Tadrisino/MathApp
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Actions Packages Projects Releases Wiki Activity
Files
main
MathApp/tools/figures/server_fixups.json

1 line
2.2 MiB
Raw Permalink Blame History

This file contains invisible Unicode characters
This file contains invisible Unicode characters that are indistinguishable to humans but may be processed differently by a computer. If you think that this is intentional, you can safely ignore this warning. Use the Escape button to reveal them.
This file contains Unicode characters that might be confused with other characters. If you think that this is intentional, you can safely ignore this warning. Use the Escape button to reveal them.
{"delete": [[["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 1 (۱)", "اتصال دو ماشین حساب"], "حاصلِ ۲۵ + ۱۷ چند است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 4 (۱)", "دسته‌بندی اشکال"], "مثلث چند ضلع دارد؟"], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 5 (۱)", "شمارش اشکال هندسی"], "مربع چند ضلع دارد؟"], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 2 (۱)", "تبدیل شکل به مربع"], "یک متر چند سانتی‌متر است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 2 (۱)", "تبدیل واحد اندازه‌گیری"], "طول کتاب ریاضی به طور تقریبی ۲۷ سانتی‌متر است. طول کتاب ریاضی چند متر است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 2 (۱)", "تبدیل واحد طول"], "۲۵۵ سانتی‌متر برابر چند متر است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 2 (۱)", "تبدیل واحد طول"], "۲۵۵ سانتی‌متر چند متر است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 2 (۱)", "تبدیل واحد وزن"], "۵۰۰۰ گرم برابر چند کیلوگرم است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 2 (۲)", "تبدیل واحد پول"], "۱ دلار = ۱۴۰۰ تومان. ۳ دلار چند تومان است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 3 (۱)", "جایگزینی رقم‌های یکان و دهگان با صفر"], "عدد ۱۴۳۷ را با جایگزین کردن رقم‌های یکان و دهگان آن با صفر بنویسید."], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 3 (۲)", "جمع عددهای چهار رقمی"], "۲۰۰۰ + ۴۰۰۰ = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 3 (۲)", "جمع و تبدیل واحد پولی"], "۵۲۴ + ۳۲۷ ریال را به تومان تبدیل کنید."], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 4 (۲)", "محاسبه ارزش پول"], "سکه ۲۰ ریالی چند برابر سکه ۵ ریالی؟"], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 4 (۲)", "محاسبه تعداد دانش‌آموزان"], "پایه دوم ۴۶۳۴ + پایه ششم ۲۱۰۱ = کل؟"], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 5 (۱)", "محاسبه فاصله"], "حاصلِ ۱۲۰۰ − ۷۵۰ چند است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 5 (۱)", "مقایسه جرم اجسام مختلف"], "۲ × ۲۰۰۰ = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 5 (۲)", "نمایش عددهای تقریبی روی محور"], "عدد ۲۷۲۴۹ به کدام عدد نزدیک‌تر است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 6 (۱)", "نوشتن ترکیب‌های مختلف برای جمع"], "حاصلِ ۳۰۰ + ۴۵۰ چند است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 6 (۲)", "نوشتن عددهای سه رقمی با شرایط خاص"], "رقم یکان ۵/۷، دهگان ۹، صدگان ۸. اعداد کدامند؟"], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 6 (۲)", "نوشتن واحد مناسب"], "واحد مناسب برای بیان جرم یک دفتر ریاضی (۱۲۷ ...) کدام است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 1 (۱)", "ادامه الگوهای زاویه"], "نصفِ یک کیک را با کدام کسر نشان می‌دهیم؟"], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 1 (۲)", "اندازه‌گیری طول به صورت کسری"], "طول مورچه با خط‌کش اندازه گرفته شده و برابر ۱۰ قسمت مدرج (از ۱۰ قسمت هر سانتی‌متر) است. طول مورچه چه کسری از یک سانتی‌متر است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 1 (۲)", "اندازه‌گیری طول به صورت کسری"], "طول مورچه‌ای را با خط‌کش اندازه گرفته‌ایم. طول مورچه ۱۰ قسمت مدرج (میلی‌متر) است. طول مورچه چند سانتی‌متر است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 3 (۲)", "تقسیم‌بندی و بخش‌بندی"], "مربع ۲ بار تقسیم (۴ به ۴). کل قسمت‌ها = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 4 (۱)", "حل مسائل مالی ساده"], "منصور و امید شریک شدند و توافق کردند نصف سود مال منصور باشد. اگر سود امید در پایان روز اول ۸۰۰۰ تومان باشد، چند تومان برای خود امید باقی می‌ماند؟"], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 5 (۲)", "مقایسه کسرها"], "پدر به حسین و مهدی مبلغ مساوی پول داد. مهدی ۱/۲ پول خود و حسین ۱/۴ پول خود را صدقه داد. کدام کسر بزرگ‌تر است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 5 (۲)", "نمایش کسر روی خط‌کش"], "۲ قسمت از ۳ قسمت مساوی را به صورت کسر چگونه می‌نویسیم؟"], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 1 (۱)", "الگوی ضرب و جمع"], "۳ × ۲ = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 2 (۱)", "تقسیم با کمک ضرب"], "حاصل تقسیم ۲۰۴÷۱۲ را به‌دست آورید."], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 2 (۲)", "تقسیم ساده"], "۶ ÷ ۲ = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 2 (۲)", "تقسیم مسافران"], "اتوبوسی که ۴۶ نفر مسافر داشت خراب شد. مسافران آن سوار تاکسی شدند و هر تاکسی ۴ نفر را سوار کرد. یک اتوبوس چند برابر یک تاکسی مسافر دارد؟"], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 3 (۱)", "جمع ضرب‌ها"], "۲×۴ و ۲×۵ را جمع کنید. حاصل کدام است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 3 (۲)", "خاصیت جابه‌جایی ضرب"], "۳ × ۵ = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 4 (۱)", "ضرب با شمارش سه تا سه"], "۵ × ۳ = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 4 (۲)", "ضرب با محور عددی"], "۲ × ۷ = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 4 (۲)", "ضرب در مسائل اشیاء"], "در هر دست قاشق ۶ قاشق دارد. دو دست قاشق چند قاشق دارد؟"], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 5 (۲)", "محاسبه حاصل ضرب"], "(۴×۵) + (۲×۶) = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 6 (۱)", "محاسبه ضرب با جمع تکراری"], "۵ × ۹ = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 6 (۱)", "محاسبه ضرب با ماشین حساب"], "۳ × ۷ چند می‌شود؟"], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 7 (۲)", "نوشتن عبارت ضرب از روی شکل"], "۴ دسته کاشی ۳ تایی برابر است با ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 7 (۲)", "کار با ماشین حساب"], "۸ بسته × ۱۲ مداد = کل چند؟"], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 7 (۲)", "کامل کردن ضرب با محور"], "۳ × ۴ = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 8", "یافتن تعداد کل با ضرب و جمع"], "۵ دسته‌ی ۴ تایی و ۱ دسته‌ی ۴ تایی دیگر داریم. تعداد کل چند تاست؟"], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 8", "یافتن حاصل‌ضرب با استفاده از آرایه"], "(۱×۷)+(۵×۷) = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 8", "یافتن حاصل‌ضرب دو عدد با تجزیه"], "۹ × ۸ = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۵: محیط و مساحت", "محیط و مساحت — گروه 2 (۱)", "تعداد کل دسته‌ها"], "سپیده ۷ دسته گل رز قرمز خرید که هر دسته ۳ شاخه داشت. او ۳ دسته گل رز سفید هم خرید که هر دسته ۴ شاخه داشت. سپیده روی‌هم چند شاخه گل خریده است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۵: محیط و مساحت", "محیط و مساحت — گروه 4 (۱)", "محاسبه محیط مثلث"], "محیطِ مثلثی با ضلع‌های ۳، ۴ و ۵ چند است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۵: محیط و مساحت", "محیط و مساحت — گروه 4 (۱)", "محاسبه محیط و مساحت مستطیل"], "مساحت مستطیلی با طول ۶ و عرض ۲ چند است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۵: محیط و مساحت", "محیط و مساحت — گروه 5 (۱)", "محاسبه مساحت مربع"], "مربع با ضلع ۴ سانتی‌متر. مساحت = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۵: محیط و مساحت", "محیط و مساحت — گروه 5 (۲)", "مقایسه تعداد دسته‌ها"], "حسن ۱۵ عکس ماشین دارد و برادرش ۵ عکس کمتر از او دارد. این دو برادر روی هم چند عکس ماشین دارند؟"], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 1 (۱)", "تفریق ارتفاع"], "ارتفاع قله توچال ۳۹۳۳ متر و قله دنا ۵۲۰۰ متر است. قله توچال چند متر از دنا کوتاه‌تر است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 1 (۲)", "تفریق اعداد"], "۵۰۰ - ۴۰۰ = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 1 (۲)", "تفریق با استفاده از شکل"], "۳۲۳۵ - ۱۲۲۳ = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 2 (۱)", "تفریق مستقیم"], "۸۰۵۰ - ۲۰۲۷ = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 3 (۱)", "جمع و تفریق ذهنی با استفاده از جدول"], "۹۰۰۰ - ۴۰۰۰ = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 3 (۱)", "جمع و تفریق پول"], "کارن و پدرش یک دفتر (۱۸۰۰ تومان)، یک مداد (۳۸۰۰ تومان) و یک پاک‌کن (۵۰۰ تومان) خریدند و ۱۰۰۰۰ تومان پرداختند. باقی‌مانده صحیح چقدر است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 3 (۲)", "محاسبه اختلاف ارتفاع دو قله"], "بلندترین قله ایران (دماوند) ۵۶۷۱ متر و بلندترین قله زمین (اورست) ۸۸۴۸ متر است. اورست چند متر از دماوند بلندتر است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 4 (۱)", "محاسبه تعداد ساعات در یک سال"], "هر سال ۳۶۵ روز دارد. هر روز ۲۴ ساعت است. هر سال چند ساعت است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 4 (۲)", "محاسبه عبارت‌های ترکیبی ضرب و جمع"], "(۸×۴) + (۷×۵) = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 5 (۲)", "محیط مربع و مثلث"], "مربع با ضلع ۴. محیط = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 5 (۲)", "محیط مستطیل"], "مستطیل با طول ۴ و عرض ۳. محیط = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 6", "مقایسه اعداد"], "کدام یک از دو عدد ۵۰۰ و ۴۰۰ بزرگ‌تر است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 6", "مقایسه اعداد با حذف رقم‌های یکان، دهگان و صدگان"], "کدام یک از دو عدد ۳۰۴۴ و ۲۸۵۷ بزرگ‌تر است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 1 (۱)", "احتمال وقوع رویداد"], "این رویداد را دسته‌بندی کنید: «درخت حرکت کند و راه برود.»"], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 1 (۲)", "احتمال پرتاب تاس"], "یک تاس را می‌اندازیم. چند حالت ممکن است اتفاق بیفتد؟"], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 1 (۲)", "اختلاف امتیازها"], "جمع امتیاز گروه اول ۱۰۰ + ۱۲۵ و جمع امتیاز گروه دوم ۱۵۰ + ۱۵۰ است. اختلاف امتیاز چقدر است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 3 (۲)", "جمع و تفریق با حدس و آزمایش"], "عددی را با خودش جمع کردیم و از حاصل یک واحد کم کردیم؛ نتیجه ۴۹ شد. آن عدد کدام است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 4 (۱)", "حدس زدن و آزمایش"], "سگکی را دو بار انداختیم و هر دو بار «رو» آمد. آیا نتیجه پرتاب سوم قطعی پیش‌بینی‌پذیر است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 6 (۱)", "نمایش داده‌ها با نمودار"], "از ۲۰ دانش‌آموز، ۵ نفر رنگ قرمز را انتخاب کرده‌اند. این چند درصد است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 1 (۲)", "تقریب ضرب"], "۴۷ × ۵۰ ≈ ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 1 (۲)", "تقریب ضرب"], "حاصل تقریبی ۴۷ × ۵۰ (با گرد کردن ۴۷ به ۵۰) چند است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 1 (۲)", "تقسیم با باقی‌مانده"], "۱۷ شاخه گل را ۴ گلدانی تقسیم کنید. در هر گلدان چند گل و چند گل باقی؟"], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 1 (۲)", "تقسیم مساوی اشیا"], "۱۲ بسته مداد ÷ ۹ نفر = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 2 (۱)", "تکمیل جای خالی در ضرب"], "در تساوی ۱۰ × ... = ۷۵، عدد جای خالی چند است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 2 (۲)", "ضرب با استفاده از شکل‌ها"], "۲ × ۳ = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 2 (۲)", "ضرب با اعداد چند رقمی"], "۵ × ۳۱ = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 3 (۲)", "ضرب عدد یک رقمی در عدد چند رقمی با تجزیه کامل"], "۲ × ۲۳۴ = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 4 (۱)", "محاسبه تعداد بسته‌ها با ضرب"], "۴۲ جعبه نان در ۶ روز. در هر روز چند جعبه؟"], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 4 (۲)", "محاسبه تعداد جعبه‌ها با ضرب"], "۲۷ کیلوگرم را جعبه‌های ۵ کیلوگرمی. چند جعبه؟"], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 5 (۱)", "محاسبه تعداد کل با ضرب"], "اتوبوسی که ۳۷ مسافر داشت خراب شد. اگر هر تاکسی ۴ نفر سوار کند، چند تاکسی لازم است تا همه سوار شوند؟"], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 5 (۲)", "محاسبه ضرب با تفکیک اعداد"], "۲۲۳ × ۳ = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 5 (۲)", "محاسبه ضرب ساده"], "۷ × ۲ = ؟"], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 6 (۱)", "محاسبه محیط مربع"], "محیط مربعی با ضلع ۱۰ سانتی‌متر چند سانتی‌متر است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 6 (۲)", "محاسبه مسافت با سرعت ثابت"], "اتومبیلی در ۶ ساعت ۸۰ کیلومتر را طی می‌کند. با همین سرعت، در ۳ ساعت چند کیلومتر را می‌پیماید؟"], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 6 (۲)", "مسائل کاربردی ضرب"], "کشاورزی در مزرعه‌ای ۵۷ ردیف کلم کاشته و در هر ردیف ۴۹ کلم کاشته است. به طور تقریبی چند کلم کاشته شده است؟"], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 7", "مسائل کلمه‌ای ضرب"], "یک گروه کارگر در هر ماه ۱۰ کیلومتر جاده می‌سازد. در یک سال چند کیلومتر می‌سازند؟"], [["پایه هشتم", "فصل ۱: عددهای صحیح و گویا", "معرفی عددهای گویا (۱)", "تبدیل کسرها و اعداد مخلوط"], "کسر (۱۴)/(۳) را به عدد مخلوط تبدیل کنید."], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 1 (۲)", "تبدیل کسر به عدد اعشاری"], "کسر (۷)/(۸) را به صورت اعشاری بنویسید."], [["پایه هفتم", "فصل ۵: شمارنده‌ها و اعداد اول", "شمارنده‌ها و اعداد اول — گروه 3 (۲)", "ساده کردن کسرها"], "کسر (۹۶)/(۱۴۴) را ساده کنید."], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 1 (۱)", "ارزش مکانی اعداد"], "بزرگ‌ترین عدد زوج بین ۳۰۰ و ۶۰۰ را بنویسید."], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 1 (۱)", "بسته‌بندی و تقسیم"], "۴ کیلو چای را در بسته‌های ۲/۵ کیلوگرمی بسته‌بندی کردیم. تعداد بسته‌ها چند است؟"], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 2 (۱)", "تقسیم کسرها"], "۳/۵ ÷ ۹/۱۰ برابر است با:"], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 4 (۱)", "ساده‌سازی کسرها"], "۴۲/۲۴ را تا حد امکان ساده کنید."]], "lesson": [[["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 1 (۱)", "استفاده از ماشین حساب برای الگوها"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "numberline", "title": "", "min": 0.0, "max": 35.0, "points": [{"at": 7.0, "label": "۷"}, {"at": 14.0, "label": "۱۴"}, {"at": 21.0, "label": "۲۱"}], "jumps": [{"from": 7.0, "to": 14.0, "label": "+۷"}, {"from": 14.0, "to": 21.0, "label": "+۷"}], "step": 7.0}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 1 (۲)", "الگوی تعداد اتاق‌ها در طبقات ساختمان"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "bar", "title": "تعداد اتاق‌ها", "labels": ["طبقه‌ی ۱", "طبقه‌ی ۲", "طبقه‌ی ۳"], "values": [4.0, 7.0, 10.0], "unit": "اتاق"}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 1 (۲)", "الگوی شکلی"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "pattern", "title": "", "layout": "row", "unit": "square", "stages": [3, 6, 9], "next": true}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 1 (۲)", "الگوی عددی"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "numberline", "title": "", "min": 0.0, "max": 18.0, "points": [{"at": 2.0, "label": ""}, {"at": 5.0, "label": ""}, {"at": 8.0, "label": ""}, {"at": 11.0, "label": ""}], "jumps": [{"from": 2.0, "to": 5.0, "label": "+۳"}, {"from": 5.0, "to": 8.0, "label": "+۳"}, {"from": 8.0, "to": 11.0, "label": "+۳"}], "step": 1.0}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 1 (۲)", "الگوی هندسی"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "pattern", "title": "", "layout": "row", "unit": "dot", "stages": [1, 3, 5], "next": true}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 2 (۱)", "بررسی تقارن در اشکال کاغذی"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "plane", "title": "", "axes": false, "points": {"A": [0.0, 0.0], "B": [-2.0, 2.0], "C": [-1.0, 3.0], "D": [0.0, 2.0], "E": [1.0, 3.0], "F": [2.0, 2.0], "_P": [0.0, -0.5], "_Q": [0.0, 3.5]}, "items": [{"type": "polygon", "points": ["A", "B", "C", "D", "E", "F"]}, {"type": "line", "through": ["_P", "_Q"], "color": "red", "dashed": true, "label": "خط تا"}], "grid": false}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 2 (۱)", "تشخیص بازه زمانی"], {"figures": [{"where": "step", "index": 0, "diagram": {"kind": "numberline", "title": "ساعت‌های قبل از ۱۲", "min": 0.0, "max": 12.0, "points": [{"at": 9.0, "label": "۹ صبح"}], "jumps": [], "step": 1.0, "intervals": [{"from": 0.0, "to": 12.0, "closedFrom": true, "closedTo": false, "label": "قبل از ظهر"}]}}, {"where": "step", "index": 1, "diagram": {"kind": "numberline", "title": "ساعت‌های بعد از ۱۲", "min": 12.0, "max": 24.0, "points": [{"at": 15.0, "label": "۳ بعدازظهر"}], "jumps": [], "step": 1.0, "intervals": [{"from": 12.0, "to": 24.0, "closedFrom": true, "closedTo": false, "label": "بعد از ظهر"}]}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 2 (۲)", "تقسیم‌بندی زمان در یک روز"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "pie", "title": "یک شبانه‌روزِ علی (۲۴ ساعت)", "labels": ["خواب", "مدرسه", "بازی و بقیه"], "values": [8.0, 6.0, 10.0]}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 3 (۱)", "تکمیل الگوهای عددی"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "numberline", "title": "", "min": 0.0, "max": 15.0, "points": [{"at": 3.0, "label": "۳"}, {"at": 6.0, "label": "۶"}, {"at": 9.0, "label": "؟"}, {"at": 12.0, "label": "۱۲"}, {"at": 15.0, "label": "۱۵"}], "jumps": [{"from": 3.0, "to": 6.0, "label": "+۳"}, {"from": 12.0, "to": 15.0, "label": "+۳"}], "step": 3.0}}], "example": "در یک الگوی عددی، اعداد به صورت زیر قرار دارند: ۳، ۶، ___، ۱۲، ۱۵. عدد خالی را پیدا کنید.", "steps": ["عدد اول ۳ و عدد دوم ۶ است. بین این دو عدد، ۳ واحد فاصله وجود دارد.", "عدد سوم باید ۶ + ۳ باشد که برابر با ۹ می‌شود.", "عدد چهارم ۱۲ است که ۹ + ۳ می‌شود.", "عدد پنجم ۱۵ است که ۱۲ + ۳ می‌شود.", "✅ جواب: ۹"]}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 3 (۲)", "جمع رنگ‌ها در اشکال"], {"figures": []}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 4 (۱)", "رسم اشکال متقارن"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "plane", "title": "", "axes": false, "points": {"A": [1.0, 2.0], "B": [1.0, 4.0], "C": [2.0, 3.0], "_P": [3.0, 0.0], "_Q": [3.0, 5.0]}, "items": [{"type": "point", "point": "A"}, {"type": "point", "point": "B"}, {"type": "point", "point": "C"}, {"type": "line", "through": ["_P", "_Q"], "color": "red", "dashed": true, "label": "خط تقارن"}, {"type": "image", "of": ["A", "B", "C"], "transform": {"reflect": ["_P", "_Q"]}}], "grid": true}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 4 (۲)", "رنگ‌آمیزی و دسته‌بندی زمان"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "numberline", "title": "یک روز", "min": 0.0, "max": 24.0, "points": [{"at": 9.0, "label": "۹"}, {"at": 11.0, "label": "۱۱"}, {"at": 15.0, "label": "۱۵"}], "jumps": [], "step": 3.0, "intervals": [{"from": 0.0, "to": 12.0, "closedFrom": true, "closedTo": false, "label": "قبل از ظهر (آبی)"}, {"from": 12.0, "to": 24.0, "closedFrom": true, "closedTo": false, "label": "بعد از ظهر (قرمز)"}]}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 5 (۱)", "شناسایی الگوهای عددی"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "numberline", "title": "", "min": 0.0, "max": 12.0, "points": [{"at": 2.0, "label": ""}, {"at": 4.0, "label": ""}, {"at": 6.0, "label": ""}, {"at": 8.0, "label": ""}], "jumps": [{"from": 2.0, "to": 4.0, "label": "+۲"}, {"from": 4.0, "to": 6.0, "label": "+۲"}, {"from": 6.0, "to": 8.0, "label": "+۲"}], "step": 1.0}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 5 (۱)", "شمارش اشکال هندسی"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "plane", "title": "مربع بزرگ", "axes": false, "points": {}, "items": [{"type": "quad", "shape": "rectangle", "names": ["A", "B", "C", "D"], "w": 4.0, "h": 4.0}], "grid": true}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 1 (۲)", "الگوی عددی"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "numberline", "title": "", "min": 20.0, "max": 50.0, "points": [{"at": 50.0, "label": ""}, {"at": 45.0, "label": ""}, {"at": 40.0, "label": ""}, {"at": 35.0, "label": ""}], "jumps": [{"from": 50.0, "to": 45.0, "label": "−۵"}, {"from": 45.0, "to": 40.0, "label": "−۵"}, {"from": 40.0, "to": 35.0, "label": "−۵"}], "step": 5.0}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 2 (۱)", "تبدیل شکل به مربع"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "plane", "title": "مربع با چوب‌کبریت", "axes": false, "points": {"A": [0.0, 0.0], "B": [4.0, 0.0], "C": [4.0, 4.0], "D": [0.0, 4.0]}, "items": [{"type": "segment", "from": "A", "to": "B", "label": "۱"}, {"type": "segment", "from": "B", "to": "C", "label": "۱"}, {"type": "segment", "from": "C", "to": "D", "label": "۱"}, {"type": "segment", "from": "D", "to": "A", "label": "۱"}], "grid": false}}, {"where": "step", "index": 1, "diagram": {"kind": "plane", "title": "دو مربع جدا", "axes": false, "points": {"A": [0.0, 0.0], "B": [4.0, 0.0], "C": [4.0, 4.0], "D": [0.0, 4.0], "E": [6.0, 0.0], "F": [10.0, 0.0], "G": [10.0, 4.0], "H": [6.0, 4.0]}, "items": [{"type": "segment", "from": "A", "to": "B", "label": "۱"}, {"type": "segment", "from": "B", "to": "C", "label": "۱"}, {"type": "segment", "from": "C", "to": "D", "label": "۱"}, {"type": "segment", "from": "D", "to": "A", "label": "۱"}, {"type": "segment", "from": "E", "to": "F", "label": "۱"}, {"type": "segment", "from": "F", "to": "G", "label": "۱"}, {"type": "segment", "from": "G", "to": "H", "label": "۱"}, {"type": "segment", "from": "H", "to": "E", "label": "۱"}], "grid": false}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 2 (۲)", "تشخیص مکعب باز شده"], {"figures": []}], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 3 (۱)", "تکمیل الگوهای عددی"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "numberline", "title": "", "min": 0.0, "max": 12.0, "points": [{"at": 2.0, "label": ""}, {"at": 4.0, "label": ""}, {"at": 6.0, "label": ""}, {"at": 8.0, "label": ""}], "jumps": [{"from": 2.0, "to": 4.0, "label": "+۲"}, {"from": 4.0, "to": 6.0, "label": "+۲"}, {"from": 6.0, "to": 8.0, "label": "+۲"}], "step": 1.0}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 4 (۱)", "شمارش مکعب‌ها"], {"figures": [], "steps": ["تعداد کل مکعب‌ها ۲۵ است.", "تعداد دسته‌ها ۵ است.", "برای پیدا کردن تعداد مکعب‌ها در هر دسته، ۲۵ را بر ۵ تقسیم می‌کنیم: ۲۵ ÷ ۵ = ۵.", "بنابراین، هر دسته شامل ۵ مکعب است.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 5 (۱)", "محاسبه فاصله"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "numberline", "title": "", "min": 0.0, "max": 600.0, "points": [{"at": 0.0, "label": "خانه"}, {"at": 350.0, "label": "مدرسه"}, {"at": 560.0, "label": "پارک"}], "jumps": [{"from": 0.0, "to": 350.0, "label": "۳۵۰ متر"}, {"from": 350.0, "to": 560.0, "label": "۲۱۰ متر"}], "step": 100.0}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 2 (۲)", "تشخیص عدد کسری بین دو عدد"], {"figures": [{"where": "step", "index": 2, "diagram": {"kind": "fraction", "title": "دو و سه‌چهارم", "shape": "circle", "parts": 4, "shaded": 3, "wholes": 2}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 4 (۲)", "ساخت اشکال با چوب‌کبریت"], {"figures": []}], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 5 (۲)", "نقاط مشخص شده روی محور"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "numberline", "title": "", "min": 0.0, "max": 10.0, "points": [{"at": 6.0, "label": "شروع"}, {"at": 8.0, "label": "A"}], "jumps": [{"from": 6.0, "to": 8.0, "label": "۲ خانه"}], "step": 1.0}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 1 (۱)", "الگوهای عددی"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "numberline", "title": "", "min": 0.0, "max": 15.0, "points": [{"at": 2.0, "label": ""}, {"at": 5.0, "label": ""}, {"at": 8.0, "label": ""}, {"at": 11.0, "label": ""}], "jumps": [{"from": 2.0, "to": 5.0, "label": "+۳"}, {"from": 5.0, "to": 8.0, "label": "+۳"}, {"from": 8.0, "to": 11.0, "label": "+۳"}], "step": 1.0}}], "steps": ["عدد اول ۲ است.", "عدد دوم ۵ است که ۲ + ۳ = ۵.", "عدد سوم ۸ است که ۵ + ۳ = ۸.", "عدد چهارم ۱۱ است که ۸ + ۳ = ۱۱.", "عدد پنجم ۱۴ است که ۱۱ + ۳ = ۱۴.", "✅ جواب: ۱۴"]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 4 (۱)", "ضرب با شمارش خطوط"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "groups", "title": "۴ ردیف، هر ردیف ۳ درخت", "groups": 4, "each": 3, "item": "circle"}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 4 (۱)", "ضرب با شمارش سه تا سه"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "groups", "title": "۴ ردیف، هر ردیف ۳ گل", "groups": 4, "each": 3, "item": "star"}}], "steps": ["تعداد ردیف‌ها را در تعداد گل‌های هر ردیف ضرب می‌کنیم: ۴ × ۳ = ۱۲.", "یعنی در هر ردیف ۳ گل داریم و ۴ ردیف داریم.", "پس تعداد کل گل‌ها برابر با ۱۲ می‌شود.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 6 (۲)", "محاسبه ضرب با محور"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "numberline", "title": "۳ پرشِ ۵ تایی", "min": 0.0, "max": 20.0, "points": [{"at": 0.0, "label": ""}, {"at": 15.0, "label": ""}], "jumps": [{"from": 0.0, "to": 5.0, "label": "+۵"}, {"from": 5.0, "to": 10.0, "label": "+۵"}, {"from": 10.0, "to": 15.0, "label": "+۵"}], "step": 5.0}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 6 (۲)", "محاسبه ضرب با محور عددی"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "numberline", "title": "۳ پرشِ ۵ تایی", "min": 0.0, "max": 20.0, "points": [{"at": 0.0, "label": ""}, {"at": 15.0, "label": ""}], "jumps": [{"from": 0.0, "to": 5.0, "label": "+۵"}, {"from": 5.0, "to": 10.0, "label": "+۵"}, {"from": 10.0, "to": 15.0, "label": "+۵"}], "step": 5.0}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 7 (۱)", "نوشتن ضرب به کمک محور اعداد"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "numberline", "title": "۴ پرشِ ۶ تایی", "min": 0.0, "max": 30.0, "points": [{"at": 0.0, "label": ""}, {"at": 24.0, "label": ""}], "jumps": [{"from": 0.0, "to": 6.0, "label": "+۶"}, {"from": 6.0, "to": 12.0, "label": "+۶"}, {"from": 12.0, "to": 18.0, "label": "+۶"}, {"from": 18.0, "to": 24.0, "label": "+۶"}], "step": 6.0}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 7 (۲)", "نوشتن عبارت ضرب از روی شکل"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "plane", "title": "شکل مثال", "axes": false, "points": {}, "items": [{"type": "quad", "shape": "rectangle", "names": ["A", "B", "C", "D"], "w": 5.0, "h": 5.0}, {"type": "quad", "shape": "rectangle", "names": ["E", "F", "G", "H"], "w": 5.0, "h": 5.0}, {"type": "quad", "shape": "rectangle", "names": ["I", "J", "K", "L"], "w": 5.0, "h": 5.0}], "grid": false}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 7 (۲)", "کامل کردن ضرب با محور"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "numberline", "title": "۲ پرشِ ۷ تایی", "min": 0.0, "max": 21.0, "points": [{"at": 0.0, "label": ""}, {"at": 14.0, "label": ""}], "jumps": [{"from": 0.0, "to": 7.0, "label": "+۷"}, {"from": 7.0, "to": 14.0, "label": "+۷"}], "step": 7.0}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 8", "یافتن الگوهای ضرب"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "numberline", "title": "", "min": 0.0, "max": 25.0, "points": [{"at": 10.0, "label": "۲×۵"}, {"at": 15.0, "label": "۳×۵"}, {"at": 20.0, "label": "۴×۵"}, {"at": 25.0, "label": "۵×۵"}], "jumps": [{"from": 10.0, "to": 15.0, "label": "+۵"}, {"from": 15.0, "to": 20.0, "label": "+۵"}, {"from": 20.0, "to": 25.0, "label": "+۵"}], "step": 5.0}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۵: محیط و مساحت", "محیط و مساحت — گروه 1 (۱)", "اندازه‌گیری سطح با کاغذ شفاف"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "grid", "title": "شکل A", "rows": 2, "cols": 4, "shaded": 8}}, {"where": "example", "diagram": {"kind": "grid", "title": "شکل B", "rows": 2, "cols": 3, "shaded": 6}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۵: محیط و مساحت", "محیط و مساحت — گروه 1 (۱)", "اندازه‌گیری طول خط راست"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "plane", "title": "اندازه‌گیری طول خط راست", "axes": false, "points": {"A": [0.0, 0.0], "B": [7.0, 0.0]}, "items": [{"type": "segment", "from": "A", "to": "B", "label": "۷ سانتی‌متر"}], "grid": true}}], "steps": ["خط‌کش را به گونه‌ای قرار می‌دهیم که ابتدای خط با صفر خط‌کش هم‌راستا باشد.", "سپس طول خط را با توجه به عددی که انتهای خط نشان می‌دهد، می‌خوانیم.", "عدد انتهای خط برابر با ۷ سانتی‌متر است.", "✅ جواب: ۷"]}], [["پایه سوم", "فصل ۵: محیط و مساحت", "محیط و مساحت — گروه 1 (۱)", "اندازه‌گیری فاصله نقاط روی دایره"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "plane", "title": "فاصله‌ی دو نقطه روی دایره", "axes": false, "points": {"O": [0.0, 0.0], "A": {"polar": [4.0, 200.0]}, "B": {"polar": [4.0, 340.0]}}, "items": [{"type": "circle", "center": "O", "r": 4.0}, {"type": "point", "point": "O"}, {"type": "segment", "from": "A", "to": "B", "color": "blue", "label": "۸ سانتی‌متر"}], "grid": false}}], "example": "دو نقطه A و B روی دایره‌ای قرار دارند. فاصله‌ی بین این دو نقطه را با رسم یک خط مستقیم اندازه‌گیری کنید. اگر طول این خط ۸ سانتی‌متر باشد، فاصله‌ی بین نقاط A و B چقدر است؟", "steps": ["خطی مستقیم بین نقاط A و B رسم می‌کنیم.", "طول این خط را با خط‌کش اندازه‌گیری می‌کنیم.", "طول خط اندازه‌گیری شده ۸ سانتی‌متر است.", "✅ جواب: ۸"]}], [["پایه سوم", "فصل ۵: محیط و مساحت", "محیط و مساحت — گروه 1 (۲)", "تشخیص خطوط تشکیل‌دهنده شکل‌ها"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "plane", "title": "مثلث", "axes": false, "points": {"A": [0.0, 0.0], "B": [4.0, 0.0], "C": [2.0, 3.0]}, "items": [{"type": "segment", "from": "A", "to": "B", "label": "ضلع AB"}, {"type": "segment", "from": "B", "to": "C", "label": "ضلع BC"}, {"type": "segment", "from": "C", "to": "A", "label": "ضلع CA"}], "grid": false}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۵: محیط و مساحت", "محیط و مساحت — گروه 4 (۱)", "محاسبه محیط چندضلعی"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "plane", "title": "پنج‌ضلعی", "axes": false, "points": {"A": [0.0, 0.0], "B": [3.0, 0.0], "C": [4.2, 3.8], "D": [-0.3, 6.0], "E": [-1.3, 1.5]}, "items": [{"type": "polygon", "points": ["A", "B", "C", "D", "E"]}, {"type": "segment", "from": "A", "to": "B", "label": "۳"}, {"type": "segment", "from": "B", "to": "C", "label": "۴"}, {"type": "segment", "from": "C", "to": "D", "label": "۵"}, {"type": "segment", "from": "D", "to": "E", "label": "۴"}, {"type": "segment", "from": "E", "to": "A", "label": "۲"}], "grid": false}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 1 (۱)", "الگوهای هندسی"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "groups", "title": "شکل ۱", "groups": 1, "each": 2, "item": "square", "label": "۲ مربع"}}, {"where": "example", "diagram": {"kind": "groups", "title": "شکل ۲", "groups": 1, "each": 4, "item": "square", "label": "۴ مربع"}}, {"where": "example", "diagram": {"kind": "groups", "title": "شکل ۳", "groups": 1, "each": 6, "item": "square", "label": "۶ مربع"}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 1 (۲)", "تفریق اعداد چند رقمی"], {"figures": []}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 1 (۲)", "تفریق با استفاده از شکل"], {"figures": []}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 2 (۱)", "تفریق در جدول ارزش مکانی"], {"figures": []}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 2 (۱)", "تفریق عددی ساده"], {"figures": []}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 2 (۲)", "جمع در جدول ارزش مکانی"], {"figures": []}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 5 (۱)", "محاسبه محیط شکل‌ها"], {"figures": []}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 6", "نوشتن عدد بر اساس شکل"], {"figures": []}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 3 (۲)", "رنگ‌آمیزی مثلث‌ها"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "plane", "title": "مثلث اول", "axes": false, "points": {}, "items": [{"type": "triangle", "names": ["A", "B", "C"], "sides": {"AB": 3.0, "BC": 4.0, "AC": 5.0}, "labels": {"AB": "۳", "BC": "۴", "AC": "۵"}}], "grid": false}}, {"where": "example", "diagram": {"kind": "plane", "title": "مثلث دوم", "axes": false, "points": {}, "items": [{"type": "triangle", "names": ["A", "B", "C"], "sides": {"AB": 5.0, "BC": 12.0, "AC": 13.0}, "labels": {"AB": "۵", "BC": "۱۲", "AC": "۱۳"}}], "grid": false}}, {"where": "example", "diagram": {"kind": "plane", "title": "مثلث سوم", "axes": false, "points": {}, "items": [{"type": "triangle", "names": ["A", "B", "C"], "sides": {"AB": 3.0, "BC": 4.0, "AC": 5.0}, "labels": {"AB": "۳", "BC": "۴", "AC": "۵"}}], "grid": false}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 3 (۱)", "جمع و تفریق پول"], {"steps": ["قیمت کتاب و بازی را جمع می‌کنیم: ۲۵۰۰ + ۴۵۰۰ = ۷۰۰۰ تومان.", "جمع خرید را از پولی که امیر داده کم می‌کنیم: ۱۰۰۰۰ − ۷۰۰۰ = ۳۰۰۰ تومان.", "✅ جواب: ۳۰۰۰ تومان"]}], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 1 (۱)", "احتمال و آزمایش"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "fraction", "title": "نسبت گوی‌های قرمز", "shape": "circle", "parts": 10, "shaded": 6}}, {"where": "step", "index": 3, "diagram": {"kind": "fraction", "title": "ساده‌سازی کسر", "shape": "circle", "parts": 5, "shaded": 3}}], "steps": ["تعداد کل گوی‌ها برابر با ۱۰ است.", "تعداد گوی‌های قرمز برابر با ۶ است.", "نسبت گوی‌های قرمز به کل گوی‌ها برابر با ۶/۱۰ است.", "کسر ۶/۱۰ را می‌توان به ۳/۵ ساده کرد.", "✅ جواب: ۳/۵"]}], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 3 (۱)", "تشخیص شکل برش‌خورده"], {"figures": []}], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 5 (۱)", "ساخت اشکال مخروطی"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "solid", "title": "مخروط", "shape": "cone", "dims": {"r": 3.0, "h": 5.0}, "labels": {"r": "r"}}}, {"where": "step", "index": 0, "diagram": {"kind": "plane", "title": "قاعدهٔ مخروط", "axes": false, "points": {"O": [0.0, 0.0]}, "items": [{"type": "circle", "center": "O", "r": 3.0}], "grid": false}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 4 (۲)", "رنگ‌آمیزی خلاقانه"], {"figures": [{"where": "step", "index": 0, "diagram": {"kind": "plane", "title": "مربع به ضلع ۴", "axes": false, "points": {"A": [0.0, 0.0], "B": [4.0, 0.0], "C": [4.0, 4.0], "D": [0.0, 4.0], "E": [2.0, 0.0], "F": [2.0, 4.0], "G": [0.0, 2.0], "H": [4.0, 2.0]}, "items": [{"type": "polygon", "points": ["A", "B", "C", "D"]}, {"type": "segment", "from": "A", "to": "B", "label": "۴"}, {"type": "segment", "from": "B", "to": "C", "label": "۴"}], "grid": false}}, {"where": "step", "index": 1, "diagram": {"kind": "plane", "title": "۴ قسمت مساوی", "axes": false, "points": {"A": [0.0, 0.0], "B": [4.0, 0.0], "C": [4.0, 4.0], "D": [0.0, 4.0], "E": [2.0, 0.0], "F": [2.0, 4.0], "G": [0.0, 2.0], "H": [4.0, 2.0]}, "items": [{"type": "polygon", "points": ["A", "B", "C", "D"]}, {"type": "segment", "from": "E", "to": "F", "color": "red", "dashed": true}, {"type": "segment", "from": "G", "to": "H", "color": "red", "dashed": true}], "grid": false}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 6 (۱)", "نمایش داده‌ها با نمودار تصویری"], {"figures": [{"where": "step", "index": 0, "diagram": {"kind": "groups", "title": "شنبه", "groups": 1, "each": 2, "item": "star", "label": "۲ نماد = ۴ کتاب"}}, {"where": "step", "index": 1, "diagram": {"kind": "groups", "title": "یکشنبه", "groups": 1, "each": 1, "item": "star", "label": "۱ نماد = ۲ کتاب"}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 6 (۲)", "نمایش داده‌ها با نمودار ستونی"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "bar", "title": "شرکت‌کنندگان", "labels": ["۱۰ سال", "۱۱ سال", "۱۲ سال"], "values": [8.0, 12.0, 6.0], "unit": "نفر"}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 1 (۱)", "احتمال وقوع رویداد"], {"steps": ["سکه دو حالت دارد: شیر و خط.", "حالت دلخواه ما (شیر) یک حالت است.", "احتمال = ۱ حالت از ۲ حالت = ۱/۲.", "✅ جواب: ۱/۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 3 (۲)", "جمع و تفریق با حدس و آزمایش"], {"steps": ["بعد از کم کردن ۲، جواب ۳۲ شده؛ پس قبل از کم کردن ۳۲ + ۲ = ۳۴ بوده است.", "عدد با خودش جمع شده و ۳۴ شده است.", "امتحان می‌کنیم: ۱۷ + ۱۷ = ۳۴.", "✅ جواب: ۱۷"]}], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 5 (۱)", "شناسایی اشکال هندسی"], {"example": "یک مثلث و یک مربع داریم. اگر تعداد ضلع‌های آن‌ها را با هم جمع کنیم، چه عددی به دست می‌آید؟", "steps": ["مثلث ۳ ضلع دارد.", "مربع ۴ ضلع دارد.", "۳ + ۴ = ۷.", "✅ جواب: ۷"]}], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 5 (۲)", "محاسبه کسرها در آزمایش رنگ"], {"steps": ["مهره‌های قرمز ۱۲ تا از ۲۰ تا هستند: ۱۲/۲۰.", "صورت و مخرج را بر ۴ تقسیم می‌کنیم: ۱۲ ÷ ۴ = ۳ و ۲۰ ÷ ۴ = ۵.", "✅ جواب: ۳/۵"]}], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 6 (۱)", "نمایش داده‌ها با نمودار"], {"example": "در کلاسی ۲۰ دانش‌آموز رنگ دلخواهشان را گفتند: ۸ نفر آبی، ۶ نفر قرمز و ۶ نفر سبز. آبی‌ها چه کسری از کل‌اند؟", "steps": ["کل دانش‌آموزان ۲۰ نفر است.", "آبی‌ها ۸ نفرند: ۸/۲۰.", "صورت و مخرج را بر ۴ تقسیم می‌کنیم: ۲/۵.", "✅ جواب: ۲/۵"], "figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "bar", "title": "رنگ دلخواه", "labels": ["آبی", "قرمز", "سبز"], "values": [8.0, 6.0, 6.0], "unit": "نفر"}}]}], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 6 (۲)", "پیدا کردن حالت‌های ممکن"], {"example": "با ۲ بلوز (قرمز و آبی) و ۲ شلوار (سیاه و سفید) چند جور لباس متفاوت می‌شود پوشید؟", "steps": ["بلوز قرمز با شلوار سیاه یا سفید: ۲ جور.", "بلوز آبی با شلوار سیاه یا سفید: ۲ جور.", "۲ + ۲ = ۴.", "✅ جواب: ۴ جور"]}], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 2 (۲)", "ساخت مکعب با ضرب"], {"figures": [{"where": "example", "diagram": {"kind": "solid", "title": "مکعب ۲ × ۲ × ۲", "shape": "cube", "dims": {"a": 2.0}, "labels": {"a": "۲"}}}], "steps": ["تعداد بلوک‌های لازم برای هر بعد مکعب ۲ است.", "تعداد کل بلوک‌ها را با ضرب تعداد بلوک‌ها در هم محاسبه می‌کنیم: ۲ × ۲ × ۲ = ۸.", "بنابراین، برای ساخت مکعب ۲ × ۲ × ۲ به ۸ بلوک نیاز داریم.", "✅ جواب: ۸"]}], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 4 (۲)", "محاسبه تعداد دانش‌آموزان"], {"steps": ["کلاس دوم ۳ برابر کلاس اول است: ۱۸ × ۳.", "۱۸ × ۳ = ۵۴.", "✅ جواب: ۵۴ نفر"]}], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 6 (۲)", "محاسبه مساحت مستطیل"], {"steps": ["مساحت مستطیل = طول × عرض.", "۷ × ۳ = ۲۱.", "✅ جواب: ۲۱ سانتی‌متر مربع"]}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 1 (۱)", "اتصال دو ماشین حساب"], {"steps": ["ماشین حساب اول عدد ۵ را دو برابر می‌کند: ۵ × ۲ = ۱۰.", "عدد خروجی ماشین حساب اول که ۱۰ است، ورودی ماشین حساب دوم می‌شود.", "ماشین حساب دوم عدد ۱۰ را ۳ واحد افزایش می‌دهد: ۱۰ + ۳ = ۱۳.", "✅ جواب: ۱۳"]}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 1 (۱)", "الگوهای عددی و جمع"], {"steps": ["تعداد درخت‌های گروه اول ۴ است.", "تعداد درخت‌های گروه دوم ۵ است.", "تعداد درخت‌های گروه سوم ۶ است.", "حالا تعداد کل درخت‌ها را جمع می‌کنیم: ۴ + ۵ + ۶ = ۱۵.", "✅ جواب: ۱۵"]}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 3 (۲)", "جمع ذهنی دسته‌ها"], {"steps": ["تعداد سیب‌ها ۱۲ است.", "تعداد پرتقال‌ها ۸ است.", "برای پیدا کردن تعداد کل میوه‌ها، ۱۲ را با ۸ جمع می‌کنیم: ۱۲ + ۸ = ۲۰.", "پس تعداد کل میوه‌ها ۲۰ است.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 3 (۲)", "جمع ذهنی و استفاده از ماشین حساب"], {"steps": ["جمع سیب‌های خریداری شده: ۲۳ + ۱۵ = ۳۸", "سیب‌های داده شده به دوست: ۱۱", "حالا تعداد سیب‌های علی: ۳۸ - ۱۱ = ۲۷", "برای بررسی با ماشین حساب: ۲۳ + ۱۵ = ۳۸ و ۳۸ - ۱۱ = ۲۷", "نتیجه نهایی: تعداد سیب‌های علی ۲۷ است.", "✅ جواب: ۲۷"]}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 3 (۲)", "حدس زدن و تخمین"], {"steps": ["تعداد کل بوته‌های گل ۲۵ است.", "تعداد بوته در هر ردیف ۵ است.", "برای پیدا کردن تعداد ردیف‌ها، ۲۵ را بر ۵ تقسیم می‌کنیم: ۲۵ ÷ ۵ = ۵.", "بنابراین، باغبان به ۵ ردیف نیاز دارد.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 5 (۲)", "ماشین حساب معکوس"], {"steps": ["عدد ۲۵ را داریم و می‌دانیم که عدد ۱۵ به آن اضافه شده است.", "برای پیدا کردن عدد ورودی، باید ۱۵ را از ۲۵ کم کنیم.", "۲۵ - ۱۵ = ۱۰ پس عدد ورودی ۱۰ است.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 5 (۲)", "ماشین ورودی-خروجی"], {"steps": ["عدد ورودی ۱۲ را در نظر می‌گیریم.", "ماشین ۵ واحد به عدد ورودی اضافه می‌کند.", "۱۲ + ۵ = ۱۷", "عدد خروجی ۱۷ است.", "✅ جواب: ۱۷"]}], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 1 (۱)", "الگوسازی با صف‌ها"], {"steps": ["تعداد دانش‌آموزان در هر صف ۸ نفر است.", "تعداد صف‌ها ۵ است.", "تعداد کل دانش‌آموزان در صف‌ها = ۵ × ۸ = ۴۰ نفر.", "تعداد دانش‌آموزان اضافی = ۳ نفر است.", "تعداد کل دانش‌آموزان = ۴۰ + ۳ = ۴۳ نفر.", "✅ جواب: ۴۳"]}], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 1 (۱)", "الگوسازی با مدادهای رنگی"], {"steps": ["تعداد مدادهای موجود در ۳ جعبه را محاسبه می‌کنیم: ۳ × ۸ = ۲۴ مداد.", "مدادهای اضافی را به مجموع اضافه می‌کنیم: ۲۴ + ۵ = ۲۹ مداد.", "تعداد کل مدادهای رنگی کلاس برابر با ۲۹ است.", "✅ جواب: ۲۹"]}], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 1 (۲)", "اندازه‌گیری طول با متر"], {"steps": ["طول نوار پارچه‌ای را به متر و سانتیمتر داریم: ۲ متر و ۵۰ سانتیمتر.", "برای تبدیل متر به سانتیمتر، ۲ متر را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم: ۲ × ۱۰۰ = ۲۰۰ سانتیمتر.", "حالا ۲۰۰ سانتیمتر را با ۵۰ سانتیمتر جمع می‌کنیم: ۲۰۰ + ۵۰ = ۲۵۰ سانتیمتر.", "✅ جواب: ۲۵۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 4 (۱)", "فاصله و تبدیل واحد طول"], {"steps": ["برای تبدیل کیلومتر به متر، مقدار را در ۱۰۰۰ ضرب می‌کنیم.", "۳ کیلومتر را در ۱۰۰۰ ضرب می‌کنیم: ۳ × ۱۰۰۰ = ۳۰۰۰.", "بنابراین، طول باغ به متر برابر با ۳۰۰۰ متر است.", "✅ جواب: ۳۰۰۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 5 (۱)", "محاسبه پول"], {"steps": ["مجموع هزینه‌های علی را حساب می‌کنیم: ۵۰۰۰ + ۳۰۰۰ = ۸۰۰۰ ریال.", "حالا مقدار پول اولیه علی را از مجموع هزینه‌ها کم می‌کنیم: ۲۰۰۰۰ - ۸۰۰۰ = ۱۲۰۰۰ ریال.", "پس علی بعد از خریدها ۱۲۰۰۰ ریال پول دارد.", "✅ جواب: ۱۲۰۰۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 6 (۲)", "نوشتن عددهای سه رقمی"], {"steps": ["رقم صدگان ۳ است.", "رقم دهگان ۴ است.", "رقم یکان ۲ است.", "عدد را با قرار دادن ارقام در کنار هم می‌نویسیم: ۳۴۲.", "✅ جواب: ۳۴۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 6 (۲)", "نوشتن عددهای سه رقمی با شرایط خاص"], {"steps": ["رقم صدگان عدد ۳ است.", "رقم دهگان عدد ۴ است.", "رقم یکان عدد ۲ است.", "عدد سه رقمی برابر با ۳۴۲ است.", "✅ جواب: ۳۴۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 2 (۱)", "تشخیص زاویه‌ها"], {"steps": ["مثلث دارای ۳ ضلع است.", "هر ضلع به دو ضلع دیگر متصل می‌شود و یک گوشه تشکیل می‌دهد.", "بنابراین، در یک مثلث ۳ گوشه وجود دارد که هر کدام یک زاویه است.", "✅ جواب: ۳"]}], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 2 (۲)", "تشخیص کسر از تقسیم‌بندی"], {"steps": ["تعداد کل قسمت‌های پیتزا ۸ است.", "تعداد قسمت‌های خورده شده ۳ است.", "کسر قسمت‌های خورده شده را به صورت ۳/۸ بنویسید.", "✅ جواب: ۳/۸"]}], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 3 (۱)", "تشخیص کسری از شکل‌های رنگی"], {"steps": ["تعداد کل قسمت‌های مستطیل ۱۲ است.", "تعداد قسمت‌های قرمز ۴ است.", "کسری که قرمز است برابر است با ۴/۱۲.", "کسری را ساده می‌کنیم: ۴ و ۱۲ هر دو بر ۴ تقسیم می‌شوند.", "پس کسری که قرمز است برابر است با ۱/۳.", "✅ جواب: ۱/۳"]}], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 3 (۱)", "تقسیم دایره به قسمت‌های مساوی"], {"steps": ["مرکز دایره را مشخص کنید و با خط از مرکز به محیط دایره ۴ خط رسم کنید.", "این ۴ خط دایره را به ۴ قسمت مساوی تقسیم می‌کند.", "هر قسمت از دایره معادل یک چهارم دایره است.", "بنابراین کسری مربوط به هر قسمت ۱/۴ است.", "✅ جواب: ۱/۴"]}], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 4 (۲)", "رسم شکل برای مقایسه کسرها"], {"steps": ["مریم ۳ بخش از ۴ بخش را رنگ کرده است، بنابراین کسر او ۳/۴ است.", "علی ۵ بخش از ۸ بخش را رنگ کرده است، بنابراین کسر او ۵/۸ است.", "برای مقایسه کسرها، باید آن‌ها را به یک مخرج مشترک تبدیل کنیم. مخرج مشترک ۴ و ۸ برابر ۸ است.", "کسر ۳/۴ را به مخرج ۸ تبدیل می‌کنیم: ۳/۴ = (۳×۲)/(۴×۲) = ۶/۸.", "حالا کسرها را مقایسه می‌کنیم: ۶/۸ و ۵/۸. چون ۶ بزرگتر از ۵ است، پس ۳/۴ بزرگتر از ۵/۸ است.", "✅ جواب: ۳/۴ > ۵/۸"]}], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 5 (۲)", "نمایش عددهای کسری روی محور"], {"example": "عدد کسری ۳/۴ را روی محور نمایش دهید.", "steps": ["محور را به ۴ بخش مساوی تقسیم می‌کنیم.", "هر بخش نشان‌دهنده ۱/۴ است.", "از نقطه صفر شروع می‌کنیم و ۳ بخش را به سمت راست می‌رویم.", "نقطه ۳/۴ را روی محور مشخص می‌کنیم.", "✅ جواب: ۳/۴"]}], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 5 (۲)", "نمایش کسر روی خط‌کش"], {"steps": ["تعداد کل قسمت‌ها برابر با ۸ است.", "تعداد قسمت‌های مشخص‌شده برابر با ۳ است.", "کسر مربوطه را به صورت ۳/۸ می‌نویسیم.", "✅ جواب: ۳/۸"]}], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 6 (۱)", "نوشتن کسر از روی شکل"], {"steps": ["تعداد بخش‌های رنگ‌شده را محاسبه می‌کنیم: ۲ بخش رنگ‌شده است.", "تعداد کل بخش‌ها را محاسبه می‌کنیم: ۳ بخش کل وجود دارد.", "کسر را از روی تعداد بخش‌های رنگ‌شده و کل بخش‌ها می‌نویسیم: صورت کسر ۲ و مخرج کسر ۳ است.", "✅ جواب: ۲/۳"]}], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 6 (۲)", "نوشتن کسر از روی مکعب‌ها"], {"steps": ["تعداد مکعب‌های قرمز را می‌شماریم: ۴ تا.", "تعداد کل مکعب‌ها را می‌شماریم: ۱۲ تا.", "کسر را به صورت ۴/۱۲ می‌نویسیم.", "✅ جواب: ۴/۱۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 6 (۲)", "نوشتن کسر برای شکل‌ها"], {"steps": ["تعداد کل قسمت‌ها را بشمارید: ۱۲ قسمت.", "تعداد قسمت‌های رنگی شده را بشمارید: ۴ قسمت.", "صورت کسر را برابر با تعداد قسمت‌های رنگی شده قرار دهید: ۴.", "مخرج کسر را برابر با تعداد کل قسمت‌ها قرار دهید: ۱۲.", "کسر نهایی را بنویسید: ۴/۱۲.", "✅ جواب: ۴/۱۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 6 (۲)", "نوشتن کسر مساوی"], {"steps": ["تعداد کل برش‌ها ۸ است.", "تعداد برش‌های رنگ شده ۳ است.", "کسر رنگ شده را به صورت ۳/۸ بنویسید.", "✅ جواب: ۳/۸"]}], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 7", "کامل کردن کسرها"], {"steps": ["تعداد کل درختان = ۵ (سیب) + ۳ (گلابی) = ۸ درخت", "کسر درختان سیب = ۵/۸", "کسر درختان گلابی = ۳/۸", "درختان سیب نسبت به کل درختان = ۵/۸.", "✅ جواب: ۵/۸"]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 1 (۱)", "استفاده از خاصیت جابجایی ضرب"], {"steps": ["ابتدا محاسبه می‌کنیم ۴×۳ که برابر با ۱۲ است.", "سپس ۳×۴ را محاسبه می‌کنیم که نیز برابر با ۱۲ است.", "با توجه به خاصیت جابجایی، هر دو حاصل برابرند.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 1 (۱)", "الگوی ضرب و جمع"], {"steps": ["تعداد سیب‌ها در هر گروه را مشخص می‌کنیم: ۳ سیب در هر گروه.", "تعداد گروه‌ها را مشخص می‌کنیم: ۴ گروه.", "حاصل ضرب تعداد سیب‌ها در هر گروه و تعداد گروه‌ها را محاسبه می‌کنیم: ۳ × ۴ = ۱۲.", "بنابراین، تعداد کل سیب‌ها را با جمع کردن ۳ سیب به تعداد ۴ بار نیز می‌توانیم محاسبه کنیم: ۳ + ۳ + ۳ + ۳ = ۱۲.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 2 (۲)", "تقسیم ساده"], {"steps": ["عدد ۱۵ را بر عدد ۳ تقسیم می‌کنیم.", "۱۵ ÷ ۳ = ۵", "پس هر دوست ۵ سیب می‌گیرد.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 2 (۲)", "تقسیم مسافران"], {"steps": ["تعداد کل مسافران را مشخص می‌کنیم: ۳۲ نفر.", "ظرفیت هر مینی‌بوس را داریم: ۸ نفر.", "برای پیدا کردن تعداد مینی‌بوس‌ها، تعداد مسافران را بر ظرفیت مینی‌بوس تقسیم می‌کنیم: ۳۲ ÷ ۸ = ۴.", "بنابراین، به ۴ مینی‌بوس نیاز داریم.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 3 (۱)", "جمع و تفریق با اعداد بزرگ"], {"steps": ["تعداد سیب‌های اولیه ۲۵۰ است.", "باغبان ۱۲۰ سیب به دوستش می‌دهد.", "تعداد سیب‌های باقی‌مانده را محاسبه می‌کنیم: ۲۵۰ - ۱۲۰ = ۱۳۰.", "باغبان حالا ۱۳۰ سیب دارد.", "✅ جواب: ۱۳۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 4 (۱)", "ضرب با رسم مستطیل"], {"steps": ["تعداد ردیف‌ها را مشخص می‌کنیم: ۳ ردیف.", "تعداد ستون‌ها را مشخص می‌کنیم: ۴ ستون.", "برای پیدا کردن تعداد کل خانه‌ها، تعداد ردیف‌ها را در تعداد ستون‌ها ضرب می‌کنیم: ۳ × ۴ = ۱۲.", "پس تعداد خانه‌های داخل مستطیل ۱۲ است.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 4 (۱)", "ضرب با روش دلخواه"], {"steps": ["تعداد ردیف‌ها ۵ است و در هر ردیف ۳ گل وجود دارد.", "برای پیدا کردن تعداد کل گل‌ها، ۵ را در ۳ ضرب می‌کنیم.", "۵ × ۳ = ۱۵. بنابراین، تعداد کل گل‌ها ۱۵ است.", "✅ جواب: ۱۵"]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 4 (۲)", "ضرب در مسائل اشیاء"], {"steps": ["تعداد سیب‌ها در هر سبد ۵ است.", "تعداد سبدها ۴ است.", "تعداد کل سیب‌ها را با ضرب تعداد سبدها در تعداد سیب‌ها محاسبه می‌کنیم: ۴ × ۵ = ۲۰.", "پس تعداد کل سیب‌ها ۲۰ است.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 5 (۱)", "ضرب و تقسیم با دسته‌بندی"], {"steps": ["تعداد درخت‌ها را مشخص می‌کنیم: ۴ درخت.", "تعداد سیب‌های هر درخت را مشخص می‌کنیم: ۵ سیب.", "برای پیدا کردن تعداد کل سیب‌ها، تعداد درخت‌ها را در تعداد سیب‌های هر درخت ضرب می‌کنیم: ۴ × ۵ = ۲۰.", "پس در کل باغ ۲۰ سیب وجود دارد.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 6 (۱)", "محاسبه ضرب با جدول"], {"steps": ["تعداد ردیف‌ها ۴ است و تعداد گل‌ها در هر ردیف ۶ است.", "برای محاسبه تعداد کل گل‌ها، ۴ را در ۶ ضرب می‌کنیم.", "۴ × ۶ = ۲۴. بنابراین، تعداد کل گل‌ها ۲۴ است.", "✅ جواب: ۲۴"]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 7 (۱)", "مسائل روزانه ضرب"], {"steps": ["تعداد سیب‌هایی که علی در یک روز می‌خورد را مشخص می‌کنیم: ۳ سیب.", "تعداد روزهایی که علی سیب می‌خورد را مشخص می‌کنیم: ۴ روز.", "حالا تعداد کل سیب‌ها را با ضرب تعداد سیب در روز در تعداد روزها محاسبه می‌کنیم: ۳ × ۴ = ۱۲.", "پس علی در ۴ روز ۱۲ سیب خورده است.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 7 (۲)", "نوشتن عبارت ضرب برای شکل‌ها"], {"steps": ["تعداد درخت‌ها در هر ردیف را مشخص می‌کنیم: ۳ درخت.", "تعداد ردیف‌ها را مشخص می‌کنیم: ۴ ردیف.", "عبارت ضرب را می‌نویسیم: ۳ × ۴.", "حاصل ضرب را محاسبه می‌کنیم: ۳ × ۴ = ۱۲.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 8", "یافتن حاصل‌ضرب با استفاده از آرایه"], {"steps": ["تعداد ردیف‌ها را مشخص می‌کنیم: ۴ ردیف.", "تعداد درخت‌ها در هر ردیف را مشخص می‌کنیم: ۳ درخت.", "حاصل‌ضرب تعداد ردیف‌ها در تعداد درخت‌ها را محاسبه می‌کنیم: ۴ × ۳ = ۱۲.", "بنابراین، تعداد کل درخت‌ها در باغ برابر با ۱۲ است.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۵: محیط و مساحت", "محیط و مساحت — گروه 1 (۲)", "اندازه‌گیری مساحت با واحدهای مشخص"], {"steps": ["برای محاسبه مساحت مستطیل، از فرمول طول × عرض استفاده می‌کنیم.", "طول مستطیل ۴ سانتی‌متر و عرض آن ۳ سانتی‌متر است.", "مساحت = ۴ × ۳ = ۱۲ سانتی‌متر مربع.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۵: محیط و مساحت", "محیط و مساحت — گروه 2 (۲)", "شمارش اشیا"], {"steps": ["تعداد درختان سیب را می‌شماریم: ۵ درخت سیب.", "تعداد درختان گلابی را می‌شماریم: ۳ درخت گلابی.", "حالا تعداد کل درختان را با هم جمع می‌کنیم: ۵ + ۳ = ۸.", "پس تعداد کل درختان در باغ ۸ است.", "✅ جواب: ۸"]}], [["پایه سوم", "فصل ۵: محیط و مساحت", "محیط و مساحت — گروه 3 (۱)", "محاسبه طول تقریبی خطوط خمیده"], {"steps": ["فاصله بین نقطه A و نقطه C را می‌نویسیم: ۳ سانتی‌متر.", "فاصله بین نقطه C و نقطه B را می‌نویسیم: ۴ سانتی‌متر.", "حالا فاصله‌ها را با هم جمع می‌کنیم: ۳ + ۴ = ۷ سانتی‌متر.", "✅ جواب: ۷"]}], [["پایه سوم", "فصل ۵: محیط و مساحت", "محیط و مساحت — گروه 3 (۱)", "محاسبه طول خطوط شکسته"], {"steps": ["طول قسمت AB برابر با ۴ سانتی‌متر است.", "طول قسمت BC برابر با ۳ سانتی‌متر است.", "طول قسمت CD برابر با ۵ سانتی‌متر است.", "طول کل خط شکسته برابر با ۴ + ۳ + ۵ است.", "طول کل خط شکسته برابر با ۱۲ سانتی‌متر است.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۵: محیط و مساحت", "محیط و مساحت — گروه 4 (۱)", "محاسبه محیط مثلث"], {"steps": ["طول ضلع اول ۶ سانتی‌متر است.", "طول ضلع دوم ۸ سانتی‌متر است.", "طول ضلع سوم ۱۰ سانتی‌متر است.", "محیط مثلث را با جمع کردن اضلاع محاسبه می‌کنیم: ۶ + ۸ + ۱۰ = ۲۴.", "بنابراین، محیط مثلث برابر با ۲۴ سانتی‌متر است.", "✅ جواب: ۲۴"]}], [["پایه سوم", "فصل ۵: محیط و مساحت", "محیط و مساحت — گروه 4 (۲)", "محاسبه مساحت با شمارش مربع‌ها"], {"steps": ["مستطیل دارای ۴ مربع در طول و ۳ مربع در عرض است.", "تعداد مربع‌های کامل داخل مستطیل را محاسبه می‌کنیم: ۴ × ۳ = ۱۲ مربع.", "هیچ مربع ناقصی وجود ندارد، بنابراین نیازی به ترکیب نیست.", "مساحت مستطیل برابر با تعداد مربع‌های کامل است: ۱۲ مربع.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۵: محیط و مساحت", "محیط و مساحت — گروه 4 (۲)", "محاسبه مساحت زمین"], {"steps": ["مساحت مستطیل را با فرمول طول × عرض محاسبه می‌کنیم.", "طول زمین ۸ متر و عرض آن ۵ متر است.", "مساحت = ۸ × ۵ = ۴۰ متر مربع.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۵: محیط و مساحت", "محیط و مساحت — گروه 5 (۱)", "محاسبه مساحت شکل‌های ساده"], {"steps": ["مساحت مستطیل را با فرمول طول × عرض محاسبه می‌کنیم.", "طول مستطیل ۴ سانتی‌متر و عرض آن ۳ سانتی‌متر است.", "بنابراین، مساحت = ۴ × ۳ = ۱۲ سانتی‌متر مربع.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 1 (۱)", "تبدیل سکه‌ها به ارزش‌های دیگر"], {"steps": ["ارزش کل سکه‌های ۵۰ ریالی علی را محاسبه می‌کنیم: ۸ × ۵۰ = ۴۰۰ ریال.", "سپس بررسی می‌کنیم که آیا می‌توان این مقدار را به سکه‌های ۱۰۰ ریالی تبدیل کرد.", "تعداد سکه‌های ۱۰۰ ریالی که می‌تواند بگیرد را محاسبه می‌کنیم: ۴۰۰ ÷ ۱۰۰ = ۴ سکه.", "در این تبدیل، هیچ ارزش باقی‌مانده‌ای وجود ندارد.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 1 (۱)", "تبدیل واحدهای پولی"], {"steps": ["ابتدا محاسبه می‌کنیم که مجموع ارزش سکه‌های ۲۰ ریالی علی چقدر است: ۱۵ × ۲۰ = ۳۰۰ ریال.", "حالا می‌خواهیم ببینیم ۳۰۰ ریال را به سکه‌های ۵۰ ریالی تبدیل کنیم.", "برای این کار، ۳۰۰ را بر ۵۰ تقسیم می‌کنیم: ۳۰۰ ÷ ۵۰ = ۶.", "بنابراین، علی می‌تواند ۶ سکه‌ی ۵۰ ریالی بگیرد.", "✅ جواب: ۶"]}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 2 (۲)", "جمع و تفریق اعداد"], {"steps": ["ابتدا تعداد درخت‌های سیب را می‌نویسیم: ۵۰ درخت سیب.", "سپس تعداد درخت‌های سیب جدید را به تعداد قبلی اضافه می‌کنیم: ۵۰ + ۲۰ = ۷۰.", "پس تعداد درخت‌های سیب در باغ ۷۰ درخت است.", "✅ جواب: ۷۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 3 (۲)", "رسم اشکال چندضلعی"], {"steps": ["محیط یک چندضلعی را با فرمول محیط = تعداد اضلاع × طول هر ضلع محاسبه می‌کنیم.", "تعداد اضلاع این چندضلعی ۸ است و طول هر ضلع ۵ سانتی‌متر است.", "محیط = ۸ × ۵ = ۴۰ سانتی‌متر.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 3 (۲)", "محاسبه اختلاف ارتفاع دو قله"], {"steps": ["ارتفاع قله‌ی الف برابر با ۴۵۰۰ متر است.", "ارتفاع قله‌ی ب برابر با ۳۲۰۰ متر است.", "برای محاسبه اختلاف ارتفاع، ارتفاع قله‌ی ب را از ارتفاع قله‌ی الف کم می‌کنیم: ۴۵۰۰ - ۳۲۰۰.", "حاصل تفریق برابر با ۱۳۰۰ متر است.", "✅ جواب: ۱۳۰۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 4 (۱)", "محاسبه تعداد ساعات در یک سال"], {"steps": ["تعداد روزهای سال کبیسه را یادداشت می‌کنیم: ۳۶۶ روز.", "تعداد ساعات هر روز را یادداشت می‌کنیم: ۲۴ ساعت.", "حالا تعداد ساعات کل سال را محاسبه می‌کنیم: ۳۶۶ × ۲۴ = ۸۷۸۴.", "پس تعداد ساعات در یک سال کبیسه برابر با ۸۷۸۴ است.", "✅ جواب: ۸۷۸۴"]}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 4 (۱)", "محاسبه تعداد صفحات خوانده نشده"], {"steps": ["تعداد کل صفحات کتاب ۱۲۰ است.", "علی در هفته‌ی اول ۲۵ صفحه خوانده است.", "علی در هفته‌ی دوم ۳۵ صفحه خوانده است.", "تعداد کل صفحات خوانده شده ۲۵ + ۳۵ = ۶۰ است.", "تعداد صفحات خوانده نشده ۱۲۰ - ۶۰ = ۶۰ است.", "✅ جواب: ۶۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 4 (۲)", "محاسبه تعداد چوب کبریت"], {"steps": ["برای هر مثلث ۳ چوب کبریت نیاز است.", "تعداد مثلث‌ها ۴ است.", "تعداد کل چوب کبریت‌ها را محاسبه می‌کنیم: ۳ × ۴ = ۱۲.", "بنابراین، برای ساختن ۴ مثلث به ۱۲ چوب کبریت نیاز داریم.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 4 (۲)", "محاسبه تعداد کل با ضرب و جمع"], {"steps": ["تعداد درخت‌های سیب در کل باغ را محاسبه می‌کنیم: ۳ ردیف × ۴ درخت = ۱۲ درخت سیب.", "تعداد درخت‌های گلابی در کل باغ را محاسبه می‌کنیم: ۳ ردیف × ۲ درخت = ۶ درخت گلابی.", "حالا تعداد کل درخت‌ها را با جمع کردن تعداد درخت‌های سیب و گلابی محاسبه می‌کنیم: ۱۲ درخت سیب + ۶ درخت گلابی = ۱۸ درخت.", "✅ جواب: ۱۸"]}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 4 (۲)", "محاسبه طول سیم برای دور یک شکل"], {"steps": ["طول باغ ۵ متر و عرض آن ۳ متر است.", "محیط باغ را با فرمول ۲ × (طول + عرض) محاسبه می‌کنیم.", "محیط = ۲ × (۵ + ۳) = ۲ × ۸ = ۱۶ متر.", "✅ جواب: ۱۶"]}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 5 (۱)", "محاسبه مسافت طی شده"], {"steps": ["مسافت بین شهر الف و شهر ب برابر با ۱۵ کیلومتر است.", "مسافت بین شهر ب و شهر ج برابر با ۲۵ کیلومتر است.", "برای محاسبه مسافت کل، ۱۵ را به ۲۵ اضافه می‌کنیم: ۱۵ + ۲۵ = ۴۰.", "بنابراین، مسافر باید ۴۰ کیلومتر را طی کند.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 5 (۲)", "محاسبه هزینه خرید میوه"], {"steps": ["هزینه سیب را محاسبه می‌کنیم: ۲ × ۳۰۰۰ = ۶۰۰۰ تومان.", "هزینه موز را محاسبه می‌کنیم: ۱ × ۴۰۰۰ = ۴۰۰۰ تومان.", "هزینه کل را محاسبه می‌کنیم: ۶۰۰۰ + ۴۰۰۰ = ۱۰۰۰۰ تومان.", "✅ جواب: ۱۰۰۰۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۶: جمع و تفریق", "جمع و تفریق — گروه 5 (۲)", "محیط چندضلعی"], {"steps": ["طول مستطیل را یادداشت می‌کنیم: ۴", "عرض مستطیل را یادداشت می‌کنیم: ۳", "محیط مستطیل را با فرمول ۲ × (طول + عرض) محاسبه می‌کنیم: ۲ × (۴ + ۳)", "جمع طول و عرض را محاسبه می‌کنیم: ۴ + ۳ = ۷", "محیط را محاسبه می‌کنیم: ۲ × ۷ = ۱۴", "✅ جواب: ۱۴"]}], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 1 (۱)", "احتمال ترکیب اشکال هندسی"], {"steps": ["نوع اول: گل سرخ و گل زرد را انتخاب می‌کنیم.", "نوع دوم: گل سرخ و گل آبی را انتخاب می‌کنیم.", "نوع سوم: گل زرد و گل آبی را انتخاب می‌کنیم.", "✅ جواب: ۳"]}], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 2 (۲)", "تحلیل داده‌ها"], {"steps": ["مقدار میوه‌های فروخته‌شده در روزهای مختلف را بررسی می‌کنیم: شنبه ۳، یکشنبه ۵، دوشنبه ۲، سه‌شنبه ۴ و چهارشنبه ۶.", "کمترین مقدار را از بین اعداد ۳، ۵، ۲، ۴ و ۶ پیدا می‌کنیم.", "عدد ۲ کمترین مقدار است و مربوط به روز دوشنبه است.", "✅ جواب: ۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 3 (۱)", "تکمیل جدول داده‌ها"], {"steps": ["تعداد اولیه درختان سیب ۵ است.", "۲ درخت سیب به تعداد اولیه اضافه می‌شود.", "۵ + ۲ = ۷ درخت سیب می‌شود.", "✅ جواب: ۷"]}], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 4 (۱)", "جمع کل از نمودار ستونی"], {"steps": ["تعداد گل‌های تیم الف را می‌خوانیم: ۵ گل.", "تعداد گل‌های تیم ب را می‌خوانیم: ۳ گل.", "تعداد گل‌های تیم ج را می‌خوانیم: ۴ گل.", "حالا اعداد را با هم جمع می‌کنیم: ۵ + ۳ + ۴ = ۱۲.", "پس جمع کل گل‌های زده شده ۱۲ گل است.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 4 (۱)", "حدس و آزمایش"], {"steps": ["تعداد سیب‌ها را حساب می‌کنیم: ۱۲ درخت سیب × ۵ سیب = ۶۰ سیب.", "تعداد گلابی‌ها را حساب می‌کنیم: ۸ درخت گلابی × ۳ گلابی = ۲۴ گلابی.", "مجموع میوه‌ها را حساب می‌کنیم: ۶۰ سیب + ۲۴ گلابی = ۸۴ میوه.", "✅ جواب: ۸۴"]}], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 5 (۲)", "محاسبه و تکمیل جدول زمان‌بندی"], {"steps": ["برای روز شنبه، زمان مطالعه ۲ ساعت است.", "برای روز یکشنبه، زمان مطالعه ۳ ساعت است.", "برای روز دوشنبه، زمان مطالعه ۴ ساعت است.", "مجموع زمان‌ها را محاسبه می‌کنیم: ۲ + ۳ + ۴ = ۹ ساعت.", "✅ جواب: ۹"]}], [["پایه سوم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 6 (۲)", "پاسخ به سوالات بر اساس نمودار ستونی"], {"steps": ["تعداد شرکت‌کنندگان در رده سنی ۱۰ تا ۱۲ سال: ۵ نفر", "تعداد شرکت‌کنندگان در رده سنی ۱۳ تا ۱۵ سال: ۸ نفر", "تعداد شرکت‌کنندگان در رده سنی ۱۶ تا ۱۸ سال: ۴ نفر", "جمع کل شرکت‌کنندگان = ۵ + ۸ + ۴", "جمع کل شرکت‌کنندگان = ۱۷ نفر", "✅ جواب: ۱۷"]}], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 1 (۱)", "بررسی همه حالت‌های ممکن"], {"steps": ["علی می‌تواند یکی از ۳ رنگ را انتخاب کند.", "مریم نیز می‌تواند یکی از ۳ رنگ را انتخاب کند.", "سارا نیز می‌تواند یکی از ۳ رنگ را انتخاب کند.", "تعداد کل حالت‌های ممکن برابر است با ۳ × ۳ × ۳ که برابر با ۲۷ است.", "✅ جواب: ۲۷"]}], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 1 (۱)", "بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین عدد"], {"steps": ["اعداد ۰ تا ۹ را در نظر می‌گیریم: ۰، ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶، ۷، ۸، ۹.", "برای ساختن بزرگ‌ترین عدد ۵ رقمی، ارقام را به ترتیب نزولی مرتب می‌کنیم: ۹، ۸، ۷، ۶، ۵.", "عدد بزرگ‌ترین ۵ رقمی که از این ارقام ساخته می‌شود، ۹۸۷۶۵ است.", "✅ جواب: ۹۸۷۶۵"]}], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 2 (۲)", "ضرب با استفاده از شکل‌ها"], {"steps": ["تعداد درخت‌ها ۴ است و تعداد سیب‌های هر درخت ۵ است.", "حالا تعداد کل سیب‌ها را با ضرب کردن تعداد درخت‌ها در تعداد سیب‌های هر درخت محاسبه می‌کنیم: ۴ × ۵ = ۲۰.", "بنابراین، تعداد کل سیب‌ها ۲۰ است.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 2 (۲)", "ضرب با استفاده از شکل‌های نمایشی"], {"steps": ["تعداد ردیف‌ها ۳ است.", "تعداد درخت‌ها در هر ردیف ۴ است.", "برای پیدا کردن تعداد کل درخت‌ها، ۳ را در ۴ ضرب می‌کنیم: ۳ × ۴ = ۱۲.", "بنابراین، تعداد کل درخت‌ها ۱۲ است.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 3 (۱)", "ضرب بدون ماشین حساب"], {"steps": ["باغبان ۳ ردیف گل دارد و در هر ردیف ۵ گل کاشته است.", "برای محاسبه، می‌توانیم ۳ را در ۵ ضرب کنیم.", "۳ × ۵ = ۱۵", "بنابراین، باغبان ۱۵ گل در کل کاشته است.", "✅ جواب: ۱۵"]}], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 3 (۱)", "ضرب در عدد ۱۰"], {"steps": ["عدد ۷ را در ۱۰ ضرب می‌کنیم.", "برای ضرب در ۱۰، یک صفر به انتهای عدد ۷ اضافه می‌کنیم.", "نتیجه می‌شود ۷۰.", "✅ جواب: ۷۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 4 (۱)", "محاسبه تعداد تولید در زمان مشخص"], {"steps": ["تعداد تولید در یک ساعت برابر با ۱۵۰ عدد است.", "تعداد ساعت‌ها برابر با ۵ ساعت است.", "تعداد کل تولید برابر است با ۱۵۰ × ۵.", "۱۵۰ × ۵ = ۷۵۰ عدد اسباب‌بازی تولید می‌شود.", "✅ جواب: ۷۵۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 4 (۲)", "محاسبه تعداد جعبه‌ها با ضرب"], {"steps": ["وزن کل سیب‌ها ۳۲ کیلوگرم است.", "وزن هر جعبه ۸ کیلوگرم است.", "برای پیدا کردن تعداد جعبه‌ها، ۳۲ را بر ۸ تقسیم می‌کنیم: ۳۲ ÷ ۸ = ۴.", "بنابراین، به ۴ جعبه نیاز داریم.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 4 (۲)", "محاسبه تعداد واحدها"], {"steps": ["تعداد صفحات یک کتاب را مشخص می‌کنیم: ۳۰۰ صفحه.", "تعداد کتاب‌ها را مشخص می‌کنیم: ۲ کتاب.", "تعداد کل صفحات را با ضرب تعداد صفحات یک کتاب در تعداد کتاب‌ها محاسبه می‌کنیم: ۳۰۰ × ۲ = ۶۰۰.", "پس تعداد کل صفحات برابر است با ۶۰۰ صفحه.", "✅ جواب: ۶۰۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 5 (۱)", "محاسبه تعداد کل"], {"steps": ["تعداد درخت‌ها را مشخص می‌کنیم: ۴ درخت.", "تعداد سیب‌های هر درخت را مشخص می‌کنیم: ۵ سیب.", "تعداد کل سیب‌ها را با ضرب تعداد درخت‌ها در تعداد سیب‌های هر درخت محاسبه می‌کنیم: ۴ × ۵ = ۲۰.", "پس در باغ ۲۰ سیب وجود دارد.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 5 (۱)", "محاسبه تعداد کل با ضرب"], {"steps": ["تعداد درخت‌ها را مشخص می‌کنیم: ۵ درخت.", "تعداد سیب‌های هر درخت را مشخص می‌کنیم: ۶ سیب.", "تعداد کل سیب‌ها را با ضرب تعداد درخت‌ها در تعداد سیب‌های هر درخت محاسبه می‌کنیم: ۵ × ۶ = ۳۰.", "بنابراین، تعداد کل سیب‌ها در باغ ۳۰ عدد است.", "✅ جواب: ۳۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 6 (۲)", "محاسبه مسافت با سرعت ثابت"], {"steps": ["برای محاسبه مسافت، سرعت را در زمان ضرب می‌کنیم. پس مسافت = ۱۵ × ۴.", "محاسبه می‌کنیم: ۱۵ × ۴ = ۶۰.", "بنابراین، دوچرخه‌سوار ۶۰ کیلومتر را طی کرده است.", "✅ جواب: ۶۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۸: ضرب عددها", "ضرب عددها — گروه 6 (۲)", "محاسبه مقدار رنگ مورد نیاز برای روزهای مختلف"], {"steps": ["مقدار رنگ روز اول ۵ متر مربع است.", "برای محاسبه مقدار رنگ روز دوم، مقدار رنگ روز اول را در ۳ ضرب می‌کنیم.", "۵ × ۳ = ۱۵ متر مربع.", "بنابراین، مقدار رنگ مورد نیاز برای روز دوم ۱۵ متر مربع است.", "✅ جواب: ۱۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "عددنویسی (۱)", "الگوی عددی و هندسی"], {"intro": "۱. شکل‌ها را به ترتیب رسم کنید و تعداد دایره‌ها را بشمارید.\n۲. تعداد دایره‌ها در هر شکل را یادداشت کنید.\n۳. رابطه بین تعداد دایره‌ها در شکل‌های متوالی را پیدا کنید (مثلاً افزایش تعداد دایره‌ها به صورت عددی یا هندسی).\n۴. با استفاده از رابطه پیدا شده، تعداد دایره‌ها در شکل‌های بعدی را پیش‌بینی کنید.\n۵. الگو را به صورت عددی یا هندسی بیان کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "عددنویسی (۱)", "رابطه عددی بین اعداد الگو"], {"intro": "۱. اعداد داده شده در الگو را یادداشت کنید.\n۲. تفاوت بین اعداد متوالی را پیدا کنید.\n۳. بررسی کنید که تفاوت‌ها به صورت ثابت یا متغیر هستند.\n۴. اگر تفاوت‌ها متغیر است، رابطه بین تفاوت‌ها را بررسی کنید.\n۵. با استفاده از رابطه پیدا شده، عدد بعدی در الگو را محاسبه کنید.", "example": "عددهای الگوی عددی ۲، ۵، ۹، ۱۴، ... را بررسی کنید. تفاوت بین اعداد به ترتیب +۳، +۴، +۵ و ... است. عدد بعدی را پیدا کنید.", "steps": ["اعداد الگو: ۲، ۵، ۹، ۱۴", "تفاوت بین ۵ و ۲ برابر است با ۳، بین ۹ و ۵ برابر است با ۴، و بین ۱۴ و ۹ برابر است با ۵.", "تفاوت‌ها به صورت متغیر هستند: ۳، ۴، ۵.", "تفاوت بعدی باید ۶ باشد چون به ترتیب افزایش یافته است.", "عدد بعدی برابر است با ۱۴ + ۶ که می‌شود ۲۰.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "عددنویسی (۲)", "تشخیص عدد از شکل‌های مکعبی کنار هم"], {"steps": ["تعداد مکعب‌ها را شمارش می‌کنیم: ۵ مکعب.", "هر مکعب ۱۰۰۰ عدد دارد، پس ۵ × ۱۰۰۰ = ۵۰۰۰.", "عدد متناظر با ۵ مکعب ۱۰۰۰ تایی برابر با ۵۰۰۰ است.", "✅ جواب: ۵۰۰۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "عددنویسی (۳)", "نوشتن عدد بر اساس جدول ارزش مکانی"], {"intro": "۱. اعداد هر ستون جدول را در ارزش مکانی مربوط به آن ستون ضرب کنید (یکان، دهگان، صدگان، هزارگان و ...). ۲. مقادیر به دست آمده را با هم جمع کنید تا عدد کامل به دست آید. ۳. عدد را به صورت عددی و همچنین به صورت حروفی بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "عددنویسی (۳)", "مقایسه و یافتن تفاوت بین دو عدد"], {"intro": "۱. اعداد داده شده را به صورت عددی کامل بنویسید. ۲. عدد بزرگتر را از عدد کوچکتر کم کنید. ۳. حاصل تفریق تفاوت بین دو عدد است."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "عددنویسی (۳)", "نوشتن عدد بر اساس جدول با ارقام مشخص"], {"intro": "۱. ارقام داده شده در جدول را در جایگاه مربوط به خود قرار دهید. ۲. عدد کامل را با جمع ارزش مکانی ارقام به دست آورید. ۳. عدد را به صورت عددی و حروفی بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "عددنویسی (۳)", "نوشتن عدد گسترده"], {"intro": "۱. عدد داده شده را به ارقام آن تفکیک کنید. ۲. هر رقم را در ارزش مکانی خودش ضرب کنید (یکان، دهگان، صدگان، هزارگان و ...). ۳. اعداد حاصل را به صورت جمع بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "عددنویسی (۳)", "ادامه دادن الگوی عددی"], {"intro": "۱. الگوی داده شده را با دقت بخوانید و تفاوت بین اعداد را پیدا کنید. ۲. با توجه به تفاوت یا قانون الگو، اعداد بعدی را بنویسید. ۳. اعداد را به ترتیب ادامه دهید.", "figures": []}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "عددنویسی (۴)", "خواندن و نوشتن عدد بر اساس شکل‌های بلوکی"], {"intro": "۱. تعداد بلوک‌های هر شکل را بشمارید. ۲. هر بلوک نشان‌دهنده یک واحد مشخص است (مثلاً ۱۰۰۰۰). ۳. عدد کل را با ضرب تعداد بلوک‌ها در ارزش هر بلوک به دست آورید. ۴. عدد را بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "عددنویسی (۵)", "جایگذاری اعداد در جدول ارزش مکانی"], {"intro": "۱. عدد داده شده را به رقم‌های تشکیل‌دهنده آن تقسیم کنید. ۲. هر رقم را در ستون مربوط به ارزش مکانی آن قرار دهید (یکان، دهگان، صدگان، هزارگان و غیره). ۳. جدول را با ارقام پر کنید تا عدد به درستی نمایش داده شود."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "عددنویسی (۵)", "تشخیص تعداد رقم‌های عدد و ارزش مکانی ارقام"], {"intro": "۱. عدد داده شده را بررسی کنید و تعداد رقم‌های آن را بشمارید. ۲. ارزش مکانی هر رقم را با توجه به جایگاه آن در عدد تعیین کنید (یکان، دهگان، صدگان، هزارگان و غیره). ۳. پاسخ را به صورت تعداد رقم و ارزش مکانی هر رقم بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "عددنویسی (۵)", "نوشتن بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین عدد با تعداد رقم مشخص و بدون تکرار رقم"], {"intro": "۱. برای بزرگ‌ترین عدد، ارقام را به ترتیب نزولی از بزرگ‌ترین رقم ممکن بدون تکرار قرار دهید. ۲. برای کوچک‌ترین عدد، ارقام را به ترتیب صعودی از کوچک‌ترین رقم ممکن بدون تکرار قرار دهید. ۳. اعداد را با تعداد رقم خواسته شده بسازید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "عددنویسی (۵)", "تکمیل فیش پرداخت با عدد داده شده"], {"intro": "۱. عدد داده شده را به رقم‌های تشکیل‌دهنده آن تقسیم کنید. ۲. هر رقم را در جای مناسب فیش پرداخت بنویسید. ۳. اطمینان حاصل کنید که عدد به درستی و کامل نوشته شده است."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "عددنویسی (۵)", "تخمین تعداد افراد در مکان‌های مختلف با توجه به تعداد تقریبی"], {"intro": "۱. تعداد تقریبی افراد در هر مکان را بررسی کنید. ۲. اعداد را به مکان‌های مناسب وصل کنید به طوری که تعداد افراد در هر مکان با عدد تقریبی مطابقت داشته باشد. ۳. نتیجه را بررسی و مقایسه کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "الگوها (۱)", "ادامه دادن الگوهای عددی با تقسیم ثابت"], {"intro": "برای ادامه دادن الگوهای عددی که با تقسیم ثابت هستند، ابتدا نسبت بین هر عدد و عدد قبلی را پیدا کنید که کمتر از ۱ است. سپس عدد آخر را بر این نسبت تقسیم کنید تا عدد بعدی را به دست آورید. این کار را برای ادامه الگو تکرار کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "الگوها (۱)", "تعیین تعداد دایره‌ها در الگوهای عددی"], {"intro": "۱. الگوهای داده شده را به دقت بررسی کنید و تعداد دایره‌ها در هر شکل را بشمارید.\n۲. رابطه بین تعداد دایره‌ها در شکل‌های متوالی را پیدا کنید (مثلاً جمع، ضرب یا تفریق).\n۳. با استفاده از رابطه پیدا شده، تعداد دایره‌ها در شکل مورد نظر را محاسبه کنید.\n۴. پاسخ را با توجه به محاسبات به دست آمده بنویسید.", "example": "الگو را ادامه دهید: ۱، ۲، ۴، ۸، ۱۶، ... رابطه بین اعداد را توضیح دهید.", "steps": ["نسبت بین اعداد متوالی را پیدا می‌کنیم: ۲ ÷ ۱ = ۲، ۴ ÷ ۲ = ۲، ۸ ÷ ۴ = ۲، ۱۶ ÷ ۸ = ۲.", "چون نسبت ثابت ۲ است، عدد بعدی را با ضرب عدد ۱۶ در ۲ به دست می‌آوریم: ۱۶ × ۲ = ۳۲.", "بنابراین، ادامه الگو به صورت ۳۲، ۶۴، ۱۲۸، ... خواهد بود.", "✅ جواب: ۳۲ ، ۶۴ ، ۱۲۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "الگوها (۲)", "ادامه الگوهای عددی و تصویری"], {"intro": "۱. الگوهای داده شده را با دقت مشاهده کنید و رابطه بین تعداد مربع‌ها در هر شکل را پیدا کنید. ۲. رابطه را به صورت ضرب یا جمع بیان کنید. ۳. با استفاده از رابطه، تعداد مربع‌های شکل بعدی را محاسبه کنید. ۴. شکل بعدی را با تعداد مربع‌های محاسبه شده رسم کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "الگوها (۲)", "یافتن تعداد مربع‌ها در شکل‌های پیچیده‌تر با استفاده از ضرب و جمع"], {"intro": "۱. شکل‌های داده شده را بررسی کنید و تعداد مربع‌ها را بشمارید. ۲. رابطه بین شکل‌ها را با استفاده از ضرب و جمع یا تفریق بیان کنید. ۳. برای شکل بعدی، تعداد مربع‌ها را با استفاده از رابطه به دست آورید. ۴. اگر لازم است، مراحل محاسبه را به صورت جداگانه توضیح دهید.", "figures": []}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "الگوها (۲)", "استفاده از تفریق برای یافتن تعداد مربع‌ها در الگو"], {"intro": "۱. تعداد کل مربع‌ها در شکل‌های داده شده را بشمارید. ۲. تعداد مربع‌های حذف شده یا کم شده را مشخص کنید. ۳. رابطه بین تعداد مربع‌ها را به صورت ضرب و تفریق بیان کنید. ۴. تعداد مربع‌های شکل بعدی را با استفاده از رابطه محاسبه کنید.", "steps": ["تعداد کل مربع‌ها ۲۵ است.", "تعداد مربع‌های حذف شده ۷ است.", "تعداد مربع‌های باقی‌مانده را با تفریق محاسبه می‌کنیم: ۲۵ - ۷ = ۱۸.", "بنابراین، تعداد مربع‌های باقی‌مانده ۱۸ است.", "✅ جواب: ۱۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "الگوها (۲)", "تکمیل جدول تعداد مربع‌ها بر اساس شماره شکل"], {"intro": "۱. شماره شکل‌ها و تعداد مربع‌های داده شده را بررسی کنید. ۲. رابطه بین شماره شکل و تعداد مربع‌ها را پیدا کنید. ۳. با استفاده از رابطه، تعداد مربع‌های شکل‌های بعدی را محاسبه کنید. ۴. جدول را با مقادیر محاسبه شده کامل کنید.", "figures": []}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "الگوها (۲)", "شناسایی و ادامه الگوهای تصویری"], {"intro": "۱. به دقت شکل‌های داده شده را بررسی کنید و الگوی تکرار شونده را پیدا کنید. ۲. ویژگی‌های مشترک بین شکل‌ها را شناسایی کنید (مثلاً تعداد مربع‌ها یا چوب کبریت‌ها). ۳. با توجه به الگو، شکل بعدی را پیش‌بینی کنید یا تعداد عناصر را محاسبه کنید. ۴. پاسخ خود را با توجه به الگو بیان کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "الگوها (۳)", "محاسبه تعداد چوب کبریت برای ساخت شکل‌ها"], {"intro": "۱. تعداد چوب کبریت‌های لازم برای ساخت هر شکل را بشمارید. ۲. اگر شکل‌ها به صورت زنجیره‌ای یا متصل هستند، چوب کبریت‌های مشترک را یک بار حساب کنید. ۳. با توجه به تعداد شکل‌ها و چوب کبریت‌های هر شکل، تعداد کل چوب کبریت‌ها را محاسبه کنید.", "steps": ["تعداد چوب کبریت‌های لازم برای مثلث را محاسبه می‌کنیم: ۳ چوب کبریت.", "تعداد چوب کبریت‌های لازم برای مربع را محاسبه می‌کنیم: ۴ چوب کبریت.", "چوب کبریت‌های مشترک بین مثلث و مربع وجود ندارد، پس تعداد کل چوب کبریت‌ها را جمع می‌کنیم: ۳ + ۴ = ۷.", "✅ جواب: ۷"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "الگوها (۳)", "محاسبه تعداد گیره‌ها برای اتصال حلقه‌ها در یک ردیف"], {"intro": "۱. برای اتصال هر دو حلقه به یک گیره نیاز است. ۲. تعداد گیره‌ها برابر است با تعداد حلقه‌ها منهای یک (چون هر گیره دو حلقه را به هم وصل می‌کند). ۳. تعداد کل گیره‌ها را با توجه به تعداد حلقه‌ها محاسبه کنید.", "steps": ["تعداد گیره‌ها برابر است با تعداد حلقه‌ها منهای یک.", "تعداد حلقه‌ها ۷ است پس: ۷ - ۱ = ۶.", "بنابراین، برای اتصال ۷ حلقه به هم، ۶ گیره نیاز داریم.", "✅ جواب: ۶"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "الگوها (۳)", "شناسایی الگوهای نقطه‌ای و توضیح آن‌ها"], {"intro": "۱. تعداد نقاط در هر شکل را بشمارید. ۲. تغییرات تعداد نقاط بین شکل‌ها را بررسی کنید. ۳. الگوی رشد یا تغییر را شناسایی کنید (مثلاً افزایش خطی یا چندضلعی). ۴. الگو را به صورت کلامی یا عددی توضیح دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "الگوها (۳)", "محاسبه جمع، تفریق و ضرب اعداد بزرگ ذهنی"], {"intro": "۱. اعداد را به بخش‌های ساده‌تر تقسیم کنید (مثلاً ده هزار، هزار، صد). ۲. عملیات جمع یا تفریق را مرحله به مرحله انجام دهید. ۳. برای ضرب، از ضرب اعداد ساده‌تر و سپس ترکیب نتایج استفاده کنید. ۴. نتیجه نهایی را به دست آورید.", "steps": ["تعداد گل‌های باغ اول ۱۲۰۰ است.", "باغبان ۳۰۰ گل دیگر به باغ اول اضافه می‌کند: ۱۲۰۰ + ۳۰۰ = ۱۵۰۰.", "تعداد گل‌های باغ اول بعد از اضافه کردن گل‌ها ۱۵۰۰ خواهد بود.", "✅ جواب: ۱۵۰۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "الگوها (۳)", "محاسبه ضرب اعداد بزرگ ذهنی"], {"intro": "۱. عدد بزرگ را به بخش‌های ساده‌تر تقسیم کنید (مثلاً ضرب در ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰). ۲. ضرب هر بخش را جداگانه محاسبه کنید. ۳. نتایج را جمع کنید تا حاصل نهایی به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "ماشین ورودی ـ خروجی (۱)", "محاسبه محیط مثلث متساوی الاضلاع"], {"steps": ["طول ضلع مثلث برابر با ۵ است.", "برای محاسبه محیط، طول ضلع را در ۳ ضرب می‌کنیم: ۵ × ۳ = ۱۵.", "بنابراین، محیط مثلث متساوی الاضلاع برابر با ۱۵ است.", "✅ جواب: ۱۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "ماشین ورودی ـ خروجی (۱)", "ماشین ورودی-خروجی با ضرب و تقسیم"], {"steps": ["عدد ورودی ۱۲ را بر ۳ تقسیم می‌کنیم.", "۱۲ ÷ ۳ = ۴.", "عدد خروجی ۴ است.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "ماشین ورودی ـ خروجی (۱)", "محاسبه محیط مربع"], {"steps": ["طول یک ضلع مربع برابر با ۷ سانتی‌متر است.", "برای محاسبه محیط، طول ضلع را در ۴ ضرب می‌کنیم: ۷ × ۴ = ۲۸ سانتی‌متر.", "بنابراین، محیط مربع برابر با ۲۸ سانتی‌متر است.", "✅ جواب: ۲۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "ماشین ورودی ـ خروجی (۱)", "تکمیل جدول طول ضلع و محیط مربع"], {"steps": ["محیط مربع برابر است با ۴ برابر طول ضلع.", "محیط = ۴ × ۵ = ۲۰ سانتی‌متر.", "پس محیط مربع ۲۰ سانتی‌متر است.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "ماشین ورودی ـ خروجی (۲)", "ماشین‌های عددی و ترکیب عملیات"], {"intro": "۱. عدد ورودی را در ماشین اول قرار دهید و عملیات مشخص شده را انجام دهید. ۲. عدد خروجی ماشین اول را به عنوان ورودی ماشین دوم قرار دهید و عملیات آن را انجام دهید. ۳. عدد خروجی ماشین دوم، جواب نهایی است.", "example": "اگر عدد ورودی ۵ باشد، ماشین اول عدد ورودی را در ۳ ضرب می‌کند و ماشین دوم عدد ورودی را ۴ واحد کم می‌کند. عدد خروجی ماشین دوم چه خواهد بود؟", "steps": ["عدد ورودی ۵ را در ماشین اول قرار می‌دهیم و آن را در ۳ ضرب می‌کنیم: ۵ × ۳ = ۱۵.", "عدد خروجی ماشین اول که ۱۵ است را به عنوان ورودی ماشین دوم قرار می‌دهیم.", "عدد ورودی ماشین دوم را ۴ واحد کم می‌کنیم: ۱۵ - ۴ = ۱۱.", "✅ جواب: ۱۱"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "ماشین ورودی ـ خروجی (۲)", "ماشین‌های عددی با عملیات ترکیبی و منفی"], {"intro": "۱. عدد ورودی را در ماشین اول قرار دهید و عملیات ضرب را انجام دهید. ۲. عدد خروجی ماشین اول را به ماشین دوم بدهید و عدد ۲ را از آن کم کنید. ۳. عدد خروجی ماشین دوم، جواب نهایی است.", "example": "اگر عدد ورودی ۳ باشد، ماشین اول آن را در ۵ ضرب می‌کند و سپس ماشین دوم ۲ واحد از آن کم می‌کند. عدد خروجی ماشین اول را محاسبه کنید و سپس عدد خروجی ماشین دوم را بیابید.", "steps": ["عدد ورودی ۳ را در ۵ ضرب می‌کنیم: ۳ × ۵ = ۱۵.", "عدد خروجی ماشین اول ۱۵ است. حالا ۲ را از آن کم می‌کنیم: ۱۵ - ۲ = ۱۳.", "عدد خروجی ماشین دوم ۱۳ است.", "✅ جواب: ۱۳"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "ماشین ورودی ـ خروجی (۳)", "پر کردن جاهای خالی در ماشین‌های عددی"], {"intro": "۱. عدد ورودی را در ماشین اول قرار دهید و عملیات مشخص شده را انجام دهید. ۲. عدد خروجی ماشین اول را به ماشین دوم بدهید و عملیات دوم را انجام دهید. ۳. عدد خروجی ماشین دوم را محاسبه کنید و جاهای خالی را پر کنید.", "example": "در یک ماشین عددی، ابتدا عدد ورودی در ۳ ضرب می‌شود و سپس ۵ واحد به آن اضافه می‌شود. اگر ورودی‌ها ۲، ۳ و ۵ باشند، جاهای خالی را پر کنید.", "steps": ["برای ورودی ۲: ۲ × ۳ = ۶ و ۶ + ۵ = ۱۱", "برای ورودی ۳: ۳ × ۳ = ۹ و ۹ + ۵ = ۱۴", "برای ورودی ۵: ۵ × ۳ = ۱۵ و ۱۵ + ۵ = ۲۰", "✅ جواب: ۱۱، ۱۴، ۲۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "ماشین ورودی ـ خروجی (۳)", "تکمیل جای خالی در الگوهای عددی با ضرب و تفریق"], {"example": "عدد مجهول × ۴ = ۳۲", "steps": ["برای پیدا کردن عدد مجهول، ۳۲ را بر ۴ تقسیم می‌کنیم.", "۳۲ ÷ ۴ = ۸", "عدد مجهول برابر با ۸ است.", "✅ جواب: ۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "ماشین ورودی ـ خروجی (۳)", "تکمیل تساوی‌های جمع و تفریق اعداد بزرگ"], {"steps": ["برای پیدا کردن تعداد کل درختان، تعداد درختان سیب و گلابی را با هم جمع می‌کنیم.", "۲۴ + ۳۵ = ۵۹", "پس تعداد کل درختان در باغ ۵۹ درخت است.", "✅ جواب: ۵۹"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۱)", "خواندن و نوشتن اعداد بزرگ با استفاده از جدول ارزش مکانی"], {"intro": "۱. عدد داده شده را به بخش‌های میلیون، هزار، صدگان، دهگان و یکان تقسیم کنید. ۲. هر بخش را در جدول ارزش مکانی قرار دهید. ۳. عدد را با توجه به جایگاه هر رقم بخوانید و بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۱)", "تکمیل جدول ارزش مکانی با توجه به شکل چرتکه"], {"intro": "۱. تعداد مهره‌های هر ستون چرتکه را بشمارید. ۲. هر ستون را با توجه به جایگاه آن (یکان، دهگان، صدگان، هزار، ده هزار، صد هزار، میلیون) مشخص کنید. ۳. عدد متناظر با مهره‌ها را در جدول ارزش مکانی بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۲)", "تبدیل عدد ریالی به تومان و بالعکس"], {"intro": "۱. مقدار ریال داده شده را بر ۱۰ تقسیم کنید تا مقدار تومان را به دست آورید. ۲. برای تبدیل تومان به ریال، مقدار تومان را در ۱۰ ضرب کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۲)", "حذف ارقام یکان، دهگان و صدگان و نوشتن عدد به صورت حروف"], {"intro": "۱. ارقام یکان، دهگان و صدگان عدد را حذف کنید و به جای آن‌ها صفر قرار دهید. ۲. عدد جدید را به صورت حروف بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۲)", "مقایسه و تقریب اعداد به نزدیک‌ترین صد هزار"], {"intro": "۱. اعداد داده شده را به نزدیک‌ترین صد هزار تقریب بزنید. ۲. عددی که به عدد داده شده نزدیک‌تر است را مشخص کنید. ۳. آن عدد را رنگ کنید یا علامت بزنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۲)", "مقایسه اعداد بزرگ"], {"intro": "۱. اعداد را از سمت چپ به راست با توجه به ارزش مکانی هر رقم مقایسه کنید. ۲. اگر تعداد ارقام متفاوت بود، عددی که رقم‌های بیشتری دارد بزرگ‌تر است. ۳. اگر تعداد ارقام برابر بود، رقم به رقم مقایسه کنید تا اولین رقم متفاوت را بیابید. ۴. علامت مناسب (بزرگتر یا کوچکتر) را بین اعداد قرار دهید.", "example": "عدد ۳,۲۴۵,۶۷۸ را با عدد ۳,۲۴۵,۶۸۹ مقایسه کنید و علامت مناسب را بین آنها قرار دهید.", "steps": ["هر دو عدد دارای ۷ رقم هستند، بنابراین باید رقم به رقم مقایسه کنیم.", "در مقایسه، اولین رقم متفاوت را در سمت چپ پیدا می‌کنیم. هر دو عدد در ۳ برابر هستند.", "در رقم بعدی، هر دو عدد ۲ دارند. در رقم سوم نیز هر دو عدد ۴ هستند.", "در رقم چهارم، هر دو عدد ۵ هستند. در رقم پنجم، عدد اول ۶ و عدد دوم ۸ است.", "عدد ۶ کمتر از عدد ۸ است پس ۳,۲۴۵,۶۷۸ کوچکتر از ۳,۲۴۵,۶۸۹ است.", "✅ جواب: ۳,۲۴۵,۶۷۸ < ۳,۲۴۵,۶۸۹"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۲)", "مقایسه دو عدد بزرگ با توضیح"], {"intro": "۱. اعداد را با دقت بخوانید و ارزش مکانی هر رقم را مشخص کنید. ۲. تعداد ارقام هر عدد را بررسی کنید. عددی که رقم‌های بیشتری دارد بزرگ‌تر است. ۳. اگر تعداد ارقام برابر بود، رقم به رقم مقایسه کنید تا اولین رقم متفاوت را بیابید. ۴. نتیجه مقایسه را با توجه به ارزش مکانی و رقم‌های متفاوت توضیح دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۲)", "مقایسه اعداد با انتخاب علامت مناسب"], {"intro": "۱. اعداد داده شده را با دقت بخوانید. ۲. تعداد ارقام هر عدد را بررسی کنید. ۳. اگر تعداد ارقام برابر بود، رقم به رقم مقایسه کنید. ۴. علامت مناسب (بزرگتر یا کوچکتر) را بین اعداد قرار دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۳)", "مقایسه تعداد ضربان قلب در یک ساعت"], {"intro": "۱. تعداد ضربان قلب هر موجود را در یک ساعت محاسبه کنید. ۲. اعداد به دست آمده را با هم مقایسه کنید. ۳. عدد بزرگ‌تر نشان‌دهنده تعداد ضربان بیشتر است. ۴. نتیجه را بیان کنید که کدام ضربان بیشتر است."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۳)", "جمع و تفریق اعداد بزرگ با ماشین حساب"], {"intro": "۱. اعداد داده شده را با ماشین حساب جمع یا تفریق کنید. ۲. حاصل جمع یا تفریق را یادداشت کنید. ۳. در جاهای خالی داده شده، اعداد مناسب را قرار دهید تا معادله درست شود. ۴. پاسخ خود را با دوستان مقایسه کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۳)", "محاسبه تعداد جا برای افراد در مکان‌های مختلف"], {"intro": "۱. تعداد کل افراد یا ظرفیت کل مکان را مشخص کنید.\n۲. تعداد مکان‌ها یا واحدهای کوچک‌تر را مشخص کنید.\n۳. برای یافتن تعداد جا در هر مکان، تعداد کل را بر تعداد مکان‌ها تقسیم کنید.\n۴. اگر تعداد کل یا مکان‌ها بزرگ است، از تقریب استفاده کنید.", "steps": ["تعداد کل صندلی‌ها ۵۰ است.", "تعداد بخش‌ها ۵ است.", "برای یافتن تعداد صندلی در هر بخش، ۵۰ را بر ۵ تقسیم می‌کنیم.", "۵۰ ÷ ۵ = ۱۰. بنابراین، هر بخش ۱۰ صندلی دارد.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۳)", "محاسبه تعداد مکان‌های مورد نیاز برای جمعیت مشخص"], {"intro": "۱. ظرفیت هر مکان را مشخص کنید (مثلاً هر اتاق چند نفر جا دارد).\n۲. تعداد کل افراد را مشخص کنید.\n۳. تعداد مکان‌های مورد نیاز را با تقسیم تعداد کل افراد بر ظرفیت هر مکان به دست آورید.\n۴. اگر نتیجه عدد اعشاری بود، آن را به عدد صحیح بالاتر گرد کنید چون مکان نمی‌تواند کسری باشد.", "steps": ["تعداد کل افراد ۲۵۰ نفر است.", "ظرفیت هر اتاق ۵ نفر است.", "تعداد اتاق‌های مورد نیاز را با تقسیم ۲۵۰ بر ۵ محاسبه می‌کنیم: ۲۵۰ ÷ ۵ = ۵۰.", "چون ۵۰ عدد صحیح است، نیازی به گرد کردن نیست.", "✅ جواب: ۵۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۳)", "تخمین تعداد افراد در مکان‌های مختلف"], {"intro": "۱. اطلاعات داده شده درباره ظرفیت یا تعداد افراد در هر مکان را بررسی کنید.\n۲. با استفاده از تقریب، تعداد افراد یا مکان‌ها را به صورت عددی ساده بیان کنید.\n۳. برای هر شکل یا مکان، تعداد تقریبی را بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۳)", "تحلیل و پاسخ به سوالات جدول جمعیتی"], {"intro": "۱. جدول داده شده را با دقت بررسی کنید و اعداد مربوط به جمعیت، تعداد دانش‌آموزان و تعداد مدارس را استخراج کنید.\n۲. برای هر سوال، داده‌های مربوطه را از جدول بردارید.\n۳. برای مقایسه‌ها، اعداد را با هم مقایسه کنید.\n۴. برای محاسبات، جمع یا تفریق یا ضرب را انجام دهید.\n۵. پاسخ‌ها را به صورت عددی و دقیق بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۴)", "جمع و تفریق اعداد بزرگ"], {"intro": "۱. اعداد را به صورت ستونی زیر هم بنویسید.\n۲. از سمت راست شروع به جمع یا تفریق ارقام کنید.\n۳. اگر جمع ارقام بیشتر از ۹ شد، رقم دهگان را به ستون بعدی منتقل کنید.\n۴. در تفریق، اگر رقم بالا کوچکتر از رقم پایین بود، از ستون سمت چپ قرض بگیرید.\n۵. نتیجه را به صورت عدد کامل بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۴)", "تعیین ارزش مکانی ارقام در عدد"], {"steps": ["رقم ۳ در عدد ۵۳۲۴ در جایگاه صدگان قرار دارد.", "ارزش مکانی رقم ۳ برابر است با ۳ × ۱۰۰.", "محاسبه می‌کنیم: ۳ × ۱۰۰ = ۳۰۰.", "بنابراین، ارزش مکانی رقم ۳ در عدد ۵۳۲۴ برابر با ۳۰۰ است.", "✅ جواب: ۳۰۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۵)", "شناسایی الگوهای هندسی و شمارش اشکال"], {"intro": "۱. الگوهای داده شده را با دقت مشاهده کنید.\n۲. تعداد اشکال مختلف (مربع، مثلث، و غیره) را در هر شکل بشمارید.\n۳. رابطه بین تعداد اشکال در شکل‌های متوالی را پیدا کنید.\n۴. با توجه به الگو، تعداد اشکال در شکل ششم را مشخص کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۵)", "تفسیر اعداد بزرگ و نمایش ارزش مکانی"], {"intro": "۱. عدد داده شده را به صورت رقم به رقم بررسی کنید.\n۲. ارزش مکانی هر رقم را مشخص کنید (مثلاً هزار، ده هزار، صد هزار و غیره).\n۳. با توجه به ارزش مکانی، معنی عدد را توضیح دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۵)", "محاسبه ضخامت با انباشتن اشیاء"], {"intro": "۱. ضخامت یک برگه کاغذ را بدانید یا فرض کنید.\n۲. تعداد برگه‌ها را در ضخامت یک برگه ضرب کنید.\n۳. نتیجه را به صورت تقریبی بیان کنید.", "example": "اگر ضخامت یک برگه کاغذ ۰٫۱ سانتی‌متر باشد، ضخامت ۲۰۰ برگه کاغذ را محاسبه کنید.", "steps": ["ضخامت یک برگه کاغذ را ۰٫۱ سانتی‌متر فرض می‌کنیم.", "برای محاسبه ضخامت ۲۰۰ برگه، ۲۰۰ را در ۰٫۱ ضرب می‌کنیم.", "۲۰۰ × ۰٫۱ = ۲۰ سانتی‌متر.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۶)", "تخمین قیمت و مقایسه اعداد"], {"intro": "۱. قیمت هر وسیله را به صورت تقریبی در نظر بگیرید.\n۲. قیمت‌ها را با هم مقایسه کنید.\n۳. نتیجه را به صورت عددی یا بازه تقریبی بیان کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۶)", "پر کردن جاهای خالی با اعداد بزرگ و شمارش دسته‌ای"], {"intro": "۱. عدد داده شده را به صورت دسته‌های مشخص تقسیم کنید.\n۲. تعداد دسته‌ها را با توجه به عدد داده شده محاسبه کنید.\n۳. جاهای خالی را با اعداد مناسب پر کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۶)", "نوشتن و حل تفریق اعداد بزرگ"], {"intro": "۱. عدد بزرگ‌تر را به عنوان عدد اول بنویسید.\n۲. عدد کوچکتر را زیر آن بنویسید به گونه‌ای که رقم‌ها در ستون‌های مناسب قرار گیرند.\n۳. تفریق را از سمت راست به چپ انجام دهید، در صورت نیاز قرض بگیرید.\n۴. جواب را به صورت عددی بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۶)", "تعیین تعداد نقاط در الگوهای عددی"], {"intro": "۱. تعداد نقاط هر شکل را بشمارید.\n۲. رابطه بین شماره شکل و تعداد نقاط را پیدا کنید.\n۳. الگو را ادامه دهید تا تعداد نقاط شکل ششم را بیابید.\n۴. از رابطه یا فرمول به دست آمده برای محاسبه تعداد نقاط شکل ششم استفاده کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۶)", "نمایش عدد روی محور اعداد بزرگ"], {"intro": "۱. محور اعداد را به بخش‌های مساوی تقسیم کنید (مثلاً هر بخش ۱۰۰۰ یا ۱۰۰۰۰۰۰).\n۲. عدد مورد نظر را در بازه مناسب روی محور قرار دهید.\n۳. اگر عدد دقیق روی محور نیست، آن را به نزدیک‌ترین بخش تقسیم شده تقریب بزنید.\n۴. عدد را با توجه به تقسیم‌بندی روی محور مشخص کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۱)", "تعیین مقدار عددی فاصله روی خط‌کش به صورت کسر"], {"intro": "۱. فاصله مورد نظر را روی خط‌کش مشخص کنید.\n۲. فاصله را به واحدهای کوچکتر (میلی‌متر یا سانتی‌متر) بشمارید.\n۳. فاصله را به صورت کسر واحد اندازه‌گیری بیان کنید (مثلاً ۱/۲ سانتی‌متر).\n۴. در صورت نیاز، کسر را به عدد مخلوط تبدیل کنید (مثلاً ۳ و ۱/۲ سانتی‌متر)."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۱)", "نمایش اعداد کسری روی محور اعداد و تبدیل به عدد مخلوط"], {"intro": "۱. عدد کسری داده شده را روی محور اعداد مشخص کنید.\n۲. محل دقیق عدد را با توجه به واحدهای تقسیم شده روی محور پیدا کنید.\n۳. اگر عدد کسری بزرگتر از ۱ است، آن را به عدد مخلوط تبدیل کنید.\n۴. عدد مخلوط را به صورت 'عدد صحیح و کسر' بیان کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۱)", "مقایسه کسرها با مخرج‌های متفاوت"], {"example": "کدام بزرگ‌تر است: کسر ۳/۴ یا کسر ۵/۶؟", "steps": ["برای مقایسه کسرها، ابتدا مخرج مشترک را پیدا می‌کنیم. مخرج مشترک ۱۲ است.", "کسر ۳/۴ را به مخرج ۱۲ تبدیل می‌کنیم: ۳ × ۳ = ۹ و ۴ × ۳ = ۱۲، پس ۳/۴ = ۹/۱۲.", "کسر ۵/۶ را به مخرج ۱۲ تبدیل می‌کنیم: ۵ × ۲ = ۱۰ و ۶ × ۲ = ۱۲، پس ۵/۶ = ۱۰/۱۲.", "حالا صورت‌ها را مقایسه می‌کنیم: ۹ < ۱۰ پس ۹/۱۲ < ۱۰/۱۲.", "✅ جواب: ۵/۶"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۱)", "تقسیم نان به قسمت‌های مساوی و مقایسه کسرها"], {"example": "اگر یک نان را به ۶ قسمت مساوی تقسیم کنیم و ۲ قسمت از آن را برداریم، کدام کسر بزرگ‌تر است: ۲/۶ یا ۱/۳؟", "steps": ["برای مقایسه کسرها، ابتدا کسر ۲/۶ را ساده می‌کنیم. ۲/۶ برابر است با ۱/۳.", "حالا دو کسر را داریم: ۱/۳ و ۱/۳.", "چون هر دو کسر برابر هستند، بنابراین هیچ کدام بزرگ‌تر نیست.", "نتیجه می‌گیریم که ۲/۶ برابر با ۱/۳ است.", "✅ جواب: برابر"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۱)", "تشخیص کسر از تقسیم شکل"], {"intro": "۱. شکل یا نوار داده شده را به تعداد قسمت‌های مساوی تقسیم کنید. ۲. تعداد قسمت‌های رنگ شده یا مشخص شده را بشمارید. ۳. کسر را به صورت تعداد قسمت‌های رنگ شده بر تعداد کل قسمت‌ها بنویسید.", "steps": ["تعداد کل قسمت‌ها برابر با ۸ است.", "تعداد قسمت‌های رنگ شده برابر با ۳ است.", "کسر مربوط به قسمت‌های رنگ شده برابر است با ۳/۸.", "✅ جواب: ۳/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۲)", "تشخیص کسر از تعداد شمع‌های روشن"], {"intro": "۱. تعداد کل اشیاء (مثلاً شمع‌ها) را بشمارید. ۲. تعداد اشیاء مشخص (مثلاً شمع‌های روشن) را بشمارید. ۳. کسر را به صورت تعداد اشیاء مشخص بر تعداد کل اشیاء بنویسید.", "steps": ["تعداد کل شمع‌ها ۱۲ است.", "تعداد شمع‌های روشن ۷ است.", "کسر شمع‌های روشن نسبت به کل شمع‌ها برابر است با ۷/۱۲.", "✅ جواب: ۷/۱۲"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۲)", "تشخیص کسر از شکل‌های رنگی"], {"intro": "۱. تعداد کل شکل‌ها را بشمارید. ۲. تعداد شکل‌های رنگ شده (مثلاً قرمز) را بشمارید. ۳. کسر را به صورت تعداد شکل‌های رنگ شده بر تعداد کل شکل‌ها بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۲)", "تشخیص کسر از شکل‌های ترکیبی"], {"intro": "۱. تعداد کل قسمت‌های شکل ترکیبی را بشمارید. ۲. تعداد قسمت‌های رنگ شده را بشمارید. ۳. کسر را به صورت تعداد قسمت‌های رنگ شده بر تعداد کل قسمت‌ها بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۲)", "وصل کردن شکل‌های مشابه بر اساس کسر"], {"intro": "۱. کسر هر شکل را مشخص کنید. ۲. شکل‌هایی که کسرهای برابر دارند را پیدا کنید. ۳. شکل‌های مشابه را به هم وصل کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۲)", "رنگ‌آمیزی شکل‌ها بر اساس کسر داده شده"], {"intro": "۱. تعداد کل اشکال را بشمارید. ۲. صورت کسر را به عنوان تعداد اشکالی که باید رنگ شوند در نظر بگیرید. ۳. همان تعداد از اشکال را رنگ کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۲)", "تشخیص کسر شکل‌های رنگ شده با ایجاد قسمت‌های مساوی"], {"intro": "۱. شکل را به قسمت‌های مساوی تقسیم کنید. ۲. تعداد قسمت‌های کل را به عنوان مخرج کسر در نظر بگیرید. ۳. تعداد قسمت‌های رنگ شده را به عنوان صورت کسر در نظر بگیرید. ۴. کسر را به صورت صورت بر مخرج بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۳)", "نوشتن عدد کسر برای شکل‌های رنگ شده با توجه به واحد معرفی شده"], {"intro": "۱. واحد معرفی شده را بشناسید (مثلاً یک دایره کامل یا یک مثلث کامل). ۲. تعداد کل قسمت‌های واحد را بشمارید. ۳. تعداد قسمت‌های رنگ شده را بشمارید. ۴. عدد کسر را به صورت تعداد رنگ شده بر تعداد کل قسمت‌ها بنویسید.", "steps": ["تعداد کل قسمت‌های دایره را می‌شماریم: ۸ قسمت.", "تعداد قسمت‌های رنگ شده را می‌شماریم: ۳ قسمت.", "عدد کسر را به صورت تعداد قسمت‌های رنگ شده بر تعداد کل قسمت‌ها می‌نویسیم: ۳/۸.", "✅ جواب: ۳/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۳)", "خواندن و نوشتن عدد مخلوط"], {"intro": "۱. عدد مخلوط شامل یک عدد صحیح و یک کسر است. ۲. عدد صحیح را از تعداد کل واحدهای کامل مشخص می‌کنیم. ۳. کسر را از بخش‌های تقسیم شده واحد کامل که پر شده‌اند، تعیین می‌کنیم. ۴. عدد مخلوط را به صورت عدد صحیح به علاوه کسر می‌نویسیم."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۳)", "نمایش عدد مخلوط به صورت شکل"], {"intro": "۱. عدد مخلوط را به عدد صحیح و کسر تقسیم کنید. ۲. برای عدد صحیح، به همان تعداد واحد کامل رسم کنید. ۳. واحد بعدی را به تعداد مخرج کسر قسمت کنید. ۴. به تعداد صورت کسر قسمت‌ها را رنگ کنید. ۵. شکل نهایی عدد مخلوط را نشان می‌دهد."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۳)", "تعیین کسر یا عدد مخلوط از روی شکل‌ها"], {"intro": "۱. تعداد کل قسمت‌ها یا اشیاء را بشمارید (مخرج کسر).\n۲. تعداد قسمت‌های رنگ شده یا روشن را بشمارید (صورت کسر).\n۳. اگر تعداد قسمت‌های رنگ شده بیشتر از تعداد کل قسمت‌ها باشد، عدد مخلوط است و به صورت عدد صحیح به علاوه کسر نوشته می‌شود.\n۴. کسر یا عدد مخلوط را بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۳)", "نوشتن کسر مربوط به شکل‌های رنگ شده"], {"intro": "۱. تعداد کل قسمت‌های شکل را بشمارید (مخرج کسر).\n۲. تعداد قسمت‌های رنگ شده را بشمارید (صورت کسر).\n۳. کسر را به صورت صورت بر مخرج بنویسید.", "steps": ["تعداد کل قسمت‌های شکل ۱۲ است که مخرج کسر می‌شود.", "تعداد قسمت‌های رنگ شده ۴ است که صورت کسر می‌شود.", "کسر مربوط به قسمت‌های رنگ شده را به صورت ۴/۱۲ بنویسید.", "✅ جواب: ۴/۱۲"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۴)", "تعیین عدد مخلوط از شکل‌های کسر"], {"intro": "۱. تعداد کل قسمت‌های شکل را بشمارید. ۲. تعداد قسمت‌های رنگ شده را بشمارید. ۳. اگر قسمت‌های رنگ شده بیشتر از تعداد کل قسمت‌ها باشد، عدد مخلوط را به صورت تعداد کل قسمت‌ها به عنوان عدد صحیح و باقی‌مانده به عنوان کسر بنویسید. ۴. عدد مخلوط را به صورت عدد صحیح و کسر بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۴)", "تعیین کسر از شکل‌های رنگ شده"], {"intro": "۱. شکل را به قسمت‌های مساوی تقسیم کنید. ۲. تعداد قسمت‌های کل را بشمارید. ۳. تعداد قسمت‌های رنگ شده را بشمارید. ۴. کسر را به صورت تعداد قسمت‌های رنگ شده بر تعداد کل قسمت‌ها بنویسید. ۵. اگر شکل تانگرام است، تعداد کل قطعات و قطعات رنگ شده را بشمارید و کسر را بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۴)", "مقایسه کسرها و تعیین کسر بزرگتر"], {"intro": "۱. کسرها را با مخرج‌های یکسان مقایسه کنید. ۲. اگر مخرج‌ها متفاوت است، کسرها را به مخرج مشترک تبدیل کنید. ۳. صورت کسر بزرگتر نشان‌دهنده کسر بزرگتر است. ۴. عدد مخلوط را به کسر تبدیل کنید و سپس مقایسه کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۴)", "تشخیص درست یا نادرست بودن جملات با توجه به شکل‌ها"], {"intro": "۱. شکل‌ها را بررسی کنید و مقدار کسر رنگ شده را تعیین کنید. ۲. جملات داده شده را با توجه به مقدار کسرها بررسی کنید. ۳. جملات درست را مشخص کنید و دلیل آن را با توجه به شکل‌ها بنویسید. ۴. جملات نادرست را نیز مشخص کنید و دلیل نادرستی آن‌ها را توضیح دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۴)", "مقایسه مقدار پول و نصف آن"], {"intro": "۱. مقدار پول اولیه را مشخص کنید. ۲. نصف مقدار پول را محاسبه کنید. ۳. جملات داده شده را با توجه به مقدار پول و نصف آن بررسی کنید. ۴. جملات درست را مشخص کنید و دلیل آن را بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۱)", "جمع کسرها با مخرج مساوی"], {"intro": "۱. اطمینان حاصل کنید که مخرج کسرها برابر است.\n۲. صورت کسرها را با هم جمع کنید.\n۳. مخرج کسر را ثابت نگه دارید.\n۴. اگر لازم است، کسر حاصل را ساده کنید.", "example": "کسرهای ۳/۸ و ۲/۸ را جمع کنید.", "steps": ["مخرج کسرها برابر است و ۸ است.", "صورت کسرها را با هم جمع می‌کنیم: ۳ + ۲ = ۵.", "کسر حاصل را می‌نویسیم: ۵/۸.", "کسر ۵/۸ ساده نمی‌شود.", "✅ جواب: ۵/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۱)", "جمع کسرها با مخرج‌های مختلف"], {"intro": "۱. مخرج مشترک کوچک‌ترین را پیدا کنید.\n۲. صورت کسرها را با توجه به مخرج مشترک جدید تغییر دهید.\n۳. صورت‌ها را جمع کنید.\n۴. مخرج را ثابت نگه دارید.\n۵. کسر را در صورت امکان ساده کنید.", "example": "حاصل جمع ۱/۲ + ۱/۶ را به دست آورید.", "steps": ["مخرج‌های کسرها ۲ و ۶ است.", "کوچک‌ترین مخرج مشترک ۶ است.", "کسر ۱/۲ را به کسر مساوی با مخرج ۶ تبدیل می‌کنیم: ۱/۲ = ۳/۶.", "حال جمع را انجام می‌دهیم: ۳/۶ + ۱/۶ = ۴/۶.", "✅ جواب: ۲/۳"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۱)", "تفریق کسرها با مخرج مساوی"], {"intro": "۱. اطمینان حاصل کنید که مخرج کسرها برابر است.\n۲. صورت کسرها را از هم کم کنید.\n۳. مخرج کسر را ثابت نگه دارید.\n۴. کسر حاصل را در صورت امکان ساده کنید.", "example": "کسرهای ۴/۹ و ۲/۹ را از هم کم کنید.", "steps": ["مخرج کسرها برابر است و برابر با ۹ است.", "صورت کسر اول ۴ و صورت کسر دوم ۲ است.", "۴ - ۲ = ۲", "مخرج کسر را ثابت نگه می‌داریم و کسر جدید را می‌نویسیم: ۲/۹.", "کسر ۲/۹ قابل ساده‌سازی نیست.", "✅ جواب: ۲/۹"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۱)", "نوشتن عبارت جمع یا تفریق مربوط به شکل‌های کسر"], {"intro": "۱. تعداد قسمت‌های رنگ شده را بشمارید.\n۲. تعداد کل قسمت‌ها را مشخص کنید.\n۳. کسر مربوط به هر شکل را بنویسید.\n۴. عبارت جمع یا تفریق را بر اساس شکل‌ها بنویسید.\n۵. اگر لازم است، حاصل را محاسبه کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۱)", "جمع کسرها با استفاده از محور عددی"], {"intro": "۱. کسر اول را روی محور عددی مشخص کنید.\n۲. از نقطه کسر اول به اندازه کسر دوم به سمت راست حرکت کنید.\n۳. نقطه جدید محل حاصل جمع است.\n۴. مقدار حاصل جمع را روی محور بخوانید.", "example": "حاصل جمع کسرهای ۲/۵ و ۱/۵ را با استفاده از محور عددی پیدا کنید.", "steps": ["کسر ۲/۵ را روی محور عددی مشخص می‌کنیم.", "از نقطه ۲/۵ به اندازه ۱/۵ به سمت راست حرکت می‌کنیم.", "نقطه جدید به ۳/۵ می‌رسد.", "مقدار حاصل جمع را روی محور عددی می‌خوانیم و به ۳/۵ می‌رسیم.", "✅ جواب: ۳/۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۱)", "جمع و تفریق کسرها با مخرج مشترک"], {"intro": "۱. اطمینان حاصل کنید که مخرج کسرها یکسان است.\n۲. صورت کسرها را با هم جمع یا تفریق کنید.\n۳. مخرج کسر را ثابت نگه دارید.\n۴. اگر لازم بود، کسر را ساده کنید.", "example": "کسرهای ۵/۱۲ و ۷/۱۲ را جمع کنید.", "steps": ["مخرج کسرها یکسان است و برابر با ۱۲ است.", "صورت کسرها را با هم جمع می‌کنیم: ۵ + ۷ = ۱۲.", "کسر جدید را می‌نویسیم: ۱۲/۱۲.", "کسر ۱۲/۱۲ را ساده می‌کنیم و به ۱ تبدیل می‌شود.", "✅ جواب: ۱"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۲)", "جمع کسرها با مخرج‌های مختلف با استفاده از شکل و مدل"], {"intro": "۱. مخرج‌های کسرها را پیدا کنید.\n۲. مخرج مشترک پیدا کنید یا کسرها را به صورت مدل‌های تصویری نمایش دهید.\n۳. قسمت‌های مساوی را بشمارید و جمع کنید.\n۴. نتیجه را به صورت کسر بنویسید و در صورت امکان ساده کنید.", "example": "مریم ۱/۴ از یک پیتزا و علی ۱/۳ از همان پیتزا را خورده‌اند. چند قسمت از پیتزا خورده شده است؟", "steps": ["مخرج‌های کسرها ۴ و ۳ هستند.", "مخرج مشترک ۱۲ است.", "۱/۴ را به ۳/۱۲ تبدیل می‌کنیم و ۱/۳ را به ۴/۱۲ تبدیل می‌کنیم.", "حالا ۳/۱۲ + ۴/۱۲ = ۷/۱۲ می‌شود.", "نتیجه را به صورت کسر نوشتیم و ساده نمی‌شود.", "✅ جواب: ۷/۱۲"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۲)", "جمع کسرها با استفاده از خط اعداد"], {"intro": "۱. کسر اول را روی خط عدد مشخص کنید.\n۲. به اندازه صورت کسر دوم به جلو حرکت کنید.\n۳. نقطه جدید روی خط عدد محل جمع کسرها است.\n۴. مقدار کسر جمع شده را بخوانید و بنویسید.", "example": "جمع کسرهای ۳/۸ و ۱/۴ را روی خط عدد نشان دهید و حاصل را بنویسید.", "steps": ["کسر ۳/۸ را روی خط عدد مشخص می‌کنیم. این کسر برابر با ۰٫۳۷۵ است.", "کسر ۱/۴ را به کسر معادل ۲/۸ تبدیل می‌کنیم تا با کسر اول جمع شود.", "از نقطه ۳/۸ به اندازه ۲/۸ به جلو حرکت می‌کنیم که به نقطه ۵/۸ می‌رسیم.", "مقدار کسر جمع شده ۵/۸ است و آن را می‌نویسیم.", "✅ جواب: ۵/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۲)", "جمع کسرها در مسائل کاربردی (مسائل کسرهای حمل و نقل و تولید)"], {"intro": "۱. کسرهای داده شده را شناسایی کنید.\n۲. مخرج کسرها را بررسی کنید و اگر لازم است مخرج مشترک پیدا کنید.\n۳. صورت کسرها را جمع کنید.\n۴. کسر حاصل را ساده کنید.\n۵. پاسخ را به صورت کسر نهایی بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۲)", "تفریق کسرها در مسائل کاربردی (مسائل تولید مرغداری)"], {"intro": "۱. کسر کل تولید را شناسایی کنید.\n۲. کسر تولیدی که قبلاً حمل شده را شناسایی کنید.\n۳. کسر دوم را از کسر اول کم کنید.\n۴. مخرج کسرها را بررسی کنید و اگر لازم است مخرج مشترک پیدا کنید.\n۵. صورت کسرها را تفریق کنید.\n۶. کسر حاصل را ساده کنید و پاسخ را بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۲)", "جمع کسرها با مخرج‌های مساوی"], {"example": "حاصل جمع کسرهای ۳/۸ و ۲/۸ را به دست آورید.", "steps": ["صورت اول را با صورت دوم جمع می‌کنیم: ۳ + ۲ = ۵.", "مخرج را ثابت نگه می‌داریم: مخرج ۸ باقی می‌ماند.", "حاصل جمع کسرها می‌شود: ۵/۸.", "✅ جواب: ۵/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۲)", "جمع کسرها با مخرج‌های مساوی (مثال‌های دیگر)"], {"example": "حاصل جمع کسرهای ۲/۵ + ۱/۵ را به دست آورید.", "steps": ["صورت اول را می‌نویسیم: ۲ و صورت دوم را می‌نویسیم: ۱.", "حالا صورت‌ها را جمع می‌کنیم: ۲ + ۱ = ۳.", "مخرج کسرها ثابت است و برابر با ۵ می‌ماند.", "بنابراین کسر جدید ما ۳/۵ است.", "کسر ۳/۵ ساده نمی‌شود و همین جواب نهایی است.", "✅ جواب: ۳/۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۳)", "تفریق کسرها با مخرج‌های مساوی"], {"example": "حاصل تفریق کسرهای ۳/۵ - ۱/۵ را به دست آورید.", "steps": ["صورت اول را از صورت دوم کم می‌کنیم: ۳ - ۱ = ۲.", "مخرج را ثابت نگه می‌داریم: مخرج ۵ باقی می‌ماند.", "کسر جدید را می‌نویسیم: ۲/۵.", "کسر ۲/۵ ساده نمی‌شود.", "✅ جواب: ۲/۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۳)", "نوشتن کسر مناسب در جاهای خالی برای کامل کردن تساوی‌ها"], {"intro": "برای کامل کردن تساوی‌هایی که مجموع دو کسر برابر ۱ است، کافی است کسر دوم را طوری بنویسیم که جمع صورت‌ها بر مخرج برابر ۱ شود. معمولاً مخرج‌ها برابر است و صورت‌ها باید جمع شوند تا مخرج را بسازند.", "example": "کسر مناسب را در جاهای خالی بنویسید تا تساوی ۳/۸ + ___ = ۱ برقرار شود.", "steps": ["مخرج کسر اول ۸ است و برای کامل کردن تساوی باید صورت کسر دوم را پیدا کنیم.", "برای این کار، صورت کسر دوم را محاسبه می‌کنیم: ۱ - ۳/۸ = ۸/۸ - ۳/۸ = ۵/۸.", "بنابراین کسر مناسب برای کامل کردن تساوی ۵/۸ است.", "✅ جواب: ۵/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۴)", "جمع کسرها"], {"steps": ["مخرج مشترک کسرها ۶ است.", "برای تبدیل ۲/۳ به مخرج ۶، صورت را در ۲ ضرب می‌کنیم: ۲ × ۲ = ۴ و بنابراین ۲/۳ = ۴/۶.", "حالا کسرها را جمع می‌کنیم: ۴/۶ + ۱/۶ = ۵/۶.", "کسر حاصل جمع ۵/۶ است.", "✅ جواب: ۵/۶"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۴)", "نوشتن عبارت جمع برابر با یک"], {"example": "دو کسر ۳/۵ و x را در نظر بگیرید. اگر جمع این دو کسر برابر با یک باشد، باید x را پیدا کنیم.", "steps": ["جمع دو کسر را برابر با یک قرار می‌دهیم: ۳/۵ + x = ۱.", "برای پیدا کردن x، ۳/۵ را از یک کم می‌کنیم: x = ۱ - ۳/۵.", "یک را به مخرج مشترک تبدیل می‌کنیم: ۱ = ۵/۵.", "حالا داریم: x = ۵/۵ - ۳/۵.", "حاصل را محاسبه می‌کنیم: x = ۲/۵.", "✅ جواب: ۲/۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۴)", "کامل کردن تساوی‌های کسر"], {"example": "اگر ۲/۵ + x = ۳/۵، مقدار x را پیدا کنید.", "steps": ["ابتدا ۲/۵ را از هر دو طرف تساوی کم می‌کنیم.", "x = ۳/۵ - ۲/۵", "برای کم کردن کسرها، مخرج مشترک را در نظر می‌گیریم که ۵ است.", "x = (۳-۲)/۵ = ۱/۵", "✅ جواب: ۱/۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۱)", "نوشتن کسرهای مساوی با کمک شکل"], {"intro": "۱. شکل داده شده را به بخش‌های مساوی تقسیم کنید. ۲. تعداد قسمت‌های رنگ شده را بشمارید و به عنوان صورت کسر بنویسید. ۳. تعداد کل قسمت‌ها را به عنوان مخرج کسر بنویسید. ۴. شکل‌های دیگر را بررسی کنید و کسرهای مساوی را با توجه به تعداد قسمت‌ها و قسمت‌های رنگ شده بنویسید. ۵. کسرهای مساوی را با علامت مساوی کنار هم قرار دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۱)", "نوشتن کسر مربوط به شکل و یافتن کسر مساوی"], {"intro": "۱. شکل داده شده را بررسی کنید که چند مربع کل وجود دارد و چند مربع رنگ شده است. ۲. کسر مربوط به شکل را به صورت تعداد مربع‌های رنگ شده بر تعداد کل مربع‌ها بنویسید. ۳. کسرهای مساوی را با توجه به تعداد مربع‌ها و رنگ‌ها در شکل‌های مختلف پیدا کنید. ۴. کسرهای مساوی را با علامت مساوی کنار هم قرار دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۱)", "نمایش کسر مساوی با استفاده از دایره‌های رنگ شده"], {"intro": "۱. تعداد کل دایره‌ها را بشمارید. ۲. تعداد دایره‌های رنگ شده را بشمارید. ۳. کسر مربوط به هر دسته را به صورت تعداد دایره‌های رنگ شده بر تعداد کل دایره‌ها بنویسید. ۴. کسرهای مساوی را با توجه به تعداد دایره‌ها و رنگ‌ها در دسته‌های مختلف پیدا کنید. ۵. کسرهای مساوی را با علامت مساوی کنار هم قرار دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۱)", "نمایش کسر با رسم شکل مناسب"], {"intro": "۱. صورت و مخرج کسر را بررسی کنید. ۲. شکل مناسب (مثل مستطیل یا دایره) را به تعداد قسمت‌های مخرج تقسیم کنید. ۳. به تعداد صورت کسر، قسمت‌ها را رنگ کنید یا مشخص کنید. ۴. شکل رسم شده نشان‌دهنده کسر داده شده است و می‌توان آن را با کسرهای مساوی مقایسه کرد.", "steps": ["دایره را به ۸ قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم.", "۳ قسمت از دایره را رنگ می‌کنیم.", "کسر نشان‌دهنده‌ی قسمت‌های رنگ‌شده برابر است با ۳/۸.", "✅ جواب: ۳/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۱)", "رنگ‌آمیزی بخش مشخصی از شکل"], {"intro": "۱. تعداد کل بخش‌های شکل را بشمارید. ۲. صورت کسر نشان‌دهنده تعداد بخش‌هایی است که باید رنگ شوند. ۳. بخش‌های مشخص شده را به تعداد صورت کسر رنگ کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۲)", "محاسبه تعداد دانش‌آموزان علاقه‌مند به رشته‌ای خاص با استفاده از کسر"], {"intro": "۱. تعداد کل دانش‌آموزان را مشخص کنید. ۲. صورت کسر را در تعداد کل ضرب کنید تا تعداد دانش‌آموزان علاقه‌مند به رشته مشخص شود."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۲)", "تشخیص کسر صحیح مربوط به تعداد اشیاء خورده شده"], {"intro": "۱. تعداد کل اشیاء را بشمارید. ۲. تعداد اشیاء خورده شده را مشخص کنید. ۳. کسر خورده شده را به صورت تعداد خورده شده تقسیم بر تعداد کل بنویسید. ۴. کسرهای داده شده را با کسر محاسبه شده مقایسه کنید و کسر صحیح را انتخاب کنید.", "steps": ["تعداد کل سیب‌ها ۱۲ است.", "تعداد سیب‌های خورده شده ۴ است.", "کسر سیب‌های خورده شده را به صورت ۴/۱۲ می‌نویسیم.", "کسر ۴/۱۲ را می‌توان به ۱/۳ ساده کرد.", "✅ جواب: ۱/۳"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۲)", "نوشتن کسر مربوط به تعداد اشیاء خورده شده در حالات مختلف"], {"intro": "۱. تعداد کل اشیاء را مشخص کنید. ۲. تعداد اشیاء خورده شده را در هر حالت تعیین کنید. ۳. کسر مربوط به هر حالت را به صورت تعداد خورده شده تقسیم بر تعداد کل بنویسید.", "steps": ["تعداد کل پرتقال‌ها ۱۲ است.", "تعداد پرتقال‌های خورده شده ۳ است.", "کسر مربوط به پرتقال‌های خورده شده برابر است با ۳ تقسیم بر ۱۲.", "کسر ۳ بر ۱۲ را می‌توان به صورت ۱ بر ۴ ساده کرد.", "✅ جواب: ۱/۴"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۲)", "محاسبه کسری از مسافت طی شده و باقی‌مانده"], {"intro": "۱. مسافت کل را مشخص کنید. ۲. مسافت طی شده را به صورت کسر از مسافت کل بنویسید. ۳. برای یافتن مسافت باقی‌مانده، کسر طی شده را از ۱ کم کنید. ۴. مسافت باقی‌مانده را محاسبه کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۲)", "نوشتن کسر مساوی با مخرج مشخص"], {"example": "کسر ۲/۳ را طوری تغییر دهید که مخرج آن ۱۲ باشد.", "steps": ["مخرج کسر اولیه ۳ است و می‌خواهیم آن را به ۱۲ تغییر دهیم.", "برای این کار، ۱۲ را بر ۳ تقسیم می‌کنیم: ۱۲ ÷ ۳ = ۴.", "حالا صورت و مخرج کسر ۲/۳ را در ۴ ضرب می‌کنیم: (۲ × ۴) / (۳ × ۴) = ۸/۱۲.", "کسر جدید ۸/۱۲ است که مخرج آن ۱۲ می‌باشد.", "✅ جواب: ۸/۱۲"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۳)", "یافتن کسر مساوی بدون رسم شکل"], {"example": "کسر ۸/۱۲ را ساده کنید و کسر مساوی آن را بنویسید.", "steps": ["صورت و مخرج کسر ۸/۱۲ را در ۲ تقسیم می‌کنیم: ۸ ÷ ۲ = ۴ و ۱۲ ÷ ۲ = ۶.", "کسر جدید به دست آمده ۴/۶ است.", "حال دوباره صورت و مخرج ۴/۶ را در ۲ تقسیم می‌کنیم: ۴ ÷ ۲ = ۲ و ۶ ÷ ۲ = ۳.", "کسر نهایی ۲/۳ است که با کسر اولیه مساوی است.", "✅ جواب: ۲/۳"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۳)", "تفریق کسرها با مخرج‌های مختلف"], {"example": "حاصل تفریق ۲/۵ - ۱/۱۰ را به دست آورید.", "steps": ["مخرج‌های کسرها ۵ و ۱۰ هستند. کوچک‌ترین مخرج مشترک آن‌ها ۱۰ است.", "کسر ۲/۵ را به مخرج ۱۰ تبدیل می‌کنیم: ۲/۵ = ۴/۱۰.", "حالا داریم ۴/۱۰ - ۱/۱۰.", "صورت‌ها را از هم کم می‌کنیم: ۴ - ۱ = ۳.", "مخرج مشترک را حفظ می‌کنیم: ۳/۱۰.", "✅ جواب: ۳/۱۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۳)", "برابر قرار دادن کسرها"], {"example": "کسر ۳/۴ را با کسر ۹/x برابر کنید و عدد مناسب برای x را پیدا کنید.", "steps": ["برای برابر قرار دادن کسرها، نسبت صورت‌ها و مخرج‌ها را برابر می‌گذاریم: ۳/۴ = ۹/x.", "با ضرب متقابل، داریم: ۳ * x = ۴ * ۹.", "این معادله را حل می‌کنیم: ۳x = ۳۶.", "حالا x را پیدا می‌کنیم: x = ۳۶ ÷ ۳.", "پس x = ۱۲.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۳)", "مقایسه کسرها"], {"example": "چرا ۱/۱۰ < ۱/۸ است؟ توضیح دهید.", "steps": ["هر دو کسر صورت ۱ دارند اما مخرج‌ها متفاوت است.", "مخرج ۱۰ بزرگ‌تر از ۸ است، یعنی کل به قسمت‌های کوچکتری تقسیم شده است.", "بنابراین، ۱/۱۰ قسمت کوچکتری از کل است نسبت به ۱/۸.", "پس ۱/۱۰ کوچکتر از ۱/۸ است.", "✅ جواب: ۱/۱۰ < ۱/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۴)", "رسم شکل برای نمایش کسرها"], {"steps": ["دایره را به ۸ قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم.", "از این ۸ قسمت، ۳ قسمت را باید رنگ کنیم.", "بنابراین، ۳ قسمت از ۸ قسمت دایره رنگ می‌شود.", "✅ جواب: ۳"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۱)", "جمع کسرها با مخرج مساوی و ضرب عدد در کسر"], {"intro": "۱. برای جمع کسرهایی که مخرج مشترک دارند، صورت کسرها را با هم جمع می‌کنیم و مخرج را ثابت نگه می‌داریم. ۲. برای ضرب عدد در کسر، ابتدا تعداد دفعات جمع کسر را مشخص می‌کنیم (عدد ضرب شده)، سپس کسر را به تعداد آن عدد جمع می‌کنیم یا به صورت ضربی محاسبه می‌کنیم (عدد ضرب شده × صورت کسر تقسیم بر مخرج کسر)."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۱)", "ضرب عدد صحیح در کسر با استفاده از شکل و نمایش تصویری"], {"intro": "۱. شکل را به قسمت‌های مساوی تقسیم می‌کنیم که مخرج کسر را نشان می‌دهد. ۲. تعداد قسمت‌های رنگ شده یا انتخاب شده را نشان‌دهنده صورت کسر است. ۳. عدد صحیح را در صورت کسر ضرب می‌کنیم و نتیجه را بر مخرج کسر تقسیم می‌کنیم تا حاصل ضرب عدد در کسر به دست آید. ۴. می‌توان نتیجه را به صورت تعداد قسمت‌های رنگ شده در شکل نمایش داد."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۱)", "محاسبه حاصل ضرب کسرها"], {"intro": "برای ضرب دو کسر، صورت‌ها را در هم ضرب می‌کنیم و مخرج‌ها را در هم ضرب می‌کنیم. اگر یکی از عددها صحیح باشد، آن را به صورت کسر با مخرج ۱ در نظر می‌گیریم و سپس ضرب را انجام می‌دهیم. در نهایت، اگر ممکن بود، کسر حاصل را ساده می‌کنیم.", "example": "حاصل ضرب ۲/۳ × ۴/۵ را به دست آورید.", "steps": ["صورت اول را در صورت دوم ضرب می‌کنیم: ۲ × ۴ = ۸.", "مخرج اول را در مخرج دوم ضرب می‌کنیم: ۳ × ۵ = ۱۵.", "حاصل کسر را به دست می‌آوریم: ۸/۱۵.", "کسر ۸/۱۵ قابل ساده‌سازی نیست.", "✅ جواب: ۸/۱۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۱)", "نمایش ضرب کسر با شکل"], {"steps": ["باغچه به ۴ قسمت تقسیم شده است و ۳ قسمت آن گل‌کاری شده است.", "حالا برای آبیاری، ۲/۳ از ۳ قسمت گل‌کاری شده را محاسبه می‌کنیم.", "محاسبه می‌کنیم: ۲/۳ × ۳ = ۲ قسمت آبیاری می‌شود.", "✅ جواب: ۲"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۲)", "مقایسه و تعیین نزدیکی کسرها به عدد 1 یا صفر"], {"intro": "برای مقایسه کسرها و تعیین اینکه کدام به ۱ یا ۰ نزدیک‌تر است، صورت و مخرج کسر را بررسی می‌کنیم. اگر صورت کسر به مخرج نزدیک باشد، کسر به ۱ نزدیک‌تر است و اگر صورت کسر خیلی کوچک باشد، کسر به صفر نزدیک‌تر است.", "example": "کسرهای ۳/۵ و ۱/۸ را مقایسه کنید و تعیین کنید کدام به عدد ۱ نزدیک‌تر است.", "steps": ["برای کسر ۳/۵، صورت ۳ و مخرج ۵ است. نسبت صورت به مخرج را محاسبه می‌کنیم: ۳ ÷ ۵ = ۰٫۶.", "برای کسر ۱/۸، صورت ۱ و مخرج ۸ است. نسبت صورت به مخرج را محاسبه می‌کنیم: ۱ ÷ ۸ = ۰٫۱۲۵.", "اکنون مقادیر ۰٫۶ و ۰٫۱۲۵ را با ۱ مقایسه می‌کنیم. ۰٫۶ به ۱ نزدیک‌تر از ۰٫۱۲۵ است.", "✅ جواب: ۳/۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۲)", "تقسیم کیک به قسمت‌های مساوی و بررسی امکان تقسیم به افراد"], {"example": "یک کیک به ۱۲ قسمت مساوی تقسیم شده است. آیا می‌توانیم این کیک را به ۳ نفر بدهیم به طوری که هر نفر ۴ قسمت از کیک را دریافت کند؟", "steps": ["تعداد قسمت‌های کیک ۱۲ است.", "تعداد افراد ۳ نفر است.", "برای بررسی، ۱۲ را بر ۳ تقسیم می‌کنیم: ۱۲ ÷ ۳ = ۴.", "تقسیم بدون باقی‌مانده است و هر نفر ۴ قسمت دریافت می‌کند.", "✅ جواب: بله"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۳)", "محاسبه کسرهای مرتبط با حجم و ظرفیت"], {"example": "یک پارچ بزرگ آب ۲۰ لیوان ظرفیت دارد. اگر ۴ لیوان آب از پارچ بزرگ برداریم، چند لیوان آب در پارچ بزرگ باقی می‌ماند؟", "steps": ["حجم کل پارچ بزرگ ۲۰ لیوان است.", "اگر ۴ لیوان آب از پارچ بزرگ برداریم، باید ۲۰ - ۴ را محاسبه کنیم.", "پس حجم باقی‌مانده برابر است با ۱۶ لیوان.", "✅ جواب: ۱۶"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۳)", "توضیح مفهوم کسر"], {"intro": "۱. صورت کسر را به عنوان تعداد قسمت‌های انتخاب شده یا مورد نظر در نظر بگیرید. ۲. مخرج کسر را به عنوان تعداد کل قسمت‌های مساوی تقسیم شده در کل مجموعه در نظر بگیرید. ۳. کسر نشان‌دهنده نسبت قسمت‌های انتخاب شده به کل قسمت‌ها است.", "steps": ["تعداد کل تکه‌های پیتزا ۸ است.", "تعداد تکه‌های خورده شده ۳ است.", "کسر مربوط به تکه‌های خورده شده را به صورت ۳/۸ بنویسیم.", "✅ جواب: ۳/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۴)", "تعیین مفهوم صورت و مخرج کسر"], {"intro": "۱. عدد بالای کسر (صورت) نشان‌دهنده تعداد قسمت‌های انتخاب شده است. ۲. عدد پایین کسر (مخرج) نشان‌دهنده تعداد کل قسمت‌های مساوی است. ۳. با شناخت صورت و مخرج می‌توان مفهوم کسر را درک کرد."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۴)", "مقایسه کسرها"], {"intro": "۱. اگر مخرج کسرها برابر باشد، صورت‌ها را مقایسه کنید؛ صورت بزرگ‌تر کسر بزرگ‌تر است. ۲. اگر مخرج‌ها متفاوت باشند، کسرها را به صورت اعشاری یا با مخرج مشترک مقایسه کنید. ۳. نتیجه مقایسه را توضیح دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۴)", "یافتن کسر از عدد داده شده با رسم شکل"], {"intro": "۱. عدد داده شده را به صورت کسر در نظر بگیرید. ۲. شکل مناسب (مستطیل، دایره و غیره) را به تعداد قسمت‌های مخرج تقسیم کنید. ۳. تعداد قسمت‌های صورت را رنگ‌آمیزی یا مشخص کنید. ۴. توضیح دهید که چگونه کسر از شکل به دست آمده است.", "steps": ["مستطیل را به ۸ قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم.", "۳ قسمت از مستطیل را رنگ‌آمیزی می‌کنیم.", "کسر رنگ‌آمیزی شده برابر با ۳/۸ است.", "✅ جواب: ۳/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۴)", "مقایسه کسرهای نمایش داده شده در شکل"], {"intro": "۱. کسرهای نمایش داده شده در شکل را بشمارید (تعداد قسمت‌های رنگ شده و کل قسمت‌ها). ۲. کسرها را با هم مقایسه کنید. ۳. کسر بزرگ‌تر یا کوچک‌تر را مشخص کنید.", "steps": ["کسر اول را محاسبه می‌کنیم: ۳ از ۸ قسمت رنگ شده است، پس کسر اول برابر است با ۳/۸.", "کسر دوم را محاسبه می‌کنیم: ۵ از ۱۰ قسمت رنگ شده است، پس کسر دوم برابر است با ۵/۱۰.", "برای مقایسه کسرها، کسر دوم را ساده می‌کنیم: ۵/۱۰ برابر است با ۱/۲.", "حالا کسرها را با هم مقایسه می‌کنیم: ۳/۸ برابر است با ۰٫۳۷۵ و ۱/۲ برابر است با ۰٫۵.", "از مقایسه اعداد نتیجه می‌گیریم که ۳/۸ کوچک‌تر از ۱/۲ است.", "✅ جواب: ۳/۸ کوچک‌تر از ۱/۲ است"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۴)", "محاسبه تعداد دانش‌آموزان با استفاده از کسر"], {"intro": "۱. تعداد کل دانش‌آموزان کلاس را بدانید. ۲. کسر داده شده را در تعداد کل ضرب کنید تا تعداد دانش‌آموزان مورد نظر به دست آید. ۳. مقایسه تعداد دانش‌آموزان در کلاس‌های مختلف را انجام دهید.", "steps": ["تعداد کل دانش‌آموزان کلاس ۴۰ نفر است.", "کسر دانش‌آموزانی که در مسابقه شرکت می‌کنند ۱/۵ است.", "برای محاسبه تعداد دانش‌آموزان شرکت‌کننده، ۴۰ را در ۱/۵ ضرب می‌کنیم: ۴۰ × ۱/۵ = ۸.", "بنابراین، ۸ دانش‌آموز در مسابقه شرکت می‌کنند.", "✅ جواب: ۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۵)", "مقایسه تعداد دانش‌آموزان فوتبال‌باز با کسرهای متفاوت"], {"intro": "۱. تعداد کل دانش‌آموزان هر کلاس را بدانید. ۲. کسر داده شده را در تعداد کل ضرب کنید تا تعداد دانش‌آموزان فوتبال‌باز هر کلاس به دست آید. ۳. تعداد به دست آمده را مقایسه کنید. ۴. نتیجه را با توجه به مقایسه کسرها و تعداد دانش‌آموزان توضیح دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۵)", "تبدیل کسر به دقیقه و زمان"], {"intro": "برای تبدیل کسر ساعت به دقیقه، عدد کسر را در ۶۰ ضرب می‌کنیم چون هر ساعت ۶۰ دقیقه است. به عنوان مثال، برای تبدیل ۱/۵ ساعت به دقیقه، ۱/۵ را در ۶۰ ضرب می‌کنیم تا تعداد دقیقه به دست آید.", "example": "یک ساعت و ۱/۴ ساعت یعنی چند دقیقه؟", "steps": ["ابتدا ۱ ساعت را به دقیقه تبدیل می‌کنیم: ۱ ساعت = ۶۰ دقیقه.", "سپس ۱/۴ ساعت را به دقیقه تبدیل می‌کنیم: ۱/۴ × ۶۰ = ۱۵ دقیقه.", "حالا دقیقه‌های به دست آمده را جمع می‌کنیم: ۶۰ + ۱۵ = ۷۵ دقیقه.", "✅ جواب: ۷۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۵)", "بیان زمان به صورت کسر و عبارات مختلف"], {"intro": "برای بیان زمان به صورت کسر یا عبارات مختلف، می‌توان از کسرهای معادل و جمع و تفریق استفاده کرد. مثلاً نیم ساعت را می‌توان به صورت ۱/۲ ساعت یا ۱/۲ ساعت بعد از یک ساعت بیان کرد. همچنین می‌توان زمان‌های مختلف را به صورت جمع کسرها یا دقیقه بیان کرد."}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۵)", "نوشتن کسر معادل و ساده کردن کسر"], {"example": "کسر ۱۲/۱۶ را ساده کنید.", "steps": ["بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک ۱۲ و ۱۶ را پیدا می‌کنیم که ۴ است.", "صورت کسر را بر ۴ تقسیم می‌کنیم: ۱۲ ÷ ۴ = ۳.", "مخرج کسر را نیز بر ۴ تقسیم می‌کنیم: ۱۶ ÷ ۴ = ۴.", "کسر ساده شده ۳/۴ است.", "✅ جواب: ۳/۴"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۶)", "جمع و تفریق کسرها با مخرج‌های مختلف"], {"example": "حاصل عبارت ۲/۳ + ۱/۴ را محاسبه کنید.", "steps": ["مخرج‌های کسرها ۳ و ۴ هستند. کوچک‌ترین مخرج مشترک آنها ۱۲ است.", "برای تبدیل ۲/۳ به مخرج ۱۲، صورت را در ۴ ضرب می‌کنیم: ۲ × ۴ = ۸. پس ۲/۳ = ۸/۱۲.", "برای تبدیل ۱/۴ به مخرج ۱۲، صورت را در ۳ ضرب می‌کنیم: ۱ × ۳ = ۳. پس ۱/۴ = ۳/۱۲.", "حالا کسرها را جمع می‌کنیم: ۸/۱۲ + ۳/۱۲ = ۱۱/۱۲.", "کسر ۱۱/۱۲ ساده نیست و به همین شکل باقی می‌ماند.", "✅ جواب: ۱۱/۱۲"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۶)", "مسئله کاربردی کسر در زمین کشاورزی"], {"example": "در یک مزرعه، ۳/۸ زمین را به کشت سیب و گلابی اختصاص داده‌اند. اگر ۱/۸ زمین به گلابی اختصاص یافته باشد، در چه کسری از زمین به کشت سیب پرداخته‌اند؟", "steps": ["ابتدا کسر زمین کشت شده را مشخص می‌کنیم: ۳/۸.", "سپس کسر زمین کشت گلابی را از کسر کل زمین کشت کم می‌کنیم: ۳/۸ - ۱/۸ = ۲/۸.", "کسر ۲/۸ را ساده می‌کنیم: ۲/۸ = ۱/۴.", "✅ جواب: ۱/۴"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۶)", "مقایسه و تحلیل کسرها در مسائل کاربردی"], {"intro": "۱. کسرهای داده شده را با توجه به مسئله بررسی کنید.\n۲. مقدار هر کسر را نسبت به کل جنس‌های فروش رفته در هر مغازه محاسبه کنید.\n۳. کسرها را با هم مقایسه کنید تا بفهمید کدام مغازه فروش بیشتری داشته است.\n۴. نتیجه را با توجه به مقادیر کسرها بیان کنید و دلیل آن را توضیح دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۱)", "یافتن دو عدد با حاصل ضرب مشخص"], {"intro": "۱. عدد حاصل ضرب داده شده را در نظر بگیرید. ۲. اعداد ممکن را که در ضرب با هم حاصل ضرب داده شده را می‌دهند، پیدا کنید. ۳. هر جفت عددی که حاصل ضرب آنها برابر عدد داده شده باشد، جواب مسئله است.", "steps": ["عدد حاصل ضرب را در نظر می‌گیریم: ۲۴.", "اعداد طبیعی را بررسی می‌کنیم که حاصل ضرب آنها ۲۴ شود.", "عدد ۱ و ۲۴ را بررسی می‌کنیم: ۱ × ۲۴ = ۲۴.", "عدد ۲ و ۱۲ را بررسی می‌کنیم: ۲ × ۱۲ = ۲۴.", "عدد ۳ و ۸ را بررسی می‌کنیم: ۳ × ۸ = ۲۴.", "✅ جواب: (۱, ۲۴), (۲, ۱۲), (۳, ۸), (۴, ۶)"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۱)", "کامل کردن جدول ضرب با استفاده از الگو"], {"intro": "۱. جدول ضرب را بررسی کنید و اعداد داده شده را یادداشت کنید. ۲. با استفاده از الگوی ضرب و اعداد موجود، خانه‌های خالی جدول را پر کنید. ۳. از خاصیت جابجایی ضرب برای پر کردن خانه‌های باقی‌مانده استفاده کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۱)", "یافتن اعداد کمتر از عدد مشخص با شرط ضرب"], {"intro": "۱. عدد حاصل ضرب و عدد محدود کننده را در نظر بگیرید. ۲. اعداد ممکن را که در ضرب با عدد داده شده حاصل ضرب کمتر از عدد محدود کننده باشد، پیدا کنید. ۳. اعداد را با جایگزینی مربع یا متغیر مشخص کنید و شرط را بررسی کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۱)", "حذف حالت‌های نامطلوب در نامعادله"], {"intro": "۱. نامعادله داده شده را بررسی کنید.\n۲. اعداد ممکن را در مربع قرار دهید.\n۳. حالت‌هایی که نامعادله را درست نمی‌کنند حذف کنید.\n۴. عددی را که حاصل آن به عدد داده شده نزدیک‌تر است انتخاب کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۱)", "پر کردن جای خالی در جمع دو عدد دو رقمی"], {"intro": "۱. اعداد داده شده را در ستون‌های جمع قرار دهید.\n۲. جای خالی‌ها را با اعداد یک رقمی پر کنید.\n۳. جمع را انجام دهید و جواب‌ها را با جواب‌های داده شده مقایسه کنید.\n۴. تمام جواب‌های ممکن را بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۱)", "محاسبه تعداد مربع‌های کوچک در شکل‌های شبکه‌ای و ضرب"], {"intro": "۱. ابعاد شکل شبکه‌ای را بشمارید (تعداد مربع‌های کوچک در طول و عرض).\n۲. تعداد مربع‌های کوچک را با ضرب طول در عرض محاسبه کنید.\n۳. اگر شکل بزرگ‌تر است، ابعاد آن را به صورت ضرب بنویسید و حاصل ضرب را حساب کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۲)", "ضرب دو عدد دو رقمی با استفاده از تجزیه اعداد"], {"intro": "۱. عدد دوم را به صورت جمع دهگان و یکان تجزیه کنید. ۲. هر بخش را جداگانه در عدد اول ضرب کنید. ۳. حاصل ضرب‌ها را با هم جمع کنید تا حاصل نهایی به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۲)", "ضرب دو عدد دو رقمی با استفاده از ضرب جزء به جزء و جمع نتایج"], {"intro": "۱. عدد اول و دوم را به صورت جمع دهگان و یکان تجزیه کنید. ۲. هر جزء عدد اول را در هر جزء عدد دوم ضرب کنید. ۳. حاصل ضرب‌ها را جمع کنید تا نتیجه نهایی به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۲)", "توضیح و نمایش ضرب با استفاده از دسته‌های ده‌تایی و یک‌تایی"], {"intro": "۱. عدد اول را به دسته‌های ده‌تایی و یک‌تایی تقسیم کنید. ۲. عدد دوم را در هر دسته ضرب کنید. ۳. حاصل ضرب‌ها را جمع کنید تا نتیجه نهایی به دست آید. ۴. با استفاده از شکل، نحوه اضافه شدن دسته‌ها را توضیح دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۲)", "ضرب اعداد سه رقمی در عدد یک رقمی با استفاده از روش ستونی و تجزیه"], {"intro": "۱. عدد سه رقمی را به صدگان، دهگان و یکان تجزیه کنید. ۲. عدد یک رقمی را در هر بخش ضرب کنید. ۳. حاصل ضرب‌ها را به صورت ستونی جمع کنید تا نتیجه نهایی به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۲)", "ضرب اعداد سه رقمی در عدد دو رقمی با استفاده از جدول ارزش مکانی"], {"intro": "۱. عدد سه رقمی را در جدول ارزش مکانی به صدگان، دهگان و یکان تقسیم کنید. ۲. عدد دو رقمی را در هر بخش ضرب کنید. ۳. حاصل ضرب‌ها را در جدول بنویسید. ۴. اعداد جدول را جمع کنید تا حاصل نهایی به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۲)", "ضرب عدد دو رقمی در عدد دو رقمی با استفاده از تجزیه عدد"], {"intro": "برای ضرب دو عدد دو رقمی، یکی از اعداد را به دو عدد کوچکتر تجزیه می‌کنیم (مثلاً ۱۲ را به ۱۰ و ۲ تجزیه می‌کنیم). سپس هر کدام از این اعداد را جداگانه در عدد دوم ضرب می‌کنیم و حاصل‌ها را با هم جمع می‌کنیم تا جواب نهایی به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۳)", "ضرب عدد دو رقمی در عدد دو رقمی با استفاده از شکل و تجزیه مستطیل"], {"intro": "عدد بزرگتر را به دو بخش تقسیم می‌کنیم (مثلاً ۱۲ به ۱۰ و ۲) و عدد دیگر را به عنوان طول مستطیل در نظر می‌گیریم. مساحت هر بخش را جداگانه محاسبه می‌کنیم (ضرب طول در عرض هر بخش) و سپس مساحت‌ها را جمع می‌کنیم تا حاصل ضرب به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۳)", "ضرب عدد دو رقمی در عدد دو رقمی با استفاده از تجزیه عدد و جمع نتایج"], {"intro": "عدد اول را به دو عدد کوچکتر تجزیه می‌کنیم (مثلاً ۱۲ به ۱۰ و ۲) و عدد دوم را نیز به دو عدد کوچکتر تجزیه می‌کنیم (مثلاً ۱۶ به ۱۰ و ۶). سپس هر کدام از این اعداد را در هم ضرب می‌کنیم و حاصل‌ها را جمع می‌کنیم تا جواب نهایی به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۳)", "ضرب دو عدد دو رقمی با استفاده از تجزیه به بخش‌های دهگان و یکان"], {"intro": "۱. عدد اول را به دهگان و یکان تقسیم کنید. ۲. عدد دوم را به دهگان و یکان تقسیم کنید. ۳. هر بخش از عدد اول را در هر بخش از عدد دوم ضرب کنید. ۴. حاصل ضرب‌ها را با هم جمع کنید تا حاصل نهایی به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۳)", "ضرب دو عدد دو رقمی با استفاده از ضرب مرحله‌ای و جمع نتایج"], {"intro": "۱. عدد دوم را به دهگان و یکان تقسیم کنید. ۲. عدد اول را در هر بخش عدد دوم ضرب کنید. ۳. حاصل ضرب‌ها را با هم جمع کنید تا حاصل نهایی به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۳)", "ضرب دو عدد دو رقمی با استفاده از تجزیه و رسم مستطیل‌های کمکی"], {"intro": "۱. هر عدد را به بخش‌های دهگان و یکان تقسیم کنید. ۲. مستطیل‌هایی با ابعاد بخش‌های مختلف رسم کنید. ۳. مساحت هر مستطیل را محاسبه کنید (ضرب طول و عرض). ۴. مساحت‌ها را جمع کنید تا حاصل ضرب نهایی به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۳)", "ضرب دو عدد دو رقمی به روش ستونی"], {"intro": "۱. اعداد را به صورت ستونی زیر هم می‌نویسیم. ۲. هر رقم عدد پایین را در هر رقم عدد بالا ضرب می‌کنیم. ۳. حاصل ضرب‌ها را به صورت جزئیات جداگانه می‌نویسیم. ۴. اعداد حاصل را با توجه به جایگاه رقم‌ها در ستون‌های مناسب قرار می‌دهیم. ۵. همه اعداد جزئی را جمع می‌کنیم تا حاصل نهایی به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۴)", "محاسبه حاصل ضرب اعداد دو رقمی"], {"intro": "۱. اعداد داده شده را به صورت عمودی زیر هم می‌نویسیم. ۲. هر رقم عدد پایین را در هر رقم عدد بالا ضرب می‌کنیم. ۳. حاصل ضرب‌ها را به صورت جزئیات جداگانه می‌نویسیم. ۴. اعداد حاصل را با توجه به جایگاه رقم‌ها در ستون‌های مناسب قرار می‌دهیم. ۵. همه اعداد جزئی را جمع می‌کنیم تا حاصل نهایی به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۴)", "مسائل کاربردی ضرب و تقسیم"], {"intro": "۱. مسئله را با دقت می‌خوانیم و داده‌ها را استخراج می‌کنیم. ۲. رابطه ریاضی مناسب (ضرب یا تقسیم) را برای حل مسئله انتخاب می‌کنیم. ۳. محاسبات لازم را انجام می‌دهیم. ۴. پاسخ را با واحد مناسب بیان می‌کنیم."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۴)", "مسائل مربوط به سن و مقایسه سن"], {"intro": "۱. داده‌های مسئله را استخراج می‌کنیم. ۲. رابطه بین سن‌ها را به صورت معادله یا عبارت ریاضی می‌نویسیم. ۳. با استفاده از ضرب یا جمع، مقدار مجهول را محاسبه می‌کنیم. ۴. پاسخ را با واحد سال بیان می‌کنیم.", "steps": ["سن مادر مینا را با استفاده از سن مینا محاسبه می‌کنیم: ۳ × ۱۰ = ۳۰.", "سپس ۲ سال را به سن مادر اضافه می‌کنیم: ۳۰ + ۲ = ۳۲.", "بنابراین، سن مادر مینا ۳۲ سال است.", "✅ جواب: ۳۲"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۴)", "مسائل مربوط به سرعت، مسافت و زمان"], {"intro": "۱. داده‌های مسئله را استخراج می‌کنیم: سرعت، زمان یا مسافت. ۲. رابطه بین سرعت، زمان و مسافت را به کار می‌بریم: مسافت = سرعت × زمان. ۳. با توجه به مجهول مسئله، ضرب یا تقسیم انجام می‌دهیم. ۴. پاسخ را با واحد مناسب بیان می‌کنیم."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۴)", "مسائل مربوط به وزن و جرم"], {"intro": "۱. داده‌های مسئله را استخراج می‌کنیم. ۲. تعداد واحدها را در وزن هر واحد ضرب می‌کنیم. ۳. حاصل ضرب را به عنوان وزن کل بیان می‌کنیم."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "ضرب دو عدد دورقمی (۴)", "مسائل مربوط به خواندن و تعداد صفحات"], {"intro": "۱. تعداد صفحات خوانده شده در روز را استخراج می‌کنیم. ۲. تعداد روزها یا هفته‌ها را استخراج می‌کنیم. ۳. تعداد صفحات کل را با ضرب تعداد صفحات روزانه در تعداد روزها به دست می‌آوریم.", "steps": ["تعداد صفحات خوانده شده در روز برابر با ۴ است.", "تعداد روزها برابر با ۵ است.", "تعداد صفحات کل برابر است با ۴ × ۵ = ۲۰.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "محاسبهٔ حاصل‌ضرب (۱)", "محاسبه حاصل ضرب اعداد بزرگ"], {"intro": "برای محاسبه حاصل ضرب اعداد بزرگ، ابتدا اعداد را به صورت تجزیه شده به اعداد کوچکتر می‌نویسیم (مثلاً ضرب در ۱۰، ۲۰، ۳۰ و ...). سپس هر بخش را جداگانه ضرب می‌کنیم و در نهایت نتایج را جمع می‌کنیم. این کار باعث ساده‌تر شدن محاسبه می‌شود."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "محاسبهٔ حاصل‌ضرب (۱)", "ضرب عدد سه رقمی در عدد سه رقمی با روش تجزیه"], {"intro": "۱. عدد دوم را به صدگان، دهگان و یکان تجزیه کنید. ۲. هر بخش را جداگانه در عدد اول ضرب کنید. ۳. حاصل ضرب‌ها را با هم جمع کنید تا حاصل نهایی به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "محاسبهٔ حاصل‌ضرب (۲)", "ضرب اعداد با صفر در دهگان یا صدگان"], {"intro": "۱. صفرهای عدد دوم را حذف کنید و عدد باقی‌مانده را ضرب کنید. ۲. سپس تعداد صفرهای حذف شده را به حاصل ضرب اضافه کنید (ضرب در ۱۰، ۱۰۰ و ...).", "example": "حاصل ضرب ۵۶ در ۴۰۰ را به دست آورید.", "steps": ["صفرهای عدد ۴۰۰ را حذف می‌کنیم و عدد باقی‌مانده ۴ می‌شود.", "حالا ۵۶ را در ۴ ضرب می‌کنیم: ۵۶ × ۴ = ۲۲۴.", "تعداد صفرهای حذف شده از ۴۰۰ برابر ۲ است.", "حالا ۲۲۴ را در ۱۰۰ (به خاطر دو صفر) ضرب می‌کنیم: ۲۲۴ × ۱۰۰ = ۲۲۴۰۰.", "✅ جواب: ۲۲۴۰۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "محاسبهٔ حاصل‌ضرب (۲)", "تقریب حاصل ضرب با گرد کردن اعداد"], {"intro": "۱. هر عدد را به نزدیک‌ترین عدد گرد شده (مثلاً صدگان یا دهگان) تبدیل کنید. ۲. اعداد گرد شده را در هم ضرب کنید. ۳. حاصل ضرب تقریبی را به دست آورید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "محاسبهٔ حاصل‌ضرب (۲)", "مسائل کاربردی ضرب در زندگی روزمره"], {"intro": "۱. داده‌های مسئله را استخراج کنید (مثلاً تعداد دفعات یا وزن هر واحد). ۲. با استفاده از ضرب، مقدار کل را محاسبه کنید. ۳. پاسخ را به واحد مناسب بیان کنید.", "example": "یک باغبان ۴ ردیف گل دارد. هر ردیف شامل ۶ گل است. باغبان در کل چند گل دارد؟", "steps": ["تعداد ردیف‌ها را یادداشت می‌کنیم: ۴ ردیف.", "تعداد گل‌ها در هر ردیف را یادداشت می‌کنیم: ۶ گل.", "برای محاسبه تعداد کل گل‌ها، ۴ را در ۶ ضرب می‌کنیم: ۴ × ۶ = ۲۴.", "بنابراین، تعداد کل گل‌ها ۲۴ عدد است.", "✅ جواب: ۲۴"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "محاسبهٔ حاصل‌ضرب (۲)", "مسائل کاربردی ضرب با وزن و تعداد"], {"intro": "۱. تعداد واحدها و وزن هر واحد را مشخص کنید. ۲. با ضرب تعداد در وزن، وزن کل را به دست آورید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "محاسبهٔ حاصل‌ضرب (۲)", "مسائل کاربردی ضرب و تقسیم در زندگی روزمره"], {"intro": "۱. مسئله را با دقت بخوانید و داده‌ها را استخراج کنید. ۲. اگر مسئله درباره تعداد دفعات پر شدن یا تعداد کل بطری‌ها است، از ضرب استفاده کنید. ۳. اگر مسئله درباره تقسیم مقدار کل به بخش‌های مساوی است، از تقسیم استفاده کنید. ۴. در مسائل مربوط به قیمت، تعداد و مقدار را ضرب کنید تا قیمت کل به دست آید. ۵. در مسائل هدررفت، مقدار هدر رفته را از مقدار کل کم کنید یا بر اساس داده‌ها محاسبه کنید.", "steps": ["برای محاسبه‌ی آب مورد نیاز، تعداد گلدان‌ها را در مقدار آب هر گلدان ضرب می‌کنیم.", "۲۴ × ۳ = ۷۲ لیتر آب نیاز است.", "بنابراین، باغبان به ۷۲ لیتر آب برای پر کردن تمام گلدان‌ها نیاز دارد.", "✅ جواب: ۷۲"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "محاسبهٔ حاصل‌ضرب (۳)", "محاسبه تعداد کل با ضرب تعداد واحدها در تعداد کل"], {"intro": "۱. تعداد واحدهای کوچک‌تر را در تعداد کل واحدهای بزرگ‌تر ضرب کنید. ۲. اگر مسئله شامل چند مرحله زمانی است (مثلاً ساعت و روز)، ابتدا تعداد واحدهای کوچک‌تر را در هر واحد بزرگ‌تر ضرب کنید و سپس در تعداد واحدهای بزرگ‌تر ضرب کنید. ۳. نتیجه ضرب، تعداد کل واحدها را نشان می‌دهد.", "steps": ["تعداد میوه‌های یک درخت را یادداشت می‌کنیم: ۵ میوه.", "تعداد درختان باغ را یادداشت می‌کنیم: ۸ درخت.", "تعداد کل میوه‌ها را با ضرب تعداد میوه‌های یک درخت در تعداد درختان محاسبه می‌کنیم: ۵ × ۸ = ۴۰.", "پس در کل ۴۰ میوه در باغ وجود دارد.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "محاسبهٔ حاصل‌ضرب (۳)", "محاسبه قیمت کل با ضرب تعداد در قیمت واحد"], {"intro": "۱. تعداد واحدهای مورد نظر را مشخص کنید. ۲. قیمت هر واحد را بدانید. ۳. تعداد واحدها را در قیمت هر واحد ضرب کنید تا قیمت کل به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "محاسبهٔ حاصل‌ضرب (۳)", "محاسبه مجموع با ضرب تعداد افراد در مقدار هر فرد"], {"intro": "۱. تعداد افراد را مشخص کنید. ۲. مقدار عیدی هر فرد را بدانید. ۳. تعداد افراد را در مقدار عیدی هر فرد ضرب کنید تا مجموع عیدی کل به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "محاسبه‌های تقریبی (۱)", "تقریب عدد به نزدیک‌ترین دهگان"], {"intro": "۱. عدد مورد نظر را بررسی کنید. ۲. رقم یکان را نگاه کنید. ۳. اگر رقم یکان ۵ یا بیشتر بود، رقم دهگان را یک واحد افزایش دهید. ۴. رقم یکان را صفر قرار دهید. ۵. اگر رقم یکان کمتر از ۵ بود، رقم دهگان را ثابت نگه دارید و رقم یکان را صفر کنید.", "example": "عدد ۳۲ را به نزدیک‌ترین دهگان تقریب بزنید.", "steps": ["عدد ۳۲ را بررسی می‌کنیم.", "رقم یکان عدد ۳۲ برابر ۲ است.", "چون رقم یکان کمتر از ۵ است، رقم دهگان را ثابت نگه می‌داریم.", "رقم یکان را صفر قرار می‌دهیم.", "بنابراین، عدد ۳۲ به نزدیک‌ترین دهگان ۳۰ تقریب می‌شود.", "✅ جواب: ۳۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "محاسبه‌های تقریبی (۱)", "تقریب عدد به نزدیک‌ترین صدگان"], {"intro": "۱. عدد مورد نظر را بررسی کنید. ۲. رقم دهگان را نگاه کنید. ۳. اگر رقم دهگان ۵ یا بیشتر بود، رقم صدگان را یک واحد افزایش دهید. ۴. رقم دهگان و یکان را صفر قرار دهید. ۵. اگر رقم دهگان کمتر از ۵ بود، رقم صدگان را ثابت نگه دارید و رقم دهگان و یکان را صفر کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "محاسبه‌های تقریبی (۱)", "تقریب عدد به نزدیک‌ترین هزارگان"], {"intro": "۱. عدد مورد نظر را بررسی کنید. ۲. رقم صدگان را نگاه کنید. ۳. اگر رقم صدگان ۵ یا بیشتر بود، رقم هزارگان را یک واحد افزایش دهید. ۴. رقم صدگان، دهگان و یکان را صفر قرار دهید. ۵. اگر رقم صدگان کمتر از ۵ بود، رقم هزارگان را ثابت نگه دارید و رقم صدگان، دهگان و یکان را صفر کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "محاسبه‌های تقریبی (۱)", "تقریب حاصل جمع اعداد"], {"intro": "۱. اعداد داده شده را به نزدیک‌ترین دهگان تقریب می‌زنیم. ۲. سپس حاصل جمع اعداد تقریب زده شده را محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "محاسبه‌های تقریبی (۱)", "تقریب حاصل ضرب اعداد"], {"intro": "۱. هر عدد را به نزدیک‌ترین دهگان تقریب می‌زنیم. ۲. سپس حاصل ضرب اعداد تقریب زده شده را محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "محاسبه‌های تقریبی (۲)", "تقریب تبدیل واحد جرم از گرم به تن"], {"intro": "۱. عدد گرم داده شده را بر ۱۰۰۰۰۰۰ تقسیم می‌کنیم تا مقدار آن به تن تبدیل شود. ۲. عدد به دست آمده را به نزدیک‌ترین عدد صحیح تن تقریب می‌زنیم."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "محاسبه‌های تقریبی (۲)", "محاسبه حاصل تقسیم با استفاده از ضرب"], {"steps": ["عدد ۲۴ را به صورت ۶ × ۴ تجزیه می‌کنیم.", "حالا می‌دانیم که ۲۴ گل را به ۶ گلدان تقسیم کرده‌ایم.", "برای پیدا کردن تعداد گل‌ها در هر گلدان، ۲۴ را بر ۶ تقسیم می‌کنیم: ۲۴ ÷ ۶ = ۴.", "بنابراین، در هر گلدان ۴ گل قرار می‌گیرد.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "محاسبه‌های تقریبی (۳)", "تقریب اعداد به صدگان و هزارگان"], {"intro": "برای تقریب عدد به صدگان، رقم دهگان را بررسی می‌کنیم. اگر رقم دهگان ۵ یا بیشتر باشد، رقم صدگان را یک واحد افزایش می‌دهیم و ارقام بعد از آن را صفر می‌کنیم. اگر کمتر از ۵ باشد، رقم صدگان را ثابت نگه می‌داریم و ارقام بعد از آن را صفر می‌کنیم. برای تقریب عدد به هزارگان نیز به همین صورت عمل می‌کنیم ولی این بار رقم صدگان را بررسی می‌کنیم."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "محاسبه‌های تقریبی (۳)", "محاسبه تعداد کل اشیاء با استفاده از ضرب"], {"example": "در یک باغ ۸ ردیف درخت چیده شده است. در هر ردیف ۱۲ درخت قرار دارد. در این باغ روی هم چند درخت چیده شده است؟", "steps": ["تعداد درخت‌ها در هر ردیف ۱۲ است.", "تعداد ردیف‌ها ۸ است.", "برای محاسبه تعداد کل درخت‌ها، ۱۲ را در ۸ ضرب می‌کنیم: ۱۲ × ۸ = ۹۶.", "✅ جواب: ۹۶"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم و بخش‌پذیری (۲)", "تقسیم با باقی‌مانده و جمله کامل کردن"], {"intro": "۱. عدد را بر عدد دیگر تقسیم کنید. ۲. خارج قسمت و باقی‌مانده را مشخص کنید. ۳. جمله را با توجه به خارج قسمت و باقی‌مانده کامل کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم و بخش‌پذیری (۲)", "تشخیص بخش‌پذیری و دلیل آن"], {"intro": "۱. عدد را بر عدد مورد نظر تقسیم کنید. ۲. اگر باقی‌مانده صفر بود، عدد بخش‌پذیر است. ۳. دلیل بخش‌پذیری را با توجه به باقی‌مانده بیان کنید.", "example": "آیا ۳۶ بر ۹ بخش‌پذیر است؟ چرا؟", "steps": ["عدد ۳۶ را بر ۹ تقسیم می‌کنیم: ۳۶ ÷ ۹ = ۴.", "باقی‌مانده این تقسیم برابر با ۰ است.", "چون باقی‌مانده صفر است، پس ۳۶ بر ۹ بخش‌پذیر است.", "✅ جواب: بله"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم و بخش‌پذیری (۲)", "تقسیم اعداد بزرگ با استفاده از شکل و نوشتن جواب"], {"intro": "۱. عدد بزرگ را بر عدد کوچکتر تقسیم کنید. ۲. جواب تقسیم را بنویسید. ۳. اگر لازم بود، شکل را برای درک بهتر رسم کنید.", "steps": ["برای پیدا کردن تعداد گل‌ها در هر ردیف، عدد ۱۲۰ را بر ۴ تقسیم می‌کنیم.", "۱۲۰ ÷ ۴ = ۳۰", "بنابراین، هر ردیف ۳۰ گل دارد.", "✅ جواب: ۳۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم و بخش‌پذیری (۲)", "ساده کردن تقسیم و یافتن حاصل تقسیم"], {"intro": "۱. تقسیم داده شده را بررسی کنید. ۲. اگر ممکن است، تقسیم را ساده کنید (مثلاً تقسیم بر ۱۰، ۱۰۰ و غیره). ۳. حاصل تقسیم را پیدا کنید.", "steps": ["عدد ۴۸ را بر ۶ تقسیم می‌کنیم.", "حاصل تقسیم ۴۸ ÷ ۶ برابر با ۸ است.", "چون ۶ عددی است که می‌توانیم به سادگی تقسیم کنیم، نیازی به ساده‌سازی بیشتر نیست.", "✅ جواب: ۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم و بخش‌پذیری (۲)", "تقسیم با باقی‌مانده و جمله کامل کردن (اعداد بزرگتر)"], {"intro": "۱. عدد بزرگ را بر عدد کوچکتر تقسیم کنید. ۲. خارج قسمت و باقی‌مانده را مشخص کنید. ۳. جمله را با توجه به خارج قسمت و باقی‌مانده کامل کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم بر عددهای یک‌رقمی (۱)", "تقسیم عدد بر عدد یک رقمی با باقی‌مانده"], {"intro": "۱. عدد کل را به گروه‌های مساوی تقسیم می‌کنیم. ۲. تعداد گروه‌ها را مشخص می‌کنیم. ۳. باقی‌مانده را بررسی می‌کنیم که آیا می‌توان آن را به گروه‌ها اضافه کرد یا خیر. ۴. نتیجه تقسیم را به صورت خارج قسمت و باقی‌مانده بیان می‌کنیم."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم بر عددهای یک‌رقمی (۱)", "تقسیم عدد بر عدد یک رقمی بدون باقی‌مانده"], {"intro": "۱. عدد کل را به گروه‌های مساوی تقسیم می‌کنیم. ۲. تعداد گروه‌ها را مشخص می‌کنیم. ۳. بررسی می‌کنیم که باقی‌مانده صفر است یا خیر. ۴. نتیجه تقسیم را به صورت خارج قسمت بیان می‌کنیم.", "steps": ["برای تقسیم ۶۰ سیب به ۵ نفر، ابتدا تعداد سیب‌ها را بر تعداد نفرات تقسیم می‌کنیم.", "۶۰ ÷ ۵ = ۱۲", "هر نفر ۱۲ سیب دریافت می‌کند.", "بررسی می‌کنیم که آیا باقی‌مانده‌ای وجود دارد یا خیر.", "باقی‌مانده ۰ است، پس تقسیم کامل است.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم بر عددهای یک‌رقمی (۱)", "تقسیم با باقی‌مانده"], {"intro": "۱. ابتدا عدد بزرگ را به دسته‌های قابل تقسیم تقسیم می‌کنیم. ۲. تعداد دسته‌های کامل را مشخص می‌کنیم و باقی‌مانده را جدا می‌کنیم. ۳. باقی‌مانده را دوباره بین تعداد افراد تقسیم می‌کنیم. ۴. اگر باقی‌مانده‌ای نماند، تقسیم کامل است؛ در غیر این صورت باقی‌مانده را یادداشت می‌کنیم. ۵. مجموع تعداد دسته‌ها و تقسیم‌های بعدی را حساب می‌کنیم تا تعداد نهایی هر فرد مشخص شود."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم بر عددهای یک‌رقمی (۱)", "تقسیم عددهای دو رقمی به یک رقمی"], {"intro": "۱. عدد دو رقمی را به صورت ستون بنویسید. ۲. عدد یک رقمی را به عنوان تقسیم‌کننده قرار دهید. ۳. عدد سمت چپ را تقسیم کنید و خارج قسمت را بنویسید. ۴. باقی‌مانده را به رقم بعدی اضافه کنید و دوباره تقسیم کنید. ۵. ادامه دهید تا تمام ارقام تقسیم شوند. ۶. خارج قسمت نهایی جواب تقسیم است."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم بر عددهای یک‌رقمی (۱)", "تقسیم عدد سه رقمی بر عدد یک رقمی"], {"intro": "۱. عدد سه رقمی را به صورت مرحله‌ای تقسیم بر عدد یک رقمی انجام می‌دهیم. ۲. ابتدا رقم صدگان را تقسیم می‌کنیم و باقی‌مانده را به رقم دهگان اضافه می‌کنیم. ۳. سپس رقم دهگان را تقسیم می‌کنیم و باقی‌مانده را به رقم یکان اضافه می‌کنیم. ۴. در نهایت رقم یکان را تقسیم می‌کنیم. ۵. اگر عدد تقسیم شده به طور کامل تقسیم نشد، باقی‌مانده را یادداشت می‌کنیم."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم بر عددهای یک‌رقمی (۱)", "نوشتن رابطه تقسیم و حل تقسیم‌های ساده"], {"intro": "۱. تقسیم داده شده را انجام می‌دهیم. ۲. حاصل تقسیم را به دست می‌آوریم. ۳. رابطه تقسیم را به صورت ضرب و جمع باقی‌مانده می‌نویسیم. ۴. رابطه را به شکل معادله‌ای که عدد تقسیم شده برابر است با حاصل ضرب خارج قسمت در تقسیم کننده به اضافه باقی‌مانده، بیان می‌کنیم."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم بر عددهای یک‌رقمی (۲)", "محاسبه سرعت متوسط با استفاده از تقسیم"], {"intro": "۱. مسافت طی شده را بر زمان صرف شده تقسیم می‌کنیم. ۲. حاصل تقسیم نشان‌دهنده سرعت متوسط است. ۳. واحد سرعت را کیلومتر بر ساعت می‌نویسیم.", "steps": ["مسافت طی شده ۳۰۰ کیلومتر است و زمان صرف شده ۵ ساعت است.", "برای محاسبه سرعت متوسط، ۳۰۰ را بر ۵ تقسیم می‌کنیم.", "۳۰۰ ÷ ۵ = ۶۰ کیلومتر بر ساعت.", "✅ جواب: ۶۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم بر عددهای یک‌رقمی (۲)", "تقسیم عددهای بزرگ"], {"intro": "۱. عدد بزرگ را به صورت تقسیم طولانی بنویسید.\n۲. عدد تقسیم‌کننده را با بخش‌های عدد بزرگ مقایسه کنید.\n۳. بزرگ‌ترین عددی که ضرب در تقسیم‌کننده کمتر یا مساوی بخش مورد نظر باشد را پیدا کنید.\n۴. حاصل ضرب را از بخش عدد بزرگ کم کنید.\n۵. رقم بعدی عدد بزرگ را پایین بیاورید و مراحل را تکرار کنید تا تمام ارقام تقسیم شود.\n۶. جواب تقسیم و باقی‌مانده را بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم بر عددهای یک‌رقمی (۲)", "مسائل کاربردی ضرب و تقسیم"], {"intro": "۱. مسئله را با دقت بخوانید و داده‌ها را استخراج کنید.\n۲. مشخص کنید که باید ضرب انجام شود یا تقسیم.\n۳. اگر تعداد کل و زمان داده شده است، برای یافتن تعداد در هر واحد زمان تقسیم کنید.\n۴. اگر تعداد در هر واحد زمان داده شده است، برای یافتن تعداد کل ضرب کنید.\n۵. جواب را با واحد مناسب بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم بر عددهای یک‌رقمی (۲)", "تقسیم مساوی اشیاء بین افراد"], {"intro": "۱. تعداد کل اشیاء و تعداد افراد را مشخص کنید.\n۲. برای یافتن تعداد اشیاء به ازای هر فرد، تعداد کل را بر تعداد افراد تقسیم کنید.\n۳. اگر باقی‌مانده وجود داشت، آن را نیز بررسی کنید یا به صورت باقی‌مانده بنویسید.\n۴. جواب را با واحد مناسب بیان کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم بر عددهای یک‌رقمی (۲)", "مسائل تقسیم زمین و مساحت"], {"intro": "۱. مساحت کل زمین را مشخص کنید.\n۲. تعداد بخش‌ها یا کشاورزان را مشخص کنید.\n۳. مساحت هر بخش را با تقسیم مساحت کل بر تعداد بخش‌ها پیدا کنید.\n۴. جواب را با واحد متر مربع بیان کنید.", "steps": ["مساحت کل زمین ۲۴۰۰ متر مربع است.", "تعداد کشاورزان ۴ نفر است.", "برای پیدا کردن مساحت هر بخش، مساحت کل را بر تعداد کشاورزان تقسیم می‌کنیم: ۲۴۰۰ ÷ ۴ = ۶۰۰.", "بنابراین، مساحت زمین هر کشاورز ۶۰۰ متر مربع است.", "✅ جواب: ۶۰۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم بر عددهای یک‌رقمی (۲)", "نوشتن مسئله با حاصل ضرب داده شده"], {"intro": "۱. حاصل ضرب داده شده را بررسی کنید.\n۲. دو عددی که حاصل ضرب آن برابر عدد داده شده است را انتخاب کنید.\n۳. مسئله‌ای بسازید که شامل ضرب این دو عدد باشد.\n۴. مسئله را حل کنید و جواب را تأیید کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم بر عددهای دورقمی (۱)", "تقسیم عدد دو رقمی بر عدد دو رقمی با استفاده از مدل تصویری"], {"intro": "۱. عدد دو رقمی را به صورت مدل تصویری (میله‌ها و نقطه‌ها) نمایش دهید. ۲. مدل را به دسته‌های مساوی تقسیم کنید که تعداد دسته‌ها برابر با مقسوم‌علیه باشد. ۳. تعداد میله‌ها و نقطه‌ها در هر دسته را بشمارید تا خارج قسمت را به دست آورید. ۴. اگر مقداری باقی ماند، آن را به عنوان باقی‌مانده یادداشت کنید.", "figures": []}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم بر عددهای دورقمی (۱)", "تقسیم عدد دو رقمی بر عدد یک رقمی با تقریب خارج قسمت"], {"intro": "۱. عدد مقسوم را به نزدیک‌ترین عددی که بر مقسوم‌علیه بخش‌پذیر باشد، تقریب بزنید. ۲. تقسیم را با عدد تقریبی انجام دهید. ۳. خارج قسمت تقریبی را به دست آورید. ۴. در صورت نیاز، باقی‌مانده را بررسی کنید.", "example": "در تقسیم ۶۸ بر ۱۳، آیا تقسیم بخش‌پذیر است؟", "steps": ["۶۸ را بر ۱۳ تقسیم می‌کنیم.", "۱۳ × ۵ = ۶۵ و باقی‌مانده ۳ است.", "چون باقی‌مانده صفر نیست، تقسیم بخش‌پذیر نیست.", "✅ جواب: تقسیم ۶۸ بر ۱۳ بخش‌پذیر نیست زیرا باقی‌مانده ۳ است."]}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم بر عددهای دورقمی (۱)", "تشخیص بخش‌پذیری در تقسیم دو عدد دو رقمی"], {"intro": "۱. عدد مقسوم را بر عدد مقسوم‌علیه تقسیم کنید. ۲. اگر باقی‌مانده صفر باشد، تقسیم بخش‌پذیر است. ۳. اگر باقی‌مانده غیر صفر باشد، تقسیم بخش‌پذیر نیست."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم بر عددهای دورقمی (۱)", "تقسیم عدد بزرگ به عدد دو رقمی با تقریب خارج قسمت"], {"intro": "۱. ابتدا عدد بزرگ را به صورت مرحله‌ای تقسیم بر عدد دو رقمی انجام می‌دهیم. ۲. قبل از تقسیم، مقدار تقریبی خارج قسمت را حدس می‌زنیم تا تقسیم راحت‌تر شود. ۳. تقسیم را با حدس خارج قسمت شروع می‌کنیم و باقی‌مانده را حساب می‌کنیم. ۴. باقی‌مانده را به مرحله بعدی می‌بریم و دوباره تقسیم را ادامه می‌دهیم. ۵. اگر حدس خارج قسمت مناسب نبود، حدس را اصلاح می‌کنیم و تقسیم را ادامه می‌دهیم تا جواب کامل به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم بر عددهای دورقمی (۱)", "تقسیم عددهای چند رقمی بر عددهای دو رقمی"], {"intro": "۱. عدد تقسیم را به بخش‌های مناسب تقسیم می‌کنیم تا بتوانیم تقسیم را مرحله به مرحله انجام دهیم. ۲. عدد سمت چپ را بر عدد تقسیم‌کننده تقسیم می‌کنیم و حاصل را می‌نویسیم. ۳. حاصل ضرب عدد تقسیم‌کننده در عدد نوشته شده را از بخش مربوطه کم می‌کنیم. ۴. باقی‌مانده را به بخش بعدی عدد تقسیم اضافه می‌کنیم و مراحل را تکرار می‌کنیم. ۵. در نهایت حاصل تقسیم و باقی‌مانده را می‌نویسیم."}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم بر عددهای دورقمی (۲)", "مسائل کاربردی تقسیم"], {"steps": ["مقدار کل گل‌ها ۲۴۰ است و تعداد گلدان‌ها ۸ است.", "برای پیدا کردن تعداد گل‌ها در هر گلدان، ۲۴۰ را بر ۸ تقسیم می‌کنیم.", "۲۴۰ ÷ ۸ = ۳۰.", "بنابراین، هر گلدان ۳۰ گل دارد.", "✅ جواب: ۳۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم بر عددهای دورقمی (۲)", "محاسبه قیمت هر واحد در مسائل تقسیم"], {"steps": ["برای محاسبه قیمت هر کتاب، قیمت کل را بر تعداد کتاب‌ها تقسیم می‌کنیم.", "قیمت کل ۲۴۰۰۰۰ تومان است و تعداد کتاب‌ها ۱۲۰ عدد است.", "محاسبه می‌کنیم: ۲۴۰۰۰۰ ÷ ۱۲۰ = ۲۰۰۰.", "بنابراین، قیمت هر کتاب ۲۰۰۰ تومان است.", "✅ جواب: ۲۰۰۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم بر عددهای دورقمی (۴)", "محاسبه مجموع وزن محصولات و تبدیل به تن"], {"steps": ["وزن سیب و پرتقال را با هم جمع می‌کنیم: ۲۵۰۰ + ۳۷۵۰ = ۶۲۵۰ کیلوگرم.", "برای تبدیل کیلوگرم به تن، مجموع کیلوگرم را بر ۱۰۰۰ تقسیم می‌کنیم: ۶۲۵۰ ÷ ۱۰۰۰ = ۶٫۲۵ تن.", "پس مجموع وزن محصولات به تن برابر است با ۶٫۲۵ تن.", "✅ جواب: ۶٫۲۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "زاویه (۱)", "یافتن و نام‌گذاری تمام زاویه‌ها با استفاده از روش الگوسازی"], {"example": "در یک مثلث ABC، زاویه A برابر با ۴۰ درجه، زاویه B برابر با ۶۰ درجه و زاویه C را پیدا کنید.", "steps": ["زاویه A و B را داریم: ۴۰ درجه و ۶۰ درجه.", "مجموع زاویه‌های مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است.", "زاویه C را با استفاده از فرمول ۱۸۰ - (زاویه A + زاویه B) محاسبه می‌کنیم.", "زاویه C = ۱۸۰ - (۴۰ + ۶۰) = ۱۸۰ - ۱۰۰ = ۸۰ درجه.", "✅ جواب: ۸۰ درجه"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "زاویه (۱)", "محاسبه تعداد روزهای تعطیل در یک بازه زمانی با استفاده از تقویم"], {"intro": "۱. ابتدا روزهای مشخص شده به عنوان تعطیل در تقویم را بشمارید.\n۲. تعداد روزهای تعطیل را به دست آورید.\n۳. اگر نیاز به تبدیل به ساعت یا دقیقه بود، تعداد روزها را در تعداد ساعت یا دقیقه هر روز ضرب کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "زاویه (۱)", "مقایسه طول زمان‌های مختلف و تبدیل واحدهای زمان"], {"intro": "۱. واحدهای زمان مختلف را به یک واحد مشترک تبدیل کنید (مثلاً همه را به روز یا ساعت تبدیل کنید).\n۲. برای تبدیل هفته به روز، تعداد هفته‌ها را در ۷ ضرب کنید.\n۳. برای تبدیل ساعت به روز، تعداد ساعت را بر ۲۴ تقسیم کنید.\n۴. برای تبدیل دقیقه به روز، ابتدا دقیقه را به ساعت تبدیل کنید (تقسیم بر ۶۰) و سپس ساعت را به روز تبدیل کنید (تقسیم بر ۲۴).\n۵. مقادیر به دست آمده را با هم مقایسه کنید تا طولانی‌ترین زمان مشخص شود."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "زاویه (۲)", "تشخیص زاویه راست با کمک شکل‌های خطی رنگی"], {"steps": ["مستطیل دارای ۴ زاویه است.", "با استفاده از گونیا بررسی می‌کنیم که هر زاویه ۹۰ درجه است.", "بنابراین هر چهار زاویه مستطیل، زاویه راست هستند.", "✅ جواب: مستطیل ۴ زاویه دارد و هر یک ۹۰ درجه (راست) است."]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "زاویه (۲)", "مقایسه اندازه زاویه‌ها"], {"intro": "۱. زاویه‌ها را روی کاغذ شفاف یا برگه‌ای مشابه رسم کنید. ۲. زاویه‌ها را روی هم قرار دهید تا اندازه آن‌ها را مقایسه کنید. ۳. اگر زاویه اول بزرگ‌تر بود علامت >، اگر کوچک‌تر بود علامت < و اگر مساوی بود علامت = را در دایره مربوطه قرار دهید. ۴. ترتیب زاویه‌ها را با همین روش مقایسه کنید و علامت مناسب را بگذارید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "زاویه (۲)", "تشخیص تعداد و نوع زاویه‌های یک شکل هندسی"], {"intro": "۱. شکل هندسی مورد نظر را بررسی کنید. ۲. تعداد زاویه‌های شکل را بشمارید. ۳. نوع هر زاویه را با توجه به اندازه آن مشخص کنید (مثلاً زاویه راست ۹۰ درجه است). ۴. نتیجه را گزارش دهید که چند زاویه دارد و آیا زاویه‌ها راست هستند یا خیر."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "زاویه (۲)", "تشخیص زاویه بزرگ‌تر و کوچک‌تر"], {"intro": "۱. زاویه‌ها را با دقت مشاهده کنید.\n۲. زاویه راست را که ۹۰ درجه است، مشخص کنید.\n۳. زاویه‌ای که از زاویه راست بزرگ‌تر است را به عنوان زاویه بزرگ‌تر علامت بزنید.\n۴. زاویه‌ای که از زاویه راست کوچک‌تر است را به عنوان زاویه کوچک‌تر علامت بزنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "زاویه (۲)", "مقایسه زاویه‌ها با نیم‌دایره"], {"intro": "۱. نیم‌دایره را به عنوان مرجع در نظر بگیرید.\n۲. زاویه‌های داده شده را روی نیم‌دایره رسم کنید.\n۳. زاویه‌ها را با هم مقایسه کنید و زاویه بزرگ‌تر را مشخص کنید.\n۴. نتیجه را با دقت بیان کنید.", "example": "زاویه A برابر با ۷۰ درجه و زاویه B برابر با ۱۱۰ درجه است. کدام زاویه بزرگ‌تر است؟", "steps": ["زاویه A را روی نیم‌دایره رسم می‌کنیم و می‌بینیم که ۷۰ درجه است.", "زاویه B را نیز روی نیم‌دایره رسم می‌کنیم و می‌بینیم که ۱۱۰ درجه است.", "حالا زاویه‌ها را با هم مقایسه می‌کنیم: ۷۰ درجه کمتر از ۱۱۰ درجه است.", "بنابراین زاویه B بزرگ‌تر از زاویه A است.", "✅ جواب: زاویه B بزرگ‌تر است."], "figures": []}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "زاویه (۳)", "تشخیص زاویه بزرگ‌تر بین دو زاویه رنگی"], {"intro": "۱. هر دو زاویه را روی نیم‌دایره رسم کنید.\n۲. زاویه‌ها را با دقت مقایسه کنید.\n۳. زاویه‌ای که قوس بزرگ‌تری روی نیم‌دایره دارد را به عنوان زاویه بزرگ‌تر انتخاب کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "زاویه (۳)", "رسم نیم‌دایره و تعیین بزرگی زاویه‌ها"], {"intro": "۱. نیم‌دایره را رسم کنید.\n۲. زاویه‌های داده شده را روی نیم‌دایره رسم کنید.\n۳. زاویه‌ها را با هم مقایسه کنید.\n۴. زاویه بزرگ‌تر را با علامت بزرگ‌تر مشخص کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "زاویه (۳)", "مقایسه زاویه‌ها با استفاده از نیم دایره شفاف"], {"intro": "۱. نیم دایره شفاف را روی زاویه اول قرار دهید به طوری که مرکز نیم دایره روی راس زاویه باشد. ۲. اندازه زاویه را با توجه به درجه‌های روی نیم دایره بخوانید. ۳. همین کار را برای زاویه دوم انجام دهید. ۴. دو زاویه را با هم مقایسه کنید و علامت مناسب (<، >، =) را در دایره کنار زاویه‌ها قرار دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "زاویه (۳)", "تشخیص نوع زاویه (تند، باز، راست) با استفاده از شکل‌های مثلثی"], {"intro": "۱. هر زاویه را با یک حرف نام گذاری کنید. ۲. زاویه‌ها را با توجه به اندازه‌شان در مثلث‌ها بررسی کنید. ۳. زاویه‌های کمتر از ۹۰ درجه را تند، برابر ۹۰ درجه را راست و بیشتر از ۹۰ درجه را باز تشخیص دهید. ۴. نوع هر زاویه را مشخص کنید و رنگ یا علامت مناسب بگذارید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "زاویه (۳)", "ترسیم و مقایسه زاویه‌ها با استفاده از قیچی و قرار دادن روی هم"], {"intro": "۱. زاویه‌ها را با قیچی از کاغذ جدا کنید. ۲. زاویه‌ها را روی هم قرار دهید به طوری که راس‌ها و یک ضلع زاویه‌ها روی هم بیفتد. ۳. زاویه‌ای که ضلع دیگر آن بزرگ‌تر باشد، زاویه بزرگ‌تر است. ۴. نتیجه را یادداشت کنید و علامت مناسب را در دایره کنار زاویه‌ها قرار دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "زاویه (۳)", "پوشاندن زاویه‌ها با زاویه‌های دیگر و شمارش تعداد پوشش‌ها"], {"intro": "۱. زاویه‌ای را که می‌خواهید اندازه‌اش را بسنجید، انتخاب کنید. ۲. زاویه‌های کوچکتر را روی آن قرار دهید تا کاملاً پوشانده شود. ۳. تعداد زاویه‌های کوچکتر که برای پوشاندن زاویه بزرگ‌تر لازم است را بشمارید. ۴. نتیجه را یادداشت کنید و مقایسه کنید که چند برابر زاویه کوچکتر است."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زاویه (۱)", "تقسیم نیم دایره به بخش‌های مساوی"], {"intro": "برای تقسیم نیم دایره به بخش‌های مساوی، ابتدا نیم دایره را به تعداد بخش‌های مورد نظر تقسیم می‌کنیم. هر بار با تکرار تقسیم، اندازه هر بخش کاهش می‌یابد. به عنوان مثال، اگر نیم دایره را به ۸ قسمت مساوی تقسیم کنیم، هر قسمت برابر با ۱۸۰ درجه تقسیم بر ۸ یعنی ۲۲٫۵ درجه خواهد بود.", "figures": []}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زاویه (۱)", "بیان اندازه زاویه‌ها با استفاده از نیم دایره"], {"intro": "برای بیان اندازه زاویه‌ها با استفاده از نیم دایره، ابتدا نیم دایره را به بخش‌های مساوی تقسیم می‌کنیم. سپس با توجه به تعداد بخش‌های بین دو ضلع زاویه، اندازه زاویه را به صورت کسر یا عددی از ۱۸۰ درجه بیان می‌کنیم.", "example": "زاویه‌های ۳۵ درجه، ۷۰ درجه، ۱۱۰ درجه و ۱۶۵ درجه را رسم کنید.", "steps": ["راس زاویه را مشخص کنید.", "ضلع اول زاویه را رسم کنید.", "نقاله را روی راس قرار دهید و ضلع اول را روی صفر نقاله تنظیم کنید. برای هر زاویه، علامت درجه مربوطه را روی نقاله پیدا کنید و نقطه‌ای علامت بزنید. ضلع دوم زاویه را از راس به نقطه علامت زده شده وصل کنید. به این ترتیب زاویه‌های ۳۵، ۷۰، ۱۱۰ و ۱۶۵ درجه رسم می‌شوند.", "✅ جواب: روش رسم با نقاله درست است."], "figures": []}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زاویه (۱)", "تقسیم نیم دایره به بخش‌های مساوی برای افزایش دقت اندازه‌گیری"], {"intro": "برای افزایش دقت اندازه‌گیری زاویه‌ها، نیم دایره را به تعداد بیشتری بخش مساوی تقسیم می‌کنیم. هر چه تعداد بخش‌ها بیشتر باشد، اندازه هر بخش کوچکتر و اندازه‌گیری دقیق‌تر خواهد بود. مثلاً تقسیم نیم دایره به ۱۸ بخش مساوی که هر بخش ۱۰ درجه است، دقت اندازه‌گیری را افزایش می‌دهد."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زاویه (۱)", "اندازه‌گیری زاویه با نقاله"], {"intro": "۱. نقاله را طوری روی راس زاویه قرار دهید که مرکز نقاله روی راس زاویه باشد. ۲. خط پایه نقاله را روی یکی از ضلع‌های زاویه تنظیم کنید. ۳. عددی را که ضلع دوم زاویه روی نقاله نشان می‌دهد، بخوانید. ۴. این عدد اندازه زاویه به درجه است."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زاویه (۱)", "تکمیل جملات درباره اندازه زاویه‌ها"], {"intro": "۱. زاویه‌های تند زاویه‌هایی هستند که اندازه آن‌ها کمتر از ۹۰ درجه است. ۲. زاویه‌های باز زاویه‌هایی هستند که اندازه آن‌ها بیشتر از ۹۰ درجه است. ۳. جملات را با توجه به این تعاریف کامل کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زاویه (۲)", "رسم زاویه با اندازه مشخص"], {"intro": "۱. نقطه‌ای به عنوان راس زاویه مشخص کنید. ۲. یک ضلع زاویه را رسم کنید. ۳. نقاله را روی راس زاویه قرار دهید و ضلع رسم شده را روی صفر نقاله تنظیم کنید. ۴. علامت درجه مورد نظر (مثلاً ۳۵، ۷۰، ۱۱۰ یا ۱۶۵ درجه) را روی نقاله پیدا کنید. ۵. نقطه‌ای روی علامت درجه مشخص شده علامت بزنید. ۶. ضلع دوم زاویه را از راس به آن نقطه وصل کنید.", "example": "زاویه‌ای با اندازه ۹۰ درجه را رسم کنید.", "steps": ["نقطه A را به عنوان راس زاویه مشخص کنید.", "یک ضلع زاویه AB را به طول ۵ سانتیمتر رسم کنید.", "نقاله را روی نقطه A قرار دهید و ضلع AB را روی صفر نقاله تنظیم کنید.", "علامت ۹۰ درجه را روی نقاله پیدا کنید و نقطه C را در آن علامت مشخص کنید.", "ضلع AC را از راس A به نقطه C وصل کنید.", "✅ جواب: زاویه ۹۰ درجه"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زاویه (۲)", "اندازه‌گیری و نوشتن اندازه زاویه‌های گوناگون با نقاله"], {"intro": "۱. نقاله را روی راس زاویه قرار دهید. ۲. ضلع اول زاویه را روی صفر نقاله تنظیم کنید. ۳. عددی که ضلع دوم روی نقاله نشان می‌دهد را بخوانید. ۴. اندازه زاویه را یادداشت کنید.", "example": "زاویه‌ای که ضلع اول آن روی صفر نقاله و ضلع دوم آن روی عدد ۶۰ درجه قرار دارد را با نقاله اندازه‌گیری کنید.", "steps": ["مرکز نقاله را روی راس زاویه قرار دهید.", "ضلع اول زاویه را روی صفر نقاله تنظیم کنید.", "عددی که ضلع دوم روی نقاله نشان می‌دهد ۶۰ درجه است. پس اندازه زاویه ۶۰ درجه است.", "✅ جواب: ۶۰ درجه"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زاویه (۲)", "محاسبه اندازه زاویه با استفاده از جمع و تفریق زوایا"], {"intro": "۱. زاویه‌های داده شده را شناسایی کنید.\n۲. اگر زاویه مجهول به صورت جمع دو زاویه معلوم است، آن دو زاویه را با هم جمع کنید.\n۳. اگر زاویه مجهول به صورت تفریق دو زاویه معلوم است، زاویه بزرگ‌تر را منهای زاویه کوچک‌تر کنید.\n۴. نتیجه به دست آمده اندازه زاویه مورد نظر است.", "example": "زاویه A برابر با ۳۵ درجه و زاویه B برابر با ۵۰ درجه است. اندازه زاویه C را محاسبه کنید که برابر با جمع زاویه A و زاویه B است.", "steps": ["زاویه C را محاسبه می‌کنیم: C = A + B", "C = ۳۵ + ۵۰", "C = ۸۵ درجه.", "✅ جواب: ۸۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زاویه (۲)", "تکمیل عبارت‌های ریاضی با استفاده از اندازه زوایا"], {"intro": "۱. اندازه زاویه‌های داده شده را بررسی کنید.\n۲. با توجه به نوع عبارت (جمع یا تفریق)، اعداد مناسب را جایگزین کنید.\n۳. عبارت را کامل کنید تا مقدار نهایی زاویه به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زاویه (۲)", "محاسبه زاویه با توجه به زاویه‌های مکمل و مکمل زاویه مستقیم"], {"intro": "۱. زاویه‌ی مستقیم ۱۸۰ درجه است.\n۲. اگر دو زاویه مکمل باشند (روی یک خط راست)، زاویه‌ی داده‌شده را از ۱۸۰ درجه کم کنید.\n۳. اگر دو زاویه متمم باشند (مجموعشان یک زاویه‌ی قائمه، ۹۰ درجه)، زاویه‌ی داده‌شده را از ۹۰ درجه کم کنید.\n۴. مقدار به‌دست‌آمده اندازه‌ی زاویه‌ی مجهول است."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زاویه (۳)", "اندازه‌گیری زاویه‌های ناشناخته با استفاده از زاویه‌های معلوم"], {"steps": ["زاویه معلوم ۱۱۰ درجه است.", "زاویه‌های مکمل مجموعشان ۱۸۰ درجه است.", "زاویه مجهول را با کم کردن ۱۱۰ از ۱۸۰ محاسبه می‌کنیم: ۱۸۰ - ۱۱۰ = ۷۰.", "بنابراین، زاویه مجهول ۷۰ درجه است.", "✅ جواب: ۷۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زاویه (۳)", "محاسبه تعداد چرخش لازم برای بازگشت شکل به حالت اولیه"], {"steps": ["زاویه چرخش ۱۲۰ درجه است.", "۳۶۰ درجه را بر ۱۲۰ درجه تقسیم می‌کنیم: ۳۶۰ ÷ ۱۲۰ = ۳.", "بنابراین، مثلث برای بازگشت به حالت اولیه به ۳ چرخش نیاز دارد.", "✅ جواب: ۳"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زمان (۱)", "محاسبه زمان رسیدن با توجه به زمان شروع و مدت زمان طی شده"], {"intro": "۱. زمان شروع را به ساعت و دقیقه مشخص کنید.\n۲. مدت زمان طی شده را به دقیقه یا ساعت مشخص کنید.\n۳. مدت زمان را به زمان شروع اضافه کنید.\n۴. اگر دقیقه‌ها از ۶۰ بیشتر شد، ۶۰ دقیقه را به یک ساعت تبدیل کنید و به ساعت اضافه کنید.\n۵. زمان نهایی را به صورت ساعت و دقیقه بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زمان (۱)", "یافتن زمان با اضافه کردن دقیقه به زمان داده شده"], {"intro": "۱. زمان اولیه را به ساعت و دقیقه مشخص کنید.\n۲. تعداد دقیقه اضافه شده را مشخص کنید.\n۳. دقیقه‌ها را به زمان اولیه اضافه کنید.\n۴. اگر دقیقه‌ها از ۶۰ بیشتر شد، ۶۰ دقیقه را به یک ساعت تبدیل کنید و به ساعت اضافه کنید.\n۵. زمان نهایی را به صورت ساعت و دقیقه بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زمان (۱)", "محاسبه مدت زمان خروج از مکانی با توجه به زمان شروع و زمان رسیدن"], {"intro": "۱. زمان شروع خروج از مکان را مشخص کنید.\n۲. زمان رسیدن به مقصد را مشخص کنید.\n۳. مدت زمان پیاده‌روی یا طی شده را محاسبه کنید (اختلاف زمان رسیدن و زمان شروع).\n۴. اگر دقیقه‌ها منفی شد، یک ساعت از ساعت کم کنید و ۶۰ دقیقه به دقیقه‌ها اضافه کنید.\n۵. مدت زمان را به ساعت و دقیقه بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زمان (۱)", "یافتن زمان قبل از زمان داده شده با کم کردن دقیقه"], {"intro": "۱. زمان داده شده را به ساعت و دقیقه مشخص کنید.\n۲. تعداد دقیقه‌ای که باید کم شود را مشخص کنید.\n۳. دقیقه‌ها را از دقیقه زمان داده شده کم کنید.\n۴. اگر دقیقه‌ها منفی شد، یک ساعت از ساعت کم کنید و ۶۰ دقیقه به دقیقه‌ها اضافه کنید.\n۵. زمان نهایی را به صورت ساعت و دقیقه بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زمان (۱)", "محاسبه مدت زمان بین دو زمان مشخص"], {"intro": "۱. زمان شروع و زمان پایان را به ساعت و دقیقه یادداشت کنید.\n۲. اگر دقیقه زمان پایان کمتر از دقیقه زمان شروع است، یک ساعت از ساعت زمان پایان کم کنید و ۶۰ دقیقه به دقیقه زمان پایان اضافه کنید.\n۳. ساعت پایان را منهای ساعت شروع کنید.\n۴. دقیقه پایان را منهای دقیقه شروع کنید.\n۵. نتیجه به دست آمده مدت زمان سپری شده است."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زمان (۲)", "محاسبه فاصله زمانی بین دو زمان با توضیح راه حل"], {"intro": "۱. زمان شروع و پایان را به ساعت و دقیقه یادداشت کنید.\n۲. اگر دقیقه زمان پایان کمتر از دقیقه زمان شروع است، یک ساعت از ساعت زمان پایان کم کنید و ۶۰ دقیقه به دقیقه زمان پایان اضافه کنید.\n۳. ساعت پایان را منهای ساعت شروع کنید.\n۴. دقیقه پایان را منهای دقیقه شروع کنید.\n۵. نتیجه را به صورت ساعت و دقیقه بیان کنید.\n۶. راه حل را با توضیح مراحل بالا بیان کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زمان (۲)", "جمع مدت زمان‌های مختلف و تبدیل به ساعت و دقیقه"], {"intro": "۱. مدت زمان‌ها را به ساعت و دقیقه یادداشت کنید.\n۲. ساعت‌ها را با هم جمع کنید.\n۳. دقیقه‌ها را با هم جمع کنید.\n۴. اگر دقیقه‌ها ۶۰ یا بیشتر شدند، هر ۶۰ دقیقه را به یک ساعت تبدیل کنید و به ساعت‌ها اضافه کنید.\n۵. نتیجه نهایی را به صورت ساعت و دقیقه بیان کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زمان (۲)", "تشخیص کارهایی که کمتر از یک دقیقه طول می‌کشند"], {"intro": "۱. فهرستی از کارها را بررسی کنید.\n۲. برای هر کار، مدت زمان تقریبی انجام آن را تخمین بزنید.\n۳. کارهایی که انجام آنها کمتر از یک دقیقه طول می‌کشد را مشخص کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری زمان (۳)", "شمارش اعداد برای تصور زمان"], {"steps": ["علی از ۱ شروع می‌کند و تا ۶۰ می‌شمارد.", "او هر ثانیه یک عدد می‌گوید.", "پس از ۶۰ ثانیه، علی به عدد ۶۰ می‌رسد.", "✅ جواب: ۶۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۱)", "اندازه‌گیری طول با استفاده از واحدهای متر و سانتی‌متر"], {"intro": "۱. طول‌های داده شده را به واحدهای متر و سانتی‌متر مشخص کنید.\n۲. جاهای خالی را با توجه به طول کل و بخش‌های معلوم پر کنید.\n۳. برای جمع یا تفریق طول‌ها، ابتدا واحدها را هماهنگ کنید (مثلاً همه را به سانتی‌متر تبدیل کنید).\n۴. سپس جمع یا تفریق را انجام دهید.\n۵. نتیجه را به واحد مناسب (متر و سانتی‌متر) تبدیل کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۱)", "محاسبه طول پاره خط با استفاده از جمع طول اضلاع مثلث‌ها"], {"intro": "۱. طول اضلاع داده شده را به دقت بخوانید.\n۲. با توجه به شکل، طول پاره خط مورد نظر را با جمع یا تفریق طول اضلاع مرتبط محاسبه کنید.\n۳. واحدها را هماهنگ کنید و سپس عملیات جمع یا تفریق را انجام دهید.\n۴. نتیجه را به واحد مناسب بیان کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۲)", "پر کردن جاهای خالی با توجه به بخش‌های تقسیم شده و اندازه کل"], {"intro": "۱. تعداد کل بخش‌ها را بشمارید. ۲. اندازه کل (مثلاً ۱ متر) را بر تعداد بخش‌ها تقسیم کنید تا اندازه هر بخش به دست آید. ۳. تعداد بخش‌های رنگ شده یا مشخص شده را در اندازه هر بخش ضرب کنید تا اندازه قسمت مورد نظر به دست آید. ۴. مقدار به دست آمده را در جای خالی بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۲)", "رنگ‌آمیزی نوار به اندازه کسر داده شده"], {"intro": "۱. طول کل نوار را به تعداد بخش‌های مساوی تقسیم کنید. ۲. صورت کسر نشان‌دهنده تعداد بخش‌هایی است که باید رنگ شوند. ۳. تعداد بخش‌های رنگ شده را برابر صورت کسر رنگ کنید. ۴. اگر لازم است، کسر را به صورت عددی و اندازه رنگ شده را بیان کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۲)", "مقایسه طول نوارها و تعیین نسبت و کسر طول‌ها"], {"intro": "۱. تعداد بخش‌های هر نوار را بشمارید. ۲. نسبت طول نوارها را با تقسیم تعداد بخش‌های نوار اول بر نوار دوم به دست آورید. ۳. برای یافتن کسر طول یک نوار نسبت به نوار دیگر، تعداد بخش‌های نوار مورد نظر را بر تعداد بخش‌های نوار مرجع تقسیم کنید. ۴. نسبت یا کسر به دست آمده را به صورت عددی یا کسری بیان کنید.", "example": "طول نوار (الف) ۶ بخش و طول نوار (ب) ۳ بخش است. طول نوار (الف) چند برابر طول نوار (ب) است؟ طول نوار (ب) چه کسری از طول نوار (الف) است؟", "steps": ["تعداد بخش‌های نوار (الف) برابر ۶ است و تعداد بخش‌های نوار (ب) برابر ۳ است.", "نسبت طول نوار (الف) به نوار (ب) را با تقسیم تعداد بخش‌های نوار (الف) بر تعداد بخش‌های نوار (ب) به دست می‌آوریم: ۶ ÷ ۳ = ۲.", "این یعنی طول نوار (الف) دو برابر طول نوار (ب) است.", "برای یافتن کسر طول نوار (ب) نسبت به نوار (الف)، تعداد بخش‌های نوار (ب) را بر تعداد بخش‌های نوار (الف) تقسیم می‌کنیم: ۳ ÷ ۶ = ۱/۲.", "این یعنی طول نوار (ب) نیم کسر از طول نوار (الف) است.", "✅ جواب: ۲ و ۱/۲"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۲)", "مقایسه تعداد درختان کاج و سرو و بررسی صحت ادعا با کسر"], {"intro": "۱. تعداد درختان کاج و سرو را یادداشت کنید. ۲. نسبت تعداد درختان سرو به کاج را محاسبه کنید. ۳. ادعای داده شده را به صورت کسر بیان کنید. ۴. بررسی کنید که نسبت واقعی با ادعای داده شده برابر است یا خیر. ۵. نتیجه‌گیری کنید که آیا گفته درست است یا نادرست."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۲)", "ترکیب طول قطعات چوب برای ساخت قطعه‌ای با طول مشخص"], {"steps": ["طول قطعه اول ۳۰ سانتی‌متر است.", "طول قطعه دوم ۲۰ سانتی‌متر است.", "برای پیدا کردن طول کل، ۳۰ را با ۲۰ جمع می‌کنیم: ۳۰ + ۲۰ = ۵۰.", "بنابراین، طول کل قطعه چوبی که می‌توانیم بسازیم ۵۰ سانتی‌متر است.", "✅ جواب: ۵۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۳)", "تشخیص زاویه تند و باز"], {"intro": "۱. زاویه تند زاویه‌ای است که اندازه آن کمتر از ۹۰ درجه باشد.\n۲. زاویه باز زاویه‌ای است که اندازه آن بیشتر از ۹۰ درجه و کمتر از ۱۸۰ درجه باشد.\n۳. برای تشخیص زاویه تند یا باز، زاویه را با زاویه‌سنج اندازه‌گیری می‌کنیم و مقدار درجه آن را می‌خوانیم.", "example": "زاویه‌ای در یک مثلث وجود دارد که اندازه آن ۷۵ درجه است. آیا این زاویه تند است یا باز؟", "steps": ["زاویه تند کمتر از ۹۰ درجه است.", "زاویه ۷۵ درجه را با ۹۰ درجه مقایسه می‌کنیم.", "چون ۷۵ < ۹۰، پس زاویه تند است.", "✅ جواب: تند"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۳)", "اندازه‌گیری زاویه با نقاله"], {"intro": "۱. مرکز نقاله را روی رأس زاویه قرار می‌دهیم.\n۲. خط پایه نقاله را روی یکی از ضلع‌های زاویه قرار می‌دهیم.\n۳. درجه‌ای که ضلع دیگر زاویه روی نقاله نشان می‌دهد، اندازه زاویه است.\n۴. هنگام اندازه‌گیری باید دقت کنیم که نقاله ثابت بماند و مرکز آن دقیق روی رأس زاویه قرار گیرد."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۳)", "جمع کردن زمان به دقیقه"], {"intro": "۱. ابتدا دقیقه‌های داده شده را به زمان اولیه اضافه می‌کنیم.\n۲. اگر مجموع دقیقه‌ها به ۶۰ یا بیشتر رسید، هر ۶۰ دقیقه را به یک ساعت تبدیل می‌کنیم.\n۳. ساعت‌ها و دقیقه‌های باقی‌مانده را به صورت ساعت و دقیقه بیان می‌کنیم.", "example": "ساعت ۹:۳۰ دقیقه را ۲۵ دقیقه جلو ببرید. زمان جدید را پیدا کنید.", "steps": ["ابتدا دقیقه‌های داده شده را به دقیقه‌های ساعت اولیه اضافه می‌کنیم: ۳۰ + ۲۵ = ۵۵ دقیقه.", "سپس ساعت را بررسی می‌کنیم: ساعت ۹ است و دقیقه‌ها ۵۵ می‌شوند.", "چون مجموع دقیقه‌ها کمتر از ۶۰ است، ساعت تغییر نمی‌کند.", "بنابراین زمان جدید ۹:۵۵ دقیقه است.", "✅ جواب: ۹:۵۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۳)", "محاسبه مجموع زاویه‌های چهارضلعی با استفاده از دایره و زاویه‌ها"], {"intro": "۱. یک دایره رسم می‌کنیم و یکی از زاویه‌های چهارضلعی را روی دایره قرار می‌دهیم به طوری که مرکز دایره روی رأس زاویه باشد.\n۲. ضلع دیگر زاویه را روی دایره قرار می‌دهیم و زاویه رسم شده روی دایره را رنگ می‌کنیم.\n۳. همین کار را برای سه زاویه دیگر چهارضلعی انجام می‌دهیم.\n۴. مجموع چهار زاویه رسم شده روی دایره برابر با ۳۶۰ درجه است، بنابراین مجموع زاویه‌های چهارضلعی ۳۶۰ درجه است.", "example": "یک چهارضلعی داریم که زاویه‌های آن به ترتیب ۷۰ درجه، ۹۰ درجه، ۸۰ درجه و ۱۲۰ درجه هستند. مجموع زاویه‌های این چهارضلعی را محاسبه کنید.", "steps": ["مجموع زاویه‌ها را محاسبه می‌کنیم: ۷۰ + ۹۰ = ۱۶۰.", "سپس ۱۶۰ را با زاویه سوم جمع می‌کنیم: ۱۶۰ + ۸۰ = ۲۴۰.", "در نهایت ۲۴۰ را با زاویه چهارم جمع می‌کنیم: ۲۴۰ + ۱۲۰ = ۳۶۰.", "✅ جواب: ۳۶۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۴)", "محاسبه مجموع زاویه‌های مثلث با استفاده از دایره و زاویه‌ها"], {"intro": "۱. یک دایره رسم می‌کنیم و هر یک از زاویه‌های مثلث را روی دایره قرار می‌دهیم به طوری که مرکز دایره روی رأس زاویه باشد.\n۲. زاویه‌های مثلث را روی دایره رسم و رنگ می‌کنیم.\n۳. مجموع زاویه‌های مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است.", "example": "در مثلث ABC، زاویه A برابر با ۵۰ درجه، زاویه B برابر با ۷۰ درجه و زاویه C را محاسبه کنید.", "steps": ["مجموع زاویه‌های مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است.", "زاویه A را به ۵۰ درجه و زاویه B را به ۷۰ درجه اضافه می‌کنیم: ۵۰ + ۷۰ = ۱۲۰ درجه.", "برای پیدا کردن زاویه C، ۱۸۰ درجه را از مجموع زاویه‌های A و B کم می‌کنیم: ۱۸۰ - ۱۲۰ = ۶۰ درجه.", "✅ جواب: ۶۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۴)", "محاسبه مجموع زاویه‌های شکل‌های هندسی"], {"intro": "۱. زاویه‌های هر شکل هندسی را شناسایی کنید.\n۲. اگر شکل مرکب است، زاویه‌ها را با استفاده از کاغذ شفاف روی هم قرار دهید.\n۳. مجموع زاویه‌ها را با جمع کردن اندازه‌های زاویه‌ها به دست آورید.\n۴. برای دایره، مجموع زاویه‌ها ۳۶۰ درجه است.\n۵. برای مستطیل، مجموع زاویه‌ها ۳۶۰ درجه است.", "example": "مجموع زاویه‌های یک مثلث را محاسبه کنید که زاویه‌های آن به ترتیب ۵۰ درجه، ۷۰ درجه و ۶۰ درجه هستند.", "steps": ["زاویه اول را یادداشت می‌کنیم: ۵۰ درجه.", "زاویه دوم را یادداشت می‌کنیم: ۷۰ درجه.", "زاویه سوم را یادداشت می‌کنیم: ۶۰ درجه.", "حالا مجموع زاویه‌ها را محاسبه می‌کنیم: ۵۰ + ۷۰ + ۶۰ = ۱۸۰ درجه.", "✅ جواب: ۱۸۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۴)", "محاسبه زمان سفر قطار"], {"intro": "۱. زمان شروع حرکت قطار را به ساعت و دقیقه یادداشت کنید.\n۲. زمان رسیدن قطار را به ساعت و دقیقه یادداشت کنید.\n۳. اختلاف ساعت و دقیقه‌ها را محاسبه کنید.\n۴. اگر دقیقه‌ها منفی شد، یک ساعت از ساعت‌ها کم کنید و ۶۰ دقیقه به دقیقه‌ها اضافه کنید.\n۵. زمان سفر قطار را به ساعت و دقیقه بیان کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۴)", "تبدیل واحدهای زمان به ثانیه"], {"intro": "۱. ساعت را به دقیقه تبدیل کنید (۱ ساعت = ۶۰ دقیقه).\n۲. دقیقه‌ها را به ثانیه تبدیل کنید (۱ دقیقه = ۶۰ ثانیه).\n۳. ثانیه‌ها را جمع کنید.\n۴. مجموع ثانیه‌ها را به دست آورید.", "steps": ["ابتدا یک ساعت را به دقیقه تبدیل می‌کنیم: ۱ ساعت = ۶۰ دقیقه.", "سپس ۶۰ دقیقه را به دقیقه‌های مسئله اضافه می‌کنیم: ۶۰ + ۱۵ = ۷۵ دقیقه.", "حالا دقیقه‌ها را به ثانیه تبدیل می‌کنیم: ۷۵ دقیقه × ۶۰ = ۴۵۰۰ ثانیه.", "در نهایت ثانیه‌های مسئله را به مجموع ثانیه‌ها اضافه می‌کنیم: ۴۵۰۰ + ۴۵ = ۴۵۴۵ ثانیه.", "✅ جواب: ۴۵۴۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۴)", "تعیین زمان مناسب برای فعالیت‌های مختلف"], {"intro": "۱. مدت زمان هر فعالیت را بر اساس واحد داده شده یادداشت کنید.\n۲. واحد زمان را به واحد مناسب تبدیل کنید (مثلاً ساعت به دقیقه یا ثانیه).\n۳. زمان مناسب برای هر فعالیت را بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۵)", "محاسبه طول پاره‌خط در اشکال هندسی با استفاده از اندازه‌های داده شده"], {"intro": "۱. اندازه‌های داده شده را یادداشت کنید.\n۲. از ویژگی‌های اشکال هندسی استفاده کنید (مثلث متساوی‌الاضلاع: همه اضلاع برابر، مثلث متساوی‌الساقین: دو ضلع برابر، مربع: اضلاع برابر و قطر با رابطه فیثاغورس).\n۳. با استفاده از روابط هندسی، طول پاره‌خط مجهول را محاسبه کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۵)", "محاسبه تعداد طناب‌های درست شده در گره‌ها"], {"intro": "۱. نقطه شروع گره را مشخص کنید.\n۲. مسیر طناب را از نقطه شروع دنبال کنید.\n۳. هر بار که طناب از روی خودش عبور می‌کند، یک طناب درست شده محسوب می‌شود.\n۴. تعداد کل طناب‌ها را با دقت بشمارید.\n۵. نتیجه را یادداشت کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۵)", "خواندن و تفسیر اعداد اعشاری در اندازه‌گیری"], {"example": "یک بطری آب ۲٫۴ لیتر آب دارد. اگر ۰٫۶ لیتر از آن را بریزیم، مقدار آب باقی‌مانده چقدر است؟", "steps": ["مقدار اولیه آب در بطری ۲٫۴ لیتر است.", "مقدار آبی که ریخته می‌شود ۰٫۶ لیتر است.", "برای محاسبه مقدار آب باقی‌مانده، ۲٫۴ لیتر را منهای ۰٫۶ لیتر می‌کنیم.", "۲٫۴ - ۰٫۶ = ۱٫۸ لیتر.", "پس مقدار آب باقی‌مانده ۱٫۸ لیتر است.", "✅ جواب: ۱٫۸ لیتر"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۵)", "تبدیل عدد اعشاری به کسر و درصد"], {"intro": "۱. عدد اعشاری را به صورت کسر بنویسید (مثلاً ۰٫۱۵ = ۱۵/۱۰۰).\n۲. در صورت نیاز، کسر را ساده کنید.\n۳. برای تبدیل به درصد، کسر را در ۱۰۰ ضرب کنید و علامت درصد (%) بگذارید.\n۴. نتیجه را به صورت درصد بیان کنید.", "example": "عدد اعشاری ۰٫۷۵ را به کسر و درصد تبدیل کنید.", "steps": ["عدد اعشاری ۰٫۷۵ را به صورت کسر می‌نویسیم: ۷۵/۱۰۰.", "کسر ۷۵/۱۰۰ را ساده می‌کنیم: ۳/۴.", "برای تبدیل به درصد، کسر ۳/۴ را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم: ۳/۴ × ۱۰۰ = ۷۵.", "نتیجه را به صورت درصد بیان می‌کنیم: ۷۵%.", "پس ۰٫۷۵ به صورت درصد برابر با ۷۵% است.", "✅ جواب: ۷۵%"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۱)", "یافتن عددی بین دو عدد داده شده"], {"intro": "۱. ابتدا دو عدد داده شده را روی خط اعداد مشخص کنید.\n۲. فاصله بین دو عدد را به قسمت‌های مساوی تقسیم کنید.\n۳. اعداد بین دو عدد داده شده را با توجه به تقسیم‌بندی روی خط اعداد پیدا کنید.\n۴. اعداد به دست آمده را به صورت کسر یا عدد اعشاری بنویسید.\n۵. در صورت نیاز، اعداد را با هم مقایسه کنید تا عددی که بین دو عدد است را بیابید.", "steps": ["عدد ۴ و ۷ را روی خط اعداد مشخص می‌کنیم.", "فاصله بین ۴ و ۷ برابر با ۳ است.", "این فاصله را به ۳ قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم که هر قسمت برابر با ۱ است.", "اعداد بین ۴ و ۷ عبارتند از ۵ و ۶.", "عدد ۵ از ۴ بیشتر و از ۷ کمتر است. بنابراین عدد مورد نظر ۵ است.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۱)", "تبدیل زمان به عدد مخلوط و تقریب زمان"], {"intro": "برای تبدیل زمان به عدد مخلوط، ابتدا ثانیه‌ها را به دقیقه تبدیل می‌کنیم (۶۰ ثانیه = ۱ دقیقه). سپس دقیقه‌ها و ثانیه‌های باقی‌مانده را به صورت عدد مخلوط می‌نویسیم. برای تقریب، عدد مخلوط را به نزدیک‌ترین عدد صحیح یا کسری ساده شده گرد می‌کنیم."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۱)", "تبدیل زمان‌های مختلف به عدد مخلوط و تقریب آنها"], {"intro": "برای هر زمان داده شده، ثانیه‌ها را بر ۶۰ تقسیم می‌کنیم تا قسمت اعشاری دقیقه به دست آید. سپس عدد مخلوط دقیقه و قسمت اعشاری را می‌نویسیم. در نهایت، عدد مخلوط را به نزدیک‌ترین عدد اعشاری یا کسری ساده شده تقریب می‌زنیم."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۲)", "نوشتن کسر مربوط به طول هر قسمت از نوار"], {"intro": "۱. طول کل نوار را به قسمت‌های مساوی تقسیم کنید. ۲. تعداد قسمت‌های کل را به عنوان مخرج کسر بنویسید. ۳. تعداد قسمت‌های مورد نظر را به عنوان صورت کسر بنویسید. ۴. کسر را به صورت صورت بر مخرج بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۲)", "نمایش عدد مخلوط با استفاده از نوارهای تقسیم شده"], {"intro": "۱. طول کل نوار را به قسمت‌های مساوی تقسیم کنید. ۲. تعداد قسمت‌های کل را به عنوان مخرج کسر بنویسید. ۳. تعداد قسمت‌های رنگ شده یا مورد نظر را بشمارید. ۴. عدد صحیح برابر با تعداد نوارهای کامل است و کسر برابر با قسمت‌های اضافی است. ۵. عدد مخلوط را به صورت عدد صحیح و کسر بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۲)", "محاسبه طول کل با استفاده از عدد مخلوط"], {"intro": "۱. عدد مخلوط را به صورت جمع عدد صحیح و کسر بنویسید. ۲. عدد صحیح را در نظر بگیرید. ۳. کسر را به صورت کسری از واحد طول بنویسید. ۴. طول کل را با جمع عدد صحیح و کسر به دست آورید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۲)", "نمایش عدد مخلوط روی محور اعداد"], {"intro": "۱. محور اعداد را رسم کنید و اعداد صحیح را مشخص کنید. ۲. فاصله بین اعداد صحیح را به قسمت‌های مساوی تقسیم کنید که برابر مخرج کسر است. ۳. عدد مخلوط را به صورت عدد صحیح و کسر بنویسید. ۴. از عدد صحیح شروع کرده و به اندازه صورت کسر به سمت راست حرکت کنید. ۵. نقطه مربوط به عدد مخلوط را روی محور مشخص کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۳)", "اندازه‌گیری طول با خط‌کش و تبدیل واحدها"], {"intro": "۱. طول جسم را با خط‌کش بخوانید و عدد را به میلی‌متر یا سانتی‌متر یادداشت کنید. ۲. اگر لازم است، واحد طول را به واحد دیگر تبدیل کنید (مثلاً میلی‌متر به سانتی‌متر یا بالعکس) با توجه به اینکه ۱ سانتی‌متر برابر ۱۰ میلی‌متر است. ۳. طول را به صورت عدد مخلوط بنویسید، یعنی عدد صحیح و کسر را جداگانه بیان کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۳)", "نوشتن عدد مخلوط از اندازه‌ها"], {"intro": "۱. اندازه داده شده را بخوانید. ۲. عدد صحیح و قسمت کسری اندازه را جدا کنید. ۳. عدد مخلوط را به صورت عدد صحیح به علاوه کسر بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۳)", "محاسبه طول با کسر و عدد مخلوط"], {"intro": "۱. طول کل را به متر یا واحد داده شده یادداشت کنید. ۲. کسر داده شده را در طول کل ضرب کنید تا طول مورد نظر به دست آید. ۳. حاصل را به صورت عدد مخلوط بنویسید اگر لازم بود."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۳)", "نمایش تعداد یا مقدار با عدد مخلوط"], {"intro": "۱. تعداد کل را یادداشت کنید. ۲. تعداد مصرف شده یا باقی‌مانده را مشخص کنید. ۳. مقدار باقی‌مانده را به صورت کسر یا عدد مخلوط بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۳)", "مقایسه مقدار آب در ظروف با عدد مخلوط"], {"intro": "۱. تعداد قسمت‌های مساوی ظرف را یادداشت کنید. ۲. تعداد قسمت‌های پر شده را بشمارید. ۳. مقدار آب را به صورت کسر یا عدد مخلوط بنویسید. ۴. دو مقدار را با هم مقایسه کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۴)", "نمایش عدد مخلوط با استفاده از شکل‌های تقسیم شده"], {"intro": "۱. تعداد کل قسمت‌های شکل را بشمارید. ۲. تعداد قسمت‌های رنگ شده را بشمارید. ۳. عدد مخلوط را به صورت عدد صحیح به علاوه کسر قسمت‌های رنگ شده بر کل قسمت‌ها بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۴)", "رسم شکل برای نمایش عدد کسری"], {"intro": "۱. مخرج کسر را به تعداد قسمت‌های مساوی تقسیم کنید. ۲. صورت کسر تعداد قسمت‌های رنگ شده را نشان می‌دهد. ۳. شکل را به گونه‌ای رنگ کنید که تعداد قسمت‌های رنگ شده برابر صورت کسر باشد."