Zareian
5d490edaf9
102 unique textbook questions, 1,287 full model answers, per-answer cost and the hand grades for both rounds. Book excerpts (retrieval context) are left out. Co-Authored-By: Claude Opus 5.5 <noreply@anthropic.com>
1009 lines
85 KiB
JSON
1009 lines
85 KiB
JSON
{
|
||
"summary": {
|
||
"gpt-4o-mini": {
|
||
"costCents": 0.099105,
|
||
"wallSeconds": 10.2,
|
||
"judgeCostCents": 0.344
|
||
},
|
||
"gpt-4.1-mini": {
|
||
"costCents": 0.28332,
|
||
"wallSeconds": 8.2,
|
||
"judgeCostCents": 0.368
|
||
},
|
||
"gpt-4.1-nano": {
|
||
"costCents": 0.06911,
|
||
"wallSeconds": 6.9,
|
||
"judgeCostCents": 0.362
|
||
},
|
||
"gpt-5-mini": {
|
||
"costCents": 0.409125,
|
||
"wallSeconds": 20.3,
|
||
"judgeCostCents": 0.35
|
||
},
|
||
"gpt-5-nano": {
|
||
"costCents": 0.10530500000000001,
|
||
"wallSeconds": 18.3,
|
||
"judgeCostCents": 0.4
|
||
},
|
||
"gpt-5.4-mini": {
|
||
"costCents": 0.5801250000000001,
|
||
"wallSeconds": 8.7,
|
||
"judgeCostCents": 0.286
|
||
},
|
||
"gpt-5.4-nano": {
|
||
"costCents": 0.19997,
|
||
"wallSeconds": 12.1,
|
||
"judgeCostCents": 0.331
|
||
},
|
||
"o4-mini": {
|
||
"costCents": 0.92367,
|
||
"wallSeconds": 9.9,
|
||
"judgeCostCents": 0.295
|
||
},
|
||
"deepseek-v4-flash": {
|
||
"costCents": 0.06685899999999999,
|
||
"wallSeconds": 26.4,
|
||
"judgeCostCents": 0.344
|
||
},
|
||
"deepseek-chat": {
|
||
"costCents": 0.007820604,
|
||
"wallSeconds": 20.7,
|
||
"judgeCostCents": 0.333
|
||
},
|
||
"gemini-3.5-flash": {
|
||
"costCents": 4.8107999999999995,
|
||
"wallSeconds": 19.8,
|
||
"judgeCostCents": 0.421
|
||
},
|
||
"gemini-3.1-flash-lite": {
|
||
"costCents": 0.20779999999999998,
|
||
"wallSeconds": 3.9,
|
||
"judgeCostCents": 0.346
|
||
},
|
||
"claude-haiku-4-5-20251001": {
|
||
"costCents": 1.3686,
|
||
"wallSeconds": 13.9,
|
||
"judgeCostCents": 0.374
|
||
},
|
||
"qwen3-235b-a22b-instruct-2507": {
|
||
"costCents": 0.7246000000000095,
|
||
"wallSeconds": 24.1,
|
||
"judgeCostCents": 0.435
|
||
},
|
||
"grok-4.3": {
|
||
"costCents": 0.7653699999999999,
|
||
"wallSeconds": 9.1,
|
||
"judgeCostCents": 0.271
|
||
},
|
||
"kimi-k3": {
|
||
"costCents": 4.989163,
|
||
"wallSeconds": 60.0,
|
||
"judgeCostCents": 0.35
|
||
},
|
||
"glm-5.3-flash": {
|
||
"costCents": 0.10076500000000001,
|
||
"wallSeconds": 13.3,
|
||
"judgeCostCents": 0.31
|
||
}
|
||
},
|
||
"results": [
|
||
{
|
||
"model": "gpt-4o-mini",
|
||
"chunkId": 2930,
|
||
"collection": "حسابان دوازدهم",
|
||
"tier": "upper",
|
||
"problem": "یک مستطیل در یک نیم‌دایره محاط شده است. اگر شعاع دایره 4 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.",
|
||
"key": "طول = 4√2، عرض = 2√2 (سانتی‌متر)",
|
||
"answer": "۱) شعاع نیم‌دایره برابر ۴ سانتی‌متر است. فرض می‌کنیم طول مستطیل برابر ۲x و عرض آن برابر y باشد. بنابراین، مساحت مستطیل به صورت زیر تعریف می‌شود:\n\nA = طول × عرض = 2x × y = 2xy\n\n۲) برای پیدا کردن رابطه بین x و y، از معادله دایره استفاده می‌کنیم. معادله دایره‌ای که مرکز آن در مبدا و شعاع آن ۴ است به صورت زیر است:\n\nx² + y² = 4²\n\n۳) از این معادله می‌توانیم y را به صورت تابعی از x بیان کنیم:\n\ny² = 16 - x²\ny = √(16 - x²)\n\n۴) حالا مساحت مستطیل را به صورت تابعی از x می‌نویسیم:\n\nA(x) = 2x * √(16 - x²)\n\n۵) برای پیدا کردن بیشینه مساحت، مشتق A(x) را نسبت به x محاسبه می‌کنیم. ابتدا مشتق را با استفاده از قاعده حاصل‌ضرب محاسبه می‌کنیم:\n\nA'(x) = 2√(16 - x²) + 2x * (1/2)(16 - x²)^(-1/2)(-2x)\n\n۶) ساده‌سازی مشتق:\n\nA'(x) = 2√(16 - x²) - (2x²)/(√(16 - x²))\n\n۷) برای پیدا کردن نقاط بحرانی، مشتق را برابر صفر قرار می‌دهیم:\n\n2√(16 - x²) - (2x²)/(√(16 - x²)) = 0\n\n۸) معادله را حل می‌کنیم:\n\n2√(16 - x²) = (2x²)/(√(16 - x²))\n\n۹) ضرب در √(16 - x²) می‌کنیم:\n\n2(16 - x²) = 2x²\n\n۱۰) ساده‌سازی معادله:\n\n32 - 2x² = 2x²\n32 = 4x²\nx² = 8\nx = √8 = 2√2\n\n۱۱) حالا مقدار y را با استفاده از رابطه‌ای که داریم پیدا می‌کنیم:\n\ny = √(16 - (2√2)²) = √(16 - 8) = √8 = 2√2\n\n۱۲) بنابراین، طول و عرض مستطیل به صورت زیر است:\n\nطول = 2x = 2(2√2) = 4√2 سانتی‌متر\nعرض = y = 2√2 سانتی‌متر\n\n۱۳) در نهایت، بررسی می‌کنیم که این مقادیر در دامنه‌ی مجاز قرار دارند. چون x ≤ 4 و y ≤ 4، این مقادیر معتبر هستند.\n\n✅ جواب: طول مستطیل ۴√۲ سانتی‌متر و عرض آن ۲√۲ سانتی‌متر است.\n\nحالا خودت امتحان کن: اگر شعاع نیم‌دایره ۵ سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به دست آور که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.",
|
||
"seconds": 9.9,
|
||
"sanitized": false,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 2335,
|
||
"completionTokens": 692,
|
||
"reasoningTokens": 0,
|
||
"costUsd": 0.00076545,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 13,
|
||
"chars": 1549,
|
||
"hasCheck": false,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "طول و عرض دقیقاً مطابق کلید است؛ ترتیب و نمادگذاری هم‌ارز است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.002274
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "gpt-4o-mini",
|
||
"chunkId": 514,
|
||
"collection": "ریاضی ششم",
|
||
"tier": "",
|
||
"problem": "یک کتاب پس از ۲۰ درصد تخفیف، به قیمت ۲۴۰۰ تومان به فروش می‌رسد. قیمت اصلی کتاب چقدر بوده است؟",
|
||
"key": "۳۰۰۰ تومان",
|
||
"answer": "۱) فرض می‌کنیم قیمت اصلی کتاب را x تومان بنامیم.\n\n۲) با توجه به اینکه کتاب ۲۰ درصد تخفیف خورده است، قیمت نهایی کتاب برابر است با ۸۰ درصد از قیمت اصلی. بنابراین می‌توانیم بنویسیم:\n\n۰.۸ × x = ۲۴۰۰\n\n۳) حالا برای پیدا کردن x، هر دو طرف معادله را بر ۰.۸ تقسیم می‌کنیم:\n\nx = ۲۴۰۰ ÷ ۰.۸\n\n۴) محاسبه می‌کنیم:\n\nx = ۳۰۰۰\n\n۵) بنابراین قیمت اصلی کتاب ۳۰۰۰ تومان بوده است.\n\n✅ جواب: ۳۰۰۰ تومان.\n\nحالا خودت امتحان کن: اگر کتابی به قیمت ۵۰۰۰ تومان با ۱۵ درصد تخفیف به فروش برود، قیمت نهایی آن چقدر خواهد بود؟",
|
||
"seconds": 2.6,
|
||
"sanitized": true,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 728,
|
||
"completionTokens": 194,
|
||
"reasoningTokens": 0,
|
||
"costUsd": 0.0002256,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 6,
|
||
"chars": 491,
|
||
"hasCheck": false,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم (۳۰۰۰ تومان) با کلید یکی است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.001162
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "gpt-4.1-mini",
|
||
"chunkId": 2930,
|
||
"collection": "حسابان دوازدهم",
|
||
"tier": "upper",
|
||
"problem": "یک مستطیل در یک نیم‌دایره محاط شده است. اگر شعاع دایره 4 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.",
|
||
"key": "طول = 4√2، عرض = 2√2 (سانتی‌متر)",
|
||
"answer": "۱) مسئله: مستطیلی داخل نیم‌دایره‌ای به شعاع R = 4 سانتی‌متر محاط شده است. می‌خواهیم طول و عرض مستطیل را طوری پیدا کنیم که مساحت مستطیل بیشینه شود.\n\n۲) نمادگذاری: فرض کن طول مستطیل برابر 2x و عرض آن برابر y باشد. طول را 2x گرفتیم چون مستطیل داخل نیم‌دایره است و عرض مستطیل در راستای قطر نیم‌دایره قرار دارد.\n\n۳) شرط هندسی: نیم‌دایره معادله دایره با شعاع 4 است، یعنی x² + y² = 4² = 16. چون مستطیل داخل نیم‌دایره است، نقطه گوشه بالایی مستطیل روی محیط دایره قرار دارد، پس y = √(16 - x²).\n\n۴) مساحت مستطیل: A = طول × عرض = 2x × y = 2x × √(16 - x²).\n\n۵) دامنه x: چون x نمایانگر نصف طول مستطیل است و مستطیل داخل نیم‌دایره است، x باید بین 0 و 4 باشد (0 < x ≤ 4).\n\n۶) تابع مساحت: A(x) = 2x × √(16 - x²).\n\n۷) مشتق مساحت نسبت به x را محاسبه می‌کنیم (قاعده مشتق تابع مرکب و حاصل‌ضرب):\n\nA(x) = 2x × (16 - x²)^(1/2)\n\nپس\n\nA′(x) = مشتق 2x × (16 - x²)^(1/2)\n\n= 2 × (16 - x²)^(1/2) + 2x × (1/2)(16 - x²)^(-1/2) × (-2x)\n\n= 2√(16 - x²) + 2x × (-x) / √(16 - x²)\n\n= 2√(16 - x²) - (2x²) / √(16 - x²)\n\n۸) معادله مشتق برابر صفر:\n\n2√(16 - x²) - (2x²) / √(16 - x²) = 0\n\n۹) ضرب طرفین در √(16 - x²) (مخرج مخالف صفر چون 0 < x < 4):\n\n2(16 - x²) - 2x² = 0\n\n۳۲ - 2x² - 2x² = 0\n\n۳۲ - 4x² = 0\n\n۱۰) حل معادله:\n\n4x² = 32\n\nx² = 8\n\nx = √8 = 2√2 (چون x > 0)\n\n۱۱) مقدار y را از معادله دایره پیدا می‌کنیم:\n\ny = √(16 - x²) = √(16 - 8) = √8 = 2√2\n\n۱۲) پس طول مستطیل = 2x = 2 × 2√2 = 4√2 سانتی‌متر\n\nعرض مستطیل = y = 2√2 سانتی‌متر\n\n۱۳) بررسی بیشینه بودن: چون A(0) = 0 و A(4) = 0 و مشتق در x = 2√2 صفر است، و تابع مساحت در بازه (0,4) مثبت است، این نقطه بحرانی بیشینه است.\n\n✅ جواب: طول مستطیل 4√2 سانتی‌متر و عرض آن 2√2 سانتی‌متر است تا مساحت بیشینه شود.\n\nحالا خودت امتحان کن: اگر شعاع نیم‌دایره 5 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل‌ای که بیشینه مساحت دارد را پیدا کن.",
