ترتیب زمانی مشخص هستند، بنابراین این متغیر از نوع ترتیبی است." + "مراحل رشد انسان دارای ترتیب زمانی مشخص هستند، بنابراین این متغیر از نوع ترتیبی است.", + "✅ جواب: کیفی ترتیبی" ] }, { @@ -113323,7 +112563,8 @@ "این فاصله‌ها یک دنباله حسابی با جمله اول a = 6 و قدر نسبت d = 6 است.", "مجموع کل مسافت طی شده برابر 918 متر است.", "فرمول مجموع دنباله حسابی: S = n/2 * (2a + (n-1)d) را داریم.", - "جایگذاری مقادیر: 918 = n/2 * (2*6 + (n-1)*6) = n/2 * (12 + 6n - 6) = n/2 * (6 + 6n) = 3n(n+1). معادله: 3n(n+1) = 918 => n(n+1) = 306. حل معادله درجه دو: n² + n - 306 = 0. با حل معادله، n = 17 (مقدار مثبت). بنابراین تعداد توپ‌های انداخته شده 17 عدد است." + "جایگذاری مقادیر: 918 = n/2 * (2*6 + (n-1)*6) = n/2 * (12 + 6n - 6) = n/2 * (6 + 6n) = 3n(n+1). معادله: 3n(n+1) = 918 => n(n+1) = 306. حل معادله درجه دو: n² + n - 306 = 0. با حل معادله، n = 17 (مقدار مثبت). بنابراین تعداد توپ‌های انداخته شده 17 عدد است.", + "✅ جواب: ۱۷ توپ" ] }, { @@ -114785,14 +114026,13 @@ { "title": "حل معادلات گویا", "introText": "۱. تعیین کوچک‌ترین مضرب مشترک مخرج کسرها. ۲. ضرب طرفین معادله در کوچک‌ترین مضرب مشترک مخرج‌ها برای حذف مخرج‌ها. ۳. ساده‌سازی و تبدیل معادله به معادله چندجمله‌ای. ۴. حل معادله چندجمله‌ای به دست آمده. ۵. بررسی جواب‌ها و حذف جواب‌هایی که مخرج‌ها را صفر می‌کنند (جواب‌های نامعتبر).", - "example": "معادله 6/x = 7 + (x-3)/(x+1) را حل کنید.", + "example": "معادلهٔ ۶/x = ۷ + (x − ۳)/(x + ۱) را حل کنید.", "steps": [ - "مخرج‌ها x و x+1 هستند.", - "معادله را در x(x+1) ضرب می‌کنیم:", - "6(x+1) = 7x(x+1) + (x-3)x", - "عبارت‌ها را باز می‌کنیم:", - "6x + 6 = 7x² + 7x + x² - 3x", - "✅ جواب: x=1 یا x=-3/4" + "دو طرف را در x(x + ۱) ضرب می‌کنیم (x ≠ ۰ و x ≠ −۱): ۶(x + ۱) = ۷x(x + ۱) + (x − ۳)x.", + "باز می‌کنیم: ۶x + ۶ = ۷x² + ۷x + x² − ۳x = ۸x² + ۴x.", + "۸x² − ۲x − ۶ = ۰ ⟹ ۴x² − x − ۳ = ۰ ⟹ (x − ۱)(۴x + ۳) = ۰.", + "هر دو جواب مخرج را صفر نمی‌کنند.", + "✅ جواب: x = ۱ یا x = −۳/۴" ] }, { @@ -116165,7 +115405,8 @@ "اختلاف مختصات y: 3 - 5 = -2.", "مربع اختلاف‌ها: 4² = 16 و (-2)² = 4.", "جمع مربع‌ها: 16 + 4 = 20.", - "جذر مجموع: √20 = 2√5. بنابراین طول پاره‌خط AB برابر است با 2√5." + "جذر مجموع: √20 = 2√5. بنابراین طول پاره‌خط AB برابر است با 2√5.", + "✅ جواب: ۲√۵" ], "figures": [ { @@ -117031,14 +116272,12 @@ { "title": "کار با مختصات و بردارها در مثلث", "introText": "1. رسم مثلث با استفاده از مختصات داده شده. 2. بررسی برابری طول اضلاع برای اثبات متساوی الساقین بودن مثلث با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه. 3. یافتن معادله عمود منصف ضلع BC با استفاده از شیب و نقطه وسط ضلع. 4. محاسبه طول ارتفاع AH با استفاده از فاصله نقطه تا خط.", - "example": "سه نقطه A(3, 2)، B(-1, 2) و C(0, -5) سه رأس مثلث ABC در صفحه مختصات هستند. طول اضلاع مثلث را به دست آورید.", + "example": "سه نقطهٔ A(۳ ، ۲) ، B(−۱ ، ۲) و C(۰ ، −۵) رأس‌های مثلث ABC‌اند. طول ضلع‌ها را بیابید.", "steps": [ - "طول AB:", - "AB = √((-1 - 3)² + (2 - 2)²) = √((-4)² + 0²) = √16 = 4.", - "طول BC:", - "BC = √((0 - (-1))² + (-5 - 2)²) = √(1² + (-7)²) = √(1 + 49) = √50 = 5√2.", - "طول AC:", - "✅ جواب: AB=4، BC=5√2، AC=√58" + "AB = √((−۱−۳)² + (۲−۲)²) = √۱۶ = ۴.", + "BC = √((۰+۱)² + (−۵−۲)²) = √(۱ + ۴۹) = √۵۰ = ۵√۲.", + "AC = √((۰−۳)² + (−۵−۲)²) = √(۹ + ۴۹) = √۵۸.", + "✅ جواب: AB = ۴ ، BC = ۵√۲ ، AC = √۵۸" ], "figures": [ { @@ -118787,13 +118026,11 @@ { "title": "محاسبه مقدار تابع پله‌ای برای وزن‌های مشخص", "introText": "برای محاسبه مقدار تابع پله‌ای در وزن مشخص، ابتدا بازه‌ای که وزن در آن قرار دارد را پیدا می‌کنیم و سپس مقدار تابع را که در آن بازه ثابت است، به عنوان جواب می‌نویسیم.", - "example": "برای یک بسته به وزن 15 کیلوگرم، مقدار تابع پله‌ای برابر با 20000 تومان است. اگر وزن بسته 15 کیلوگرم باشد، هزینه ارسال آن چقدر است؟", + "example": "هزینهٔ ارسال بسته با تابع پله‌ای است: تا ۱۰ کیلوگرم ۱۰٬۰۰۰ تومان ، بیش از ۱۰ تا ۲۰ کیلوگرم ۲۰٬۰۰۰ تومان و بیش از ۲۰ تا ۳۰ کیلوگرم ۳۰٬۰۰۰ تومان. هزینهٔ ارسال بسته‌ای ۱۵ کیلوگرمی چقدر است؟", "steps": [ - "وزن بسته 15 کیلوگرم است و باید بازه مربوط به آن را پیدا کنیم.", - "بازه وزن 15 کیلوگرم بین 10 تا 20 کیلوگرم قرار دارد.", - "مقدار تابع پله‌ای برای این بازه برابر با 20000 تومان است.", - "پس هزینه ارسال بسته 15 کیلوگرم 20000 تومان است.", - "✅ جواب: 20000" + "۱۵ در بازهٔ (۱۰ ، ۲۰] قرار دارد.", + "هزینهٔ این بازه ۲۰٬۰۰۰ تومان است.", + "✅ جواب: ۲۰٬۰۰۰ تومان" ], "figures": [ { @@ -118949,14 +118186,13 @@ { "title": "رسم نمودار تابع قسمت صحیح", "introText": "1. تابع قسمت صحیح را به صورت f(x) = [x] تعریف می‌کنیم که مقدار آن برابر با بزرگترین عدد صحیح کمتر یا مساوی x است.\n2. بازه مورد نظر برای x را مشخص می‌کنیم.\n3. بازه را به بخش‌های کوچکتر تقسیم می‌کنیم که در هر بخش مقدار قسمت صحیح ثابت است.\n4. برای هر بخش مقدار y را برابر با قسمت صحیح x قرار می‌دهیم.