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۴)", "تشخیص عدد مربوط به نقاط مشخص شده روی محور اعداد"], {"intro": "۱. محور اعداد را به بخش‌های مساوی تقسیم کنید. ۲. هر بخش را به واحدهای کسری تقسیم کنید. ۳. عدد هر نقطه را با توجه به موقعیت آن نسبت به اعداد صحیح مشخص کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۴)", "جمع اعداد مخلوط در مسئله کاربردی"], {"intro": "۱. اعداد مخلوط را به صورت جمع عدد صحیح و کسر بنویسید. ۲. عدد صحیح‌ها را با هم جمع کنید. ۳. کسرها را با هم جمع کنید. اگر صورت کسر بزرگ‌تر از مخرج شد، آن را به عدد صحیح تبدیل کنید و به عدد صحیح‌ها اضافه کنید. ۴. حاصل جمع را به صورت عدد مخلوط بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۴)", "محاسبه تغییر سطح مایع با توجه به حجم سنگ در لیوان درجه‌بندی شده"], {"intro": "۱. درجه اولیه مایع را یادداشت کنید. ۲. سنگ را در لیوان بیندازید و درجه جدید مایع را بخوانید. ۳. اختلاف درجه‌ها نشان‌دهنده حجم سنگ است. ۴. اگر سنگ را خارج کنید، درجه مایع به مقدار اولیه برمی‌گردد.", "example": "یک لیوان از درجه ۵ تا ۳۰ درجه‌بندی شده است. اکنون آب در درجه ۱۵ است. یک تکه سنگ در لیوان می‌اندازیم، آب تا درجه ۲۵ بالا می‌آید. سنگ را درمی‌آوریم. آب دوباره روی چه درجه‌ای قرار می‌گیرد؟", "steps": ["درجه اولیه مایع ۱۵ است.", "پس از انداختن سنگ، درجه مایع به ۲۵ می‌رسد.", "اختلاف درجه‌ها برابر است با ۲۵ - ۱۵ = ۱۰.", "پس حجم سنگ برابر با ۱۰ درجه است.", "با خارج کردن سنگ، درجه مایع به مقدار اولیه یعنی ۱۵ برمی‌گردد.", "✅ جواب: ۱۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۵)", "مسائل کاربردی با مایعات و کسرها"], {"example": "یک بطری آب گنجایش ۲ لیتر دارد. اگر ۱٫۵ لیتر از آب بطری را در یک کاسه بریزیم، چه مقدار آب در بطری باقی می‌ماند؟", "steps": ["حجم کل آب در بطری ۲ لیتر است.", "حجم آب ریخته شده در کاسه ۱٫۵ لیتر است.", "برای محاسبه آب باقی‌مانده، ۲ لیتر منهای ۱٫۵ لیتر را انجام می‌دهیم.", "۲ - ۱٫۵ = ۰٫۵ لیتر آب در بطری باقی می‌ماند.", "✅ جواب: ۰٫۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد اعشاری (۱)", "بیان طول زنبور به صورت عدد مخلوط"], {"intro": "۱. طول زنبور را با خط کش اندازه بگیرید. ۲. طول را به صورت عدد مخلوط بیان کنید به این صورت که ابتدا تعداد سانتی‌متر کامل را بنویسید. ۳. سپس قسمت کسری سانتی‌متر را که کمتر از یک سانتی‌متر است به صورت کسر بنویسید. ۴. عدد مخلوط به صورت (عدد صحیح و کسر) نوشته می‌شود.", "example": "طول زنبور ۴ سانتی‌متر و ۳ دهم سانتی‌متر است. طول زنبور را به صورت عدد مخلوط بیان کنید.", "steps": ["تعداد سانتی‌متر کامل ۴ است.", "قسمت کسری ۳ دهم سانتی‌متر را به صورت کسر بنویسید: ۳/۱۰.", "عدد مخلوط را به صورت ۴ ۳/۱۰ بنویسید.", "✅ جواب: ۴ ۳/۱۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد اعشاری (۱)", "تعیین کسر هر قسمت از یک ظرف تقسیم شده به 10 قسمت مساوی"], {"intro": "۱. ظرف را به تعداد قسمت‌های مساوی تقسیم کنید. ۲. هر قسمت برابر است با ۱ تقسیم بر تعداد کل قسمت‌ها. ۳. اگر چند قسمت از ظرف پر باشد، کسر آن برابر است با تعداد قسمت‌های پر شده تقسیم بر تعداد کل قسمت‌ها.", "example": "یک ظرف یک لیتری به ۱۰ قسمت مساوی تقسیم شده است. اگر ۴ قسمت از این ظرف پر باشد، کسر آب در ظرف چه مقدار است؟", "steps": ["تعداد کل قسمت‌ها ۱۰ است.", "هر قسمت برابر است با ۱ تقسیم بر ۱۰ که می‌شود ۱/۱۰.", "تعداد قسمت‌های پر شده ۴ است.", "کسر آب در ظرف برابر است با ۴ تقسیم بر ۱۰ که می‌شود ۴/۱۰.", "✅ جواب: ۴/۱۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد اعشاری (۱)", "بیان گنجایش پارچ به صورت عدد مخلوط و عدد اعشاری"], {"intro": "۱. گنجایش پارچ را به صورت کسری از یک لیتر بیان کنید. ۲. اگر گنجایش پارچ کمی بیشتر از یک لیتر است، آن را به صورت عدد مخلوط بنویسید (عدد صحیح و کسر). ۳. کسر را به عدد اعشاری تبدیل کنید. ۴. عدد اعشاری را به صورت جداکننده قسمت صحیح و اعشار بنویسید.", "steps": ["مقدار مایع به صورت کسر: ۳/۱۰ ۲.", "تبدیل کسر به عدد اعشاری: ۳ ÷ ۱۰ = ۰٫۳ ۳.", "پاسخ: ۳/۱۰ = ۰٫۳", "✅ جواب: کسر: ۳/۱۰، اعشاری: ۰٫۳"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد اعشاری (۱)", "تبدیل مقدار مایع به کسر و عدد اعشاری"], {"intro": "۱. مقدار مایع را به صورت کسر از کل ظرف بنویسید. ۲. کسر را به عدد اعشاری تبدیل کنید. ۳. مقدار مایع را به هر دو صورت کسر و عدد اعشاری بیان کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد اعشاری (۱)", "اندازه‌گیری طول نوارهای کاغذی و نوشتن به صورت عدد مخلوط و اعشاری"], {"intro": "۱. طول نوار کاغذی را با خط کش اندازه بگیرید. ۲. طول را به صورت کسر بنویسید. ۳. کسر را به عدد مخلوط تبدیل کنید (اگر لازم است). ۴. کسر را به عدد اعشاری تبدیل کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد اعشاری (۱)", "تعیین مقدار کسری هر قسمت در خط کش تقسیم شده به ۱۰ قسمت مساوی"], {"intro": "۱. طول کل خط کش را مشخص کنید (مثلاً ۱ متر). ۲. تعداد قسمت‌های مساوی را بشمارید (مثلاً ۱۰ قسمت). ۳. هر قسمت برابر است با طول کل تقسیم بر تعداد قسمت‌ها. ۴. مقدار هر قسمت را به صورت کسر بیان کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد اعشاری (۲)", "تبدیل اعداد اعشاری به واحدهای مختلف طول (سانتی‌متر، میلی‌متر)"], {"intro": "۱. عدد اعشاری داده شده را بخوانید. ۲. واحد طول را مشخص کنید. ۳. اگر لازم است، عدد را به واحد دیگر تبدیل کنید (مثلاً سانتی‌متر به میلی‌متر ضرب در ۱۰). ۴. مقدار را به صورت عدد اعشاری با واحد جدید بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد اعشاری (۲)", "تعیین کسر و عدد اعشاری از شکل‌های تقسیم شده"], {"intro": "۱. شکل داده شده را به تعداد قسمت‌های مساوی تقسیم شده بشمارید. ۲. تعداد قسمت‌های رنگ شده یا مشخص شده را بشمارید. ۳. کسر را به صورت تعداد قسمت‌های رنگ شده بر تعداد کل قسمت‌ها بنویسید. ۴. برای تبدیل کسر به عدد اعشاری، صورت کسر را بر مخرج کسر تقسیم کنید. ۵. عدد اعشاری به دست آمده را بنویسید.", "steps": ["تعداد کل قسمت‌ها ۸ است.", "تعداد قسمت‌های رنگ شده ۳ است.", "کسر را به صورت ۳/۸ می‌نویسیم.", "برای تبدیل کسر به عدد اعشاری، ۳ را بر ۸ تقسیم می‌کنیم: ۳ ÷ ۸ = ۰٫۳۷۵.", "عدد اعشاری به دست آمده ۰٫۳۷۵ است.", "✅ جواب: ۰٫۳۷۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد اعشاری (۲)", "نمایش عدد اعشاری و کسر روی محور اعداد"], {"intro": "۱. محور اعداد را به واحدهای مشخص تقسیم کنید. ۲. هر واحد را به تعداد قسمت‌های مساوی تقسیم کنید که مخرج کسر یا بخش عدد اعشاری را نشان دهد. ۳. عدد اعشاری یا کسر داده شده را روی محور با توجه به تعداد قسمت‌ها مشخص کنید. ۴. عدد را به دو صورت کسر و اعشاری بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد اعشاری (۲)", "تبدیل کسر به عدد اعشاری و نمایش روی محور"], {"intro": "۱. کسر داده شده را بررسی کنید. ۲. مخرج کسر را به صورت تقسیم واحد روی محور اعداد مشخص کنید. ۳. صورت کسر را روی محور با توجه به تقسیمات مشخص کنید. ۴. کسر را به عدد اعشاری تبدیل کنید (صورت تقسیم بر مخرج). ۵. عدد اعشاری را بنویسید و موقعیت آن را روی محور مشخص کنید.", "example": "کسر ۳/۸ را روی محور اعداد نشان دهید و آن را به صورت عدد اعشاری بنویسید.", "steps": ["مخرج کسر ۸ است، بنابراین محور اعداد را به ۸ قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم.", "صورت کسر ۳ است، پس باید ۳ قسمت از ۸ قسمت را روی محور مشخص کنیم.", "عدد اعشاری را با تقسیم صورت بر مخرج محاسبه می‌کنیم: ۳ ÷ ۸ = ۰٫۳۷۵.", "عدد اعشاری ۰٫۳۷۵ را روی محور اعداد مشخص می‌کنیم.", "✅ جواب: ۰٫۳۷۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد اعشاری (۲)", "نمایش و ترتیب اعداد مخلوط و کسرها روی محور اعداد"], {"intro": "۱. اعداد مخلوط و کسرهای داده شده را بررسی کنید. ۲. هر عدد را به صورت کسر یا عدد اعشاری تبدیل کنید. ۳. محور اعداد را به واحدهای مساوی تقسیم کنید. ۴. هر عدد را روی محور با توجه به مقدار آن مشخص کنید. ۵. اعداد را به ترتیب روی محور قرار دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد اعشاری (۳)", "تبدیل کسر به عدد اعشاری"], {"steps": ["صورت کسر را بر مخرج آن تقسیم می‌کنیم: ۳ ÷ ۴.", "محاسبه تقسیم: ۳ ÷ ۴ = ۰٫۷۵.", "نتیجه را به صورت عدد اعشاری می‌نویسیم.", "✅ جواب: ۰٫۷۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد اعشاری (۳)", "نوشتن عدد اعشاری به صورت حروف و اعداد"], {"example": "عدد ۳٫۲۵ را به صورت حروف بنویسید.", "steps": ["قسمت صحیح عدد ۳ است و به صورت عددی نوشته می‌شود.", "قسمت اعشاری عدد ۰٫۲۵ است که معادل ۲۵/۱۰۰ می‌باشد.", "عدد را به صورت حروف می‌نویسیم: سه و بیست و پنج صدم.", "✅ جواب: سه و بیست و پنج صدم"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد اعشاری (۳)", "تبدیل بخش‌های شکل به عدد اعشاری"], {"steps": ["مقدار آب اولیه ۱۰ لیتر است.", "مقدار آب خالی شده ۴ لیتر است.", "مقدار آب باقی‌مانده را محاسبه می‌کنیم: ۱۰ - ۴ = ۶ لیتر.", "حالا مقدار آب باقی‌مانده را به عدد اعشاری تبدیل می‌کنیم: ۶ لیتر معادل ۶٫۰ است.", "✅ جواب: ۶٫۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۱)", "جمع اعداد اعشاری با استفاده از شکل و نمایش تصویری"], {"intro": "۱. مقدار آب در ظرف سمت چپ را به صورت عدد اعشاری مشخص کنید. ۲. مقدار آب در ظرف سمت راست را به صورت عدد اعشاری مشخص کنید. ۳. این دو مقدار را با هم جمع کنید. ۴. حاصل جمع را به صورت عدد اعشاری بنویسید.", "example": "در یک ظرف ۲٫۵ لیتر آب وجود دارد و در ظرف دیگری ۳٫۷ لیتر آب است. مقدار کل آب در دو ظرف را حساب کنید.", "steps": ["مقدار آب در ظرف اول ۲٫۵ لیتر است.", "مقدار آب در ظرف دوم ۳٫۷ لیتر است.", "برای جمع کردن، ۲٫۵ + ۳٫۷ را محاسبه می‌کنیم.", "۲٫۵ را به ۳٫۷ اضافه می‌کنیم: ۲٫۵ + ۳٫۷ = ۶٫۲.", "پس مقدار کل آب در دو ظرف ۶٫۲ لیتر است.", "✅ جواب: ۶٫۲"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۱)", "جمع اعداد اعشاری با استفاده از محور اعداد"], {"intro": "۱. عدد اول را روی محور اعداد مشخص کنید. ۲. از نقطه عدد اول به اندازه عدد دوم به سمت راست حرکت کنید. ۳. نقطه جدید را به عنوان حاصل جمع دو عدد بنویسید. ۴. جمع دو عدد را به صورت عدد اعشاری بنویسید.", "example": "جمع اعداد ۰٫۳ و ۰٫۶ را با استفاده از محور اعداد محاسبه کنید.", "steps": ["عدد ۰٫۳ را روی محور اعداد مشخص کنید.", "از نقطه ۰٫۳ به اندازه ۰٫۶ به سمت راست حرکت کنید.", "نقطه جدید که به آن رسیده‌اید، ۰٫۹ است.", "جمع دو عدد را به صورت عدد اعشاری بنویسید: ۰٫۳ + ۰٫۶ = ۰٫۹.", "✅ جواب: ۰٫۹"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۱)", "تبدیل جمع اعداد به جمع اعداد یک رقمی با تجزیه دهگان و صدگان"], {"intro": "۱. عددهای داده شده را به صورت تجزیه شده (دهگان، صدگان و ...) بنویسید. ۲. هر قسمت را جداگانه جمع کنید. ۳. حاصل جمع هر قسمت را به صورت عدد یک رقمی یا ساده بنویسید. ۴. اعداد جمع شده را به هم اضافه کنید تا حاصل نهایی به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۱)", "جمع اعداد اعشاری با توجه به تساوی‌های بالا"], {"intro": "۱. اعداد اعشاری داده شده را با توجه به تساوی‌های مشابه بررسی کنید. ۲. اعداد را به صورت جمع اعداد کوچکتر یا ساده‌تر بنویسید. ۳. جمع اعداد را محاسبه کنید. ۴. حاصل جمع را به صورت عدد اعشاری بنویسید.", "example": "مریم ۲٫۵ کیلوگرم سیب و ۳٫۷۵ کیلوگرم پرتقال خریده است. وزن کل میوه‌های او چقدر است؟", "steps": ["وزن سیب را به صورت عدد اعشاری می‌نویسیم: ۲٫۵ و وزن پرتقال را نیز به صورت عدد اعشاری می‌نویسیم: ۳٫۷۵.", "حالا اعداد را جمع می‌کنیم: ۲٫۵ + ۳٫۷۵.", "برای جمع کردن، ابتدا ۲٫۵ را به ۳٫۷۵ اضافه می‌کنیم. ۲٫۵ برابر با ۲٫۵۰ است.", "حاصل جمع را محاسبه می‌کنیم: ۲٫۵۰ + ۳٫۷۵ = ۶٫۲۵.", "پس وزن کل میوه‌ها ۶٫۲۵ کیلوگرم است.", "✅ جواب: ۶٫۲۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۱)", "جمع طول تکه‌های چوب با اعداد اعشاری"], {"intro": "برای جمع طول تکه‌های چوب با اعداد اعشاری، ابتدا اعداد اعشاری را به صورت ستونی زیر هم می‌نویسیم و سپس از سمت راست به چپ جمع می‌کنیم. اگر جمع ارقام بعد از ممیز بیشتر از ۹ شد، رقم دهگان را به سمت چپ منتقل می‌کنیم. در نهایت حاصل جمع طول کل به دست می‌آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۱)", "جمع کسرها و تبدیل به عدد اعشاری"], {"example": "جمع کسرهای ۱/۴ و ۱/۲ را محاسبه کنید و نتیجه را به صورت عدد اعشاری نمایش دهید.", "steps": ["مخرج مشترک کسرها را پیدا می‌کنیم. مخرج ۴ و ۲ برابر ۴ است.", "کسر ۱/۲ را به مخرج ۴ تبدیل می‌کنیم: ۱/۲ = ۲/۴.", "حالا کسرها را جمع می‌کنیم: ۱/۴ + ۲/۴ = ۳/۴.", "کسر ۳/۴ را به عدد اعشاری تبدیل می‌کنیم: ۳ ÷ ۴ = ۰٫۷۵.", "✅ جواب: ۰٫۷۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۲)", "جمع اعداد اعشاری با توجه به درس قبل"], {"intro": "اعداد اعشاری را به صورت ستونی زیر هم می‌نویسیم و از سمت راست به چپ جمع می‌کنیم. اگر جمع ارقام بعد از ممیز بیشتر از ۹ شد، رقم دهگان را به سمت چپ منتقل می‌کنیم. حاصل جمع نهایی به دست می‌آید.", "figures": []}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۲)", "تفریق اعداد اعشاری با استفاده از درس قبلی (از ۱۳ تا ۰.۱)"], {"intro": "با توجه به یادگیری قبلی که اعداد از ۱۳ تا ۰٫۱ را شامل می‌شود، تفریق‌ها را به صورت مرحله‌ای انجام می‌دهیم. ابتدا اعداد را به صورت اعشاری یا کسری تبدیل می‌کنیم، سپس تفریق را انجام می‌دهیم و نتیجه را به دست می‌آوریم."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۳)", "نمایش تفریق به صورت کسر و عدد اعشاری"], {"example": "دو دانش‌آموز حاصل جمع کسرهای ۲/۵ و ۳/۱۰ را به دو صورت زیر به دست آورده‌اند: ۲/۵ + ۳/۱۰ = ۴/۱۰ + ۳/۱۰ = ۷/۱۰ (راه حل نرجس) و ۲/۵ = ۰٫۴ و ۳/۱۰ = ۰٫۳ پس ۰٫۴ + ۰٫۳ = ۰٫۷ (راه حل مریم). راه حل‌ها را توضیح دهید.", "steps": ["راه حل نرجس: ابتدا کسر ۲/۵ را به کسر معادل با مخرج ۱۰ تبدیل کرده است که برابر ۴/۱۰ است.", "سپس ۴/۱۰ + ۳/۱۰ = ۷/۱۰.", "راه حل مریم: ابتدا کسرها را به عدد اعشاری تبدیل کرده است، ۲/۵ = ۰٫۴ و ۳/۱۰ = ۰٫۳ سپس آنها را جمع کرده است: ۰٫۴ + ۰٫۳ = ۰٫۷.", "✅ جواب: هر دو راه‌حل درست هستند."]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۳)", "جمع و تفریق طول‌های چوب با اعداد اعشاری"], {"example": "طول یک چوب ۳٫۵ متر و طول چوب دیگر ۲٫۷۵ متر است. اگر بخواهیم طول کل این دو چوب را محاسبه کنیم، چه مقدار خواهد بود؟", "steps": ["طول اول را به صورت عدد اعشاری می‌نویسیم: ۳٫۵", "طول دوم را به صورت عدد اعشاری می‌نویسیم: ۲٫۷۵", "حالا دو عدد را با هم جمع می‌کنیم: ۳٫۵ + ۲٫۷۵ = ۶٫۲۵", "نتیجه را به دست آوردیم: طول کل دو چوب ۶٫۲۵ متر است.", "✅ جواب: ۶٫۲۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۳)", "محاسبه طول با استفاده از اندازه فرش و فاصله تا دیوار"], {"intro": "۱. طول فرش را به همراه فاصله‌های داده شده از دو طرف به هم اضافه کنید. ۲. مجموع این اندازه‌ها برابر طول کل اتاق است.", "example": "یک فرش به طول ۲ متر و عرض ۱ متر در اتاقی قرار دارد. فاصله فرش تا دیوار سمت چپ ۰٫۵ متر و فاصله فرش تا دیوار سمت راست ۰٫۵ متر است. طول کل اتاق را محاسبه کنید.", "steps": ["طول فرش ۲ متر است.", "فاصله فرش تا دیوار سمت چپ ۰٫۵ متر و تا دیوار سمت راست ۰٫۵ متر است.", "مجموع فاصله‌ها: ۰٫۵ + ۲ + ۰٫۵ = ۳ متر.", "بنابراین، طول کل اتاق ۳ متر است.", "✅ جواب: ۳"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۳)", "مقایسه و تعیین مقدار آب در دو ظرف"], {"intro": "۱. مقدار آب هر ظرف را با دقت بخوانید یا اندازه‌گیری کنید. ۲. مقادیر را با هم مقایسه کنید تا ظرفی که آب بیشتری دارد مشخص شود. ۳. مجموع آب دو ظرف را محاسبه کنید اگر لازم باشد."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۳)", "مقایسه اعداد اعشاری و کامل کردن جملات ناتمام"], {"intro": "۱. اعداد داده شده را با دقت بخوانید. ۲. با استفاده از مقایسه اعداد اعشاری، جای خالی را با علامت یا عدد مناسب پر کنید. ۳. برای مقایسه، قسمت‌های صحیح و سپس قسمت‌های اعشاری را بررسی کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۳)", "مرتب‌سازی اعداد اعشاری از کوچک به بزرگ"], {"intro": "۱. اعداد داده شده را به دقت بخوانید. ۲. قسمت صحیح و سپس قسمت اعشاری هر عدد را مقایسه کنید. ۳. اعداد را به ترتیب از کوچک‌ترین به بزرگ‌ترین مرتب کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۴)", "استفاده از علامت‌های مقایسه (>, <, =)"], {"intro": "۱. دو عدد داده شده را با دقت بخوانید. ۲. قسمت صحیح و سپس قسمت اعشاری را مقایسه کنید. ۳. علامت مناسب (بزرگ‌تر، کوچک‌تر، برابر) را بین دو عدد قرار دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۴)", "کامل کردن تساوی‌های جمع اعداد اعشاری"], {"intro": "۱. عددهای داده شده را بخوانید. ۲. عددی که باید به جمع اضافه شود تا حاصل برابر ۱ شود را پیدا کنید. ۳. عدد مجهول را با کم کردن عدد داده شده از ۱ به دست آورید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۴)", "محاسبه مقدار باقی‌مانده آب در ظرف"], {"intro": "۱. مقدار کل آب ظرف را بخوانید. ۲. مقدار مصرف شده یا خارج شده را از مقدار کل کم کنید. ۳. مقدار باقی‌مانده را به دست آورید.", "example": "در یک ظرف آب ۲ لیتری، ۱٫۵ لیتر آب وجود دارد. امیر ۰٫۳ لیتر از آن را ریخت. چقدر آب در ظرف باقی مانده است؟", "steps": ["مقدار کل آب ظرف ۲ لیتر است.", "مقدار آب موجود در ظرف ۱٫۵ لیتر است.", "مقدار آب ریخته شده ۰٫۳ لیتر است.", "مقدار باقی‌مانده آب را محاسبه می‌کنیم: ۱٫۵ - ۰٫۳ = ۱٫۲ لیتر.", "✅ جواب: ۱٫۲"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۴)", "توضیح نحوه انجام تفریق اعداد اعشاری"], {"intro": "۱. اعداد اعشاری را به صورت ستونی زیر هم بنویسید. ۲. ارقام هر ستون را از سمت راست به چپ کم کنید. ۳. اگر لازم بود از ستون سمت چپ قرض بگیرید. ۴. نتیجه را به صورت عدد اعشاری بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۴)", "محاسبه اختلاف بین دو عدد اعشاری"], {"intro": "۱. دو عدد داده شده را بخوانید. ۲. عدد کوچکتر را از عدد بزرگتر کم کنید. ۳. نتیجه اختلاف را به دست آورید.", "example": "اختلاف ۵/۶ لیتر با ۲/۳ لیتر چقدر است؟", "steps": ["عدد بزرگتر ۵/۶ و عدد کوچکتر ۲/۳ را مشخص می‌کنیم.", "برای کم کردن، ابتدا ۲/۳ را به مخرج ۶ تبدیل می‌کنیم: ۲/۳ = ۴/۶.", "حالا اختلاف را محاسبه می‌کنیم: ۵/۶ - ۴/۶ = ۱/۶.", "نتیجه اختلاف را به دست آوردیم.", "✅ جواب: ۱/۶"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۴)", "محاسبه مقدار روغن برای پر کردن ظرف"], {"intro": "۱. ظرفیت کل ظرف را بخوانید. ۲. مقدار روغن موجود را بخوانید. ۳. مقدار روغن لازم برای پر کردن ظرف را با کم کردن مقدار موجود از ظرفیت کل به دست آورید.", "example": "در ظرفی ۳ لیتر روغن جا می‌شود. در حال حاضر ۱/۲ لیتر روغن در آن وجود دارد. چقدر روغن باید به ظرف اضافه کنیم تا ظرف پر شود؟", "steps": ["ظرفیت کل ظرف ۳ لیتر است.", "مقدار روغن موجود ۱/۲ لیتر است.", "برای پر کردن ظرف، باید ۳ - ۱/۲ = ۲٫۵ لیتر روغن اضافه کنیم.", "✅ جواب: ۲٫۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۱)", "پر کردن جاهای خالی با اعداد اعشاری"], {"intro": "۱. مفهوم هر قسمت از عدد اعشاری را درک کنید (مثلاً دهم، صدم). ۲. جای خالی را با عددی که با توجه به مکان آن در محور یا شکل داده شده است، پر کنید. ۳. اگر محور یا شکل داده شده است، مقدار دقیق را از روی آن بخوانید و بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۱)", "نوشتن عدد اعشاری به صورت عدد مخلوط"], {"intro": "۱. عدد اعشاری را به دو قسمت صحیح و اعشاری تقسیم کنید. ۲. قسمت صحیح را به عنوان عدد صحیح و قسمت اعشاری را به صورت کسر دهم یا صدم بنویسید. ۳. عدد مخلوط را به صورت عدد صحیح و کسر دهم بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۱)", "پر کردن جاهای خالی در جدول ارزش مکانی اعداد اعشاری"], {"intro": "۱. هر ستون جدول را با توجه به ارزش مکانی آن (دهگان، یکان، دهم) پر کنید. ۲. عدد اعشاری را به صورت جداگانه در هر ستون بنویسید. ۳. جاهای خالی را با عدد مناسب پر کنید تا عدد کامل شود."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۱)", "مقایسه اعداد اعشاری با استفاده از محور عددی"], {"intro": "۱. اعداد را روی محور عددی مشخص کنید. ۲. عددی که روی محور در سمت راست‌تر قرار دارد، بزرگ‌تر است. ۳. عددی که سمت چپ‌تر است، کوچک‌تر است. ۴. علامت بزرگ‌تر یا کوچک‌تر را بین اعداد قرار دهید.", "example": "عدد ۴/۵ و ۳/۴ را روی محور عددی مقایسه کنید و مشخص کنید کدام بزرگ‌تر است.", "steps": ["عدد ۴/۵ را به صورت اعشاری محاسبه می‌کنیم: ۴ ÷ ۵ = ۰٫۸.", "عدد ۳/۴ را به صورت اعشاری محاسبه می‌کنیم: ۳ ÷ ۴ = ۰٫۷۵.", "اکنون اعداد را مقایسه می‌کنیم: ۰٫۸ بزرگ‌تر از ۰٫۷۵ است.", "بنابراین، عدد ۴/۵ بزرگ‌تر از ۳/۴ است.", "✅ جواب: ۴/۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۱)", "مقایسه اعداد اعشاری بدون استفاده از محور عددی"], {"intro": "۱. ابتدا قسمت صحیح دو عدد را با هم مقایسه کنید. ۲. اگر قسمت صحیح برابر بود، قسمت دهم را مقایسه کنید. ۳. عددی که قسمت صحیح یا دهم بزرگ‌تری دارد، بزرگ‌تر است. ۴. علامت بزرگ‌تر یا کوچک‌تر را بنویسید.", "example": "عدد ۳٫۴۵ و عدد ۳٫۵۴ را مقایسه کنید.", "steps": ["قسمت صحیح هر دو عدد برابر است، زیرا هر دو عدد ۳ هستند.", "قسمت دهم عدد ۳٫۴۵ برابر با ۴ و قسمت دهم عدد ۳٫۵۴ برابر با ۵ است.", "عدد ۳٫۵۴ قسمت دهم بزرگ‌تری دارد پس بزرگ‌تر است.", "✅ جواب: ۳٫۴۵ < ۳٫۵۴"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۱)", "نمایش اعداد اعشاری در جدول ارزش مکانی"], {"intro": "۱. عدد اعشاری را به قسمت‌های دهگان، یکان و دهم تقسیم کنید.\n۲. هر قسمت را در ستون مربوط به ارزش مکانی آن قرار دهید.\n۳. اعداد را به صورت جداگانه در جدول ارزش مکانی بنویسید تا مقدار عدد به وضوح مشخص شود."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۲)", "مقایسه اعداد اعشاری با استفاده از علامت‌های <، > و ="], {"intro": "۱. اعداد اعشاری را با توجه به ارزش مکانی هر رقم مقایسه کنید.\n۲. ابتدا دهگان‌ها را مقایسه کنید؛ عددی که دهگان بزرگتری دارد بزرگ‌تر است.\n۳. اگر دهگان‌ها برابر بودند، یکان‌ها را مقایسه کنید.\n۴. اگر یکان‌ها هم برابر بودند، دهم‌ها را مقایسه کنید.\n۵. علامت مناسب (<، > یا =) را بین اعداد قرار دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۲)", "جمع اعداد اعشاری با استفاده از جدول ارزش مکانی"], {"intro": "۱. اعداد اعشاری را در جدول ارزش مکانی قرار دهید.\n۲. ارقام هر ستون را با هم جمع کنید، ابتدا دهم‌ها، سپس یکان‌ها و در نهایت دهگان‌ها.\n۳. اگر جمع دهم‌ها بیشتر از ۹ شد، یک واحد به ستون یکان اضافه کنید.\n۴. نتیجه جمع را به صورت عدد اعشاری بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۲)", "تفریق اعداد اعشاری با استفاده از جدول ارزش مکانی"], {"intro": "۱. اعداد اعشاری را در جدول ارزش مکانی قرار دهید.\n۲. ارقام هر ستون را از هم کم کنید، ابتدا دهم‌ها، سپس یکان‌ها و در نهایت دهگان‌ها.\n۳. اگر لازم بود از ستون بالاتر قرض بگیرید.\n۴. نتیجه تفریق را به صورت عدد اعشاری بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۲)", "جمع اعداد مخلوط با کمک محور"], {"intro": "۱. عدد اول را روی محور عددی پیدا کنید.\n۲. به اندازه عدد دوم به سمت راست حرکت کنید.\n۳. عددی که به آن می‌رسید حاصل جمع است."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۲)", "تفریق اعداد مخلوط با کمک محور"], {"intro": "۱. عدد بزرگتر را روی محور عددی پیدا کنید.\n۲. به اندازه عدد کوچکتر به سمت چپ حرکت کنید.\n۳. عددی که به آن می‌رسید حاصل تفریق است."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۳)", "پر کردن جاهای خالی با اعداد مختلف در جمع و تفریق"], {"intro": "۱. معادله را بررسی کنید که جمع یا تفریق است.\n۲. عدد داده شده را با عدد مجهول جمع یا تفریق کنید تا به عدد کل برسید.\n۳. عدد مجهول را با استفاده از معکوس عملیات پیدا کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۳)", "جمع و تفریق اعداد مخلوط به دو روش مختلف"], {"intro": "روش مهران:\n۱. اعداد مخلوط را به صورت جداگانه جمع یا تفریق کنید.\n۲. اگر لازم بود، کسرها را به صورت کسری هم‌مخرج تبدیل کنید.\n۳. حاصل را به صورت عدد مخلوط بنویسید.\n\nروش شهرام:\n۱. اعداد مخلوط را به صورت جداگانه جمع یا تفریق کنید.\n۲. کسرها را به صورت اعشاری تبدیل کنید.\n۳. جمع یا تفریق اعشاری را انجام دهید.\n۴. حاصل را به صورت عدد مخلوط یا اعشاری بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۳)", "جمع و تفریق اعداد مخلوط و اعشاری"], {"intro": "برای جمع یا تفریق اعداد مخلوط ابتدا قسمت‌های صحیح و اعشاری را جداگانه جمع یا تفریق می‌کنیم. اگر قسمت اعشاری بزرگ‌تر از ۱ شود، آن را به قسمت صحیح اضافه می‌کنیم. در صورت نیاز، اعداد را به نزدیک‌ترین عدد گرد می‌کنیم و سپس عملیات را انجام می‌دهیم."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۳)", "محاسبه طول یا ارتفاع با جمع اعداد اعشاری"], {"intro": "برای محاسبه طول یا ارتفاع جدید، اعداد اعشاری داده شده را با هم جمع می‌کنیم. اگر جمع قسمت اعشاری بیشتر از ۱ شد، آن را به قسمت صحیح اضافه می‌کنیم تا طول یا ارتفاع نهایی به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۳)", "محاسبه اختلاف ارتفاع یا وزن با تفریق اعداد اعشاری"], {"intro": "برای محاسبه اختلاف بین دو مقدار اعشاری، عدد کوچکتر را از عدد بزرگتر کم می‌کنیم. اگر قسمت اعشاری عدد بزرگتر کمتر بود، از قسمت صحیح عدد بزرگتر یک واحد کم کرده و به قسمت اعشاری آن ۱ اضافه می‌کنیم تا تفریق انجام شود."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۴)", "تقریب اعداد اعشاری به نزدیک‌ترین عدد"], {"intro": "برای تقریب عدد اعشاری به نزدیک‌ترین عدد، قسمت اعشاری را بررسی می‌کنیم. اگر قسمت اعشاری کمتر از ۰/۵ باشد، عدد را به پایین گرد می‌کنیم و اگر برابر یا بیشتر از ۰/۵ باشد، عدد را به بالا گرد می‌کنیم. سپس عملیات جمع یا تفریق را با اعداد تقریبی انجام می‌دهیم."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۴)", "محاسبه تفاوت وزن با تفریق اعداد اعشاری"], {"intro": "برای یافتن تفاوت وزن دو عدد اعشاری، عدد کوچکتر را از عدد بزرگتر کم می‌کنیم. اگر قسمت اعشاری عدد بزرگتر کمتر بود، از قسمت صحیح عدد بزرگتر یک واحد کم کرده و به قسمت اعشاری آن ۱ اضافه می‌کنیم تا تفریق انجام شود."}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۴)", "تبدیل کسر به عدد مخلوط و عدد صحیح"], {"example": "تبدیل کسر ۱۱/۴ به عدد مخلوط.", "steps": ["صورت کسر ۱۱ را بر مخرج ۴ تقسیم می‌کنیم. خارج قسمت ۲ و باقی‌مانده ۳ است.", "عدد صحیح ۲ را به عنوان قسمت صحیح عدد مخلوط در نظر می‌گیریم.", "باقی‌مانده ۳ را به عنوان صورت کسر جدید در نظر می‌گیریم و مخرج همان ۴ باقی می‌ماند.", "بنابراین، عدد مخلوط برابر است با ۲ و ۳/۴.", "✅ جواب: ۲ ۳/۴"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۵)", "محاسبه اختلاف دو عدد اعشاری"], {"example": "اختلاف دو عدد ۳٫۵ و ۱٫۲ را محاسبه کنید.", "steps": ["عدد بزرگ‌تر ۳٫۵ و عدد کوچک‌تر ۱٫۲ است.", "حالا ۳٫۵ را منهای ۱٫۲ می‌کنیم.", "۳٫۵ - ۱٫۲ = ۲٫۳", "بنابراین، اختلاف دو عدد ۳٫۵ و ۱٫۲ برابر با ۲٫۳ است.", "✅ جواب: ۲٫۳"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۵)", "تعیین عدد اعشاری از روی شکل‌های واحدی"], {"steps": ["تعداد کل خانه‌ها ۱۰ است.", "تعداد خانه‌های رنگ شده ۴ است.", "عدد اعشاری را با تقسیم تعداد خانه‌های رنگ شده بر تعداد کل خانه‌ها محاسبه می‌کنیم: ۴ ÷ ۱۰ = ۰٫۴.", "عدد اعشاری مربوط به مستطیل ۰٫۴ است.", "✅ جواب: ۰٫۴"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۶)", "خواندن و نوشتن اعداد اعشاری به صورت کلمه‌ای"], {"example": "عدد ۳٫۷۵ را به صورت کلمه‌ای بنویسید.", "steps": ["قسمت صحیح عدد ۳ است.", "قسمت اعشاری عدد ۰٫۷۵ را می‌توان به صورت کسر ۷۵/۱۰۰ نوشت.", "کسر ۷۵/۱۰۰ را می‌توان به صورت 'هفتاد و پنج صدم' بیان کرد.", "بنابراین، عدد ۳٫۷۵ به صورت کلمه‌ای 'سه و هفتاد و پنج صدم' است.", "✅ جواب: سه و هفتاد و پنج صدم"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۶)", "حل مسئله با استفاده از اندازه‌گیری و مقایسه طول‌ها"], {"steps": ["طول دویدن علی ۱۲۰ متر است.", "طول دویدن سارا ۹۵ متر است.", "اختلاف طول دویدن علی و سارا را محاسبه می‌کنیم: ۱۲۰ - ۹۵ = ۲۵ متر.", "بنابراین، علی ۲۵ متر بیشتر از سارا دویده است.", "✅ جواب: ۲۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "عمود و موازی (۱)", "تشخیص زاویه راست بین خطوط"], {"example": "دو خط A و B داریم که خط A از نقطه (۲، ۳) به نقطه (۲، ۷) و خط B از نقطه (۲، ۵) به نقطه (۵، ۵) رسم شده‌اند. آیا این دو خط زاویه راست می‌سازند؟", "steps": ["خط A عمود بر محور x است زیرا مختصات x آن ثابت است (x=۲).", "خط B افقی است زیرا مختصات y آن ثابت است (y=۵).", "زاویه بین یک خط عمود و یک خط افقی برابر ۹۰ درجه است.", "بنابراین، خط A و خط B زاویه راست می‌سازند.", "✅ جواب: بله"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "عمود و موازی (۱)", "تشخیص زاویه‌های راست در اشکال مختلف"], {"intro": "۱. زاویه راست زاویه‌ای است که اندازه آن ۹۰ درجه است.\n۲. در شکل‌ها، به دنبال نقاطی باشید که دو خط به صورت عمود بر هم قرار گرفته‌اند.\n۳. اگر دو خط عمود بر هم باشند، زاویه بین آن‌ها زاویه راست است.\n۴. زاویه‌های راست معمولاً با یک مربع کوچک در گوشه زاویه نشان داده می‌شوند."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "عمود و موازی (۲)", "رسم خطوطی که همدیگر را قطع می‌کنند با استفاده از نقاط شبکه‌ای"], {"intro": "۱. نقاط داده شده روی صفحه را شناسایی کنید.\n۲. دو نقطه را به هم وصل کنید تا یک خط رسم شود.\n۳. خطوطی رسم کنید که از نقاط مختلف عبور کنند و طوری باشند که خطوط با هم تلاقی یا قطع شوند.\n۴. بررسی کنید که خطوط رسم شده در نقاطی با هم برخورد دارند."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "عمود و موازی (۲)", "تشخیص زاویه‌های راست و رسم خط عمود"], {"intro": "۱. برای تشخیص زاویه راست، باید زاویه‌ای را که اندازه آن ۹۰ درجه است، پیدا کنیم. ۲. برای رسم خط عمود از یک نقطه بر روی خط، باید از گونیای مثلثی استفاده کنیم. ۳. گونیا را طوری قرار می‌دهیم که یک ضلع آن روی خط اصلی باشد و ضلع دیگر از نقطه مورد نظر عبور کند. ۴. سپس خطی را روی ضلع گونیا که عمود بر خط اصلی است رسم می‌کنیم. این خط، خط عمود است.", "example": "در یک مثلث، زاویه A برابر با ۹۰ درجه است. زاویه B برابر با ۴۵ درجه و زاویه C برابر با ۴۵ درجه است. آیا زاویه A یک زاویه راست است؟", "steps": ["زاویه A برابر با ۹۰ درجه است.", "زاویه راست به زاویه‌ای گفته می‌شود که اندازه آن ۹۰ درجه باشد.", "از آنجا که زاویه A برابر با ۹۰ درجه است، پس زاویه A یک زاویه راست است.", "✅ جواب: بله"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "عمود و موازی (۲)", "رسم خط عمود با استفاده از گونیای مثلثی"], {"intro": "۱. گونیا را طوری روی خط قرار دهید که یک ضلع آن روی خط اصلی باشد. ۲. نقطه‌ای که می‌خواهید خط عمود از آن رسم شود را مشخص کنید. ۳. ضلع دیگر گونیا که عمود بر خط اصلی است را از نقطه مورد نظر عبور دهید. ۴. خطی را روی ضلع عمود گونیا رسم کنید. این خط عمود بر خط اصلی است."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "عمود و موازی (۲)", "رسم سه خط عمود بر یک خط"], {"steps": ["خط راست AB را رسم کنید.", "سه نقطه P، Q و R را روی خط AB انتخاب کنید.", "از نقطه P، خطی عمود بر AB رسم کنید و آن را L1 بنامید.", "از نقطه Q، خطی عمود بر AB رسم کنید و آن را L2 بنامید.", "از نقطه R، خطی عمود بر AB رسم کنید و آن را L3 بنامید.", "✅ جواب: ۳"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "چهارضلعی‌ها (۱)", "تشخیص و رسم شکل‌های چهارضلعی با ویژگی‌های خاص"], {"intro": "۱. بررسی کنید که هر شکل چند خط موازی دارد.\n۲. ویژگی‌های خطوط موازی را در شکل‌ها شناسایی کنید.\n۳. شکل جدیدی رسم کنید که ویژگی‌های خواسته شده را داشته باشد (مثلاً خطوط موازی متفاوت یا تعداد خطوط موازی متفاوت).\n۴. برای تشخیص موازی بودن خطوط، از تعریف خطوط موازی استفاده کنید که خطوطی هستند که هیچگاه همدیگر را قطع نمی‌کنند."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "چهارضلعی‌ها (۱)", "رنگ‌آمیزی شکل‌ها بر اساس تعداد خطوط موازی"], {"intro": "۱. هر شکل را بررسی کنید و تعداد خطوط موازی آن را بشمارید.\n۲. شکل‌هایی که فقط دو خط موازی دارند را با رنگ آبی رنگ‌آمیزی کنید.\n۳. شکل‌هایی که دو جفت خط موازی دارند را با رنگ سبز رنگ‌آمیزی کنید.\n۴. شکل‌هایی که خطوط موازی ندارند را با رنگ قرمز رنگ‌آمیزی کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "چهارضلعی‌ها (۱)", "رنگ‌آمیزی خطوط موازی در شکل‌های روبه‌رو"], {"intro": "۱. خطوط موازی در شکل روبه‌رو را شناسایی کنید.\n۲. دو خط موازی را با یک رنگ مشخص رنگ‌آمیزی کنید.\n۳. اگر شکل متوازی‌الاضلاع است، دو جفت خطوط موازی را با دو رنگ متفاوت رنگ‌آمیزی کنید.\n۴. اگر شکل ذوزنقه است، فقط یک جفت خطوط موازی را رنگ‌آمیزی کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "چهارضلعی‌ها (۱)", "رنگ‌آمیزی خطوط موازی در متوازی‌الاضلاع"], {"intro": "۱. خطوط موازی در شکل متوازی‌الاضلاع را شناسایی کنید.\n۲. دو جفت خطوط موازی را به دو رنگ متفاوت رنگ‌آمیزی کنید.\n۳. این کار نشان می‌دهد که متوازی‌الاضلاع دارای دو جفت خطوط موازی است."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "چهارضلعی‌ها (۱)", "تشخیص موازی بودن خطوط و رسم شکل‌ها"], {"intro": "۱. خطوط داده شده را بررسی کنید که آیا موازی هستند یا خیر.\n۲. دو خط موازی را مشخص کنید.\n۳. شکل ذوزنقه یا متوازی‌الاضلاع را بر اساس تعداد خطوط موازی رسم کنید.\n۴. خطوط موازی را با رنگ یا علامت مشخص کنید.", "example": "دو خط A و B در یک صفحه رسم شده‌اند. خط A از نقطه (۱، ۲) به نقطه (۴، ۲) و خط B از نقطه (۱، ۵) به نقطه (۴، ۵) رسم شده است. آیا این دو خط موازی هستند؟", "steps": ["خط A در y=۲ و خط B در y=۵ قرار دارد.", "هر دو خط دارای شیب صفر هستند.", "از آنجا که شیب هر دو خط برابر است، پس این دو خط موازی هستند.", "✅ جواب: بله"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "چهارضلعی‌ها (۱)", "رسم شکل‌های هندسی"], {"intro": "۱. صفحه شطرنجی را آماده کنید. ۲. ذوزنقه را با توجه به تعداد ضلع‌ها و زاویه‌ها رسم کنید. ۳. متوازی‌الاضلاع را با رعایت خطوط موازی رسم کنید. ۴. دقت کنید که اضلاع مقابل در متوازی‌الاضلاع موازی باشند."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "چهارضلعی‌ها (۲)", "تشخیص و نام‌گذاری چهارضلعی‌ها با خطوط موازی"], {"intro": "۱. خطوط داده شده را بررسی کنید و خطوط موازی را مشخص کنید. ۲. با توجه به خطوط موازی، نوع چهارضلعی را تعیین کنید. ۳. اندازه زاویه داده شده را به کار ببرید تا اندازه سایر زاویه‌ها را با استفاده از خواص خطوط موازی پیدا کنید. ۴. نام چهارضلعی را با توجه به ویژگی‌های آن بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "چهارضلعی‌ها (۲)", "اندازه‌گیری و مقایسه اضلاع و زاویه‌ها در شکل‌های هندسی"], {"intro": "۱. اضلاع و زاویه‌های هر شکل را با استفاده از ابزار اندازه‌گیری مشخص کنید. ۲. اندازه‌ها را روی شکل‌ها بنویسید. ۳. اضلاع روبه‌رو را با هم مقایسه کنید و بررسی کنید که آیا برابرند یا خیر. ۴. زاویه‌های روبه‌رو را با هم مقایسه کنید و بررسی کنید که آیا برابرند یا خیر. ۵. ویژگی‌های مشترک را یادداشت کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "چهارضلعی‌ها (۲)", "بررسی موازی بودن اضلاع و ویژگی‌های متوازی‌الاضلاع"], {"intro": "۱. اضلاع مقابل هر شکل را بررسی کنید که آیا با هم موازی هستند یا خیر. ۲. ویژگی‌های متوازی‌الاضلاع را یادآوری کنید (مانند موازی بودن اضلاع مقابل و برابری اندازه‌ها). ۳. دو ویژگی بالا را برای هر شکل بررسی و یادداشت کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "مساحت متوازی‌الاضلاع و مثلث (۱)", "ارتفاع و قاعده در مثلث"], {"intro": "۱. ارتفاع مثلث را از رأس به قاعده رسم کنید به گونه‌ای که زاویه بین ارتفاع و قاعده ۹۰ درجه باشد. ۲. ارتفاع، خطی است که از رأس مثلث به قاعده عمود می‌شود. ۳. قاعده ضلع مقابل رأس است که ارتفاع به آن رسم شده است."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "مساحت متوازی‌الاضلاع و مثلث (۲)", "ارتفاع متوازی‌الاضلاع و رسم آن"], {"intro": "۱. در هر متوازی‌الاضلاع، ارتفاع را به صورت خطی رسم کنید که از یک ضلع به ضلع مقابل عمود باشد. ۲. ارتفاع‌ها را در دو قسمت آبی رنگ رسم کنید. ۳. ارتفاع‌های مساوی را با رنگ مشابه مشخص کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "مساحت متوازی‌الاضلاع و مثلث (۲)", "محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع با استفاده از قاعده و ارتفاع"], {"intro": "۱. مساحت متوازی‌الاضلاع برابر است با حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع. ۲. ارتفاع را به صورت عمود بر قاعده رسم کنید. ۳. اگر لازم باشد، متوازی‌الاضلاع را به شکل مثلث یا مستطیل تبدیل کنید تا مساحت آن را راحت‌تر محاسبه کنید. ۴. فرمول مساحت = قاعده × ارتفاع را به کار ببرید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "مساحت متوازی‌الاضلاع و مثلث (۲)", "محاسبه مساحت مستطیل و مثلث با استفاده از شبکه مربعی"], {"intro": "۱. مساحت مستطیل را با ضرب طول در عرض محاسبه کنید. ۲. برای مثلث، با رسم قطر مستطیل، مساحت مثلث برابر نصف مساحت مستطیل است. ۳. تعداد مربع‌های واحد را بشمارید یا از فرمول استفاده کنید. ۴. مساحت مثلث = (طول × عرض) ÷ ۲ است."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "مساحت متوازی‌الاضلاع و مثلث (۲)", "محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع"], {"steps": ["قاعده متوازی‌الاضلاع برابر با ۸ سانتی‌متر است.", "ارتفاع متوازی‌الاضلاع برابر با ۵ سانتی‌متر است.", "مساحت را با ضرب قاعده در ارتفاع محاسبه می‌کنیم: ۸ × ۵ = ۴۰.", "بنابراین، مساحت متوازی‌الاضلاع برابر با ۴۰ سانتی‌متر مربع است.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "مساحت متوازی‌الاضلاع و مثلث (۲)", "تبدیل متوازی‌الاضلاع به مستطیل با رسم ارتفاع"], {"steps": ["مساحت متوازی‌الاضلاع را با فرمول مساحت = قاعده × ارتفاع محاسبه می‌کنیم: ۸ × ۵ = ۴۰ سانتی‌متر مربع.", "ارتفاع را رسم می‌کنیم تا متوازی‌الاضلاع به دو مثلث تقسیم شود.", "با جابجایی مثلث‌ها، متوازی‌الاضلاع را به یک مستطیل تبدیل می‌کنیم.", "مساحت مستطیل برابر با مساحت متوازی‌الاضلاع است: ۴۰ سانتی‌متر مربع.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "مساحت متوازی‌الاضلاع و مثلث (۳)", "محاسبه مساحت مثلث با استفاده از قاعده و ارتفاع"], {"steps": ["قاعده مثلث ۸ سانتی‌متر است.", "ارتفاع مثلث ۵ سانتی‌متر است.", "مساحت مثلث را با فرمول (قاعده × ارتفاع) ÷ ۲ محاسبه می‌کنیم: (۸ × ۵) ÷ ۲.", "محاسبه می‌کنیم: ۴۰ ÷ ۲ = ۲۰.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "محیط و مساحت (۱)", "محاسبه اندازه ضلع مربع با دانستن مساحت"], {"example": "مساحت یک مربع ۲۵ متر مربع است. اندازه ضلع آن را پیدا کنید.", "steps": ["برای پیدا کردن اندازه ضلع مربع، باید ریشه دوم مساحت را محاسبه کنیم.", "مساحت مربع ۲۵ متر مربع است.", "ریشه دوم ۲۵ برابر است با ۵.", "پس اندازه ضلع مربع ۵ متر است.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "محیط و مساحت (۱)", "تقسیم مربع به مربع‌های کوچکتر و محاسبه تعداد و مساحت"], {"intro": "۱. ابتدا طول ضلع مربع بزرگ را بر تعداد قسمت‌های مساوی تقسیم کنید تا طول ضلع مربع کوچک به دست آید. ۲. تعداد مربع‌های کوچک برابر با تعداد قسمت‌ها است. ۳. مساحت هر مربع کوچک برابر است با مربع طول ضلع آن. ۴. اگر مربع بزرگ به ۱۰ قسمت مساوی تقسیم شود، تعداد مربع‌های کوچک ۱۰ است و مساحت هر مربع کوچک برابر با مربع طول ضلع آن است. ۵. اگر مربع بزرگ به ۱۰۰ قسمت مساوی تقسیم شود، تعداد مربع‌های کوچک ۱۰۰ است و مساحت هر مربع کوچک برابر با مربع طول ضلع آن است."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "محیط و مساحت (۱)", "محاسبه مساحت مستطیل با طول و عرض داده شده"], {"intro": "۱. طول و عرض مستطیل را به واحد یکسان تبدیل کنید (مثلاً سانتی‌متر). ۲. مساحت مستطیل برابر است با حاصل ضرب طول در عرض. ۳. نتیجه را به واحد متر مربع یا سانتی‌متر مربع بیان کنید.", "steps": ["طول مستطیل را به سانتی‌متر تبدیل می‌کنیم: ۲ متر = ۲۰۰ سانتی‌متر.", "مساحت مستطیل را با استفاده از فرمول محاسبه می‌کنیم: مساحت = طول × عرض = ۲۰۰ × ۳۵۰.", "محاسبه می‌کنیم: ۲۰۰ × ۳۵۰ = ۷۰۰۰۰.", "✅ جواب: ۷۰۰۰۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "محیط و مساحت (۱)", "محاسبه محیط و مساحت اشکال مرکب روی صفحه شطرنجی"], {"intro": "۱. مساحت هر مربع کوچک روی صفحه شطرنجی را محاسبه کنید (هر مربع کوچک ۱ سانتی‌متر مربع است). ۲. تعداد مربع‌های داخل شکل را بشمارید تا مساحت شکل به دست آید. ۳. برای محاسبه محیط، طول هر ضلع شکل را با توجه به تعداد مربع‌ها و اندازه ضلع هر مربع کوچک جمع کنید. ۴. محیط برابر است با مجموع طول‌های اضلاع شکل."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "محیط و مساحت (۲)", "محاسبه مساحت شکل مرکب با استفاده از مربع‌های کوچک"], {"intro": "۱. مساحت هر مربع کوچک را مشخص کنید (مثلاً ۱ سانتی‌متر مربع). ۲. تعداد مربع‌های کوچک داخل شکل را بشمارید. ۳. مساحت شکل برابر است با تعداد مربع‌ها ضرب در مساحت هر مربع کوچک.", "steps": ["طول ضلع مربع بزرگ ۱ متر است.", "اگر هر ضلع به ۱۰ قسمت مساوی تقسیم شود، تعداد مربع‌های کوچک برابر ۱۰ × ۱۰ = ۱۰۰ مربع کوچک است.", "طول ضلع هر مربع کوچک برابر ۱ متر تقسیم بر ۱۰ است که می‌شود ۰٫۱ متر.", "مساحت هر مربع کوچک برابر است با طول ضلع به توان دو: ۰٫۱ × ۰٫۱ = ۰٫۰۱ متر مربع.", "✅ جواب: ۱۰۰ مربع کوچک، مساحت هرکدام ۰/۰۱ مترمربع"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "محیط و مساحت (۲)", "محاسبه مساحت شکل‌های مرکب با تقسیم به مستطیل و مثلث"], {"intro": "۱. شکل مرکب را به شکل‌های ساده‌تر مثل مستطیل و مثلث تقسیم کنید.\n۲. مساحت هر شکل ساده را جداگانه محاسبه کنید (مساحت مستطیل = طول × عرض، مساحت مثلث = نصف قاعده × ارتفاع).\n۳. مساحت‌های به‌دست آمده را با هم جمع کنید تا مساحت کل شکل مرکب به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "محیط و مساحت (۲)", "محاسبه مساحت شکل‌های مرکب با استفاده از جابجایی و تبدیل شکل"], {"intro": "۱. شکل مرکب را به گونه‌ای جابجا یا برش دهید که به شکل ساده‌تری تبدیل شود.\n۲. مساحت شکل ساده‌تر را محاسبه کنید.\n۳. چون جابجایی یا برش بدون تغییر مساحت است، مساحت شکل اصلی برابر مساحت شکل تبدیل شده است."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "محیط و مساحت (۲)", "محاسبه مساحت شکل‌های مرکب با استفاده از تقسیم به واحدهای سطحی کوچک"], {"intro": "۱. شکل مرکب را به واحدهای سطحی کوچک (مثلاً مربع‌های ۱×۱) تقسیم کنید.\n۲. تعداد واحدهای سطحی را بشمارید.\n۳. مساحت شکل برابر تعداد واحدهای سطحی است."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "محیط و مساحت (۲)", "محاسبه مساحت شکل‌های هندسی با استفاده از فرمول مساحت مستطیل و مثلث"], {"intro": "۱. برای مستطیل، مساحت را با ضرب طول در عرض محاسبه کنید.\n۲. برای مثلث، مساحت را با نصف ضرب قاعده در ارتفاع محاسبه کنید.\n۳. اگر شکل مرکب است، مساحت قسمت‌های مختلف را جداگانه محاسبه و جمع کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "محیط و مساحت (۳)", "محاسبه مجموع مساحت دو شکل مستطیل"], {"intro": "۱. مساحت هر مستطیل را با ضرب طول در عرض آن محاسبه کنید. ۲. مساحت‌های به دست آمده را با هم جمع کنید تا مساحت کل به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "محیط و مساحت (۳)", "محاسبه تعداد کاشی‌های مربعی برای پوشش سطح"], {"intro": "۱. مساحت کف را با ضرب طول در عرض آن محاسبه کنید. ۲. مساحت هر کاشی مربعی را با ضرب ضلع در ضلع آن محاسبه کنید. ۳. تعداد کاشی‌ها را با تقسیم مساحت کف بر مساحت هر کاشی به دست آورید.", "steps": ["مساحت کف اتاق را محاسبه می‌کنیم: ۵ × ۴ = ۲۰ متر مربع.", "مساحت هر کاشی مربعی را محاسبه می‌کنیم: ۱ × ۱ = ۱ متر مربع.", "تعداد کاشی‌ها را با تقسیم مساحت کف بر مساحت هر کاشی به دست می‌آوریم: ۲۰ ÷ ۱ = ۲۰.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "محیط و مساحت (۳)", "محاسبه محیط مستطیل"], {"intro": "۱. طول و عرض مستطیل را با هم جمع کنید. ۲. حاصل جمع را در ۲ ضرب کنید تا محیط مستطیل به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "محیط و مساحت (۳)", "محاسبه مساحت شکل‌های مرکب با استفاده از مساحت مثلث و مستطیل"], {"intro": "۱. شکل مرکب را به شکل‌های ساده‌تر مانند مستطیل و مثلث تقسیم کنید. ۲. مساحت هر شکل ساده را جداگانه محاسبه کنید. ۳. مساحت‌ها را با هم جمع کنید تا مساحت کل شکل به دست آید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "محیط و مساحت (۴)", "ساخت چهارضلعی از دو مثلث"], {"intro": "۱. دو مثلث داده شده را روی هم قرار دهید به طوری که اضلاع مشخص شده برابر باشند.\n۲. اضلاع مشترک را به هم بچسبانید تا چهارضلعی ساخته شود.\n۳. نوع چهارضلعی ساخته شده را با توجه به ویژگی‌های اضلاع و زوایا تعیین کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "محیط و مساحت (۴)", "یافتن اندازه ضلع یا زاویه مجهول در چهارضلعی"], {"intro": "۱. از مجموع زوایای داخلی چهارضلعی (۳۶۰ درجه) استفاده کنید.\n۲. زوایای داده شده را جمع کنید.\n۳. زاویه یا ضلع مجهول را با استفاده از رابطه‌های هندسی و جمع زوایا پیدا کنید.", "example": "در یک چهارضلعی، سه زاویه به ترتیب ۸۰ درجه، ۹۵ درجه و ۷۰ درجه هستند. زاویه چهارم را پیدا کنید.", "steps": ["مجموع زوایای داخلی چهارضلعی برابر با ۳۶۰ درجه است.", "زاویه های داده شده را جمع می کنیم: ۸۰ + ۹۵ + ۷۰ = ۲۴۵ درجه.", "برای پیدا کردن زاویه چهارم، از مجموع زوایا کم می کنیم: ۳۶۰ - ۲۴۵ = ۱۱۵ درجه.", "✅ جواب: ۱۱۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "محیط و مساحت (۵)", "محاسبه مساحت مثلث و متوازی‌الأضلاع با استفاده از قاعده و ارتفاع"], {"intro": "۱. طول قاعده شکل را اندازه‌گیری کنید.\n۲. ارتفاع شکل را اندازه‌گیری کنید.\n۳. مساحت مثلث را با فرمول (۱/۲ × قاعده × ارتفاع) محاسبه کنید.\n۴. مساحت متوازی‌الأضلاع را با فرمول (قاعده × ارتفاع) محاسبه کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "محیط و مساحت (۵)", "مقایسه محیط مستطیل‌ها با مساحت برابر"], {"intro": "۱. مساحت مستطیل‌ها را با ضرب طول در عرض محاسبه کنید.\n۲. چون مساحت‌ها برابر است، طول و عرض‌ها را بررسی کنید.\n۳. محیط هر مستطیل را با فرمول ۲ × (طول + عرض) محاسبه کنید.\n۴. مستطیلی که محیط بیشتری دارد را مشخص کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "محیط و مساحت (۵)", "مقایسه مساحت مستطیل‌ها با محیط برابر"], {"intro": "۱. محیط مستطیل‌ها را با فرمول ۲ × (طول + عرض) محاسبه کنید.\n۲. چون محیط‌ها برابر است، طول و عرض‌ها را بررسی کنید.\n۳. مساحت هر مستطیل را با ضرب طول در عرض محاسبه کنید.\n۴. مستطیلی که مساحت بیشتری دارد را مشخص کنید.", "example": "دو مستطیل داریم. مستطیل اول با طول ۶ و عرض ۲ و مستطیل دوم با طول ۵ و عرض ۳. مساحت هر کدام را محاسبه کنید و مشخص کنید کدام مستطیل مساحت بیشتری دارد.", "steps": ["محیط مستطیل اول را محاسبه می‌کنیم: ۲ × (۶ + ۲) = ۱۶.", "محیط مستطیل دوم را محاسبه می‌کنیم: ۲ × (۵ + ۳) = ۱۶.", "مساحت مستطیل اول را محاسبه می‌کنیم: ۶ × ۲ = ۱۲.", "مساحت مستطیل دوم را محاسبه می‌کنیم: ۵ × ۳ = ۱۵.", "مستطیل دوم با مساحت ۱۵ بیشتر از مستطیل اول با مساحت ۱۲ است.", "✅ جواب: ۱۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "محیط و مساحت (۵)", "تشخیص و نام‌گذاری قطعات شکل تانگرام"], {"intro": "۱. شکل تانگرام را روی مقوا رسم کنید.\n۲. هفت قطعه تشکیل‌دهنده تانگرام را با قیچی جدا کنید.\n۳. هر قطعه را به دقت بررسی کنید و نام شکل هندسی آن را بنویسید (مثلث، مربع، متوازی‌الاضلاع، لوزی و ...).\n۴. با استفاده از این قطعات، شکل‌های هندسی مختلف بسازید و نام آن‌ها را مشخص کنید.", "example": "در یک تانگرام، یک مثلث بزرگ و یک مثلث کوچک داریم. اگر مساحت مثلث بزرگ ۱۶ سانتی‌متر مربع باشد و مساحت مثلث کوچک ۴ سانتی‌متر مربع، مساحت کل این دو مثلث را محاسبه کنید.", "steps": ["مساحت مثلث بزرگ ۱۶ سانتی‌متر مربع است.", "مساحت مثلث کوچک ۴ سانتی‌متر مربع است.", "برای محاسبه مساحت کل، مساحت مثلث بزرگ و کوچک را با هم جمع می‌کنیم: ۱۶ + ۴ = ۲۰.", "پس مساحت کل این دو مثلث ۲۰ سانتی‌متر مربع است.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "محیط و مساحت (۵)", "تبدیل متوازی‌الاضلاع به مستطیل و لوزی به مربع با پیچ و مهره"], {"intro": "۱. شکل متوازی‌الاضلاع را با چهار گوشه که با پیچ و مهره به هم وصل شده‌اند، در نظر بگیرید.\n۲. با وارد کردن فشار به ضلع کناری، شکل متوازی‌الاضلاع به مستطیل تبدیل می‌شود.\n۳. برای تبدیل لوزی به مربع، باید با پیچ و مهره گوشه‌های لوزی را طوری تنظیم کرد که زاویه‌ها به ۹۰ درجه برسند.\n۴. بررسی کنید که با تغییر زاویه‌ها و اتصال قطعات، شکل مورد نظر به دست می‌آید.", "steps": ["مساحت متوازی‌الاضلاع را با فرمول مساحت = قاعده × ارتفاع محاسبه می‌کنیم: ۸ × ۵ = ۴۰ سانتی‌متر مربع.", "از آنجا که در تبدیل به مستطیل، طول قاعده و ارتفاع تغییر نمی‌کند، مساحت مستطیل نیز برابر با مساحت متوازی‌الاضلاع خواهد بود.", "بنابراین، مساحت مستطیل برابر با ۴۰ سانتی‌متر مربع است.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "نمودار خط شکسته (۱)", "مقایسه اعداد سه رقمی با استفاده از تجزیه و نمایش روی محور"], {"intro": "۱. عددهای سه رقمی را به صورت تجزیه شده به صدگان، دهگان و یکان بنویسید. ۲. صدگان هر عدد را با هم مقایسه کنید. عددی که صدگان بزرگتری دارد بزرگتر است. ۳. اگر صدگان برابر بود، دهگان را مقایسه کنید. ۴. اگر دهگان هم برابر بود، یکان را مقایسه کنید. ۵. برای نمایش روی محور عددی، محور را از عدد صد شروع کنید و عدد مورد نظر را روی محور مشخص کنید.", "example": "عددهای ۲۴۵، ۲۳۸ و ۲۵۶ را مقایسه کنید.", "steps": ["عدد ۲۴۵ را به صورت تجزیه شده می‌نویسیم: ۲۰۰ + ۴۰ + ۵.", "عدد ۲۳۸ را به صورت تجزیه شده می‌نویسیم: ۲۰۰ + ۳۰ + ۸.", "عدد ۲۵۶ را به صورت تجزیه شده می‌نویسیم: ۲۰۰ + ۵۰ + ۶.", "صدگان هر سه عدد برابر است (۲). پس به دهگان‌ها نگاه می‌کنیم: ۴۰، ۳۰ و ۵۰.", "دهگان ۵۰ بزرگتر از ۴۰ و ۳۰ است پس عدد ۲۵۶ بزرگتر است.", "✅ جواب: ۲۵۶"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "نمودار خط شکسته (۱)", "ادامه دادن جدول وضعیت سکه‌ها"], {"intro": "۱. تعداد دفعات پشت یا رو آمدن سکه‌ها را در جدول بررسی کنید.\n۲. الگوی پشت یا رو آمدن سکه‌ها را تشخیص دهید.\n۳. با توجه به الگو، وضعیت سکه‌ها را برای آزمایش‌های بعدی حدس بزنید و جدول را کامل کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "نمودار خط شکسته (۱)", "مقایسه تعداد پشت یا رو آمدن سکه‌ها در دو جدول"], {"intro": "۱. تعداد پشت یا رو آمدن سکه‌ها را در هر جدول جداگانه بشمارید.\n۲. تعدادها را با هم مقایسه کنید.\n۳. تفاوت تعداد پشت یا رو آمدن سکه‌ها را محاسبه کنید.\n۴. نتیجه‌گیری کنید که آیا تعداد پشت یا رو آمدن در دو جدول متفاوت است یا خیر."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "نمودار خط شکسته (۱)", "حدس زدن احتمال رنگ مهره از کیسه"], {"intro": "۱. تعداد مهره‌های هر رنگ در کیسه را بشمارید.\n۲. احتمال بیرون آمدن هر رنگ را با نسبت تعداد مهره‌های آن رنگ به کل مهره‌ها محاسبه کنید.\n۳. حدس بزنید که کدام رنگ احتمال بیشتری دارد.\n۴. آزمایش را چند بار تکرار کنید و نتایج را یادداشت کنید تا حدس خود را تایید یا رد کنید.", "steps": ["تعداد کل مهره‌ها را محاسبه می‌کنیم: ۵ + ۳ + ۲ = ۱۰ مهره.", "تعداد مهره‌های زرد را می‌شماریم: ۳ مهره زرد.", "احتمال بیرون آمدن مهره زرد را با نسبت تعداد مهره‌های زرد به کل مهره‌ها محاسبه می‌کنیم: ۳ ÷ ۱۰ = ۰٫۳.", "احتمال بیرون آمدن مهره زرد ۰٫۳ است که برابر با ۳۰ درصد می‌شود.", "بنابراین، احتمال اینکه مهره‌ای که برمی‌داریم زرد باشد ۳۰ درصد است.", "✅ جواب: ۰٫۳"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "نمودار خط شکسته (۱)", "ثبت نتایج آزمایش رنگ مهره‌ها در جدول"], {"intro": "۱. آزمایش برداشتن مهره از کیسه را چند بار انجام دهید.\n۲. رنگ هر مهره برداشته شده را یادداشت کنید.\n۳. نتایج را در جدول آزمایش‌ها ثبت کنید.\n۴. تعداد هر رنگ را بشمارید و احتمال هر رنگ را تخمین بزنید.\n۵. حدس دانش‌آموز را با نتایج آزمایش مقایسه کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "نمودار خط شکسته (۲)", "تحلیل و تکمیل نمودار ستونی از جدول داده‌ها"], {"intro": "۱. داده‌های جدول را به دقت بخوانید و هر ستون را به رنگ مشخص شده در نمودار ستونی تبدیل کنید. ۲. برای هر پایه تحصیلی، تعداد علاقه‌مندان به هر ورزش را با رنگ مربوطه روی نمودار ستونی رسم کنید. ۳. سوالات مربوط به نمودار را با مقایسه ارتفاع ستون‌ها و جمع کردن مقادیر پاسخ دهید. ۴. برای یافتن مجموع علاقه‌مندان، تعداد هر ورزش را در پایه‌های مختلف جمع کنید.", "example": "در یک مدرسه، تعداد علاقه‌مندان به ورزش‌های مختلف در پایه‌های چهارم، پنجم و ششم به شرح زیر است: پایه چهارم: ۱۰ نفر فوتبال، ۱۵ نفر بسکتبال؛ پایه پنجم: ۱۲ نفر فوتبال، ۱۸ نفر بسکتبال؛ پایه ششم: ۱۴ نفر فوتبال، ۲۰ نفر بسکتبال. مجموع علاقه‌مندان به فوتبال و بسکتبال در پایه چهارم چند نفر است؟", "steps": ["تعداد علاقه‌مندان به فوتبال در پایه چهارم ۱۰ نفر است.", "تعداد علاقه‌مندان به بسکتبال در پایه چهارم ۱۵ نفر است.", "مجموع علاقه‌مندان به فوتبال و بسکتبال را محاسبه می‌کنیم: ۱۰ + ۱۵ = ۲۵.", "✅ جواب: ۲۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "نمودار خط شکسته (۲)", "تکمیل جدول از روی نمودار ستونی و تحلیل داده‌ها"], {"intro": "۱. نمودار ستونی را با دقت بررسی کنید و تعداد کتاب‌های داستان و غیر داستان خوانده شده توسط هر دانش‌آموز را از روی ارتفاع ستون‌ها بخوانید. ۲. این مقادیر را در جدول مربوطه وارد کنید. ۳. برای پاسخ به سوالات، تعداد کتاب‌های خوانده شده توسط هر دانش‌آموز را با هم مقایسه کنید. ۴. برای یافتن بیشترین مقدار، عددهای هر ستون را بررسی کنید و بزرگ‌ترین عدد را مشخص کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "نمودار خط شکسته (۲)", "تحلیل تغییرات قیمت با استفاده از نمودار خطی"], {"intro": "۱. داده‌های قیمت را برای هر هفته مشخص کنید.\n۲. هر قیمت را به عنوان یک نقطه روی نمودار با محور افقی هفته‌ها و محور عمودی قیمت‌ها مشخص کنید.\n۳. نقاط را به ترتیب به هم وصل کنید تا نمودار خط شکسته رسم شود.\n۴. تغییرات قیمت را با مشاهده شیب خطوط بین نقاط بررسی کنید.\n۵. برای پاسخ به سوالات، بیشترین تغییر، افزایش یا کاهش قیمت را با مقایسه نقاط و خطوط مشخص کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "نمودار خط شکسته (۲)", "نمایش و تحلیل نمره‌های دانش‌آموز با استفاده از جدول و نمودار"], {"intro": "۱. نمره‌های هر ماه را در جدول وارد کنید.\n۲. برای رسم نمودار، هر ماه را روی محور افقی و نمره را روی محور عمودی مشخص کنید.\n۳. نقاط مربوط به هر ماه را روی نمودار مشخص و به هم وصل کنید.\n۴. تغییرات نمره‌ها را با مشاهده نمودار و جدول بررسی کنید.\n۵. برای مقایسه روش‌ها، دقت و وضوح نمایش داده‌ها را بررسی کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "نمودار خط شکسته (۳)", "تحلیل داده‌های آماری و رسم نمودار خطی"], {"intro": "۱. داده‌های دما را در هر ساعت از روز در جدول وارد کنید. ۲. داده‌ها را به صورت نقاطی روی نمودار مختصات رسم کنید که محور افقی ساعت و محور عمودی دما باشد. ۳. نقاط را به ترتیب به هم وصل کنید تا نمودار خطی شکل گیرد. ۴. با توجه به نمودار، تغییرات دما را در طول روز و شب بررسی کنید و بیشترین و کمترین دما و اختلاف دما بین ساعت‌های مختلف را محاسبه کنید.", "steps": ["بیشترین دما را از بین اعداد ۱۵، ۱۸، ۲۲، ۲۵، ۲۳، ۲۰، ۱۶ پیدا می‌کنیم.", "عدد ۲۵ بزرگترین عدد در این مجموعه است.", "بنابراین، بیشترین دما ۲۵ درجه سانتی‌گراد است.", "✅ جواب: ۲۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "نمودار خط شکسته (۳)", "تقسیم عدد دورقمی بر 9 و بررسی باقی‌مانده"], {"intro": "۱. یک عدد دورقمی انتخاب کنید. ۲. رقم یکان و رقم دهگان آن را جابجا کنید تا عدد دورقمی جدیدی ساخته شود. ۳. اختلاف این دو عدد را محاسبه کنید. ۴. حاصل اختلاف را بر ۹ تقسیم کنید و باقی‌مانده را بیابید. ۵. این کار را سه بار تکرار کنید و باقی‌مانده‌ها را بررسی کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "نمودار خط شکسته (۳)", "تحلیل و رسم نمودار خط شکسته ضربان قلب"], {"intro": "۱. داده‌های ضربان قلب را بر اساس زمان مرتب کنید.\n۲. نقاط مربوط به هر زمان و ضربان قلب را روی نمودار مشخص کنید.\n۳. نقاط را به ترتیب زمان به هم وصل کنید تا نمودار خط شکسته رسم شود.\n۴. تغییرات ضربان قلب را در بازه‌های زمانی مختلف بررسی کنید.\n۵. ساعت‌هایی که ضربان قلب کمتر از ۷۰ است را مشخص کنید.\n۶. ساعت‌هایی که ضربان قلب نوسان زیادی دارد را شناسایی کنید و نتیجه‌گیری کنید که در چه ساعتی بیمار به مراقبت ویژه نیاز دارد."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "نمودار خط شکسته (۳)", "تحلیل داده‌های دمای ماه‌های سال و یافتن بیشترین و کمترین دما"], {"intro": "۱. دمای هر ماه را از جدول داده‌ها استخراج کنید.\n۲. دمای بیشینه و کمینه را در بین ماه‌ها پیدا کنید.\n۳. اختلاف دما بین ماه‌ها را محاسبه کنید تا بیشترین و کمترین تغییر دما مشخص شود.\n۴. ماه‌هایی که بیشترین و کمترین تغییر دما را دارند، تعیین کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۱)", "تشخیص احتمال وقوع یک رویداد"], {"intro": "۱. تعداد کل مهره‌ها را بشمارید.\n۲. تعداد مهره‌های مورد نظر (مثلاً مهره‌های قرمز) را بشمارید.\n۳. احتمال وقوع رویداد را با توجه به نسبت تعداد مهره‌های مورد نظر به کل مهره‌ها تخمین بزنید.\n۴. با توجه به این نسبت، عبارت مناسب (به طور حتم اتفاق می‌افتد، به احتمال بیشتر، به احتمال برابر، به احتمال کمتر، به طور حتم اتفاق نمی‌افتد) را انتخاب کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۱)", "تشخیص احتمال وقوع رویداد با چرخش چرخنده"], {"intro": "۱. اعداد روی چرخنده را بررسی کنید.\n۲. تعداد کل بخش‌ها را بشمارید.\n۳. تعداد بخش‌هایی که شرایط مسئله را دارند (مثلاً عدد زوج، عدد فرد، عدد بزرگتر از عدد مشخص) بشمارید.\n۴. احتمال وقوع رویداد را با نسبت تعداد بخش‌های مورد نظر به کل بخش‌ها مقایسه کنید.\n۵. با توجه به این نسبت، عبارت مناسب را انتخاب کنید.", "steps": ["چرخنده دارای ۸ بخش است.", "بخش‌های زوج عبارتند از: ۲، ۴، ۶ و ۸ که در مجموع ۴ بخش هستند.", "تعداد کل بخش‌ها ۸ است.", "احتمال وقوع رویداد (عدد زوج) برابر است با تعداد بخش‌های زوج تقسیم بر تعداد کل بخش‌ها: ۴ ÷ ۸.", "احتمال وقوع عدد زوج برابر با ۰٫۵ است.", "✅ جواب: ۰٫۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۱)", "محاسبه احتمال انتخاب یک مورد خاص از مجموعه"], {"intro": "۱. تعداد کل موارد موجود را بشمارید. ۲. تعداد مواردی که ویژگی مورد نظر را دارند مشخص کنید. ۳. احتمال انتخاب مورد خاص برابر است با نسبت تعداد موارد مورد نظر به تعداد کل موارد. ۴. احتمال را به صورت کسر یا درصد بیان کنید و دلیل انتخاب را توضیح دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۱)", "محاسبه احتمال خروج رنگ خاص از کیسه بدون نگاه کردن"], {"intro": "۱. تعداد کل مکعب‌ها را بشمارید. ۲. تعداد مکعب‌های هر رنگ را مشخص کنید. ۳. احتمال خروج هر رنگ برابر است با نسبت تعداد مکعب‌های آن رنگ به کل مکعب‌ها. ۴. احتمال‌ها را مقایسه کنید تا بیشترین و کمترین احتمال را بیابید و دلیل آن را توضیح دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۱)", "محاسبه احتمال فرود آمدن عقربه روی رنگ‌های مختلف چرخنده"], {"intro": "۱. تعداد بخش‌های هر رنگ روی چرخنده را بشمارید. ۲. تعداد کل بخش‌ها را مشخص کنید. ۳. احتمال فرود آمدن عقربه روی هر رنگ برابر است با نسبت تعداد بخش‌های آن رنگ به کل بخش‌ها. ۴. احتمال‌ها را به صورت کسر یا درصد بیان کنید. ۵. برای تعداد دفعات چرخش، تعداد دفعات انتظار فرود آمدن روی هر رنگ را با ضرب احتمال در تعداد دفعات محاسبه کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۱)", "تحلیل داده‌های آزمایش ایستادن عقربه روی رنگ‌ها و مقایسه تعداد دفعات"], {"intro": "۱. تعداد دفعات ایستادن عقربه روی هر رنگ را از جدول یا داده‌ها استخراج کنید. ۲. تعداد دفعات ایستادن روی رنگ‌های مختلف را با هم مقایسه کنید. ۳. بررسی کنید آیا تعداد دفعات ایستادن روی رنگ خاصی بیشتر یا کمتر از بقیه است. ۴. نتیجه‌گیری کنید که آیا داده‌ها با انتظار نظری احتمال‌ها همخوانی دارد یا خیر.", "example": "در یک آزمایش، عقربه چرخنده ۳۰ بار چرخانده شده و رنگ‌های زیر ثبت شده است: ۱۰ بار قرمز، ۸ بار آبی، ۶ بار سبز و ۶ بار زرد. حالا می‌خواهیم بررسی کنیم که آیا تعداد دفعات ایستادن عقربه روی رنگ قرمز بیشتر از بقیه رنگ‌ها است یا خیر.", "steps": ["تعداد دفعات ایستادن روی رنگ قرمز: ۱۰ بار", "تعداد دفعات ایستادن روی رنگ آبی: ۸ بار", "تعداد دفعات ایستادن روی رنگ سبز: ۶ بار", "تعداد دفعات ایستادن روی رنگ زرد: ۶ بار", "مقایسه می‌کنیم: ۱۰ (قرمز) > ۸ (آبی) و ۱۰ (قرمز) > ۶ (سبز) و ۱۰ (قرمز) > ۶ (زرد)", "✅ جواب: بله"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۲)", "احتمال آمدن رو یا پشت سکه"], {"intro": "۱. تعداد کل حالت‌های ممکن را مشخص کنید (مثلاً دو حالت: رو یا پشت). ۲. تعداد حالت مطلوب را تعیین کنید (مثلاً آمدن رو یا پشت). ۳. احتمال را به صورت نسبت تعداد حالت مطلوب به تعداد کل حالت‌ها بیان کنید. ۴. اگر چند بار آزمایش انجام می‌شود، تعداد دفعات آمدن رو یا پشت را ثبت کنید و با احتمال نظری مقایسه کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۲)", "ثبت و تحلیل نتایج آزمایش‌های احتمال"], {"intro": "۱. آزمایش را چند بار تکرار کنید (مثلاً ۲۰ بار). ۲. نتیجه هر آزمایش را ثبت کنید (رو یا پشت). ۳. تعداد دفعات آمدن هر حالت را بشمارید. ۴. نتایج را در جدول یا نمودار ثبت کنید. ۵. نتایج تجربی را با احتمال نظری مقایسه کنید و بررسی کنید آیا مطابق انتظار است یا خیر."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۲)", "احتمال آمدن رنگ خاص در چرخاندن چرخ رنگی"], {"intro": "۱. تعداد کل چرخش‌ها را مشخص کنید (مثلاً ۲۰ بار). ۲. تعداد دفعات آمدن هر رنگ را ثبت کنید. ۳. احتمال آمدن رنگ خاص را به صورت نسبت تعداد آمدن آن رنگ به تعداد کل چرخش‌ها بیان کنید. ۴. احتمال را با یک عبارت ریاضی بیان کنید و دلیل آن را توضیح دهید.", "steps": ["تعداد کل چرخش‌ها برابر با ۳۰ است.", "تعداد دفعات آمدن رنگ زرد برابر با ۱۵ است.", "احتمال آمدن رنگ زرد برابر است با نسبت تعداد آمدن رنگ زرد به تعداد کل چرخش‌ها: ۱۵ ÷ ۳۰.", "این احتمال را می‌توان به صورت کسر ۱۵/۳۰ یا به صورت عدد اعشاری ۰٫۵ بیان کرد.", "✅ جواب: ۰٫۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۲)", "محاسبه تعداد چرخش لازم برای بازگشت به حالت اولیه"], {"intro": "۱. تعداد بخش‌های شکل را بشمارید. ۲. هر چرخش چند درجه است (مثلاً ۴۵ درجه یا ۹۰ درجه). ۳. تعداد چرخش‌های لازم برای بازگشت به حالت اولیه را با تقسیم ۳۶۰ درجه بر درجه هر چرخش محاسبه کنید. ۴. نتیجه را بیان کنید که چند بار باید چرخید تا شکل دوباره روی خودش بیفتد."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۲)", "محاسبه احتمال با استفاده از چرخ‌شانس"], {"intro": "۱. تعداد کل بخش‌های چرخ‌شانس را بشمارید.\n۲. تعداد بخش‌هایی که رویداد مورد نظر را نشان می‌دهند مشخص کنید.\n۳. احتمال رویداد برابر است با نسبت تعداد بخش‌های مورد نظر به کل بخش‌ها.\n۴. اگر لازم است، احتمال را به صورت کسر یا درصد بیان کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۲)", "تشخیص احتمال رویداد زوج یا فرد در پرتاب تاس"], {"intro": "۱. مجموعه اعداد روی تاس را مشخص کنید (مثلاً ۱ تا ۶).\n۲. تعداد اعداد زوج و فرد را بشمارید.\n۳. احتمال آمدن عدد زوج یا فرد را به صورت کسر تعداد حالت‌های مطلوب بر تعداد کل حالت‌ها بیان کنید.\n۴. عبارت مناسب برای احتمال را بنویسید و دلیل آن را توضیح دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۳)", "تشخیص و مثال زدن برای عبارات «به طور حتم اتفاق می‌افتد» و «به طور حتم اتفاق نمی‌افتد»"], {"intro": "۱. تعریف رویداد حتمی را بیان کنید: رویدادی که قطعاً رخ می‌دهد.\n۲. تعریف رویداد غیرممکن را بیان کنید: رویدادی که هرگز رخ نمی‌دهد.\n۳. برای هر کدام یک مثال واقعی و ساده بزنید که نشان دهد رویداد حتمی یا غیرممکن است."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۳)", "مقایسه احتمال رویدادها با استفاده از تعداد مهره‌های رنگی در کیسه"], {"intro": "۱. تعداد کل مهره‌ها در هر کیسه را مشخص کنید.\n۲. تعداد مهره‌های رنگ مورد نظر را بشمارید.\n۳. احتمال آمدن مهره رنگی مورد نظر برابر است با نسبت تعداد مهره‌های آن رنگ به کل مهره‌ها.\n۴. احتمال‌ها را مقایسه کنید و نتیجه بگیرید که کدام احتمال بیشتر است و دلیل آن را بنویسید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۳)", "تکمیل جدول پیش‌بینی احتمال با آزمایش‌های مکرر"], {"intro": "۱. تعداد مهره‌های هر رنگ را در کیسه مشخص کنید.\n۲. آزمایش بیرون آوردن مهره را چند بار (مثلاً ۲۰ بار) انجام دهید.\n۳. تعداد دفعات بیرون آمدن هر رنگ را ثبت کنید.\n۴. احتمال هر رنگ را با نسبت تعداد دفعات بیرون آمدن آن رنگ به کل آزمایش‌ها پیش‌بینی کنید.\n۵. جدول پیش‌بینی را با این داده‌ها کامل کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۳)", "تحلیل و تفسیر نمودار خط شکسته"], {"intro": "۱. محورهای نمودار را مشخص کنید (محور افقی برای متغیر مستقل و محور عمودی برای متغیر وابسته). ۲. داده‌ها را روی نمودار به صورت نقاط مشخص کنید. ۳. نقاط را به ترتیب به هم وصل کنید تا خط شکسته شکل گیرد. ۴. تغییرات خط را بررسی کنید (افزایش، کاهش، ثابت بودن). ۵. بر اساس شکل نمودار، نتیجه‌گیری درباره موضوع داده‌ها انجام دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۳)", "رسم و تحلیل نمودار خط شکسته از داده‌های جدول قیمت"], {"intro": "۱. داده‌های جدول را بررسی کنید و محور افقی را برای روزهای هفته و محور عمودی را برای قیمت‌ها در نظر بگیرید. ۲. محور عمودی را از عدد مناسب (مثلاً ۲۵۰۰۰۰ تومان) شروع کنید تا تغییرات بهتر دیده شود. ۳. محور عمودی را به بخش‌های مساوی تقسیم کنید (مثلاً هر بخش ۵۰۰۰ تومان). ۴. نقاط مربوط به قیمت هر روز را روی نمودار مشخص کنید. ۵. نقاط را به ترتیب به هم وصل کنید تا نمودار خط شکسته رسم شود. ۶. تغییرات قیمت را بررسی کنید و به سوالات مربوط پاسخ دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۳)", "توضیح و کاربرد عبارات احتمال"], {"intro": "۱. مفهوم احتمال را توضیح دهید و تفاوت بین احتمال بیشتر، احتمال کمتر و به طور حتم را بیان کنید. ۲. برای هر عبارت، مثالی از موقعیتی که آن عبارت صدق کند، بیان کنید. ۳. جملات شرطی با استفاده از این عبارات بسازید. ۴. کاربرد این عبارات را در توصیف رویدادهای مختلف بررسی کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۴)", "محاسبه احتمال وقوع یک رویداد"], {"intro": "۱. تعداد کل حالت‌های ممکن را مشخص کنید.\n۲. تعداد حالت‌های مطلوب (رویداد مورد نظر) را بشمارید.\n۳. احتمال را به صورت نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به تعداد کل حالت‌ها بیان کنید.\n۴. احتمال را با یک عبارت مناسب توضیح دهید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۴)", "مقایسه احتمال‌ها با استفاده از چرخنده رنگی"], {"intro": "۱. تعداد بخش‌های هر رنگ را در چرخنده بشمارید.\n۲. کل بخش‌های چرخنده را بشمارید.\n۳. احتمال ایستادن عقربه روی هر رنگ را به صورت نسبت تعداد بخش‌های آن رنگ به کل بخش‌ها بیان کنید.\n۴. احتمال‌ها را مقایسه کنید و بیشترین احتمال را مشخص کنید.\n۵. دلیل انتخاب را با توجه به تعداد بخش‌های رنگ مربوطه بیان کنید.", "steps": ["تعداد کل بخش‌ها را محاسبه می‌کنیم: ۵ + ۳ + ۴ = ۱۲ بخش.", "احتمال ایستادن عقربه روی رنگ زرد را محاسبه می‌کنیم: ۵ بخش زرد از ۱۲ بخش کل، بنابراین احتمال زرد = ۵/۱۲.", "احتمال ایستادن عقربه روی رنگ قرمز را محاسبه می‌کنیم: ۳ بخش قرمز از ۱۲ بخش کل، بنابراین احتمال قرمز = ۳/۱۲.", "احتمال ایستادن عقربه روی رنگ سبز را محاسبه می‌کنیم: ۴ بخش سبز از ۱۲ بخش کل، بنابراین احتمال سبز = ۴/۱۲.", "حالا احتمال‌ها را مقایسه می‌کنیم: ۵/۱۲ > ۴/۱۲ > ۳/۱۲. بنابراین رنگ زرد بیشترین احتمال را دارد.", "✅ جواب: زرد"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۴)", "احتمال رویدادهای پشت یا رو آمدن سکه"], {"intro": "۱. احتمال آمدن رو یا پشت در هر بار پرتاب سکه برابر است و برابر ۱/۲ است.\n۲. برای بار سوم، احتمال رو یا پشت آمدن مستقل از پرتاب‌های قبلی است.\n۳. احتمال رو یا پشت آمدن در بار سوم همان ۱/۲ است.\n۴. دلیل را با توجه به برابری احتمال‌ها و استقلال پرتاب‌ها بیان کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۴)", "بیان احتمال انتخاب مهره از کیسه"], {"intro": "۱. تعداد کل مهره‌ها در کیسه را بشمارید.\n۲. تعداد مهره‌های هر رنگ را مشخص کنید.\n۳. احتمال انتخاب مهره‌ای با رنگ مشخص را به صورت نسبت تعداد مهره‌های آن رنگ به کل مهره‌ها بیان کنید.\n۴. احتمال را با یک عبارت مناسب توضیح دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "یادآوری عددنویسی و محاسبات عددی (۱)", "محاسبه و مقایسه قیمت‌ها"], {"steps": ["جمع قیمت کتاب و دفتر را محاسبه می‌کنیم: ۳۰۰۰۰۰ + ۱۵۰۰۰۰ = ۴۵۰۰۰۰ ریال.", "مقدار پول علی را از مجموع قیمت‌ها کم می‌کنیم: ۵۰۰۰۰۰ - ۴۵۰۰۰۰ = ۵۰۰۰۰ ریال.", "نتیجه نشان می‌دهد که علی می‌تواند هر دو کالا را بخرد و ۵۰۰۰۰ ریال باقی می‌ماند.", "✅ جواب: ۵۰۰۰۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "یادآوری عددنویسی و محاسبات عددی (۲)", "محاسبه نصف و بخش‌های عددی"], {"steps": ["عدد ۴۰ را بر ۲ تقسیم می‌کنیم.", "۴۰ ÷ ۲ = ۲۰", "پس نصف ۴۰ برابر با ۲۰ است.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "یادآوری عددنویسی و محاسبات عددی (۲)", "ضرب دو عدد دو رقمی"], {"intro": "۱. دو عدد دو رقمی را با استفاده از کارت‌های داده شده بسازید. ۲. حاصل ضرب این دو عدد را محاسبه کنید. ۳. اگر دو حاصل ضرب دارید، آنها را با هم مقایسه کنید تا بزرگ‌تر را بیابید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "یادآوری عددنویسی و محاسبات عددی (۳)", "جمع و تفریق اعداد چند رقمی"], {"intro": "۱. اعداد را بر اساس ارزش مکانی آنها (یکان، دهگان، صدگان و ...) بنویسید. ۲. جمع یا تفریق را از سمت راست به چپ انجام دهید. ۳. در صورت نیاز، ده‌دهی یا قرض گرفتن را انجام دهید. ۴. حاصل نهایی را بنویسید.", "steps": ["صفحات خوانده‌شده از کتاب اول: ۲۵ صفحه", "صفحات خوانده‌شده از کتاب دوم: ۳۲ صفحه", "مجموع صفحات خوانده‌شده = ۲۵ + ۳۲ = ۵۷ صفحه", "✅ جواب: ۵۷"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "یادآوری عددنویسی و محاسبات عددی (۳)", "مقایسه اعداد چند رقمی"], {"intro": "۱. تعداد ارقام هر عدد را بررسی کنید. عددی که رقم‌های بیشتری دارد بزرگ‌تر است. ۲. اگر تعداد ارقام برابر بود، از سمت چپ به راست ارقام را مقایسه کنید. ۳. اولین رقمی که در یکی از اعداد بزرگ‌تر باشد، عدد مربوطه بزرگ‌تر است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "یادآوری عددنویسی و محاسبات عددی (۳)", "تقسیم اعداد به دسته‌های مساوی"], {"intro": "۱. عدد کل را بر تعداد دسته‌ها تقسیم کنید تا تعداد مهره در هر دسته به دست آید. ۲. اگر لازم است، تعداد مهره‌های هر دسته را نصف کنید یا تقسیم‌های بعدی را انجام دهید. ۳. تقسیم‌های داده شده را مرحله به مرحله انجام دهید و جواب‌ها را بنویسید.", "steps": ["عدد کل سیب‌ها ۲۴ است.", "تعداد سبدها ۶ است.", "برای پیدا کردن تعداد سیب در هر سبد، ۲۴ را بر ۶ تقسیم می‌کنیم: ۲۴ ÷ ۶ = ۴.", "بنابراین، در هر سبد ۴ سیب وجود دارد.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "یادآوری عددنویسی و محاسبات عددی (۳)", "تقسیم عددهای بزرگ"], {"intro": "۱. عدد بزرگ را به صورت تقسیم طولانی بنویسید.\n۲. عدد تقسیم‌کننده را در نظر بگیرید و ببینید چند بار در بخش ابتدایی عدد بزرگ جا می‌شود.\n۳. حاصل ضرب را از بخش ابتدایی کم کنید و باقی‌مانده را پایین بیاورید.\n۴. این مراحل را تا پایان عدد بزرگ ادامه دهید تا حاصل تقسیم به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "یادآوری عددنویسی و محاسبات عددی (۳)", "جمع و تفریق عددهای بزرگ"], {"intro": "۱. اعداد را به صورت ستونی زیر هم قرار دهید.\n۲. از سمت راست شروع به جمع یا تفریق ارقام کنید.\n۳. اگر جمع ارقام بیشتر از ۹ شد، رقم دهگان را به ستون بعدی منتقل کنید.\n۴. در تفریق اگر رقم بالا کوچکتر از رقم پایین بود، از ستون سمت چپ قرض بگیرید.\n۵. ادامه دهید تا همه ارقام جمع یا تفریق شوند."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "یادآوری عددنویسی و محاسبات عددی (۳)", "ضرب عددهای بزرگ"], {"intro": "۱. اعداد را به صورت ستونی زیر هم قرار دهید.\n۲. هر رقم عدد پایین را به ترتیب در عدد بالا ضرب کنید.\n۳. نتایج را به صورت مرحله‌ای زیر هم بنویسید، با توجه به جایگاه رقم ضرب‌کننده صفر اضافه کنید.\n۴. نتایج مرحله‌ای را جمع کنید تا حاصل نهایی به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "یادآوری عددنویسی و محاسبات عددی (۴)", "تقسیم عددهای بزرگ با تقسیم طولانی"], {"intro": "۱. عدد بزرگ را به صورت تقسیم طولانی بنویسید.\n۲. عدد تقسیم‌کننده را در نظر بگیرید و ببینید چند بار در بخش ابتدایی عدد بزرگ جا می‌شود.\n۳. حاصل ضرب را از بخش ابتدایی کم کنید و باقی‌مانده را پایین بیاورید.\n۴. این مراحل را تا پایان عدد بزرگ ادامه دهید تا حاصل تقسیم به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "یادآوری عددنویسی و محاسبات عددی (۴)", "نوشتن اعداد در شکل‌ها با شرط مجموع افقی و عمودی"], {"intro": "۱. اعداد داده شده را در شکل قرار دهید به طوری که مجموع سه عدد عمودی با مجموع سه عدد افقی برابر باشد. ۲. مجموع اعداد هر ردیف عمودی و افقی را محاسبه کنید. ۳. با حدس زدن و آزمایش جای اعداد را تغییر دهید تا شرط مجموع‌ها برقرار شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "یادآوری عددنویسی و محاسبات عددی (۴)", "نوشتن اعداد در بازه‌های مشخص"], {"intro": "۱. بازه داده شده را به صورت عددی مشخص کنید. ۲. اعداد را از کوچک‌ترین تا بزرگ‌ترین در بازه بنویسید. ۳. اعداد را به صورت ده‌تایی یا صدتایی مرتب کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "یادآوری عددنویسی و محاسبات عددی (۴)", "ادامه دادن الگوهای عددی"], {"intro": "۱. الگوی داده شده را بررسی کنید و تفاوت بین اعداد را پیدا کنید. ۲. با توجه به تفاوت، اعداد بعدی را بنویسید. ۳. الگو را تا تعداد خواسته شده ادامه دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "یادآوری عددنویسی و محاسبات عددی (۴)", "انجام ضرب و تقسیم اعداد بزرگ"], {"intro": "۱. عملیات ضرب یا تقسیم را بین دو عدد داده شده انجام دهید. ۲. در ضرب، اعداد را به صورت ستون یا روش‌های مناسب ضرب کنید. ۳. در تقسیم، تقسیم را مرحله به مرحله انجام دهید تا جواب کامل شود.", "steps": ["برای پیدا کردن تعداد گل‌ها در هر ردیف، ۲۴۰ را بر ۸ تقسیم می‌کنیم.", "۲۴۰ ÷ ۸ = ۳۰", "بنابراین، در هر ردیف ۳۰ گل وجود دارد.", "✅ جواب: ۳۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "معرفی میلیارد (۱)", "ادامه دادن الگوهای عددی"], {"intro": "۱. الگوهای عددی داده شده را بررسی کنید و تفاوت بین اعداد متوالی را پیدا کنید.\n۲. تفاوت یا نسبت ثابت را شناسایی کنید.\n۳. با استفاده از این تفاوت یا نسبت، اعداد بعدی را محاسبه کنید.\n۴. اعداد به دست آمده را به ترتیب در جای خالی‌ها بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "معرفی میلیارد (۱)", "نوشتن اعداد در جدول ارزش مکانی"], {"intro": "۱. عدد داده شده را به بخش‌های میلیارد، میلیون و هزار تقسیم کنید.\n۲. هر بخش را به ارقام صدگان، دهگان و یکان تقسیم کنید.\n۳. ارقام هر بخش را در ستون‌های مربوط به ارزش مکانی در جدول قرار دهید.\n۴. مطمئن شوید که هر رقم در جای درست خود قرار گرفته است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "معرفی میلیارد (۱)", "قرار دادن اعداد جمعیت در جدول ارزش مکانی"], {"intro": "۱. عدد جمعیت داده شده را به صورت کامل بنویسید.\n۲. عدد را به بخش‌های میلیارد، میلیون و هزار تقسیم کنید.\n۳. هر بخش را به ارقام صدگان، دهگان و یکان تقسیم کنید.\n۴. ارقام هر بخش را در ستون‌های مربوط به ارزش مکانی در جدول قرار دهید.", "steps": ["عدد یک هزار برابر است با ۱,۰۰۰:", "هزار: ۱ در جای هزارگان، ۰ در دهگان و یکان", "میلیون و میلیارد: همه صفر", "عدد یک میلیون برابر است با ۱,۰۰۰,۰۰۰:", "میلیون: ۱ در جای میلیونگان، ۰ در دهگان و یکان", "✅ جواب: ۱۰۰۰: هزار(۰,۰,۱)، میلیون/میلیارد(۰,۰,۰)\n۱۰۰۰۰۰۰: میلیون(۰,۰,۱)، هزار/میلیارد(۰,۰,۰)\n۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰: میلیارد(۰,۰,۱)، هزار/میلیون(۰,۰,۰)"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "معرفی میلیارد (۱)", "محاسبه تعداد چک پول‌ها و تبدیل واحد پولی"], {"intro": "۱. مقدار هر چک پول را مشخص کنید.\n۲. برای رسیدن به مقدار کل مورد نظر، تعداد چک‌ها را محاسبه کنید (مقدار کل تقسیم بر مقدار هر چک).\n۳. در صورت نیاز، مقدار کل را به واحدهای دیگر مانند تومان تبدیل کنید (هر تومان برابر ۱۰ ریال است).\n۴. با توجه به تعداد چک‌ها، مقدار کل پول را به صورت ریال یا تومان بیان کنید.", "steps": ["مقدار کل پول ۱,۰۰۰,۰۰۰ ریال است.", "مقدار هر چک پول ۲۰۰,۰۰۰ ریال است.", "تعداد چک پول‌ها را با تقسیم مقدار کل بر مقدار هر چک پول محاسبه می‌کنیم: ۱,۰۰۰,۰۰۰ ÷ ۲۰۰,۰۰۰ = ۵.", "بنابراین، برای رسیدن به ۱,۰۰۰,۰۰۰ ریال به ۵ چک پول نیاز داریم.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "معرفی میلیارد (۲)", "مقایسه و تعیین عدد نزدیک‌تر به عدد وسط"], {"intro": "۱. عدد وسط را مشخص کنید.\n۲. فاصله هر عدد از عدد وسط را محاسبه کنید (تفاضل مطلق).\n۳. عددی که فاصله کمتری دارد به عدد وسط نزدیک‌تر است.\n۴. عدد نزدیک‌تر را با رنگ یا علامت مشخص کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "معرفی میلیارد (۲)", "محاسبه حاصل ضرب اعداد بزرگ به صورت صد هزار تا"], {"intro": "۱. عدد بزرگ را به صورت تجزیه شده به صد هزار تا تقسیم کنید.\n۲. هر بخش را جداگانه در عدد ضرب کنید.\n۳. نتایج را جمع کنید تا حاصل نهایی به دست آید.\n۴. روش‌های مختلف ضرب را مقایسه و توضیح دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "معرفی میلیارد (۲)", "تعیین محل تقریبی عدد روی محور عددی"], {"intro": "۱. محور عددی را با توجه به بازه داده شده کامل کنید. ۲. محل تقریبی عدد داده شده را روی محور پیدا کنید. ۳. برای نقاط مشخص شده روی محور، عددی مناسب و نزدیک به محل آن نقطه بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "معرفی میلیارد (۲)", "مقایسه اعداد بزرگ"], {"intro": "۱. اعداد داده شده را از نظر تعداد رقم و ارزش مکانی بررسی کنید. ۲. اگر تعداد ارقام متفاوت است، عدد با تعداد رقم بیشتر بزرگ‌تر است. ۳. اگر تعداد ارقام برابر است، رقم به رقم از سمت چپ مقایسه کنید. ۴. علامت مناسب (بزرگ‌تر، کوچکتر، مساوی) را بین اعداد قرار دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "معرفی میلیارد (۲)", "محاسبه تفریق برای تعیین مقدار باقی‌مانده"], {"intro": "۱. مقدار کل پول یا هزینه را مشخص کنید. ۲. مقدار داده شده یا هزینه شده را از مقدار کل کم کنید. ۳. نتیجه تفریق مقدار باقی‌مانده یا مقدار مورد نیاز دیگر را نشان می‌دهد."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "معرفی میلیارد (۲)", "محاسبه ضخامت کل بسته‌های کاغذ"], {"intro": "۱. ضخامت هر برگ کاغذ را در تعداد برگ‌های هر بسته ضرب می‌کنیم تا ضخامت یک بسته به دست آید. ۲. اگر چند بسته روی هم قرار گیرند، ضخامت یک بسته را در تعداد بسته‌ها ضرب می‌کنیم تا ضخامت کل به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "معرفی میلیارد (۳)", "تشخیص و اصلاح اشتباه در نوشتن اعداد بزرگ"], {"intro": "۱. عدد نوشته شده را به دقت بخوانید و جایگاه هر رقم را بررسی کنید. ۲. عدد را به صورت کلمه‌ای بخوانید و با عدد نوشته شده مقایسه کنید. ۳. اشتباهات در جایگاه ارقام را پیدا کرده و اصلاح کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "معرفی میلیارد (۳)", "پر کردن جای خالی با اعداد مناسب"], {"intro": "۱. عددهای داده شده را بررسی کنید. ۲. عددی را پیدا کنید که با شرایط داده شده (مثلاً بزرگتر یا کوچکتر بودن) سازگار باشد. ۳. جای خالی را با عدد مناسب پر کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "معرفی میلیارد (۳)", "جمع اعداد بزرگ با تقریب"], {"intro": "۱. اعداد داده شده را به نزدیک‌ترین مقدار مشخص شده (مثلاً میلیون یا صد هزار) تقریب بزنید. ۲. ارقام اضافی را حذف کنید تا عدد ساده‌تر شود. ۳. اعداد تقریب زده شده را با هم جمع کنید. ۴. نتیجه جمع را به عنوان پاسخ نهایی ارائه دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "معرفی میلیارد (۳)", "جمع اعداد بزرگ با تقریب صد هزار"], {"intro": "۱. اعداد داده شده را به نزدیک‌ترین صد هزار تقریب بزنید. ۲. ارقام بعد از صد هزار را حذف کنید. ۳. اعداد تقریب زده شده را با هم جمع کنید. ۴. نتیجه جمع را به عنوان پاسخ نهایی ارائه دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "معرفی میلیارد (۳)", "محاسبه قیمت کل بر اساس قیمت هر مترمربع و مساحت"], {"intro": "۱. قیمت هر مترمربع را در مساحت کل ضرب کنید تا قیمت کل به تومان به دست آید.\n۲. اگر لازم است، قیمت کل را به ریال تبدیل کنید (هر تومان برابر ۱۰ ریال است)."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "معرفی میلیارد (۳)", "محاسبه قیمت کل بر اساس قیمت هر مترمربع و مساحت با تبدیل واحد"], {"intro": "۱. قیمت هر مترمربع را در مساحت کل ضرب کنید تا قیمت کل به تومان به دست آید.\n۲. قیمت کل به تومان را در ۱۰ ضرب کنید تا قیمت به ریال تبدیل شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "جمع و تفریق عددهای مرکب (۱)", "خواندن و نوشتن ساعت به صورت عدد مرکب"], {"intro": "۱. عقربه ساعت را روی ساعت مشخص شده قرار دهید.\n۲. عقربه دقیقه را روی دقیقه مشخص شده قرار دهید.\n۳. عقربه ثانیه را روی ثانیه مشخص شده قرار دهید.\n۴. زمان را به صورت عدد مرکب ساعت:دقیقه:ثانیه بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "جمع و تفریق عددهای مرکب (۱)", "تشکیل الگوهای عددی با زمان و تقسیم سلول‌ها"], {"intro": "۱. زمان اولیه را به صورت عدد مرکب ساعت:دقیقه بنویسید.\n۲. هر ۲۰ دقیقه، سلول به دو سلول تقسیم می‌شود، بنابراین تعداد سلول‌ها دو برابر می‌شود.\n۳. زمان‌های بعدی را با افزودن ۲۰ دقیقه به زمان قبلی محاسبه کنید.\n۴. الگوی عددی را با توجه به تعداد سلول‌ها و زمان‌ها بنویسید.", "example": "یک سلول در ساعت ۲:۰۰ شروع به تقسیم می‌شود. زمان‌های بعدی را با افزودن ۲۰ دقیقه محاسبه کنید و الگوی تعداد سلول‌ها را بنویسید.", "steps": ["در ساعت ۲:۰۰ یک سلول داریم.", "۲۰ دقیقه بعد، در ساعت ۲:۲۰ تعداد سلول‌ها به ۲ می‌رسد.", "۲۰ دقیقه بعد، در ساعت ۲:۴۰ تعداد سلول‌ها به ۴ می‌رسد.", "۲۰ دقیقه بعد، در ساعت ۳:۰۰ تعداد سلول‌ها به ۸ می‌رسد.", "۲۰ دقیقه بعد، در ساعت ۳:۲۰ تعداد سلول‌ها به ۱۶ می‌رسد.", "✅ جواب: ۱۶"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "جمع و تفریق عددهای مرکب (۱)", "محاسبه زمان بعد از شمارش دقیقه از زمان شروع"], {"intro": "۱. زمان شروع را به صورت عدد مرکب ساعت:دقیقه بنویسید.\n۲. تعداد دقیقه شمارش شده را به دقیقه زمان شروع اضافه کنید.\n۳. اگر دقیقه از ۶۰ بیشتر شد، ساعت را یک واحد افزایش دهید و از دقیقه ۶۰ کم کنید.\n۴. زمان جدید را به صورت عدد مرکب ساعت:دقیقه بنویسید.\n۵. الگوی عددی زمان‌ها را بنویسید و ادامه دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "جمع و تفریق عددهای مرکب (۱)", "جمع و تفریق زمان با ساعت و دقیقه"], {"intro": "۱. زمان اولیه را به ساعت و دقیقه تفکیک کنید.\n۲. زمان‌های اضافه شده را به ساعت و دقیقه جداگانه در نظر بگیرید.\n۳. ابتدا دقیقه‌ها را جمع یا تفریق کنید. اگر دقیقه‌ها از ۶۰ بیشتر شد، ۶۰ دقیقه را به یک ساعت تبدیل کنید و به ساعت‌ها اضافه کنید.\n۴. سپس ساعت‌ها را جمع یا تفریق کنید.\n۵. نتیجه نهایی را به صورت ساعت و دقیقه بیان کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "جمع و تفریق عددهای مرکب (۱)", "محاسبه مدت زمان بین دو زمان مشخص"], {"intro": "۱. زمان شروع و پایان را به ساعت و دقیقه تفکیک کنید.\n۲. دقیقه‌ها را از هم کم کنید. اگر دقیقه‌های پایان کمتر از دقیقه‌های شروع بود، یک ساعت از ساعت پایان کم کنید و ۶۰ دقیقه به دقیقه‌های پایان اضافه کنید.\n۳. ساعت‌ها را از هم کم کنید.\n۴. مدت زمان به دست آمده را به ساعت و دقیقه بیان کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "جمع و تفریق عددهای مرکب (۳)", "جمع جرم ها با واحدهای مختلف"], {"intro": "۱. واحدهای جرم را به یک واحد مشترک تبدیل کنید (مثلاً همه را به گرم یا کیلوگرم). ۲. مقادیر را جمع کنید. ۳. اگر لازم است، نتیجه را به واحد مناسب تبدیل کنید.", "steps": ["ابتدا هر دو کیک را به گرم تبدیل می‌کنیم. کیک اول: ۳ کیلوگرم = ۳۰۰۰ گرم و ۲۵۰ گرم = ۳۰۰۰ + ۲۵۰ = ۳۲۵۰ گرم.", "کیک دوم: ۲ کیلوگرم = ۲۰۰۰ گرم و ۵۰۰ گرم = ۲۰۰۰ + ۵۰۰ = ۲۵۰۰ گرم.", "حالا جرم هر دو کیک را جمع می‌کنیم: ۳۲۵۰ گرم + ۲۵۰۰ گرم = ۵۷۵۰ گرم.", "نتیجه را به کیلوگرم و گرم تبدیل می‌کنیم: ۵۷۵۰ گرم = ۵ کیلوگرم و ۷۵۰ گرم.", "✅ جواب: ۵ کیلوگرم و ۷۵۰ گرم"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "جمع و تفریق عددهای مرکب (۳)", "محاسبه مقدار پارچه مورد نیاز با واحدهای مختلف"], {"intro": "۱. واحدهای طول را به یک واحد مشترک تبدیل کنید (مثلاً همه را به سانتی‌متر یا متر). ۲. مقادیر را جمع کنید. ۳. نتیجه را به واحد مناسب تبدیل کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "جمع و تفریق عددهای مرکب (۳)", "جمع تاریخ تولد و مدت زمان به دست آوردن تاریخ جشن"], {"intro": "۱. روزها را جمع کنید. اگر تعداد روزها بیشتر از تعداد روزهای ماه بود، روزها را تقسیم بر تعداد روزهای ماه کرده و باقی‌مانده را روز جدید و خارج قسمت را به ماه اضافه کنید. ۲. ماه‌ها را جمع کنید. اگر تعداد ماه‌ها بیشتر از ۱۲ بود، ماه‌ها را تقسیم بر ۱۲ کرده و باقی‌مانده را ماه جدید و خارج قسمت را به سال اضافه کنید. ۳. سال‌ها را جمع کنید.", "example": "اگر شمارش ۳۰ دقیقه را از ساعت ۱:۳۰ شروع کنیم، زمان بعدی چگونه به دست می‌آید؟ الگوی عددی آن را بنویسید و ادامه دهید: ۱:۳۰ و ...", "steps": ["زمان شروع: ۱:۳۰", "بعد از ۳۰ دقیقه: ۲:۰۰ (۳۰ + ۳۰ = ۶۰ دقیقه، ساعت افزایش می‌یابد)", "بعد از ۶۰ دقیقه: ۲:۳۰", "بعد از ۹۰ دقیقه: ۳:۰۰", "الگو: هر بار ۳۰ دقیقه به زمان اضافه می‌شود و زمان‌ها به صورت ۱:۳۰، ۲:۰۰، ۲:۳۰، ۳:۰۰ ادامه می‌یابند.", "✅ جواب: ۲:۰۰ ، ۲:۳۰ ، ۳:۰۰ ، ..."]}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "جمع و تفریق عددهای مرکب (۳)", "تبدیل واحد طول از میلی‌متر به سانتی‌متر و متر"], {"intro": "۱. مقدار میلی‌متر را بر ۱۰ تقسیم کنید تا به سانتی‌متر تبدیل شود. ۲. مقدار سانتی‌متر را بر ۱۰۰ تقسیم کنید تا به متر تبدیل شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "جمع و تفریق عددهای مرکب (۳)", "محاسبه زمان رسیدن قطار به ایستگاه‌ها"], {"intro": "۱. زمان شروع حرکت قطار را به عنوان مبنا در نظر می‌گیریم.\n۲. زمان رسیدن به ایستگاه بعدی را با افزودن مدت زمان حرکت بین ایستگاه‌ها به زمان ایستگاه قبلی محاسبه می‌کنیم.\n۳. این کار را برای همه ایستگاه‌ها تکرار می‌کنیم تا زمان رسیدن به هر ایستگاه مشخص شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "جمع و تفریق عددهای مرکب (۴)", "محاسبه زمان رسیدن به ایستگاه بعدی با توجه به زمان مشخص"], {"intro": "۱. زمان داده شده را به عنوان مبنا در نظر می‌گیریم.\n۲. مدت زمان حرکت بین ایستگاه‌ها را به زمان داده شده اضافه می‌کنیم تا زمان رسیدن به ایستگاه بعدی مشخص شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "جمع و تفریق عددهای مرکب (۴)", "محاسبه مدت زمان زنگ تفریح و تعطیلی مدرسه"], {"intro": "۱. زمان شروع مدرسه را به عنوان مبنا در نظر می‌گیریم.\n۲. مدت زمان هر زنگ و تفریح را در تعداد زنگ‌ها ضرب می‌کنیم تا کل زمان صرف شده مشخص شود.\n۳. این زمان را به زمان شروع مدرسه اضافه می‌کنیم تا زمان تعطیلی مدرسه به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "جمع و تفریق عددهای مرکب (۴)", "محاسبه ساعت و روز با توجه به مدت زمان گذشته"], {"intro": "۱. ساعت و روز شروع را مشخص می‌کنیم.\n۲. مدت زمان داده شده را به ساعت شروع اضافه می‌کنیم.\n۳. اگر ساعت از ۲۴ بیشتر شد، روز را یک واحد افزایش می‌دهیم و ساعت را منهای ۲۴ می‌کنیم.\n۴. روز هفته را با توجه به روز شروع و تعداد روزهای گذشته تعیین می‌کنیم."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "جمع و تفریق عددهای مرکب (۴)", "مقایسه سن دو نفر با سال تولد متفاوت"], {"intro": "۱. سال تولد هر فرد را یادداشت می‌کنیم.\n۲. سال جاری را مشخص می‌کنیم.\n۳. سن هر فرد را با کم کردن سال تولد از سال جاری محاسبه می‌کنیم.\n۴. سن‌ها را مقایسه می‌کنیم تا فرد بزرگ‌تر مشخص شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۱)", "محاسبه محیط شکل‌های مرکب"], {"intro": "۱. طول هر ضلع مربع کوچک را مشخص کنید (در اینجا ۱ سانتی‌متر). ۲. اضلاع بیرونی شکل مرکب را بشمارید و طول هر ضلع را با هم جمع کنید. ۳. مجموع طول اضلاع بیرونی برابر با محیط شکل است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۱)", "تکمیل جدول محیط شکل‌های هندسی با الگو"], {"intro": "۱. تعداد مربع‌های کوچک در هر شکل را بشمارید. ۲. محیط شکل را با جمع طول اضلاع بیرونی محاسبه کنید. ۳. مقادیر محیط را در جدول مربوط به شماره شکل وارد کنید. ۴. رابطه بین شماره شکل و محیط را بررسی و توضیح دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۱)", "تعیین شماره شکل بر اساس محیط داده شده"], {"intro": "۱. محیط داده شده را با محیط شکل‌های موجود مقایسه کنید. ۲. شماره شکلی که محیط آن برابر با مقدار داده شده است را پیدا کنید. ۳. روش پیدا کردن شماره شکل را با توجه به رابطه بین شماره شکل و محیط توضیح دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۱)", "رابطه بین شماره شکل و محیط در الگوهای هندسی"], {"intro": "۱. شماره شکل و محیط آن را در جدول بنویسید. ۲. تغییرات محیط را نسبت به شماره شکل بررسی کنید. ۳. رابطه ریاضی بین شماره شکل و محیط را پیدا کنید (مثلاً محیط = ۴ × شماره شکل). ۴. این رابطه را برای شکل‌های بعدی پیش‌بینی کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۱)", "شمارش تعداد چوب کبریت‌ها در الگوهای افزایشی"], {"intro": "۱. تعداد چوب کبریت‌های شکل اول را بشمارید.\n۲. تفاوت تعداد چوب کبریت‌ها بین شکل‌های متوالی را پیدا کنید.\n۳. با توجه به تفاوت ثابت، رابطه افزایشی را مشخص کنید.\n۴. برای شکل nام، تعداد چوب کبریت‌ها را با استفاده از رابطه افزایشی یا فرمول ضربی محاسبه کنید.\n۵. سوالات مربوط به تعداد چوب کبریت‌ها در شکل‌های بزرگ‌تر را با جایگذاری عدد شکل در فرمول حل کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۱)", "شمارش تعداد چوب کبریت‌ها در الگوهای ترکیبی با افزایش متفاوت"], {"intro": "۱. تعداد چوب کبریت‌های شکل اول را بشمارید.\n۲. تفاوت تعداد چوب کبریت‌ها بین شکل‌های متوالی را پیدا کنید.\n۳. با توجه به تفاوت ثابت، رابطه افزایشی را مشخص کنید.\n۴. برای شکل nام، تعداد چوب کبریت‌ها را با استفاده از رابطه افزایشی یا فرمول ضربی محاسبه کنید.\n۵. سوالات مربوط به تعداد چوب کبریت‌ها در شکل‌های بزرگ‌تر را با جایگذاری عدد شکل در فرمول حل کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۲)", "تعیین تعداد چوب کبریت‌ها در الگوهای هندسی"], {"intro": "۱. تعداد چوب کبریت‌ها را برای هر شکل داده شده بشمارید و در جدول وارد کنید. ۲. رابطه بین شماره شکل و تعداد چوب کبریت‌ها را پیدا کنید (مثلاً افزایش ثابت یا الگوی خاص). ۳. با استفاده از رابطه، تعداد چوب کبریت‌های شکل‌های بعدی را پیش‌بینی کنید. ۴. برای شکل ششم، تعداد چوب کبریت‌ها را با استفاده از رابطه به دست آورید. ۵. روش‌های مختلف را مقایسه کنید و بررسی کنید آیا روش سعیده (جمع تعداد چوب کبریت‌های شکل‌های قبلی) جواب می‌دهد یا خیر."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۲)", "ادامه دادن الگوی عددی و شکل‌های مثلثی"], {"intro": "۱. تعداد دایره‌ها در هر شکل را بشمارید و اعداد متناظر را یادداشت کنید. ۲. تفاوت بین اعداد را بررسی کنید تا الگوی عددی را پیدا کنید (مثلاً افزایش ثابت یا رابطه خاص). ۳. با استفاده از الگو، تعداد دایره‌ها در شکل‌های بعدی را پیش‌بینی کنید. ۴. شکل‌های بعدی را رسم کنید و تعداد دایره‌ها را تأیید کنید. ۵. برای شکل بیستم، تعداد دایره‌ها را با استفاده از الگو محاسبه کنید و دلیل آن را توضیح دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۲)", "ادامه الگوی عددی و شکل"], {"intro": "۱. الگوهای عددی و شکل‌ها را با دقت بررسی کنید. ۲. تفاوت یا رابطه بین اعداد یا تعداد اشکال را پیدا کنید. ۳. قانون یا قاعده الگو را مشخص کنید (مثلاً افزایش به اندازه ۳ یا تعداد دایره‌ها به صورت مربع اعداد). ۴. با استفاده از قانون، مقدار یا شکل بعدی را محاسبه کنید. ۵. نتیجه را به صورت عدد یا شکل بیان کنید.", "example": "در یک الگوی عددی، اعداد به صورت زیر قرار دارند: ۲، ۵، ۸، ۱۱، ... . این الگو به چه عددی ادامه می‌یابد؟", "steps": ["عدد اول ۲ است.", "عدد دوم ۵ است که ۳ بیشتر از عدد اول است.", "عدد سوم ۸ است که ۳ بیشتر از عدد دوم است.", "عدد چهارم ۱۱ است که ۳ بیشتر از عدد سوم است.", "بنابراین، عدد بعدی ۱۱ + ۳ = ۱۴ خواهد بود.", "✅ جواب: ۱۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۲)", "شمارش مثلث‌ها در الگوهای هندسی"], {"intro": "۱. شکل‌های داده شده را بررسی کنید و تعداد مثلث‌های کوچک داخل هر شکل را بشمارید. ۲. رابطه بین شماره شکل و تعداد مثلث‌ها را پیدا کنید. ۳. الگو یا فرمولی برای تعداد مثلث‌ها بر اساس شماره شکل بیابید. ۴. جدول مربوط به شماره شکل و تعداد مثلث‌ها را کامل کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۲)", "ادامه الگوهای هندسی با مربع‌های کوچک"], {"intro": "۱. تعداد مربع‌های کوچک در هر شکل را بشمارید.\n۲. رابطه یا قانون افزایش تعداد مربع‌ها را پیدا کنید.\n۳. با توجه به قانون، تعداد مربع‌های شکل بعدی را محاسبه کنید.\n۴. شکل بعدی را با تعداد مربع‌های محاسبه شده رسم کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۲)", "ادامه الگوهای هندسی خطی با مربع‌های کوچک"], {"intro": "۱. تعداد مربع‌های کوچک در هر شکل را بشمارید.\n۲. رابطه افزایش تعداد مربع‌ها را پیدا کنید (مثلاً هر بار چند مربع اضافه می‌شود).\n۳. تعداد مربع‌های شکل بعدی را با توجه به قانون پیدا کنید.\n۴. شکل بعدی را رسم کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۳)", "یافتن اعداد بعدی در الگوی عددی"], {"intro": "۱. اعداد داده شده را بررسی کنید.\n۲. تفاوت بین اعداد متوالی را پیدا کنید.\n۳. با توجه به تفاوت‌ها، اعداد بعدی را محاسبه کنید.\n۴. اعداد بعدی را بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۳)", "رسم شکل بر اساس الگوی عددی و تعداد مربع‌ها"], {"intro": "۱. تعداد مربع‌های هر شکل را بشمارید.\n۲. رابطه بین شماره شکل و تعداد مربع‌ها را پیدا کنید.\n۳. با توجه به تعداد مربع‌ها، شکل بعدی را رسم کنید.\n۴. شکل‌ها را با هم مقایسه کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۳)", "ادامه الگوهای شش‌ضلعی با رنگ‌آمیزی"], {"intro": "۱. شکل‌های داده شده را بررسی کنید و تعداد شش‌ضلعی‌های رنگ شده را بشمارید.\n۲. قانون افزایش تعداد شش‌ضلعی‌های رنگ شده را پیدا کنید.\n۳. شکل بعدی را با توجه به قانون رسم کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۳)", "ضرب عدد در 100 و تغییر ارزش مکانی"], {"intro": "برای ضرب عدد در ۱۰۰، ارزش رقم‌های یکان، دهگان و صدگان عدد تغییر می‌کند. رقم یکان به صدگان، رقم دهگان به هزارگان و رقم صدگان به ده هزارگان تبدیل می‌شود. بنابراین عدد ۱۰۰ برابر بزرگ‌تر می‌شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۳)", "تقسیم عدد بر 20"], {"intro": "برای تقسیم عدد بر ۲۰، ابتدا عدد را به صورت مرحله‌ای تقسیم می‌کنیم. می‌توانیم عدد را بر ۱۰ تقسیم کنیم و سپس حاصل را بر ۲ تقسیم کنیم یا مستقیماً تقسیم طولانی انجام دهیم."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۴)", "جمع اعداد چند رقمی"], {"intro": "برای جمع اعداد چند رقمی، اعداد را به صورت ستونی زیر هم می‌نویسیم و از سمت راست به چپ جمع می‌کنیم. اگر جمع دو رقم بیشتر از ۹ شود، رقم دهگان را به ستون بعدی منتقل می‌کنیم."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۴)", "مسئله کاربردی ترکیبی (ضرب و ضرب عدد در کیلوگرم)"], {"example": "در یک کارخانه، هر سال ۱۵۰۰۰۰ تن کاغذ تولید می‌شود. پس از ۴ سال، چند تن کاغذ تولید می‌شود؟ اگر برای تولید هر کیلوگرم کاغذ ۲ کیلوگرم چوب لازم باشد، حساب کنید این کارخانه طی این ۴ سال چند کیلوگرم چوب مصرف کرده است.", "steps": ["مقدار تولید سالانه کاغذ را در تعداد سال‌ها ضرب می‌کنیم: ۱۵۰۰۰۰ × ۴ = ۶۰۰۰۰۰ تن کاغذ تولید می‌شود.", "مقدار تولید را به کیلوگرم تبدیل می‌کنیم: ۶۰۰۰۰۰ تن = ۶۰۰۰۰۰ × ۱۰۰۰ = ۶۰۰۰۰۰۰۰۰ کیلوگرم کاغذ.", "مقدار مصرف چوب را با ضرب مقدار تولید در مصرف چوب به ازای هر کیلوگرم محاسبه می‌کنیم: ۶۰۰۰۰۰۰۰۰ × ۲ = ۱۲۰۰۰۰۰۰۰۰ کیلوگرم چوب مصرف شده است.", "✅ جواب: ۱۲۰۰۰۰۰۰۰۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۴)", "محاسبه زمان گذشته و روز گذشته"], {"intro": "۱. ساعت و دقیقه داده شده را به زمان مورد نظر نسبت دهید. ۲. اختلاف زمانی را با کم کردن زمان داده شده از زمان مرجع محاسبه کنید. ۳. اگر اختلاف بیشتر از ۲۴ ساعت باشد، روزهای گذشته را نیز محاسبه کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۴)", "محاسبه تعداد دانه‌ها بر اساس وزن"], {"intro": "۱. وزن کل را به گرم تبدیل کنید اگر لازم است. ۲. تعداد دانه‌ها در واحد وزن داده شده را یادداشت کنید. ۳. با استفاده از تناسب، تعداد دانه‌ها در وزن کل را محاسبه کنید.", "example": "در یک کیسه ۱۵ کیلوگرمی لپه، به طور تقریبی چند دانه لپه وجود دارد؟ در ۲۰ گرم ۱۰۰ دانه لپه است.", "steps": ["وزن کیسه لپه را به گرم تبدیل می‌کنیم: ۱۵ کیلوگرم = ۱۵۰۰۰ گرم.", "تعداد دانه‌ها در ۲۰ گرم را داریم: ۱۰۰ دانه لپه.", "برای محاسبه تعداد دانه‌ها در ۱۵۰۰۰ گرم، ابتدا تعداد دانه‌ها در ۱ گرم را پیدا می‌کنیم: ۱۰۰ دانه ÷ ۲۰ گرم = ۵ دانه در ۱ گرم.", "حالا تعداد دانه‌ها در ۱۵۰۰۰ گرم را محاسبه می‌کنیم: ۵ دانه × ۱۵۰۰۰ گرم = ۷۵۰۰۰ دانه.", "✅ جواب: ۷۵۰۰۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۴)", "ادامه الگوهای شکل و رسم شکل بعدی"], {"intro": "۱. الگوی شکل‌ها را با دقت بررسی کنید. ۲. تعداد چوب کبریت‌های هر شکل را بشمارید و رابطه بین شکل‌ها را پیدا کنید. ۳. شکل بعدی را با توجه به الگو رسم کنید و تعداد چوب کبریت‌های آن را محاسبه کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۵)", "محاسبه مدت زمان بین غروب و طلوع خورشید"], {"intro": "۱. زمان غروب و طلوع داده شده را به ساعت و دقیقه تبدیل کنید. ۲. اگر طلوع روز بعد است، ۲۴ ساعت به زمان طلوع اضافه کنید. ۳. اختلاف بین زمان طلوع و غروب را محاسبه کنید تا مدت زمان شب به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۵)", "محاسبه زمان با استفاده از واحدهای کسری دقیقه"], {"intro": "۱. ابتدا واحدهای زمانی داده شده (ثانیه، ثلث، رابع و ...) را به صورت کسری از دقیقه بنویسید. ۲. سپس این کسرها را به عددی تبدیل کنید که نشان‌دهنده مقدار زمان به دقیقه باشد. ۳. در صورت نیاز، جمع یا تفریق زمان‌ها را انجام دهید. ۴. در نهایت، مقدار زمان را به واحد مناسب (دقیقه، ثانیه) تبدیل کنید.", "example": "اگر ۱/۴ دقیقه را به ثانیه تبدیل کنیم، چه مقدار ثانیه به‌دست می‌آید؟", "steps": ["برای تبدیل ۱/۴ دقیقه به ثانیه، ابتدا ۱/۴ را در ۶۰ (تعداد ثانیه در یک دقیقه) ضرب می‌کنیم.", "۱/۴ × ۶۰ = ۱۵ ثانیه.", "بنابراین، ۱/۴ دقیقه برابر با ۱۵ ثانیه است.", "✅ جواب: ۱۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۱: عددنویسی و الگوها", "الگوها (۵)", "محاسبه تعداد روزهای ماه و سال در تقویم خیام"], {"intro": "۱. تعداد روزهای هر ماه را در تقویم خیام مشخص کنید (مثلاً ۳۱ روز برای ۶ ماه اول، ۳۰ روز برای ۵ ماه بعدی، و ۲۹ یا ۳۰ روز برای ماه آخر). ۲. مجموع روزهای سال را با جمع کردن روزهای همه ماه‌ها به دست آورید. ۳. برای سال کبیسه، روز ماه آخر را ۳۰ در نظر بگیرید. ۴. در صورت نیاز، تعداد روزهای کل سال یا بخشی از آن را محاسبه کنید.", "example": "در تقویم خیام، ۶ ماه اول سال ۳۱ روز و ۵ ماه بعدی ۳۰ روز دارند. ماه آخر ۲۹ روز دارد. اگر سال کبیسه باشد، ماه آخر ۳۰ روز خواهد بود. محاسبه کنید مجموع روزهای یک سال عادی و یک سال کبیسه چقدر است.", "steps": ["تعداد روزهای ۶ ماه اول را محاسبه می‌کنیم: ۶ × ۳۱ = ۱۸۶ روز.", "تعداد روزهای ۵ ماه بعدی را محاسبه می‌کنیم: ۵ × ۳۰ = ۱۵۰ روز.", "تعداد روزهای ماه آخر در سال عادی را اضافه می‌کنیم: ۱۸۶ + ۱۵۰ + ۲۹ = ۳۶۵ روز.", "تعداد روزهای ماه آخر در سال کبیسه را اضافه می‌کنیم: ۱۸۶ + ۱۵۰ + ۳۰ = ۳۶۶ روز.", "✅ جواب: ۳۶۵ و ۳۶۶"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۱)", "محاسبه کسر از یک مقدار کل"], {"intro": "۱. صورت و مخرج کسر را مشخص کنید.\n۲. مقدار کل را در صورت کسر ضرب کنید.\n۳. حاصل را بر مخرج کسر تقسیم کنید.\n۴. نتیجه مقدار کسر از کل را نشان می‌دهد."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۱)", "نمایش اعداد مخلوط و کسرهای بزرگ‌تر از واحد روی محور عددی"], {"intro": "۱. عدد مخلوط را به صورت مجموع عدد صحیح و کسر نمایش دهید.\n۲. کسرهای بزرگ‌تر از واحد را به صورت کسرهای نامتعارف بنویسید.\n۳. محور عددی را به بخش‌های مساوی تقسیم کنید که مخرج کسر را نشان دهد.\n۴. محل عدد مخلوط یا کسر بزرگ‌تر از واحد را روی محور عددی مشخص کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۱)", "تبدیل کسرهای بزرگ‌تر از واحد به اعداد مخلوط و برعکس"], {"intro": "۱. کسر بزرگ‌تر از واحد را به صورت عدد مخلوط بنویسید: صورت کسر را بر مخرج تقسیم کنید.\n۲. خارج قسمت را عدد صحیح و باقی‌مانده را صورت کسر کسر مخلوط قرار دهید.\n۳. برای تبدیل عدد مخلوط به کسر نامتعارف، عدد صحیح را در مخرج ضرب کرده و با صورت جمع کنید.\n۴. کسر حاصل را به عنوان کسر نامتعارف بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۱)", "تکمیل تساوی‌های کسرهای معادل"], {"intro": "۱. کسرهای داده شده را بررسی کنید.\n۲. صورت و مخرج کسرها را به گونه‌ای تغییر دهید که مقدار کسر برابر بماند.\n۳. عدد مجهول را با توجه به تساوی کسرها پیدا کنید.\n۴. تساوی را کامل کنید.", "example": "کسر ۲/۳ برابر با کسر x/۹ است. مقدار x را پیدا کنید.", "steps": ["برای پیدا کردن x، ابتدا کسر ۲/۳ را به کسر معادل با مخرج ۹ تبدیل می‌کنیم.", "مخرج ۳ را به ۹ تبدیل می‌کنیم. برای این کار ۳ را در ۳ ضرب می‌کنیم و صورت را نیز در ۳ ضرب می‌کنیم: ۲ × ۳ = ۶ و ۳ × ۳ = ۹.", "پس کسر معادل ۲/۳ برابر با ۶/۹ است.", "حالا می‌توانیم بنویسیم: ۶/۹ = x/۹.", "از آنجا که مخرج‌ها برابرند، صورت‌ها نیز باید برابر باشند: ۶ = x.", "✅ جواب: ۶"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۱)", "نوشتن کسر متناظر با شکل‌های رنگ شده"], {"intro": "۱. شکل را به قسمت‌های مساوی تقسیم کنید.\n۲. تعداد قسمت‌های رنگ شده را بشمارید.\n۳. کسر را به صورت تعداد قسمت‌های رنگ شده بر تعداد کل قسمت‌ها بنویسید.\n۴. اگر تعداد قسمت‌های رنگ شده بیشتر از تعداد کل قسمت‌ها بود، کسر را به عدد مخلوط تبدیل کنید.", "steps": ["تعداد کل قسمت‌ها برابر با ۸ است.", "تعداد قسمت‌های رنگ شده برابر با ۳ است.", "کسر متناظر با قسمت‌های رنگ شده برابر است با ۳/۸.", "✅ جواب: ۳/۸"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۱)", "پر کردن جاهای خالی برای تبدیل عدد مخلوط به کسر نامتعارف"], {"intro": "۱. عدد مخلوط را به صورت عدد صحیح و کسر بنویسید.\n۲. عدد صحیح را در مخرج کسر ضرب کنید.\n۳. حاصل ضرب را با صورت کسر جمع کنید.\n۴. عدد به دست آمده را صورت کسر نامتعارف قرار دهید و مخرج را ثابت نگه دارید.\n۵. جاهای خالی را با اعداد به دست آمده پر کنید.", "example": "عدد مخلوط ۳ و ۲/۵ را به کسر نامتعارف تبدیل کنید.", "steps": ["عدد صحیح ۳ را در مخرج کسر ۵ ضرب می کنیم: ۳ × ۵ = ۱۵.", "حاصل ضرب ۱۵ را با صورت کسر ۲ جمع می کنیم: ۱۵ + ۲ = ۱۷.", "عدد به دست آمده ۱۷ را به عنوان صورت کسر نامتعارف قرار می دهیم و مخرج را ثابت نگه می داریم: ۱۷/۵.", "کسر نامتعارف ۱۷/۵ را به دست آوردیم.", "✅ جواب: ۱۷/۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۲)", "تبدیل عدد مخلوط به کسر"], {"example": "عدد مخلوط ۲ و ۱/۲ را به کسر تبدیل کنید.", "steps": ["عدد صحیح ۲ را در مخرج ۲ ضرب می‌کنیم: ۲ × ۲ = ۴", "سپس صورت کسر ۱ را به آن اضافه می‌کنیم: ۴ + ۱ = ۵", "کسر معادل عدد مخلوط برابر است با ۵/۲.", "✅ جواب: ۵/۲"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۲)", "کسر بزرگ‌تر از واحد"], {"example": "یک کسر بزرگ‌تر از واحد بنویسید که صورت آن ۹ و مخرج آن ۴ باشد.", "steps": ["صورت کسر ۹ است و مخرج کسر ۴ است.", "کسر را می‌نویسیم: ۹/۴.", "چون ۹ بزرگ‌تر از ۴ است، این کسر بزرگ‌تر از واحد است.", "✅ جواب: ۹/۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۳)", "تبدیل کسر بزرگ‌تر از واحد به عدد مخلوط"], {"intro": "۱. صورت کسر را بر مخرج آن تقسیم کنید. ۲. خارج قسمت تقسیم، عدد صحیح عدد مخلوط است. ۳. باقی‌مانده تقسیم، صورت کسر جزء کسری عدد مخلوط است. ۴. مخرج کسر جزء کسری همان مخرج کسر اصلی است. ۵. عدد مخلوط را به صورت عدد صحیح و کسر جزء کسری بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۳)", "تعیین مقدار نان مصرف شده و نان کامل با استفاده از محور اعداد"], {"intro": "۱. محور اعداد را بررسی کنید و نقاط مشخص شده را شناسایی کنید. ۲. تعداد کل قسمت‌ها را بشمارید (مخرج کسر). ۳. تعداد قسمت‌های مصرف شده را مشخص کنید (صورت کسر). ۴. مقدار نان کامل برابر تعداد قسمت‌های کامل است. ۵. مقدار نان مصرف شده برابر تعداد قسمت‌های مصرف شده است. ۶. مقادیر را به صورت کسر یا عدد بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۳)", "نوشتن و مقایسه کسرها با استفاده از شکل‌ها"], {"intro": "۱. تعداد کل قسمت‌های شکل را به عنوان مخرج کسر بنویسید. ۲. تعداد قسمت‌های رنگ شده یا مشخص شده را به عنوان صورت کسر بنویسید. ۳. کسرهای نوشته شده را با هم مقایسه کنید. ۴. اگر کسرها برابر بودند علامت مساوی، اگر کسر اول بزرگ‌تر بود علامت > و اگر کسر دوم بزرگ‌تر بود علامت < را قرار دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۳)", "نوشتن کسر یا عدد مخلوط روی محور اعداد"], {"intro": "۱. محور اعداد را به بخش‌های مساوی تقسیم کنید که مخرج کسر را نشان دهد. ۲. عدد مخلوط را به صورت جمع عدد صحیح و کسر بنویسید. ۳. محل عدد یا کسر را روی محور با توجه به تقسیم‌بندی مشخص کنید. ۴. جای خالی‌ها را با کسر یا عدد مخلوط مناسب پر کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۳)", "تبدیل کسر نامتعارف به عدد مخلوط"], {"intro": "۱. صورت کسر را بر مخرج تقسیم کنید. ۲. خارج قسمت تقسیم عدد صحیح عدد مخلوط است. ۳. باقی‌مانده تقسیم صورت کسر، صورت کسر کسر جزء است. ۴. مخرج کسر ثابت می‌ماند. ۵. عدد مخلوط را به صورت عدد صحیح و کسر بنویسید.", "example": "تبدیل کسر ۱۷/۴ به عدد مخلوط را انجام دهید.", "steps": ["صورت کسر ۱۷ را بر مخرج ۴ تقسیم می‌کنیم: ۱۷ ÷ ۴ = ۴ و باقی‌مانده ۱.", "خارج قسمت ۴ عدد صحیح عدد مخلوط است.", "باقی‌مانده ۱ صورت کسر جزء می‌شود و مخرج کسر همچنان ۴ باقی می‌ماند.", "عدد مخلوط را به صورت ۴ و ۱/۴ می‌نویسیم.", "✅ جواب: ۴ ۱/۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۴)", "مقایسه کسرها و اعداد مخلوط"], {"intro": "۱. اگر لازم است، اعداد مخلوط را به کسر نامتعارف تبدیل کنید. ۲. مخرج کسرها را یکسان کنید یا کسرها را به صورت اعشاری یا عددی قابل مقایسه تبدیل کنید. ۳. صورت کسرها را با هم مقایسه کنید. ۴. علامت مناسب (<، =، >) را بین کسرها قرار دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۴)", "تشخیص عدد بزرگ‌تر از عدد داده شده"], {"intro": "۱. هر عدد را با عدد داده شده مقایسه کنید. ۲. اگر عدد بزرگ‌تر بود، خط بکشید. ۳. دلیل بزرگ‌تر بودن را با مقایسه صورت و مخرج یا عدد صحیح بیان کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۴)", "جمع کسرها"], {"example": "جمع کسرهای ۲/۳ و ۱/۴ را محاسبه کنید.", "steps": ["مخرج‌های کسرها ۳ و ۴ هستند. مخرج مشترک این دو عدد ۱۲ است.", "برای تبدیل ۲/۳ به مخرج ۱۲، صورت را در ۴ ضرب می‌کنیم: ۲ × ۴ = ۸ و بنابراین ۲/۳ = ۸/۱۲.", "برای تبدیل ۱/۴ به مخرج ۱۲، صورت را در ۳ ضرب می‌کنیم: ۱ × ۳ = ۳ و بنابراین ۱/۴ = ۳/۱۲.", "حالا کسرها را جمع می‌کنیم: ۸/۱۲ + ۳/۱۲ = (۸ + ۳)/۱۲ = ۱۱/۱۲.", "✅ جواب: ۱۱/۱۲"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۱)", "جمع و تفریق اعداد مخلوط با مخرج‌های مختلف"], {"intro": "۱. ابتدا اعداد مخلوط را به کسرهای نامتعارف تبدیل کنید. ۲. مخرج‌های کسرها را بررسی کنید و اگر مخرج‌ها متفاوت است، مخرج مشترک پیدا کنید. ۳. صورت کسرها را به مخرج مشترک تبدیل کنید. ۴. صورت کسرها را جمع یا تفریق کنید. ۵. اگر لازم بود، کسر نامتعارف را به عدد مخلوط تبدیل کنید. ۶. پاسخ را ساده کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۱)", "تبدیل کسرهای نامتعارف به عدد مخلوط و جمع آنها"], {"intro": "۱. کسر نامتعارف را به عدد مخلوط تبدیل کنید (صورت را بر مخرج تقسیم کنید). ۲. اعداد مخلوط را جمع کنید. ۳. اگر لازم بود، عدد مخلوط را به کسر نامتعارف تبدیل کنید یا ساده کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۱)", "جمع و تفریق کسرها و تبدیل حاصل به عدد مخلوط"], {"intro": "۱. ابتدا مخرج‌های کسرها را یکسان کنید (مخرج مشترک پیدا کنید). ۲. صورت کسرها را با توجه به مخرج مشترک جمع یا تفریق کنید. ۳. اگر حاصل کسر بزرگ‌تر از واحد شد، آن را به عدد مخلوط تبدیل کنید. ۴. عدد مخلوط را به صورت عدد صحیح و کسر باقی‌مانده بنویسید.", "example": "محاسبه کنید: ۳/۴ + ۱/۶ = ؟ سپس حاصل را به صورت عدد مخلوط بنویسید.", "steps": ["مخرج مشترک ۴ و ۶ برابر ۱۲ است.", "کسر ۳/۴ را به مخرج ۱۲ تبدیل می‌کنیم: ۳ × ۳ / ۴ × ۳ = ۹/۱۲.", "کسر ۱/۶ را به مخرج ۱۲ تبدیل می‌کنیم: ۱ × ۲ / ۶ × ۲ = ۲/۱۲.", "حالا صورت‌ها را جمع می‌کنیم: ۹ + ۲ = ۱۱ و مخرج ۱۲ باقی می‌ماند: ۱۱/۱۲.", "حاصل ۱۱/۱۲ بزرگ‌تر از ۱ نیست، پس به عدد مخلوط تبدیل نمی‌شود.", "✅ جواب: ۱۱/۱۲"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۱)", "جمع کسرهای بزرگ‌تر از واحد و تبدیل به عدد مخلوط با روش‌های مختلف"], {"intro": "۱. کسرهای داده شده را جمع کنید. ۲. اگر حاصل بزرگ‌تر از واحد بود، آن را به عدد مخلوط تبدیل کنید. ۳. برای فهم بهتر می‌توان از روش‌های تصویری (کشیدن شکل)، جمع جبری (جمع صورت‌ها با مخرج مشترک) و تبدیل کسرها به کسرهای معادل استفاده کرد. ۴. در هر روش، حاصل را به عدد مخلوط تبدیل کنید.", "example": "محاسبه مقدار پیاده روی سعید که برابر است با جمع کسرهای ۸/۱۲ و ۹/۱۲.", "steps": ["جمع کسرها: ۸/۱۲ + ۹/۱۲ = (۸ + ۹)/۱۲ = ۱۷/۱۲", "کسر نامتعارف ۱۷/۱۲ را به عدد مخلوط تبدیل می‌کنیم:", "۱۷ ÷ ۱۲ = ۱ باقی‌مانده ۵", "پس عدد مخلوط برابر است با ۱ و ۵/۱۲", "بنابراین مقدار پیاده روی سعید ۱ و ۵/۱۲ کیلومتر است.", "✅ جواب: ۱ و ۵/۱۲ کیلومتر"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۱)", "کسر و تفریق کسر از عدد مخلوط"], {"intro": "۱. عدد مخلوط را به صورت کسر نامتعارف تبدیل کنید یا به همان صورت نگه دارید.\n۲. مقدار مصرف شده را از عدد مخلوط کم کنید.\n۳. اگر لازم بود، کسرها را به مخرج مشترک برسانید.\n۴. تفریق را انجام دهید.\n۵. نتیجه را به صورت عدد مخلوط یا کسر ساده شده بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۲)", "حل مسئله با محور اعداد"], {"intro": "۱. عدد مخلوط را روی محور اعداد مشخص کنید.\n۲. مقدار مصرف شده را به صورت فاصله روی محور اعداد نشان دهید.\n۳. با حرکت به سمت چپ (کاهش مقدار) مقدار باقی مانده را پیدا کنید.\n۴. مقدار باقی مانده را به صورت عدد مخلوط یا کسر بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۲)", "جمع اعداد مخلوط با مخرج‌های مساوی"], {"intro": "۱. اعداد مخلوط را به صورت جمع عدد صحیح و کسر بنویسید. ۲. عدد صحیح‌ها را با هم جمع کنید. ۳. صورت کسرها را با هم جمع کنید و مخرج را ثابت نگه دارید. ۴. اگر صورت کسر بزرگ‌تر از مخرج شد، آن را به عدد صحیح تبدیل کنید و به عدد صحیح کل اضافه کنید. ۵. عدد صحیح و کسر حاصل را به صورت عدد مخلوط بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۲)", "تفریق اعداد مخلوط با مخرج‌های مساوی"], {"intro": "۱. اعداد مخلوط را به صورت جمع عدد صحیح و کسر بنویسید. ۲. عدد صحیح‌ها را از هم کم کنید. ۳. صورت کسرها را از هم کم کنید و مخرج را ثابت نگه دارید. ۴. اگر صورت کسر منفی شد، یک واحد از عدد صحیح کم کنید و به صورت کسر اضافه کنید. ۵. عدد صحیح و کسر حاصل را به صورت عدد مخلوط بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۲)", "تفریق کسرهای هم‌مخرج"], {"intro": "۱. مخرج کسرها را ثابت نگه دارید. ۲. صورت کسر دوم را از صورت کسر اول کم کنید. ۳. اگر صورت کسر منفی شد، آن را به عدد صحیح تبدیل کنید. ۴. کسر حاصل را ساده کنید اگر ممکن بود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۲)", "جمع کسرهای با مخرج‌های مختلف"], {"intro": "۱. مخرج مشترک کوچک‌ترین را برای کسرها پیدا کنید. ۲. صورت هر کسر را طوری تغییر دهید که مخرج آن برابر مخرج مشترک شود. ۳. صورت کسرها را جمع کنید و مخرج را ثابت نگه دارید. ۴. کسر حاصل را ساده کنید یا به عدد مخلوط تبدیل کنید اگر لازم بود.", "example": "جمع کسرهای ۱/۲ و ۱/۳ را محاسبه کنید.", "steps": ["مخرج‌های کسرها ۲ و ۳ هستند. کوچک‌ترین مخرج مشترک این دو عدد ۶ است.", "برای تبدیل ۱/۲ به مخرج ۶، صورت را در ۳ ضرب می‌کنیم: ۱/۲ = ۳/۶.", "برای تبدیل ۱/۳ به مخرج ۶، صورت را در ۲ ضرب می‌کنیم: ۱/۳ = ۲/۶.", "حالا کسرها را جمع می‌کنیم: ۳/۶ + ۲/۶ = ۵/۶.", "✅ جواب: ۵/۶"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۳)", "جمع کسرهای با مخرج‌های مختلف (مثال دیگر)"], {"intro": "۱. مخرج مشترک کوچک‌ترین را برای کسرها پیدا کنید. ۲. صورت هر کسر را طوری تغییر دهید که مخرج آن برابر مخرج مشترک شود. ۳. صورت کسرها را جمع کنید و مخرج را ثابت نگه دارید. ۴. کسر حاصل را ساده کنید یا به عدد مخلوط تبدیل کنید اگر لازم بود.", "example": "جمع کسرهای ۱/۳ و ۱/۴ را محاسبه کنید.", "steps": ["مخرج مشترک کوچک‌ترین برای ۳ و ۴ برابر ۱۲ است.", "کسر ۱/۳ را به مخرج ۱۲ تبدیل می‌کنیم: ۱/۳ = ۴/۱۲.", "کسر ۱/۴ را به مخرج ۱۲ تبدیل می‌کنیم: ۱/۴ = ۳/۱۲.", "حالا صورت‌ها را جمع می‌کنیم: ۴ + ۳ = ۷.", "کسر حاصل ۷/۱۲ است که ساده نمی‌شود.", "✅ جواب: ۷/۱۲"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۳)", "تفریق کسرهای بزرگ‌تر از یک"], {"intro": "۱. اگر کسرها به صورت عدد مخلوط هستند، ابتدا آن‌ها را به کسرهای نامتعارف تبدیل کنید. ۲. مخرج مشترک کسرها را پیدا کنید. ۳. صورت کسرها را طوری تنظیم کنید که مخرج‌ها برابر شوند. ۴. صورت کسر دوم را از صورت کسر اول کم کنید. ۵. اگر نتیجه کسر نامتعارف بود، آن را به عدد مخلوط تبدیل کنید. ۶. می‌توانید برای درک بهتر از محور اعداد استفاده کنید و مقدار کسرها را روی محور نشان دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۳)", "جمع و تفریق اعداد مخلوط"], {"intro": "۱. اگر عددها مخلوط هستند، ابتدا آن‌ها را به کسر نامتعارف تبدیل کنید. ۲. مخرج مشترک کسرها را پیدا کنید. ۳. صورت کسرها را با توجه به مخرج مشترک جمع یا تفریق کنید. ۴. اگر لازم بود، کسر نامتعارف را به عدد مخلوط تبدیل کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۳)", "مقایسه مدت زمان‌ها و محاسبه تفاوت"], {"intro": "۱. مدت زمان‌ها را به صورت کسر یا عدد مخلوط بنویسید. ۲. برای یافتن مدت زمان بیشتر، کسرها را مقایسه کنید. ۳. برای یافتن تفاوت، کسر کوچکتر را از بزرگتر کم کنید. ۴. اگر لازم بود، نتیجه را به عدد مخلوط تبدیل کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۳)", "مقایسه کسرها و تعیین مقدار بیشتر"], {"intro": "۱. مقدار هر کسر را به صورت عددی محاسبه کنید. ۲. مقادیر به دست آمده را با هم مقایسه کنید. ۳. کسر بزرگتر را به عنوان مقدار بیشتر انتخاب کنید. ۴. اگر لازم است، اختلاف دو مقدار را محاسبه کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۴)", "تشخیص تساوی کسرها"], {"intro": "۱. کسرها را به صورت عددی یا کسری ساده بررسی کنید. ۲. صورت و مخرج کسرها را مقایسه کنید یا کسرها را به صورت اعشاری تبدیل کنید. ۳. اگر مقدار دو کسر برابر بود، تساوی درست است، در غیر این صورت نادرست است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۴)", "محاسبه حاصل ضرب کسرها به روش‌های مختلف"], {"intro": "۱. روش اول: صورت‌ها را در هم ضرب کنید و مخرج‌ها را در هم ضرب کنید. ۲. روش دوم: کسرها را به صورت عدد مخلوط تبدیل کنید و سپس ضرب کنید. ۳. روش سوم: کسرها را به صورت اعشاری تبدیل کرده و ضرب کنید. ۴. نتیجه را به صورت کسر یا عدد مخلوط بنویسید.", "example": "حاصل ضرب ۲/۳ و ۴/۵ را به روش اول محاسبه کنید.", "steps": ["صورت اول: ۲ و صورت دوم: ۴ را در هم ضرب می‌کنیم: ۲ × ۴ = ۸.", "مخرج اول: ۳ و مخرج دوم: ۵ را در هم ضرب می‌کنیم: ۳ × ۵ = ۱۵.", "حاصل کسر را به صورت ۸/۱۵ می‌نویسیم.", "✅ جواب: ۸/۱۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۴)", "نوشتن عدد مخلوط مناسب در جاهای خالی"], {"intro": "۱. کسرهای داده شده را به صورت عدد مخلوط یا کسر نامتعارف تبدیل کنید. ۲. جمع یا تفریق کسرها را انجام دهید. ۳. نتیجه را به صورت عدد مخلوط بنویسید. ۴. در صورت نیاز از محور اعداد برای کمک استفاده کنید.", "example": "۳ و ۱/۴ + ۲ و ۱/۲ = ___", "steps": ["عدد مخلوط ۳ و ۱/۴ را به کسر نامتعارف تبدیل می‌کنیم: ۳ × ۴ + ۱ = ۱۳/۴.", "عدد مخلوط ۲ و ۱/۲ را به کسر نامتعارف تبدیل می‌کنیم: ۲ × ۲ + ۱ = ۵/۲ = ۱۰/۴.", "حالا کسرها را جمع می‌کنیم: ۱۳/۴ + ۱۰/۴ = ۲۳/۴.", "عدد مخلوط ۲۳/۴ را به صورت عدد مخلوط می‌نویسیم: ۵ و ۳/۴.", "✅ جواب: ۵ و ۳/۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۴)", "محاسبه باقی‌مانده هزینه با کسر"], {"intro": "۱. هزینه کل را به صورت کسر یا عدد مخلوط بنویسید. ۲. مقدار پرداخت شده را به صورت کسر بنویسید. ۳. مقدار پرداخت شده را از هزینه کل کم کنید. ۴. باقی‌مانده هزینه را به صورت کسر یا عدد مخلوط بیان کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۱)", "ضرب کسرها با کسرهای دیگر (نمایش تصویری)"], {"example": "اگر کسر ۲/۳ را در کسر ۴/۵ ضرب کنیم، حاصل چه کسر خواهد بود؟", "steps": ["صورت اول: ۲ × ۴ = ۸", "مخرج اول: ۳ × ۵ = ۱۵", "کسر حاصل: ۸/۱۵", "کسر ۸/۱۵ ساده نمی‌شود.", "✅ جواب: ۸/۱۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۱)", "محاسبه تعداد دانش‌آموزان ثبت‌نام‌کرده در کتابخانه با استفاده از کسر"], {"intro": "۱. تعداد کل دانش‌آموزان کلاس را مشخص کنید.\n۲. کسر داده شده را که نشان‌دهنده نسبت دانش‌آموزانی است که در کتابخانه ثبت‌نام کرده‌اند، یادداشت کنید.\n۳. تعداد دانش‌آموزان ثبت‌نام‌کرده را با ضرب تعداد کل دانش‌آموزان در کسر به دست آورید.", "example": "کلاس ششم یک مدرسه ۳۰ دانش‌آموز دارد. ۱/۳ این دانش‌آموزان در کتابخانه مدرسه ثبت‌نام کرده‌اند. چند نفر از دانش‌آموزان این کلاس در کتابخانه ثبت‌نام کرده‌اند؟", "steps": ["تعداد کل دانش‌آموزان کلاس ۳۰ نفر است.", "کسر دانش‌آموزان ثبت‌نام‌کرده ۱/۳ است.", "برای محاسبه تعداد دانش‌آموزان ثبت‌نام‌کرده، ۳۰ را در ۱/۳ ضرب می‌کنیم.", "۳۰ × ۱/۳ = ۳۰ ÷ ۳ = ۱۰ است.", "بنابراین، ۱۰ نفر از دانش‌آموزان در کتابخانه ثبت‌نام کرده‌اند.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۲)", "تعیین کسر مناسب با استفاده از خط اعداد"], {"intro": "۱. عددهای روی خط اعداد را بررسی کنید.\n۲. فاصله‌ها و پرش‌ها را به دقت بشمارید.\n۳. با توجه به پرش‌ها و مقایسه اعداد، کسر مناسب را تعیین کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۲)", "توضیح عبارت‌های کسر با استفاده از مثال عددی"], {"intro": "۱. عبارت کسر داده شده را بررسی کنید.\n۲. اعداد مناسب را جایگزین اشکال کنید.\n۳. ضرب کسرها را انجام دهید و تساوی را بررسی کنید.\n۴. چند مثال عددی مختلف را امتحان کنید تا صحت عبارت را نشان دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۲)", "رنگ‌آمیزی و محاسبه حاصل ضرب کسر در عدد صحیح با استفاده از مکعب‌ها"], {"intro": "۱. شکل مکعب را به بخش‌های مساوی تقسیم کنید.\n۲. تعداد بخش‌های رنگ‌شده را مشخص کنید که نشان‌دهنده کسر است.\n۳. عدد صحیح داده شده را یادداشت کنید.\n۴. کسر را در عدد صحیح ضرب کنید تا تعداد بخش‌های رنگ‌شده به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۳)", "مقایسه مقدار کسرها"], {"example": "مریم ۳/۴ از یک کیلوگرم سیب و سارا ۲/۳ از یک کیلوگرم سیب خریده‌اند. کدام یک بیشتر سیب خریده است؟", "steps": ["مقدار سیب مریم را محاسبه می‌کنیم: ۳/۴ کیلوگرم.", "مقدار سیب سارا را محاسبه می‌کنیم: ۲/۳ کیلوگرم.", "برای مقایسه، مخرج مشترک ۱۲ را انتخاب می‌کنیم.", "مقدار سیب مریم را به مخرج ۱۲ تبدیل می‌کنیم: (۳×۳)/(۴×۳) = ۹/۱۲.", "مقدار سیب سارا را به مخرج ۱۲ تبدیل می‌کنیم: (۲×۴)/(۳×۴) = ۸/۱۲.", "✅ جواب: مریم"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۳)", "محاسبه کسر از یک مقدار داده شده"], {"steps": ["نصف زمین محسن را محاسبه می‌کنیم: ۱/۲ × ۳/۴ = (۱×۳)/(۲×۴) = ۳/۸", "بنابراین، ۳/۸ از کل زمین گندم کاشته می‌شود.", "✅ جواب: ۳/۸"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۳)", "محاسبه حاصل ضرب کسرها و مقایسه با اعداد"], {"example": "حاصل ۳/۴ × ۲/۳ به کدام یک از عددهای زیر نزدیک‌تر است؟ گزینه‌ها: ۱/۲، ۱، ۱/۴، ۱/۳", "steps": ["صورت‌ها را در هم ضرب می‌کنیم: ۳ × ۲ = ۶.", "مخرج‌ها را در هم ضرب می‌کنیم: ۴ × ۳ = ۱۲.", "حاصل کسر را می‌نویسیم: ۶/۱۲.", "کسر را ساده می‌کنیم: ۶/۱۲ = ۱/۲.", "حالا ۱/۲ را با گزینه‌ها مقایسه می‌کنیم و نزدیک‌ترین عدد را مشخص می‌کنیم.", "✅ جواب: ۱/۲"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۳)", "مقایسه تعداد صفحات خوانده شده در دو کتاب"], {"intro": "۱. تعداد صفحات خوانده شده هر فرد را به صورت کسر مشخص کنید.\n۲. کسرها را با هم مقایسه کنید تا ببینید کدام بزرگ‌تر است.\n۳. نتیجه بگیرید که کدام فرد صفحات بیشتری خوانده است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۴)", "ضرب کسرها و اعداد مخلوط"], {"intro": "۱. اگر عدد مخلوط باشد، آن را به کسر نامتعارف تبدیل کنید.\n۲. صورت‌ها را در هم ضرب کنید.\n۳. مخرج‌ها را در هم ضرب کنید.\n۴. کسر حاصل را ساده کنید یا به عدد مخلوط تبدیل کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۴)", "ضرب کسر در کسر"], {"intro": "۱. صورت کسرها را در هم ضرب کنید.\n۲. مخرج کسرها را در هم ضرب کنید.\n۳. کسر حاصل را ساده کنید.", "steps": ["برای محاسبه مقدار نان مصرف شده، کسر ۲/۳ را در عدد ۴ ضرب می‌کنیم:", "۲/۳ × ۴ = (۲ × ۴) ÷ ۳ = ۸ ÷ ۳ = ۲ و ۲/۳", "پس مقدار نان مصرف شده برابر ۲ و ۲/۳ عدد نان است.", "✅ جواب: ۲ و ۲/۳ نان"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۴)", "تکمیل عبارت با استفاده از محور اعداد"], {"intro": "۱. عدد داده شده را روی محور اعداد مشخص کنید.\n۲. با توجه به تعداد بخش‌ها و واحدها، مقدار عدد را تعیین کنید.\n۳. عبارت ریاضی را با عدد مشخص شده کامل کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۴)", "نوشتن مسئله برای ضرب کسرها و حل آن"], {"intro": "۱. ضرب کسر داده شده را به صورت یک مسئله واقعی بنویسید.\n۲. مسئله را با ضرب کسرها حل کنید.\n۳. جواب را به صورت عدد یا کسر ساده شده بیان کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۴)", "نوشتن دو کسر که حاصل ضربشان مساوی کسر داده شده باشد و مقایسه پاسخ‌ها"], {"intro": "۱. دو کسر بنویسید که حاصل ضرب آن‌ها برابر کسر داده شده باشد.\n۲. حاصل ضرب هر دو کسر را محاسبه کنید.\n۳. پاسخ‌ها را با هم مقایسه کنید تا مساوی بودن آن‌ها را بررسی کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "تقسیم کسرها (۱)", "تقسیم کسر به عدد طبیعی"], {"intro": "۱. ابتدا مقدار کل را به صورت کسر یا عدد مشخص کنید.\n۲. تعداد قسمت‌ها یا افراد را مشخص کنید.\n۳. مقدار کل را بر تعداد قسمت‌ها تقسیم کنید تا سهم هر قسمت یا نفر به دست آید.\n۴. اگر لازم است، کسر را به صورت عدد مخلوط یا اعشاری تبدیل کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "تقسیم کسرها (۱)", "تقسیم طول پارچه به قسمت‌های مساوی با کسر"], {"intro": "۱. طول کل پارچه را به صورت عدد یا کسر مشخص کنید.\n۲. تعداد افراد یا قسمت‌ها را تعیین کنید.\n۳. طول کل را بر تعداد قسمت‌ها تقسیم کنید.\n۴. اگر طول کل به صورت عدد صحیح است و هر قسمت به کسر تقسیم می‌شود، طول هر قسمت را به صورت کسر محاسبه کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "تقسیم کسرها (۱)", "تبدیل تقسیم به ضرب کسر"], {"intro": "برای تبدیل تقسیم به ضرب کسر، عدد اول را در معکوس عدد دوم ضرب می‌کنیم. به این صورت که تقسیم a ÷ b را به ضرب a × ۱/b تبدیل می‌کنیم و سپس حاصل را به صورت کسر می‌نویسیم."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "تقسیم کسرها (۱)", "محاسبه کسر از یک مقدار"], {"intro": "برای یافتن سهم هر سالن از زمین، ابتدا کسر کل زمین را مشخص می‌کنیم. سپس برای یافتن سهم هر سالن، کسر کل زمین را بر تعداد سالن‌ها تقسیم می‌کنیم. اگر تقسیم مستقیم سخت باشد، می‌توانیم تقسیم را به صورت ضرب در معکوس انجام دهیم. به عنوان مثال، برای یافتن نصف یک کسر، کسر را در ۱/۲ ضرب می‌کنیم."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "تقسیم کسرها (۲)", "تقسیم کسر بر عدد صحیح"], {"intro": "برای تقسیم یک کسر بر عدد صحیح، کسر را در معکوس عدد صحیح ضرب می‌کنیم. به عنوان مثال، برای تقسیم کسر ۱/۴ بر ۳، معکوس ۳ برابر ۱/۳ است و بنابراین ۱/۴ ÷ ۳ = ۱/۴ × ۱/۳ = ۱/۱۲."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "تقسیم کسرها (۲)", "تقسیم کسر بر عدد صحیح با تبدیل به ضرب و حل مثال‌های متنوع"], {"steps": ["ابتدا طول ۷ متر را بر ۴ تقسیم می‌کنیم.", "سهم هر نفر از یک متر پارچه ۱/۴ متر است.", "پس سهم هر نفر از کل پارچه می‌شود ۷ × ۱/۴ = ۷/۴ متر.", "یعنی هر نفر ۱ متر و ۳/۴ متر پارچه دریافت می‌کند.", "✅ جواب: ۱٫۷۵ متر"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "تقسیم کسرها (۳)", "تقسیم عدد صحیح بر کسر"], {"example": "اگر ۱۲ را بر ۲/۳ تقسیم کنیم، چند بار ۲/۳ در ۱۲ جا می‌شود؟", "steps": ["ابتدا معکوس کسر ۲/۳ را پیدا می‌کنیم که برابر با ۳/۲ است.", "سپس عدد صحیح ۱۲ را در معکوس کسر ۲/۳ ضرب می‌کنیم: ۱۲ × ۳/۲.", "محاسبه می‌کنیم: ۱۲ × ۳ = ۳۶ و سپس ۳۶ ÷ ۲ = ۱۸.", "بنابراین، ۱۲ را بر ۲/۳ تقسیم کردیم و نتیجه ۱۸ است.", "✅ جواب: ۱۸"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "تقسیم کسرها (۳)", "نوشتن حاصل تقسیم به صورت کسر"], {"steps": ["عدد ۲۴ را به عنوان صورت کسر در نظر می‌گیریم.", "عدد ۶ را به عنوان مخرج کسر در نظر می‌گیریم.", "کسر را به صورت ۲۴/۶ می‌نویسیم.", "✅ جواب: ۲۴/۶"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "تقسیم کسرها (۴)", "تقسیم کسرها"], {"intro": "برای تقسیم دو کسر، کسر اول را در معکوس کسر دوم ضرب می‌کنیم. مراحل: ۱. معکوس کسر دوم را پیدا کنید (صورت و مخرج را جابجا کنید). ۲. کسر اول را در معکوس کسر دوم ضرب کنید (صورت‌ها را ضرب و مخرج‌ها را ضرب کنید). ۳. اگر لازم بود، کسر را ساده کنید یا به عدد مخلوط تبدیل کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۱)", "ضرب کسرها و ساده کردن حاصل"], {"intro": "۱. صورت کسرهای داده شده را در هم ضرب کنید.\n۲. مخرج کسرهای داده شده را در هم ضرب کنید.\n۳. اگر صورت و مخرج کسر حاصل، کسرهای مساوی یا قابل ساده شدن بودند، آنها را ساده کنید.\n۴. حاصل کسر ساده شده را به عنوان جواب نهایی بنویسید.", "example": "حاصل ضرب کسرهای ۲/۵ و ۳/۷ را به دست آورید و ساده کنید.", "steps": ["صورت کسرها را در هم ضرب می کنیم: ۲ × ۳ = ۶.", "مخرج کسرها را در هم ضرب می کنیم: ۵ × ۷ = ۳۵.", "حاصل کسر به دست آمده ۶/۳۵ است.", "چون ۶ و ۳۵ هیچ عامل مشترکی ندارند، کسر قابل ساده شدن نیست.", "✅ جواب: ۶/۳۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۲)", "ساده کردن کسرها قبل از ضرب"], {"intro": "۱. صورت و مخرج کسرهای داده شده را بررسی کنید.\n۲. اگر صورت یکی از کسرها با مخرج کسر دیگر عدد مشترک داشت، آنها را ساده کنید (تقسیم بر عدد مشترک).\n۳. پس از ساده کردن، صورت‌ها را در هم ضرب کنید.\n۴. مخرج‌ها را در هم ضرب کنید.\n۵. اگر لازم بود، کسر حاصل را ساده کنید.\n۶. جواب نهایی را بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۲)", "ضرب کسرها و ساده کردن حاصل ضرب"], {"example": "حاصل ضرب کسرهای ۲/۳ و ۹/۴ را به صورت ساده شده بیابید.", "steps": ["صورت اول را با صورت دوم ضرب می کنیم: ۲ × ۹ = ۱۸.", "مخرج اول را با مخرج دوم ضرب می کنیم: ۳ × ۴ = ۱۲.", "حاصل ضرب کسرها به صورت ۱۸/۱۲ است.", "حالا ۱۸ و ۱۲ را بر ۶ تقسیم می کنیم: ۱۸ ÷ ۶ = ۳ و ۱۲ ÷ ۶ = ۲.", "پس کسر ساده شده ۳/۲ است.", "✅ جواب: ۳/۲"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۳)", "ضرب کسرها و ساده‌سازی حاصل ضرب"], {"steps": ["صورت اول را با صورت دوم ضرب می‌کنیم: ۲ × ۹ = ۱۸.", "مخرج اول را با مخرج دوم ضرب می‌کنیم: ۳ × ۴ = ۱۲.", "حاصل ضرب کسرها را می‌نویسیم: ۱۸/۱۲.", "حالا کسر ۱۸/۱۲ را ساده می‌کنیم. بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک ۶ است.", "۱۸ ÷ ۶ = ۳ و ۱۲ ÷ ۶ = ۲ پس کسر ساده شده ۳/۲ است.", "✅ جواب: ۳/۲"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۴)", "نوشتن کسرهای مساوی"], {"example": "کسر ۳/۴ را به کسر مساوی تبدیل کنید.", "steps": ["صورت و مخرج کسر ۳/۴ را در ۲ ضرب می‌کنیم: ۳ × ۲ = ۶ و ۴ × ۲ = ۸.", "بنابراین کسر ۳/۴ برابر با ۶/۸ است.", "حالا صورت و مخرج کسر ۳/۴ را در ۳ ضرب می‌کنیم: ۳ × ۳ = ۹ و ۴ × ۳ = ۱۲.", "بنابراین کسر ۳/۴ برابر با ۹/۱۲ است.", "در نهایت، صورت و مخرج کسر ۳/۴ را در ۴ ضرب می‌کنیم: ۳ × ۴ = ۱۲ و ۴ × ۴ = ۱۶.", "✅ جواب: ۶/۸, ۹/۱۲, ۱۲/۱۶"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۴)", "تقسیم کیک به تعداد افراد"], {"example": "اگر ۳ کیک را میان ۴ نفر تقسیم کنیم، سهم هر نفر چقدر خواهد بود؟", "steps": ["مقدار کل کیک ۳ است و تعداد افراد ۴ نفر است.", "برای پیدا کردن سهم هر نفر، ۳ را بر ۴ تقسیم می‌کنیم.", "۳ ÷ ۴ = ۰٫۷۵", "بنابراین، هر نفر ۰٫۷۵ کیک خواهد داشت.", "✅ جواب: ۰٫۷۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۵)", "ترکیب و مخلوط کردن مایعات با کسر"], {"example": "اگر ۲/۵ لیتر آب میوه را با ۱/۳ لیتر آب گازدار مخلوط کنیم، روی هم چند لیتر مایع خواهیم داشت؟", "steps": ["برای جمع کردن کسرها، ابتدا مخرج مشترک را پیدا می‌کنیم. مخرج مشترک ۱۵ است.", "حجم آب میوه را به مخرج ۱۵ تبدیل می‌کنیم: ۲/۵ = ۶/۱۵.", "حجم آب گازدار را به مخرج ۱۵ تبدیل می‌کنیم: ۱/۳ = ۵/۱۵.", "حجم کل مایع را با جمع کردن کسرها محاسبه می‌کنیم: ۶/۱۵ + ۵/۱۵ = ۱۱/۱۵.", "✅ جواب: ۱۱/۱۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۶)", "ضرب کسرها و ساده‌سازی"], {"example": "حاصل ضرب کسرهای ۲/۳ و ۵/۶ را به دست آورید و در صورت امکان ساده کنید.", "steps": ["صورت اول را با صورت دوم ضرب می‌کنیم: ۲ × ۵ = ۱۰.", "مخرج اول را با مخرج دوم ضرب می‌کنیم: ۳ × ۶ = ۱۸.", "کسر حاصل را می‌نویسیم: ۱۰/۱۸.", "حالا کسر ۱۰/۱۸ را ساده می‌کنیم. بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک ۲ است.", "۱۰ ÷ ۲ = ۵ و ۱۸ ÷ ۲ = ۹ پس کسر ساده شده ۵/۹ است.", "✅ جواب: ۵/۹"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۶)", "جمع و تفریق کسرها"], {"intro": "۱. اگر مخرج کسرها یکسان نیست، مخرج مشترک پیدا کنید.\n۲. صورت کسرها را بر اساس مخرج مشترک تغییر دهید.\n۳. صورت کسرها را جمع یا تفریق کنید.\n۴. اگر لازم بود، کسر را ساده کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۶)", "پر کردن جاهای خالی در عبارات کسر"], {"intro": "۱. عبارت داده شده را بررسی کنید و عملیات ریاضی را مشخص کنید.\n۲. با استفاده از قوانین ضرب و تقسیم کسرها، مقدار مجهول را پیدا کنید.\n۳. جاهای خالی را با مقدار صحیح پر کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۶)", "تشخیص کسر از شکل"], {"steps": ["تعداد کل قسمت‌های دایره را می‌شماریم: ۸ قسمت.", "تعداد قسمت‌های رنگ شده را می‌شماریم: ۳ قسمت.", "کسر رنگ شده را محاسبه می‌کنیم: ۳/۸.", "✅ جواب: ۳/۸"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۱)", "محاسبه نسبت مساحت‌ها"], {"intro": "۱. مساحت کل شکل را مشخص کنید.\n۲. مساحت بخش مورد نظر (مثلاً فضای سبز) را مشخص کنید.\n۳. نسبت مساحت بخش مورد نظر به مساحت کل را به صورت کسر بنویسید.\n۴. اگر لازم است، کسر را ساده کنید یا به درصد تبدیل کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۱)", "محاسبه نسبت مساحت قسمت‌های رنگ شده و نشده در مستطیل تقسیم شده"], {"intro": "۱. تعداد کل قسمت‌های مستطیل را بشمارید.\n۲. تعداد قسمت‌های رنگ شده و رنگ نشده را مشخص کنید.\n۳. نسبت مساحت قسمت‌های رنگ شده به کل مساحت مستطیل را به صورت کسر بنویسید.\n۴. نسبت مساحت قسمت‌های رنگ شده به قسمت‌های رنگ نشده را به صورت کسر بنویسید.\n۵. نسبت مساحت قسمت‌های رنگ نشده به کل مساحت مستطیل را به صورت کسر بنویسید.\n۶. نسبت مساحت قسمت‌های رنگ نشده به قسمت‌های رنگ شده را به صورت کسر بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۱)", "محاسبه نسبت فضای رنگ شده به کل مساحت مستطیل"], {"intro": "۱. تعداد کل قسمت‌های مستطیل را بشمارید.\n۲. تعداد قسمت‌های رنگ شده را بشمارید.\n۳. نسبت فضای رنگ شده به کل مساحت را به صورت کسر تعداد قسمت‌های رنگ شده بر تعداد کل قسمت‌ها بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۱)", "محاسبه نسبت تعداد میوه‌ها به کل میوه‌ها"], {"intro": "۱. تعداد هر نوع میوه را بشمارید.\n۲. تعداد کل میوه‌ها را محاسبه کنید.\n۳. نسبت تعداد میوه مورد نظر به کل میوه‌ها را به صورت کسر بنویسید.\n۴. نسبت تعداد میوه‌ها به یکدیگر را به صورت کسر بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۱)", "محاسبه نسبت مسافت طی شده به زمان صرف شده و سرعت متوسط"], {"intro": "۱. مسافت طی شده را بر زمان صرف شده تقسیم کنید تا نسبت مسافت به زمان به دست آید.\n۲. این نسبت نشان‌دهنده سرعت متوسط است.\n۳. سرعت متوسط را به واحد کیلومتر بر ساعت بیان کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۱)", "نسبت طول یا مساحت دو نوار یا شکل"], {"intro": "۱. تعداد قسمت‌های رنگ شده و کل قسمت‌ها را بشمارید. ۲. نسبت قسمت‌های رنگ شده به کل قسمت‌ها را به صورت کسر بنویسید. ۳. اگر نسبت طول دو نوار است، طول نوار اول را بر طول نوار دوم تقسیم کنید و نسبت را به صورت کسر بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۲)", "نسبت مساحت قسمت‌های رنگ شده به قسمت‌های رنگ نشده"], {"intro": "۱. تعداد قسمت‌های رنگ شده و تعداد قسمت‌های رنگ نشده را بشمارید. ۲. نسبت تعداد قسمت‌های رنگ شده به تعداد قسمت‌های رنگ نشده را به صورت کسر بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۲)", "نسبت طول و عرض مستطیل و تعیین طول بر اساس عرض"], {"intro": "۱. نسبت طول به عرض را به صورت کسر بنویسید. ۲. اگر عرض مستطیل داده شده است، طول را با ضرب عرض در نسبت طول به عرض محاسبه کنید.", "example": "مستطیلی داریم که عرض آن ۴ سانتی‌متر است و نسبت طول به عرض آن ۳ به ۲ است. طول این مستطیل را محاسبه کنید.", "steps": ["نسبت طول به عرض را به صورت کسر می‌نویسیم: ۳/۲.", "عرض مستطیل ۴ سانتی‌متر است. برای پیدا کردن طول، عرض را در نسبت طول به عرض ضرب می‌کنیم: ۴ × (۳/۲).", "محاسبه می‌کنیم: ۴ × (۳/۲) = ۴ × ۱٫۵ = ۶.", "بنابراین، طول مستطیل ۶ سانتی‌متر است.", "✅ جواب: ۶"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۲)", "تعیین نسبت و اندازه هر جزء در مخلوط با نسبت داده شده"], {"intro": "۱. نسبت داده شده را به صورت کسر یا عدد بنویسید. ۲. مجموع کل مقدار را بر مجموع نسبت‌ها تقسیم کنید تا مقدار هر واحد نسبت را پیدا کنید. ۳. مقدار هر جزء را با ضرب مقدار هر واحد در نسبت آن جزء محاسبه کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۲)", "محاسبه نسبت مسافت طی شده به زمان و تعیین مسافت یا زمان طی شده"], {"intro": "۱. نسبت مسافت طی شده به زمان را به صورت کسر بنویسید. ۲. اگر یکی از دو مقدار مسافت یا زمان داده شده باشد، مقدار دیگر را با استفاده از تناسب و ضرب متقابل محاسبه کنید.", "example": "یک دوچرخه‌سوار ۶۰ کیلومتر را در ۳ ساعت طی می‌کند. چند کیلومتر را در ۱ ساعت طی می‌کند؟", "steps": ["نسبت مسافت به زمان را به صورت کسر می‌نویسیم: ۶۰ ÷ ۳ = ۲۰.", "این کسر نشان می‌دهد که دوچرخه‌سوار در هر ساعت ۲۰ کیلومتر را طی می‌کند.", "پس مقدار مسافت طی شده در ۱ ساعت برابر با ۲۰ کیلومتر است.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۲)", "محاسبه نسبت تعداد اشکال"], {"intro": "۱. تعداد هر نوع شکل را بشمارید.\n۲. تعداد کل اشکال را محاسبه کنید.\n۳. نسبت تعداد یک نوع شکل به تعداد کل شکل‌ها را به صورت کسر بنویسید.\n۴. نسبت تعداد یک نوع شکل به نوع دیگر را به صورت کسر بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۲)", "محاسبه نسبت طول پاره‌خط‌ها"], {"intro": "۱. طول هر پاره‌خط را با توجه به مقیاس داده شده اندازه‌گیری کنید.\n۲. نسبت طول دو پاره‌خط را به صورت کسر بنویسید.\n۳. نسبت‌ها را ساده کنید اگر لازم بود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۳)", "محاسبه نسبت مساحت قسمت رنگ‌شده به کل شکل"], {"intro": "۱. شکل را به قسمت‌های مساوی تقسیم کنید.\n۲. تعداد کل قسمت‌ها و تعداد قسمت‌های رنگ‌شده را بشمارید.\n۳. نسبت مساحت قسمت رنگ‌شده به مساحت کل شکل برابر است با نسبت تعداد قسمت‌های رنگ‌شده به تعداد کل قسمت‌ها."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۳)", "محاسبه نسبت تعداد برد، باخت و تساوی در بازی‌ها"], {"intro": "۱. تعداد برد، باخت و تساوی را از جدول استخراج کنید.\n۲. نسبت‌های خواسته شده را به صورت کسر بنویسید.\n۳. نسبت‌ها را ساده کنید اگر لازم بود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۳)", "محاسبه نسبت تعداد صفحات خوانده شده به تعداد ساعت مطالعه"], {"intro": "۱. تعداد صفحات خوانده شده را بر تعداد ساعت مطالعه تقسیم کنید تا نسبت صفحات به ساعت به دست آید. ۲. این نسبت را برای هر فرد جداگانه محاسبه کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۳)", "محاسبه تعداد صفحات خوانده شده در هر ساعت"], {"intro": "۱. تعداد کل صفحات خوانده شده را بر تعداد کل ساعت مطالعه تقسیم کنید تا تعداد صفحات خوانده شده در هر ساعت به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۳)", "محاسبه نسبت اندازه سایه به طول درخت"], {"intro": "۱. اندازه سایه و طول درخت را به یک واحد تبدیل کنید (مثلاً هر دو به سانتی‌متر). ۲. نسبت سایه به طول درخت را با تقسیم اندازه سایه بر طول درخت محاسبه کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۳)", "محاسبه نسبت اضلاع مثلث و مقایسه آنها"], {"intro": "۱. نسبت اضلاع متناظر دو مثلث را به صورت کسر بنویسید. ۲. نسبت‌ها را ساده کنید. ۳. نسبت‌های ساده شده را با هم مقایسه کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۱)", "تشخیص و مقایسه نسبت‌ها"], {"intro": "۱. مقدار هر مایع را به صورت کسری نسبت به کل مایع موجود در ظرف بنویسید. ۲. نسبت‌ها را به صورت کسر یا عددی بیان کنید. ۳. نسبت‌ها را با هم مقایسه کنید تا برابری یا برتری مشخص شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۱)", "مقایسه مقدار مایع‌ها در ظروف مختلف"], {"intro": "۱. مقدار شربت در هر ظرف را به صورت عددی یا کسری مشخص کنید. ۲. مقادیر را با هم مقایسه کنید تا مشخص شود کدام بیشتر یا مساوی است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۱)", "مقایسه شیرینی شربت‌ها"], {"intro": "۱. نسبت شربت به آب در هر ظرف را بررسی کنید. ۲. نسبت بزرگ‌تر نشان‌دهنده شیرینی بیشتر است. ۳. نتیجه را بیان کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۱)", "محاسبه نسبت مساحت قسمت رنگ‌شده به کل شکل"], {"intro": "۱. تعداد قسمت‌های کل شکل را بشمارید. ۲. تعداد قسمت‌های رنگ‌شده را بشمارید. ۳. نسبت قسمت رنگ‌شده به کل شکل را به صورت کسر بنویسید. ۴. اگر ممکن است کسر را ساده کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۱)", "محاسبه و ساده‌سازی نسبت تعداد دانش‌آموزان علاقه‌مند به رشته‌های ورزشی"], {"intro": "۱. تعداد دانش‌آموزان علاقه‌مند به هر رشته ورزشی در هر مدرسه را از جدول استخراج کنید. ۲. نسبت تعداد دانش‌آموزان علاقه‌مند به یک رشته ورزشی در مدرسه اول به مدرسه دوم را به صورت کسر بنویسید. ۳. کسر را تا حد امکان ساده کنید.", "example": "در یک مدرسه، ۳۰ دانش‌آموز به رشته فوتبال و در مدرسه‌ای دیگر، ۴۵ دانش‌آموز به همین رشته علاقه‌مند هستند. نسبت تعداد دانش‌آموزان علاقه‌مند به فوتبال در مدرسه اول به مدرسه دوم را به صورت کسر بنویسید و آن را ساده کنید.", "steps": ["نسبت تعداد دانش‌آموزان را به صورت کسر می‌نویسیم: ۳۰/۴۵.", "برای ساده‌سازی کسر، بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک ۳۰ و ۴۵ را پیدا می‌کنیم که ۱۵ است.", "حالا کسر را بر ۱۵ تقسیم می‌کنیم: (۳۰ ÷ ۱۵) / (۴۵ ÷ ۱۵) = ۲/۳.", "✅ جواب: ۲/۳"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۲)", "بررسی برابری نسبت‌ها"], {"intro": "۱. نسبت‌های داده شده را به صورت کسر بنویسید. ۲. هر کسر را ساده کنید. ۳. اگر نسبت‌ها برابر شدند، برابری را تایید کنید و اگر نه، اعلام کنید که برابر نیستند."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۲)", "تعیین برابری نسبت‌ها با استفاده از روش‌های مختلف"], {"intro": "برای نشان دادن برابری دو نسبت، می‌توان از روش‌های مختلف استفاده کرد: ۱. روش هاله: مساحت قسمت رنگ‌شده را نسبت به مساحت کل مستطیل محاسبه کرده و با نسبت داده شده مقایسه می‌کنیم. ۲. روش نسرین: هر کسر را به صورت حاصل‌ضرب یا تقسیم اعداد ساده‌تر بازنویسی می‌کنیم و برابری را اثبات می‌کنیم. ۳. روش شبنم: صورت و مخرج هر کسر را در یک عدد ضرب یا تقسیم می‌کنیم تا به نسبت‌های برابر برسیم. ۴. روش مهتاب: صورت و مخرج هر کسر را در یک عدد ضرب می‌کنیم تا نسبت‌ها برابر شوند."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۲)", "یافتن عدد مجهول در نسبت"], {"intro": "۱. نسبت داده شده را به صورت کسر بنویسید.\n۲. مقدار معلوم را جایگزین کنید و مقدار مجهول را x فرض کنید.\n۳. معادله نسبت‌ها را بنویسید و با ضرب در عرض و طول کسرها، معادله را حل کنید.\n۴. مقدار x را به دست آورید که عدد مجهول است.", "example": "نسبت دو عدد ۳ به ۵ است. اگر عدد بزرگ‌تر ۲۵ باشد، عدد دیگر چند است؟", "steps": ["نسبت را به صورت کسر می‌نویسیم: ۳/۵ = x/۲۵", "مقدار معلوم را جایگزین می‌کنیم و x را فرض می‌کنیم: ۳/۵ = x/۲۵", "با ضرب در عرض و طول کسرها، معادله را می‌نویسیم: ۳ × ۲۵ = ۵ × x", "محاسبه می‌کنیم: ۷۵ = ۵x", "برای پیدا کردن x، هر دو طرف را بر ۵ تقسیم می‌کنیم: x = ۷۵ ÷ ۵ = ۱۵.", "✅ جواب: ۱۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۲)", "نشان دادن برابری نسبت‌ها"], {"intro": "۱. نسبت‌های داده شده را به صورت کسر بنویسید.\n۲. کسرها را ساده کنید یا به صورت ضرب در عرض و طول کسرها بررسی کنید.\n۳. اگر حاصل برابر بود، نسبت‌ها برابرند.\n۴. در صورت نیاز، عدد مجهول را با توجه به برابری نسبت‌ها پیدا کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۲)", "پر کردن جای خالی در نسبت‌ها با توجه به برابری"], {"intro": "۱. نسبت‌های داده شده را به صورت کسر بنویسید و جای خالی را x فرض کنید.\n۲. معادله برابری نسبت‌ها را بنویسید.\n۳. معادله را با ضرب در عرض و طول کسرها حل کنید.\n۴. مقدار x را به دست آورید و جای خالی را پر کنید.", "example": "با توجه به تساوی نسبت‌ها، در جای‌های خالی عدد مناسب قرار دهید: ۱۵/۲۵ = x/۵", "steps": ["نسبت‌ها را به صورت کسر بنویسیم: ۱۵/۲۵ = x/۵", "معادله برابری نسبت‌ها را می‌نویسیم: ۱۵ × ۵ = ۲۵ × x", "محاسبه می‌کنیم: ۷۵ = ۲۵ × x", "برای پیدا کردن x، دو طرف معادله را بر ۲۵ تقسیم می‌کنیم: ۷۵ ÷ ۲۵ = x", "پس x = ۳.", "✅ جواب: ۳"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۳)", "نوشتن نسبت مساوی با مخرج داده شده"], {"intro": "۱. نسبت داده شده را به صورت کسر بنویسید.\n۲. مخرج جدید را جایگزین کنید و صورت مجهول را x فرض کنید.\n۳. معادله برابری نسبت‌ها را بنویسید.\n۴. معادله را حل کنید و مقدار x را به دست آورید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۳)", "یافتن نسبت‌های مساوی در شکل"], {"intro": "۱. تعداد اشیاء یا نقاط رنگی را در هر دسته بشمارید. ۲. نسبت تعداد اشیاء هر دسته را به کل یا به دسته دیگر بنویسید. ۳. نسبت‌های مساوی را با هم مقایسه و دسته‌بندی کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۳)", "نوشتن نسبت‌ها به صورت کسر و ساده کردن"], {"intro": "۱. نسبت داده شده را به صورت کسر بنویسید (عدد اول به عنوان صورت و عدد دوم به عنوان مخرج). ۲. کسر را تا حد امکان ساده کنید. ۳. نسبت‌های ساده شده را با هم مقایسه کنید تا نسبت‌های مساوی را بیابید.", "example": "نسبت ۱۸ به ۲۴ را به صورت کسر بنویسید و سپس آن را ساده کنید.", "steps": ["نسبت ۱۸ به ۲۴ را به صورت کسر می‌نویسیم: ۱۸/۲۴.", "برای ساده کردن کسر، بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک ۱۸ و ۲۴ را پیدا می‌کنیم که ۶ است.", "حال صورت و مخرج کسر را بر ۶ تقسیم می‌کنیم: (۱۸ ÷ ۶) / (۲۴ ÷ ۶) = ۳/۴.", "کسر ساده شده ۳/۴ است.", "✅ جواب: ۳/۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۳)", "تشخیص نسبت‌های مساوی در مسائل کاربردی"], {"intro": "۱. نسبت‌های داده شده را به صورت کسر بنویسید. ۲. کسرها را ساده کنید یا به صورت اعشاری تبدیل کنید. ۳. نسبت‌ها را با هم مقایسه کنید تا نسبت مساوی را بیابید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۳)", "نوشتن نسبت به صورت کسر با شرایط خاص"], {"intro": "۱. نسبت داده شده را به صورت کسر بنویسید. ۲. مقدار مجهول را با توجه به شرط مساوی بودن نسبت‌ها تعیین کنید. ۳. کسر را به صورت کامل بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۴)", "یافتن عدد مناسب برای کامل کردن نسبت‌های مساوی"], {"intro": "۱. نسبت‌های داده شده را به صورت کسر بنویسید. ۲. با توجه به مساوی بودن نسبت‌ها، معادله‌ای برای عدد مجهول بنویسید. ۳. معادله را حل کنید و عدد مناسب را جایگزین کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "تناسب (۱)", "محاسبه نسبت و بررسی تناسب"], {"intro": "۱. نسبت مقدار کلسیم به مقدار شیر را به صورت کسر برای هر آزمایش محاسبه کنید. ۲. نسبت‌های به دست آمده را با هم مقایسه کنید. ۳. اگر نسبت‌ها برابر باشند، تناسب برقرار است. ۴. برای بررسی تناسب در مقادیر دیگر، از نسبت‌های برابر استفاده کنید و مقدار مجهول را با استفاده از تناسب پیدا کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "تناسب (۱)", "محاسبه محیط و مساحت مربع و مقایسه نسبت‌ها"], {"intro": "۱. اندازه ضلع مربع را می‌خوانیم.\n۲. محیط مربع را با فرمول محیط = ۴ × اندازه ضلع محاسبه می‌کنیم.\n۳. مساحت مربع را با فرمول مساحت = اندازه ضلع × اندازه ضلع محاسبه می‌کنیم.\n۴. نسبت محیط به اندازه ضلع را برای هر مربع محاسبه می‌کنیم.\n۵. نسبت مساحت به اندازه ضلع را برای هر مربع محاسبه می‌کنیم.\n۶. نسبت‌ها را با هم مقایسه می‌کنیم تا تناسب یا عدم تناسب را بررسی کنیم."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "تناسب (۱)", "تشخیص الگو و نوشتن تناسب در شکل‌های مثلثی"], {"intro": "۱. تعداد اشکال را در الگو بررسی می‌کنیم.\n۲. تعداد چوب کبریت‌ها را برای هر شکل می‌شماریم.\n۳. رابطه بین تعداد مثلث‌ها و تعداد چوب کبریت‌ها را پیدا می‌کنیم.\n۴. نسبت تعداد مثلث‌ها به تعداد چوب کبریت‌ها را محاسبه می‌کنیم.\n۵. با استفاده از الگو، تعداد چوب کبریت‌ها را برای شکل‌های بعدی پیش‌بینی می‌کنیم.\n۶. تناسب دو مقدار را به صورت معادله یا نسبت می‌نویسیم."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "تناسب (۱)", "تکمیل جدول نسبت و تناسب"], {"intro": "۱. تعداد مربع‌ها را در جدول کامل کنید. ۲. تعداد چوب کبریت‌ها را با توجه به الگوی شکل‌ها پیدا کنید. ۳. نسبت تعداد مربع به تعداد چوب کبریت را برای هر ستون محاسبه کنید. ۴. بررسی کنید که آیا نسبت‌ها با هم برابرند یا خیر."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "تناسب (۱)", "محاسبه دستمزد با استفاده از نسبت"], {"intro": "۱. مجموع دستمزد کل را یادداشت کنید. ۲. تعداد روزهای کار هر فرد را یادداشت کنید. ۳. نسبت تعداد روزهای کار هر فرد را به مجموع روزها محاسبه کنید. ۴. دستمزد هر فرد را با ضرب نسبت در دستمزد کل محاسبه کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "تناسب (۱)", "یافتن اندازه زاویه با استفاده از نسبت"], {"intro": "۱. نسبت اندازه دو زاویه را یادداشت کنید. ۲. اختلاف اندازه دو زاویه را یادداشت کنید. ۳. معادله‌ای با استفاده از نسبت و اختلاف بنویسید. ۴. معادله را حل کنید تا اندازه هر زاویه به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "تناسب (۲)", "یافتن عدد مجهول در تناسب"], {"example": "در تناسب ۵/۲ = ۱۵/x عدد مجهول را بیابید.", "steps": ["ضرب متقابل دو کسر را برابر قرار می‌دهیم: ۵ × x = ۲ × ۱۵.", "معادله را ساده می‌کنیم: ۵x = ۳۰.", "برای پیدا کردن x، هر دو طرف معادله را بر ۵ تقسیم می‌کنیم: x = ۳۰ ÷ ۵.", "محاسبه می‌کنیم: x = ۶.", "✅ جواب: ۶"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "تناسب (۲)", "یافتن اندازه زاویه در نسبت زاویه‌ها"], {"example": "نسبت اندازه‌های دو زاویه ۲ به ۳ است. اگر زاویه‌ی بزرگ‌تر ۷۲ درجه باشد، اندازه‌ی زاویه‌ی کوچک‌تر چند درجه است؟", "steps": ["نسبت زاویه‌ها ۲ به ۳ است، بنابراین اگر زاویه بزرگ‌تر ۳x باشد، زاویه کوچک‌تر ۲x خواهد بود.", "با توجه به داده، ۳x = ۷۲ است.", "برای پیدا کردن x، ۷۲ را بر ۳ تقسیم می‌کنیم: x = ۷۲ ÷ ۳ = ۲۴.", "حال اندازه زاویه کوچک‌تر را محاسبه می‌کنیم: ۲x = ۲ × ۲۴ = ۴۸.", "بنابراین، اندازه زاویه کوچک‌تر ۴۸ درجه است.", "✅ جواب: ۴۸"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "تناسب (۲)", "محاسبه طول و عرض مستطیل با استفاده از محیط و نسبت طول به عرض"], {"intro": "ابتدا با توجه به نسبت طول به عرض، طول و عرض را به صورت ۵x و ۳x فرض می‌کنیم. سپس محیط مستطیل را با فرمول محیط = ۲ × (طول + عرض) برابر ۲۴۰ متر قرار می‌دهیم و معادله را حل می‌کنیم تا مقدار x را بیابیم. سپس طول و عرض را محاسبه می‌کنیم. برای محاسبه مساحت، طول و عرض را در هم ضرب می‌کنیم."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "تناسب (۲)", "یافتن عدد مجهول در نسبت‌ها"], {"example": "در یک باغ، نسبت درختان سیب به درختان گلابی ۳ به ۵ است. اگر تعداد درختان سیب ۱۲ باشد، تعداد درختان گلابی را پیدا کنید.", "steps": ["نسبت درختان سیب به گلابی را به صورت کسر بنویسیم: ۳/۵.", "با توجه به تعداد درختان سیب، کسر را به صورت ۱۲/x بنویسیم.", "حالا معادله را تشکیل می‌دهیم: ۳/۵ = ۱۲/x.", "با ضرب متقابل، ۳x = ۱۲ × ۵ را می‌نویسیم.", "محاسبه می‌کنیم: ۳x = ۶۰.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "تناسب (۳)", "محاسبه نسبت و تعداد اجزاء در مخلوط‌های چند جزئی"], {"example": "برای تهیه یک نوع مخلوط، ۳ پیمانه شکر با ۱ پیمانه آرد مخلوط می‌شود. اگر ۸۰ پیمانه از این مخلوط تهیه شود، چند پیمانه شکر و چند پیمانه آرد داریم؟", "steps": ["نسبت شکر به آرد برابر است با ۳ به ۱.", "مجموع نسبت‌ها برابر است با ۳ + ۱ = ۴.", "برای محاسبه مقدار هر جزء، ۸۰ را بر ۴ تقسیم می‌کنیم: ۸۰ ÷ ۴ = ۲۰.", "مقدار شکر برابر است با ۳ × ۲۰ = ۶۰ پیمانه.", "مقدار آرد برابر است با ۱ × ۲۰ = ۲۰ پیمانه.", "✅ جواب: ۶۰ پیمانه شکر و ۲۰ پیمانه آرد"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "تناسب (۳)", "نوشتن مسئله درباره تناسب با استفاده از جدول داده شده"], {"steps": ["نسبت درختان سیب به گلابی را می‌نویسیم: ۳ به ۲.", "تعداد درختان سیب را به نسبت ۳ نسبت می‌دهیم: ۳x = ۱۸.", "برای پیدا کردن x، دو طرف معادله را بر ۳ تقسیم می‌کنیم: x = ۱۸ ÷ ۳ = ۶.", "حالا تعداد درختان گلابی را محاسبه می‌کنیم: ۲x = ۲ × ۶ = ۱۲.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۱)", "محاسبه نسبت تعداد دانش‌آموزان به کل دانش‌آموزان"], {"intro": "۱. تعداد دانش‌آموزان پایه پنجم را بر تعداد کل دانش‌آموزان تقسیم کنید.\n۲. نسبت به دست آمده را تا حد امکان ساده کنید.", "steps": ["تعداد دانش‌آموزان پایه پنجم: ۵۰", "تعداد کل دانش‌آموزان: ۲۰۰", "نسبت را محاسبه می‌کنیم: ۵۰ ÷ ۲۰۰ = ۰٫۲۵", "نسبت ۰٫۲۵ را به صورت کسر می‌نویسیم: ۲۵/۱۰۰", "کسر ۲۵/۱۰۰ را ساده می‌کنیم: ۱/۴.", "✅ جواب: ۱/۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۱)", "نوشتن نسبت به صورت درصد"], {"intro": "۱. نسبت داده شده را به گونه‌ای بنویسید که مخرج آن ۱۰۰ باشد.\n۲. اگر مخرج نسبت عددی غیر از ۱۰۰ است، نسبت را به صورت کسر تبدیل کنید و سپس کسر را به درصد تبدیل کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۱)", "محاسبه تعداد دانش‌آموزان از روی درصد"], {"intro": "۱. درصد داده شده را به صورت کسر یا عدد اعشاری بنویسید.\n۲. درصد را در تعداد کل دانش‌آموزان ضرب کنید تا تعداد دانش‌آموزان مورد نظر به دست آید.", "steps": ["۲۵ درصد را به عدد اعشاری تبدیل می‌کنیم: ۲۵ ÷ ۱۰۰ = ۰٫۲۵.", "تعداد کل دانش‌آموزان را در عدد اعشاری درصد ضرب می‌کنیم: ۴۰ × ۰٫۲۵ = ۱۰.", "بنابراین، تعداد دختران کلاس ششم ۱۰ نفر است.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۱)", "محاسبه درصد از تعداد کل"], {"intro": "۱. تعداد کل پرندگان مهاجر را مشخص کنید.\n۲. تعداد پرندگانی که در تالاب ماندند یا به محل اولیه بازگشتند را مشخص کنید.\n۳. درصد هر گروه را با استفاده از نسبت تعداد آن گروه به تعداد کل ضربدر ۱۰۰ محاسبه کنید.", "example": "در یک سال، ۱۵۰۰۰ پرنده مهاجر به یک تالاب آمدند. از این تعداد، ۳۰۰۰ پرنده در تالاب ماندند. چند درصد از پرندگان مهاجر در تالاب ماندند؟", "steps": ["تعداد کل پرندگان مهاجر ۱۵۰۰۰ است.", "تعداد پرندگانی که در تالاب ماندند ۳۰۰۰ است.", "برای محاسبه درصد، نسبت تعداد پرندگانی که در تالاب ماندند به تعداد کل را محاسبه می‌کنیم: ۳۰۰۰ ÷ ۱۵۰۰۰ = ۰٫۲.", "برای تبدیل این نسبت به درصد، آن را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم: ۰٫۲ × ۱۰۰ = ۲۰.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۱)", "محاسبه نسبت و درصد مساحت رنگ‌شده در شکل"], {"intro": "۱. تعداد کل قسمت‌های مساوی مستطیل را بشمارید.\n۲. تعداد قسمت‌های رنگ‌شده را بشمارید.\n۳. نسبت قسمت‌های رنگ‌شده به کل قسمت‌ها را به صورت کسر بنویسید.\n۴. این نسبت را به درصد تبدیل کنید (ضربدر ۱۰۰).\n۵. درصد قسمت‌های رنگ‌نشده را با کم کردن درصد رنگ‌شده از ۱۰۰ به دست آورید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۱)", "محاسبه مقدار چربی در شیر"], {"intro": "۱. درصد چربی داده شده را به صورت کسر یا عدد اعشاری بنویسید. ۲. مقدار کل شیر را در این عدد ضرب کنید تا مقدار چربی به دست آید. ۳. برای تبدیل واحدها، اگر لازم است، واحدها را به هم تبدیل کنید (مثلاً گرم به کیلوگرم یا بالعکس)."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۲)", "محاسبه مبلغ تخفیف و قیمت نهایی"], {"intro": "۱. درصد تخفیف را به صورت عدد اعشاری بنویسید. ۲. مبلغ اصلی را در درصد تخفیف ضرب کنید تا مقدار تخفیف به دست آید. ۳. مبلغ تخفیف را از مبلغ اصلی کم کنید تا قیمت نهایی به دست آید.", "steps": ["۱۵٪ را به صورت عدد اعشاری می‌نویسیم: ۱۵ ÷ ۱۰۰ = ۰٫۱۵.", "مبلغ اصلی ۴۰۰۰۰ تومان را در ۰٫۱۵ ضرب می‌کنیم: ۴۰۰۰۰ × ۰٫۱۵ = ۶۰۰۰ تومان.", "مبلغ تخفیف ۶۰۰۰ تومان را از مبلغ اصلی ۴۰۰۰۰ تومان کم می‌کنیم: ۴۰۰۰۰ - ۶۰۰۰ = ۳۴۰۰۰ تومان.", "✅ جواب: ۳۴۰۰۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۲)", "محاسبه مساحت بر اساس درصد"], {"intro": "۱. مساحت کل را در عدد درصد به صورت اعشاری ضرب کنید تا مساحت بخش مورد نظر به دست آید. ۲. برای بخش‌های مختلف، همین روش را تکرار کنید.", "steps": ["برای محاسبه فضای سبز، ۲۵ را به صورت اعشاری می‌نویسیم: ۰٫۲۵.", "سپس مساحت کل پارک را در ۰٫۲۵ ضرب می‌کنیم: ۳۰۰۰۰ × ۰٫۲۵ = ۷۵۰۰.", "بنابراین، فضای سبز پارک ۷۵۰۰ متر مربع است.", "✅ جواب: ۷۵۰۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۲)", "محاسبه درصد و مقدار پول پس‌انداز و بخشش"], {"intro": "۱. مقدار کل پول را در درصد بخشش ضرب کنید تا مقدار بخشش به دست آید. ۲. مقدار باقی‌مانده را محاسبه کنید. ۳. مقدار پس‌انداز را از باقی‌مانده محاسبه کنید. ۴. درصد باقی‌مانده را نسبت به کل پول محاسبه کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۲)", "محاسبه تخفیف و مبلغ پرداختی با درصد تخفیف"], {"intro": "۱. مبلغ اصلی کالا را مشخص کنید.\n۲. درصد تخفیف را به صورت عدد اعشاری تبدیل کنید (مثلاً ۳۰% = ۰٫۳).\n۳. مبلغ تخفیف را با ضرب مبلغ اصلی در درصد تخفیف محاسبه کنید.\n۴. مبلغ پرداختی را با کم کردن مبلغ تخفیف از مبلغ اصلی به دست آورید.", "steps": ["درصد تخفیف را به عدد اعشاری تبدیل می‌کنیم: ۲۰% = ۰٫۲.", "مبلغ تخفیف را محاسبه می‌کنیم: ۵۰۰۰۰ × ۰٫۲ = ۱۰۰۰۰ ریال.", "مبلغ پرداختی را با کم کردن مبلغ تخفیف از مبلغ اصلی محاسبه می‌کنیم: ۵۰۰۰۰ - ۱۰۰۰۰ = ۴۰۰۰۰ ریال.", "✅ جواب: ۴۰۰۰۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۲)", "محاسبه مقدار اولیه با توجه به درصد و مقدار نهایی"], {"intro": "۱. درصد تبدیل یا تغییر را به صورت عدد اعشاری بنویسید.\n۲. مقدار نهایی مورد نیاز را مشخص کنید.\n۳. مقدار اولیه را با تقسیم مقدار نهایی بر (۱ - درصد تبدیل) محاسبه کنید.", "steps": ["ابتدا درصد هدر رفت را به عدد اعشاری تبدیل می‌کنیم: ۲۰٪ = ۰٫۲.", "مقدار نهایی آبمیوه مورد نیاز ۱۵۰۰۰ لیتر است.", "مقدار اولیه میوه را با استفاده از فرمول محاسبه می‌کنیم: مقدار اولیه = مقدار نهایی ÷ (۱ - درصد هدر رفت).", "مقدار اولیه = ۱۵۰۰۰ ÷ (۱ - ۰٫۲) = ۱۵۰۰۰ ÷ ۰٫۸.", "مقدار اولیه = ۱۸۷۵۰ لیتر میوه.", "✅ جواب: ۱۸۷۵۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۲)", "محاسبه تعداد اعداد با درصد داده شده و تعیین نسبت آنها"], {"intro": "۱. تعداد کل اعداد را مشخص کنید.\n۲. درصد هر دسته را به صورت عدد اعشاری تبدیل کنید.\n۳. تعداد هر دسته را با ضرب درصد در تعداد کل محاسبه کنید.\n۴. نسبت دو دسته را با تقسیم تعداد آنها بر هم به دست آورید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۳)", "محاسبه درصد فضای سبز از مساحت کل شهر"], {"intro": "۱. مساحت کل شهر را مشخص کنید.\n۲. مساحت فضای سبز را مشخص کنید.\n۳. درصد فضای سبز را با تقسیم مساحت فضای سبز بر مساحت کل و ضرب در ۱۰۰ محاسبه کنید.", "steps": ["مساحت کل شهر ۴۰ کیلومترمربع است و مساحت فضای سبز ۸ کیلومترمربع است.", "برای محاسبه درصد فضای سبز، ابتدا فضای سبز را بر مساحت کل تقسیم می‌کنیم: ۸ ÷ ۴۰ = ۰٫۲.", "سپس نتیجه را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم: ۰٫۲ × ۱۰۰ = ۲۰.", "بنابراین، درصد فضای سبز در این شهر ۲۰ درصد است.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۳)", "محاسبه نسبت و درصد مساحت رنگ شده از یک مربع تقسیم شده به قسمت‌های مساوی"], {"intro": "۱. تعداد کل قسمت‌های مساوی مربع را بشمارید.\n۲. تعداد قسمت‌های رنگ شده را مشخص کنید.\n۳. نسبت مساحت رنگ شده به کل مساحت برابر است با تعداد قسمت‌های رنگ شده تقسیم بر تعداد کل قسمت‌ها.\n۴. درصد مساحت رنگ شده را با ضرب نسبت در ۱۰۰ محاسبه کنید.", "steps": ["تعداد کل قسمت‌های مربع ۴۰ است.", "تعداد قسمت‌های رنگ شده ۱۶ است.", "نسبت مساحت رنگ شده به کل مساحت برابر است با ۱۶ ÷ ۴۰ که برابر با ۰٫۴ است.", "برای محاسبه درصد، نسبت ۰٫۴ را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم: ۰٫۴ × ۱۰۰ = ۴۰.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۳)", "محاسبه درصد پیموده شده و باقی‌مانده راه"], {"intro": "۱. مقدار پیموده شده را بر مقدار کل تقسیم کنید.\n۲. حاصل را در ۱۰۰ ضرب کنید تا درصد پیموده شده به دست آید.\n۳. درصد پیموده شده را از ۱۰۰ کم کنید تا درصد باقی‌مانده راه به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۳)", "محاسبه درصد شکل‌های رنگ شده"], {"intro": "۱. تعداد قسمت‌های رنگ شده را بشمارید.\n۲. تعداد کل قسمت‌های شکل را بشمارید.\n۳. نسبت قسمت‌های رنگ شده به کل قسمت‌ها را به صورت کسر بنویسید.\n۴. کسر را به درصد تبدیل کنید (ضرب در ۱۰۰)."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۳)", "تبدیل درصد به کسر و ساده کردن آن"], {"intro": "۱. درصد داده شده را بر ۱۰۰ بنویسید به صورت کسر.\n۲. کسر را تا حد امکان ساده کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۳)", "محاسبه مقدار بر اساس درصد داده شده"], {"intro": "۱. مقدار کل را در درصد داده شده به صورت کسر ضرب کنید.\n۲. حاصل ضرب مقدار مورد نظر را نشان می‌دهد."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۴)", "محاسبه مقدار کل از روی درصد داده شده"], {"intro": "۱. درصد داده شده را به صورت کسر بنویسید.\n۲. مقدار داده شده را بر کسر درصد تقسیم کنید تا مقدار کل به دست آید.", "example": "۳۰% از یک عدد ناشناخته برابر با ۱۲۰ است. عدد ناشناخته چند است؟", "steps": ["۳۰% را به صورت کسر می‌نویسیم: ۳۰/۱۰۰.", "مقدار داده شده را بر کسر درصد تقسیم می‌کنیم: ۱۲۰ ÷ (۳۰/۱۰۰) = ۱۲۰ × (۱۰۰/۳۰).", "محاسبه می‌کنیم: ۱۲۰ × (۱۰۰/۳۰) = ۱۲۰۰۰ ÷ ۳۰ = ۴۰۰.", "✅ جواب: ۴۰۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۴)", "تکمیل شکل بر اساس درصد داده شده"], {"intro": "۱. درصد داده شده را به صورت کسر بنویسید.\n۲. مساحت کل شکل را در کسر ضرب کنید تا مساحت رنگ شده به دست آید.\n۳. مساحت باقی‌مانده را با کم کردن مساحت رنگ شده از مساحت کل محاسبه کنید.\n۴. شکل را با توجه به مساحت رنگ شده و باقی‌مانده تکمیل کنید.", "example": "یک مستطیل دارای مساحت ۸۰ سانتی‌متر مربع است. اگر ۳۰% از این مستطیل رنگ شده باشد، مساحت رنگ شده را محاسبه کنید و مساحت باقی‌مانده را پیدا کنید.", "steps": ["۳۰% را به صورت کسر می‌نویسیم: ۳۰/۱۰۰.", "مساحت رنگ شده را محاسبه می‌کنیم: ۸۰ × (۳۰/۱۰۰) = ۲۴ سانتی‌متر مربع.", "مساحت باقی‌مانده را با کم کردن مساحت رنگ شده از مساحت کل محاسبه می‌کنیم: ۸۰ - ۲۴ = ۵۶ سانتی‌متر مربع.", "✅ جواب: ۵۶"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۴)", "محاسبه تعداد افراد بر اساس درصد داده شده"], {"intro": "۱. درصد داده شده را به صورت کسر بنویسید.\n۲. تعداد کل افراد را در کسر ضرب کنید تا تعداد افراد مورد نظر به دست آید.", "example": "در یک مسابقه، ۴۰% شرکت‌کنندگان خانم هستند. اگر تعداد کل شرکت‌کنندگان ۵۰ نفر باشد، چند نفر از شرکت‌کنندگان خانم هستند؟", "steps": ["۴۰% را به صورت کسر می‌نویسیم: ۴۰/۱۰۰.", "تعداد کل شرکت‌کنندگان را در کسر ضرب می‌کنیم: ۵۰ × (۴۰/۱۰۰).", "محاسبه می‌کنیم: ۵۰ × ۰٫۴ = ۲۰.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۴)", "محاسبه مقدار با استفاده از نسبت"], {"example": "اگر نسبت ۴/۵ = x/۲۰ باشد، مقدار x را پیدا کنید.", "steps": ["نسبت را به صورت x = (۴ * ۲۰) / ۵ بنویسید.", "محاسبه کنید: ۴ * ۲۰ = ۸۰.", "حالا ۸۰ را بر ۵ تقسیم کنید: ۸۰ ÷ ۵ = ۱۶.", "بنابراین مقدار x برابر با ۱۶ است.", "✅ جواب: ۱۶"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۵)", "تبدیل نسبت به سرعت و مسافت"], {"intro": "برای تبدیل نسبت به سرعت، مسافت طی شده را بر زمان تقسیم می‌کنیم. اگر سرعت ماشین ۶۰ کیلومتر در ساعت باشد، یعنی در یک ساعت ۶۰ کیلومتر طی می‌کند.", "example": "یک ماشین در ۳ ساعت با سرعت ۷۵ کیلومتر در ساعت حرکت می‌کند. مسافت طی شده توسط ماشین چقدر است؟", "steps": ["برای محاسبه مسافت، سرعت را در زمان ضرب می‌کنیم.", "مسافت = سرعت × زمان = ۷۵ × ۳", "مسافت = ۲۲۵ کیلومتر.", "✅ جواب: ۲۲۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۵)", "تناسب اندازه ضلع و محیط در اشکال هندسی"], {"intro": "در اشکال هندسی متناسب، نسبت اندازه ضلع به محیط ثابت است. برای هر مربع، محیط برابر ۴ برابر ضلع است. بنابراین نسبت ضلع به محیط برابر ۱ به ۴ است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۵)", "بررسی تناسب در پیمودن مسافت و زمان"], {"example": "یک دوچرخه‌سوار ۱۲۰۰ متر را در ۱۵ دقیقه می‌پیماید. آیا پیمودن ۸۰۰ متر در ۱۰ دقیقه با این پیمودن متناسب است؟", "steps": ["نسبت مسافت به زمان برای دوچرخه‌سوار اول: ۱۲۰۰ ÷ ۱۵ = ۸۰ متر در دقیقه.", "نسبت مسافت به زمان برای دوچرخه‌سوار دوم: ۸۰۰ ÷ ۱۰ = ۸۰ متر در دقیقه.", "مقایسه نسبت‌ها: ۸۰ متر در دقیقه برابر با ۸۰ متر در دقیقه است. بنابراین، تناسب برقرار است.", "✅ جواب: بله"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۵)", "تبدیل درصد به بیان کلامی"], {"example": "در یک کلاس ۳۰ نفره، ۴۰% از دانش‌آموزان به ریاضی علاقه‌مندند؛ یعنی چند نفر از دانش‌آموزان به ریاضی علاقه‌مندند؟", "steps": ["۴۰% را به کسر تبدیل می‌کنیم: ۴۰% = ۴۰/۱۰۰.", "حالا این کسر را به عدد تبدیل می‌کنیم: ۳۰ × (۴۰/۱۰۰) = ۱۲.", "بنابراین، ۱۲ نفر از دانش‌آموزان به ریاضی علاقه‌مندند.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۵)", "تعیین نسبت تعداد اشیاء با رنگ‌های مختلف"], {"intro": "۱. تعداد اشیاء هر رنگ را بشمارید.\n۲. نسبت تعداد اشیاء یک رنگ به رنگ دیگر را به صورت کسر بنویسید.\n۳. نسبت تعداد اشیاء یک رنگ به کل اشیاء را به صورت کسر بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۶)", "محاسبه نسبت مسافت طی شده به زمان صرف شده"], {"intro": "۱. مسافت طی شده را بر زمان صرف شده تقسیم کنید تا نسبت مسافت به زمان به دست آید.\n۲. برای یافتن مسافت طی شده در زمان دیگر، نسبت را در زمان جدید ضرب کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۶)", "تعیین نسبت تعداد گل‌ها به یکدیگر"], {"intro": "۱. تعداد گل‌های هر رنگ را بشمارید.\n۲. نسبت تعداد گل‌های یک رنگ به رنگ دیگر را به صورت کسر بنویسید.\n۳. نسبت‌ها را با گزینه‌های داده شده مقایسه کنید تا نسبت صحیح را بیابید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۶)", "ساده‌سازی نسبت‌ها"], {"intro": "۱. صورت و مخرج نسبت را بر بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک تقسیم کنید.\n۲. نسبت ساده شده را بنویسید.\n۳. نسبت‌های مساوی را با هم مقایسه کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۷)", "پر کردن جای خالی برای ایجاد نسبت مساوی"], {"steps": ["نسبت را به صورت کسر بنویسیم: ۳/۵ = ۱۲/x", "برای پیدا کردن x، از ضرب در عرض استفاده می‌کنیم: ۳x = ۵ × ۱۲", "محاسبه می‌کنیم: ۳x = ۶۰", "حالا دو طرف معادله را بر ۳ تقسیم می‌کنیم: x = ۶۰ ÷ ۳", "محاسبه می‌کنیم: x = ۲۰.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۷)", "پر کردن جای خالی برای ایجاد تناسب"], {"steps": ["نسبت را به صورت کسر بنویسیم: ۴/۳ = ۲۴/x", "برای پیدا کردن x، از ضرب متقابل استفاده می‌کنیم: ۴x = ۳ × ۲۴", "محاسبه می‌کنیم: ۴x = ۷۲", "حالا x را پیدا می‌کنیم: x = ۷۲ ÷ ۴", "محاسبه می‌کنیم: x = ۱۸.", "✅ جواب: ۱۸"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۷)", "مسئله نسبت مصرف آب دو خانواده"], {"intro": "۱. نسبت مصرف آب دو خانواده را به صورت یک کسر یا نسبت بنویسید.\n۲. مقدار مصرف آب خانواده‌ای که مقدار آن مجهول است را با یک متغیر فرض کنید.\n۳. معادله‌ای بر اساس نسبت داده شده بنویسید.\n۴. معادله را حل کنید تا مقدار مصرف آب هر خانواده به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۸)", "محاسبه درصد کتاب‌های ریاضی در قفسه کتابخانه"], {"intro": "۱. تعداد کل کتاب‌ها را مشخص کنید.\n۲. تعداد کتاب‌های مورد نظر (مثلاً کتاب‌های ریاضی) را مشخص کنید.\n۳. درصد کتاب‌های مورد نظر را با استفاده از فرمول درصد محاسبه کنید:\n درصد = (تعداد کتاب‌های مورد نظر / تعداد کل کتاب‌ها) × ۱۰۰\n۴. نتیجه را به درصد بیان کنید.", "steps": ["تعداد کل کتاب‌ها ۱۰۰ است.", "تعداد کتاب‌های ریاضی ۲۵ است.", "درصد کتاب‌های ریاضی = (۲۵ ÷ ۱۰۰) × ۱۰۰ = ۲۵ درصد.", "✅ جواب: ۲۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۸)", "محاسبه مقدار آب در محلول با درصد مشخص"], {"intro": "۱. درصد آب موجود در محلول را به صورت عدد اعشاری بنویسید.\n۲. حجم کل محلول را مشخص کنید.\n۳. مقدار آب را با ضرب درصد به صورت عدد اعشاری در حجم کل محلول محاسبه کنید.", "steps": ["درصد آب را به صورت عدد اعشاری می‌نویسیم: ۷۵٪ = ۰٫۷۵.", "حجم کل محلول را داریم: ۴۰ لیتر.", "مقدار آب را با ضرب درصد در حجم کل محاسبه می‌کنیم: ۰٫۷۵ × ۴۰ = ۳۰ لیتر.", "✅ جواب: ۳۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۸)", "محاسبه عدد بر اساس درصد داده شده"], {"intro": "۱. درصد داده شده را به صورت عدد اعشاری تبدیل کنید.\n۲. عدد کل را مشخص کنید.\n۳. معادله‌ای بنویسید که درصد ضرب در عدد کل برابر عدد داده شده باشد.\n۴. معادله را حل کنید تا عدد مجهول به دست آید.", "steps": ["برای تبدیل ۷۵٪ به عدد اعشاری، ۷۵ را بر ۱۰۰ تقسیم می‌کنیم: ۷۵ ÷ ۱۰۰ = ۰٫۷۵.", "عدد کل را با x نشان می‌دهیم. معادله ما می‌شود: ۰٫۷۵ × x = ۳۰.", "برای حل معادله، دو طرف را بر ۰٫۷۵ تقسیم می‌کنیم: x = ۳۰ ÷ ۰٫۷۵.", "محاسبه می‌کنیم: ۳۰ ÷ ۰٫۷۵ = ۴۰.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۸)", "محاسبه درصد محصول کشاورزی دیم از کل محصولات کشاورزی"], {"intro": "۱. درصد محصول کشاورزی دیم را مشخص کنید.\n۲. درصدی از این مقدار که محصول گندم است را مشخص کنید.\n۳. درصد گندم از کل محصولات کشاورزی را با ضرب درصدها محاسبه کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۸)", "محاسبه نسبت طول به عرض در اشکال هندسی"], {"intro": "۱. طول و عرض شکل هندسی را به دست آورید.\n۲. نسبت طول به عرض را به صورت کسر یا عدد بیان کنید.\n۳. نسبت به دست آمده را با نسبت‌های داده شده یا نسبت طلایی مقایسه کنید.\n۴. در صورت نیاز، نسبت را به صورت عدد اعشاری یا درصد بیان کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "تقارن محوری (۱)", "یافتن قرینه یک نقطه نسبت به خط تقارن"], {"intro": "۱. خط تقارن را مشخص کنید.\n۲. نقطه مورد نظر را نسبت به خط تقارن بررسی کنید.\n۳. برای یافتن قرینه نقطه، فاصله نقطه تا خط تقارن را اندازه‌گیری کنید.\n۴. نقطه قرینه در سمت مقابل خط تقارن و به همان فاصله قرار می‌گیرد.\n۵. اگر مختصات نقطه داده شده باشد، مختصات قرینه را با تغییر علامت مختصات نسبت به محور تقارن محاسبه کنید.\n۶. در روش حرکت شطرنجی، از نقطه شروع به سمت خط تقارن حرکت کنید و سپس به همان اندازه در سمت دیگر خط تقارن ادامه دهید تا قرینه نقطه به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "تقارن محوری (۱)", "یافتن قرینه نسبت به خط تقارن"], {"intro": "۱. خط تقارن را مشخص کنید.\n۲. برای هر نقطه از شکل، فاصله آن نقطه تا خط تقارن را اندازه بگیرید.\n۳. نقطه قرینه را در سمت مقابل خط تقارن و به همان فاصله قرار دهید.\n۴. نقاط قرینه را به هم وصل کنید تا شکل قرینه کامل شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "تقارن محوری (۱)", "یافتن قرینه مثلث نسبت به خط تقارن"], {"intro": "۱. خط تقارن را مشخص کنید.\n۲. برای هر راس مثلث، فاصله تا خط تقارن را اندازه بگیرید.\n۳. راس قرینه را در سمت مقابل خط تقارن و به همان فاصله قرار دهید.\n۴. رئوس قرینه را به هم وصل کنید تا مثلث قرینه شکل گیرد."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "تقارن محوری (۱)", "یافتن قرینه شکل‌های پیچیده نسبت به خط تقارن"], {"intro": "۱. خط تقارن را مشخص کنید.\n۲. برای هر نقطه کلیدی شکل، فاصله تا خط تقارن را اندازه بگیرید.\n۳. نقاط قرینه را در سمت مقابل خط تقارن و به همان فاصله قرار دهید.\n۴. نقاط قرینه را به ترتیب به هم وصل کنید تا شکل قرینه کامل شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "تقارن محوری (۱)", "یافتن محل خط تقارن شکل‌های داده شده"], {"intro": "۱. شکل داده شده را بررسی کنید.\n۲. خطی را پیدا کنید که اگر شکل را نسبت به آن خط قرینه کنیم، شکل به خودش تبدیل شود.\n۳. این خط، خط تقارن شکل است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "تقارن محوری (۱)", "یافتن قرینه شکل نسبت به خط تقارن"], {"intro": "۱. خط تقارن را مشخص کنید. ۲. هر نقطه از شکل را نسبت به خط تقارن به اندازه مساوی در سمت مقابل خط علامت بزنید. ۳. نقاط قرینه را به هم وصل کنید تا شکل قرینه کامل شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "تقارن محوری (۲)", "رسم قرینه شکل نسبت به خط تقارن"], {"intro": "۱. خط تقارن را روی صفحه رسم کنید. ۲. هر نقطه از شکل را نسبت به خط تقارن به اندازه مساوی در سمت مقابل علامت بزنید. ۳. نقاط قرینه را به هم وصل کنید تا شکل قرینه کامل شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "تقارن محوری (۲)", "رسم خط تقارن شکل‌ها و توضیح روش"], {"intro": "۱. شکل را روی صفحه شطرنجی قرار دهید. ۲. خطی رسم کنید که شکل را به دو قسمت مساوی و قرینه تقسیم کند. ۳. بررسی کنید که هر نقطه در یک سمت خط، قرینه‌ای در سمت دیگر داشته باشد. ۴. خط رسم شده خط تقارن است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "تقارن محوری (۲)", "تشخیص تعداد خطوط تقارن شکل‌ها"], {"intro": "۱. شکل را بررسی کنید و خطوطی را که شکل را به دو قسمت مساوی و قرینه تقسیم می‌کنند، پیدا کنید. ۲. تعداد این خطوط را بشمارید. ۳. اگر شکل هیچ خط تقارنی ندارد، این موضوع را مشخص کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "تقارن محوری (۲)", "یافتن قرینه نقاط رنگی نسبت به خط تقارن شکل‌ها"], {"intro": "۱. خط تقارن رسم شده روی شکل را شناسایی کنید. ۲. برای هر نقطه رنگی، فاصله آن تا خط تقارن را اندازه بگیرید. ۳. نقطه قرینه را در سمت مقابل خط تقارن و به همان فاصله قرار دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "تقارن محوری (۳)", "یافتن همه خطوط تقارن شکل‌های ساده"], {"intro": "۱. شکل را بررسی کنید. ۲. خطوطی را که شکل را به دو نیمه مساوی و قرینه تقسیم می‌کنند، پیدا کنید. ۳. همه خطوط تقارن ممکن را رسم و مشخص کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "تقارن محوری (۳)", "کشیدن نیمه دیگر شکل با توجه به خط تقارن"], {"intro": "۱. خط تقارن شکل را مشخص کنید. ۲. نیمه داده شده شکل را نسبت به خط تقارن قرینه کنید. ۳. نیمه دیگر شکل را به گونه‌ای بکشید که خط تقارن، خط تقارن شکل کامل باشد."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "تقارن محوری (۳)", "یافتن محل خط تقارن با توجه به نقاط رنگی قرینه"], {"intro": "۱. نقاط رنگی قرینه نسبت به هم را شناسایی کنید. ۲. خطی را رسم کنید که این نقاط را به صورت قرینه نسبت به هم تقسیم کند. ۳. این خط، خط تقارن شکل است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "تقارن محوری (۳)", "تشخیص خط تقارن"], {"intro": "۱. خط یا خطوط قرمز داده شده را بررسی کنید. ۲. شکل را نسبت به هر خط قرمز بازتاب دهید. ۳. اگر شکل بازتاب شده دقیقا روی شکل اصلی منطبق شود، آن خط، خط تقارن است. ۴. در غیر این صورت، آن خط تقارن نیست."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "تقارن محوری (۳)", "رسم شکل با بیش از دو خط تقارن و رسم خطوط تقارن آن"], {"intro": "۱. شکلی رسم کنید که حداقل دو خط تقارن داشته باشد، مانند چندضلعی منتظم با تعداد اضلاع بیشتر از ۲. ۲. خطوط تقارن را به گونه‌ای رسم کنید که شکل را به دو نیمه قرینه تقسیم کنند. ۳. خطوط تقارن را علامت‌گذاری کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "تقارن محوری (۳)", "رسم خطوط تقارن و محاسبه مساحت قسمت و کل شکل"], {"intro": "۱. شکل داده شده را بررسی کنید و خطوط تقارن آن را رسم کنید. ۲. شکل را به بخش‌های مساوی تقسیم کنید. ۳. مساحت یک بخش را با شمارش مربع‌های کوچک داخل آن محاسبه کنید. ۴. مساحت کل شکل را با ضرب مساحت یک بخش در تعداد بخش‌ها به دست آورید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "تقارن مرکزی", "تشخیص قرینه شکل نسبت به نقطه"], {"intro": "۱. نقطه مشخص شده را به عنوان مرکز تقارن در نظر بگیرید.\n۲. هر نقطه از شکل اولیه را به گونه‌ای پیدا کنید که نسبت به این نقطه قرینه باشد؛ یعنی فاصله و جهت آن نسبت به نقطه مرکز، در سمت مقابل و به همان اندازه باشد.\n۳. شکل قرینه را رسم کنید یا با کاغذ شفاف شکل را روی نقطه مشخص شده برگردانید تا قرینه آن مشخص شود.\n۴. بررسی کنید که آیا شکل دوم دقیقا قرینه شکل اول نسبت به نقطه مشخص شده است یا خیر."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "تقارن مرکزی", "رسم قرینه نیمه‌ی شکل نسبت به نقطه مشخص"], {"intro": "۱. نقطه مشخص شده را به عنوان مرکز تقارن در نظر بگیرید.\n۲. نیمه‌ی داده شده از شکل را نسبت به این نقطه قرینه کنید؛ یعنی هر نقطه از نیمه را به گونه‌ای پیدا کنید که نسبت به نقطه مرکز، در سمت مقابل و به همان فاصله باشد.\n۳. نقاط قرینه را به هم وصل کنید تا نیمه‌ی دیگر شکل کامل شود.\n۴. شکل کامل شده را رنگ‌آمیزی کنید تا نیمه‌ی قرینه شده مشخص شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "تقارن مرکزی", "رسم شکل متقارن نسبت به مرکز تقارن"], {"intro": "۱. نقطه مشخص شده به عنوان مرکز تقارن را در نظر بگیرید. ۲. هر نقطه از شکل اولیه را نسبت به این مرکز به گونه‌ای بچرخانید که شکل جدید در جهت مخالف و به همان فاصله از مرکز قرار گیرد. ۳. نقاط متناظر را به هم وصل کنید تا شکل متقارن ساخته شود. ۴. شکل حاصل را رنگ‌آمیزی کنید تا تقارن مرکزی مشخص شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "تقارن مرکزی", "رنگ‌آمیزی چرخنده با خط تقارن و مرکز تقارن"], {"intro": "۱. برای چرخنده‌ای که خط تقارن دارد، بخش‌هایی را رنگ‌آمیزی کنید که نسبت به خط تقارن قرینه باشند. ۲. برای چرخنده‌ای که مرکز تقارن دارد، بخش‌هایی را رنگ‌آمیزی کنید که نسبت به مرکز تقارن به صورت چرخشی متقارن باشند. ۳. اطمینان حاصل کنید که رنگ‌آمیزی به گونه‌ای انجام شود که تقارن خواسته شده حفظ شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "زاویه و نیمساز (۱)", "تشخیص و جمع زوایای مثلث"], {"intro": "۱. یک مثلث رسم کنید.\n۲. هر زاویه مثلث را با رنگ‌های متفاوت مشخص کنید.\n۳. زوایای رنگ‌شده را جدا کنید و کنار هم قرار دهید به طوری که راس‌ها و اضلاع در کنار هم باشند.\n۴. زوایای کنار هم قرار گرفته را اندازه‌گیری کنید یا مشاهده کنید که مجموع آن‌ها یک زاویه مستقیم (۱۸۰ درجه) می‌سازد.\n۵. نتیجه بگیرید که مجموع زوایای هر مثلث برابر ۱۸۰ درجه است.", "example": "در یک مثلث، زاویه اول ۵۰ درجه، زاویه دوم ۷۰ درجه و زاویه سوم را پیدا کنید.", "steps": ["مجموع زوایای مثلث را محاسبه می‌کنیم: ۵۰ + ۷۰ = ۱۲۰ درجه.", "برای پیدا کردن زاویه سوم، از ۱۸۰ درجه کم می‌کنیم: ۱۸۰ - ۱۲۰ = ۶۰ درجه.", "بنابراین، زاویه سوم برابر با ۶۰ درجه است.", "✅ جواب: ۶۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "زاویه و نیمساز (۱)", "محاسبه زاویه با استفاده از خطوط عمود و زاویه‌های داده شده"], {"intro": "۱. زاویه قائم را شناسایی کنید (۹۰ درجه). ۲. زاویه داده شده با سطح زمین را یادداشت کنید. ۳. از رابطه زاویه‌ها در مثلث یا خط عمود استفاده کنید تا زاویه مجهول را بیابید. ۴. زاویه مجهول برابر است با ۹۰ درجه منهای زاویه داده شده."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "زاویه و نیمساز (۱)", "محاسبه زاویه مجهول در مثلث با استفاده از مجموع زاویه‌های داخلی مثلث"], {"intro": "۱. مجموع زاویه‌های داخلی مثلث برابر ۱۸۰ درجه است. ۲. زاویه‌های داده شده را جمع کنید. ۳. زاویه مجهول برابر است با ۱۸۰ منهای مجموع زاویه‌های داده شده."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "زاویه و نیمساز (۱)", "محاسبه زاویه مجهول در مثلث قائم‌الزاویه با استفاده از مجموع زاویه‌ها"], {"intro": "۱. در مثلث قائم‌الزاویه، یک زاویه ۹۰ درجه است. ۲. مجموع زاویه‌های مثلث ۱۸۰ درجه است. ۳. زاویه‌های داده شده را جمع کنید. ۴. زاویه مجهول برابر است با ۱۸۰ منهای مجموع زاویه‌های داده شده.", "steps": ["مجموع زاویه‌های مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است.", "زاویه‌های داده شده را جمع می‌کنیم: ۵۵ + ۹۰ = ۱۴۵ درجه.", "زاویه مجهول برابر است با ۱۸۰ منهای مجموع زاویه‌های داده شده: ۱۸۰ - ۱۴۵ = ۳۵ درجه.", "✅ جواب: ۳۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "زاویه و نیمساز (۱)", "تشخیص مجموعه زاویه‌ها که مثلث تشکیل می‌دهند"], {"intro": "۱. مجموع زاویه‌های داده شده را محاسبه کنید. ۲. اگر مجموع برابر ۱۸۰ درجه باشد، این زاویه‌ها می‌توانند زاویه‌های یک مثلث باشند. ۳. در غیر این صورت، نمی‌توانند مثلث تشکیل دهند."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "زاویه و نیمساز (۲)", "تقسیم زاویه به دو زاویه مساوی با استفاده از نیمساز"], {"intro": "۱. نیمساز زاویه، نیم خطی است که زاویه را به دو زاویه مساوی تقسیم می‌کند. ۲. با استفاده از نقاله، نیمساز زاویه را رسم کنید. ۳. زاویه‌های حاصل برابر هستند و هر کدام نصف زاویه اصلی است.", "example": "زاویه AOB برابر با ۸۰ درجه است. با استفاده از نقاله، نیمساز این زاویه را رسم کنید و اندازه زاویه AOC را پیدا کنید.", "steps": ["زاویه AOB برابر با ۸۰ درجه است.", "نیمساز زاویه AOB را رسم می‌کنیم.", "زاویه AOC برابر با نصف زاویه AOB است.", "پس اندازه زاویه AOC برابر با ۸۰ ÷ ۲ = ۴۰ درجه است.", "✅ جواب: ۴۰ درجه"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "زاویه و نیمساز (۲)", "محاسبه اندازه زاویه با استفاده از نیمساز"], {"intro": "۱. زاویه‌های داده شده را شناسایی کنید.\n۲. بدانید که نیمساز زاویه، زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند.\n۳. اگر زاویه کل را داشته باشیم، اندازه هر قسمت نیمساز برابر نصف زاویه کل است.\n۴. اگر زاویه‌های دیگر مثل زاویه‌های مکمل یا متقابل وجود دارد، از روابط زاویه‌ها استفاده کنید تا زاویه مجهول را بیابید.", "steps": ["زاویه کل ۸۰ درجه است.", "نیمساز زاویه، زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند.", "برای پیدا کردن اندازه هر قسمت، ۸۰ را بر ۲ تقسیم می‌کنیم: ۸۰ ÷ ۲ = ۴۰.", "بنابراین، اندازه هر قسمت نیمساز برابر با ۴۰ درجه است.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "زاویه و نیمساز (۲)", "تشخیص نیمساز زاویه در شکل‌های مختلف"], {"intro": "۱. نیمساز زاویه خطی است که زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند.\n۲. بررسی کنید که آیا خط داده شده زاویه را به دو زاویه مساوی تقسیم کرده است یا خیر.\n۳. اگر زاویه‌های دو طرف خط برابر باشند، آن خط نیمساز زاویه است.\n۴. در غیر این صورت، نیمساز نیست."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "زاویه و نیمساز (۲)", "محاسبه اندازه زاویه با استفاده از نیمساز زاویه"], {"intro": "۱. تشخیص دهید کدام خط نیمساز زاویه است. ۲. اندازه زاویه اصلی را پیدا کنید یا داده شده است. ۳. نیمساز زاویه، زاویه را به دو زاویه مساوی تقسیم می‌کند. ۴. اندازه هر زاویه مساوی نصف اندازه زاویه اصلی است. ۵. اگر زاویه‌های دیگر داده شده‌اند، از مجموع زوایا در مثلث یا خط مستقیم استفاده کنید تا زاویه مجهول را بیابید.", "steps": ["زاویه (C A D) برابر ۸۰ درجه است.", "نیمساز زاویه (C A D) زاویه را به دو زاویه مساوی تقسیم می‌کند.", "هر یک از زاویه‌های (B A C) و (B A D) برابر با نصف زاویه (C A D) است.", "اندازه هر زاویه برابر است با ۸۰ ÷ ۲ = ۴۰ درجه.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "زاویه و نیمساز (۳)", "محاسبه زاویه مجهول در مثلث با استفاده از نیمساز زاویه و مجموع زوایا"], {"intro": "۱. زاویه‌های داده شده را یادداشت کنید. ۲. اگر نیمساز زاویه وجود دارد، زاویه مربوطه را نصف کنید. ۳. مجموع زوایای داخلی مثلث برابر ۱۸۰ درجه است. ۴. با استفاده از مجموع زوایا، زاویه مجهول را محاسبه کنید. ۵. اگر زاویه قائمه وجود دارد، آن را ۹۰ درجه در نظر بگیرید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "زاویه و نیمساز (۳)", "محاسبه زاویه با استفاده از زاویه سطح زمین و مثلث قائم‌الزاویه"], {"intro": "۱. زاویه داده شده بین درخت و سطح زمین را یادداشت کنید. ۲. مثلث قائم‌الزاویه را رسم کنید که یک ضلع آن میله عمود بر زمین است. ۳. زاویه بین میله و تنه درخت را مجهول در نظر بگیرید. ۴. مجموع زوایای مثلث برابر ۱۸۰ درجه است. ۵. با استفاده از زاویه‌های داده شده و قائمه بودن زاویه میله با زمین، زاویه مجهول را محاسبه کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "زاویه و نیمساز (۳)", "تشخیص خط تقارن در مثلث‌ها"], {"intro": "۱. بررسی کنید که آیا خط داده شده نیمساز زاویه رأس مثلث است یا خیر. ۲. اگر خط نیمساز زاویه رأس باشد، بررسی کنید که دو ضلع مقابل به آن خط با هم برابر باشند. ۳. اگر دو ضلع مقابل برابر باشند و خط داده شده نیمساز زاویه رأس باشد، آن خط خط تقارن مثلث است. ۴. در غیر این صورت، خط داده شده خط تقارن نیست."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "زاویه و نیمساز (۳)", "تشخیص نیم‌خط نیمساز زاویه"], {"intro": "۱. اندازه زاویه‌های داده شده را بررسی کنید. ۲. نیم‌خط نیمساز زاویه باید زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم کند. ۳. اگر نیم‌خط زاویه را به دو زاویه مساوی تقسیم کند، آن نیم‌خط نیمساز زاویه است. ۴. در غیر این صورت، نیم‌خط نیمساز زاویه نیست.", "example": "زاویه AOB برابر با ۸۰ درجه است و نیم‌خط OC زاویه AOB را به دو قسمت تقسیم می‌کند. اگر اندازه زاویه AOC برابر با ۴۰ درجه باشد، آیا نیم‌خط OC نیمساز زاویه AOB است؟", "steps": ["زاویه AOB برابر با ۸۰ درجه است.", "نیم‌خط OC زاویه AOB را به دو قسمت تقسیم می‌کند.", "برای بررسی نیمساز بودن، باید اندازه زاویه AOC را با نصف زاویه AOB مقایسه کنیم.", "نصف زاویه AOB برابر با ۸۰ ÷ ۲ = ۴۰ درجه است.", "چون اندازه زاویه AOC برابر با ۴۰ درجه است، پس OC نیمساز زاویه AOB است.", "✅ جواب: بله"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۱)", "محاسبه مجموع زاویه‌های یک چهارضلعی"], {"steps": ["مجموع زاویه‌های چهارضلعی برابر با ۳۶۰ درجه است.", "زاویه د را با استفاده از مجموع زاویه‌ها محاسبه می‌کنیم: زاویه د = ۳۶۰ - (زاویه الف + زاویه ب + زاویه ج)", "زاویه د = ۳۶۰ - (۷۰ + ۹۰ + ۸۰)", "زاویه د = ۳۶۰ - ۲۴۰", "زاویه د = ۱۲۰ درجه.", "✅ جواب: ۱۲۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۱)", "محاسبه و مقایسه اندازه قطری متوازی‌الاضلاع"], {"intro": "۱. در متوازی‌الاضلاع، قطرها را رسم کنید. ۲. اندازه هر قسمت از قطرها را با استفاده از واحدهای داده شده یا شبکه‌های مربعی اندازه‌گیری کنید. ۳. مقادیر اندازه‌گیری شده را یادداشت کنید. ۴. با توجه به اندازه‌ها، نتیجه‌گیری کنید که در متوازی‌الاضلاع قطرها چگونه با هم رابطه دارند (مثلاً برابر بودن یا نبودن).", "example": "در یک متوازی‌الاضلاع ABCD، طول قطر AC برابر با ۱۲ سانتی‌متر و طول قطر BD برابر با ۱۶ سانتی‌متر است. آیا قطرها برابرند؟", "steps": ["طول قطر AC برابر با ۱۲ سانتی‌متر است.", "طول قطر BD برابر با ۱۶ سانتی‌متر است.", "مقایسه می‌کنیم: ۱۲ سانتی‌متر با ۱۶ سانتی‌متر برابر نیست.", "نتیجه می‌گیریم که قطرها برابر نیستند.", "✅ جواب: خیر"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۱)", "رسم و اندازه‌گیری قطر در اشکال هندسی مختلف"], {"intro": "۱. شکل هندسی داده شده را رسم کنید. ۲. قطرهای شکل را با خط مستقیم از یک رأس به رأس مقابل رسم کنید. ۳. طول هر قطر را با استفاده از واحدهای داده شده یا شبکه‌های مربعی اندازه‌گیری کنید. ۴. اندازه‌ها را یادداشت کنید و در صورت نیاز، نتیجه‌گیری درباره ویژگی‌های قطرها انجام دهید.", "steps": ["برای محاسبه طول قطر مستطیل از فرمول استفاده می‌کنیم: قطر = √(طول² + عرض²).", "طول مستطیل ۸ سانتی‌متر و عرض آن ۵ سانتی‌متر است.", "بنابراین، قطر = √(۸² + ۵²) = √(۶۴ + ۲۵) = √۸۹.", "حالا √۸۹ را محاسبه می‌کنیم که تقریباً برابر با ۹٫۴ است.", "پس طول هر قطر مستطیل تقریباً ۹٫۴ سانتی‌متر است.", "✅ جواب: ۹٫۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۱)", "تشخیص تقارن قطرها در چهارضلعی"], {"intro": "۱. چهارضلعی را رسم کنید و قطرهای آن را مشخص کنید.\n۲. بررسی کنید که آیا هر قطر، نصف قطر دیگر را نصف می‌کند یا خیر.\n۳. اگر قطرها یکدیگر را نصف کنند، آن‌ها نیمساز یکدیگر هستند و خط تقارن محسوب می‌شوند.\n۴. اگر قطرها یکدیگر را نصف نکنند، خط تقارن نیستند."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۱)", "محاسبه اندازه زاویه‌ها و طول قطعات در چندضلعی‌ها با استفاده از تقارن و اندازه‌های داده شده"], {"intro": "۱. با توجه به اندازه‌های داده شده، روابط بین زاویه‌ها و طول‌ها را بررسی کنید.\n۲. از خاصیت تقارن استفاده کنید تا اندازه‌های مجهول را پیدا کنید.\n۳. در صورت وجود قطرها، از خاصیت نصف شدن یا تقسیم زاویه‌ها استفاده کنید.\n۴. محاسبات را مرحله به مرحله انجام دهید تا اندازه‌های خواسته شده به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۲)", "رسم متوازی‌الاضلاع با قطرهای داده شده"], {"intro": "۱. قطرهای متوازی‌الاضلاع را با اندازه‌های داده شده روی خطوط مشخص شده رسم کنید. ۲. نقاط انتهایی قطرها را به هم وصل کنید تا چهارضلعی متوازی‌الاضلاع شکل گیرد. ۳. بررسی کنید که اضلاع مقابل متوازی و برابر باشند تا متوازی‌الاضلاع رسم شده صحیح باشد."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۲)", "رسم لوزی با قطرهای داده شده"], {"intro": "۱. دو خط عمود بر هم رسم کنید که محل تقاطع آنها مرکز لوزی باشد. ۲. روی یکی از خطوط، قطر اول با طول داده شده را رسم کنید به طوری که مرکز لوزی وسط قطر باشد. ۳. روی خط عمود بر آن، قطر دوم با طول داده شده را رسم کنید به طوری که مرکز لوزی وسط قطر باشد. ۴. نقاط انتهایی قطرها را به هم وصل کنید تا لوزی شکل گیرد."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۲)", "محاسبه زاویه مجهول در مثلث و لوزی با استفاده از زاویه‌های داده شده"], {"intro": "۱. در مثلث، مجموع زاویه‌ها برابر ۱۸۰ درجه است. ۲. زاویه‌های داده شده را با هم جمع کنید. ۳. از ۱۸۰ درجه، مجموع زاویه‌های داده شده را کم کنید تا زاویه مجهول به دست آید. ۴. در لوزی، قطرها عمود بر هم هستند و زاویه‌های مجاور را می‌توان با استفاده از این خاصیت و زاویه‌های داده شده محاسبه کرد.", "steps": ["مجموع زاویه‌های داده شده را محاسبه می‌کنیم: ۴۵ + ۶۰ = ۱۰۵ درجه.", "مجموع زاویه‌های مثلث برابر ۱۸۰ درجه است.", "از ۱۸۰ درجه، مجموع زاویه‌های داده شده را کم می‌کنیم: ۱۸۰ - ۱۰۵ = ۷۵ درجه.", "✅ جواب: ۷۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۲)", "محاسبه زاویه مجهول در لوزی با قطرهای عمود بر هم و زاویه داده شده"], {"intro": "۱. در لوزی، قطرها بر هم عمود هستند و زاویه‌های تشکیل شده ۹۰ درجه هستند. ۲. زاویه‌های داده شده را در نظر بگیرید. ۳. با استفاده از مجموع زاویه‌های اطراف نقطه و زاویه قائمه، زاویه مجهول را محاسبه کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۳)", "تشخیص نوع چهارضلعی با استفاده از اندازه زاویه‌ها"], {"intro": "مجموع زاویه‌های داخلی چهارضلعی برابر ۳۶۰ درجه است. با بررسی اندازه زاویه‌ها و تطبیق آن‌ها با ویژگی‌های انواع چهارضلعی‌ها (مربع، مستطیل، لوزی، متوازی‌الاضلاع و ...)، نوع چهارضلعی را مشخص کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۳)", "شمارش خطوط تقارن در اشکال"], {"intro": "۱. شکل مورد نظر را به دقت مشاهده کنید.\n۲. خطوطی را که شکل را به دو قسمت مساوی و قرینه تقسیم می‌کنند، پیدا کنید.\n۳. هر خطی که دو نیمه شکل را کاملاً قرینه کند، یک خط تقارن محسوب می‌شود.\n۴. تعداد این خطوط را بشمارید و گزارش دهید.", "steps": ["مستطیل را به دو قسمت مساوی از وسط طول آن تقسیم می‌کنیم. این یک خط تقارن است.", "مستطیل را به دو قسمت مساوی از وسط عرض آن تقسیم می‌کنیم. این دومین خط تقارن است.", "هیچ خط دیگری نمی‌تواند مستطیل را به دو قسمت مساوی تقسیم کند.", "بنابراین تعداد خطوط تقارن مستطیل ۲ است.", "✅ جواب: ۲"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۳)", "شمارش خطوط تقارن در شکل‌های ساده‌تر"], {"intro": "۱. شکل ساده را مشاهده کنید.\n۲. خطوطی که شکل را به دو قسمت مساوی و قرینه تقسیم می‌کنند، پیدا کنید.\n۳. تعداد خطوط تقارن را بشمارید و یادداشت کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۳)", "شمارش خطوط تقارن در سازه‌های معماری"], {"intro": "۱. سازه یا ساختمان را مشاهده کنید.\n۲. خطوطی که سازه را به دو قسمت مساوی و قرینه تقسیم می‌کنند، پیدا کنید.\n۳. تعداد خطوط تقارن را بشمارید و یادداشت کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۳)", "محاسبه زاویه در مثلث با استفاده از نیمساز"], {"intro": "۱. شناسایی نیمساز و زاویه مقابل آن در مثلث. ۲. استفاده از خاصیت نیمساز که ضلع مقابل را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند. ۳. استفاده از مجموع زاویه‌های مثلث که برابر ۱۸۰ درجه است. ۴. با داشتن دو زاویه، زاویه سوم را با تفریق از ۱۸۰ درجه محاسبه کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۳)", "محاسبه مجموع زاویه‌های داخلی مثلث"], {"intro": "۱. دانستن اینکه مجموع زاویه‌های داخلی هر مثلث برابر ۱۸۰ درجه است. ۲. اگر یکی از زاویه‌ها معلوم باشد، مجموع دو زاویه دیگر را با تفریق از ۱۸۰ درجه پیدا کنید. ۳. اگر مجموع سه زاویه داده شده باشد، بررسی کنید که مجموع آنها برابر ۱۸۰ درجه است یا خیر."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۴)", "شناسایی و رسم خطوط تقارن اشکال هندسی"], {"intro": "۱. بررسی شکل هندسی و شناسایی محورهایی که شکل را به دو قسمت مساوی و قرینه تقسیم می‌کنند. ۲. رسم خطوطی که این تقارن را نشان می‌دهند. ۳. تعداد خطوط تقارن را مشخص کنید. ۴. برای هر شکل، خطوط تقارن ممکن را رسم کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۴)", "تشخیص مثلث با استفاده از اندازه زاویه‌ها"], {"intro": "۱. اندازه زاویه‌های داده شده را جمع کنید. ۲. اگر مجموع اندازه زاویه‌ها برابر با ۱۸۰ درجه باشد، این زاویه‌ها متعلق به یک مثلث هستند. ۳. در غیر این صورت، این زاویه‌ها نمی‌توانند زاویه‌های یک مثلث باشند."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۴)", "رسم ذوزنقه با خط تقارن"], {"intro": "۱. ابتدا یک خط تقارن مشخص کنید که شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم کند. ۲. سپس دو ضلع موازی ذوزنقه را رسم کنید به گونه‌ای که نسبت به خط تقارن قرینه باشند. ۳. اضلاع دیگر را به گونه‌ای رسم کنید که شکل ذوزنقه با یک خط تقارن ایجاد شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۴)", "رسم مثلث با یک خط تقارن"], {"intro": "۱. یک خط تقارن رسم کنید که شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم کند. ۲. یک ضلع مثلث را روی یک طرف خط تقارن رسم کنید. ۳. ضلع‌های دیگر را به گونه‌ای رسم کنید که نسبت به خط تقارن قرینه باشند و شکل مثلث با یک خط تقارن ایجاد شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۴)", "تشخیص تقارن در بناهای تاریخی"], {"intro": "۱. شکل یا بنای مورد نظر را به دقت مشاهده کنید.\n۲. محورهای تقارن ممکن را در شکل مشخص کنید (محورهای عمودی، افقی یا مورب).\n۳. بررسی کنید که آیا دو طرف محورهای مشخص شده قرینه و مشابه هستند یا خیر.\n۴. اگر دو طرف محور تقارن مشابه باشند، آن محور تقارن است.\n۵. تعداد و نوع تقارن‌ها را مشخص کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۵)", "تشخیص و رسم خطوط تقارن"], {"intro": "۱. شکل مورد نظر را بررسی کنید و خطوطی که شکل را به دو قسمت مساوی و قرینه تقسیم می‌کنند، پیدا کنید. ۲. این خطوط را به عنوان خطوط تقارن رسم کنید. ۳. بررسی کنید که آیا شکل به وسیله این خطوط به دو نیمه مساوی و قرینه تقسیم می‌شود یا خیر."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۵)", "تشخیص شکل بدون خط تقارن"], {"intro": "۱. شکل را بررسی کنید و خطوطی که ممکن است تقارن ایجاد کنند را در نظر بگیرید. ۲. اگر هیچ خطی وجود نداشت که شکل را به دو نیمه مساوی و قرینه تقسیم کند، شکل بدون خط تقارن است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۵)", "تشخیص شکل با یک خط تقارن"], {"intro": "۱. شکل را بررسی کنید و خطوطی که ممکن است تقارن ایجاد کنند را در نظر بگیرید. ۲. چوب‌ها را طوری بردارید که فقط یک خط تقارن باقی بماند. ۳. این خط تقارن را شناسایی و رسم کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۵)", "محاسبه تعداد چوب‌های لازم برای داشتن خطوط تقارن مشخص"], {"intro": "۱. تعداد خطوط تقارن مورد نظر را مشخص کنید. ۲. با توجه به شکل و تعداد چوب‌های موجود، تعداد چوب‌هایی که باید برداشته یا اضافه شود را محاسبه کنید تا شکل دارای تعداد خطوط تقارن خواسته شده باشد."}], [["پایه پنجم", "فصل ۴: تقارن و چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و مجموع زاویه‌های آن‌ها (۵)", "تشخیص مرکز تقارن با استفاده از عدسی محدب"], {"intro": "۱. یک نقطه را در فاصله معینی از مرکز یک عدسی محدب قرار دهید. ۲. تصویر آن نقطه را از عدسی مشاهده کنید. ۳. اگر تصویر نسبت به نقطه اصلی هم‌اندازه، قرینه و وارونه باشد، آن نقطه مرکز تقارن است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "عددهای اعشاری (۱)", "نوشتن کسر یا عدد مخلوط بر اساس تقسیم نوار واحد"], {"intro": "۱. نوار واحد را به قسمت‌های مساوی تقسیم کنید. ۲. تعداد قسمت‌های رنگ شده یا مشخص شده را بشمارید. ۳. کسر را به صورت تعداد قسمت‌های رنگ شده بر تعداد کل قسمت‌ها بنویسید. ۴. اگر تعداد قسمت‌های رنگ شده بیشتر از تعداد کل قسمت‌ها بود، آن را به عدد مخلوط تبدیل کنید (عدد صحیح به علاوه کسر باقی‌مانده).", "steps": ["نوار واحد را به ۸ قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم.", "۳ قسمت از نوار رنگ شده است.", "کسر را به صورت ۳/۸ می‌نویسیم.", "✅ جواب: ۳/۸"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "عددهای اعشاری (۱)", "نمایش و نوشتن عددهای اعشاری روی نوارهای تقسیم شده"], {"intro": "۱. نوار واحد را به تعداد قسمت‌های مناسب تقسیم کنید (مثلاً ۱۰ قسمت برای دهم‌ها). ۲. عدد اعشاری داده شده را به صورت عدد صحیح و قسمت اعشاری جدا کنید. ۳. جایگاه عدد را روی نوار با توجه به قسمت‌های تقسیم شده مشخص کنید. ۴. عدد اعشاری را روی نوار بنویسید یا علامت بزنید.", "example": "روی نوار تقسیم شده به ۱۰ قسمت، عدد ۲٫۴ را نشان دهید.", "steps": ["عدد ۲٫۴ را به دو قسمت تقسیم می‌کنیم: عدد صحیح ۲ و قسمت اعشاری ۰٫۴.", "عدد صحیح ۲ را روی نوار به دو قسمت کامل نشان می‌دهیم.", "برای قسمت اعشاری ۰٫۴، نوار را به ۱۰ قسمت تقسیم می‌کنیم و ۴ قسمت را علامت می‌زنیم.", "بنابراین، عدد ۲٫۴ روی نوار به صورت ۲ و ۴ قسمت از ۱۰ نشان داده می‌شود.", "✅ جواب: ۲٫۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "عددهای اعشاری (۱)", "اندازه‌گیری طول نوار با عدد اعشاری"], {"intro": "۱. نوار را به قسمت‌های مساوی تقسیم کنید. ۲. عدد اعشاری داده شده را به دهم یا صدم تبدیل کنید. ۳. به اندازه عدد اعشاری روی نوار علامت بزنید یا خط بکشید. ۴. طول نوار تا آن نقطه برابر با عدد اعشاری داده شده است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "عددهای اعشاری (۱)", "خواندن و تعیین عددهای اعشاری روی خط‌کش"], {"intro": "۱. خط‌کش را به بخش‌های مساوی تقسیم کنید که هر بخش نشان‌دهنده یک مقدار اعشاری مشخص است.\n۲. عددهای اعشاری را با توجه به موقعیت نقاط مشخص شده روی خط‌کش بخوانید.\n۳. برای تعیین فاصله بین دو عدد اعشاری، تعداد بخش‌های بین آن‌ها را بشمارید و مقدار هر بخش را ضرب کنید.\n۴. برای تبدیل واحدها (مثلاً میلی‌متر به سانتی‌متر) از تبدیل‌های استاندارد استفاده کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "عددهای اعشاری (۱)", "تعیین مقدار رنگ شده و رنگ نشده در ظرف‌ها و مقایسه اعداد اعشاری"], {"intro": "۱. مقدار کل ظرف را به واحد لیتر در نظر بگیرید.\n۲. مقدار رنگ شده را با توجه به کسر داده شده (مثلاً ۲/۶) تعیین کنید.\n۳. مقدار باقی‌مانده (رنگ نشده) را با کم کردن مقدار رنگ شده از کل ظرف محاسبه کنید.\n۴. اعداد اعشاری رنگ شده و رنگ نشده را بنویسید.\n۵. برای مقایسه اعداد اعشاری، ابتدا اعداد را با هم مقایسه کنید و عدد بزرگ‌تر یا کوچک‌تر را مشخص کنید.", "example": "یک ظرف یک لیتری داریم که ۳/۴ آن با رنگ قرمز رنگ شده است. چند لیتر از ظرف رنگ نشده است؟", "steps": ["مقدار کل ظرف ۱ لیتر است.", "مقدار رنگ شده را محاسبه می‌کنیم: ۳/۴ × ۱ = ۳/۴ لیتر.", "مقدار باقی‌مانده (رنگ نشده) را محاسبه می‌کنیم: ۱ - ۳/۴ = ۱/۴ لیتر.", "مقدار رنگ نشده را به عدد اعشاری تبدیل می‌کنیم: ۱/۴ = ۰٫۲۵ لیتر.", "✅ جواب: ۰٫۲۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "عددهای اعشاری (۱)", "رنگ‌آمیزی و تعیین عدد اعشاری بین دو عدد صحیح با استفاده از مربع‌های تقسیم شده"], {"intro": "۱. هر مربع را به ۱۰ قسمت مساوی تقسیم کنید که هر قسمت نشان‌دهنده یک‌دهم کیلوگرم است.