|
||
"seconds": 7.9,
|
||
"sanitized": false,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 2335,
|
||
"completionTokens": 820,
|
||
"reasoningTokens": 0,
|
||
"costUsd": 0.002246,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 13,
|
||
"chars": 1718,
|
||
"hasCheck": false,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "طول و عرض دقیقاً با کلید برابر است؛ ترتیب و نمادگذاری تفاوتی ندارد.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.002528
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "gpt-4.1-mini",
|
||
"chunkId": 514,
|
||
"collection": "ریاضی ششم",
|
||
"tier": "",
|
||
"problem": "یک کتاب پس از ۲۰ درصد تخفیف، به قیمت ۲۴۰۰ تومان به فروش می‌رسد. قیمت اصلی کتاب چقدر بوده است؟",
|
||
"key": "۳۰۰۰ تومان",
|
||
"answer": "۱) فرض کن قیمت اصلی کتاب برابر x تومان باشد.\n\n۲) پس از ۲۰ درصد تخفیف، قیمت کتاب می‌شود ۸۰ درصد قیمت اصلی، یعنی 0.8 × x.\n\n۳) طبق مسئله، این قیمت برابر ۲۴۰۰ تومان است:\n\n0.8 × x = 2400\n\n۴) برای پیدا کردن x، دو طرف معادله را بر 0.8 تقسیم می‌کنیم:\n\nx = 2400 ÷ 0.8\n\n۵) محاسبه تقسیم:\n\n2400 ÷ 0.8 = 3000\n\n۶) پس قیمت اصلی کتاب ۳۰۰۰ تومان بوده است.\n\n✅ جواب: ۳۰۰۰ تومان\n\nحالا خودت امتحان کن: کتابی با ۱۵ درصد تخفیف به قیمت ۳۴۰۰ تومان فروخته شده است. قیمت اصلی کتاب چقدر بوده؟",
|
||
"seconds": 3.2,
|
||
"sanitized": false,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 728,
|
||
"completionTokens": 185,
|
||
"reasoningTokens": 0,
|
||
"costUsd": 0.0005872,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 7,
|
||
"chars": 464,
|
||
"hasCheck": false,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم با کلید یکی است: ۳۰۰۰ تومان",
|
||
"judgeCostUsd": 0.001148
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "gpt-4.1-nano",
|
||
"chunkId": 2930,
|
||
"collection": "حسابان دوازدهم",
|
||
"tier": "upper",
|
||
"problem": "یک مستطیل در یک نیم‌دایره محاط شده است. اگر شعاع دایره 4 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.",
|
||
"key": "طول = 4√2، عرض = 2√2 (سانتی‌متر)",
|
||
"answer": "برای حل این مسئله، از روش بهینه‌سازی و قضیه‌ی فیثاغورس استفاده می‌کنیم.\n\n۱) فرض کنید طول مستطیل برابر x و عرض آن برابر y باشد. چون مستطیل در نیم‌دایره محاط شده است، هر نقطه‌ی گوشه‌ی مستطیل باید روی محیط دایره باشد.\n\n۲) در نیم‌دایره، هر نقطه روی محیط دایره است و مرکز دایره را در مبدا قرار می‌دهیم. شعاع دایره برابر 4 سانتی‌متر است، پس معادله‌ی دایره: x² + y² = 4² = 16.\n\n۳) چون مستطیل در نیم‌دایره است، و گوشه‌های آن روی محیط قرار دارند، هر گوشه‌ی مستطیل باید روی محیط باشد، پس:\nx² + y² = 16.\n\n۴) هدف ما بیشینه کردن مساحت مستطیل است: A = x × y.\n\n۵) از رابطه‌ی دایره، y را بر حسب x بنویسیم:\ny = √(16 - x²).\n\n۶) پس مساحت تابعی از x است:\nA(x) = x × √(16 - x²).\n\n۷) برای بیشینه کردن A(x)، مشتق آن را نسبت به x محاسبه می‌کنیم و برابر صفر قرار می‌دهیم.\n\n۸) مشتق A(x):\nA′(x) = √(16 - x²) + x × (1/2) × (16 - x²)^(−1/2) × (−2x).\n\n۹) ساده‌سازی:\nA′(x) = √(16 - x²) - x² / √(16 - x²).\n\n۱۰) با جمع کردن دو جمله در صورت مشترک:\nA′(x) = (16 - x² - x²) / √(16 - x²) = (16 - 2x²) / √(16 - x²).\n\n۱۱) برای نقاط بحرانی، A′(x) = 0:\n(16 - 2x²) / √(16 - x²) = 0.\n\n۱۲) صورت‌کسر صفر است وقتی صورت آن صفر باشد:\n16 - 2x² = 0.\n\n۱۳) حل معادله:\n2x² = 16 ⇒ x² = 8 ⇒ x = √8 = 2√2.\n\n۱۴) مقدار y را بر حسب x پیدا می‌کنیم:\ny = √(16 - (2√2)²) = √(16 - 8) = √8 = 2√2.\n\n۱۵) پس، طول و عرض مستطیل:\nx = 2√2 سانتی‌متر،\ny = 2√2 سانتی‌متر.\n\n۱۶) مساحت بیشینه:\nA = x × y = (2√2) × (2√2) = 4 × 2 = 8 سانتی‌متر مربع.\n\n✅ جواب: طول و عرض مستطیل باید هر کدام برابر 2√2 سانتی‌متر باشد تا مساحت آن بیشینه شود و مقدار مساحت برابر 8 سانتی‌متر مربع است.",
|
||
"seconds": 6.2,
|
||
"sanitized": true,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 2335,
|
||
"completionTokens": 691,
|
||
"reasoningTokens": 0,
|
||
"costUsd": 0.0005099,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 16,
|
||
"chars": 1497,
|
||
"hasCheck": false,
|
||
"hasPractice": false,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "wrong",
|
||
"why": "کلید: طول=۴√۲، عرض=۲√۲؛ معلم: هر دو ضلع=۲√۲. برابر نیستند.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.002304
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "gpt-4.1-nano",
|
||
"chunkId": 514,
|
||
"collection": "ریاضی ششم",
|
||
"tier": "",
|
||
"problem": "یک کتاب پس از ۲۰ درصد تخفیف، به قیمت ۲۴۰۰ تومان به فروش می‌رسد. قیمت اصلی کتاب چقدر بوده است؟",
|
||
"key": "۳۰۰۰ تومان",
|
||
"answer": "۱) فرض کنیم قیمت اصلی کتاب را x می‌نامیم.\n۲) با توجه به اینکه پس از ۲۰ درصد تخفیف، قیمت نهایی ۲۴۰۰ تومان است، می‌نویسیم:\nقیمت پس از تخفیف = قیمت اصلی × (۱ - درصد تخفیف)\n۳) پس: ۲۴۰۰ = x × (۱ - ۲۰/۱۰۰)\n۴) ساده‌سازی: ۲۴۰۰ = x × (۱ - ۰.۲)\n۵) یعنی: ۲۴۰۰ = x × ۰.۸\n۶) حالا برای پیدا کردن x، هر دو طرف را بر ۰.۸ تقسیم می‌کنیم:\nx = ۲۴۰۰ ÷ ۰.۸\n۷) محاسبه: ۲۴۰۰ ÷ ۰.۸ = ۲۴۰۰ × ۱.۲۵ = ۳۰۰۰\n۸) پس قیمت اصلی کتاب برابر است با ۳۰۰۰ تومان.\n۹) حالا خودت امتحان کن: اگر تخفیف ۱۰ درصد باشد و قیمت نهایی ۲۷۰۰ تومان باشد، قیمت اصلی چقدر است؟\n\n✅ جواب: قیمت اصلی کتاب ۳۰۰۰ تومان است.",
|
||
"seconds": 3.3,
|
||
"sanitized": true,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 728,
|
||
"completionTokens": 271,
|
||
"reasoningTokens": 0,
|
||
"costUsd": 0.0001812,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 9,
|
||
"chars": 560,
|
||
"hasCheck": false,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم (۳۰۰۰ تومان) با کلید یکی است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.001312
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "gpt-5-mini",
|
||
"chunkId": 2930,
|
||
"collection": "حسابان دوازدهم",
|
||
"tier": "upper",
|
||
"problem": "یک مستطیل در یک نیم‌دایره محاط شده است. اگر شعاع دایره 4 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.",
|
||
"key": "طول = 4√2، عرض = 2√2 (سانتی‌متر)",
|
||
"answer": "۱) دامنه را مشخص می‌کنیم: با قرار گرفتن مستطیل در نیم‌دایره و تقارن حول محور عمودی، اگر نیم‌عرض مستطیل را x بگیریم آنگاه x ∈ [0,R] (شرط زیرِ رادیکال نامنفی). (قید دامنه)\n\n۲) رابطه‌ی بین مختصات و شعاع دایره: نقطه‌ی بالای گوشه‌ی مستطیل روی دایره است، پس x² + y² = R² با y ≥ 0. (هندسهٔ دایره)\n\n۳) مساحت به صورت تابع x: عرض = 2x، ارتفاع = y = √(R² − x²)، پس\nA(x) = 2x·√(R² − x²). (تعریف تابع هدف)\n\n۴) مشتق را محاسبه می‌کنیم (قضیهٔ مشتق حاصل‌ضرب و مشتق تابعِ √):\nA'(x) = 2·√(R² − x²) + 2x·( (−x)/√(R² − x²) )\n= 2 [ (R² − x²) − x² ] / √(R² − x²)\n= 2 (R² − 2x²) / √(R² − x²). (محاسبه مشتق)\n\n۵) نقاط بحرانی را با حل A'(x)=0 می‌یابیم (قضیهٔ نقاط بحرانی: مشتق برابر صفر):\nA'(x)=0 ⇒ R² − 2x² = 0 ⇒ x² = R²/2 ⇒ x = R/√2 (در دامنه مثبت).\n\n۶) بررسی سرحدها و تعیین نوع экстремم: در سرحدها x=0 یا x=R مساحت A=0، و در x=R/√2 مقدار A مثبت است، پس این نقطه بیشینه محلی و با توجه به مقایسه با سرحدها بیشینه مطلق در [0,R] است. (بررسی بازه و سرحدها)\n\n۷) جایگذاری R = 4 برای به‌دست‌آوردن ابعاد عددی:\nx = R/√2 = 4/√2 = 2√2 ≈ 2.828 cm.\nعرض = 2x = 4√2 ≈ 5.657 cm.\nارتفاع y = √(R² − x²) = √(16 − 8) = √8 = 2√2 ≈ 2.828 cm.\n(وارسی: A = 2x·y = 2·2√2·2√2 = 16 = R²)\n\n۸) نتیجه‌ی نهایی:\nعرض = 4√2 cm و ارتفاع = 2√2 cm و بیشینه مساحت A_max = R² = 16 cm². (نتیجه و وارسی نهایی)\n\n✅ جواب: عرض = 4√2 cm، ارتفاع = 2√2 cm (مساحتِ بیشینه = 16 cm²).\n\nحالا خودت امتحان کن: اگر شعاع دایره 5 cm باشد، طول و عرض مستطیل‌ای که مساحتش بیشینه است را پیدا کن.",
|
||
"seconds": 15.7,
|
||
"sanitized": true,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 2334,
|
||
"completionTokens": 1273,
|
||
"reasoningTokens": 576,
|
||
"costUsd": 0.0031295,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 8,
|
||
"chars": 1409,
|
||