\n5. نقاط متناظر را روی محور مختصات رسم می‌کنیم و نقاط باز و بسته را برای نمایش بازه‌ها مشخص می‌کنیم.\n6. نقاط را به صورت پله‌ای به هم وصل می‌کنیم تا نمودار کامل شود.", - "example": "با کمک نمودار تابع y = √x، نمودار چهار تابع زیر رسم شده‌اند:\n(الف) f(x) = √x + 3\n(ب) h(x) = √x - 3\n(پ) g(x) = √(x - 3)\n(ت) r(x) = √(x + 3)\nتابع مربوط به هر نمودار را مشخص و دامنه و برد آن را معلوم کنید.", + "example": "با کمک نمودار y = √x ، دامنه و برد هر تابع را بنویسید: الف) f(x) = √x + ۳ ب) h(x) = √x − ۳ پ) g(x) = √(x − ۳) ت) r(x) = √(x + ۳).", "steps": [ - "الف) f(x) = √x + 3", - "دامنه: x ≥ 0", - "برد: y ≥ 3", - "ب) h(x) = √x - 3", - "دامنه: x ≥ 0", - "✅ جواب: دامنه و بردهای ارائه‌شده برای هر چهار تابع صحیح است." + "الف) ۳ واحد بالا: دامنه [۰ ، ∞) ، برد [۳ ، ∞).", + "ب) ۳ واحد پایین: دامنه [۰ ، ∞) ، برد [−۳ ، ∞).", + "پ) ۳ واحد به راست: x − ۳ ≥ ۰ ⟹ دامنه [۳ ، ∞) ، برد [۰ ، ∞).", + "ت) ۳ واحد به چپ: x + ۳ ≥ ۰ ⟹ دامنه [−۳ ، ∞) ، برد [۰ ، ∞).", + "✅ جواب: الف) [۰،∞) و [۳،∞) ب) [۰،∞) و [−۳،∞) پ) [۳،∞) و [۰،∞) ت) [−۳،∞) و [۰،∞)" ], "figures": [ { @@ -119605,7 +118841,8 @@ "steps": [ "زوج‌های مرتب وارون تابع f به صورت زیر است:", "f⁻ = {(4, 2), (9, 3), (25, 5), (36, 6)}", - "این مجموعه زوج‌های مرتب وارون تابع f را نشان می‌دهد که در آن دامنه و برد تابع f جابه‌جا شده‌اند." + "این مجموعه زوج‌های مرتب وارون تابع f را نشان می‌دهد که در آن دامنه و برد تابع f جابه‌جا شده‌اند.", + "✅ جواب: {(۴،۲) ، (۹،۳) ، (۲۵،۵) ، (۳۶،۶)}" ] }, { @@ -120314,20 +119551,18 @@ "دامنه مشترک f + g: {1, 0}", "مقادیر تابع جمع:", "(f + g)(1) = f(1) + g(1) = 2 + 5 = 7", - "(f + g)(0) = f(0) + g(0) = 7 + (-1) = 6 نمایش مجموعه زوج‌های مرتب: f + g = {(0, 6), (1, 7)}" + "(f + g)(0) = f(0) + g(0) = 7 + (-1) = 6 نمایش مجموعه زوج‌های مرتب: f + g = {(0, 6), (1, 7)}", + "✅ جواب: {(0, 6), (1, 7)}" ] }, { "title": "رسم و تحلیل نمودار توابع ترکیبی", "introText": "1. نمودار توابع اولیه را رسم کنید یا داده‌های آن‌ها را داشته باشید. 2. برای رسم نمودار جمع یا تفاضل، مقادیر y هر دو تابع را در نقاط متناظر جمع یا تفریق کنید. 3. برای ضرب یا تقسیم، مقادیر y را در نقاط متناظر ضرب یا تقسیم کنید (با توجه به دامنه). 4. دامنه و ضابطه تابع ترکیبی را مشخص کنید. 5. نمودار تابع ترکیبی را با توجه به مقادیر محاسبه شده رسم کنید و تحلیل کنید.", - "example": "اگر دو تابع f و g داده شده باشند، ترکیب تابع gof را تعریف کنید و دامنه آن را به صورت مجموعه‌ای از مقادیر x که در دامنه f هستند و f(x) در دامنه g است، بنویسید.", + "example": "ترکیب تابع g∘f را تعریف کنید و دامنهٔ آن را بنویسید.", "steps": [ - "تعریف ترکیب تابع:", - "(gof)(x) = g(f(x))", - "دامنه ترکیب تابع gof به صورت زیر است:", - "D_gof = {x ∈ D_f | f(x) ∈ D_g}", - "یعنی مجموعه مقادیری از x که در دامنه تابع f هستند و مقدار f(x) در دامنه تابع g قرار دارد.", - "✅ جواب: تعریف و دامنه‌ی ترکیب توابع به درستی بیان شده است." + "(g∘f)(x) = g(f(x)).", + "x باید در دامنهٔ f باشد و f(x) هم در دامنهٔ g باشد.", + "✅ جواب: D_{g∘f} = {x ∈ D_f | f(x) ∈ D_g}" ] }, { @@ -120449,7 +119684,8 @@ "f(50) = (5/9)(50 - 32) = (5/9)(18) = 10 درجه سانتی‌گراد.", "سپس مقدار g(f(50)) را محاسبه می‌کنیم:", "g(10) = 10 + 273 = 283 درجه کلوین.", - "بنابراین g(f(50)) = 283." + "بنابراین g(f(50)) = 283.", + "✅ جواب: 283 کلوین" ] }, { @@ -121636,7 +120872,8 @@ "steps": [ "ابتدا مقدار √7 را محاسبه می‌کنیم که تقریباً برابر 2.6457 است.", "سپس در نمودار تابع y=2^x مقدار y را برای x=2.6457 پیدا می‌کنیم که تقریباً برابر 6.3 است.", - "بنابراین y=2^√7 ≈ 6.3." + "بنابراین y=2^√7 ≈ 6.3.", + "✅ جواب: ≈ ۶٫۳" ], "figures": [ { @@ -121944,14 +121181,13 @@ { "title": "محاسبه مقادیر تابع لگاریتمی با پایه دلخواه از روی نمودار", "introText": "1. تابع لگاریتمی را به صورت y = log_3(x) تعریف کنید. 2. مقادیر x داده شده را در تابع لگاریتم قرار دهید و مقدار y را محاسبه کنید. 3. از نمودار تابع لگاریتم برای تعیین مقادیر استفاده کنید و مقادیر را یادداشت کنید.", - "example": "فرض کنید f(x) = log₁₀ x. مقدار تابع f را در نقاط زیر در صورت وجود حساب کنید:\nالف) x = 10\nب) x = 100\nپ) x = -10\nت) x = 1000", + "example": "f(x) = log₁₀ x. مقدار f را در x = ۱۰ ، ۱۰۰ ، −۱۰ و ۱۰۰۰ در صورت وجود حساب کنید.", "steps": [ - "حل:", - "الف) f(10) = log₁₀ 10 = 1 زیرا 10¹ = 10", - "ب) f(100) = log₁₀ 100 = 2 زیرا 10² = 100", - "پ) f(-10) وجود ندارد زیرا اعداد منفی در دامنه لگاریتم تعریف نمی‌شوند.", - "ت) f(1000) = log₁₀ 1000 = 3 زیرا 10³ = 1000", - "✅ جواب: مقادیر تابع لگاریتمی در نقاط خواسته‌شده صحیح است و در x=-10 تعریف‌نشده است." + "f(۱۰) = log₁₀ ۱۰ = ۱ ، چون ۱۰¹ = ۱۰.", + "f(۱۰۰) = ۲ ، چون ۱۰² = ۱۰۰.", + "f(−۱۰): لگاریتم عدد منفی تعریف نمی‌شود.", + "f(۱۰۰۰) = ۳ ، چون ۱۰³ = ۱۰۰۰.", + "✅ جواب: ۱ ؛ ۲ ؛ تعریف‌نشده ؛ ۳" ], "figures": [ { @@ -124401,13 +123637,12 @@ { "title": "محاسبه شدت نور وارد شده به سلول