\n۲. تعداد قسمت‌های رنگ شده را بشمارید.\n۳. عدد اعشاری را به صورت تعداد قسمت‌های رنگ شده تقسیم بر ۱۰ بنویسید.\n۴. تعداد قسمت‌های رنگ نشده را نیز بشمارید.\n۵. عدد اعشاری رنگ شده و رنگ نشده را بنویسید.\n۶. اعداد را با هم مقایسه کنید تا عدد بزرگ‌تر و کوچک‌تر مشخص شود.", "example": "روی نوار تقسیم شده به ۱۰ قسمت، جای عددهای ۰٫۶ و ۱٫۷ را نشان دهید.", "steps": ["نوار به ۱۰ قسمت مساوی تقسیم شده است.", "عدد ۰٫۶ یعنی ۶ دهم، پس روی قسمت ششم علامت می‌زنیم.", "عدد ۱٫۷ یعنی ۱ واحد کامل و ۷ دهم، پس ابتدا یک واحد کامل را در نظر می‌گیریم و سپس ۷ قسمت از ۱۰ قسمت بعدی را علامت می‌زنیم. جای عدد ۰٫۶ روی قسمت ششم و جای عدد ۱٫۷ روی قسمت هفدهم نوار مشخص می‌شود.", "✅ جواب: ۰٫۶ روی قسمت ششم و ۱٫۷ روی قسمت هفدهم."]}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "عددهای اعشاری (۲)", "تعیین مقدار عدد اعشاری با استفاده از تقسیم شکل به قسمت‌های مساوی"], {"intro": "۱. شکل داده شده را به قسمت‌های مساوی تقسیم می‌کنیم. ۲. هر قسمت را به عنوان یک واحد کسری در نظر می‌گیریم (مثلاً ۱/۱۰ یا ۱/۱۰۰). ۳. تعداد قسمت‌های رنگ شده یا باقی‌مانده را می‌شماریم. ۴. مقدار عدد اعشاری برابر است با تعداد قسمت‌های رنگ شده ضرب در مقدار هر قسمت. ۵. مقدار عدد اعشاری را با توجه به تقسیم‌بندی شکل به دست می‌آوریم."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "عددهای اعشاری (۲)", "تقسیم قسمت‌های یک دهم به قسمت‌های کوچکتر برای تعیین مقدار دقیق‌تر"], {"intro": "۱. قسمت‌های یک دهم را به قسمت‌های مساوی کوچکتر تقسیم می‌کنیم (مثلاً هر یک دهم را به ۱۰ قسمت تقسیم کنیم). ۲. هر قسمت کوچکتر را به عنوان یک قسمت صدمی یا کسری کوچکتر در نظر می‌گیریم. ۳. تعداد قسمت‌های کوچکتر رنگ شده یا باقی‌مانده را می‌شماریم. ۴. مقدار دقیق‌تر عدد اعشاری را با ضرب تعداد قسمت‌های کوچکتر در مقدار هر قسمت به دست می‌آوریم."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "عددهای اعشاری (۲)", "تعیین مقدار عدد اعشاری با استفاده از قسمت‌های صدمی و خواندن عدد اعشاری"], {"intro": "۱. مربع واحد را به ۱۰۰ قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم. ۲. تعداد قسمت‌های رنگ شده یا باقی‌مانده را می‌شماریم. ۳. مقدار عدد اعشاری برابر است با تعداد قسمت‌های رنگ شده تقسیم بر ۱۰۰. ۴. عدد اعشاری را به صورت ده‌دهی می‌نویسیم و می‌خوانیم.", "steps": ["تعداد درخت‌های میوه‌دار ۳۵ است.", "مقدار عدد اعشاری برابر است با ۳۵ تقسیم بر ۱۰۰.", "۳۵ ÷ ۱۰۰ = ۰٫۳۵.", "عدد اعشاری ۰٫۳۵ را به صورت ده‌دهی می‌نویسیم و می‌خوانیم: صفر و سی و پنج صدم.", "✅ جواب: ۰٫۳۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "عددهای اعشاری (۳)", "ادامه دادن الگوهای عددی اعشاری"], {"example": "در یک الگوی عددی، اعداد ۲٫۵، ۳٫۰، ۳٫۵ و ۴٫۰ وجود دارد. ادامه این الگو را پیدا کنید.", "steps": ["تفاوت بین اعداد متوالی را محاسبه می‌کنیم: ۳٫۰ - ۲٫۵ = ۰٫۵ و ۳٫۵ - ۳٫۰ = ۰٫۵ و ۴٫۰ - ۳٫۵ = ۰٫۵.", "تفاوت ثابت ۰٫۵ است، بنابراین برای ادامه الگو، ۴٫۰ را ۰٫۵ افزایش می‌دهیم.", "عدد بعدی: ۴٫۰ + ۰٫۵ = ۴٫۵.", "عدد بعدی بعدی: ۴٫۵ + ۰٫۵ = ۵٫۰.", "✅ جواب: ۴٫۵، ۵٫۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "عددهای اعشاری (۳)", "ارزش مکانی اعداد اعشاری"], {"intro": "۱. عدد اعشاری را به قسمت‌های مختلف آن تقسیم کنید: یکان، دهم، صدوم، هزارم.\n۲. هر رقم را در ارزش مکانی مربوط به خود قرار دهید.\n۳. برای نوشتن رقم‌های مرتبه صدوم و هزارم، از تقسیم عدد به کسرهای معادل استفاده کنید.\n۴. عدد را به صورت جمع ارزش مکانی هر رقم بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "عددهای اعشاری (۳)", "رسم و نمایش عدد اعشاری با استفاده از شکل‌های شبکه‌ای"], {"intro": "۱. عدد اعشاری را به بخش‌های هزارم، صدوم، دهم و یکان تقسیم کنید.\n۲. هر بخش را با توجه به ارزش مکانی آن در شکل شبکه‌ای رنگ‌آمیزی کنید؛ هر مربع بزرگ نشان‌دهنده یک واحد کامل است، هر بخش کوچک‌تر نشان‌دهنده بخش‌های اعشاری است.\n۳. تعداد مربع‌های رنگ شده را با ارزش مکانی آن‌ها ضرب کنید تا مقدار عدد را نمایش دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "عددهای اعشاری (۳)", "پر کردن جدول ارزش مکانی عدد اعشاری"], {"intro": "۱. عدد اعشاری داده شده را به بخش‌های هزارم، صدوم، دهم، یکان و هزار تقسیم کنید.\n۲. هر رقم را در خانه مربوط به ارزش مکانی آن در جدول قرار دهید.\n۳. اگر خانه‌ای خالی است، عدد صفر را در آن قرار دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "عددهای اعشاری (۳)", "مقایسه اعداد اعشاری با استفاده از جدول ارزش مکانی"], {"intro": "۱. هر عدد اعشاری را در جدول ارزش مکانی به صورت جداگانه بنویسید.\n۲. از سمت چپ به راست، رقم‌های هر ارزش مکانی را با هم مقایسه کنید.\n۳. اگر رقم در یک ارزش مکانی بزرگ‌تر بود، آن عدد بزرگ‌تر است.\n۴. اگر رقم‌ها برابر بودند، به ارزش مکانی بعدی بروید.\n۵. نتیجه مقایسه را با علامت <، > یا = مشخص کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "عددهای اعشاری (۴)", "نوشتن عدد به صورت جمع اجزای اعشاری"], {"intro": "برای نوشتن عدد به صورت جمع اجزای اعشاری، هر رقم اعشاری را بر اساس جایگاه آن در عدد جدا می‌کنیم و به صورت جمعی از اعداد کوچکتر می‌نویسیم. به عنوان مثال، عدد ۱۴٫۲۵۷ را به صورت ۱۰ + ۴ + ۰٫۲ + ۰٫۰۵ + ۰٫۰۰۷ می‌نویسیم."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "عددهای اعشاری (۴)", "خواندن و نوشتن عددهای اعشاری روی محور اعداد"], {"intro": "۱. محور اعداد را مشاهده کنید و بازه بین اعداد صحیح را مشخص کنید.\n۲. هر قسمت کوچک‌تر بین اعداد صحیح را به بخش‌های مساوی تقسیم کنید.\n۳. موقعیت نقطه داده شده را روی محور پیدا کنید.\n۴. عدد اعشاری متناظر با آن نقطه را با توجه به تقسیم‌بندی‌ها بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "عددهای اعشاری (۴)", "تبدیل واحدهای اندازه‌گیری طول و جرم"], {"intro": "۱. برای تبدیل سانتی‌متر به متر، عدد را بر ۱۰۰ تقسیم کنید.\n۲. برای تبدیل کیلوگرم به گرم، عدد را در ۱۰۰۰ ضرب کنید.\n۳. برای تبدیل میلی‌متر به متر، عدد را بر ۱۰۰۰ تقسیم کنید.\n۴. نتیجه را به واحد مورد نظر بنویسید.", "example": "قد سارا ۲۵۰ سانتی‌متر است؛ یعنی چند متر؟", "steps": ["برای تبدیل سانتی‌متر به متر، عدد ۲۵۰ را بر ۱۰۰ تقسیم می‌کنیم.", "۲۵۰ ÷ ۱۰۰ = ۲٫۵", "پس قد سارا ۲٫۵ متر است.", "✅ جواب: ۲٫۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "عددهای اعشاری (۴)", "قرار دادن اعداد متمایز در جای مناسب بر اساس واحد و مقدار"], {"intro": "۱. هر عدد را با واحد مربوطه بررسی کنید.\n۲. اعداد را با توجه به واحد و مقدارشان دسته‌بندی کنید.\n۳. هر عدد را در جای مناسب که به آن مرتبط است قرار دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "جمع عددهای اعشاری (۱)", "جمع عددهای اعشاری با استفاده از محور اعداد"], {"intro": "۱. عدد اول را روی محور عدد مشخص کنید. ۲. مقدار عدد دوم را به صورت پرش‌های کوچک روی محور اضافه کنید. ۳. محل نهایی پرش‌ها عدد حاصل جمع است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "جمع عددهای اعشاری (۱)", "جمع عددهای اعشاری با استفاده از جدول ارزش مکانی"], {"intro": "۱. اعداد را بر اساس ارزش مکانی (یکان، دهم، صددم) در جدول قرار دهید. ۲. از سمت راست (صددم) جمع را شروع کنید و اگر جمع بیش از ۹ شد، رقم اضافی را به ستون بعدی منتقل کنید. ۳. جمع هر ستون را به ترتیب انجام دهید تا حاصل نهایی به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "جمع عددهای اعشاری (۱)", "جمع عددهای اعشاری با استفاده از محور عدد (تمرین ساده)"], {"intro": "۱. عدد اول را روی محور عدد مشخص کنید. ۲. عدد دوم را به صورت پرش روی محور اضافه کنید. ۳. محل نهایی پرش‌ها عدد حاصل جمع است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "جمع عددهای اعشاری (۱)", "قرار دادن اعداد اعشاری در جدول ارزش مکانی و پاسخ به سوالات مربوط به ارزش مکانی"], {"intro": "۱. اعداد داده شده را در جدول ارزش مکانی قرار دهید به طوری که هر رقم در ستون مربوط به ارزش مکانی خود قرار گیرد.\n۲. برای پاسخ به سوالات، به رقم مورد نظر در جدول نگاه کنید و مقدار آن را با توجه به جایگاهش بیان کنید.\n۳. برای جمع، از ستون هزارم شروع کرده و به سمت چپ ادامه دهید.\n۴. جمع را مرحله به مرحله انجام دهید و حاصل نهایی را بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "جمع عددهای اعشاری (۱)", "جمع اعداد اعشاری با حذف رقم‌های اعشاری و محاسبه حاصل تقریبی و دقیق"], {"intro": "۱. اعداد اعشاری را به صورت جداگانه بنویسید. ۲. رقم‌های بعد از ممیز را حذف کنید تا عدد به صورت تقریبی درآید. ۳. اعداد تقریبی را با هم جمع کنید تا حاصل تقریبی به دست آید. ۴. سپس اعداد اصلی را با دقت کامل جمع کنید تا حاصل دقیق به دست آید.", "example": "حاصل جمع اعداد ۳/۴۵ + ۲/۷۸ + ۱/۹ را با حذف رقم‌های اعشاری به دست آورید و سپس حاصل دقیق را محاسبه کنید.", "steps": ["اعداد را به صورت جداگانه می‌نویسیم: ۳/۴۵، ۲/۷۸ و ۱/۹.", "رقم‌های بعد از ممیز را حذف می‌کنیم: ۳، ۲ و ۱.", "حالا اعداد تقریبی را با هم جمع می‌کنیم: ۳ + ۲ + ۱ = ۶.", "حالا اعداد اصلی را با دقت کامل جمع می‌کنیم: ۳٫۴۵ + ۲٫۷۸ + ۱٫۹ = ۸٫۱۳.", "✅ جواب: ۸٫۱۳"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "جمع عددهای اعشاری (۲)", "مقایسه حاصل جمع تقریبی و دقیق اعداد اعشاری"], {"intro": "۱. حاصل جمع تقریبی اعداد را محاسبه کنید. ۲. حاصل جمع دقیق اعداد را محاسبه کنید. ۳. تفاوت بین حاصل جمع تقریبی و دقیق را بررسی کنید تا ببینید چقدر به هم نزدیک هستند. ۴. نتیجه را بیان کنید که آیا حاصل تقریبی و دقیق به هم نزدیک‌اند یا خیر."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "جمع عددهای اعشاری (۲)", "تصحیح جمع‌های اشتباه اعداد اعشاری"], {"intro": "۱. جمع داده شده را بررسی کنید و اشتباهات احتمالی را پیدا کنید. ۲. جمع صحیح اعداد را با دقت محاسبه کنید. ۳. تفاوت بین جمع اشتباه و جمع صحیح را توضیح دهید. ۴. در کلاس یا گروه درباره اشتباهات و روش صحیح جمع کردن بحث کنید.", "example": "جمع اشتباه ۳/۴ + ۲/۳ = ۱/۲ داده شده است. اشتباه را پیدا کنید و جمع صحیح را محاسبه کنید.", "steps": ["ابتدا مخرج مشترک ۴ و ۳ را پیدا می‌کنیم که ۱۲ است.", "۳/۴ را به مخرج ۱۲ تبدیل می‌کنیم: (۳ × ۳)/(۴ × ۳) = ۹/۱۲.", "۲/۳ را به مخرج ۱۲ تبدیل می‌کنیم: (۲ × ۴)/(۳ × ۴) = ۸/۱۲.", "حالا جمع می‌کنیم: ۹/۱۲ + ۸/۱۲ = ۱۷/۱۲.", "جمع صحیح برابر با ۱۷/۱۲ است.", "✅ جواب: ۱۷/۱۲"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "جمع عددهای اعشاری (۲)", "محاسبه حاصل جمع اعداد اعشاری با حذف رقم‌های اعشاری به صورت تقریبی و سپس دقیق"], {"intro": "۱. اعداد داده شده را بنویسید. ۲. رقم‌های بعد از ممیز را حذف کنید تا اعداد به صورت تقریبی درآیند. ۳. اعداد تقریبی را جمع کنید. ۴. سپس اعداد اصلی را با دقت جمع کنید. ۵. نتیجه تقریبی و دقیق را گزارش دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "جمع عددهای اعشاری (۲)", "تخمین و محاسبه دقیق حاصل جمع اعداد اعشاری نزدیک به عدد مشخص"], {"intro": "۱. اعداد داده شده را بررسی کنید. ۲. حاصل جمع تقریبی را با حذف رقم‌های اعشاری یا گرد کردن به نزدیک‌ترین عدد صحیح یا عدد ساده‌تر به دست آورید. ۳. حدس بزنید حاصل جمع نهایی به کدام عدد نزدیک‌تر است. ۴. حاصل جمع دقیق را محاسبه کنید و حدس را بررسی کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "جمع عددهای اعشاری (۳)", "پر کردن جدول هرم جمع اعداد اعشاری"], {"intro": "۱. هر خانه بالایی را با جمع دو خانه پایینی آن پر کنید. ۲. قبل از کامل کردن جدول، عددهای بالایی را به طور تقریبی گرد کنید. ۳. حاصل جمع را به دست آورید و در خانه بالایی قرار دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "جمع عددهای اعشاری (۳)", "جمع اعداد اعشاری با استفاده از کارت‌های رنگی و تقریب"], {"intro": "۱. از هر کارت دو عدد انتخاب کنید. ۲. این دو عدد را با هم جمع کنید. ۳. حاصل جمع را به طور تقریبی گرد کنید. ۴. بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین عدد را با کارت‌ها بسازید و مجموع آن‌ها را به دست آورید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "جمع عددهای اعشاری (۳)", "محاسبه محیط چندضلعی‌های داده شده با اعداد اعشاری"], {"intro": "۱. طول هر ضلع چندضلعی را یادداشت کنید. ۲. همه طول‌ها را با هم جمع کنید. ۳. حاصل جمع محیط چندضلعی است.", "example": "یک مستطیل داریم که طول آن ۴٫۵ متر و عرض آن ۳٫۲ متر است. محیط این مستطیل را حساب کنید.", "steps": ["طول مستطیل را یادداشت می‌کنیم: ۴٫۵ متر.", "عرض مستطیل را یادداشت می‌کنیم: ۳٫۲ متر.", "محیط مستطیل را با فرمول ۲ × (طول + عرض) محاسبه می‌کنیم: ۲ × (۴٫۵ + ۳٫۲).", "جمع طول و عرض را محاسبه می‌کنیم: ۴٫۵ + ۳٫۲ = ۷٫۷.", "محیط مستطیل را محاسبه می‌کنیم: ۲ × ۷٫۷ = ۱۵٫۴.", "✅ جواب: ۱۵٫۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "جمع عددهای اعشاری (۳)", "تقریب وزن میوه‌ها روی ترازو"], {"intro": "۱. عددهای روی ترازو را بخوانید. ۲. هر عدد را به نزدیک‌ترین عدد صحیح یا عدد اعشاری ساده‌تر تقریب بزنید. ۳. مجموع وزن‌ها را به دست آورید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "تفریق عددهای اعشاری (۱)", "تفریق عددهای اعشاری"], {"intro": "۱. اعداد اعشاری را به صورت ستون‌های جداگانه برای یکان، دهم، صدم و ... بنویسید.\n۲. اگر لازم است، اعداد را به گونه‌ای تنظیم کنید که تعداد ارقام اعشاری برابر باشد.\n۳. از سمت راست به چپ تفریق را انجام دهید، در صورت نیاز قرض بگیرید.\n۴. نتیجه را به صورت عدد اعشاری بنویسید.\n۵. در صورت استفاده از محور عددی، ابتدا عدد بزرگ‌تر را مشخص کنید و سپس عدد کوچکتر را از آن کم کنید و فاصله را روی محور نشان دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "تفریق عددهای اعشاری (۱)", "تقریب عددهای اعشاری"], {"intro": "۱. عددهای اعشاری را روی محور عددی مشخص کنید.\n۲. فاصله بین دو عدد را محاسبه کنید.\n۳. عدد حاصل را به نزدیک‌ترین عدد صحیح یا عدد اعشاری ساده‌تر تقریب بزنید.\n۴. پاسخ تقریبی را اعلام کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "تفریق عددهای اعشاری (۱)", "محاسبه صرفه‌جویی در مصرف بنزین با تفریق عددهای اعشاری"], {"intro": "۱. مقدار مصرف بنزین روزانه با خودرو شخصی را به صورت عدد اعشاری بنویسید.\n۲. مقدار مصرف بنزین روزانه با تاکسی را به صورت عدد اعشاری بنویسید.\n۳. مقدار مصرف تاکسی را از مصرف خودرو شخصی کم کنید.\n۴. نتیجه تفریق نشان‌دهنده مقدار بنزین صرفه‌جویی شده در روز است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "تفریق عددهای اعشاری (۱)", "تعیین بازه عددهای اعشاری"], {"intro": "۱. عددهای داده شده را به صورت عددهای اعشاری می‌نویسیم.\n۲. بازه بین دو عدد را به صورت بازه‌ای از عدد کوچکتر تا عدد بزرگتر مشخص می‌کنیم.\n۳. بازه را به صورت عددهای اعشاری با دقت یک هزارم یا یک دهم بیان می‌کنیم.\n۴. پاسخ را به صورت بازه عددی بین دو عدد می‌نویسیم.", "example": "بازه عددهای اعشاری بین ۰٫۲۵۶ و ۰٫۷۸۹ را مشخص کنید.", "steps": ["عدد کوچکتر ۰٫۲۵۶ و عدد بزرگتر ۰٫۷۸۹ است.", "بازه را از ۰٫۲۵۶ تا ۰٫۷۸۹ مشخص می‌کنیم.", "بازه را به صورت عددهای اعشاری با دقت یک هزارم بیان می‌کنیم.", "بنابراین، بازه عددی بین ۰٫۲۵۶ و ۰٫۷۸۹ به صورت (۰٫۲۵۶, ۰٫۷۸۹) است.", "✅ جواب: (۰٫۲۵۶, ۰٫۷۸۹)"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "تفریق عددهای اعشاری (۱)", "تفریق عددهای اعشاری با مراحل تفصیلی"], {"intro": "۱. اعداد را به صورت ستونی زیر هم می‌نویسیم و ممیزها را زیر هم قرار می‌دهیم.\n۲. از سمت راست شروع به تفریق می‌کنیم.\n۳. اگر رقم بالا کوچکتر از رقم پایین بود، از ستون سمت چپ قرض می‌گیریم.\n۴. تفریق هر ستون را انجام می‌دهیم و جواب هر مرحله را یادداشت می‌کنیم.\n۵. ممیز را در جواب در همان ستون قرار می‌دهیم.\n۶. جواب نهایی تفریق عددهای اعشاری را به دست می‌آوریم."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "تفریق عددهای اعشاری (۱)", "تفریق عددهای اعشاری با استفاده از جدول ارزش مکانی"], {"intro": "۱. اعداد را در جدول ارزش مکانی به صورت جداگانه در ستون‌های هزارم، صدوم، دهگان و یکان قرار دهید. ۲. از سمت راست به چپ تفریق را انجام دهید. ۳. اگر عددی در یک ستون کمتر از عدد زیر آن بود، از ستون سمت چپ یک واحد قرض بگیرید. ۴. حاصل تفریق هر ستون را یادداشت کنید. ۵. اعداد حاصل را کنار هم قرار دهید تا جواب نهایی به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "تفریق عددهای اعشاری (۲)", "تشخیص و اصلاح اشتباه در تفریق عددهای اعشاری"], {"intro": "۱. ابتدا تفریق داده شده را بررسی کنید و اعداد را با دقت در ستون‌های ارزش مکانی قرار دهید. ۲. تفریق را از سمت راست به چپ انجام دهید و هر مرحله را بررسی کنید. ۳. اگر در هر مرحله اشتباهی مشاهده کردید، آن را مشخص کنید و تفریق صحیح را انجام دهید. ۴. نتیجه صحیح را بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "تفریق عددهای اعشاری (۲)", "پر کردن جاهای خالی با اعداد اعشاری به گونه‌ای که جمع برابر با عدد مشخص شود"], {"intro": "۱. عدد داده شده را به عنوان حاصل جمع در نظر بگیرید. ۲. سه عدد اعشاری متفاوت انتخاب کنید که جمع آنها برابر با عدد داده شده باشد. ۳. اعداد را به گونه‌ای تنظیم کنید که جمع آنها دقیقاً برابر با عدد داده شده شود. ۴. اعداد انتخاب شده را در جاهای خالی قرار دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "تفریق عددهای اعشاری (۲)", "پر کردن جای خالی در جمع و تفریق عددهای اعشاری"], {"intro": "۱. اعداد را به صورت ستونی زیر هم قرار دهید به طوری که ممیزها در یک ستون قرار گیرند.\n۲. از سمت راست شروع به جمع یا تفریق اعداد کنید.\n۳. اگر جمع یا تفریق در یک ستون بیشتر از ۹ شد، رقم دهگان را به ستون بعدی منتقل کنید.\n۴. جای خالی‌ها را با اعداد مناسب پر کنید تا معادله برقرار شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "تفریق عددهای اعشاری (۲)", "تقریب عدد اعشاری به نزدیک‌ترین عدد صحیح"], {"intro": "۱. عدد اعشاری را بررسی کنید.\n۲. اگر قسمت اعشاری عدد کمتر از ۰٫۵ باشد، عدد را به پایین‌ترین عدد صحیح نزدیک‌تر می‌کنیم.\n۳. اگر قسمت اعشاری عدد برابر یا بیشتر از ۰٫۵ باشد، عدد را به بالاترین عدد صحیح نزدیک‌تر می‌کنیم.\n۴. نتیجه را به عنوان تقریب نهایی اعلام می‌کنیم."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "تفریق عددهای اعشاری (۲)", "تکمیل جدول مثلثی جمع عددهای اعشاری"], {"intro": "۱. در هر خانه بالایی، حاصل جمع دو خانه زیر آن را قرار دهید.\n۲. ابتدا خانه‌های پایین جدول را داشته باشید.\n۳. با جمع کردن دو عدد مجاور در ردیف پایین، عدد ردیف بالاتر را محاسبه کنید.\n۴. این کار را تا رسیدن به بالاترین خانه ادامه دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "تفریق عددهای اعشاری (۲)", "مقایسه مجموع زمان شنا در گروه‌های مختلف و تعیین برنده"], {"intro": "۱. زمان هر عضو گروه را یادداشت کنید.\n۲. زمان‌های اعضای هر گروه را با هم جمع کنید.\n۳. مجموع زمان هر گروه را با گروه‌های دیگر مقایسه کنید.\n۴. گروهی که مجموع زمان کمتری دارد برنده است.\n۵. اختلاف زمانی بین دو گروه را با کم کردن مجموع زمان‌ها محاسبه کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "ضرب عددهای اعشاری (۱)", "محاسبه جرم بطری‌های شیشه‌ای خالی با استفاده از ضرب عدد اعشاری"], {"intro": "۱. جرم یک بطری شیشه‌ای خالی به صورت عدد اعشاری داده شده است.\n۲. تعداد بطری‌ها را در جرم یک بطری ضرب می‌کنیم تا جرم کل بطری‌ها را به دست آوریم.\n۳. حاصل ضرب عدد اعشاری در تعداد را محاسبه می‌کنیم تا جواب نهایی به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "ضرب عددهای اعشاری (۱)", "ضرب عددهای اعشاری و تبدیل حاصل ضرب به کسر"], {"intro": "۱. ابتدا عددهای اعشاری را به کسر تبدیل می‌کنیم.\n۲. کسرهای به دست آمده را در هم ضرب می‌کنیم.\n۳. حاصل ضرب کسرها را به عدد اعشاری تبدیل می‌کنیم.\n۴. تعداد ارقام اعشاری هر عامل ضرب و حاصل ضرب را بررسی می‌کنیم و ارتباط آن‌ها را می‌یابیم."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "ضرب عددهای اعشاری (۲)", "ضرب عددهای اعشاری در اعداد بزرگ و کوچک"], {"example": "یک عدد اعشاری ۳٫۴ را در عدد ۱۲ ضرب کنید.", "steps": ["ابتدا ۳٫۴ را بدون ممیز به ۳۴ تبدیل می‌کنیم و ۱۲ را به همان شکل باقی می‌گذاریم.", "حالا ۳۴ را در ۱۲ ضرب می‌کنیم: ۳۴ × ۱۲ = ۴۰۸.", "در عدد ۳٫۴، یک رقم اعشاری وجود دارد و در عدد ۱۲ هیچ رقم اعشاری وجود ندارد.", "بنابراین، در حاصل ضرب ۴۰۸، یک رقم اعشاری باید به سمت چپ قرار دهیم: ۴۰٫۸.", "حاصل نهایی ۳٫۴ × ۱۲ برابر است با ۴۰٫۸.", "✅ جواب: ۴۰٫۸"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "ضرب عددهای اعشاری (۲)", "پر کردن جای خالی در دنباله ضرب اعداد اعشاری"], {"intro": "برای پر کردن جای خالی در دنباله ضرب، عدد اولیه را در عدد اعشاری داده شده ضرب می‌کنیم تا عدد بعدی به دست آید. این کار را برای هر جای خالی تکرار می‌کنیم. سپس مقایسه می‌کنیم که حاصل ضرب‌ها نسبت به عدد ۱ کمتر یا بیشتر هستند."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "ضرب عددهای اعشاری (۳)", "پر کردن جای خالی در دنباله ضرب اعداد اعشاری بزرگ‌تر از 1"], {"intro": "برای پر کردن جای خالی در دنباله ضرب، عدد اولیه را در عدد اعشاری داده شده ضرب می‌کنیم تا عدد بعدی به دست آید. این کار را برای هر جای خالی تکرار می‌کنیم. سپس مقایسه می‌کنیم که حاصل ضرب‌ها نسبت به عدد ۱ کمتر یا بیشتر هستند."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "ضرب عددهای اعشاری (۳)", "محاسبه مقدار مواد وارد شده به بدن از طریق آب"], {"intro": "۱. مقدار هر ماده معدنی در یک بطری یک لیتری آب را از جدول بخوانید.\n۲. تعداد بطری‌ها را در مقدار هر ماده ضرب کنید تا مقدار کل ماده وارد شده به بدن به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "ضرب عددهای اعشاری (۳)", "محاسبه طول و عرض مستطیل با مساحت داده شده"], {"intro": "۱. مساحت مستطیل داده شده است.\n۲. طول و عرض مستطیل را به گونه‌ای انتخاب کنید که حاصل ضرب آنها برابر مساحت باشد.\n۳. برای هر مثال واقعی، طول و عرض را با واحد مناسب بنویسید.", "example": "مساحت یک مستطیل ۲۴ سانتی‌متر مربع است. اگر طول مستطیل ۶ سانتی‌متر باشد، عرض آن را محاسبه کنید.", "steps": ["مساحت مستطیل برابر است با طول ضربدر عرض.", "با توجه به مساحت ۲۴ سانتی‌متر مربع و طول ۶ سانتی‌متر، می‌نویسیم: ۲۴ = ۶ × عرض.", "برای پیدا کردن عرض، هر دو طرف معادله را بر ۶ تقسیم می‌کنیم: عرض = ۲۴ ÷ ۶.", "محاسبه می‌کنیم: عرض = ۴ سانتی‌متر.", "✅ جواب: ۴ سانتی‌متر"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "ضرب عددهای اعشاری (۳)", "نوشتن عامل‌های ضرب متفاوت برای حاصل ضرب داده شده"], {"intro": "۱. حاصل ضرب داده شده را بررسی کنید.\n۲. دو عدد مختلف پیدا کنید که حاصل ضرب آنها برابر عدد داده شده باشد.\n۳. این دو عدد را به عنوان عامل‌های ضرب متفاوت بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "ضرب عددهای اعشاری (۵)", "تقریب عدد به نزدیک‌ترین رقم دهم و مقایسه اعداد"], {"intro": "برای تقریب عدد به نزدیک‌ترین رقم دهم، رقم بعد از رقم دهم را بررسی کنید. اگر این رقم ۵ یا بیشتر بود، رقم دهم را یک واحد افزایش دهید و بقیه ارقام را حذف کنید. سپس اعداد تقریبی را با هم مقایسه کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "ضرب عددهای اعشاری (۵)", "یافتن عدد اعشاری نزدیک به یک عدد داده شده"], {"intro": "۱. کارت‌های عددی داده شده را بررسی کنید.\n۲. عددی را که به عدد مورد نظر نزدیک‌تر است، انتخاب کنید.\n۳. اگر لازم است، عدد را به صورت عدد اعشاری یا کسر نمایش دهید.\n۴. در صورت نیاز، عدد را به عددی که به یک عدد مشخص نزدیک‌تر است، تقریب بزنید.", "example": "کارت‌های عددی ۰٫۷، ۰٫۹ و ۱٫۲ را دارید. نزدیک‌ترین عدد به ۱ که مساوی ۱ نباشد، کدام است؟", "steps": ["عدد ۰٫۷ از ۱ فاصله‌اش ۰٫۳ است.", "عدد ۰٫۹ از ۱ فاصله‌اش ۰٫۱ است.", "عدد ۱٫۲ از ۱ فاصله‌اش ۰٫۲ است.", "نزدیک‌ترین عدد به ۱ که مساوی ۱ نباشد، ۰٫۹ است.", "✅ جواب: ۰٫۹"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "ضرب عددهای اعشاری (۶)", "ساختن عدد اعشاری با تعداد کارت مشخص"], {"intro": "۱. تعداد کارت‌های داده شده را مشخص کنید.\n۲. کارت‌های عدد و کارت ممیز را به گونه‌ای کنار هم قرار دهید که عدد اعشاری ساخته شود.\n۳. عدد ساخته شده را به صورت عدد اعشاری بنویسید.\n۴. در صورت نیاز، عدد را با عددهای دیگر مقایسه کنید یا به عدد نزدیک‌تر را پیدا کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "ضرب عددهای اعشاری (۶)", "مقایسه اعداد اعشاری و تعیین نزدیک‌ترین عدد"], {"intro": "۱. دو عدد اعشاری داده شده را بررسی کنید.\n۲. فاصله هر عدد را با عدد یک محاسبه کنید.\n۳. عددی که فاصله کمتری دارد، نزدیک‌تر به عدد یک است.\n۴. نتیجه را اعلام کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "ضرب عددهای اعشاری (۶)", "ساختن عدد نزدیک به عدد مشخص با کارت‌های عددی و کارت ممیز"], {"intro": "۱. چهار کارت عدد و کارت ممیز را بردارید.\n۲. کارت ممیز را وسط کارت‌ها قرار دهید.\n۳. کارت‌های عدد را طوری انتخاب کنید که عدد ساخته شده به عدد ۵۰ نزدیک باشد.\n۴. عدد ساخته شده را بنویسید و بررسی کنید که چقدر به ۵۰ نزدیک است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "ضرب عددهای اعشاری (۶)", "ساختن بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین عدد ممکن با کارت‌های عددی و کارت ممیز و محاسبه اختلاف آنها"], {"intro": "۱. سه کارت عدد و یک کارت ممیز بردارید.\n۲. با این کارت‌ها کوچک‌ترین عدد ممکن را بسازید.\n۳. با همین کارت‌ها بزرگ‌ترین عدد ممکن را بسازید.\n۴. اختلاف بین بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین عدد را محاسبه کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "ضرب عددهای اعشاری (۶)", "نوشتن عدد اعشاری به صورت حروف"], {"intro": "۱. عدد اعشاری داده شده را بررسی کنید.\n۲. قسمت صحیح و قسمت اعشاری عدد را جدا کنید.\n۳. قسمت صحیح را به حروف بنویسید.\n۴. قسمت اعشاری را به صورت کسر یا عدد به حروف بنویسید.\n۵. هر دو قسمت را به صورت جمله کامل بنویسید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "مساحت لوزی و ذوزنقه (۱)", "تشخیص شکل‌های هندسی و ویژگی‌های آنها"], {"steps": ["برای محاسبه طول قطر AC از فرمول فیثاغورس استفاده می‌کنیم: AC² = AB² + BC².", "AB² = ۸² = ۶۴ و BC² = ۵² = ۲۵.", "اکنون AC² = ۶۴ + ۲۵ = ۸۹.", "پس AC = √۸۹ که تقریباً برابر با ۹٫۴۳ سانتی‌متر است.", "✅ جواب: ۹٫۴۳"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "مساحت لوزی و ذوزنقه (۲)", "محاسبه قطر لوزی با استفاده از مساحت و قطر داده شده"], {"intro": "۱. فرمول مساحت لوزی را به یاد بیاورید: مساحت = (قطر اول × قطر دوم) ÷ ۲. ۲. مقدار مساحت و یکی از قطرها را در فرمول قرار دهید. ۳. معادله را برای قطر دوم حل کنید. ۴. مقدار قطر دوم را به دست آورید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "مساحت لوزی و ذوزنقه (۳)", "محاسبه قطرهای ممکن لوزی با مساحت داده شده"], {"intro": "۱. فرمول مساحت لوزی را به یاد بیاورید: مساحت = (قطر اول × قطر دوم) ÷ ۲. ۲. مقدار مساحت را در فرمول قرار دهید. ۳. قطر اول را به صورت متغیر فرض کنید و قطر دوم را بر اساس آن به دست آورید. ۴. چند مقدار مختلف برای قطر اول انتخاب کنید و قطر دوم را محاسبه کنید تا جواب‌های مختلف به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "مساحت لوزی و ذوزنقه (۳)", "محاسبه مساحت دیوار کناری استخر به شکل ذوزنقه"], {"intro": "۱. مساحت ذوزنقه را با فرمول مساحت ذوزنقه محاسبه کنید: مساحت = ((قاعده بزرگ + قاعده کوچک) ÷ ۲) × ارتفاع. ۲. در این مسئله، قاعده‌ها برابر با عمق کم و عمق زیاد است و ارتفاع برابر با طول استخر. ۳. مقادیر داده شده را در فرمول قرار دهید و مساحت را محاسبه کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "مساحت لوزی و ذوزنقه (۳)", "محاسبه تعداد کاشی‌های لوزی برای پوشش دیوار"], {"intro": "۱. مساحت دیوار را به دست آورید (اگر داده نشده، ابتدا محاسبه کنید). ۲. مساحت هر کاشی لوزی را با استفاده از فرمول مساحت لوزی محاسبه کنید: مساحت = (قطر اول × قطر دوم) ÷ ۲. ۳. تعداد کاشی‌ها برابر است با مساحت دیوار تقسیم بر مساحت هر کاشی. ۴. اگر لازم است، عدد به دست آمده را گرد کنید یا به صورت عدد صحیح بیان کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "مساحت لوزی و ذوزنقه (۳)", "محاسبه مساحت شکل‌های مرکب با استفاده از تقسیم به اشکال ساده"], {"intro": "۱. شکل مرکب را به اشکال ساده‌تر مانند مثلث، مستطیل یا ذوزنقه تقسیم کنید. ۲. مساحت هر شکل ساده را با فرمول مربوطه محاسبه کنید. ۳. مساحت‌های به دست آمده را با هم جمع کنید تا مساحت کل شکل به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "مساحت لوزی و ذوزنقه (۳)", "محاسبه کسری از نوار رنگی با استفاده از اندازه لوزی‌ها"], {"intro": "۱. مساحت هر لوزی را با استفاده از فرمول مساحت لوزی محاسبه کنید. ۲. تعداد لوزی‌های رنگ شده را بشمارید. ۳. مساحت کل نوار را با طول و عرض آن محاسبه کنید. ۴. نسبت مساحت لوزی‌های رنگ شده به مساحت کل نوار را به صورت کسر بیان کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "محیط دایره (۱)", "محاسبه محیط دایره با استفاده از قطر"], {"intro": "۱. قطر دایره را اندازه بگیرید یا داده شده است. ۲. شعاع دایره را با نصف کردن قطر به دست آورید. ۳. از فرمول محیط دایره استفاده کنید: محیط = ۲ × π × شعاع. ۴. مقدار π را تقریباً برابر ۳٫۱۴ یا ۲۲/۷ قرار دهید. ۵. محاسبه را انجام دهید تا محیط دایره به دست آید.", "steps": ["محیط دایره = عدد پی × قطر", "محیط دایره = ۳٫۱۴ × ۶ = ۱۸٫۸ سانتی‌متر", "بنابراین، محیط دایره تقریباً ۱۸٫۸ سانتی‌متر است.", "✅ جواب: ۱۸٫۸ سانتی‌متر"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "محیط دایره (۱)", "مقایسه محیط چندضلعی‌ها با محیط دایره"], {"intro": "۱. محیط چندضلعی را با جمع طول اضلاع آن محاسبه کنید. ۲. محیط دایره را با فرمول محیط = ۲ × π × شعاع محاسبه کنید. ۳. محیط چندضلعی‌ها را با محیط دایره مقایسه کنید. ۴. چندضلعی‌ای که محیط آن به محیط دایره نزدیک‌تر است را مشخص کنید. ۵. برای دقت بیشتر، تعداد اضلاع چندضلعی را افزایش دهید تا محیط آن به محیط دایره نزدیک‌تر شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "محیط دایره (۱)", "شناسایی اجزای دایره"], {"intro": "۱. مرکز دایره را مشخص کنید. ۲. شعاع دایره را به عنوان فاصله مرکز تا هر نقطه روی دایره تعریف کنید. ۳. قطر دایره را به عنوان خطی که از مرکز می‌گذرد و دو نقطه روی دایره را به هم وصل می‌کند، تعریف کنید. ۴. کمان دایره را به عنوان قسمتی از محیط دایره بین دو نقطه روی دایره تعریف کنید. ۵. هر قسمت را با توجه به تعاریف در شکل مشخص کنید.", "example": "دایره‌ای با مرکز O و شعاع ۵ سانتی‌متر رسم شده است. اگر نقطه A روی دایره باشد، فاصله OA برابر با شعاع دایره است. حالا اگر نقطه B نیز روی دایره باشد و خط OB قطر دایره باشد، طول قطر دایره را محاسبه کنید.", "steps": ["شعاع دایره برابر با ۵ سانتی‌متر است.", "قطر دایره برابر با ۲ برابر شعاع است.", "بنابراین، قطر = ۲ × ۵ = ۱۰ سانتی‌متر.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "محیط دایره (۱)", "محاسبه محیط دایره با استفاده از شعاع"], {"intro": "۱. شعاع دایره را مشخص کنید.\n۲. شعاع را در ۲ ضرب کنید تا قطر به دست آید.\n۳. عدد پی (تقریباً ۳٫۱۴) را در قطر ضرب کنید.\n۴. حاصل ضرب محیط دایره است.\n۵. در صورت نیاز، نتیجه را به یک رقم اعشار گرد کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "محیط دایره (۱)", "تقسیم محیط دایره بر قطر و بررسی عدد پی"], {"intro": "۱. محیط دایره را مشخص کنید.\n۲. قطر دایره را مشخص کنید.\n۳. محیط دایره را بر قطر تقسیم کنید.\n۴. عدد به دست آمده را با عدد پی (۳٫۱۴) مقایسه کنید.\n۵. نتیجه را به یک رقم اعشار گرد کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "محیط دایره (۲)", "محاسبه محیط دایره با قطرهای مختلف"], {"intro": "۱. قطر دایره را مشخص کنید.\n۲. عدد پی (۳٫۱۴) را در قطر ضرب کنید.\n۳. حاصل ضرب محیط دایره است.\n۴. در صورت نیاز، نتیجه را به یک رقم اعشار گرد کنید.", "steps": ["قطر دایره ۵ سانتی‌متر است.", "عدد پی را برابر ۳٫۱۴ در نظر می‌گیریم.", "محیط دایره را با ضرب کردن ۳٫۱۴ در ۵ محاسبه می‌کنیم: ۳٫۱۴ × ۵ = ۱۵٫۷.", "نتیجه را به یک رقم اعشار گرد می‌کنیم: ۱۵٫۷.", "✅ جواب: ۱۵٫۷"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "محیط دایره (۲)", "محاسبه محیط دایره با استفاده از قطر داده شده"], {"intro": "۱. قطر دایره را مشخص کنید.\n۲. از فرمول محیط دایره استفاده کنید: محیط = π × قطر.\n۳. مقدار π را برابر ۳٫۱۴ در نظر بگیرید.\n۴. قطر را در ۳٫۱۴ ضرب کنید تا محیط دایره به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "محیط دایره (۲)", "تکمیل جدول محیط دایره با استفاده از شعاع و قطر"], {"intro": "۱. شعاع دایره را یادداشت کنید.\n۲. قطر دایره را با استفاده از شعاع محاسبه کنید: قطر = ۲ × شعاع.\n۳. فرمول محیط دایره را به کار ببرید: محیط = π × قطر.\n۴. مقدار π را برابر ۳٫۱۴ در نظر بگیرید.\n۵. قطر را در ۳٫۱۴ ضرب کنید تا محیط دایره به دست آید.\n۶. مقادیر را در جدول مربوطه وارد کنید.", "steps": ["شعاع دایره ۵ سانتی‌متر است.", "برای محاسبه قطر، از فرمول قطر = ۲ × شعاع استفاده می‌کنیم: قطر = ۲ × ۵ = ۱۰ سانتی‌متر.", "حالا محیط دایره را با استفاده از فرمول محیط = π × قطر محاسبه می‌کنیم.", "مقدار π را برابر ۳٫۱۴ در نظر می‌گیریم.", "محیط = ۳٫۱۴ × ۱۰ = ۳۱٫۴ سانتی‌متر.", "✅ جواب: ۳۱٫۴ سانتی‌متر"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "محیط دایره (۲)", "محاسبه طول مسیر حرکت عقربه دقیقه‌شمار ساعت"], {"intro": "۱. ابتدا طول مسیر حرکت عقربه دقیقه‌شمار در یک دور کامل ساعت را مشخص کنید.\n۲. برای نیم ساعت، طول مسیر را نصف کنید.\n۳. برای ربع ساعت، طول مسیر را تقسیم بر چهار کنید.\n۴. نتایج را به سانتی‌متر بیان کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "محیط دایره (۲)", "محاسبه محیط شکل‌های مرکب شامل نیم‌دایره و قطر"], {"intro": "۱. محیط نیم‌دایره را با استفاده از فرمول محیط دایره (۲πr) محاسبه کنید و سپس نصف آن را بگیرید.\n۲. طول قطر نیم‌دایره را اندازه بگیرید.\n۳. محیط شکل مرکب برابر است با جمع نصف محیط دایره و طول قطر.\n۴. برای شکل‌های مرکب‌تر، محیط‌ها و طول‌های اضافی را جمع کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "محیط دایره (۳)", "محاسبه محیط شکل مرکب شامل دو نیم‌دایره با قطرهای متفاوت"], {"intro": "۱. شعاع هر نیم‌دایره را با نصف کردن قطر آن محاسبه کنید.\n۲. محیط هر دایره را با فرمول ۲πr محاسبه کنید.\n۳. نصف محیط هر دایره را برای نیم‌دایره‌ها محاسبه کنید.\n۴. محیط شکل مرکب برابر است با جمع نصف محیط دایره بزرگ، نصف محیط دایره کوچک و طول‌های اضافی (مانند قطرها یا خطوط مستقیم)."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "محیط دایره (۳)", "محاسبه طول نوار مورد نیاز برای دور دایره"], {"intro": "۱. محیط دایره را با فرمول محیط = ۲ × π × شعاع محاسبه کنید.\n۲. مقدار π را ۳ در نظر بگیرید.\n۳. شعاع داده شده را در ۲ و سپس در ۳ ضرب کنید تا محیط دایره به دست آید.\n۴. طول نوار مورد نیاز برابر با محیط دایره است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "محیط دایره (۳)", "محاسبه محیط شکل مرکب شامل نیم‌دایره و خطوط مستقیم"], {"intro": "۱. محیط نیم‌دایره را با فرمول محیط نیم‌دایره = π × شعاع محاسبه کنید.\n۲. مقدار π را ۳ در نظر بگیرید.\n۳. محیط نیم‌دایره را محاسبه کنید.\n۴. طول خطوط مستقیم داده شده را با هم جمع کنید.\n۵. مجموع محیط نیم‌دایره و خطوط مستقیم را جمع کنید تا محیط کل شکل به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "محیط دایره (۳)", "محاسبه محیط شکل مرکب شامل ربع دایره و خطوط مستقیم"], {"intro": "۱. محیط ربع دایره را با فرمول محیط ربع دایره = (π × شعاع) / ۲ محاسبه کنید.\n۲. مقدار π را ۳ در نظر بگیرید.\n۳. محیط ربع دایره را محاسبه کنید.\n۴. طول خطوط مستقیم داده شده را با هم جمع کنید.\n۵. مجموع محیط ربع دایره و خطوط مستقیم را جمع کنید تا محیط کل شکل به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "محیط دایره (۳)", "محاسبه هزینه جدول‌بندی دور میدان دایره‌ای"], {"intro": "۱. محیط دایره را با فرمول محیط = π × قطر محاسبه کنید.\n۲. مقدار π را ۳ در نظر بگیرید.\n۳. قطر داده شده را در ۳ ضرب کنید تا محیط دایره به دست آید.\n۴. هزینه هر متر جدول سیمانی را در محیط ضرب کنید تا هزینه کل به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "حجم (۱)", "محاسبه حجم شکل‌های مرکب با مکعب‌های واحد"], {"steps": ["حجم جعبه مستطیلی با فرمول حجم = طول × عرض × ارتفاع محاسبه می‌شود.", "طول جعبه ۴ واحد است، عرض آن ۳ واحد و ارتفاع آن ۲ واحد است.", "حجم = ۴ × ۳ × ۲ = ۲۴ واحد مکعب.", "بنابراین، حجم کل جعبه ۲۴ واحد مکعب است.", "✅ جواب: ۲۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "حجم (۱)", "محاسبه حجم مکعب مستطیل با واحدهای مختلف"], {"intro": "۱. ابعاد مکعب مستطیل را با واحد داده شده یادداشت کنید.\n۲. حجم را با ضرب طول، عرض و ارتفاع محاسبه کنید.\n۳. اگر واحدها متفاوت هستند، ابتدا آنها را به یک واحد تبدیل کنید.\n۴. حجم را بر اساس واحد مکعبی مناسب بنویسید (مثلاً سانتی‌متر مکعب یا متر مکعب)."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "حجم (۱)", "تکمیل جدول واحدهای اندازه‌گیری و مثال‌ها"], {"intro": "۱. واحد اندازه‌گیری مربوط به هر کمیت را مشخص کنید.\n۲. برای هر واحد، یک مثال مناسب از زندگی روزمره یا اشیاء مرتبط بنویسید.\n۳. مثال‌ها باید با واحد اندازه‌گیری همخوانی داشته باشند.\n۴. جدول را با اطلاعات کامل پر کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "حجم (۲)", "محاسبه حجم مکعب مستطیل"], {"steps": ["حجم کتاب = طول × عرض × ارتفاع = ۲۵ × ۲۰ × ۱ = ۵۰۰ سانتی‌متر مکعب.", "✅ جواب: ۵۰۰ سانتی‌متر مکعب"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "حجم (۲)", "محاسبه حجم مکعب"], {"steps": ["ضلع مکعب برابر ۳ سانتی‌متر است.", "حجم = ۳ × ۳ × ۳", "حجم = ۹ × ۳", "حجم = ۲۷ سانتی‌متر مکعب.", "✅ جواب: ۲۷"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "حجم (۳)", "محاسبه حجم مکعب مستطیل‌های ترکیبی"], {"intro": "۱. شکل ترکیبی را به مکعب مستطیل‌های ساده تقسیم کنید.\n۲. حجم هر مکعب مستطیل را با فرمول طول × عرض × ارتفاع محاسبه کنید.\n۳. حجم‌های به دست آمده را با هم جمع کنید تا حجم کل شکل به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "حجم (۳)", "محاسبه حجم شکل‌های مرکب با کم کردن حجم مکعب مستطیل‌ها"], {"intro": "۱. شکل مرکب را کامل کنید به گونه‌ای که یک مکعب مستطیل بزرگ تشکیل شود.\n۲. حجم مکعب مستطیل بزرگ را با فرمول طول × عرض × ارتفاع محاسبه کنید.\n۳. حجم مکعب مستطیل‌های کم شده را محاسبه کنید.\n۴. حجم کل شکل برابر است با حجم مکعب مستطیل بزرگ منهای حجم مکعب مستطیل‌های کم شده."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "حجم (۳)", "محاسبه حجم شکل‌های مرکب با کم کردن حجم مکعب مستطیل داخلی"], {"intro": "۱. حجم مکعب مستطیل بزرگ‌تر را با فرمول طول × عرض × ارتفاع محاسبه کنید.\n۲. حجم مکعب مستطیل کوچک‌تر داخلی را با همان فرمول محاسبه کنید.\n۳. حجم شکل برابر است با حجم مکعب مستطیل بزرگ‌تر منهای حجم مکعب مستطیل کوچک‌تر داخلی."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "حجم (۴)", "محاسبه حجم اشکال مرکب"], {"intro": "۱. شکل مرکب را به چند مکعب مستطیل ساده تقسیم کنید.\n۲. حجم هر مکعب مستطیل را با فرمول طول × عرض × ارتفاع محاسبه کنید.\n۳. حجم‌های به دست آمده را با هم جمع کنید تا حجم کل شکل به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "حجم (۴)", "محاسبه حجم شکل پله‌ای"], {"intro": "۱. شکل پله‌ای را به چند مکعب مستطیل کوچک‌تر تقسیم کنید.\n۲. حجم هر مکعب مستطیل را با فرمول طول × عرض × ارتفاع محاسبه کنید.\n۳. حجم‌های به دست آمده را با هم جمع کنید تا حجم کل شکل به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "حجم (۴)", "یافتن حجم مکعب مستطیل با حجم داده شده و شرایط طول، عرض و ارتفاع"], {"intro": "۱. حجم مکعب مستطیل را با فرمول طول × عرض × ارتفاع بیان کنید.\n۲. با داشتن حجم داده شده و رابطه بین طول، عرض و ارتفاع، معادله‌ای برای یافتن مقادیر مجهول بنویسید.\n۳. معادله را حل کنید تا طول، عرض و ارتفاع ممکن را بیابید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "گنجایش (۱)", "مقایسه گنجایش ظروف"], {"intro": "۱. مقدار مایع ریخته شده در هر ظرف را بررسی کنید.\n۲. ظرفی که مایع از آن سرریز شده یا پر نشده است را مشخص کنید.\n۳. با توجه به میزان مایع و پر یا خالی بودن ظرف، گنجایش هر ظرف را مقایسه کنید.\n۴. نتیجه بگیرید که کدام ظرف گنجایش بیشتری دارد."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "گنجایش (۱)", "محاسبه گنجایش بر اساس تعداد لیوان‌ها و استکان‌ها"], {"intro": "۱. تعداد لیوان‌ها یا استکان‌های پر شده را بشمارید.\n۲. فرض کنید مقدار چای در هر لیوان یا استکان برابر است.\n۳. گنجایش کل ظرف را با جمع کردن تعداد لیوان‌ها یا استکان‌ها مشخص کنید.\n۴. مقایسه کنید که گنجایش کدام ظرف بیشتر است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "گنجایش (۱)", "تأثیر گنجایش بر کیفیت غذا"], {"intro": "۱. مقدار آب اضافه شده به غذا را بررسی کنید.\n۲. تأثیر مقدار آب بر کیفیت غذا را تحلیل کنید.\n۳. نتیجه بگیرید که اضافه یا کم بودن آب چگونه باعث تغییر در طعم و کیفیت غذا می‌شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "گنجایش (۱)", "اندازه‌گیری حجم مایعات با واحد لیتر"], {"intro": "برای اندازه‌گیری حجم مایعات، ابتدا باید ظرف یا مایع مورد نظر را شناسایی کنیم. سپس با استفاده از واحد لیتر که برابر با حجم مایعی است که در مکعبی به ابعاد ۱۰ سانتی‌متر طول، ۱۰ سانتی‌متر عرض و ۱۰ سانتی‌متر ارتفاع جا می‌شود، حجم مایع را بیان می‌کنیم. اگر حجم مایع کمتر یا بیشتر از یک لیتر باشد، می‌توان آن را به صورت کسری یا چند برابر لیتر بیان کرد.", "example": "یک ظرف آب به حجم ۲٫۵ لیتر داریم. اگر هر لیوان آب ۲۵۰ میلی‌لیتر باشد، چند لیوان آب می‌توان از این ظرف پر کرد؟", "steps": ["حجم ظرف را به میلی‌لیتر تبدیل می‌کنیم: ۲٫۵ لیتر = ۲۵۰۰ میلی‌لیتر.", "حجم هر لیوان را به میلی‌لیتر داریم: ۲۵۰ میلی‌لیتر.", "برای پیدا کردن تعداد لیوان‌ها، حجم ظرف را بر حجم هر لیوان تقسیم می‌کنیم: ۲۵۰۰ ÷ ۲۵۰ = ۱۰.", "بنابراین، از این ظرف می‌توان ۱۰ لیوان آب پر کرد.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "گنجایش (۱)", "محاسبه حجم ظرف مکعب مستطیل"], {"intro": "۱. ابعاد ظرف (طول، عرض، ارتفاع) را بر حسب سانتی‌متر یادداشت کنید.\n۲. حجم ظرف را با فرمول حجم مکعب مستطیل = طول × عرض × ارتفاع محاسبه کنید.\n۳. حجم به دست آمده بر حسب سانتی‌متر مکعب است.\n۴. برای تبدیل حجم به لیتر، حجم بر ۱۰۰۰ تقسیم کنید (چون هر لیتر برابر ۱۰۰۰ سانتی‌متر مکعب است).", "example": "یک ظرف مکعب مستطیل به ابعاد ۱۵ سانتی‌متر طول، ۱۰ سانتی‌متر عرض و ۵ سانتی‌متر ارتفاع داریم. حجم این ظرف را محاسبه کنید و سپس آن را به لیتر تبدیل کنید.", "steps": ["حجم ظرف را با فرمول محاسبه می‌کنیم: حجم = طول × عرض × ارتفاع = ۱۵ × ۱۰ × ۵.", "حجم = ۷۵۰ سانتی‌متر مکعب.", "برای تبدیل حجم به لیتر، ۷۵۰ را بر ۱۰۰۰ تقسیم می‌کنیم: ۷۵۰ ÷ ۱۰۰۰ = ۰٫۷۵.", "بنابراین، حجم ظرف به لیتر برابر است با ۰٫۷۵ لیتر.", "✅ جواب: ۰٫۷۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "گنجایش (۲)", "تبدیل واحدهای حجم و اندازه‌گیری مایعات"], {"intro": "برای تبدیل واحدهای حجم ابتدا باید رابطه بین واحدها را بدانیم. ۱ لیتر برابر با ۱۰۰۰ سانتی‌متر مکعب است. برای تبدیل لیتر به سانتی‌متر مکعب، عدد لیتر را در ۱۰۰۰ ضرب می‌کنیم و برای تبدیل سانتی‌متر مکعب به لیتر، عدد را بر ۱۰۰۰ تقسیم می‌کنیم. همچنین برای تبدیل کسرهای لیتر به عدد اعشاری، کسر را به عدد اعشاری تبدیل می‌کنیم و سپس تبدیل واحد را انجام می‌دهیم.", "example": "یک ظرف دارای ۲٫۵ لیتر مایعات است. این مقدار را به سانتی‌متر مکعب تبدیل کنید.", "steps": ["عدد ۲٫۵ را در ۱۰۰۰ ضرب می‌کنیم تا مقدار سانتی‌متر مکعب را به دست آوریم.", "۲٫۵ × ۱۰۰۰ = ۲۵۰۰ سانتی‌متر مکعب.", "بنابراین، ۲٫۵ لیتر برابر با ۲۵۰۰ سانتی‌متر مکعب است.", "✅ جواب: ۲۵۰۰ سانتی‌متر مکعب"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "گنجایش (۳)", "محاسبه تعداد اشیاء با توجه به محدودیت حجم"], {"example": "پدر سارا یک ظرف با حجم ۱۲۰ لیتر دارد. هر توپ تنیس دارای حجم ۰٫۵ لیتر است. پدر سارا می‌خواهد بداند حداکثر چند توپ تنیس می‌تواند در این ظرف قرار دهد.", "steps": ["حجم کل ظرف ۱۲۰ لیتر است.", "حجم هر توپ تنیس ۰٫۵ لیتر است.", "برای محاسبه تعداد توپ‌ها، حجم کل ظرف را بر حجم هر توپ تقسیم می‌کنیم: ۱۲۰ ÷ ۰٫۵ = ۲۴۰.", "بنابراین، حداکثر ۲۴۰ توپ تنیس می‌تواند در ظرف قرار گیرد.", "✅ جواب: ۲۴۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "گنجایش (۳)", "محاسبه حجم کل شربت با ترکیب چند مایع و مقایسه با حجم ظرف"], {"example": "برای تهیه یک شربت، به ۴ لیتر آب، ۱/۲ لیتر آب میوه و ۳/۱۰ لیتر آب لیمو نیاز داریم. آیا یک ظرف ۶ لیتری برای تهیه این شربت کافی است؟", "steps": ["حجم آب: ۴ لیتر", "حجم آب میوه: ۱/۲ لیتر = ۰٫۵ لیتر", "حجم آب لیمو: ۳/۱۰ لیتر = ۰٫۳ لیتر", "حجم کل شربت = ۴ + ۰٫۵ + ۰٫۳ = ۴٫۸ لیتر", "حجم ظرف: ۶ لیتر، که بیشتر از ۴٫۸ لیتر است. بنابراین ظرف کافی است.", "✅ جواب: بله"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "گنجایش (۳)", "محاسبه محیط و قطر دایره"], {"intro": "۱. شعاع دایره داده شده است. ۲. قطر دایره را با دو برابر کردن شعاع به دست می‌آوریم: قطر = ۲ × شعاع. ۳. محیط دایره را با فرمول محیط = ۲ × π × شعاع محاسبه می‌کنیم. ۴. مقادیر را در فرمول قرار داده و محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "گنجایش (۳)", "محاسبه مقدار آب مورد نیاز برای پرکردن آکواریوم"], {"intro": "۱. حجم آکواریوم را بر اساس ابعاد آن محاسبه کنید (طول × عرض × ارتفاع). ۲. حجم یک پارچ آب را بدانید یا فرض کنید. ۳. حجم آکواریوم را بر حجم یک پارچ تقسیم کنید تا تعداد پارچ‌های مورد نیاز برای پرکردن آکواریوم به دست آید.", "steps": ["حجم آکواریوم را محاسبه می‌کنیم: ۴۰ × ۲۰ × ۳۰ = ۲۴۰۰۰ سانتی‌متر مکعب.", "حجم ۱ لیتر آب برابر با ۱۰۰۰ سانتی‌متر مکعب است.", "تعداد پارچ‌های مورد نیاز را محاسبه می‌کنیم: ۲۴۰۰۰ ÷ ۱۰۰۰ = ۲۴.", "بنابراین، برای پرکردن آکواریوم به ۲۴ پارچ آب نیاز داریم.", "✅ جواب: ۲۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "گنجایش (۴)", "محاسبه ارتفاع مکعب مستطیل با حجم داده شده"], {"steps": ["حجم مکعب مستطیل را با فرمول حجم = طول × عرض × ارتفاع بیان می‌کنیم: ۱۲۰ = ۶ × ۵ × ارتفاع.", "محاسبه می‌کنیم: ۶ × ۵ = ۳۰.", "حالا معادله را برای ارتفاع حل می‌کنیم: ارتفاع = ۱۲۰ ÷ ۳۰.", "محاسبه می‌کنیم: ارتفاع = ۴.", "بنابراین ارتفاع مکعب مستطیل ۴ واحد است.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "گنجایش (۴)", "یافتن اختلاف اندازه بین دو شکل"], {"intro": "۱. با استفاده از خط‌کش، اندازه‌های طول و عرض هر دو شکل را اندازه‌گیری کنید. ۲. اختلاف هر یک از اندازه‌ها را با کم کردن مقدار کوچکتر از بزرگتر به دست آورید. ۳. اختلاف‌های به دست آمده را بررسی کنید تا حداقل ده اختلاف بین دو شکل پیدا کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۶: اندازه‌گیری", "گنجایش (۴)", "تشخیص شکل هندسی با لمس و توصیف ویژگی‌ها"], {"intro": "۱. شکل‌های هندسی مختلف مانند مثلث، مستطیل، ذوزنقه، استوانه، مکعب و دایره را در یک جعبه قرار دهید. ۲. بدون دیدن، با دست شکل‌ها را لمس کنید و ویژگی‌های آن‌ها را بررسی کنید (مثلاً تعداد وجه‌ها، انحنای سطح، زاویه‌ها). ۳. حدس بزنید هر شکل چیست و ویژگی‌های آن را بنویسید. ۴. نام شکل را مشخص کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "جمع‌آوری و نمایش داده‌ها (۱)", "تحلیل داده‌ها و یافتن بیشترین و کمترین مقدار"], {"intro": "۱. داده‌ها را از جدول یا نمودار استخراج کنید.\n۲. مقادیر هر فرد را با هم مقایسه کنید.\n۳. بیشترین مقدار را پیدا کنید و نام فرد مربوطه را مشخص کنید.\n۴. کمترین مقدار را پیدا کنید و نام فرد مربوطه را مشخص کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "جمع‌آوری و نمایش داده‌ها (۱)", "یافتن داده‌ای که بیشتر تکرار شده است"], {"intro": "۱. داده‌ها را از جدول استخراج کنید.\n۲. تعداد تکرار هر مقدار را بشمارید.\n۳. مقداری که بیشترین تعداد تکرار را دارد، مشخص کنید.", "example": "در یک کلاس، دانش‌آموزان تعداد کتاب‌هایی که در یک ماه خوانده‌اند را به شرح زیر اعلام کرده‌اند: ۳، ۵، ۲، ۵، ۴، ۵، ۱. کدام عدد بیشتر از بقیه تکرار شده است؟", "steps": ["تعداد تکرار هر عدد را می‌شماریم: ۱ (یک بار)، ۲ (یک بار)، ۳ (یک بار)، ۴ (یک بار)، ۵ (سه بار).", "عدد ۵ بیشترین تکرار را دارد.", "پس عددی که بیشتر از بقیه تکرار شده است، ۵ است.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "جمع‌آوری و نمایش داده‌ها (۱)", "خواندن و تفسیر نمودارهای ستونی"], {"intro": "۱. عنوان نمودار را بخوانید تا موضوع را بفهمید.\n۲. محور افقی را بخوانید که معمولاً نام افراد یا دسته‌ها را نشان می‌دهد.\n۳. محور عمودی را بخوانید که مقدار داده‌ها را نشان می‌دهد.\n۴. ارتفاع هر ستون را با مقدار روی محور عمودی مقایسه کنید.\n۵. داده‌ها را از نمودار استخراج کنید و تحلیل کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "جمع‌آوری و نمایش داده‌ها (۱)", "مقایسه نمودارهای ستونی و بیان تفاوت‌ها و شباهت‌ها"], {"intro": "۱. هر دو نمودار را به دقت بررسی کنید.\n۲. محور افقی و عمودی هر نمودار را بخوانید و موضوع آن‌ها را مشخص کنید.\n۳. تفاوت‌ها را در محور عمودی یا مقادیر داده‌ها پیدا کنید.\n۴. شباهت‌ها را در ساختار نمودار یا مقادیر مشابه بیابید.\n۵. تفاوت‌ها و شباهت‌ها را به صورت جمله بیان کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "جمع‌آوری و نمایش داده‌ها (۱)", "تکمیل جدول درصد و تعداد افراد بر اساس نمودار دایره‌ای"], {"intro": "۱. ابتدا درصد هر بخش از نمودار دایره‌ای را می‌خوانیم.\n۲. مجموع کل افراد را مشخص می‌کنیم.\n۳. با استفاده از درصد و مجموع کل، تعداد افراد هر بخش را محاسبه می‌کنیم (تعداد افراد = درصد × مجموع کل).\n۴. مقادیر به دست آمده را در جدول مربوطه وارد می‌کنیم تا جدول کامل شود.", "steps": ["مجموع کل افراد ۱۰۰ نفر است.", "درصد افرادی که رنگ سبز را انتخاب کردند ۳۰ درصد است.", "تعداد افراد رنگ سبز = ۳۰ درصد × ۱۰۰ نفر = ۳۰ نفر.", "بنابراین، تعداد افرادی که رنگ سبز را انتخاب کردند ۳۰ نفر است.", "✅ جواب: ۳۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "جمع‌آوری و نمایش داده‌ها (۲)", "رسم نمودار دایره‌ای بر اساس داده‌های جدول"], {"intro": "۱. مجموع کل داده‌ها را محاسبه کنید.\n۲. سهم هر دسته را به صورت درصد یا نسبت از کل محاسبه کنید.\n۳. زاویه هر بخش از نمودار دایره‌ای را با استفاده از فرمول (درصد × ۳۶۰ درجه) محاسبه کنید.\n۴. نمودار دایره‌ای را با تقسیم دایره به بخش‌هایی با زاویه‌های محاسبه شده رسم کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "جمع‌آوری و نمایش داده‌ها (۲)", "مقایسه تعداد ثبت‌نام در دو رشته آموزشی با استفاده از نمودار دایره‌ای و نمودار میله‌ای"], {"intro": "۱. از نمودار دایره‌ای درصد ثبت‌نام هر کلاس را استخراج کنید.\n۲. از نمودار میله‌ای تعداد ثبت‌نام هر کلاس را مشاهده کنید.\n۳. با توجه به اینکه در هر رشته ۴۰ نفر ثبت‌نام کرده‌اند، تعداد ثبت‌نام‌کنندگان کلاس پنجم و ششم را در هر رشته محاسبه کنید.\n۴. تعداد ثبت‌نام‌کنندگان کلاس پنجم را در هر رشته با هم مقایسه کنید تا مشخص شود در کدام رشته تعداد ثبت‌نام کلاس پنجم بیشتر است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "جمع‌آوری و نمایش داده‌ها (۲)", "رسم نمودار خط شکسته از داده‌های آماری"], {"intro": "۱. محور افقی را با روزهای هفته (شنبه تا جمعه) مشخص کنید.\n۲. محور عمودی را با مقیاس دما (درجه سانتی‌گراد) مشخص کنید.\n۳. نقاط مربوط به دمای هر روز را روی نمودار مشخص کنید.\n۴. نقاط را به ترتیب به هم وصل کنید تا نمودار خط شکسته شکل گیرد.\n۵. بخش‌هایی که دما افزایش یافته را با رنگ قرمز، کاهش یافته را با رنگ آبی و بدون تغییر را با رنگ مشکی مشخص کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "جمع‌آوری و نمایش داده‌ها (۲)", "توصیف تغییرات نمودار با عبارات افزایش، کاهش و بدون تغییر"], {"intro": "۱. تغییر دما را بین هر دو روز متوالی بررسی کنید.\n۲. اگر دما افزایش یافته باشد، از عبارت 'افزایش' استفاده کنید.\n۳. اگر دما کاهش یافته باشد، از عبارت 'کاهش' استفاده کنید.\n۴. اگر دما ثابت مانده باشد، از عبارت 'بدون تغییر' استفاده کنید.\n۵. هر بازه زمانی را با این عبارات توصیف کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "جمع‌آوری و نمایش داده‌ها (۲)", "رسم و تحلیل نمودار خط شکسته"], {"intro": "۱. داده‌ها را در جدول مرتب کنید؛ ستون روز، طول گیاه و تغییر طول را داشته باشید. ۲. محور افقی را برای روزها و محور عمودی را برای طول گیاه رسم کنید. ۳. نقاط مربوط به هر روز و طول گیاه را روی نمودار مشخص کنید. ۴. نقاط را به ترتیب روزها به هم وصل کنید تا نمودار خط شکسته رسم شود. ۵. برای تحلیل تغییرات، فاصله بین نقاط متوالی را بررسی کنید و بیشترین تغییر را مشخص کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "جمع‌آوری و نمایش داده‌ها (۳)", "جمع‌آوری داده‌ها و انتخاب روش مناسب"], {"intro": "۱. موضوع مورد نظر را مشخص کنید.\n۲. روش مناسب جمع‌آوری داده‌ها را انتخاب کنید (مشاهده، پرسشنامه، اندازه‌گیری و غیره).\n۳. داده‌ها را جمع‌آوری کنید و ثبت نمایید.\n۴. داده‌ها را تحلیل کنید و نتیجه‌گیری نمایید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "جمع‌آوری و نمایش داده‌ها (۳)", "نمایش داده‌ها با نمودار خط شکسته"], {"intro": "۱. داده‌ها را از جدول استخراج کنید.\n۲. مقیاس مناسب برای محورهای نمودار انتخاب کنید.\n۳. نقاط داده‌ها را روی نمودار مشخص کنید.\n۴. نقاط را به ترتیب به هم وصل کنید تا نمودار خط شکسته رسم شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "جمع‌آوری و نمایش داده‌ها (۳)", "رسم نمودار ستونی از داده‌های آماری"], {"intro": "۱. داده‌های جدول را بررسی کنید و عنوان هر دسته را روی محور افقی بنویسید. ۲. تعداد دانش‌آموزانی که هر شماره تلفن ضروری را می‌دانند را روی محور عمودی مشخص کنید. ۳. برای هر دسته، یک ستون به ارتفاع تعداد دانش‌آموزان رسم کنید. ۴. ستون‌ها را به ترتیب کنار هم قرار دهید تا نمودار ستونی کامل شود. ۵. محورهای افقی و عمودی را نام‌گذاری کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "جمع‌آوری و نمایش داده‌ها (۳)", "ارزیابی مناسب بودن نمودار خط شکسته برای نمایش داده‌ها"], {"intro": "۱. داده‌های آماری را بررسی کنید و نوع داده‌ها را مشخص کنید. ۲. نمودار خط شکسته برای داده‌های پیوسته یا تغییرات متوالی مناسب است. ۳. اگر داده‌ها دسته‌ای و گسسته هستند، نمودار خط شکسته مناسب نیست. ۴. نتیجه‌گیری کنید که آیا نمودار خط شکسته برای نمایش داده‌ها مناسب است یا خیر و دلیل آن را بیان کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "میانگین (۱)", "میانگین تعداد حلقه‌ها در دو ستون"], {"intro": "۱. تعداد حلقه‌های هر ستون را بشمارید.\n۲. تعداد حلقه‌های دو ستون را با هم جمع کنید.\n۳. حاصل جمع را بر تعداد ستون‌ها (در اینجا ۲) تقسیم کنید.\n۴. عدد به دست آمده میانگین تعداد حلقه‌های دو ستون است.", "steps": ["تعداد حلقه‌های ستون اول ۱۰ است.", "تعداد حلقه‌های ستون دوم ۶ است.", "حلقه‌های دو ستون را با هم جمع می‌کنیم: ۱۰ + ۶ = ۱۶.", "تعداد ستون‌ها ۲ است.", "حاصل جمع را بر تعداد ستون‌ها تقسیم می‌کنیم: ۱۶ ÷ ۲ = ۸.", "✅ جواب: ۸"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "میانگین (۱)", "محاسبه میانگین حجم آب سیب‌ها"], {"intro": "۱. حجم آب هر سیب را از جدول یا اندازه‌گیری یادداشت کنید.\n۲. حجم‌های یادداشت شده را با هم جمع کنید.\n۳. حاصل جمع را بر تعداد سیب‌ها تقسیم کنید.\n۴. عدد به دست آمده میانگین حجم آب سیب‌ها است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "میانگین (۱)", "محاسبه میانگین داده‌ها"], {"example": "آقای حکیمی یک مرغداری کوچک دارد و هر روز تخم مرغ‌های تولید شده را برای فروش به بازار می‌برد. او هر روز جرم پنج عدد از تخم مرغ‌ها را اندازه می‌گیرد. جرم تخم مرغ‌های روز شنبه به ترتیب ۵۸، ۵۶، ۵۴، ۵۳ و ۵۴ گرم است. میانگین جرم تخم مرغ‌های روز شنبه را با روش جالبی محاسبه کنید.", "steps": ["جرم تخم مرغ‌ها را جمع می‌کنیم: ۵۸ + ۵۶ + ۵۴ + ۵۳ + ۵۴ = ۲۷۵ گرم", "تعداد تخم مرغ‌ها ۵ عدد است.", "میانگین جرم = مجموع جرم‌ها ÷ تعداد = ۲۷۵ ÷ ۵ = ۵۵ گرم", "پس میانگین جرم تخم مرغ‌های روز شنبه ۵۵ گرم است.", "✅ جواب: میانگین جرم تخم‌مرغ‌ها ۵۵ گرم است."]}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "میانگین (۱)", "محاسبه میانگین حجم آب سیب‌ها با استفاده از نمودار میله‌ای"], {"example": "حجم آب چهار سیب به ترتیب برابر است با: ۵۰، ۶۰، ۷۰ و ۸۰ سی‌سی. میانگین حجم آب این چهار سیب را به دست آورید.", "steps": ["حجم آب سیب‌ها را جمع می‌کنیم: ۵۰ + ۶۰ + ۷۰ + ۸۰ = ۲۶۰ سی‌سی.", "تعداد سیب‌ها را مشخص می‌کنیم: ۴ سیب.", "حاصل جمع حجم آب را بر تعداد سیب‌ها تقسیم می‌کنیم: ۲۶۰ ÷ ۴ = ۶۵ سی‌سی.", "✅ جواب: ۶۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "میانگین (۲)", "تخمین تعداد سیب لازم برای پر کردن بطری با حجم مشخص"], {"example": "یک بطری با حجم ۸۴۰ سی‌سی داریم. اگر میانگین حجم آب هر سیب ۷۰ سی‌سی باشد، تقریباً چند سیب لازم است تا بطری پر شود؟", "steps": ["حجم بطری ۸۴۰ سی‌سی است.", "حجم آب هر سیب ۷۰ سی‌سی است.", "تعداد سیب‌های لازم را با تقسیم حجم بطری بر حجم هر سیب محاسبه می‌کنیم: ۸۴۰ ÷ ۷۰ = ۱۲.", "بنابراین، برای پر کردن بطری به ۱۲ سیب نیاز داریم.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "میانگین (۲)", "تکمیل جدول داده‌ها و محاسبه میانگین"], {"intro": "۱. داده‌های هر مرحله را در جدول وارد کنید.\n۲. برای هر بازیکن، امتیازهای دو مرحله را جمع کنید.\n۳. مجموع امتیازها را بر تعداد مراحل تقسیم کنید تا میانگین امتیاز به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "میانگین (۲)", "محاسبه میانگین طول قدم‌ها"], {"intro": "۱. طول کل مسیر را به سانتی‌متر یا متر مشخص کنید.\n۲. تعداد قدم‌ها را بشمارید.\n۳. طول کل مسیر را بر تعداد قدم‌ها تقسیم کنید تا میانگین طول هر قدم به دست آید.\n۴. اگر لازم است، واحد را به متر یا سانتی‌متر تبدیل کنید.", "steps": ["طول کل مسیر ۳۲۰ سانتی‌متر است.", "تعداد قدم‌ها ۸ است.", "میانگین طول قدم‌ها را با تقسیم طول کل مسیر بر تعداد قدم‌ها محاسبه می‌کنیم: ۳۲۰ ÷ ۸ = ۴۰.", "پس میانگین طول قدم‌های مینا ۴۰ سانتی‌متر است.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "میانگین (۲)", "تحلیل داده‌های نمودار و تعیین روز با بیشترین برگ‌های دورریخته شده"], {"intro": "۱. داده‌های هر روز را از نمودار بخوانید.\n۲. تعداد برگ‌های دورریخته شده در هر روز را با هم مقایسه کنید.\n۳. روزی که بیشترین تعداد برگ دورریخته شده دارد را مشخص کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "میانگین (۲)", "نوشتن تعداد برگ‌های دورریخته شده به صورت تقریبی"], {"intro": "۱. تعداد برگ‌های هر روز را از نمودار بخوانید.\n۲. عدد را به نزدیک‌ترین عدد رند (مثلاً نزدیک‌ترین ده یا صد) تقریب بزنید.\n۳. اعداد تقریبی را یادداشت کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "میانگین (۳)", "محاسبه میانگین تعداد برگ‌های دورریخته شده در هفته"], {"intro": "۱. تعداد برگ‌های دورریخته شده در هر روز هفته را جمع کنید.\n۲. مجموع را بر تعداد روزهای هفته تقسیم کنید.\n۳. عدد به دست آمده میانگین تعداد برگ‌های دورریخته شده در هر روز است."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "میانگین (۳)", "محاسبه میانگین چهار عدد"], {"intro": "۱. چهار عدد داده شده را با هم جمع کنید.\n۲. حاصل جمع را بر ۴ تقسیم کنید.\n۳. عدد به دست آمده میانگین چهار عدد است.", "steps": ["عددهای ۱۲، ۲۴، ۳۶ و ۴۸ را با هم جمع می‌کنیم: ۱۲ + ۲۴ + ۳۶ + ۴۸ = ۱۲۰.", "حاصل جمع ۱۲۰ را بر ۴ تقسیم می‌کنیم: ۱۲۰ ÷ ۴ = ۳۰.", "عدد ۳۰ میانگین چهار عدد است.", "✅ جواب: ۳۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "میانگین (۳)", "محاسبه میانگین گل‌های زده شده در بازی‌های فوتبال"], {"intro": "۱. تعداد گل‌های زده شده در بازی‌های قبلی را جمع کنید.\n۲. تعداد بازی‌ها را بشمارید.\n۳. مجموع گل‌ها را به علاوه تعداد گل‌های مورد نظر برای بازی بعدی کنید.\n۴. مجموع گل‌ها را بر تعداد کل بازی‌ها تقسیم کنید تا میانگین گل‌ها به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "میانگین (۳)", "محاسبه مجموع و تعیین اعداد مجهول با میانگین داده شده"], {"intro": "۱. میانگین داده شده را در تعداد اعداد ضرب کنید تا مجموع کل اعداد به دست آید.\n۲. اگر برخی از اعداد معلوم هستند، آنها را از مجموع کل کم کنید.\n۳. عدد یا اعداد مجهول را باقیمانده مجموع تعیین کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۱)", "تشخیص و بیان احتمال وقوع یک رویداد با استفاده از عبارات خاص"], {"intro": "۱. رویداد مورد نظر را به دقت بررسی کنید.\n۲. با توجه به شرایط و اطلاعات داده شده، احتمال وقوع آن را تخمین بزنید.\n۳. از عبارات خاص مانند «احتمال دارد»، «احتمالش کم است»، «به طور حتم اتفاق نمی‌افتد»، «شاید»، «به احتمال برابر» و «به طور حتم» برای بیان احتمال استفاده کنید.\n۴. جمله‌ای بسازید که احتمال وقوع رویداد را به درستی بیان کند."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۱)", "تعیین احتمال وقوع رویدادها با استفاده از آزمایش"], {"intro": "۱. یک بسته دکمه شامل دکمه‌های رنگ‌های مختلف را در نظر بگیرید.\n۲. بدون نگاه کردن به داخل بسته، یک دکمه را خارج کنید.\n۳. رنگ دکمه را یادداشت کنید و سپس دکمه را به بسته برگردانید.\n۴. این کار را چندین بار (مثلاً ۲۰ بار) تکرار کنید.\n۵. تعداد دفعات مشاهده هر رنگ را در جدول یادداشت کنید.\n۶. با جمع کردن تعداد دفعات هر رنگ، احتمال تقریبی وقوع هر رنگ را مقایسه کنید.\n۷. احتمال‌ها را با توجه به تعداد دفعات مشاهده شده تحلیل کنید (مثلاً احتمال برابر، بیشتر، کمتر یا حتمی بودن وقوع).", "steps": ["تعداد کل دکمه‌ها را محاسبه می‌کنیم: ۵ (قرمز) + ۳ (آبی) + ۲ (زرد) = ۱۰ دکمه.", "تعداد دکمه‌های قرمز را یادداشت می‌کنیم: ۵ دکمه قرمز وجود دارد.", "احتمال انتخاب دکمه قرمز را با تقسیم تعداد دکمه‌های قرمز بر تعداد کل دکمه‌ها محاسبه می‌کنیم: ۵ ÷ ۱۰ = ۰٫۵.", "احتمال دکمه قرمز برابر با ۰٫۵ است که به معنی ۵۰ درصد است.", "✅ جواب: ۰٫۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۱)", "محاسبه احتمال رویداد"], {"intro": "۱. تعداد بخش‌های سبز را در چرخنده بشمارید.\n۲. تعداد کل بخش‌های چرخنده را بشمارید.\n۳. احتمال رویداد برابر است با نسبت تعداد بخش‌های سبز به کل بخش‌ها.\n۴. احتمال را به صورت کسر یا درصد بیان کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۱)", "تحلیل داده‌های تجربی و رسم نمودار دایره‌ای"], {"intro": "۱. داده‌های مشاهده شده را در جدول بنویسید.\n۲. مجموع کل مشاهدات را محاسبه کنید.\n۳. نسبت هر رنگ به کل مشاهدات را محاسبه کنید.\n۴. زاویه هر بخش در نمودار دایره‌ای را با استفاده از نسبت‌ها و ضرب در ۳۶۰ درجه محاسبه کنید.\n۵. نمودار دایره‌ای را رسم کنید و بخش‌ها را با رنگ‌های مربوطه مشخص کنید.", "steps": ["مجموع کل مشاهدات را محاسبه می‌کنیم: ۸ + ۵ + ۴ + ۳ = ۲۰.", "نسبت رنگ آبی به کل مشاهدات را محاسبه می‌کنیم: ۸ ÷ ۲۰ = ۰٫۴.", "زاویه رنگ آبی را محاسبه می‌کنیم: ۰٫۴ × ۳۶۰ = ۱۴۴ درجه.", "✅ جواب: ۱۴۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۱)", "محاسبه احتمال مشاهده شکل در تاس مکعبی"], {"intro": "۱. تعداد کل وجه‌های تاس را بشمارید (۶ وجه).\n۲. تعداد وجه‌هایی که شکل مورد نظر روی آن است را بشمارید.\n۳. احتمال مشاهده شکل برابر است با نسبت تعداد وجه‌های آن شکل به کل وجه‌ها.\n۴. احتمال را به صورت کسر یا درصد بیان کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۱)", "بازی شانسی و احتمال برنده شدن"], {"intro": "۱. تعریف بازی شانسی و شرایط بازی را بررسی کنید.\n۲. تعداد بازیکنان و نحوه حرکت مهره را مشخص کنید.\n۳. احتمال برنده شدن هر بازیکن را با توجه به قوانین بازی محاسبه کنید.\n۴. اگر احتمال برنده شدن بازیکنان برابر باشد، بازی را عادلانه می‌نامیم.\n۵. نتیجه را با توجه به احتمال‌ها اعلام کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۲)", "تشخیص بازی عادلانه و ناعادلانه با توجه به احتمال برد"], {"intro": "۱. شرایط بازی و نحوه تعیین برنده را بررسی کنید.\n۲. احتمال برد هر بازیکن را با توجه به قوانین بازی محاسبه کنید.\n۳. اگر احتمال برد بازیکنان برابر باشد، بازی عادلانه است.\n۴. اگر احتمال برد بازیکنان برابر نباشد، بازی ناعادلانه است.\n۵. نتیجه را با علامت مشخص کنید و بازیکنی که احتمال برد بیشتری دارد را تعیین کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۲)", "تشخیص برنده در بازی چرخنده"], {"intro": "۱. موقعیت عقربه چرخنده را بررسی کنید. ۲. اگر عقربه روی رنگ مشخصی ایستاد، بازیکن مربوط به آن رنگ برنده است. ۳. اگر عقربه روی رنگ دیگری ایستاد، بازیکن دوم برنده است. ۴. نتیجه را بر اساس رنگ ایستادن عقربه اعلام کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۲)", "تقسیم تیله‌ها برای بازی عادلانه"], {"intro": "۱. تعداد کل تیله‌ها را مشخص کنید. ۲. تعداد تیله‌های هر رنگ را تعیین کنید. ۳. برای بازی عادلانه، تعداد تیله‌های هر رنگ را به گونه‌ای تقسیم کنید که احتمال برد هر بازیکن برابر باشد. ۴. تعداد تیله‌های هر رنگ را به طور مساوی یا متناسب بین بازیکنان تقسیم کنید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۲)", "تحلیل نتایج پرتاب تاس و شمارش مشاهده‌ها"], {"intro": "۱. نتایج پرتاب تاس را ثبت کنید. ۲. تعداد مشاهده هر عدد روی تاس را بشمارید. ۳. سوالات مربوط به تعداد کل پرتاب‌ها، بیشترین مشاهده و اعداد با تعداد مساوی مشاهده را پاسخ دهید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۲)", "بررسی امکان وقوع رویدادها در پرتاب سکه"], {"steps": ["در هر پرتاب سکه، دو حالت ممکن وجود دارد: شیر یا خط.", "برای ۴ بار پرتاب، تعداد حالت‌های ممکن برابر است با ۲ به توان ۴ که می‌شود ۱۶.", "از آنجا که در هر بار پرتاب سکه، شیر می‌تواند بیفتد، پس در ۴ بار هم می‌تواند شیر بیفتد.", "بنابراین، امکان وقوع رویداد \"شیر در هر ۴ بار\" وجود دارد.", "✅ جواب: بله"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۲)", "تشخیص احتمال بیشتر ایستادن عقربه روی رنگ‌های مختلف در چرخنده"], {"steps": ["تعداد کل قسمت‌ها را محاسبه می‌کنیم: ۲ (قرمز) + ۱ (زرد) + ۳ (آبی) = ۶ قسمت.", "احتمال ایستادن عقربه روی قرمز را محاسبه می‌کنیم: ۲/۶ = ۱/۳.", "احتمال ایستادن عقربه روی زرد را محاسبه می‌کنیم: ۱/۶.", "احتمال ایستادن عقربه روی آبی را محاسبه می‌کنیم: ۳/۶ = ۱/۲.", "مقایسه می‌کنیم: ۱/۳ (قرمز) < ۱/۲ (آبی) و ۱/۶ (زرد) < ۱/۲ (آبی). بنابراین، احتمال ایستادن عقربه روی آبی بیشتر است.", "✅ جواب: آبی"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۳)", "محاسبه میانگین اعداد"], {"intro": "۱. اعداد داده شده را با هم جمع کنید. ۲. تعداد اعداد را بشمارید. ۳. مجموع اعداد را بر تعداد آنها تقسیم کنید. ۴. حاصل تقسیم، میانگین اعداد است.", "steps": ["عددهای ۱۲ و ۱۸ را با هم جمع می‌کنیم: ۱۲ + ۱۸ = ۳۰.", "تعداد اعداد را می‌شماریم: ۲ عدد داریم.", "مجموع اعداد را بر تعداد آنها تقسیم می‌کنیم: ۳۰ ÷ ۲ = ۱۵.", "حاصل تقسیم، میانگین اعداد است.", "✅ جواب: ۱۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۳)", "نوشتن اعداد با میانگین مشخص"], {"intro": "۱. فرض کنید اعداد مجهول باشند. ۲. مجموع اعداد را برابر میانگین ضربدر تعداد اعداد قرار دهید. ۳. با توجه به شرایط مسئله، اعداد را طوری انتخاب کنید که مجموع آنها برابر مقدار محاسبه شده باشد."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۳)", "محاسبه مقدار متوسط مصرف در مسئله کاربردی"], {"intro": "۱. مساحت کل را با ضرب طول در عرض محاسبه کنید. ۲. مقدار کل آسفالت مصرف شده را یادداشت کنید. ۳. مقدار مصرف آسفالت به ازای هر متر مربع را با تقسیم مقدار کل آسفالت بر مساحت کل محاسبه کنید.", "steps": ["مساحت کل خیابان را محاسبه می‌کنیم: ۴ متر × ۸۰ متر = ۳۲۰ متر مربع.", "مقدار کل آسفالت مصرف شده را به کیلوگرم تبدیل می‌کنیم: ۳۲ تن = ۳۲۰۰۰ کیلوگرم.", "مقدار مصرف آسفالت به ازای هر متر مربع را محاسبه می‌کنیم: ۳۲۰۰۰ کیلوگرم ÷ ۳۲۰ متر مربع = ۱۰۰ کیلوگرم.", "✅ جواب: ۱۰۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۳)", "محاسبه میانگین امتیاز و تعیین امتیاز لازم برای حفظ میانگین"], {"intro": "۱. مجموع امتیازهای مراحل داده شده را محاسبه کنید. ۲. میانگین امتیازها را با تقسیم مجموع بر تعداد مراحل محاسبه کنید. ۳. برای حفظ میانگین در مرحله بعد، مجموع امتیازها را برابر میانگین ضربدر تعداد مراحل جدید قرار دهید. ۴. امتیاز مرحله جدید را با کم کردن مجموع قبلی از مجموع جدید به دست آورید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۳)", "محاسبه میانگین تعداد غایبین در روزهای هفته"], {"intro": "۱. تعداد غایبین هر روز را جمع می‌کنیم. ۲. تعداد روزها را می‌شماریم. ۳. مجموع تعداد غایبین را بر تعداد روزها تقسیم می‌کنیم تا میانگین به دست آید."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۴)", "محاسبه میانگین اعداد داده شده"], {"intro": "۱. اعداد داده شده را جمع می‌کنیم. ۲. تعداد اعداد را می‌شماریم. ۳. مجموع اعداد را بر تعداد آنها تقسیم می‌کنیم تا میانگین به دست آید.", "example": "میانگین اعداد ۴، ۶، ۸ و ۱۰ را محاسبه کنید.", "steps": ["جمع اعداد را محاسبه می‌کنیم: ۴ + ۶ + ۸ + ۱۰ = ۲۸.", "تعداد اعداد را می‌شماریم: ۴ عدد داریم.", "مجموع اعداد را بر تعداد آنها تقسیم می‌کنیم: ۲۸ ÷ ۴ = ۷.", "✅ جواب: ۷"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۴)", "تحلیل قد بازیکنان دو تیم والیبال و محاسبه میانگین قد"], {"intro": "۱. قد بازیکنان هر تیم را جمع می‌کنیم. ۲. تعداد بازیکنان هر تیم را می‌شماریم. ۳. مجموع قدها را بر تعداد بازیکنان تقسیم می‌کنیم تا میانگین قد هر تیم به دست آید. ۴. میانگین قد دو تیم را مقایسه می‌کنیم."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۴)", "محاسبه احتمال انتخاب تیله‌های سفید و نارنجی از کیسه"], {"intro": "۱. تعداد کل تیله‌ها را محاسبه می‌کنیم. ۲. تعداد تیله‌های سفید و نارنجی را مشخص می‌کنیم. ۳. برای هر حالت، تعداد تیله‌های سفید و نارنجی انتخاب شده را یادداشت می‌کنیم. ۴. احتمال هر حالت را با نسبت تعداد تیله‌های سفید به کل تیله‌ها یا نسبت‌های دیگر محاسبه می‌کنیم.", "steps": ["تعداد کل تیله‌ها برابر است با ۳ تیله سفید + ۳ تیله نارنجی = ۶ تیله.", "تعداد تیله‌های سفید برابر است با ۳.", "احتمال انتخاب یک تیله سفید برابر است با تعداد تیله‌های سفید تقسیم بر تعداد کل تیله‌ها: ۳ ÷ ۶.", "احتمال انتخاب یک تیله سفید برابر است با ۰٫۵.", "✅ جواب: ۰٫۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۴)", "ساختن مکعب و بررسی تعداد حالات مشاهده شکل‌های مختلف روی تاس"], {"intro": "۱. شکل‌های مختلف را روی وجه‌های مکعب قرار می‌دهیم. ۲. تعداد حالات مختلف قرارگیری شکل‌ها را بررسی می‌کنیم. ۳. تعداد حالات مشاهده هر شکل را با توجه به تعداد وجه‌های مکعب که آن شکل روی آنها قرار دارد، مقایسه می‌کنیم. ۴. نتیجه می‌گیریم کدام شکل بیشتر یا کمتر دیده می‌شود."}], [["پایه پنجم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال (۴)", "بررسی عادلانه بودن بازی با استفاده از احتمال"], {"intro": "۱. هر بازیکن یکی از خودروها را انتخاب می‌کند و یک مهره روی آن قرار می‌دهد.\n۲. دو تاس ریخته می‌شود و عددهای روی تاس‌ها جمع زده می‌شود.\n۳. مهره بازیکن به اندازه حاصل جمع به جلو حرکت داده می‌شود.\n۴. این کار چند بار تکرار می‌شود و مسیر طی شده هر خودرو ثبت می‌شود.\n۵. با بررسی نتایج و مسیرهای طی شده، بررسی می‌کنیم که آیا احتمال برنده شدن برای همه بازیکنان برابر است یا خیر.\n۶. اگر احتمال‌ها برابر باشد، بازی عادلانه است؛ در غیر این صورت، بازی عادلانه نیست."}], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 1 (۱)", "ارتفاع و موقعیت نسبی اعداد صحیح"], {"example": "در یک خط عدد، عدد -۳ و عدد ۲ را در نظر بگیرید. کدام عدد بالاتر است؟", "steps": ["عدد ۲ یک عدد مثبت است و بالاتر از صفر قرار دارد.", "عدد -۳ یک عدد منفی است و پایین‌تر از صفر قرار دارد.", "بنابراین، عدد ۲ بالاتر از عدد -۳ است.", "✅ جواب: ۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 1 (۱)", "ارزش مکانی اعداد"], {"steps": ["رقم ۲ در عدد ۴۲۳ در جایگاه دهگان قرار دارد.", "ارزش مکانی رقم ۲ برابر است با ۲ × ۱۰.", "محاسبه می‌کنیم: ۲ × ۱۰ = ۲۰.", "بنابراین، ارزش مکانی رقم ۲ در عدد ۴۲۳ برابر با ۲۰ است.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 2 (۱)", "الگوی عددی و تکمیل جدول"], {"steps": ["عدد اول ۳ است.", "عدد دوم را محاسبه می‌کنیم: ۳ × ۲ = ۶.", "عدد سوم را محاسبه می‌کنیم: ۶ × ۲ = ۱۲.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 2 (۱)", "تبدیل عدد مخلوط به کسر"], {"steps": ["عدد صحیح ۴ را در مخرج ۵ ضرب می‌کنیم: ۴ × ۵ = ۲۰.", "حاصل ۲۰ را با صورت ۳ جمع می‌کنیم: ۲۰ + ۳ = ۲۳.", "مخرج کسر بدون تغییر باقی می‌ماند: ۵.", "بنابراین، عدد مخلوط ۴ و ۳/۵ به کسر ۲۳/۵ تبدیل می‌شود.", "✅ جواب: ۲۳/۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 3 (۱)", "تشخیص الگو"], {"steps": ["عدد اول ۳ است.", "عدد دوم ۶ است.", "عدد سوم برابر است با ۲ × ۶ = ۱۲.", "عدد چهارم برابر است با ۲ × ۱۲ = ۲۴.", "✅ جواب: ۲۴"]}], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 6 (۲)", "رابطه بین تعداد چرخ‌ها و تعداد دوچرخه‌ها"], {"steps": ["تعداد دوچرخه‌ها را مشخص می‌کنیم: ۵ دوچرخه.", "هر دوچرخه دارای ۲ چرخ است.", "تعداد چرخ‌ها را با ضرب تعداد دوچرخه‌ها در تعداد چرخ‌های هر دوچرخه محاسبه می‌کنیم: ۵ × ۲ = ۱۰.", "بنابراین، برای ۵ دوچرخه به ۱۰ چرخ نیاز داریم.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 7 (۱)", "شناسایی الگوهای عددی"], {"steps": ["عدد اول ۲ است.", "عدد دوم ۴ است که برابر با ۲ × ۲ است.", "عدد سوم ۸ است که برابر با ۴ × ۲ است.", "عدد چهارم ۱۶ است که برابر با ۸ × ۲ است.", "عدد بعدی برابر با ۱۶ × ۲ است که ۳۲ می‌شود.", "✅ جواب: ۳۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 7 (۲)", "محاسبه مصرف آب مجازی"], {"steps": ["برای محاسبه آب مجازی مصرفی، ابتدا مقدار آب مورد نیاز برای تولید یک کیلوگرم برنج را در مقدار برنج مصرفی ضرب می‌کنیم.", "آب مورد نیاز برای تولید یک کیلوگرم برنج ۱۲۰۰ لیتر است.", "مقدار برنج مصرفی روزانه ۳ کیلوگرم است.", "پس، ۱۲۰۰ × ۳ = ۳۶۰۰ لیتر آب مجازی مصرف می‌شود.", "✅ جواب: ۳۶۰۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 7 (۲)", "مقایسه اعداد"], {"steps": ["عدد ۳۰۷۲۳۰۱ کوچکتر از عدد ۳۰۷۲۰۳۰۱ است.", "بنابراین علامت مناسب < است.", "✅ جواب: ۳۰۷۲۳۰۱ < ۳۰۷۲۰۳۰۱"]}], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 8 (۱)", "نمایش اعداد صحیح روی محور"], {"steps": ["نقطه A برابر با ۳ است و فاصله آن از صفر برابر با ۳ واحد است.", "برای پیدا کردن عددی که فاصله‌اش از صفر برابر با ۳ باشد و در سمت چپ صفر قرار داشته باشد، عدد -۳ را در نظر می‌گیریم.", "عدد -۳ در سمت چپ صفر قرار دارد و فاصله‌اش از صفر برابر با ۳ واحد است.", "✅ جواب: -۳"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 1 (۱)", "اعداد اعشاری و اندازه‌گیری"], {"example": "یک دویدن ۲۰۰ متری در ۲۴٫۵۷۸ ثانیه ثبت شده است. اگر بخواهیم زمان را با دو رقم اعشار گرد کنیم، زمان دویدن را به چه عددی تبدیل می‌کنیم؟", "steps": ["عدد ۲۴٫۵۷۸ را بررسی می‌کنیم و به دو رقم اعشار گرد می‌کنیم.", "رقم سوم اعشار (۷) را بررسی می‌کنیم. چون ۷ بزرگتر از ۵ است، رقم دوم اعشار (۵) را یک واحد افزایش می‌دهیم.", "بنابراین، ۲۴٫۵۷۸ به ۲۴٫۵۸ گرد می‌شود.", "✅ جواب: ۲۴٫۵۸ ثانیه"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 1 (۱)", "انتخاب عدد از جدول و ضرب کسرها"], {"steps": ["صورت کسرها را ضرب می کنیم: ۲ × ۴ = ۸", "مخرج کسرها را ضرب می کنیم: ۳ × ۵ = ۱۵", "کسر حاصل را می نویسیم: ۸/۱۵", "بررسی می کنیم که آیا کسر قابل ساده شدن است یا نه. ۸ و ۱۵ هیچ عامل مشترکی ندارند.", "بنابراین کسر ۸/۱۵ ساده نمی شود.", "✅ جواب: ۸/۱۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 1 (۲)", "تقسیم زمین به کسرهای مختلف"], {"steps": ["محاسبه یک سوم زمین: ۱۲۰۰ ÷ ۳ = ۴۰۰ متر مربع برای گندم.", "محاسبه باقی‌مانده زمین: ۱۲۰۰ - ۴۰۰ = ۸۰۰ متر مربع باقی‌مانده.", "تقسیم باقی‌مانده به دو قسمت مساوی: ۸۰۰ ÷ ۲ = ۴۰۰ متر مربع برای جو و ۴۰۰ متر مربع برای یونجه.", "✅ جواب: ۴۰۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 2 (۱)", "تقسیم شکل به کسر"], {"steps": ["تعداد کل بخش‌های مستطیل ۱۲ است.", "تعداد بخش‌های رنگی شده ۴ است.", "کسر بخش‌های رنگی شده برابر است با ۴/۱۲.", "کسر ۴/۱۲ را می‌توان ساده کرد. با تقسیم صورت و مخرج بر ۴، به ۱/۳ می‌رسیم.", "✅ جواب: ۱/۳"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 2 (۲)", "تکمیل جدول ضرب کسرها"], {"steps": ["صورت کسر اول (۲) را در صورت کسر دوم (۴) ضرب می‌کنیم: ۲ × ۴ = ۸.", "مخرج کسر اول (۳) را در مخرج کسر دوم (۵) ضرب می‌کنیم: ۳ × ۵ = ۱۵.", "حاصل کسر را به صورت ۸/۱۵ می‌نویسیم.", "✅ جواب: ۸/۱۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 3 (۱)", "جمع و تفریق کسرها با مخرج‌های مختلف"], {"steps": ["مخرج‌های ۳ و ۴ را بررسی می‌کنیم. کوچک‌ترین مخرج مشترک ۱۲ است.", "کسر ۲/۳ را به مخرج ۱۲ تبدیل می‌کنیم: (۲ × ۴)/(۳ × ۴) = ۸/۱۲.", "کسر ۱/۴ را به مخرج ۱۲ تبدیل می‌کنیم: (۱ × ۳)/(۴ × ۳) = ۳/۱۲.", "حالا صورت‌ها را جمع می‌کنیم: ۸ + ۳ = ۱۱.", "کسر نهایی ۱۱/۱۲ است که ساده نمی‌شود.", "✅ جواب: ۱۱/۱۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 3 (۲)", "جمع کسرها با مخرج‌های متفاوت"], {"steps": ["مخرج‌های کسرها ۳ و ۲ هستند. مخرج مشترک آن‌ها ۶ است.", "کسر ۲/۳ را به مخرج ۶ تبدیل می‌کنیم: (۲ × ۲)/(۳ × ۲) = ۴/۶.", "کسر ۱/۲ را به مخرج ۶ تبدیل می‌کنیم: (۱ × ۳)/(۲ × ۳) = ۳/۶.", "حالا کسرها را جمع می‌کنیم: ۴/۶ + ۳/۶ = (۴ + ۳)/۶ = ۷/۶.", "✅ جواب: ۷/۶"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 3 (۲)", "جمع کسرهای ستونی"], {"example": "جمع کسرهای ۱/۴ و ۱/۶ را محاسبه کنید.", "steps": ["مخرج مشترک ۴ و ۶ برابر ۱۲ است.", "کسر ۱/۴ را به مخرج ۱۲ تبدیل می‌کنیم: (۱×۳)/(۴×۳) = ۳/۱۲.", "کسر ۱/۶ را به مخرج ۱۲ تبدیل می‌کنیم: (۱×۲)/(۶×۲) = ۲/۱۲.", "حالا صورت‌ها را جمع می‌کنیم: ۳ + ۲ = ۵.", "کسر نهایی ۵/۱۲ است و ساده نمی‌شود.", "✅ جواب: ۵/۱۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 4 (۱)", "ضرب کسر در عدد صحیح"], {"example": "حاصل ۴ × ۵/۹ را به دست آورید.", "steps": ["عدد صحیح ۴ را در صورت کسر ۵ ضرب می کنیم: ۴ × ۵ = ۲۰.", "حاصل ۲۰ را بر مخرج کسر ۹ تقسیم می کنیم: ۲۰ ÷ ۹ = ۲۰/۹.", "جواب نهایی را ساده نمی کنیم چون ۲۰ و ۹ هیچ عامل مشترکی ندارند.", "✅ جواب: ۲۰/۹"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 4 (۲)", "محاسبه تعداد دانش‌آموزان با استفاده از کسر"], {"steps": ["تعداد کل دانش‌آموزان ۴۰ نفر است.", "کسر دانش‌آموزانی که در مسابقه شرکت می‌کنند ۳/۵ است.", "برای محاسبه تعداد دانش‌آموزان شرکت‌کننده، ۴۰ را در ۳/۵ ضرب می‌کنیم: ۴۰ × ۳/۵ = ۲۴.", "بنابراین، ۲۴ دانش‌آموز در مسابقه شرکت کرده‌اند.", "✅ جواب: ۲۴"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 4 (۲)", "محاسبه فاصله با کسر"], {"steps": ["فاصله کل ۹۰ کیلومتر است.", "یک سوم فاصله را محاسبه می‌کنیم: ۹۰ ÷ ۳ = ۳۰ کیلومتر.", "پس، فاصله‌ای که قطار طی کرده است ۳۰ کیلومتر است.", "✅ جواب: ۳۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 5 (۱)", "مدل‌سازی کسرها"], {"steps": ["تعداد کل درختان را محاسبه می‌کنیم: ۱۲ + ۸ = ۲۰.", "تعداد درختان سیب را به عنوان صورت کسر در نظر می‌گیریم: ۱۲.", "مخرج کسر را تعداد کل درختان قرار می‌دهیم: ۲۰.", "کسر نسبت درختان سیب به کل درختان را می‌نویسیم: ۱۲/۲۰.", "کسر را ساده می‌کنیم: ۱۲ ÷ ۴ = ۳ و ۲۰ ÷ ۴ = ۵. بنابراین کسر ساده شده ۳/۵ است.", "✅ جواب: ۳/۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 5 (۲)", "معکوس کسرها"], {"example": "معکوس کسر ۳/۴ را پیدا کنید.", "steps": ["کسر ۳/۴ را در نظر می‌گیریم.", "صورت و مخرج کسر را جا‌به‌جا می‌کنیم.", "معکوس کسر برابر با ۴/۳ می‌شود.", "✅ جواب: ۴/۳"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 5 (۲)", "مقایسه کسرها با عدد صحیح"], {"steps": ["کسر ۳/۴ را به صورت عدد اعشاری تبدیل می‌کنیم: ۳ ÷ ۴ = ۰٫۷۵.", "عدد صحیح ۱ را به صورت عدد اعشاری می‌نویسیم: ۱ = ۱٫۰۰.", "اکنون ۰٫۷۵ را با ۱٫۰۰ مقایسه می‌کنیم: ۰٫۷۵ < ۱٫۰۰.", "بنابراین، ۳/۴ کوچک‌تر از ۱ است.", "✅ جواب: کوچک‌تر"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 6 (۱)", "نمایش کسرها با شکل"], {"steps": ["دایره به ۸ قسمت مساوی تقسیم شده است، بنابراین مخرج کسر ۸ است.", "۳ قسمت از دایره رنگ‌آمیزی شده است، بنابراین صورت کسر ۳ است.", "کسر مربوط به قسمت‌های رنگ‌آمیزی شده برابر است با ۳/۸.", "✅ جواب: ۳/۸"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 6 (۱)", "نوشتن معکوس کسرها"], {"steps": ["صورت و مخرج کسر ۴/۵ را جابه‌جا می‌کنیم.", "معکوس کسر می‌شود ۵/۴.", "پس معکوس کسر ۴/۵ برابر است با ۵/۴.", "✅ جواب: ۵/۴"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 6 (۲)", "یافتن کسرهای مساوی"], {"steps": ["صورت و مخرج کسر ۲/۵ را در ۲ ضرب می‌کنیم: ۲ × ۲ = ۴ و ۵ × ۲ = ۱۰.", "کسر جدید به دست آمده ۴/۱۰ است.", "حالا صورت و مخرج کسر ۲/۵ را در ۳ ضرب می‌کنیم: ۲ × ۳ = ۶ و ۵ × ۳ = ۱۵.", "کسر جدید به دست آمده ۶/۱۵ است.", "کسرهای ۴/۱۰ و ۶/۱۵ نیز برابر با کسر ۲/۵ هستند.", "✅ جواب: ۴/۱۰, ۶/۱۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 6 (۲)", "یافتن کوچک‌ترین مخرج مشترک"], {"steps": ["مخرج اول ۴ و مخرج دوم ۶ است.", "مضرب‌های ۴: ۴، ۸، ۱۲، ۱۶، ۲۰، ... و مضرب‌های ۶: ۶، ۱۲، ۱۸، ۲۴، ... را پیدا می‌کنیم.", "کوچک‌ترین مضرب مشترک بین ۴ و ۶، عدد ۱۲ است.", "بنابراین، کوچک‌ترین مخرج مشترک ۱۲ است.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 1 (۱)", "ادامه تقسیم با اعشار"], {"steps": ["خارج قسمت اولیه را محاسبه می‌کنیم: ۲۵۰۰۰ ÷ ۵ = ۵۰۰۰.", "باقیمانده وجود ندارد، پس تقسیم کامل است.", "هر نفر ۵۰۰۰ تومان دریافت می‌کند.", "✅ جواب: ۵۰۰۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 1 (۱)", "الگوهای تقسیم و ضرب"], {"steps": ["برای تقسیم ۲۴ به ۶، ابتدا تعداد سیب‌ها را در نظر می‌گیریم.", "سپس ۲۴ را بر ۶ تقسیم می‌کنیم: ۲۴ ÷ ۶ = ۴.", "نتیجه نشان می‌دهد که هر نفر ۴ سیب دریافت می‌کند.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 1 (۱)", "الگوهای عددی اعشاری"], {"example": "در یک الگوی عددی، اعداد به صورت ۰٫۵، ۱٫۰، ۱٫۵، ۲٫۰ و ... داده شده‌اند. رابطه بین این اعداد چیست و عدد بعدی این الگو را پیدا کنید؟", "steps": ["بین هر دو عدد، ۰٫۵ اضافه می‌شود.", "عدد بعدی را با اضافه کردن ۰٫۵ به آخرین عدد محاسبه می‌کنیم.", "۲٫۰ + ۰٫۵ = ۲٫۵.", "✅ جواب: ۲٫۵"], "figures": []}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 2 (۱)", "تعیین تعداد قطعات با وزن مشخص"], {"steps": ["وزن کل را بر وزن هر میوه تقسیم می‌کنیم: ۳۰۰۰ ÷ ۱۵۰ = ۲۰.", "عدد حاصل ۲۰ است که یک عدد صحیح است.", "بنابراین، تعداد میوه‌ها برابر با ۲۰ است.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 3 (۱)", "تقسیم عدد اعشاری بر عدد اعشاری"], {"steps": ["برای تبدیل ۳٫۶ به عدد صحیح، آن را در ۱۰ ضرب می‌کنیم: ۳٫۶ × ۱۰ = ۳۶.", "برای تبدیل ۰٫۴ به عدد صحیح، آن را نیز در ۱۰ ضرب می‌کنیم: ۰٫۴ × ۱۰ = ۴.", "حالا تقسیم را انجام می‌دهیم: ۳۶ ÷ ۴ = ۹.", "نتیجه را به صورت اعشاری باز می‌گردانیم: ۹ = ۹٫۰.", "✅ جواب: ۹٫۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 5 (۱)", "محاسبه ذهنی ضرب و تقسیم"], {"steps": ["تعداد کل درختان سیب و گلابی را محاسبه می‌کنیم: ۲۴ + ۳۶ = ۶۰ درخت.", "تعداد درختان را بر تعداد ردیف‌ها تقسیم می‌کنیم: ۶۰ ÷ ۶ = ۱۰ درخت در هر ردیف.", "نتیجه را بررسی می‌کنیم: ۱۰ × ۶ = ۶۰ که برابر با تعداد کل درختان است.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 5 (۲)", "محاسبه مصرف و زمان"], {"steps": ["مقدار کل بنزین ۱۰۰ لیتر است و مصرف در هر ساعت ۲۵ لیتر است.", "برای محاسبه زمان کارکرد ماشین، ۱۰۰ لیتر را بر ۲۵ لیتر تقسیم می‌کنیم: ۱۰۰ ÷ ۲۵ = ۴.", "بنابراین، ماشین می‌تواند ۴ ساعت کار کند.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 5 (۲)", "محیط دایره"], {"intro": "برای محاسبه محیط دایره، قطر دایره را در عدد پی (۳٫۱۴) ضرب کنید."}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 6 (۱)", "نمایش کسری و اعشاری با شکل"], {"steps": ["تعداد کل واحدها ۱۲ است.", "تعداد واحدهای رنگ شده ۳ است.", "کسر مربوط به واحدهای رنگ شده برابر است با ۳/۱۲.", "برای ساده کردن کسر، ۳ و ۱۲ را بر ۳ تقسیم می‌کنیم که نتیجه ۱/۴ می‌شود.", "عدد اعشاری معادل ۱/۴ برابر است با ۰٫۲۵.", "✅ جواب: ۰٫۲۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۴: تقارن و مختصات", "تقارن و مختصات — گروه 1 (۱)", "ترسیم تقارن نقطه"], {"example": "نقطه‌ی «ب» در مختصات (۳، ۴) قرار دارد. محور تقارن، محور افقی (y=۰) است. نقطه‌ی «ب» را نسبت به محور افقی تقارن دهید.", "steps": ["فاصله نقطه «ب» از محور افقی را محاسبه می‌کنیم: فاصله = ۴ واحد.", "نقطه‌ی تقارن را در سمت دیگر محور افقی رسم می‌کنیم: مختصات جدید = (۳، -۴).", "نقطه‌ی تقارن «ب'» در مختصات (۳، -۴) قرار دارد.", "✅ جواب: (۳، -۴)"]}], [["پایه ششم", "فصل ۴: تقارن و مختصات", "تقارن و مختصات — گروه 1 (۱)", "ترسیم نقطه با استفاده از مختصات"], {"steps": ["مقدار x برابر با ۳ است، پس روی محور افقی به سمت راست ۳ واحد حرکت می‌کنیم.", "مقدار y برابر با ۵ است، پس روی محور عمودی به سمت بالا ۵ واحد حرکت می‌کنیم.", "نقطه را در محل تقاطع ۳ واحد روی محور افقی و ۵ واحد روی محور عمودی رسم می‌کنیم.", "✅ جواب: (۳, ۵)"]}], [["پایه ششم", "فصل ۴: تقارن و مختصات", "تقارن و مختصات — گروه 2 (۱)", "تعیین مختصات رأس‌های مستطیل"], {"steps": ["رأس اول [۲, ۳] و رأس دوم [۲, ۵] دارای مختصات x یکسان هستند، پس ضلع عمودی است.", "رأس دوم [۲, ۵] و رأس سوم [۴, ۵] دارای مختصات y یکسان هستند، پس ضلع افقی است.", "برای پیدا کردن رأس چهارم، مختصات x رأس سوم [۴, ۵] را با مختصات y رأس اول [۲, ۳] ترکیب می‌کنیم.", "بنابراین مختصات رأس چهارم [۴, ۳] خواهد بود.", "✅ جواب: [۴, ۳]"]}], [["پایه ششم", "فصل ۴: تقارن و مختصات", "تقارن و مختصات — گروه 2 (۱)", "تعیین مختصات نقاط"], {"example": "نقطه B در صفحه مختصات در موقعیت ۴ واحد به سمت راست از مبدا و ۳ واحد به سمت بالا قرار دارد. مختصات نقطه B را تعیین کنید.", "steps": ["مکان نقطه B را روی محور افقی پیدا می‌کنیم. این نقطه ۴ واحد به سمت راست از مبدا قرار دارد، پس مقدار x برابر ۴ است.", "مکان نقطه B را روی محور عمودی پیدا می‌کنیم. این نقطه ۳ واحد به سمت بالا از مبدا قرار دارد، پس مقدار y برابر ۳ است.", "مختصات نقطه B را به صورت (x, y) می‌نویسیم که می‌شود (۴, ۳).", "✅ جواب: (۴, ۳)"]}], [["پایه ششم", "فصل ۴: تقارن و مختصات", "تقارن و مختصات — گروه 3 (۱)", "حرکت در صفحه مختصات"], {"example": "اگر از نقطه A با مختصات (۳, ۴) به سمت شرق ۶ واحد و سپس به سمت جنوب ۲ واحد حرکت کنیم، مختصات جدید ما چه خواهد بود؟", "steps": ["ابتدا مختصات اولیه نقطه A را داریم: (۳, ۴).", "برای حرکت به سمت شرق ۶ واحد، مقدار x را ۶ واحد افزایش می‌دهیم: ۳ + ۶ = ۹.", "حالا مختصات جدید به صورت (۹, ۴) است.", "سپس به سمت جنوب ۲ واحد حرکت می‌کنیم، بنابراین مقدار y را ۲ واحد کاهش می‌دهیم: ۴ - ۲ = ۲.", "در نهایت مختصات جدید ما (۹, ۲) خواهد بود.", "✅ جواب: (۹, ۲)"]}], [["پایه ششم", "فصل ۴: تقارن و مختصات", "تقارن و مختصات — گروه 4 (۱)", "محاسبه تعداد دست دادن‌ها"], {"intro": "برای محاسبه تعداد دست دادن‌ها بین افراد، تعداد کل افراد را در نظر بگیرید. سپس از فرمول ترکیب دو به دو استفاده کنید: n(n-۱)/۲ که در آن n تعداد کل افراد است."}], [["پایه ششم", "فصل ۴: تقارن و مختصات", "تقارن و مختصات — گروه 4 (۱)", "محاسبه فاصله بین دو نقطه"], {"steps": ["نقاط C و D روی یک محور افقی قرار دارند، پس فاصله را با اختلاف مقادیر x محاسبه می‌کنیم.", "فاصله = |x2 - x1| = |۷ - ۳| = ۴.", "پس فاصله بین نقاط C و D برابر با ۴ است.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه ششم", "فصل ۴: تقارن و مختصات", "تقارن و مختصات — گروه 4 (۲)", "محاسبه فاصله در مختصات"], {"example": "دو نقطه A(۲, ۳) و B(۲, ۷) در صفحه مختصات داریم. فاصله بین این دو نقطه را محاسبه کنید.", "steps": ["اختلاف مقادیر محور y را محاسبه می‌کنیم: ۷ - ۳ = ۴.", "چون نقاط در راستای عمودی قرار دارند، فاصله واقعی برابر با اختلاف محور y است.", "فاصله بین دو نقطه A و B برابر با ۴ واحد است.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه ششم", "فصل ۴: تقارن و مختصات", "تقارن و مختصات — گروه 4 (۲)", "محاسبه مساحت اشکال در مختصات"], {"steps": ["مساحت مثلث = (قاعده × ارتفاع) ÷ ۲", "مساحت مثلث = (۸ × ۵) ÷ ۲", "مساحت مثلث = ۴۰ ÷ ۲", "مساحت مثلث = ۲۰ سانتی‌متر مربع.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۴: تقارن و مختصات", "تقارن و مختصات — گروه 5 (۱)", "مختصات نقطه‌ای"], {"example": "نقطه A در مختصات (۳, ۲) و نقطه B در مختصات (۵, ۴) قرار دارند. مختصات نقطه C را پیدا کنید که در راستای عمودی نقطه A و در راستای افقی نقطه B قرار دارد.", "steps": ["برای پیدا کردن مختصات نقطه C، ابتدا مختصات افقی نقطه B را در نظر می‌گیریم که ۵ است.", "سپس مختصات عمودی نقطه A را در نظر می‌گیریم که ۲ است.", "بنابراین، مختصات نقطه C برابر با (۵, ۲) خواهد بود.", "✅ جواب: (۵, ۲)"]}], [["پایه ششم", "فصل ۴: تقارن و مختصات", "تقارن و مختصات — گروه 5 (۱)", "نوشتن مختصات رأس‌ها"], {"example": "یک مثلث با رأس‌های A، B و C داریم. رأس A در نقطه (۲، ۳)، رأس B در نقطه (۵، ۳) و رأس C در نقطه (۳، ۶) قرار دارد. مختصات رأس‌ها را به ترتیب بنویسید.", "steps": ["مختصات رأس A برابر با (۲، ۳) است.", "مختصات رأس B برابر با (۵، ۳) است.", "مختصات رأس C برابر با (۳، ۶) است.", "حالا مختصات رأس‌ها را به ترتیب می‌نویسیم: A(۲، ۳)، B(۵، ۳)، C(۳، ۶).", "✅ جواب: A(۲، ۳)، B(۵، ۳)، C(۳، ۶)"]}], [["پایه ششم", "فصل ۴: تقارن و مختصات", "تقارن و مختصات — گروه 6", "یافتن مختصات نقاط"], {"steps": ["نقطه O (مبدأ) را در نظر می‌گیریم که مختصات آن (۰, ۰) است.", "از نقطه O به سمت راست ۵ واحد می‌رویم، پس مختصات جدید (۵, ۰) می‌شود.", "سپس از مختصات (۵, ۰) به سمت بالا ۳ واحد می‌رویم، پس مختصات جدید (۵, ۳) می‌شود.", "بنابراین مختصات نقطه D برابر با (۵, ۳) است.", "✅ جواب: (۵, ۳)"]}], [["پایه ششم", "فصل ۴: تقارن و مختصات", "تقارن و مختصات — گروه 6", "یافتن مختصات نقطه"], {"steps": ["مکان نقطه «ب» را روی محور افقی پیدا می‌کنیم که برابر ۳ است.", "مکان نقطه «ب» را روی محور عمودی پیدا می‌کنیم که برابر ۵ است.", "مختصات نقطه «ب» را به صورت (x, y) می‌نویسیم که می‌شود (۳, ۵).", "✅ جواب: (۳, ۵)"]}], [["پایه ششم", "فصل ۴: تقارن و مختصات", "تقارن و مختصات — گروه 6", "یافتن مرکز تقارن"], {"intro": "۱. مختصات رأس‌های مستطیل را مشخص کنید. \n۲. مختصات مرکز تقارن را با استفاده از فرمول میانگین مختصات رأس‌ها محاسبه کنید: \n مرکز تقارن = [(x1 + x2) / ۲, (y1 + y2) / ۲]."}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 1 (۱)", "اندازه‌گیری زاویه با نقاله"], {"example": "زاویه‌ای با رأس A و دو ضلع AB و AC داریم. اگر ضلع AB روی خط صفر نقاله قرار گیرد و ضلع AC روی عدد ۷۵ درجه باشد، اندازه این زاویه چند درجه است؟", "steps": ["نقاله را طوری قرار می‌دهیم که مرکز آن روی رأس A باشد.", "ضلع AB را با خط صفر نقاله هم‌راستا می‌کنیم.", "ضلع AC را روی نقاله می‌خوانیم و می‌بینیم که روی عدد ۷۵ درجه قرار دارد.", "✅ جواب: ۷۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 1 (۲)", "تبدیل واحدهای اندازه‌گیری"], {"steps": ["یک لیتر برابر با ۱۰۰۰ میلی‌لیتر است.", "برای تبدیل ۱ لیتر به میلی‌لیتر، عدد ۱ را در ۱۰۰۰ ضرب می‌کنیم.", "۱ × ۱۰۰۰ = ۱۰۰۰ میلی‌لیتر.", "✅ جواب: ۱۰۰۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 1 (۲)", "تبدیل واحدهای مساحت"], {"intro": "برای تبدیل واحدهای مساحت، باید از ضرایب تبدیل استفاده کنید. به عنوان مثال: \n۱. برای تبدیل متر مربع به کیلومتر مربع، مقدار را بر ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تقسیم کنید.\n۲. برای تبدیل متر مربع به سانتی‌متر مربع، مقدار را در ۱۰٬۰۰۰ ضرب کنید.\n۳. برای تبدیل کیلومتر مربع به متر مربع، مقدار را در ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ ضرب کنید.", "steps": ["برای تبدیل متر مربع به سانتی‌متر مربع، مقدار را در ۱۰٬۰۰۰ ضرب می‌کنیم.", "۵۰۰ × ۱۰٬۰۰۰ = ۵۰۰۰۰۰۰ سانتی‌متر مربع.", "پس مساحت زمین در سانتی‌متر مربع برابر با ۵۰۰۰۰۰۰ است.", "✅ جواب: ۵۰۰۰۰۰۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 2 (۱)", "تخمین مساحت با واحد مناسب"], {"steps": ["برای محاسبه مساحت باغ، از فرمول مساحت مستطیل استفاده می‌کنیم: مساحت = طول × عرض.", "طول باغ ۸ متر و عرض آن ۵ متر است.", "مساحت = ۸ × ۵ = ۴۰ متر مربع.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 2 (۲)", "تطبیق ابزار با واحد اندازه‌گیری"], {"steps": ["وزن یک بسته کتاب ۲ کیلوگرم است.", "برای محاسبه وزن کل، تعداد بسته‌ها را در وزن یک بسته ضرب می‌کنیم.", "۵ بسته × ۲ کیلوگرم = ۱۰ کیلوگرم.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 4 (۱)", "محاسبه تعداد افراد در مساحت مشخص"], {"steps": ["مساحت اتاق را محاسبه می‌کنیم: ۴ متر × ۳ متر = ۱۲ متر مربع.", "هر فرد به ۱ متر مربع فضا نیاز دارد.", "تعداد افراد را با تقسیم مساحت اتاق بر مساحت هر فرد محاسبه می‌کنیم: ۱۲ متر مربع ÷ ۱ متر مربع = ۱۲.", "بنابراین، ۱۲ نفر در این اتاق جا می‌شوند.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 4 (۱)", "محاسبه تعداد واحدهای مکعبی"], {"steps": ["حجم مکعب را با فرمول حجم مکعب محاسبه می‌کنیم: ۳ × ۳ × ۳ = ۲۷ سانتی‌متر مکعب.", "حجم هر واحد مکعبی ۱ سانتی‌متر مکعب است.", "برای محاسبه تعداد واحدهای مکعبی، حجم کل مکعب را بر حجم هر واحد مکعبی تقسیم می‌کنیم: ۲۷ ÷ ۱ = ۲۷.", "بنابراین، ۲۷ واحد مکعبی در این مکعب جا می‌شود.", "✅ جواب: ۲۷"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 4 (۲)", "محاسبه حجم مایعات"], {"steps": ["حجم ظرف را با فرمول حجم مکعب محاسبه می‌کنیم: طول × عرض × ارتفاع = ۲۰ × ۱۵ × ۱۰.", "حجم ظرف برابر با ۳۰۰۰ سانتی‌متر مکعب است.", "برای تبدیل سانتی‌متر مکعب به لیتر، حجم را بر ۱۰۰۰ تقسیم می‌کنیم: ۳۰۰۰ ÷ ۱۰۰۰ = ۳.", "بنابراین، حجم ظرف برابر با ۳ لیتر است.", "✅ جواب: ۳"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 4 (۲)", "محاسبه حجم مکعب مستطیل"], {"steps": ["طول مکعب مستطیل را برابر ۵ سانتی‌متر در نظر می‌گیریم.", "عرض مکعب مستطیل را برابر ۴ سانتی‌متر در نظر می‌گیریم.", "ارتفاع مکعب مستطیل را برابر ۳ سانتی‌متر در نظر می‌گیریم.", "حجم را با استفاده از فرمول محاسبه می‌کنیم: حجم = ۵ × ۴ × ۳.", "حجم = ۲۰ × ۳ = ۶۰ سانتی‌متر مکعب.", "✅ جواب: ۶۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 5 (۱)", "محاسبه حجم مکعب و مکعب مستطیل"], {"steps": ["حجم = طول × عرض × ارتفاع", "حجم = ۴ × ۳ × ۵", "حجم = ۱۲ × ۵", "حجم = ۶۰", "✅ جواب: ۶۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 5 (۱)", "محاسبه حجم مکعب یا مکعب مستطیل"], {"steps": ["طول مکعب مستطیل ۴ است.", "عرض مکعب مستطیل ۳ است.", "ارتفاع مکعب مستطیل ۶ است.", "حجم = طول × عرض × ارتفاع = ۴ × ۳ × ۶ = ۷۲.", "✅ جواب: ۷۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 5 (۱)", "محاسبه درآمد"], {"steps": ["درآمد کل را با ضرب تعداد بطری‌ها در قیمت هر بطری محاسبه می‌کنیم.", "تعداد بطری‌ها: ۳۰۰۰ و قیمت هر بطری: ۱۵۰۰ تومان.", "محاسبه: ۳۰۰۰ × ۱۵۰۰ = ۴۵۰۰۰۰۰ تومان.", "✅ جواب: ۴۵۰۰۰۰۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 5 (۲)", "محاسبه درصد زاویه در دایره"], {"steps": ["زاویه مورد نظر ۴۰ درصد است.", "برای محاسبه زاویه، ابتدا ۴۰ را بر ۱۰۰ تقسیم می کنیم: ۴۰ ÷ ۱۰۰ = ۰٫۴.", "سپس نتیجه را در ۳۶۰ ضرب می کنیم: ۰٫۴ × ۳۶۰ = ۱۴۴.", "بنابراین زاویه مورد نظر ۱۴۴ درجه است.", "✅ جواب: ۱۴۴"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 5 (۲)", "محاسبه زاویه‌های خواسته شده"], {"steps": ["جمع زاویه‌های A و B را محاسبه می‌کنیم: ۵۰ + ۷۰ = ۱۲۰ درجه.", "مجموع زوایای یک مثلث برابر ۱۸۰ درجه است.", "برای پیدا کردن زاویه C، از ۱۸۰ درجه، جمع زاویه‌های A و B را کم می‌کنیم: ۱۸۰ - ۱۲۰ = ۶۰ درجه.", "✅ جواب: ۶۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 6 (۱)", "محاسبه مساحت"], {"steps": ["طول باغ ۱۰ متر است.", "عرض باغ ۴ متر است.", "برای محاسبه مساحت، طول را در عرض ضرب می‌کنیم: ۱۰ × ۴ = ۴۰ مترمربع.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 6 (۲)", "محاسبه مساحت اشکال هندسی"], {"steps": ["برای محاسبه مساحت مستطیل از فرمول مساحت استفاده می‌کنیم: مساحت = طول × عرض.", "طول مستطیل ۸ سانتی‌متر و عرض آن ۵ سانتی‌متر است.", "مساحت = ۸ × ۵ = ۴۰ سانتی‌مترمربع.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 6 (۲)", "محاسبه مساحت با استفاده از واحدهای مربعی"], {"steps": ["طول مستطیل را ۴ و عرض آن را ۳ در نظر می‌گیریم.", "برای محاسبه مساحت، طول را در عرض ضرب می‌کنیم: ۴ × ۳ = ۱۲.", "بنابراین، مساحت مستطیل برابر با ۱۲ واحد مربعی است.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 6 (۲)", "محاسبه مساحت دایره"], {"steps": ["شعاع دایره را به مقدار ۵ سانتی‌متر قرار می‌دهیم.", "مساحت = π × ۵ × ۵", "مساحت = π × ۲۵", "با تقریب π به ۳٫۱۴، مساحت = ۳٫۱۴ × ۲۵", "مساحت = ۷۸٫۵", "✅ جواب: ۷۸٫۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 7 (۱)", "محاسبه مساحت زمین‌های بزرگ با واحد هکتار"], {"steps": ["مساحت زمین ۲۵۰۰۰ متر مربع است.", "برای محاسبه هکتار، مساحت را بر ۱۰,۰۰۰ تقسیم می‌کنیم: ۲۵۰۰۰ ÷ ۱۰۰۰۰ = ۲٫۵ هکتار.", "پس زمین ۲۵۰۰۰ متر مربع برابر با ۲٫۵ هکتار است.", "✅ جواب: ۲٫۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 7 (۱)", "محاسبه مساحت مثلث"], {"steps": ["قاعده مثلث ۱۰ سانتی‌متر است.", "ارتفاع مثلث ۵ سانتی‌متر است.", "مساحت مثلث = (قاعده × ارتفاع) ÷ ۲ = (۱۰ × ۵) ÷ ۲.", "مساحت مثلث = ۵۰ ÷ ۲ = ۲۵ سانتی‌متر مربع.", "✅ جواب: ۲۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 7 (۲)", "محاسبه مساحت مستطیل"], {"steps": ["طول مستطیل را یادداشت می‌کنیم: ۱۲ متر.", "عرض مستطیل را یادداشت می‌کنیم: ۵ متر.", "مساحت مستطیل را با استفاده از فرمول محاسبه می‌کنیم: مساحت = طول × عرض = ۱۲ × ۵.", "محاسبه می‌کنیم: ۱۲ × ۵ = ۶۰.", "✅ جواب: ۶۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 7 (۲)", "محیط دایره"], {"intro": "برای محاسبه محیط دایره، از فرمول محیط = قطر × π یا محیط = ۲ × شعاع × π استفاده کنید. مقدار π معمولاً ۳٫۱۴ در نظر گرفته می‌شود."}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 8", "مساحت دایره"], {"intro": "برای محاسبه مساحت دایره، از فرمول مساحت = π × شعاع × شعاع استفاده کنید. مقدار π معمولاً ۳٫۱۴ در نظر گرفته می‌شود.", "steps": ["شعاع دایره را برابر ۵ سانتی‌متر در نظر می‌گیریم.", "مساحت دایره = π × شعاع × شعاع = ۳٫۱۴ × ۵ × ۵", "محاسبه می‌کنیم: ۵ × ۵ = ۲۵", "سپس ۳٫۱۴ × ۲۵ = ۷۸٫۵", "بنابراین، مساحت دایره برابر ۷۸٫۵ سانتی‌متر مربع است.", "✅ جواب: ۷۸٫۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 1 (۱)", "تبدیل کسر به درصد"], {"steps": ["صورت کسر را بر مخرج آن تقسیم می‌کنیم: ۳ ÷ ۴ = ۰٫۷۵.", "حاصل را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم: ۰٫۷۵ × ۱۰۰ = ۷۵.", "بنابراین، کسر ۳/۴ معادل ۷۵ درصد است.", "✅ جواب: ۷۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 2 (۱)", "درصد مواد تشکیل‌دهنده"], {"steps": ["مقدار دختران را بر مقدار کل دانش‌آموزان تقسیم می‌کنیم: ۱۰ ÷ ۲۵ = ۰٫۴", "حاصل را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم: ۰٫۴ × ۱۰۰ = ۴۰", "بنابراین، درصد دختران کلاس ۴۰ درصد است.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 2 (۲)", "محاسبه تخفیف"], {"intro": "برای محاسبه تخفیف، ابتدا درصد تخفیف را به عدد اعشاری تبدیل کنید (مثلاً ۲۰٪ به ۰٫۲). سپس این عدد را در قیمت اصلی کالا ضرب کنید تا مقدار تخفیف به دست آید. در نهایت، مقدار تخفیف را از قیمت اصلی کم کنید تا قیمت نهایی به دست آید.", "steps": ["ابتدا درصد تخفیف ۱۵٪ را به عدد اعشاری تبدیل می‌کنیم: ۱۵ ÷ ۱۰۰ = ۰٫۱۵.", "سپس مقدار تخفیف را محاسبه می‌کنیم: ۳۰۰۰۰ × ۰٫۱۵ = ۴۵۰۰ تومان.", "حالا مقدار تخفیف را از قیمت اصلی کم می‌کنیم: ۳۰۰۰۰ - ۴۵۰۰ = ۲۵۵۰۰ تومان.", "✅ جواب: ۲۵۵۰۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 2 (۲)", "محاسبه تعداد کلمات"], {"steps": ["سرعت نویسنده ۱۵ کلمه در دقیقه است.", "زمان کل ۴ دقیقه است.", "تعداد کل کلمات را با ضرب سرعت در زمان محاسبه می‌کنیم: ۱۵ × ۴ = ۶۰.", "نویسنده در ۴ دقیقه ۶۰ کلمه می‌نویسد.", "✅ جواب: ۶۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 3 (۱)", "محاسبه جرم یا طول سیم با استفاده از تناسب"], {"steps": ["نسبت جرم به طول سیم را محاسبه می‌کنیم: ۵۰ گرم ÷ ۲ متر = ۲۵ گرم/متر.", "برای محاسبه جرم سیم ۳ متری، از نسبت استفاده می‌کنیم: ۲۵ گرم/متر × ۳ متر = ۷۵ گرم.", "پس جرم سیم ۳ متری برابر با ۷۵ گرم است.", "✅ جواب: ۷۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 3 (۱)", "محاسبه جمعیت بر اساس درصد"], {"steps": ["درصد کودکان ۱۵ است.", "جمعیت کل شهر ۲۰۰۰۰۰ نفر است.", "۱۵ ÷ ۱۰۰ = ۰٫۱۵", "۲۰۰۰۰۰ × ۰٫۱۵ = ۳۰۰۰۰", "تعداد کودکان در این شهر ۳۰۰۰۰ نفر است.", "✅ جواب: ۳۰۰۰۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 3 (۲)", "محاسبه درصد از روی کسر"], {"steps": ["صورت کسر را بر مخرج تقسیم می‌کنیم: ۱۲ ÷ ۳۰ = ۰٫۴.", "عدد اعشاری به دست آمده را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم: ۰٫۴ × ۱۰۰ = ۴۰.", "بنابراین، درصد دختران کلاس ۴۰ درصد است.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 3 (۲)", "محاسبه درصد از نمودار"], {"steps": ["تعداد افرادی که رنگ آبی را انتخاب کرده‌اند ۸ نفر است.", "مجموع کل افراد ۲۰ نفر است.", "برای محاسبه درصد، ابتدا ۸ را بر ۲۰ تقسیم می‌کنیم: ۸ ÷ ۲۰ = ۰٫۴.", "سپس ۰٫۴ را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم: ۰٫۴ × ۱۰۰ = ۴۰.", "بنابراین، درصد افرادی که رنگ آبی را انتخاب کرده‌اند ۴۰ درصد است.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 3 (۲)", "محاسبه درصد از کل"], {"steps": ["مقدار کل دانش‌آموزان ۲۰ است.", "مقدار جزئی دختران ۸ است.", "۸ را بر ۲۰ تقسیم می‌کنیم: ۸ ÷ ۲۰ = ۰٫۴.", "حاصل ۰٫۴ را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم: ۰٫۴ × ۱۰۰ = ۴۰.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 3 (۲)", "محاسبه درصد افزایش"], {"steps": ["تعداد اولیه دانش‌آموزان ۲۵ نفر است و تعداد جدید ۳۰ نفر.", "مقدار افزایش را محاسبه می‌کنیم: ۳۰ - ۲۵ = ۵ نفر.", "درصد افزایش را با تقسیم مقدار افزایش بر تعداد اولیه محاسبه می‌کنیم: ۵ ÷ ۲۵ = ۰٫۲.", "درصد افزایش را با ضرب در ۱۰۰ به دست می‌آوریم: ۰٫۲ × ۱۰۰ = ۲۰ درصد.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 4 (۱)", "محاسبه درصد افزایش جمعیت"], {"steps": ["جمعیت اولیه ۱۵ میلیون و جمعیت جدید ۱۸ میلیون است.", "مقدار افزایش جمعیت را محاسبه می‌کنیم: ۱۸ میلیون - ۱۵ میلیون = ۳ میلیون.", "برای محاسبه درصد افزایش، مقدار افزایش را بر جمعیت اولیه تقسیم می‌کنیم: ۳ میلیون ÷ ۱۵ میلیون = ۰٫۲.", "حالا درصد افزایش را محاسبه می‌کنیم: ۰٫۲ × ۱۰۰ = ۲۰.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 4 (۱)", "محاسبه درصد افزایش یا کاهش"], {"steps": ["مقدار اولیه کالاها ۲۰۰۰ عدد است و مقدار جدید ۲۴۰۰ عدد است.", "تفاوت بین مقدار جدید و مقدار اولیه را محاسبه می‌کنیم: ۲۴۰۰ - ۲۰۰۰ = ۴۰۰.", "تفاوت ۴۰۰ را بر مقدار اولیه ۲۰۰۰ تقسیم می‌کنیم: ۴۰۰ ÷ ۲۰۰۰ = ۰٫۲.", "حالا ۰٫۲ را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم تا درصد افزایش به دست آید: ۰٫۲ × ۱۰۰ = ۲۰.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 4 (۱)", "محاسبه درصد تخفیف"], {"steps": ["اختلاف قیمت اولیه و قیمت نهایی را محاسبه می‌کنیم: ۲۵۰۰۰ - ۲۰۰۰۰ = ۵۰۰۰ تومان.", "اختلاف قیمت را بر قیمت اولیه تقسیم می‌کنیم: ۵۰۰۰ ÷ ۲۵۰۰۰ = ۰٫۲.", "حاصل را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم: ۰٫۲ × ۱۰۰ = ۲۰ درصد.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 4 (۱)", "محاسبه درصد تغییرات"], {"steps": ["مقدار اولیه فروش ۲۰۰۰ تومان و مقدار جدید فروش ۲۵۰۰ تومان است.", "تفاوت بین مقدار جدید و مقدار اولیه را محاسبه می‌کنیم: ۲۵۰۰ - ۲۰۰۰ = ۵۰۰ تومان.", "تفاوت ۵۰۰ تومان را بر مقدار اولیه ۲۰۰۰ تقسیم می‌کنیم: ۵۰۰ ÷ ۲۰۰۰ = ۰٫۲۵.", "حاصل ۰٫۲۵ را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم: ۰٫۲۵ × ۱۰۰ = ۲۵ درصد.", "✅ جواب: ۲۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 4 (۲)", "محاسبه درصد حجم"], {"steps": ["تعداد مکعب‌های قرمز را بر تعداد کل مکعب‌ها تقسیم می‌کنیم: ۱۰ ÷ ۴۰ = ۰٫۲۵.", "نتیجه را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم: ۰٫۲۵ × ۱۰۰ = ۲۵.", "بنابراین، درصد مکعب‌های قرمز ۲۵ درصد است.", "✅ جواب: ۲۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 4 (۲)", "محاسبه درصد سود"], {"intro": "۱. درصد سود را به عدد اعشاری تبدیل کنید (مثلاً ۱۸٪ = ۰٫۱۸). ۲. عدد اعشاری را در مقدار اصلی پول ضرب کنید تا مقدار سود به دست آید. ۳. مقدار سود را به مقدار اصلی اضافه کنید تا کل مبلغ نهایی محاسبه شود.", "steps": ["قیمت خرید = ۲۴۰۰۰ ÷ ۱٫۲ = ۲۰۰۰۰ تومان.", "مقدار سود = ۲۴۰۰۰ - ۲۰۰۰۰ = ۴۰۰۰ تومان.", "✅ جواب: ۴۰۰۰ تومان"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 5 (۱)", "محاسبه درصد مساحت"], {"steps": ["مساحت کل مستطیل را محاسبه می‌کنیم: ۸ × ۵ = ۴۰ سانتی‌متر مربع.", "حالا ۲۰ درصد از مساحت کل را محاسبه می‌کنیم: ۴۰ × ۰٫۲ = ۸ سانتی‌متر مربع.", "بنابراین، مساحت قسمت رنگی ۸ سانتی‌متر مربع است.", "✅ جواب: ۸"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 5 (۱)", "محاسبه درصد واقعی سود"], {"steps": ["قیمت خرید ۲۵۰۰۰ تومان و قیمت فروش ۳۰۰۰۰ تومان است.", "مقدار سود را محاسبه می‌کنیم: ۳۰۰۰۰ - ۲۵۰۰۰ = ۵۰۰۰ تومان.", "حالا مقدار سود را بر قیمت خرید تقسیم می‌کنیم: ۵۰۰۰ ÷ ۲۵۰۰۰ = ۰٫۲.", "حاصل را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم: ۰٫۲ × ۱۰۰ = ۲۰.", "پس درصد واقعی سود ۲۰ درصد است.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 5 (۲)", "محاسبه قیمت بعد از تخفیف"], {"intro": "۱. درصد تخفیف را به عدد اعشاری تبدیل کنید (مثلاً ۱۵٪ می‌شود ۰٫۱۵). \n۲. عدد اعشاری تخفیف را در قیمت اولیه ضرب کنید تا مقدار تخفیف به دست آید. \n۳. مقدار تخفیف را از قیمت اولیه کم کنید تا قیمت بعد از تخفیف محاسبه شود.", "steps": ["تخفیف ۲۰٪ را به عدد اعشاری تبدیل می‌کنیم: ۲۰ ÷ ۱۰۰ = ۰٫۲۰.", "مقدار تخفیف را محاسبه می‌کنیم: ۲۵۰۰۰ × ۰٫۲۰ = ۵۰۰۰ تومان.", "قیمت لباس بعد از تخفیف را محاسبه می‌کنیم: ۲۵۰۰۰ - ۵۰۰۰ = ۲۰۰۰۰ تومان.", "✅ جواب: ۲۰۰۰۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 5 (۲)", "محاسبه قیمت فروش با سود مشخص"], {"steps": ["درصد سود ۳۰ را به عدد اعشاری تبدیل می‌کنیم: ۳۰ ÷ ۱۰۰ = ۰٫۳.", "مقدار سود را با ضرب درصد سود در قیمت خرید محاسبه می‌کنیم: ۰٫۳ × ۱۵۰۰۰ = ۴۵۰۰ تومان.", "قیمت فروش را با جمع کردن مقدار سود با قیمت خرید به دست می‌آوریم: ۱۵۰۰۰ + ۴۵۰۰ = ۱۹۵۰۰ تومان.", "✅ جواب: ۱۹۵۰۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 6 (۱)", "محاسبه قیمت پس از تخفیف"], {"steps": ["ابتدا درصد تخفیف ۱۵ را به عدد اعشاری تبدیل می‌کنیم: ۱۵ ÷ ۱۰۰ = ۰٫۱۵.", "حالا قیمت تخفیف را محاسبه می‌کنیم: ۵۰۰۰۰ × ۰٫۱۵ = ۷۵۰۰ تومان.", "در نهایت قیمت نهایی را با کم کردن قیمت تخفیف از قیمت اولیه به دست می‌آوریم: ۵۰۰۰۰ - ۷۵۰۰ = ۴۲۵۰۰ تومان.", "✅ جواب: ۴۲۵۰۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 6 (۱)", "محاسبه مالیات بر ارزش افزوده"], {"steps": ["درصد مالیات ۱۰ را به عدد اعشاری تبدیل می‌کنیم: ۱۰ ÷ ۱۰۰ = ۰٫۱", "مقدار مالیات را محاسبه می‌کنیم: ۱۲۰۰۰ × ۰٫۱ = ۱۲۰۰ تومان", "قیمت نهایی کتاب را محاسبه می‌کنیم: ۱۲۰۰۰ + ۱۲۰۰ = ۱۳۲۰۰ تومان", "✅ جواب: ۱۳۲۰۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 6 (۱)", "محاسبه مالیات بر درصد"], {"intro": "۱. درصد مالیات را به عدد اعشاری تبدیل کنید (مثلاً ۹٪ = ۰٫۰۹). ۲. عدد اعشاری را در مبلغ اصلی ضرب کنید تا مقدار مالیات به دست آید. ۳. مقدار مالیات را به مبلغ اصلی اضافه کنید تا مبلغ نهایی محاسبه شود."}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 6 (۱)", "محاسبه محیط و مساحت مستطیل"], {"steps": ["برای محاسبه محیط، از فرمول ۲ × (طول + عرض) استفاده می‌کنیم: ۲ × (۸ + ۵)", "ابتدا طول و عرض را جمع می‌کنیم: ۸ + ۵ = ۱۳", "سپس ۱۳ را در ۲ ضرب می‌کنیم: ۲ × ۱۳ = ۲۶", "برای محاسبه مساحت، طول را در عرض ضرب می‌کنیم: ۸ × ۵", "محاسبه می‌کنیم: ۸ × ۵ = ۴۰", "✅ جواب: محیط: ۲۶ سانتی‌متر، مساحت: ۴۰ سانتی‌متر مربع"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 6 (۲)", "محاسبه مساحت و محیط"], {"steps": ["مساحت مستطیل برابر است با طول ضربدر عرض.", "طول مستطیل ۱۰ متر و عرض آن ۵ متر است.", "بنابراین، مساحت برابر است با ۱۰ × ۵.", "محاسبه می‌کنیم: ۱۰ × ۵ = ۵۰.", "✅ جواب: ۵۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 6 (۲)", "محاسبه مقدار از درصد"], {"steps": ["ابتدا درصد را بر ۱۰۰ تقسیم می‌کنیم: ۱۵ ÷ ۱۰۰ = ۰٫۱۵.", "سپس مقدار کل میوه را در درصد به دست آمده ضرب می‌کنیم: ۴۰ × ۰٫۱۵ = ۶.", "بنابراین، ۶ کیلوگرم میوه خواهیم فروخت.", "✅ جواب: ۶"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 7", "محاسبه مقدار بر اساس درصد"], {"steps": ["برای محاسبه تعداد محصولات تخفیف‌دار، درصد تخفیف را به صورت کسری می‌نویسیم: ۴۰٪ = ۰٫۴.", "حالا تعداد کل محصولات را در درصد تخفیف ضرب می‌کنیم: ۲۰۰ × ۰٫۴ = ۸۰.", "بنابراین، تعداد محصولات تخفیف‌دار ۸۰ عدد است.", "✅ جواب: ۸۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 7", "محاسبه مواد لازم با استفاده از نسبت"], {"steps": ["جمع نسبت‌ها را محاسبه می‌کنیم: ۲ + ۳ + ۵ = ۱۰.", "مقدار هر ماده را با تقسیم نسبت آن بر جمع نسبت‌ها محاسبه می‌کنیم:", "ماده الف: (۲ ÷ ۱۰) × ۱۰۰ = ۲۰ میلی‌لیتر.", "ماده ب: (۳ ÷ ۱۰) × ۱۰۰ = ۳۰ میلی‌لیتر.", "ماده ج: (۵ ÷ ۱۰) × ۱۰۰ = ۵۰ میلی‌لیتر.", "✅ جواب: ماده الف: ۲۰ میلی‌لیتر، ماده ب: ۳۰ میلی‌لیتر، ماده ج: ۵۰ میلی‌لیتر"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 7", "نسبت و درصد"], {"steps": ["تعداد درختان سیب: ۲۵", "تعداد کل درختان: ۴۰", "کسر درختان سیب: ۲۵ ÷ ۴۰ = ۰٫۶۲۵", "برای تبدیل به درصد: ۰٫۶۲۵ × ۱۰۰ = ۶۲٫۵", "درصد درختان سیب: ۶۲٫۵%", "✅ جواب: ۶۲٫۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۷: تقریب", "تقریب — گروه 1 (۲)", "تقریب به دهگان، صدگان و هزارگان"], {"intro": "برای تقریب یک عدد به دهگان، صدگان یا هزارگان: \n۱. رقم مورد نظر (دهگان، صدگان یا هزارگان) را مشخص کنید. \n۲. به رقم سمت راست آن نگاه کنید. \n۳. اگر رقم سمت راست کمتر از ۵ بود، رقم مورد نظر را تغییر ندهید و بقیه ارقام سمت راست را صفر کنید. \n۴. اگر رقم سمت راست ۵ یا بیشتر بود، یک واحد به رقم مورد نظر اضافه کنید و بقیه ارقام سمت راست را صفر کنید."}], [["پایه ششم", "فصل ۷: تقریب", "تقریب — گروه 4 (۱)", "محاسبه حاصل ضرب و تقریب"], {"steps": ["ابتدا حاصل ضرب ۳۵ و ۲۴ را محاسبه می‌کنیم: ۳۵ × ۲۴ = ۸۴۰.", "حالا عدد ۸۴۰ را به نزدیک‌ترین عدد صحیح تقریب می‌زنیم.", "عدد ۸۴۰ خود یک عدد صحیح است و نیازی به تقریب ندارد.", "✅ جواب: ۸۴۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۷: تقریب", "تقریب — گروه 4 (۱)", "محاسبه عددهای بزرگ"], {"steps": ["تعداد کل گل‌ها ۲۴۰ است و تعداد ردیف‌ها ۱۲ است.", "برای پیدا کردن تعداد گل‌ها در هر ردیف، عدد ۲۴۰ را بر ۱۲ تقسیم می‌کنیم.", "۲۴۰ ÷ ۱۲ = ۲۰ پس هر ردیف شامل ۲۰ گل است.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۷: تقریب", "تقریب — گروه 4 (۲)", "محاسبه و تقریب طول"], {"steps": ["طول میز ۱۲۰ سانتی‌متر است.", "عدد ۱۲۰ را به نزدیک‌ترین ده سانتی‌متر تقریب می‌زنیم.", "عدد ۱۲۰ به خودی خود نزدیک‌ترین ده سانتی‌متر است.", "پس، ۱۲۰ را به ۱۲۰ تقریب می‌زنیم.", "✅ جواب: ۱۲۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۷: تقریب", "تقریب — گروه 4 (۲)", "مقایسه روش‌های گرد کردن"], {"intro": "برای مقایسه روش‌های گرد کردن: \n۱. عدد مورد نظر را به روش‌های مختلف (دهگان، صدگان، هزارگان) گرد کنید. \n۲. مقادیر به دست آمده را با یکدیگر مقایسه کنید. \n۳. بررسی کنید که آیا نتایج به یکدیگر نزدیک هستند یا خیر."}], [["پایه ششم", "فصل ۷: تقریب", "تقریب — گروه 4 (۲)", "گرد کردن"], {"steps": ["رقم مشخص شده در اینجا رقم صدها است که برابر با ۴ است.", "رقم بعد از ۴، یعنی رقم ده‌ها، برابر با ۳ است.", "چون ۳ کمتر از ۵ است، رقم صدها تغییر نمی‌کند و فقط بقیه ارقام صفر می‌شوند.", "بنابراین، عدد ۲۴۳۵ به ۲۴۰۰ گرد می‌شود.", "✅ جواب: ۲۴۰۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۱: راهبردهای حل مسئله", "راهبردهای حل مسئله — گروه 1 (۲)", "جایگذاری عدد در معادله"], {"example": "به جای x چه عددی می‌توان قرار داد؟ ۵ × x - ۷ = ۱۸", "steps": ["ابتدا ۷ را به دو طرف معادله اضافه می‌کنیم: ۵ × x = ۱۸ + ۷", "حساب می‌کنیم: ۵ × x = ۲۵", "حالا هر دو طرف معادله را بر ۵ تقسیم می‌کنیم: x = ۲۵ ÷ ۵", "محاسبه می‌کنیم: x = ۵", "✅ جواب: ۵"], "figures": []}], [["پایه هفتم", "فصل ۱: راهبردهای حل مسئله", "راهبردهای حل مسئله — گروه 2 (۲)", "محاسبه ساده‌تر مسئله"], {"steps": ["برای ساده‌تر کردن مسئله، قطر درخت را به ۲۴۰ تقسیم بر ۸۰ می‌کنیم.", "۲۴۰ ÷ ۸۰ = ۳", "بنابراین، قطر درخت تقریباً ۳ برابر قطر چوب است.", "✅ جواب: ۳"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۱: راهبردهای حل مسئله", "راهبردهای حل مسئله — گروه 3 (۱)", "محاسبه قطرهای چندضلعی"], {"intro": "۱. تعداد اضلاع چندضلعی را مشخص کنید. ۲. از فرمول تعداد قطرها (n(n-۳)/۲) استفاده کنید، که در آن n تعداد اضلاع است. ۳. نتیجه را محاسبه کنید."}], [["پایه هفتم", "فصل ۱: راهبردهای حل مسئله", "راهبردهای حل مسئله — گروه 3 (۲)", "محاسبه مساحت"], {"steps": ["طول مستطیل را که ۸ متر است در عرض آن که ۵ متر است ضرب می‌کنیم.", "۸ × ۵ = ۴۰ متر مربع.", "بنابراین، مساحت مستطیل برابر با ۴۰ متر مربع است.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۱: راهبردهای حل مسئله", "راهبردهای حل مسئله — گروه 3 (۲)", "محاسبه میانگین"], {"steps": ["در هر روز، علی ۲ ساعت ورزش می‌کند و در هر ساعت ۳۰۰ کالری می‌سوزاند. پس در هر روز، ۲ × ۳۰۰ = ۶۰۰ کالری می‌سوزاند.", "علی در ۵ روز به ورزشگاه می‌رود. بنابراین، مقدار کل کالری سوزانده شده در ۵ روز برابر است با ۵ × ۶۰۰ = ۳۰۰۰ کالری.", "برای محاسبه میانگین کالری سوزانده شده در هر روز، مقدار کل کالری را بر تعداد روزها تقسیم می‌کنیم: ۳۰۰۰ ÷ ۵ = ۶۰۰ کالری.", "✅ جواب: ۶۰۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۱: راهبردهای حل مسئله", "راهبردهای حل مسئله — گروه 4 (۱)", "محاسبه کسر از طرح کاشی‌کاری"], {"steps": ["تعداد کل کاشی‌ها ۲۴ است.", "تعداد کاشی‌های رنگی ۱۰ است.", "کسر کاشی‌های رنگی را به صورت ۱۰/۲۴ می‌نویسیم.", "کسر ۱۰/۲۴ را می‌توانیم ساده کنیم: ۱۰ و ۲۴ هر دو بر ۲ قابل تقسیم هستند.", "پس کسر ساده شده برابر است با ۵/۱۲.", "✅ جواب: ۵/۱۲"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۱: راهبردهای حل مسئله", "راهبردهای حل مسئله — گروه 4 (۲)", "کمینه‌سازی حاصل جمع"], {"steps": ["حالت‌های ممکن برای ضرب ۲ عدد طبیعی که حاصل ضرب آنها ۲۴ باشد را بررسی می‌کنیم: (۱, ۲۴)، (۲, ۱۲)، (۳, ۸)، (۴, ۶).", "حاصل جمع هر حالت را محاسبه می‌کنیم: ۱ + ۲۴ = ۲۵، ۲ + ۱۲ = ۱۴، ۳ + ۸ = ۱۱، ۴ + ۶ = ۱۰.", "حاصل جمع‌ها را مقایسه می‌کنیم: ۲۵، ۱۴، ۱۱، ۱۰.", "کمترین مقدار حاصل جمع را پیدا می‌کنیم که برابر با ۱۰ است.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۲: عددهای صحیح", "عددهای صحیح — گروه 1 (۱)", "استفاده از محور اعداد برای جمع و تفریق"], {"intro": "برای استفاده از محور اعداد در جمع و تفریق: \n۱. از عدد اول روی محور شروع کنید.\n۲. اگر عدد دوم مثبت است، به سمت راست حرکت کنید؛ اگر منفی است، به سمت چپ حرکت کنید.\n۳. نقطه‌ای که به آن می‌رسید، جواب نهایی است."}], [["پایه هفتم", "فصل ۲: عددهای صحیح", "عددهای صحیح — گروه 1 (۱)", "تبدیل تفریق به جمع"], {"intro": "برای تبدیل تفریق به جمع: \n۱. علامت عدد دوم را تغییر دهید (مثبت به منفی یا منفی به مثبت).\n۲. سپس عمل جمع را انجام دهید.\n۳. از قوانین جمع عددهای صحیح استفاده کنید."}], [["پایه هفتم", "فصل ۲: عددهای صحیح", "عددهای صحیح — گروه 1 (۲)", "تشخیص عددهای صحیح مثبت و منفی"], {"example": "عدد -۵ را با عدد ۳ مقایسه کنید. آیا عدد -۵ عددی صحیح مثبت است یا منفی؟", "steps": ["عدد -۵ در سمت چپ محور اعداد قرار دارد.", "عدد ۳ در سمت راست محور اعداد قرار دارد.", "از آنجا که -۵ در سمت چپ قرار دارد، پس عددی منفی است.", "✅ جواب: منفی"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۲: عددهای صحیح", "عددهای صحیح — گروه 1 (۲)", "تفریق اعداد صحیح"], {"intro": "برای تفریق اعداد صحیح: \n۱. عدد دوم را معکوس علامت کنید (مثبت به منفی و منفی به مثبت). \n۲. سپس عمل جمع را طبق قواعد جمع اعداد صحیح انجام دهید."}], [["پایه هفتم", "فصل ۲: عددهای صحیح", "عددهای صحیح — گروه 2 (۱)", "تکمیل جدول ضرب عددهای صحیح"], {"steps": ["علامت منفی در دو عدد برابر است، بنابراین حاصل ضرب مثبت خواهد بود.", "محاسبه قدر مطلق: ۴ × ۵ = ۲۰.", "چون هر دو عدد منفی هستند، حاصل ضرب نهایی مثبت است.", "پس حاصل ضرب -۴ × -۵ برابر با ۲۰ است.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۲: عددهای صحیح", "عددهای صحیح — گروه 2 (۱)", "تکمیل جدول عددهای صحیح"], {"steps": ["عدد ۵ را در نظر می‌گیریم.", "عدد ۳ را به عدد ۵ اضافه می‌کنیم.", "۵ + ۳ = ۸ را محاسبه می‌کنیم.", "✅ جواب: ۸"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۲: عددهای صحیح", "عددهای صحیح — گروه 2 (۲)", "جمع اعداد صحیح"], {"intro": "برای جمع اعداد صحیح: \n۱. اگر هر دو عدد مثبت باشند، اعداد را جمع کرده و علامت مثبت را نگه دارید. \n۲. اگر هر دو عدد منفی باشند، اعداد را جمع کرده و علامت منفی را نگه دارید. \n۳. اگر یکی از اعداد مثبت و دیگری منفی باشد، مقدار مطلق اعداد را مقایسه کنید، عدد بزرگ‌تر را از عدد کوچک‌تر کم کنید و علامت عدد بزرگ‌تر را به نتیجه بدهید."}], [["پایه هفتم", "فصل ۲: عددهای صحیح", "عددهای صحیح — گروه 2 (۲)", "جمع و تفریق عددهای صحیح"], {"steps": ["ابتدا عدد ۴ و ۲ را از هم کم می‌کنیم: ۴ - ۲ = ۲.", "چون عدد بزرگ‌تر منفی است، جواب نهایی برابر است با: -۲.", "✅ جواب: (-۴) + (+۲) = -۲"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۲: عددهای صحیح", "عددهای صحیح — گروه 3 (۱)", "ضرب عددهای صحیح"], {"example": "حاصل ضرب (-۶) و ۵ را حساب کنید.", "steps": ["ابتدا علامت اعداد را بررسی می‌کنیم. یکی منفی و دیگری مثبت است، پس حاصل ضرب منفی خواهد بود.", "حالا قدر مطلق اعداد را محاسبه می‌کنیم: ۶ × ۵ = ۳۰.", "حالا علامت مناسب را به حاصل ضرب اضافه می‌کنیم. چون یکی از اعداد منفی است، حاصل ضرب نهایی منفی خواهد بود.", "✅ جواب: -۳۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۲: عددهای صحیح", "عددهای صحیح — گروه 3 (۱)", "ضرب و تقسیم اعداد صحیح"], {"example": "(-۵) × (-۳) = ؟", "steps": ["تعداد علامت‌های منفی: ۲ تا (هر دو منفی).", "چون تعداد علامت‌های منفی زوج است، حاصل ضرب مثبت خواهد بود.", "حالا اعداد را بدون توجه به علامت ضرب می‌کنیم: ۵ × ۳ = ۱۵.", "پس حاصل ضرب نهایی برابر است با ۱۵.", "✅ جواب: ۱۵"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۲: عددهای صحیح", "عددهای صحیح — گروه 3 (۲)", "محاسبه با ماشین حساب"], {"steps": ["مبلغ اولیه ۲۵۰۰۰ تومان است.", "تخفیف ۱۲۰۰۰ تومان را از مبلغ اولیه کم می‌کنیم: ۲۵۰۰۰ - ۱۲۰۰۰ = ۱۳۰۰۰.", "مبلغ نهایی که مشتری باید پرداخت کند ۱۳۰۰۰ تومان است.", "✅ جواب: ۱۳۰۰۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۲: عددهای صحیح", "عددهای صحیح — گروه 4", "میانگین عددهای صحیح"], {"steps": ["نمرات را با هم جمع می‌کنیم: ۱۲ + ۱۵ + ۱۷ + ۲۰ = ۶۴.", "تعداد نمرات را محاسبه می‌کنیم: ۴ عدد است.", "مجموع نمرات را بر تعداد نمرات تقسیم می‌کنیم: ۶۴ ÷ ۴ = ۱۶.", "✅ جواب: ۱۶"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۲: عددهای صحیح", "عددهای صحیح — گروه 4", "نمایش موقعیت روی محور"], {"steps": ["عدد اولیه ۵ است.", "۳ واحد به ۵ اضافه می‌کنیم: ۵ + ۳ = ۸.", "۲ واحد از ۸ کم می‌کنیم: ۸ - ۲ = ۶.", "✅ جواب: ۶"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 1 (۲)", "بسط و ساده‌سازی عبارات جبری"], {"example": "عبارت ۳(x + ۲) − ۲(x − ۴) را بسط دهید و ساده کنید.", "steps": ["پرانتز اول را بسط می‌دهیم: ۳(x + ۲) = ۳x + ۶.", "پرانتز دوم را بسط می‌دهیم؛ علامت منفی در هر دو جمله ضرب می‌شود: −۲(x − ۴) = −۲x + ۸.", "جمله‌های مشابه را جمع می‌کنیم: ۳x − ۲x = x و ۶ + ۸ = ۱۴.", "✅ جواب: x + ۱۴"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 1 (۲)", "بیان هزینه با عبارات جبری"], {"steps": ["قیمت هر کتاب برابر x تومان است.", "تعداد کتاب‌ها ۵ عدد است.", "هزینه خرید ۵ کتاب برابر با ۵ × x است.", "بنابراین، هزینه کل خرید برابر با ۵x تومان خواهد بود.", "✅ جواب: ۵x"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 1 (۲)", "تشخیص و ترکیب عبارات جبری"], {"example": "عبارت جبری ۳x + ۵x - ۲y + ۴y را ترکیب کنید.", "steps": ["عبارات مشابه را شناسایی می‌کنیم: ۳x و ۵x، و -۲y و ۴y.", "برای xها: ۳x + ۵x = ۸x.", "برای yها: -۲y + ۴y = ۲y.", "عبارت ترکیبی نهایی را می‌نویسیم: ۸x + ۲y.", "✅ جواب: ۸x + ۲y"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 2 (۱)", "تشکیل معادله از مسئله‌های کلامی"], {"steps": ["تعداد کل گل‌ها ۳۰۰ است و هر ردیف ۱۵ گل دارد.", "برای پیدا کردن تعداد ردیف‌ها، تعداد گل‌ها را بر تعداد گل‌های هر ردیف تقسیم می‌کنیم: ۳۰۰ ÷ ۱۵ = ۲۰.", "بنابراین، باغبان باید ۲۰ ردیف گل بکارد.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 2 (۱)", "تعیین تعداد نسخه‌ها"], {"steps": ["مجموع نسخه‌ها برابر با مجموع نسخه‌های خطی، چاپی و ریزفیلم است.", "تعداد نسخه‌های خطی ۱۵۰۰ و تعداد نسخه‌های چاپی ۳۰۰۰ است.", "مجموع نسخه‌های خطی و چاپی را محاسبه می‌کنیم: ۱۵۰۰ + ۳۰۰۰ = ۴۵۰۰.", "برای پیدا کردن تعداد نسخه‌های ریزفیلم، از مجموع کل نسخه‌ها کم می‌کنیم: ۶۰۰۰ - ۴۵۰۰ = ۱۵۰۰.", "✅ جواب: ۱۵۰۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 2 (۱)", "تعیین مقدار عددی یک عبارت جبری"], {"steps": ["ابتدا مقدار x را در عبارت جایگذاری می‌کنیم: ۳×۲ + ۴.", "محاسبه ۳×۲ را انجام می‌دهیم: ۶ + ۴.", "حالا ۶ و ۴ را با هم جمع می‌کنیم: ۶ + ۴ = ۱۰.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 2 (۲)", "تکمیل جدول عددی"], {"steps": ["بین اعداد ۲ و ۴، اختلاف ۲ وجود دارد.", "بین اعداد ۴ و ۶ نیز اختلاف ۲ است.", "بنابراین، الگوی عددی به صورت افزایش ۲ است.", "عدد بعدی بعد از ۶، ۶ + ۲ می‌شود که برابر با ۸ است.", "✅ جواب: ۸"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 3 (۱)", "حل مسائل کلامی جبری"], {"steps": ["مقدار پول مهدی را با x نشان می‌دهیم. پس مقدار پول علی برابر با x + ۱۰۰۰۰ است.", "جمع پول علی و مهدی برابر با ۴۰۰۰۰ تومان است: x + (x + ۱۰۰۰۰) = ۴۰۰۰۰.", "معادله را ساده می‌کنیم: ۲x + ۱۰۰۰۰ = ۴۰۰۰۰.", "حالا ۱۰۰۰۰ را از دو طرف معادله کم می‌کنیم: ۲x = ۳۰۰۰۰.", "سپس هر دو طرف را بر ۲ تقسیم می‌کنیم: x = ۱۵۰۰۰.", "✅ جواب: ۱۵۰۰۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 3 (۱)", "حل معادلات جبری"], {"example": "معادله ۳x + ۵ = ۲۰ را حل کنید.", "steps": ["ابتدا ۵ را از دو طرف معادله کم می کنیم: ۳x + ۵ - ۵ = ۲۰ - ۵.", "معادله به صورت ۳x = ۱۵ در می آید.", "سپس هر دو طرف معادله را بر ۳ تقسیم می کنیم: ۳x ÷ ۳ = ۱۵ ÷ ۳.", "معادله به صورت x = ۵ در می آید.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 3 (۱)", "حل معادله خطی"], {"steps": ["ابتدا ۵ را از دو طرف معادله کم می‌کنیم: ۳x + ۵ - ۵ = ۲۰ - ۵", "حاصل را ساده می‌کنیم: ۳x = ۱۵", "حالا هر دو طرف معادله را بر ۳ تقسیم می‌کنیم: ۳x ÷ ۳ = ۱۵ ÷ ۳", "حاصل را محاسبه می‌کنیم: x = ۵", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 3 (۱)", "حل معادله ساده"], {"example": "حل معادله ۳x + ۵ = ۲۰ را پیدا کنید.", "steps": ["ابتدا ۵ را از دو طرف معادله کم می کنیم: ۳x + ۵ - ۵ = ۲۰ - ۵.", "این معادله به شکل ۳x = ۱۵ تبدیل می شود.", "سپس هر دو طرف معادله را بر ۳ تقسیم می کنیم: ۳x ÷ ۳ = ۱۵ ÷ ۳.", "این معادله به شکل x = ۵ تبدیل می شود.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 3 (۲)", "حل معادله یک مجهولی"], {"example": "۳x + ۵ = ۲۰", "steps": ["ابتدا ۵ را از دو طرف معادله کم می کنیم: ۳x + ۵ - ۵ = ۲۰ - ۵", "معادله به شکل ۳x = ۱۵ تبدیل می شود.", "حالا هر دو طرف معادله را بر ۳ تقسیم می کنیم: ۳x ÷ ۳ = ۱۵ ÷ ۳", "این معادله به شکل x = ۵ تبدیل می شود.", "برای بررسی، مقدار x را در معادله اصلی جایگذاری می کنیم: ۳(۵) + ۵ = ۲۰ که برابر با ۲۰ می شود.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 3 (۲)", "خواص عملیات جبری"], {"example": "اگر a = ۳ و b = ۵ باشد، مقدار عبارت a + b و b + a را محاسبه کنید و نشان دهید که این دو برابرند.", "steps": ["مقدار a را برابر ۳ قرار می‌دهیم.", "مقدار b را برابر ۵ قرار می‌دهیم.", "عبارت a + b را محاسبه می‌کنیم: ۳ + ۵ = ۸.", "عبارت b + a را محاسبه می‌کنیم: ۵ + ۳ = ۸.", "نتیجه می‌گیریم که a + b برابر با b + a است. این نشان‌دهنده خاصیت جابجایی است.", "✅ جواب: ۸"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 3 (۲)", "رسم و تکمیل نمودار جبری"], {"example": "اگر x = ۳ و y = ۴ باشد، مقدار ۲x + ۳y را محاسبه کنید.", "steps": ["ابتدا مقدار x را در ۲ ضرب می‌کنیم: ۲ × ۳ = ۶.", "سپس مقدار y را در ۳ ضرب می‌کنیم: ۳ × ۴ = ۱۲.", "حالا دو نتیجه را با هم جمع می‌کنیم: ۶ + ۱۲ = ۱۸.", "✅ جواب: ۱۸"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 4 (۲)", "محاسبه طول ضلع مربع از محیط"], {"intro": "۱. فرمول محیط مربع را یادآوری کنید: P = ۴a.\n۲. مقدار محیط (P) را جایگذاری کنید.\n۳. معادله را برای a حل کنید تا طول ضلع مربع به دست آید.", "steps": ["محیط مربع را با فرمول P = ۴a بیان می‌کنیم و مقدار P را ۲۰ متر قرار می‌دهیم: ۲۰ = ۴a.", "برای پیدا کردن a، معادله را بر ۴ تقسیم می‌کنیم: a = ۲۰ ÷ ۴.", "محاسبه می‌کنیم: a = ۵.", "بنابراین، طول ضلع مربع ۵ متر است.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 4 (۲)", "محاسبه محیط اشکال هندسی"], {"steps": ["طول مستطیل را برابر ۵ سانتی‌متر و عرض آن را برابر ۳ سانتی‌متر در نظر می‌گیریم.", "محیط مستطیل را با فرمول ۲ × (طول + عرض) محاسبه می‌کنیم.", "محاسبه می‌کنیم: ۲ × (۵ + ۳) = ۲ × ۸ = ۱۶.", "بنابراین، محیط مستطیل برابر ۱۶ سانتی‌متر است.", "✅ جواب: ۱۶"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 4 (۲)", "محاسبه محیط اشکال هندسی با عبارات جبری"], {"example": "محیط یک مستطیل با طول a و عرض b برابر با P=۲(a+b) است. اگر a=۵ و b=۳ باشد، محیط مستطیل را محاسبه کنید.", "steps": ["ابتدا طول و عرض مستطیل را در فرمول محیط جایگذاری می‌کنیم: P=۲(۵+۳).", "حساب می‌کنیم: ۵+۳=۸.", "سپس مقدار به دست آمده را در ۲ ضرب می‌کنیم: ۲×۸=۱۶.", "بنابراین، محیط مستطیل برابر با ۱۶ است.", "✅ جواب: ۱۶"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 5 (۱)", "محاسبه محیط و مساحت اشکال هندسی"], {"steps": ["فرمول مساحت مستطیل را می‌نویسیم: مساحت = طول × عرض.", "طول مستطیل ۵ سانتی‌متر و عرض آن ۳ سانتی‌متر است.", "مساحت = ۵ × ۳ = ۱۵ سانتی‌متر مربع.", "✅ جواب: ۱۵"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 5 (۲)", "محاسبه مساحت با عبارات جبری"], {"steps": ["طول مستطیل را ۴x و عرض آن را ۳x در نظر می‌گیریم.", "مساحت مستطیل را با فرمول طول × عرض محاسبه می‌کنیم: ۴x × ۳x.", "محاسبه می‌کنیم: ۴ × ۳ × x × x = ۱۲x².", "بنابراین، مساحت مستطیل برابر با ۱۲x² است.", "✅ جواب: ۱۲x²"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 5 (۲)", "محاسبه مقدار عبارت جبری"], {"example": "مقدار عبارت جبری ۳x + ۵y را برای x = ۲ و y = ۴ محاسبه کنید.", "steps": ["ابتدا مقدار x را در عبارت جایگذاری می‌کنیم: ۳×۲ + ۵y.", "سپس مقدار y را در عبارت جایگذاری می‌کنیم: ۳×۲ + ۵×۴.", "حساب می‌کنیم: ۳×۲ = ۶ و ۵×۴ = ۲۰.", "حالا ۶ + ۲۰ را محاسبه می‌کنیم: ۶ + ۲۰ = ۲۶.", "✅ جواب: ۲۶"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 5 (۲)", "محاسبه هزینه"], {"steps": ["تعداد کتاب‌ها را مشخص می‌کنیم: ۸ کتاب.", "قیمت هر کتاب را مشخص می‌کنیم: ۳۰۰۰ تومان.", "هزینه کل را با ضرب تعداد کتاب‌ها در قیمت هر کتاب محاسبه می‌کنیم: ۸ × ۳۰۰۰ = ۲۴۰۰۰ تومان.", "✅ جواب: ۲۴۰۰۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 5 (۲)", "محاسبه هزینه بلیت"], {"steps": ["هزینه بلیت برای هر نفر ۳۰۰۰ تومان است.", "تعداد افراد ۴۵ نفر است.", "هزینه کل را با ضرب هزینه بلیت در تعداد افراد محاسبه می‌کنیم: ۳۰۰۰ × ۴۵ = ۱۳۵۰۰۰ تومان.", "✅ جواب: ۱۳۵۰۰۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 6", "محیط و مساحت دایره"], {"intro": "برای محاسبه محیط دایره، از فرمول P = ۲ × π × r استفاده کنید. برای محاسبه مساحت دایره، از فرمول S = π × r² استفاده کنید. مقدار π معمولاً برابر با ۳٫۱۴ در نظر گرفته می‌شود. شعاع (r) را در فرمول قرار دهید و محاسبات را انجام دهید.", "steps": ["شعاع دایره r = ۵ سانتی‌متر است.", "برای محاسبه محیط، از فرمول P = ۲ × π × r استفاده می‌کنیم: P = ۲ × ۳٫۱۴ × ۵.", "محاسبه می‌کنیم: P = ۳۱٫۴ سانتی‌متر.", "برای محاسبه مساحت، از فرمول S = π × r² استفاده می‌کنیم: S = ۳٫۱۴ × (۵)².", "محاسبه می‌کنیم: S = ۳٫۱۴ × ۲۵ = ۷۸٫۵ سانتی‌متر مربع.", "✅ جواب: محیط: ۳۱٫۴ سانتی‌متر، مساحت: ۷۸٫۵ سانتی‌متر مربع"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 6", "نمودارهای ورودی و خروجی"], {"steps": ["ورودی را در رابطه قرار می‌دهیم: خروجی = ۲ × ۵ + ۳", "محاسبه می‌کنیم: خروجی = ۱۰ + ۳", "خروجی نهایی را محاسبه می‌کنیم: خروجی = ۱۳.", "✅ جواب: ۱۳"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۴: هندسه و استدلال", "هندسه و استدلال — گروه 3 (۲)", "رابطه بین طول پاره‌خط‌ها"], {"steps": ["طول پاره‌خط AC برابر با جمع طول‌های پاره‌خط AB و BC است.", "طول AC = طول AB + طول BC", "طول AC = ۵ + ۳", "طول AC = ۸ سانتی‌متر.", "✅ جواب: ۸"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۴: هندسه و استدلال", "هندسه و استدلال — گروه 4 (۱)", "زاویه‌های متقابل به رأس"], {"steps": ["زاویه A برابر با ۵۰ درجه است.", "طبق خاصیت زاویه‌های متقابل به رأس، زاویه B نیز برابر با زاویه A است.", "بنابراین، زاویه B برابر با ۵۰ درجه است.", "✅ جواب: ۵۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۴: هندسه و استدلال", "هندسه و استدلال — گروه 4 (۲)", "مجموع زوایای مثلث"], {"example": "در مثلثی، دو زاویه برابر با ۵۰ درجه و ۷۰ درجه هستند. زاویه سوم این مثلث را پیدا کنید.", "steps": ["مجموع دو زاویه معلوم را محاسبه می‌کنیم: ۵۰ + ۷۰ = ۱۲۰ درجه.", "مجموع زوایای داخلی مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است.", "زاویه سوم را با کم کردن مجموع دو زاویه از ۱۸۰ درجه پیدا می‌کنیم: ۱۸۰ - ۱۲۰ = ۶۰ درجه.", "✅ جواب: ۶۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۴: هندسه و استدلال", "هندسه و استدلال — گروه 5 (۱)", "محاسبه طول خط"], {"steps": ["طول کل خط ۲۵ متر است.", "طول یک بخش ۱۰ متر است.", "برای پیدا کردن طول بخش دیگر، طول کل خط را از طول بخش کم می‌کنیم: ۲۵ - ۱۰ = ۱۵.", "بنابراین، طول بخش دیگر ۱۵ متر است.", "✅ جواب: ۱۵"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۵: شمارنده‌ها و اعداد اول", "شمارنده‌ها و اعداد اول — گروه 1 (۲)", "بزرگ‌ترین شمارنده مشترک (ب.م.م)"], {"steps": ["شمارنده‌های ۳۰ عبارتند از: ۱، ۲، ۳، ۵، ۶، ۱۰، ۱۵، ۳۰.", "شمارنده‌های ۴۵ عبارتند از: ۱، ۳، ۵، ۹، ۱۵، ۴۵.", "شمارنده‌های مشترک بین ۳۰ و ۴۵ عبارتند از: ۱، ۳، ۵، ۱۵.", "بزرگ‌ترین شمارنده مشترک از بین ۱، ۳، ۵ و ۱۵ برابر است با ۱۵.", "✅ جواب: ۱۵"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۵: شمارنده‌ها و اعداد اول", "شمارنده‌ها و اعداد اول — گروه 2 (۱)", "تحلیل کسرها با شمارنده‌های اول"], {"steps": ["صورت کسر ۲۴ را به عوامل اول تجزیه می‌کنیم: ۲۴ = ۲ × ۲ × ۲ × ۳.", "مخرج کسر ۳۶ را به عوامل اول تجزیه می‌کنیم: ۳۶ = ۲ × ۲ × ۳ × ۳.", "عوامل مشترک بین صورت و مخرج را حذف می‌کنیم: ۲ × ۲ و ۳.", "کسر ساده شده برابر است با ۲/۳.", "✅ جواب: ۲/۳"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۵: شمارنده‌ها و اعداد اول", "شمارنده‌ها و اعداد اول — گروه 3 (۲)", "ساخت اعداد با ضرب شمارنده‌های اول"], {"steps": ["شمارنده‌های اول ۳ و ۵ را در هم ضرب می‌کنیم.", "۳ × ۵ = ۱۵", "عدد ۱۵ حاصل‌ضرب شمارنده‌های اول ۳ و ۵ است.", "✅ جواب: ۱۵"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۵: شمارنده‌ها و اعداد اول", "شمارنده‌ها و اعداد اول — گروه 4 (۱)", "محاسبه تعداد دورها"], {"steps": ["زمان کل را به ثانیه تبدیل می‌کنیم: ۵ دقیقه برابر با ۵ × ۶۰ = ۳۰۰ ثانیه است.", "زمان لازم برای یک دور کامل ۳۰ ثانیه است.", "تعداد دورها را با تقسیم زمان کل بر زمان یک دور محاسبه می‌کنیم: ۳۰۰ ÷ ۳۰ = ۱۰ دور.", "باقی‌مانده تقسیم را بررسی می‌کنیم: ۳۰۰ ÷ ۳۰ هیچ باقی‌مانده‌ای ندارد. بنابراین زمان اضافی وجود ندارد.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۵: شمارنده‌ها و اعداد اول", "شمارنده‌ها و اعداد اول — گروه 5 (۱)", "یافتن بزرگ‌ترین شمارنده مشترک (ب.م.م)"], {"steps": ["عدد ۲۴ را به عوامل اول تجزیه می‌کنیم: ۲۴ = ۲ × ۲ × ۲ × ۳.", "عدد ۶۰ را به عوامل اول تجزیه می‌کنیم: ۶۰ = ۲ × ۲ × ۳ × ۵.", "عوامل اول مشترک بین ۲۴ و ۶۰ عبارتند از: ۲ و ۳.", "کوچک‌ترین توان عامل ۲ در هر عدد ۲² و برای عامل ۳ برابر ۳¹ است.", "حاصل ضرب عوامل مشترک: ۲² × ۳¹ = ۴ × ۳ = ۱۲.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۶: سطح و حجم", "سطح و حجم — گروه 1 (۱)", "ایجاد حجم از دوران سطح"], {"intro": "۱. سطح دوبعدی داده شده را بررسی کنید. \n۲. محور دوران را تعیین کنید. \n۳. تصور کنید که سطح حول محور دوران می‌کند و یک حجم سه‌بعدی ایجاد می‌شود. \n۴. مشخصات حجم ایجاد شده را توصیف کنید."}], [["پایه هفتم", "فصل ۶: سطح و حجم", "سطح و حجم — گروه 1 (۲)", "تقسیم اشکال به مربع‌های یک سانتی‌متری"], {"steps": ["مساحت مستطیل را محاسبه می‌کنیم: ۸ × ۵ = ۴۰ سانتی‌متر مربع.", "هر مربع یک سانتی‌متری مساحت ۱ سانتی‌متر مربع دارد.", "برای پیدا کردن تعداد مربع‌ها، مساحت مستطیل را بر مساحت هر مربع تقسیم می‌کنیم: ۴۰ ÷ ۱ = ۴۰.", "بنابراین، تعداد مربع‌های یک سانتی‌متری که می‌توانیم در مستطیل قرار دهیم ۴۰ است.", "✅ جواب: ۴۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۶: سطح و حجم", "سطح و حجم — گروه 1 (۲)", "حجم اشکال هندسی"], {"example": "حجم منشور با قاعده مستطیل ۳×۴ و ارتفاع ۵؟"}], [["پایه هفتم", "فصل ۶: سطح و حجم", "سطح و حجم — گروه 1 (۲)", "حجم حاصل از دوران شکل"], {"intro": "۱. شکل دوبعدی داده شده را شناسایی کنید. \n۲. محور دوران را مشخص کنید. \n۳. تصور کنید که شکل حول محور دوران می‌کند و یک حجم سه‌بعدی ایجاد می‌شود. \n۴. حجم شکل سه‌بعدی را با استفاده از فرمول‌های مربوطه محاسبه کنید."}], [["پایه هفتم", "فصل ۶: سطح و حجم", "سطح و حجم — گروه 2 (۲)", "محاسبه حجم جعبه از گسترده آن"], {"steps": ["طول جعبه ۵ سانتی‌متر است.", "عرض جعبه ۳ سانتی‌متر است.", "ارتفاع جعبه ۴ سانتی‌متر است.", "حجم جعبه را با فرمول V = طول × عرض × ارتفاع محاسبه می‌کنیم: V = ۵ × ۳ × ۴.", "محاسبه می‌کنیم: ۵ × ۳ = ۱۵ و سپس ۱۵ × ۴ = ۶۰.", "✅ جواب: ۶۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۶: سطح و حجم", "سطح و حجم — گروه 2 (۲)", "محاسبه حجم منشور"], {"steps": ["مساحت قاعده S برابر با ۸ سانتی‌متر مربع است.", "ارتفاع h برابر با ۱۰ سانتی‌متر است.", "حجم V را با استفاده از فرمول V = S × h محاسبه می‌کنیم: V = ۸ × ۱۰.", "حجم V برابر با ۸۰ سانتی‌متر مکعب است.", "✅ جواب: ۸۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۶: سطح و حجم", "سطح و حجم — گروه 2 (۲)", "محاسبه حجم منشوری"], {"steps": ["مساحت قاعده مستطیلی = طول × عرض = ۴ × ۵ = ۲۰.", "ارتفاع منشور = ۶.", "حجم = مساحت قاعده × ارتفاع = ۲۰ × ۶ = ۱۲۰.", "✅ جواب: ۱۲۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۶: سطح و حجم", "سطح و حجم — گروه 4 (۱)", "مقایسه حجم بسته‌بندی‌ها"], {"steps": ["حجم بسته استوانه‌ای را با فرمول V = πr²h محاسبه می‌کنیم: V = π × ۳² × ۱۰ = ۹۰π سانتی‌متر مکعب.", "حجم بسته مکعبی را با فرمول V = a³ محاسبه می‌کنیم: V = ۴³ = ۶۴ سانتی‌متر مکعب.", "حجم استوانه‌ای را به عدد تقریبی تبدیل می‌کنیم: ۹۰π ≈ ۲۸۲٫۶ سانتی‌متر مکعب.", "حالا مقایسه می‌کنیم: ۲۸۲٫۶ > ۶۴ پس بسته استوانه‌ای حجم بیشتری دارد.", "✅ جواب: بسته استوانه‌ای"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 2 (۲)", "تکمیل جدول مساحت و طول ضلع"], {"steps": ["مساحت مربع برابر است با طول ضلع به توان ۲. بنابراین، ۱۰۰ = طول ضلع × طول ضلع.", "برای پیدا کردن طول ضلع، ریشه دوم ۱۰۰ را محاسبه می‌کنیم.", "ریشه دوم ۱۰۰ برابر است با ۱۰.", "بنابراین، طول ضلع مربع ۱۰ سانتی‌متر است.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 2 (۲)", "جایگذاری اعداد در عبارات توان‌دار"], {"example": "اگر x = ۳ باشد، عبارت ۲x² + ۵ را محاسبه کنید.", "steps": ["ابتدا مقدار x را در عبارت جایگذاری می‌کنیم: ۲(۳)² + ۵.", "حساب می‌کنیم: ۳² = ۹ پس ۲ × ۹ + ۵.", "حساب می‌کنیم: ۲ × ۹ = ۱۸ پس ۱۸ + ۵.", "حساب نهایی: ۱۸ + ۵ = ۲۳.", "✅ جواب: ۲۳"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 3 (۱)", "رسم و تحلیل الگوهای توان"], {"example": "در یک الگو، در مرحله اول ۲ بخش داریم. در هر مرحله بعدی، تعداد بخش‌ها دو برابر می‌شود. در مرحله دوم چند بخش خواهیم داشت؟", "steps": ["در مرحله اول ۲ بخش داریم.", "در مرحله دوم تعداد بخش‌ها برابر است با ۲ × ۲ = ۴ بخش.", "در مرحله سوم تعداد بخش‌ها برابر است با ۲ × ۲ × ۲ = ۸ بخش.", "در مرحله چهارم تعداد بخش‌ها برابر است با ۲ × ۲ × ۲ × ۲ = ۱۶ بخش.", "در مرحله دوم ۴ بخش خواهیم داشت.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 3 (۱)", "ساده کردن عبارات توان‌دار"], {"intro": "برای ساده کردن عبارات توان‌دار: \n۱. اگر پایه‌ها یکسان باشند، توان‌ها را جمع کنید. \n۲. اگر توان‌ها منفی باشند، ابتدا آن‌ها را به صورت مثبت بازنویسی کنید. \n۳. در صورت وجود ضرب یا تقسیم، قوانین توان‌ها را اعمال کنید. \n۴. در نهایت، عبارت را ساده‌تر کنید.", "steps": ["ابتدا تقسیم را انجام می‌دهیم: ۲⁴ ÷ ۲² = ۲⁽۴-۲) = ۲².", "سپس عبارت را به صورت ضرب بازنویسی می‌کنیم: ۲² × ۲³ = ۲⁽۲+۳) = ۲⁵.", "حالا ۲⁵ را محاسبه می‌کنیم: ۲⁵ = ۳۲.", "✅ جواب: ۳۲"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 3 (۱)", "ساده‌سازی عبارات توان‌دار"], {"example": "ساده‌سازی عبارت ۲³ × ۲² ÷ ۲⁴ را انجام دهید.", "steps": ["ابتدا توان‌ها را در ضرب جمع می‌کنیم: ۲³ × ۲² = ۲⁽۳+۲) = ۲⁵.", "سپس عبارت را به صورت تقسیم می‌نویسیم: ۲⁵ ÷ ۲⁴ = ۲⁽۵-۴) = ۲¹.", "در نهایت ۲¹ را ساده می‌کنیم و به عدد ۲ می‌رسیم.", "✅ جواب: ۲"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 3 (۲)", "محاسبه تعداد سنگ‌ها با مساحت مشخص"], {"steps": ["مساحت کل سنگ‌ها را به سانتی‌متر مربع محاسبه می‌کنیم: ۵۰ متر مربع = ۵۰۰۰۰ سانتی‌متر مربع.", "حالا تعداد سنگ‌ها را با تقسیم مساحت کل بر مساحت هر سنگ محاسبه می‌کنیم: ۵۰۰۰۰ ÷ ۱۰۰۰ = ۵۰.", "بنابراین، باغبان به ۵۰ سنگ نیاز دارد.", "✅ جواب: ۵۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 4 (۱)", "محاسبه توان با استفاده از ماشین حساب"], {"steps": ["عدد ۳ را در ماشین حساب وارد کنید.", "کلید توان را فشار دهید.", "عدد ۴ را وارد کنید و کلید مساوی را بزنید.", "حاصل را مشاهده کنید.", "✅ جواب: ۸۱"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 5 (۱)", "محاسبه جذر اعداد"], {"steps": ["عدد ۲۵ را در نظر می‌گیریم.", "عدد ۵ را امتحان می‌کنیم: ۵ × ۵ = ۲۵.", "چون ۵ در خودش ضرب شده و برابر با ۲۵ شده، پس جذر ۲۵ برابر با ۵ است.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 5 (۱)", "محاسبه جذر کامل"], {"steps": ["عدد ۴۹ را بررسی می‌کنیم. آیا این عدد جذر کامل دارد؟", "عدد ۷ را در خودش ضرب می‌کنیم: ۷ × ۷ = ۴۹.", "پس جذر کامل عدد ۴۹ برابر با ۷ است.", "✅ جواب: ۷"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 5 (۱)", "محاسبه حاصل ضرب و تقسیم توان‌ها"], {"steps": ["برای تقسیم توان‌ها با پایه یکسان، توان‌ها را از هم کم می‌کنیم: ۴ - ۲.", "حاصل را محاسبه می‌کنیم: ۲⁽۴-۲) = ۲².", "حاصل ۲² را محاسبه می‌کنیم: ۲² = ۴.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 5 (۲)", "محاسبه ریشه‌های ترکیبی"], {"steps": ["ریشه‌ی دوم عدد ۲۵ را محاسبه می‌کنیم.", "عدد ۲۵ برابر با ۵ × ۵ است.", "بنابراین، ریشه‌ی دوم عدد ۲۵ برابر با ۵ است.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 5 (۲)", "محاسبه طول ضلع مربع"], {"steps": ["برای پیدا کردن طول ضلع مربع، ریشه دوم مساحت را محاسبه می‌کنیم.", "ریشه دوم ۱۰۰ برابر است با ۱۰.", "بنابراین، طول ضلع مربع برابر با ۱۰ سانتی‌متر است.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 5 (۲)", "محاسبه مساحت مربع و طول ضلع"], {"steps": ["برای محاسبه طول ضلع، باید جذر مساحت را محاسبه کنیم.", "جذر ۶۴ برابر است با ۸.", "بنابراین، طول ضلع مربع ۸ سانتی‌متر است.", "✅ جواب: ۸"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 6 (۱)", "محاسبه مساحت و حجم با توان"], {"steps": ["طول هر ضلع مکعب برابر ۴ سانتی‌متر است.", "فرمول مساحت سطح مکعب: ۶ × (طول ضلع)² است.", "مقدار طول ضلع را در فرمول جایگذاری می‌کنیم: ۶ × (۴)².", "محاسبه می‌کنیم: (۴)² = ۱۶.", "حالا ۶ × ۱۶ = ۹۶ را محاسبه می‌کنیم.", "✅ جواب: ۹۶"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 6 (۱)", "مقایسه جذر اعداد"], {"steps": ["مقدار تقریبی √۵ برابر با ۲٫۲۳۶ و مقدار تقریبی √۴ برابر با ۲ است.", "چون ۲٫۲۳۶ > ۲، بنابراین √۵ > √۴ است.", "✅ جواب: √۵ > √۴"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 6 (۲)", "مقایسه عبارات توان‌دار"], {"steps": ["محاسبه ۳ⁿ برای n = ۲: ۳² = ۹", "محاسبه n³ برای n = ۲: ۲³ = ۸", "مقایسه ۹ و ۸: ۹ بزرگتر از ۸ است.", "✅ جواب: ۳ⁿ"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 6 (۲)", "نوشتن حاصل ضرب به صورت یک عدد توان‌دار"], {"intro": "برای نوشتن حاصل ضرب به صورت یک عدد توان‌دار: \n۱. پایه‌های مشترک را شناسایی کنید. \n۲. توان‌ها را با هم جمع کنید. \n۳. عبارت را به صورت یک عدد توان‌دار بازنویسی کنید."}], [["پایه هفتم", "فصل ۸: بردار و مختصات", "بردار و مختصات — گروه 1 (۱)", "انتقال بردار"], {"example": "یک بردار با نقطه شروع A(۲, ۳) و نقطه پایان B(۵, ۷) داریم. این بردار را به محل جدیدی منتقل می‌کنیم که نقطه شروع جدید C(۴, ۵) باشد. مختصات جدید نقطه پایان را پیدا کنید.", "steps": ["نقطه شروع A(۲, ۳) و نقطه پایان B(۵, ۷) را مشخص می‌کنیم.", "انتقال بردار از A به B را محاسبه می‌کنیم: تغییر در x برابر با ۵ - ۲ = ۳ و تغییر در y برابر با ۷ - ۳ = ۴ است.", "نقطه شروع جدید C(۴, ۵) را داریم. حالا تغییرات را به مختصات C اضافه می‌کنیم.", "نقطه پایان جدید برابر با C(۴, ۵) + (۳, ۴) می‌شود: ۴ + ۳ = ۷ و ۵ + ۴ = ۹.", "بنابراین، مختصات جدید نقطه پایان برابر با (۷, ۹) است.", "✅ جواب: (۷, ۹)"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۸: بردار و مختصات", "بردار و مختصات — گروه 1 (۱)", "انتقال نقاط با بردار"], {"example": "نقطه D با مختصات (۳, ۴) و بردار انتقال b با مختصات (۲, -۱) داده شده است. مختصات جدید نقطه D را پیدا کنید.", "steps": ["مختصات نقطه D برابر با (۳, ۴) است.", "بردار انتقال b برابر با (۲, -۱) است.", "برای پیدا کردن مختصات جدید، به مختصات D، مختصات b را اضافه می‌کنیم: (۳ + ۲, ۴ + (-۱)) = (۵, ۳).", "مختصات جدید نقطه D برابر با (۵, ۳) است.", "✅ جواب: (۵, ۳)"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۸: بردار و مختصات", "بردار و مختصات — گروه 1 (۲)", "بردارهای هم‌مسیر"], {"example": "دو بردار A و B داریم. بردار A از نقطه (۱, ۲) به نقطه (۴, ۵) و بردار B از نقطه (۲, ۳) به نقطه (۵, ۶) است. آیا این دو بردار هم‌مسیر هستند؟", "steps": ["محاسبه طول بردار A: طول A = √((۴-۱)² + (۵-۲)²) = √(۳² + ۳²) = √۱۸ = ۳√۲.", "محاسبه طول بردار B: طول B = √((۵-۲)² + (۶-۳)²) = √(۳² + ۳²) = √۱۸ = ۳√۲.", "محاسبه شیب بردار A: شیب A = (۵-۲) / (۴-۱) = ۳ / ۳ = ۱.", "محاسبه شیب بردار B: شیب B = (۶-۳) / (۵-۲) = ۳ / ۳ = ۱.", "چون طول و شیب هر دو بردار برابر است، پس بردارهای A و B هم‌مسیر هستند.", "✅ جواب: بله"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۸: بردار و مختصات", "بردار و مختصات — گروه 2 (۱)", "بررسی تعادل نیروها"], {"steps": ["وزن جسم را محاسبه می‌کنیم: وزن = جرم × شتاب گرانشی = ۵ × ۹٫۸ = ۴۹ نیوتن.", "نیروی وارد شده به سمت راست ۱۰ نیوتن و به سمت چپ نیز ۱۰ نیوتن است.", "مجموع نیروهای افقی: ۱۰ نیوتن (راست) - ۱۰ نیوتن (چپ) = ۰ نیوتن.", "چون مجموع نیروها صفر است، جسم در حالت تعادل قرار دارد.", "✅ جواب: بله"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۸: بردار و مختصات", "بردار و مختصات — گروه 2 (۲)", "ترکیب بردارها"], {"example": "دو بردار A و B داریم. مختصات بردار A برابر (۳, ۲) و مختصات بردار B برابر (۱, ۴) است. ترکیب این دو بردار را با جمع مختصات آن‌ها به دست آورید.", "steps": ["مختصات بردار A برابر (۳, ۲) است و مختصات بردار B برابر (۱, ۴) است.", "برای ترکیب بردارها، مختصات x را جمع می‌کنیم: ۳ + ۱ = ۴.", "سپس مختصات y را جمع می‌کنیم: ۲ + ۴ = ۶.", "بنابراین، مختصات بردار حاصل برابر (۴, ۶) است.", "✅ جواب: (۴, ۶)"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۸: بردار و مختصات", "بردار و مختصات — گروه 3 (۱)", "تعیین مسیر حرکت بردار"], {"example": "از نقطه A(۲, ۳) به نقطه B(۵, ۷) حرکت کنید. ابتدا چند واحد به سمت راست و سپس چند واحد به سمت بالا حرکت کنید.", "steps": ["برای حرکت از A(۲, ۳) به B(۵, ۷)، ابتدا مختصات x را بررسی می‌کنیم. از ۲ به ۵ حرکت می‌کنیم که ۵ - ۲ = ۳ واحد به سمت راست است.", "سپس مختصات y را بررسی می‌کنیم. از ۳ به ۷ حرکت می‌کنیم که ۷ - ۳ = ۴ واحد به سمت بالا است.", "بنابراین، مسیر حرکت به صورت ۳ واحد به سمت راست و ۴ واحد به سمت بالا خواهد بود.", "✅ جواب: ۳ واحد به سمت راست و ۴ واحد به سمت بالا"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۸: بردار و مختصات", "بردار و مختصات — گروه 3 (۲)", "رسم بردار انتقال"], {"example": "نقطه A با مختصات (۲, ۳) وجود دارد. بردار انتقال B با مختصات (۴, ۱) مشخص شده است. نقطه جدید B را با استفاده از بردار انتقال از نقطه A پیدا کنید.", "steps": ["نقطه A را با مختصات (۲, ۳) مشخص می‌کنیم.", "بردار انتقال B با مختصات (۴, ۱) را در نظر می‌گیریم.", "برای پیدا کردن نقطه جدید، مختصات A را با مختصات B جمع می‌کنیم: (۲ + ۴, ۳ + ۱) = (۶, ۴).", "نقطه جدید را با مختصات (۶, ۴) مشخص می‌کنیم.", "✅ جواب: (۶, ۴)"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۸: بردار و مختصات", "بردار و مختصات — گروه 4 (۲)", "محاسبه مختصات بردار"], {"example": "یک بردار از نقطه A با مختصات (۳, ۴) به نقطه B با مختصات (۷, ۱) رسم کنید. مختصات این بردار را محاسبه کنید.", "steps": ["مختصات نقطه شروع A را یادداشت می‌کنیم: (۳, ۴)", "مختصات نقطه انتهایی B را یادداشت می‌کنیم: (۷, ۱)", "مختصات A را از مختصات B تفریق می‌کنیم: (۷ - ۳, ۱ - ۴)", "نتیجه را محاسبه می‌کنیم: (۴, -۳)", "بردار را به صورت (x, y) می‌نویسیم: (۴, -۳)", "✅ جواب: (۴, -۳)"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۸: بردار و مختصات", "بردار و مختصات — گروه 4 (۲)", "مختصات نقاط"], {"example": "نقطه A در محور مختصات در جایی قرار دارد که مقدار x آن ۳ و مقدار y آن ۲ است. مختصات نقطه A را بنویسید.", "steps": ["مقدار x نقطه A برابر با ۳ است.", "مقدار y نقطه A برابر با ۲ است.", "مختصات نقطه A را به صورت (x, y) می‌نویسیم: (۳, ۲).", "✅ جواب: (۳, ۲)"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۸: بردار و مختصات", "بردار و مختصات — گروه 5", "یافتن مختصات بردار"], {"steps": ["مختصات نقطه ابتدایی (۳, ۲) و انتهایی (۵, ۶) را مشخص می‌کنیم.", "مختصات نقطه ابتدایی را از مختصات نقطه انتهایی کم می‌کنیم: (۵ - ۳, ۶ - ۲).", "محاسبه می‌کنیم: (۲, ۴).", "✅ جواب: (۲, ۴)"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۸: بردار و مختصات", "بردار و مختصات — گروه 5", "یافتن مختصات نقاط"], {"example": "نقطه D در صفحه مختصات در موقعیت (۳, ۵) قرار دارد. اگر از این نقطه ۲ واحد به سمت شمال برویم، مختصات جدید نقطه را پیدا کنید.", "steps": ["مقدار y نقطه D برابر با ۵ است.", "با اضافه کردن ۲ واحد به مقدار y، مقدار جدید y برابر با ۵ + ۲ می‌شود.", "مقدار جدید y برابر با ۷ است.", "مختصات جدید نقطه برابر با (۳, ۷) خواهد بود.", "✅ جواب: (۳, ۷)"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۹: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 1 (۱)", "احتمال ترکیبی"], {"steps": ["احتمال بیرون آوردن مهره قرمز از کیسه اول برابر است با تعداد مهره‌های قرمز تقسیم بر تعداد کل مهره‌ها: ۲ ÷ ۵ = ۰٫۴.", "احتمال بیرون آوردن مهره قرمز از کیسه دوم برابر است با تعداد مهره‌های قرمز تقسیم بر تعداد کل مهره‌ها: ۱ ÷ ۴ = ۰٫۲۵.", "حالا مقایسه می‌کنیم: ۰٫۴ (کیسه اول) بیشتر از ۰٫۲۵ (کیسه دوم) است.", "بنابراین، احتمال بیرون آوردن مهره قرمز از کیسه اول بیشتر است.", "✅ جواب: کیسه اول"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۹: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 1 (۱)", "احتمال ساده"], {"steps": ["تعداد کل حالت‌ها: ۲ (رو یا پشت).", "تعداد حالت‌های مطلوب: ۱ (رو یا پشت).", "احتمال هر حالت: ۱/۲ یا ۰٫۵.", "✅ جواب: احتمال رو یا پشت برابر ۱/۲ یا ۰/۵ است."]}], [["پایه هفتم", "فصل ۹: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 2 (۱)", "تشخیص حالت‌های ممکن"], {"steps": ["هر دانش‌آموز ۳ انتخاب رنگ دارد.", "تعداد انتخاب‌های هر دانش‌آموز برابر با ۳ است.", "تعداد کل حالت‌های ممکن برابر با ۳ به توان ۵ می‌شود.", "محاسبه می‌کنیم: ۳⁵ = ۲۴۳.", "✅ جواب: ۲۴۳"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۹: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 3 (۱)", "محاسبه احتمال"], {"steps": ["تعداد کل دانش‌آموزان ۲۰ است.", "تعداد دختران ۱۲ است.", "احتمال انتخاب یک دختر برابر است با تعداد دختران تقسیم بر تعداد کل دانش‌آموزان: ۱۲ ÷ ۲۰.", "احتمال برابر است با ۰٫۶.", "✅ جواب: ۰٫۶"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۹: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 4", "نمایش احتمال با کسر"], {"steps": ["تعداد کل پرتاب‌ها برابر با ۱۲ است.", "تعداد پرتاب‌هایی که عدد ۴ آمده برابر با ۵ است.", "نسبت موارد مطلوب به کل موارد برابر است با ۵ ÷ ۱۲.", "کسر ۵/۱۲ ساده نمی‌شود و همان‌طور باقی می‌ماند.", "✅ جواب: ۵/۱۲"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۱: عددهای صحیح و گویا", "یادآوری عددهای صحیح (۱)", "حرکت روی محور اعداد"], {"steps": ["عدد اولیه ۳ است.", "حرکت به سمت راست به معنی اضافه کردن است.", "فاصله حرکت ۵ واحد است.", "بنابراین، ۳ + ۵ = ۸.", "عدد جدید در محور اعداد ۸ است.", "✅ جواب: ۸"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۱: عددهای صحیح و گویا", "یادآوری عددهای صحیح (۱)", "محاسبه عبارات عددی"], {"example": "محاسبه عبارت عددی ۱۵ - ۳ + ۸ - ۲ را انجام دهید.", "steps": ["ابتدا ۱۵ - ۳ را محاسبه می کنیم که برابر با ۱۲ است.", "سپس ۱۲ + ۸ را محاسبه می کنیم که برابر با ۲۰ است.", "در نهایت ۲۰ - ۲ را محاسبه می کنیم که برابر با ۱۸ است.", "✅ جواب: ۱۸"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۱: عددهای صحیح و گویا", "یادآوری عددهای صحیح (۱)", "ترتیب عملیات"], {"example": "محاسبه عبارت ۳ + ۴ × (۲ - ۱) ÷ ۲", "steps": ["ابتدا پرانتز را محاسبه می‌کنیم: ۲ - ۱ = ۱", "سپس ضرب را انجام می‌دهیم: ۴ × ۱ = ۴", "حالا تقسیم را انجام می‌دهیم: ۴ ÷ ۲ = ۲", "در نهایت جمع را انجام می‌دهیم: ۳ + ۲ = ۵", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۱: عددهای صحیح و گویا", "معرفی عددهای گویا (۱)", "شناسایی اعداد روی محور"], {"example": "قرینه عدد ۱/۲ و -۱/۲ را روی محور عددی پیدا کنید.", "steps": ["قرینه ۱/۲ برابر است با -۱/۲ و قرینه -۱/۲ برابر است با ۱/۲.", "زیرا قرینه عدد مثبت، منفی همان عدد و قرینه عدد منفی، مثبت همان عدد است.", "✅ جواب: قرینه ۱/۲ برابر -۱/۲ و قرینه -۱/۲ برابر ۱/۲ است."]}], [["پایه هشتم", "فصل ۱: عددهای صحیح و گویا", "معرفی عددهای گویا (۱)", "تبدیل کسرها و اعداد مخلوط"], {"example": "کسر ۷/۵ را به عدد مخلوط تبدیل کنید و عدد مخلوط ۳ و ۱/۴ را به کسر تبدیل کنید.", "steps": ["برای تبدیل ۷/۵ به عدد مخلوط: ۷ تقسیم بر ۵ می‌شود ۱ با باقی‌مانده ۲، پس عدد مخلوط ۱ و ۲/۵ است.", "برای تبدیل ۳ و ۱/۴ به کسر: ۳ ضربدر ۴ می‌شود ۱۲، به علاوه ۱ می‌شود ۱۳، پس کسر ۱۳/۴ است.", "✅ جواب: ۷/۵ = ۱ و ۲/۵؛ ۳ و ۱/۴ = ۱۳/۴"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۱: عددهای صحیح و گویا", "معرفی عددهای گویا (۲)", "نوشتن اعداد کسری به صورت اعشاری"], {"steps": ["برای تبدیل ۳/۴ به عدد اعشاری، ۳ را بر ۴ تقسیم می‌کنیم.", "۳ ÷ ۴ = ۰٫۷۵.", "عدد اعشاری معادل ۳/۴ برابر با ۰٫۷۵ است.", "✅ جواب: ۰٫۷۵"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۱: عددهای صحیح و گویا", "معرفی عددهای گویا (۲)", "نمایش برداری عددهای صحیح"], {"example": "عددهای صحیح -۳ و ۵ را با هم جمع کنید و نتیجه را روی محور عددهای صحیح نمایش دهید.", "steps": ["عدد -۳ را روی محور عددهای صحیح مشخص می‌کنیم.", "از -۳ به سمت راست ۵ واحد حرکت می‌کنیم.", "حرکت از -۳ به سمت راست به این صورت است: -۳ + ۵ = ۲.", "عدد ۲ را روی محور عددهای صحیح مشخص می‌کنیم.", "✅ جواب: ۲"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۱: عددهای صحیح و گویا", "جمع و تفریق عددهای گویا (۲)", "تقریب اعداد گویا"], {"example": "عدد ۳٫۷۵ را به نزدیک‌ترین عدد صحیح گرد کنید.", "steps": ["عدد ۳٫۷۵ را بررسی می‌کنیم.", "عدد صحیح نزدیک‌تر به ۳٫۷۵ را پیدا می‌کنیم.", "عدد ۳٫۷۵ به ۴ نزدیک‌تر است.", "بنابراین، ۳٫۷۵ را به ۴ گرد می‌کنیم.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۱: عددهای صحیح و گویا", "ضرب و تقسیم عددهای گویا (۱)", "ضرب عددهای گویا"], {"example": "محاسبه کنید: (-۵/۶) × (+۲/۳)", "steps": ["علامت حاصل ضرب منفی است چون یکی از کسرها منفی و دیگری مثبت است.", "صورت‌ها را در هم ضرب می‌کنیم: ۵ × ۲ = ۱۰.", "مخرج‌ها را در هم ضرب می‌کنیم: ۶ × ۳ = ۱۸.", "کسر حاصل: -۱۰/۱۸ است.", "کسر را ساده می‌کنیم: -۱۰/۱۸ = -۵/۹.", "✅ جواب: -۵/۹"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۱: عددهای صحیح و گویا", "ضرب و تقسیم عددهای گویا (۲)", "تبدیل کسر به عدد اعشاری"], {"steps": ["صورت کسر را بر مخرج تقسیم می‌کنیم: ۵ ÷ ۲", "محاسبه می‌کنیم: ۵ ÷ ۲ = ۲٫۵", "عدد اعشاری به دست آمده ۲٫۵ است.", "✅ جواب: ۲٫۵"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۱: عددهای صحیح و گویا", "ضرب و تقسیم عددهای گویا (۲)", "ساده‌سازی کسرها"], {"steps": ["ب.م.م عددهای ۳۶ و ۶۰ را پیدا می‌کنیم. عوامل ۳۶: ۱، ۲، ۳، ۴، ۶، ۹، ۱۲، ۱۸، ۳۶ و عوامل ۶۰: ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶، ۱۰، ۱۲، ۱۵، ۲۰، ۳۰، ۶۰. ب.م.م برابر ۱۲ است.", "صورت و مخرج را بر ب.م.م تقسیم می‌کنیم: ۳۶ ÷ ۱۲ = ۳ و ۶۰ ÷ ۱۲ = ۵.", "کسر ساده‌شده برابر ۳/۵ است.", "✅ جواب: ۳/۵"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۲: عددهای اول", "یادآوری عددهای اول (۱)", "تقسیم به گروه‌های مساوی"], {"steps": ["تعداد کل دانش‌آموزان را بر تعداد اعضای هر گروه تقسیم می‌کنیم: ۲۴ ÷ ۶ = ۴.", "باقی‌مانده را بررسی می‌کنیم: ۲۴ ÷ ۶ هیچ باقی‌مانده‌ای ندارد.", "بنابراین، تعداد گروه‌ها برابر با ۴ است.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۲: عددهای اول", "یادآوری عددهای اول (۱)", "تشخیص عدد مرکب"], {"example": "عددهای طبیعی از ۱ تا ۲۰ را بنویسید و دور عددهای اول خط بکشید. آیا عدد ۱ اول است؟ چرا؟ آیا عدد ۱ مرکب است؟ چرا؟", "steps": ["اعداد طبیعی از ۱ تا ۲۰ عبارتند از: ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶، ۷، ۸، ۹، ۱۰، ۱۱، ۱۲، ۱۳، ۱۴، ۱۵، ۱۶، ۱۷، ۱۸، ۱۹، ۲۰.", "عدد ۱ اول نیست زیرا فقط یک مقسوم‌علیه دارد و باید دو مقسوم‌علیه متفاوت داشته باشد (۱ و خودش).", "عدد ۱ مرکب هم نیست زیرا نمی‌توان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ نوشت.", "✅ جواب: ۱ نه اول است و نه مرکب"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۲: عددهای اول", "تعیین عددهای اول (۱)", "تشخیص مضرب‌های عدد"], {"example": "آیا لازم است مضرب‌های عدد ۴ را خط بزنیم؟ چرا؟", "steps": ["خیر، لازم نیست مضرب‌های عدد ۴ را خط بزنیم زیرا اگر عددی مضرب ۴ باشد، بیش از آن به عنوان مضرب ۲ خط خورده است.", "بنابراین خط زدن مضرب‌های ۴ تکراری است.", "✅ جواب: درست است؛ هر مضرب ۴ خود مضرب ۲ است، پس قبلاً خط خورده و نیازی به خط زدن دوباره نیست."]}], [["پایه هشتم", "فصل ۲: عددهای اول", "تعیین عددهای اول (۲)", "نسبت به هم اول بودن"], {"steps": ["برای بررسی اول بودن ۴۷، آن را بر اعداد اول کوچکتر از جذر ۴۷ (که تقریباً ۶٫۸۵ است) تقسیم می‌کنیم. این اعداد اول ۲، ۳ و ۵ هستند.", "تقسیم ۴۷ بر ۲: باقی‌مانده دارد، پس ۴۷ بر ۲ بخش‌پذیر نیست.", "تقسیم ۴۷ بر ۳: باقی‌مانده دارد، پس ۴۷ بر ۳ بخش‌پذیر نیست.", "تقسیم ۴۷ بر ۵: باقی‌مانده دارد، پس ۴۷ بر ۵ بخش‌پذیر نیست.", "از آنجا که جذر ۴۷ کمتر از ۷ است، نیازی به بررسی مضرب‌های ۷ نیست. بنابراین ۴۷ عدد اول است.", "✅ جواب: ۴۷ عدد اول است و با مضرب‌های ۲، ۳ و ۵ بخش‌پذیر نیست. بررسی مضرب‌های ۷ لازم نیست."]}], [["پایه هشتم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "چندضلعی‌ها و تقارن (۱)", "رسم چندضلعی‌ها"], {"steps": ["تعداد زاویه‌های داخلی یک چندضلعی با n ضلع برابر با n است. پس تعداد زاویه‌های داخلی این چندضلعی ۶ است.", "مجموع زاویه‌های داخلی یک چندضلعی با n ضلع برابر با (n-۲)×۱۸۰ درجه است. پس مجموع زاویه‌های داخلی این چندضلعی برابر با (۶-۲)×۱۸۰ = ۷۲۰ درجه است.", "برای محاسبه هر زاویه داخلی، مجموع زاویه‌ها را بر تعداد زاویه‌ها تقسیم می‌کنیم: ۷۲۰ ÷ ۶ = ۱۲۰ درجه.", "پس هر زاویه داخلی این چندضلعی برابر با ۱۲۰ درجه است.", "✅ جواب: ۱۲۰ درجه"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "توازی و تعامد (۱)", "زاویه‌های متقابل به رأس"], {"example": "دو خط موازی A و B را در نظر بگیرید که با یک خط مورب C قطع شده است. زاویه ۱ برابر ۵۰ درجه و زاویه ۲ برابر x درجه است. اگر زاویه ۱ و زاویه ۲ متقابل به رأس باشند، مقدار x را پیدا کنید.", "steps": ["زاویه‌های متقابل به رأس برابر هستند، پس ۵۰ = x را می‌نویسیم.", "برای پیدا کردن مقدار x، معادله را حل می‌کنیم.", "x = ۵۰ درجه.", "✅ جواب: ۵۰"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "چهارضلعی‌ها (۲)", "خواص مستطیل"], {"steps": ["طول قطر مستطیل را با فرمول √(طول² + عرض²) محاسبه می‌کنیم.", "طول مستطیل ۸ سانتی‌متر و عرض آن ۵ سانتی‌متر است.", "بنابراین، طول قطر = √(۸² + ۵²) = √(۶۴ + ۲۵) = √۸۹.", "حساب می‌کنیم که √۸۹ تقریباً برابر با ۹٫۴۳ سانتی‌متر است.", "✅ جواب: ۹٫۴۳"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "چهارضلعی‌ها (۲)", "تشخیص نوع چهارضلعی"], {"example": "یک چهارضلعی ABCD داریم که در آن AB = ۶ cm، BC = ۴ cm، CD = ۶ cm و DA = ۴ cm. زوایای A و C برابر ۹۰ درجه و زوایای B و D برابر ۹۰ درجه هستند. نوع این چهارضلعی را مشخص کنید.", "steps": ["چون AB و CD برابر هستند و DA و BC نیز برابر هستند، پس این چهارضلعی دارای دو جفت ضلع موازی است.", "زاویه‌های A و C برابر ۹۰ درجه و زاویه‌های B و D نیز برابر ۹۰ درجه هستند.", "بنابراین، این چهارضلعی هم دارای اضلاع موازی و هم دارای زوایای قائمه است.", "پس این چهارضلعی یک مستطیل است.", "✅ جواب: مستطیل"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "زاویه‌های داخلی (۱)", "محاسبه مجموع زوایای داخلی چندضلعی"], {"intro": "برای محاسبه مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی با n ضلع، از فرمول (n-۲)×۱۸۰ استفاده کنید.", "steps": ["تعداد ضلع‌ها n = ۵ است.", "فرمول مجموع زاویه‌های داخلی: (n - ۲) × ۱۸۰° = (۵ - ۲) × ۱۸۰° = ۳ × ۱۸۰° = ۵۴۰°.", "پس مجموع زاویه‌های داخلی چندضلعی ۵ ضلعی برابر ۵۴۰ درجه است.", "✅ جواب: ۵۴۰ درجه"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "زاویه‌های داخلی (۱)", "محاسبه اندازه هر زاویه در چندضلعی منتظم"], {"intro": "برای محاسبه اندازه هر زاویه در یک چندضلعی منتظم با n ضلع، از فرمول (n-۲)×۱۸۰/n استفاده کنید."}], [["پایه هشتم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "زاویه‌های داخلی (۱)", "محاسبه مجموع زوایای داخلی چندضلعی منتظم"], {"intro": "برای محاسبه مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی منتظم با n ضلع، از فرمول (n-۲)×۱۸۰ استفاده کنید."}], [["پایه هشتم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "زاویه‌های داخلی (۱)", "محاسبه اندازه زاویه‌های داخلی چندضلعی منتظم"], {"intro": "برای محاسبه اندازه هر زاویه داخلی یک چندضلعی منتظم با n ضلع، از فرمول [(n-۲)×۱۸۰]/n استفاده کنید."}], [["پایه هشتم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "زاویه‌های داخلی (۲)", "تشخیص کاشی‌کاری با چندضلعی‌های منتظم"], {"intro": "برای تشخیص کاشی‌کاری با چندضلعی‌های منتظم، بررسی کنید که مجموع زوایای چندضلعی‌ها در هر نقطه برابر ۳۶۰ درجه باشد.", "steps": ["تعداد اضلاع n=۷ است.", "مجموع زاویه‌های داخلی = (۷-۲)×۱۸۰ = ۵×۱۸۰ = ۹۰۰ درجه.", "✅ جواب: ۹۰۰ درجه"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "زاویه‌های داخلی (۲)", "محاسبه زاویه‌های چندضلعی"], {"intro": "برای محاسبه اندازه هر یک از زاویه‌های یک چندضلعی منتظم با n ضلع، از فرمول (n-۲)×۱۸۰/n استفاده کنید."}], [["پایه هشتم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "زاویه‌های داخلی (۲)", "محاسبه مجموع زاویه‌های داخلی"], {"intro": "برای محاسبه مجموع زاویه‌های داخلی یک چندضلعی با n ضلع، از فرمول (n-۲)×۱۸۰ استفاده کنید."}], [["پایه هشتم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "زاویه‌های خارجی", "زاویه‌های خارجی مثلث"], {"steps": ["مجموع زاویه‌های خارجی هر چندضلعی منتظم برابر ۳۶۰ درجه است.", "تعداد اضلاع پنج است.", "بنابراین، اندازه هر زاویه خارجی برابر است با ۳۶۰ ÷ ۵ = ۷۲ درجه.", "✅ جواب: ۷۲ درجه"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "زاویه‌های خارجی", "محاسبه مجموع زوایای داخلی و خارجی چندضلعی‌ها"], {"intro": "برای محاسبه مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی با n ضلع، از فرمول (n-۲)×۱۸۰ استفاده می‌کنیم. برای محاسبه مجموع زوایای خارجی، همیشه برابر ۳۶۰ درجه است."}], [["پایه هشتم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "زاویه‌های خارجی", "محاسبه زوایای خارجی چندضلعی"], {"intro": "۱. تعداد اضلاع چندضلعی را مشخص کنید. ۲. از فرمول (n-۲)×۱۸۰ برای محاسبه مجموع زوایای داخلی استفاده کنید. ۳. مجموع زوایای خارجی برابر ۳۶۰ درجه است. ۴. برای چندضلعی منتظم، هر زاویه خارجی برابر ۳۶۰ تقسیم بر تعداد اضلاع است."}], [["پایه هشتم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "زاویه‌های خارجی", "محاسبه زوایای داخلی و خارجی در الگوهای کاشی‌کاری"], {"intro": "۱. نوع چندضلعی‌های استفاده شده در کاشی‌کاری را مشخص کنید. ۲. از فرمول (n-۲)×۱۸۰ برای محاسبه مجموع زوایای داخلی استفاده کنید. ۳. زاویه داخلی هر چندضلعی منتظم برابر مجموع زوایای داخلی تقسیم بر تعداد اضلاع است. ۴. زاویه خارجی برابر ۱۸۰ منهای زاویه داخلی است.", "example": "در متوازی‌الأضلاعی، یکی از زاویه‌های داخلی ۶۰ درجه است. زاویه خارجی مجاور آن را بیابید.", "steps": ["زاویه خارجی = ۱۸۰ - زاویه داخلی = ۱۸۰ - ۶۰ = ۱۲۰ درجه.", "✅ جواب: ۱۲۰ درجه"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "ساده کردن عبارت‌های جبری (۲)", "ساده‌سازی عبارات جبری"], {"example": "عبارت ۳x + ۵y - ۲x + ۴y را ساده کنید.", "steps": ["عبارت را به دو گروه تقسیم می‌کنیم: ۳x و -۲x، و ۵y و ۴y.", "عبارات مشابه x را با هم جمع می‌کنیم: ۳x - ۲x = ۱x.", "عبارات مشابه y را با هم جمع می‌کنیم: ۵y + ۴y = ۹y.", "عبارت نهایی را می‌نویسیم: ۱x + ۹y = x + ۹y.", "✅ جواب: x + ۹y"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "ساده کردن عبارت‌های جبری (۲)", "تشخیص خطا در ساده‌سازی عبارات جبری"], {"example": "عبارت ۳x + ۵x - ۲x را ساده کنید و بررسی کنید که آیا نتیجه درست است یا خیر.", "steps": ["ابتدا، ضرایب x را با هم جمع می‌کنیم: ۳ + ۵ - ۲ = ۶.", "سپس، نتیجه را در x ضرب می‌کنیم: ۶x.", "عبارت ساده‌شده نهایی ۶x است.", "✅ جواب: ۶x"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "پیدا کردن مقدار یک عبارت جبری (۱)", "ماشین ترکیبی"], {"steps": ["عدد ورودی x است.", "ابتدا در ماشین عددساز ضرب در ۳ می‌شود: خروجی ماشین اول ۳x است.", "سپس این خروجی به ماشین جمع‌کننده داده می‌شود که ۵ به آن اضافه می‌کند: خروجی نهایی برابر است با ۳x + ۵.", "✅ جواب: ۳x + ۵"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "پیدا کردن مقدار یک عبارت جبری (۱)", "تکمیل جدول با استفاده از رابطه"], {"example": "اگر رابطه y = ۳x + ۲ باشد و مقدار x برابر ۴ باشد، مقدار y را محاسبه کنید.", "steps": ["مقدار x را در رابطه جایگذاری می‌کنیم: y = ۳ × ۴ + ۲.", "عملیات ضرب را انجام می‌دهیم: ۳ × ۴ = ۱۲.", "حالا مقدار ۱۲ را به ۲ اضافه می‌کنیم: ۱۲ + ۲ = ۱۴.", "✅ جواب: ۱۴"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "پیدا کردن مقدار یک عبارت جبری (۱)", "پیش‌بینی عملیات ماشین"], {"steps": ["عدد ورودی ۵ را دریافت می‌کنیم.", "۳ را به عدد ورودی اضافه می‌کنیم: ۵ + ۳ = ۸.", "نتیجه را دو برابر می‌کنیم: ۸ × ۲ = ۱۶.", "✅ جواب: ۱۶"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "پیدا کردن مقدار یک عبارت جبری (۲)", "حل معادله خطی"], {"intro": "۱. معادله را به صورت ax + b = ۰ بنویسید. ۲. متغیر x را با استفاده از جابجایی و تقسیم حل کنید.", "example": "حل معادله ۳x + ۵ = ۱۴", "steps": ["ابتدا ۵ را از دو طرف معادله کم می‌کنیم: ۳x + ۵ - ۵ = ۱۴ - ۵", "معادله به شکل ۳x = ۹ تبدیل می‌شود.", "سپس هر دو طرف معادله را بر ۳ تقسیم می‌کنیم: ۳x ÷ ۳ = ۹ ÷ ۳", "معادله به شکل x = ۳ تبدیل می‌شود.", "✅ جواب: ۳"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "تجزیه عبارت‌های جبری (۱)", "ساده‌سازی کسرها"], {"steps": ["صورت ۱۸ را به عوامل اول تجزیه می‌کنیم: ۱۸ = ۲ × ۳ × ۳.", "مخرج ۲۷ را به عوامل اول تجزیه می‌کنیم: ۲۷ = ۳ × ۳ × ۳.", "عوامل مشترک ۳ را از صورت و مخرج حذف می‌کنیم.", "پس از حذف عوامل مشترک، کسر به شکل ۲/۳ تبدیل می‌شود.", "✅ جواب: ۲/۳"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "تجزیه عبارت‌های جبری (۱)", "توزیع‌پذیری و تجزیه"], {"example": "تبدیل عبارت ۳(x + ۴) به فرم توزیع‌پذیر.", "steps": ["عبارت ۳(x + ۴) را در نظر می‌گیریم.", "برای توزیع‌پذیری، ۳ را در x و ۴ ضرب می‌کنیم.", "۳ × x = ۳x و ۳ × ۴ = ۱۲ را محاسبه می‌کنیم.", "عبارت را به صورت ۳x + ۱۲ می‌نویسیم.", "✅ جواب: ۳x + ۱۲"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "تجزیه عبارت‌های جبری (۱)", "تجزیه با عامل مشترک"], {"example": "تجزیه عبارت ۱۲x + ۸ با استفاده از عامل مشترک.", "steps": ["ابتدا عامل مشترک ۱۲ و ۸ را پیدا می‌کنیم که ۴ است.", "سپس ۱۲x را به ۴ ضربدر ۳x و ۸ را به ۴ ضربدر ۲ تبدیل می‌کنیم.", "عبارت را به صورت ۴(۳x + ۲) می‌نویسیم.", "✅ جواب: ۴(۳x + ۲)"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "تجزیه عبارت‌های جبری (۱)", "تجزیه عبارات جبری"], {"example": "عبارت ۳x² + ۱۲x را تجزیه کنید.", "steps": ["ابتدا عامل مشترک را پیدا می‌کنیم. در اینجا ۳x عامل مشترک است.", "عبارت را به صورت ۳x( x + ۴ ) می‌نویسیم.", "حالا بررسی می‌کنیم که آیا x + ۴ را می‌توان بیشتر تجزیه کرد یا خیر. این عبارت قابل تجزیه نیست.", "✅ جواب: ۳x( x + ۴ )"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "تجزیه عبارت‌های جبری (۱)", "تبدیل به ضرب"], {"example": "عبارت ۲x + ۴ را به صورت ضرب عوامل بنویسید.", "steps": ["ابتدا ۲ را از هر دو جمله خارج می‌کنیم: ۲(x + ۲)", "حالا عوامل مشترک را شناسایی کردیم که ۲ است.", "عبارت را به صورت ضرب عوامل نوشتیم: ۲(x + ۲).", "✅ جواب: ۲(x + ۲)"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "تجزیه عبارت‌های جبری (۲)", "محاسبه توان‌های مختلف"], {"example": "محاسبه کنید ۳ به توان ۴ را.", "steps": ["۳ به توان ۴ برابر است با ۳ × ۳ × ۳ × ۳.", "ابتدا ۳ × ۳ را محاسبه می‌کنیم که برابر است با ۹.", "سپس ۹ را دوباره در ۳ ضرب می‌کنیم که برابر است با ۲۷.", "در نهایت ۲۷ را در ۳ ضرب می‌کنیم که برابر است با ۸۱.", "✅ جواب: ۸۱"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "تجزیه عبارت‌های جبری (۲)", "تکمیل جدول توان‌ها"], {"example": "اگر a = ۳ و b = ۲ باشد، مقدار a به توان b را محاسبه کنید.", "steps": ["a را برابر ۳ قرار می‌دهیم.", "b را برابر ۲ قرار می‌دهیم.", "حساب می‌کنیم: ۳ به توان ۲ برابر است با ۳ × ۳.", "نتیجه را محاسبه می‌کنیم: ۳ × ۳ = ۹.", "✅ جواب: ۹"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "تجزیه عبارت‌های جبری (۲)", "ساده‌سازی عبارات جبری"], {"example": "عبارت ۳a + ۲b - a + ۴b را ساده کنید.", "steps": ["ابتدا مشابهت عبارات را شناسایی می‌کنیم: ۳a و -a و ۲b و ۴b.", "عبارت ۳a و -a را با هم جمع می‌کنیم: ۳a - a = ۲a.", "عبارت ۲b و ۴b را با هم جمع می‌کنیم: ۲b + ۴b = ۶b.", "حالا عبارات ساده‌شده را با هم ترکیب می‌کنیم: ۲a + ۶b.", "✅ جواب: ۲a + ۶b"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "تجزیه عبارت‌های جبری (۲)", "ضرب عبارات جبری"], {"example": "ضرب عبارات جبری (۳x + ۲)(۴x + ۵) را محاسبه کنید.", "steps": ["ابتدا ۳x را در ۴x ضرب می کنیم که برابر با ۱۲x² می شود.", "سپس ۳x را در ۵ ضرب می کنیم که برابر با ۱۵x می شود.", "حالا ۲ را در ۴x ضرب می کنیم که برابر با ۸x می شود.", "در نهایت ۲ را در ۵ ضرب می کنیم که برابر با ۱۰ می شود.", "حالا جملات مشابه را جمع می کنیم: ۱۲x² + (۱۵x + ۸x) + ۱۰ که برابر با ۱۲x² + ۲۳x + ۱۰ می شود.", "✅ جواب: ۱۲x² + ۲۳x + ۱۰"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "معادله (۱)", "حل معادله با استفاده از رسم شکل"], {"example": "حل معادله ۵x + ۱۰ = ۶۵", "steps": ["از دو طرف معادله ۱۰ را کم می‌کنیم: ۵x + ۱۰ - ۱۰ = ۶۵ - ۱۰ که می‌شود ۵x = ۵۵", "هر دو طرف معادله را بر ۵ تقسیم می‌کنیم: (۱/۵) × ۵x = (۱/۵) × ۵۵ که می‌شود x = ۱۱", "✅ جواب: ۱۱"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "معادله (۱)", "حل معادله با استفاده از روش‌های نمادین"], {"steps": ["عدد را با x نمایش می‌دهیم. پس معادله به صورت ۳x + ۵ = ۲۰ نوشته می‌شود.", "برای حل معادله، ابتدا ۵ را از دو طرف معادله کم می‌کنیم: ۳x + ۵ - ۵ = ۲۰ - ۵.", "حاصل معادله به صورت ۳x = ۱۵ می‌شود.", "حالا هر دو طرف معادله را بر ۳ تقسیم می‌کنیم: ۳x ÷ ۳ = ۱۵ ÷ ۳.", "پس x = ۵ است.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "معادله (۲)", "محاسبه محیط و طول مستطیل"], {"steps": ["محیط مستطیل را با فرمول محاسبه می‌کنیم: محیط = ۲ * (طول + عرض).", "جایگذاری می‌کنیم: محیط = ۲ * (۵ + ۳).", "محاسبه می‌کنیم: ۵ + ۳ = ۸.", "محیط = ۲ * ۸ = ۱۶ سانتی‌متر.", "✅ جواب: ۱۶"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "معادله (۲)", "تشکیل معادله از شکل"], {"steps": ["مجموع زوایای یک مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است.", "بنابراین، زاویه C برابر با ۱۸۰ - (۴۰ + ۶۰) است.", "محاسبه می‌کنیم: ۱۸۰ - ۱۰۰ = ۸۰.", "پس زاویه C برابر با ۸۰ درجه است.", "✅ جواب: ۸۰"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "جمع بردارها", "جمع بردارها"], {"example": "بردار A با مختصات (۳, ۴) و بردار B با مختصات (۱, ۲) را در نظر بگیرید. مجموع این دو بردار را پیدا کنید.", "steps": ["مجموع مختصات بردار A و B را محاسبه می‌کنیم: (۳ + ۱, ۴ + ۲).", "نتیجه را محاسبه می‌کنیم: (۴, ۶).", "بردار حاصل را به صورت مختصاتی می‌نویسیم: (۴, ۶).", "✅ جواب: (۴, ۶)"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "جمع بردارها", "بردار صفر"], {"example": "جمع دو بردار قرینه برابر بردار صفر است. بردار صفر را به صورت بردار ۰ نشان می‌دهیم و مختصات آن [۰ ۰] است. حاصل جمع بردارهای a، b و c چیست؟ چرا؟\nبردار a و بردار b قرینه یکدیگرند و بردار c برداری دیگر است.", "steps": ["از آنجا که بردار a و بردار b قرینه یکدیگرند، جمع آن‌ها برابر بردار صفر است: a + b = ۰.", "بنابراین حاصل جمع بردارهای a، b و c برابر است با: a + b + c = ۰ + c = c.", "پس حاصل جمع برابر بردار c است زیرا بردار a و b همدیگر را خنثی کرده‌اند.", "✅ جواب: c"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "ضرب عدد در بردار (۱)", "جمع بردارها"], {"example": "دو بردار به صورت زیر داریم: بردار a با مختصات (۳، ۲) و بردار b با مختصات (۱، ۴). مجموع این دو بردار را پیدا کنید.", "steps": ["برای جمع بردارها، مختصات x را جمع می‌کنیم: ۳ + ۱ = ۴.", "سپس مختصات y را جمع می‌کنیم: ۲ + ۴ = ۶.", "بنابراین، مختصات بردار جمع برابر با (۴، ۶) است.", "✅ جواب: (۴، ۶)"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "ضرب عدد در بردار (۲)", "محاسبه مختصات بردار"], {"example": "بردار z را به صورت z = ۳x + ۲y تعریف کرده‌اند. بردارهای x و y به صورت بردارهای واحد در جهت محورهای مختصات هستند. بردار z را رسم کنید.", "steps": ["بردار x را به صورت [۱,۰] و بردار y را به صورت [۰,۱] فرض می‌کنیم.", "بردار z برابر است با z = ۳x + ۲y = [۳*۱ + ۲*۰, ۳*۰ + ۲*۱] = [۳, ۲].", "بردار z را از مبدا مختصات به نقطه (۳,۲) رسم می‌کنیم.", "✅ جواب: z = [۳,۲] از مبدأ به (۳,۲) رسم می‌شود."]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "بردارهای واحد مختصات (۱)", "تعیین مختصات بردار"], {"steps": ["بردار ۲i + ۳j به صورت مختصاتی برابر است با [۲, ۳].", "بردار i + j به صورت مختصاتی برابر است با [۱, ۱].", "✅ جواب: بردار ۲i+۳j به صورت مختصاتی [۲,۳] و بردار i+j به صورت [۱,۱] است."]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "بردارهای واحد مختصات (۱)", "نوشتن مختصات بردار"], {"steps": ["بردارهای واحد را به صورت i = [۱, ۰] و j = [۰, ۱] تعریف می‌کنیم.", "بردار a = ۴i + ۲j = ۴[۱, ۰] + ۲[۰, ۱] = [۴, ۰] + [۰, ۲] = [۴, ۲]", "بنابراین مختصات بردار a برابر است با [۴, ۲].", "برای نمایش بردار a در صفحه مختصات، از نقطه مبدأ (۰,۰) به سمت راست ۴ واحد و به سمت بالا ۲ واحد حرکت می‌کنیم و نقطه انتهایی بردار را مشخص می‌کنیم.", "✅ جواب: (۴ ، ۲)"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "بردارهای واحد مختصات (۳)", "جمع بردارها"], {"example": "دو بردار A و B به ترتیب دارای مختصات A(۳, ۴) و B(۱, ۲) هستند. مجموع این دو بردار را محاسبه کنید.", "steps": ["برای محاسبه مجموع بردارها، مختصات x و y را به صورت جداگانه جمع می‌کنیم.", "مقدار x: ۳ + ۱ = ۴", "مقدار y: ۴ + ۲ = ۶", "بنابراین، مجموع بردار A و B برابر با بردار C(۴, ۶) است.", "✅ جواب: C(۴, ۶)"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۶: مثلث", "رابطهٔ فیثاغورس", "محاسبه محیط مثلث"], {"steps": ["طول ضلع اول: ۵", "طول ضلع دوم: ۱۲", "طول ضلع سوم: ۱۳", "محیط مثلث = ۵ + ۱۲ + ۱۳ = ۳۰", "✅ جواب: ۳۰"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۶: مثلث", "شکل‌های هم‌نهشت", "محاسبه زوایای مجهول"], {"steps": ["مجموع زوایای داخلی مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است.", "زاویه اول ۵۰ درجه و زاویه دوم ۷۰ درجه است.", "مجموع زوایای داده شده را محاسبه می‌کنیم: ۵۰ + ۷۰ = ۱۲۰ درجه.", "زاویه سوم را با کم کردن مجموع زوایای داده شده از مجموع زوایای داخلی محاسبه می‌کنیم: ۱۸۰ - ۱۲۰ = ۶۰ درجه.", "✅ جواب: ۶۰"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۶: مثلث", "مثلث‌های هم‌نهشت", "نام‌گذاری و تساوی زوایا"], {"steps": ["مجموع زوایای مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است.", "زاویه C را با استفاده از فرمول ۱۸۰ - (زاویه A + زاویه B) محاسبه می‌کنیم.", "زاویه C = ۱۸۰ - (۴۵ + ۶۵) = ۱۸۰ - ۱۱۰ = ۷۰ درجه.", "✅ جواب: ۷۰"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان (۱)", "محاسبه توان"], {"example": "نوشتن حاصل عبارت‌ها به صورت توان‌دار:\n(۱۲۵ × ۱۸³ × (−۱/۹)³) = ؟", "steps": ["ابتدا عبارت را به صورت ضرب توان‌ها می‌نویسیم.", "۱۲۵ را به صورت توان می‌نویسیم: ۱۲۵ = ۵³", "عبارت می‌شود: ۵³ × ۱۸³ × (−۱/۹)³", "از قانون ضرب توان‌ها با توان مشترک استفاده می‌کنیم:", "(۵ × ۱۸ × (−۱/۹))³", "✅ جواب: (-۱۰)³"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان (۱)", "محاسبه حاصل‌ضرب توان‌ها"], {"example": "محاسبه کنید حاصل‌ضرب ۲³ و ۳² را.", "steps": ["محاسبه ۲³: ۲ × ۲ × ۲ = ۸", "محاسبه ۳²: ۳ × ۳ = ۹", "حاصل‌ضرب ۸ و ۹ را محاسبه کنید: ۸ × ۹ = ۷۲", "✅ جواب: ۷۲"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان (۲)", "تعیین عدد مناسب در جای خالی"], {"example": "عدد مناسب را برای معادله ۲³ + x = ۱۰ پیدا کنید.", "steps": ["ابتدا مقدار ۲³ را محاسبه می‌کنیم: ۲³ = ۸.", "سپس معادله را به صورت ۸ + x = ۱۰ می‌نویسیم.", "برای پیدا کردن x، ۸ را از ۱۰ کم می‌کنیم: x = ۱۰ - ۸.", "پس x برابر با ۲ است.", "✅ جواب: ۲"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان (۲)", "نوشتن عدد به صورت توان‌دار"], {"example": "عبارت [(۱/۲)³]⁴ را به صورت توان ساده بنویسید.", "steps": ["طبق قانون (aᵐ)ⁿ = a به توانِ (m×n) ، داریم:", "[(۱/۲)³]⁴ = (۱/۲)⁽۳×۴) = (۱/۲)¹²", "✅ جواب: (۱/۲)¹²"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان (۲)", "جایگذاری اعداد"], {"example": "اگر a = ۳ و b = ۵ باشد، مقدار عبارت ۲a + ۴b را حساب کنید.", "steps": ["ابتدا مقدار a را در عبارت قرار می‌دهیم: ۲ × ۳ + ۴b.", "سپس مقدار b را در عبارت قرار می‌دهیم: ۲ × ۳ + ۴ × ۵.", "محاسبه می‌کنیم: ۶ + ۲۰.", "نتیجه را جمع می‌زنیم: ۶ + ۲۰ = ۲۶.", "✅ جواب: ۲۶"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان (۲)", "محاسبه مقدار عددی"], {"example": "اگر a = ۳ و b = ۴ باشد، مقدار عددی عبارت ۲a + ۳b را محاسبه کنید.", "steps": ["ابتدا مقدار a را در ۲ ضرب می کنیم: ۲ × ۳ = ۶.", "سپس مقدار b را در ۳ ضرب می کنیم: ۳ × ۴ = ۱۲.", "حالا دو نتیجه را با هم جمع می کنیم: ۶ + ۱۲ = ۱۸.", "✅ جواب: ۱۸"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "تقسیم اعداد توان‌دار (۱)", "تقسیم اعداد توان‌دار با پایه‌های مساوی"], {"example": "تقسیم عبارت (۱۲⁴)/(۶⁴) را به صورت توان‌دار بنویسید", "steps": ["ابتدا تقسیم پایه‌ها را انجام می‌دهیم:", "(۱۲⁴)/(۶⁴) = (۱۲/۶)⁴", "۱۲/۶ = ۲", "پس:", "(۱۲/۶)⁴ = ۲⁴", "✅ جواب: ۲⁴"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "تقسیم اعداد توان‌دار (۱)", "جایگذاری عدد مناسب"], {"example": "اگر x + ۵ = ۱۲، مقدار x را پیدا کنید.", "steps": ["برای پیدا کردن x، ۵ را از دو طرف معادله کم می‌کنیم.", "x + ۵ - ۵ = ۱۲ - ۵", "x = ۷", "✅ جواب: ۷"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "تقسیم اعداد توان‌دار (۲)", "محاسبه عبارات توان‌دار"], {"example": "پر کردن جای خالی در عبارت (۲¹⁵)/(۲³) به توانِ (square) = ۱", "steps": ["ابتدا توان مخرج را بازنویسی می‌کنیم:", "(۲³) به توانِ (square) = ۲ به توانِ (۳× square) ", "عبارت به صورت (۲¹⁵)/(۲ به توانِ (۳× square) ) = ۱ است.", "طبق قانون تقسیم توان‌ها:", "۲ به توانِ (۱۵ - ۳× square) = ۱", "چون ۱ = ۲⁰ است، پس: ۱۵ - ۳× square = ۰ ۳× square = ۱۵ square = ۵", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "جذر تقریبی (۱)", "محاسبه طول با استفاده از فیثاغورس"], {"steps": ["طول وتر را با استفاده از رابطه فیثاغورس محاسبه می‌کنیم: a² + b² = c².", "جایگذاری مقادیر: ۶² + ۸² = c².", "محاسبه ۶²: ۳۶ و ۸²: ۶۴.", "جمع کردن ۳۶ و ۶۴: ۳۶ + ۶۴ = ۱۰۰.", "برای پیدا کردن c، ریشه دوم ۱۰۰ را محاسبه می‌کنیم: c = √۱۰۰ = ۱۰.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "جذر تقریبی (۱)", "مقایسه جذر اعداد"], {"steps": ["محاسبه مربع اعداد ۵ و ۶: ۵² = ۲۵ و ۶² = ۳۶ ۲.", "چون ۲۵ < ۳۴ < ۳۶، پس √۳۴ بین ۵ و ۶ قرار دارد.", "برای تخمین دقیق‌تر، فاصله ۵ تا ۶ را به نیم تقسیم می‌کنیم و عدد ۵٫۵ را بررسی می‌کنیم: ۵٫۵² = ۳۰٫۲۵ که کمتر از ۳۴ است.", " بنابراین √۳۴ بزرگ‌تر از ۵٫۵ است. می‌توان چند عدد بزرگ‌تر از ۵٫۵ مانند ۵٫۷، ۵٫۸ و ۵٫۹ را بررسی کرد تا حدود دقیق‌تر تعیین شود.", "✅ جواب: √۳۴ بین ۵ و ۶ است و بزرگ‌تر از ۵٫۵"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "جذر تقریبی (۲)", "تعیین مکان اعداد روی محور"], {"example": "عدد ۳٫۵ را روی محور عددی مشخص کنید.", "steps": ["عدد ۳٫۵ بین ۳ و ۴ قرار دارد.", "فاصله ۳٫۵ از ۳ برابر با ۰٫۵ است.", "فاصله ۳٫۵ از ۴ نیز برابر با ۰٫۵ است.", "بنابراین، ۳٫۵ را در نقطه‌ای دقیقا وسط ۳ و ۴ قرار می‌دهیم.", "✅ جواب: ۳٫۵"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد", "نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد"], {"steps": ["برای محاسبه طول وتر از قضیه فیثاغورس استفاده می‌کنیم: AC² = AB² + BC².", "طول ضلع AB برابر ۳ و طول ضلع BC برابر ۴ است، پس: AC² = ۳² + ۴².", "محاسبه می‌کنیم: AC² = ۹ + ۱۶ = ۲۵.", "برای پیدا کردن AC، ریشه‌ی مربع ۲۵ را محاسبه می‌کنیم: AC = √۲۵ = ۵.", "عدد ۵ را روی محور اعداد نمایش می‌دهیم.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد", "رسم اعداد رادیکالی به صورت خطی"], {"example": "عدد √۵ را روی محور اعداد نشان دهید.", "steps": ["√۵ را به شکل وتر یک مثلث قائم‌الزاویه می‌نویسیم: ۲² + ۱² = ۴ + ۱ = ۵.", "پس مثلثی می‌سازیم که ضلع‌های قائمش ۲ و ۱ باشند؛ از نقطه‌ی ۲ روی محور، عمودی به طول ۱ رسم می‌کنیم.", "مبدأ را به سر این عمود وصل می‌کنیم؛ این پاره‌خط وتر است و طولش √۵ است.", "پرگار را به اندازه‌ی این وتر باز می‌کنیم، نوک آن را روی مبدأ می‌گذاریم و کمان می‌زنیم تا محور را قطع کند.", "✅ جواب: محل برخورد کمان با محور، نقطه‌ی √۵ ≈ ۲٫۲۴ است."]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "خواص ضرب و تقسیم رادیکال‌ها (۱)", "خواص ضرب و تقسیم رادیکال‌ها"], {"example": "در تساوی‌های زیر، جاهای خالی را پر کنید:\n\n√۷ × √۸ = □\n√۱۴ = √۷ × □\n√۱۶ × ۲۵ = √۱۶ × √۲۵ = □ × □", "steps": ["√۷ × √۸ = √(۷×۸) = √۵۶.", "√۱۴ = √۷ × √۲ پس جای خالی دوم برابر است با √۲.", "√۱۶ × ۲۵ = √۱۶ × √۲۵ = ۴ × ۵ = ۲۰.", "بنابراین:", "√۷ × √۸ = √۵۶", "✅ جواب: √۵۶, √۲, ۴×۵"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "خواص ضرب و تقسیم رادیکال‌ها (۱)", "بررسی درستی روابط رادیکالی"], {"example": "کدام یک از عبارات زیر درست و کدام نادرست است؟\n\n√۵۰ = ۲۵\n√۵۰ = ۵ × √۲", "steps": ["√۵۰ را به صورت √(۲۵×۲) تجزیه می‌کنیم.", "√۵۰ = √۲۵ × √۲ = ۵ × √۲.", "عبارت اول: √۵۰ = ۲۵ نادرست است چون ۲۵ مربع کامل نیست برابر با √۵۰.", "عبارت دوم: √۵۰ = ۵ × √۲ درست است.", "نتیجه: عبارت اول نادرست و عبارت دوم درست است.", "✅ جواب: عبارت اول نادرست، عبارت دوم درست است."]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "خواص ضرب و تقسیم رادیکال‌ها (۲)", "یافتن نزدیک‌ترین عدد طبیعی به جذر"], {"steps": ["عدد زیر رادیکال ۵۰ است.", "جذر ۵۰ تقریباً برابر با ۷٫۱۴ است.", "نزدیک‌ترین عدد طبیعی به ۷٫۱۴ عدد ۷ است.", "✅ جواب: ۷"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "خواص ضرب و تقسیم رادیکال‌ها (۳)", "محاسبه حاصل ضرب و تقسیم توان‌ها"], {"steps": ["پایه‌ها برابر هستند، بنابراین توان‌ها را از هم کم می‌کنیم.", "توان اول ۴ و توان دوم ۲ است، پس ۴ - ۲ = ۲.", "حالا می‌توانیم بنویسیم: ۲⁴ ÷ ۲² = ۲².", "حالا ۲² را محاسبه می‌کنیم: ۲² = ۴.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "خواص ضرب و تقسیم رادیکال‌ها (۴)", "پیدا کردن اعداد روی محور"], {"example": "اعداد -۳، ۱، ۰، ۴ و -۱ را روی محور عددی مشخص کنید.", "steps": ["اعداد را به ترتیب صعودی مرتب می‌کنیم: -۳، -۱، ۰، ۱، ۴.", "مکان عدد -۳ را در سمت چپ محور مشخص می‌کنیم.", "مکان عدد -۱ را در سمت چپ محور و بعد از -۳ مشخص می‌کنیم.", "مکان عدد ۰ را در وسط محور مشخص می‌کنیم.", "مکان عدد ۱ را در سمت راست محور و بعد از ۰ مشخص می‌کنیم.", "✅ جواب: -۳، -۱، ۰، ۱، ۴"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "دسته‌بندی داده‌ها (۱)", "محاسبه دامنه تغییرات"], {"example": "داده‌های قد ۴۰ نفر از مردان ساکن یک شهر کوچک بر حسب سانتی‌متر به صورت زیر است: ۱۸۱، ۱۴۷، ۱۸۴، ۱۶۷، ۱۷۵، ۱۵۰، ۱۹۲، ۱۷۸، ۱۷۴، ۱۵۳، ۱۸۵، ۱۷۳، ۱۶۸، ۱۶۴، ۱۵۱، ۱۳۰، ۱۷۰، ۱۶۸، ۱۹۳، ۱۷۱، ۱۳۷، ۱۶۵، ۱۳۸، ۱۶۳، ۱۴۲، ۱۷۳، ۱۶۷، ۱۶۲، ۱۵۱، ۱۴۳، ۱۹۰، ۱۷۳، ۱۵۸، ۲۰۵، ۱۷۰، ۱۵۹، ۱۷۶، ۱۷۹، ۱۵۷، ۱۸۳، ۱۶۵. کمترین و بیشترین داده را مشخص کنید و دامنه تغییرات داده‌ها را بیابید.", "steps": ["کمترین داده: ۱۳۰ سانتی‌متر", "بیشترین داده: ۲۰۵ سانتی‌متر", "دامنه تغییرات = بیشترین داده - کمترین داده = ۲۰۵ - ۱۳۰ = ۷۵ سانتی‌متر", "✅ جواب: کمترین: ۱۳۰، بیشترین: ۲۰۵، دامنه: ۷۵"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "میانگین داده‌ها (۱)", "محاسبه میانگین داده‌ها"], {"example": "نمره‌های یک دانش‌آموز در درس تاریخ به ترتیب ۱۴، ۱۶، ۱۵، ۱۸ و ۱۷ است. میانگین نمره‌های او را حساب کنید.", "steps": ["مجموع نمره‌ها را محاسبه می‌کنیم: ۱۴ + ۱۶ + ۱۵ + ۱۸ + ۱۷ = ۸۰.", "تعداد نمره‌ها را مشخص می‌کنیم: ۵ نمره وجود دارد.", "میانگین را محاسبه می‌کنیم: ۸۰ ÷ ۵ = ۱۶.", "✅ جواب: ۱۶"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "میانگین داده‌ها (۱)", "محاسبه اختلاف نمره‌ها با میانگین"], {"example": "میانگین نمره‌های ۷ درس یک دانش‌آموز ۱۶٫۵ است. اگر نمره‌های دو درس دیگر او ۱۷ و ۱۵ به این داده‌ها اضافه شود، میانگین جدید را پیدا کنید.", "steps": ["مجموع نمره‌های اولیه = ۱۶٫۵ × ۷ = ۱۱۵٫۵", "مجموع نمره‌های جدید = ۱۱۵٫۵ + ۱۷ + ۱۵ = ۱۴۷٫۵", "تعداد نمره‌ها = ۷ + ۲ = ۹", "میانگین جدید = ۱۴۷٫۵ ÷ ۹ ≈ ۱۶٫۳۹", "میانگین جدید حدود ۱۶٫۳۹ است.", "✅ جواب: ۱۶٫۳۹ (تقریبی)"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "میانگین داده‌ها (۲)", "فرضیات در محاسبه میانگین"], {"steps": ["مجموع نمرات اولیه: ۱۲ + ۱۵ + ۱۷ + ۱۰ + ۲۰ = ۷۴", "تعداد نمرات اولیه: ۵", "مجموع نمرات جدید پس از حذف نمره‌ی ۱۰: ۱۲ + ۱۵ + ۱۷ + ۲۰ = ۶۴", "تعداد نمرات باقی‌مانده: ۴", "میانگین نمرات جدید: ۶۴ ÷ ۴ = ۱۶", "✅ جواب: ۱۶"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۱)", "محاسبه احتمال با شمارش حالات"], {"example": "فرض کنید ۱۰ کارت داریم که روی آنها اعداد ۱ تا ۱۰ نوشته شده است. (الف) در چند تا از آنها عدد روی کارت، اول است؟ (ب) در چند تا از آنها عدد روی کارت، مرکب است؟ (ج) احتمال اینکه عدد روی کارت اول باشد چقدر است؟ احتمال اینکه عدد روی کارت مرکب باشد چقدر است؟", "steps": ["فضای نمونه = {۱,۲,۳,۴,۵,۶,۷,۸,۹,۱۰} که اندازه آن ۱۰ است.", "اعداد اول در این مجموعه: ۲، ۳، ۵، ۷ → تعداد = ۴.", "اعداد مرکب: ۴، ۶، ۸، ۹، ۱۰ → تعداد = ۵.", "بنابراین: احتمال اینکه عدد روی کارت اول باشد = تعداد اعداد اول ÷ کل کارت‌ها = ۴ ÷ ۱۰ = ۲/۵.", "احتمال اینکه عدد روی کارت مرکب باشد = ۵ ÷ ۱۰ = ۱/۲.", "✅ جواب: ۴، ۵، ۰/۴ و ۰/۵"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۱)", "شناسایی حالت‌های هم‌شانس"], {"steps": ["الف) چرخ دارای ۴ بخش رنگی مساوی است (قرمز، آبی، زرد، سبز). احتمال آمدن هر رنگ برابر است، پس حالت‌های هم‌شانس: قرمز، آبی، زرد، سبز.", "ب) تاس دارای ۶ وجه است که هر وجه عددی از ۱ تا ۶ دارد. احتمال آمدن هر عدد برابر است، پس حالت‌های هم‌شانس: ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶.", "✅ جواب: الف) قرمز، آبی، زرد، سبز. ب) ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶."]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۱)", "محاسبه احتمال با استفاده از مهره‌ها"], {"steps": ["تعداد کل مهره‌ها برابر با ۱۰ است.", "تعداد مهره‌های قرمز برابر با ۴ است.", "احتمال برداشتن یک مهره قرمز برابر است با ۴ تقسیم بر ۱۰.", "احتمال برابر با ۰٫۴ است.", "✅ جواب: ۰٫۴"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۱)", "محاسبه احتمال"], {"example": "وقتی یک سکه را می‌اندازیم، قبل از اینکه به زمین برسد نمی‌دانیم چه پیش می‌آید؛ یعنی روی سکه می‌آید یا پشت آن! اما می‌دانیم که دو حالت ممکن است پیش آید: روی سکه یا پشت سکه! از آنجا که این دو حالت مشابه‌اند، امکان اینکه روی سکه یا پشت آن بیاید، برابر است و چون در یک حالت از این دو حالت ممکن، روی سکه می‌آید، پس احتمال اینکه روی آن بیاید ۱/۲ است؛ به همین ترتیب، احتمال اینکه پشت سکه هم بیاید، ۱/۲ است.", "steps": ["تعداد کل حالت‌ها: ۲ (رو و پشت)", "احتمال آمدن رو = ۱/۲", "احتمال آمدن پشت = ۱/۲", "چون دو حالت مشابه‌اند، احتمال هر کدام برابر است.", "✅ جواب: احتمال رو و پشت هر کدام ۱/۲ است."]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۲)", "محاسبه احتمال در کیسه مهره‌ها"], {"steps": ["تعداد کل مهره‌ها: ۴ (سه مهره سبز و یک مهره سفید)", "شایان فقط رنگ‌ها را در نظر گرفته و دو حالت سبز و سفید را گفته است.", "علی هر مهره سبز را جداگانه شماره‌گذاری کرده و چهار حالت مجزا را در نظر گرفته است.", "پاسخ علی درست است چون هر مهره سبز به عنوان یک حالت مجزا در نظر گرفته شده و احتمال انتخاب هر مهره برابر است.", "✅ جواب: چهار حالت (سه مهره سبز مجزا و یک مهره سفید)"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۲)", "محاسبه احتمال با استفاده از نمودار دایره‌ای"], {"steps": ["تعداد کل دانش‌آموزان ۲۰ نفر است.", "تعداد حالت‌های مطلوب (دختران) ۱۲ نفر است.", "احتمال انتخاب یک دختر برابر است با ۱۲ تقسیم بر ۲۰.", "محاسبه می‌کنیم: ۱۲ ÷ ۲۰ = ۰٫۶.", "✅ جواب: ۰٫۶"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "بررسی حالت‌های ممکن (۱)", "بررسی حالات ممکن"], {"steps": ["هر سکه دو حالت دارد: رو یا پشت.", "برای دو سکه اول، چهار حالت داریم: رو-رو، رو-پشت، پشت-رو، پشت-پشت.", "سکه سوم نیز دو حالت دارد: رو یا پشت.", "بنابراین، تعداد کل حالات ممکن برای سه سکه برابر ۲ × ۲ × ۲ = ۸ حالت است.", "جدول عرفان را کامل می‌کنیم:", "برای هر حالت دو سکه اول، دو حالت برای سکه سوم داریم. به عنوان مثال، برای حالت رو-رو دو حالت داریم: رو-رو-رو و رو-رو-پشت. به همین ترتیب برای بقیه حالات جدول را کامل می‌کنیم. نتیجه: تعداد کل حالات ممکن ۸ است.", "✅ جواب: ۸ حالت"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "بررسی حالت‌های ممکن (۱)", "محاسبه احتمال وقوع یک حالت خاص"], {"steps": ["تعداد کل دانش‌آموزان ۲۰ است.", "تعداد دختران ۱۲ است.", "احتمال انتخاب یک دختر برابر است با تعداد دختران تقسیم بر تعداد کل دانش‌آموزان: ۱۲ ÷ ۲۰.", "احتمال انتخاب یک دختر برابر است با ۰٫۶.", "✅ جواب: ۰٫۶"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "بررسی حالت‌های ممکن (۲)", "محاسبه تعداد حالات ممکن"], {"steps": ["برای انتخاب تی‌شرت ۳ گزینه داریم: قرمز، آبی، سبز.", "برای انتخاب شلوار ۲ گزینه داریم: کوتاه، بلند.", "تعداد کل حالات ممکن را با ضرب تعداد گزینه‌ها محاسبه می‌کنیم: ۳ × ۲ = ۶.", "✅ جواب: ۶"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "بررسی حالت‌های ممکن (۲)", "محاسبه تعداد ترکیب‌های ممکن"], {"steps": ["تعداد مدل‌های پیراهن: ۳", "تعداد رنگ‌ها: ۲", "تعداد اندازه‌ها: ۴", "تعداد کل ترکیب‌ها = ۳ × ۲ × ۴ = ۲۴", "✅ جواب: ۲۴"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "بررسی حالت‌های ممکن (۳)", "محاسبه میانگین داده‌ها"], {"example": "نمره‌های یک دانش‌آموز در درس علوم ۱۴، ۱۶، ۱۵، ۱۸ و ۲۰ است. میانگین نمره‌های او را حساب کنید.", "steps": ["مجموع نمره‌ها را محاسبه می‌کنیم: ۱۴ + ۱۶ + ۱۵ + ۱۸ + ۲۰ = ۸۳.", "تعداد نمره‌ها را می‌شماریم: ۵ نمره داریم.", "مجموع نمره‌ها را بر تعداد نمره‌ها تقسیم می‌کنیم: ۸۳ ÷ ۵ = ۱۶٫۶.", "✅ جواب: ۱۶٫۶"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۹: دایره", "خط و دایره (۱)", "رسم خط مماس بر دایره"], {"example": "خط d بر دایره c به مرکز O و شعاع ۲ مماس است. کدام پاره‌خط فاصله مرکز دایره از خط d را نشان می‌دهد؟ اندازه این پاره‌خط را با ۳ مقایسه کنید.", "steps": ["پاره‌خط OH که از مرکز O به خط d رسم شده و بر آن عمود است، کوتاه‌ترین فاصله مرکز دایره تا خط d است.", "چون خط d مماس بر دایره است، فاصله مرکز تا خط برابر شعاع دایره است که ۲ است.", "بنابراین، طول OH برابر ۲ است و چون ۲ < ۳، نتیجه می‌گیریم که فاصله مرکز دایره از خط d کمتر از ۳ است.", "✅ جواب: OH = ۲ و ۲ < ۳"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۹: دایره", "خط و دایره (۳)", "رسم و تحلیل مماس‌های دایره"], {"steps": ["فاصله OA را داریم که برابر ۱۳ سانتی‌متر است.", "شعاع دایره OB برابر ۵ سانتی‌متر است.", "با استفاده از قضیه فیثاغورث، می‌نویسیم: AB² = OA² - OB².", "AB² = ۱۳² - ۵² = ۱۶۹ - ۲۵ = ۱۴۴.", "پس AB = √۱۴۴ = ۱۲ سانتی‌متر.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۹: دایره", "خط و دایره (۳)", "محاسبه حجم و عمق در شکل‌های هندسی"], {"steps": ["حجم مکعب با فرمول V = a³ محاسبه می‌شود که در آن a طول ضلع مکعب است.", "طول ضلع مکعب برابر ۴ سانتی‌متر است.", "حجم را با جایگذاری مقدار طول ضلع در فرمول محاسبه می‌کنیم: V = ۴³ = ۶۴ سانتی‌متر مکعب.", "✅ جواب: ۶۴"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۹: دایره", "زاویه‌های مرکزی (۱)", "اندازه‌گیری زاویه مرکزی"], {"example": "نیمساز زاویه مرکزی AOB است و زاویه AOB برابر ۳۶ درجه است. اندازه هر یک از کمان‌های AD و BD چند درجه است؟", "steps": ["از آنجا که OD نیمساز زاویه مرکزی AOB است، زاویه AOD و BOD هر کدام نصف زاویه AOB هستند.", "زاویه AOB = ۳۶ درجه", "پس زاویه AOD = زاویه BOD = ۳۶ ÷ ۲ = ۱۸ درجه", "کمان AD متناظر با زاویه AOD است و کمان BD متناظر با زاویه BOD است.", "بنابراین اندازه هر کمان AD و BD برابر ۱۸ درجه است.", "✅ جواب: ۱۸ درجه"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۹: دایره", "زاویه‌های مرکزی (۲)", "محاسبه اندازه کمان‌ها"], {"steps": ["با باز کردن دهانه پرگار به اندازه شعاع دایره و پی‌درپی کمان زدن از یک نقطه، دایره به ۶ کمان مساوی تقسیم می‌شود.", "چون مجموع زوایای دایره ۳۶۰ درجه است، هر کمان برابر است با ۳۶۰ ÷ ۶ = ۶۰ درجه.", "✅ جواب: ۶ کمان ۶۰ درجه‌ای"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۹: دایره", "زاویه‌های محاطی (۱)", "اندازه‌گیری زاویه محاطی با پر کردن جاهای خالی"], {"example": "در دایره‌ای با مرکز O، کمانی به نام AD داریم که اندازه آن ۸۰ درجه است. اندازه زاویه محاطی C را تعیین کنید.", "steps": ["اندازه کمان AD برابر ۸۰ درجه است.", "زاویه محاطی C که مقابل کمان AD قرار دارد، برابر نصف اندازه کمان است.", "بنابراین: زاویه C = ۸۰ ÷ ۲ = ۴۰ درجه.", "✅ جواب: ۴۰ درجه"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۹: دایره", "زاویه‌های محاطی (۱)", "محاسبه زاویه‌ها و کمان‌ها در دایره"], {"example": "در دایره‌ای با مرکز O، زاویه مرکزی AOB برابر با ۷۲ درجه است. اندازه کمان AB چند درجه است؟", "steps": ["زاویه مرکزی AOB برابر ۷۲ درجه است.", "اندازه کمان متناظر با این زاویه مرکزی برابر با اندازه زاویه مرکزی است.", "بنابراین، کمان AB برابر ۷۲ درجه است.", "✅ جواب: ۷۲ درجه"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۹: دایره", "زاویه‌های محاطی (۲)", "تقسیم دایره به قسمت‌های مساوی"], {"steps": ["زاویه کامل دایره ۳۶۰ درجه است.", "برای تقسیم دایره به ۶ قسمت مساوی، ۳۶۰ را بر ۶ تقسیم می‌کنیم.", "۳۶۰ ÷ ۶ = ۶۰ درجه. هر قسمت زاویه‌ای برابر با ۶۰ درجه دارد.", "✅ جواب: ۶۰"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۹: دایره", "زاویه‌های محاطی (۳)", "محاسبه قطر دایره"], {"steps": ["شعاع دایره برابر ۵ سانتی‌متر است.", "برای محاسبه قطر، از فرمول قطر = ۲ × شعاع استفاده می‌کنیم.", "قطر = ۲ × ۵ = ۱۰ سانتی‌متر.