"hasCheck": true,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم (۴√۲ و ۲√۲) دقیقاً با کلید یکسان است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.00229
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "gpt-5-mini",
|
||
"chunkId": 514,
|
||
"collection": "ریاضی ششم",
|
||
"tier": "",
|
||
"problem": "یک کتاب پس از ۲۰ درصد تخفیف، به قیمت ۲۴۰۰ تومان به فروش می‌رسد. قیمت اصلی کتاب چقدر بوده است؟",
|
||
"key": "۳۰۰۰ تومان",
|
||
"answer": "۱) فرض می‌کنیم قیمت اصلی را x بنامیم.\n۲) پس از 20% تخفیف، خریدار 80% قیمت اصلی را می‌پردازد: 0.80x.\n۳) نوشته شده که قیمت بعد از تخفیف برابر 2400 تومان است، پس معادله را می‌نویسیم:\n0.80x = 2400\n۴) برای پیدا کردن x طرفین را بر 0.80 تقسیم می‌کنیم:\nx = 2400 ÷ 0.80\n۵) حساب می‌کنیم: 2400 ÷ 0.8 = 3000.\n۶) وارسی: 20% از 3000 برابر 600 است، و 3000 − 600 = 2400 که با داده سازگار است.\n✅ جواب: 3000 تومان.\n\nحالا خودت امتحان کن: کتابی پس از 15% تخفیف 1700 تومان فروخته می‌شود؛ قیمت اصلی چند تومان بوده؟",
|
||
"seconds": 6.9,
|
||
"sanitized": true,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 727,
|
||
"completionTokens": 390,
|
||
"reasoningTokens": 128,
|
||
"costUsd": 0.00096175,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 7,
|
||
"chars": 492,
|
||
"hasCheck": true,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم (۳۰۰۰ تومان) با کلید یکی است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.001212
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "gpt-5-nano",
|
||
"chunkId": 2930,
|
||
"collection": "حسابان دوازدهم",
|
||
"tier": "upper",
|
||
"problem": "یک مستطیل در یک نیم‌دایره محاط شده است. اگر شعاع دایره 4 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.",
|
||
"key": "طول = 4√2، عرض = 2√2 (سانتی‌متر)",
|
||
"answer": "۱) تعریف مسئله و متغیرها: نیم‌دایره با شعاع R = 4 دارید و مستطیل با ضلع پایین روی محور صورتی دایره است؛ عرض مستطیل برابر با 2a و ارتفاع برابر با y است. نقطه بالایی مستطیل روی دایره است؛ بنابراین رابطه معمولا از معادله دایره: x² + y² = R² با x = a استفاده می‌کنیم. چون مستطیل در نیم‌دایره است، y ≥ 0.\n\n۲) رابطه بین متغیرها را از هندسه به دست می‌آوریم (گزینش تابعی از یک متغیر): از معادله دایره داریم\ny = sqrt(R² - a²).\nعرض مستطیل برابر با 2a و ارتفاع برابر با y است. پس مساحت را به صورت تابعی از a می‌نویسیم:\nA(a) = عرض × ارتفاع = (2a) × sqrt(R² - a²).\n\n۳) دامنه تابع را مشخص می‌کنیم: دامنه a در بازه 0 ≤ a ≤ R است (زیرا sqrt باید غیرمنفی باشد).\n\n۴) مشتق تابع مساحت را می‌گیریم تا نقاط بحرانی را بیابیم (قضیه‌ای که استفاده می‌کنیم: مشتق تابع و یافتن صفرها برای حداکثر یا حداقل).\nA(a) = 2a (R² - a²)^(1/2)\nA'(a) = 2 sqrt(R² - a²) + 2a × [1/2 (R² - a²)^(-1/2) × (-2a)]\n= 2 sqrt(R² - a²) − (2a²) / sqrt(R² - a²).\n\n۵) معادله مشتق برابر صفر را حل می‌کنیم تا مقادیر بحرانی بدست بیاید.\nA'(a) = 0 ⇒ 2 sqrt(R² - a²) − (2a²)/sqrt(R² - a²) = 0\nضرب در sqrt(R² - a²) می‌شود:\n2 (R² - a²) − 2a² = 0\nR² − a² − a² = 0\nR² − 2a² = 0\n2a² = R²\na² = R² / 2\na = R / √2 (در بازه [0, R] معتبر است).\n\n۶) مقدار y را از رابطه y = sqrt(R² − a²) بدست می‌آوریم:\ny = sqrt(R² − (R² / 2)) = sqrt(R² / 2) = R / √2.\n\n۷) ابعاد مستطیل و حداکثر مساحت را نتیجه می‌گیریم و مقدار حداکثر را محاسبه می‌کنیم:\n• عرض مستطیل: عرض = 2a = 2(R / √2) = √2 R.\n• ارتفاع مستطیل: ارتفاع = y = R / √2.\n• حداکثر مساحت: A_max = عرض × ارتفاع = (2a) × y = 2(R/√2) × (R/√2) = 2 · R² / 2 = R².\n\nبرای R = 4 سانتی‌متر:\n• a = R / √2 = 4 / √2 = 2√2 سانتی‌متر\n• عرض مستطیل = 2a = 4√2 سانتی‌متر\n• ارتفاع مستطیل = R / √2 = 2√2 سانتی‌متر\n• بیشینه مساحت = R² = 16 سانتی‌متر مربع\n\n✅ جواب: طول مستطیل برابر با 4√2 سانتی‌متر، عرض برابر با 2√2 سانتی‌متر، و بیشینه مساحت برابر با 16 سانتی‌متر مربع است.\n\nحالا خودت امتحان کن: اگر R = 5 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل با بیشترین مساحت چه مقدار هستند؟ (در پایان، نتیجه را با روش بالا محاسبه کن و مقدار مساحت را هم بده.)",
|
||
"seconds": 15.9,
|
||
"sanitized": true,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 2334,
|
||
"completionTokens": 1851,
|
||
"reasoningTokens": 896,
|
||
"costUsd": 0.0008571,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 7,
|
||
"chars": 1990,
|
||
"hasCheck": false,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 12,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "طول و عرض نهایی معلم با کلید یکی است؛ هر دو ۴√۲ و ۲√۲ داده‌اند.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.00273
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "gpt-5-nano",
|
||
"chunkId": 514,
|
||
"collection": "ریاضی ششم",
|
||
"tier": "",
|
||
"problem": "یک کتاب پس از ۲۰ درصد تخفیف، به قیمت ۲۴۰۰ تومان به فروش می‌رسد. قیمت اصلی کتاب چقدر بوده است؟",
|
||
"key": "۳۰۰۰ تومان",
|
||
"answer": "۱) فرض کنیم قیمت اصلی کتاب باشد و آن را P بنامیم.\n۲) با تخفیف ۲۰ درصد، قیمت به شکل ۰.۸ × P می‌شود، چون ۱ − ۰.۲ = ۰.۸.\n۳) داده شده که بعد از تخفیف قیمت برابر با ۲۴۰۰ تومان است، پس ۰.۸ × P = 2400.\n۴) برای پیدا کردن P، هر دو طرف معادله را بر ۰.۸ تقسیم می‌کنیم: P = 2400 / 0.8.\n۵) محاسبه کنیم: 2400 ÷ 0.8 = 2400 × (1/0.8) = 2400 × 1.25 = 3000.\n۶) بنابراین قیمت اصلی کتاب برابر است با ۳۰۰۰ تومان.\n\n✅ جواب: 3000\n\nحالا خودت امتحان کن: اگر کتاب را با ۱۵ درصد تخفیف بخری و قیمت نهایی ۲۶۰۰ تومان شود، قیمت اصلی کتاب چقدر بوده است؟",
|
||
"seconds": 4.2,
|
||
"sanitized": true,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 727,
|
||
"completionTokens": 399,
|
||
"reasoningTokens": 128,
|
||
"costUsd": 0.00019595,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 6,
|
||
"chars": 520,
|
||
"hasCheck": false,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب معلم دقیقاً با کلید یکی است؛ هر دو ۳۰۰۰ تومان نوشته‌اند.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.001268
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "gpt-5.4-mini",
|
||
"chunkId": 2930,
|
||
"collection": "حسابان دوازدهم",
|
||
"tier": "upper",
|
||
"problem": "یک مستطیل در یک نیم‌دایره محاط شده است. اگر شعاع دایره 4 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.",
|
||
"key": "طول = 4√2، عرض = 2√2 (سانتی‌متر)",
|
||
"answer": "۱) نیم‌عرضِ مستطیل را x و ارتفاعِ آن را y می‌گیریم.\n\n۲) چون گوشه‌های بالاییِ مستطیل روی نیم‌دایره‌ی به شعاع 4 قرار دارند، از قضیه‌ی فیثاغورس داریم:\nx² + y² = 16\n\n۳) مساحتِ مستطیل برابر است با:\nA = 2x × y = 2xy\n\n۴) از رابطه‌ی x² + y² = 16 داریم:\n(x − y)² ≥ 0\nپس:\nx² + y² ≥ 2xy\n\n۵) چون x² + y² = 16، نتیجه می‌شود:\n16 ≥ 2xy\nپس:\nA = 2xy ≤ 16\n\n۶) برابریِ بالا وقتی رخ می‌دهد که:\nx = y\nپس برای بیشینه شدنِ مساحت، باید:\nx = y\n\n۷) حالا در رابطه‌ی دایره جایگذاری می‌کنیم:\nx² + x² = 16\n2x² = 16\nx² = 8\nx = √8 = 2√2\n\n۸) پس:\ny = 2√2\n\n۹) بنابراین طولِ مستطیل برابر است با:\n2x = 4√2 سانتی‌متر\n\n۱۰) و عرضِ مستطیل برابر است با:\ny = 2√2 سانتی‌متر\n\n۱۱) وارسی:\nx² + y² = 8 + 8 = 16 درست است، پس نقطه روی نیم‌دایره است و مساحت هم در حالت برابری بیشینه می‌شود.\n\n✅ جواب: طولِ مستطیل 4√2 سانتی‌متر و عرضِ آن 2√2 سانتی‌متر است.\n\nحالا خودت امتحان کن: اگر شعاع نیم‌دایره 5 باشد، طول و عرضِ مستطیلِ با بیشترین مساحت را پیدا کن.",
|
||
"seconds": 5.3,
|
||
"sanitized": false,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 2334,
|
||
"completionTokens": 557,
|
||
"reasoningTokens": 136,
|
||
"costUsd": 0.004257,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 11,
|
||
"chars": 901,
|
||
"hasCheck": true,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم (۴√۲ و ۲√۲) دقیقاً با کلید یکسان است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.001744
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "gpt-5.4-mini",
|
||
"chunkId": 514,
|
||
"collection": "ریاضی ششم",
|
||
"tier": "",
|
||
"problem": "یک کتاب پس از ۲۰ درصد تخفیف، به قیمت ۲۴۰۰ تومان به فروش می‌رسد. قیمت اصلی کتاب چقدر بوده است؟",
|
||
"key": "۳۰۰۰ تومان",
|
||
"answer": "۱) چون ۲۰ درصد تخفیف خورده، یعنی ۸۰ درصدِ قیمت اصلی پرداخت شده است.\n\n۲) پس داریم:\n0.8 × قیمت اصلی = 2400\n\n۳) برای پیدا کردن قیمت اصلی، دو طرف را بر 0.8 تقسیم می‌کنیم:\nقیمت اصلی = 2400 ÷ 0.8\n\n۴) حساب می‌کنیم:\nقیمت اصلی = 3000\n\n۵) وارسی:\n۲۰ درصدِ 3000 می‌شود 600\n3000 − 600 = 2400\nپس جواب درست است.\n\n✅ جواب: قیمت اصلی کتاب 3000 تومان بوده است.\n\nحالا خودت امتحان کن: یک کالا پس از 25 درصد تخفیف، 4500 تومان فروخته می‌شود. قیمت اصلی آن چقدر بوده است؟",