خورشیدی با استفاده از روابط مثلثاتی", "introText": "برای محاسبه شدت نور وارد شده به سلول خورشیدی با زاویه تابش α، از رابطه I = k sin(π/2 - α) استفاده می‌کنیم که در آن k یک عدد ثابت مثبت است. ابتدا مقدار زاویه α را مشخص می‌کنیم، سپس مقدار (π/2 - α) را محاسبه کرده و سینوس آن را می‌گیریم. در نهایت مقدار شدت نور I را با ضرب k در این مقدار به دست می‌آوریم.", - "example": "شدت نور وارد شده به یک سلول خورشیدی با زاویه تابش α برابر با 30 درجه است. اگر k برابر با 10 باشد، شدت نور I را محاسبه کنید.", + "example": "شدت نور رسیده به سلول خورشیدی از رابطهٔ I = k sin(π/۲ − α) به‌دست می‌آید. اگر α = ۳۰° و k = ۱۰ باشد، I را بیابید.", "steps": [ - "زاویه α را به رادیان تبدیل می‌کنیم: α = 30 درجه = π/6 رادیان.", - "محاسبه π/2 - α: π/2 - π/6 = π/3.", - "محاسبه سینوس: sin(π/3) = √3/2.", - "محاسبه شدت نور I: I = 10 × (√3/2) = 5√3.", - "✅ جواب: 5√3" + "α = ۳۰° = π/۶ رادیان.", + "π/۲ − π/۶ = π/۳.", + "sin(π/۳) = √۳/۲ ، پس I = ۱۰ × √۳/۲ = ۵√۳.", + "✅ جواب: I = ۵√۳ ≈ ۸٫۷" ] }, { @@ -124839,12 +124074,11 @@ { "title": "تحلیل و رسم نمودار تابع سینوس و مقایسه با کسینوس", "introText": "1. نمودار تابع y = sin x را در بازه‌های طول 2π رسم کنید.\n2. نمودار تابع y = cos x را در همان بازه رسم کنید.\n3. بررسی کنید که هر دو تابع دامنه [-1,1] دارند.\n4. مقایسه کنید که نمودار y = sin x و y = cos x نسبت به هم چگونه جابه‌جا شده‌اند (مثلاً جابه‌جایی فاز).\n5. نمودارها را به صورت موج سینوسی و کسینوسی معرفی کنید و ویژگی‌های تناوبی آن‌ها را بیان کنید.", - "example": "یک تابع سینوسی y = sin x و یک تابع کسینوسی y = cos x را در بازه [0, 2π] بررسی کنید. مقدار y = sin x را در x = π/2 و مقدار y = cos x را در x = π/2 محاسبه کنید و سپس مقایسه کنید که کدام یک بزرگ‌تر است.", + "example": "مقدار sin x و cos x را در x = π/۲ حساب کنید و مقایسه کنید.", "steps": [ - "برای x = π/2، مقدار y = sin(π/2) = 1 محاسبه می‌شود.", - "برای x = π/2، مقدار y = cos(π/2) = 0 محاسبه می‌شود.", - "حالا مقایسه می‌کنیم: 1 (مقدار سینوس) بزرگ‌تر از 0 (مقدار کسینوس) است.", - "✅ جواب: 1" + "sin(π/۲) = ۱.", + "cos(π/۲) = ۰.", + "✅ جواب: sin(π/۲) = ۱ بزرگ‌تر از cos(π/۲) = ۰ است" ], "figures": [ { @@ -125171,7 +124405,8 @@ "steps": [ "sin 75° = sin (45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°", "= (√2/2) × (√3/2) + (√2/2) × (1/2)", - "= (√6/4) + (√2/4) = (√6 + √2)/4" + "= (√6/4) + (√2/4) = (√6 + √2)/4", + "✅ جواب: (√۶ + √۲)/۴" ], "figures": [ { @@ -125450,7 +124685,8 @@ "introText": "برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های مشخص شده، مقدار زاویه را در ماشین حساب وارد کرده و نسبت‌های سینوس، کسینوس و تانژانت را به دست می‌آوریم. در صورت نیاز، زاویه را به رادیان تبدیل می‌کنیم.", "example": "مقدار cos 15° را محاسبه کنید.", "steps": [ - "برای محاسبه cos 15° می‌توان از فرمول کسینوس زاویه‌های مرکب استفاده کرد: cos 15° = cos(45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6/4) + (√2/4) = (√6 + √2)/4." + "برای محاسبه cos 15° می‌توان از فرمول کسینوس زاویه‌های مرکب استفاده کرد: cos 15° = cos(45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6/4) + (√2/4) = (√6 + √2)/4.", + "✅ جواب: (√۶ + √۲)/۴" ], "figures": [ { @@ -125923,14 +125159,13 @@ { "title": "رسم نمودار تابع با شرایط حد و پیوستگی", "introText": "1. ابتدا نقاطی که تابع در آن‌ها تعریف نشده یا مقدار حد دارد را مشخص کنید.\n2. نمودار تابع را در بازه‌های مختلف رسم کنید به طوری که شرایط حد و پیوستگی رعایت شود.\n3. اگر تابع در نقطه‌ای تعریف نشده ولی حد دارد، نقطه را به صورت باز (حلقه خالی) نشان دهید.\n4. اگر تابع در نقطه‌ای تعریف شده ولی مقدار تابع با حد آن نقطه متفاوت است، مقدار تابع را با نقطه پر (حلقه پر) نشان دهید و حد را با توجه به همسایگی‌ها بررسی کنید.\n5. نمودار را به گونه‌ای رسم کنید که شرایط همسایگی راست و چپ و مقدار تابع در نقطه مورد نظر به درستی نمایش داده شود.", - "example": "نموداری از یک تابع رسم کنید که:\nالف) در یک همسایگی حذف شده ۲ تعریف شده باشد و در این نقطه حد داشته باشد.\nب) در یک همسایگی حذف شده ۲ تعریف شده باشد ولی در این نقطه حد نداشته باشد.\nپ) در یک همسایگی ۲ تعریف شده باشد و در این نقطه حد نداشته باشد.\nت) در یک همسایگی ۲ تعریف شده باشد و در این نقطه حد داشته باشد ولی حد آن با مقدار تابع در نقطه ۲ یکسان نباشد.", + "example": "برای هر حالت یک تابع مثال بزنید: الف) در ۲ تعریف‌نشده ولی حد دارد. ب) در ۲ تعریف‌نشده و حد ندارد. پ) در ۲ تعریف‌شده ولی حد ندارد. ت) در ۲ حد دارد ولی حد با f(۲) برابر نیست.", "steps": [ - "الف) تابعی رسم کنید که در نقطه ۲ مقدار تابع تعریف شده باشد و حد چپ و راست برابر و مساوی مقدار تابع در ۲ باشد.", - "ب) تابعی رسم کنید که در نقطه ۲ مقدار تابع تعریف شده باشد ولی حد چپ و راست برابر نباشند، پس حد وجود ندارد.", - "پ) تابعی رسم کنید که در نقطه ۲ مقدار تابع تعریف شده باشد ولی حد چپ و راست برابر نباشند و حد وجود نداشته باشد.", - "ت) تابعی رسم کنید که در نقطه ۲ مقدار