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۹: دایره", "زاویه‌های محاطی (۳)", "محاسبه طول مستطیل در دایره"], {"steps": ["عرض مستطیل برابر با ۳ سانتی‌متر است.", "طول مستطیل برابر با ۲ برابر عرض است: ۲ × ۳ = ۶ سانتی‌متر.", "برای بررسی اینکه مستطیل درون دایره قرار می‌گیرد، از فرمول قطر دایره استفاده می‌کنیم: قطر = ۲ × شعاع = ۲ × ۵ = ۱۰ سانتی‌متر.", "طول و عرض مستطیل را با هم مقایسه می‌کنیم: طول مستطیل (۶ سانتی‌متر) و عرض مستطیل (۳ سانتی‌متر) باید کمتر از قطر دایره (۱۰ سانتی‌متر) باشند.", "از آنجا که ۶ < ۱۰ و ۳ < ۱۰، مستطیل درون دایره قرار می‌گیرد.", "✅ جواب: ۶"]}], [["پایه نهم", "فصل ۱: مجموعه‌ها", "معرفی مجموعه", "نمایش مجموعه‌ها"], {"steps": ["مجموعه A را مشخص می‌کنیم: A = {۱, ۲, ۳, ۴}", "مجموعه B را مشخص می‌کنیم: B = {۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶}", "اکنون اشتراک دو مجموعه A و B را پیدا می‌کنیم: A ∩ B = {۱, ۲, ۳, ۴}", "اعضای اشتراک را لیست می‌کنیم.", "✅ جواب: {۱, ۲, ۳, ۴}"]}], [["پایه نهم", "فصل ۱: مجموعه‌ها", "مجموعه‌های برابر و نمایش مجموعه‌ها (۲)", "مشخص کردن اعضای مجموعه"], {"steps": ["اعداد طبیعی از ۱ شروع می‌شوند و شامل ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶، ۷، ۸، ۹ هستند.", "ما باید اعداد طبیعی کمتر از ۱۰ را در نظر بگیریم.", "بنابراین، اعضای مجموعه A شامل ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶، ۷، ۸ و ۹ می‌شود.", "✅ جواب: {۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶, ۷, ۸, ۹}"]}], [["پایه نهم", "فصل ۱: مجموعه‌ها", "اجتماع، اشتراک و تفاضلِ مجموعه‌ها (۱)", "تشکیل مجموعه"], {"example": "دو مجموعه A = {x ∈ N | x ≤ ۶} و B = {x ∈ Z | -۲ ≤ x ≤ ۳} را در نظر بگیرید. اعضای این دو مجموعه را بنویسید و اشتراک و اجتماع آن‌ها را تشکیل دهید.", "steps": ["مجموعه A شامل اعداد طبیعی کمتر یا مساوی ۶ است: A = {۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶}.", "مجموعه B شامل اعداد صحیح بین -۲ تا ۳ است: B = {-۲, -۱, ۰, ۱, ۲, ۳}.", "اشتراک A و B شامل اعدادی است که در هر دو مجموعه هستند: A ∩ B = {۱, ۲, ۳}.", "اجتماع A و B شامل همه اعداد موجود در A یا B است: A ∪ B = {-۲, -۱, ۰, ۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶}.", "✅ جواب: A={۱,۲,۳,۴,۵,۶}, B={-۲,-۱,۰,۱,۲,۳}, اشتراک={۱,۲,۳}, اجتماع={-۲,-۱,۰,۱,۲,۳,۴,۵,۶}"]}], [["پایه نهم", "فصل ۱: مجموعه‌ها", "مجموعه‌ها و احتمال", "محاسبه احتمال"], {"steps": ["مجموعه حالات ممکن تاس S = {۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶} است که n(S) = ۶.", "مجموعه حالات مطلوب C که عدد بزرگ‌تر از ۶ باشد، C = ∅ (مجموعه تهی) است که n(C) = ۰.", "احتمال رخ دادن پیشامد C برابر است با:", "P(C) = n(C) / n(S) = ۰ / ۶ = ۰.", "✅ جواب: ۰"]}], [["پایه نهم", "فصل ۱: مجموعه‌ها", "مجموعه‌ها و احتمال", "ترکیب و جایگشت"], {"steps": ["تعداد کل افراد را مشخص می‌کنیم که برابر با ۵ است.", "تعداد افرادی که باید انتخاب شوند را مشخص می‌کنیم که برابر با ۲ است.", "از فرمول ترکیب استفاده می‌کنیم: C(n, k) = n! / (k! × (n-k)!) که در اینجا n=۵ و k=۲ است.", "محاسبه می‌کنیم: C(۵, ۲) = ۵! / (۲! × (۵-۲)!) = ۵! / (۲! × ۳!) = (۵ × ۴) / (۲ × ۱) = ۱۰.", "بنابراین، تعداد حالات مختلف برای انتخاب ۲ نفر برابر با ۱۰ است.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه نهم", "فصل ۲: عددهای حقیقی", "عددهای گویا", "مقایسه کسرها"], {"example": "می‌خواهیم کسرهای ۱/۳ و ۲/۶ را با دو روش مختلف مقایسه کنیم. روش مریم: نمایش کسرها روی محور عددی و روش بهار: تبدیل کسرها به مخرج مشترک و مقایسه.", "steps": ["روش مریم:", "کسر ۱/۳ را روی محور عددی مشخص می‌کنیم.", "کسر ۲/۶ را روی محور عددی مشخص می‌کنیم.", "مشاهده می‌کنیم که ۱/۳ برابر ۲/۶ است چون هر دو نقطه در یک موقعیت قرار دارند.", "روش بهار:", "مخرج مشترک کسرها ۶ است. ۱/۳ را به صورت ۲/۶ تبدیل می‌کنیم (۱×۲)/(۳×۲)=۲/۶. حالا ۲/۶ و ۲/۶ را مقایسه می‌کنیم که برابرند. نتیجه: ۱/۳ = ۲/۶.", "✅ جواب: ۱/۳ = ۲/۶"]}], [["پایه نهم", "فصل ۲: عددهای حقیقی", "عددهای گویا", "محاسبه و ساده‌سازی کسرها"], {"example": "کسرهای ۳/۴ و ۱/۶ را با هم جمع کنید و نتیجه را ساده کنید.", "steps": ["مخرج مشترک ۴ و ۶ برابر ۱۲ است.", "کسر ۳/۴ را به مخرج ۱۲ تبدیل می‌کنیم: ۳/۴ = ۹/۱۲.", "کسر ۱/۶ را به مخرج ۱۲ تبدیل می‌کنیم: ۱/۶ = ۲/۱۲.", "حالا صورت‌ها را جمع می‌کنیم: ۹ + ۲ = ۱۱.", "بنابراین، کسر جمع شده برابر ۱۱/۱۲ است و ساده‌سازی نمی‌شود.", "✅ جواب: ۱۱/۱۲"]}], [["پایه نهم", "فصل ۲: عددهای حقیقی", "عددهای حقیقی (۱)", "نمایش عددهای گنگ روی محور"], {"example": "با توجه به اینکه مقدار تقریبی √۲ مساوی ۱٫۴ است، آن را روی محور نشان دهید.", "steps": ["مقدار تقریبی √۲ برابر ۱٫۴ است.", "روی محور اعداد، نقطه‌ای بین ۱ و ۲ که نزدیک به ۱٫۴ است را مشخص می‌کنیم و آن را به عنوان مقدار تقریبی √۲ نمایش می‌دهیم.", "✅ جواب: روی محور اعداد، نقطه‌ای بین ۱ و ۲ نزدیک به ۱٫۴ رسم می‌شود."]}], [["پایه نهم", "فصل ۲: عددهای حقیقی", "عددهای حقیقی (۱)", "تشخیص مجموعه‌ها"], {"example": "کدام عبارت درست و کدام عبارت نادرست است؟\n۱) Q ∩ Q' = ∅\n۲) N ⊆ Q'\n۳) Z ⊆ Q\n۴) Z ⊆ Q'", "steps": ["درست است زیرا مجموعه اعداد گویا و مجموعه اعداد گنگ اشتراکی ندارند.", "نادرست است چون اعداد طبیعی زیرمجموعه اعداد گویا هستند نه اعداد گنگ.", "درست است زیرا اعداد صحیح زیرمجموعه اعداد گویا هستند.", "نادرست است چون اعداد صحیح زیرمجموعه اعداد گنگ نیستند.", "✅ جواب: ۱ و ۳ درست، ۲ و ۴ نادرست"]}], [["پایه نهم", "فصل ۲: عددهای حقیقی", "عددهای حقیقی (۲)", "تفاوت مجموعه‌ها"], {"example": "مجموعه A = {۱, ۲, ۳, ۴} و مجموعه B = {۳, ۴, ۵, ۶} را در نظر بگیرید. تفاوت مجموعه A و B را پیدا کنید.", "steps": ["عناصر مجموعه A را بررسی می‌کنیم: {۱, ۲, ۳, ۴}", "عناصر مجموعه B را بررسی می‌کنیم: {۳, ۴, ۵, ۶}", "عناصر موجود در A که در B نیستند را پیدا می‌کنیم: ۱ و ۲", "بنابراین، تفاوت مجموعه A و B برابر است با {۱, ۲}.", "✅ جواب: {۱, ۲}"]}], [["پایه نهم", "فصل ۲: عددهای حقیقی", "عددهای حقیقی (۲)", "تکمیل تساوی مجموعه‌ها"], {"example": "مجموعه A شامل اعداد {۱, ۲, ۳, ۴} و مجموعه B شامل اعداد {۲, ۳, ۴, ۵} است. تساوی A ∪ B = {۱, ۲, ۳, ۴, ۵} را تکمیل کنید.", "steps": ["مجموعه A شامل اعداد ۱، ۲، ۳ و ۴ است.", "مجموعه B شامل اعداد ۲، ۳، ۴ و ۵ است.", "اتحاد دو مجموعه A و B شامل تمام عناصر هر دو مجموعه می‌شود.", "عناصر مجموعه A ∪ B عبارتند از: ۱، ۲، ۳، ۴ و ۵.", "✅ جواب: {۱, ۲, ۳, ۴, ۵}"]}], [["پایه نهم", "فصل ۲: عددهای حقیقی", "قدر مطلق و محاسبهٔ تقریبی (۱)", "محاسبه قدر مطلق"], {"example": "قدر مطلق عدد -√۵ را به صورت عددی نشان دهید. همچنین قدر مطلق عدد ۰٫۰۴ را به صورت عددی نشان دهید.", "steps": ["قدر مطلق -√۵ برابر است با √۵ زیرا قدر مطلق عدد منفی برابر است با منفی آن عدد: |-√۵| = √۵.", "قدر مطلق ۰٫۰۴ برابر است با ۰٫۰۴ چون عدد مثبت است: |۰٫۰۴| = ۰٫۰۴.", "✅ جواب: |-√۵| = √۵ و |۰٫۰۴| = ۰٫۰۴"]}], [["پایه نهم", "فصل ۲: عددهای حقیقی", "قدر مطلق و محاسبهٔ تقریبی (۱)", "فاصله نقاط روی محور"], {"example": "دو نقطه A و B روی محور عددی به ترتیب در موقعیت های ۳ و ۸ قرار دارند. فاصله بین این دو نقطه را محاسبه کنید.", "steps": ["موقعیت نقطه A برابر با ۳ و موقعیت نقطه B برابر با ۸ است.", "تفاضل موقعیت های دو نقطه را محاسبه می کنیم: ۸ - ۳ = ۵.", "فاصله بین دو نقطه برابر با قدر مطلق تفاضل است: |۵| = ۵.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه نهم", "فصل ۲: عددهای حقیقی", "قدر مطلق و محاسبهٔ تقریبی (۱)", "مقایسه اعداد"], {"steps": ["هر دو عدد منفی هستند.", "عدد -۱۵ کوچکتر از -۱۰ است.", "بنابراین، عدد -۱۰ بزرگتر است.", "✅ جواب: -۱۰"]}], [["پایه نهم", "فصل ۲: عددهای حقیقی", "قدر مطلق و محاسبهٔ تقریبی (۲)", "مقایسه عبارات"], {"example": "محاسبه کنید: |۱۰ - ۲۰ + ۵| و |(-۶) × (+۱۰)|", "steps": ["ابتدا داخل قدر مطلق‌ها را محاسبه می‌کنیم: ۱۰ - ۲۰ + ۵ = -۵ و (-۶) × (+۱۰) = -۶۰.", "سپس قدر مطلق آن‌ها را می‌گیریم: |-۵| = ۵ و |-۶۰| = ۶۰.", "✅ جواب: ۵ و ۶۰"]}], [["پایه نهم", "فصل ۳: استدلال و اثبات در هندسه", "آشنایی با اثبات در هندسه (۱)", "اثبات هم‌ارزی زوایای روبه‌رو در لوزی"], {"steps": ["مجموع زوایای داخلی مثلث برابر ۱۸۰ درجه است.", "زاویه خارجی برابر است با ۱۸۰ درجه منهای زاویه داخلی مجاورش.", "بنابراین زاویه خارجی = زاویه داخلی غیر مجاور اول + زاویه داخلی غیر مجاور دوم. این رابطه از مجموع زوایای مثلث و تعریف زاویه خارجی نتیجه می‌شود.", "✅ جواب: در مثلث ABC، زاویه خارجی در رأس A برابر ۱۸۰°−A است و چون A+B+C=۱۸۰°، پس ۱۸۰°−A = B+C."]}], [["پایه نهم", "فصل ۳: استدلال و اثبات در هندسه", "آشنایی با اثبات در هندسه (۱)", "اثبات خواص مستطیل"], {"example": "فرض: ABCD مستطیل است. اثبات کنید که قطرهای مستطیل برابر هستند. همچنین نشان دهید که زاویه A برابر ۹۰ درجه است، و AB برابر CD، AD برابر BC، و AB موازی CD، AD موازی BC.", "steps": ["از تعریف مستطیل داریم که همه زوایا قائمه هستند، پس زاویه A = ۹۰ درجه.", "اضلاع مقابل برابرند: AB = CD و AD = BC.", "اضلاع مقابل موازی هستند: AB || CD و AD || BC. قطرها AC و BD مثلث‌های قائم‌الزاویه را تشکیل می‌دهند. با استفاده از قضیه فیثاغورس: AC = √(AB² + BC²) و BD = √(AD² + DC²). چون AB = DC و AD = BC، پس AC = BD. بنابراین قطرهای مستطیل برابرند.", "✅ جواب: AC = BD"]}], [["پایه نهم", "فصل ۳: استدلال و اثبات در هندسه", "آشنایی با اثبات در هندسه (۱)", "اثبات تساوی مثلث‌ها"], {"steps": ["مجموع زوایای هر مثلث برابر ۱۸۰ درجه است.", "در مثلث ABC: زاویه A + زاویه B + زاویه C = ۱۸۰ درجه.", "در مثلث DEF: زاویه D + زاویه E + زاویه F = ۱۸۰ درجه. با توجه به برابری زاویه‌های A و D و همچنین B و E، داریم: زاویه A + زاویه B = زاویه D + زاویه E. بنابراین زاویه C = ۱۸۰ - (زاویه A + زاویه B) و زاویه F = ۱۸۰ - (زاویه D + زاویه E). چون زاویه A + زاویه B = زاویه D + زاویه E، پس زاویه C = زاویه F.", "✅ جواب: بله، زاویه‌های C و F برابرند."]}], [["پایه نهم", "فصل ۳: استدلال و اثبات در هندسه", "شکل‌های متشابه (۱)", "مقایسه اندازه‌ها و زوایا در اشکال مشابه"], {"steps": ["ضلع‌های مثلث ABC را می‌نویسیم: ۳، ۴، ۵.", "ضلع‌های مثلث DEF را می‌نویسیم: ۶، ۸، ۱۰.", "برای مقایسه، نسبت ضلع‌های متناظر را محاسبه می‌کنیم: ۶ ÷ ۳ = ۲، ۸ ÷ ۴ = ۲، ۱۰ ÷ ۵ = ۲.", "نتیجه می‌گیریم که هر ضلع مثلث DEF دو برابر ضلع متناظر مثلث ABC است.", "✅ جواب: ۲"]}], [["پایه نهم", "فصل ۳: استدلال و اثبات در هندسه", "شکل‌های متشابه (۱)", "محاسبه فاصله واقعی با استفاده از مقیاس نقشه"], {"example": "در نقشه‌ای که مقیاس آن ۱ به ۵۰۰۰۰ است، فاصله بین دو شهر روی نقشه ۲ سانتی‌متر است. فاصله واقعی بین این دو شهر را بر حسب متر پیدا کنید.", "steps": ["مقیاس نقشه ۱ به ۵۰۰۰۰ است، یعنی هر ۱ سانتی‌متر روی نقشه معادل ۵۰۰۰۰ سانتی‌متر در واقعیت است.", "فاصله روی نقشه ۲ سانتی‌متر است، پس فاصله واقعی را محاسبه می‌کنیم: ۲ × ۵۰۰۰۰ = ۱۰۰۰۰۰ سانتی‌متر.", "برای تبدیل سانتی‌متر به متر، ۱۰۰۰۰۰ سانتی‌متر را بر ۱۰۰ تقسیم می‌کنیم: ۱۰۰۰۰۰ ÷ ۱۰۰ = ۱۰۰۰ متر.", "✅ جواب: ۱۰۰۰"]}], [["پایه نهم", "فصل ۳: استدلال و اثبات در هندسه", "شکل‌های متشابه (۱)", "تغییر اندازه اشکال هندسی"], {"steps": ["نسبت تغییر اندازه ۲ است، بنابراین قاعده جدید مثلث را محاسبه می‌کنیم: ۶ × ۲ = ۱۲ سانتی‌متر.", "ارتفاع جدید مثلث را محاسبه می‌کنیم: ۴ × ۲ = ۸ سانتی‌متر.", "اندازه‌های جدید مثلث به ترتیب ۱۲ سانتی‌متر برای قاعده و ۸ سانتی‌متر برای ارتفاع است.", "✅ جواب: قاعده: ۱۲ سانتی‌متر، ارتفاع: ۸ سانتی‌متر"]}], [["پایه نهم", "فصل ۳: استدلال و اثبات در هندسه", "شکل‌های متشابه (۱)", "تشابه مستطیل‌ها"], {"steps": ["نسبت طول به عرض مستطیل ۱ برابر ۷/۲ = ۳٫۵ است.", "نسبت طول به عرض مستطیل ۲ برابر ۴/۲ = ۲ است.", "نسبت طول به عرض مستطیل ۳ برابر ۳/۱ = ۳ است.", "چون هیچ‌کدام از این نسبت‌ها برابر نیستند، هیچ‌کدام از این مستطیل‌ها با هم مشابه نیستند.", "بنابراین، دو مستطیل دلخواه زمانی مشابه‌اند که نسبت طول به عرض آن‌ها برابر باشد.", "✅ جواب: هیچ‌کدام مشابه نیستند چون نسبت طول به عرض متفاوت است."]}], [["پایه نهم", "فصل ۳: استدلال و اثبات در هندسه", "شکل‌های متشابه (۲)", "محاسبه فاصله در مختصات"], {"example": "فاصله بین دو نقطه A(۳, ۴) و B(۷, ۱) را محاسبه کنید.", "steps": ["ابتدا مختصات دو نقطه را مشخص می‌کنیم: A(۳, ۴) و B(۷, ۱).", "سپس مقادیر x و y را از نقاط A و B استخراج می‌کنیم: x1 = ۳، y1 = ۴، x2 = ۷ و y2 = ۱.", "حالا فرمول فاصله را به کار می‌بریم: d = √((۷ - ۳)² + (۱ - ۴)²).", "محاسبه می‌کنیم: d = √((۴)² + (-۳)²) = √(۱۶ + ۹).", "سپس ادامه می‌دهیم: d = √۲۵ = ۵.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه نهم", "فصل ۳: استدلال و اثبات در هندسه", "شکل‌های متشابه (۲)", "قضیه فیثاغورس"], {"steps": ["طبق قضیه فیثاغورس داریم: AC² + BC² = AB².", "طول AC را به توان ۲ می‌رسانیم: ۶² = ۳۶.", "طول BC را به توان ۲ می‌رسانیم: ۸² = ۶۴.", "حالا جمع این دو مقدار را محاسبه می‌کنیم: ۳۶ + ۶۴ = ۱۰۰.", "برای پیدا کردن طول AB، ریشه‌ی ۱۰۰ را محاسبه می‌کنیم: √۱۰۰ = ۱۰.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه نهم", "فصل ۴: توان و ریشه", "توان صحیح (۱)", "محاسبه توان منفی"], {"example": "عدد ۵ به توان منفی ۲ را به صورت عددی با توان مثبت بنویسید.", "steps": ["۵⁻۲ = ۱ / ۵² = ۱ / ۲۵", "✅ جواب: ۱/۲۵"]}], [["پایه نهم", "فصل ۴: توان و ریشه", "توان صحیح (۱)", "ساده‌سازی عبارات توان‌دار"], {"steps": ["ابتدا قوانین توان‌ها را به کار می‌بریم. ۲³ × ۲² برابر است با ۲⁽۳+۲) که می‌شود ۲⁵.", "سپس عبارت را به شکل ۲⁵ ÷ ۲⁴ می‌نویسیم.", "با استفاده از قوانین توان‌ها، ۲⁵ ÷ ۲⁴ برابر است با ۲⁽۵-۴) که می‌شود ۲¹.", "در نهایت، ۲¹ برابر است با ۲.", "✅ جواب: ۲"]}], [["پایه نهم", "فصل ۴: توان و ریشه", "توان صحیح (۱)", "توان منفی"], {"intro": "برای هر عدد a و توان منفی n، داریم: a⁻ⁿ = ۱/aⁿ"}], [["پایه نهم", "فصل ۴: توان و ریشه", "نماد علمی", "محاسبه توان"], {"example": "عدد ۰٫۰۰۰۰۶۱ را به صورت عدد اعشاری با توان منفی بنویسید.", "steps": ["عدد ۰٫۰۰۰۰۶۱ را به صورت ۶٫۱ × ۱۰⁻⁵ می‌نویسیم، زیرا با جابه‌جایی اعشار ۵ رقم به سمت راست، عدد به ۶٫۱ تبدیل می‌شود.", "بنابراین، نمایش عدد ۰٫۰۰۰۰۶۱ به صورت عدد اعشاری با توان منفی برابر است با ۶٫۱ × ۱۰⁻⁵.", "✅ جواب: ۶٫۱ × ۱۰⁻⁵"]}], [["پایه نهم", "فصل ۴: توان و ریشه", "نماد علمی", "نمایش عدد به صورت نماد علمی"], {"example": "عدد ۲۴۵۰۰۰۰ را به صورت نماد علمی نمایش دهید.", "steps": ["ابتدا عدد ۲۴۵۰۰۰۰ را به صورت ۲٫۴۵ × ۱۰⁶ می‌نویسیم، زیرا با جابه‌جایی اعشار ۶ رقم به سمت چپ، عدد به ۲٫۴۵ تبدیل می‌شود.", "بنابراین، نماد علمی عدد ۲۴۵۰۰۰۰ برابر است با ۲٫۴۵ × ۱۰⁶.", "✅ جواب: ۲٫۴۵ × ۱۰⁶"]}], [["پایه نهم", "فصل ۴: توان و ریشه", "ریشه‌گیری (۱)", "محاسبه ریشه دوم و سوم"], {"steps": ["عدد ۲۷ را شناسایی می‌کنیم.", "برای پیدا کردن ریشه سوم، عددی را جستجو می‌کنیم که مکعب آن برابر ۲۷ باشد.", "عدد ۳ را انتخاب می‌کنیم و محاسبه می‌کنیم: ۳ × ۳ × ۳ = ۲۷.", "پس ریشه سوم عدد ۲۷ برابر ۳ است.", "✅ جواب: ۳"]}], [["پایه نهم", "فصل ۴: توان و ریشه", "ریشه‌گیری (۱)", "محاسبه جمع ریشه‌ها"], {"example": "محاسبه جمع ریشه‌های معادله ۲x² - ۸x + ۶ = ۰ را انجام دهید.", "steps": ["برای محاسبه ریشه‌ها از فرمول ریشه‌های معادله درجه دوم استفاده می‌کنیم: x = (-b ± √(b² - ۴ac)) / ۲a.", "در اینجا a = ۲، b = -۸ و c = ۶ است. ابتدا b² - ۴ac را محاسبه می‌کنیم: (-۸)² - ۴ × ۲ × ۶ = ۶۴ - ۴۸ = ۱۶.", "سپس ریشه‌ها را محاسبه می‌کنیم: x1 = (۸ + √۱۶) / (۲ × ۲) و x2 = (۸ - √۱۶) / (۲ × ۲).", "این محاسبات را انجام می‌دهیم: x1 = (۸ + ۴) / ۴ = ۱۲ / ۴ = ۳ و x2 = (۸ - ۴) / ۴ = ۴ / ۴ = ۱.", "حال جمع ریشه‌ها را محاسبه می‌کنیم: ۳ + ۱ = ۴.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه نهم", "فصل ۴: توان و ریشه", "ریشه‌گیری (۲)", "ضرب و تقسیم رادیکال‌ها"], {"intro": "برای ضرب رادیکال‌ها: اگر √a و √b دو رادیکال باشند، آنگاه √a × √b = √ab. برای تقسیم رادیکال‌ها: اگر √a و √b دو رادیکال باشند و b ≠ ۰، آنگاه (√a)/(√b) = √(a/b).", "steps": ["ابتدا رادیکال‌ها را در هم ضرب می‌کنیم: √۳ × √۱۲ = √(۳ × ۱۲) = √۳۶.", "سپس نتیجه را محاسبه می‌کنیم: √۳۶ = ۶.", "حالا ۶ را بر رادیکال ۴ تقسیم می‌کنیم: ۶ ÷ √۴ = ۶ ÷ ۲.", "نتیجه نهایی را محاسبه می‌کنیم: ۶ ÷ ۲ = ۳.", "✅ جواب: ۳"]}], [["پایه نهم", "فصل ۴: توان و ریشه", "ریشه‌گیری (۲)", "ساده‌سازی عبارات رادیکالی"], {"example": "ساده‌سازی عبارت √(۵۰) + √(۱۸) را انجام دهید.", "steps": ["√(۵۰) را به صورت √(۲۵ × ۲) بنویسید و محاسبه کنید: √(۲۵) = ۵، پس √(۵۰) = ۵√۲.", "√(۱۸) را به صورت √(۹ × ۲) بنویسید و محاسبه کنید: √(۹) = ۳، پس √(۱۸) = ۳√۲.", "حالا عبارت را ترکیب می‌کنیم: ۵√۲ + ۳√۲ = (۵ + ۳)√۲ = ۸√۲.", "✅ جواب: ۸√۲"]}], [["پایه نهم", "فصل ۴: توان و ریشه", "جمع و تفریق رادیکال‌ها (۱)", "جمع و تفریق رادیکال‌ها"], {"example": "اگر قسمت رادیکالی دو عبارت پس از ساده کردن کاملاً یکسان باشد، می‌توان آنها را با هم جمع یا تفریق کرد؛ مثلاً دو عبارت ۳√۷ و ۷√۷ دارای قسمت‌های رادیکالی یکسان هستند. جمع آنها را بیابید.", "steps": ["جمع: ۳√۷ + ۷√۷ = (۳ + ۷)√۷ = ۱۰√۷", "✅ جواب: ۱۰√۷"]}], [["پایه نهم", "فصل ۴: توان و ریشه", "جمع و تفریق رادیکال‌ها (۱)", "ساده‌سازی عبارات رادیکالی"], {"example": "قسمت‌های رادیکالی عبارات ۷√۵ و ۳√۷ یا عبارات ۷√۲ و ۳√۶ یکسان نیستند. آیا می‌توان آنها را جمع یا تفریق کرد؟"}], [["پایه نهم", "فصل ۴: توان و ریشه", "جمع و تفریق رادیکال‌ها (۲)", "محاسبه محیط و مساحت مربع"], {"intro": "۱. محیط مربع برابر است با ۴ × طول ضلع.\n۲. مساحت مربع برابر است با طول ضلع²."}], [["پایه نهم", "فصل ۴: توان و ریشه", "جمع و تفریق رادیکال‌ها (۲)", "نوشتن عدد مناسب"], {"example": "عدد مناسب را پیدا کنید که معادله ۳x + ۵ = ۲۰ را درست کند.", "steps": ["ابتدا ۵ را از دو طرف معادله کم می کنیم: ۳x + ۵ - ۵ = ۲۰ - ۵.", "حاصل را ساده می کنیم: ۳x = ۱۵.", "حالا هر دو طرف معادله را بر ۳ تقسیم می کنیم: ۳x ÷ ۳ = ۱۵ ÷ ۳.", "حاصل را محاسبه می کنیم: x = ۵.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه نهم", "فصل ۵: عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری و مفهوم اتحاد (۱)", "تشخیص تک جمله‌ای"], {"example": "حاصل عبارت (۲/۳ x⁷ y)³ × (۲/۳)³ (x³)³ y³ را بیابید.", "steps": ["ضرب ضرایب عددی: (۲/۳)³ × (۲/۳)³ = (۲/۳)⁶", "ضرب توان‌های x: (x⁷)³ × (x³)³ = x²¹ × x⁹ = x³⁰", "ضرب توان‌های y: y³ × y³ = y⁶", "نتیجه: (۲/۳)⁶ x³⁰ y⁶", "✅ جواب: (۲/۳)⁶ x³⁰ y⁶"]}], [["پایه نهم", "فصل ۵: عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری و مفهوم اتحاد (۱)", "محاسبه و تکمیل جدول"], {"steps": ["مقدار x را جایگذاری می‌کنیم: ۲ × ۳ + ۵.", "محاسبه می‌کنیم: ۶ + ۵.", "نتیجه نهایی را به دست می‌آوریم: ۱۱.", "✅ جواب: ۱۱"]}], [["پایه نهم", "فصل ۵: عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری و مفهوم اتحاد (۲)", "اتحاد مربع دو جمله‌ای"], {"intro": "برای محاسبه مربع دو جمله‌ای (a+b) یا (a-b)، از اتحادهای (a+b)² = a² + ۲ab + b² و (a-b)² = a² - ۲ab + b² استفاده کنید."}], [["پایه نهم", "فصل ۵: عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری و مفهوم اتحاد (۳)", "ساده‌سازی عبارت‌های جبری"], {"example": "عبارت جبری ۳x²y - ۵xy + ۲x²y - ۴xy را ساده کنید.", "steps": ["ابتدا ضرایب مشابه x²y را با هم جمع می‌کنیم: ۳x²y + ۲x²y = ۵x²y.", "سپس ضرایب مشابه xy را با هم جمع می‌کنیم: -۵xy - ۴xy = -۹xy.", "حالا عبارت را ترکیب می‌کنیم: ۵x²y - ۹xy.", "✅ جواب: ۵x²y - ۹xy"]}], [["پایه نهم", "فصل ۵: عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری و مفهوم اتحاد (۳)", "تجزیه عبارت‌های جبری"], {"example": "عبارت ۶x² + ۹x را تجزیه کنید.", "steps": ["عامل مشترک ۳x را پیدا می‌کنیم.", "عبارت را به صورت ۳x(۲x + ۳) می‌نویسیم.", "عبارت ۲x + ۳ دیگر قابل تجزیه نیست.", "✅ جواب: ۳x(۲x + ۳)"]}], [["پایه نهم", "فصل ۵: عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری و مفهوم اتحاد (۳)", "رابطه فیثاغورس"], {"steps": ["طول وتر را با استفاده از رابطه فیثاغورس محاسبه می‌کنیم: a² = b² + c².", "در اینجا b = ۶ و c = ۸ است. پس: a² = ۶² + ۸².", "محاسبه می‌کنیم: a² = ۳۶ + ۶۴.", "بنابراین: a² = ۱۰۰.", "برای یافتن a، از ریشه‌گیری استفاده می‌کنیم: a = √۱۰۰.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه نهم", "فصل ۵: عبارت‌های جبری", "چند اتحاد دیگر، تجزیه و کاربردها (۱)", "محاسبه حاصل ضرب عبارت‌های جبری"], {"example": "حاصل عبارت (x - ۲y + ۵)(x + ۲y - ۵) را به دست آورید.", "steps": ["عبارت به شکل (x - (۲y - ۵))(x + (۲y - ۵)) است که به صورت (a - b)(a + b) می‌باشد.", "با استفاده از اتحاد مزدوج داریم:", "(x - ۲y + ۵)(x + ۲y - ۵) = x² - (۲y - ۵)²", "= x² - (۴y² - ۲۰y + ۲۵)", "= x² - ۴y² + ۲۰y - ۲۵", "✅ جواب: x² − ۴y² + ۲۰y − ۲۵"]}], [["پایه نهم", "فصل ۵: عبارت‌های جبری", "چند اتحاد دیگر، تجزیه و کاربردها (۱)", "استفاده از اتحاد مزدوج"], {"example": "عبارت (۳x + ۵)(۳x - ۵) را ساده کنید.", "steps": ["شناسایی می‌کنیم که عبارت به فرم اتحاد مزدوج است: a = ۳x و b = ۵.", "با استفاده از فرمول اتحاد مزدوج، داریم: (۳x + ۵)(۳x - ۵) = (۳x)² - (۵)².", "محاسبه می‌کنیم: (۳x)² = ۹x² و (۵)² = ۲۵.", "بنابراین، عبارت ساده شده می‌شود: ۹x² - ۲۵.", "✅ جواب: ۹x² - ۲۵"]}], [["پایه نهم", "فصل ۵: عبارت‌های جبری", "چند اتحاد دیگر، تجزیه و کاربردها (۱)", "اتحاد مزدوج"], {"example": "محسن قصد دارد عبارت جبری ۴x² - (۷ - ۳y)² را تجزیه کند.", "steps": ["عبارت داده شده به شکل a² - b² است که a = ۲x و b = (۷ - ۳y) می‌باشد.", "با استفاده از اتحاد مزدوج داریم:", "۴x² - (۷ - ۳y)² = (۲x)² - (۷ - ۳y)² = (۲x - (۷ - ۳y))(۲x + (۷ - ۳y))", "= (۲x - ۷ + ۳y)(۲x + ۷ - ۳y)", "✅ جواب: (۲x − ۷ + ۳y)(۲x + ۷ − ۳y)"]}], [["پایه نهم", "فصل ۵: عبارت‌های جبری", "نابرابری‌ها و نامعادله‌ها (۱)", "نامساوی‌های جبری"], {"example": "حل نامساوی ۳x - ۵ < ۴x + ۲ را پیدا کنید.", "steps": ["ابتدا ۳x را از طرف چپ به طرف راست منتقل می‌کنیم: -۵ < ۴x - ۳x + ۲", "سپس ۳x را از طرف راست کم می‌کنیم: -۵ < x + ۲", "حالا ۲ را از طرف راست کم می‌کنیم: -۵ - ۲ < x", "نتیجه می‌شود: -۷ < x، که به معنی x > -۷ است.", "✅ جواب: x > -۷"]}], [["پایه نهم", "فصل ۵: عبارت‌های جبری", "نابرابری‌ها و نامعادله‌ها (۱)", "نوشتن نابرابری"], {"example": "اگر a + b > ۰ آنگاه a و b هر دو مثبت‌اند. آیا این عبارت درست است؟", "steps": ["اگر a + b > ۰ باشد، این به معنی آن است که مجموع دو عدد a و b مثبت است.", "اما این لزوماً به معنای مثبت بودن هر دو عدد نیست؛", "زیرا ممکن است یکی از اعداد منفی و دیگری مثبت باشد به گونه‌ای که مجموع آنها مثبت شود.", "بنابراین این عبارت نادرست است.", "✅ جواب: نادرست"]}], [["پایه نهم", "فصل ۵: عبارت‌های جبری", "نابرابری‌ها و نامعادله‌ها (۱)", "اضافه کردن اعداد به نابرابری"], {"example": "اگر x < ۵ باشد، ۳ را به هر دو طرف نابرابری اضافه کنید. نابرابری جدید را پیدا کنید.", "steps": ["نابرابری اولیه را می‌نویسیم: x < ۵.", "۳ را به هر دو طرف نابرابری اضافه می‌کنیم: x + ۳ < ۵ + ۳.", "محاسبه می‌کنیم: x + ۳ < ۸.", "✅ جواب: x + ۳ < ۸"]}], [["پایه نهم", "فصل ۵: عبارت‌های جبری", "نابرابری‌ها و نامعادله‌ها (۲)", "حل نامعادله"], {"example": "نامعادله ۷ > ۲x + ۱ را در نظر بگیرید. این نامعادله شامل متغیر x است و درجه نسبت به x برابر ۱ است. آیا در هر حالت نامعادله برقرار است؟", "steps": ["نامعادله را بنویسیم: ۷ > ۲x + ۱", "دو طرف نامعادله را ابتدا ۱ کم می‌کنیم: ۷ - ۱ > ۲x → ۶ > ۲x", "دو طرف را بر ۲ تقسیم می‌کنیم (عدد مثبت است، علامت نامعادله تغییر نمی‌کند): ۶/۲ > x → ۳ > x", "نتیجه می‌شود x < ۳", "مجموعه جواب نامعادله همه اعداد حقیقی کمتر از ۳ است، یعنی D = {x ∈ ℝ | x < ۳}.", "✅ جواب: نه، فقط برای x<۳ برقرار است."]}], [["پایه نهم", "فصل ۶: خط و معادله‌های خطی", "معادلهٔ خط (۱)", "رابطه بین طول ضلع و محیط مربع"], {"intro": "۱. طول ضلع مربع را با x نشان دهید.\n۲. محیط مربع برابر است با ۴ برابر طول ضلع.\n۳. معادله محیط را به صورت y = ۴x بنویسید.", "steps": ["طول ضلع مربع را با x نشان می‌دهیم که در اینجا x = ۵ است.", "محیط مربع برابر است با ۴ برابر طول ضلع، بنابراین محیط = ۴ × x.", "محیط = ۴ × ۵ = ۲۰ سانتی‌متر.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه نهم", "فصل ۶: خط و معادله‌های خطی", "معادلهٔ خط (۱)", "رابطه بین طول ضلع و مساحت مربع"], {"steps": ["طول ضلع مربع را x می‌گیریم.", "محیط مربع برابر است با ۴ برابر طول ضلع، یعنی y = ۴x.", "پس رابطه بین x و y به صورت y = ۴x است.", "✅ جواب: y = ۴x"]}], [["پایه نهم", "فصل ۶: خط و معادله‌های خطی", "معادلهٔ خط (۱)", "تعداد پاسخ‌های معادله خطی"], {"intro": "۱. معادله را به صورت x + y = ۱ بنویسید.\n۲. مقادیر مختلف برای x و y پیدا کنید که معادله را ارضا کنند.\n۳. بررسی کنید که آیا معادله تساوی است یا اتحاد.", "example": "معادله ۰ = x + y چند پاسخ دارد؟ پنج پاسخ آن را به صورت زیر بنویسید:\n{x=۱, y=}\n{x=۲, y=}\n{x=, y=۳}\n{x=, y=۴}\n{x=, y=۰}\nتوضیح دهید چگونه پاسخ‌های مختلف این معادله را می‌توان پیدا کرد؟ آیا تساوی برای x=۲ و y=۵ برقرار است؟ توضیح دهید چرا این تساوی معادله است و اتحاد نیست؟", "steps": ["معادله داده شده: x + y = ۰", "برای یافتن پاسخ‌ها:", "وقتی x=۱، y باید برابر -۱ باشد تا معادله برقرار شود.", "وقتی x=۲، y باید برابر -۲ باشد.", "وقتی y=۳، x باید برابر -۳ باشد.", "✅ جواب: معادله x+y=۰ بی‌نهایت جواب دارد. پنج نمونه: (۱,-۱), (۲,-۲), (-۳,۳), (-۴,۴), (۰,۰). برای (۲,۵): ۷≠۰، جواب نیست. این معادله است نه اتحاد."]}], [["پایه نهم", "فصل ۶: خط و معادله‌های خطی", "معادلهٔ خط (۲)", "رسم نمودار خطی"], {"example": "نمودار خط y = ۲x + ۱ را رسم کنید و دو نقطه‌ی آن را بنویسید.", "steps": ["معادله از قبل به شکل y = mx + b است: m = ۲ و b = ۱.", "عرض از مبدأ b = ۱ است، پس نقطه‌ی (۰, ۱) روی محور y علامت می‌خورد.", "شیب ۲ یعنی با هر ۱ واحد حرکت به راست، ۲ واحد بالا می‌رویم: از (۰, ۱) به (۱, ۳) می‌رسیم.", "این دو نقطه را به هم وصل می‌کنیم و خط را از دو طرف ادامه می‌دهیم.", "✅ جواب: خط از نقطه‌های (۰, ۱) و (۱, ۳) می‌گذرد."]}], [["پایه نهم", "فصل ۶: خط و معادله‌های خطی", "معادلهٔ خط (۲)", "بررسی گذر خط از مبدأ مختصات"], {"intro": "۱. معادله خطی را به فرم y = ax بنویسید.\n۲. بررسی کنید که آیا b = ۰ است یا خیر.\n۳. اگر b = ۰ باشد، خط از مبدأ مختصات می‌گذرد.", "example": "معادله خطی y = ۳x است. بررسی کنید که آیا این خط از مبدأ مختصات می‌گذرد یا خیر.", "steps": ["معادله خطی را بررسی می‌کنیم: y = ۳x.", "در این معادله، b برابر با ۰ است.", "چون b = ۰ است، خط از مبدأ مختصات می‌گذرد.", "✅ جواب: بله"]}], [["پایه نهم", "فصل ۶: خط و معادله‌های خطی", "معادلهٔ خط (۲)", "یافتن مختصات نقطه روی خط"], {"example": "معادله خطی به صورت y = ۲x + ۳ داده شده است. مختصات نقطه‌ای را پیدا کنید که در آن x برابر با ۴ باشد.", "steps": ["معادله خط را داریم: y = ۲x + ۳.", "مقدار x را جایگذاری می‌کنیم: y = ۲(۴) + ۳.", "محاسبه می‌کنیم: y = ۸ + ۳.", "نتیجه می‌شود: y = ۱۱.", "✅ جواب: (۴, ۱۱)"]}], [["پایه نهم", "فصل ۶: خط و معادله‌های خطی", "شیب خط و عرض از مبدأ (۲)", "یافتن نقطه برخورد دو خط"], {"example": "دو خط y = ۲x + ۱ و y = -x + ۴ را در نظر بگیرید. نقطه برخورد این دو خط را پیدا کنید.", "steps": ["معادله اول را برابر معادله دوم قرار می‌دهیم: ۲x + ۱ = -x + ۴.", "با جمع کردن x ها، داریم: ۳x + ۱ = ۴.", "حالا ۱ را از دو طرف کم می‌کنیم: ۳x = ۳.", "با تقسیم بر ۳، مقدار x را پیدا می‌کنیم: x = ۱.", "حالا مقدار x را در یکی از معادلات جایگذاری می‌کنیم: y = ۲(۱) + ۱ = ۳.", "✅ جواب: (۱, ۳)"]}], [["پایه نهم", "فصل ۶: خط و معادله‌های خطی", "شیب خط و عرض از مبدأ (۲)", "نوشتن معادله خط موازی با محور"], {"example": "معادله خطی را بنویسید که:\nالف) شیب آن ۲ و عرض از مبدأ آن ۱- باشد.\nب) شیب آن ۱/۲ باشد و محور عرض‌ها را در نقطه‌ای به عرض ۳ قطع کند.", "steps": ["الف) معادله خط: y = ۲x - ۱", "ب) معادله خط: y = (۱/۲)x + b", "برای پیدا کردن b چون خط محور عرض‌ها را در عرض ۳ قطع می‌کند، یعنی وقتی x=۰، y=۳ پس b=۳", "معادله خط: y = (۱/۲)x + ۳", "✅ جواب: الف) y=۲x-۱ ب) y=۰٫۵x+۳"]}], [["پایه نهم", "فصل ۷: عبارت‌های گویا", "معرفی و ساده کردن عبارت‌های گویا (۱)", "نسبت و تناسب در عبارت‌های گویا"], {"example": "در یک کلاس، نسبت تعداد پسران به دختران ۳ به ۵ است. اگر تعداد پسران ۱۲ نفر باشد، تعداد دختران را پیدا کنید.", "steps": ["نسبت تعداد پسران به دختران برابر با ۳ به ۵ است.", "اگر تعداد پسران ۱۲ نفر باشد، می‌توانیم نسبت دختران را به صورت ۵x بنویسیم.", "با توجه به نسبت، ۳x = ۱۲ را تنظیم می‌کنیم.", "با تقسیم ۱۲ بر ۳، مقدار x را پیدا می‌کنیم: x = ۴.", "حالا تعداد دختران را محاسبه می‌کنیم: ۵x = ۵ × ۴ = ۲۰.", "✅ جواب: ۲۰"]}], [["پایه نهم", "فصل ۷: عبارت‌های گویا", "معرفی و ساده کردن عبارت‌های گویا (۲)", "ساده‌سازی حاصل عبارت"], {"example": "ساده‌سازی کسر ۲x² - ۸ ÷ ۲x - ۴ را انجام دهید.", "steps": ["صورت کسر را تجزیه می‌کنیم: ۲(x² - ۴) = ۲(x - ۲)(x + ۲).", "مخرج کسر را نیز تجزیه می‌کنیم: ۲(x - ۲).", "حالا کسر را می‌نویسیم: (۲(x - ۲)(x + ۲)) ÷ (۲(x - ۲)).", "عوامل مشترک ۲ و (x - ۲) را حذف می‌کنیم.", "عبارت ساده شده برابر است با (x + ۲).", "✅ جواب: x + ۲"]}], [["پایه نهم", "فصل ۷: عبارت‌های گویا", "معرفی و ساده کردن عبارت‌های گویا (۲)", "تشخیص عبارت‌های معادل"], {"example": "آیا عبارت ۳(x + ۲) و ۳x + ۶ معادل هستند؟", "steps": ["عبارت اول را ساده می‌کنیم: ۳(x + ۲) = ۳x + ۶.", "عبارت دوم را بررسی می‌کنیم: ۳x + ۶.", "حالا هر دو عبارت را مقایسه می‌کنیم: ۳x + ۶ برابر با ۳x + ۶ است.", "✅ جواب: بله"]}], [["پایه نهم", "فصل ۷: عبارت‌های گویا", "معرفی و ساده کردن عبارت‌های گویا (۲)", "جایگذاری عبارت‌های گویا"], {"example": "اگر a = ۳ و b = ۴ باشد، مقدار عبارت (۲a + ۳b) را پیدا کنید.", "steps": ["ابتدا مقدار a و b را در عبارت جایگذاری می‌کنیم: (۲×۳ + ۳×۴)", "محاسبه می‌کنیم: ۲×۳ = ۶ و ۳×۴ = ۱۲", "حالا ۶ و ۱۲ را با هم جمع می‌کنیم: ۶ + ۱۲ = ۱۸", "✅ جواب: ۱۸"]}], [["پایه نهم", "فصل ۷: عبارت‌های گویا", "محاسبات عبارت‌های گویا (۱)", "جمع و تفریق عبارت‌های گویا"], {"example": "جمع دو عبارت گویا را محاسبه کنید:\nالف) (۳x + ۷) / (x + ۲) + (۲x - ۳) / (x + ۲)", "steps": ["مخرج‌ها مشابه هستند (x + ۲).", "صورت‌ها را جمع می‌کنیم: (۳x + ۷) + (۲x - ۳) = ۳x + ۷ + ۲x - ۳ = ۵x + ۴", "مخرج را ثابت نگه می‌داریم: (x + ۲)", "نتیجه نهایی: (۵x + ۴) / (x + ۲)", "✅ جواب: ۵x + ۴ / (x + ۲)"]}], [["پایه نهم", "فصل ۷: عبارت‌های گویا", "محاسبات عبارت‌های گویا (۳)", "محاسبه حاصل عبارت‌های گویا"], {"example": "اگر a = ۳ و b = ۴ باشد، مقدار عبارت (۲a + ۳b) را محاسبه کنید.", "steps": ["ابتدا مقدار a را در عبارت جایگذاری می‌کنیم: ۲ × ۳ + ۳b.", "سپس مقدار b را در عبارت جایگذاری می‌کنیم: ۲ × ۳ + ۳ × ۴.", "حساب می‌کنیم: ۶ + ۱۲.", "حاصل را جمع می‌زنیم: ۶ + ۱۲ = ۱۸.", "✅ جواب: ۱۸"]}], [["پایه نهم", "فصل ۷: عبارت‌های گویا", "تقسیم چندجمله‌ای‌ها", "تقسیم چند جمله‌ای بر تک جمله‌ای"], {"example": "تقسیم چند جمله‌ای ۱۵x² + ۹x - ۳ بر ۳.", "steps": ["۱۵x² ÷ ۳ = ۵x²", "۹x ÷ ۳ = ۳x", "-۳ ÷ ۳ = -۱", "نتیجه نهایی: ۵x² + ۳x - ۱.", "✅ جواب: ۵x² + ۳x - ۱"]}], [["پایه نهم", "فصل ۸: حجم و مساحت", "حجم و مساحت کره", "محاسبه حجم کره و استوانه"], {"intro": "۱. فرمول حجم کره: V = ۴/۳ π R³\n۲. فرمول حجم استوانه: V = π R² h\n۳. جایگذاری مقادیر داده شده در فرمول مناسب.\n۴. محاسبه و ساده‌سازی نتیجه.", "steps": ["الف) شعاع کره برابر نصف قطر قاعده است، یعنی r = ۵ سانتی‌متر.", "حجم کره: V_کره = (۴/۳)πr³ = (۴/۳)π(۵)³ = (۴/۳)π۱۲۵ = (۵۰۰/۳)π سانتی‌متر مکعب.", "ب) شعاع قاعده استوانه r = ۵ سانتی‌متر و ارتفاع h = ۱۰ سانتی‌متر.", "حجم استوانه: V_استوانه = πr²h = π(۵)²(۱۰) = π(۲۵)(۱۰) = ۲۵۰π سانتی‌متر مکعب.", "ج) حجم فضای بین کره و استوانه برابر است با حجم استوانه منهای حجم کره:", "✅ جواب: V_کره=۵۰۰π/۳، V_استوانه=۲۵۰π، V_فضا=۲۵۰π/۳، V_نیم‌کره=۲۰۰۰π/۳"]}], [["پایه نهم", "فصل ۸: حجم و مساحت", "حجم و مساحت کره", "محاسبه مساحت سطح کره"], {"steps": ["شعاع نیم‌کره R = ۱۰ سانتی‌متر است.", "مساحت سطح کروی نیم‌کره چوبی توپر ۲πR² = ۲ × π × ۱۰² = ۲۰۰π سانتی‌متر مربع است.", "مساحت کل سطح نیم‌کره چوبی توپر (شامل قاعده) ۳πR² = ۳ × π × ۱۰۰ = ۳۰۰π سانتی‌متر مربع است.", "مساحت رویه عرق‌چین نیز ۲۰۰π سانتی‌متر مربع است.", "تفاوت در این است که مساحت کل نیم‌کره چوبی شامل قاعده دایره‌ای نیز می‌شود، ولی مساحت رویه عرق‌چین فقط سطح کروی نیم‌کره است.", "✅ جواب: مساحت کل نیم‌کره توپر ۳۰۰π=۹۴۲٫۵ سانتی‌متر مربع است؛ رویه عرق‌چین فقط ۲۰۰π است."]}], [["پایه نهم", "فصل ۸: حجم و مساحت", "حجم هرم و مخروط", "محاسبه حجم و مساحت هرم"], {"intro": "۱. محاسبه مساحت قاعده هرم.\n۲. محاسبه مساحت جانبی با استفاده از مساحت مثلث‌های جانبی.\n۳. استفاده از فرمول حجم هرم: V = (۱/۳) × مساحت قاعده × ارتفاع."}], [["پایه نهم", "فصل ۸: حجم و مساحت", "حجم هرم و مخروط", "حجم مخروط"], {"intro": "برای محاسبه حجم مخروط از فرمول V = (۱/۳) * π * R² * h استفاده می‌کنیم. در این فرمول R شعاع قاعده و h ارتفاع مخروط است."}], [["پایه نهم", "فصل ۸: حجم و مساحت", "سطح و حجم (۲)", "نمایش سه‌بعدی"], {"steps": ["حجم مکعب با فرمول V = a³ محاسبه می‌شود که در آن a طول ضلع مکعب است.", "طول ضلع مکعب برابر ۴ سانتی‌متر است.", "حجم را محاسبه می‌کنیم: V = ۴³ = ۴ × ۴ × ۴ = ۶۴ سانتی‌متر مکعب.", "✅ جواب: ۶۴"]}], [["پایه نهم", "فصل ۸: حجم و مساحت", "سطح و حجم (۲)", "حجم کره"], {"intro": "۱. شعاع کره را مشخص کنید.\n۲. فرمول حجم کره را بنویسید: V = ۴/۳πr³.\n۳. کسر مورد نظر را از حجم کل کم کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "مجموعه‌های متناهی و نامتناهی (۱)", "تشخیص اعضای مجموعه"], {"example": "فرض کنید A مجموعه اعداد طبیعی کمتر از ۴ و B مجموعه اعداد صحیح کمتر از ۴ باشد.\nالف) این دو مجموعه را با نمایش اعضای آنها مشخص کنید.\nب) چند عضو دارد A؟\nپ) درباره تعداد اعضای B چه می‌توان گفت؟", "steps": ["الف) A = {۱, ۲, ۳} (اعداد طبیعی کمتر از ۴)", "B = {..., -۳, -۲, -۱, ۰, ۱, ۲, ۳} (اعداد صحیح کمتر از ۴)", "ب) مجموعه A دارای ۳ عضو است.", "پ) مجموعه B نامتناهی است زیرا شامل همه اعداد صحیح کمتر از ۴ است و تعداد اعضای آن نامحدود است.", "✅ جواب: A = {۱,۲,۳}, B = {..., -۳,-۲,-۱,۰,۱,۲,۳} نامتناهی"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "مجموعه‌های متناهی و نامتناهی (۲)", "عملیات روی مجموعه‌ها"], {"example": "مجموعه A = {۱, ۲, ۳, ۴} و مجموعه B = {۳, ۴, ۵, ۶} را در نظر بگیرید. اعضای اشتراک این دو مجموعه را پیدا کنید.", "steps": ["اعضای مشترک بین مجموعه A و B را بررسی می‌کنیم.", "اعضای مجموعه A: ۱، ۲، ۳، ۴ و اعضای مجموعه B: ۳، ۴، ۵، ۶ هستند.", "اعضای مشترک: ۳ و ۴ را پیدا می‌کنیم.", "پس، A ∩ B = {۳, ۴}.", "✅ جواب: {۳, ۴}"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "مجموعه‌های متناهی و نامتناهی (۳)", "تشخیص مجموعه‌های مشابه و نامشابه"], {"example": "مجموعه A = {۲, ۴, ۶, ۸} و مجموعه B = {۴, ۶, ۸, ۱۰} را بررسی کنید. آیا این دو مجموعه مشابه هستند یا نامشابه؟", "steps": ["اعضای مجموعه A را بررسی می‌کنیم: ۲، ۴، ۶، ۸.", "اعضای مجموعه B را بررسی می‌کنیم: ۴، ۶، ۸، ۱۰.", "مقایسه می‌کنیم: عدد ۲ در مجموعه B وجود ندارد و عدد ۱۰ در مجموعه A وجود ندارد.", "از آنجا که اعضای دو مجموعه یکسان نیستند، نتیجه می‌گیریم که مجموعه‌ها نامشابه هستند.", "✅ جواب: نامشابه"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "متمم یک مجموعه (۱)", "نمایش مجموعه‌ها روی محور"], {"example": "در مورد مجموعه B = {x ∈ R | -۳ < x ≤ ۲} با فرض اینکه مجموعه مرجع R (اعداد حقیقی) باشد، مکمل B را مشخص کنید و آن را روی محور نمایش دهید.", "steps": ["مجموعه مرجع R شامل همه اعداد حقیقی است. مجموعه B شامل اعداد حقیقی بزرگ‌تر از -۳ و کوچکتر یا مساوی ۲ است.", "مکمل B شامل اعداد حقیقی است که در بازه (-۳, ۲] نیستند، یعنی اعداد حقیقی کمتر یا مساوی -۳ و بزرگ‌تر از ۲.", "روی محور عددی، بازه (-∞, -۳] و (۲, +∞) را به عنوان مکمل B نمایش می‌دهیم.", "✅ جواب: مکمل B = (-∞, -۳] ∪ (۲, ∞)"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "متمم یک مجموعه (۱)", "تشخیص مجموعه مرجع"], {"example": "اگر مجموعه مرجع Z (اعداد صحیح) باشد، مکمل مجموعه A = {x ∈ Z | -۳ < x ≤ ۲} را مشخص کنید.", "steps": ["مجموعه مرجع Z شامل همه اعداد صحیح است. مجموعه A شامل اعداد صحیح -۲, -۱, ۰, ۱, ۲ است.", "مکمل A نسبت به Z شامل همه اعداد صحیحی است که در A نیستند، یعنی همه اعداد صحیح به جز -۲, -۱, ۰, ۱, ۲.", "بنابراین A' = Z A = {..., -۵, -۴, -۳, ۳, ۴, ۵, ...}.", "✅ جواب: A' = {x ∈ Z | x ≤ -۳ یا x ≥ ۳}"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "متمم یک مجموعه (۱)", "عملیات روی مجموعه‌ها"], {"example": "مجموعه A = {۱, ۲, ۳, ۴} و مجموعه B = {۳, ۴, ۵, ۶} را در نظر بگیرید. اعضای مجموعه A ∩ B را پیدا کنید.", "steps": ["برای پیدا کردن A ∩ B، باید اعضای مشترک دو مجموعه A و B را مشخص کنیم.", "اعضای مجموعه A عبارتند از: ۱، ۲، ۳، ۴ و اعضای مجموعه B عبارتند از: ۳، ۴، ۵، ۶.", "اعضای مشترک بین دو مجموعه A و B عبارتند از: ۳ و ۴.", "بنابراین، A ∩ B = {۳, ۴}.", "✅ جواب: {۳, ۴}"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "متمم یک مجموعه (۱)", "نمایش مجموعه‌ها و اعضای آن"], {"example": "مجموعه‌های A و B را به صورت بازه یا مجموعه اعضا بنویسید:nA = x ∈ Z | -۳ < x ≤ ۲nB = x ∈ R | -۳ < x ≤ ۲", "steps": ["مجموعه A شامل اعداد صحیحی است که بزرگ‌تر از -۳ و کوچکتر یا مساوی ۲ باشند. اعضای آن عبارتند از: {-۲, -۱, ۰, ۱, ۲}.", "مجموعه B شامل اعداد حقیقی است که بزرگ‌تر از -۳ و کوچکتر یا مساوی ۲ باشند. به صورت بازه نوشته می‌شود: B = (-۳, ۲].", "✅ جواب: A = {-۲, -۱, ۰, ۱, ۲}, B = (-۳, ۲]"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "متمم یک مجموعه (۱)", "اجتماع مجموعه‌ها"], {"example": "مجموعه A = {۲, ۴, ۶, ۸} و مجموعه B = {۴, ۵, ۶, ۷} را در نظر بگیرید. اعضای مشترک و غیرمشترک را پیدا کنید و اجتماع این دو مجموعه را بنویسید.", "steps": ["اعضای مجموعه A عبارتند از ۲، ۴، ۶ و ۸ و اعضای مجموعه B عبارتند از ۴، ۵، ۶ و ۷.", "اعضای مشترک A و B عبارتند از ۴ و ۶.", "اعضای غیرمشترک A عبارتند از ۲ و ۸ و اعضای غیرمشترک B عبارتند از ۵ و ۷.", "حال، اجتماع مجموعه‌ها A ∪ B = {۲، ۴، ۵، ۶، ۷، ۸} را می‌نویسیم.", "تعداد اعضای مجموعه A برابر ۴ و تعداد اعضای مجموعه B برابر ۴ است و تعداد اعضای مشترک برابر ۲ است.", "✅ جواب: {۲، ۴، ۵، ۶، ۷، ۸}"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "الگو و دنباله (۱)", "یافتن رابطه دنباله"], {"example": "در یک دنباله، تعداد اجزای هر مرحله به صورت زیر است: در مرحله اول ۲ جزء، در مرحله دوم ۴ جزء، در مرحله سوم ۶ جزء و در مرحله چهارم ۸ جزء وجود دارد. رابطه بین شماره مرحله (n) و تعداد اجزا را بیابید.", "steps": ["تعداد اجزا در مرحله اول ۲ است، در مرحله دوم ۴، در مرحله سوم ۶ و در مرحله چهارم ۸. این نشان می‌دهد که تعداد اجزا در هر مرحله ۲ برابر شماره مرحله است.", "برای هر مرحله n، تعداد اجزا برابر با ۲n است.", "بنابراین، رابطه دنباله به صورت عبارت ۲n نوشته می‌شود.", "برای بررسی صحت رابطه، n=۱ را جایگذاری می‌کنیم: ۲*۱=۲، که درست است.", "سپس n=۲ را جایگذاری می‌کنیم: ۲*۲=۴، که درست است.", "✅ جواب: ۲n"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "الگو و دنباله (۱)", "الگوی خطی"], {"steps": ["فرض کنیم جمله عمومی به صورت Cₙ = an + b باشد.", "از داده‌ها داریم:", "C₄ = ۴a + b = ۱۷", "C₁₀ = ۱۰a + b = ۴۱", "معادلات را از هم کم می‌کنیم:", "(۱۰a + b) - (۴a + b) = ۴۱ - ۱۷ ۶a = ۲۴ a = ۴ جایگذاری a=۴ در یکی از معادلات: ۴*۴ + b = ۱۷ ۱۶ + b = ۱۷ b = ۱ بنابراین جمله عمومی الگو: Cₙ = ۴n + ۱ جملات الگو به صورت زیر خواهند بود: ۵, ۹, ۱۳, ۱۷, ۲۱, ۲۵, ۲۹, ۳۳, ۳۷, ۴۱, ۴۵, ...", "✅ جواب: Cₙ = ۴n + ۱"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "الگو و دنباله (۱)", "رسم و تکمیل جدول الگوهای خطی"], {"steps": ["در مرحله اول ۲ دایره داریم.", "در مرحله دوم ۴ دایره داریم.", "در مرحله سوم ۶ دایره داریم.", "مشاهده می‌کنیم که تعداد دایره‌ها در هر مرحله ۲ برابر شماره‌ی مرحله است.", "بنابراین، تعداد دایره‌ها در مرحله n ام برابر با ۲n است.", "✅ جواب: ۲n"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "الگو و دنباله (۱)", "رسم و تکمیل جدول الگوهای غیرخطی"], {"steps": ["تعداد عناصر در مرحله اول ۱ است.", "تعداد عناصر در مرحله دوم ۳ است.", "تعداد عناصر در مرحله سوم ۵ است.", "تعداد عناصر در مرحله چهارم ۷ است.", "الگوی تعداد عناصر را بررسی می‌کنیم: ۱، ۳، ۵، ۷ که نشان می‌دهد تعداد عناصر در مرحله nام برابر با ۲n - ۱ است.", "✅ جواب: ۲n - ۱"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "الگو و دنباله (۲)", "بررسی الگوهای هندسی و عددی"], {"steps": ["عدد اول ۳ است.", "عدد دوم برابر با ۲ برابر عدد اول است.", "بنابراین، عدد دوم = ۲ × ۳ = ۶.", "✅ جواب: ۶"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "الگو و دنباله (۲)", "تشخیص الگوی هندسی"], {"steps": ["در مرحله اول یک مثلث داریم.", "در مرحله دوم دو مثلث داریم.", "در مرحله سوم سه مثلث داریم.", "این الگو نشان می‌دهد که در مرحله n ام، تعداد مثلث‌ها برابر با n است.", "بنابراین در مرحله پنجم، تعداد مثلث‌ها برابر با ۵ خواهد بود.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "دنباله‌های حسابی و هندسی (۱)", "دنباله حسابی"], {"intro": "۱. مقدار جمله اول (t₁) و قدر نسبت (d) را مشخص کنید.\n۲. از فرمول جمله عمومی دنباله حسابی استفاده کنید: tₙ = t₁ + (n-۱)d.\n۳. مقدار n را جایگذاری کرده و tₙ را محاسبه کنید.\n۴. برای پیش‌بینی مقادیر آینده، از فرمول استفاده کنید یا جدول دنباله را تکمیل کنید.", "steps": ["مقدار جمله پنجم را با استفاده از فرمول tₙ = t₁ + (n-۱)d محاسبه می‌کنیم.", "n را برابر با ۵ قرار می‌دهیم: t₅ = ۵ + (۵-۱)×۳.", "محاسبه می‌کنیم: t₅ = ۵ + ۴×۳.", "محاسبه ۴×۳ برابر با ۱۲ است: t₅ = ۵ + ۱۲.", "حالا ۵ و ۱۲ را جمع می‌کنیم: t₅ = ۱۷.", "✅ جواب: ۱۷"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "دنباله‌های حسابی و هندسی (۱)", "پیش‌بینی دنباله حسابی"], {"intro": "۱. فرمول جمله عمومی دنباله حسابی را بنویسید: tₙ = t₁ + (n-۱)d.\n۲. مقدار t₁ و d را از دنباله داده‌شده پیدا کنید.\n۳. مقدار n موردنظر را جایگذاری کنید و tₙ را محاسبه کنید.\n۴. نتیجه را به‌عنوان پیش‌بینی ارائه دهید."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "دنباله‌های حسابی و هندسی (۱)", "هزینه تماس بر اساس دنباله حسابی"], {"intro": "۱. مقدار جمله اول (a) و قدر نسبت (d) را مشخص کنید.\n۲. از فرمول جمله عمومی دنباله حسابی استفاده کنید: aₙ = a + (n-۱)d.\n۳. مقدار n را جایگذاری کرده و هزینه تماس را محاسبه کنید.\n۴. جدول را با مقادیر محاسبه شده کامل کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "دنباله‌های حسابی و هندسی (۱)", "یافتن جمله عمومی دنباله حسابی"], {"intro": "۱. مقدار جمله اول (t₁) و قدر نسبت (d) را مشخص کنید.\n۲. از فرمول tₙ = t₁ + (n-۱)d استفاده کنید.\n۳. مقادیر داده‌شده را در فرمول جایگذاری کنید و tₙ را بیابید."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "دنباله‌های حسابی و هندسی (۱)", "تشکیل دنباله حسابی با شرایط داده‌شده"], {"intro": "۱. شرایط مسئله را بررسی کنید و جمله اول (t₁) و قدر نسبت (d) را تعیین کنید.\n۲. از فرمول tₙ = t₁ + (n-۱)d استفاده کنید تا جملات دنباله را بیابید.\n۳. جملات دنباله را در جدول یا به‌صورت لیست بنویسید."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "دنباله‌های حسابی و هندسی (۲)", "تشخیص دنباله حسابی و تعیین قدر نسبت"], {"intro": "۱. بررسی کنید که اختلاف بین جملات متوالی ثابت است یا خیر.\n۲. اگر اختلاف ثابت باشد، دنباله حسابی است و مقدار اختلاف همان قدر نسبت است.\n۳. برای یافتن جمله عمومی، از فرمول aₙ = a₁ + (n-۱)d استفاده کنید که در آن a₁ جمله اول و d قدر نسبت است.\n۴. برای یافتن جمله بعدی، مقدار قدر نسبت را به جمله قبلی اضافه کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "دنباله‌های حسابی و هندسی (۲)", "یافتن واسطه حسابی"], {"intro": "۱. برای یافتن واسطه حسابی بین دو عدد، میانگین آنها را محاسبه کنید.\n۲. فرمول میانگین: (a + b) / ۲ که در آن a و b دو عدد داده شده هستند.", "example": "بین ۱۸ و ۶۲ سه عدد قرار دهید که پنج عدد حاصل تشکیل دنباله حسابی بدهند. با فرض اینکه ۱۸ جمله اول باشد، قدر نسبت d را بیابید و جدول جملات را کامل کنید.", "steps": ["فرمول جمله پنجم: t₅ = t₁ + ۴d", "۶۲ = ۱۸ + ۴d", "۴d = ۶۲ - ۱۸ = ۴۴", "بنابراین d = ۱۱", "جملات دنباله:", "✅ جواب: d=۱۱, terms: ۱۸,۲۹,۴۰,۵۱,۶۲"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "دنباله‌های حسابی و هندسی (۲)", "تشکیل دنباله حسابی از تقسیم یک مقدار"], {"intro": "۱. مقدار کل را به تعداد مشخصی قسمت مساوی تقسیم کنید.\n۲. هر قسمت را به عنوان یک جمله از دنباله در نظر بگیرید.\n۳. جمله عمومی را با استفاده از فرمول دنباله حسابی تعیین کنید.\n۴. مجموع جملات را با استفاده از فرمول Sₙ = n/۲ × (a₁ + aₙ) محاسبه کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "دنباله‌های حسابی و هندسی (۲)", "دنباله هندسی"], {"intro": "۱. جمله اول دنباله را مشخص کنید.\n۲. قدر نسبت دنباله را با تقسیم هر جمله بر جمله قبلی محاسبه کنید.\n۳. فرمول کلی دنباله هندسی را به صورت tₙ = t₁ × rⁿ⁻¹ بنویسید.\n۴. مقدار جمله مورد نظر را با جایگذاری مقدار n در فرمول کلی محاسبه کنید.", "example": "در یک دنباله هندسی، جمله اول t₁ برابر با ۳ و قدر نسبت r برابر با ۲ است. مقدار جمله پنجم این دنباله را محاسبه کنید.", "steps": ["جمله اول دنباله t₁ برابر با ۳ است.", "قدر نسبت دنباله r برابر با ۲ است.", "فرمول کلی دنباله هندسی را می‌نویسیم: tₙ = t₁ × rⁿ⁻¹.", "برای محاسبه جمله پنجم، n را برابر با ۵ قرار می‌دهیم: t₅ = ۳ × ۲⁵⁻¹.", "محاسبه می‌کنیم: t₅ = ۳ × ۲⁴ = ۳ × ۱۶ = ۴۸.", "✅ جواب: ۴۸"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "دنباله‌های حسابی و هندسی (۲)", "محاسبه جمله‌های دنباله هندسی"], {"example": "در یک دنباله هندسی، جمله اول ۳ و نسبت مشترک ۲ است. جمله پنجم این دنباله را محاسبه کنید.", "steps": ["نسبت مشترک r برابر با ۲ است.", "فرمول جمله عمومی دنباله هندسی را به کار می‌بریم: tn = t1 * rⁿ⁻¹.", "جایگذاری مقادیر: t5 = ۳ * ۲⁵⁻¹.", "محاسبه: t5 = ۳ * ۲⁴.", "محاسبه: t5 = ۳ * ۱۶ = ۴۸.", "✅ جواب: ۴۸"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "فاصله و مکان نقاط", "تعیین نقاطی با فاصله مشخص از خطی داده شده"], {"example": "دو نقطه مانند A و B را به فاصله ۳ سانتی‌متر از هم در نظر بگیرید. نقاطی را بیابید که فاصله‌شان از A، ۲ سانتی‌متر و از B، ۲٫۵ سانتی‌متر باشد.", "steps": ["نقاط A و B را روی صفحه مختصات با فاصله ۳ سانتی‌متر از هم رسم کنید.", "دایره‌ای به مرکز A و شعاع ۲ سانتی‌متر رسم کنید.", "دایره‌ای به مرکز B و شعاع ۲٫۵ سانتی‌متر رسم کنید.", "نقاط تقاطع این دو دایره نقاطی هستند که فاصله‌شان از A برابر ۲ و از B برابر ۲٫۵ سانتی‌متر است.", "✅ جواب: دو نقطه تقاطع دو دایره"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "فاصله و مکان نقاط", "یافتن نقاط با شرایط فاصله‌ای مشخص"], {"intro": "۱. نقاط داده شده را روی صفحه مختصات مشخص کنید.\n۲. با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه، فاصله‌های داده شده را بررسی کنید.\n۳. معادلات مربوط به شرایط فاصله را بنویسید.\n۴. نقاطی را که شرایط فاصله را ارضا می‌کنند، پیدا کنید یا رسم کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "رسم مثلث و نیمساز", "رسم مثلث با اضلاع مشخص"], {"intro": "۱. یک ضلع مثلث را روی صفحه رسم کنید با طول داده شده.\n۲. با استفاده از پرگار، دایره‌هایی به شعاع اضلاع دیگر و مرکز دو سر ضلع رسم کنید.\n۳. نقطه تقاطع این دو دایره راس سوم مثلث است.\n۴. اضلاع مثلث را به هم وصل کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "رسم مثلث و نیمساز", "یافتن نقاط با نسبت فاصله مشخص"], {"intro": "۱. نقاط A و B را روی صفحه مختصات مشخص کنید.\n۲. معادله فاصله نقطه دلخواه از A و B را با توجه به نسبت داده شده بنویسید.\n۳. نقاطی را که این معادله را ارضا می‌کنند، پیدا کنید یا رسم کنید.\n۴. بررسی کنید که چند جواب برای مسئله وجود دارد."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "رسم مثلث و نیمساز", "بررسی و رسم نیمساز زاویه"], {"intro": "۱. زاویه داده شده را رسم کنید.\n۲. نقطه‌ای روی نیمساز زاویه فرض کنید.\n۳. ثابت کنید فاصله این نقطه از دو ضلع زاویه برابر است.\n۴. با رسم نیمساز زاویه، نقاطی که فاصله برابر از دو ضلع دارند مشخص می‌شوند."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "رسم مثلث و نیمساز", "رسم نیمساز زاویه و بررسی ویژگی‌های آن"], {"intro": "۱. زاویه xOy را رسم کنید. ۲. نقطه A را طوری قرار دهید که فاصله آن از نیم‌خط‌های Ox و Oy برابر باشد. ۳. پاره‌خط OA را رسم کنید. ۴. از نقطه A، دو خط عمود بر نیم‌خط‌های Ox و Oy رسم کنید. ۵. نشان دهید که پاره‌خط OA نیمساز زاویه xOy است. ۶. بررسی کنید که هر نقطه‌ای که فاصله‌اش از دو ضلع زاویه برابر باشد، روی نیمساز زاویه قرار دارد."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "رسم مثلث و نیمساز", "بررسی نسبت طول پاره‌خط‌ها و زاویه‌ها در مثلث‌های متشابه"], {"intro": "۱. نقاط A و B را روی نیم‌خط‌های Ox و Oy به ترتیب طوری قرار دهید که طول AB مشخص باشد. ۲. نقطه W را طوری قرار دهید که دو کمان مانند شکل در نقاط A و B رسم و در W همدیگر را قطع کنند. ۳. پاره‌خط‌های AW و BW را رسم کنید. ۴. بررسی کنید که مثلث‌های OAW و OBW متشابه هستند و نسبت طول پاره‌خط‌ها را بیابید. ۵. اندازه زاویه‌های AOW و BOW را با توجه به متشابه بودن مثلث‌ها مقایسه کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "رسم مثلث و نیمساز", "تشخیص و ترسیم نقطه روی عمودمنصف یک پاره‌خط"], {"intro": "۱. پاره‌خط AB را رسم کنید.\n۲. عمودمنصف پاره‌خط AB را رسم کنید (خطی که بر AB عمود است و از وسط آن می‌گذرد).\n۳. نقطه‌ای مانند W را روی عمودمنصف انتخاب کنید.\n۴. نشان دهید که فاصله W از دو سر پاره‌خط AB برابر است (WA = WB).\n۵. نتیجه می‌گیریم که هر نقطه روی عمودمنصف پاره‌خط، از دو سر آن پاره‌خط به یک فاصله است."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "عمودمنصف، عمود و موازی", "تشخیص نقطه روی عمودمنصف با استفاده از فاصله مساوی از دو سر پاره‌خط"], {"intro": "۱. پاره‌خط AB را رسم کنید.\n۲. نقطه W را طوری انتخاب کنید که فاصله W از دو سر پاره‌خط AB برابر باشد (WA = WB).\n۳. با وصل کردن نقاط A و B به W، دو مثلث متساوی‌الساقین تشکیل می‌شود.\n۴. نتیجه می‌گیریم که نقطه W روی عمودمنصف پاره‌خط AB قرار دارد."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "عمودمنصف، عمود و موازی", "تعیین تعداد خطوط متمایز عبورکننده از یک یا دو نقطه در صفحه"], {"intro": "۱. یک یا دو نقطه مشخص در صفحه در نظر بگیرید.\n۲. خطی را رسم کنید که از نقطه یا نقاط داده شده عبور کند.\n۳. تعداد خطوط متمایز (غیرهم‌خط) که می‌توان از آن نقطه یا نقاط عبور داد را تعیین کنید.\n۴. برای یک نقطه، بی‌نهایت خطوط متمایز می‌توان رسم کرد.\n۵. برای دو نقطه، فقط یک خط متمایز می‌توان رسم کرد که از هر دو نقطه عبور کند."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "عمودمنصف، عمود و موازی", "رسم وترهای مساوی و بررسی نسبت طول‌ها"], {"intro": "۱. ابتدا پاره‌خط AB را رسم کنید و بیش از نصف طول آن را باز کنید. ۲. از نقطه A و سپس از نقطه B به اندازه یکسان کمانی رسم کنید تا دو کمان در نقاط U و V یکدیگر را قطع کنند. ۳. طول پاره‌خط‌های AU و BU را اندازه بگیرید و نسبت آن‌ها را بررسی کنید. ۴. همین کار را برای پاره‌خط‌های AV و BV انجام دهید و نسبت آن‌ها را بررسی کنید. ۵. بررسی کنید که نقاط U و V روی عمودمنصف پاره‌خط AB قرار دارند یا خیر، زیرا این نقاط به دلیل تقارن کمان‌ها روی عمودمنصف قرار می‌گیرند."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "عمودمنصف، عمود و موازی", "رسم عمودمنصف یک پاره‌خط"], {"intro": "۱. پاره‌خط AB را رسم کنید و نقطه M را روی آن به گونه‌ای قرار دهید که وسط پاره‌خط باشد. ۲. با استفاده از پرگار، از نقاط A و B کمان‌هایی به شعاعی بیشتر از نصف طول AB رسم کنید تا در دو نقطه روی خط d که موازی AB است، یکدیگر را قطع کنند. ۳. نقاط تقاطع کمان‌ها را به هم وصل کنید تا خط عمود بر AB از نقطه M رسم شود. ۴. این خط عمودمنصف پاره‌خط AB است که هم بر AB عمود است و هم از وسط آن می‌گذرد."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "عمودمنصف، عمود و موازی", "رسم خط عمود بر یک خط از نقطه‌ای غیرواقع بر آن"], {"intro": "۱. با استفاده از پرگار، نقاط A و B را روی خط d طوری پیدا کنید که فاصله هر دو از نقطه T (نقطه غیرواقع بر خط d) برابر باشد. ۲. پاره‌خط AB را رسم کنید. ۳. عمودمنصف پاره‌خط AB را رسم کنید. ۴. عمودمنصف پاره‌خط AB از نقطه T می‌گذرد و بر خط d عمود است."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "عمودمنصف، عمود و موازی", "رسم خط موازی با خط داده شده از یک نقطه غیرواقع بر آن"], {"intro": "۱. خط d را رسم کنید و نقطه T غیرواقع بر آن را مشخص کنید. ۲. خط p را طوری رسم کنید که از نقطه T بگذرد و با خط d موازی باشد. ۳. خط p1 را طوری رسم کنید که از نقطه T بگذرد و بر خط d عمود باشد. ۴. بررسی کنید که خط p نسبت به خط d چه وضعیتی دارد و دلیل آن را بیان کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "رسم متوازی‌الاضلاع، مستطیل و لوزی", "رسم متوازی‌الاضلاع با قطرهای داده شده"], {"intro": "۱. فرض کنید چهارضلعی‌ای داریم که قطرهای آن ۴ و ۷ واحد طول دارند و قطرها عمود منصف هم هستند. ۲. ابتدا قطر اول را به طول ۴ واحد رسم کنید. ۳. سپس قطر دوم را به طول ۷ واحد رسم کنید به گونه‌ای که بر قطر اول عمود باشد و در وسط آن قطع شود. ۴. رئوس چهارضلعی را به هم وصل کنید تا متوازی‌الاضلاع ساخته شود."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "رسم متوازی‌الاضلاع، مستطیل و لوزی", "رسم مستطیل با قطر مشخص"], {"intro": "۱. فرض کنید چهارضلعی مورد نظر مستطیل است که قطرهای آن برابر و نصف هم هستند. ۲. طول قطر داده شده را روی کاغذ مشخص کنید (مثلاً ۶ سانتی‌متر). ۳. با استفاده از پرگار و خط‌کش، دو قطر به طول داده شده رسم کنید که بر هم عمود و نصف یکدیگر باشند. ۴. نقاط انتهایی قطرها را به هم وصل کنید تا مستطیل شکل بگیرد."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "رسم متوازی‌الاضلاع، مستطیل و لوزی", "رسم لوزی با قطرهای مشخص"], {"intro": "۱. فرض کنید لوزی چهارضلعی‌ای است که قطرهای آن عمودمنصف یکدیگرند. ۲. طول قطرهای داده شده را روی کاغذ مشخص کنید. ۳. دو قطر به طول‌های داده شده رسم کنید که بر هم عمود و نصف یکدیگر باشند. ۴. نقاط انتهایی قطرها را به هم وصل کنید تا لوزی شکل بگیرد."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "رسم متوازی‌الاضلاع، مستطیل و لوزی", "یافتن نقطه با فاصله مشخص از دو ضلع زاویه"], {"intro": "۱. دو ضلع زاویه را رسم کنید. ۲. نقطه‌ای پیدا کنید که فاصله آن از هر دو ضلع زاویه برابر با مقدار داده شده باشد. ۳. با استفاده از این نقطه و ابزارهای هندسی، نیمساز زاویه را رسم کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "رسم متوازی‌الاضلاع، مستطیل و لوزی", "تعیین مرکز دایره و نقطه پنالتی در زمین فوتبال"], {"intro": "۱. فرض کنید AB وتر دایره است. ۲. عمودمنصف وتر AB را رسم کنید. ۳. مرکز دایره روی این عمودمنصف قرار دارد. ۴. برای تعیین نقطه پنالتی، از قوس جلوی محوطه جریمه استفاده کنید و با رسم قوس و خط راست، نقطه پنالتی را مشخص کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "استدلال در چهارضلعی و مثلث", "محاسبه مجموع زاویه‌های داخلی چهارضلعی"], {"intro": "۱. هر چهارضلعی را به دو مثلث تقسیم کنید. ۲. مجموع زاویه‌های داخلی هر مثلث را ۱۸۰ درجه در نظر بگیرید. ۳. مجموع زاویه‌های داخلی چهارضلعی برابر مجموع زاویه‌های داخلی دو مثلث است. ۴. بنابراین مجموع زاویه‌های داخلی هر چهارضلعی برابر ۳۶۰ درجه است."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "استدلال در چهارضلعی و مثلث", "استدلال بر اساس مجموع زاویه‌های داخلی چهارضلعی ABCD"], {"intro": "۱. چهارضلعی ABCD را در نظر بگیرید. ۲. راس‌های مقابل D و B را به هم وصل کنید تا دو مثلث ABD و BCD تشکیل شود. ۳. مجموع زاویه‌های داخلی هر مثلث را ۱۸۰ درجه در نظر بگیرید. ۴. مجموع زاویه‌های داخلی چهارضلعی ABCD برابر مجموع زاویه‌های داخلی دو مثلث ABD و BCD است. ۵. بنابراین مجموع زاویه‌های داخلی چهارضلعی ABCD برابر ۳۶۰ درجه است."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "استدلال در چهارضلعی و مثلث", "استنتاج هندسی درباره سه عمودمنصف اضلاع مثلث"], {"intro": "۱. فرض کنید هر نقطه روی عمودمنصف یک پاره‌خط از دو سر آن پاره‌خط به یک فاصله است. ۲. برای هر سه ضلع مثلث، عمودمنصف‌ها را رسم کنید. ۳. نشان دهید که این سه عمودمنصف در یک نقطه مشترک هم‌رس هستند. ۴. این نقطه مرکز دایره محیطی مثلث است."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "استدلال در چهارضلعی و مثلث", "استدلال درباره برخورد عمود منصف‌ها در مثلث"], {"intro": "۱. نشان دهید که نقطه O روی عمود منصف خط AC قرار دارد. ۲. نشان دهید که نقطه O روی عمود منصف خط AB قرار دارد. ۳. نتیجه بگیرید که نقطه O محل برخورد عمود منصف‌های دو ضلع مثلث است."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "هم‌رسی ارتفاع‌ها و نیمسازها", "استدلال درباره ارتفاع‌های مثلث و هم‌رس بودن آنها"], {"intro": "۱. مثلث ABC را در نظر بگیرید و از هر رأس خطی به موازات ضلع مقابل رسم کنید تا مثلث مقابل شکل DEF ایجاد شود. ۲. نشان دهید که مثلث‌های ABE و ACF هم‌نهشت هستند. ۳. نتیجه بگیرید که خطوط AG، BI، CH ارتفاع‌های مثلث ABC هستند و روی عمود منصف‌های اضلاع قرار دارند و هم‌رس‌اند."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "هم‌رسی ارتفاع‌ها و نیمسازها", "استدلال درباره نیمسازهای زاویه داخلی مثلث و هم‌رس بودن آنها"], {"intro": "۱. مثلث ABC را در نظر بگیرید و نیمسازهای زاویه‌های A و B را رسم کنید. ۲. نشان دهید که نیمسازهای زاویه‌های A و B در نقطه‌ای مانند P همدیگر را قطع می‌کنند. ۳. از نقطه P نیمساز زاویه C را رسم کنید و نشان دهید که این نیمساز نیز از نقطه P می‌گذرد. ۴. نتیجه بگیرید که نیمسازهای داخلی هر مثلث هم‌رس هستند."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "هم‌رسی ارتفاع‌ها و نیمسازها", "تحلیل رابطه بین اضلاع و زوایای مثلث"], {"intro": "۱. اضلاع مثلث را به ترتیب از بزرگ به کوچک مرتب کنید.\n۲. زوایای متناظر با اضلاع را نیز به ترتیب از بزرگ به کوچک مرتب کنید.\n۳. رابطه بین ضلع و زاویه روبرو را بررسی کنید: ضلع بزرگ‌تر روبروی زاویه بزرگ‌تر است.\n۴. با استفاده از این رابطه می‌توان حدس زد که کدام ضلع بزرگ‌تر و کدام زاویه بزرگ‌تر است.\n۵. برای اثبات این حدس، از استدلال هندسی و رسم شکل مثلث استفاده کنید و نشان دهید که اگر دو ضلع نابرابر باشند، زاویه روبرو به ضلع بزرگ‌تر، بزرگ‌تر است."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "هم‌رسی ارتفاع‌ها و نیمسازها", "بررسی رابطه بین اندازه زوایا و اضلاع در مثلث‌های نابرابر"], {"intro": "۱. فرض کنید دو ضلع مثلث نابرابر باشند، مثلاً AB > AC. ۲. زاویه روبروی ضلع بزرگ‌تر بزرگ‌تر از زاویه روبروی ضلع کوچک‌تر است. ۳. برای اثبات، نقطه‌ای روی ضلع بزرگ‌تر انتخاب کنید که ضلع‌ها را به دو قسمت مساوی تقسیم کند. ۴. اندازه زوایا را با استفاده از این نقطه و روابط مثلث‌ها بررسی کنید. ۵. نتیجه بگیرید که زاویه روبرو به ضلع بزرگ‌تر بزرگ‌تر است. ۶. این نتیجه برای تمام مثلث‌های نابرابر صدق می‌کند و می‌توان از آن برای مقایسه زوایا و اضلاع استفاده کرد."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "اثبات و قضیه‌های دوشرطی", "اثبات نابرابری‌ها در مثلث"], {"intro": "۱. فرض کنید مثلث ABC با شرایط داده شده. ۲. از ویژگی‌های نیمساز زاویه و نابرابری‌های مربوط به اضلاع استفاده کنید. ۳. با استفاده از روابط زاویه‌ها و اضلاع، نابرابری‌های خواسته شده را اثبات کنید. ۴. در نهایت نتیجه‌گیری کنید که مجموع طول دو ضلع بزرگ‌تر از ضلع سوم است."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "اثبات و قضیه‌های دوشرطی", "اثبات گزاره‌های هندسی درباره اندازه زاویه‌ها و اضلاع مثلث"], {"intro": "۱. با توجه به تعریف زاویه‌ها و اضلاع مثلث، رابطه بین اندازه بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین زاویه را بررسی کنید. ۲. از ویژگی‌های ارتفاع در مثلث استفاده کنید تا رابطه بین ارتفاع و اضلاع را اثبات کنید. ۳. با استفاده از استدلال‌های هندسی و قضایا، گزاره‌های داده شده را اثبات کنید.", "example": "توضیح دهید چگونه می‌توان مثلثی به طول اضلاع ۴، ۵ و ۶ واحد رسم کرد.", "steps": ["ضلع ۶ واحد را روی صفحه رسم کنید.", "پرگار را روی یکی از سرهای ضلع ۶ واحد قرار دهید و دایره‌ای به شعاع ۴ واحد رسم کنید.", "پرگار را روی سر دیگر ضلع ۶ واحد قرار دهید و دایره‌ای به شعاع ۵ واحد رسم کنید.", "نقطه تقاطع دو دایره راس سوم مثلث است.", "این نقطه را به دو سر ضلع ۶ واحد وصل کنید تا مثلث کامل شود.", "✅ جواب: راه‌حل کتاب کاملاً درست است: رسم ضلع ۶ واحدی، رسم دو دایره به شعاع‌های ۴ و ۵ از دو سر، و وصل کردن نقطه تقاطع."]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "اثبات و قضیه‌های دوشرطی", "رد یا اثبات گزاره‌های هندسی درباره اشکال هندسی"], {"intro": "۱. گزاره داده شده را به دقت بخوانید و شرایط آن را بررسی کنید. ۲. با استفاده از تعاریف اشکال هندسی و خواص آن‌ها، صحت یا نادرستی گزاره را بررسی کنید. ۳. در صورت نیاز، مثال نقض یا اثبات کلی ارائه دهید. ۴. نتیجه‌گیری کنید که گزاره درست است یا نادرست."}], [["پایه دهم", "فصل ۱: ترسیم‌های هندسی و استدلال", "اثبات و قضیه‌های دوشرطی", "نوشتن قضیه‌های دو شرطی و معکوس در هندسه"], {"intro": "۱. قضیه داده شده را به صورت شرط و نتیجه بنویسید. ۲. معکوس قضیه را با جابجایی شرط و نتیجه بنویسید. ۳. بررسی کنید که معکوس قضیه نیز درست است یا خیر. ۴. در صورت نیاز، اثبات یا رد معکوس را انجام دهید."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: مثلثات", "نسبت‌های مثلثاتی (۱)", "تناسب در مثلث‌های قائم‌الزاویه"], {"example": "در مثلث قائم‌الزاویه ABC که زاویه B قائمه است، اضلاع AB=۳ و BC=۵ داده شده است. مقدار tan A و cot A را بیابید.", "steps": ["tan A = BC / AB = ۵ / ۳", "cot A = AB / BC = ۳ / ۵", "✅ جواب: tan A = ۵/۳, cot A = ۳/۵"]}], [["پایه دهم", "فصل ۲: مثلثات", "نسبت‌های مثلثاتی (۲)", "محاسبه طول ضلع با استفاده از سینوس زاویه"], {"example": "مثلث متساوی‌الاضلاع ABC با طول هر ضلع ۲ واحد است. نقطه M روی ضلع BC طوری است که AM نیمساز زاویه A است. با توجه به خواص مثلث متساوی‌الساقین، BM و MC را بیابید. سپس با استفاده از رابطه فیثاغورس طول AM را محاسبه کنید و نسبت‌های tan ۳۰° = BM / AM و tan ۶۰° = AM / BM را بدست آورید.", "steps": ["چون مثلث متساوی‌الاضلاع است، BM = MC = ۱", "در مثلث قائم‌الزاویه AMB، با استفاده از فیثاغورس: AM = √(AB² - BM²) = √(۲² - ۱²) = √۳", "tan ۳۰° = BM / AM = ۱ / √۳", "tan ۶۰° = AM / BM = √۳ / ۱", "✅ جواب: BM=۱، MC=۱، AM=√۳، tan3۰°=۱/√۳، tan6۰°=√۳"]}], [["پایه دهم", "فصل ۲: مثلثات", "روابط بین نسبت‌های مثلثاتی", "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی"], {"example": "اگر α زاویه‌ای در ناحیه سوم مثلثاتی باشد و sinα = -۴/۵، مقدار tanα، cosα و cotα را به دست آورید.", "steps": ["با توجه به اینکه α در ناحیه سوم است، cosα منفی است.", "از رابطه sin²α + cos²α = ۱ داریم:", "cosα = -√(۱ - sin²α) = -√(۱ - (-۴/۵)²) = -√(۱ - ۱۶/۲۵) = -√(۹/۲۵) = -۳/۵", "حال tanα = sinα / cosα = (-۴/۵) / (-۳/۵) = ۴/۳", "و cotα = ۱ / tanα = ۳/۴", "✅ جواب: cosα = -۳/۵, tanα = ۴/۳, cotα = ۳/۴"]}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "نسبت مساحت مثلث‌ها", "محاسبه مساحت مثلث با استفاده از قاعده و ارتفاع"], {"example": "فرض کنیم اندازه هر ضلع مثلث متساوی‌الاضلاع ABC برابر a باشد. ارتفاع AH را رسم می‌کنیم. ارتفاع AH میانه نیز است. با کمک قضیه فیثاغورس نشان دهید AH = (a√۳)/۲ و مساحت مثلث ABC را به دست آورید.", "steps": ["مثلث ABC متساوی‌الاضلاع است، بنابراین هر ضلع برابر a است.", "ارتفاع AH از راس A به ضلع BC رسم شده است و چون مثلث متساوی‌الاضلاع است، AH میانه نیز هست.", "مثلث AHB قائم‌الزاویه است، با استفاده از قضیه فیثاغورس:", "AB² = AH² + BH²", "a² = AH² + (a/۲)²", "✅ جواب: AH = (a√۳)/۲ ، مساحت = (a²√۳)/۴"]}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "نسبت مساحت مثلث‌ها", "نسبت مساحت مثلث‌ها با ارتفاع‌های برابر"], {"intro": "۱. در دو مثلثی که ارتفاع‌هایشان برابر است، مساحت هر مثلث برابر است با نصف حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع. ۲. نسبت مساحت دو مثلث با ارتفاع برابر برابر است با نسبت طول قاعده‌های آن‌ها. ۳. برای یافتن نسبت مساحت‌ها، ابتدا ارتفاع‌ها را بررسی می‌کنیم که برابر باشند، سپس نسبت قاعده‌ها را محاسبه می‌کنیم. ۴. نسبت مساحت‌ها برابر نسبت قاعده‌ها است."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "نسبت مساحت مثلث‌ها", "نسبت مساحت مثلث‌های مشترک الرأس با ارتفاع‌های متقارن"], {"intro": "۱. در مثلث‌هایی که رأس مشترک دارند و ارتفاع‌ها نسبت به رأس مشترک متقارن هستند، نسبت مساحت‌ها برابر است با نسبت طول قاعده‌های متناظر. ۲. ارتفاع‌ها به عنوان ارتفاع‌های متقارن در نظر گرفته می‌شوند. ۳. نسبت مساحت دو مثلث برابر است با نسبت طول قاعده‌های آن‌ها. ۴. با استفاده از این نسبت‌ها، جای خالی نسبت‌های داده شده را پر می‌کنیم."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "قضیه‌ی تالس", "محاسبه طول ضلع مثلث با استفاده از قضیه تالس"], {"intro": "۱. تشخیص دهید که خطی موازی با یکی از اضلاع مثلث رسم شده است که دو ضلع دیگر را در دو نقطه قطع می‌کند.\n۲. با استفاده از قضیه تالس، نسبت طول بخش‌های تقسیم شده روی اضلاع برابر است.\n۳. نسبت‌های داده شده را به صورت معادله بنویسید.\n۴. مجهول را در معادله حل کنید تا طول مورد نظر به دست آید."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "قضیه‌ی تالس", "یافتن مقدار مجهول با استفاده از نسبت‌های تالس در مثلث"], {"intro": "۱. تشخیص دهید که خطی موازی با یکی از اضلاع مثلث رسم شده است که دو ضلع دیگر را در دو نقطه قطع می‌کند.\n۲. نسبت طول بخش‌های تقسیم شده روی اضلاع را بنویسید.\n۳. مقدار مجهول را با تشکیل معادله از نسبت‌ها پیدا کنید.\n۴. معادله را حل کنید تا مقدار مجهول به دست آید."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "قضیه‌ی تالس", "نسبت‌های طولی در مثلث با استفاده از قضیه تالس"], {"intro": "۱. در مثلثی که خطی موازی با یکی از اضلاع آن رسم شده است، نسبت طول بخش‌های تقسیم شده روی اضلاع دیگر برابر است.\n۲. نسبت طول بخش‌های تقسیم شده روی ضلع مقابل به نسبت طول بخش‌های متناظر روی ضلع دیگر برابر است.\n۳. با استفاده از این نسبت‌ها می‌توان طول‌های مجهول را به دست آورد.\n۴. رابطه کلی قضیه تالس به صورت AD/AB = AE/AC = DE/BC است که در آن DE موازی BC است."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "قضیه‌ی تالس", "تشخیص نوع چهارضلعی با استفاده از خطوط موازی و قضیه تالس"], {"intro": "۱. ابتدا خطوط موازی را در شکل مشخص می‌کنیم.\n۲. با استفاده از قضیه تالس نسبت طول بخش‌های تقسیم شده روی اضلاع را محاسبه می‌کنیم.\n۳. با توجه به موازی بودن خطوط و نسبت‌های به دست آمده، نوع چهارضلعی (مثل متوازی‌الأضلاع، ذوزنقه و غیره) را تعیین می‌کنیم.\n۴. اگر دو ضلع مقابل موازی باشند و نسبت طول‌ها برابر باشد، چهارضلعی متوازی‌الأضلاع است."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "قضیه‌ی تالس", "کاربرد قضیه تالس در تعیین طول‌ها و نسبت‌ها در مثلث‌ها"], {"intro": "۱. ابتدا بررسی می‌کنیم که آیا خط داده شده با یکی از اضلاع مثلث موازی است یا خیر. ۲. اگر خط موازی باشد، طبق قضیه تالس نسبت طول قطعات ایجاد شده روی اضلاع مثلث برابر است. ۳. نسبت‌های طولی را بر اساس قضیه تالس می‌نویسیم. ۴. معادلات نسبت‌ها را تشکیل داده و مجهولات را حل می‌کنیم. ۵. مقادیر مجهولات را به دست می‌آوریم."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "قضیه‌ی تالس", "تشخیص صحت عبارات نسبت‌های طولی در مثلث با خط موازی"], {"intro": "۱. بررسی می‌کنیم که خط داده شده با کدام ضلع مثلث موازی است. ۲. با توجه به قضیه تالس، نسبت‌های صحیح طول‌ها را می‌نویسیم. ۳. عبارات داده شده را با نسبت‌های صحیح مقایسه می‌کنیم. ۴. عبارات درست را مشخص و عبارات نادرست را رد می‌کنیم."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "کاربردهای تالس", "محاسبه طول ضلع مجهول با استفاده از تناسب در مثلث با خط موازی"], {"intro": "۱. ابتدا تشخیص می‌دهیم کدام خط با کدام ضلع موازی است. ۲. نسبت طول‌ها را بر اساس قضیه تالس می‌نویسیم. ۳. طول‌های داده شده را در نسبت‌ها قرار می‌دهیم. ۴. معادله را حل کرده و طول مجهول را به دست می‌آوریم."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "کاربردهای تالس", "اثبات موازی بودن خطوط با استفاده از قضیه تالس"], {"intro": "۱. فرض کنید خطوط داده شده موازی هستند.\n۲. از قضیه تالس استفاده کنید که می‌گوید اگر چند خط موازی باشند، نسبت طول بخش‌های ایجاد شده روی دو خط قطع شده برابر است.\n۳. نسبت طول‌های متناظر را بنویسید و بررسی کنید که آیا برابرند یا خیر.\n۴. اگر نسبت‌ها برابر باشند، موازی بودن خطوط اثبات می‌شود.\n۵. برای اثبات عکس قضیه، فرض کنید نسبت‌ها برابرند و نشان دهید خطوط موازی هستند."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "کاربردهای تالس", "اثبات رابطه طولی در مثلث‌ها با استفاده از قضیه تالس"], {"intro": "۱. خطوط موازی را مشخص کنید.\n۲. مثلث‌های ایجاد شده را شناسایی کنید.\n۳. از قضیه تالس استفاده کنید تا نسبت طول‌های متناظر را بنویسید.\n۴. با مقایسه نسبت‌ها و استفاده از خواص مثلث‌ها، رابطه طولی مورد نظر را اثبات کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "کاربردهای تالس", "کاربرد قضیه تالس در تعیین ارتفاع و اندازه‌های غیرمستقیم"], {"intro": "۱. شکل مسئله را به صورت هندسی رسم کنید.\n۲. سایه‌ها و ارتفاع‌ها را به صورت خطوط موازی در نظر بگیرید.\n۳. از قضیه تالس استفاده کنید تا نسبت طول سایه‌ها و ارتفاع‌ها را به دست آورید.\n۴. با داشتن طول برخی از سایه‌ها و ارتفاع‌ها، مقدار مجهول را محاسبه کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "کاربردهای تالس", "اثبات نسبت طول‌ها در ذوزنقه با استفاده از قضیه تالس"], {"intro": "۱. خطوط موازی در ذوزنقه را مشخص کنید.\n۲. نقاط تقسیم روی اضلاع ذوزنقه را شناسایی کنید.\n۳. از قضیه تالس استفاده کنید تا نسبت طول بخش‌های ایجاد شده را بنویسید.\n۴. نسبت‌ها را با هم مقایسه کنید و اثبات مورد نظر را انجام دهید."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "کاربردهای تالس", "محاسبه ارتفاع و فاصله در مسائل هندسی با استفاده از قضیه تالس و هندسه فضایی"], {"intro": "۱. شکل مسئله را با ابعاد داده شده رسم کنید.\n۲. خطوط ارتفاع و فاصله‌ها را مشخص کنید.\n۳. از قضیه تالس و روابط مثلثات برای تعیین طول‌ها استفاده کنید.\n۴. مجهولات را با استفاده از نسبت‌ها و روابط هندسی محاسبه کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "حالت‌های تشابه مثلث‌ها", "تشابه مثلث‌ها با استفاده از نسبت اضلاع و زوایا"], {"intro": "۱. بررسی برابری زوایا در دو مثلث (زاویه A با A'، زاویه B با B'، زاویه C با C')\n۲. بررسی نسبت اضلاع متناظر در دو مثلث (نسبت AB به A'B'، AC به A'C'، BC به B'C')\n۳. اگر زوایا برابر و نسبت اضلاع متناظر برابر باشند، مثلث‌ها متشابه هستند.\n۴. استفاده از نسبت تشابه برای یافتن اندازه‌های مجهول در مثلث‌ها."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "حالت‌های تشابه مثلث‌ها", "قضیه اساسی تشابه مثلث‌ها با استفاده از خطوط موازی"], {"intro": "۱. اگر خطی موازی یکی از اضلاع مثلث باشد و دو ضلع دیگر را در دو نقطه قطع کند، مثلث کوچکتر تشکیل شده با مثلث اصلی متشابه است.\n۲. زاویه‌های متناظر در دو مثلث برابرند.\n۳. نسبت اضلاع متناظر برابر است و می‌توان نسبت‌ها را برای یافتن اندازه‌های مجهول به کار برد.\n۴. استفاده از این قضیه برای اثبات تشابه و حل مسائل مربوط به اندازه‌ها."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "حالت‌های تشابه مثلث‌ها", "تشابه مثلث‌ها با دو زاویه و زاویه سوم"], {"intro": "۱. اندازه دو زاویه از یک مثلث را با دو زاویه متناظر در مثلث دیگر مقایسه می‌کنیم.\n۲. اگر دو زاویه متناظر برابر باشند، زاویه سوم نیز برابر است (مجموع زوایا ۱۸۰ درجه است).\n۳. با توجه به برابری زوایا، مثلث‌ها متشابه هستند.\n۴. از تشابه مثلث‌ها می‌توان نسبت اضلاع متناظر را به دست آورد."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "حالت‌های تشابه مثلث‌ها", "تشابه مثلث‌ها با دو ضلع و زاویه بین آنها"], {"intro": "۱. دو ضلع متناظر از دو مثلث را اندازه‌گیری می‌کنیم.\n۲. زاویه بین این دو ضلع را در هر مثلث مشخص می‌کنیم.\n۳. اگر نسبت دو ضلع متناظر برابر باشد و زاویه بین آن‌ها نیز برابر باشد، مثلث‌ها متشابه‌اند.\n۴. از این تشابه می‌توان نسبت اضلاع دیگر را به دست آورد."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "حالت‌های تشابه مثلث‌ها", "تشابه مثلث‌ها با استفاده از نسبت‌های اضلاع"], {"intro": "۱. دو مثلث را با توجه به نسبت‌های اضلاع بررسی کنید.\n۲. نسبت اضلاع متناظر را محاسبه کنید.\n۳. اگر نسبت‌ها برابر باشند، مثلث‌ها متشابه‌اند.\n۴. از تشابه مثلث‌ها برای یافتن طول‌های مجهول استفاده کنید.\n۵. در صورت نیاز، از قضیه تالس برای تعیین خطوط موازی و نسبت‌های طولی استفاده کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "اثبات با تشابه", "اثبات موازی بودن خطوط با استفاده از تشابه مثلث‌ها"], {"intro": "۱. دو مثلث را در نظر بگیرید که یک ضلع و نسبت‌های اضلاع متناظر آن‌ها برابر است.\n۲. با جایگزینی اضلاع متناظر، نشان دهید که نسبت‌های اضلاع برابرند.\n۳. از این برابری نسبت‌ها نتیجه بگیرید که خطوط مورد نظر موازی هستند.\n۴. از قضیه تالس برای اثبات موازی بودن خطوط استفاده کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "اثبات با تشابه", "نتیجه‌گیری از قضیه تشابه برای تعیین تشابه مثلث‌ها"], {"intro": "۱. نسبت‌های اضلاع متناظر دو مثلث را بررسی کنید.\n۲. اگر نسبت‌ها برابر باشند، مثلث‌ها متشابه‌اند.\n۳. از تشابه مثلث‌ها برای نتیجه‌گیری درباره زوایا و اضلاع استفاده کنید.\n۴. در صورت نیاز، از این تشابه برای حل مسائل دیگر بهره ببرید."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "اثبات با تشابه", "محاسبه طول ضلع مثلث با استفاده از تشابه مثلث‌ها"], {"intro": "۱. تشابه مثلث‌ها را با بررسی زاویه‌ها اثبات کنید.\n۲. نسبت‌های اضلاع متناظر در مثلث‌های مشابه را بنویسید.\n۳. با توجه به نسبت‌ها، مجهول را به دست آورید.\n۴. در صورت نیاز، معادله‌ای برای طول ضلع مجهول تشکیل داده و حل کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "اثبات با تشابه", "محاسبه طول مجهول در چندضلعی با استفاده از تشابه مثلث‌ها و نسبت‌ها"], {"intro": "۱. تشابه مثلث‌ها را با توجه به زاویه‌های مشترک اثبات کنید.\n۲. نسبت‌های اضلاع متناظر را بنویسید.\n۳. مجهول را با استفاده از نسبت‌ها به دست آورید."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "اثبات با تشابه", "اثبات تشابه مثلث‌ها در مثلث قائم‌الزاویه با استفاده از ارتفاع"], {"intro": "۱. ارتفاع AH را از راس زاویه قائمه به وتر رسم کنید.\n۲. مثلث‌های ABH و ABC و ACH را بررسی کنید.\n۳. با توجه به زاویه‌های قائمه و زاویه‌های مشترک، تشابه مثلث‌ها را اثبات کنید.\n۴. نتیجه بگیرید که مثلث‌های ABH و ACH هر دو با ABC مشابه هستند و بنابراین با هم نیز مشابه‌اند."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "تشابه در مثلث قائم‌الزاویه", "محاسبه طول اضلاع و ارتفاع در مثلث قائم‌الزاویه با استفاده از نسبت‌های مثلثات و قضیه تالس"], {"intro": "۱. رسم مثلث قائم‌الزاویه و ارتفاع آن از راس قائمه به وتر. ۲. استفاده از روابط طولی در مثلث قائم‌الزاویه و تقسیم مثلث به دو مثلث قائم‌الزاویه کوچکتر. ۳. به کار بردن نسبت‌های طولی و قضیه تالس برای یافتن اضلاع مجهول. ۴. حل معادلات به دست آمده برای تعیین مقادیر مجهول."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "کاربردهای تشابه", "محاسبه طول ضلع BC در مثلث با استفاده از تشابه مثلث‌ها و نسبت اضلاع"], {"intro": "۱. شناسایی مثلث‌های مشابه در شکل و تعیین نسبت اضلاع متناظر. ۲. استفاده از نسبت‌های داده شده برای نوشتن معادله نسبت طول‌ها. ۳. حل معادله برای یافتن طول مجهول BC."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "کاربردهای تشابه", "محاسبه ارتفاع و مساحت مثلث با استفاده از قضیه فیثاغورس و ارتفاع‌ها"], {"intro": "۱. استفاده از قضیه فیثاغورس برای یافتن ارتفاع‌ها در مثلث‌های قائم‌الزاویه ABH و ACH. ۲. تعیین مقادیر مجهول x و y با حل معادلات مربوط به اضلاع و ارتفاع‌ها. ۳. محاسبه مساحت مثلث با استفاده از فرمول مساحت = ۰٫۵ × قاعده × ارتفاع."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "کاربردهای تشابه", "محاسبه ارتفاع درخت با استفاده از روش ترانه (سایه و تشابه مثلث‌ها)"], {"intro": "۱. رسم مثلث قائم‌الزاویه برای چوب و سایه آن. ۲. تعیین نسبت طول چوب به سایه چوب. ۳. رسم مثلث قائم‌الزاویه برای درخت و سایه آن. ۴. استفاده از نسبت‌های مشابه برای یافتن ارتفاع درخت با توجه به طول سایه درخت."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "کاربردهای تشابه", "محاسبه ارتفاع درخت با استفاده از روش شهرزاد (آینه و تشابه مثلث‌ها)"], {"intro": "۱. در مقیاس بزرگ، تصویر آینه و درخت رسم می‌شود. ۲. استفاده از خواص انعکاس نور و تشابه مثلث‌ها برای تعیین نسبت طول‌ها. ۳. با داشتن فاصله‌های AO و BO و فاصله آینه از پای درخت، ارتفاع درخت را محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "کاربردهای تشابه", "اثبات قضیه فیثاغورس با استفاده از تشابه مثلثات"], {"intro": "۱. فرض کنید مثلث ABC قائم‌الزاویه در A است و رابطه a² = b² + c² برقرار است. ۲. دو مثلث A'B'C' و A'B'C' را طوری رسم کنید که A'B' = AB و A'C' = AC و زاویه A' برابر ۹۰ درجه باشد. ۳. با استفاده از تشابه مثلث‌ها و رابطه‌های اضلاع، اندازه ضلع B'C' را محاسبه کنید و نشان دهید که برابر BC است. ۴. با توجه به تشابه مثلث‌ها و برابری اضلاع، نتیجه بگیرید که مثلث ABC با مثلث A'B'C' برابر است و بنابراین رابطه a² = b² + c² برقرار است."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "محیط و مساحت اشکال متشابه", "نسبت محیط و مساحت در چندضلعی‌های متشابه"], {"intro": "۱. اگر دو چندضلعی متشابه باشند و نسبت تشابه آنها k باشد، نسبت محیط‌های آنها نیز برابر k است.\n۲. نسبت مساحت‌های دو چندضلعی متشابه برابر مربع نسبت تشابه یعنی k² است.\n۳. برای اثبات این موضوع می‌توان قطرهای دو چندضلعی متشابه را رسم کرد و از تشابه مثلث‌های تشکیل شده استفاده نمود.\n۴. با استفاده از نسبت‌های تشابه، نسبت محیط‌ها و مساحت‌ها را به دست آورید.\n۵. در مسائل مربوط به مثلث‌های متساوی‌الاضلاع، از این نسبت‌ها برای مقایسه محیط و مساحت استفاده کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "محیط و مساحت اشکال متشابه", "محاسبه محیط و مساحت اشکال مشابه"], {"intro": "۱. نسبت تشابه اشکال را تعیین کنید. ۲. برای محیط، نسبت محیط‌ها برابر نسبت طول‌های متناظر است. ۳. برای مساحت، نسبت مساحت‌ها برابر مجذور نسبت طول‌های متناظر است. ۴. با استفاده از این نسبت‌ها، مقادیر مجهول را محاسبه کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "محیط و مساحت اشکال متشابه", "محاسبه محیط اشکال با نسبت مساحت داده شده"], {"intro": "۱. نسبت مساحت‌ها را به صورت کسر یا عدد داده شده در نظر بگیرید. ۲. نسبت طول‌های متناظر برابر جذر نسبت مساحت‌ها است. ۳. محیط شکل دوم برابر محیط شکل اول ضرب در نسبت طول‌ها است."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "محیط و مساحت اشکال متشابه", "محاسبه مساحت با تغییر اندازه اضلاع و ثابت بودن زاویه‌ها"], {"intro": "۱. با توجه به ثابت بودن زاویه‌ها، شکل‌ها مشابه هستند. ۲. نسبت طول اضلاع را تعیین کنید. ۳. مساحت شکل جدید برابر مساحت اولیه ضرب در مجذور نسبت طول‌ها است."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "محیط و مساحت اشکال متشابه", "تشابه مثلث‌ها با استفاده از زوایا و نیمساز"], {"intro": "۱. بررسی کنید که دو مثلث دارای دو زاویه برابر هستند (زاویه‌های متناظر). ۲. با توجه به نیمساز بودن خط، نسبت طول اضلاع را تعیین کنید. ۳. از تشابه مثلث‌ها برای محاسبه طول‌های مجهول استفاده کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "مسئله‌های تشابه", "محاسبه محیط مثلث مشابه با طول اضلاع داده شده"], {"intro": "۱. نسبت طول اضلاع مثلث‌ها را تعیین کنید. ۲. محیط مثلث دوم برابر مجموع اضلاع آن است که با ضرب نسبت طول‌ها در محیط مثلث اول به دست می‌آید."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "مسئله‌های تشابه", "محاسبه نسبت طول‌ها با استفاده از مساحت و تشابه در چندضلعی‌ها"], {"intro": "۱. با توجه به تشابه، نسبت مساحت‌ها برابر مجذور نسبت طول‌ها است. ۲. نسبت طول‌ها را با جذر نسبت مساحت‌ها به دست آورید. ۳. از این نسبت برای محاسبه طول‌ها یا نسبت‌های دیگر استفاده کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "مسئله‌های تشابه", "محاسبه متغیرهای مجهول با استفاده از تشابه و نسبت مساحت‌ها"], {"intro": "۱. با استفاده از داده‌های مساحت و تشابه، نسبت طول‌ها را تعیین کنید. ۲. معادلات مربوط به متغیرهای مجهول را بنویسید. ۳. معادلات را حل کنید تا مقادیر x و y یا سایر متغیرها به دست آید."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "مسئله‌های تشابه", "نسبت مساحت مثلث‌های مشابه"], {"intro": "۱. با توجه به تشابه مثلث‌ها، نسبت مساحت آن‌ها برابر است با مربع نسبت اضلاع متناظر.\n۲. نسبت مساحت مثلث‌های کوچکتر به مثلث بزرگ‌تر را به صورت مربع نسبت اضلاع متناظر می‌نویسیم.\n۳. با جمع نسبت‌های مساحت، قضیه فیثاغورس را به صورت مساحت‌ها اثبات می‌کنیم."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "مسئله‌های تشابه", "محاسبه ارتفاع ساختمان با استفاده از تشابه مثلث‌ها و قضیه تالس"], {"intro": "۱. شکل را به دو مثلث قائم‌الزاویه تقسیم کنید: مثلثی که شامل ساختمان و ارتفاع مجهول است و مثلثی که شامل تیر برق و فاصله ناظر است.\n۲. با توجه به تشابه این دو مثلث، نسبت اضلاع متناظر را برابر قرار دهید.\n۳. مجهول (ارتفاع ساختمان) را با استفاده از نسبت‌ها و داده‌های مسئله محاسبه کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "تناسب در مسائل واقعی", "محاسبه اندازه واقعی اشیاء با استفاده از تشابه و نسبت‌های تصویر در دوربین"], {"intro": "۱. فرض کنید اندازه واقعی شی و اندازه تصویر آن روی فیلم را داشته باشید.\n۲. با توجه به فاصله شی تا عدسی و فاصله فیلم تا عدسی، دو مثلث مشابه تشکیل می‌شود.\n۳. نسبت اندازه واقعی به اندازه تصویر برابر نسبت فاصله شی تا عدسی به فاصله فیلم تا عدسی است.\n۴. مجهول را با استفاده از این نسبت محاسبه کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۲: قضیه‌ی تالس، تشابه و کاربردهای آن", "تناسب در مسائل واقعی", "اثبات ویژگی‌های تناسب"], {"intro": "برای اثبات ویژگی‌های تناسب ابتدا دو کسر a/b و c/d را در نظر می‌گیریم که برابرند. سپس با ضرب طرفین در عدد غیر صفر bd، رابطه ad = bc را به دست می‌آوریم. با استفاده از این رابطه و جایگذاری‌های مناسب، ویژگی‌های مختلف تناسب را اثبات می‌کنیم. همچنین با اضافه یا کم کردن عدد ۱ به دو طرف تناسب، ویژگی‌های جدیدی را به دست می‌آوریم. در نهایت با فرض k بودن نسبت a/b و c/d، ویژگی‌های تفصیل نسبت در صورت و مخرج را اثبات می‌کنیم."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "ریشه و توان (۱)", "محاسبه ریشه و توان"], {"example": "با هر تساوی توانی یک تساوی رادیکالی یکسان تعریف کردیم: ۲⁴ = ۱۶ و (-۲)⁴ = ۱۶. آیا ۱۶ ریشه چهارم دارد؟ آیا عددی منفی یا مثبت وجود دارد که وقتی به توان ۴ برسد، برابر ۱۶ شود؟ اکنون عبارت را کامل کنید.", "steps": ["هر عدد مثبت دارای دو ریشه چهارم است که یکی مثبت و دیگری منفی است.", "عدد ۱۶ ریشه چهارم مثبت ۲ و ریشه چهارم منفی -۲ دارد.", "عددهای منفی ریشه چهارم ندارند چون توان چهارم عدد منفی نمی‌تواند مثبت شود.", "✅ جواب: ۱۶ دو ریشه چهارم دارد: ۲ و -۲."]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "ریشه و توان (۲)", "تعیین مقدار تقریبی اعداد"], {"example": "مقدار تقریبی عدد رادیکال ۵۰ را تعیین کنید.", "steps": ["عدد ۵۰ را می‌توان به صورت رادیکال نوشت: √۵۰.", "برای محاسبه √۵۰، می‌توانیم از √۴۹ و √۶۴ استفاده کنیم که به ترتیب برابر با ۷ و ۸ هستند.", "از آنجا که ۵۰ بین ۴۹ و ۶۴ قرار دارد، مقدار √۵۰ بین ۷ و ۸ خواهد بود.", "با استفاده از ماشین حساب، مقدار دقیق‌تر √۵۰ تقریباً برابر با ۷٫۰۷ است.", "✅ جواب: ۷٫۰۷"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "ریشه و توان (۳)", "جای‌گذاری اعداد در عبارات"], {"example": "عبارت ۳x + ۵ را در نظر بگیرید. اگر x برابر با ۴ باشد، مقدار این عبارت را محاسبه کنید.", "steps": ["عدد ۴ را به جای x در عبارت ۳x + ۵ قرار می‌دهیم.", "عبارت به شکل ۳×۴ + ۵ تبدیل می‌شود.", "محاسبه می‌کنیم: ۳×۴ = ۱۲.", "سپس ۱۲ را با ۵ جمع می‌کنیم: ۱۲ + ۵ = ۱۷.", "✅ جواب: ۱۷"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "ریشهٔ nام", "ریشه‌های عدد"], {"example": "آیا برابری ⁿ√a + ⁿ√b = ⁿ√(a + b) برقرار است؟ n را برابر ۳ و a و b را مقادیر عددی جایگزین کنید.", "steps": ["فرض کنیم n=۳، a=۴ و b=۳.", "ابتدا ⁿ√a = ³√۴ و ⁿ√b = ³√۳ را محاسبه می‌کنیم.", "سپس جمع آنها را حساب می‌کنیم: ³√۴ + ³√۳.", "همچنین ³√(۴+۳) = ³√۷ را محاسبه می‌کنیم.", "چون ³√۴ + ³√۳ ≠ ³√۷، پس برابری برقرار نیست.", "✅ جواب: برابری برقرار نیست؛ ³√۴ + ³√۳ ≠ ³√۷"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "ریشهٔ nام", "محاسبه ریشه‌های گویا"], {"steps": ["عدد ۲۷ را می‌توان به صورت ۳³ نوشت.", "حال ریشه‌ی سوم ۳³ را محاسبه می‌کنیم.", "با استفاده از قوانین ریشه‌ها، ریشه‌ی سوم ۳³ برابر با ۳ است.", "✅ جواب: ۳"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "ریشهٔ nام", "محاسبه حاصل عبارت‌های ریشه‌ای"], {"example": "محاسبه √(۳۶) + √(۱۶) - √(۹)", "steps": ["ابتدا √(۳۶) را محاسبه می‌کنیم که برابر با ۶ است.", "سپس √(۱۶) را محاسبه می‌کنیم که برابر با ۴ است.", "بعد √(۹) را محاسبه می‌کنیم که برابر با ۳ است.", "حالا نتایج را با هم ترکیب می‌کنیم: ۶ + ۴ - ۳.", "نتیجه نهایی برابر با ۷ است.", "✅ جواب: ۷"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "ریشهٔ nام", "مقایسه توان‌های گویا"], {"example": "الف) یکی از علامت‌های > یا < یا = را در جای □ قرار دهید: ۴³ □ ۴⁴", "steps": ["برای مقایسه ۴³ و ۴⁴ چون پایه‌ها برابر است، توان‌ها را مقایسه می‌کنیم: ۳ < ۴ پس ۴³ < ۴⁴.", "بنابراین علامت مناسب < است.", "✅ جواب: ۴³ < ۴⁴"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "ریشهٔ nام", "تعیین تساوی توان‌های گویا"], {"intro": "۱. مقدار a و n را تعیین کنید. ۲. بررسی کنید که آیا aⁿ و (aⁿ) به توانِ (۱/n) برابر هستند.", "steps": ["اگر a ≥ ۰ باشد، طبق جدول n√(aⁿ) = a.", "همچنین (n√a)ⁿ = a.", "پس تساوی برقرار است.", "اگر a < ۰ و n زوج باشد، n√(aⁿ) تعریف نشده است ولی (n√a)ⁿ ممکن است تعریف شده باشد.", "بنابراین تساوی برقرار نیست.", "✅ جواب: برای a<۰ و n زوج، تساوی برقرار نیست."]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "ریشهٔ nام", "ساده‌سازی عبارت‌های رادیکالی"], {"example": "ساده‌سازی عبارت √(۵۰) × √(۲)", "steps": ["عبارت را به صورت √(۵۰ × ۲) بنویسیم.", "محاسبه کنیم: ۵۰ × ۲ = ۱۰۰.", "حالا داریم √(۱۰۰).", "ساده‌سازی می‌کنیم: √(۱۰۰) = ۱۰.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "توان‌های گویا", "تعریف توان‌های گویا"], {"intro": "برای هر عدد طبیعی n ≥ ۱، عدد مثبت a را چنین تعریف می‌کنیم: a به توانِ (۱/n) = √[n]{a}. این رابطه را می‌توان برای توان‌های دیگر نیز تعریف کرد."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "توان‌های گویا", "استفاده از نمادهای کسری"], {"example": "اگر a = ۱۶ و b = ۴ باشد، مقدار a به توان ۱/۲ را محاسبه کنید.", "steps": ["ابتدا مقدار a را که برابر با ۱۶ است، در نظر می‌گیریم.", "سپس، برای محاسبه a به توان ۱/۲، باید ریشه دوم ۱۶ را پیدا کنیم.", "ریشه دوم ۱۶ برابر با ۴ است.", "بنابراین، a به توان ۱/۲ برابر با ۴ می‌شود.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری (۱)", "اتحاد مربع تفاضل"], {"intro": "برای تجزیه عبارت به صورت اتحاد مربع تفاضل، از فرمول (a-b)² = a² - ۲ab + b² استفاده کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری (۱)", "اتحاد مربع مجموع"], {"intro": "برای تجزیه عبارت به صورت اتحاد مربع مجموع، از فرمول (a+b)² = a² + ۲ab + b² استفاده کنید.", "example": "عبارت ۹x² + ۳۰xy + ۲۵y² را به صورت اتحاد مربع مجموع تجزیه کنید.", "steps": ["ابتدا می‌بینیم که ۹x² = (۳x)² و ۲۵y² = (۵y)² است.", "سپس ۳۰xy را بررسی می‌کنیم که برابر با ۲ × ۳x × ۵y است.", "بنابراین می‌توانیم بنویسیم: ۹x² + ۳۰xy + ۲۵y² = (۳x + ۵y)².", "عبارت را به صورت اتحاد مربع مجموع تجزیه کردیم.", "✅ جواب: (۳x + ۵y)²"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری (۱)", "تجزیه عبارت‌های جبری"], {"example": "عبارت ۸x³ - ۲۷ را به صورت ضرب دو عبارت تجزیه کنید.", "steps": ["توجه کنید که ۸x³ = (۲x)³ و ۲۷ = ۳³ است.", "از فرمول اتحاد مکعب تفاضل استفاده می‌کنیم: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)", "a = ۲x و b = ۳ را جایگذاری می‌کنیم:", "۸x³ - ۲۷ = (۲x)³ - ۳³ = (۲x - ۳)((۲x)² + ۲x*۳ + ۳²)", "توان‌ها و ضرب‌ها را محاسبه می‌کنیم:", "= (۲x - ۳)(۴x² + ۶x + ۹) بنابراین تجزیه عبارت ۸x³ - ۲۷ برابر است با (۲x - ۳)(۴x² + ۶x + ۹).", "✅ جواب: (۲x − ۳)(۴x² + ۶x + ۹)"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری (۲)", "اتحادها"], {"steps": ["گام اول: عبارت را به صورت جمع چند جمله‌ای بنویسیم:", "۲x² + ۳x + ۱ = x² + ۲x + ۱ + x² + x", "گام دوم: گروه‌بندی کنیم:", "= (x + ۱)² + x(x + ۱)", "گام سوم: عامل مشترک (x + ۱) را بگیریم:", "= (x + ۱)(x + ۱ + x) = (x + ۱)(۲x + ۱)", "✅ جواب: (x + ۱)(۲x + ۱)"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "چندضلعی و متوازی‌الاضلاع", "محاسبه تعداد قطرهای یک چندضلعی"], {"intro": "۱. تعداد رأس‌های چندضلعی را n در نظر می‌گیریم.\n۲. هر رأس می‌تواند به رأس‌های غیرمجاور خود پاره‌خطی رسم کند که به آن قطر گفته می‌شود.\n۳. از هر رأس نمی‌توان به خودش و دو رأس مجاور پاره‌خط رسم کرد، پس تعداد قطرهای قابل رسم از هر رأس برابر است با n-۳.\n۴. چون این کار برای هر n رأس انجام می‌شود، تعداد کل قطرها برابر است با n(n-۳).\n۵. این فرمول برای هر چندضلعی ساده و محدب معتبر است."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "چندضلعی و متوازی‌الاضلاع", "تشخیص نوع چهارضلعی با استفاده از ویژگی‌های موازی بودن اضلاع و اندازه زوایا"], {"intro": "۱. بررسی موازی بودن اضلاع مقابل: اگر دو ضلع مقابل موازی باشند، شکل متوازی‌الاضلاع است.\n۲. بررسی اندازه زوایا: اگر همه زوایا قائمه باشند، شکل مستطیل است.\n۳. بررسی اندازه اضلاع: اگر همه اضلاع برابر باشند، شکل لوزی است.\n۴. ترکیب شرایط مستطیل و لوزی: اگر همه اضلاع برابر و همه زوایا قائمه باشند، شکل مربع است."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "چندضلعی و متوازی‌الاضلاع", "اثبات ویژگی‌های متوازی‌الاضلاع با استفاده از رسم قطر و بررسی مثلث‌ها"], {"intro": "۱. رسم یکی از قطرهای متوازی‌الاضلاع.\n۲. تقسیم شکل به دو مثلث با استفاده از قطر رسم شده.\n۳. اثبات هم‌نهشتی دو مثلث با استفاده از شرایط مثلث (مانند دو ضلع و زاویه بین آن‌ها).\n۴. نتیجه‌گیری از هم‌نهشتی مثلث‌ها برای اثبات موازی بودن و برابر بودن اضلاع مقابل."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "چندضلعی و متوازی‌الاضلاع", "اثبات متوازی‌الاضلاع با استفاده از برابری اضلاع مقابل"], {"intro": "۱. در یک چهارضلعی ABCD، قطر BD را رسم کنید.\n۲. مثلث‌های ABD و CDB را بررسی کنید.\n۳. اگر این دو مثلث هم‌نهشت باشند، آنگاه زاویه‌ها و اضلاع مربوطه برابرند.\n۴. از برابری اضلاع و زاویه‌ها نتیجه می‌گیریم که اضلاع مقابل متوازی‌الاضلاع برابرند.\n۵. بنابراین، چهارضلعی ABCD متوازی‌الاضلاع است."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "زاویه‌ها در متوازی‌الاضلاع", "اثبات مکمل بودن زوایای مجاور در متوازی‌الاضلاع"], {"intro": "۱. در متوازی‌الاضلاع، دو زاویه مجاور را در نظر بگیرید.\n۲. مجموع این دو زاویه برابر ۱۸۰ درجه است زیرا خط‌های موازی و خط قطع‌کننده ایجاد زاویه‌های متقابل و داخلی می‌کنند.\n۳. بنابراین، هر دو زاویه مجاور مکمل یکدیگرند."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "زاویه‌ها در متوازی‌الاضلاع", "اثبات متوازی‌الاضلاع با استفاده از زوایای مکمل"], {"intro": "۱. در یک چهارضلعی، اگر هر دو زاویه مجاور مکمل باشند، ضلع مقابل آن‌ها موازی است.\n۲. با اثبات موازی بودن دو ضلع مقابل، چهارضلعی متوازی‌الاضلاع است.\n۳. از رابطه مکمل بودن زوایا استفاده کرده و موازی بودن اضلاع را نتیجه می‌گیریم."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "زاویه‌ها در متوازی‌الاضلاع", "اثبات برابری زاویه‌های مقابل در متوازی‌الاضلاع"], {"intro": "۱. در متوازی‌الاضلاع، هر دو زاویه مقابل برابر هستند.\n۲. با استفاده از قضیه مکمل بودن زوایا و مجموع زوایای داخلی چهارضلعی، برابری زاویه‌های مقابل را اثبات می‌کنیم.\n۳. این برابری را می‌توان با استفاده از قضیه‌های قبلی و روابط زاویه‌ای نشان داد."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "زاویه‌ها در متوازی‌الاضلاع", "اثبات برابری نیمه‌های قطرهای متوازی‌الاضلاع"], {"intro": "۱. در متوازی‌الاضلاع، قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند.\n۲. دو قطر را رسم کرده و نقطه تقاطع آن‌ها را O نام‌گذاری می‌کنیم.\n۳. مثلث‌های تشکیل شده توسط قطرها را با استفاده از معیارهای برابری مثلث‌ها بررسی می‌کنیم.\n۴. برابری نیمه‌های قطرها را نتیجه می‌گیریم."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "زاویه‌ها در متوازی‌الاضلاع", "اثبات متوازی‌الاضلاع بودن با استفاده از نصف شدن قطرها"], {"intro": "۱. فرض کنید در یک چهارضلعی دو قطر همدیگر را نصف کنند.\n۲. نشان دهید که این شرط باعث می‌شود چهارضلعی متوازی‌الاضلاع باشد.\n۳. از تعریف متوازی‌الاضلاع و ویژگی‌های آن استفاده کنید تا اثبات را کامل کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "قطرها و چهارضلعی‌های خاص", "اثبات متوازی‌الاضلاع با استفاده از قطرها"], {"intro": "۱. دو قطر چندضلعی را رسم کنید.\n۲. نشان دهید که هر قطر، نصف قطر دیگر است.\n۳. مثلث‌های تشکیل شده توسط این قطرها را بررسی کنید.\n۴. با استفاده از معیارهای هم‌نهشتی مثلث‌ها (زاویه‌ها و اضلاع متناظر)، اثبات کنید که مثلث‌ها هم‌نهشت هستند.\n۵. نتیجه بگیرید که چهارضلعی متوازی‌الاضلاع است زیرا قطرهای آن یکدیگر را نصف می‌کنند."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "قطرها و چهارضلعی‌های خاص", "ویژگی‌های مستطیل و لوزی با استفاده از قطرها"], {"intro": "۱. در مستطیل یا لوزی، دو قطر را رسم کنید.\n۲. مثلث‌های تشکیل شده توسط این قطرها را بررسی کنید.\n۳. با استفاده از معیارهای هم‌نهشتی مثلث‌ها، نشان دهید که دو مثلث هم‌نهشت هستند.\n۴. نتیجه بگیرید که قطرها برابرند یا خاصیت دیگری دارند که ویژگی‌های مستطیل یا لوزی را اثبات می‌کند.", "steps": ["M وسط BC و وسط AD است، یعنی قطرهای AD و BC یکدیگر را نصف می‌کنند؛ پس ABDC متوازی‌الاضلاع است.", "زاویهٔ A قائمه است، پس این متوازی‌الاضلاع مستطیل است.", "قطرهای مستطیل برابرند: AD = BC، و AM = AD/۲.", "✅ جواب: ABDC مستطیل است و AM = BC/۲."]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "قطرها و چهارضلعی‌های خاص", "بررسی ویژگی‌های چهارضلعی‌های خاص با استفاده از مثلث قائم‌الزاویه و نیمساز"], {"intro": "۱. در مثلث قائم‌الزاویه، نیمساز وتر را رسم کنید.\n۲. نقطه‌ای روی نیمساز وتر را طوری انتخاب کنید که فاصله آن از دو سر وتر برابر باشد.\n۳. با استفاده از این نقطه و ویژگی‌های مثلث قائم‌الزاویه، چهارضلعی ساخته شده را بررسی کنید.\n۴. با اثبات تساوی اضلاع و زوایا، نوع چهارضلعی (متوازی‌الاضلاع، مستطیل و غیره) را تعیین کنید.\n۵. رابطه بین اندازه نیمساز وتر و ضلع مقابل را بیان کنید.\n۶. نتیجه‌گیری درباره قطرها و زوایای چهارضلعی انجام دهید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "ذوزنقه و مستطیل", "بررسی زوایا و اضلاع در ذوزنقه متساوی الساقین"], {"intro": "۱. رسم ذوزنقه متساوی الساقین ABCD با AD=BC. ۲. رسم خط موازی ساق AD از رأس B تا قطع قاعده DC در نقطه E. ۳. بررسی چهارضلعی ABED و اثبات متوازی الاضلاع بودن آن با استفاده از موازی بودن اضلاع و برابر بودن طول‌ها. ۴. نتیجه‌گیری برابری زاویه‌های ∠D و ∠E و همچنین ∠C و ∠D با استفاده از خواص متوازی الاضلاع و ذوزنقه متساوی الساقین. ۵. اثبات برابری طول BC و BE و استفاده از آن برای اثبات برابری زاویه‌ها."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "ذوزنقه و مستطیل", "برابر بودن قطرها و اضلاع در ذوزنقه متساوی الساقین"], {"intro": "۱. در ذوزنقه متساوی الساقین، قطرها برابر و بر عکس هم هستند. ۲. برای اثبات این ویژگی، از دو مثلث تشکیل شده توسط قطرها استفاده می‌کنیم. ۳. با استفاده از برابری اضلاع موازی و زاویه‌های مجاور، دو مثلث را هم‌نهشت نشان می‌دهیم. ۴. نتیجه می‌گیریم که قطرها برابرند و زاویه‌های مجاور به قاعده برابرند."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "ذوزنقه و مستطیل", "برابر بودن قطرها و زاویه‌ها در چهارضلعی‌های خاص"], {"intro": "۱. در چهارضلعی‌های خاص مانند متوازی‌الاضلاع و متساوی‌الاضلاع، قطرها و زاویه‌ها ویژگی‌های خاصی دارند. ۲. با استفاده از برابری اضلاع و زاویه‌ها و هم‌نهشتی مثلث‌های تشکیل شده توسط قطرها، می‌توان برابری اندازه‌ها را اثبات کرد. ۳. در صورت برابری اضلاع و زاویه‌های متناظر، اندازه سایر اضلاع و زاویه‌ها نیز برابر خواهد بود."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "ذوزنقه و مستطیل", "اثبات مستطیل بودن چهارضلعی با استفاده از نیمسازهای داخلی متوازی‌الاضلاع"], {"intro": "۱. در متوازی‌الاضلاع، نیمسازهای داخلی از تقاطع دو نیمساز زاویه‌های مجاور تشکیل می‌شوند. ۲. با بررسی اندازه و برابری این نیمسازها و زاویه‌های تشکیل شده، می‌توان ویژگی‌های چهارضلعی جدید را تعیین کرد. ۳. اگر نیمسازها به گونه‌ای باشند که زاویه‌های داخلی چهارضلعی جدید ۹۰ درجه شوند، آن چهارضلعی مستطیل خواهد بود. ۴. اثبات با استفاده از برابری اضلاع و زاویه‌های داخلی انجام می‌شود."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مثلث قائم‌الزاویه‌ی خاص و وسط‌ها", "مثلث قائم‌الزاویه با زاویه‌های خاص و نسبت اضلاع"], {"intro": "۱. در مثلث قائم‌الزاویه با زاویه ۳۰ درجه، ضلع مقابل آن نصف وتر است.\n۲. ضلع مقابل زاویه ۶۰ درجه برابر است با رادیکال ۳ تقسیم بر ۲ ضرب در وتر.\n۳. با استفاده از قضیه فیثاغورث طول ضلع سوم را محاسبه کنید.\n۴. برای رسم میانه یا نیمساز، نقطه وسط ضلع مقابل را پیدا کرده و خط را رسم کنید.\n۵. در مثلث‌های با زاویه‌های خاص، نسبت اضلاع را به کار ببرید تا طول‌ها را بیابید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مثلث قائم‌الزاویه‌ی خاص و وسط‌ها", "رسم مثلث قائم‌الزاویه با زاویه ۴۵ درجه و نسبت اضلاع"], {"intro": "۱. در مثلث قائم‌الزاویه با زاویه ۴۵ درجه، اضلاع دو ضلع قائم برابرند.\n۲. ضلع مقابل زاویه ۴۵ درجه برابر است با وتر تقسیم بر رادیکال ۲.\n۳. برای رسم، زاویه ۴۵ درجه را رسم کرده و طول اضلاع قائم را برابر با رادیکال ۲ تقسیم بر ۲ ضرب در وتر قرار دهید.\n۴. میانه و نیمساز را با توجه به وسط اضلاع رسم کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مثلث قائم‌الزاویه‌ی خاص و وسط‌ها", "محاسبه ارتفاع و رسم میانه در مثلث قائم‌الزاویه با زاویه ۱۵ درجه"], {"intro": "۱. زاویه‌های مثلث را مشخص کنید و زاویه ۱۵ درجه را در نظر بگیرید.\n۲. میانه را از راس مقابل وتر رسم کنید.\n۳. ارتفاع را از راس زاویه ۱۵ درجه به وتر رسم کنید.\n۴. با استفاده از نسبت‌های مثلث قائم‌الزاویه و قوانین مثلثات طول ارتفاع و میانه را محاسبه کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مثلث قائم‌الزاویه‌ی خاص و وسط‌ها", "اثبات موازی بودن خطوط در متوازی‌الاضلاع و رابطه طول‌ها"], {"intro": "۱. نقاط وسط اضلاع متوازی‌الاضلاع را مشخص کنید.\n۲. خطوطی که از این نقاط رسم می‌شوند را بررسی کنید.\n۳. با استفاده از تعریف متوازی‌الاضلاع و ویژگی‌های آن، موازی بودن خطوط را اثبات کنید.\n۴. با استفاده از تساوی مثلث‌ها یا روابط برداری، نسبت طول‌ها را اثبات کنید.", "steps": ["AM = AB/۲ و NC = CD/۲ و AB = CD، پس AM = NC.", "AM روی AB و NC روی CD است و AB ∥ CD، پس AM ∥ NC.", "چهارضلعی AMCN یک جفت ضلع مقابل موازی و برابر دارد.", "✅ جواب: AMCN متوازی‌الاضلاع است، پس AN ∥ MC."]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مثلث قائم‌الزاویه‌ی خاص و وسط‌ها", "اثبات تشکیل متوازی‌الاضلاع از اتصال وسط‌های اضلاع چهارضلعی"], {"intro": "۱. نقاط وسط هر ضلع چهارضلعی را مشخص کنید.\n۲. این نقاط را به ترتیب به هم وصل کنید.\n۳. با استفاده از ویژگی‌های برداری یا هندسی، نشان دهید که شکل حاصل متوازی‌الاضلاع است.\n۴. بررسی کنید که چه ویژگی‌هایی باید در چهارضلعی اولیه باشد تا شکل حاصل مستطیل یا لوزی شود.\n۵. رابطه بین محیط چهارضلعی اولیه و محیط متوازی‌الاضلاع حاصل را بررسی کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مساحت مثلث و چهارضلعی‌ها", "محاسبه مساحت مثلث با استفاده از قاعده و ارتفاع"], {"intro": "۱. ضلع قاعده مثلث را مشخص کنید.\n۲. ارتفاع مربوط به آن ضلع (ارتفاع‌نظیر) را پیدا کنید.\n۳. فرمول مساحت مثلث را به صورت S = (۱/۲) × قاعده × ارتفاع به کار ببرید.\n۴. مقادیر قاعده و ارتفاع را در فرمول جایگذاری و محاسبه کنید.", "example": "فرض کنیم اندازه هر ضلع مثلث متساوی‌الاضلاع ABC برابر a باشد. ارتفاع AH را رسم می‌کنیم. ارتفاع AH میانه نیز است. با کمک قضیه فیثاغورس نشان دهید AH = (a√۳)/۲ و مساحت مثلث ABC را به دست آورید.", "steps": ["مثلث ABC متساوی‌الاضلاع است، بنابراین هر ضلع برابر a است.", "ارتفاع AH از راس A به ضلع BC رسم شده است و چون مثلث متساوی‌الاضلاع است، AH میانه نیز هست.", "مثلث AHB قائم‌الزاویه است، با استفاده از قضیه فیثاغورس:", "AB² = AH² + BH²", "a² = AH² + (a/۲)²", "✅ جواب: AH = (a√۳)/۲ ، مساحت = (a²√۳)/۴"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مساحت مثلث و چهارضلعی‌ها", "محاسبه مساحت چهارضلعی با استفاده از قطرها و ارتفاع"], {"intro": "۱. چهارضلعی را به دو مثلث با استفاده از یکی از قطرها تقسیم کنید.\n۲. ارتفاع مربوط به هر مثلث را مشخص کنید.\n۳. مساحت هر مثلث را با فرمول مساحت مثلث محاسبه کنید.\n۴. مجموع مساحت دو مثلث را به عنوان مساحت چهارضلعی به دست آورید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مساحت مثلث و چهارضلعی‌ها", "محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع با استفاده از قاعده و ارتفاع"], {"intro": "۱. یکی از اضلاع متوازی‌الاضلاع را به عنوان قاعده انتخاب کنید.\n۲. ارتفاع مربوط به آن ضلع را مشخص کنید.\n۳. فرمول مساحت متوازی‌الاضلاع را به صورت S = قاعده × ارتفاع به کار ببرید.\n۴. مقادیر قاعده و ارتفاع را در فرمول جایگذاری و محاسبه کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مساحت مثلث و چهارضلعی‌ها", "محاسبه مساحت ذوزنقه با استفاده از قاعده‌ها و ارتفاع"], {"intro": "۱. دو قاعده ذوزنقه را مشخص کنید (a و b).\n۲. ارتفاع ذوزنقه (h) را تعیین کنید.\n۳. فرمول مساحت ذوزنقه را به صورت S = ((a + b) / ۲) × h به کار ببرید.\n۴. مقادیر قاعده‌ها و ارتفاع را در فرمول جایگذاری و محاسبه کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مساحت مثلث و چهارضلعی‌ها", "محاسبه مساحت لوزی با استفاده از قطرها"], {"intro": "۱. اندازه دو قطر لوزی را مشخص کنید (m و n).\n۲. فرمول مساحت لوزی را به صورت S = (۱/۲) × m × n به کار ببرید.\n۳. مقادیر قطرها را در فرمول جایگذاری و محاسبه کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "نسبت مساحت‌ها", "نسبت مساحت مثلث‌های متشابه با توجه به نسبت قاعده‌ها و ارتفاع‌ها"], {"intro": "ویژگی ۱: اگر دو مثلث قاعده‌های برابر داشته باشند، نسبت مساحت آن‌ها برابر نسبت ارتفاع‌های متقابل قاعده‌ها است.\nویژگی ۲: اگر دو مثلث ارتفاع‌های برابر داشته باشند، نسبت مساحت آن‌ها برابر نسبت قاعده‌های متقابل ارتفاع‌ها است.\nبرای حل مسائل، ابتدا قاعده‌ها و ارتفاع‌ها را مشخص می‌کنیم، سپس با توجه به ویژگی‌های گفته شده نسبت مساحت‌ها را محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "نسبت مساحت‌ها", "ثابت کردن هم‌نهشتی و نسبت‌های طولی در مثلث با استفاده از نقاط میانه"], {"intro": "۱. رسم میانه‌ها و نقاط میانه در مثلث داده شده.\n۲. استفاده از تعریف نقطه میانه برای تعیین نسبت‌های طولی بین بخش‌های تقسیم شده توسط میانه‌ها.\n۳. اثبات هم‌نهشتی مثلث‌های کوچکتر با استفاده از نسبت‌های طولی و موازی بودن خطوط.\n۴. نتیجه‌گیری نسبت‌های طولی بین بخش‌های مختلف مثلث و اثبات ویژگی‌های خواسته شده."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "نسبت مساحت‌ها", "تقسیم مساحت مثلث به بخش‌های مساوی با استفاده از میانه‌ها"], {"intro": "۱. رسم سه میانه مثلث و تعیین نقاط میانه.\n۲. تقسیم مثلث به شش مثلث کوچکتر توسط میانه‌ها.\n۳. اثبات اینکه این شش مثلث دارای مساحت‌های مساوی هستند با استفاده از نسبت‌های طولی و ویژگی‌های میانه.\n۴. نتیجه‌گیری اینکه سه میانه مثلث، مثلث‌های کوچکتر با مساحت مساوی ایجاد می‌کنند."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "نسبت مساحت‌ها", "اثبات برابری مساحت مثلث‌ها با استفاده از خطوط موازی و نقاط تقاطع"], {"intro": "۱. فرض کنید دو خط موازی AB و CD داریم که دو خط BD و AC در نقطه O تقاطع دارند.\n۲. با استفاده از ویژگی خطوط موازی و نقاط تقاطع، مثلث‌های ADC و BDC را بررسی کنید.\n۳. اثبات کنید که مساحت مثلث ADC برابر با مساحت مثلث BDC است.\n۴. سپس نشان دهید که مساحت مثلث OAD برابر با مساحت مثلث OBC است با توجه به موقعیت نقطه O و خطوط موازی."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مثلث متساوی‌الاضلاع و نقاط شبکه‌ای", "محاسبه مساحت مثلث‌های داخل مثلث متساوی‌الساقین"], {"intro": "۱. در مثلث متساوی‌الساقین ABC که AB=AC است، نقطه دلخواه M را روی ضلع BC در نظر می‌گیریم. ۲. از نقطه M، عمودهایی بر ساق‌های AB و AC رسم می‌کنیم که نقاط برخورد را به ترتیب G و H می‌نامیم. ۳. مساحت مثلث‌های AMB و AMC را با استفاده از قاعده و ارتفاع محاسبه می‌کنیم. ۴. مساحت کل مثلث ABC را نیز محاسبه می‌کنیم. ۵. رابطه بین مساحت‌ها را بررسی می‌کنیم و نتیجه می‌گیریم که مجموع مساحت‌های مثلث‌های کوچکتر برابر مساحت مثلث بزرگ است یا رابطه دیگری برقرار است."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مثلث متساوی‌الاضلاع و نقاط شبکه‌ای", "رابطه فواصل نقاط داخلی مثلث متساوی‌الاضلاع با اضلاع"], {"intro": "۱. در مثلث متساوی‌الاضلاع ABC، نقطه دلخواه M را درون مثلث در نظر می‌گیریم. ۲. از نقطه M، سه عمود بر اضلاع مثلث رسم می‌کنیم که نقاط برخورد را G، H و N می‌نامیم. ۳. فواصل MH، MN و MG را محاسبه می‌کنیم. ۴. مساحت‌های مثلث‌های MAC، MBC و MAB را با استفاده از قاعده و ارتفاع محاسبه می‌کنیم. ۵. مجموع این مساحت‌ها را با مساحت مثلث ABC مقایسه می‌کنیم. ۶. نتیجه می‌گیریم که مجموع فواصل MH + MN + MG برابر ارتفاع مثلث متساوی‌الاضلاع است و این مقدار برابر سه برابر فاصله نقطه داخلی از اضلاع است."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مثلث متساوی‌الاضلاع و نقاط شبکه‌ای", "محاسبه اندازه ضلع مثلث متساوی‌الاضلاع با استفاده از فاصله نقاط داخلی"], {"intro": "۱. فرض کنید مثلث متساوی‌الاضلاع با ضلع مجهول x باشد.\n۲. نقطه M داخل مثلث است که فاصله‌های آن از سه ضلع به ترتیب ۴، ۲ و ۶ واحد است.\n۳. با توجه به خاصیت مثلث متساوی‌الاضلاع و رابطه فاصله نقطه داخلی به اضلاع، مجموع این فاصله‌ها برابر ارتفاع مثلث است.\n۴. ارتفاع مثلث متساوی‌الاضلاع با ضلع x برابر است با (√۳/۲)*x.\n۵. معادله ۴ + ۲ + ۶ = (√۳/۲)*x را بنویسید.\n۶. مقدار x را با حل معادله بدست آورید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مثلث متساوی‌الاضلاع و نقاط شبکه‌ای", "شناسایی و شمارش نقاط شبکه‌ای روی رأس‌ها و داخل چندضلعی‌ها"], {"intro": "۱. نقاط شبکه‌ای نقاطی هستند که روی خطوط افقی و عمودی با فاصله یک واحد قرار دارند.\n۲. رأس‌های چندضلعی نقاطی هستند که گوشه‌های چندضلعی را تشکیل می‌دهند.\n۳. نقاط مرزی شامل رأس‌ها و نقاط روی اضلاع چندضلعی هستند.\n۴. نقاط درونی نقاطی هستند که داخل چندضلعی قرار دارند و روی اضلاع نیستند.\n۵. برای شمارش نقاط مرزی و درونی، ابتدا نقاط رأس را مشخص کنید، سپس نقاط روی اضلاع را بشمارید و در نهایت نقاط داخل چندضلعی را با توجه به مختصات شبکه تعیین کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مثلث متساوی‌الاضلاع و نقاط شبکه‌ای", "شناسایی رابطه بین تعداد نقاط مرزی و درونی شبکه‌ای و مساحت چندضلعی شبکه‌ای"], {"intro": "۱. تعداد نقاط مرزی چندضلعی شبکه‌ای را با b و تعداد نقاط درونی را با i نشان می‌دهیم.\n۲. فرمول پیکسل برای محاسبه مساحت چندضلعی شبکه‌ای به صورت: مساحت = i + (b/۲) - ۱ است.\n۳. با داشتن تعداد نقاط مرزی و درونی، مساحت چندضلعی را محاسبه می‌کنیم.\n۴. این رابطه به صورت شهودی و با استفاده از نقاط شبکه‌ای روی چندضلعی اثبات می‌شود."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مثلث متساوی‌الاضلاع و نقاط شبکه‌ای", "محاسبه مساحت چندضلعی‌های شبکه‌ای با استفاده از فرمول پیک"], {"intro": "۱. تعداد نقاط مرزی (b) و نقاط درونی (i) چندضلعی را بشمارید.\n۲. از فرمول پیک استفاده کنید: S = b/۲ + i - ۱\n۳. مقادیر b و i را در فرمول جایگذاری کنید.\n۴. محاسبه را انجام دهید تا مساحت چندضلعی به دست آید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مساحت چندضلعی‌های مختصاتی", "محاسبه مساحت چندضلعی‌های مختصاتی با استفاده از فرمول پیک"], {"intro": "۱. تعداد نقاط مرزی (b) چندضلعی را بشمارید. ۲. تعداد نقاط درونی (i) چندضلعی را بشمارید. ۳. از فرمول پیک برای محاسبه مساحت استفاده کنید: مساحت = i + b/۲ - ۱. ۴. مقادیر به دست آمده را در فرمول جایگذاری کنید و مساحت را محاسبه کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مساحت چندضلعی‌های مختصاتی", "محاسبه مساحت لوزی با استفاده از ضلع و نسبت قطرها"], {"intro": "۱. طول ضلع لوزی را داشته باشید.\n۲. نسبت طول دو قطر را به صورت عددی بدانید.\n۳. با توجه به نسبت، طول هر قطر را بر حسب ضلع محاسبه کنید.\n۴. مساحت لوزی برابر است با نصف حاصل‌ضرب دو قطر.\n۵. مقدار مساحت را با جایگذاری طول قطرها محاسبه کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مساحت چندضلعی‌های مختصاتی", "بررسی عمود بودن قطرهای چهارضلعی و محاسبه مساحت"], {"intro": "۱. شرایط چهارضلعی را بررسی کنید (برابر بودن اضلاع، نیمساز بودن زاویه‌ها).\n۲. بررسی کنید که آیا قطرها بر هم عمود هستند با استفاده از ویژگی‌های زاویه‌ها و اضلاع.\n۳. اگر قطرها عمود باشند، مساحت چهارضلعی برابر نصف حاصل‌ضرب دو قطر است.\n۴. مساحت را با جایگذاری طول قطرها محاسبه کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مساحت چندضلعی‌های مختصاتی", "محاسبه مساحت متوازی‌الاضلاع‌های موازی با خطوط داده شده"], {"intro": "۱. دو متوازی‌الاضلاع موازی با خطوط d و d' را در نظر بگیرید.\n۲. اگر مساحت یکی از متوازی‌الاضلاع برابر S باشد، مساحت متوازی‌الاضلاع دیگر را با توجه به نسبت طول‌ها یا ویژگی‌های هندسی محاسبه کنید.\n۳. از رابطه‌های مساحت و ویژگی‌های متوازی‌الاضلاع برای یافتن مساحت مجهول استفاده کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مساحت چندضلعی‌های مختصاتی", "محاسبه مساحت ذوزنقه با استفاده از دو قاعده و زاویه مجاور"], {"intro": "۱. طول دو قاعده ذوزنقه را داشته باشید (a و b).\n۲. زاویه مجاور به یکی از قاعده‌ها (مثلاً ۴۵ درجه) را بدانید.\n۳. ارتفاع ذوزنقه را با استفاده از قاعده و زاویه محاسبه کنید (ارتفاع = b * sin زاویه).\n۴. مساحت ذوزنقه برابر است با نصف حاصل‌ضرب مجموع دو قاعده در ارتفاع.\n۵. مقدار مساحت را با جایگذاری اعداد محاسبه کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "اثبات‌های مساحت", "اثبات برابری مساحت ذوزنقه به دو روش مختلف"], {"intro": "۱. مساحت ذوزنقه را با استفاده از فرمول مساحت ذوزنقه محاسبه کنید.\n۲. مساحت را با استفاده از تقسیم ذوزنقه به مثلث‌ها یا مستطیل‌ها و جمع مساحت آن‌ها محاسبه کنید.\n۳. دو مقدار مساحت به دست آمده را با هم مقایسه و برابری آن‌ها را اثبات کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "اثبات‌های مساحت", "نشان دادن نسبت مساحت مثلث خاص در متوازی‌الاضلاع"], {"intro": "۱. در متوازی‌الاضلاع ABCD، نقطه M وسط ضلع BC است.\n۲. خط AM قطر BD را در نقطه N قطع می‌کند.\n۳. مثلث BMN را در نظر بگیرید.\n۴. با استفاده از ویژگی‌های متوازی‌الاضلاع و نسبت‌های طولی، نسبت مساحت مثلث BMN به مساحت متوازی‌الاضلاع ABCD را محاسبه کنید.\n۵. نتیجه را به صورت کسر یا عدد بیان کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "اثبات‌های مساحت", "محاسبه نسبت مساحت مثلث‌های مشابه در مثلث ABC"], {"intro": "۱. با توجه به اینکه خط MN موازی ضلع BC است، مثلث AMN و مثلث ABC مشابه هستند.\n۲. نسبت طول‌های متناظر را با توجه به داده‌ها تعیین کنید (AM/MB = ۱/۲ و PC/PB = ۱/۳).\n۳. نسبت مساحت مثلث‌های کوچکتر به مثلث بزرگ‌تر برابر مجذور نسبت طول‌های متناظر است.\n۴. مساحت مثلث‌های MQPB و AQN را با استفاده از این نسبت‌ها نسبت به مساحت مثلث ABC محاسبه کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "اثبات‌های مساحت", "محاسبه مساحت قسمت سایه‌زده چندضلعی شبکه‌ای"], {"intro": "۱. تعداد نقاط شبکه داخل چندضلعی داخلی و چندضلعی بیرونی را بشمارید.\n۲. از فرمول پیک استفاده کنید: مساحت = نقاط داخلی + (نقاط مرزی / ۲) - ۱.\n۳. مساحت قسمت سایه‌زده برابر تفاضل مساحت چندضلعی بیرونی و چندضلعی داخلی است.\n۴. با استفاده از تعداد نقاط داخلی و مرزی هر چندضلعی، مساحت هر کدام را محاسبه و سپس تفاضل آن‌ها را بیابید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "اثبات‌های مساحت", "محاسبه مساحت مستطیل شبکه‌ای با ابعاد m و n واحد"], {"intro": "۱. مساحت مستطیل برابر حاصل‌ضرب طول و عرض آن است.\n۲. طول مستطیل برابر m واحد و عرض آن برابر n واحد است.\n۳. مساحت را ابتدا به روش معمول (m × n) محاسبه کنید.\n۴. سپس با استفاده از فرمول پیک (تعداد نقاط داخلی + تعداد نقاط مرزی/۲ - ۱) مساحت را محاسبه کنید.\n۵. نتایج دو روش را مقایسه کنید تا صحت محاسبه را بررسی نمایید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مساحت چندضلعی شبکه‌ای (پیک)", "تشکیل جدول و رسم چندضلعی‌های شبکه‌ای با تعداد نقاط مرزی و داخلی مشخص"], {"intro": "۱. تعداد نقاط مرزی و داخلی را در حالت‌های مختلف تعیین کنید.\n۲. برای هر حالت، شکل چندضلعی شبکه‌ای ممکن را رسم کنید.\n۳. اگر چندضلعی شبکه‌ای مثلث است، شکل آن را رسم کنید.\n۴. در حالتی که بیشترین تعداد نقاط مرزی ممکن است، شکل‌های چهارضلعی را نیز رسم کنید.\n۵. جدول شامل تعداد نقاط مرزی و داخلی و نوع چندضلعی را تنظیم کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مساحت چندضلعی شبکه‌ای (پیک)", "محاسبه مساحت ناحیه چندضلعی با استفاده از جمع مساحت مثلث‌ها"], {"intro": "۱. ناحیه چندضلعی را به تعداد متناهی مثلث تقسیم کنید به طوری که هر دو مثلث اشتراک نداشته باشند یا اشتراک آنها فقط روی ضلع یا رأس باشد.\n۲. مساحت هر مثلث را جداگانه محاسبه کنید.\n۳. مساحت کل ناحیه چندضلعی برابر است با مجموع مساحت‌های مثلث‌ها.\n۴. اگر دو مثلث هم‌نهشت باشند، مساحت‌های آنها برابر است.\n۵. اگر اشتراک دو ناحیه چندضلعی فقط روی ضلع‌ها یا رأس‌ها باشد، مساحت اجتماع آنها برابر مجموع مساحت‌های آن‌ها است."}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "مساحت چندضلعی شبکه‌ای (پیک)", "محاسبه مساحت چندضلعی‌های شبکه‌ای با استفاده از مختصات رئوس"], {"intro": "برای محاسبه مساحت چندضلعی‌ای که رئوس آن روی نقاط شبکه‌ای با مختصات صحیح قرار دارند، از فرمول پیک استفاده می‌کنیم. ابتدا مختصات رئوس چندضلعی را به صورت (x,y) یادداشت می‌کنیم. سپس با استفاده از فرمول S = b/۲ + i - ۱ که در آن b تعداد نقاط روی محیط چندضلعی و i تعداد نقاط داخل چندضلعی است، مساحت را به دست می‌آوریم. اگر چندضلعی مربع یا مستطیل باشد، می‌توان مساحت را با اختلاف مختصات رئوس محاسبه کرد. همچنین برای مثلث‌های متساوی‌الاضلاع شبکه‌ای، فرمول مساحت به صورت S = (m² * √(۳))/۴ است که m طول ضلع مثلث است. در نهایت با توجه به نوع چندضلعی و مختصات رئوس، مساحت را محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "معادلهٔ درجه دوم و روش‌های مختلف حل آن (۱)", "معادله درجه دوم"], {"intro": "۱. معادله را به صورت ax² + bx + c = ۰ بنویسید.\n۲. از روش‌های مختلف مانند تجزیه، مربع کامل یا فرمول کلی برای حل استفاده کنید.\n۳. ریشه‌های معادله را پیدا کنید.", "example": "معادله درجه دوم x² - ۲x - ۳ = ۰ را به روش تجزیه حل کنید.", "steps": ["معادله را به صورت حاصل‌ضرب دو عبارت بنویسید: (x + ۱)(x - ۳) = ۰", "طبق ویژگی حاصل ضرب صفر، داریم:", "x + ۱ = ۰ یا x - ۳ = ۰", "حل معادلات درجه اول:", "x = -۱ یا x = ۳", "صحت جواب‌ها را بررسی می‌کنیم: برای x = -۱: (-۱)² - ۲(-۱) - ۳ = ۱ + ۲ - ۳ = ۰ (صحیح) برای x = ۳: ۳² - ۲(۳) - ۳ = ۹ - ۶ - ۳ = ۰ (صحیح) بنابراین جواب‌های معادله x = -۱ و x = ۳ هستند.", "✅ جواب: x = −۱ یا x = ۳"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "معادلهٔ درجه دوم و روش‌های مختلف حل آن (۱)", "حل معادله درجه دوم به روش تجزیه"], {"intro": "۱. معادله درجه دوم را به صورت ax² + bx + c = ۰ بنویسید.\n۲. معادله را به صورت (x + p)(x + q) = ۰ تجزیه کنید.\n۳. از ویژگی ضرب صفر استفاده کنید: اگر (x + p)(x + q) = ۰، آنگاه x + p = ۰ یا x + q = ۰.\n۴. معادله‌های خطی حاصل را حل کنید تا ریشه‌ها به دست آیند."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "معادلهٔ درجه دوم و روش‌های مختلف حل آن (۱)", "حل معادله درجه دوم به کمک ریشه‌گیری"], {"intro": "۱. معادله درجه دوم را به صورت ax² + bx + c = ۰ بنویسید.\n۲. اگر ممکن است، معادله را تجزیه کنید.\n۳. ریشه‌های معادله را با استفاده از فرمول ریشه‌گیری پیدا کنید: x = (-b ± √(b² - ۴ac)) / (۲a)."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "معادلهٔ درجه دوم و روش‌های مختلف حل آن (۱)", "محاسبه حجم مکعب مستطیل"], {"steps": ["طول مکعب مستطیل ۱۰ سانتی‌متر است.", "عرض مکعب مستطیل ۵ سانتی‌متر است.", "ارتفاع مکعب مستطیل ۲ سانتی‌متر است.", "حجم را با استفاده از فرمول V = طول × عرض × ارتفاع محاسبه می‌کنیم: V = ۱۰ × ۵ × ۲.", "حجم برابر با ۱۰۰ سانتی‌متر مکعب است.", "✅ جواب: ۱۰۰"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "معادلهٔ درجه دوم و روش‌های مختلف حل آن (۱)", "حل معادله درجه دوم به روش مربع کامل"], {"intro": "۱. معادله را به صورت ax² + bx + c = ۰ بنویسید.\n۲. جمله ثابت را به طرف دیگر معادله منتقل کنید.\n۳. ضریب x² را به ۱ تبدیل کنید.\n۴. مربع کامل را به معادله اضافه کنید.\n۵. معادله را به صورت مربع کامل بنویسید.\n۶. ریشه‌ها را با استفاده از جذرگیری پیدا کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "معادلهٔ درجه دوم و روش‌های مختلف حل آن (۲)", "حل معادله درجه دوم"], {"intro": "۱. معادله را به صورت ax² + bx + c = ۰ بنویسید.\n۲. دو طرف معادله را بر a تقسیم کنید.\n۳. به دو طرف معادله (b/۲a)² را اضافه کنید.\n۴. دو طرف معادله را به صورت مربع کامل بنویسید.\n۵. دو طرف معادله را ساده کنید و به صورت (x + b/۲a)² = Δ/۴a² بنویسید.\n۶. با استفاده از فرمول x = -b ± √Δ / ۲a ریشه‌ها را پیدا کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "معادلهٔ درجه دوم و روش‌های مختلف حل آن (۲)", "تجزیه معادله درجه دوم"], {"intro": "۱. معادله را به صورت ax² + bx + c = ۰ بنویسید.\n۲. به دنبال دو عدد باشید که حاصل‌ضربشان برابر ac و مجموعشان برابر b باشد.\n۳. معادله را به صورت دو عبارت خطی تجزیه کنید.\n۴. ریشه‌ها را پیدا کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "معادلهٔ درجه دوم و روش‌های مختلف حل آن (۲)", "حل معادله رادیکالی"], {"example": "حل معادله √(۲x + ۳) = ۵", "steps": ["معادله را به فرم √x = a نوشتیم: √(۲x + ۳) = ۵.", "هر دو طرف معادله را به توان ۲ می‌رسانیم: ۲x + ۳ = ۲۵.", "حالا ۳ را از دو طرف معادله کم می‌کنیم: ۲x = ۲۵ - ۳.", "محاسبه می‌کنیم: ۲x = ۲۲.", "حالا هر دو طرف را بر ۲ تقسیم می‌کنیم: x = ۲۲ ÷ ۲.", "✅ جواب: ۱۱"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "سهمی", "محاسبه رأس سهمی"], {"intro": "۱. معادله سهمی را به صورت y = ax² + bx + c بنویسید.\n۲. مختصات رأس را با استفاده از فرمول x = -b/(۲a) پیدا کنید.\n۳. مقدار y را با جایگذاری x در معادله اصلی پیدا کنید.", "example": "سهمی y = -۲x² + ۴x - ۳ را رسم کنید. در این سهمی a = -۲، b = ۴ و c = -۳ است. مختصات رأس سهمی را به دست آورید و خط تقارن آن را مشخص کنید.", "steps": ["مختصات رأس سهمی را با فرمول x = -b/(۲a) محاسبه می‌کنیم:", "x = -۴ / (۲ * -۲) = -۴ / -۴ = ۱", "مقدار y رأس را با جایگذاری x=۱ در معادله سهمی محاسبه می‌کنیم:", "y = -۲(۱)² + ۴(۱) - ۳ = -۲ + ۴ - ۳ = -۱", "بنابراین رأس سهمی در نقطه (۱, -۱) است.", "✅ جواب: مختصات رأس (۱, -۱) و خط تقارن x=۱"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "سهمی", "رسم نمودار معادله سهمی"], {"example": "معادله سهمی دیگری را که راس آن نقطه A(۰,۱) است، بنویسید و آن را در دستگاه بالا رسم کنید.", "steps": ["راس سهمی A(۰,۱) است، پس معادله به صورت y = a(x - ۰)² + ۱ یا y = ax² + ۱ است.", "برای تعیین a، یک نقطه دیگر از سهمی را نیاز داریم. فرض کنیم نقطه (۱,۲) روی سهمی است.", "جایگذاری در معادله: ۲ = a*(۱)² + ۱ => ۲ = a + ۱ => a = ۱", "معادله سهمی: y = x² + ۱", "نمودار را با استفاده از نقاط (۰,۱), (۱,۲), (-۱,۲) رسم می‌کنیم.", "✅ جواب: y = x² + ۱"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "تعیین علامت (۱)", "تعیین علامت چندجمله‌ای درجه اول"], {"intro": "۱. تابع درجه اول را به صورت y = ax + b بنویسید.\n۲. نقاط بحرانی را پیدا کنید (جایی که y = ۰).\n۳. نمودار تابع را رسم کنید.\n۴. علامت تابع را در بازه‌های مختلف تعیین کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "تعیین علامت (۱)", "تعیین علامت معادله خطی"], {"example": "عبارت y = ۵x - ۲ را در نظر بگیرید. ریشه این عبارت از معادله ۵x - ۲ = ۰ به دست می‌آید که برابر x = ۲/۵ است. با توجه به اینکه علامت ضریب x یعنی ۵، مثبت است، جدول تعیین علامت به صورت زیر است:\n\nx < ۲/۵ | x = ۲/۵ | x > ۲/۵\ny = ۵x - ۲ | - | ۰ | +", "steps": ["معادله y = ۵x - ۲ را در نظر می‌گیریم.", "ریشه معادله ۵x - ۲ = ۰ را حل می‌کنیم: ۵x = ۲ ⇒ x = ۲/۵.", "ضریب x برابر ۵ است که مثبت است.", "محور x را به سه بازه تقسیم می‌کنیم: x < ۲/۵، x = ۲/۵، و x > ۲/۵.", "برای x < ۲/۵، مقدار y منفی است چون ۵x - ۲ < ۰.", "✅ جواب: x=۲/۵ ریشه، y برای x<۲/۵ منفی، برای x>۲/۵ مثبت."]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "تعیین علامت (۲)", "تبدیل واحد دما"], {"intro": "برای تبدیل دما از فارنهایت به سلسیوس از رابطه C = ۵/۹(F - ۳۲) استفاده کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "تعیین علامت (۲)", "رسم نمودار تابع درجه دوم"], {"intro": "برای رسم نمودار y = x² - x - ۲، نقاط بحرانی را پیدا کرده و نمودار را رسم کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "تعیین علامت (۳)", "حل نامعادله‌های کسری"], {"example": "حل نامعادله (x - ۴) / (x + ۲) < ۰ را بیابید.", "steps": ["مخرج کسر را صفر قرار می‌دهیم: x + ۲ = ۰ که x = -۲ است.", "صورت کسر را صفر قرار می‌دهیم: x - ۴ = ۰ که x = ۴ است.", "دو نقطه -۲ و ۴ را روی خط عددی مشخص می‌کنیم و بازه‌ها را به دست می‌آوریم: (-∞, -۲)، (-۲, ۴) و (۴, +∞).", "برای هر بازه علامت کسر را بررسی می‌کنیم: در (-∞, -۲) علامت مثبت، در (-۲, ۴) علامت منفی و در (۴, +∞) علامت مثبت است.", "چون نامعادله < ۰ است، بازه معتبر (-۲, ۴) را انتخاب می‌کنیم.", "✅ جواب: (-۲, ۴)"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "تعیین علامت (۳)", "حل نامعادله‌های قدر مطلق"], {"example": "مجموعه جواب نامعادله |x-۴| < ۵ را بیابید.", "steps": ["نامعادله را به صورت |x-۴| < ۵ می‌نویسیم.", "دو نامعادله x-۴ < ۵ و x-۴ > -۵ را حل می‌کنیم.", "برای نامعادله اول: x-۴ < ۵، با اضافه کردن ۴ به هر دو طرف، داریم x < ۹.", "برای نامعادله دوم: x-۴ > -۵، با اضافه کردن ۴ به هر دو طرف، داریم x > -۱.", "مجموعه جواب را به صورت بازه می‌نویسیم: (-۱, ۹).", "✅ جواب: (-۱, ۹)"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "خط، نقطه و صفحه", "تشخیص رابطه بین خطوط و صفحات"], {"intro": "۱. ابتدا موقعیت خطوط و صفحات را در فضا یا صفحه مشخص کنید.\n۲. بررسی کنید که آیا خطوط در یک صفحه قرار دارند یا خیر.\n۳. اگر خطوط در یک صفحه باشند، می‌توانند موازی یا متقاطع باشند.\n۴. اگر خطوط در صفحات مختلف باشند، نسبت به هم متنافر هستند.\n۵. برای خطوط و صفحات، بررسی کنید که آیا خط در صفحه قرار دارد یا نه.\n۶. نتیجه‌گیری نسبت به موقعیت خطوط و صفحات (موازی، متقاطع، متنافر) را بیان کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "وضعیت خط و صفحه", "تشخیص رابطه بین دو خط در فضا"], {"intro": "۱. دو خط را در فضای سه‌بعدی در نظر بگیرید.\n۲. بررسی کنید که آیا دو خط در یک صفحه قرار دارند یا خیر.\n۳. اگر در یک صفحه باشند، یا موازی یا متقاطع هستند.\n۴. اگر در یک صفحه نباشند، نسبت به هم متنافر هستند.\n۵. نتیجه‌گیری نسبت به موقعیت دو خط در فضا (موازی، متقاطع، متنافر) را بیان کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "وضعیت خط و صفحه", "تشخیص رابطه بین خط و صفحه در فضا"], {"intro": "۱. خط و صفحه را در فضای سه‌بعدی در نظر بگیرید.\n۲. بررسی کنید که آیا خط در صفحه قرار دارد یا خیر.\n۳. اگر خط در صفحه باشد، اشتراک کامل دارند.\n۴. اگر خط و صفحه یک نقطه مشترک داشته باشند، خط متقاطع با صفحه است.\n۵. اگر خط و صفحه هیچ نقطه مشترکی نداشته باشند، خط و صفحه نسبت به هم موازی هستند.\n۶. نتیجه‌گیری نسبت به موقعیت خط و صفحه (موازی، متقاطع، روی صفحه) را بیان کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "وضعیت خط و صفحه", "تعیین تعداد صفحات عبوری خط در فضا"], {"intro": "۱. خط داده شده را در نظر بگیرید.\n۲. بررسی کنید خط با چند صفحه در فضا برخورد می‌کند.\n۳. اگر دو خط موازی باشند، تعداد صفحات مشترک را بررسی کنید.\n۴. اگر دو خط متقاطع باشند، تعداد صفحات مشترک را تعیین کنید.\n۵. از نقطه غیرواقعی در صفحه، خطوط موازی با آن صفحه را رسم کنید و تعداد آن‌ها را بشمارید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "وضعیت خط و صفحه", "بررسی وضعیت خطوط و صفحات در فضا"], {"intro": "۱. دو خط داده شده را در نظر بگیرید که در نقطه A متقاطع هستند و صفحه P شامل نقطه A است.\n۲. حالات مختلف خطوط و صفحه را بررسی کنید:\n الف) هر دو خط در صفحه P باشند.\n ب) یکی از خطوط در صفحه P باشد.\n ج) هیچکدام از خطوط در صفحه P نباشند ولی صفحه P شامل یکی از خطوط باشد.\n۳. با توجه به موقعیت خطوط نسبت به صفحه، وضعیت تقاطع یا موازی بودن را تعیین کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "وضعیت خط و صفحه", "بررسی وضعیت خطوط و صفحات موازی و متقاطع در فضا"], {"intro": "۱. دو خط d و l در فضا را در نظر بگیرید که موازی هستند.\n۲. بررسی کنید اگر صفحه P شامل یکی از این دو خط یا هر دو باشد، نسبت آن‌ها به یکدیگر چگونه است:\n الف) اگر صفحه P شامل یکی از خطوط موازی باشد، خط دیگر نسبت به صفحه چه وضعیتی دارد؟\n ب) اگر صفحه P شامل هر دو خط موازی باشد، نسبت آن‌ها به یکدیگر چیست؟\n ج) اگر صفحه P با یکی از خطوط متقاطع باشد، نسبت آن‌ها به یکدیگر چگونه است؟"}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "عمود بودن در فضا", "تشخیص متقاطع بودن دو خط در مکعب"], {"intro": "۱. دو خط داده شده در مکعب را مشخص کنید.\n۲. بررسی کنید آیا این دو خط در یک صفحه قرار دارند یا خیر.\n۳. اگر در یک صفحه باشند، یا موازی یا متقاطع هستند.\n۴. اگر در صفحات مختلف باشند و هیچ نقطه مشترکی نداشته باشند، خطوط متقاطع هستند.\n۵. نتیجه را بر اساس موقعیت خطوط در مکعب اعلام کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "عمود بودن در فضا", "بررسی نسبت صفحات و خطوط در فضا"], {"intro": "۱. بررسی کنید که آیا دو صفحه نقطه اشتراکی دارند یا خیر. اگر نداشته باشند، نسبت آن‌ها متنافر است.\n۲. اگر دو صفحه در یک خط مشترک باشند، نسبت آن‌ها نسبت به آن خط مشترک بررسی می‌شود. اگر خط اشتراک دو صفحه متقاطع باشد، فصل مشترک آن دو صفحه نامیده می‌شود.\n۳. برای خطوط، بررسی کنید که آیا خطوط موازی، متقاطع یا متنافر هستند با توجه به موقعیت آن‌ها در فضا.\n۴. برای تعیین نسبت یک خط با صفحه، بررسی کنید که آیا خط موازی، متقاطع یا بر صفحه واقع است.\n۵. در مسائل مکعب، از نام‌گذاری رئوس و خطوط استفاده کنید تا نسبت‌ها را دقیق مشخص کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "خط و صفحه در شکل‌ها", "تشخیص و نامگذاری صفحات و نقاط مشترک در شکل‌های فضایی"], {"intro": "۱. شناسایی و نامگذاری صفحات موجود در شکل با توجه به نقاط و خطوط داده شده. ۲. یافتن سه نقطه‌ای که در یک صفحه مشترک باشند با بررسی اشتراک نقاط در صفحات مختلف. ۳. یافتن چهار نقطه‌ای که در یک صفحه نباشند با بررسی اینکه هیچ سه نقطه‌ای از آن‌ها در یک صفحه مشترک نباشند. ۴. بررسی موقعیت نسبی خطوط داده شده نسبت به هم (موازی، متقاطع یا نسبت به هم چه وضعیتی دارند) با توجه به صفحات و نقاط مشترک."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "خط و صفحه در شکل‌ها", "بررسی موقعیت صفحات نسبت به هم و رسم شکل"], {"intro": "۱. فرض کنید دو صفحه P1 و P2 به گونه‌ای هستند که خط d مشترک آن‌هاست. ۲. در حالت الف، اگر صفحه P' موازی با P2 باشد، موقعیت آن نسبت به P2 را بررسی کنید. ۳. در حالت ب، اگر صفحه P' با P2 متقاطع باشد، موقعیت آن را نسبت به P2 بررسی کنید. ۴. رسم شکل مناسب برای هر حالت با توجه به موقعیت صفحات و خط مشترک d."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "خط و صفحه در شکل‌ها", "تشخیص موقعیت خطوط و صفحات در شکل‌های دوبعدی و سه‌بعدی"], {"intro": "۱. شناسایی خطوط و صفحات داده شده در شکل دوبعدی یا سه‌بعدی. ۲. تعیین موقعیت هر خط نسبت به صفحات (آیا در صفحه است، موازی با صفحه است یا متقاطع با صفحه). ۳. بررسی موقعیت صفحات نسبت به هم (موازی، متقاطع یا هم‌سطح). ۴. مقایسه دو به دوی خطوط و صفحات داده شده و تعیین موقعیت آن‌ها نسبت به هم."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "خط و صفحه در منشور", "تعیین تعداد خطوط عمود بر صفحه از نقطه یا خطی خارج از صفحه"], {"intro": "۱. اگر نقطه‌ای خارج از صفحه داده شده باشد، تعداد خطوطی که از آن نقطه بر صفحه عمود باشند را بررسی می‌کنیم. معمولاً فقط یک خط عمود از نقطه به صفحه می‌توان رسم کرد.\n۲. اگر خطی خارج از صفحه داده شده باشد، تعداد صفحات عمودی بر آن خط را بررسی می‌کنیم. بسته به اینکه خط بر صفحه عمود باشد یا نباشد، تعداد صفحات عمود متفاوت است."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "خط و صفحه در منشور", "تعیین وضعیت خط نسبت به صفحه"], {"intro": "۱. بررسی می‌کنیم که خط داده شده بر صفحه عمود است یا خیر.\n۲. اگر خط بر صفحه عمود باشد، وضعیت آن نسبت به صفحه عمود است.\n۳. اگر خط بر صفحه عمود نباشد، ممکن است موازی یا متقاطع با صفحه باشد که باید با توجه به شرایط مسئله تعیین شود."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "خط و صفحه در منشور", "تعیین وضعیت فصل مشترک دو صفحه نسبت به صفحه سوم"], {"intro": "۱. دو صفحه متقاطع را در نظر می‌گیریم و فصل مشترک آن‌ها را مشخص می‌کنیم.\n۲. بررسی می‌کنیم که فصل مشترک این دو صفحه نسبت به صفحه سوم چه وضعیتی دارد (عمود یا غیرعمود).\n۳. با توجه به عمود بودن یا نبودن صفحات نسبت به صفحه سوم، وضعیت فصل مشترک تعیین می‌شود."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "رسم نماها", "تشخیص نماهای مختلف مکعب‌ها و اتصال نماها به یکدیگر"], {"intro": "۱. هر نما را به دقت بررسی کنید و تعداد و چینش مکعب‌ها را در هر نما مشخص کنید. ۲. با توجه به تعداد مکعب‌ها و موقعیت آن‌ها در هر نما، شکل سه‌بعدی را تجسم کنید. ۳. نماهای روبه‌رو، چپ و بالا را به گونه‌ای به هم وصل کنید که موقعیت مکعب‌ها در هر نما حفظ شود. ۴. بررسی کنید که هر مکعب در هر نما به درستی نمایش داده شده باشد و هیچ تناقضی وجود نداشته باشد."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "رسم نماها", "رسم نماهای مختلف (بالا، روبه‌رو، چپ) از شکل‌های سه‌بعدی"], {"intro": "۱. شکل سه‌بعدی را به دقت بررسی کنید و موقعیت مکعب‌ها را در هر جهت مشخص کنید. ۲. نمای بالا را با دید از بالا به پایین رسم کنید، به طوری که فقط مکعب‌های قابل مشاهده از بالا دیده شوند. ۳. نمای روبه‌رو را با دید مستقیم به جلو رسم کنید، به طوری که مکعب‌های جلویی و ارتفاع آن‌ها مشخص باشد. ۴. نمای چپ را با دید از سمت چپ رسم کنید، به طوری که مکعب‌های سمت چپ و ارتفاع آن‌ها مشخص باشد."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "رسم نماها", "شمارش مکعب‌های رنگی و بررسی تعداد وجه‌های رنگ شده در شکل‌های مکعبی"], {"intro": "۱. تعداد کل مکعب‌های کوچک موجود در شکل را بشمارید. ۲. تعداد مکعب‌هایی که رنگ نشده‌اند را مشخص کنید. ۳. تعداد مکعب‌هایی که رنگ شده‌اند را تعیین کنید. ۴. تعداد مکعب‌هایی که فقط دو وجه آن‌ها رنگ شده است را بشمارید. ۵. تعداد مکعب‌هایی که سه وجه آن‌ها رنگ شده است را مشخص کنید. ۶. برای هر مرحله، با دقت به رنگ‌آمیزی و موقعیت مکعب‌ها توجه کنید تا شمارش دقیق انجام شود."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "شمارش مکعب‌ها و گسترده", "تعیین سطح مقطع حاصل از برش اجسام هندسی"], {"intro": "۱. ابتدا جسم هندسی مورد نظر را مشخص کنید (مثلاً مکعب یا استوانه).\n۲. صفحه برش را در موقعیت داده شده یا مورد نظر قرار دهید (مثلاً عمودی، افقی یا مایل).\n۳. محل برخورد صفحه با جسم هندسی را پیدا کنید.\n۴. شکل حاصل از برخورد صفحه با جسم هندسی را رسم یا تشخیص دهید.\n۵. شکل سطح مقطع را با توجه به نوع برش و شکل جسم هندسی تعیین کنید (مثلث، مربع، بیضی و غیره)."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "مقطع مکعب و استوانه", "تعیین سطح مقطع حاصل از برخورد صفحه با مکعب مستطیل یا مکعب"], {"intro": "۱. جسم هندسی مکعب یا مکعب مستطیل را در نظر بگیرید.\n۲. صفحه برش را مشخص کنید (مثلاً صفحه‌ای که از گوشه‌ها یا وجه‌ها عبور می‌کند).\n۳. محل برخورد صفحه با جسم را تعیین کنید.\n۴. شکل سطح مقطع را با توجه به محل برش مشخص کنید (مثلث، مربع، مستطیل یا چندضلعی دیگر).\n۵. شکل سطح مقطع را رسم یا توصیف کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "مقطع مکعب و استوانه", "تعیین شکل سطح مقطع مخروط با صفحات افقی و مایل"], {"intro": "۱. مخروط قائم را در نظر بگیرید و صفحه‌ای که با آن برخورد می‌کند را مشخص کنید (افقی یا مایل). ۲. اگر صفحه موازی قاعده مخروط باشد، سطح مقطع دایره است. ۳. اگر صفحه مایل باشد که موازی قاعده نباشد، سطح مقطع بیضی یا سهمی شکل خواهد بود. ۴. اگر صفحه، مخروط را به دو بخش تقسیم کند، بخش بالایی مخروط ناقص نامیده می‌شود. ۵. در صورت قطع عمودی مخروط ناقص به دو نیمه مساوی، سطح مقطع حاصل مثلث است."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "مقطع مکعب و استوانه", "تعیین شکل سطح مقطع حاصل از برخورد دو استوانه"], {"intro": "۱. دو استوانه را روی هم قرار دهید به طوری که محورهای آن‌ها عمود بر هم باشند. ۲. صفحه‌ای عمودی که با هر دو استوانه برخورد کند، سطح مقطع را ایجاد می‌کند. ۳. شکل سطح مقطع حاصل از برخورد دو استوانه عمود بر هم، معمولاً به صورت یک شکل هندسی مرکب است که باید با توجه به ابعاد استوانه‌ها تعیین شود."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "مقطع مکعب و استوانه", "تعیین شکل سطح مقطع استوانه نصف شده با صفحات افقی، عمودی و مایل"], {"intro": "۱. استوانه نصف شده را در نظر بگیرید. ۲. برخورد صفحه افقی با استوانه نصف شده سطح مقطعی دایره‌ای یا نیم‌دایره‌ای ایجاد می‌کند. ۳. برخورد صفحه عمودی سطح مقطع مستطیلی یا نیم‌دایره‌ای ایجاد می‌کند. ۴. برخورد صفحه مایل که از قاعده استوانه عبور نکند، سطح مقطع بیضی یا سهمی شکل ایجاد می‌کند."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "مقطع مکعب و استوانه", "تعیین شکل سطح مقطع حاصل از برخورد صفحه با کره"], {"intro": "۱. کره را در نظر بگیرید و صفحه‌ای که با آن برخورد می‌کند را مشخص کنید. ۲. سطح مقطع حاصل از برخورد صفحه با کره همیشه دایره است. ۳. برای داشتن بیشترین مساحت سطح مقطع، صفحه باید از مرکز کره عبور کند که در این حالت سطح مقطع دایره‌ای با شعاع برابر شعاع کره است."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "مقطع هرم و کره", "تعیین سطح مقطع و تجزیه منشور به اشکال فضایی"], {"intro": "۱. ابتدا شکل منشور و نقاط داده شده را مشخص کنید. ۲. خط یا صفحه‌ای که از نقاط داده شده می‌گذرد را رسم کنید. ۳. سطح مقطع ایجاد شده را تعیین کنید. ۴. منشور را بر اساس سطح مقطع به اشکال فضایی ساده‌تر تقسیم کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "مقطع هرم و کره", "تعیین سطح مقطع هرم با صفحه‌های مختلف"], {"intro": "۱. شکل هرم و رأس آن را مشخص کنید. ۲. موقعیت صفحه نسبت به رأس و قاعده هرم را تعیین کنید (عمود یا غیرعمود). ۳. سطح مقطع ایجاد شده را بر اساس موقعیت صفحه مشخص کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "مقطع هرم و کره", "محاسبه مساحت سطح مقطع کره با صفحه‌ای که شعاع را قطع می‌کند"], {"intro": "۱. شعاع کره و فاصله صفحه از مرکز کره را مشخص کنید. ۲. با استفاده از رابطه مثلث قائم‌الزاویه، شعاع دایره سطح مقطع را محاسبه کنید: r' = √(R² - d²) که در آن R شعاع کره و d فاصله صفحه از مرکز است. ۳. مساحت سطح مقطع را با فرمول مساحت دایره πr'² محاسبه کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "مقطع هرم و کره", "بررسی تقاطع دو کره و شکل نقاط مشترک"], {"intro": "۱. دو کره با شعاع‌های مختلف و مراکز مشخص را در نظر بگیرید. ۲. بررسی کنید که آیا دو کره همدیگر را قطع می‌کنند یا نه. ۳. نقاط مشترک روی دو کره را تعیین کنید. ۴. اگر همه نقاط مشترک را به مرکز یکی از کره‌ها وصل کنیم، شکل حاصل را مشخص کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "مقطع هرم و کره", "تعیین شکل هندسی حاصل از دوران حول محور"], {"intro": "۱. ابتدا شکل اولیه و محور دوران را مشخص کنید.\n۲. نوع دوران (دوران حول محور عمود یا موازی) را تعیین کنید.\n۳. شکل هندسی حاصل از دوران را با توجه به محور دوران و شکل اولیه تحلیل کنید.\n۴. اگر شکل اولیه دایره است و حول قطر یا شعاع دوران می‌کند، شکل حاصل را با توجه به دوران کامل یا نیمه دوران مشخص کنید.\n۵. برای نیم دایره یا ربع دایره، با توجه به محور دوران شکل سه‌بعدی حاصل را تعیین کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "اجسام حاصل از دوران", "شکل هندسی حاصل از دوران نیم دایره حول قطر یا شعاع"], {"intro": "۱. نیم دایره را در نظر بگیرید و محور دوران را مشخص کنید (قطر یا شعاع).\n۲. اگر نیم دایره حول قطر دوران کند، شکل حاصل یک کره توخالی یا پوسته کروی است.\n۳. اگر نیم دایره حول شعاع عمود بر قطر دوران کند، شکل حاصل یک کاسه یا نیم کره توپر خواهد بود.\n۴. با توجه به محور دوران، شکل سه‌بعدی نهایی را ترسیم و تحلیل کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "اجسام حاصل از دوران", "شکل هندسی حاصل از دوران ربع دایره حول شعاع مشخص"], {"intro": "۱. ربع دایره را در نظر بگیرید و شعاع مشخص شده را محور دوران قرار دهید.\n۲. دوران ربع دایره حول شعاع مشخص شده باعث ایجاد یک شکل سه‌بعدی می‌شود که بخشی از کره یا مخروط است.\n۳. شکل حاصل را با توجه به زاویه دوران و محور دوران تحلیل کنید.\n۴. شکل نهایی را به صورت هندسی توصیف کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "اجسام حاصل از دوران", "تعیین شکل هندسی حاصل از دوران مثلث حول اضلاع یا ارتفاع"], {"intro": "۱. نوع مثلث (متساوی‌الساقین، قائم‌الزاویه، دوزو) و محور دوران را مشخص کنید.\n۲. اگر دوران حول ارتفاع باشد، شکل مخروطی حاصل می‌شود.\n۳. اگر دوران حول ضلع زاویه قائمه باشد، مخروط یا شکل مخروطی با مشخصات متفاوت ساخته می‌شود.\n۴. اگر دوران حول ضلع عمود بر قاعده باشد، مخروط یا شکل مخروطی دیگری حاصل می‌شود.\n۵. شکل نهایی را با توجه به محور دوران و نوع مثلث توصیف کنید و تصویر مناسب رسم کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "اجسام حاصل از دوران", "توصیف شکل هندسی حاصل از دوران مربع حول محور"], {"intro": "۱. مربع با ضلع a را در نظر بگیرید.\n۲. محور دوران را مشخص کنید (مثلاً محور d که موازی با یک ضلع مربع است).\n۳. دوران مربع حول این محور، استوانه‌ای با ارتفاع برابر ضلع مربع و شعاع برابر فاصله محور تا ضلع مربع ایجاد می‌کند.\n۴. شکل حاصل را توصیف کنید و در صورت نیاز تصویر مناسب رسم کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۴: تجسم فضایی", "اجسام حاصل از دوران", "تشخیص شکل هندسی حاصل از دوران اشکال واقعی حول محور"], {"intro": "۱. شکل واقعی (مانند حلقه یا شیرینی) را در نظر بگیرید.\n۲. محور دوران را مشخص کنید.\n۳. بررسی کنید که دوران حول این محور چه شکل هندسی سه‌بعدی ایجاد می‌کند.\n۴. شکل هندسی حاصل را توصیف کنید و تصویر مناسب برای آن رسم کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "مفهوم تابع و بازنمایی‌های آن", "رسم نمودار تابع"], {"example": "از مجموعه X = {۵, ۷} به مجموعه Y = {۲, ۱} رابطه‌ای تعریف شده است. آیا این رابطه یک تابع است؟ چرا؟", "steps": ["در این رابطه، عنصر ۵ از مجموعه X به ۲ از مجموعه Y و عنصر ۷ از مجموعه X به ۱ از مجموعه Y مرتبط شده است.", "هر عضو از مجموعه X دقیقاً به یک عضو از مجموعه Y مرتبط شده است، بنابراین این رابطه یک تابع است.", "✅ جواب: بله، تابع است چون هر عضو X دقیقاً یک تصویر در Y دارد."]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "مفهوم تابع و بازنمایی‌های آن", "ترتیب زوج مرتب"], {"example": "رابطه f = {(۲,۵), (۵,۴), (۶,۳), (۷,۳)} را به صورت زوج مرتب نمایش دهید و بررسی کنید آیا این رابطه یک تابع است یا خیر.", "steps": ["زوج‌های مرتب داده شده به صورت f = {(۲,۵), (۵,۴), (۶,۳), (۷,۳)} هستند.", "مؤلفه اول‌ها: ۲، ۵، ۶، ۷ و مؤلفه دوم‌ها: ۵، ۴، ۳، ۳.", "هر مؤلفه اول فقط به یک مؤلفه دوم متناظر است (مثلاً ۲ به ۵، ۵ به ۴، ۶ به ۳، ۷ به ۳).", "بنابراین، این رابطه یک تابع است.", "نمودار این تابع شامل نقاط (۲,۵)، (۵,۴)، (۶,۳) و (۷,۳) روی صفحه مختصات است.", "✅ جواب: تابع است"]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "دامنه و برد توابع (۱)", "تعیین دامنه و برد تابع"], {"example": "اگر تابع f به صورت جبری f(n) = n² + ۱ داده شده باشد و دامنه آن A = ۱, ۲, ۳, ۴ باشد، برد تابع f را به دست آورید.", "steps": ["دامنه تابع A = {۱, ۲, ۳, ۴} است.", "مقادیر تابع را برای هر n محاسبه می‌کنیم:", "f(۱) = ۱² + ۱ = ۲", "f(۲) = ۲² + ۱ = ۵", "f(۳) = ۳² + ۱ = ۱۰", "f(۴) = ۴² + ۱ = ۱۷ برد تابع مجموعه {۲, ۵, ۱۰, ۱۷} است.", "✅ جواب: {۲ ، ۵ ، ۱۰ ، ۱۷}"]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "دامنه و برد توابع (۱)", "رسم نمودار تابع"], {"example": "جدول را کامل کنید و از آن برای رسم نمودار خط y = ۲x - ۱ استفاده کنید. جدول داده شده: x = {۱, ۲, ۳, -۱, ۰} و y = {۱, ۳, ۵, -۳, ?}.", "steps": ["برای هر مقدار x مقدار y را با استفاده از y = ۲x - ۱ محاسبه می‌کنیم:", "x=۱: y=۲(۱)-۱=۲-۱=۱", "x=۲: y=۲(۲)-۱=۴-۱=۳", "x=۳: y=۲(۳)-۱=۶-۱=۵", "x=-۱: y=۲(-۱)-۱=-۲-۱=-۳", "✅ جواب: مقدار y برای x=۰ برابر -۱ است."]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "دامنه و برد توابع (۲)", "محاسبه دما و عمق"], {"steps": ["در عمق ۱۰ متر، دما ۱۰ درجه است.", "از عمق ۱۰ متر تا ۱۵ متر، ۵ متر عمق داریم.", "با توجه به اینکه دما به ازای هر ۵ متر ۵ درجه کاهش می‌یابد، دما در عمق ۱۵ متر ۱۰ - ۵ = ۵ درجه خواهد بود.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "انواع تابع (۱)", "تابع چند جمله‌ای"], {"example": "توابع زیر همگی توابع چند جمله‌ای‌اند:\nf(x) = ۲x² + ۰x + ۱\ng(x) = ۴x² - ۳\nh(a) = a² + ۲a - ۹\nr(t) = - (۳/۵)t² + t + √۷\nتابع f را به صورت y = ۲x² + ۰x + ۱ نیز نمایش می‌دهند. بقیه توابع را نیز به این صورت نمایش دهید.", "steps": ["تابع g(x) به صورت y = ۴x² - ۳", "تابع h(a) به صورت y = a² + ۲a - ۹", "تابع r(t) به صورت y = - (۳/۵)t² + t + √۷", "✅ جواب: همه توابع به‌درستی با y نمایش داده شده‌اند"]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "انواع تابع (۱)", "تابع نمایی"], {"example": "تابع f(x) = ۲ˣ را در نظر بگیرید. مقدار f(۳) را محاسبه کنید.", "steps": ["برای محاسبه f(۳)، مقدار x را برابر ۳ قرار می‌دهیم.", "f(۳) = ۲³ محاسبه می‌شود.", "۲³ = ۲ × ۲ × ۲ = ۸.", "✅ جواب: ۸"]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "انواع تابع (۱)", "تابع رادیکالی"], {"example": "اگر f(x) = √(x + ۴) باشد، مقدار f(۵) را محاسبه کنید.", "steps": ["ابتدا مقدار x را در تابع قرار می‌دهیم: f(۵) = √(۵ + ۴)", "حساب می‌کنیم: ۵ + ۴ = ۹", "سپس ریشه‌ی ۹ را محاسبه می‌کنیم: √۹ = ۳", "✅ جواب: ۳"]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "انواع تابع (۲)", "انتقال نمودار تابع"], {"intro": "برای انتقال نمودار تابع f(x) به اندازه k واحد در امتداد محور y، نمودار تابع f(x) + k را رسم کنید. اگر k > ۰ باشد، انتقال در جهت مثبت و اگر k < ۰ باشد، انتقال در جهت منفی خواهد بود.", "example": "نمودار تابع f(x) = ۲x + ۳ را به اندازه ۴ واحد در جهت مثبت محور y انتقال دهید.", "steps": ["تابع اصلی را داریم: f(x) = ۲x + ۳.", "برای انتقال به اندازه ۴ واحد در جهت مثبت، k = ۴ است.", "تابع جدید را به صورت f(x) + k بنویسیم: f(x) + ۴ = (۲x + ۳) + ۴.", "تابع جدید را ساده می‌کنیم: f(x) + ۴ = ۲x + ۷.", "✅ جواب: ۲x + ۷"]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "انواع تابع (۳)", "رسم نمودار توابع مرکب"], {"intro": "برای رسم نمودار توابع مرکب مانند f(x) = (x+۱)²، ابتدا نمودار تابع اصلی f(x) = x² را رسم کنید و سپس تغییرات لازم را اعمال کنید."}], [["پایه دهم", "فصل ۶: شمارش، بدون شمردن", "شمارش (۱)", "محاسبه تعداد حالات ممکن"], {"example": "با سه رقم ۵، ۳ و ۲ چند عدد سه رقمی می‌توان نوشت؟ به طور مثال ۳۳۵ و ۳۵۲ سه نمونه از این اعداد هستند. برای نوشتن عدد سه رقمی به صورت پر کردن سه جایگاه صدگان، دهگان و یکان با ارقام مذکور، تعداد حالات ممکن را بیابید.", "steps": ["برای جایگاه صدگان ۳ حالت (۵، ۳، ۲) وجود دارد.", "برای جایگاه دهگان نیز ۳ حالت وجود دارد (چون تکرار مجاز است).", "برای جایگاه یکان نیز ۳ حالت وجود دارد.", "پس تعداد کل حالات برابر است با ۳ × ۳ × ۳ = ۲۷ عدد.", "✅ جواب: ۲۷ عدد"]}], [["پایه دهم", "فصل ۶: شمارش، بدون شمردن", "شمارش (۱)", "تعداد اعداد ممکن"], {"steps": ["برای مقام اول، ۵ گزینه داریم.", "پس از انتخاب نفر اول، برای مقام دوم ۴ گزینه باقی می‌ماند.", "پس از انتخاب نفر دوم، برای مقام سوم ۳ گزینه باقی می‌ماند.", "تعداد ترتیب‌ها برابر است با ۵ × ۴ × ۳.", "✅ جواب: ۶۰"]}], [["پایه دهم", "فصل ۶: شمارش، بدون شمردن", "شمارش (۱)", "تعداد اعداد با ارقام غیرتکراری"], {"steps": ["برای عدد سه رقمی، سه رقم انتخاب می‌کنیم.", "برای رقم اول، ۹ گزینه (۱ تا ۹) داریم.", "برای رقم دوم، ۸ گزینه (از ۱ تا ۹ به جز رقم اول) داریم.", "برای رقم سوم، ۷ گزینه (از ۱ تا ۹ به جز رقم اول و دوم) داریم.", "تعداد کل اعداد سه رقمی برابر است با ۹ × ۸ × ۷.", "✅ جواب: ۵۰۴"]}], [["پایه دهم", "فصل ۶: شمارش، بدون شمردن", "شمارش (۲)", "ترکیب رنگ و نوع"], {"steps": ["تعداد رنگ‌ها برابر با ۳ است.", "تعداد سایزها برابر با ۲ است.", "برای محاسبه تعداد ترکیب‌ها، تعداد رنگ‌ها را در تعداد سایزها ضرب می‌کنیم: ۳ × ۲ = ۶.", "بنابراین، تعداد ترکیب‌های ممکن ۶ است.", "✅ جواب: ۶"]}], [["پایه دهم", "فصل ۶: شمارش، بدون شمردن", "شمارش (۲)", "انتخاب از مجموعه‌ها"], {"steps": ["تعداد گزینه‌های نوشیدنی: ۳", "تعداد گزینه‌های غذا: ۲", "تعداد ترکیب‌های ممکن = ۳ × ۲ = ۶", "✅ جواب: ۶"]}], [["پایه دهم", "فصل ۶: شمارش، بدون شمردن", "شمارش (۲)", "مسائل ترکیبیات"], {"steps": ["تعداد کل دانش‌آموزان ۱۰ نفر است.", "برای انتخاب ۳ نفر از ۱۰ نفر، از فرمول ترکیبیات استفاده می‌کنیم: C(۱۰, ۳) = ۱۰! / (۳! × (۱۰-۳)!)", "محاسبه می‌کنیم: ۱۰! = ۱۰ × ۹ × ۸ × ۷! و ۳! = ۳ × ۲ × ۱ = ۶ و (۱۰-۳)! = ۷!", "بنابراین C(۱۰, ۳) = (۱۰ × ۹ × ۸) / (۳ × ۲ × ۱) = ۷۲۰ / ۶ = ۱۲۰.", "پس تعداد راه‌های ممکن برای انتخاب ۳ نفر برابر ۱۲۰ است.", "✅ جواب: ۱۲۰"]}], [["پایه دهم", "فصل ۶: شمارش، بدون شمردن", "جایگشت (۱)", "جایگشت"], {"example": "تعداد جایگشت‌های ۵ شیء متمایز را با استفاده از فرمول فاکتوریل محاسبه کنید.", "steps": ["تعداد جایگشت‌های ۵ شیء متمایز برابر است با ۵!", "که برابر است با ۵ × ۴ × ۳ × ۲ × ۱ = ۱۲۰.", "✅ جواب: ۱۲۰"]}], [["پایه دهم", "فصل ۶: شمارش، بدون شمردن", "جایگشت (۱)", "محاسبه ترکیب‌ها"], {"steps": ["برای محاسبه تعداد ترکیب‌ها از فرمول C(n, k) = n! / (k! × (n-k)!) استفاده می‌کنیم.", "در اینجا n = ۱۰ و k = ۳ است.", "محاسبه می‌کنیم: C(۱۰, ۳) = ۱۰! / (۳! × (۱۰-۳)!)", "محاسبه ۱۰! = ۱۰ × ۹ × ۸ × ۷! و ۳! = ۳ × ۲ × ۱ = ۶ و ۷! = ۷!", "بنابراین C(۱۰, ۳) = (۱۰ × ۹ × ۸) / (۳ × ۲ × ۱) = ۷۲۰ / ۶ = ۱۲۰.", "✅ جواب: ۱۲۰"]}], [["پایه دهم", "فصل ۶: شمارش، بدون شمردن", "جایگشت (۱)", "ترکیب"], {"example": "حاصل عبارت ۵! / ۴! را به دست آورید.", "steps": ["۵!", "= ۵ × ۴ × ۳ × ۲ × ۱ و ۴!", "= ۴ × ۳ × ۲ × ۱.", "بنابراین ۵!", "/ ۴!", "= (۵ × ۴ × ۳ × ۲ × ۱) / (۴ × ۳ × ۲ × ۱) = ۵.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه دهم", "فصل ۶: شمارش، بدون شمردن", "جایگشت (۲)", "تعداد کلمات با تکرار برخی حروف"], {"steps": ["تعداد کل حروف n برابر با ۵ است.", "حروف ب و ج هر کدام ۲ بار تکرار شده‌اند، بنابراین a = ۲ و b = ۲ است.", "تعداد جایگشت‌ها برابر است با ۵!/(۲! × ۲!).", "محاسبه می‌کنیم: ۵! = ۱۲۰ و ۲! = ۲، پس ۲! × ۲! = ۴.", "بنابراین تعداد جایگشت‌ها برابر است با ۱۲۰ ÷ ۴ = ۳۰.", "✅ جواب: ۳۰"]}], [["پایه دهم", "فصل ۶: شمارش، بدون شمردن", "جایگشت (۲)", "ترکیب حروف"], {"steps": ["تعداد حروف (افراد) برابر با ۵ است.", "تعداد ترتیب‌های ممکن برابر با ۵! است.", "محاسبه ۵! = ۵ × ۴ × ۳ × ۲ × ۱ = ۱۲۰.", "بنابراین، تعداد ترتیب‌های ممکن ۱۲۰ است.", "✅ جواب: ۱۲۰"]}], [["پایه دهم", "فصل ۶: شمارش، بدون شمردن", "جایگشت (۲)", "ترکیب کلیدها"], {"steps": ["تعداد کلیدها (نفرها) برابر با ۵ است.", "تعداد انتخاب‌ها (نفرهای انتخاب شده) برابر با ۳ است.", "تعداد ترکیب‌ها را با فرمول C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!) محاسبه می‌کنیم.", "C(۵, ۳) = ۵! / (۳! × (۵ - ۳)!) = ۵! / (۳! × ۲!)", "محاسبه می‌کنیم: ۵! = ۱۲۰، ۳! = ۶ و ۲! = ۲.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه دهم", "فصل ۶: شمارش، بدون شمردن", "ترکیب (۱)", "ترکیب"], {"steps": ["تعداد جایگشت‌های سه حرفی بدون تکرار از ۵ حرف متمایز برابر است با تعداد جایگشت‌های ۳ حرف از ۵ حرف که به صورت P(۵,۳) = ۵ × ۴ × ۳ = ۶۰ است.", "✅ جواب: ۶۰"]}], [["پایه دهم", "فصل ۶: شمارش، بدون شمردن", "ترکیب (۱)", "محاسبه تعداد حالات انتخاب"], {"steps": ["برای انتخاب اول، ۵ گزینه داریم.", "پس از انتخاب اولین دانش‌آموز، ۴ گزینه برای انتخاب دوم باقی می‌ماند.", "تعداد کل حالات انتخاب ۲ دانش‌آموز از ۵ دانش‌آموز برابر است با ۵ × ۴ = ۲۰.", "اما چون ترتیب انتخاب مهم نیست، باید تعداد حالات را بر تعداد ترتیب‌های ممکن (۲!) تقسیم کنیم.", "۲! برابر با ۲ است، بنابراین تعداد کل حالات برابر است با ۲۰ ÷ ۲ = ۱۰.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه دهم", "فصل ۶: شمارش، بدون شمردن", "ترکیب (۱)", "محاسبه تعداد حالات"], {"steps": ["برای انتخاب میوه، ۳ گزینه داریم: سیب، موز و پرتقال.", "برای انتخاب نوشیدنی، ۲ گزینه داریم: آب و آب‌میوه.", "تعداد حالات ممکن را با ضرب تعداد گزینه‌ها محاسبه می‌کنیم: ۳ × ۲ = ۶.", "✅ جواب: ۶"]}], [["پایه دهم", "فصل ۶: شمارش، بدون شمردن", "ترکیب (۲)", "محاسبه تعداد زیرمجموعه‌ها"], {"intro": "۱. تعداد اعضای مجموعه (n) را مشخص کنید.\n۲. تعداد زیرمجموعه‌ها برابر است با ۲ⁿ.\n۳. مقدار را محاسبه کنید.", "example": "مجموعه A = {۱, ۲, ۳, ۴} را در نظر بگیرید. تعداد اعضای این مجموعه را مشخص کنید و سپس تعداد زیرمجموعه‌های آن را محاسبه کنید.", "steps": ["مجموعه A دارای ۴ عضو است: ۱، ۲، ۳ و ۴.", "تعداد زیرمجموعه‌ها برابر است با ۲ به توان ۴.", "محاسبه ۲⁴ برابر است با ۱۶.", "✅ جواب: ۱۶"]}], [["پایه دهم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۱)", "احتمال شرطی"], {"steps": ["تعداد کل دانش‌آموزان ۲۰ نفر است.", "تعداد دختران ۱۲ نفر است.", "احتمال انتخاب یک دختر برابر است با تعداد دختران تقسیم بر تعداد کل دانش‌آموزان.", "احتمال = ۱۲ ÷ ۲۰ = ۰٫۶.", "✅ جواب: ۰٫۶"]}], [["پایه دهم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۱)", "احتمال ترکیبی"], {"steps": ["احتمال بیرون آمدن مهره قرمز از کیسه اول برابر است با تعداد مهره‌های قرمز در کیسه اول تقسیم بر تعداد کل مهره‌ها در کیسه اول: ۲ ÷ ۵ = ۰٫۴.", "احتمال بیرون آمدن مهره قرمز از کیسه دوم برابر است با تعداد مهره‌های قرمز در کیسه دوم تقسیم بر تعداد کل مهره‌ها در کیسه دوم: ۱ ÷ ۴ = ۰٫۲۵.", "حالا مقایسه می‌کنیم: ۰٫۴ (کیسه اول) بیشتر از ۰٫۲۵ (کیسه دوم) است.", "بنابراین، احتمال بیرون آمدن مهره قرمز از کیسه اول بیشتر است.", "✅ جواب: کیسه اول"]}], [["پایه دهم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۱)", "احتمال انتخاب مهره"], {"steps": ["تعداد کل مهره‌ها ۵ است (۳ مهره قرمز و ۲ مهره آبی).", "تعداد مهره‌های انتخابی ۳ است.", "از آنجا که ترتیب انتخاب مهم نیست، از فرمول ترکیب استفاده می‌کنیم:", "تعداد حالات = C(۵,۳) = ۵! / (۳! * (۵-۳)!) = (۵*۴*۳!) / (۳!*۲!) = ۱۰", "پس تعداد حالت‌های ممکن انتخاب ۳ مهره از ۵ مهره برابر ۱۰ است.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه دهم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۲)", "احتمال پیشامدها"], {"steps": ["فضای نمونه شامل ۲۰ دانش‌آموز است.", "پیشامد مورد نظر انتخاب یک دختر است.", "تعداد دختران ۱۲ نفر است.", "احتمال انتخاب یک دختر برابر است با ۱۲ تقسیم بر ۲۰ که می‌شود ۰٫۶.", "✅ جواب: ۰٫۶"]}], [["پایه دهم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۲)", "احتمال رخداد یک پیشامد"], {"steps": ["تعداد کل دانش‌آموزان کلاس برابر با ۲۰ است.", "تعداد دختران برابر با ۱۲ است.", "احتمال انتخاب یک دختر برابر است با P(A) = n(A) / n(S) = ۱۲ / ۲۰.", "با ساده‌سازی، ۱۲ / ۲۰ برابر با ۳ / ۵ می‌شود.", "بنابراین، احتمال انتخاب یک دختر برابر با ۰٫۶ است.", "✅ جواب: ۰٫۶"]}], [["پایه دهم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۲)", "احتمال"], {"steps": ["تعداد کل دانش‌آموزان ۱۰ نفر است.", "تعداد دانش‌آموزان دختر ۴ نفر است.", "احتمال انتخاب یک دختر برابر است با تعداد دختران تقسیم بر تعداد کل دانش‌آموزان: ۴ ÷ ۱۰.", "احتمال انتخاب یک دختر برابر است با ۰٫۴.", "✅ جواب: ۰٫۴"]}], [["پایه دهم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۳)", "احتمال مکمل"], {"example": "در یک کلاس ۲۰ دانش‌آموز وجود دارد. احتمال اینکه یک دانش‌آموز خاص در امتحان قبول شود ۰٫۷ است. احتمال اینکه این دانش‌آموز در امتحان رد شود را محاسبه کنید.", "steps": ["احتمال قبول شدن دانش‌آموز ۰٫۷ است.", "احتمال رد شدن برابر است با ۱ منهای احتمال قبول شدن.", "احتمال رد شدن = ۱ - ۰٫۷ = ۰٫۳.", "✅ جواب: ۰٫۳"]}], [["پایه دهم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۳)", "احتمال با استفاده از مجموعه‌ها"], {"steps": ["تعداد کل دانش‌آموزان را محاسبه می‌کنیم: n(S) = ۲۰.", "تعداد دختران را مشخص می‌کنیم: n(A) = ۱۲.", "احتمال انتخاب یک دختر را با استفاده از فرمول P(A) = n(A) / n(S) محاسبه می‌کنیم: P(A) = ۱۲ / ۲۰.", "این کسر را ساده می‌کنیم: P(A) = ۳ / ۵.", "احتمال را به صورت عددی محاسبه می‌کنیم: P(A) = ۰٫۶.", "✅ جواب: ۰٫۶"]}], [["پایه دهم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "مقدمه‌ای بر علم آمار، جامعه و نمونه", "تحلیل داده‌های آماری"], {"example": "مدیر کارخانه‌ای برای پیدا کردن تعداد کل لامپ‌های معیوب در یک ماه آینده، تعداد لامپ‌های معیوب را در پنج روز کاری به صورت زیر جمع‌آوری کرده است:\nروز اول: ۵۰\nروز دوم: ۷۰\nروز سوم: ۹۰\nروز چهارم: ۱۲۰\nروز پنجم: ۱۸۰\nالف) روند تغییر اعداد و ارقام در این تمرین نشان‌دهنده چه چیزی است؟\nب) در این تمرین چه چیزی به عنوان آمار محسوب می‌شود؟\nپ) بهترین تصمیمی که مدیر کارخانه بر اساس علم آمار می‌تواند بگیرد، چیست؟\n(توقف یا اصلاح خط تولید لامپ‌ها / ادامه خط تولید لامپ‌ها)"}], [["پایه دهم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "مقدمه‌ای بر علم آمار، جامعه و نمونه", "نمونه‌گیری و جامعه آماری"], {"steps": ["تعداد کل دانش‌آموزان پایه دهم ۲۰۰ نفر است.", "تعداد دختران در پایه دهم برابر است با ۵۰ درصد از ۲۰۰ نفر، یعنی ۰٫۵ × ۲۰۰ = ۱۰۰ نفر.", "تعداد دختران در نمونه انتخابی برابر است با ۵۰ درصد از ۲۰ نفر، یعنی ۰٫۵ × ۲۰ = ۱۰ نفر.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه دهم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "متغیر و انواع آن (۱)", "تشخیص متغیرهای پیوسته و گسسته"], {"steps": ["تعداد دورهایی که دوچرخه‌سوار می‌زند، نمی‌تواند هر عددی باشد و فقط می‌تواند مقادیر صحیح مثبت بگیرد.", "مقادیر ممکن برای تعداد دورها شامل ۱، ۲، ۳ و غیره است.", "از آنجا که تعداد دورها نمی‌تواند به صورت کسری یا اعشاری باشد، این متغیر گسسته است.", "✅ جواب: گسسته"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی (۱)", "محاسبه مجموع دنباله اعداد طبیعی"], {"intro": "برای محاسبه مجموع اعداد طبیعی از ۱ تا n، ابتدا دنباله را به صورت S = ۱ + ۲ + ۳ + ... + (n-۱) + n می‌نویسیم. سپس دنباله را به صورت معکوس نیز می‌نویسیم: S = n + (n-۱) + ... + ۳ + ۲ + ۱. با جمع دو طرف معادله داریم: ۲S = (n+۱) + (n+۱) + ... + (n+۱) که n جمله دارد. پس ۲S = n(n+۱) و در نهایت S = n(n+۱)/۲."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی (۱)", "شمارش تعداد دکمه‌ها در آرایش‌های هندسی"], {"steps": ["تعداد دکمه‌ها در ردیف اول ۳ است.", "تعداد دکمه‌ها در ردیف دوم ۵ است.", "تعداد دکمه‌ها در ردیف سوم ۷ است.", "تعداد کل دکمه‌ها را با جمع کردن ۳، ۵ و ۷ محاسبه می‌کنیم: ۳ + ۵ + ۷ = ۱۵.", "✅ جواب: ۱۵"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی (۱)", "برابری تعداد دکمه‌های رنگی در آرایش هندسی"], {"steps": ["تعداد کل دکمه‌ها ۲۴ است.", "تعداد رنگ‌ها ۴ است.", "برای یافتن تعداد دکمه‌های هر رنگ، تعداد کل دکمه‌ها را بر تعداد رنگ‌ها تقسیم می‌کنیم: ۲۴ ÷ ۴ = ۶.", "بنابراین، تعداد دکمه‌های هر رنگ ۶ است.", "✅ جواب: ۶"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی (۱)", "محاسبه تعداد وترهای تشکیل شده از نقاط روی محیط دایره"], {"intro": "برای محاسبه تعداد وترهای تشکیل شده از n نقطه متمایز روی محیط دایره، ابتدا هر نقطه را به هر نقطه دیگر وصل می‌کنیم. تعداد کل وترها برابر تعداد ترکیب دو به دوی نقاط است که برابر n(n-۱)/۲ است. سپس اگر وترهایی که از اتصال نقاط مجاور به وجود می‌آید را جدا کنیم، تعداد وترهای غیرمجاور برابر n(n-۳)/۲ خواهد بود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی (۱)", "محاسبه مجموع جملات دنباله حسابی"], {"intro": "برای محاسبه مجموع n جمله اول دنباله حسابی که جمله اول آن a و قدر نسبت آن d است، از فرمول Sₙ = n/۲ × [۲a + (n-۱)d] استفاده می‌کنیم. ابتدا جملات دنباله را به صورت a, a+d, a+۲d, ..., a+(n-۱)d می‌نویسیم. سپس مجموع را با استفاده از فرمول بالا محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی (۱)", "مسائل مربوط به مجموع جملات دنباله حسابی"], {"intro": "۱. شناسایی جملات اول (a1) و آخر (an) دنباله و تعداد جملات (n).\n۲. استفاده از فرمول مجموع دنباله حسابی: Sn = n/۲ * (a1 + an).\n۳. اگر جمله آخر مشخص نیست، با استفاده از فرمول جمله nام: an = a1 + (n-۱)d مقدار آن را بیابید.\n۴. جایگذاری مقادیر در فرمول مجموع و حل معادله برای یافتن n یا مجموع."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی (۲)", "محاسبه مجموع جملات اول دنباله هندسی"], {"intro": "۱. دنباله هندسی را به صورت a, aq, aq², ..., aqⁿ⁻¹ در نظر می‌گیریم.\n۲. مجموع n جمله اول دنباله را Sₙ می‌نامیم.\n۳. رابطه Sₙ = a + aq + aq² + ... + aqⁿ⁻¹ را می‌نویسیم.\n۴. طرفین رابطه را در q ضرب می‌کنیم تا qSₙ = aq + aq² + ... + aqⁿ حاصل شود.\n۵. دو رابطه را از هم کم می‌کنیم: Sₙ - qSₙ = a - aqⁿ\n۶. Sₙ(۱ - q) = a(۱ - qⁿ)\n۷. در نهایت فرمول مجموع را به صورت Sₙ = a(۱ - qⁿ) / (۱ - q) به دست می‌آوریم.\n۸. مقدار a، q و n را در فرمول جایگذاری و مقدار مجموع را محاسبه می‌کنیم.", "example": "مجموع ۵ جمله اول دنباله هندسی با a = ۳ و q = ۲ را محاسبه کنید.", "steps": ["ابتدا مقدار n را مشخص می‌کنیم که برابر با ۵ است.", "سپس فرمول مجموع را به صورت Sₙ = a(۱ - qⁿ) / (۱ - q) می‌نویسیم.", "حالا a = ۳ و q = ۲ و n = ۵ را در فرمول جایگذاری می‌کنیم: S₅ = ۳(۱ - ۲⁵) / (۱ - ۲).", "محاسبه می‌کنیم: ۲⁵ = ۳۲، پس S₅ = ۳(۱ - ۳۲) / (-۱).", "این برابر است با S₅ = ۳(-۳۱) / (-۱) = ۹۳.", "✅ جواب: ۹۳"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی (۲)", "محاسبه مجموع فاصله‌های برخورد توپ با زمین در حرکت متوالی"], {"intro": "۱. ارتفاع اولیه توپ را a می‌نامیم.\n۲. نسبت کاهش ارتفاع پس از هر برخورد را q فرض می‌کنیم.\n۳. ارتفاع برخوردهای متوالی به صورت دنباله هندسی است: a, aq, aq², ...\n۴. فاصله طی شده بین برخوردها برابر مجموع دو برابر ارتفاع‌های سقوط و جهش است.\n۵. مجموع کل فاصله‌ها تا برخورد nام برابر مجموع جملات دنباله هندسی با ضریب مناسب است.\n۶. از فرمول مجموع دنباله هندسی برای محاسبه استفاده می‌کنیم.\n۷. مقدار نهایی را با جایگذاری اعداد داده شده محاسبه می‌کنیم.", "example": "در یک مسابقه تعداد زیادی توپ روی یک خط مستقیم و هر یک به فاصله ۳ متر از هم قرار دارند. فاصله توپ اول تا سبد نیز ۳ متر است. دونده‌ای باید از کنار سبد شروع کرده توپ اول را بردارد و آن را تا سبد حمل کند و به سبد بیندازد، سپس به طرف توپ بعدی بدود و آن را بردارد و به داخل سبد بیندازد و این کار را ادامه دهد. اگر این دونده در پایان ۹۱۸ متر دویده باشد، حساب کنید او جمعاً چند توپ در سبد انداخته است؟", "steps": ["فاصله طی شده برای برداشتن توپ اول و قرار دادن آن در سبد برابر ۳ + ۳ = ۶ متر است.", "برای توپ دوم باید ۱۲ متر و برای توپ سوم ۱۸ متر طی شود و به همین ترتیب فاصله‌ها به صورت ۶, ۱۲, ۱۸, ... است.", "این فاصله‌ها یک دنباله حسابی با جمله اول a = ۶ و قدر نسبت d = ۶ است.", "مجموع کل مسافت طی شده برابر ۹۱۸ متر است.", "فرمول مجموع دنباله حسابی: S = n/۲ * (۲a + (n-۱)d) را داریم.", "جایگذاری مقادیر: ۹۱۸ = n/۲ * (۲*۶ + (n-۱)*۶) = n/۲ * (۱۲ + ۶n - ۶) = n/۲ * (۶ + ۶n) = ۳n(n+۱). معادله: ۳n(n+۱) = ۹۱۸ => n(n+۱) = ۳۰۶. حل معادله درجه دو: n² + n - ۳۰۶ = ۰. با حل معادله، n = ۱۷ (مقدار مثبت). بنابراین تعداد توپ‌های انداخته شده ۱۷ عدد است.", "✅ جواب: ۱۷ توپ"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی (۲)", "مجموع دنباله‌های حسابی"], {"intro": "برای یافتن مجموع n جمله اول دنباله حسابی، ابتدا فرمول جمله کلی دنباله را پیدا می‌کنیم. سپس با استفاده از فرمول مجموع دنباله حسابی Sₙ = n/۲ * (a₁ + aₙ) یا فرمول جایگزین، مجموع را محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۱)", "حل معادلات درجه دوم"], {"intro": "۱. معادله درجه دوم را به صورت ax² + bx + c = ۰ بنویسید.\n۲. ضرایب a، b و c را مشخص کنید.\n۳. مقدار دلتا را با فرمول Δ = b² - ۴ac محاسبه کنید.\n۴. اگر Δ ≥ ۰ باشد، ریشه‌ها با فرمول x = (-b ± √Δ) / ۲a محاسبه می‌شوند.\n۵. اگر Δ < ۰ باشد، معادله ریشه حقیقی ندارد.\n۶. جواب‌های به دست آمده را بررسی و در صورت نیاز ساده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۱)", "یافتن ریشه دوم معادله درجه دوم با داشتن یک ریشه"], {"intro": "۱. معادله درجه دوم را به صورت ax² + bx + c = ۰ بنویسید.\n۲. ریشه داده شده را در معادله جایگذاری کنید تا معادله‌ای درباره ضریب مجهول (مثلاً m) به دست آید.\n۳. مقدار ضریب مجهول را پیدا کنید.\n۴. معادله را با مقدار ضریب معلوم شده بازنویسی کنید.\n۵. با استفاده از فرمول کلی یا تجزیه، ریشه دوم را بیابید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۱)", "رابطه بین ضرایب و ریشه‌های معادله درجه دوم"], {"intro": "برای معادله درجه دوم به شکل ax² + bx + c = ۰، ریشه‌ها را x₁ و x₂ فرض می‌کنیم. جمع ریشه‌ها برابر است با S = x₁ + x₂ = -b/a و حاصل ضرب ریشه‌ها برابر است با P = x₁ * x₂ = c/a. برای یافتن ریشه‌ها می‌توان از فرمول کلی استفاده کرد و سپس با جایگذاری در روابط بالا، صحت روابط را بررسی کرد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۱)", "تشکیل معادله درجه دوم از ریشه‌ها"], {"intro": "برای تشکیل معادله درجه دوم با ریشه‌های α و β، از رابطه کلی معادله x² - Sx + P = ۰ استفاده می‌کنیم که در آن S برابر جمع ریشه‌ها (α + β) و P برابر ضرب ریشه‌ها (αβ) است. ابتدا جمع و ضرب ریشه‌ها را محاسبه کرده، سپس معادله را به صورت x² - Sx + P = ۰ می‌نویسیم.", "example": "معادله درجه دومی را تشکیل دهید که ریشه‌های آن ۴ و ۵ باشند.", "steps": ["جمع ریشه‌ها را محاسبه می‌کنیم: S = ۴ + ۵ = ۹.", "ضرب ریشه‌ها را محاسبه می‌کنیم: P = ۴ × ۵ = ۲۰.", "معادله را به صورت x² - Sx + P = ۰ می‌نویسیم: x² - ۹x + ۲۰ = ۰.", "✅ جواب: x² - ۹x + ۲۰ = ۰"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۱)", "تشخیص معادله درجه دوم از ریشه‌ها با استفاده از روابط جمع و ضرب"], {"intro": "اگر ریشه‌های معادله درجه دوم α و β باشند، معادله به صورت x² - Sx + P = ۰ نوشته می‌شود که در آن S = α + β و P = αβ است. با داشتن ریشه‌ها، ابتدا جمع و ضرب آن‌ها را محاسبه کرده و سپس معادله را تشکیل می‌دهیم.", "steps": ["جمع ریشه‌ها را محاسبه می‌کنیم: S = ۳ + ۵ = ۸.", "ضرب ریشه‌ها را محاسبه می‌کنیم: P = ۳ × ۵ = ۱۵.", "معادله درجه دوم را با استفاده از S و P می‌نویسیم: x² - ۸x + ۱۵ = ۰.", "✅ جواب: x² - ۸x + ۱۵ = ۰"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۲)", "یافتن صفرهای تابع چندجمله‌ای"], {"intro": "۱. معادله f(x) = ۰ را بنویسید.\n۲. اگر تابع چندجمله‌ای است، معادله را به صورت چندجمله‌ای بنویسید.\n۳. معادله را حل کنید تا مقادیر x که تابع صفر می‌شود را بیابید.\n۴. این مقادیر x همان صفرهای تابع هستند.\n۵. برای تایید، می‌توانید نمودار تابع را رسم کنید و نقاطی که نمودار محور x را قطع می‌کند، صفرهای تابع هستند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۲)", "رسم نمودار سهمی و تحلیل صفرهای تابع"], {"intro": "۱. معادله تابع درجه دوم را بنویسید.\n۲. نمودار سهمی تابع را رسم کنید.\n۳. نقاطی که نمودار محور x را قطع می‌کند، صفرهای تابع هستند.\n۴. محل تلاقی نمودار با محور طول‌ها (محور y) را مشخص کنید.\n۵. با توجه به نمودار، صفرهای تابع را تعیین کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۲)", "رسم نمودار سهمی‌های مختلف و تحلیل جواب معادلات"], {"intro": "۱. توابع داده شده را به صورت چندجمله‌ای درجه دوم بنویسید.\n۲. نمودار هر تابع را رسم کنید.\n۳. نقاطی که هر نمودار محور x را قطع می‌کند، صفرهای تابع مربوطه هستند.\n۴. با مقایسه نمودارها، تعداد و مقدار صفرهای هر تابع را تعیین کنید.\n۵. نتیجه‌گیری درباره جواب‌های معادلات f(x) = ۰ و g(x) = ۰ انجام دهید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۲)", "یافتن ضابطه تابع درجه دوم با استفاده از صفرهای تابع"], {"intro": "۱. فرض کنید تابع درجه دوم به صورت f(x) = ax² + bx + c باشد.\n۲. صفرهای تابع را x' و x'' در نظر بگیرید.\n۳. تابع را به صورت ضرب دو عامل (x - x')(x - x'') بنویسید: f(x) = a(x - x')(x - x'').\n۴. با گسترش ضرب دو جمله‌ای، رابطه بین a، b و c را بیابید.\n۵. با استفاده از شرایط داده شده (مثلاً نقاطی که تابع از آنها عبور می‌کند یا مقادیر تابع در نقاط خاص)، مقدار a را تعیین کنید.\n۶. ضریب‌های b و c را با استفاده از روابط بین a، b و c محاسبه کنید.\n۷. ضابطه کامل تابع را بنویسید.", "example": "اگر x = -۱ یک ریشه معادله x² - mx - ۷ = ۰ باشد، ریشه دیگر کدام است؟", "steps": ["جایگذاری x = -۱ در معادله: (-۱)² - m(-۱) - ۷ = ۰", "محاسبه: ۱ + m - ۷ = ۰", "حل برای m: m - ۶ = ۰ ⇒ m = ۶", "معادله کامل: x² - ۶x - ۷ = ۰", "دلتا: Δ = (-۶)² - ۴ * ۱ * (-۷) = ۳۶ + ۲۸ = ۶۴", "ریشه‌ها: x = (۶ ± ۸)/۲ = ۷ یا −۱ (که داده شده است).", "✅ جواب: ریشه‌ی دیگر ۷ است"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۲)", "تحلیل ویژگی‌های نمودار سهمی با معادله کلی"], {"intro": "۱. معادله سهمی به صورت کلی f(x) = ax² + bx + c نوشته می‌شود.\n۲. تعداد ریشه‌ها با توجه به محل تقاطع نمودار با محور x مشخص می‌شود (دو ریشه متمایز، یک ریشه مضاعف، یا بدون ریشه).\n۳. علامت a تعیین‌کننده جهت باز شدن سهمی است (a>۰ باز به بالا، a<۰ باز به پایین).\n۴. علامت b و c و رابطه بین آنها و a را بررسی می‌کنیم تا ویژگی‌های نمودار مانند محل رأس و علامت ریشه‌ها را تعیین کنیم.\n۵. با توجه به نمودار، ویژگی‌های خواسته شده مانند تعداد ریشه‌ها، علامت a، b، c را مشخص می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۲)", "تکمیل جدول ویژگی‌های نمودار سهمی با توجه به معادله"], {"intro": "۱. برای هر نمودار سهمی، تعداد صفرهای تابع (ریشه‌ها) را مشخص کنید.\n۲. علامت ضریب a را تعیین کنید تا جهت باز شدن سهمی مشخص شود.\n۳. علامت b و c را بررسی کنید.\n۴. با توجه به رابطه بین a، b و c و تعداد ریشه‌ها، جدول ویژگی‌ها را کامل کنید.\n۵. از استدلال‌های مربوط به محل تقاطع نمودار با محور x و محور y استفاده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۳)", "نوشتن معادله درجه دوم با شرایط ریشه‌ها"], {"intro": "۱. فرض کنید معادله درجه دوم به شکل ax² + bx + c = ۰ باشد.\n۲. با توجه به ریشه‌های داده شده (مثلاً ریشه‌ها ۱/۳ و ۲/۳)، از رابطه ریشه‌ها و ضرایب معادله استفاده کنید: اگر ریشه‌ها α و β باشند، آنگاه معادله به صورت a(x - α)(x - β) = ۰ نوشته می‌شود.\n۳. معادله را باز کنید و به شکل استاندارد ax² + bx + c = ۰ برسانید.\n۴. اگر شرطی مانند برابر بودن ریشه‌ها داده شده باشد، از رابطه دلتا = ۰ استفاده کنید و ضرایب را تعیین کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۳)", "تشخیص ضابطه تابع درجه دوم از نمودار سهمی"], {"intro": "۱. از نمودار سهمی، نقاط صفر تابع (محل برخورد نمودار با محور x) را مشخص کنید.\n۲. با توجه به صفرهای تابع، معادله را به صورت P(x) = a(x - x1)(x - x2) بنویسید.\n۳. برای تعیین ضریب a، یک نقطه دیگر از نمودار را انتخاب کنید و مقدار تابع را در آن نقطه جایگذاری کنید.\n۴. مقدار a را محاسبه کنید و ضابطه کامل تابع را بنویسید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۳)", "مدل‌سازی حرکت توپ با تابع درجه دوم"], {"intro": "۱. تابع ارتفاع توپ نسبت به فاصله افقی را به صورت h(x) = ax² + bx + c مدل کنید.\n۲. از شرایط مسئله (مثلاً نقطه شروع، نقطه برخورد با زمین) برای تعیین ضرایب استفاده کنید.\n۳. با جایگذاری مقادیر خاص (مثلاً h(x) = ۰ برای برخورد با زمین) نقاط برخورد را بیابید.\n۴. برای یافتن بیشینه ارتفاع، از مشتق تابع استفاده کنید و مقدار x مربوط به بیشینه را پیدا کنید.\n۵. مقدار h(x) در آن نقطه بیشینه ارتفاع است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۴)", "یافتن صفرهای توابع چندجمله‌ای"], {"intro": "۱. تابع داده شده را برابر صفر قرار دهید: f(x) = ۰.\n۲. اگر تابع درجه چهار یا بالاتر است، سعی کنید با روش‌هایی مانند تجزیه، استفاده از فرمول‌ها یا آزمون ریشه‌های ممکن، معادله را حل کنید.\n۳. صفرهای حقیقی تابع را بیابید.\n۴. در صورت نیاز، از روش‌های عددی یا تقریب استفاده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۴)", "حل معادلات چندجمله‌ای درجه بالا"], {"intro": "۱. معادله داده شده را به شکل استاندارد بنویسید.\n۲. اگر ممکن است، معادله را تجزیه کنید یا از فرمول‌های خاص استفاده کنید.\n۳. ریشه‌های معادله را بیابید.\n۴. در صورت وجود کسر یا توان‌های کسری، معادله را به گونه‌ای ساده کنید که قابل حل باشد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۴)", "تعیین تعداد و مقدار تقریبی ریشه‌های معادله درجه سوم با استفاده از نمودار"], {"intro": "۱. معادله داده شده را به صورت تابع f(x) تعریف کنید.\n۲. نمودار تابع را رسم یا بررسی کنید.\n۳. نقاطی که نمودار محور x را قطع می‌کند، ریشه‌های معادله هستند.\n۴. تعداد ریشه‌ها برابر تعداد نقاط تقاطع نمودار با محور x است.\n۵. مقدار تقریبی ریشه‌ها برابر مقادیر x در نقاط تقاطع است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۴)", "تحلیل نمودار تابع درجه دوم و تعیین صفرها و ضابطه تابع"], {"intro": "۱. نمودار سهمی داده شده را بررسی کنید.\n۲. رأس سهمی را مشخص کنید (نقطه حداقل یا حداکثر).\n۳. با توجه به جهت باز شدن سهمی (بالا یا پایین) ضریب a را تعیین کنید.\n۴. نقاطی که نمودار محور x را قطع می‌کند، صفرهای تابع هستند.\n۵. با استفاده از رأس و صفرها، ضابطه تابع را به صورت f(x) = ax² + bx + c بیابید.", "example": "سهمی‌ای محور x را در نقطه‌های x = ۱ و x = ۵ قطع می‌کند و رأس آن (۳, −۴) است. ضابطه‌ی تابع را بنویسید.", "steps": ["چون صفرها ۱ و ۵ هستند، ضابطه به شکل y = a(x − ۱)(x − ۵) است.", "رأس روی محور تقارن، یعنی x = ۳ است. نقطه‌ی (۳, −۴) را قرار می‌دهیم: a(۳ − ۱)(۳ − ۵) = −۴.", "محاسبه می‌کنیم: a × ۲ × (−۲) = −۴، پس −۴a = −۴ و a = ۱.", "بسط می‌دهیم: (x − ۱)(x − ۵) = x² − ۶x + ۵. برای وارسی: در x = ۳ مقدار ۹ − ۱۸ + ۵ = −۴ است.", "✅ جواب: y = x² − ۶x + ۵"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۴)", "محاسبه عرض نوار بتونی اطراف استخر مستطیل شکل با داده‌های طول، عرض و مساحت"], {"intro": "۱. طول و عرض استخر را به ترتیب L و W در نظر بگیرید.\n۲. عرض نوار بتونی را x فرض کنید.\n۳. طول و عرض کل مستطیل شامل نوار بتونی برابر L + ۲x و W + ۲x است.\n۴. مساحت کل مستطیل برابر (L + ۲x)(W + ۲x) است.\n۵. مساحت نوار بتونی برابر مساحت کل منهای مساحت استخر است.\n۶. معادله (L + ۲x)(W + ۲x) - L*W = مساحت نوار بتونی را حل کنید تا x را بیابید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۴)", "محاسبه طول کاشی با داده‌های نسبت طول به عرض، مساحت دیوار و تعداد کاشی مصرفی"], {"intro": "۱. طول کاشی را x و عرض آن را y فرض کنید.\n۲. نسبت طول به عرض داده شده است، مثلاً طول چهار برابر عرض: x = ۴y.\n۳. مساحت هر کاشی برابر x*y است.\n۴. تعداد کاشی مصرف شده ضربدر مساحت هر کاشی برابر مساحت کل دیوار است.\n۵. معادله تعداد * مساحت کاشی = مساحت دیوار را بنویسید.\n۶. با جایگذاری نسبت طول به عرض، معادله را حل کنید تا طول کاشی را بیابید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های گویا و گنگ (۱)", "حل معادلات گویا در مسائل درصدی"], {"intro": "۱. تعریف متغیر برای مقدار مجهول (مثلاً مقدار نمک اضافه شده x). ۲. نوشتن نسبت درصد نمک به کل محلول به صورت کسر گویا. ۳. برقراری معادله بر اساس درصد مورد نظر (مثلاً ۷ درصد). ۴. ضرب طرفین معادله در کوچک‌ترین مضرب مشترک مخرج‌ها برای حذف کسرها. ۵. حل معادله خطی به دست آمده برای x. ۶. نتیجه‌گیری و تفسیر مقدار x به دست آمده."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های گویا و گنگ (۱)", "حل مسائل نسبت طلایی در مستطیل"], {"intro": "۱. فرض کنید طول مستطیل L و عرض آن w باشد.\n۲. نسبت طلایی را به صورت L/w = (w + L)/L تعریف کنید.\n۳. معادله نسبت طلایی را به صورت یک معادله جبری بنویسید.\n۴. اگر محیط مستطیل داده شده باشد، از رابطه محیط = ۲(L + w) استفاده کنید.\n۵. دو معادله را حل کنید تا مقادیر طول و عرض به دست آید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های گویا و گنگ (۱)", "حل معادلات درجه دوم با کاربرد هندسی"], {"intro": "۱. مسئله را به صورت هندسی مدل‌سازی کنید و نقاط و فواصل را مشخص کنید.\n۲. با استفاده از روابط هندسی مانند فیثاغورس، معادله‌ای برای فاصله‌ها بنویسید.\n۳. انرژی مصرفی را بر اساس فاصله‌ها و نرخ مصرف داده شده به صورت معادله بیان کنید.\n۴. معادله به دست آمده را ساده کنید تا به معادله درجه دوم برسید.\n۵. معادله درجه دوم را حل کنید و جواب‌های ممکن را بیابید.\n۶. جواب‌های به دست آمده را در مسئله بررسی کنید و جواب منطقی را انتخاب کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های گویا و گنگ (۲)", "حل معادلات شامل رادیکال"], {"intro": "۱. معادله را به گونه‌ای تنظیم کنید که یک طرف معادله فقط شامل رادیکال باشد.\n۲. هر دو طرف معادله را به توان دو برسانید تا رادیکال حذف شود.\n۳. معادله حاصل را حل کنید.\n۴. جواب‌ها را در معادله اصلی جایگذاری کنید تا جواب‌های نامعتبر (ایراددار) حذف شوند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های گویا و گنگ (۲)", "حل مسائل کاربردی با معادلات خطی"], {"intro": "۱. متغیرهای مسئله را تعریف کنید.\n۲. روابط داده شده را به صورت معادلات ریاضی بنویسید.\n۳. معادلات را حل کنید تا مقدار متغیرها را بیابید.\n۴. پاسخ را در قالب مسئله بیان کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های گویا و گنگ (۲)", "حل مسائل حرکت با سرعت‌های نسبی"], {"intro": "۱. متغیرهای سرعت و زمان را تعریف کنید.\n۲. معادلات مربوط به حرکت در جهت جریان و خلاف جریان را بنویسید.\n۳. از مجموع زمان‌ها یا فاصله‌ها معادله بسازید.\n۴. معادله را حل کنید تا سرعت‌ها را بیابید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های گویا و گنگ (۲)", "حل مسائل زمان کار با ماشین‌ها"], {"intro": "۱. زمان انجام کار هر ماشین را متغیر قرار دهید.\n۲. نرخ انجام کار هر ماشین را به صورت معکوس زمان بیان کنید.\n۳. معادله مربوط به کار مشترک و جداگانه را بنویسید.\n۴. معادله را حل کنید تا زمان‌ها را بیابید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "قدر مطلق و ویژگی‌های آن (۱)", "اثبات رابطه قدر مطلق تقسیم"], {"example": "نمودار تابع f(x) = |x-۱| + |x+۲| را رسم کنید.", "steps": ["گام اول: تعیین علامت عبارات داخل قدر مطلق‌ها:", "عبارت x-۱ صفر می‌شود وقتی x=۱ و عبارت x+۲ صفر می‌شود وقتی x=-۲.", "گام دوم: نوشتن تابع به صورت دو ضابطه‌ای در بازه‌های مختلف:", "برای x < -۲:", "f(x) = -(x-۱) - (x+۲) = -x + ۱ - x - ۲ = -۲x - ۱", "✅ جواب: f(x) = -۲x-۱ (x<-۲), ۳ (-۲≤x≤۱), ۲x+۱ (x>۱)"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "قدر مطلق و ویژگی‌های آن (۳)", "نوشتن تابع به صورت دو ضابطه‌ای با استفاده از تابع مطلق"], {"intro": "برای نوشتن تابع y = |f(x)| به صورت دو ضابطه‌ای، ابتدا شرط مثبت یا منفی بودن f(x) را بررسی می‌کنیم. اگر f(x) ≥ ۰، y برابر f(x) است و اگر f(x) < ۰، y برابر منفی f(x) است. بنابراین تابع به صورت دو ضابطه‌ای تعریف می‌شود که هر ضابطه مربوط به یکی از این دو حالت است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۱)", "محاسبه طول پاره‌خط روی محور اعداد"], {"intro": "۱. نقاط داده شده را روی محور اعداد مشخص کنید.\n۲. طول پاره‌خط بین دو نقطه را با تفاضل قدر مطلق مختصات آن دو نقطه محاسبه کنید.\n۳. اگر نقاط متقارنی نسبت به مبدا داده شده‌اند، مختصات آنها را به صورت عددی مشخص کنید.\n۴. طول پاره‌خط را با استفاده از فرمول |xB - xA| محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۱)", "محاسبه طول پاره‌خط در صفحه مختصات"], {"intro": "۱. نقاط A و B را با مختصات (x₁, y₁) و (x₂, y₂) در نظر بگیرید.\n۲. فاصله بین دو نقطه برابر است با طول پاره‌خط AB.\n۳. از رابطه فیثاغورس استفاده کنید: AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²).\n۴. اختلاف مختصات x و y را محاسبه کنید.\n۵. مربع اختلاف‌ها را جمع کنید.\n۶. جذر مجموع را بگیرید تا طول پاره‌خط به دست آید.", "example": "دو نقطه A(۱, ۲) و B(۴, ۶) را در صفحه مختصات در نظر بگیرید. طول پاره‌خط AB را محاسبه کنید.", "steps": ["اختلاف مختصات x را محاسبه می‌کنیم: x₂ - x₁ = ۴ - ۱ = ۳.", "اختلاف مختصات y را محاسبه می‌کنیم: y₂ - y₁ = ۶ - ۲ = ۴.", "مربع اختلاف‌ها را محاسبه می‌کنیم: (۳)² + (۴)² = ۹ + ۱۶ = ۲۵.", "جذر مجموع را محاسبه می‌کنیم: √۲۵ = ۵.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۱)", "بررسی قائم‌الزاویه بودن مثلث در صفحه مختصات"], {"intro": "۱. سه نقطه A(x₁, y₁)، B(x₂, y₂) و C(x₃, y₃) را در نظر بگیرید.\n۲. شیب خطوط AB و AC را محاسبه کنید: mAB = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)، mAC = (y₃ - y₁) / (x₃ - x₁).\n۳. اگر حاصل‌ضرب شیب‌ها برابر -۱ باشد، خطوط عمودند و زاویه بین آن‌ها قائمه است.\n۴. بنابراین مثلث ABC قائم‌الزاویه است اگر mAB * mAC = -۱.\n۵. در غیر این صورت، زاویه قائمه نیست.", "example": "دو نقطه A(۲, ۵) و B(۶, ۳) را در صفحه‌ مختصات در نظر بگیرید. طول پاره‌خط AB را محاسبه کنید.", "steps": ["مختصات نقاط: A(۲, ۵) و B(۶, ۳).", "اختلاف مختصات x: ۶ - ۲ = ۴.", "اختلاف مختصات y: ۳ - ۵ = -۲.", "مربع اختلاف‌ها: ۴² = ۱۶ و (-۲)² = ۴.", "جمع مربع‌ها: ۱۶ + ۴ = ۲۰.", "جذر مجموع: √۲۰ = ۲√۵. بنابراین طول پاره‌خط AB برابر است با ۲√۵.", "✅ جواب: ۲√۵"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۱)", "محاسبه طول اضلاع مثلث در صفحه مختصات"], {"intro": "۱. سه نقطه A(x₁, y₁)، B(x₂, y₂) و C(x₃, y₃) را در نظر بگیرید.\n۲. طول هر ضلع را با استفاده از فرمول فاصله محاسبه کنید:\n AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)\n BC = √((x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²)\n AC = √((x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)²)\n۳. مقادیر را جایگذاری و محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۱)", "محاسبه شیب خطوط در صفحه مختصات"], {"intro": "۱. دو نقطه A(x₁, y₁) و B(x₂, y₂) را در نظر بگیرید.\n۲. شیب خط AB را با فرمول m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) محاسبه کنید.\n۳. همین کار را برای خط AC انجام دهید.\n۴. رابطه بین دو شیب را بررسی کنید (مثلاً برای قائم‌الزاویه بودن ضرب شیب‌ها باید -۱ باشد)."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۲)", "بررسی رابطه شیب خطوط عمود بر هم"], {"intro": "۱. شیب دو خط را به ترتیب m و m' در نظر بگیرید.\n۲. اگر خطوط عمود بر هم باشند، حاصل‌ضرب شیب‌های آن‌ها برابر -۱ است، یعنی m × m' = -۱.\n۳. برای بررسی عمود بودن دو خط، شیب هر خط را محاسبه کنید.\n۴. اگر حاصل‌ضرب شیب‌ها برابر -۱ بود، خطوط عمود بر هم هستند.\n۵. این رابطه برای خطوط عمودمنصف نیز صادق است.", "example": "دو خط با معادله‌های y = ۲x + ۳ و y = -۰٫۵x + ۱ را در نظر بگیرید. آیا این دو خط عمود بر هم هستند؟", "steps": ["شیب خط اول (m) برابر ۲ است.", "شیب خط دوم (m') برابر -۰٫۵ است.", "حاصل‌ضرب شیب‌ها را محاسبه می‌کنیم: ۲ × -۰٫۵ = -۱.", "از آنجا که حاصل‌ضرب شیب‌ها برابر -۱ است، خطوط عمود بر هم هستند.", "✅ جواب: بله"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۲)", "محاسبه طول نقطه وسط یک پاره‌خط"], {"intro": "برای یافتن طول نقطه M که وسط پاره‌خط AB است، ابتدا مختصات نقاط A و B را روی محور عددی مشخص می‌کنیم. سپس طول پاره‌خط AM و MB را محاسبه می‌کنیم که برابرند. طول M از A برابر نصف فاصله کل AB است. به عبارت دیگر، xM = (xA + xB) / ۲.", "example": "دو نقطه A و B به ترتیب دارای مختصات ۴ و ۱۰ هستند. طول نقطه وسط M این پاره‌خط را محاسبه کنید.", "steps": ["ابتدا مختصات A و B را مشخص می‌کنیم: A = ۴ و B = ۱۰.", "فاصله کل پاره‌خط AB را محاسبه می‌کنیم: ۱۰ - ۴ = ۶.", "طول نقطه وسط M از A را محاسبه می‌کنیم: ۶ ÷ ۲ = ۳.", "مختصات نقطه وسط M را با استفاده از فرمول محاسبه می‌کنیم: xM = (۴ + ۱۰) ÷ ۲ = ۷.", "پس مختصات نقطه M برابر با ۷ است.", "✅ جواب: ۷"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۲)", "محاسبه مختصات نقطه وسط پاره‌خط در صفحه مختصات"], {"intro": "برای یافتن مختصات نقطه M که وسط پاره‌خط AB است در صفحه مختصات، ابتدا مختصات نقاط A و B را به صورت (xA, yA) و (xB, yB) مشخص می‌کنیم. سپس مختصات M را با میانگین گرفتن از مختصات x و y نقاط A و B به دست می‌آوریم: xM = (xA + xB) / ۲ و yM = (yA + yB) / ۲."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۲)", "محاسبه فاصله یک نقطه از یک خط"], {"intro": "برای محاسبه فاصله نقطه A(x,y) از خط ax + by + c = ۰، ابتدا معادله خط را به صورت استاندارد می‌نویسیم. سپس طول عمود AH را با استفاده از فرمول فاصله نقطه از خط محاسبه می‌کنیم: AH = |ax + by + c| / √(a² + b²). برای این کار مراحل زیر را انجام می‌دهیم: ۱. معادله خط را به شکل ax + by + c = ۰ تبدیل کنید. ۲. مختصات نقطه A را در فرمول جایگذاری کنید. ۳. قدر مطلق صورت کسر را محاسبه کنید. ۴. مخرج کسر را با استفاده از a و b محاسبه کنید. ۵. حاصل تقسیم را به دست آورید که فاصله نقطه از خط است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۲)", "فاصله نقطه از خط"], {"intro": "۱. معادله خط را به صورت Ax + By + C = ۰ بنویسید.\n۲. مختصات نقطه را به صورت (x₀, y₀) مشخص کنید.\n۳. از فرمول فاصله نقطه از خط استفاده کنید: d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).\n۴. مقدار عددی را محاسبه کنید تا فاصله به دست آید.", "example": "فاصله نقطه B(۳,۲) از خط ۲x - ۳y + ۶ = ۰ را محاسبه کنید.", "steps": ["معادله خط را به صورت Ax + By + C = ۰ داریم: A = ۲، B = -۳، C = ۶.", "مختصات نقطه B را داریم: (x₀, y₀) = (۳, ۲).", "با استفاده از فرمول فاصله: d = |۲*۳ + (-۳)*۲ + ۶| / √(۲² + (-۳)²).", "محاسبه می کنیم: d = |۶ - ۶ + ۶| / √(۴ + ۹) = |۶| / √۱۳.", "در نهایت فاصله را محاسبه می کنیم: d = ۶ / √۱۳.", "✅ جواب: ۶/√۱۳"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۳)", "یافتن مقدار مجهول در معادله خط با استفاده از فاصله نقطه از خط"], {"intro": "۱. معادله خط را به صورت Ax + By + C = ۰ بنویسید که شامل مجهول k باشد.\n۲. مختصات نقطه (x₀, y₀) را مشخص کنید.\n۳. فاصله داده شده را برابر فرمول فاصله نقطه از خط قرار دهید: d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).\n۴. معادله به دست آمده را حل کنید تا مقدار k پیدا شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۳)", "محاسبه مساحت شکل هندسی با استفاده از معادله خط و مختصات رئوس"], {"intro": "۱. معادله خط‌ها و مختصات رئوس شکل را مشخص کنید.\n۲. طول اضلاع را با استفاده از فاصله بین نقاط یا معادله خط محاسبه کنید.\n۳. با توجه به نوع شکل (مربع یا مستطیل)، مساحت را با ضرب طول و عرض محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۳)", "محاسبه مساحت مستطیل با استفاده از معادله خط و مختصات رئوس"], {"intro": "۱. معادله خط‌های دو ضلع مستطیل و مختصات راس را مشخص کنید.\n۲. طول اضلاع مستطیل را با استفاده از فاصله بین نقاط یا فرمول فاصله نقطه از خط محاسبه کنید.\n۳. مساحت مستطیل را با ضرب طول و عرض به دست آورید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۳)", "کار با مختصات و بردارها در مثلث"], {"intro": "۱. رسم مثلث با استفاده از مختصات داده شده. ۲. بررسی برابری طول اضلاع برای اثبات متساوی الساقین بودن مثلث با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه. ۳. یافتن معادله عمود منصف ضلع BC با استفاده از شیب و نقطه وسط ضلع. ۴. محاسبه طول ارتفاع AH با استفاده از فاصله نقطه تا خط."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۳)", "یافتن مرکز و شعاع دایره با استفاده از نقاط روی قطر"], {"intro": "۱. مرکز دایره برابر نقطه وسط دو نقطه داده شده روی قطر است. ۲. شعاع دایره برابر نصف فاصله بین دو نقطه قطر است. ۳. فاصله بین دو نقطه با فرمول فاصله محاسبه می‌شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۳)", "مدل‌سازی و تحلیل منحنی سهمی"], {"intro": "۱. نقاط انتهایی منحنی سهمی را با حل معادله درجه دو y = x² - ۸x - ۲۰ برای y=۰ بدست می‌آوریم. ۲. طول قاعده AB برابر فاصله بین نقاط A و B است. ۳. ضخامت بیشینه منحنی برابر مقدار بیشینه y در بازه بین نقاط A و B است که با یافتن رأس سهمی محاسبه می‌شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۴)", "ثابت کردن فاصله بین دو خط موازی"], {"intro": "۱. معادلات دو خط موازی به شکل ax + by + c = ۰ و ax + by + c' = ۰ داده شده‌اند. ۲. فاصله بین دو خط موازی برابر مقدار مطلق تفاضل جملات آزاد تقسیم بر ریشه مجموع مربعات ضرایب x و y است. ۳. فرمول فاصله: |c - c'| / √(a² + b²)."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۴)", "محاسبه شعاع دایره با استفاده از خط مماس و مرکز دایره"], {"intro": "۱. مرکز دایره داده شده است. ۲. خط مماس به دایره داده شده است. ۳. شعاع دایره برابر فاصله مرکز دایره تا خط مماس است. ۴. فاصله نقطه تا خط با فرمول |ax0 + by0 + c| / √(a² + b²) محاسبه می‌شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۴)", "محاسبه مختصات نقطه روی نیم‌دایره"], {"intro": "۱. معادله دایره را بنویسید: x² + y² = شعاع².\n۲. با توجه به اینکه نقطه روی نیم‌دایره است و مختصات y آن مثبت است، مقدار y را به صورت y=√(شعاع² - x²) بنویسید.\n۳. مقدار x را با توجه به شرایط مسئله پیدا کنید.\n۴. شیب خطوط را با استفاده از فرمول شیب m = (y2 - y1) / (x2 - x1) محاسبه کنید.\n۵. بررسی قائم بودن زاویه با استفاده از حاصل‌ضرب داخلی شیب‌ها (اگر حاصل‌ضرب برابر -۱ باشد، زاویه قائمه است)."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۴)", "محاسبه فاصله نقطه تا خط"], {"intro": "۱. معادله خط را به صورت ax + by + c = ۰ بنویسید.\n۲. مختصات نقطه (x₀, y₀) را داشته باشید.\n۳. فاصله نقطه تا خط را با فرمول d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²) محاسبه کنید.\n۴. اگر فاصله برابر مقدار داده شده باشد، مقدار مجهول را پیدا کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۴)", "محاسبه طول عمود و مختصات نقطه در مثلث"], {"intro": "۱. مختصات رأس‌های مثلث را داشته باشید.\n۲. برای محاسبه طول عمود، معادله خط قاعده را پیدا کنید.\n۳. مختصات نقطه عمود شده را با استفاده از فرمول فاصله عمود و معادله خط پیدا کنید.\n۴. طول عمود را با فرمول فاصله بین دو نقطه محاسبه کنید.\n۵. برای تعیین مختصات نقطه D که ABCD متوازی‌الاضلاع است، از خاصیت متوازی‌الاضلاع استفاده کنید: D = A + C - B."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۴)", "محاسبه نقطه روی خط با شرط مجموع فاصله‌ها"], {"intro": "۱. معادله خط را داشته باشید.\n۲. مختصات نقطه را به صورت (x, y) با y بر حسب x از معادله خط بنویسید.\n۳. فاصله نقطه تا مبدا مختصات و نقطه داده شده را با فرمول فاصله محاسبه کنید.\n۴. مجموع فاصله‌ها را برابر مقدار داده شده قرار دهید.\n۵. معادله به دست آمده را حل کنید تا مختصات نقطه را بیابید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "دایره، خط و مماس", "بررسی موقعیت خط نسبت به دایره با استفاده از فاصله مرکز دایره تا خط"], {"intro": "۱. فاصله خط d از مرکز دایره O را محاسبه کنید (OH). ۲. اگر OH < شعاع r باشد، خط و دایره دو نقطه اشتراک دارند و خط قطع‌کننده است. ۳. اگر OH = r باشد، خط و دایره یک نقطه اشتراک دارند و خط مماس است. ۴. اگر OH > r باشد، خط و دایره هیچ نقطه اشتراکی ندارند و خط خارج از دایره است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "دایره، خط و مماس", "رسم خط عمود از مرکز دایره به خط مماس و تعیین نقطه تماس"], {"intro": "۱. از مرکز دایره O خطی عمود بر خط d رسم کنید. ۲. نقطه تقاطع این خط عمود با خط d را نقطه تماس F می‌نامیم. ۳. شعاع OF برابر فاصله مرکز دایره تا خط مماس است. ۴. خط d فقط در نقطه F با دایره تماس دارد و این نقطه تماس است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "دایره، خط و مماس", "رسم خط مماس بر دایره در نقطه داده شده"], {"intro": "۱. نقطه F روی دایره داده شده است. ۲. شعاع OF را رسم کنید که از مرکز دایره O به نقطه F می‌رسد. ۳. خط مماس بر دایره در نقطه F خطی است که بر شعاع OF عمود است. ۴. خط مماس را طوری رسم کنید که در نقطه F بر شعاع عمود باشد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "دایره، خط و مماس", "محاسبه اندازه کمان با استفاده از نسبت طول کمان به محیط دایره"], {"intro": "۱. طول کمان را بر محیط دایره تقسیم کنید. ۲. این نسبت برابر است با نسبت اندازه کمان (بر حسب درجه) به ۳۶۰ درجه. ۳. با ضرب دو طرف معادله در ۳۶۰، اندازه کمان را به دست آورید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "کمان و وتر", "محاسبه طول کمان با استفاده از زاویه مرکزی و شعاع دایره"], {"intro": "۱. زاویه مرکزی α را بر ۳۶۰ درجه تقسیم کنید. ۲. حاصل را در محیط دایره (۲πR) ضرب کنید. ۳. نتیجه طول کمان است: L = (α/۳۶۰) × ۲πR."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "کمان و وتر", "محاسبه مساحت قطاع دایره با استفاده از زاویه مرکزی و شعاع دایره"], {"intro": "۱. زاویه مرکزی α را بر ۳۶۰ درجه تقسیم کنید. ۲. حاصل را در مساحت کل دایره (πR²) ضرب کنید. ۳. نتیجه مساحت قطاع دایره است: S = (α/۳۶۰) × πR²."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "زاویه‌ی محاطی و مرکزی", "زاویه محاطی و رابطه آن با قطر دایره"], {"intro": "۱. زاویه محاطی در دایره زاویه‌ای است که راس آن روی محیط دایره قرار دارد.\n۲. اگر قطر دایره رسم شود، زاویه محاطی برابر نصف زاویه مرکزی مقابل آن است.\n۳. برای محاسبه زاویه محاطی، ابتدا قطر مربوطه را رسم می‌کنیم.\n۴. سپس زاویه مقابل به قطر را پیدا کرده و نصف آن را می‌گیریم.\n۵. این مقدار برابر زاویه محاطی است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "زاویه‌ی محاطی و مرکزی", "زاویه محاطی با دو ضلع در یک طرف قطر"], {"intro": "۱. زاویه محاطی در دایره که دو ضلع آن در یک طرف قطر قرار دارند، برابر نصف اختلاف زاویه‌های مقابل به قطر است.