|
||
"seconds": 3.6,
|
||
"sanitized": false,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 727,
|
||
"completionTokens": 222,
|
||
"reasoningTokens": 46,
|
||
"costUsd": 0.00154425,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 6,
|
||
"chars": 446,
|
||
"hasCheck": true,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم با کلید یکی است: ۳۰۰۰ تومان",
|
||
"judgeCostUsd": 0.00112
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "gpt-5.4-nano",
|
||
"chunkId": 2930,
|
||
"collection": "حسابان دوازدهم",
|
||
"tier": "upper",
|
||
"problem": "یک مستطیل در یک نیم‌دایره محاط شده است. اگر شعاع دایره 4 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.",
|
||
"key": "طول = 4√2، عرض = 2√2 (سانتی‌متر)",
|
||
"answer": "۱) مدل‌سازی: شعاع نیم‌دایره R=4 است، پس معادله قوس (دایره) برای مختصات مرکز در مبدأ: x²+y²=R²=16.\n۲) فرض کن مستطیل طوری محاط شده باشد که یک ضلعش روی قطر نیم‌دایره باشد، و دو رأسِ بالایی مستطیل روی قوس قرار گیرند.\n۳) بگذار طول و عرض مستطیل به صورت زیر باشد: عرض = 2x (از -x تا x روی قطر) و ارتفاع = y.\n۴) شرط محاط بودن مستطیل روی نیم‌دایره: چون رأس‌های بالایی روی قوس‌اند، داریم x²+y²=16.\n۵) از رابطه بالا: y=√(16-x²). (شرطِ زیرِ رادیکال: 16-x² ≥ 0 ⇒ دامنه x: 0 ≤ x ≤ 4)\n۶) مساحت مستطیل: A= (عرض)×(ارتفاع)=2x×y=2x×√(16-x²).\n۷) برای بیشینه‌سازی، از روشِ «بیشینه‌سازی A²» استفاده می‌کنیم چون A≥0 برای دامنه ما.\n۸) بگذار B=A². آنگاه: B= (2x)²(16-x²)=4x²(16-x²)=4(16x²-x⁴).\n۹) مشتقِ B نسبت به x: B'(x)=4(32x-4x³)=128x-16x³=16x(8-x²). (قاعده: مشتقِ چندجمله‌ای)\n۱۰) نقاط بحرانی از B'(x)=0: یا x=0 یا x²=8 ⇒ x=√8.\n۱۱) بررسی دامنه: x=0 ⇒ y=√(16-0)=4 ⇒ A=2×0×4=0.\n۱۲) x=√8=2√2 ⇒ y=√(16-8)=√8=2√2 ⇒ A=2x×y=2(2√2)(2√2)=16.\n۱۳) چون در دو سرِ دامنه A=0 است و در x=√8 مقدار A مثبت و بزرگ است، بیشینه در x=2√2 رخ می‌دهد.\n۱۴) پس طول و عرض مستطیل:\n• عرض = 2x = 4√2 سانتی‌متر\n• ارتفاع = y = 2√2 سانتی‌متر\n۱۵) وارسی سریع با شرط محاط بودن: x²+y²=(2√2)²+(2√2)²=8+8=16 درست است.\n\n✅ جواب: طول مستطیل (روی قطر) = 4√2 سانتی‌متر و عرض مستطیل (ارتفاع روی قطر) = 2√2 سانتی‌متر.\n\nحالا خودت امتحان کن: اگر شعاع نیم‌دایره 5 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیلِ بیشینه‌مساحت را دوباره با همان روش به‌دست آور.",
|
||
"seconds": 10.7,
|
||
"sanitized": true,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 2334,
|
||
"completionTokens": 887,
|
||
"reasoningTokens": 203,
|
||
"costUsd": 0.00157555,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 15,
|
||
"chars": 1373,
|
||
"hasCheck": true,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "طول و عرض نهایی معلم با کلید دقیقاً برابر است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.002168
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "gpt-5.4-nano",
|
||
"chunkId": 514,
|
||
"collection": "ریاضی ششم",
|
||
"tier": "",
|
||
"problem": "یک کتاب پس از ۲۰ درصد تخفیف، به قیمت ۲۴۰۰ تومان به فروش می‌رسد. قیمت اصلی کتاب چقدر بوده است؟",
|
||
"key": "۳۰۰۰ تومان",
|
||
"answer": "۱) چون ۲۰ درصد تخفیف داده شده، یعنی ۱۰۰ درصد − ۲۰ درصد = ۸۰ درصد قیمتِ اصلی پرداخت شده است.\n۲) پس ۸۰ درصدِ قیمت اصلی برابر ۲۴۰۰ تومان است: 0.8 × قیمت اصلی = 2400\n۳) قیمت اصلی را پیدا می‌کنیم: قیمت اصلی = 2400 ÷ 0.8 = 3000\n۴) وارسی: ۲۰ درصد از 3000 برابر 600 تومان است، پس قیمت بعد از تخفیف می‌شود 3000 − 600 = 2400 (درست است).\n\n✅ جواب: 3000 تومان\n\nحالا خودت امتحان کن: یک گوشی پس از ۳۰ درصد تخفیف 2800 تومان می‌شود؛ قیمت اصلی آن چقدر بوده است؟",
|
||
"seconds": 3.8,
|
||
"sanitized": true,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 727,
|
||
"completionTokens": 223,
|
||
"reasoningTokens": 42,
|
||
"costUsd": 0.00042415,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 4,
|
||
"chars": 443,
|
||
"hasCheck": true,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم دقیقاً با کلید یکی است: ۳۰۰۰ تومان",
|
||
"judgeCostUsd": 0.001144
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "o4-mini",
|
||
"chunkId": 2930,
|
||
"collection": "حسابان دوازدهم",
|
||
"tier": "upper",
|
||
"problem": "یک مستطیل در یک نیم‌دایره محاط شده است. اگر شعاع دایره 4 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.",
|
||
"key": "طول = 4√2، عرض = 2√2 (سانتی‌متر)",
|
||
"answer": "۱) تعريف متغيرها با قضيه فيثاغورس:\nنیم‌عرض مستطیل را x و ارتفاع آن را y می‌گذاريم و چون رأس‌ها روی نيم‌دايره‌اند:\nx² + y² = 4² = 16\n\n۲) بيان مساحت مستطيل (قضيه مساحت مستطيل):\nA(x) = طول × عرض = (2x) × y = 2x·y\n\n۳) جایگزينی y بر حسب x از گام ۱:\ny = √(16 − x²)\nپس A(x) = 2x·√(16 − x²)\n\n۴) مشتق مساحت نسبت به x با قاعده مشتق حاصل‌ضرب:\nA′(x) = 2·√(16 − x²) + 2x·(1/2)(16 − x²)^(−1/2)·(−2x)\n= 2√(16 − x²) − (2x²)/√(16 − x²)\n\n۵) نقاط بحرانی با حل A′(x)=0:\nضرب در √(16 − x²):\n2(16 − x²) − 2x² = 0\n32 − 2x² − 2x² = 0 ⇒ 32 − 4x² = 0 ⇒ x² = 8 ⇒ x = 2√2\n\n۶) مقدار y متناسب:\ny = √(16 − 8) = √8 = 2√2\n\n۷) دامنه x ∈ [0, 4] را بررسی (نقطه مرزی مساحت صفر) و در x=2√2 بیشينه می‌شود.\n\n✅ جواب: طول مستطيل (عرض افقی) = 2x = 4√2 سانتی‌متر و ارتفاع (عرض عمودی) = y = 2√2 سانتی‌متر\n\nحالا خودت امتحان کن: اگر شعاع نيم‌دايره 5 سانتی‌متر باشد، ابعاد مستطيلِ با مساحتِ بيشينه را پيدا کن.",
|
||
"seconds": 8.1,
|
||
"sanitized": true,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 2334,
|
||
"completionTokens": 987,
|
||
"reasoningTokens": 448,
|
||
"costUsd": 0.0069102,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 7,
|
||
"chars": 860,
|
||
"hasCheck": false,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم با کلید (۴√۲ و ۲√۲) یکی است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.001794
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "o4-mini",
|
||
"chunkId": 514,
|
||
"collection": "ریاضی ششم",
|
||
"tier": "",
|
||
"problem": "یک کتاب پس از ۲۰ درصد تخفیف، به قیمت ۲۴۰۰ تومان به فروش می‌رسد. قیمت اصلی کتاب چقدر بوده است؟",
|
||
"key": "۳۰۰۰ تومان",
|
||
"answer": "۱) نرخ تخفیف ۲۰٪ یعنی خریدار ۸۰٪ قیمت اصلی را پرداخت می‌کند.\n۲) اگر قیمت اصلی را x تومان بنامیم، قیمت پس از تخفیف برابر است با ۰٫۸ × x.\n۳) طبق صورت سؤال: ۰٫۸ × x = ۲۴۰۰\n۴) برای یافتن x هر دو طرف معادله را بر ۰٫۸ تقسیم می‌کنیم:\nx = ۲۴۰۰ ÷ ۰٫۸\n۵) ۲۴۰۰ ÷ ۰٫۸ = ۳۰۰۰\n۶) پس قیمت اصلی کتاب ۳۰۰۰ تومان بوده است.\n✅ جواب: ۳۰۰۰ تومان\n\nحالا خودت امتحان کن: کالایی با ۱۵٪ تخفیف به قیمت ۱۷۰۰ تومان فروخته شده؛ قیمت اصلی چقدر بوده است؟",
|
||
"seconds": 3.8,
|
||
"sanitized": true,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 727,
|
||
"completionTokens": 347,
|
||
"reasoningTokens": 128,
|
||
"costUsd": 0.0023265,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 6,
|
||
"chars": 421,
|
||
"hasCheck": false,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم (۳۰۰۰ تومان) با کلید یکی است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.00116
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "deepseek-v4-flash",
|
||
"chunkId": 2930,
|
||
"collection": "حسابان دوازدهم",
|
||
"tier": "upper",
|
||
"problem": "یک مستطیل در یک نیم‌دایره محاط شده است. اگر شعاع دایره 4 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.",
|
||
"key": "طول = 4√2، عرض = 2√2 (سانتی‌متر)",
|
||