تابع تعریف شده باشد و حد چپ و راست برابر باشند ولی مقدار حد با مقدار تابع در ۲ متفاوت باشد.", - "در هر حالت نمودار باید شرایط گفته شده را به وضوح نشان دهد.", - "✅ جواب: مثال‌های کتاب هر چهار شرط را برآورده می‌کنند، هرچند در (الف) و (ب) تعریف در نقطه ۲ را نیز در نظر گرفته‌اند." + "الف) f(x) = (x² − ۴)/(x − ۲): در ۲ تعریف‌نشده، ولی برای x ≠ ۲ برابر x + ۲ است و حد ۴ دارد.", + "ب) f(x) = ۱/(x − ۲): در ۲ تعریف‌نشده و مقدارها بی‌کران می‌شوند؛ حد ندارد.", + "پ) f(x) = |x − ۲|/(x − ۲) با f(۲) = ۰: تعریف‌شده، ولی حد چپ −۱ و حد راست ۱ است؛ حد ندارد.", + "ت) f(x) = x برای x ≠ ۲ و f(۲) = ۵: حد ۲ است ولی f(۲) = ۵.", + "✅ جواب: مثال‌ها: (x²−۴)/(x−۲) ؛ ۱/(x−۲) ؛ |x−۲|/(x−۲) با f(۲)=۰ ؛ x با f(۲)=۵" ] }, { @@ -126253,10 +125488,11 @@ { "title": "بررسی دامنه، تعریف و حد تابع رادیکالی با حذف نقطه", "introText": "1. تعیین دامنه تابع با توجه به شرط داخل رادیکال و مخرج کسر. 2. بررسی نقاط حذف شده در دامنه و همسایگی آنها. 3. محاسبه حد تابع در نقاط حذف شده با استفاده از حد چپ و راست. 4. بررسی تعریف تابع در نقاط حذف شده با جایگذاری مستقیم.", - "example": "نمودار تابع h(x) به صورت خطی رسم شده است که در نقطه x=3 مقدار تابع برابر 4 است ولی خط نمودار در این نقطه شکسته است. وقتی x به 3 نزدیک می‌شود، مقدار تابع h(x) به چه عددی نزدیک می‌شود؟", + "example": "تابع h به‌صورت h(x) = ۲x برای x ≠ ۳ و h(۳) = ۴ تعریف شده است. وقتی x به ۳ نزدیک می‌شود h(x) به چه عددی نزدیک می‌شود؟", "steps": [ - "با توجه به نمودار، وقتی x به 3 نزدیک می‌شود، مقدار تابع h(x) به عدد 6 نزدیک می‌شود، اگرچه مقدار تابع در خود نقطه 3 برابر 4 است.", - "بنابراین حد h(x) وقتی x به 3 نزدیک می‌شود برابر 6 است." + "برای x نزدیک به ۳ (ولی x ≠ ۳) داریم h(x) = ۲x.", + "۲ × ۳ = ۶ ، پس مقدارها به ۶ نزدیک می‌شوند، با اینکه h(۳) = ۴ است.", + "✅ جواب: حد برابر ۶ است (حد به مقدار تابع در خود نقطه بستگی ندارد)" ] }, { @@ -126559,11 +125795,12 @@ { "title": "رسم نمودار تابع با شرایط حد و پیوستگی", "introText": "1. شرایط داده شده برای تابع را بررسی کنید (مثلاً در همسایگی نقطه خاصی تعریف شده یا نشده).\n2. مقدار حد در آن نقطه را محاسبه یا تعیین کنید.\n3. مقدار تابع در آن نقطه را مشخص کنید (تعریف شده یا نشده).\n4. نمودار تابع را طوری رسم کنید که شرایط حد و پیوستگی داده شده رعایت شود.\n5. در صورت وجود نقطه حذف شده یا نقطه با مقدار تابع متفاوت، آن را روی نمودار مشخص کنید.", - "example": "تابعی که در x = ۱ تعریف نشده ولی حد ۳ دارد.", + "example": "تابعی مثال بزنید که در x = ۱ تعریف نشده باشد ولی در ۱ حد ۳ داشته باشد.", "steps": [ - "f(x) = (x²+۲x−۳)/(x−۱) = x + ۳.", - "حد: ۴.", - "✅ جواب: مثلاً (x²−۱)/(x−۱) با حد ۲" + "f(x) = (x² + x − ۲)/(x − ۱) را در نظر می‌گیریم؛ در x = ۱ مخرج صفر است و f تعریف‌نشده است.", + "x² + x − ۲ = (x − ۱)(x + ۲) ، پس برای x ≠ ۱ داریم f(x) = x + ۲.", + "وقتی x → ۱ مقدار x + ۲ به ۳ می‌رسد.", + "✅ جواب: f(x) = (x² + x − ۲)/(x − ۱) ؛ حد در ۱ برابر ۳" ], "figures": [ { @@ -128497,13 +127734,12 @@ { "title": "محاسبه حد توابع شامل قسمت صحیح و رادیکال", "introText": "1. مقدار x را به سمت نقطه مورد نظر نزدیک کنید. 2. اگر قسمت صحیح در تابع وجود دارد، حد چپ و راست را جداگانه بررسی کنید. 3. صورت و مخرج را ساده کنید یا از ضرب عبارت مزدوج برای حذف رادیکال‌ها استفاده کنید. 4. حد را با توجه به رفتار قسمت صحیح و رادیکال تعیین کنید.", - "example": "مقدار حد lim(x → 3) (x⁷ - 9)/(⁷√x - 5 - 2) را بیابید.", + "example": "مقدار lim(x → ۱) (x⁷ − ۱)/(x − ۱) را بیابید.", "steps": [ - "ابتدا مقدار تابع را در x=3 جایگذاری می‌کنیم: صورت 3⁷ - 9 = 2187 - 9 = 2178 و مخرج ⁷√3 - 5 - 2 که عددی مشخص است.", - "چون مخرج صفر نیست و صورت صفر نیست، حد برابر با مقدار تابع است.", - "بنابراین مقدار حد برابر 2178/(⁷√3 - 7) است.", - "(توجه: در تصویر راه حل کامل این مثال ارائه نشده است، فقط مسئله داده شده است.)", - "✅ جواب: 2178/(⁷√3 - 7)" + "x⁷ − ۱ = (x − ۱)(x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + ۱).", + "برای x ≠ ۱ ساده می‌کنیم: x⁶ + x⁵ + … + ۱.", + "با x → ۱: هفت جمله هرکدام ۱ می‌شوند.", + "✅ جواب: ۷" ] }, { @@ -128668,14 +127904,12 @@ { "title": "تشخیص وجود یا عدم وجود گسستگی در نقطه از روی نمودار", "introText": "1. حد چپ و حد راست تابع را در نقطه مورد نظر از روی نمودار بررسی کنید.\n2. اگر حد چپ و حد راست برابر نباشند، گسستگی در آن نقطه وجود دارد.\n3. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند ولی مقدار تابع در نقطه با آن‌ها برابر نباشد، گسستگی پرشی است.\n4. اگر حد‌ها و مقدار تابع برابر باشند، گسستگی وجود ندارد و تابع پیوسته است.", - "example": "در نمودار تابع f(x) در نقطه x=4، مقدار تابع برابر 5 است و حد چپ lim(x→4-) f(x) برابر 3 و حد راست lim(x→4+) f(x) برابر 3 است. آیا در این نقطه گسستگی وجود دارد؟", + "example": "در نمودار f در x = ۴ داریم f(۴) = ۵ ، حد چپ ۳ و حد راست ۳. آیا در این نقطه گسستگی وجود دارد؟ از چه نوع؟", "steps": [ - "حد چپ تابع در x=4 برابر 3 است.", - "حد راست تابع در x=4 برابر 3 است.", - "مقدار تابع در x=4 برابر 5 است.", - "حد چپ و حد راست برابرند ولی مقدار تابع برابر آن‌ها نیست.", - "بنابراین، گسستگی پرشی در x=4 وجود دارد.", - "✅ جواب: بله" + "حد چپ و راست برابرند، پس حد وجود دارد و ۳ است.", + "ولی f(۴) = ۵ با حد (۳) برابر نیست، پس تابع پیوسته نیست.", + "چون حد وجود دارد (پرش ندارد)، با تغییر مقدار در یک نقطه رفع می‌شود: گسستگی برداشتنی.", + "✅ جواب: بله ؛ گسستگی برداشتنی" ] }, { @@ -128783,37 +128017,35 @@ { "title": "بررسی پیوستگی توابع در نقاط خاص", "introText": "۱. تابع را در نقطه مورد نظر بررسی کنید که آیا تعریف شده است یا خیر.\n۲. حد تابع را از دو طرف نقطه محاسبه کنید.\n۳. اگر حد چپ و راست برابر باشند و با مقدار تابع در آن نقطه برابر باشند، تابع در آن نقطه پیوسته است.\n۴. اگر تابع در نقطه تعریف نشده باشد ولی حد وجود داشته باشد، تابع در آن نقطه پیوسته نیست.\n۵. در صورت وجود عبارت کسری، صورت و مخرج را تجزیه و ساده کنید تا حد را محاسبه نمایید.", - "example": "نمودار تابعی را رسم کنید که در نقطه ۳ تعریف نشده باشد اما حد تابع در x=3 وجود داشته باشد (توجه کنید که این تابع در ۳ پیوسته نیست).", + "example": "نموداری رسم کنید که در x = ۳ تعریف‌نشده باشد ولی در ۳ حد داشته باشد.", "steps": [ - "تابع را در بازه‌های x<3 و x>3 رسم کنید.", - "در نقطه ۳، تابع تعریف نشده است، پس نقطه ۳ را با دایره خالی نشان دهید.", - "حد تابع در x=3 را محاسبه کنید و مقدار حد را روی محور y مشخص کنید.", - "نمودار را طوری رسم کنید که به مقدار حد در نقطه ۳ نزدیک شود ولی در خود نقطه ۳ مقدار تابع وجود نداشته باشد.", - "این نمودار نشان می‌دهد که تابع در ۳ پیوسته نیست ولی حد دارد.", - "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است." + "مثلاً f(x) = (x² − ۹)/(x − ۳) = x + ۳ برای x ≠ ۳.", + "نمودار خط y = x + ۳ است با یک حفره (دایرهٔ توخالی) در (۳ ، ۶).", + "حد در ۳ برابر ۶ است ولی f(۳) تعریف‌نشده، پس تابع در ۳ پیوسته نیست.", + "✅ جواب: خط y = x + ۳ با حفره در (۳ ، ۶)" ], "figures": [ { "where": "example", "diagram": { "kind": "plane", - "title": "تعریف‌نشده در ۱ ولی حد دارد", + "title": "تعریف‌نشده در ۳ ولی حد ۶", "axes": true, "points": {}, "items": [ { "type": "function", - "expr": "x+1", + "expr": "x+3", "from": -3.0, - "to": 4.0, + "to": 6.0, "color": "blue", - "label": "y = x + ۱" + "label": "y = x + ۳" }, { "type": "point", "point": [ - 1.0, - 2.0 + 3.0, + 6.0 ], "open": true } @@ -129719,11 +128951,11 @@ { "title": "تابع درجه سوم، توابع یک‌نوا و بخش‌پذیری و تقسیم", "introText": "۱. بررسی تابع درجه سوم و تعیین ضریب‌های آن. ۲. بررسی یک‌نوا بودن تابع با استفاده از مشتق اول و تحلیل علامت آن. ۳. بررسی بخش‌پذیری تابع بر چندجمله‌ای‌های ساده‌تر با استفاده از تقسیم چندجمله‌ای یا قاعده هورنر. ۴. یافتن ریشه‌ها و نقاط بحرانی تابع برای تحلیل رفتار آن.", - "example": "x³ − ۸ بر x − ۲ بخش‌پذیر است؟ خارج‌قسمت؟", + "example": "آیا x³ − ۸ بر x − ۲ بخش‌پذیر است؟ خارج‌قسمت را بنویسید.", "steps": [ - "x=۲: ۸−۸ = ۰.", - "x² + ۲x + ۴.", - "✅ جواب: بله" + "مقدار چندجمله‌ای در x = ۲: ۲³ − ۸ = ۰ ، پس بخش‌پذیر است.", + "x³ − ۸ = (x − ۲)(x² + ۲x + ۴).", + "✅ جواب: بله ؛ خارج‌قسمت x² + ۲x + ۴" ], "figures": [ { @@ -131384,13 +130616,12 @@ { "title": "تشخیص و تحلیل توابع صعودی", "introText": "برای تشخیص اینکه تابعی در بازه‌ای صعودی است یا خیر، دو مقدار a و b از آن بازه را طوری انتخاب می‌کنیم که a < b باشد. سپس مقدار تابع را در این دو نقطه محاسبه می‌کنیم. اگر f(a) ≤ f(b) برقرار باشد، تابع در آن بازه صعودی است. این به معنای آن است که با حرکت از چپ به راست روی نمودار، مقدار تابع کاهش نمی‌یابد و یا ثابت می‌ماند.", - "example": "تابع f(x) = 2x + 3 را در بازه [1, 4] بررسی کنید و مشخص کنید آیا این تابع در این بازه صعودی است یا خیر.", + "example": "آیا تابع f(x) = ۲x + ۳ روی بازهٔ [۱ ، ۴] صعودی است؟", "steps": [ - "مقدار تابع را در نقطه a = 1 محاسبه می‌کنیم: f(1) = 2×1 + 3 = 5.", - "مقدار تابع را در نقطه b = 4 محاسبه می‌کنیم: f(4) = 2×4 + 3 = 11.", - "حال بررسی می‌کنیم که آیا f(1) ≤ f(4) برقرار است: 5 ≤ 11 درست است.", - "بنابراین تابع در بازه [1, 4] صعودی است.", - "✅ جواب: بله" + "دو نقطهٔ دلخواه a < b از بازه را می‌گیریم.", + "f(b) − f(a) = ۲(b − a) > ۰ ، چون b > a.", + "پس با بزرگ‌تر شدن x مقدار f بزرگ‌تر می‌شود.", + "✅ جواب: بله ، صعودی (حتی اکیداً صعودی) است" ], "figures": [ { @@ -131501,12 +130732,10 @@ { "title": "تشخیص تابع اکیداً صعودی", "introText": "برای تشخیص اینکه تابعی اکیداً صعودی است یا خیر، دو مقدار a و b را در نظر می‌گیریم به طوری که a < b باشد. اگر مقدار تابع در a کمتر از مقدار تابع در b باشد یعنی f(a) < f(b)، آنگاه تابع در بازه مورد نظر اکیداً صعودی است. این به معنای آن است که با حرکت روی نمودار از چپ به راست، مقدار تابع همواره رو به بالا می‌رود.", - "example": "تابع f(x) = 2x + 3 را در بازه [1, 4] بررسی کنید. آیا این تابع اکیداً صعودی است؟", + "example": "آیا تابع f(x) = ۲x + ۳ روی بازهٔ [۱ ، ۴] اکیداً صعودی است؟", "steps": [ - "مقدار تابع را در a = 1 محاسبه می‌کنیم: f(1) = 2×1 + 3 = 5.", - "مقدار تابع را در b = 4 محاسبه می‌کنیم: f(4) = 2×4 + 3 = 11.", - "حال بررسی می‌کنیم که آیا f(1) < f(4) است: 5 < 11 درست است.", - "از این رو، تابع در بازه [1, 4] اکیداً صعودی است.", + "برای هر دو نقطهٔ a < b: f(b) − f(a) = ۲(b − a) > ۰.", + "پس f(a) < f(b) برای هر a < b.", "✅ جواب: بله" ], "figures": [ @@ -134183,11 +133412,12 @@ { "title": "حل معادلات مثلثاتی با استفاده از روابط مثلثاتی و تبدیل‌ها", "introText": "1. معادله مثلثاتی داده شده را بررسی کنید.