\n۲. ابتدا قطر مربوطه را رسم می‌کنیم.\n۳. زاویه‌های مقابل به قطر را مشخص می‌کنیم.\n۴. اختلاف این دو زاویه را محاسبه می‌کنیم.\n۵. نصف این اختلاف برابر زاویه محاطی است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "زاویه‌ی محاطی و مرکزی", "زاویه ظلی و رابطه آن با زاویه محاطی"], {"intro": "۱. زاویه ظلی زاویه‌ای است که رأس آن روی دایره قرار دارد و یکی از اضلاع آن مماس بر دایره است.\n۲. ضلع دیگر زاویه شامل وتر یا ضلع دیگر دایره است.\n۳. زاویه ظلی برابر نصف زاویه مرکزی مقابل به آن است.\n۴. برای محاسبه زاویه ظلی، ابتدا قطر یا وتر مربوطه را رسم می‌کنیم.\n۵. سپس زاویه مقابل به آن را پیدا کرده و نصف آن را می‌گیریم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "زاویه‌ی محاطی و مرکزی", "بررسی رابطه بین زوایا و کمان‌ها در دایره"], {"intro": "۱. شناسایی زوایا و کمان‌های مربوط به آن‌ها در دایره. ۲. بررسی موازی بودن وترها یا خطوط داده شده. ۳. استفاده از قضیه‌های مربوط به زاویه‌های محاطی و کمان‌های روبه‌رو برای تعیین رابطه بین زوایا و کمان‌ها. ۴. اثبات برابری یا نسبت بین زوایا با توجه به کمان‌های روبه‌رو یا موازی بودن وترها. ۵. نتیجه‌گیری بر اساس روابط هندسی دایره و استفاده از فرمول‌های زاویه و کمان."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "زاویه‌ی محاطی و مرکزی", "رسم و بررسی زوایا و کمان‌ها در دایره با وترهای موازی"], {"intro": "۱. رسم وترهای داده شده و بررسی موازی بودن آن‌ها. ۲. رسم خطوط و وترهای مورد نظر مانند EH، GH و EF. ۳. تعیین زاویه‌های تشکیل شده توسط این وترها و بررسی برابری آن‌ها با استفاده از خواص دایره و وترهای موازی. ۴. بررسی برابری کمان‌های روبه‌رو با توجه به زاویه‌های محاطی و وترهای موازی. ۵. نتیجه‌گیری درباره برابری یا نسبت بین زوایا و کمان‌ها."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "محاسبه‌ی زاویه‌ها در دایره", "محاسبه اندازه زاویه محاطی با استفاده از کمان‌های روبه‌رو"], {"intro": "۱. شناسایی زاویه محاطی و کمان روبه‌روی آن در دایره. ۲. استفاده از رابطه اندازه زاویه محاطی برابر نصف اندازه کمان روبه‌رو. ۳. جایگذاری اندازه کمان در فرمول و محاسبه اندازه زاویه. ۴. اثبات یا استفاده از این رابطه در مسائل مختلف برای تعیین اندازه زاویه محاطی."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "محاسبه‌ی زاویه‌ها در دایره", "اثبات رابطه زاویه خارجی مثلث در دایره"], {"intro": "۱. زاویه خارجی مثلث را تعریف کنید.\n۲. از خواص زاویه‌های مرکزی و محیطی در دایره استفاده کنید.\n۳. با رسم خطوط موازی و استفاده از تساوی‌های زاویه‌ای، رابطه زاویه خارجی را به صورت جبری اثبات کنید.\n۴. از تساوی‌های طولی و زاویه‌ای در مثلث و دایره بهره ببرید تا رابطه مورد نظر را اثبات نمایید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "محاسبه‌ی زاویه‌ها در دایره", "رسم خط موازی و تعیین نقاط تقاطع در دایره"], {"intro": "۱. از نقطه داده شده (مثلاً B) خطی موازی با خط داده شده (مثلاً DC) رسم کنید.\n۲. نقطه تقاطع این خط موازی با دایره را مشخص کنید.\n۳. با استفاده از خواص خطوط موازی و زوایای متناظر، تساوی‌های زاویه‌ای را تعیین کنید.\n۴. این تساوی‌ها را برای اثبات روابط زاویه‌ای یا طولی به کار ببرید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "محاسبه‌ی زاویه‌ها در دایره", "محاسبه اندازه زاویه با استفاده از زوایای داده شده در دایره"], {"intro": "۱. زاویه‌های داده شده را در شکل مشخص کنید.\n۲. از رابطه‌های زاویه‌ای در دایره مانند زاویه مرکزی و محیطی استفاده کنید.\n۳. با استفاده از جمع زوایا در مثلث و روابط زاویه‌ای دایره، زاویه مجهول را محاسبه کنید.\n۴. نتیجه را با دقت بیان کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "محاسبه‌ی زاویه‌ها در دایره", "اثبات تساوی طول‌ها در دایره با خطوط موازی"], {"intro": "۱. خطوط d1 و d2 را که موازی هستند رسم کنید.\n۲. نقاط تقاطع این خطوط با دایره را مشخص کنید.\n۳. با استفاده از خواص خطوط موازی و زوایای متناظر، تساوی طول‌ها را اثبات کنید.\n۴. از روابط هندسی دایره و خطوط موازی برای اثبات استفاده نمایید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "محاسبه‌ی زاویه‌ها در دایره", "رابطه زاویه‌های محاطی و مرکزی در دایره"], {"intro": "۱. زاویه‌های محاطی و مرکزی را در دایره مشخص کنید.\n۲. رابطه بین زاویه محاطی و زاویه مرکزی مقابل به همان کمان را به کار ببرید.\n۳. با رسم زاویه خارجی در مثلث و استفاده از خواص دایره، رابطه زاویه‌ای را اثبات کنید.\n۴. از تساوی‌های زاویه‌ای برای اثبات رابطه استفاده نمایید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "زاویه و وتر در دایره", "محاسبه اندازه زاویه بین اضلاع مماس بر دایره"], {"intro": "۱. زاویه بین دو خط مماس بر دایره برابر است با نصف قوس بین نقاط تماس. ۲. از روابط زاویه‌های محاطی و مرکزی استفاده کنید. ۳. اندازه زاویه را با توجه به قوس‌های مربوطه محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "زاویه و وتر در دایره", "محاسبه اندازه کمان در دایره با خطوط موازی"], {"intro": "۱. با توجه به موازی بودن خطوط، از خواص زوایای متناظر و محاطی استفاده کنید. ۲. اندازه کمان مقابل به خط موازی را با استفاده از زاویه‌های داده شده محاسبه کنید. ۳. از روابط بین زوایا و کمان‌ها در دایره بهره ببرید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "زاویه و وتر در دایره", "اثبات تساوی وترها در دایره با قطر و وترهای موازی"], {"intro": "۱. از تعریف قطر و خواص دایره استفاده کنید. ۲. با توجه به موازی بودن وترها، زاویه‌ها و مثلث‌های مربوطه را بررسی کنید. ۳. با استفاده از قضایای هندسی و تساوی مثلث‌ها، تساوی طول وترها را اثبات کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "زاویه و وتر در دایره", "محاسبه زاویه و طول در دایره با نقطه خارج از دایره و خطوط مماس"], {"intro": "۱. از تعریف خطوط مماس و خواص زاویه بین خط مماس و وتر استفاده کنید. ۲. زاویه‌های داده شده را در مثلث‌ها و دایره به کار ببرید. ۳. با استفاده از روابط مثلثاتی و هندسی، طول‌ها و زاویه‌ها را محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "زاویه و وتر در دایره", "محاسبه طول وتر و فاصله مرکز دایره از وتر"], {"intro": "۱. از رابطه بین طول وتر، شعاع دایره و فاصله مرکز تا وتر استفاده کنید. ۲. زاویه مرکزی مربوط به وتر را به کار ببرید. ۳. با استفاده از قضیه فیثاغورس، طول وتر را محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "زاویه و وتر در دایره", "مقایسه طول وترها با استفاده از فاصله مرکز دایره از وتر"], {"intro": "۱. فاصله مرکز دایره تا هر وتر را محاسبه کنید. ۲. با استفاده از قضیه فیثاغورس، طول وترها را به دست آورید. ۳. اگر فاصله مرکز تا وتر کمتر باشد، طول وتر بزرگ‌تر است. ۴. این رابطه را برای دو وتر مقایسه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "قطع وترها، مماس و قاطع", "نسبت طول پاره‌خط‌ها در تقاطع دو وتر داخل دایره"], {"intro": "۱. دو وتر AB و CD را در نقطه M داخل دایره در نظر بگیرید. ۲. نقاط A را به B و C را به D وصل کنید تا دو مثلث MAD و MBC تشکیل شود. ۳. با توجه به تشابه مثلث‌ها، نسبت طول‌های پاره‌خط‌ها را به صورت AM/CM = DM/BM به دست آورید. ۴. نتیجه نهایی این است که AM × BM = CM × DM."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "قطع وترها، مماس و قاطع", "نسبت طول پاره‌خط‌ها در تقاطع دو وتر خارج دایره"], {"intro": "۱. دو وتر AB و CD را در نقطه M خارج دایره در نظر بگیرید. ۲. نقاط A را به B و C را به D وصل کنید تا دو مثلث MAD و MCB تشکیل شود. ۳. با توجه به تشابه مثلث‌ها، نسبت طول‌های پاره‌خط‌ها را به صورت MA/MC = MD/MB به دست آورید. ۴. نتیجه نهایی این است که MA × MB = MC × MD."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "قطع وترها، مماس و قاطع", "برابری زاویه‌ها در شکل‌های شامل مماس و قاطع دایره"], {"intro": "۱. نقطه M خارج دایره را در نظر بگیرید که یک مماس و یک قاطع بر دایره رسم شده است. ۲. نقاط T و A و B را به هم وصل کنید. ۳. با استفاده از خواص زاویه بین مماس و قاطع، زاویه MTA را با زاویه TBM مقایسه کنید. ۴. نشان دهید که این دو زاویه برابرند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "قطع وترها، مماس و قاطع", "رسم وتر مماس از نقطه‌ای خارج دایره و استفاده از رابطه تشابه مثلث‌ها"], {"intro": "۱. نقطه M را خارج دایره مشخص کنید.\n۲. خطی از M رسم کنید که با دایره مماس باشد و نقطه تماس را T بنامید.\n۳. مثلث‌های مرتبط (مثلث MAT و مثلث MTB) را بررسی کنید و تشابه آن‌ها را اثبات کنید.\n۴. از تشابه مثلث‌ها نسبت طول اضلاع را بنویسید و مجهول را بیابید.\n۵. رابطه مربع طول مماس (MT) را با حاصل‌ضرب اندازه‌های دو قطعه قاطع (MA و MT) به دست آورید.\n۶. از این رابطه برای حل مسائل مربوط به طول‌ها استفاده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "قطع وترها، مماس و قاطع", "رسم مماس بر دایره از نقطه خارج دایره و اثبات ویژگی‌های هندسی"], {"intro": "۱. نقطه M خارج دایره را مشخص کنید.\n۲. خط مماسی d را از نقطه T رسم کنید که بر دایره مماس باشد.\n۳. نقاط A و M روی خط d در دو طرف T قرار دارند.\n۴. اگر O مرکز دایره باشد، مثلث OMT را بررسی کنید.\n۵. نشان دهید که زاویه T در مثلث OMT قائمه است (زاویه قائمه بودن مماس بر شعاع).\n۶. اگر N وسط پاره‌خط OM باشد، نشان دهید NM = NO = NT.\n۷. از این ویژگی‌ها برای رسم و اثبات خواص مماس استفاده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "وضعیت دو دایره", "بررسی حالات دو دایره نسبت به هم و تعیین نوع تماس یا تقاطع"], {"intro": "برای دو دایره با مراکز O و O' و شعاع‌های R و R' و فاصله مراکز d، حالات مختلف نسبت به هم به صورت زیر بررسی می‌شود:\n۱. اگر d > R + R'، دو دایره بیرون هم و متقاطع نیستند.\n۲. اگر d = R + R'، دو دایره بیرون و دقیقاً یک نقطه تماس دارند (مماس بیرونی).\n۳. اگر R - R' < d < R + R'، دو دایره متقاطع هستند و دو نقطه اشتراک دارند.\n۴. اگر d = R - R'، دو دایره داخل هم و دقیقاً یک نقطه تماس دارند (مماس درونی).\n۵. اگر d < R - R'، دو دایره داخل هم و هیچ نقطه تماسی ندارند.\n۶. اگر d = ۰، دو دایره هم‌مرکز هستند.\nبرای حل مسائل، ابتدا فاصله مراکز و شعاع‌ها را محاسبه کرده و سپس با مقایسه این مقادیر، نوع تماس یا تقاطع را تعیین می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "وضعیت دو دایره", "محاسبه طول مماس مشترک دو دایره"], {"intro": "۱. دو دایره با مراکز O و O' و شعاع‌های R و R' را در نظر بگیرید.\n۲. فاصله بین مراکز دو دایره را d فرض کنید.\n۳. خط مماس مشترک خارجی دو دایره را در نظر بگیرید که در نقاط T و T' مماس است.\n۴. مثلث قائم‌الزاویه TT'O'H را تشکیل دهید که در آن H نقطه تقاطع عمود بر خط OO' است.\n۵. با استفاده از قضیه فیثاغورس در مثلث OHO'، طول TT' را به صورت TT' = √(d² - (R - R')²) محاسبه کنید.\n۶. این فرمول طول مماس مشترک خارجی دو دایره را به دست می‌دهد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "تقاطع دو دایره", "نسبت قطع وترها در دایره"], {"intro": "۱. از رابطه نسبت تقسیم وترها در دایره استفاده می‌کنیم که اگر دو وتر در دایره یکدیگر را قطع کنند، حاصل‌ضرب بخش‌های هر وتر برابر است.\n۲. با داشتن طول وترها و نسبت تقسیم یکی از وترها، طول بخش‌های وتر دیگر را محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "تقاطع دو دایره", "محاسبه طول وترها با استفاده از خطوط مماس و نقاط خارج دایره"], {"intro": "۱. از نقطه خارج دایره، خطوط مماس رسم می‌کنیم.\n۲. با استفاده از قضیه طول وتر و رابطه بین طول‌های خطوط مماس و وترها، طول‌های مورد نظر را محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "تقاطع دو دایره", "محاسبه شعاع دایره‌های مماس و قطرها"], {"intro": "۱. با استفاده از اطلاعات داده شده درباره قطرها و طول‌های داده شده، شعاع دایره‌ها را محاسبه می‌کنیم.\n۲. از روابط هندسی و قضایای مربوط به دایره‌های مماس استفاده می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "مسئله‌های دایره‌های مماس", "ثابت کردن برابری طول‌های مماس مشترک بر دایره‌ها"], {"intro": "۱. تمام دایره‌ها را در نقطه T برهم مماس در نظر می‌گیریم.\n۲. از نقطه M روی مماس مشترک، خطوط مماس به دایره‌ها رسم می‌کنیم.\n۳. با استفاده از خاصیت طول‌های مماس از یک نقطه به دایره، طول‌ها را برابر ثابت می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "مسئله‌های دایره‌های مماس", "محاسبه طول شعاع‌ها و طول خط مرکز بین دایره‌های مماس"], {"intro": "۱. با استفاده از طول‌های داده شده برای شعاع‌های داخلی و خارجی دایره‌ها، روابط بین آن‌ها را برقرار می‌کنیم.\n۲. طول خط مرکز بین دایره‌ها را با جمع یا تفریق شعاع‌ها محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "مسئله‌های دایره‌های مماس", "محاسبه طول نخ و مساحت ناحیه محدود شده توسط دایره‌ها"], {"intro": "۱. با استفاده از شعاع‌های داده شده و روابط هندسی، طول نخ را محاسبه می‌کنیم.\n۲. مساحت ناحیه محدود شده توسط دایره‌ها را با استفاده از فرمول‌های مساحت دایره و مثلث محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "مسئله‌های دایره‌های مماس", "محاسبه طول خط مرکز و شعاع دایره‌های مماس داخلی و مساحت ناحیه محدود"], {"intro": "۱. طول خط مرکز بین دو دایره مماس داخلی را با استفاده از شعاع‌ها و فاصله داده شده محاسبه می‌کنیم.\n۲. طول شعاع‌های دایره‌ها را با استفاده از روابط هندسی به دست می‌آوریم.\n۳. مساحت ناحیه محدود شده را با استفاده از فرمول‌های مساحت محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "مسئله‌های دایره‌های مماس", "محاسبه مساحت ناحیه سایه زده شده در دایره"], {"intro": "۱. مساحت کل دایره را با استفاده از شعاع داده شده محاسبه می‌کنیم.\n۲. مساحت بخش‌های دیگر (مثل مثلث یا بخش‌های دایره) را محاسبه و از مساحت کل کم می‌کنیم تا مساحت ناحیه سایه زده به دست آید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "چندضلعی محاطی و محیطی", "دایره محیطی چندضلعی"], {"intro": "۱. بررسی کنید که آیا نیمسازهای زاویه‌های داخلی چندضلعی در یک نقطه هم‌گذر هستند یا خیر. ۲. اگر این نقطه مرکز دایره محیطی باشد، شعاع دایره برابر فاصله این نقطه تا هر یک از رئوس چندضلعی است. ۳. برای محاسبه محیط دایره محیطی، از رابطه محیط = ۲πr استفاده کنید. ۴. برای محاسبه مساحت چندضلعی محیطی، می‌توان مساحت مثلث‌های تشکیل شده را محاسبه و جمع کرد یا از روابط هندسی مربوط استفاده نمود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "چندضلعی محاطی و محیطی", "محاسبه شعاع دایره محیطی و مساحت چندضلعی محیطی"], {"intro": "۱. اگر n ضلعی محیطی با مساحت S و محیط ۲πr باشد، شعاع دایره محیطی برابر r است. ۲. مساحت چندضلعی محیطی را می‌توان با تقسیم چندضلعی به n مثلث و محاسبه مساحت هر مثلث به دست آورد. ۳. محیط دایره محیطی برابر ۲πr است. ۴. با داشتن مساحت و محیط، می‌توان شعاع دایره محیطی را محاسبه کرد یا بالعکس."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "چندضلعی محاطی و محیطی", "دایره محیطی و محاطی مثلث"], {"intro": "۱. مرکز دایره محیطی مثلث نقطه تلاقی سه عمود منصف اضلاع مثلث است. ۲. شعاع دایره محیطی برابر فاصله این مرکز تا هر یک از رئوس مثلث است. ۳. مرکز دایره محاطی مثلث نقطه تلاقی سه نیمساز زاویه‌های داخلی مثلث است. ۴. شعاع دایره محاطی برابر فاصله این مرکز تا هر یک از اضلاع مثلث است. ۵. مساحت مثلث را می‌توان با رابطه S = pr محاسبه کرد که p نیم محیط مثلث و r شعاع دایره محاطی است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "چندضلعی محاطی و محیطی", "محاسبه شعاع دایره محاطی و دایره‌های محاطی خارجی در مثلث"], {"intro": "۱. ابتدا نیمساز زاویه A مثلث ABC را رسم می‌کنیم. ۲. نقطه O را به عنوان نقطه تقاطع نیمساز زاویه C با خط BC مشخص می‌کنیم. ۳. شعاع دایره محاطی داخلی (r) و شعاع دایره‌های محاطی خارجی (rₐ, rb, rc) را تعریف می‌کنیم. ۴. مساحت مثلث ABC را با S نشان می‌دهیم و محیط مثلث را با p که برابر با a+b+c است، مشخص می‌کنیم. ۵. برای محاسبه شعاع دایره محاطی خارجی مقابل ضلع a، از رابطه rₐ = S / (p - a) استفاده می‌کنیم. ۶. به طور مشابه شعاع دایره‌های محاطی خارجی مقابل اضلاع دیگر را با روابط مشابه محاسبه می‌کنیم. ۷. توجه داشته باشید که برخلاف مثلث، همه چندضلعی‌های دیگر لزوماً محاطی یا محیطی نیستند و شرایط خاصی برای محاطی یا محیطی بودن چهارضلعی وجود دارد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "چهارضلعی محاطی و محیطی", "اثبات رابطه زوایا در چهارضلعی محاطی"], {"intro": "۱. فرض کنید چهارضلعی ABCD محاطی است. ۲. از تعریف چهارضلعی محاطی استفاده کنید که مجموع اندازه‌های دو زاویه مقابل برابر ۱۸۰ درجه است. ۳. مجموع اندازه‌های کمان‌های متناظر با این زوایا را بررسی کنید. ۴. با استفاده از رابطه‌های کمان‌ها و زوایا، نشان دهید که مجموع اندازه دو زاویه مقابل مکمل یکدیگرند. ۵. نتیجه بگیرید که چهارضلعی محاطی است اگر و فقط اگر دو زاویه مقابل مکمل باشند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "چهارضلعی محاطی و محیطی", "اثبات هم‌دایره بودن نقاط با استفاده از چهارضلعی محاطی"], {"intro": "۱. فرض کنید چهارضلعی ABCD محاطی است و نقاط B، C و D روی یک دایره قرار دارند. ۲. خط AD را در نقطه‌ای مانند A' قطع می‌کنیم که بین A و D قرار دارد. ۳. چهارضلعی A'BCD را بررسی می‌کنیم و نشان می‌دهیم که این چهارضلعی نیز محاطی است. ۴. با استفاده از مکمل بودن زوایا و رابطه‌های زاویه‌ای، اثبات می‌کنیم که اندازه زاویه‌های متناظر در چهارضلعی A'BCD برابر است. ۵. نتیجه می‌گیریم که نقاط A، A'، B، C و D هم‌دایره هستند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "چهارضلعی محاطی و محیطی", "اثبات رابطه طول اضلاع در چهارضلعی محیطی"], {"intro": "۱. فرض کنید چهارضلعی ABCD محیطی است. ۲. از تعریف چهارضلعی محیطی استفاده کنید که مجموع طول دو ضلع مقابل برابر مجموع طول دو ضلع مقابل دیگر است. ۳. با رسم دو پاره‌خط مماس بر دایره از نقاط بیرونی، رابطه طولی بین اضلاع را اثبات کنید. ۴. با استفاده از این رابطه، نشان دهید که مجموع طول دو ضلع مقابل برابر مجموع طول دو ضلع مقابل دیگر است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "چهارضلعی محاطی و محیطی", "اثبات رابطه طولی در چهارضلعی محیطی"], {"intro": "۱. فرض کنید چهارضلعی ABCD محیطی است. ۲. از ویژگی‌های چهارضلعی محیطی استفاده کنید که مجموع دو ضلع مقابل برابر است. ۳. نیمسازهای زوایای B و C را رسم کنید که در نقطه I همدیگر را قطع می‌کنند. ۴. با توجه به ویژگی نیمسازها، فاصله نقاط I تا اضلاع مربوطه برابر است (IM=IN=IP). ۵. شعاع دایره محیطی را بر اساس این نقاط و اضلاع محاسبه کنید. ۶. با استفاده از این روابط، اثبات کنید که AB + CD = BC + AD برقرار است. ۷. در صورت تغییر شرایط (مثلاً دایره بر ضلع AD مماس نباشد) نقاط تقاطع و روابط طولی جدید را بررسی کنید و با استفاده از روابط طولی و هندسی نتیجه‌گیری کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "چهارضلعی محاطی و محیطی", "تشخیص چندضلعی‌های محاطی و محیطی و ویژگی‌های آن‌ها"], {"intro": "۱. بررسی کنید که چندضلعی داده شده محاطی است یا محیطی. ۲. برای چندضلعی محاطی، همه اضلاع باید بر یک دایره مماس باشند. ۳. برای چندضلعی محیطی، همه رئوس باید روی یک دایره قرار داشته باشند. ۴. ویژگی‌های هر نوع چندضلعی را در جدول مربوطه قرار دهید. ۵. با توجه به ویژگی‌های هندسی، مشخص کنید که کدام چندضلعی‌ها محاطی و کدام محیطی هستند. ۶. ویژگی‌های خاص مثل متساوی‌الساقین بودن، متوازی‌الاضلاع بودن و غیره را بررسی کنید. ۷. نتیجه‌گیری کنید که چندضلعی‌های محاطی و محیطی چندضلعی‌های منتظم هستند یا خیر."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "اثبات‌های محاطی و محیطی", "محاسبه مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع محاطی در دایره"], {"intro": "برای محاسبه مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع محاطی در دایره‌ای با شعاع R، ابتدا رابطه بین ضلع مثلث و شعاع دایره محاطی را پیدا می‌کنیم. سپس با استفاده از فرمول مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع (که برابر است با (√۳/۴)ضلع به توان ۲) مساحت را محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "n‌ضلعی منتظم و دایره", "رابطه ارتفاع‌ها و شعاع دایره محیطی مثلث"], {"intro": "برای مثلث ABC با ارتفاع‌های ha، hb و hc و شعاع دایره محیطی r، رابطه ۱/ha + ۱/hb + ۱/hc = ۱/r برقرار است. برای اثبات این رابطه، از خواص ارتفاع‌ها و شعاع دایره محیطی استفاده می‌کنیم و با توجه به ترتیب ha > hb > hc، رابطه فوق را نشان می‌دهیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "n‌ضلعی منتظم و دایره", "اندازه اضلاع n ضلعی منتظم محاطی و محیطی در دایره"], {"intro": "برای دایره‌ای با شعاع r و n ضلعی منتظم محاطی و محیطی، اندازه ضلع‌های این n ضلعی‌ها را بر حسب r و n به صورت AB = ۲r tan(۱۸۰°/n) برای ضلعی محیطی و CD = ۲r sin(۱۸۰°/n) برای ضلعی محاطی نشان می‌دهیم. این روابط با استفاده از تقسیم دایره به n قسمت مساوی و مثلثات در مثلث‌های قائم‌الزاویه به دست می‌آیند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "ارزش گزاره", "ارزش گزاره"], {"intro": "۱. گزاره را به صورت جمله‌ای خبری که درست یا نادرست است، شناسایی کنید.\n۲. ارزش گزاره را با نمادهای (د) برای درست و (ن) برای نادرست مشخص کنید.\n۳. اگر چند گزاره دارید، ارزش هر کدام را جداگانه تعیین کنید.\n۴. برای ترکیب گزاره‌ها، از جدول ارزش‌های منطقی استفاده کنید تا ارزش گزاره مرکب را بیابید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "ارزش گزاره", "ارزش گزاره و نقیض آن"], {"intro": "۱. گزاره p را به صورت جمله‌ای مشخص تعریف کنید.\n۲. نقیض گزاره p را با علامت ~p بنویسید که درستی آن برعکس درستی p است.\n۳. جدول ارزش گزاره p و نقیض آن ~p را رسم کنید، به طوری که در هر حالت مقدار درستی یا نادرستی مشخص شود.\n۴. مقایسه ارزش گزاره p و نقیض آن ~p را انجام دهید و نتیجه‌گیری کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "ارزش گزاره", "تعیین ارزش گزاره‌های خبری با جایگذاری متغیر"], {"intro": "۱. گزاره خبری شامل یک یا چند متغیر را مشخص کنید.\n۲. مقادیر مشخصی را به جای متغیرها قرار دهید.\n۳. گزاره را با جایگذاری مقادیر تبدیل به گزاره‌ای بدون متغیر کنید.\n۴. ارزش گزاره را با توجه به درستی یا نادرستی آن تعیین کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "ارزش گزاره", "پر کردن جای خالی در جملات گزاره‌ای"], {"intro": "۱. جمله گزاره‌ای داده شده را بررسی کنید.\n۲. جای خالی را با مجموعه یا مقدار مناسب پر کنید به طوری که ارزش گزاره درست یا نادرست شود.\n۳. ارزش گزاره را با توجه به جای خالی تعیین کنید.\n۴. نتیجه را به صورت درست یا نادرست بیان کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "ارزش گزاره", "تعیین دامنه متغیر گزاره‌نما"], {"intro": "۱. گزاره‌نما را بررسی کنید و متغیرهای آن را مشخص کنید.\n۲. مجموعه‌ای که متغیرها می‌توانند مقادیر آن را بگیرند، تعیین کنید.\n۳. دامنه متغیر را به صورت مجموعه‌ای که متغیرها از آن انتخاب می‌شوند، بنویسید.\n۴. در صورت نیاز، دامنه متغیر را به دامنه متغیر گزاره‌نما تبدیل کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "ارزش گزاره", "ترکیب گزاره‌ها با عملگرهای منطقی"], {"intro": "۱. گزاره‌های ساده را مشخص کنید.\n۲. عملگر منطقی مورد نظر (و، یا، اگر آنگاه و غیره) را بین گزاره‌ها قرار دهید.\n۳. گزاره مرکب را تشکیل دهید.\n۴. ارزش گزاره مرکب را با توجه به ارزش گزاره‌های ساده و قواعد عملگرهای منطقی تعیین کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "ترکیب عطفی و دمورگان", "ترکیب عطفی دو گزاره"], {"intro": "۱. دو گزاره p و q را مشخص کنید.\n۲. ترکیب عطفی p ∧ q را تشکیل دهید.\n۳. ارزش گزاره مرکب را با توجه به ارزش گزاره‌های p و q تعیین کنید: ترکیب عطفی زمانی درست است که هر دو گزاره درست باشند.\n۴. نتیجه را بیان کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "گزاره‌ی دوشرطی و قوانین", "ترکیب دو شرطی دو گزاره‌ای"], {"intro": "۱. ابتدا جدول ارزش گزاره‌های شرطی p⇒q و q⇒p را تکمیل کنید. ۲. سپس مقدار درست یا نادرست ترکیب شرطی (p⇒q) ∧ (q⇒p) را با توجه به مقادیر هر دو شرطی تعیین کنید. ۳. در نهایت جدول ارزش گزاره معادل p⇔q را با توجه به ترکیب شرطی ساخته شده کامل کنید. ۴. این روش به شما کمک می‌کند تا معادل بودن گزاره‌ها را با استفاده از جدول ارزش بررسی کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "گزاره‌ی دوشرطی و قوانین", "اثبات قوانین جابجایی، شرکت‌پذیری و توزیع‌پذیری در منطق گزاره‌ها با استفاده از جدول ارزش درست"], {"intro": "۱. ابتدا گزاره‌های مورد نظر را به صورت عبارات منطقی با نمادهای ∧ (و)، ∨ (یا) و ¬ (نقیض) بنویسید.\n۲. جدول ارزش درست برای تمام ترکیبات ممکن از مقادیر درست (د) و نادرست (ن) برای گزاره‌های پایه (p، q، r) رسم کنید.\n۳. ستون‌های مربوط به عبارات مرکب را با توجه به عملگرهای منطقی پر کنید.\n۴. دو عبارت منطقی که می‌خواهید معادل بودنشان را اثبات کنید، ستون‌هایشان را مقایسه کنید.\n۵. اگر ستون‌های دو عبارت برابر باشند، معادل منطقی بودن آن‌ها اثبات می‌شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "جدول ارزش‌ها", "اثبات ضرب‌پذیری اعداد صحیح"], {"intro": "۱. فرض کنید n و n' اعداد صحیح صحیح و مضرب ۳ باشند.\n۲. یعنی n=۳k و n'=۳k' برای اعداد صحیح k و k'.\n۳. حاصل‌ضرب n × n' = (۳k) × (۳k') = ۹kk' = ۳(۳kk') است.\n۴. چون ۳kk' عدد صحیح است، n × n' مضرب ۳ است.\n۵. بنابراین ضرب دو عدد مضرب ۳ نیز مضرب ۳ است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "زیرمجموعه‌ها", "تعیین زیرمجموعه‌های یک مجموعه"], {"intro": "۱. ابتدا مجموعه اصلی A را مشخص کنید و اعضای آن را بشمارید. ۲. با استفاده از تعریف زیرمجموعه، همه حالت‌های ممکن برای انتخاب اعضا از مجموعه A را در نظر بگیرید. ۳. برای تعیین تعداد زیرمجموعه‌ها، از روش کدگذاری با اعداد یک‌رقمی (مثلاً ۰ و ۱) استفاده کنید که هر عدد نشان‌دهنده حضور یا عدم حضور عضو متناظر در زیرمجموعه است. ۴. با استفاده از اصل ضرب، تعداد کل زیرمجموعه‌ها را محاسبه کنید. برای مجموعه‌ای با n عضو، تعداد زیرمجموعه‌ها برابر ۲ به توان n است. ۵. در صورت نیاز، زیرمجموعه‌های خاص (مثلاً شامل یا بدون عضو خاص) را جداگانه بررسی کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "زیرمجموعه‌ها", "تعیین تعداد اعضای مجموعه با استفاده از تعداد زیرمجموعه‌ها"], {"intro": "۱. فرض کنید مجموعه A دارای n عضو باشد.\n۲. تعداد زیرمجموعه‌های مجموعه A برابر ۲ به توان n است.\n۳. اگر تعداد زیرمجموعه‌ها داده شده باشد، معادله ۲ⁿ = تعداد زیرمجموعه‌ها را بنویسید.\n۴. معادله نمایی را حل کنید تا مقدار n را بیابید.\n۵. n تعداد اعضای مجموعه است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "اجتماع و توزیع‌پذیری", "بررسی برابری مجموعه‌ها با استفاده از نمودار ون و اعضای مجموعه‌ها"], {"intro": "برای اثبات برابری دو مجموعه A و B، باید نشان دهیم که هر عضو A در B نیز هست و بالعکس. به عبارت دیگر، A زیرمجموعه B و B زیرمجموعه A است. برای این کار: ۱. هر عضو x را در A فرض کنید و نشان دهید x در B است. ۲. هر عضو y را در B فرض کنید و نشان دهید y در A است. همچنین می‌توان از نمودارهای ون برای تجسم اشتراک‌ها و اجتماع‌ها استفاده کرد و برابری دو عبارت مجموعه‌ای را با بررسی نواحی رنگ‌شده اثبات کرد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "ضرب دکارتی", "محاسبه ضرب دکارتی دو مجموعه"], {"intro": "۱. دو مجموعه A و B را مشخص کنید و اعضای هر کدام را بنویسید.\n۲. ضرب دکارتی A×B را به صورت مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب (x,y) تعریف کنید که x عضو A و y عضو B باشد.\n۳. برای هر عضو x از A، تمام اعضای B را به صورت زوج مرتب (x,y) بنویسید.\n۴. مجموعه حاصل ضرب دکارتی شامل تمام این زوج‌های مرتب است.\n۵. اگر تعداد اعضای A برابر m و تعداد اعضای B برابر k باشد، تعداد اعضای ضرب دکارتی برابر m×k است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "ضرب دکارتی", "محاسبه تعداد اعضای ضرب دکارتی"], {"intro": "۱. تعداد اعضای مجموعه A را با n(A) یا m و تعداد اعضای مجموعه B را با n(B) یا k مشخص کنید.\n۲. ضرب دکارتی A×B شامل تمام زوج‌های مرتب (x,y) است که x عضو A و y عضو B باشد.\n۳. تعداد اعضای ضرب دکارتی برابر حاصل‌ضرب تعداد اعضای دو مجموعه است: n(A×B) = n(A) × n(B) = m × k.\n۴. این نتیجه به این دلیل است که برای هر عضو از A، k عضو از B وجود دارد که می‌توان با آن زوج مرتب ساخت."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "ضرب دکارتی", "تشکیل و ترسیم ضرب دکارتی دو مجموعه"], {"intro": "۱. ابتدا اعضای دو مجموعه A و B را مشخص کنید.\n۲. ضرب دکارتی A×B را به صورت مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب (x,y) تشکیل دهید که x عضو A و y عضو B باشد.\n۳. ضرب دکارتی B×A را به صورت مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب (x,y) تشکیل دهید که x عضو B و y عضو A باشد.\n۴. هر زوج مرتب را به صورت نقطه‌ای در صفحه مختصات با محور x و y ترسیم کنید.\n۵. نمودارهای حاصل را رسم و بررسی کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "ضرب دکارتی", "تکمیل نمودارهای مربوط به ضرب دکارتی با شرط‌های داده شده"], {"intro": "۱. مجموعه‌های A و B و شرط‌های مربوط به ضرب دکارتی داده شده را بررسی کنید.\n۲. ضرب دکارتی A×B را به صورت مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب (x,y) تشکیل دهید که x عضو A و y عضو B باشد و شرط‌های داده شده را رعایت کنید.\n۳. ضرب دکارتی B×A را به صورت مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب (x,y) تشکیل دهید که x عضو B و y عضو A باشد و شرط‌های داده شده را رعایت کنید.\n۴. نقاط داده شده در نمودار را بررسی و نقاط ناقص را با توجه به شرط‌ها تکمیل کنید.\n۵. نمودارهای کامل شده را رسم و بررسی کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "ضرب دکارتی", "رسم نمودار ضرب دکارتی"], {"intro": "۱. ابتدا مجموعه‌های A و B را مشخص کنید. ۲. ضرب دکارتی A×B را به صورت مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب (x,y) تعریف کنید که x متعلق به A و y متعلق به B باشد. ۳. اگر A و B بازه‌هایی از اعداد حقیقی باشند، نقاطی که مختصاتشان در این بازه‌ها قرار دارد را روی صفحه مختصات رسم کنید. ۴. محدوده نقاط را با توجه به بازه‌های داده شده مشخص کنید و نمودار را رسم نمایید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "ضرب دکارتی", "تعبیر حاصل ضرب دکارتی در صورت اعداد حقیقی"], {"intro": "۱. فرض کنید A و B هر دو مجموعه اعداد حقیقی باشند. ۲. حاصل ضرب دکارتی A×B برابر است با مجموعه تمام زوج‌های مرتب (x,y) که x عضو A و y عضو B باشد. ۳. اگر A و B برابر با مجموعه اعداد حقیقی R باشند، حاصل ضرب دکارتی A×B برابر با R×R است که همان صفحه مختصات دکارتی است. ۴. این مجموعه را می‌توان به صورت مجموعه نقاط روی صفحه دکارتی تعبیر کرد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "ضرب دکارتی و تساوی مجموعه‌ها", "اثبات خاصیت ضرب دکارتی با مجموعه تهی"], {"intro": "۱. فرض کنید یکی از مجموعه‌ها تهی نباشد و ضرب دکارتی آن با مجموعه تهی برابر نباشد. ۲. از تعریف ضرب دکارتی، اگر (x,y) عضوی از A×∅ باشد، باید y عضو ∅ باشد که ممکن نیست. ۳. این تناقض نشان می‌دهد که فرض اولیه نادرست است. ۴. بنابراین ضرب دکارتی هر مجموعه با مجموعه تهی برابر مجموعه تهی است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: آشنایی با مبانی ریاضیات", "ضرب دکارتی و تساوی مجموعه‌ها", "محاسبه تعداد زیرمجموعه‌ها پس از حذف اعضا"], {"intro": "تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه با n عضو برابر ۲ⁿ است. اگر دو عضو از مجموعه حذف شود و تعداد زیرمجموعه‌ها ۳۸۴ واحد کاهش یابد، با استفاده از رابطه تعداد زیرمجموعه‌ها قبل و بعد حذف، تعداد اعضای اولیه را محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "آشنایی بیشتر با تابع (۱)", "نمایش تابع با استفاده از نمودار و مدل‌های واقعی"], {"intro": "۱. تعریف تابع و متغیر مستقل و وابسته را مشخص کنید.\n۲. داده‌های واقعی یا مدل‌های ارائه شده را به صورت نقاط یا مقادیر عددی استخراج کنید.\n۳. رابطه تابعی بین متغیر مستقل (مثلاً سن) و متغیر وابسته (مثلاً قد) را تعیین کنید.\n۴. نمودار تابع را رسم کنید یا رابطه تابعی را به صورت فرمولی بیان کنید.\n۵. در صورت نیاز، تابع را تحلیل و تفسیر کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "آشنایی بیشتر با تابع (۱)", "تشخیص تابع و دامنه و برد آن"], {"intro": "۱. ابتدا رابطه تابع داده شده را بررسی کنید تا نوع تابع مشخص شود.\n۲. دامنه تابع را با توجه به تعریف تابع و محدودیت‌های موجود تعیین کنید.\n۳. برد تابع را با توجه به مقادیر خروجی تابع در دامنه مشخص کنید.\n۴. نمودار تابع را رسم یا بررسی کنید تا دامنه و برد را تایید کنید.\n۵. جدول داده شده را کامل کنید و شباهت‌ها و تفاوت‌های نمودارها را مقایسه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "آشنایی بیشتر با تابع (۱)", "تعیین دامنه و برد تابع"], {"intro": "۱. ابتدا تعریف تابع و رابطه آن را بررسی کنید.\n۲. دامنه تابع را با توجه به مجموعه‌ای که متغیر x می‌تواند عضو آن باشد تعیین کنید.\n۳. برای هر مقدار از دامنه، مقدار تابع را محاسبه کنید تا برد تابع مشخص شود.\n۴. دامنه و برد را به صورت مجموعه یا بازه نمایش دهید.", "steps": ["دامنه تابع مجموعه اعداد حقیقی مثبت است یعنی (۰, +∞).", "توابع زیادی می‌توانند با این دامنه تعریف شوند، مانند f(x) = x, f(x) = x², f(x) = ۱/x و ...", "تعداد این توابع بی‌نهایت است زیرا می‌توان توابع متعددی با دامنه اعداد حقیقی مثبت تعریف کرد.", "✅ جواب: بی‌نهایت (نامتناهی غیرقابل شمارش)"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "آشنایی بیشتر با تابع (۱)", "رسم نمودار تابع و مقایسه توابع"], {"intro": "۱. جدول مقادیر تابع را برای چند مقدار دلخواه از دامنه رسم کنید.\n۲. نقاط حاصل را روی محور مختصات رسم کنید.\n۳. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار تابع به دست آید.\n۴. نمودار توابع مختلف را روی یک محور رسم کرده و ویژگی‌های آن‌ها مانند شیب، تقارن و نقاط تقاطع را مقایسه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "آشنایی بیشتر با تابع (۱)", "تشخیص نمایش تابع و دامنه و برد"], {"intro": "۱. بررسی کنید که هر ورودی دقیقا یک خروجی داشته باشد. ۲. دامنه تابع را از روی مجموعه ورودی مشخص کنید. ۳. برد تابع را از روی مجموعه خروجی تعیین کنید. ۴. بررسی کنید که نمایش تابع با دامنه و برد داده شده سازگار باشد.", "example": "تابع g(x) = ۲x + ۳ را در نظر بگیرید. دامنه و برد این تابع را مشخص کنید و بررسی کنید که آیا نمایش g: R → R با دامنه و برد سازگار است یا خیر."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "آشنایی بیشتر با تابع (۲)", "کاربرد تابع به عنوان ماشین و حل مسائل عددی"], {"intro": "۱. تعریف تابع به صورت ماشین را در نظر بگیرید که هر ورودی یک خروجی دارد. ۲. ورودی را در تابع قرار دهید و طبق قانون تابع خروجی را محاسبه کنید. ۳. برای سوالات معکوس، مقدار خروجی داده شده را مساوی تابع قرار دهید و ورودی را بیابید. ۴. دامنه و برد تابع را با توجه به ورودی‌ها و خروجی‌ها تعیین کنید. ۵. نمودار تابع را رسم کنید و دامنه و برد را از روی نمودار مشخص کنید.", "example": "فرض کنید ماشین g به عنوان ورودی اعداد طبیعی را قبول می‌کند و پس از دریافت هر عدد، آن را دو برابر کرده و سپس ۳ واحد از آن کم می‌کند. اگر ورودی ۷ باشد، خروجی ماشین g را محاسبه کنید.", "steps": ["ورودی ماشین g برابر با ۷ است.", "عدد ۷ را دو برابر می‌کنیم: ۷ × ۲ = ۱۴.", "از ۱۴ عدد ۳ را کم می‌کنیم: ۱۴ - ۳ = ۱۱.", "✅ جواب: ۱۱"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "آشنایی بیشتر با تابع (۲)", "برابری دو تابع"], {"intro": "۱. بررسی کنید که دامنه‌های دو تابع برابر باشند.\n۲. برای هر مقدار x در دامنه مشترک، مقدار دو تابع را محاسبه کنید.\n۳. اگر برای همه x ها مقادیر دو تابع برابر باشند، توابع برابرند.\n۴. در غیر این صورت، توابع برابر نیستند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "آشنایی بیشتر با تابع (۲)", "تشخیص برابری توابع از روی مجموعه زوج‌های مرتب"], {"intro": "۱. بررسی کنید که دامنه‌های دو تابع برابر باشند (مجموعه اول عناصر زوج‌های مرتب).\n۲. بررسی کنید که برای هر عنصر دامنه، مقدار تابع‌ها برابر باشد (مقدار دوم زوج مرتب).\n۳. اگر هر دو شرط برقرار بود، توابع برابرند.\n۴. در غیر این صورت، توابع برابر نیستند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "آشنایی بیشتر با تابع (۲)", "تکمیل جدول مقادیر تابع بر اساس داده‌های مسئله"], {"intro": "۱. داده‌های مسئله را بررسی کنید (زمان و فاصله).\n۲. رابطه بین متغیرها را شناسایی کنید یا از داده‌های موجود استفاده کنید.\n۳. مقادیر گمشده جدول را با استفاده از رابطه یا تناسبات محاسبه کنید.\n۴. مقادیر محاسبه شده را در جدول وارد کنید.", "steps": ["سرعت اتومبیل را محاسبه می‌کنیم: ۲۴۰ کیلومتر ÷ ۳ ساعت = ۸۰ کیلومتر در ساعت.", "برای محاسبه مسافت طی شده در ۵ ساعت، از فرمول مسافت = سرعت × زمان استفاده می‌کنیم.", "مسافت = ۸۰ کیلومتر در ساعت × ۵ ساعت = ۴۰۰ کیلومتر.", "✅ جواب: ۴۰۰"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "آشنایی بیشتر با تابع (۲)", "رسم و تحلیل نمودار تابع"], {"intro": "۱. معادله تابع را بررسی کنید و دامنه و برد آن را مشخص کنید.\n۲. نقاط مهم تابع را محاسبه کنید (مانند نقاط صفر، نقاط بحرانی و ...).\n۳. نمودار تابع را روی صفحه مختصات رسم کنید.\n۴. شباهت‌ها و تفاوت‌های نمودار تابع مورد نظر را با نمودار تابع مرجع (مثلاً y = ۱/۳ x) بررسی و بیان کنید.", "example": "فرض کنید ماشین f به عنوان ورودی اعداد حقیقی را قبول می‌کند و پس از دریافت هر عدد، آن را سه برابر کرده و سپس ۵ واحد به آن اضافه می‌کند. در این صورت برای ورودی ۱۰ خروجی ۳۵ را می‌دهد. به سوالات زیر پاسخ دهید:\nالف) ماشین به ازای ورودی -۲ چه خروجی خواهد داشت؟\nب) اگر خروجی ماشین ۴ باشد ورودی آن چقدر بوده است؟\nپ) نمایش تابع به صورت f: R → R و f(x) = ... است.\nت) نمودار تابع را رسم و دامنه و برد آن را معلوم کنید.", "steps": ["الف) برای ورودی x = -۲ خروجی برابر است با ۳*(-۲) + ۵ = -۶ + ۵ = -۱.", "ب) اگر خروجی ۴ باشد، معادله را حل می‌کنیم: ۳x + ۵ = ۴ → ۳x = -۱ → x = -۱/۳.", "پ) نمایش تابع به صورت f: R → R و f(x) = ۳x + ۵ است.", "ت) نمودار تابع خطی است با شیب ۳ و عرض از مبدأ ۵. دامنه تابع تمام اعداد حقیقی است (R) و برد نیز تمام اعداد حقیقی است (R) زیرا تابع خطی با شیب غیر صفر است و مقادیر خروجی می‌تواند هر عدد حقیقی باشد.", "✅ جواب: الف) -۱ ب) -۱/۳ پ) f(x)=۳x+۵ ت) دامنه و برد R"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "آشنایی بیشتر با تابع (۳)", "تعیین تعداد توابع با شرایط داده شده"], {"intro": "۱. نقاط داده شده را روی صفحه مختصات مشخص کنید.\n۲. شرایط تابع بودن را بررسی کنید (هر ورودی دقیقاً یک خروجی داشته باشد).\n۳. توابع ممکن را با توجه به شرایط رسم کنید یا تعداد آنها را تعیین کنید.\n۴. تعداد توابعی که شرایط مسئله را ارضا می‌کنند را شمارش کنید.", "steps": ["برای ورودی ۱، می‌توان یکی از خروجی‌های ۴، ۵ یا ۶ را انتخاب کرد. پس ۳ انتخاب داریم.", "برای ورودی ۲، باید یکی از دو خروجی باقی‌مانده را انتخاب کنیم. پس ۲ انتخاب داریم.", "برای ورودی ۳، تنها یک خروجی باقی‌مانده وجود دارد که باید انتخاب شود. پس ۱ انتخاب داریم.", "تعداد کل توابع برابر است با ۳ × ۲ × ۱ = ۶.", "✅ جواب: ۶"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "آشنایی بیشتر با تابع (۳)", "بررسی درستی و نادرستی گزاره‌های مربوط به توابع"], {"intro": "۱. هر گزاره را به دقت بخوانید و مفاهیم دامنه، برد و تعریف تابع را بررسی کنید.\n۲. با استفاده از تعاریف ریاضی، صحت یا نادرستی هر گزاره را تحلیل کنید.\n۳. دلایل ریاضی برای اثبات یا رد هر گزاره ارائه دهید.", "steps": ["دامنه تابع f(x) = x² شامل اعداد طبیعی است که از ۱ شروع می‌شود.", "با جایگذاری اعداد طبیعی در تابع، می‌توانیم مقادیر تابع را محاسبه کنیم: f(۱) = ۱² = ۱، f(۲) = ۲² = ۴، f(۳) = ۳² = ۹.", "بنابراین، برد تابع f شامل اعداد ۱، ۴، ۹ و ... است که همگی غیرمنفی هستند.", "از آنجا که هیچ عدد منفی در برد تابع وجود ندارد، گزاره نادرست است.", "✅ جواب: نادرست"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "آشنایی بیشتر با تابع (۳)", "نوشتن همه توابع از یک مجموعه به مجموعه دیگر"], {"intro": "۱. مجموعه دامنه و مجموعه برد داده شده را مشخص کنید.\n۲. همه توابع ممکن از مجموعه دامنه به مجموعه برد را با توجه به تعریف تابع بنویسید.\n۳. برای نمایش بهتر، از نمودار پیکانی استفاده کنید که هر عنصر دامنه به یک عنصر برد نگاشت شود.\n۴. تعداد توابع ممکن را نیز می‌توان با توجه به تعداد عناصر دامنه و برد محاسبه کرد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "آشنایی بیشتر با تابع (۳)", "شناسایی و رسم تابع با شرایط داده شده"], {"intro": "۱. دامنه تابع را مشخص کنید. ۲. مقادیر داده شده برای نقاط خاص را در نظر بگیرید. ۳. بر اساس شرایط داده شده، ضابطه تابع را تعیین کنید. ۴. تابع را رسم کنید با توجه به دامنه و مقادیر داده شده. ۵. بررسی کنید که تابع در بازه‌های مشخص ثابت یا تغییر می‌کند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "آشنایی بیشتر با تابع (۳)", "محاسبه طول استخوان بازو با استفاده از تابع خطی"], {"intro": "۱. تابع خطی داده شده را یادداشت کنید. ۲. مقدار طول استخوان بازو (x) را در تابع قرار دهید. ۳. مقدار طول قد (M(x) یا F(x)) را محاسبه کنید. ۴. برای سوالات معکوس، مقدار قد را داده و طول استخوان بازو را با حل معادله خطی پیدا کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۱)", "توابع گویا"], {"intro": "۱. تابع گویا به شکل f(x) = P(x) / Q(x) تعریف می‌شود که در آن P(x) و Q(x) چندجمله‌ای هستند و Q(x) صفر نیست.\n۲. برای تحلیل تابع، ابتدا صورت و مخرج را بررسی کنید.\n۳. نقاطی که Q(x) = ۰ است، نقاطی هستند که تابع تعریف نشده است.\n۴. دامنه تابع را با حذف نقاطی که مخرج صفر می‌شود تعیین کنید.\n۵. برای رسم یا تحلیل تابع، می‌توان صورت و مخرج را تجزیه کرد و رفتار تابع در نزدیکی نقاط بحرانی را بررسی نمود.\n۶. کاربردهای تابع گویا در مدل‌سازی پدیده‌های واقعی مانند میانگین تعداد وسایل نقلیه در صف انتظار به پارکینگ است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۱)", "تشخیص تابع و دامنه آن"], {"intro": "۱. بررسی کنید که آیا هر ورودی از دامنه دقیقاً یک خروجی دارد یا خیر. ۲. دامنه تابع را با توجه به تعریف تابع و محدودیت‌های آن تعیین کنید. ۳. نمودار تابع را با توجه به دامنه و ضابطه رسم کنید یا تحلیل کنید. ۴. اگر دامنه محدود است، نقاط تعریف شده را مشخص کنید. ۵. اگر دامنه شامل اعداد حقیقی به جز چند مقدار خاص است، آن‌ها را حذف کنید و دامنه را به صورت مجموعه بیان کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۱)", "تعیین دامنه و برد توابع رادیکالی با جابجایی"], {"intro": "۱. تابع داده شده را به صورت f(x) = √(x + a) + b در نظر بگیرید.\n۲. برای تعیین دامنه، عبارت داخل رادیکال را بزرگ‌تر یا مساوی صفر قرار دهید: x + a ≥ ۰.\n۳. دامنه را به صورت بازه‌ای که x در آن قرار دارد بنویسید.\n۴. برای تعیین برد، مقدار کمینه تابع را که برابر با مقدار b است، پیدا کنید.\n۵. برد تابع از مقدار کمینه تا بی‌نهایت است.\n۶. نمودار تابع را با توجه به جابجایی‌ها رسم کنید تا صحت دامنه و برد را بررسی کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۱)", "تعیین دامنه و برد تابع رادیکالی"], {"intro": "۱. برای تعیین دامنه تابع رادیکالی، عبارت داخل رادیکال را بزرگ‌تر یا مساوی صفر قرار دهید. ۲. نامساوی به دست آمده را حل کنید تا دامنه تابع مشخص شود. ۳. برای تعیین برد تابع، مقادیر تابع را برای دامنه به دست آمده محاسبه کنید یا از ویژگی‌های تابع رادیکالی استفاده کنید که معمولاً برد شامل اعداد غیرمنفی است. ۴. دامنه و برد را به صورت بازه یا مجموعه نمایش دهید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۱)", "رسم نمودار تابع رادیکالی با استفاده از نقاط"], {"intro": "۱. دامنه تابع را تعیین کنید. ۲. چند مقدار x در دامنه انتخاب کنید. ۳. مقدار تابع را برای هر x محاسبه کنید. ۴. نقاط (x, f(x)) را روی محور مختصات رسم کنید. ۵. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار تابع به دست آید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۲)", "رسم نمودار تابع با انتقال نمودار تابع دیگر"], {"intro": "۱. ابتدا نمودار تابع پایه f(x) را رسم کنید. ۲. تغییرات تابع g(x) نسبت به f(x) را بررسی کنید (مانند جمع یا تفریق عددی به تابع). ۳. نمودار g(x) را با انتقال نمودار f(x) به سمت بالا، پایین، چپ یا راست رسم کنید. ۴. نقاط کلیدی را با انتقال نقاط متناظر از f(x) به دست آورید و رسم کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۲)", "تعیین دامنه تابع با توجه به محدودیت‌های واقعی مسئله"], {"intro": "۱. ابتدا دامنه ریاضی تابع را با حل نامساوی داخل رادیکال تعیین کنید. ۲. سپس محدودیت‌های واقعی مسئله (مانند بازه‌های زمانی یا فیزیکی) را در نظر بگیرید. ۳. دامنه نهایی تابع را به صورت اشتراک دامنه ریاضی و محدودیت‌های واقعی تعیین کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۲)", "تحلیل و رسم نمودار تابع از جدول داده‌ها"], {"intro": "۱. مقادیر x و f(x) داده شده در جدول را بررسی کنید.\n۲. نقاط متناظر (x, f(x)) را روی صفحه مختصات رسم کنید.\n۳. نقاط را به ترتیب به هم وصل کنید تا نمودار تابع به دست آید.\n۴. برای تقریب مقادیر تابع در نقاط دلخواه، از نمودار یا جدول استفاده کنید.", "example": "تابع f(x) به صورت زیر تعریف شده است: f(۱)=۲، f(۲)=۴، f(۳)=۶، f(۴)=۸. حالا مقدار f(۵) را با توجه به الگوی موجود پیدا کنید.", "steps": ["مقادیر f(x) برای x=۱ تا ۴ به ترتیب ۲، ۴، ۶ و ۸ هستند.", "مشاهده می‌شود که f(x) به ازای هر افزایش یک واحد در x، دو واحد افزایش می‌یابد.", "بنابراین، الگوی تابع به صورت f(x) = ۲x است.", "برای x=۵، مقدار f(۵) را محاسبه می‌کنیم: f(۵) = ۲ × ۵ = ۱۰.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۲)", "تعیین برد تابع و مقدار تابع در نقاط خاص"], {"intro": "۱. برد تابع مجموعه تمام مقادیر y است که تابع می‌تواند بگیرد.\n۲. برای تعیین برد، مقادیر تابع را در نقاط داده شده یا بازه‌های تعریف شده بررسی کنید.\n۳. مقدار تابع در نقاط خاص را با جایگذاری مقدار x در تابع یا استفاده از جدول/نمودار پیدا کنید.", "example": "تابع f(x) = ۲x - ۳ را در بازه [۱, ۴] بررسی کنید و برد آن را تعیین کنید. همچنین مقدار تابع را در x = ۲ و x = ۳ محاسبه کنید.", "steps": ["برای تعیین برد تابع، ابتدا مقادیر تابع را در نقاط انتهایی بازه محاسبه می‌کنیم. در x = ۱، f(۱) = ۲×۱ - ۳ = -۱.", "در x = ۴، f(۴) = ۲×۴ - ۳ = ۵.", "حالا مقادیر تابع را در نقاط خاص دیگر محاسبه می‌کنیم. در x = ۲، f(۲) = ۲×۲ - ۳ = ۱.", "در x = ۳، f(۳) = ۲×۳ - ۳ = ۳.", "مقادیر به دست آمده را بررسی می‌کنیم: -۱، ۱ و ۵. بنابراین، برد تابع در بازه [۱, ۴] برابر با [-۱, ۵] است.", "✅ جواب: [-۱, ۵]"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۲)", "بررسی تابع بودن رابطه با استفاده از معادلات"], {"intro": "۱. معادله داده شده را بررسی کنید که آیا برای هر مقدار x دقیقاً یک مقدار y وجود دارد یا خیر.\n۲. اگر برای یک x بیش از یک مقدار y وجود داشته باشد، رابطه تابع نیست.\n۳. در صورت نیاز، معادله را به صورت y بر حسب x حل کنید.\n۴. نمودار معادله را بررسی کنید تا چند مقدار y برای هر x داشته باشد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۳)", "بررسی تابع بودن رابطه با معادله شامل ریشه دوم"], {"intro": "۱. معادله را به صورت y بر حسب x حل کنید.\n۲. اگر y شامل ± ریشه دوم باشد، برای هر x بیش از یک مقدار y وجود دارد.\n۳. بنابراین رابطه تابع نیست.\n۴. نمودار معادله را رسم کنید یا نقاط خاص را بررسی کنید تا چند مقداری بودن را تایید کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۳)", "رسم نمودار تابع پله‌ای"], {"steps": ["برای ۴ ساعت اول هزینه ۳۰۰۰ تومان است.", "برای ۴ ساعت بعدی (از ساعت ۴ تا ۸) دو بازه ۲ ساعته داریم.", "برای هر بازه ۲ ساعته ۱۰۰۰ تومان هزینه می‌شود، پس هزینه برای ۴ ساعت اضافی برابر با ۲ × ۱۰۰۰ = ۲۰۰۰ تومان است.", "جمع هزینه‌ها: ۳۰۰۰ + ۲۰۰۰ = ۵۰۰۰ تومان.", "✅ جواب: ۵۰۰۰"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۴)", "رسم نمودار تابع جزء صحیح"], {"intro": "۱. تابع جزء صحیح را به این صورت تعریف کنید که برای هر عدد حقیقی x، مقدار تابع برابر با بزرگ‌ترین عدد صحیحی است که از x بیشتر نباشد.\n۲. دامنه تابع را مشخص کنید.\n۳. برای هر بازه بین دو عدد صحیح، مقدار تابع ثابت و برابر با عدد صحیح کوچکتر است.\n۴. نقاط انتهایی بازه‌ها را با توجه به تعریف تابع جزء صحیح تعیین کنید (شامل یا غیرشامل بودن نقاط).\n۵. نمودار را به صورت پله‌ای رسم کنید که در هر بازه مقدار تابع ثابت است.\n۶. برد تابع شامل همه اعداد صحیحی است که در دامنه تابع وجود دارند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۴)", "رسم نمودار تابع قسمت صحیح"], {"intro": "۱. تابع قسمت صحیح را به صورت f(x) = [x] تعریف می‌کنیم که مقدار آن برابر با بزرگترین عدد صحیح کمتر یا مساوی x است.\n۲. بازه مورد نظر برای x را مشخص می‌کنیم.\n۳. بازه را به بخش‌های کوچکتر تقسیم می‌کنیم که در هر بخش مقدار قسمت صحیح ثابت است.\n۴. برای هر بخش مقدار y را برابر با قسمت صحیح x قرار می‌دهیم.\n۵. نقاط متناظر را روی محور مختصات رسم می‌کنیم و نقاط باز و بسته را برای نمایش بازه‌ها مشخص می‌کنیم.\n۶. نقاط را به صورت پله‌ای به هم وصل می‌کنیم تا نمودار کامل شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۴)", "یافتن دامنه تابع"], {"example": "دامنه تابع f(x) = √(x - ۲) + ۱ را بیابید.", "steps": ["برای تابع f(x) = √(x - ۲) + ۱، زیر رادیکال باید غیر منفی باشد.", "بنابراین، x - ۲ ≥ ۰ را حل می‌کنیم.", "این معادله به ما می‌دهد که x ≥ ۲.", "پس دامنه تابع شامل تمام مقادیر x از ۲ به بالا است.", "✅ جواب: [۲, +∞)"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۴)", "رسم نمودار تابع با استفاده از نمودار تابع دیگر"], {"intro": "برای رسم نمودار تابعی که از تابع دیگری مشتق شده است، ابتدا نمودار تابع اصلی را رسم می‌کنیم. سپس با توجه به تغییرات تابع جدید نسبت به تابع اصلی (مانند ضرب در -۱، انتقال، یا تغییر متغیر)، نقاط نمودار را تغییر داده و نمودار جدید را رسم می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۴)", "رسم نمودار تابع رادیکالی"], {"intro": "برای رسم نمودار تابع رادیکالی مانند y = √x یا y = -√x، ابتدا دامنه تابع را مشخص می‌کنیم (x ≥ ۰ برای ریشه دوم). سپس نقاطی از دامنه را انتخاب کرده و مقدار تابع را محاسبه می‌کنیم. در نهایت نقاط به دست آمده را روی صفحه مختصات رسم کرده و نمودار را به صورت منحنی رسم می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۵)", "رسم نمودار و تعیین دامنه و برد توابع چندجمله‌ای و رادیکالی"], {"intro": "۱. تابع داده شده را بر اساس شرط‌های دامنه به بخش‌های مختلف تقسیم کنید.\n۲. برای هر بخش، تابع را به صورت جداگانه بررسی و نمودار آن را رسم کنید.\n۳. دامنه هر بخش را با توجه به شرط‌های داده شده مشخص کنید.\n۴. برد تابع را با توجه به مقادیر خروجی در هر بخش تعیین کنید.\n۵. نمودار کلی تابع را با ترکیب بخش‌ها رسم کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۵)", "تشخیص تابع از معادلات و تعیین تابع بودن رابطه"], {"intro": "۱. معادله یا رابطه داده شده را بررسی کنید.\n۲. برای هر مقدار x، بررسی کنید که آیا دقیقاً یک مقدار y متناظر وجود دارد یا خیر.\n۳. اگر برای هر x فقط یک y وجود داشت، رابطه تابع است.\n۴. در غیر این صورت، رابطه تابع نیست."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۵)", "محاسبه هزینه پاکسازی آلودگی به صورت تابعی از درصد آلودگی"], {"intro": "۱. تابع هزینه پاکسازی به صورت f(x) = ۲۵۵x / (۱۰۰ - x) داده شده است که x درصد آلودگی است.\n۲. برای محاسبه هزینه پاکسازی در درصد مشخص، مقدار x را در تابع قرار دهید.\n۳. دامنه تابع را بررسی کنید تا مقادیر x معتبر مشخص شود (x ≠ ۱۰۰).\n۴. برای نمایش دامنه واقعی تابع، بازه‌ای که تابع در آن تعریف شده را مشخص کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۵)", "رسم نمودار توابع پله‌ای و بررسی رابطه بین دو تابع"], {"intro": "۱. تابع پله‌ای داده شده را بر اساس تعریف آن در بازه مشخص شده رسم کنید.\n۲. نقاط تغییر مقدار تابع را مشخص کنید.\n۳. نمودار هر دو تابع را در یک دستگاه مختصات رسم کنید.\n۴. رابطه بین دو تابع را با مقایسه نمودارها و مقادیر بررسی کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۵)", "مدل‌سازی رشد تعداد افراد آلوده به ویروس با تابع کسری"], {"intro": "۱. تابع تعداد افراد آلوده به صورت n(t) = (۹۵۰۰ - ۲۰۰۰t) / (۴ + t) داده شده است.\n۲. برای محاسبه تعداد افراد آلوده در زمان مشخص t، مقدار t را در تابع قرار دهید.\n۳. برای یافتن تعداد افراد آلوده در پایان ماه پنجم، t = ۵ را جایگذاری کنید.\n۴. برای یافتن زمان رسیدن تعداد افراد آلوده به مقدار مشخص، معادله n(t) = مقدار داده شده را حل کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "وارون تابع (۱)", "نمایش و نوشتن تابع به صورت مجموعه زوج‌های مرتب"], {"intro": "۱. ابتدا مجموعه دامنه و برد تابع را مشخص کنید.\n۲. هر عنصر دامنه را با عنصر متناظر در برد به صورت زوج مرتب (x, y) نمایش دهید.\n۳. مجموعه زوج‌های مرتب را به صورت مجموعه نمایش دهید.\n۴. دامنه و برد تابع را به صورت جداگانه بنویسید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "وارون تابع (۱)", "تعریف وارون تابع و نمایش آن به صورت مجموعه زوج‌های مرتب"], {"intro": "۱. اگر تابع f به صورت مجموعه زوج‌های مرتب داده شده باشد، برای یافتن وارون آن، هر زوج مرتب (x, y) را به صورت (y, x) تبدیل کنید.\n۲. مجموعه زوج‌های مرتب وارون را به صورت مجموعه نمایش دهید.\n۳. وارون تابع را با نماد f⁻ نمایش دهید.\n۴. بررسی کنید که وارون تابع نیز تابع باشد (هر عنصر دامنه وارون باید به یک عنصر برد منحصر به فرد متناظر باشد)."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "وارون تابع (۱)", "تعویض جای دو مؤلفه زوج مرتب در دو تابع و بررسی اینکه کدام یک تابع است"], {"intro": "۱. برای هر تابع داده شده، زوج‌های مرتب آن را بنویسید.\n۲. جای دو مؤلفه هر زوج مرتب را در تابع تعویض کنید تا رابطه جدید به دست آید.\n۳. رابطه جدید را به صورت مجموعه زوج‌های مرتب نمایش دهید.\n۴. بررسی کنید که رابطه جدید تابع باشد یا خیر؛ یعنی هر عنصر دامنه رابطه جدید باید به یک و تنها یک عنصر برد متناظر باشد.\n۵. نتیجه را اعلام کنید که کدام رابطه تابع است و دلیل آن را بیان کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "وارون تابع (۱)", "ویژگی مشترک توابع وارون‌پذیر"], {"example": "فرض کنید تابع f(x) = ۲x + ۳ یک تابع است. آیا این تابع وارون‌پذیر است؟", "steps": ["برای بررسی وارون‌پذیری تابع، باید نشان دهیم که تابع یک‌به‌یک است.", "فرض می‌کنیم f(a) = f(b) برای دو عدد a و b. پس ۲a + ۳ = ۲b + ۳.", "با کم کردن ۳ از هر دو طرف معادله، داریم ۲a = ۲b.", "با تقسیم بر ۲، نتیجه می‌گیریم که a = b. پس تابع یک‌به‌یک است.", "✅ جواب: بله"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "وارون تابع (۲)", "تشخیص تابع از روی نمودار و مجموعه نقاط"], {"example": "اگر زوج‌های مرتب تابع f به صورت {(۲, ۴), (۳, ۹), (۵, ۲۵), (۶, ۳۶)} باشد، وارون تابع f را به صورت مجموعه زوج‌های مرتب بنویسید.", "steps": ["زوج‌های مرتب وارون تابع f به صورت زیر است:", "f⁻ = {(۴, ۲), (۹, ۳), (۲۵, ۵), (۳۶, ۶)}", "این مجموعه زوج‌های مرتب وارون تابع f را نشان می‌دهد که در آن دامنه و برد تابع f جابه‌جا شده‌اند.", "✅ جواب: {(۴،۲) ، (۹،۳) ، (۲۵،۵) ، (۳۶،۶)}"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "وارون تابع (۲)", "محاسبه وارون تابع خطی"], {"intro": "برای محاسبه تابع وارون f⁻¹ تابع خطی f(x) = ax + b، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:\n۱. y = ax + b را بنویسید.\n۲. جای x و y را عوض کنید: x = ay + b.\n۳. معادله را نسبت به y حل کنید: y = (x - b) / a.\n۴. تابع وارون را به صورت f⁻¹(x) = (x - b) / a می‌نویسیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "وارون تابع (۲)", "یافتن تابع وارون و نمایش آن"], {"intro": "۱. تابع اصلی را به صورت y = f(x) بنویسید.\n۲. جای x و y را در معادله جابجا کنید.\n۳. معادله جدید را نسبت به y حل کنید تا تابع وارون f⁻¹(x) به دست آید.\n۴. دامنه و برد تابع وارون را مشخص کنید.\n۵. تابع وارون را به صورت نمادین و نموداری نمایش دهید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "وارون تابع (۳)", "رسم نمودار تابع و تابع وارون"], {"intro": "۱. معادله تابع داده شده را بررسی کنید.\n۲. مقادیر x را در تابع قرار دهید و مقادیر y متناظر را محاسبه کنید.\n۳. نقاط به دست آمده را در دستگاه مختصات رسم کنید.\n۴. برای به دست آوردن تابع وارون، معادله y = f(x) را به گونه‌ای حل کنید که x بر حسب y بیان شود.\n۵. معادله به دست آمده را به صورت f⁻¹(x) بنویسید.\n۶. دامنه و برد تابع و تابع وارون را تعیین کنید.\n۷. نقاط تابع وارون را نیز در دستگاه مختصات رسم کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "وارون تابع (۳)", "رسم نمودار تابع رادیکالی و تعیین دامنه و برد"], {"intro": "۱. تابع داده شده را بررسی کنید، به ویژه زیر رادیکال را برای تعیین دامنه بررسی کنید.\n۲. دامنه تابع را بر اساس شرط تعریف رادیکال تعیین کنید (مقدار زیر رادیکال باید بزرگ‌تر یا مساوی صفر باشد).\n۳. مقادیر x در دامنه را انتخاب کنید و مقادیر y را محاسبه کنید.\n۴. نقاط به دست آمده را در دستگاه مختصات رسم کنید.\n۵. معادله تابع وارون را با جایگزینی y = f(x) و حل برای x بر حسب y به دست آورید.\n۶. دامنه و برد تابع وارون را تعیین کنید.\n۷. نمودار تابع وارون را رسم کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "وارون تابع (۳)", "رسم نمودار تابع"], {"intro": "۱. تابع داده شده را بررسی کنید و دامنه و برد آن را مشخص کنید.\n۲. نقاط مهم تابع را مانند نقاط تقاطع با محورهای مختصات و نقاط بحرانی پیدا کنید.\n۳. نقاط را روی دستگاه مختصات رسم کنید.\n۴. منحنی تابع را با توجه به نقاط رسم شده و ویژگی‌های تابع (مانند افزایشی یا کاهشی بودن) ترسیم کنید.\n۵. اگر تابع وارون وجود دارد، آن را نیز با توجه به تعریف وارون رسم کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "وارون تابع (۳)", "بررسی یک به یک بودن و وارون پذیری تابع"], {"intro": "۱. تابع داده شده را بررسی کنید که آیا یک به یک است یا خیر.\n۲. اگر تابع یک به یک نیست، دامنه آن را محدود کنید تا یک به یک شود.\n۳. تابع محدود شده را بررسی کنید که وارون پذیر باشد.\n۴. تابع وارون را با توجه به تابع اصلی و دامنه محدود شده رسم یا تعریف کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "وارون تابع (۳)", "محاسبه و تعیین تابع وارون"], {"intro": "۱. تابع اصلی را بررسی و دامنه و برد آن را مشخص کنید.\n۲. دامنه تابع را محدود کنید تا تابع یک به یک شود.\n۳. رابطه تابع را به صورت y = f(x) بنویسید.\n۴. معادله y = f(x) را نسبت به x حل کنید تا x را بر حسب y بدست آورید.\n۵. جواب منفی را حذف کنید اگر تابع وارون باید یک به یک باشد.\n۶. رابطه بدست آمده را به عنوان تابع وارون f⁻¹(y) بنویسید.\n۷. دامنه و برد تابع وارون را مشخص کنید.\n۸. نمودار تابع و تابع وارون را رسم و بررسی کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "وارون تابع (۴)", "تشخیص تابع واقعی و وارون"], {"intro": "۱. بررسی کنید که آیا برای هر ورودی دقیقاً یک خروجی وجود دارد (تعریف تابع واقعی). ۲. برای بررسی تابع یک‌به‌یک بودن، ببینید آیا دو ورودی مختلف می‌توانند خروجی یکسان داشته باشند یا خیر. ۳. اگر تابع یک‌به‌یک باشد، وارون آن تعریف می‌شود. ۴. وارون تابع را با جابجایی متغیرها و حل برای متغیر ورودی پیدا کنید.", "example": "تابع f(x) = ۳x + ۴ را بررسی کنید. آیا این تابع یک‌به‌یک است و وارون آن را پیدا کنید؟", "steps": ["برای بررسی یک‌به‌یک بودن، فرض کنید f(a) = f(b). پس ۳a + ۴ = ۳b + ۴.", "با کم کردن ۴ از دو طرف معادله، داریم ۳a = ۳b.", "با تقسیم بر ۳، نتیجه می‌گیریم a = b. پس تابع یک‌به‌یک است.", "برای پیدا کردن وارون، ابتدا معادله را به شکل y = ۳x + ۴ بنویسیم و سپس x را به عنوان متغیر ورودی قرار دهیم.", "با جابجایی متغیرها، داریم x = ۳y + ۴. حالا برای y حل می‌کنیم: y = (x - ۴) / ۳.", "✅ جواب: (x - ۴) / ۳"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "وارون تابع (۴)", "بررسی دامنه، برد و وارون توابع با شرط"], {"intro": "۱. دامنه تابع را با توجه به شرط داده شده تعیین کنید. ۲. برد تابع را با تحلیل مقدار خروجی‌ها در دامنه مشخص کنید. ۳. بررسی کنید تابع یک‌به‌یک است یا خیر با رسم نمودار یا تحلیل جبری. ۴. اگر تابع یک‌به‌یک بود، وارون آن را با جابجایی متغیرها و حل برای متغیر ورودی بیابید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "وارون تابع (۴)", "تحلیل تابع ارتفاع سقوط آزاد و یافتن دامنه، برد و وارون"], {"intro": "۱. دامنه تابع را بر اساس شرایط فیزیکی مسئله تعیین کنید (مثلاً زمان t ≥ ۰). ۲. برد تابع را با تحلیل مقدار خروجی‌ها در دامنه مشخص کنید. ۳. بررسی کنید تابع یک‌به‌یک است یا خیر با تحلیل تغییرات تابع. ۴. وارون تابع را با جابجایی متغیرها و حل برای متغیر ورودی بیابید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "وارون تابع (۴)", "رسم نمودار تابع و بررسی وارون‌پذیری"], {"intro": "۱. تابع داده شده را رسم کنید. ۲. بررسی کنید که آیا تابع یک‌به‌یک است یا خیر (هر خط افقی نمودار را بیش از یک بار قطع نکند). ۳. اگر تابع یک‌به‌یک بود، وارون آن را بیابید و نمودار وارون را رسم کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "وارون تابع (۴)", "رسم نمودار تابع نامتعارف و بررسی وارون‌پذیری"], {"intro": "۱. تابع داده شده را رسم کنید. ۲. بررسی کنید که آیا تابع یک‌به‌یک است یا خیر. ۳. اگر تابع یک‌به‌یک نبود، نمودار آن را رسم کنید و نشان دهید که وارون‌پذیر نیست."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۱)", "محاسبه مسافت طی شده توسط خودرو با سرعت ثابت و سرعت متغیر"], {"intro": "۱. ابتدا تابع سرعت خودرو را بر حسب زمان یا مسافت مشخص می‌کنیم.\n۲. اگر خودرو با سرعت ثابت حرکت می‌کند، مسافت طی شده را با ضرب سرعت در زمان محاسبه می‌کنیم.\n۳. اگر خودرو پس از دیدن مانع ترمز می‌کند، مسافت طی شده پس از ترمز را با استفاده از تابع مربوط به ترمز (تابع g(x)) محاسبه می‌کنیم.\n۴. مجموع مسافت طی شده قبل و بعد از ترمز را برای کل مسافت طی شده محاسبه می‌کنیم.\n۵. در صورت نیاز، سرعت خودرو در لحظه توقف یا پس از طی مسافت مشخص را با استفاده از معادلات داده شده پیدا می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۱)", "نمایش تابع مسافت کل طی شده پس از دیدن مانع"], {"intro": "۱. تابع مسافت طی شده در زمان عکس‌العمل را به صورت f(x) تعریف می‌کنیم.\n۲. تابع مسافت طی شده پس از ترمز تا توقف کامل را به صورت g(x) تعریف می‌کنیم.\n۳. تابع کل مسافت طی شده پس از دیدن مانع را به صورت جمع دو تابع f(x) و g(x) تعریف می‌کنیم: h(x) = f(x) + g(x).\n۴. این تابع را به صورت جبری نمایش می‌دهیم و در صورت نیاز مقدار آن را برای سرعت‌های مختلف محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۱)", "محاسبه سرعت خودرو پس از طی مسافت مشخص تا توقف"], {"intro": "۱. مسافت طی شده پس از دیدن مانع و ترمز را به صورت مجموع دو تابع f(x) و g(x) در نظر می‌گیریم.\n۲. مقدار کل مسافت طی شده داده شده است (مثلاً ۶۰ متر).\n۳. معادله h(x) = f(x) + g(x) را برابر با مسافت داده شده قرار می‌دهیم.\n۴. معادله به دست آمده را حل می‌کنیم تا مقدار سرعت x را بیابیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۱)", "محاسبه و تعیین دامنه جمع دو تابع"], {"intro": "۱. دامنه هر دو تابع را جداگانه تعیین کنید.\n۲. دامنه تابع جمع برابر است با اشتراک دامنه‌های دو تابع.\n۳. برای هر x در دامنه مشترک، مقدار تابع جمع برابر است با جمع مقادیر دو تابع در آن x.\n۴. اگر توابع شامل رادیکال یا محدودیت‌های دیگر باشند، دامنه را با توجه به شرایط تعریف تابع محدود کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۱)", "محاسبه و تعیین دامنه جمع دو تابع داده شده به صورت مجموعه نقاط"], {"intro": "۱. دامنه هر تابع را از مجموعه نقاط داده شده استخراج کنید.\n۲. دامنه تابع جمع برابر است با اشتراک دامنه‌های دو تابع.\n۳. برای هر x در دامنه مشترک، مقدار تابع جمع برابر است با جمع مقادیر دو تابع در آن x.\n۴. نتیجه را به صورت مجموعه زوج‌های مرتب مرتب شده نمایش دهید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۱)", "محاسبه دامنه و دامنه توابع ترکیبی"], {"intro": "۱. ابتدا دامنه هر تابع اولیه را جداگانه تعیین کنید. ۲. برای توابع جمع و تفاضل، دامنه تابع ترکیبی برابر اشتراک دامنه‌های توابع اولیه است. ۳. برای ضرب توابع، دامنه تابع ترکیبی برابر اشتراک دامنه‌های توابع اولیه است. ۴. برای تقسیم توابع، دامنه تابع ترکیبی برابر اشتراک دامنه‌های توابع اولیه به جز نقاطی که مخرج صفر شود، است. ۵. دامنه نهایی را با توجه به شرایط هر تابع و ترکیب آنها مشخص کنید.", "example": "اگر f = {(۱,۲), (-۲,۵), (۰,۷)} و g = {(۱,۵), (۲,۴), (۰,-۱)} باشد، ابتدا دامنه f + g را به دست آورید و سپس f + g را به صورت مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب نمایش دهید.", "steps": ["دامنه f: {۱, -۲, ۰}", "دامنه g: {۱, ۲, ۰}", "دامنه مشترک f + g: {۱, ۰}", "مقادیر تابع جمع:", "(f + g)(۱) = f(۱) + g(۱) = ۲ + ۵ = ۷", "(f + g)(۰) = f(۰) + g(۰) = ۷ + (-۱) = ۶ نمایش مجموعه زوج‌های مرتب: f + g = {(۰, ۶), (۱, ۷)}", "✅ جواب: {(۰, ۶), (۱, ۷)}"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۲)", "رسم و تحلیل نمودار توابع ترکیبی"], {"intro": "۱. نمودار توابع اولیه را رسم کنید یا داده‌های آن‌ها را داشته باشید. ۲. برای رسم نمودار جمع یا تفاضل، مقادیر y هر دو تابع را در نقاط متناظر جمع یا تفریق کنید. ۳. برای ضرب یا تقسیم، مقادیر y را در نقاط متناظر ضرب یا تقسیم کنید (با توجه به دامنه). ۴. دامنه و ضابطه تابع ترکیبی را مشخص کنید. ۵. نمودار تابع ترکیبی را با توجه به مقادیر محاسبه شده رسم کنید و تحلیل کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۲)", "محاسبه مقادیر ترکیبی توابع"], {"intro": "۱. مقادیر داده شده برای توابع f و g را در نقاط مشخص شده پیدا کنید.\n۲. برای محاسبه (f+g)(x)، مقادیر f(x) و g(x) را جداگانه محاسبه کرده و سپس جمع کنید.\n۳. مقادیر (f+g)(۱) و (f+g)(-۱) را با جایگذاری x=۱ و x=-۱ در توابع محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۲)", "رسم نمودار تابع جمع دو تابع"], {"intro": "۱. مقادیر f(x) و g(x) را برای نقاط مختلف x از روی نمودارهای داده شده بخوانید.\n۲. مقادیر (f+g)(x) را با جمع کردن مقادیر f(x) و g(x) برای هر x محاسبه کنید.\n۳. نقاط به‌دست آمده را روی محور مختصات رسم کنید.\n۴. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار تابع (f+g) به دست آید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۲)", "محاسبه ضابطه ترکیب توابع"], {"intro": "۱. ضابطه هر تابع f و g را به صورت جبری بنویسید یا از داده‌ها استخراج کنید.\n۲. برای ترکیب جمع دو تابع، ضابطه (f+g)(x) را به صورت f(x) + g(x) بنویسید.\n۳. ضابطه به دست آمده را ساده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۲)", "تبدیل درجه فارنهایت به درجه سانتی‌گراد و ترکیب توابع"], {"intro": "۱. تابع f(x) را که درجه فارنهایت را به درجه سانتی‌گراد تبدیل می‌کند، بنویسید.\n۲. مقدار f(x) را برای مقدار داده شده x محاسبه کنید.\n۳. تابع g(x) را که درجه سانتی‌گراد را به کلوین تبدیل می‌کند، بنویسید.\n۴. مقدار g(f(x)) را با جایگذاری مقدار f(x) در g(x) محاسبه کنید.\n۵. مراحل را برای مقادیر مختلف تکرار کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۳)", "تحلیل و رسم نمودار ترکیب توابع g(f(x))"], {"intro": "۱. مقدار تابع f(x) را برای مقادیر مختلف x از روی نمودار یا ضابطه محاسبه کنید.\n۲. مقدار g را برای مقادیر به دست آمده از f(x) محاسبه کنید.\n۳. نقاط (x, g(f(x))) را روی محور مختصات رسم کنید.\n۴. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار ترکیب تابع g(f(x)) به دست آید.", "example": "تابع f(x) = (۵/۹)(x-۳۲) درجه فارنهایت را به درجه سانتی‌گراد تبدیل می‌کند. تابع g(x) = x + ۲۷۳ درجه سانتی‌گراد را به درجه کلوین تبدیل می‌کند. مقدار g(f(۵۰)) را به دست آورید.", "steps": ["ابتدا مقدار f(۵۰) را محاسبه می‌کنیم:", "f(۵۰) = (۵/۹)(۵۰ - ۳۲) = (۵/۹)(۱۸) = ۱۰ درجه سانتی‌گراد.", "سپس مقدار g(f(۵۰)) را محاسبه می‌کنیم:", "g(۱۰) = ۱۰ + ۲۷۳ = ۲۸۳ درجه کلوین.", "بنابراین g(f(۵۰)) = ۲۸۳.", "✅ جواب: ۲۸۳ کلوین"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۳)", "محاسبه ترکیب توابع"], {"intro": "۱. ابتدا تابع داخلی f(x) را محاسبه کنید.\n۲. مقدار به دست آمده را به عنوان ورودی تابع بیرونی g قرار دهید.\n۳. مقدار g(f(x)) را با جایگذاری مقدار f(x) در تابع g محاسبه کنید.\n۴. اگر توابع به صورت جبری داده شده‌اند، جایگذاری و ساده‌سازی را انجام دهید تا مقدار نهایی به دست آید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۳)", "تعریف و نمایش ترکیب توابع با نمودار"], {"intro": "۱. دو تابع f و g را در نظر بگیرید.\n۲. ترکیب تابع gof را به صورت g(f(x)) تعریف کنید.\n۳. دامنه ترکیب تابع gof را به صورت مجموعه‌ای از مقادیر x تعریف کنید که x در دامنه f باشد و f(x) در دامنه g باشد.\n۴. نمودارهای مربوط به توابع و ترکیب آنها را رسم کنید تا رابطه بین دامنه‌ها و بردها مشخص شود.\n۵. از نمودار برای درک بهتر ترکیب توابع و دامنه آن استفاده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۳)", "محاسبه دامنه و ضابطه ترکیب توابع"], {"intro": "۱. ابتدا دامنه هر تابع را مشخص کنید.\n۲. برای ترکیب توابع fog و gof، دامنه ترکیب را به صورت مجموعه‌ای از مقادیر x تعیین کنید که در دامنه تابع داخلی و همچنین دامنه تابع خارجی قرار دارند.\n۳. ضابطه ترکیب توابع را با جایگذاری تابع داخلی در تابع خارجی به دست آورید.\n۴. دامنه ترکیب را به صورت مجموعه‌ای از اعداد حقیقی که شرط‌های دامنه هر دو تابع را ارضا می‌کنند، بنویسید.\n۵. در نهایت، ضابطه و دامنه توابع fog و gof را گزارش کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۳)", "محاسبه ترکیب توابع داده شده به صورت مجموعه زوج مرتب"], {"intro": "۱. ابتدا دامنه توابع fog و gof را با توجه به مجموعه زوج‌های مرتب داده شده تعیین کنید.\n۲. برای محاسبه fog، ابتدا مقدار تابع g را برای هر ورودی پیدا کنید، سپس مقدار تابع f را برای خروجی g محاسبه کنید.\n۳. برای محاسبه gof، ابتدا مقدار تابع f را برای هر ورودی پیدا کنید، سپس مقدار تابع g را برای خروجی f محاسبه کنید.\n۴. نتایج را به صورت مجموعه زوج‌های مرتب گزارش کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۴)", "عملیات روی توابع و تعیین دامنه"], {"intro": "۱. برای هر دو تابع داده شده، ابتدا دامنه هر کدام را مشخص کنید.\n۲. عملیات خواسته شده (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، ترکیب) را طبق تعریف انجام دهید.\n۳. دامنه تابع حاصل را با توجه به دامنه توابع اولیه و محدودیت‌های عملیات (مثل مخرج صفر نشدن در تقسیم) تعیین کنید.\n۴. اگر ترکیب توابع (fog یا gof) خواسته شده، ابتدا تابع داخلی را محاسبه و دامنه آن را مشخص کنید، سپس تابع بیرونی را روی خروجی تابع داخلی اعمال کنید و دامنه نهایی را تعیین کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۴)", "بررسی صحت گزاره‌های تابعی"], {"intro": "۱. هر گزاره داده شده را با استفاده از تعاریف توابع و مقادیر داده شده بررسی کنید.\n۲. مقادیر توابع را در نقاط مشخص شده محاسبه کنید.\n۳. مقایسه نتایج با گزاره داده شده انجام دهید.\n۴. تعیین کنید که گزاره درست است یا نادرست."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۴)", "محاسبه ترکیب توابع و معکوس توابع"], {"intro": "۱. برای ترکیب توابع fog یا gof، ابتدا تابع داخلی را محاسبه کنید.\n۲. سپس تابع بیرونی را روی خروجی تابع داخلی اعمال کنید.\n۳. برای یافتن معکوس تابع، تابع را به صورت y = f(x) بنویسید.\n۴. معادله را نسبت به x حل کنید تا x را بر حسب y بیابید.\n۵. جای x و y را عوض کنید تا معکوس تابع به دست آید.\n۶. دامنه و برد معکوس را بررسی کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۴)", "محاسبه توابع ترکیبی و بررسی دامنه با توابع گویا"], {"intro": "۱. توابع گویا را به صورت کسرهای جبری بنویسید.\n۲. برای ترکیب توابع، ابتدا تابع داخلی را محاسبه کنید.\n۳. سپس تابع بیرونی را روی خروجی تابع داخلی اعمال کنید.\n۴. دامنه تابع حاصل را با توجه به مخرج صفر نشدن و تعریف توابع تعیین کنید.\n۵. در صورت وجود خطا در محاسبه دامنه، آن را شناسایی و اصلاح کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۴)", "محاسبه توابع معکوس و ترکیب آنها"], {"intro": "۱. برای یافتن معکوس تابع f، معادله y = f(x) را حل کنید تا x را بر حسب y بیابید.\n۲. جای x و y را عوض کنید تا معکوس تابع به دست آید.\n۳. ترکیب توابع معکوس و اصلی را محاسبه کنید.\n۴. بررسی کنید که ترکیب تابع و معکوس آن برابر تابع همانی (x) باشد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۵)", "محاسبه توابع جمع، تفریق، ضرب و تقسیم از روی نمودار"], {"intro": "۱. نقاط مشخص شده روی نمودار توابع f و g را بخوانید.\n۲. برای هر نقطه x، مقادیر f(x) و g(x) را از نمودار استخراج کنید.\n۳. عملیات خواسته شده (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم) را برای هر x انجام دهید.\n۴. مقادیر به دست آمده را به صورت جدول یا نمودار جدید نمایش دهید.", "example": "اگر f(۲) = ۵ و g(۲) = ۳ باشد، مقدار f(۲) + g(۲) را محاسبه کنید.", "steps": ["مقدار f(۲) را از مسئله می‌خوانیم: f(۲) = ۵.", "مقدار g(۲) را از مسئله می‌خوانیم: g(۲) = ۳.", "حالا جمع این دو مقدار را محاسبه می‌کنیم: ۵ + ۳ = ۸.", "✅ جواب: ۸"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۵)", "محاسبه ترکیب و جمع توابع با استفاده از نمودار"], {"intro": "۱. ابتدا مقادیر توابع f و g را از نمودار برای ورودی‌های داده شده پیدا کنید.\n۲. برای جمع توابع (f+g)(x)، مقادیر f(x) و g(x) را جمع کنید.\n۳. برای ترکیب توابع (fog)(x) یا (gof)(x)، ابتدا مقدار تابع داخلی را محاسبه کنید سپس مقدار تابع بیرونی را برای آن ورودی بیابید.\n۴. برای تقسیم توابع مانند (f/g)(x)، مقدار f(x) را بر g(x) تقسیم کنید، البته اگر مخرج صفر نباشد.\n۵. مقادیر به دست آمده را جایگزین کنید و نتیجه را محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۵)", "نشان دادن وارون تابع خطی"], {"intro": "۱. تابع خطی به صورت y = ax + b داده شده است که a ≠ ۰.\n۲. برای یافتن تابع وارون، ابتدا y را برابر ax + b قرار دهید.\n۳. معادله را نسبت به x حل کنید: x = (y - b) / a.\n۴. تابع وارون به صورت y = (x - b) / a نوشته می‌شود.\n۵. تابع وارون نیز یک تابع خطی است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۵)", "نوشتن تابع تبدیل درجه زاویه از رادیان به درجه و بالعکس"], {"intro": "۱. تبدیل درجه به رادیان با ضرب درجه در π/۱۸۰ انجام می‌شود.\n۲. تبدیل رادیان به درجه با ضرب رادیان در ۱۸۰/π انجام می‌شود.\n۳. تابع تبدیل به صورت خطی نوشته می‌شود: f(x) = kx که k ضریب تبدیل است.\n۴. برای تبدیل درجه به رادیان: f(x) = (π/۱۸۰) * x\n۵. برای تبدیل رادیان به درجه: f(x) = (۱۸۰/π) * x"}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۵)", "نوشتن توابع تعداد نسخه‌های چاپ شده و رسم نمودار"], {"intro": "۱. تعداد نسخه‌های چاپ شده در چاپ اول و چاپ‌های بعدی به صورت توابع خطی تعریف می‌شوند.\n۲. برای هر کتاب، تابعی بنویسید که تعداد نسخه‌های چاپ شده را بر حسب شماره چاپ نمایش دهد.\n۳. تابع جمع نسخه‌های چاپ شده هر دو کتاب را با جمع توابع مربوطه به دست آورید.\n۴. نمودار هر تابع را در دستگاه مختصات رسم کنید.\n۵. محور افقی شماره چاپ و محور عمودی تعداد نسخه‌ها است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "انواع تبدیل هندسی", "بازتاب شکل نسبت به خط"], {"intro": "۱. خط بازتاب را رسم کنید. ۲. برای هر نقطه از شکل، خطی عمود بر خط بازتاب رسم کنید. ۳. نقطه تصویر را روی این خط طوری قرار دهید که فاصله آن تا خط بازتاب برابر فاصله نقطه اصلی باشد. ۴. شکل بازتاب یافته را رسم کنید. ۵. موقعیت و اندازه‌ها را بررسی کنید و شیب پاره‌خط‌ها را مقایسه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "انواع تبدیل هندسی", "انتقال شکل با بردار"], {"intro": "۱. بردار انتقال را مشخص کنید. ۲. هر نقطه شکل را به اندازه و جهت بردار انتقال جابه‌جا کنید. ۳. نقاط جدید را به هم وصل کنید تا شکل منتقل شده به دست آید. ۴. موقعیت شکل اولیه تغییر می‌کند اما اندازه‌ها و زاویه‌ها حفظ می‌شوند. ۵. شیب پاره‌خط‌ها در تصویر برابر شیب پاره‌خط‌های متناظر است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "انواع تبدیل هندسی", "چرخش شکل حول مرکز و زاویه مشخص"], {"intro": "۱. مرکز چرخش و زاویه چرخش را مشخص کنید. ۲. هر نقطه شکل را به گونه‌ای بچرخانید که زاویه بین خط مرکز تا نقطه و خط مرکز تا تصویر نقطه برابر زاویه چرخش باشد و فاصله نقطه تا مرکز حفظ شود. ۳. نقاط تصویر را به هم وصل کنید تا شکل چرخیده به دست آید. ۴. موقعیت شکل تغییر می‌کند اما اندازه‌ها و زاویه‌ها حفظ می‌شوند. ۵. شیب پاره‌خط‌ها در تصویر با شیب پاره‌خط‌های متناظر رابطه خاصی دارد که به زاویه چرخش وابسته است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "ویژگی‌های بازتاب", "بررسی ویژگی‌های بازتاب نسبت به خط و اثبات برابری طول‌ها"], {"intro": "۱. ابتدا تعریف بازتاب نسبت به خط را مرور کنید: هر نقطه به نقطه‌ای تبدیل می‌شود که فاصله آن تا خط برابر و در سمت مقابل است.\n۲. برای بررسی چهارضلعی حاصل از نقاط اولیه و تصویر آن‌ها، بررسی کنید که آیا چهارضلعی حاصل متوازی‌الأضلاع است یا خیر.\n۳. طول پاره‌خط‌های اولیه و تصویر آن‌ها را با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه محاسبه کنید.\n۴. با استفاده از ویژگی‌های بازتاب، اثبات کنید که طول پاره‌خط‌ها برابرند.\n۵. در صورت نیاز، از ویژگی‌های مثلث‌های متساوی‌الساقین و خواص خطوط عمود منصف استفاده کنید تا برابری‌ها را اثبات نمایید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "ویژگی‌های بازتاب", "اثبات برابری نقاط بازتاب یافته با استفاده از مثلث‌ها و خط عمود منصف"], {"intro": "۱. فرض کنید نقطه‌ای M روی خط d است که نقطه بازتاب یافته خود است.\n۲. با توجه به تعریف بازتاب، نقاط A و A' نسبت به خط d بازتاب یافته‌اند و M نقطه بازتاب خود است.\n۳. مثلث‌های AMA' و AM'A را بررسی کنید و نشان دهید که این مثلث‌ها متساوی‌الساقین هستند.\n۴. از خواص مثلث‌های متساوی‌الساقین استفاده کنید تا برابری طول‌ها را اثبات نمایید.\n۵. همچنین می‌توانید از خاصیت خط عمود منصف پاره‌خط AA' استفاده کنید تا نشان دهید M روی این خط قرار دارد و بنابراین بازتاب نقطه خود است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "ویژگی‌های بازتاب", "بررسی ویژگی‌های بازتاب نسبت به خطی که پاره‌خط را قطع می‌کند"], {"intro": "۱. فرض کنید پاره‌خط AB با خط بازتاب d در نقطه M قطع می‌شود.\n۲. طول‌های بخش‌های پاره‌خط را نسبت به نقطه M تعیین کنید (مثلاً AM و MB).\n۳. تصویر نقاط A و B را نسبت به خط d بیابید و پاره‌خط A'B' را رسم کنید.\n۴. با استفاده از روابط طولی و هندسی، معادلاتی برای طول‌های A'B' و بخش‌های آن بنویسید.\n۵. با جایگذاری طول‌های AM و MB و استفاده از خواص بازتاب، برابری‌ها را اثبات کنید.\n۶. نتیجه بگیرید که اندازه پاره‌خط و تصویر آن برابر است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "ویژگی‌های بازتاب", "بررسی ویژگی‌های بازتاب نسبت به خطی که پاره‌خط را در نقطه‌ای امتداد یافته قطع می‌کند"], {"intro": "۱. فرض کنید پاره‌خط AB با خط بازتاب d در نقطه M قطع نمی‌شود ولی امتداد آن را قطع می‌کند.\n۲. نقطه A را نسبت به خط d پیدا کرده و آن را A' می‌نامیم.\n۳. پاره‌خط MA' را رسم و امتداد آن را در نظر می‌گیریم.\n۴. نقطه B' را به عنوان بازتاب نقطه B تعریف می‌کنیم و ادعا می‌کنیم که B' روی امتداد MA' قرار دارد.\n۵. با نوشتن روابط طولی و استفاده از خواص بازتاب، برابری‌ها را اثبات می‌کنیم.\n۶. نتیجه می‌گیریم که تصویر نقطه B روی امتداد MA' قرار دارد و اندازه‌ها حفظ می‌شوند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "ویژگی‌های بازتاب", "بررسی حفظ شیب خط در بازتاب نسبت به خطوط موازی، عمود و غیر موازی"], {"intro": "۱. سه حالت کلی برای خط داده شده نسبت به خط بازتاب d در نظر بگیرید: موازی، عمود و غیر موازی.\n۲. اگر خط n موازی خط بازتاب d باشد، تصویر آن تحت بازتاب خط n' است که موازی خط d است.\n۳. بررسی کنید خطوط n و n' نسبت به هم چه وضعیتی دارند (موازی یا عمود).\n۴. در هر حالت، شیب خط را محاسبه و مقایسه کنید.\n۵. نتیجه بگیرید که آیا بازتاب شیب خط را حفظ می‌کند یا خیر."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "ویژگی‌های بازتاب", "بازتاب خطی و حفظ شیب خط"], {"intro": "۱. بررسی رابطه خط n با خط بازتاب d: اگر n بر d عمود باشد، تصویر n تحت بازتاب نسبت به d چگونه خواهد بود؟\n۲. اگر خط n با خط بازتاب d عمود و موازی نباشد، خطوط n و n' در نقطه تقاطع M با همدیگر تقاطع دارند و موازی نیستند.\n۳. در حالت کلی، بازتاب شیب خط را حفظ می‌کند.\n۴. برای اثبات حفظ شیب، از تعریف شیب خط و ویژگی‌های بازتاب استفاده می‌کنیم که طول‌ها و زاویه‌ها را حفظ می‌کند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "انتقال و دوران", "تکمیل جملات مربوط به بازتاب و ویژگی‌های آن"], {"intro": "۱. جای خالی‌ها را با توجه به تعاریف و ویژگی‌های بازتاب پر می‌کنیم.\n۲. بازتاب نقطه A نسبت به خط d نقطه A' است که فاصله آن از d برابر فاصله A از d است و در سمت مقابل قرار دارد.\n۳. قرینه قرینه هر نقطه همان نقطه اولیه است.\n۴. بازتاب یک مثلث، مثلثی هم‌نهشت با مثلث اولیه است.\n۵. بازتاب شیب خط را حفظ می‌کند.\n۶. تعداد نقاط ثابت در بازتاب برابر تعداد نقاط روی محور بازتاب است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "انتقال و دوران", "ویژگی‌های انتقال و بردارها"], {"intro": "۱. در شکل مقابل یک بردار، ابتدا، انتها، اندازه و راستای آن مشخص می‌شود.\n۲. دو بردار که هم اندازه، هم راستا و هم جهت باشند، برابرند.\n۳. برای اثبات برابری بردارها، اندازه و جهت آن‌ها را مقایسه می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "انتقال و دوران", "اثبات برابری اندازه پاره‌خط‌ها در دوران"], {"intro": "۱. مرکز دوران O و پاره‌خط AB را مشخص کنید.\n۲. زاویه دوران α را تعیین کنید.\n۳. با استفاده از تعریف دوران، نقاط A و B را به A' و B' دوران دهید.\n۴. با استفاده از هم‌نهشتی مثلث‌های OAB و OA'B'، نشان دهید که AB = A'B'.\n۵. نتیجه بگیرید که دوران تبدیل طولی است و اندازه پاره‌خط‌ها حفظ می‌شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "مرکز و زاویه‌ی دوران", "بررسی حالت‌های مختلف مرکز دوران نسبت به پاره‌خط"], {"intro": "۱. موقعیت مرکز دوران O را نسبت به پاره‌خط AB بررسی کنید (روی پاره‌خط، روی امتداد، خارج از امتداد).\n۲. زاویه دوران α را نسبت به زاویه AOB مقایسه کنید.\n۳. با توجه به موقعیت O و مقدار α، رابطه بین طول‌های AB و A'B' را بررسی کنید.\n۴. در صورت لزوم، از تعریف دوران و جمع طول‌ها استفاده کنید تا برابری یا نابرابری طول‌ها را اثبات کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "مرکز و زاویه‌ی دوران", "اثبات حکم دوران برای نقاط روی امتداد پاره‌خط"], {"intro": "۱. نقطه O را روی امتداد پاره‌خط AB در نظر بگیرید.\n۲. با استفاده از تعریف دوران، نقاط A و B را دوران دهید و نقاط A' و B' را بیابید.\n۳. طول‌های AB و A'B' را با توجه به موقعیت O و زاویه دوران مقایسه کنید.\n۴. نشان دهید که دوران تبدیل طولی است و حکم برابری طول‌ها برقرار است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "بازتاب مثلث و تجانس", "محاسبه زوایا و طول‌ها در بازتاب مثلث‌ها نسبت به خطوط"], {"intro": "۱. ابتدا زاویه یا خط بازتاب را مشخص کنید.\n۲. تصویر نقاط مثلث را نسبت به خط داده شده رسم کنید.\n۳. از روابط هندسی بازتاب استفاده کنید تا زوایا و طول‌های مورد نظر را محاسبه کنید.\n۴. برای محاسبه طول پاره‌خط‌ها، از فاصله نقاط تصویر و نقاط اصلی استفاده کنید.\n۵. در صورت نیاز، از روابط زاویه‌ای و مثلثاتی برای محاسبه زوایا بهره ببرید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "بازتاب مثلث و تجانس", "محاسبه طول پاره‌خط در بازتاب نقطه نسبت به خط"], {"intro": "۱. نقطه اصلی و خط بازتاب را مشخص کنید.\n۲. تصویر نقطه را نسبت به خط بازتاب رسم کنید.\n۳. اگر زاویه دوران داده شده است، از روابط مثلثاتی برای محاسبه طول پاره‌خط استفاده کنید.\n۴. فاصله بین نقاط اصلی و تصویر را با استفاده از فرمول فاصله محاسبه کنید.\n۵. نتیجه را به دست آورید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "بازتاب مثلث و تجانس", "محاسبه فاصله نقاط در بازتاب نسبت به خط با داده‌های طولی"], {"intro": "۱. نقاط و خط بازتاب را مشخص کنید.\n۲. فاصله‌های داده شده را یادداشت کنید.\n۳. با استفاده از تعریف بازتاب و روابط هندسی، فاصله بین نقاط تصویر و نقاط اصلی را محاسبه کنید.\n۴. در صورت نیاز، از قضایای هندسی و فرمول فاصله استفاده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "بازتاب مثلث و تجانس", "محاسبه نسبت تجانس و کاربرد آن در تبدیل‌های هندسی"], {"intro": "۱. نقاط M و M' و مرکز O را مشخص کنید.\n۲. بررسی کنید که نقاط M، M' و O روی یک خط راست قرار دارند.\n۳. نسبت تجانس k را با استفاده از رابطه OM' = |k| × OM محاسبه کنید.\n۴. اگر k مثبت باشد، M' روی نیم‌خط OM قرار دارد و اگر منفی باشد، M' در سمت مخالف O نسبت به M است.\n۵. با استفاده از k، طول‌ها و موقعیت نقاط تصویر را تعیین کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "ویژگی‌های تجانس", "تشخیص ویژگی‌های تبدیل‌های هم‌نهشتی و تشابهی"], {"intro": "برای تشخیص ویژگی‌های تبدیل‌های هندسی ابتدا ضریب تشابه k را بررسی می‌کنیم. اگر k=۱ باشد، تبدیل هم‌نهشتی است و طول‌ها، زاویه‌ها، شیب خطوط، جهت شکل و مساحت حفظ می‌شود. اگر ۰<k<۱ یا k>۱ باشد، تبدیل تشابه است و زاویه‌ها و جهت شکل حفظ می‌شود ولی طول‌ها و مساحت تغییر می‌کند. اگر k<۰ باشد، جهت شکل تغییر می‌کند و شیب خطوط حفظ می‌شود ولی جهت معکوس می‌شود. مرکز تشابه نقطه‌ای است که خطوط متناظر AA'، BB' و CC' در آن همگرا می‌شوند و می‌توان آن را با رسم این خطوط پیدا کرد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "ویژگی‌های تجانس", "تعیین حفظ شیب خط در تجانس"], {"intro": "برای نشان دادن اینکه تجانس شیب خط را حفظ می‌کند، ابتدا دو حالت را بررسی می‌کنیم: ۱) نقطه مرکز تجانس O روی خط AB باشد. در این حالت، مجانس‌های نقاط A و B روی خط AB واقع می‌شوند و شیب خط تغییر نمی‌کند. ۲) نقطه مرکز تجانس O خارج از خط AB باشد. در این حالت، اگر نقاط A' و B' مجانس‌های نقاط A و B باشند، با استفاده از تعریف تجانس و نسبت تجانس k، نشان می‌دهیم که خطوط AB و A'B' موازی هستند و بنابراین شیب خط حفظ می‌شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "ویژگی‌های تجانس", "ثابت کردن حفظ اندازه زاویه در تجانس"], {"intro": "۱. مرکز تجانس O و نسبت تجانس k را مشخص کنید.\n۲. زاویه ABC و تصویر آن A'B'C' را رسم کنید.\n۳. با استفاده از قضیه و شکل، نشان دهید که اندازه زاویه ABC برابر اندازه زاویه A'B'C' است.\n۴. نتیجه بگیرید که تجانس اندازه زاویه را حفظ می‌کند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "ویژگی‌های تجانس", "نشان دادن نسبت طول پاره‌خط‌ها در تجانس"], {"intro": "۱. پاره‌خط AB و تصویر آن A'B' را در تجانس با مرکز O و نسبت k مشخص کنید.\n۲. طول پاره‌خط‌ها را اندازه‌گیری یا محاسبه کنید.\n۳. نسبت طول پاره‌خط‌ها را به صورت |A'B'| / |AB| محاسبه کنید.\n۴. نشان دهید که این نسبت برابر قدر مطلق k است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "ویژگی‌های تجانس", "نشان دادن تشابه چندضلعی‌ها در تجانس"], {"intro": "۱. دو چندضلعی A1A2...An و A'۱A'۲...A'n را در نظر بگیرید که یکی تصویر دیگری در تجانس است.\n۲. رئوس متناظر را مشخص کنید.\n۳. نشان دهید که نسبت طول‌های متناظر برابر است و زوایا متناظر برابرند.\n۴. نتیجه بگیرید که دو چندضلعی با هم متشابه هستند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "ویژگی‌های تجانس", "تشخیص اینکه دو شکل متشابه الزاماً مجانس نیستند"], {"intro": "۱. دو شکل متشابه را در نظر بگیرید.\n۲. ویژگی‌های تجانس را بررسی کنید (حفظ اندازه زاویه و نسبت طول‌ها).\n۳. با ارائه مثال نقض نشان دهید که دو شکل متشابه الزاماً مجانس نیستند.\n۴. نتیجه بگیرید که تشابه شرط لازم برای تجانس نیست."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "تبدیل همانی و مجانس دایره", "تعریف و مفهوم تبدیل همانی"], {"intro": "۱. تبدیل T را تعریف کنید که هرگاه به ازای هر نقطه A از صفحه P داشته باشیم T(A) = A.\n۲. نشان دهید که تصویر هر نقطه برابر خود آن نقطه است.\n۳. نتیجه بگیرید که تبدیل همانی، تبدیل هویتی است که همه نقاط را به خودشان نگاشت می‌دهد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "تبدیل همانی و مجانس دایره", "محاسبه محیط مربع با توجه به نسبت تجانس و مساحت بین مربع و تصویر آن"], {"intro": "۱. فرض کنید طول ضلع مربع اولیه x باشد.\n۲. مساحت مربع اولیه برابر x² است.\n۳. نسبت تجانس بین مربع اولیه و تصویر آن داده شده است (مثلاً k).\n۴. مساحت تصویر برابر k² برابر با مساحت داده شده است.\n۵. با استفاده از مساحت تصویر و نسبت تجانس، طول ضلع مربع اولیه را پیدا کنید: x = طول ضلع تصویر / k.\n۶. محیط مربع اولیه برابر ۴ برابر طول ضلع آن است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "تبدیل همانی و مجانس دایره", "محاسبه مساحت بین خطوط و طول خطوط در تجانس با نسبت تجانس داده شده"], {"intro": "۱. طول اولیه خط را l فرض کنید.\n۲. نسبت تجانس k داده شده است.\n۳. طول خط تصویر برابر k * l است.\n۴. مساحت بین دو خط اولیه و تصویر آن برابر اختلاف مساحت ناحیه بین خطوط است.\n۵. با استفاده از مساحت داده شده و نسبت تجانس، طول اولیه خط و طول تصویر را محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "کاربرد تبدیل‌ها", "تقسیم کیک به دو قسمت مساوی با استفاده از بازتاب"], {"intro": "۱. شکل کیک را که شامل یک مربع BCDE و یک کمان دایره AE است، در نظر بگیرید که نقاط A و E و B روی یک خط مستقیم قرار دارند.\n۲. خط بازتاب m را طوری انتخاب کنید که بتوان شکل را به دو نیمه مساوی تقسیم کرد.\n۳. با استفاده از بازتاب نسبت به خط m، شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم کنید.\n۴. این روش تضمین می‌کند که هر دو قسمت کیک سهم برابر داشته باشند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "کاربرد تبدیل‌ها", "مسائل هم‌پیرامونی و هم‌محیطی در چندضلعی‌ها با استفاده از بازتاب"], {"intro": "۱. مسئله را به گونه‌ای مطرح کنید که بخواهید محیط چندضلعی را ثابت نگه دارید و مساحت آن را تغییر دهید یا بالعکس.\n۲. با استفاده از بازتاب و تغییر شکل چندضلعی، اضلاع را طوری جابه‌جا کنید که محیط ثابت بماند.\n۳. بررسی کنید که چگونه تغییر شکل باعث افزایش یا کاهش مساحت می‌شود.\n۴. از ویژگی‌های بازتاب برای حفظ طول اضلاع و تغییر شکل استفاده کنید تا به هدف مسئله برسید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "کوتاه‌ترین مسیر و مساحت", "بازتاب شکل نسبت به خط تقارن"], {"intro": "۱. خط تقارن را مشخص کنید. ۲. هر نقطه از شکل را نسبت به این خط بازتاب دهید به طوری که فاصله نقطه تا خط برابر با فاصله تصویر نقطه تا خط باشد. ۳. خطوط و اضلاع شکل را به همین ترتیب بازتاب دهید تا تصویر کامل شکل به دست آید. ۴. بررسی کنید که آیا تصویر شکل روی خود شکل قرار می‌گیرد یا خیر. ۵. تعداد خطوط تقارن را با توجه به تقارن‌های شکل تعیین کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "تقارن شکل‌ها", "تعیین تعداد دوران‌های متقارن یک شکل حول مرکز دوران"], {"intro": "۱. زاویه دوران α را که شکل حول مرکز O می‌تواند بچرخد و بر خودش منطبق شود، تعیین کنید.\n۲. تعداد دوران‌های متقارن را با تقسیم ۳۶۰ درجه بر زاویه α محاسبه کنید: تعداد دوران = ۳۶۰ ÷ α.\n۳. اگر زاویه α بین ۰ و ۳۶۰ درجه باشد، این تعداد دوران‌ها شکل را بر خودش منطبق می‌کنند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "تقارن شکل‌ها", "شناسایی و تعیین تعداد تقارن‌های بازتابی و دورانی در چندضلعی‌ها"], {"intro": "۱. تعداد ضلع‌های چندضلعی را مشخص کنید.\n۲. تعداد تقارن‌های بازتابی برابر با تعداد ضلع‌ها است.\n۳. تعداد تقارن‌های دورانی برابر با تعداد ضلع‌ها است.\n۴. زاویه هر دوران برابر است با ۳۶۰ تقسیم بر تعداد ضلع‌ها.\n۵. تقارن‌های بازتابی به صورت خطوطی هستند که چندضلعی را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کنند.\n۶. تقارن‌های دورانی به صورت دوران‌هایی حول مرکز چندضلعی هستند که شکل را بر خودش منطبق می‌کنند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "تقارن شکل‌ها", "تعیین تعداد تبدیل‌های تقارنی در چندضلعی‌های منتظم"], {"intro": "برای چندضلعی‌های منتظم با n ضلع، تعداد تقارن‌های دورانی برابر n است زیرا شکل با چرخش به زاویه ۳۶۰/n درجه روی خودش منطبق می‌شود. تعداد تقارن‌های بازتابی نیز برابر n است، زیرا هر ضلع یا رأس محور تقارن است. بنابراین تعداد کل تبدیل‌های تقارنی برابر ۲n است. همچنین مرکز تقارن در مرکز چندضلعی قرار دارد. برای تعیین مرکز تقارن، مرکز چندضلعی منتظم را به عنوان نقطه تقارن در نظر می‌گیریم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "تقارن شکل‌ها", "تشخیص تقارن‌های هندسی در اشکال"], {"intro": "۱. برای تشخیص تقارن بازتابی، خطوطی را رسم کنید که شکل را به دو نیمه مساوی تقسیم کند به طوری که هر نیمه تصویر آینه‌ای نیمه دیگر باشد.\n۲. برای تشخیص تقارن دورانی، بررسی کنید که با چرخش شکل حول یک نقطه (مرکز تقارن) به زاویه‌ای کمتر از ۳۶۰ درجه، شکل بر خودش منطبق شود.\n۳. مرکز تقارن نقطه‌ای است که اگر شکل را حول آن ۱۸۰ درجه بچرخانیم، شکل بر خودش منطبق شود.\n۴. تعداد خطوط تقارن و تعداد تقارن‌های دورانی را برای هر شکل مشخص کنید.\n۵. جدول مربوط به هر شکل را با تعداد تقارن‌های بازتابی، دورانی و تعداد کل تبدیل‌های تقارنی کامل کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تبدیل‌های هندسی و کاربردها", "تقارن شکل‌ها", "رسم شکل با ویژگی‌های تقارن مشخص"], {"intro": "۱. برای رسم شکلی که خط بازتاب دارد ولی مرکز تقارن ندارد، یک شکل نامتقارن نسبت به مرکز ولی متقارن نسبت به یک خط رسم کنید.\n۲. برای رسم شکلی که مرکز تقارن دارد ولی خط بازتاب ندارد، شکلی رسم کنید که با چرخش ۱۸۰ درجه حول مرکز بر خودش منطبق شود ولی هیچ خطی که آن را به دو نیمه مساوی تقسیم کند نداشته باشد.\n۳. برای رسم شکلی که دو خط بازتاب عمود بر هم دارد، شکلی رسم کنید که تقارن خطی در دو جهت عمود بر هم داشته باشد و محل تلاقی این خطوط مرکز تقارن شکل باشد.\n۴. در هر حالت، ویژگی‌های خواسته شده را رعایت کنید و شکل را به دقت رسم کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال و انتخاب تصادفی", "محاسبه احتمال انتخاب تصادفی"], {"intro": "۱. تعداد کل حالت‌های ممکن را تعیین کنید.\n۲. تعداد حالت‌های مطلوب (مثلاً تعداد لامپ‌های سالم) را مشخص کنید.\n۳. احتمال را به صورت نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به تعداد کل حالت‌ها محاسبه کنید.\n۴. اگر درصد داده شده، آن را به صورت عددی تبدیل کنید و در محاسبه به کار ببرید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال و انتخاب تصادفی", "محاسبه احتمال با شرایط داده شده و پرسش درباره تعداد افراد"], {"intro": "۱. تعداد کل افراد یا حالت‌ها را مشخص کنید.\n۲. تعداد افراد یا حالت‌های مورد نظر را تعیین کنید.\n۳. احتمال را به صورت نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به تعداد کل حالت‌ها بیان کنید.\n۴. اگر پرسش درباره تعداد افراد است، با استفاده از احتمال داده شده و تعداد کل افراد، تعداد افراد مورد نظر را محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال و انتخاب تصادفی", "تشخیص سوال مرتبط با علم احتمال یا آمار"], {"intro": "۱. سوال را به دقت بخوانید.\n۲. بررسی کنید که سوال درباره پیش‌بینی نتایج تصادفی و احتمال وقوع رویدادهاست یا درباره جمع‌آوری، تحلیل و تفسیر داده‌ها.\n۳. اگر سوال درباره پیش‌بینی و احتمال است، مربوط به علم احتمال است.\n۴. اگر سوال درباره جمع‌آوری داده‌ها، میانگین، نمودار و تحلیل داده‌هاست، مربوط به علم آمار است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال و انتخاب تصادفی", "انتخاب لامپ معیوب از جعبه"], {"intro": "۱. تعداد کل لامپ‌ها و تعداد لامپ‌های معیوب را مشخص کنید.\n۲. حالت‌های ممکن برای انتخاب لامپ‌ها را بررسی کنید (مثلاً انتخاب یکی از ۲ لامپ معیوب یا انتخاب از بین ۵ لامپ سالم).\n۳. تعداد حالت‌های مطلوب را بر تعداد کل حالت‌ها تقسیم کنید تا احتمال مورد نظر به دست آید.\n۴. در صورت نیاز، احتمال‌های مختلف را با هم مقایسه کنید تا بهترین حالت انتخاب مشخص شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال و انتخاب تصادفی", "تعریف فضای نمونه و مجموعه اعضا"], {"intro": "۱. مسئله را به گونه‌ای بیان کنید که تمام حالت‌های ممکن رخداد مشخص شوند.\n۲. مجموعه‌ای شامل تمام حالات ممکن را تعریف کنید که به آن فضای نمونه گفته می‌شود.\n۳. اعضای این مجموعه را به صورت عددی یا نمادین مشخص کنید.\n۴. از فضای نمونه برای محاسبه احتمال رخدادهای مختلف استفاده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "فضای نمونه و پیشامد", "تشخیص فضای نمونه"], {"intro": "۱. ابتدا آزمایش یا مشاهده‌ای که قرار است بررسی شود را مشخص کنید. ۲. اعضای مجموعه نمونه را تعیین کنید، یعنی تمام نتایج ممکن آزمایش را به صورت مجموعه‌ای از اعضا بنویسید. ۳. اگر آزمایش شامل چند مرحله است، فضای نمونه را با ضرب دکارتی مجموعه‌ها به دست آورید. ۴. تعداد اعضای فضای نمونه را شمارش کنید تا بتوانید احتمال‌ها را محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "فضای نمونه و پیشامد", "بررسی احتمال رخ دادن زیرمجموعه‌ای از فضای نمونه"], {"intro": "۱. فضای نمونه آزمایش را مشخص کنید. ۲. زیرمجموعه‌ای از فضای نمونه که رخداد مورد نظر را نشان می‌دهد تعیین کنید. ۳. تعداد اعضای زیرمجموعه را بشمارید. ۴. احتمال رخداد برابر است با نسبت تعداد اعضای زیرمجموعه به تعداد اعضای فضای نمونه. ۵. اگر چند پیشامد وجود دارد، احتمال رخ دادن هر کدام را جداگانه بررسی کنید و در صورت نیاز از اتحاد، اشتراک یا تفاضل مجموعه‌ها استفاده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "فضای نمونه و پیشامد", "بررسی رخ دادن پیشامدهای ترکیبی با استفاده از اشتراک و اجتماع"], {"intro": "۱. دو پیشامد A1 و A2 را تعریف کنید. ۲. احتمال رخ دادن A1 را بررسی کنید (زیرمجموعه A1 از فضای نمونه). ۳. احتمال رخ دادن A2 را بررسی کنید. ۴. احتمال رخ دادن اشتراک A1 و A2 (هر دو پیشامد با هم) را بررسی کنید. ۵. احتمال رخ دادن اجتماع A1 و A2 (حداقل یکی از پیشامدها) را بررسی کنید. ۶. احتمال رخ دادن یکی از پیشامدها را با استفاده از فرمول احتمال اجتماع و اشتراک محاسبه کنید: P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 ∩ A2)."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "فضای نمونه و پیشامد", "فضای نمونه در آزمایش‌های ترکیبی"], {"intro": "۱. تعیین تعداد آزمایش‌ها و فضای نمونه هر آزمایش به صورت جداگانه.\n۲. استفاده از ضرب کارتزین برای تشکیل فضای نمونه کل به صورت حاصل‌ضرب فضای نمونه‌ها.\n۳. تعیین فضای نمونه مورد نظر با توجه به شرایط مسئله (مثلاً تعداد مسافرها در مسیر رفت و برگشت).\n۴. نمایش فضای نمونه به صورت مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب که هر عضو آن نمایانگر نتیجه یک آزمایش است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "فضای نمونه و پیشامد", "تشخیص فضای نمونه و احتمال در شرایط غیرقطعی"], {"intro": "۱. شناسایی فضای نمونه کلی برای رویداد مورد نظر با توجه به شرایط مسئله.\n۲. تعیین احتمال هر زیرمجموعه یا حالت ممکن در فضای نمونه.\n۳. بررسی عضویت نمونه‌ها در فضای نمونه و احتمال هر حالت با توجه به داده‌های مسئله.\n۴. استفاده از احتمال‌های داده شده برای تعیین احتمال وقوع هر حالت یا رویداد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "پیشامدهای سازگار و ناسازگار", "محاسبه احتمال رویدادها با استفاده از اصول احتمال"], {"intro": "۱. فضای نمونه و رویدادهای مورد نظر را مشخص کنید.\n۲. احتمال هر رویداد را به صورت عددی در بازه [۰,۱] تعیین کنید.\n۳. اگر دو رویداد ناسازگار باشند (اشتراکشان تهی باشد)، احتمال اجتماع آنها برابر مجموع احتمال‌هایشان است.\n۴. برای دو رویداد دلخواه A و B، احتمال تفاضل A-B را با فرمول P(A-B) = P(A) - P(A ∩ B) محاسبه کنید.\n۵. احتمال مکمل رویداد A را با فرمول P(A') = ۱ - P(A) محاسبه کنید.\n۶. احتمال رویداد تهی برابر صفر است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "پیشامدهای سازگار و ناسازگار", "تشخیص ناسازگاری یا سازگاری دو پیشامد"], {"intro": "۱. دو پیشامد A و B ناسازگار هستند اگر اشتراک آنها تهی باشد یعنی P(A ∩ B) = ۰.\n۲. اگر اشتراک آنها تهی نباشد، پیشامدها سازگارند.\n۳. برای اثبات ناسازگاری یا سازگاری، اشتراک دو پیشامد را بررسی می‌کنیم.\n۴. اگر ناسازگار باشند، احتمال اجتماع آنها برابر مجموع احتمالاتشان است: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).\n۵. اگر سازگار باشند، از فرمول کلی استفاده می‌کنیم: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "پیشامدهای سازگار و ناسازگار", "محاسبه احتمال اجتماع پیشامدها با استفاده از فرمول احتمال"], {"intro": "۱. اگر دو پیشامد A و B ناسازگار باشند، احتمال اجتماع آنها برابر مجموع احتمالاتشان است: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).\n۲. اگر سازگار باشند، احتمال اجتماع برابر است با: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).\n۳. برای سه پیشامد A، B و C که دو به دو ناسازگارند، احتمال اجتماع برابر مجموع احتمالات هر سه است: P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C).\n۴. همچنین می‌توان از رابطه P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B) استفاده کرد تا احتمال بخش‌های مختلف را محاسبه کرد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "پیشامدهای سازگار و ناسازگار", "تشخیص ناسازگاری پیشامدها در مسائل عملی"], {"intro": "۱. در مسائل عملی، دو پیشامد ناسازگار هستند اگر وقوع همزمان آنها ممکن نباشد.\n۲. برای هر دو پیشامد داده شده، بررسی می‌کنیم که آیا می‌توانند همزمان رخ دهند یا خیر.\n۳. اگر نتوانند همزمان رخ دهند، پیشامدها ناسازگارند؛ در غیر این صورت سازگارند.\n۴. این تشخیص به کمک تعریف پیشامدها و شرایط مسئله انجام می‌شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال هم‌شانس و ناهم‌شانس", "محاسبه احتمال وقوع پیشامد ساده"], {"intro": "۱. فضای نمونه را مشخص کنید.\n۲. پیشامد ساده مورد نظر را تعیین کنید.\n۳. تعداد حالت‌های مطلوب را بشمارید.\n۴. تعداد کل حالت‌های ممکن را بشمارید.\n۵. احتمال پیشامد ساده را با نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به تعداد کل حالت‌ها محاسبه کنید: P(A) = n(A) / n(S)."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال هم‌شانس و ناهم‌شانس", "محاسبه احتمال وقوع پیشامدهای چندگانه و جمع احتمالات"], {"intro": "۱. پیشامدهای ساده را مشخص کنید.\n۲. احتمال هر پیشامد ساده را جداگانه محاسبه کنید.\n۳. اگر پیشامدها ناسازگار باشند، احتمال وقوع یکی از آنها برابر است با جمع احتمالات آنها: P(A ∪ B ∪ C ...) = P(A) + P(B) + P(C) + ...\n۴. از این خاصیت برای محاسبه احتمال پیشامدهای ترکیبی استفاده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال هم‌شانس و ناهم‌شانس", "احتمال غیرهم‌سانس و خواص آن"], {"intro": "۱. در فضای نمونه‌ای که پیشامدهای ساده احتمال‌های برابر ندارند، احتمال غیرهم‌سانس داریم.\n۲. برای هر زیرمجموعه A از فضای نمونه S، احتمال آن باید بین ۰ و ۱ باشد: ۰ ≤ P(A) ≤ ۱.\n۳. مجموع احتمال کل فضای نمونه برابر ۱ است: P(S) = ۱.\n۴. احتمال پیشامد A برابر است با مجموع احتمال پیشامدهای ساده عضو A: P(A) = P(a₁) + P(a₂) + ... + P(aₖ).\n۵. این خواص را برای محاسبه و بررسی احتمال در مسائل غیرهم‌سانس به کار می‌بریم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال هم‌شانس و ناهم‌شانس", "محاسبه احتمال رویدادهای ساده با استفاده از معادلات احتمال"], {"intro": "۱. تعریف فضای نمونه و تعیین اعضای آن.\n۲. فرض برابری احتمالات برخی رویدادها یا تعیین متغیر برای احتمال هر رویداد.\n۳. استفاده از قانون مجموع احتمال که مجموع احتمال همه رویدادهای ممکن برابر ۱ است.\n۴. نوشتن معادله‌ای بر اساس اطلاعات داده شده و حل آن برای یافتن احتمال هر رویداد.\n۵. استفاده از مقادیر به دست آمده برای محاسبه احتمال رویدادهای ترکیبی یا خاص."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال هم‌شانس و ناهم‌شانس", "محاسبه احتمال رویدادهای ترکیبی با استفاده از مجموع احتمال‌ها"], {"intro": "۱. تعریف فضای نمونه و تعیین اعضای آن.\n۲. تعیین احتمال وقوع هر رویداد یا ترکیبی از رویدادها با استفاده از داده‌های مسئله.\n۳. استفاده از قانون مجموع احتمال برای رویدادهای ترکیبی که احتمال وقوع آن‌ها برابر مجموع احتمال وقوع رویدادهای منفرد است.\n۴. نوشتن معادله بر اساس داده‌ها و حل آن برای یافتن احتمال رویدادهای منفرد.\n۵. استفاده از مقادیر به دست آمده برای محاسبه احتمال رویدادهای ترکیبی مورد نظر."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "تاس و سکه", "محاسبه احتمال وقوع اعداد در پرتاب تاس با توزیع احتمال نامساوی"], {"intro": "۱. تعریف فضای نمونه شامل اعداد ۱ تا ۶.\n۲. تعیین احتمال وقوع اعداد زوج و فرد با توجه به داده‌ها.\n۳. فرض متغیر x برای احتمال وقوع یک عدد فرد و استفاده از داده‌ها برای تعیین احتمال وقوع اعداد زوج.\n۴. نوشتن معادله مجموع احتمال‌ها برابر ۱ و حل آن برای یافتن x.\n۵. محاسبه احتمال وقوع اعداد خاص یا مجموعه‌ای از اعداد با استفاده از مقادیر به دست آمده."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "تاس و سکه", "محاسبه احتمال رویدادهای ساده در پرتاب سکه"], {"intro": "۱. احتمال هر رویداد را با توجه به داده‌ها تعیین کنید.\n۲. اگر احتمال یکی از رویدادها داده شده باشد، احتمال رویداد مقابل را با استفاده از رابطه مجموع احتمالات برابر با ۱ محاسبه کنید.\n۳. احتمال ترکیبی رویدادها را با جمع یا ضرب احتمالات مربوطه به دست آورید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "تاس و سکه", "محاسبه احتمال مشاهده عدد مشخص در پرتاب تاس"], {"intro": "۱. احتمال مشاهده هر عدد را برابر فرض کنید (برای تاس سالم هر عدد احتمال برابر دارد).\n۲. احتمال مشاهده عدد مشخص را با توجه به تعداد حالت‌های مطلوب تقسیم بر تعداد کل حالت‌ها محاسبه کنید.\n۳. اگر احتمال مشاهده عددی داده شده باشد، از آن برای تعیین احتمال رویدادهای دیگر استفاده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "تاس و سکه", "محاسبه احتمال رویدادهای مجموعه‌های نمونه در آزمایش تصادفی"], {"intro": "۱. فضای نمونه و زیرمجموعه‌های آن را مشخص کنید.\n۲. احتمال هر زیرمجموعه را با توجه به داده‌ها یا نسبت تعداد اعضا تعیین کنید.\n۳. از رابطه احتمال متمم استفاده کنید: P(C') = ۱ - P(C).\n۴. مقادیر احتمالات داده شده را جایگذاری و محاسبه کنید.", "example": "اگر تاس سالمی پرتاب کنیم و بخواهیم احتمال رخ دادن پیشامد A را که شامل اعداد {۱,۲,۳} است، محاسبه کنیم، فضای نمونه {۱,۲,۳,۴,۵,۶} است. همچنین اگر بخواهیم احتمال رخ دادن پیشامد B را که شامل اعداد {۲,۴,۶} است، محاسبه کنیم، فضای نمونه همان است.", "steps": ["فضای نمونه پرتاب تاس سالم برابر است با {۱,۲,۳,۴,۵,۶} که تعداد اعضای آن ۶ است.", "پیشامد A شامل اعداد {۱,۲,۳} است که تعداد اعضای آن ۳ است.", "بنابراین احتمال رخ دادن A برابر است با تعداد اعضای A تقسیم بر تعداد اعضای فضای نمونه: P(A) = ۳/۶ = ۱/۲.", "پیشامد B شامل اعداد {۲,۴,۶} است که تعداد اعضای آن نیز ۳ است.", "بنابراین احتمال رخ دادن B نیز برابر است با P(B) = ۳/۶ = ۱/۲.", "✅ جواب: P(A)=۱/۲, P(B)=۱/۲"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "تاس و سکه", "محاسبه احتمال وقوع هر یک از چند رویداد در فضای نمونه"], {"intro": "۱. فضای نمونه و رویدادهای مورد نظر را مشخص کنید.\n۲. با توجه به دنباله حسابی بودن احتمالات، مقدار هر احتمال را تعیین کنید.\n۳. مجموع احتمالات را برابر ۱ قرار دهید و مجهولات را حل کنید.\n۴. احتمال وقوع هر رویداد را با جایگذاری مقدارهای به دست آمده محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "تاس و سکه", "محاسبه احتمال اصابت به نواحی مختلف در صفحه دایره‌ای تقسیم شده"], {"intro": "۱. صفحه دایره‌ای را به نواحی جداگانه تقسیم شده با اندازه‌های مشخص در نظر بگیرید.\n۲. احتمال اصابت به ناحیه اول را x فرض کنید.\n۳. با توجه به رابطه احتمال اصابت به ناحیه kام برابر x(۲k-۱)، احتمال هر ناحیه را بیان کنید.\n۴. مجموع احتمالات نواحی را برابر ۱ قرار دهید و x را محاسبه کنید.\n۵. احتمال‌های مورد نظر را با جایگذاری مقدار x محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال شرطی", "احتمال برنده شدن در قرعه‌کشی"], {"intro": "۱. تعداد کل حالت‌های ممکن را تعیین کنید.\n۲. تعداد حالت‌های مطلوب (مثلاً کارت‌های با شماره بزرگ‌تر یا کوچک‌تر) را مشخص کنید.\n۳. احتمال رویداد را به صورت نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به تعداد کل حالت‌ها محاسبه کنید.\n۴. در صورت وجود اطلاعات اضافی (مثلاً اطلاع قبلی از عدد برنده)، از احتمال شرطی استفاده کنید و احتمال را با توجه به اطلاعات جدید به‌روزرسانی کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال شرطی", "احتمال انتخاب دانش‌آموز موفق از چند کلاس"], {"intro": "۱. فضای نمونه را تعیین کنید (تعداد کل دانش‌آموزان در همه کلاس‌ها).\n۲. تعداد اعضای مجموعه‌های مورد نظر (مثلاً دانش‌آموزان موفق در هر کلاس) را مشخص کنید.\n۳. اگر اعضایی مشترک بین مجموعه‌ها وجود دارد، تعداد اعضای اشتراک را نیز تعیین کنید.\n۴. احتمال انتخاب دانش‌آموزی که عضو یکی از مجموعه‌ها باشد را با استفاده از قانون اجتماع دو مجموعه محاسبه کنید: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).\n۵. در صورت نیاز، احتمال شرطی را برای رویدادهای وابسته محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال شرطی", "احتمال شرطی و کاهش فضای نمونه"], {"intro": "۱. ابتدا فضای نمونه کل را مشخص کنید و تعداد اعضای آن را بشمارید.\n۲. رویدادهای A و B را تعریف کنید و تعداد اعضای هر کدام را تعیین کنید.\n۳. اگر احتمال شرطی P(A|B) را می‌خواهید، فضای نمونه را به فضای نمونه B محدود کنید (کاهش فضای نمونه).\n۴. تعداد اعضای اشتراک دو رویداد A و B را پیدا کنید.\n۵. فرمول احتمال شرطی را به صورت P(A|B) = n(A ∩ B) / n(B) به کار ببرید.\n۶. نتیجه را به صورت عددی یا کسری بیان کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال شرطی", "محاسبه احتمال شرطی"], {"intro": "۱. تعریف احتمال شرطی P(A|B) را به صورت P(A ∩ B) تقسیم بر P(B) بنویسید.\n۲. فضای نمونه و تعداد اعضای پیشامدها را مشخص کنید.\n۳. احتمال تقاطع دو پیشامد A و B را محاسبه کنید.\n۴. احتمال پیشامد B را محاسبه کنید.\n۵. مقدار P(A|B) را با تقسیم احتمال تقاطع بر احتمال پیشامد B به دست آورید.\n۶. در صورت نیاز، از مکمل پیشامدها برای ساده‌سازی محاسبات استفاده کنید.", "example": "اگر B = {(۴,۶), (۵,۵), (۶,۴)} و P(B) = ۳/۳۶ باشد و A ∩ B = {(۶,۴)} با احتمال ۱/۳۶، مقدار احتمال P(A|B) را بیابید.", "steps": ["با توجه به داده‌ها، P(B) = ۳/۳۶ و P(A ∩ B) = ۱/۳۶ است.", "بنابراین احتمال شرطی P(A|B) برابر است با: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (۱/۳۶) / (۳/۳۶) = ۱/۳."]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال شرطی", "محاسبه احتمال شرطی با استفاده از مجموع دو تاس"], {"intro": "۱. پیشامدهای مورد نظر را تعریف کنید (مثلاً A و B).\n۲. فضای نمونه را مشخص کنید (مثلاً ۳۶ حالت برای دو تاس).\n۳. تعداد حالت‌های مشترک پیشامدها (A ∩ B) را تعیین کنید.\n۴. احتمال پیشامد B را محاسبه کنید.\n۵. احتمال شرطی P(A|B) را با تقسیم احتمال تقاطع بر احتمال پیشامد B محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال شرطی", "محاسبه احتمال انتخاب بازیکن با ویژگی خاص"], {"intro": "۱. تعیین تعداد کل اعضای مجموعه (مثلاً تعداد بازیکنان تیم). ۲. تعیین تعداد اعضایی که ویژگی خاص دارند (مثلاً بلندقدترین بازیکن). ۳. محاسبه احتمال انتخاب آن عضو به صورت نسبت تعداد اعضای دارای ویژگی به کل اعضا. ۴. در صورت انتخاب دوم، استفاده از احتمال شرطی برای محاسبه احتمال ویژگی بازیکن دوم با توجه به انتخاب اول."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "شرطی و مکمل", "محاسبه احتمال شرطی و استفاده از قانون ضرب احتمال"], {"intro": "۱. تعریف پیشامدها و تعیین پیشامدهای A و B و احتمال آنها.\n۲. استفاده از فرمول احتمال شرطی: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).\n۳. استفاده از قانون ضرب احتمال: P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) یا P(B) × P(A|B).\n۴. جایگذاری مقادیر داده شده در فرمول‌ها و محاسبه مقدار احتمال مورد نظر.\n۵. تفسیر نتیجه به دست آمده در مسئله."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "شرطی و مکمل", "محاسبه احتمال مکمل و رابطه احتمالات شرطی"], {"intro": "۱. تعریف پیشامد A و مکمل آن A'.\n۲. استفاده از رابطه احتمال مکمل: P(A') = ۱ - P(A).\n۳. در صورت وجود شرط، استفاده از احتمال شرطی و رابطه P(A'|B) = ۱ - P(A|B).\n۴. جایگذاری مقادیر داده شده و محاسبه مقدار احتمال مکمل.\n۵. تفسیر نتیجه در مسئله."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "شرطی و مکمل", "محاسبه احتمال شرطی و استفاده از قانون ضرب احتمال برای سه پیشامد"], {"intro": "۱. ابتدا احتمال شرطی هر پیشامد را با توجه به شرایط مسئله محاسبه کنید.\n۲. از قانون ضرب احتمال برای سه پیشامد استفاده کنید: P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1) × P(A2|A1) × P(A3|A1 ∩ A2).\n۳. مقادیر احتمالات شرطی را جایگذاری و حاصل ضرب را محاسبه کنید.\n۴. در صورت نیاز، از نتایج به دست آمده برای اثبات یا ادامه حل مسئله استفاده کنید.", "steps": ["تعداد کل سیب‌ها = ۱۰۰", "تعداد سیب‌های سالم = ۹۰", "احتمال انتخاب سیب سالم = ۹۰/۱۰۰ = ۰٫۹", "احتمال انتخاب سیب خراب = ۰٫۱", "فرض کنیم تعداد سیب‌های برداشته شده n باشد.", "✅ جواب: ۲۹"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "شرطی و مکمل", "تعریف و کاربرد افراز مجموعه‌ها"], {"intro": "۱. تعریف مجموعه S و مجموعه‌های زیرمجموعه Ai به گونه‌ای که اجتماع همه Ai برابر S باشد و اشتراک هر دو مجموعه Ai و Aj (i ≠ j) تهی باشد. ۲. استفاده از این تعریف برای تقسیم مجموعه به بخش‌های نافی. ۳. کاربرد این تقسیم‌بندی در مسائل احتمال برای محاسبه احتمال کل یا تفکیک رویدادها. ۴. استفاده از فرمول اجتماع و اشتراک برای اثبات یا حل مسائل مرتبط."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "شرطی و مکمل", "محاسبه احتمال کل با استفاده از قانون احتمال کل"], {"intro": "۱. فضای نمونه را به پیشامدهای ناهم‌پوشان تقسیم کنید که مجموع آن‌ها کل فضای نمونه را تشکیل می‌دهد.\n۲. احتمال هر پیشامد را محاسبه یا داده شده است.\n۳. احتمال شرطی پیشامد A را نسبت به هر پیشامد تقسیم‌کننده محاسبه کنید.\n۴. با استفاده از فرمول قانون احتمال کل، احتمال کل پیشامد A را به صورت جمع حاصل‌ضرب احتمال هر پیشامد تقسیم‌کننده در احتمال شرطی A نسبت به آن پیشامد محاسبه کنید:\nP(A) = Σ P(Bₖ) × P(A|Bₖ)\n۵. در صورت نیاز، از نمودار درختی برای نمایش و محاسبه استفاده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "شرطی و مکمل", "قانون احتمال کل و تجزیه فضای نمونه"], {"intro": "۱. فضای نمونه را به چند زیرمجموعه تجزیه می‌کنیم که این زیرمجموعه‌ها دو به دو ناهمپوشانی دارند و اجتماع آن‌ها کل فضای نمونه است.\n۲. احتمال رویداد A را به صورت مجموع احتمال اشتراک A با هر یک از این زیرمجموعه‌ها می‌نویسیم.\n۳. از قانون ضرب احتمال استفاده می‌کنیم: P(A ∩ Bₖ) = P(Bₖ) × P(A|Bₖ).\n۴. بنابراین احتمال کل P(A) برابر است با مجموع P(Bₖ) × P(A|Bₖ) برای همه k.", "example": "فرض کنید یک جعبه شامل ۵ لامپ است که شماره‌های ۱ تا ۳ سالم و شماره‌های ۴ و ۵ معیوب هستند. فضای نمونه برای انتخاب یک لامپ از این جعبه را تعریف کنید.", "steps": ["تعداد کل لامپ‌ها: ۵.", "شماره لامپ‌ها: ۱، ۲، ۳ (سالم) و ۴، ۵ (معیوب).", "فضای نمونه شامل تمام اعضا است: S = {۱, ۲, ۳, ۴, ۵}.", "هر عضو فضای نمونه نشان‌دهنده انتخاب یک لامپ خاص است.", "این فضای نمونه برای محاسبه احتمال انتخاب هر لامپ به کار می‌رود.", "✅ جواب: فضای نمونه برابر است با S = {۱, ۲, ۳, ۴, ۵} و هر عضو نشان‌دهنده انتخاب یک لامپ است."]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال کل و بیز", "قانون احتمال کل برای دو پیشامد"], {"intro": "۱. فضای نمونه را به دو پیشامد B و B' تقسیم می‌کنیم که B' مکمل B است.\n۲. احتمال رویداد A را به صورت مجموع احتمال اشتراک A با B و A با B' می‌نویسیم.\n۳. از قانون ضرب احتمال استفاده می‌کنیم: P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B) و P(A ∩ B') = P(B') × P(A|B').\n۴. بنابراین فرمول احتمال کل به شکل P(A) = P(B)P(A|B) + P(B')P(A|B') است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال کل و بیز", "احتمال شرطی و قانون احتمال کل"], {"intro": "۱. تعریف پیشامدها و تعیین پیشامدهای مکمل و شرطی. ۲. استفاده از قانون احتمال کل: P(A) = P(B)P(A|B) + P(B')P(A|B'). ۳. محاسبه احتمال هر پیشامد با توجه به تعداد و نوع کارت‌ها یا اشیاء. ۴. جایگذاری مقادیر در فرمول و محاسبه نهایی احتمال."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال کل و بیز", "محاسبه احتمال با استفاده از داده‌های درصدی و تحلیل تغییرات"], {"intro": "۱. تعیین داده‌های اولیه شامل درصدها و تعدادها. ۲. محاسبه احتمال پیشامدهای مورد نظر با استفاده از نسبت تعداد یا درصدها. ۳. تحلیل تغییرات احتمالات پس از مشاهده یا رویداد جدید. ۴. مقایسه احتمال قبل و بعد از مشاهده برای نتیجه‌گیری درباره افزایش یا کاهش احتمال."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال کل و بیز", "قانون بیز و احتمال شرطی"], {"intro": "۱. فرض کنید پیشامدهای B1, B2, ..., Bn با احتمال ناقص باشند که فضای نمونه را افزا می‌کنند.\n۲. برای پیشامد دلخواه A و هر i از ۱ تا n، احتمال شرطی P(Bi|A) را با استفاده از فرمول قانون بیز محاسبه کنید:\n P(Bi|A) = (P(Bi) * P(A|Bi)) / P(A)\n۳. اگر P(A) معلوم نباشد، از فرمول احتمال کل استفاده کنید:\n P(A) = Σ (P(Bk) * P(A|Bk)) برای k=۱ تا n\n۴. در صورت وجود دو پیشامد متتمم B و B'، فرمول قانون بیز به شکل زیر ساده می‌شود:\n P(B|A) = (P(B) * P(A|B)) / (P(B) * P(A|B) + P(B') * P(A|B'))\n۵. مقادیر احتمالات داده شده را جایگذاری کرده و محاسبات را انجام دهید تا احتمال شرطی مورد نظر را بیابید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال کل و بیز", "محاسبه احتمال شرطی با استفاده از قانون احتمال کل و قضیه بیز"], {"intro": "۱. فرض کنید سه رویداد B1، B2 و B3 که احتمال وقوع هرکدام مشخص است. ۲. رویداد A را که وابسته به یکی از این رویدادهاست تعریف کنید. ۳. احتمال وقوع A با توجه به هر یک از Bها (P(A|Bi)) را تعیین کنید. ۴. با استفاده از قانون احتمال کل، احتمال کلی P(A) را محاسبه کنید: P(A) = Σ P(Bi) * P(A|Bi). ۵. برای محاسبه احتمال شرطی P(Bi|A) از قضیه بیز استفاده کنید: P(Bi|A) = (P(Bi) * P(A|Bi)) / P(A)."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "پیشامدهای وابسته", "احتمال رویدادهای ترکیبی و شرطی"], {"intro": "۱. تعیین فضای نمونه و رویدادهای مورد نظر از جدول یا داده‌های مسئله.\n۲. محاسبه احتمال رویدادها با استفاده از نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به کل حالت‌ها.\n۳. برای احتمال شرطی، استفاده از فرمول P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).\n۴. پاسخ به سوالات با جایگذاری مقادیر در فرمول‌ها و محاسبه نهایی."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "پیشامدهای وابسته", "احتمال رویدادهای وابسته و قانون ضرب احتمال"], {"intro": "۱. تعیین احتمال هر رویداد به صورت جداگانه.\n۲. استفاده از قانون ضرب احتمال برای رویدادهای متوالی وابسته: P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A).\n۳. محاسبه احتمال رویداد ترکیبی با توجه به شرط‌های داده شده.\n۴. استفاده از فرمول‌های احتمال شرطی برای محاسبه احتمال رویداد دوم با توجه به رویداد اول."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "پیشامدهای وابسته", "احتمال ترکیبی با استفاده از قانون ضرب برای چند پیشامد"], {"intro": "۱. تعریف پیشامدها و تعیین احتمال هر یک.\n۲. استفاده از قانون ضرب احتمال برای چند پیشامد به صورت متوالی: P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = P(A1) × P(A2|A1) × ... × P(An|A1 ∩ ... ∩ An-۱).\n۳. در صورت نیاز، استفاده از قانون ضرب احتمال برای n پیشامد به صورت کلی.\n۴. محاسبه احتمال اشتراک پیشامدها با جایگذاری مقادیر داده شده."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "پیشامدهای وابسته", "احتمال انتخاب تصادفی و ترکیبی از رویدادها"], {"intro": "۱. تعیین تعداد کل افراد و تعداد افراد دارای ویژگی مورد نظر.\n۲. محاسبه احتمال انتخاب تصادفی فرد با ویژگی خاص با نسبت تعداد افراد دارای ویژگی به کل افراد.\n۳. در صورت ترکیب رویدادها، استفاده از جمع یا ضرب احتمال‌ها با توجه به اینکه رویدادها مستقل یا ناسازگار هستند.\n۴. پاسخ نهایی با جایگذاری اعداد داده شده و محاسبه نسبت‌ها."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "مسئله‌های احتمال کل", "احتمال انتخاب مهره‌ها از دو ظرف به صورت تصادفی"], {"intro": "۱. تعیین تعداد مهره‌های هر رنگ در هر ظرف.\n۲. محاسبه احتمال انتخاب مهره از ظرف اول و انتقال آن به ظرف دوم.\n۳. محاسبه احتمال انتخاب مهره سبز از ظرف دوم پس از انتقال مهره.\n۴. استفاده از قانون احتمال کل برای ترکیب حالات مختلف انتقال مهره و انتخاب مهره سبز."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "مسئله‌های احتمال کل", "محاسبه احتمال توقف چراغ راهنمایی"], {"intro": "۱. احتمال وقوع هر رویداد را مشخص کنید.\n۲. اگر رویدادها مستقل نیستند، از فرمول احتمال شرطی استفاده کنید.\n۳. احتمال کلی توقف را با ضرب احتمال وقوع رویدادها یا جمع احتمالات مناسب محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "مسئله‌های احتمال کل", "احتمال انتخاب لامپ معیوب از جعبه‌ها"], {"intro": "۱. تعداد کل لامپ‌ها و تعداد لامپ‌های معیوب در هر جعبه را مشخص کنید.\n۲. احتمال انتخاب هر جعبه را برابر فرض کنید یا اگر داده شده، استفاده کنید.\n۳. احتمال انتخاب لامپ معیوب از هر جعبه را محاسبه کنید.\n۴. احتمال کلی انتخاب لامپ معیوب را با جمع احتمالات هر جعبه ضرب در احتمال انتخاب آن جعبه محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "مسئله‌های احتمال کل", "محاسبه احتمال انتخاب از دو شهر با شرایط متفاوت"], {"intro": "۱. تعداد و درصد واجدین شرایط در هر شهر را مشخص کنید.\n۲. نسبت تعداد واجدین شرایط شهرها را تعیین کنید.\n۳. احتمال انتخاب هر شهر را بر اساس تعداد واجدین شرایط محاسبه کنید.\n۴. احتمال کلی انتخاب فردی از شهر A را با استفاده از احتمال شرطی و قانون احتمال کل محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "مسئله‌های احتمال کل", "محاسبه احتمال ابتلا به بیماری با واکسن"], {"intro": "۱. احتمال ابتلا به بیماری برای کودکان واکسینه شده و نشده را مشخص کنید.\n۲. درصد کودکان واکسینه شده در شهر را بدانید.\n۳. با استفاده از قانون احتمال کل، احتمال ابتلای یک کودک به بیماری را محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "قانون بیز و کاربرد", "اثبات قانون بیز"], {"intro": "۱. از تعریف احتمال شرطی استفاده کنید: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)\n۲. رابطه مشابه برای P(B|A) را بنویسید.\n۳. با جایگزینی و ساده‌سازی، فرمول قانون بیز را اثبات کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "قانون بیز و کاربرد", "محاسبه احتمال با استفاده از توزیع احتمال و احتمال شرطی در مسائل ترکیبی"], {"intro": "۱. احتمال وقوع هر رویداد را مشخص کنید.\n۲. احتمال ترکیبی رویدادها را با استفاده از جمع یا ضرب احتمالات محاسبه کنید.\n۳. در صورت وجود شرط، از احتمال شرطی استفاده کنید.", "steps": ["تعداد کل سیب‌ها = ۱۰۰", "تعداد سیب‌های سالم = ۹۰", "احتمال انتخاب سیب سالم = ۹۰/۱۰۰ = ۰٫۹", "احتمال انتخاب سیب خراب = ۰٫۱", "فرض کنیم تعداد سیب‌های برداشته شده n باشد.", "✅ جواب: ۲۹"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "قانون بیز و کاربرد", "محاسبه احتمال خطا در تصحیح صفحات توسط چند نفر"], {"intro": "۱. احتمال درست تصحیح شدن صفحه توسط هر فرد را مشخص کنید.\n۲. احتمال خطا توسط هر فرد را محاسبه کنید.\n۳. احتمال خطا توسط همه افراد را با ضرب احتمالات خطا محاسبه کنید.\n۴. احتمال مسئول بودن فرد خاص را با استفاده از احتمال شرطی محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "قانون بیز و کاربرد", "محاسبه احتمال انتخاب کارت با شرایط خاص"], {"intro": "۱. تعداد کل کارت‌ها و شرایط انتخاب را مشخص کنید.\n۲. احتمال انتخاب هر کارت را برابر فرض کنید.\n۳. با توجه به شرایط، احتمال وقوع رویداد مورد نظر را محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "قانون بیز و کاربرد", "محاسبه احتمال تصادف بیمه‌گزاران در سال‌های مختلف"], {"intro": "۱. احتمال تصادف در هر سال برای هر گروه را مشخص کنید.\n۲. احتمال عضویت بیمه‌گزار در گروه پرخطر را بدانید.\n۳. با استفاده از احتمال کل و احتمال شرطی، احتمال تصادف در سال آینده و احتمال عضویت در گروه پرخطر را محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "پیشامدهای مستقل", "محاسبه فضای نمونه و رویدادهای تصادفی"], {"intro": "۱. ابتدا فضای نمونه S را با توجه به آزمایش تعریف می‌کنیم که شامل تمام حالات ممکن است. ۲. سپس رویدادهای A و B را به صورت زیرمجموعه‌هایی از فضای نمونه مشخص می‌کنیم. ۳. اشتراک دو رویداد A و B یعنی A ∩ B را به صورت مجموعه‌ای از حالات مشترک بین A و B تعیین می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "پیشامدهای مستقل", "محاسبه احتمال رویدادها و احتمال شرطی"], {"intro": "۱. احتمال هر رویداد A را با نسبت تعداد حالات مطلوب n(A) به تعداد کل حالات فضای نمونه n(S) محاسبه می‌کنیم: P(A) = n(A)/n(S). ۲. احتمال اشتراک دو رویداد A و B به صورت P(A ∩ B) = n(A ∩ B)/n(S) محاسبه می‌شود. ۳. احتمال شرطی P(A|B) برابر است با نسبت احتمال اشتراک دو رویداد به احتمال رویداد شرط: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "پیشامدهای مستقل", "بررسی استقلال پیشامدها"], {"intro": "۱. تعریف پیشامدهای مستقل را به کار ببرید: دو پیشامد A و B مستقل هستند اگر و تنها اگر P(A ∩ B) = P(A) × P(B). ۲. احتمال شرطی را بررسی کنید: اگر P(A|B) = P(A) یا P(B|A) = P(B) برقرار باشد، پیشامدها مستقل هستند. ۳. برای اثبات یا رد استقلال، مقدارهای احتمال داده شده را جایگذاری کنید و رابطه را بررسی کنید. ۴. اگر پیشامدها مستقل باشند، از فرمول ضرب احتمال برای احتمال اشتراک استفاده کنید. ۵. برای احتمال اجتماع دو پیشامد از فرمول P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) استفاده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "پیشامدهای مستقل", "محاسبه احتمال قبول شدن حداقل یکی از دو نفر"], {"intro": "۱. احتمال قبول شدن هر فرد را به صورت جداگانه مشخص کنید. ۲. احتمال قبول نشدن هر فرد را محاسبه کنید (مکمل احتمال قبول شدن). ۳. احتمال قبول نشدن هر دو نفر را با ضرب احتمال قبول نشدن هر یک به دست آورید (اگر مستقل باشند). ۴. احتمال قبول شدن حداقل یکی از دو نفر برابر است با ۱ منهای احتمال قبول نشدن هر دو نفر. ۵. همچنین می‌توان از فرمول احتمال اجتماع دو پیشامد استفاده کرد: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "پیشامدهای مستقل", "بررسی استقلال دو پیشامد"], {"intro": "۱. تعریف استقلال پیشامدها را یادآوری کنید: دو پیشامد A و B مستقل هستند اگر P(A ∩ B) = P(A) × P(B). ۲. اگر شرطی بودن مطرح است، از رابطه احتمال شرطی استفاده کنید: P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A). ۳. با محاسبه P(B|A) و مقایسه آن با P(B) بررسی کنید که آیا P(B|A) = P(B) برقرار است یا خیر. ۴. اگر برابر بود، پیشامدها مستقل هستند؛ در غیر این صورت وابسته‌اند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "استقلال و اجتماع", "محاسبه احتمال اجتماع دو پیشامد مستقل"], {"intro": "۱. اگر دو پیشامد A و B مستقل باشند، احتمال اجتماع آنها با فرمول P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) محاسبه می‌شود. ۲. مقادیر P(A) و P(B) را جایگذاری کنید. ۳. حاصل را محاسبه کنید تا احتمال نهایی به دست آید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "استقلال و اجتماع", "محاسبه احتمال هدف زدن در مسابقه تیراندازی"], {"intro": "۱. احتمال هر تیرانداز برای هدف زدن را مشخص کنید. ۲. اگر تیراندازان به صورت متوالی تیر می‌زنند، احتمال ترکیبی هر حالت را محاسبه کنید. ۳. احتمال هدف زدن هر دو تیرانداز را با ضرب احتمالات جداگانه به دست آورید. ۴. اگر احتمال هدف زدن هر دو تیرانداز لازم است، حاصل ضرب احتمالات را محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "استقلال و اجتماع", "محاسبه احتمال رویدادهای مستقل"], {"intro": "۱. تعریف پیشامدهای مستقل: دو پیشامد A و B مستقل هستند اگر احتمال اشتراک آنها برابر حاصل ضرب احتمال‌هایشان باشد، یعنی P(A ∩ B) = P(A) × P(B). ۲. برای چند پیشامد مستقل، احتمال اشتراک همه آنها برابر است با حاصل ضرب احتمال هر یک. ۳. در مسائل مربوط به جنسیت فرزندان، فرض می‌شود احتمال دختر یا پسر بودن هر فرزند برابر و مستقل است. ۴. احتمال هر حالت را با ضرب احتمال‌های مستقل هر فرزند محاسبه می‌کنیم. ۵. برای حالت‌های ترکیبی، احتمال هر حالت را جداگانه محاسبه و در صورت نیاز جمع می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "استقلال و اجتماع", "محاسبه احتمال ترکیبی با فرض مستقل بودن رویدادها"], {"intro": "۱. تعیین رویدادهای مستقل و ترتیب وقوع آنها.\n۲. محاسبه احتمال هر رویداد به صورت جداگانه.\n۳. ضرب احتمال رویدادها برای به دست آوردن احتمال ترکیبی.\n۴. در صورت وجود حالت‌های مختلف، احتمال هر حالت را محاسبه و جمع بزنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "استقلال و اجتماع", "محاسبه احتمال ترکیبی با فرض مستقل بودن افراد در جمعیت"], {"intro": "۱. تعیین احتمال هر فرد برای داشتن ویژگی مورد نظر (مثلاً بی‌سوادی).\n۲. فرض مستقل بودن افراد و ضرب احتمال هر فرد برای به دست آوردن احتمال ترکیبی.\n۳. محاسبه احتمال کل با ضرب احتمال‌های فردی."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "بررسی استقلال", "بررسی استقلال پیشامدها در فضای نمونه"], {"intro": "۱. تعریف پیشامدها و فضای نمونه مربوطه.\n۲. بررسی شرط استقلال: P(A ∩ B) = P(A) × P(B).\n۳. در صورت وجود زیرمجموعه‌ها، بررسی استقلال با توجه به روابط مجموعه‌ای.\n۴. ارائه دلیل یا اثبات برای استقلال یا عدم استقلال."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "بررسی استقلال", "بررسی استقلال پیشامدها با توجه به اعداد ظاهر شده در پرتاب تاس"], {"intro": "۱. تعریف پیشامدها بر اساس اعداد ظاهر شده در پرتاب تاس.\n۲. محاسبه احتمال هر پیشامد.\n۳. بررسی شرط استقلال با محاسبه P(A ∩ B) و مقایسه با P(A) × P(B).\n۴. نتیجه‌گیری درباره استقلال یا عدم استقلال پیشامدها."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "بررسی استقلال", "بررسی استقلال پیشامدهای عددی با شرط بخش‌پذیری"], {"intro": "۱. تعریف مجموعه اعداد و پیشامدها بر اساس ویژگی بخش‌پذیری.\n۲. محاسبه احتمال هر پیشامد.\n۳. بررسی شرط استقلال با محاسبه احتمال اشتراک و مقایسه با حاصل ضرب احتمالات فردی.\n۴. نتیجه‌گیری درباره استقلال یا عدم استقلال پیشامدها."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "بررسی استقلال", "محاسبه احتمال موفقیت چند رویداد مستقل"], {"intro": "۱. احتمال موفقیت هر رویداد را مشخص کنید.\n۲. اگر رویدادها مستقل هستند، احتمال موفقیت همزمان آنها را با ضرب احتمال‌های هر رویداد به دست آورید.\n۳. برای احتمال اینکه هیچ کدام موفق نباشند، احتمال شکست هر رویداد را محاسبه و ضرب کنید.\n۴. برای احتمال اینکه فقط یکی موفق باشد، احتمال موفقیت آن و شکست دیگری را محاسبه و جمع کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "بررسی استقلال", "محاسبه احتمال رویدادهای ترکیبی با سکه و تاس"], {"intro": "۱. تعداد کل حالت‌های ممکن را تعیین کنید (ضرب تعداد حالت‌های هر وسیله).\n۲. تعداد حالت‌های مطلوب را مشخص کنید.\n۳. احتمال را به صورت نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به کل حالت‌ها محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال چند رویداد مستقل", "محاسبه احتمال پاسخ‌های تصادفی در آزمون چند گزینه‌ای"], {"intro": "۱. تعداد کل سوالات و گزینه‌ها را مشخص کنید.\n۲. احتمال پاسخ صحیح به یک سوال را ۱ تقسیم بر تعداد گزینه‌ها در نظر بگیرید.\n۳. احتمال ترکیبی را با استفاده از قوانین احتمال برای تعداد سوالات صحیح مورد نظر محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال چند رویداد مستقل", "محاسبه احتمال انتخاب مهره‌های رنگی از جعبه"], {"intro": "۱. تعداد کل مهره‌ها و تعداد مهره‌های هر رنگ را مشخص کنید.\n۲. تعداد حالت‌های مطلوب را بر اساس شرایط مسئله تعیین کنید.\n۳. احتمال را به صورت نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به کل حالت‌ها محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال چند رویداد مستقل", "محاسبه احتمال انتخاب لامپ‌های معیوب از جعبه"], {"intro": "۱. تعداد کل لامپ‌ها و تعداد لامپ‌های معیوب را مشخص کنید.\n۲. تعداد حالت‌های مطلوب را بر اساس تعداد لامپ‌های معیوب انتخاب شده تعیین کنید.\n۳. احتمال را به صورت نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به کل حالت‌ها محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال چند رویداد مستقل", "محاسبه احتمال رویدادهای ترکیبی با استفاده از قوانین احتمال اجتماع و اشتراک"], {"intro": "۱. از روابط داده شده برای احتمال اشتراک و اجتماع استفاده کنید.\n۲. با استفاده از قوانین احتمال و روابط مکمل، مقدار احتمال مورد نظر را محاسبه کنید.\n۳. اگر رویدادها مستقل باشند، از ضرب احتمال‌ها برای اشتراک استفاده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: احتمال", "احتمال چند رویداد مستقل", "محاسبه احتمال پاسخ منفی همه افراد در انتخاب دارو"], {"intro": "۱. احتمال موفقیت دارو را مشخص کنید.\n۲. احتمال عدم موفقیت (پاسخ منفی) را محاسبه کنید.\n۳. احتمال اینکه همه افراد پاسخ منفی داشته باشند را با ضرب احتمال عدم موفقیت برای همه افراد محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۱)", "محاسبه جرم باکتری‌ها در زمان‌های مختلف با استفاده از تابع نمایی"], {"intro": "۱. فرض کنید جرم باکتری‌ها در زمان t ساعت برابر m(t) باشد.\n۲. با توجه به اینکه جرم باکتری‌ها هر ساعت دو برابر می‌شود، تابع نمایی به صورت m(t) = m(۰) * ۲ᵗ تعریف می‌شود.\n۳. مقدار اولیه m(۰) را از داده‌ها استخراج کنید.\n۴. برای محاسبه جرم در زمان‌های مختلف، مقدار t را در تابع قرار دهید و مقدار m(t) را محاسبه کنید.\n۵. برای یافتن زمان رسیدن به جرم مشخص، معادله m(t) = جرم داده شده را حل کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۱)", "تعیین مقادیر تابع نمایی از روی جدول و نمودار"], {"intro": "۱. رابطه تابع نمایی را به صورت m(t) = ۲ᵗ در نظر بگیرید.\n۲. مقادیر داده شده در جدول را بررسی کنید و مقادیر مجهول را با استفاده از رابطه تابع محاسبه کنید.\n۳. برای هر مقدار t، مقدار m(t) را با جایگذاری t در رابطه ۲ᵗ محاسبه کنید.\n۴. مقادیر محاسبه شده را در جدول جایگزین کنید.\n۵. در صورت نیاز، نقاط نمودار را با مقادیر محاسبه شده رسم کنید.", "example": "اگر تابع نمایی m(t) = ۳ᵗ باشد و t برابر با ۴ باشد، مقدار m(۴) را محاسبه کنید.", "steps": ["برای محاسبه m(۴)، t را برابر با ۴ در نظر می‌گیریم.", "m(۴) = ۳⁴ را محاسبه می‌کنیم.", "۳⁴ = ۳ × ۳ × ۳ × ۳ = ۸۱.", "بنابراین مقدار m(۴) برابر با ۸۱ است.", "✅ جواب: ۸۱"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۱)", "محاسبه مقادیر تابع رادیکالی با توان‌های کسری"], {"intro": "۱. رابطه تابع را به صورت f(x) = √[x] یا به شکل توان کسری بنویسید.\n۲. برای هر مقدار x، مقدار تابع را با استفاده از قوانین توان‌های کسری محاسبه کنید.\n۳. اگر x منفی است و توان کسری به گونه‌ای است که مقدار حقیقی ندارد، مقدار را نادیده بگیرید یا علامت ... بگذارید.\n۴. مقادیر محاسبه شده را در جدول جایگزین کنید.", "example": "محاسبه مقدار تابع f(x) = √[x] برای x = ۱۶.", "steps": ["تابع را به صورت f(x) = x به توانِ (۱/۲) بنویسیم.", "مقدار x را در تابع جایگزین می‌کنیم: f(۱۶) = ۱۶ به توانِ (۱/۲) .", "حساب می‌کنیم: ۱۶ به توانِ (۱/۲) = √۱۶.", "مقدار رادیکال را محاسبه می‌کنیم: √۱۶ = ۴.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۱)", "تعیین دامنه و برد تابع نمایی"], {"intro": "برای تعیین دامنه تابع نمایی y=۲ˣ، باید بدانیم که توان x می‌تواند هر عدد حقیقی باشد، پس دامنه همه اعداد حقیقی است. برای برد، چون ۲ˣ همیشه مثبت است و هیچگاه صفر یا منفی نمی‌شود، برد تابع همه اعداد مثبت است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۱)", "تعیین مقدار تقریبی تابع نمایی در نقاط خاص"], {"intro": "برای تعیین مقدار تقریبی تابع نمایی در نقاط خاص مانند x=√۷، ابتدا مقدار عددی x را محاسبه می‌کنیم (مثلاً √۷ ≈ ۲٫۶۴۵۷). سپس مقدار تابع را با جایگذاری x در y=۲ˣ محاسبه می‌کنیم. برای دقت بیشتر از ماشین حساب استفاده می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۱)", "تشخیص تابع بودن نمودار"], {"example": "همان طور که ملاحظه می‌شود دامنه تابع y=۲ˣ همه اعداد حقیقی و برد آن همواره اعداد مثبت است. چرا نمودار y=۲ˣ محور xها را قطع نمی‌کند؟", "steps": ["تابع y=۲ˣ برای هر مقدار x تعریف شده است، بنابراین دامنه همه اعداد حقیقی است.", "اما چون پایه ۲ مثبت و بزرگ‌تر از ۱ است، مقدار تابع همیشه مثبت است و هیچگاه به صفر یا منفی نمی‌رسد.", "بنابراین نمودار تابع هرگز محور xها (محور افقی که y=۰ است) را قطع نمی‌کند.", "✅ جواب: نمودار تابع y=۲ˣ محور xها را قطع نمی‌کند چون y همواره مثبت است و هرگز صفر نمی‌شود."]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۲)", "رسم و مقایسه نمودار توابع نمایی"], {"intro": "۱. تابع نمایی داده شده را به صورت y = aˣ بنویسید که a عددی مثبت است.\n۲. نقاطی از تابع را با جایگذاری مقادیر x در تابع پیدا کنید.\n۳. نقاط به دست آمده را روی دستگاه مختصات رسم کنید.\n۴. نمودار تابع را با اتصال نقاط رسم کنید.\n۵. برای مقایسه دو تابع نمایی، نمودار هر دو را رسم کرده و رفتار آنها را بررسی کنید.\n۶. دامنه و برد تابع را با توجه به نمودار و تعریف تابع تعیین کنید.\n۷. نقاط خاص داده شده را با جایگذاری در تابع پیدا کرده و روی نمودار مشخص کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۲)", "کاربرد توابع نمایی در مسائل حل مقدار نمک در آب"], {"intro": "۱. مسئله را به صورت تابع نمایی q(t) = q₀ * (a/b)ᵗ مدل کنید که q₀ مقدار اولیه و (a/b) نسبت کاهش است.\n۲. مقدار اولیه نمک حل نشده را مشخص کنید.\n۳. مقدار نمک حل نشده پس از زمان t را با جایگذاری t در تابع محاسبه کنید.\n۴. اگر مقدار نمک پس از زمان مشخص داده شده، مقدار t را جایگذاری و مقدار نمک را محاسبه کنید.\n۵. نمودار تابع را در بازه زمانی داده شده رسم کنید تا رفتار کاهش مقدار نمک را مشاهده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۲)", "مسئله مدل‌سازی رشد نمایی و نیمه‌عمر"], {"intro": "۱. تعریف تابع نمایی بر اساس نیمه عمر یا نرخ رشد داده شده. ۲. جایگذاری مقادیر اولیه و زمان در تابع برای محاسبه مقدار ماده در زمان‌های مختلف. ۳. استفاده از رابطه Q(t) = Q₀ * (۱/۲) به توانِ (t/T) که در آن T نیمه عمر است. ۴. حل معادله برای زمان یا مقدار ماده در زمان مشخص."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۲)", "تحلیل و رسم نمودار توابع نمایی"], {"intro": "۱. شناسایی ضابطه تابع نمایی به صورت f(x) = aˣ یا f(x) = a⁻ˣ. ۲. تعیین دامنه (معمولاً همه اعداد حقیقی) و برد (مقادیر مثبت برای توابع نمایی). ۳. رسم نمودار با توجه به پایه و علامت توان (صعودی یا نزولی بودن). ۴. مقایسه نمودارها برای تشخیص اینکه آیا توابع یکسان هستند یا خیر."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۲)", "تحلیل و رسم نمودار توابع نمایی با پایه کسری"], {"intro": "۱. شناسایی ضابطه تابع نمایی با پایه کسری به صورت u(x) = (۱/۲)ˣ، v(x) = (۱/۳)ˣ، t(x) = (۱/۵)ˣ. ۲. رسم نمودار هر تابع با توجه به پایه کسری که باعث نزولی بودن تابع می‌شود. ۳. تعیین دامنه (همه اعداد حقیقی) و برد (اعداد مثبت). ۴. بررسی یک به یک بودن توابع با توجه به خاصیت توابع نمایی با پایه بین ۰ و ۱."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۳)", "تکمیل جای خالی در توابع نمایی"], {"intro": "برای تابع نمایی f(x) = aˣ، اگر a > ۱ باشد، با افزایش x مقدار تابع افزایش می‌یابد و اگر ۰ < a < ۱ باشد، با افزایش x مقدار تابع کاهش می‌یابد. این ویژگی‌ها را در جای خالی‌های داده شده قرار می‌دهیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۳)", "کار با قوانین توان‌های نمایی"], {"intro": "برای حل مسائل مربوط به توان‌های نمایی، از قوانین زیر استفاده می‌کنیم:\n۱) a⁰ = ۱\n۲) a⁻ˣ = ۱ / aˣ\n۳) aˣ * aʸ = aˣ⁺ʸ\n۴) (aˣ)ʸ = aˣʸ\n۵) (ab)ˣ = aˣ * bˣ\n۶) (a/b)ˣ = aˣ / bˣ\n۷) aˣ / aʸ = aˣ⁻ʸ\nبا استفاده از این قوانین، توان‌ها را ساده یا ترکیب می‌کنیم.", "example": "عبارت ۳⁴ * ۳² را ساده کنید.", "steps": ["با استفاده از قانون ۳، ۳⁴ * ۳² را به ۳⁽۴+۲) تبدیل می‌کنیم.", "محاسبه می‌کنیم: ۴ + ۲ = ۶.", "بنابراین، ۳⁴ * ۳² = ۳⁶.", "✅ جواب: ۷۲۹"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۳)", "مدل‌سازی رشد نمایی با تابع نمایی"], {"intro": "برای مدل‌سازی رشد نمایی، تابعی به شکل f(t) = a * bᵗ تعریف می‌کنیم که در آن a مقدار اولیه و b ضریب رشد در هر واحد زمان است. اگر جرم توده هر دو ساعت دو برابر شود، b=۲ است. سپس با جایگذاری مقدار t در تابع، جرم توده را در زمان‌های مختلف محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۳)", "تعیین ضابطه توابع نمایی از روی نمودار"], {"intro": "۱. نقاط مشخص روی نمودار را انتخاب کنید.\n۲. با توجه به شکل کلی تابع نمایی y = aˣ یا y = aˣ⁺ᶜ + d ضابطه را حدس بزنید.\n۳. با استفاده از نقاط داده شده مقدار a و پارامترهای دیگر را پیدا کنید.\n۴. ضابطه به دست آمده را با نمودارهای دیگر مقایسه کنید و نتیجه‌گیری کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۳)", "مدل‌سازی رشد نمایی دارو در بدن و محاسبه مقدار دارو"], {"intro": "۱. مدل ریاضی رشد یا کاهش دارو را به صورت تابع نمایی A(t) = A₀ * bᵗ بنویسید.\n۲. مقدار اولیه دارو A₀ و نرخ تغییر b را مشخص کنید.\n۳. مقدار دارو را در زمان دلخواه با جایگذاری t در تابع محاسبه کنید.\n۴. برای درصد کاهش یا افزایش در هر ساعت، از رابطه درصد تغییر استفاده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۴)", "حل نامعادلات نمایی"], {"intro": "۱. نامعادله را به صورت aᶠ(x) > aᵍ(x) یا مشابه آن بنویسید.\n۲. چون پایه a > ۱ است، جهت نامعادله را حفظ کنید.\n۳. توان‌ها را مقایسه کنید و نامعادله را به صورت f(x) > g(x) تبدیل کنید.\n۴. نامعادله به دست آمده را حل کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۴)", "مقایسه و تعیین رابطه بین اعداد نمایی با پایه یکسان"], {"intro": "۱. اعداد نمایی با پایه a > ۱ به صورت aˣ و aʸ داده شده‌اند.\n۲. اگر a > ۱ باشد، رابطه بین aˣ و aʸ همان رابطه بین x و y است.\n۳. بنابراین اگر aˣ > aʸ باشد، آنگاه x > y و بالعکس.\n۴. این رابطه برای مقایسه اعداد نمایی استفاده می‌شود.", "example": "اگر ۲ˣ > ۲³ و ۲ʸ < ۲⁵ باشد، رابطه بین x و y را تعیین کنید.", "steps": ["از رابطه ۲ˣ > ۲³ نتیجه می‌گیریم که x > ۳.", "از رابطه ۲ʸ < ۲⁵ نتیجه می‌گیریم که y < ۵.", "بنابراین، x > ۳ و y < ۵ است.", "این نشان می‌دهد که x می‌تواند بزرگ‌تر از ۳ و y می‌تواند کوچک‌تر از ۵ باشد.", "✅ جواب: x > ۳ و y < ۵"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۴)", "یافتن مقدار تقریبی اعداد با کمک نمودار و ماشین حساب"], {"intro": "۱. عدد مورد نظر را به صورت نمایی یا رادیکالی بنویسید.\n۲. با استفاده از نمودار تابع مربوطه مقدار تقریبی را حدس بزنید.\n۳. مقدار تقریبی را با ماشین حساب محاسبه کنید.\n۴. صحت مقدار را با نمودار بررسی کنید.", "example": "نقطه x=√۷ را روی محور xها مشخص کنید، سپس مقدار تقریبی y=۲ به توانِ √۷ را با استفاده از نمودار پیدا کنید.", "steps": ["ابتدا مقدار √۷ را محاسبه می‌کنیم که تقریباً برابر ۲٫۶۴۵۷ است.", "سپس در نمودار تابع y=۲ˣ مقدار y را برای x=۲٫۶۴۵۷ پیدا می‌کنیم که تقریباً برابر ۶٫۳ است.", "بنابراین y=۲ به توانِ √۷ ≈ ۶٫۳.", "✅ جواب: ≈ ۶٫۳"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۴)", "محاسبه نقاط برخورد نمودارهای نمایی و خطوط"], {"intro": "۱. معادلات داده شده را بررسی کنید. ۲. نقاط برخورد نمودار y=۳ˣ و خط y=۱۳/۲ را با حل معادله ۳ˣ = ۱۳/۲ پیدا کنید. ۳. طول نقطه برخورد را با حل معادله مربوط به خط y=√x و نمودار y=۳ˣ بیابید. ۴. نقاط برخورد را به دست آورده و بررسی کنید که کدام بین دو عدد صحیح قرار دارد. ۵. در صورت نیاز، نمودارها را رسم کنید تا صحت نتایج تایید شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۴)", "محاسبه درصد ناخالصی باقی‌مانده در فرآیند تصفیه آب با فیلترهای متوالی"], {"intro": "۱. درصد ناخالصی اولیه را مشخص کنید. ۲. درصد حذف ناخالصی هر لایه را به صورت کسری تبدیل کنید. ۳. درصد باقی‌مانده ناخالصی پس از هر لایه را با ضرب درصد باقی‌مانده در درصد حذف شده محاسبه کنید. ۴. برای چند لایه، درصد ناخالصی باقی‌مانده را با ضرب درصد باقی‌مانده هر مرحله به دست آورید. ۵. درصد ناخالصی کل باقی‌مانده را از ۱۰۰ کم کنید تا درصد ناخالصی حذف شده به دست آید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع لگاریتمی و لگاریتم (۱)", "تعیین تابع وارون و بررسی رابطه آن با تابع اصلی"], {"intro": "۱. تابع اصلی را به صورت y = f(x) بنویسید.\n۲. برای یافتن تابع وارون، متغیرهای x و y را جابجا کنید و معادله را نسبت به y حل کنید.\n۳. دامنه و برد تابع اصلی و تابع وارون را مشخص کنید.\n۴. نمودار تابع اصلی و تابع وارون را رسم کنید و نقاط تقارن نسبت به خط y = x را بررسی کنید.\n۵. بررسی کنید که دامنه تابع اصلی برابر برد تابع وارون و بالعکس باشد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع لگاریتمی و لگاریتم (۱)", "تعیین مقادیر تابع نمایی و تابع وارون آن از روی نمودار"], {"intro": "۱. مقدار x داده شده را در تابع نمایی قرار دهید و مقدار y را محاسبه کنید. ۲. برای تابع وارون، مقدار y داده شده را در تابع وارون قرار دهید و مقدار x را بیابید. ۳. از نمودار تابع برای تعیین مقادیر استفاده کنید و مقادیر را در جدول یا پاسخ‌ها وارد کنید.", "example": "تابع نمایی f(x) = ۲ˣ را در نظر بگیرید. مقدار x = ۳ را در این تابع قرار دهید و مقدار y را محاسبه کنید. سپس مقدار y = ۸ را در تابع وارون آن قرار دهید و مقدار x را بیابید.", "steps": ["مقدار x را در تابع قرار می‌دهیم: f(۳) = ۲³ = ۸.", "حالا مقدار y = ۸ را در تابع وارون قرار می‌دهیم. تابع وارون f⁻¹(y) = log2(y) است.", "پس x = log2(۸) را محاسبه می‌کنیم.", "چون ۸ = ۲³، پس log2(۸) = ۳ است.", "✅ جواب: ۳"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع لگاریتمی و لگاریتم (۱)", "تشخیص درستی نقاط روی نمودار تابع و تابع وارون"], {"intro": "۱. نقاط داده شده را بررسی کنید که آیا روی نمودار تابع اصلی قرار دارند یا خیر. ۲. نقاط داده شده را بررسی کنید که آیا روی نمودار تابع وارون قرار دارند یا خیر. ۳. با توجه به تعریف تابع وارون، نقاط متناظر را تطبیق دهید و صحت هر نقطه را مشخص کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع لگاریتمی و لگاریتم (۱)", "محاسبه مقادیر تابع لگاریتمی با پایه دلخواه از روی نمودار"], {"intro": "۱. تابع لگاریتمی را به صورت y = log₃(x) تعریف کنید. ۲. مقادیر x داده شده را در تابع لگاریتم قرار دهید و مقدار y را محاسبه کنید. ۳. از نمودار تابع لگاریتم برای تعیین مقادیر استفاده کنید و مقادیر را یادداشت کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع لگاریتمی و لگاریتم (۱)", "محاسبه مقدار تابع لگاریتمی در نقاط مختلف"], {"intro": "۱. تابع لگاریتمی به صورت f(x) = logₐ x تعریف می‌شود که a پایه لگاریتم است.\n۲. برای محاسبه مقدار تابع در نقطه x، مقدار لگاریتم پایه a از x را محاسبه می‌کنیم.\n۳. اگر x در دامنه تابع (x>۰) نباشد، مقدار تابع تعریف نشده است.\n۴. برای محاسبه لگاریتم می‌توان از رابطه معکوس نمایی استفاده کرد: y = logₐ x ⇔ aʸ = x.\n۵. در صورت نیاز، از ماشین حساب با دکمه log و تنظیم پایه مناسب استفاده می‌کنیم.", "example": "محاسبه مقدار تابع f(x) = log₂ ۸ را انجام دهید.", "steps": ["برای محاسبه f(۸) = log₂ ۸، باید ببینیم ۲ به چه توانایی برابر با ۸ است.", "می‌دانیم ۲³ = ۸، بنابراین log₂ ۸ = ۳.", "پس مقدار تابع در نقطه ۸ برابر با ۳ است.", "✅ جواب: ۳"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع لگاریتمی و لگاریتم (۱)", "تبدیل لگاریتم به صورت توانی"], {"example": "تبدیل لگاریتم log₂ ۱۶ به صورت توانی.", "steps": ["ما داریم log₂ ۱۶ = c.", "طبق تعریف لگاریتم، ۲ᶜ = ۱۶.", "عدد ۱۶ را می‌توان به صورت ۲⁴ نوشت.", "بنابراین، ۲ᶜ = ۲⁴.", "از آنجا که پایه‌ها برابرند، می‌توان نتیجه گرفت که c = ۴.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع لگاریتمی و لگاریتم (۲)", "رسم و مقایسه نمودارهای نمایی و لگاریتمی"], {"intro": "۱. نمودار تابع نمایی y = (۱/۲)ˣ را رسم کنید. ۲. نمودار تابع لگاریتمی y = log(۱/۲) x را رسم کنید. ۳. ویژگی‌های هر نمودار مانند جهت نمودار، نقاط تقاطع با محورهای مختصات و رفتار نمودار در بی‌نهایت را بررسی کنید. ۴. نمودارها را در یک دستگاه مختصات رسم کرده و تفاوت‌ها و شباهت‌های آن‌ها را مقایسه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع لگاریتمی و لگاریتم (۲)", "تشخیص تابع از روی نمودار"], {"intro": "۱. نمودار داده شده را بررسی کنید و نوع تابع را تشخیص دهید (نمایی یا لگاریتمی). ۲. ویژگی‌های نمودار مانند جهت نمودار، نقاط تقاطع با محور y، و شکل کلی نمودار را بررسی کنید. ۳. ضابطه تابع را با توجه به ویژگی‌های نمودار حدس بزنید. ۴. با استفاده از نقاط مشخص روی نمودار، ضابطه را تأیید کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع لگاریتمی و لگاریتم (۲)", "محاسبه مقدار لگاریتم"], {"intro": "۱. از تعریف لگاریتم استفاده کنید: اگر logₐ b = c باشد، آنگاه aᶜ = b. ۲. عدد داخل لگاریتم را به صورت توان پایه لگاریتم بنویسید. ۳. توان را به عنوان جواب لگاریتم بنویسید. ۴. اگر لازم است، از خواص لگاریتم برای ساده‌سازی استفاده کنید.", "example": "محاسبه مقدار log₂ ۳۲", "steps": ["عدد ۳۲ را به صورت توان پایه ۲ بنویسیم: ۳۲ = ۲⁵.", "طبق تعریف لگاریتم، اگر log₂ ۳۲ = c باشد، آنگاه ۲ᶜ = ۳۲.", "با توجه به اینکه ۳۲ = ۲⁵، می‌توانیم بنویسیم: ۲ᶜ = ۲⁵.", "از آنجا که پایه‌ها برابرند، می‌توانیم نتیجه بگیریم که c = ۵.", "بنابراین، log₂ ۳۲ = ۵.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع لگاریتمی و لگاریتم (۳)", "مقایسه نمودار توابع لگاریتمی با پایه‌های مختلف"], {"intro": "برای مقایسه نمودار توابع y = logₐ x با پایه‌های مختلف، ابتدا ویژگی‌های پایه را بررسی می‌کنیم: اگر a > ۱ باشد، نمودار صعودی است و اگر ۰ < a < ۱ باشد، نمودار نزولی است. سپس شکل و جهت نمودارها را با هم مقایسه می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع لگاریتمی و لگاریتم (۳)", "یافتن نقاط قطع نمودارهای نمایی با خطوط افقی"], {"example": "خط y = ۱۶ نمودار تابع y = ۴ˣ را در چه نقطه‌ای قطع می‌کند؟", "steps": ["معادله را به صورت ۴ˣ = ۱۶ بنویسیم.", "چون ۱۶ = ۴² است، معادله به صورت ۴ˣ = ۴² می‌شود.", "از آنجا که پایه‌ها برابرند، می‌توانیم x = ۲ نتیجه بگیریم.", "✅ جواب: ۲"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع لگاریتمی و لگاریتم (۳)", "رسم و مقایسه نمودار توابع نمایی با پایه‌های مختلف"], {"intro": "برای رسم نمودار توابع نمایی، نقاطی از تابع را با جایگذاری مقادیر x به دست می‌آوریم و سپس نمودار را رسم می‌کنیم. برای مقایسه، شکل و جهت نمودارها را بررسی می‌کنیم. تابع نمایی با پایه بزرگتر از ۱ صعودی است و تابع نمایی با پایه بین ۰ و ۱ نزولی است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی (۱)", "حل معادلات لگاریتمی با استفاده از خواص لگاریتم"], {"intro": "برای حل معادلات لگاریتمی ابتدا از خواص لگاریتم استفاده می‌کنیم تا معادله را ساده کنیم. سپس با تبدیل لگاریتم به صورت نمایی، مقدار مجهول را به دست می‌آوریم. در مواردی که لگاریتم‌ها با پایه ۱۰ هستند، از خاصیت log ۱۰ = ۱ و log ۱ = ۰ استفاده می‌کنیم تا معادله را حل کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی (۲)", "مدل‌سازی رشد جمعیت با تابع نمایی"], {"intro": "۱. داده‌های جمعیت در سال‌های مختلف را بررسی کنید.\n۲. فرض کنید جمعیت تابعی نمایی از سال باشد به صورت g(x) = a * bˣ.\n۳. با استفاده از داده‌ها مقدار a و b را تعیین کنید.\n۴. تابع را برای سال‌های مورد نظر محاسبه کنید.\n۵. با استفاده از تابع، جمعیت در سال‌های آینده را برآورد کنید.", "example": "جمعیت یک شهر در سال ۲۰۲۰ برابر با ۵ میلیون نفر است و پیش‌بینی می‌شود که این جمعیت به صورت نمایی با نرخ رشد ۲ درصد در سال افزایش یابد. با استفاده از تابع g(x) = a * bˣ، مقدار a و b را تعیین کنید و جمعیت این شهر را در سال ۲۰۲۵ برآورد کنید.", "steps": ["جمعیت در سال ۲۰۲۰ برابر با ۵ میلیون است، بنابراین a = ۵.", "نرخ رشد ۲ درصد به صورت اعشاری برابر با ۱٫۰۲ است، بنابراین b = ۱٫۰۲.", "تعداد سال‌ها از ۲۰۲۰ تا ۲۰۲۵ برابر با ۵ سال است، پس x = ۵.", "تابع جمعیت را به صورت g(۵) = ۵ * (۱٫۰۲)⁵ محاسبه می‌کنیم.", "g(۵) = ۵ * ۱٫۱۰۴۰۸ = ۵٫۵۲۰۴ میلیون نفر.", "✅ جواب: ۵٫۵۲"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی (۲)", "یافتن سالی که جمعیت به مقدار مشخصی می‌رسد"], {"intro": "۱. تابع جمعیت را به صورت نمایی g(x) = a * bˣ در نظر بگیرید.\n۲. مقدار جمعیت مورد نظر را برابر g(x) قرار دهید.\n۳. معادله را به صورت نمایی بنویسید و سپس لگاریتم بگیرید.\n۴. مقدار x را با استفاده از لگاریتم حل کنید.\n۵. مقدار x به سال مورد نظر تبدیل می‌شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی (۲)", "محاسبه مقدار انرژی آزاد شده در زلزله با استفاده از رابطه لگاریتمی"], {"intro": "۱. رابطه داده شده برای انرژی آزاد شده در زلزله به صورت لگاریتمی است: log E = ۱۱٫۸ + ۱٫۵M که در آن M بزرگی زمین لرزه بر حسب ریشتر است.\n۲. مقدار M را در رابطه قرار می‌دهیم.\n۳. مقدار log E را محاسبه می‌کنیم.\n۴. با استفاده از لگاریتم، مقدار E را به دست می‌آوریم.\n۵. نتیجه مقدار انرژی آزاد شده بر حسب Erg خواهد بود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی (۲)", "محاسبه جرم باقی‌مانده ماده هسته‌ای با نیمه عمر مشخص"], {"intro": "۱. نیمه عمر ماده هسته‌ای مشخص است (مثلاً ۲۵ سال).\n۲. جرم اولیه ماده داده شده است (مثلاً ۲۴ میلی‌گرم).\n۳. رابطه جرم باقی‌مانده به صورت نمایی است: m(t) = m₀ × (۱/۲) به توانِ (t/T) که در آن t زمان گذشته و T نیمه عمر است.\n۴. مقدار t را در رابطه قرار می‌دهیم.\n۵. مقدار m(t) را محاسبه می‌کنیم تا جرم باقی‌مانده پس از t سال به دست آید.", "example": "نیمه عمر یک ماده هسته‌ای ۱۰ سال است و جرم اولیه آن ۸۰ میلی‌گرم است. جرم باقی‌مانده پس از ۳۰ سال را محاسبه کنید.", "steps": ["نیمه عمر T = ۱۰ سال و زمان t = ۳۰ سال است.", "مقدار t/T را محاسبه می‌کنیم: ۳۰/۱۰ = ۳.", "حال مقدار m(t) را با استفاده از فرمول m(t) = m₀ × (۱/۲) به توانِ (t/T) محاسبه می‌کنیم: m(۳۰) = ۸۰ × (۱/۲)³.", "محاسبه می‌کنیم: (۱/۲)³ = ۱/۸.", "بنابراین m(۳۰) = ۸۰ × ۱/۸ = ۱۰ میلی‌گرم.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی (۲)", "تفسیر و کاربرد تابع نمایی در مسائل جرم باکتری‌ها"], {"intro": "۱. تابع نمایی داده شده را بررسی کنید و رابطه آن را با زمان بنویسید.\n۲. مقدار تابع را برای زمان‌های مختلف محاسبه کنید.\n۳. در صورت نیاز، معکوس تابع را برای یافتن زمان مشخص استفاده کنید.\n۴. پاسخ را با توجه به شرایط مسئله تفسیر کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی (۳)", "بررسی صحت و نادرستی عبارات لگاریتمی"], {"intro": "۱. هر عبارت را با استفاده از قوانین لگاریتم بررسی کنید.\n۲. درستی یا نادرستی هر عبارت را با تحلیل ریاضی مشخص کنید.\n۳. در صورت نادرستی، دلیل آن را بیان کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی (۳)", "مدل‌سازی و حل مسائل نیمه عمر مواد"], {"intro": "۱. رابطه نیمه عمر را به صورت تابع نمایی بنویسید.\n۲. جرم اولیه و زمان داده شده را در تابع قرار دهید.\n۳. جرم باقی‌مانده را با استفاده از فرمول نیمه عمر محاسبه کنید.\n۴. پاسخ را به واحد مناسب بیان کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی (۳)", "ساده‌سازی عبارات لگاریتمی با استفاده از قوانین لگاریتم"], {"intro": "۱. از قوانین لگاریتم برای تبدیل ضرب به جمع، تقسیم به تفریق و توان به ضریب استفاده کنید.\n۲. عبارات داخل لگاریتم را به صورت ساده‌تر بنویسید.\n۳. در صورت امکان، مقادیر لگاریتم را با استفاده از داده‌های عددی جایگزین کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی (۳)", "یافتن مقدار مجهول در تابع لگاریتمی با استفاده از نمودار"], {"intro": "۱. معادله تابع لگاریتمی را بنویسید.\n۲. مختصات نقطه داده شده را در تابع قرار دهید.\n۳. معادله به دست آمده را حل کنید تا مقدار مجهول پیدا شود.", "example": "اگر نمودار تابع f(x) = logₐ x از نقطه (۸, ۳) عبور کند، مقدار a چند است؟", "steps": ["معادله تابع را می‌نویسیم: f(۸) = logₐ ۸ = ۳.", "از تعریف لگاریتم استفاده می‌کنیم: ۸ = a³.", "حالا برای پیدا کردن a، هر دو طرف را به توان ۱/۳ می‌رسانیم: a = ۸ به توانِ (۱/۳) .", "محاسبه می‌کنیم: ۸ به توانِ (۱/۳) = ۲.", "پس مقدار a برابر با ۲ است.", "✅ جواب: ۲"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "روابط طولی در مثلث قائم‌الزاویه", "روابط طولی در مثلث قائم‌الزاویه"], {"intro": "برای حل مسائل مربوط به روابط طولی در مثلث قائم‌الزاویه ابتدا باید از روابط زیر استفاده کرد: ۱. مربع طول هر ضلع قائمه برابر است با حاصل‌ضرب طول وتر در قطعه متناظر آن روی وتر (مثلاً AB² = BC × BH). ۲. مجموع مربعات اضلاع قائمه برابر مربع وتر است (AB² + AC² = BC²). ۳. حاصل‌ضرب طول دو ضلع قائمه برابر است با حاصل‌ضرب طول وتر در ارتفاع (AB × AC = BC × AH). ۴. برای محاسبه نسبت اضلاع و زوایا در مثلث قائم‌الزاویه از تعریف سینوس استفاده می‌کنیم و با توجه به اینکه زاویه A قائمه است، سینوس آن برابر ۱ است. بنابراین نسبت اضلاع به سینوس زوایای مقابلشان برابر است. با استفاده از این روابط می‌توان طول اضلاع یا ارتفاع را در مثلث قائم‌الزاویه محاسبه کرد.", "example": "در مثلث ABC قائم‌الزاویه با زاویه A کمتر از ۹۰ درجه، ارتفاع BH را رسم کرده‌ایم. طول ضلع AC برابر b و طول ضلع AB برابر c است. با توجه به تعریف نسبت‌های مثلثاتی در مثلث‌های قائم‌الزاویه، مقادیر AH و BH را به صورت تابعی از b و زاویه A بیابید و سپس رابطه a² = b² + c² - ۲bc cos A را اثبات کنید.", "steps": ["از تعریف نسبت‌های مثلثاتی در مثلث قائم‌الزاویه ABC داریم:", "cos A = AH / b ⇒ AH = b × cos A", "sin A = BH / b ⇒ BH = b × sin A", "طول CH برابر است با:", "CH = b - AH = b - b × cos A = b(۱ - cos A)", "✅ جواب: AH=bcosA، BH=bsinA، سپس a²=b²+c²-۲bc·cosA اثبات می‌شود."]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "روابط طولی در مثلث قائم‌الزاویه", "محاسبه مرکز و قطر دایره محیطی مثلث قائم‌الزاویه"], {"intro": "۱. رسم مثلث قائم‌الزاویه ABC با زاویه قائمه در راس A.\n۲. رسم دایره محیطی مثلث که از رئوس مثلث عبور می‌کند.\n۳. مرکز دایره محیطی، وسط قطر BC است (قطر دایره برابر با وتر مثلث).\n۴. با توجه به رابطه مثلث قائم‌الزاویه، نسبت اندازه هر ضلع به سینوس زاویه مقابل آن برابر با قطر دایره محیطی است.\n۵. نتیجه می‌گیریم قطر دایره محیطی برابر با دو برابر نصف قطر و برابر با وتر مثلث است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "روابط طولی در مثلث قائم‌الزاویه", "بررسی برابری زوایا و استفاده از قانون سینوس‌ها در مثلث‌های محاطی و محیطی"], {"intro": "۱. در مثلث ABC با زوایای حاده، دایره محیطی با مرکز O رسم می‌شود.\n۲. قطر BD را رسم و نقطه D را به A وصل می‌کنیم.\n۳. نشان می‌دهیم که زوایای C و D برابرند با استفاده از خواص دایره و زاویه‌های محاطی.\n۴. مثلث ABD قائم‌الزاویه است زیرا زاویه A قائمه است.\n۵. با استفاده از قانون سینوس‌ها، نسبت طول اضلاع به سینوس زاویه مقابل برابر است و برابر با قطر دایره محیطی است.\n۶. اگر یکی از زوایا بزرگ‌تر از ۹۰ درجه باشد، مرکز دایره محیطی خارج مثلث است و با استفاده از زاویه مکمل، نسبت‌ها را تنظیم می‌کنیم.", "example": "در مثلث ABC با اضلاع BC=۱۰ cm، AC= (۱۰√۶)/۳ و زاویه A=۱۲۰ درجه، مقدار شعاع دایره محیطی مثلث و اندازه زوایای B و C را بیابید.", "steps": ["با استفاده از قضیه سینوس‌ها داریم: a/sinA = ۲R", "۱۰/sin1۲۰° = ۲R", "sin1۲۰° = sin(۱۸۰°-۶۰°) = sin6۰° = √۳/۲", "پس ۲R = ۱۰ / (√۳/۲) = ۲۰/√۳", "R = ۱۰/√۳", "✅ جواب: R=۱۰/√۳، B=۴۵°، C=۱۵°"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "روابط طولی در مثلث قائم‌الزاویه", "محاسبه شعاع دایره محیطی مثلث با استفاده از قضیه سینوس‌ها"], {"intro": "۱. با استفاده از قضیه سینوس‌ها نسبت طول هر ضلع به سینوس زاویه مقابل آن برابر با دو برابر شعاع دایره محیطی مثلث است: a/sinA = b/sinB = c/sinC = ۲R.\n۲. با داشتن طول یک ضلع و زاویه مقابل آن، مقدار ۲R را محاسبه کنید.\n۳. با مقدار ۲R و طول ضلع دیگر، سینوس زاویه مقابل آن ضلع را بیابید.\n۴. با استفاده از مقدار سینوس زاویه، اندازه زاویه را محاسبه کنید.\n۵. با توجه به مجموع زوایای مثلث (۱۸۰ درجه)، زاویه سوم را بیابید.\n۶. شعاع دایره محیطی R را از مقدار ۲R بدست آورید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "روابط طولی در مثلث قائم‌الزاویه", "محاسبه فاصله و زاویه در مثلث قائم‌الزاویه با استفاده از روابط مثلثاتی"], {"intro": "۱. شکل مسئله را به یک مثلث قائم‌الزاویه تبدیل کنید و زوایا و اضلاع داده شده را مشخص کنید.\n۲. با استفاده از روابط مثلثاتی (مانند سینوس، کسینوس و تانژانت) طول‌ها و زوایای مجهول را بیابید.\n۳. برای محاسبه فاصله از رأس زاویه تا نقطه مورد نظر، از نسبت‌های مثلثاتی استفاده کنید.\n۴. زاویه‌های مورد نظر را با توجه به داده‌ها و محاسبات قبلی تعیین کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "قانون سینوس‌ها", "محاسبه طول ضلع مجهول در مثلث با استفاده از قانون سینوس‌ها"], {"intro": "۱. زاویه‌های داخلی مثلث را با توجه به داده‌ها محاسبه کنید. ۲. از قانون سینوس‌ها استفاده کنید: نسبت طول هر ضلع به سینوس زاویه مقابل آن برابر است. ۳. با جایگذاری مقادیر معلوم، معادله را حل کنید تا طول ضلع مجهول به دست آید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "قانون سینوس‌ها", "محاسبه فاصله بین دو نقطه در دو طرف رودخانه با استفاده از قانون سینوس‌ها و زوایا"], {"intro": "۱. ابتدا فاصله بین دو نقطه A و B را به عنوان ضلع AB در نظر بگیرید. ۲. به دلیل عدم امکان اندازه‌گیری مستقیم، از نقاط دیگر و زوایا استفاده کنید. ۳. با رسم مثلث و استفاده از قانون سینوس‌ها، نسبت طول اضلاع به سینوس زاویه مقابل را برقرار کنید. ۴. با داشتن طول یک ضلع و زوایا، طول ضلع مجهول را محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "قانون سینوس‌ها", "اثبات رابطه ارتفاع در مثلث قائم‌الزاویه با استفاده از اضلاع مثلث"], {"intro": "۱. در مثلث قائم‌الزاویه ABC با زاویه قائمه در A، ارتفاع AH را از راس A به ضلع BC رسم کنید. ۲. با استفاده از روابط مثلثاتی و قضایای هندسی، رابطه بین ارتفاع و اضلاع مثلث را بنویسید. ۳. اثبات کنید که معکوس ارتفاع برابر مجموع معکوس اضلاع دیگر است: ۱/ha = ۱/b + ۱/c."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "قانون سینوس‌ها", "محاسبه فاصله بین دو ایستگاه رادار با استفاده از زوایا و فاصله هواپیما"], {"intro": "۱. دو ایستگاه رادار با فاصله ۲۰ کیلومتر از هم قرار دارند. ۲. هواپیما در فاصله ۲۰ کیلومتری از هر دو ایستگاه است و زاویه‌های مشاهده شده از ایستگاه‌ها به هواپیما ۳۰ و ۴۵ درجه است. ۳. با رسم مثلث و استفاده از قانون سینوس‌ها، فاصله بین دو ایستگاه را محاسبه کنید.", "example": "دو قایق از یک نقطه در دریاچه‌ای با سرعت‌های ۶۰ km/h و ۱۰۰ km/h و با زاویه ۱۲۰ درجه از هم دور می‌شوند. نیم ساعت بعد، فاصله دو قایق از یکدیگر چقدر است؟", "steps": ["محاسبه مسافت طی شده توسط هر قایق در نیم ساعت: OA = ۶۰ km/h × ۰٫۵ h = ۳۰ km، OB = ۱۰۰ km/h × ۰٫۵ h = ۵۰ km.nگام ۲: استفاده از قضیه کسینوس‌ها برای مثلث OAB با زاویه ۱۲۰ درجه: AB² = OA² + OB² - ۲ * OA * OB * cos(۱۲۰°)nگام ۳: مقدار cos(۱۲۰°) = -۱/۲nگام ۴: جایگذاری مقادیر: AB² = ۳۰² + ۵۰² - ۲ * ۳۰ * ۵۰ * (-۱/۲) = ۹۰۰ + ۲۵۰۰", "✅ جواب: ۷۰ کیلومتر"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "قضیه‌ی کسینوس‌ها", "استفاده از روابط مثلثاتی در مثلث قائم‌الزاویه برای یافتن طول‌ها"], {"intro": "۱. در مثلث قائم‌الزاویه ABC با زاویه قائمه در B، ارتفاع BH را رسم می‌کنیم.\n۲. با استفاده از تعریف نسبت‌های مثلثاتی در مثلث‌های قائم‌الزاویه، طول AH را به صورت AH = b × cos A و طول BH را به صورت BH = b × sin A بیان می‌کنیم.\n۳. طول CH را به صورت CH = b - AH محاسبه می‌کنیم.\n۴. با استفاده از قضیه فیثاغورس در مثلث BHC داریم: a² = BH² + CH².\n۵. با جایگذاری مقادیر BH و CH و استفاده از اتحادهای مثلثاتی sin²A + cos²A = ۱، رابطه a² = b² + c² - ۲bc cos A را اثبات می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "قضیه‌ی کسینوس‌ها", "استفاده از روابط مثلثاتی در مثلث با زاویه خارجی بزرگ‌تر از 90 درجه"], {"intro": "۱. در مثلث ABC با زاویه A بزرگ‌تر از ۹۰ درجه، ارتفاع BH را خارج از مثلث رسم می‌کنیم.\n۲. زاویه خارجی A1 برابر ۱۸۰ - A است.\n۳. با استفاده از تعریف نسبت‌های مثلثاتی در مثلث ABH داریم:\n cos A1 = AH / b و sin A1 = BH / b\n۴. طول CH را به صورت CH = b + AH محاسبه می‌کنیم.\n۵. با استفاده از قضیه فیثاغورس در مثلث BHC داریم: a² = BH² + CH².\n۶. با جایگذاری مقادیر BH و CH و استفاده از اتحادهای مثلثاتی، رابطه a² = b² + c² - ۲bc cos A را اثبات می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "قضیه‌ی کسینوس‌ها", "مسئله‌های کاربرد قضیه کسینوس‌ها برای محاسبه طول ضلع مثلث"], {"intro": "۱. در مثلث ABC، برای محاسبه طول ضلع a روبروی زاویه A از فرمول قضیه کسینوس‌ها استفاده می‌کنیم: a² = b² + c² - ۲bc * cos(A). ۲. مقادیر b، c و زاویه A را در فرمول قرار می‌دهیم. ۳. مقدار cos(A) را محاسبه یا از جدول یا ماشین حساب می‌گیریم. ۴. محاسبات را انجام می‌دهیم تا مقدار a² به دست آید. ۵. جذر مقدار a² را می‌گیریم تا طول ضلع a به دست آید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "قضیه‌ی کسینوس‌ها", "محاسبه فاصله دو قایق با استفاده از قضیه کسینوس‌ها در مسئله حرکت"], {"intro": "۱. ابتدا مسافت طی شده توسط هر جسم را با ضرب سرعت در زمان به دست می‌آوریم. ۲. مثلثی با اضلاع مسافت‌های طی شده و زاویه بین آن‌ها رسم می‌کنیم. ۳. با استفاده از قضیه کسینوس‌ها فاصله بین دو جسم را محاسبه می‌کنیم: AB² = OA² + OB² - ۲ * OA * OB * cos(زاویه). ۴. مقادیر را جایگذاری و محاسبه می‌کنیم تا فاصله به دست آید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "قضیه‌ی کسینوس‌ها", "محاسبه طول و فاصله در مثلث قائم‌الزاویه با استفاده از سینوس"], {"intro": "۱. با توجه به زاویه و فاصله‌های داده شده، مثلث قائم‌الزاویه را رسم کنید.\n۲. از تعریف سینوس زاویه استفاده کنید: سینوس زاویه = ضلع مقابل / وتر.\n۳. با استفاده از نسبت‌های مثلثاتی، طول ضلع مورد نظر را محاسبه کنید.\n۴. برای فاصله نوک درخت از زمین، از قضیه فیثاغورس استفاده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "کسینوس‌ها و قضیه‌ی استوارت", "محاسبه فاصله و زاویه در مثلث متساوی‌الاضلاع با نقاط داخلی"], {"intro": "۱. با توجه به طول اضلاع مثلث متساوی‌الاضلاع و موقعیت نقاط داخلی، روابط طولی را بنویسید.\n۲. از ویژگی‌های مثلث متساوی‌الاضلاع و تقسیم‌های داده شده استفاده کنید.\n۳. با استفاده از قضیه فیثاغورس و روابط مثلثاتی، فاصله‌ها و زاویه‌ها را محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "کسینوس‌ها و قضیه‌ی استوارت", "محاسبه فاصله حرکت کشتی با تغییر جهت و سرعت‌های مختلف"], {"intro": "۱. مسیر حرکت کشتی را به سه بخش تقسیم کنید: حرکت اولیه، تغییر جهت، و حرکت نهایی.\n۲. برای هر بخش، فاصله طی شده را با استفاده از سرعت و زمان محاسبه کنید.\n۳. با توجه به زاویه انحراف، مثلثی تشکیل دهید که مسیر کلی کشتی را نشان می‌دهد.\n۴. با استفاده از قضیه کسینوس‌ها یا فیثاغورس، فاصله کشتی از بندرگاه را محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "کسینوس‌ها و قضیه‌ی استوارت", "اثبات رابطه طولی در مثلث با استفاده از قضیه کسینوس‌ها"], {"intro": "۱. در مثلث ABC، میانه AM را رسم کنید به طوری که MB = MC = a/۲ باشد.\n۲. با استفاده از قضیه کسینوس‌ها در مثلث‌های AMB و AMC، عبارات b² و c² را به صورت b² = AM² + (a/۲)² - ۲ * AM * (a/۲) * cos(α) و c² = AM² + (a/۲)² - ۲ * AM * (a/۲) * cos(۱۸۰° - α) بنویسید.\n۳. با توجه به cos(۱۸۰° - α) = -cos(α)، دو رابطه را جمع کنید.\n۴. معادله به دست آمده را ساده کنید تا رابطه b² + c² = ۲AM² + a²/۲ اثبات شود.\n۵. در صورت داشتن مقادیر خاص برای AB، AC، BC، طول AM را با جایگذاری در رابطه به دست آورید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "کسینوس‌ها و قضیه‌ی استوارت", "اثبات رابطه طولی در مثلث با استفاده از قضیه استوارت"], {"intro": "۱. در مثلث ABC، نقطه دلخواه D روی ضلع BC را در نظر بگیرید.\n۲. با استفاده از قضیه استوارت، رابطه AB² * DC + AC² * DB = AD² * BC + DB * DC * BC را بنویسید.\n۳. با جایگذاری طول‌های داده شده یا مجهولات، معادله را حل کنید.\n۴. در صورت نیاز، از رابطه‌های میانه‌ها برای نتیجه‌گیری استفاده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "کسینوس‌ها و قضیه‌ی استوارت", "حل مسئله با استفاده از قضیه استوارت"], {"intro": "۱. مسئله داده شده را با دقت بخوانید و طول‌ها یا زوایای داده شده را یادداشت کنید.\n۲. قضیه استوارت را برای مثلث و نقطه دلخواه روی ضلع مربوطه بنویسید.\n۳. معادله قضیه استوارت را با مقادیر داده شده جایگذاری کنید.\n۴. معادله را حل کنید تا طول یا مقدار مجهول به دست آید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "طول نیمساز", "محاسبه طول نیمساز زاویه داخلی در مثلث"], {"intro": "۱. در مثلث، نیمساز هر زاویه داخلی ضلع روبرو به آن زاویه را به نسبت اندازه‌های دو ضلع‌های آن زاویه تقسیم می‌کند.\n۲. با استفاده از رابطه AB/AC = BD/CD، نسبت طول قطعات تقسیم شده توسط نیمساز را تعیین کنید.\n۳. اگر طول ضلع‌ها داده شده باشد، با قرار دادن نسبت‌ها و استفاده از جمع طول قطعات، معادله‌ای برای طول قطعات نیمساز بنویسید.\n۴. معادله را حل کنید تا طول قطعات نیمساز را بیابید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "طول نیمساز", "محاسبه طول نیمساز زاویه داخلی مثلث"], {"intro": "۱. در مثلث ABC نیمساز داخلی زاویه A را رسم می‌کنیم که ضلع BC را در نقطه D قطع می‌کند.\n۲. با استفاده از تناسب اضلاع مثلث‌ها و قضیه نیمساز داخلی، نسبت BD به DC برابر نسبت AB به AC است.\n۳. طول نیمساز AD را با استفاده از فرمول قضیه نیمساز داخلی محاسبه می‌کنیم:\n AD² = AB × AC - BD × DC\n۴. مقادیر AB، AC، BD و DC را جایگذاری کرده و AD را به دست می‌آوریم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "طول نیمساز", "اثبات موازی بودن خطوط در مثلث با استفاده از نیمسازهای زاویه"], {"intro": "۱. در مثلث ABC، نقاط M وسط BC و نقاط P و Q روی نیمسازهای زاویه‌های AMC و AMB قرار دارند.\n۲. با استفاده از ویژگی‌های نیمساز زاویه و نسبت‌های طولی، نشان می‌دهیم که خطوط PQ و BC موازی هستند.\n۳. از قضیه‌های مربوط به نیمساز زاویه و تناسب طول‌ها استفاده می‌کنیم تا موازی بودن PQ و BC را اثبات کنیم.", "example": "در مثلث ABC که AB=۳، AC=۵ و BC=۷ است، طول نیمساز زاویه A را بیابید.", "steps": ["حل:", "با توجه به قضیه نیمساز داخلی داریم:", "BD/CD = AB/AC = ۳/۵", "از طرفی BD + CD = BC = ۷", "پس:", "BD = (۳/۸) × ۷ = ۲۱/۸ CD = (۵/۸) × ۷ = ۳۵/۸ حالا طول نیمساز AD را با فرمول قضیه نیمساز داخلی محاسبه می‌کنیم: AD² = AB × AC - BD × DC = ۳ × ۵ - (۲۱/۸) × (۳۵/۸) = ۱۵ - ۷۳۵/۶۴ = (۹۶۰/۶۴) - (۷۳۵/۶۴) = ۲۲۵/۶۴ پس: AD = √(۲۲۵/۶۴) = ۱۵/۸"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "طول نیمساز", "محاسبه طول نیمساز زاویه داخلی مثلث با استفاده از طول اضلاع"], {"intro": "۱. در مثلث ABC با اضلاع AB، AC و BC داده شده، نیمساز زاویه داخلی مقابل یکی از اضلاع را محاسبه می‌کنیم.\n۲. از فرمول طول نیمساز زاویه داخلی استفاده می‌کنیم: طول نیمساز = √(AB × AC × (۱ - (BC² / (AB + AC)²)))\n۳. مقادیر داده شده را در فرمول جایگذاری کرده و طول نیمساز را به دست می‌آوریم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "طول نیمساز", "اثبات برابری طول‌ها و نسبت مساحت‌ها در مثلث با استفاده از نیمساز زاویه"], {"intro": "۱. در مثلث ABC، نیمساز زاویه AD مقابل زاویه A رسم شده است.\n۲. با فرض وجود نقاط H و H' روی نیمساز AD و استفاده از نسبت مساحت مثلث‌های ABD و ACD، رابطه‌ای بین طول‌های DH و DH' برقرار می‌کنیم.\n۳. با استفاده از نسبت‌های مساحت و طول اضلاع BD و CD، اثبات می‌کنیم که DH = DH'.\n۴. مقایسه نسبت‌های به دست آمده از مساحت‌ها و طول‌ها نتیجه نهایی را نشان می‌دهد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "مساحت مثلث (هرون و سینوس)", "محاسبه ارتفاع و مساحت مثلث با استفاده از قضیه هِرون و قضیه فیثاغورس"], {"intro": "۱. در مثلث ABC با اضلاع ۱۳، ۱۴ و ۱۵، ارتفاع AH رسم شده است. \n۲. با استفاده از قضیه فیثاغورس در مثلث‌های AHB و AHC، معادلاتی برای x و y (طول بخش‌های BH و HC) نوشته می‌شود: \n CH² + AH² = AC² و BH² + AH² = AB² \n۳. این دو معادله را به صورت معادله درجه دو بر حسب x حل می‌کنیم. \n۴. مقدار x و سپس y را به دست می‌آوریم. \n۵. ارتفاع AH را محاسبه می‌کنیم. \n۶. مساحت مثلث را با فرمول S = ۱/۲ * BC * AH محاسبه می‌کنیم. \n۷. همچنین می‌توان از فرمول هِرون برای مساحت استفاده کرد: \n S = √[P(P-a)(P-b)(P-c)] که در آن P = (a+b+c)/۲ نصف محیط مثلث است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "مساحت مثلث (هرون و سینوس)", "محاسبه مساحت مثلث با استفاده از فرمول هِرون"], {"intro": "۱. طول اضلاع مثلث را a، b و c در نظر می‌گیریم. \n۲. نصف محیط مثلث را با فرمول P = (a + b + c) / ۲ محاسبه می‌کنیم. \n۳. مساحت مثلث را با فرمول هِرون محاسبه می‌کنیم: \n S = √[P(P-a)(P-b)(P-c)] \n۴. مقدارهای داخل رادیکال را به ترتیب ضرب می‌کنیم و سپس جذر می‌گیریم تا مساحت به دست آید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "مساحت مثلث (هرون و سینوس)", "محاسبه طول قطر و مساحت چهارضلعی با استفاده از قضیه فیثاغورس و فرمول مساحت مثلث"], {"intro": "۱. برای محاسبه طول قطر BD در چهارضلعی ABCD که دو ضلع آن بر هم عمودند، ابتدا از قضیه فیثاغورس استفاده می‌کنیم: مربع طول BD برابر مجموع مربعات طول‌های دو ضلع عمود است.\n۲. مساحت مثلث ABD را با استفاده از فرمول مساحت مثلث (نصف حاصلضرب قاعده در ارتفاع) محاسبه می‌کنیم.\n۳. مساحت مثلث CBD را به کمک دستور مشابه و طول‌های داده شده محاسبه می‌کنیم.\n۴. مساحت کل زمین کشاورزی برابر مجموع مساحت دو مثلث ABD و CBD است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "مساحت مثلث (هرون و سینوس)", "محاسبه ارتفاع مثلث با استفاده از نسبت‌های مثلثاتی و مساحت مثلث"], {"intro": "۱. ارتفاع BH در مثلث ABC را با استفاده از تعریف سینوس زاویه A محاسبه می‌کنیم: sin A = BH / AC که از آن BH = AC × sin A به دست می‌آید.\n۲. مساحت مثلث ABC را با استفاده از فرمول مساحت (نصف حاصلضرب قاعده در ارتفاع) محاسبه می‌کنیم: SABC = (۱/۲) × BH × AC.\n۳. در نهایت با جایگذاری مقدار BH از مرحله اول، مساحت را به صورت تابعی از طول ضلع‌ها و سینوس زاویه به دست می‌آوریم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "مساحت مثلث (هرون و سینوس)", "محاسبه مساحت مثلث با استفاده از فرمول سینوس دو ضلع و زاویه بین آنها"], {"intro": "مساحت هر مثلث برابر است با نصف حاصل‌ضرب اندازه‌های دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌ها. به صورت فرمولی:\nSABC = (۱/۲) × b × c × sin A = (۱/۲) × a × b × sin C = (۱/۲) × a × c × sin B\nبرای محاسبه مساحت، ابتدا دو ضلع و زاویه بین آن‌ها را مشخص می‌کنیم و سپس در فرمول جایگذاری می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "مساحت مثلث (هرون و سینوس)", "محاسبه مساحت مثلث با استفاده از فرمول هروُن"], {"intro": "۱. نیم‌محیط مثلث را با جمع اضلاع و تقسیم بر ۲ محاسبه کنید: P = (a + b + c) / ۲. ۲. مساحت را با فرمول هروُن محاسبه کنید: S = √[P(P - a)(P - b)(P - c)]."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "مساحت با سینوس", "محاسبه مساحت مثلث با استفاده از فرمول سینوس"], {"intro": "مساحت مثلث را با فرمول S = ۱/۲ × AB × AC × sin(زاویه بین AB و AC) محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "مساحت با سینوس", "محاسبه مساحت چهارضلعی با استفاده از تقسیم به مثلث"], {"intro": "۱. طول ضلع مشترک بین دو مثلث را محاسبه کنید. ۲. مساحت هر مثلث را جداگانه با فرمول‌های مساحت مثلث محاسبه کنید. ۳. مساحت چهارضلعی برابر مجموع مساحت دو مثلث است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "مساحت با سینوس", "محاسبه طول نیمساز زاویه در مثلث"], {"intro": "برای محاسبه طول نیمساز زاویه، از فرمول نیمساز استفاده کنید: طول نیمساز = √(ab(۱ - (c² / (a + b)²))) که a و b اضلاع مجاور زاویه و c ضلع مقابل است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "مساحت با سینوس", "محاسبه فاصله بزرگ‌تر از ضلع در مثلث با استفاده از مساحت"], {"intro": "۱. مساحت مثلث را با استفاده از فرمول مساحت مثلث با دو ضلع و زاویه بین آن‌ها محاسبه کنید.\n۲. با توجه به تقسیم مثلث به دو مثلث کوچکتر، مساحت کل را به صورت جمع مساحت دو مثلث بنویسید.\n۳. با استفاده از روابط مثلثاتی و فرمول‌های مساحت، معادله‌ای برای طول ضلع مورد نظر (فاصله) به دست آورید.\n۴. معادله را حل کنید تا طول فاصله بزرگ‌تر از ضلع مشخص شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "مساحت با سینوس", "محاسبه زاویه و مساحت چهارضلعی با استفاده از مثلث‌ها"], {"intro": "۱. با وصل کردن نقاط مناسب (مثلاً وصل کردن B به D) شکل چهارضلعی را به دو مثلث تقسیم کنید.\n۲. زاویه مورد نظر را با استفاده از روابط مثلثاتی در یکی از مثلث‌ها محاسبه کنید.\n۳. مساحت هر دو مثلث را با فرمول مساحت مثلث محاسبه کنید.\n۴. مساحت چهارضلعی برابر مجموع مساحت دو مثلث است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "قضایای کسینوس‌ها و هرون", "ثابت کردن رابطه مساحت متوازی‌الاضلاع با حاصل‌ضرب ضلع و سینوس زاویه"], {"intro": "۱. مساحت متوازی‌الاضلاع را به صورت حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع تعریف کنید.\n۲. ارتفاع را به صورت ضلع مجاور ضرب در سینوس زاویه بین دو ضلع بیان کنید.\n۳. رابطه مساحت را به صورت حاصل‌ضرب دو ضلع مجاور در سینوس زاویه بین آن‌ها بنویسید.\n۴. این رابطه را به صورت کلی برای هر متوازی‌الاضلاع ثابت کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "قضایای کسینوس‌ها و هرون", "ثابت کردن قضیه کسینوس‌ها و تعیین نوع زاویه در مثلث"], {"intro": "۱. با استفاده از قضیه کسینوس‌ها رابطه بین طول ضلع‌ها و زاویه مقابل آن‌ها را بنویسید.\n۲. با مقایسه مربع طول ضلع‌ها و مجموع مربع دو ضلع دیگر، نوع زاویه (تیز، قائمه، منفرجه) را تعیین کنید.\n۳. برای هر حالت (زاویه بزرگ‌تر، کوچکتر یا مساوی ۹۰ درجه) رابطه مربوطه را ثابت کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "قضایای کسینوس‌ها و هرون", "تعیین نوع زاویه (تیز، قائمه، منفرجه) در مثلث با استفاده از طول ضلع‌ها"], {"intro": "۱. مربع طول ضلع‌ها را محاسبه کنید.\n۲. مجموع مربع دو ضلع کوچکتر را با مربع ضلع بزرگ‌تر مقایسه کنید.\n۳. اگر مربع ضلع بزرگ‌تر برابر مجموع مربع دو ضلع دیگر بود، زاویه قائمه است.\n۴. اگر مربع ضلع بزرگ‌تر بزرگ‌تر از مجموع مربع دو ضلع دیگر بود، زاویه منفرجه است.\n۵. اگر مربع ضلع بزرگ‌تر کوچکتر از مجموع مربع دو ضلع دیگر بود، زاویه تیز است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "قضایای کسینوس‌ها و هرون", "اثبات دستور هِرون برای محاسبه مساحت مثلث"], {"intro": "۱. در مثلث ABC با اضلاع a=BC، b=AC، c=AB و ارتفاع AH=y، ابتدا طول BH=x و CH=a-x را تعریف می‌کنیم.\n۲. با استفاده از قضیه فیثاغورس در مثلث‌های قائم‌الزاویه ABH و ACH روابط x و y را به صورت معادلات درجه دو بر حسب a، b، c بیان می‌کنیم.\n۳. معادلات را حل کرده و x را به صورت تابعی از a، b، c به دست می‌آوریم.\n۴. y را به صورت رادیکالی بر حسب a، b، c و x بیان می‌کنیم.\n۵. با ساده‌سازی جبری و استفاده از اتحادهای جبری، y را به صورت رابطه‌ای شامل a، b، c و نیم‌محیط p=(a+b+c)/۲ بازنویسی می‌کنیم.\n۶. نهایتاً مساحت مثلث را با فرمول S = (۱/۲) * a * AH = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) محاسبه می‌کنیم که همان فرمول هِرون است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "قضایای کسینوس‌ها و هرون", "محاسبه طول ضلع مجهول در مثلث با استفاده از نسبت‌های طولی"], {"intro": "۱. شناسایی مثلث و اضلاع داده شده و ضلع مجهول.\n۲. استفاده از روابط طولی در مثلث (مانند نسبت‌های بین اضلاع و ارتفاع‌ها یا استفاده از قضیه تالس یا نسبت‌های مثلثاتی) برای نوشتن معادله.\n۳. حل معادله برای یافتن طول ضلع مجهول."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: روابط طولی در مثلث", "قضایای کسینوس‌ها و هرون", "محاسبه ارتفاع مثلث با استفاده از روابط طولی"], {"intro": "۱. شناسایی ارتفاع مورد نظر و اضلاع مربوط به آن.\n۲. استفاده از روابط طولی و قضیه فیثاغورس برای نوشتن معادله ارتفاع.\n۳. حل معادله برای یافتن مقدار ارتفاع."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "دسته‌بندی داده‌ها و نمودارها", "دسته‌بندی و طبقه‌بندی داده‌ها با استفاده از جدول فراوانی"], {"intro": "۱. ابتدا داده‌ها را به صورت جداگانه شماره‌گذاری یا نام‌گذاری می‌کنیم. ۲. سپس هر داده را در ستون مربوط به خودش وارد می‌کنیم و تعداد تکرار هر داده را می‌شماریم. ۳. تعداد تکرار هر داده را در ستون فراوانی وارد می‌کنیم. ۴. در نهایت مجموع تعداد تکرارها را محاسبه و در ستون کل فراوانی قرار می‌دهیم تا جدول فراوانی کامل شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "دسته‌بندی داده‌ها و نمودارها", "محاسبه درصد و رسم نمودارهای ستونی و مستطیلی"], {"intro": "۱. ابتدا تعداد تکرار هر نوع اسکناس را مشخص کنید.\n۲. درصد یا نسبت تکرار هر اسکناس را نسبت به کل اسکناس‌ها محاسبه کنید.\n۳. برای رسم نمودار ستونی، محور عمودی را تعداد تکرار یا فرکانس و محور افقی را نوع اسکناس‌ها قرار دهید.\n۴. برای رسم نمودار مستطیلی، محور عمودی را نسبت تکرار هر اسکناس به کل اسکناس‌ها یا فراوانی نسبی قرار دهید.\n۵. ارتفاع هر ستون یا مستطیل را بر اساس داده‌های محاسبه شده رسم کنید.\n۶. در صورت نیاز، مقیاس محور عمودی را به گونه‌ای تنظیم کنید که داده‌ها به درستی نمایش داده شوند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "دسته‌بندی داده‌ها و نمودارها", "رسم نمودار دایره‌ای و تعیین درصدها"], {"intro": "۱. دایره را به تعداد بخش‌های مساوی تقسیم کنید که هر بخش نمایانگر درصد مشخصی از کل باشد.\n۲. درصد هر بخش را با توجه به فراوانی نسبی داده‌ها تعیین کنید.\n۳. هر بخش را با رنگ یا علامت مشخصی نمایش دهید که نمایانگر مقدار آن بخش باشد.\n۴. مجموع درصدها باید برابر ۱۰۰ درصد باشد.\n۵. برای هر دسته از داده‌ها، درصد مربوطه را محاسبه و در نمودار مشخص کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "دسته‌بندی داده‌ها و نمودارها", "محاسبه فراوانی نسبی و درصدی"], {"intro": "۱. تعداد دفعات مشاهده هر داده (فراوانی) را تعیین کنید.\n۲. تعداد کل داده‌ها را محاسبه کنید.\n۳. فراوانی نسبی هر داده را با تقسیم فراوانی آن داده بر تعداد کل داده‌ها به دست آورید.\n۴. برای به دست آوردن درصد، فراوانی نسبی را در ۱۰۰ ضرب کنید.\n۵. نتایج را به صورت درصد یا نسبت بیان کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "دسته‌بندی داده‌ها و نمودارها", "تکمیل جدول فراوانی و فراوانی نسبی"], {"intro": "۱. ابتدا تعداد کل مشاهدات را مشخص کنید.\n۲. مقادیر داده‌ها را در جدول فراوانی وارد کنید.\n۳. فراوانی هر دسته را بر اساس داده‌ها تعیین کنید.\n۴. فراوانی نسبی هر دسته را با تقسیم فراوانی آن دسته بر تعداد کل مشاهدات محاسبه کنید.\n۵. مقادیر گمشده در جدول را با استفاده از جمع کل و روابط فراوانی و فراوانی نسبی تکمیل کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "نمودار میله‌ای و هیستوگرام", "تکمیل نمودار میله‌ای و نمودار دایره‌ای فراوانی نسبی"], {"intro": "۱. ابتدا فراوانی هر دسته را از جدول فراوانی استخراج کنید.\n۲. فراوانی نسبی هر دسته را محاسبه کنید (فراوانی دسته تقسیم بر کل داده‌ها).\n۳. برای نمودار میله‌ای، ارتفاع هر میله را برابر با فراوانی دسته قرار دهید.\n۴. برای نمودار دایره‌ای، زاویه هر بخش را با ضرب فراوانی نسبی در ۳۶۰ درجه محاسبه کنید.\n۵. مقادیر گمشده را با استفاده از داده‌های جدول و روابط فراوانی و فراوانی نسبی تکمیل کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "نمودار میله‌ای و هیستوگرام", "محاسبه فراوانی نسبی و رسم نمودار"], {"intro": "۱. ابتدا فراوانی هر دسته داده را از جدول استخراج کنید.\n۲. فراوانی نسبی هر دسته را با تقسیم فراوانی آن دسته بر کل داده‌ها (جمع فراوانی‌ها) محاسبه کنید.\n۳. نمودار میله‌ای فراوانی یا فراوانی نسبی را رسم کنید که محور افقی دسته‌ها (وضعیت هوا) و محور عمودی تعداد روزها یا درصد را نشان دهد.\n۴. برای محاسبه درصد، فراوانی هر دسته را بر کل فراوانی تقسیم و در ۱۰۰ ضرب کنید.", "example": "اگر تعداد کل اسکناس‌ها ۱۰۰ عدد باشد و تعداد اسکناس هزار تومانی ۳۰ عدد، اسکناس ۲ هزار تومانی ۱۵ عدد، اسکناس ۵۰۰۰ تومانی ۲۰ عدد و اسکناس ۱۰۰۰۰ تومانی ۳۵ عدد باشد، فراوانی نسبی هر اسکناس را به درصد محاسبه کنید.", "steps": ["تعداد کل اسکناس‌ها ۱۰۰ است.", "فراوانی نسبی اسکناس هزار تومانی = ۳۰ / ۱۰۰ = ۰٫۳۰ = ۳۰%.", "فراوانی نسبی اسکناس ۲ هزار تومانی = ۱۵ / ۱۰۰ = ۰٫۱۵ = ۱۵%.", "فراوانی نسبی اسکناس ۵۰۰۰ تومانی = ۲۰ / ۱۰۰ = ۰٫۲۰ = ۲۰%.", "فراوانی نسبی اسکناس ۱۰۰۰۰ تومانی = ۳۵ / ۱۰۰ = ۰٫۳۵ = ۳۵%.", "✅ جواب: فراوانی نسبی‌ها: ۳۰٪، ۱۵٪، ۲۰٪ و ۳۵٪؛ مجموع ۱۰۰٪."]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "نمودار میله‌ای و هیستوگرام", "تکمیل نمودار هیستوگرام با استفاده از فراوانی نسبی"], {"intro": "۱. فراوانی نسبی هر دسته را از جدول فراوانی استخراج کنید.\n۲. محور افقی را بر اساس کرانه‌های دسته‌ها تنظیم کنید.\n۳. محور عمودی را بر اساس فراوانی نسبی تنظیم کنید.\n۴. برای هر دسته، میله‌ای به ارتفاع فراوانی نسبی رسم کنید.\n۵. نمودار را کامل و برچسب‌گذاری کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "نمودار میله‌ای و هیستوگرام", "محاسبه درصد دانش‌آموزان در بازه قدی مشخص"], {"intro": "۱. بازه قدی مورد نظر را مشخص کنید.\n۲. فراوانی یا فراوانی نسبی دسته‌های مربوط به آن بازه را از جدول استخراج کنید.\n۳. اگر فراوانی است، آن‌ها را جمع کنید و سپس درصد را با تقسیم بر کل داده‌ها و ضرب در ۱۰۰ محاسبه کنید.\n۴. اگر فراوانی نسبی است، آن‌ها را جمع کرده و در ۱۰۰ ضرب کنید تا درصد به دست آید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "نمودار میله‌ای و هیستوگرام", "تکمیل جدول فراوانی و رسم نمودار"], {"intro": "۱. داده‌ها را در دسته‌های مشخص شده گروه‌بندی کنید.\n۲. تعداد داده‌ها در هر دسته را بشمارید و فراوانی هر دسته را تعیین کنید.\n۳. جدول فراوانی نسبی را با تقسیم فراوانی هر دسته بر مجموع کل داده‌ها کامل کنید.\n۴. نمودار میله‌ای یا نمودار بافت نگاشت را بر اساس فراوانی‌ها رسم کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "نمودارها و فراوانی", "رسم نمودار میله‌ای و دایره‌ای از داده‌های کیفی"], {"intro": "۱. داده‌های کیفی را به صورت دسته‌بندی شده و تعداد هر دسته را مشخص کنید.\n۲. برای نمودار میله‌ای، محور افقی را به دسته‌ها و محور عمودی را به تعداد افراد اختصاص دهید و میله‌ها را رسم کنید.\n۳. برای نمودار دایره‌ای، سهم هر دسته را به صورت درصد از کل محاسبه کنید و بخش‌های دایره را متناسب با این درصدها رسم کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "نمودارها و فراوانی", "محاسبه فراوانی و رسم نمودار میله‌ای و دایره‌ای از داده‌های گروه خونی"], {"intro": "۱. داده‌های گروه خونی افراد را شمارش کنید و فراوانی هر گروه را تعیین کنید.\n۲. فراوانی نسبی هر گروه را با تقسیم فراوانی بر تعداد کل افراد محاسبه کنید.\n۳. نمودار میله‌ای را با محور افقی گروه‌های خونی و محور عمودی فراوانی رسم کنید.\n۴. نمودار دایره‌ای را با محاسبه درصد هر گروه نسبت به کل رسم کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "نمودارها و فراوانی", "تکمیل جملات مربوط به انواع نمودارها"], {"intro": "۱. برای هر نوع متغیر، نوع نمودار مناسب را مشخص کنید.\n۲. جملات را با توجه به کاربرد هر نمودار کامل کنید:\n- برای متغیرهای پیوسته از نمودارهای خاص استفاده می‌شود.\n- برای متغیرهای گسسته از نمودارهای دیگر استفاده می‌شود.\n- برای متغیرهای کیفی نیز نمودارهای خاصی کاربرد دارند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "نمودارها و فراوانی", "تحلیل نمودار فراوانی و محاسبه فراوانی مطلق"], {"intro": "۱. تعداد کل داده‌ها را با جمع کردن فراوانی‌های مطلق به دست آورید.\n۲. برای یافتن فراوانی مطلق هر گروه، از فراوانی نسبی داده شده استفاده کنید: فراوانی مطلق = فراوانی نسبی × تعداد کل داده‌ها.\n۳. برای تعیین بیشترین و کمترین فراوانی، فراوانی‌های مطلق هر رده را مقایسه کنید.\n۴. درصد داده‌ها در بازه مشخص را با جمع فراوانی‌های مطلق آن بازه تقسیم بر کل داده‌ها و ضرب در ۱۰۰ محاسبه کنید.\n۵. جدول فراوانی را با رده‌ها و فراوانی‌های مطلق رسم کنید.", "example": "اگر تعداد کل اسکناس‌ها ۱۰۰ عدد باشد و تعداد اسکناس هزار تومانی ۳۰ عدد، اسکناس ۲ هزار تومانی ۱۵ عدد، اسکناس ۵۰۰۰ تومانی ۲۰ عدد و اسکناس ۱۰۰۰۰ تومانی ۳۵ عدد باشد، فراوانی نسبی هر اسکناس را به درصد محاسبه کنید.", "steps": ["تعداد کل اسکناس‌ها ۱۰۰ است.", "فراوانی نسبی اسکناس هزار تومانی = ۳۰ / ۱۰۰ = ۰٫۳۰ = ۳۰%.", "فراوانی نسبی اسکناس ۲ هزار تومانی = ۱۵ / ۱۰۰ = ۰٫۱۵ = ۱۵%.", "فراوانی نسبی اسکناس ۵۰۰۰ تومانی = ۲۰ / ۱۰۰ = ۰٫۲۰ = ۲۰%.", "فراوانی نسبی اسکناس ۱۰۰۰۰ تومانی = ۳۵ / ۱۰۰ = ۰٫۳۵ = ۳۵%.", "✅ جواب: فراوانی نسبی‌ها: ۳۰٪، ۱۵٪، ۲۰٪ و ۳۵٪؛ مجموع ۱۰۰٪."]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "نمودارها و فراوانی", "رسم جدول و نمودار فراوانی از تعداد حروف بیت شعر"], {"intro": "۱. تعداد حروف هر کلمه یا بخش مورد نظر را بشمارید.\n۲. تعداد تکرار هر تعداد حرف را به صورت فراوانی ثبت کنید.\n۳. جدول فراوانی را با ستون‌های تعداد حروف و فراوانی تنظیم کنید.\n۴. نمودار مناسب (میله‌ای یا ستونی) را بر اساس جدول رسم کنید.", "example": "جدول فراوانی مربوط به تعداد مسافران قطار به شرح زیر است:\nمسافرانی که استراحت می‌کنند: فراوانی ۵۰\nمسافرانی که با تلفن همراه خود بازی می‌کنند: فراوانی نامشخص، فراوانی نسبی ۰٫۲۵\nمسافرانی که مطالعه می‌کنند: فراوانی ۱۵\nمسافرانی که غذا می‌خورند: فراوانی نامشخص، فراوانی نسبی ۰٫۱۰\nتعداد کل مسافران ۱۰۰ نفر است.\nجدول را کامل کنید.", "steps": ["تعداد کل مسافران ۱۰۰ نفر است.", "فراوانی مسافران که با تلفن همراه بازی می‌کنند برابر است با: ۰٫۲۵ × ۱۰۰ = ۲۵", "فراوانی مسافران که غذا می‌خورند برابر است با: ۰٫۱۰ × ۱۰۰ = ۱۰", "جدول کامل شده:", "مسافرانی که استراحت می‌کنند: ۵۰ نفر، فراوانی نسبی ۰٫۵۰", "✅ جواب: جدول کامل شده: استراحت ۵۰ (۰٫۵)، بازی ۲۵ (۰٫۲۵)، مطالعه ۱۵ (۰٫۱۵)، غذا ۱۰ (۰٫۱۰)"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "میانگین موزون", "محاسبه مجموع داده‌ها"], {"intro": "برای محاسبه مجموع داده‌ها، داده‌های x1 تا xn را با هم جمع می‌کنیم. این کار را با استفاده از نماد سیگما (Σ) به صورت Σxi از i=۱ تا n نمایش می‌دهیم. به عبارت دیگر، مجموع داده‌ها برابر است با x1 + x2 + ... + xn."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "میانه و مد", "محاسبه میانگین بر اساس داده‌های جمع‌آوری شده"], {"intro": "۱. داده‌های تراکنش‌های مالی را در بازه زمانی مشخص جمع‌آوری کنید.\n۲. مجموع داده‌ها را محاسبه کنید.\n۳. تعداد داده‌ها را بشمارید.\n۴. میانگین را با تقسیم مجموع داده‌ها بر تعداد داده‌ها به دست آورید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "میانه و مد", "محاسبه میانگین بر اساس داده‌های تراکنش‌های مالی در بازه زمانی متفاوت"], {"intro": "۱. داده‌های تراکنش‌های مالی در بازه زمانی جدید را جمع‌آوری کنید.\n۲. مجموع داده‌ها را محاسبه کنید.\n۳. تعداد داده‌ها را بشمارید.\n۴. میانگین را با تقسیم مجموع داده‌ها بر تعداد داده‌ها به دست آورید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "میانه و مد", "محاسبه نما (مد) از داده‌های امتیازهای پرتاب دارت"], {"intro": "۱. داده‌های امتیازهای هر شرکت‌کننده را جمع‌آوری کنید.\n۲. تعداد تکرار هر امتیاز را بشمارید.\n۳. امتیازی که بیشترین تعداد تکرار را دارد به عنوان نما (مد) انتخاب کنید.\n۴. اگر دو امتیاز بیشترین تکرار را داشته باشند، داده‌ها دو نما دارند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "میانه و مد", "محاسبه میانگین تعداد حمله‌های یک تیم فوتبال در شش مسابقه گذشته"], {"intro": "۱. تعداد حمله‌های تیم را در هر یک از شش مسابقه یادداشت کنید.\n۲. مجموع تعداد حمله‌ها را محاسبه کنید.\n۳. تعداد مسابقات (۶) را بشمارید.\n۴. میانگین تعداد حمله‌ها را با تقسیم مجموع بر ۶ به دست آورید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "میانگین و مد", "محاسبه میانگین یا معدل دمای روزهای هفته گذشته"], {"intro": "۱. دمای هر روز هفته گذشته را یادداشت کنید.\n۲. مجموع دماها را محاسبه کنید.\n۳. تعداد روزها را بشمارید.\n۴. میانگین دما را با تقسیم مجموع بر تعداد روزها به دست آورید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "میانگین در مسئله", "محاسبه معدل موزون"], {"intro": "۱. برای هر درس، درصد نمره را در ضریب آن درس ضرب کنید. ۲. مجموع حاصل‌ضرب‌ها را محاسبه کنید. ۳. مجموع ضرایب را محاسبه کنید. ۴. معدل موزون برابر است با تقسیم مجموع حاصل‌ضرب‌ها بر مجموع ضرایب."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "میانگین در مسئله", "محاسبه میانگین داده‌ها با افزودن داده جدید"], {"intro": "۱. تعداد داده‌ها و میانگین اولیه را داشته باشید. ۲. مجموع داده‌های اولیه را با ضرب میانگین در تعداد داده‌ها محاسبه کنید. ۳. داده‌های جدید را به مجموع اضافه کنید. ۴. تعداد داده‌ها را با تعداد داده‌های جدید جمع کنید. ۵. میانگین جدید را با تقسیم مجموع جدید بر تعداد کل داده‌ها محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "میانگین در مسئله", "محاسبه میانگین طول موج طیف رنگ‌ها با استفاده از جداول عددی"], {"intro": "۱. دو جدول عددی مربوط به طول موج طیف رنگ‌ها را به صورت عددی جمع کنید. ۲. هر عضو از جدول حاصل را بر عدد ۲ تقسیم کنید تا میانگین هر مقدار به دست آید. ۳. میانگین طول موج طیف رنگ‌ها را با توجه به جدول میانگین محاسبه کنید. ۴. بررسی کنید که آیا میانگین دو شکل داده شده بالاتر است یا خیر."