"answer": "۱) فرض می‌کنیم مستطیل ABCD داخل نیم‌دایره‌ای به شعاع R=4 محاط شده است؛ ضلع AB روی قطر نیم‌دایره و دو رأس C و D روی کمان نیم‌دایره قرار دارند.\n\n۲) مرکز نیم‌دایره را O می‌گیریم. اگر عرض مستطیل (ارتفاع) را y و نصف طول آن را x بگیریم، نقطه‌ی C روی کمان مختصات (x, y) دارد. چون C روی دایره‌ی کامل به شعاع 4 است، از معادله‌ی دایره داریم:\nx² + y² = 16\n\n۳) طول مستطیل برابر 2x و عرض آن برابر y است. پس مساحت:\nS = (2x)(y) = 2xy\n\n۴) از رابطه‌ی دایره، y = √(16 − x²). پس مساحت را فقط بر حسب x می‌نویسیم:\nS(x) = 2x√(16 − x²)\n\n۵) دامنه‌ی x: چون y باید نامنفی باشد، داریم 16 − x² ≥ 0 یعنی 0 ≤ x ≤ 4.\n\n۶) مشتق مساحت را با قاعده‌ی مشتق حاصل‌ضرب می‌گیریم:\nS′(x) = 2√(16 − x²) + 2x × (1/(2√(16 − x²))) × (−2x)\n= 2√(16 − x²) − (2x²)/√(16 − x²)\n\n۷) کسرها را با مخرج مشترک √(16 − x²) می‌نویسیم:\nS′(x) = (2(16 − x²) − 2x²) / √(16 − x²)\n= (32 − 2x² − 2x²) / √(16 − x²)\n= (32 − 4x²) / √(16 − x²)\n\n۸) برای نقطه‌ی بحرانی، S′(x) = 0:\n32 − 4x² = 0\nx² = 8\nx = 2√2 (چون x مثبت است)\n\n۹) حالا y را از رابطه‌ی دایره حساب می‌کنیم:\ny = √(16 − 8) = √8 = 2√2\n\n۱۰) پس طول مستطیل = 2x = 4√2 و عرض = y = 2√2.\n\n۱۱) وارسی: در نقاط مرزی x=0 و x=4 مساحت صفر است، و در x=2√2 مساحت برابر است با:\nS = 2(2√2)(2√2) = 16\nکه مثبت و بزرگ‌تر از صفر است، پس همین نقطه بیشینه است.\n\n✅ جواب: طول مستطیل 4√2 سانتی‌متر و عرض آن 2√2 سانتی‌متر است.\n\nحالا خودت امتحان کن: اگر شعاع نیم‌دایره 5 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل محاطی با بیشترین مساحت را به دست آور.",
|
||
"seconds": 24.6,
|
||
"sanitized": false,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 2631,
|
||
"completionTokens": 733,
|
||
"reasoningTokens": 0,
|
||
"costUsd": 0.00054727,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 11,
|
||
"chars": 1401,
|
||
"hasCheck": true,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 1,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "طول و عرض نهایی معلم با کلید دقیقاً یکی است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.002194
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "deepseek-v4-flash",
|
||
"chunkId": 514,
|
||
"collection": "ریاضی ششم",
|
||
"tier": "",
|
||
"problem": "یک کتاب پس از ۲۰ درصد تخفیف، به قیمت ۲۴۰۰ تومان به فروش می‌رسد. قیمت اصلی کتاب چقدر بوده است؟",
|
||
"key": "۳۰۰۰ تومان",
|
||
"answer": "۱) قیمت اصلی کتاب را x می‌گیریم.\n۲) ۲۰ درصد تخفیف یعنی ۲۰ درصد از قیمت اصلی کم می‌شود. پس قیمت بعد از تخفیف برابر است با:\nx - (۲۰ درصد × x) = x - ۰.۲x = ۰.۸x\n۳) می‌دانیم این قیمت برابر ۲۴۰۰ تومان است:\n۰.۸x = ۲۴۰۰\n۴) برای پیدا کردن x، دو طرف را بر ۰.۸ تقسیم می‌کنیم:\nx = ۲۴۰۰ ÷ ۰.۸ = ۳۰۰۰\n۵) وارسی: ۲۰ درصد ۳۰۰۰ تومان می‌شود ۶۰۰ تومان. ۳۰۰۰ − ۶۰۰ = ۲۴۰۰. درست است.\n\n✅ جواب: قیمت اصلی کتاب ۳۰۰۰ تومان بوده است.\n\nحالا خودت امتحان کن: یک کفش پس از ۱۵ درصد تخفیف، ۳۴۰۰ تومان فروخته شده است. قیمت اصلی آن چقدر بوده؟",
|
||
"seconds": 8.9,
|
||
"sanitized": true,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 826,
|
||
"completionTokens": 261,
|
||
"reasoningTokens": 0,
|
||
"costUsd": 0.00012132,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 6,
|
||
"chars": 509,
|
||
"hasCheck": true,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم (۳۰۰۰ تومان) دقیقاً با کلید یکی است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.001248
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "deepseek-chat",
|
||
"chunkId": 2930,
|
||
"collection": "حسابان دوازدهم",
|
||
"tier": "upper",
|
||
"problem": "یک مستطیل در یک نیم‌دایره محاط شده است. اگر شعاع دایره 4 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.",
|
||
"key": "طول = 4√2، عرض = 2√2 (سانتی‌متر)",
|
||
"answer": "فرض می‌کنیم یک ضلع مستطیل روی قطر نیم‌دایره باشد و مستطیل نسبت به عمودِ وسطِ قطر متقارن است.\n\n۱) متغیرها را تعریف می‌کنیم: نصف طول قاعده را x و ارتفاع مستطیل را y می‌گیریم. پس طول قاعده 2x و مساحت A = 2xy است.\n\n۲) چون راس‌های بالای مستطیل روی کمان نیم‌دایره‌اند، از قضیه فیثاغورس در مثلث قائم‌الزاویه با وتر R = 4 داریم:\nx² + y² = 4² = 16\n\n۳) y را برحسب x می‌نویسیم:\ny = √(16 − x²)\nدامنه: 0 ≤ x ≤ 4، چون زیر رادیکال باید نامنفی باشد.\n\n۴) تابع مساحت را برحسب x می‌نویسیم:\nA(x) = 2x√(16 − x²)\n\n۵) مشتق را با مشتقِ حاصل‌ضرب و مشتقِ زنجیره‌ای حساب می‌کنیم:\nA′(x) = 2√(16 − x²) + 2x × (−x/√(16 − x²))\nA′(x) = (2(16 − x²) − 2x²)/√(16 − x²)\nA′(x) = (32 − 4x²)/√(16 − x²)\nA′(x) = 4(8 − x²)/√(16 − x²)\n\n۶) نقطه بحرانی را از A′(x) = 0 پیدا می‌کنیم. در بازه 0 < x < 4 مخرج مثبت است، پس:\n8 − x² = 0\nx² = 8\nx = 2√2\nجواب منفی x = −2√2 خارج از دامنه است.\n\n۷) بررسی بیشینه: در x = 0 و x = 4 مساحت صفر است. علامت A′(x) برای x < 2√2 مثبت و برای x > 2√2 منفی است، پس x = 2√2 نقطه بیشینه است.\n\n۸) ارتفاع را حساب می‌کنیم:\ny = √(16 − 8) = √8 = 2√2\n\n۹) پس طول قاعده و ارتفاع مستطیل عبارت‌اند از:\nطول = 2x = 4√2\nعرض = y = 2√2\n\nوارسی: مساحت بیشینه برابر است با\nA = (4√2)(2√2) = 16\nاگر مثلاً x = 3 باشد، y = √7 و A ≈ 15.87 < 16، پس جواب درست است.\n\n✅ جواب: طول = 4√2 سانتی‌متر و عرض = 2√2 سانتی‌متر.\n\nحالا خودت امتحان کن: مستطیلی در نیم‌دایره‌ای به شعاع 5 سانتی‌متر محاط شده است. ابعاد مستطیل را طوری پیدا کن که مساحتش بیشینه شود.",
|
||
"seconds": 19.0,
|
||
"sanitized": false,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 2648,
|
||
"completionTokens": 2676,
|
||
"reasoningTokens": 0,
|
||
"costUsd": 6.341544e-05,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 9,
|
||
"chars": 1403,
|
||
"hasCheck": true,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم با کلید یکی است؛ هر دو طول=۴√۲ و عرض=۲√۲ داده‌اند.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.002284
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "deepseek-chat",
|
||
"chunkId": 514,
|
||
"collection": "ریاضی ششم",
|
||
"tier": "",
|
||
"problem": "یک کتاب پس از ۲۰ درصد تخفیف، به قیمت ۲۴۰۰ تومان به فروش می‌رسد. قیمت اصلی کتاب چقدر بوده است؟",
|
||
"key": "۳۰۰۰ تومان",
|
||
"answer": "۱) تخفیف 20٪ یعنی قیمت فروش، 80٪ قیمت اصلی است.\n\n۲) پس 80٪ قیمت اصلی برابر 2400 تومان است.\n\n۳) قیمت اصلی = 2400 ÷ 0.8 = 3000 تومان.\n\nوارسی: 20٪ از 3000 می‌شود 600، و 3000 − 600 = 2400. درست است.\n\n✅ جواب: 3000 تومان\n\nحالا خودت امتحان کن: کتابی پس از ۱۵٪ تخفیف، ۱۷۰۰ تومان فروخته می‌شود. قیمت اصلی کتاب چند تومان بوده است؟",
|
||
"seconds": 9.0,
|
||
"sanitized": false,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 843,
|
||
"completionTokens": 549,
|
||
"reasoningTokens": 0,
|
||
"costUsd": 1.47906e-05,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 3,
|
||
"chars": 320,
|
||
"hasCheck": true,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم (۳۰۰۰ تومان) با کلید یکی است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.001048
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "gemini-3.5-flash",
|
||
"chunkId": 2930,
|
||
"collection": "حسابان دوازدهم",
|
||
"tier": "upper",
|
||
"problem": "یک مستطیل در یک نیم‌دایره محاط شده است. اگر شعاع دایره 4 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.",
|
||
"key": "طول = 4√2، عرض = 2√2 (سانتی‌متر)",
|
||
"answer": "۱) فرض می‌کنیم مرکز نیم‌دایره روی مبدأ مختصات (0, 0) و قطر آن روی محور xها باشد. با توجه به این که شعاع نیم‌دایره R = 4 است، طبق «قضیه فیثاغورس» رابطه بین مختصات نقاط روی نیم‌دایره به صورت زیر است:\nx² + y² = 16\ny = √(16 - x²)\nدر این رابطه، y عرض مستطیل و x نصف طول مستطیل روی محور xها است.\n\n۲) شرط‌های مسئله را بررسی می‌کنیم:\nطول و عرض مستطیل باید مقادیر مثبت باشند، پس x > 0 و y > 0.\nبرای تعریف شدن رادیکال با فرجه زوج، عبارت زیر رادیکال باید بزرگ‌تر از صفر باشد:\n16 - x² > 0 → x² < 16 → -4 < x < 4\nبا توجه به شرط x > 0، دامنه معتبر برای متغیر x بازه (0, 4) است.\n\n۳) طول مستطیل برابر 2x و عرض آن برابر y است. تابع مساحت مستطیل (A) را به صورت تابعی از x می‌نویسیم:\nA(x) = 2x × y\nA(x) = 2x × √(16 - x²)\n\n۴) برای یافتن بیشترین مساحت، از تابع مساحت نسبت به متغیر x مشتق می‌گیریم. طبق «قاعده مشتق حاصل‌ضرب» و «مشتق تابع رادیکالی» داریم:\nA′(x) = (2) × √(16 - x²) + (2x) × (-2x / (2√(16 - x²)))\n\n۵) عبارت مشتق را ساده می‌کنیم:\nA′(x) = 2√(16 - x²) - (2x²) / √(16 - x²)\nبا گرفتن مخرج مشترک، عبارت را ساده‌تر می‌کنیم:\nA′(x) = (2(16 - x²) - 2x²) / √(16 - x²)\nA′(x) = (32 - 4x²) / √(16 - x²)\n\n۶) برای یافتن نقاط بحرانی، معادله مشتق برابر صفر را حل می‌کنیم. مخرج کسر به ازای اعضای دامنه یعنی بازه (0, 4) همواره مثبت و مخالف صفر است. پس کافی است صورت کسر را برابر صفر قرار دهیم:\n32 - 4x² = 0\n4x² = 32\nx² = 8\nx = √8 = 2√2\nچون عدد 2√2 در دامنه (0, 4) قرار دارد، این نقطه بحرانی قابل قبول است.\n\n۷) با بررسی علامت A′(x) در بازه (0, 4) مشخص می‌شود که به ازای x < 2√2 مشتق مثبت (تابع صعودی) و به ازای x > 2√2 مشتق منفی (تابع نزولی) است. پس در x = 2√2 بیشینه مطلق رخ می‌دهد.\n\n۸) ابعاد مستطیل را محاسبه می‌کنیم:\nطول مستطیل = 2x = 2 × 2√2 = 4√2\nعرض مستطیل = y = √(16 - (2√2)²) = √(16 - 8) = √8 = 2√2\n\n✅ جواب: طول مستطیل برابر 4√2 سانتی‌متر و عرض آن برابر 2√2 سانتی‌متر است.\n\nحالا خودت امتحان کن: یک مستطیل در یک نیم‌دایره به شعاع 6 سانتی‌متر محاط شده است. طول و عرض مستطیل را طوری به دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.",