\n2. اگر لازم است، با استفاده از روابط مثلثاتی، معادله را به صورت ساده‌تر یا به معادله درجه دوم تبدیل کنید.\n3. متغیر مثلثاتی (مثلاً cos x یا sin x) را با یک متغیر جدید جایگزین کنید.\n4. معادله درجه دوم را حل کنید و مقادیر متغیر جدید را بیابید.\n5. مقادیر متغیر مثلثاتی را جایگزین کنید و با استفاده از روابط معادلات مثلثاتی، مقادیر x را به دست آورید.\n6. جواب‌ها را در بازه مورد نظر یا به صورت کلی با پارامتر k بیان کنید.", - "example": "sin ۲x = sin x.", + "example": "معادلهٔ sin ۲x = sin x را حل کنید.", "steps": [ - "۲ sin x cos x = sin x.", - "sin x (۲cos x − ۱) = ۰.", - "✅ جواب: sin x = ۰ یا cos x = ۱/۲" + "sin ۲x = ۲ sin x cos x ، پس ۲ sin x cos x − sin x = ۰ ⟹ sin x (۲cos x − ۱) = ۰.", + "sin x = ۰ ⟹ x = kπ.", + "cos x = ۱/۲ ⟹ x = ±π/۳ + ۲kπ.", + "✅ جواب: x = kπ یا x = ±π/۳ + ۲kπ" ], "figures": [ { @@ -136980,14 +136210,12 @@ { "title": "محاسبه حدهای چند مثال مشخص از کسرهای چندجمله‌ای در بی‌نهایت", "introText": "1. صورت و مخرج هر کسر را بررسی کنید.\n2. بالاترین توان x را در صورت و مخرج مشخص کنید.\n3. صورت و مخرج را بر بالاترین توان x در مخرج تقسیم کنید.\n4. حد هر جمله را جداگانه محاسبه کنید.\n5. نتیجه نهایی را با توجه به حدهای محاسبه شده بنویسید.", - "example": "حد x به سمت بی‌نهایت از (3x³ + 5x² - 2) / (4x³ - 7x + 1) را محاسبه کنید.", + "example": "lim(x → ∞) (۳x³ + ۵x² − ۲)/(۴x³ − ۷x + ۱) را حساب کنید.", "steps": [ - "بالاترین توان x در صورت 3x³ و در مخرج 4x³ است.", - "صورت و مخرج را بر 4x³ تقسیم می‌کنیم: (3 + 5/x - 2/x³) / (1 - 7/x² + 1/x³).", - "حد هر جمله را محاسبه می‌کنیم: حد 5/x به سمت 0 و حد -2/x³ به سمت 0 می‌رود.", - "حد 7/x² به سمت 0 و حد 1/x³ به سمت 0 می‌رود.", - "پس حد نهایی برابر است با 3/1 که برابر 3 است.", - "✅ جواب: 3" + "صورت و مخرج را بر x³ تقسیم می‌کنیم: (۳ + ۵/x − ۲/x³)/(۴ − ۷/x² + ۱/x³).", + "وقتی x → ∞ جمله‌های ۵/x ، ۲/x³ ، ۷/x² و ۱/x³ به صفر می‌روند.", + "حد برابر ۳/۴ می‌شود.", + "✅ جواب: ۳/۴" ], "figures": [ { @@ -137838,7 +137066,8 @@ "= lim(h→0⁺) [(-4 - 4h - h² + 20 + 10h - 16) - 0] / h", "= lim(h→0⁺) (-h² + 6h) / h", "ساده‌سازی کسر: lim(h→0⁺) (-h²/h + 6h/h) = lim(h→0⁺) (-h + 6)", - "جایگذاری h=0: -0 + 6 = 6 بنابراین مقدار حد برابر 6 است." + "جایگذاری h=0: -0 + 6 = 6 بنابراین مقدار حد برابر 6 است.", + "✅ جواب: ۶" ], "figures": [ { @@ -138065,7 +137294,8 @@ "f(6) = -(6)² + 10 = -36 + 10 = -26", "شیب خط قاطع m_AB را با فرمول شیب محاسبه می‌کنیم:", "m_AB = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (f(6) - f(2)) / (6 - 2) = (-26 - 6) / (4) = (-32) / 4 = -8", - "بنابراین شیب خط قاطع بین نقاط A و B برابر -8 است." + "بنابراین شیب خط قاطع بین نقاط A و B برابر -8 است.", + "✅ جواب: −۸" ], "figures": [ { @@ -138473,12 +137703,11 @@ { "title": "بررسی وجود مشتق در نقاطی که حد مشتق وجود ندارد", "introText": "1. ابتدا حدهای چپ و راست مشتق تابع را در نقطه مورد نظر محاسبه کنید.\n2. اگر حدهای چپ و راست مشتق برابر نباشند، مشتق در آن نقطه وجود ندارد.\n3. بررسی کنید که آیا تابع در آن نقطه پیوسته است یا خیر.\n4. نتیجه‌گیری کنید که تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر نیست زیرا حد مشتق وجود ندارد.", - "example": "حد صورت کسر برابر 3 و حد مخرج کسر برابر صفر است. وقتی x به 2 میل می‌کند، حد راست تابع (x² - 1)/(x - 2) برابر +∞ و حد چپ برابر -∞ است. آیا مشتق تابع در x = 2 وجود دارد؟", + "example": "آیا تابع f(x) = (x² − ۱)/(x − ۲) در x = ۲ مشتق دارد؟ (حد راست در ۲ برابر +∞ و حد چپ −∞ است.)", "steps": [ - "حد راست تابع lim(x→2⁺) (x² - 1)/(x - 2) = +∞ است.", - "حد چپ تابع lim(x→2⁻) (x² - 1)/(x - 2) = -∞ است.", - "چون حدهای راست و چپ برابر نیستند و به بی‌نهایت مثبت و منفی میل می‌کنند، مشتق در x = 2 وجود ندارد.", - "✅ جواب: تابع در x=2 تعریف نشده است، پس مشتق وجود ندارد." + "تابع در x = ۲ تعریف‌نشده است (مخرج صفر).", + "تابعی که در یک نقطه تعریف نشده یا پیوسته نیست در آن نقطه مشتق ندارد.", + "✅ جواب: خیر ، f در x = ۲ مشتق ندارد" ] }, { @@ -139262,10 +138491,12 @@ { "title": "مشتق توابع مثلثاتی", "introText": "برای یافتن مشتق توابع مثلثاتی ابتدا تابع را به صورت کسری یا ضربی بازنویسی می‌کنیم. سپس از قواعد مشتق‌گیری مانند مشتق نسبت (قانون مشتق خارج قسمت) و مشتق ضرب استفاده می‌کنیم. در نهایت با استفاده از روابط مثلثاتی مشتق را ساده