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "واریانس و انحراف معیار", "محاسبه میانگین داده‌های گروهی"], {"intro": "۱. داده‌های مربوط به هر گروه (شهرستان) را جمع‌آوری کنید.\n۲. مجموع مقادیر داده‌ها را محاسبه کنید.\n۳. تعداد داده‌ها (شهرستان‌ها) را بشمارید.\n۴. میانگین را با تقسیم مجموع داده‌ها بر تعداد داده‌ها به دست آورید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "واریانس و انحراف معیار", "محاسبه و تفسیر انحراف معیار"], {"intro": "۱. داده‌های مورد نظر را به صورت مجموعه x₁, x₂, ..., xₙ در نظر بگیرید.\n۲. میانگین داده‌ها (x̄) را محاسبه کنید: x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n\n۳. برای هر داده، تفاضل آن با میانگین را محاسبه کنید: (xᵢ - x̄)\n۴. مربع هر تفاضل را محاسبه کنید: (xᵢ - x̄)²\n۵. مجموع مربع تفاضل‌ها را محاسبه کنید: Σ (xᵢ - x̄)²\n۶. مجموع را بر تعداد داده‌ها (n) تقسیم کنید: (Σ (xᵢ - x̄)²) / n\n۷. جذر مقدار به دست آمده را بگیرید تا انحراف معیار σ به دست آید.\n۸. انحراف معیار نشان‌دهنده میزان پراکندگی داده‌ها حول میانگین است؛ مقدار کوچک‌تر به معنی پراکندگی کمتر و مقدار بزرگ‌تر به معنی پراکندگی بیشتر است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "واریانس و انحراف معیار", "محاسبه و تفسیر واریانس"], {"intro": "۱. ابتدا انحراف معیار داده‌ها را محاسبه کنید (مراحل مشابه محاسبه انحراف معیار).\n۲. واریانس برابر است با توان دوم انحراف معیار: σ²\n۳. واریانس نشان‌دهنده میانگین مربع انحراف داده‌ها از میانگین است و معیاری برای پراکندگی داده‌ها می‌باشد.\n۴. مقدار واریانس بزرگ‌تر به معنی پراکندگی بیشتر داده‌ها و مقدار کوچک‌تر به معنی پراکندگی کمتر است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "واریانس و انحراف معیار", "محاسبه انحراف معیار و واریانس"], {"intro": "۱. ابتدا میانگین داده‌ها (x̄) را محاسبه کنید. ۲. اختلاف هر داده با میانگین را بدست آورید (xi - x̄). ۳. مربع اختلاف‌ها را محاسبه کنید ((xi - x̄)²). ۴. مجموع مربع اختلاف‌ها را بدست آورید. ۵. واریانس (σ²) را با تقسیم مجموع مربع اختلاف‌ها بر تعداد داده‌ها محاسبه کنید. ۶. انحراف معیار (σ) را با گرفتن جذر واریانس بدست آورید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "واریانس و انحراف معیار", "محاسبه نرخ تورم"], {"intro": "۱. قیمت متوسط کالاهای مصرفی در سال پایه (P0) و سال مورد نظر (P1) را مشخص کنید. ۲. اختلاف قیمت‌ها را محاسبه کنید (P1 - P0). ۳. نسبت تغییر قیمت به قیمت پایه را محاسبه کنید ((P1 - P0) / P0). ۴. نتیجه را در ۱۰۰ ضرب کنید تا درصد نرخ تورم بدست آید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "واریانس و انحراف معیار", "محاسبه و مقایسه ضریب تغییرات داده‌ها"], {"intro": "۱. ابتدا میانگین داده‌ها (𝑥̄) را مشخص کنید.\n۲. انحراف معیار داده‌ها (σ) را محاسبه یا از داده‌ها استخراج کنید.\n۳. ضریب تغییرات (CV) را با فرمول CV = σ / 𝑥̄ محاسبه کنید.\n۴. ضریب تغییرات کمتر نشان‌دهنده پراکندگی کمتر داده‌ها و کیفیت بالاتر است.\n۵. برای مقایسه کیفیت دو مجموعه داده، ضریب تغییرات هر کدام را محاسبه و مقایسه کنید. مجموعه‌ای که CV کمتری دارد کیفیت بهتری دارد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "ضریب تغییرات", "محاسبه ضریب تغییرات و مقایسه پراکندگی"], {"intro": "۱. میانگین داده‌ها را به دست آورید.\n۲. انحراف معیار داده‌ها را محاسبه کنید.\n۳. ضریب تغییرات را با فرمول (انحراف معیار تقسیم بر میانگین) ضرب در ۱۰۰ به دست آورید.\n۴. ضریب تغییرات دو مجموعه داده را مقایسه کنید تا پراکندگی نسبی آنها مشخص شود.\n۵. توجه کنید که واحد اندازه‌گیری میانگین و انحراف معیار باید یکسان باشد تا ضریب تغییرات معتبر باشد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "ضریب تغییرات", "محاسبه ضریب تغییرات با واحدهای متفاوت و مقایسه"], {"intro": "۱. میانگین و انحراف معیار داده‌ها را با واحدهای داده شده یادداشت کنید.\n۲. ضریب تغییرات را با فرمول (انحراف معیار تقسیم بر میانگین) ضرب در ۱۰۰ محاسبه کنید.\n۳. توجه کنید که میانگین و انحراف معیار ممکن است واحدهای متفاوتی داشته باشند (مثلاً متر و کیلومتر).\n۴. برای مقایسه صحیح، واحدها را یکسان کنید یا ضریب تغییرات را به صورت درصد بیان کنید.\n۵. نتیجه ضریب تغییرات را تحلیل کنید و بررسی کنید که آیا ضریب تغییرات به واحد اندازه‌گیری وابسته است یا خیر."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "ضریب تغییرات", "تحلیل داده‌های آماری و رسم نمودار جعبه‌ای"], {"intro": "۱. داده‌های آماری را مرتب کنید.\n۲. میانه (مدیانا) را پیدا کنید.\n۳. چارک اول (Q1) و چارک سوم (Q3) را محاسبه کنید.\n۴. بازه بین چارکی (IQR) را به دست آورید (Q3 - Q1).\n۵. نمودار جعبه‌ای را رسم کنید که شامل خط میانه، جعبه بین چارک‌ها و خطوط حداقل و حداکثر داده‌ها است.\n۶. نمودار را تحلیل کنید تا پراکندگی و تمرکز داده‌ها را نشان دهید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "ضریب تغییرات", "رسم نمودار جعبه‌ای (Box Plot)"], {"intro": "۱. داده‌ها را مرتب کنید.\n۲. کمترین مقدار (Min) و بیشترین مقدار (Max) را مشخص کنید.\n۳. چارک اول (Q1) را به عنوان میانه نیمه اول داده‌ها پیدا کنید.\n۴. میانه (Q2) را به عنوان میانه کل داده‌ها مشخص کنید.\n۵. چارک سوم (Q3) را به عنوان میانه نیمه دوم داده‌ها تعیین کنید.\n۶. دامنه میانه (IQR) را با فرمول IQR = Q3 - Q1 محاسبه کنید.\n۷. یک جعبه رسم کنید که از Q1 تا Q3 کشیده شده باشد و خطی در میانه (Q2) داشته باشد.\n۸. خطوطی از دو طرف جعبه به سمت Min و Max رسم کنید.\n۹. نقاط Min، Q1، Q2، Q3 و Max را روی محور نمایش دهید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "ضریب تغییرات", "تحلیل نمودار و محاسبه انحراف معیار، واریانس و ضریب تغییرات از داده‌های نموداری"], {"intro": "۱. داده‌های نمودار را استخراج کنید (میزان مصرف گاز CNG در سال‌های ۱۳۸۵ تا ۱۳۹۳ به ترتیب: ۱٫۴، ۲٫۸، ۵، ۹٫۲، ۱۵٫۲، ۱۷٫۸، ۱۹، ۱۸٫۳، ۱۹٫۵).\n۲. میانگین داده‌ها را محاسبه کنید.\n۳. تفاضل هر داده از میانگین را محاسبه و به توان دو برسانید.\n۴. میانگین این مقادیر را به عنوان واریانس محاسبه کنید.\n۵. جذر واریانس را به عنوان انحراف معیار بیابید.\n۶. ضریب تغییرات را با تقسیم انحراف معیار بر میانگین و ضرب در ۱۰۰ به دست آورید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "نمودار جعبه‌ای", "محاسبه واریانس و میانگین داده‌ها پس از تغییر مقیاس"], {"intro": "۱. ابتدا میانگین داده‌های اولیه را محاسبه کنید.\n۲. اگر داده‌ها را در ضریب k ضرب کنیم، میانگین جدید برابر است با k ضربدر میانگین اولیه.\n۳. واریانس داده‌ها را محاسبه کنید.\n۴. واریانس داده‌ها پس از ضرب در k برابر است با k به توان ۲ ضربدر واریانس اولیه."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "نمودار جعبه‌ای", "رسم نمودار جعبه‌ای و تحلیل داده‌ها"], {"intro": "۱. داده‌ها را مرتب کنید.\n۲. نقاط حداقل، چارک اول، میانه، چارک سوم و حداکثر را تعیین کنید.\n۳. نمودار جعبه‌ای را با استفاده از این نقاط رسم کنید.\n۴. برای تحلیل، میانه را با توجه به موقعیت جعبه و پراکندگی را با طول جعبه و فاصله نقاط حداقل و حداکثر بررسی کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "نمودار جعبه‌ای", "تحلیل نمودار جعبه‌ای شاخص توده بدن (BMI) بر اساس جنسیت"], {"intro": "۱. نمودار جعبه‌ای برای هر گروه (خانم‌ها و آقایان) بررسی می‌شود.\n۲. میانه هر گروه از موقعیت خط وسط جعبه مشخص می‌شود.\n۳. پراکندگی با طول جعبه و فاصله نقاط حداقل و حداکثر مقایسه می‌شود.\n۴. پاسخ به سوالات بر اساس مقایسه میانه و پراکندگی داده‌ها داده می‌شود.", "example": "نمودار میله‌ای مربوط به فراوانی تعداد مسافران قطار به شرح زیر است:\n• مسافر شماره ۱: ارتفاع میله ۵۰\n• مسافر شماره ۳: ارتفاع میله ۱۵\n• مسافر شماره ۲ و ۴ ارتفاع میله مشخص نیست.\nفراوانی نسبی تعداد مسافران را بر اساس جدول کامل شده زیر رسم کنید و نمودار دایره‌ای مربوط به فراوانی نسبی تعداد مسافران را رسم کنید.\nجدول کامل شده:\nمسافر شماره ۱: فراوانی ۵۰، فراوانی نسبی ۰٫۵۰\nمسافر شماره ۲: فراوانی ۲۵، فراوانی نسبی ۰٫۲۵\nمسافر شماره ۳: فراوانی ۱۵، فراوانی نسبی ۰٫۱۵\nمسافر شماره ۴: فراوانی ۱۰، فراوانی نسبی ۰٫۱۰", "steps": ["فراوانی نسبی هر دسته از جدول استخراج شده است.", "در نمودار میله‌ای، ارتفاع میله‌ها به ترتیب برابر با ۵۰، ۲۵، ۱۵ و ۱۰ قرار می‌گیرد.", "برای رسم نمودار دایره‌ای، زاویه هر بخش را محاسبه می‌کنیم:", "مسافر شماره ۱: ۰٫۵۰ × ۳۶۰ = ۱۸۰ درجه", "مسافر شماره ۲: ۰٫۲۵ × ۳۶۰ = ۹۰ درجه", "✅ جواب: راه‌حل کتاب درست است؛ فراوانی‌ها و زوایای نمودار دایره‌ای به‌درستی محاسبه شده‌اند."]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "نمودار جعبه‌ای", "رسم نمودار جعبه‌ای نرخ بیکاری در ده سال گذشته"], {"intro": "۱. داده‌های نرخ بیکاری در ده سال گذشته را مرتب کنید.\n۲. نقاط حداقل، چارک اول، میانه، چارک سوم و حداکثر را تعیین کنید.\n۳. نمودار جعبه‌ای را با استفاده از این نقاط رسم کنید.\n۴. نمودار را تحلیل کنید تا روند تغییرات نرخ بیکاری مشخص شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: آمار توصیفی", "نمودار جعبه‌ای", "محاسبه نرخ بیکاری"], {"intro": "۱. تعریف جمعیت بیکار: افراد ۱۰ ساله و بالاتر که در هفته مشخص حتی یک ساعت هم کار نکرده‌اند، آمادگی برای کار دارند و در هفته مشخص و سه هفته قبل از آن جویای کار بوده‌اند.\n۲. تعریف جمعیت فعال: مجموع جمعیت بیکار و جمعیت شاغل (افراد ۱۰ ساله و بالاتر که حداقل یک ساعت در هفته کار کرده‌اند).\n۳. فرمول نرخ بیکاری: نرخ بیکاری = (جمعیت بیکار) / (جمعیت فعال).\n۴. برای محاسبه نرخ بیکاری، ابتدا تعداد جمعیت بیکار و جمعیت فعال را تعیین کنید.\n۵. سپس نسبت جمعیت بیکار به جمعیت فعال را محاسبه کنید تا نرخ بیکاری به دست آید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "رادیان (۱)", "محاسبه طول کمان دایره با استفاده از نسبت‌های مثلثاتی"], {"intro": "۱. زاویه مرکزی α را بر حسب درجه یا رادیان مشخص کنید.\n۲. شعاع دایره r را تعیین کنید.\n۳. محیط دایره را با فرمول ۲πr محاسبه کنید.\n۴. طول کمان متناظر با زاویه α را با استفاده از نسبت کسر زاویه به ۳۶۰ درجه یا ۲π رادیان ضرب در محیط دایره به دست آورید: طول کمان = (α/۳۶۰) × ۲πr یا (α/۲π) × ۲πr = αr (اگر α بر حسب رادیان باشد).\n۵. در صورت نیاز، از نسبت‌های مثلثاتی برای تعیین طول ضلع‌های مثلث‌های مرتبط استفاده کنید.", "example": "اندازه زاویه α را برحسب رادیان در دایره‌ای با شعاع r = ۷ cm پیدا کنید، اگر α = ۲۰° باشد.", "steps": ["از آنجا که می‌دانیم هر زاویه ۱۸۰° برابر π رادیان است، ابتدا زاویه α را به رادیان تبدیل می‌کنیم:", "α = (۲۰ × π) / ۱۸۰ = π / ۹ rad", "سپس برای پیدا کردن طول کمان AB داریم:", "α = AB / r ⇒ AB = α × r = (π / ۹) × ۷ = ۷π / ۹ cm", "✅ جواب: α = π/۹ rad, AB = ۷π/۹ cm"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "رادیان (۱)", "محاسبه طول کمان در دایره‌های مختلف با شعاع‌های متفاوت و زاویه مشخص"], {"intro": "۱. شعاع هر دایره را مشخص کنید.\n۲. زاویه مرکزی α را بر حسب درجه یا رادیان تعیین کنید.\n۳. محیط هر دایره را با فرمول ۲πr محاسبه کنید.\n۴. طول کمان متناظر با زاویه α را برای هر دایره با استفاده از فرمول طول کمان = (α/۳۶۰) × ۲πr یا (α/۲π) × ۲πr محاسبه کنید.\n۵. نسبت طول کمان به شعاع دایره را برای هر دایره محاسبه و مقایسه کنید.", "steps": ["شعاع دایره r = ۵ سانتی‌متر است.", "زاویه مرکزی α = ۶۰ درجه است.", "محیط دایره را محاسبه می‌کنیم: ۲πr = ۲ × π × ۵ = ۱۰π سانتی‌متر.", "طول کمان را با فرمول طول کمان = (α/۳۶۰) × ۲πr محاسبه می‌کنیم: (۶۰/۳۶۰) × ۱۰π = (۱/۶) × ۱۰π = (۱۰/۶)π = (۵/۳)π سانتی‌متر.", "جواب نهایی را به عدد تقریبی تبدیل می‌کنیم: (۵/۳)π ≈ ۵٫۲۴ سانتی‌متر.", "✅ جواب: ۵٫۲۴"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "رادیان (۱)", "محاسبه نسبت طول کمان به شعاع و زاویه مرکزی به رادیان"], {"intro": "۱. طول کمان را بر شعاع دایره تقسیم کنید.\n۲. نسبت به دست آمده برابر با اندازه زاویه مرکزی به رادیان است.\n۳. اگر طول کمان برابر با k برابر شعاع باشد، زاویه مرکزی برابر k رادیان است.\n۴. این رابطه به صورت θ = l / r است که در آن θ زاویه مرکزی به رادیان، l طول کمان و r شعاع دایره است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "رادیان (۱)", "محاسبه اندازه زاویه برحسب رادیان و طول کمان"], {"example": "در یک دایره با شعاع r = ۵ cm، طول کمان l برابر با ۳ cm است. اندازه زاویه θ را برحسب رادیان محاسبه کنید.", "steps": ["با استفاده از فرمول θ = l / r، مقدار θ را محاسبه می‌کنیم.", "جایگذاری می‌کنیم: θ = ۳ / ۵.", "محاسبه می‌کنیم: θ = ۰٫۶.", "✅ جواب: ۰٫۶"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "رادیان (۱)", "محاسبه طول کمان با استفاده از زاویه و شعاع"], {"example": "در دایره‌ای با شعاع r = ۵ cm، طول کمان CD را بیابید اگر زاویه مرکزی θ برابر ۲ رادیان باشد.", "steps": ["طول کمان را با استفاده از فرمول l = r × θ محاسبه می‌کنیم.", "جایگذاری شعاع و زاویه: l = ۵ × ۲.", "محاسبه: l = ۱۰.", "بنابراین، طول کمان CD برابر با ۱۰ cm است.", "✅ جواب: ۱۰"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "رادیان (۲)", "تبدیل زاویه‌ها بین درجه و رادیان"], {"intro": "برای تبدیل زاویه از درجه به رادیان، از رابطه θ(rad) = (π/۱۸۰) × θ(درجه) استفاده می‌کنیم. برای تبدیل زاویه از رادیان به درجه، از رابطه θ(درجه) = (۱۸۰/π) × θ(radian) استفاده می‌شود. این تبدیل‌ها به کمک نسبت‌های مستقیم بین درجه و رادیان انجام می‌شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "رادیان (۲)", "اندازه‌گیری زاویه‌ها بر حسب رادیان در دایره‌های مثلثاتی"], {"intro": "زاویه‌ها بر حسب رادیان در دایره مثلثاتی نمایش داده می‌شوند. برای هر زاویه، اندازه آن بر حسب π بیان می‌شود. زاویه‌ها می‌توانند کمتر یا بیشتر از ۲π باشند. برای تعیین زاویه، ابتدا مقدار رادیان داده شده را در دایره واحد رسم می‌کنیم و سپس زاویه را با توجه به موقعیت شعاع مشخص می‌کنیم.", "example": "زاویه θ برابر با ۳π/۴ رادیان است. مقدار این زاویه را بر حسب درجه محاسبه کنید.", "steps": ["زاویه θ برابر با ۳π/۴ رادیان است.", "برای تبدیل رادیان به درجه، از فرمول (زاویه بر حسب رادیان × ۱۸۰/π) استفاده می‌کنیم.", "۳π/۴ × ۱۸۰/π = ۳ × ۱۸۰/۴ = ۵۴۰/۴ = ۱۳۵ درجه.", "✅ جواب: ۱۳۵"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "رادیان (۲)", "تکمیل جدول نسبت‌های مثلثاتی برای زوایای مشخص"], {"intro": "برای تکمیل جدول نسبت‌های مثلثاتی، ابتدا زاویه داده شده را بر حسب رادیان یا درجه مشخص می‌کنیم. سپس با استفاده از روابط مثلثاتی استاندارد و مقادیر معروف (مانند π/۶, π/۴, π/۳, π/۲ و غیره) مقادیر sinθ، cosθ، tanθ و cotθ را محاسبه یا از جدول‌های استاندارد استخراج می‌کنیم. در صورت نیاز، از روابط هم‌ارز و فرمول‌های مثلثاتی استفاده می‌شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "رادیان (۳)", "تعیین ربع زاویه در دایره مثلثاتی"], {"intro": "۱. مقدار زاویه داده شده را بررسی کنید. ۲. زاویه را بر حسب π بیان کنید. ۳. با توجه به مقدار زاویه و علامت آن، ربع مربوط به انتهای کمان را تعیین کنید. ۴. شکل دایره مثلثاتی را رسم کرده و موقعیت کمان را مشخص کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "رادیان (۳)", "محاسبه طول کمان دایره با استفاده از زاویه مرکزی"], {"intro": "۱. طول کمان را با فرمول L = rθ محاسبه کنید که در آن r شعاع دایره و θ زاویه مرکزی بر حسب رادیان است. ۲. اگر زاویه بر حسب درجه است، ابتدا آن را به رادیان تبدیل کنید. ۳. مقدار شعاع و زاویه را در فرمول جایگذاری و محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "رادیان (۳)", "محاسبه زاویه کمان در مخروط با استفاده از ابعاد مخروط"], {"intro": "۱. ابتدا طول کمان شکل گسترده مخروط را محاسبه کنید. ۲. شعاع قاعده مخروط و ارتفاع آن را برای محاسبه شعاع کمان استفاده کنید. ۳. زاویه کمان را با استفاده از نسبت طول کمان به شعاع کمان به دست آورید: θ = طول کمان / شعاع کمان. ۴. مقدار θ زاویه کمان بر حسب رادیان است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا (۱)", "نسبت‌های مثلثاتی زوایای متمم"], {"intro": "برای دو زاویه که مجموع آنها ۹۰ درجه (یا π/۲ رادیان) است، نسبت‌های مثلثاتی یکی برابر نسبت‌های مثلثاتی زاویه دیگر با تغییر نوع تابع است. به طور خاص: sin(π/۲ - θ) = cos θ، cos(π/۲ - θ) = sin θ، tan(π/۲ - θ) = cot θ، cot(π/۲ - θ) = tan θ. برای اثبات یا استفاده از این روابط، می‌توان یک مثلث قائم‌الزاویه با زاویه θ در نظر گرفت و با توجه به تعریف نسبت‌های مثلثاتی و زاویه متمم (π/۲ - θ) روابط را به دست آورد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا (۱)", "رابطه بین مختصات نقاط روی دایره مثلثاتی و نسبت‌های مثلثاتی زوایای قرینه"], {"intro": "۱. نقطه P روی دایره مثلثاتی با زاویه α به صورت P(xP, yP) = (cos α, sin α) تعریف می‌شود.\n۲. نقطه Q قرینه P نسبت به محور x است، پس Q(xQ, yQ) = (cos(-α), sin(-α)) = (cos α, -sin α).\n۳. با توجه به این مختصات، روابط مثلثاتی برای زاویه -α را می‌توان به دست آورد:\n - cos(-α) = cos α\n - sin(-α) = -sin α\n - tan(-α) = -tan α\n - cot(-α) = -cot α\n۴. این روابط از مختصات نقاط روی دایره مثلثاتی و تعاریف نسبت‌های مثلثاتی استخراج می‌شوند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا (۱)", "رابطه‌های مثلثاتی زوایای مکمل و زاویه‌های به شکل π-α و π+α"], {"intro": "۱. نقاط P و Q روی دایره مثلثاتی را با مختصات (xP, yP) و (xQ, yQ) در نظر بگیرید که زاویه P برابر α و زاویه Q برابر π-α یا π+α است.\n۲. با توجه به مختصات نقاط و تعریف دایره مثلثاتی، روابط مختصات نقاط را به دست آورید، مثلاً xQ = -xP و yQ = yP برای زاویه π-α.\n۳. با استفاده از روابط مختصات، مقادیر توابع مثلثاتی را برای زاویه‌های π-α و π+α به صورت تابعی از α بنویسید.\n۴. از روابط اولیه توابع مثلثاتی (sin, cos, tan, cot) استفاده کنید تا روابط زیر را اثبات یا کامل کنید:\n - sin(π-α) = sin α\n - cos(π-α) = -cos α\n - tan(π-α) = -tan α\n - cot(π-α) = -cot α\n - sin(π+α) = -sin α\n - cos(π+α) = -cos α\n - tan(π+α) = tan α\n - cot(π+α) = cot α\n۵. برای محاسبه مقادیر عددی توابع مثلثاتی زاویه‌های داده شده، از این روابط استفاده کنید و مقادیر را به صورت عددی محاسبه نمایید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا (۱)", "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایای به صورت kπ + α یا kπ - α"], {"intro": "برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایایی به صورت kπ + α یا kπ - α ابتدا باید بدانیم که این زوایا در دایره مثلثاتی چگونه قرار می‌گیرند. سپس با استفاده از روابط زیر نسبت‌های مثلثاتی را به نسبت‌های مثلثاتی زاویه α تبدیل می‌کنیم: \n\nاگر زاویه به صورت ۲kπ + α باشد:\n- sin(۲kπ + α) = sin α\n- cos(۲kπ + α) = cos α\n- tan(۲kπ + α) = tan α\n- cot(۲kπ + α) = cot α\n\nاگر زاویه به صورت ۲kπ - α باشد:\n- sin(۲kπ - α) = -sin α\n- cos(۲kπ - α) = cos α\n- tan(۲kπ - α) = -tan α\n- cot(۲kπ - α) = -cot α\n\nسپس با جایگذاری مقدار α در این روابط، مقدار نسبت مثلثاتی زاویه مرکب را محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا (۱)", "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایای خاص"], {"example": "مقدار نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا را محاسبه کنید:\nالف) tan(۲π - π/۳)\nب) sin(۴۰۵°)", "steps": ["الف) tan(۲π - π/۳) = -tan(π/۳) = -√۳", "ب) sin(۴۰۵°) = sin(۳۶۰° + ۴۵°) = sin(۴۵°) = √۲/۲", "✅ جواب: (a) -√۳, (b) √۲/۲"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا (۲)", "اثبات روابط مثلثاتی با استفاده از دایره مثلثاتی"], {"intro": "۱. نقاط مربوط به زوایای داده شده را روی دایره مثلثاتی مشخص کنید.\n۲. مختصات نقاط را به صورت (cosθ, sinθ) یا (cos(π/۲ + θ), sin(π/۲ + θ)) بنویسید.\n۳. با استفاده از روابط هندسی و مختصات نقاط، معادلات مربوط به سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت را استخراج کنید.\n۴. روابط را به صورت جبری ساده کنید تا به روابط مثلثاتی مورد نظر برسید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا (۲)", "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایای داده شده"], {"intro": "برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایای داده شده، ابتدا زاویه را به رادیان یا درجه مشخص می‌کنیم. سپس با استفاده از روابط مثلثاتی استاندارد یا جدول‌های مثلثاتی، مقدار sin، cos، tan یا cot زاویه را به دست می‌آوریم. در صورت نیاز، از روابط تبدیل زاویه‌ها مانند زاویه‌های منفی یا زاویه‌های بزرگ‌تر از ۹۰ درجه استفاده می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا (۲)", "محاسبه شدت نور وارد شده به سلول خورشیدی با استفاده از روابط مثلثاتی"], {"intro": "برای محاسبه شدت نور وارد شده به سلول خورشیدی با زاویه تابش α، از رابطه I = k sin(π/۲ - α) استفاده می‌کنیم که در آن k یک عدد ثابت مثبت است. ابتدا مقدار زاویه α را مشخص می‌کنیم، سپس مقدار (π/۲ - α) را محاسبه کرده و سینوس آن را می‌گیریم. در نهایت مقدار شدت نور I را با ضرب k در این مقدار به دست می‌آوریم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "توابع مثلثاتی (۱)", "تعیین مقادیر نسبت‌های مثلثاتی در بازه مشخص"], {"intro": "۱. زاویه‌های داده شده را به رادیان یا درجه مشخص کنید.\n۲. مقدار نسبت مثلثاتی (مثلاً سینوس) را برای هر زاویه با استفاده از جدول یا فرمول‌های مثلثاتی محاسبه کنید.\n۳. مقادیر به دست آمده را در جدول مربوطه قرار دهید.\n۴. در صورت نیاز، مقادیر را به صورت عددی یا کسری ساده شده بیان کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "توابع مثلثاتی (۱)", "تحلیل و رسم نمودار تابع سینوس در بازه مشخص"], {"intro": "۱. نقاط داده شده از تابع سینوس را در دستگاه مختصات رسم کنید.\n۲. نقاط تقاطع تابع با محور x را مشخص کنید.\n۳. نقاط ماکزیمم و مینیمم تابع را تعیین کنید.\n۴. منحنی تابع را با توجه به نقاط رسم شده و ویژگی‌های تابع سینوس رسم کنید.\n۵. بررسی کنید که آیا نقاط داده شده روی منحنی تابع قرار دارند یا خیر."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "توابع مثلثاتی (۱)", "تکمیل و رسم نقاط تابع کسینوس"], {"intro": "۱. نقاط زوج داده شده از تابع y = cos x را بررسی کنید.\n۲. نقاط گمشده را با توجه به دوره تناوب و ویژگی‌های تابع کسینوس حدس بزنید.\n۳. مجموعه نقاط کامل را تشکیل دهید.\n۴. نقاط را روی محورهای مختصات رسم کنید.\n۵. نمودار تابع کسینوس را با اتصال نقاط رسم شده ترسیم کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "توابع مثلثاتی (۱)", "یافتن نقطه نظیر رادیانی و تعیین مقدار کسینوس"], {"intro": "۱. مقدار رادیان داده شده را روی محور x پیدا کنید.\n۲. نقطه نظیر آن را روی محور y پیدا کنید.\n۳. مقدار تابع کسینوس را در آن نقطه به صورت تقریبی تعیین کنید.\n۴. مقدار به دست آمده را با استفاده از ماشین حساب بررسی و تأیید کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "توابع مثلثاتی (۱)", "تفاوت مقادیر سینوس در زوایای مختلف"], {"intro": "۱. مقدار sin ۲ و sin ۲x را در زوایای داده شده محاسبه کنید.\n۲. تفاوت این دو مقدار را به دست آورید.\n۳. با استفاده از نمودار دایره مثلثاتی و نمودار تابع سینوس، تفاوت را به صورت هندسی و عددی توضیح دهید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "توابع مثلثاتی (۲)", "تحلیل و رسم نمودار تابع کسینوس"], {"intro": "۱. با استفاده از روابط تناوبی و تقارن تابع کسینوس، نقاط مهم روی محور x را مشخص کنید.\n۲. مقادیر تابع را در این نقاط محاسبه کنید (مثلاً cos(۰)=۱، cos(π)=−۱).\n۳. نمودار تابع را در بازه داده شده رسم کنید و آن را به دو طرف ادامه دهید با توجه به تناوب ۲π.\n۴. دامنه تابع را بررسی کنید که بین [-۱,۱] است.\n۵. مقادیر خاص مانند cos x = ۱/۲ یا cos x = ۲ را بررسی کنید و وجود یا عدم وجود جواب را تعیین کنید.\n۶. بیشترین و کمترین مقدار تابع را در بازه مشخص شده تعیین کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "توابع مثلثاتی (۲)", "تحلیل و رسم نمودار تابع سینوس و مقایسه با کسینوس"], {"intro": "۱. نمودار تابع y = sin x را در بازه‌های طول ۲π رسم کنید.\n۲. نمودار تابع y = cos x را در همان بازه رسم کنید.\n۳. بررسی کنید که هر دو تابع دامنه [-۱,۱] دارند.\n۴. مقایسه کنید که نمودار y = sin x و y = cos x نسبت به هم چگونه جابه‌جا شده‌اند (مثلاً جابه‌جایی فاز).\n۵. نمودارها را به صورت موج سینوسی و کسینوسی معرفی کنید و ویژگی‌های تناوبی آن‌ها را بیان کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "توابع مثلثاتی (۳)", "رسم و تحلیل توابع مثلثاتی"], {"intro": "۱. تابع داده شده را شناسایی کنید (سینوس، کسینوس یا ترکیبی). ۲. شیفت افقی و عمودی تابع را تعیین کنید. ۳. دامنه و برد تابع را مشخص کنید. ۴. نقاط مهم مانند صفرها، بیشینه و کمینه را روی محور x تعیین کنید. ۵. نمودار تابع را با توجه به دوره تناوب و شیفت رسم کنید. ۶. اگر بخشی از نمودار داده شده، نمودار کامل را با تکرار الگو رسم کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "توابع مثلثاتی (۳)", "تکمیل نمودار توابع مثلثاتی با توجه به بخش داده شده"], {"intro": "۱. بخش داده شده از نمودار تابع را بررسی کنید. ۲. نوع تابع و ویژگی‌های آن (دامنه، برد، دوره تناوب) را مشخص کنید. ۳. با توجه به بخش داده شده، الگوی تکرار تابع را تشخیص دهید. ۴. نمودار کامل تابع را با تکرار الگو در بازه‌های مختلف رسم کنید. ۵. نقاط مهم مانند صفرها، بیشینه و کمینه را علامت‌گذاری کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "توابع مثلثاتی (۳)", "محاسبه زاویه در مدل مکانیکی با استفاده از توابع مثلثاتی"], {"intro": "۱. مدل مکانیکی ربات را با توجه به طول‌ها و زوایا رسم کنید. ۲. معادلات مربوط به ارتفاع و طول‌ها را با استفاده از توابع مثلثاتی بنویسید. ۳. مقادیر داده شده (طول‌ها، ارتفاع، زاویه α) را جایگذاری کنید. ۴. معادله را برای زاویه θ حل کنید. ۵. مقدار θ را به درجه تبدیل کنید اگر لازم بود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل زوایا (۱)", "محاسبه اندازه زاویه‌ها با استفاده از روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل زوایا"], {"example": "زاویه α برابر با ۳۰ درجه و زاویه β برابر با ۴۵ درجه است. اندازه زاویه γ را محاسبه کنید، به طوری که γ = α + β.", "steps": ["زاویه γ را با استفاده از رابطه مجموع زوایا محاسبه می‌کنیم: γ = α + β.", "جایگزینی مقادیر: γ = ۳۰ + ۴۵.", "محاسبه: γ = ۷۵.", "✅ جواب: ۷۵"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل زوایا (۱)", "محاسبه طول پاره‌خط‌ها با استفاده از نسبت‌های سینوس و کسینوس"], {"example": "مقدار sin ۷۵° را با استفاده از فرمول مجموع زوایا محاسبه کنید.", "steps": ["sin ۷۵° = sin (۴۵° + ۳۰°) = sin ۴۵° cos ۳۰° + cos ۴۵° sin ۳۰°", "= (√۲/۲) × (√۳/۲) + (√۲/۲) × (۱/۲)", "= (√۶/۴) + (√۲/۴) = (√۶ + √۲)/۴", "✅ جواب: (√۶ + √۲)/۴"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل زوایا (۲)", "اثبات روابط مثلثاتی با استفاده از روابط جمع زوایا"], {"intro": "برای اثبات روابط مثلثاتی، از فرمول‌های جمع زوایا استفاده می‌کنیم و با جایگذاری و ساده‌سازی عبارات، رابطه مورد نظر را به دست می‌آوریم. این روش شامل استفاده از فرمول‌های sin(۲α)، cos(۲α) و تبدیل آن‌ها به عبارات سینوس و کسینوس است.", "example": "با استفاده از روابط نسبت‌های جمع دو زاویه نشان دهید: sin(۲θ) = ۲ sin(θ) cos(θ)", "steps": ["با استفاده از فرمول جمع زوایا، sin(۲θ) را به صورت sin(θ + θ) بنویسید.", "طبق فرمول جمع زوایا داریم: sin(۲θ) = sin(θ) cos(θ) + cos(θ) sin(θ).", "دو عبارت sin(θ) cos(θ) را جمع می‌کنیم: sin(۲θ) = ۲ sin(θ) cos(θ).", "✅ جواب: ۲ sin(θ) cos(θ)"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل زوایا (۲)", "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی برای زاویه‌های داده شده"], {"example": "مقدار cos ۱۵° را محاسبه کنید.", "steps": ["برای محاسبه cos ۱۵° می‌توان از فرمول کسینوس زاویه‌های مرکب استفاده کرد: cos ۱۵° = cos(۴۵° - ۳۰°) = cos ۴۵° cos ۳۰° + sin ۴۵° sin ۳۰° = (√۲/۲)(√۳/۲) + (√۲/۲)(۱/۲) = (√۶/۴) + (√۲/۴) = (√۶ + √۲)/۴.", "✅ جواب: (√۶ + √۲)/۴"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "جامعه و نمونه‌گیری", "تعریف و تشخیص واحد آماری، جامعه آماری و نمونه‌گیری"], {"intro": "۱. واحد آماری را به عنوان هر عضو یا فردی که داده‌های مربوط به آن جمع‌آوری می‌شود، شناسایی کنید.\n۲. جامعه آماری را به عنوان مجموعه کل واحدهای آماری تعریف کنید.\n۳. نمونه را به عنوان زیرمجموعه‌ای از جامعه آماری که با روش مشخص انتخاب شده است، تعیین کنید.\n۴. فرآیند نمونه‌گیری را به عنوان انتخاب نمونه‌ای از جامعه برای تعمیم اطلاعات به کل جامعه توضیح دهید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "جامعه و نمونه‌گیری", "نمونه‌گیری طبقه‌ای"], {"intro": "۱. جامعه آماری را به چند طبقه یا زیرجامعه تقسیم می‌کنیم به طوری که اعضای هر طبقه ویژگی مشترکی داشته باشند.\n۲. از هر طبقه به صورت جداگانه نمونه‌گیری تصادفی ساده انجام می‌دهیم.\n۳. نمونه‌های هر طبقه را با هم ترکیب می‌کنیم تا نمونه کلی به دست آید.\n۴. این روش باعث کاهش خطا و افزایش دقت برآورد می‌شود و در عین حال می‌تواند هزینه و زمان نمونه‌گیری را کاهش دهد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "جامعه و نمونه‌گیری", "نمونه‌گیری سیستماتیک (سامانمند)"], {"intro": "۱. جامعه آماری را به طبقات مساوی تقسیم می‌کنیم.\n۲. از طبقه اول به صورت تصادفی یک واحد آماری انتخاب می‌شود.\n۳. سپس به همان ترتیب و اندازه طبقات، واحدهای آماری از طبقات بعدی انتخاب می‌شوند.\n۴. این روش تضمین می‌کند که نمونه‌ها به صورت منظم و طبقه‌ای انتخاب شوند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "جامعه و نمونه‌گیری", "نمونه‌گیری احتمالی"], {"intro": "۱. همه واحدهای آماری جامعه شانس مشخص و غیر صفر برای انتخاب شدن دارند.\n۲. نمونه به صورت تصادفی و با احتمال مشخص انتخاب می‌شود.\n۳. این روش تضمین می‌کند که نمونه نماینده‌ای از جامعه باشد و نتایج قابل تعمیم به کل جامعه باشد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "نمونه‌گیری احتمالی", "تحلیل داده‌های توزیع فراوانی و محاسبه درصد"], {"intro": "۱. داده‌های جدول توزیع فراوانی را بررسی کنید.\n۲. برای محاسبه تعداد کل دانش‌آموزان، تعداد دانش‌آموزان هر کلاس را با هم جمع کنید.\n۳. برای محاسبه درصد کلاس‌هایی که تعداد دانش‌آموزانشان بیشتر از عدد مشخصی است، تعداد کلاس‌های مورد نظر را بر کل کلاس‌ها تقسیم کرده و در ۱۰۰ ضرب کنید.\n۴. برای محاسبه احتمال انتخاب تصادفی یک کلاس با ویژگی خاص، تعداد کلاس‌های دارای آن ویژگی را بر کل کلاس‌ها تقسیم کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "نمونه‌گیری احتمالی", "محاسبه احتمال انتخاب تصادفی کلاس با ویژگی خاص"], {"intro": "۱. تعداد کل کلاس‌ها را محاسبه کنید.\n۲. تعداد کلاس‌هایی که ویژگی مورد نظر را دارند مشخص کنید.\n۳. احتمال انتخاب تصادفی یک کلاس با آن ویژگی برابر است با نسبت تعداد کلاس‌های دارای ویژگی به کل کلاس‌ها."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "نمونه‌گیری احتمالی", "بررسی خطا و ایراد در نمونه‌گیری آماری"], {"intro": "۱. تعریف روش نمونه‌گیری و بررسی نحوه انتخاب نمونه.\n۲. شناسایی منابع خطا مانند انتخاب نادرست نمونه یا نمونه‌گیری ناقص.\n۳. تحلیل اثر خطا بر نتایج آماری و ارائه راهکارهای اصلاحی مانند استفاده از سرپرست خانواده به جای کل اعضا."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "نمونه‌گیری اریب", "محاسبه نسبت اعضای برنده جایزه در ساختار درختی"], {"intro": "۱. تعداد اعضای هر ردیف را با استفاده از رابطه داده شده محاسبه کنید.\n۲. مجموع اعضای هر ردیف را به صورت جمع دنباله حسابی یا هندسی بنویسید.\n۳. نسبت اعضای برنده جایزه را به کل اعضا به صورت کسر بنویسید.\n۴. کسر را ساده کنید و به صورت کسری یا اعشاری بیان کنید.\n۵. برای n بزرگ، تقریب نسبت را محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "نمونه‌گیری اریب", "محاسبه نسبت کسری جایزه گرفته‌ها به کل اعضا با تقریب برای n بزرگ"], {"intro": "۱. نسبت کسری را به صورت کسر با توان‌های n بنویسید.\n۲. برای n بزرگ، توان‌های n را تقریب بزنید (مثلاً توان‌های منفی را به صفر نزدیک کنید).\n۳. کسر را ساده کنید و مقدار تقریبی آن را به دست آورید.\n۴. نتیجه را به صورت درصد بیان کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "نمونه‌گیری اریب", "تحلیل رشد شرکت و تاثیر توقف رشد بر اعضا"], {"intro": "۱. فرض کنید رشد شرکت متوقف شود یا ادامه یابد.\n۲. تعداد اعضا و جایزه گرفته‌ها را در هر حالت محاسبه کنید.\n۳. تاثیر توقف رشد بر تعداد اعضا و جایزه گرفته‌ها را تحلیل کنید.\n۴. نتیجه‌گیری درباره وضعیت اعضا و اعتبار شرکت ارائه دهید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "نمونه‌گیری اریب", "طراحی و تکمیل جدول فراوانی برای داده‌های گروه‌بندی شده"], {"intro": "۱. داده‌ها را به بازه‌های مناسب (کلاس‌ها) تقسیم کنید.\n۲. تعداد داده‌ها (دانش‌آموزان) را در هر بازه بشمارید.\n۳. جدول فراوانی را با ستون‌های بازه‌ها و تعداد دانش‌آموزان تکمیل کنید.\n۴. در صورت نیاز، نمودار یا پرسشنامه‌ای برای جمع‌آوری داده‌ها طراحی کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "گردآوری داده‌ها", "طراحی پرسشنامه برای جمع‌آوری داده‌های آماری"], {"intro": "۱. هدف آمارگیری را مشخص کنید.\n۲. سوالات پرسشنامه را به گونه‌ای طراحی کنید که داده‌های مورد نیاز را به صورت دقیق جمع‌آوری کنند.\n۳. گزینه‌های پاسخ را به صورت دسته‌بندی شده و واضح ارائه دهید.\n۴. پرسشنامه را به نمونه یا جامعه هدف ارائه دهید تا تکمیل شود.\n۵. داده‌های جمع‌آوری شده را برای تحلیل‌های آماری آماده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "گردآوری داده‌ها", "انتخاب روش مناسب گردآوری داده‌ها"], {"intro": "۱. تعیین هدف گردآوری داده‌ها و نوع داده مورد نیاز.\n۲. بررسی محدودیت‌های زمانی، دقت مورد نیاز و منابع موجود.\n۳. انتخاب روش گردآوری داده‌ها از بین پرسش‌نامه، مشاهده، مصاحبه یا ابزارهای الکترونیکی با توجه به شرایط.\n۴. ارزیابی مزایا و معایب هر روش و تطبیق آن با هدف پژوهش.\n۵. اجرای روش انتخاب شده و جمع‌آوری داده‌ها."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "گردآوری داده‌ها", "تعریف و تشخیص متغیرها در پژوهش آماری"], {"intro": "۱. شناسایی ویژگی یا خصوصیتی که قرار است در پژوهش بررسی شود.\n۲. تعیین نوع متغیر: اگر مقدار عددی و قابل انجام عملیات ریاضی باشد، متغیر کمی است.\n۳. اگر متغیر صرفاً برای دسته‌بندی افراد یا اشیا به کار رود و مقدار عددی نداشته باشد، متغیر کیفی است.\n۴. طبقه‌بندی متغیرها و استفاده از آن‌ها در تحلیل آماری."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "گردآوری داده‌ها", "تعریف و تشخیص پارامتر و آمار"], {"intro": "۱. تعریف پارامتر: مشخصه عددی که توصیف‌کننده جنبه‌ای خاص از جامعه است و قابل محاسبه از داده‌های کل جامعه می‌باشد.\n۲. تعریف آمار: مشخصه عددی که توصیف‌کننده جنبه‌ای خاص از نمونه است و از داده‌های نمونه به دست می‌آید.\n۳. تشخیص پارامتر یا آمار در مسائل: اگر داده‌ها مربوط به کل جامعه باشد، مقدار به دست آمده پارامتر است و اگر مربوط به نمونه باشد، مقدار به دست آمده آمار است.\n۴. توجه به اینکه پارامتر مقدار ثابتی است ولی آمار از نمونه‌ای به نمونه دیگر تغییر می‌کند.\n۵. در مسائل، ابتدا جامعه و نمونه را مشخص کنید و سپس تعیین کنید که مقدار داده شده پارامتر است یا آمار."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "متغیر و پارامتر", "تعیین نوع متغیر و دسته‌بندی داده‌ها"], {"intro": "۱. شناسایی نوع متغیر: متغیرهای کمی متغیرهایی هستند که مقادیر عددی دارند و قابل اندازه‌گیری هستند مانند وزن، قد، سن.\n۲. متغیرهای کیفی متغیرهایی هستند که کیفیت یا ویژگی را توصیف می‌کنند و معمولاً غیرعددی هستند مانند جنسیت، ملیت.\n۳. دسته‌بندی داده‌ها بر اساس نوع متغیر: داده‌های کمی را می‌توان به صورت عددی تحلیل کرد و داده‌های کیفی را به صورت دسته‌بندی شده بررسی می‌کنند.\n۴. در مسائل، ابتدا نوع متغیر را مشخص کنید و سپس روش مناسب برای تحلیل آن را انتخاب کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "متغیر و پارامتر", "فرآیند نتیجه‌گیری درباره پارامترهای جامعه بر اساس نمونه"], {"intro": "۱. انتخاب نمونه‌ای از جامعه که نماینده جامعه باشد.\n۲. محاسبه آمار مربوط به نمونه (مشخصه عددی نمونه).\n۳. استفاده از آمار نمونه برای تخمین پارامتر جامعه.\n۴. توجه به اینکه پارامتر جامعه معمولاً ناشناخته است و آمار نمونه برای تخمین آن به کار می‌رود.\n۵. استفاده از روش‌های آماری استنباطی برای نتیجه‌گیری درباره پارامتر جامعه بر اساس نمونه."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "متغیر و پارامتر", "محاسبه احتمال در نمونه‌گیری تصادفی ساده"], {"intro": "۱. تعیین نوع نمونه‌گیری (با جای‌گذاری یا بدون جای‌گذاری).\n۲. محاسبه احتمال انتخاب عضو اول بر اساس تعداد کل اعضا.\n۳. محاسبه احتمال انتخاب عضو دوم با توجه به نوع نمونه‌گیری و نتیجه انتخاب اول.\n۴. ضرب احتمالات برای به دست آوردن احتمال کل.\n۵. تفسیر نتیجه نهایی."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "متغیر و پارامتر", "بررسی برابری احتمال انتخاب خوشه‌ها و واحدهای آماری"], {"intro": "۱. تعریف خوشه و واحد آماری در جامعه آماری.\n۲. بررسی روش نمونه‌گیری (خوشه‌ای یا طبقه‌ای).\n۳. محاسبه احتمال انتخاب هر خوشه و هر واحد آماری.\n۴. مقایسه احتمالات برای تعیین برابری یا عدم برابری.\n۵. نتیجه‌گیری درباره روش نمونه‌گیری و احتمال‌ها."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "متغیر و پارامتر", "تفاوت داده و متغیر و پارامتر و آمار"], {"intro": "۱. تعریف داده به عنوان مقادیر جمع‌آوری شده از مشاهده یا اندازه‌گیری.\n۲. تعریف متغیر به عنوان ویژگی یا خاصیتی که داده‌ها برای آن جمع‌آوری می‌شوند.\n۳. تعریف پارامتر به عنوان مقدار عددی که ویژگی جامعه آماری را توصیف می‌کند.\n۴. تعریف آمار به عنوان مقدار عددی که ویژگی نمونه را توصیف می‌کند.\n۵. بیان تفاوت‌ها و کاربرد هر کدام در آمار استنباطی."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "انتخاب روش نمونه‌گیری", "تحلیل داده‌های کیفی و کمی و انتخاب روش گردآوری مناسب"], {"intro": "۱. تعیین نوع متغیر (کمی یا کیفی) بر اساس ماهیت داده‌ها.\n۲. انتخاب روش گردآوری داده مناسب برای هر نوع متغیر.\n۳. تحلیل داده‌ها با توجه به نوع متغیر و هدف مطالعه.\n۴. ارائه نتیجه‌گیری درباره جامعه آماری و پارامترهای مورد مطالعه."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "انتخاب روش نمونه‌گیری", "بررسی امکان انتخاب نمونه تصادفی با روش پیشنهادی"], {"intro": "برای بررسی امکان انتخاب نمونه تصادفی با روش پیشنهادی ابتدا محدوده اعداد و تعداد نمونه را مشخص می‌کنیم. سپس با توجه به روش انتخاب اعداد تصادفی (مثلاً انتخاب اعداد از ۰ تا ۹۹ یا ۰ تا ۹۹۹) بررسی می‌کنیم که آیا تعداد نمونه مورد نظر قابل انتخاب است یا خیر. اگر تعداد اعداد ممکن کمتر از تعداد نمونه باشد، روش پیشنهادی قابل توسعه نیست. در غیر این صورت، روش قابل استفاده است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "برآورد نقطه‌ای", "برآورد نقطه‌ای پارامتر جامعه"], {"intro": "۱. تعریف پارامتر جامعه که باید برآورد شود (مثلاً میانگین تعداد اعضای خانوار). ۲. جمع‌آوری نمونه‌ای تصادفی از جامعه (مثلاً تعداد اعضای خانوار ۹ خریدار محصول). ۳. محاسبه مقدار آماری نمونه (مثلاً میانگین تعداد اعضای خانوار در نمونه). ۴. استفاده از مقدار آماری نمونه به عنوان برآورد نقطه‌ای پارامتر جامعه."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "برآورد نقطه‌ای", "برآورد میانگین جامعه با استفاده از نمونه تصادفی"], {"intro": "۱. جامعه آماری و پارامتر مورد نظر (میانگین درآمد) را مشخص کنید.\n۲. نمونه‌ای تصادفی از جامعه انتخاب کنید و میانگین نمونه را محاسبه کنید.\n۳. با توجه به اندازه نمونه و توزیع نمونه‌گیری، برآوردی از میانگین جامعه ارائه دهید.\n۴. احتمال مشاهده هر مقدار میانگین نمونه را با استفاده از توزیع احتمالات داده شده محاسبه کنید.\n۵. بررسی کنید که آیا برآورد میانگین نمونه به پارامتر جامعه نزدیک است یا خیر.\n۶. در صورت نیاز، اندازه نمونه را افزایش دهید تا برآورد دقیق‌تری به دست آید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "برآورد نقطه‌ای", "محاسبه و رسم توزیع احتمال نمونه‌گیری تصادفی ساده"], {"intro": "۱. از جامعه آماری ۶ عضو، نمونه‌های تصادفی ساده به اندازه n=۳ انتخاب می‌کنیم. ۲. برای هر نمونه، میانگین مقادیر اعضای آن نمونه را محاسبه می‌کنیم. ۳. احتمال مشاهده هر میانگین نمونه را با توجه به تعداد نمونه‌های ممکن که آن میانگین را دارند، محاسبه می‌کنیم. ۴. مقادیر میانگین نمونه‌ها را روی محور طول‌ها قرار می‌دهیم و احتمال هر مقدار را روی محور عمودی رسم می‌کنیم. ۵. نمودار احتمال مشاهده هر میانگین نمونه را رسم می‌کنیم که توزیع احتمال نمونه‌گیری تصادفی ساده را نشان می‌دهد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "برآورد نقطه‌ای", "برآورد انحراف معیار میانگین جامعه با نمونه‌های مختلف"], {"intro": "۱. انحراف معیار جامعه (σ) را داریم یا فرض می‌کنیم.\n۲. اندازه نمونه (n) را مشخص می‌کنیم.\n۳. انحراف معیار برآورد شده میانگین نمونه (σx̄) را با فرمول σx̄ = σ / √n محاسبه می‌کنیم.\n۴. با افزایش اندازه نمونه، انحراف معیار برآورد شده کاهش می‌یابد و برآورد دقیق‌تری از میانگین جامعه خواهیم داشت."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "برآورد نقطه‌ای", "تعیین چند برابر شدن انحراف معیار برآورد میانگین با تغییر اندازه نمونه"], {"intro": "۱. انحراف معیار برآورد میانگین نمونه با فرمول σx̄ = σ / √n محاسبه می‌شود.\n۲. برای دو اندازه نمونه مختلف n1 و n2، انحراف معیارهای برآورد شده را محاسبه کنید.\n۳. نسبت انحراف معیارها را به صورت σx̄۱ / σx̄۲ = √(n2 / n1) محاسبه کنید.\n۴. این نسبت نشان می‌دهد که انحراف معیار برآورد میانگین چند برابر شده است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "برآورد نقطه‌ای", "برآورد بازه‌ای برای میانگین جامعه"], {"intro": "۱. میانگین نمونه (x̄) را محاسبه کنید.\n۲. انحراف معیار جامعه (σ) را مشخص کنید.\n۳. اندازه نمونه (n) را تعیین کنید.\n۴. ضریب اطمینان (z) مربوط به درصد اطمینان مورد نظر را بیابید (مثلاً برای ۹۵%، z=۲).\n۵. فاصله اطمینان را با فرمول x̄ - zσ/√n ≤ μ ≤ x̄ + zσ/√n محاسبه کنید.\n۶. بازه به دست آمده، بازه‌ای است که با درصد اطمینان مشخص، میانگین جامعه در آن قرار دارد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "بازه‌ی اطمینان برای نسبت", "برآورد بازه‌ای برای نسبت در جامعه"], {"intro": "۱. نسبت نمونه (p̂) را از داده‌های نمونه محاسبه کنید.\n۲. اندازه نمونه (n) را مشخص کنید.\n۳. ضریب اطمینان (z) مربوط به درصد اطمینان مورد نظر را بیابید.\n۴. انحراف معیار نسبت را با فرمول √(p̂(۱-p̂)/n) محاسبه کنید.\n۵. فاصله اطمینان را با فرمول p̂ - z * انحراف معیار ≤ p ≤ p̂ + z * انحراف معیار محاسبه کنید.\n۶. بازه به دست آمده، بازه‌ای است که با درصد اطمینان مشخص، نسبت جامعه در آن قرار دارد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "بازه‌ی اطمینان برای نسبت", "برآورد بازه‌ای نسبت جامعه"], {"intro": "۱. فرض کنید n تعداد نمونه تصادفی ساده از جامعه بزرگ است و m تعداد نمونه‌هایی است که ویژگی مورد نظر را دارند.\n۲. نسبت نمونه p را به صورت p = m/n محاسبه کنید.\n۳. بازه اطمینان ۹۵ درصد برای نسبت واقعی جامعه را با فرمول زیر محاسبه کنید:\n p - ۲ * √(p(۱-p)/n) ≤ نسبت واقعی ≤ p + ۲ * √(p(۱-p)/n)\n۴. مقدار بازه اطمینان نشان‌دهنده حد خطا و دقت برآورد نسبت جامعه است.\n۵. اگر بخواهیم دقت را افزایش دهیم، باید تعداد نمونه‌ها را افزایش دهیم که طول بازه اطمینان کاهش یابد.\n۶. برای افزایش دقت k برابر، طول بازه اطمینان را بر √(k) تقسیم می‌کنیم و تعداد نمونه‌ها را به k برابر افزایش می‌دهیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "بازه‌ی اطمینان برای نسبت", "برآورد فاصله‌ای برای نسبت جامعه"], {"intro": "۱. تعیین نسبت نمونه‌ای p=m/n که m تعداد موفقیت‌ها و n حجم نمونه است.\n۲. تعیین سطح اطمینان و مقدار z متناظر با آن (مثلاً ۹۵% اطمینان متناظر با z=۱٫۹۶).\n۳. محاسبه خطای استاندارد نسبت به صورت √(p(۱-p)/n).\n۴. محاسبه طول بازه اطمینان به صورت ۲*z*√(p(۱-p)/n).\n۵. تعیین بازه اطمینان به صورت [p - z*√(p(۱-p)/n), p + z*√(p(۱-p)/n)].\n۶. تفسیر بازه اطمینان به عنوان بازه‌ای که با احتمال مشخص شامل نسبت واقعی جامعه است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "بازه‌ی اطمینان برای نسبت", "تعیین حجم نمونه برای طول بازه اطمینان مشخص"], {"intro": "۱. تعیین طول بازه اطمینان دلخواه L.\n۲. تعیین سطح اطمینان و مقدار z متناظر با آن.\n۳. فرض مقدار p (نسبت نمونه‌ای یا بیشینه مقدار p(۱-p) که برابر ۰٫۲۵ است).\n۴. استفاده از فرمول طول بازه اطمینان L = ۲*z*√(p(۱-p)/n) و حل آن برای n.\n۵. محاسبه n به صورت n = (۲*z)² * p(۱-p) / L².\n۶. گرد کردن n به عدد صحیح بزرگ‌تر و استفاده از آن به عنوان حجم نمونه لازم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "بازه‌ی اطمینان برای نسبت", "نمونه‌گیری تصادفی ساده و محاسبه احتمال مشاهده مقادیر"], {"intro": "۱. داده‌های نمونه را به صورت جدول مرتب کنید.\n۲. تعداد مشاهده هر مقدار را بشمارید.\n۳. احتمال مشاهده هر مقدار را با تقسیم تعداد مشاهده آن مقدار بر کل نمونه محاسبه کنید.\n۴. نتایج را در جدول بنویسید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "بازه‌ی اطمینان برای نسبت", "برآورد تعداد انتخاب شده با دو روش مختلف"], {"intro": "۱. تعداد کل اعداد را مشخص کنید (مثلاً از ۱ تا ۱۰).\n۲. دو روش انتخاب را بررسی کنید.\n۳. با توجه به روش‌ها، تعداد انتخاب شده را برآورد کنید.\n۴. نتایج را مقایسه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "بازه‌ی اطمینان برای میانگین", "محاسبه بازه اطمینان برای میانگین جامعه با انحراف معیار داده شده"], {"intro": "۱. میانگین نمونه را محاسبه کنید.\n۲. انحراف معیار جامعه را مشخص کنید.\n۳. سطح اطمینان (مثلاً ۹۵%) را تعیین کنید.\n۴. مقدار خطا (خطای استاندارد) را با فرمول انحراف معیار تقسیم بر ریشه تعداد نمونه محاسبه کنید.\n۵. بازه اطمینان را با استفاده از فرمول میانگین ± (ضریب z × خطای استاندارد) محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "بازه‌ی اطمینان برای میانگین", "محاسبه میانگین، انحراف معیار و رسم نمودارهای آماری از داده‌های نمرات"], {"intro": "۱. داده‌های نمرات را جمع‌آوری کنید.\n۲. میانگین نمرات را با جمع کل نمرات تقسیم بر تعداد داده‌ها محاسبه کنید.\n۳. انحراف معیار را با فرمول استاندارد محاسبه کنید.\n۴. درصد داده‌های داخل بازه اطمینان را محاسبه کنید.\n۵. بافت فراوانی داده‌ها را در فواصل مشخص رسم کنید.\n۶. نمودار چندبر فراوانی با اتصال وسط مستطیل‌ها به محور طول‌ها رسم کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "بازه‌ی اطمینان برای میانگین", "آزمون فرض آماری با استفاده از نمونه‌گیری و نمودار فراوانی"], {"intro": "۱. تعریف فرض صفر و فرض مقابل: فرض صفر معمولاً بیانگر برابری یا عدم تفاوت است و فرض مقابل برعکس آن است.\n۲. انتخاب نمونه و محاسبه آماره نمونه (مثلاً میانگین نمونه).\n۳. رسم نمودار فراوانی نمونه‌ها و مقایسه آن با پارامتر جامعه (میانگین μ).\n۴. تعیین بازه اطمینان (مثلاً ۹۵%) برای پارامتر جامعه بر اساس نمونه.\n۵. بررسی اینکه آیا خط فرض صفر (مثلاً خط میانگین جامعه) در بازه اطمینان قرار دارد یا خیر.\n۶. نتیجه‌گیری: اگر خط فرض صفر در بازه اطمینان باشد، فرض صفر رد نمی‌شود؛ در غیر این صورت رد می‌شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: آمار استنباطی", "بازه‌ی اطمینان برای میانگین", "محاسبه بازه اطمینان برای میانگین جامعه"], {"intro": "۱. تعیین سطح اطمینان (مثلاً ۹۵ درصد) و مقدار z متناظر با آن از جدول توزیع نرمال استاندارد.\n۲. محاسبه خطای استاندارد میانگین با فرمول SE = σ / √n که در آن σ انحراف معیار جامعه و n حجم نمونه است.\n۳. تعیین بازه اطمینان به صورت (x̄ - z*SE, x̄ + z*SE) که x̄ میانگین نمونه است.\n۴. تفسیر بازه به عنوان بازه‌ای که با احتمال ۹۵ درصد شامل میانگین واقعی جامعه است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۱)", "محاسبه مساحت چندضلعی‌های منتظم و تقریب مساحت دایره"], {"intro": "۱. مساحت چندضلعی منتظم n ضلعی را با استفاده از فرمول مساحت چندضلعی منتظم محاسبه می‌کنیم: Aₙ = (n * s * a) / ۲ که s طول ضلع و a ارتفاع یا فاصله از مرکز به ضلع است.\n۲. با افزایش تعداد اضلاع n، مساحت چندضلعی به مساحت دایره با شعاع مشخص نزدیک می‌شود.\n۳. برای تقریب مساحت دایره، مساحت چندضلعی‌های منتظم با تعداد اضلاع زیاد را محاسبه و مشاهده می‌کنیم که به πr² نزدیک می‌شود.\n۴. در مثال‌های عددی، مقدار عددی مساحت چندضلعی‌ها برای nهای مختلف محاسبه و در جدول آورده می‌شود.\n۵. نتیجه‌گیری می‌کنیم که با افزایش n، مساحت چندضلعی منتظم داخل دایره به مساحت دایره نزدیک می‌شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۱)", "محاسبه اندازه ضلع و محیط مثلث‌های متوالی در شکل‌های هندسی"], {"intro": "۱. فرض کنید ضلع اولیه مثلث برابر x باشد و محیط آن P باشد.\n۲. با توجه به شکل، ضلع مثلث جدید برابر نصف ضلع مثلث قبلی است (xₙ = x / ۲ⁿ⁻¹).\n۳. محیط مثلث جدید برابر ۳ برابر ضلع جدید است (Pₙ = ۳ * xₙ).\n۴. با ادامه دادن این روند، دنباله‌ای از اندازه اضلاع و محیط‌ها به دست می‌آید.\n۵. برای یافتن حد این دنباله‌ها، از فرمول حد دنباله‌های هندسی استفاده می‌کنیم.\n۶. اندازه اضلاع به صفر میل می‌کند و محیط‌ها به عددی ثابت نزدیک می‌شوند.", "example": "فرض کنید ضلع اولیه مثلث برابر ۸ باشد. با توجه به اینکه ضلع مثلث جدید برابر نصف ضلع مثلث قبلی است، اندازه ضلع دوم چقدر خواهد بود؟", "steps": ["ضلع اولیه مثلث برابر ۸ است.", "ضلع دوم برابر نصف ضلع اول است: ۸ ÷ ۲ = ۴.", "بنابراین، اندازه ضلع دوم برابر ۴ است.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۱)", "بررسی حد تابع در اطراف یک نقطه"], {"intro": "۱. تابع را به صورت جبری ساده کنید اگر ممکن است.\n۲. مقادیر تابع را برای مقادیر x نزدیک به نقطه مورد نظر از سمت چپ و راست محاسبه کنید.\n۳. مقادیر به دست آمده را بررسی کنید که آیا به یک عدد مشخص نزدیک می‌شوند یا خیر.\n۴. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند، حد تابع در آن نقطه وجود دارد و برابر آن عدد است.\n۵. اگر حد چپ و حد راست برابر نباشند، حد در آن نقطه وجود ندارد.\n۶. در صورت وجود حد، مقدار حد را به عنوان مقدار حد تابع در آن نقطه می‌نویسیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۱)", "محاسبه مقدار تابع در نقطه تعریف شده"], {"example": "تابع f(x) = ۲x + ۳, اگر x < ۱; ۴, اگر x = ۱; x² - ۱, اگر x > ۱ را در نقطه x = ۲ محاسبه کنید.", "steps": ["چون x = ۲ بزرگتر از ۱ است، باید از قسمت سوم تابع استفاده کنیم.", "مقدار تابع را با جایگذاری x = ۲ در x² - ۱ محاسبه می‌کنیم.", "f(۲) = ۲² - ۱ = ۴ - ۱ = ۳.", "✅ جواب: ۳"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۱)", "حد تابع با تقریب مقادیر نزدیک به نقطه"], {"example": "یافتن حد تابع f(x) = ۲x + ۳ به ازای x نزدیک به ۱.", "steps": ["برای x = ۱، مقدار تابع را محاسبه می‌کنیم: f(۱) = ۲×۱ + ۳ = ۵.", "برای x = ۰٫۹، مقدار تابع را محاسبه می‌کنیم: f(۰٫۹) = ۲×۰٫۹ + ۳ = ۴٫۸.", "برای x = ۱٫۱، مقدار تابع را محاسبه می‌کنیم: f(۱٫۱) = ۲×۱٫۱ + ۳ = ۵٫۲.", "مقادیر تابع از سمت چپ (۴٫۸) و سمت راست (۵٫۲) به عدد ۵ نزدیک می‌شوند.", "بنابراین حد تابع f(x) به ازای x نزدیک به ۱ برابر با ۵ است.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۲)", "محاسبه حد توابع در نقطه"], {"intro": "۱. مقدار تابع را در نقطه مورد نظر بررسی کنید. ۲. اگر تابع در آن نقطه تعریف نشده باشد، به رفتار تابع در نزدیکی آن نقطه توجه کنید. ۳. مقدار تابع را از سمت چپ و راست نقطه بررسی کنید. ۴. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند، آن مقدار حد تابع در آن نقطه است. ۵. اگر حدها برابر نباشند، حد در آن نقطه وجود ندارد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۲)", "تفاوت و شباهت توابع در نقاط مختلف و مفهوم حد"], {"intro": "۱. بررسی کنید که آیا تابع در نقطه a تعریف شده است یا خیر. ۲. اگر تعریف نشده باشد ولی حد تابع وقتی x به a نزدیک می‌شود وجود داشته باشد، مقدار حد را تعیین کنید. ۳. اگر تابع در نقطه a تعریف شده و مقدار تابع برابر مقدار حد باشد، تابع در آن نقطه پیوسته است. ۴. اگر مقدار تابع در نقطه a با حد آن برابر نباشد، تابع در آن نقطه ناپیوسته است. ۵. رفتار تابع در اطراف نقطه a را بررسی کنید تا تفاوت‌ها و شباهت‌ها را بیان کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۲)", "تعریف همسایگی و باز شامل یک نقطه"], {"intro": "۱. یک عدد حقیقی x را در نظر بگیرید. ۲. باز شامل x را به صورت بازه (a,b) که x در آن قرار دارد تعریف کنید. ۳. اگر x را از بازه حذف کنیم، مجموعه به نام همسایگی حذف شده x تعریف می‌شود. ۴. اگر بازه به صورت (x-r, x+r) باشد، بازه سمت راست (x, x+r) همسایگی راست و بازه سمت چپ (x-r, x) همسایگی چپ x است. ۵. این مفاهیم برای تعریف حد و پیوستگی توابع در نقاط مختلف کاربرد دارند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۲)", "رسم نمودار تابع با شرایط حد و پیوستگی"], {"intro": "۱. ابتدا نقاطی که تابع در آن‌ها تعریف نشده یا مقدار حد دارد را مشخص کنید.\n۲. نمودار تابع را در بازه‌های مختلف رسم کنید به طوری که شرایط حد و پیوستگی رعایت شود.\n۳. اگر تابع در نقطه‌ای تعریف نشده ولی حد دارد، نقطه را به صورت باز (حلقه خالی) نشان دهید.\n۴. اگر تابع در نقطه‌ای تعریف شده ولی مقدار تابع با حد آن نقطه متفاوت است، مقدار تابع را با نقطه پر (حلقه پر) نشان دهید و حد را با توجه به همسایگی‌ها بررسی کنید.\n۵. نمودار را به گونه‌ای رسم کنید که شرایط همسایگی راست و چپ و مقدار تابع در نقطه مورد نظر به درستی نمایش داده شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۲)", "رسم نمودار تابع با حد در نقطه ولی مقدار تابع متفاوت"], {"intro": "۱. تابع را در بازه‌های اطراف نقطه مورد نظر رسم کنید.\n۲. مقدار حد تابع در نقطه را محاسبه کنید.\n۳. مقدار تابع در نقطه را مشخص کنید که ممکن است با حد متفاوت باشد.\n۴. نمودار را طوری رسم کنید که مقدار تابع در نقطه با نقطه پر (حلقه پر) نشان داده شود.\n۵. حد تابع را با توجه به همسایگی‌ها بررسی و نمودار را طوری رسم کنید که حد از دو طرف به مقدار حد نزدیک شود ولی مقدار تابع در نقطه متفاوت باشد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۳)", "رسم نمودار تابع با حد در نقطه ولی تابع در آن نقطه تعریف نشده"], {"intro": "۱. تابع را در بازه‌های اطراف نقطه مورد نظر رسم کنید.\n۲. مقدار حد تابع در نقطه را محاسبه کنید.\n۳. تابع در نقطه تعریف نشده است، پس نقطه را با حلقه باز (نقطه خالی) نشان دهید.\n۴. نمودار را طوری رسم کنید که حد تابع از دو طرف به مقدار حد نزدیک شود ولی در نقطه مقدار تابع وجود نداشته باشد.\n۵. نمودار باید پیوستگی حد را نشان دهد ولی تابع در نقطه تعریف نشده باشد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۳)", "محاسبه حد توابع با استفاده از جدول و نمودار"], {"intro": "۱. تابع داده شده را بررسی کنید و نقطه‌ای که حد باید در آن محاسبه شود را مشخص کنید.\n۲. مقادیر تابع را در نزدیکی آن نقطه (از چپ و راست) با استفاده از جدول یا نمودار بررسی کنید.\n۳. اگر مقادیر تابع از دو طرف به یک عدد نزدیک شوند، آن عدد حد تابع در آن نقطه است.\n۴. اگر مقدار تابع در خود نقطه تعریف نشده باشد، باز هم می‌توان حد را با بررسی مقادیر نزدیک به آن نقطه تعیین کرد.\n۵. اگر مقادیر از دو طرف به عددهای متفاوتی نزدیک شوند، حد وجود ندارد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۳)", "بررسی وجود حد تابع در نقطه با توجه به دامنه و همسایگی"], {"intro": "۱. دامنه تابع را بررسی کنید و ببینید آیا نقطه مورد نظر در دامنه تابع قرار دارد یا خیر.\n۲. بررسی کنید که آیا تابع در همسایگی آن نقطه تعریف شده است یا خیر.\n۳. اگر تابع در همسایگی نقطه تعریف نشده باشد، حد در آن نقطه وجود ندارد.\n۴. اگر تابع در همسایگی نقطه تعریف شده باشد، می‌توان حد را با روش‌های معمول محاسبه کرد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۳)", "تعیین مقدار حد توابع با استفاده از نمودار"], {"intro": "۱. نمودار تابع را در نقطه مورد نظر بررسی کنید.\n۲. مقدار y تابع را در نزدیکی نقطه از سمت چپ و راست مشاهده کنید.\n۳. اگر مقدار y از دو طرف به یک عدد نزدیک شود، آن عدد حد تابع است.\n۴. مقدار حد را با توجه به مقدار y روی نمودار تعیین کنید.", "example": "نمودار تابع f(x) در نقطه x=۲ به صورت زیر داده شده است. مقدار حد این تابع را در نقطه x=۲ مشخص کنید: • از سمت چپ x=۲، مقدار y برابر ۴ است. • از سمت راست x=۲، مقدار y برابر ۴ است.", "steps": ["مقدار y تابع از سمت چپ x=۲ برابر ۴ است.", "مقدار y تابع از سمت راست x=۲ برابر ۴ است.", "از هر دو سمت، مقدار y به عدد ۴ نزدیک می‌شود.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۳)", "محاسبه حد تابع با استفاده از نمودار"], {"intro": "۱. نمودار تابع را بررسی کنید و مقدار y را در نزدیکی نقطه x مورد نظر بیابید.\n۲. اگر مقدار y به یک عدد خاص نزدیک شود، آن عدد حد تابع در آن نقطه است.\n۳. اگر مقدار y از دو طرف به یک عدد نزدیک شود، حد وجود دارد و برابر آن عدد است.\n۴. اگر مقدار y از دو طرف متفاوت باشد یا به بی‌نهایت میل کند، حد وجود ندارد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۴)", "یافتن حد تابع با استفاده از جدول مقادیر"], {"intro": "۱. مقادیر تابع را در جدول برای x نزدیک به نقطه مورد نظر از سمت چپ و راست بررسی کنید.\n۲. اگر مقادیر تابع از دو طرف به یک عدد خاص نزدیک شوند، آن عدد حد تابع است.\n۳. اگر مقادیر از دو طرف متفاوت باشند، حد وجود ندارد.\n۴. مقدار تابع در خود نقطه ممکن است متفاوت باشد و تاثیری بر حد ندارد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۴)", "بررسی تعریف تابع در نقطه و رسم نمودار تابع چندجمله‌ای و قطعه‌ای"], {"intro": "۱. بررسی تعریف تابع در نقطه با جایگذاری مقدار x در هر قسمت تابع. ۲. رسم نمودار تابع با توجه به شرط‌های داده شده برای بازه‌های مختلف x. ۳. نوشتن جدول مقادیر تابع در همسایگی نقطه مورد نظر. ۴. محاسبه حد تابع با بررسی مقدار تابع در نزدیکی نقطه از چپ و راست."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۴)", "رسم نمودار و محاسبه حد تابع گسسته با دامنه اعداد صحیح"], {"intro": "۱. رسم نمودار تابع با توجه به تعریف تابع در اعداد صحیح و غیرصحیح. ۲. بررسی مقادیر تابع در بازه داده شده. ۳. محاسبه حد تابع با توجه به مقادیر تابع در نزدیکی نقاط مورد نظر از چپ و راست."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۴)", "بررسی دامنه، تعریف و حد تابع رادیکالی با حذف نقطه"], {"intro": "۱. تعیین دامنه تابع با توجه به شرط داخل رادیکال و مخرج کسر. ۲. بررسی نقاط حذف شده در دامنه و همسایگی آنها. ۳. محاسبه حد تابع در نقاط حذف شده با استفاده از حد چپ و راست. ۴. بررسی تعریف تابع در نقاط حذف شده با جایگذاری مستقیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۴)", "یافتن مجموعه مقادیر تابع یک به یک"], {"intro": "۱. بررسی شرط یک به یک بودن تابع در بازه داده شده. ۲. تعیین دامنه تابع. ۳. محاسبه مقدار تابع در نقاط انتهایی دامنه. ۴. تعیین مجموعه مقادیر تابع به صورت بازه بین مقادیر انتهایی.", "example": "تابع f(x) = ۲x + ۱ را در بازه [۱, ۴] بررسی کنید. مجموعه مقادیر این تابع را تعیین کنید.", "steps": ["ابتدا دامنه تابع f(x) = ۲x + ۱ را مشخص می‌کنیم که برابر با [۱, ۴] است.", "سپس مقدار تابع را در نقطه انتهایی اول محاسبه می‌کنیم: f(۱) = ۲×۱ + ۱ = ۳.", "حالا مقدار تابع را در نقطه انتهایی دوم محاسبه می‌کنیم: f(۴) = ۲×۴ + ۱ = ۹.", "مجموعه مقادیر تابع برابر با بازه بین مقادیر انتهایی است: [۳, ۹].", "✅ جواب: [۳, ۹]"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست) (۱)", "تعریف حد راست و حد چپ تابع در نقطه"], {"example": "تابع f(x) = ۲x + ۳ را در نقطه x=۱ بررسی کنید. حد راست این تابع را بیابید.", "steps": ["برای محاسبه حد راست تابع f در نقطه x=۱، مقادیر تابع را از سمت راست بررسی می‌کنیم.", "مقدار تابع را برای x=۱٫۱ محاسبه می‌کنیم: f(۱٫۱) = ۲(۱٫۱) + ۳ = ۵٫۲.", "مقدار تابع را برای x=۱٫۰۱ محاسبه می‌کنیم: f(۱٫۰۱) = ۲(۱٫۰۱) + ۳ = ۵٫۰۲.", "مقدار تابع را برای x=۱٫۰۰۱ محاسبه می‌کنیم: f(۱٫۰۰۱) = ۲(۱٫۰۰۱) + ۳ = ۵٫۰۰۲.", "با نزدیک شدن x به ۱ از سمت راست، مقادیر تابع به ۵ نزدیک می‌شوند. بنابراین، حد راست تابع در x=۱ برابر ۵ است.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست) (۱)", "وجود حد تابع در نقطه با توجه به حد چپ و حد راست"], {"example": "تابع f(x) = ۲x + ۳ را در نقطه x=۱ بررسی کنید. حد چپ و حد راست تابع را در این نقطه محاسبه کنید.", "steps": ["برای محاسبه حد چپ در x=۱، از سمت چپ به تابع نزدیک می‌شویم: حد f(x) وقتی x به ۱ نزدیک می‌شود از سمت چپ برابر است با ۲(۱) + ۳ = ۵.", "برای محاسبه حد راست در x=۱، از سمت راست به تابع نزدیک می‌شویم: حد f(x) وقتی x به ۱ نزدیک می‌شود از سمت راست برابر است با ۲(۱) + ۳ = ۵.", "حد چپ و حد راست در x=۱ برابرند: ۵ = ۵.", "بنابراین، حد تابع f در نقطه x=۱ وجود دارد و برابر با ۵ است.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست) (۱)", "یافتن حد تابع از روی نمودار"], {"intro": "۱. نقطه مورد نظر x را در نمودار مشخص کنید.\n۲. مقدار تابع را از سمت راست (x به سمت x0+) و سمت چپ (x به سمت x0-) بررسی کنید.\n۳. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند، حد تابع در آن نقطه برابر با این مقدار است.\n۴. اگر حد چپ و حد راست برابر نباشند، حد تابع در آن نقطه وجود ندارد.\n۵. در صورت وجود حد، مقدار حد را گزارش کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست) (۱)", "رسم نمودار تابع با شرایط حد و پیوستگی"], {"intro": "۱. شرایط داده شده برای تابع را بررسی کنید (مثلاً در همسایگی نقطه خاصی تعریف شده یا نشده).\n۲. مقدار حد در آن نقطه را محاسبه یا تعیین کنید.\n۳. مقدار تابع در آن نقطه را مشخص کنید (تعریف شده یا نشده).\n۴. نمودار تابع را طوری رسم کنید که شرایط حد و پیوستگی داده شده رعایت شود.\n۵. در صورت وجود نقطه حذف شده یا نقطه با مقدار تابع متفاوت، آن را روی نمودار مشخص کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست) (۲)", "محاسبه حد تابع در نقطه با استفاده از حد چپ و حد راست"], {"example": "مقدار حد تابع f(x) = ۲x + ۳ را در نقطه x = ۴ محاسبه کنید.", "steps": ["برای محاسبه حد راست، ابتدا مقدار تابع را در x = ۴ محاسبه می‌کنیم: f(۴) = ۲×۴ + ۳ = ۸ + ۳ = ۱۱.", "برای محاسبه حد چپ، مقدار تابع را در x = ۴ محاسبه می‌کنیم: f(۴) = ۲×۴ + ۳ = ۸ + ۳ = ۱۱.", "حد راست و حد چپ برابرند: lim x→۴⁺ f(x) = ۱۱ و lim x→۴⁻ f(x) = ۱۱.", "از آنجا که حد راست و حد چپ برابرند، حد تابع در x = ۴ وجود دارد و برابر با ۱۱ است.", "✅ جواب: ۱۱"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست) (۲)", "محاسبه حد راست تابع کسری با استفاده از حد تابع پله‌ای و تابع ثابت"], {"intro": "برای محاسبه حد راست تابعی مانند lim x→۰⁺ [x]/x، ابتدا مقدار تابع پله‌ای [x] را در بازه (۰, ۰٫۱) بررسی می‌کنیم که برابر صفر است. سپس تابع ثابت g(x) = ۰ را در نظر می‌گیریم. با توجه به اینکه تابع پله‌ای و تابع ثابت در همسایگی راست نقطه صفر برابرند، حد راست تابع کسری برابر با حد تابع ثابت است که صفر می‌باشد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست) (۲)", "تحلیل تابع با استفاده از تعریف قدر مطلق و رسم نمودار"], {"intro": "۱. تابع داده شده را با استفاده از تعریف قدر مطلق به صورت دو ضابطه‌ای بنویسید. ۲. نمودار تابع را بر اساس ضابطه‌های تعریف شده رسم کنید. ۳. حد چپ و حد راست تابع را در نقطه مورد نظر (مثلاً صفر) از روی نمودار یا ضابطه‌ها به دست آورید. ۴. بررسی کنید آیا حد چپ و راست برابرند تا حد تابع در آن نقطه وجود داشته باشد یا خیر."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست) (۲)", "محاسبه حد تابع از روی نمودار"], {"intro": "۱. نمودار تابع را بررسی کنید و نقاط مورد نظر برای محاسبه حد را مشخص کنید. ۲. مقدار تابع را از سمت چپ و راست نقطه مورد نظر روی نمودار پیدا کنید. ۳. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند، آن مقدار حد تابع در آن نقطه است. در غیر این صورت، حد وجود ندارد. ۴. در صورت نیاز، مقدار تابع در آن نقطه را نیز بررسی کنید تا پیوستگی یا ناپیوستگی مشخص شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست) (۲)", "محاسبه حد تابع چندجمله‌ای و بررسی پیوستگی در نقطه"], {"intro": "۱. تابع را در دو طرف نقطه مورد نظر بررسی کنید (از چپ و راست). ۲. مقادیر تابع را در نزدیکی نقطه به دست آورید. ۳. حد چپ و حد راست را محاسبه کنید. ۴. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند، حد تابع در آن نقطه وجود دارد و برابر با آن مقدار است. ۵. مقدار تابع در نقطه را محاسبه کنید. ۶. اگر مقدار تابع در نقطه برابر حد تابع باشد، تابع در آن نقطه پیوسته است؛ در غیر این صورت ناپیوسته است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست) (۳)", "تشخیص پیوستگی و وجود حد در توابع گسسته با استفاده از نمودار"], {"intro": "۱. نمودار تابع را بررسی کنید و نقاطی که در آنها تابع تعریف نشده یا نقاط حذف شده را مشخص کنید. ۲. برای هر نقطه مورد نظر، حد چپ و حد راست را از روی نمودار تعیین کنید. ۳. بررسی کنید که آیا حد چپ و حد راست برابرند یا خیر. ۴. بررسی کنید که مقدار تابع در آن نقطه تعریف شده است یا خیر. ۵. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند و مقدار تابع در نقطه برابر آن حد باشد، تابع در آن نقطه پیوسته است. ۶. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند ولی مقدار تابع در نقطه برابر حد نباشد، تابع در آن نقطه حد دارد ولی پیوسته نیست. ۷. اگر حد چپ و حد راست برابر نباشند، تابع در آن نقطه حد ندارد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست) (۳)", "بررسی حد چپ و راست توابع با دامنه خاص"], {"intro": "۱. دامنه تابع را بررسی کنید و نوع تابع را مشخص کنید.\n۲. حد چپ و حد راست تابع را در نقطه مورد نظر محاسبه کنید.\n۳. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند، حد در آن نقطه وجود دارد و برابر با آن مقدار است.\n۴. اگر حد چپ و حد راست برابر نباشند، حد در آن نقطه وجود ندارد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست) (۳)", "محاسبه حد توابع کسری با استفاده از قسمت صحیح"], {"intro": "۱. تابع را به صورت جداگانه در سمت چپ و راست نقطه مورد نظر بررسی کنید.\n۲. مقدار قسمت صحیح [x] را در نزدیکی نقطه محاسبه کنید.\n۳. مقدار تابع را با جایگذاری مقادیر قسمت صحیح در تابع اصلی محاسبه کنید.\n۴. حد راست و چپ را مقایسه کنید تا وجود حد را بررسی نمایید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست) (۳)", "رسم نمودار و تعیین حدود تابع ترکیبی"], {"intro": "۱. تابع داده شده را تحلیل و بخش‌های مختلف آن را مشخص کنید.\n۲. نمودار تابع را رسم کنید یا رفتار تابع را در نزدیکی نقطه مورد نظر بررسی کنید.\n۳. حد چپ و حد راست را از روی نمودار یا با محاسبه جبری تعیین کنید.\n۴. اگر حد چپ و راست برابر باشند، حد کلی را مشخص کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "حدهای یک‌طرفه (حد چپ و حد راست) (۳)", "محاسبه حد توابع قدر مطلق و بررسی پیوستگی"], {"intro": "۱. تابع قدر مطلق را به صورت دو حالت برای x مثبت و منفی تعریف کنید.\n۲. حد تابع را در نقاط مورد نظر (مثلاً بی‌نهایت یا عدد خاص) محاسبه کنید.\n۳. نمودار تابع را رسم کنید تا رفتار تابع را بهتر درک کنید.\n۴. بررسی کنید که آیا حد در نقطه مورد نظر برقرار است یا خیر."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "قضایای حد (۱)", "محاسبه حد توابع ثابت و همانی با استفاده از نمودار"], {"example": "حد تابع f(x) = ۵ را در نقطه x = ۳ محاسبه کنید.", "steps": ["تابع f(x) = ۵ یک تابع ثابت است و مقدار آن در هر نقطه برابر با ۵ است.", "برای محاسبه حد در x = ۳، مقدار تابع را در این نقطه بررسی می‌کنیم.", "مقدار f(۳) = ۵ است.", "بنابراین، حد تابع در x = ۳ برابر با ۵ خواهد بود.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "قضایای حد (۱)", "محاسبه حد توابع با استفاده از نمودار"], {"intro": "۱. تابع یا توابع داده شده را به دقت بررسی کنید و نمودار آن‌ها را مشاهده کنید.\n۲. نقطه‌ای که حد در آن محاسبه می‌شود (مثلاً x→۱) را مشخص کنید.\n۳. مقدار y متناظر با x نزدیک به آن نقطه را از نمودار بخوانید.\n۴. اگر حد تابع اصلی یا ترکیب توابع (جمع یا تفریق) خواسته شده، مقدار y را در آن نقطه تعیین کنید.\n۵. برای ترکیب توابع، ابتدا حد هر تابع را جداگانه محاسبه کرده و سپس با توجه به عملیات جمع یا تفریق، حد نهایی را به دست آورید.", "example": "تابع f(x) = ۲x + ۳ را در نظر بگیرید. حد این تابع را وقتی x به ۴ نزدیک می‌شود، محاسبه کنید.", "steps": ["برای محاسبه حد، ابتدا مقدار تابع را در x = ۴ محاسبه می‌کنیم.", "f(۴) = ۲ × ۴ + ۳ = ۸ + ۳ = ۱۱.", "از آنجا که تابع f(x) در x = ۴ پیوسته است، حد f(x) وقتی x به ۴ نزدیک می‌شود برابر با f(۴) است.", "بنابراین حد f(x) وقتی x به ۴ نزدیک می‌شود برابر با ۱۱ است.", "✅ جواب: ۱۱"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "قضایای حد (۱)", "محاسبه حد توابع ترکیبی در نقطه"], {"intro": "۱. ابتدا حد هر یک از توابع جداگانه در نقطه مورد نظر را محاسبه کنید.\n۲. سپس با استفاده از خواص حد، حد توابع ترکیبی را به صورت جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم حدهای جداگانه به دست آورید.\n۳. اگر حد توابع جداگانه وجود داشته باشد، می‌توان حد ترکیبی را با جایگذاری در فرمول‌های مربوطه محاسبه کرد.\n۴. در صورت وجود حد توابع در نقطه، از رابطه‌های حد برای جمع، تفریق، ضرب و تقسیم استفاده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "قضایای حد (۲)", "محاسبه حد توابع شامل قسمت صحیح"], {"steps": ["الف) حد مجموع: lim (x→a) (f(x) + g(x)) = lim (x→a) f(x) + lim (x→a) g(x) = L1 + Lγ", "ب) حد تفاضل: lim (x→a) (f(x) - g(x)) = lim (x→a) f(x) - lim (x→a) g(x) = L1 - Lγ", "پ) حد حاصل‌ضرب: lim (x→a) (f(x)g(x)) = (lim (x→a) f(x)) * (lim (x→a) g(x)) = L1 * Lγ", "ت) حد خارج قسمت (به شرط آنکه Lγ ≠ ۰): lim (x→a) (f(x)/g(x)) = (lim (x→a) f(x)) / (lim (x→a) g(x)) = L1 / Lγ", "✅ جواب: قوانین حد مجموع، تفاضل، حاصلضرب و خارج قسمت به درستی بیان شده است."]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "قضایای حد (۲)", "محاسبه و بررسی حد توابع ترکیبی"], {"intro": "۱. ابتدا ضابطه هر تابع را به صورت جداگانه بررسی کنید.\n۲. تابع ترکیبی مانند f+g را با جمع کردن مقادیر تابع f و g در هر بازه تعریف کنید.\n۳. نمودار هر تابع و تابع ترکیبی را رسم کنید تا رفتار تابع در نقاط مختلف مشخص شود.\n۴. بررسی کنید که آیا حد توابع f و g در نقطه x=۲ وجود دارد یا خیر.\n۵. بررسی کنید که آیا حد تابع ترکیبی f+g در نقطه x=۲ وجود دارد یا خیر.\n۶. اگر حد توابع f و g در x=۲ وجود داشته باشد، می‌توان از قضیه حد مجموع برای محاسبه حد تابع ترکیبی استفاده کرد.\n۷. در غیر این صورت، نمی‌توان از قضیه حد مجموع استفاده کرد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "قضایای حد (۲)", "حد توابع رادیکالی"], {"intro": "۱. بررسی وجود حد تابع f(x) در نقطه a. ۲. اگر تابع در نقطه a تعریف نشده باشد ولی در همسایگی آن تعریف شده باشد، حد را با استفاده از تعریف حد و خواص توابع رادیکالی محاسبه می‌کنیم. ۳. برای ریشه nام تابع، حد ریشه nام تابع برابر است با ریشه nام حد تابع، به شرطی که برای nهای زوج مقدار داخل ریشه مثبت باشد. ۴. در صورت وجود عبارت‌های کسری یا مرکب، صورت و مخرج را جداگانه حد می‌گیریم و سپس مقدار حد را محاسبه می‌کنیم. ۵. در صورت نیاز از نمودار تابع برای تخمین مقدار حد استفاده می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "قضایای حد (۳)", "استفاده از قضیه حد ریشه nام"], {"intro": "۱. فرض کنید تابع f در نقطه a حد دارد. ۲. اگر تابع در یک همسایگی حذف شده از a نامعین باشد، از قضیه حد ریشه nام استفاده می‌کنیم. ۳. طبق قضیه، حد ریشه nام تابع برابر است با ریشه nام حد تابع: lim (x→a) ⁿ√(f(x)) = ⁿ√(lim (x→a) f(x)). ۴. برای nهای زوج باید مقدار داخل ریشه مثبت باشد. ۵. در مثال‌های عددی، ابتدا حد داخل ریشه را محاسبه کرده و سپس ریشه nام آن را می‌گیریم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "قضایای حد (۳)", "محاسبه حد توابع مرکب رادیکالی"], {"intro": "۱. ابتدا صورت و مخرج عبارت را جداگانه بررسی می‌کنیم. ۲. حد صورت و مخرج را به صورت جداگانه محاسبه می‌کنیم. ۳. اگر حد مخرج صفر نشود، مقدار حد کل عبارت برابر نسبت حد صورت به حد مخرج است. ۴. در صورت وجود عبارت‌های رادیکالی در صورت و مخرج، حد هر کدام را جداگانه محاسبه می‌کنیم. ۵. در نهایت مقدار حد کلی را با تقسیم حد صورت بر حد مخرج به دست می‌آوریم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "قضایای حد (۳)", "محاسبه حد عبارت‌های ترکیبی شامل توابع مثلثاتی"], {"example": "دو تابع f(x) = ۱-x² x<۲\nx-۵ x ≥ ۲ و g(x) = ۳ x<۱\n۴-x x ≥ ۱ داده شده‌اند. حد توابع f+g، f-g، f· g و f/g را در نقطه x=۲ بیابید.", "steps": ["ابتدا حد توابع f و g را در نقطه x=۲ محاسبه می‌کنیم:", "lim(x → ۲) f(x) = مقدار تابع f در x=۲ از سمت راست: ۲-۵= -۳", "lim(x → ۲) g(x) = مقدار تابع g در x=۲ از سمت راست: ۴-۲=۲", "با استفاده از خواص حد:", "lim(x → ۲) (f(x)+g(x)) = lim(x → ۲) f(x) + lim(x → ۲) g(x) = -۳ + ۲ = -۱", "✅ جواب: حد f+g=-۱، f-g=-۵، fg=-۶، f/g=-۳/۲"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "قضایای حد (۳)", "محاسبه حد توابع جبری و مثلثاتی"], {"intro": "۱. مقدار تابع را در نقطه مورد نظر جایگذاری کنید. ۲. اگر حاصل عددی معین بود، آن عدد حد است. ۳. اگر حاصل به صورت نامعین بود (مثلاً ۰/۰)، از روش‌های جبری مانند تجزیه، ضرب در مزدوج، یا استفاده از قواعد حد استفاده کنید. ۴. در صورت وجود توابع مثلثاتی، از روابط مثلثاتی و خواص حد استفاده کنید. ۵. حد چپ و راست را جداگانه محاسبه کنید و اگر برابر بودند، حد وجود دارد و برابر آن مقدار است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "قضایای حد (۴)", "استفاده از خاصیت جمع حدها"], {"intro": "۱. حد هر یک از توابع جداگانه را در نقطه مورد نظر محاسبه کنید. ۲. اگر هر دو حد وجود داشته باشند، حد جمع برابر جمع حدها است. ۳. این خاصیت برای حدهای دوطرفه و چپ و راست برقرار است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "قضایای حد (۴)", "محاسبه حد توابع توان‌دار و تابع جزء صحیح"], {"intro": "۱. برای توابع توان‌دار، حد را با جایگذاری مقدار x و استفاده از خاصیت حد توابع چندجمله‌ای و توان‌دار محاسبه کنید. ۲. برای توابع شامل جزء صحیح، حد چپ و راست را جداگانه بررسی کنید چون تابع جزء صحیح در نقاط صحیح گسسته است. ۳. اگر حد چپ و راست برابر نبودند، حد وجود ندارد. ۴. در صورت نیاز، از تجزیه و ساده‌سازی استفاده کنید.", "example": "حد تابع f(x) = x² - ۴ در x = ۲ را محاسبه کنید.", "steps": ["برای محاسبه حد، ابتدا مقدار x را در تابع جایگذاری می‌کنیم: f(۲) = ۲² - ۴.", "محاسبه می‌کنیم: f(۲) = ۴ - ۴ = ۰.", "از آنجا که تابع یک تابع چندجمله‌ای است، حد در x = ۲ برابر با مقدار تابع در آن نقطه است.", "بنابراین، حد تابع در x = ۲ برابر با ۰ است.", "✅ جواب: ۰"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "قضایای حد (۴)", "محاسبه حد توابع مثلثاتی ترکیبی"], {"intro": "۱. مقدار x را در تابع جایگذاری کنید. ۲. اگر مقدار تابع در نقطه مورد نظر تعریف شده بود، مقدار حد برابر آن است. ۳. در صورت وجود نامعینی، از خواص و روابط مثلثاتی برای ساده‌سازی استفاده کنید. ۴. حد چپ و راست را جداگانه بررسی کنید و اگر برابر بودند، حد وجود دارد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "قضایای حد (۴)", "محاسبه مقدار حد توابع جبری و رادیکالی"], {"intro": "۱. مقدار تابع را در نقطه مورد نظر جایگذاری کنید. اگر مقدار معین بود، همان مقدار حد است.\n۲. اگر جایگذاری مستقیم منجر به شکل نامعین شد (مانند ۰/۰)، صورت و مخرج را ساده کنید یا از روش‌های جبری مانند اتحادها، تجزیه، یا ضرب در مزدوج استفاده کنید.\n۳. پس از ساده‌سازی، دوباره مقدار x را جایگذاری کنید.\n۴. اگر حد از دو طرف وجود داشت و برابر بود، آن مقدار حد نهایی است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "قضایای حد (۴)", "بررسی یکتایی و مقدار حد توابع در نقاط خاص"], {"intro": "۱. مقدار حد تابع را از دو طرف نقطه مورد نظر محاسبه کنید.\n۲. اگر حد چپ و راست برابر باشند، حد در آن نقطه وجود دارد و برابر آن مقدار است.\n۳. بررسی کنید که آیا مقدار تابع در آن نقطه با حد برابر است یا خیر.\n۴. اگر حدها برابر باشند ولی مقدار تابع متفاوت باشد، تابع در آن نقطه پیوسته نیست.\n۵. اگر حدها برابر و مقدار تابع برابر حد باشد، تابع در آن نقطه پیوسته و مقدار تابع ثابت است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "قضایای حد (۵)", "تعریف تابع با شرط حد خاص"], {"intro": "۱. تابع g را طوری تعریف کنید که در نقطه مورد نظر مقدار تابع به گونه‌ای باشد که حد داده شده برقرار باشد.\n۲. برای این کار، تابع را به صورت ترکیبی از توابعی که حد مورد نظر را دارند تعریف کنید.\n۳. مقدار تابع در نقطه را برابر حد مورد نظر قرار دهید تا پیوستگی برقرار شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "قضایای حد (۵)", "اثبات خواص حد و رابطه بین حدها"], {"intro": "۱. فرض کنید lim (x→a) f(x) = L.\n۲. نشان دهید که lim (x→a) (f(x) - L) = ۰ با استفاده از تعریف حد و خواص جبری حدها.\n۳. برای این کار، از تعریف حد استفاده کنید که برای هر ε>۰، δ>۰ وجود دارد که اگر ۰<|x-a|<δ آنگاه |f(x)-L|<ε.\n۴. نتیجه می‌گیریم که حد تفاضل برابر صفر است.\n۵. بررسی کنید که عکس این مطلب نیز برقرار است یا خیر.", "example": "فرض کنید lim (x→۲) (۳x + ۱) = ۷. نشان دهید که lim (x→۲) ((۳x + ۱) - ۷) = ۰.", "steps": ["ابتدا محاسبه می‌کنیم: ۳x + ۱ = ۷ را حل کنیم. این معادله را داریم: ۳x = ۶ و x = ۲.", "حال برای ε>۰، δ>۰ وجود دارد که اگر ۰<|x-۲|<δ آنگاه |(۳x + ۱) - ۷|<ε.", "محاسبه می‌کنیم: |(۳x + ۱) - ۷| = |۳x - ۶| = ۳|x - ۲|.", "بنابراین اگر ۰<|x-۲|<δ، آنگاه ۳|x - ۲|<ε. پس می‌توان δ را به صورت δ = ε/۳ انتخاب کرد.", "نتیجه می‌گیریم که lim (x→۲) ((۳x + ۱) - ۷) = ۰.", "✅ جواب: ۰"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "قضایای حد (۵)", "محاسبه حد توابع ترکیبی"], {"intro": "۱. ابتدا حد هر یک از توابع پایه را جداگانه محاسبه کنید.\n۲. اگر حدها وجود داشتند، با استفاده از خواص حد، حد توابع ترکیبی مانند جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و ریشه را محاسبه کنید.\n۳. در صورت وجود نامعینی، از روش‌های جبری یا نموداری برای تعیین حد استفاده کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "قضایای حد (۵)", "تعیین مقدار پارامتر برای وجود حد در نقطه خاص"], {"intro": "۱. تابع را در دو طرف نقطه مورد نظر بررسی کنید و حد چپ و حد راست را محاسبه کنید.\n۲. برای وجود حد در آن نقطه، حد چپ و حد راست باید برابر باشند.\n۳. معادله‌ای برای پارامترها بر اساس برابری حد چپ و حد راست بنویسید.\n۴. معادله را حل کنید تا مقدار پارامتر به دست آید.", "example": "مقدار a را طوری تعیین کنید که تابع زیر در x = ۲ حد داشته باشد: f(x) = { ۲x + a , x < ۲ ۵ - x , x > ۲ }", "steps": ["حد چپ تابع را در x = ۲ محاسبه می‌کنیم: حد چپ برابر است با ۲*۲ + a = ۴ + a.", "حد راست تابع را در x = ۲ محاسبه می‌کنیم: حد راست برابر است با ۵ - ۲ = ۳.", "برای وجود حد در x = ۲، حد چپ و حد راست باید برابر باشند: ۴ + a = ۳.", "معادله را حل می‌کنیم: a = ۳ - ۴.", "پس a = -۱.", "✅ جواب: -۱"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "قضایای حد (۵)", "تعیین وجود حد توابع در نقاط خاص"], {"intro": "۱. حد چپ و حد راست تابع را در نقطه مورد نظر محاسبه کنید.\n۲. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند، حد در آن نقطه وجود دارد و برابر با آن مقدار است.\n۳. در غیر این صورت، حد وجود ندارد."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "محاسبه حد توابع کسری (۱)", "محاسبه حد توابع کسری در حالت صفر صورت و مخرج"], {"intro": "۱. ابتدا مقدار حد را با جایگذاری مستقیم در تابع بررسی می‌کنیم. اگر صورت و مخرج هر دو صفر شوند، به حالت نامعین صفر تقسیم بر صفر می‌رسیم. ۲. در این حالت، صورت و مخرج کسر را با استفاده از اتحادهای جبری یا تجزیه به عوامل ساده‌تر تبدیل می‌کنیم. ۳. سپس عوامل مشترک صورت و مخرج را حذف می‌کنیم تا کسر ساده شود. ۴. مجدداً حد را با جایگذاری مستقیم در کسر ساده شده محاسبه می‌کنیم. ۵. مقدار به دست آمده، حد تابع در نقطه مورد نظر است.", "example": "حد تابع f(x) = (x² - ۴) / (x - ۲) را در x = ۲ محاسبه کنید.", "steps": ["با جایگذاری x = ۲ در تابع، صورت و مخرج هر دو صفر می‌شوند: (۲² - ۴) / (۲ - ۲) = ۰ / ۰.", "صورت را به عواملش تجزیه می‌کنیم: x² - ۴ = (x - ۲)(x + ۲).", "تابع را به شکل جدید می‌نویسیم: f(x) = ((x - ۲)(x + ۲)) / (x - ۲).", "عوامل مشترک (x - ۲) را حذف می‌کنیم و تابع جدید می‌شود: f(x) = x + ۲.", "اکنون حد را با جایگذاری x = ۲ در تابع ساده شده محاسبه می‌کنیم: f(۲) = ۲ + ۲ = ۴.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "محاسبه حد توابع کسری (۱)", "محاسبه حد عبارت‌های گنگ با ضرب صورت و مخرج در عبارت مزدوج"], {"intro": "۱. ابتدا مقدار تابع را در نقطه مورد نظر جایگذاری کنید. اگر صورت و مخرج هر دو صفر شدند، به عبارت گنگ برخورد کرده‌اید.\n۲. صورت و مخرج را در یک عبارت مناسب ضرب کنید تا عبارت گنگ به عبارتی قابل ساده‌سازی تبدیل شود. معمولاً عبارت مزدوج صورت یا مخرج انتخاب می‌شود.\n۳. صورت و مخرج را ضرب کنید و سعی کنید عوامل مشترک را حذف کنید.\n۴. پس از حذف عوامل مشترک، مجدداً حد را محاسبه کنید با جایگذاری مقدار x."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "محاسبه حد توابع کسری (۱)", "محاسبه حد توابع شامل ریشه‌های nام و تفاضل توان‌ها"], {"intro": "۱. ابتدا مقدار تابع را در نقطه مورد نظر جایگذاری کنید.\n۲. اگر صورت و مخرج صفر شدند، سعی کنید صورت و مخرج را به گونه‌ای ساده کنید که عبارت گنگ رفع شود.\n۳. معمولاً از روش ضرب در عبارت مزدوج یا تجزیه استفاده می‌شود.\n۴. پس از ساده‌سازی، حد را با جایگذاری مقدار x محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "محاسبه حد توابع کسری (۱)", "محاسبه حد توابع مثلثاتی با استفاده از تبدیل و ضرب در عبارت مناسب"], {"intro": "۱. ابتدا مقدار تابع را در نقطه مورد نظر جایگذاری کنید.\n۲. اگر به صورت گنگ رسیدید، سعی کنید عبارت را با ضرب در یک عبارت مناسب ساده کنید.\n۳. از روابط مثلثاتی و حدهای معروف مثل lim(x → ۰) (sin x)/x = ۱ استفاده کنید.\n۴. پس از ساده‌سازی، حد را محاسبه کنید.", "example": "مقدار حد lim(x → ۰) (sin ۲x)/x را بیابید.", "steps": ["ابتدا مقدار تابع را در نقطه x = ۰ جایگذاری می‌کنیم: sin(۲*۰)/۰ = ۰/۰ که گنگ است.", "برای ساده‌سازی، عبارت را در (۲/۲) ضرب می‌کنیم: (sin ۲x)/(x) * (۲/۲) = (۲*sin ۲x)/(۲x).", "اکنون حد را محاسبه می‌کنیم: lim(x → ۰) (۲*sin ۲x)/(۲x) = ۲ * lim(x → ۰) (sin ۲x)/(۲x).", "با استفاده از حد معروف، lim(x → ۰) (sin ۲x)/(۲x) = ۱ است.", "بنابراین حد نهایی برابر است با ۲ * ۱ = ۲.", "✅ جواب: ۲"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "محاسبه حد توابع کسری (۱)", "محاسبه حد توابع مثلثاتی با استفاده از ساده‌سازی کسری و جایگذاری"], {"intro": "۱. ابتدا مقدار تابع را در نقطه مورد نظر جایگذاری کنید.\n۲. اگر به صورت گنگ رسیدید، سعی کنید صورت و مخرج را ساده کنید یا از روابط مثلثاتی استفاده کنید.\n۳. عوامل مشترک را حذف کنید و سپس حد را محاسبه کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "محاسبه حد توابع کسری (۱)", "محاسبه حد با تغییر متغیر"], {"intro": "۱. متغیر x را به متغیر جدید t تغییر می‌دهیم به گونه‌ای که وقتی x به مقدار خاصی نزدیک می‌شود، t به صفر نزدیک شود.\n۲. عبارت حد را بر حسب t بازنویسی می‌کنیم.\n۳. صورت و مخرج را ساده می‌کنیم تا حد قابل محاسبه شود.\n۴. مقدار حد را با جایگذاری مقدار t=۰ یا حد مورد نظر محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "محاسبه حد توابع کسری (۲)", "محاسبه حد توابع مثلثاتی با تغییر متغیر"], {"intro": "۱. متغیر x را به متغیر جدید t تغییر می‌دهیم به گونه‌ای که وقتی x به مقدار خاصی نزدیک می‌شود، t به صفر نزدیک شود.\n۲. عبارت حد را بر حسب t بازنویسی می‌کنیم.\n۳. از روابط مثلثاتی و ساده سازی استفاده می‌کنیم تا حد قابل محاسبه شود.\n۴. مقدار حد را با جایگذاری مقدار t=۰ یا حد مورد نظر محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "محاسبه حد توابع کسری (۲)", "محاسبه حد توابع گویا و رادیکالی"], {"intro": "۱. ابتدا مقدار تابع را در نقطه مورد نظر جایگذاری کنید. ۲. اگر حاصل به صورت عدد مشخص بود، همان عدد حد است. ۳. اگر حاصل به صورت صفر تقسیم بر صفر یا بی‌نهایت تقسیم بر بی‌نهایت بود، صورت و مخرج را تجزیه یا ساده کنید. ۴. از اتحادهای جبری مانند ضرب عبارت مزدوج برای حذف رادیکال‌ها استفاده کنید. ۵. پس از ساده‌سازی، دوباره مقدار x را جایگذاری کنید تا حد را بیابید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "محاسبه حد توابع کسری (۲)", "محاسبه حد توابع شامل قسمت صحیح و رادیکال"], {"intro": "۱. مقدار x را به سمت نقطه مورد نظر نزدیک کنید. ۲. اگر قسمت صحیح در تابع وجود دارد، حد چپ و راست را جداگانه بررسی کنید. ۳. صورت و مخرج را ساده کنید یا از ضرب عبارت مزدوج برای حذف رادیکال‌ها استفاده کنید. ۴. حد را با توجه به رفتار قسمت صحیح و رادیکال تعیین کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "محاسبه حد توابع کسری (۲)", "محاسبه حد توابع مثلثاتی"], {"intro": "۱. مقدار x را در تابع جایگذاری کنید. ۲. اگر حاصل به صورت صفر تقسیم بر صفر بود، از اتحادهای مثلثاتی یا قاعده هوپیتال استفاده کنید. ۳. از فرمول‌های تبدیل و اتحادهای مثلثاتی برای ساده‌سازی استفاده کنید. ۴. حد را با توجه به ساده‌سازی به دست آورید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "محاسبه حد توابع کسری (۲)", "محاسبه حد حاصل‌ضرب توابع"], {"intro": "۱. ابتدا حد هر تابع را جداگانه بررسی کنید. ۲. اگر هر دو حد وجود داشت، حاصل‌ضرب حدها را محاسبه کنید. ۳. اگر حدها نامعین بودند، صورت و مخرج را ساده کنید یا از روش‌های جبری استفاده کنید. ۴. حاصل‌ضرب حدها را به عنوان حد نهایی اعلام کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "پیوستگی (۱)", "تعیین مقدار تابع و حد تابع از روی نمودار"], {"intro": "۱. مقدار تابع در نقطه مورد نظر را با مشاهده مقدار y روی نمودار در آن نقطه تعیین کنید.\n۲. حد تابع را در نقطه مورد نظر با بررسی رفتار نمودار از دو طرف چپ و راست نقطه تعیین کنید.\n۳. اگر مقدار تابع و حد تابع در نقطه برابر باشند، تابع در آن نقطه پیوسته است؛ در غیر این صورت ناپیوسته است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "پیوستگی (۱)", "بررسی پیوستگی تابع در نقطه با استفاده از نمودار"], {"intro": "۱. مقدار تابع را در نقطه مورد نظر از روی نمودار بخوانید.\n۲. حد چپ و حد راست تابع را در آن نقطه با مشاهده رفتار نمودار از دو طرف تعیین کنید.\n۳. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند و با مقدار تابع در نقطه برابر باشند، تابع در آن نقطه پیوسته است.\n۴. اگر حد چپ و حد راست برابر نباشند یا با مقدار تابع برابر نباشند، تابع در آن نقطه گسسته است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "پیوستگی (۱)", "تشخیص وجود یا عدم وجود گسستگی در نقطه از روی نمودار"], {"intro": "۱. حد چپ و حد راست تابع را در نقطه مورد نظر از روی نمودار بررسی کنید.\n۲. اگر حد چپ و حد راست برابر نباشند، گسستگی در آن نقطه وجود دارد.\n۳. اگر حد چپ و حد راست برابر باشند ولی مقدار تابع در نقطه با آن‌ها برابر نباشد، گسستگی پرشی است.\n۴. اگر حد‌ها و مقدار تابع برابر باشند، گسستگی وجود ندارد و تابع پیوسته است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "پیوستگی (۲)", "تشخیص پیوستگی تابع گام‌دار"], {"intro": "۱. نمودار تابع گام‌دار را رسم کنید یا بررسی کنید. ۲. نقاط داده شده را در نظر بگیرید. ۳. بررسی کنید که آیا تابع در این نقاط پیوسته است یا خیر، یعنی مقدار تابع در نقطه با حد چپ و حد راست آن برابر باشد. ۴. اگر مقدار تابع در نقطه برابر با حد چپ و حد راست نبود، تابع در آن نقطه پیوسته نیست."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "پیوستگی (۳)", "تکمیل نمودار و بررسی پیوستگی در نقاط خاص"], {"intro": "۱. نمودارهای داده شده را بررسی کنید. ۲. در نقطه x=۲، مقدار تابع و حد چپ و حد راست را محاسبه کنید. ۳. بررسی کنید که آیا حد راست و چپ برابر هستند یا خیر. ۴. اگر حد راست و چپ برابر بود و مقدار تابع در آن نقطه برابر با این حد‌ها بود، تابع در آن نقطه پیوسته است. ۵. در غیر این صورت، تابع پیوسته نیست یا فقط از یک طرف پیوسته است."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "پیوستگی (۳)", "تشخیص پیوستگی تابع از روی نمودار"], {"example": "در نمودار تابع k(x) که در نقطه x=۲ مقدار تابع برابر ۳ است ولی حد lim(x→۲) k(x) برابر ۲ است، آیا تابع در x=۲ پیوسته است؟", "steps": ["مقدار تابع k(۲) برابر ۳ است.", "حد lim(x→۲) k(x) برابر ۲ است.", "چون مقدار تابع و حد برابر نیستند، تابع k در نقطه x=۲ پیوسته نیست و گسستگی دارد.", "✅ جواب: تابع در x=۲ پیوسته نیست زیرا k(۲)=۳ و حد=۲ نابرابرند."]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "پیوستگی (۳)", "تعیین نقاط ناپیوستگی توابع"], {"intro": "۱. نمودار تابع را رسم کنید یا تابع را به صورت تکه‌ای بررسی کنید.\n۲. نقاطی که تابع تعریف نشده یا مقدار تابع در آن نقاط با حد چپ و راست برابر نیست را پیدا کنید.\n۳. این نقاط، نقاط ناپیوستگی تابع هستند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "پیوستگی (۳)", "تعیین مقدار پارامتر برای پیوستگی تابع در نقطه خاص"], {"intro": "۱. تابع را به صورت تکه‌ای در نظر بگیرید.\n۲. حد چپ و حد راست تابع را در نقطه مورد نظر محاسبه کنید.\n۳. مقدار تابع در آن نقطه را با پارامتر مجهول بنویسید.\n۴. برای پیوستگی، حد چپ، حد راست و مقدار تابع باید برابر باشند.\n۵. معادله(های) به دست آمده را حل کنید تا مقدار پارامتر(ها) تعیین شود."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "پیوستگی (۴)", "نشان دادن ناپیوستگی تابع در نقطه صفر برای هر مقدار پارامتر"], {"intro": "۱. تابع را در نقطه صفر بررسی کنید.\n۲. حد چپ و حد راست را محاسبه کنید.\n۳. مقدار تابع در صفر را بررسی کنید.\n۴. اگر حد چپ و راست برابر نباشند یا مقدار تابع با حد برابر نباشد، تابع در صفر ناپیوسته است.\n۵. این بررسی را برای هر مقدار پارامتر انجام دهید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "پیوستگی (۴)", "رسم نمودار و بررسی پیوستگی توابع با نقاط ناپیوستگی و بدون حد در آن نقاط"], {"intro": "۱. تابع را به صورت تکه‌ای یا با استفاده از تعریف آن رسم کنید.\n۲. نقاطی که تابع در آن‌ها تعریف شده یا نشده را مشخص کنید.\n۳. بررسی کنید که آیا حد چپ و راست در نقاط خاص وجود دارد یا خیر.\n۴. نقاطی که حد وجود ندارد یا حد چپ و راست برابر نیستند، نقاط ناپیوستگی بدون حد هستند."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "پیوستگی (۴)", "تعیین بیشترین مقدار پارامتر برای پیوستگی تابع جزء صحیح در بازه مشخص"], {"intro": "۱. تابع جزء صحیح را در بازه داده شده بررسی کنید.\n۲. نقاطی که تابع ممکن است ناپیوسته باشد (نقاط صحیح) را شناسایی کنید.\n۳. مقدار پارامتر k را طوری تعیین کنید که تابع در بازه پیوسته باشد.\n۴. بیشترین مقدار k را با توجه به شرایط پیوستگی پیدا کنید."}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "پیوستگی (۴)", "ارائه بازه پیوستگی تابع شامل رادیکال"], {"intro": "۱. دامنه تابع را با توجه به زیر رادیکال تعیین کنید.\n۲. بررسی کنید تابع در نقاط مرزی دامنه پیوسته باشد.\n۳. بازه‌ای که تابع در آن پیوسته است را مشخص کنید.", "example": "بازه‌ای را ارائه کنید که تابع f(x) = √(x-۳) - ۴ بر آن بازه پیوسته باشد.", "steps": ["برای تعیین دامنه تابع، زیر رادیکال باید غیر منفی باشد: x - ۳ ≥ ۰.", "این معادله را حل می‌کنیم: x ≥ ۳.", "بنابراین دامنه تابع برابر با [۳, +∞) است.", "حال بررسی می‌کنیم که تابع در نقطه مرزی x = ۳ پیوسته است.", "f(۳) = √(۳-۳) - ۴ = ۰ - ۴ = -۴ است.", "✅ جواب: [۳, +∞)"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "پیوستگی (۴)", "تعیین مقادیر پارامتر برای پیوستگی تابع تکه‌ای شامل توابع مثلثاتی و چندجمله‌ای"], {"intro": "۱. تابع را به صورت تکه‌ای در نظر بگیرید.\n۲. حد چپ و حد راست تابع را در نقطه مورد نظر محاسبه کنید.\n۳. مقدار تابع در آن نقطه را با پارامتر مجهول بنویسید.\n۴. معادله‌های برابری حد چپ، حد راست و مقدار تابع را بنویسید.\n۵. معادلات را حل کنید تا مقادیر پارامترها تعیین شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۱)", "تبدیل نمودار توابع"], {"example": "نمودار تابع f به صورت زیر داده شده است. با انتقال‌های افقی و عمودی، نمودار تابع y = f(x + ۱) - ۳ را رسم کنید. نمودار تابع f به صورت خطی است که نقاط آن به ترتیب در مختصات (-۴,۰)، (-۲,۱)، (۰,۱)، (۳,۰) قرار دارند.", "steps": ["برای رسم نمودار y = f(x + ۱) - ۳ ابتدا نمودار تابع f را یک واحد به سمت چپ انتقال می‌دهیم تا نمودار y = f(x + ۱) به دست آید.", "این یعنی هر نقطه از نمودار اصلی به اندازه یک واحد به سمت چپ جابه‌جا می‌شود.", "سپس نمودار حاصل را سه واحد به سمت پایین انتقال می‌دهیم تا نمودار نهایی y = f(x + ۱) - ۳ رسم شود.", "به طور مثال، نقطه (-۴,۰) ابتدا به (-۵,۰) منتقل می‌شود و سپس به (-۵,-۳) می‌رسد.", "همین کار برای سایر نقاط انجام می‌شود و نمودار نهایی به دست می‌آید.", "✅ جواب: نقاط جدید: (-۵,-۳), (-۳,-۲), (-۱,-۲), (۲,-۳)"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۱)", "انتقال نمودار تابع به سمت بالا یا پایین"], {"intro": "برای رسم نمودار y = f(x) + k اگر k > ۰ باشد، نمودار تابع f را k واحد در راستای قائم به سمت بالا انتقال می‌دهیم. اگر k < ۰ باشد، نمودار تابع f را |k| واحد در راستای قائم به سمت پایین انتقال می‌دهیم.", "example": "نمودار تابع y = x² را رسم کنید و سپس نمودار تابع y = (x + ۲)² را رسم کنید. توضیح دهید چگونه نمودار دوم نسبت به نمودار اول تغییر می‌کند.", "steps": ["ابتدا نمودار تابع y = x² را رسم می‌کنیم که یک سهمی با رأس در نقطه (۰,۰) است.", "تابع جدید y = (x + ۲)² را در نظر می‌گیریم که برابر است با f(x + ۲).", "این یعنی هر نقطه روی نمودار y = x² به اندازه ۲ واحد به سمت چپ منتقل شده است.", "بنابراین نمودار y = (x + ۲)² همان نمودار y = x² است که به اندازه ۲ واحد به سمت چپ جابجا شده است.", "✅ جواب: نمودار y=(x+۲)² با انتقال ۲ واحد به چپ y=x² به‌دست می‌آید."]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۱)", "تقارن نمودار تابع نسبت به محور y با انتقال افقی"], {"intro": "برای رسم نمودار y = f(x + k) اگر k > ۰ باشد، نمودار تابع f را k واحد در جهت افقی به سمت چپ انتقال می‌دهیم. اگر k < ۰ باشد، نمودار تابع f را |k| واحد در جهت افقی به سمت راست انتقال می‌دهیم. این انتقال باعث می‌شود نقطه (x, y) در نمودار f به نقطه (x - k, y) در نمودار جدید تبدیل شود و نمودار جدید نسبت به نمودار اصلی تقارن افقی داشته باشد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۲)", "رسم نمودار و تعیین دامنه و برد توابع رادیکالی و انتقال یافته"], {"intro": "برای رسم نمودار تابع رادیکالی مانند f(x) = √x ابتدا دامنه تابع را تعیین می‌کنیم که برای تابع جذر، x باید بزرگ‌تر یا مساوی صفر باشد. سپس نقاط مهم را محاسبه و روی محور مختصات رسم می‌کنیم. برای توابع انتقال یافته مانند k(x) = f(x - ۲) و g(x) = f(x) + ۳، ابتدا دامنه و برد تابع اصلی را مشخص کرده و سپس با توجه به انتقال افقی (x - ۲) دامنه را جابجا می‌کنیم و با انتقال عمودی (+۳) برد را جابجا می‌کنیم. سپس نمودارهای جدید را رسم می‌کنیم و دامنه و برد توابع جدید را محاسبه و با تابع اصلی مقایسه می‌کنیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۲)", "رسم نمودار توابع ضرب شده در عدد ثابت"], {"intro": "۱. نقاط مهم تابع اصلی را در بازه مشخص شده تعیین کنید.\n۲. مقادیر تابع را در این نقاط محاسبه کنید.\n۳. برای تابع ضرب شده در عدد ثابت، مقادیر تابع اصلی را در آن عدد ضرب کنید.\n۴. نقاط جدید را روی دستگاه مختصات رسم کنید.\n۵. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار تابع جدید به دست آید.\n۶. دامنه تابع جدید همان دامنه تابع اصلی است.\n۷. برد تابع جدید برابر برد تابع اصلی ضرب در عدد ثابت است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۲)", "مقایسه نمودار توابع ضرب شده در عدد ثابت"], {"intro": "۱. نمودارهای توابع مختلف ضرب شده در اعداد ثابت را رسم یا بررسی کنید.\n۲. دامنه همه توابع سینوس برابر است و تغییر نمی‌کند.\n۳. برد تابع ضرب شده در عدد ثابت برابر برد تابع اصلی ضرب در قدر مطلق آن عدد است.\n۴. نمودار تابع با ضریب بزرگ‌تر، کشیده‌تر یا فشرده‌تر نسبت به نمودار تابع اصلی است.\n۵. نقاط تقاطع نمودارها را بررسی کنید تا تفاوت‌ها را مشخص کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۲)", "تعیین دامنه و برد توابع ضرب شده در عدد ثابت"], {"intro": "۱. دامنه تابع ضرب شده در عدد ثابت همان دامنه تابع اصلی است.\n۲. برد تابع ضرب شده در عدد ثابت برابر برد تابع اصلی ضرب در قدر مطلق آن عدد است.\n۳. دامنه و برد را برای هر تابع به صورت جداگانه تعیین کنید.\n۴. تفاوت دامنه و برد توابع را با هم مقایسه کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۳)", "تعیین نقاط متناظر در نمودار توابع ضرب شده"], {"intro": "۱. اگر نقطه‌ای (x₀, y₀) روی نمودار تابع y = f(x) باشد، مقدار y₀ برابر f(x₀) است.\n۲. برای تابع g(x) = k f(x)، نقطه متناظر برابر (x₀, k y₀) است.\n۳. این رابطه را برای هر نقطه روی نمودار تابع اصلی اعمال کنید.\n۴. نقاط متناظر را روی نمودار تابع جدید رسم کنید.", "example": "اگر نقطه (۲, ۳) روی نمودار تابع y = f(x) باشد و تابع g(x) = ۴ f(x) تعریف شده باشد، نقطه متناظر روی نمودار g چیست؟", "steps": ["مقدار y₀ برابر ۳ است، بنابراین f(۲) = ۳.", "تابع g(x) برابر ۴ f(x) است، پس g(۲) = ۴ × f(۲).", "g(۲) = ۴ × ۳ = ۱۲.", "نقطه متناظر روی نمودار g برابر (۲, ۱۲) است.", "✅ جواب: (۲, ۱۲)"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۳)", "تأثیر ضرب عددی k بر نمودار تابع"], {"intro": "برای رسم نمودار تابع y = kf(x)، نقاط نمودار تابع y = f(x) را در عدد k ضرب می‌کنیم. اگر k > ۱ باشد، نمودار y = kf(x) از انبساط عمودی نمودار y = f(x) حاصل می‌شود و اگر ۰ < k < ۱ باشد، نمودار y = kf(x) از انقباض عمودی نمودار y = f(x) به دست می‌آید. همچنین اگر k منفی باشد، نمودار y = kf(x) قرینه نسبت به محور x نمودار y = f(x) خواهد بود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۳)", "تعیین دامنه و برد تابع ضرب شده در k"], {"intro": "اگر دامنه تابع y = f(x) برابر بازه [a,b] و برد آن برابر بازه [c,d] باشد، دامنه تابع y = kf(x) همان دامنه [a,b] است. برای برد، اگر k > ۰ باشد، برد تابع y = kf(x) برابر [kc, kd] است و اگر k < ۰ باشد، برد برابر [kd, kc] خواهد بود (یعنی برد معکوس می‌شود)."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۳)", "ترسیم نمودار تابع با تغییرات افقی و عمودی"], {"intro": "۱. ابتدا نمودار تابع اصلی y = f(x) را رسم کنید.\n۲. برای y = f(x-۱)، نمودار را یک واحد به سمت راست جابجا کنید.\n۳. برای y = -f(x-۱)، نمودار مرحله قبل را نسبت به محور x قرینه کنید (علامت منفی باعث انعکاس عمودی می‌شود).\n۴. برای y = -f(x-۱) + ۲، نمودار مرحله قبل را دو واحد به سمت بالا جابجا کنید.\n۵. نمودار نهایی را رسم کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۳)", "ترسیم نمودار تابع سینوس با تغییر دامنه و بازه"], {"intro": "۱. نمودار تابع y = sin x را در بازه داده شده رسم کنید.\n۲. برای تابع y = sin ۲x، نقاط مهم را با استفاده از جدول مقادیر x و y مشخص کنید.\n۳. نقاط را روی نمودار رسم کرده و منحنی سینوسی را بکشید.\n۴. تفاوت نمودار y = sin x و y = sin ۲x را بررسی کنید (تعداد نوسانات بیشتر در y = sin ۲x)."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۴)", "مقایسه نمودارهای توابع سینوسی با فرکانس‌های متفاوت"], {"intro": "۱. نمودارهای y = sin x و y = sin ۲x را در یک بازه مشخص رسم کنید.\n۲. تعداد نوسانات هر نمودار را در بازه بررسی کنید.\n۳. تفاوت در فرکانس و دوره تناوب را مشخص کنید.\n۴. نتیجه‌گیری کنید که y = sin ۲x دو برابر سریع‌تر نوسان می‌کند نسبت به y = sin x."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۴)", "رسم نمودار تابع y = f(kx) و تحلیل تغییرات افقی"], {"intro": "برای رسم نمودار تابع y = f(kx)، ابتدا طول نقاط نمودار تابع y = f(x) را در ۱/k ضرب می‌کنیم (با فرض k ≠ ۰). اگر k > ۱ باشد، نمودار y = f(kx) از نمودار y = f(x) در راستای محور x به صورت انقباض افقی به دست می‌آید. اگر ۰ < k < ۱ باشد، نمودار y = f(kx) از نمودار y = f(x) در راستای محور x به صورت انبساط افقی حاصل می‌شود. بنابراین با تغییر مقیاس محور x به ۱/k، نقاط نمودار جدید را تعیین و رسم می‌کنیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۴)", "تعیین دامنه و برد تابع تغییر یافته"], {"intro": "اگر دامنه و برد تابع y=f(x) به ترتیب بازه‌های [a,b] و [c,d] باشند، برای تابع y=f(kx) دامنه و برد را به صورت زیر تعیین می‌کنیم: اگر k>۰ باشد، دامنه جدید برابر [a/k, b/k] و برد همان [c,d] است. اگر k<۰ باشد، دامنه جدید برابر [b/k, a/k] و برد همان [c,d] است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۴)", "رسم نمودار تابع‌های تغییر یافته با اعمال تغییرات روی متغیر x"], {"intro": "برای رسم نمودار تابع‌های y=f(-x/۲) و y=f(۳x) ابتدا نمودار تابع پایه y=f(x) را داریم. برای y=f(-x/۲) ابتدا محور x را با -۱/۲ ضرب می‌کنیم که باعث قرینه و تغییر مقیاس می‌شود. برای y=f(۳x) محور x را با ۳ ضرب می‌کنیم که باعث فشرده‌سازی نمودار در جهت افقی می‌شود. سپس نقاط متناظر را روی نمودار جدید رسم می‌کنیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۴)", "رسم نمودار توابع کسینوس تغییر یافته"], {"intro": "برای رسم نمودار توابع کسینوس تغییر یافته مانند y=cos2x و y=۲cos(x/۳)، ابتدا نمودار پایه y=cosx را رسم می‌کنیم. سپس با توجه به ضریب داخل تابع (۲x یا x/۳) دوره تناوب را تغییر می‌دهیم. برای y=cos2x دوره تناوب نصف می‌شود و برای y=۲cos(x/۳) دامنه دو برابر و دوره تناوب سه برابر می‌شود. نقاط کلیدی مانند نقاط ماکزیمم، مینیمم و صفرهای تابع را مشخص و نمودار را رسم می‌کنیم.", "example": "برای تابع y = ۲cos(x/۳) دوره‌ی تناوب و کمترین و بیشترین مقدار را پیدا کنید.", "steps": ["شکل کلی y = a·cos(bx) است؛ اینجا a = ۲ و b = ۱/۳.", "کمترین و بیشترین مقدار cos برابر −۱ و ۱ است، پس ضریب ۲ آن‌ها را به −۲ و ۲ تبدیل می‌کند.", "دوره‌ی تناوب برابر ۲π ÷ b است: ۲π ÷ (۱/۳) = ۶π.", "✅ جواب: دوره‌ی تناوب ۶π، کمترین مقدار −۲ و بیشترین مقدار ۲"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۵)", "رسم نمودار تابع با انتقال افقی و تقسیم طول‌ها"], {"intro": "اگر نمودار تابع f به صورت داده شده باشد، برای رسم نمودار تابع g(x)=f((x+۱)/۲) ابتدا نقاط مشخص شده در نمودار f را یک واحد به سمت چپ منتقل می‌کنیم (x به x+۱) و سپس طول‌ها را بر ۲ تقسیم می‌کنیم (x به x/۲). نقاط متناظر جدید را به دست آورده و نمودار g را رسم می‌کنیم. نقطه متقارن A' متناظر با نقطه A=(x,y) روی نمودار f به صورت A'=( (x-۱)/۲ , y ) محاسبه می‌شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۵)", "تبدیل توابع رادیکالی و رسم نمودار"], {"intro": "۱. تابع داده شده را به صورت y = √x بازنویسی کنید یا به شکل تابع پایه جذر تبدیل کنید.\n۲. تغییرات داخل رادیکال (مانند جمع، تفریق یا ضرب در x) را بررسی کنید تا دامنه تابع مشخص شود.\n۳. نقاط مهم مانند ریشه‌ها و نقاط تقاطع با محورهای مختصات را پیدا کنید.\n۴. مقادیر y را برای چند مقدار x در دامنه محاسبه کنید.\n۵. نقاط به دست آمده را روی دستگاه مختصات رسم کنید.\n۶. نمودار تابع پایه را با توجه به تغییرات اعمال شده، جابجا یا تغییر شکل دهید.\n۷. جهت نمودار و رفتار تابع را در بازه‌های مختلف بررسی و ترسیم نهایی را انجام دهید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۵)", "رسم نمودار توابع تبدیل یافته"], {"intro": "۱. ابتدا نمودار تابع اصلی f(x) را بررسی کنید.\n۲. بسته به تبدیل داده شده (مانند f(-x)، f(x-۱)، ۲f(x-۱)، -f(x)+۲، f(۳x-۱)، f(۳-x))، تغییرات لازم را روی نمودار اعمال کنید:\n - f(-x): نمودار را نسبت به محور y قرینه کنید.\n - f(x-۱): نمودار را یک واحد به سمت راست انتقال دهید.\n - ۲f(x-۱): ابتدا انتقال به راست، سپس مقدار y را در ۲ ضرب کنید.\n - -f(x)+۲: نمودار را نسبت به محور x قرینه و سپس ۲ واحد به بالا انتقال دهید.\n - f(۳x-۱): ابتدا محور x را فشرده کنید (ضرب در ۳)، سپس یک واحد به راست انتقال دهید.\n - f(۳-x): ابتدا محور x را قرینه و فشرده کنید، سپس نمودار را رسم کنید.\n۳. نقاط کلیدی و تغییرات نمودار را با دقت رسم کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۵)", "رسم نمودار تابع مقابل با استفاده از قرینه‌یابی و انتقال"], {"intro": "۱. نمودار تابع اصلی y = √x را رسم کنید که از نقطه (۰,۰) شروع شده و به سمت راست و بالا افزایش می‌یابد.\n۲. برای رسم نمودار تابع مقابل، ابتدا نمودار را نسبت به محور y قرینه کنید (x به -x).\n۳. سپس نمودار را نسبت به محور x قرینه کنید (y به -y) یا انتقال‌های لازم را اعمال کنید.\n۴. معادله تابع مقابل را با توجه به تغییرات نمودار تعیین کنید.\n۵. معادله به دست آمده را به صورت تابعی بنویسید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۱)", "تشخیص درجه چندجمله‌ای"], {"example": "f(x) = ۳x⁵ + ۲x³ - ۴x + ۷", "steps": ["جمله اول: ۳x⁵، درجه آن ۵ است.", "جمله دوم: ۲x³، درجه آن ۳ است.", "جمله سوم: -۴x، درجه آن ۱ است.", "جمله چهارم: ۷، درجه آن ۰ است.", "بزرگ‌ترین درجه از بین ۵، ۳، ۱ و ۰، درجه چندجمله‌ای است.", "✅ جواب: ۵"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۱)", "رسم نمودار تابع چند جمله‌ای درجه سه"], {"intro": "۱. جدول مقادیر تابع را با جایگذاری مقادیر مختلف x در تابع اصلی تکمیل کنید.\n۲. نقاط به دست آمده را روی صفحه مختصات رسم کنید.\n۳. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار تابع حاصل شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۱)", "بررسی وارون‌پذیری تابع و رسم نمودار تابع وارون"], {"intro": "۱. نمودار تابع اصلی را رسم کنید.\n۲. بررسی کنید که آیا تابع یک به یک است (برای هر مقدار y فقط یک مقدار x وجود دارد).\n۳. اگر تابع وارون‌پذیر بود، نمودار تابع وارون را با تقارن نسبت به خط y = x رسم کنید.\n۴. ضابطه تابع وارون را با حل معادله y = f(x) نسبت به x به دست آورید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۱)", "مقایسه نمودار چند تابع چند جمله‌ای در بازه‌های مشخص"], {"intro": "۱. نمودار هر تابع را در بازه داده شده رسم کنید.\n۲. مقادیر تابع‌ها را در نقاط مختلف بازه بررسی کنید.\n۳. تعیین کنید در کدام بازه کدام تابع مقدار بزرگ‌تری دارد یا نمودار کدام تابع بالاتر است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۱)", "رسم نمودار توابع چند جمله‌ای تغییر یافته"], {"intro": "۱. تابع اصلی را بررسی کنید و تغییرات اعمال شده را شناسایی کنید (مانند جمع عدد ثابت، ضرب در عدد منفی، جابجایی افقی یا عمودی).\n۲. نمودار تابع پایه (مثلاً y = x³) را رسم کنید.\n۳. تغییرات را روی نمودار اعمال کنید (جابجایی، بازتاب، کشش یا فشردگی).\n۴. نمودار نهایی را رسم کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۱)", "تحلیل تغییرات تابع بر اساس نمودار"], {"intro": "۱. نمودار تابع را به بازه‌های مختلف تقسیم کنید. ۲. در هر بازه، جهت تغییر تابع را بررسی کنید: اگر نمودار صعودی است، تابع افزایش دارد. ۳. اگر نمودار نزولی است، تابع کاهش دارد. ۴. اگر نمودار افقی است، تابع ثابت است. ۵. بازه‌های زمانی مربوط به هر نوع تغییر را مشخص کنید.", "example": "تابع f(x) = x³ داده شده است. نمودار تابع وارون f⁻۱ را رسم کنید و ضابطه آن را تعیین کنید.", "steps": ["نمودار تابع f(x) = x³ را رسم می‌کنیم که یک منحنی یکنواخت است.", "تابع f یک به یک است و بنابراین وارون‌پذیر است.", "نمودار تابع وارون f⁻¹ با تقارن نسبت به خط y = x رسم می‌شود.", "برای یافتن ضابطه تابع وارون، معادله y = x³ را نسبت به x حل می‌کنیم:", "x = y به توانِ (۱/۳) ", "✅ جواب: f⁻¹(x) = ³√x"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۲)", "تشخیص نوع تابع (صعودی، نزولی، ثابت) از نمودار"], {"intro": "۱. دامنه تابع را مشخص کنید. ۲. نمودار تابع را در بازه‌های مختلف دامنه بررسی کنید. ۳. اگر با افزایش x مقدار تابع افزایش یابد، تابع صعودی است. ۴. اگر با افزایش x مقدار تابع کاهش یابد، تابع نزولی است. ۵. اگر مقدار تابع تغییر نکند، تابع ثابت است. ۶. بازه‌های مربوط به هر نوع تغییر را یادداشت کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۳)", "تشخیص تابع اکیداً یک‌نوا"], {"example": "تابع f(x) = ۲x + ۳ را در بازه [۱, ۵] بررسی کنید. آیا این تابع اکیداً یک‌نوا است؟", "steps": ["برای بررسی صعودی بودن تابع، مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: f'(x) = ۲.", "مشتق f'(x) = ۲ در تمام نقاط بازه [۱, ۵] مثبت است.", "از آنجا که مشتق در تمام بازه مثبت است، تابع f(x) در بازه [۱, ۵] اکیداً صعودی است.", "✅ جواب: بله"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۳)", "رسم نمودار تابع و تعیین بازه‌های صعودی و نزولی"], {"intro": "۱. تابع داده شده را به صورت جداگانه در بازه‌های مشخص شده بررسی کنید.\n۲. نقاط مرزی بازه‌ها را مشخص کنید و مقدار تابع را در این نقاط محاسبه کنید.\n۳. نمودار تابع را با توجه به تعریف تابع در هر بازه رسم کنید.\n۴. با توجه به نمودار یا مشتق تابع در هر بازه، بازه‌های صعودی و نزولی را تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۳)", "بررسی صعودی بودن تابع در بازه‌ها"], {"intro": "۱. تعریف تابع را در بازه مورد نظر بررسی کنید.\n۲. اگر تابع در بازه صعودی باشد، یعنی برای هر x1 < x2 در بازه، f(x1) ≤ f(x2) برقرار است.\n۳. با استفاده از مشتق یا تعریف تابع، صعودی بودن را اثبات کنید یا مثال نقض بیاورید.", "example": "تابع f(x) = ۲x + ۳ را در بازه [۱, ۴] بررسی کنید. آیا این تابع در این بازه صعودی است؟", "steps": ["برای بررسی صعودی بودن تابع، مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: f'(x) = ۲.", "مشتق f در هر نقطه از بازه [۱, ۴] برابر با ۲ است که عددی مثبت است.", "از آنجا که مشتق تابع در این بازه مثبت است، تابع f در بازه [۱, ۴] صعودی است.", "✅ جواب: بله"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۳)", "اثبات نامساوی و تعیین بازه برای توابع لگاریتمی"], {"intro": "۱. با توجه به شرط داده شده، نامساوی را بنویسید.\n۲. از خواص لگاریتم و توابع صعودی استفاده کنید.\n۳. بازه‌ای که نامساوی برقرار است را تعیین کنید.\n۴. در صورت نیاز، با جایگذاری مقادیر مرزی، بازه را دقیق‌تر مشخص کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۳)", "تقسیم چندجمله‌ای‌ها و بررسی بخش‌پذیری"], {"intro": "۱. چندجمله‌ای‌ها را طبق قانون تقسیم چندجمله‌ای تقسیم کنید.\n۲. خارج قسمت و باقیمانده را به دست آورید.\n۳. رابطه f(x) = p(x)q(x) + r(x) را بررسی کنید.\n۴. اگر باقیمانده صفر باشد، بخش‌پذیری تایید می‌شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۴)", "تشخیص بخش‌پذیری چندجمله‌ای‌ها"], {"intro": "برای بررسی بخش‌پذیری چندجمله‌ای f(x) بر چندجمله‌ای درجه یک x - a، کافی است مقدار تابع را در x = a محاسبه کنیم. اگر f(a) = ۰ باشد، آنگاه x - a بخش‌پذیر بر f(x) است. در غیر این صورت، بخش‌پذیر نیست. همچنین اگر چندجمله‌ای به صورت f(x) = x³ + ax² - ۲ باشد و بخواهیم مقدار a را طوری تعیین کنیم که x - a بخش‌پذیر باشد، کافی است f(a) = ۰ را حل کنیم و مقدار a را بیابیم.", "example": "چندجمله‌ای f(x) = x³ - ۳x² + ۴x - ۱۲ را بررسی کنید. آیا این چندجمله‌ای بر x - ۳ بخش‌پذیر است؟", "steps": ["مقدار تابع را در x = ۳ محاسبه می‌کنیم: f(۳) = ۳³ - ۳×۳² + ۴×۳ - ۱۲.", "محاسبه می‌کنیم: f(۳) = ۲۷ - ۲۷ + ۱۲ - ۱۲ = ۰.", "چون f(۳) = ۰ است، نتیجه می‌گیریم که x - ۳ بر f(x) بخش‌پذیر است.", "✅ جواب: بله"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۴)", "بررسی بخش‌پذیری چندجمله‌ای‌ها بر x - a"], {"example": "آیا x³ - ۸ بر x - ۲ بخش‌پذیر است؟", "steps": ["ابتدا می‌نویسیم x³ - ۸ = (x - ۲)(x² + ۲x + ۴) طبق اتحاد جبری.", "در اینجا a = ۲ و a³ = ۸ است.", "بنابراین، x - ۲ یک عامل از x³ - ۸ است و بخش‌پذیری برقرار است.", "✅ جواب: بله"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۴)", "تجزیه چندجمله‌ای‌ها با استفاده از اتحادهای جبری برای xⁿ - aⁿ"], {"example": "تجزیه کنید x³ - ۲۷ با استفاده از اتحاد جبری.", "steps": ["شناسایی a: در اینجا a برابر با ۳ است چون ۲۷ = ۳³.", "استفاده از اتحاد جبری: x³ - ۲۷ = (x - ۳)(x² + ۳x + ۹).", "تجزیه نهایی را بنویسید: x³ - ۲۷ = (x - ۳)(x² + ۳x + ۹).", "✅ جواب: (x - ۳)(x² + ۳x + ۹)"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۵)", "تجزیه چندجمله‌ای‌های خاص با استفاده از اتحادهای جبری و تغییر علامت"], {"example": "تجزیه کنید: x³ - ۲۷", "steps": ["شناسایی a = ۳ و n = ۳ در x³ - ۲۷.", "استفاده از اتحاد x³ - a³ = (x - a)(x² + ax + a²).", "جایگذاری a = ۳ در اتحاد: x³ - ۲۷ = (x - ۳)(x² + ۳x + ۹).", "✅ جواب: (x - ۳)(x² + ۳x + ۹)"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۵)", "تحلیل و رسم نمودار تابع و تابع وارون"], {"intro": "۱. ابتدا تابع داده شده را بررسی کنید و نوع آن را مشخص کنید.\n۲. نمودار تابع اصلی را با توجه به ضابطه آن رسم کنید.\n۳. بررسی کنید که تابع وارون‌پذیر است یا خیر (یک‌به‌یک بودن تابع).\n۴. اگر تابع وارون‌پذیر بود، نمودار تابع وارون را رسم کنید که معمولاً نسبت به خط y=x قرینه است.\n۵. ضابطه تابع وارون را با حل معادله y=f(x) نسبت به x به دست آورید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۵)", "تحلیل نمودار توابع و تعیین فواصل صعودی و نزولی"], {"intro": "۱. نمودار تابع را به دقت بررسی کنید و نقاطی که جهت نمودار تغییر می‌کند را مشخص کنید.\n۲. فواصل x را که در آن تابع مقدار y افزایش می‌یابد به عنوان فواصل صعودی تعیین کنید.\n۳. فواصل x را که در آن تابع مقدار y کاهش می‌یابد به عنوان فواصل نزولی تعیین کنید.\n۴. اگر تابع در بعضی نقاط ثابت است، آن فواصل را نیز مشخص کنید.\n۵. در صورت وجود نقاط ناپیوستگی یا پرش، آن‌ها را نیز در تحلیل لحاظ کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۵)", "رسم نمودار توابع رادیکالی، نمایی و لگاریتمی و بررسی یکنواختی"], {"intro": "۱. تابع داده شده را شناسایی کنید (رادیکالی، نمایی یا لگاریتمی).\n۲. دامنه تابع را تعیین کنید (مثلاً برای تابع رادیکالی زیر رادیکال باید غیرمنفی باشد).\n۳. نقاط مهم مانند مقدار تابع در نقاط خاص و رفتار تابع در بی‌نهایت را بررسی کنید.\n۴. نمودار تابع را با توجه به ویژگی‌های آن رسم کنید.\n۵. بررسی کنید که آیا تابع در کل دامنه خود یکنواخت (صعودی یا نزولی) است یا خیر."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۵)", "بررسی وجود تابعی که هم صعودی و هم نزولی باشد"], {"intro": "۱. تعریف تابع صعودی و نزولی را مرور کنید.\n۲. بررسی کنید آیا می‌توان تابعی را در یک فاصله داشت که هم صعودی و هم نزولی باشد.\n۳. برای رسم نمودار تابع در بازه‌های مختلف، تابع را در بازه‌های داده شده بررسی و رسم کنید.\n۴. نتیجه‌گیری درباره وجود یا عدم وجود چنین تابعی.", "example": "آیا تابع f(x) = x² - ۴ در بازه [-۲, ۲] هم صعودی و هم نزولی است؟", "steps": ["برای بررسی صعودی بودن تابع، مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: f'(x) = ۲x.", "مشتق را در بازه [-۲, ۲] بررسی می‌کنیم. در x = -۲، f'(-۲) = -۴ که منفی است و در x = ۲، f'(۲) = ۴ که مثبت است.", "این نشان می‌دهد که تابع در بازه [-۲, ۰] نزولی و در بازه [۰, ۲] صعودی است.", "از آنجا که تابع در کل بازه [-۲, ۲] هم صعودی و هم نزولی نیست، نتیجه می‌گیریم که چنین تابعی وجود ندارد.", "✅ جواب: خیر"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۶)", "بررسی صعودی بودن جمع و تفاضل توابع در یک فاصله"], {"intro": "۱. فرض کنید توابع f و g در یک فاصله اکیداً صعودی باشند.\n۲. بررسی کنید که جمع f+g در آن فاصله نیز اکیداً صعودی است.\n۳. بررسی کنید که تفاضل g-f در آن فاصله چه خاصیتی دارد.\n۴. نتیجه‌گیری بر اساس خواص توابع صعودی."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۶)", "تعیین ضریب k با استفاده از باقی‌مانده تقسیم چندجمله‌ای"], {"intro": "۱. باقی‌مانده تقسیم چندجمله‌ای را بر چندجمله‌ای درجه اول بنویسید.\n۲. مقدار چندجمله‌ای را در ریشه چندجمله‌ای تقسیم‌کننده قرار دهید.\n۳. معادله‌ای برای k به دست آورید و آن را حل کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۶)", "تعیین ضرایب چندجمله‌ای با شرایط بخش‌پذیری"], {"intro": "۱. چندجمله‌ای داده شده را بنویسید.\n۲. شرایط بخش‌پذیری بر چندجمله‌ای را به صورت معادلاتی برای a و b بنویسید.\n۳. معادلات را حل کنید تا a و b به دست آید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۶)", "تجزیه چندجمله‌ای‌ها بر حسب عوامل خواسته شده"], {"intro": "۱. چندجمله‌ای داده شده را بنویسید.\n۲. با استفاده از روش‌های تجزیه (مانند روش تقسیم، فرمول‌ها، یا گروه‌بندی) چندجمله‌ای را به عوامل مورد نظر تجزیه کنید.\n۳. عوامل را به صورت ضربی بنویسید.", "example": "تجزیه چندجمله‌ای ۲x² + ۸x به عوامل خواسته شده.", "steps": ["ابتدا ۲x² + ۸x را بررسی می‌کنیم. در اینجا می‌توانیم ۲x را به عنوان عامل مشترک خارج کنیم.", "با خارج کردن ۲x، عبارت به صورت ۲x(x + ۴) نوشته می‌شود.", "حالا عوامل را به صورت ضربی می‌نویسیم: ۲x و (x + ۴).", "✅ جواب: ۲x(x + ۴)"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۶)", "بررسی صعودی بودن تابع و تعیین حدود دامنه با نامساوی نمایی"], {"intro": "۱. فرض کنید تابع f در بازه‌ای اکیداً نزولی باشد و a و b متعلق به آن بازه باشند.\n۲. با استفاده از شرط f(a) ≤ f(b) و نامساوی داده شده، نامساوی را حل کنید.\n۳. حدود x را بر اساس نامساوی به دست آورید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "تعریف ماتریس", "تعریف و نمایش ماتریس"], {"intro": "۱. ماتریس را به صورت آرایشی مستطیلی از اعداد حقیقی در نظر می‌گیریم که شامل تعدادی سطر و ستون است.\n۲. هر عدد حقیقی در ماتریس در یک خانه مشخص قرار دارد که با شماره سطر و ستون آن مشخص می‌شود.\n۳. ماتریس را با یک حرف بزرگ مانند A نمایش می‌دهیم.\n۴. ابعاد ماتریس به صورت m×n نوشته می‌شود که m تعداد سطرها و n تعداد ستون‌ها است.\n۵. برای نوشتن ماتریس، اعداد را به ترتیب در سطرها و ستون‌ها می‌نویسیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "تعریف ماتریس", "تشخیص ابعاد و عناصر ماتریس"], {"intro": "۱. تعداد سطرهای ماتریس را بشمارید.\n۲. تعداد ستون‌های ماتریس را بشمارید.\n۳. ابعاد ماتریس را به صورت m×n بنویسید که m تعداد سطرها و n تعداد ستون‌ها است.\n۴. هر عنصر ماتریس را با توجه به موقعیت سطر و ستون آن مشخص کنید.\n۵. اعداد حقیقی داخل ماتریس را به صورت دقیق یادداشت کنید.", "example": "ماتریس B به ابعاد m×n با درایه‌های bᵢⱼ که i=۱ تا m و j=۱ تا n تغییر می‌کند، نمایش داده شده است. ماتریس B را به صورت درایه‌ای نمایش دهید.", "steps": ["ماتریس B به صورت زیر نمایش داده می‌شود:", "B(m×n) = b₁₁ b₁₂ ⋯ b(۱j) ⋯ b(۱n)\nb₂₁ b₂₂ ⋯ b(۲j) ⋯ b(۲n)\n⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮\nb(i1) b(i2) ⋯ b(ij) ⋯ b(in)", "✅ جواب: نمایش درایه‌ای ماتریس B با b(ij) برای سطر i و ستون j صحیح است."]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "تعریف ماتریس", "نمایش ماتریس با درایه‌ها"], {"intro": "۱. ماتریس را با ابعاد مشخص (m×n) در نظر بگیرید.\n۲. هر درایه ماتریس را با اندیس سطر و ستون آن مشخص کنید، به صورت bᵢⱼ که i شماره سطر و j شماره ستون است.\n۳. ماتریس را به صورت یک جدول مستطیلی با درایه‌های مشخص شده نمایش دهید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "تعریف ماتریس", "ساخت ماتریس با شرایط درایه‌ها"], {"intro": "۱. ماتریس را با ابعاد مشخص (مثلاً ۲×۲) در نظر بگیرید.\n۲. برای هر درایه aᵢⱼ شرط داده شده را اعمال کنید (مثلاً aᵢⱼ=۷ اگر i=j، aᵢⱼ=۵ اگر i>j و aᵢⱼ=-۲ اگر i<j).\n۳. درایه‌ها را بر اساس این شرایط مقداردهی کنید.\n۴. ماتریس نهایی را با درایه‌های مقداردهی شده نمایش دهید.", "example": "ماتریس ۲×۲ بسازید که aᵢⱼ = i + ۲j باشد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "تعریف ماتریس", "نمایش داده‌های فروشگاه‌ها در ماتریس"], {"intro": "۱. داده‌های مربوط به تعداد شلوار، بلوز و پیراهن موجود در هر فروشگاه را جمع‌آوری کنید.\n۲. یک ماتریس ۴×۳ بسازید که سطرها نمایانگر فروشگاه‌ها (A، B، C، D) و ستون‌ها نمایانگر تعداد شلوار، بلوز و پیراهن باشند.\n۳. داده‌ها را در ماتریس قرار دهید به طوری که هر خانه تعداد مربوط به آن فروشگاه و کالا را نشان دهد.\n۴. ماتریس نهایی را نمایش دهید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "تعریف ماتریس", "تشخیص ماتریس مربعی و قطری"], {"intro": "۱. بررسی تعداد سطرها و ستون‌ها: اگر تعداد سطرها و ستون‌ها برابر باشد، ماتریس مربعی است.\n۲. تعیین قطر اصلی: عناصر aᵢᵢ که در قطر اصلی قرار دارند مشخص می‌شوند.\n۳. بررسی صفر بودن عناصر خارج از قطر اصلی: اگر تمام عناصر خارج از قطر اصلی صفر باشند، ماتریس قطری است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "انواع ماتریس و جمع", "تشخیص ماتریس سطری"], {"intro": "۱. بررسی تعداد سطرها: اگر ماتریس فقط یک سطر داشته باشد، ماتریس سطری است.\n۲. نمایش ماتریس به صورت ۱×n.\n۳. مقایسه با ماتریس‌های همگی سطری برای تشخیص نوع."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "انواع ماتریس و جمع", "تشخیص ماتریس ستونی"], {"intro": "۱. بررسی تعداد ستون‌ها: اگر ماتریس فقط یک ستون داشته باشد، ماتریس ستونی است.\n۲. نمایش ماتریس به صورت m×۱.\n۳. مقایسه با ماتریس‌های همگی ستونی برای تشخیص نوع."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "انواع ماتریس و جمع", "تشخیص ماتریس قطری"], {"intro": "۱. بررسی مربعی بودن ماتریس.\n۲. بررسی اینکه تمام عناصر خارج از قطر اصلی صفر باشند.\n۳. اگر شرط بالا برقرار بود، ماتریس قطری است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "انواع ماتریس و جمع", "تشخیص ماتریس اسکالر"], {"intro": "۱. ماتریس باید قطری باشد.\n۲. تمام عناصر روی قطر اصلی باید برابر باشند.\n۳. اگر این دو شرط برقرار بود، ماتریس اسکالر است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "جمع و ضرب عدد در ماتریس", "جمع ماتریس‌ها و خاصیت‌های آن"], {"intro": "برای جمع دو ماتریس هم‌مرتبه، هر عنصر از ماتریس اول را با عنصر متناظر آن در ماتریس دوم جمع می‌کنیم. خاصیت جابجایی به این معناست که A + B = B + A و خاصیت شرکت‌پذیری به این معناست که A + (B + C) = (A + B) + C. ماتریس صفر به عنوان عضو خنثی عمل می‌کند به طوری که A + ۰ = A."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "جمع و ضرب عدد در ماتریس", "خاصیت عضو قرینه و توزیع‌پذیری ضرب نسبت به جمع در ماتریس‌ها"], {"intro": "۱. برای اثبات خاصیت عضو قرینه، نشان می‌دهیم که A + (-A) = ۰ و همچنین (-A) + A = ۰. ۲. برای توزیع‌پذیری ضرب نسبت به جمع، ابتدا جمع دو ماتریس A و B را محاسبه می‌کنیم. ۳. سپس ضرب عدد r را در ماتریس حاصل از جمع انجام می‌دهیم. ۴. به کمک توزیع‌پذیری ضرب عدد در جمع اعداد حقیقی، ضرب r را به صورت جداگانه روی هر ماتریس A و B اعمال می‌کنیم. ۵. نتیجه می‌گیریم که r(A ± B) = rA ± rB."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "جمع و ضرب عدد در ماتریس", "بررسی خاصیت ماتریس با اعداد حقیقی"], {"example": "آیا برای ماتریس‌ها هم مثل اعداد ۲(A + B) = ۲A + ۲B؟ با A=(۱،۰؛۰،۱) و B=(۰،۱؛۱،۰) بسنجید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "ضرب ماتریس‌ها", "بررسی خاصیت ضرب ماتریس اسکالر و ماتریس واحد"], {"intro": "ماتریس اسکالر ماتریسی مربعی است که همه عناصر قطر اصلی آن برابر با یک عدد ثابت و سایر عناصر صفر هستند. ماتریس واحد (Iₙ) ماتریس مربعی n×n است که عناصر قطر اصلی آن ۱ و سایر عناصر ۰ هستند و نقش عضو خنثی در ضرب ماتریس‌ها را دارد. برای هر ماتریس A با ابعاد n×m، ضرب A در ماتریس واحد Iₙ یا Iₘ به ترتیب از چپ یا راست برابر با خود ماتریس A است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "خواص ضرب ماتریس", "تعیین عناصر ماتریس با شرایط داده شده"], {"intro": "۱. ماتریس را با ابعاد داده شده تعریف کنید.\n۲. بر اساس شرط داده شده برای عناصر ماتریس (مثلاً برای i=j مقدار ثابت، برای i>j مقدار تابعی از i و j، و برای i<j مقدار تابعی دیگر) هر عنصر را تعیین کنید.\n۳. ماتریس نهایی را با جایگذاری مقادیر به دست آمده بنویسید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "خواص ضرب ماتریس", "محاسبه حاصل جمع عناصر ماتریس‌ها و عبارات جبری"], {"intro": "۱. ماتریس‌ها را با عناصر داده شده بنویسید.\n۲. حاصل جمع یا عبارت خواسته شده را با جمع عناصر مربوطه محاسبه کنید.\n۳. نتیجه را به صورت عددی یا جبری بیان کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "خواص ضرب ماتریس", "بررسی ماتریس‌های صفر و ضرب ماتریسی"], {"intro": "۱. ماتریس‌های داده شده را تعریف کنید.\n۲. ضرب ماتریسی را انجام دهید و بررسی کنید که آیا حاصل ضرب صفر است یا خیر.\n۳. نشان دهید که قانون حذف در ضرب ماتریسی برقرار نیست با ارائه مثال نقض."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "خواص ضرب ماتریس", "محاسبه توان‌های ماتریس مربعی و توان‌های متوالی"], {"intro": "۱. ماتریس مربعی A را تعریف کنید.\n۲. توان اول A¹ برابر خود ماتریس است.\n۳. توان‌های بعدی را با ضرب ماتریس A در توان قبلی محاسبه کنید.\n۴. از روابط داده شده مانند Aⁿ = A * Aⁿ⁻¹ استفاده کنید.\n۵. توان‌های خاص مانند A²، A⁷ و A⁰ را محاسبه کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "خواص ضرب ماتریس", "یافتن مقادیر مجهول در ماتریس‌ها به منظور حاصل ضرب قطری"], {"intro": "۱. ماتریس‌های داده شده را بنویسید.\n۲. حاصل ضرب دو ماتریس را به صورت ضرب ماتریسی انجام دهید.\n۳. شرط قطری بودن حاصل ضرب را بررسی کنید، یعنی عناصر غیرقطری باید صفر باشند.\n۴. معادلات به دست آمده را حل کنید تا مقادیر مجهول را بیابید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "ضرب ماتریس‌های ویژه", "محاسبه ضرب دو ماتریس با عناصر تعریف شده به صورت شرطی"], {"intro": "۱. ماتریس‌های A و B را با توجه به تعریف شرطی عناصرشان بنویسید.\n۲. عناصر ماتریس‌ها را برای هر i,j محاسبه کنید.\n۳. ضرب ماتریس‌ها را با استفاده از تعریف ضرب ماتریسی انجام دهید.\n۴. ماتریس‌های حاصل B×A و A×B را محاسبه کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "ضرب ماتریس‌های ویژه", "محاسبه حاصل ضرب ماتریس‌های قطری"], {"intro": "۱. ماتریس‌های قطری A و B را بنویسید که فقط در قطر اصلی مقادیر غیرصفر دارند.\n۲. ضرب دو ماتریس قطری را انجام دهید که حاصل آن نیز ماتریس قطری است.\n۳. هر عنصر قطر اصلی حاصل ضرب برابر حاصل ضرب عناصر متناظر قطر اصلی دو ماتریس است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "ضرب ماتریس‌های ویژه", "تعریف و بررسی قوانین ضرب ماتریس‌های اسکالر و ماتریس‌های 3×3"], {"intro": "۱. ماتریس‌های A و B را تعریف کنید که A اسکالر و B ماتریس ۳×۳ باشد.\n۲. قوانین ضرب ماتریس‌ها را برای A×B و B×A تعریف کنید.\n۳. بررسی کنید که آیا A×B = B×A برقرار است یا خیر.\n۴. با استفاده از ضرب ماتریس‌ها و خواص اسکالر، نتیجه‌گیری کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "ضرب ماتریس‌های ویژه", "ثابت کردن تعویض‌پذیری ضرب ماتریس‌های 3×3 و اثبات روابط جبری"], {"intro": "۱. ماتریس‌های A و B را که ۳×۳ و تعویض‌پذیر هستند، در نظر بگیرید.\n۲. رابطه A×B = B×A را فرض کنید.\n۳. روابط جبری داده شده مانند (A+B)² = A² + ۲AB + B² و (A-B)(A+B) = A² - B² را با استفاده از خاصیت تعویض‌پذیری اثبات کنید.\n۴. از خاصیت توزیع ضرب ماتریس و تعویض‌پذیری استفاده کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "ضرب ماتریس‌های ویژه", "محاسبه توان سوم ماتریس‌های قطری"], {"intro": "۱. ماتریس قطری A را بنویسید که فقط عناصر قطر اصلی غیر صفر دارند.\n۲. توان سوم ماتریس قطری را با ضرب ماتریس در خودش سه بار محاسبه کنید.\n۳. در ماتریس قطری، توان هر عنصر قطر اصلی برابر توان آن عنصر است و سایر عناصر صفر می‌مانند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "وارون ماتریس و دستگاه", "محاسبه وارون ماتریس"], {"intro": "برای یافتن وارون ماتریس A، ماتریسی B را بیابید که حاصل‌ضرب آن با A در هر دو جهت برابر ماتریس واحد I شود، یعنی A×B = B×A = I. برای ماتریس‌های ۲×۲، فرض کنید A = [[a, b], [c, d]] و B = [[x, y], [z, t]] باشد. معادله A×B = I را بنویسید و معادلات خطی برای x، y، z و t بر اساس a، b، c و d بدست آورید. سپس این معادلات را حل کنید تا عناصر ماتریس وارون B را بیابید. اگر ماتریس A وارون‌پذیر باشد، این ماتریس B همان وارون A است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "وارون ماتریس و دستگاه", "محاسبه وارون ماتریس ۲×۲"], {"intro": "۱. ماتریس A را به صورت [[a, b], [c, d]] در نظر بگیرید.\n۲. دترمینان ماتریس A را محاسبه کنید: |A| = ad - bc.\n۳. اگر دترمینان صفر باشد، ماتریس وارون ندارد.\n۴. اگر دترمینان غیر صفر باشد، وارون ماتریس A به صورت A⁻¹ = (۱/|A|) × [[d, -b], [-c, a]] محاسبه می‌شود.\n۵. عناصر ماتریس وارون را جایگزین کنید و ضرب عددی را انجام دهید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "وارون ماتریس و دستگاه", "بررسی وارون‌پذیری ماتریس ۲×۲"], {"intro": "۱. ماتریس A را به صورت [[a, b], [c, d]] در نظر بگیرید.\n۲. دترمینان ماتریس A را محاسبه کنید: |A| = ad - bc.\n۳. اگر |A| = ۰ باشد، ماتریس وارون‌پذیر نیست.\n۴. اگر |A| ≠ ۰ باشد، ماتریس وارون‌پذیر است و وارون آن با فرمول A⁻¹ = (۱/|A|) × [[d, -b], [-c, a]] محاسبه می‌شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "وارون ماتریس و دستگاه", "حل دستگاه معادلات خطی با استفاده از ماتریس‌ها"], {"intro": "۱. دستگاه معادلات خطی را به صورت معادله ماتریسی به شکل AX = B بنویسید که در آن A ماتریس ضرایب، X ماتریس مجهولات و B ماتریس مقادیر سمت راست معادلات است.\n۲. وارون‌پذیری ماتریس A را بررسی کنید (محاسبه دترمینان و اطمینان از غیرصفر بودن آن).\n۳. اگر A وارون‌پذیر باشد، ماتریس معکوس A⁻¹ را محاسبه کنید.\n۴. معادله را از سمت چپ در A⁻¹ ضرب کنید تا مجهولات به صورت X = A⁻¹ * B به دست آید.\n۵. ضرب ماتریس‌ها را انجام دهید و مقادیر مجهولات را استخراج کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "وارون ماتریس و دستگاه", "حل دستگاه معادلات خطی دو معادله و دو مجهول با استفاده از ماتریس وارون"], {"intro": "۱. دستگاه معادلات خطی دو معادله و دو مجهول را به صورت ماتریسی AX = B بنویسید، که A ماتریس ضرایب، X ماتریس مجهولات و B ماتریس مقادیر معلوم است.\n۲. اگر ماتریس A وارون‌پذیر باشد (یعنی دترمینان آن صفر نباشد)، ماتریس وارون A⁻¹ را محاسبه کنید.\n۳. با ضرب دو طرف معادله در A⁻¹ از چپ، مجهولات را به صورت X = A⁻¹ * B بیابید.\n۴. مقدار x و y را از ماتریس X استخراج کنید.\n۵. جواب دستگاه معادلات را به صورت زوج مرتب (x, y) بیان کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "وارون ماتریس و دستگاه", "بررسی نوع و تعداد جواب‌های دستگاه معادلات خطی دو متغیره"], {"intro": "۱. ماتریس ضرایب دستگاه را تشکیل می‌دهیم: A = [[a, b], [a', b']].\n۲. مقدار دترمینان ماتریس ضرایب |A| را محاسبه می‌کنیم.\n۳. اگر |A| ≠ ۰ باشد، دستگاه دارای جواب یکتا است و خطوط معادلات متقاطع هستند.\n۴. اگر |A| = ۰ باشد، دو حالت وجود دارد:\n الف) اگر نسبت ضرایب a/a' = b/b' ≠ c/c'، خطوط موازی و دستگاه جواب ندارد.\n ب) اگر نسبت ضرایب a/a' = b/b' = c/c'، خطوط روی هم افتاده‌اند و دستگاه بی‌نهایت جواب دارد.\n۵. برای تعیین نوع خطوط، شیب هر خط را از معادله آن استخراج می‌کنیم و بررسی می‌کنیم که آیا خطوط موازی یا متقاطع هستند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "دترمینان ۳×۳", "محاسبه دترمینان ماتریس‌های مربعی"], {"intro": "برای محاسبه دترمینان ماتریس A از مرتبه n (۱ ≤ n ≤ ۳) به صورت زیر عمل می‌کنیم:\n\n۱. اگر ماتریس ۱×۱ باشد، دترمینان برابر با همان عنصر است: |A| = k.\n۲. اگر ماتریس ۲×۲ باشد، دترمینان برابر است با ad - bc که a,b,c,d عناصر ماتریس هستند.\n۳. اگر ماتریس ۳×۳ باشد، دترمینان را با استفاده از فرمول گسترش سطر اول محاسبه می‌کنیم:\n |A| = a1۱ × det(زیرماتریس حذف شده سطر اول و ستون اول) - a1۲ × det(زیرماتریس حذف شده سطر اول و ستون دوم) + a1۳ × det(زیرماتریس حذف شده سطر اول و ستون سوم)\n که هر زیرماتریس ۲×۲ است و دترمینان آن طبق فرمول ماتریس ۲×۲ محاسبه می‌شود.\n\nدر نهایت مقدار دترمینان عددی حقیقی است که ویژگی‌های ماتریس را نشان می‌دهد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "دترمینان ۳×۳", "محاسبه دترمینان ماتریس‌های ۳×۳ با استفاده از توسعه بر حسب یک سطر یا یک ستون"], {"intro": "برای محاسبه دترمینان یک ماتریس ۳×۳، ابتدا یک سطر یا یک ستون دلخواه را انتخاب می‌کنیم. سپس دترمینان را با استفاده از فرمول توسعه بر حسب آن سطر یا ستون محاسبه می‌کنیم. در این فرمول، هر عنصر از سطر یا ستون انتخاب شده در ضریب کوفاکتور متناظر خود ضرب می‌شود. کوفاکتور هر عنصر برابر است با (-۱) به توان مجموع شماره سطر و ستون آن عنصر ضرب در دترمینان ماتریس ۲×۲ حاصل از حذف سطر و ستون آن عنصر از ماتریس اصلی. در نهایت مجموع این مقادیر برابر دترمینان ماتریس ۳×۳ است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "دترمینان ۳×۳", "محاسبه دترمینان ماتریس‌های ۳×۳ با استفاده از توسعه بر حسب ستون"], {"intro": "برای محاسبه دترمینان ماتریس ۳×۳ با توسعه بر حسب یک ستون، ابتدا یک ستون دلخواه را انتخاب می‌کنیم. سپس دترمینان را با جمع حاصل ضرب هر عنصر آن ستون در کوفاکتور متناظر آن عنصر محاسبه می‌کنیم. کوفاکتور هر عنصر برابر است با (-۱) به توان مجموع شماره سطر و ستون آن عنصر ضرب در دترمینان ماتریس ۲×۲ حاصل از حذف سطر و ستون آن عنصر. مجموع این مقادیر برابر دترمینان ماتریس است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "دترمینان ۳×۳", "محاسبه دترمینان ماتریس‌های 3×3 با استفاده از دستور ساروس"], {"intro": "برای محاسبه دترمینان ماتریس ۳×۳ به روش ساروس، ابتدا دو ستون اول ماتریس را کنار ماتریس اصلی تکرار می‌کنیم. سپس مجموع حاصل ضرب‌های درایه‌های روی قطرهای اصلی و دو قطر موازی آن را محاسبه می‌کنیم. از این مقدار، مجموع حاصل ضرب‌های درایه‌های روی قطرهای فرعی و دو قطر موازی آن را کم می‌کنیم. فرمول کلی دترمینان به صورت |A| = (aei + bfg + cdh) - (ceg + afh + bdi) است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "محاسبه‌ی دترمینان", "محاسبه دترمینان ماتریس‌های 3×3 با اعداد مشخص"], {"intro": "برای محاسبه دترمینان ماتریس ۳×۳، از فرمول ساروس استفاده می‌کنیم: دترمینان برابر است با جمع حاصل‌ضرب‌های قطرهای اصلی منهای جمع حاصل‌ضرب‌های قطرهای فرعی. به صورت دقیق:\n|A| = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)\nکه a,b,c,d,e,f,g,h,i عناصر ماتریس هستند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "محاسبه‌ی دترمینان", "محاسبه دترمینان ماتریس‌های 3×3 با اعداد داده شده و مقایسه با مقدار داده شده"], {"intro": "دترمینان ماتریس ۳×۳ را با استفاده از فرمول ساروس یا گسترش لاپلاس محاسبه می‌کنیم. سپس مقدار محاسبه شده را با مقدار داده شده مقایسه می‌کنیم تا صحت داده‌ها یا خواسته مسئله را بررسی کنیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "محاسبه‌ی دترمینان", "محاسبه دترمینان ماتریس‌های 3×3 با اعداد منفی و صفر"], {"intro": "برای محاسبه دترمینان ماتریس ۳×۳ با اعداد منفی و صفر، از فرمول ساروس استفاده می‌کنیم. دقت می‌کنیم که ضرب و جمع اعداد منفی و صفر به درستی انجام شود تا مقدار نهایی دترمینان به دست آید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "خواص دترمینان", "محاسبه حاصل عبارت‌های ماتریسی شامل معکوس و ضرب"], {"intro": "۱. ابتدا معکوس ماتریس‌های داده شده را محاسبه کنید.\n۲. سپس ضرب ماتریس‌ها را به ترتیب داده شده انجام دهید.\n۳. حاصل عبارت را با دقت محاسبه و ساده کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "خواص دترمینان", "محاسبه معکوس ماتریس و مقایسه دترمینان‌ها"], {"intro": "۱. معکوس ماتریس A را با استفاده از فرمول معکوس ماتریس ۲x2 محاسبه کنید.\n۲. دترمینان ماتریس A و دترمینان معکوس آن را محاسبه کنید.\n۳. مقادیر دترمینان‌ها را با هم مقایسه کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "خواص دترمینان", "بررسی تاثیر ضرب عددی روی دترمینان ماتریس"], {"intro": "۱. ماتریس B را به صورت k ضرب در هر عنصر ماتریس A در نظر بگیرید.\n۲. دترمینان B را با استفاده از خاصیت دترمینان ضرب عددی محاسبه کنید.\n۳. دترمینان A و B را مقایسه کنید و نتیجه را بیان کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "خواص دترمینان", "بررسی رابطه دترمینان ماتریس 2x2 و ضرب عددی"], {"intro": "۱. ماتریس B را به صورت k ضرب در هر عنصر ماتریس A در نظر بگیرید.\n۲. دترمینان B را با استفاده از خاصیت دترمینان ضرب عددی محاسبه کنید.\n۳. دترمینان A و B را مقایسه کنید و نتیجه را بیان کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "دترمینان و دستگاه", "مقایسه مقدار |kA| و |k| |A| برای ماتریس 2x2"], {"intro": "۱. دترمینان ماتریس A را محاسبه کنید.\n۲. دترمینان ماتریس kA را محاسبه کنید.\n۳. مقدار |k| ضربدر |A| را محاسبه کنید.\n۴. دو مقدار را با هم مقایسه کنید و نتیجه را بیان کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "دترمینان و دستگاه", "محاسبه مقدار قدر مطلق دترمینان ماتریس 3x3"], {"intro": "۱. دترمینان ماتریس A را محاسبه کنید.\n۲. قدر مطلق دترمینان را به دست آورید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "دترمینان و دستگاه", "حل دستگاه معادلات خطی با استفاده از ماتریس ضرایب و معکوس آن"], {"intro": "۱. ماتریس ضرایب A و ماتریس جواب‌ها B را تشکیل دهید.\n۲. معکوس ماتریس A را محاسبه کنید.\n۳. جواب دستگاه را با ضرب A⁻¹ در B بیابید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "دترمینان و دستگاه", "بررسی وجود و تعداد جواب‌های دستگاه معادلات خطی با استفاده از معکوس ماتریس"], {"intro": "۱. ماتریس ضرایب دستگاه را تشکیل دهید.\n۲. دترمینان ماتریس ضرایب را محاسبه کنید.\n۳. اگر دترمینان صفر نباشد، دستگاه جواب یکتا دارد و جواب را با ضرب معکوس ماتریس در ماتریس جواب‌ها بیابید.\n۴. اگر دترمینان صفر باشد، بررسی کنید دستگاه بی‌جواب یا جواب نامتناهی دارد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: ماتریس و کاربردها", "دترمینان و دستگاه", "یافتن مقدار پارامتر برای وجود جواب یکتا در دستگاه معادلات خطی"], {"intro": "۱. ماتریس ضرایب دستگاه را با پارامتر k تشکیل دهید.\n۲. دترمینان ماتریس را به صورت تابعی از k محاسبه کنید.\n۳. شرط وجود جواب یکتا دترمینان غیر صفر است.\n۴. مقادیر k را که دترمینان صفر می‌شود پیدا کنید و مقادیر دیگر k جواب یکتا دارند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "برهان غیرمستقیم و خلف", "ثابت کردن گزاره‌ها با روش برهان خلف"], {"intro": "برای اثبات گزاره‌ها با روش برهان خلف، ابتدا فرض خلاف گزاره را می‌گیریم و سپس به تناقض می‌رسیم. به عنوان مثال، برای ثابت کردن گنگ بودن عدد ۱/x، فرض می‌کنیم ۱/x گنگ نیست و سپس نشان می‌دهیم این فرض به تناقض می‌رسد. همچنین برای توابع پیوسته، اگر f و g در x=a پیوسته باشند، ثابت می‌کنیم f+g نیز پیوسته است با استفاده از تعریف پیوستگی و ترکیب توابع."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "نامساوی‌ها و هم‌ارزی", "اثبات نامساوی‌ها با استفاده از روش بازگشتی"], {"intro": "برای اثبات نامساوی‌ها به روش بازگشتی، ابتدا پایه بازگشت را ثابت می‌کنیم (مثلاً برای n=۱ یا n=۲). سپس فرض می‌کنیم نامساوی برای n برقرار است و با استفاده از این فرض، نامساوی برای n+۱ را اثبات می‌کنیم. در این روش معمولاً از خواص اعداد حقیقی و جابجایی عبارات استفاده می‌شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "خواص بخش‌پذیری", "خاصیت انتقالی تقسیم‌پذیری (اگر a|b و b|c آنگاه a|c)"], {"intro": "۱) از فرض a|b وجود عدد صحیح q را می‌گیریم که b = a·q. ۲) از فرض b|c وجود عدد صحیح p را می‌گیریم که c = b·p. ۳) جایگذاری b از گام اول در رابطهٔ گام دوم: c = (a·q)·p = a·(q·p). ۴) چون q·p عدد صحیح است، نتیجه می‌شود a|c."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "خواص بخش‌پذیری", "تقسیم‌پذیری و توان‌ها (اگر a|b آنگاه a|bⁿ)"], {"intro": "روش معمول: استقراء ریاضی روی n. پایه: برای n=۱ حکم درست است چون a|b فرض شده. فرض استقرایی: فرض کنید a|bᵏ برای برخی k≥۱. گام استقرایی: bᵏ⁺¹ = bᵏ·b؛ از فرض استقرایی a|bᵏ و از فرض اولیه a|b نتیجه می‌شود a|bᵏ⁺¹ (زیرا اگر a|X و a|Y آنگاه a|(X·Y) با توجه به فرم X و Y و اینکه یکی از آنها مضربی از a است). بنابراین برای همه n طبیعی a|bⁿ."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "خواص بخش‌پذیری", "جمع و تفاضل و تقسیم‌پذیری (اگر a|b و a|c آنگاه a|b±c)"], {"intro": "۱) از فرض a|b و a|c، اعداد صحیح q و r را می‌یابیم به طوری که b=a·q و c=a·r. ۲) جمع: b+c = a·q + a·r = a·(q+r) که نشان می‌دهد a|(b+c) زیرا q+r∈Z. ۳) تفاضل: b−c = a·q − a·r = a·(q−r) که نشان می‌دهد a|(b−c). ۴) بنابراین هم جمع و هم تفاضل مضربی از a هستند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "خواص بخش‌پذیری", "تقسیم‌پذیری متقابل و نتیجهٔ برابر بودن تا علامت (اگر a|b و b|a آنگاه a = ± b)"], {"intro": "۱) از a|b وجود q∈Z را داریم که b=a·q. ۲) از b|a وجود r∈Z را داریم که a=b·r. ۳) جایگذاری b از گام ۱ در گام ۲ می‌دهد a = (a·q)·r = a·(q·r). ۴) اگر a=۰ بررسی جداگانه صورت می‌گیرد (در این حالت b=۰ نیز). اگر a≠۰ آنگاه می‌توان طرفین را بر a تقسیم کرد و داریم ۱ = q·r، بنابراین q و r باید یکی از زوج‌های (۱,۱) یا (−۱,−۱) باشند. ۵) نتیجه: q=±۱ و بنابراین b = a·q = ±a، یعنی b = a یا b = −a."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "بخش‌پذیری و ب.م.م", "اثبات رابطه بین بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک و تقسیم‌پذیری"], {"intro": "برای اثبات اینکه اگر a|b آنگاه (a,b) = |a|، ابتدا باید نشان دهیم که a بر (a,b) بخش‌پذیر است (شرط الف). سپس باید ثابت کنیم که برای هر m>۰ که a|m و b|m برقرار است، m بزرگ‌تر یا مساوی (a,b) است (شرط ب). این دو شرط با استفاده از تعریف بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک و خواص تقسیم‌پذیری اثبات می‌شوند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "بخش‌پذیری و ب.م.م", "اثبات رابطه بین کوچک‌ترین مضرب مشترک و تقسیم‌پذیری"], {"intro": "برای اثبات اینکه اگر a|b آنگاه [a,b] = |b|، ابتدا باید نشان دهیم که a بر [a,b] بخش‌پذیر است (شرط الف). سپس باید ثابت کنیم که برای هر m>۰ که a|m و b|m برقرار است، m بزرگ‌تر یا مساوی [a,b] است (شرط ب). این دو شرط با استفاده از تعریف کوچک‌ترین مضرب مشترک و خواص تقسیم‌پذیری اثبات می‌شوند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "بخش‌پذیری و ب.م.م", "قضیه تقسیم و کاربردها"], {"intro": "برای هر عدد صحیح a و عدد طبیعی b (b>۰)، اعداد q و r یکتا وجود دارند به طوری که a = bq + r و ۰ ≤ r < b. برای حل مسائل مربوط به قضیه تقسیم، ابتدا عدد a را بر b تقسیم می‌کنیم و خارج قسمت q و باقی‌مانده r را پیدا می‌کنیم. سپس شرایط مسئله را با استفاده از این رابطه بررسی می‌کنیم. اگر باقی‌مانده منفی یا بزرگ‌تر از b باشد، با اضافه یا کم کردن مضارب b، باقی‌مانده را به بازه صحیح تبدیل می‌کنیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "تقسیم و باقی‌مانده", "محاسبه باقی‌مانده تقسیم اعداد صحیح"], {"intro": "برای محاسبه باقی‌مانده تقسیم عدد صحیح a بر عدد طبیعی b، ابتدا خارج قسمت q را به گونه‌ای انتخاب می‌کنیم که باقی‌مانده r = a - bq در بازه ۰ ≤ r < b قرار گیرد. اگر باقی‌مانده منفی باشد، با تغییر q به q-۱ یا q+۱ و اصلاح r، باقی‌مانده را به بازه صحیح منتقل می‌کنیم. این روش به ویژه برای اعداد منفی کاربرد دارد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "تقسیم و باقی‌مانده", "تقسیم اعداد صحیح به دو حالت باقیمانده"], {"intro": "برای تقسیم عدد صحیح a بر عدد طبیعی b، ابتدا باقی‌مانده r را در بازه ۰ تا b-۱ در نظر می‌گیریم. سپس عدد a را به صورت a = bq + r می‌نویسیم که q خارج قسمت است. با توجه به مقدار r، a را در یکی از حالت‌های ممکن تقسیم می‌کنیم. برای مثال اگر b=۲ باشد، a یا زوج است (r=۰) یا فرد (r=۱). در حالت کلی، با تعیین r و q، می‌توان a را به شکل‌های مختلفی نوشت که نشان‌دهنده حالت‌های تقسیم است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "تقسیم و باقی‌مانده", "ثابت کردن حالت‌های تقسیم عدد اول بر 6"], {"intro": "برای عدد اول p بزرگ‌تر از ۳، p را بر ۶ تقسیم می‌کنیم و حالت‌های ممکن باقی‌مانده را بررسی می‌کنیم. باقی‌مانده می‌تواند یکی از اعداد ۰ تا ۵ باشد. با بررسی هر حالت و استفاده از خاصیت عدد اول بودن، حالت‌های ممکن را محدود می‌کنیم. در نهایت ثابت می‌کنیم که p یا به صورت ۶k+۱ یا ۶k+۵ نوشته می‌شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "تقسیم و باقی‌مانده", "ثابت کردن رابطه باقیمانده مربع عدد صحیح"], {"intro": "برای عدد صحیح a، ابتدا a را به یکی از دو صورت ۲k یا ۲k+۱ می‌نویسیم. سپس مربع a را محاسبه می‌کنیم و باقی‌مانده تقسیم آن بر ۸ را بررسی می‌کنیم. با جایگذاری و ساده‌سازی، نشان می‌دهیم که باقی‌مانده مربع هر عدد صحیح یا ۰ یا ۱ است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "اثبات‌های بخش‌پذیری", "اثبات بخش‌پذیری اعداد متوالی"], {"intro": "برای اثبات بخش‌پذیری حاصل جمع یا ضرب اعداد متوالی بر عدد مشخص، ابتدا اعداد متوالی را به صورت جبری بیان می‌کنیم (مثلاً x، x+۱، x+۲ و ...). سپس با استفاده از خواص بخش‌پذیری و جبر، نشان می‌دهیم که عبارت مورد نظر بر عدد مشخص بخش‌پذیر است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "هم‌نهشتی", "بررسی تفاضل اعضای مجموعه‌های باقی‌مانده تقسیم بر عدد ۴ با جابجایی عدد ثابت"], {"intro": "۱. اعضای مجموعه‌های باقی‌مانده تقسیم بر ۴ را به صورت x = ۴k + r تعریف کنید که r عدد ثابت است. ۲. دو عضو دلخواه از مجموعه را به صورت a = ۴k + r و b = ۴k' + r انتخاب کنید. ۳. تفاضل a - b را محاسبه کنید. ۴. با ساده‌سازی نشان دهید که تفاضل مضرب ۴ است. ۵. نتیجه‌گیری کنید که تفاضل هر دو عضو از مجموعه مربوطه مضرب ۴ است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "ویژگی‌های هم‌نهشتی", "ویژگی‌های رابطه هم‌نهشتی در جمع و ضرب"], {"intro": "اگر a ≡ b (mod m) و c ≡ d (mod m) آنگاه: ۱) ac ≡ bd (mod m) ۲) a + c ≡ b + d (mod m) ۳) a - c ≡ b - d (mod m) برقرار است. برای اثبات هر کدام از این موارد، از تعریف رابطه هم‌نهشتی استفاده می‌کنیم که یعنی m | (a-b) و m | (c-d) و سپس با استفاده از خواص تقسیم‌پذیری نتیجه می‌گیریم که m بر عبارت‌های مربوطه نیز تقسیم‌پذیر است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "ویژگی‌های هم‌نهشتی", "محاسبه باقی‌مانده تقسیم و هم‌نهشتی"], {"intro": "۱. عدد a را بر عدد m تقسیم می‌کنیم تا خارج قسمت q و باقی‌مانده r به دست آید به طوری که a = mq + r و ۰ ≤ r < m. ۲. باقی‌مانده r همان a ≡ r (mod m) است. ۳. برای اثبات هم‌نهشتی دو عدد a و b نسبت به m، نشان می‌دهیم که m | (a - b) یا به عبارتی a - b مضربی از m است. ۴. برای محاسبه باقی‌مانده جمع یا ضرب اعداد نسبت به m، از ویژگی‌های هم‌نهشتی استفاده می‌کنیم: اگر a ≡ b (mod m) و c ≡ d (mod m) آنگاه a ± c ≡ b ± d (mod m)."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "باقی‌مانده با هم‌نهشتی", "یافتن باقی‌مانده تقسیم عدد بر ۳"], {"intro": "عدد n رقمی را به صورت A = aₙ₋₁aₙ₋₂...a₁a₀ در نظر می‌گیریم. با توجه به هم‌نهشتی ۱۰ᵏ ≡ ۱ (mod ۳) برای هر k، عدد A ≡ aₙ₋₁ + aₙ₋₂ + ... + a₁ + a₀ (mod ۳) است. بنابراین باقی‌مانده تقسیم عدد بر ۳ برابر باقی‌مانده جمع ارقام آن بر ۳ است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "باقی‌مانده با هم‌نهشتی", "یافتن باقی‌مانده تقسیم عدد بر ۱۱ با توجه به توان‌های فرد و زوج ۱۰"], {"intro": "عدد n رقمی را به صورت A = aₙ₋₁aₙ₋₂...a₁a₀ در نظر می‌گیریم. با توجه به اینکه ۱۰² ≡ ۱ (mod ۱۱) و ۱۰¹ ≡ -۱ (mod ۱۱)، توان‌های زوج ۱۰ برابر ۱ و توان‌های فرد برابر -۱ در هم‌نهشتی با ۱۱ هستند. بنابراین A ≡ a₀ - a₁ + a₂ - a₃ + ... (mod ۱۱) است. باقی‌مانده تقسیم عدد بر ۱۱ برابر باقی‌مانده این جمع متناوب است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "باقی‌مانده با هم‌نهشتی", "یافتن باقی‌مانده تقسیم عدد بر ۲، ۵ و ۱۰ با توجه به هم‌نهشتی‌های توان‌های ۱۰"], {"intro": "با توجه به هم‌نهشتی‌های ۱۰¹ ≡ ۰ (mod ۲)، ۱۰¹ ≡ ۰ (mod ۵) و ۱۰¹ ≡ ۰ (mod ۱۰)، باقی‌مانده تقسیم عدد بر ۲، ۵ و ۱۰ فقط به رقم آخر عدد بستگی دارد. بنابراین باقی‌مانده تقسیم عدد بر این اعداد برابر باقی‌مانده تقسیم رقم آخر عدد بر همان عدد است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "باقی‌مانده با هم‌نهشتی", "محاسبه روز هفته با استفاده از تکرار دوره‌ای"], {"intro": "۱. تعیین روز هفته شروع مسئله (مثلاً اول مهر یکشنبه باشد).\n۲. محاسبه تعداد روزهای فاصله بین دو تاریخ داده شده.\n۳. تقسیم تعداد روزها بر ۷ و یافتن باقی‌مانده برای تعیین روز هفته بعدی.\n۴. استفاده از جدول روزهای هفته برای تطبیق عدد باقی‌مانده با روز هفته متناظر.\n۵. نتیجه‌گیری روز هفته تاریخ مورد نظر با توجه به باقی‌مانده."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "باقی‌مانده با هم‌نهشتی", "محاسبه روز هفته برای تاریخ‌های مختلف با استفاده از جدول روزهای هفته"], {"intro": "۱. تعیین فاصله روزها بین دو تاریخ داده شده.\n۲. استفاده از جدول روزهای هفته که به هر روز عددی اختصاص داده شده است (مثلاً یکشنبه=۰، دوشنبه=۱ و ...).\n۳. محاسبه باقی‌مانده تقسیم فاصله روزها بر ۷.\n۴. تطبیق عدد باقی‌مانده با روز هفته متناظر در جدول.\n۵. تعیین روز هفته تاریخ دوم با توجه به روز هفته تاریخ اول و باقی‌مانده."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "معادله‌ی هم‌نهشتی و سیاله", "حل معادلات هم‌نهشتی"], {"steps": ["ابتدا مدول ۱۱ را در نظر می‌گیریم.", "۴۲۳ ≡ ۵ (mod ۱۱) پس معادله به صورت ۵x ≡ ۷۹ (mod ۱۱) تبدیل می‌شود.", "همچنین ۷۹ ≡ ۲ (mod ۱۱) است.", "پس معادله به شکل ۵x ≡ ۲ (mod ۱۱) است.", "برای حل این معادله باید معکوس ۵ در مدول ۱۱ را پیدا کنیم.", "✅ جواب: x ≡ ۷ (mod ۱۱)"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "معادله‌ی هم‌نهشتی و سیاله", "بررسی وجود جواب معادله هم‌نهشتی با توجه به اول بودن اعداد"], {"intro": "برای بررسی وجود جواب معادله ax ≡ b (mod m)، ابتدا باید بررسی کنیم که آیا a و m اول هستند یا خیر. اگر (a, m) = ۱ باشد، معادله همیشه جواب دارد. در غیر این صورت، باید بررسی کنیم که آیا b بر (a, m) بخش‌پذیر است یا خیر. اگر بخش‌پذیر باشد، جواب وجود دارد و اگر نباشد، جواب ندارد. این قضیه بدون اثبات پذیرفته می‌شود.", "example": "پ) برای هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱، عدد ۳ⁿ - ۱ اول است یا خیر؟", "steps": ["برای n=۲:", "۳² - ۱ = ۹ - ۱ = ۸ که عدد اول نیست.", "برای n=۳:", "۳³ - ۱ = ۲۷ - ۱ = ۲۶ که عدد اول نیست.", "بنابراین، این عدد برای n>۱ اول نیست.", "✅ جواب: نادرست است؛ برای هر n>۱ عدد ۳ⁿ-۱ زوج و بزرگ‌تر از ۲ است، پس اول نیست. n=۲ مثال نقض است."]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: آشنایی با نظریه‌ی اعداد", "معادله‌ی هم‌نهشتی و سیاله", "حل معادلات سیاله خطی با ضرایب صحیح"], {"intro": "۱. معادله سیاله ax + by = c را در نظر بگیرید که a، b، c اعداد صحیح هستند و x، y مجهول‌های صحیح می‌باشند.\n۲. تعداد وزنه‌های ۳ کیلو و ۴ کیلو را به ترتیب x و y فرض کنید.\n۳. معادله را به صورت ۳x + ۴y = ۱۹ یا مشابه آن بنویسید.\n۴. با استفاده از روش‌های جستجوی عدد صحیح یا روش‌های جبری، مقادیر صحیح x و y را پیدا کنید که معادله را ارضا کنند.\n۵. بررسی کنید که آیا جواب‌های دیگری نیز وجود دارد یا خیر.\n۶. در صورت نیاز، معادله را به معادله هم‌نهشتی تبدیل کنید و شرایط لازم و کافی برای وجود جواب را بررسی نمایید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۱)", "دوره تناوب توابع مثلثاتی"], {"intro": "۱. تعریف دوره تناوب را یادآوری کنید: کوچک‌ترین عدد مثبت T که برای هر x در دامنه تابع، f(x ± T) = f(x) برقرار باشد. ۲. برای توابع سینوس و کسینوس، دوره تناوب برابر ۲π است. ۳. اگر تابع به صورت f(x) = a sin(bx) یا f(x) = a cos(bx) باشد، دوره تناوب برابر ۲π تقسیم بر ضریب b است. ۴. با توجه به این تعریف و فرمول، دوره تناوب تابع را محاسبه کنید. ۵. نمودار تابع را رسم یا بررسی کنید تا تکرار مقادیر در بازه‌های دوره تناوب مشخص شود.", "example": "تابع f(x) = ۳ cos(۴x) را در نظر بگیرید. دوره تناوب این تابع را محاسبه کنید.", "steps": ["برای تابع f(x) = ۳ cos(۴x)، ضریب b برابر ۴ است.", "دوره تناوب را با استفاده از فرمول ۲π ÷ b محاسبه می‌کنیم.", "دوره تناوب = ۲π ÷ ۴ = π/۲.", "✅ جواب: π/۲"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۱)", "تحلیل دوره تناوب، مینیمم و ماکزیمم تابع سینوس"], {"intro": "۱. دوره تناوب تابع y = a sin x برابر ۲π است. ۲. مقدار ماکزیمم تابع برابر a و مقدار مینیمم برابر -a است. ۳. با تغییر ضریب a در تابع y = a sin x، دامنه تابع تغییر می‌کند ولی دوره تناوب ثابت می‌ماند. ۴. نمودار تابع سینوس با دامنه و دوره تناوب مشخص رسم می‌شود. ۵. برای تعیین ماکزیمم و مینیمم تابع، کافی است ضریب a را در نظر بگیریم و نقاطی که تابع به مقدار ±a می‌رسد را مشخص کنیم.", "example": "با دقت در نمودار تابع y=sin(x) که دوره تناوب آن ۲π است، ماکزیمم برابر ۱ و مینیمم برابر -۱ است. دوره تناوب، ماکزیمم و مینیمم این تابع را تعیین کنید.", "steps": ["تابع داده شده y=sin(x) است که در آن b=۱.", "دوره تناوب تابع برابر است با ۲π / |۱| = ۲π.", "ماکزیمم تابع سینوس برابر ۱ است. مینیمم تابع سینوس برابر -۱ است. بنابراین دوره تناوب ۲π، ماکزیمم ۱ و مینیمم -۱ است.", "✅ جواب: دوره تناوب ۲π، ماکزیمم ۱، مینیمم -۱"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۱)", "تعیین اثر ضریب a بر دامنه و دوره تناوب تابع سینوس"], {"intro": "۱. تابع y = a sin x دارای دوره تناوب ۲π است که مستقل از مقدار a است. ۲. دامنه تابع برابر قدر مطلق a است. ۳. با افزایش مقدار a، دامنه تابع افزایش می‌یابد و نمودار تابع کشیده‌تر می‌شود. ۴. با کاهش مقدار a، دامنه تابع کاهش می‌یابد و نمودار تابع فشرده‌تر می‌شود. ۵. دوره تناوب تابع ثابت باقی می‌ماند و فقط دامنه تغییر می‌کند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۱)", "تعیین دوره تناوب، ماکزیمم و مینیمم توابع سینوسی با ضریب b"], {"intro": "برای تابع y=sin(bx)، ابتدا دوره تناوب را با فرمول دوره تناوب = ۲π / |b| محاسبه می‌کنیم. سپس ماکزیمم تابع برابر ۱ و مینیمم برابر -۱ است مگر آنکه ضریب یا ضریب‌های دیگری تابع را تغییر دهند. با بررسی نمودار تابع، نقاط ماکزیمم و مینیمم را شناسایی می‌کنیم و مقدارهای آن‌ها را یادداشت می‌کنیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۱)", "تعیین دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم توابع سینوس و کسینوس"], {"intro": "برای توابع به شکل y = a sin(bx + c) یا y = a cos(bx + c)، ابتدا دوره تناوب را با فرمول T = ۲π / |b| محاسبه می‌کنیم. سپس مقدار ماکزیمم تابع برابر با a + c و مقدار مینیمم برابر با -|a| + c است. اگر a منفی باشد، مقدار ماکزیمم و مینیمم به ترتیب با توجه به علامت a تعیین می‌شود. مقدار c باعث انتقال عمودی تابع می‌شود و در تعیین ماکزیمم و مینیمم لحاظ می‌شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۱)", "تشخیص ضریب و دوره تناوب توابع سینوسی و کسینوسی"], {"intro": "۱. نمودار تابع داده شده را با دقت بررسی کنید.\n۲. دوره تناوب تابع را با توجه به فاصله بین نقاط تکرار شونده (مثلاً ماکزیمم‌ها یا مینیمم‌ها) تعیین کنید.\n۳. ضریب b را از رابطه دوره تناوب T = ۲π / |b| محاسبه کنید.\n۴. مقدار a را از اختلاف بین ماکزیمم و مینیمم تابع به دست آورید، به طوری که ماکزیمم = c + |a| و مینیمم = c - |a| باشد.\n۵. مقدار c را به عنوان میانگین ماکزیمم و مینیمم محاسبه کنید.\n۶. تابع را به صورت y = a sin(bx + c) یا y = a cos(bx + c) بنویسید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۲)", "محاسبه تانژانت زاویه با استفاده از دایره مثلثاتی و خطوط عمود"], {"intro": "۱. زاویه α را در ربع اول دایره مثلثاتی در نظر می‌گیریم. ۲. خط OM را رسم می‌کنیم که از مرکز دایره O به نقطه روی دایره M می‌رسد. ۳. خطی عمود بر محور کسینوس از نقطه A رسم می‌کنیم که خط TAT' نام دارد. ۴. امتداد ضلع دوم زاویه α را تا قطع خط TAT' ادامه می‌دهیم و نقطه تقاطع را M' می‌نامیم. ۵. طول AM' برابر با tan α است. ۶. با توجه به موقعیت زاویه در ربع‌های مختلف، علامت tan α تعیین می‌شود (ربع اول و سوم مثبت، ربع دوم و چهارم منفی).", "steps": ["با توجه به مثلث قائم‌الزاویه OAM، از قضیه فیثاغورس داریم: OA² = OM² + AM'².", "۵² = ۴² + AM'².", "۲۵ = ۱۶ + AM'².", "AM'² = ۲۵ - ۱۶.", "AM'² = ۹ و بنابراین AM' = √۹ = ۳.", "✅ جواب: ۳"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۲)", "بررسی علامت و شکل نمودار توابع سینوس و کسینوس با ضرایب مختلف"], {"intro": "۱. تابع را به صورت y = a sin(bx + c) یا y = a cos(bx + c) در نظر می‌گیریم. ۲. مقدار مطلق a تعیین‌کننده دامنه (بیشینه و کمینه) تابع است. ۳. علامت a مشخص می‌کند که نمودار نسبت به محور x چگونه قرینه است (مثبت یا منفی). ۴. مقدار b با دوره تناوب رابطه دارد: دوره تناوب برابر ۲π تقسیم بر مقدار مطلق b است. ۵. مقدار c شیفت افقی تابع را تعیین می‌کند. ۶. با توجه به این پارامترها، شکل کلی نمودار و نقاط ماکزیمم و مینیمم مشخص می‌شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۲)", "بررسی شکل و ضرایب تابع کسینوس با شیفت و دامنه مشخص"], {"intro": "۱. تابع را به صورت y = a cos(bx + c) در نظر می‌گیریم. ۲. دامنه تابع برابر مقدار مطلق a است. ۳. دوره تناوب برابر ۲π تقسیم بر مقدار مطلق b است. ۴. شیفت افقی تابع برابر c است. ۵. با توجه به مقادیر ماکزیمم و مینیمم و دوره تناوب، ضرایب a، b و c تعیین می‌شوند. ۶. علامت a مشخص می‌کند که نمودار نسبت به محور x چگونه قرینه است (مثبت یا منفی)."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۲)", "بررسی تغییرات مقدار تابع تانژانت در ربع اول و نزدیکی به π/2"], {"intro": "۱. مقدار تابع تانژانت را برای زاویه α در ربع اول دایره مثلثاتی بررسی کنید. ۲. با افزایش زاویه α تا نزدیک شدن به π/۲، مقدار تانژانت را محاسبه و روند افزایش آن را تحلیل کنید. ۳. نتیجه بگیرید که مقدار تانژانت تا چه حد افزایش می‌یابد و رفتار آن در نزدیکی π/۲ چگونه است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۲)", "یافتن زاویه‌ای با مقدار تانژانت مشخص در ربع اول"], {"intro": "۱. فرض کنید عدد حقیقی مثبت a داده شده است که tanα = a. ۲. زاویه α را در ربع اول پیدا کنید که این مقدار تانژانت را داشته باشد. ۳. از رابطه تانژانت و دایره مثلثاتی استفاده کنید تا زاویه‌ای مشابه با مقدار تانژانت داده شده بیابید.", "example": "اگر tanα = ۳ باشد، زاویه α را در ربع اول پیدا کنید.", "steps": ["با توجه به اینکه tanα = ۳، می‌توانیم از رابطه tanα = مقابل ÷ مجاور استفاده کنیم.", "فرض می‌کنیم که مقابل = ۳ و مجاور = ۱ باشد.", "حال با استفاده از مثلث قائم‌الزاویه، می‌توانیم طول وتر را محاسبه کنیم: وتر = √(۳² + ۱²) = √(۹ + ۱) = √۱۰.", "سپس با استفاده از تابع آرکتانژانت، زاویه α را محاسبه می‌کنیم: α = arctan(۳).", "با استفاده از ماشین‌حساب، مقدار α تقریباً برابر با ۷۱٫۵۷ درجه است.", "✅ جواب: ۷۱٫۵۷"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۲)", "بررسی روند تغییر مقدار تانژانت در ربع‌های دوم، سوم و چهارم"], {"intro": "۱. مقدار تانژانت را در هر یک از ربع‌های دوم، سوم و چهارم دایره مثلثاتی بررسی کنید. ۲. روند تغییر مقدار تانژانت را در هر ربع مشخص کنید که آیا افزایش یا کاهش دارد. ۳. نتایج را با توجه به علامت‌های سینوس و کسینوس در هر ربع تحلیل کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۳)", "نوشتن بازه تغییرات مقدار تانژانت در هر ربع"], {"intro": "۱. مقدار تانژانت را در هر ربع دایره مثلثاتی بررسی کنید. ۲. بازه مقدار تانژانت را در هر ربع مشخص کنید. ۳. بازه‌ها را به صورت باز یا بسته با توجه به رفتار تانژانت در مرزهای ربع‌ها بنویسید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۳)", "تحلیل نمودار تابع تانژانت در ربع‌های مختلف"], {"intro": "۱. زاویه‌های مشخص شده در هر ربع دایره را بررسی کنید.\n۲. مقدار تابع تانژانت را برای هر زاویه محاسبه یا از نمودار بخوانید.\n۳. جهت افزایش یا کاهش مقدار تابع را در هر بازه مشخص کنید.\n۴. نقاطی که مقدار تابع به سمت بی‌نهایت میل می‌کند یا از بی‌نهایت منفی می‌آید را تعیین کنید.\n۵. جدول تغییرات مقدار و روند افزایش یا کاهش را کامل کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۳)", "رسم نمودار تابع تانژانت در ربع‌های مختلف"], {"intro": "برای رسم نمودار تابع y = tan x در ربع‌های مختلف، ابتدا نمودار تابع را در ربع اول رسم می‌کنیم. سپس با استفاده از خاصیت تناوب π و متناوب بودن تابع تانژانت، نمودار را در ربع‌های دیگر با انتقال به راست یا چپ به اندازه π رسم می‌کنیم. همچنین باید نقاط ناپیوستگی تابع را در نظر بگیریم که در x = kπ + π/۲ (k عدد صحیح) رخ می‌دهد. با این روش نمودار کامل تابع در بازه‌های مختلف به دست می‌آید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۳)", "یافتن دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم توابع مثلثاتی"], {"intro": "۱. ابتدا تابع داده شده را بررسی کنید و نوع تابع مثلثاتی (سینوس یا کسینوس) را مشخص کنید. ۲. دوره تناوب تابع اصلی سینوس یا کسینوس را یادآوری کنید (۲π). ۳. دوره تناوب تابع ترکیبی را با توجه به ضریب داخل پرانتز (x) محاسبه کنید به صورت T = ۲π / |ضریب|. ۴. برای یافتن مقادیر ماکزیمم و مینیمم، مقدار دامنه تابع را بررسی کنید که برابر با ضریب جلوی سینوس یا کسینوس است. ۵. مقدار ماکزیمم برابر با مقدار ثابت جمع شده به دامنه و مقدار مینیمم برابر با مقدار ثابت منهای دامنه است. ۶. مقادیر ماکزیمم و مینیمم را یادداشت کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۴)", "رسم و تحلیل نمودار توابع مثلثاتی با ضرایب مختلف"], {"intro": "۱. تابع داده شده را شناسایی کنید (سینوس یا کسینوس). ۲. ضریب داخل پرانتز (x) را مشخص کنید که دوره تناوب را تغییر می‌دهد. ۳. دوره تناوب را با فرمول T = ۲π / |ضریب| محاسبه کنید. ۴. دامنه تابع را از ضریب جلوی سینوس یا کسینوس تعیین کنید. ۵. نمودار تابع را با توجه به دوره تناوب و دامنه رسم کنید. ۶. نقاط مهم مانند صفرها، ماکزیمم‌ها و مینیمم‌ها را روی نمودار مشخص کنید. ۷. نمودار را با نمودارهای داده شده مقایسه کنید و تطابق دهید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۴)", "مقایسه مقادیر سینوس و تانژانت در بازه‌های مختلف"], {"example": "مقدار سینوس و تانژانت را برای α = π/۴ محاسبه کنید و آنها را با هم مقایسه کنید.", "steps": ["مقدار سینوس را محاسبه می‌کنیم: sin(π/۴) = √۲/۲.", "مقدار تانژانت را محاسبه می‌کنیم: tan(π/۴) = ۱.", "مقدار سینوس برابر با √۲/۲ است که تقریباً برابر با ۰٫۷۰۷ است.", "مقدار تانژانت برابر با ۱ است.", "چون ۰٫۷۰۷ < ۱، بنابراین sin(π/۴) < tan(π/۴) است.", "✅ جواب: sin(π/۴) < tan(π/۴)"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۱)", "حل معادلات مثلثاتی از نوع sin x = a"], {"intro": "۱. رسم نمودار تابع y = sin x و تعیین نقاطی که y=۰ است (صفرهای تابع). ۲. تعیین نقاطی که sin x = a (مثلاً a=۰ یا a=۱) با توجه به نمودار. ۳. نوشتن جواب‌ها به صورت مجموعه نقاطی که در آن‌ها مقدار تابع برابر a است. ۴. استفاده از فرمول کلی جواب‌ها به صورت x = kπ برای sin x = ۰ و x = π/۲ + ۲kπ برای sin x = ۱ که k عدد صحیح است. ۵. در صورت نیاز، استفاده از فرمول کلی جواب‌ها برای مقادیر دیگر a با توجه به دوره تناوب و تقارن تابع سینوس.", "example": "معادله sin x = -۱/۲ را حل کنید.", "steps": ["ابتدا معادله را به صورت sin x = sin(-π/۶) بازنویسی می‌کنیم. سپس جواب‌های کلی معادله به صورت زیر است:", "x = ۲kπ - π/۶ , k ∈ Z", "x = ۲kπ + π - (-π/۶) = ۲kπ + ۷π/۶ , k ∈ Z", "بنابراین جواب‌های معادله sin x = -۱/۲ به صورت x = ۲kπ - π/۶ و x = ۲kπ + ۷π/۶ هستند که k هر عدد صحیحی است.", "✅ جواب: x = ۲kπ - π/۶ یا x = ۲kπ + ۷π/۶ که k∈Z"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۱)", "حل معادلات مثلثاتی از نوع sin x = 1"], {"intro": "۱. رسم نمودار تابع y = sin x و تعیین نقاطی که مقدار تابع برابر ۱ است. ۲. تعیین نقاط تقاطع y = sin x و y = ۱. ۳. نوشتن جواب‌ها به صورت مجموعه نقاطی که در آن‌ها مقدار تابع برابر ۱ است. ۴. استفاده از فرمول کلی جواب‌ها به صورت x = π/۲ + ۲kπ که k عدد صحیح است. ۵. بیان جواب‌ها به صورت کلی با توجه به دوره تناوب تابع سینوس."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۱)", "حل معادلات مثلثاتی از نوع sin x = 1/2"], {"intro": "۱. تعیین مقدار a در معادله sin x = a (مثلاً a = ۱/۲). ۲. یافتن مقادیر x که sin x = a را ارضا می‌کنند در بازه اصلی (مثلاً ۰ تا ۲π). ۳. استفاده از تقارن تابع سینوس برای یافتن جواب‌های دیگر. ۴. نوشتن جواب‌ها به صورت کلی با افزودن دوره تناوب ۲π به جواب‌های اصلی. ۵. بیان جواب‌ها به صورت x = α + ۲kπ و x = π - α + ۲kπ که α مقدار زاویه‌ای است که sin α = a."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۱)", "یافتن زوایایی که سینوس آنها مقدار مشخصی دارد"], {"intro": "برای یافتن زوایایی که سینوس آنها برابر مقدار مشخصی است، ابتدا مقدار داده شده را در معادله sin x = مقدار داده شده قرار می‌دهیم. سپس با استفاده از نمودار سینوس یا دایره مثلثاتی، زوایای متناظر با آن مقدار را پیدا می‌کنیم. این زوایا معمولاً در دو دسته قرار دارند که با فرمول کلی x = α + ۲kπ و x = π - α + ۲kπ (k عدد صحیح) بیان می‌شوند. در نهایت زوایا را در بازه مورد نظر مرتب می‌کنیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۱)", "تعیین طول تعداد نقاط تقاطع دو نمودار سینوس و خط افقی"], {"intro": "برای تعیین تعداد نقاط تقاطع نمودار y = sin x و خط y = مقدار ثابت در بازه مشخص، ابتدا معادله sin x = مقدار ثابت را حل می‌کنیم. سپس با توجه به دوره تناوب ۲π تابع سینوس، تعداد نقاطی که در بازه داده شده وجود دارد را محاسبه می‌کنیم. تعداد نقاط تقاطع برابر است با تعداد مقادیری که معادله در بازه داده شده دارد.", "example": "تعداد نقاط تقاطع نمودار y = sin x و خط y = ۰٫۵ را در بازه [۰, ۴π] تعیین کنید.", "steps": ["معادله sin x = ۰٫۵ را حل می‌کنیم. این معادله در بازه [۰, ۲π] دو جواب دارد: x = π/۶ و x = ۵π/۶.", "با توجه به دوره تناوب ۲π، این دو جواب در هر دوره تکرار می‌شوند.", "در بازه [۰, ۴π]، دو دوره وجود دارد. پس تعداد نقاط تقاطع برابر است با ۲ (جواب اول) × ۲ (دوره‌ها) = ۴.", "بنابراین، تعداد نقاط تقاطع در بازه [۰, ۴π] برابر با ۴ است.", "✅ جواب: ۴"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۲)", "دسته‌بندی زوایا با مقدار سینوس مشخص در دایره مثلثاتی"], {"intro": "برای دسته‌بندی زوایایی که سینوس آنها برابر مقدار مشخصی است، ابتدا زوایای اصلی را در دایره مثلثاتی مشخص می‌کنیم. سپس با توجه به تقارن دایره مثلثاتی، دسته‌های زوایا را که مقدار سینوس برابر دارند تعیین می‌کنیم. این دسته‌ها معمولاً به صورت دنباله‌هایی با فاصله ۲π مرتب می‌شوند. در نهایت زوایا را در دسته‌های جداگانه مرتب کرده و ادامه می‌دهیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۲)", "حل معادلات خطی مثلثاتی"], {"intro": "برای حل معادلاتی به شکل a sin x + b = ۰ ابتدا معادله را به صورت sin x = -b/a بازنویسی می‌کنیم. سپس مقدار سمت راست را بررسی می‌کنیم که باید در بازه [-۱,۱] باشد. در صورت معتبر بودن، از روش حل معادله sin x = c استفاده می‌کنیم و جواب‌ها را با استفاده از روابط کلی x = ۲kπ + α و x = (۲k+۱)π - α به دست می‌آوریم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۲)", "حل معادلات مثلثاتی از نوع cos x = a"], {"intro": "برای حل معادله cos x = a ابتدا مقدار a را بررسی می‌کنیم که باید در بازه [-۱,۱] باشد. سپس زاویه α را طوری تعریف می‌کنیم که cos α = a. با استفاده از دایره مثلثاتی، نقاط تقاطع خط x = a با دایره را پیدا می‌کنیم که دو زاویه α و -α هستند. جواب‌های معادله به صورت کلی به شکل x = ۲kπ ± α، که k عدد صحیح است، نوشته می‌شوند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۲)", "حل معادلات مثلثاتی با استفاده از روابط بنیادی"], {"intro": "۱. معادله مثلثاتی را به شکل استاندارد تبدیل کنید (مثلاً cos x = cos a یا sin x = sin a). ۲. از روابط کلی حل معادلات مثلثاتی استفاده کنید: برای cos x = cos a، جواب‌ها به صورت x = ۲kπ ± a هستند و برای sin x = sin a، جواب‌ها به صورت x = ۲kπ + a یا x = (۲k+۱)π - a هستند، که k عدد صحیح است. ۳. مقادیر k را جایگذاری کنید تا جواب‌های مورد نظر در بازه داده شده به دست آید. ۴. جواب‌ها را در بازه مشخص شده محدود کنید.", "example": "معادله sin x = ۱ را حل کنید و جواب‌های آن را به صورت کلی بیان کنید.", "steps": ["از نمودار تابع y = sin x مشاهده می‌کنیم که مقدار ۱ در نقاط x = π/۲ + ۲kπ رخ می‌دهد که k عدد صحیح است.", "بنابراین جواب‌های معادله sin x = ۱ به صورت x = π/۲ + ۲kπ هستند که k عدد صحیح است.", "این جواب‌ها شامل تمام نقاطی است که تابع سینوس مقدار ۱ دارد.", "✅ جواب: x = π/۲ + ۲kπ, k∈ℤ"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۲)", "حل معادلات مثلثاتی با چند جمله‌ای‌های سینوس"], {"intro": "۱. معادله را به شکل sin ax = sin b تبدیل کنید. ۲. از رابطه کلی حل معادله سینوس استفاده کنید: x = (b + ۲kπ)/a یا x = ((π - b) + ۲kπ)/a که k عدد صحیح است. ۳. مقادیر k را جایگذاری کنید تا جواب‌های مورد نظر در بازه داده شده به دست آید. ۴. جواب‌ها را محدود به بازه مورد نظر کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۲)", "حل معادلات مثلثاتی با استفاده از تبدیل و جایگذاری"], {"intro": "۱. معادله را به گونه‌ای بازنویسی کنید که یک طرف معادله به صورت سینوس یا کسینوس یک زاویه خاص باشد. ۲. مقدار داخل سینوس یا کسینوس را برابر با مقدار زاویه‌ای که سینوس یا کسینوس آن برابر است قرار دهید. ۳. از روابط کلی حل معادلات مثلثاتی استفاده کنید. ۴. مقادیر k را جایگذاری کنید و جواب‌ها را در بازه مورد نظر محدود کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۳)", "کاربرد مثلثات در مسائل حرکت و فیزیک"], {"intro": "۱. رابطه بین سرعت، زاویه پرتاب و مسافت افقی را با استفاده از فرمول‌های حرکت پرتابی بنویسید. ۲. مقدارهای داده شده را در فرمول جایگذاری کنید. ۳. معادله مثلثاتی به دست آمده را حل کنید تا زاویه پرتاب را بیابید. ۴. در صورت نیاز، از توابع معکوس مثلثاتی برای یافتن زاویه استفاده کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۳)", "حل معادلات مثلثاتی با استفاده از روابط مثلثاتی و تبدیل‌ها"], {"intro": "۱. معادله مثلثاتی داده شده را بررسی کنید.\n۲. اگر لازم است، با استفاده از روابط مثلثاتی، معادله را به صورت ساده‌تر یا به معادله درجه دوم تبدیل کنید.\n۳. متغیر مثلثاتی (مثلاً cos x یا sin x) را با یک متغیر جدید جایگزین کنید.\n۴. معادله درجه دوم را حل کنید و مقادیر متغیر جدید را بیابید.\n۵. مقادیر متغیر مثلثاتی را جایگزین کنید و با استفاده از روابط معادلات مثلثاتی، مقادیر x را به دست آورید.\n۶. جواب‌ها را در بازه مورد نظر یا به صورت کلی با پارامتر k بیان کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۳)", "حل معادلات مثلثاتی با استفاده از روابط سینوس و کسینوس و تبدیل به معادله سینوسی"], {"intro": "۱. معادله داده شده را به گونه‌ای بازنویسی کنید که یک طرف معادله به صورت sin یا cos باشد.\n۲. اگر معادله شامل ضرب یا ترکیب سینوس و کسینوس است، از روابط مثلثاتی برای ساده‌سازی استفاده کنید.\n۳. معادله را به صورت sin(ax) = c یا cos(ax) = c تبدیل کنید.\n۴. با استفاده از روابط عمومی حل معادلات سینوسی یا کسینوسی، مقادیر x را به دست آورید.\n۵. جواب‌ها را به صورت کلی با پارامتر k بیان کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۳)", "حل معادلات مثلثاتی با استفاده از تبدیل و توان رساندن به توان دو"], {"intro": "۱. معادله داده شده را بازنویسی کنید تا یک طرف معادله به صورت جمع یا تفریق سینوس و کسینوس باشد.\n۲. طرفین معادله را به توان دو برسانید تا بتوانید از روابط مثلثاتی استفاده کنید.\n۳. از رابطه sin² x + cos² x = ۱ برای ساده‌سازی استفاده کنید.\n۴. معادله به دست آمده را حل کنید و مقادیر x را بیابید.\n۵. جواب‌ها را در بازه داده شده یا به صورت کلی بیان کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۳)", "حل معادلات مثلثاتی"], {"intro": "۱. معادله مثلثاتی را به صورت استاندارد بازنویسی کنید.\n۲. از روابط مثلثاتی پایه مانند اتحادها و تبدیل‌ها استفاده کنید تا معادله ساده شود.\n۳. معادله حاصل را به صورت ضربی یا خطی حل کنید.\n۴. جواب‌های به دست آمده را در بازه مشخص شده بررسی کنید و جواب‌های نامعتبر را حذف کنید.\n۵. جواب‌های معتبر را به صورت دقیق یا کسری بیان کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۳)", "تحلیل و رسم نمودار تابع تانژانت و حل معادلات تانژانت"], {"intro": "۱. نمودار تابع tan x و خط y = a را رسم یا بررسی کنید.\n۲. نقاط تقاطع نمودار tan x و خط y = a را بیابید که نشان‌دهنده جواب‌های معادله tan x = a است.\n۳. با توجه به تناوب تانژانت و ویژگی‌های آن، رابطه کلی جواب‌ها را به صورت x = arctan(a) + kπ بیان کنید.\n۴. در صورت نیاز، بازه جواب‌ها را محدود کنید و جواب‌های داخل بازه را استخراج کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۴)", "رابطه تانژانت مجموع و تفاضل دو زاویه"], {"intro": "برای یافتن تانژانت مجموع دو زاویه α و β از رابطه tan(α + β) = (tan α + tan β) / (۱ - tan α tan β) استفاده می‌کنیم. همچنین برای تانژانت تفاضل دو زاویه از رابطه tan(α - β) = (tan α - tan β) / (۱ + tan α tan β) بهره می‌بریم. این روابط از تقسیم سینوس مجموع یا تفاضل زاویه بر کسینوس همان زاویه‌ها به دست می‌آیند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۴)", "رابطه تانژانت تفاضل دو زاویه"], {"intro": "برای یافتن تانژانت تفاضل دو زاویه α و β از رابطه tan(α - β) = (tan α - tan β) / (۱ + tan α tan β) استفاده می‌کنیم. این رابطه با تغییر علامت β در فرمول تانژانت مجموع به دست می‌آید.", "example": "اگر tan α = ۳ و tan β = ۲ باشد، tan(α - β) را محاسبه کنید.", "steps": ["ابتدا مقادیر tan α و tan β را در فرمول tan(α - β) = (tan α - tan β) / (۱ + tan α tan β) قرار می‌دهیم.", "tan(α - β) = (۳ - ۲) / (۱ + ۳ × ۲) را محاسبه می‌کنیم.", "این معادله به صورت tan(α - β) = ۱ / (۱ + ۶) تبدیل می‌شود.", "سپس tan(α - β) = ۱ / ۷ را محاسبه می‌کنیم.", "✅ جواب: ۱/۷"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۴)", "رابطه بین زاویه دید و فاصله افقی در مثلثات"], {"intro": "۱. زاویه‌های موجود در شکل را با توجه به مثلث‌های قائم‌الزاویه تعریف کنید.\n۲. نسبت‌های مثلثاتی (مانند تانژانت) را برای هر زاویه بنویسید.\n۳. با استفاده از رابطه تفاضل زاویه‌ها برای تانژانت، رابطه بین زاویه دید و فاصله افقی را به دست آورید.\n۴. مقدار فاصله افقی را در رابطه قرار دهید و مقدار زاویه دید را محاسبه کنید.\n۵. جواب‌های معادله تانژانت را بررسی کنید و جواب منطقی را انتخاب نمایید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۴)", "محاسبه تعداد مثلث‌های ممکن با شرایط داده شده"], {"intro": "۱. با استفاده از فرمول مساحت مثلث (مساحت = ۱/۲ × ضلع اول × ضلع دوم × سینوس زاویه بین آن‌ها) رابطه‌ای بین زوایا و اضلاع برقرار کنید.\n۲. با توجه به طول اضلاع داده شده و مساحت مشخص، مقدار سینوس زاویه بین اضلاع را محاسبه کنید.\n۳. بررسی کنید که چند زاویه ممکن است با این مقدار سینوس وجود داشته باشد (مثلاً زاویه اصلی و مکمل آن).\n۴. تعداد مثلث‌های ممکن را بر اساس تعداد زوایای معتبر تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "مقاطع مخروطی", "تشخیص و توصیف مقاطع مخروطی"], {"intro": "۱. فرض کنید یک کره و یک صفحه داریم که صفحه کره را قطع می‌کند.\n۲. فصل مشترک صفحه و کره مجموعه نقاطی است که هم در صفحه و هم در کره قرار دارند.\n۳. برای تعریف سطح مخروطی، دو خط l و d را در نقطه A در نظر می‌گیریم که غیرعمود باشند.\n۴. سطح حاصل از دوران خط d حول خط l را سطح مخروطی می‌نامیم.\n۵. نقطه A را رأس و خط d را مولد سطح مخروطی می‌نامیم.\n۶. با توجه به حالت‌های مختلف قرارگیری صفحه نسبت به سطح مخروطی، شکل‌های مختلف مقاطع مخروطی به دست می‌آید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "مقاطع مخروطی", "بررسی نوع سطح مقطع مخروطی با صفحه‌های مختلف"], {"intro": "۱. تعیین موقعیت صفحه نسبت به محور مخروط (عمود، مایل، موازی) و رأس مخروط.\n۲. بررسی نحوه برخورد صفحه با مخروط (عبور از رأس یا عدم عبور).\n۳. بر اساس موقعیت صفحه و نحوه برخورد، نوع سطح مقطع را تعیین می‌کنیم:\n - اگر صفحه بر محور مخروط عمود باشد و از رأس عبور نکند، سطح مقطع دایره است.\n - اگر صفحه مایل باشد و از رأس عبور نکند، سطح مقطع بیضی است.\n - اگر صفحه موازی مولد مخروط باشد و از رأس عبور نکند، سطح مقطع سهمی است.\n - اگر صفحه از رأس عبور کند و موازی مولد باشد، سطح مقطع خط است.\n۴. در صورتی که صفحه هر دو نیمه مخروط را قطع کند و شامل محور نباشد، سطح مقطع هذلولی است.\n۵. در صورت نیاز، رسم شکل و استفاده از معادلات مخروط و صفحه برای اثبات نوع سطح مقطع."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "مقاطع مخروطی", "تعیین نوع سطح مقطع مخروطی با صفحه مایل یا موازی مولد"], {"intro": "۱. بررسی موقعیت صفحه نسبت به محور مخروط و مولد d.\n۲. اگر صفحه P بر محور عمود نباشد و با مولد d نیز موازی نباشد و تنها یکی از دو نیمه مخروط را قطع کند، سطح مقطع بیضی است.\n۳. اگر صفحه P با مولد d موازی باشد و از رأس مخروط عبور نکند، سطح مقطع سهمی است.\n۴. اگر صفحه P با مولد d موازی باشد و از رأس مخروط عبور کند، فصل مشترک آنها یک خط است.\n۵. استفاده از معادلات مخروط و صفحه برای اثبات نوع سطح مقطع در صورت نیاز."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "مقاطع مخروطی", "بررسی سطح مقطع هذلولی با صفحه شامل محور"], {"intro": "۱. اگر صفحه P به گونه‌ای باشد که هم دو تکه بالایی و پایینی سطح مخروطی را قطع کند و هم شامل محور باشد، سطح مقطع هذلولی است.\n۲. در این حالت، فصل مشترک صفحه و سطح مخروطی یک هذلولی است.\n۳. رسم شکل و استفاده از معادلات مخروط و صفحه برای اثبات هذلولی بودن سطح مقطع.\n۴. توجه به اینکه این حالت شامل بررسی دقیق خواص هذلولی است که در این کتاب به آن پرداخته نمی‌شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "مقاطع مخروطی", "تشخیص و اثبات نقطه روی نیمساز زاویه"], {"intro": "۱. تعریف نیمساز زاویه را به یاد آورید: نیمساز زاویه خط یا نیم‌خطی است که زاویه را به دو زاویه مساوی تقسیم می‌کند.\n۲. برای اثبات اینکه یک نقطه روی نیمساز زاویه است، باید نشان دهید که فاصله آن نقطه از دو ضلع زاویه برابر است.\n۳. اگر نقطه‌ای روی نیمساز زاویه باشد، اندازه زاویه بین نیمساز و هر ضلع برابر است.\n۴. از رابطه‌های هندسی و تعاریف فاصله و زاویه استفاده کنید تا شرایط لازم را اثبات کنید.\n۵. نتیجه بگیرید که مجموعه نقاطی که فاصله‌شان از دو ضلع زاویه برابر است، نیمساز زاویه را تشکیل می‌دهند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "مکان هندسی", "بررسی عضویت نقطه در دایره با استفاده از فاصله مرکز"], {"intro": "۱. فاصله نقطه مورد نظر را از مرکز دایره محاسبه کنید.\n۲. اگر این فاصله برابر با شعاع دایره باشد، نقطه روی دایره قرار دارد.\n۳. اگر فاصله کمتر از شعاع باشد، نقطه داخل دایره است.\n۴. اگر فاصله بیشتر از شعاع باشد، نقطه خارج از دایره است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "مکان هندسی", "بررسی فاصله نقاط از خطوط موازی و تعیین مکان هندسی"], {"intro": "۱. دو خط موازی d و d' را در نظر بگیرید که فاصله آن‌ها ۲ سانتی‌متر است.\n۲. نقاطی که از خط d فاصله ۲ سانتی‌متر دارند و روی یکی از خطوط موازی d یا d' قرار دارند، بررسی کنید.\n۳. مکان هندسی نقاطی که از خط d فاصله ۲ سانتی‌متر دارند و بین دو خط موازی d و d' قرار دارند، همان خط موازی دیگر است.\n۴. نتیجه‌گیری کنید که مکان هندسی نقاطی که از خط d فاصله ۲ سانتی‌متر دارند، دو خط موازی d و d' هستند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "معادله‌ی دایره", "نوشتن معادله دایره و تعیین نقاط برخورد آن با محورهای مختصات"], {"intro": "۱. معادله دایره را به صورت استاندارد (x-α)² + (y-β)² = r² بنویسید که در آن (α, β) مرکز دایره و r شعاع آن است.\n۲. برای یافتن نقاط برخورد دایره با محور xها، y را صفر قرار دهید و معادله را حل کنید تا مقادیر x به دست آید.\n۳. برای یافتن نقاط برخورد دایره با محور yها، x را صفر قرار دهید و معادله را حل کنید تا مقادیر y به دست آید.\n۴. نقاط به دست آمده، نقاط برخورد دایره با محورهای مختصات هستند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "معادله‌ی دایره", "تبدیل معادله ضمنی دایره به معادله استاندارد"], {"intro": "برای تبدیل معادله کلی دایره به معادله استاندارد، ابتدا معادله را به صورت x² + y² + ax + by + c = ۰ می‌نویسیم. سپس با استفاده از روش تکمیل مربع، عبارات x² + ax و y² + by را به صورت مربع کامل تبدیل می‌کنیم. به این ترتیب معادله به شکل (x + h)² + (y + k)² = r² درمی‌آید که مرکز دایره O برابر با (-h, -k) و شعاع r برابر با ریشه دوم (h² + k² - c) است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "معادله‌ی دایره", "نوشتن معادله دایره با مرکز و شعاع داده شده"], {"example": "معادله دایره x² + y² - ۴x - ۶y = ۳ را به صورت استاندارد تبدیل کنید و مرکز و طول شعاع آن را بیابید.", "steps": ["معادله را بازنویسی می‌کنیم: x² - ۴x + y² - ۶y = ۳ ۲.", "کامل کردن مربع برای x: x² - ۴x = (x - ۲)² - ۴ ۳.", "کامل کردن مربع برای y: y² - ۶y = (y - ۳)² - ۹ ۴.", "جایگذاری در معادله: (x - ۲)² - ۴ + (y - ۳)² - ۹ = ۳ ۵.", "ساده‌سازی: (x - ۲)² + (y - ۳)² = ۳ + ۴ + ۹ = ۱۶ ۶. مرکز دایره O' = (۲, ۳) و شعاع r = √۱۶ = ۴", "✅ جواب: مرکز (۲,۳) و شعاع ۴"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "معادله‌ی دایره", "تشخیص معادله دایره و تعیین مرکز و شعاع از معادله داده شده"], {"intro": "برای تعیین مرکز و شعاع دایره از معادله کلی x² + y² + ax + by + c = ۰ ابتدا معادله را به فرم استاندارد تبدیل می‌کنیم. با کامل کردن مربع برای x و y، معادله به شکل (x - h)² + (y - k)² = r² در می‌آید که (h, k) مرکز و r شعاع دایره است. اگر a² + b² > ۴c باشد، معادله یک دایره است. اگر برابر باشد، یک نقطه و اگر کمتر باشد، هیچ نقطه‌ای ندارد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "معادله‌ی دایره", "نوشتن معادله دایره با مرکز و خط مماس داده شده"], {"intro": "۱. شعاع دایره برابر فاصله مرکز دایره تا نقطه تماس خط مماس است.\n۲. فاصله نقطه تماس از خط مماس را با استفاده از فرمول فاصله نقطه از خط محاسبه می‌کنیم.\n۳. شعاع را با استفاده از فاصله مرکز تا خط مماس به دست می‌آوریم.\n۴. معادله دایره را با داشتن مرکز (h,k) و شعاع r به صورت (x-h)² + (y-k)² = r² می‌نویسیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "معادله‌ی دایره", "نوشتن معادله دایره با مرکز و خط مماس خارجی داده شده"], {"intro": "۱. معادله دایره را به صورت کلی نوشته و با داشتن مرکز و خط مماس، شعاع را پیدا می‌کنیم.\n۲. فاصله بین مرکز دایره و خط مماس را محاسبه می‌کنیم.\n۳. شعاع دایره برابر فاصله مرکز تا خط مماس است.\n۴. معادله دایره را با مرکز و شعاع به دست آمده می‌نویسیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "دایره: مرکز و شعاع", "محاسبه طول خط مرکزین دو دایره"], {"intro": "۱. مختصات مراکز دو دایره را از معادلات آن‌ها استخراج کنید. ۲. فاصله بین دو مرکز را با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه در صفحه محاسبه کنید: d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "دایره: مرکز و شعاع", "تعیین شعاع دایره با استفاده از هندسه و فاصله مراکز"], {"intro": "۱. فاصله بین مراکز دو دایره را محاسبه کنید. ۲. با توجه به هندسه مسئله و رابطه بین شعاع‌ها و فاصله مراکز، معادله‌ای برای شعاع مجهول بنویسید. ۳. معادله را حل کنید تا شعاع را بیابید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "دایره: مرکز و شعاع", "نوشتن معادله دایره با مرکز و شعاع مشخص و بررسی تعداد جواب‌ها"], {"intro": "۱. معادله دایره را با مرکز (h, k) و شعاع r به صورت (x - h)² + (y - k)² = r² بنویسید. ۲. بررسی کنید که معادله چند جواب حقیقی دارد (مثلاً با توجه به مقدار r و مرکز). ۳. در صورت وجود دو جواب، دلیل آن را تحلیل کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "دایره: مرکز و شعاع", "تشخیص وضعیت دایره‌ها از معادلات داده شده"], {"intro": "۱. معادله هر دایره را به صورت استاندارد تبدیل کنید. ۲. مرکز و شعاع هر دایره را استخراج کنید. ۳. با مقایسه شعاع‌ها و مراکز، وضعیت دایره‌ها (هم‌مرکز، مماس، متداخل و غیره) را تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "دایره: مرکز و شعاع", "تعیین موقعیت خط نسبت به دایره و یافتن معادله خط مماس"], {"intro": "۱. معادله دایره را به فرم استاندارد تبدیل کنید و مرکز و شعاع آن را بیابید. ۲. معادله خط را در معادله دایره جایگذاری کنید تا معادله درجه دوم حاصل شود. ۳. دلتا (Δ) معادله درجه دوم را محاسبه کنید: اگر Δ>۰ خط دو نقطه برخورد دارد، اگر Δ=۰ خط مماس است و اگر Δ<۰ خط و دایره برخورد ندارند. ۴. برای یافتن معادله خط مماس، شیب خط مرکز به نقطه تماس را محاسبه کنید. ۵. معادله خط مماس عمود بر شعاع در نقطه تماس است، پس شیب خط مماس معکوس منفی شیب شعاع است. ۶. معادله خط مماس را با استفاده از شیب و نقطه تماس بنویسید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "دایره: نقاط و خطوط", "یافتن پارامتر مجهول در معادله دایره"], {"intro": "معادله کلی دایره به صورت x² + y² + Dx + Ey + F = ۰ است. برای اینکه این معادله دایره باشد، باید شرایط خاصی برقرار باشد (مثلاً شعاع مثبت باشد). با استفاده از شرایط داده شده، پارامتر مجهول را پیدا می‌کنیم. معمولاً با مقایسه معادله با فرم استاندارد دایره و استفاده از رابطه شعاع و مرکز، مقدار مجهول را تعیین می‌کنیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "بیضی", "بررسی ویژگی بیضی با استفاده از فاصله نقاط کانونی"], {"intro": "۱. برای هر نقطه دلخواه، فاصله آن نقطه را از دو نقطه کانونی F و F' محاسبه کنید.\n۲. اگر مجموع این دو فاصله برابر با طول نخ (ثابت) باشد، نقطه روی بیضی است.\n۳. اگر مجموع فاصله کمتر از طول نخ باشد، نقطه داخل بیضی است.\n۴. اگر مجموع فاصله بیشتر از طول نخ باشد، نقطه بیرون بیضی است.\n۵. برای رسم بیضی، نخ را به دو نقطه کانونی وصل کرده و با یک قلم و کشیدن منحنی بسته‌ای که نخ در تمام زمان صاف و کشیده باشد، بیضی را رسم کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "بیضی", "رسم و بررسی نقاط روی، داخل و بیرون بیضی با استفاده از جمع فواصل کانونی"], {"intro": "۱. نقطه دلخواه را انتخاب کنید.\n۲. فاصله آن نقطه را از دو کانون F و F' محاسبه کنید.\n۳. اگر مجموع فاصله‌ها برابر با طول نخ باشد، نقطه روی بیضی است.\n۴. اگر مجموع فاصله‌ها کمتر از طول نخ باشد، نقطه داخل بیضی است.\n۵. اگر مجموع فاصله‌ها بیشتر از طول نخ باشد، نقطه بیرون بیضی است.\n۶. برای رسم بیضی، نخ را به دو کانون وصل کرده و با یک قلم منحنی بسته‌ای رسم کنید که نخ در تمام زمان صاف و کشیده باشد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "بیضی", "رسم بیضی با استفاده از کانون‌ها و قطرها"], {"intro": "۱. دو کانون F و F' را روی محور افقی رسم کنید به طوری که فاصله آنها ۲c باشد. ۲. قطر بزرگ AA' را به طول ۲a و قطر کوچک BB' را به طول ۲b رسم کنید به طوری که a > b و رابطه a² = b² + c² برقرار باشد. ۳. نقاط بیضی را طوری رسم کنید که مجموع فاصله هر نقطه از دو کانون برابر ۲a باشد. ۴. با استفاده از این نقاط، بیضی را رسم کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "بیضی", "رابطه بین قطرها و کانون‌ها در بیضی"], {"intro": "۱. در بیضی، قطر بزرگ را ۲a و قطر کوچک را ۲b در نظر بگیرید. ۲. فاصله کانون‌ها را ۲c فرض کنید. ۳. با استفاده از رابطه هندسی بیضی، داریم a² = b² + c². ۴. این رابطه را برای نقاط روی بیضی بررسی کنید تا صحت آن را اثبات نمایید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "بیضی", "محاسبه مختصات نقطه تقاطع خط عمود بر قطر بزرگ با بیضی"], {"intro": "۱. مرکز بیضی را مبدا مختصات در نظر بگیرید. ۲. محورهای x و y را مطابق قطر بزرگ و قطر کوچک بیضی قرار دهید. ۳. فاصله کانون‌ها از مرکز را c و طول قطر بزرگ و کوچک را ۲a و ۲b فرض کنید. ۴. اگر خطی در نقطه F' عمود بر قطر بزرگ AA' بیضی را قطع کند، مختصات نقطه تقاطع D را با استفاده از معادله بیضی و معادله خط عمود بیابید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "بیضی", "رسم بیضی با استفاده از نسبت کسر c/a و تعیین نقاط A', B' و بیضی"], {"intro": "۱. ابتدا دو کانون F و F' را به فاصله ۲ از هم رسم کنید. ۲. نقاط A و A' را روی خط FF' طوری انتخاب کنید که فاصله A تا F برابر a و فاصله A' تا F' برابر a-c باشد. ۳. اندازه AA' را برابر ۲c انتخاب کنید. ۴. با استفاده از رابطه b² = a² - c² نقاط B و B' را تعیین کنید. ۵. نقاط A, A', B, B' را به طور تقریبی رسم کنید. ۶. بیضی را با توجه به این نقاط رسم کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "تعریف بیضی و سهمی", "بررسی فاصله نقاط روی خط نسبت به کانون‌های بیضی"], {"intro": "۱. فرض کنید نقطه‌ای روی خط داده شده است. ۲. فاصله این نقطه را تا دو کانون بیضی محاسبه کنید. ۳. مجموع این دو فاصله را بیابید. ۴. بررسی کنید کدام نقطه روی خط کمترین مجموع فاصله را دارد و دلیل آن را با توجه به خاصیت بیضی بیان کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "تعریف بیضی و سهمی", "بررسی رابطه زاویه‌ها در بیضی"], {"intro": "۱. زاویه‌های تابش و انعکاس نور را در نقطه تماس بیضی با خط مماس رسم کنید. ۲. با استفاده از خاصیت انعکاس نور در بیضی، نشان دهید که دو زاویه α و β با هم برابرند. ۳. دلیل برابری زاویه‌ها را با توجه به خاصیت بازتاب نور در بیضی بیان کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "تعریف بیضی و سهمی", "یافتن نقاط با فاصله مساوی از خط و نقطه خارج از آن"], {"intro": "۱. یک خط ثابت d و یک نقطه ثابت F خارج از آن در نظر بگیرید. ۲. نقطه‌ای را بیابید که فاصله آن از خط d و نقطه F برابر باشد. ۳. خط موازی d را رسم کنید که فاصله آن از d برابر فاصله F تا d باشد. ۴. نقاط روی این خط موازی فاصله مساوی از d و F دارند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "تعریف بیضی و سهمی", "بررسی فاصله نقاط روی صفحه نسبت به خط و نقطه ثابت با استفاده از مثلث و نخ"], {"intro": "۱. مثلثی با رئوس A، B و C رسم کنید. ۲. نخ را به گونه‌ای روی ضلع AB و نقطه F ثابت کنید که ضلع BC روی خط d باشد. ۳. با کشیدن نخ کاملاً کشیده، فاصله نقطه‌ای که نوک قلم در آن قرار دارد از خط d و نقطه F را بررسی کنید. ۴. نتیجه را با توجه به خاصیت‌های هندسی بیان کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "تعریف بیضی و سهمی", "تحلیل و بررسی ویژگی‌های نقاط روی سهمی نسبت به خط ثابت"], {"intro": "۱. فرض کنید نقطه‌ای متحرک X روی سهمی قرار دارد و خط d خط ثابتی است که سهمی نسبت به آن تعریف شده است.\n۲. بررسی کنید که فاصله نقطه X از خط d و فاصله نقطه X از کانون سهمی F چه رابطه‌ای دارند.\n۳. خط هادی سهمی را رسم کنید که از کانون سهمی F می‌گذرد و بر خط d عمود است.\n۴. نشان دهید که فاصله هر نقطه روی سهمی از کانون F برابر با فاصله آن نقطه از خط d است.\n۵. نتیجه بگیرید که سهمی مکان هندسی نقاطی است که فاصله آنها از یک نقطه ثابت (کانون) برابر با فاصله آنها از یک خط ثابت (خط دایره) است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "تعریف بیضی و سهمی", "رسم و تحلیل خط هادی سهمی و کانون سهمی"], {"intro": "۱. خط هادی سهمی را رسم کنید که از کانون سهمی F می‌گذرد و بر خط ثابت d عمود است.\n۲. فرض کنید نقطه‌ای مانند Q روی سهمی قرار دارد که فاصله آن از کانون F برابر با فاصله آن از خط d است.\n۳. با استفاده از مختصات نقاط و معادلات خط‌ها، معادله فاصله‌ها را بنویسید.\n۴. معادلات را حل کنید تا رابطه بین مختصات نقطه Q و پارامترهای سهمی به دست آید.\n۵. نتیجه بگیرید که هیچ نقطه‌ای روی سهمی نمی‌تواند فاصله متفاوتی از کانون و خط ثابت داشته باشد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "معادله‌ی سهمی", "استنتاج معادله سهمی با استفاده از تعریف هندسی"], {"intro": "۱. با توجه به تعریف سهمی به عنوان مکان هندسی نقاطی که فاصله آنها از کانون F برابر با فاصله آنها از خط ثابت d است، مختصات کانون و معادله خط d را مشخص کنید.\n۲. فرض کنید نقطه‌ای روی سهمی با مختصات (x, y) باشد.\n۳. فاصله نقطه از کانون را محاسبه کنید.\n۴. فاصله نقطه از خط d را محاسبه کنید.\n۵. معادله فاصله‌ها را برابر قرار دهید و معادله سهمی را به دست آورید.\n۶. معادله به دست آمده را به شکل استاندارد سهمی تبدیل کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "معادله‌ی سهمی", "اثبات رابطه فاصله نقاط روی سهمی نسبت به کانون و خط هادی"], {"intro": "۱. فرض کنید نقطه P(x,y) روی سهمی با کانون F(a,۰) و خط هادی d موازی محور yها به معادله x = -a باشد. ۲. فاصله PF و PB را محاسبه کنید که PF فاصله نقطه P تا کانون و PB فاصله نقطه P تا خط هادی است. ۳. با استفاده از تعریف فاصله و معادلات نقاط، رابطه |PF| = |PB| را بنویسید. ۴. دو طرف معادله را به توان ۲ برسانید و ساده کنید تا معادله سهمی y² = ۴ax به دست آید. ۵. نتیجه می‌گیریم که فاصله کانونی سهمی برابر فاصله کانون تا خط هادی است و محور تقارن سهمی محور x است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "معادله‌ی سهمی", "تشخیص حالت‌های مختلف سهمی با توجه به موقعیت کانون و خط هادی"], {"intro": "۱. موقعیت کانون نسبت به خط هادی را بررسی کنید (سمت چپ، بالا، پایین، زیر محور). ۲. معادله خط هادی را مشخص کنید (x = a یا y = a). ۳. با توجه به موقعیت کانون و خط هادی، معادله سهمی را به صورت y² = ۴ax یا x² = ۴ay یا معادلات مشابه بنویسید. ۴. در هر حالت، محور سهمی را تعیین کنید (محور x یا محور y). ۵. مراحل اثبات معادله سهمی را با توجه به فاصله کانونی و فاصله تا خط هادی انجام دهید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "معادله‌ی سهمی", "تشخیص معادله سهمی با محور y و موقعیت کانون نسبت به خط هادی"], {"intro": "۱. موقعیت کانون نسبت به خط هادی را بررسی کنید (بالا یا پایین محور). ۲. معادله خط هادی را مشخص کنید (y = a یا y = -a). ۳. معادله سهمی را به صورت x² = ۴ay یا x² = -۴ay بنویسید. ۴. با استفاده از فاصله کانونی و فاصله تا خط هادی، معادله سهمی را اثبات کنید. ۵. محور سهمی را محور y در نظر بگیرید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "معادله‌ی سهمی", "تشخیص معادله سهمی با محور y و کانون زیر خط هادی"], {"intro": "۱. موقعیت کانون نسبت به خط هادی را بررسی کنید (کانون زیر خط هادی). ۲. معادله خط هادی را مشخص کنید (y = a). ۳. معادله سهمی را به صورت x² = -۴ay بنویسید. ۴. با استفاده از فاصله کانونی و فاصله تا خط هادی، معادله سهمی را اثبات کنید. ۵. محور سهمی را محور y در نظر بگیرید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "معادله‌ی سهمی", "تشخیص شکل سهمی و مشخص کردن دهنه، محور، کانون و خط هادی"], {"intro": "۱. معادله سهمی را با توجه به شکل کلی y²=۴ax یا x²=۴ay شناسایی کنید.