|
||
"seconds": 19.3,
|
||
"sanitized": false,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 2285,
|
||
"completionTokens": 3367,
|
||
"reasoningTokens": 2518,
|
||
"costUsd": 0.0337305,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 8,
|
||
"chars": 1908,
|
||
"hasCheck": false,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم با کلید کاملاً یکسان است؛ هر دو طول و عرض درست‌اند.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.002596
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "gemini-3.5-flash",
|
||
"chunkId": 514,
|
||
"collection": "ریاضی ششم",
|
||
"tier": "",
|
||
"problem": "یک کتاب پس از ۲۰ درصد تخفیف، به قیمت ۲۴۰۰ تومان به فروش می‌رسد. قیمت اصلی کتاب چقدر بوده است؟",
|
||
"key": "۳۰۰۰ تومان",
|
||
"answer": "۱) اول باید مفهوم تخفیف را مشخص کنیم. وقتی کتابی ۲۰ درصد تخفیف می‌خورد، یعنی ما فقط ۸۰ درصد از قیمت اصلی آن را پرداخت می‌کنیم. این درصد از رابطه زیر به دست می‌آید:\n100% - 20% = 80%\n\n۲) حالا قیمت اصلی کتاب را x در نظر می‌گیریم. طبق مسئله، ۸۰ درصد از این قیمت اصلی برابر با ۲۴۰۰ تومان است. پس می‌توانیم این رابطه را به صورت یک معادله بنویسیم:\n(80/100) × x = 2400\n\n۳) برای ساده‌تر شدن محاسبات، کسر ۸۰/۱۰۰ را به صورت اعشاری می‌نویسیم که می‌شود 0.8. پس معادله ما این‌طور می‌شود:\n0.8 × x = 2400\n\n۴) برای پیدا کردن x، باید عدد ۲۴۰۰ را بر 0.8 تقسیم کنیم:\nx = 2400 / 0.8\n\n۵) برای راحت‌تر انجام دادن این تقسیم، صورت و مخرج را در ۱۰ ضرب می‌کنیم تا مخرج از حالت اعشاری خارج شود:\nx = 24000 / 8\n\n۶) حالا تقسیم را انجام می‌دهیم:\nx = 3000\n\nپس قیمت اصلی کتاب ۳۰۰۰ تومان بوده است. برای اطمینان، ۲۰ درصد از ۳۰۰۰ تومان می‌شود ۶۰۰ تومان، و اگر ۶۰۰ را از ۳۰۰۰ کم کنیم، به همان ۲۴۰۰ تومان می‌رسیم. پس جواب ما کاملاً درست است.\n\n✅ جواب: ۳۰۰۰ تومان\n\nحالا خودت امتحان کن: یک کیف پس از ۳۰ درصد تخفیف، به قیمت ۱۴۰۰۰ تومان به فروش می‌رسد. قیمت اصلی کیف چقدر بوده است؟",
|
||
"seconds": 10.9,
|
||
"sanitized": false,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 681,
|
||
"completionTokens": 1484,
|
||
"reasoningTokens": 1097,
|
||
"costUsd": 0.0143775,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 7,
|
||
"chars": 1037,
|
||
"hasCheck": false,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم دقیقاً با کلید یکی است: ۳۰۰۰ تومان.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.00161
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "gemini-3.1-flash-lite",
|
||
"chunkId": 2930,
|
||
"collection": "حسابان دوازدهم",
|
||
"tier": "upper",
|
||
"problem": "یک مستطیل در یک نیم‌دایره محاط شده است. اگر شعاع دایره 4 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.",
|
||
"key": "طول = 4√2، عرض = 2√2 (سانتی‌متر)",
|
||
"answer": "۱) فرض کن شعاع نیم‌دایره R = 4 باشد. مرکز نیم‌دایره را مبدأ مختصات در نظر می‌گیریم. اگر گوشه مستطیل روی نیم‌دایره نقطه (x, y) باشد، طبق قضیه فیثاغورس در مثلث قائم‌الزاویه تشکیل شده با شعاع، داریم: x² + y² = R² که در اینجا x² + y² = 16 است.\n\n۲) عرض مستطیل برابر y و طول آن برابر 2x است (چون مستطیل نسبت به محور y متقارن است). پس مساحت مستطیل برابر است با: A = 2x × y.\n\n۳) از رابطه x² + y² = 16، مقدار y را برحسب x به دست می‌آوریم: y = √(16 - x²). شرط دامنه برای x این است که 0 < x < 4 باشد.\n\n۴) تابع مساحت را به صورت تابعی از x می‌نویسیم: A(x) = 2x√(16 - x²).\n\n۵) برای یافتن بیشینه، از مشتق حاصل‌ضرب استفاده می‌کنیم: A′(x) = 2√(16 - x²) + 2x × [1 / (2√(16 - x²))] × (-2x).\n\n۶) عبارت را ساده می‌کنیم: A′(x) = 2√(16 - x²) - 2x² / √(16 - x²). با مخرج مشترک گرفتن داریم: A′(x) = [2(16 - x²) - 2x²] / √(16 - x²) = (32 - 4x²) / √(16 - x²).\n\n۷) برای یافتن نقاط بحرانی، مشتق را برابر صفر قرار می‌دهیم: 32 - 4x² = 0 → x² = 8 → x = √8 = 2√2.\n\n۸) مقدار y را محاسبه می‌کنیم: y = √(16 - (2√2)²) = √(16 - 8) = √8 = 2√2.\n\n۹) وارسی: اگر x = 2√2 باشد، مساحت A = 2(2√2)(2√2) = 16. اگر مقادیر نزدیک به آن را امتحان کنیم، مساحت کمتر می‌شود. طول مستطیل 2x = 4√2 و عرض آن y = 2√2 است.\n\n✅ جواب: طول مستطیل 4√2 سانتی‌متر و عرض آن 2√2 سانتی‌متر است.\n\nحالا خودت امتحان کن: اگر شعاع نیم‌دایره 6 سانتی‌متر باشد، ابعاد مستطیل با بیشترین مساحت چقدر خواهد بود؟",
|
||
"seconds": 3.3,
|
||
"sanitized": false,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 2285,
|
||
"completionTokens": 613,
|
||
"reasoningTokens": 0,
|
||
"costUsd": 0.00149075,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 9,
|
||
"chars": 1328,
|
||
"hasCheck": true,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "طول و عرض دقیقاً با کلید برابر است؛ ترتیب و نمادها هم‌ارز است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.002122
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "gemini-3.1-flash-lite",
|
||
"chunkId": 514,
|
||
"collection": "ریاضی ششم",
|
||
"tier": "",
|
||
"problem": "یک کتاب پس از ۲۰ درصد تخفیف، به قیمت ۲۴۰۰ تومان به فروش می‌رسد. قیمت اصلی کتاب چقدر بوده است؟",
|
||
"key": "۳۰۰۰ تومان",
|
||
"answer": "۱) فرض می‌کنیم قیمت اصلی کتاب برابر با x باشد. وقتی ۲۰ درصد تخفیف داده می‌شود، یعنی ۸۰ درصد از قیمت اصلی باقی مانده است (چون 100% - 20% = 80%).\n\n۲) معادله را به این صورت می‌نویسیم:\n0.80 × x = 2400\n\n۳) برای پیدا کردن x، باید عدد ۲۴۰۰ را بر ۰.۸۰ تقسیم کنیم:\nx = 2400 ÷ 0.80\n\n۴) برای ساده‌تر شدن تقسیم، صورت و مخرج را در ۱۰ ضرب می‌کنیم:\nx = 24000 ÷ 8\n\n۵) حاصل تقسیم برابر است با ۳۰۰۰.\n\n۶) وارسی: اگر قیمت اصلی ۳۰۰۰ تومان باشد، ۲۰ درصد آن می‌شود:\n3000 × 0.20 = 600\nحالا قیمت پس از تخفیف:\n3000 - 600 = 2400\nکه با عدد مسئله مطابقت دارد.\n\n✅ جواب: 3000 تومان\n\nحالا خودت امتحان کن: یک کیف پس از ۱۵ درصد تخفیف، به قیمت ۱۷۰۰۰ تومان فروخته شده است. قیمت اصلی کیف چقدر بوده است؟",
|
||
"seconds": 2.6,
|
||
"sanitized": false,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 681,
|
||
"completionTokens": 278,
|
||
"reasoningTokens": 0,
|
||
"costUsd": 0.00058725,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 7,
|
||
"chars": 665,
|
||
"hasCheck": true,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم (۳۰۰۰ تومان) دقیقاً با کلید یکی است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.001336
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "claude-haiku-4-5-20251001",
|
||
"chunkId": 2930,
|
||
"collection": "حسابان دوازدهم",
|
||
"tier": "upper",
|
||
"problem": "یک مستطیل در یک نیم‌دایره محاط شده است. اگر شعاع دایره 4 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.",
|
||
"key": "طول = 4√2، عرض = 2√2 (سانتی‌متر)",
|
||
"answer": "۱) تعریفِ متغیرها و رابطهِ هندسی:\n\nفرض می‌کنیم مستطیل با یک ضلعش روی قطرِ نیم‌دایره قرار دارد. مرکزِ دایره را در مبدأ و قطرِ افقی روی محورِ x قرار می‌دهیم.\n\nشعاعِ دایره R = 4 سانتی‌متر است.\n\nفرض کنید مستطیل دارای نیم‌عرضِ x (از مرکز تا یک گوشه‌ی پایینی) و ارتفاعِ y باشد.\n\nگوشه‌های بالایی مستطیل روی نیم‌دایره قرار دارند، پس:\nx² + y² = R² = 16\n\n۲) بیانِ مساحت به صورتِ تابع:\n\nطولِ مستطیل = 2x (چون از −x تا +x است)\nعرضِ مستطیل = y\n\nمساحت:\nA(x) = 2x · y\n\nاز رابطهِ هندسی: y = √(16 − x²)\n\nپس:\nA(x) = 2x√(16 − x²)\n\nدامنه: x ∈ (0, 4)\n\n۳) محاسبهِ مشتق:\n\nA(x) = 2x√(16 − x²)\n\nبا استفادهِ از قاعدهِ حاصل‌ضرب و قاعدهِ زنجیری:\n\nA′(x) = 2√(16 − x²) + 2x · (−2x)/(2√(16 − x²))\n\nA′(x) = 2√(16 − x²) − 2x²/√(16 − x²)\n\nA′(x) = (2(16 − x²) − 2x²)/√(16 − x²)\n\nA′(x) = (32 − 2x² − 2x²)/√(16 − x²)\n\nA′(x) = (32 − 4x²)/√(16 − x²)\n\n۴) یافتنِ نقاطِ بحرانی:\n\nA′(x) = 0 ⟹ 32 − 4x² = 0\n\n4x² = 32\n\nx² = 8\n\nx = 2√2 (چون x > 0)\n\n۵) محاسبهِ y:\n\ny = √(16 − x²) = √(16 − 8) = √8 = 2√2\n\n۶) وارسیِ بیشینه:\n\nمشتقِ دوم یا بررسیِ علامتِ A′(x):\n• برای x < 2√2: A′(x) > 0 (تابع صعودی)\n• برای x > 2√2: A′(x) < 0 (تابع نزولی)\n\nپس x = 2√2 نقطهِ بیشینه است.\n\n۷) محاسبهِ ابعاد:\n\nطول = 2x = 2 · 2√2 = 4√2 سانتی‌متر\n\nعرض = y = 2√2 سانتی‌متر\n\n۸) محاسبهِ مساحتِ بیشینه:\n\nA = 4√2 · 2√2 = 8 · 2 = 16 سانتی‌متر مربع\n\n✅ جواب:\n• طول مستطیل: 4√2 ≈ 5.66 سانتی‌متر\n• عرض مستطیل: 2√2 ≈ 2.83 سانتی‌متر\n• مساحتِ بیشینه: 16 سانتی‌متر مربع\n\nحالا خودت امتحان کن: اگر شعاعِ نیم‌دایره 5 سانتی‌متر باشد، طول و عرضِ مستطیلِ بیشینه‌مساحت را بیابید.",