می‌کنیم.", - "example": "مشتق تابع f(x) = sin³ x + cos² x را به دست آورید.", + "example": "مشتق f(x) = sin³x + cos²x را بیابید.", "steps": [ - "تابع را به صورت جمع دو جمله در نظر می‌گیریم: f(x) = (sin x)³ + (cos x)².nگام 2: مشتق هر جمله را جداگانه محاسبه می‌کنیم با استفاده از قاعده زنجیره‌ای:nمشتق (sin x)³ = 3(sin x)² * cos xnمشتق (cos x)² = 2(cos x)(-sin x) = -2 cos x sin x.nگام 3: مشتق کل تابع برابر است با جمع مشتق‌ها: f'(x) = 3 sin² x cos x - 2 cos x sin x.", - "✅ جواب: 3 sin² x cos x - 2 sin x cos x" + "مشتق sin³x = ۳ sin²x · cos x (قاعدهٔ زنجیره‌ای).", + "مشتق cos²x = ۲ cos x · (−sin x) = −۲ sin x cos x.", + "جمع: ۳ sin²x cos x − ۲ sin x cos x.", + "✅ جواب: f′(x) = ۳ sin²x cos x − ۲ sin x cos x" ], "figures": [ { @@ -139452,7 +138683,8 @@ "lim(x → 1⁺) (f(x) - f(1))/(x - 1) = lim(x → 1⁺) (|x² - 1| - 0)/(x - 1) = lim(x → 1⁺) (x² - 1)/(x - 1) = lim(x → 1⁺) (x + 1) = 2", "حد سمت چپ:", "lim(x → 1⁻) (f(x) - f(1))/(x - 1) = lim(x → 1⁻) (|x² - 1| - 0)/(x - 1) = lim(x → 1⁻) (-(x² - 1))/(x - 1) = lim(x → 1⁻) -(x + 1) = -2", - "از آنجا که حدهای چپ و راست برابر نیستند (2 و -2)، مشتق f'(1) وجود ندارد. بنابراین تابع در x=1 مشتق‌پذیر نیست." + "از آنجا که حدهای چپ و راست برابر نیستند (2 و -2)، مشتق f'(1) وجود ندارد. بنابراین تابع در x=1 مشتق‌پذیر نیست.", + "✅ جواب: مشتق‌پذیر نیست (مشتق چپ −۲ و راست ۲)" ], "figures": [ { @@ -140344,13 +139576,12 @@ { "title": "مقایسه آهنگ لحظه‌ای تغییر در دو زمان مختلف", "introText": "1. مشتق تابع را به دست آورید.\n2. مقدار مشتق را در دو زمان مورد نظر محاسبه کنید.\n3. مقادیر مشتق را با هم مقایسه کنید تا زمان با آهنگ تغییر بیشتر مشخص شود.", - "example": "یک تابع که قد یک کودک را بر حسب سن او نشان می‌دهد به صورت f(t) = 2t² + 3t تعریف شده است. آهنگ لحظه‌ای تغییر قد کودک را در سن 4 سالگی (t=4) و 6 سالگی (t=6) محاسبه کنید و مقایسه کنید که در کدام سن قد کودک سریع‌تر تغییر می‌کند.", + "example": "قد کودک از رابطهٔ f(t) = ۲t² + ۳t (t سن به سال) به‌دست می‌آید. آهنگ لحظه‌ای تغییر قد را در ۴ سالگی و ۶ سالگی مقایسه کنید.", "steps": [ - "مشتق تابع f(t) را محاسبه می‌کنیم: f'(t) = 4t + 3.", - "مقدار مشتق را در t=4 محاسبه می‌کنیم: f'(4) = 4×4 + 3 = 16 + 3 = 19.", - "مقدار مشتق را در t=6 محاسبه می‌کنیم: f'(6) = 4×6 + 3 = 24 + 3 = 27.", - "مقادیر مشتق را مقایسه می‌کنیم: 19 در t=4 و 27 در t=6. بنابراین، در t=6 آهنگ تغییر بیشتر است.", - "✅ جواب: 27" + "f′(t) = ۴t + ۳.", + "f′(۴) = ۱۹ و f′(۶) = ۲۷.", + "۲۷ > ۱۹ ، پس در ۶ سالگی قد سریع‌تر تغییر می‌کند.", + "✅ جواب: ۱۹ و ۲۷ ؛ در ۶ سالگی سریع‌تر" ], "figures": [ { @@ -141062,12 +140293,13 @@ { "title": "رسم نمودار تابع با استفاده از مشتق‌ها", "introText": "1. تابع را بررسی و دامنه آن را مشخص کنید.\n2. مشتق اول را محاسبه و نقاط بحرانی را بیابید.\n3. با استفاده از علامت مشتق اول، بازه‌های صعودی و نزولی را تعیین کنید.\n4. مشتق دوم را محاسبه و نقاط عطف را پیدا کنید.\n5. نقاط اکسترمم و عطف را روی محور مختصات مشخص کنید.\n6. با توجه به اطلاعات به دست آمده، نمودار تابع را رسم کنید.", - "example": "اگر تابع y = f(x) به گونه‌ای باشد که ریشه‌های تابع f به صورت x=1 و x=0 و x=-2 است و در همه نقاط مشتق‌پذیر باشد. ریشه‌های تابع f' به صورت x=1/2 و x=-6/5 است و علامت f' بین دو ریشه منفی و سایر جاها مثبت است. تابع f'' تنها یک ریشه در x=-1/3 دارد و علامت f'' در سمت چپ -1/3 منفی و در سمت راست آن مثبت است و f(-1/3)=0.7 است. نمودار تابع را رسم کنید.", + "example": "تابع f مشتق‌پذیر است و ریشه‌هایش −۲ ، ۰ و ۱ است. ریشه‌های f′ برابر −۶/۵ و ۱/۲ است و f′ بین دو ریشه منفی و بیرون آن‌ها مثبت است. f″ فقط در x = −۱/۳ صفر می‌شود، قبل از آن منفی و بعد از آن مثبت است و f(−۱/۳) = ۰٫۷. نمودار را توصیف کنید.", "steps": [ - "نقاط بحرانی تابع f عبارتند از x=1/2 و x=-6/5 که ریشه‌های مشتق اول هستند.", - "علامت مشتق اول بین این نقاط منفی و در سایر نقاط مثبت است، بنابراین تابع در بازه بین -6/5 و 1/2 نزولی و در سایر بازه‌ها صعودی است.", - "نقطه x=-1/3 ریشه مشتق دوم است که علامت مشتق دوم در سمت چپ آن منفی و در سمت راست مثبت است، پس این نقطه نقطه عطف تابع است. مقدار تابع در نقطه عطف برابر 0.7 است. با توجه به این اطلاعات، تابع ابتدا صعودی است، سپس بین -6/5 و 1/2 نزولی می‌شود و دوباره صعودی می‌شود. همچنین در x=-1/3 نقطه عطف وجود دارد که تغییر انحنای نمودار", - "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است و تحلیل نقاط بحرانی، نزولی/صعودی بودن و نقطه عطف با داده‌ها مطابقت دارد." + "f′ > ۰ تا −۶/۵: f صعودی؛ در −۶/۵ مشتق از مثبت به منفی می‌شود: بیشینهٔ نسبی.", + "f′ < ۰ بین −۶/۵ و ۱/۲: f نزولی؛ در ۱/۲ مشتق از منفی به مثبت می‌شود: کمینهٔ نسبی.", + "بعد از ۱/۲ دوباره صعودی.", + "در x = −۱/۳ علامت f″ از منفی به مثبت می‌شود: نقطهٔ عطف (−۱/۳ ، ۰٫۷) ؛ تقعر قبل رو به پایین و بعد رو به بالا.", + "✅ جواب: صعودی تا −۶/۵ (بیشینه) ، نزولی تا ۱/۲ (کمینه) ، سپس صعودی؛ عطف در (−۱/۳ ، ۰٫۷)؛ نمودار از ریشه‌های −۲ ، ۰ و ۱ می‌گذرد" ], "figures": [ { @@ -141102,14 +140334,13 @@ { "title": "یافتن نقاط بیشینه و کمینه نسبی تابع با استفاده از نمودار", "introText": "1. نمودار تابع را بررسی کنید و نقاطی را که مقدار تابع در آنها نسبت به نقاط اطراف بیشتر است (بیشینه نسبی) یا کمتر است (کمینه نسبی) شناسایی کنید. 2. این نقاط معمولاً نقاطی هستند که شیب نمودار از مثبت به منفی یا بالعکس تغییر می‌کند. 3. برای تعیین دقیق‌تر، مشتق تابع را محاسبه کرده و نقاطی که مشتق صفر یا تعریف نشده است را بیابید. 