\n۲. مقدار a را از ضریب ۴a استخراج کنید.\n۳. جهت دهنه سهمی را با توجه به علامت a و متغیر مستقل (x یا y) تعیین کنید.\n۴. کانون سهمی را با توجه به مقدار a و جهت دهنه مشخص کنید.\n۵. معادله خط هادی را که موازی محور مقابل دهنه است، بنویسید.\n۶. رأس سهمی در مبدأ مختصات است مگر اینکه انتقال داده شده باشد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "انتقال سهمی", "انتقال سهمی و تعیین معادله سهمی با رأس در نقطه دلخواه"], {"intro": "۱. معادله سهمی اولیه را به شکل (y-k)²=۴a(x-h) یا (x-h)²=۴a(y-k) بنویسید که رأس در (h,k) است.\n۲. مقدار a را از معادله اولیه استخراج کنید.\n۳. جهت دهنه سهمی را با توجه به علامت a و متغیر مستقل تعیین کنید.\n۴. کانون سهمی را با توجه به رأس (h,k) و مقدار a مشخص کنید.\n۵. معادله خط هادی را که موازی محور مقابل دهنه است، با توجه به انتقال رأس بنویسید.\n۶. رأس سهمی در نقطه (h,k) است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "انتقال سهمی", "نوشتن معادله سهمی با استفاده از رأس و کانون"], {"intro": "۱. تعیین مختصات رأس (h,k) و کانون (x,y) سهمی.\n۲. تعیین مقدار a با توجه به فاصله رأس تا کانون.\n۳. تعیین معادله خط هادی سهمی.\n۴. استفاده از فرمول معادله سهمی به صورت (y-k)² = ۴a(x-h) یا (x-h)² = ۴a(y-k) بسته به جهت سهمی.\n۵. جایگذاری مقادیر h، k و a در معادله سهمی و نوشتن معادله نهایی."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "انتقال سهمی", "نوشتن معادله سهمی با استفاده از رأس، کانون و خط هادی افقی"], {"intro": "۱. تعیین مختصات رأس (h,k) و کانون (x,y) سهمی.\n۲. تعیین مقدار a با توجه به فاصله رأس تا کانون.\n۳. تعیین معادله خط هادی سهمی که به صورت x = ثابت است.\n۴. استفاده از فرمول معادله سهمی به صورت (y-k)² = ۴a(x-h) یا (x-h)² = ۴a(y-k) بسته به جهت سهمی.\n۵. جایگذاری مقادیر h، k و a در معادله سهمی و نوشتن معادله نهایی."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "انتقال سهمی", "تبدیل معادله سهمی به حالت استاندارد و تعیین مشخصات آن"], {"intro": "۱. معادله سهمی را به صورت y = ax² + bx + c یا معادله‌ای مشابه داشته باشید.\n۲. معادله را به شکل (x + p)² = q(y + r) یا (y + p)² = q(x + r) تبدیل کنید تا حالت استاندارد آن به دست آید.\n۳. رأس سهمی را از روی مقادیر p و r تعیین کنید.\n۴. مقدار a (فاصله کانونی) را از ضریب q استخراج کنید.\n۵. کانون F و خط هادی سهمی را با استفاده از رأس و a مشخص کنید.\n۶. محور سهمی را به صورت خطی که از رأس می‌گذرد و عمود بر خط هادی است، تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "انتقال سهمی", "رسم نمودار سهمی با تبدیل معادله به حالت استاندارد"], {"intro": "۱. معادله سهمی را به حالت استاندارد تبدیل کنید.\n۲. رأس سهمی را تعیین کنید.\n۳. کانون و خط هادی سهمی را با استفاده از رأس و فاصله کانونی مشخص کنید.\n۴. محور تقارن سهمی را رسم کنید.\n۵. نقاط مهم مانند رأس، کانون و تقارن را روی نمودار مشخص کنید.\n۶. شکل کلی سهمی را با توجه به این نقاط رسم کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "انتقال سهمی", "یافتن معادله خط هادی سهمی با توجه به رأس و فاصله کانون"], {"intro": "۱. تعیین مختصات رأس سهمی (h,k). ۲. تعیین فاصله کانون از رأس سهمی (a). ۳. تعیین مختصات کانون با توجه به فاصله a و رأس سهمی. ۴. تعیین معادله خط هادی سهمی به صورت x = a + h یا y = k + a بسته به محور سهمی. ۵. استفاده از معادله سهمی با توجه به رأس و کانون برای نوشتن معادله سهمی."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "ویژگی‌های بیضی و سهمی", "بررسی فاصله نقاط روی سهمی از کانون و خط هادی"], {"intro": "۱. تعیین مختصات نقاط داده شده روی سهمی. ۲. محاسبه فاصله هر نقطه از کانون. ۳. محاسبه فاصله هر نقطه از خط هادی. ۴. بررسی رابطه فاصله‌ها برای اثبات ویژگی سهمی (فاصله از کانون برابر فاصله از خط هادی). ۵. رسم شکل سهمی با وصل کردن نقاط و ادامه دادن آن به صورت منحنی سهمی."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "ویژگی‌های بیضی و سهمی", "ویژگی بازتابندگی سهمی و کاربردهای آن"], {"intro": "۱. شناخت ویژگی بازتابندگی سهمی: هر شعاع نوری که از کانون سهمی به سمت سطح سهمی می‌آید، پس از بازتاب از سطح سهمی، موازی محور سهمی بازتاب می‌یابد و بالعکس. ۲. بررسی زاویه‌های برخورد و بازتاب با استفاده از هندسه سهمی. ۳. کاربرد در طراحی آینه‌ها و لامپ‌ها به گونه‌ای که نور به صورت موازی یا متمرکز بازتاب یابد. ۴. استفاده از این ویژگی برای افزایش روشنایی و کارایی در وسایل مختلف مانند چراغ خودرو."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "ویژگی‌های بیضی و سهمی", "بررسی موقعیت نقاط نسبت به بیضی و کانون‌ها"], {"intro": "۱. نقاط داده شده را روی بیضی و کانون‌ها مشخص کنید.\n۲. بررسی کنید که آیا خطوط بین نقاط (مانند AF و BF) داخل بیضی را قطع می‌کنند یا نه.\n۳. اگر خطوط قطع نمی‌کنند، بررسی کنید که آیا موازی هستند یا نه.\n۴. اگر خطوط قطع می‌کنند، نقطه تقاطع را مشخص کنید و ویژگی‌های مثلث ایجاد شده را بررسی کنید (مثلاً متساوی الساقین بودن مثلث)."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "ویژگی‌های بیضی و سهمی", "ثابت کردن رابطه طولی در بیضی با استفاده از کانون‌ها و قطرها"], {"intro": "۱. قطر بزرگ بیضی و کانون F را مشخص کنید.\n۲. دایره‌ای به مرکز کانون F و عمود بر قطر بزرگ رسم کنید.\n۳. نقطه تقاطع M بین دایره و بیضی را پیدا کنید.\n۴. رابطه طولی بین MF و نصف قطر کوچک بیضی را با استفاده از ویژگی‌های هندسی بیضی اثبات کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "ویژگی‌های بیضی و سهمی", "رسم خط مماس و بررسی تقاطع با خطوط موازی در بیضی"], {"intro": "۱. نقطه M روی بیضی و کانون‌های F و F' را مشخص کنید.\n۲. خط d را طوری رسم کنید که در نقطه M بر بیضی مماس باشد.\n۳. خطی موازی با MF از نقطه F' رسم کنید.\n۴. نقطه تقاطع N بین خط d و خط موازی را پیدا کنید.\n۵. رابطه NF' = MF' را با استفاده از ویژگی‌های مماس و خطوط موازی اثبات کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "ویژگی‌های بیضی و سهمی", "محاسبه طول‌ها و زوایا در بیضی با استفاده از کانون‌ها و قطرها"], {"intro": "۱. نقاط و کانون‌ها را روی بیضی مشخص کنید.\n۲. طول‌ها و فاصله‌ها را با توجه به داده‌ها محاسبه کنید.\n۳. مثلث‌های قائم الزاویه را شناسایی کنید.\n۴. با استفاده از روابط مثلثاتی و هندسی، طول‌ها و زوایا را محاسبه کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "مسائل بیضی و سهمی", "محاسبه زاویه بین خطوط در بیضی با توجه به نسبت طول قطرها"], {"intro": "۱. نسبت طول قطر بزرگ به قطر کوچک را مشخص کنید.\n۲. با توجه به این نسبت، زاویه بین خطوط مشخص شده را محاسبه کنید.\n۳. از روابط مثلثاتی برای یافتن مقدار زاویه استفاده کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "مسائل بیضی و سهمی", "رسم خطوط عمود و محاسبه نسبت طول‌ها در بیضی با استفاده از زاویه داده شده"], {"intro": "۱. نقاط و کانون‌ها را روی بیضی مشخص کنید.\n۲. خطوط BB' و AA' را رسم کنید که دو قطر بیضی هستند.\n۳. خطی در نقطه B عمود بر BF رسم کنید.\n۴. خط d را رسم کنید که از نقطه C عمود بر امتداد قطر بزرگ بیضی است.\n۵. نقطه D را طوری تعیین کنید که خط d را قطع کند و زاویه BCF برابر ۴۵ درجه باشد.\n۶. نسبت AD به AF را با استفاده از مثلث‌های قائم الزاویه و روابط مثلثاتی محاسبه کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "مسائل بیضی و سهمی", "یافتن مختصات رأس و کانون سهمی"], {"intro": "۱. معادله سهمی را به فرم استاندارد y=ax²+bx+c تبدیل کنید.\n۲. مختصات رأس سهمی را با استفاده از فرمول x=-b/(۲a) و y معادله در این x محاسبه کنید.\n۳. مختصات کانون سهمی را با توجه به پارامتر a و رأس سهمی تعیین کنید.\n۴. محور سهمی را رسم کنید و نقاط برخورد سهمی با محورهای مختصات را بیابید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "مسائل بیضی و سهمی", "یافتن معادله سهمی با شرایط رأس و کانون"], {"intro": "۱. با داشتن رأس (h,k) و کانون (h+a,k) یا (h,k+a) بسته به محور سهمی، مقدار a را تعیین کنید.\n۲. معادله سهمی را به فرم (y-k)²=۴a(x-h) یا (x-h)²=۴a(y-k) بنویسید.\n۳. پارامتر a را جایگزین کنید و معادله سهمی را کامل کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "مسائل بیضی و سهمی", "رسم سهمی و دایره و یافتن نقاط برخورد"], {"intro": "۱. معادلات سهمی و دایره را بنویسید.\n۲. معادله سهمی را در معادله دایره جایگزین کنید.\n۳. معادله به دست آمده را حل کنید تا نقاط برخورد سهمی و دایره را بیابید.\n۴. مختصات نقاط برخورد را تعیین کنید و رسم کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "مسائل بیضی و سهمی", "اثبات نسبت‌های هندسی در سهمی"], {"intro": "۱. نقاط و خطوط داده شده را در دستگاه مختصات تعریف کنید.\n۲. طول‌ها و نسبت‌های مورد نظر را با استفاده از مختصات نقاط محاسبه کنید.\n۳. با استفاده از روابط هندسی و جبر، نسبت‌های داده شده را اثبات کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "اثبات‌ها در مخروطی‌ها", "محاسبه فاصله کانونی و اثبات فرمول سهمی"], {"intro": "۱. قطر دهانه دیس و عمق آن را اندازه‌گیری کنید.\n۲. حاصل ضرب قطر دهانه در عمق را محاسبه کنید.\n۳. عدد حاصل را بر ۱۶ تقسیم کنید تا فاصله کانونی به دست آید.\n۴. با استفاده از این فاصله کانونی، معادله سهمی را بنویسید و اثبات کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "اثبات‌ها در مخروطی‌ها", "تحلیل و ترسیم مثلث با استفاده از خواص هندسی"], {"intro": "۱. فرض کنید مثلث ABC داده شده است. ۲. اندازه ضلع BC و ارتفاع AH و محیط مثلث داده شده است. ۳. با استفاده از خواص هندسی مثلث و روابط بین اضلاع و ارتفاع، روش رسم مثلث را توضیح دهید. ۴. از روابط مثلثاتی و هندسی برای تعیین مختصات نقاط و ترسیم دقیق مثلث استفاده کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "اثبات‌ها در مخروطی‌ها", "یافتن معادله درجه دوم سهمی و نقاط برخورد با خطوط موازی"], {"intro": "۱. معادله سهمی به صورت y = x² داده شده است. ۲. دو خط موازی d1 و d2 به صورت y = ax + b و y = ax + b' داده شده‌اند که با سهمی تقاطع دارند. ۳. معادله درجه دوم تشکیل دهید که ریشه‌های آن طول نقاط برخورد خط d1 و سهمی باشد. ۴. نقاط برخورد A و B را بیابید. ۵. نقطه M وسط پاره‌خط AB را محاسبه کنید. ۶. جایگذاری خط d2 به جای d1 انجام دهید و مختصات نقطه M' را بیابید. ۷. خط MM' را نسبت به محور y بررسی کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "اثبات‌ها در مخروطی‌ها", "رسم محور تقارن سهمی و بررسی تقارن نسبت به محور"], {"intro": "۱. با استفاده از نتایج نقاط برخورد و نقاط وسط پاره‌خط‌ها، محور تقارن سهمی را رسم کنید. ۲. بررسی کنید که خط MM' نسبت به محور y چه وضعیتی دارد (مثلاً تقارن یا عدم تقارن). ۳. نمودار سهمی و محور تقارن مقابل آن را رسم کنید. ۴. از خواص تقارن سهمی برای تحلیل نمودار استفاده کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "اثبات‌ها در مخروطی‌ها", "تعیین معادله مخروطی با استفاده از شرایط هندسی"], {"intro": "۱. تعیین نوع مقطع مخروطی (بیضی، سهمی، هذلولی) بر اساس شرایط داده شده. ۲. تعیین مختصات نقاط مهم مانند کانون‌ها، رأس‌ها و مرکز. ۳. استفاده از فرمول‌های استاندارد معادلات مخروطی برای نوشتن معادله. ۴. جایگذاری مقادیر داده شده در معادله کلی برای یافتن پارامترهای مجهول. ۵. ساده‌سازی معادله نهایی."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: آشنایی با مقاطع مخروطی", "اثبات‌ها در مخروطی‌ها", "محاسبه فاصله و پارامترهای مخروطی"], {"intro": "۱. شناسایی نوع مقطع مخروطی و پارامترهای مرتبط. ۲. استفاده از روابط هندسی بین پارامترها مانند c² = a² - b² برای بیضی و هذلولی یا روابط مربوط به سهمی. ۳. محاسبه طول محور بزرگ و کوچک با توجه به داده‌ها. ۴. تعیین فاصله کانون‌ها یا سایر پارامترهای مجهول با جایگذاری مقادیر داده شده."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "مدل‌سازی با گراف", "بررسی امکان عبور از پل‌های یک شهر به صورت دقیق و بدون تکرار"], {"intro": "۱. مدل‌سازی شهر و پل‌ها به صورت گرافی شامل رئوس (نقاط) و یال‌ها (پل‌ها). ۲. بررسی درجه هر راس (تعداد یال‌های متصل به آن). ۳. اگر گراف دارای صفر یا دو راس با درجه فرد باشد، مسیر عبور بدون تکرار از همه پل‌ها وجود دارد. ۴. اگر بیش از دو راس با درجه فرد باشد، چنین مسیری وجود ندارد. ۵. در صورت وجود مسیر، شروع حرکت از راس با درجه فرد (اگر وجود داشته باشد) یا هر راس دیگر است. ۶. استفاده از الگوریتم‌های مسیر یابی اویلر برای یافتن مسیر دقیق."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "مدل‌سازی با گراف", "مدل‌سازی مسائل واقعی به گراف و تحلیل آن"], {"intro": "۱. شناسایی عناصر مسئله واقعی که به عنوان رئوس گراف در نظر گرفته می‌شوند. ۲. شناسایی ارتباطات یا مسیرها که به عنوان یال‌ها مدل می‌شوند. ۳. رسم گراف با رئوس و یال‌های متناظر. ۴. تحلیل گراف برای پاسخ به سوالات مسئله با استفاده از خواص گراف مانند درجه رئوس، مسیرها، چرخه‌ها و غیره. ۵. نتیجه‌گیری و پاسخ به سوال مسئله بر اساس تحلیل گراف."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "مدل‌سازی با گراف", "تشخیص و رسم گراف از مسئله مدل‌سازی"], {"intro": "۱. مسئله را به صورت مجموعه‌ای از نقاط (راس‌ها) و خطوط یا منحنی‌ها (یال‌ها) مدل کنید. ۲. هر نقطه نمایانگر یک عنصر مسئله (مثلاً خانه یا چاه) باشد. ۳. یال‌ها را به گونه‌ای رسم کنید که ارتباط یا اتصال بین نقاط را نشان دهند. ۴. بررسی کنید که هیچ دو کانال یا یال به هم قطع نکنند. ۵. گراف حاصل را تحلیل کنید تا ویژگی‌های مسئله مشخص شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "مدل‌سازی با گراف", "تحلیل بازی‌ها با استفاده از گراف جهت‌دار"], {"intro": "۱. هر تیم را به عنوان یک نقطه در گراف در نظر می‌گیریم. ۲. هر بازی را به صورت یک یال جهت‌دار رسم می‌کنیم که از تیم برنده به تیم بازنده می‌رود. ۳. گراف جهت‌دار حاصل را تحلیل می‌کنیم تا روابط برد و باخت تیم‌ها مشخص شود. ۴. با بررسی یال‌ها می‌توانیم تیم‌هایی که بازی نکرده‌اند یا بیشترین برد را دارند تعیین کنیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "همسایگی و یال‌های مجاور", "تعیین درجه رئوس و شناسایی رئوس فرد و زوج در گراف"], {"intro": "۱. برای هر راس، تعداد یال‌هایی که به آن متصل است را بشمارید تا درجه آن راس مشخص شود.\n۲. اگر درجه راس عدد فرد باشد، آن راس را راس فرد می‌نامیم.\n۳. اگر درجه راس عدد زوج باشد، آن راس را راس زوج می‌نامیم.\n۴. این کار را برای همه رئوس گراف انجام دهید تا رئوس فرد و زوج مشخص شوند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "همسایگی و یال‌های مجاور", "شناسایی یال‌های حلقه‌ای (طوقه) در گراف"], {"intro": "۱. بررسی کنید که آیا یالی وجود دارد که یک راس را به خودش وصل کند.\n۲. اگر چنین یالی وجود داشته باشد، آن یال را طوقه یا حلقه می‌نامیم.\n۳. در گراف ساده، هیچ یال حلقه‌ای وجود ندارد.\n۴. این ویژگی را برای هر یال گراف بررسی کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "همسایگی و یال‌های مجاور", "شناسایی رئوس مجاور (همسایه) و مجموعه همسایگی در گراف"], {"intro": "۱. دو راس u و v را مجاور یا همسایه می‌نامیم اگر یالی بین آن‌ها وجود داشته باشد.\n۲. مجموعه همسایگی باز NG(v) شامل تمام رئوسی است که به راس v متصل هستند.\n۳. مجموعه همسایگی بسته NG[v] شامل مجموعه همسایگی باز به علاوه خود راس v است.\n۴. برای هر راس، مجموعه همسایگی باز و بسته را با بررسی یال‌های متصل به آن تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "همسایگی و یال‌های مجاور", "شناسایی یال‌های مجاور در گراف"], {"intro": "۱. دو یال را مجاور می‌نامیم اگر حداقل یک راس مشترک بین آن‌ها وجود داشته باشد.\n۲. برای هر جفت یال، بررسی کنید که آیا راسی مشترک دارند یا خیر.\n۳. اگر راسی مشترک داشته باشند، آن دو یال مجاور هستند.\n۴. این کار را برای همه یال‌ها انجام دهید تا یال‌های مجاور مشخص شوند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "همسایگی و یال‌های مجاور", "بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین درجه یک گراف"], {"intro": "۱. درجه هر رأس گراف را محاسبه کنید؛ درجه رأس برابر است با تعداد یال‌های متصل به آن.\n۲. بزرگ‌ترین درجه گراف (Δ(G را برابر با بیشترین درجه بین رئوس گراف قرار دهید.\n۳. کوچک‌ترین درجه گراف (δ(G را برابر با کمترین درجه بین رئوس گراف قرار دهید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "همسایگی و یال‌های مجاور", "زیرگراف"], {"intro": "۱. مجموعه‌ای از رئوس گراف اصلی G انتخاب کنید.\n۲. مجموعه‌ای از یال‌ها را انتخاب کنید که فقط بین رئوس انتخاب شده وجود دارند.\n۳. گرافی تشکیل دهید که رئوس آن همان رئوس انتخاب شده و یال‌های آن یال‌های انتخاب شده باشد.\n۴. بررسی کنید که این گراف زیرگرافی از G است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "مکمل گراف", "مکمل گراف"], {"intro": "۱. گراف G را با مجموعه رئوس و یال‌هایش مشخص کنید.\n۲. گراف مکمل G̅ را با همان مجموعه رئوس تعریف کنید.\n۳. یال‌های G̅ شامل تمام یال‌هایی است که در G وجود ندارند، به شرطی که بین دو رأس یال در G نباشد.\n۴. گراف مکمل را رسم یا مشخص کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "مکمل گراف", "محاسبه مجموع درجه رأس در گراف و مکمل آن"], {"intro": "برای هر رأس v در گراف G و مکمل آن G̅، درجه‌های آن‌ها را محاسبه کنید. سپس مجموع درجه‌های رأس v در G و G̅ برابر با n-۱ است که n تعداد رأس‌های گراف است. این رابطه را برای هر رأس بررسی و مقدار مورد نظر را به دست آورید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "مکمل گراف", "تعیین حداکثر درجه رأس در گراف"], {"intro": "برای یک گراف با n رأس، حداکثر درجه یک رأس برابر است با n-۱، زیرا یک رأس می‌تواند به تمام رأس‌های دیگر متصل باشد. بنابراین، بیشترین تعداد یال متصل به یک رأس برابر با n-۱ است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "مکمل گراف", "محاسبه تعداد یال‌ها در گراف و مکمل آن"], {"intro": "اگر G یک گراف n رأسی باشد، تعداد یال‌های آن را q(G) می‌نامیم. مکمل گراف G̅ نیز تعداد یال‌های q(G̅) دارد. مجموع تعداد یال‌های گراف و مکمل آن برابر است با تعداد یال‌های گراف کامل Kₙ که برابر n(n-۱)/۲ است. بنابراین q(G) + q(G̅) = n(n-۱)/۲."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "مکمل گراف", "تعیین تعداد یال در گراف کامل و رابطه بین تعداد یال‌ها در گراف و مکمل آن"], {"intro": "گراف کامل Kₙ گرافی است که هر رأس آن به تمام رأس‌های دیگر متصل است و تعداد یال‌های آن برابر n(n-۱)/۲ است. اگر G یک گراف p رأسی باشد، تعداد یال‌های آن q(G) است و تعداد یال‌های مکمل آن q(G̅) است. رابطه بین تعداد یال‌های G و G̅ به صورت q(G) + q(G̅) = p(p-۱)/۲ است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "مسیر و دور", "نمایش گراف به صورت مسیر n رأسی و محاسبه طول مسیر"], {"intro": "گرافی که تنها از یک مسیر n رأسی تشکیل شده باشد را Pₙ می‌نامیم. طول این مسیر برابر n-۱ است. برای نمایش و محاسبه طول مسیر، تعداد یال‌ها را که برابر تعداد رأس‌ها منهای یک است، محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "مسیر و دور", "رسم و تحلیل گراف‌ها"], {"intro": "۱. ابتدا تعداد رئوس و یال‌های گراف را مشخص کنید.\n۲. گراف را با توجه به تعداد رئوس و یال‌ها رسم کنید.\n۳. مجموع درجات رئوس را با جمع کردن تعداد یال‌های متصل به هر رأس محاسبه کنید.\n۴. تعداد یال‌ها را بشمارید و بررسی کنید که آیا مجموع درجات رئوس با دو برابر تعداد یال‌ها برابر است یا خیر.\n۵. در صورت نیاز، یال‌ها را حذف یا اضافه کنید و مجدداً محاسبات را انجام دهید.\n۶. رابطه بین تعداد یال‌ها و مجموع درجات رئوس را بررسی و اثبات کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "مسیر و دور", "حذف و اضافه کردن یال‌ها در گراف"], {"intro": "۱. گراف اولیه را با رئوس و یال‌های مشخص رسم کنید.\n۲. یال مورد نظر را که باید حذف شود، شناسایی و حذف کنید.\n۳. مجموع درجات رئوس را پس از حذف یال محاسبه کنید.\n۴. یال‌های جدید را به گراف اضافه کنید و مجدداً مجموع درجات رئوس را محاسبه نمایید.\n۵. رابطه بین تغییرات یال‌ها و مجموع درجات رئوس را بررسی کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "مسیر و دور", "اثبات رابطه مجموع درجات رئوس و تعداد یال‌ها"], {"intro": "۱. فرض کنید گراف G دارای n رأس و m یال است.\n۲. درجه هر رأس برابر تعداد یال‌های متصل به آن رأس است.\n۳. هر یال دقیقاً دو رأس را به هم وصل می‌کند.\n۴. بنابراین، هر یال در مجموع درجات رئوس دو بار شمرده می‌شود.\n۵. پس مجموع درجات رئوس برابر ۲m است.\n۶. این رابطه را به صورت ریاضی به شکل Σ deg(vi) = ۲m بیان می‌کنیم.\n۷. استدلال را با توجه به تعریف درجه و یال‌ها کامل می‌کنیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "مسیر و دور", "اثبات زوج بودن تعداد رئوس در گراف دوطرفه"], {"intro": "۱. فرض کنید G یک گراف باشد که مجموعه رئوس آن به دو مجموعه A و B تقسیم شده است به طوری که G یک گراف دوطرفه است.\n۲. مجموع درجه رئوس کل گراف برابر مجموع درجه رئوس رئوس در A به اضافه مجموع درجه رئوس رئوس در B است.\n۳. از آنجا که گراف دوطرفه است، مجموع درجه رئوس در A و B هر دو عددی زوج هستند.\n۴. بنابراین مجموع درجه رئوس کل گراف نیز زوج است.\n۵. نتیجه می‌گیریم که تعداد رئوس در مجموعه A نیز عددی زوج است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "گراف دوطرفه و مسیر", "تشکیل و تحلیل گراف دوطرفه از روابط دوستی"], {"intro": "۱. فرض کنید ۷ دانش‌آموز در کلاس هستند و رابطه دوستی بین آن‌ها به صورت دوطرفه است.\n۲. گراف G را تشکیل دهید که هر دانش‌آموز یک رأس است.\n۳. دو رأس را به هم وصل کنید اگر و تنها اگر دو دانش‌آموز متناظر با آن رأس‌ها با هم دوست باشند.\n۴. بررسی کنید که درجه هر رأس در گراف حاصل برابر ۳ نباشد (با استفاده از قضیه یا استدلال).\n۵. اگر تعداد افراد با درجه فرد وجود داشته باشد، نشان دهید که جمع آن‌ها عددی فرد است و امکان ندارد تمام افراد درجه زوج داشته باشند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "گراف دوطرفه و مسیر", "اثبات وجود مسیر طولانی در گراف با حداقل درجه مشخص"], {"intro": "۱. فرض کنید گراف G با حداقل درجه δ(G) ≥ ۴ باشد.\n۲. نشان دهید که مسیر شامل رأس‌های v1, v2, v3, v4, v5 با طول ۴ وجود دارد.\n۳. برای هر رأس vi بررسی کنید که به رأس‌های مجاور متصل است یا نه.\n۴. با استفاده از فرض‌های داده شده، اثبات کنید که مسیر v1v2v3v4v5 در گراف وجود دارد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "گراف دوطرفه و مسیر", "محاسبه تعداد یال‌های گراف‌های خاص"], {"intro": "۱. برای گراف منظم Kₙ، تعداد یال‌ها را با توجه به درجه هر رأس محاسبه کنید.\n۲. برای گراف کامل Kₙ، تعداد یال‌ها برابر تعداد ترکیب‌های دو به دو از n رأس است.\n۳. فرمول تعداد یال‌ها را برای هر حالت به دست آورید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "گراف دوطرفه و مسیر", "رسم و تحلیل گراف با مجموعه رأس‌ها و یال‌ها"], {"intro": "۱. ابتدا مجموعه رأس‌ها و یال‌ها را مشخص کنید.\n۲. گراف را با رسم رأس‌ها و اتصال آن‌ها توسط یال‌ها رسم کنید.\n۳. مرتبه گراف برابر تعداد رأس‌ها است.\n۴. درجه هر رأس برابر تعداد یال‌هایی است که به آن رأس متصل است.\n۵. مجموع درجات رأس‌ها برابر دو برابر تعداد یال‌ها است.\n۶. برای یافتن مجاورت رأس‌ها، رأس‌های متصل به رأس مورد نظر را مشخص کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "گراف دوطرفه و مسیر", "تحلیل گراف بدون رسم یال‌ها و تعیین ویژگی‌ها"], {"intro": "۱. مجموعه رأس‌ها و یال‌ها را بررسی کنید.\n۲. بدون رسم یال‌ها، ویژگی‌های خواسته شده مانند تعداد رأس‌ها، تعداد یال‌ها، درجه رأس‌ها و مجاورت‌ها را تحلیل کنید.\n۳. برای هر رأس، تعداد یال‌های متصل به آن را بشمارید تا درجه آن را بیابید.\n۴. مجموع درجات رأس‌ها را محاسبه کنید و بررسی کنید که برابر دو برابر تعداد یال‌ها باشد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "گراف دوطرفه و مسیر", "رسم گراف با شرایط تعداد اعضای مجاورت و تک‌عضوی بودن"], {"intro": "۱. مجموعه رأس‌ها را مشخص کنید.\n۲. برای هر رأس، مجموعه مجاورت آن را با توجه به شرط تعداد اعضا تعیین کنید.\n۳. یال‌ها را بر اساس مجاورت‌ها رسم کنید.\n۴. بررسی کنید که تعداد اعضای هر مجموعه مجاورت با شرط داده شده مطابقت داشته باشد.\n۵. گراف را رسم و اندازه آن را مشخص کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "گراف کامل و درجه", "تعیین مجموعه مجاورت رأس‌ها و رسم گراف"], {"intro": "۱. مجموعه رأس‌ها را مشخص کنید.\n۲. برای هر رأس، مجموعه مجاورت آن را تعیین کنید.\n۳. بر اساس مجموعه‌های مجاورت، یال‌ها را رسم کنید.\n۴. اندازه گراف را با شمارش یال‌ها مشخص کنید.\n۵. درجه هر رأس برابر تعداد اعضای مجموعه مجاورت آن است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "گراف کامل و درجه", "تحلیل گراف مکمل و تعیین مجموع درجات رأس‌ها"], {"intro": "۱. گراف اصلی را بررسی و درجه هر رأس را تعیین کنید.\n۲. گراف مکمل را با توجه به این که یال‌ها در گراف مکمل وجود دارند که در گراف اصلی نیستند، رسم یا تحلیل کنید.\n۳. مجموع درجات رأس‌ها در گراف مکمل را محاسبه کنید.\n۴. درجه رأس‌ها در گراف مکمل برابر تعداد رأس‌ها منهای ۱ منهای درجه رأس در گراف اصلی است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "گراف کامل و درجه", "مشخص کردن درجه بیشینه و درجه کمینه در گراف کامل"], {"intro": "برای گراف کامل Kp که دارای p رأس است، درجه هر رأس برابر p-۱ است. بنابراین درجه بیشینه و درجه کمینه هر دو برابر p-۱ می‌باشند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "گراف کامل و درجه", "رسم گراف‌های کامل از مرتبه ۱ تا ۵"], {"intro": "برای هر مرتبه n از ۱ تا ۵، گراف کامل Kn را رسم می‌کنیم که شامل n رأس است و هر دو رأس به هم متصل هستند. تعداد یال‌ها برابر n(n-۱)/۲ است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "گراف کامل و درجه", "رسم گراف ۵ رأسی با تعداد مشخصی رأس تنها"], {"example": "گرافی با ۷ رأس و ۶ یال داده شده است. مرتبه و اندازه این گراف را تعیین کنید.", "steps": ["مرتب گراف p(G) = تعداد رئوس = ۷", "اندازه گراف q(G) = تعداد یال‌ها = ۶", "بنابراین p = ۷ و q = ۶", "✅ جواب: p=۷, q=۶"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "مجموعه‌ی احاطه‌گر", "مدل‌سازی گراف برای تعیین دسترسی دستگاه‌های خودپرداز"], {"intro": "۱. نقاط تقاطع شهر را به عنوان رئوس گراف در نظر بگیرید.\n۲. خیابان‌ها یا مسیرهای بین تقاطع‌ها را به عنوان یال‌های گراف مدل کنید.\n۳. شرایط دسترسی دستگاه‌های خودپرداز را به صورت شرطی روی رئوس یا یال‌ها اعمال کنید.\n۴. بررسی کنید که هر فرد در هر تقاطع به دستگاه خودپرداز دسترسی داشته باشد یا با حداکثر یک حرکت به تقاطع مجاور دسترسی پیدا کند.\n۵. مدل گراف را تحلیل کنید تا تعداد کمینه دستگاه‌های خودپرداز را تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "مجموعه‌ی احاطه‌گر", "شناسایی مجموعه‌های احاطه‌گر در گراف"], {"intro": "۱. مجموعه احاطه‌گر را به عنوان زیرمجموعه‌ای از رئوس گراف تعریف کنید که هر راس گراف یا در این مجموعه باشد یا حداقل با یکی از رئوس این مجموعه مجاور باشد.\n۲. برای گراف داده شده، تمام زیرمجموعه‌های رئوس را بررسی کنید.\n۳. زیرمجموعه‌هایی که شرط احاطه‌گر بودن را دارند، شناسایی کنید.\n۴. از بین این مجموعه‌ها، آن‌هایی که کمترین تعداد عضو را دارند، به عنوان مجموعه‌های احاطه‌گر کمینه انتخاب کنید.\n۵. تعداد اعضای این مجموعه‌ها را به عنوان عدد احاطه‌گری گراف گزارش دهید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "مجموعه‌ی احاطه‌گر", "تشخیص مجموعه‌های احاطه‌گر در گراف"], {"intro": "۱. تعریف مجموعه احاطه‌گر را به یاد آورید: مجموعه‌ای از رئوس گراف که هر یال حداقل یکی از رئوس آن را داشته باشد.\n۲. برای هر مجموعه داده شده، بررسی کنید که آیا هر یال گراف حداقل یک رأس از آن مجموعه را دارد یا خیر.\n۳. اگر همه یال‌ها توسط رئوس مجموعه پوشش داده شوند، آن مجموعه احاطه‌گر است؛ در غیر این صورت نیست."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "احاطه‌گر مینیمال", "تشخیص مجموعه‌های مینیمال احاطه‌گر"], {"intro": "۱. مجموعه احاطه‌گر بودن را بررسی کنید.\n۲. برای هر رأس در مجموعه، آن رأس را حذف کنید و بررسی کنید آیا مجموعه باقی‌مانده هنوز احاطه‌گر است یا خیر.\n۳. اگر با حذف هر رأس، مجموعه دیگر احاطه‌گر نباشد، آن مجموعه مینیمال است.\n۴. اگر حذف رأسی باعث شود مجموعه هنوز احاطه‌گر باشد، مجموعه مینیمال نیست."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "احاطه‌گر مینیمال", "تبدیل مجموعه احاطه‌گر غیرمینیمال به مجموعه احاطه‌گر مینیمال در گراف"], {"intro": "۱. مجموعه احاطه‌گر غیرمینیمال را انتخاب کنید.\n۲. رئوس مجموعه را به ترتیب حذف کنید و پس از حذف هر رأس بررسی کنید که آیا مجموعه باقی‌مانده هنوز احاطه‌گر است یا خیر.\n۳. اگر مجموعه باقی‌مانده پس از حذف رأس، همچنان احاطه‌گر باشد، رأس حذف شده را از مجموعه حذف کنید.\n۴. این روند را تا زمانی ادامه دهید که حذف هیچ رأسی نتواند مجموعه را احاطه‌گر نگه دارد.\n۵. مجموعه باقی‌مانده مینیمال است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "احاطه‌گر مینیمال", "شناسایی مجموعه‌های احاطه‌گر و مینیمال در گراف"], {"intro": "۱. مجموعه‌ای از رئوس گراف را انتخاب کنید.\n۲. بررسی کنید که آیا این مجموعه احاطه‌گر است؛ یعنی هر یال حداقل یک رأس از این مجموعه را داشته باشد.\n۳. اگر مجموعه احاطه‌گر است، بررسی کنید که آیا حذف هر رأس از آن باعث می‌شود مجموعه دیگر احاطه‌گر نباشد؛ اگر چنین باشد، مجموعه مینیمال است.\n۴. برای شناسایی مجموعه‌های مختلف، این مراحل را برای مجموعه‌های مختلف رئوس تکرار کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "احاطه‌گر مینیمال", "محاسبه تعداد مجموعه‌های احاطه‌گر در گراف"], {"intro": "۱. رئوس گراف را مشخص کنید.\n۲. مجموعه‌های مختلف رئوس را بررسی کنید و تعیین کنید کدام مجموعه‌ها احاطه‌گر هستند.\n۳. تعداد مجموعه‌های احاطه‌گر را بشمارید.\n۴. برای یافتن حداقل تعداد رئوس در مجموعه احاطه‌گر، کوچک‌ترین مجموعه احاطه‌گر را پیدا کنید و تعداد رئوس آن را یادداشت کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "احاطه‌گر مینیمال", "مدل‌سازی تقسیم افراد به تاکسی‌ها با استفاده از علامت جزء صحیح"], {"intro": "۱. تعداد کل افراد را مشخص کنید.\n۲. ظرفیت هر تاکسی را مشخص کنید.\n۳. با استفاده از علامت جزء صحیح، تعداد تاکسی‌های لازم را محاسبه کنید: تعداد تاکسی‌ها برابر است با جزء صحیح بزرگ‌تر یا مساوی (تعداد افراد تقسیم بر ظرفیت هر تاکسی).\n۴. این مدل را برای تعیین تعداد تاکسی‌ها به کار ببرید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "احاطه‌گر مینیمال", "محاسبه تعداد رئوس مجاور در گراف"], {"intro": "۱. تعداد رئوس مجاور هر راس را با شمارش یال‌های متصل به آن راس تعیین می‌کنیم. ۲. درجه راس برابر است با تعداد یال‌های متصل به آن. ۳. برای گراف کامل با n راس، درجه هر راس برابر n-۱ است. ۴. در گراف‌های دلخواه، با توجه به یال‌های موجود، درجه هر راس را محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "کران پایین عدد احاطه‌گری", "حداقل تعداد رئوس لازم برای احاطه همه رئوس گراف"], {"intro": "۱. درجه بیشینه گراف را Δ می‌نامیم. ۲. برای احاطه همه رئوس، باید رئوسی انتخاب شوند که مجموع رئوس احاطه شده برابر یا بیشتر از تعداد کل رئوس باشد. ۳. حداقل تعداد رئوس لازم برابر است با سقف تقسیم تعداد کل رئوس بر (Δ + ۱). ۴. این فرمول به دلیل اینکه هر راس خودش و Δ راس مجاورش را احاطه می‌کند، به دست می‌آید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "کران پایین عدد احاطه‌گری", "محاسبه تعداد یال‌ها در گراف کامل"], {"intro": "۱. گراف کامل گرافی است که هر دو راس آن به هم متصل هستند. ۲. تعداد یال‌ها در گراف کامل با n راس برابر است با ترکیب دو به دو رئوس: n(n-۱)/۲. ۳. این فرمول از شمارش تمام جفت‌های راس به دست می‌آید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "کران پایین عدد احاطه‌گری", "بررسی امکان احاطه همه رئوس توسط یک راس"], {"intro": "۱. بررسی می‌کنیم که آیا راسی وجود دارد که همه رئوس دیگر را احاطه کند. ۲. این راس باید درجه‌ای برابر n-۱ داشته باشد (یعنی به همه رئوس دیگر متصل باشد). ۳. اگر چنین راسی وجود داشته باشد، جواب مثبت است؛ در غیر این صورت، خیر."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "کران پایین عدد احاطه‌گری", "تعیین مجموعه احاطه‌گر با کمترین تعداد رأس"], {"intro": "۱. گراف داده شده را بررسی کنید و رأس‌ها و یال‌های آن را مشخص نمایید.\n۲. هدف یافتن مجموعه‌ای از رأس‌ها است که هر رأس دیگر در گراف به آن‌ها متصل باشد.\n۳. با توجه به ساختار گراف، مجموعه‌های مختلفی از رأس‌ها را انتخاب کنید و بررسی کنید که آیا همه رأس‌ها توسط این مجموعه احاطه می‌شوند یا خیر.\n۴. مجموعه‌ای را انتخاب کنید که کمترین تعداد رأس را داشته باشد و همه رأس‌های گراف را احاطه کند.\n۵. این مجموعه را به عنوان مجموعه احاطه‌گر با کمترین تعداد رأس گزارش دهید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "کران پایین عدد احاطه‌گری", "محاسبه حداقل تعداد رأس برای مجموعه احاطه‌گر با استفاده از رابطه γ(G)"], {"intro": "۱. تعداد رأس‌های گراف (n) و بیشینه درجه رأس‌ها (Δ) را تعیین کنید.\n۲. رابطه حد پایین برای تعداد رأس‌های مجموعه احاطه‌گر را به صورت ⌈n/(Δ+۱)⌉ ≤ γ(G) به کار ببرید.\n۳. با توجه به ساختار گراف و مقدار Δ، حداقل تعداد رأس لازم برای مجموعه احاطه‌گر را محاسبه کنید.\n۴. بررسی کنید که آیا می‌توان مجموعه احاطه‌گری با این تعداد رأس یافت یا خیر.\n۵. نتیجه را گزارش دهید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "کران پایین عدد احاطه‌گری", "تعیین عدد احاطه‌گری گراف و اثبات آن"], {"intro": "۱. گراف داده شده را رسم کنید و رأس‌ها و یال‌ها را مشخص نمایید.\n۲. مجموعه‌های مختلفی از رأس‌ها را بررسی کنید که بتوانند مجموعه احاطه‌گر باشند.\n۳. کوچک‌ترین مجموعه احاطه‌گر را پیدا کنید و تعداد رأس‌های آن را به عنوان عدد احاطه‌گری گراف تعیین کنید.\n۴. اثبات کنید که هیچ مجموعه احاطه‌گری با تعداد کمتر از این مقدار وجود ندارد.\n۵. نتیجه را به صورت عدد احاطه‌گری گراف گزارش دهید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "عدد احاطه‌گری", "تعیین مجموعه‌های احاطه‌گر مینیمم در گراف"], {"intro": "۱. ابتدا گراف داده شده را بررسی کنید و رئوس آن را مشخص نمایید.\n۲. با توجه به تعاریف، مجموعه‌های احاطه‌گر را به گونه‌ای انتخاب کنید که هر یال گراف حداقل یک رأس از آن مجموعه را داشته باشد.\n۳. تعداد رئوس هر مجموعه احاطه‌گر را بشمارید و مینیمم آن‌ها را به عنوان تعداد احاطه‌گری گراف مشخص کنید.\n۴. برای هر مجموعه احاطه‌گر مینیمم، بررسی کنید که آیا حذف هر رأس از آن مجموعه باعث از بین رفتن خاصیت احاطه‌گری می‌شود یا خیر.\n۵. در نهایت، مجموعه‌های احاطه‌گر مینیمم را به همراه تعداد آن‌ها گزارش دهید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "عدد احاطه‌گری", "محاسبه عدد احاطه‌گری گراف"], {"intro": "۱. ابتدا گراف داده شده را بررسی کنید و درجه بیشینه (Δ) و تعداد رئوس (n) آن را مشخص نمایید.\n۲. با استفاده از رابطه n/(Δ+۱) ≤ γ(G) ≤ n/۴، حدود پایین و بالا برای عدد احاطه‌گری گراف را تعیین کنید.\n۳. سپس با بررسی مجموعه‌های مختلف رئوس، مجموعه‌های احاطه‌گر را پیدا کنید که حداقل تعداد راس را داشته باشند.\n۴. عدد احاطه‌گری گراف برابر با کمترین تعداد رئوس در مجموعه‌های احاطه‌گر است.\n۵. در صورت نیاز، مجموعه‌های احاطه‌گر را به صورت دقیق مشخص کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "عدد احاطه‌گری", "تعیین عدد احاطه‌گر گراف"], {"intro": "۱. ابتدا عدد کران پایین برای عدد احاطه‌گر گراف را با استفاده از فرمول ⌈n/(Δ+۱)⌉ محاسبه کنید که در آن n تعداد رئوس و Δ بیشترین درجه راس است.\n۲. بررسی کنید که آیا این عدد کران پایین قابل دستیابی است یا خیر.\n۳. رئوس را به گونه‌ای انتخاب کنید که هر یال حداقل یکی از رئوس انتخاب شده را داشته باشد.\n۴. با توجه به ساختار گراف، رئوس را به گونه‌ای انتخاب کنید که مجموعه انتخاب شده حداقل باشد و تمام یال‌ها را پوشش دهد.\n۵. نتیجه بگیرید که عدد احاطه‌گر گراف برابر با تعداد رئوس انتخاب شده است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "عدد احاطه‌گری", "یافتن مجموعه احاطه‌گر مینیمم در گراف"], {"intro": "۱. برای هر راس گراف بررسی کنید که آیا با انتخاب آن می‌توان یال‌های بیشتری را پوشش داد یا خیر.\n۲. رئوس را به گونه‌ای انتخاب کنید که تمام یال‌ها حداقل یک راس مشترک داشته باشند.\n۳. از انتخاب رئوس اضافی که پوشش یال‌ها را تکراری می‌کنند خودداری کنید.\n۴. مجموعه‌ای از رئوس که تمام یال‌ها را پوشش می‌دهد و تعداد آن حداقل است، مجموعه احاطه‌گر مینیمم است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "عدد احاطه‌گری", "مدل‌سازی موقعیت ایستگاه‌های رادیویی و تعیین تعداد و محل نصب ایستگاه‌ها"], {"intro": "۱. تعداد و محل نصب ایستگاه‌ها را با توجه به شرایط مسئله مشخص کنید. ۲. اگر مجبور به احداث ایستگاه در شهری هستیم، با توجه به محدودیت‌ها (مثلاً حداقل تعداد ایستگاه‌ها در شهر و یا فاصله بین ایستگاه‌ها) مدل گرافی مناسب رسم کنید. ۳. با استفاده از گراف رسم شده، تعداد حداقل ایستگاه‌ها و محل نصب آن‌ها را تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "عدد احاطه‌گری", "مدل‌سازی احداث بیمارستان‌ها با محدودیت فاصله و کمینه تعداد"], {"intro": "۱. نقشه منطقه شامل روستاها و جاده‌های بین آن‌ها را بررسی کنید. ۲. فاصله‌های بین روستاها مشخص شده است. ۳. هدف این است که بیمارستان‌هایی احداث کنیم به گونه‌ای که فاصله هر روستا تا نزدیک‌ترین بیمارستان کمتر از ۱۰ کیلومتر باشد. ۴. با توجه به نقشه و فاصله‌ها، گرافی مناسب رسم کنید که در آن رئوس روستاها و یال‌ها جاده‌ها با وزن فاصله‌ها هستند. ۵. با استفاده از الگوریتم‌های پوشش گراف یا انتخاب رئوس، تعداد و محل احداث بیمارستان‌ها را به گونه‌ای تعیین کنید که کمترین تعداد بیمارستان‌ها احداث شود و شرط فاصله رعایت گردد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "احاطه‌گری مسیر و دور", "محاسبه عدد احاطه‌گری در گراف‌ها"], {"intro": "۱. عدد احاطه‌گری گراف، کمترین تعداد رئوس است که هر یال گراف حداقل یکی از دو رأس آن در این مجموعه باشد. ۲. برای هر گراف داده شده، مجموعه‌ای از رئوس را پیدا کنید که تمام یال‌ها را پوشش دهد. ۳. با بررسی ترکیبات مختلف رئوس، کمترین تعداد رئوس را که این شرط را برآورده می‌کند، تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "احاطه‌گری مسیر و دور", "تعیین ویژگی‌های گراف با توجه به γ(G)، Δ(G) و تعداد یال‌ها"], {"intro": "۱. مقدار γ(G) برابر با عدد رنگ‌آمیزی گراف است که نشان‌دهنده حداقل تعداد رنگ‌های لازم برای رنگ‌آمیزی رئوس بدون اشتراک رنگ در رئوس مجاور است.\n۲. Δ(G) بیشینه درجه راس‌ها را نشان می‌دهد.\n۳. با داشتن γ(G) = ۲، می‌توان نتیجه گرفت که گراف دو رنگی است و هیچ مثلثی ندارد.\n۴. حداقل و حداکثر تعداد یال‌ها را با توجه به تعداد رئوس و ویژگی‌های گراف دو رنگی محاسبه می‌کنیم.\n۵. بررسی می‌کنیم که گراف می‌تواند شامل چه ساختارهایی باشد که این ویژگی‌ها را داشته باشد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "احاطه‌گری مسیر و دور", "تعیین γ و n برای گراف‌های مسیر و چرخه"], {"intro": "۱. گراف مسیر Pₙ شامل n راس است که به صورت خطی به هم متصل شده‌اند.\n۲. گراف چرخه Cₙ شامل n راس است که به صورت دایره‌ای به هم متصل شده‌اند.\n۳. γ(Pₙ) و γ(Cₙ) را با توجه به تعداد رئوس n و ساختار گراف تعیین می‌کنیم.\n۴. برای گراف مسیر، γ برابر با حداقل تعداد رنگ‌های لازم برای رنگ‌آمیزی رئوس بدون اشتراک رنگ در رئوس مجاور است.\n۵. برای گراف چرخه، بسته به زوج یا فرد بودن n، γ متفاوت است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "احاطه‌گری مسیر و دور", "نشان دادن رابطه بین γ(G) و تعداد رئوس گراف k-منظم"], {"intro": "۱. گراف k-منظم گرافی است که درجه هر راس آن برابر k باشد.\n۲. تعداد رئوس گراف را n در نظر می‌گیریم.\n۳. با استفاده از فرمول ترکیبی و ویژگی‌های گراف، رابطه‌ای بین γ(G) و n و k نشان می‌دهیم.\n۴. از فرمول γ(G) ≥ ⌈n/(k+۱)⌉ استفاده می‌کنیم.\n۵. این رابطه حداقل تعداد رنگ‌های لازم برای رنگ‌آمیزی گراف k-منظم را نشان می‌دهد.", "example": "در گراف k-منظم با n رأس نشان دهید γ ≥ n/(k + ۱) و برای C₆ مقدار را بنویسید.", "steps": ["هر رأس خودش و k همسایه‌اش را می‌پوشاند: حداکثر k + ۱ رأس.", "برای پوشاندن n رأس دست‌کم n/(k + ۱) رأس لازم است؛ برای C₆: ۶/۳ = ۲.", "✅ جواب: γ(C₆) ≥ ۲ و برابر ۲ است."]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "احاطه‌گری مسیر و دور", "رسم گراف‌های منظم با تعداد رئوس و حداقل تعداد حاشیه‌گری مشخص"], {"intro": "۱. گراف منظم گرافی است که درجه همه رئوس آن برابر است.\n۲. تعداد رئوس و حداقل تعداد حاشیه‌گری داده شده است.\n۳. با توجه به تعداد رئوس و درجه هر راس، گراف را رسم می‌کنیم به گونه‌ای که حداقل تعداد حاشیه‌گری رعایت شود.\n۴. از روش‌های مدل‌سازی و رسم گراف‌های منظم استفاده می‌کنیم.\n۵. بررسی می‌کنیم که گراف رسم شده شرایط مسئله را برآورده کند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "ساخت گراف با γ مشخص", "رسم مجموعه‌های گراف با اندازه‌های مختلف و تعداد رئوس مشخص"], {"intro": "۱. تعداد رئوس و اندازه مجموعه داده شده است.\n۲. گراف‌ها را به گونه‌ای رسم می‌کنیم که اندازه مجموعه و تعداد رئوس داده شده رعایت شود.\n۳. برای اندازه ۱ و ۲، گراف‌های ساده و با تعداد رئوس مشخص رسم می‌کنیم.\n۴. بررسی می‌کنیم که گراف‌ها شرایط مسئله را برآورده کنند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "ساخت گراف با γ مشخص", "رسم گراف با تعداد رئوس و حاشیه‌گری مشخص و ارائه روش کلی"], {"intro": "۱. تعداد رئوس n و عدد k داده شده است.\n۲. k ≤ n/۲ و k عدد طبیعی است.\n۳. روشی برای رسم گراف n راسی ارائه می‌دهیم که عدد حاشیه‌گری آن k باشد.\n۴. گراف را به گونه‌ای رسم می‌کنیم که حذف k راس گراف را از هم گسیخته کند ولی حذف کمتر از k راس نتواند این کار را انجام دهد.\n۵. بررسی می‌کنیم که گراف رسم شده شرایط مسئله را برآورده کند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "ساخت گراف با γ مشخص", "رسم گراف با تعداد رئوس و عدد حاشیه‌گری مشخص و بررسی اندازه مجموعه حاشیه‌گری"], {"intro": "۱. گراف با تعداد رئوس مشخص و عدد حاشیه‌گری داده شده است.\n۲. گراف را رسم می‌کنیم به گونه‌ای که مجموعه حاشیه‌گری با اندازه مشخص وجود داشته باشد.\n۳. بررسی می‌کنیم که گراف رسم شده شرایط مسئله را برآورده کند.\n۴. در حالت دوم، گرافی رسم می‌کنیم که بیش از یک مجموعه حاشیه‌گری با اندازه داده شده داشته باشد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "ساخت گراف با γ مشخص", "رسم گراف با تعداد مشخصی از احاطه‌گری‌ها"], {"intro": "برای رسم گرافی با n رأس و تعداد مشخصی از احاطه‌گری‌ها، ابتدا تعداد رأس‌ها را مشخص کنید. سپس با توجه به تعداد احاطه‌گری‌های مورد نظر (مثلاً ۲ یا بیشتر)، مجموعه‌ای از رأس‌ها را به گونه‌ای انتخاب کنید که هر مجموعه احاطه‌گر دارای اندازه مشخص (مثلاً ۲) باشد. سپس یال‌ها را به گونه‌ای رسم کنید که این مجموعه‌ها به عنوان مجموعه‌های احاطه‌گر در گراف ظاهر شوند. در نهایت بررسی کنید که تعداد مجموعه‌های احاطه‌گر رسم شده با تعداد خواسته شده مطابقت دارد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: گراف و مدل‌سازی", "ساخت گراف با γ مشخص", "رسم گراف‌های مشخص و تعیین مجموعه‌ها"], {"intro": "برای رسم گراف‌های مشخص مانند P7 و P2، ابتدا رأس‌ها و یال‌ها را طبق تعریف گراف مسیر (Path) رسم کنید. سپس برای تعیین یک مجموعه از رأس‌ها، مجموعه مورد نظر را از رأس‌های گراف انتخاب کنید. برای تعیین مجموعه احاطه‌گر مینیمال ۶ عضوی، مجموعه‌ای از رأس‌ها را انتخاب کنید که تمام رأس‌های گراف را احاطه کند و هیچ زیرمجموعه کوچکتری از آن مجموعه این خاصیت را نداشته باشد. این مجموعه را مشخص کنید و بررسی کنید که آیا مینیمال بودن آن برقرار است یا خیر."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۱)", "بررسی حد تابع در همسایگی یک نقطه که تابع در آن تعریف نشده است"], {"intro": "۱. تابع را در همسایگی نقطه مورد نظر بررسی کنید. ۲. مقدار تابع را برای مقادیر x نزدیک به آن نقطه از سمت چپ و راست بررسی کنید. ۳. اگر حد از دو طرف برابر باشد، آن مقدار حد تابع در آن نقطه است. ۴. اگر حدها از دو طرف متفاوت باشند یا به بی‌نهایت میل کنند، حد وجود ندارد یا نامتناهی است. ۵. در صورت نیاز، نمودار تابع را رسم یا تحلیل کنید تا رفتار تابع در همسایگی نقطه مشخص شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۱)", "تعیین حد تابع در بی‌نهایت"], {"intro": "۱. بررسی رفتار تابع برای مقادیر بسیار بزرگ یا بسیار کوچک x.\n۲. استفاده از جدول مقادیر تابع برای مقادیر نزدیک به بی‌نهایت یا صفر.\n۳. تشخیص اینکه آیا تابع به عدد خاصی نزدیک می‌شود یا به سمت بی‌نهایت میل می‌کند.\n۴. نوشتن حد به صورت نمادین با استفاده از علامت‌های حد و بی‌نهایت."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۱)", "تعیین حد تابع 1/x وقتی x به صفر از سمت چپ نزدیک می‌شود"], {"intro": "۱. بررسی مقادیر تابع ۱/x برای x نزدیک به صفر از سمت چپ (مقادیر منفی کوچک).\n۲. مشاهده اینکه مقادیر تابع به سمت منفی بی‌نهایت میل می‌کنند.\n۳. نوشتن حد به صورت lim(x → ۰⁻) ۱/x = -∞.", "example": "حد تابع ۱/x را وقتی x به صفر از سمت چپ نزدیک می‌شود، تعیین کنید.", "steps": ["برای x های نزدیک به صفر از سمت چپ، مقادیر x منفی هستند، مانند -۰٫۱، -۰٫۰۱ و -۰٫۰۰۱.", "محاسبه مقادیر تابع: وقتی x = -۰٫۱، مقدار تابع ۱/x برابر با -۱۰ است.", "وقتی x = -۰٫۰۱، مقدار تابع ۱/x برابر با -۱۰۰ است.", "وقتی x = -۰٫۰۰۱، مقدار تابع ۱/x برابر با -۱۰۰۰ است.", "با نزدیک‌تر شدن x به صفر از سمت چپ، مقادیر تابع به سمت منفی بی‌نهایت میل می‌کنند.", "✅ جواب: -∞"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۱)", "تعریف حدهای یک طرفه نامتناهی"], {"intro": "۱. فرض کنید تابع f در یک همسایگی راست یا چپ نقطه a تعریف شده باشد.\n۲. اگر بخواهیم حد تابع را در سمت راست a به سمت +∞ یا -∞ بررسی کنیم، باید مقدار تابع را برای x هایی که از سمت راست به a نزدیک می‌شوند، بررسی کنیم.\n۳. اگر برای هر عدد مثبت بزرگ دلخواه M، بتوانیم یک δ>۰ پیدا کنیم به طوری که برای تمام x هایی که a < x < a + δ باشد، مقدار تابع f(x) > M (برای حد +∞) یا f(x) < -M (برای حد -∞) باشد، آنگاه حد یک طرفه نامتناهی است.\n۴. همین مراحل برای سمت چپ a نیز با شرط x در بازه (a - δ, a) انجام می‌شود.\n۵. نتیجه نهایی حد یک طرفه نامتناهی تابع در نقطه a است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۱)", "حد نامتناهی در همسایگی نقطه حذف شده"], {"intro": "۱. تابع f(x) را در همسایگی نقطه a که در آن تعریف نشده بررسی می‌کنیم.\n۲. اگر حد تابع وقتی x به a نزدیک می‌شود برابر +∞ باشد، یعنی می‌توانیم مقادیر تابع را از هر عدد مثبت بزرگ‌تر کنیم به شرطی که x به اندازه کافی به a نزدیک باشد.\n۳. اگر حد تابع وقتی x به a نزدیک می‌شود برابر -∞ باشد، یعنی می‌توانیم مقادیر تابع را از هر عدد منفی کوچک‌تر کنیم به شرطی که x به اندازه کافی به a نزدیک باشد.\n۴. برای اثبات این حدها، از تعریف حد نامتناهی استفاده می‌کنیم و ثابت می‌کنیم که برای هر عدد دلخواه مثبت یا منفی، مقادیر تابع در همسایگی نقطه a از آن عدد عبور می‌کند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۱)", "حد نامتناهی تابع قدر مطلق در همسایگی نقطه حذف شده"], {"intro": "۱. تابع f(x) را که شامل قدر مطلق است در همسایگی نقطه a بررسی می‌کنیم.\n۲. چون قدر مطلق همیشه مثبت است، وقتی x به a نزدیک می‌شود، مقدار ۱/|x| به سمت +∞ می‌رود.\n۳. بنابراین حد تابع ۱/|x| وقتی x به صفر نزدیک می‌شود برابر +∞ است.\n۴. برای اثبات، نشان می‌دهیم که برای هر عدد مثبت دلخواه M، می‌توانیم یک δ پیدا کنیم به طوری که اگر ۰ < |x - a| < δ آنگاه f(x) > M باشد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۲)", "محاسبه حد تابع در نقاطی که تابع به سمت بی‌نهایت میل می‌کند"], {"intro": "۱. تابع را بررسی کنید و نقاطی که ممکن است حد به سمت بی‌نهایت میل کند را شناسایی کنید (نقاطی که مخرج صفر می‌شود یا تابع تعریف نشده است). ۲. حد چپ و حد راست در آن نقاط را جداگانه محاسبه کنید. ۳. اگر حد چپ یا حد راست به بی‌نهایت مثبت یا منفی میل کند، آن را به عنوان حد نامتناهی ثبت کنید. ۴. اگر حد چپ و راست برابر نباشند، حد کلی وجود ندارد. ۵. از نمودار تابع برای تایید نتایج استفاده کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۲)", "محاسبه حد تابع لگاریتمی در بی‌نهایت"], {"intro": "۱. تابع لگاریتمی را بررسی کنید و دامنه آن را مشخص کنید. ۲. حد تابع را در بی‌نهایت یا نزدیک به مرز دامنه محاسبه کنید. ۳. با توجه به خواص لگاریتم، حد را تعیین کنید (مثلاً log x در بی‌نهایت به سمت بی‌نهایت میل می‌کند). ۴. اگر حد از سمت چپ یا راست خواسته شده، دامنه و جهت نزدیک شدن را در نظر بگیرید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۲)", "محاسبه حد تابع تانژانت در نقاطی که تابع ناپیوسته است"], {"intro": "۱. نقاط ناپیوستگی تابع تانژانت را شناسایی کنید (نقاطی که تانژانت تعریف نشده است مانند x = ±π/۲, ±۳π/۲ و ...). ۲. حد چپ و راست در این نقاط را جداگانه محاسبه کنید. ۳. با توجه به رفتار تانژانت در نزدیکی این نقاط، حدها معمولاً به بی‌نهایت مثبت یا منفی میل می‌کنند. ۴. نتایج را با نمودار تابع تایید کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۲)", "حدهای نامتناهی توابع توان"], {"intro": "برای یافتن حد تابع ۱/xⁿ هنگامی که x به سمت بی‌نهایت یا منفی بی‌نهایت می‌رود، ابتدا نوع عدد n را بررسی می‌کنیم. اگر n عدد زوج باشد، حد در هر دو جهت مثبت و منفی بی‌نهایت برابر با +∞ است. اگر n عدد فرد باشد، حد وقتی x به +∞ می‌رود برابر +∞ و وقتی x به -∞ می‌رود برابر -∞ است. این نتیجه از رفتار تابع توان و علامت x در بی‌نهایت به دست می‌آید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۲)", "حدهای نامتناهی توابع کسری با قدر مطلق"], {"intro": "برای یافتن حد تابعی به شکل r/(|x-۱|) وقتی x به ۱ میل می‌کند، ابتدا حدهای چپ و راست را جداگانه بررسی می‌کنیم. چون قدر مطلق در مخرج وجود دارد، مقدار مخرج همیشه مثبت است. بنابراین حد از هر دو سمت به +∞ میل می‌کند. در نهایت نتیجه می‌گیریم که حد کلی تابع در x=۱ برابر +∞ است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۳)", "استفاده از نمودار توابع برای یافتن حد در بی‌نهایت"], {"intro": "برای یافتن حد تابع در بی‌نهایت با استفاده از نمودار، رفتار تابع را در نزدیکی بی‌نهایت مثبت و منفی بررسی می‌کنیم. با مشاهده روند نمودار، می‌توانیم حد را تعیین کنیم. به عنوان مثال، برای تابع f(x) = ۱/x²، نمودار نشان می‌دهد که وقتی x به +∞ یا -∞ می‌رود، مقدار تابع به صفر میل می‌کند. برای تابع g(x) = ۱/x، نمودار نشان می‌دهد که حد در +∞ برابر صفر و در -∞ نیز صفر است اما علامت تابع متفاوت است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۳)", "محاسبه حد توابع کسری با متغیر در مخرج و صورت"], {"example": "محاسبه حد lim(x→۲) (۳x² - ۱۲)/(x - ۲) را انجام دهید.", "steps": ["ابتدا صورت را ساده می‌کنیم: ۳x² - ۱۲ = ۳(x² - ۴) = ۳(x - ۲)(x + ۲).", "حالا حد را به صورت زیر می‌نویسیم: lim(x→۲) (۳(x - ۲)(x + ۲))/(x - ۲).", "مخرج و صورت هر دو به (x - ۲) تقسیم می‌شوند و می‌توانیم بنویسیم: lim(x→۲) ۳(x + ۲).", "حالا x را برابر ۲ قرار می‌دهیم: ۳(۲ + ۲) = ۳ × ۴ = ۱۲.", "✅ جواب: ۱۲"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۴)", "محاسبه حد توابع جبری و ترکیبی در بی‌نهایت"], {"intro": "۱. ابتدا تابع‌های داده شده را بررسی کنید و حد هر کدام را جداگانه در بی‌نهایت محاسبه کنید.\n۲. اگر تابع‌ها جمع یا ضرب شده‌اند، از خواص حد استفاده کنید: حد جمع برابر جمع حدها و حد ضرب برابر ضرب حدها است.\n۳. در صورت وجود عبارت‌های مرکب، تابع ترکیبی را به صورت جبری بنویسید و سپس حد آن را محاسبه کنید.\n۴. در صورت بروز بی‌نهایت در حدها، از قضیه‌های مربوط به حدهای نامتناهی استفاده کنید تا نتیجه نهایی را تعیین نمایید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۴)", "محاسبه حد حاصل‌ضرب توابع جبری در بی‌نهایت و بررسی رابطه حدها"], {"intro": "۱. تابع‌های داده شده را به صورت جبری بنویسید.\n۲. حد هر تابع را جداگانه در بی‌نهایت محاسبه کنید.\n۳. حاصل‌ضرب دو تابع را به صورت تابعی جدید بنویسید.\n۴. حد حاصل‌ضرب را با استفاده از حدهای جداگانه محاسبه کنید.\n۵. رابطه بین حد حاصل‌ضرب و حدهای جداگانه را بررسی کنید و نتیجه‌گیری نمایید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۴)", "کاربرد قضیه حدهای نامتناهی در ترکیب توابع با حدهای بی‌نهایت"], {"intro": "۱. شرایط قضیه را بررسی کنید: اگر lim x→a f(x) = +∞ و lim x→a g(x) = L باشد.\n۲. بسته به مقدار L، حدهای ترکیبی را طبق بندهای الف، ب و پ قضیه محاسبه کنید:\n الف) اگر L > ۰، حد حاصل‌جمع و حاصل‌ضرب به +∞ میل می‌کند.\n ب) اگر L < ۰، حد حاصل‌ضرب به -∞ میل می‌کند.\n۳. در صورت نیاز، حدهای طرفی (x→a⁺ یا x→a⁻) را نیز بررسی کنید.\n۴. از این قضیه برای تعیین حدهای نامتناهی توابع ترکیبی استفاده کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۴)", "محاسبه حد توابع شامل سینوس و توان‌های x در بی‌نهایت"], {"intro": "۱. تابع داده شده را به صورت ترکیبی از عبارات جبری و مثلثاتی بنویسید.\n۲. حد هر بخش را جداگانه بررسی کنید، به خصوص حدهای شامل سینوس و توان‌های x.\n۳. از قضیه حدهای نامتناهی و خواص سینوس استفاده کنید (مثلاً سینوس محدود بین -۱ و ۱ است).\n۴. عبارت را به صورت کسری یا جمعی که حد آن قابل محاسبه باشد، تبدیل کنید.\n۵. حد نهایی را با توجه به حدهای جزئی و ترکیب آن‌ها محاسبه کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۵)", "محاسبه حدهای نامتناهی با استفاده از قضیه‌ها"], {"example": "حد تابع f(x) = (۳x³ + ۲x² - ۵) / (۴x³ - ۷x + ۱) را وقتی x به سمت بی‌نهایت می‌رود، محاسبه کنید.", "steps": ["درجه صورت ۳ و درجه مخرج ۳ است، بنابراین می‌توانیم ضریب‌های بالاتر را در نظر بگیریم.", "حد تابع را به صورت ۳/۴ می‌نویسیم زیرا ضریب x³ در صورت ۳ و در مخرج ۴ است.", "بنابراین حد تابع f(x) وقتی x به سمت بی‌نهایت می‌رود برابر است با ۳/۴.", "✅ جواب: ۳/۴"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۵)", "تشخیص و تحلیل مجانب قائم نمودار تابع"], {"example": "تابع h(x) = ۱/(x-۳) را در نظر بگیرید. مجانب قائم این تابع را پیدا کنید.", "steps": ["مخرج تابع h(x) = ۱/(x-۳) برابر با x-۳ است. برای پیدا کردن نقاطی که مخرج صفر می‌شود، معادله x-۳ = ۰ را حل می‌کنیم که نتیجه می‌دهد x = ۳.", "حد تابع h(x) را در نزدیکی x = ۳ از سمت چپ محاسبه می‌کنیم: حد h(x) وقتی x به ۳ نزدیک می‌شود از سمت چپ برابر با -∞ است.", "حد تابع h(x) را در نزدیکی x = ۳ از سمت راست محاسبه می‌کنیم: حد h(x) وقتی x به ۳ نزدیک می‌شود از سمت راست برابر با +∞ است.", "از آنجا که حد تابع از سمت چپ به -∞ و از سمت راست به +∞ میل می‌کند، خط x = ۳ مجانب قائم تابع h(x) است.", "✅ جواب: x = ۳"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۵)", "محاسبه مجانب قائم تابع"], {"intro": "۱. تابع داده شده را بررسی کنید و نقاطی که مخرج صفر می‌شود را پیدا کنید.\n۲. در این نقاط حد تابع را از سمت چپ و راست محاسبه کنید.\n۳. اگر حد از یک طرف به +∞ و از طرف دیگر به -∞ میل کند، در آن نقطه مجانب قائم وجود دارد.\n۴. نمودار تابع را در نزدیکی آن نقطه بررسی کنید تا رفتار تابع را در مجاورت مجانب قائم مشاهده کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۶)", "محاسبه حدهای نامتناهی"], {"intro": "۱. صورت و مخرج عبارت حد را بررسی کنید.\n۲. اگر صورت یا مخرج به سمت صفر یا بی‌نهایت میل کند، رفتار آن‌ها را تحلیل کنید.\n۳. در صورت وجود ریشه یا توان، با استفاده از ساده‌سازی یا تقسیم بر بزرگ‌ترین توان x، حد را محاسبه کنید.\n۴. اگر حد به سمت بی‌نهایت یا منفی بی‌نهایت میل کند، علامت آن را تعیین کنید.\n۵. نتیجه نهایی را به صورت +∞ یا -∞ یا عدد مشخص بیان کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۶)", "محاسبه حدهای جبری با صورت و مخرج چندجمله‌ای"], {"intro": "۱. صورت و مخرج چندجمله‌ای را بررسی کنید.\n۲. بزرگ‌ترین توان x را در صورت و مخرج مشخص کنید.\n۳. صورت و مخرج را بر بزرگ‌ترین توان x تقسیم کنید.\n۴. حد هر جمله را جداگانه محاسبه کنید.\n۵. حاصل حد صورت را بر حاصل حد مخرج تقسیم کنید.\n۶. نتیجه نهایی را به دست آورید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۶)", "رسم نمودار توابع با مجانب قائم"], {"intro": "۱. دامنه تابع را مشخص کنید و نقاطی که مخرج صفر می‌شود را بیابید.\n۲. نقاطی که مخرج صفر است و صورت صفر نیست، نقاط مجانب قائم هستند.\n۳. حد تابع را در نزدیکی نقاط مجانب قائم از چپ و راست محاسبه کنید.\n۴. رفتار تابع در نزدیکی مجانب قائم را بررسی کنید (میل به +∞ یا -∞).\n۵. نمودار تابع را با توجه به این اطلاعات رسم کنید.", "example": "نمودار تابع g(x) = (۲x - ۴) / (x - ۳) را رسم کنید و مجانب‌های قائم آن را در صورت وجود بیابید.", "steps": ["دامنه تابع g(x) را مشخص می‌کنیم. مخرج تابع x - ۳ است که برابر صفر می‌شود وقتی x = ۳.", "نقطه x = ۳ یک نقطه مجانب قائم است زیرا صورت تابع ۲(۳) - ۴ = ۲ که صفر نیست.", "حد تابع g(x) را از سمت چپ x = ۳ محاسبه می‌کنیم: حد g(x) وقتی x به ۳ نزدیک می‌شود از چپ برابر -∞ است.", "حد تابع g(x) را از سمت راست x = ۳ محاسبه می‌کنیم: حد g(x) وقتی x به ۳ نزدیک می‌شود از راست برابر +∞ است.", "بنابراین، تابع g(x) در x = ۳ دارای یک مجانب قائم است که به سمت -∞ از چپ و +∞ از راست میل می‌کند.", "✅ جواب: x = ۳"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۶)", "شناسایی و تحلیل مجانب‌های قائم توابع کسری"], {"intro": "۱. مخرج تابع را برابر صفر قرار دهید و نقاط بحرانی را بیابید.\n۲. حد تابع را در نزدیکی این نقاط از چپ و راست محاسبه کنید.\n۳. اگر حد‌ها به +∞ یا -∞ میل کنند، مجانب قائم در آن نقاط وجود دارد.\n۴. علامت حد‌ها را برای تعیین جهت مجانب بررسی کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۶)", "تحلیل و تشخیص نمودار تابع با توجه به مجانب قائم"], {"intro": "۱. تابع داده شده را بررسی کنید و نقاطی که مخرج صفر می‌شود را بیابید.\n۲. حد تابع را در نزدیکی این نقاط از چپ و راست محاسبه کنید.\n۳. با توجه به علامت حد‌ها، رفتار نمودار در نزدیکی مجانب‌های قائم را تشخیص دهید.\n۴. نمودارهای داده شده را با توجه به این رفتار مقایسه کنید و نمودار صحیح را انتخاب کنید.", "example": "تابع f(x) = (۲x + ۳) / (x - ۱) را در نظر بگیرید. مجانب قائم این تابع را پیدا کنید.", "steps": ["مخرج تابع را بررسی می‌کنیم: x - ۱ = ۰ که در آن x = ۱ مخرج صفر می‌شود.", "حد تابع را از سمت چپ x = ۱ محاسبه می‌کنیم: حد f(x) وقتی x به ۱ نزدیک می‌شود از چپ برابر با -∞ است.", "حد تابع را از سمت راست x = ۱ محاسبه می‌کنیم: حد f(x) وقتی x به ۱ نزدیک می‌شود از راست برابر با +∞ است.", "با توجه به اینکه حد از چپ -∞ و از راست +∞ است، تابع در x = ۱ یک مجانب قائم دارد.", "✅ جواب: x = ۱"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۱)", "محاسبه حد تابع در بی‌نهایت با استفاده از نمودار و جدول"], {"intro": "۱. نمودار تابع را در بازه مورد نظر رسم یا بررسی کنید.\n۲. مقادیر تابع را برای مقادیر بزرگ x در جدول تکمیل کنید.\n۳. رفتار تابع را هنگام بزرگ شدن x بررسی کنید (مثلاً مقدار تابع به چه عددی نزدیک می‌شود).\n۴. فاصله تابع از محور x را بررسی کنید تا حداقل مقدار x را که فاصله تابع کمتر از مقدار داده شده شود، پیدا کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۱)", "محاسبه حد تابع در بی‌نهایت"], {"intro": "۱. تابع داده شده را بررسی کنید و رفتار آن را برای مقادیر بسیار بزرگ مثبت یا منفی x تحلیل کنید.\n۲. اگر تابع به صورت کسر باشد، صورت و مخرج را نسبت به بزرگترین توان x ساده کنید.\n۳. مقدار حد را با توجه به روند تابع (مثبت یا منفی شدن و نزدیک شدن به صفر یا بی‌نهایت) تعیین کنید.\n۴. نتیجه را به صورت حد در بی‌نهایت یا منفی بی‌نهایت بنویسید.", "example": "حد تابع f(x) = (۳x² + ۵x - ۲) / (۲x² - ۴) را برای x به سمت بی‌نهایت محاسبه کنید.", "steps": ["بزرگترین توان x در صورت ۳x² و در مخرج ۲x² است.", "تابع را به صورت (۳ + ۵/x - ۲/x²) / (۲ - ۴/x²) ساده می‌کنیم.", "با نزدیک شدن x به بی‌نهایت، ۵/x و ۲/x² به صفر می‌رسند.", "بنابراین تابع به صورت (۳ + ۰ - ۰) / (۲ - ۰) تبدیل می‌شود.", "حد تابع برابر با ۳/۲ است.", "✅ جواب: ۳/۲"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۱)", "تکمیل جدول مقادیر تابع و تحلیل رفتار تابع در بازه‌های منفی"], {"intro": "۱. مقادیر x داده شده در جدول را در تابع قرار دهید و مقادیر متناظر f(x) را محاسبه کنید.\n۲. مقادیر به دست آمده را در جدول وارد کنید.\n۳. با توجه به مقادیر جدول و نمودار، رفتار تابع را در بازه منفی تحلیل کنید.\n۴. حد تابع را وقتی x به سمت منفی بی‌نهایت میل می‌کند، تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۱)", "تعیین مقدار حد برای x نزدیک به اعداد خاص از سمت چپ یا راست"], {"intro": "۱. مقدار خاصی که x به آن نزدیک می‌شود را مشخص کنید.\n۲. تابع را بررسی کنید و مقدار تابع را وقتی x از سمت چپ و سمت راست به آن عدد نزدیک می‌شود، محاسبه کنید.\n۳. اگر حدها از دو سمت برابر باشند، آن مقدار حد تابع است.\n۴. در غیر این صورت، حد وجود ندارد یا به صورت حد چپ و حد راست نوشته می‌شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۱)", "محاسبه حد تابع در بی‌نهایت با استفاده از نمودار"], {"example": "تابع f(x) = ۲x/(x + ۱) را در بی‌نهایت بررسی کنید. حد f(x) را برای x→+∞ و x→-∞ محاسبه کنید.", "steps": ["برای محاسبه حد راست، ابتدا x را به بی‌نهایت نزدیک می‌کنیم: f(x) = ۲x/(x + ۱) = ۲x/x(۱ + ۱/x) = ۲/(۱ + ۱/x).", "با نزدیک شدن x به بی‌نهایت، عبارت ۱/x به صفر میل می‌کند. پس حد راست برابر می‌شود با: ۲/(۱ + ۰) = ۲.", "برای محاسبه حد چپ، همانند حد راست عمل می‌کنیم. در اینجا نیز x به بی‌نهایت نزدیک می‌شود و محاسبه مشابهی داریم.", "حد چپ نیز برابر می‌شود با: ۲/(۱ + ۰) = ۲.", "✅ جواب: ۲"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۱)", "حد توابع چندجمله‌ای و کسری در بی‌نهایت"], {"intro": "۱. اگر تابع به صورت چندجمله‌ای باشد، حد آن در بی‌نهایت برابر ضریب جمله با بیشترین درجه است.\n۲. اگر تابع به صورت کسری باشد، ابتدا درجه صورت و مخرج را مقایسه می‌کنیم.\n۳. اگر درجه صورت کمتر از درجه مخرج باشد، حد برابر صفر است.\n۴. اگر درجه صورت برابر درجه مخرج باشد، حد برابر نسبت ضرایب جمله‌های با بیشترین درجه است.\n۵. اگر درجه صورت بیشتر از درجه مخرج باشد، حد نامتناهی است.\n۶. در صورت وجود عبارات جمع یا ضرب، از قضیه حد جمع و ضرب استفاده می‌کنیم.", "example": "حد تابع f(x) = (۳x³ + ۲x² - ۵) / (۴x³ - x + ۱) را در بی‌نهایت پیدا کنید.", "steps": ["درجه صورت برابر ۳ و درجه مخرج نیز برابر ۳ است.", "نسبت ضرایب جمله‌های با بیشترین درجه را محاسبه می‌کنیم: ۳ / ۴.", "بنابراین حد تابع در بی‌نهایت برابر ۳ / ۴ است.", "✅ جواب: ۳/۴"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۲)", "کاربرد قضیه حد توابع جمع، ضرب و تقسیم در بی‌نهایت"], {"intro": "۱. برای حد جمع یا تفاضل دو تابع، حد هر کدام را جداگانه محاسبه کرده و سپس جمع یا تفاضل آنها را می‌گیریم.\n۲. برای حد ضرب دو تابع، حد هر کدام را جداگانه محاسبه کرده و سپس حاصل‌ضرب آنها را می‌گیریم.\n۳. برای حد تقسیم دو تابع، حد صورت و مخرج را جداگانه محاسبه کرده و سپس نسبت آنها را می‌گیریم، به شرطی که حد مخرج صفر نباشد.\n۴. در همه موارد، از فرض وجود حدها استفاده می‌کنیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۲)", "محاسبه حد توابع چندجمله‌ای در بی‌نهایت"], {"intro": "۱. ابتدا نوع تابع را شناسایی کنید (مثلاً چندجمله‌ای). ۲. درجه بزرگ‌ترین جمله در صورت و مخرج را مشخص کنید. ۳. اگر درجه صورت بزرگ‌تر باشد، حد به سمت بی‌نهایت یا منفی بی‌نهایت میل می‌کند بسته به علامت ضریب جمله با درجه بزرگ‌تر. ۴. اگر درجه مخرج بزرگ‌تر باشد، حد برابر صفر است. ۵. اگر درجات برابر باشند، حد برابر نسبت ضریب‌های جمله‌های با درجه بزرگ است. ۶. در صورت نیاز، نمودار تابع را بررسی کنید تا جهت میل به بی‌نهایت مشخص شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۲)", "تعیین حد توابع چندجمله‌ای در بی‌نهایت"], {"intro": "۱. تابع داده شده را بررسی کنید و نوع چندجمله‌ای بودن آن را مشخص کنید.\n۲. با توجه به توان‌های متغیر x، رفتار تابع را در بی‌نهایت مثبت و منفی بررسی کنید.\n۳. اگر توان x فرد باشد، تابع در بی‌نهایت مثبت به سمت مثبت بی‌نهایت و در بی‌نهایت منفی به سمت منفی بی‌نهایت میل می‌کند و بالعکس.\n۴. اگر توان x زوج باشد، تابع در هر دو جهت بی‌نهایت مثبت میل می‌کند.\n۵. با استفاده از نمودار تابع، مقادیر تابع را در نقاط مختلف نزدیک به بی‌نهایت مثبت و منفی بررسی کنید.\n۶. جدول مقادیر تابع را کامل کنید تا روند تغییرات تابع مشخص شود.", "example": "تابع f(x) = ۳x⁴ - ۵x² + ۲ را در بی‌نهایت مثبت و منفی بررسی کنید.", "steps": ["تابع f(x) یک چندجمله‌ای از درجه ۴ است.", "توان بزرگترین متغیر x در این تابع ۴ است که زوج است.", "از آنجا که توان زوج است، تابع در بی‌نهایت مثبت به سمت مثبت بی‌نهایت میل می‌کند.", "در بی‌نهایت منفی نیز، تابع به سمت مثبت بی‌نهایت میل می‌کند.", "بنابراین، در هر دو جهت بی‌نهایت، تابع به سمت مثبت بی‌نهایت میل می‌کند.", "✅ جواب: بی‌نهایت مثبت"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۲)", "حد چند جمله‌ای‌ها در بی‌نهایت"], {"intro": "حد یک چند جمله‌ای f(x) = aₙ xⁿ + a(n-۱) xⁿ⁻¹ + ... + a₁ x + a₀ وقتی x به ±∞ می‌رود برابر حد جمله‌ای است که دارای بزرگ‌ترین درجه است، یعنی:\nlim (x→±∞) f(x) = lim (x→±∞) aₙ xⁿ"}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۳)", "محاسبه حد کسرهای چندجمله‌ای در بی‌نهایت"], {"intro": "۱. صورت و مخرج کسر چندجمله‌ای را بررسی کنید.\n۲. بالاترین توان x را در صورت و مخرج مشخص کنید.\n۳. اگر توان صورت برابر با توان مخرج باشد، حد برابر نسبت ضرایب جمله‌های با بالاترین توان است.\n۴. اگر توان صورت بزرگ‌تر از توان مخرج باشد، حد به سمت بی‌نهایت یا منفی بی‌نهایت میل می‌کند (بسته به علامت ضریب).\n۵. اگر توان صورت کوچکتر از توان مخرج باشد، حد برابر صفر است.\n۶. در صورت نیاز، صورت و مخرج را بر بالاترین توان x در مخرج تقسیم کنید و سپس حد را محاسبه کنید.", "example": "حد کسر (۳x³ + ۲x² - ۵) ÷ (۴x³ - ۶x + ۱) را در x به سمت بی‌نهایت محاسبه کنید.", "steps": ["بالاترین توان x در صورت ۳ است و در مخرج نیز ۳ است.", "چون توان صورت برابر با توان مخرج است، حد برابر نسبت ضرایب جمله‌های با بالاترین توان است.", "ضریب جمله با بالاترین توان در صورت ۳ و در مخرج ۴ است.", "بنابراین، حد برابر ۳ ÷ ۴ است.", "✅ جواب: ۳/۴"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۳)", "تحلیل حالات مختلف نسبت توان‌های صورت و مخرج در حدهای بی‌نهایت"], {"intro": "۱. توان صورت (n) و توان مخرج (m) را مشخص کنید.\n۲. سه حالت ممکن را بررسی کنید:\n - اگر n = m، حد برابر نسبت ضرایب جمله‌های با توان n است.\n - اگر n > m، حد به سمت بی‌نهایت یا منفی بی‌نهایت میل می‌کند.\n - اگر n < m، حد برابر صفر است.\n۳. بسته به حالت، حد را به صورت مناسب بنویسید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۳)", "محاسبه حدهای چند مثال مشخص از کسرهای چندجمله‌ای در بی‌نهایت"], {"intro": "۱. صورت و مخرج هر کسر را بررسی کنید.\n۲. بالاترین توان x را در صورت و مخرج مشخص کنید.\n۳. صورت و مخرج را بر بالاترین توان x در مخرج تقسیم کنید.\n۴. حد هر جمله را جداگانه محاسبه کنید.\n۵. نتیجه نهایی را با توجه به حدهای محاسبه شده بنویسید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۳)", "تشخیص مجانب افقی تابع"], {"intro": "برای تشخیص مجانب افقی تابع y=۲، ابتدا حد تابع را در بی‌نهایت مثبت و منفی محاسبه می‌کنیم. اگر حد تابع در بی‌نهایت برابر عدد ثابت باشد، آن خط افقی مجانب افقی تابع است. سپس نمودار تابع را بررسی می‌کنیم که آیا به این خط نزدیک می‌شود یا خیر.", "example": "تابع f(x) = ۳x/(x + ۱) را در نظر بگیرید. آیا این تابع مجانب افقی دارد؟", "steps": ["حد تابع را در بی‌نهایت مثبت محاسبه می‌کنیم: حد f(x) وقتی x به بی‌نهایت می‌رود برابر ۳ است.", "حد تابع را در بی‌نهایت منفی محاسبه می‌کنیم: حد f(x) وقتی x به منفی بی‌نهایت می‌رود برابر ۳ است.", "چون حد تابع در بی‌نهایت مثبت و منفی برابر ۳ است، بنابراین خط y=۳ مجانب افقی تابع است.", "✅ جواب: ۳"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۴)", "محاسبه حد تابع گویا در بی‌نهایت"], {"intro": "۱. صورت و مخرج تابع را بررسی کنید.\n۲. بزرگ‌ترین توان x را در صورت و مخرج پیدا کنید.\n۳. صورت و مخرج را بر بزرگ‌ترین توان x تقسیم کنید.\n۴. حد هر جمله را جداگانه در بی‌نهایت محاسبه کنید.\n۵. با توجه به حدهای به‌دست آمده، حد کلی تابع را تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۴)", "محاسبه حد توابع شامل رادیکال در بی‌نهایت"], {"intro": "۱. صورت و مخرج تابع را بررسی کنید.\n۲. اگر رادیکال در صورت یا مخرج وجود دارد، برای حذف رادیکال از مخرج‌مضاعف استفاده کنید.\n۳. صورت و مخرج را بر بزرگ‌ترین توان x تقسیم کنید.\n۴. حد هر جمله را جداگانه در بی‌نهایت محاسبه کنید.\n۵. حد کلی تابع را با توجه به حدهای به‌دست آمده تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "بردار و فضای سه‌بعدی", "تعیین رابطه خطی صفحه با استفاده از نقاط داده شده"], {"intro": "۱. نقاط داده شده را به صورت زوج مرتب (x, y) در نظر بگیرید.\n۲. رابطه کلی معادله خط را به صورت ax + by = c در نظر بگیرید که a، b و c اعداد حقیقی هستند و a و b همزمان صفر نیستند.\n۳. مقادیر x و y هر نقطه را در معادله قرار دهید تا معادلاتی برای تعیین a، b و c به دست آورید.\n۴. معادلات به دست آمده را حل کنید تا مقادیر a، b و c مشخص شود.\n۵. معادله خط را با مقادیر به دست آمده بنویسید.\n۶. در صورت نیاز، نمودار معادله خط را رسم کنید تا رابطه خطی مشخص شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "بردار و فضای سه‌بعدی", "تعیین رابطه خطی صفحه با استفاده از معادله y=0"], {"intro": "۱. معادله داده شده را بررسی کنید، در اینجا y=۰ است.\n۲. نقاطی که y=۰ دارند، نقاطی هستند که مختصات آنها به صورت (x, ۰) است که x می‌تواند هر عدد حقیقی باشد.\n۳. چند نقطه نمونه مانند (۰, ۰)، (۱, ۰)، (-۱, ۰) را مشخص کنید.\n۴. این نقاط روی محور x قرار دارند.\n۵. نمودار معادله خطی را رسم کنید که خطی افقی روی محور x است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "بردار و فضای سه‌بعدی", "تعیین رابطه خطی صفحه با استفاده از معادله x=1"], {"intro": "۱. معادله داده شده را بررسی کنید، در اینجا x=۱ است.\n۲. نقاطی که x=۱ دارند، مختصات آنها به صورت (۱, y) است که y می‌تواند هر عدد حقیقی باشد.\n۳. چند نقطه نمونه مانند (۱, ۰)، (۱, ۱)، (۱, -۱) را مشخص کنید.\n۴. این نقاط روی خطی عمودی موازی محور y و در فاصله ۱ از محور y قرار دارند.\n۵. نمودار معادله خطی را رسم کنید که خطی عمودی در x=۱ است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "بردار و فضای سه‌بعدی", "تعیین مختصات نقاط و ویژگی‌های مشترک شکل‌های هندسی در دستگاه مختصات"], {"intro": "۱. ابتدا مختصات چند نقطه مشخص از شکل داده شده را در دستگاه مختصات تعیین کنید. ۲. ویژگی‌های مشترک نقاط مشخص شده را بررسی کنید (مانند موازی بودن خطوط، طول‌ها، یا موقعیت نقاط نسبت به محورهای مختصات). ۳. با توجه به این ویژگی‌ها، ویژگی‌های دیگر شکل را استخراج کنید. ۴. رابطه یا معادله مربوط به شکل را بر اساس ویژگی‌های به دست آمده بنویسید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "بردار و فضای سه‌بعدی", "شناخت و نمایش نقاط در فضای سه‌بعدی"], {"intro": "برای نمایش نقاط در فضای سه‌بعدی، از دستگاه مختصات سه‌محوره استفاده می‌کنیم که شامل محورهای x، y و z است. هر نقطه با یک سه‌تایی (x, y, z) نمایش داده می‌شود. محورهای x، y و z به صورت متعامد بر هم هستند و نقطه شروع آن‌ها مبدأ (۰,۰,۰) است. برای تعیین ناحیه هر نقطه، علامت هر مختصه (مثبت یا منفی) بررسی می‌شود و بر اساس آن ناحیه مربوطه از ۱ تا ۸ تعیین می‌گردد. این ناحیه‌ها به صورت زیر تعریف می‌شوند: ناحیه ۱: x>۰, y>۰, z>۰، ناحیه ۲: x<۰, y>۰, z>۰ و ... تا ناحیه ۸: x>۰, y<۰, z<۰."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "مختصات سه‌بعدی", "محاسبه فاصله نقطه تا مبدأ مختصات در فضای سه‌بعدی"], {"intro": "برای یافتن فاصله یک نقطه P=(x,y,z) از مبدأ مختصات در فضای سه‌بعدی، ابتدا تصویر نقطه P را بر صفحه xy رسم می‌کنیم که مختصات آن P'=(x,y,۰) است. فاصله OP' برابر با √(x² + y²) است. سپس با استفاده از قضیه فیثاغورس در مثلث قائم‌الزاویه OPP' طول OP برابر است با √(OP'² + z²) = √(x² + y² + z²)."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "مختصات سه‌بعدی", "یافتن نقاطی که در تقاطع چند صفحه قرار دارند"], {"intro": "۱. معادلات صفحات داده شده را به صورت دستگاه معادلات خطی بنویسید.\n۲. دستگاه معادلات را حل کنید تا مختصات نقاطی که در تقاطع همه صفحات قرار دارند به دست آید.\n۳. مختصات به دست آمده نقاطی هستند که در تقاطع صفحات داده شده قرار دارند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "مختصات سه‌بعدی", "رسم و تحلیل نمودار معادلات صفحه و خط"], {"intro": "۱. معادلات داده شده را به صورت دستگاه معادلات بنویسید.\n۲. معادلات را به صورت هندسی تفسیر کنید (مثلاً معادله x=۰ صفحه yz را نشان می‌دهد).\n۳. نقاط یا خطوطی که معادلات مشخص می‌کنند را روی دستگاه مختصات سه‌بعدی رسم کنید.\n۴. ارتباط بین معادلات و نمودار را تحلیل کنید تا شکل هندسی مشخص شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "بردارها در مختصات", "تعیین مکان نقاط در دستگاه مختصات سه‌بعدی با توجه به معادلات صفحه"], {"intro": "۱. معادلات صفحه را بررسی کنید و مؤلفه‌های بردار را که باید صفر یا مقدار مشخصی باشند تعیین کنید.\n۲. نقاطی که این شرایط را دارند را در دستگاه مختصات سه‌بعدی مشخص کنید.\n۳. مکان هندسی این نقاط را توصیف کنید (مثلاً صفحه، خط یا نقطه)."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "بردارها در مختصات", "تحلیل و تعیین مختصات نقاط و صفحات مکعب مستطیل در دستگاه مختصات سه‌بعدی"], {"intro": "۱. ابتدا معادلات صفحات مکعب مستطیل را که به صورت x=ثابت، y=ثابت یا z=ثابت داده شده‌اند، بررسی کنید. ۲. برای تعیین مختصات نقاطی که دقیقاً بر دو وجه یا صفحات مکعب قرار دارند، مختصات مشترک معادلات آن دو صفحه را پیدا کنید. ۳. معادلات مربوط به هر یک از وجه‌های مکعب مستطیل را به صورت معادلات صفحه بنویسید. ۴. رأس‌های مکعب مستطیل را با ترکیب معادلات صفحات مختلف که در یک نقطه مشترک هستند، تعیین کنید. ۵. روابط مشخص‌کننده یکی از وجه‌ها و وجه دیگر را با توجه به محدوده‌های داده شده برای مختصات بنویسید. ۶. برای تعیین مختصات نقطه‌ای که داخل مکعب باشد، باید مختصات آن نقطه را طوری تعیین کنید که در بازه‌های مختصات صفحات قرار گیرد. ۷. روابطی که حجم محدود شده توسط وجه‌ها را مشخص می‌کند، با توجه به محدوده‌های مختصات نوشته می‌شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "بردارها در مختصات", "تعیین مختصات نقطه داخل مکعب مستطیل و روابط حجم محدود شده"], {"intro": "۱. برای تعیین مختصات نقطه‌ای که داخل مکعب مستطیل باشد، باید مختصات آن نقطه را طوری انتخاب کنیم که در بازه‌های مختصات صفحات مکعب قرار گیرد. ۲. بازه‌های مختصات مکعب مستطیل از معادلات صفحات داده شده استخراج می‌شود. ۳. روابطی که حجم محدود شده توسط وجه‌ها را مشخص می‌کنند، به صورت نامعادلاتی برای مختصات x، y و z نوشته می‌شوند. ۴. با تعیین این نامعادلات، می‌توان نقطه‌ای را که داخل مکعب است، مشخص کرد. ۵. همچنین می‌توان روابطی نوشت که نشان دهد نقطه روی یکی از وجه‌ها یا روی یال یا رأس مکعب قرار دارد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "بردارها در مختصات", "تشخیص و نمایش بردارها در دستگاه مختصات"], {"intro": "۱. بردار را به صورت یک پاره‌خط جهت‌دار تعریف کنید که ابتدا و انتهای آن مشخص است.\n۲. مختصات نقطه ابتدا و انتهای بردار را در دستگاه مختصات تعیین کنید.\n۳. بردار را با استفاده از مختصات انتهایی به صورت زوج مرتب نمایش دهید.\n۴. جهت بردار را با توجه به جهت پاره‌خط مشخص کنید.\n۵. اندازه بردار را با استفاده از فرمول فاصله بین دو نقطه محاسبه کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "بردارها در مختصات", "برابر بودن بردارها (همسانی بردارها)"], {"intro": "۱. دو بردار را در نظر بگیرید و مختصات ابتدا و انتهای هر کدام را مشخص کنید.\n۲. بررسی کنید که آیا اندازه و جهت دو بردار برابر است یا خیر.\n۳. اگر اندازه و جهت برابر باشد، بردارها همسان هستند.\n۴. برای اثبات همسانی، می‌توان بردارها را به گونه‌ای جابه‌جا کرد که مبدأ هر دو بردار یکسان شود و سپس مقایسه کرد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "بردارها در مختصات", "جمع بردارها به روش متوازی‌الأضلاع"], {"intro": "۱. دو بردار a = (a₁, a₂) و b = (b₁, b₂) را در نظر بگیرید.\n۲. بردارها را به گونه‌ای رسم کنید که ابتداهای آنها در یک نقطه مشترک باشد.\n۳. متوازی‌الأضلاع را با استفاده از این دو بردار بسازید.\n۴. قطر متوازی‌الأضلاع که از نقطه مشترک شروع می‌شود، بردار جمع a + b است.\n۵. مختصات بردار جمع را با جمع مختصات دو بردار محاسبه کنید: a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "عملیات بردارها", "ضرب عددی در بردار و جهت بردار"], {"intro": "برای ضرب یک عدد حقیقی r در بردار a=(a₁,a₂)، هر مولفه بردار در r ضرب می‌شود: r*a = (r*a₁, r*a₂). جهت بردار حاصل بستگی به علامت r دارد: اگر r>۱ جهت بردار تغییر نمی‌کند و طول آن افزایش می‌یابد. اگر ۰<r<۱ طول بردار کاهش می‌یابد ولی جهت حفظ می‌شود. اگر r<۰ بردار حاصل در جهت عکس بردار اولیه است و طول آن برابر قدر مطلق r ضرب در طول بردار اولیه است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "عملیات بردارها", "تحلیل برداری نیروهای وارد بر هواپیما هنگام فرود"], {"intro": "۱. فرض کنید مسیر فرود هواپیما در جهت بردار واحد l باشد. ۲. بردار سرعت هواپیما را در جهت l در نظر بگیرید. ۳. بردار نیروی باد وارد بر هواپیما را با بردار w نمایش دهید. ۴. در هر وضعیت فرود، بردارهای l و w را رسم کنید و جهت بردار سرعت t را تعیین کنید به طوری که هواپیما در جهت l و با کاهش سرعت حرکت کند. ۵. بررسی کنید که جهت بردار سرعت t و بردار باد w چگونه نسبت به بردار مسیر فرود l قرار دارند تا فرود ایمن انجام شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "بردار یکه و ترکیب خطی", "محاسبه و رسم بردارها و جمع بردارها در دستگاه مختصات"], {"intro": "۱. مختصات بردارهای داده شده را از دستگاه مختصات استخراج کنید.\n۲. برای جمع دو بردار، مؤلفه‌های متناظر آنها را با هم جمع کنید.\n۳. بردار حاصل را با استفاده از مؤلفه‌های جمع شده رسم کنید.\n۴. برای رسم بردارها، از مبدأ مختصات شروع کرده و به مختصات بردار بروید.\n۵. برای رسم بردارهای جدید مانند تفاضل بردارها، مؤلفه‌های بردارها را از هم کم کنید و سپس رسم کنید.\n۶. طول هر بردار را با استفاده از فرمول طول بردار در فضای سه‌بعدی محاسبه کنید: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "بردار یکه و ترکیب خطی", "نمایش بردارهای یکه در مختصات سه‌بعدی"], {"intro": "برای نمایش یک بردار دلخواه در صفحه سه‌بعدی، ابتدا بردارهای یکه در جهت محورهای x، y و z را معرفی می‌کنیم که به ترتیب i = (۱,۰,۰)، j = (۰,۱,۰) و k = (۰,۰,۱) هستند. سپس هر بردار دلخواه a را به صورت ترکیب خطی از این بردارهای پایه می‌نویسیم: a = aₓ i + ay j + az k که در آن aₓ، ay و az مولفه‌های بردار در جهت محورهای x، y و z هستند. برای یافتن این مولفه‌ها، مقادیر متناظر در هر محور را استخراج می‌کنیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "بردار یکه و ترکیب خطی", "نوشتن معادلات سطح چهارضلعی در دستگاه مختصات سه‌بعدی"], {"intro": "۱. نقاط چهارضلعی را در دستگاه مختصات مشخص کنید.\n۲. بردارهای دو ضلع متوالی چهارضلعی را به دست آورید.\n۳. بردار نرمال به سطح را با ضرب خارجی دو بردار ضلع محاسبه کنید.\n۴. معادله صفحه را با استفاده از بردار نرمال و یکی از نقاط چهارضلعی بنویسید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "طول و وسط پاره‌خط در فضا", "نمایش نقاط با مختصات داده شده در دستگاه مختصات سه‌بعدی"], {"intro": "۱. هر نقطه را با مختصات (x, y, z) مشخص کنید.\n۲. روی محور x مقدار x را مشخص کنید.\n۳. روی محور y مقدار y را مشخص کنید.\n۴. روی محور z مقدار z را مشخص کنید.\n۵. نقطه را در محل تقاطع این مقادیر رسم کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "طول و وسط پاره‌خط در فضا", "محاسبه طول پاره‌خط بین دو نقطه در دستگاه مختصات سه‌بعدی"], {"intro": "۱. دو نقطه با مختصات P=(x1, y1, z1) و Q=(x2, y2, z2) را در نظر بگیرید.\n۲. بردار پاره‌خط PQ را به صورت (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) بیابید.\n۳. طول بردار PQ را با فرمول فاصله محاسبه کنید:\n طول = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "طول و وسط پاره‌خط در فضا", "یافتن مختصات نقطه وسط پاره‌خط در دستگاه مختصات سه‌بعدی"], {"intro": "۱. دو نقطه P=(x1, y1, z1) و Q=(x2, y2, z2) را در نظر بگیرید.\n۲. مختصات نقطه وسط M را با میانگین مختصات دو نقطه محاسبه کنید:\n M = ((x1 + x2)/۲, (y1 + y2)/۲, (z1 + z2)/۲)."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "طول و وسط پاره‌خط در فضا", "محاسبه ترکیب خطی بردارها در دستگاه مختصات سه‌بعدی"], {"intro": "۱. بردارها و عددهای داده شده را مشخص کنید.\n۲. هر بردار را به صورت مؤلفه‌های (x, y, z) بنویسید.\n۳. ضرب عددی بردار را با ضرب هر مؤلفه در عدد انجام دهید.\n۴. جمع یا تفریق بردارها را با جمع یا تفریق مؤلفه‌ها انجام دهید.\n۵. بردار حاصل را به صورت مؤلفه‌ای بنویسید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "طول و وسط پاره‌خط در فضا", "محاسبه طول بردار در دستگاه مختصات سه‌بعدی"], {"intro": "۱. بردار a = (x, y, z) را در نظر بگیرید.\n۲. طول بردار را با فرمول |a| = √(x² + y² + z²) محاسبه کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "ضرب داخلی", "محاسبه زاویه بین دو بردار"], {"intro": "۱. طول هر بردار را با استفاده از فرمول طول بردار محاسبه کنید: |a| = √(a₁² + a₂²) و |b| = √(b₁² + b₂²). ۲. طول بردار تفاضل دو بردار را محاسبه کنید: |a - b| = √((a₁ - b₁)² + (a₂ - b₂)²). ۳. با استفاده از قضیه کسینوس‌ها رابطه بین طول‌ها و زاویه θ را بنویسید: |a - b|² = |a|² + |b|² - ۲|a||b|cosθ. ۴. معادله را برای cosθ حل کنید: cosθ = (|a|² + |b|² - |a - b|²) / (۲|a||b|). ۵. با جایگذاری مقادیر طول‌ها، مقدار cosθ را بدست آورید. ۶. در نهایت زاویه θ را با استفاده از تابع معکوس کسینوس (arccos) محاسبه کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "ضرب داخلی", "محاسبه ضرب داخلی دو بردار و زاویه بین آن‌ها"], {"intro": "۱. ضرب داخلی دو بردار را با استفاده از فرمول a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ محاسبه کنید.\n۲. قدر مطلق هر بردار را با استفاده از ریشه مجموع مربعات مؤلفه‌ها محاسبه کنید.\n۳. رابطه cosθ = (a·b) / (|a| |b|) را بنویسید.\n۴. مقدار cosθ را محاسبه کنید.\n۵. با استفاده از تابع معکوس کسینوس (arccos) مقدار θ را در بازه ۰ ≤ θ ≤ π بیابید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "ضرب داخلی", "خواص ضرب داخلی بردارها"], {"intro": "۱. برای اثبات خاصیت جابه جایی ضرب داخلی بردارها، مولفه‌های هر بردار را جدا کرده و ضرب داخلی را به صورت جمع ضرب مولفه‌ها بنویسید. سپس ترتیب جمع را تغییر دهید تا نشان دهید که a.b = b.a. ۲. برای اثبات رابطه a.a = |a|²، ضرب داخلی بردار با خودش را به صورت جمع مربع مولفه‌ها بنویسید که برابر با مربع اندازه بردار است. ۳. برای خاصیت توزیع پذیری، ضرب داخلی بردار a را با جمع دو بردار b و c به صورت a.(b+c) باز کنید و با استفاده از جمع مولفه‌ها نشان دهید که برابر است با a.b + a.c. ۴. برای بررسی عمود بودن دو بردار، از تعریف ضرب داخلی استفاده کنید و نشان دهید که اگر a.b=۰ و بردارها غیر صفر باشند، زاویه بین آنها ۹۰ درجه است. ۵. برای نامساوی کشی شوارتز، مقدار قدر مطلق ضرب داخلی را با استفاده از رابطه |a.b| = |a||b|cosθ بیان کنید و نشان دهید که این مقدار کمتر یا مساوی حاصل ضرب اندازه بردارها است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "ضرب داخلی", "تصویر قائم بردار a بر بردار b"], {"intro": "۱. فرض کنید دو بردار غیر صفر a و b با زاویه θ بین آنها باشند که ۰ < θ < π/۲. ۲. بردار a را بر امتداد بردار b تصویر می‌کنیم و بردار تصویر را a' می‌نامیم که برابر با r*b است. ۳. با توجه به اینکه بردار تفاضل a - a' بر بردار b عمود است، ضرب داخلی (a - a').b برابر صفر است. ۴. این رابطه را بازنویسی کرده و مقدار r را به صورت r = (a.b) / |b|² به دست می‌آوریم. ۵. بنابراین تصویر قائم بردار a بر بردار b برابر است با r*b که طول آن و جهت آن مشخص است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "ضرب خارجی", "تشخیص حالت‌های مختلف ضرب داخلی دو بردار و زاویه بین آن‌ها"], {"intro": "برای تشخیص حالت‌های مختلف ضرب داخلی دو بردار a و b، ابتدا مقدار ضرب داخلی a · b را محاسبه می‌کنیم. سپس با توجه به مقدار ضرب داخلی و اندازه‌های بردارها، زاویه θ بین بردارها را تعیین می‌کنیم. اگر a · b > ۰ زاویه بین ۰ و π/۲ است، اگر a · b = ۰ زاویه π/۲ است (بردارها عمودند)، اگر a · b < ۰ زاویه بین π/۲ و π است، و اگر a · b = |a||b| زاویه صفر و اگر a · b = -|a||b| زاویه π است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "ضرب خارجی", "محاسبه ضرب خارجی دو بردار سه‌بعدی"], {"intro": "برای دو بردار سه‌بعدی a = (a₁, a₂, a₃) و b = (b₁, b₂, b₃)، ضرب خارجی آنها به صورت برداری تعریف می‌شود که مؤلفه‌های آن از دترمینان ماتریس ۳×۳ با سطرهای i, j, k و مؤلفه‌های a و b به دست می‌آید. به طور دقیق: a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁). این بردار عمود بر هر دو بردار a و b است و جهت آن با قانون دست راست تعیین می‌شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "ضرب خارجی", "خواص ضرب خارجی بردارها"], {"intro": "۱. تعریف بردارهای دو بعدی یا سه بعدی را مشخص کنید.\n۲. از روابط ضرب خارجی و ضرب داخلی استفاده کنید.\n۳. با استفاده از روابط جبری و هندسی، خاصیت مورد نظر را اثبات کنید.\n۴. برای اثبات عمود بودن، نشان دهید حاصل ضرب داخلی برابر صفر است.\n۵. از روابط چرخشی بردارهای پایه i, j, k برای اثبات استفاده کنید.\n۶. در صورت نیاز، از روابط توزیع پذیری ضرب خارجی نسبت به جمع بردارها بهره ببرید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "ضرب خارجی", "روابط چرخشی بردارهای پایه i, j, k"], {"intro": "۱. بردارهای پایه i, j, k را تعریف کنید.\n۲. روابط ضرب خارجی بین این بردارها را به صورت چرخشی یادآوری کنید:\n i × j = k, j × k = i, k × i = j.\n۳. روابط معکوس را نیز در نظر بگیرید:\n j × i = -k, k × j = -i, i × k = -j.\n۴. این روابط را می‌توان به صورت نمودار چرخشی نیز نمایش داد.\n۵. از این روابط برای محاسبه ضرب خارجی بردارهای ترکیبی استفاده کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "ضرب خارجی", "خواص جبری ضرب خارجی بردارها"], {"intro": "۱. خاصیت توزیع پذیری ضرب خارجی نسبت به جمع بردارها را بررسی کنید:\n a × (b + c) = a × b + a × c.\n۲. خاصیت ضرب عددی را بررسی کنید:\n اگر r عدد حقیقی باشد، r a × b = a × r b = r (a × b).\n۳. از این خواص برای ساده کردن عبارات برداری استفاده کنید.\n۴. اثبات خواص با استفاده از تعریف مؤلفه‌ای ضرب خارجی انجام می‌شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "ضرب خارجی", "شرط موازی بودن بردارها با استفاده از ضرب خارجی"], {"intro": "۱. دو بردار غیر صفر a و b را در نظر بگیرید.\n۲. ضرب خارجی a × b را محاسبه کنید.\n۳. اگر a × b = ۰ باشد، آنگاه بردارها موازی هستند.\n۴. این حالت زمانی رخ می‌دهد که زاویه بین بردارها θ = ۰ یا θ = π باشد.\n۵. نتیجه را با استفاده از رابطه |a × b| = |a| |b| sin θ اثبات کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "اثبات‌های برداری", "اثبات رابطه برداری در مثلث"], {"intro": "۱. بردارهای مربوط به اضلاع و میانه‌ها را تعریف کنید.\n۲. رابطه برداری بین میانه‌ها و اضلاع را بنویسید.\n۳. با استفاده از جمع بردارها و ضرب عددی، رابطه مورد نظر را اثبات کنید.\n۴. نتیجه‌گیری کنید که میانه‌ها موازی ضلع مقابل هستند و طول آن‌ها نصف ضلع مقابل است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "اثبات‌های برداری", "اثبات تناسب طولی در مثلث با استفاده از بردارها (قضیه تالس)"], {"intro": "۱. فرض کنید نسبت طول اضلاع مثلث برابر با یک عدد ثابت K باشد.\n۲. بردارهای مربوط به اضلاع و بخش‌های تقسیم شده را با ضرایب K، K' و K'' بیان کنید.\n۳. با استفاده از جمع بردارها و برابری‌ها، رابطه بین این ضرایب را بدست آورید.\n۴. با توجه به اینکه بردارها در راستاها و جهت‌های مختلف هستند، نتیجه بگیرید که ضرایب برابرند.\n۵. از این برابری نتیجه بگیرید که پاره‌خط موازی ضلع مقابل است و نسبت طول‌ها برابر است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "اثبات‌های برداری", "ثابت کردن عمود بودن ارتفاع‌ها در مثلث"], {"intro": "۱. فرض کنید سه ارتفاع مثلث در نقطه‌ای به نام O هم‌رس هستند.\n۲. با استفاده از خاصیت عمود بودن ارتفاع‌ها، حاصل‌ضرب داخلی بردار ارتفاع با ضلع مقابل برابر صفر است.\n۳. روابط برداری مربوط به اضلاع و ارتفاع‌ها را بنویسید.\n۴. با استفاده از روابط برداری و ضرب داخلی، نشان دهید که بردارهای ارتفاع عمود بر اضلاع مقابل هستند.\n۵. نتیجه بگیرید که امتداد بردار AO عمود بر BC است و ارتفاع رأس A نیز از نقطه O می‌گذرد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "اثبات‌های برداری", "ثابت کردن متوازی‌الاضلاع بودن چهارضلعی با استفاده از بردارها"], {"intro": "۱. فرض کنید چهارضلعی ABCD به گونه‌ای است که دو ضلع مقابل آن موازی و مساوی هستند.\n۲. با استفاده از روابط برداری، بردارهای مربوط به اضلاع را بنویسید.\n۳. نشان دهید که بردارهای دو ضلع مقابل برابرند.\n۴. با استفاده از این برابری، نتیجه بگیرید که چهارضلعی متوازی‌الاضلاع است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: بردارها", "اثبات‌های برداری", "ثابت کردن نصف شدن قطرهای متوازی‌الاضلاع"], {"intro": "۱. در متوازی‌الاضلاع ABCD، بردارهای مربوط به اضلاع و قطرها را بنویسید.\n۲. با استفاده از جمع بردارها، رابطه بین بردارهای قطرها را بنویسید.\n۳. نشان دهید که جمع بردارهای دو نیمه هر قطر برابر است.\n۴. نتیجه بگیرید که قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "جایگشت با تکرار", "جایگشت با تکرار"], {"intro": "۱. تعداد کل اشیاء را n در نظر می‌گیریم. ۲. اشیاء مشابه را به دسته‌هایی تقسیم می‌کنیم که تعداد هر دسته n₁، n₂، ...، nₖ باشد. ۳. تعداد جایگشت‌های بدون تکرار n! است. ۴. برای حذف جایگشت‌های تکراری، n! را بر حاصل‌ضرب فاکتوریل تعداد اشیاء مشابه تقسیم می‌کنیم: n! / (n₁! × n₂! × ... × nₖ!)."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "جایگشت با تکرار", "محاسبه تعداد رمزهای عددی با ارقام تکراری"], {"intro": "۱. تعداد ارقام رمز را مشخص می‌کنیم. ۲. اگر ارقام تکراری باشند، تعداد کل جایگشت‌ها را با فرض تمایز ارقام محاسبه می‌کنیم. ۳. سپس تعداد جایگشت‌های تکراری را با تقسیم بر فاکتوریل تعداد تکرار هر رقم حذف می‌کنیم. ۴. نتیجه نهایی تعداد رمزهای ممکن است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "جایگشت با تکرار", "تعیین تعداد جایگشت‌های افراد در اتاق‌های مختلف با تعداد مشخص"], {"intro": "۱. تعداد کل افراد را مشخص کنید.\n۲. تعداد افراد هر اتاق را تعیین کنید.\n۳. از فرمول جایگشت با تکرار استفاده کنید: تعداد کل افراد تقسیم بر حاصل‌ضرب فاکتوریل تعداد افراد هر اتاق.\n۴. اگر ترتیب افراد در اتاق‌ها مهم نباشد، از ترکیب برای انتخاب افراد هر اتاق استفاده کنید.\n۵. حاصل‌ضرب تعداد انتخاب‌ها برای هر اتاق را محاسبه کنید تا تعداد کل حالت‌ها به دست آید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "جایگشت با تکرار", "تکمیل جدول انتخاب دسته گل با شاخه‌های مختلف"], {"intro": "۱. تعداد شاخه‌های هر نوع گل را مشخص کنید.\n۲. برای هر ردیف جدول، تعداد شاخه‌های انتخاب شده از هر نوع گل را یادداشت کنید.\n۳. با استفاده از نماد * برای هر شاخه گل انتخاب شده، تعداد انتخاب‌ها را مشخص کنید.\n۴. ترکیب‌های ممکن برای هر ردیف را با توجه به تعداد شاخه‌های انتخاب شده تعیین کنید.\n۵. جدول را با توجه به ترکیب‌های ممکن کامل کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "جایگشت با تکرار", "تعداد جایگشت‌ها با تکرار و دسته‌بندی"], {"intro": "برای محاسبه تعداد کل جایگشت‌ها با تکرار و دسته‌بندی، ابتدا تعداد کل اشیا (ستاره‌ها و خطوط عمودی) را در نظر می‌گیریم. سپس با استفاده از فرمول جایگشت با تکرار که برابر است با تعداد کل اشیا فاکتوریل تقسیم بر حاصل‌ضرب فاکتوریل تعداد اشیای تکراری، تعداد جایگشت‌ها را محاسبه می‌کنیم. در حالت کلی اگر n تعداد ستاره‌ها و k-۱ تعداد خطوط عمودی باشد، تعداد کل جایگشت‌ها برابر است با ترکیب (n+k-۱) انتخاب (k-۱)."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "جایگشت با تکرار", "انتخاب شاخه گل از بین چند نوع گل با امکان تکرار"], {"intro": "برای انتخاب n شاخه گل از بین k نوع گل به گونه‌ای که تکرار مجاز باشد، از فرمول ترکیبی با تکرار استفاده می‌کنیم. تعداد کل انتخاب‌ها برابر است با ترکیب (n+k-۱) انتخاب (k-۱). این فرمول بیان می‌کند که با در نظر گرفتن n شاخه گل و k-۱ خط عمودی برای جدا کردن انواع گل‌ها، تعداد کل حالت‌های ممکن به دست می‌آید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "انتخاب با تکرار و معادله", "انتخاب شاخه گل با شرط حداقل تعداد از هر نوع گل"], {"intro": "اگر بخواهیم n شاخه گل از k نوع گل انتخاب کنیم به طوری که حداقل m شاخه از هر نوع گل انتخاب شود، ابتدا m شاخه از هر نوع گل را به صورت اجباری انتخاب می‌کنیم. سپس تعداد شاخه‌های باقی‌مانده (n - k×m) را بدون محدودیت از بین k نوع گل انتخاب می‌کنیم. تعداد کل انتخاب‌ها برابر است با ترکیب (n - k×m + k - ۱) انتخاب (k - ۱)."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "انتخاب با تکرار و معادله", "تعداد جواب‌های صحیح و مثبت معادلات ترکیبی با شرط مجموع ثابت"], {"intro": "برای معادله‌ای به شکل x₁ + x₂ + ... + xₖ = n که در آن xᵢ عدد صحیح غیرمنفی است، تعداد جواب‌های صحیح و مثبت برابر است با تعداد انتخاب‌های دلخواه n شاخه گل از بین k نوع گل که با استفاده از ترکیب با تکرار به صورت C(n+k-۱, k-۱) محاسبه می‌شود. اگر شرط‌های اضافی مانند محدودیت‌های حداقل یا حداکثر برای هر xᵢ وجود داشته باشد، ابتدا این محدودیت‌ها را به صورت تغییر متغیر یا کاهش n لحاظ می‌کنیم و سپس از فرمول ترکیب با تکرار استفاده می‌کنیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "انتخاب با تکرار و معادله", "تعداد جواب‌های صحیح و مثبت معادلات ترکیبی با شرط حداقل برای هر متغیر"], {"intro": "اگر معادله x₁ + x₂ + ... + xₖ = n با شرط xᵢ ≥ mᵢ داده شود، ابتدا هر متغیر را به صورت yᵢ = xᵢ - mᵢ تعریف می‌کنیم که yᵢ ≥ ۰ است. سپس معادله به شکل y₁ + y₂ + ... + yₖ = n - Σmᵢ تبدیل می‌شود. تعداد جواب‌های صحیح و مثبت این معادله برابر است با ترکیب با تکرار:\n\nC(n - Σmᵢ + k - ۱, k - ۱)."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "انتخاب با تکرار و معادله", "ترتیب اعداد در جدول مربعی لاتین"], {"intro": "۱. تعیین تعداد اعداد و ابعاد جدول مربعی لاتین (n×n)؛ ۲. قرار دادن اعداد به گونه‌ای که در هر سطر و هر ستون هیچ عددی تکرار نشود؛ ۳. رعایت محدودیت‌های مسئله (مثلاً هر معلم در هر کلاس دقیقاً یک بار تدریس کند)؛ ۴. استفاده از روش‌های ترکیبیاتی برای شمارش یا یافتن آرایش‌های ممکن؛ ۵. بررسی شرایط اضافی مسئله و تطبیق جدول با آن‌ها."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "مربع‌های لاتین متعامد", "تشخیص متعامد بودن دو ماتریس لاتین"], {"intro": "برای بررسی متعامد بودن دو ماتریس لاتین A و B به این صورت عمل می‌کنیم: ۱. ماتریس‌های A و B را که هر کدام n×n هستند در نظر می‌گیریم. ۲. بررسی می‌کنیم که در هر جایگاه (درایه) از ماتریس A و ماتریس B، اعداد متناظر با هم متفاوت باشند. ۳. اگر در هر دو ماتریس، جایگاه‌های متناظر اعداد یکسانی نداشته باشند (یعنی هیچ عددی در جایگاه متناظر در هر دو ماتریس تکرار نشود)، ماتریس‌ها متعامد هستند. ۴. در غیر این صورت، ماتریس‌ها متعامد نیستند. این روش به ما کمک می‌کند تا با مقایسه جایگاه‌های اعداد در دو ماتریس لاتین، متعامد بودن آن‌ها را تشخیص دهیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "مربع‌های لاتین متعامد", "تشخیص عدم متعامد بودن دو ماتریس لاتین با جایگاه‌های متفاوت"], {"intro": "برای نشان دادن عدم متعامد بودن دو ماتریس لاتین A و B به این صورت عمل می‌کنیم: ۱. ماتریس‌های A و B را در نظر می‌گیریم که هر کدام n×n هستند. ۲. بررسی می‌کنیم که آیا در جایگاه‌های متناظر، اعداد یکسان وجود دارد یا خیر. ۳. اگر حداقل در یک جایگاه متناظر، اعداد یکسان وجود داشته باشند، ماتریس‌ها متعامد نیستند. ۴. در غیر این صورت، اگر هیچ جایگاه متناظری با عدد یکسان وجود نداشته باشد، ماتریس‌ها متعامد هستند.", "steps": ["ابتدا دانش‌آموزان پایه دوازدهم را ۵!", "و دانش‌آموزان پایه یازدهم را ۴!", "جایگشت می‌دهیم.", "سپس چون باید به‌صورت یک‌درمیان باشند، تعداد روش‌های قرار دادن آن‌ها برابر است با ۵!", "× ۴!", "= ۱۲۰ × ۲۴ = ۲۸۸۰."]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "مربع‌های لاتین متعامد", "بررسی متعامد بودن دو ماتریس لاتین داده شده"], {"intro": "برای بررسی متعامد بودن دو ماتریس لاتین A و B به صورت زیر عمل می‌کنیم: ۱. ماتریس‌های A و B را که هر کدام ۳×۳ هستند در نظر می‌گیریم. ۲. جایگاه‌های متناظر در دو ماتریس را با هم مقایسه می‌کنیم. ۳. اگر هیچ جایگاه متناظری در دو ماتریس عدد یکسان نداشته باشد، ماتریس‌ها متعامد هستند. ۴. در غیر این صورت، متعامد نیستند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "بررسی متعامد بودن", "ساخت و بررسی متعامد بودن ماتریس لاتین جدید با جایگشت اعضا"], {"steps": ["ابتدا دانش‌آموزان پایه دوازدهم را ۵!", "و دانش‌آموزان پایه یازدهم را ۴!", "جایگشت می‌دهیم.", "سپس چون باید به‌صورت یک‌درمیان باشند، تعداد روش‌های قرار دادن آن‌ها برابر است با ۵!", "× ۴!", "= ۱۲۰ × ۲۴ = ۲۸۸۰."]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "بررسی متعامد بودن", "بررسی تقارن ماتریس‌های لاتین و جایگشت اعضا"], {"intro": "۱. تعریف ماتریس لاتین و شرایط تقارن آن را بررسی کنید.\n۲. فرض کنید دو ماتریس لاتین A و B وجود دارند که متقارن نیستند.\n۳. جایگاه اعداد یکسان در ماتریس‌ها را مشخص کنید.\n۴. بررسی کنید که اعمال جایگشت روی اعضای ماتریس B باعث تبدیل آن به ماتریس A می‌شود یا خیر.\n۵. اگر تبدیل ممکن نباشد، نتیجه می‌گیریم که ماتریس‌ها متقارن نیستند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "بررسی متعامد بودن", "برنامه‌ریزی کار با ماشین‌ها و الیاف مختلف در روزهای هفته"], {"intro": "۱. تعداد کارگرها، ماشین‌ها و نوع الیاف را مشخص کنید.\n۲. ماتریسی با ابعاد مناسب (مثلاً ۵×۵) برای نمایش برنامه کاری بسازید.\n۳. هر ستون ماتریس را به یک کارگر و هر سطر را به یک روز هفته اختصاص دهید.\n۴. اعداد ماتریس نشان‌دهنده ماشین یا نوع الیاف مورد استفاده در آن روز توسط آن کارگر است.\n۵. بررسی کنید که هر کارگر در هر روز دقیقاً یک بار کار کرده و هر ماشین یا الیاف نیز دقیقاً یک بار استفاده شده باشد.\n۶. در صورت وجود چند نوع الیاف، ماتریس‌های جداگانه برای هر نوع الیاف طراحی کنید و شرایط مشابه را اعمال کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "بررسی متعامد بودن", "برنامه‌ریزی و شمارش ترکیبی با استفاده از ماتریس‌ها"], {"intro": "۱. مسئله را به صورت ماتریسی مدل کنید که سطرها و ستون‌ها نمایانگر شرایط مسئله باشند.\n۲. ویژگی‌های خاص ماتریس را بررسی کنید، مانند عدم تکرار اعداد در سطر یا ستون.\n۳. با استفاده از ماتریس، تعداد یا نحوه تخصیص‌ها را تعیین کنید.\n۴. اطمینان حاصل کنید که هر عنصر (مثلاً هر کارگر یا ماشین) دقیقاً یک بار استفاده شده باشد.\n۵. نتیجه را به صورت ترکیبی یا شمارشی استخراج کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "شمارش با شرط", "مسائل شمارش ترکیبی با شرط عدم تکرار و استفاده دقیق یک بار"], {"intro": "۱. شرایط مسئله را به دقت بررسی کنید، به ویژه شرط عدم تکرار و استفاده دقیق یک بار.\n۲. از ماتریس یا جدول برای نمایش داده‌ها استفاده کنید.\n۳. بررسی کنید که هر عنصر (کارگر، الیاف، ماشین) چند بار می‌تواند استفاده شود.\n۴. با توجه به شرط‌ها، تعداد حالت‌های ممکن را شمارش کنید.\n۵. از اصل ضرب و اصل جمع در ترکیبیات برای محاسبه تعداد حالت‌ها بهره ببرید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "شمارش با شرط", "ساختن دو مربع لاتین متعامد از مرتبه n"], {"intro": "برای ساختن دو مربع لاتین متعامد از مرتبه n، ابتدا دو مربع n×n را در نظر می‌گیریم که هر کدام شامل اعداد ۱ تا n هستند به گونه‌ای که در هر سطر و ستون هر عدد فقط یک بار ظاهر شود. سپس با استفاده از روش‌های انتقال اعداد از خارج به داخل مربع‌ها و جابجایی اعداد در جهت‌های مشخص (راست، چپ، بالا، پایین) به گونه‌ای که شرایط مربع لاتین و متعامد بودن حفظ شود، دو مربع لاتین متعامد ساخته می‌شود. این روش شامل بررسی موقعیت اعداد و انتقال آن‌ها به خانه‌های مجاز است تا هیچ عددی در سطر یا ستون تکرار نشود و هر جفت اعداد در دو مربع به صورت متعامد قرار گیرند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "اصل شمول و عدم شمول", "محاسبه تعداد اعداد چهاررقمی با شرایط خاص"], {"intro": "۱. تعریف مجموعه اعداد چهاررقمی شامل ارقام صفر تا ۹. ۲. تعیین شرط مسئله (مثلاً عدم وجود رقم خاص یا وجود حداقل یک رقم خاص). ۳. تعریف مجموعه‌های کمکی برای شمارش اعداد با یا بدون شرایط خاص. ۴. استفاده از اصل شمول و عدم شمول برای محاسبه تعداد اعداد با شرایط ترکیبی. ۵. محاسبه تعداد اعضای هر مجموعه با ضرب تعداد حالات هر رقم. ۶. جایگذاری مقادیر در فرمول‌ها و انجام محاسبات نهایی."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "توابع و شمول", "تعداد توابع با شرط عدم برابری مقادیر"], {"intro": "۱. تعداد کل توابع از مجموعه A به B را با توجه به تعداد اعضای هر مجموعه محاسبه می‌کنیم که برابر است با |B| به توان |A|. ۲. مجموعه‌هایی از توابع را تعریف می‌کنیم که در آن‌ها مقدار تابع در یک یا چند عضو از A برابر با یک عضو خاص از B نباشد. ۳. با استفاده از اصل شمول و عدم شمول، تعداد توابعی که حداقل یک شرط را نقض می‌کنند (یعنی مقدار تابع در آن عضو برابر مقدار خاصی نباشد) را محاسبه می‌کنیم. ۴. با استفاده از این اصل، تعداد توابعی که شرایط مسئله را برآورده می‌کنند به دست می‌آید.", "steps": ["ابتدا دانش‌آموزان پایه دوازدهم را ۵!", "و دانش‌آموزان پایه یازدهم را ۴!", "جایگشت می‌دهیم.", "سپس چون باید به‌صورت یک‌درمیان باشند، تعداد روش‌های قرار دادن آن‌ها برابر است با ۵!", "× ۴!", "= ۱۲۰ × ۲۴ = ۲۸۸۰."]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "توابع و شمول", "محاسبه تعداد توابع با استفاده از اصل شمول و عدم شمول"], {"intro": "۱. مجموعه‌های Ai را تعریف می‌کنیم که در آن‌ها تابع در عضو iام مقدار خاصی را نمی‌گیرد. ۲. اندازه هر مجموعه Ai را محاسبه می‌کنیم. ۳. اندازه اشتراک‌های دو به دو، سه به سه و ... این مجموعه‌ها را محاسبه می‌کنیم. ۴. با استفاده از فرمول اصل شمول و عدم شمول، تعداد اعضای اجتماع این مجموعه‌ها را به دست می‌آوریم. ۵. نتیجه نهایی تعداد توابعی است که شرایط مسئله را برآورده می‌کنند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "توابع و شمول", "تقسیم افراد به گروه‌ها با شرط حداقل اعضا"], {"intro": "۱. تعداد کل حالت‌های ممکن تقسیم افراد به گروه‌ها را محاسبه می‌کنیم. ۲. با استفاده از اصل شمول و عدم شمول، حالت‌هایی که شرط حداقل اعضا را نقض می‌کنند حذف می‌کنیم. ۳. تعداد حالت‌های باقی‌مانده تعداد راه‌های تقسیم افراد با شرط حداقل اعضا است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "توابع و شمول", "اصل لانه کبوتری"], {"intro": "۱. فرض کنید m کبوتری و n لانه داریم که m > n. ۲. همه کبوتری‌ها را درون لانه‌ها قرار می‌دهیم. ۳. طبق اصل لانه کبوتری، حداقل یک لانه وجود دارد که حداقل دو کبوتری در آن قرار گرفته است. ۴. این اصل برای اثبات وجود حداقل دو عضو با ویژگی مشترک در یک مجموعه به کار می‌رود و در مسائل شمارش و ترکیبیات کاربرد دارد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "اصل لانه‌ی کبوتری", "اثبات وجود نقاط با فاصله کمتر از واحد در مثلث تقسیم‌بندی شده"], {"intro": "۱. مثلث متساوی‌الاضلاع را به مثلث‌های کوچکتر تقسیم کنید (مثلاً به مثلث‌هایی با ضلع ۱ واحد). ۲. تعداد نقاط داده شده را در مثلث قرار دهید. ۳. طبق اصل لانه‌کبوتری، اگر تعداد نقاط بیشتر از تعداد مثلث‌های کوچک باشد، حداقل دو نقطه در یک مثلث کوچک قرار می‌گیرند. ۴. فاصله بین این دو نقطه کمتر از ۱ خواهد بود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "اصل لانه‌ی کبوتری", "استفاده از اصل لانه‌کبوتری برای اثبات وجود اعداد با باقی‌مانده برابر"], {"intro": "۱. مجموعه‌ای از اعداد طبیعی را در نظر بگیرید. ۲. آنها را بر عدد n تقسیم کنید و باقی‌مانده‌ها را بررسی کنید. ۳. طبق اصل لانه‌کبوتری، اگر تعداد اعداد بیشتر از n باشد، حداقل دو عدد باقی‌مانده یکسان دارند. ۴. این دو عدد را هم‌نهشتی تعریف می‌کنیم و نتیجه می‌گیریم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "اصل لانه‌ی کبوتری", "مسائل ترکیبیاتی با استفاده از اصل لانه‌کبوتری در مسائل واقعی"], {"intro": "۱. شرایط مسئله را به صورت تعداد افراد و ویژگی‌های مورد نظر مشخص کنید. ۲. با استفاده از اصل لانه‌کبوتری، نشان دهید که حداقل تعداد مشخصی از افراد ویژگی مشترک دارند. ۳. نتیجه‌گیری کنید که وجود حداقل تعداد افراد با ویژگی مورد نظر اجتناب‌ناپذیر است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "اصل لانه‌ی کبوتری", "تحلیل گراف ساده با رئوس و درجات و استفاده از اصل لانه‌کبوتری"], {"intro": "۱. تعداد رئوس و درجات آنها را مشخص کنید. ۲. بررسی کنید که آیا رئوس با درجات مختلف وجود دارند یا خیر. ۳. با استفاده از اصل لانه‌کبوتری، نشان دهید که حداقل دو رأس با درجه برابر وجود دارد یا خیر. ۴. تحلیل حالت‌های مختلف (مثلاً داشتن یا نداشتن رأس ایزوله) را انجام دهید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "اصل لانه‌ی کبوتری", "تعیین حداقل تعداد لانه‌ها برای قرار دادن کبوترها طبق اصل لانه کبوتری"], {"intro": "۱. تعداد کبوترها را به صورت (k+۱)n در نظر بگیرید که n تعداد لانه‌ها و k تعداد کبوترهای اضافی در هر لانه است.\n۲. اصل لانه کبوتری می‌گوید اگر (k+۱)n کبوتر در n لانه قرار گیرند، حداقل یک لانه وجود دارد که حداقل (k+۱) کبوتر دارد.\n۳. برای اثبات، فرض کنید هیچ لانه‌ای بیش از k کبوتر نداشته باشد، در این صورت حداکثر تعداد کبوترها k*n خواهد بود که کمتر از (k+۱)n است.\n۴. بنابراین، وجود حداقل یک لانه با (k+۱) کبوتر حتمی است.\n۵. این اصل را می‌توان برای هر مقدار k و n تعمیم داد و در مسائل مختلف شمارش و ترکیبیات استفاده کرد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "اصل لانه‌ی کبوتری", "حداقل تعداد دانش‌آموزان با ویژگی مشترک"], {"intro": "برای یافتن حداقل تعداد دانش‌آموزانی که ویژگی مشترکی دارند (مثلاً تولد در یک ماه یا روز مشخص)، از اصل لانه کبوتری استفاده می‌کنیم. تعداد کل حالت‌ها (مثلاً تعداد ماه‌ها یا روزها) را n فرض می‌کنیم و تعداد دانش‌آموزان را k. اگر بخواهیم حداقل m نفر با ویژگی مشترک داشته باشیم، باید k را طوری تعیین کنیم که k > (m-۱)*n باشد. سپس با حل نامساوی، حداقل تعداد دانش‌آموزان را به دست می‌آوریم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: ترکیبیات (شمارش)", "کاربرد لانه‌ی کبوتری", "تعیین حداقل تعداد لانه‌ها برای قرار دادن اشیاء با شرط حداقل تعداد در هر لانه"], {"intro": "برای تعیین حداقل تعداد لانه‌ها (یا دسته‌ها) که اشیاء (مثلاً شاخه گل) در آنها قرار می‌گیرند به طوری که حداقل تعداد مشخصی در هر لانه باشد، از رابطه k+۱ و n استفاده می‌کنیم. اگر k+۱ تعداد لانه‌ها و n تعداد اشیاء باشد، با حل نامساوی kn+۱ ≤ تعداد اشیاء، مقدار n یا k را به دست می‌آوریم.", "steps": ["ابتدا دانش‌آموزان پایه دوازدهم را ۵!", "و دانش‌آموزان پایه یازدهم را ۴!", "جایگشت می‌دهیم.", "سپس چون باید به‌صورت یک‌درمیان باشند، تعداد روش‌های قرار دادن آن‌ها برابر است با ۵!", "× ۴!", "= ۱۲۰ × ۲۴ = ۲۸۸۰."]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۱)", "محاسبه شیب خط"], {"intro": "۱. نقاط دو نقطه دلخواه روی خط را مشخص کنید.\n۲. مختصات این دو نقطه را به صورت (x1, y1) و (x2, y2) یادداشت کنید.\n۳. شیب خط را با فرمول (y2 - y1) / (x2 - x1) محاسبه کنید.\n۴. اگر شیب مثبت بود، خط صعودی است و اگر منفی بود، خط نزولی است.", "example": "شیب خطی که از نقطه (۲, ۳) تا نقطه (۶, ۷) عبور می‌کند را محاسبه کنید.", "steps": ["مختصات دو نقطه را مشخص می‌کنیم: (x1, y1) = (۲, ۳) و (x2, y2) = (۶, ۷).", "حالا فرمول شیب را به کار می‌بریم: (y2 - y1) / (x2 - x1) = (۷ - ۳) / (۶ - ۲).", "محاسبه می‌کنیم: (۷ - ۳) = ۴ و (۶ - ۲) = ۴.", "شیب خط برابر است با: ۴ / ۴ = ۱.", "✅ جواب: ۱"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۱)", "تعیین نمودار مربوط به شیب داده شده"], {"intro": "۱. شیب‌های داده شده در جدول را بررسی کنید.\n۲. برای هر شیب، نمودار خطی که شیب آن برابر با مقدار داده شده است را پیدا کنید.\n۳. شیب مثبت نشان‌دهنده خط صعودی و شیب منفی نشان‌دهنده خط نزولی است.\n۴. نمودارهای خطوط را با شیب‌های داده شده تطبیق دهید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۱)", "محاسبه شیب خط مماس و خط قاطع بر منحنی"], {"intro": "۱. یک نقطه ثابت A روی منحنی انتخاب کنید.\n۲. نقاط دیگری مانند B و C روی منحنی انتخاب کنید که به A نزدیک می‌شوند.\n۳. خط قاطعی که از دو نقطه A و B می‌گذرد رسم کنید و شیب آن را با فرمول m = (yB - yA) / (xB - xA) محاسبه کنید.\n۴. همین کار را برای نقاط دیگر مانند A و C انجام دهید.\n۵. با نزدیک‌تر کردن نقاط به A، شیب خطوط قاطع به شیب خط مماس در نقطه A نزدیک می‌شود.\n۶. شیب خط مماس در نقطه A برابر حد شیب خطوط قاطع گذرنده از A است وقتی نقاط به A نزدیک می‌شوند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۱)", "محاسبه شیب خط مماس و متوسط"], {"example": "با توجه به تابع f(x) = ۳x - ۵ و نقاط A و B با مختصات xA = ۱ و xB = ۴، شیب خط AB را محاسبه کنید.", "steps": ["ابتدا Δx را محاسبه می‌کنیم: Δx = ۴ - ۱ = ۳.", "سپس مقدار تابع را برای xA محاسبه می‌کنیم: f(۱) = ۳(۱) - ۵ = -۲.", "حالا مقدار تابع را برای xB محاسبه می‌کنیم: f(۴) = ۳(۴) - ۵ = ۷.", "حالا Δy را محاسبه می‌کنیم: Δy = ۷ - (-۲) = ۹.", "در نهایت، شیب خط AB را محاسبه می‌کنیم: mAB = Δy / Δx = ۹ / ۳ = ۳.", "✅ جواب: ۳"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۱)", "محاسبه شیب خط مماس بر منحنی در نقطه مشخص"], {"intro": "۱. ابتدا نقاط نزدیک به نقطه مورد نظر روی منحنی را انتخاب کنید.\n۲. شیب خطوط قاطع بین نقطه مورد نظر و نقاط نزدیک را با فرمول (f(b)-f(a))/(b-a) محاسبه کنید.\n۳. با کاهش فاصله بین نقاط (کوچک کردن بازه)، شیب خطوط قاطع را محاسبه و مقایسه کنید.\n۴. حد این شیب‌ها وقتی فاصله به صفر میل می‌کند، شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۲)", "محاسبه حد عبارت مشتق‌نما"], {"intro": "برای محاسبه حد عبارت (f(x+h)-f(x))/h وقتی h به صفر نزدیک می‌شود، ابتدا عبارت داخل حد را ساده می‌کنیم. سپس صورت کسر را بازنویسی یا تجزیه می‌کنیم تا بتوانیم h را حذف کنیم یا به صورت قابل محاسبه درآوریم. در نهایت مقدار حد را با جایگذاری h=۰ یا با استفاده از قواعد حد محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۲)", "محاسبه شیب خط مماس بر منحنی در نقطه"], {"example": "تابع f(x) = ۳x² + ۲x را در نقطه A(۱, f(۱)) بررسی کنید و شیب خط مماس بر منحنی را محاسبه کنید.", "steps": ["ابتدا مقدار f(۱) را محاسبه می‌کنیم: f(۱) = ۳(۱)² + ۲(۱) = ۳ + ۲ = ۵.", "سپس مقدار f(۱+h) را محاسبه می‌کنیم: f(۱+h) = ۳(۱+h)² + ۲(۱+h) = ۳(۱ + ۲h + h²) + ۲ + ۲h = ۳ + ۶h + ۳h² + ۲ + ۲h = ۵ + ۸h + ۳h².", "حالا عبارت (f(۱+h) - f(۱)) / h را محاسبه می‌کنیم: (f(۱+h) - f(۱)) / h = (۵ + ۸h + ۳h² - ۵) / h = (۸h + ۳h²) / h = ۸ + ۳h.", "حالا حد را محاسبه می‌کنیم: lim(h→۰) (۸ + ۳h) = ۸.", "بنابراین شیب خط مماس بر منحنی در نقطه A(۱, ۵) برابر با ۸ است.", "✅ جواب: ۸"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۲)", "محاسبه مشتق تابع در نقطه با استفاده از حد تعریف مشتق"], {"intro": "۱. تابع f(x) را در نقطه مورد نظر a قرار دهید.\n۲. حد تعریف مشتق را به صورت lim (h→۰) [f(a+h) - f(a)] / h بنویسید.\n۳. عبارت داخل حد را ساده کنید و صورت کسر را باز کنید.\n۴. حد را با حذف h در صورت و مخرج محاسبه کنید.\n۵. مقدار عددی مشتق در نقطه a به دست می‌آید.", "example": "محاسبه حد عبارت lim(h→۰⁺) (f(۲+h)-f(۲))/h که در آن f(x) = -x² + ۱۰x - ۱۶ است.", "steps": ["جایگذاری عبارت f در حد: lim(h→۰⁺) [(- (۲+h)² + ۱۰(۲+h) - ۱۶) - (- ۲² + ۱۰*۲ - ۱۶)] / h", "= lim(h→۰⁺) [(- (۴ + ۴h + h²) + ۲۰ + ۱۰h - ۱۶) - (-۴ + ۲۰ - ۱۶)] / h", "= lim(h→۰⁺) [(-۴ - ۴h - h² + ۲۰ + ۱۰h - ۱۶) - ۰] / h", "= lim(h→۰⁺) (-h² + ۶h) / h", "ساده‌سازی کسر: lim(h→۰⁺) (-h²/h + ۶h/h) = lim(h→۰⁺) (-h + ۶)", "جایگذاری h=۰: -۰ + ۶ = ۶ بنابراین مقدار حد برابر ۶ است.", "✅ جواب: ۶"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۲)", "نوشتن معادله خط مماس بر منحنی در نقطه مشخص"], {"intro": "۱. مشتق تابع f(x) را محاسبه کنید تا شیب خط مماس در هر نقطه به دست آید.\n۲. شیب خط مماس در نقطه مورد نظر a را با جایگذاری a در مشتق محاسبه کنید.\n۳. مقدار تابع در نقطه a را محاسبه کنید تا مختصات نقطه مماس (a, f(a)) به دست آید.\n۴. معادله خط مماس را با استفاده از فرمول y - f(a) = f'(a)(x - a) بنویسید.\n۵. معادله را به شکل دلخواه ساده کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۲)", "محاسبه شیب خط قطعی بین دو نقطه روی منحنی"], {"intro": "۱. دو نقطه A و B روی منحنی با مختصات (a, f(a)) و (a+Δx, f(a+Δx)) را مشخص کنید.\n۲. شیب خط قطعی بین این دو نقطه را با فرمول mAB = [f(a+Δx) - f(a)] / Δx محاسبه کنید.\n۳. اگر Δx به سمت صفر میل کند، شیب خط مماس به دست می‌آید که همان مشتق در نقطه a است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۲)", "محاسبه مشتق تابع در نقطه با استفاده از تعریف حدی مشتق"], {"example": "اگر f(x) = ۲x + ۳ باشد، مشتق تابع را در نقطه x=۴ با استفاده از تعریف حدی مشتق محاسبه کنید.", "steps": ["ابتدا مقدار f(۴) را محاسبه می‌کنیم: f(۴) = ۲×۴ + ۳ = ۸ + ۳ = ۱۱.", "سپس عبارت (f(۴+h) - f(۴)) را محاسبه می‌کنیم: f(۴+h) = ۲(۴+h) + ۳ = ۸ + ۲h + ۳ = ۱۱ + ۲h.", "حالا عبارت (f(۴+h) - f(۴))/h را به دست می‌آوریم: (۱۱ + ۲h - ۱۱)/h = ۲h/h = ۲.", "حال حد را محاسبه می‌کنیم: lim (h→۰) ۲ = ۲.", "بنابراین مشتق تابع f در نقطه x=۴ برابر است با ۲.", "✅ جواب: ۲"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۳)", "تعریف مشتق و حدهای معادل"], {"intro": "برای اثبات وجود مشتق در نقطه a و ثابت بودن آن، از تعریف حد مشتق استفاده می‌کنیم. ابتدا حد lim(h → ۰) (f(a+h)-f(a))/h را محاسبه می‌کنیم. سپس با تغییر متغیر x = a + h این حد را به صورت lim(x → a) (f(x)-f(a))/(x-a) بازنویسی می‌کنیم. اگر این حد وجود داشته باشد و برابر مقدار مشتق در نقطه a باشد، مشتق در آن نقطه ثابت است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۳)", "محاسبه مشتق تابع و بررسی نقاط مشتق‌پذیری با نمودار"], {"intro": "برای محاسبه مشتق تابع f(x) = -x² + ۱ ابتدا مشتق تابع را به صورت f'(x) = -۲x محاسبه می‌کنیم. سپس مقادیر مشتق را در نقاط داده شده مانند x=۵ و x=۸ جایگذاری می‌کنیم. برای تعیین نقاطی که مشتق در آنها قرینه است، مقادیر مشتق را در نقاط مختلف بررسی می‌کنیم. با استفاده از نمودار تابع، نقاطی که مشتق مثبت یا منفی است را مشخص می‌کنیم. همچنین شیب خطوط مماس بر منحنی در نقاط مختلف را با هم مقایسه می‌کنیم. در نهایت با محاسبه مشتق در نقاط مشخص شده، صحت حدس‌های مربوط به مشتق را بررسی می‌کنیم.", "example": "تابع f(x) = -x² + ۱۰ داده شده است. نقاط A(۲, f(۲)) و B(۶, f(۶)) روی منحنی در بازه ۰ ≤ x ≤ ۱۰ در نظر گرفته شده‌اند. شیب خطی که از نقاط A و B می‌گذرد یعنی mAB را به دست آورید.", "steps": ["مقادیر تابع را در نقاط A و B محاسبه می‌کنیم:", "f(۲) = -(۲)² + ۱۰ = -۴ + ۱۰ = ۶", "f(۶) = -(۶)² + ۱۰ = -۳۶ + ۱۰ = -۲۶", "شیب خط قاطع mAB را با فرمول شیب محاسبه می‌کنیم:", "mAB = (yB - yA) / (xB - xA) = (f(۶) - f(۲)) / (۶ - ۲) = (-۲۶ - ۶) / (۴) = (-۳۲) / ۴ = -۸", "بنابراین شیب خط قاطع بین نقاط A و B برابر -۸ است.", "✅ جواب: −۸"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۳)", "یافتن معادله خط مماس بر منحنی در نقطه مشخص"], {"intro": "۱. مشتق تابع f(x) را پیدا کنید تا شیب خط مماس در هر نقطه به دست آید.\n۲. مقدار مشتق را در نقطه داده شده (مثلاً x=۲) محاسبه کنید تا شیب خط مماس در آن نقطه مشخص شود.\n۳. مقدار تابع را در همان نقطه محاسبه کنید تا مختصات نقطه مماس (x0, y0) به دست آید.\n۴. با استفاده از فرمول معادله خط با شیب m و نقطه (x0, y0): y - y0 = m(x - x0)، معادله خط مماس را بنویسید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۴)", "تشخیص ویژگی‌های نقاط روی نمودار تابع"], {"intro": "۱. نقاط روی نمودار تابع را بررسی کنید.\n۲. مقدار تابع و مقدار مشتق (شیب خط مماس) را در هر نقطه مشخص کنید.\n۳. برای هر نقطه:\n - اگر شیب خط مماس منفی است، شیب را منفی در نظر بگیرید.\n - اگر مقدار تابع صفر و مقدار مشتق مثبت است، آن را مشخص کنید.\n - اگر مقدار مشتق صفر است، نقطه بحرانی است.\n - نقاطی که مشتق یکسان دارند ولی مقدار تابع متفاوت است، بررسی کنید.\n۴. ویژگی‌های نقاط مانند مثبت یا منفی بودن شیب، صفر بودن مشتق و مقدار تابع را تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۴)", "محاسبه مشتق تابع در نقطه مشخص"], {"intro": "۱. تابع داده شده را بنویسید.\n۲. مشتق تابع را با استفاده از قواعد مشتق‌گیری (مانند مشتق توان‌ها) محاسبه کنید.\n۳. مقدار مشتق را در نقطه مشخص (مثلاً x=-۱) جایگذاری کنید.\n۴. مقدار عددی مشتق در آن نقطه را به دست آورید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۴)", "تحلیل شیب منحنی در نقاط مختلف"], {"intro": "۱. نقاط داده شده روی منحنی را مشخص کنید.\n۲. شیب منحنی (مشتق) را در هر نقطه بررسی کنید: مثبت، منفی یا صفر.\n۳. شیب‌ها را با هم مقایسه کنید و ترتیب آن‌ها را مشخص کنید.\n۴. نقاطی که شیب مثبت، منفی یا صفر دارند را تعیین کنید.\n۵. پاسخ صحیح را با توجه به مقایسه شیب‌ها انتخاب کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۴)", "یافتن مختصات نقاط روی نمودار با استفاده از مشتق و مقدار تابع"], {"intro": "۱. ابتدا مقدار تابع f(x) را در نقاط داده شده محاسبه می‌کنیم.\n۲. مقدار مشتق f'(x) را در نقاط داده شده بررسی می‌کنیم که شیب خط مماس را نشان می‌دهد.\n۳. با استفاده از مقدار تابع و مشتق در هر نقطه، مختصات نقاط A، B و C را تعیین می‌کنیم.\n۴. نقطه A مختصاتی دارد که x=۴ و y=f(۴)=۴ است.\n۵. نقطه B مختصاتی دارد که x=۵ و y=f(۵)=۵ است.\n۶. نقطه C مختصاتی دارد که x=۳ و y=f(۳) را با توجه به نمودار و مشتق تعیین می‌کنیم.\n۷. خط مماس در نقطه C با شیب f'(۳)=۱٫۵ رسم می‌شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۱)", "بررسی وجود مشتق در نقاطی که حد مشتق وجود ندارد"], {"intro": "۱. ابتدا حدهای چپ و راست مشتق تابع را در نقطه مورد نظر محاسبه کنید.\n۲. اگر حدهای چپ و راست مشتق برابر نباشند، مشتق در آن نقطه وجود ندارد.\n۳. بررسی کنید که آیا تابع در آن نقطه پیوسته است یا خیر.\n۴. نتیجه‌گیری کنید که تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر نیست زیرا حد مشتق وجود ندارد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۱)", "بررسی حد تابع کسری در نقاطی که مخرج صفر می‌شود"], {"intro": "۱. حد تابع را از سمت راست و چپ در نقطه‌ای که مخرج صفر می‌شود، محاسبه کنید.\n۲. اگر حدهای راست و چپ بی‌نهایت مثبت و منفی باشند، نشان می‌دهد که مشتق در آن نقطه وجود ندارد.\n۳. نتیجه‌گیری کنید که تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر نیست."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۱)", "تعریف و محاسبه مشتق چپ و راست با استفاده از حد"], {"intro": "مشتق راست تابع f در نقطه a به صورت حد زیر تعریف می‌شود: f'₊(a) = lim (x→a⁺) (f(x) - f(a)) / (x - a) یا به صورت معادل: f'₊(a) = lim (h→۰⁺) (f(a + h) - f(a)) / h. مشتق چپ نیز به صورت f'₋(a) = lim (x→a⁻) (f(x) - f(a)) / (x - a) یا f'₋(a) = lim (h→۰⁻) (f(a + h) - f(a)) / h تعریف می‌شود. اگر این دو حد برابر باشند، مشتق تابع در نقطه a وجود دارد و برابر با این مقدار است. در غیر این صورت، مشتق وجود ندارد ولی مشتق چپ و راست تعریف شده‌اند.", "example": "تابع f(x) = x² در نقطه a = ۳ را در نظر بگیرید. مشتق راست و چپ این تابع را محاسبه کنید.", "steps": ["برای محاسبه مشتق راست، ابتدا f(۳) را محاسبه می‌کنیم: f(۳) = ۳² = ۹.", "سپس مشتق راست را با استفاده از حد محاسبه می‌کنیم: f'₊(۳) = lim (h→۰⁺) ((f(۳ + h) - f(۳)) / h) = lim (h→۰⁺) (((۳ + h)² - ۹) / h).", "عبارت را ساده می‌کنیم: (۳ + h)² - ۹ = ۹ + ۶h + h² - ۹ = ۶h + h².", "بنابراین داریم: f'₊(۳) = lim (h→۰⁺) ((۶h + h²) / h) = lim (h→۰⁺) (۶ + h) = ۶.", "حالا مشتق چپ را محاسبه می‌کنیم: f'₋(۳) = lim (h→۰⁻) ((f(۳ + h) - f(۳)) / h) = lim (h→۰⁻) ((۶h + h²) / h) = lim (h→۰⁻) (۶ + h) = ۶.", "✅ جواب: ۶"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۲)", "بررسی پیوستگی و مشتق‌پذیری توابع در نقاط خاص"], {"intro": "۱. ابتدا پیوستگی تابع را در نقطه مورد نظر بررسی می‌کنیم. ۲. مشتق چپ و مشتق راست تابع را در آن نقطه محاسبه می‌کنیم. ۳. اگر مشتق چپ و مشتق راست برابر باشند، مشتق در آن نقطه وجود دارد و برابر با آن مقدار است. ۴. اگر مشتق چپ و راست برابر نباشند یا حد مشتق وجود نداشته باشد، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر نیست.", "example": "دو تابع مختلف f و g مثال بزنید که هر دو در x=۲ پیوسته باشند ولی در این نقطه مشتق‌پذیر نباشند.", "steps": ["برای مثال تابع f(x) = |x-۲| و تابع g(x) = (x-۲) به توانِ (۲/۳) را در نظر بگیرید.", "هر دو در x=۲ پیوسته هستند زیرا مقدار تابع و حد چپ و راست برابر است.", "اما مشتق چپ و راست در x=۲ برابر نیستند، پس مشتق‌پذیر نیستند.", "✅ جواب: f(x)=|x-۲|, g(x)=(x-۲) به توانِ (۲/۳) "]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۲)", "بررسی حالت‌های خاص مشتق‌پذیری با مشتق نامتناهی و مماس قائم"], {"intro": "۱. مشتق تابع را به صورت حد تعریف مشتق در نقطه مورد نظر محاسبه می‌کنیم. ۲. اگر حد مشتق به بی‌نهایت میل کند، مشتق در آن نقطه وجود ندارد اما تابع ممکن است مشتق‌پذیر نباشد و دارای مماس قائم باشد. ۳. شکل نمودار و خطوط مماس قائم را بررسی می‌کنیم تا رفتار تابع در آن نقطه را توصیف کنیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۲)", "محاسبه مشتق تابع در نقاط مشخص با استفاده از حد"], {"intro": "۱. تابع داده شده را بررسی کنید.\n۲. برای محاسبه مشتق در نقطه x=a، از تعریف مشتق به صورت حد استفاده کنید: f'(a) = lim (x→a) (f(x)-f(a))/(x-a).\n۳. عبارت حد را ساده کنید تا بتوانید مقدار حد را به دست آورید.\n۴. مقدار مشتق در نقطه مورد نظر را به دست آورید که برابر شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۲)", "محاسبه مشتق تابع با استفاده از تعریف حدی مشتق"], {"intro": "۱. تعریف مشتق تابع f در نقطه x به صورت حد نسبت تغییرات تابع به تغییرات متغیر مستقل تعریف می‌شود: f'(x) = lim(h→۰) [f(x+h) - f(x)] / h. ۲. عبارت داخل حد را ساده کنید تا بتوانید حد را به صورت مستقیم یا با استفاده از قواعد حد محاسبه کنید. ۳. اگر حد وجود داشته باشد، مقدار آن مشتق تابع در نقطه x است. ۴. دامنه مشتق تابع معمولاً مجموعه‌ای از نقاطی است که در آن‌ها مشتق وجود دارد و ممکن است با دامنه تابع اصلی متفاوت باشد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۳)", "محاسبه مشتق تابع ثابت"], {"intro": "اگر تابع f(x) برابر با یک عدد ثابت c باشد، مشتق آن در هر نقطه برابر صفر است. زیرا تغییرات تابع صفر است و بنابراین حد تعریف مشتق برابر صفر می‌شود. به طور ریاضی: f'(x) = lim (h→۰) (f(x+h) - f(x)) / h = lim (h→۰) (c - c) / h = ۰."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۳)", "اثبات قاعده مشتق توانی"], {"intro": "برای اثبات مشتق تابع به صورت f(x) = xⁿ ابتدا تعریف مشتق به صورت حد تفاضل تقسیم شده را می‌نویسیم: f'(x) = lim(h→۰) [f(x+h) - f(x)] / h. سپس با استفاده از خاصیت‌های جبری و بسط چندجمله‌ای (فرمول دوجمله‌ای) عبارت داخل حد را ساده می‌کنیم تا به صورت جمعی از جملات برسیم که در نهایت با حذف h در صورت و مخرج، حد را محاسبه می‌کنیم و به نتیجه f'(x) = n*xⁿ⁻¹ می‌رسیم.", "example": "اثبات مشتق تابع f(x) = ۲x⁵ با استفاده از تعریف مشتق به صورت حد تفاضل تقسیم شده.", "steps": ["ابتدا تعریف مشتق را به کار می‌بریم: f'(x) = lim(h→۰) [(۲(x+h)⁵ - ۲x⁵) / h].", "عبارت داخل حد را با استفاده از بسط دوجمله‌ای ساده می‌کنیم: (x+h)⁵ = x⁵ + ۵x⁴h + ۱۰x³h² + ۱۰x²h³ + ۵xh⁴ + h⁵.", "بنابراین داریم: ۲(x+h)⁵ - ۲x⁵ = ۲(۵x⁴h + ۱۰x³h² + ۱۰x²h³ + ۵xh⁴ + h⁵).", "حالا عبارت را به صورت زیر می‌نویسیم: f'(x) = lim(h→۰) [۲(۵x⁴h + ۱۰x³h² + ۱۰x²h³ + ۵xh⁴ + h⁵) / h].", "با تقسیم بر h، عبارت به صورت ۲(۵x⁴ + ۱۰x³h + ۱۰x²h² + ۵xh³ + h⁴) می‌شود و حالا حد را محاسبه می‌کنیم.", "✅ جواب: ۱۰x⁴"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۳)", "مشتق توابع رادیکالی"], {"intro": "برای مشتق توابعی که به صورت ریشه دوم هستند، ابتدا تعریف مشتق به صورت حد تفاضل تقسیم شده را به کار می‌بریم. سپس صورت کسر را با عبارت مزدوج ضرب می‌کنیم تا رادیکال‌ها حذف شوند. پس از ساده‌سازی، حد را محاسبه می‌کنیم و به فرمول مشتق تابع رادیکالی می‌رسیم: f'(x) = ۱ / (۲√x).", "example": "اگر f(x) = √(۳x + ۲) باشد، مشتق f'(x) را با استفاده از تعریف مشتق بیابید.", "steps": ["مشتق را با استفاده از تعریف حد تفاضل محاسبه می‌کنیم: f'(x) = lim(h→۰) [(√(۳(x+h) + ۲) - √(۳x + ۲)) / h].", "عبارت داخل حد را ساده می‌کنیم: = lim(h→۰) [((۳(x+h) + ۲) - (۳x + ۲)) / (h(√(۳(x+h) + ۲) + √(۳x + ۲)))].", "این عبارت را به صورت زیر می‌نویسیم: = lim(h→۰) [(۳h) / (h(√(۳(x+h) + ۲) + √(۳x + ۲)))].", "حالا h را از صورت و مخرج حذف می‌کنیم: = lim(h→۰) [۳ / (√(۳(x+h) + ۲) + √(۳x + ۲))].", "با قرار دادن h = ۰ در حد، نتیجه می‌گیریم: = ۳ / (√(۳x + ۲) + √(۳x + ۲)) = ۳ / (۲√(۳x + ۲)).", "✅ جواب: ۳ / (۲√(۳x + ۲))"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۳)", "مشتق تابع رادیکالی"], {"intro": "برای یافتن مشتق تابعی به شکل f(x) = √(ax + b)، ابتدا تعریف مشتق به صورت حد تفاضل را به کار می‌بریم. سپس صورت کسر را با عبارت مزدوج ضرب می‌کنیم تا رادیکال‌ها حذف شوند. پس از ساده‌سازی، حد را محاسبه می‌کنیم و در نهایت مشتق را به صورت f'(x) = a / (۲√(ax + b)) به دست می‌آوریم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۴)", "مشتق تابع رادیکال nام"], {"intro": "برای مشتق تابعی به شکل f(x) = ⁿ√x، از تعریف حد مشتق استفاده می‌کنیم. سپس صورت کسر را در عبارت مزدوج ضرب می‌کنیم که شامل مجموع رادیکال‌های nام است. پس از ساده‌سازی و محاسبه حد، مشتق به صورت f'(x) = ۱ / (n ⁿ√(xⁿ⁻¹)) به دست می‌آید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۴)", "مشتق توابع مثلثاتی با استفاده از تعریف حدی مشتق"], {"intro": "برای اثبات مشتق توابع مثلثاتی از تعریف حدی مشتق استفاده می‌کنیم. ابتدا مشتق تابع را به صورت حد (f(x+h)-f(x))/h تعریف می‌کنیم. سپس با استفاده از روابط مثلثاتی و حدهای معروف مثل lim(h→۰) (sin h)/h = ۱ و lim(h→۰) (cos h - ۱)/h = ۰، مشتق توابع سینوس و کسینوس را به دست می‌آوریم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۶)", "رسم نمودار و بررسی مشتق‌پذیری تابع چندجمله‌ای تکه‌ای"], {"example": "مشتق‌پذیری تابع f(x) = |x² - ۱| را در x = ۱ بررسی کنید.", "steps": ["برای بررسی مشتق‌پذیری در x=۱، حدهای چپ و راست مشتق را محاسبه می‌کنیم:", "حد سمت راست:", "lim(x → ۱⁺) (f(x) - f(۱))/(x - ۱) = lim(x → ۱⁺) (|x² - ۱| - ۰)/(x - ۱) = lim(x → ۱⁺) (x² - ۱)/(x - ۱) = lim(x → ۱⁺) (x + ۱) = ۲", "حد سمت چپ:", "lim(x → ۱⁻) (f(x) - f(۱))/(x - ۱) = lim(x → ۱⁻) (|x² - ۱| - ۰)/(x - ۱) = lim(x → ۱⁻) (-(x² - ۱))/(x - ۱) = lim(x → ۱⁻) -(x + ۱) = -۲", "از آنجا که حدهای چپ و راست برابر نیستند (۲ و -۲)، مشتق f'(۱) وجود ندارد. بنابراین تابع در x=۱ مشتق‌پذیر نیست.", "✅ جواب: مشتق‌پذیر نیست (مشتق چپ −۲ و راست ۲)"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۶)", "محاسبه مشتق چپ و راست و بررسی مشتق‌پذیری در نقطه خاص"], {"intro": "۱. مشتق چپ تابع را با استفاده از حد سمت چپ در نقطه A محاسبه کنید. ۲. مشتق راست تابع را با استفاده از حد سمت راست در نقطه A محاسبه کنید. ۳. اگر مشتق چپ و راست برابر باشند، تابع در نقطه A مشتق‌پذیر است، در غیر این صورت نیست."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۶)", "رسم نمودار تابع و مشتق آن برای تابع چندتکه"], {"intro": "۱. نمودار تابع چندتکه را با توجه به تعاریف هر بازه رسم کنید. ۲. مشتق هر بخش را جداگانه محاسبه کنید. ۳. نمودار مشتق را با توجه به مشتق‌های بخش‌های مختلف رسم کنید. ۴. نقاطی که مشتق وجود ندارد یا تغییر می‌کند را مشخص کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۶)", "رسم نمودار تابع مشتق با شرایط خاص"], {"intro": "۱. نمودار تابع اصلی را بررسی کنید. ۲. نقاطی که مشتق صفر می‌شود را مشخص کنید. ۳. بازه‌هایی که مشتق مثبت یا منفی است را تعیین کنید. ۴. نمودار تابع مشتق را با توجه به این اطلاعات رسم کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۷)", "محاسبه و بررسی صحت ادعا با استفاده از مشتق"], {"intro": "۱. تابع داده شده را بنویسید. ۲. مشتق تابع را محاسبه کنید. ۳. مقادیر مشتق را در نقاط داده شده محاسبه کنید. ۴. مقادیر مشتق را به ترتیب صعودی مرتب کنید. ۵. صحت ادعا را با مقایسه مقادیر بررسی کنید. ۶. نمودار مشتق را رسم کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۷)", "بررسی مشتق‌پذیری تابع در نقطه خاص"], {"intro": "۱. تابع را در دو طرف نقطه مورد نظر تعریف کنید.\n۲. مقدار تابع را در نقطه بررسی کنید.\n۳. مشتق تابع را در هر دو طرف نقطه محاسبه کنید.\n۴. بررسی کنید که مشتق چپ و راست در نقطه برابر باشند.\n۵. اگر مشتق چپ و راست برابر و تابع پیوسته باشد، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۷)", "یافتن توابع با مشتق برابر"], {"intro": "۱. مشتق هر تابع را به صورت جداگانه محاسبه کنید.\n۲. مشتق‌ها را با هم مقایسه کنید.\n۳. توابعی که مشتق‌هایشان برابر است را مشخص کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۷)", "بررسی مشتق‌پذیری تابع قدر مطلق در نقاط خاص"], {"intro": "۱. تابع را به صورت تکه‌ای بر اساس تعریف قدر مطلق بنویسید.\n۲. مشتق هر بخش را جداگانه محاسبه کنید.\n۳. مشتق چپ و راست در نقاط مورد نظر را محاسبه و مقایسه کنید.\n۴. اگر مشتق چپ و راست برابر باشند، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۷)", "محاسبه مشتق توابع رادیکالی و تعیین نقاط مماس قائم"], {"intro": "۱. تابع داده شده را به صورت صریح بنویسید.\n۲. مشتق تابع را با استفاده از قواعد مشتق‌گیری محاسبه کنید.\n۳. نقاطی که مشتق در آنها صفر یا نامعین است را بررسی کنید.\n۴. نقاطی که مشتق نامعین است یا شیب قائم دارد را به عنوان نقاط مماس قائم تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۸)", "تحلیل و بررسی نمودار توابع و مشتق آنها"], {"intro": "۱. نمودار تابع را رسم یا بررسی کنید.\n۲. شیب نمودار تابع را در نقاط مختلف بررسی کنید.\n۳. نمودار مشتق تابع را رسم کنید یا از نمودارهای داده شده استفاده کنید.\n۴. نقاطی که مشتق صفر یا تغییر علامت دارد را مشخص کنید.\n۵. تحلیل کنید که نمودار مشتق چگونه رفتار تابع را نشان می‌دهد.", "example": "تابع f(x) = [x] (قسمت صحیح x) و تابع g(x) = √x در نقطه x=۰ بررسی کنید که آیا مشتق‌پذیر هستند یا خیر.", "steps": ["برای تابع f(x) = [x]: تابع پله‌ای است و در x=۰ پیوسته نیست، بنابراین مشتق‌پذیر نیست.", "برای تابع g(x) = √x: مشتق چپ در x=۰ وجود ندارد چون تابع برای x<۰ تعریف نشده است.", "مشتق راست در x=۰ به صورت حد (√x - ۰)/x وقتی x به ۰ از سمت راست می‌رود برابر است با حد ۱/√x که به +∞ میل می‌کند.", "بنابراین مشتق در x=۰ وجود ندارد و تابع مشتق‌پذیر نیست.", "✅ جواب: f در ۰ پیوسته نیست؛ g مشتق چپ ندارد و مشتق راست بینهایت است."]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۸)", "محاسبه مشتق تابع حاصل تقسیم دو تابع و تحلیل نمودار"], {"intro": "۱. تابع k(x) = f(x) / g(x) را در نظر بگیرید.\n۲. مشتق تابع را با استفاده از قاعده مشتق تقسیم محاسبه کنید:\n k'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / (g(x))²\n۳. مقادیر f، g، f' و g' را در نقاط داده شده جایگذاری کنید.\n۴. مقدار مشتق k'(x) را در نقاط خواسته شده محاسبه کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر (۱)", "محاسبه سرعت لحظه‌ای با استفاده از مشتق"], {"example": "تابع مکان یک اتومبیل در زمان t به صورت s(t) = ۳t² + ۲t تعریف شده است. سرعت لحظه‌ای اتومبیل را در زمان t = ۴ محاسبه کنید.", "steps": ["مشتق تابع مکان را محاسبه می‌کنیم: s'(t) = ۶t + ۲.", "حالا مقدار مشتق را در t = ۴ جایگذاری می‌کنیم: s'(۴) = ۶×۴ + ۲.", "محاسبه می‌کنیم: s'(۴) = ۲۴ + ۲ = ۲۶.", "✅ جواب: ۲۶"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر (۱)", "محاسبه سرعت لحظه‌ای با استفاده از مشتق تابع مکان"], {"example": "با توجه به تابع مکان d(t) = ۳t³ - ۱۲t² + ۹t، سرعت لحظه‌ای جسم را در زمان t = ۲ به دست آورید.", "steps": ["ابتدا مشتق تابع مکان را محاسبه می‌کنیم: d'(t) = ۹t² - ۲۴t + ۹.", "سپس مقدار مشتق را در t = ۲ جایگذاری می‌کنیم: d'(۲) = ۹(۲)² - ۲۴(۲) + ۹.", "محاسبه می‌کنیم: d'(۲) = ۹(۴) - ۴۸ + ۹ = ۳۶ - ۴۸ + ۹.", "نتیجه می‌شود: d'(۲) = -۳.", "✅ جواب: -۳"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر (۲)", "محاسبه سرعت متوسط و سرعت لحظه‌ای از نمودار موقعیت بر حسب زمان"], {"intro": "۱. برای محاسبه سرعت متوسط در بازه [a, a+h] از فرمول (f(a+h) - f(a)) / h استفاده می‌کنیم که برابر است با میانگین تغییرات تابع در آن بازه.\n۲. برای محاسبه سرعت لحظه‌ای در نقطه a، حد سرعت متوسط را وقتی h به صفر میل می‌کند، محاسبه می‌کنیم که برابر است با مشتق تابع در نقطه a یعنی f'(a).\n۳. در نمودار موقعیت بر حسب زمان، سرعت متوسط برابر شیب خط وصل‌کننده دو نقطه روی نمودار است.\n۴. سرعت لحظه‌ای برابر شیب خط مماس بر نمودار در نقطه مورد نظر است.\n۵. با توجه به نمودار، مقادیر موقعیت در زمان‌های مختلف را استخراج کرده و سرعت متوسط یا لحظه‌ای را با استفاده از فرمول‌ها محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر (۲)", "محاسبه آهنگ متوسط تغییر"], {"intro": "۱. مقدار تابع را در دو نقطه زمانی مشخص محاسبه کنید.\n۲. اختلاف مقادیر تابع را به دست آورید.\n۳. اختلاف زمان‌ها را محاسبه کنید.\n۴. آهنگ متوسط تغییر را با تقسیم اختلاف مقدار تابع بر اختلاف زمان به دست آورید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر (۲)", "مقایسه آهنگ لحظه‌ای تغییر در دو زمان مختلف"], {"intro": "۱. مشتق تابع را به دست آورید.\n۲. مقدار مشتق را در دو زمان مورد نظر محاسبه کنید.\n۳. مقادیر مشتق را با هم مقایسه کنید تا زمان با آهنگ تغییر بیشتر مشخص شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر (۲)", "محاسبه و مقایسه آهنگ متوسط تغییر در بازه‌های زمانی مختلف"], {"intro": "۱. مقدار تابع را در ابتدا و انتهای هر بازه زمانی محاسبه کنید.\n۲. اختلاف مقادیر تابع را برای هر بازه به دست آورید.\n۳. اختلاف زمان هر بازه را محاسبه کنید.\n۴. آهنگ متوسط تغییر هر بازه را با تقسیم اختلاف مقدار تابع بر اختلاف زمان محاسبه کنید.\n۵. مقادیر به دست آمده را با هم مقایسه کنید.", "example": "قد یک درخت در سال اول ۱٫۵ متر و در سال سوم ۲٫۵ متر است. آهنگ متوسط تغییر قد در این دو سال را محاسبه کنید.", "steps": ["مقدار تابع در سال اول ۱٫۵ متر و در سال سوم ۲٫۵ متر است.", "اختلاف مقادیر تابع: ۲٫۵ - ۱٫۵ = ۱ متر.", "اختلاف زمان: ۳ - ۱ = ۲ سال.", "آهنگ متوسط تغییر: ۱ ÷ ۲ = ۰٫۵ متر در سال.", "✅ جواب: ۰٫۵"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر (۲)", "محاسبه آهنگ متوسط تغییر یک کمیت با استفاده از نمودار"], {"intro": "۱. بازه زمانی مورد نظر را مشخص کنید.\n۲. مقدار کمیت در ابتدا و انتهای بازه را از نمودار یا داده‌ها استخراج کنید.\n۳. اختلاف مقدار کمیت را محاسبه کنید (مقدار انتهایی منهای مقدار ابتدایی).\n۴. اختلاف زمان را محاسبه کنید (زمان انتهایی منهای زمان ابتدایی).\n۵. آهنگ متوسط تغییر را با تقسیم اختلاف مقدار کمیت بر اختلاف زمان به دست آورید.\n۶. جهت مثبت یا منفی بودن آهنگ متوسط تغییر را با توجه به علامت حاصل تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر (۳)", "محاسبه سرعت متوسط جسم در بازه‌های زمانی مختلف"], {"example": "جسمی از سطح زمین به طور عمودی پرتاب می‌شود و ارتفاع آن در هر لحظه با تابع h(t) = -۴t² + ۳۲t داده شده است. سرعت متوسط این جسم را در بازه زمانی [۱, ۳] محاسبه کنید.", "steps": ["ابتدا ارتفاع جسم را در زمان t1 = ۱ محاسبه می‌کنیم: h(۱) = -۴(۱)² + ۳۲(۱) = -۴ + ۳۲ = ۲۸.", "سپس ارتفاع جسم را در زمان t2 = ۳ محاسبه می‌کنیم: h(۳) = -۴(۳)² + ۳۲(۳) = -۳۶ + ۹۶ = ۶۰.", "تغییر ارتفاع را محاسبه می‌کنیم: h(۳) - h(۱) = ۶۰ - ۲۸ = ۳۲.", "تغییر زمان را محاسبه می‌کنیم: t2 - t1 = ۳ - ۱ = ۲.", "سرعت متوسط را محاسبه می‌کنیم: سرعت متوسط = تغییر ارتفاع ÷ تغییر زمان = ۳۲ ÷ ۲ = ۱۶.", "✅ جواب: ۱۶"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر (۳)", "محاسبه سرعت متوسط و لحظه‌ای از داده‌های جدول"], {"intro": "۱. برای محاسبه سرعت متوسط در بازه زمانی مشخص، مقدار تغییر کمیت (مثلاً درجه حرارت) را بر تغییر زمان تقسیم می‌کنیم.\n۲. برای محاسبه سرعت لحظه‌ای در یک زمان مشخص، از مفهوم مشتق استفاده می‌کنیم که تقریباً برابر شیب خط مماس بر نمودار در آن نقطه است.\n۳. اگر داده‌ها به صورت جدول باشند، سرعت لحظه‌ای را می‌توان با تقریب گرفتن از نرخ تغییر بین دو نقطه نزدیک به زمان مورد نظر محاسبه کرد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر (۳)", "تحلیل شیب خطوط نمودار و تفسیر تغییرات"], {"intro": "۱. شیب خط در نمودار نشان‌دهنده نرخ تغییر کمیت نسبت به زمان است.\n۲. شیب مثبت نشان‌دهنده افزایش و شیب منفی نشان‌دهنده کاهش کمیت است.\n۳. با مقایسه شیب خطوط مختلف در زمان‌های مشخص می‌توان فهمید که کدام بازه زمانی بیشترین تغییر را دارد.\n۴. برای نقاط مشخص، مقدار شیب را با استفاده از تغییرات عمودی تقسیم بر تغییرات افقی محاسبه می‌کنیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر (۳)", "تحلیل تغییرات تابع و رسم نمودار"], {"intro": "۱. نمودار تابع را بررسی کنید و نقاط مهم تغییرات را مشخص کنید. ۲. تغییرات تابع را در بازه‌های مختلف بررسی کنید (افزایش یا کاهش). ۳. برای هر بازه، مقدار تابع را محاسبه کنید یا از نمودار استخراج کنید. ۴. نتیجه‌گیری کنید که تابع در کدام بازه‌ها افزایش یا کاهش دارد و دلیل آن را تحلیل کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر (۴)", "محاسبه سرعت لحظه‌ای و سرعت متوسط از تابع حرکت"], {"intro": "۱. تابع حرکت f(t) را بررسی کنید. ۲. سرعت متوسط را با تقسیم تغییر مکان بر تغییر زمان در بازه مورد نظر محاسبه کنید. ۳. سرعت لحظه‌ای را با مشتق گرفتن از تابع f(t) بدست آورید: v(t) = f'(t). ۴. مقدار سرعت لحظه‌ای را در زمان مورد نظر جایگذاری کنید. ۵. سرعت لحظه‌ای و سرعت متوسط را مقایسه کنید.", "example": "تابع حرکت یک جسم به صورت f(t) = ۲t² + ۳t + ۱ تعریف شده است. محاسبه کنید که در کدام لحظه سرعت لحظه‌ای برابر با سرعت متوسط در بازه زمانی [۱, ۳] است.", "steps": ["ابتدا تغییر مکان را در بازه [۱, ۳] محاسبه می‌کنیم: f(۳) = ۲(۳)² + ۳(۳) + ۱ = ۱۸ + ۹ + ۱ = ۲۸ و f(۱) = ۲(۱)² + ۳(۱) + ۱ = ۲ + ۳ + ۱ = ۶. پس تغییر مکان = ۲۸ - ۶ = ۲۲.", "سپس تغییر زمان را محاسبه می‌کنیم: ۳ - ۱ = ۲.", "حالا سرعت متوسط را محاسبه می‌کنیم: سرعت متوسط = تغییر مکان ÷ تغییر زمان = ۲۲ ÷ ۲ = ۱۱.", "برای محاسبه سرعت لحظه‌ای، مشتق تابع حرکت را محاسبه می‌کنیم: f'(t) = ۴t + ۳.", "حالا مقدار t را پیدا می‌کنیم که در آن f'(t) = ۱۱: ۴t + ۳ = ۱۱. پس ۴t = ۸ و t = ۲.", "✅ جواب: ۲"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر (۴)", "محاسبه سرعت توپ پرتاب شده با استفاده از جدول مقادیر تابع ارتفاع"], {"intro": "۱. مقادیر ارتفاع توپ f(t) را در زمان‌های مختلف از جدول استخراج کنید. ۲. سرعت لحظه‌ای در زمان t را با استفاده از مشتق تقریبی (نزدیک‌ترین نقاط به t) محاسبه کنید: سرعت ≈ (f(t+h) - f(t)) / h یا (f(t) - f(t-h)) / h. ۳. مقدار سرعت را برحسب متر بر ثانیه گزارش کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۱)", "تحلیل رفتار تابع با استفاده از مشتق اول"], {"intro": "۱. تابع داده شده را مشتق اول بگیرید.\n۲. نقاطی که مشتق اول صفر یا تعریف نشده است را پیدا کنید (نقاط بحرانی).\n۳. با استفاده از علامت مشتق اول در بازه‌های مختلف، تعیین کنید تابع در کدام بازه‌ها صعودی و در کدام نزولی است.\n۴. نقاطی که مشتق اول از مثبت به منفی تغییر علامت می‌دهد، نقاط ماکزیمم موضعی و نقاطی که از منفی به مثبت تغییر علامت می‌دهد، نقاط مینیمم موضعی هستند.\n۵. نمودار تابع را بر اساس این اطلاعات ترسیم کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۱)", "تعیین جهت تقعر و نقاط عطف با مشتق دوم"], {"intro": "۱. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید.\n۲. نقاطی که مشتق دوم صفر یا تعریف نشده است را پیدا کنید.\n۳. با بررسی علامت مشتق دوم در بازه‌های مختلف، تعیین کنید تابع در کدام بازه‌ها تقعر به بالا (مشتق دوم مثبت) و در کدام بازه‌ها تقعر به پایین (مشتق دوم منفی) دارد.\n۴. نقاطی که مشتق دوم تغییر علامت می‌دهد، نقاط عطف هستند.\n۵. نمودار تابع را با توجه به این اطلاعات رسم کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۱)", "رسم نمودار تابع با استفاده از مشتق‌ها"], {"intro": "۱. تابع را بررسی و دامنه آن را مشخص کنید.\n۲. مشتق اول را محاسبه و نقاط بحرانی را بیابید.\n۳. با استفاده از علامت مشتق اول، بازه‌های صعودی و نزولی را تعیین کنید.\n۴. مشتق دوم را محاسبه و نقاط عطف را پیدا کنید.\n۵. نقاط اکسترمم و عطف را روی محور مختصات مشخص کنید.\n۶. با توجه به اطلاعات به دست آمده، نمودار تابع را رسم کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۱)", "یافتن نقاط بیشینه و کمینه نسبی تابع با استفاده از نمودار"], {"intro": "۱. نمودار تابع را بررسی کنید و نقاطی را که مقدار تابع در آنها نسبت به نقاط اطراف بیشتر است (بیشینه نسبی) یا کمتر است (کمینه نسبی) شناسایی کنید. ۲. این نقاط معمولاً نقاطی هستند که شیب نمودار از مثبت به منفی یا بالعکس تغییر می‌کند. ۳. برای تعیین دقیق‌تر، مشتق تابع را محاسبه کرده و نقاطی که مشتق صفر یا تعریف نشده است را بیابید. ۴. با بررسی علامت مشتق در اطراف این نقاط، نوع نقطه (بیشینه یا کمینه نسبی) را تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۱)", "تعریف و تشخیص بیشینه و کمینه نسبی تابع"], {"intro": "۱. نقطه c را در دامنه تابع f در نظر بگیرید که یک نقطه باز شامل c باشد. ۲. اگر برای هر x در این باز، مقدار تابع f(x) کمتر یا مساوی f(c) باشد، f(c) را بیشینه نسبی می‌نامیم. ۳. اگر برای هر x در این باز، مقدار تابع f(x) بزرگتر یا مساوی f(c) باشد، f(c) را کمینه نسبی می‌نامیم. ۴. این تعریف به ما کمک می‌کند تا نقاطی را که تابع در آنها نسبت به نقاط اطراف خود حداکثر یا حداقل محلی دارد، شناسایی کنیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۱)", "یافتن نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی و مطلق تابع"], {"intro": "۱. نقاط بحرانی تابع را با مشتق‌گیری و مساوی صفر قرار دادن مشتق پیدا کنید.\n۲. با استفاده از نمودار یا تست علامت مشتق در بازه‌های مختلف، نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی را تعیین کنید.\n۳. برای یافتن ماکزیمم و مینیمم مطلق، مقادیر تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی دامنه بررسی کنید.\n۴. مقادیر بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع در مجموعه مورد نظر به ترتیب ماکزیمم و مینیمم مطلق هستند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۲)", "تشخیص نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی و مطلق از نمودار"], {"intro": "۱. نقاطی که در آن‌ها تابع تغییر جهت می‌دهد (از افزایش به کاهش یا بالعکس) را پیدا کنید. ۲. نقاطی که تابع در همسایگی آن‌ها بزرگترین مقدار را دارد ماکزیمم نسبی هستند. ۳. نقاطی که تابع در همسایگی آن‌ها کوچکترین مقدار را دارد مینیمم نسبی هستند. ۴. نقاطی که مقدار تابع در کل بازه تعریف بزرگترین یا کوچکترین مقدار است ماکزیمم یا مینیمم مطلق نامیده می‌شوند. ۵. با بررسی نمودار و مقایسه مقادیر تابع در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی بازه، ماکزیمم و مینیمم مطلق را تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۲)", "تعیین مقادیر و طول نقاط اکسترمم نسبی و مطلق از نمودار تابع"], {"intro": "۱. نقاطی که تابع در آن‌ها بیشینه یا کمینه محلی دارد را از روی نمودار پیدا کنید. ۲. مقدار تابع را در این نقاط با توجه به محور y تعیین کنید. ۳. طول نقاط اکسترمم نسبی و مطلق را با توجه به فاصله آن‌ها از مبدأ یا نقاط دیگر روی محور x مشخص کنید. ۴. مقادیر و طول‌های به دست آمده را یادداشت کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۲)", "رسم نمودار تابع با شرایط داده شده برای نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی"], {"intro": "۱. نقاط داده شده برای ماکزیمم و مینیمم نسبی را روی محور x مشخص کنید. ۲. در نقاط ماکزیمم نسبی، تابع باید بیشینه محلی داشته باشد، یعنی مشتق اول صفر و تغییر علامت از مثبت به منفی. ۳. در نقاط مینیمم نسبی، تابع باید کمینه محلی داشته باشد، یعنی مشتق اول صفر و تغییر علامت از منفی به مثبت. ۴. با توجه به این شرایط، نمودار تابع را رسم کنید به طوری که در نقاط داده شده این ویژگی‌ها رعایت شود. ۵. نقاط دیگر تابع را با توجه به رفتار کلی تابع و شرایط داده شده تکمیل کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۲)", "بررسی ماکزیمم و مینیمم مطلق و اکسترمم‌های مطلق تابع"], {"intro": "۱. تابع داده شده را در بازه‌های مشخص شده بررسی کنید.\n۲. نقاط بحرانی را با مشتق‌گیری و مساوی صفر قرار دادن مشتق پیدا کنید.\n۳. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی بازه محاسبه کنید.\n۴. بزرگترین مقدار به عنوان ماکزیمم مطلق و کوچکترین مقدار به عنوان مینیمم مطلق انتخاب می‌شود.\n۵. برای بررسی وجود اکسترمم‌های مطلق روی کل دامنه، نقاط بحرانی و رفتار تابع در بی‌نهایت را بررسی کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۲)", "تحلیل نقاطی که مشتق وجود دارد یا ندارد و اکسترمم نسبی"], {"intro": "۱. نقاطی که در نمودار تابع، مماس افقی دارند را مشخص کنید؛ این نقاط جایی هستند که مشتق وجود دارد و برابر صفر است.\n۲. نقاطی که مشتق وجود ندارد را با بررسی نقاطی که نمودار تیز یا گوشه دارد، تعیین کنید.\n۳. نقاطی که مشتق صفر است ولی اکسترمم نسبی نیستند را با بررسی تغییر علامت مشتق قبل و بعد از آن نقاط مشخص کنید.\n۴. بررسی کنید آیا در همه نقاطی که مشتق نسبی وجود دارد، اکسترمم نسبی نیز وجود دارد یا خیر.\n۵. مقدار مشتق در نقاطی که مشتق وجود دارد را محاسبه کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۲)", "بررسی وجود ماکزیمم و مینیمم مطلق در بازه‌های بسته"], {"intro": "۱. ابتدا بررسی کنید که تابع در بازه مورد نظر پیوسته باشد. ۲. نقاط بحرانی تابع را در بازه پیدا کنید (نقاطی که مشتق صفر یا مشتق وجود ندارد). ۳. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی بازه محاسبه کنید. ۴. بزرگترین مقدار به عنوان ماکزیمم مطلق و کوچکترین مقدار به عنوان مینیمم مطلق در بازه بسته تعیین می‌شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۳)", "بررسی وجود ماکزیمم و مینیمم مطلق در بازه‌های باز"], {"intro": "۱. ابتدا نقاط بحرانی تابع را در بازه باز پیدا کنید. ۲. مقدار تابع را در نقاط بحرانی محاسبه کنید. ۳. چون بازه باز است، نقاط انتهایی بازه در نظر گرفته نمی‌شوند. ۴. اگر بزرگترین یا کوچکترین مقدار در نقاط بحرانی وجود داشته باشد، آن‌ها به عنوان ماکزیمم یا مینیمم مطلق در بازه باز تعیین می‌شوند. در غیر این صورت، ماکزیمم یا مینیمم مطلق وجود ندارد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۳)", "یافتن نقاط ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع با مشتق‌پذیری و نقاط بحرانی"], {"intro": "۱. تابع را در بازه داده شده بررسی کنید و نقاط انتهایی بازه را مشخص کنید.\n۲. نقاطی که مشتق تابع صفر یا مشتق‌پذیر نیست (نقاط بحرانی) را پیدا کنید.\n۳. مشتق چپ و راست در نقاط بحرانی را محاسبه کنید تا وجود مشتق‌پذیری بررسی شود.\n۴. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی بازه محاسبه کنید.\n۵. با مقایسه مقادیر تابع در این نقاط، ماکزیمم و مینیمم مطلق را تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۳)", "بهینه‌سازی حجم جعبه با استفاده از مشتق"], {"intro": "۱. متغیرهای مسئله را تعریف کنید (مثلاً طول ضلع مربع بریده شده از گوشه‌ها).\n۲. با توجه به ابعاد ورق و اندازه‌های بریده شده، طول، عرض و ارتفاع جعبه را به صورت تابعی از متغیر تعریف کنید.\n۳. تابع حجم جعبه را بر حسب متغیر تعریف کنید.\n۴. مشتق تابع حجم را محاسبه کنید.\n۵. نقاط بحرانی را با حل معادله مشتق برابر صفر پیدا کنید.\n۶. مقدار تابع حجم را در نقاط بحرانی و نقاط مرزی بررسی کنید تا بیشینه حجم را بیابید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۳)", "یافتن نقاط بحرانی و ماکزیمم مطلق تابع"], {"intro": "۱. مشتق تابع را محاسبه کنید.\n۲. معادله مشتق برابر صفر را حل کنید تا نقاط بحرانی را بیابید.\n۳. نقاط بحرانی را بررسی کنید که در بازه مورد نظر قرار دارند یا خیر.\n۴. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی بازه محاسبه کنید.\n۵. بزرگترین مقدار به دست آمده ماکزیمم مطلق تابع در بازه است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۳)", "بیشینه کردن حجم استوانه محاط در کره"], {"intro": "۱. رابطه بین شعاع استوانه و ارتفاع آن را با استفاده از هندسه کره بنویسید.\n۲. حجم استوانه را به صورت تابعی از ارتفاع یا شعاع بیان کنید.\n۳. مشتق حجم نسبت به متغیر مستقل را محاسبه کنید.\n۴. نقاط بحرانی را با حل معادله مشتق برابر صفر بیابید.\n۵. مقدار حجم را در نقاط بحرانی و بازه بررسی کنید تا بیشینه حجم را تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۴)", "تشخیص بازه‌های صعودی و نزولی تابع با استفاده از نمودار و مشتق"], {"intro": "۱. ابتدا نقاطی که شیب خط مماس در آن‌ها صفر است (نقاط بحرانی) را روی نمودار مشخص کنید. ۲. بازه‌های بین این نقاط را تعیین کنید. ۳. در هر بازه، علامت شیب خط مماس (مشتق تابع) را بررسی کنید: اگر شیب مثبت بود، تابع در آن بازه صعودی است؛ اگر شیب منفی بود، تابع نزولی است؛ اگر شیب صفر بود، تابع ثابت است. ۴. برای تعیین علامت مشتق در هر بازه می‌توان از رسم مماس‌ها یا محاسبه مشتق استفاده کرد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۴)", "تعیین بازه‌های مثبت و منفی بودن مشتق تابع"], {"intro": "۱. نقاطی که مشتق برابر صفر است را پیدا کنید (نقاط بحرانی). ۲. بازه‌های بین این نقاط را مشخص کنید. ۳. در هر بازه، علامت مشتق را تعیین کنید. ۴. اگر مشتق در بازه‌ای مثبت باشد، تابع در آن بازه صعودی است و اگر منفی باشد، تابع نزولی است.", "example": "تابع f(x) = x⁴ را در نظر بگیرید.\nالف) وجود مقادیر ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق تابع f را در بازه‌های [۰,۱]، [۰,۵] و [۱,۵] بررسی کنید.\nب) وجود اکسترمم‌های مطلق تابع f را بر R بررسی نمایید.", "steps": ["الف) تابع f(x) = x⁴ مشتق می‌گیرد: f'(x) = ۴x³.", "نقاط بحرانی: f'(x) = ۰ ⇒ x = ۰.", "در بازه [۰,۱]:", "مقدار تابع در نقاط انتهایی: f(۰) = ۰، f(۱) = ۱.", "مقدار در نقطه بحرانی: f(۰) = ۰.", "✅ جواب: min=۰ at x=۰, max=۱ at x=۱ in [۰,۱]; min=۰, max=۶۲۵ in [۰,۵]; min=۱, max=۶۲۵ in [۱,۵]; on R: min=۰ at x=۰, no max."]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۴)", "تعیین بازه‌های صعودی، نزولی و ثابت بودن تابع با استفاده از مشتق"], {"intro": "۱. نقاطی که مشتق برابر صفر است را مشخص کنید (نقاط بحرانی). ۲. بازه‌های بین این نقاط را تعیین کنید. ۳. در هر بازه، علامت مشتق را بررسی کنید: اگر مشتق مثبت بود، تابع در آن بازه صعودی است؛ اگر مشتق منفی بود، تابع نزولی است؛ اگر مشتق صفر بود، تابع ثابت است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۴)", "تحلیل رفتار تابع با استفاده از مشتق"], {"intro": "۱. تابع را در بازه مورد نظر بررسی کنید.\n۲. مشتق تابع را در بازه‌های مختلف محاسبه کنید.\n۳. علامت مشتق را در هر بازه تعیین کنید: اگر مشتق مثبت باشد تابع صعودی، اگر منفی باشد تابع نزولی و اگر صفر باشد تابع ثابت است.\n۴. نقاط تغییر علامت مشتق را به عنوان نقاط بحرانی در نظر بگیرید.\n۵. نمودار تابع را بر اساس این تحلیل رسم کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۴)", "تشخیص صعودی یا نزولی بودن تابع با مشتق"], {"intro": "۱. فرض کنید تابع f در بازه [a, b] پیوسته و مشتق‌پذیر باشد.\n۲. اگر مشتق تابع f در تمام نقاط بازه (a, b) مثبت باشد، تابع در بازه [a, b] صعودی است.\n۳. اگر مشتق تابع f در تمام نقاط بازه (a, b) منفی باشد، تابع در بازه [a, b] نزولی است.\n۴. اگر مشتق تابع f در تمام نقاط بازه (a, b) صفر باشد، تابع در بازه [a, b] ثابت است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۴)", "بررسی صعودی بودن تابع‌های چندجمله‌ای و تابع‌های بخش‌بندی شده"], {"intro": "۱. تابع را در هر بخش جداگانه بررسی کنید.\n۲. مشتق هر بخش را محاسبه کنید.\n۳. علامت مشتق را در هر بخش تعیین کنید تا صعودی یا نزولی بودن تابع مشخص شود.\n۴. نقاط اتصال بخش‌ها را بررسی کنید که آیا مشتق‌پذیر است یا خیر.\n۵. بر اساس این تحلیل، نمودار تابع را رسم کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۵)", "تشخیص نقاط بحرانی و نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی"], {"intro": "۱. نقطه c را که در بازه (a,b) قرار دارد و مشتق در آن صفر است، به عنوان نقطه بحرانی در نظر می‌گیریم.\n۲. بررسی علامت مشتق f' در بازه‌های (a,c) و (c,b) انجام می‌شود.\n۳. اگر مشتق در سمت چپ c مثبت (صعودی) و در سمت راست c منفی (نزولی) باشد، نقطه c ماکزیمم نسبی است.\n۴. اگر مشتق در سمت چپ c منفی (نزولی) و در سمت راست c مثبت (صعودی) باشد، نقطه c مینیمم نسبی است.\n۵. اگر علامت مشتق تغییر نکند، نقطه c نقطه اکسترمم نسبی نیست."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۵)", "نوشتن شرایط مینیمم نسبی با تغییر علامت مشتق"], {"intro": "۱. نقطه c را که مشتق در آن صفر است، به عنوان نقطه بحرانی در نظر می‌گیریم.\n۲. علامت مشتق f' را در بازه‌های (a,c) و (c,b) بررسی می‌کنیم.\n۳. اگر مشتق در سمت چپ c منفی (نزولی) و در سمت راست c مثبت (صعودی) باشد، نقطه c مینیمم نسبی است.\n۴. معادله یا شرایط مشابه برای مینیمم نسبی نوشته می‌شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۵)", "بررسی علامت مشتق و تعیین نقطه اکسترمم نسبی از روی نمودار"], {"intro": "۱. نقطه c را که مشتق در آن صفر است، مشخص می‌کنیم.\n۲. علامت مشتق f' را در دو طرف نقطه c بررسی می‌کنیم.\n۳. اگر علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر کند، نقطه c ماکزیمم نسبی است.\n۴. اگر علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر کند، نقطه c مینیمم نسبی است.\n۵. اگر علامت مشتق تغییر نکند، نقطه c اکسترمم نسبی نیست."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۵)", "تعیین نقاط بحرانی و بازه‌های صعود و نزول تابع"], {"intro": "۱. تابع داده شده را در بازه مشخص شده در نظر بگیرید.\n۲. مشتق اول تابع را محاسبه کنید.\n۳. نقاطی که مشتق اول صفر می‌شود یا مشتق وجود ندارد را به عنوان نقاط بحرانی تعیین کنید.\n۴. نقاط انتهایی بازه را نیز در نظر بگیرید.\n۵. بازه را به بخش‌هایی تقسیم کنید که بین نقاط بحرانی و انتهایی قرار دارند.\n۶. علامت مشتق اول را در هر بخش بررسی کنید (مثبت یا منفی).\n۷. اگر مشتق اول در بازه‌ای مثبت باشد، تابع در آن بازه صعودی است.\n۸. اگر مشتق اول در بازه‌ای منفی باشد، تابع در آن بازه نزولی است.\n۹. نقاطی که مشتق اول از مثبت به منفی تغییر علامت می‌دهد، نقاط ماکزیمم نسبی هستند.\n۱۰. نقاطی که مشتق اول از منفی به مثبت تغییر علامت می‌دهد، نقاط مینیمم نسبی هستند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۶)", "رسم نمودار تابع با شرایط خاص مشتق و نقاط اکسترمم"], {"intro": "۱. شرایط داده شده برای نقاط ماکزیمم و مینیمم را بررسی کنید.\n۲. مشتق تابع را محاسبه کنید و نقاطی که مشتق صفر است یا مشتق وجود ندارد را مشخص کنید.\n۳. نقاط پیوستگی و ناپیوستگی تابع را تعیین کنید.\n۴. با توجه به شرایط داده شده، نمودار تابع را رسم کنید به طوری که نقاط ماکزیمم و مینیمم و نقاطی که مشتق صفر است یا ندارد رعایت شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۶)", "رسم نمودار تابع پیوسته با ماکزیمم و مینیمم مطلق"], {"intro": "۱. تابع را در دامنه داده شده بررسی کنید.\n۲. نقاط بحرانی را با مشتق‌گیری پیدا کنید.\n۳. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی دامنه محاسبه کنید.\n۴. نقاطی که مقدار تابع در آن‌ها بیشینه یا کمینه مطلق است را مشخص کنید.\n۵. نمودار تابع را به گونه‌ای رسم کنید که ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع مشخص باشد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۶)", "رسم نمودار تابع صعودی و نزولی در بازه‌های مشخص"], {"intro": "۱. تابع داده شده را بررسی کنید.\n۲. مشتق تابع را محاسبه کنید.\n۳. علامت مشتق را در بازه‌های داده شده تعیین کنید.\n۴. اگر مشتق در بازه مثبت باشد، تابع صعودی است و اگر منفی باشد، تابع نزولی است.\n۵. نمودار تابع را با توجه به صعودی یا نزولی بودن در بازه رسم کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۶)", "رسم نمودار تابع با اکسترمم نسبی و پیوستگی در بازه"], {"intro": "۱. تابع را در بازه داده شده بررسی کنید.\n۲. نقاطی که مشتق صفر یا مشتق ندارد را پیدا کنید.\n۳. نقاط اکسترمم نسبی را با استفاده از تغییر علامت مشتق تعیین کنید.\n۴. پیوستگی تابع را در نقاط مختلف بازه بررسی کنید.\n۵. نمودار تابع را طوری رسم کنید که شرایط اکسترمم نسبی و پیوستگی یا ناپیوستگی در بازه رعایت شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۶)", "رسم نمودار تابع با ماکزیمم مطلق و بدون ماکزیمم مطلق"], {"intro": "۱. تابع را بررسی کنید و نقاط بحرانی را پیدا کنید.\n۲. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی دامنه محاسبه کنید.\n۳. اگر تابع ماکزیمم مطلق ندارد، نمودار را طوری رسم کنید که تابع در هیچ نقطه‌ای بیشینه مطلق نداشته باشد.\n۴. اگر تابع ماکزیمم مطلق دارد، نمودار را طوری رسم کنید که بیشینه مطلق مشخص باشد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۶)", "یافتن نقاط اکسترمم نسبی و مطلق توابع داده شده در بازه‌ها"], {"intro": "۱. مشتق تابع را محاسبه کنید.\n۲. نقاطی که مشتق صفر یا مشتق ندارد را پیدا کنید.\n۳. مقدار تابع را در نقاط بحرانی و نقاط انتهایی دامنه محاسبه کنید.\n۴. نقاطی که مقدار تابع در آن‌ها بیشینه یا کمینه نسبی یا مطلق است را تعیین کنید.\n۵. نقاط اکسترمم نسبی و مطلق را مشخص کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۷)", "یافتن ضرایب تابع برای داشتن مینیمم نسبی در نقطه مشخص"], {"intro": "۱. تابع داده شده را بنویسید. ۲. مشتق اول تابع را محاسبه کنید. ۳. مشتق اول را برابر صفر قرار دهید و ضرایب را به گونه‌ای بیابید که در نقطه داده شده مشتق صفر شود. ۴. مشتق دوم را محاسبه کنید و بررسی کنید که در آن نقطه مثبت باشد تا مینیمم نسبی تایید شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۷)", "رسم نمودار تابع با شرایط داده شده و تعیین ماکزیمم نسبی"], {"intro": "۱. شرایط داده شده برای مقادیر تابع در نقاط مشخص را یادداشت کنید. ۲. تابع را طوری فرض کنید که این شرایط را برآورده کند. ۳. مشتق اول را محاسبه کنید و بررسی کنید که در نقطه داده شده مشتق صفر باشد تا ماکزیمم نسبی تایید شود. ۴. نمودار تابع را با توجه به این شرایط رسم کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۷)", "بهینه‌سازی حجم مکعب ساخته شده از کاغذ مستطیل با ابعاد متغیر"], {"intro": "۱. تعریف متغیرها و نوشتن رابطه حجم بر حسب متغیرها. ۲. استفاده از محدودیت‌های داده شده برای بیان یک متغیر بر حسب دیگری. ۳. تابع حجم را به صورت تک متغیره بنویسید. ۴. مشتق تابع حجم را محاسبه کنید و برابر صفر قرار دهید. ۵. نقاط بحرانی را بیابید و با استفاده از مشتق دوم یا بررسی مقدار تابع، بیشینه حجم را تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۷)", "بهینه‌سازی مساحت مستطیل محاط در نیم‌دایره با شعاع داده شده"], {"intro": "۱. تعریف متغیرهای طول و عرض مستطیل. ۲. استفاده از رابطه محیط یا شرایط هندسی نیم‌دایره برای بیان یک متغیر بر حسب دیگری. ۳. نوشتن تابع مساحت مستطیل بر حسب یک متغیر. ۴. مشتق تابع مساحت را محاسبه و برابر صفر قرار دهید. ۵. نقاط بحرانی را بیابید و بیشینه مساحت را تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۷)", "تعیین بازه‌های صعود و نزول توابع چندجمله‌ای و کسری"], {"intro": "۱. مشتق اول تابع را محاسبه کنید. ۲. نقاطی که مشتق اول صفر یا تعریف نشده است را بیابید (نقاط بحرانی). ۳. علامت مشتق اول را در بازه‌های بین نقاط بحرانی بررسی کنید. ۴. بازه‌هایی که مشتق اول مثبت است، بازه صعود و بازه‌هایی که منفی است، بازه نزول هستند."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۱)", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه عطف آن"], {"intro": "۱. تابع داده شده را بررسی کنید و مشتق اول آن را بیابید.\n۲. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید.\n۳. نقاطی که مشتق دوم صفر می‌شود را پیدا کنید؛ این نقاط کاندیدای نقاط عطف هستند.\n۴. جهت تقعر تابع را با توجه به علامت مشتق دوم در بازه‌های مختلف تعیین کنید: اگر مشتق دوم مثبت باشد، تقعر به سمت بالا است و اگر منفی باشد، تقعر به سمت پایین است.\n۵. نقاطی که جهت تقعر تغییر می‌کند، نقاط عطف تابع هستند.\n۶. برای رسم خطوط مماس، شیب خطوط مماس را از مشتق اول در نقاط مورد نظر به دست آورید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۱)", "تحلیل تغییرات شیب خطوط مماس و جهت تقعر منحنی‌ها"], {"intro": "۱. ابتدا تابع داده شده را بررسی کنید و نقاط مورد نظر را مشخص کنید.\n۲. شیب خطوط مماس را با محاسبه مشتق اول تابع در نقاط مختلف به دست آورید.\n۳. جهت تغییرات شیب (افزایش یا کاهش) را بررسی کنید تا جهت تقعر منحنی مشخص شود.\n۴. با توجه به تغییرات مشتق اول و دوم، جهت صعودی یا نزولی بودن تابع و علامت مشتق دوم را تعیین کنید.\n۵. نتیجه‌گیری درباره جهت تقعر و شیب خطوط مماس در نقاط مختلف انجام دهید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۱)", "تعیین صعودی یا نزولی بودن تابع با استفاده از مشتق اول"], {"intro": "۱. مشتق اول تابع را در بازه مورد نظر محاسبه کنید.\n۲. علامت مشتق اول را در بازه بررسی کنید: اگر مشتق اول مثبت باشد، تابع صعودی است و اگر منفی باشد، تابع نزولی است.\n۳. نقاطی که مشتق اول صفر یا تعریف نشده است را برای تغییر علامت بررسی کنید.\n۴. نتیجه‌گیری درباره صعودی یا نزولی بودن تابع در بازه انجام دهید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۱)", "تعیین علامت مشتق اول و دوم و ارتباط آن با صعودی یا نزولی بودن و جهت تقعر تابع"], {"intro": "۱. مشتق اول تابع را در بازه مورد نظر محاسبه و علامت آن را بررسی کنید.\n۲. اگر مشتق اول مثبت باشد، تابع صعودی و اگر منفی باشد، تابع نزولی است.\n۳. مشتق دوم تابع را محاسبه و علامت آن را بررسی کنید.\n۴. اگر مشتق دوم مثبت باشد، جهت تقعر تابع رو به بالا و اگر منفی باشد، رو به پایین است.\n۵. با ترکیب این اطلاعات، رفتار کلی تابع را در بازه مشخص کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۱)", "تعیین جهت تقعر نمودار تابع با استفاده از مشتق دوم"], {"intro": "۱. تابع مورد نظر را در بازه مشخص شده بررسی کنید.\n۲. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید.\n۳. اگر مشتق دوم در بازه مثبت باشد، نمودار تابع در آن بازه تقعر رو به بالا دارد.\n۴. اگر مشتق دوم در بازه منفی باشد، نمودار تابع در آن بازه تقعر رو به پایین دارد.\n۵. اگر مشتق دوم در بازه صفر باشد، این روش برای تعیین جهت تقعر بی‌نتیجه است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۲)", "تحلیل تغییرات نمودار با استفاده از مشتق دوم"], {"intro": "۱. مشتق اول تابع را پیدا کنید.\n۲. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید.\n۳. نقاطی که مشتق دوم صفر می‌شود را بیابید (نقاط عطف احتمالی).\n۴. علامت مشتق دوم را در بازه‌های مختلف بررسی کنید.\n۵. اگر مشتق دوم در بازه‌ای مثبت باشد، نمودار در آن بازه تقعر به بالا دارد.\n۶. اگر مشتق دوم در بازه‌ای منفی باشد، نمودار در آن بازه تقعر به پایین دارد.\n۷. با توجه به این تحلیل، جهت تقعر نمودار را در بازه‌های مختلف مشخص کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۲)", "رسم نمودار تابع با شرایط مشتق دوم و مقادیر تابع"], {"intro": "۱. مقادیر داده شده تابع را در نقاط مشخص شده یادداشت کنید.\n۲. بازه‌های داده شده را بررسی کنید و علامت مشتق دوم را در هر بازه مشخص کنید.\n۳. با توجه به علامت مشتق دوم، جهت تقعر نمودار را در هر بازه تعیین کنید.\n۴. نقاطی که مشتق دوم تغییر علامت می‌دهد را به عنوان نقاط عطف در نظر بگیرید.\n۵. نمودار تابع را با توجه به مقادیر تابع و جهت تقعر در بازه‌ها رسم کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۲)", "یافتن نقطه عطف نمودار تابع"], {"intro": "۱. تابع داده شده را بررسی کنید و مشتق اول و مشتق دوم آن را بیابید.\n۲. نقاطی که مشتق دوم برابر صفر است را پیدا کنید (f''(c) = ۰).\n۳. بررسی کنید که در این نقاط، جهت تقعر تابع تغییر می‌کند؛ یعنی مشتق دوم در یک طرف نقطه مثبت و در طرف دیگر منفی باشد.\n۴. اگر شرط تغییر تقعر برقرار بود و مشتق اول در آن نقطه وجود داشت (یا خط مماس قائم بود)، آن نقطه را نقطه عطف می‌نامیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۲)", "تشخیص و رسم نقاط عطف و خطوط مماس بر منحنی"], {"intro": "۱. مشتق اول و دوم تابع را بیابید.\n۲. نقاطی که مشتق دوم در آنها صفر می‌شود را پیدا کنید.\n۳. بررسی کنید که آیا علامت مشتق دوم در اطراف این نقاط تغییر می‌کند یا خیر.\n۴. اگر علامت تغییر کند، آن نقطه، نقطه عطف است.\n۵. در نقاط عطف، خط مماس بر منحنی را با استفاده از مشتق اول و مقدار تابع در آن نقطه رسم کنید.", "example": "با حرکت از نقطه x=۰ به سمت راست، شیب خطوط مماس در هر کدام از منحنی‌های g(x)=√x در بازه (۰,+∞) و h(x)=x² در بازه [۰,+∞) چگونه تغییر می‌کند؟ (کم می‌شود یا زیاد) جهت تقعر منحنی در هر کدام از نمودارها چگونه است؟", "steps": ["تابع g(x)=√x را در نظر می‌گیریم. مشتق اول آن g'(x) = ۱/(۲√x) است که با افزایش x کاهش می‌یابد، بنابراین شیب خطوط مماس در منحنی g(x) کم می‌شود.", "تابع h(x)=x² را در نظر می‌گیریم. مشتق اول آن h'(x) = ۲x است که با افزایش x افزایش می‌یابد، بنابراین شیب خطوط مماس در منحنی h(x) زیاد می‌شود.", "جهت تقعر منحنی g(x) با توجه به مشتق دوم g''(x) = -۱/(۴x به توانِ (۳/۲) ) که منفی است، رو به پایین است.", "جهت تقعر منحنی h(x) با توجه به مشتق دوم h''(x) = ۲ که مثبت است، رو به بالا است.", "✅ جواب: مشتق‌ها و علامت آن‌ها درست است؛ g'' منفی (تقعر رو به پایین) و h'' مثبت (تقعر رو به بالا) است."]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۲)", "تشخیص درست یا نادرست بودن گزاره‌های مربوط به نقاط عطف"], {"intro": "۱. مفهوم نقطه عطف را مرور کنید: نقطه‌ای که مشتق دوم در آن صفر شده و علامت مشتق دوم در اطراف آن تغییر می‌کند.\n۲. هر گزاره را با توجه به تعریف و ویژگی‌های نقاط عطف بررسی کنید.\n۳. اگر گزاره با تعریف و ویژگی‌ها همخوانی داشت، درست است وگرنه نادرست است.\n۴. برای گزاره‌های نادرست، مثال نقضی ارائه دهید که خلاف آن را نشان دهد.", "example": "در تابع f(x) = x³ - ۳x + ۲، نقطه عطف را مشخص کنید.", "steps": ["مشتق اول تابع را محاسبه می‌کنیم: f'(x) = ۳x² - ۳.", "مشتق دوم تابع را محاسبه می‌کنیم: f''(x) = ۶x.", "برای پیدا کردن نقاط عطف، f''(x) را برابر صفر قرار می‌دهیم: ۶x = ۰ که نتیجه می‌دهد x = ۰.", "برای بررسی تغییر علامت f''(x) در اطراف x = ۰، f''(x) را برای x < ۰ و x > ۰ محاسبه می‌کنیم: برای x = -۱، f''(-۱) = -۶ (منفی) و برای x = ۱، f''(۱) = ۶ (مثبت).", "از تغییر علامت مشتق دوم نتیجه می‌گیریم که x = ۰ نقطه عطف است.", "✅ جواب: ۰"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۳)", "تعیین جهت تقعر و نقاط عطف تابع"], {"intro": "۱. مشتق اول تابع را محاسبه کنید.\n۲. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید.\n۳. نقاطی که مشتق دوم برابر صفر می‌شود را پیدا کنید (نامزدهای نقاط عطف).\n۴. بررسی کنید که مشتق دوم در دو طرف هر نقطه نامزد، علامتش تغییر می‌کند یا خیر.\n۵. اگر تغییر علامت وجود داشت، آن نقطه را نقطه عطف در نظر بگیرید.\n۶. جهت تقعر تابع را با توجه به علامت مشتق دوم مشخص کنید: اگر مشتق دوم مثبت باشد، تقعر به بالا و اگر منفی باشد، تقعر به پایین است."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۳)", "تحلیل نمودار مشتق اول و تعیین نقاط عطف"], {"intro": "۱. نمودار مشتق اول تابع را بررسی کنید.\n۲. نقاطی که مشتق اول صفر می‌شود را مشخص کنید.\n۳. با توجه به نمودار مشتق اول، تغییرات علامت آن را در بازه‌های مختلف بررسی کنید.\n۴. مشتق دوم تابع را از روی تغییرات مشتق اول تحلیل کنید: اگر مشتق اول از کاهش به افزایش تغییر کند، مشتق دوم مثبت است و بالعکس.\n۵. نقاطی که مشتق دوم تغییر علامت می‌دهد، نقاط عطف تابع هستند.\n۶. جدول تغییرات مشتق دوم و تابع را رسم کنید تا جهت تقعر و نقاط عطف مشخص شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۳)", "تحلیل تغییرات و نقاط عطف تابع با استفاده از مشتق دوم"], {"intro": "۱. تابع داده شده را بنویسید و مشتق اول آن را محاسبه کنید.\n۲. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید.\n۳. علامت مشتق دوم را در بازه‌های مختلف بررسی کنید تا جهت تقعر تابع مشخص شود: اگر مشتق دوم مثبت باشد، تقعر به سمت بالا و اگر منفی باشد، تقعر به سمت پایین است.\n۴. نقاطی که مشتق دوم تغییر علامت می‌دهد، نقاط عطف تابع هستند.\n۵. در این نقاط، بررسی کنید که مشتق اول وجود دارد یا خیر. اگر مشتق اول در آن نقطه وجود داشته باشد و تغییر جهت تقعر رخ دهد، آن نقطه نقطه عطف است.\n۶. در صورت نیاز، نمودار تابع را رسم کنید تا تغییرات تقعر و نقاط عطف را بهتر مشاهده کنید.", "example": "تابع f(x) = x³ - ۳x² + ۴ را در نظر بگیرید. مشتق اول این تابع را محاسبه کنید و سپس مشتق دوم آن را بیابید. نقاط عطف تابع را مشخص کنید.", "steps": ["مشتق اول تابع f(x) = x³ - ۳x² + ۴ را محاسبه می‌کنیم: f'(x) = ۳x² - ۶x.", "مشتق دوم تابع را محاسبه می‌کنیم: f''(x) = ۶x - ۶.", "برای تعیین علامت مشتق دوم، معادله f''(x) = ۰ را حل می‌کنیم: ۶x - ۶ = ۰ → x = ۱.", "علامت مشتق دوم را در بازه‌های مختلف بررسی می‌کنیم: برای x < ۱، f''(x) منفی است و برای x > ۱، f''(x) مثبت است.", "بنابراین، تابع در x = ۱ تغییر علامت می‌دهد و این نقطه، نقطه عطف است.", "✅ جواب: x = ۱"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۳)", "تشخیص نمودار تابع از نمودار مشتق"], {"intro": "۱. نمودار مشتق تابع نشان‌دهنده شیب نمودار تابع است. ۲. نقاطی که مشتق صفر می‌شود، نقاط بحرانی تابع هستند که می‌توانند نقاط ماکزیمم، مینیمم یا نقاط عطف باشند. ۳. اگر نمودار مشتق مثبت باشد، نمودار تابع صعودی است و اگر منفی باشد، نمودار تابع نزولی است. ۴. با بررسی تغییر علامت مشتق در نقاط بحرانی، می‌توان نوع نقاط بحرانی را تعیین کرد. ۵. با تطبیق این ویژگی‌ها با نمودارهای داده شده، نمودار تابع اصلی را از نمودارهای مشتق تشخیص می‌دهیم."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۳)", "تشخیص نمودار تابع و بررسی تک‌نقطه عطف"], {"intro": "۱. نمودارهای داده شده را بررسی کنید و ویژگی‌های تغییر جهت تقعر را شناسایی کنید. ۲. مشتق دوم تابع را در نقاط مختلف بررسی کنید تا نقاطی که مشتق دوم صفر یا تعریف نشده است را بیابید. ۳. جهت تقعر را قبل و بعد از این نقاط بررسی کنید. اگر جهت تقعر تغییر کند، آن نقطه نقطه عطف است. ۴. نموداری که جهت تقعر آن در نقاط مشخص شده تغییر کند، می‌تواند نمودار تابع مورد نظر باشد.", "example": "تابع g(x) = x³ + ۳x² + ۱ داده شده است. مشتق اول و دوم این تابع را بیابید و جهت تقعر نمودار تابع را در بازه‌های (-∞, -۱) و (-۱, +∞) مشخص کنید.", "steps": ["مشتق اول تابع g(x) را محاسبه می‌کنیم:", "g'(x) = ۳x² + ۶x", "مشتق دوم تابع g(x) را محاسبه می‌کنیم:", "g''(x) = ۶x + ۶", "نقطه‌ای که مشتق دوم صفر می‌شود را پیدا می‌کنیم:", "✅ جواب: g'(x)=۳x²+۶x, g''(x)=۶x+۶; concave up on (-۱,∞), concave down on (-∞,-۱)"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۴)", "رسم نمودار تابع با نقطه عطف مشخص"], {"intro": "۱. تابع داده شده را بررسی کنید و مشتق اول و دوم آن را محاسبه کنید. ۲. نقاطی که مشتق دوم صفر یا تعریف نشده است را بیابید. ۳. جهت تقعر را قبل و بعد از این نقاط بررسی کنید تا نقاط عطف را تعیین کنید. ۴. نمودار تابع را طوری رسم کنید که جهت تقعر در نقاط عطف تغییر کند ولی خود نقطه عطف نقطه تقعر نباشد."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۴)", "یافتن جهت تقعر و نقاط عطف توابع مختلف"], {"intro": "۱. تابع داده شده را در دامنه‌اش بررسی کنید. ۲. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید. ۳. نقاطی که مشتق دوم صفر یا تعریف نشده است را بیابید. ۴. جهت تقعر را در بازه‌های مختلف بررسی کنید. ۵. نقاطی که جهت تقعر تغییر کند را به عنوان نقاط عطف تعیین کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۴)", "یافتن ضرایب تابع درجه سه با شرایط نقطه عطف و مقادیر تابع"], {"intro": "۱. تابع درجه سه را به صورت y = ax³ + bx² + cx + d در نظر بگیرید. ۲. مشتق اول و دوم تابع را محاسبه کنید. ۳. شرایط داده شده مانند مقدار تابع در نقاط مشخص و وجود نقطه عطف را به معادلات تبدیل کنید. ۴. معادلات را حل کنید تا ضرایب a، b، c و d را بیابید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۴)", "یافتن ضرایب تابع درجه سه با نقطه عطف و نمودار داده شده"], {"intro": "۱. تابع درجه سه را به صورت y = x³ + ax² + bx + c در نظر بگیرید. ۲. مشتق اول و دوم تابع را محاسبه کنید. ۳. نقطه عطف داده شده (۰,۰) را در معادلات تابع و مشتق دوم قرار دهید. ۴. از شرایط نمودار برای تعیین مقادیر a، b و c استفاده کنید. ۵. معادلات به دست آمده را حل کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "رسم نمودار تابع (۱)", "تحلیل نقاط بحرانی و نقاط عطف تابع"], {"intro": "۱. مشتق اول تابع را محاسبه کنید.\n۲. نقاطی که مشتق اول صفر یا تعریف نشده است را بیابید (نقاط بحرانی).\n۳. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید.\n۴. نقاطی که مشتق دوم صفر یا تعریف نشده است را بیابید (نامزدهای نقاط عطف).\n۵. با بررسی تغییر علامت مشتق دوم در اطراف این نقاط، نقاط عطف را تعیین کنید.\n۶. با بررسی علامت مشتق اول در اطراف نقاط بحرانی، نوع نقاط بحرانی (حداکثر یا حداقل) را مشخص کنید.\n۷. حدهای تابع در بی‌نهایت را بررسی کنید تا رفتار تابع در دوردست‌ها را بفهمید.\n۸. نمودار تغییرات مشتق اول، مشتق دوم و خود تابع را رسم کنید تا تحلیل کامل شود."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "رسم نمودار تابع (۱)", "تحلیل و رسم نمودار تابع هم‌گرافیک"], {"intro": "۱. تابع هم‌گرافیک به صورت f(x) = (ax+b)/(cx+d) با c ≠ ۰ تعریف می‌شود.\n۲. حد تابع در بی‌نهایت را محاسبه کنید تا مجانب افقی y = a/c را بیابید.\n۳. حد تابع در نقطه x = -d/c را بررسی کنید تا مجانب قائم x = -d/c مشخص شود.\n۴. دامنه تابع را تعیین کنید (مقداری که مخرج صفر می‌شود حذف می‌شود).\n۵. مشتق اول تابع را محاسبه کنید تا نقاط بحرانی و رفتار افزایشی یا کاهشی تابع مشخص شود.\n۶. مشتق دوم را محاسبه کنید تا نقاط عطف و تقعر تابع تعیین شود.\n۷. با استفاده از اطلاعات به دست آمده، جدول تغییرات تابع را رسم کنید.\n۸. نمودار تابع را با توجه به مجانب‌ها، نقاط قطع با محور و رفتار تابع رسم کنید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "رسم نمودار تابع (۲)", "تحلیل رفتار تابع با استفاده از مشتق دوم"], {"intro": "۱. مشتق اول تابع را محاسبه کنید تا نقاط بحرانی و بازه‌های صعود و نزول را بیابید.\n۲. مشتق دوم تابع را محاسبه کنید تا تقعر تابع را در بازه‌های مختلف تعیین کنید.\n۳. با توجه به علامت مشتق دوم، نقاطی که تقعر به سمت بالا یا پایین است را مشخص کنید.\n۴. جدول تغییرات مشتق اول و مشتق دوم را رسم کنید تا رفتار تابع در بازه‌های مختلف مشخص شود.\n۵. با استفاده از جدول تغییرات و نقاط بحرانی، نمودار تقریبی تابع را رسم کنید.", "steps": ["دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی است و تابع در تمام دامنه‌اش پیوسته و مشتق‌پذیر است. مشتق اول و دوم را محاسبه می‌کنیم:", "f(x) = x³", "f'(x) = ۳x²", "f''(x) = ۶x", "نقاطی که مشتق اول و دوم صفر می‌شوند:", "✅ جواب: نمودار تابع x³ یک منحنی صعودی با نقطه عطف در مبدأ است."]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "رسم نمودار تابع (۲)", "رسم جدول و نمودار توابع"], {"intro": "۱. تابع داده شده را بررسی کنید.\n۲. مقادیر تابع را برای نقاط مختلف x محاسبه کنید.\n۳. جدول مقادیر x و f(x) را رسم کنید.\n۴. نقاط به دست آمده را روی دستگاه مختصات رسم کنید.\n۵. نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار تابع به دست آید.", "example": "جدول رفتار و نمودار تابع f(x) = (x - ۱)² (x + ۳) را رسم کنید.", "steps": ["دامنه تابع تمام اعداد حقیقی است و تابع پیوسته و مشتق‌پذیر است.", "نقاط برخورد تابع با محور x:", "f(x) = ۰ → (x - ۱)² (x + ۳) = ۰ → x = ۱ یا x = -۳", "نقطه برخورد تابع با محور y:", "برای x = ۰، f(۰) = (۰ - ۱)² (۰ + ۳) = ۱ * ۳ = ۳", "✅ جواب: دامنه R، ریشه‌ها -۳ و ۱ (دوگانه)، y=۳، مشتق (x-۱)(۳x+۵)، نقاط بحرانی ۱ و -۵/۳."]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "رسم نمودار تابع (۲)", "یافتن تابع گویا با شرایط داده شده"], {"intro": "۱. تابع گویا را به صورت f(x) = (ax + b) / (cx + d) فرض کنید.\n۲. شرایط داده شده (محل تقاطع با محورهای مختصات) را به صورت معادلات برای a، b، c و d بنویسید.\n۳. معادلات را حل کنید تا مقادیر a، b، c و d به دست آید.\n۴. تابع نهایی را با مقادیر به دست آمده بنویسید."}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "رسم نمودار تابع (۲)", "تشخیص نمودار تابع داده شده"], {"intro": "۱. تابع داده شده را بررسی کنید و درجه و ضریب‌های آن را مشخص کنید.\n۲. رفتار کلی تابع (شیب، نقاط بحرانی، تقعر) را تحلیل کنید.\n۳. نمودارهای داده شده را بررسی کنید و با توجه به ویژگی‌های تابع، نمودار صحیح را انتخاب کنید.\n۴. نقاط تقاطع، نقاط بحرانی و رفتار انتهایی نمودار را با تابع تطبیق دهید."}], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 1 (۱)", "ادامه الگوهای عددی"], {"figures": []}], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 1 (۲)", "الگوی عددی"], {"figures": []}], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 5 (۲)", "تکمیل الگوی عددی"], {"figures": []}], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 6 (۱)", "رابطه بین تعداد مربع‌ها و شماره شکل‌ها"], {"figures": []}], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 6 (۲)", "رسم و تکمیل جدول الگو"], {"figures": []}], [["پایه ششم", "فصل ۴: تقارن و مختصات", "تقارن و مختصات — گروه 5 (۱)", "چرخش شکل"], {"figures": []}], [["پایه ششم", "فصل ۴: تقارن و مختصات", "تقارن و مختصات — گروه 5 (۲)", "چرخش شکل حول نقطه"], {"figures": []}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 2 (۲)", "تکمیل جدول زوایا"], {"intro": "۱. زاویه‌های داده‌شده را بررسی کنید. ۲. برای هر زاویه، نوع آن (تند، قائمه، باز یا نیم‌صفحه) را مشخص کنید. ۳. زاویه‌ی متمم یعنی مجموع دو زاویه ۹۰ درجه باشد و زاویه‌ی مکمل یعنی مجموع دو زاویه ۱۸۰ درجه باشد؛ برای پیدا کردن هر کدام، زاویه‌ی داده‌شده را از ۹۰ یا ۱۸۰ کم کنید."}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 3 (۲)", "مجموع زوایای متقابل"], {"intro": "۱. دو زاویه‌ی متقابل به رأس با هم برابرند؛ پس مجموعشان دو برابر یکی از آن‌هاست. ۲. دو زاویه‌ی کنار هم که روی یک خط راست‌اند، مجموعشان ۱۸۰ درجه است. ۳. برای پیدا کردن زاویه‌ی مجهول، یا برابری زاویه‌های متقابل به رأس را به کار ببرید یا زاویه‌ی داده‌شده را از ۱۸۰ کم کنید."}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 3 (۲)", "مجموع زوایای مکمل"], {"intro": "۱. اگر دو زاویه مکمل باشند، مجموع آن‌ها ۱۸۰ درجه است (روی یک خط راست). ۲. اگر دو زاویه متمم باشند، مجموع آن‌ها ۹۰ درجه است. ۳. برای یافتن زاویه‌ی مجهول، زاویه‌ی داده‌شده را از ۱۸۰ (مکمل) یا ۹۰ (متمم) کم کنید."}], [["پایه هفتم", "فصل ۴: هندسه و استدلال", "هندسه و استدلال — گروه 2 (۱)", "تساوی زاویه‌ها"], {"intro": "۱. به شکل نگاه کنید و زاویه‌های متقابل به رأس را پیدا کنید؛ این زاویه‌ها با هم برابرند.\n۲. اگر دو زاویه متمم باشند، مجموعشان ۹۰ درجه است.\n۳. اگر دو زاویه مکمل باشند، مجموعشان ۱۸۰ درجه است."}], [["پایه هفتم", "فصل ۴: هندسه و استدلال", "هندسه و استدلال — گروه 4 (۲)", "زاویه‌های مکمل و مجاور"], {"intro": "دو زاویه‌ی مجاور که روی یک خط راست‌اند مکمل‌اند و مجموعشان ۱۸۰ درجه است. دو زاویه‌ی متمم مجموعشان ۹۰ درجه است. برای حل مسئله، زاویه‌ی داده‌شده را از ۱۸۰ (مکمل) یا ۹۰ (متمم) کم کنید."}], [["پایه چهارم", "فصل ۶: شکل‌های هندسی", "عمود و موازی (۱)", "اندازه‌گیری زاویه با استفاده از زاویه‌های مکمل"], {"intro": "برای پیدا کردن اندازه‌ی زاویه‌ی مجهول، از این نکته استفاده می‌کنیم که دو زاویه‌ی روی یک خط راست مکمل‌اند و جمعشان ۱۸۰ درجه است. بنابراین زاویه‌ی مجهول را با کم کردن زاویه‌ی معلوم از ۱۸۰ درجه به دست می‌آوریم."}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 2 (۱)", "رسم و تحلیل نمودار تناسب"], {"figures": []}], [["پایه هفتم", "فصل ۱: راهبردهای حل مسئله", "راهبردهای حل مسئله — گروه 1 (۲)", "تشخیص الگوهای عددی"], {"figures": []}], [["پایه هفتم", "فصل ۱: راهبردهای حل مسئله", "راهبردهای حل مسئله — گروه 4 (۲)", "پرش قورباغه"], {"figures": []}], [["پایه هفتم", "فصل ۲: عددهای صحیح", "عددهای صحیح — گروه 1 (۱)", "الگوهای عددی"], {"figures": []}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "عددنویسی (۱)", "ادامه دادن الگوهای عددی"], {"figures": []}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "عددنویسی (۱)", "یافتن رابطه بین اعداد بدون استفاده از شکل"], {"figures": []}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "عددنویسی (۱)", "ادامه الگوهای عددی"], {"figures": []}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "الگوها (۱)", "ادامه دادن الگوهای عددی با افزایش ثابت"], {"figures": []}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "الگوها (۱)", "ادامه دادن الگوهای عددی با کاهش ثابت"], {"figures": []}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "ماشین ورودی ـ خروجی (۲)", "مقایسه ورودی و خروجی جدول و توضیح رابطه"], {"figures": []}], [["پایه چهارم", "فصل ۱: اعداد و الگوها", "معرفی میلیون (۱)", "ادامه دادن الگوهای عددی"], {"figures": []}], [["پایه چهارم", "فصل ۳: ضرب و تقسیم", "تقسیم و بخش‌پذیری (۳)", "ادامه الگوهای عددی"], {"figures": []}]], "question_set": [[["پایه نهم", "فصل ۳: استدلال و اثبات در هندسه", "شکل‌های متشابه (۲)", "محاسبه فاصله در مختصات"], "در نقشه‌ای با مقیاس ۱:۲۰۰، فاصلهٔ دو نقطه روی نقشه ۲.۵ سانتی‌متر است. فاصلهٔ واقعی چقدر است؟", {"prompt": "در نقشه‌ای با مقیاس ۱:۲۰۰، فاصلهٔ دو نقطه روی نقشه ۲٫۵ سانتی‌متر است. فاصلهٔ واقعی چقدر است؟", "choices": ["۰٫۵ متر", "۵ متر", "۲۰۰ متر", "۵۰ متر"]}], [["پایه نهم", "فصل ۷: عبارت‌های گویا", "معرفی و ساده کردن عبارت‌های گویا (۱)", "ساده‌سازی عبارت‌های گویا"], "عبارت گویای (m² − ۱۶)/(۴ − m) پس از ساده‌سازی کدام است؟", {"prompt": "عبارت گویای (m² − ۱۶)/(۴ − m) پس از ساده‌سازی کدام است؟", "choices": ["-(m + ۴)", "-(m - ۴)", "m + ۴", "m - ۴"]}], [["پایه نهم", "فصل ۷: عبارت‌های گویا", "محاسبات عبارت‌های گویا (۱)", "جمع و تفریق عبارت‌های گویا"], "حاصل (۳x + ۷)/(x + y) + (۲x − ۳)/(x + y) کدام است؟", {"prompt": "حاصل (۳x + ۷)/(x + y) + (۲x − ۳)/(x + y) کدام است؟", "choices": ["(۵x+۴)/(۲x+۲y)", "(۵x+۴)/(x+y)", "(۵x-۴)/(x+y)", "(x+۴)/(x+y)"]}], [["پایه نهم", "فصل ۷: عبارت‌های گویا", "محاسبات عبارت‌های گویا (۳)", "نسبت محیط به مساحت"], "طول مستطیلی از دو برابر عرضش یک واحد کمتر است. اگر عرض را x بنامیم، نسبت محیط به مساحت کدام است؟", {"prompt": "طول مستطیلی از دو برابر عرضش یک واحد کمتر است. اگر عرض را x بنامیم، نسبت محیط به مساحت کدام است؟", "choices": ["(۴x-۱)/(۲x²-x)", "(۶x-۲)/(x²-۲x)", "(۶x-۲)/(۲x²-x)", "(۶x-۲)/(۲x²+x)"]}], [["پایه نهم", "فصل ۷: عبارت‌های گویا", "تقسیم چندجمله‌ای‌ها", "تقسیم چند جمله‌ای بر تک جمله‌ای"], "حاصل (۱۲x³ − ax + y)/۶ کدام است؟", {"prompt": "حاصل (۱۲x³ − ax + y)/۶ کدام است؟", "choices": ["۲x³ - (a/۶)x + y/۶", "۲x³ - ax + y", "۱۲x³ - (a/۶)x + y/۶", "۲x³ - (a/۶)x - y/۶"]}], [["پایه نهم", "فصل ۷: عبارت‌های گویا", "تقسیم چندجمله‌ای‌ها", "تقسیم چندجمله‌ای‌ها"], "باقیماندهٔ تقسیم چندجمله‌ای x³-3x²+x+7 بر x-2 کدام است؟", {"prompt": "باقیماندهٔ تقسیم چندجمله‌ای x³-۳x²+x+۷ بر x-۲ کدام است؟", "choices": ["۵", "۳", "-۵", "۷"]}], [["پایه نهم", "فصل ۸: حجم و مساحت", "حجم و مساحت کره", "محاسبه حجم استوانه"], "استوانه‌ای قطر قاعده‌اش ۶۰ سانتی‌متر و ارتفاعش یک متر است. حجم آن بر حسب متر مکعب (π≈۳.۱۴) چقدر است؟", {"prompt": "استوانه‌ای قطر قاعده‌اش ۶۰ سانتی‌متر و ارتفاعش یک متر است. حجم آن بر حسب متر مکعب (π≈۳٫۱۴) چقدر است؟", "choices": ["≈۲۸٫۳", "≈۲٫۸۳", "≈۲۸۲٫۷", "≈۰٫۲۸۳"]}], [["پایه نهم", "فصل ۸: حجم و مساحت", "حجم و مساحت کره", "محاسبه ارتفاع مایع در استوانه"], "پیمانه‌ای نیم‌کره‌ای به قطر دهانهٔ ۲۴ سانتی‌متر پر از آب را در لیوان استوانه‌ای هم‌قطر خالی می‌کنیم. آب تا چه ارتفاعی بالا می‌آید؟", {"prompt": "پیمانه‌ای نیم‌کره‌ای به قطر دهانهٔ ۲۴ سانتی‌متر پر از آب را در لیوان استوانه‌ای هم‌قطر خالی می‌کنیم. آب تا چه ارتفاعی بالا می‌آید؟", "choices": ["۸ سانتی‌متر", "۲٫۵۳ سانتی‌متر", "۱۶ سانتی‌متر", "۴ سانتی‌متر"]}], [["پایه نهم", "فصل ۸: حجم و مساحت", "حجم هرم و مخروط", "مقایسه حجم‌ها"], "مخروطی به شعاع دهانهٔ ۴ سانتی‌متر و ارتفاع ۱۲ سانتی‌متر را از آب پر و در لیوان استوانه‌ای به شعاع ۶ سانتی‌متر خالی می‌کنیم. آب تا چه ارتفاعی بالا می‌آید؟", {"prompt": "مخروطی به شعاع دهانهٔ ۴ سانتی‌متر و ارتفاع ۱۲ سانتی‌متر را از آب پر و در لیوان استوانه‌ای به شعاع ۶ سانتی‌متر خالی می‌کنیم. آب تا چه ارتفاعی بالا می‌آید؟", "choices": ["≈۳٫۵۶ سانتی‌متر", "≈۰٫۸۹ سانتی‌متر", "≈۱٫۷۸ سانتی‌متر", "≈۴ سانتی‌متر"]}], [["پایه نهم", "فصل ۲: عددهای حقیقی", "عددهای حقیقی (۲)", "تفاوت مجموعه‌ها"], "در نظر بگیرید A = { x ∈ R | (1)/(5) < x < 0 } و B = { x ∈ Q | (1)/(5) < x < 0 }. کدام گزینه به درستی A ∖ B را نشان می‌دهد؟", {"prompt": "در نظر بگیرید A = { x ∈ R | ۱/۵ < x < ۰ } و B = { x ∈ Q | ۱/۵ < x < ۰ }. کدام گزینه به درستی A ∖ B را نشان می‌دهد؟", "choices": ["{ x ∈ R | ۱/۵ < x < ۰ و x ∉ Q }", "{ x ∈ Q | ۱/۵ < x < ۰ }", "{ x ∈ R | ۱/۵ < x < ۰ }", "∅"]}], [["پایه نهم", "فصل ۲: عددهای حقیقی", "قدر مطلق و محاسبهٔ تقریبی (۱)", "مقایسه اعداد"], "با توجه به a > 0 و b < 0، کدام عبارت زیر صحیح است؟", {"prompt": "با توجه به a > ۰ و b < ۰، کدام عبارت زیر صحیح است؟", "choices": ["الف) a مثبت و b منفی است", "ب) a و b هر دو مثبت هستند", "ج) a منفی و b مثبت است", "د) a و b هر دو منفی هستند"]}], [["پایه نهم", "فصل ۴: توان و ریشه", "جمع و تفریق رادیکال‌ها (۲)", "مقایسه ریشه‌ها"], "کدام‌یک از مجموعه‌های زیر شامل سه عدد صحیح مختلف است که برای هر یک نامساوی √a<√4 برقرار باشد؟", {"prompt": "کدام‌یک از مجموعه‌های زیر شامل سه عدد صحیح مختلف است که برای هر یک نامساوی √a<√۴ برقرار باشد؟", "choices": ["{۰,۱,۲}", "{۱,۲,۴}", "{۲,۳,۵}", "{-۱,۰,۱}"]}], [["پایه نهم", "فصل ۶: خط و معادله‌های خطی", "معادلهٔ خط (۱)", "نوشتن معادله خط"], "معادله خطی بنویسید که شیب آن ۲ و عرض از مبدأ آن −۱ باشد.", {"prompt": "معادله خطی بنویسید که شیب آن ۲ و عرض از مبدأ آن −۱ باشد.", "choices": ["y=۲x−۱", "y=۲x+۱", "y=۱/۲x−۱", "y=−۲x−۱"]}], [["پایه نهم", "فصل ۶: خط و معادله‌های خطی", "شیب خط و عرض از مبدأ (۱)", "یافتن معادله خط"], "خط d۱ محور عرض‌ها را در نقطهٔ (۰،۱) قطع کرده و شیب آن برابر با (۳)/(۲) است. معادلهٔ خط d۱ را بنویسید.", {"prompt": "خط d۱ محور عرض‌ها را در نقطهٔ (۰،۱) قطع کرده و شیب آن برابر با ۳/۲ است. معادلهٔ خط d۱ را بنویسید.", "choices": ["y = ۳/۲x + ۱", "y = ۲/۳x + ۱", "y = ۳/۲x - ۱", "y = ۳/۲x + ۲"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۱: عددهای صحیح و گویا", "معرفی عددهای گویا (۲)", "یافتن کسرهای مساوی"], "کدام‌یک کسرِ مساویِ (-2)/(3) است؟", {"prompt": "کدام‌یک کسرِ مساویِ (-۲)/(۳) است؟", "choices": ["(-۴)/(۶)", "(-۴)/(۳)", "(-۲)/(۶)", "۴/۶"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۱: عددهای صحیح و گویا", "جمع و تفریق عددهای گویا (۱)", "جمع و تفریق اعداد گویا"], "مقدار عبارت (۵)/(۳) + (−۴)/(۳) چقدر است؟", {"prompt": "مقدار عبارت ۵/۳ + (−۴)/(۳) چقدر است؟", "choices": ["۱/۳", "۱/۶", "(−۱)/(۳)", "۳"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۱: عددهای صحیح و گویا", "ضرب و تقسیم عددهای گویا (۱)", "معکوس کسرها"], "معکوس عدد (۳)/(۵) کدام است؟", {"prompt": "معکوس عدد ۳/۵ کدام است؟", "choices": ["۵/۳", "۳/۵", "(-۳)/(۵)", "(-۵)/(۳)"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۱: عددهای صحیح و گویا", "ضرب و تقسیم عددهای گویا (۲)", "تبدیل کسر به عدد اعشاری"], "کسر (5)/(6) را به عدد اعشاری تا چهار رقم اعشار تبدیل کنید.", {"prompt": "کسر ۵/۶ را به عدد اعشاری تا چهار رقم اعشار تبدیل کنید.", "choices": ["۰٫۸۳۳۳", "۰٫۸۳۳", "۰٫۸۳۳۴", "۰٫۸۳۳۳۳"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۱: عددهای صحیح و گویا", "ضرب و تقسیم عددهای گویا (۲)", "جمع و تفریق اعداد گویا"], "صورت سؤال: حاصل عبارت (۵)/(۳) + (−۴)/(۳) چیست؟", {"prompt": "صورت سؤال: حاصل عبارت ۵/۳ + (−۴)/(۳) چیست؟", "choices": ["۱/۳", "۳", "۱/۶", "(-۱)/(۳)"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۱: راهبردهای حل مسئله", "راهبردهای حل مسئله — گروه 1 (۲)", "جایگذاری عدد در معادله"], "به جای □ چه عددی می‌توان قرار داد؟ □ × ۱۰ + ۰ = ۳۱", {"prompt": "به جای □ چه عددی می‌توان قرار داد؟ □ × ۱۰ + ۰ = ۳۱", "choices": ["۳/۶", "۲/۶", "۳٫۱", "۶/۲"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 4 (۱)", "محاسبه توان با استفاده از ماشین حساب"], "حاصل a⁻² - b² + ab را برای a = -۲ و b = ۲ به‌دست آورید.", {"prompt": "حاصل a⁻² - b² + ab را برای a = -۲ و b = ۲ به‌دست آورید.", "choices": ["-۱۵/۵", "-۷٫۷۵", "-۷/۲", "-۸/۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 4 (۱)", "ساختن عدد اعشاری با کارت‌ها"], "با کارت‌های ۱، ۹، ۷ بیشترین عدد اعشاری را بسازید.", {"prompt": "با کارت‌های ۱، ۹، ۷ بیشترین عدد اعشاری را بسازید.", "choices": ["۹٫۱۷", "۱۷٫۹", "۱۹٫۷", "۱٫۹۷"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 6 (۲)", "پر کردن جای خالی کسرها"], "جای خالی را پر کنید: (۱)/(۵) < __ < (۱)/(۳)", {"prompt": "جای خالی را پر کنید: ۱/۵ < __ < ۱/۳", "choices": ["۱/۲", "۱/۴", "۲/۹", "۱/۶"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 4 (۱)", "محاسبه درصد تغییرات"], "تولید امسال (۱)/(۵) برابر سال گذشته است. این برابر با چند درصد است؟", {"prompt": "تولید امسال ۱/۵ برابر سال گذشته است. این برابر با چند درصد است؟", "choices": ["۲۰%", "۱۵۰%", "۱۲۰%", "۲۵%"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 1 (۱)", "تبدیل کسر به درصد"], "کسر (۱)/(۸) را به درصد تبدیل کنید.", {"prompt": "کسر ۱/۸ را به درصد تبدیل کنید.", "choices": ["۱۶%", "۱۲/۵%", "۱۸%", "۲۰%"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 2 (۲)", "توزیع کسرها در بسته‌ها"], "۴ کیلوگرم را در بسته‌های (۳)/(۴) کیلوگرمی تقسیم کنید. چند بسته لازم است؟", {"prompt": "۴ کیلوگرم را در بسته‌های ۳/۴ کیلوگرمی تقسیم کنید. چند بسته لازم است؟", "choices": ["۶", "۴ و ۲/۳", "۵ و ۱/۳", "۴"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 3 (۱)", "جمع و تفریق کسرها"], "(۷)/(۱۰) + (۳)/(۱۰) = ؟", {"prompt": "۷/۱۰ + ۳/۱۰ = ؟", "choices": ["۱", "۱۰/۲۰", "۱۰/۱۰", "۱/۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 6 (۲)", "یافتن کسرهای خاص"], "(۱)/(۵) برابر (۳)/(۴) را پیدا کنید.", {"prompt": "۱/۵ برابر ۳/۴ را پیدا کنید.", "choices": ["۳/۲۰", "۴/۲۰", "۲/۲۰", "۳/۱۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 1 (۲)", "تکمیل جدول تناسب"], "(۲۰)/(۱۰۰) = ۰/۲ = ؟٪", {"prompt": "۲۰/۱۰۰ = ۰/۲ = ؟٪", "choices": ["۲۰%", "۲%", "۳۰%", "۱۵%"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 6 (۱)", "نوشتن کسرها به صورت معادله"], "(۳)/(۴) - __ = (۱)/(۴)، جای خالی چیست؟", {"prompt": "۳/۴ - __ = ۱/۴، جای خالی چیست؟", "choices": ["۳/۴", "۱/۴", "۲/۴", "۱/۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 1 (۱)", "انتخاب عدد از جدول و ضرب کسرها"], "(۳)/(۵) × (۵)/(۷) = ؟", {"prompt": "۳/۵ × ۵/۷ = ؟", "choices": ["۴/۷", "۱۵/۳۵", "۳/۷", "۳/۱۲"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 1 (۱)", "ترتیب اعداد جذر در محور"], "مقدار تقریبی √۷ کدام است؟", {"prompt": "مقدار تقریبی √۷ کدام است؟", "choices": ["۳", "۲", "۲٫۶۴۵", "۲٫۲۳۶"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۹: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 3 (۲)", "محاسبه احتمال با چرخنده"], "یک چرخنده ۸ بخش هم‌اندازه دارد که با اعداد ۱ تا ۸ شماره‌گذاری شده‌اند. احتمال ایستادن عقربه روی عدد ۳ چقدر است؟", {"prompt": "یک چرخنده ۸ بخش هم‌اندازه دارد که با اعداد ۱ تا ۸ شماره‌گذاری شده‌اند. احتمال ایستادن عقربه روی عدد ۳ چقدر است؟", "choices": ["۱/۸", "۱/۷", "۱/۶", "۱/۴"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 4 (۲)", "محاسبه توان‌های منفی"], "(−۲)⁻³ = ؟", {"prompt": "(−۲)⁻³ = ؟", "choices": ["۸", "−۰٫۱۲۵", "۰٫۱۲۵", "−۸"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۹: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 4", "مقایسه احتمال‌ها"], "احتمال وقوع یک رویداد غیرممکن (محال) چقدر است؟", {"prompt": "احتمال وقوع یک رویداد غیرممکن (محال) چقدر است؟", "choices": ["۱", "۰٫۵", "نامعلوم", "۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۱: راهبردهای حل مسئله", "راهبردهای حل مسئله — گروه 2 (۲)", "محاسبه درصد"], "کشاورزی زمینی به مساحت ۱۵ هکتار دارد. ۴۰٪ آن زیر کشت گندم است. مساحت زیر کشت گندم چند هکتار است؟", {"prompt": "کشاورزی زمینی به مساحت ۱۵ هکتار دارد. ۴۰٪ آن زیر کشت گندم است. مساحت زیر کشت گندم چند هکتار است؟", "choices": ["۳٫۷۵", "۴۰", "۶", "۵٫۲۵"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 3 (۲)", "محاسبه تعداد سنگ‌ها با مساحت مشخص"], "یک شرکت سنگ‌های مربعی به مساحت ۲۵۰۰ سانتی‌متر مربع خریده و در مجموع ۸۱ متر مربع سنگ دارد. اگر همه سنگ‌ها برای ساخت یک مربع بزرگ استفاده شوند، ضلع این مربع چند متر است؟", {"prompt": "یک شرکت سنگ‌های مربعی به مساحت ۲۵۰۰ سانتی‌متر مربع خریده و در مجموع ۸۱ متر مربع سنگ دارد. اگر همه سنگ‌ها برای ساخت یک مربع بزرگ استفاده شوند، ضلع این مربع چند متر است؟", "choices": ["۳۲۴", "۸۱", "۹", "۴۰٫۵"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۹: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 3 (۲)", "محاسبه احتمال ساده"], "چرخنده‌ای ۴ بخش مساوی دارد که ۱ بخش آن قرمز است. احتمال ایستادن عقربه روی بخش قرمز چقدر است؟", {"prompt": "چرخنده‌ای ۴ بخش مساوی دارد که ۱ بخش آن قرمز است. احتمال ایستادن عقربه روی بخش قرمز چقدر است؟", "choices": ["۱/۴", "۱/۳", "۱/۲", "۳/۴"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 2 (۱)", "تشکیل معادله از مسئله‌های کلامی"], "با سوزاندن ۵۰۰ کالری، ۲.