|
||
"seconds": 12.8,
|
||
"sanitized": true,
|
||
"rawMarkup": true,
|
||
"promptTokens": 4188,
|
||
"completionTokens": 1186,
|
||
"reasoningTokens": 0,
|
||
"costUsd": 0.010118,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 8,
|
||
"chars": 1483,
|
||
"hasCheck": true,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "طول و عرضِ نهایی دقیقاً با کلید برابر است؛ ترتیب و نمادگذاری هم‌ارز است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.002478
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "claude-haiku-4-5-20251001",
|
||
"chunkId": 514,
|
||
"collection": "ریاضی ششم",
|
||
"tier": "",
|
||
"problem": "یک کتاب پس از ۲۰ درصد تخفیف، به قیمت ۲۴۰۰ تومان به فروش می‌رسد. قیمت اصلی کتاب چقدر بوده است؟",
|
||
"key": "۳۰۰۰ تومان",
|
||
"answer": "۱) اگر قیمت اصلی را P بنامیم، بعد از ۲۰ درصد تخفیف، خریدار ۸۰ درصد قیمت اصلی را پرداخت می‌کند.\n\n۲) پس می‌نویسیم:\n80% × P = 2400\n\n۳) این را به‌صورت اعشاری می‌نویسیم:\n0.8 × P = 2400\n\n۴) برای پیدا کردنِ P، دو طرف را بر 0.8 تقسیم می‌کنیم:\nP = 2400 ÷ 0.8\nP = 3000\n\n۵) وارسی: اگر قیمت اصلی ۳۰۰۰ تومان باشد، ۲۰ درصدِ آن:\n20% × 3000 = 0.2 × 3000 = 600\n\nتخفیف را از قیمت اصلی کم می‌کنیم:\n3000 − 600 = 2400 ✓\n\n✅ جواب: قیمت اصلی کتاب ۳۰۰۰ تومان بوده است.\n\nحالا خودت امتحان کن: یک لباس پس از ۳۰ درصد تخفیف، به قیمت ۱۴۰۰ تومان فروخته شد. قیمت اصلی لباس چقدر بوده است؟",
|
||
"seconds": 5.1,
|
||
"sanitized": true,
|
||
"rawMarkup": true,
|
||
"promptTokens": 1358,
|
||
"completionTokens": 442,
|
||
"reasoningTokens": 0,
|
||
"costUsd": 0.003568,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 6,
|
||
"chars": 554,
|
||
"hasCheck": true,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم (۳۰۰۰ تومان) با کلید یکی است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.001258
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "qwen3-235b-a22b-instruct-2507",
|
||
"chunkId": 2930,
|
||
"collection": "حسابان دوازدهم",
|
||
"tier": "upper",
|
||
"problem": "یک مستطیل در یک نیم‌دایره محاط شده است. اگر شعاع دایره 4 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.",
|
||
"key": "طول = 4√2، عرض = 2√2 (سانتی‌متر)",
|
||
"answer": "۱) ابتدا متغیرها را تعریف می‌کنیم.\nفرض کنید مستطیل به طوری در نیم‌دایره محاط شده که دو رأس آن روی قطر نیم‌دایره و دو رأس دیگرش روی کمان قرار دارند.\nشعاع نیم‌دایره R = 4 cm است.\nعرض مستطیل (ارتفاع) را y و نصف طول آن را x در نظر می‌گیریم. پس طول کامل مستطیل برابر 2x است.\n\n۲) رابطه هندسی بین x و y از طریق دایره به دست می‌آید.\nچون رأس بالایی مستطیل روی دایره است، نقطه (x, y) روی دایره x² + y² = R² قرار دارد.\nپس:\nx² + y² = 4²\nx² + y² = 16\n\n۳) مساحت مستطیل برابر است با:\nS = طول × عرض = (2x) × y = 2xy\n\n۴) از رابطه دایره، y را بر حسب x به دست می‌آوریم:\ny = √(16 − x²)\n\n۵) حالا S را بر حسب x می‌نویسیم:\nS(x) = 2x × √(16 − x²)\n\nدامنه این تابع: چون زیر رادیکال باید نامنفی باشد و x ≥ 0 (طول)، داریم:\n0 ≤ x ≤ 4\n\n۶) برای یافتن بیشینه مساحت، مشتق S(x) را محاسبه می‌کنیم.\nاز قاعده مشتقِ حاصل‌ضرب و تابع مرکب استفاده می‌کنیم.\n\nS(x) = 2x × (16 − x²)^(1/2)\n\nمشتق به صورت زیر است (قاعده حاصل‌ضرب):\nS′(x) = 2 × (16 − x²)^(1/2) + 2x × [ (1/2)(16 − x²)^(−1/2) × (−2x) ]\n\nساده می‌کنیم:\nS′(x) = 2√(16 − x²) + 2x × [ (−x) / √(16 − x²) ]\nS′(x) = 2√(16 − x²) − (2x²) / √(16 − x²)\n\nبرای جمع کسرها، مخرج مشترک می‌گیریم:\nS′(x) = [2(16 − x²) − 2x²] / √(16 − x²)\nS′(x) = [32 − 2x² − 2x²] / √(16 − x²)\nS′(x) = (32 − 4x²) / √(16 − x²)\n\n۷) نقاط بحرانی از حل معادله S′(x) = 0 به دست می‌آیند.\nصورت کسر را برابر صفر قرار می‌دهیم (با شرط مخرج ≠ 0):\n32 − 4x² = 0\n4x² = 32\nx² = 8\nx = √8 = 2√2 (چون x ≥ 0)\n\nمخرج در این نقطه صفر نیست: √(16 − 8) = √8 ≠ 0 → شرط برقرار است.\n\n۸) مقدار y را به دست می‌آوریم:\ny = √(16 − x²) = √(16 − 8) = √8 = 2√2\n\n۹) حالا طول و عرض مستطیل را می‌نویسیم:\n• طول = 2x = 2 × 2√2 = 4√2\n• عرض = y = 2√2\n\n۱۰) بررسی نقاط انتهایی بازه برای اطمینان از بیشینه بودن:\n• در x = 0: S = 2×0×√16 = 0\n• در x = 4: S = 2×4×√(16−16) = 8×0 = 0\n• در x = 2√2 ≈ 2.828: S = 2×(2√2)×(2√2) = 2×2√2×2√2 = 2×8 = 16\n\nمساحت در این نقطه 16 است که بیشتر از صفر است → پس بیشینه مطلق است.\n\n✅ جواب: طول مستطیل 4√2 سانتی‌متر و عرض آن 2√2 سانتی‌متر است.\n\nحالا خودت امتحان کن: یک مستطیل در نیم‌دایره‌ای به شعاع 5 سانتی‌متر محاط شده است. بیشترین مساحت ممکن برای این مستطیل چقدر است؟",
|
||
"seconds": 23.5,
|
||
"sanitized": true,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 3514,
|
||
"completionTokens": 1311,
|
||
"reasoningTokens": 0,
|
||
"costUsd": null,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 10,
|
||
"chars": 2033,
|
||
"hasCheck": false,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم دقیقاً با کلید یکی است؛ هر دو طول و عرض درست‌اند.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.002892
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "qwen3-235b-a22b-instruct-2507",
|
||
"chunkId": 514,
|
||
"collection": "ریاضی ششم",
|
||
"tier": "",
|
||
"problem": "یک کتاب پس از ۲۰ درصد تخفیف، به قیمت ۲۴۰۰ تومان به فروش می‌رسد. قیمت اصلی کتاب چقدر بوده است؟",
|
||
"key": "۳۰۰۰ تومان",
|
||
"answer": "۱) فرض کنیم قیمت اصلی کتاب x تومان باشد.\n۲) تخفیف ۲۰ درصد یعنی ۲۰٪ از قیمت اصلی کم می‌شود، پس قیمت پس از تخفیف برابر است با:\nx − ۰٫۲x = ۰٫۸x\n\n۳) طبق سوال، این مقدار برابر ۲۴۰۰ تومان است:\n۰٫۸x = ۲۴۰۰\n\n۴) حالا معادله را حل می‌کنیم تا x به دست آید:\nx = ۲۴۰۰ ÷ ۰٫۸\nx = ۲۴۰۰ ÷ (۸/۱۰) = ۲۴۰۰ × (۱۰/۸) = ۲۴۰۰ × ۱٫۲۵\n\n۵) محاسبه:\n۲۴۰۰ × ۱٫۲۵ = ۲۴۰۰ × (۵/۴) = (۲۴۰۰ ÷ ۴) × ۵ = ۶۰۰ × ۵ = ۳۰۰۰\n\n۶) پس قیمت اصلی کتاب ۳۰۰۰ تومان بوده است.\n\nوارسی:\n۲۰٪ از ۳۰۰۰ = ۰٫۲ × ۳۰۰۰ = ۶۰۰\n۳۰۰۰ − ۶۰۰ = ۲۴۰۰ → درست است.\n\n✅ جواب: ۳۰۰۰ تومان\n\nحالا خودت امتحان کن: اگر کتابی پس از ۲۵٪ تخفیف، ۴۵۰۰ تومان فروخته شود، قیمت اصلی آن چقدر بوده است؟",
|
||
"seconds": 11.3,
|
||
"sanitized": true,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 1128,
|
||
"completionTokens": 548,
|
||
"reasoningTokens": 0,
|
||
"costUsd": null,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 6,
|
||
"chars": 613,
|
||
"hasCheck": true,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم با کلید (۳۰۰۰ تومان) یکی است و راه‌حل درست است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.001462
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "grok-4.3",
|
||
"chunkId": 2930,
|
||
"collection": "حسابان دوازدهم",
|
||
"tier": "upper",
|
||
"problem": "یک مستطیل در یک نیم‌دایره محاط شده است. اگر شعاع دایره 4 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.",
|
||
"key": "طول = 4√2، عرض = 2√2 (سانتی‌متر)",
|
||
"answer": "۱) فرض کنید طول قاعدهٔ مستطیل ۲x و ارتفاع آن h باشد.\n۲) با قضیهٔ فیثاغورس در مثلث قائم‌الزاویه: x² + h² = ۱۶.\n۳) h = √(۱۶ − x²).\n۴) مساحت مستطیل: A(x) = ۲x √(۱۶ − x²) برای x ∈ [۰, ۴].\n۵) مشتق A را با قاعدهٔ حاصل‌ضرب و زنجیره‌ای حساب کنید:\nA′(x) = ۲√(۱۶ − x²) + ۲x × (۱/۲)(۱۶ − x²)^(−۱/۲) × (−۲x)\n= [۳۲ − ۴x²] / √(۱۶ − x²).\n۶) معادلهٔ A′(x) = ۰: ۳۲ − ۴x² = ۰ ⇒ x² = ۸ ⇒ x = ۲√۲ (مقدار مثبت).\n۷) h = √(۱۶ − ۸) = √۸ = ۲√۲.\n۸) وارسی نقاط مرزی و بحرانی نشان می‌دهد مقدار x = ۲√۲ بیشینهٔ مساحت را می‌دهد.\n\n✅ جواب: طول قاعده ۴√۲ سانتی‌متر و عرض ۲√۲ سانتی‌متر.\n\nحالا خودت امتحان کن: شعاع نیم‌دایره ۹ سانتی‌متر است؛ طول و عرض مستطیل محاط‌شده را برای بیشینهٔ مساحت بیاب.",
|
||
"seconds": 8.6,
|
||
"sanitized": true,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 2503,
|
||
"completionTokens": 970,
|
||
"reasoningTokens": 620,
|
||
"costUsd": 0.00541935,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 8,
|
||
"chars": 660,
|
||