4. با بررسی علامت مشتق در اطراف این نقاط، نوع نقطه (بیشینه یا کمینه نسبی) را تعیین کنید.", - "example": "در نمودار تابع y = x⁴ - 4x²، مقادیر و طول نقاط اکسترمم نسبی و اکسترمم مطلق را مشخص کنید.", + "example": "اکسترمم‌های نسبی و مطلق y = x⁴ − ۴x² را بیابید.", "steps": [ - "ابتدا مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: y' = 4x³ - 8x = 4x(x² - 2).", - "نقاط بحرانی را با حل y' = 0 پیدا می‌کنیم: x = 0, x = ±√2.", - "با بررسی تغییر علامت مشتق در این نقاط:", - "در x = -√2، تابع از کاهش به افزایش تغییر می‌کند، پس مینیمم نسبی است.", - "در x = 0، تابع از افزایش به کاهش تغییر می‌کند، پس ماکزیمم نسبی است.", - "✅ جواب: نقاط بحرانی: x=-√2، x=0، x=√2. مینیمم نسبی/مطلق در x=±√2 با مقدار 4-، ماکزیمم نسبی/مطلق در x=0 با مقدار 0." + "y′ = ۴x³ − ۸x = ۴x(x² − ۲) ⟹ x = ۰ و x = ±√۲.", + "در x = ±√۲ علامت y′ از − به + می‌شود: کمینهٔ نسبی با مقدار (√۲)⁴ − ۴(√۲)² = ۴ − ۸ = −۴.", + "در x = ۰ علامت y′ از + به − می‌شود: بیشینهٔ نسبی با مقدار ۰.", + "وقتی x → ±∞ مقدار تابع → +∞ ، پس بیشینهٔ مطلق ندارد و کمینهٔ مطلق همان −۴ است.", + "✅ جواب: کمینهٔ نسبی و مطلق −۴ در x = ±√۲ ؛ بیشینهٔ نسبی ۰ در x = ۰ ؛ بیشینهٔ مطلق ندارد" ], "figures": [ { @@ -141422,14 +140653,12 @@ { "title": "بررسی وجود ماکزیمم و مینیمم مطلق در بازه‌های باز", "introText": "1. ابتدا نقاط بحرانی تابع را در بازه باز پیدا کنید. 2. مقدار تابع را در نقاط بحرانی محاسبه کنید. 3. چون بازه باز است، نقاط انتهایی بازه در نظر گرفته نمی‌شوند. 4. اگر بزرگترین یا کوچکترین مقدار در نقاط بحرانی وجود داشته باشد، آن‌ها به عنوان ماکزیمم یا مینیمم مطلق در بازه باز تعیین می‌شوند. در غیر این صورت، ماکزیمم یا مینیمم مطلق وجود ندارد.", - "example": "نمودار تابعی را رسم کنید که در نقاط x=2 و x=4 ماکزیمم نسبی و در نقاط x=1 و x=5 مینیمم نسبی دارد.", + "example": "نمودار تابعی پیوسته را توصیف کنید که در x = ۲ و x = ۴ بیشینهٔ نسبی و در x = ۱ و x = ۵ کمینهٔ نسبی دارد.", "steps": [ - "نقاط بحرانی را روی محور x مشخص کنید: 1، 2، 4، 5.", - "در نقاط 2 و 4 تابع باید بیشینه محلی داشته باشد، یعنی مشتق اول در این نقاط صفر و تابع از افزایش به کاهش تغییر کند.", - "در نقاط 1 و 5 تابع باید کمینه محلی داشته باشد، یعنی مشتق اول در این نقاط صفر و تابع از کاهش به افزایش تغییر کند.", - "نمودار را به گونه‌ای رسم کنید که این شرایط برقرار باشد، مثلاً تابعی شبیه چندجمله‌ای درجه چهار که در نقاط 1 و 5 در پایین‌ترین حالت و در نقاط 2 و 4 در بالاترین حالت قرار دارد.", - "نمودار باید پیوسته و مشتق‌پذیر باشد و تغییرات شیب در نقاط داده شده رعایت شود.", - "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است و شرایط را به‌درستی توضیح داده است." + "بین دو بیشینهٔ نسبی ۲ و ۴ لزوماً یک کمینهٔ نسبی دیگر وجود دارد (مثلاً در x = ۳).", + "روی (−∞ ، ۱) نزولی ، (۱ ، ۲) صعودی ، (۲ ، ۳) نزولی ، (۳ ، ۴) صعودی ، (۴ ، ۵) نزولی و بعد از ۵ صعودی.", + "مشتق در ۱ ، ۲ ، ۳ ، ۴ و ۵ صفر است و علامتش در هر یک تغییر می‌کند.", + "✅ جواب: بیشینه در ۲ و ۴ ؛ کمینه در ۱ و ۵ و ناچار یک کمینهٔ دیگر بین ۲ و ۴" ], "figures": [ { @@ -142113,23 +141342,24 @@ { "title": "رسم نمودار تابع پیوسته با ماکزیمم و مینیمم مطلق", "introText": "1. تابع را در دامنه داده شده بررسی کنید.\n2. نقاط بحرانی را با مشتق‌گیری پیدا کنید.\n3. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی دامنه محاسبه کنید.\n4. نقاطی که مقدار تابع در آن‌ها بیشینه یا کمینه مطلق است را مشخص کنید.\n5. نمودار تابع را به گونه‌ای رسم کنید که ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع مشخص باشد.", - "example": "تابعی پیوسته روی [۰،۳] با ماکزیمم مطلق ۴.", + "example": "تابعی پیوسته روی [۰ ، ۳] مثال بزنید که بیشینهٔ مطلقش ۴ باشد.", "steps": [ - "مثلاً f = −x² + ۳x + ۴.", - "✅ جواب: مثال معتبر" + "f(x) = ۴ − (x − ۱)² را در نظر می‌گیریم.", + "(x − ۱)² ≥ ۰ ، پس f(x) ≤ ۴ و در x = ۱ (که در بازه است) برابر ۴ می‌شود.", + "✅ جواب: f(x) = ۴ − (x − ۱)² ؛ بیشینهٔ مطلق ۴ در x = ۱" ], "figures": [ { "where": "example", "diagram": { "kind": "plane", - "title": "f = −x² + ۳x + ۴ روی [۰ ، ۳]", + "title": "f = ۴ − (x − ۱)² روی [۰ ، ۳]", "axes": true, "points": {}, "items": [ { "type": "function", - "expr": "-x^2+3*x+4", + "expr": "4-(x-1)^2", "from": 0.0, "to": 3.0, "marks": [ @@ -142139,15 +141369,7 @@ "label": "f(x)" } ], - "grid": true, - "xRange": [ - -1.0, - 4.0 - ], - "yRange": [ - 0.0, - 7.0 - ] + "grid": true } } ]