۵ کیلوگرم از وزن کم می‌شود. برای کاهش ۱.۸ کیلوگرم در هفته، فرد باید روزانه چند کالری بسوزاند؟", {"prompt": "با سوزاندن ۵۰۰ کالری، ۲٫۵ کیلوگرم از وزن کم می‌شود. برای کاهش ۱٫۸ کیلوگرم در هفته، فرد باید روزانه چند کالری بسوزاند؟", "choices": ["۱۰۲٫۸۶", "۵۱٫۴۳", "۳۶۰", "۷۲"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "دنباله‌های حسابی و هندسی (۳)", "تشخیص نسبت دنباله‌های هندسی"], "دنباله ۷، ۲۸، ۱۱۲، ۴۴۸، ... یک دنباله هندسی است. قدر نسبت آن کدام است؟", {"prompt": "دنباله ۷، ۲۸، ۱۱۲، ۴۴۸، ... یک دنباله هندسی است. قدر نسبت آن کدام است؟", "choices": ["۴", "۲۱", "۰٫۲۵", "۱۶"]}], [["پایه دهم", "فصل ۲: مثلثات", "نسبت‌های مثلثاتی (۲)", "محاسبه مساحت مثلث با استفاده از دو ضلع و زاویه بین آن‌ها"], "در مثلثی طول دو ضلع AB و BC و زاویه بین آن‌ها θ است. مساحت این مثلث با کدام عبارت به‌دست می‌آید؟", {"prompt": "در مثلثی طول دو ضلع AB و BC و زاویه بین آن‌ها θ است. مساحت این مثلث با کدام عبارت به‌دست می‌آید؟", "choices": ["AB × BC", "۱/۲ × AB × BC × sinθ", "AB × BC × sinθ", "۱/۲ × AB × BC × cosθ"]}], [["پایه دهم", "فصل ۲: مثلثات", "نسبت‌های مثلثاتی (۲)", "محاسبه طول ضلع با استفاده از سینوس زاویه"], "در مثلثی وتر برابر ۳۰ متر و یک زاویه آن ۶۵ درجه است. طول ضلع مقابل این زاویه (BH) با استفاده از سینوس چند متر است؟", {"prompt": "در مثلثی وتر برابر ۳۰ متر و یک زاویه آن ۶۵ درجه است. طول ضلع مقابل این زاویه (BH) با استفاده از سینوس چند متر است؟", "choices": ["۲۷٫۱۹", "۱۲٫۶۸", "۳۳٫۰۸", "۳۰"]}], [["پایه دهم", "فصل ۲: مثلثات", "نسبت‌های مثلثاتی (۲)", "محاسبه ارتفاع با استفاده از تانژانت زاویه"], "علی می‌خواهد ارتفاع یک درخت را حساب کند. طول سایه درخت ۳ متر، طول سایه علی ۰.۵ متر و قد علی ۱.۵ متر است. ارتفاع درخت چند متر است؟", {"prompt": "علی می‌خواهد ارتفاع یک درخت را حساب کند. طول سایه درخت ۳ متر، طول سایه علی ۰٫۵ متر و قد علی ۱٫۵ متر است. ارتفاع درخت چند متر است؟", "choices": ["۱", "۴٫۵", "۶", "۹"]}], [["پایه دهم", "فصل ۲: مثلثات", "دایرهٔ مثلثاتی (۲)", "تعیین نسبت‌های مثلثاتی از مختصات نقطه"], "نقطه P مختصات (√۳/۲ , ۱/۲) دارد. مقدار tanθ کدام است؟", {"prompt": "نقطه P مختصات (√۳/۲ , ۱/۲) دارد. مقدار tanθ کدام است؟", "choices": ["(۱)/(√۳)", "√۳", "(√۳)/(۲)", "۱/۲"]}], [["پایه دهم", "فصل ۲: مثلثات", "دایرهٔ مثلثاتی (۳)", "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی"], "اگر cos α = (۳)/(۴) و α در ربع چهارم باشد، sin α چند است؟", {"prompt": "اگر cos α = ۳/۴ و α در ربع چهارم باشد، sin α چند است؟", "choices": ["−(√۷)/۴", "(√۷)/۴", "−(√۷)/۳", "−(۳)/۴"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری (۲)", "گویا کردن مخرج کسرها"], "عبارت (۵)/(√۳) را گویا کنید.", {"prompt": "عبارت (۵)/(√۳) را گویا کنید.", "choices": ["(۵√۳)/۹", "۵/۳", "(۵√۳)/۳", "(√۳)/۳"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "تعیین علامت (۱)", "تعیین علامت عبارت خطی"], "ریشهٔ عبارت y = ۵x − ۲ (مقدار x که y را صفر می‌کند) کدام است؟", {"prompt": "ریشهٔ عبارت y = ۵x − ۲ (مقدار x که y را صفر می‌کند) کدام است؟", "choices": ["x = ۵/۲", "x = ۲", "x = ۲/۵", "x = −۲/۵"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "تعیین علامت (۲)", "تبدیل واحد دما"], "دمای ۲۵ درجهٔ سلسیوس معادل چند درجهٔ فارنهایت است؟ (F=(۹)/(۵)×C+۳۲)", {"prompt": "دمای ۲۵ درجهٔ سلسیوس معادل چند درجهٔ فارنهایت است؟ (F=۹/۵×C+۳۲)", "choices": ["۴۵", "۷۷", "۵۹", "۹۰"]}], [["پایه دهم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۱)", "احتمال انتخاب مهره"], "در جعبه‌ای ۹ مهرهٔ قرمز و ۶ مهرهٔ آبی است. اگر ۳ مهره تصادفی انتخاب شود، احتمال ۲ قرمز و ۱ آبی چقدر است؟", {"prompt": "در جعبه‌ای ۹ مهرهٔ قرمز و ۶ مهرهٔ آبی است. اگر ۳ مهره تصادفی انتخاب شود، احتمال ۲ قرمز و ۱ آبی چقدر است؟", "choices": ["۹/۱۵", "۳۶/۴۵۵", "۱۸۰/۴۵۵", "۲۱۶/۴۵۵"]}], [["پایه دهم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۲)", "احتمال پیشامدها"], "دو تاس را با هم می‌اندازیم. احتمال اینکه عدد هر دو تاس فرد باشد چقدر است؟", {"prompt": "دو تاس را با هم می‌اندازیم. احتمال اینکه عدد هر دو تاس فرد باشد چقدر است؟", "choices": ["۱/۶", "۳/۴", "۱/۴", "۱/۲"]}], [["پایه دهم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۲)", "احتمال"], "در جعبه‌ای ۴ مهرهٔ آبی و ۳ مهرهٔ قرمز است. اگر ۳ مهره تصادفی خارج شود، احتمال اینکه هر سه آبی باشند چقدر است؟", {"prompt": "در جعبه‌ای ۴ مهرهٔ آبی و ۳ مهرهٔ قرمز است. اگر ۳ مهره تصادفی خارج شود، احتمال اینکه هر سه آبی باشند چقدر است؟", "choices": ["۱/۳۵", "۳/۷", "۴/۳۵", "۱۲/۳۵"]}], [["پایه دهم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۳)", "محاسبه احتمال"], "دو تاس را با هم می‌اندازیم. احتمال اینکه عدد هر دو تاس زوج باشد چقدر است؟", {"prompt": "دو تاس را با هم می‌اندازیم. احتمال اینکه عدد هر دو تاس زوج باشد چقدر است؟", "choices": ["۱/۶", "۱/۴", "۱/۲", "۳/۴"]}], [["پایه دهم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۳)", "احتمال مرتب‌سازی تصادفی"], "۷ نفر که دو نفرشان برادرند، تصادفی در یک ردیف می‌نشینند. احتمال کنار هم نشستن دو برادر چقدر است؟", {"prompt": "۷ نفر که دو نفرشان برادرند، تصادفی در یک ردیف می‌نشینند. احتمال کنار هم نشستن دو برادر چقدر است؟", "choices": ["۱/۷", "۱/۲۱", "۵/۷", "۲/۷"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۳: جبر و معادله", "جبر و معادله — گروه 1 (۲)", "تشخیص معادله درست"], "معادلهٔ x − (۱)/(۲) = x − (۱)/(۲) چند جواب دارد؟", {"prompt": "معادلهٔ x − ۱/۲ = x − ۱/۲ چند جواب دارد؟", "choices": ["فقط x=۰", "فقط x=۱/۲", "هیچ جوابی ندارد", "بی‌نهایت جواب (همهٔ اعداد حقیقی)"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "معادله (۲)", "حل معادله"], "اگر (۵)/(۱۲)x - (۷)/(۱۸) = ۲ باشد، مقدار x کدام است؟", {"prompt": "اگر ۵/۱۲x - ۷/۱۸ = ۲ باشد، مقدار x کدام است؟", "choices": ["۸۶/۱۵", "۵۸/۱۵", "۲۴/۵", "۳۱/۵"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۲)", "محاسبه احتمال در کیسه مهره‌ها"], "از یک کیسه حاوی ۵۰ مهره، مهره‌ای تصادفی بیرون می‌آوریم. احتمال سبز بودن مهره (۳)/(۱۰) است. چند مهره سبز وجود دارد؟", {"prompt": "از یک کیسه حاوی ۵۰ مهره، مهره‌ای تصادفی بیرون می‌آوریم. احتمال سبز بودن مهره ۳/۱۰ است. چند مهره سبز وجود دارد؟", "choices": ["۱۵", "۳۰", "۵", "۱۰"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۲)", "محاسبه احتمال با استفاده از کیسه مهره‌ها"], "احتمال سبز بودن یک مهره در کیسه‌ای، (۳)/(۸) است. احتمال سبز نبودن آن مهره چقدر است؟", {"prompt": "احتمال سبز بودن یک مهره در کیسه‌ای، ۳/۸ است. احتمال سبز نبودن آن مهره چقدر است؟", "choices": ["۰٫۳۷۵", "۰٫۵", "۰٫۶۲۵", "۱٫۳۷۵"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "بررسی حالت‌های ممکن (۳)", "حالت‌های ممکن در پرتاب تاس"], "دو تاس را می‌اندازیم. احتمال اینکه هر دو تاس عدد ۱ بیاورند چقدر است؟", {"prompt": "دو تاس را می‌اندازیم. احتمال اینکه هر دو تاس عدد ۱ بیاورند چقدر است؟", "choices": ["۱/۶", "۱/۳۶", "۲/۳۶", "۱/۱۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 2 (۲)", "تبدیل واحد پولی"], "۸۰ ریال چند تومان است؟", {"prompt": "۸۰ ریال چند تومان است؟", "choices": ["۸۰۰", "۸", "۸۰", "۰٫۸"]}], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 5 (۱)", "محاسبه پول"], "۷۰۰۰ ریال چند تومان است؟", {"prompt": "۷۰۰۰ ریال چند تومان است؟", "choices": ["۷۰", "۷۰۰", "۷۰۰۰", "۰٫۷"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 5 (۱)", "محاسبه توان‌های کسری"], "مقدار (۱/۲)³ (یک‌دوم به توان ۳) چقدر است؟", {"prompt": "مقدار (۱/۲)³ (یک‌دوم به توان ۳) چقدر است؟", "choices": ["۱/۶", "۱/۸", "۱/۲", "۳/۸"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۹: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 1 (۱)", "انتخاب تصادفی از کیسه"], "کیسه‌ای سه مهره به رنگ‌های سبز، زرد و آبی دارد (هر رنگ یک مهره). اگر یک مهره را به‌طور تصادفی از کیسه بیرون بیاوریم، احتمال هر رنگ چقدر است؟", {"prompt": "کیسه‌ای سه مهره به رنگ‌های سبز، زرد و آبی دارد (هر رنگ یک مهره). اگر یک مهره را به‌طور تصادفی از کیسه بیرون بیاوریم، احتمال هر رنگ چقدر است؟", "choices": ["۱/۲", "۱/۳", "۲/۳", "۱/۴"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۹: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 3 (۲)", "محاسبه درصد"], "کشاورزی زمین خود را این‌گونه کشت کرده: گندم ۴۰٪، جو ۳۵٪، ذرت ۲۵٪. اگر مساحت کل زمین ۱۵ هکتار باشد، مساحت زیر کشت گندم چند هکتار است؟", {"prompt": "کشاورزی زمین خود را این‌گونه کشت کرده: گندم ۴۰٪، جو ۳۵٪، ذرت ۲۵٪. اگر مساحت کل زمین ۱۵ هکتار باشد، مساحت زیر کشت گندم چند هکتار است؟", "choices": ["۳٫۷۵", "۵٫۲۵", "۶", "۹"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۹: آمار و احتمال", "آمار و احتمال — گروه 4", "نمایش احتمال با کسر"], "یک تاس استاندارد (با اعداد ۱ تا ۶) را می‌اندازیم. نسبت تعداد حالت‌هایی که عدد زوج می‌آید به تعداد کل حالت‌ها چقدر است؟", {"prompt": "یک تاس استاندارد (با اعداد ۱ تا ۶) را می‌اندازیم. نسبت تعداد حالت‌هایی که عدد زوج می‌آید به تعداد کل حالت‌ها چقدر است؟", "choices": ["۱/۳", "۱/۲", "۲/۳", "۱/۶"]}], [["پایه سوم", "فصل ۱: الگوها", "الگوها — گروه 5 (۲)", "محاسبه با ماشین حساب"], "۲۴۰ ÷ ۱۰ چند می‌شود؟", {"prompt": "۲۴۰ ÷ ۱۰ چند می‌شود؟", "choices": ["۲٫۴", "۲۴", "۲۳۰", "۲۴۰۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۲: عددهای چهار رقمی", "عددهای چهار رقمی — گروه 2 (۱)", "تبدیل واحد وزن"], "۵۰۰۰ گرم چند کیلوگرم است؟", {"prompt": "۵۰۰۰ گرم چند کیلوگرم است؟", "choices": ["۰٫۵", "۵", "۵۰", "۵۰۰۰"]}], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 5 (۲)", "نمایش کسر روی خط‌کش"], "اگر ۲ قسمت از ۳ قسمت مساوی یک شکل رنگ شده باشد، این مقدار را به‌صورت کسر بنویسید.", {"prompt": "اگر ۲ قسمت از ۳ قسمت مساوی یک شکل رنگ شده باشد، این مقدار را به‌صورت کسر بنویسید.", "choices": ["۱/۳", "۲/۳", "۲/۵", "۳/۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۴: ضرب و تقسیم", "ضرب و تقسیم — گروه 2 (۱)", "تقسیم افراد در صف"], "۲۵ نفر می‌خواهند در صف‌های ۷ نفره برای نماز جماعت بایستند. چند صف کامل (۷ نفره) تشکیل می‌شود؟", {"prompt": "۲۵ نفر می‌خواهند در صف‌های ۷ نفره برای نماز جماعت بایستند. چند صف کامل (۷ نفره) تشکیل می‌شود؟", "choices": ["۲", "۳", "۳٫۵", "۴"]}], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 4 (۱)", "تفریق کسرها"], "حاصل ۵ و (۳)/(۷) منهای ۳ و (۱)/(۷) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۵ و ۳/۷ منهای ۳ و ۱/۷ کدام است؟", "choices": ["۱۶/۷", "۶۰/۷", "۱۵/۷", "۱۶/۱۴"]}], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 6 (۱)", "جمع کسرها"], "حاصل جمع (۱)/(۵) + (۳)/(۵) کدام است؟", {"prompt": "حاصل جمع ۱/۵ + ۳/۵ کدام است؟", "choices": ["۴/۱۰", "۴/۵", "۲/۵", "۵/۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 6 (۱)", "جمع کسرها"], "حاصل جمع (۱)/(۷) + (۱)/(۸) کدام است؟", {"prompt": "حاصل جمع ۱/۷ + ۱/۸ کدام است؟", "choices": ["۲/۱۵", "۱/۴", "۱۵/۵۶", "۱۵/۶۴"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 1 (۱)", "بسته‌بندی و تقسیم"], "۴ کیلوگرم چای در بسته‌های (۲)/(۵) کیلوگرمی بسته‌بندی می‌شود. تعداد بسته‌ها چند تاست؟", {"prompt": "۴ کیلوگرم چای در بسته‌های ۲/۵ کیلوگرمی بسته‌بندی می‌شود. تعداد بسته‌ها چند تاست؟", "choices": ["۲", "۸/۵", "۱۰", "۲۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 1 (۲)", "تقسیم زمین به کسرهای مختلف"], "کشاورزی نیمی از زمین را گندم کاشت. نیم دیگر را سه قسمت مساوی کرد و در یک قسمت جو و یک قسمت یونجه کاشت. قسمت سوم را هم نصف کرد و در یک قسمت آن سبزیجات کاشت. چه کسری از کل زمین سبزیجات است؟", {"prompt": "کشاورزی نیمی از زمین را گندم کاشت. نیم دیگر را سه قسمت مساوی کرد و در یک قسمت جو و یک قسمت یونجه کاشت. قسمت سوم را هم نصف کرد و در یک قسمت آن سبزیجات کاشت. چه کسری از کل زمین سبزیجات است؟", "choices": ["۱/۶", "۱/۴", "۱/۳", "۱/۱۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 2 (۱)", "تقسیم کسرها"], "حاصل تقسیم (۳)/(۵) ÷ (۹)/(۱۰) کدام است؟", {"prompt": "حاصل تقسیم ۳/۵ ÷ ۹/۱۰ کدام است؟", "choices": ["۵۰/۲۷", "۲/۳", "۲۷/۵۰", "۳/۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 2 (۱)", "تقسیم کسرها"], "حاصل تقسیم (۳)/(۴) ÷ (۲)/(۵) کدام است؟", {"prompt": "حاصل تقسیم ۳/۴ ÷ ۲/۵ کدام است؟", "choices": ["۸/۱۵", "۱۵/۸", "۶/۲۰", "۳/۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 3 (۱)", "جمع و تفریق کسرها با مخرج‌های مختلف"], "حاصل جمع (۵)/(۱۸) + (۱۰)/(۱۲) پس از ساده‌سازی کدام است؟", {"prompt": "حاصل جمع ۵/۱۸ + ۱۰/۱۲ پس از ساده‌سازی کدام است؟", "choices": ["۵/۶", "۲/۳", "۱۰/۹", "۱۵/۱۸"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 3 (۲)", "جمع کسرها"], "حاصل جمع (۱)/(۵) + (۳)/(۵) کدام است؟", {"prompt": "حاصل جمع ۱/۵ + ۳/۵ کدام است؟", "choices": ["۵/۵", "۲/۵", "۴/۱۰", "۴/۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 3 (۲)", "جمع کسرها با مخرج‌های متفاوت"], "حاصل جمع (۳)/(۴) + (۵)/(۶) کدام است؟", {"prompt": "حاصل جمع ۳/۴ + ۵/۶ کدام است؟", "choices": ["۱۹/۱۲", "۸/۱۰", "۷/۱۲", "۱۵/۱۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 4 (۱)", "ساده‌سازی کسرها"], "کسر (۴۲)/(۲۴) را تا حد امکان ساده کنید.", {"prompt": "کسر ۴۲/۲۴ را تا حد امکان ساده کنید.", "choices": ["۴/۷", "۷/۴", "۳/۲", "۷/۶"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 4 (۱)", "ساده کردن کسرها پس از ضرب"], "حاصل تقسیم (۱۸)/(۴) ÷ (۲۷)/(۵) پس از ساده‌سازی کدام است؟", {"prompt": "حاصل تقسیم ۱۸/۴ ÷ ۲۷/۵ پس از ساده‌سازی کدام است؟", "choices": ["۶/۵", "۵/۶", "۲/۳", "۹/۱۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 5 (۲)", "مقایسه کسرها"], "حاصل تفریق (۵)/(۶) − (۳)/(۴) کدام است؟", {"prompt": "حاصل تفریق ۵/۶ − ۳/۴ کدام است؟", "choices": ["۱/۶", "۱/۲", "۱/۱۲", "۲/۱۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 5 (۲)", "مقایسه کسرها"], "حاصل تفریق (۳)/(۴) − (۵)/(۸) کدام است؟", {"prompt": "حاصل تفریق ۳/۴ − ۵/۸ کدام است؟", "choices": ["۱/۲", "۱/۸", "۳/۸", "۱/۴"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 6 (۱)", "نمایش کسرها روی محور"], "کسر (۱)/(۳) وقتی به مخرج مشترک ۱۲ تبدیل شود، کدام کسر می‌شود؟", {"prompt": "کسر ۱/۳ وقتی به مخرج مشترک ۱۲ تبدیل شود، کدام کسر می‌شود؟", "choices": ["۳/۱۲", "۶/۱۲", "۴/۱۲", "۲/۱۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 6 (۲)", "پر کردن جای خالی کسرها"], "کدام کسر بین (۱)/(۵) و (۱)/(۳) قرار دارد؟", {"prompt": "کدام کسر بین ۱/۵ و ۱/۳ قرار دارد؟", "choices": ["۱/۲", "۱/۶", "۲/۳", "۱/۴"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 1 (۲)", "تبدیل تقسیم به کسر"], "حاصل (۱)/(۲) ÷ ۱۲ تا سه رقم اعشار کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۱/۲ ÷ ۱۲ تا سه رقم اعشار کدام است؟", "choices": ["۰/۰۲۴", "۰/۱۲۰", "۰/۰۴۲", "۰/۰۲۱"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 4 (۱)", "ساده‌سازی کسرها"], "کسر (۴۲)/(۲۴) را تا حد امکان ساده کنید.", {"prompt": "کسر ۴۲/۲۴ را تا حد امکان ساده کنید.", "choices": ["۷/۶", "۷/۴", "۴/۷", "۳/۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 1 (۱)", "تبدیل کسر به عدد اعشاری"], "کسر (۷)/(۸) را به صورت اعشاری بنویسید.", {"prompt": "کسر ۷/۸ را به صورت اعشاری بنویسید.", "choices": ["۰/۸۷۵", "۰/۷۸۵", "۰/۹۷۵", "۰/۶۷۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۷: تقریب", "تقریب — گروه 3 (۱)", "تقریب کسرها"], "کسر (۲)/(۵) را به عدد اعشاری تبدیل کرده و با تقریب کمتر از ۰٫۱ بیان کنید.", {"prompt": "کسر ۲/۵ را به عدد اعشاری تبدیل کرده و با تقریب کمتر از ۰٫۱ بیان کنید.", "choices": ["۰٫۲", "۰٫۴", "۰٫۵", "۲٫۵"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۴: هندسه و استدلال", "هندسه و استدلال — گروه 3 (۱)", "تناسب و تقسیم‌بندی خط"], "پاره‌خط‌های AB، BC، CD و DE با هم برابرند و روی یک خط راست پشت سر هم قرار دارند. مقدار AE/BE کدام است؟", {"prompt": "پاره‌خط‌های AB، BC، CD و DE با هم برابرند و روی یک خط راست پشت سر هم قرار دارند. مقدار AE/BE کدام است؟", "choices": ["۱/۲", "۳/۴", "۴/۳", "۴/۱"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۵: شمارنده‌ها و اعداد اول", "شمارنده‌ها و اعداد اول — گروه 3 (۲)", "ساده کردن کسرها"], "کسر (۱۸)/(۲۷) را ساده کنید.", {"prompt": "کسر ۱۸/۲۷ را ساده کنید.", "choices": ["۱/۲", "۲/۳", "۳/۵", "۵/۹"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۱)", "احتمال شرطی"], "پنج توپ با شماره‌های ۱ تا ۵ در جعبه‌ای است. احمد یکی را تصادفی برمی‌دارد و اگر زوج باشد جایزه می‌گیرد. احتمال بردن جایزه کدام است؟", {"prompt": "پنج توپ با شماره‌های ۱ تا ۵ در جعبه‌ای است. احمد یکی را تصادفی برمی‌دارد و اگر زوج باشد جایزه می‌گیرد. احتمال بردن جایزه کدام است؟", "choices": ["۱/۵", "۲/۵", "۳/۵", "۱/۲"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۲)", "محاسبه احتمال در کیسه مهره‌ها"], "در کیسه‌ای ۵۰ مهره‌ای، احتمال سبز بودن مهره (۳)/(۱۰) است. چند مهره سبزند؟", {"prompt": "در کیسه‌ای ۵۰ مهره‌ای، احتمال سبز بودن مهره ۳/۱۰ است. چند مهره سبزند؟", "choices": ["۱۰", "۱۵", "۲۰", "۳۰"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "بررسی حالت‌های ممکن (۱)", "بررسی حالات ممکن"], "وقتی دو سکه می‌اندازیم، احتمال اینکه هر دو پشت باشند کدام است؟", {"prompt": "وقتی دو سکه می‌اندازیم، احتمال اینکه هر دو پشت باشند کدام است؟", "choices": ["۱/۲", "۱/۳", "۱/۴", "۱/۸"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۹: دایره", "زاویه‌های مرکزی (۱)", "زاویه مرکزی و کمان دایره"], "اگر زاویه مرکزی AOB در دایره‌ای برابر ۳۶ درجه باشد، طول کمان AB چه کسری از محیط دایره است؟", {"prompt": "اگر زاویه مرکزی AOB در دایره‌ای برابر ۳۶ درجه باشد، طول کمان AB چه کسری از محیط دایره است؟", "choices": ["۱/۵", "۱/۸", "۱/۱۰", "۱/۱۲"]}], [["پایه دهم", "فصل ۲: مثلثات", "نسبت‌های مثلثاتی (۱)", "محاسبه زاویه با استفاده از نسبت‌های مثلثاتی"], "در یک مثلث قائم‌الزاویه متساوی‌الساقین، مقدار tan ۴۵° کدام است؟", {"prompt": "در یک مثلث قائم‌الزاویه متساوی‌الساقین، مقدار tan ۴۵° کدام است؟", "choices": ["۱/۲", "۱", "√۲", "۲"]}], [["پایه دهم", "فصل ۲: مثلثات", "نسبت‌های مثلثاتی (۱)", "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی در مثلث قائم‌الزاویه"], "در مثلث قائم‌الزاویه‌ای با AD=DC=۱ و AC=√۲، مقدار sin ۴۵° کدام است؟", {"prompt": "در مثلث قائم‌الزاویه‌ای با AD=DC=۱ و AC=√۲، مقدار sin ۴۵° کدام است؟", "choices": ["۱/۲", "(√۲)/(۲)", "√۲", "۱"]}], [["پایه دهم", "فصل ۲: مثلثات", "دایرهٔ مثلثاتی (۲)", "تعیین نسبت‌های مثلثاتی از مختصات نقطه"], "اگر مختصات نقطه P روی دایره مثلثاتی (√۳/۲ , ۱/۲) باشد، مقدار tanθ کدام است؟", {"prompt": "اگر مختصات نقطه P روی دایره مثلثاتی (√۳/۲ , ۱/۲) باشد، مقدار tanθ کدام است؟", "choices": ["√۳", "(√۳)/(۳)", "۱/۲", "۱/۳"]}], [["پایه دهم", "فصل ۲: مثلثات", "روابط بین نسبت‌های مثلثاتی", "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی"], "اگر cosα=(۳)/(۴) و α در ربع چهارم باشد، sinα کدام است؟", {"prompt": "اگر cosα=۳/۴ و α در ربع چهارم باشد، sinα کدام است؟", "choices": ["(√۷)/(۴)", "-(√۷)/(۴)", "-۳/۴", "-۷/۱۶"]}], [["پایه دهم", "فصل ۲: مثلثات", "روابط بین نسبت‌های مثلثاتی", "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی"], "در مثلث قائم‌الزاویه ABC با BC=۳ و وتر AC=۵، مقدار sinα کدام است؟", {"prompt": "در مثلث قائم‌الزاویه ABC با BC=۳ و وتر AC=۵، مقدار sinα کدام است؟", "choices": ["۳/۴", "۳/۵", "۴/۵", "۴/۳"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری (۲)", "گویا کردن مخرج کسرها"], "عبارت (۵)/(√۳) پس از گویا کردن مخرج کدام است؟", {"prompt": "عبارت (۵)/(√۳) پس از گویا کردن مخرج کدام است؟", "choices": ["۵/۳", "(۵√۳)/(۳)", "(۵√۳)/(۹)", "√۳/۳"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "تعیین علامت (۱)", "تعیین علامت عبارت خطی"], "ریشه عبارت y = ۵x - ۲ کدام است؟", {"prompt": "ریشه عبارت y = ۵x - ۲ کدام است؟", "choices": ["-۲/۵", "۲/۵", "۵/۲", "۲"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "تعیین علامت (۱)", "تعیین علامت عبارت"], "ریشه‌های عبارت A = (۲x−۱)(x−۳) کدام‌اند؟", {"prompt": "ریشه‌های عبارت A = (۲x−۱)(x−۳) کدام‌اند؟", "choices": ["۱ و ۳", "۱/۲ و ۳", "-۱/۲ و ۳", "۱/۲ و -۳"]}], [["پایه دهم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۱)", "احتمال انتخاب مهره"], "جعبه‌ای شامل ۹ مهره قرمز و ۶ مهره آبی است. اگر ۳ مهره به‌طور تصادفی انتخاب شود، احتمال اینکه ۲ مهره قرمز و ۱ مهره آبی باشد کدام است؟", {"prompt": "جعبه‌ای شامل ۹ مهره قرمز و ۶ مهره آبی است. اگر ۳ مهره به‌طور تصادفی انتخاب شود، احتمال اینکه ۲ مهره قرمز و ۱ مهره آبی باشد کدام است؟", "choices": ["۹/۱۵", "۱/۲", "۲۱۶/۴۵۵", "۳۶/۴۵۵"]}], [["پایه دهم", "فصل ۷: آمار و احتمال", "احتمال یا اندازه‌گیری شانس (۲)", "احتمال پیشامدها"], "وقتی دو تاس می‌اندازیم، احتمال اینکه هر دو عدد فرد باشند کدام است؟", {"prompt": "وقتی دو تاس می‌اندازیم، احتمال اینکه هر دو عدد فرد باشند کدام است؟", "choices": ["۱/۶", "۱/۴", "۱/۳", "۱/۲"]}], [["پایه نهم", "فصل ۲: عددهای حقیقی", "قدر مطلق و محاسبهٔ تقریبی (۲)", "مقایسه عبارات"], "قدر مطلق اعداد -√5 و 0.04 را به صورت عددی بیابید.", {"prompt": "قدر مطلق اعداد -√۵ و ۰٫۰۴ را به صورت عددی بیابید.", "choices": ["√۵ و ۰٫۰۴", "-√۵ و ۰٫۰۴", "√۵ و -۰٫۰۴", "-√۵ و -۰٫۰۴"]}], [["پایه نهم", "فصل ۴: توان و ریشه", "ریشه‌گیری (۱)", "محاسبه جمع ریشه‌ها"], "حاصل عبارت (1/7)² کدام است؟", {"prompt": "حاصل عبارت (۱/۷)² کدام است؟", "choices": ["۱/۴۹", "۱/۱۴", "-۱/۴۹", "۷/۱"]}], [["پایه نهم", "فصل ۵: عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری و مفهوم اتحاد (۲)", "تجزیه به کمک فاکتورگیری"], "حاصل عبارت (2/3 x⁷ y)³ × (2/3)³ (x³)³ y³ کدام است؟", {"prompt": "حاصل عبارت (۲/۳ x⁷ y)³ × (۲/۳)³ (x³)³ y³ کدام است؟", "choices": ["(۲/۳)⁶ x³⁰ y⁶", "(۲/۳)⁹ x³⁰ y⁶", "(۲/۳)⁶ x²¹ y³", "(۲/۳)⁶ x¹⁰ y⁶"]}], [["پایه نهم", "فصل ۵: عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری و مفهوم اتحاد (۳)", "ساده‌سازی عبارت‌های جبری"], "عبارت جبری (−5m)²(−7m)³ − (1/2 m)²(−7m)³ را ساده کنید.", {"prompt": "عبارت جبری (−۵m)²(−۷m)³ − (۱/۲ m)²(−۷m)³ را ساده کنید.", "choices": ["−۸۴۸۹/۲۵m⁵", "۸۵۷۵m⁵ − (۳۴۳/۴)m⁵", "−۸۵۷۵m⁵ − (۳۴۳/۴)m⁵", "۸۴۸۹/۲۵m⁵"]}], [["پایه نهم", "فصل ۵: عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری و مفهوم اتحاد (۳)", "محیط و مساحت شکل‌ها"], "حاصل عبارت (-3x³)² × (1/3 x)³ کدام است؟", {"prompt": "حاصل عبارت (-۳x³)² × (۱/۳ x)³ کدام است؟", "choices": ["(۱/۳) x⁹", "-(۱/۳) x⁹", "۹ x⁵", "(-۳) x⁶"]}], [["پایه نهم", "فصل ۵: عبارت‌های جبری", "چند اتحاد دیگر، تجزیه و کاربردها (۲)", "تجزیه عبارت‌ها به کمک اتحادها"], "حاصل عبارت (a+b+c)² طبق روش اول کدام است؟", {"prompt": "حاصل عبارت (a+b+c)² طبق روش اول کدام است؟", "choices": ["a² + ab + ac + ba + b² + bc + ca + cb + c²", "a² + ۲ab + b² + ۲ac + ۲bc + c²", "a² + b² + c²", "a² + ab + b² + ac + c²"]}], [["پایه نهم", "فصل ۵: عبارت‌های جبری", "نابرابری‌ها و نامعادله‌ها (۱)", "نوشتن نابرابری"], "اگر a = 1 و b = 5 و عدد x بین a و b باشد، کدام نامعادله درست است؟", {"prompt": "اگر a = ۱ و b = ۵ و عدد x بین a و b باشد، کدام نامعادله درست است؟", "choices": ["۱ < ۲ < ۵", "۵ < ۲ < ۱", "۱ > ۲ > ۵", "۲ > ۵ > ۱"]}], [["پایه نهم", "فصل ۶: خط و معادله‌های خطی", "معادلهٔ خط (۳)", "تشخیص نمودار رشد"], "اگر طول ضلع یک مربع x باشد و محیط آن y، کدام رابطه درست است؟", {"prompt": "اگر طول ضلع یک مربع x باشد و محیط آن y، کدام رابطه درست است؟", "choices": ["y = ۴x", "y = x/۴", "y = x⁴", "y = ۴ + x"]}], [["پایه نهم", "فصل ۶: خط و معادله‌های خطی", "شیب خط و عرض از مبدأ (۲)", "رسم خط با معادله y=ax+b"], "خط‌های y = 1/2 x، y = x، y = 3x زاویه‌ای مثبت با محور x دارند. کدام‌یک درست است؟", {"prompt": "خط‌های y = ۱/۲ x، y = x، y = ۳x زاویه‌ای مثبت با محور x دارند. کدام‌یک درست است؟", "choices": ["زاویه با افزایش شیب کمتر می‌شود", "زاویه با افزایش شیب بیشتر می‌شود", "زاویه همیشه ۹۰ درجه است", "زاویه همیشه صفر درجه است"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "مجموعه‌های متناهی و نامتناهی (۱)", "شناسایی مجموعه‌های اعداد"], "فرض کنید A = {x ∈ R | -2 ≤ x ≤ 1}. طول بازه‌ی A (فاصله‌ی دو سرِ بازه از هم) چقدر است؟", {"prompt": "فرض کنید A = {x ∈ R | -۲ ≤ x ≤ ۱}. طول بازه‌ی A (فاصله‌ی دو سرِ بازه از هم) چقدر است؟", "choices": ["۱", "۲", "۳", "۴"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "مجموعه‌های متناهی و نامتناهی (۲)", "عملیات روی مجموعه‌ها"], "اگر A = [-4, 2) و B = [-1, 3] باشد، حاصلِ A ∩ B کدام است؟", {"prompt": "اگر A = [-۴, ۲) و B = [-۱, ۳] باشد، حاصلِ A ∩ B کدام است؟", "choices": ["[-۴, ۳]", "[-۱, ۲)", "[-۴, -۱)", "[۲, ۳]"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "متمم یک مجموعه (۱)", "نمایش مجموعه‌ها روی محور"], "مجموعه‌ی A = {x ∈ Z | -3 < x ≤ 2} با نمایشِ اعضا کدام است؟", {"prompt": "مجموعه‌ی A = {x ∈ Z | -۳ < x ≤ ۲} با نمایشِ اعضا کدام است؟", "choices": ["{-۳, -۲, -۱, ۰, ۱, ۲}", "{-۲, -۱, ۰, ۱, ۲}", "{-۲, -۱, ۰, ۱}", "{-۲, ۰, ۲}"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "متمم یک مجموعه (۱)", "اجتماع مجموعه‌ها"], "مجموعه‌ی B = {x ∈ R | -3 < x ≤ 2} به صورتِ بازه کدام است؟", {"prompt": "مجموعه‌ی B = {x ∈ R | -۳ < x ≤ ۲} به صورتِ بازه کدام است؟", "choices": ["[-۳, ۲]", "(-۳, ۲)", "(-۳, ۲]", "[-۳, ۲)"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "متمم یک مجموعه (۲)", "محاسبه تعداد اعضای مجموعه‌ها و اشتراک آنها"], "اگر مجموعه‌ی مرجع Z باشد و A = {x ∈ Z | -3 < x ≤ 2}، مکملِ A (یعنی A′) کدام است؟", {"prompt": "اگر مجموعه‌ی مرجع Z باشد و A = {x ∈ Z | -۳ < x ≤ ۲}، مکملِ A (یعنی A′) کدام است؟", "choices": ["{x ∈ Z | -۳ ≤ x ≤ ۲}", "{x ∈ Z | x ≤ -۳ یا x ≥ ۳}", "{x ∈ Z | x < -۳}", "{x ∈ Z | x > ۲}"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "الگو و دنباله (۱)", "یافتن رابطه دنباله"], "در الگویی، تعدادِ چوب‌کبریت‌هایِ شکلِ n برابرِ 2 + (3×n) است. جمله‌ی عمومیِ aₙ این الگو کدام است؟", {"prompt": "در الگویی، تعدادِ چوب‌کبریت‌هایِ شکلِ n برابرِ ۲ + (۳×n) است. جمله‌ی عمومیِ aₙ این الگو کدام است؟", "choices": ["aₙ = ۳ + ۲n", "aₙ = ۲ + ۳n", "aₙ = ۲n + ۳n", "aₙ = ۳n"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "الگو و دنباله (۱)", "الگوی خطی"], "در الگویی، تعدادِ چوب‌کبریت‌هایِ افقیِ شکلِ n برابرِ n+1 و تعدادِ چوب‌کبریت‌هایِ عمودیِ آن برابرِ n است. جمله‌ی عمومیِ مجموعِ چوب‌کبریت‌ها (aₙ) کدام است؟", {"prompt": "در الگویی، تعدادِ چوب‌کبریت‌هایِ افقیِ شکلِ n برابرِ n+۱ و تعدادِ چوب‌کبریت‌هایِ عمودیِ آن برابرِ n است. جمله‌ی عمومیِ مجموعِ چوب‌کبریت‌ها (aₙ) کدام است؟", "choices": ["aₙ = ۲n - ۱", "aₙ = n + ۱", "aₙ = ۲n + ۱", "aₙ = ۲n"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "الگو و دنباله (۱)", "رسم و تکمیل جدول الگوهای خطی"], "اگر aₙ = 2 + 3n جمله‌ی عمومیِ تعدادِ چوب‌کبریت‌هایِ یک الگو باشد، در کدام شکل تعدادِ چوب‌کبریت‌ها برابرِ ۷۷ است؟", {"prompt": "اگر aₙ = ۲ + ۳n جمله‌ی عمومیِ تعدادِ چوب‌کبریت‌هایِ یک الگو باشد، در کدام شکل تعدادِ چوب‌کبریت‌ها برابرِ ۷۷ است؟", "choices": ["شکلِ ۲۳ام", "شکلِ ۲۴ام", "شکلِ ۲۵ام", "شکلِ ۲۶ام"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "الگو و دنباله (۱)", "رسم و تکمیل جدول الگوهای غیرخطی"], "در یک الگویِ خطی، جمله‌ی چهارم برابرِ ۱۷ و جمله‌ی دهم برابرِ ۴۱ است. جمله‌ی عمومیِ این الگو کدام است؟", {"prompt": "در یک الگویِ خطی، جمله‌ی چهارم برابرِ ۱۷ و جمله‌ی دهم برابرِ ۴۱ است. جمله‌ی عمومیِ این الگو کدام است؟", "choices": ["Cₙ = ۳n + ۵", "Cₙ = ۴n + ۱", "Cₙ = ۴n - ۱", "Cₙ = ۵n - ۳"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "الگو و دنباله (۲)", "محاسبه مقدار جمله خاص در دنباله"], "در الگویی، تعدادِ نقاطِ شکلِ n برابرِ n² + 4n است (شکلِ ۱: ۵ نقطه، شکلِ ۲: ۱۲ نقطه، شکلِ ۳: ۲۱ نقطه). تعدادِ نقاطِ شکلِ ۴ چند است؟", {"prompt": "در الگویی، تعدادِ نقاطِ شکلِ n برابرِ n² + ۴n است (شکلِ ۱: ۵ نقطه، شکلِ ۲: ۱۲ نقطه، شکلِ ۳: ۲۱ نقطه). تعدادِ نقاطِ شکلِ ۴ چند است؟", "choices": ["۲۸", "۳۰", "۳۲", "۳۶"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "الگو و دنباله (۲)", "بررسی الگوهای هندسی و عددی"], "در الگویی، تعدادِ نقاطِ شکلِ n برابرِ (n+2)² - 4 است. جمله‌ی عمومیِ tₙ برایِ این الگو کدام است؟", {"prompt": "در الگویی، تعدادِ نقاطِ شکلِ n برابرِ (n+۲)² - ۴ است. جمله‌ی عمومیِ tₙ برایِ این الگو کدام است؟", "choices": ["tₙ = (n+۱)² - ۴", "tₙ = (n+۲)² - ۴", "tₙ = (n+۲)² - ۱", "tₙ = (n+۲)² + ۴"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "الگو و دنباله (۲)", "تحلیل الگوهای هندسی"], "برایِ دنباله‌ی aₙ = n² - 1، مقدارِ جمله‌ی سوم (a₃) کدام است؟", {"prompt": "برایِ دنباله‌ی aₙ = n² - ۱، مقدارِ جمله‌ی سوم (a₃) کدام است؟", "choices": ["۳", "۵", "۸", "۱۵"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "الگو و دنباله (۲)", "تشخیص الگو و نوشتن جمله عمومی"], "برایِ دنباله‌ی bₙ = -n + 4، مقدارِ b₅ کدام است؟", {"prompt": "برایِ دنباله‌ی bₙ = -n + ۴، مقدارِ b₅ کدام است؟", "choices": ["-۱", "۰", "۱", "-۲"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "الگو و دنباله (۲)", "محاسبه تعداد اجزای الگو"], "دنباله‌ای دارایِ جملاتِ t₁=-1، t₂=-2، t₃=-3، t₄=-4 است. جمله‌ی هفتمِ این دنباله (t₇) کدام است؟", {"prompt": "دنباله‌ای دارایِ جملاتِ t₁=-۱، t₂=-۲، t₃=-۳، t₄=-۴ است. جمله‌ی هفتمِ این دنباله (t₇) کدام است؟", "choices": ["-۵", "-۶", "-۷", "-۸"]}], [["پایه دهم", "فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله", "دنباله‌های حسابی و هندسی (۱)", "هزینه تماس بر اساس دنباله حسابی"], "دنباله‌ی حسابیِ ۱، ۳، ۵، ۷، ... را در نظر بگیرید. جمله‌ی عمومیِ این دنباله کدام است؟", {"prompt": "دنباله‌ی حسابیِ ۱، ۳، ۵، ۷، ... را در نظر بگیرید. جمله‌ی عمومیِ این دنباله کدام است؟", "choices": ["tₙ = ۲n", "tₙ = ۲n - ۱", "tₙ = ۲n + ۱", "tₙ = n + ۱"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "ریشهٔ nام", "تعیین تساوی توان‌های گویا"], "کدام رابطه بینِ 4³ و 4⁴ درست است؟", {"prompt": "کدام رابطه بینِ ۴³ و ۴⁴ درست است؟", "choices": ["۴³ > ۴⁴", "۴³ = ۴⁴", "۴³ < ۴⁴", "نمی‌توان مقایسه کرد"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "توان‌های گویا", "محاسبه توان‌های گویا"], "جرمِ باکتری‌ها در لحظه‌ی صفر ۱ گرم است و هر ساعت ۲ برابر می‌شود (جرم پس از m ساعت برابرِ 2ᵐ گرم است). جرمِ باکتری‌ها پس از نیم ساعت کدام است؟", {"prompt": "جرمِ باکتری‌ها در لحظه‌ی صفر ۱ گرم است و هر ساعت ۲ برابر می‌شود (جرم پس از m ساعت برابرِ ۲ᵐ گرم است). جرمِ باکتری‌ها پس از نیم ساعت کدام است؟", "choices": ["۱ گرم", "√۲ گرم", "۲ گرم", "۴ گرم"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "توان‌های گویا", "نوشتن به صورت رادیکالی"], "حاصلِ 64 به توانِ (1/3) (به‌شکلِ رادیکالی: ∛۶۴) کدام است؟", {"prompt": "حاصلِ ۶۴ به توانِ (۱/۳) (به‌شکلِ رادیکالی: ∛۶۴) کدام است؟", "choices": ["۳", "۴", "۶", "۸"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "توان‌های گویا", "نوشتن به صورت توان کسری"], "اگر r و s دو عددِ گویا و a>0 باشد، حاصلِ aʳ × aˢ کدام است؟", {"prompt": "اگر r و s دو عددِ گویا و a>۰ باشد، حاصلِ aʳ × aˢ کدام است؟", "choices": ["a به توانِ (r×s) ", "aʳ + aˢ", "aʳ⁺ˢ", "aʳ⁻ˢ"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "توان‌های گویا", "استفاده از نمادهای کسری"], "با تعریفِ a به توانِ (m/n) = ⁿ√(aᵐ)، مقدارِ 16 به توانِ (1/4) کدام است؟", {"prompt": "با تعریفِ a به توانِ (m/n) = ⁿ√(aᵐ)، مقدارِ ۱۶ به توانِ (۱/۴) کدام است؟", "choices": ["۲", "۴", "۸", "۱۶"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری (۱)", "اتحاد مربع تفاضل"], "با استفاده از اتحادِ (a+b)² = a² + 2ab + b²، اتحادِ (a-b)² کدام است؟", {"prompt": "با استفاده از اتحادِ (a+b)² = a² + ۲ab + b²، اتحادِ (a-b)² کدام است؟", "choices": ["a² + ۲ab + b²", "a² - ۲ab + b²", "a² - b²", "a² + b²"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری (۱)", "تجزیه عبارت‌های جبری"], "عبارتِ 2x² + 3x + 1 را تجزیه کنید. کدام گزینه درست است؟", {"prompt": "عبارتِ ۲x² + ۳x + ۱ را تجزیه کنید. کدام گزینه درست است؟", "choices": ["(x+۱)(۲x+۱)", "(x-۱)(۲x+۱)", "(۲x-۱)(x+۱)", "(x+۱)(x+۱)"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری (۱)", "شناسایی مضرب‌های مشترک"], "عبارتِ 8x³ - 27 را تجزیه کنید. کدام گزینه درست است؟", {"prompt": "عبارتِ ۸x³ - ۲۷ را تجزیه کنید. کدام گزینه درست است؟", "choices": ["(۲x-۳)(۴x²+۶x+۹)", "(۲x-۳)(۴x²-۶x+۹)", "(۲x+۳)(۴x²-۶x+۹)", "(۲x-۳)(۲x²+۳x+۹)"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری (۱)", "ساده‌سازی کسرها"], "عبارتِ گویایِ 1/(x-1) + 1/(x+1) - 1/(x⁷+4) به ازای کدام مقدارِ x تعریف نمی‌شود؟", {"prompt": "عبارتِ گویایِ ۱/(x-۱) + ۱/(x+۱) - ۱/(x⁷+۴) به ازای کدام مقدارِ x تعریف نمی‌شود؟", "choices": ["x=۰", "x=۱", "x=۲", "x=-۲"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری (۲)", "ساده‌سازی عبارت‌های رادیکالی"], "حاصل عبارت زیر را پس از گویا کردن مخرج‌ها و ساده‌سازی به‌دست آورید:\n1/√(x-1) + 2/√(x+1) + 3/(x-1)", {"prompt": "حاصل عبارت زیر را پس از گویا کردن مخرج‌ها و ساده‌سازی به‌دست آورید:\n۱/√(x-۱) + ۲/√(x+۱) + ۳/(x-۱)", "choices": ["(√(x²-۱) - ۲(x-۱) + ۳√(x+۱)) / ((x-۱)√(x+۱))", "(√(x²-۱) + ۲(x-۱) + ۳√(x+۱)) / ((x-۱)(x+۱))", "(√(x²-۱) + ۲(x-۱) + ۳√(x+۱)) / ((x-۱)√(x+۱))", "(√(x-۱) + ۲√(x+۱) + ۳) / ((x-۱)√(x+۱))"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری (۲)", "مخرج مشترک"], "در اتحاد a³ + 1 = (a + 1)(a² - a + 1)، به‌جای a مقدار a = ∛x (ریشه‌ی سوم x) قرار می‌دهیم. حاصل بازنویسی‌شده‌ی عبارت x + 1 بر این اساس کدام است؟", {"prompt": "در اتحاد a³ + ۱ = (a + ۱)(a² - a + ۱)، به‌جای a مقدار a = ∛x (ریشه‌ی سوم x) قرار می‌دهیم. حاصل بازنویسی‌شده‌ی عبارت x + ۱ بر این اساس کدام است؟", "choices": ["(∛x + ۱)(∛(x²) + ∛x + ۱)", "(∛x + ۱)(∛(x²) - ∛x + ۱)", "(∛x - ۱)(∛(x²) + ∛x + ۱)", "(∛x + ۱)(x - ∛x + ۱)"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری (۳)", "تجزیه عبارت‌های گویا"], "عبارت 1 / (√5 - √3) را گویا کنید.", {"prompt": "عبارت ۱ / (√۵ - √۳) را گویا کنید.", "choices": ["(√۵ - √۳)/۲", "√۵ + √۳", "(√۵ + √۳)/۲", "(√۵ + √۳)/۸"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری (۳)", "محاسبه حاصل ضرب‌ها"], "با استفاده از اتحاد (a+b)² = a² + 2ab + b² و نوشتن ۱۰۵ = ۱۰۰ + ۵، حاصل ۱۰۵² کدام است؟", {"prompt": "با استفاده از اتحاد (a+b)² = a² + ۲ab + b² و نوشتن ۱۰۵ = ۱۰۰ + ۵، حاصل ۱۰۵² کدام است؟", "choices": ["۱۰۰۲۵", "۱۱۰۲۵", "۱۰۵۲۵", "۱۱۱۲۵"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری (۳)", "محاسبه حاصل عبارت"], "حاصل عبارت (1/(√x - 1)) + (2/(√x + 1)) + (5x/(x - 1)) را پس از گویا کردن مخرج‌ها و ساده‌سازی به‌دست آورید.", {"prompt": "حاصل عبارت (۱/(√x - ۱)) + (۲/(√x + ۱)) + (۵x/(x - ۱)) را پس از گویا کردن مخرج‌ها و ساده‌سازی به‌دست آورید.", "choices": ["(۳√x + ۵x - ۱) / (x - ۱)", "(۳√x - ۵x + ۱) / (x - ۱)", "(√x + ۵x - ۱) / (x - ۱)", "(۳√x + ۵x - ۱) / (x + ۱)"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "معادلهٔ درجه دوم و روش‌های مختلف حل آن (۱)", "محاسبه حجم مکعب مستطیل"], "در یک مثلث قائم‌الزاویه، طول اضلاع سه عدد متوالی است: کوچک‌ترین ضلع x، ضلع بعدی x+1 و بزرگ‌ترین ضلع (وتر) x+2. با استفاده از قضیه‌ی فیثاغورس، مقدار x را بیابید.", {"prompt": "در یک مثلث قائم‌الزاویه، طول اضلاع سه عدد متوالی است: کوچک‌ترین ضلع x، ضلع بعدی x+۱ و بزرگ‌ترین ضلع (وتر) x+۲. با استفاده از قضیه‌ی فیثاغورس، مقدار x را بیابید.", "choices": ["x = ۱", "x = ۳", "x = -۱", "x = ۵"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "معادلهٔ درجه دوم و روش‌های مختلف حل آن (۲)", "تجزیه معادله درجه دوم"], "معادله‌ی x² - 2x - 3 = 0 را به روش تجزیه حل کنید. کدام گزینه جواب‌های معادله را نشان می‌دهد؟", {"prompt": "معادله‌ی x² - ۲x - ۳ = ۰ را به روش تجزیه حل کنید. کدام گزینه جواب‌های معادله را نشان می‌دهد؟", "choices": ["x = ۱ یا x = -۳", "x = -۱ یا x = ۳", "x = ۱ یا x = ۳", "x = -۱ یا x = -۳"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "معادلهٔ درجه دوم و روش‌های مختلف حل آن (۲)", "حل معادله رادیکالی"], "جواب‌های معادله‌ی x² = ۲۵ کدام است؟", {"prompt": "جواب‌های معادله‌ی x² = ۲۵ کدام است؟", "choices": ["x = ۵ (فقط)", "x = ۵ یا x = -۵", "x = ۱۲٫۵", "x = ۲۵"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "سهمی", "رسم نمودار سهمی"], "پایین‌ترین نقطه‌ی (رأس) نمودار تابع y = x² - 4 کدام است؟", {"prompt": "پایین‌ترین نقطه‌ی (رأس) نمودار تابع y = x² - ۴ کدام است؟", "choices": ["(۰, ۴)", "(۲, ۰)", "(۰, -۴)", "(-۲, ۰)"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "سهمی", "رسم نمودار معادله سهمی"], "با نوشتن y = x² - 4x + 5 به‌صورت مربع کامل y = (x - 2)² + 1، رأس این سهمی کدام نقطه است؟", {"prompt": "با نوشتن y = x² - ۴x + ۵ به‌صورت مربع کامل y = (x - ۲)² + ۱، رأس این سهمی کدام نقطه است؟", "choices": ["(۴, ۵)", "(-۲, ۱)", "(۲, -۱)", "(۲, ۱)"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "سهمی", "نوشتن معادله سهمی از نقاط داده شده"], "رأس سهمی y = -2x² + 4x - 3 در کدام نقطه قرار دارد؟", {"prompt": "رأس سهمی y = -۲x² + ۴x - ۳ در کدام نقطه قرار دارد؟", "choices": ["(۱, -۱)", "(۱, ۱)", "(-۱, -۱)", "(۲, -۳)"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "سهمی", "تحلیل حرکت روی منحنی"], "برای سهمی y = 2x² + 1، مقدار y در x = 1 کدام است؟", {"prompt": "برای سهمی y = ۲x² + ۱، مقدار y در x = ۱ کدام است؟", "choices": ["۲", "۴", "۳", "۵"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "تعیین علامت (۱)", "تعیین علامت چندجمله‌ای درجه اول"], "سود یک شرکت از رابطه‌ی P(x) = 5x - 200 به‌دست می‌آید که x تعداد کالای تولیدشده است. علامت P(x) برای x = ۲۰ (یعنی وقتی ۲۰ کالا تولید شده) کدام است؟", {"prompt": "سود یک شرکت از رابطه‌ی P(x) = ۵x - ۲۰۰ به‌دست می‌آید که x تعداد کالای تولیدشده است. علامت P(x) برای x = ۲۰ (یعنی وقتی ۲۰ کالا تولید شده) کدام است؟", "choices": ["مثبت", "صفر", "منفی", "نامشخص است"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "تعیین علامت (۱)", "تعیین علامت معادله خطی"], "برای خط y = 2x - 6، علامت y در x = ۵ کدام است؟", {"prompt": "برای خط y = ۲x - ۶، علامت y در x = ۵ کدام است؟", "choices": ["صفر", "منفی", "نامشخص است", "مثبت"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "تعیین علامت (۱)", "تعیین علامت چندجمله‌ای درجه دوم"], "برای خط y = -2x + 6، علامت y در x = ۵ کدام است؟", {"prompt": "برای خط y = -۲x + ۶، علامت y در x = ۵ کدام است؟", "choices": ["منفی", "مثبت", "صفر", "نامشخص است"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "تعیین علامت (۲)", "نامعادله‌ها"], "برای عبارت y = 5x - 2، علامت y در x = ۱ کدام است؟", {"prompt": "برای عبارت y = ۵x - ۲، علامت y در x = ۱ کدام است؟", "choices": ["صفر", "منفی", "نامشخص است", "مثبت"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "تعیین علامت (۲)", "حل نامعادله‌ها"], "علامت عبارت A = (2x - 1)(3 - x) در x = ۲ (که در بازه‌ی ۱/۲ < x < ۳ قرار دارد) کدام است؟", {"prompt": "علامت عبارت A = (۲x - ۱)(۳ - x) در x = ۲ (که در بازه‌ی ۱/۲ < x < ۳ قرار دارد) کدام است؟", "choices": ["منفی", "صفر", "نامشخص است", "مثبت"]}], [["پایه دهم", "فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها", "تعیین علامت (۲)", "رسم نمودار تابع درجه دوم"], "برای تابع y = x² - 4، مقدار y در x = 1 کدام است؟", {"prompt": "برای تابع y = x² - ۴، مقدار y در x = ۱ کدام است؟", "choices": ["۴", "-۳", "۳", "-۴"]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "مفهوم تابع و بازنمایی‌های آن", "نمایش تابع به صورت زوج‌های مرتب و نمودار مختصاتی"], "از مجموعه X = {5, 7} به مجموعه Y = {2, 1} این‌گونه تناظر برقرار شده است: 5 به 2 و 7 به 1. آیا این رابطه یک تابع است؟", {"prompt": "از مجموعه X = {۵, ۷} به مجموعه Y = {۲, ۱} این‌گونه تناظر برقرار شده است: ۵ به ۲ و ۷ به ۱. آیا این رابطه یک تابع است؟", "choices": ["خیر، زیرا مجموعه Y فقط دو عضو دارد", "بله، زیرا هر عضو X دقیقاً به یک عضو Y مرتبط شده است", "خیر، زیرا اعداد X و Y با هم برابر نیستند", "نمی‌توان تعیین کرد"]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "دامنه و برد توابع (۱)", "تعیین دامنه و برد تابع"], "مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی محدب n ضلعی از رابطه‌ی (n - 2) × ۱۸۰ به‌دست می‌آید. مجموع زوایای داخلی یک پنج‌ضلعی (n = ۵) چند درجه است؟", {"prompt": "مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی محدب n ضلعی از رابطه‌ی (n - ۲) × ۱۸۰ به‌دست می‌آید. مجموع زوایای داخلی یک پنج‌ضلعی (n = ۵) چند درجه است؟", "choices": ["۳۶۰", "۹۰۰", "۵۴۰", "۷۲۰"]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "دامنه و برد توابع (۱)", "تشخیص تابع"], "محیط یک مربع چهار برابر طول ضلع آن است. اگر طول ضلع یک مربع برابر ۳/۲ باشد، محیط آن کدام است؟", {"prompt": "محیط یک مربع چهار برابر طول ضلع آن است. اگر طول ضلع یک مربع برابر ۳/۲ باشد، محیط آن کدام است؟", "choices": ["۵", "۸", "۴٫۵", "۶"]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "دامنه و برد توابع (۱)", "رسم نمودار تابع"], "در دنباله‌ای از شکل‌ها، تعداد دایره‌های شکل n اُم از رابطه‌ی f(n) = 2n - 1 به‌دست می‌آید. تعداد دایره‌های شکل پنجم (n = ۵) کدام است؟", {"prompt": "در دنباله‌ای از شکل‌ها، تعداد دایره‌های شکل n اُم از رابطه‌ی f(n) = ۲n - ۱ به‌دست می‌آید. تعداد دایره‌های شکل پنجم (n = ۵) کدام است؟", "choices": ["۱۰", "۷", "۹", "۱۱"]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "دامنه و برد توابع (۱)", "رسم نمودار تابع خطی"], "برای خط y = 2x - 1، مقدار y در x = 0 کدام است؟", {"prompt": "برای خط y = ۲x - ۱، مقدار y در x = ۰ کدام است؟", "choices": ["۱", "۰", "-۲", "-۱"]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "دامنه و برد توابع (۱)", "مقایسه نمودارها"], "تابع f با ضابطه‌ی f(n) = n² + 1 روی دامنه‌ی A = {1, 2, 3, 4} تعریف شده است. برد این تابع کدام است؟", {"prompt": "تابع f با ضابطه‌ی f(n) = n² + ۱ روی دامنه‌ی A = {۱, ۲, ۳, ۴} تعریف شده است. برد این تابع کدام است؟", "choices": ["{۱, ۴, ۹, ۱۶}", "{۲, ۴, ۶, ۸}", "{۲, ۵, ۱۰, ۱۷}", "{۳, ۶, ۱۱, ۱۸}"]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "دامنه و برد توابع (۲)", "تشخیص تابع از نمودار"], "وزن یک کودک در ماه‌های ۰ تا ۱۲ به ترتیب (کیلوگرم) چنین بوده است: ۲.۸، ۳.۳، ۴.۲، ۵، ۵، ۵، ۴.۸، ۴.۵، ۵.۵، ۶.۵، ۷.۲، ۸، ۸.۵. در ماه‌های ۶ و ۷ (که وزن از ۵ به ۴.۸ و سپس ۴.۵ کاهش یافته) رشد کودک در چه وضعیتی است؟", {"prompt": "وزن یک کودک در ماه‌های ۰ تا ۱۲ به ترتیب (کیلوگرم) چنین بوده است: ۲٫۸، ۳٫۳، ۴٫۲، ۵، ۵، ۵، ۴٫۸، ۴٫۵، ۵٫۵، ۶٫۵، ۷٫۲، ۸، ۸٫۵. در ماه‌های ۶ و ۷ (که وزن از ۵ به ۴٫۸ و سپس ۴٫۵ کاهش یافته) رشد کودک در چه وضعیتی است؟", "choices": ["رشد مطلوب", "توقف رشد", "کندی رشد", "افت رشد"]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "انواع تابع (۱)", "تابع چند جمله‌ای"], "حجم یک کره با شعاع r بر حسب r کدام است؟", {"prompt": "حجم یک کره با شعاع r بر حسب r کدام است؟", "choices": ["۴πr²", "(۴/۳)πr³", "(۱/۳)πr³", "(۴/۳)πr²"]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "انواع تابع (۱)", "تابع نمایی"], "تابع h(a) = a² + 2a - 9 را به‌صورت y = ... بازنویسی کنید.", {"prompt": "تابع h(a) = a² + ۲a - ۹ را به‌صورت y = ... بازنویسی کنید.", "choices": ["y = a² - ۲a - ۹", "y = a² + ۲a + ۹", "y = a² + ۲a - ۹", "y = -a² + ۲a - ۹"]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "انواع تابع (۲)", "انتقال نمودار تابع"], "تابع h به‌صورت h(x) = 2x برای ۲ ≤ x ≤ ۳ و h(x) = ۵ برای x < -۱ تعریف شده است. مقدار h(√۵) کدام است؟ (√۵ ≈ ۲.۲۴)", {"prompt": "تابع h به‌صورت h(x) = ۲x برای ۲ ≤ x ≤ ۳ و h(x) = ۵ برای x < -۱ تعریف شده است. مقدار h(√۵) کدام است؟ (√۵ ≈ ۲٫۲۴)", "choices": ["۵", "۱۰", "۲√۵", "√۱۰"]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "انواع تابع (۳)", "تشخیص تابع از نمودار"], "دامنه و برد تابع f(x) = (x + 1)² کدام است؟", {"prompt": "دامنه و برد تابع f(x) = (x + ۱)² کدام است؟", "choices": ["دامنه = [۰, ∞)، برد = ℝ", "دامنه = ℝ، برد = (-∞, ۰]", "دامنه = ℝ، برد = [۰, ∞)", "دامنه = [-۱, ∞)، برد = [۰, ∞)"]}], [["پایه دهم", "فصل ۵: تابع", "انواع تابع (۳)", "تحلیل الگو و دنباله"], "تابع f(x) = 3(x - 1)² روی دامنه‌ی {۰, ۰.۵, ۱} تعریف شده است. برد این تابع کدام است؟", {"prompt": "تابع f(x) = ۳(x - ۱)² روی دامنه‌ی {۰, ۰٫۵, ۱} تعریف شده است. برد این تابع کدام است؟", "choices": ["{۰, ۱٫۵, ۳}", "{۰, ۰٫۷۵, ۳}", "{۰, ۰٫۲۵, ۳}", "{۱, ۰٫۷۵, ۳}"]}], [["پایه نهم", "فصل ۷: عبارت‌های گویا", "معرفی و ساده کردن عبارت‌های گویا (۱)", "تشخیص عبارت‌های گویا"], "طول یک مستطیل ۴ سانتی‌متر از عرضش بیشتر است. اگر x عرض مستطیل باشد، نسبت عرض به طول را می‌توان به‌صورت x/(x+4) نوشت که برابر با ۲/۳ است. عرض این مستطیل چند سانتی‌متر است؟", {"prompt": "طول یک مستطیل ۴ سانتی‌متر از عرضش بیشتر است. اگر x عرض مستطیل باشد، نسبت عرض به طول را می‌توان به‌صورت x/(x+۴) نوشت که برابر با ۲/۳ است. عرض این مستطیل چند سانتی‌متر است؟", "choices": ["۱۲", "۴", "۸", "۱۶"]}], [["پایه نهم", "فصل ۷: عبارت‌های گویا", "معرفی و ساده کردن عبارت‌های گویا (۲)", "تشخیص عبارت‌های معادل"], "مقدار عددی عبارتِ (x + 5)/(x - 3) را به‌ازای x = -۲ به دست آورید.", {"prompt": "مقدار عددی عبارتِ (x + ۵)/(x - ۳) را به‌ازای x = -۲ به دست آورید.", "choices": ["۱٫۴", "-۰٫۶", "۳", "۰٫۶"]}], [["پایه نهم", "فصل ۷: عبارت‌های گویا", "محاسبات عبارت‌های گویا (۲)", "محاسبه محیط شکل"], "حاصلِ عبارتِ گویای زیر را ساده کنید:\n(x + 3)/x × x²/(x² - 2x - 15) = ?", {"prompt": "حاصلِ عبارتِ گویای زیر را ساده کنید:\n(x + ۳)/x × x²/(x² - ۲x - ۱۵) = ?", "choices": ["x²/(x - ۵)", "x/(x - ۵)", "۱/(x - ۵)", "x/(x - ۳)"]}], [["پایه نهم", "فصل ۷: عبارت‌های گویا", "محاسبات عبارت‌های گویا (۲)", "محاسبه مساحت مستطیل"], "حاصلِ تقسیمِ عبارت‌های گویای زیر را ساده کنید:\n(x - 6)/(x² - 12x + 36) ÷ (x² - 3x - 18)/(x² + 7x + 12) = ?", {"prompt": "حاصلِ تقسیمِ عبارت‌های گویای زیر را ساده کنید:\n(x - ۶)/(x² - ۱۲x + ۳۶) ÷ (x² - ۳x - ۱۸)/(x² + ۷x + ۱۲) = ?", "choices": ["۱/(x + ۴)", "(x - ۶)²/(x + ۴)", "(x + ۴)/(x - ۶)²", "(x + ۴)/(x - ۶)"]}], [["پایه نهم", "فصل ۷: عبارت‌های گویا", "محاسبات عبارت‌های گویا (۳)", "برابری عبارت‌های گویا"], "حاصلِ تقسیمِ عبارت‌های گویای زیر را ساده کنید:\n(4x³)/(3xy) ÷ (8x)/(y³) = ?", {"prompt": "حاصلِ تقسیمِ عبارت‌های گویای زیر را ساده کنید:\n(۴x³)/(۳xy) ÷ (۸x)/(y³) = ?", "choices": ["(x³ y²)/۶", "(x y⁴)/۶", "(x y²)/۶", "(x y²)/۴"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "زاویه‌های داخلی (۲)", "محاسبه مجموع زاویه‌های داخلی"], "کدام عبارتِ جبری، مجموعِ زاویه‌های داخلیِ یک چندضلعیِ n ضلعی را نشان می‌دهد؟", {"prompt": "کدام عبارتِ جبری، مجموعِ زاویه‌های داخلیِ یک چندضلعیِ n ضلعی را نشان می‌دهد؟", "choices": ["n × ۱۸۰°", "(n - ۲) × ۳۶۰°", "(n + ۲) × ۱۸۰°", "(n - ۲) × ۱۸۰°"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "ساده کردن عبارت‌های جبری (۲)", "ساده‌سازی عبارات جبری"], "عبارتِ 4ax + a² + ax پس از ساده‌سازی کدام است؟", {"prompt": "عبارتِ ۴ax + a² + ax پس از ساده‌سازی کدام است؟", "choices": ["۵ax² + a²", "۴a²x + ax", "۵ax + a²", "۵a²x"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "ساده کردن عبارت‌های جبری (۲)", "الگوی عددی"], "در الگویی از مربع‌های ساخته‌شده با چوب‌کبریت، شکلِ اول با ۴ چوب‌کبریت ساخته می‌شود و هر شکلِ بعدی، ۳ چوب‌کبریتِ دیگر به شکلِ قبلی اضافه می‌کند. عبارتِ جبریِ تعدادِ چوب‌کبریت‌های شکلِ n اُم کدام است؟", {"prompt": "در الگویی از مربع‌های ساخته‌شده با چوب‌کبریت، شکلِ اول با ۴ چوب‌کبریت ساخته می‌شود و هر شکلِ بعدی، ۳ چوب‌کبریتِ دیگر به شکلِ قبلی اضافه می‌کند. عبارتِ جبریِ تعدادِ چوب‌کبریت‌های شکلِ n اُم کدام است؟", "choices": ["۴n", "۳n", "۳n + ۴", "۳n + ۱"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "ساده کردن عبارت‌های جبری (۲)", "محاسبه مساحت با عبارات جبری"], "حاصلِ ۵(a + b) کدام است؟", {"prompt": "حاصلِ ۵(a + b) کدام است؟", "choices": ["۵a + ۵b", "۵a + b", "a + ۵b", "۵ab"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "ساده کردن عبارت‌های جبری (۲)", "تشخیص خطا در ساده‌سازی عبارات جبری"], "حاصلِ عبارتِ ۳(2x - 1) + 2(x + 3) کدام است؟", {"prompt": "حاصلِ عبارتِ ۳(۲x - ۱) + ۲(x + ۳) کدام است؟", "choices": ["۷x", "۸x + ۹", "۸x + ۳", "۸x - ۹"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "پیدا کردن مقدار یک عبارت جبری (۱)", "پیش‌بینی عملیات ماشین"], "یک ماشینِ جمع‌کننده به عددِ ورودی، عددِ ۴ را اضافه می‌کند. اگر عددِ ورودی a باشد، عددِ خروجی بر حسبِ a چیست؟", {"prompt": "یک ماشینِ جمع‌کننده به عددِ ورودی، عددِ ۴ را اضافه می‌کند. اگر عددِ ورودی a باشد، عددِ خروجی بر حسبِ a چیست؟", "choices": ["a + ۴", "۴a", "a - ۴", "۴ - a"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "پیدا کردن مقدار یک عبارت جبری (۲)", "محاسبه مساحت و حجم"], "عددِ x ابتدا در ماشینِ عددساز ضربدرِ ۳ می‌شود و سپس خروجیِ آن وارد ماشینِ جمع‌کننده می‌شود که ۵ به آن اضافه می‌کند. خروجیِ نهایی بر حسبِ x چیست؟", {"prompt": "عددِ x ابتدا در ماشینِ عددساز ضربدرِ ۳ می‌شود و سپس خروجیِ آن وارد ماشینِ جمع‌کننده می‌شود که ۵ به آن اضافه می‌کند. خروجیِ نهایی بر حسبِ x چیست؟", "choices": ["۳x + ۱۵", "۱۵x", "۳x + ۵", "۵x + ۳"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "پیدا کردن مقدار یک عبارت جبری (۲)", "حل معادله خطی"], "خروجیِ یک ماشین از رابطهٔ 3x - 1 به دست می‌آید. اگر عددِ ورودی x = -2 باشد، عددِ خروجی چند است؟", {"prompt": "خروجیِ یک ماشین از رابطهٔ ۳x - ۱ به دست می‌آید. اگر عددِ ورودی x = -۲ باشد، عددِ خروجی چند است؟", "choices": ["۵", "-۷", "-۵", "-۶"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "تجزیه عبارت‌های جبری (۲)", "تکمیل جدول توان‌ها"], "عبارتِ 6ab + 3a² را تجزیه کنید (عاملِ مشترک را بیرون بیاورید).", {"prompt": "عبارتِ ۶ab + ۳a² را تجزیه کنید (عاملِ مشترک را بیرون بیاورید).", "choices": ["۳a(۲b + ۳a)", "۳a(۲b + a)", "۳b(۲a + a²)", "۶a(b + a)"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "معادله (۱)", "حل معادله با کسرها"], "معادلهٔ 5x + 10 = 65 را حل کنید.", {"prompt": "معادلهٔ ۵x + ۱۰ = ۶۵ را حل کنید.", "choices": ["x = ۱۳", "x = ۱۵", "x = -۱۱", "x = ۱۱"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "معادله (۲)", "اشتباه در ضرب کسرها"], "معادلهٔ 2(x - 1) = 3(x + 4) را حل کنید.", {"prompt": "معادلهٔ ۲(x - ۱) = ۳(x + ۴) را حل کنید.", "choices": ["x = -۱۰", "x = -۱۳", "x = -۱۴", "x = ۱۴"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "معادله (۲)", "تشکیل معادله از شکل"], "معادلهٔ 1/2 x - 1/3 = 5/6 را حل کنید.", {"prompt": "معادلهٔ ۱/۲ x - ۱/۳ = ۵/۶ را حل کنید.", "choices": ["x = ۱", "x = ۷/۳", "x = ۸/۳", "x = ۷"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "معادله (۲)", "ساده کردن عبارت جبری"], "با ضرب دو طرفِ معادلهٔ 1/2 x - 1/3 = 5/6 در کوچک‌ترین مضربِ مشترکِ مخرج‌ها، مقدارِ x را بیابید.", {"prompt": "با ضرب دو طرفِ معادلهٔ ۱/۲ x - ۱/۳ = ۵/۶ در کوچک‌ترین مضربِ مشترکِ مخرج‌ها، مقدارِ x را بیابید.", "choices": ["x = ۷/۳", "x = ۵/۶", "x = ۳/۷", "x = ۱/۶"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "جمع بردارها", "بردار صفر"], "رباتی روی نقطهٔ A با مختصاتِ (4, 2) قرار دارد. این ربات ۴ واحد به راست و سپس ۲ واحد به بالا حرکت می‌کند. مختصاتِ نقطهٔ جدید B کدام است؟", {"prompt": "رباتی روی نقطهٔ A با مختصاتِ (۴, ۲) قرار دارد. این ربات ۴ واحد به راست و سپس ۲ واحد به بالا حرکت می‌کند. مختصاتِ نقطهٔ جدید B کدام است؟", "choices": ["(۶, ۴)", "(۸, ۰)", "(۱۲, ۲)", "(۸, ۴)"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "ضرب عدد در بردار (۱)", "محاسبه حاصل ضرب بردارها"], "بردارهای واحدِ محورها x = [1, 0] و y = [0, 1] هستند. اگر z = 3x + 2y باشد، مختصاتِ بردارِ z کدام است؟", {"prompt": "بردارهای واحدِ محورها x = [۱, ۰] و y = [۰, ۱] هستند. اگر z = ۳x + ۲y باشد، مختصاتِ بردارِ z کدام است؟", "choices": ["[۳, ۲]", "[۲, ۳]", "[۵, ۵]", "[۱, ۱]"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "ضرب عدد در بردار (۲)", "حل معادلات مختصات"], "اگر c = 3a + 3b و بردارِ d برابرِ (-2)a + 3b باشد، بردارِ d بر حسبِ a و b کدام است؟", {"prompt": "اگر c = ۳a + ۳b و بردارِ d برابرِ (-۲)a + ۳b باشد، بردارِ d بر حسبِ a و b کدام است؟", "choices": ["۲a + ۳b", "-۲a + ۳b", "-۲a - ۳b", "۳a - ۲b"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "ضرب عدد در بردار (۲)", "تجزیه بردار"], "حاصلِ عبارتِ (-1) × [3, 5] - [-2, 5] کدام است؟", {"prompt": "حاصلِ عبارتِ (-۱) × [۳, ۵] - [-۲, ۵] کدام است؟", "choices": ["[-۵, -۱۰]", "[۵, -۱۰]", "[۱, ۱۰]", "[-۱, -۱۰]"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "ضرب عدد در بردار (۲)", "رسم بردار"], "معادلهٔ برداریِ 4x = [12, -8] را حل کنید.", {"prompt": "معادلهٔ برداریِ ۴x = [۱۲, -۸] را حل کنید.", "choices": ["[۳, -۲]", "[۳, ۲]", "[۴۸, -۳۲]", "[۸, -۴]"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "بردارهای واحد مختصات (۱)", "رسم بردار و تعیین مختصات"], "بردارِ a = 4i + 2j را به‌صورتِ مختصاتی بنویسید.", {"prompt": "بردارِ a = ۴i + ۲j را به‌صورتِ مختصاتی بنویسید.", "choices": ["[۲, ۴]", "[۴, ۲]", "[۴, -۲]", "[۶, ۲]"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "بردارهای واحد مختصات (۲)", "جمع بردارها و تعیین مختصات"], "بردارِ 2i + 3j را به‌صورتِ مختصاتی بنویسید.", {"prompt": "بردارِ ۲i + ۳j را به‌صورتِ مختصاتی بنویسید.", "choices": ["[۳, ۲]", "[۲, -۳]", "[۱, ۱]", "[۲, ۳]"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "بردارهای واحد مختصات (۲)", "رسم شکل تقریبی بردار"], "معادلهٔ 3i + j + 2x = [-5, 1] را برای بردارِ x حل کنید.", {"prompt": "معادلهٔ ۳i + j + ۲x = [-۵, ۱] را برای بردارِ x حل کنید.", "choices": ["[-۴, ۰]", "[-۱, ۱]", "[-۸, ۰]", "[۰, -۴]"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "بردارهای واحد مختصات (۲)", "یافتن معادله بردار"], "معادلهٔ 2i - j + 3x = [-6, 3] را برای بردارِ x حل کنید.", {"prompt": "معادلهٔ ۲i - j + ۳x = [-۶, ۳] را برای بردارِ x حل کنید.", "choices": ["[-۸/۳, ۲/۳]", "[-۴/۳, ۲/۳]", "[-۸/۳, ۴/۳]", "[-۸, ۴]"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "بردارهای واحد مختصات (۲)", "تحلیل حرکت ربات"], "بردارِ ستونیِ c = [5, -1] را با استفاده از i و j بنویسید.", {"prompt": "بردارِ ستونیِ c = [۵, -۱] را با استفاده از i و j بنویسید.", "choices": ["۵i + j", "۵i - j", "-۵i - j", "-i + ۵j"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "بردارهای واحد مختصات (۳)", "حرکت خودرو در صفحه مختصات"], "بردارِ c = [5, -1] از مبدأ رسم می‌شود. این بردار چند واحد و در چه جهت‌هایی حرکت می‌کند؟", {"prompt": "بردارِ c = [۵, -۱] از مبدأ رسم می‌شود. این بردار چند واحد و در چه جهت‌هایی حرکت می‌کند؟", "choices": ["۵ واحد به راست و ۱ واحد به بالا", "۱ واحد به راست و ۵ واحد به پایین", "۵ واحد به چپ و ۱ واحد به پایین", "۵ واحد به راست و ۱ واحد به پایین"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "بردارهای واحد مختصات (۳)", "جمع و تفریق بردارها"], "اگر a = [2, 1] و b = [-1, 3] باشد، حاصلِ c = 3a + 2b کدام است؟", {"prompt": "اگر a = [۲, ۱] و b = [-۱, ۳] باشد، حاصلِ c = ۳a + ۲b کدام است؟", "choices": ["[۴, ۹]", "[۸, ۹]", "[۴, ۳]", "[۱, ۱۱]"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "بردارهای واحد مختصات (۳)", "یافتن مختصات بردار"], "اگر a = 3i - 2j و b = [-1, 2] باشد، بردارِ x را از معادلهٔ 2x - j = 2a - b بیابید.", {"prompt": "اگر a = ۳i - ۲j و b = [-۱, ۲] باشد، بردارِ x را از معادلهٔ ۲x - j = ۲a - b بیابید.", "choices": ["[۷/۲, -۳]", "[۵/۲, -۱/۲]", "[۷/۲, -۵/۲]", "[۲, -۳/۲]"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۶: مثلث", "شکل‌های هم‌نهشت", "محاسبه اندازه ضلع‌ها و زاویه‌ها در مثلث‌های متشابه"], "مثلثِ ABC با مثلثِ A'B'C' متشابه است. اندازهٔ ضلعِ AB برابرِ 3x و اندازهٔ ضلعِ A'B' برابرِ x+2 است. اگر 3x = x + 2، اندازهٔ ضلعِ AB چند است؟", {"prompt": "مثلثِ ABC با مثلثِ A'B'C' متشابه است. اندازهٔ ضلعِ AB برابرِ ۳x و اندازهٔ ضلعِ A'B' برابرِ x+۲ است. اگر ۳x = x + ۲، اندازهٔ ضلعِ AB چند است؟", "choices": ["۱", "۳", "۵", "۶"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان (۲)", "تعیین عدد مناسب در جای خالی"], "حاصلِ (−6)⁴ × (1/7)⁴ را به‌صورتِ یک عددِ توان‌دار بنویسید.", {"prompt": "حاصلِ (−۶)⁴ × (۱/۷)⁴ را به‌صورتِ یک عددِ توان‌دار بنویسید.", "choices": ["-(۶/۷)⁴", "(۶/۷)⁸", "(۶/۷)⁴", "۶⁴/۷"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان (۲)", "نوشتن عدد به صورت توان‌دار"], "حاصلِ 125 × 18³ × (-1/9)³ را به‌صورتِ یک عددِ توان‌دار بنویسید.", {"prompt": "حاصلِ ۱۲۵ × ۱۸³ × (-۱/۹)³ را به‌صورتِ یک عددِ توان‌دار بنویسید.", "choices": ["(۱۰)³", "(-۱۰)³", "(-۱۰)⁹", "(-۱۰)¹"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان (۲)", "نامساوی با توان"], "حجمِ مکعبی به ضلعِ 2a چند برابرِ حجمِ مکعبی به ضلعِ a است؟", {"prompt": "حجمِ مکعبی به ضلعِ ۲a چند برابرِ حجمِ مکعبی به ضلعِ a است؟", "choices": ["۸ برابر", "۲ برابر", "۴ برابر", "۶ برابر"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان (۲)", "نوشتن به صورت توان"], "حاصلِ (3²)⁴ را به‌صورتِ یک عددِ توان‌دار با پایهٔ ۳ بنویسید.", {"prompt": "حاصلِ (۳²)⁴ را به‌صورتِ یک عددِ توان‌دار با پایهٔ ۳ بنویسید.", "choices": ["۳⁶", "۳¹⁶", "۳⁴", "۳⁸"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان (۲)", "جایگذاری اعداد"], "عبارت [(1/2)³]⁴ را ساده کنید و به صورت یک توان بنویسید.", {"prompt": "عبارت [(۱/۲)³]⁴ را ساده کنید و به صورت یک توان بنویسید.", "choices": ["(۱/۲)⁷", "(۱/۲)¹²", "(۱/۲)⁸¹", "(۱/۲)⁶⁴"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان (۲)", "محاسبه مقدار عددی"], "عبارت [(-2)³]⁷ را ساده کنید و به صورت یک توان بنویسید.", {"prompt": "عبارت [(-۲)³]⁷ را ساده کنید و به صورت یک توان بنویسید.", "choices": ["(-۲)²¹", "(-۲)¹⁰", "(-۲)²¹⁸⁷", "(-۲)³⁴³"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "تقسیم اعداد توان‌دار (۱)", "نوشتن به صورت توان"], "دمای مرکز خورشید حدود 10⁷ درجه سانتی‌گراد و دمای جوش آب 10² درجه سانتی‌گراد است. دمای مرکز خورشید چند برابر دمای جوش آب است؟", {"prompt": "دمای مرکز خورشید حدود ۱۰⁷ درجه سانتی‌گراد و دمای جوش آب ۱۰² درجه سانتی‌گراد است. دمای مرکز خورشید چند برابر دمای جوش آب است؟", "choices": ["۱۰⁹", "۱۰⁻⁵", "۱۰⁵", "۱۰¹⁴"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "تقسیم اعداد توان‌دار (۱)", "جایگذاری عدد مناسب"], "حاصل عبارت (3/5)⁵ ÷ (3/5)² را به صورت یک توان بنویسید.", {"prompt": "حاصل عبارت (۳/۵)⁵ ÷ (۳/۵)² را به صورت یک توان بنویسید.", "choices": ["(۳/۵)⁻³", "(۳/۵)³", "(۳/۵)⁷", "(۳/۵)¹⁰"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "تقسیم اعداد توان‌دار (۲)", "نوشتن به صورت عددی توان‌دار"], "در تساوی 2¹⁵ ÷ (2³) به توانِ □ = 1، مقدار عدد داخل مربع (□) کدام است؟", {"prompt": "در تساوی ۲¹⁵ ÷ (۲³) به توانِ □ = ۱، مقدار عدد داخل مربع (□) کدام است؟", "choices": ["۳", "۴۵", "۱۵", "۵"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "تقسیم اعداد توان‌دار (۲)", "محاسبه عبارات توان‌دار"], "حاصل عبارت 12⁴ ÷ 6⁴ را به صورت یک توان ساده بنویسید.", {"prompt": "حاصل عبارت ۱۲⁴ ÷ ۶⁴ را به صورت یک توان ساده بنویسید.", "choices": ["۲⁸", "۶⁴", "۲⁴", "۲¹"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "جذر تقریبی (۱)", "مقایسه جذر اعداد"], "دانش‌آموزانی در یک گردش علمی به آب‌گذری (کانالی) به عرض ۵ متر رسیدند که در طرف دیگر آن دیواری به ارتفاع ۳ متر بود. طول پلی که باید ساخته شود (وترِ مثلث قائم‌الزاویه‌ای با اضلاع قائمهٔ ۳ و ۵ متر) چقدر است؟", {"prompt": "دانش‌آموزانی در یک گردش علمی به آب‌گذری (کانالی) به عرض ۵ متر رسیدند که در طرف دیگر آن دیواری به ارتفاع ۳ متر بود. طول پلی که باید ساخته شود (وترِ مثلث قائم‌الزاویه‌ای با اضلاع قائمهٔ ۳ و ۵ متر) چقدر است؟", "choices": ["√۸ متر", "√۱۶ متر", "√۳۴ متر", "√۶۴ متر"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "خواص ضرب و تقسیم رادیکال‌ها (۲)", "یافتن نزدیک‌ترین عدد طبیعی به جذر"], "با استفاده از روش √30 = √6 × √5 = 2√5 (به عنوان نمونه)، عبارت √۷۵ را به ساده‌ترین شکل بنویسید.", {"prompt": "با استفاده از روش √۳۰ = √۶ × √۵ = ۲√۵ (به عنوان نمونه)، عبارت √۷۵ را به ساده‌ترین شکل بنویسید.", "choices": ["۳√۵", "۲۵√۳", "۵√۳", "√۷۵"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "خواص ضرب و تقسیم رادیکال‌ها (۲)", "محاسبه حاصل ضرب توان‌ها"], "حاصل عبارت (-3)⁵ × 4³ × 8 را به صورت ساده‌شده و بر حسب توان بنویسید.", {"prompt": "حاصل عبارت (-۳)⁵ × ۴³ × ۸ را به صورت ساده‌شده و بر حسب توان بنویسید.", "choices": ["(-۳)⁵ × ۲⁶", "(-۳)⁸ × ۲⁹", "(-۳)⁵ × ۲⁹", "(-۳)⁵ × ۲³"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "خواص ضرب و تقسیم رادیکال‌ها (۴)", "محاسبه مقدار عددی عبارت توان‌دار"], "حاصل عبارت (3¹⁰ × (1/27)³) ÷ (5⁴ × (1/25)²)³ کدام است؟", {"prompt": "حاصل عبارت (۳¹⁰ × (۱/۲۷)³) ÷ (۵⁴ × (۱/۲۵)²)³ کدام است؟", "choices": ["۱", "۲۱۸۷", "۵", "۳"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۹: دایره", "زاویه‌های مرکزی (۲)", "محاسبه درجه کمان دایره"], "کمان AB در دایره‌ای برابر x درجه است. نقطهٔ C روی کمان بزرگ‌تر (غیر از کمان AB) روی همان دایره قرار دارد. اندازهٔ زاویهٔ محاطی ACB برحسب x کدام است؟", {"prompt": "کمان AB در دایره‌ای برابر x درجه است. نقطهٔ C روی کمان بزرگ‌تر (غیر از کمان AB) روی همان دایره قرار دارد. اندازهٔ زاویهٔ محاطی ACB برحسب x کدام است؟", "choices": ["x/۲", "x", "۲x", "x/۴"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۹: دایره", "زاویه‌های مرکزی (۲)", "محاسبه اندازه کمان‌ها"], "متحرکی روی دایره‌ای به شعاع ۱ سانتی‌متر حرکت می‌کند؛ محیط این دایره ۲π سانتی‌متر است. طول تقریبی کمانی که زاویهٔ مرکزی آن ۹۰ درجه است، چند سانتی‌متر است؟", {"prompt": "متحرکی روی دایره‌ای به شعاع ۱ سانتی‌متر حرکت می‌کند؛ محیط این دایره ۲π سانتی‌متر است. طول تقریبی کمانی که زاویهٔ مرکزی آن ۹۰ درجه است، چند سانتی‌متر است؟", "choices": ["π", "۲π", "π/۴", "π/۲"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۲)", "رسم نمودار توابع ضرب شده در عدد ثابت"], "در بازه‌ی [۰, ۲π]، مقدارِ y = (۱)/(۲) sin x در x = ۳π/۲ چند است؟ (sin(۳π/۲) = -۱)", {"prompt": "در بازه‌ی [۰, ۲π]، مقدارِ y = ۱/۲ sin x در x = ۳π/۲ چند است؟ (sin(۳π/۲) = -۱)", "choices": ["-۳/۲", "۱/۲", "-۱", "-۱/۲"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۲)", "تعیین دامنه و برد توابع ضرب شده در عدد ثابت"], "بردِ تابع y = sin x برابرِ [-۱, ۱] است. بردِ تابع y = (۱)/(۲) sin x کدام است؟", {"prompt": "بردِ تابع y = sin x برابرِ [-۱, ۱] است. بردِ تابع y = ۱/۲ sin x کدام است؟", "choices": ["[-۱/۲, ۱/۲]", "[-۱, ۱]", "[۰, ۱/۲]", "[-۲, ۲]"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۳)", "ترسیم نمودار تابع سینوس با تغییر دامنه و بازه"], "طبق محاسبه، مقدارِ y = sin ۲x در x = ۳π/۴ کدام است؟", {"prompt": "طبق محاسبه، مقدارِ y = sin ۲x در x = ۳π/۴ کدام است؟", "choices": ["-۱", "۱", "۰", "-۱/۲"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۳)", "اثبات نامساوی و تعیین بازه برای توابع لگاریتمی"], "نامساوی log(x+۱) ≤ log(۷x-۳) را حل کنید.", {"prompt": "نامساوی log(x+۱) ≤ log(۷x-۳) را حل کنید.", "choices": ["x ≤ ۲/۳", "x > -۱", "x ≥ ۲/۳", "x ≥ ۳/۷"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۴)", "باقی‌مانده تقسیم چندجمله‌ای‌ها"], "باقی‌مانده‌ی تقسیم f(x) = x³ + ۲x² - x - ۲ بر ۲x - ۱ کدام است؟", {"prompt": "باقی‌مانده‌ی تقسیم f(x) = x³ + ۲x² - x - ۲ بر ۲x - ۱ کدام است؟", "choices": ["-۱۵/۸", "۱۵/۸", "-۱/۸", "-۲"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۵)", "بررسی وجود تابعی که هم صعودی و هم نزولی باشد"], "باقی‌مانده‌ی تقسیم چندجمله‌ای ۲ + kx⁴ + x⁷ - ۲ بر x - ۶ برابر ۷ است. مقدار k کدام است؟", {"prompt": "باقی‌مانده‌ی تقسیم چندجمله‌ای ۲ + kx⁴ + x⁷ - ۲ بر x - ۶ برابر ۷ است. مقدار k کدام است؟", "choices": ["k = ۲۷۹۹۲۹/۱۲۹۶", "k = -۲۷۹۹۲۹/۱۲۹۶", "k = -۴۶۶۴۹/۱۲۹۶", "k = -۲۷۹۹۴۳/۱۲۹۶"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۶)", "تعیین ضریب k با استفاده از باقی‌مانده تقسیم چندجمله‌ای"], "چندجمله‌ای ۲ + kx⁴ + x⁷ - ۲ بر x - ۶ تقسیم شده و باقی‌مانده برابر ۷ است. مقدار k چند است؟", {"prompt": "چندجمله‌ای ۲ + kx⁴ + x⁷ - ۲ بر x - ۶ تقسیم شده و باقی‌مانده برابر ۷ است. مقدار k چند است؟", "choices": ["k = -۲۷۹۹۴۳/۱۲۹۶", "k = ۲۷۹۹۲۹/۱۲۹۶", "k = -۴۶۶۴۹/۱۲۹۶", "k = -۲۷۹۹۲۹/۱۲۹۶"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخش‌پذیری و تقسیم (۶)", "تعیین ضرایب چندجمله‌ای با شرایط بخش‌پذیری"], "چندجمله‌ای x⁷ - ۲x² + ax⁴ + bx + ۱ بر x - ۲ و بر x + ۱ بخش‌پذیر است. مقدار a کدام است؟", {"prompt": "چندجمله‌ای x⁷ - ۲x² + ax⁴ + bx + ۱ بر x - ۲ و بر x + ۱ بخش‌پذیر است. مقدار a کدام است؟", "choices": ["a = -۱۳/۲", "a = ۱۳/۲", "a = -۲", "a = -۱۷/۲"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۱)", "تحلیل دوره تناوب، مینیمم و ماکزیمم تابع سینوس"], "دامنه‌ی تغییرات (برد) تابع y = (۱)/(۲) sin x در بازه‌ی [-π, π] کدام است؟", {"prompt": "دامنه‌ی تغییرات (برد) تابع y = ۱/۲ sin x در بازه‌ی [-π, π] کدام است؟", "choices": ["[۰, ۰٫۵]", "[-۰٫۵, ۰٫۵]", "[-۱, ۱]", "[-۲, ۲]"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۱)", "تعیین اثر ضریب a بر دامنه و دوره تناوب تابع سینوس"], "برای تابع y = (۱)/(۲) sin x در بازه‌ی [-π, π]، کدام گزینه درست است؟", {"prompt": "برای تابع y = ۱/۲ sin x در بازه‌ی [-π, π]، کدام گزینه درست است؟", "choices": ["دوره π، دامنه [-۰٫۵، ۰٫۵]", "دوره ۲π، دامنه [-۱، ۱]", "دوره π، دامنه [-۱، ۱]", "دوره ۲π، دامنه [-۰٫۵، ۰٫۵]"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۳)", "محاسبه حد کسرهای چندجمله‌ای در بی‌نهایت"], "حاصلِ lim (x→±∞) (7x³ − x + 1) / (4x³ + 7x − 1) کدام است؟", {"prompt": "حاصلِ lim (x→±∞) (۷x³ − x + ۱) / (۴x³ + ۷x − ۱) کدام است؟", "choices": ["۴/۷", "۱", "−۱", "۷/۴"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۳)", "محاسبه حدهای چند مثال مشخص از کسرهای چندجمله‌ای در بی‌نهایت"], "حاصلِ lim (x→±∞) (−7x⁴ + x − 1) / (9x⁴ − 7x + 1) کدام است؟", {"prompt": "حاصلِ lim (x→±∞) (−۷x⁴ + x − ۱) / (۹x⁴ − ۷x + ۱) کدام است؟", "choices": ["۷/۹", "۹/۷", "−۷/۹", "−۱"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۳)", "یافتن مجانب‌های افقی و قائم تابع"], "تابعِ f(x) = (2x − 1) / (x + 1) را در نظر بگیرید. مجانبِ افقیِ این تابع کدام است؟", {"prompt": "تابعِ f(x) = (۲x − ۱) / (x + ۱) را در نظر بگیرید. مجانبِ افقیِ این تابع کدام است؟", "choices": ["y = ۲", "y = −۱", "y = ۰", "x = −۱"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۳)", "یافتن مجانب‌های افقی و قائم توابع کسری"], "حاصلِ lim (x→±∞) (−x⁷ + 2x) / (4x⁷ + 1) کدام است؟", {"prompt": "حاصلِ lim (x→±∞) (−x⁷ + ۲x) / (۴x⁷ + ۱) کدام است؟", "choices": ["۱/۴", "−۴", "−۱/۴", "۰"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۴)", "محاسبه حدهای جبری توابع کسری و چندجمله‌ای در بی‌نهایت"], "حاصلِ lim (x→−∞) (x³ − 7x³) کدام است؟", {"prompt": "حاصلِ lim (x→−∞) (x³ − ۷x³) کدام است؟", "choices": ["−∞", "۰", "−۶", "+∞"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۴)", "محاسبه حد تابع گویا در بی‌نهایت"], "حاصلِ lim (x→∞) (3x³ − 2x + 1) / (5x³ + 4x² − 7) کدام است؟", {"prompt": "حاصلِ lim (x→∞) (۳x³ − ۲x + ۱) / (۵x³ + ۴x² − ۷) کدام است؟", "choices": ["۵/۳", "−۱/۲", "۱", "۳/۵"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۴)", "محاسبه حد توابع شامل رادیکال در بی‌نهایت"], "حاصلِ lim (x→∞) (√(x² + 3x) − x) / x کدام است؟", {"prompt": "حاصلِ lim (x→∞) (√(x² + ۳x) − x) / x کدام است؟", "choices": ["۳/۲", "۳", "۰", "∞"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۱)", "محاسبه شیب خط مماس و متوسط"], "با توجه به تابعِ f(x) = −x² + 10x و نقاطِ A و B که xA = ۲ و xB = ۶، با Δx = ۴ و Δy = ۸، شیبِ خطِ AB کدام است؟", {"prompt": "با توجه به تابعِ f(x) = −x² + ۱۰x و نقاطِ A و B که xA = ۲ و xB = ۶، با Δx = ۴ و Δy = ۸، شیبِ خطِ AB کدام است؟", "choices": ["۴", "۲", "۰٫۵", "۸"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۱)", "محاسبه شیب خط مماس بر منحنی در نقطه مشخص"], "اگر f(x) = −x² + 10x − 16، حاصلِ lim (h→۰⁺) (f(۲+h) − f(۲)) / h کدام است؟", {"prompt": "اگر f(x) = −x² + ۱۰x − ۱۶، حاصلِ lim (h→۰⁺) (f(۲+h) − f(۲)) / h کدام است؟", "choices": ["−۶", "۰", "۶", "۱۰"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۲)", "محاسبه حد عبارت مشتق‌نما"], "اگر f(x) = −x² + 10x − 16 باشد، مقدارِ مشتقِ تابع در x = ۲ (یعنی f′(۲)) کدام است؟", {"prompt": "اگر f(x) = −x² + ۱۰x − ۱۶ باشد، مقدارِ مشتقِ تابع در x = ۲ (یعنی f′(۲)) کدام است؟", "choices": ["۶", "۴", "−۶", "۱۶"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۲)", "محاسبه مشتق تابع در نقطه با استفاده از حد تعریف مشتق"], "معادله‌ی خطِ مماس بر منحنیِ f(x) = −x³ + 10x + 1 در نقطه‌ی A(۲, f(۲)) کدام است؟", {"prompt": "معادله‌ی خطِ مماس بر منحنیِ f(x) = −x³ + ۱۰x + ۱ در نقطه‌ی A(۲, f(۲)) کدام است؟", "choices": ["y = ۲x + ۱۷", "y = −۲x + ۱۳", "y = −۲x + ۱۱", "y = −۲x + ۱۷"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۲)", "نوشتن معادله خط مماس بر منحنی در نقطه مشخص"], "اگر f(x) = −x³ + 10x + 1 باشد، مقدارِ f′(۲) کدام است؟", {"prompt": "اگر f(x) = −x³ + ۱۰x + ۱ باشد، مقدارِ f′(۲) کدام است؟", "choices": ["۲", "−۲", "۴", "−۲۲"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۲)", "محاسبه شیب خط قطعی بین دو نقطه روی منحنی"], "برای تابعِ f(x) = −x³ + 10x + 1، اگر A در x = ۲ و B در x = ۲+Δx باشد، شیبِ خطِ قاطعِ AB برحسبِ Δx کدام است؟", {"prompt": "برای تابعِ f(x) = −x³ + ۱۰x + ۱، اگر A در x = ۲ و B در x = ۲+Δx باشد، شیبِ خطِ قاطعِ AB برحسبِ Δx کدام است؟", "choices": ["−۲ − ۶Δx − Δx²", "۲ − ۶Δx − Δx²", "−۲ − ۶Δx + Δx²", "−۲ + ۶Δx − Δx²"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۳)", "تعریف مشتق و حدهای معادل"], "در اثباتِ برابریِ lim (h→۰) (f(a+h) − f(a))/h = lim (x→a) (f(x) − f(a))/(x − a)، کدام تغییرِ متغیر به‌کار می‌رود؟", {"prompt": "در اثباتِ برابریِ lim (h→۰) (f(a+h) − f(a))/h = lim (x→a) (f(x) − f(a))/(x − a)، کدام تغییرِ متغیر به‌کار می‌رود؟", "choices": ["h = a + x", "x = a + h", "x = a − h", "h = ۲(x − a)"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۳)", "محاسبه مشتق تابع و بررسی نقاط مشتق‌پذیری با نمودار"], "اگر f(x) = 3x³ − 2x + 1 باشد، معادله‌ی خطِ مماس بر منحنیِ f در نقطه‌ای به طولِ ۲ کدام است؟", {"prompt": "اگر f(x) = ۳x³ − ۲x + ۱ باشد، معادله‌ی خطِ مماس بر منحنیِ f در نقطه‌ای به طولِ ۲ کدام است؟", "choices": ["y = ۳۴x − ۴۷", "y = ۳۴x + ۲۱", "y = ۳۴x − ۶۸", "y = −۳۴x + ۴۷"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۳)", "یافتن معادله خط مماس بر منحنی در نقطه مشخص"], "اگر f(x) = 3x³ − 2x + 1 باشد، مقدارِ f′(۲) کدام است؟", {"prompt": "اگر f(x) = ۳x³ − ۲x + ۱ باشد، مقدارِ f′(۲) کدام است؟", "choices": ["۳۶", "۳۸", "۲۱", "۳۴"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۳)", "یافتن نقاط با شیب‌های داده شده روی منحنی"], "اگر f(x) = x³ − 2 باشد، مقدارِ f′(−۱) کدام است؟", {"prompt": "اگر f(x) = x³ − ۲ باشد، مقدارِ f′(−۱) کدام است؟", "choices": ["−۳", "۳", "−۱", "۶"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۴)", "محاسبه مشتق تابع در نقطه مشخص"], "اگر f(x) = x³ − 2 باشد، مشتقِ f′(x) کدام است؟", {"prompt": "اگر f(x) = x³ − ۲ باشد، مشتقِ f′(x) کدام است؟", "choices": ["۳x²", "x²", "۳x² − ۲", "۳x"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "مشتق‌پذیری و پیوستگی (۱)", "تعریف و محاسبه مشتق چپ و راست با استفاده از حد"], "کدام عبارت، تعریفِ معادلِ مشتق چپِ تابع f در x=a با متغیرِ h است؟", {"prompt": "کدام عبارت، تعریفِ معادلِ مشتق چپِ تابع f در x=a با متغیرِ h است؟", "choices": ["lim(h→۰⁻) (f(a+h)-f(a))/h", "lim(h→۰⁺) (f(a+h)-f(a))/h", "lim(h→۰⁻) (f(a)-f(a+h))/h", "lim(h→۰⁻) (f(a+h)+f(a))/h"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۳)", "بررسی وجود ماکزیمم و مینیمم مطلق در بازه‌های باز"], "تابع f(x) = (۱)/(۳)x³ − x را روی بازه‌ی [−۲, ۲] در نظر بگیرید. مقدار مینیمم مطلق تابع در این بازه کدام است؟", {"prompt": "تابع f(x) = ۱/۳x³ − x را روی بازه‌ی [−۲, ۲] در نظر بگیرید. مقدار مینیمم مطلق تابع در این بازه کدام است؟", "choices": ["-۸/۳", "-۲/۳", "۲/۳", "-۲"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۳)", "یافتن نقاط بحرانی تابع"], "تابع f(x) = (۱)/(۳)x³ − x را روی بازه‌ی [−۲, ۲] در نظر بگیرید. مقدار ماکزیمم مطلق تابع در این بازه چند است؟", {"prompt": "تابع f(x) = ۱/۳x³ − x را روی بازه‌ی [−۲, ۲] در نظر بگیرید. مقدار ماکزیمم مطلق تابع در این بازه چند است؟", "choices": ["-۲/۳", "۴/۳", "۲/۳", "۲"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۳)", "بهینه‌سازی حجم جعبه با استفاده از مشتق"], "استوانه‌ای با شعاع قاعده‌ی r و ارتفاع h داخل کره‌ای به شعاع R محاط شده و رابطه‌ی r² + (h/۲)² = R² برقرار است. مقدار h که حجم استوانه را بیشینه می‌کند کدام است؟", {"prompt": "استوانه‌ای با شعاع قاعده‌ی r و ارتفاع h داخل کره‌ای به شعاع R محاط شده و رابطه‌ی r² + (h/۲)² = R² برقرار است. مقدار h که حجم استوانه را بیشینه می‌کند کدام است؟", "choices": ["(۲R)/√۳", "۴/۳R", "R√۳", "R/√۳"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "مجموع جمله‌های دنباله‌های حسابی و هندسی (۲)", "محاسبه مجموع جملات اول دنباله هندسی"], "مجموع ۱۰ جمله‌ی اول دنباله‌ی هندسیِ (۱)/(۸)، (۱)/(۴)، (۱)/(۲)، ... کدام است؟", {"prompt": "مجموع ۱۰ جمله‌ی اول دنباله‌ی هندسیِ ۱/۸، ۱/۴، ۱/۲، ... کدام است؟", "choices": ["۶۳٫۸۷۵", "۲۵۵٫۸۷۵", "۱۰۲۳", "۱۲۷٫۸۷۵"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۱)", "حل معادلات درجه دوم"], "معادله‌ی ۲ - ۵x = ۳x² را حل کنید. جواب‌ها کدام‌اند؟", {"prompt": "معادله‌ی ۲ - ۵x = ۳x² را حل کنید. جواب‌ها کدام‌اند؟", "choices": ["x=-۱/۳ یا x=۲", "x=۱/۳ یا x=۲", "x=۱/۳ یا x=-۲", "x=-۱/۳ یا x=-۲"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۱)", "رابطه بین ضرایب و ریشه‌های معادله درجه دوم"], "اگر x=-۱ یک ریشه‌ی معادله‌ی ۴x² - mx - ۷ = ۰ باشد، ریشه‌ی دیگر و مقدارِ m به‌ترتیب کدام‌اند؟", {"prompt": "اگر x=-۱ یک ریشه‌ی معادله‌ی ۴x² - mx - ۷ = ۰ باشد، ریشه‌ی دیگر و مقدارِ m به‌ترتیب کدام‌اند؟", "choices": ["x₂=-۷/۴، m=۳", "x₂=۷/۴، m=-۳", "x₂=۴/۷، m=۳", "x₂=۷/۴، m=۳"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۲)", "تکمیل جدول ویژگی‌های نمودار سهمی با توجه به معادله"], "معادله‌ی درجه‌دومی بنویسید که ریشه‌های آن (۱)/(۳) و (۲)/(۳) باشند.", {"prompt": "معادله‌ی درجه‌دومی بنویسید که ریشه‌های آن ۱/۳ و ۲/۳ باشند.", "choices": ["۹x² - ۳x + ۲ = ۰", "۹x² - ۹x + ۲ = ۰", "۹x² - ۹x - ۲ = ۰", "۹x² + ۹x + ۲ = ۰"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۳)", "نوشتن معادله درجه دوم با شرایط ریشه‌ها"], "معادله‌ی درجه‌دومی با ریشه‌های (۱)/(۳) و (۲)/(۳) کدام است؟", {"prompt": "معادله‌ی درجه‌دومی با ریشه‌های ۱/۳ و ۲/۳ کدام است؟", "choices": ["x² - x + ۲ = ۰", "۹x² - ۹x - ۲ = ۰", "۳x² - ۳x + ۲ = ۰", "۹x² - ۹x + ۲ = ۰"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۱)", "محاسبه شیب خطوط در صفحه مختصات"], "معادله عمودمنصف پاره‌خط AB با A(-۲،۱) و B(۳،۴) کدام است؟", {"prompt": "معادله عمودمنصف پاره‌خط AB با A(-۲،۱) و B(۳،۴) کدام است؟", "choices": ["y = ۳/۵x + ۱۱/۵", "y = -۵/۳x + ۱۰/۳", "y = -۳/۵x + ۱۴/۵", "y = -۵/۳x - ۱۰/۳"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۱)", "نوشتن معادله عمودمنصف پاره‌خط"], "شیب عمودمنصف پاره‌خط AB با A(-۲،۱) و B(۳،۴) کدام است؟", {"prompt": "شیب عمودمنصف پاره‌خط AB با A(-۲،۱) و B(۳،۴) کدام است؟", "choices": ["۵/۳", "۳/۵", "-۵/۳", "-۳/۵"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۲)", "بررسی رابطه شیب خطوط عمود بر هم"], "اگر شیب خط AB برابر (۳)/(۵) و شیب عمودمنصف آن برابر -(۵)/(۳) باشد، حاصل‌ضرب این دو شیب چند است؟", {"prompt": "اگر شیب خط AB برابر ۳/۵ و شیب عمودمنصف آن برابر -۵/۳ باشد، حاصل‌ضرب این دو شیب چند است؟", "choices": ["-۹/۲۵", "۱", "۰", "-۱"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۲)", "تشخیص قرارگیری نقطه روی خط عمودمنصف"], "معادله عمودمنصف پاره‌خط AB با A(۰،-۳) و B(۶،۱۵) کدام است؟", {"prompt": "معادله عمودمنصف پاره‌خط AB با A(۰،-۳) و B(۶،۱۵) کدام است؟", "choices": ["y = -۱/۳x + ۷", "y = -۳x + ۱۵", "y = ۳x - ۳", "y = -۱/۳x - ۷"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۲)", "فاصله نقطه از خط"], "فاصله نقطه A(-۲،۴) از خط y = -(۴)/(۳)x + ۴ چقدر است؟", {"prompt": "فاصله نقطه A(-۲،۴) از خط y = -۴/۳x + ۴ چقدر است؟", "choices": ["۸/۵", "۲/۵", "۸", "۱۶/۵"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "آشنایی بیشتر با تابع (۱)", "تشخیص نمایش تابع و دامنه و برد"], "اگر دامنه‌ی تابع f(x) = x² را به بازه‌ی [۰, (۱)/(۲)] محدود کنیم، برد آن کدام است؟", {"prompt": "اگر دامنه‌ی تابع f(x) = x² را به بازه‌ی [۰, ۱/۲] محدود کنیم، برد آن کدام است؟", "choices": ["[۰, ۱/۲]", "[۰, ۱/۴]", "[۰, ∞)", "[۰, ۱]"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "آشنایی بیشتر با تابع (۲)", "کاربرد تابع به عنوان ماشین و حل مسائل عددی"], "ماشینی به هر عدد ورودی، آن را سه برابر کرده و سپس ۵ واحد اضافه می‌کند. اگر خروجی این ماشین ۴ باشد، ورودی آن کدام است؟", {"prompt": "ماشینی به هر عدد ورودی، آن را سه برابر کرده و سپس ۵ واحد اضافه می‌کند. اگر خروجی این ماشین ۴ باشد، ورودی آن کدام است؟", "choices": ["۳", "۱/۳", "(-۱)/(۳)", "-۳"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "آشنایی بیشتر با تابع (۲)", "برابری دو تابع"], "صدای آذرخش هر ۳ ثانیه حدود یک کیلومتر پیموده می‌شود. اگر h فاصله برحسب کیلومتر و t زمان برحسب ثانیه باشد (h = t/۳)، برای t = ۹ ثانیه مقدار h کدام است؟", {"prompt": "صدای آذرخش هر ۳ ثانیه حدود یک کیلومتر پیموده می‌شود. اگر h فاصله برحسب کیلومتر و t زمان برحسب ثانیه باشد (h = t/۳)، برای t = ۹ ثانیه مقدار h کدام است؟", "choices": ["۲۷", "۱/۳", "۶", "۳"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "آشنایی بیشتر با تابع (۲)", "تکمیل جدول مقادیر تابع بر اساس داده‌های مسئله"], "صدای آذرخش هر ۳ ثانیه حدود یک کیلومتر پیموده می‌شود. اگر h فاصله برحسب کیلومتر و t زمان برحسب ثانیه باشد (h = t/۳)، برای t = ۸ ثانیه مقدار h کدام است؟", {"prompt": "صدای آذرخش هر ۳ ثانیه حدود یک کیلومتر پیموده می‌شود. اگر h فاصله برحسب کیلومتر و t زمان برحسب ثانیه باشد (h = t/۳)، برای t = ۸ ثانیه مقدار h کدام است؟", "choices": ["۳/۸", "۸/۳", "۲۴", "۵"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۱)", "تعیین دامنه و برد تابع رادیکالی"], "با توجه به اینکه دامنه‌ی تابع f(x) = √(۳x - ۵) برابر [(۵)/(۳), +∞) است، برد این تابع کدام است؟", {"prompt": "با توجه به اینکه دامنه‌ی تابع f(x) = √(۳x - ۵) برابر [۵/۳, +∞) است، برد این تابع کدام است؟", "choices": ["[۰, +∞)", "[۵/۳, +∞)", "(-∞, ۰]", "ℝ"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "انواع توابع (۴)", "رسم نمودار تابع با استفاده از نمودار تابع دیگر"], "نمودار تابع g(x) = -۱/x از قرینه‌ی نمودار f(x) = ۱/x نسبت به محور x به‌دست می‌آید. اگر نقطه‌ی (۲, (۱)/(۲)) روی نمودار f باشد، نقطه‌ی متناظر آن روی نمودار g کدام است؟", {"prompt": "نمودار تابع g(x) = -۱/x از قرینه‌ی نمودار f(x) = ۱/x نسبت به محور x به‌دست می‌آید. اگر نقطه‌ی (۲, ۱/۲) روی نمودار f باشد، نقطه‌ی متناظر آن روی نمودار g کدام است؟", "choices": ["(-۲, ۱/۲)", "(۲, ۱/۲)", "(-۲, -۱/۲)", "(۲, -۱/۲)"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "وارون تابع (۴)", "تشخیص تابع واقعی و وارون"], "آیا تابع g(x) = (۵)/(۲) x وارونِ تابع f(x) = (۲)/(۵) x است؟", {"prompt": "آیا تابع g(x) = ۵/۲ x وارونِ تابع f(x) = ۲/۵ x است؟", "choices": ["بله، f(g(x))=g(f(x))=x", "خیر، f(g(x)) ≠ x", "بله، فقط برای x مثبت", "خیر، ضرایب باید برابر باشند"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "وارون تابع (۴)", "رسم نمودار تابع و بررسی وارون‌پذیری"], "وارون تابع f(x) = -(۱)/(۲) x + ۳ کدام است؟", {"prompt": "وارون تابع f(x) = -۱/۲ x + ۳ کدام است؟", "choices": ["f⁻¹(x) = -۲x + ۳", "f⁻¹(x) = -۲x + ۶", "f⁻¹(x) = ۲x + ۶", "f⁻¹(x) = -۲x - ۶"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۱)", "محاسبه دامنه و دامنه توابع ترکیبی"], "تابع f(x) = (۵)/(۹) (x - ۳۲) دمای فارنهایت را به سانتی‌گراد تبدیل می‌کند و تابع g(x) = x + ۲۷۳ دمای سانتی‌گراد را به کلوین تبدیل می‌کند. مقدار g(f(۵۰)) کدام است؟", {"prompt": "تابع f(x) = ۵/۹ (x - ۳۲) دمای فارنهایت را به سانتی‌گراد تبدیل می‌کند و تابع g(x) = x + ۲۷۳ دمای سانتی‌گراد را به کلوین تبدیل می‌کند. مقدار g(f(۵۰)) کدام است؟", "choices": ["۱۰", "۳۶۳", "۲۷۳", "۲۸۳"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۲)", "رسم و تحلیل نمودار توابع ترکیبی"], "اگر f(x) = (۵)/(۹)(x - ۳۲) و g(t) = t + ۲۷۳، ضابطه‌ی g(f(x)) کدام است؟", {"prompt": "اگر f(x) = ۵/۹(x - ۳۲) و g(t) = t + ۲۷۳، ضابطه‌ی g(f(x)) کدام است؟", "choices": ["۵/۹(x - ۳۲) + ۲۷۳", "۵/۹(x + ۳۲) + ۲۷۳", "۹/۵(x - ۳۲) + ۲۷۳", "۵/۹(x - ۳۲) + ۳۲"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۲)", "تبدیل درجه فارنهایت به درجه سانتی‌گراد و ترکیب توابع"], "تابع f(x) = (۵)/(۹)(x - ۳۲) درجه فارنهایت را به سانتی‌گراد و تابع g(x) = x + ۲۷۳ درجه سانتی‌گراد را به کلوین تبدیل می‌کند. مقدار g(f(۵۰)) کدام است؟", {"prompt": "تابع f(x) = ۵/۹(x - ۳۲) درجه فارنهایت را به سانتی‌گراد و تابع g(x) = x + ۲۷۳ درجه سانتی‌گراد را به کلوین تبدیل می‌کند. مقدار g(f(۵۰)) کدام است؟", "choices": ["۲۹۱", "۱۰", "۳۲۳", "۲۸۳"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۳)", "محاسبه ترکیب توابع"], "اگر f(x) = (۵)/(۹)(x - ۳۲) و g(t) = t + ۲۷۳، مقدار g(f(۴۱)) کدام است؟", {"prompt": "اگر f(x) = ۵/۹(x - ۳۲) و g(t) = t + ۲۷۳، مقدار g(f(۴۱)) کدام است؟", "choices": ["۲۸۲", "۲۷۸", "۳۱۴", "۲۷۳"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۲: تابع", "اعمال روی توابع (۵)", "نوشتن تابع تبدیل درجه زاویه از رادیان به درجه و بالعکس"], "تابع f(x) = (۵)/(۹)(x - ۳۲) درجه فارنهایت را به سانتی‌گراد تبدیل می‌کند. تابعِ معکوسِ آن که سانتی‌گراد را به فارنهایت تبدیل می‌کند، کدام است؟", {"prompt": "تابع f(x) = ۵/۹(x - ۳۲) درجه فارنهایت را به سانتی‌گراد تبدیل می‌کند. تابعِ معکوسِ آن که سانتی‌گراد را به فارنهایت تبدیل می‌کند، کدام است؟", "choices": ["۹/۵x - ۳۲", "۵/۹x + ۳۲", "۹/۵(x - ۳۲)", "۹/۵x + ۳۲"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۱)", "محاسبه مقادیر تابع رادیکالی با توان‌های کسری"], "اگر f(x) = ۲ به توان x باشد، مقدار f(-۲) کدام است؟", {"prompt": "اگر f(x) = ۲ به توان x باشد، مقدار f(-۲) کدام است؟", "choices": ["-۴", "۴", "۱/۲", "۱/۴"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۱)", "تشخیص تابع بودن نمودار"], "دامنه و بردِ تابعِ y = ((۱)/(۲)) به توان x به‌ترتیب کدام‌اند؟", {"prompt": "دامنه و بردِ تابعِ y = (۱/۲) به توان x به‌ترتیب کدام‌اند؟", "choices": ["اعدادِ مثبت؛ همه‌ی اعداد حقیقی", "اعدادِ مثبت؛ اعدادِ مثبت", "همه‌ی اعداد حقیقی؛ اعدادِ مثبت", "همه‌ی اعداد حقیقی؛ همه‌ی اعداد حقیقی"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۲)", "مقایسه مقادیر تابع نمایی در اعداد مختلف"], "۱۰ گرم نمک در آب حل می‌شود و مقدارِ نمکِ حل‌نشده پس از t دقیقه از رابطه‌ی q(t) = ۱۰ × ((۴)/(۵)) به توان t به دست می‌آید. مقدارِ نمکِ حل‌نشده پس از ۴ دقیقه چقدر است؟", {"prompt": "۱۰ گرم نمک در آب حل می‌شود و مقدارِ نمکِ حل‌نشده پس از t دقیقه از رابطه‌ی q(t) = ۱۰ × (۴/۵) به توان t به دست می‌آید. مقدارِ نمکِ حل‌نشده پس از ۴ دقیقه چقدر است؟", "choices": ["۵٫۱۲", "۸", "۴٫۸", "۴٫۰۹۶"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۲)", "رسم و مقایسه نمودار توابع نمایی"], "اگر y = ((۱)/(۲)) به توان x باشد، مقدارِ y در x = (۱)/(۲) کدام است؟", {"prompt": "اگر y = (۱/۲) به توان x باشد، مقدارِ y در x = ۱/۲ کدام است؟", "choices": ["(√۲)/۲", "۱/۲", "√۲", "۱/۴"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۲)", "کاربرد توابع نمایی در مسائل حل مقدار نمک در آب"], "۱۰ گرم نمک در آب حل می‌شود و مقدارِ نمکِ حل‌نشده پس از t دقیقه از رابطه‌ی q(t) = ۱۰ × ((۴)/(۵)) به توان t به دست می‌آید. مقدارِ نمکِ حل‌نشده پس از ۲ دقیقه چقدر است؟", {"prompt": "۱۰ گرم نمک در آب حل می‌شود و مقدارِ نمکِ حل‌نشده پس از t دقیقه از رابطه‌ی q(t) = ۱۰ × (۴/۵) به توان t به دست می‌آید. مقدارِ نمکِ حل‌نشده پس از ۲ دقیقه چقدر است؟", "choices": ["۸", "۶٫۴", "۵٫۱۲", "۴٫۰۹۶"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۲)", "مسئله مدل‌سازی رشد نمایی و نیمه‌عمر"], "جرمِ کربن-۱۴ با نیم‌عمرِ ۵۷۳۰ سال از رابطه‌ی Q(t) = ((۱)/(۲)) به توانِ (t ÷ ۵۷۳۰) به دست می‌آید و Q(۰) = ۱ گرم است. مقدارِ تقریبیِ Q(۲۰۰۰) کدام است؟", {"prompt": "جرمِ کربن-۱۴ با نیم‌عمرِ ۵۷۳۰ سال از رابطه‌ی Q(t) = (۱/۲) به توانِ (t ÷ ۵۷۳۰) به دست می‌آید و Q(۰) = ۱ گرم است. مقدارِ تقریبیِ Q(۲۰۰۰) کدام است؟", "choices": ["≈۰٫۵۰ گرم", "≈۰٫۹۵ گرم", "≈۰٫۷۹ گرم", "≈۰٫۳۵ گرم"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۲)", "تحلیل و رسم نمودار توابع نمایی با پایه کسری"], "توابعِ u(x)=((۱)/(۲))ˣ، v(x)=((۱)/(۳))ˣ و t(x)=((۱)/(۵))ˣ همگی پایه‌ای بینِ ۰ و ۱ دارند. بردِ هر سه‌ی این توابع کدام است؟", {"prompt": "توابعِ u(x)=(۱/۲)ˣ، v(x)=(۱/۳)ˣ و t(x)=(۱/۵)ˣ همگی پایه‌ای بینِ ۰ و ۱ دارند. بردِ هر سه‌ی این توابع کدام است؟", "choices": ["(-∞, +∞)", "(۰, +∞)", "[۰, +∞)", "(-∞, ۰)"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۳)", "مرتب‌سازی اعداد نمایی"], "از میانِ اعدادِ ((۱)/(۴))⁴، ((۱)/(۳))³، ۲² و ۳² کدام‌یک کوچک‌ترین مقدار را دارد؟", {"prompt": "از میانِ اعدادِ (۱/۴)⁴، (۱/۳)³، ۲² و ۳² کدام‌یک کوچک‌ترین مقدار را دارد؟", "choices": ["۳²", "۲²", "(۱/۴)⁴", "(۱/۳)³"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع نمایی (۴)", "حل نامعادلات نمایی"], "با فرضِ log۲ ≈ ۰٫۳۰۱، مجموعه‌جوابِ نامعادله‌ی ((۱)/(۱۰))⁴ˣ⁻¹ > (۱)/(۱۰۲۴) کدام است؟", {"prompt": "با فرضِ log۲ ≈ ۰٫۳۰۱، مجموعه‌جوابِ نامعادله‌ی (۱/۱۰)⁴ˣ⁻¹ > ۱/۱۰۲۴ کدام است؟", "choices": ["x < ۱٫۰۰۲۵", "x > ۱٫۰۰۲۵", "x < ۲٫۷۵", "x > ۲٫۷۵"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع لگاریتمی و لگاریتم (۱)", "تعیین مقادیر تابع نمایی و تابع وارون آن از روی نمودار"], "برای تابعِ f(x)=۳ˣ، مقدارِ f(-۱) کدام است؟", {"prompt": "برای تابعِ f(x)=۳ˣ، مقدارِ f(-۱) کدام است؟", "choices": ["-۳", "۱/۳", "-۱/۳", "۳"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع لگاریتمی و لگاریتم (۱)", "تشخیص درستی نقاط روی نمودار تابع و تابع وارون"], "با توجه به تابعِ f(x)=۳ˣ، کدام گزینه درست است؟", {"prompt": "با توجه به تابعِ f(x)=۳ˣ، کدام گزینه درست است؟", "choices": ["نقطه‌ی (۱/۹,-۲) روی f است", "نقطه‌ی (۱/۳,-۱) روی f است", "نقطه‌ی (۰,۱) روی f است", "تابعِ f یک‌به‌یک نیست"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع لگاریتمی و لگاریتم (۱)", "تبدیل لگاریتم به صورت توانی"], "تساویِ log₃((۱)/(۲۷)) = -۳ به کدام صورتِ توانی نوشته می‌شود؟", {"prompt": "تساویِ log₃(۱/۲۷) = -۳ به کدام صورتِ توانی نوشته می‌شود؟", "choices": ["۳³ = ۲۷", "۳⁻³ = ۱/۲۷", "(-۳)³ = ۱/۲۷", "۳⁻³ = ۲۷"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "تابع لگاریتمی و لگاریتم (۲)", "رسم و مقایسه نمودارهای نمایی و لگاریتمی"], "نمودارِ تابعِ لگاریتمی با پایه‌ی (۱)/(۲) نسبت به نمودارِ نماییِ هم‌پایه‌اش چه رابطه‌ای دارد؟", {"prompt": "نمودارِ تابعِ لگاریتمی با پایه‌ی ۱/۲ نسبت به نمودارِ نماییِ هم‌پایه‌اش چه رابطه‌ای دارد؟", "choices": ["بر هم منطبق‌اند", "قرینه‌ی هم نسبت به محورِ x اند", "هیچ رابطه‌ای ندارند", "قرینه‌ی هم نسبت به خطِ y=x اند"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۳: توابع نمایی و لگاریتمی", "ویژگی‌های لگاریتم و حل معادله‌های لگاریتمی (۳)", "ساده‌سازی عبارات لگاریتمی با استفاده از قوانین لگاریتم"], "مقدار log₂ ∛(۸ ÷ ۴) کدام است؟", {"prompt": "مقدار log₂ ∛(۸ ÷ ۴) کدام است؟", "choices": ["۱", "۱/۳", "۱/۲", "-۱/۳"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "رادیان (۲)", "تکمیل جدول نسبت‌های مثلثاتی برای زوایای مشخص"], "مقدار tan(π/۶) کدام است؟", {"prompt": "مقدار tan(π/۶) کدام است؟", "choices": ["√۳", "(√۳)/(۳)", "۱/۲", "(√۳)/(۲)"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا (۱)", "رابطه‌های مثلثاتی زوایای مکمل و زاویه‌های به شکل π-α و π+α"], "مقدار cos(۱۲۰ درجه) کدام است؟", {"prompt": "مقدار cos(۱۲۰ درجه) کدام است؟", "choices": ["۱/۲", "-(√۳)/(۲)", "(√۳)/(۲)", "-۱/۲"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا (۱)", "محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زوایای به صورت kπ + α یا kπ - α"], "مقدار sin(۴۰۵ درجه) کدام است؟", {"prompt": "مقدار sin(۴۰۵ درجه) کدام است؟", "choices": ["(√۲)/(۲)", "-(√۲)/(۲)", "۱/۲", "(√۳)/(۲)"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "توابع مثلثاتی (۱)", "تعیین مقادیر نسبت‌های مثلثاتی در بازه مشخص"], "مقدار sin(۷π/۶) کدام است؟", {"prompt": "مقدار sin(۷π/۶) کدام است؟", "choices": ["۱/۲", "-۱/۲", "-(√۳)/(۲)", "-۱"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "توابع مثلثاتی (۱)", "تکمیل و رسم نقاط تابع کسینوس"], "مقدار cos(۲π/۳) کدام است؟", {"prompt": "مقدار cos(۲π/۳) کدام است؟", "choices": ["۱/۲", "-(√۳)/(۲)", "-(√۲)/(۲)", "-۱/۲"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "توابع مثلثاتی (۲)", "رسم و تحلیل نمودار توابع مثلثاتی و تغییرات آنها"], "با استفاده از y = -cos(x + π/۲) = sin x، مقدار آن در x = π/۲ چند است؟", {"prompt": "با استفاده از y = -cos(x + π/۲) = sin x، مقدار آن در x = π/۲ چند است؟", "choices": ["۰", "۱", "-۱", "۱/۲"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "روابط مثلثاتی مجموع و تفاضل زوایا (۲)", "محاسبه مقادیر دقیق نسبت‌های مثلثاتی با استفاده از روابط جمع و تفریق زوایا"], "اگر cos α = (۴)/(۵) (ربع اول) و cos β = -(۱۲)/(۱۳) (ربع دوم) باشد، cos(α - β) کدام است؟", {"prompt": "اگر cos α = ۴/۵ (ربع اول) و cos β = -۱۲/۱۳ (ربع دوم) باشد، cos(α - β) کدام است؟", "choices": ["-۴۸/۶۵", "۱۵/۶۵", "-۳۳/۶۵", "-۶۳/۶۵"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "مفهوم حد و فرایندهای حدی (۱)", "محاسبه اندازه ضلع و محیط مثلث‌های متوالی در شکل‌های هندسی"], "با توجه به الگوی Pₙ: ۳، (۳)/(۲)، (۳)/(۴)، (۳)/(۸)، ...، مقدار P₅ کدام است؟", {"prompt": "با توجه به الگوی Pₙ: ۳، ۳/۲، ۳/۴، ۳/۸، ...، مقدار P₅ کدام است؟", "choices": ["۳/۸", "۳/۱۶", "۳/۱۰", "۳/۳۲"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "محاسبه حد توابع کسری (۱)", "محاسبه حد با تغییر متغیر"], "مقدار حدِ زیر را بیابید:\nlim (x→۰) (√(۱+x) - ۱) / x", {"prompt": "مقدار حدِ زیر را بیابید:\nlim (x→۰) (√(۱+x) - ۱) / x", "choices": ["۱/۲", "۱", "-۱/۲", "۲"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "محاسبه حد توابع کسری (۲)", "محاسبه حد توابع گویا و رادیکالی"], "مقدار حدِ زیر را بیابید:\nlim (x→۱) (x³ + x - ۱) / (x³ + ۳x)", {"prompt": "مقدار حدِ زیر را بیابید:\nlim (x→۱) (x³ + x - ۱) / (x³ + ۳x)", "choices": ["۱/۲", "-۱/۲", "۱/۴", "-۱/۴"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "محاسبه حد توابع کسری (۲)", "محاسبه حد حاصل‌ضرب توابع"], "اگر f(x) = (x+۱)/(x³ - x - ۱) و g(x) = (x³+۱)/x، مقدار lim (x→ -(۱)/(۲)) f(x)·g(x) را بیابید.", {"prompt": "اگر f(x) = (x+۱)/(x³ - x - ۱) و g(x) = (x³+۱)/x، مقدار lim (x→ -۱/۲) f(x)·g(x) را بیابید.", "choices": ["-۷/۵", "۷/۵", "۴/۵", "۷/۴"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "پیوستگی (۲)", "تشخیص پیوستگی تابع گام‌دار"], "تابعِ f(x)=[x] (جزءِ صحیحِ x) را در نقاطِ x=۲، x=(۱)/(۲) و x=۰ بررسی کنید؛ در کدام نقطه پیوسته است؟", {"prompt": "تابعِ f(x)=[x] (جزءِ صحیحِ x) را در نقاطِ x=۲، x=۱/۲ و x=۰ بررسی کنید؛ در کدام نقطه پیوسته است؟", "choices": ["فقط در x=۰", "فقط در x=۲", "در هر سه نقطه", "فقط در x=۱/۲"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "پیوستگی (۳)", "تعیین مقدار پارامتر برای پیوستگی تابع در نقطه خاص"], "تابعِ f(x) به‌صورتِ زیر تعریف شده: برایِ x<۱، f(x)=x-۱؛ برایِ x=۱، f(x)=a؛ برایِ x>۱، f(x)=-x+۲. برایِ پیوسته بودنِ f در x=۱، a باید چه مقداری باشد؟", {"prompt": "تابعِ f(x) به‌صورتِ زیر تعریف شده: برایِ x<۱، f(x)=x-۱؛ برایِ x=۱، f(x)=a؛ برایِ x>۱، f(x)=-x+۲. برایِ پیوسته بودنِ f در x=۱، a باید چه مقداری باشد؟", "choices": ["a = ۰", "a = ۱", "a = ۱/۲", "چنین مقداری برای a وجود ندارد."]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "پیوستگی (۴)", "نشان دادن ناپیوستگی تابع در نقطه صفر برای هر مقدار پارامتر"], "تابعِ f(x) به‌صورتِ زیر تعریف شده: برایِ x<۰، f(x)=x؛ برایِ x=۰، f(x)=a؛ برایِ x>۰، f(x)=۲x+۱. آیا مقداری برایِ a هست که f در x=۰ پیوسته باشد؟", {"prompt": "تابعِ f(x) به‌صورتِ زیر تعریف شده: برایِ x<۰، f(x)=x؛ برایِ x=۰، f(x)=a؛ برایِ x>۰، f(x)=۲x+۱. آیا مقداری برایِ a هست که f در x=۰ پیوسته باشد؟", "choices": ["خیر؛ حدِ چپ و راست برابر نیستند.", "بله، a=۰", "بله، a=۱", "بله، a=۱/۲"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "پیوستگی (۴)", "تعیین بیشترین مقدار پارامتر برای پیوستگی تابع جزء صحیح در بازه مشخص"], "تابعِ f(x) به‌صورتِ زیر تعریف شده: برایِ x>۰، f(x)=(۱-cos x)/x²؛ برایِ x=۰، f(x)=b-۱؛ برایِ x<۰، f(x)=x-۲a. اگر f در x=۰ پیوسته باشد، مقدارِ a و b کدام‌اند؟", {"prompt": "تابعِ f(x) به‌صورتِ زیر تعریف شده: برایِ x>۰، f(x)=(۱-cos x)/x²؛ برایِ x=۰، f(x)=b-۱؛ برایِ x<۰، f(x)=x-۲a. اگر f در x=۰ پیوسته باشد، مقدارِ a و b کدام‌اند؟", "choices": ["a=۱/۴ و b=۳/۲", "a=-۱/۴ و b=۱/۲", "a=-۱/۴ و b=۳/۲", "a=۱/۴ و b=۱/۲"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۵: حد و پیوستگی", "پیوستگی (۴)", "تعیین مقادیر پارامتر برای پیوستگی تابع تکه‌ای شامل توابع مثلثاتی و چندجمله‌ای"], "تابعِ f(x) به‌صورتِ زیر تعریف شده: برایِ x>۰، f(x)=(۱-cos x)/x²؛ برایِ x=۰، f(x)=b-۱؛ برایِ x<۰، f(x)=x-۲a. اگر f در x=۰ پیوسته باشد، مقدارِ b کدام است؟", {"prompt": "تابعِ f(x) به‌صورتِ زیر تعریف شده: برایِ x>۰، f(x)=(۱-cos x)/x²؛ برایِ x=۰، f(x)=b-۱؛ برایِ x<۰، f(x)=x-۲a. اگر f در x=۰ پیوسته باشد، مقدارِ b کدام است؟", "choices": ["۳/۲", "۱/۲", "-۳/۲", "۱"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۴)", "مقایسه مقادیر سینوس و تانژانت در بازه‌های مختلف"], "دامنه (بیشینه‌ی نوسان) و دوره‌ی تناوب تابع y = (۱)/(۲) sin x در بازه‌ی [-π,π] کدام است؟", {"prompt": "دامنه (بیشینه‌ی نوسان) و دوره‌ی تناوب تابع y = ۱/۲ sin x در بازه‌ی [-π,π] کدام است؟", "choices": ["دامنه ۲ و دوره ۲π", "دامنه ۰٫۵ و دوره ۲π", "دامنه ۰٫۵ و دوره π", "دامنه ۱ و دوره ۲π"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۴)", "رابطه بین زاویه دید و فاصله افقی در مثلثات"], "دوربینی در فاصله‌ی افقی x از دیوار قرار دارد. لبه‌ی پایین پنجره در ارتفاع ۰.۵ متر و لبه‌ی بالای آن در ارتفاع ۲.۵ متر (نسبت به ارتفاع دوربین) است. اگر β زاویه‌ی دید بین دو لبه‌ی پنجره باشد و x=۱ متر، مقدار tan β کدام است؟", {"prompt": "دوربینی در فاصله‌ی افقی x از دیوار قرار دارد. لبه‌ی پایین پنجره در ارتفاع ۰٫۵ متر و لبه‌ی بالای آن در ارتفاع ۲٫۵ متر (نسبت به ارتفاع دوربین) است. اگر β زاویه‌ی دید بین دو لبه‌ی پنجره باشد و x=۱ متر، مقدار tan β کدام است؟", "choices": ["۲", "-۱۲", "۸/۹", "۹/۸"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حدهای نامتناهی (۶)", "رسم نمودار توابع با مجانب قائم"], "جدولی رفتار تابع f را نشان می‌دهد: به‌ازای x = ۰.۱، ۰.۰۱، ۰.۰۰۱ و ۰.۰۰۰۱، مقدار f(x) به ترتیب ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰ و ۱۰۰۰۰ است. حدِ تابع f وقتی x از سمتِ مثبت به صفر میل می‌کند کدام است؟", {"prompt": "جدولی رفتار تابع f را نشان می‌دهد: به‌ازای x = ۰٫۱، ۰٫۰۱، ۰٫۰۰۱ و ۰٫۰۰۰۱، مقدار f(x) به ترتیب ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰ و ۱۰۰۰۰ است. حدِ تابع f وقتی x از سمتِ مثبت به صفر میل می‌کند کدام است؟", "choices": ["-∞", "+∞", "۰", "۱۰۰۰۰"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۳: حدهای نامتناهی ـ حد در بی‌نهایت", "حد در بی‌نهایت (۲)", "حد جمع و ضرب توابع با حدهای نامتناهی"], "برای تابع f(x) = (۱)/(x) در بازه‌ی (۰,+∞)، x را باید حداقل بزرگ‌تر از چه عددی بگیریم تا فاصله‌ی f(x) از محورِ x‌ها کمتر از (۱)/(۵) شود؟", {"prompt": "برای تابع f(x) = (۱)/(x) در بازه‌ی (۰,+∞)، x را باید حداقل بزرگ‌تر از چه عددی بگیریم تا فاصله‌ی f(x) از محورِ x‌ها کمتر از ۱/۵ شود؟", "choices": ["۱/۵", "۱۰", "۲۵", "۵"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۱)", "محاسبه شیب خط"], "خطی از نقطه‌ی (-۵,-۲) تا نقطه‌ی (۵,۲) می‌گذرد. شیبِ این خط را بیابید.", {"prompt": "خطی از نقطه‌ی (-۵,-۲) تا نقطه‌ی (۵,۲) می‌گذرد. شیبِ این خط را بیابید.", "choices": ["۲/۵", "۵/۲", "-۲/۵", "۲"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۴)", "تعیین مقادیر مشتق در نقاط مشخص نمودار"], "تابع f(x) = -x² + ۱۰x را در نظر بگیرید. نقاطِ A و B روی نمودار به‌ازای xA=۲ و xB=۶ قرار دارند. شیبِ خطِ AB چند است؟", {"prompt": "تابع f(x) = -x² + ۱۰x را در نظر بگیرید. نقاطِ A و B روی نمودار به‌ازای xA=۲ و xB=۶ قرار دارند. شیبِ خطِ AB چند است؟", "choices": ["۸", "۱/۲", "۲", "-۲"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آهنگ متوسط تغییر و آهنگ لحظه‌ای تغییر (۲)", "محاسبه آهنگ متوسط تغییر یک کمیت با استفاده از نمودار"], "میانگینِ تعدادِ فرزندانِ هر مادر در سالِ ۱۳۶۴ حدودِ ۶.۵ و در سالِ ۱۳۷۹ حدودِ ۳.۵ بوده است. آهنگِ متوسطِ تغییرِ باروری در این بازه چند است؟", {"prompt": "میانگینِ تعدادِ فرزندانِ هر مادر در سالِ ۱۳۶۴ حدودِ ۶٫۵ و در سالِ ۱۳۷۹ حدودِ ۳٫۵ بوده است. آهنگِ متوسطِ تغییرِ باروری در این بازه چند است؟", "choices": ["۰٫۲", "-۳", "-۰٫۲", "-۵"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۴)", "تعیین بازه‌های مثبت و منفی بودن مشتق تابع"], "مقدار ماکزیمم مطلق تابع f(x) = (۱)/(۳) x³ − x در بازه‌ی [−۲, ۲] چند است؟", {"prompt": "مقدار ماکزیمم مطلق تابع f(x) = ۱/۳ x³ − x در بازه‌ی [−۲, ۲] چند است؟", "choices": ["−۲/۳", "۲", "−۲", "۲/۳"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی (۶)", "رسم نمودار تابع صعودی و نزولی در بازه‌های مشخص"], "تابعِ f در بازه‌ی (−۳, ۴) تعریف شده است. طبقِ جدولِ تغییرات: از x=−۳ (که f=−۲۷ است) تا x=−۲/۳ تابع صعودی است و به مقدارِ (۲۰۲)/(۲۷) می‌رسد؛ سپس تا x=۲ نزولی است و به مقدارِ −۲ می‌رسد؛ سپس تا x=۴ (که f=۲۲ است) صعودی است. مقدارِ ماکزیمم نسبیِ تابعِ f چند است؟", {"prompt": "تابعِ f در بازه‌ی (−۳, ۴) تعریف شده است. طبقِ جدولِ تغییرات: از x=−۳ (که f=−۲۷ است) تا x=−۲/۳ تابع صعودی است و به مقدارِ ۲۰۲/۲۷ می‌رسد؛ سپس تا x=۲ نزولی است و به مقدارِ −۲ می‌رسد؛ سپس تا x=۴ (که f=۲۲ است) صعودی است. مقدارِ ماکزیمم نسبیِ تابعِ f چند است؟", "choices": ["−۲", "۲۲", "۲۰۲/۲۷", "−۲۷"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "رسم نمودار تابع (۱)", "تحلیل رفتار تابع با استفاده از مشتق اول و دوم"], "تابعِ f در x = (−۶)/(۵) ماکزیمم، در x = (−۱)/(۳) عطف و در x = (۱)/(۲) مینیمم دارد. تابع در کدام بازه نزولی است؟", {"prompt": "تابعِ f در x = (−۶)/(۵) ماکزیمم، در x = (−۱)/(۳) عطف و در x = ۱/۲ مینیمم دارد. تابع در کدام بازه نزولی است؟", "choices": ["از (−۶)/(۵) تا ۱/۲", "از −∞ تا (−۶)/(۵)", "از ۱/۲ تا +∞", "از (−۱)/(۳) تا ۱/۲"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "رسم نمودار تابع (۱)", "تحلیل نقاط بحرانی و نقاط عطف تابع"], "برایِ تابعِ f با f''(x) = ۶x + ۲، مقدارِ تابع در نقطه‌ی ماکزیمم x=(−۵)/(۳) برابرِ (۲۵۶)/(۲۷) است. مقدارِ تابع در نقطه‌ی عطف x=(−۱)/(۳) کدام است؟", {"prompt": "برایِ تابعِ f با f''(x) = ۶x + ۲، مقدارِ تابع در نقطه‌ی ماکزیمم x=(−۵)/(۳) برابرِ ۲۵۶/۲۷ است. مقدارِ تابع در نقطه‌ی عطف x=(−۱)/(۳) کدام است؟", "choices": ["۲۵۶/۲۷", "۱۲۸/۲۷", "۰", "x = (−۱)/(۳)"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "رسم نمودار تابع (۲)", "تحلیل رفتار تابع با استفاده از مشتق دوم"], "تابعِ f در همه‌جا مشتق‌پذیر است. ریشه‌هایِ f' برابرِ x=(۱)/(۲) و x=(−۶)/(۵) هستند؛ بینِ این دو ریشه f' منفی و بیرونِ آن مثبت است. در x=(−۶)/(۵) تابعِ f چه اکسترممی دارد؟", {"prompt": "تابعِ f در همه‌جا مشتق‌پذیر است. ریشه‌هایِ f' برابرِ x=۱/۲ و x=(−۶)/(۵) هستند؛ بینِ این دو ریشه f' منفی و بیرونِ آن مثبت است. در x=(−۶)/(۵) تابعِ f چه اکسترممی دارد؟", "choices": ["مینیمم موضعی", "نقطه‌ی عطف", "ماکزیمم موضعی", "بدونِ اکسترمم"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "ضرب عدد در بردار (۱)", "ترکیب بردارها"], "بردار حرکت یک خودرو را v می‌نامیم. اگر خودرو سه برابر همان مسافت را در جهت مخالف حرکت کند، بردار حرکت جدید بر حسب v کدام است؟", {"prompt": "بردار حرکت یک خودرو را v می‌نامیم. اگر خودرو سه برابر همان مسافت را در جهت مخالف حرکت کند، بردار حرکت جدید بر حسب v کدام است؟", "choices": ["−۳v", "۳v", "۱/۳ v", "−۱/۳ v"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "ضرب عدد در بردار (۱)", "ترکیب بردارها"], "بردار c به‌صورت c = ۲a − ۳b تعریف شده است. بردار −۳b نسبت به بردار b چه رابطه‌ای دارد؟", {"prompt": "بردار c به‌صورت c = ۲a − ۳b تعریف شده است. بردار −۳b نسبت به بردار b چه رابطه‌ای دارد؟", "choices": ["هم‌جهت با b، اندازه ۳ برابر", "مخالف جهت b، اندازه ۳ برابر", "مخالف جهت b، اندازه ۱/۳", "هم‌جهت با b، اندازه ۱/۳"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "بردارهای واحد مختصات (۱)", "رسم بردار و تعیین مختصات"], "معادله‌ی برداری ۲i − j + ۳x = [−۶ ، ۳] را حل کنید. بردار x کدام است؟", {"prompt": "معادله‌ی برداری ۲i − j + ۳x = [−۶ ، ۳] را حل کنید. بردار x کدام است؟", "choices": ["−۸i + ۴j", "(−۸)/(۳) i + ۴/۳ j", "۸/۳ i − ۴/۳ j", "(−۴)/(۳) i + ۸/۳ j"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "بردارهای واحد مختصات (۲)", "تحلیل حرکت ربات"], "اگر بردار a = ۳i − ۲j و بردار b = [−۱، ۲] باشد، بردار x را از معادله‌ی ۲x − j = ۲a − b به دست آورید.", {"prompt": "اگر بردار a = ۳i − ۲j و بردار b = [−۱، ۲] باشد، بردار x را از معادله‌ی ۲x − j = ۲a − b به دست آورید.", "choices": ["۷i − ۵j", "۷/۲ i − ۵/۲ j", "۷/۲ i + ۵/۲ j", "۵/۲ i − ۷/۲ j"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۵: بردار و مختصات", "بردارهای واحد مختصات (۳)", "جمع و تفریق بردارها"], "اگر بردار b = [۲، ۵] و بردار a = i − j باشد، مختصات بردار x را از رابطه‌ی ۲a − b = ۳x پیدا کنید.", {"prompt": "اگر بردار b = [۲، ۵] و بردار a = i − j باشد، مختصات بردار x را از رابطه‌ی ۲a − b = ۳x پیدا کنید.", "choices": ["(۰ ، (−۷)/(۳))", "(۰ ، −۷)", "(۴ ، (−۷)/(۳))", "(۰ ، ۷/۳)"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "جذر تقریبی (۱)", "محاسبه جذر تقریبی"], "اگر √۳۴ ≈ ۵.۸۳۰۹۵ باشد، کدام رابطه بینِ ۵.۸ و √۳۴ درست است؟", {"prompt": "اگر √۳۴ ≈ ۵٫۸۳۰۹۵ باشد، کدام رابطه بینِ ۵٫۸ و √۳۴ درست است؟", "choices": ["۵٫۸ > √۳۴", "۵٫۸ < √۳۴", "۵٫۸ = √۳۴", "نمی‌توان این دو عدد را مقایسه کرد"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "جذر تقریبی (۱)", "مقایسه جذرها"], "مقدارِ √۹۹ تا سه رقمِ اعشار کدام است؟", {"prompt": "مقدارِ √۹۹ تا سه رقمِ اعشار کدام است؟", "choices": ["۹٫۸۴۹", "۹٫۹۹۴", "۱۰٫۹۴۹", "۹٫۹۴۹"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "جذر تقریبی (۲)", "محاسبه مقدار تقریبی جذر"], "مقدارِ √۱۵۰ را تا یک رقمِ اعشار به‌دست آورید.", {"prompt": "مقدارِ √۱۵۰ را تا یک رقمِ اعشار به‌دست آورید.", "choices": ["۱۲٫۲", "۱۲٫۵", "۱۱٫۲", "۱۲٫۸"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "جذر تقریبی (۲)", "مقایسه مقادیر جذر"], "کدام رابطه بینِ √۱۷ و ۴.۰۳ درست است؟", {"prompt": "کدام رابطه بینِ √۱۷ و ۴٫۰۳ درست است؟", "choices": ["√۱۷ < ۴٫۰۳", "√۱۷ > ۴٫۰۳", "√۱۷ = ۴٫۰۳", "نمی‌توان این دو عدد را مقایسه کرد"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "جذر تقریبی (۲)", "تعیین مکان اعداد روی محور"], "رویِ محورِ اعداد، نقطه‌ی A در ۹.۵ قرار دارد. کدام یک از این اعداد به A نزدیک‌تر است؟", {"prompt": "رویِ محورِ اعداد، نقطه‌ی A در ۹٫۵ قرار دارد. کدام یک از این اعداد به A نزدیک‌تر است؟", "choices": ["√۷۹", "√۸۵", "√۹۸", "√۸۱"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "جذر تقریبی (۲)", "نزدیک‌ترین عدد به نقطه مشخص شده"], "رویِ محورِ اعداد، نقطه‌ی B در −۴.۵ قرار دارد. کدام یک از این اعداد به B نزدیک‌تر است؟", {"prompt": "رویِ محورِ اعداد، نقطه‌ی B در −۴٫۵ قرار دارد. کدام یک از این اعداد به B نزدیک‌تر است؟", "choices": ["−√۱۲۸", "−√۱۷۰", "−√۱۵۰", "−√۳۸"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "خواص ضرب و تقسیم رادیکال‌ها (۳)", "محاسبه حاصل ضرب و تقسیم توان‌ها"], "حاصلِ عبارتِ زیر را به‌دست آورید: (۳¹⁰ × ((۱)/(۲۷))³) ÷ (۵⁴ × ((۱)/(۲۵))²)³", {"prompt": "حاصلِ عبارتِ زیر را به‌دست آورید: (۳¹⁰ × (۱/۲۷)³) ÷ (۵⁴ × (۱/۲۵)²)³", "choices": ["۱/۳", "۱", "۹", "۳"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "خواص ضرب و تقسیم رادیکال‌ها (۴)", "ساده کردن عبارت توان‌دار"], "کدام یک از عددهای زیر کوچک‌ترین مقدار را دارد؟ ۴³، ۳⁵، √۳۵، (-۲)⁴، ((۲)/(۵))⁴", {"prompt": "کدام یک از عددهای زیر کوچک‌ترین مقدار را دارد؟ ۴³، ۳⁵، √۳۵، (-۲)⁴، (۲/۵)⁴", "choices": ["(-۲)⁴", "(۲/۵)⁴", "۳⁵", "√۳۵"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۷: توان و جذر", "خواص ضرب و تقسیم رادیکال‌ها (۴)", "محاسبه مقدار عددی عبارت توان‌دار"], "با x = -۲، y = ۶، a = -۱ و b = (۱)/(۲)، مقدارِ عبارتِ (ax³ - b(x - y³)) / (۲axy + ((y)/(x))³ - ((۳)/(b))³) را به‌دست آورید.", {"prompt": "با x = -۲، y = ۶، a = -۱ و b = ۱/۲، مقدارِ عبارتِ (ax³ - b(x - y³)) / (۲axy + ((y)/(x))³ - ((۳)/(b))³) را به‌دست آورید.", "choices": ["۰٫۴۶۱", "-۰٫۴۶۱", "-۰٫۵۴۹", "-۰٫۵۳۴"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۱: تابع", "تبدیل نمودار توابع (۵)", "رسم نمودار تابع مقابل با استفاده از قرینه‌یابی و انتقال"], "نمودار تابع y = √x را ابتدا نسبت به محور y و سپس حاصل را نسبت به محور x قرینه می‌کنیم. ضابطه‌ی تابع به‌دست‌آمده کدام است؟", {"prompt": "نمودار تابع y = √x را ابتدا نسبت به محور y و سپس حاصل را نسبت به محور x قرینه می‌کنیم. ضابطه‌ی تابع به‌دست‌آمده کدام است؟", "choices": ["y = -√(-x)", "y = √(-x)", "y = -√x", "y = √(x) - ۱"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "تناوب و تانژانت (۲)", "بررسی علامت و شکل نمودار توابع سینوس و کسینوس با ضرایب مختلف"], "نمودار تابع y = a sin(bx + c) از مبدأ می‌گذرد (c = 0) و از آنجا شروع به نزول می‌کند. بیشینه‌ی تابع ۳، کمینه‌ی آن ۳- و دوره‌ی تناوبش ۴π است. ضابطه‌ی تابع کدام است؟", {"prompt": "نمودار تابع y = a sin(bx + c) از مبدأ می‌گذرد (c = ۰) و از آنجا شروع به نزول می‌کند. بیشینه‌ی تابع ۳، کمینه‌ی آن ۳- و دوره‌ی تناوبش ۴π است. ضابطه‌ی تابع کدام است؟", "choices": ["y = -۳ sin((x)/(۲))", "y = ۳ sin((x)/(۲))", "y = -۳ sin(۲x)", "y = -۳ sin((x)/(۴))"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۲: مثلثات", "معادله‌های مثلثاتی (۱)", "تعیین طول تعداد نقاط تقاطع دو نمودار سینوس و خط افقی"], "کدام مقدار، طولِ یکی از نقاط تقاطعِ دو نمودار y = sin x و y = (۱)/(۲) است؟", {"prompt": "کدام مقدار، طولِ یکی از نقاط تقاطعِ دو نمودار y = sin x و y = ۱/۲ است؟", "choices": ["(۵π)/(۶)", "(۲π)/(۳)", "(π)/(۳)", "(۷π)/(۶)"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۴: مشتق", "آشنایی با مفهوم مشتق (۱)", "تعیین نمودار مربوط به شیب داده شده"], "شیبِ خطی که از دو نقطه‌ی (-۵, -۲) و (۵, ۲) می‌گذرد چقدر است؟", {"prompt": "شیبِ خطی که از دو نقطه‌ی (-۵, -۲) و (۵, ۲) می‌گذرد چقدر است؟", "choices": ["۲/۵", "۵/۲", "-۲/۵", "۱/۵"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۳)", "تشخیص نمودار تابع و بررسی تک‌نقطه عطف"], "برای تابع f(x) = x³ با f''(x) = 6x، جهت تقعر در بازه‌های (-∞, ۰) و (۰, +∞) و نقطه‌ی عطف کدام است؟", {"prompt": "برای تابع f(x) = x³ با f''(x) = ۶x، جهت تقعر در بازه‌های (-∞, ۰) و (۰, +∞) و نقطه‌ی عطف کدام است؟", "choices": ["رو به پایین، رو به بالا، نقطه‌ی عطف در x = ۰", "رو به بالا، رو به پایین، نقطه‌ی عطف در x = ۰", "رو به پایین، رو به بالا، بدون نقطه‌ی عطف", "رو به بالا در هر دو بازه، نقطه‌ی عطف در x = ۰"]}], [["پایه دوازدهم", "فصل ۵: کاربردهای مشتق", "جهت تقعر نمودار یک تابع و نقطه‌ی عطف آن (۴)", "یافتن جهت تقعر و نقاط عطف توابع مختلف"], "تابع h(x) = x² در بازه‌ی (۰, +∞) چگونه است؟", {"prompt": "تابع h(x) = x² در بازه‌ی (۰, +∞) چگونه است؟", "choices": ["صعودی، چون h'(x) = ۲x مثبت است", "نزولی، چون مقدار h(x) مثبت است", "ثابت، چون h''(x) = ۲ ثابت است", "نه صعودی نه نزولی، چون h'(۰) = ۰"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "معادله‌های درجه دوم (۴)", "تحلیل نمودار تابع درجه دوم و تعیین صفرها و ضابطه تابع"], "سهمی f(x) = ax² + bx + c رأسی در نقطه‌ی (۲, -۱) دارد، دهانه‌اش رو به بالاست و |a| = ۱. ضابطه‌ی تابع کدام است؟", {"prompt": "سهمی f(x) = ax² + bx + c رأسی در نقطه‌ی (۲, -۱) دارد، دهانه‌اش رو به بالاست و |a| = ۱. ضابطه‌ی تابع کدام است؟", "choices": ["f(x) = x² + ۴x + ۳", "f(x) = x² - ۴x + ۵", "f(x) = x² - ۴x + ۳", "f(x) = -x² + ۴x - ۵"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: جبر و معادله", "آشنایی با هندسه تحلیلی (۳)", "محاسبه مساحت شکل هندسی با استفاده از معادله خط و مختصات رئوس"], "نقطه‌ی A(۲, ۱) رأس یک مربع است و معادله‌ی یکی از اضلاع مربع که از A نمی‌گذرد 3x + 4y = 20 است. مساحت مربع چقدر است؟", {"prompt": "نقطه‌ی A(۲, ۱) رأس یک مربع است و معادله‌ی یکی از اضلاع مربع که از A نمی‌گذرد ۳x + ۴y = ۲۰ است. مساحت مربع چقدر است؟", "choices": ["۴", "۲", "۱۰", "۲۰"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا (۲)", "بررسی صحت عبارات مثلثاتی با استفاده از زوایا و روابط رادیانی"], "در مثلث قائم‌الزاویه‌ای زاویه‌ی تند θ داریم sin θ = (۳)/(۵). مقدار cos(π/2 - θ) کدام است؟", {"prompt": "در مثلث قائم‌الزاویه‌ای زاویه‌ی تند θ داریم sin θ = ۳/۵. مقدار cos(π/۲ - θ) کدام است؟", "choices": ["۴/۵", "۳/۴", "۵/۳", "۳/۵"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۴: مثلثات", "توابع مثلثاتی (۳)", "محاسبه زاویه در مدل مکانیکی با استفاده از توابع مثلثاتی"], "مقدار sin((۷π)/(۶)) کدام است؟", {"prompt": "مقدار sin((۷π)/(۶)) کدام است؟", "choices": ["-۱/۲", "۱/۲", "-(√۳)/(۲)", "(√۳)/(۲)"]}], [["پایه دهم", "فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری", "عبارت‌های جبری (۳)", "محاسبه توان‌های گویا"], "با استفاده از اتحادِ مربعِ دوجمله‌ای، حاصلِ (x - 3)² کدام است؟", {"prompt": "با استفاده از اتحادِ مربعِ دوجمله‌ای، حاصلِ (x - ۳)² کدام است؟", "choices": ["x² + ۶x + ۹", "x² - ۹", "x² - ۶x - ۹", "x² - ۶x + ۹"]}], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 3 (۱)", "تقسیم دایره به قسمت‌های مساوی"], "یک دایره را به ۸ قسمت مساوی تقسیم کرده‌ایم. هر قسمت چه کسری از دایره است؟", {"prompt": "یک دایره را به ۸ قسمت مساوی تقسیم کرده‌ایم. هر قسمت چه کسری از دایره است؟", "choices": ["۱/۴", "۱/۸", "۸/۱", "۱/۲"]}], [["پایه سوم", "فصل ۳: عددهای کسری", "عددهای کسری — گروه 4 (۲)", "رسم شکل برای مقایسه کسرها"], "مادر به علی و سارا پولِ مساوی داد. علی (۳)/(۴) پولش و سارا (۱)/(۲) پولش را خرج کرد. کدام درست است؟", {"prompt": "مادر به علی و سارا پولِ مساوی داد. علی ۳/۴ پولش و سارا ۱/۲ پولش را خرج کرد. کدام درست است؟", "choices": ["سارا بیشتر خرج کرد", "علی و سارا برابر خرج کردند", "علی بیشتر خرج کرد", "نمی‌شود فهمید"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 1 (۲)", "تشخیص محاسبه درست ضرب کسرها"], "حاصل (۲)/(۳) × (۳)/(۵) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۲/۳ × ۳/۵ کدام است؟", "choices": ["۵/۸", "۲/۵", "۱/۳", "۳/۴"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 3 (۲)", "جمع کسرهای ستونی"], "حاصل (۱)/(۶) + (۳)/(۴) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۱/۶ + ۳/۴ کدام است؟", "choices": ["۴/۱۰", "۴/۱۲", "۱۱/۱۲", "۳/۲۴"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 4 (۲)", "محاسبه حاصل ضرب کسرها با علامت جمع"], "حاصل (۲)/(۹) + (۱)/(۳) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۲/۹ + ۱/۳ کدام است؟", "choices": ["۳/۱۲", "۲/۲۷", "۳/۹", "۵/۹"]}], [["پایه ششم", "فصل ۲: کسر", "کسر — گروه 5 (۲)", "مقایسه کسرها با عدد صحیح"], "کدام کسر از ۱ بزرگ‌تر است؟", {"prompt": "کدام کسر از ۱ بزرگ‌تر است؟", "choices": ["۷/۶", "۵/۶", "۶/۶", "۳/۷"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 3 (۱)", "تقسیم کسرها"], "حاصل (۲)/(۳) ÷ (۴)/(۹) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۲/۳ ÷ ۴/۹ کدام است؟", "choices": ["۸/۲۷", "۲/۳", "۳/۲", "۱/۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 3 (۲)", "محاسبه درصد از روی کسر"], "کسر (۳۷)/(۱۰۰) را به صورت درصد بنویسید.", {"prompt": "کسر ۳۷/۱۰۰ را به صورت درصد بنویسید.", "choices": ["۳٫۷٪", "۳۷٪", "۱۳۷٪", "۰٫۳۷٪"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 6 (۲)", "محاسبه محیط و نسبت"], "طول ضلع یک مربع ۵ است. نسبت طول ضلع به محیط مربع کدام کسر است؟", {"prompt": "طول ضلع یک مربع ۵ است. نسبت طول ضلع به محیط مربع کدام کسر است؟", "choices": ["۱/۲", "۱/۵", "۵/۴", "۱/۴"]}], [["پایه نهم", "فصل ۷: عبارت‌های گویا", "معرفی و ساده کردن عبارت‌های گویا (۱)", "ساده کردن عبارت گویا"], "طولِ مستطیلی ۶ سانتی‌متر از عرضش بیشتر است و نسبتِ عرض به طول (۳)/(۵) است. عرضِ مستطیل چند سانتی‌متر است؟", {"prompt": "طولِ مستطیلی ۶ سانتی‌متر از عرضش بیشتر است و نسبتِ عرض به طول ۳/۵ است. عرضِ مستطیل چند سانتی‌متر است؟", "choices": ["۱۵", "۹", "۱۲", "۶"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۴: جبر و معادله", "تجزیه عبارت‌های جبری (۱)", "ساده‌سازی کسرها"], "کسرِ (۱۸)/(۲۴) پس از ساده شدن به کدام کسر تبدیل می‌شود؟", {"prompt": "کسرِ ۱۸/۲۴ پس از ساده شدن به کدام کسر تبدیل می‌شود؟", "choices": ["۲/۳", "۳/۴", "۹/۱۶", "۳/۵"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۸: آمار و احتمال", "بررسی حالت‌های ممکن (۲)", "محاسبه احتمال با استفاده از جدول"], "دو سکه را هم‌زمان می‌اندازیم. احتمالِ این‌که یکی رو و دیگری پشت بیاید چقدر است؟", {"prompt": "دو سکه را هم‌زمان می‌اندازیم. احتمالِ این‌که یکی رو و دیگری پشت بیاید چقدر است؟", "choices": ["۱/۴", "۱/۲", "۱/۳", "۳/۴"]}], [["پایه هشتم", "فصل ۹: دایره", "زاویه‌های مرکزی (۲)", "بررسی تساوی کمان‌ها و قطرها"], "زاویه‌ی مرکزیِ یک کمان در دایره ۴۵ درجه است. طولِ این کمان چه کسری از محیطِ دایره است؟", {"prompt": "زاویه‌ی مرکزیِ یک کمان در دایره ۴۵ درجه است. طولِ این کمان چه کسری از محیطِ دایره است؟", "choices": ["۱/۴", "۱/۶", "۱/۸", "۱/۹"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۱)", "نوشتن کسر متناظر با شکل‌های رنگ شده"], "عدد مخلوط ۲ و (۱)/(۳) را به صورت کسر بزرگ‌تر از واحد بنویسید.", {"prompt": "عدد مخلوط ۲ و ۱/۳ را به صورت کسر بزرگ‌تر از واحد بنویسید.", "choices": ["۶/۳", "۷/۳", "۵/۳", "۲/۳"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۲)", "محاسبه تعداد کسرهای کامل و کسری از یک کل"], "نانی را به ۵ قسمت مساوی تقسیم کرده‌اند. اگر ۱۳ قسمت نان خورده شود، چند نان کامل و چه کسری از یک نان مصرف شده است؟", {"prompt": "نانی را به ۵ قسمت مساوی تقسیم کرده‌اند. اگر ۱۳ قسمت نان خورده شود، چند نان کامل و چه کسری از یک نان مصرف شده است؟", "choices": ["۲ نان و ۲/۵", "۳ نان و ۱/۵", "۲ نان و ۳/۵", "۱ نان و ۳/۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۳)", "تبدیل کسر بزرگ‌تر از واحد به عدد مخلوط"], "کسر (۱۷)/(۵) را به عدد مخلوط تبدیل کنید.", {"prompt": "کسر ۱۷/۵ را به عدد مخلوط تبدیل کنید.", "choices": ["۲ و ۳/۵", "۳ و ۱/۵", "۴ و ۲/۵", "۳ و ۲/۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۳)", "نوشتن و مقایسه کسرها با استفاده از شکل‌ها"], "کدام کسر از (۵)/(۱۱) بزرگ‌تر است؟", {"prompt": "کدام کسر از ۵/۱۱ بزرگ‌تر است؟", "choices": ["۳/۱۱", "۲/۱۱", "۹/۱۱", "۴/۱۱"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۳)", "تبدیل کسر نامتعارف به عدد مخلوط"], "کسر (۴۷)/(۱۲) را به عدد مخلوط تبدیل کنید.", {"prompt": "کسر ۴۷/۱۲ را به عدد مخلوط تبدیل کنید.", "choices": ["۴ و ۱۱/۱۲", "۳ و ۱۱/۱۲", "۳ و ۱/۱۲", "۱۱ و ۳/۱۲"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۴)", "مقایسه کسرها و اعداد مخلوط"], "کدام علامت جای خالی را درست پر می‌کند؟ ۳ و (۱)/(۲) □ ۳ و (۱)/(۳)", {"prompt": "کدام علامت جای خالی را درست پر می‌کند؟ ۳ و ۱/۲ □ ۳ و ۱/۳", "choices": ["<", "=", ">", "هیچ‌کدام"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۴)", "تشخیص عدد بزرگ‌تر از عدد داده شده"], "کدام عدد از ۱ و (۱)/(۲) بزرگ‌تر است؟", {"prompt": "کدام عدد از ۱ و ۱/۲ بزرگ‌تر است؟", "choices": ["۵/۴", "۱ و ۱/۳", "۳/۲", "۷/۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۴)", "مقایسه کسرها"], "کدام مقایسه درست است؟", {"prompt": "کدام مقایسه درست است؟", "choices": ["۳/۷ > ۵/۷", "۱/۴ = ۱/۶", "۲/۹ > ۴/۹", "۹/۸ > ۵/۸"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۴)", "جمع کسرها"], "سارا ابتدا یک لیوان آب و سپس یک‌چهارم لیوان آب نوشید. او روی هم چقدر آب نوشیده است؟", {"prompt": "سارا ابتدا یک لیوان آب و سپس یک‌چهارم لیوان آب نوشید. او روی هم چقدر آب نوشیده است؟", "choices": ["۲/۴ لیوان", "۱/۴ لیوان", "۱ و ۱/۲ لیوان", "۱ و ۱/۴ لیوان"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "کسرهای بزرگ‌تر از واحد (۴)", "مرتب‌سازی کسرها"], "عدد مخلوط ۳ و (۱)/(۴) برابر کدام کسر است؟", {"prompt": "عدد مخلوط ۳ و ۱/۴ برابر کدام کسر است؟", "choices": ["۷/۴", "۱۳/۴", "۳۱/۴", "۱۲/۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۱)", "جمع کسرهای بزرگ‌تر از واحد و تبدیل به عدد مخلوط با روش‌های مختلف"], "رضا روز اول (۱)/(۴) کیلومتر و روز دوم (۲)/(۳) کیلومتر پیاده‌روی کرد. او روی هم چند کیلومتر رفته است؟", {"prompt": "رضا روز اول ۱/۴ کیلومتر و روز دوم ۲/۳ کیلومتر پیاده‌روی کرد. او روی هم چند کیلومتر رفته است؟", "choices": ["۳/۷ کیلومتر", "۱۱/۱۲ کیلومتر", "۲/۱۲ کیلومتر", "۸/۱۲ کیلومتر"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۲)", "حل مسئله با محور اعداد"], "عدد ۶ و (۱)/(۳) را روی محور در نظر بگیرید. اگر ۴ واحد از آن کم شود، چه عددی می‌ماند؟", {"prompt": "عدد ۶ و ۱/۳ را روی محور در نظر بگیرید. اگر ۴ واحد از آن کم شود، چه عددی می‌ماند؟", "choices": ["۱۰ و ۱/۳", "۲", "۳ و ۱/۳", "۲ و ۱/۳"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۲)", "جمع کسرهای با مخرج‌های مختلف"], "حاصل ۳ و (۱)/(۲) + ۲ و (۱)/(۳) را بیابید.", {"prompt": "حاصل ۳ و ۱/۲ + ۲ و ۱/۳ را بیابید.", "choices": ["۵ و ۲/۵", "۶ و ۱/۶", "۵ و ۵/۶", "۵ و ۲/۶"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۳)", "جمع کسرهای با مخرج‌های مختلف (مثال دیگر)"], "حاصل ۲ و (۳)/(۴) + ۱ و (۱)/(۸) را بیابید.", {"prompt": "حاصل ۲ و ۳/۴ + ۱ و ۱/۸ را بیابید.", "choices": ["۳ و ۴/۱۲", "۳ و ۴/۸", "۴ و ۷/۸", "۳ و ۷/۸"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۳)", "تفریق کسرهای بزرگ‌تر از یک"], "ماهی علی ۶ و (۱)/(۵) کیلوگرم و ماهی سعید ۲ و (۳)/(۵) کیلوگرم وزن دارد. ماهی علی چقدر سنگین‌تر است؟", {"prompt": "ماهی علی ۶ و ۱/۵ کیلوگرم و ماهی سعید ۲ و ۳/۵ کیلوگرم وزن دارد. ماهی علی چقدر سنگین‌تر است؟", "choices": ["۴ و ۲/۵ کیلوگرم", "۳ و ۳/۵ کیلوگرم", "۴ و ۳/۵ کیلوگرم", "۳ و ۲/۵ کیلوگرم"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۳)", "جمع و تفریق اعداد مخلوط"], "حاصل ۴ و (۱)/(۲) − ۱ و (۱)/(۴) را بیابید.", {"prompt": "حاصل ۴ و ۱/۲ − ۱ و ۱/۴ را بیابید.", "choices": ["۳ و ۱/۲", "۳ و ۳/۴", "۴ و ۱/۴", "۳ و ۱/۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۳)", "مقایسه مدت زمان‌ها و محاسبه تفاوت"], "علی ۴ و (۱)/(۳) ساعت و رضا ۲ ساعت کار کردند. علی چند ساعت بیشتر کار کرده است؟", {"prompt": "علی ۴ و ۱/۳ ساعت و رضا ۲ ساعت کار کردند. علی چند ساعت بیشتر کار کرده است؟", "choices": ["۲ ساعت", "۶ و ۱/۳ ساعت", "۲ و ۱/۳ ساعت", "۲ و ۲/۳ ساعت"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۳)", "مقایسه کسرها و تعیین مقدار بیشتر"], "سمیرا ۴ کیلوگرم و مینا ۱ و (۱)/(۳) کیلوگرم میوه خرید. سمیرا چقدر بیشتر خرید؟", {"prompt": "سمیرا ۴ کیلوگرم و مینا ۱ و ۱/۳ کیلوگرم میوه خرید. سمیرا چقدر بیشتر خرید؟", "choices": ["۳ و ۱/۳ کیلوگرم", "۲ و ۲/۳ کیلوگرم", "۲ و ۱/۳ کیلوگرم", "۳ و ۲/۳ کیلوگرم"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۴)", "تشخیص تساوی کسرها"], "کدام تساوی درست است؟", {"prompt": "کدام تساوی درست است؟", "choices": ["۱ و ۳/۴ = ۷/۴", "۲ و ۱/۵ = ۸/۵", "۳ و ۱/۲ = ۴/۲", "۲ و ۲/۳ = ۴/۳"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۴)", "محاسبه حاصل ضرب کسرها به روش‌های مختلف"], "حاصل ۳ و (۱)/(۴) × ۲ را بیابید.", {"prompt": "حاصل ۳ و ۱/۴ × ۲ را بیابید.", "choices": ["۶ و ۱/۴", "۵ و ۱/۲", "۶ و ۱/۲", "۷ و ۱/۲"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۴)", "نوشتن عدد مخلوط مناسب در جاهای خالی"], "عدد مناسب را بنویسید: ۳ و (۱)/(۳) + □ = ۵ و (۵)/(۶)", {"prompt": "عدد مناسب را بنویسید: ۳ و ۱/۳ + □ = ۵ و ۵/۶", "choices": ["۲ و ۱/۳", "۲ و ۴/۶", "۹ و ۱/۶", "۲ و ۱/۲"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق عددهای مخلوط (۴)", "محاسبه باقی‌مانده هزینه با کسر"], "حاصل (۵)/(۱۲) + (۹)/(۱۲) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۵/۱۲ + ۹/۱۲ کدام است؟", "choices": ["۱۴/۲۴", "۴/۱۲", "۱۴/۱۲", "۴۵/۱۲"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۱)", "محاسبه تعداد دانش‌آموزان ثبت‌نام‌کرده در کتابخانه با استفاده از کسر"], "حاصل ۴ × (۱)/(۳) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۴ × ۱/۳ کدام است؟", "choices": ["۱/۱۲", "۴/۳", "۳/۴", "۴/۱۲"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۲)", "رنگ‌آمیزی و محاسبه حاصل ضرب کسر در عدد صحیح با استفاده از مکعب‌ها"], "۵ نان داریم و (۳)/(۴) نان‌ها مصرف شده است. مقدار نان مصرف شده چقدر است؟", {"prompt": "۵ نان داریم و ۳/۴ نان‌ها مصرف شده است. مقدار نان مصرف شده چقدر است؟", "choices": ["۲ و ۳/۴", "۳ و ۱/۴", "۳ و ۳/۴", "۱۵/۲۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۲)", "محاسبه کسر از یک کل"], "کشاورزی زمینی را به ۳ قسمت مساوی تقسیم کرد و در (۱)/(۴) یکی از قسمت‌ها سبزی کاشت. او چه کسری از کل زمین را سبزی کاشته است؟", {"prompt": "کشاورزی زمینی را به ۳ قسمت مساوی تقسیم کرد و در ۱/۴ یکی از قسمت‌ها سبزی کاشت. او چه کسری از کل زمین را سبزی کاشته است؟", "choices": ["۱/۴", "۱/۷", "۱/۱۲", "۳/۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۳)", "مقایسه مقدار کسرها"], "علی ۸۰۰۰ تومان داشت و (۳)/(۴) آن را خرج کرد. او چند تومان خرج کرده است؟", {"prompt": "علی ۸۰۰۰ تومان داشت و ۳/۴ آن را خرج کرد. او چند تومان خرج کرده است؟", "choices": ["۲۰۰۰ تومان", "۴۰۰۰ تومان", "۶۰۰۰ تومان", "۳۰۰۰ تومان"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۳)", "محاسبه کسر از یک مقدار داده شده"], "(۳)/(۵) یک زمین کشت گندم است و نصف این بخش جو است. جو چه کسری از کل زمین است؟", {"prompt": "۳/۵ یک زمین کشت گندم است و نصف این بخش جو است. جو چه کسری از کل زمین است؟", "choices": ["۳/۱۰", "۴/۷", "۶/۵", "۳/۷"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۳)", "محاسبه حاصل ضرب کسرها و مقایسه با اعداد"], "حاصل (۹)/(۱۰) × (۱)/(۴) به کدام عدد نزدیک‌تر است؟", {"prompt": "حاصل ۹/۱۰ × ۱/۴ به کدام عدد نزدیک‌تر است؟", "choices": ["۱/۲", "۱", "۱/۴۰", "۱/۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۳)", "تشخیص صحت عبارت‌های کسر و ضرب"], "حاصل (۲)/(۳) × (۴)/(۵) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۲/۳ × ۴/۵ کدام است؟", "choices": ["۸/۸", "۶/۸", "۸/۱۵", "۱۰/۱۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۳)", "محاسبه فاصله بین نقاط با استفاده از کسر"], "فاصله خانه‌ی رضا تا مدرسه (۲)/(۳) کیلومتر است. فاصله خانه‌ی امیر (۳)/(۴) این فاصله است. فاصله خانه‌ی امیر تا مدرسه چقدر است؟", {"prompt": "فاصله خانه‌ی رضا تا مدرسه ۲/۳ کیلومتر است. فاصله خانه‌ی امیر ۳/۴ این فاصله است. فاصله خانه‌ی امیر تا مدرسه چقدر است؟", "choices": ["۸/۹ کیلومتر", "۱/۲ کیلومتر", "۵/۷ کیلومتر", "۱/۶ کیلومتر"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۴)", "ضرب کسرها و اعداد مخلوط"], "حاصل ۶ × (۳)/(۱۰) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۶ × ۳/۱۰ کدام است؟", "choices": ["۱۸/۶۰", "۹/۱۰", "۳ و ۳/۵", "۱ و ۴/۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۴)", "ضرب کسر در کسر"], "حاصل (۵)/(۶) × (۳)/(۱۰) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۵/۶ × ۳/۱۰ کدام است؟", "choices": ["۸/۱۶", "۱/۴", "۱۵/۱۶", "۱۸/۶۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب کسرها (۴)", "نوشتن مسئله برای ضرب کسرها و حل آن"], "۶ بسته داریم و وزن هر بسته نصف کیلوگرم است. وزن کل بسته‌ها چقدر است؟", {"prompt": "۶ بسته داریم و وزن هر بسته نصف کیلوگرم است. وزن کل بسته‌ها چقدر است؟", "choices": ["۱۲ کیلوگرم", "۱/۱۲ کیلوگرم", "۳ کیلوگرم", "۶ و ۱/۲ کیلوگرم"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "تقسیم کسرها (۲)", "تقسیم کسر بر عدد صحیح با تبدیل به ضرب و حل مثال‌های متنوع"], "می‌خواهیم ۷ کلوچه را مساوی میان ۴ نفر تقسیم کنیم. به هر نفر چقدر می‌رسد؟", {"prompt": "می‌خواهیم ۷ کلوچه را مساوی میان ۴ نفر تقسیم کنیم. به هر نفر چقدر می‌رسد؟", "choices": ["۲", "۴/۷", "۱ و ۱/۴", "۱ و ۳/۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "تقسیم کسرها (۲)", "تقسیم ساندویچ‌ها به تعداد مهمانان با کسر"], "۶ ساندویچ را میان مهمان‌ها تقسیم می‌کنیم. اگر برای هر نفر (۱)/(۳) ساندویچ کافی باشد، به چند نفر می‌رسد؟", {"prompt": "۶ ساندویچ را میان مهمان‌ها تقسیم می‌کنیم. اگر برای هر نفر ۱/۳ ساندویچ کافی باشد، به چند نفر می‌رسد؟", "choices": ["۲", "۹", "۱۸", "۳"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "تقسیم کسرها (۳)", "تقسیم عدد صحیح بر کسر"], "۲ متر نخ را به قطعه‌های (۱)/(۵) متری بریدیم. چند قطعه به دست آمد؟", {"prompt": "۲ متر نخ را به قطعه‌های ۱/۵ متری بریدیم. چند قطعه به دست آمد؟", "choices": ["۲/۵", "۱۰", "۷", "۱/۱۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "تقسیم کسرها (۳)", "نوشتن حاصل تقسیم به صورت کسر"], "حاصل تقسیم ۱۱ ÷ ۶ را به صورت یک کسر بنویسید.", {"prompt": "حاصل تقسیم ۱۱ ÷ ۶ را به صورت یک کسر بنویسید.", "choices": ["۶/۱۱", "۱۱/۶", "۱۱/۱", "۵/۶"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "تقسیم کسرها (۳)", "محاسبه حاصل تقسیم کسر بر عدد صحیح و عدد صحیح بر کسر"], "حاصل (۱)/(۳) ÷ ۵ کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۱/۳ ÷ ۵ کدام است؟", "choices": ["۵/۳", "۱/۸", "۱/۱۵", "۳/۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "تقسیم کسرها (۳)", "تقسیم کسر بر عدد صحیح و تقسیم عدد صحیح بر کسر در مسائل کاربردی"], "اگر ۹ متر پارچه را میان ۵ نفر مساوی تقسیم کنیم، به هر نفر چقدر می‌رسد؟", {"prompt": "اگر ۹ متر پارچه را میان ۵ نفر مساوی تقسیم کنیم، به هر نفر چقدر می‌رسد؟", "choices": ["۱ و ۴/۵ متر", "۵/۹ متر", "۴ متر", "۱ و ۱/۵ متر"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "تقسیم کسرها (۴)", "تقسیم عدد صحیح بر کسر در مسائل تقسیم مقدار به بسته‌های مساوی"], "اگر ۳ لیتر آب را میان ۴ نفر مساوی تقسیم کنیم، به هر نفر چقدر می‌رسد؟", {"prompt": "اگر ۳ لیتر آب را میان ۴ نفر مساوی تقسیم کنیم، به هر نفر چقدر می‌رسد؟", "choices": ["۴/۳ لیتر", "۱/۱۲ لیتر", "۷/۴ لیتر", "۳/۴ لیتر"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "تقسیم کسرها (۴)", "تقسیم کسرها"], "حاصل (۱)/(۲) ÷ (۱)/(۴) را بیابید.", {"prompt": "حاصل ۱/۲ ÷ ۱/۴ را بیابید.", "choices": ["۱/۸", "۲", "۸", "۱/۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "تقسیم کسرها (۴)", "تشخیص صحت عبارات کسر"], "کدام تساوی درست است؟", {"prompt": "کدام تساوی درست است؟", "choices": ["۱/۸ ÷ ۲ = ۱/۴", "۱/۸ ÷ ۲ = ۱/۱۶", "۶ ÷ ۱/۳ = ۲", "۶ ÷ ۱/۳ = ۱/۱۸"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "تقسیم کسرها (۴)", "مقایسه سهم افراد در تقسیم کیک"], "می‌خواهیم ۹ ÷ ۴ را به ضرب تبدیل کنیم: ۹ × □. به جای □ چه کسری باید نوشت؟", {"prompt": "می‌خواهیم ۹ ÷ ۴ را به ضرب تبدیل کنیم: ۹ × □. به جای □ چه کسری باید نوشت؟", "choices": ["۴/۱", "۹/۴", "۱/۹", "۱/۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "تقسیم کسرها (۴)", "مقایسه حاصل ضرب کسرها"], "حاصل (۱)/(۴) × ۳ کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۱/۴ × ۳ کدام است؟", "choices": ["۴/۳", "۳/۴", "۱/۱۲", "۳/۱۲"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۱)", "ضرب کسرها و عدد مخلوط"], "باغچه‌ای مستطیل شکل به عرض ۱ و (۱)/(۲) متر و طول ۲ و (۱)/(۳) متر است. مساحت آن چقدر است؟", {"prompt": "باغچه‌ای مستطیل شکل به عرض ۱ و ۱/۲ متر و طول ۲ و ۱/۳ متر است. مساحت آن چقدر است؟", "choices": ["۲ و ۱/۶ متر مربع", "۳ و ۵/۶ متر مربع", "۳ و ۱/۲ متر مربع", "۲۱/۱۲ متر مربع"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۲)", "ساده کردن کسرها"], "کسر (۲۸)/(۴۲) را ساده کنید.", {"prompt": "کسر ۲۸/۴۲ را ساده کنید.", "choices": ["۳/۴", "۲/۳", "۱/۲", "۷/۱۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۲)", "ضرب کسرها و ساده کردن حاصل ضرب"], "حاصل (۴)/(۹) × (۳)/(۸) را به صورت ساده‌شده بنویسید.", {"prompt": "حاصل ۴/۹ × ۳/۸ را به صورت ساده‌شده بنویسید.", "choices": ["۱/۳", "۷/۱۷", "۱/۱۲", "۱/۶"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۲)", "ساده‌سازی کسرها"], "کسر (۲۱)/(۲۸) را ساده کنید.", {"prompt": "کسر ۲۱/۲۸ را ساده کنید.", "choices": ["۳/۷", "۷/۴", "۳/۴", "۷/۹"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۳)", "مقایسه کسرها و تعیین کسر مساوی"], "سه کسر (۶)/(۸)، (۹)/(۱۲) و (۵)/(۸) داریم. کدام کسر با دو کسر دیگر مساوی نیست؟", {"prompt": "سه کسر ۶/۸، ۹/۱۲ و ۵/۸ داریم. کدام کسر با دو کسر دیگر مساوی نیست؟", "choices": ["۵/۸", "۶/۸", "۹/۱۲", "هر سه کسر مساوی‌اند"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۳)", "ضرب کسرها و ساده‌سازی حاصل ضرب"], "حاصل ضرب (۵)/(۶) در (۹)/(۱۰) را به صورت کسر ساده‌شده بنویسید.", {"prompt": "حاصل ضرب ۵/۶ در ۹/۱۰ را به صورت کسر ساده‌شده بنویسید.", "choices": ["۱۴/۱۶", "۴/۳", "۴۵/۱۶", "۳/۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۳)", "محاسبه مساحت با استفاده از کسرها"], "طول زمینی مستطیل شکل ۳ و (۱)/(۲) متر و عرض آن ۲ و (۱)/(۲) متر است. مساحت زمین چند متر مربع است؟", {"prompt": "طول زمینی مستطیل شکل ۳ و ۱/۲ متر و عرض آن ۲ و ۱/۲ متر است. مساحت زمین چند متر مربع است؟", "choices": ["۶ و ۱/۴", "۳۵/۲", "۸ و ۳/۴", "۱۲/۸"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۳)", "مقایسه کسرها"], "کدام مقایسه درست است؟", {"prompt": "کدام مقایسه درست است؟", "choices": ["۱/۴ = ۱/۶", "۳/۷ > ۲/۷", "۵/۸ > ۱۱/۸", "۲/۹ > ۲/۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۳)", "ساده کردن کسرها و تعیین برابری کسرها"], "کدام کسر با (۳)/(۴) مساوی است؟", {"prompt": "کدام کسر با ۳/۴ مساوی است؟", "choices": ["۱۲/۱۶", "۱۲/۱۸", "۹/۱۶", "۶/۱۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۴)", "ساده کردن حاصل ضرب کسرها"], "حاصل ضرب (۶)/(۱۰) در (۵)/(۹) را ساده کنید.", {"prompt": "حاصل ضرب ۶/۱۰ در ۵/۹ را ساده کنید.", "choices": ["۱۱/۱۹", "۳/۵", "۲/۳", "۱/۳"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۴)", "ساده کردن حاصل ضرب عدد صحیح در کسر"], "حاصل ضرب ۱۸ در (۱)/(۶) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ضرب ۱۸ در ۱/۶ کدام است؟", "choices": ["۲۴", "۱۰۸", "۳", "۶"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۴)", "نوشتن کسرهای مساوی"], "کدام کسر با (۴)/(۱۰) مساوی است؟", {"prompt": "کدام کسر با ۴/۱۰ مساوی است؟", "choices": ["۶/۱۴", "۶/۱۵", "۸/۲۵", "۴/۱۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۴)", "تقسیم کیک به تعداد افراد"], "۲ کیک را بین ۳ نفر مساوی تقسیم می‌کنیم. سهم هر نفر چه کسری از یک کیک است؟", {"prompt": "۲ کیک را بین ۳ نفر مساوی تقسیم می‌کنیم. سهم هر نفر چه کسری از یک کیک است؟", "choices": ["۲/۳", "۳/۲", "۱/۳", "۲/۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۴)", "مقایسه دو کسر به دو روش مختلف"], "کدام کسر بزرگ‌تر است: (۳)/(۴) یا (۵)/(۸)؟ (راهنما: مخرج مشترک ۸)", {"prompt": "کدام کسر بزرگ‌تر است: ۳/۴ یا ۵/۸؟ (راهنما: مخرج مشترک ۸)", "choices": ["۵/۸", "دو کسر مساوی‌اند", "نمی‌توان مقایسه کرد", "۳/۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۵)", "مسائل کاربردی با کسر و پول"], "قیمت کتابی نصف پول علی و قیمت کیفی (۳)/(۴) پول علی است. آیا علی می‌تواند هر دو را بخرد؟", {"prompt": "قیمت کتابی نصف پول علی و قیمت کیفی ۳/۴ پول علی است. آیا علی می‌تواند هر دو را بخرد؟", "choices": ["بله، مجموع قیمت‌ها ۴/۶ پول اوست", "بله، مجموع قیمت‌ها ۱/۴ پول اوست", "نه، مجموع قیمت‌ها ۵/۴ پول اوست", "نه، مجموع قیمت‌ها ۳/۸ پول اوست"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۵)", "ترکیب و مخلوط کردن مایعات با کسر"], "اگر (۱)/(۲) لیتر آب سرد را با (۱)/(۳) لیتر آب گرم مخلوط کنیم، روی هم چند لیتر آب داریم؟", {"prompt": "اگر ۱/۲ لیتر آب سرد را با ۱/۳ لیتر آب گرم مخلوط کنیم، روی هم چند لیتر آب داریم؟", "choices": ["۲/۵", "۵/۶", "۱/۶", "۳/۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۵)", "محاسبه کسر از یک مقدار داده شده"], "(۳)/(۵) یک باغ گل است و (۱)/(۳) گل‌ها قرمزند. گل‌های قرمز چه کسری از کل باغ‌اند؟", {"prompt": "۳/۵ یک باغ گل است و ۱/۳ گل‌ها قرمزند. گل‌های قرمز چه کسری از کل باغ‌اند؟", "choices": ["۱۴/۱۵", "۳/۸", "۹/۵", "۱/۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۵)", "تفریق کسرها"], "حاصل (۱)/(۲) - (۱)/(۳) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۱/۲ - ۱/۳ کدام است؟", "choices": ["۱/۵", "۱/۱", "۱/۶", "۵/۶"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۶)", "ضرب کسرها و ساده‌سازی"], "حاصل (۴)/(۵) × (۳)/(۸) را به صورت کسر ساده‌شده بنویسید.", {"prompt": "حاصل ۴/۵ × ۳/۸ را به صورت کسر ساده‌شده بنویسید.", "choices": ["۷/۱۳", "۳/۱۰", "۱۲/۱۳", "۳۲/۱۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۶)", "جمع و تفریق کسرها"], "حاصل ۲ و (۱)/(۴) + ۱ و (۱)/(۸) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۲ و ۱/۴ + ۱ و ۱/۸ کدام است؟", "choices": ["۳ و ۳/۸", "۳ و ۲/۱۲", "۳ و ۱/۴", "۴ و ۱/۸"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۶)", "پر کردن جاهای خالی در عبارات کسر"], "در تساوی ۶ ÷ ? = (۶)/(۵) به جای علامت سوال چه عددی بنویسیم؟", {"prompt": "در تساوی ۶ ÷ ? = ۶/۵ به جای علامت سوال چه عددی بنویسیم؟", "choices": ["۱/۵", "۶", "۳۶/۵", "۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عددهای مخلوط (۶)", "تشخیص کسر از شکل"], "شکلی از ۸ مربع مساوی ساخته شده و ۳ مربع آن رنگ شده است. چه کسری از شکل رنگی است؟", {"prompt": "شکلی از ۸ مربع مساوی ساخته شده و ۳ مربع آن رنگ شده است. چه کسری از شکل رنگی است؟", "choices": ["۵/۸", "۳/۵", "۳/۸", "۸/۳"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۱)", "محاسبه نسبت فضای رنگ شده به کل مساحت مستطیل"], "مساحت حیاطی ۴۰ متر مربع است و ۷ متر مربع آن فضای سبز است. نسبت مساحت فضای سبز به مساحت کل کدام است؟", {"prompt": "مساحت حیاطی ۴۰ متر مربع است و ۷ متر مربع آن فضای سبز است. نسبت مساحت فضای سبز به مساحت کل کدام است؟", "choices": ["۴۰/۷", "۷/۴۰", "۷/۳۳", "۳۳/۴۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۲)", "محاسبه نسبت تعداد اشکال"], "در یک تصویر ۵ دایره و ۳ ستاره هست. نسبت تعداد ستاره‌ها به تعداد کل شکل‌ها کدام است؟", {"prompt": "در یک تصویر ۵ دایره و ۳ ستاره هست. نسبت تعداد ستاره‌ها به تعداد کل شکل‌ها کدام است؟", "choices": ["۳/۵", "۵/۸", "۵/۳", "۳/۸"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۲)", "محاسبه نسبت طول پاره‌خط‌ها"], "روی یک خط، پاره‌خط آب ۱۰ واحد و پاره‌خط بپ ۴ واحد است. نسبت اندازه بپ به آب کدام است؟", {"prompt": "روی یک خط، پاره‌خط آب ۱۰ واحد و پاره‌خط بپ ۴ واحد است. نسبت اندازه بپ به آب کدام است؟", "choices": ["۵/۲", "۴/۱۴", "۲/۵", "۱۰/۱۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۳)", "محاسبه نسبت مساحت قسمت رنگ‌شده به کل شکل"], "مستطیلی به ۱۰ قسمت مساوی تقسیم شده و ۴ قسمت آن رنگی است. نسبت مساحت رنگی به کل را به صورت ساده‌شده بنویسید.", {"prompt": "مستطیلی به ۱۰ قسمت مساوی تقسیم شده و ۴ قسمت آن رنگی است. نسبت مساحت رنگی به کل را به صورت ساده‌شده بنویسید.", "choices": ["۲/۳", "۲/۵", "۵/۲", "۳/۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۳)", "محاسبه نسبت اندازه سایه به طول درخت"], "طول درختی ۲ متر و ۴۰ سانتی‌متر و سایه‌ی آن ۱۸۰ سانتی‌متر است. نسبت سایه به طول درخت کدام است؟", {"prompt": "طول درختی ۲ متر و ۴۰ سانتی‌متر و سایه‌ی آن ۱۸۰ سانتی‌متر است. نسبت سایه به طول درخت کدام است؟", "choices": ["۴/۳", "۳/۴", "۹۰/۱", "۳/۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت (۳)", "محاسبه نسبت اضلاع مثلث و مقایسه آنها"], "اضلاع مثلث الف ۹، ۱۲ و ۱۵ و اضلاع مثلث ب ۳، ۴ و ۵ است. نسبت بزرگ‌ترین ضلع مثلث ب به بزرگ‌ترین ضلع مثلث الف کدام است؟", {"prompt": "اضلاع مثلث الف ۹، ۱۲ و ۱۵ و اضلاع مثلث ب ۳، ۴ و ۵ است. نسبت بزرگ‌ترین ضلع مثلث ب به بزرگ‌ترین ضلع مثلث الف کدام است؟", "choices": ["۳/۱", "۱/۳", "۵/۱۲", "۴/۹"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۱)", "تشخیص و مقایسه نسبت‌ها"], "لیوان و پارچ را نصفه از شربت پر می‌کنیم و نصف دیگر را آب می‌ریزیم. پارچ بزرگ‌تر از لیوان است. کدام درست است؟", {"prompt": "لیوان و پارچ را نصفه از شربت پر می‌کنیم و نصف دیگر را آب می‌ریزیم. پارچ بزرگ‌تر از لیوان است. کدام درست است؟", "choices": ["نسبت شربت به ظرفیت کل هر دو ۱/۲ است", "نسبت شربت به ظرفیت کل در پارچ بیشتر است", "نسبت شربت به ظرفیت کل در لیوان بیشتر است", "مقدار شربت در هر دو یکسان است"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۲)", "تعیین برابری نسبت‌ها با استفاده از روش‌های مختلف"], "برای نشان دادن مساوی بودن (۶)/(۹) و (۲)/(۳)، کدام کار درست است؟", {"prompt": "برای نشان دادن مساوی بودن ۶/۹ و ۲/۳، کدام کار درست است؟", "choices": ["صورت را در ۲ و مخرج را در ۳ ضرب کنیم", "صورت و مخرج ۶/۹ را بر ۳ تقسیم کنیم", "به صورت و مخرج ۶/۹ عدد ۳ اضافه کنیم", "صورت را بر ۳ و مخرج را بر ۲ تقسیم کنیم"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۲)", "پر کردن جای خالی در نسبت‌ها با توجه به برابری"], "چه عددی به جای علامت سوال بگذاریم تا تساوی (۶)/(۹) = (?)/(۳) درست شود؟", {"prompt": "چه عددی به جای علامت سوال بگذاریم تا تساوی ۶/۹ = (?)/(۳) درست شود؟", "choices": ["۳", "۶", "۱", "۲"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۳)", "نوشتن نسبت مساوی با مخرج داده شده"], "کدام نسبت با (۲)/(۵) مساوی است و مخرج آن ۲۰ است؟", {"prompt": "کدام نسبت با ۲/۵ مساوی است و مخرج آن ۲۰ است؟", "choices": ["۲/۲۰", "۷/۲۰", "۸/۲۰", "۱۰/۲۰"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۳)", "یافتن نسبت‌های مساوی در شکل"], "در شکلی ۶ نقطه نارنجی و ۱۸ نقطه سفید هست. نسبت نقطه‌های نارنجی به کل نقطه‌ها را به صورت ساده‌شده بنویسید.", {"prompt": "در شکلی ۶ نقطه نارنجی و ۱۸ نقطه سفید هست. نسبت نقطه‌های نارنجی به کل نقطه‌ها را به صورت ساده‌شده بنویسید.", "choices": ["۱/۳", "۱/۴", "۱/۲", "۳/۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۴)", "تشخیص نسبت‌های برابر و نابرابر"], "کدام محاسبه درست است؟", {"prompt": "کدام محاسبه درست است؟", "choices": ["۹/۱۲ = ۳/۴ با تقسیم بر ۳", "۹/۱۲ = ۱۸/۱۲ با ضرب صورت در ۲", "۹/۱۲ = ۳/۶ با تقسیم‌های ۳ و ۲", "۹/۱۲ = ۱۲/۱۵ با اضافه کردن ۳"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۴)", "محاسبه نسبت ضلع کوچک‌تر به محیط مثلث"], "اضلاع مثلثی ۸، ۱۰ و ۱۲ است. نسبت کوچک‌ترین ضلع به محیط آن را ساده کنید.", {"prompt": "اضلاع مثلثی ۸، ۱۰ و ۱۲ است. نسبت کوچک‌ترین ضلع به محیط آن را ساده کنید.", "choices": ["۲/۳", "۴/۱۱", "۱۵/۴", "۴/۱۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "نسبت‌های مساوی (۴)", "رسم مستطیل با نسبت طول به عرض مشخص و محاسبه نسبت‌ها"], "مستطیلی طول ۱۰ و عرض ۶ دارد. مستطیل جدید طولش (۱)/(۲) و عرضش (۱)/(۳) مستطیل اول است. نسبت مساحت جدید به مساحت اول کدام است؟", {"prompt": "مستطیلی طول ۱۰ و عرض ۶ دارد. مستطیل جدید طولش ۱/۲ و عرضش ۱/۳ مستطیل اول است. نسبت مساحت جدید به مساحت اول کدام است؟", "choices": ["۵/۶", "۱/۵", "۱/۶", "۲/۳"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "تناسب (۲)", "بررسی تناسب و نوشتن تناسب مربوطه"], "۱۵ کیلو آرد با ۵ کیلو شکر مخلوط است. کدام تناسب برقرار است؟", {"prompt": "۱۵ کیلو آرد با ۵ کیلو شکر مخلوط است. کدام تناسب برقرار است؟", "choices": ["۱۵/۵ = ۴۵/۱۵", "۱۵/۵ = ۴۵/۲۰", "۱۵/۵ = ۳۰/۱۵", "۱۵/۵ = ۵۰/۱۵"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "تناسب (۲)", "یافتن عدد مجهول در نسبت‌ها"], "چه عددی به جای علامت سوال بگذاریم تا تناسب (۱۲)/(۳۰) = (?)/(۱۰) درست شود؟", {"prompt": "چه عددی به جای علامت سوال بگذاریم تا تناسب ۱۲/۳۰ = (?)/(۱۰) درست شود؟", "choices": ["۳", "۵", "۲", "۴"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۳: نسبت، تناسب و درصد", "درصد (۳)", "محاسبه نسبت و درصد مساحت رنگ شده از یک مربع تقسیم شده به قسمت‌های مساوی"], "مربعی به ۱۰۰ قسمت مساوی تقسیم شده و ۳۵ قسمت آن رنگ شده است. نسبت مساحت رنگی به کل (ساده‌شده) و درصد آن کدام است؟", {"prompt": "مربعی به ۱۰۰ قسمت مساوی تقسیم شده و ۳۵ قسمت آن رنگ شده است. نسبت مساحت رنگی به کل (ساده‌شده) و درصد آن کدام است؟", "choices": ["۷/۲۰ و ۷٪", "۷/۲۰ و ۳۵٪", "۷/۱۰ و ۳۵٪", "۱/۳ و ۳۵٪"]}], [["پایه پنجم", "فصل ۵: عددهای اعشاری", "عددهای اعشاری (۱)", "تعیین مقدار رنگ شده و رنگ نشده در ظرف‌ها و مقایسه اعداد اعشاری"], "یک نوار واحد به ۸ قسمت مساوی تقسیم شده و ۳ قسمت آن رنگ شده است. کسر رنگ‌شده کدام است؟", {"prompt": "یک نوار واحد به ۸ قسمت مساوی تقسیم شده و ۳ قسمت آن رنگ شده است. کسر رنگ‌شده کدام است؟", "choices": ["۸/۳", "۳/۵", "۳/۸", "۵/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۱)", "تشخیص کسر از تقسیم شکل"], "در یک جشن ۵ شمع هست و ۳ شمع از آن‌ها روشن است. چه کسری از شمع‌ها روشن است؟", {"prompt": "در یک جشن ۵ شمع هست و ۳ شمع از آن‌ها روشن است. چه کسری از شمع‌ها روشن است؟", "choices": ["۵/۳", "۳/۵", "۲/۵", "۳/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۲)", "وصل کردن شکل‌های مشابه بر اساس کسر"], "در یک ردیف ۵ مربع هست و ۲ مربع آن قرمز است. کسر مربع‌های قرمز کدام است؟", {"prompt": "در یک ردیف ۵ مربع هست و ۲ مربع آن قرمز است. کسر مربع‌های قرمز کدام است؟", "choices": ["۲/۳", "۳/۵", "۲/۵", "۵/۲"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۲)", "رنگ‌آمیزی شکل‌ها بر اساس کسر داده شده"], "شکلی ۱۰ مربع مساوی دارد و ۷ مربع آن قرمز است. چه کسری از شکل قرمز است؟", {"prompt": "شکلی ۱۰ مربع مساوی دارد و ۷ مربع آن قرمز است. چه کسری از شکل قرمز است؟", "choices": ["۳/۱۰", "۷/۳", "۱۰/۷", "۷/۱۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۲)", "تشخیص کسر شکل‌های رنگ شده با ایجاد قسمت‌های مساوی"], "یک دایره به ۸ قسمت مساوی تقسیم شده و ۳ قسمت آن رنگ شده است. کسر رنگ‌شده کدام است؟", {"prompt": "یک دایره به ۸ قسمت مساوی تقسیم شده و ۳ قسمت آن رنگ شده است. کسر رنگ‌شده کدام است؟", "choices": ["۳/۸", "۳/۵", "۸/۳", "۵/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۳)", "نوشتن عدد کسر برای شکل‌های رنگ شده با توجه به واحد معرفی شده"], "یک مثلث بزرگ به ۵ مثلث کوچک مساوی تقسیم شده و ۲ مثلث کوچک رنگ شده است. با واحد «مثلث بزرگ» عدد کسر کدام است؟", {"prompt": "یک مثلث بزرگ به ۵ مثلث کوچک مساوی تقسیم شده و ۲ مثلث کوچک رنگ شده است. با واحد «مثلث بزرگ» عدد کسر کدام است؟", "choices": ["۲/۳", "۲/۵", "۵/۲", "۳/۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۳)", "خواندن و نوشتن عدد مخلوط"], "میخی روی خط‌کش در ۴ سانتی‌متر و یک‌پنجم سانتی‌متر قرار دارد. عدد مخلوط آن کدام است؟", {"prompt": "میخی روی خط‌کش در ۴ سانتی‌متر و یک‌پنجم سانتی‌متر قرار دارد. عدد مخلوط آن کدام است؟", "choices": ["۱ و ۴/۵", "۵ و ۱/۴", "۴ و ۱/۵", "۱/۴۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۳)", "نمایش عدد مخلوط به صورت شکل"], "یک کیک کامل و ۲ قسمت از ۵ قسمت مساوی کیک دوم را خورده‌ایم. چه عدد مخلوطی خورده‌ایم؟", {"prompt": "یک کیک کامل و ۲ قسمت از ۵ قسمت مساوی کیک دوم را خورده‌ایم. چه عدد مخلوطی خورده‌ایم؟", "choices": ["۲ و ۱/۵", "۲/۵", "۱ و ۵/۲", "۱ و ۲/۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۳)", "تعیین کسر یا عدد مخلوط از روی شکل‌ها"], "یک دایره‌ی کامل و یک دایره‌ی دیگر که ۲ قسمت از ۳ قسمت مساوی‌اش رنگ شده، کنار هم‌اند. عدد مخلوط رنگ‌شده کدام است؟", {"prompt": "یک دایره‌ی کامل و یک دایره‌ی دیگر که ۲ قسمت از ۳ قسمت مساوی‌اش رنگ شده، کنار هم‌اند. عدد مخلوط رنگ‌شده کدام است؟", "choices": ["۱ و ۲/۳", "۲ و ۱/۳", "۲/۳", "۱ و ۳/۲"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۳)", "نوشتن کسر مربوط به شکل‌های رنگ شده"], "شکلی به ۶ قسمت مساوی تقسیم شده و ۴ قسمت آن رنگ شده است. کسر رنگ‌شده کدام است؟", {"prompt": "شکلی به ۶ قسمت مساوی تقسیم شده و ۴ قسمت آن رنگ شده است. کسر رنگ‌شده کدام است؟", "choices": ["۶/۴", "۴/۶", "۲/۶", "۴/۱۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۴)", "تعیین عدد مخلوط از شکل‌های کسر"], "هر مربع به ۴ قسمت مساوی تقسیم شده و در مجموع ۵ قسمت رنگ شده است. عدد مخلوط کدام است؟", {"prompt": "هر مربع به ۴ قسمت مساوی تقسیم شده و در مجموع ۵ قسمت رنگ شده است. عدد مخلوط کدام است؟", "choices": ["۲ و ۱/۴", "۱ و ۱/۵", "۱ و ۱/۴", "۴/۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "شناخت کسرها (۴)", "تعیین کسر از شکل‌های رنگ شده"], "یک تانگرام ۸ قطعه دارد و ۳ قطعه‌ی آن رنگ شده است. چه کسری از آن رنگ شده است؟", {"prompt": "یک تانگرام ۸ قطعه دارد و ۳ قطعه‌ی آن رنگ شده است. چه کسری از آن رنگ شده است؟", "choices": ["۸/۳", "۳/۵", "۵/۸", "۳/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۲)", "جمع کسرها در مسائل کاربردی (مسائل کسرهای حمل و نقل و تولید)"], "از محصول یک کارخانه ۲ نهم به یک شهر و ۴ نهم به شهر دیگر رفته است. روی هم چه کسری از محصول رفته است؟", {"prompt": "از محصول یک کارخانه ۲ نهم به یک شهر و ۴ نهم به شهر دیگر رفته است. روی هم چه کسری از محصول رفته است؟", "choices": ["۶/۱۸", "۲/۹", "۶/۹", "۸/۹"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۲)", "تفریق کسرها در مسائل کاربردی (مسائل تولید مرغداری)"], "از تولید یک مرغداری (۵)/(۱۱) باید حمل شود. (۲)/(۱۱) آن حمل شده است. چه کسری هنوز باید حمل شود؟", {"prompt": "از تولید یک مرغداری ۵/۱۱ باید حمل شود. ۲/۱۱ آن حمل شده است. چه کسری هنوز باید حمل شود؟", "choices": ["۷/۱۱", "۳/۹", "۳/۲۲", "۳/۱۱"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۲)", "جمع کسرها با مخرج‌های مساوی"], "حاصل (۱)/(۳) + (۲)/(۳) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۱/۳ + ۲/۳ کدام است؟", "choices": ["۱", "۳/۶", "۲/۶", "۱/۶"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۲)", "جمع کسرها با مخرج‌های مساوی (مثال‌های دیگر)"], "حاصل (۳)/(۸) + (۵)/(۸) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۳/۸ + ۵/۸ کدام است؟", "choices": ["۸/۱۶", "۱", "۱۵/۸", "۳/۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۳)", "تفریق کسرها با مخرج‌های مساوی"], "حاصل (۳)/(۵) - (۳)/(۵) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۳/۵ - ۳/۵ کدام است؟", "choices": ["۳/۵", "۱", "۰", "۶/۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۳)", "نوشتن کسر مناسب در جاهای خالی برای کامل کردن تساوی‌ها"], "عدد جاافتاده کدام است؟ (۳)/(۱۳) + ؟ = (۱۰)/(۱۳)", {"prompt": "عدد جاافتاده کدام است؟ ۳/۱۳ + ؟ = ۱۰/۱۳", "choices": ["۱۳/۱۳", "۱۳/۷", "۷/۲۶", "۷/۱۳"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۳)", "کسر باقی‌مانده پس از کم کردن"], "فاطمه (۲)/(۹) و مریم (۴)/(۹) یک رومیزی را تور دوزی کرده‌اند. چه کسری از رومیزی باقی مانده است؟", {"prompt": "فاطمه ۲/۹ و مریم ۴/۹ یک رومیزی را تور دوزی کرده‌اند. چه کسری از رومیزی باقی مانده است؟", "choices": ["۳/۹", "۶/۹", "۲/۹", "۱/۹"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۳)", "کسر باقی‌مانده پس از رنگ کردن دیوار"], "علی و رضا (۷)/(۸) دیوار را رنگ کرده‌اند. علی (۳)/(۸) آن را رنگ کرده است. رضا چه کسری را رنگ کرده است؟", {"prompt": "علی و رضا ۷/۸ دیوار را رنگ کرده‌اند. علی ۳/۸ آن را رنگ کرده است. رضا چه کسری را رنگ کرده است؟", "choices": ["۴/۸", "۱۰/۸", "۳/۸", "۱/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۴)", "جمع کسرها"], "حاصل (۴)/(۱۰) + (۵)/(۱۰) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۴/۱۰ + ۵/۱۰ کدام است؟", "choices": ["۹/۲۰", "۱/۱۰", "۹/۱۰", "۲۰/۱۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۴)", "نوشتن عبارت جمع برابر با یک"], "کدام جمع برابر ۱ است؟", {"prompt": "کدام جمع برابر ۱ است؟", "choices": ["۱/۵ + ۳/۵", "۲/۵ + ۳/۵", "۲/۵ + ۴/۵", "۱/۵ + ۲/۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۴)", "نوشتن عبارت تفریق برابر با صفر"], "حاصل کدام تفریق برابر صفر است؟", {"prompt": "حاصل کدام تفریق برابر صفر است؟", "choices": ["۴/۹ - ۱/۹", "۹/۹ - ۴/۹", "۸/۹ - ۴/۹", "۴/۹ - ۴/۹"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "جمع و تفریق کسرها (۴)", "کامل کردن تساوی‌های کسر"], "عدد جاافتاده کدام است؟ (۷)/(۹) - ؟ = (۳)/(۹)", {"prompt": "عدد جاافتاده کدام است؟ ۷/۹ - ؟ = ۳/۹", "choices": ["۱۰/۹", "۳/۹", "۴/۹", "۷/۳"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۱)", "رنگ‌آمیزی بخش مشخصی از شکل"], "در یک مستطیل ۶ قسمت مساوی، ۳ قسمت رنگ شده است. کدام کسر با کسر رنگ‌شده برابر است؟", {"prompt": "در یک مستطیل ۶ قسمت مساوی، ۳ قسمت رنگ شده است. کدام کسر با کسر رنگ‌شده برابر است؟", "choices": ["۱/۲", "۱/۳", "۱/۶", "۳/۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۲)", "نوشتن کسر مساوی با مخرج مشخص"], "کسری مساوی با (۲)/(۵) بنویس که مخرجش ۱۵ باشد.", {"prompt": "کسری مساوی با ۲/۵ بنویس که مخرجش ۱۵ باشد.", "choices": ["۲/۱۵", "۶/۱۵", "۵/۱۵", "۱۰/۱۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۳)", "یافتن کسر مساوی بدون رسم شکل"], "کسر (۱۲)/(۲۰) را ساده کن. حاصل کدام است؟", {"prompt": "کسر ۱۲/۲۰ را ساده کن. حاصل کدام است؟", "choices": ["۳/۵", "۳/۴", "۴/۵", "۲/۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۳)", "جمع کسرها با مخرج‌های مختلف"], "حاصل (۱)/(۴) + (۳)/(۸) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۱/۴ + ۳/۸ کدام است؟", "choices": ["۴/۱۲", "۴/۸", "۵/۸", "۳/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۳)", "تفریق کسرها با مخرج‌های مختلف"], "حاصل (۳)/(۴) - (۱)/(۸) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۳/۴ - ۱/۸ کدام است؟", "choices": ["۲/۴", "۲/۸", "۷/۸", "۵/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۳)", "برابر قرار دادن کسرها"], "چه عددی به‌جای ؟ بگذاریم تا (۶)/(۸) = (۳)/(؟) درست شود؟", {"prompt": "چه عددی به‌جای ؟ بگذاریم تا ۶/۸ = (۳)/(؟) درست شود؟", "choices": ["۳", "۴", "۵", "۶"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۳)", "مقایسه کسرها"], "کدام کسر بزرگ‌تر است: (۴)/(۵) یا (۷)/(۹)؟", {"prompt": "کدام کسر بزرگ‌تر است: ۴/۵ یا ۷/۹؟", "choices": ["۷/۹", "هر دو برابرند", "۴/۵", "نمی‌شود مقایسه کرد"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۴)", "جمع و تفریق کسرها"], "حاصل (۲)/(۵) + (۳)/(۱۰) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۲/۵ + ۳/۱۰ کدام است؟", "choices": ["۵/۱۵", "۵/۱۰", "۶/۱۰", "۷/۱۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۴)", "نمایش جمع و تفریق کسرها روی شکل"], "مستطیلی به ۸ قسمت مساوی تقسیم شده است. ۴ قسمت و بعد ۲ قسمت دیگر رنگ شده است. کدام کسر قسمت رنگی را نشان می‌دهد؟", {"prompt": "مستطیلی به ۸ قسمت مساوی تقسیم شده است. ۴ قسمت و بعد ۲ قسمت دیگر رنگ شده است. کدام کسر قسمت رنگی را نشان می‌دهد؟", "choices": ["۶/۸", "۶/۱۶", "۲/۸", "۴/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "تساوی کسرها (۴)", "رسم شکل برای نمایش کسرها"], "از ۱۲ مربع، ۶ مربع رنگ شده است. کدام کسر با کسر قسمت رنگی مساوی است؟", {"prompt": "از ۱۲ مربع، ۶ مربع رنگ شده است. کدام کسر با کسر قسمت رنگی مساوی است؟", "choices": ["۱/۳", "۲/۳", "۶/۲", "۱/۲"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۱)", "محاسبه حاصل ضرب کسرها"], "حاصل ۴ × (۲)/(۹) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۴ × ۲/۹ کدام است؟", "choices": ["۸/۳۶", "۶/۹", "۸/۹", "۴/۹"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۲)", "تقسیم نان به صورت مساوی و تعیین مقدار باقی‌مانده"], "۹ عدد نان را بین ۱۰ نفر تقسیم می‌کنیم و به هر نفر (۳)/(۴) نان می‌دهیم. چقدر نان باقی می‌ماند؟", {"prompt": "۹ عدد نان را بین ۱۰ نفر تقسیم می‌کنیم و به هر نفر ۳/۴ نان می‌دهیم. چقدر نان باقی می‌ماند؟", "choices": ["نیم نان", "یک نان", "دو نان", "یک نان و نیم"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۳)", "محاسبه مسافت طی شده با کسر"], "زائران هر روز (۳)/(۸) راه را می‌روند. آیا پس از ۳ روز به مقصد می‌رسند؟", {"prompt": "زائران هر روز ۳/۸ راه را می‌روند. آیا پس از ۳ روز به مقصد می‌رسند؟", "choices": ["نه، چون ۳/۸ کمتر از ۱ است", "نه، چون ۹/۸ کمتر از ۱ است", "بله، چون ۶/۸ بیشتر از ۱ است", "بله، چون ۹/۸ بزرگ‌تر از ۱ است"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۳)", "توضیح مفهوم کسر"], "کسر (۳)/(۵) یعنی چه؟", {"prompt": "کسر ۳/۵ یعنی چه؟", "choices": ["۳ قسمت از ۵ قسمت مساوی", "۵ قسمت از ۳ قسمت مساوی", "۳ قسمت از ۵ قسمت نامساوی", "۵ قسمت از ۵ قسمت مساوی"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۴)", "تعیین مفهوم صورت و مخرج کسر"], "در کسر (۳)/(۷) عدد ۷ (مخرج) چه چیزی را نشان می‌دهد؟", {"prompt": "در کسر ۳/۷ عدد ۷ (مخرج) چه چیزی را نشان می‌دهد؟", "choices": ["تعداد قسمت‌های رنگ‌شده", "تعداد کل قسمت‌های مساوی", "تفاضل دو عدد", "تعداد کسرها"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۴)", "مقایسه کسرها"], "کدام کسر از نصف بزرگ‌تر است؟", {"prompt": "کدام کسر از نصف بزرگ‌تر است؟", "choices": ["۳/۷", "۴/۹", "۲/۵", "۵/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۴)", "یافتن کسر از عدد داده شده با رسم شکل"], "(۳)/(۴) از ۲۰ چند است؟", {"prompt": "۳/۴ از ۲۰ چند است؟", "choices": ["۵", "۶۰", "۱۵", "۱۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۴)", "مقایسه کسرهای نمایش داده شده در شکل"], "حاصل ۴ × (۱)/(۹) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۴ × ۱/۹ کدام است؟", "choices": ["۴/۳۶", "۴/۹", "۵/۹", "۱/۳۶"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۵)", "تبدیل کسر به دقیقه و زمان"], "۲ ساعت و (۱)/(۴) ساعت یعنی چند دقیقه؟", {"prompt": "۲ ساعت و ۱/۴ ساعت یعنی چند دقیقه؟", "choices": ["۱۲۴", "۱۳۵", "۱۴۵", "۱۵۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۵)", "نوشتن کسر از شکل‌های نقطه‌ای"], "از ۱۰ نقطه، ۶ نقطه قرمز است. کسر نقطه‌های قرمز را ساده کن. حاصل کدام است؟", {"prompt": "از ۱۰ نقطه، ۶ نقطه قرمز است. کسر نقطه‌های قرمز را ساده کن. حاصل کدام است؟", "choices": ["۶/۴", "۴/۱۰", "۳/۵", "۳/۴"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۶)", "جمع و تفریق کسرها با مخرج‌های مختلف"], "کسر (۵)/(۹) را به صورت ضرب کدام عبارت می‌توان نوشت؟", {"prompt": "کسر ۵/۹ را به صورت ضرب کدام عبارت می‌توان نوشت؟", "choices": ["۵ × ۱/۵", "۵ × ۱/۹", "۹ × ۱/۵", "۴ × ۱/۹"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۶)", "ضرب کسر در عدد صحیح"], "حاصل ۲ × (۳)/(۸) کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۲ × ۳/۸ کدام است؟", "choices": ["۵/۸", "۳/۱۶", "۶/۱۶", "۶/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۶)", "ساده کردن کسرها"], "کسر (۱۸)/(۳۰) را به ساده‌ترین شکل بنویسید.", {"prompt": "کسر ۱۸/۳۰ را به ساده‌ترین شکل بنویسید.", "choices": ["۳/۵", "۹/۱۵", "۲/۳", "۳/۶"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۲: کسر", "ضرب عدد در کسر (۶)", "مسئله کاربردی کسر در زمین کشاورزی"], "در یک باغ، (۹)/(۲۰) زمین را سیب و گلابی کاشته‌اند. اگر (۴)/(۲۰) زمین گلابی باشد، چه کسری از زمین سیب است؟", {"prompt": "در یک باغ، ۹/۲۰ زمین را سیب و گلابی کاشته‌اند. اگر ۴/۲۰ زمین گلابی باشد، چه کسری از زمین سیب است؟", "choices": ["۱۳/۲۰", "۵/۲۰", "۵/۰", "۴/۲۰"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۲)", "رنگ‌آمیزی نوار به اندازه کسر داده شده"], "یک نوار کاغذی به طول یک متر را به ۵ قسمت مساوی تقسیم کرده‌ایم. طول ۳ قسمت از آن چند متر است؟", {"prompt": "یک نوار کاغذی به طول یک متر را به ۵ قسمت مساوی تقسیم کرده‌ایم. طول ۳ قسمت از آن چند متر است؟", "choices": ["۵/۳ متر", "۲/۵ متر", "۳/۵ متر", "۳/۸ متر"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۳)", "بیان مقدار رنگ شده به صورت کسر از یک متر"], "نواری ۱ متری به ۸ بخش مساوی تقسیم شده و ۳ بخش آن رنگ شده است. مقدار رنگ‌شده چند متر است؟", {"prompt": "نواری ۱ متری به ۸ بخش مساوی تقسیم شده و ۳ بخش آن رنگ شده است. مقدار رنگ‌شده چند متر است؟", "choices": ["۸/۳ متر", "۵/۸ متر", "۳/۵ متر", "۳/۸ متر"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۵)", "محاسبه طول پاره‌خط در اشکال هندسی با استفاده از اندازه‌های داده شده"], "دو نوار کاغذی با قسمت‌های هم‌اندازه داریم. نوار (آ) ۵ قسمت و نوار (ب) ۳ قسمت دارد. طول نوار (ب) چه کسری از طول نوار (آ) است؟", {"prompt": "دو نوار کاغذی با قسمت‌های هم‌اندازه داریم. نوار (آ) ۵ قسمت و نوار (ب) ۳ قسمت دارد. طول نوار (ب) چه کسری از طول نوار (آ) است؟", "choices": ["۳/۵", "۵/۳", "۲/۵", "۳/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۵)", "محاسبه تعداد طناب‌های درست شده در گره‌ها"], "دو نوار با قسمت‌های هم‌اندازه داریم. نوار (آ) ۶ قسمت و نوار (ب) ۲ قسمت دارد. طول نوار (ب) چه کسری از طول نوار (آ) است؟", {"prompt": "دو نوار با قسمت‌های هم‌اندازه داریم. نوار (آ) ۶ قسمت و نوار (ب) ۲ قسمت دارد. طول نوار (ب) چه کسری از طول نوار (آ) است؟", "choices": ["۲/۴", "۱/۳", "۶/۲", "۱/۶"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۴: اندازه‌گیری", "اندازه‌گیری طول (۵)", "تبدیل عدد اعشاری به کسر و درصد"], "حدود (۲۵)/(۱۰۰) یک کتاب خوانده شده است. این مقدار چند درصد است؟", {"prompt": "حدود ۲۵/۱۰۰ یک کتاب خوانده شده است. این مقدار چند درصد است؟", "choices": ["۲/۵ درصد", "۷۵ درصد", "۲۵ درصد", "۰/۲۵ درصد"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۱)", "یافتن عددی بین دو عدد داده شده"], "یک نوار کاغذی به طول یک متر را به ۶ قسمت مساوی تقسیم کرده‌ایم. طول هر قسمت چند متر است؟", {"prompt": "یک نوار کاغذی به طول یک متر را به ۶ قسمت مساوی تقسیم کرده‌ایم. طول هر قسمت چند متر است؟", "choices": ["۶/۱ متر", "۱/۵ متر", "۶/۶ متر", "۱/۶ متر"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۲)", "محاسبه طول کل با استفاده از عدد مخلوط"], "نواری را به ۳ قسمت مساوی تقسیم کرده‌ایم. یک نوار کامل و ۲ قسمت از نوار دیگر رنگ شده است. مقدار رنگ‌شده با عدد مخلوط کدام است؟", {"prompt": "نواری را به ۳ قسمت مساوی تقسیم کرده‌ایم. یک نوار کامل و ۲ قسمت از نوار دیگر رنگ شده است. مقدار رنگ‌شده با عدد مخلوط کدام است؟", "choices": ["۲ و ۱/۳", "۱ و ۲/۳", "۱ و ۳/۲", "۲/۳"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۲)", "نمایش عدد مخلوط روی محور اعداد"], "نقطه‌ای بین ۳ و ۴ روی محور اعداد است. محور بین ۳ و ۴ به ۴ قسمت مساوی تقسیم شده و نقطه یک قسمت بعد از ۳ است. این نقطه کدام عدد مخلوط است؟", {"prompt": "نقطه‌ای بین ۳ و ۴ روی محور اعداد است. محور بین ۳ و ۴ به ۴ قسمت مساوی تقسیم شده و نقطه یک قسمت بعد از ۳ است. این نقطه کدام عدد مخلوط است؟", "choices": ["۴ و ۱/۳", "۳ و ۱/۳", "۳ و ۱/۴", "۳ و ۳/۴"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۳)", "محاسبه طول با کسر و عدد مخلوط"], "هر ۵ تا (۱)/(۵) متر یک متر می‌شود. ۴۰ تا (۱)/(۵) متر چند متر است؟", {"prompt": "هر ۵ تا ۱/۵ متر یک متر می‌شود. ۴۰ تا ۱/۵ متر چند متر است؟", "choices": ["۵ متر", "۳۵ متر", "۴۵ متر", "۸ متر"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۳)", "مقایسه مقدار آب در ظروف با عدد مخلوط"], "دو ظرف هر کدام به ۱۰ قسمت مساوی تقسیم شده‌اند. ظرف اول ۴ قسمت و ظرف دوم ۹ قسمت پر است. کدام مقایسه درست است؟", {"prompt": "دو ظرف هر کدام به ۱۰ قسمت مساوی تقسیم شده‌اند. ظرف اول ۴ قسمت و ظرف دوم ۹ قسمت پر است. کدام مقایسه درست است؟", "choices": ["۴/۱۰ < ۹/۱۰", "۴/۱۰ > ۹/۱۰", "۴/۱۰ = ۹/۱۰", "۴/۱۰ > ۱"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۴)", "نمایش عدد مخلوط با استفاده از شکل‌های تقسیم شده"], "شکلی شامل ۲ واحد کامل و ۳ قسمت رنگ‌شده از ۵ قسمت مساوی یک واحد است. این شکل با کدام عدد مخلوط نشان داده می‌شود؟", {"prompt": "شکلی شامل ۲ واحد کامل و ۳ قسمت رنگ‌شده از ۵ قسمت مساوی یک واحد است. این شکل با کدام عدد مخلوط نشان داده می‌شود؟", "choices": ["۳ و ۲/۵", "۲ و ۳/۵", "۲ و ۵/۳", "۵ و ۳/۲"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۴)", "جمع اعداد مخلوط در مسئله کاربردی"], "به مصدومی ۲ کیسه خون کامل و نیمی از کیسه‌ی سوم تزریق کردند. او چند کیسه خون گرفته است؟", {"prompt": "به مصدومی ۲ کیسه خون کامل و نیمی از کیسه‌ی سوم تزریق کردند. او چند کیسه خون گرفته است؟", "choices": ["۳ و ۱/۲", "۱ و ۱/۲", "۲ و ۱/۴", "۲ و ۱/۲"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۵)", "مقایسه و ترتیب کسرها"], "کدام مقایسه درست است؟", {"prompt": "کدام مقایسه درست است؟", "choices": ["۵/۹ > ۷/۹", "۴/۷ > ۲/۷", "۳/۴ > ۲", "۲/۳ > ۳/۲"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۵)", "نوشتن کسرهای برابر با کسر داده شده"], "کدام کسر با (۱)/(۳) برابر است؟", {"prompt": "کدام کسر با ۱/۳ برابر است؟", "choices": ["۲/۳", "۱/۶", "۲/۶", "۳/۶"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۵)", "نوشتن عدد مخلوط از کسرهای داده شده"], "مادر ۲ کیک هم‌اندازه خرید و هر کدام را به ۵ تکه مساوی تقسیم کرد. ۳ تکه خورده شد. کیک باقی‌مانده با عدد مخلوط کدام است؟", {"prompt": "مادر ۲ کیک هم‌اندازه خرید و هر کدام را به ۵ تکه مساوی تقسیم کرد. ۳ تکه خورده شد. کیک باقی‌مانده با عدد مخلوط کدام است؟", "choices": ["۱ و ۳/۵", "۲ و ۲/۵", "۷/۱۰", "۱ و ۲/۵"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد مخلوط (۵)", "مسائل کاربردی با مایعات و کسرها"], "یک بطری دوغ را در ۸ لیوان هم‌اندازه ریختیم و هر ۸ لیوان درست پر شد. گنجایش یک لیوان چه کسری از گنجایش بطری است؟", {"prompt": "یک بطری دوغ را در ۸ لیوان هم‌اندازه ریختیم و هر ۸ لیوان درست پر شد. گنجایش یک لیوان چه کسری از گنجایش بطری است؟", "choices": ["۱/۸", "۸/۱", "۱/۷", "۸/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد اعشاری (۲)", "تبدیل کسر به عدد اعشاری و نمایش روی محور"], "کسر (۳)/(۵) با عدد اعشاری کدام است؟", {"prompt": "کسر ۳/۵ با عدد اعشاری کدام است؟", "choices": ["۰/۳۵", "۳/۵", "۰/۶", "۰/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد اعشاری (۲)", "نمایش و ترتیب اعداد مخلوط و کسرها روی محور اعداد"], "عدد مخلوط ۱ و (۴)/(۵) با عدد اعشاری کدام است؟", {"prompt": "عدد مخلوط ۱ و ۴/۵ با عدد اعشاری کدام است؟", "choices": ["۱/۴", "۴/۵", "۱/۴۵", "۱/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد اعشاری (۳)", "برابر دانستن کسرهای مختلف"], "کدام کسر با (۳)/(۴) برابر است؟", {"prompt": "کدام کسر با ۳/۴ برابر است؟", "choices": ["۶/۷", "۶/۸", "۴/۶", "۳/۸"]}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۶)", "محاسبه عبارت‌های عددی با اعداد اعشاری با ماشین حساب"], "۳ قرص نان را بین ۵ نفر مساوی تقسیم می‌کنیم. سهم هر نفر چقدر نان است؟", {"prompt": "۳ قرص نان را بین ۵ نفر مساوی تقسیم می‌کنیم. سهم هر نفر چقدر نان است؟", "choices": ["۵٫۳", "۳٫۵", "۱٫۵", "۳٫۸"], "correct": 1}], [["پایه دهم", "فصل ۳: چندضلعی‌ها", "چندضلعی و متوازی‌الاضلاع", "محاسبه تعداد قطرهای یک چندضلعی"], "تعداد قطرهای یک n‌ضلعی محدب برابر کدام است؟", {"prompt": "تعداد قطرهای یک n‌ضلعی محدب برابر کدام است؟", "choices": ["n(n − ۱)/۲", "n(n − ۳)/۲", "n − ۳", "n(n − ۳)"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "اثبات‌های محاطی و محیطی", "رابطه شعاع‌های دایره‌های محیطی و محاطی مثلث"], "در مثلث، r شعاع دایرهٔ محاطی داخلی و rₐ و rb و rc شعاع‌های دایره‌های محاطی خارجی‌اند. مقدار 1/rₐ + 1/rb + 1/rc برابر کدام است؟", {"prompt": "در مثلث، r شعاع دایرهٔ محاطی داخلی و rₐ و rb و rc شعاع‌های دایره‌های محاطی خارجی‌اند. مقدار ۱/rₐ + ۱/rb + ۱/rc برابر کدام است؟", "choices": ["۱/r", "۳/r", "۱/(۳r)", "r"]}], [["پایه یازدهم", "فصل ۱: دایره", "n‌ضلعی منتظم و دایره", "رابطه ارتفاع‌ها و شعاع دایره محیطی مثلث"], "مثلث متساوی‌الاضلاعی هر ارتفاعش ۴ است. شعاع دایرهٔ محاطی آن (از رابطهٔ 1/ha + 1/hb + 1/hc = 1/r) چقدر است؟", {"prompt": "مثلث متساوی‌الاضلاعی هر ارتفاعش ۴ است. شعاع دایرهٔ محاطی آن (از رابطهٔ ۱/ha + ۱/hb + ۱/hc = ۱/r) چقدر است؟", "choices": ["۱۲", "۴", "۴/۳", "۳"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 4 (۲)", "ضرب اعداد اعشاری در ۱۰، ۱۰۰ و ۱۰۰۰"], "۲۴/۶ را بر ۱۰ تقسیم کنید.", {"prompt": "۲۴٫۶ را بر ۱۰ تقسیم کنید.", "choices": ["۲٫۴۶", "۲۴٫۶۰", "۲۴۰٫۶", "۰٫۲۴۶"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 3 (۱)", "تقسیم عدد اعشاری بر عدد صحیح"], "۰/۴۸ ÷ ۲ را محاسبه کنید.", {"prompt": "۰٫۴۸ ÷ ۲ را محاسبه کنید.", "choices": ["۰٫۲۴", "۰٫۹۶", "۱٫۲۴", "۲٫۴"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 2 (۱)", "تقسیم اعداد اعشاری"], "۷۰ ÷ ۱۱ برابر است با:", {"prompt": "۷۰ ÷ ۱۱ برابر است با:", "choices": ["۶٫۰", "۶٫۳۶", "۶٫۶۳", "۷٫۱۱"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 4 (۲)", "ضرب در مضرب‌های ۱۰"], "۳/۲۱ × ۱۰ برابر است با:", {"prompt": "۳٫۲۱ × ۱۰ برابر است با:", "choices": ["۳٫۲۱۰", "۳۲٫۱", "۳۲٫۱۰", "۰٫۳۲۱"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 5 (۲)", "مسائل کاربردی با اعداد اعشاری"], "یک حوض ۲۵۶ لیتر آب دارد. اگر هر دقیقه ۸۴ لیتر وارد شود، حوض پر شدن چند دقیقه طول می‌کشد؟", {"prompt": "یک حوض ۲۵۶ لیتر آب دارد. اگر هر دقیقه ۸۴ لیتر وارد شود، حوض پر شدن چند دقیقه طول می‌کشد؟", "choices": ["۲٫۱۲", "۳٫۰۴", "۴٫۲۱", "۵٫۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 3 (۲)", "جمع و تفریق اعداد اعشاری"], "۲/۴ + ۱/۷ برابر است با:", {"prompt": "۲٫۴ + ۱٫۷ برابر است با:", "choices": ["۳٫۱۱", "۳٫۴", "۴٫۱", "۴٫۲"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 5 (۲)", "محیط دایره"], "محیط چرخی با قطر ۶۰ سانتی‌متر چقدر است؟", {"prompt": "محیط چرخی با قطر ۶۰ سانتی‌متر چقدر است؟", "choices": ["۱۵۷", "۱۸۸٫۴", "۲۰۰", "۲۲۸"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 1 (۲)", "تبدیل کسر به عدد اعشاری"], "کسر ۷/۸ را به صورت اعشاری بنویسید.", {"prompt": "کسر ۷/۸ را به صورت اعشاری بنویسید.", "choices": ["۰٫۶۲۵", "۰٫۷۵", "۰٫۸۷۵", "۰٫۹۲۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 4 (۲)", "ضرب اعداد اعشاری"], "۱/۷ × ۰/۶ برابر است با:", {"prompt": "۱٫۷ × ۰٫۶ برابر است با:", "choices": ["۰٫۲۰", "۰٫۴۲", "۱٫۰۲", "۱٫۳"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 5 (۱)", "محاسبه محیط و طول تقسیمات"], "محیط حوض دایره‌ای به شعاع ۱ متر چقدر است؟", {"prompt": "محیط حوض دایره‌ای به شعاع ۱ متر چقدر است؟", "choices": ["۳٫۱۴", "۶٫۲۸", "۱۲٫۵۶", "۱۵٫۷"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 2 (۱)", "تقسیم اعداد اعشاری"], "۰/۳ + ۰/۵ برابر است با:", {"prompt": "۰٫۳ + ۰٫۵ برابر است با:", "choices": ["۰٫۲", "۰٫۶", "۰٫۸", "۰٫۹"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 5 (۱)", "محاسبه ذهنی ضرب و تقسیم"], "۰/۸ × ۰/۹ = ؟", {"prompt": "۰٫۸ × ۰٫۹ = ؟", "choices": ["۰٫۷۲", "۰٫۹۲", "۰٫۶۴", "۰٫۸۱"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 1 (۱)", "الگوهای تقسیم و ضرب"], "۴۷/۵ ÷ ۱۰۰ = ؟", {"prompt": "۴۷٫۵ ÷ ۱۰۰ = ؟", "choices": ["۰٫۰۴۷۵", "۴٫۷۵", "۰٫۴۷۵", "۴۷۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 1 (۱)", "تبدیل اعداد اعشاری به کسر"], "۰/۲۷۳۴ کمتر از نصف (۰/۵) است؟", {"prompt": "۰٫۲۷۳۴ کمتر از نصف (۰٫۵) است؟", "choices": ["برابر است", "خیر", "بله", "نمی توان گفت"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 2 (۲)", "تقسیم ذهنی اعداد اعشاری"], "۷/۲ ÷ ۰/۸ = ؟", {"prompt": "۷٫۲ ÷ ۰٫۸ = ؟", "choices": ["۹", "۸", "۱۰", "۷"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 3 (۲)", "جمع اعداد اعشاری"], "۳/۱ + ۲/۷ = ؟", {"prompt": "۳٫۱ + ۲٫۷ = ؟", "choices": ["۵٫۸", "۵٫۹", "۶٫۸", "۴٫۸"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 2 (۲)", "تقسیم اعداد اعشاری به روش ذهنی"], "۱۷ ÷ ۵ = ؟", {"prompt": "۱۷ ÷ ۵ = ؟", "choices": ["۳٫۴", "۳٫۲", "۴٫۲", "۲٫۴"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 2 (۱)", "تفریق اعداد اعشاری"], "۳/۱ - ۲/۷ = ؟", {"prompt": "۳٫۱ - ۲٫۷ = ؟", "choices": ["۰٫۳", "۰٫۴", "۰٫۵", "۰٫۶"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 6 (۲)", "نوشتن اعداد اعشاری به صورت گسترده"], "عدد ۳/۱۰۴ را به صورت گسترده بنویسید.", {"prompt": "عدد ۳٫۱۰۴ را به صورت گسترده بنویسید.", "choices": ["۳ + ۰٫۱ + ۰٫۰۰ + ۰٫۰۰۴", "۳ + ۱٫۰ + ۰٫۰۰ + ۴٫۰۰۰", "۳ + ۰٫۱ + ۰٫۰ + ۰٫۴", "۳ + ۰٫۱۰۴"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 5 (۱)", "محاسبه فاصله با عدد اعشاری"], "طول دروازه‌ی فوتبال ۷/۳۲ متر است. فاصله‌ی یک تیر دروازه تا نقطه‌ی وسط دروازه چند متر است؟", {"prompt": "طول دروازه‌ی فوتبال ۷٫۳۲ متر است. فاصله‌ی یک تیر دروازه تا نقطه‌ی وسط دروازه چند متر است؟", "choices": ["۷٫۳۲ متر", "۱٫۸۳ متر", "۳٫۶ متر", "۳٫۶۶ متر"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 6 (۲)", "نوشتن اعداد اعشاری به صورت کلمات"], "طول دروازه‌ی فوتبال ۷/۳۲ متر است. این عدد را با حروف چگونه می‌نویسیم؟", {"prompt": "طول دروازه‌ی فوتبال ۷٫۳۲ متر است. این عدد را با حروف چگونه می‌نویسیم؟", "choices": ["هفت ممیز سه متر", "هفتاد و سه ممیز دو متر", "هفت ممیز سی و دو متر", "هشت ممیز سی و دو متر"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 6 (۱)", "مقایسه نتایج تقسیم اعشاری"], "حاصل تقسیم ۴۵/۲۵ ÷ ۰/۲۵ کدام است؟", {"prompt": "حاصل تقسیم ۴۵٫۲۵ ÷ ۰٫۲۵ کدام است؟", "choices": ["۱۸۱", "۱۸۰٫۰۸", "۱۸٫۱", "۱۱٫۳۱"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 4 (۲)", "ضرب عدد اعشاری"], "حاصل عبارت (۷/۳ + ۴/۱) × ۰/۲ چند است؟", {"prompt": "حاصل عبارت (۷٫۳ + ۴٫۱) × ۰٫۲ چند است؟", "choices": ["۸٫۱۲", "۲۲٫۸", "۰٫۶۴", "۲٫۲۸"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 2 (۱)", "تعیین تعداد قطعات با وزن مشخص"], "وزن کل تولید یک روز کارخانه ۱۲۹۴/۴ کیلوگرم و وزن هر قطعه ۲۲/۸ گرم است. چند قطعه ساخته شده است؟", {"prompt": "وزن کل تولید یک روز کارخانه ۱۲۹۴٫۴ کیلوگرم و وزن هر قطعه ۲۲٫۸ گرم است. چند قطعه ساخته شده است؟", "choices": ["۵۶۷۱ قطعه", "۵۶۷۱۰۰ قطعه", "۵۶۰۰۰ قطعه", "۵۶۷۱۰ قطعه"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 2 (۲)", "تقسیم با باقی‌مانده"], "۲۷/۸ را بر ۵ تقسیم کنید.", {"prompt": "۲۷٫۸ را بر ۵ تقسیم کنید.", "choices": ["۵٫۶", "۵۵٫۶", "۵٫۵۶", "۵٫۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 3 (۲)", "جمع و تفریق ذهنی اعداد اعشاری"], "۰/۳ + ۰/۵ را ذهنی محاسبه کنید.", {"prompt": "۰٫۳ + ۰٫۵ را ذهنی محاسبه کنید.", "choices": ["۰٫۲", "۸", "۰٫۵۳", "۰٫۸"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 1 (۲)", "تبدیل کسر به عدد اعشاری"], "حاصل تقسیم ۷ بر ۳ تا دو رقم اعشار کدام است؟", {"prompt": "حاصل تقسیم ۷ بر ۳ تا دو رقم اعشار کدام است؟", "choices": ["۲٫۳۰", "۲٫۳۳", "۳٫۳۳", "۲٫۳۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 2 (۲)", "تقسیم با باقی‌مانده"], "۲۷/۸ را بر ۵ تقسیم کنید. حاصل کدام است؟", {"prompt": "۲۷٫۸ را بر ۵ تقسیم کنید. حاصل کدام است؟", "choices": ["۵٫۶۵", "۰٫۵۵۶", "۵۵٫۶", "۵٫۵۶"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 2 (۱)", "تقسیم اعداد اعشاری"], "۷۰ ÷ ۱۱ تا دو رقم اعشار چند می‌شود؟", {"prompt": "۷۰ ÷ ۱۱ تا دو رقم اعشار چند می‌شود؟", "choices": ["۶٫۳۶", "۶٫۳۳", "۷٫۶۳", "۶٫۶۳"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 2 (۱)", "تقسیم اعداد اعشاری"], "۵۷/۹ ÷ ۳/۶ تا دو رقم اعشار چند می‌شود؟", {"prompt": "۵۷٫۹ ÷ ۳٫۶ تا دو رقم اعشار چند می‌شود؟", "choices": ["۱۶٫۰۵", "۱۶٫۰۸", "۱۶٫۸۰", "۵٫۷۹"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 3 (۱)", "تقسیم عدد اعشاری بر عدد صحیح"], "۰/۴۸ ÷ ۲ چند می‌شود؟", {"prompt": "۰٫۴۸ ÷ ۲ چند می‌شود؟", "choices": ["۰٫۴۸", "۰٫۴۲", "۰٫۲۴", "۴٫۸"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 3 (۲)", "جمع و تفریق اعداد اعشاری"], "۲/۴ + ۱/۷ چند می‌شود؟", {"prompt": "۲٫۴ + ۱٫۷ چند می‌شود؟", "choices": ["۳٫۱۱", "۴٫۱۱", "۳٫۱", "۴٫۱"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 3 (۲)", "جمع و تفریق اعداد اعشاری"], "۴/۲۷۹ − ۲/۳۵۸ چند می‌شود؟", {"prompt": "۴٫۲۷۹ − ۲٫۳۵۸ چند می‌شود؟", "choices": ["۲٫۰۷۹", "۱٫۹۲۱", "۱٫۸۲۱", "۱٫۹۳۱"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 4 (۲)", "ضرب اعداد اعشاری در ۱۰، ۱۰۰ و ۱۰۰۰"], "۲۴/۶ ÷ ۱۰ چند می‌شود؟", {"prompt": "۲۴٫۶ ÷ ۱۰ چند می‌شود؟", "choices": ["۲۴٫۶۰", "۲٫۶۴", "۲٫۴۶", "۰٫۲۴۶"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 5 (۲)", "محیط دایره"], "محیط چرخی با قطر ۶۰ سانتی‌متر (با π ≈ ۳/۱۴) چند سانتی‌متر است؟", {"prompt": "محیط چرخی با قطر ۶۰ سانتی‌متر (با π ≈ ۳٫۱۴) چند سانتی‌متر است؟", "choices": ["۹۴٫۲", "۱۸۰", "۱۸٫۸۴", "۱۸۸٫۴"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 5 (۲)", "مسائل کاربردی با اعداد اعشاری"], "حوضی ۲۵۶ لیتری با نرخ ۸۴ لیتر در دقیقه پر می‌شود. تقریباً پس از چند دقیقه پر می‌شود؟ (تا دو رقم اعشار)", {"prompt": "حوضی ۲۵۶ لیتری با نرخ ۸۴ لیتر در دقیقه پر می‌شود. تقریباً پس از چند دقیقه پر می‌شود؟ (تا دو رقم اعشار)", "choices": ["۳٫۰۴", "۲٫۹۶", "۳٫۵۰", "۳٫۴۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 6 (۲)", "نوشتن اعداد اعشاری به صورت گسترده"], "در عدد ۳/۱۰۴، رقم صدم (دومین رقم بعد از ممیز) کدام است؟", {"prompt": "در عدد ۳٫۱۰۴، رقم صدم (دومین رقم بعد از ممیز) کدام است؟", "choices": ["۱", "۴", "۳", "۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 6 (۲)", "نوشتن اعداد اعشاری به صورت کلمات"], "عدد ۷/۳۲ (طول دروازه فوتبال به متر) را با حروف بنویسید.", {"prompt": "عدد ۷٫۳۲ (طول دروازه فوتبال به متر) را با حروف بنویسید.", "choices": ["هفت ممیز سی و دو", "هفت ممیز سه", "هشت ممیز سی و دو", "هفت ممیز بیست و سه"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 1 (۱)", "الگوهای عددی اعشاری"], "الگو را ادامه دهید: ۰/۰۰۱، ۰/۰۱، ۰/۱، ... . جمله‌ی بعدی کدام است؟", {"prompt": "الگو را ادامه دهید: ۰٫۰۰۱، ۰٫۰۱، ۰٫۱، ... . جمله‌ی بعدی کدام است؟", "choices": ["۰٫۲", "۱", "۰٫۱۱", "۱۰"]}], [["پایه ششم", "فصل ۳: اعداد اعشاری", "اعداد اعشاری — گروه 3 (۲)", "جدول ارزش مکانی"], "در عدد ۵۳/۴۷ (پنجاه و سه و چهل و هفت صدم)، رقم ۴ در کدام مرتبه است؟", {"prompt": "در عدد ۵۳٫۴۷ (پنجاه و سه و چهل و هفت صدم)، رقم ۴ در کدام مرتبه است؟", "choices": ["صدم", "دهگان", "یکان", "دهم"]}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 2 (۲)", "تکمیل جدول زوایا"], "زاویه‌ی مکمل زاویه‌ی ۷۴ درجه (زاویه‌ای که مجموعشان ۹۰ درجه شود) چند درجه است؟", {"prompt": "زاویه‌ی متمم زاویه‌ی ۷۴ درجه (زاویه‌ای که مجموعشان ۹۰ درجه شود) چند درجه است؟"}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 3 (۲)", "مجموع زوایای مکمل"], "اگر یک زاویه ۵۵ درجه باشد، زاویه مکمل آن چند درجه است؟", {"prompt": "اگر یک زاویه ۵۵ درجه باشد، زاویه متمم آن چند درجه است؟"}], [["پایه ششم", "فصل ۵: اندازه گیری", "اندازه گیری — گروه 3 (۲)", "مجموع زوایای مکمل"], "اگر یک زاویه ۵۵ درجه باشد، زاویه مکمل آن (که مجموعشان ۹۰ درجه است) چند درجه است؟", {"prompt": "اگر یک زاویه ۵۵ درجه باشد، زاویه متمم آن (که مجموعشان ۹۰ درجه است) چند درجه است؟"}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 4 (۱)", "محاسبه درصد تغییرات"], "تولید امسال ۱/۵ برابر سال گذشته است. این برابر با چند درصد است؟", {"prompt": "تولید امسال ۱٫۵ برابر سال گذشته است. این برابر با چند درصد است؟", "choices": ["۲۰%", "۱۵۰%", "۱۲۰%", "۲۵%"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 1 (۱)", "تبدیل کسر به درصد"], "کسر ۱/۸ را به درصد تبدیل کنید.", {"prompt": "کسر ۱/۸ را به درصد تبدیل کنید.", "choices": ["۱۶%", "۱۲٫۵%", "۱۸%", "۲۰%"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 6 (۲)", "محاسبه مساحت و محیط"], "مستطیلی با طول ۸ و عرض ۴/۵ متر. مساحت چقدر؟", {"prompt": "مستطیلی با طول ۸ و عرض ۴٫۵ متر. مساحت چقدر؟", "choices": ["۳۲٫۵", "۳۲", "۴۰", "۳۶"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 1 (۱)", "تبدیل کسر به عدد اعشاری"], "کسر ۷/۸ را به صورت اعشاری بنویسید.", {"prompt": "کسر ۷/۸ را به صورت اعشاری بنویسید.", "choices": ["۰٫۸۷۵", "۰٫۷۸۵", "۰٫۹۷۵", "۰٫۶۷۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 1 (۱)", "تبدیل کسر به عدد اعشاری"], "حاصل تقسیم ۷ بر ۳ تا دو رقم اعشار کدام است؟", {"prompt": "حاصل تقسیم ۷ بر ۳ تا دو رقم اعشار کدام است؟", "choices": ["۲٫۳۰", "۳٫۳۳", "۲٫۳۳", "۲٫۳۵"]}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 4 (۱)", "محاسبه درصد افزایش جمعیت"], "جمعیت تهران از ۱۰/۸ میلیون به ۱۲ میلیون نفر رسید. درصد افزایش جمعیت تا دو رقم اعشار چقدر است؟", {"prompt": "جمعیت تهران از ۱۰٫۸ میلیون به ۱۲ میلیون نفر رسید. درصد افزایش جمعیت تا دو رقم اعشار چقدر است؟", "choices": ["۱۰٫۸۰", "۱۲٫۰۰", "۱۱٫۱۱", "۹٫۰۹"]}], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 4 (۱)", "تقریب اعداد"], "عدد ۲۲۵۶۸ را به نزدیک‌ترین هزارگان تقریب بزنید.", {"correct": 2}], [["پایه ششم", "فصل ۶: تناسب و درصد", "تناسب و درصد — گروه 1 (۲)", "تقریب اعداد"], "عدد ۲۲۵۶۸ را به نزدیک‌ترین هزارگان تقریب بزنید.", {"correct": 0}], [["پایه ششم", "فصل ۱: عدد و الگوهای عددی", "عدد و الگوهای عددی — گروه 8 (۲)", "نوشتن عدد به صورت گسترده"], "عدد «چهار میلیون و هفت» را به رقم بنویسید.", {"choices": ["۴۰۰۷۰۰۰", "۴۰۰۰۰۰۷", "۴۰۰۰۰۷۰", "۴۰۰۰۷۰۰"]}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 2 (۱)", "تشخیص عبارات معادل توان‌ها"], "(۳۲)۳ برابر است با کدام؟", {"prompt": "(۳²)³ برابر است با کدام؟", "choices": ["۳⁵", "۳⁶", "۳⁸", "۳⁹"], "correct": 1}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 1 (۲)", "تشخیص درست یا نادرست بودن عبارات توان‌دار"], "آیا (۳۲) ÷ (۳۲) = ۳۲ درست است؟", {"prompt": "آیا ۳² ÷ ۳² = ۳² درست است؟"}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 4 (۱)", "محاسبه توان‌ها"], "۳۵ برابر است با:", {"prompt": "۳⁵ برابر است با:"}], [["پایه هفتم", "فصل ۷: توان و جذر", "توان و جذر — گروه 1 (۱)", "تجزیه عدد به توان‌ها"], "عدد ۱۲۵ را به صورت عدد توان‌دار بنویسید.", {"choices": ["۵²", "۵³", "۲⁵", "۳⁵"], "correct": 1}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "عدد اعشاری (۳)", "نوشتن عدد اعشاری به صورت حروف و اعداد"], "عدد ۳/۷ را چگونه با حروف می‌نویسیم؟", {"prompt": "عدد ۳٫۷ را چگونه با حروف می‌نویسیم؟", "choices": ["سی و هفت صدم", "هفت و سه دهم", "سه و هفت دهم", "سه و هفت صدم"], "correct": 2}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۱)", "جمع اعداد اعشاری با استفاده از شکل و نمایش تصویری"], "آب ظرفی ۰/۲ لیتر و آب ظرف دیگر ۰/۶ لیتر است. اگر آب اولی را در دومی بریزیم، در ظرف دوم چند لیتر آب می‌شود؟", {"prompt": "آب ظرفی ۰٫۲ لیتر و آب ظرف دیگر ۰٫۶ لیتر است. اگر آب اولی را در دومی بریزیم، در ظرف دوم چند لیتر آب می‌شود؟", "choices": ["۰٫۴ لیتر", "۰٫۸ لیتر", "۰٫۰۸ لیتر", "۰٫۱۲ لیتر"], "correct": 1}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۱)", "جمع اعداد اعشاری با استفاده از محور اعداد"], "روی محور اعداد از صفر شروع می‌کنیم، ۰/۴ جلو می‌رویم و سپس ۰/۳ دیگر جلو می‌رویم. به چه عددی می‌رسیم؟", {"prompt": "روی محور اعداد از صفر شروع می‌کنیم، ۰٫۴ جلو می‌رویم و سپس ۰٫۳ دیگر جلو می‌رویم. به چه عددی می‌رسیم؟", "choices": ["۰٫۱", "۰٫۰۷", "۰٫۷", "۰٫۱۲"], "correct": 2}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۲)", "نوشتن تفریق با استفاده از پله‌های روی محور عددی"], "روی محور ۰ تا ۱ نقطه‌ای روی ۰/۴ است. فاصله‌ی آن تا عدد ۱ چقدر است؟", {"prompt": "روی محور ۰ تا ۱ نقطه‌ای روی ۰٫۴ است. فاصله‌ی آن تا عدد ۱ چقدر است؟", "choices": ["۰٫۴", "۰٫۳", "۱٫۴", "۰٫۶"], "correct": 3}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۲)", "تفریق اعداد اعشاری با توجه به تساوی‌های داده شده"], "حاصل ۰/۹ - ۰/۶ چند است؟", {"prompt": "حاصل ۰٫۹ - ۰٫۶ چند است؟", "choices": ["۱٫۵", "۰٫۳", "۰٫۱۵", "۰٫۶"], "correct": 1}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۲)", "تفریق اعداد اعشاری با استفاده از درس قبلی (از ۱۳ تا ۰.۱)"], "حاصل ۱/۶ - ۰/۸ چند است؟", {"prompt": "حاصل ۱٫۶ - ۰٫۸ چند است؟", "choices": ["۱٫۲", "۰٫۲", "۰٫۸", "۱٫۴"], "correct": 2}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۳)", "جمع و تفریق طول‌های چوب با اعداد اعشاری"], "دو تکه چوب ۰/۸ متری و ۰/۴ متری را دنبال هم می‌گذاریم. طول کل چند متر است؟", {"prompt": "دو تکه چوب ۰٫۸ متری و ۰٫۴ متری را دنبال هم می‌گذاریم. طول کل چند متر است؟", "choices": ["۱٫۲ متر", "۰٫۴ متر", "۰٫۱۲ متر", "۱٫۴ متر"], "correct": 0}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۳)", "محاسبه طول با استفاده از اندازه فرش و فاصله تا دیوار"], "فرشی به طول ۱/۶ متر در اتاقی پهن شده است. فاصله‌ی فرش تا دو دیوار روبه‌رو ۰/۳ متر و ۰/۵ متر است. طول اتاق چند متر است؟", {"prompt": "فرشی به طول ۱٫۶ متر در اتاقی پهن شده است. فاصله‌ی فرش تا دو دیوار روبه‌رو ۰٫۳ متر و ۰٫۵ متر است. طول اتاق چند متر است؟", "choices": ["۲٫۳ متر", "۲٫۴ متر", "۱٫۴ متر", "۲٫۸ متر"], "correct": 1}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۳)", "مقایسه و تعیین مقدار آب در دو ظرف"], "دو تکه چوب ۰/۲ متری و ۰/۵ متری را دنبال هم قرار می‌دهیم. طول کل چند متر می‌شود؟", {"prompt": "دو تکه چوب ۰٫۲ متری و ۰٫۵ متری را دنبال هم قرار می‌دهیم. طول کل چند متر می‌شود؟", "choices": ["۰٫۳ متر", "۰٫۰۷ متر", "۰٫۷ متر", "۰٫۱۰ متر"], "correct": 2}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۴)", "استفاده از علامت‌های مقایسه (>, <, =)"], "کدام عدد از ۰/۷ بزرگ‌تر است؟", {"prompt": "کدام عدد از ۰٫۷ بزرگ‌تر است؟", "choices": ["۰٫۹", "۰٫۵", "۰٫۶", "۰٫۴"], "correct": 0}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۴)", "کامل کردن تساوی‌های جمع اعداد اعشاری"], "عدد جاافتاده را پیدا کن: ۰/۳ + ؟ = ۱", {"prompt": "عدد جاافتاده را پیدا کن: ۰٫۳ + ؟ = ۱", "choices": ["۰٫۳", "۰٫۷", "۰٫۸", "۱٫۳"], "correct": 1}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۴)", "محاسبه مقدار باقی‌مانده آب در ظرف"], "در ظرفی ۱/۲ لیتر آب بود. سیما ۰/۵ لیتر از آن را خورد. چند لیتر آب باقی ماند؟", {"prompt": "در ظرفی ۱٫۲ لیتر آب بود. سیما ۰٫۵ لیتر از آن را خورد. چند لیتر آب باقی ماند؟", "choices": ["۱٫۷", "۰٫۶", "۰٫۷", "۰٫۸"], "correct": 2}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۴)", "توضیح نحوه انجام تفریق اعداد اعشاری"], "حاصل ۰/۹ - ۰/۴ کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۰٫۹ - ۰٫۴ کدام است؟", "choices": ["۰٫۴", "۱٫۳", "۰٫۶", "۰٫۵"], "correct": 3}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۴)", "محاسبه اختلاف بین دو عدد اعشاری"], "ظرفی ۱ لیتر آب دارد. اگر ۰/۶ لیتر از آن مصرف کنیم، چند لیتر آب باقی می‌ماند؟", {"prompt": "ظرفی ۱ لیتر آب دارد. اگر ۰٫۶ لیتر از آن مصرف کنیم، چند لیتر آب باقی می‌ماند؟", "choices": ["۰٫۴", "۰٫۶", "۱٫۶", "۰٫۵"], "correct": 0}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "جمع و تفریق اعشاری (۴)", "محاسبه مقدار روغن برای پر کردن ظرف"], "حاصل ۰/۸ + ۰/۷ کدام است؟", {"prompt": "حاصل ۰٫۸ + ۰٫۷ کدام است؟", "choices": ["۱٫۱۵", "۱٫۵", "۰٫۱۵", "۱٫۴"], "correct": 1}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۳)", "محاسبه طول یا ارتفاع با جمع اعداد اعشاری"], "کدام عدد از همه کوچک‌تر است؟", {"prompt": "کدام عدد از همه کوچک‌تر است؟", "choices": ["۶٫۱", "۶٫۴", "۶٫۹", "۶٫۷"], "correct": 0}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۳)", "محاسبه اختلاف ارتفاع یا وزن با تفریق اعداد اعشاری"], "عمق آب یک استخر ۱/۳ متر و قد سارا ۱/۷ متر است. وقتی سارا در استخر ایستاده، چقدر از قدش بیرون از آب است؟", {"prompt": "عمق آب یک استخر ۱٫۳ متر و قد سارا ۱٫۷ متر است. وقتی سارا در استخر ایستاده، چقدر از قدش بیرون از آب است؟", "choices": ["۱٫۴", "۰٫۴", "۰٫۳", "۰٫۶"], "correct": 1}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۴)", "محاسبه مقدار کل با ضرب عدد اعشاری در عدد صحیح"], "کدام عبارت درست است؟", {"prompt": "کدام عبارت درست است؟", "choices": ["۶٫۲ > ۶٫۷", "۶٫۲ = ۶٫۷", "۶٫۲ < ۶٫۷", "۶٫۷ < ۵٫۹"], "correct": 2}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۴)", "تقریب اعداد اعشاری به نزدیک‌ترین عدد"], "حاصل ۳/۷ + ۵/۲ را با گردکردن به نزدیک‌ترین عدد صحیح، به‌طور تقریبی حساب کن.", {"prompt": "حاصل ۳٫۷ + ۵٫۲ را با گردکردن به نزدیک‌ترین عدد صحیح، به‌طور تقریبی حساب کن.", "choices": ["۸", "۱۰", "۷", "۹"], "correct": 3}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۴)", "محاسبه تفاوت وزن با تفریق اعداد اعشاری"], "وزن یک نوزاد ۴/۵ کیلوگرم و نوزاد دیگر ۵/۲ کیلوگرم است. نوزاد دوم چقدر سنگین‌تر است؟", {"prompt": "وزن یک نوزاد ۴٫۵ کیلوگرم و نوزاد دیگر ۵٫۲ کیلوگرم است. نوزاد دوم چقدر سنگین‌تر است؟", "choices": ["۰٫۷", "۱٫۷", "۰٫۸", "۰٫۶"], "correct": 0}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۵)", "تشخیص عدد اعشاری از روی شکل‌های شبکه‌ای"], "حاصل ۷/۵ - ۳/۲ را با جدول ارزش مکانی به دست بیاور.", {"prompt": "حاصل ۷٫۵ - ۳٫۲ را با جدول ارزش مکانی به دست بیاور.", "choices": ["۴٫۷", "۴٫۳", "۳٫۴", "۵٫۳"], "correct": 1}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۵)", "تعیین عدد اعشاری از روی شکل‌های واحدی"], "مستطیلی ۱۰ خانه‌ی مساوی دارد و ۷ خانه‌ی آن رنگ شده است. رنگ‌شده‌ها چه عددی را نشان می‌دهند؟", {"prompt": "مستطیلی ۱۰ خانه‌ی مساوی دارد و ۷ خانه‌ی آن رنگ شده است. رنگ‌شده‌ها چه عددی را نشان می‌دهند؟", "choices": ["۷٫۰", "۱٫۷", "۰٫۷", "۰٫۳"], "correct": 2}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۵)", "مقایسه اعداد اعشاری با استفاده از خط اعداد"], "عدد ۱/۸ برابر است با ۲ منهای چند؟", {"prompt": "عدد ۱٫۸ برابر است با ۲ منهای چند؟", "choices": ["۰٫۸", "۰٫۱", "۱٫۲", "۰٫۲"], "correct": 3}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۶)", "خواندن و نوشتن اعداد اعشاری به صورت کلمه‌ای"], "عدد ۵/۷ را چگونه می‌خوانیم؟", {"prompt": "عدد ۵٫۷ را چگونه می‌خوانیم؟", "choices": ["پنج و هفت دهم", "هفت و پنج دهم", "پنج و هفت صدم", "پنج دهم و هفت"], "correct": 0}], [["پایه چهارم", "فصل ۵: عدد مخلوط و عدد اعشاری", "ارزش مکانی عددهای اعشاری (۶)", "حل مسئله با استفاده از اندازه‌گیری و مقایسه طول‌ها"], "دست رضا در پرش به ارتفاع ۱/۴ متر رسید. برای رسیدن به خط ۲ متر چقدر باید بیشتر بپرد؟", {"prompt": "دست رضا در پرش به ارتفاع ۱٫۴ متر رسید. برای رسیدن به خط ۲ متر چقدر باید بیشتر بپرد؟", "choices": ["۰٫۴", "۱٫۶", "۱٫۴", "۰٫۶"], "correct": 3}]]}
Reference in New Issue View Git Blame Copy Permalink