"hasCheck": true,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "طول و عرض معلم با کلید برابر است؛ هر دو ۴√۲ و ۲√۲ داده‌اند.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.001616
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "grok-4.3",
|
||
"chunkId": 514,
|
||
"collection": "ریاضی ششم",
|
||
"tier": "",
|
||
"problem": "یک کتاب پس از ۲۰ درصد تخفیف، به قیمت ۲۴۰۰ تومان به فروش می‌رسد. قیمت اصلی کتاب چقدر بوده است؟",
|
||
"key": "۳۰۰۰ تومان",
|
||
"answer": "۱) فرض کنیم قیمت اصلی کتاب x تومان باشد.\n۲) تخفیف ۲۰ درصد است، پس قیمت نهایی برابر ۸۰ درصد قیمت اصلی است.\n۳) معادله: ۰.۸x = ۲۴۰۰\n۴) برای پیدا کردن x، هر دو طرف را بر ۰.۸ تقسیم می‌کنیم:\nx = ۲۴۰۰ ÷ ۰.۸\n۵) ۲۴۰۰ ÷ ۰.۸ = ۳۰۰۰\n\n✅ جواب: ۳۰۰۰ تومان\n\nحالا خودت امتحان کن: یک لباس پس از ۲۵ درصد تخفیف به قیمت ۱۵۰۰ تومان فروخته می‌شود. قیمت اصلی آن چقدر است؟",
|
||
"seconds": 5.2,
|
||
"sanitized": true,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 873,
|
||
"completionTokens": 511,
|
||
"reasoningTokens": 361,
|
||
"costUsd": 0.00223435,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 5,
|
||
"chars": 347,
|
||
"hasCheck": false,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم (۳۰۰۰ تومان) با کلید یکی است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.001094
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "kimi-k3",
|
||
"chunkId": 2930,
|
||
"collection": "حسابان دوازدهم",
|
||
"tier": "upper",
|
||
"problem": "یک مستطیل در یک نیم‌دایره محاط شده است. اگر شعاع دایره 4 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.",
|
||
"key": "طول = 4√2، عرض = 2√2 (سانتی‌متر)",
|
||
"answer": "فرض می‌کنیم قطرِ نیم‌دایره روی خطِ افقی باشد و یک ضلعِ مستطیل روی قطر قرار گیرد و دو رأسِ بالایی روی کمان (حالتِ استانداردِ محاط شدن در نیم‌دایره).\n\n۱) متغیرها را تعریف می‌کنیم:\nنیمه‌ی طولِ مستطیل = x و عرضِ آن = y (پس طولِ کامل 2x است).\n\n۲) رابطه‌ی هندسی: از مرکزِ دایره تا رأسِ بالای مستطیل یک شعاع است؛ مثلثِ قائم‌الزاویه با ساق‌های x و y و وترِ 4، پس به قضیه‌ی فیثاغورس:\nx² + y² = 16\n\n۳) مساحتِ مستطیل:\nA = 2x × y\n\n۴) y را بر حسب x می‌نویسیم (چون y ≥ 0، ریشه‌ی مثبت):\ny = √(16 − x²)\nپس تابعِ مساحت:\nA(x) = 2x√(16 − x²)\nدامنه: 0 ≤ x ≤ 4 (چون زیرِ رادیکال باید نامنفی باشد)\n\n۵) مشتق می‌گیریم (مشتقِ حاصل‌ضرب و مشتقِ تابعِ مرکب برای رادیکال):\nA′(x) = 2√(16 − x²) + 2x × (−x/√(16 − x²))\nA′(x) = (2(16 − x²) − 2x²) / √(16 − x²)\nA′(x) = (32 − 4x²) / √(16 − x²)\n\n۶) نقطه‌ی بحرانی: صورتِ کسر را صفر می‌کنیم:\n32 − 4x² = 0 → x² = 8 → x = 2√2 (چون x > 0)\n\n۷) بررسیِ بیشینه بودن: در دو سرِ بازه یعنی x = 0 و x = 4 مساحت صفر است، و در x = 2√2 مساحت مثبت است؛ پس همین نقطه بیشینه را می‌دهد.\n\n۸) عرض را حساب می‌کنیم:\ny = √(16 − 8) = √8 = 2√2\n\n۹) ابعادِ مستطیل:\nطول = 2x = 4√2 ≈ 5.66 سانتی‌متر\nعرض = y = 2√2 ≈ 2.83 سانتی‌متر\n\n۱۰) وارسی: رابطه‌ی هندسی: 8 + 8 = 16 ✓\nمساحت: A = 4√2 × 2√2 = 16 سانتی‌متر مربع ✓\n\n✅ جواب: طول 4√2 سانتی‌متر (ضلعِ روی قطر) و عرض 2√2 سانتی‌متر؛ مساحتِ بیشینه 16 سانتی‌متر مربع.\n\nحالا خودت امتحان کن: همین مسئله را برای نیم‌دایره‌ای به شعاع 6 سانتی‌متر حل کن و طول، عرض و مساحتِ بیشینه را به دست بیاور.",
|
||
"seconds": 59.2,
|
||
"sanitized": false,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 3221,
|
||
"completionTokens": 2269,
|
||
"reasoningTokens": 1450,
|
||
"costUsd": 0.04033663,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 10,
|
||
"chars": 1415,
|
||
"hasCheck": true,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "طول و عرضِ نهاییِ معلم با کلید دقیقاً یکی است؛ هر دو 4√2 و 2√2.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.002316
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "kimi-k3",
|
||
"chunkId": 514,
|
||
"collection": "ریاضی ششم",
|
||
"tier": "",
|
||
"problem": "یک کتاب پس از ۲۰ درصد تخفیف، به قیمت ۲۴۰۰ تومان به فروش می‌رسد. قیمت اصلی کتاب چقدر بوده است؟",
|
||
"key": "۳۰۰۰ تومان",
|
||
"answer": "۱) قیمت اصلی کتاب را x می‌نامیم.\n\n۲) تخفیف ۲۰ درصدی یعنی خریدار ۸۰ درصدِ قیمت اصلی را می‌پردازد:\n۸۰٪ × x = 2400\n\n۳) ۸۰ درصد را به صورت اعشاری می‌نویسیم:\n0.8 × x = 2400\n\n۴) برای پیدا کردن x، دو طرف را بر 0.8 تقسیم می‌کنیم:\nx = 2400 ÷ 0.8 = 3000\n\n۵) وارسی: ۲۰ درصدِ 3000 می‌شود 600 تومان، و 3000 − 600 = 2400 ✓ پس درست است.\n\n✅ جواب: قیمت اصلی کتاب 3000 تومان بوده است.\n\nحالا خودت امتحان کن: یک کفش پس از ۲۵ درصد تخفیف، ۶۰۰۰۰ تومان فروخته می‌شود. قیمت اصلی کفش چقدر بوده است؟",
|
||
"seconds": 9.4,
|
||
"sanitized": false,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 1090,
|
||
"completionTokens": 419,
|
||
"reasoningTokens": 146,
|
||
"costUsd": 0.009555,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 6,
|
||
"chars": 472,
|
||
"hasCheck": true,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم (۳۰۰۰ تومان) با کلید یکی است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.001188
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "glm-5.3-flash",
|
||
"chunkId": 2930,
|
||
"collection": "حسابان دوازدهم",
|
||
"tier": "upper",
|
||
"problem": "یک مستطیل در یک نیم‌دایره محاط شده است. اگر شعاع دایره 4 سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری به دست آورید که مساحت آن بیشترین مقدار ممکن باشد.",
|
||
"key": "طول = 4√2، عرض = 2√2 (سانتی‌متر)",
|
||
"answer": "۱) مستطیل روی قطر نیم‌دایره قرار دارد؛ پس یک ضلع مستطیل روی قطر است و دو رأس دیگر روی کمان.\n\n۲) مرکز دایره را مبدا بگیریم. نیم‌ضلعِ روی قطر را x بنامیم (طول مستطیل = 2x) و ارتفاع را y. چون رأس روی دایره است، از معادله دایره:\nx² + y² = 4² = 16 → y = √(16 − x²)\n\n۳) مساحت:\nA(x) = 2x·√(16 − x²) ، با دامنه 0 ≤ x ≤ 4\n\n۴) مشتق بگیریم (قاعده ضرب و زنجیره‌ای):\nA′(x) = 2√(16 − x²) + 2x · (−x/√(16 − x²))\n= 2·(16 − x² − x²)/√(16 − x²) = (32 − 4x²)/√(16 − x²)\n\n۵) نقاط بحرانی: صورت را صفر کنیم:\n32 − 4x² = 0 → x² = 8 → x = 2√2 (چون x ≥ 0)\n\n۶) بررسی بیشینه: A(0) = 0 و A(4) = 0، ولی A(2√2) > 0؛ پس بیشینه در x = 2√2 است. (چون علامت A′ برای x < 2√2 مثبت و بعدش منفی است، تأیید می‌شود.)\n\n۷) ابعاد:\nطول = 2x = 4√2 سانتی‌متر\nعرض = y = √(16 − 8) = √8 = 2√2 سانتی‌متر\n\n۸) وارسی: مساحت = 4√2 × 2√2 = 8×2 = 16، و چون مساحت کل نیم‌دایره (π×16/2 ≈ 25.13) بزرگ‌تر است، جواب معقول است.\n\n✅ جواب: طول = 4√2 ≈ 5.66 سانتی‌متر و عرض = 2√2 ≈ 2.83 سانتی‌متر (بیشینه مساحت = 16 سانتی‌متر مربع).\n\nحالا خودت امتحان کن: همین مسئله را برای شعاع 6 سانتی‌متر حل کن و بیشینه مساحت را بیاب.",
|
||
"seconds": 12.4,
|
||
"sanitized": false,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 2732,
|
||
"completionTokens": 585,
|
||
"reasoningTokens": 0,
|
||
"costUsd": 0.0007023,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 8,
|
||
"chars": 1052,
|
||
"hasCheck": true,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم (۴√۲ و ۲√۲) دقیقاً با کلید یکی است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.001968
|
||
},
|
||
{
|
||
"model": "glm-5.3-flash",
|
||
"chunkId": 514,
|
||
"collection": "ریاضی ششم",
|
||
"tier": "",
|
||
"problem": "یک کتاب پس از ۲۰ درصد تخفیف، به قیمت ۲۴۰۰ تومان به فروش می‌رسد. قیمت اصلی کتاب چقدر بوده است؟",
|
||
"key": "۳۰۰۰ تومان",
|
||
"answer": "۱) فرض کنیم قیمت اصلی کتاب x تومان باشد.\n\n۲) تخفیف ۲۰ درصد یعنی ۲۰ درصد از قیمت اصلی کم می‌شود، پس مشتری ۸۰ درصدِ قیمت اصلی را می‌پردازد.\n\n۳) بنابراین:\n0.8x = 2400\n\n۴) دو طرف را بر 0.8 تقسیم می‌کنیم:\nx = 2400 ÷ 0.8 = 3000\n\n۵) وارسی: ۲۰ درصدِ 3000 می‌شود 600، و 3000 − 600 = 2400 ✔\n\n✅ جواب: قیمت اصلی کتاب 3000 تومان بوده است.\n\nحالا خودت امتحان کن: یک کیف پس از ۲۵ درصد تخفیف، به قیمت ۱۸۰۰ تومان فروخته می‌شود. قیمت اصلی کیف چقدر بوده است؟",
|
||
"seconds": 4.5,
|
||
"sanitized": false,
|
||
"rawMarkup": false,
|
||
"promptTokens": 859,
|
||
"completionTokens": 353,
|
||
"reasoningTokens": 151,
|
||
"costUsd": 0.00030535,
|
||
"hasFinal": true,
|
||
"steps": 6,
|
||
"chars": 438,
|
||
"hasCheck": true,
|
||
"hasPractice": true,
|
||
"foreignWords": 0,
|
||
"cjk": 0,
|
||
"error": null,
|
||
"verdict": "correct",
|
||
"why": "جواب نهایی معلم (۳۰۰۰ تومان) با کلید یکی است.",
|
||
"judgeCostUsd": 0.001132
|
||
}
|
||
]
|
||
} |